Avertissement Mode d`emploi
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1. 1 de pr ciser le sens de toute lettre utilis e la m me lettre servant en g n ral un nouvel usage d s qu on change de paragraphe exception faite des lettres r serv es telles que e i r N 2 d essayer d utiliser les lettres de mani re syst matique c est dire toujours avec la m me signification g n rale comme on le verra en 3 4 cette derni re exigence s av re en pratique difficile penser aux multiples utilisations de x et on aura donc int r t s entra ner traduire par exemple r soudre une quation du genre ap bp c 0 o bien s r p d signe l inconnue Le langage math matique p 4 2 2 Formules critures embo t es Les lettres ne permettant de parler que d objets d j connus c est par exemple l int r t principal des constantes voir 8 4 il est n cessaire de disposer aussi de symboles d op rations que ce soit les signes xX des quatre op rations devenus si familiers qu on oublie qu il a bien fallu les inventer Vi te vers 1540 ou la notation d ailleurs fort malcommode des int grales due Leibnitz vers 1650 La caract ristique essentielle de ces notations outre qu elles permettent de fabriquer de nouveaux objets partir de ceux qu on a d j est d tre suivant un vocabulaire r cent qui vient lui aussi de l informatique r cursives c est dire qu on peut les combiner et les em2. le surligner l ins rer dans le classeur o vous prenez le cours en note c est un outil de travail et non un objet de d coration La plupart des chapitres sont suivis d un formulaire pr sentant sous forme syn th tique les r sultats et aussi les d finitions essentiels et donnant parfois aussi des r sum s de m thode toutefois il est probablement plus rentable de tenter de constituer ses propres fiches de r sum quitte v rifier l aide du formulaire que rien d impor tant n a t oubli on retient mieux ce que l on a r dig soi m me et c est aussi un bon moyen d apprendre noncer une d finition ou un th or me par exemple l ap prentissage par c ur des phrases d un manuel tant le plus souvent une t che presque impossible et d un int r t tout relatif Les exercices dont le mode d emploi figure la fin du premier chapitre page 17 doivent tre abord s apr s la lecture des fiches d exercices types correspondants quand elles existent les nonc s de ces fiches ont donc t rappel s l endroit convenable Il est recommand de s tre au moins s rieusement attaqu dans chaque chapitre tous les exercices de niveau xx ou plus faciles Le premier chapitre joue un r le part et d ailleurs les r sultats de logique qui y sont expos s sont officiellement hors programme il s agit la fois d une pr sentation g n rale des m t
3. 2 D duire alors comme pour une d monstration ordinaire l aide de cette hypo th se suppl mentaire des cons quences successives dont la derni re est mani festement fausse par exemple 1 1 3 Conclure or ceci est absurde donc A est vraie Un exemple historique c l bre d j voqu plus haut est la preuve de l impossibi lit de z 2 dans les rationnels la d marche consiste examiner les cons quences de p 2q p et q tant suppos s entiers et non tous deux pairs jusqu aboutir p 2p q 24 On doit Fermat une g n ralisation tr s astucieuse de cette id e ayant prouver un certain r sultat g n ral sur les entiers positifs il suppose connu un contre exemple N et calcule jusqu obtenir un autre contre exemple n tel que n lt N or conclut il ceci est absurde Le lecteur voit il pourquoi Fermat a appel cette m thode descente infinie et ce qu il y a au juste d absurde Le langage math matique p 15 4 8 Le raisonnement par r currence De nombreuses propri t s des entiers et plus g n ralement des suites d objets sont difficiles montrer directement parce qu on ne connait pas de formule explicite pour le n objet de la suite ou tout simplement parce qu un outil de calcul semble manquer c est le cas de nombreuses propri t s de divisibilit voir le chapitre 6 ainsi on ne voit pas bien comment d montrer
4. Avertissement Mode d emploi Ce polycopi ne constitue pas un cours au sens classique de ce terme mais plut t un support celui qui sera dispens en classe En particulier toutes les d monstrations ne sont pas faites certaines ne sont m me pas esquiss es et le plus souvent aucun exemple n est trait de plus de nombreuses pistes de r flexion sont ouvertes mais non d velopp es ainsi il est souvent propos d essayer de r soudre un exercice simple ou de r fl chir une difficult apparente c est pourquoi il est recommand dans la mesure du possible de lire chaque chapitre avant que celui ci ne soit expos par l enseignant on devrait ainsi se familiariser avec les id es g n rales les motivations ayant donn naissance aux nouveaux concepts introduits et aussi commencer apprivoiser les difficult s techniques et th oriques qui seront rencontr es La typographie choisie doit faciliter ce travail les notes et les textes crits en petits caract res peuvent sans inconv nient tre laiss s de c t en premi re lecture des passages qui sont officiellement seulement au programme de la Sp ou m me compl tement hors programme mais qu on a jug pouvoir clairer le cours ou le compl ter utilement sont accompagn s en marge d un filet ondul comme ici Les marges sont larges et le texte est distribu en feuillets s par s et imprim s d un seul c t n h sitez pas l annoter et
5. a pas de solution num rique vidente et les Grecs ont d couvert qu elle n avait pas de solution rationnelle c est dire de la forme p q avec p et q entiers Pourtant elle a une solution g om trique la diagonale du carr de c t s 1 d apr s le th or me de Pythagore c est donc bien que racine de 2 doit exister On rencontrera des arguments analogues en analyse le th or me des valeurs interm diaires est un exemple typique et les math maticiens s accordent consid rer qu un objet dont on a prouv l existence ce sens et l unicit est bien d fini ce que nous reverrons d un autre point de vue en 4 2 m me s il n est pas possible en pratique de l expliciter Ainsi la valeur de racine de 2 1 4142 n est pas vraiment utilisable que faire des lt et semblerait donc contredire les r gles que nous venons de donner elle ne sert qu rappeler au lecteur qu on peut obtenir des valeurs aussi pr cises que l on veut et que V2 est donc bien d fini 3 3 Propri t s et relations Bien s r les math maticiens vont ensuite parler des objets qu ils ont nomm s La phrase math matique typique dit quelque chose d un objet par exemple 2127 1 est un nombre premier ou la fonction cos est paire on parle de propri t de l objet ou encore relie deux ou plusieurs objets par exemple In6 In2 ln 3 ou la d riv e de
6. connue dans un texte math matique le sous entendu est que ce qui est crit est valable pour toute valeur possible de cette lettre Mais en r alit aucune affirmation int ressante ne pourrait tre vraie de mani re aussi g n rale on se restreint en principe un domaine de valeurs bien pr cis appel univers de validit Par exemple la formule cos x sin x 1 n a de sens que si est un nombre r el elle est vraie si z est complexe en tendant un peu le sens de cos et sin mais que pourrait elle signifier si x tait une droite ou un vecteur ce genre de sous entendu est en g n ral clair d apr s le contexte c est encore un exemple d abus de langage mais devrait en principe tre pr cis Les ensembles de nombres les plus utilis s comme univers appel s encore domaines num riques ont re u des noms N Z Q R C sont bien connus on verra au chapitre 6 les notations ensemblistes permettant de fabriquer des ensembles plus compliqu s Pour ne pas alourdir l criture on se permet cependant d crire des for mules telles que In 1 v1 x alors qu on ignore encore pour quelles valeurs de x elles ont un sens Le sous entendu dans ce cas est que x est un nombre r el tel que le calcul indiqu soit possible ce qui ici veut dire que x appartient l intervalle 1 0L cet intervalle est ce qu on appelle le domaine de d finition ou d existence de l expression En principe on devrait re
