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Werkzeuge im Geometrieunterricht

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1. und es kann notwendig sein die Vorteile eines Grundsatzes gegen ber denen eines anderen abzuw gen Die Anwendbarkeit und die jeweilige Wichtig keit h ngen vom speziellen Anwendungsfall von den Benutzergruppen und von der gew hlten Dialogtechnik ab ebd 62 Olaf Knapp Demnach vgl ebd m ssen 1 die Ziele der Organisation 2 die Be nutzerbelange der vorgesehenen Benutzergruppe 3 die Aufgaben die unterst tzt werden sollen und 4 die verf gbaren Techniken und Mittel ber cksichtigt werden so dass es notwendig sein kann Priorit ten fallwei se festzulegen vgl ebd Gem dem Vorgenannten reicht es f r den Einsatz von DRGS im Unter richt nicht aus ein DRGS mit ansprechenden und aussagekr ftigen Buttons in der Werkzeugleiste zu versehen Es muss durch die software ergonomi schen Standards f r Dialogsysteme Shneiderman 2009 auch intuitiv sein Obwohl Cabri 3D die o g Prinzipien und Standards weitgehend erf llt bestehen einige Ph nomene M ngel und Probleme der Darstellung und dem Programmablauf in und mit Cabri 3D Hier w ren bspw zu nennen e Die bei aktivem Werkzeug dargebotene Tellerebene ist zumindest zu Beginn gew hnungsbed rftig und damit nicht zwingend intuitiv e Einen freien Punkt im Raum mittels der Umschalttaste zu erzeugen ist nicht zwingend intuitiv und dauert einige Zeit bis der Nutzer sich daran gew hnt bzw dies er
2. K Anzahl der Au enfl chen Anzahl der Kanten Anzahl der Ecken Betrachtet man Arbeiten aus der p dagogischen Psychologie bzw der Psy chologie zum allgemeinen Thema Lernen mit Animationen in computerba sierten Lernumgebungen und aus der mathematikdidaktischen Forschung zum speziellen Thema Lernen von raumgeometrischen Inhalten bzw Training der Raumvorstellung mit und ohne Computer so zeigt sich auch hier ein uneinheitliches Bild in der Wirksamkeit dieser Lernumgebungen Lowe 2003 weist in einer Studie Probanden Studierende der Wetterkun de nach dass eine multimediale Lernumgebung nicht notwendigerweise einen positiven Einfluss auf das Lernergebnis haben muss Er schreibt dass in vielen F llen Pfeile als Bewegungsrepr sentanten und Bilderserien f r ausreichendes Verst ndnis sorgen w rden Weiter scheint es so dass der potentiell unterst tzende Effekt der Animation verloren geht weil die Indi viduen weniger Kontrolle ber den eigenen Lernweg haben In einer an raumgeometrische Inhalte angelehnten Studie stellen Schwan und Riempp 2004 wiederum fest dass Probanden das Schn ren von nautischen Knoten mit interaktiven Videos die Probanden k nnen selbst unterbrechen und zur ckspulen signifikant schneller lernen als mit nicht interaktiven Videos Andererseits widerlegen bzw relativieren andere Untersuchungen die Wirk samkeit von multimedialen Umgebungen Reiss Albrecht 1994 Souvignier 1999 Reiss H
3. es hierbei zu Irrt mern kommen kann Deswegen forderten einige Autoren in einem zweiten Schritt analytisches Denken und eine sprachliche Formulierung der Gedanken ebd Analog Urhahne Harms 2006 S 365 w re intuitiv die schnelle Ein sch tzung einer antizipierten Situation Man k nnte hier auch von der Er wartungskonformit t als einem Grundsatz der Dialoggestaltung sprechen Dieser Begriff stammt aus der Software Ergonomie als Wissenschaft von der Anpassung der Technik an ihre Benutzer speziell der benutzergerechten Gestaltung der Mensch Computer Interaktion vgl Eberleh et al 1994 S 1 Die Verhaltens und Wahrnehmungsgewohnheiten des Nutzers wer den quasi zur Grundlage genommen die zu entwickelnde Software dem Menschen anzupassen um u a den eingangs erw hnten physischen und psy chischen Ressourcen des Benutzers entgegenzukommen Analog Eberleh et al 1994 k nnte man sagen dass je weniger Zeit es eigens f r das Erlernen der Benutzung einer neuen Software oder einzelner teile aufzuwenden gilt desto geringer ist der Lernaufwand vgl ebd S 87 ff Ist dieser Zeitauf wand gleich oder ann hernd Null so ist die Software intuitiv Das Europ ische Komitee f r Normung hat in der EN ISO 9241 10 weitere allgemeine Grunds tze der Dialoggestaltung festgelegt vgl CEN 1995 Grunds tzlich sind demnach die Aufmerksamkeitsspanne die Grenzen des 55 Voraussetzungen f r die Nutzung von DR
4. Allgemeinen mathe matischen Kompetenzen im Fach Mathematik in K 5 Mit symbolischen formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen ebd S 9 der L 3 Leitidee Raum und Form ebd S 11 oder in L 4 Leit idee Funktionaler Zusammenhang ebd S 12 Teilweise werden diese direkt angesprochen wie z B durch die zu erlernende F higkeit geo metrische Figuren unter Verwendung dynamischer Geometriesoftware zu zeichnen und zu konstruieren ebd S 11 teilweise k nnen sie analog den angestrebten Bildungsziele der ebenen Geometrie Die Sch ler und Sch lerinnen wenden S tze der ebenen Geometrie bei Konstruktionen Berech 68 Olaf Knapp nungen und Beweisen an ebd mit Hilfe eines DRGS f r die Ebene und sinngem f r den Raum verwirklicht werden teilweise sind sie im allge meinen Bildungsauftrag zum sinnvollen und verst ndigen Einsatz mathe matischer Werkzeuge vgl ebd S 9 enthalten Was hier f r den fl chendeckenden Einsatz von DRGS im Unterricht der Sekundarstufe I f r die Zukunft noch fehlt ist eine h here Verbindlichkeit etwa durch eine Implementation des Vorgenannten in allgemein verbindli chen Abschluss oder Zwischenpr fungsaufgaben aller Schularten in allen Bundesl ndern Hierzu w re die Entwicklung eines curricularen Konzeptes f r den Einsatz von DRGS im Schulunterricht unerl sslich welches aller dings in entsprechender Breite und detaillierter Ti
5. Linn M C Peterson A C 1986 A meta analysis of gender differences in spatial ability In Hyde Linn Eds In The psychology of gender Baltimore S 67 101 Lowe R 2003 Animation and learning Selective processing of information in dy namics graphics In Learning and Instruction H 13 S 157 176 Lowe R 2004 Interrogation of a dynamic visualization during learning In Learning and Instruction H 14 S 257 274 Moe A 2009 Are Males Always Better than Females in Mental Rotation Ex ploring a Gender Belief Explanation In Learning and Individual Differences v19 nl S 21 27 Newcombe N Bandura M M Taylor D G 1983 Sex differences in spatial ability and spatial activities In Sex Roles H 9 S 377 386 Peters M Battista C 4 2008 Applications of Mental Rotation Figures of the Shepard and Metzler Type and Description of a Mental Rotation Stimulus Library In Brain and Cognition v66 n3 S 260 264 Schwan S Riempp R 2004 The cognitive benefits of Interactive videos learn ing to tie nautical knots In Learning and Instruction H 14 S 293 305 Shepard R N Metzler J 1971 Mental rotation of three dimensional objects In Science H 171 S 701 703 Souvignier E Hg 2000 F rderung r umlicher F higkeiten Trainingsstudien mit lernbeeintr chtigten Sch lern M nster Waxmann P dagogische Psychologie und Entwicklungspsychologie 22 Souvignier E
6. Walter z B mittels trilinearer Koordinaten Ryan Morgan ein Sch ler der 9 Jahrgangsstufe in den USA Morgan 1994 Quesada 2009 verallgemeinerte 1994 den Satz 4 Walter Satz 4 Morgan Werden die Seiten eines Dreiecks AABC in n gleiche Teile geteilt wobei n eine ungerade Zahl sei und die jeweiligen mittleren Abb 8 P Sechseck P P gt P3P4PsP f r n 5 und f rn 7 beiden dieser n Teilungspunkte mit den gegen berliegenden Eckpunkten verbunden entsteht im Innern des Dreiecks AABC ein P Sechseck P P P P4PsP s Abb 8 Dann gilt f r das Verh ltnis der Fl cheninhal Are _ amp n D n 1 Ap Sechseck 8 Dar ber hinaus gelten die in Satz 1 getroffenen Aussagen Satz 4 ergibt sich als Corollar mit n 3 F r n 5 7 9 11 13 15 erhalten wir f r das Verh ltnis der Fl cheninhalte 28 55 91 136 190 bzw 253 W hlt man im Innern des Dreiecks AABC nicht das kleinste Sechseck son dern das gr te Sechseck findet man ein anderes invariantes Verh ltnis Die Eckpunkte ergeben sich als Schnittpunkte der jeweiligen u eren Eck 111 Dreiecke im Dreieck transversalen F r n 5 ist das Dreieck AABC dann dreimal so gro wie das Sechseck Walser 2010a Im Fall n 3 Satz 4 fallen beide Sechsecke zusammen Neben dem P Sechseck von Walter bzw dem in der Verallgemeinerung von Morgan l sst sich aber nun noch mindestens ein weiteres Sechseck entdecken Satz 5 Die Seiten ein
7. cspannagel wordpress com 2010 06 19 ein wiki fur eine geometrieveranstaltung comments Wenn unser Wiki also zum Leben erweckt werden sollte so mussten die Studierenden zun chst an einzelne kleinere Aufgaben im Zusammenhang mit dem Wiki herangef hrt werden die derart beschaffen waren dass die Studierenden sie bew ltigen und die L sung der Aufgaben f r sich als wertvoll ansehen konnten Erst im Laufe der Zeit konnten die Aufgaben komplexer werden Der Autor m chte diese Idee vom blichen Schreiben des Lehrveranstaltungsskripts durch den Lesenden bis hin zur immer offe 47 Ein Wiki f r die Lehrveranstaltung Einf hrung in die Geometrie neren Gestaltung des Vorlesungsskripts als das Prinzip des immer gr e ren Mutes zur L cke bezeichnen Mut zur L cke Kleine L cke Skript nach der Vorlesung Definition V 2 Inneres eines Winkels Das Innere eines Winkels ZASB Skript nach der Bearbeitung durch eine Studentin Definition V 2 Inneres eines Winkels Das Innere eines Winkels ZASB ist der Schnitt der beiden Halbebenen SA B und SB A Principella 10 47 12 Jun 2010 UTC Mehr L cken Im Rahmen der folgenden Analogiebetrachtungen waren die fettgedruckten Teile durch die Studierenden zu erg nzen Analogiebetrachtung Halbgeraden und Halbebenen Wir konstatieren e Eine Gerade wird durch einen Punkt in zwei Halbgeraden eingeteilt e Eine Ebene wird durch eine Gerade in zwei Halbebenen
8. was als Moti vation f r das Thema Ausklammern dienen kann Abb 21 Die Fl che mit der Gleichung x xy yz a 3 0 f r drei verschiedene Werte des Parameters a 3 5 a 3 9 a 4 0 Variablensubstitution Sehr interessant sind im Zusammenhang mit dem Vereinfachen von Termen die sogenannten kubischen Fl chen sie werden durch Polynome vom Grad 3 definiert Diese sehen n mlich recht geschwungen aus obwohl auf ihnen typischerweise mehrere genauer lt 27 oder viele Geraden liegen Der Artikel Holzer 2006 gibt eine bersicht ber diese Fl chen und liefert auch explizite Gleichungen die man in Surfer eintippen kann Ein Beispiel das leicht nachzurechnen ist ist das folgende 85 Gleichungen in Bildern Beispiel 5 Geraden auf Fl chen Abb 22 Auf der Fl che mit der Gleichung x xy x z y z az xz 0 Nr 32 in der Liste in Holzer 2006 liegen genau drei Geraden Wir betrachten die Gleichung x xy x z y z xz xz 0 die zuge h rige Fl che ist in Abb 22 zu sehen Es ist erkennbar dass hierauf drei Geraden liegen n mlich die mit den Parametrisierungen g t 1 t 1 g t 0 0 4 g t 0 1 0 Um zu berpr fen dass etwa g wirklich in der Fl che liegt kann man dies f r jeden einzelnen Punkt dieser Geraden nachpr fen indem man die Parametrisierung in die Gleichung f einsetzt FE CD FEDF He Dr ed 1 t 1 r 141 0 f r alle wie behauptet Auch f r das E
9. Es ist recht schwierig f r diese anspruchsvolle und aufgrund der zu kon struierenden Figur motivierende Aufgabe einen L sungsansatz zu finden Eine sinnvolle Herangehensweise besteht erneut darin zu untersuchen welche Eigenschaften eine L sung haben muss obwohl diese noch nicht zur Verf gung steht also die Strategie des R ckw rtsarbeitens anzuwenden Um diese Strategie anhand der Aufgabe Dreibogeneck zu nutzen k nnen Sch ler zun chst versuchen eine Zeichnung die der Forderung etwa gerecht wird mit dem Zirkel oder mit einer Geometriesoftware anzufertigen wobei dies mit der Software besser gelingt da sich die drei Kreise ver n dern und ann hernd passgerecht zurechtschieben lassen Abb 11 C Mac Mec Abb 11 Dreibogeneck Erste Versuche Auch mithilfe einer DGS ist es jedoch kaum m glich eine Zeichnung anzu fertigen die der Aufgabenstellung exakt entspricht sodass jeweils zwei der drei Kreise gemeinsame Tangenten besitzen Das stellten die beteiligten Sch ler recht schnell fest Immer wenn sie die Tangentenbedingung in ei nem Punkt erreicht hatten war sie in den anderen Punkten nicht mehr er f llt Bei einer ersten Reflexion unterbreitete ein Sch ler den Vorschlag die Mittelpunkte der Kreise an die Mittelsenkrechten der Strecken AB BC und AC zu binden Damit war ein erster Schritt zur Ann herung an die L sung getan Durch die Einschr nkung der Freiheitsgrade wur
10. Lot Lotgerade Lotfu punkt 1 2 Definition IX 2 Abstand eines Punktes zu einer Geraden 2 Existenz und Eindeutigkeit des Lotes 2 1 Satz IX 1 Existenz und Eindeutigkeit des Lotes 2 2 Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes Der Begriff des Lotes Bearbeiten Definition IX 1 Lot Lotgerade Lotfu punkt Bearbeiten Essei P ein Punkt der nicht zur Geraden g geh ren m ge Die Gerade die senkrecht auf Q steht und durch den Punkt P geht hei t Lotgerade von PP auf 9 Der Schnittpunkt J von mit 9 hei t Lotfu punkt des Lotes von PP auf O Unter demLotvon P auf 9 versteht man die Strecke P7 L wenzahn 16 01 9 Jul 2010 UTC Definition IX 2 Abstand eines Punktes zu einer Geraden Bearbeiten Es sei P ein Punkt au erhalb von 9 Der Abstand von P zu 9 ist die L nge des Lotes PJ von P auf G L wenzahn 16 08 9 Jul 2010 UTC Abb 1 Typische Seite im Wiki Siehe http wiki zum de Zentrale_f r_Unterrichtsmedien im Internet Unser Wiki reiht sich damit in die Wiki Familie auf http wikis zum de index php Hauptseite ein So wie auch die anderen Wikis die ber die ZUM erreichbar sind basiert das Geometrie Wiki auf der MediaWiki Software die in PHP geschrieben ist An dieser Stelle bedanken wir uns insbesondere bei Achim Burgermeister der uns immer wieder in technischen Fragen unterst tzt 39 Ein Wiki f r die Lehrveranstaltung Einf hrung in die Geometrie Jeder a
11. Nachdr Heidelberg Spektrum Akad Verl Mathematik Primar und Sekundarstufe Gl ck J Kaufmann H D nser A Steinb gl K 2005 Geometrie und Raum vorstellung Psychologische Perspektiven In nformationsbl tter der Geometrie IBDG H 24 No 1 S 1 13 183 Die Suche nach der angemessenen Darbietung r umlicher Strukturen Gl ck J Kaufmann H D nser A Steinb gl K 2006 Geometrie und Raum vorstellung Psychologische Perspektive Fakult t f r Psychologie Univ Wien Hellmich F Hartmann J 2002 Aspekte einer F rderung r umlicher Kompeten zen im Geometrieunterricht Ergebnisse einer Trainingsstudie mit Sondersch le rinnen und sch lern In ZDM H 34 S 56 61 Hirnstein M Bayer U Hausmann M 2009 Sex Specific Response Strategies in Mental Rotation In Learning and Individual Differences v19 n2 S 225 228 Jordan K Wuestenberg T Heinze H J Peters M Jaencke L 2002 Women and men exhibit different cortical activation patterns during mental rotation tasks In Neuropsychologia H 40 S 2397 2408 Kruger M Krist H 2009 Imagery and Motor Processes When Are They Con nected The Mental Rotation of Body Parts in Development In Journal of Cogni tion and Development H v10 n4 S 239 26 Linn M C Peterson A C 1985 Emergence and characterization of sex differ ences in spatial ability In Child Developement H 56 6 S 1479 1498
12. Raumgeometriesoftware und ihre Schnittstellen zum Menschen Markt kommen und daher noch sehr teuer sind unterscheiden sich 3D LCD Monitore f r den PC preislich nicht von herk mmlichen 2D Ger ten Schulrelevante Software wurde zum Teil bereits an die neuen Darstel lungsm glichkeiten angepasst So ist z B im 3D Softwarepaket CyberC lassroom der Firma Vinsenso auch ein Mathematik Modul enthalten Grundlage der Darstellung ist dabei die Shuttertechnik in Verbindung mit einem 3D Fernseher Problematisch an dem Programm das noch in den Kinderschuhen steckt ist allerdings die Bedienung und Men f hrung die sich noch zu stark an der blichen 2D Darstellung orientiert Auch die Ge ometrie Software Archimedes Geo3D ist f r die Unterst tzung der Shut tertechnik vorbereitet WEG III Gestensteuerung Grafiktabletts und Tablet PCs bieten seit einiger Zeit die M glichkeit einen Computer alternativ zur Maus mit einem Stift bedienen zu k nnen Da diese Bedienung an den allt glichen Umgang mit Schreibger ten angelehnt ist lassen sich ebendiese Alltagsarbeiten wie etwa das schnelle Erstellen von Skizzen und Mindmaps leicht auf den Computer bertragen Zus tzlich zur Handschrifterkennung kann der Benutzer aber auch spezielle Steuerzeichen mit dem Stift auf den Bildschirm oder das Grafiktablett ma len die zur Bedienung verschiedenster Software dienen k nnen Man spricht hierbei von Gesten Abbildung 4 D
13. Von Studierenden generierte Flashapplikation die im Geowiki verwendet wird Zusatzseminar Classroompresenter Das Programm Classroompresenter wurde an der Universit t Washington entwickelt und steht unter http classroompresenter cs washington edu zur freien Verf gung Die grundlegenden Ideen des Programms bestehen darin dass eine hinreichende Anzahl von Teilnehmern einen Tablet PC im Rah men einer Lehrveranstaltung nutzen kann Die Computer sind miteinander vernetzt wodurch es m glich ist in einfacher Art und Weise den Studie renden gewisse Aufgabenstellungen in digitaler Form zukommen zu lassen Die Aufgabenl sungen werden auf den Tablet PC s mit Hilfe eines Einga bestiftes dokumentiert und an den PC des Leiters der Lehrveranstaltung geschickt Dieser ver ffentlicht die zugesandten Ergebnisse mittels eines Beamers Eine Diskussion der ver ffentlichten Ergebnisse schlie t sich an F r das Geometrie Wiki brachte ein zus tzliches Seminar in dem das Pro gramm Classroompresenter genutzt wurde eine F lle von authentischem Material welches in die Aufgabengestaltung des Wiki Einzug hielt siehe Abb 9 U a wurde der auch Multiple Choice Test zum Basiswinkelsatz siehe Abb 5 auf der Grundlage der L sung eines Studierenden aus diesem Classroompresenter Seminar generiert 44 Michael Gieding Def Allgemeines Viereck Ea Vierer nk dau Vartinuqungd das Vera re veu UA kdinearen Yuulkeu Dei_Trapez i En Traper rt
14. an 28 Auf dem Zahlenstrahl sind die Br che 4 4 4 44 44 4 44 4 4 7 7 1 1 PRAS BR ER ARARA a 5 und 3 eingetragen Wo befindet sich T abede 2000 7 8 alle 7 8 Preistr ger 7 8 A ina 95 137 425 584 B inb 81 95 65 75 C ine 61 0 56 1 32 1 199 D ind 47 49 24 19 E ine 24 26 19 14 Abb 1 K nguru Aufgabe 2009 7 8 Zwar k nnen korrekte Resultate in der Bruchrechnung mit Hilfe von Regeln ohne inhaltliche Bruchvorstellung erzielt werden allerdings f llt es uns schwer in diesem Fall von Verstehen zu sprechen vgl Wagenschein 1968 100 107 Doch was ist mit Verstehen gemeint Was meint beispielsweise Heinrich Winter wenn er im Zusammenhang mit Zahlenbereichserweite rungen von verst ndlich und verst ndig spricht Die mathematische Allgemeinbildung ist nicht durch das definiert was ohne Formeln geht sondern ist nur etwas wert wenn sie den verst ndigen Gebrauch von Formeln nachdr cklich anstrebt Eine Formel ist nicht nur ein allgemeines Rechenschema sondern auch Ausdruck von Gesetzhaftem Den Se gen von Formeln kann man allerdings nur erfahren wenn man kreativ mit ih nen umgehen kann Besonders eindrucksvoll wird das erlebt wenn durch For meln neue geometrische Figuren geschaffen werden Winter 1995 S 4 In dem Zitat wird nicht nur die vermittelnde Rolle der Geometrie zwischen Arithmetik und Algebra angedeutet Bezugnahme auf geometrische Frage stellungen bzw Ansch
15. berliegenden Eckpunkten so entstehen im Innern des Dreiecks AABC zwei Dreiecke AO O0 0 und AO 040 die sich wiederum in den Punkten P P2 P3 P4 Ps Pe schneiden siehe Abb 12 Es entsteht ein O Sechsstern O P 05P gt O3P304P4O5P5O P dieser Q Sechsstern ist ein nichtkonvexes unregelm iges Zw lfeck Abb 12 O Sechsstern Q P Q2P20 P3Q4P405P5Q6P6 70 Dann gilt f r das Verh ltnis der Fl cheninhalte Ae O Sechsstern Dagegen ist das Verh ltnis der beiden Umf nge nicht konstant Auch hier lie e sich neben der Drittelung der Dreiecksseiten der allgemeine Fall un 117 Dreiecke im Dreieck tersuchen jede der Dreiecksseiten wird in n gleiche Teile geteilt wobei n eine ungerade Zahl ist Im Fall dass das Dreieck AABC gleichseitig ist ist der O Sechsstern zwar nicht gleichseitig aber zu jeder Seite gibt es eine gleichlange Nachbarseite Fazit Dreiecksgeometrie mit oder ohne DGS ist ein weites Feld DGS er leichtert Sch lern selbstst ndig auf Entdeckungsreise zu gehen Dank Zugmodus lassen sich relativ schnell Vermutungen aufstellen widerlegen oder erh rten Zur Entdeckung von Satz 4 durch den Sch ler Ryan Morgan schreiben Watanabe Hanson Nowosielski 1996 The conjecture that Ryan discovered involved area measurements The soft ware that Ryan used made it possible for him to obtain the area measurements quickly and accurately Furthermore the capability of altering the con
16. bertragung auch einzelner Textabschnitte Bilder oder Zeichnungen vorbehalten Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Zustimmung des Verlages in irgendeiner Form reproduziert werden Ausnahmen gem 53 54 URG Das gilt sowohl f r die Vervielf lti gung durch Fotokopie oder irgendein anderes Verfahren als auch f r die bertragung auf Filme B nder Platten Transparente Disketten und andere Medien 2011 by Verlag Franzbecker Hildesheim Berlin Inhaltsverzeichnis Editorial 2 2 22 ar Ein AE NEE 1 Hans Georg Weigand Neue Werkzeuge neues Denken Werkzeuge im Geometrieunterricht Ziele und Visionen 2020 3 Andreas Filler Problemorientierte geometrische Aufgaben mit oder ohne Computer 19 Michael Gieding Ein Wiki f r die Lehrveranstaltung Einf hrung in die Geometrie 35 Olaf Knapp Voraussetzungen f r die Nutzung von DRGS im Unterricht 53 Oliver Labs Gleichungen in Bildern u2 444eneenseeneenensnsennnennnenneennennsennsennen nennen 73 Ingmar Lehmann Dreiecke im Dreieck Vermutungen und Entdeckungen DGS als Wundert te 101 Swetlana Nordheimer Geometrische Veranschaulichung und Bruchrechnung n cnceneee 121 Markus Ruppert Jan W rler Die Zukunft der Raumgeometrie liegt in Menschenhand Raumgeo metriesoftware und ihre Schnittstellen zum Menschen cnn 149 J rgen Steinwandel Matthias Ludwig Di
17. bildf llend ist Abb 9 Fl chenseite 1 Fl chenseite 2 Farben Galerie Info Film erstellen ald lol l2 3 4156 78 9 L schen BOE gt 1 O xX Abb 9 Die Ebene mit Gleichung Z a Q visualisiert in Surfer Diese Wahl des Ausschnitts hat einige Implikationen Schon am Beispiel der Ebene sieht man dass sie etwas ungewohnt dargestellt wird n mlich als Kreisfl che weil sie ja der Schnitt einer Ebene mit einer Kugel ist Zoomt man nur weit genug hinein so sieht man die Ebene gar nicht mehr falls sie nicht durch den Ursprung geht R oA DS Abb 10 Die Fl che mit Gleichung XZ x 0 links stark hereingezoomt in der Mitte weniger rechts noch weniger In den beiden rechten Bildern ist zus tzlich die Kugel transparent eingezeichnet mit der das linke Bild abgeschnitten wurde 79 Gleichungen in Bildern Obwohl uns dieses Problem von der blichen Darstellung im Koordinaten system gel ufig ist da wir ja auch dort nur einen Ausschnitt des Raumes darstellen muss man sich klar machen dass man evtl gerade wesentliche Teile eines Objektes nicht sieht insbesondere auch weil in der aktuellen Version von Surfer die Koordinatenachsen nicht gezeigt werden Beispiels weise erkennt man auf dem linken Bild in Abb 10 nicht die globale Struk tur der Fl che nach Herauszoomen aber schon siehe die anderen Bilder Alternativ zum Herauszoomen per Schieberegler kann man in solchen F l len
18. des Sanskrit Grammatikers Pingala zwi schen 5 und 2 Jh v Chr Ausf hrlich behandelten sp ter Virah nka 6 Jh und Ac rya Hemacandra 1089 1172 die Fibonacci Folge 2 Ac rya Hemacandra beruft sich dabei auf den indischen Mathematiker Gopala der diese Folge im Jahre 1135 untersucht hat ber arabische Quellen hat Fibo nacci wahrscheinlich Arbeiten der Sanskrit Grammatiker kennen gelernt Auch in der westlichen Welt waren die Fibonacci Zahlen schon fr her er w hnt worden dann aber offenbar wieder in Vergessenheit geraten Niko machos von Gerasa 100 n Chr soll diese Folge neben anderen Zahlenfol gen aufgelistet haben Dass wir es in unserem Kontext mit Fibonacci Zahlen zu tun haben kann mit Raster Werkzeugen eingesehen werden indem wir die Seitenl ngen der Quadrate durch Rasterung sichtbar machen Das Quadratraster dient zu n chst als Mess oder Z hlwerkzeug gem Abbildung 2 187 Der Baustein ist das Werkzeug EL DT e gt 4 Abb 2 Fibonacci Quadrate Das ist jetzt allerdings noch kein Beweis daf r dass die Seitenl ngen der Quadrate sich wie die Fibonacci Zahlen verhalten die Rasterungen k nnten ja unterschiedlich gro sein Wenn wir aber auch die Trapeze geeignet ras tern sehen wir dass die Rasterungen der Quadrate konsistent sind Abb 3 Nun dienen die Raster als Beweismittel Fibonacci Trapeze Die Trapeze haben also als Seitenl ngen drei aufeinander folgende Fibo
19. erzeugen Das Entwicklerteam um Cinderella forscht derzeit an solchen intuitiven Gesten Erste Testger te an denen DGS mit zwei H nden also bis zu zehn Fingern auf einem Multitouchtisch bedient werden k nnen sind in den letzten Monaten von diesem Team gebaut worden Abbildung 5 DGS Cinderella am Multitouchtisch 163 Raumgeometriesoftware und ihre Schnittstellen zum Menschen F r die Zukunft ist vorstellbar dass Gesten die man mit beiden H nden in die Luft schreibt von Kamerasystemen abgefragt werden und dann als Controller in einer Software auch DRGS dienen s u WEG IV Facetrackig Headtracking Wir Menschen erschlie en uns den uns umgebenden Raum auch dadurch dass wir ihn abschreiten uns darin bewegen Oft gen gt es schon den Kopf leicht zu neigen sich etwas nach vorn zu beugen oder in die Hocke zu ge hen um die Ausdehnung oder Anordnung von Objekten zu erfassen Kleine Ver nderungen der Blickrichtung und des Blickwinkels reichen meist aus um relevante Informationen ber unser dreidimensionales Umfeld zu sam meln Entgegen dieser Alltagserfahrung ist die Darstellung dreidimensiona ler Objekte am Bildschirm von der Blickrichtung des Betrachters unabh n gig Es w re im Hinblick auf die bessere Bedienbarkeit solcher Programme w nschenswert wenn sich das Bild wie gewohnt an die Blickrichtung und den Blickwinkel des Betrachters anpassen w rde Technisch m sste hierf r die Posi
20. henlinien zeigt Abb 5 in einer Ebene wie auf einer Landkarte sie sind gegeben durch Einsetzen der Werte z 6 3 0 3 6 in die Gleichung des idealisierten Berges 76 Oliver Labs Abb 5 Die H henlinien des obigen Berges in einer Ebene Allgemeiner ist eine reelle algebraische Fl che im Raum die Menge aller Punkte x y z e R die eine polynomielle Gleichung g x y z 0 mit reellen Koeffizienten erf llen Auch hier reden wir wie bei Kurven der Einfachheit halber kurz von Fl chen Die Beispiele in Abb 6 bis Abb 8 zeigen einige Fl chen deren Geometrie sich teilweise bereits stark von dem einleitenden Beispiel des Berges unter scheidet In der Gleichung g aus Abb 6 kommt die dritte Variable z gar nicht vor und ist sogar identisch mit der Kurvengleichung f von oben so dass das Bild der Fl che im Raum nat rlich f r jedes feste z gerade aus einer Kopie des Newtonschen Knotens besteht den wir weiter oben gesehen hatten der Berg ist daher quasi unendlich hoch im Bild freilich abge schnitten Man nennt eine solche Fl che dann Zylinder ber der Kurve d Abb 6 Die Fl che mit Abb 7 Die Fl che mit Abb 8 Die Fl che mit g x y 0 h x y x z 0 iix y X z 0 Die Fl che h ist auch noch recht einfach durchschaubar denn f r jeden Punkt x y eR der Ebene kann man z eindeutig berechnen das Bild ist y genauer gesagt der Graph der Funktion x y gt x y x Die Abbil dung
21. in unserem Fall Strecken der L nge 4 m Insbesondere f r ein inhaltliches Denken und f r eine intuitive Begr ndung von mathematischen Zu sammenh ngen sind solche Vorstellungen unerl sslich Griesel 1981 S 9 in Gerhard 2009 Viele Lehrer und Didaktiker berichten von Schwierigkeiten der Sch ler die sich im Unterricht der Bruchrechnung zeigen So schreibt beispielsweise Padberg dass nur 30 aller Sch ler in erweiterten Kursen anschauliche Bruchvorstellungen gem des Bruchs als Teil eines Ganzen und des Bruchs als Teil mehrerer Ganzer besitzen Anschaulich sehr leicht l sbare Aufgaben werden von Sch lern h ufig rein formal und ausgehend von den bekannten Regeln gel st vgl Padberg 2002 S 181 Die R ckmeldung von Klaus P Wolff vom Studienseminar f r das Lehramt an Grund und Hauptschulen Rohrbach Pfalz zum vorliegenden Beitrag gibt Grund zur Annahme dass die Problematik an diesen Schularten noch sch rfer auftritt Auch die Statistik des K nguru Wettbewerbs Abb 1 an dem Sch ler 6 Mit Sch ler und Lehrer wird die Autorin sowohl Sch lerinnen als auch Sch ler bzw Lehrerinnen und Lehrer bezeichnen es sei denn es sind in konkreten F llen ausschlie lich Sch lerinnen bzw Lehrerinnen gemeint Geometrische Veranschaulichung und Bruchrechnung verschiedener Schularten freiwillig teilnehmen st tzt die Bef rchtungen der Kollegen nur ein kleiner Anteil der Sch ler gab die richtige L sung A
22. rauslindlen we der eine Stein in anderen Ni ZEIN MEE EN SE M ESA BEN I as Abb 15 Larissas L sung Das Gemeinsame an den schon kommentierten L sungen ist dass die Sch ler das Ganze des Bruchs nicht veranschaulichen Die Ursache daf r k nnte in einer reduzierten Bruchvorstellung die das Ganze nicht mit einbezieht liegen Eine andere Ursache k nnte darin liegen dass die Sch ler sich das 138 Swetlana Nordheimer ganze Spiel als Ganzes zwar vorstellen jedoch nicht in ihrer Zeichnung darstellen Anders sicht es z B bei Robert und Konstatin aus Abb 16 und 17 Sie beziehen in ihre Darstellung auch das Quadrat als Ganzes ein Ft TE EI 16 Abb 16 Roberts L sung Konstantin schreibt zus tzlich einen Text in dem er allgemein auf das Vor gehen bei gleichnamigen und ungleichnamigen Br chen eingeht Daf r weicht er von dem vorgegebenen Tangram Muster ab siehe Abb 17 une 3 Bi Adlon und Sutdehkon der fateh k rzen umd uwen Bu are Ra gan Br cken mom mam mr zustimmen vithe umd mwenn z B 4 2 da kahl um mimm Al idda erde em 18 E73 Abb 17 Konstantins L sung mit zugeh rigen berlegungen 139 Geometrische Veranschaulichung und Bruchrechnung Bemerkenswert sind die weiteren berlegungen von Linus Abb 18 a Denn auch er w hlt ein eher zum Tangram unpassendes Beispiel und wird vorsich
23. sung die mehr oder weniger ausf hrlich in den Test eingebaut werden k nnen 41 Ein Wiki f r die Lehrveranstaltung Einf hrung in die Geometrie f1 FE Oie Voraussetzung ist korrekt notiert ja richtig U die Behauptung ist korrekt notiert auch das stimmt Beweise den Basiswinkelsatz C Der nulte Beweisschr t und seine Begr ndung ist korrekt Sue C Die Begr ndung dieses Schrittes ist nicht ganz richtig Nur weil wir eine Definition des M telpunktes haben hei t dies ja noch lange nicht dass dieser auch existiert T Richtige Begr ndung Satz ber die Existenz und Eindeutigkeit des Mi telpunktes einer Strecke U Oer erste Beweisschrit und seine Begr ndung ist korekt A a Ee Ja prima Oer zweite Beweisschritt und seine Begr ndung ist korrekt auch das stimmt E Ow eine Beweisschn und soine Bogrondung iat korrekt faae o lja das ist OKI 6 EEEO T in der Begr ndung fehlt noch der Hinweis auf den Kongruenzsatz sss auf den man sich hier bezieht U Oer nte Beweisschrit und seine Begr ndung ist korrekt das stimmt und damit ist die Behauptung gezeigt Abb 5 In das Wiki eingebetteter Multiple Choice Test im Kontrollmodus In welchen F llen ist der Begriff der Strecke mathematisch korrekt definiert worden D Eine Strecke ist die Menge aller Punkte die zwischen zwei verschiedenen Punkten den sogenannten Endpunkte der Strecke liegen D
24. sung der anstehenden Auf gabe keine zentrale Bedeutung haben Werkzeuge im Geometrieunterricht Ziele und Visionen 2020 e einen Zugang zum algorithmischen Denken e problemad quate bungsphasen Im Mittelpunkt der damaligen Diskussion stand aber die Frage wie die globalen Lernziele f r den Mathematikunterricht besser erreicht werden k nnen Kilian 1978 und es wurden bereits damals Forderungen nach einer tiefgreifenden Ver nderung der Zielsetzungen des Mathematikunter richt Winkelmann 1978 laut Sicherlich kann heute festgestellt werden dass diese Hoffnungen Forderungen und Zielsetzungen zu weitreichend waren und wohl nur zum kleinen Teil erreicht wurden F r die Ursachen lassen sich unterschiedliche Gr nde anf hren vgl Weigand 2003 Werkzeug Taschencomputer Bei dem Werkzeug Taschencomputer sind mittlerweile euphorische Erwar tungen durch pragmatische Haltungen verdr ngt worden So wird in den Empfehlung der Kultusministerkonferenz KMK von 2009 f r die MINT F cher ohne weitergehende Begr ndung gefordert Computerprogramme z B Tabellenkalkulation Dynamische Geometrie Computer Algebra sowie Taschenrechner z B mit Graphikfunktion oder CAS in allen MINT F chern verbindlich nutzen S 5 GDM und MNU sahen sich deshalb dadurch herausgefordert in einer eige nen Stellungnahme 2010 nochmals auf die Vorteile des Rechnereinsatz hinzuweisen Wir sehen es insbesond
25. warum diese Fl che aussieht wie gezeigt kann man beispielsweise zun chst verschiedene feste Werte f r z einsetzen und die 89 Gleichungen in Bildern dann entstehende ebene Kurve in den Variablen x y studieren wie im ein leitenden Beispiel des Berges mit zwei Gipfeln Geometrisch entspricht dies dem Schnitt einer Ebene mit Gleichung z a Einsetzen liefert 24 y a a Die Untersuchung f r welche a sich dabei ein Kreis ein Punkt bzw die leere Menge ergibt ist nun durch eine Faktorisierung a a a 1 a und das Studium des Vorzeichens dieses Ausdrucks durch eine Fallunterscheidung l sbar Produkte von Termen Faktorisieren Ein Grund Faktorisieren von Polynomen in einer Variablen zu betrachten ist dass dadurch die Nullstellen einer gegebenen Funktion aus der faktori sierten Form leichter ablesbar sind etwa im quadratischen Polynom x 3x 2 x 1 x 2 Manchmal wird diese daher auch als starke Form bezeichnet Bei Verf gbarkeit graphischer Taschenrechner kann man dies bereits visualisieren auch wenn Quadratwurzeln noch nicht behandelt wurden Mit Hilfe algebraischer Kurven und Fl chen ist eine Geometrisie rung ganz analog auch zum Faktorisieren mit mehreren Variablen m glich Beispiel 9 Faktorisieren und Kurven Vereinfache den Term f x y 5xy x y 2yx 2xyx und faktorisiere ihn soweit wie m glich bis hierhin ist dies eine bliche Aufgabe zeichne dann in ein Koordinatensystem die Punk
26. warum wir zu dieser drastischen Ma nahme greifen mussten 45 Ein Wiki f r die Lehrveranstaltung Einf hrung in die Geometrie There s No Way But The Hard Way Wir wollten dass die Studierenden das Wiki annehmen und wirklich zu ihrer Arbeitsplattform bez glich der Einf hrung in die Geometrie ma chen Aus diesem Grunde mussten wir radikal alle Lehrinhalte von der bungsaufgabe bis zum Skript im Wiki Format anbieten Viele Studierende reagierten mit heftigen Protesten Insbesondere waren es zwei Gr nde die sie hinsichtlich der Ablehnung des Geometrie Wikis spezifizierten e Dokumente im Wiki Format lassen sich nicht mehr so komfortabel ausdrucken wie es mit Dokumenten im PDF Format m glich ist e Entsprechend des Wiki Gedankens konnte ja jeder mehr oder we niger beliebig das Skript als auch die bungsaufgaben ndern Es grassierte die Angst sich den Lehrstoff fehlerhaft anzueignen Diese beiden Gr nde verdeutlichen wie viele Studierende das Lernen all gemein und leider auch das von Mathematik verstehen Skript und bungs aufgabenl sungen werden in gedruckter Form gesammelt Das gibt schon mal ein gewisses sicheres Gef hl Wenn der zwangsl ufig n her r ckende Termin der Klausur hinreichend Druck erzeugt versucht man sich m g lichst viele Fakten mechanisch anzueignen In diesem Zusammenhang spre chen Studierende selbst von einer Lehr Lernbulimie Zum Thema Un mut der Studierenden schr
27. 1993 Zum Verst ndnis des Kurvenbegriffs Hildesheim Franz becker Weth T 1999 Kreativit t im Mathematikunterricht Hildesheim Franz becker Wieleitner H 1908 Spezielle ebene Kurven Berlin Sammlung G schen Wieleitner H 1914 Algebraische Kurven I Berlin Sammlung G schen Wolff G 1966 Handbuch der Schulmathematik Band 4 Hannover Schroedel 100 Dreiecke im Dreieck Vermutungen und Entdeckungen DGS als Wundert te Ingmar Lehmann Zusammenfassung Dynamische Geometriesoftware DGS l sst sich mit Vorteil als Werkzeug in der Schule einsetzen da sich so Vermutungen leichter aufstellen und erh rten lassen Eine falsche Vermutung wird durch den Zugmodus widerlegt Eine richtige Vermutung wird durch den Zugmodus zwar erh rtet die Einsicht in die Beweisnotwendigkeit wird dagegen eher erschwert Ich hatte den Satz von Morley behandelt und mich im Nachhinein gefragt welche Figur entsteht wenn anstelle der Winkel jede Seite eines beliebigen Dreiecks gedrittelt wird Es dr ngten sich gleich mehrere Vermutungen und einige Verallgemeinerungen ber Schnittfiguren im Dreieck auf Dynamisches Messen und Rechnen erwiesen sich dabei im Zusam menspiel mit der Bruchrechnung als wichtige Werkzeuge Die folgenden S tze habe ich mit Ausnahme der S tze von Routh und Morgan selbst entdeckt Auch wenn ich sp ter feststellen musste dass einige davon l ngst publiziert worden sind bleibt die sch ne Erfahr
28. Begr n dungshilfen f r Aussagen ber r umliche Objekte heranzuziehen Er er kennt aber auch Es scheint auch nicht absehbar zu sein ob der Einsatz von Computern und geeigneter Software zu einer wesentlichen nderung beitragen k nnte Die Ideen Beckers erscheinen jedoch vor dem Hintergrund der M glichkei ten die sich durch dynamische Raumgeometriesoftware ergeben in einem anderen Licht Schumann 2007 kommt mit seinem Konzept des interak tiven Analogisierens auf die Ideen Beckers zur ck und zeigt anhand der dynamischen Raumgeometriesoftware Cabri3D dass die virtuelle Darstel lung von K rpern und das virtuelle Operieren mit K rpern potenziell dazu geeignet sind eine neue Sicht auf die m glichen Inhalte der Raumgeometrie zu er ffnen Dabei wird der Fusionsgedanke zugunsten einer neuen Aufga benkultur wiederbelebt und es werden die Darstellungsm glichkeiten der virtuellen Welt genutzt um neue Wege zur Schulung der Raumvorstellung vorzuschlagen Schumann zeigt auf wie man unter Zuhilfenahme der Soft ware zun chst auf der Objektebene und der Relationsebene Analogiebil dungen zwischen ebener Geometrie und Raumgeometrie unterst tzen kann um anschlie end Konstruktionsmethoden auf r umliche Situationen zu bertragen Denkt man diese Ideen weiter lassen sich auch Strategien f r das Finden von Hypothesen oder Beweisstrategien analogisieren man den ke z B an den Umkreis eines Dreiecks in der ebenen Geometrie
