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Mode d`emploi Nestler

1. T T T T A x2 B SLR x D x LL3 d a b1 1024 ex LL 11745 ETE b e lx i 1h L L Fig 40 Les derniers mod les de la r gle Delta comportent en plus de LL 2 et LL 3 une nouvelle chelle LL 1 Le principe reste le m me L chelle LL 1 permet d effectuer en plus des calculs avec des nombres compris entre 1 01 et 1 11 ce qui repr sente un avantage appr ciable L chelle LL 1 est utilis e en liaison avec l chelle D de la m me fa on que le sont les chelles LL 2 et LL 3 De plus quand on juxtapose au moyen du trait m dian du curseur un nombre de chacune des chelles LL 1 LL 2 LL 3 Le nombre de LL 2 sera la dixi me racine du nombre figurant sur LL 3 Le nombre de LL 1 sera la dixi me racine du nombre figurant sur LL 2 Le nombre de LL 1 sera la centi me racine du nombre figurant sur LL 3 Inversement Si on l ve un nombre de LL 1 la puissance 10 on trouve le r sultat sur LL 2 Si on l ve un nombre de LL 2 la puissance 10 on trouve le r sultat sur LL 3 Si on l ve un nombre de LL 1 la puissance 100 on trouve le r sultat sur LL 3 Il 9 gt 2 Puissances de la forme y Pour lever un nombre au carr ou au cube on peut utiliser comme nous l avons d j indiqu les chelles D et A ou C et B pour l l vation au carr les chelles D et K pour l l vation au cube Ces m mes op rations peuvent aussi tre effectu es au moyen des chelles LL qui permettent en plus l
2. Exemples 1 643 4 4 318 2 file C SlideRules WebPage a to z nestler sectiona htm 18 of 21 03 03 2001 13 32 42 A Notions de Base et Calculs l mentaires 43 64 3 18 2 62 0 0743 0 000405 405 10 4 3V1800 12 17 7 i sit EOI PES 18 an 18 05 A 2 A X y K 4 f c D 1 2 1 7 1 6 4 2 6 2 4 h lt biks L 154 4 004 Fig 28 L chelle des cubes K comporte 3 intervalles de 1 10 de 10 100 de 100 1000 Avant de rep rer un nombre dans l chelle des cubes K on le divise en tranches de 3 chiffres en partant de la virgule 31 3 468 500 3 32421500 3 125 34 5 340 34 56 342 34 126 340 750 31 0 005 680 34 0 046 530 34 0 000 431 1 chiffre significatif dans la 1 re 2 chiffres significatifs dans la 1 re 3 chiffres significatifs dans la 1 re Tranche Tranche soulign e Tranche soulign e soulign e Nombres reporter dans l intervalle Nombres reporter dans l intervalle de Nombre reporter dans l intervalle de 100 de 1 10 10 100 1000 R gle 1 10 1 chiffre On reporte dans l intervalle de 10 100 quand la l re tranche comporte 2 chiffres 100 1000 3 chiffres On peut galement proc der autrement en crivant le nombre sous le radical au moyen de puissances de 10 Exemples 3V0 0112 3V 11 2 1000 3V 11 2 103 3V11 2 10 3 3V11 2 3V 10 3 311 2 10 1 2 24 10 0 224 12 Echelles des Mantisses L log x Logarithmes d cimaux ou Lo
3. gt radians Exemples Un angle de 1 intercepte un arc de 0 01745 rad p Un angle de 0 141 intercepte un arc de p 0 141 0 00246 rad Un angle de 208 intercepte un arc de p 208 3 63 rad ad F3 3 pE SP X X x xX lt sin 01x ST re 1 41 oete 2 08 208 lt J arc 001x AE al Fig 38 L chelle ST est d cal e par rapport l chelle D de p Placer CI au dessus de p de D On remarque alors que les chelles C et ST co ncident exactement Les nombres figurant sur C et repr sentant des degr s sont ainsi multipli s par p Les valeurs lues en face sur l chelle D repr sentent la valeur en radians de l arc intercept On voit donc que la valeur en degr s peut pour cette position de la r glette mobile tre rep r e indistinctement sur C ou sur ST La figure 38 montre comment proc der file C SlideRules WebPage a to z nestler sectionb htm 9 of 9 03 03 2001 13 32 54 A Notions de Base et Calculs l mentaires plus comme r sultat leur somme mais leur produit De m me la soustraction de deux longueurs ne donne plus leur diff rence mais leur quotient La figure 3 montre la disposition des chelles de la r gle calculer pour effectuer la multiplication 2 3 6 Les fl ches rouges indiquent la suite des op rations C 7 2 4 5 789D D 2 3 5 78940 Cette m me disposition des chelles permet galement d effectuer la division 6 3 2 En utilisant la r gle calculer pour mu
4. 2 5 j DF longueur normale T X CF l T X longueur r duite D 2 5 longueur normale Fig 23 M thode Placer C 1 au dessus de D 2 5 Nous pouvons alors trouver sur D et DF couleur blanche les dimensions en grandeur naturelle et sur C et CF couleur verte ces m mes dimensions r duites dans le rapport 1 2 5 Pour rep rer facilement les couples de valeur on a int r t se servir du curseur D signons toujours par l expression valeurs correspondantes ou nombres correspondant les nombres plac s sous le trait m dian du curseur En raison du d calage en appliquant le facteur p il r sulte que le rapport des valeurs correspondantes de DF et de D ou de CF et de C est de p Soit x une valeur de D Soit y la valeur correspondante de DF on a y pH x file C SlideRules WebPage a to z nestler sectiona htm 15 of 21 03 03 2001 13 32 42 A Notions de Base et Calculs l mentaires Il en est de m me pour les chelles C et CF En passant de C CF ou de D DF on multiplie par p En passant de CF C ou de DF D on divise par p Dans le cas o un produit de facteurs renferme le facteur p on peut effectuer cette multiplication en passant de l chelle C CF ou de D DF en prenant la valeur correspondante plac e sur le m me trait m dian du curseur qui sert a faire le transposition Exemple D termination de l aire d une ellipse S a b p Application a 1 64 b 4 25 S 1 64 4 25 3
5. file C SlideRules WebPage a to z nestler sectiona htm 12 of 21 03 03 2001 13 32 42 A Notions de Base et Calculs l mentaires B x 1 z a 8 GC x CA NN AS SR A AO D 6 7 5 x En M thode Placer CI 10 ou C 1 au dessus de D 6 Placer le trait m dian du curseur au dessus de CI 8 Ce trait m dian est plac au dessus du nombre 7 5 de l chelle D c est le quotient cherch Dans certains cas on peut tre amen placer CI 1 ou C 10 au dessus du dividende R gle Quand nous utilisons l chelle D et CI les op rations sont invers es Pour effectuer une multiplication nous disposons les chelles comme pour une division normale multiplicande choisi sur D multiplicateur choisi sur CI R sultat sous C 1 ou C 10 sur D Pour effectuer une division nous disposons les chelles comme pour une multiplication normale Dividende choisi sur D diviseur choisi sur CI R sultat lire sur l chelle D c Multiplication de plusieurs facteurs Pour effecteur les multiplications a b c nous utiliserons l chelle CI toujours dans les cas ou pour continuer les multiplications successives il faudrait normalement d placer la r glette coulissante vers la gauche pour faire co ncider C 10 avec les produits partiels Le recours l chelle des inverses CI permet d viter cette manipulation Exemple 35 0 7 25 612 5 x2 B x l C x D x Fig 20 M thode Placer CI 7 en utilisant le trait m dian du curseur au
6. vation au carr e Extraction de la racine carr e 11 El vation au cube Extraction de la racine cubique 12 Echelles de mantisses L 1 Principe de la r gle calculer Pour mesurer la longueur d un segment de droite nous utilisons normalement une r gle gradu e soit en cm soit en mm Si nous disposons de 2 r gles identiques nous pouvons galement nous en servir pour faire des additions et des soustractions On admettra que chaque trait de la graduation en mm correspond un nombre Pour effectuer l addition 34 48 82 nous disposons les 2 r gles l une contre l autre comme l indique la figure 2 Nous pla ons le trait O de la r gle C au dessus du trait 34 de la r gle D Le trait 48 de la r gle C se trouve alors plac en face du trait 82 de la r gle D 82 repr sente la somme cherch e Les fl ches rouges de la figure 2 indiquent comment effectuer cette op ration Note La documentation originale a t imprim e en noir et blanc Nous venons ainsi de faire une addition en utilisant deux r gles graduation lin aire normale ce qui veut dire que la distance entre deux divisions successives est la m me en tout point de la r gle C 10 20 30 4 5 60 7 80 30 100 mm baranhas sehirli odasaka Naronhonna l aranda Ei oalaseatasnboni uaeth 40 50 60 70 80 30 100mm Fig 2 Pour effectuer la soustraction nous faisons une op ration analogue en retranchant un des segments de l autre Maintenons les 2 r gles dans
7. 10 C est le cas pour V183 et V0 0345 Si la 1 re tranche comporte 2 chiffres on reportera le nombre correspondant dans l intervalle allant de 10 100 C est le cas pour V2035 et V0 4564 Rappelons en outre les r gles suivantes 1 Le nombre sous le radical est sup rieur ou gal 1 La Racine carr e comporte autant de chiffres significatifs avant la virgule que le nombre sous le radical comporte de tranches avant la virgule Exemples V3791 61 2 tranches V46 24 6 8 1 tranche V1 44 1 2 1 tranche V79 21 00 890 3 tranches 2 Le nombre sous le radical est inf rieur 1 mais sup rieur z ro La racine carr comporte autant de chiffres significatifs apr s la virgule que le nombre sous le radical comporte de tranches apr s la virgule Une tranche de la forme 00 se traduit par un O dans le r sultat Exemples V0 04 0 2 1 tranche V0 00 96 04 0 098 3 tranches V0 00 16 0 04 2 tranches V0 36 0 6 1 tranche 11 El vation au cube a 3da Extraction de la racine cubique L chelle des cubes K comporte une base qui n est que le tiers de la base C ou D Elle est de 25 3 cm Faisons co ncider C 1 avec D 1 Faisons correspondre au moyen du trait m dian du curseur un nombre x de C ou D avec un nombre y de l chelle K Ce nombre y sera le cube de x c est dire y x3 Inversement tout nombre x de K correspond un autre nombre y de C et D Ce nombre y sera la racine cubique de x c d 3x
8. 14 21 9 cm g ji DF 2 1 9 x T X multiplication division i pari parm c 1 4 2 5 t x e _ D 1 6 a Hi s Fig 24 Le calcul ou la d termination des pourcentages est une op ration tr s fr quente L utilisation des chelles d cal es est ici particuli rement indiqu e du fait que le nombre 1 est dispos peu pr s au milieu de l chelle CF ou DF Il est ainsi tr s facile d appliquer une hausse ou une baisse d un pourcentage donn un nombre et de d terminer le nouveau nombre qui se d duit du premier apr s application de la hausse ou de la baisse Exemple La tension nominale aux bornes d une prise de courant est de 220Vavec une tol rance de 5 D terminer la tension minimale et maximale admissible R sultat 209 V minimum et 231 V maximum 3 ei EE 2 5 DF 9 5 1 1 0 5 mx lM CF Tr 2 2 2 3 1 ot A 220V 231V c RP RES SUREE RREN DRASS RERO SOANA x D s X up al 1 Fig 25 Autre exemple Prix brut d une marchandise 52 F Quel est le prix net apr s avoir accord une remise de 30 sur le prix brut R ponse 36 F40 file C SlideRules WebPage a to z nestler sectiona htm 16 of 21 03 03 2001 13 32 42 A Notions de Base et Calculs l mentaires DF 7 1 TX _ _ CF 3 6 4 5 2 N F 38 40 82 c x D x Fig 26 Nous nous limitons donner 2 exemples Il y a beaucoup d au