7. devant l affirmation x 1 x 3x 3x 1 il n y a rien faire sauf peut tre chercher une preuve voir plus bas devant l quation x 1 3 z 3x 3x 1 il y a une r ponse l ensemble des x rendant vraie l galit c est dire R trouver On utilise pour les variables et les inconnues r elles les lettres de la fin de l al phabet mais ce n est pas une obligation Dans certains cas la fronti re entre constante et variable devient floue ainsi si on a d abord tudi un probl me en supposant le nombre a fix puis qu on essaie de voir ce que devient la solution quand a varie on dit que a est un param tre et on dira que l tude est faite en fonction de a Dans le cas de la r solution d quation par exemple une telle situation est g n ralement introduite par la formule R soudre et discuter en fonction de a l quation qui signifie non seulement que la valeur et le nombre des solutions d pend de a mais m me que la m thode de r solution peut en d pendre c est par exemple le cas d une quation telle que az 1 a x 1 a 1 avec x inconnu o la question n a pas de sens si a 1 mais o la solution x 1 correspondant au cas a 0 ne saurait tre et pour cause donn e par la formule de r solution des quations du second degr Cette notion de variation qui vient au demeurant de la physique o lon dit par exemple qu on fait
8. on percevait jusque l comme des recettes de cuisine dont la valeur tenait dans la constatation empirique qu elles fonctionnaient C est alors que sont apparues ces longues cha nes de raisonne ments Descartes qui ne devaient d abord servir qu convaincre les sceptiques et dont la prodigieuse puissance de production de r sultats nouveaux et utiles a donn naissance partir de la Renaissance aux m thodes math matiques de la Physique mais aussi de nombreuses disciplines abstraites les math matiques modernes dont l int r t m me pratique n a plus cess de cro tre 1 2 De quoi parlent les math maticiens Tr s t t les math maticiens se sont rendus compte qu ils n aboutiraient un accord que s ils n tudiaient que des objets parfaitement d finis en leur appliquant des modes de raisonnement admis par tous l ensemble de ces r gles est souvent appel la logique classique ou aristot licienne Les nombres entiers et l espace ordinaire ont paru aux Grecs les premiers vrais math maticiens comme on l a dit ne poser aucun probl me la pratique et la r flexion des g n rations ult rieures ont permis d largir le domaine des math matiques d autres objets nombres de plus en plus abstraits r els complexes id aux fonctions g om tries vecteurs et matrices probabili t s graphes mais ont aussi fait appara tre des difficult s inatte
9. s l invention au 16 si cle des notations modernes En effet un ensemble bien con u de notations se met en quelque sorte fonctionner tout seul les l ves ayant r ussi trouver par lt automathismes la solution d un probl me dont ils n avaient pas compris l nonc le savent bien tout se passe comme si la notation r sumait l effort de r flexion et les r sultats de ceux qui l ont invent e nous rencontrerons un exemple spectaculaire de ce ph nom ne en tudiant les nota tions diff rentielles dues Leibnitz au chapitre 10 1 4 Et quelle est l utilit pratique de tout cela Les difficult s rencontr es lors des extensions successives des objets math matiques que ce soient l apparition jug e longtemps suspecte de ces nouveaux nombres que sont les complexes ou la m thode de calcul d une d riv e pr sent bien comprise mais qui suscita de violentes critiques au 17 si cle ont amen les math mati ciens se m fier de leurs intuitions comme on le verra dans le cours d Analyse les d monstrations rigoureuses de r sultats qui semblaient vidents ont parfois fait appara tre des exceptions allant jusqu demander la cr ation de nouveaux outils math matiques et ceux ci se sont souvent r v l s d une importance pratique consid rable un exemple r cent tant la d couverte des objets fractals De toute fa on les math maticiens purs ne s int ressent
10. autant plus enrichissant que vous aurez vraiment essay xxxx Exercice hors programme difficile et correspondant des passages marqu s d une bordure filet e ne s y frotter que si le reste vous a paru trop facile Exercices 1 Notations 1 x Pourquoi peut on crire a b c mais pas a b c Qu en pense votre calculette Quel est le sens de a Pouvez vous en donner une justification 2 x A t on le droit d crire cos x 1 1 cos x Et cos x cos x Et cos 2x x cos 2 3 xx Pourquoi peut on crire Posons a e mais pas Posons G0 5 e gt Connaissez vous un cas o l criture a 2 ait un sens 2 Lesens 4 xx Donner la d marche suivre pour d terminer le domaine de d finition de l expression monstrueuse de 2 2 Est il possible d aboutir un r sultat expli cite 5 xxx l aide de la formule classique 2 7 2 2 avec m n N expliquez pourquoi on doit avoir 2 1 Voyez vous un argument analogue pour montrer que 91 2 3 ou peut tre 3 Et pour le calcul de 0 Et que peut on reprocher la formule 1 2 i Le langage math matique p 18 6 x R soudre l quation x 2t 3 Etes vous s r d avoir compris le sens de la question Donner toutes les interpr tations auxquelles vous pouvez penser et les r ponses correspondantes 7 xx Que veut dire la phrase R soudre et discuter suivant les valeurs
11. cos est sin Dans ce dernier cas on parle de relation entre les objets les plus fr quentes ont des symboles d abr viation tels que gt ou 3 4 Lesens des lettres constantes et variables inconnues et param tres Il est temps de clarifier le sens exact des lettres dans les expressions math matiques certes elles d signent des objets mais plusieurs situations bien distinctes sont pos sibles Tout d abord une lettre peut servir d abr viation pour d signer un objet dont on conna t la valeur ainsi si le nombre 1 e 1 2e qui vaut environ 0 838 r appara t plusieurs fois dans un calcul on aura int r t le remplacer par une lettre unique mettons A qui ne prendra plus que cette valeur l pour ce calcul est une constante et elle est introduite dans le texte par une phrase du genre de Posons A 1 e 1 2e une telle d claration peut toujours tre faite tant que n a pas t d j utilis et elle est obligatoire si n est pas d j connu De fa on plus g n rale on doit pr ciser le sens de toutes les lettres qu on utilise sauf celles figurant d j dans les nonc s des probl mes que l on r sout D autre part on est amen utiliser des constantes pour des valeurs fix es mais qu il n est pas utile de pr ciser ou pour des valeurs proprement parler inconnues Le langage math matique p 7 mais dont on sait qu elles ne varieront pas
12. du param tre t l quation z 2tx 1 0 o x est une inconnue r elle Et quelle est la r ponse Et que signifie R soudre le syst me S x 2y Az Gi eee x et y inconnues param tre 3 V rit et d monstrations 8 R Toute fonction d rivable est continue donc toute fonction continue est d ri vable gt Qu en pensez vous 9 R Il est faux que a b at 4a b bt puisque 24 16 et que 1 4 1 6 gt Oui mais c est vrai avec a b 0 Que doit on conclure 10 xxx D montrer que z 2 est impossible avec x rationnel la d marche du cours permet elle de montrer que x 5 est impossible avec x rationnel essayer de rep rer l argument le plus d licat et terminer par une s paration en cas Peut on g n raliser encore x n 11 xxx Montrer par r currence que 1 4 9 16 n n n 1 2n 1 6 Le langage math matique p 19 LETTRES ET SYMBOLES MATH MATIQUES Lettres grecques les plus courantes sont en caract res gras a alpha L iota p P rho 6 B beta k K kappa o X sigma y Il gamma A lambda T T tau A delta u M mu v U upsilon E epsilon v N nu p phi C Z zeta E EXI X X chi n H eta 0 0 omicron Y W psi 0 0 theta m II pi w 2 omega Logique non A en alg bre de Boole ou A n gation de vraie si et seulement si A est fausse A et B en a