29. Brillen zum Eintauchen in virtuelle bewegte Welten auftreten kann s u Eine schulpolitische Prognose Bevor auf der Grundlage dieser Kriterien eine Prognose zur Entwicklung der Mensch Computer Schnittstelle im Bereich der 3D Technologien ge wagt werden kann ist es notwendig eine Vorhersage ber die Bedingungen zu treffen in deren Rahmen sich die technischen Entwicklungen vollziehen werden Hierzu ist es hilfreich die Entwicklung des normalen Schulunter richts in den letzten Jahren Jahrzehnten oder gar Jahrhunderten zu betrach ten Dabei f llt auf dass das System Schulunterricht schon sehr lange recht hnlich ist eine Gruppe von Lernenden befindet sich zusammen mit einem Lehrer in einem Raum Die Lernenden haben einen mehr oder weniger festen Arbeitsplatz und arbeiten dort allein oder in der Gruppe Die Lehrperson organisiert und moderiert das Unterrichtsgeschehen Nat rlich ist diese Perspektive sehr pauschal dennoch kann man daraus eine Erwar tung f r die Zukunft formulieren in den kommenden zehn Jahren wird sich an dieser Situation nichts Grundlegendes ndern Auch 2020 wird sich im normalen Unterricht eine Gruppe von etwa 20 bis 35 Sch lerinnen und Sch lern zusammen mit einer Lehrkraft in einem Raum befinden Es wird Tische und St hle geben ggf Strom und Internet an jedem Platz Revoluti on re Neuerungen sind aus unserer Sicht hier aber nicht zu erwarten Erfahrungsgem dringen technologische Neu
30. Dritteln Dritteln htm pdf Watanabe T Hanson R Nowosielski F D 1996 Morgan s Theorem In Ma thematics Teacher 89 5 S 420 423 Weisstein Eric W 2010 Marion s Theorem From MathWorld A Wolfram Web Resource http mathworld wolfram com MarionsTheorem html Bei den Kollegen Hans J rgen Elschenbroich D sseldorf Neuss und Hans Walser Basel Frauenfeld bedanke ich mich herzlich f r n tzliche Hinwei se und Kommentare 120 Geometrische Veranschaulichung und Bruchrechnung Swetlana Nordheimer Zusammenfassung hnlich wie in dem Beitrag von Hans Walser in diesem Band geht es in dem vorliegenden Beitrag nicht um den Computer als Werkzeug sondern um geometrische Veranschaulichungen Dies soll beispielhaft f r K rzen Erweitern Addieren und Subtrahieren von Br chen anhand von Aufgaben Sch lerl sungen und Lehrerr ckmeldungen gezeigt werden Abgeschlossen wird der Beitrag mit einigen weiterf hrenden kleinen Ideen zur Verkn pfung von Kenntnissen von Sch lern aus dem Geometrieunterricht mit der Bruchrechnung Geometrische Veranschaulichung und Verstehen von Br chen Werden Br che in der Schule eingef hrt so finden sie ihre Entsprechungen im Anschauungsraum der Sch ler h ufig nicht nur in Torten und Pizza St cken Sie werden auch durch geometrische Objekte gegebener Gr en repr sentiert Eine Gr e wie z B m l sst sich als solche nicht vorstellen wohl aber ihr Repr sentant
31. E Oberquelle H Oppermann R Hrsg 1994 Einf hrung in die Soft ware Ergonomie Grundwissen 1 2 2 Auflage Berlin De Gruyter Edelmann W 2000 Lernpsychologie 6 Auflage Weinheim Beltz Goebel A 2005 2010 Archimedes Geo3D http www raumgeometrie de 30 01 2011 Issing L J Klimsa P Hrsg 2002 Information und Lernen mit Multimedia und Internet 3 Auflage Weinheim Beltz Kerres M 2001 Multimediale und telemediale Lernumgebungen Konzeption und Entwicklung 2 Auflage M nchen Oldenbourg KMK 2003 Bildungsstandards im Fach Mathematik f r den Mittleren Schulab schluss http www kmk org fileadmin veroeffentlichungen_beschluesse 2003 2003_12_04 Bildungsstandards Mathe Mittleren SA pdf 30 01 2011 Knapp O 2010 Entwicklung und Evaluation interaktiver Instruktionsvideos f r das geometrische Konstruieren im virtuellen Raum Dissertation P dagogische Hochschule Weingarten Hochschulschriften zur Mathematik Didaktik Band 1 M nster WTM Knapp O 2011 Tutorial zum Lernen von Raumgeometrie Rosenheim co Tec Krapp A Weidenmann B Hrsg 2006 P dagogische Psychologie 5 Auflage Weinheim Basel Beltz Madipedia 2011 http madipedia de images 4 40 Stellungnahme GDM MNU 2010 pdf 30 01 2011 Mayer R E 2001 Multimedia Learning Cambridge Cambridge University Press Ministerium f r Kultus Jugend und Sport Baden W rttemberg 2004 Bildungsplan 2004
32. Einf hrung in die Geometrie allem der Prozess der Erkenntnisgewinnung der den Wert des Wikis aus macht W hrend sich etwa in der Wikipedia Experten zusammenfinden die das Ziel haben einen Sachverhalt m glichst pr gnant und exakt darzustellen sind es im Rahmen einer Lehrveranstaltung auch User die sich ansonsten nicht freiwillig an die Darstellung des entsprechenden Kontextes gewagt h tten K rzer viele User wollen lediglich durch die Pr fung kommen Insbesondere f r diese User ist es ein Problem wenn das Wiki ausufert Gerade die M glichkeit st ndig eine neue Baustelle aufzumachen birgt die Gefahr die bersicht im Wiki zu verlieren Ans tze zur L sung der Probleme der Nutzung eines Wikis im Rahmen einer Lehrveranstaltung Wie angedeutet besteht das Problem insbesondere in der Un bersichtlich keit die sich schnell bei der Arbeit mit einem Wiki ergibt H ufig kamen die Dozenten bei der Klarstellung gewisser Probleme zu sp t weil sie die entsprechende Baustelle erst zu sp t entdeckten Letztlich handelt es sich auch um ein zeitliches Problem Nat rlich ist eine m glichst vielf ltige Diskussion gew nscht Je mehr sie stattfindet desto weniger wird es dem Dozenten m glich sein selbst in die Diskussionen einzugreifen Hilfe bietet die Arbeit mit Tutoren die die Arbeit am Wiki begleiten 52 Voraussetzungen f r die Nutzung von DRGS im Unterricht Olaf Knapp Zusammenfassung Wenn Dynamische Rau
33. Es ist tp 1 Das Einheitsquadrat und das goldene Dies trifft sogar f r alle Trapeze zu die mit dem Gelenkmodell gebildet werden k nnen Abb 13 Abb 13 Beliebige Einstellung des Gelenkmodells Mit den Bezeichnungen der Abb 13 gilt f r die H he A Rechtwinkliges Dreieck links h 1 amp Taa 2 2 f Rechtwinkliges Dreieck rechts h 62 Gleichsetzen ergibt x y x y 2 6 1 6 amp amp the 2xp 4 9 x 219 y ea 194 Hans Walser Der Beweis kann auch mit dem Satz des Ptolem us gef hrt werden Der Satz des Ptolem us besagt dass in einem Sehnenviereck mit den Seiten a b c d und den Diagonalen e und f Abb 14 die Relation ef ac bd gilt Abb 14 Sehnenviereck Ein gleichschenkliges Trapez ist ein spezielles Sehnenviereck In unserem Sonderfall ist e f 2 a x c y und b d 1 Somit haben wir V242 xy l l also 1 xy Das Gelenkmodell ist ein Inversionswerkzeug allerdings mit beschr nkter Reichweite da x v2 1 4 2 1 1 2 3 4 Literatur Deshpande M N Proof Without Words Beyond Extriangles MATHEMATICS MAGAZINE Vol 82 No 3 June 2009 p 208 Lehmann Ingmar FIBONACCI Zahlen Ausdruck von Sch nheit und Har monie in der Kunst MU Der Mathematikunterricht Jahrgang 55 Heft 2 S 51 63 Nelsen Roger B Proofs without Words II Washington DC Mathematical Association of America 2000 S 25 A Putnam Dodecagon Proble
34. Leistungsstandes werden Probeklausuren geschrieben Jede Woche gibt es bungsaufgaben Pers nliche und Konsultationen per Mail runden das Angebotspaket der Lehrveranstaltungsreihe f r die Studie renden ab Kurz und gut die Studierenden bekommen eine vergleichsweise sehr intensive Betreuung im Rahmen des Lehrangebots Einf hrung in die Geometrie In der Regel sind in jedem Semester neben den Tutoren we nigstens zwei Kollegen des Faches Mathematik in die Lehrveranstaltungs reihe involviert Trotz des betriebenen Aufwandes bleibt eine gewisse Unzufriedenheit mit den Ergebnissen der jeweiligen Akademischen Teilpr fung sowohl auf Seiten der Studierenden als auch auf Seiten der Lesenden wenn auch mit unterschiedlichem Hintergrund Ohne Vollst ndigkeit anstreben zu wollen stellen sich diesbez gliche Gr nde entsprechend der Erfahrungen die der Autor mit der eigenen Gestaltung der genannten Lehrveranstaltung ber einen Zeitraum von 10 Semestern sammeln konnte u a wie folgt dar e Das sprachlich logische Ausdrucksverm gen in Wort und Schrift ist bei vielen Studierenden zu gering ausgebildet H ufig ist auch 37 Ein Wiki f r die Lehrveranstaltung Einf hrung in die Geometrie der Wortschatz der Studierenden zumindest bez glich der Mathe matik zu l ckenhaft e Die F higkeiten im Argumentieren Begr nden und Beweisen sind bei vielen Studierenden bestenfalls rudiment r ausgepr gt e Viele Studierende wissen nich
35. Satzes von Pythagoras sinnvoll Gleichzei tig w re dies eine weitere Prop deutik f r die sp ter in der Schullaufbahn behandelte analytische Geometrie 88 Oliver Labs Als Vertiefungen k nnen die Herleitungen der Gleichungen f r die r umli chen Varianten dienen etwa die Kugelgleichung x y z r oder die Kreiskegelgleichung x y z 0 f r die einzig eine geeignete An wendung des Satzes von Pythagoras n tig ist Schlie t sich dann auch noch die Untersuchung allgemeinerer rotationssymmetrischer algebraischer Fl chen an ist die Kreisgleichung in einen breiten Kontext eingebunden Zu s tzlich liefert die Behandlung der Gleichungen und Visualisierungen von Rotationsk rpern wiederum eine Prop deutik f r die in der Analysis sp ter betrachteten Rauminhalte von Rotationsk rpern yA alb xy Abb 25 Ein Kreis um den Ursprung mit Radius 7 kann auch durch die Gleichung x y r beschrieben werden wie der Satz des Pythagoras zeigt Beispiel 8 Rotationssymmetrische Fl chen Es wird die Fl che mit f x y z 0 wobei f x y z x y z z ist betrachtet Abb 26 linkes Bild 3_7 0 ist rotationssymmetrisch Abb 26 Die Fl che mit Gleichung x y z Schnitte mit jeder Ebene z a liefern Kreise verschiedener Radien solche mit einer Ebene durch die Rotationsachse etwa die Ebene y 0 liefern die uns bereits bekannte ebene Kurve namens Newtonscher Knoten M chte man verstehen
36. Str 11 18 Punkte 0 00 200 4 00 600 8 00 10 00 12 00 14 00 Komplexit tsgrad Abb 8 Ergebnisse des STR in Abh ngigkeit von der Komplexit t des K rpers f r verschiedene Leistungsgruppen Zusammenfassung Aufgrund der ersten Befunde werden zwei vorsichtige Thesen formuliert e Das Arbeiten am und mit dem Modell ist am hilfreichsten beim L sen raumgeometrischer Fragestellungen Dieser Effekt besteht tendenziell f r alle Leistungsgruppen variiert jedoch in seiner Auspr gung Beson ders stark von dieser Lernumgebung profitieren Teilnehmer mit ausge 182 J rgen Steinwandel Matthias Ludwig pr gtem r umlichem Vorstellungsverm gen Der direkte Vergleich zwi schen der Bild und Computerumgebung zeigt dahingehend ein unein heitliches Bild als dass sowohl schwache als auch starke Teilnehmer bessere Ergebnisse mit einer Bildumgebung erzielen w hrend Sch ler mit mittleren Kompetenzen mit dem Computer erfolgreicher arbeiten Diese Hinweise m ssen allein schon deshalb vorsichtig ausfallen da mit einer sehr eingeschr nkten K rperumgebung gearbeitet wurde bei der Variablen wie z B der Fl chenau enwinkel nicht thematisiert wurden e Das hier eingesetzte Komplexit tsgradmodell differenziert nicht hinrei chend Es ist zwar eine Tendenz nachzuweisen Dies ist jedoch nicht be sonders verwunderlich F r eine Beschreibung einer Lern oder Testum gebung im Bereich der Raumgeometrie ist dieses Modell jedo
37. _Vortraegel2010 AK Geo Problemioesen DGS Dsteieri Leiter Mauerl geo lel 2 Datei Bearbeiten Ansicht Konstruieren Abbilden Messen Makro Verschiedenes Hilie EY Ei h ey u Nr 5 Y Y A AL Ic aa Pai m RA a a Y YRA O si i Hauptleiste _ Konstruieren Abbilden _Kurven j Form amp Farbe Messen amp Rechnen Animation B M C A 7 25 0 08 Zugmodus A J Abb 3 Rutschende Leiter als Ortslinie in der Software Euklid Dynageo 20 Andreas Filler Immerhin k nnte die dynamische Konstruktion bei der Findung einer Be gr ndung bzw einer Beweisidee helfen Um nachzuweisen dass sich M beim Abrutschen der Leiter wirklich auf einer Kreisbahn bewegt ist zu begr nden dass sich der Abstand von M zu C beim Rutschen nicht ndert Anhand der dynamischen Konstruktion wird schnell sichtbar dass die Stre cken MB MC und MA gleich lang sein m ssen und somit da MB und MA jeweils halb so lang sind wie die Leiter der Abstand von M zu C kon stant bleibt siehe Abb 4 B C A Abb 4 Rutschende Leiter Beweisidee Mithilfe dieser Beweisidee deren Findung eine dynamische Geometrie software unterst tzen kann l sst sich nun recht leicht ein exakter Beweis f hren Jedoch scheint das mit der Software erreichte Ergebnis bereits derart sicher zu sein dass die Motivation ber eine Begr ndung bzw einen Be weis nachzudenken vielfach erheblich leidet Die Sch ler mit denen die Aufgabe erprobt wurde sahen na
38. andere Situation vorliegen die Betrachtung von Spurkurven mit Computerhilfe erweist sich in vielen F llen als wertvolle heuristische Strategie siehe u a Schumann 1991 Kap 7 Weigand Weth 2002 S 179ff sowie das folgende Beispiel Konstruktionsaufgabe Zwei parallele Geraden g und h haben den Abstand 6 cm Auf g liegen zwei Punkte A und B mit dem Abstand 9 cm Konstruiere einen Punkt C auf h so dass die Strecke AC genauso lang ist wie das Lot von B auf AC Diese Aufgabe wurde in einem fr heren Jahrgang des Landeswettbewerbs Mathematik Baden W rttemberg Sch lern der Klassenstufen 5 10 gestellt Bei der Diskussion der Aufgabe in einem Sch lerzirkel unterbreitete ein Sch ler recht schnell den Vorschlag in dem Mittelpunkt M der Strecke AB die Senkrechte zu der Geraden AB zu errichten und C als Schnittpunkt dieser Senkrechten mit h festzulegen Dieser Vorschlag wurde jedoch schnell verworfen da dann offensichtlich die Strecken AC und BC gleich lang sind das Lot BS von B auf die Gerade AC jedoch k rzer als die Strecke BC ist siehe Abb 5 h i I i i I A M B 22 Andreas Filler Abb 5 Konstruktionsaufgabe erste berlegungen Eine Phase des Nachdenkens brachte keine Ideen zu Tage die als Ans tze zu der L sung des Problems geeignet gewesen w ren Deshalb wurde den Sch lern der Vorschlag unterbreitet zun chst mithilfe des Computers eine Position f r C zu suchen welche die Bedin
39. aua Whee mak mit unm Taar parallsler Seku Def Drachen Abb 9 Authentische studentische Aufgabenl sungen lieferte der Einsatz des Programms Classroompresenter To Wiki Or Not To Wiki Be Quick Or Be Dead Obiger Titel eines Songs von Iron Maiden kam dem Autor immer wieder zu Anfang des Sommersemesters 2010 im Zusammenhang mit dem Geomet rie Wiki in den Sinn Viele zun chst engagiert betriebene WEB2 0 Pro jekte zeigen Wenn das Projekt nicht relativ schnell ins Rollen kommt ist es tot Im Gegensatz zu Larry einem Klassiker der Computerspiele in des sen Spielverlauf es durchaus m glich war mit gewissen Tricks den bereits toten Hauptdarsteller Larry wieder zu recyceln scheint f r mehr oder weniger gr ere WEB Projekte zu gelten einmal tot immer tot Man denke nur an die vielen Projektrudimente die seit langem ein eher trauriges Dasein im WWW fristen Damit war klar unser Geometrie Wiki musste recht bald zum Objekt der h ufigen Nutzung unserer Studierenden werden Demgegen ber stand eine ziemlich geringe Begeisterung f r das Geometrie Wiki auf der Seite der Studierenden Bis zum Sommersemester 2010 war es blich dass den Stu dierenden ein Skript im PDF Format zur Verf gung stand Im selben For mat konnten die bungsaufgaben und deren L sungen heruntergeladen werden Genau dieser Service wurde den Studierenden im Sommersemester zun chst verweigert Der folgende Abschnitt kl rt
40. auch das Verh ltnis der beiden Umf nge eine Konstante Dar ber hinaus gelten die in Satz 2 getroffenen Aussagen Chronik einer Entdeckung Ohne DGS h tte ich diese beiden Vermutungen Satz 5 wohl kaum gefun den Die DGS zeigt per Zugmodus an dass die beiden Verh ltnisse der gemessenen Umf nge bzw Fl cheninhalte konstant bleiben 113 Dreiecke im Dreieck Aber wie l sst sich mit diesen N herungswerten eine allgemeine Formel finden Die Hoffnung den Term von Satz 4 zu variieren erwies sich schnell als tr gerisch Die DGS The Geometer s Sketchpad die auch Mor gan f r seine Verallgemeinerung des Satzes 4 Walter benutzt hat erlaubt jedoch wie auch andere DGS per Einstellung genauere N herungswerte zu erhalten Der Schl ssel waren periodische Dezimalbr che Mit Satz 5 kannte ich die N herungswerte 2 33333 und 3 76923 Im ersten Fall liegt der Dezimalbruch 2 3 2 auf der Hand im zweiten Fall half der gl ckliche Umstand dass die n chste Ziffer nach der Drei eine Null ist sodass sich der Dezimalbruch 3 769230 2 anbot Aber der Versuch 2 3 1 3 2 i L als bzw zu interpretieren wird bereits durch n 5 widerlegt Den n chsten Schritt konnte ich dann erst mit n 9 gehen Der Quotient der gemessenen Umf nge betr gt 6 77778 sodass mir wieder ein periodischer Dezimalbruch weiterhalf 6 7 a MitZ f r n 3 und f r n 9 war die Ausgangssituation dann wesen
41. bei der ersten Aufgabe auf den von Ansatz von Padberg zur ck Abb 19 In der Aufgabe 3 ist die Formulie rung Wie oft ist in enthalten von Bedeutung Multiplikation und Division von Br chen 1 Bestimmt die Ergebnisse und f llt die Textl cken aus 2 Welche weiteren Multiplikationsaufgaben k nnt ihr mit Hilfe des Tangrams veranschaulichen Benutzt daf r Tangram Steine und hal tet eure Ergebnisse fest Die H lfte von einer Die H lfte von einem H lfte des Fl cheninhalts Viertel des des Quadrates betr gt ein Fl chennhltsds Viertel des Quadrates betr gt ein mmeneneneeneeeeeneenennnn Fl cheninhals Ja des Fl cheninhalts 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 13 von a vVn von ee 2 2 22 2 4 24 12 4 124 3 a Wie oft ist das kleine Dreieck in dem gro en Dreieck enthalten b Wie oft ist das kleine Dreieck in dem Quadrat enthalten c Wie oft ist das mittlere Dreieck in dem gro en enthalten 4 Gelingt es euch d mit Hilfe von Tangram darzustellen Be gr ndet euer Vorgehen 5 Formuliert die Regeln f r die Multiplikation und Division von Br chen und veranschaulicht diese an geeigneten Beispielen mit Hilfe von Tangram Abb 19 Multiplizieren und Dividieren mit Tangram 141 Geometrische Veranschaulichung und Bruchrechnung Die Aufgaben des Arbeitsblattes Abb 19 wurden in einer Stillarbeitsphase bearbeitet und anschlie end a
42. bereichernd eingesetzt werden etwa zum Experimentieren mit algebrai schen Kurven und Fl chen ist aber nicht notwendig Daher k nnen auch Lehrkr fte f r die Computer in der Schule nicht einfach nutzbar sind trotz dem viele der erw hnten Beispiele und Varianten davon im Unterricht nut zen wenn sie nur zu Hause f r die Vorbereitung die entsprechende Soft ware zur Verf gung haben um die Visualisierungen zu erstellen Durch die schrittweise Einf hrung ber Jahre hinweg ist es au erdem an vielen Stellen m glich Arbeitsbl tter bereit zu stellen die direkt einsetzbar sind und zwar mit oder ohne Nutzung der Software Genauso wie weitere theoretische und praktische Untersuchungen sind solche Arbeitsbl tter bereits in Planung Ich danke den Leitern des Arbeitskreises M Ludwig und R Oldenburg daf r dass sie mir die M glichkeit gegeben haben dort vorzutragen und au erdem A Lambert und seiner Arbeitsgruppe sowie A Filler und S Nordheimer f r wertvolle Hinweise zur Verbesserung dieses Textes Anhang Ray Tracing Ein reizvoller Aspekt des Betrachtens von Geraden auf algebraischen Fl chen und Schnittpunkten von Geraden mit solchen Fl chen ist die Tatsache dass das Programm Surfer mit dem die Fl chen ja visualisiert werden selbst ebenfalls genau auf der Technik des Einsetzens einer Geradenpara metrisierung in die Fl chengleichung beruht Das sogenannte Ray Tracing 97 Gleichungen in Bildern algebraischer Fl
43. berwinden k nnten Auf der Grundlage des Fusionsgedanken von ebener Geometrie Raumgeometriesoftware und ihre Schnittstellen zum Menschen und Raumgeometrie vgl z B Klein 1908 k nnen geeignete Computer werkzeuge einen Beitrag dazu leisten den Stellenwert der Raumgeometrie im Mathematikunterricht zu verbessern und somit das Bild von Mathematik mit ihren geistes und naturwissenschaftlichen Aspekten abzurunden Im Folgenden wird zun chst der genannte Fusionsgedanke ins Ged chtnis gerufen und die aktuelle Stellung der Raumgeometrie wird beleuchtet An schlie end werden Kriterien zur Einsch tzung aktueller Entwicklungen im Bereich der Schnittstellen Mensch Computer und deren Relevanz f r den Mathematikunterricht vorgestellt und verschiedene Trends auf der Grundla ge dieser Kriterien untersucht Der Fusionsgedanke und die Stellung der Raumgeometrie im Geomet rieunterricht Der Mathematikunterricht und die damit verbundene Perspektive auf das Verh ltnis zwischen ebener Geometrie und Raumgeometrie stehen nach wie vor stark in der Tradition Euklids In Euklids Elementen 2005 findet sich die ebene Geometrie in den B chern I bis IV und VI wieder w hrend der Raumgeometrie die B cher XI bis XIII gewidmet sind In den Lehrpl nen manifestiert sich diese Tradition der strikten Trennung von ebener Geomet rie und Raumgeometrie in zwei weitgehend separaten Themenstr ngen Weder durch die Reihenfolge der Themen noch durch die inhaltl
44. chen ist n mlich im Wesentlichen eine moderne Version von D rers Technik Abb 40 angewandt jetzt aber auf virtuelle Objekte Abb 40 A D rer Mann beim Zeichnen einer Laute 1525 Ray Tracing ist die Weiterentwicklung dieser Idee f r den Computer M chte man mit dieser Technik eine algebraische Fl che visualisieren so legt man fest wo sich der virtuelle Zeichenrahmen und das virtuelle Auge befinden sowie in welche Richtung dieses blickt Den Zeichenrahmen teilt man in eine gro e Anzahl von Quadraten sogenannten Pixeln ein und legt durch das Auge und jeden der Mittelpunkte dieser Quadrate eine Gerade mit Parametrisierung g t Diese setzt man in die Gleichung f 0 der Fl che ein und erh lt ein Polynom f le in der Variablen t Das ist Null genau f r jene t die einen Punkt auf der Fl chen liefern F r diese t muss man nur noch berpr fen ob sie auch im Blickfeld liegen und nicht etwa hinter dem Auge hinter einem anderen Objekt oder zu weit weg Die Aufgabe ist also zu l sen indem man wieder allgemeine Punkte in Terme einsetzt und an schlie end Nullstellen eines Polynoms bestimmt F r Fl chen h heren Gra des ist dies wegen der Galoistheorie mit Hilfe von Wurzeln zwar nicht mehr m glich doch schon graphische Taschenrechner l sen das Problem der nummerischen Nullstellenberechnung von Polynomen in einer Variablen Der Name Ray Tracing d h Strahlenverfolgung kommt nun daher dass f r die Farbgebung der
45. d rfte jedem bekannt sein Die Plattform f r unser Geometrie Wiki wurde uns dankenswerter Weise Wir das sind die Mitarbeiter des Faches Mathematik der PH Heidelberg Christian Spannagel Andreas Schnirch und der Autor dieses Beitrages Siehe http wikis zum de geowiki index php Hauptseite 38 Michael Gieding von der Zentrale f r Unterrichtsmedien im Internet ZUM zur Verf gung gestellt Generierung und Aufbau einer Standardseite Der Anf nger im Umgang mit einem Wiki wird zun chst vergebens eine Baumstruktur bzw Hierarchie der einzelnen Dokumente suchen Es gibt sie nicht Eine neue Standardseite kann dadurch angelegt werden dass man einen neuen Link entsprechend der Syntax meine neue Seite im Quell text einer bereits vorhandenen Seite generiert Nachdem der Quelltext ge rendert wurde erscheint der Link meine neue Seite auf das noch leere neue Dokument in der Farbe rot Ein Klick auf den Link f hrt zu dem neuen Dokument welches nun bearbeitet werden kann Ist es mit Inhalt gef llt erscheint der zuvor generierte Link meine neue Seite in der Farbe blau Ein Klick auf einen solchen Link ffnet die entsprechende Seite im Browser amp mg Eigene Diskussion Einstellungen Beobachtungsliste Eigene Beitr ge Abmelden a Seite Diskussion Bearbeiten Versionen Autoren Verschieben Beobachten Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade Inhaltsverzeichnis Verbergen 1 Der Begriff des Lotes 1 1 Definition IX 1
46. denn er wird sich in der Untergrundbahn oder wo er grad f hrt nur mit der gesprochenen Zeitung in Verbindung setzen brauchen und er wird alle Tagesneuigkeiten alle politischen Ereignisse und alle Kurse erfahren nach denen er verlangt Und ist ihm damit nicht gedient sondern steht sein Sinn nach H herem so wird er sich mit jedem Theater jeder Kirche jedem Vortrags und jedem Konzert saal verbinden und an der Vorstellung an der Predigt oder den Sinfonieauff h rungen teilnehmen k nnen ja die Kunstgen sse der ganzen Welt werden ihm offen stehen Diese Vision ist 100 Jahre sp ter in Form des i phones Wirklichkeit ge worden hnlich vision r waren sind auch die NCTM Standards von 1989 bzw in der Neufassung von 2000 indem sie als Idealstandards eine Vision f r die Zukunft des Mathematikunterrichts darstellen Dies gilt insbesondere auch f r den Einsatz neuer Technologien Hierzu wurde in das Technology Principle formuliert 8 Hans Georg Weigand Technology is essential in teaching and learning mathematics it influences the mathematics that is taught and enhances students learning S 24 Und weiter Calculators and computers are reshaping the mathematical landscape Students can learn more mathematics more deeply with the appropriate and re sponsible use of technology S 25 Auch in der ersten ICMI Studie mit dem Titel The Influence of Comp
47. des Dreiecks AABC zwei Dreiecke AP P3Ps und AP P4P siehe Abb 1 Abb 1 Dreiecke AP P P und AP P4P Dann sind die entstehenden Dreiecke hnlich zum Ausgangsdreieck und f r das Verh ltnis der Seiten Umf nge und Fl cheninhalte gilt A a b 5 also U uBc 5 und MBE 25 Rosenbaum PB PE BR arer Anrgr 1981 A a _ E 2 also FC E 16 Vetter 1988 RR RP Rk UARRR Anrep Dar ber hinaus sind entsprechende Dreiecksseiten zueinander parallel und die Punkte P teilen die Drittelungstransversalen im Verh ltnis 3 2 bzw 3 1 F r die Drittelungstransversalen hei t das AP PsP amp P6A BP P P gt PaB CP P3P4 P C 12 3 5 AP PPa P A BP PsP P4B CP PPs Pec 12 3 5 Der Beweis dass die entsprechenden Dreiecksseiten zueinander parallel sind wollte mir zun chst nicht gelingen Ich suchte einen elementargeomet rischen Beweis keinen analytischen Felix MSG Sch ler der Klasse 12 hat es dann gepackt siehe Abb 2 mit abweichenden Bezeichnungen gegen ber Abb 1 102 Ingmar Lehmann Betreff Der Beweis f r die Drittelung Datum An Sehr geehrter Herr Dr Beweis gen Felix Schr der 19 01 2010 17 56 ilehmann math hu berlin de den ich ihnen bisher schuldig geblieben bin Berlin Romain Rolland Gymnasium IH ZENERBNNEENEN J l EE E Heraa a HHHH TPE ati Selat 770m 79 Aas t eea EEE Tee TER 7 SE DUBRRREEEN bu BE le
48. des Erarbeiteten nach vorne wobei c m ndlich vortrug und a das Gesagte anhand der auf dem Projektor aufliegenden Folie zu verdeutlichen versuchte Dabei versuchten sie bei der Addition noch mit dem Tangram zu arbeiten und merkten erst jetzt dass 1 1 N 16 16 Bei der Subtraktion wichen die beiden wieder von dem Spiel ab woraufhin Frau G sie dazu anhielt den Bezug zum Tangram zu wahren mit dem Ein wand dass man die Subtraktion noch glaubhaft zeigen k nne F r die Mul tiplikation Division folgten dann keine Erkl rungen mehr sondern es wurde von a nur noch die den Br chen entsprechenden Tangram Teile gezeigt 1 Fi gar nicht so leicht mit dem Tangram zu zeigen ist Nach jeder Pr sentation konnten von den restlichen Sch lern Fragen ge stellt werden Ein Sch ler fragte sich dabei warum denn die Division und Multiplikation berhaupt in die Bearbeitung eingeflossen sind da diese ja nicht am Tangram erkl rt wurden Die Antwort der Sch lerinnen c war Das stand da so Dies wurde von Frau G damit kommentiert dass der Einwand berechtigt gewesen w re Die Multiplikation und Division sind nicht einfach durch das Tangram zu erkl ren was den Sch lerinnen ja auch nicht gelungen sei Damit wurde die Pr sentation der Gruppe 1 beendet Das Protokoll zeigt wie die Sch lerinnen ihre Kenntnisse aus Geometrie und Bruchrechnung vernetzen Abgesehen davon dass das Tangram die Sch ler zum spielen verleitet hat zeigten sic
49. die Gleichung anpassen im Beispiel der Ebene weiter oben etwa z 1 statt z 3 oder allgemein z a Letzteres ist in Surfer besonders praktisch denn falls ein Parameter namens a oder b in einer Gleichung auftaucht erscheint automatisch je ein zugeh riger Schieberegler ber den man den Wert von a zwischen 0 und 1 einstellen und so die zugeh rige Ver nderung des Gebildes studieren kann s Abb 11 z arter mg BA Ei RE berv bun aie aws m meme sehr jee dies alelet sells s meve DE ee e T DE e Abb 11 Die Fl che mit Gleichung z a Q links f r a 0 1 und rechts f r a 0 5 Wie man sieht wird die Ebene f r noch etwas gr ere a gar nicht mehr sichtbar sein Aus diesen Ausf hrungen wird deutlich dass die Besch ftigung mit algebraischen Fl chen speziell in Surfer f r die koordinatenbezogene Raumvorstellung s Filler 2006 S 40ff m glicherweise gewinnbringend sein kann Und diese sowie verwandte Themen sind ja wie bereits Maier in Maier 1999 feststellte ein Punkt der st rker betont werden sollte Doch der Hauptgrund aus dem wir dieses Thema f r die Behandlung in der Sekundarstufe I vorschlagen liegt in der Arbeit mit Termen und Gleichun gen und deren Vernetzungen mit der Geometrie Wie man in obigen Screenshots sehen kann gibt man in Surfer die Gleichung einer Fl che brigens nicht komplett ein sondern stellt sie 80 Oliver Labs zun chst so um dass auf einer Seite der G
50. diesen Punkt zun chst illustrieren Der Autor ist nun schon ein Viertel Jahrhundert in die Ausbildung von Mathematiklehrern invol viert Immer wieder stand er fassungslos vor der Tatsache dass sich viele Studierende bei der Identifizierung von Voraussetzung und Behauptung einer Implikation u erst schwer tun Die F lle derartiger problembehafte ter Ausf hrungen der Studierenden im Geometrie Wiki lie ihn endlich begreifen worin des Pudels Kern besteht Umgangssprachlich ist die ge samte Implikation eine Behauptung Die Implikation wenn Schweinsteiger seinen ersten Zweikampf gewinnt wird Deutschland Weltmeister w rde man sicherlich umgangssprachlich insgesamt als eine gewagte Behauptung bezeichnen Es war die F lle der studentischen Beitr ge im Wiki die den Autor die entsprechende studentische Fehlvorstellung in ihrer Ursache end lich begreifen lie Medienvielfalt Der Autor nutzt seit L ngerem die verschiedensten Medien in seinen Lehr veranstaltungen Die M glichkeit der Zusammenf hrung aller dieser Me dien ber die Mediawiki Software stellt eine erhebliche Arbeitserleichte rung dar Probleme der Nutzung eines Wiki zur Begleitung einer Lehrveranstaltung Kurz und knapp Wikis sind a priori nicht f r den expliziten Einsatz in Lehrveranstaltungen gemacht W hrend die Intention eines Wikis vor allem der Generierung des Endproduktes gilt ist es in einer Lehrveranstaltung vor 51 Ein Wiki f r die Lehrveranstaltung
51. geschrie ben hatten wurde gemeinsam mit der Lehrerin das in Abb 3 dargestellte Arbeitsblatt entwickelt und den Sch lern vorgelegt 1 Welche Br che sind dargestellt Tipp Unterteile Figuren weiter d Tipp Es geht um einen unechten Bruch 2 Stellt und 2 dar indem ihr entsprechende Teilfiguren des Sechs ecks auf dem Hilfsblatt ausmalt 3 Welche weiteren Br che k nnt ihr mit Hilfe des Sechsecks und sei ner Teilfiguren ausmalen 4 Erkl rt mit Hilfe von Bildern wie man gemischte Zahlen in unechte Br che umwandelt Nutzt daf r das Hilfsblatt Abb 3 Arbeitsblatt Br che im Sechseck 128 Swetlana Nordheimer Das Arbeitsblatt enth lt zun chst wie der Test auch Aufgaben zu Darstel lungen von Br chen sowie entsprechende Umkehrungen Ihre L sung erfordert im Vergleich zu den Testaufgaben etwas anspruchsvollere geomet rische berlegungen bzw Zeichnungen Die Aufgabenstellungen lassen die Interpretation der Einf rbung offen Zu dem Arbeitsblatt geh rt ein Hilfs blatt das mehrere nicht ausgemalte Vielecke im Kreis wie in der Aufgabe 1 als Vorlage zum Ausmalen enth lt Die Aufgaben wurden von den Sch lern innerhalb einer Stunde in kleinen Gruppen mit weiteren Wiederholungsaufgaben bearbeitet und anschlie end den Mitsch lern pr sentiert Die Formulierungen der Aufgabenstellungen hneln sehr stark denen der Lehrerin um die Sch ler nicht zu sehr zu irritie ren Da die S
52. h ngt das mit gewissen Symmetrieaspekten zusammen Dies wird insbesondere anhand weniger elementarer Beispiel deutlich Beispiel 11 Symmetrische Kurven Welche der Kurven in Abb 32 bis Abb 34 geh rt zu welcher Gleichung 93 Gleichungen in Bildern f 0 Key El nee h 0 x y t yA yA Abb 32 Abb 33 Abb 34 Die Gleichung f geht sowohl unter x gt x als auch unter y gt y in sich selbst ber weil beide Variablen nur in geraden Potenzen auftreten die zugeh rige Kurve ist also symmetrisch zu beiden Koordinatenachsen d h es ist die mittlere Kurve Die Kurve zu Gleichung g ist da nur x nicht aber y nur in geraden Potenzen auftritt nur zur y Achse symmetrisch d h es ist die rechte Kurve Dementsprechend geh rt h zur linken Kurve auch dies h tte man sich freilich analog berlegen k nnen Man kann das gleiche Problem auch anders einkleiden etwa wie in folgen dem Beispiel in jedem Fall wird klar dass gewisse Symmetrie Eigenschaf ten direkt am Term abzulesen sind und dass also die Beziehungen zwischen Algebra und Geometrie sowie auch der ebenen und der Raumgeometrie vielf ltig sind Beispiel 12 Symmetrische Fl chen Welche der Achsen im Bild von x y z 0 ist die z Achse Abb 35 Abb 35 Welche der Achsen ist die z Achse Weniger direkt als Achsen bzw Ebenen Symmetrien sind endliche Rotati ons Symmetrien an der Gleichung abzulesen 94 Oliver Labs Beispiel 13 Symmetrisch
53. in der Sekundarstufe I einzusetzen dann aber oft als eigene Unter richtseinheit mit Inhalten die ber den aktuellen Lehrplan teils weit hi nausgehen Auf ihrer Webseite stellt Haftendorn allerdings au erdem einige Materialien bereit die auch den Einsatz impliziter Gleichungen in der Mit telstufe ohne gro en Aufwand betreffen Dieser Artikel geht einen Schritt weiter und skizziert ein Gesamtkonzept bei dem algebraische Kurven und Fl chen bereits fr hzeitig basierend auf impliziten Gleichungen in der Schulalgebra zur Veranschaulichung Sinn Gleichungen in Bildern gebung Quelle interessanter Aufgaben Vernetzung usw eingef hrt und dann durchg ngig in den weiteren Jahren immer mehr mit Geometrie und Leben gef llt werden An einigen ausgew hlten Beispielen legt dieser Arti kel dar warum dies erstens im Unterrichtsalltag der Sekundarstufen m g lich und zweitens auch sinnvoll sein kann indem die Vorschl ge n mlich direkt die Inhalte des Lehrplans betreffen Die Idee eines solchen Konzepts entwickelte sich als der Autor dieses Artikels f r die Wanderausstellung Imaginary www Imaginary Exhibition com im Jahr der Mathematik 2008 die Software Surfer Meyer 2011 mitentwickelte mit Hilfe derer jeder Ausstellungsbesucher mit algebraischen Fl chen und Gleichungen experi mentieren konnte Im Rahmen vieler Ausstellungsbesuche mit Schulklassen stellte sich dabei n mlich heraus dass dieses Thema durch die visuell an sprechend
54. me chanische Berechnungen schnell ausf hrt zum anderen ist sie aber auch ein Visualisierer arithmetischer Berechnungsverfahren Digitale Werkzeuge Digitale Werkzeuge sind einerseits auf der gegenst ndlichen Ebene Hard ware aber auch auf der mathematischen und symbolischen Ebene Soft ware anzusiedeln Bez glich ihres Gebrauchs hat sich in den letzten Jahren die Theorie der instrumentellen Entwicklung instrumental genesis oder instrumental orchestration herausgebildet etwa Trouche 2005 Dabei wird die Frage untersucht wie neue Technologien insbesondere Taschen computer zu einem f r eine bestimmte Probleml sung hilfreichen nstru ment oder Werkzeug werden Dazu ist es nach dieser Theorie insbeson dere notwendig dass eine Wechselbeziehung zwischen dem Ger t oder Artefakt und dem Benutzer entwickelt wird Schematisierung Instrumentation Ger t Artefakt Ger teanpassung Instrumentalization Lernumgebung instrumental orchestration Abb 1 Theorie der Instrumentellen Entwicklung instrumental genesis Beim Prozess der Schematisierung Instrumentation werden beim Benutzer mentale Schemata oder Modelle ber M glichkeiten und Grenzen des Ger tes in bestimmten Problemstellungen entwickelt z B ber Men struk tur Syntax von Befehlen Grenzen der internen Genauigkeit des Rechners Hans Georg Weigand oder Bildschirmaufl sung Beim Prozess der Ger teanp
55. nde in der Errichtung einer Senkrechten zu g in A dem Abtragen einer Strecke der L nge 9 cm auf dieser Senkrechten von A aus und der Konstruktion eines Halbkreises mit dieser Strecke als Durchmesser Der Schnittpunkt dieses Halbkreises mit h ist dann der gesuchte Punkt C wie aus der Kongruenz der Dreiecke AADC und ABAS deutlich wird vgl Abb 9 Allerdings wurde dieser L sungsweg von keinem der beteiligten Sch ler gefunden D IADI AB AABS ADAC A B Abb 9 Konstruktionsaufgabe Alternative Weitere L sungswege f r die Aufgabe basieren auf der Betrachtung hnlicher Dreiecke und k nnen daher i Allg von Sch lern erst ab der 9 Jahrgangsstufe beschritten werden Derartige L sungswege sind u a deshalb interessant weil sich durch berlegungen zu hnlichen Dreiecken aus dem spontanen falschen Ansatz nach Abb 5 unmittelbar eine L sung ableiten l sst Die Dreiecke AABS und AACM sind wegen paarweise BS _ AB cm aci ergibt kongruenter Winkel hnlich zueinander woraus sich 25 Problemorientierte geometrische Aufgaben mit oder ohne Computer Wenn die Bedingung der Aufgabe erf llt ist also AC BS gilt dann folgt daraus jac 4B MC 9cm 6cm Hieraus l sst sich AC z B mithilfe des H hen oder des Kathetensatzes konstruieren und damit die Aufgabe l sen Die Nutzung des Computers erm glichte es den beteiligten Sch lern bei dieser Aufgabe nachdem sie festgestellt hatten da
56. umrandeten Linien ausmalt sondern durch das Ausmalen die Grenzen markiert Abb 11 Nach dem L sen der beiden Aufgaben wurden die Sch ler mit einer offene ren Fragestellung konfrontiert Wie k nnt ihr die Regeln f r Addition und Subtraktion von gleichnamigen und ungleichnamigen Br chen mit Hilfe des Tangram veranschaulichen Das Wort veranschaulichen sorgte f r Un klarheiten unter den Sch lern und musste oft als zeichne ein Bild dazu oder erkl re die Addition und Subtraktion mit Hilfe der gel sten Aufga ben bersetzt werden Im Folgenden werden repr sentative Sch lerantwor ten auf diese Frage dargestellt und ausgewertet F r Adrian scheint die Skizze fast selbsterkl rend zu sein Abb 12 Allerdings schreibt er dann noch eine kurze Bemerkung dazu die sich auf verschiedene quivalente Darstellungen eines Bruches bezieht Abb 12 Adrians L sung 137 Geometrische Veranschaulichung und Bruchrechnung 3 4 t A t4 EHI ESREENREAERDEFEN Abb 13 Lisas L sung Auch Lisa ist sehr sparsam mit Worten und vernetzt mit Pfeilen Abb 13 Stella schreibt einen kleinen Text der etwas ber die enaktive Ebene der Aufgabenl sung verr t Abb 14 Larissa geht hnlich wie Stella vor schreibt aber nichts zu ihrem Vorgehen auf Abb 15 ri E Hi er L an A i I aa I l FA Inch z mil sleinen die y Passt 47 AAOS AO Abb 14 Stellas L sung En