9. 2001 13 32 42 A Notions de Base et Calculs l mentaires A x2 B x gt pouce 2 4 3 7 x D gs mm 6 1 9 4 a g 1 Fig 16 M thode Placer C 1 au dessus de D 2 5 4 L chelle C repr sente les pouces L chelle D repr sente les mm Sous C 24 pouces nous lisons D 61 mm Sous D 9 4 mm nous lisons C 37 pouces On peut ainsi soit convertir des pouces en mm ou inversement des mm en pouces La r glette mobile garde dans les 2 cas la m me position On peut aussi d terminer par exemple la quatri me proportionnelle x dans l expression a b c x tr s simplement Exemple 4 2 6 x x 3 M thode Placer C 2 au dessus de D 4 Au dessus de D 6 nous lisons C 3 3 est la valeur de x Autre exemple Echelle d une carte 1 12500 Soit une longueur de 2 36 cm mesur e sur la carte Quelle est la distance dans la nature Nous crivons 1 12 500 2 36 x x 29500 cm 295 m A x4 B x C 1 cm carte 2 3 6 x AA E E aa EA E E A E EE A GRR EENE EE D 1 25 m nature 2 9 5 e T Fig 17 M thode comme dans l exemple pr c dent 8 L Echelle des inverses CI 1 a Le mode de division de l chelle CI C inverse correspond celle des chelles de base C et D Mais elle est dispos e l envers le 10 tant gauche le 1 tant droite Les valeurs augmentent quand on va de droite gauche Cette chelle se trouve sur la r glette mobile Elle est repr sent e en rouge dans les sch mas Son utilisation est s
10. B 20 sur l chelle S Nous pla ons le trait m dian du curseur sur B 20 et d pla ons ensuite la r glette mobile afin d amener b 1 5 5 de l chelle C en dessous du trait m dian du curseur Le rapport b sin B est ainsi form Nous lirons ensuite au dessus de 70 la valeur de a c d 4 2 6 puis au dessus de y 90 la valeur de c 4 5 3 La position de la virgule sera d termin e par le proc d habituel Si on donne par contre la valeur de 2 c t s a et b par exemple on forme d abord le rapport a b tg Le chapitre B 4 montrera comment trouver Q connaissant tg d faut on se servira d une table des tangentes tant alors connu on forme le rapport a sin amp et on proc dera comme dans l exemple pr c dent Dans le paragraphe B 4 nous avons montr comment on pouvait au moyen des chelles S et D d terminer le sinus d un angle On est parfois oblig dans des probl mes de physique de multiplier ou de diviser par le sinus ou le cosinus d un angle La r gle calculer permet d effectuer ces op rations sans qu il soit n cessaire de d terminer d abord le sinus ou cosinus de cet angle Exemple file C SlideRules WebPage a to z nestler sectionb htm 4 of 9 03 03 2001 13 32 54 B Rapports Trigonom triques Angles Dans un circuit parcouru par un courant alternatif de tension U d intensit 7 et pr sentant un d phasage f la puissance se calcule au moyen de la formule P U T
11. Calculs l mentaires Placer C 1 en utilisant ventuellement le trait m dian noir du curseur au dessus de D 2 3 6 Placer le trait m dian du curseur sur C 1 9 7 Ce trait est alors aussi plac au dessus de D 4 6 5 4 6 5 est le r sultat de la multiplication 2 exemple Placer le trait m dian du curseur au dessus de D 2 3 6 Placer C 1 au dessus du trait m dian du curseur de ce fait C 1 est plac au dessus de D 236 Placer ensuite le trait m dian du curseur sur C 3 6 qui est alors plac au dessus de D 8 5 qui est le produit recherch Comme nous l avons d j mentionn pr c demment la r gle calculer ne nous donne que les chiffres du produit dans l ordre sans pr ciser l emplacement de la virgule Pour d terminer cet emplacement nous faisons un calcul mental rapide en arrondissant les 2 facteurs du produit Ainsi pour le premier exemple 2 36 19 7 2 20 40 Le produit sera donc de cet ordre de grandeur Nous avions trouv 4 6 5 Le produit sera donc 46 5 et non 4 65 ou 465 Le 2e exemple nous donne de m me 2 36 3 6 2 4 8 Pour ces exemples simples ces calculs approch s peuvent para tre inutiles car nous connaissions d j par habitude la valeur approximative du r sultat Pour d autres exemples plus complexes que nous verrons plus tard ces calculs avec les nombres arrondis des nombres entiers simples sont indispensables Nous vous conseillons de vous exercer d abord avec des exemples simples afin de prendr
12. LL 3 Si on place C 1 au dessus d un nombre de LL 2 le r sultat sera lu sur LL 2 Si on place C 1 au dessus d un nombre de LL 3 le r sultat sera lu sur LL 3 Si on place C 10 au dessus d un nombre de LL 2 le r sultat sera lu sur LL 3 On ne peut placer C 10 au dessus d un nombre de LL 3 car l chelle LL 4 dont on devait disposer ne figure pas sur la r gle Exemple 28 256 20 8 1 741 file C SlideRules WebPage a to z nestler sectionc htm 3 of 11 03 03 2001 13 33 08 C Fonctions Exponentielles et Logarithmiques x B x4 C 8 10 x PRE SOEUR RCE ER A A D x DEN RE ET LL3 2 56 e s S LL2 1 741 2 e x a 2 Fig 42 M thode Juxtaposer en utilisant le trait du curseur C 10 avec 2 choisi sur LL 2 Le r sultat sera lu sous C 8 sur LL 3 c d 256 Nous lisons en m me temps sur LL2 1 741 qui est la 10 me racine de 256 ou encore En effet 101256 10428 28 1 10 20 8 Les valeurs des puissances qu on peut d terminer avec les chelles LL 2 et LL 3 sont comprises entre 1 1 au minimum et 30 000 au maximum La d termination de y dans des expressions de la forme y ax ou y af est donc tr s facile Exemple Soit la fonction y 2 D terminer y lorsque x prend les valeurs 0 14 1 4 14 20 14 1 102 214 2 64 214 16400 La lecture des valeurs sur l chelle LL 3 devient un peu d licate apr s 20 000 car les graduations sont tr s resserr es La r gle ne donnera ici que 2 chiffres signi
13. cosf U 220 Volts I 2 6 Amp res f 30 P 220 2 6 cos 30 495 Watts i ZE D DF xx CF TH x 10 CL ER en AA 252 diet TZ f x C 226 x D re 4 9 5 8 6 6 10 s z 30 60 g0 cos sin Dix F g S M thode Les fl ches rouges indiquent les op rations effectuer Partir de f 30 cosinus rouge cou 60 sinus noir car cos 30 sin 60 La valeur de cos 30 0 866 lue sur l chelle D n a pas besoin d tre not e mais sera multipli e d abord par 2 2 et ensuite par 2 6 On ne retiendra que le r sultat final 4 9 5 tg a 4 Echelles des Tangentes et Cotangentes T1 et T2 cotg Les chelles trigonom triques T1 et T2 servent en liaison avec l chelle de base D d terminer les rapports trigonom triques tg et cotg d un angle donn Les chelles T1 et T2 sont gradu es directement en degr s L chelle T1 va de 5 5 45 et l chelle T2 de 45 84 5 Pour trouver la tangente d un angle a on rep rera l angle amp sur l une des chelles T1 ou T2 en se servant des nombres grav s en noir En utilisant le trait m dian du curseur on trouvera alors en face sur l chelle D le rapport tg amp correspondant l angle L chelle T1 porte sa droite l indication lt tg 0 1 x qui nous signale que les valeurs lues sur l chelle D doivent tre divis es par 10 Cette chelle D va donc de 0 1 1 Ces valeurs sont les tangentes des angles choisis sur l c
14. dessus de D 35 D placer le curseur sur C 25 R sultat lire sous C 25 sur l chelle D c d 6125 d Multiplications et divisions combin es a b c d lt e On commencera effectuer la premi re division a d puis on multiplie par b etc comme cela a t expliqu au chapitre 6 Chaque fois qu un d calage de la r glette mobile s av rerait n cessaire on aura recours l chelle des in verses CI C est dans le cas d op rations de ce genre que l utilisation de l chelle CI apporte une simplification certaine Gardons bien en m moire la r gle nonc e pr c demment multiplication gt division avec l chelle des inverses division gt multiplication avec l chelle des inverses Effectuons quelques exercices Nous calculerons alors rapidement et sans fautes 9 Echelles de base d cal es CF DF file C SlideRules WebPage a to z nestler sectiona htm 13 of 21 03 03 2001 13 32 42 A Notions de Base et Calculs l mentaires Au verso de la r gle calculer nous rencontrons les chelles CF et DF Leur base et le mode de division sont les m mes que pour les chelles ordinaires C et D Le d calage de CF et DF par rapport C et D a t obtenu en appliquant le facteur p C est pour cette raison que les chelles CF et DF ne commencent que par 3 le 1 est situ approximativement au milieu de l chelle Quand on fait co ncider C 1 et D 1 on remarquera que DF p et CF p correspondent avec
15. est la m me en tout point de l chelle Ce n est pas l erreur absolue qui importe dans les calculs mais uniquement cette erreur relative 3 Repr sentation sch matique de la r gle Nous utiliserons un sch ma simple et clair pour repr senter la r gle et pour montrer comment effectuer les calculs Les chelles sont repr sent es par des traits pleins de couleur noire si la valeur des nombres repr sent s sur l chelle augmente en allant de gauche droite La couleur est rouge si l chelle d cro t en allant de gauche droite La r glette mobile ou coulissante est repr sent e par une bande en gris Sur la r gle cette r glette est de couleur verte Les lettres inscrites aux extr mit s des chelles repr sentent gauche les symboles internationaux droite les symboles math matiques file C SlideRules WebPage a to z nestler sectiona htm 5 of 21 03 03 2001 13 32 42 A Notions de Base et Calculs l mentaires Le trait vertical avec un petit trait gras horizontal chaque extr mit repr sente le trait du milieu ou trait m dian du curseur Sur le curseur ce trait est de couleur noire La fl che repr sent e l extr mit sup rieure de ce trait vertical indique la direction dans laquelle il faut d placer ce curseur pour effectuer les op rations Le trait vertical surmont du chiffre 1 repr sente la position primitive du curseur en d but de calcul Celui qui est surmont du chiffre 2 repr sente la posit
16. formule pr c dente une valeur sin sin B sin y des d nominateurs de fa on ce que les rapports soient gaux La valeur des c t s a b c sera lue sur l chelle C La valeur en degr s des angles oppos s ces c t s sera lue en face sur l chelle S La ligne de s paration entre la r glette mobile verte et le corps blanc de la r gle forme pour ainsi dire le trait de fraction qui se trouve entre le num rateur et le d nominateur Pour effectuer les calculs il faut conna tre dans le cas d un triangle quelconque un c t et l angle oppos ce c t pour pouvoir former le rapport c t sin angle Si on donne ensuite la valeur d un autre c t on peut calculer la valeur de l angle oppos qui lui correspond Inversement si on donne la valeur de l angle on peut trouver le c t Comme on sait que la somme des 3 angles d un triangle est de 180 on peut au moyen de cette relation trouver le 3 angle connaissant les 2 autres Le 3 angle tant ainsi d termin on peut trouver la valeur du c t qui lui est oppos En pratique on d placera la r glette mobile de fa on placer face face sous le trait m dian noir du curseur mobile la valeur d un c t a par exemple rep r sur l chelle C et la valeur de l angle oppos ce c t dans ce cas rep r sur l chelle S Nous rep rons ensuite sur l chelle C la valeur des c t s b et c et nous trouverons en dessous utiliser le curseur mobile la valeu