13. durant le calcul c est par exemple le sens des lettres a b et c dans la r solution de l quation g n rale ax bz c 0 On utilise autant que possible pour les constantes des lettres prises au d but de l alphabet l oppos on appelle variable une lettre qui d signe n importe quel nombre ou objet dans lunivers de validit du texte Ainsi la phrase x y x 2xy y est une relation entre deux expressions suppos e vraie voir plus bas pour toutes les valeurs possibles de x et y r elles par exemple en prenant comme seule convention que x doit tre remplac par la m me valeur partout o il figure y aussi bien s r c est ce qui est pr cis si besoin en est par des phrases du type pour tous x et y l ments de R Le sens apparent de x dans la phrase 3x 2x 5 semble le m me Mais en r alit ce qui change est la nature de la phrase celle ci est pr sent une question r clamant une r ponse la liste de toutes les valeurs de x pour lesquelles la phrase est vraie ici 1 et 5 3 la relation est une quation et x s appelle une inconnue ce type de situation doit normalement tre d clar e par R solvons l quation o x et y sont des inconnues r elles et on peut m me regretter qu une notation diff rente telle que 37 2x 1 5 n ait pas t adopt e car une source importante d erreurs vient de la confusion avec le cas pr c dent
14. math matique p 3 l exposer ici on les donnera donc dans le cours sous le nom de th or mes admis en se contentant au mieux d un embryon de justification et on verra en 4 6 comment il convient d utiliser un r sultat de ce genre Ces entorses un expos parfaitement rigoureux pourraient laisser croire qu en d finitive tout cela n a pas une si grande importance que les math maticiens veulent le faire croire il n en est rien mais seule une longue pratique a permis de mettre en vidence les dangers que la perte de la rigueur fait courir et dont certains aspects seront abord s en 4 8 Il ne faut pas oublier non plus que nous discutons ici des moyens de pr senter les r sultats obtenus ce qui presque par d finition se doit d entra ner une conviction compl te et non des moyens de les obtenir et on constate souvent en lisant les brouillons des plus grands math maticiens de l histoire qu ils sont arriv s leurs th or mes en utilisant des id es et des m thodes bien loign es de la rigueur et de la logique nous verrons d ailleurs comment les outils informatiques permettent de nos jours de deviner de nombreux r sultats et de formuler de nouvelles hypoth ses Cela dit une fois un r sultat d couvert l essentiel pour le math maticien reste encore faire il faut le prouver Finalement la rigueur reste pour celui qui veut faire des math matiques par opposition l utilisateur physicie
15. n en est pas ainsi et surtout si le donc utilis para t relier deux faits sans rapport entre eux on parle d affirmation gratuite c est videm ment une faute de logique grave 4 5 Exemples et contre exemples Un groupe tr s important d affirmations est de la forme la propri t est toujours vraie ou P x est vraie pour tout r el x etc Ce cas est d ailleurs si fr quent qu il constitue le sous entendu usuel si j affirme l identit In xy Inx 1In y je sous entends qu elle est vraie pour tous les x et les y du domaine de validit On a tendance illustrer ce genre de phrase par des exemples on dira tout entier est somme de quatre carr s par exemple 19 4 12 1 12 L exemple sert clarifier le sens de la phrase et parfois montrer le caract re naturel ou au contraire surprenant de l affirmation mais un exemple et m me de nombreux exemples n est pas une preuve en effet l affirmation est g n rale donc cens e tre vraie pour une infinit d objets qu un nombre fini d exemples n puisent pas Le langage math matique p 12 En revanche un seul contre exemple suffit d molir une telle affirmation en d autres termes prouver qu elle est fausse ainsi remarquer que pour la valeur z 3 on a 3 cos3 gt 3 cos 3 prouve sans autre argument que la fonction f d finie par f x gt f x x cosx n est pas paire puisque f est pa
16. quences dites m caniques que l on nonce par exemple ainsi L objet X est d apr s l hypoth se un A or par d finition cela entra ne que on pourra ventuellement ne pas rappeler toute la d finition mais seulement les propri t s dont on a besoin Comment appliquer un th or me On est souvent amen utiliser un th or me g n ral c est dire par exemple valable pour toutes les fonctions d rivables dans un cas particulier une certaine fonc tion bien pr cise qu on est en train d tudier Le lecteur n ayant pas n cessairement en t te tous les d tails du th or me sauf mettons pour les r sultats l mentaires acquis dans les classes ant rieures il faut pr ciser ce que l on fait ainsi Application d un th or me 1 Rappeler le th or me utilis a Son nom ou son auteur si on le connait d faut une formule du genre on sait que n est acceptable que si vous tes s r de la suite b Son nonc et tout particuli rement les hypoth ses restrictives sur son applica tion celles sans lesquelles le th or me n est pas forc ment vrai 2 Montrer qu on a contr l toutes ces hypoth ses dans le cas qu on tudie par des phrases telles que or dans ce cas la fonction est continue puisque gt ou et on a vu auparavant que gt 3 Traduire alors la conclusion du th or me par une phrase telle que dans le cas p
17. res ce qu on a appel le programme de Hilbert s est av r e de fa on tr s surprenante impossible la suite des travaux de G del vers 1930 montrant que toute Le langage math matique p 9 construction de ce type serait n cessairement incompl te ces travaux sans grandes cons quences math matiques quoique ont eu en revanche une importance philosophique consid rable La plupart du temps on n essaie d obtenir que des v rit s relatives de la forme si telle chose est vraie alors telle autre doit l tre aussi On dit que la deuxi me propri t est cons quence de la premi re ou encore que sous l hypoth se c est dire la condition que la premi re soit vraie la seconde l est aussi Une telle hypoth se n a rien d incertain c est seulement une condition suppl mentaire sans laquelle ce qu on affirme ne serait pas forc ment vraie On dit parfois que l hypoth se est une condition suffisante pour la conclusion en d autres termes que la conclusion peut tre fausse si l hypoth se est fausse aussi mais jamais si elle est vraie avec ce vocabulaire la conclusion est donc une condition n cessaire pour l hypoth se c est dire que la conclusion doit tre vraie pour que l hypoth se ait une chance de l tre Une hypoth se au sens qu on lui donne en fran ais c est dire un r sultat math matique qu on n a pas encore prouv mais qu on cr
18. varier les param tres d une exp rience lorsqu on modifie les conditions environnementales telles que la temp rature ou la pression am ne parler encore de param tre s lorsqu on veut d crire par exemple un ensemble de points l aide de formules les quations param triques donnant les coordonn es de chaque point en fonction de nombres variables Les param tres sont souvent d sign s par t et les lettres voisines 3 5 Variables muettes le principe de substitution Dans de nombreuses expressions et relations certaines lettres jouent un r le un peu part elles servent d abr viations commodes mais n ont pas de v ritable valeur 1 Ainsi x n appara t pas en fait dans f x dx qui est tout simplement une fa on 0 Le langage math matique p 8 compliqu e de noter le nombre 1 4 et cette int grale pourrait tout aussi bien s crire 1 1 t dt on dit que dans ces expressions x et t sont des variables muettes On ne 0 peut cependant remplacer ici x que par une seule autre lettre non d j utilis e par 1 1 ailleurs ni I 23 d2 ni f x 1 d x 1 ne veulent dire grand chose mais on 0 0 verra au chapitre 13 comment contourner cette difficult Nous rencontrerons au chapitre 6 un autre important exemple avec les notations de sommations telles que n gt f k En revanche dans toutes les formules les relations en fait cens es tre k 1 valables pour toutes les v