57. und die Umkugel eines Tetraeders als r umliches Analogon 152 Markus Ruppert Jan W rler Orthogonalit t Mittelsenkrechte Abbildung 1 Analogiebildung auf der Rela tionsebene und bei Konstruktionen 3D Die Analogiebildung zwischen ebener Geometrie und Raumgeometrie unter Zuhilfenahme geeigneter Computerwerkzeuge kann demnach einen Beitrag zur Ausbildung mathematischer Begriffe und Strategien in diesen Bereichen liefern Schumann 2007 fordert deshalb Die interaktive Analogisierung von ebener zu r umlicher Geometrie ist ein Beispiel f r produktive Vernetzung von Wissen Deshalb ist ihre explizite Ver mittlung im aktuellen Geometrieunterricht zu fordern Dynamische Raumgeometriesoftware und die Mensch Computer Schnittstelle Als gr te Hindernisse f r die Umsetzung obiger Fusionsbestrebungen F Klein G Becker H Schumann im Unterricht erweisen sich jedoch trotz des Potentials das die vorhandenen dynamischen Raumgeometrieprogram me bergen die Handhabung der Software und die Darstellung der geomet rischen Objekte W hrend 2D DGSysteme das Konstruieren mit Zirkel und Lineal auf Papier simulieren und um dynamische Aspekte erweitern kann der Simulationsprozess bei 3D Software nicht vom realen Konstruieren bernommen werden Die Bedienung mit Maus und Tastatur ist deshalb wenig intuitiv s u und die Darstellung am zweidimensionalen Bildschirm setzt F higkeiten im Bereich der Raumvorstellung
58. unter dem Bild schirm in Verbindung mit einer Gesichtserkennungssoftware dienen aus der Position der Augen des Betrachters im Kamerabild werden alle n tigen Gr en zur Bestimmung seiner Blickrichtung und seines Blickwinkels errechnet Erste Applets hierzu findet man derzeit im Internet z B unter http www boffswana com als Flashanwendungen Abbildung 7 Wie gut und schnell Facetrackingalgorithmen heute bereits funktionieren zeigt Funsoftware f r Webcams in Echtzeit 165 Raumgeometriesoftware und ihre Schnittstellen zum Menschen WEG V AUGMENTED REALITY Im Alltag wird das Operieren mit Gegenst nden z B das Drehen eines Holzw rfels in der Regel am einfachsten durch Anfassen des Objektes verwirklicht Und genau das macht die Interaktion mit virtuellen Objekten auch so schwer man kann sie nicht ber hren Zwar wurden aufw ndige Force Feedback Ger te entwickelt die taktile und haptische Reize von virtuellen Objekten auf die Haut des Benutzers ber tragen sollen z B Datenhandschuhe Diese Ger te sind aber weit davon entfernt f r die Unterrichtsrealit t bezahlbar und anwendbar zu sein Ein an sich simpler Trick k nnte aus unserer Sicht das enaktive Inter agieren mit virtuellen Objekten zumindest einen Schritt n her an die reale Erfahrung r cken Man macht einen realen Gegenstand zur Basis f r ein Koordinatensystem der virtuellen dreidimensionalen Welt Dreht man nun den Gegenstand in der
59. voraus die ja durch die Handhabung des Programms erst geschult werden sollen Etwas allgemeiner formuliert ist also vor allem eine Verbesserung der Schnittstelle Mensch Computer notwendig um das Potential das in der virtuellen Darstellung r umlicher Objekte verborgen liegt voll auszusch pfen 153 Raumgeometriesoftware und ihre Schnittstellen zum Menschen Dabei m ssen die folgenden zwei Aspekte im Mittelpunkt der Verbesse rungsbem hungen stehen Verbesserungen auf der Eingabeebene Hier geht es zum einen darum eine m glichst intuitiv zu bedienende Hard ware Schnittstelle zu entwickeln die den speziellen Anforderungen gen gt die ein zus tzlich darzustellender Freiheitsgrad mit sich bringt Zum anderen muss die jeweilige Software Schnittstelle z B Bedienmen s 3D Werkzeuge etc auf die neue Eingabetechnik aber auch auf neue Arten der Darstellung r umlicher Szenen angepasst werden Verbesserungen auf der Ausgabeebene Eine Verbesserung der Ausgabeebene zielt nat rlich wesentlich darauf ab m glichst realistische 3D Darstellungen zu erreichen Korrespondierend mit den Komponenten der Raumvorstellung vgl Maier 1999 ist f r die Art der Umsetzung dabei entscheidend ob der Benutzer Teil der Szene sein soll oder ob er als au enstehender Beobachter einer dreidimensionalen Welt auftritt Au erdem gilt es hinsichtlich des Mathematikunterrichts ge eignete Lernumgebungen zu schaffen die einen didaktischen Me
60. www bildungsstandards bw de 30 01 2011 Ministerium f r Kultus Jugend und Sport Baden W rttemberg 2011 http www bildung staerkt menschen de schule_2004 bildungsplan_kurz real schule 30 01 2011 M ller C Hurtienne J Pr mper J 2008 Standardsoftware benutzbar und gebrauchstauglich Computer und Arbeit Heft 5 2008 S 20 24 Nielsen J 2001 Designing Web Usability 2 Auflage M nchen Markt Technik 71 Voraussetzungen f r die Nutzung von DRGS im Unterricht Pr mper J Anft M 1993 Beurteilung von Software auf der Grundlage der In ternationalen Ergonomie Norm 9241 10 Downloadbar unter http www ergo online de html service download_area isonorm doc 30 01 2011 Pr mper J 1997 Der Benutzungsfragebogen ISONORM 9241 10 Ergebnisse zur Reliabilit t und Validit t In Liskowski R Velichkovsky B M W nschmann W Hrsg Software Ergonomie 97 Usability Engineering Integration von Mensch Computer Interaktion und Software Entwicklung S 253 262 Stuttgart Teubner Schumann H 2006 Interaktive Videos f r die Raumgeometrie mit Cabri 3D Rosenheim co Tec Schumann H 2007 Schulgeometrie im virtuellen Handlungsraum Ein Lehr und Lernbuch der interaktiven Raumgeometrie mit Cabri 3D Hildesheim Franzbe cker Schumann H 2010 ber die Zukunft des Geometrie Unterrichts Hauptvortrag auf der 28 Arbeitstagung des AK Mul in Soest vom 24 26 09 2010 Schuma
61. 1999 Die Verbesserung r umlicher F higkeiten durch computerun terst tzte F rderma nahmen Zwei Evaluationsstudien In Zeitschrift f r P dago gische Psychologie H 13 S 4 16 ter Horst A C van Lier R Steenbergen B 2010 Mental rotation task of hands differential influence number of rotational axes In Experimental Brain Re search 184 Der Baustein ist das Werkzeug Hans Walser Zusammenfassung In einer arbeitsteiligen Welt sind die Grenzen zwischen Werk zeug Rohmaterial und Produkt flie end geworden Das gilt insbesondere in der Geometrie bei Verwendung von DGS dynamische Geometrie Software und ande ren elektronischen Hilfsmitteln Ein Kreis muss nicht mehr mit dem Werkzeug Zirkel gezeichnet werden sondern steht auf Abruf bereit Dabei wird allerdings das Werkzeug Zirkel durch das Werkzeug Software ersetzt Es werden exemplarisch gegebene Formen wie Quadrat gleichseitiges Dreieck gleichschenkliges Trapez als Werkzeuge eingesetzt Als Werk Plattformen wer den regelm ige Raster verwendet Einem regul ren Sechseck werden Quadrate und gleichschenklige Trapeze aufgesetzt Es erscheinen die Fibonacci Zahlen und der goldene Schnitt Ein passendes Gelenkmodell f hrt zum Kehrwert einer Zahl Einf hrung Zum Stichwort Werkzeuge fallen einem nostalgisch S ge und Hammer ein In der Tat Trennen S ge Analyse und Verbinden Hammer Synthese sind die beiden Grundelemente menschlich
62. 5 11 7 h C7 10 C Abb 2 Einige typische Aufgaben zu negativen Zahlen 75 Gleichungen in Bildern hnliche Betrachtungen k nnen wir auch im Raum durchf hren Wir be ginnen dazu mit der Betrachtung zweier Gipfel dem Rossstein links in Abb 3 und dem Buchstein rechts Abb 3 Die beiden Gipfel Rossstein und Buchstein in den bayrischen Alpen F r einen Bergsteiger ist es nat rlich wichtig wie steil es bergan bzw berg ab geht in Karten sind daher oft sogenannte H henlinien eingezeichnet die Stellen gleicher H he verbinden Um dies zu verdeutlichen n hern wir die zwei Gipfel idealisiert und etwas berzeichnet durch eine algebraische Fl che an links in Abb 4 und mar kieren dort einige H henlinien mittleres Bild in der Mathematik oft Ni veaulinien genannt Um zu betonen dass die Punkte gleicher H he jeweils in einer Ebene liegen sind die Ebenen die zu den eingezeichneten H hen linien bzw Niveaulinien geh ren rechts ebenfalls gezeigt ne An Abb 4 Ein idealisierter Berg mit zwei Gipfeln und einigen H henlinien Jede der H henlinien stellt also eine Kurve in einer der Ebenen dar Der gezeigte idealisierte Berg erf llt die Gleichung 5 5 z x y x x Setzen wir einige feste Werte f r z ein so erhalten wir wieder eine Glei chung in den zwei Variablen x und y also die Gleichung einer algebrai schen Kurve Die im Berg markierten H
63. 5 Johnston 1992 A0 0 0 49 _BQ_CO_3 na 194 894 _C9 _6 Dar ber hinaus gelten AA BB CC 7 AA BE CC 7 Da ER I ea In T AA BB CC 7 AA BB CC 7 d h die Punkte O teilen die Drittelungstransversalen im Verh ltnis 1 6 oder 3 4 F r die Drittelungstransversalen hei t das AQ 0501 014 BQ 0103 O3B CQ 0305 05C 3 3 1 AQ M Q402 Q2 m BOs s Q604 x O4B CO H Q206 QC 3 3 1 Dar ber hinaus entdecken wir zudem parallele Strecken Q20 050 AB O10s Q304 AC und 010 Q405 BC Ist das Dreieck AABC gleichseitig sind dies auch die Dreiecke AO O30 und AO gt 040 und zueinander kongruent Der Satz 2 l sst sich in mehrfacher Hinsicht verallgemeinern Walser 2010b 106 Ingmar Lehmann Satz 2 Die Seiten a b und c eines Dreiecks AABC seien in n gleiche Teile geteilt wobei n eine ungerade Zahl sei siehe Abb 5 f rn 5 Abb 5 Dreiecke AO10305 und ADO 0s f rn 5 Verbindet man die jeweiligen mittleren beiden dieser n Teilungspunkte mit den gegen berliegenden Eckpunkten so entstehen im Innern des Dreiecks B AABC zwei Dreiecke AO 0 0 5 und AQ Q Q6 mit A A saa n n B B AL C aE Dann gilt f r das Verh ltnis der Fl chen n n n n inhalte Ance _ Ange _ 3n 1 A9 0 0 Ao 0 0 4 Dar ber hinaus gelten 107 Dreiecke im Dreieck AO _ BO _ CO _ 2n n 1 und AO _ BQ _CO _2n n 1 AA BB C 3n 1 AA BB CC 3n l bz
64. 81 Geometrische Denkaufgaben Stuttgart Klett F hrer L 2002 ber einige Grundfragen k nftiger Geometriedidaktik In Ma thematica didactica 25 Bd 1 Berlin Franzbecker S 55 75 Gerhard S 2009 Variablen im geometrischen Kontext In Beitr ge zum Mathe matikunterricht 2009 M nster WTM Verlag 146 Swetlana Nordheimer Chen X Li Y 2008 Instructional coherence in Chinese mathematics classroom a case study of lessens on fraction division In International Journal of Science and Mathematics Education 8 4 Berlin Springer S 711 735 Holland G 2007 Geometrie in der Sekundarstufe Entdecken Konstruieren Deduzieren Didaktische und Methodische Fragen Berlin Springer Jahnke T 2001 Kleines Aufgabenrevier Zur Klassifizierung von Aufgaben im Mathematikunterricht SINUS Materialien Potsdam PLIB Koller H C 2003 Alles Verstehen ist daher immer zugleich ein Nicht Verstehen Wilhelm von Humboldts Beitrag zur Hermeneutik und seine Bedeutung f r eine Theorie interkultureller Bildung In Zeitschrift f r Erziehungswissenschaft 6 4 Wiesbaden VS Verl f r Sozialwissenschaften S 515 531 Kvasz L 2008 Patterns of Change Linguistic Innovations in the Development of Classical Mathematics Basel Birkh user Maier H Schweiger F 1999 Mathematik und Sprache Zum Verstehen und Verwenden von Fachsprache im Mathematikunterricht Wien bv amp hpt M ller Somme
65. Abb 1 Rutschende Leiter Nachdem Sch lern die Aufgabe gestellt wurde u erten einige von ihnen zun chst falsche Vermutungen bez glich der Spur des Leitermittelpunktes Es wurde die Vorstellung deutlich dass sich der Leitermittelpunkt auf einer Kurve bewegen m sse die nach den Skizzen der Sch ler etwa die Form eines Hyperbelastes hat Nach etwa f nfmin tigen Versuchen zun chst mit Problemorientierte geometrische Aufgaben mit oder ohne Computer Papier und Bleistift Abb 2 gelangte die Mehrheit der beteiligten Sch ler zu der Erkenntnis dass sich der Mittelpunkt auf einem Viertelkreis bewegt Abb 2 Rutschende Leiter Konstruktion einiger Punkte Mithilfe einer dynamischen Geometriesoftware l sst sich die Spurkurve des Mittelpunktes M aufzeichnen Abb 3 Sch ler erhalten somit die Bahn kurve ohne ber charakterisierende Eigenschaften der Bahn des Punktes nachdenken zu m ssen Um zu der Erkenntnis zu gelangen dass es sich hierbei um einen Viertelkreis handelt ist es lediglich erforderlich mithilfe der Software eine Konstruktion anzufertigen und zu wissen wie Spurkurven aufgezeichnet werden k nnen Die Entwicklung eigener Vorstellungen zu einem Problem dynamischer Geometrie wird durch die automatische L sung mittels der Software weit weniger angeregt als durch ein Durchden ken des Problems unter Zuhilfenahme von Papier und Bleistift a 7 EUKLID DynaGeo D
66. Andreas Filler Matthias Ludwig Reinhard Oldenburg Hrsg Werkzeuge im Geometrieunterricht Vortr ge auf der 29 Herbsttagung des Arbeitskreises Geometrie in der Gesellschaft f r Didaktik der Mathematik vom 10 bis 12 September 2010 in Marktbreit Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Natio nalbibliografie detaillierte bibliografische Daten sind im Internet ber http dnb d nb de abrufbar Bibliographic information published by the Deutsche Nationalbibliothek The Deutsche Nationalbibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliogra fie detailed bibliographic data are available in the Internet at http dnb d nb de Information bibliographique de la Deutsche Nationalbibliothek La Deutsche Nationalbibliothek a r pertori cette publication dans la Deutsche National bibliografie les donn es bibliographiques d taill es peuvent tre consult es sur Inter net l adresse http dnb d nb de Andreas Filler Matthias Ludwig Reinhard Oldenburg Hrsg Werkzeuge im Geometrieunterricht Vortr ge auf der 29 Herbsttagung des Arbeitskreises Geometrie in der Gesellschaft f r Didaktik der Mathematik vom 10 bis 12 September 2010 in Marktbreit ISBN 978 3 88120 587 0 2011 by Franzbecker Hildesheim Berlin Das Werk ist urheberrechtlich gesch tzt Alle Rechte insbesondere die der Vervielf ltigung und
67. Archimedes Geo3D Die bis September 2010 am weitesten entwickelten DRGS f r den Einsatz in der Schule sind Cabri 3D und Archimedes Geo3D Goebel 2005 2010 Schon ein oberfl chlicher Vergleich zeigt beim standardisierten Programm start der jeweiligen Programme e Der Cabri 3D Bildschirm ist zweigeteilt jener von Archimedes Geo3D dreigeteilt e Cabri 3D bietet weniger Optionen als Archimedes Geo3D e Die Cabri 3D Werkzeugleiste erscheint magerer daf r bersichtlicher e Die Anzahl unbekannter Symbole in Cabri 3D ist f r Sch ler der Mit telstufe absolut und prozentual geringer als in Archimedes Geo3D 64 Olaf Knapp e Hilfsobjekte werden in Cabri 3D automatisch erzeugt e Cabri 3D bietet mehr interaktive R ckmeldeoptionen e Cabri 3D erlaubt das parallele Arbeiten in mit mehreren Dateien Werkzeugleisten von Cabri 3D und Archimedes Geo3D 3 cm Roo Ar gt 44 Abb 2 Cabri 3D Werkzeugleiste PA r E TTS TE y OA ENS ENET Abb 3 Archimedes Geo3D Werkzeugleiste Anhand der Konstruktionsbeispiele Erzeugung eines Kreisbogens in der Ebene und im Raum und Erzeugung einer Gerade im Raum in den bei den DRGS wurde im Vortrag erl utert wie f r den fortgeschrittenen Lerner das experimentelle Explorieren in DRGS unterst tzt werden kann und wo sich jeweils Probleme und Beschr nkungen ergeben Es dr ngen sich somit u a folgende Hypothesen auf 1 Cabri 3D ist intuitiver als Archimedes Geo3D 2 Ca
68. B PB RC RC 1 salen gelten einerseits AP PsA n n 1 und andererseits denn n F r die Transver AP 21 APs PsA n 1 x d h DEN get A n 1 x n n PA P A P P n l n 2 2 ne Insgesamt folgt n n n 2n 1 APs PsP amp PsA BP1 P P2 P2B CP3 P3P4 P C n 1 n 2 A n 2n 1 AP3 P3P gt P2A BP P P4 P B CP P P6 PC n 1 n 2 qed Mit n 3 erhalten wir den Satz 1 als Spezialfall von Satz 1 w hrend n 5 die Verh ltnisse Au sc AAP P P 9 und s4Bc Ayppp 4 liefert Im folgenden Satz werden wie in Satz 1 die Dreiecksseiten zwar wieder gedrittelt aber nur jede zweite der sechs Transversalen tr gt mit ihren Schnittpunkten zu den inneren Figuren bei Die im Satz zuvor konstatierte hnlichkeit l sst sich dann zwar nicht best tigen aber Entdeckungen sind dennoch m glich 105 Dreiecke im Dreieck Satz 2 Die Seiten eines Dreiecks AABC seien gedrittelt Verbindet man die entsprechenden Drittelungspunkte mit den gegen berliegenden Eckpunkten so entstehen im Innern des Dreiecks AABC zwei Dreiecke AO O 0 und AQ20406 Abb 4 Dreiecke AQ Q30 und AQ20406 Dann haben die Dreiecke AQ10 05 und AO 0 0 siehe Abb 4 denselben Fl cheninhalt und dar ber hinaus gilt f r das Verh ltnis der Fl cheninhalte A MBC_ 7 Steinhaus 1959 Sielaff Usbeck 1994 und AQ 0 0 A MBC_ 7 Mathematik Olympiade 241042 198
69. GS im Unterricht Kurzzeitged chtnisses die Lerngewohnheiten der Grad an Erfahrung be z glich der Arbeit und im Umgang mit dem Dialogsystem z B einem DRGS und das mentale Modell des Benutzers von der zugrunde liegenden Struktur und dem Zweck der Software mit dem der Benutzer arbeiten wird prinzipiell zu ber cksichtigen vgl ebd S 4 Software ergonomische Prinzipien und Anforderungen an DRGS Im Folgenden werden allgemeine software ergonomische Prinzipien kurz beschrieben und als ein Analyse bzw Bewertungsinstrument auf DRGS am Beispiel von Cabri 3D angewendet AA Prinzip der Aufgabenangemessenheit Neben den allgemeinen Aufgaben von Windowsapplikationen wie etwa dem ffnen Speichern und Verwalten von Dateien kommen im Falle eines DRGS dar ber hinaus speziell auch das L sen von Aufgaben wie das raumgeometrische Konstruieren Variieren und Manipulieren hinzu Diesem Prinzip folgend soll ein Programm die Sch ler unterst tzen ohne dass der L sungsprozess durch spezifische Eigenschaften des Systems etwa durch die Dialogf hrung unangemessen behindert wird Ein DRGS wie Cabri 3D erf llt die Anforderungen an das didaktische Prin zip der Passung vgl Steiner in Krapp Weidenmann 2006 S 185 ber Konstruktionsaufgaben hinaus k nnen Variations Satzfindungs Beweis aufgaben etc mit Hilfe der angebotenen Werkzeuge bearbeitet werden Weiterhin sollte ein DRGS dem Benutzer nur solche Informationen anzei gen
70. Geometrieunterricht Ziele und Visionen 2020 Was sind mathematische Werkzeuge Ein Werkzeug ist f r einen bestimmten Zweck konstruiert Es verst rkt menschliche F higkeiten wie Hammer Zange oder Schaufel oder verleiht dem Menschen neue F higkeiten wie Fernglas Mikroskop oder Flugzeug Wir wollen dabei basierend auf Hischer 2010 zwischen Werkzeug und Hilfsmittel unterscheiden auch wenn die Grenzen flie end sind Werkzeu ge sind vielseitig und ergebnisoffen ebd S 39 w hrend Hilfsmittel f r einen bestimmten enger ausgelegten Zweck konstruiert sind wie etwa ein Korkenzieher Was sind mathematische Werkzeuge Dazu geh ren zun chst gegenst ndli che Werkzeuge wie Zirkel und Lineal Geodreieck Parabelzeichner Ta schenrechner und Computer Der Werkzeugbegriff kann aber auch allge meiner gesehen werden Ein Algorithmus kann ein Werkzeug sein etwa das Newtonverfahren bei der Berechnung einer Nullstelle oder ein mathemati scher Satz wie der Zwischenwertsatz oder Mittelwertsatz kann als Werk zeug zur L sung einer Aufgabe herangezogen werden Auch Computerpro gramme k nnen als Werkzeuge bezeichnet werden So nennt etwa Stephan Kaufmann sein Buch ber Mathematica Mathematica als Werkzeug f r Henn u Jock 1993 ist das Computerprogramm CABRI G om tre ein Werkzeug des Geistes im Dienste der Mathematik Schlie lich k nnen auch Schreibweisen und Notationen als Werkzeuge f r mathematisches De
71. ICME Study Technology still plays a marginal role in mathematics classrooms S 312 The impact of this technology CAS on most curricula is weak today S 426 The situation is not so brilliant and no one would claim that the expectations expressed at the time of the first study 20 years ago have been fulfilled S 464 Diese Studie gibt einen guten berblick ber die zahlreichen Aktivit ten der letzten Jahre beim Einsatz neuer Technologien im Mathematikunterricht und beim Lernen von Mathematik vgl auch Weigand 2010 Das Buch liefert aber keine Vision mehr es listet vielmehr Fragen auf die allerdings jenen vor 20 Jahren durchaus analog oder sehr hnlich sind Man mag das als teilweise Resignation deuten man kann es aber auch als ein Zeichen daf r sehen wie schwer diese Fragen zu beantworten sind Schlie lich kann man es auch als Aufforderung verstehen neue Ideen Visionen zu entwi ckeln um die reale Integration in den Mathematikunterricht voranzubrin gen Im Folgenden werden vier Thesen aufgestellt die st rker eine pragmatische Ansicht vertreten und Handlungsanweisungen geben m chten um den theoretisch vielfach vorbereiteten Einfluss neuer Technologien auf den realen Mathematikunterricht zu verst rken 11 Werkzeuge im Geometrieunterricht Ziele und Visionen 2020 Vier Thesen ber die Zukunft Die vier Thesen gehen davon aus dass eine lediglich isolierte Sich
72. IT ad tiga Be BE EEENEERREN LF Mm III ud PAB SOELTEEFER Kost Im strem kallihigun Drexack pila mrdt Selen onakoa zu hu tilu Dauri kanbiekn 1 UAF jaoin to U Parolli au der Serk lirt die laleke ddl dirat F r fielen entotin grad ES uD EADAE Mie AN Juda Aihe atadh T EN DB IE A N A Pha a Darek ea BEE BEREE ASJ Dies Diiech eds IH SEEN Alan Dedh Patates Te A E A aE 2 AFTER E pee und ie CELLO Cal natlei H pec ie Heben enden ei tehdas Hla Falling Abb 2 Beweis der Parallelit t E Lehmann im Anhang schicke ich ihnen den Bis mor Satz 1 l sst sich verallgemeinern Interessanter Weise wurde aber nur der Fall des Dreiecks AP P P verallgemeinert und von dem kubanischen Sch ler Domingo Lovis Klasse 11 bewiesen Rosenbaum 1981 Satz 1 Werden die Seiten eines Dreiecks AABC in n gleiche Teile geteilt deshalb das hochgestellte n wobei n eine nat rliche Zahl mit n gt 2 sei 103 Dreiecke im Dreieck und die am weitesten au en liegenden Teilungspunkte mit den gegen ber liegenden Eckpunkten verbunden so entstehen im Innern des Dreiecks AABC zwei Dreiecke AP P3Ps und AP P4P siehe Abb 3 f r n 9 Abb 3 Dreiecke AP P3Ps und APPP f r n 9 Dann sind die entstehenden Dreiecke hnlich zum Ausgangsdreieck und f r das Verh ltnis der Seiten Umf nge und Fl cheninhalte gilt 2 a_b_ce za 4 Use _2n and Ay sc 3 PP PR PP n 2 Uppp
73. Informationsdarstellung sollten innerhalb eines DRGS einheitlich sein In Cabri 3D ist dies z B bei dem grunds tzlich gleichen bzw analogen Aufbau der Objekteigenschafts fenster nach Objektfarbe gr e dicke stil etc der Fall Zustandsmeldungen des DRGS werden stets an der entsprechenden Stelle ausgegeben In Cabri 3D werden etwa der erl uternde Text eines Werk zeugs bei Mouseover oder die Objektinformationen bei Mouseover in der Zeichenfl che an den entsprechenden Stellen ausgegeben Die bekannten Tastenkombinationen sind in Cabri 3D implementiert vgl ebd Ein DRGS sollte den Wortschatz verwenden der dem Benutzer bei der Erledigung der Arbeitsaufgabe vertraut ist vgl ebd Besonders hier zeigt sich dass in diesem Sinne Cabri 3D auf die Mathematik in der Schule hin ausgelegt ist und sich damit didaktisch von markt blichen 3D CAD Syste 59 Voraussetzungen f r die Nutzung von DRGS im Unterricht men abgrenzt Die im Dialog verwendeten geometrischen Fachausdr cke sind identisch mit jenen welche im Bereich der Geometrie der Schulma thematik tats chlich verwendet werden vgl ebd Auf Eingaben des Benutzers sollte eine unmittelbare R ckmeldung folgen soweit dies den Erwartungen des Benutzers entspricht ebd S 10 Wenn der Nutzer eine Strecke erzeugen will und die entsprechenden Objekte de finiert hat sollte sie unverz glich erzeugt werden Cabri 3D ist diesbez g lich nicht nur hinsichtlich der R c
74. M ller Sommer und seinen Kollegen 2009 zu finden sind Sie laden zu weiteren Variationen ein und zeigen dass der Reichtum der M glichkeiten gemeine Br che geometrisch darzustellen bei weitem noch nicht ausge sch pft ist 145 Geometrische Veranschaulichung und Bruchrechnung und ganz zum Schluss eine Sch leraufgabe Eine weitere Ideenquelle bieten von Sch lern selbst entwickelten Aufgaben Einige von ihnen habe ich im Zusammenhang mit Einkleidungen in Nordheimer 2010 ausf hrlicher dargestellt Eine hnliche bisher noch nicht pr sentierte Aufgabe siehe Abb 26 wurde von den Sch lern einer 6 Klasse eines Berliner Gymnasiums entwickelt laline Taga schokolade enthalt 00g PAPST Engear cl 2 EPES ACH _ af Tanke ab eing ortaik Sch g H Druck Al V4 Pan Druck g Vy Aa okai c18 a IRE Dmeck AR Mi GII I Dtucak E te wu i Di mat WR US t 4 f m Paratclogr 15 dS BEE BEE EN Abb 26 Schokolade Durch geometrische Figuren verwandelten die Sch ler gemeine Br che in Schokoladenst ckchen durch Angaben in Gramm gaben sie den Br chen Gewichte Dar ber hinaus bereitete eine Schokoladentafel von 100g den Weg f r die Prozentrechnung Aber was kann schon ein Werkzeug wie eine Tafel Schokolade ber gemeine Br che die Paradoxie des Verstehens formale Strenge der Mathematik und angemessene Anschauung sagen Literatur Eigenmann P 19
75. N 2 Ayppp n 2 Rosenbaum 1981 sowie 2 a b c SI a Unusc zer nd Ay sc _frn l l PP PP PP n 2 Uppp N 2 App n 2 Dar ber hinaus sind entsprechende Dreiecksseiten zueinander parallel und die Punkte P teilen die Teilungstransversalen im Verh ltnis n n 1 bzw n 1 F r die Teilungstransversalen hei t das 2n 1 AP3 PsPsPeA BP P P gt P B CP3 P3P2 P C n 1 n 2 gt n 2n 1 AP3 Pz3P P gt 5 BP P P4 P B CP P P amp PsC n 1 n 2 n Beweis f r AP P P siehe auch Walser 2010b c Nach Voraussetzung n telung ergibt sich A P2 PPA A Pg P6A 1 n analog C P4 P4C C Ps PC 1 n B Py4 PB B P 2 P B 1 n Folg lich sind BC P2P6 AB P4Ps und AC P P also ZBAC ZPPP B ZABC ZPPP und y ZACB ZP P gt P d h ACP4Ps ACC C 104 Ingmar Lehmann 1 also C C P4Ps CC CPy CPatP4C CP4 CP4 CP4 P4C CP 2 bzw nC C n 1 P4Ps oder AB AB P P C C 4B AC BC AB n 1 n 1 n 1 n n 2 2 n 4B 2AB n n AB 2AB n n 4B AB n 1 n n l n n n 1 n n 1 also wel analog Ne Damit sind die Dreiecke PB n 2 PR PP n 2 1 AABC und AP P4P mit dem Streckfaktor Las zueinander hnlich d h es n 2 gelten Anne c BEI und Anno 3 UAP P P n z 2 Apr n u 2 Die Eckpunkte von AP P4P teilen die Transversalen im Verh ltnis n 1 AP _ AP BP BP _CPR_CR_n PA n RA P
76. Realit t so dreht sich auch der virtuelle Raum und mit ihm die virtuelle Szene Aufgrund der Vermengung realer und virtueller Objekte spricht man dann von mixed reality oder auch augmented reali ty erweiterte Realit t Die technische Umsetzung ist heute relativ einfach m glich eine Kamera bspw eine Webcam wird mit einem Computer verbunden und vor die Kamera als reales Objekt ein sog Marker gehalten Es kann sich dabei um eine einfache Pappkartonkarte mit einem gut lesbaren nicht drehsym metrischen Muster handeln Eine Software errechnet aus der Verzerrung des Musters im Kamerabild die Lage des Markers im Raum und setzt auf das K rtchen ein Koordinatensystem so auf dass eine Achse des Systems senk recht auf der Oberfl che des K rtchens steht Wird nun ein virtuelles Ob jekt etwa ein W rfel in diesem Koordinatensystem dargestellt so bertr gt sich jede Bewegung des K rtchens jedes Kippen und Drehen direkt in eine entsprechende Bewegung des virtuellen W rfels Am Computerbildschirm wird schlie lich das Kamerabild in Echtzeit mit dem perspektivisch korrekt gezeichneten virtuellen Objekt berlagert und ausgegeben vgl Abbil dung 8 166 Markus Ruppert Jan W rler unsern ph kmerezacin i EAN Ieda Sartor Katin piot ab vu F Abbildung 8 ber einen Marker schwarz wei es Muster werden virtuelle Objekte hier ein W rfel in reale Szenen hinein gerechnet In den Raumgeometrieunterricht d
77. Sinne die technische Interaktion und Operation eines Menschen mit einem Computer durch wechselseitige Bezugnahme verstanden werden bei der sowohl der Mensch als auch der Computer unterschiedliche Wahlm glichkeiten zur Verf gung haben wobei der Mensch durch seine physischen und psychi schen Ressourcen der Computer durch die Programmierung beschr nkt ist Der Mensch kann den Verlauf des kommunikativen Aktes steuern und kontrollieren was ein ausschlie liches Bereitstellen von Informationen hinsichtlich der Begriffe interaktiv bzw Interaktion ausschlie t vgl Kerres 2001 Zur allgemeinen p dagogischen Bedeutung der Interaktivit t f r das Lehren und Lernen mit Neuen Medien und der damit verbundenen didaktischen Mehrwertgenerierung sei hier auf Strzebkowski Kleeberg In Voraussetzungen f r die Nutzung von DRGS im Unterricht Issing Klimsa 2002 S 229 245 speziell f r die Mathematikdidaktik auf Schumann 2007 verwiesen In Ermangelung der Existenz schul praktikabler Realwerkzeuge wie Zir kel und Lineal f r die Planimetrie ist direktes raumgeometrisches Kon struieren nur im virtuellen Raum m glich Ein interaktiver Zugang hierzu kann bei den zurzeit vorhandenen Ressourcen in der Schule durch DRGS erfolgen Analog den f r die ebene Geometrie konzipierten Dynamischen Geometrie Systemen DGS erm glichen DRGS dynamisches Arbeiten F r den Einsatz von DRGS im Schulunterricht sind neben der Kenntnis entsprec
78. VAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAV DNYNVYVYVVYVYYVVVVYV NYYVYYVYVYVVYVVVYVVVVV N VAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAN INVYVYYYVYYYVVVYVYVVVVVV V INVYVVVVVYVVYVVVYVIN NNVVVVVYVVVVVVVVVVVVN VAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAN NVYYVYYVYVYYVYVYVYVV VVVVVV INVNVNVVVVVVVYVVVVA AZ ZN ZN ZN ZN ZN ZN 777777771717 VAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAV VYyVyyyyyyyyvyyyyvyyyyVYYYYVYYYYVYVVYV Abb 5 Fibonacci Stern Die Fibonacci Rekursion Durch Einzeichnen eines regul ren Dreieckes in den Fibonacci Trapezen wird die Rekursion f 42 fn 1 f sofort sichtbar Abb 6 Das Trapez dient nun auch als kognitives Werkzeug In In In 2 In Abb 6 Visualisierung der Fibonacci Rekursion 190 Hans Walser Das goldene Trapez Wir normieren die Schenkell ngen der Fibonacci Trapeze auf 1 und f hren den Grenz bergang n durch F r die Fibonacci Zahlen gelten die beiden Grenzwerte vgl 5 S 879 im p 0618 und lim Mi NH 1618 n Sasi now 7n Es entsteht daher das goldene Trapez Abb 7 mit der Deckparallelenl nge p der Schenkell nge 1 und der Basisl nge T In 2 fni Abb 7 Goldenes Trapez Goldener Stern Goldene Trapeze deren Basisl ngen eine geometrische Folge mit dem Quo tienten T bilden lassen sich zum goldenen Stern zusammensetzen Abb 8 Abb 8 Goldener Stern 191 Der Baustein ist das Werkzeug Diagonale im goldenen Trapez Wie lang is
79. Veranschaulichung der Bruchrechnung auch der Deduktivit t und der An schaulichkeit der Geometrie mehr Aufmerksamkeit geschenkt werden Auch wenn die Definition des Anschauungsraums sich in der P dagogik u a wegen der N he zu Weltanschauung als heikles Thema erwies er m glicht der Begriff einen Anschluss an traditionelle und aktuelle Diskus sionen in der Didaktik vgl F hrer 2002 62 So betont beispielsweise auch Jahnke 2001 S 5 die Bedeutung des Konzepts der Anschauungsr ume f r das Verstehen Unter diesem Gesichtspunkt scheint es hilfreich zu sein den Anschauungsraum u a in Anlehnung an Holland als eine subjektive kognitive Struktur festzuhalten Der Anschauungsraum ist psychologisch nicht als ein Aktual Unendliches a priori da und argumentativ verf gbar Struve er wird im Geiste erfahrener Nichtbegrenzung ideativ konstruiert und durch Erfahrung mit geometrischen Entw rfen begrifflich angereichert F hrer 2002 S 64 Die Darstellung von Br chen durch Zeichnungen von ebenen und r umli chen Figuren der Vergleich und die Modifikation solcher Zeichnungen das Ausf hren von Bewegungen usw k nnen zum Ausbau von Anschauungs vorstellungen beitragen Bei derartigen geometrischen Repr sentationen von gemeinen Br chen spielen insbesondere Ma begriffe L ngen von Strecken Winkelgr en Fl cheninhalte Volumina eine wichtige Rolle Auch Relationen wie kongruent zerlegungsgleich hnlich sy
80. _ Gn 1 Ag Sechseck 8 3n u 1 wir schlie lich erhalten Lassen wir im Innern des Ausgangsdreiecks auch Sterne zu sto en wir auf weitere Invarianzen Sechssterne im Innern Satz 6 Die Seiten eines Dreiecks AABC seien gedrittelt Verbindet man die Drittelungspunkte mit den gegen berliegenden Eckpunkten so entstehen im Innern des Dreiecks AABC zwei Dreiecke APPP und AP P4P die sich wiederum in den Punkten R1 R2 R3 R4 Rs Re schneiden siehe Abb 11 Abb 11 P Sechsstern P RP R3P3R4P R5P5R6P6R 116 Ingmar Lehmann Es entsteht ein P Sechsstern P R gt P gt R3P3R4P4RsPsRePsR dieser P Sechs stern ist ein nichtkonvexes unregelm iges Zw lfeck mit zueinander paral lelen Gegenseiten P P PaPs AB PP P Ps AC und PPs P3P5 AC Dann gilt f r das Verh ltnis der Umf nge bzw der Fl cheninhalte Use __ 10 und A usc 2 100 f U P Sechsstern 3 Ap Sechsstem 7 Im Fall dass das Dreieck AABC gleichseitig ist besteht der P Sechsstern aus den beiden nichtkongruenten gleichseitigen Dreiecken AP P 3Ps und AP P P Neben der Drittelung der Dreiecksseiten lie e sich nat rlich auch der all gemeine Fall untersuchen jede der Dreiecksseiten wird in n gleiche Teile geteilt Stattdessen verbinden wir jetzt die Eckpunkte der beiden Sechsecke P P2P P4P5P6 und Q102 03040 06 miteinander Satz 7 Die Seiten eines Dreiecks AABC seien gedrittelt Verbindet man die Drittelungspunkte mit den gegen
81. alb des Unterrichts existiert bezahlbar und auch anwendbar ist Wir zeichnen daher f nf Wege in die Zukunft von denen wir glauben dass sie f r den Unterricht im Jahr 2020 relevant sein k nnten WEG I Die 6 D Maus Heute erg nzt die Computermaus am PC selbstverst ndlich die Eingabe von Steuerbefehlen durch eine Tastatur Die Bewegung der Maus auf dem Tisch wird im Rechner als Bewegung des Mauszeigers auf dem Bildschirm umge setzt es handelt sich also um einen x y Controller F r das Konstruieren im Zweidimensionalen ist das ausreichend da jeder Punkt auf dem Zeichen blatt mit der Maus erreicht werden kann 2D DGS werden heute daher in der Regel durch das Setzten von Punkten in der Ebene bedient Um im virtuellen dreidimensionalen Raum navigieren und schlie lich auch konstruieren zu k nnen sind zus tzliche Steuerbefehle oder konzepte er forderlich So wird in professioneller 3D Modellierungssoftware etwa 3D Studio Max Maya eine Dreitafelansicht zum Konstruieren herangezogen Jede der Ansichten ist hier eine 2D Projektion der Raumszene deshalb kann hier mit der Maus wie im Zweidimensionalen operiert werden Bei 3D Software f r den Mathematikunterricht bewegt sich der Mauscursor ebenfalls in zweidimensionalen Teilr umen n mlich beispielsweise auf einem virtuellen Zeichenblatt Cabri 3D oder aber in der Bildschirmebene Archimedes Geo3D Durch Rotieren und Verschieben der Szene k nnen 157 Raumgeometriesoftware und
82. alls beant worten und es gibt auch keine eindeutige Antwort darauf Betrachten wir das erste Beispiel Rutschende Leiter so d rfte die Antwort wohl eher ohne Computer lauten In diesem Falle wird sich Computernutzung kont raproduktiv auf die Entwicklung von L sungsstrategien f r geometrische Probleme auswirken da der Computer das Ergebnis von selbst pr sentiert 33 Problemorientierte geometrische Aufgaben mit oder ohne Computer und dabei eine Evidenz vort uscht die f r viele Sch ler auch die Frage nach dem warum berfl ssig erscheinen l sst Hingegen verdeutlichen die beiden anderen Beispiele insbesondere das Dreibogeneck dass eine dy namische Geometriesoftware bei der Findung eines L sungsweges behilf lich sein kann ohne anspruchsvolle inhaltliche berlegungen zu geometri schen Eigenschaften und Zusammenh ngen berfl ssig werden zu lassen Gerade die wichtige heuristische Strategie R ckw rtsarbeiten kann bei der Bearbeitung daf r geeigneter Aufgaben durch die Untersuchung mit dem Computer erzeugter ungef hr passender L sungen unterst tzt wer den Dynamische Geometriesoftware sollte daher ein fest etabliertes Werk zeug im Geometrieunterricht des Jahres 2020 sein allerdings keinesfalls das Zeichnen mit Papier und Bleistift vollst ndig verdr ngen Literatur Elschenbroich H J Gawlick T Henn H W 2000 Zeichnung Figur Zugfi gur Hildesheim F
83. als Teile mehrerer Ganzen bzw gemischte Zahlen In der Teilauf gabe 1d wird dar ber hinaus die R umlichkeit herangezogen Besonderes interessant ist die Aufgabe 1b weil hier das Ganze nicht wie in den ande ren Aufgaben aus kongruenten und inhaltsgleichen Anteilen besteht Sie kann nur durch Sch tzen gel st werden Da die Teilfiguren nicht gef rbt sind kann die Aufgabe auch so interpretiert werden dass der Z hler Null ist Demnach w re die Aufgabe nicht l sbar Schlie lich ist die Teilaufgabe le durch eine weitere Unterteilung in Teilrechtecke zu l sen 126 Swetlana Nordheimer Mathematik Klasse 5 Bruchdarstellungen und anteile 1 Welcher Bruch ist dargestellt 7 a c d f 9 2 Begr nde welche Br che aus Nr 1 echt und welche unecht sind Benutze dabei bitte Fachbegriffe 6 3 Erkl re bitte an einem eigenen Beispiel wie man gemischte Zahlen in unechte Br che umwandelt Extrablatt 3 4 Zeichne folgende Br che als Grafik auf die R ckseite 7 3 1 110 und 2 4 3 R 15 Abb 2 Vergleichsarbeit Aufgaben 1 4 In der 2 Aufgabe werden Begriffe wie echte und unechte Br che mit Hilfe von gegebenen Bildern abgefragt Diese Aufgabe hat sehr wenig mit Dar stellungen zu tun Auch die n chste Aufgabe zielt eher auf arithmetische Umwandlung als auf geometrische Darstellung Die 4 Aufgabe ist die Um kehrung der 1 Aufgabe Hier sollen die Sch ler geometrische Darstellun gen sogar sel
84. an deren zumindest teilweise Beant wortung in den n chsten Jahren gearbeitet werden sollte 15 Werkzeuge im Geometrieunterricht Ziele und Visionen 2020 1 Wie wird die Beziehung zwischen traditionellem Unterricht Tafel Heft und digitaler Unterrichtswelt sein 2 Welchen Einfluss werden mobile neue Technologie und neue Entwick lungen wie 3 D Bildschirme auf die Ziele und Inhalte des Geometrieun terrichts 3 Welche neuen Kompetenzen sind bei Sch lerinnen und Sch lern f r einen effektiven Einsatz neuer Technologien erforderlich Hoffen wir dass wir 2020 der Beantwortung dieser Fragen zumindest einen Schritt n her gekommen sind Literatur Bartolini Bussi B Mariotti M A 1999 Semiotic mediation from history to the mathematics classroom Learn Math 19 No 2 27 35 Brehmer A Hrsg 1910 Nachdruck 2010 Die Welt in 100 Jahren Nachdruck 2010 Georg Olms Verlag Hildesheim Churchhouse R F Ed 1986 The Influence of Computers and Informatics on Mathematics and its Teaching ICMI Study Series Cambridge University Press Claus V Perspektiven der Informatik login 10 1990 H 6 43 47 Dyson F J 2000 Die Sonne das Genom und das Internet Fischer Verlag Frank furt GDM u MNU 2010 Stellungnahme der Gesellschaft f r Didaktik der Mathematik GDM sowie des Deutschen Vereins zur F rderung des mathematischen und na turwissenschaftlichen Unterr