17. la virgule C est ainsi que le chiffre 2 de la r gle peut repr senter 2 ou 20 200 2000 0 2 0 02 0 002 etc L chelle gradu e de 1 10 peut ainsi servir repr senter tous les nombres C est pour cette raison qu il faut apprendre lire et prononcer les nombres sans s occuper de la virgule comme l indiquent les exemples suivants Nombre consid r 0 0238 On crit 2 3 8 On prononce deux trois huit On vitera de prononcer z ro virgule z ro deux cent trente huit Nombre consid r 27500 On crit 2 7 5 On prononce deux sept cinq On vitera de prononcer vingt sept mille cinq cent file C SlideRules WebPage a to z nestler sectiona htm 3 of 21 03 03 2001 13 32 42 A Notions de Base et Calculs l mentaires C est ainsi qu on vitera les fautes et qu on pourra rapidement lire les chiffres et r gler et d placer curseur ou r glette mobile Dans la figure 6 on remarque qu il y a 3 intervalles importants sur l chelle de base de 1 2 de 2 4 de 4 10 Le 1 intervalle allant de 1 2 est subdivis en 10 parties par des traits assez longs portant leur extr mit sup rieure l inscription 1 1 1 2 1 3 1 9 Chacune des divisions obtenues est encore une fois subdivis e en 10 intervalles par des traits plus courts Le trait rep rant le milieu des intervalles pr c dents de 1 2 1 3 par exemple est l g rement plus long Dans notre exemple il s agit du trait rep rant le nomb
18. to z nestler sectiona htm 9 of 21 03 03 2001 13 32 42 A Notions de Base et Calculs l mentaires Placer C 1 8 au dessus de D 4 5 Le r sultat de cette division se trouve sous C 1 mais nous ne le notons pas Nous pla ons le trait m dian du curseur sur C 2 C 2 est plac au dessus de Ds Le r sultat est de 5 D termination de l emplacement de la virgule 450 2 18 50 17 1 50 S1 le num rateur et le d nominateur de la fraction sont form s par plusieurs facteurs le principe reste le m me La fraction a b c d e f 2 s effectue d apr s le sch ma suivant a b c d etc e f g Les r sultats interm diaires n ont pas d int r t pour nous et ne seront pas retenus Exemple 3 8 6 27 9 35 7 2 0 37 83 6 Placer C 7 2 au dessus de D 3 8 R sultat sous C 10 D placer le trait m dian du curseur sur C 6 2 7 En ne bougeant pas ce curseur placer C 3 7 sous le trait m dian D placer le curseur et placer le trait m dian sur C 9 3 5 Le r sultat final se lit sur l chelle D sous C 935 c d 8 3 6 D termination de l emplacement de la virgule 3 8 6 27 9 35 7 2 0 37 4 6 10 8 0 5 60 R sultat 83 6 et non 8 36 ou 836 ou 0 836 ou 8360 etc 7 Rapports et proportions a b c d e f Donnons la r glette mobile une position quelconque Pour cette position donn e au dessus de chaque nombre de D nous trouvons un nombre correspondant sur C Si nous divisions un nomb
19. x Inversement choisissons un nombre y sur A ou B Le nombre x de C ou D qui lui correspond sera la racine carr e de c d x Vy Pour r aliser cette correspondance des chelles A ou B avec C ou D utilisez toujours le curseur bien que les rep res C 1 et B 1 de la r glette coulissante puissent servir aussi Exemples 22 4 V2 1 41 502 2500 V10 3 16 8 062 65 V39 6 24 DF Y T CF x Xe 1 gt fi cs RUE TL 1 e Poser sul ak X 1 T 1 Fig 21 Quand on extrait la racine carr e d un nombre on ne peut pas le rep rer n importe o sur l chelle A ou B Ces chelles file C SlideRules WebPage a to z nestler sectiona htm 17 of 21 03 03 2001 13 32 42 A Notions de Base et Calculs l mentaires comportent l intervalle de 1 10 et de 10 100 Les nombres dont on extrait la racine carr e Let 10 compris entre doivent tre rep r s dans le 1 intervalle 100 et 1000 allant de 1 10 10000 et 10000 Les nombres compris entre 10 et 100 doivent tre rep r s dans le 2 intervalle 1000 et 10000 I 100000 et 1000000 allant de 10 100 Comme il est assez compliqu de retenir ce tableau on se souviendra du proc d suivant D composer le nombre sous le radical en tranches de 2 chiffres en commen ant par la virgule Exemples V20 35 V1 83 V0 03 45 V0 45 64 Si la 1 re tranche qui est la tranche soulign e ne comporte qu un chiffre on reportera le nombre correspondant dans l intervalle de 1
20. 39 repr sente ces chelles et indique comment elles devraient tre dispos es normalement La base est celle de l chelle C ou D Les chelles C et D auraient du tre prolong es vers la gauche d une longueur gale la base C est ce que repr sentent les traits en pointill dans la figure 39 Ici aussi on a pr f r pour garder r gle une longueur commode d composer les chelles LL en 2 parties qu on a alors dispos es l une sous l autre CG 1 10 y pe _ __ D 0 1 1 10 X POA aaa LG 26 e 106 3 e nn E LL 710 e28 elx file C SlideRules WebPage a to z nestler sectionc htm 1 of 11 03 03 2001 13 33 08 C Fonctions Exponentielles et Logarithmiques Une marque a t grav e dans la r gle pour rep rer la valeur e 2 718 Elle se trouve sous D 1 car In e 1 logarithme naturel de e et log In e 0 La disposition des chelles est telle qu on trouve au dessus de chaque nombre rep r sur LL 2 sa dixi me puissance sur l chelle LL 3 Si a est un nombre de LL 2 nous trouvons au dessus sur LL sa dixi me puissance c d Inversement si b est un nombre de LL 3 nous trouvons en dessous la dixi me racine de ce nombre c d 10Vb Mais il est rare qu on ait lever un nombre la puissance 10 ou qu on ait extraire la 10 me racine d un nombre Ces exemples avaient pour but de montrer la relation existant entre les chelles LL 2 et LL 3 La figure 40 nous donne quelques exemples ust b 2
21. 4 1 8 9 8 1 0 6 6 1 0 3 5 1 3 5 7 1 7 0 4 ki 9 8 1 0 0 6 1 0 6 6 Fig 7 Le 2 me intervalle allant de 2 4 est divis autrement Les traits un peu plus longs que les autres et qui ne sont pas surmont s de chiffres correspondent aux nombres 2 1 2 2 2 3 3 9 Les traits repr sentant les nombres 2 5 et 3 5 sont un peu plus longs Chaque intervalle ainsi form de 2 2 2 3 ou de 3 8 3 9 par ex a t divis en 5 parties seulement par manque de place Ce mode de division permet ainsi le rep rage exact d un nombre par un trait de division lorsque son 3e chiffre est un chiffre pair C est ainsi le cas pour les nombres 202 204 236 etc Si le 3e chiffre est un nombre impair son emplacement sera rep r au milieu entre 2 traits cons cutifs On peut la rigueur encore appr cier comme 4e chiffre le chiffre 5 Pour cela nous nous imaginons que l intervalle entre 2 traits cons cutifs est divis en 4 parties gales La figure 8 nous donne quelques exemples Exemples 2 0 7 5 2 6 8 5 3 0 4 3 7 7 5 2 0 1 5 2 1 5 5 file C SlideRules WebPage a to z nestler sectiona htm 4 of 21 03 03 2001 13 32 42 A Notions de Base et Calculs l mentaires 2 0 7 5 Eii 3 0 4 3 7 7 5 nn l H 3 A 200 2 d Fig 8 i 2 0 1 5 2 1 5 5 Le 3e intervalle allant de 4 10 est divis encore autrement Nous avons d abord repr sent les chiffres 5 6 7 8 9 en divisant cet intervalle en 6 parties Ch
22. 4 1 5 1 1 5 Multiplier un nombre a par b revient donc diviser a par l inverse de b c d par 1 b autre Exemple a b a b a 1 b 20 4 20 4 20 1 4 20 0 25 5 Dans ce cas diviser un nombre a par b revient donc multiplier a par l inverse de b c d par 1 b Tout ceci peut para tre bien compliqu au premier abord Mais nous allons voir maintenant que cela nous permet de simplifier certaines op rations C est ainsi que les multiplications qui s effectuaient en pla ant C 10 au dessus du multiplicande la r glette d passe alors gauche se font plus simplement Exemple 3 4 3 1 4 12 x B x2 X C x D x Fig 18 M thode ordinaire On place C 10 au dessus de D 3 Lecture sous C 4 du r sultat D 12 M thode avec les inverses Nous pla ons au dessus de D 3 la valeur CI 4 Nous avons ainsi dispos au dessus de D 3 galement C 1 4 ou C 2 5 qui est l inverse de CI 4 Effectivement le trait m dian du curseur couvre D 3 CI 4 et C 2 5 C 1 4 La disposition de la r gle et de la r glette est celle de la division de 3 par 1 4 vu que C est plac au dessus de D 3 La valeur du produit se lira sous CI 10 ou C 1 Dans notre cas c est 1 2 En pratique pour multiplier a par b on place le nombre b choisi sur CI en face de a choisi sur D en s aidant du curseur Dans notre cas pla ons CI 4 au dessus de D 3 R sultat sous C 1 sur l chelle D c d 1 2 Autre exemple 60 8 60 1 8 7 5
23. C 1 et D 1 Au moyen du trait m dian du curseur on peut faire correspondre un nombre a des chelles C ou D un nombre b des chelles CF ou DF a et b tant situ s sous le trait m dian du curseur On aura la relation b a p On peut aussi dire que b a p Nous verrons plus tard une application de cette propri t L utilisation des chelles d cal es pr sente encore d autres avantages Entre autre dans une multiplication ordinaire elle nous vitera aussi le d calage fr quent de la r glette mobile vers la gauche ou la droite Il est en outre possible de r aliser une s rie de rapports gaux couvrant l intervalle de 1 10 ce qui n est pas possible avec les chelles C et D La figure 21 nous montre le d calage r alis On a prolong l chelle de base C et D au del de 10 La portion comprise entre le de gauche et le de droite a t d cal e vers le haut et vers la gauche non pas d une mani re quel conque mais en utilisant le facteur p D N p o ND cn u E P un no x x NO N Oo p N w Es aa P y b ch x On utilisera les chelles CF et DF en appliquant les r gles qui sont d j valables pour les chelles C et D Il r sulte de ce d calage un avantage certain Pour effectuer une multiplication on peut poser par exemple le 1 facteur sur l chelle D et lire la valeur du produit soit sur l chelle D soit sur l chelle DF Exemple 2 4 8 Placer C 1 au dessus de D 2 CF 1 cor
24. M thode Rep rer le nombre sur l chelle D au moyen du trait m dian du curseur Lire sur l chelle L la mantisse se trouvant sous le trait du curseur Ajouter la mantisse la caract ristique pour obtenir le logarithme du nombre consid r Les exemples suivants nous montrent comment on calcule au moyen des logarithmes Cela nous permettra de comprendre le fonctionnement de la r gle calculer qui travaille non pas avec les nombres mais avec les logarithmes des nombres grav s sur les chelles Op ration normale Op ration logarithmique Multiplication a b c log a log b log c Division a b c log a log b log c El vation aux puissances a b n log a log b Extraction des racines nya b log a n log b Exemples 312 0 0025 7 8 log 312 log 0 0025 2 494 0 398 2 0 892 qui est la mantisse correspondant au nombre 7 8 La caract ristique est 0 7 28 150 0 0485 log 7 28 log 150 0 862 2 176 1 314 0 686 2 164 65500 file C SlideRules WebPage a to z nestler sectiona htm 20 of 21 03 03 2001 13 32 42 A Notions de Base et Calculs l mentaires 4 log 16 4 1 204 4 816 Mantisse 0 816 Nombre Caract ristique 4 65500 3V2 1 189 1 19 log 2 4 0 301 4 0 0752 0 075 file C SlideRules WebPage a to z nestler sectiona htm 21 of 21 03 03 2001 13 32 42 Mode d emploi Nestler 5 Arcs Radians Petits angles 5 1 La marque p 5 2 Degr s Radians C Fonctions Exponentielle
25. Mode d emploi Nestler Slide rules HOME page International lt SITE MAP gt Mode d emploi R gles calculer scolaires ALPHA BETA 7 GAMMA DELTA 8 3 AL RNIeNES Hd ie Table des mati res A Notions de Base et Calculs l mentaires 1 Principe de la r gle calculer 2 Echelles de base lecture et r glage 3 Repr sentation sch matique de la r gle 4 La multiplication 5 La division 6 Multiplication et division combin es 7 Rapports et proportions 8 L Echelle des inverses CI 9 Echelles de base d cal es CF DF 10 El vation au carr e Extraction de la racine carr e 11 El vation au cube Extraction de la racine cubique 12 Echelles de mantisses L B Rapports Trigonom triques Angles 1 Les chelles trigonom triques 2 Echelles de sinus S 3 La relation a sin amp b sin B c sin y application 4 Echelles des tangentes et cotangentes T1 et T2 file C SlideRules WebPage a to z nestler nestler htm 1 of 2 03 03 2001 13 32 19 A Notions de Base et Calculs l mentaires Tables des mati res A Notions de Base et Calculs l mentaires 1 Principe de la r gle calculer 2 Echelles de base lecture et r glage 3 Repr sentation sch matique de la r gle 4 La multiplication 5 La division 6 Multiplication et division combin es 7 Rapports et proportions 8 L Echelle des inverses CI 9 Echelles de base d cal es CF DF 10 El