19. D sont quipollents si et seulement si A C et B D ont m me milieu d finit le mot quipollent si du moins le sens des autres mots est connu en principe une telle phrase devrait tre suffisante mais m me si le lecteur sait assez de grec pour deviner le sens naturel du mot et d ailleurs celui ci est souvent loign de son sens math matique il est clair que cette d finition ne prendra son sens qu apr s l tude d exemples et que le lecteur qui n aurait jamais vu de parall logramme risquerait de se sentir perdu on sera quelquefois amen dans ce cours par exemple partir du chapitre 15 parachuter de telles d finitions en demandant la confiance du lecteur qui ne pourra parfois voir l int r t de ces nou velles notions que beaucoup plus tard De m me qu on doit partir de v rit s primitives on doit aussi partir d objets et de relations l mentaires On choisissait en g n ral comme atomes math ma tiques les entiers naturels et leurs op rations et parfois aussi les points de l es pace ordinaire toutefois depuis le d but du 20 si cle les math maticiens ont plut t d cid de partir de la th orie des ensembles Dans tous les cas les autres objets familiers des math matiques nombres r els fonctions etc doivent alors tre construits c est dire d finis partir des premiers et ventuellement ces d fini tions doivent s accompagner de preuves de ce
20. Formules critures embo t es 2 3 Notations fonctionnelles 2 4 Abr viations abus d criture a E E E a nee nn E p 5 3 1 Univers de validit domaines num riques domaines de d finition 1 0 3 2 5 0 V 1 n0 quand l criture perd son sens 3 3 Propri t s et relations 3 4 Le sens des lettres constantes et variables inconnues et param tres 3 5 Variables muettes le principe de substitution 4 V rit et d monstrations p 8 4 1 Axiomes et th or mes hypoth ses et cons quences conjectures 4 2 D finitions et constructions 4 3 Les symboles logiques lt les quantificateurs 4 4 Les l ments des d monstrations donc puisque car or 4 5 Exemples et contre exemples 4 6 Les m thodes de d monstration 4 7 Le raisonnement par l absurde 4 8 Le raisonnement par r currence 4 9 Pi ges et faux raisonnements erreurs paradoxes ER TCICRR SR NS AE Re Re ee E EE RA ve p 17 LETTRES ET SYMBOLES MATH MATIQUES p 19
21. aleurs mettons r elles d une variable comme le sont les identit s remarquables on peut substituer librement n importe quelle expression d signant un nombre r el l une de ces variables A nsi d s que l on sait que pour tout z sing cosg V2cos x r 4 comme nous le re verrons au chapitre 4 on peut en d duire non seulement que sinr 3 cosr 3 V2 cos m 12 mais que sin 27 7 4 cos 2r 7 4 V2 cos 2x et il ne faudrait videmment pas en conclure que x 2x 7 4 Cette technique connue sous le nom de substitution on dit qu on a substitu 2x 7 4 x dans la formule demande quelques pr cautions et on conseille souvent au d butant de la r diger au brouillon en deux tapes en commen ant par exemple par remplacer x par X pour lui viter des confusions regrettables 4 V rit et d monstrations 4 1 Axiomes et th or mes hypoth ses et cons quences conjectures Quand on a compris que toute phrase math matique a un sens il reste parler de l essentiel la recherche de la v rit Les math maticiens essaient de n obtenir que des nonc s vrais et pour cela de d montrer toutes leurs affirmations Une d mons tration est un discours con u de telle sorte que si on le lit en tant suffisamment pr par c est dire en connaissant le sens des mots employ s les r sultats pr limi naires utilis s etc on est n cessairement convaincu de la v rit des conclusions et les Gr
22. ation du type on voit sur la figure que et aussi d oublier que par exemple deux droites ne se coupent pas toujours Quand on veut seulement tablir des r sultats num riques r solution d quations tude de fonction etc on est souvent amen pour all ger la lecture de la discussion Le langage math matique p 14 tablir un tableau de cas d crivant les diff rentes possibilit s suivant les valeurs d une variable ou d un param tre on en reverra des exemples au chapitre suivant Bien que cette m thode puisse sembler ne soulever aucun probl me th orique elle laisse souvent le lecteur sur un sentiment d insatisfaction la d monstration semble incompl te Ainsi certaines situations inextricables n ont pu tre d brouill es qu l aide d ordinateurs la d monstration en 1978 du th or me des 4 couleurs a n cessit examen par ordinateur de pr s de 1500 cas distincts les cas eux m mes avaient t d termin s la main mais l examen de chaque cas aurait pris des ann es un math maticien et il est clair qu aucun tre humain ne la lira jamais en entier du moins sous cette forme quelle confiance peut on faire alors une telle preuve 4 7 Le raisonnement par l absurde Il n est pas toujours facile ou m me possible d obtenir directement certains r sul tats g n raux on est alors amen analyser les propri t s d un ventuel contre exemple ju
23. bo ter ind finiment Ainsi le sens d une expression telle que In In In ecs cos 3 g2 tanz T gt n est si on suppose x connu qu un exercice fastidieux de mise plat c est dire qu il faut pouvoir reconstituer l ordre des calculs pour les faire ex cuter par une calculette par exemple sous une forme telle que 1 Xr X A e cos cos XX 3 XX B 1n 1n 1n B A ce qui est facile condition toutefois de conna tre les r gles de priorit utiliser elles seront rappel es au chapitre 2 puis pr cis es chaque fois qu on rencontrera une notation nouvelle et la signification de chaque op ration utilis e ici In cos tan et a On remarquera au passage sur ce seul exemple combien les math maticiens s autorisent d exceptions elles font le cauchemar des d butants S CO qui n a jamais eu la tentation de simplifier par cosy une expression telle que cos 2 3 Notations fonctionnelles La plus importante de ces exceptions est la notation du calcul d une fonction tech niquement de la valeur de l image d un objet par une fonction comme on le verra au chapitre 7 Si f est le nom de la fonction ce qui veut dire que f est un proc d de cal cul du genre de lever au carr et ajouter 1 ce qu on note bien s r f x x 1 f a est l image par f de a c est dire dans notre exemple le nombre a 1 outre le danger vident de co
24. cate et nous en verrons quelques exemples aux chapitres 7 et 9 il est important d autre part de pouvoir traduire les expressions o ils figurent sous la forme de phrases fran aises compl tes 4 4 Les l ments des d monstrations donc puisque car or Une d monstration est donc un texte partant de faits suppos s connus th or mes d j tablis d finitions et hypoth ses et encha nant des d ductions videntes jus qu aboutir une conclusion Ainsi le mod le d un tel texte devrait tre On sait que est vrai donc B donc C donc Z est vrai galement Mais pour all ger la monotonie d un tel discours et aussi parce que certaines d ductions sont plus complexes ou moins lin aires on est aussi amen utiliser B puisque A ou B car A gt renvoyant un r sultat d j tabli donc B or A introduisant un nouvel argument donc B mais A faisant appara tre une contradiction voir 4 7 donc B en effet gt compl tant l argument Cette derni re tournure ne devrait pas tre n cessaire mais surtout pour les d bu tants les encha nements d une d monstration ne paraissent pas toujours tr s logiques cependant en principe tous les arguments utilis s dans une d monstration devraient tre des cons quences videntes pour qui conna t mettons les l ments du sujet de ce qui pr c de S il