85. artmann 1999 Hellmich Hartmann 2002 Cohen 2005 175 Die Suche nach der angemessenen Darbietung r umlicher Strukturen Bei der Auseinandersetzung mit den aktuellen Forschungsfeldern fallen mehrere Aspekte auf deren genauere Betrachtung sinnvoll erscheint So stehen die meisten Forschungen in der Tradition der Psychologie und haben ihre prim ren Fragen kaum unmittelbar f r den Unterricht gestellt Die Beschreibungen der zu vergleichenden Rotationsk rper beschr nken sich im Allgemeinen auf den Rotationswinkel eine Betrachtung weiterer Attri bute wie z B Anzahl der Fl chen Ecken usw blieb bisher zumeist aus Aussagen bzgl der Pr sentationsarten und deren Wirkung auch im Zu sammenhang mit Trainingswirkungsevaluationen wurden bisher nicht hinreichend pr zise beschrieben Hieraus ergeben sich entsprechende For schungsfragen Forschungsfragen Die hier vorgestellte Arbeit sieht ihren Schwerpunkt im Bereich der Unter richtsoptimierung das r umliche Vorstellungsverm gen betreffend Hierbei soll vor allem gepr ft werden inwieweit es m glich ist r umliche K rper hinsichtlich ihrer Komplexit t zu beschreiben Des Weiteren ist von Interes se welche Pr sentationsform f r einen Lernenden ganz individuell optimal ist Als Untersuchungsk rper werden regul re und halbregul re K rper gew hlt Dabei sind zwei Forschungsfragen zentral e Wie stark profitieren verschiedene Leistungsgruppen von den Pr senta tion
86. as Grafiktablett Bamboo Pen amp Touch stellt dem Benutzer die Wahl zwischen einem Eingabestift und den eigenen Fingern als Eingabecontroller frei 162 Markus Ruppert Jan W rler Im mathematischen Umfeld werden solche Gesten etwa durch die Schrift und Formenerkennung der SMART Notebook Software die automatische Skizzenerkennung im DGS Cinderella oder das Sketch Tool von Algodoo unterst tzt n herungsweise aufgemalte Kreise werden im Computer in ideale Kreise verwandelt wackelige Rechtecke in saubere Figuren usw In vielen F llen hat man den Bedienstift heute durch den menschlichen Finger als Eingabecontroller ersetzt Ber hrungsempfindliche Oberfl chen erlauben es virtuelle Tastaturen wie auch bei Handys PDAs zu bedie nen digitale Dokumente mit einem Finger weiter zu bl ttern oder virtuelle Konstruktionen per Fingerzug dynamisch zu variieren wie z B die Bedie nung von GeoGebra am interaktiven Whiteboard Eine Weiterentwicklung im Bereich ber hrungsempfindlicher Oberfl chen bilden sogenannte Multitouchoberfl chen Diese k nnen die Ber hrung durch einen Finger von der Ber hrung durch mehrerer Finger unterscheiden und so entsprechend auch anders deuten Dadurch kann die Bedienung eines Computers auch intuitiver werden sofern die Multitouchgesten an den na t rlichen Umgang mit Objekten angelehnt sind So ist z B die Verwendung von Daumen und Zeigefinger als Zirkel denkbar um in DGS Kreise zu
87. as ist leider nur die offene Strecke Strecke ohne ihre Endpunkte D Eine Strecke ist die k rzeste Verbindung zweier verschiedener Punkte informell ok aber was hei t das k rzeste Verbindung D Eine Strecke ist die Vereinigung ihrer inneren Punkte mit ihren Endpunkten Was ist das Innere einer Strecke o Eine offene Strecke ist die Menge aller Punkte die zwischen zwei gegebenen verschiedenen Punkten liegen Die beiden gegebenen Punkte hei en Endpunkte dieser offenen Strecke Die Vereinigungsmenge einer offenen Strecke mit der Menge ihrer beiden Endpunkte ist die Strecke die durch die beiden Endpunkte bestimmt ist gute lee wenn man die Formelsprache meiden m chte dann ist es einfacher erst den Begriff der offenen Strecke sprachlich zu kl ren OAB P AP PB AB Kein Knoten in der Zunge daf r nach der Formeleingabe in den Fingem DAB P Zw A P B U A B dasselbe wie grad zuvor warm D Eine Strecke ist eine beliebige konvexe Teilmenge einer Geraden _W re eine sch ne Definition Allerdings haben wir den Begriff der konvexen Menge ber den Begrif der Strecke definiert Typischer Fall sich im Kreis zu drehen Abb 6 Weiterer Screenshot eine Multiple Choice Tests im Kontrollmodus Satellites W hrend des Sommersemesters 2010 kreisten die Inhalte einiger anderer Lehrveranstaltungen thematisch um die Lehrveranstaltung Einf hrung in die Geometrie Die Studierenden dieser Lehrverans
88. assen sich erkennen Synergie Bez glich der fr heren Arbeitsweise des Autors die u a darin bestand einzelne Mails der Studierenden zu fachlichen Fragen der Vorlesung zu beantworteten diese dann ggf zu anonymisieren und schlie lich f r alle Studierenden ins WEB zu stellen ist die sofortige Arbeit in der ffentlich keit eine Arbeitserleichterung Hinzu kommen nat rlich die positiven Effek te einer Diskussion der Studierenden untereinander Die alte Arbeitsweise per Mail w re mit einem Sch ler Lehrer Zwiegespr ch zu vergleichen w hrend die neue Arbeitsweise mit dem Wiki einem echten Unterrichtsge spr ch in das fast alle Sch ler involviert sind gleichkommen w rde 50 Michael Gieding Mitunter kl ren sich die Probleme in der Diskussion der Studierenden un tereinander ohne dass der Dozent eingreifen muss Anonymit t Auch wenn in einem lehrveranstaltungsbegleitenden Wiki die Anonymit t der Teilnehmer nur bedingt gew hrleistet sein kann tr gt doch der Umstand einer h heren Anonymit t als in einer Lehrveranstaltung dazu bei eher fachlichen Kontext in die Diskussion einzubringen obwohl man sich ber die Richtigkeit der eigenen Ausf hrungen gar nicht so sicher ist Das Prob lem einer pers nlichen Blamage vor den anderen Kommilitonen scheint doch erheblich gr er zu sein als man annehmen mag Identifizierung typischer Fehlvorstellungen und fachlicher Fehler der Stu dierenden Ein Beispiel soll
89. assung Instru mentalization wird das Ger t der T tigkeit des Benutzers angepasst durch Ver nderung von Men s Einrichten von Makros Programmieren oder Definieren von Befehlen In der Entwicklung dieser instrumentellen Wech selbeziehung instrumental genesis wird ein Ger t zu einem Instrument oder Werkzeug mit dem sowohl technisches Wissen oder Bedienungswis sen als auch Wissen ber seinen ad quaten Einsatz beim Benutzer einher geht Die zentrale Aufgabe besteht nun darin die Lernumgebung oder die instrumentelle Orchestrierung zu entwickeln in der diese Werkzeugent wicklung vor sich geht Erwartungen Mit neuen Medien und Werkzeugen waren stets auch Erwartungen und Hoffnungen verbunden So ist Thomas Alva Edison 1847 1931 nach der Erfindung des Tonfilms der Meinung Der Film wird unser Erziehungssystem revolutionieren In ein paar Jahren wird er weitgehend wenn nicht sogar vollst ndig den Gebrauch von B chern ersetzen 1922 In gleicher Weise meinte Arnold Schwarzenegger Gouverneur von Kali fornien am 9 Juni 2009 Schulb cher sind veraltet und es gibt keinen Grund warum unsere Sch ler dazu gezwungen werden sollten diese antiquierten schweren und teuren Schul b cher herumzuschleppen Solche Erwartungen waren auch mit mathematischen Werkzeugen verbun den So wurde etwa zu Beginn des 20 Jahrhunderts die Einf hrung des Rechenschiebers in den Mathematikunterricht kontrovers diskutiert In s
90. auung wird sogar zur Voraussetzung des Verstehens Dieser Gedanke findet sich in einem von Vollrath formulierten Paradoxon des Verstehens wieder Strenge berlegungen kann man nur verstehen wenn man bereits anschauliche Vorstellungen davon hat Angemessene anschauliche Vorstellungen k nnen sich nur aus strengen Betrachtungen entwickeln Vollrath 1993 S 18 Demnach ist das Verstehen der Mathematik und insbesondere der Regeln der Bruchrechnung scheinbar unm glich Doch dieser Schlussfolgerung widersprechen die Erfahrungen von Sch lern und Lehrern vgl Vollrath 1993 S 8 Ja jeder von uns Teilnehmern dieser Tagung meint etwas unter 122 Swetlana Nordheimer Bruchrechnung zu verstehen Was verstehen Sie z B unter der Regel f r die Division von Br chen Wie k nnen Sie diese anschaulich machen bzw in Geometrie bersetzen Inwiefern kann geometrische Veranschaulichung zum Verst ndnis beitragen Kann eine Veranschaulichung das Verst ndnis gar beeintr chtigen indem sie Sch ler verwirrt Je nach Interpretation des Antwortenden sind unterschiedliche Antworten sinn voll m glich die Teilaspekte jeweils betonen k nnten Die Regel f r die Divisi on beschreibt die algorithmische Verfahrensweise die geometrische Veran schaulichung fordert einen intermodalen Transfer in Anwendungssituationen kann die geometrische Anreicherung eventuell auch eine kognitive berlastung zur Folge haben wenn nur das arithmetische Ergebnis schnel
91. bri 3D ist eher f r die Mittelstufe speziell f r Haupt und Real schulen geeignet als Archimedes Geo3D 3 Cabri 3D ist eher f r j ngere Sch ler geeignet als Archimedes Geo3D 4 Archimedes Geo3D ist eher f r Gymnasien speziell f r die Sekundar stufe II geeignet als Cabri 3D Interessant w re in diesem Zusammenhang auch die Forschungsfrage ob signifikante geschlechtsspezifische Unterschiede in der Beurteilung intui tiver Benutzeroberfl chen von DRGS existieren und wenn ja wie gro die entsprechenden Effekte sind Wie k nnten diese Hypothesen empirisch berpr ft und weitere For schungsergebnisse generiert werden Zahlreiche Forschungsdesigns zur Beantwortung dieser Hypothesen sind denkbar Erw hnt seien hier exemplarisch einige Zug nge aus der qualitati 65 Voraussetzungen f r die Nutzung von DRGS im Unterricht ven und quantitativen empirischen Bildungsforschung wie Usabilitytests Videoanalysen Eye Tracking Interviews oder printmediale oder webba sierte Frageb gen Mit Hilfe des Fragebogens zur ISONORM 9241 10 wie er bspw von Pr mper Anft seit 1993 vorliegt w ren einfach handhabbare praktikable und aussagef hige empirische Untersuchungen m glich Vorge nannter Fragebogen ist gem Pr mper 1997 und Br utigam 2008 valide reliabel empirisch getestet ben tigt keine vorbereitende Schulung und ist praktikabel hinsichtlich Aufwand und Verst ndlichkeit Er erm glicht so eine Operationalisier
92. bst anfertigen Es handelt sich hierbei um eine sehr offene Aufgabe denn die Sch ler haben die M glichkeit selbst geometrische Objekte zur Darstellung zu w hlen Bei der 3 Aufgabe wird dem Sch ler berlassen ob er graphische Darstellungen benutzt oder nicht Somit sehen wir hier ein Beispiel daf r wie knapp gehaltene Lehrplanem pfehlungen von einer Lehrerin die in einer 5 Klasse unterrichtet interpre tiert werden k nnen Nach Aussage der Lehrerin fiel die Arbeit gut aus Die Arbeit zeigt das Interesse der Lehrerin an der Thematik was f r eine Zu sammenarbeit entscheidend ist Daher soll die Klassenarbeit als Ankn p fungspunkt f r die Entwicklung entsprechender Unterrichtsmaterialen ge w hlt werden Zun chst ist ausgehend von der Aufgabe le nach weiteren 127 Geometrische Veranschaulichung und Bruchrechnung geometrischen Darstellungen von gemeinen Br chen zu suchen die sich nicht nur auf kongruente Figuren beziehen Als Repr sentationen von Br chen k nnen den Sch lern geometrische Figuren angeboten werden die zuerst mit Hilfslinien in kongruente Figuren unterteilt werden m ssen um das Verh ltnis der Fl cheninhalte und somit den zu repr sentierenden Bruch zu bestimmen Derartige Unterteilungen k nnen auch etwas anspruchsvolle re geometrische berlegungen ber cksichtigen Vorschl ge f r die 5 Klasse Darstellen K rzen Erweitern Nachdem die F nftkl ssler die in Abb 2 wiedergegebene Arbeit
93. cation and Technology Rethinking the Terrain The 17th ICMI Study Springer New York a o ZDM The International Journal on Mathemat ics Education 42 7 801 808 Winkelmann B Taschenrechner und Fachdidaktik Einige Strategische Perspekti ven ZDM 10 1978 153 159 17 Werkzeuge im Geometrieunterricht Ziele und Visionen 2020 18 Problemorientierte geometrische Aufgaben mit oder ohne Computer Andreas Filler Zusammenfassung In diesem Beitrag wird der Frage nachgegangen inwiefern Computernutzung die Kreativit t von Sch lern beim L sen geometrischer Aufgaben anregt oder ob dynamische Geometriesoftware indem sie zus tzliche L sungsm g lichkeiten zur Verf gung stellt problemorientiertes Denken eher verhindert Dazu werden exemplarisch ausgew hlte Aufgaben betrachtet und Erfahrungen geschildert die innerhalb eines Sch lerzirkels mit mathematisch interessierten Sch lerinnen und Sch lern siebter und achter Klassen bei der L sung dieser Aufgaben gesammelt wurden Rutschende Leiter Eine Leiter steht an einer Mauer und rutscht langsam an der Mauer nach unten Welchen Weg beschreibt der Mittelpunkt der Leiter Begr nde deine Antwort Diese Aufgabe beinhaltet unabh ngig von den zu ihrer L sung verwende ten Werkzeugen ein Problem dynamischer Geometrie denn es ist die Kurve zu ermitteln die ein Punkt beschreibt der sich in Abh ngigkeit von der Lage einer Strecke ver ndert
94. ch ler dieser Klasse wussten was die Lehrerin beispielsweise unter der Frage Welche Br che sind dargestellt versteht habe ich an der Stelle auf die Modifikation der Fragestellung verzichtet Im Nachhinein hat sich herausgestellt dass die Kreise um die Vierecke in der ersten Aufgabe die Sch ler eher irritiert haben Beim L sen der 1 Auf gabe diskutierten die Sch ler zun chst was als Ganzes gelten kann und ob die Kreisteile dazu geh ren Mit der Begr ndung es w re schwer den Kreis weiter in gleiche Teile einzuteilen entschieden sie sich dann f r die Umriss Sechsecke als entsprechenden Ganzen Eine Gruppe schnitt die Figur aus und versuchte die Aufgabe durch Auslegen zu l sen In einer anderen Gruppe wurden zus tzliche Radien eingezeichnet und die Figur somit wei ter unterteilt Ber cksichtigung von Symmetrien erleichterte das Z hlen So wurde das gesamte Sechseck in sechs gleiche Dreiecke eingeteilt Jedes dieser Dreiecke entsteht wiederum aus sechs kleineren Dreiecken Das Sechseck enth lt demzufolge 36 Dreiecke Abb 4 Das weitere Unterteilen zeigt dass die erreichten Teile untereinander fl chengleich sind und dass ihre Anzahl w chst Da die Anzahl der gleich gro en Teile die das Ganze repr sentieren und die Anzahl der Teile die den Bruch repr sentieren um den gleichen Faktor gr er werden kann dadurch Erweitern repr sentiert werden Analog kann auch das Erkl ren des K rzens geometrisch unter st tzt werd
95. ch der Konstruktion einiger Punkte auf Papier und der Vermutung dass alle Punkte auf einem Viertelkreis liegen durchaus die Notwendigkeit einer exakten Begr ndung bzw eines Bewei ses Hingegen war das Ergebnis nach der Konstruktion mithilfe der Soft ware f r sie derart evident dass begr ndende berlegungen nur noch schwer motiviert werden konnten Die Aufgabe stellt somit ein Beispiel daf r dar wie eine mit traditionellen Mitteln durchaus anspruchsvolle berlegungen erfordernde Aufgabe durch den Einsatz einer dynamischen Geometriesoftware lediglich F higkeiten in der Nutzung der Software erfordert Derartige F higkeiten erwerben Sch ler erfahrungsgem schnell F r die Entwicklung geometrischer Anschau ung sowie von Probleml sef higkeiten die ber die Nutzung technischer Hilfsmittel hinausgehen wird hiermit jedoch nicht viel erreicht 21 Problemorientierte geometrische Aufgaben mit oder ohne Computer Neben der erw hnten L sung mithilfe von Papier und Bleistift ist es auch denkbar die Auseinandersetzung mit der Aufgabe Rutschende Leiter v llig ohne Hilfsmittel als Vorstellungs bung zu beginnen einen interes santen Vorschlag hierzu beschreibt Weber 2010 S 136ff Es sei erw hnt dass die Verwendung des Spurkurvenwerkzeugs zwar bei der hier vorgestellten Aufgabe zu einer unmittelbaren L sung f hrt und anspruchsvollere berlegungen eher verhindert Bei anderen Aufgaben kann jedoch eine v llig
96. ch gemacht werden sollen damit dieser sich eigene Ordnungsschemata und Merk regeln aufbauen kann ebd Zur Verdeutlichung wird hier exemplarisch auf das Online Hilfe Fenster in Cabri 3D verwiesen Durch die Online Hilfe in Cabri 3D kann sich der Benutzer Informationen ber das Modell auf dem die Anwendung aufgebaut ist anzeigen lassen ebd Dieses Fenster nimmt immer den gleichen Platz auf dem Bildschirm ein und kann dennoch benutzerdefiniert verschoben werden Der Nutzer erh lt so bspw Informationen ber das zuvor ausgew hlte Werkzeug In Cabri 3D wird das Learning by doing dadurch unterst tzt dass der Benutzer ermutigt wird zu experimentieren in unterschiedlichen Situa tionen Beispiele durchzuspielen Was w re wenn Alternativen anzu wenden ohne dass die Gefahr besteht potentiell katastrophale Ergebnisse herbeizuf hren ebd 61 Voraussetzungen f r die Nutzung von DRGS im Unterricht S Das Prinzip der bersichtlichkeit Ein DRGS soll sich den Sch lern bersichtlich darstellen Das betrifft die zeitliche und rtliche Organisation grafischer und verbaler Informationen auf dem Bildschirm deren Kodierung und Wahrnehmbarkeit Screen De sign vgl Schumann 2007 So sollten etwa die Men leiste die Werkzeug leiste und das Zeichenblatt entsprechend grafisch getrennt sein TP Prinzip der Transparenz Die Werkzeugleiste sollte beispielswe
97. ch zu un genau Die Auswertungen legen die Annahme nahe dass die Anzahl der Au enfl che Kanten und Ecken drei Variablen in einem Variablen komplex darstellen und somit Einfluss auf die Gesamtkomplexit t haben d rften Weitere Eigenschaften z B Fl chenwinkel Rotationsebenen Au enfl chenkomposition usw werden zu ber cksichtigen sein deren gegenseitige Einfl sse und Gewichtungen schwer zu beurteilen sein d rften vgl auch Shepard Metzler 1971 Gl ck Kaufmann et al 2005 ter Horst van Lier et al 2010 Die differenzierte Komplexit tsgradana lyse gibt den Hinweis dass Sch ler unterschiedlicher Leistungsklassen ein hnlich relatives Komplexit tsgradempfinden haben LITERATUR Ahmad R Khairulanuar S 2009 Practising mental rotation using interactive Desktop Mental Rotation Trainer iDeMRT In British Journal of Educational Technology Volume 40 Number 5 S 889 900 12 Birkel P Schein S A Schumann H 2002 Bausteine Test BST Ein Test zur Erfassung des r umlichen Vorstellungsverm gens G ttingen u a Hogrefe Cohen C A 2005 The Influence of Spatial Ability on the Use of Dynamic Inter active Animation in a Spatial Problem Solving Task In Barkowsky T Freksa C Hegarty M Lowe R Hg Reasoning with Mental and External Diagrams Computational Modeling and Spatial Assistance California Menlo Park Franke M 2009 Didaktik der Geometrie in der Grundschule 2 Aufl
98. che Aufgaben mit oder ohne Computer Abb 7 Konstruktionsaufgabe L sung mit DGS In Bezug auf die zuletzt genannte Frage wurde festgestellt dass der Abstand vom Fu punkt F des Lotes zu B wahrscheinlich 6 cm betr gt wenn das Ziel AC 3S erreicht wird Daraus konnte nun eine hypothetische Konstruktionsvorschrift entwickelt werden siehe Abb 8 e Konstruiere einen Halbkreis ber dem Durchmesser AB e Markiere auf der Strecke AB den Punkt F dessen Abstand zu B 6 cm betr gt e Errichte in F die Senkrechte zu AB und markiere den Schnittpunkt S dieser Senkrechten mit dem zuvor konstruierten Halbkreis e Zeichne die Gerade durch A und S und markiere ihren Schnittpunkt mit h Dieser ist der gesuchte Punkt C C h A F 6cm B Abb 8 Konstruktionsaufgabe Konstruktionsvorschrift Eine Begr ndung dass mit dem so konstruierten Punkt C tats chlich AC BS ist l sst sich durch F llen des Lotes von C auf g f hren Ist C 24 Andreas Filler der Fu punkt dieses Lotes so sind die rechtwinkligen Dreiecke AAC C und ASFB wegen BF cc sowie gleich gro er Winkel bei A und S kongruent woraus die Behauptung folgt Um diese Begr ndung zu finden wurde den Sch lern der allgemein gehaltene Hinweis gegeben in der Konstruktion nach kongruenten Dreiecken zu suchen in welchen die beiden Strecken als Seiten auftreten Eine alternative L sung des Problems best
99. chiede nen Schultypen verschiedenen Alters bzw Klassenstufen Sch lern aus verschiedenen Bundesl ndern etc rekrutiert werden Von der Rekrutierung von Studierenden als Probanden sei vor dem Hintergrund der Nutzung von DRGS im Unterricht abgeraten Bortz D ring 2006 S 74 Wie kann das Lernen unterst tzt werden Im Rahmen empirischer Untersuchungen an acht zuf llig ausgew hlten allgemein bildenden Realschulen in Baden W rttemberg Knapp 2010 wurde festgestellt dass ber 85 der 427 befragten Sch ler der achten Jahrgangsstufe keines der 2D DGS Euklid DynaGeo Cabri I II II Plus oder Cinderella kannten Gest tzt wird dieses Ergebnis zudem von der vier zehnj hrigen schulpraktischen Erfahrung des Autors an verschiedenen Schulen und dem Austausch mit KollegInnen ber obige DGS sowie ber Geonext und Zirkel und Lineal Die Kenntnis und der sichere Umgang der Lehrkr fte sowie die Installation dieser Programme im Schulnetzwerk sind notwendige aber nicht hinreichende Bedingungen um ihre Integration in den Unterricht zu erforschen Diese Problematik wird in Untersuchungen mit Lehrkr ften oder Lehramtsstudierenden leider gelegentlich vergessen 67 Voraussetzungen f r die Nutzung von DRGS im Unterricht Von einem fl chendeckenden Einzug Einsatz oder gar Siegeszug von DGS im Mathematikunterricht kann daher noch nicht ausgegangen werden DRGS wie Cabri 3D oder Archimedes Geo3D sind zum jetzigen Zeitpunkt in der Schulpraxi
100. d s mtliche auch di daktischen Aspekte diskutierender Beitrag sein Vielmehr ist dies als erste Skizze gedacht die in Zukunft durch weitere Texte theoretische Untersu chungen konkrete Aufgabenbl tter berpr fungen in der Praxis etc er g nzt werden muss Der Text stellt also nur den Beginn eines l ngerfristigen Projektes dar Trotzdem sollen hier wenigstens einige Aspekte hervorgehoben werden Ganz zentral ist dass bei der vorgeschlagenen Herangehensweise der oft beklagte und meist auf Graphen von Funktionen f R R beschr nkte Kurvenbegriff von Beginn an allgemeiner gehalten wird In vielerlei Hin sicht liefert das Konzept au erdem schon durch die oben beschriebenen Beispiele reichhaltige M glichkeiten das Spiralprinzip umzusetzen etwa wenn bei der Behandlung der Kreisgleichung x y r bereits auf hn liche Gleichungen und Bilder zur ckgegriffen werden kann Zus tzlich stellt sich heraus dass m glicherweise einige zentrale L cken in der Land schaft der Schulmathematik geschlossen werden k nnen wenn algebraische Kurven und Fl chen eingesetzt werden Nehmen wir nur die weiter oben erw hnte Tatsache dass man im bisherigen Unterricht zwar ber die Ach sensymmetrie von Funktionsgraphen ausf hrlich redet doch die nahelie gende Betrachtung von Rotationssymmetrien innerhalb des gesteckten Rahmens schon f r Drehungen um 90 au en vorlassen muss ganz im Gegensatz zu der Entsprechung bei algebraischen Kurv
101. daktik der Geometrie angefertigt wurde Lehren und Lernen mit digitalen Medien Zentrales Thema der Lehrveranstaltung Lehren und Lernen mit digitalen Medien war im Sommersemester 2010 der Einsatz und die Generierung von digitalen Videos f r den Unterricht bzw die Lehre an der PH Ein Teil der Studierenden nahm hierzu die Vorlesung mit einer digitalen Videoka mera auf bearbeitete das aufgenommene Material und stellte es ber You Tube f r das Geometrie Wiki zur Verf gung Ein anderer Teil der Studie renden nahm eigene Videos auf wie etwa ein Video zum Einstiegsbeispiel der Vorlesungsreihe Wie Eratosthenes die Erde verma Wieder andere Studierende skizzierten mittels eines Captureprogrammes Beweisideen f r zentrale S tze der Vorlesung Erstellen von Multimedianwendungen f r den Unterricht Es ist bereits seit Jahren Tradition dass die Studierenden dieser Lehrveran staltung u a Flashapplikationen zur Unterst tzung der Lehre generieren Da der Durchf hrende dieser Lehrveranstaltung sich in starkem Ma e der Geo 43 Ein Wiki f r die Lehrveranstaltung Einf hrung in die Geometrie metrie verpflichte f hlt handelt es sich dabei h ufig um Applikationen f r die Geometrieausbildung an der PH Heidelberg Haus der Vierecke gt A 20 EM 2 I 9 Ti BE El ee E Aufgabe F ge die Vierecke so ein dass das Haus der Vierecke entsteht Abb 8
102. de die Konstruktion nun schon erkennbar genauer Abb 12 2T Problemorientierte geometrische Aufgaben mit oder ohne Computer s X M c Abb 12 Dreibogeneck Erste Verbesserung F r die weiteren berlegungen ist es nun entscheidend die Tangentenbe dingung d h jeweils zwei Kreise sollen in den Punkten A B und C ge meinsame Tangenten besitzen zu durchdenken und daraus Bedingungen f r die Konstruktion abzuleiten Dazu wurde mit den Sch lern herausgearbeitet dass bei zwei sich ber hrenden Kreisen die Mittelpunkte der Kreise und der Ber hrpunkt auf einer Geraden liegen m ssen Abb 13 Dies gilt nat rlich auch f r den Ber hrpunkt zweier Kreise von denen einer innerhalb des anderen liegt Abb 13 Tangentenbedingung Unter Anwendung dieser Bedingung war nun eine fast exakte Konstrukti on m glich Dazu wird einer der Kreismittelpunkte in Abb 14 Map zu n chst willk rlich auf der zugeh rigen Mittelsenkrechten festgelegt Durch Mag und A wird eine Gerade konstruiert Der Mittelpunkt Mac des Kreises durch A und C muss auf dieser Geraden sowie auf der Mittelsenkrechten von AC liegen Durch diesen Schnittpunkt und C wird erneut eine Gerade konstruiert welcher der Mittelpunkt Mgc abgeh ren muss Schlie lich wird die Gerade durch Mgc und B konstruiert Wenn der Schnittpunkt S dieser Geraden mit dem zun chst willk rlich festgelegten Punkt Mag berein 28 Andreas Filler stimmt sind die B
103. den ist in der hier angedachten Konsequenz aber wohl noch nicht vorgestellt wurde vermutlich auch weil die heute verf gbare Computersoftware neue M glichkeiten er ffnet 74 Oliver Labs Algebraische Kurven und Fl chen Eine reelle ebene algebraische Kurve vom Grad d ist die Menge all jener Punkte x y eR die eine polynomielle Gleichung f x y 0 vom Grad d mit reellen Koeffizienten erf llen Da hier keine anderen Kurven disku tiert werden wird der K rze wegen meist nur von Kurven die Rede sein Im gesamten Text werden die Buchstaben x y die Koordinaten der Ebene be zeichnen andere Buchstaben werden entweder f r Zahlen typischerweise a b c oder f r Kurven meist f g h stehen Ein erstes Beispiel f r eine solche Kurve ist in Abb I zu sehen Wir ber pr fen beispielhaft f r einige Punkte ob sie die dort angegebene Bedingung f amp y x y x 0 erf llen falo 0 r 1 0 1 0 f 316 3 6 3 9 36 27 0 fr2 9 2 4 22 4 16 8 4 Der letzte berpr fte Punkt 2 4 liegt also im Gegensatz zu den ande ren zweien nicht auf der Kurve yA x Abb 1 Die Kurve mit Gleichung x y x 0 da Newton sich bereits mit ihr und verwandten Kurven besch ftigte wird sie oft Newtonscher Knoten genannt Ersetzt man Aufgaben wie jene in Abb 2 durch derartige berpr fungen so erhalten diese einen geometrischen Kontext b 5 4 d 3 2
104. der zu behandeln um unser Denken nicht erst k nstlich auf zwei Dimensionen zu beschr nken Er erkennt aber auch dass sich die Arbeit mit Modellen geometrischer Grundk rper schnell im Kennenlernen einfachster Grundbegriffe und Lagebeziehungen ersch pft und sieht deshalb die Notwendigkeit r umliche Konstruktionen zeichnerisch durchf h ren und K rper auf die Ebene abbilden zu m ssen Dabei ergeben sich jedoch weitere Probleme Lassen sich z B Schnitte ebener Figuren mit Papier und Bleistift ohne Informationsverlust darstellen ist man bei der Darstellung analoger Situationen im Raum auf komplizierte Schr gbildkon 151 Raumgeometriesoftware und ihre Schnittstellen zum Menschen struktionen angewiesen die zudem gewisse Informationen nur implizit enthalten Stellen Zirkel und Lineal einfach zu handhabende Werkzeuge der ebenen Geometrie dar sind analoge Werkzeuge f r r umliches Konstruie ren nicht realisierbar Diese Gr nde trugen dazu bei dass die Ideen der Fusionisten in der Ges taltung von Lehrpl nen und in der Entwicklung von Schulb chern bislang keinen Niederschlag fanden Erst G Becker 1992 greift diese Ideen wie der auf und macht konkrete Vorschl ge wie mittels Analogiebildung eine Integration von ebener Geometrie und Raumgeometrie gelingen kann So schl gt Becker z B vor r umliche Objekte als Anla zur Begriffsbildung und Untersuchung ebener Objekte oder ebene Sachverhalte als
105. der besonders einfachen Form von Polynomen oder rationalen Funktionen als Koordinatenfunktionen falls doch so wird die Kurve als rational bezeichnet aber f r viele historisch relevante Kurven schon s z B Schmidt 1949 Wieleitner 1908 F r den Unterricht wurde dies auch in neuerer Zeit schon mehrfach aufgegriffen da man rationale Kurven auch als Ortskurven von Konstruktionen mit Zirkel und Lineal sogar nur mit Lineal erh lt und dabei Dynamische Geometrie Software einsetzen kann s etwa Schupp Dabrock 1995 Gawlick 2004 Weiland 2002 Haftendorn 2010 Kurven und Fl chenscharen Es gibt auch Fl chen sogenannte Regelfl chen die komplett aus unendlich vielen Geraden oder anderen rationalen Kurven bestehen Im Schulunter richt bieten diese die M glichkeit Scharen von Kurven zu betrachten was sp ter in der Analysis der Sekundarstufe II auch wieder auftaucht bei der Behandlung von Funktionenscharen Auch von einem h heren Standpunkt ist dies sinnvoll da Deformationen von Kurven und Fl chen die ebenfalls Scharen von solchen darstellen eine zentrale Rolle bei deren tiefergehen dem Studium spielen In der eingangs erw hnten Wanderausstellung Imaginary kommen Familien von Fl chen oft in der Form f ag l a h vor wobei a ein reeller 87 Gleichungen in Bildern Parameter ist sowie g und h Polynome in x y z sind Dies ist besonders dazu geeignet erste eigene Experimente zu algebraischen Fl chen durchzu f hren W
106. diation eingeb rgert auf den hier aber nicht n her eingegangen werden kann vgl etwa Bartolini Bussi u Mariotti 1999 Werkzeug mechanische Rechenmaschine Es kommt in der Wissen schaft immer auf die Werk zeuge an Die treibende Kraft hinter den meisten wissenschaftlichen Revolu tionen der neueren Zeit wa ren neue Instrumente das gilt etwa f r die Revolution der Doppelhelix in der Bio logie oder die des Urknalls in der Astronomie Dyson 2000 Diese Sichtweise eines Werkzeugs spiegelt sich in der Mathematik insbe sondere in der Entwicklung von Computern wider die etwa bei Compu terbeweisen wie dem Vierfarbensatz oder heute im Bereich des Wissen schaftlichen Rechnens neue Erkenntnisse liefern Aber bereits die mechanische Rechenmaschine ist ein Beispiel f r ein Werkzeug das menschliche F higkeiten verst rkt indem arithmetische Rechnungen schneller durchgef hrt werden k nnen Rechenmaschinen haben aber auch eine didaktische Funktion indem sie das algorithmische Rechnen bei Multiplikation Division oder dem Wurzelziehen visualisieren Deshalb war auch Felix Klein 1908 der Meinung Werkzeuge im Geometrieunterricht Ziele und Visionen 2020 Vor allem aber sollte nat rlich jeder Lehrer der Mathematik mit ihr vertraut sein S 22 Die Rechenmaschine ist ein Beispiel f r die Doppelnatur von Werkzeugen im Mathematikunterricht Zum einen ist sie ein Rechenknecht der
107. die Gestalt von Dreibogenecken unterschiedlicher Dreiecke untersuchen Sie stellten dabei fest dass sich Dreibogenecke die auf der Grundlage spitz winkliger und stumpfwinkliger Dreiecke konstruiert wurden grunds tzlich voneinander unterscheiden und dass f r den Grenzfall rechtwinkliger Drei ecke keine Dreibogenecke existieren da einer der erzeugenden Kreise in diesem Falle in eine Gerade berginge Abb 19 zeigt in der Software Dy nageo nach der beschriebenen Konstruktion generierte und durch Variation eines Eckpunktes entstandene Beispiele Theoretisch konnten diese F lle in dem hier beschriebenen Sch lerzirkel nicht tiefer gehend untersucht wer den jedoch lie e sich ihre Diskussion f r interessante weitergehende ber legungen nutzen u a zu Geraden als Grenzf llen in Scharen von Kreisen ri 5 Abb 19 Dreibogenecke spitz recht und stumpfwinkliger Dreiecke Ausblick Verallgemeinerungen der Aufgabe Dreibogeneck Allgemein werden Folgen von Kreisb gen mit gemeinsamen Tangenten an den bergangspunkten als Korbb gen bezeichnet Die Konstruktion von In und Umkorbb gen von n Ecken beschreibt Walser 1996 In einem ande ren Beitrag geht er auf interessante Konstruktionen von Blumen und Sternen ein die auf Um und Inkorbb gen beruhen siehe Walser 2010 Fazit Problemorientierte geometrische Aufgaben mit oder ohne Computer Diese Frage l sst sich anhand der betrachteten Beispiele keinesf
108. die im Zusammenhang mit der Erledigung der Arbeitsaufgabe stehen vgl CEN 1995 S 5 So sollen etwa Vorschl ge zur Formatierung nur dann angezeigt werden wenn sie die Erledigung der Arbeitsaufgabe er leichtern In zun chst un bersichtlichen Konstruktionen sollten sich dem nach erst nach Benutzereingaben bzw r ckfragen Dialoge ffnen um z B Objektfarben zu ndern oder zus tzliche Informationen zu erhalten Die angezeigte Hilfe Information sollte von der Aufgabe abh ngen So werden bspw weitergehende und erkl rende Hilfen in Cabri 3D in einem besonde ren Fenster Online Hilfe angeboten Ruft der Benutzer in Cabri 3D Hilfe auf hat er die Auswahl aus verschiedenen Hilfeangeboten Alle Aufgaben die sinnvollerweise dem DRGS zur automatischen Ausf h rung bertragen werden k nnen werden von dem DRGS Cabri 3D ausge 56 Olaf Knapp f hrt ohne den Benutzer damit zu belasten So laufen z B Startprozeduren des Systems automatisch ab vgl ebd Bei der Gestaltung von Dialogen sollte der Komplexit t von Arbeitsaufga ben unter Ber cksichtigung der Fertig und F higkeiten des Benutzers Rechnung getragen werden Die Form der Ein und Ausgabe sollte der je weiligen Arbeitsaufgabe und den Benutzerbelangen angepasst sein vgl ebd Dialoge sollte den Benutzer bei der Erledigung wiederkehrender Aufgaben unterst tzen Gibt es f r eine Arbeitsaufgabe Standardwerte so sollten diese dem Benutzer als Vorgabe angebo
109. e F higkeiten als Oberbegriff und unterscheidet dann zwi schen visueller Wahrnehmung und r umlichem Vorstellungsverm gen vgl Gl ck et al 2005 Franke 2007 Linn und Petersen 1985 1986 identifizieren im Rahmen einer Meta Analyse drei grundlegende Faktoren e Mental Rotation ist die F higkeit zwei oder dreidimensionale Fi guren in Gedanken rotieren zu k nnen e Spatial Visualization umfasst die F higkeit einen Prozess zu ana lysieren und r umliche Beziehungen zu erfassen e Spatial Perception beinhaltet das Erkennen der spezifischen Aus richtung von r umlichen Gegebenheiten Diese drei Faktoren k nnen gegenseitig nicht g nzlich isoliert betrachtet werden da entsprechende Abh ngigkeiten bzw Einfl sse bestehen So ist z B die Wahrscheinlichkeit dass ein Kind F higkeiten im Bereich Mental Rotation jedoch in den beiden anderen Bereichen keinerlei Kompetenzen besitzt kaum gegeben In den letzten Jahren konzentrierten sich zahlreiche Arbeiten unter verschiedensten Beobachtungsschwerpunkten auf die Analy se des Faktors Mental Rotation z B wurde die Trainierbarkeit dieser Kom petenz untersucht vgl Baenninger Newcombe 1989 Gl ck et al 2005 Hellmich Hartmann 2002 Souvignier 2000 Des Weiteren wurden Ein flussfaktoren bzw Dispositionen wie z B das Geschlecht Leistungsgrup pen Alter Muttersprache usw evaluiert vgl Hirnstein et al 2009 Kruger Krist 2009 Peters Battista 2008 Die entsprechenden Au
110. e Fl chen Erst ein detailliertes Betrachten erlaubt es die folgenden Gleichungen und die Bilder in Abb 36 bis Abb 38 einander zuzuordnen Beispielsweise ist h f r festes x ein Kreis in y und z und geh rt daher zum rechten Bild f geht durch die Vertauschungen x y y x in sich selbst ber da dies einer Rotation um 90 um die z Achse entspricht geh rt fzur Abbildung links f amp l y z g x ylz x y xt y 102 2 2 4 6 6 6 xy z x y z h x ylz xX yt y 2 Abb 36 Abb 37 Abb 38 Mathematisch zwar anspruchsvoller doch sthetisch noch reizvoller sind oft algebraische Fl chen die die Symmetrien von platonischen K rpern aufweisen Abb 39 Das Thema bietet eine hervorragende M glichkeit der Einbindung dieses kulturhistorisch so wichtigen Diamants der Geometrie in den Unterricht Hierzu g be es noch vieles zu erl utern es sei aber nur auf Labs 2008 verwiesen wo einige Anwendungen von Symmetrien auf alge braische Fl chen vorgestellt werden Abb 39 Die sogenannte Barth Fl che rechts sie besitzt die Symmetrie eines regelm igen Dodekaeders linkes Bild 95 Gleichungen in Bildern Schlussbemerkung und Ausblick Dieser Artikel ber verschiedene M glichkeiten der durchgehenden Geo metrisierung der Schulalgebra beginnend mit der Einf hrung der Terme durch Visualisierung algebraische Kurven und Fl chen basierend auf deren impliziten Gleichungen kann kein allumfassender un
111. e Suche nach der angemessenen Darbietung r umlicher Strukturen Analyse von Pr sentationsformen und Beschreibungsmodell der K r perkomplexit t uneesenseenseensesnsnensennensneennnennnnnennenneenneensennsennsennenenensnoneen 173 Hans Walser Der Baustein ist das Werkzeug uu24442neneeeneeeneenennnenneennennsennnnnenn een 185 Inhaltsverzeichnis Autorenverzeichnis Editorial Andreas Filler Matthias Ludwig Reinhard Oldenburg Liest man das Wort Werkzeug mag man zun chst an Hilfsmittel oder Mittel zum Zweck denken bei Werkzeugen im Geometrieunterricht si cherlich vorrangig an Bleistift Zirkel und Lineal sowie den Computer Der vorliegende Tagungsband behandelt das Thema Werkzeuge im Geometrie unterricht wesentlich umfassender die einzelnen Beitr ge gehen auf sehr unterschiedliche Facetten des Begriffs Werkzeug bezogen auf die Ma thematik und speziell die Geometrie ein Deutlich wird an diesen Facetten das dialektische Verh ltnis von Werkzeugen und Produkten wobei Pro dukte des Geometrieunterrichts nat rlich haupts chlich Er Kenntnisse und F higkeiten sind Geometrische Kenntnisse und F higkeiten k nnen wie derum zu Werkzeugen f r die Geometrie selbst f r andere Bereiche der Mathematik oder nat rlich auch f r die Welt au erhalb der Mathematik werden und somit der Gewinnung neuer Er Kenntnisse und F higkeiten dienen welche sich ihrerseits eventuell wiederum