26. PE CE 7 5 xx C x CSP MINES SOAD RESF LUE DE ES RER CP SAC EEE PRE SCENE ER D 3 x Fig 22 M thode Placer C 1 au dessus de D 3 Lecture impossible sous C 7 5 Pour viter le d calage de la r glette gauche C 10 au dessus de D 3 on aura recours l chelle CF et on lira au dessus de CF 7 5 le r sultat 2 2 5 sur l chelle DF N anmoins tous les cas de multiplication ne peuvent pas tre effectu s en utilisant l chelle d cal e CF et DF En effet dans le cas o chacun de deux facteurs est sup rieur 6 nous ne pouvons plus lire le r sultat sur DF Il est alors indiqu d utiliser l chelle des inverses CI Paragraphe 8 et de remplacer la multiplication par une division au moyen de l inverse du facteur consid r Les chelles d cal es CF et DF sont surtout d un grand int r t lorsqu on veut former des rapports gaux Si la valeur du rapport est donn e on d place la r glette mobile de fa on former ce rapport sur la r gle S il est de 2 3 par exemple on dispose C 2 au dessus de D 3 Dans ce cas si on divise un nombre quelconque de C par le nombre correspondant de D nombre plac imm diatement en dessous ou si on divise un nombre de CF par le nombre correspondant de DF plac au dessus on obtient toujours le m me quotient Par d finition ces rapports sont alors gaux Mais attention Nombre de C _ Nombre de CF Nombre de D Nombre de DF Exemple R duction des longueurs dans un dessin dans le rapport 1
27. a r gle Vous risquez un d calage des 2 parties du corps Dans ce cas jamais encore constat dans la pratique mais n anmoins toujours possible n essayez pas de redresser vous m me mais donnez la r gle votre vendeur qui la fera remettre en tat peu de frais Evitez le contact de votre r gle avec l encre des stylos bille ou feutre Vous risquez des taches ind l biles Au cas o cela arriverait n essayez surtout pas de d tacher en utilisant un produit quelconque du commerce Vous risqueriez de ramollir la mati re plastique et de d truire la graduation Dans ce cas aussi demandez conseil votre vendeur N approchez jamais votre r gle d une source de chaleur intense Il ne faut pas qu elle d passe une temp rature de 70 file C SlideRules WebPage a to z nestler sectionc htm 10 of 11 03 03 2001 13 33 08 C Fonctions Exponentielles et Logarithmiques La mati re plastique de choix que nous avons utilis e r siste toute d formation tant qu elle ne d passe pas cette temp rature Pour nettoyer la r gle utilisez de l eau ti de dans laquelle vous avez fait dissoudre quelques paillettes de savon N utilisez pas de produits d tersifs trop forts Apr s nettoyage il est conseill de repolir la r gle avec un chiffon doux en laine ou en lin Prendre de pr f rence un chiffon propre afin qu il soit d barrass de toute particule abrasive risquant de rayer la r gle Au cas o la r glette coulissante glisser
28. ait difficilement introduire un peu d huile de vaseline ou d huile aux silicones entre la r gle et la r glette mobile Ces huiles sont en vente dans les pharmacies ou drogueries Remettez toujours votre r gle apr s usage dans son tui et n h sitez pas remplacer celui ci au cas o 1l serait d t rior apr s un long usage Ainsi trait e votre r gle la fabrication de laquelle la Maison NESTLER a apport tout son soin vous fera un tr s long usage et vous donnera enti re satisfaction Albert Nestler 763 Lahr Schwarzwald Germany file C SlideRules WebPage a to z nestler sectionc htm 11 of 11 03 03 2001 13 33 08 B Rapports Trigonom triques Angles Pour faire la lecture nous pla ons le trait m dian du curseur sur 70 de l chelle T 2 gravure en noir Il correspond au nombre 2 75 de l chelle D C est bien 2 75 et non 27 5 ou 0 0275 En laissant le curseur dans cette position on remarquera que le trait m dian est plac au dessus du nombre 15 36 de l chelle T 1 A cet angle correspond sur l chelle D une tangente de 0 275 c d le dixi me de la valeur pr c dente C est pour cette raison qu on a crit tan 0 1 x droite de l chelle T 1 tan x droite de l chelle T 2 et x droite de l chelle D En pratique quand on utilise les chelles T 1 et D les valeurs lues sur D sont multiplier par 0 1 ou plus simplement diviser par 10 De m me quand on utilise les chelles ST et D les v
29. aleurs lues sur D sont diviser par 100 En effet on a marqu droite de l chelle ST arc 0 01 x Nota l abr viation lt tan figurant sur la r gle correspond au symbole tg c d tangente utilis en France lt tan 1x lt tan x 55 T 45 LE 84 5 Ed a RE _ _ 0 01 01 D 1 Echelle debase 10 S 55 lt sinl 1x 90 w ST 055 j arc00tx 6 Fig 30 2 Echelles des Sinus S Sin a cos a L chelle S comprend les angles compris entre 5 5 et 90 Pour d terminer le sinus d un angle on se servira des nombres grav s en noir Le rapport trigonom trique sinus sin correspondant l angle sera lu sur l chelle de base D Le chiffre 1 gauche de l chelle D correspond r ellement 0 1 Le nombre 10 droite de l chelle D correspond r ellement 1 Les valeurs des sinus varient donc entre 0 1 et 1 Il faut donc diviser les nombres de l chelle D par 10 C est ce qui est aussi rappel par l indication sin 0 1 x droite de l chelle S Pour d terminer le cosinus d un angle on utilisera la relation cos amp sin 90 c d le cosinus d un angle est gal au sinus de son compl ment Pour trouver le cosinus d un angle nous rep rons l angle sur l chelle S mais en utilisant les nombres rouges L chelle cro t alors de 0 90 en allant de droite gauche On remarquera que les nombres rouges sont les compl ments des nombres noirs Pour une position donn e du c
30. aque nouvel intervalle obtenu de 5 6 ou de 8 9 par exemple a t divis par des traits un peu plus courts en 10 parties Chaque nouvelle partie ou intervalle obtenue a t divis e par un trait de longueur encore plus r duite en 2 parties En raison de ce mode de division nous pouvons repr senter par un trait tout nombre de 3 chiffres condition que le 3e chiffre le plus droite soit un 0 ou un 5 Si ce 3 chiffre est par contre 1 2 3 4 6 7 8 9 son emplacement sur la r gle peut tre rep r par valuation La Figure 9 donne quelques exemples Exemples 4 1 6 5 5 5 6 8 2 8 0 2 9 9 5 4 2 1 4 4 9 i Fig 9 2 1 L 8 y e Exercez vous tr s longuement rep rer et lire les nombres sur la r gle Ce n est qu cette condition qu on pourra calculer rapidement et sans fautes Utilisez pour la lecture ou le rep rage le trait m dian tr s fin du curseur ou bien placez le trait 1 de la r glette mobile au dessus d un nombre quelconque de l chelle D de la r gle On fera la lecture sur cette chelle D On pourrait avoir l impression que la pr cision dans la lecture ou le rep rage des chiffres diminue vers la droite de la r gle du fait que les traits sont ici de plus en plus rapproch s Cela provient du fait que nous sommes habitu s aux divisions lin aires ou aux r gles graduations quidistantes Or ce n est qu une impression car en r alit le pourcentage d erreur ou l erreur relative qu on peut faire
31. de m me int r t utiliser les chelles C et D pour les calculs usuels 5 La Division a b c C est ici l op ration inverse de la multiplication qui est faire Au lieu d ajouter les longueurs port es sur la r gle nous les retranchons l une de l autre Nous retranchons du segment repr sentant le dividende a le segment repr sentant le diviseur b La diff rence des 2 segments repr sentera le quotient La Figure 13 nous montre au moyen de 2 exemples comment proc der 2 1 1 1 exemple 71 5 2 86 25 Placer le trait m dian du curseur sur D 7 1 5 Glisser C 2 8 6 sous le trait m dian du curseur de fa on ce que C 2 8 6 soit plac au dessus de D 7 1 5 avec l habitude on pourra placer C 2 8 6 au dessus de D 7 1 5 sans utiliser le curseur Mais nous le d conseillons pour le d but Le quotient sera lu sous C 1 sur l chelle D c d 2 5 Pour faciliter la lecture on peut placer le trait m dian du curseur au dessus de C 1 D termination de la virgule 71 5 2 86 75 3 25 2 exemple 85 34 2 5 Placer C 304 au dessus de D 8 5 Lire le quotient sous C 1 On remarquera que la position de la r glette mobile est la m me file C SlideRules WebPage a to z nestler sectiona htm 8 of 21 03 03 2001 13 32 42 A Notions de Base et Calculs l mentaires que pour l exemple pr c dent C est aussi cette position qu aurait la r glette ai on voulait effectuer la multiplication 25 2 86 Dans
32. e l habitude de ces calculs Ceci vous permettra aussi en dehors de l emploi de la r gle d valuer rapidement l ordre de grandeur d un produit et vous donnera une grande s ret Effectuons maintenant la multiplication 2 36 5 Pla ons C 1 au dessus de D 236 et essayons de lire comme nous l avons appris le r sultat sous C 5 Or il n y a aucun nombre sous C 5 car l chelle D s est arr t e avant au nombre 1 0 Dans ce cas il faut alors proc der autrement au lieu de placer C 1 au dessus de D 2 3 6 nous pla ons C 10 au dessus de D 2 3 6 en d pla ant la r glette mobile vers la gauche elle d passera gauche de la r gle Nous pouvons alors lire sous C 5 le r sultat c est dire 1 1 8 Illustrons au moyen de la figure 12 Exemples 2 36 5 11 8 2 36 0 0805 0 19 1 1 8 1 9 A d Fig 12 Dans les 2 cas placer C 10 au dessus de D 2 3 6 lire la r ponse sous C 5 c d 1 1 8 pour le 1 exemple Pour le 2 exemple nous lisons sous C 8 0 5 la r ponse 1 9 sur l chelle D D termination de l emplacement de la virgule 1 exemple 2 36 5 2 5 10 R sultat 11 8 2 exemple 2 36 0 0805 2 0 1 0 2 R sultat 0 19 Apr s avoir fait quelques multiplications et pris l habitude on verra tout de suite si c est C 1 ou C 10 qu il faut placer au dessus du nombre multiplier file C SlideRules WebPage a to z nestler sectiona htm 7 of 21 03 03 2001 13 32 42 A Notions de Base et Calculs l mentaires S1
33. emple Calculer e0 et el0 Placer le trait m dian du curseur sur D 2 Ce trait nous permet de lire sur LL 3 7 4 c d e2 Sur LL2 nous lisons toujours sous le m me trait 1 2216 c d e0 2donc e2 2 71 8282 7 4 e0 2 2 718280 2 1 2216 Les fonctions exponentielles y e ont une grande importance en Physique De nombreux ph nom nes naturels comme l chauffement et le refroidissement d un corps la charge et la d charge d un circuit lectrique la transformation radio active sont r gis par ces fonctions Si on donne une expression du genre y ef et si on nous demande de d terminer les valeurs de y correspondant diff rentes valeurs de x nous conseillons de calculer d abord les valeurs fx x2 f x3 correspondant aux diff rentes valeurs x x2 x et de les juxtaposer dans un tableau de valeurs C est ensuite seulement qu on d terminera e en d pla ant simplement le curseur de la r gle 3 Racines de la forme a xyy Pour extraire une racine au moyen de la r gle calculer il suffit de faire une op ration qui est l inverse de celle que nous avons faite pour lever un nombre une puissance En effet pour lever un nombre une puissance nous avons op r comme si nous avions effectuer une multiplication avec les chelles de base Nous avons plac bout bout pour les ajouter des segments pris sur les chelles D et LL 2 ou LL 3 Pour extraire la racine il suffit de retrancher les segments Exe