25. ecs poussaient m me l exigence jusqu vouloir qu on ne puisse plus mettre aucune objection m me en tant de mauvaise foi C est cette exigence qu on appelle la rigueur Pour obtenir des v rit s qu on appelle en math matique des th or mes une fois qu elles sont d montr es il faut partir de quelque part On suppose connues ou admises les propri t s l mentaires des objets les plus simples par exemple le fait que tout entier soit pair ou impair dans un texte math matique complet m me ces propri t s sont rappel es sous forme d une liste d axiomes et on demande d admettre en plus quelques axiomes il s agit de propri t s naturelles qu on n a pas su d mon trer exemple le plus connu tant l axiome d Euclide affirmant l existence et l unicit des parall les Ces complications logiques ne doivent pas troubler l utilisateur non math maticien elles n ont t introduites que pour garantir contre des erreurs tr s subtiles ou tr s peu probables En pratique il suffit de consid rer comme acquis l ensemble des r sultats l mentaires acquis dans le secondaire et seuls des esprits tr s exigeants pourront vouloir chercher fonder construire toutes leurs connaissances math matiques sur un nombre aussi petit que possible de principes s rs Cependant et pour tre tout fait complet il faudrait pr ciser qu une recherche obstin e de fondations absolument s
26. es est pass e dans le langage courant la quadrature du cercle les g om tres grecs avaient propos trois probl mes construire un carr de m me aire qu un cercle donn la trisection de l angle et la duplication du cube en conjecturant l impossibilit de ces constructions la r gle non gradu e et au compas ce qui ne fut d montr qu au milieu du 19 si cle 2 Dans une lettre de Goldbach Euler en 1742 figure une affirmation quivalente tout nombre impair est somme de trois nombres premiers de nombreux travaux ont permis d estimer ce r sultat tr s vraisemblable par exemple il a t v rifi pour tous les entiers inf rieurs 1012 d autre part on pu d montrer que tout nombre pair tait somme de quatre nombres premiers mais on n en conna t pas encore de preuve rigoureuse 3 Dans un livre de Diophante retrouv dans la biblioth que de Fermat apr s sa mort figurait en note l affirmation de ce que l quation z y z n avait pas de solutions enti res non nulles pour n gt 3 contrairement l quation y 2 puisque par exemple 9 16 25 et Fermat le plus grand arithm ticien du 17 si cle pr tendait avoir trouv une preuve vraiment merveilleuse de ce r sultat mais n avoir pas assez de place dans la marge pour l inscrire La preuve de Fermat n a jamais t retrouv on sait d ailleurs pr sent qu il s tait lui m me rendu compte pa
27. fuser de continuer les calculs ou l tude tant que le domaine n est pas pr cis ment connu pour viter les probl mes qui vont tre abord s au paragraphe suivant mais on s autorise parfois nouvel abus de langage admettre provisoirement que ce dont on parle est d fini quitte y revenir ensuite pour une formule telle que celle de 2 2 il serait d ailleurs difficile de faire autrement 1 0 3 2 g 0 V 1 n0 quand l criture perd son sens 1 Et au fait pourquoi ne peut on pas crire 5 Il est important de bien distinguer dans ce genre d interdictions ce qui rel ve d une convention par exemple on convient qu une racine carr e est toujours positive mais en fait 2 et 2 ont tout aussi bien pour carr 4 et le choix de 2 comme la racine carr e de 4 est donc arbitraire on le verra bien d ailleurs en tudiant la m me question dans C une telle convention ne fait pas perdre son sens l criture qui ne la respecte pas mais la rend simplement fausse comme dans yz lt 0 ce qui met en lumi re une impossibilit provisoire comme le fait de trouver un nombre dont le carr soit 1 c est impossible dans R d o l interdiction de la notation v 1 mais i 1 est l gal dans C ou d finitive comme la solution de l quation 0 x 1 en tout cas malgr des efforts consid rables on n a jamais vraiment r ussi donner un sens utilisable cela ce qu
28. hodes et des objectifs des math matiques et de la mise au point de certaines conventions de langage et d criture On aura int r t le parcou rir d s le d but de l ann e puis le relire apr s quelques mois ce qui permettra au demeurant de mesurer les progr s accomplis Plus g n ralement les six premiers chapitres exposent l ensemble des bases n cessaires tout le cours et devraient donc tre r guli rement revus et est ce utile de le dire parfaitement maf tris s avant la fin de l ann e OU N e PLAN G N RAL DU COURS TECHNIQUES G N RALES Le langage math matique Rappel des techniques de calcul dans R Rappels de g om trie analytique Nombres complexes et trigonom trie Analyse l mentaire et fonctions usuelles Interlude quations diff rentielles lin aires Techniques combinatoires polyn mes ANALYSE Le langage des fonctions 8 tude g n rale des fonctions num riques propri t s globales 9 tude locale limites et continuit 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 tude locale d riv e Techniques d approximation Suites num riques Int gration quations diff rentielles Applications et g n ralisations ALG BRE LIN AIRE Espaces vectoriels Matrices Structures alg briques Applications lin aires D terminants G OM TRIE Langages g om triques G om trie anal
29. i s en rapproche le plus est l usage de plus linfini comme limite de la forme et le chapitre 8 montrera les nombreuses pr cautions d emploi indispensables 1 Finalement ce qui interdit vraiment d crire c est qu on aurait alors 0 4 1 puis 0 4 0 0 A 0 A 0 4 donc 1 2 arriv l ou bien on renonce faire des math matiques coh rentes voir 4 6 ou alors on renonce A Le langage math matique p 6 Ce genre d absurdit a une f cheuse tendance survenir voir 4 8 d s qu on conti nue les calculs avec des notations priv es de sens mais parfois au contraire le probl me vient de ce que le sens existe bien mais est ambigu c est le cas des nota tions du genre x 1 a il est raisonnablement clair que x d signe l une des deux valeurs possibles mais le danger d une telle criture apparait d s qu on veut simpli EE Ji par exemple C est d ailleurs ce qui interdit z l autre type de division par z ro si A 0 0 c est par d finition que 0 A 0 mais comme c est vrai de tout on n est pas plus avanc En d autres termes 0 0 est ind termin comme on le reverra d un autre point de vue quand on tudiera les limites fier une expression telle que Toutefois les math maticiens s autorisent un autre type d existence il s agit de celle d finie par th or me Ainsi soit r soudre l quation x 2 Elle n
30. ire signifie que pour tout x f x f x On verra en Analyse que certaines affirmations naturelles comme par exemple le fait que toute fonction d riv e est continue sont en fait fausses pour le montrer on doit construire un contre exemple la fonction d riv e de x sin 1 x en est un et les monstres ainsi obtenus ne doivent pas tre sous estim s ils permettent entre autre de pr ciser les hypoth ses suppl mentaires que le th or me correct r clame 4 6 Les m thodes de d monstration D composition en tapes Comme on vient de le voir chaque tape d un raisonnement doit tre claire ce qui oblige proc der une d composition d une d monstration un peu longue en s rie de r sultats plus simples obtenir on parle de r sultat pr liminaire le terme technique est lemme de cons quences encore appel es corollaires de r sul tats moins importants qu un th or me appel s propositions souvent num rot es et dont on r sumera l encha nement en fin de d monstration par des phrases du genre d apr s les propositions 1 2 et 5 on a donc On a int r t en r digeant une d monstration un peu longue proc der de m me et m me annoncer l avance ce que l on veut faire ensuite la compr hension du lecteur en est facilit e en r sum D monstration par tapes 1 Rappeler les hypoth ses de l nonc 2 Conduire la d monstration en