112. e Zeit auch f r die Anwendung in der Schule interessant da die L sungen hier auf der Softwareebene gefunden werden m ssen und somit keine Zusatzger te erforderlich sein werden Besonders f r die intuitive Bewegung im dreidimensionalen virtuellen Raum sind Facetracking bzw Headtracking Systeme interessant Sie er m glichen eine Anpassung der Raumszene bei Bewegungen oder Blickwin kelver nderungen des Beobachters Dies entspricht der t glichen Erfahrung im uns umgebenden Raum das Erlernen einer Navigation in der Raum szene kann deshalb entfallen Die neuesten Entwicklungen zeigen dass in absehbarer Zukunft derartige Trackingsysteme ohne Zusatzger te auskom men werden Eine reibungslose Einbindung in Unterrichtsabl ufe und die konomische Realisierbarkeit sind aus unserer Sicht f r 2020 denkbar Augmented Reality bietet die M glichkeit ohne Zusatzger te virtuelle Objekte in die reale Welt zu projizieren Mit diesen virtuellen Objekten kann dann ann hernd wie mit realen Objekten hantiert werden F r den Raumgeometrieunterricht k nnte dies bedeuten dass in absehbarer Zukunft Softwareumgebungen entwickelt werden die das Operieren mit virtuellen geometrischen Grundk rpern im Sinne einer Grunderfahrung erm glichen 168 Markus Ruppert Jan W rler Die letzten Einsch tzungen werden nochmals in der folgenden bersicht dargestellt DEVEU Verbesserte Facetracking Headtracking Augmented Reality _Gestenst
113. e f r Addition und Subtraktion zu finden Bei der Erkl rung der Regeln f r Multiplikation und Division haben sich die Sch ler vom Spiel abgel st und die Regeln zwar an Zahlenbeispielen jedoch rein formal erkl rt Dieselbe Aufgabe wurde Sechstkl sslern an einem Berliner Gymnasium angeboten Wie die Sch lerinnen in einer kleinen Gruppe damit umgegan gen sind kann im Folgenden dem Beobachtungsprotokoll eines Lehramts studenten entnommen werden Auszug aus dem Hospitationsprotokoll Gruppenarbeitsphase In der Gruppe wurden direkt zu Beginn der Grup penarbeitsphase 10 08 Aufgaben verteilt So begann Sch lerin a die gleich eine F hrungsposition einnahm damit die Aufgabe vorzulesen w hrend Sch lerin d beauftragt wurde die Folie f r die Pr sentation der Arbeit zu gestalten Der erste Vorschlag bzw Ansatz zu einer L sung der Aufgabe kam nun auch von a n mlich dass man die einzelnen Figuren als Anteile am Fl cheninhalt des mittels des Tangram gelegten Ouadrates 1 betrachten k nne So schlug sie vor dass das gro e Dreieck u sei Dieser Vorschlag verlief jedoch erst einmal im Sand da sich die einzelnen Sch le rinnen nun zun chst einmal mit anderen Dingen als der konkreten Aufga benstellung besch ftigten Nachdem c und a Sch lerin a Guckt mal ich hab ne Kirche jeweils f r sich mit den Spielsteinen andere Figuren zu legen versuchten e die einzelnen Figurenbestandteile ausmalte allerdings nicht gleichwe
114. echtfertigen muss Andererseits sollte es f r die Sch ler auch zu Hause ohne gr ere finanziel le Aufwendungen m glich sein die Vorteile einer neuen Schnittstelle zu nutzen 3 Ist eine reibungslose Einbettung in den Unterricht m glich Um die Verbreitung einer neuen Soft oder Hardwarekomponente zu errei chen darf deren Nutzung im Unterricht nicht mit einem gr eren Aufwand verbunden sein Im Softwarebereich muss sich die Einarbeitungszeit f r den Lehrer und vor allem f r die Sch ler in engen Grenzen halten w hrend im Hardwarebereich gr ere Aufbauten oder gar die Notwendigkeit bestimm ter R umlichkeiten nicht akzeptabel w ren Etwas weiter gefasst bezieht sich diese Frage wiederum auch auf die h usli chen Einsatzm glichkeiten z B im Rahmen der Hausaufgaben oder der Unterrichtsvorbereitung 4 Steht zu erwarten dass die neue Schnittstelle von Lehrern und Sch lern akzeptiert wird Der Umgang mit neuen Ger ten oder Anwendungen kann aus verschiede nen Gr nden mit geringer Akzeptanz behaftet sein So geht beispielsweise das Aufsetzen einer Laborbrille im experimentellen Chemieunterricht oder das Sprechen mit Headset in einem Sprachlabor mit Hemmungen seitens der Sch ler einher 155 Raumgeometriesoftware und ihre Schnittstellen zum Menschen Ein ganz anderer Aspekt sind in diesem Zusammenhang Gesundheitsbeden ken oder real auftretende Beschwerden wie die cybersickness die z B bei der Benutzung von 3D
115. edingungen der Aufgabe erf llt Durch Ziehen von Mag in der in Abb 14 dargestellten dynamischen Konstruktion l sst sich dies erreichen es entsteht die gew nschte Figur E K Msc Abb 14 Fast exakte Konstruktion des Dreibogenecks Obwohl die Aufgabe welche die Erarbeitung einer vollst ndigen Konstruk tionsvorschrift verlangt damit noch nicht gel st war betrachteten die Sch ler ihr bislang erreichtes Ergebnis als beachtlichen Erfolg Die Verwendung des Computers trug erheblich dazu bei diesen Erfolg zu erreichen letzt endlich war es jedoch entscheidend geometrische berlegungen zu Kreisen und ihren Tangenten anzustellen und diese berlegungen anzuwenden Eine vollst ndige L sung der Aufgabe ist ausgehend von den bisherigen berlegungen auf unterschiedlichen Wegen m glich So reicht es einen der Winkel und a in Abb 15 zu bestimmen um die Mittelpunkte der Kreise konstruieren zu k nnen Wegen des Innenwinkelsatzes und des Ne benwinkelsatzes gilt 2 y 180 und ga 180 somit also P r amp a 1 AACM c und AABM s m ssen gleichschenklige Dreiecke sein da A und C bzw A und B auf Kreisen um Mac bzw Mag liegen Daher ist y und amp amp Da das Dreieck ABCMpc ebenfalls gleichschenklig ist gilt y y also a y a f und daher B 9 4 2 29 Problemorientierte geometrische Aufgaben mit oder ohne Computer Msc Abb 15 berlegungen
116. efe noch aussteht Erste berlegungen zur Stereometrie finden sich etwa in Schumann 2007 im Kapitel Lehrplaninhalte der Klassen 5 12 f r die Raumgeometrie im virtu ellen Handlungsraum ebd S 18 19 Denkbar und w nschenswert w re in bzw f r die Zukunft auch dass sich z B durch die in allgemeinbildenden Schulen etablierte Informationstechni sche Grundbildung Ankn pfungspunkte f r f cher bergreifendes projektar tiges Arbeiten nicht nur er ffnen sondern auch konkret umgesetzt werden Zahlreiche der in den Bildungsstandards des Faches Mathematik KMK 2003 aufgef hrten Inhalte s o finden sich auch in Bildungs bzw Lehr pl nen der L nder wieder Exemplarisch sei hier die F rderung von vor ausschauendem und vernetztem Denken Modellbildung Abstraktionsver m gen Kreativit t Selbstst ndigkeit und Zuverl ssigkeit Ministerium f r Kultus Jugend und Sport Baden W rttemberg 2004 S 192 genannt Expli zit finden sich Lehr Lerninhalte wie Daten und Sachverhalte anschaulich darstellen mathematische Modellierungsaufgaben bearbeiten oder den Computer zum Messen und Steuern einsetzen ebd S 194f Analog zu den einleitenden Ausf hrungen zur Informationstechnischen Grundbildung k nnte in diesem Kontext auch f r DRGS im Unterricht gelten Werkzeuge wie DRGS erm glichen selbstst ndigere Arbeitsformen welche aber auch verst rkt eingefordert werden sollten Ob als Werk oder Lernzeu
117. ehen denn wenn ich die gleichschenkligen Dreiecke ohne die gleichseitigen Dreiecke definiere dann w re das wie Rakorium auch gesagt hat wie wenn 36 Michael Gieding ich Rechtecke definiere und die Quadrate mit dieser Definition ausschlie e Das darf ich nicht Wenn ich also behaupte festlege dass jedes gleichschenkli ge Dreieck zwei Schenkel und eine Basis hat dann muss nach Definition auch ein gleichseitiges Dreieck mindestens zwei Schenkel und eine Basis haben Auszug aus einer Diskussion im Geowiki Problemfall Einf hrung in die Geometrie Unter den Studierenden gilt die Lehrveranstaltung Einf hrung in die Geo metrie als eine der schwierigsten und anspruchsvollsten an der PH Heidel berg Sie bildet die Grundlage f r die Akademische Teilpr fung zu Modul 2 und muss von allen Studierenden die in irgendeiner Form das Fach Mathe matik Hauptfach Leitfach affines Fach gew hlt haben besucht werden Der Anteil derjenigen Studierenden die die Teilpr fungsklausur mit einer schlechteren als der Note 4 absolvieren liegt in der Regel zwischen 20 und 25 Prozent Es gab auch Semester in denen dieser Anteil bei 60 lag Die Lehrveranstaltung ist mit 4 SWS ausgeschrieben 2 SWS entfallen auf die Vorlesung die anderen beiden SWS auf die bung Aufgrund der hohen Teilnehmerzahl werden Vorlesung und bung mehrfach in der Woche angeboten Zus tzlich k nnen die Studierenden Tutorien besuchen Zur berpr fung des
118. einem Buch Der Rechenstab im Unterricht aller Schularten M nchen 1929 stellte Albert Rohrberg den besonderen p dagogischen Wert des Rechnens mit diesem Ger t heraus Er wandte sich gegen die Behauptung der Rechenschieber sei nur ein Rechenknecht zur Mechanisierung der Rechenarbeit Stattdessen sprach er von der M glichkeit dass der Rechen schieber gerade zum Gegenteil herausfordere n mlich zu einer Vergeisti gung des Rechenprozesses Was damit gemeint war kann jeder nachvoll ziehen der w hrend seiner Schul und Ausbildungszeit bzw beim prakti schen Rechnen den Rechenschieber benutzt hat Es geht um das unvermeid 7 Werkzeuge im Geometrieunterricht Ziele und Visionen 2020 liche geistige Vorwegnehmen Absch tzen des Rechenvorgangs damit am Ende die Kommastelle richtig gesetzt werden kann In hnlicher Weise wiederholte sich diese Kontroverse bei der Einf hrung des Taschenrechners Visionen In einem 1910 herausgegebenen Buch hat Arthur Brehmer damals bedeu tende Wissenschaftler aufgefordert Die Welt in 100 Jahren zu be schreiben In einem Artikel in diesem Buch mit dem Thema Das drahtlose Jahrhundert beschreibt Robert Sloss Das Telephon in der Westentasche S 35ff Der B rger der drahtlosen Zeit wer den berall mit seinem Empf nger herumgehen Auf seinem Wege von und ins Gesch ft wird er seine Augen nicht mehr durch Zeitunglesen anzu strengen brauchen
119. eingeteilt e Eine Gerade ist ein eindimensionales Objekt e Eine Ebene ist ein zweidimensionales Objekt Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein nulldimensionales geometri sches Objekt Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein eindimensiona les geometrisches Objekt Wenn also n die Dimension des geometrischen Ob Jekts ist das geteilt wird dann hat der Trenner die Dimension n 1 Geradenteilung Es seien g eine Gerade und A ein Punkt auf ihr Ferner sei O ein von A ver schiedener Punkt der Geraden g Die Menge g A wird durch den Trenner A in genau zwei Klassen eingeteilt e Die Menge aller Punkte von g A die mit Q auf derselben Seite bez glich A liegen e Die Menge aller Punkte von g A die mit Q nicht auf derselben Seite be z glich A liegen 48 Michael Gieding Ebenenteilung Es seien E eine Ebene und g eine Gerade die vollst ndig in E liegt Ferner sei Q ein nicht zu g geh render Punkt der Ebene E Die Menge E g wird durch den Trenner g in genau zwei Klassen eingeteilt e Die Menge aller Punkte von E g die mit Q auf derselben Seite bez glich g liegen e Die Menge aller Punkte von E g die mit Q nicht auf derselben Seite be z glich g liegen Beweisl cken Es werden in der Vorlesung Beweise gef hrt die in tabellarischer bersicht aufgeschrieben werden Im Wiki ist das Rudiment der Beweise aufgef hrt Fehlende Stellen im Beweis sind zu erg nzen Videol cke Ein Beweis wird nicht exp
120. einzelnen Punkte auch Lichtquellen definiert werden k nnen deren Strahlen dann verfolgt werden was insbesondere bei spie gelnden Oberfl chen eine aufwendige Angelegenheit werden kann F r die Sekundarstufe II bietet dies aber ansprechende M glichkeiten zur Vertie fung der Vektorrechnung wie auch der Infinitesimalrechnung Da algebrai 98 Oliver Labs sche Fl chen vom Grad lt 3 nicht nur implizite Darstellungen sondern auch Parametrisierungen besitzen sind sie besonders leicht zu handhaben und daher gemeinsam mit anderen parametrisierbaren algebraischen Fl chen wie Be zierfl chen oder NURBS inzwischen auch angewandt siehe z B Glaeser 2005 Oft werden Objekte in CAD Systemen schon durch St cke solcher algebraischer Fl chen angen hert nicht nur von Ebenen Kugeln Zylindern oder Kegeln Literaturverzeichnis Bothmer v H C Labs O 2006 Advent Calendar 2006 Geometrical Animations Von www Calendar AlgebraicSurface net abgerufen Filler A 2006 Habilitationsschrift Einbeziehung von Elementen der 3D Computergrafik Berlin Fischer G 1994 Ebene algebraische Kurven Braunschweig Vieweg Furdek A 2001 Fehler Beschw rer Books on Demand Gawlick T 2004 Der Mathematikunterricht 50 4 Velber Friedrich Ver lag Glaeser G 2005 Geometrie und ihre Anwendungen Heidelberg Spek trum Elsevier Haftendorn D 2010 Mathematik sehen und verstehen Schl ssel zur Welt Heidelberg Spe
121. em Artikel wird der aktuelle Stand einer wissenschaftli chen Arbeit vorgestellt in der untersucht wird welche Auswirkungen drei unter schiedliche Arbeitsumgebungen Bildumgebung interaktive Computersimulation bzw Pappmodell auf das Erkennen und Bearbeiten r umlicher Strukturen haben Hierzu zeigt die derzeitige Literatur kein einheitliches Bild Diese Uneinheitlichkeit k nnte mehrere Ursachen haben z B die raumgeometrischen bzw arithmetischen F higkeiten der Probanden oder die Komplexit t der raumgeometrischen Aufgabe Getestet wurde die Arbeitsumgebung an Haupt Realschulen und Gymnasien der Klassenstufen 5 bis 9 in insgesamt 12 Klassen Es kristallisiert sich heraus dass die Arbeitsumgebung Modell den anderen beiden Pr sentationsformen Bild bzw interaktive Computersimulation in weiten Teilen berlegen ist Des Weiteren wird untersucht inwiefern es m glich ist den Komplexit tsgrad eines regul ren bzw halbregul ren K rpers zu quantifizieren Dies ist mit Abstrichen gelungen Einf hrung Im Schulunterricht werden zur Erfassung r umlicher Strukturen von Polye dern z B Anzahl ihrer Fl chen Art ihrer Fl chen Anzahl ihrer Kanten Symmetrien usw Realmodelle Bilder sowie Computeranimationen beo bachtend bzw interaktiv eingesetzt Bisherige Untersuchungen konzentrie ren sich in diesem Kontext vorwiegend auf den Verdrehwinkel zweier zu vergleichender Abbildungen und analysieren hierbei z B die Bearbeitungs g
122. en Bildumgebung interaktive Computersimulation bzw Pappmo dell kurz Bild Computer Modell in Bezug auf die Bearbeitung von entsprechend spezifischen Fragestellungen Anzahl der Ecken Kanten Fl chen und Art der Au enfl chen e Ist es m glich die Komplexit t eines K rpers aufgrund spezifischer Eigenschaften Anzahl der Fl chen Ecken und Kanten zu beschreiben und inwieweit beh lt ein solches Modell seine G ltigkeit f r verschie dene Leistungsgruppen Untersuchungsdesign Getestet wurden N 242 Sch ler in insgesamt 12 Klassen der Klassenstufen 5 bis 9 an 5 Schulen der Schularten Haupt Realschule und Gymnasium Zun chst wurden zwei Vortests durchgef hrt ein Arithmetiktest mit Inhal ten zum Zahlverst ndnis und zu den Grundrechenarten dieser Test bzw entsprechende Auswertungen werden hier nicht thematisiert sowie der 176 J rgen Steinwandel Matthias Ludwig Bausteine Test BST von Birkel Schumann 2002 Mit Hilfe der Daten des BSTs wurden die Sch lergruppen skaliert und so den Pr sentations umgebungen Bild Computer Modell des Strukturerfassungstests zuge wiesen dass m glichst drei leistungsgleiche Vergleichsgruppen entstanden wobei gleichzeitig auf das Geschlecht geachtet wurde Bei dem anschlie Benden Strukturerfassungstest waren insgesamt 8 regul re und halb regul re K rper zu bearbeiten Der Test geschah unterrichtsbegleitend Jeder Sch ler arbeitete allein an der ihm zu
123. en In Abh ngigkeit davon wie die einzelnen Teile gez hlt wer den kann folgende Zeichnung entweder als 1 oder als 54 36 gelten Das Bild aus der Aufgabe 1d in Abb 3 kann au erdem umsortiert wer den Die gleiche Abbildung kann zur anschaulichen Erkl rung f r das Um wandeln von gemeinen Br chen in gemischte Zahlen benutzt werden 129 Geometrische Veranschaulichung und Bruchrechnung Abb 4 Gemeine Br che Die Anordnung der Teilaufgaben in der 1 Aufgabe erwies sich als etwas ung nstig weil die Sch ler durch einen Gew hnungseffekt nach der Bearbeitung der Aufgaben 1 a b c auch in der Aufgabe 1 d zu einer identi schen Bearbeitung verleitet wurden und immer wieder erkl rt werden muss te dass es sich hier um einen unechten Bruch handelt W hrend die Aufgabe 2 noch von den Sch lern bearbeitet werden konnte erwiesen sich die Aufgaben 3 und 4 als zu schwierig W hrend die Aufgabe 3 m glicherweise noch erfolgreich bearbeitet werden k nnte wenn die Sch ler mehr Zeit h tten stellt die Aufgabe 4 einen sehr hohen kognitiven Anspruch Sie kann im Sinne einer inneren Differenzierung zur F rderung von st rkeren Sch lern eingesetzt werden Im Anschluss war die kreative Konstruktivit t der Sch ler im Rahmen von freiwilligen Hausaufgaben gefragt Sie wurden aufgefordert ausgehend von der Figur auf den Bildern ihre eigenen Aufgaben zu entwickeln Eine solche Aufgabe ist in der Abb
124. en Bilder und durch die N he zur Schulmathematik der Sekundar stufe I auch bereits Sch ler dieser Altersklasse faszinierten Die hier vorgestellten Beispiele weisen au erdem darauf hin dass durch die durchgehende Verwendung algebraischer Kurven und Fl chen zur Geomet risierung der Schulalgebra einige L cken im bisher blichen Geb ude der Schulmathematik m glicherweise auf nat rliche Weise gef llt werden k nnten Der Durchschnitt zweier Geraden in der Ebene etwa ist Gegens tand des Unterrichts deren Vereinigung allerdings nicht wenn man ohne algebraische Geometrie arbeitet Ein weiteres Beispiel sind Symmetrien im Zusammenhang mit Funktionsgraphen wo das Spiegeln an Achsen zwar erlaubt ist das Drehen um 90 aber nicht weil dies oft keinen Funktions graphen aber eine algebraische Kurve liefert Im Text wird man sehen dass durch den vorgestellten Zugang mehrere Aspekte des Variablenbegriffs geometrische Entsprechungen erhalten wie etwa der Einsetzungsaspekt in dem Unterabschnitt Variablensubstitution und dem Anhang Ray Tracing Der vorliegende Artikel stellt nur den Beginn eines l ngerfristigen Projektes dar denn es ist klar dass das Konzept an vielen Stellen weiter konkretisiert in der Unterrichtspraxis intensiv erprobt und berhaupt noch ausf hrlicher diskutiert werden muss Dazu sollte ferner bemerkt werden dass die grund legende Idee der Geometrisierung der Algebra freilich sp testens bereits bei Felix Klein zu fin
125. en Sch ler nicht von selbst auf den Gedanken kamen den Zusammenhang zwischen den B gen des Dreibogenecks und dem Umkreis zu nutzen wurden ihnen noch ein Experimentierauftrag mithilfe der Software gestellt e Zeichne den Umkreis des Dreiecks AABC Welchen Zusammen hang erkennst du zwischen dem Umkreis und deinen ungef hr passenden Kreisen des Dreibogenecks Mit diesem Hinweis gelang nun die vollst ndige L sung der Aufgabe die Abbildungen 17 und 18 zeigen exemplarisch die L sungen zweier Sch ler der Sch ler welcher die in Abb 18 dargestellte Konstruktion anfertigte blendete die Zwischenschritte der Konstruktion aus 31 Problemorientierte geometrische Aufgaben mit oder ohne Computer 32 AZ EUKLID DynaGeo DAL Vortraege 2010 AK Geo Problemloesen DGS Dateien Dreibogeneck_Nils2 9e0 Le Ostei Bearbeiten Ansicht Konstruieren Abbilden Messen Makro Verschiedenes Hille BBBeru io WE Konstruieren Form amp Farbe 23 04 21 73 Zugmodus Abb 17 Dreibogeneck Konstruktion eines Sch lers 1 Tg EUKLID DynaGeo D _Vortreegel2010 AK Geo Pr ibogeneck_Fabisn2 ge0 Oastei Bearbeiten Ansicht Konstruieren Abbilden Messen Makro Verschiedenes Hilie BBBeruiko WE y 3 39 6 28 Zugmodus A Abb 18 Dreibogeneck Konstruktion eines Sch lers 2 Andreas Filler Mithilfe des Zugmodus konnten die Sch ler nach erfolgter Konstruktion
126. en der ebenen Geometrie mit denen der Raumgeometrie wird greifbar 169 Raumgeometriesoftware und ihre Schnittstellen zum Menschen AYA Yy e Eingabe e Ausgabe Eingabe e Ein Ausgabe Ein Ausgabe TRACKINGSYSTEME zur Ein und Ausgabe Zukunft Abbildung 9 Prognose f r die Entwicklung verschiedener 3D Technologien Auch die zentralen Aussagen unserer technischen Prognose wollen wir abschlie end in Form zweier Thesen festhalten Prognose III 2020 werden in Klassenzimmern 3D Monitore 3D Beamer oder allgemeiner 3D Anzeigeger te vorhanden sein Prognose IV Die Zukunft der Eingabe und die Optimierung der Ausgabe liegt in einer Weiterentwicklung und Zusammenf hrung geeigneter Trackingsysteme Erg nzungen Die Firma Fujifilm hat mittlerweile mit der Fotokamera Finepix REAL 3D ein Ger t auf den Markt gebracht das durch zwei Linsensysteme und Bildverarbei tungskan le in der Lage ist stereoskopische Bilder aufzunehmen Die Bilder k nnen bereits auf einem eingebauten 3 5 Zoll 3D Spezialdisplay in ihrer Tie fenwirkung betrachtet werden und das ohne Brille http www finepix de Die Firma Microsoft hat ihre Spielkonsole XBOX 360 inzwischen mit dem opti onalen Sensor KINECT ausgestattet einem System das das Auslesen der K r perposition und haltung der Mitspieler ohne weitere Zusatzger te erm glicht Die virtuellen Charaktere im Computerspiel k nnen nun also durch die entspre chenden Beweg
127. en der deutschen Sprache oder einer anderen Muttersprache der Sch ler formuliert Anders ist es mit der geometrischen Sprache die nach Kvatz ikonisch ist Geometrische Zusam menh nge k nnen mit Hilfe von Zeichnungen dargestellt werden und sich von den konkreten arithmetischen Werten abl sen Die Zeichnungen sind in diesem Sinne keine Variablen die Objekte bezeichnen sondern diese repr 123 Geometrische Veranschaulichung und Bruchrechnung sentieren vgl Kvasz 2008 S 14 29 Die Sprache der Geometrie erlaubt es eher als die Sprache der Arithmetik bestimmte allgemeinere Aussagen zu machen ohne auf die S tze der Muttersprache zur ckgreifen zu m ssen Nach Kvasz erlaubt die ikonische Sprache der synthetischen Geometrie sogar das F hren von Beweisen f r allgemeine arithmetische Aussagen welche in der symbolischen Sprache nicht beweisbar sind Wir werden im Folgenden sehen wie Regeln f r das K rzen Erweitern Addieren und Subtrahieren von Br chen anschaulich geometrisch wenn nicht bewiesen so immerhin begr ndet bzw erkl rt werden k nnen Aber auch die ikoni sche Sprache der Geometrie hat ihre Grenzen So kann hierin beispielsweise die Unm glichkeit der Dreiteilung eines Winkels mit Zirkel und Lineal zwar aufgedeckt jedoch nicht begr ndet werden Die Mittel daf r liefert erst die symbolische Sprache der Algebra Auch die Regeln der Bruchrech nung k nnen in ihrer Strenge und Allgemeinheit erst in der Sprache der A
128. en in mehreren Variablen die folgende Aufgabe stellt Abb 12 Die Zuordnungen f x 2x und g x 2 x verdeutlichen wie die Rechengesetze f r negative Zahlen definiert werden k nnen n mlich so dass jeweils eine Gerade entsteht 8l Gleichungen in Bildern Beispiel 1 Negative Zahlen und Terme im Koordinatensystem Zeichne in ein Koordinatensystem die Punkte x y ein f r die x y gilt Dies sind alle Punkte auf den beiden Diagonalen des Koordinatensys tems Gegebenenfalls kann dies mit Aufgaben zum Einzeichnen der Punkte die jeweils x y 0 y x 0 x y u erf llen in Zusammenhang gesetzt werden s Abb 13 Abb 13 Die Punkte die die Bedingung x y erf llen Eine typische bungsaufgabe bei der Behandlung von negativen Zahlen ist es komplizierte Terme in denen auch gerne Klammern und Potenzen vor kommen ausrechnen zu lassen etwa Berechne 5 2 3 Da in solchen Aufgaben meist nicht mehr als zwei oder drei verschiedene Zahlen vorkommen ist auch hier eine naheliegende Visualisierung m glich die sp ter im Rahmen der Algebra diese mit den obigen Aspekten der Arithme tik verkn pft zwei solche Aufgaben die speziell das Arbeiten mit Potenzen fokussieren sind z B folgende Beispiel 2 Punkte auf einer algebraischen Kurve Die in Abb 14 gezeigte Kurve besteht aus allen Punkten x y die die Gleichung f x y x y x 0 erf llen Finde heraus welc
129. en korrekt waren Wurde n mlich ein Term falsch umgeformt so hat sich mit gro er Wahrscheinlichkeit auch das Bild der zugeh rigen algebraischen Kurve bzw Fl che ver ndert eine Ausnahme bilden falsche Umformungen wie z B x 1 zu x 2 in beiden F llen ist die L sungsmenge leer aber die Gleichungen sind trotzdem nicht quivalent War umgekehrt die Um formung richtig so ist das neue Bild identisch mit dem alten Hier ist es m glich f r die typischen Sch lerfehler siehe dazu etwa Lietzmann 1952 83 Gleichungen in Bildern oder Furdek 2001 Aufgaben zu finden f r die das Bild sich tats chlich relevant ver ndert ein Beispiel ist folgendes Beispiel 3 Fehler bei Termumformungen und Kurven Visualisiere die Kurve mit Gleichung x 2y 0 mit einer geeigneten Software siehe Abb 17 Multipliziere die linke Seite aus und visualisiere die neue Gleichung in einer anderen Farbe Ergibt sich das gleiche Bild yA Pr Abb 17 Die Kurve mit der Gleichung x 2y 0 Nat rlich sollte sich das gleiche Bild ergeben da wir ja nur eine quivalente Gleichung produziert haben n mlich x 4xy 4 y 0 Einige typische Fehler die beim Termumformen auftreten k nnen sind dann in der Visuali sierung unmittelbar als solche erkennbar s Abb 18 bis Abb 20 yA yA yA 4s 4 4 24 Abb 18 x 4y Abb 19 x 4y Abb 20 x 4xy 4y Die Idee hierzu ist nicht neu mit Hilfe von Funktionsgrap
130. en oder Fl chen Oder auch jene Tatsache dass das Faktorisieren von Polynomen in einer Variablen zwar durch das leichtere Finden von Nullstellen ann hernd geo metrisch motiviert werden kann doch dass es im Fall von Kurven tats ch lich eine geometrische Bedeutung erh lt und dass dadurch der in der Schule beim L sen linearer Gleichungssysteme bliche Prozess des Schneidens von Geraden in der Ebene somit auch auf nat rliche Weise eine Umkehrung erf hrt n mlich die Vereinigung von Geraden beim Multiplizieren zweier linearer Terme 96 Oliver Labs Einen weiteren Punkt der uns ganz wesentlich erscheint m chten wir beto nen Die sehr behutsame Einf hrung der Visualisierung und sp teren Geo metrisierung der impliziten Gleichungen zun chst mit der Visualisierungs software als Black Box die visuell ansprechende und damit faszinierende Bilder liefert hat den Vorteil dass damit viele zentrale Aspekte zwar lang sam daf r aber umso nachhaltiger in die Schulmathematik integriert wer den k nnen durch diese kleinen berschaubaren Schritte erscheint auch eine Akzeptanz bei den Lehrpersonen eher m glich als durch ganze neue Unterrichtseinheiten Viele weitere Aspekte w ren zu nennen doch um den beispielorientierten Charakter dieses Textes nicht umzukehren verweisen wir auf zuk nftige Arbeiten Abschlie end m chten wir nur noch eine Bemerkung zur verwen deten Visualisierungssoftware machen Diese kann im Unterricht zwar
131. eometrische Formen aufzubauen Ein Beispiel hierf r ist der auch auf dem Umschlag dieses Bandes abgebildete Fibonacci Stern Zusammenfassend meinen wir dass die Beitr ge dieses Bandes vielf ltige interessante Facetten von Werkzeugen im Geometrieunterricht sichtbar werden lassen Es zeigt sich auch dass die vielf ltigen Aspekte dieser The matik noch lange nicht ausdiskutiert sind und viele Fragen einer weiteren Vertiefung bed rfen so dass sich der Arbeitskreis Geometrie auch zuk nf tig immer wieder dieses Themengebietes annehmen wird Neue Werkzeuge neues Denken Werkzeuge im Geometrieunterricht Ziele und Visionen 2020 Hans Georg Weigand Zusammenfassung Werkzeuge spielten in der historischen Entwicklung der Mathe matik eine wichtige Rolle Ob Zirkel Lineal Ellipsenzirkel Winkelmesser Abakus Rechenschieber Rechenmaschine Taschenrechner oder Computer stets waren mit neuen Werkzeugen auch ver nderte Arbeitsweisen und damit einhergehend auch neue Denkweisen verbunden Mit neuen Werkzeugen war h ufig auch die Hoffnung verbunden mathematische Inhalte effizienter anschaulicher und verst ndlicher vermitteln bzw lehren und lernen zu k nnen Es sollen zun chst derartige Hoffnun gen an einigen exemplarisch ausgew hlten Werkzeugen r ckblickend analysiert und bewertet werden Dann soll der Frage nachgegangen werden welche Bedeutung zuk nftig vor allem digitale Werkzeuge f r den Mathematikunterricht f r das V
132. er Kreativit t Allerdings finden sich in heutigen Haushalten als Werkzeuge fast nur noch einige Inbus schl ssel Innensechskantschraubenschl ssel eines bekannten M belhau ses In der Geometrie denken wir bei Werkzeug an Zirkel und Lineal Dabei habe ich seit 20 Jahren keinen Zirkel mehr in der Hand gehabt in dynami scher Geometrie Software stehen ja Kreise vorgefertigt auf Anklicken be reit Statt von Konstruieren m ssten wir wohl eher von Assembling reden Wir verwenden im Folgenden als vorgefertigte Werkzeuge ausschlie lich die drei Grundfiguren Quadrat gleichseitiges Dreieck und regelm iges Sechseck sowie die zugeh rigen Raster Etliche berlegungen wurden durch 1 angeregt Die Basisfigur Wir beginnen mit einem regul ren Sechseck und setzen sukzessive Quadra te an Dies ist zun chst eine rein spielerische und nicht zielorientierte Varia Der Baustein ist das Werkzeug tion des Ansetzens von Quadraten an den Seiten eines rechtwinkligen Drei eckes wie wir dies von der Pythagoras Ikone her kennen In den Zwischenr umen werden zun chst Dreiecke und dann symmetrische Trapeze so genannte gleichschenklige Trapeze sichtbar Die Quadrate dienen als Spannwerkzeuge f r die Figur Abb 1 Eine Variante ist das Ansetzen von Rechtecken mit dem Seitenverh ltnis 2 wie bei den DIN Formaten vgl 3 S 25 und 6 t Abb 1 Ansetzen von Quadraten Fibonacci Quadrate Die Kantenl ngen der Quadrate bi
133. er Modell Mn Maximum Abb 2 Bausteinetest Boxplot Tabelle 1 deskriptive Statistiken Strukturerfassungstest Der durchgef hrte T Test unabh ngiger Variablen zeigt folgende Mittel wertszusammenh nge Signifikanz 2 seitig Bild Computer 756 Bild Modell 652 Computer Modell 885 Mann Whitney Test asymptotische Signifikanz 2 seitig Bild Computer 716 Bild Modell 620 Computer Modell 974 Sowohl der T Test als auch der U Test zeigen eine hinreichende Ver gleichbarkeit der gebildeten Untergruppen so dass im Folgenden entspre chende Vergleiche zul ssig sind Der Strukturerfassungstest STR Der Strukturerfassungstest von Ludwig Steinwandel behandelt insgesamt 8 regul re und halbregul re K rper K1 bis K8 vgl Abb 3 Es waren jeweils 6 Fragen aus zwei Niveaus zu beantworten Fragen des Niveaus A Fragen nach der Art der Au enfl chen und Anzahl der Kanten Fl chen die einen Eckpunkt ber hren sind ohne die Kompetenzen Mental Rotation und Spatial Visualization beantwortbar w hrend f r die Items des Niveaus B Fragen nach der Anzahl der Fl chen Kanten und Eckpunkten diese not wendig waren Exemplarisch wurden alle notwendigen Begrifflichkeiten z B Kante Eckpunkt Fl che an einem K rper W rfel mit den Sch lern im Vorfeld thematisiert Ebenfalls wurde der Hinweis gegeben dass es sich bei allen Gebilden ausnahmslos um regelm ige Strukturen handelt Abb 3 Die verwendeten re
134. er nahen Zukunft wird diese Technik leicht einzubinden sein da man schon heute nur Standardhardware daf r ben tigt es fehlen bislang aber noch die notwendigen Schnittstellen mit der g ngigen Raumgeometriesoftware Zusammenfassende technische Prognose Die Navigation im virtuellen dreidimensionalen Raum mit Hilfe der vorge stellten 6D Maus erfordert einerseits die Anschaffung eines Zusatzger ts das auf absehbare Zeit nicht zur Massenware und damit finanziell f r Sch ler und Schulen erschwinglich werden wird Zus tzlich ist der Umgang mit diesem Ger t erst noch zu erlernen Dies widerspricht ebenso der Forderung nach intuitiver Bedienbarkeit wie die Tatsache dass dieses Zusatzger t zwar eine komfortablere Navigation im virtuellen Raum erm glicht der Benutzer die Raumszene aber immer noch als au enstehender Beobachter erlebt Eine Anpassung der Raumszene auf Ver nderungen der Betrachter position oder des Blickwinkels ist mit diesem Ger t nicht m glich Auch in Schulen wird in regelm igen Abst nden die Computer Ausstat tung erneuert Dies gilt insbesondere f r Computermonitore Wie sich auf dem Markt bereits abzeichnet werden neue Computermonitore auch im niedrigen Preissegment sp testens in zwei Jahren standardm ig 3D f hig sein Eine Verbesserung der 3D Darstellung etwa durch eine geeignete Shuttertechnik ist f r den Einsatz in der Schule jedoch nur dann interessant wenn daf r neben 3D f higen Computermonitoren
135. ere im Hinblick auf die Entwicklung des Begriffsver st ndnisses der Probleml sekompetenz des Modellierens und der F higkeit des Argumentierens und Begr ndens als unverzichtbar an ber den Einsatz von Taschenrechnern hinaus diese digitalen Werkzeuge nachhaltig in den Ma thematikunterricht zu integrieren ber die zuk nftige Verwendung von Taschencomputern im Mathematik unterricht l sst sich augenblicklich nur spekulieren Es ist sicherlich ent scheidend f r den Unterrichtseinsatz ob diese Werkzeuge in Pr fungen vor allem auch im Abitur zugelassen sind oder nicht Weltweit gibt es hier die verschiedensten Modelle In Deutschland ist in den letzten Jahren die Tendenz zu erkennen dass graphikf hige Taschenrechner vielfach ver pflichtend vorgeschrieben etwa Baden W rttemberg oder Sachsen Ta 10 Hans Georg Weigand schencomputer aber nur alternativ mit einer eigenen Abiturpr fung m glich sind etwa in Nordrhein Westfalen Hessen oder Bayern Entt uschungen In der aktuellen ICME Study 17 mit dem Titel Mathematics Education and Technology Rethinking the Terrain Hoyles u Lagrange 2010 wird an vielen Stellen die Entt uschung deutlich dass sich neue Technologien trotz zahlloser Ideen unterrichtspraktischer Erfahrungen und Forschungsberich ten zum Unterrichtseinsatz nicht in der Weise durchgesetzt haben wie das viele zu Beginn der 1990er Jahr erwartet oder erhofft hatten Einige Zitate aus der
136. ereini gung der beiden Geraden mit den Gleichungen x 2y 0 und x 2y 0 besteht Abb 29 aly Abb 29 Eine Visualisierung der binomischen Abb 30 Eine Visualisierung der binomischen Formel x 4y x 2y x 2y Formel x 6xy 9y x 3y In analoger Weise treten auch die anderen binomischen Formeln auf bei spielsweise ist x 6xy 9 y x 3 y so dass die Nullstellenmenge nur 91 Gleichungen in Bildern aus einer doppelt z hlenden Geraden besteht Abb 30 Eine solche Fak torisierung ist nicht immer m glich h ufig zerfallen Kurven nicht in ein fach zu verstehende Teile z B die Hyperbel mit der Gleichung xy 1 Kreativit t Kugeln Koordinatensysteme Man kann auch den umgekehrten Weg gehen und einzelne Terme multipli zieren Dieselbe Einsicht dass ein Produkt genau dann verschwindet wenn einer der Faktoren dies tut f hrt dann dazu dass man hiermit konstruktiv durch Vereinigen von Fl chen neue Gebilde entstehen lassen kann und damit der k nstlerischen Kreativit t im Mathematikunterricht Raum zuge stehen kann Bekannt sind hierf r etwa die Aufgaben aus Parabelabschnit ten Gesichter zeichnen zu lassen indem man f r die Parabeln die passenden Formeln in einen Graphischen Taschenrechner eingibt s dazu etwa B rbel Barzels oder Josef B hms Ideen Ein Analogon f r Kreise ist wie oben erw hnt in der Sekundarstufe I zur Vertiefung des Satzes von Pythagoras in den Unterricht integ
137. eren Hilfe die r umliche Ausdehnung oder Anordnung von K rpern auf einer zweidimensionalen Bildebene dargestellt werden kann vgl Goldstein 2008 e Verdeckte Objekte etwa verdeckte Kanten bei Gittermodellen e perspektivische Verzerrungen Zentralperspektive Kavaliersperspekti ve e Bewegungsparallaxe nahe Objekte bewegen sich schneller am Betrach ter vorbei als weit entfernte e Luftperspektive Objekte die weit entfernt sind wirken heller und leicht vernebelt 160 Markus Ruppert Jan W rler e Tiefensch rfe Objekte au erhalb der Fokusebene erscheinen unscharf e Lichteffekte und Schattenwurf Im Laufe der letzten 20 bis 30 Jahre wurden nach und nach all diese Effekte in die meisten DRGS implementiert Cabri 3D beispielsweise l sst Geraden nach hinten d nner werden ein Nebeleffekt h llt entfernt liegende Objek te oder Objektteile in einen hellen Schleier In Archimedes Geo3D kann die Tiefenwirkung durch den Schattenwurf der Objekte verst rkt werden 3D Computerspiele ber cksichtigen in der Darstellung zus tzlich Tiefensch r feeffekte Bereiche au erhalb der Fokusebene werden leicht unscharf dargestellt Bei der Darstellung dreidimensionaler Objekte oder Szenen auf der zwei dimensionalen Bildebene eines Monitors hat man heute also alle zur Verf gung stehenden monokularen Effekte ausgen tzt Es gibt schlichtweg keine weiteren M glichkeiten auf diese Weise r umliche Tiefenwirkung zu er z
138. erst ndnis geometrischer mathematischer Inhalte f r das Lehren und Lernen und schlie lich auch f r die weitere Entwicklung der Geometrie und Mathematikdidak tik haben k nnen Zur Bedeutung von Werkzeugen Der Fortschritt der Menschheit dokumentiert sich in seinen Werkzeugen Werkzeuge sind zum einen Ergebnis von Erkenntnissen und zum anderen sind neue Erkenntnisse nicht ohne Werkzeuge m glich Wir sagen oft dass eine Zeit nicht reif gewesen sei f r gewisse Einsichten h ufig m sste es aber hei en dass die jeweilige Zeit nicht ber geeignete Werkzeuge verf gte um entspre chende Einsichten gewinnen zu k nnen Claus 1990 S 43 In diesem Zitat des Informatikers Volker Claus wird eine Dualit t deutlich n mlich die Wechselbeziehung zwischen Werkzeug einerseits und Erkennt nis Einsicht und Fortschritt andererseits Im Folgenden wird diese Wech selbeziehung im Hinblick auf die Bedeutung mathematische Werkzeuge f r das Lehren und Lernen von Mathematik hinterfragt Es geht also um die didaktische Bedeutung mathematischer Werkzeuge Dabei gehen wir davon aus dass der Computer die lange Kette der mathe matischen Werkzeuge fortsetzt Abakus Ziffernsysteme Rechenmaschine Taschenrechner und dass er das Lehren und Lernen mathematischer Denk und Arbeitsweisen die im Mathematikunterricht schon immer wichtig wa ren wie strukturiertes Denken modulares Denken funktionales Denken unterst tzt und f rdert Werkzeuge im
139. erungen nur sehr langsam in den regul ren Unterricht durch Ein Beispiel hierf r ist der immer noch geringe Verbreitungsgrad von graphischen Taschenrechnern bzw CAS Handheld Ger ten Wird eine neue Technologie als didaktisch gut und sinnvoll erkannt was alleine schon ein langer Prozess ist m ssen erst Lehrpl ne Schulb cher und die Lehramtsaus und weiterbildung entspre chend angepasst werden Nicht zuletzt spielt f r die Ausgestaltung des Un terrichts auch die finanzielle Ausstattung der Schulen die aus heutiger Sicht keine gr eren Umw lzungen erlaubt eine bedeutende Rolle Auch in die sen Punkten sind innerhalb der n chsten zehn Jahre keine gro en Ver nde rungen zu erwarten 156 Markus Ruppert Jan W rler Auf Basis dieser berlegungen wagen wir zwei Prognosen Prognose I Auch 2020 werden rund 30 Sch lerinnen und Sch ler zusammen in einem Raum sein es wird St hle Tische geben Ggf Strom Internet an je dem Platz Prognose II Die u eren Vorgaben Finanznot der Schulen Tr gheit der Lehrpl ne sind im Jahr 2020 hnlich wie heute Eine technische Prognose Will man eine Vermutung ber die technische Ausstattung des Geometrie unterrichts im Jahr 2020 wagen so ist es sicherlich sinnvoll dies auf der Basis der schulpolitischen Prognose zu versuchen Demnach wird nur sol che Technologie einen ersten Weg in die Unterrichtspraxis gefunden ha ben die heute bereits ggf au erh