34. es devraient en r alit tre plac es l une derri re l autre T1 gauche T2 droite comme le montre la figure 34 Mais dans ce cas il aurait fallu avoir une r gle de longueur double L chelle D de longueur double aurait alors permis d avoir une graduation allant de 0 1 10 en passant par 1 plac au milieu Le fait de disposer T1 au dessus de T2 a permis d utiliser une r gle de longueur normale 845 45 65 cot 5e Ti 45 T2 845A tan AAE ER Ae a JAE a ES e EE D g1 01x 1 x 10 Fig 34 Exemples Hypoth se Hypoth se a 10 6 a 77 6 te 0 187 te a 4 55 R sultat cotg Q 5 35 cotg amp 0 22 Sa Jot tan0x B daa cot tan x X X T X cot B 2 2 x x D tan of 1 8 7 tan B 4 5 5 x Fig 35 5 Arcs Radians Petits angles Un arc de cercle peut tre en g n ral mesur de 2 fa ons 1 La mesure d un arc de cercle est la m me que celle de l angle au centre qui intercepte cet arc Arc et angle au centre sont donc mesur s par le m me nombre de degr s file C SlideRules WebPage a to z nestler sectionb htm 6 of 9 03 03 2001 13 32 54 B Rapports Trigonom triques Angles b 40 lire arc AB Mii AB 40 lire arc AB 2 La mesure d un arc peut aussi tre exprim e en radians On trouve la valeur en radians en divisant la longueur de l arc AB exprim e en cm par exemple par le rayon OB du cercle mesur aussi en cm donc dans la figure pr c dente AB 4 1 r A cha
35. ficatifs Si on a besoin de plus de pr cision il faudra utiliser une table de logarithmes plusieurs d cimales 5 6 On peut galement d terminer la valeur des puissances exposant n gatif en utilisant la relation suivante a 1 a On d terminera d abord a en lisant le r sultat sur LL 2 ou LL 3 On reporte ensuite le r sultat sur chelle C qui en combinaison avec CI donnera alors l inverse de c d 1 a a 2 1 Puissances de e y e Nous venons de d terminer des puissances de la forme y a La base a peut tre un nombre quelconque Dans le cas particulier o a e 2 71828 nous aurons y e 2 71828 e est la base des logarithmes naturels appel s encore logarithmes n p riens Pour calculer les puissances de e il est inutile de placer C 1 au dessus de e de LL 3 On utilisera l chelle D pour lire les exposants car D 1 est d j plac au dessus de e Pour viter des erreurs toujours possibles il est conseill de faire co ncider C 1 et D 1 Dans ce cas l exposant x peut tre rep r indistinctement sur C ou D L chelle D en liaison avec l chelle LL 3 permet de d terminer les puissances allant de el e10 L chelle D en liaison avec l chelle LL 2 permet de d terminer les puissances allant de e el 0 La figure 39 nous en donne l explication file C SlideRules WebPage a to z nestler sectionc htm 4 of 11 03 03 2001 13 33 08 C Fonctions Exponentielles et Logarithmiques Ex
36. garithmes de Briggs Base 10 Etudions la relation qui existe entre les chelles L et D Nous pouvons de nouveau faire correspondre chaque nombre de D un nombre de L au moyen du trait m dian du curseur L chelle L comporte les Mantisses des nombres repr sent s sur l chelle D La Caract ristique qui doit accompagner la mantisse est d terminer par les proc d s habituels La table repr sent e ci apr s nous rappelle comment d terminer les caract ristiques Nombre x crit sous forme Caract ristique Nombre crit sous forme de nombre d cimal correspondante de puissance de 10 0 001 lt x lt 0 01 3 10 3 lt x lt 10 2 file C SlideRules WebPage a to z nestler sectiona htm 19 of 21 03 03 2001 13 32 42 A Notions de Base et Calculs l mentaires 0 01 lt x lt 0 1 2 102 lt x lt 10 1 0 1 lt x lt 1 0 1 10 1 lt x lt 10 0 10 lt x lt 100 1 10 lt x lt 102 100 lt x lt 1000 2 102 lt x lt 103 L chelle des mantisses est divis e lin airement contrairement aux autres chelles On peut d terminer facilement 3 chiffres significatifs L chelle L correspond donc une table de logarithmes 3 d cimales C est largement suffisant pour la plupart des applications Exemples log 2 0 301 log 0 2 0 301 1 0 699 log 40 1 602 log 0 04 0 602 2 1 398 log 615 2 789 log 0 00615 0 789 3 2 211 D p x w O x x ggn R n B r on Jeu S n amp Fig 29
37. gle on peut ainsi d placer la r glette avec pr cision file C SlideRules WebPage a to z nestler sectiona htm 2 of 21 03 03 2001 13 32 42 A Notions de Base et Calculs l mentaires Fig 4 2 Echelles de base Lecture et r glages Pour calculer rapidement et sans faute avec la r gle il importe de bien conna tre les chelles et leurs graduations dans les diff rents intervalles Celles qui sont le plus souvent utilis es sont les chelles C et D La figure 6 repr sente l chelle de base C ou D avec les nombres et intervalles les plus importants On remarque 3 parties 1 Intervalle allant du nombre 1 au nombre 2 2 Intervalle allant du nombre 2 au nombre 4 3 Intervalle allant du nombre 4 au nombre 10 Chaque partie est subdivis e diff remment mais l int rieur de chaque intervalle le mode de division est le m me La distance entre les traits 1 et 10 d une chelle repr sente la Base de l chelle Elle est de 25 cm pour les chelles C et D a Basa 1 re intervalle 2 me intervalle 3 me Intervalle Fig 6 Faisons encore une remarque importante avant de nous familiariser avec la lecture des chelles On ne tient nullement compte de la virgule ni de sa position dans un nombre On ne s occupe que des chiffres quelque soit la position de la virgule La r gle calcul ne nous donne que la suite des chiffres d un nombre mais jamais sa valeur qui varie selon l emplacement de
38. helle T1 angles allant de 5 5 45 Quand on rep re les angles sur l chelle T2 allant de 45 84 5 l chelle D nous donne directement sans division la tangente de ces angles D est donc dans ce cas gradu de 1 10 Si nous faisons co ncider C 1 de la r glette mobile avec D 1 du corps de la r gle en faisant ainsi co ncider les chelles C et D nous pouvons lire sur l chelle CI la cotangente de l angle dont l chelle D nous donnait d j la tangente Cela r sulte de la relation cotg amp 1 tg amp La cotangente d un angle peut aussi tre d termin e en cherchant la tangente du compl ment En effet cotg amp tg 90 amp En utilisant les nombres grav s en rouge sur les chelles T1 et T2 on peut lire sur D la cotangente Ces nombres rouges sont les compl ments des nombres noirs Sch ma d utilisation des Echelles Echelles T1 ou T2 noir en liaison avec D noir gt Tangentes Echelles T1 ou T2 noir en liaison avec CI rouge gt Cotangentes file C SlideRules WebPage a to z nestler sectionb htm 5 of 9 03 03 2001 13 32 54 B Rapports Trigonom triques Angles a En tiaison avec D noir gt Cotamgenes ni Jen lakonavee CI ouge gt frangentes On voit que si les Echelles ont m me couleur on trouve les tangentes et que si les Echelles ont des couleurs diff rentes on trouve les cotangentes Sur la r gle les chelles T1 et T2 sont plac es l une sous l autre Ell
39. ion du curseur en fin d op ration Des fl ches et des chiffres suppl mentaires indiqueront la marche suivre dans le cas d op rations complexes En g n ral pour expliquer les calculs on ne repr sentera sch matiquement que les chelles qui sont n cessaires pour effectuer les calculs en faisant abstraction des autres En les repr sentant toutes cela compliquerait le sch ma On gagne ainsi en clart et on a un sch ma simple Remarque importante Pour d signer le chiffre 1 de l chelle C nous crirons C Pour d signer les chiffres 3 2 de l chelle D nous crirons D 3 2 Ainsi l expression placer C1 au dessus de D 3 2 veut dire Placer le chiffre 1 de l chelle C au dessus des chiffres 3 2 de l chelle D 1 2 e T D L cu SE to x i re position 2 me Poslan Fig 10 4 La multiplication a b c Pour multiplier a par b nous ajoutons au segment repr sentant le facteur a le segment repr sentant le facteur b Le r sultat sera lu au bout du segment repr sentant b On effectuera les calculs en utilisant les chelles de base C et D La figure 11 nous montre 2 exemples Dans les 2 exemples la r glette coulissante a la m me position vu qu on multiplie le m me nombre 2 36 Exemple 2 36 19 7 46 5 2 36 3 6 8 5 D ds 4 6 5 8 5 x Fig 11 Suite des op rations effectuer 1 exemple file C SlideRules WebPage a to z nestler sectiona htm 6 of 21 03 03 2001 13 32 42 A Notions de Base et
40. issant le diam tre d En effet q d2 7 4 On place le trait rouge marqu d au dessus d un nombre de l chelle D repr sentant le diam tre L aire sera lue sur l chelle A en dessous du trait m dian noir On peut galement arriver au m me r sultat en utilisant le trait m dian noir qu on placera au dessus de d lu sur l chelle D L aire sera alors indiqu e sur l chelle A par le trait rouge marqu kp m Il est situ en haut et gauche du trait m dian Nous d conseillons n anmoins cette m thode Ce trait rouge marqu kplm est d cal du facteur 4 n 0 785 par rapport au trait m dian Or il se trouve que 7 85 est la densit de l acier fondu Cela va nous permettre de d terminer le poids exprim en kilogramme poids kgp d une barre d acier fondu de poids volumique 7 85 kgp dm ayant une longueur de 1 m tre et ayant une section q mm de et un diam tre de d mm Il est bien entendu qu il s agit d un fer rond Pour rep rer d sur l chelle D on se servira exclusivement du trait rouge marqu d et plac en bas et gauche du trait m dian La section exprim e en mm sera lue sur l chelle A sous le trait m dian noir Le poids en kgp de 1 m de cette barre sera lu sur l chelle A aussi mais sous le trait rouge marqu kp m et plac en haut et gauche du trait m dian noir Exemple d 6 mm Placer le trait rouge marqu d au dessus de D 6 q 28 3 mm lire sur A sous le trait m dian noir Poids au m t
41. l vation d un nombre des puissances sup rieures 3 De plus l exposant n a pas besoin d tre un nombre entier comme 2 3 4 etc file C SlideRules WebPage a to z nestler sectionc htm 2 of 11 03 03 2001 13 33 08 C Fonctions Exponentielles et Logarithmiques On peut donc effectuer des op rations de la forme etc 345 2 3 2 10 143 Exemples 34 81 304 21 552 aX y gt abten LE A x B x gt 1 Exposant x 4 x D x LL3 Base 9 3 Risultet y 81 er LL2 1 552 elix Fig 41 M thode Placer le trait m dian du curseur au dessus de la base 3 choisie sur l chelle LL 3 On am ne ensuite C 1 sous le trait du curseur de fa on juxtaposer 3 et C 1 D placer ensuite le curseur et amener son trait m dian au dessus de C 4 4 tant l exposant de la puissance Le trait est alors situ au dessus de 81 de l chelle LL 3 et au dessus de 1 552 de l chelle LL 2 81 est le r sultat de l op ration 34 tandis que 1 552 est la 10 me racine de 81 1081 1 552 On peut aussi crire 10V81 10134 304 Si nous essayons d effectuer par la m thode indiqu e ci dessus l op ration 28 nous ne pouvons pas lire le r sultat sous C 8 car la r glette coulissante d passe droite Dans ce cas nous ne placerons pas C 1 au dessus de 2 de LL 2 mais C 10 Nous avons d j rencontr ce cas lors de la multiplication avec les chelles C et D Mais attention dans ce cas le r sultat sera lu sur l chelle