31. itre et que la r gle qui les autorise est souvent appel e l axiome de r currence ce qui montre bien qu une justification absolue en serait impossible 4 9 Pi ges et faux raisonnements erreurs paradoxes ne pas respecter les r gles qui pr c dent on court le risque de n avoir en fait rien d montr vraiment et parfois m me d aboutir des r sultats faux On peut se consoler en se rappelant que les meilleurs math maticiens ont commis des erreurs qui semble t il quand elles ne r sultent pas d tourderies viennent du d sir d ob tenir un r sultat dont on est convaincu et dont la s duction fait perdre le sens cri tique ainsi d innombrables d monstrations de conjectures c l bres telle la fameuse quadrature du cercle ont elles t publi es et c est parfois un travail difficile que de d terminer o se cache l erreur soit parce qu elles utilisent subtilement ce qu il s agit de d montrer cercle vicieux soit parce qu elles font appel des notions intuitives apparemment videntes mais trompeuses c est pour lutter contre cette tendance o m me des math maticiens exceptionnels comme Euler s taient parfois gar s qu ont t mises en place au 19 si cle les m thodes rigoureuses de l Analyse que nous verrons cette ann e Rep rer les erreurs fait d ailleurs partie int grante du travail du math maticien et bien s r de l tudiant nul n en
32. lg bre de Boole B conjonction vraie si les deux le sont A ou B en alg bre de Boole A V B disjonction vraie si l une au moins l est c est le ou inclusif P Q P implique Q si P est vrai alors Q est vrai P Q P quivaut Q P est vrai si et seulement si Q est vrai Vx P x pour tout x la propri t P x est vraie dx P x il existe au moins un x tel que la propri t P x soit vraie TS U J z P x ou 31x P x il existe un x et un seul tel que P x soit vraie def ti s EE A B on d finit A comme tant gal B def SR P s z X P 5 Q on d finit P comme tant quivalent Q TS Ensembles ensemble vide AU B union de et B a b ensemble des l ments a b AN B intersection de et B a A a est l ment de A AC B A est inclus contenu dans B a A P a sous ensemble de form des l ments v rifiant la propri t P Fonctions go f g rond f le compos de f et g go f x g f x f A B f envoie sur B z gt f x x a pour image par f l objet f x 1 LE LANGAGE MATH MATIQUE Plan 1 Introduction math matiques et math maticiens p 1 1 1 Un peu d histoire 1 2 De quoi parlent les math maticiens 1 3 Un langage math matique pourquoi faire 1 4 Et quelle est l utilit pratique de tout cela 2 Les notations efis ANR Ne sn Ne p 3 2 1 Lettres 2 2
33. n utiliser ces symboles que de mani re rigoureuse pour pouvoir crire des cha nes de raisonnements de la forme Le langage math matique p 11 A gt B C gt gt Z suivies en g n ral de et A est vraie donc Z est vraie On v rifiera par exemple que si A gt B gt C gt D gt A cela veut dire que A B C et D sont quivalents L usage des lettres A B dans ce qui pr c de est l analogue en logique des variables en alg bre c est le d but de ce qu on appelle le calcul des propositions d Boole vers 1850 Ce calcul permet d obtenir des r sultats plus labor s par exemple la formule A B lt non A ou B on les reverra en relation avec la th orie l mentaire des ensembles au chapitre 7 Un type fr quent d affirmation concernant une propri t est cette propri t est vraie pour tous les objets de lunivers de validit par exemple le carr de tout r el est positifs Les deux symboles V et J qui se lisent quel que soit et il existe appel s quantificateurs servent noter ces affirmations ils ne doivent tre utili s s que sous forme compl te ainsi la phrase pr c dente se note Vx x gt 0 ou plus pr cis ment Yx R x gt 0 et sa n gation fausse videmment serait Ax R x lt 0 c est un bon exercice de logique de s en convaincre La manipula tion rigoureuse de ces symboles est relativement d li
34. n par exemple qui a ses propres exigences et qui cherche seulement obtenir des r sultats exacts sans se soucier de preuves ou plut t en acceptant le recours des arguments pratiques tels la v rification exp rimentale un objectif indispensable m me si une rigueur parfaite est inaccessible et serait de toute fa on probablement inutilisable On verra en 4 quel est le minimum en de duquel on ne fait plus de math matiques mais autre chose 2 Les notations Les r gles dont nous allons parler s appliquent en gros tous les domaines des math matiques mais nous prendrons pour l essentiel partir de maintenant nos exemples en alg bre et en analyse quelques g n ralisations et pr cisions seront donn es aux chapitres 7 et 21 2 1 Lettres Les objets dont s occupe le math maticien doivent tre d sign s et en principe chaque objet a donc un nom par exemple l ensemble des nombres rationnels s appelle Q malheureusement la tradition veut de rares exceptions pr s que ces noms ne comportent qu une seule lettre de fa on permettre en alg bre par exemple d avoir bac abc cela am ne les math maticiens se montrer gros consommateurs de lettres majuscules et minuscules indic es grecques etc et reste fort peu pratique L apparition d un langage informatique utilisant des noms aussi longs qu on veut va peut tre cr er de nouvelles habitudes en attendant la r gle est
35. ndues par exemple les g om tries non euclidiennes ou les paradoxes qui ont oblig des tudes tr s soi gn es de ce qu on appelle les fondements des math matiques l exigence de pouvoir justifier tout ce qu on affirme en math matique est la base de tout ce travail et cette exigence devrait en principe tre partag e par toute personne s y int ressant Le langage math matique p 2 1 3 Un langage math matique pourquoi faire L exigence de rigueur dont on vient de parler a amen les textes math matiques se montrer de plus en plus pr cis et minutieux ce qui son tour a montr les limites du langage ordinaire c est d ailleurs un ph nom ne que l on rencontre dans toutes les disciplines scientifiques ainsi qu en philosophie De plus une syst mati sation des notations utilis es est progressivement apparue n cessaire premi re vue en effet les conventions d criture des math matiques dont les formules alg briques sont les plus connues ne sont qu une st nographie commode un ensemble d abr via tions que l on pourrait la rigueur remplacer par des phrases compl tes en fran ais De fait les math maticiens grecs n utilisaient aucun symbole sp cial pas m me 7 qui n a t introduit par Euler qu au 18 si cle mais la pratique a montr que le d veloppement de l alg bre par exemple la r solution des quations du 3 degr n est devenu possible qu apr
36. nfusion avec une multiplication la difficult bien r elle d abstraction de cette notion f n est pas un nombre mais un processus de calcul est masqu e par l apparente aisance de la manipulation de l criture et c est tout un travail d apprendre faire la diff rence entre la fonction cos et le nombre cos x d pendant de x ce qui n est certes pas facilit par les exceptions d criture oubli des parenth ses noms de trois lettres qui justement sont nombreuses dans cette branche des math matiques 2 4 Abr viations abus d criture Et d ailleurs c est videmment dans un but de simplification qu on s autorise des abr viations et aussi des abus d criture c est dire des oublis de signes en principe obligatoires dans tous les cas o on pense le lecteur commencer par soi m me en se relisant capable de reconstituer sans erreur les l ments manquants Ainsi par exemple c est pour gagner du temps et de la place qu on note cos x sin x 1 ce qu on devrait crire cos x sin x 1 Mais le risque d erreur et de confusion en est videmment augment chacun doit pour son compte apprendre reconna tre les situations qui lui font commettre des erreurs et tenter d tre plus vigilant quand elles surviennent Le langage math matique p 5 3 Lesens 3 1 Univers de validit domaines num riques domaines de d finition Si une lettre n a pas de valeur d j