140. es Dreiecks AABC seien gedrittelt Verbindet man die Drittelungspunkte mit den gegen berliegenden Eckpunkten entsteht im Innern des Dreiecks AABC ein O Sechseck 0 0 030 050 mit zueinander parallelen Gegenseiten Q20 050 AB 010 030 AC und O10 040 BC Abb 9 O Sechseck 0 0 0304050 Dann gilt f r das Verh ltnis der Umf nge bzw der Fl cheninhalte Abb 9 U AABC 7 Aue _ 49 und f U 9 Sechseck 3 Ag _Sechseck 1 3 Im Unterschied zu Satz 4 ist also auch das Verh ltnis der beiden Umf nge eine Konstante Ist das Dreieck AABC gleichseitig ist das O Sechseck zwar nicht gleichsei tig aber gleichwinklig Alle Winkel betragen 120 Wie Satz 4 Morgan eine Verallgemeinerung von Satz 4 Walter ist l sst sich jetzt auch Satz 5 generalisieren Satz 5 Werden die Seiten eines Dreiecks AABC in n gleiche Teile geteilt wobei n eine ungerade Zahl sei und die jeweiligen mittleren beiden dieser n Teilungspunkte mit den gegen berliegenden Eckpunkten verbunden entsteht im Innern des Dreiecks AABC ein O Sechseck 0 0 0504050 mit 112 Ingmar Lehmann zueinander parallelen Gegenseiten 0 0 O50 AB Q Q6l Q304 4C und O1O 10495 IBC C Abb 10 O Sechseck Q10Q20 040 Qs f r n 5 und n 7 Dann gilt f r das Verh ltnis der Umf nge bzw der Fl cheninhalte siehe Abb 10 Une Hl pnd Are _ Gm 1 7 Ei Ug_Sechseck 4n Ap Sechseck 8 3n 7 1 Im Unterschied zu Satz 4 ist also
141. eschwindigkeit oder die Fehlerh ufigkeit Gl ck 2005 Dabei werden weitere Variablen wie z B das Alter oder das Geschlecht der Teilnehmer in den Blickwinkel genommen Weitere Arbeiten analysieren die Wirkungs weise von Computerumgebungen und deren Trainingseffekte Ahmad 2009 Hellmich et al 2002 Souvignier 1999 2000 Die diesbez glichen Befunde sind teilweise uneinheitlich bzw widerspr chlich Theoretische Grundlagen Von verschiedenen Autoren z B Franke 2009 Senftleben 1999 wird die gro e Bedeutung der r umlichen F higkeiten als Faktor der menschlichen Intelligenz und als menschliche Qualifikation mit lebenspraktischer Bedeu tung stark betont Dabei scheint es jedoch sehr schwierig zu sein dieses Die Suche nach der angemessenen Darbietung r umlicher Strukturen komplexe Konstrukt zu definieren Es werden Begriffe wie r umliche F higkeiten Raumvorstellung Raumorientierung Raumwahrnehmung und r umliches Denken um nur einige zu nennen verwendet J Gl ck nennt als m gliche Ursache f r die uneinheitliche Begriffsbestimmung und Begriffs verwendung die hohe Komplexit t des zugrunde liegenden Sachverhalts Gl ck selbst spricht von Raumvorstellungsleistungen und meint damit den Umgang mit visueller nichtsprachlicher Information die im Ged cht nis gespeichert meist in irgendeiner Form transformiert bzw manipuliert und oder wieder abgerufen werden muss Franke hingegen verwendet den Begriff r umlich
142. et Dabei wird die These vertreten dass Sch ler die dieses Niveau trotz Einf hrungsphase nicht erreichen entweder nicht ber das notwendige Begriffsverst ndnis verf gen oder nicht motiviert waren Die anschlie en den Auswertungen beziehen sich entsprechend auf die Daten des Frageni veaus B da nur diese Items das r umliche Vorstellungsverm gen betreffen Der durchgef hrte T Test unabh ngiger Variablen zeigt folgende Mittel wertszusammenh nge Signifikanz 2 seitig Bild Computer 693 Bild Modell 000 Computer Modell 000 Mann Whitney Test asymptotische Signifikanz 2 seitig Bild Computer 972 Bild Modell 000 Computer Modell 000 Aufgrund beider Testanalysen darf interpretiert werden dass eine Compu tersimulationsumgebung keinen signifikanten Bearbeitungsvorteil gegen 179 Die Suche nach der angemessenen Darbietung r umlicher Strukturen ber der Arbeitsumgebung Bild jeweils 2 perspektivenverschiedene Screenshots der Computersimulation bringt Demgegen ber ist die Modell umgebung diesen beiden Pr sentationen berlegen Weitere Filterungen deren Beschreibung hier zu weit f hren w rde st tzen diesen Befund Um ein noch detaillierteres Bild zu erhalten werden im Folgenden die Da ten in einem Streuungsdiagramm BST STR vgl Abb 5 betrachtet Hier f r wurden die Wertepaare zus tzlich bzgl ihrer Pr sentationszuweisung kodiert Die zuvor gesetzte Datenfilterung wird beibeha
143. euerung Intuitives Ar beiten Vorerfah ar rung konomische Verf gbarkeit z ar Einbettung in den Unterricht 3 O Akzeptanz O z zu Brillen Tabelle 1 Bewertung technischer Entwicklungen auf der Grundlage des Kriterienkatalogs H lt man sich nun vor Augen dass alle diese Entwicklungen gleichzeitig fortschreiten dann erscheint eine Verschmelzung der verschiedenen Tech nologien am realistischsten Sind Trackingsysteme so weit ausgereift dass sie auch Gesten im Raum interpretieren k nnen dann r ckt die Steuerung eines Raumgeometrieprogramms durch geeignete Gesten in greifbare N he Geraden k nnen mit den H nden aufgezogen Kreise und Ebenen k n nen geformt werden Lassen sich diese Objekte und Gesten wiederum als Objekte in eine Augmented Reality einbetten so werden auch Bewegungen Verformungen oder Konstruktionen denkbar erste Ans tze hierzu gibt es mit Construct3D an der TU Wien vgl H Kaufmann in diesem Heft Gelingt es zus tzlich diese virtuelle Welt ohne Zusatzger te wie Shutterbril len oder Trackingballs so dreidimensional darzustellen dass die Ver nde rung der Raumszene als Reaktion auf die Aktionen des Benutzers erfolgt kann man von einer Umgebung sprechen in der auch Konzepte der Raum geometrie als Grunderfahrung erm glicht werden die ber blo es Rechnen hinaus gehen eine Verschmelzung von Ideen und Arbeitsmethod
144. eugen Man muss also will man die 3D Darstellung realistischer machen zus tzlich binokulare Tiefeneffekte ausnutzen Dieser Gedanke ist nicht neu Schon mit der Erfindung der Fotografie war man sich des Problems bewusst dass die ebene Abbildung einer r umlichen Situation notwendigerweise mit einem Informationsverlust verbunden ist Und so versuchte man schon fr h durch stereographische Aufnahmen Doppelaufnahmen Stereoskope zumindest starre 3D Bilder mit einer echten Tiefenwirkung zu erzeugen Im Laufe der Jahre und Jahrzehnte ent wickelten sich immer neue Techniken zur Darstellung von 3D Szenerien Ihnen allen ist gemeinsam dass f r das rechte und das linke Auge jeweils ein eigenes zweidimensionales Bild zur Verf gung gestellt wird Das Ge hirn setzt die zwei leicht unterschiedlichen Einzelbilder dann zu einem r umlichen Eindruck zusammen Im Vorfeld der Fu ball WM 2010 eine technische Neuerung auf die kurze Zeit vorher in der PC und Konsolenspielbranche Nvidia 3D Vision auf den Weg gebracht worden war die Shuttertechnik Dabei werden die Bilder f r rechtes und linkes Auge in schneller Abfolge hintereinander gezeigt und eine synchronisierte Brille blockiert f r jedes Auge jeweils eines der Bilder Damit bewegte Bilder mit dieser Technik ruckel und damit erm dungsfrei gezeigt werden k nnen muss die Brille jedes Auge mindestens 60 Mal pro Sekunde verschlie en W hrend 3D f hige TV Ger te gerade erst auf den 161
145. ften Sch lerin c merkte nun an dass man die Sub 1 1 1 1 traktion schon habe denn aus an folge ja dass en A sei Im Folgenden verloren die Sch lerinnen den Bezug zum Tangram ei gentlich v llig Die Diskussionen ber das Verrechnen von Br chen liefen nicht mehr auf Grundlage der Bestandteile des Tangram Spiels ab sondern eher auf dem Vorwissen der Sch lerinnen und dem was im Schulbuch dar ber stand So notierten sie zwar im folgenden die Subtraktion und Multi plikation in Beispielen von Br chen die als anteilige Fl cheninhalte am Gesamtfl cheninhalt des Tangrams vorkommen aber begr ndeten dies nicht mit dem Spiel selbst W hrend a c und nun auch b ber die Division diskutierten und e zuh rte bekam d nur noch Anweisungen das aufzu schreiben was die anderen als Ergebnisse erhielten Dies wurde besonders deutlich als sie sich um 10 37 einbrachte dass 2 7 gleich 5 w ren da man Z hler und Nenner multiplizieren m sse Dieser Vorschlag und das Bed rfnis nach Aufkl rung wurde wegen dem drohenden Ende der Arbeits phase von a allerdings mit Schreib es einfach Nadja schreib es einfach abgetan und die Schreibt tigkeit daraufhin sogar von c bernommen 133 Geometrische Veranschaulichung und Bruchrechnung Pr sentation Es folgten ab 10 40 die Pr sentationen Abb 7 der Gruppen Ich werde hier nur auf die Pr sentation der Gruppe 1 10 54 10 01 einge hen Hierbei gingen a und c zum Vorstellen
146. g als Mittel zum Wissenserwerb oder zur Kooperation DRGS k nnen die Anschauung komplexer Inhalte erleichtern die Selbstt tigkeit der Sch lerinnen und Sch ler f rdern und einen differenzierten und sch lerorientierten Unterricht unterst tzen vgl Ministerium f r Kultus Jugend und Sport Baden W rttemberg 2011 69 Voraussetzungen f r die Nutzung von DRGS im Unterricht Schlussbemerkungen und Ausblick Es kann festgestellt werden dass die didaktische Mehrwertgenerierung f r die Nutzung von DRGS im Unterricht u a zur Erh hung der Intuitivit t und der Gebrauchstauglichkeit gesteigert werden kann wenn an der Wei ter Entwicklung der DRGS neben Mathematikdidaktikern auch Medien P dagogen Lern Psychologen Softwareergonomen und Informatiker beteiligt sind Werden DRGS k nftig zu multimedialen Lernumgebungen weiterentwi ckelt k nnen die von Mayer konstatierten Seven Principles of Multimedia Design Mayer 2001 S 183 186 als Gestaltungsprinzipien f r das Design von und in multimedialen Lernumgebungen herangezogen werden Hierbei w ren demnach das Multimedia Principle Spatial Contiguity Principle Temporal Contiguity Principle Coherence Principle Modality Principle Redundancy Principle und das Individual Differences Principle zu ber ck sichtigen Soll die nachhaltige Integration von DRGS im Unterricht vorangetrieben werden und sollen diese durch ihren didaktischen Mehrwert den Mathema tikunterr
147. geh ren dazu DISS Tetraeder Hexaeder Oktaeder Ikosaeder Dodekaeder Abb 23 Platonische K rper Im Folgenden seien zwei kleine Aufgaben angegeben die ber verschiede ne Klassenstufen betrachtet werden k nnen Die erste Aufgabe kann so formuliert werden siehe Abb 24 Welcher Bruchteil der gesamten karier ten Fl che ist rot bzw blau Diese Aufgabe zielt auf den Pythagoras Satz 144 Swetlana Nordheimer kann aber auch schon in der Primarstufe durch Abz hlen der K stchen ge l st werden Abb 24 Rittersport oder Pythagoras Ausgehend von der Pythagoras Figur lassen sich Pythagoras B ume kon struieren die zur Darstellung der Bruchaddition eingesetzt werden k nnen So l sst sich die Aufgabe in der Abb 25 durch Einzeichnen von Hilfslinien und Unterteilen der Figuren in Dreiecke auch schon in der Primarstufe l sen Sie kann aber auch durch Ber cksichtigung von Symmetrien oder ein fach durch Ausschneiden und bereinanderlegen von Teilfiguren gel st werden Nach den Empfehlungen von Lehrern sollte der Pythagoras Baum am Anfang weniger Stufen als in der Abb 25 enthalten A1 Ermittle den grau eingef rbten Bruchteil Erg nze diesen Bruch zu Eins und schreibe die Additionsaufgaben auf Abb 25 Pythagoras B ume Die hier pr sentierten Vorschl ge erg nzen die wunderbaren Ideen wie sie beispielsweise in den SINUS Materialien bei Heinrich Winter 1999 oder bei
148. gewiesenen Lernumgebung Erste Befunde Der Bausteinetest BST Bei dem Bausteinetest von Birkel Schumann 2002 wird vorwiegend die F higkeit Mental Rotation getestet Die Grundstruktur aller verwendeten K rper sind zusammengesetzte W rfel die mehr oder weniger gedreht im Raum repr sentiert werden Dabei sollen die Probanden beurteilen welche zwei W rfelk rper aus einer Auswahl von vieren f r einen zusammenge setzten K rper ben tigt werden vgl Abb 1 er fa dh Abb 1 Zusammengesetzte K rper des BSTs Insgesamt waren 40 zusammengesetzte K rper in einer Zeit von 20 Minuten zu bearbeiten Zu Beginn wurden zwei exemplarische Beispiele mit den Sch lern gemeinsam gel st Im Folgenden wurden aufgrund der Testergebnisse im BST drei leistungs gleiche Teilgruppen gebildet Da die Pr fung der Gesamtdaten auf Normal verteilung negativ ausf llt jedoch ein normalverteilt hnlicher Verlauf vorliegt wird vorsichtig mit einem T Test argumentiert der durch den nichtparametrischen U Test Mann Whitney komplettiert wird vgl Abb 2 und Tabelle 1 177 Die Suche nach der angemessenen Darbietung r umlicher Strukturen ONEWAY deskriptive Statistiken Bausteine Test Computer Modell Gesamt N Mittelwert Standardabweichung Standardfehler 95 Konfidenzintervall Untergrenze f r den Mittelwert Obergrenze Bild Comput
149. gul ren und halbregul ren K rper des STR 178 J rgen Steinwandel Matthias Ludwig Die Bearbeitungszeit je K rper wurde kontrolliert und in Abh ngigkeit vom erwarteten Komplexit tsgrad gesetzt z B K1 gt 1 min K4 gt 2 30 min Diese Zeiten wurden aus den Erfahrungen einer Voruntersuchung abgelei tet Somit betrug die Gesamtbearbeitungszeit 22 Minuten Erste Auswertungen und Analysen bzgl der Arbeitsumgebungen Im Folgenden soll der Frage nachgegangen werden mit welcher Lernumge bung Bild Computer Modell die teilnehmenden Sch ler am erfolgreichs ten die gestellten raumgeometrischen Fragestellungen beantworten k nnen Die Pr fung der Gesamtdaten auf Normalverteilung f llt ebenfalls negativ aus Entsprechend der Argumentation beim BST wird vorsichtig mit einem T Test der durch einen U Test Mann Whitney gest tzt wird interpretiert ONEWAY deskriptive Statistiken Strukturerfassungstest gesamt Niveau B Computer Modell Gesamt N Mittelwert H Standardabweichung Standardfehler 95 Konfidenzintervall Untergrenze L f r den Mittelwert Obergrenze Minimum Bild Computer Modell Maximum Abb 4 Strukturerfassungstest Tabelle 2 deskriptive Statistiken Boxplot Fragegruppe B Strukturerfassungstest Fragegruppe Niveau B F r die dargestellte Datenanalyse Abb 4 Tabelle 2 wurden nur Datens t ze die im Niveaubereich A mindestens insgesamt 18 Punkte zeigen ausge wert
150. gung der Aufgabe m glichst gut erf llt Folgende Fragen wurden ihnen dazu gestellt e Wie bewegt sich der Lotfu punkt S wenn C bewegt wird e Verschiebe C so dass AC und BS m glichst gleich lang sind e F lle das Lot von S auf g e Wie gro ist etwa der Abstand vom Fu punkt F des Lotes zu B Die Untersuchung der ersten Frage siehe Abb 6 erinnerte die Sch ler an den Satz des Thales genauer handelt sich um seine Umkehrung sie konnten nach der mithilfe der Software gemachten Feststellung begr nden dass sich der Lotfu punkt S auf einem Halbkreis bewegt h S A M 3 E Abb 6 Konstruktionsaufgabe Zwischen berlegung Thaleskreis Durch Ziehen an dem Punkt C konnten die Sch ler die in der Aufgabenstel lung gestellte Bedingung AC BS ann hernd erreichen allerdings war es mittels Mausbewegung nicht m glich diese Bedingung bis auf die von Euklid Dynageo angegegebenen drei Nachkommastellen genau zu realisieren siehe Abb 7 Es erschien durchaus so dass die an sich neben s chliche Ungenauigkeit dazu beitrug dass die beteiligten Sch ler mit dem Ergebnis noch nicht ganz zufrieden und daher bereit waren sich mit der Aufgabe weiter auseinanderzusetzen Die Benutzung der Software als dynamisches Explorationswerkzeug trug in diesem Beispiel somit zur Findung einer L sungsidee bei ohne jedoch eine exakte L sung in den Augen der Sch ler berfl ssig werden zu lassen 23 Problemorientierte geometris
151. h in die Eingabezeile eine Gleichung in x und y x so dass wir hier auf die Bedienung nicht eingeben wie z B x y weiter eingehen F r den praktischen Einsatz in der Schule sei hier aber nochmals betont dass auch einige aktuelle CAS Taschenrechner in der Lage sind viele algebraische Kurven darzustellen was den Einsatz im Un terricht stark erleichtert F r die Umsetzung unseres in diesem Artikel an gedeuteten Gesamtkonzepts ist es jedoch in keiner Weise n tig dass jeder Sch ler im Unterricht einen solchen Taschenrechner zur Verf gung hat es erh ht allerdings die experimentellen M glichkeiten erheblich Algebraische Fl chen k nnen wie erw hnt mit Hilfe der Software Surfer dargestellt werden da das Arbeiten mit algebraischen Fl chen im Raum noch nicht weit verbreitet ist gehen wir hierauf etwas n her ein Zun chst kann eine algebraische Fl che genauso wie eine Gerade in der Ebene ab strakt betrachtet unendlich gro sein wie wir bereits gesehen haben und wie 78 Oliver Labs sogar schon die Ebene mit der Gleichung z 3 zeigt diese besteht ja aus allen Punkten im Raum deren z Koordinate 3 ist Daher zeigt die Software Surfer nur einen Ausschnitt des Gebildes und zwar jenen der innerhalb einer Kugel um den Ursprung vom Radius r liegt wobei r ber den senk rechten Schieberegler ver ndert werden kann Surfer passt dann gleichzeitig automatisch den Zoom so weit an dass der angezeigte Ausschnitt wieder
152. h weitere Schwierigkeiten Einige von ihnen wurden durch das Zitat von Padberg am Anfang des Kapi tels angedeutet e Den Sch lerinnen gelingt es inhaltsgleichen Figuren Br che zuzu ordnen auch wenn es sich nicht um kongruente Figuren handelt e Die Sch lerinnen l sen sich schnell von der anschaulichen Ebene e Die Sch lerinnen k nnen sich nicht mehr an die formalen Regeln erinnern Sie sind in der Lage mit Hilfe des Lehrbuchs Regeln f r Addition Subtraktion Multiplikation und Division auf die vor kommenden Br che formal anzuwenden 134 Swetlana Nordheimer e Die Sch lerinnen sind in der Lage spontan in der Pr sentation Addition und Subtraktion auf Anforderung der Lehrerin mit Hilfe des Tangrams zu veranschaulichen e Den Sch lerinnen gelingt es nicht Multiplikation und Division von Br chen am Tangram zu veranschaulichen Auch die Lehrerin zeigt an dieser Stelle ihre Skepsis Die Schwierigkeiten sind u a mit den inhaltlichen Anforderungen der Auf gabe aber auch mit einem hohen Grad an Offenheit zu begr nden Um diesen Schwierigkeiten zu begegnen empfiehlt es sich in Anlehnung an die offene Aufgabe Teile davon in konkrete Aufgaben umzuformulieren Derartige Teilaufgaben k nnten mit Hilfe von umgangsprachlichen Formu lierungen die Kluft zwischen den geometrischen Anschauungen und forma len Regeln berbr cken Vorschl ge f r die 7 Klasse Wiederholen Vorgreifen Um Erkenntnisse aus de
153. he der Punkte P 3 6 0C 2 4 31 3 auf dieser Kurve liegen Nach rechnen zeigt f P f R 0 f Q Q liegt also nicht auf der Kurve Die in Abb 15 gezeigte Fl che besteht aus allen Punkten x y z die die 3 Gleichung xz x y z xz 0 erf llen Welche der folgenden Punkte liegen darauf P 2 2 1 OC 2 2 4 R 4 2 4 82 Oliver Labs Abb 14 x y2 x 0 Abb 15 xz x y z xz 0 Vereinfachen von Termen Termumformungen Das sogenannte Vereinfachen von Termen ist ein weiteres zentrales The ma der Doppeljahrgangsstufe 7 8 Algebraische Kurven und Fl chen bieten insbesondere bei Einsatz geeigneter Software neue M glichkeiten dies zu motivieren die erstens Vernetzungen zwischen Algebra und Geometrie herstellen und teilweise auch der Kreativit t im Mathematikunterricht siehe auch Weth 1999 Raum geben Kontrolle von Termumformungen Beginnen wir mit einem typischen Ausschnitt eines aktuellen Schulbuches zum Thema Vereinfachung von Termen s Abb 16 13 Vereinfache die folgenden Terme a 7ab 3ac Sac 5ab d Axy 3zx 6xy 4xz Abb 16 Eine typische Aufgabe aus einem Schulbuch Wie in diesem Beispiel kommen in typischen Aufgaben zwei oder drei verschiedene Variablen vor so dass wir deren Nullstellen visualisieren k n nen Dies erm glicht es den Sch lerinnen und Sch lern in vielen F llen selbst graphisch kontrollieren zu k nnen ob ihre Vereinfachung
154. hen kann man analoge Tests durchf hren und sogar f r algebraische Kurven wurde dieser Aspekt bereits von anderen hervorgehoben etwa von D Haftendorn Wie oben bereits erw hnt hat die typische Aufgabe in diesem Zusammenhang allerdings drei Variablen so dass wir in der Dom ne der algebraischen Fl chen sind die bisher kaum in Betracht gezogen wurde 84 Oliver Labs Experimente Man kann das Betrachten algebraischer Kurven und Fl chen parallel zu Termumformungen auch anwenden wenn man frei mit Termen experimen tiert im Sinne der von Schupp vorgeschlagenen Aufgabenvariation Schupp 2002 die Software Surfer l dt geradezu dazu ein Andererseits kann man die Experimente auch lenken indem man neue Parameter einf hrt etwa in der folgenden Form Beispiel 4 Experimente mit Fl chen Wie vereinfacht sich der Term x xy yz a 3 x f r verschiedene Werte von a Diese Frage l sst sich hervorragend in Surfer interaktiv unter suchen indem man den Schieberegler f r a bewegt Auch ist es m glich einen Film zu erzeugen bei dem der Parameter a verschiedene Werte durchl uft Abb 21 zeigt drei Bilder aus einer solchen Animation Es f llt dabei auf dass die aus den Nullstellen des Terms bestehende Fl che f r a 4 in zwei Teilfl chen zerf llt rechtes Bild n mlich in eine im Bild senkrechte Ebene und einen im Bild liegenden Doppelkegel Das spiegelt sich auch im Term wieder denn xy yz y Xy z
155. hender Produkte z B durch Lehrerfortbildungen als Teil der Lehr amtsausbildung Beitr ge in Praxiszeitschriften etc allgemeine Faktoren wie eine leichte Verf gbarkeit z B als Downloadversion im Internet ein g nstiger Preis eine einfache sich selbsterkl rende Installation oder die Netzwerktauglichkeit z B Kompatibilit t mit Musterl sungen Vorausset zungen f r ihre Nutzung Ebenso stellt die Raumvorstellungsf higkeit so wohl einen wichtigen Einflussfaktor f r die Nutzung von DRGS im Unter richt als auch ihre Schulung durch ein DRGS dar Auf das grundlegende Problem der Darstellung r umlicher Ph nomene auf einem planaren Bild schirm kann hier aus Platzgr nden nicht n her eingegangen werden Exem plarisch sei an die Problematik der Rot Gr n Brillen erinnert Da etwa 9 aller M nner und 1 aller Frauen von Dyschromatopsie Rot Gr n Sehschw che betroffen sind Wikipedia 2011 sind diese Brillen f r diese Menschen nicht geeignet um einen Verr umlichungseffekt zu erzielen Grundlegende Problematik bei der Benutzung von Software F r den Softwarenutzer ist die erste H rde der Umgang mit der Benutzer oberfl che Verliert er hier schnell die Lust sich mit ihr im Dialog aktiv auseinanderzusetzen oder hindert ihn die Oberfl che gar daran bauen sich eventuell neben fachlichen H rden noch emotionale auf Zur Begriffskl rung sei darauf hingewiesen dass ein Dialog eine Interaktion zwischen einem Ben
156. her Hinsicht geht es um das Zusammenspiel verschie dener Komponenten wie Laptops Netbooks Internet Taschen computer e Bei der Verwendung von Lehrmitteln geht es um die Beziehung traditioneller und elektronischer Lehrb cher insbesondere die Ein bindung interaktiver Arbeitsbl tter e Bei der innerschulischen Kooperation geht es um die Zusammen arbeit aller in der Schule vertretenen Gruppen wie Sch lern Eltern Lehrern und Schulleitung e Bei der berschulischen Kooperation geht es um die Zusammenar beit zwischen Lehrern verschiedener Schulen zwischen Schule und Schuladministration sowie zwischen Schule und Universit t Ausblick Drei Fragen f r die Zukunft Zentrale Fragen im Zusammenhang mit dem Einsatz neuen Technologien und einer Ver nderung von Lehren und Lernen aufgrund deren Einsatzes werden schon lange gestellt und k nnen nat rlich nicht abschlie end beantwortet werden Mit neuen sich stets ver ndernden Werkzeugen stellen sich auch alte Fragen in neuer Weise Was ist und wie kann geometri sches Grundlagenwissen gesichert werden Wie k nnen zentrale traditionel le Arbeitsweisen Beweisen Argumentieren erhalten und weiterentwickelt werden Wie k nnen digitale Werkzeuge die Sicherung des Basiswissens unterst tzen Sicherlich lassen sich so zahlreiche alte Fragen aufz hlen Im Folgenden werden drei Fragen gestellt die f r die zuk nftige Entwicklung als beson ders wichtig anzusehen sind und
157. hielt Er sah Ankn pfungspunkte zwischen der Bruchrechnung und der Herleitung von Formeln f r Fl cheninhalte Auch dort k nnen die Zerlegung und Erg nzung von Figuren sowie das Zeichnen von Hilfslinien wie bei den Aufgaben mit dem Tangram eine Rolle spie len So hoffte er dass die Br che die in den Formeln vorkommen durch die bung mit dem Tangram nicht nur formal sondern auch geometrisch im Sinne von Anteil am Fl cheninhalt interpretiert werden Ein Beispiel daf r ist die Formel des Fl cheninhalts f r das Dreieck Aus der Sicht des Lehrers sollte bedacht werden dass Veranschaulichungen von Br chen auf diese Weise zum selbst ndigen Unterrichtsstoff werden Im Falle der Multi plikation und Division erleichterten die Darstellungen von Regeln mit Hilfe des Tangrams nur f r einen Teil der Sch ler das Verst ndnis und der Lehrer w rde in seinem zuk nftigen Unterricht lieber darauf verzichten zumal die Sch ler formal die Regeln sehr gut beherrschten Wie kann dar ber hinaus durch derartige Aufgaben die Einf hrung von Variablen durch L ngen Fl cheninhalte und Volumina vorbereitet werden 142 Swetlana Nordheimer Der Nachteil eines derartigen geometrischen Zugangs zu Variablen besteht darin dass Sch ler h ufig Buchstaben als Bezeichnungen f r geometrische Objekte Strecke Fl che K rper und nicht f r Gr en dieser Objekte sehen Wird ein Bruch im Unterricht durch verschiedene zwar fl chenglei che abe
158. hrwert z B bei der Schulung der Raumvorstellung versprechen Kriterien zur Beurteilung aktueller Entwicklungen Sollen aktuelle Trends bez glich ihres Potentials zur Verbesserung der beschriebenen Schnittstellenproblematik und bez glich ihrer Relevanz f r den Raumgeometrieunterricht bewertet werden um daraus Prognosen f r den Raumgeometrieunterricht der Zukunft aufstellen zu k nnen m ssen Beurteilungskriterien formuliert werden Bei der Entwicklung derartiger Kriterien m ssen die folgenden beiden Grundsatzfragen ber cksichtigt werden e Welche Entwicklungen sind f r den Raumgeometrieunterricht sinnvoll e Welche Entwicklungen sind bei den gegebenen Rahmenbedingungen realistisch 154 Markus Ruppert Jan W rler Diese Fragen f hren nach unserer Auffassung auf vier Kriterien die im Folgenden f r eine Beurteilung aktueller Entwicklungen zu Grunde gelegt werden sollen 1 Wird die Arbeit mit r umlichen Objekten intuitiver Die Bedienung von neuen Ger ten und Programmen soll hier als intuitiver bezeichnet werden wenn sie den nat rlichen Verhaltens und Wahrneh mungsgewohnheiten besser angepasst ist als bisher g ngige Produkte 2 Ist die konomische Verf gbarkeit in den n chsten 10 Jahren realistisch Mit konomischer Verf gbarkeit ist hier einerseits gemeint dass der Nut zen den die Realisierung einer neuartigen Schnittstelle mit sich bringt den finanziellen Aufwand im Rahmen eines Schulbudgets r
159. ich der Mo dell mit der Computerumgebung zeigt dass im Mittel die Modellumge bung die besseren Ergebnisse liefert Die Sch ler mit der Bildumgebung erreichen sowohl Spitzenwerte als auch sehr schwache Ergebnisse Abb 6 STR Leistungsvergleiche der verschiedenen Arbeitsumgebun gen von schwachen mittleren Bild Computer Modell und starken Sch lern im BST STR K rper 2 6 Niveau B 5 In Abbildung 6 werden drei Leistungsgruppen schwache mittlere und starke Sch ler bezogen auf den BST individuell dargestellt um ein noch differenzierteres Bild zu erhalten Die bisherigen Dateneinschr nkungen wurden ebenfalls beibehalten F r starke und schwache Sch ler scheint die interaktive Computerlernumgebung am wenigsten hilfreich zu sein F r Probanden mit mittleren Leistungen ist es nahezu unerheblich mit welcher Pr sentation sie arbeiten wobei ein Trend hin zum Modell erkennbar ist Zusammenfassend wird festgestellt dass die Bild und Computerumgebun gen gegenseitig wenig Vorteile bringen wobei ein m glicher Trend von Leistungsgruppe zu Leistungsgruppe variieren kann Die Modellumgebung bringt bei der Bearbeitung der Fragestellungen Vorteile f r alle Subgrup pen wobei die Auspr gung je Teilgruppe variiert und bei den starken Sch lern am deutlichsten erscheint Das Komplexit tsgrad Bestimmungsmodell Abb 7 wurde ausschlie lich mit den Daten des Niveaus B erstellt Die Da tenvisualisierung zeigt dass das angewand
160. iche Aus formulierung wird eine Verbindung von ebener Geometrie und Raumgeo metrie offenbar oder gar gefordert Auch in den g ngigen Schulb chern die den Ausf hrungen der Lehrpl ne meist recht streng folgen weisen diese Str nge deshalb nur wenige Querverbindungen auf Zudem finden sich Kapitel zur Raumgeometrie oft ganz am Ende des Lehrgangs Auch hier durch wird der geringe Stellenwert der Raumgeometrie im Mathematikun terricht deutlich denn in der Unterrichtsrealit t werden aus Zeitgr nden die letzten Themen eines Lehrbuchs oft nur recht knapp oder berhaupt nicht behandelt ein Umstand der gerade der Raumgeometrie nicht gerecht wird Will man den Sch lern Grunderfahrungen im Umgang mit geometrischen K rpern z B Aufbau Lagebeziehungen und Lagever nderungen von K rpern oder Operationen wie das Konstruieren oder Schneiden von K r pern erm glichen so sind praktische Erfahrungen wie das Basteln von K rpern und das Erzeugen von Schnittfl chen ebenso wichtig wie der Um gang mit zweidimensionalen insbesondere computerunterst tzten Darstel 150 Markus Ruppert Jan W rler lungsm glichkeiten und das Thematisieren damit verbundener Schwierig keiten Bereits an dieser Stelle liegt die Verkn pfung der Raumgeometrie mit der Geometrie der Ebene nahe Wie fruchtbar eine solche Verbindung auch au erhalb der darstellenden Geometrie sein kann zeigt sich bereits in der Methodenlehre von Archime des Zum einen bedien
161. icht bereichern sind eine didaktisch begr ndete curriculare Ausar beitung und Implementation verbunden mit begleitenden empirischen Un tersuchungen dringend notwendig Literatur ACM 2011 http www acm org 30 01 2011 Anderson J R 2001 Kognitive Psychologie 3 Auflage Heidelberg Berlin Spektrum Bainville E Laborde J M 2004 2007 Cabri 3D 2 1 2 Software Grenoble Cabrilog Deutsche Version Bearbeitung von H Schumann Zu beziehen ber http www cotec de 30 01 2011 Bortz J D ring N 2006 Forschungsmethoden und Evaluation f r Human und Sozialwissenschaftler 4 Auflage Heidelberg Springer Br utigam L 2008 Beurteilung von Software Ergonomie anhand des ISONORM Fraugebogens http www ergo online de site aspx url html software verfahren_ zur_beurteilung_der beurteilung_der_software_ergo htm 30 01 2011 CABRILOG 2011 a http www cabri com download cabri 3d html 30 01 2011 CABRILOG 2011 b http www cabri com 30 01 2011 70 Olaf Knapp CEN Europ isches Komitee f r Normierung 1995 Europ ische Norm EN ISO 9241 10 ICS 331 101 1 651 2 681 31 022 Deutsche Fassung Ergonomische Anforderungen f r B rot tigkeiten mit Bildschirmger ten Teil 10 Grunds tze der Dialoggestaltung ISO 9241 10 1995 Clark R C Nguyen F Sweller J 2006 Efficiency in learning Evidence based guidelines to manage cognitive load San Francisco CA Pfeiffer Eberleh
162. ichts MNU zur Empfehlung der Kulturminister konferenz zur St rkung der mathematisch naturwissenschaftlich technischen Bil dung http madipedia de images 4 40 Stellungnahme GDM MNU 2010 pdf Henn H W Jock W 1993 Arbeitsbuch CABRI G om tre Konstruieren mit dem Computer D mmler Verlag Bonn Hischer H 2010 Was sind und was sollen Medien Netze und Vernetzungen Franzbecker Verlag Hildesheim u Berlin Hoyles C amp J B Lagrange Eds 2010 Mathematics Education and Technology Rethinking the Terrain The 17th ICMI Study Springer Verlag New York a o Hoyles C amp J B Lagrange Eds 2010 Mathematics Education and Technology Rethinking the Terrain The 17th ICMI Study Springer Verlag New York Kaput J J 1992 Technology and mathematics education In D A Grouws Ed Handbook of research on mathematics teaching and learning New York McMil lan S 515 556 16 Hans Georg Weigand Kaufmann S 1992 Mathematica als Werkzeug Eine Einf hrung mit Anwen dungsbeispielen Birkh user Verlag Basel Kilian H 1978 Der Einsatz von Taschenrechnern in der Hauptschule anhand von Unterrichtsbeispielen ZDM 10 126 130 Klein F 1908 Elementarmathematik vom h heren Standpunkt aus Teubner Verlag Leipzig KMK 2009 Empfehlung der Kultusministerkonferenz zur St rkung der mathema tisch naturwissenschaftlich technischen Bildung http www kmk org fileadmin ve
163. ie Z hler der Um fangsverh ltnisse 7 19 37 61 stand f r die Nenner der Fl chenverh ltnis se 13 7 6 f r n 3 37 19 18 f r n 5 73 37 36 f r n 7 2 2 121 61 60 f r n 9 dann an in 1 im Raum also 3n A zc en 4 A 2 2 f O Sechseck In 1 4 3n 1 1 4 4 Alle N herungswerte werden durch die gefundene Formel best tigt womit die Vermutung erh rtet aber nat rlich nicht bewiesen ist n If s o s 7 9 Ane _ In 1 49 361 1369 3721 A p Sechseck 8 3n 1 13 37 73 121 3 76923 9 75676 18 7534 30 7521 Wieder einmal best tigt sich Ohne Bruchrechnung ist man mit seinem Latein schnell am Ende Der Beweis l sst sich wie schon f r Satz 2 mit Hilfe der S tze von Ste wart und Heron f hren F r die Seiten des O Sechsecks 01050304050 115 Dreiecke im Dreieck 2 n 1 2 n 1 2 n 1 erhalten wir a b C iDa mopa O Le zn _2 n 1 __ X n 1 _2 n 1 kg aa 04095 wal a Q106 Pal b und 0 03 a c womit sich 3 4 f r seinen Umfang ug sechseck A a b c ergibt d h n Unge _3n 1 An UQ Sechseck Um den Fl cheninhalt des O Sechsecks zu bestimmen zerlegen wir es in die vier Dreiecke AO 0305 AO50 01 AQ1Q20 und AO3040 In diesen vier Dreiecken kennen wir s mtliche Seiten vgl Satz 2 f r O10 O30 O10 Die Heron Formel liefert dann die jeweiligen Fl cheninhalte sodass Ange
164. ie ver ndert sich das Aussehen wenn der Parameter a sich n dert Und im zweiten Schritt warum Eine erste Erkenntnis hierzu ist etwa dass Schnittpunkte von g 0 und A 0 immer auch Punkte von f 0 sind Es gibt aber noch mehr zu entdecken dies kann man im dritten Schritt erweitern indem man noch st rker variiert s wieder Schupp 2002 und etwa Exponenten ndert Terme hinzuf gt etc Beispiel 7 Familien von Fl chen Wir betrachten die Familie mit Gleichung f x y z x y z a 0 vom Grad 2 F r a 0 ergibt sich der sogenannte Doppelkegel mittleres Bild in Abb 24 und ansonsten einschalige links hier mit a 1 bzw zweischalige Hyperboloiden rechts hier mit a 1 Abb 24 Eine Deformation des Doppelkegels Mitte in einen einschaligen links bzw zweischaligen Hyperboloiden rechts Zum Satz des Pythagoras Das erste Auftreten impliziter Gleichungen wie es ja auch die definieren den Gleichungen algebraischer Kurven und Fl chen sind erfolgte im Ma thematikunterricht vor einiger Zeit h ufig noch im Zusammenhang des Satzes von Pythagoras da mit ihm schnell die Kreisgleichung folgt Heute werden implizite Gleichungen meist erst in der Sekundarstufe II betrachtet weil sie in der Sekundarstufe I nicht wirklich ben tigt werden und in keinen Kontext eingebunden sind Mit einer Vorbereitung wie der in diesem Arti kel vorgeschlagenen ist die Betrachtung der Kreisgleichung bereits sehr zeitnah nach der Behandlung des
165. ieb User Heinz Van Eugen im Weblog von Christian Spannagel im Zusammenhang mit dem Geometrie Wiki Lehr Lern Bulimie Reinstopfen und auskotzen sorry f r die drastischen Worte ist oftmals die einzige L sung Das Verst ndnis bleibt nat rlich auf der Strecke und kann oftmals nicht abgepr ft werden http cspannagel wordpress com 2010 06 19 ein wiki fur eine geometrieveranstaltung comments Genau aus dem Grunde dass wir diesen Kreislauf durchbrechen wollten hatten wir ja das Wiki eingerichtet Allein mit Appellen und Vortr gen das wussten wir war dem Ph nomen nicht beizukommen Wir kannten das ja aus den Semestern zuvor War dem Dozenten in der Vorlesung oder in der bung ein Fehler unterlaufen regte sich ein lautstarker Sturm der Entr s tung Jetzt hatte man doch tats chlich etwas Falsches abgeschrieben Was wenn man jetzt dieses Falsche lernt und deshalb durch die alles entschei dende Pr fung f llt Der Autor wei nicht mehr wie oft er den folgenden Satz zum Vortrage brachte Wir wollen nicht Definitionen sondern das Definieren lernen 46 Michael Gieding Die Vorteile der eigenen aktiven Auseinandersetzung mit dem Lehrstoff erf hrt man nur dadurch dass man diese Auseinandersetzung wirklich be treibt Mitunter muss man dazu gezwungen werden There s no way but the hard way Es f hrt kein Weg daran vorbei du musst es am eigenen Leib erfahren The Old Divide and Rule Teile und her
166. ierig Die Ursachen f r die Probleme die die Studierenden mit der genannten Lehrveranstaltung haben lassen sich u a wie folgt spezifizieren e mangelndes sprachlich logisches Ausdrucksverm gen hinsichtlich mathemati scher Sachverhalte und Zusammenh nge e mangelnde Kenntnisse und F higkeiten im Beweisen mathematischer S tze Einer berwindung dieser Defizite steht h ufig der kontraproduktive Umgang zu vieler Studierender mit dem geometrischen Lehrstoff gegen ber W hrend des Se mesters wird der Lehrstoff vor allem in Form bedruckten Papiers gesammelt kurz vor der Akademischen Teilpr fung wird er dann mehr oder weniger auswendig gelernt Viele unserer Studierenden haben Mathematik bisher vor allem als Rezept wissen kennen gelernt Vortr ge und Appelle helfen da nur wenig die bisherige Aneignungsweise mathematischen Lehrstoffs zu berdenken Es schien uns dass ein lehrveranstaltungsbegleitendes Wiki gewisse Potenziale haben k nnte hinsichtlich der berwindung der genannten Probleme hilfreich zu sein Aus diesem Grunde wurde mit dem Sommersemester 2010 zum ersten Mal ein solches an die Lehrveranstaltung Einf hrung in die Geometrie gebundenes Wiki eingerichtet Im Folgenden werden die ersten Erfahrungen und Probleme im Um gang mit einem solchen Wiki dargelegt Warum und wozu ein Wiki f r die Geometrieausbildung Beispiel einer gelungenen Diskussion im Geometriewiki Die Idee des gleichschenkligen Dreiecks ist von zent
167. ihre Schnittstellen zum Menschen die Punkte im Raum mit dem Cursor erreicht werden Hierf r sind jedoch weitere Steuereingaben per Tastatur oder Maustastenkombinationen n tig eine Bedienung die wenig intuitiv ist da der Nutzer in jedem Fall allein f r das Navigieren im Raum Zusatzbefehle kennen muss Auf der Suche nach neuen Bedienkonzepten steht man vor Problemen die sich in hnlicher Weise bei der Entwicklung der Computermaus in den fr hen achtziger Jahren stellten Damals lag jedoch der Controller bereits vor ohne dass es fl chendeckend Anwendungen z B graphische Bedien oberfl chen daf r gab Heute hingegen stellen viele Anwendungen bereits 3D Technik zur Verf gung in der Hoffnung dass ein geeignetes Eingabege r t in naher Zukunft entwickelt werden kann Eines dieser Ger te ist m glicherweise die sog 6D Maus Dieser Control ler l sst sich in x und y Richtung schieben und zus tzlich in z Richtung dr cken bzw ziehen Weitere drei Freiheitsgrade kommen durch Drehen und Kippen des Steuerkn ppels hinzu Die Technologie wurde in den 1970er Jahren am DLR Deutschen Zentrum f r Luft und Raumfahrt unter dem Namen DLR SpaceMouse entwickelt und ist heute f r weniger als 100 Euro im Handel verf gbar dies allein rechtfertig nat rlich noch nicht die Auflistung des Ger tes im hier aufgef hrten Zusammenhang Abbildung 2 Die 6D Maus SpaceNavigator der Fa 3D Connexion Interessant ist aus didakti