42. la position qu elles occupaient dans l exemple pr c dent et essayons de faire la diff rence 82 48 34 Le trait 48 de la r gle C est plac au dessus du trait 82 de la r gle D Nous remarquons que le trait O de la r gle C est plac au dessus du trait 34 de la r gle D 34 est la diff rence recherch e C est d une fa on analogue que fonctionne la r gle calculer On remarquera que les graduations de la r gle ne sont plus quidistantes mais dispos es d une mani re particuli re en se resserrant de plus en plus vers la droite en g n ral c est une graduation logarithmique Du fait de l utilisation de cette chelle dite logarithmique les additions de longueurs ne donnent file C SlideRules WebPage a to z nestler sectiona htm 1 of 21 03 03 2001 13 32 42 B Rapports Trigonom triques Angles Tables des mati res B Rapports Trigonom triques Angles 1 Les chelles trigonom triques 2 Echelles de sinus S 3 La relation a sin amp b sin P c sin y application 4 Echelles des tangentes et cotangentes T1 et T2 5 Arcs Radians Petits angles 5 1 La marque p 5 2 Degr s Radians 1 Les chelles trigonom triques L envers de la r gle calculer comporte 4 chelles permettant de d terminer les rapports trigonom triques Nous distinguons en haut les chelles T 1 et T 2 donnant les tangentes puis en bas chelle des sinus et l chelle ST qui nous permet de transformer la mesure d un arc exprim e e
43. lant la valeur de x m et en rep rant le quotient sur l chelle CI Exemple 6643 643 6 643 3 6 3 641 2 8 5182 83 5 83 3 63 81 1 666 4 Logarithmes de la forme x log y Les chelles LL permettent de d terminer aussi des logarithmes de base quel conque En effet on a la relation y a lt gt x log y on crit aussi log y Il s agit donc de d terminer l exposant x qui est aussi le logarithme de y Exemple 3log 81 log 3 81 4 lt gt 34 81 Lire le logarithme de 81 de base 3 est 4 1 2 eva TT x2 B x C 1 x EURE BONE RAR IEC EE EE ES EEE PP a Po TEA M D i TT CRE x PER Rs a LL 81 e elx LL2 Fig 44 M thode Il s agit de trouver l exposant x qui plac derri re la base 3 donnera 81 donc 3 81 Placer en utilisant le curseur C i au dessus de LL 3 D placer le trait du curseur au dessus de LE 81 Sous ce m me trait nous lisons sur C 4 qui est le logarithme x recherch Pour d terminer l emplacement de la virgule dans les logarithmes il est utile de savoir que log a 1 file C SlideRules WebPage a to z nestler sectionc htm 6 of 11 03 03 2001 13 33 08 C Fonctions Exponentielles et Logarithmiques Ainsi si le nombre y est sup rieur la basea onax gt 1 Ainsi si le nombre y est inf rieur la base a on a x lt 1 En r sum y gt a y lt a x gt lx lt l 4 1 Logarithmes d cimaux de base 10 log x Dans la pratique on se sert presque excl
44. les 2 exemples pr c dents les quotients ont t lus sous C 1 et la r glette mobile d passait droite Il arrive que pour certaines divisions la r glette d passe gauche Dans ce cas le quotient se trouve sous C 10 Dans le cas de la multiplication il fallait d terminer l avance si c tait C 1 ou C 10 qu il fallait placer au dessus du multiplicande b Ce n est pas le cas ici On dispose les deux nombres l un au dessus de l autre il n y a qu une position possible diviseur sur l chelle C dividende sur l chelle D Si la r glette d passe droite on lira sous C 1 si elle d passe gauche on lira sous C 10 Exemples 1 075 1 72 0 625 230 36 8 6 25 1 1 T Te 0 no D termination de l emplacement de la virgule 1 075 1 72 1 2 0 5 230 36 8 200 40 5 Les divisions peuvent galement tre effectu es sur les chelles A et B Le dividende sera choisi sur l chelle A et le diviseur sur l chelle B Le quotient se lira sous B 1 B 10 ou B 100 Comme nous l avons d j expliqu pour la multiplication la pr cision de lecture donc l erreur relative est ici moins bonne Nous conseillons donc aussi d utiliser les chelles C et D 6 Multiplications et divisions combin es a b c Si nous devons effectuer une op ration de la forme par a b c nous divisons d abord a par c et multiplions ensuite le quotient par b Exemple 400 2 18 50 Op rations faire file C SlideRules WebPage a
45. ltiplier ou pour diviser on est amen faire une addition ou une soustraction de segments qui repr sentent des nombres Pour tre correct il faut pr ciser que les segments repr sentent non pas les nombres mais les logarithmes de ces nombres inscrits sur la r gle C est ainsi que la longueur du segment compris entre les chiffres 1 et 3 de l chelle C repr sente le logarithme du nombre 3 qui est inscrit au dessus de l extr mit de droite du segment consid r On additionne ou on retranche ainsi les logarithmes des nombres consid r s ce qui se traduira par une multiplication ou une division Le chapitre A 12 Echelle des Mantisses explique ce que sont les logarithmes Bien que les longueurs report es sur la r gle soient les logarithmes des nombres inscrits la compr hension de la notion de logarithme n est pas n cessaire pour pouvoir se servir correctement de la r gle Le fait que la longueur du segment entre les chiffres 1 et 3 de l chelle C par exemple repr sente le logarithme de 3 nous importe peu Nous ne retenons que le chiffre 3 qui seul nous int resse En ce qui concerne la manipulation de la r gle il importe de savoir que 1 La r gle doit tre tenue comme l indique la figure 4 2 Il ne faut pas presser les 2 parties du corps de la r gle l une contre l autre car cela freinerait la r glette mobile 3 On d place la r glette en la serrant entre le pouce et l index et en prenant appui contre le corps de la r
46. mple 3464 4 30V64 1 1488 A x 2 B x Indice c 1 de la racin x 3 x D x LL3 Racine a i Radicande y 54 e LL Racine o 11488 enix t H Fig 43 M thode Disposer l un au dessus de l autre en utilisant le curseur l indice x indiquant le degr de la racine rep r sur l chelle C et le nombre y plac sous le radical qui est rep r sur LL2 ou LL3 Le r sultat c d la racine sera lue en dehors de CiouC 10 sur LL 2 ou LL 3 Chaque racine peut tre transform e en une puissance d apr s la relation X y yl x Ainsi 3V64 641 3 640 3333 4 d o aussi 1 3V4 64 file C SlideRules WebPage a to z nestler sectionc htm 5 of 11 03 03 2001 13 33 08 C Fonctions Exponentielles et Logarithmiques Au lieu de d terminer la 3 racine de 64 racine cubique par le proc d indiqu plus haut on peut ainsi calculer 641 3 c d lever 64 la puissance 1 3 M thode Placer C 10 au dessus de LL 64 Lire sous CI 3 correspondant C 1 3 C 0 333 le r sultat 4 sur l chelle LL 3 Remarque Il est conseill d utiliser l chelle CT pour viter d avoir rep rer des fractions 1 x sur l chelle C Il suffit de rep rer x sur CI ce qui est plus simple On peut aussi effectuer des op rations de la forme a xyym Ona xyym vx y m mlx m yl Gm y4 x m La fraction x m sera transform e en divisant le num rateur x et le d nominateur m par m On op re alors comme ci dessus en calcu
47. n e et ne peuvent pas servir pour repr senter le dixi me centi me etc du nombre ou repr senter 10 100 fois le nombre C est ainsi que 30 repr sente bien 30 et non 3 ou 3000 La figure 30 ci apr s montre la relation qui existe entre les chelles T 1 T 2 S ST et l chelle de base D sur laquelle on lira les rapports trigonom triques des angles figurant sur les chelles T 1 T 2 S ST Sur la r gle les chelles T 1 et T 2 sont dispos es l une sous l autre En r alit l chelle T 1 devrait tre plac e gauche de l chelle T 2 comme l indique la figure 30 Dans ce cas l chelle de base D devrait aussi tre prolong e vers la gauche Pour viter cela on a pr f re disposer T 1 au dessus de T 2 Un nombre grav sur l chelle D repr sente la tangente de l angle report sur l chelle T 2 Exemple tg 70 2 75 file C SlideRules WebPage a to z nestler sectionb htm 1 of 9 03 03 2001 13 32 54 C Fonctions Exponentielles et Logarithmiques Tables des mati res C Fonctions Exponentielles et Logarithmiques 1 Les chelles exponentielles LL 2 Puissances de la forme y ax 2 1 Puissances de e 3 Racines de la forme a XVy 4 Logarithmes de la forme x 3log y 4 1 Logarithmes des d cimaux de base 10 log x 4 2 Logarithmes naturels n p riens In x Divers 1 Le curseur Utilisation de ses marques 2 Entretien et nettoyage de la r gle calcule 1 Les chelles expo
48. n degr s et comprise entre 0 55 et 6 en radians et inversement Les paragraphes suivants nous montreront comment nous servir de ces chelles Les nombres inscrits sur les chelles T 1 T 2 S ST sont des degr s 1 angle droit 90 Remarque importante L intervalle entre 2 valeurs cons cutives de degr s n est pas divis sexag simalement en minutes et secondes Il est par contre divis d cimalement car actuellement on n utilise plus que cette division dans la pratique Si un angle est exprim en degr s minutes et secondes il faut convertir les minutes et secondes en dixi mes ou centi mes de degr s Exemple 2 30 2 5 La pr cision des chelles trigonom triques correspond celle d une table des lignes trigonom triques de 3 ou 4 d cimales Dans la pratique on a rarement besoin d une pr cision plus grande Dans ces cas on pourra se servir de tables 5 ou 6 d cimales Les chelles ne comportent que des angles dont la valeur est comprise entre 0 et 90 Les rapports trigonom triques des angles sup rieurs 90 seront d termin s en utilisant les r gles classiques sur les arcs associ s Exemple sin 150 sin 180 150 sin 30 cos 120 cos 180 120 cos60 Les chiffres grav s sur les chelles A B C ou D pouvaient repr senter plusieurs nombres Ainsi 2 peut repr senter 20 2000 0 02 etc Par contre les nombres des chelles T 1 T 2 S ST ont une valeur bien d termi
49. nentielles LL Au bas du recto face avant du corps de la r gle se trouvent les chelles LL 2 et LL 3 grav es en noir Les nombres report s sur ces chelles vont de 1 1 jusqu 30 000 Ces chelles ont t tablies en ne repr sentant non pas les logarithmes des nombres mais les logarithmes des logarithmes de ces nombres d o l appellation LL de ces chelles En raison de cette particularit les nombres figurant sur ces chelles ne repr sentent pas une simple suite de chiffres comme c est le cas avec les chelles A B C D CI par exemple mais repr sentent les valeurs r elles de ces nombres C est ainsi que 5 lu sur LL 3 repr sente bien 5 et non pas 50 500 0 05 Les chelles LL servent au calcul de puissances de la forme y a l extraction de racines de la forme a xyy la recherche de logarithmes de la forme x log y Les chelles LL seront utilis es en liaison avec les chelles C et D A un nombre x rep r sur C ou D correspond une valeur lue sur les chelles LL C est pour cette raison qu on a marqu et droite des chelles LL Les chelles LL 2 et LL 3 plac es bout bout repr sentent une chelle d environ 50 cm Elle a t obtenue comme nous l avons d j indiqu en prenant encore une fois le logarithme des longueurs repr sent es sur l chelle de base C ou D Les valeurs inscrites repr sentent non pas le logarithme du logarithme du nombre consid r mais sont les nombres m mes La figure