37. oit tre vrai s appelle une conjecture Il en existe de c l bres parce que malgr tous les efforts de nombreux math maticiens elles r sistent la preuve ou la r futation c est dire la preuve de leur fausset depuis parfois plusieurs si cles ainsi la conjecture de Goldbach affirme que tout entier pair gt 4 est somme de deux nombres premiers et depuis son nonc au dix huiti me si cle on n a pas su la d montrer rigoureusement c tait r cemment encore aussi le cas du grand th or me de Fermat plus modestement devant un nonc tel que montrer que l tudiant est dans une situation de recherche o ce qu on lui demande la conclusion est pour lui une conjecture et peut m me tre faux il existe des erreurs d nonc Il faut r sister la tenta tion de partir de la conjecture pour la prouver c est dire en somme de consid rer comme vrai cela m me qu il s agit de d montrer car alors il est clair qu on ne peut qu obtenir des cons quences tout aussi incertaines et le fait que ces cons quences soient vraies ne prouve rien par contre si elles taient fausses la conjecture le serait aussi et cette importante technique de d monstration sera vue au paragraphe 4 7 m me si cette m thode peut donner des id es de d monstration elle n a aucune valeur de preuve et son emploi s appelle un cercle vicieux l Au point que l une d entre ell
38. para tre ces difficult s mais est ce absolument certain en revanche certains paradoxes modernes ne sont pas encore parfaitement lucid s m me au niveau de leurs fondations les math matiques sont encore inachev es On peut pourtant remarquer qu un raisonnement par l absurde analogue celui de Fermat semble d montrer l axiome de r currence soit n le plus petit entier tel que P n soit fausse on aurait une contradiction concernant n 1 Mais cela suppose que tout ensemble d entiers poss de un plus petit l ment et c est pr cis ment cette propri t qui doit tre admise Le langage math matique p 17 Mode d emploi des exercices R Testez vos r flexes on doit pouvoir donner la r ponse ce type d exercice presque instantan ment et justifier sa r ponse en une ou deux lignes Mais attention ce sont souvent des pi ges classiques x Exercice facile ne demandant que d avoir compris les bases du cours ou calquant un exercice type xx Exercice plus difficile demandant un choix de m thode ou des calculs plus complexes T17 Ceci est un exercice type renvoyant la fiche d exercices types n 17 la difficult en est en g n ral quivalente xx ou parfois un peu plus Penser lire les instructions g n rales concernant les exercices types xxx Exercice astuce ne pas se d courager mais ne pas non plus perdre trop de temps le corrig sera d
39. partant de ce qui est connu hypoth ses r sultats vidents th or mes du cours et en allant par tapes vers la conclusion 3 Justifier chaque tape Calculs d velopp s quand ils ne sont pas vidents Explicitation des th or mes utilis s voir plus bas x Renvoi aux hypoth ses 4 Enoncer clairement la conclusion et ventuellement r noncer l ensemble on a donc d montr que si H alors C gt Certaines tapes demandent parfois le rappel d une d finition ou l utilisation d un th or me d j d montr On ne sait pas toujours bien r diger dans ces cas l Utilisation des d finitions Dans de nombreux nonc s on demande de montrer qu un objet est d un certain type par exemple de prouver qu une fonction donn e est de classe C Il est clair qu un tel nonc ne peut tre compris si on ne connait pas le sens des mots ou des symboles utilis s il est extr mement dangereux d essayer de bluffer et on d couvre par contre bien souvent qu il suffit de conna tre la d finition dans cet exemple cela Ne pas croire toutefois que toutes les questions de ce mod le soient faciles Le langage math matique p 13 veut dire que la fonction est d rivable que sa d riv e est elle m me d rivable et ainsi de suite ind finiment pour pouvoir conclure imm diatement Inversement les hypoth ses d un nonc permettent souvent de tirer des cons
40. pas tant obtenir des r sultats qu en trouver des preuves et la qualit esth tique de celles ci est une partie importante de leur travail on en verra des illustrations l mentaires en g om trie tablir ces preuves avec le plus grand soin et les mettre l abri de toute critique est un autre souci permanent des math maticiens et les exigences extr mes de rigueur auquelles ils ont tent d ob ir seront expos s en 4 cela les a amen s parfois beaucoup d efforts apparemment inutiles et la lecture d un expos de math matiques l mentaires ressemble souvent un redoutable pensum o de nombreuses pages sont consacr es prouver de mani re irr futable des formules telles que a b b a Toutefois les utilisateurs font d habitude confiance aux d monstrations des pro fessionnels et dans ce cours nous ne reviendrons pas en g n ral sur les r sultats tablis dans les classes du secondaire sauf parfois pour montrer le chemin y amenant ou pour obtenir sous une forme plus g n rale un r sultat d j connu De plus certains th or mes et souvent parmi les plus importants ont une d mons tration trop technique ou parfois trop abstraite pour que nous ayons le temps de Ce n ologisme est d Stella Baruk qui a tudi les m canismes de l chec scolaire en math matique et d couvert l importance de donner l l ve l acc s au sens des notions tudi es Le langage
41. que 3 2 est divisible par 7 ce qui est pourtant vrai uniquement en manipulant la formule Si l on dispose d une m thode de construction d un objet partir des pr c dents ou d une formule pour n partir des formules pour les m pr c dents il est toutefois possible de d montrer la propri t cherch e de proche en proche en la v rifiant d abord pour les termes initiaux et en montrant ensuite qu elle est h r ditaire c est dire que la m thode de construction garantit qu elle est vraie d un terme quand elle est d j vraie pour ceux qui le pr c dent Ainsi dans l exemple donn plus haut il faudrait montrer comment on passe de 32 2 327422 9n 1 et pourquoi cela conserve la divisibilit par 7 Pour obtenir une pr sentation syst matique il est commode de consid rer ce qu on veut d montrer comme une propri t de l entier n et de montrer qu on peut alors passer du cas correspondant k celui correspondant k 1 Une telle d mons tration s appelle une d monstration par r currence la formulation rigoureuse ou plus pr cis ment une formulation de base laquelle toutes les autres peuvent se ramener comme on le verra au chapitre 6 et un exemple typique sont donn s dans les deux encadr s suivant Pour d montrer par r currence une propri t P n 1 Annoncer le projet on va d montrer par r currence que 2 V rifier que la propri t est v
42. que les propri t s souhait es sont bien v rifi es De plus la construction d un objet par exemple la d finition de la fonc tion logarithme n p rien comme tant la primitive de x 1 x s annulant en 1 devrait en principe s accompagner d une d monstration d existence et d unicit de fa on s assurer que les math maticiens parlent bien du m me objet Toutefois la construction des objets usuels est hors programme et on ne trouvera donc pas dans ce cours de d finition de R mais il y figure par exemple une d finition des polyn mes 4 3 Les symboles logiques gt lt les quantificateurs partir d une phrase math matique il est possible d en fabriquer d autres l aide de symboles logiques ainsi non A est la phrase qui est vraie si et seulement si A est fausse A ou B est celle qui est vraie si l une des deux phrases au moins l est on dit que le ou math matique est inclusif Les relations logiques entre la v rit de deux phrases sont symbolis s par les fl ches A B qui se lit A implique B veut dire que B est vraie chaque fois que A est vraie mais B peut tre vraie et fausse en d autres termes est vraie seulement si B est vraie 4 B qui se lit A quivaut B veut dire que A et B sont quivalentes c est dire vraies ou fausses en m me temps en d autres termes A est vraie si et seulement si B est vraie Il est important de