168. il dung 5 dargestellt In einer der Teilaufgaben l st sich der Sch ler vom Sechseck und bevorzugt S ulen als Darstellungen Die dargestellten Br che als K stchen S ulen werden nicht alle auf die gleiche Einheit das Ganze bezogen sondern auf unterschiedlich gro e Ganze Dies kann daran liegen dass der Sch ler seine Aufgabe als Gesamtheit von verschiedenen Teilauf gaben sieht Es kann aber auch nicht v llig ausgeschlossen werden dass der zu bildende Bruchbegriff bei dem Sch ler noch nicht abgesichert ist In einer anderen Teilaufgabe siehe Abb 6 zeichnet ein anderer Sch ler selbst mehrere Sechsecke Er zeichnet zun chst einen Kreis und stellt sich der schweren Aufgabe sechs Punkte gleichm ig auf der Kreislinie zu verteilen Dies gelingt ihm nicht auf allen Zeichnungen gleich gut Bei der Erstellung der Zeichnungen mussten u a Symmetrien ber cksichtigt wer den Somit wurden Kenntnisse ber Br che mit den Fertigkeiten aus dem Geometrieunterricht verkn pft Es w re interessant zu erfahren wie der 130 Swetlana Nordheimer Sch ler beispielsweise f r das Erstellen der Zeichnung die Kreislinie in sechs Teile unterteilte Dazu bietet die Aufgabe jedoch keine Information n n F u A j n N Gg Rinrin vo echrhen ind ned Br chd 22 Ql J Abb 5 Br che als Balken Abb 6 Br che zeichnen Vorschl ge f r die 6 Klasse Addieren Subtrahieren Multiplizieren Dividieren Regeln f
169. in Werkzeuge verwan deln k nnen und so weiter Der einf hrende Beitrag zu diesem Band basiert auf dem von Hans Georg Weigand gehaltenen Hauptvortrag auf der Herbsttagung 2010 des Arbeits kreises Geometrie und gibt einen umfassenden berblick ber mathemati sche Werkzeuge ihre historische Entwicklung und ihre verschiedenen Funktionen nicht nur f r den Mathematikunterricht Wesentliche Aspekte des Begriffs Werkzeug die in dem einf hrenden Beitrag von Weigand diskutiert werden finden sich dann anhand konkreter Beispiele in den fol genden Beitr gen wieder Im Mittelpunkt der Beitr ge von Swetlana Nordheimer und von Oliver Labs steht der Werkzeugcharakter der Geometrie f r Veranschaulichungen arith metischer Inhalte speziell der Bruchrechnung bzw von Sachverhalten der elementaren Algebra Hierbei sind innermathematische Vernetzungen von besonderer Bedeutung und es wird deutlich dass die Nutzung der Geomet rie als Werkzeug gleichzeitig zum Erwerb bzw zur Vertiefung geometri scher Kenntnisse und F higkeiten beitragen kann Mit Konstruktions und Visualisierungswerkzeugen f r die Raumgeometrie befassen sich die Beitr ge von Olaf Knapp von J rgen Steinwandel und Editorial Matthias Ludwig sowie von Markus Ruppert und Jan W rler auch in dem schon erw hnten Beitrag von Oliver Labs treten Werkzeuge f r raumgeo metrische Veranschaulichungen auf W hrend Steinwandel Ludwig Ver gleiche der Wirksamkeit klassische
170. inatensystem gedrehte Parabel nicht als solche erkannt wird Dem kann die Arbeit mit algebraischen Kurven und Fl chen entgegen wirken Gleichungssysteme Wie wir oben bereits gesehen haben liefert das Produkt zweier linearer Terme auf der Geometrie Seite die Vereinigung zweier Geraden Deren Schnittpunkte sind nat rlich die L sungen des Gleichungssystems aus den beiden linearen Gleichungen die entstehen wenn man beide Terme Null setzt da es ja gerade die Punkte sind f r die beide Gleichungen erf llt sind Zwar wird dies im Normalfall genau ein Punkt sein doch die Analogie zwischen Algebra und Geometrie greift auch sonst Mit Hilfe von Fl chen k nnen wir dies direkt verallgemeinern ein gemein samer Schnittpunkt dreier Ebenen im Raum falls ein solcher existiert ist eine meist die eindeutige L sung eines gegebenen linearen Gleichungssys tems in drei Variablen Und auch Gleichungssysteme die Polynome von h herem Grad involvieren k nnen analog visualisiert und damit graphisch gel st werden f hren dann nur auf Kurven bzw Fl chen h heren Grades die sich allerdings auch in mehreren Punkten schneiden k nnen Symmetrie Ein zentraler Aspekt des Arbeitens mit rationalen Zahlen ist dass das Pro dukt zweier negativer Zahlen positiv ist etwa 2 3 6 oder 2 4 Im Zusammenhang mit Termen hei t dies dass x x f r jedes beliebige x gilt Wie schon oben im Beispiel der Punkte die x y erf llen
171. insetzen in implizite Gleichungen von Punkten deren Koordinaten von einem Parameter t abh ngen existiert eine Version f r Kurven Hierf r sind binomische Formeln und deren Ver allgemeinerungen f r h here Exponenten beispielsweise mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks sehr hilfreich Beispiel 6 Parametrisierung einer Kurve 1 i Wir setzen verschiedene Werte t 2 gt 0 7 1 2 in P 1 t r ein und zeichnen die zugeh rigen Punkte in ein Koordinatensystem ein Abb 23 links f r einige der Punkte ist dort der Wert von t markiert der den Punkt liefert Auf welcher Kurve liegen diese Punkte Zwischen den Punkten f r 2 und t 1 ist recht viel Platz wir f gen daher noch t 2 und hinzu mittleres Bild Nun scheinen alle Punkte auf einem Newtonschen Knoten zu liegen rechtes Bild Tats chlich zeigt das Einsetzen des allgemeinen Punktes P 1 t I t in die Gleichung 86 Oliver Labs x y x 0 des Newtonschen Knotens dass alle diese Punkte die Glei chung erf llen 1 1 t 87 1 1 0 t 2 61y t 2 ely 4 4 t 1 5 2 t 0 5 t 0 5 X S x x 4 2t 1l0o 2 4 4 2t 1j0o 2 4 4 2 t 15 2 4 R t 2 6 t 2 6 Abb 23 Einige Punkte auf dem Newtonschen Knoten Eine derartige Abbildung t gt P die zumindest fast alle Punkte der Kur ve trifft nennt man Parametrisierung einer Kurve Eine Parametrisierung existiert zwar nicht f r alle Kurven in
172. interaktiven Ein und Ausgabemuster zur benutzerbestimmten Dialogf hrung angesprochen Die Geschwindigkeit des Dialogs sollte nicht vom DRGS vorgeschrieben werden Sie sollte immer unter Kontrolle des Benutzers stehen entsprechend den Belangen und Merkmalen des Benutzers Ferner sollte kein Eingabefeld oder Objekt gel scht ersetzt oder anderweitig dem Benutzer unzug nglich gemacht werden bis der Benutzer die Vollst ndigkeit der Dateneingabe best tigt Das DRGS sollte dem Sch ler die Kontrolle dar ber geben wie der Dialog fortgesetzt werden soll Es bietet dem Benutzer die M glichkeit auf gel schte Objekte zur ckzugreifen bzw diese wiederherzustellen F r unge bte Benutzer sollten Men s und f r ge bte Benutzer Kurzwahltasten zur Verf gung stehen vgl ebd S 8 9 FT Prinzip der Fehlertoleranz und Fehlerbehandlung Ein Dialog ist fehlertolerant wenn das beabsichtigte Arbeitsergebnis trotz er kennbar fehlerhafter Eingaben entweder mit keinem oder mit minimalem Kor rekturaufwand durch den Benutzer erreicht werden kann ebd S 10 Ein DRGS sollte den Benutzer dabei unterst tzen Eingabefehler zu entdek ken und zu vermeiden Es sollte verhindern dass eine Benutzereingabe zu undefinierten Systemzust nden oder zu abbr chen f hren kann vgl ebd 58 Olaf Knapp Sollte eine Abfolge von Handlungen erforderlich werden so ist das DRGS so zu gestalten dass der jeweils n chste Schritt in einem Abla
173. intergrund tiefer auszuleuchten Das Beweisen nimmt uns der Computer noch nicht ab Hier ist der Lehrer gefordert zumal das Bed rfnis etwas beweisen zu sollen was man per DGS ohnehin schon sieht nicht gef rdert wird DGS als Werkzeug beim Beweisen dieses Thema muss immer wieder diskutiert werden Mit DGS kann eine Konstruktion sehr sch n und eindrucksvoll f r Sch ler mitunter berhaupt erst mittels DGS veranschaulicht werden Es gilt die WARUM Frage zu beantworten Und solange es keinen WARUM Knopf gibt m ssen wir wohl oder bel unseren Kopf bem hen Manchmal ist auch zus tzliche Vorsicht geboten Per DGS wird ein kon stanter Wert vorgegaukelt zieht man aber etwas l nger muss man viel leicht entdecken dass eine vermutete Konstanz gar nicht existiert Satz 7 Verh ltnis der Umf nge Neil Postman hat der Schule einmal attestiert Alle Kinder treten als Fra gezeichen in die Schule ein und verlassen sie als Punkte Vielleicht bieten DGS und CAS eine Chance dass aus den Punkten wieder Frage oder sogar Ausrufezeichen werden Literatur Coxeter H S M 1963 Unverg ngliche Geometrie Basel Birkh user S 256 257 266 Cuoco A Goldenberg P Mark J 1993 Reader reflections Marion s Theorem In Mathematics Teacher 86 8 S 619 D rrie H 1943 Mathematische Miniaturen Breslau Hirt S 41 42 Egli 1983 P 820 Blende Satz 4 Walter In Prax
174. ion von L wenzahn auf die du dich beziehst Definition IX 1 Lot Lotgerade Lotfu punkt Es sei P ein Punkt der nicht zur Geraden 9 geh ren m ge Die Gerade die senkrecht auf Q steht und durch den Punkt P geht hei t Lq von mit g hei t Lotfu punkt des Lotes von P auf 9 Unter dem Lotvon P L wenzahn 16 01 9 Jul 2010 UTC Abb 3 Diskussionsseite zur Seite aus Abb 1 H ufig hat der unge bte Benutzer zun chst Angst den Inhalt der Seite zu zerst ren Hierzu besteht jedoch keine Veranlassung da alle Versionen einer Seite gespeichert werden Damit ist es schnell m glich eine zeitlich ltere Version wieder zur aktuellen zu machen Geometrie bzw Mathematikoptionen im Wiki Die M glichkeit der gemeinsamen Bearbeitung von Dokumenten liefern auch andere Plattformen wie etwa die an der PH Heidelberg favorisierte Lernumgebung Stud IP Im mathematischen und insbesondere geometri 40 Michael Gieding schen Kontext bemerkt man jedoch schmerzhaft das Fehlen von M glich keiten der Eingabe von mathematischen Formeln und Zeichnungen oder gar die Einbindung interaktiver DGS Applikationen Die MediaWiki Software rendert hingegen Formeln die in LaTeX Syntax eingegeben wurden und erm glicht die Einbindung von Bildern png jpg und svg Dar ber hinaus k nnen sogar Geogebra Applikationen in Wikiseiten eingebettet werden Beweis des Basiswinkelsatzes c Voraussetzung Behaupt
175. is der Mathematik 25 4 S 121 25 10 S 313 314 Johnston W I 1992 In Mathematics Teacher 85 2 Titelbild und S 89 92 598 Kennedy J 1993 Responds to Marion s Theorem Math Teacher 86 8 S 619 Morgan R 1994 No Restriction Needed Mathematics Teacher 87 9 S 726 119 Dreiecke im Dreieck Quesada A 2009 Theorems Discovered by Students Inspire Teacher s Develop ment In Understanding Geometry for a Changing World 71st NCTM Yearbook 2009 Reston VA S 267 282 Rosenbaum K 1981 Eine Aufgabe von Prof Dr Kurt Rosenbaum In alpha 15 1 S 7 15 3 S 66 Routh E J 1896 A Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples Vol 1 2 ed Cambridge Cambridge University Press S 82 Sielaff K Usbeck F W 1994 Hamburger Sch lerzirkel Mathematik 1991 93 Hamburg Hereus S 176 177 Specht E 2001 geometria scientiae atlantis Magdeburg S 39 165 166 Steinhaus H 1959 Kaleidoskop der Mathematik Berlin DVW S 17 Vetter W 1988 ber die Seitendreiteilenden im Dreieck MNU 41 3 S 141 143 Walser H 2010a Dreiecksunterteilung http www math unibas ch walser Miniaturen D Dreiecksunterteilung Dreiecksu nterteilung pdf Walser H 2010b Der Satz von Lehmann Rosenbaum http www math unibas ch walser Miniaturen L Lehmann Lehmann pdf Walser H 2010c Dritteln der Dreiecksseiten http www math unibas ch walser Miniaturen D
176. ise nach dem Ordnungsschema von einfachen Grundkonstruktionswerkzeugen zu erweiterten Konstruktions werkzeugen geordnet sein Der Sch ler sollte die Programmr ckmeldun gen durchschauen und verstehen k nnen Etwa dann wenn er je nach geo metrischem Kontext mit dem Mauszeiger ber einen Punkt f hrt und die Meldungen diesen Punkt oder ein neuer Punkt Schnitt erh lt PU Prinzip der Plattformunabh ngigkeit Das Anwendersystem muss die Erstellung von Materialien z B interaktive Arbeitsbl tter Applets die in andere Anwendungen z B PowerPoint oder Medien z B das Internet implementiert werden k nnen unterst tzen vgl Schumann 2007 So sollten etwa die erstellten internetkompatiblen Webseiten von allen g ngigen Browsern les und ausf hrbar sein Das DRGS selbst sollte auf allen g ngigen Betriebssystemen wie z B der Win dows oder Mac Technologie lauff hig sein Alle in diesem Betriebssystem blichen integrierten Funktionen sollten angeboten werden F r die Schulpraxis w re es w nschenswert wenn alle n tigen Programm teile vollst ndig in das DRGS integriert sind ohne dass zus tzliche Kompo nenten nachzuinstallieren oder extern aufzurufen sind So w re z B die vollst ndige Implementation ab Werk des Cabri 3D Plug Ins CABRI LOG 2011 a in die Software Cabri 3D anzuregen Die oben genannten Forderungen und Prinzipien sind aber gem CEN 1995 S 4 nicht unabh ngig voneinander
177. k P P gt P3P4PsPs Dann gilt f r das Verh ltnis der Fl cheninhalte use _ 10 P Sechseck Die Diagonalen P P P Psund P3P des P Sechsecks liegen auf den Seiten halbierenden des Dreiecks AABC Kennedy 1993 Es l sst sich auch zei gen dass das Dreieck AP gt P P das Mittendreieck des Mittendreiecks des Dreiecks AABC ist und die Punkte P P4 und P die entsprechenden Seiten halbierenden durch C A bzw B halbieren Schlie lich schneiden sich die Geraden 4P AP4 BP BP und CP CP im Schwerpunkt S des Drei ecks AABC Das trifft auch schon f r Satz 1 zu Stehen in einer Arbeitsgemeinschaft affine Abbildungen zur Verf gung l sst sich die Invarianz eines Verh ltnisses f r einen speziellen Fall etwa f r ein gleichseitiges Dreieck AABC beweisen Um ein beliebiges Dreieck 110 Ingmar Lehmann zu erhalten wendet man dann eine solche Transformation an die dieses Verh ltnis bewahrt F r Fragen der Inzidenz sowie Teilverh ltnisse auf einer Geraden und Fl chenanteile von Polygonen k nnen wir ausn tzen dass jedes Dreieck affin re gul r ist das hei t durch eine affine Abbildung auf ein regelm iges Dreieck abgebildet werden kann Wir k nnen also die entsprechenden Fragen beim re gelm igen Dreieck untersuchen Walser 2010a Arbeitet man mit frilinearen Koordinaten bietet sich eine DGS an die darauf regelrecht zugeschnitten ist etwa EucliDraw Weisstein 2010 be weist den Satz 4
178. keine weiteren Zusatz ger te erforderlich sind F r Shutterbrillen beispielsweise steht einerseits 167 Raumgeometriesoftware und ihre Schnittstellen zum Menschen nicht zu erwarten dass es sich hierbei in den n chsten Jahren um ein er schwingliches Massenprodukt handeln wird mit dem an Schulen jeder Arbeitsplatz ausgestattet werden kann Auf der anderen Seite ist durch die Inbetriebnahme eines Zusatzger ts das vielleicht gar nur in eigens daf r vorgesehenen R umlichkeiten zur Verf gung steht immer der Unterrichts fluss gest rt F r Shutterbrillen bestehen au erdem berechtigte gesundheit liche Bedenken so wird bei der dauerhaften Benutzung derartiger Brillen vor Augenreizungen Kopfschmerzen und belkeit gewarnt Ob die Benut zung einer Brille f r die Verwirklichung einer virtuellen 3D Darstellung bei Sch lern Hemmungen hervorruft bleibt abzuwarten Gestensteuerungen im Single Touch oder im Multi Touch Modus sind f r Anwendungen etwa auf Tablet PCs und interaktive Whiteboards seit einiger Zeit bei der Entwicklung von Mathematiksoftware Gegenstand intensiver Forschung Im Mittelpunkt steht hier die Bedienung von Softwareprodukten durch Gesten als Alternative zu klassischen Eingabemen s Da f r 3D Anwendungen insbesondere diese Mensch Computer Schnittstelle neu gedacht werden muss werden diese Entwicklungen auch f r Eingaben im 3D Modus von gro em Interesse sein Gelingt hier ein Durchbruch so wird dies auf absehbar
179. kmeldungen erwartungskonform die R ckmeldungen ber cksichtigen ferner den Kenntnisstand von Sch lern In einem DRGS kann ein Punkt die Funktionen eines frei verschiebbaren Punktes Basispunkt eines von einem anderen Objekt abh ngigen Punk tes Laufpunkt oder eines von zwei anderen Objekten abh ngigen Punk tes Schnittpunkt einnehmen Analoges gilt f r andere Objekte Es exis tiert also eine Hierarchie von Abh ngigkeiten vgl Talmon Yerushalmy 2003 Dies sollte je nach funktionalem Zusammenhang durch eine je ein heitliche Darstellung z B durch unterschiedliche Farbgebung und Gestalt eines jeden Punktes an den Nutzer r ckgemeldet werden In Abb 1 ist mit der Konstruktion eines Pyramidenstumpfes in Cabri 3D ein Beispiel aus der Sekundarstufe I zu sehen Basispunkte Laufpunkte und Schnittpunkte wurden konstruiert und da Cabri 3D die vorgenannten Op tionen nicht bietet nachtr glich mit unterschiedlichen Farben und Gestal tungen versehen Gem Talmon Yerushalmy 2003 h ngt davon neben der dahinter liegenden Geometrie auch der Umgang der Nutzer mit einem DGS bzw analog von einem DRGS ab Abb 1 Pyramidenstumpf und Konstruktionsbeschreibung Die aus anderen Windowsapplikationen bekannten und damit zu erwarten den Exportm glichkeiten z B der HTML Export oder das Einbinden in andere Windowsapplikationen wie PowerPoint existieren 60 Olaf Knapp IF Pri
180. ktrum Akademischer Verlag Hohenwarter M et al 2011 GeoGebra Von GeoGebra abgerufen www GeoGebra org Holzer S Labs O 2006 Illustrating the Classification of Real Cubic Surfaces In Elkadi M Mourrain B Piene R Algebraic Geo metry and Geometric Modeling Heidelberg Springer S 119 134 Klein F 1928 Elementarmathematik vom h heren Standpunkte aus 1 Berlin Springer Labs O 2008 Weltrekordfl chen Von Imaginary abgerufen www Imaginary Exhibition com Lietzmann W 1952 Wo steckt der Fehler Leipzig Teubner 99 Gleichungen in Bildern Loria 1910 Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven Theorie und Geschichte Bd I Leipzig Teubner Loria 1911 Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven Theorie und Geschichte Bd II Leipzig Teubner Maier P 1999 R umliches Vorstellungsverm gen Donauw rth Auer Meyer H et al 2011 Surfer Visualisierung reeller algebraischer Fl chen Von Imaginary abgerufen www Imaginary Exhibition com surfer Schmidt H 1949 Ausgew hlte h here Kurven Wiesbaden Kesselring sche Verlagsbuchhandlung Schupp H 2002 Thema mit Variationen im Mathematikunterricht Hil desheim Franzbecker Schupp H Dabrock H 1995 H here Kurven Mannheim B I Wissen schaftsverlag Weiland H G Weth Th 2002 Computer im Mathematikunterricht Heidelberg Spektrum Akademischer Verlag Weth T
181. l und sicher er reicht werden soll Wolff 2010 R ckmeldung zu diesem Beitrag Die Suche nach weiteren Antworten und dem Wesen des Verstehens im Mathematikunterricht kann in der Auffassung von Mathematik als Sprache ihren Ursprung nehmen vgl Maier und Schweiger 1999 Kvasz 2008 Die Auffassung von Sprachen als je verschiedenen Weltansichten geht auf Humboldts Konzeption des Verstehens zur ck Dabei bietet die Vielfalt der Sprachen einerseits Chancen f r Bildung andererseits setzt sie dem Verste hen Grenzen vgl Koller 2003 515 mit den Worten von Humboldt Alles Verstehen ist daher immer zugleich ein Nicht Verstehen alle berein stimmung in Gedanken und Gef hlen zugleich ein Auseinandergehen Humboldt 1830 1835 439 zitiert in Koller 2003 515 Der Mathematiker und Philosoph Ladislav Kvasz 2008 S 14 29 besch f tigte sich mit den M glichkeiten und Grenzen verschiedener Sprachen in nerhalb der Mathematik So beschreibt er die in der Geschichte der Mathe matik erste symbolische Sprache n mlich die Sprache der Arithmetik als nonexplanatory language Demnach erm glicht es die symbolische Spra che der Arithmetik zwar Regeln oder Rezepte f r viele konkrete Rechen aufgaben auch der Bruchrechnung aufzuschreiben Jedoch zum Aufstellen bzw zum Aufschreiben von allgemeinen formalen Regeln reicht die Sym bolsprache der Arithmetik nicht aus Im Mathematikunterricht werden des halb die Regeln der Bruchrechnung in S tz
182. lden die Fibonacci Folge 1 1 2 3 5 8 Bildungsnahe P dagogen vermissen hier wohl die Geschichte mit Fibo naccis Kaninchen Sie f ngt so an Quot paria coniculorum in uno anno ex uno pario germinentur Jemand sperrt ein Kaninchenpaar in ein allseitig ummauertes Gehege um zu erfahren wie viele Nachkommen paarweise 186 Hans Walser gez hlt dieses Paar im Laufe eines Jahres haben werde Es wird dabei vor ausgesetzt jedes Kaninchenpaar bringe monatlich ein neues Paar zur Welt und die Kaninchen w rden vom zweiten Monat nach ihrer Geburt an geb ren Ferner soll kein Kaninchen sterben oder von au en dazu kommen F r die Anzahlen der Kaninchenpaare je Monat ergeben sich die Fibonacci Zahlen Diese Aufgabe ist nicht sehr realistisch Wir haben hier ein fr hes didakti sches Beispiel eines an den Haaren herbeigezogenen Anwendungsbezu ges der Mathematik Das Beispiel wurde aber zu einer Ikone f r die Fibo nacci Folge und droht die eigentliche mathematische Leistung Fibonaccis n mlich den Transfer der arabischen Mathematik ins mittelalterliche Eu ropa in den Hintergrund zu dr ngen Realistischer w re etwa der Stamm baum einer Drohne vgl 5 S 89 90 Die heute nach Fibonacci benannte Folge war allerdings schon vor Fibonac ci bekannt 4 Ihre fr heste Erw hnung findet sich in der indischen Ma thematik unter dem Namen m tr meru Berg der Kadenz in den Chan dahs tras Kunst der Prosodie
183. leichung nur eine 0 steht also in dem obigen Beispiel z a 0 Das hat einerseits den Vorteil dass man sich das 0 sparen kann und in Surfer nur z a einzutippen hat andererseits hat die Betrachtung impliziter Gleichungen als Nullstellenmengen aber noch weitere Implikationen etwa bei der Untersuchung von Gleichungen der Form f g 0 siehe dazu z B den Abschnitt zu Termumformungen in dem auch m gliche Sch ler Fehler beim Ausmultiplizieren angesprochen werden Negative Zahlen Terme Koordinatensysteme Wie kann man eine Aufgabe zu negativen Zahlen Termumformungen oder zum Einsetzen in Terme motivieren Hierzu gibt es nicht nur die blichen M glichkeiten wie etwa jene aus dem Modellierungskontext sondern auch innermathematische auf Basis algebraischer Kurven und Fl chen Das Arbeiten mit negativen Zahlen wird h ufig auch an der Zahlengeraden veranschaulicht s etwa Neue Wege 7 RLP Kapitel zu rationalen Zahlen Bereits bei der Motivation der Rechengesetze negativer Zahlen erscheint aber der Einsatz auch eines Koordinatensystems geeignet Obwohl dies freilich schon mehrfach vorgeschlagen wurde m chten wir hier ein Beispiel dazu bringen da es unsere Grundidee der Geometrisierung der Algebra an einem ganz elementaren Fall verdeutlicht s Abb 12 Die beiden in der Abbildung gezeigten Beispiele zeigen auch dass die Symmetrie hier eine Rolle spielt Besonders augenf llig wird dies wenn man sp ter bei der Be handlung von Term
184. lernt hat e Die von Cabri 3D geforderte prim re Auswahl der Basisebene beim Konstruieren wurde in empirischen Untersuchungen Knapp 2010 nicht von allen Sch lern als intuitiv beschrieben hnliche Erfahrun gen machte der Autor auch in seinen eigenen Klassen Folgt man der Theorie des Graphical User Interfaces GUI als dominantem Interaktionsparadigma Wessel 2002 ACM 2011 kann ein DRGS gem obiger Fragestellung als intuitiv angesehen werden wenn es bei standar disiertem Programmstart mindestens den Prinzipien der Erwartungskonfor mit t bersichtlichkeit Selbstbeschreibung erkl rung Steuerbarkeit Feh lertoleranz Fehlerbehandlung Lernf rderlichkeit und Transparenz folgt Die obige Reihenfolge ergibt sich dabei aus der pers nlichen didaktischen Reihung einer intuitiven Benutzeroberfl che die der Autor unter dem Ein druck und Einfluss der jahrelangen Benutzung von D R GS im Unterricht und aufgrund empirischer Forschungsergebnisse Knapp 2010 konstatiert Der Autor schl gt daher in Anlehnung an obige Ausf hrungen folgende Definition f r eine intuitive Benutzeroberfl che f r DGS und DRGS vor Unter einer intuitiven Benutzeroberfl che f r DGS DRGS soll ein interak tiver Softwaredialog eines DGS bzw DRGS verstanden werden welcher 63 Voraussetzungen f r die Nutzung von DRGS im Unterricht den Erwartungen des Nutzers entspricht sich ihm bersichtlich darstellt sich selbst beschreibt und e
185. lgebra aufgeschrieben und bewiesen werden vgl Kvasz 2008 S 14 29 Eine weitere vielversprechende Perspektive auf die Bruchrechnung und das Verstehen bietet die sogenannte Theorie des intermodalen Transfers von Bruner Demnach ist die Sprache Muttersprache auf allen Darstellungs ebenen enaktiv ikonisch symbolisch von Bedeutung Daraus l sst sich eine besondere Sorgfalt bei der Formulierung von Arbeitsauftr gen die sich auf die Veranschaulichung von Br chen beziehen herleiten Eine tieferge hende Synthese der vorgestellten Ans tze auf theoretischer Ebene w rde den Rahmen des vorliegenden Artikels sprengen vgl Zech 1996 104ff Bruchrechnung als Hintert r f r Geometrie Welche weiteren Gr nde sprechen f r die Bruchrechnung mit Hilfe der Geometrie Geometrie als einer strengen deduktiven Wissenschaft und der Lehre vom Anschauungsraum wird einerseits besondere Bedeutung im Kanon der Allgemeinbildung zuerkannt vgl Holland 2007 Winter 1995 Auf der anderen Seite bleibt im Unterricht immer weniger Zeit daf r W hrend Bruchrechnung einen sicheren Platz im Schulcurriculum f r die 5 bzw 6 Klassenstufe hat wird Algebra im deutschsprachigen Raum meis tens erst in den sp teren Klassenstufen eingef hrt Aber auch f r die gem den Lehrpl nen vorgeschriebene Geometrie wird nicht zuletzt aufgrund der Einf hrung der Stochastik weniger Zeit einger umt Insofern kann durch die 124 Swetlana Nordheimer
186. lizit in das Wiki aufgenommen Den Studieren den haben wir aber ein Vorlesungsvideo zur Verf gung gestellt Aus diesem ist der Beweis zu rekonstruieren Analog kann man hinsichtlich der Defini tion von Begriffen vorgehen Gro e L cke Ein leeres Wikidokument wird eingerichtet die Studierenden f llen es selb st ndig mit Inhalt Beispiel Zentriwinkel Peripheriewinkelsatz Auszug Satz Der Zentri Peripheriewinkelsatz Jeder Peripheriewinkel ist halb so gro wie sein zugeh riger Zentriwinkel Beweis Ich hab mir Gedanken zu den Fallunterscheidungen gemacht komme aber ir gendwie nicht weiter Ich stelle meine Notizen mal hier ein kann mir jemand weiter helfen Barbarossa 13 22 25 Jul 2010 UTC Jaaaaaaaaa Ich glaube ich hatte gerade DIE Eingebung zumindest bez g lich der Fallunterscheidungen Siehe http wikis zum de geowiki index php Das_Lot_von einem Punkt auf eine _Gerade Satz_IX 1 _ 28Existenz_und Eindeutigkeit_des_Lotes 29 49 Ein Wiki f r die Lehrveranstaltung Einf hrung in die Geometrie Abb 10 Wenn es mit der Generierung der Seiten zu aufwendig wurde betteten die Studierenden einfach Fotos ein Eigene L cke Zum ben richteten die Studierenden eigene Seiten ein Abschlie ende Bemerkungen M gliche Potenzen des Verwendens eines Wikis f r eine Hochschullehrver anstaltung Die folgenden Potenzen der Wikinutzung im Rahmen einer Hochschullehr veranstaltung l
187. lten Des Weiteren beschr nkt sich die Analyse auf die K rper 2 bis 6 Dadurch soll eine Da tenanalyse ohne Extremk rper bezogen auf das gesetzte Komplexit ts gradmodell vorgenommen werden Dar ber hinaus differenzierten die beiden komplexesten K rper 7 und 8 schlecht da nur richtige L sungen gewertet wurden eine Ann herung wurde nicht ber cksichtigt Streuungsdiagramm Fragen Niveau B Daten bereinigt Comp O Bild A Modell 7 o D gt o 7 y o 2 x gt E 2 Bausteinetest Abb 5 Streuungsdiagramm der Ergebnisse der Fragen Niveau B mit Beschr nkungen bzgl des Bausteine Tests Korrelationen Pearson Computer 0 542 Bild 0 467 Modell 0 688 Zun chst zeigt das Diagramm Abb 5 beim Vergleich der drei Pr sentatio nen unterschiedliche arealbezogene Verteilungen so dass eine detailliertere Betrachtungsweise angezeigt ist Tendenziell kann abgelesen werden dass die Modellumgebung die geringste Streuung zeigt und die h chste Korrela tion aufweist Zu erkennen ist des Weiteren dass die schw chsten Ergebnis se im Strukturerfassungstest mit der Lernumgebung Computer erzielt wurden Sch ler im hohen Leistungsbereich BST 30 40 profitieren am 180 J rgen Steinwandel Matthias Ludwig ehesten von der Modellumgebung gefolgt von der Bildumgebung jedoch am wenigsten von der Computerumgebung Der direkte Vergle
188. lten die ber den Lehrplan teils weit hinausgehen und schon daher in der Praxis kaum umgesetzt werden Die Arbeit mit Termen und Gleichungen ist in der Schule aber ein zentrales Thema und der Wunsch nach deren Geometrisierung naheliegend Der folgende Artikel stellt dazu ein Gesamtkonzept vor das bereits fr hzeitig in der Sekundarstufe I direkt an den Lehrplaninhalten ansetzt und die Verf gbarkeit neuer Medien ausnutzt Dabei wird auch der Raumgeometrie ein ihr geb hrender Platz einger umt Alle meine algebraischen Darlegungen werden sich um einen Punkt gruppie ren n mlich die Anwendung der graphischen und berhaupt der geometrisch anschaulichen Methoden auf die L sung von Gleichungen Felix Klein in Klein 1928 3 Aufl S 93 Einleitung zum Teil ber Algebra Einleitung Eine algebraische Kurve ist die Menge aller Punkte x y die eine poly nomielle Gleichung f x y 0 erf llen Bereits verschiedentlich wurde vorgeschlagen solche Kurven in den Schulunterricht zu integrieren neben lteren Texten hierzu siehe z B Wieleitner 1914 oder Wolff 1966 stellt Schupp Dabrock 1995 eine ansprechende moderne Zusammenstellung dar Diese wie auch die sonstige Literatur zum Themenkomplex hat aller dings das Problem dass ihr Inhalt meist fr hestens in der Oberstufe behan delt werden kann Basierend auf Ortskurven gibt es auch einige wenige Ans tze beispielsweise von D rte Haftendorn algebraische Kurven be reits
189. m I 1 24th Putnam Competition 1963 Singh Parmanand Acharya Hemachandra and the so called Fibonacci Num bers The Mathematics Education Siwan 20 1 1986 p 28 30 195 Der Baustein ist das Werkzeug 5 Walser Hans Der Goldene Schnitt 5 bearbeitete und erweiterte Auflage Mit einem Beitrag von Hans Wu ing ber popul rwissenschaftliche Mathematikli teratur aus Leipzig Edition am Gutenbergplatz Leipzig 2009 6 Walser Hans DIN Format und Fibonacci Zahlen MNU Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 63 3 15 4 2010 S 151 196 Autorenverzeichnis Prof Dr Andreas Filler Institut f r Mathematik Humboldt Universit t zu Berlin Unter den Linden 6 D 10099 Berlin filler math hu berlin de Dr Michael Gieding Fach Mathematik P dagogische Hochschule Heidelberg Keplerstra e 87 D 69120 Heidelberg gieding ph heidelberg de RL Dr Olaf Knapp Theodor Heuss Realschule Z hringer Platz 1 D 78464 Konstanz olafknapp yahoo de Dr Oliver Labs Mathematik und Informatik Universit t des Saarlandes Geb E2 4 D 66123 Saarbr cken mail OliverLabs net PD Dr Ingmar Lehmann Institut f r Mathematik Humboldt Universit t zu Berlin Unter den Linden 6 D 10099 Berlin ilehmann math hu berlin de Prof Dr Matthias Ludwig Institut f r Didaktik der Mathematik und Informatik Goethe Universit t Frankfurt Senckenberganlage 9 D 60325 Frankfurt ludwig math uni frankfurt de Autorenve
190. material mathe html 8 06 2011 147 Geometrische Veranschaulichung und Bruchrechnung Wagenschein M 1968 Verstehen lehren Basel Beltz Winter H 1995 Mathematik und Allgemeinbildung SINUS Materialien http sinus transfer uni bayreuth de fileadmin MaterialienDB 45 8 06 2011 Winter H 1999 Gestalt und Zahl Beitrag aus dem Berichtsband zum Symposium ber Kreatives Denken und Innovationen in mathematischen Wissenschaften Friedrich Schiller Universit t Jena Fakult t f r Mathematik und Informatik Ab teilung Didaktik Jena Zech F 1996 Grundkurs Mathematikdidaktik Theoretische und praktische Anlei tungen f r das Lehren und Lernen von Mathematik Basel Beltz 148 Die Zukunft der Raumgeometrie liegt in Menschenhand Raumgeometriesoftware und ihre Schnittstellen zum Menschen Markus Ruppert Jan W rler Zusammenfassung W hrend 2D DGS inzwischen ihren Weg in den MU gefunden hat steht eine hnliche Entwicklung f r 3D DGS noch aus Als ein wesentlicher Grund hierf r kann die optimierungsbed rftige Schnittstelle zwischen Mensch und Computer identifiziert werden Vor diesem Hintergrund sollen technische Str mun gen der Gegenwart aufgegriffen und ihre Relevanz f r den Raumgeometrieunter richt der Zukunft herausgearbeitet werden Obwohl die Raumvorstellung bereits von Thurstone 1938 als einer der Prim rfaktoren f r Intelligenz erkannt wurde und deren Schulung im Rah men des Mathematikun
191. mgeometrie Systeme DRGS im Schul unterricht eingesetzt werden sollen m ssen diese bestimmten schulspezifischen Anforderungen gen gen G nstig w re es bspw wenn diese intuitiv w ren Was aber ist intuitiv Welche weiteren Kriterien sollten DRGS erf llen Lehrer und Sch ler ben tigen spezifische Hilfen beim Erlernen von DRGS und beim Lernen mit DRGS Wie kann dieses Lernen unterst tzt werden In diesem Beitrag werden neben allgemeinen berlegungen konkrete Beispiele gegeben die vorgenannten Fragen didaktisch gewinnbringend zu beantworten Einleitung Ein zeitgem er Mathematikunterricht muss die von digitalen Medien gepr g te Lebenswelt von Sch lerinnen und Sch lern ber cksichtigen Digitale Medien verbessern die Unterrichtskultur nicht per se Wir sehen es als un verzichtbar an ber den Einsatz von Taschenrechnern hinaus diese digitalen Werkzeuge nachhaltig in den Mathematikunterricht zu integrieren Madipedia 2011 Solche digitalen Werkzeuge zur Bereicherung des Unterrichts k nnen DRGS sein So erm glichen f r die schulische Raumgeometrie entwickelte leistungsf hige DRGS wie bspw Cabri 3D Bainville Laborde 2004 2007 dem Novizen ohne zwingende Kenntnis der Methoden der Darstellenden Geometrie einen interaktiven Zugang zum Visualisieren Erzeugen und Manipulieren von r umlichen Figuren im virtuellen Handlungsraum Schumann 2007 Unter Interaktivit t soll im allgemeinen
192. mmetrisch k nnen bei der Darstellung und dem Vergleich von Br chen hilfreich sein Geometrische Darstellungen von Br chen k nnen dar ber hinaus in ein zwei und dreidimensionale sowie in kontinuierliche und diskrete unter schieden werden vgl Padberg 2002 S 40 Sehr empfehlenswert sind an dieser Stelle die Vorschl ge von Stoye 2010 der f r alle wichtigen The men der Bruchrechnung Veranschaulichungen vorschl gt und diskutiert Hinsichtlich deduktiver Aspekte der Geometrie und ihrer Verbindung mit der Bruchrechnung fallen mir drei unterschiedliche Perspektiven ein e Lokal deduktive Theorien der Geometrie k nnen u a durch alge braische und arithmetische Werkzeuge im Sinne der Herleitung von Formeln f r die Berechnung von Fl cheninhalten und Volu mina hergestellt werden Einige dieser Formeln enthalten Br che und erfordern deren inhaltliches Verst ndnis e Geometrie kann helfen die Regeln der Bruchrechnung lokal de duktiv zu ordnen indem sie allgemeine Regeln ohne Zahlen son 125 Geometrische Veranschaulichung und Bruchrechnung dern mit Hilfe von geometrischen Figuren und Abbildungen dar stellt Solche Veranschaulichungen k nnen das L sen von Proble men bei der Bruchrechnung erleichtern e Anschauliche Probleme der Bruchrechnung k nnen wiederum so formuliert werden dass zu ihrer L sung komplexere geometrische berlegungen erforderlich sind Somit k nnten Sch ler sowohl in Geometrie wie auch in Ari
193. n dann trotzdem von Schenkeln und Basis sprechen L wenzahn Da jedes gleichseitige Dreieck auch ein gleichschenkliges ist k nnte ich mir vorstellen dass es m glich ist Oder man m sste es einfach so festlegen Tja Ich denke es ist ganz einfach nicht m glich weil man Schenkel und Ba sis nicht mehr zuordnen kann Schenkel sind die beiden kongruenten Seiten des gleichschenkligen Dreiecks also welche dann im gleichseitigen Es geht nicht L wenzahn K nnte man nicht bei einem gleichseitigen Dreieck die Seiten ent sprechend benennen O B d A w re dann die Seite c die Basis und die Seiten a und b die Schenkel H tte man dann nicht auch die Bedingungen entsprechend der Definitionen erf llt Mirasol Also in einem gleichschenkligen Dreieck gibt es eine Basis w hrend in einem gleichseitigen gibt es keine und auch keine Basiswinkel Rakorium Ich denke schon dass gleichseitige Dreiecke auch gleichschenklige Dreiecke sind Man muss in diesem Fall nur definieren welches die Basis und welches die Schenkel sind Weil wenn das nicht der Fall w re dann d rfte man Ja auch nicht sagen dass ein Quadrat ein Rechteck ist Principella Die Menge aller gleichseitigen Dreiecke ist Teilmenge der Menge aller gleichschenkligen Dreiecke d h dass jedes gleichseitige Dreieck auch gleichschenklig ist Wenn ich jetzt die Menge ALLER gleichschenkligen Drei ecke definieren will dann muss ich auch alle gleichseitigen Dreiecke mit einbe zi
194. n Bruchteil Erg nzt diesen Bruch zur Eins und schreibt die Additionsaufgaben SALE I agu 73 9 16 93 9 Y 2 6 19 16 saav BA weky Why Wr Siv 2 L st die Aufgaben mit Hilfe dieser Figur indem ihr die beiden Br che mit a er Bi Abb 8 Malenas und Magdalenas L sung 1 Ermittelt den grau eingef rbten Bruchteil Erg nzt diesen Bruch zur Eins und schreibt die Additionsaufgaben PR rE PA treg ti oy LM v Kr Te 4 2 L st die Aufgaben mit Hilfe dieser Figur indem ihr die beiden Br che mit verschiedenen Farben eintragt Bestimmt und notiert das Ergebnis 1 23 3 84 byn 1 16 16 46 16 z AY Ak 3 16 Abb 9 Jasmins L sung Sehr originell ist die L sung von Jonathan Abb 10 Er f rbt nicht nur die gesuchten Fl chen gelb sondern scheint fasziniert vom Einteilen der Figur in immer kleiner werdende hnliche Teilfiguren zu sein Die beiden Bilder in der Mitte veranschaulichen die Br che mit den Nennern 64 und 128 F r die L sung der Aufgabe ist eine solche Erweiterung nicht notwendig sie l dt jedoch dazu ein weitere Bez ge zwischen dem Einzeichnen von Hilfs linien und dem quivalenzklassenkonzept der Bruchrechnung herzustellen 136 Swetlana Nordheimer lt P La ra WILL 16 646 16 2 16 48 g 8 16 46 Abb 11 L sung von Linus Interessant an der L sung von Linus ist dass er nicht die Teilfiguren inner halb der