50. on n est pas encore tr s s r on peut utiliser pour le d but la r gle suivante Si le produit du 1 chiffre de a par le 1 chiffre de b est inf rieur 10 c est C 1 qu il faut placer au dessus du nombre multiplier Dans ce cas la r glette coulissante sort du corps de la r gle droite Si par contre le produit du 1 chiffre de a par le 1 chiffre de b est sup rieur 10 c est C 10 qu il faut placer au dessus du nombre multiplier La r glette coulissante d passe alors gauche Exemple 2 36 0 0805 a b 1 chiffre de a 2 1 ef chiffre de b 8 2 8 16 16 gt 10 16 tant sup rieur 10 utiliser C 10 Pour effectuer les multiplications on peut aussi utiliser les chelles A et B qui sont gradu es de 1 1000 Dans ce cas nous n aurons pas la petite complication pr c dente de placer soit C 1 ou C 10 C est toujours B 1 que nous utiliserons Le multiplicande a sera rep r sur l chelle A entre 1 et 10 et le multiplicateur b sur l chelle le B galement entre 1 et 10 Si on rep rait entre 10 et 100 ce qui est possible on aurait les m mes ennuis qu avec les chelles C et D Il peut para tre premi re vue que l utilisation des chelles A et B est recommander en raison de la simplification des op rations Malheureusement la pr cision de lecture est moins grande car la base choisie n est que de 12 5 cm tandis qu elle tait de 25 cm pour les chelles C et D Voir aussi le paragraphe 9 On a donc tout
51. ouvent avantageuse et simplifie certains calculs a Inverse d un nombre A chaque nombre a de C correspond un inverse lire sur l chelle CI De m me chaque nombre a de CI correspond un inverse lire sur l chelle C Pour d terminer l inverse d un nombre il est recommand pour viter les erreurs de lecture de faire co ncider les chelles D et D c d de placer C1 au dessus de D 1 Pour faire correspondre un nombre son inverse on utilisera le trait m dian du curseur file C SlideRules WebPage a to z nestler sectiona htm 11 of 21 03 03 2001 13 32 42 A Notions de Base et Calculs l mentaires Exemple L inverse de 4 est 1 4 0 25 Au dessus de C 4 nous lisons CI 25 L inverse de 60 est 1 60 0 0166 Au dessus de C 60 nous lisons CI 166 L inverse de 0 8 est 1 0 8 1 25 Au dessus de C 8 nous lisons C1 125 Ici aussi la r gle calcul ne donne que la suite des chiffres dans l ordre L emplacement de la virgule doit ici aussi tre d termin par un calcul approch b Multiplication et Division L chelle des inverses nous permet souvent de simplifier certaines op rations nous vite certaines manipulations de la r glette mobile Ceci est encore plus important que la d termination des inverses Pour le montrer nous allons d abord voir qu une multiplication de la forme a b c et qu une division du genre a b c peuvent aussi tre pr sent es autrement Exemple a b a b l a 1 b a 1 b 4 5 4 5 1
52. que angle donn exprim en degr s correspond donc aussi un arc bien d fini exprim en radians A un angle au centre de 90 correspond un arc de x 2 radians LR SR 2 _2nr _ ar ME E NE a Dans le cas o le rayon du cercle est gal l unit 1 cercle trigonom trique la mesure de l arc en radians est gale sa longueur mesur avec la m me unit Les rapports trigonom triques des petits angles peuvent tre d termin s au moyen de l chelle T d apr s la relation sin amp rad Q tg Q L erreur introduite par cette approximation est inf rieure l erreur qui provient de la r gle dans le cas o l angle reste inf rieur 6 La figure 36 qui repr sente le cercle trigonom trique nous montre que la diff rence entre sin amp amp et tg diminue avec l angle Kisss tg ot r 1 Fig 36 L chelle ST est gradu e en degr s elle va de 0 55 6 Les rapports sin amp ou Q ou tg amp correspondant ces petits angles seront lus sur l chelle D en s aidant comme toujours du curseur file C SlideRules WebPage a to z nestler sectionb htm 7 of 9 03 03 2001 13 32 54 B Rapports Trigonom triques Angles Les valeurs lues sur D seront divis es par 100 voir arc lt 0 01 x plac droite de l chelle ST L chelle ST pr sente la particularit suivante que n ont pas les chelles T 1 T 2 ou S Elle permet de d terminer le rapport sin Q ou tg amp pour des angle
53. r B et y des angles oppos s ces c t s Si inversement ce sont les angles qui sont donn s on les rep re d abord sur l chelle S et on trouvera les c t s oppos s correspondants au dessus sur l chelle C Cette formule est aussi utilis e tr s souvent pour la r solution des triangles rectangles Soit y l angle droit y 90 Dans ce cas sin y sin 90 1 Comme amp B y 180 file C SlideRules WebPage a to z nestler sectionb htm 3 of 9 03 03 2001 13 32 54 B Rapports Trigonom triques Angles ona fB 180 y 180 90 90 donc amp 90 B ou 90 a On aura alors sin amp sin 90 B cos B sin B sin 90 cos amp La formule a sin Q b sin B c sin y peut alors s crire al sin a b sinfB c l ou a cos b cos B c 1 Chaque formule contient 5 inconnues a b P c Il suffit d en conna tre 2 quelconques pour pouvoir trouver les 3 autres en utilisant les 2 formules donn es ci dessus comme va nous le montrer l exemple ci apr s Exemple Hypoth se Soit un triangle rectangle en y dans lequel b 15 5 cm et amp 70 Trouver a c B R ponse a 42 6 cm c 45 3 cm B 90 90 70 20 a b 1 5 5 a 4 2 6 c 4 53 AEA P RIDURALE Oreh RS PR trs in 3 20 a 70 5 90 4sin01x F g 32 M thode On calcule d abord la valeur de d angle B On sait que amp B 90 Donc f 90 amp 90 70 20 Nous rep rons
54. re 0 222 kgp lire sur A sous le trait rouge marqu kp m Si on veut par la suite d terminer le poids d une longueur quelconque en m tres de cette barre de section circulaire il suffit de placer B 1 en dessous du trait rouge marqu kp m On multipliera ensuite par la longueur de la barre file C SlideRules WebPage a to z nestler sectionc htm 9 of 11 03 03 2001 13 33 08 C Fonctions Exponentielles et Logarithmiques Exemple poids de 3 6 m 0 8 kgp Placer B 1 comme indiqu ci dessus Lire le poids 8 sur l chelle A au dessus de B 3 6 Un troisi me trait rouge marqu PS Ch en France est plac en haut et droite du trait noir Il sert en liaison avec le trait m dian noir transformer des KW Kilowatt en Chevaux Ch ou inversement des Ch en KW Nous avons la relation 0 736 KW 1 Ch 1 KW 1 36 Ch Trait m dian noir KW Kilowatt Trait rouge Ch PS Chevaux Si nous retournons la r gle pour prendre la face portant les chelles d cal es CF et DF nous remarquons qu il y a uniquement un trait rouge sur le curseur Il est plac en haut et droite Si nous pla ons le trait m dian noir sur un nombre de l chelle D ou C nous trouvons sous le trait rouge sur l chelle DF ou CF le produit par 3 6 c d 0 36 ou 3 6 ou 3600 etc du nombre primitif rep r sur D ou C Inversement tout nombre de DF plac sous le trait rouge correspond sur D sous le trait noir son quotient par 3 6 Nou
55. re 1 25 En raison du manque de place il a t impossible de graver les nombres correspondant ces traits sur la r gle La graduation de ce premier intervalle est comparable celle d une r gle ordinaire gradu e en mm Pour pouvoir nous familiariser avec ces divisions et subdivisions on a repr sent par la Fig 7 le 1 intervalle allant de 1 2 La subdivision allant de 1 1 1 a t agrandie et on a inscrit au dessus des traits qui la divisent encore une fois en 10 parties les nombres correspondants mais attention ces nombres ne figurent pas sur la r gle calculer en raison du manque de place car ces traits sont trop resserr s Un nombre form de 3 chiffres peut donc tre repr sent exactement par un trait dans cet intervalle allant de 1 2 S il y a par contre un 4 chiffre il faut rep rer par valuation son emplacement entre 2 traits cons cutifs La pr cision de la division et la finesse des traits permettent ainsi de rep rer le milieu entre 2 traits cons cutifs il correspond au chiffre 5 qui sera ici le 4 me chiffre d un nombre Il est trop difficile d appr cier le 1 10 de cet intervalle entre 2 traits cons cutifs par contre il est relativement ais d appr cier le 1 5 de cet intervalle et nous pouvons nous l imaginer divis en 5 parties gales Ces traits imaginaires correspondent un 4 chiffre valent 2 4 6 8 La figure 7 repr sent e ci apr s donne 6 exemples de lecture Exemples 1 0 3 5 1 3 5 2 1 7 0
56. re quelconque de D par le nombre correspondant de C nous trouvons toujours le m me quotient Nous pouvons ainsi former un nombre infini de rapports gaux entre eux Si a c e sont des nombres de D et b d f les nombres correspondants de C on aura a b c d e f Pla ons par exemple C 1 au dessus de D 1 5 Dans ce cas tout nombre de D est 1 5 fois plus grand que le nombre correspondant de C ou bien tout nombre de C est 1 5 fois plus petit que le nombre correspondant de D Le rapport d un nombre choisi sur D un nombre correspondant choisi sur C est de 1 5 On peut aussi dire que le quotient d un nombre choisi sur D par le nombre correspondant choisi sur C est de 1 5 ou de 15 ou 150 etc Il est bien entendu que nous d signons ici par nombres correspondants les nombres de C et D dispos s l un au dessus de l autre On peut aussi dire qu un nombre choisi sur C forme le num rateur d une fraction dont le d nominateur est le nombre correspondant de D La ligne qui s pare l chelle C de D repr sente ici le trait de fraction Toutes ces fractions ainsi form es sont gales entre elles On pourrait aussi choisir le num rateur sur D et le d nominateur sur C L exemple qui suit montre une application pratique la conversion du syst me m trique exprim en mm en pouces unit anglo am ricaine Exemple 1 pouce 25 4 mm 940 mm 32 pouces 2 5 pouces 61 mm file C SlideRules WebPage a to z nestler sectiona htm 10 of 21 03 03
57. respond alors DF 2 Le produit se lira soit sous C 4 sur l chelle D nous lisons 8 ou bien au dessus de CF 4 sur l chelle DF ou nous trouvons le nombre 8 galement Autre exemple 2 6 12 Placer C 1 au dessus de D 2 Le produit ne peut plus se lire sous C 6 Il faudrait normalement d apr s ce que nous avons appris placer maintenant C 10 au dessus de D 2 C est inutile si nous utilisons les chelles CF et DF En effet c est au dessus de CF 6 maintenant que nous lisons sur l chelle DF le produit 12 Remarque importante CF correspond l chelle C On peut aussi dire que CF prolonge l chelle C De m me DF est la continuation de l chelle D C est pour faire ressortir cela que les chelles D et DF sont de couleur blanche et les chelles C et CF de couleur verte C est ainsi que dans l exemple pr c dent 2 4 8 le facteur 4 peut tre rep r soit sur l chelle C verte soit sur l chelle CF verte pour trouver le m me produit 8 qui sera rep r soit sur D blanc soit sur DF blanc Attention Echelle C lt gt Echelle CF Echelle D lt gt Echelle DF M me couleur M me chelle En conclusion nous pouvons souvent effectuer des multiplications ou des divisions sans tre oblig s de d caler la r glette mobile Exemple 3 7 5 22 5 file C SlideRules WebPage a to z nestler sectiona htm 14 of 21 03 03 2001 13 32 42 A Notions de Base et Calculs l mentaires DF 2 2 5 SA RS E SR a