43. r sent on peut donc affirmer que gt Il n est pas n cessaire d tre aussi rigoureux quand on veut seulement appliquer un r sultat qu on vient d obtenir ce qui se produit souvent dans des probl mes o l on demande d appliquer certains cas particuliers un th or me ou une m thode g n rale vue auparavant seule l tape 3 s impose alors apr s ventuellement une br ve justification de 2 D composition en cas Il arrive qu il ne soit pas possible de d montrer directement un th or me ou m me une formule de mani re g n rale parce que certaines valeurs des variables am nent des cas particuliers ou des calculs diff rents un exemple bien connu est le traitement d expressions contenant des valeurs absolues Il faut alors se r signer devoir s parer les diff rents cas possibles c est dire dresser une liste compl te de tout ce qui peut se produire et fournir une d monstration valable pour chaque cas Ce travail souvent fastidieux et r p titif peut tre all g par l emploi de formules telles que on voit de m me que si ona en rempla ant par mais il faut faire tr s attention n oublier aucun cas et ne pas utiliser pour certains cas des arguments non valables c est une erreur qu on commet souvent en g om trie o il est facile de ne penser d abord qu au cas le plus vident c est l un des pi ges de la d monstr
44. r la suite qu elle devait tre erron e et malgr l apparente simplicit de cet nonc et les tentatives acharn es de tous ses successeurs il aura fallu 350 ans pour que l anglais Wiles en annonce la d monstration en juin 1993 et le contr le et l acceptation de ses r sultats par la communaut math matique aura d encore attendre jusqu en mai 1995 Le langage math matique p 10 4 2 D finitions et constructions Les objets et les propri t s auxquels les math maticiens s int ressent ne sont pas arbitraires mais plut t le r sultat d une histoire faite de succ s souvent surprenants de l application des m mes m thodes des domaines tr s vari s de ce fait des noms ont t donn s ces objets revenant fr quemment le module d un nombre com plexe ou la d riv e d une fonction sont deux exemples typiques Contrairement aux d monstrations qui doivent emporter l adh sion du lecteur et peuvent en principe tre retrouv es si on les a oubli es les d finitions c est dire les propri t s qui carac t risent le nouveau mot qu on vient de d finir sont arbitraires et doivent donc tre apprises par c ur ou pourra toutefois accepter des formulations quivalentes et provisoirement mais avec beaucoup de prudence des versions plus intuitives par contre une liste d exemples ne saurait en aucun cas remplacer une d finition Ainsi la phrase les couples A B et C
45. raie pour 0 P 0 est vraie car gt 3 Montrer que si P est vraie pour k elle est encore vraie pour k 1 c est en principe la partie d licate du raisonnement et elle se pr sente sous la forme Supposons que P k soit vraie pour un certain k fix ce qu on appelle l hypoth se de r currence alors ce qui prouve P k 1 ou ce qui quivaut P k 1 gt 4 Conclure par r currence P n est donc vraie pour tout n Un exemple Montrons par r currence que 1 3 5 2n 1 n 1 pour tout n entier 1 L galit est videmment vraie pour n 0 puisque 2 x 0 1 1 0 1 2 Supposons qu elle soit vraie pour n k c est dire hypoth se de r currence que 1 3 5 2k 1 k 1 on aura alors 1 3 5 2k 1 2 k 1 1 k 1 2k 3 k 4k 4 k 2 k 1 1 ce qui est bien l galit souhait e pour n k 1 3 Par r currence l galit est donc vraie pour tout n Cette technique et les g n ralisations plus ou moins videntes qu on peut en faire sera tudi e plus pr cis ment au chapitre 6 c est en effet en combinaison avec les Le langage math matique p 16 m thodes combinatoires suites sommations etc que son emploi est le plus sou vent n cessaire On remarquera toutefois que la justification de telles d monstrations est encore un probl me de logique pure ce qui explique qu on les pr sente d s ce chap
46. squ montrer qu elles seraient contradictoires ceci prouvant que le contre exemple ne peut exister Plus g n ralement si on veut d montrer un th or me on peut le supposer faux et d duire cons quences apr s cons quences jusqu obtenir un r sultat absurde quelconque du genre 0 1 on en conclut que le point de d part devant tre erron le th or me tait en fait exact et on dit qu on a d montr le th or me par l absurde Cette m thode a t la source de nombreux r sultats importants d impossibilit sans elle en effet on peut toujours craindre que l inexistence d une m thode de r so lution d quation par exemple vienne de ce qu on n ait pas t encore assez astu cieux pour en d couvrir une mais on a pu aussi l utiliser pour obtenir des r sultats positifs la preuve d existence d une infinit de nombres premiers due Euclide en est un exemple qui soul vent de d licats probl mes logiques C est enfin en tentant de prouver par l absurde le postulat d Euclide et en ne parvenant pas obtenir la contradiction souhait e que les g om tres du 19 si cle Riemann Lobatchewsky Poincar ont d couvert les g om tries non euclidiennes En r sum D monstration par l absurde 1 noncer clairement le projet On se propose de d montrer par l absurde que A pour cela supposons que la n gation de A soit vraie
47. tant l abri il n y a pas de faute morale dans le fait den commettre mais on peut bl mer le manque d exigence amenant ne pas s en pr occuper ou ne pas chercher les rectifier De nombreuses tech niques de v rification ont t imagin es et quelques unes seront expos es l occasion de corrections d exercices et de probl mes s il est en g n ral relativement ais de contr ler un calcul il est plus difficile de d terminer une erreur de raisonnement un des outils importants est la construction de contre exemples on apprendra aussi mettre en doute une d monstration lorsque toutes les hypoth ses de l nonc n ont pas t utilis es D ailleurs il existe des d monstrations de r sultats manifestement absurdes soit cr es des fins p dagogiques pour apprendre chercher l erreur on verra en classe quelques exemples illustrant le danger de ne pas suivre les m thodes de 4 6 et 4 7 ou les r gles de 8 2 soit pour montrer que telle ou telle notion intuitive provoque des difficult s qu on appelle des paradoxes Ainsi les c l bres paradoxes de Z non Achille et la tortue etc qui semblent d montrer que le mouvement est impossible semblaient aux yeux des Grecs irr futables c est dire qu ils ne parvenaient pas d celer les faiblesses des arguments utilis s les outils modernes suites et limites continuit etc semblent avoir fait dis
48. ytique Interlude Matrices orthogonales Transformations et d placements Courbes et surfaces 1 LE LANGAGE MATH MATIQUE Ce chapitre joue un r le un peu part dans le cours il introduit des m thodes et un langage g n ral mais beaucoup des id es abord es para tront obscures artificielles ou inutilement pointilleuses c est h las in vitable quand on d bute et il sera n cessaire de le relire r guli rement en particulier apr s que des d monstrations difficiles par exemple celles des chapitres 6 9 12 etc aient montr la n cessit et l int r t de toutes les pr cautions expos es ici 1 Introduction math matiques et math maticiens 1 1 Un peu d histoire Dans toutes les civilisations nous ayant laiss des traces crites on sait que des activit s de nature math matique ont t pratiqu es depuis les d nombrements des hommes et des richesses que r clamaient les premiers grands empires gypte Chine mais aussi Incas et Mayas jusqu aux calculs astronomiques tr s complexes demand s par des religions fond s sur l observation des plan tes M sopotamie ou des clipses Chine Mais ce n est qu en Gr ce peut tre sous l influence des techniques de dis cussion qu inventaient au m me moment les premiers avocats et les premiers hommes politiques qu est apparu l int r t de justifier les m thodes de calcul et de trac s g o m triques qui taient d j bien ma tris es mais que l
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