58. s et Logarithmiques 1 Les chelles exponentielles LL 2 Puissances de la forme y a 2 1 Puissances de e 3 Racines de la forme a XVy 4 Logarithmes de la forme x 3log y 4 1 Logarithmes des d cimaux de base 10 log x 4 2 Logarithmes naturels n p riens In x Divers 1 Le curseur Utilisation de ses marques 2 Entretien et nettoyage de la r gle calcule Mes remerciements St phane Guglielmi qui m a pr t l original de ce livret file C SlideRules WebPage a to z nestler nestler htm 2 of 2 03 03 2001 13 32 19
59. s pouvons ainsi faire des multiplications ou divisions par 3 6 en d pla ant simplement le curseur Cette multiplication ou division par 3 6 est utilis e lors des conversions sui vantes Degr s lt gt secondes d angle 1 3600 Heures lt gt secondes 1 3600s Ann e lt gt Jours 12 360j Vitesse R lt gt Kilom tre Heure 1 m s 3 6 km h m tre seconde Il est rappel comme nous l avions d j indiqu au paragraphe 9 Echelles de Base d cal es CF et DF que le trait noir du curseur permet galement de multiplier ou de diviser par x 3 14 Ainsi tout nombre pris sur D et plac sous le trait m dian noir du curseur correspond sur DF le produit du nombre par T la lecture se faisant toujours sous le trait noir Si on lisait sous le trait rouge on obtiendrait le produit par 3 6 Pour diviser par 7 on proc de en sens inverse 2 Entretien et nettoyage de la r gle calcul La r gle calcul est un instrument de haute pr cision Elle a t labor e et fabriqu e tr s soigneusement Sa robustesse bien connue lui permet de r sister l occasion une manipulation un peu rude Il est naturellement pr f rable de la traiter avec m nagement et de la remettre apr s usage dans l tui qui assure une protection efficace De gr ce ne la laissez pas sans tui au fond d un sac d cole Evitez surtout en ce qui concerne les mod les Beta Gamma Delta des chocs violents en direction d une diagonale de l
60. s valant la dixi me la centi me etc partie de la valeur en degr s grav e sur l chelle ST L emplacement de la virgule dans les nombres lus sur l chelle D sera d termin e dans ces cas l aide du tableau ci apr s Angles compris entre Port e de l chelle D 0 55 et 6 0 01 jusqu 0 1 0 055 et 0 6 0 001 jusqu 0 01 0 0055 et 0 06 0 0001 jusqu 0 001 etc etc Cette relation sin amp amp tg amp valable pour les angles inf rieurs 6 permet aussi de trouver le cosinus et la cotangente d angles sup rieurs 84 5 Exemples sin Q cos 90 amp amp tg a cotg 90 cos amp sin 90 cot tg 90 cos 88 sin 2 0 0349 cot 89 75 tg 0 25 0 00436 1 2 X X ea D 3 4 9 4 3 6 x S lt sin01 x ST 2 2 5 0 25 lt arc 001 25 als Fig 37 M thode Rep rer l angle sur l chelle ST et lire en face sur l chelle D les valeurs de sin amp ou de tg amp correspondantes Le r sultat trouv est en m me temps la valeur en radians de l arc intercept par cet angle S il s agit de trouver le cosinus ou la cotangente d angles sup rieurs 84 5 on transforme en sinus et en tangente Quand il s agit de trouver la cotangente d angles inf rieurs 6 l chelle CI permet de trouver cette valeur car cotg Q 1 tg Pour des angles compris entre 0 55 et 6 la cotangente est comprise entre 100 et 10 Pour des angles compris en
61. t de 0 1 1 Exemples In 30 3 4 In 1 85 0 615 In 5 1 61 In 1 19 0 174 re A x2 z x2 C x Part D 1 1 6 1 1 7 4 3 4 6 1 5 X Etre SA Pre ar es MESE A LL 119 1 8 5 0x Fig 46 Pour viter des erreurs de lecture il est recommand d amener C 1 en co ncidence avec D 1 Divers 1 Le curseur Utilisation de ses marques Chaque face du curseur comporte tout d abord le trait m dian noir que nous avons d j souvent utilis Ce trait couvre toute la largeur de la r gle Les traits m dians de chaque face sont plac s exactement vis vis de m me que les chelles D de chaque face Un calcul commenc sur une des faces peut ainsi tre achev sur l autre Le trait m dian sert surtout mettre en relation les diff rentes chelles et assurer la correspondance des valeurs Cette utilisation a t expliqu e en d tail dans les diff rents paragraphes file C SlideRules WebPage a to z nestler sectionc htm 8 of 11 03 03 2001 13 33 08 O Fonctions Exponentielles et Logarithmiques d q kwW PS Marque 3 6 gt sx B xx C x D x Fig 47 La face avant du curseur comporte encore des traits rouges En bas et droite il y a le trait rouge marqu d En haut et droite il y a le trait rouge marqu PS En haut et droite il y a le trait rouge marqu kp m Le trait rouge d en bas droite sert en liaison avec le trait noir marqu q d terminer l aire q d un cercle conna
62. tre 0 055 et 0 6 la cotangente est comprise entre 1000 et 100 etc 5 1 La marque p La valeur en radians d un petit angle peut aussi tre d termin e au moyen de la marque p qui se trouve sur les chelles C et D entre 1 7 4 et 1 7 5 Quand on a de nombreux calculs effectuer nous recommandons cette deuxi me m thode On a pos p T 180 0 01745 file C SlideRules WebPage a to z nestler sectionb htm 8 of 9 03 03 2001 13 32 54 B Rapports Trigonom triques Angles Puisqu un angle de 180 correspond un arc de radians on trouvera la valeur en radians d un arc intercept en multipliant l angle amp par p amp radians p amp 0 01745 M thode Placer C 1 au dessus de p de D Rep rer les angles en degr s sur l chelle C et lire en face sur l chelle D la valeur correspondante en radians 5 2 Degr s Radians Nous avons vu qu un arc peut se mesurer soit en radians soit en degr s La transposition peut se faire au moyen de l chelle ST ou de la marque p On peut ainsi convertir des degr s en radians et inversement des radians en degr s En effet 180 gt 7 radians 3 14 rad 360 gt 2 T radians 6 28 rad L chelle ST n est pas seulement valable pour les angles de 0 55 6 mais galement pour des valeurs 10 ou 100 etc fois sup rieures ou inf rieures Ceci n est valable que dans le seul cas o cette chelle est utilis e pour la conversion degr s lt
63. tres applications possibles Les nouveaux mod les Beta Gamma et Delta comportent en plus de l chelle CI qui est l inverse de C une nouvelle chelle CIF L chelle CIF comporte les inverses de l chelle CF On utilisera cette chelle CIF en liaison avec CF de la m me fa on qu on utilise CI en liaison avec C 10 El vation au carr a Va Extraction de la racine carr e Les chelles A de la r gle et B de la r glette mobile sont identiques Au lieu d avoir une base de 25 cm comme les chelles C et D elles n ont qu une base de 12 5 cm Cette base tant la moiti de l autre il a t possible de graduer les chelles A et B de 1 100 Il est possible comme nous l avons mentionn d j plusieurs fois d effectuer tous les calculs avec les chelles A et B Avantages Le d calage de la r glette mobile est inutile Inconv nients Pr cision de lecture moins grande Erreur relative plus lev e Ces chelles A et B sont destin es surtout permettre l l vation au carr d un nombre ou permettre d en extraire la racine carr e Faisons co ncider A 1 et B 1 C 1 co ncidera alors avec D 1 si la r gle est en bon tat Un choc brutal peut pour les mod les Beta Gamma et Delta d truire cette co ncidence Dans ce cas consulter le chapitre Divers entretien Nous pouvons faire correspondre au moyen du trait m dian du curseur tout nombre x de C ou D un nombre y de A ou B Ce nombre y sera le carr de x c d y
64. urseur on peut donc lire le sinus d un angle a ainsi que le cosinus de son compl ment 90 sur l chelle D Exemples a sin 30 0 5 cos 60 file C SlideRules WebPage a to z nestler sectionb htm 2 of 9 03 03 2001 13 32 54 B Rapports Trigonom triques Angles b sin 9 0 1546 cos 81 c cos 70 0 342 sin 20 d cos 41 0 755 sin 49 2 e3 Z s DF T X CF T X C X D 1 5 6 4 3 4 2 5 7 5 5 x ee S 81 9 ne SA 70 20 60 30 41749 lt sin 01x L L L Fig 31 M thode Placer le trait m dian du curseur au dessus d un nombre noir de l chelle s il s agit de d terminer le sinus ou au dessus d un nombre rouge s il s agit de d terminer le cosinus d un angle La valeur du sinus ou du cosinus sera lue sur l chelle D Diviser les nombres lus sur D par 10 Si par contre on donne le sinus ou le cosinus d un angle et qu on doit d terminer la valeur de l angle on part de l chelle D et on fait la lecture sur l chelle S 3 La relation a sin b sin B c sin y Applications En g om trie plane on peut calculer tr s simplement les angles et les c t s d un triangle quelconque en utilisant la relation alsin Q b sin B c sin y Nous rencontrons dans cette formule une suite de rapports gaux et nous avons d j vu au paragraphe 7 que l on pouvait pour une position bien d termin e de la r glette mobile faire correspondre toute valeur a b c des num rateurs de la
65. usivement des logarithmes d cimaux dont la base est 10 Dans ce cas a 10 Nous avons x 10 log y lt gt y 10x Dans la pratique on crira x log y en laissant tomber l indication de la base c d 10 Donc s il n y a pas d indication de base il s agit toujours de 10 La r gle calcul nous permet de d terminer les logarithmes de base 10 de 2 fa ons 1 On utilise les chelles D et L comme cela a t expliqu dans le paragraphe A Echelle des mantisses L 2 On utilise les chelles LL 2 et LL 3 en liaison avec l chelle C Cette m thode pr sente par rapport la 1 re l avantage de nous donner la mantisse et la caract ristique du logarithme La 1 re m thode ne nous donne que la mantisse du logarithme La 2 m thode pr sente par contre un inconv nient le nombre de chiffres significatifs de la mantisse qu on peut lire sur l chelle C diminue quand on va vers la droite Cette 2 m thode est surtout recommand e lorsque les nombres dont on doit d terminer le logarithme sont compris entre 1 1 et 2 8 Ce sont les nombres de l chelle LL 2 Lorsqu un nombre est inf rieur 1 il est recommand e de chercher d abord le logarithme de l inverse du nombre Le logarithme cherch est alors l oppos du logarithme de l inverse Exemple Trouver le logarithme de 0 5 M thode Inverse de 0 5 1 0 5 2 Log 2 0 301 d o Log 0 5 Log 2 0 301 Autre exemple log 100 2 log 1 585 0 2 Lis
66. x 1 A x g x 1 Logarithme 2 3 0 x D x x se aime ct MIRESSA D TT LL3 10 Base 100 Nombre e Tea aT T e t Fig 45 file C SlideRules WebPage a to z nestler sectionc htm 7 of 11 03 03 2001 13 33 08 C Fonctions Exponentielles et Logarithmiques M thode Placer C 1 ou C 10 au dessus de la base rep r e sur LL 3 c d 10 Faire co ncider le trait du curseur avec le nombre dont on cherche le logarithme ce nombre tant choisi sur LL 3 100 ou sur LL 2 1 585 Le logarithme entier mantisse caract ristique sera lu sur C en dessous du trait du curseur Faire attention la position de la virgule 4 2 Logarithmes naturels n p rien In x C est un logarithme de base e 2 71828 On a log x 2 718 log x In x Les logarithmes naturels ont comme les fonctions exponentielles une grande importance en Physique De m me qu on utilisait les chelles D et LL pour calculer la valeur de e on utilisera ces m mes chelles pour d terminer In x En effet y Inx lt gt e x D 1 tant d office plac au dessus de e de LL 3 il suffit de placer le trait du curseur sur le nombre x rep r sur les chelles LL 2 ou LL 3 Le logarithme naturel correspondant y sera lu sur D en dessous du trait du curseur L emplacement se d termine en tenant compte du tableau ci apr s Echelle LL 3 Nombres allant de 2 6 3 104 Log naturel allant de 1 10 Echelle LL 2 Nombres allant de 1 1 2 8 Log naturel allan

Mode d`emploi Nestler

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