195. n vorangegangenen Erprobungen zu ber cksichti gen wurden im n chsten Schritt weitere Arbeitsbl tter entwickelt Diese wurden in den ersten drei Stunden im Unterricht einer 7 Klasse am Gymna sium ausprobiert Das Hauptanliegen des Lehrers war einen Einblick in die Kenntnisse der Bruchrechnung seiner neuen Sch ler zu bekommen denn die Sch ler haben ihre ersten sechs Schuljahre an verschiedenen Grund schulen Berlins absolviert Im Folgenden werden Ausschnitte aus von Sch lern bearbeiteten Arbeits bl ttern pr sentiert und kommentiert Auch wenn die Impulse in den Auf gaben 1 und 2 siehe Abb 8 sehr stark durch die Abbildungen und Formu lierungen der Aufgabenstellungen vorstrukturiert sind unterscheiden sich die Ergebnisse der Sch ler voneinander So markiert beispielsweise Malena nicht nur Figuren sondern auch die entsprechenden Br che mit der gleichen Farbe Abb 8 Ohne lange ber das Medium Farbe zu reflektieren sehen der Lehrer und die Sch lerin sofort was gemeint ist Anders dokumentiert Jasmin ihre L sung Abb 9 Sie arbeitet sehr sorgf ltig mit den Hilfslinien Diese veranschaulichen f r Jasmin das Erweitern indem sie die gesamte Figur in 16 Dreiecke einteilen Auch auf formaler Ebene dokumentiert Jas min die Suche nach dem gemeinsamen Nenner sehr sorgf ltig und k rzt ihre Ergebnisse wenn dies m glich ist 135 Geometrische Veranschaulichung und Bruchrechnung 1 Ermittelt den grau eingef rbte
196. nacci Zahlen Wir sprechen von Fibonacci Trapezen Sie passen in ein regul res Dreiecksraster Die Frage ist ob sich die Gesamtheit der Fibonacci Trapeze fl chendeckend und berlappungsfrei in ein Dreiecksraster packen l sst Die Trapeze wel che eben als Resultat erschienen sind werden nun instrumentalisiert siehe Abb 4 188 Hans Walser EEE DEE LEER ANEA AV VY Y V VY WAYAYAVAYAYAV AAY IN ALA IN A VAV VYYYYVVYVYYYVYYVYYVYYYYYVYVYVVVVYVVVVVYYVYVYVYYVYVY VY Y Abb 4 Die einzelnen Fibonacci Trapeze Mit diesen Trapez Bausteinen kann im Dreiecksraster der Fibonacci Stern gebildet werden Abb 5 189 Der Baustein ist das Werkzeug PEN N NN ZN ZN ZN ZN ZN ZN ZN ZN ZN UN ZN ZN ZN ZN ZN ZN ZN ZN ZN ZN ZN VY VM VA NYVVVYVYVYyYyYyyyyyyyyyyVVV VVVVVVVVV YYV VVNVND VYYyyyyyyyyYyVYyVVVVYVYVVyv VyYyyyyyyVyyVyyVV y V V YYVYVYYYYYVVVYVYV VVV V V V V YV VYYYVVVVVV V V V V VN VYyYyyyyyyyyyVyv yY v V V VyV V V WANMINININININININININININININI INIMINININININININI NINININI NINININI NIV VYyYyyVvVyvV v y V V V YNYVYVVYVVYVVVVYV YV V V V YV VYV WANMININININI NIMI NINI NINININI INININININI NINININI NINININI N N N N N VYYV V V V V V V V YYyyYV VVVVYVYVYVVVVVVYV VYYyYVYVYV V V V V V V VYyVyvyvVyv y V Vy V V Y Y 7171717171717 INYNVYVVVVVVVA YYyYyyyyyyVyV INVVVYVVVVVVIA YYyvyyyyyyyy y INMINININININININININININN ISININ NINNINININNIN NINININI VAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAN TAVAVAVAVAVA
197. ng von Satz 2 Satz 3 Satz von Routh F r die Seiten eines Dreiecks AABC die durch drei Ecktransversalen AD BE und CF geteilt werden seien die Teilverh ltnisse AF FB r BD DC s und CE EA t Verbindet man die entsprechenden Schnittpunkte der Ecktransversalen entsteht im Innern des Dreiecks AABC ein Dreieck AXYZ siehe Abb 6 ZI Abb 6 Dreieck AXYZ Dann gilt f r das Verh ltnis der Fl cheninhalte von AABC und AXYZ Alang POEP EIU HE DUTENEN Aaxyz rst 1 Der Satz von Ceva ist mit X Y Z ein Spezialfall von Satz 3 1 A A Mit r s t 2 bzw r s t folgt C MC 7 Satz 2 mit 2 AO 0 0 A0 0 0 1 4A A 241 r s 1 X r s 1 1 neNjgit nne _ Arne _ In n 1 n l Ao0 0 4o00 4 n l Satz 2 r s t n neN liefert Zac tn 1 w hrend r s 1 Z ayz n D n 1 A n m n e N und r s t zu mco M FMIR bzw zu n Aaxyz m n 109 Dreiecke im Dreieck Ar zc _ n n l Ayvz n 2 f lle von Satz 3 f hren Die S tze 1 und 1 sind dagegen keine Spezial Sechsecke im Innern Lassen wir im Innern des Dreiecks AABC auch n Ecke mit n gt 3 zu sto en wir alsbald auf Sechsecke Satz 4 Walter Die Seiten eines Dreiecks AABC seien gedrittelt Verbin det man die Drittelungspunkte mit den gegen berliegenden Eckpunkten entsteht im Innern des Dreiecks AABC ein Sechseck P PP3P4P5 P6 kurz P Sechseck siehe Abb 7 Abb 7 P Sechsec
198. ngemeldete Benutzer hat nun die M glichkeit den Quelltext der Seite und damit ihren Inhalt zu ndern m g Eigene Diskussion Einstellungen Seite Diskussion Bearbeiten Versionen Autoren Verschieben Beobad Bearbeiten von Das Lot von einem Punkt auf ein l bi 1 Zeienumbruch _ Der Begriff des Lotes Definition IX 1 Lot Lotgerade Lotfu punkt Es sei lt math gt P lt math gt ein Punkt der nicht zur Geraden lt math gt Die Gerade lt math gt 1 lt math gt die senkrecht auf lt math gt g lt mat lt math gt P lt math gt geht hei t Lotgerade von lt math gt P lt math gt auf lt mat lt math gt L lt math gt von lt math gt 1 lt math gt mit lt math gt g lt math gt hei t L P lt math gt auf lt math gt g lt math gt Unter dem Lot von lt math gt P lt math gt a man die Strecke lt math gt overline PL lt math gt Benutzer L wenzal 2010 UTC Abb 2 Die Seite aus Abb 1 im Bearbeitungsmodus Jede Standardseite des Wiki hat ihre eigene Diskussionsrunde Seite Diskussion Bearbeiten Versionen Autoren Verschieben Beob Diskussion Das Lot von einem Punkt auf eine Gi Definition IX 1 Lot Lotgerade Lotfu punkt Unter dem Lot von P auf Q versteht man die Strecke PL 5 Muss es nicht Gerade statt Strecke hei en Heinzvaneugen 22 50 12 Jul 2010 UTC Hier nochmal die vollst ndige Definit
199. nken angesehen werden Mathematische Werkzeuge gibt es also sowohl auf der gegenst ndlichen oder enaktiven Ebene Zirkel Lineal Parabelzirkel der Objektebene S t ze Algorithmen als auch auf der symbolischen Ebene Schreibweisen Notationen Reale Werkzeuge oder mathematische Instrumente sind zun chst auf der gegenst ndlichen Ebene vorhanden sie erzeugen auf der symbolischen Ebene mathematische Objekte etwa Kurven oder Zahlen und ihnen liegt eine technisch umgesetzte mathematische Idee zugrun de d h sie realisieren einen mathematischen Zusammenhang Also Mathematisches Werkzeuge oder Instrumente e dienen einem Zweck n mlich dem Erzeugen oder Herstellen mathemati scher Objekte wie z B geometrische Kurven oder dem Berechnen be stimmter Zahlen wie etwa dem gr ten gemeinsamen Teiler e bauen auf einer mathematischen Idee auf Hans Georg Weigand e haben eine technische Idee als Grundlage Ferner kann einem mathematischen Werkzeug eine e cine didaktische Bedeutung zugeschrieben werden indem mit ihnen Kenntnisse ber die erzeugten Objekte und deren Eigenschaften vermit telt werden Der letzte Aspekt spricht die Bedeutung eines Werkzeugs als Medium als Vermittler an Mit Hilfe des Werkzeugs soll eine mathematische Idee eine Gesetzm igkeit oder ein Zusammenhang von einem Lernenden erfasst und verstanden werden Daf r hat sich in der internationalen Diskussion der Begriff Semiotic Me
200. nn H Huber T 2007 Cabri 3D Video Glossar Rosenheim co Tec Shneiderman B 2009 Designing the User Interface Strategies for Effective Human Computer Interaction 5 Auflage Amsterdam Addison Wesley Long man SIGCHI 2011 http www sighci org 30 01 2011 Talmon V Yerushalmy M 2003 Dynamic behaviour in dynamic geometry environments Some questions of order Downloadbar unter http www dm unipi it didattic CERME3 proceedings Groups TG9Y TG9_Talm on_cerme3 pdf 30 01 2011 Urhahne D Harms U 2006 Instruktionale Unterst tzung beim Lernen mit Com putersimulationen In Die Unterrichtswissenschaft Heft 4 2006 34 Jahrgang S 358 377 Wessel Ivo 2002 GUI Design Richtlinien zur Gestaltung ergonomischer Win dows Applikationen 2 Auflage M nchen Wien Hanser Wikipedia 2011 http de wikipedia org wiki Dyschromatopsie 30 01 2011 Ich danke Frau Prof Dr Haftendorn L neburg Herrn Prof Dr Oldenburg Frankfurt und Herrn Prof Dr habil Schumann Weingarten f r die n tz lichen Hinweise und Kommentare 72 Gleichungen in Bildern Oliver Labs Zusammenfassung Eine ebene algebraische Kurve ist die Menge der Punkte in der Ebene die eine polynomielle Gleichung fx y 0 in zwei Variablen erf llen Zwar wurde bereits verschiedentlich vorgeschlagen derartige Kurven in den Schulunter richt zu integrieren doch meist bestehen die Ans tze aus ganzen Unterrichtseinhei ten mit Inha
201. nzip der Individualisierbarkeit und Flexibilit t Ein Dialog ist individualisierbar wenn das Dialogsystem Anpassungen an die Erfordernisse der Arbeitsaufgabe individuelle Vorlieben des Benutzers und Benutzerf higkeiten zul t ebd S 11 Ein DRGS wie Cabri 3D sollte Ein und Anpassungsoptionen f r die je individuellen Bed rfnislagen des Benutzers hinsichtlich Sprache kulturelle Eigenheiten sowie an individuelles Wissen und Erfahrung auf dem Gebiet der Arbeitsaufgabe und an das Wahrnehmungsverm gen sowie die sensomotorischen und geistigen F higkeiten besitzen ebd S 12 Dies kann etwa durch eine adressatenkonfigurierbare Men leiste oder das Ein stellen bestimmter Sprachen oder Farben aus einer Sprach oder Farbaus wahl vor oder w hrend des Programmlaufes geschehen Nachdem die Beherrschung des Systems mit wachsendem Umgang mit dem System zunimmt ist diesem Umstand Rechnung zu tragen vgl auch Schumann 2007 So sollen die Sch ler den Benutzungsvorgang jederzeit unterbrechen und diesen nach Benutzung eines anderen Systemteils an der Unterbrechungsstelle fortsetzen k nnen vgl ebd LF Prinzip der Lernf rderlichkeit Ein Dialog ist lernf rderlich wenn er dem sic Benutzer beim Erlernen des Dialogsystems unterst tzt und anleitet CEN 1995 S 12 Erg nzend wird erl utert dass Regeln und zugrundeliegende Konzep te die f r das Erlernen n tzlich sind dem Benutzer zug ngli
202. ometrieunterricht Ziele und Visionen 2020 sie hat sich aber wenig oder nur partiell im Geometrieunterricht durchsetzen k nnen Weigand 2009 Mit dem Aufkommen von interaktiven 3 D Programmen wie Cabri3D oder Archimedes Geo3D w chst diese Hoffnung wieder Damit ist es jetzt m glich 3 D Objekte auf dem Bildschirm zu erzeugen interaktiv zu ver ndern und damit zu experimentieren Heinz Schumann 2007 hat an vielen Beispielen gezeigt wie Schulgeometrie im virtuellen Handlungsraum aussehen kann Digitale Werkzeuge sind dabei die entscheidende Hilfe zum interaktiven virtuellen Agieren mit r umli chen Objekten Allerdings ist die Komplexit t des Umgangs mit 3 D Objekten erheblich gr er als mit 2 D Objekten Im Sinne der 2 These wird es bei der Interpretation und Erkl rung raumgeometrischer Zusam menh nge zentral und wichtig vorhandenes Wissen in der ebenen Geomet rie aufzugreifen und Analogiebildung zwischen Ebenen und der Raumge ometrie bewusst zu nutzen Ruppert 2010 4 These Der Einsatz neuer Technologien erfordert ein Gesamtkonzept des Lehrens und Lernens Ein aktuelles Beispiel daf r wie die Wirksamkeit neuer Medien von der Einbettung in ein Gesamtkonzept abh ngt ist das interaktive Whiteboard Es ist sicherlich ein Mehrwert dieser Technologie dass das interaktive Agieren in unmittelbarer haptischer Art und Weise m glich ist wie das mit einer traditionellen Beamerpr sentation nicht der Fall is
203. r H 2009 Aufgaben zur Division von Br chen In Affolter W Amstad H Doebeli M Hrsg Das Mathematikbuch Lernumgebungen Sch lerbuch 6 Schuljahr Ausgabe N Berlin Klett Nordheimer S 2010 Einkleidungen als Modell Vernetzungen im MU In Beitr ge zum Mathematikunterricht 2010 M nster WTM Verlag Padberg F 2002 Didaktik der Bruchrechnung Heidelberg Spektrum Schneider M 2009 Probleml sen im Kontext der Basiskompetenzen In Basis kompetenzen in der Geometrie GDM AK Geometrie 2009 10 Marktbreit 2010 Senatsverwaltung f r Bildung Jugend und Sport 2004 Rahmenlehrplan Grund schule Mathematik Berlin Stoye W 2010 Vorstellungen entwickeln beim Mathematiklernen Wie man Lernschwierigkeiten vermeiden kann Berlin Pro Business Unger A 2011 Der K nguru Mathematikwettbewerb Wettstreit und Aufgaben kultur Vortrag im Berliner Seminar Mathematik und ihre Didaktik 10 01 2011 Vollrath H J 1993 Paradoxien des Verstehens von Mathematik Journal f r Mathematikdidaktik 14 1 Berlin Springer S 35 58 Vollrath H J 2001 Mit geometrischen Formeln Beziehungen erkennen Beitrag zu Modul 5 des BLK Modellversuchs SINUS bIk mat uni bayreuth de material mathe html 8 06 2011 Vollrath H J 2001 Themenstr nge Themenkreise und Themenkomplexe im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I Beitrag zu Modul 5 des BLK Modellversuchs SINUS blk mat uni bayreuth de
204. r Addition Subtraktion Multiplikation und Division von gemei nen Br chen werden meistens in der 6 Klasse unterrichtet In einer 6 Grundschulklasse die von der gleichen Lehrerin wie die bereits erw hnte 5 Klasse unterrichtet wurde erhielten die Sch ler am Ende des Jahres die Aufgabe diese Regeln mit Hilfe des Tangram Spiels zu erkl ren Abb 7 Zun chst haben die Sch ler folgende Vermutungen aufgestellt e Der Fl cheninhalt des kleinen Quadrats betr gt 1 9 des gesamten Fl cheninhalts e Der Fl cheninhalt des kleinen Quadrats betr gt 1 8 des gesamten Fl cheninhalts Addi Suhteakhion ikation detet 144 bi Cik 1 46 1 1 4 41 4 4 tik tit Pi 1 x u i e g cu eo A de tF Digison 44t rt H k we rE sta A teitet rt E Eai Abb 7 Pr sentationsfolie Gymnasium 131 Geometrische Veranschaulichung und Bruchrechnung Die erste Vermutung ging von der Frage aus wie oft der quadratische Stein in der gesamten Figur enthalten ist Die zweite Vermutung entstand aus der Frage wie oft das kleine Dreieck in den quadratischen Stein und in das gesamte Spiel hineinpasst Das genaue Nachmessen erkl rte den Unter schied zwischen den Vermutungen Demnach wurde die zweite Vermutung als Grundlage der weiteren berlegungen gew hlt Ausgehend davon wur den auch den weiteren Steinen ihre Anteile an dem Fl cheninhalt zugeord net Durch Umlegen von Steinen gelang es den Sch lern passende Beispie l
205. r der beiden Gruppen wird die gleiche Aufgabe gestellt welche Gruppe A zun chst mit Cabri 3D Gruppe B zu n chst mit Archimedes Geo3D l st Danach bearbeiten beide Gruppen den Fragebogen von Pr mper Anft 1993 Im Anschluss daran l st Gruppe A die 66 Olaf Knapp gleiche Aufgabe mit Archimedes Geo3D und Gruppe B mit Cabri 3D Die Befragung endet mit dem erneuten Bearbeiten des o g Fragebogens Da die Gruppen vergleichbar sind und ausreichende Probandenanzahlen vorliegen kann mit Hilfe der ausgewerteten Frageb gen und geeigneter Analysemethoden wie z B der kumulierten H ufigkeiten eine Auswertung hinsichtlich der Intuitivit t bzw der Gebrauchstauglichkeit beim Vergleich der beiden untersuchten DRGS verbunden mit der Beantwortung der Frage ob geschlechtsspezifische Unterschiede existieren vorgenommen werden Um die Aussagef higkeit und die Generalisierbarkeit zu erh hen k nnen weitere Aufgaben mit unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden mit kom plexeren Aufgabenstellungen aus dem tradierten etwa Aufgaben aus der Planimetrie bei welcher Sch ler bereits Vorerfahrungen haben und nicht tradierten DRGS bieten M glichkeiten neue Aufgaben wie z B stereo metrische Variations Berechnungs Satzfindungsaufgaben etc zu stellen bzw zu bearbeiten Geometrieunterricht bei bereits vorhanden raumgeo metrischen Erfahrungen mit DRGS etc gew hlt werden Weiterhin sollten Sch ler und Sch lerinnen als Probanden aus vers
206. r nicht kongruente geometrische Figuren repr sentiert so werden Sch ler daf r sensibilisiert zwischen dem Objekt und seiner Gr e zu un terscheiden So kann diesem h ufig in der Literatur beschriebenen Nachteil begegnet werden vgl Bertalan zitiert in Gerhardt 2009 Weitere M glichkeiten gemeine Br che mit Geometrie zu verbinden Nachdem verschiedene M glichkeiten Bruchrechnung in den Klassenstu fen 5 6 und ansatzweise 7 geometrisch zu veranschaulichen vorgestellt und ihr Potenzial f r Geometrie Arithmetik und Algebra diskutiert wurden sollen in diesem Abschnitt einige weitere Beispiele f r andere Klassenstu fen der Primar und Sekundarschule vorgestellt werden Hierzu sind zun chst die Aufgaben von Paul Eigenmann 1981 zu nennen die f r sich selbst sprechen und auf verschiedenen Wegen gel st werden k nnen So pr sentiert Heinrich Winter eine elegante L sung der Aufgabe 133 Abb 20 in seinem Aufsatz Gestalt und Zahl Michael Schneider beschreibt eine andere interessante Sch lerl sung zu der gleichen Aufgabe Die Aufgaben 133 und 133 zeigen schlichte Variationen von 133 die zu neuen Br chen aber auch neuen geometrischen berlegungen f hren 138 Welcher Bruchteil der Quodraffl che 105 Welcher Bruchteil des Rechtecks ist BA Welcher Bruchteil des Rechfecks ist it schraffiert schraffierf r 37 schraffiert d n 133 Welcher bri uchteil der gro en Quadrat 133 Welcher Bruch
207. r und computergest tzter Veranschauli chungen r umlicher K rper anstellen analysiert Knapp dynamische Raum geometrie Software unter den Gesichtspunkten Ergonomie und Usability Einen berblick ber weit in die Zukunft reichende Entwicklungen compu terbasierter interaktiver Visualisierungs und Konstruktionsumgebungen geben Ruppert W rler Der Einsatz dynamischer Geometriesoftware f r die L sung anspruchsvol ler geometrischer Probleme wird in den Beitr gen von Andreas Filler und von Ingmar Lehmann thematisiert Einerseits wird hierbei aufgezeigt wie der Computer als Werkzeug Sch lern helfen kann interessante geometri sche Zusammenh nge zu entdecken auf der anderen Seite wird diskutiert ob die Verwendung des Computers die Herausbildung von Probleml sestra tegien f rdert oder eher behindert Auf diese Frage ergeben sich anhand verschiedener Beispiele durchaus kontroverse Antworten Michael Gieding befasst sich in seinem Beitrag mit hochschuldidaktischen Fragen konkret der Nutzung von M glichkeiten des Web 2 0 f r eine Lehrveranstaltung Einf hrung in die Geometrie Er beschreibt wie sich damit Diskussionsprozesse anregen lassen die Studierende in st rkerem Ma e dazu f hren sollen eigenst ndig zu Erkenntnissen zu gelangen Hans Walser schlie lich verwendet einfache geometrische Formen wie Quadrate gleichseitige Dreiecke und gleichschenklige Trapeze als Werk zeuge um interessante komplexere g
208. raler Bedeutung f r die Schulgeometrie Dementsprechend wird eine Lehrveranstaltung zur Vorbe reitung zuk nftiger Mathematiklehrer kaum auf den Begriff des gleich schenkligen Dreiecks verzichten k nnen und wollen Im Rahmen der Geo metrieausbildung an der PH Heidelberg erfolgt diese Einbeziehung unter zwei Aspekten e zum einen geht es um eine tiefes Verst ndnis des Begriffs im Rah men einer axiomatisch begr ndeten Theorie der Geometrie e zum anderen dient die Begriffsbildung als Beitrag zur Herausbil dung von F higkeiten im Definieren von mathematischen Begriffen Ein Wiki f r die Lehrveranstaltung Einf hrung in die Geometrie Beides erreicht man in keinem Fall dadurch dass eine gegebene Definition auswendig gelernt wird Vielmehr bedarf es zur Erreichung der genannten Ziele einer aktiven Auseinandersetzung mit dem Begriff Besonders frucht bar kann eine solche Auseinandersetzung sein wenn man sie gemeinsam mit anderen Studierenden f hrt Diesbez glich kann eine Plattform wie ein Wiki hilfreich sein wie das folgende Beispiel illustriert bungsaufgabe 8 5 Definieren Sie gleichschenkliges Dreieck Schenkel eines gleichschenkli gen Dreiecks Basis eines gleichschenkligen Dreiecks Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks Neben der eigentlichen L sung der Aufgabe kam es zu folgender Diskussi on im Wiki zur Lehrveranstaltung Principella Wenn das gleichschenklige Dreieck auch gleichseitig ist kann ma
209. ranzbecker Koepsell A T nnies D 2007 Dynamische Geometrie im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I K ln Aulis Verlag Deubner Polya G 1995 Schule des Denkens Bern Francke Erstausgabe 1949 Posamentier A S Schulz W 1995 The Art of Problem Solving Thousand Oaks California Corwin Press Schumann H 1991 Schulgeometrisches Konstruieren mit dem Computer Stutt gart Metzler Teubner Schwarz W 2006 Heuristische Strategien des Probleml sens M nster WTM Walser H 1996 Geschlossene Korbb gen In Praxis der Mathematik 38 4 S 169 172 Weber Chr 2010 Mathematische Vorstellungs bungen im Unterricht Seelze Velber Kallmeyer Weigand H G Weth T 2002 Computer im Mathematikunterricht Heidelberg Spektrum Materialien im Internet Landeswettbewerb Mathematik Baden W rttemberg in Zusammenarbeit mit Bay ern http www landeswettbewerb mathematik de Frank R Walser H 2010 Korbb gen wie kriegen wir die Kurve http www math unibas ch walser Miniaturen M14 14_Korbboegen pdf Walser H 2010 Blumen und Sterne aus Kreisb gen http www math unibas ch walser Miniaturen B Blumen_und_ Sterne 34 Ein Wiki f r die Lehrveranstaltung Einf hrung in die Geometrie Michael Gieding Zusammenfassung An der P dagogischen Hochschule Heidelberg gilt die Lehrver anstaltung Einf hrung in die Geometrie bei den Studierenden als besonders schw
210. rierbar und findet sich beispielsweise im Schulbuch Neue Wege 9 RLP Entsprechende Aufgaben kann man nun unter Benutzung von Surfer selbstverst ndlich f r algebraische Fl chen stellen was der Kreativit t noch wesentlich mehr Raum bietet M glich ist etwa die Erzeugung einer algebraischen Fl che in Form eines Raumschiffes oder eines Comic Gesichtes wie es von Sch lern die unsere Ausstellung Imaginary im Jahr 2008 in Saarbr cken besuchten vorgeschlagen und realisiert wurde Abb 31 a 4 Abb 31 Raumschiff Enterprise und ein Comic Gesicht als algebraische Fl chen waren nur zwei der vielen Sch lerideen die w hrend der Ausstellung Imaginary entstanden F r weitere Bilder die von Besuchern erzeugt wurden siehe die Galerien auf der Ausstellungs Webseite www Imaginary Exhibition com Zur Produktion solcher Bilder ist es erforderlich dass man versteht wie man einen Kreis eine Kugel o ber eine Koordinatentransformation ver schieben kann eine Kugel z B mit x a y b z c r In der 92 Oliver Labs Software Surfer ist es alternativ auch m glich das Koordinatensystem zu verschieben oder zu drehen Diese f r die Mathematik ganz wesentliche M glichkeit der Wahl geeigneter Koordinaten wird in der Schule leider immer noch recht selten thematisiert Deshalb entspricht das Problem das Weth in Weth 1993 bereits konstatierte sicherlich immer noch der Reali t t n mlich jenes dass eine im Koord
211. rkl rt gegen ber den Eingaben des Nutzers fehlertolerant ist und einen geringen Korrekturaufwand erfordert lernf r derlich und transparent ist Die Software ist dabei umso intuitiver je ge ringer der aufzubringende Zeitaufwand ist die Funktionen der Software zu beherrschen Diese in der Human Computer Interaction SIGCHI 2011 und anderen Wissenschaftsdisziplinen wie bspw der Lernpsychologie Edel mann 2000 Kognitionspsychologie Anderson 2001 und speziell der Usa bility Forschung exemplarisch sei hier im Rahmen der Medienp dagogik das Webdesigning u a beschrieben in Nielsen 2001 genannt schon lange etablierten tradierten und empirisch evaluierten Erkenntnisse Clark et al 2006 sind in der Mathematikdidaktik bisher leider vernachl ssigt oder beschr nken sich auf allgemeine Ausf hrungen mit marginalen mathema tikdidaktischen Bez gen Vorteile einer intuitiven Benutzeroberfl che F r den Nutzer insbesondere f r Novizen bieten intuitive Benutzeroberfl chen zahlreiche Vorteile wie geringere Zugangs und Lernvoraussetzungen geringere softwaretechnische und emotionale H rden h here Akzeptanz und Motivation konomischeres effektiveres und effizienteres Arbeiten eine verk rzte Einarbeitungszeit sowie einen h heren Aufforderungscharak ter sich mit der Software und all ihren Optionen zu besch ftigen gegen ber Benutzeroberfl chen welche nicht intuitiv sind Ein erster Vergleich zweier DRGS Cabri 3D und
212. roeffentlichungen_beschluesse 2009 2009_05_0 7 Empf MINT pdf NCTM 1989 2000 Principles and Standards for School Mathematics NCTM Inc Reston http standards nctm org Rohrberg A 1929 Der Rechenstab im Unterricht aller Schularten Oldenbourg Verlag Berlin u M nchen Ruppert M 2010 Analogiebildung eine grundlegende mathematische Denkwei se BzM Bd 2 717 720 http www mathematik tu dortmund de ieem cms media BzMU BzMU2010 BzMU10 RUPPERT Markus_Analogiebildung pdf Schumann H 2007 Schulgeometrie im virtuellen Handlungsraum Franzbecker Hildesheim u Berlin Trouche L 2005 Instrumental Genesis individual and Social Aspects in Guin D Ruthven K Trouche L Eds The Didactical Challenge of Symbolic Calcu lators Springer New York S 197 230 Weigand H G 2003 Taschenrechner im Mathematikunterricht Ein retrospekti ver Vergleich der Diskussion und Vorgehensweise in der BRD und in der DDR in Henning H u Bender P Hrsg Didaktik der Mathematik in den alten Bun desl ndern Methodik des Mathematikunterrichts in der DDR Bericht ber eine Doppeltagung zur gemeinsamen Aufarbeitung einer getrennten Geschichte Uni versit t Magdeburg Universit t Paderborn 205 216 Weigand H G 2009 Didaktik der Geometrie f r die Sekundarstufe I Spektrum Verlag Heidelberg u Berlin Weigand H G 2010 Book Review of Hoyles C amp J B Lagrange Eds 2010 Mathematics Edu
213. rsche ist ein klassisches heuristisches Prinzip des Probleml sens und unter dieser Bezeichnung insbesondere in der Informatik bekannt Der Autor ist berzeugt davon dass eine gr ere Beachtung dieses Prinzips vielen Projekten im Zusammenhang mit dem neuen MitmachWEB2 0 zu einem gr eren Erfolg verholfen h tte als es ihm dann beschieden war Mitunter scheint es dass man sich zu sehr auf die Wirkung der Technik verl sst Eine Lernplattform an sich bewirkt noch gar nichts H tten wir die Studierenden mit dem Wiki allein gelassen schlie lich sollte es ja das Wiki der Studierenden sein w re das Ganze wohl nach einem Monat Laufzeit nicht mehr zu retten gewesen Im Weblog von Christian Spannagel hat der Autor das Problem wie folgt beschrieben Axiom 3 Problem der naiven Arroganz Eine Webaktion deren Ziel zu hoch angesetzt wird ist von vornherein tot Eigentlich wollte ich das Axiom anders nennen Axiom vom schnellen Kindstod Mit der nun doch anders gew hlten Bezeichnung m chte ich folgendes verdeut lichen Zu schnell sind wir von Web2 0 amp Co und den sich daraus ergebenden M glichkeiten begeistert Das ist der naive Teil Wenn wir genauer hinsehen erkennen wir nat rlich dass die Dinge so toll nun auch wieder nicht sind Das verdr ngen wir dann Dieses Verdr ngen ist auch eine gewisse Form von Arro ganz Will sagen In vielen F llen wusste man bzw h tte man wissen k nnen dass man Totgeburten ins Web setzt http
214. rtige Figuren bez glich des Fl cheninhalts mit gleicher Far be sondern wahllos in unterschiedlichen Farben und eine Diskussion ber die berschrift f r die Folie in der sich auf Br che berechnen geeinigt wurde und an der jeder einzelne beteiligt war und Vorschl ge abgab ab gehalten wurde besann man sich um 10 22 wieder auf die Aufgabenstel lung 132 Swetlana Nordheimer Hierbei zeigten sich aber einige Unsicherheiten im Umgang mit dem Rech 11 2 nen mit Br chen So schlug e vor dass A w ren also bei der Addition von Br chen jeweils Z hler und Nenner miteinander zu addieren 1 1 1 sind w hrend a i 3 E anbrachte Daraufhin gab e ihr Recht mit der 1 1 2 1 Begr ndung das 7 3 ja a w ren und man dies zu m k rzen k nne Da man sich unsicher war und sich nicht einigen konnte fragten die Sch lerin nen mich was denn nun richtig sei Da ich aber nicht in die Unterrichtssi tuation eingreifen wollte half ich ihnen an dieser Stelle nicht weiter Die Diskussion beschr nkte sich an dieser Stelle fast nur noch auf die Sch lerinnen a und c die mittlerweile aufgestanden und zu a gegangen war Sie bemerkte dass alle Br che aufaddiert zusammen 1 ergeben m ssten was ihnen an dieser Stelle auch nicht weiter half Indes 10 28 hatte d im Schulbuch nachgeschlagen und sich nochmal informiert wie die Addition von Br chen gelingt So konnte um 10 29 schlie lich damit begonnen wer den die Folie zu beschri
215. rzeichnis Swetlana Nordheimer Institut f r Mathematik Humboldt Universit t zu Berlin Unter den Linden 6 D 10099 Berlin nordheim mathematik hu berlin de Markus Ruppert Lehrstuhl f r Didaktik der Mathematik Universit t W rzburg Am Hubland D 97074 W rzburg ruppert mathematik uni wuerzburg de J rgen Steinwandel Fachbereich Mathematik P dagogische Hochschule Kirchplatz 1 D 88250 Weingarten steinwandel ph weingarten de Dr Hans Walser Mathematisches Institut Universit t Basel Rheinsprung 21 CH 4051 Basel hwalser bluewin ch Prof Dr Hans Georg Weigand Didaktik der Mathematik Universit t W rzburg Am Hubland D 97074 W rzburg weigand dmuw de Jan W rler Lehrstuhl f r Didaktik der Mathematik Universit t W rzburg Am Hubland D 97074 W rzburg woerler mathematik uni wuerzburg de 198
216. s nahezu unbekannte Programme vgl ebd S 381 Lehrerkr fte und Sch ler ben tigen somit konkrete Hilfen und Unterst t zung speziell beim Einstieg zur Nutzung von DRGS mit anspruchsvolleren raumgeometrischen Konstruktionsaufgaben Um den Einstieg f r die Novi zen zu erleichtern und die Interventionen der Lehrkr fte w hrend der Arbeit der Sch ler am Computer zu verringern bieten sich z B folgende Medien als Hilfen f r das Lernen durch Instruktion an Online Tutorials CABRI LOG 2011 b Video Glossare Schumann Huber 2007 Videos Schu mann 2006 oder interaktive Instruktionsvideos Knapp 2010 u 2011 Curriculare berlegungen Bezogen auf den Ist Zustand der verschiedenen Curricula der Bundesl nder muss leider festgestellt werden dass der Stereometrie nur ein geringer Raum zugestanden wird ber den zugrunde liegenden Bedeutungsverlust des Raum Geometrieunterrichts in den letzten Jahrzehnten wurde in der neueren mathematikdidaktischen Literatur bereits mehrfach berichtet bspw Schumann 2010 Da der qualifizierte Einsatz eines DRGS aber nur beim Betreiben von Raumgeometrie Sinn macht sind curriculare berlegungen und Voraussetzungen unabdingbar hierf r So finden sich in den Beschl ssen der Kultusministerkonferenz ber die Bildungsstandards im Fach Mathematik f r den Mittleren Schulabschluss KMK 2003 bereits heute direkte curriculare Ankn pfungspunkte zum Einsatz von DRGS im Unterricht So z B in den
217. scher Sicht aber eine Studie die vom Hersteller des Ger tes angef hrt wird Darin wurden 190 CAD Konstrukteure zum Umgang mit einer 6D Maus befragt Ein Ergebnis war dass rund 50 der Befragten angaben Fehler in ihren Konstruktionen durch die neuartige Maus deutlich besser erkennen zu k nnen Genauer hei t es dazu Nach 158 Markus Ruppert Jan W rler Meinung der befragten Anwender waren sie mit einer 6D Maus in der Lage ihre Konstruktionen und Designs viel einfacher zu drehen zu pr fen und zu untersuchen Technology Assessment Group Mai 2008 Nat rlich sind die Ergebnisse einer solchen Studie nicht ohne weiteres auf die Situation im Unterricht bertragbar Hier hat man CAD Experten dort in der Regel DRGS Einsteiger Auch ist ein derart spezielles Zusatzger t schon allein aus konomischen Gr nden f r den fl chendeckenden Einsatz in Schulen wohl kaum geeignet Der Aspekt dass allein eine verbesserte Navigation in DRGS die Fehlerh ufigkeit bei r umlichen Konstruktionen verringert scheint uns allerdings durchaus relevant f r die Zukunft von Raumgeomet riesoftware im Unterricht zu sein Alternative intuitivere Navigations m glichkeiten k nnten demnach einen Zugewinn f r das Arbeiten und Konstruieren im Raum bieten WEG II Verbesserte 3D Darstellung Die Darstellung dreidimensionaler Objekte oder Szenen auf zweidimensio nalen Bildfl chen Monitor Kinoleinwand hat sich in den vergangenen Jahren rasan
218. ss sie keinen L sungs ansatz finden k nnen zun chst eine ann hernde L sung experimentell zu finden Die Eigenschaften dieser L sung insbesondere die Feststellung dass der Fu punkt des Lotes von S auf g wahrscheinlich 6 cm von B ent fernt sein muss siehe Abb 7 konnten dann als Ausgangspunkt f r eine exakte L sung genutzt werden Die Strategie der L sung eines Problems durch die Analyse eines oftmals noch nicht erreichten Ergebnisses wird als R ckw rtsarbeiten bezeichnet siehe u a Polya 1949 S 199ff Posa mentier Schulz 1995 S 2ff und Schwarz 2006 S 211ff Sie z hlt zu den wichtigsten heuristischen Strategien Im Falle der hier betrachteten Aufgabe trug die DGS Konstruktion wesentlich dazu bei die Strategie des R ck w rtsarbeitens anwenden zu k nnen Dreibogeneck Drei Kreisb gen bilden ein Dreibogeneck ABC wenn sie auf Kreisen lie gen die sich in den Punkten A B bzw C ber hren Dabei sind nur Kreisb gen zugelassen deren Mittelpunktswinkel kleiner als 180 sind Abb 10 Gegeben sind die Eckpunkte A B und C eines Dreiecks das nicht recht winklig ist Konstruiere das zugeh rige Dreibogeneck ABC C Vs Abb 10 Dreibogeneck 26 Andreas Filler Auch diese Aufgabe stammt aus dem Landeswettbewerb Mathematik Ba den W rttemberg 2006 Es sei erw hnt dass der Terminus Dreibogen eck offensichtlich vorher nicht verwendet und erst mit dieser Aufgabe eingef hrt wurde
219. structed figures eased the observation of the invariant relationship that existed between two measurements Such an exploration would be much more difficult if not impossible without the aid of this type of technology Die hier betrachteten S tze beschr nken sich auf Dreiecke mit wohlbe stimmten Transversalen Dreiecke Sechsecke und Sechssterne im Innern eines solchen Dreiecks die zun chst wenig auff llig erscheinen liefern nachdem Strecken Winkel Umf nge und Fl cheninhalte gemessen wor den sind berraschende Invarianten e Welche Verh ltnisse der jeweiligen Umf nge Fl cheninhalte bleiben konstant e Welche Beziehungen lassen sich entdecken wenn das Ausgangsdreieck AABC gleichseitig ist Letzteres kann gerade f r schw chere Sch ler eine Chance sein ebenfalls selbst etwas entdecken zu k nnen Die Vermutung ein bestimmtes Verh ltnis habe stets den Wert 2 65 be friedigt nicht so recht W re diese Konstante ganzzahlig s he das eventuell anders aus 2 65 ist wahrscheinlich ein gerundeter Wert Wie soll man erra ten was sich hinter diesem N herungswert verbirgt Hinter 2 65 kann sich zum einen V7 Satz 2 gleichseitiges Dreieck zum anderen aber auch 118 Ingmar Lehmann 130 29 S tze 4 und 5 Verh ltnis der Fl cheninhalte von O Sechseck zu P Sechseck verstecken Oder ist der Wert korrekt und steht f r Da hilft nur Papier und Bleistift um den geometrischen H
220. swertungen zeigen zwar Trends geben aber teilweise keine eindeutigen Hinweise die auch unter detaillierten Betrachtungen g nzlich stabil bleiben So wurden ge schlechtsspezifische F higkeitsvorteile seitens m nnlicher Probanden im mer wieder in Frage gestellt indem Analysen unter verschiedenen Filterun 174 J rgen Steinwandel Matthias Ludwig gen der unabh ngigen Variablen durchgef hrt wurden vgl Jordan et al 2002 Newcombe et al 1983 Andererseits sinkt die Leistungsf higkeit von Frauen bei einem negativen Selbstkonzept w hrend M nner dadurch eher motiviert werden vgl Moe 2009 Ein weiteres Forschungsfeld evaluiert Zusammenh nge mehrerer Faktoren So wurde die Abh ngigkeit der Bearbeitungsgeschwindigkeit bzgl des Rotationswinkels eines verdrehten K rpers untersucht vgl Shepard Metz ler 1971 Gl ck et al 2005 ter Horst et al 2010 Hier zeigte sich teilweise ein nahezu linearer Zusammenhang Trotzdem bleiben diese Untersuchun gen beschr nkt auf zusammengesetzte W rfelk rper welche im Unterricht eine untergeordnete Rolle spielen Testungen bzgl K rpern der Sekundar stufe I wie z B W rfel Quader Pyramiden usw spielen eine sehr unterge ordnete Rolle Bei der hier vorgestellten Untersuchung wird versucht Ge bilde hinsichtlich ihrer Komplexit t zu beschreiben Dazu verwenden wir ein einfaches und leicht verst ndliches Bestimmungsmodell und definieren die Komplexit t K eines K rpers wie folgt
221. t Allerdings wird alleine diese Art der Pr sentation noch nicht zu einem nachweisbaren Wissenszuwachs der Sch lerinnen und Sch ler f hren Die Verwendung des Whiteboards muss in ein Gesamtkonzept des Nutzens neuer digitaler Medien eingebunden sein So k nnen etwa der Einsatz von Laptops Netbooks im Klassenzimmer sowie das Arbeiten mit einem klas seninternen Navigationssystem die Interaktion zwischen Sch ler und Lehrer ver ndern Das Arbeiten und Handeln einzelner Sch lerinnen und Sch lern kann unterst tzt durch die optische Pr sentationsm glichkeit jederzeit eine Diskussion in der gesamten Klasse ansto en Wenn der Unterricht dar ber hinaus in ein digitales Kommunikationssystem eingebunden ist auf das Sch ler auch zuhause ber das Internet zugreifen k nnen dann erh lt die Nutzung des interaktiven Whiteboards wiederum eine neue Bedeutung Im Unterrichtsgespr ch entwickelte Tafelbilder k nnen Sch lerinnen und Sch lern unmittelbar in der Klasse und zuhause zur Verf gung gestellt 14 Hans Georg Weigand werden Hausaufgaben k nnen von Sch lerinnen und Sch lern bereits unter dem Aspekt angefertigt werden dass sie diese problemlos interaktiv und dynamisch pr sentieren k nnen Wie f r Whiteboards gilt diese Notwendigkeit der Einbettung in eine Orga nisationsstruktur f r den gesamten Einsatz neuer Technologien Ein Ge samtkonzept muss dabei verschiedene Aspekte ber cksichtigen e In technisc
222. t wie man sich mathematischen Lehrstoff aneignet Kurz und pr gnant kann man die Auffassung dieser Studierenden auf den folgenden Nenner bringen Sage mir welche Fakten ich auswendig lernen soll zu gegebener Zeit eine Woche vor der Klausur werde ich das dann tun Diese drei Punkte sind eng miteinander verbunden Ein Schl ssel zu einem nachhaltigeren Erfolg der Lehrveranstaltung Einf hrung in die Geometrie scheint u a darin zu bestehen die Studierenden noch mehr dazu anzuregen sich st rker in einer kontinuierlichen aktiven Auseinandersetzung mit dem Lehrstoff ber das gesamte Semester hinweg zu ben Unsere klassischen Methoden schienen diesbez glich an einem gewissen Punkt der Stagnation angekommen zu sein Auf der Suche nach neuen bzw erg nzenden M g lichkeiten zu unserer klassischen Lehrt tigkeit lag es nahe M glichkeiten in Betracht zu ziehen die unter der Bezeichnung WEB2 0 firmieren Auch wenn die Idee eines Wiki nicht explizit auf Lehrveranstaltungen ab zielt scheint sie auch hierf r gewisse Potenzen insbesondere hinsichtlich der gemeinsamen aktiven Auseinandersetzung Kollaboration mit dem jeweiligen Lehrstoff zu bieten Daher beschlossen wir der Lehrveranstal tung Einf hrung in die Geometrie ein Wiki an die Seite zu stellen Das Geometrie Wiki Allgemeine Bemerkungen Die Idee eines Wiki muss an dieser Stelle sicherlich nicht erl utert werden Der gro e Bruder aller Wikis die Wikipedia
223. t die Diagonale d im goldenen Trapez Abb 9 p 5 ZN AR T Abb 9 Diagonale H he und Symmetrieachse Nd Nja no Nja NJs Zun chst gilt h 33 z Unter Ausn tzung der Symmetrie finden wir 2 d h 2 Wegen 7 p 5 ergibt sich schlie lich I Im goldenen Trapez erscheinen die Zahlen 41 4 2 3 und 5 Abb 10 a N a T 2 Abb 10 Ma verh ltnisse im goldenen Trapez 192 Hans Walser Vergleich mit dem Quadrat Gelenkmodell Im goldenen Trapez haben wir zwei Seiten der L nge 1 und Diagonalen der L nge V2 Dasselbe trifft auch f r das Einheitsquadrat zu Abb 11 5 1 1 p 1 1 1 _S5 1 es Abb 11 Vergleich mit Einheitsquadrat Das gibt Anlass zum Bau eines Gelenkmodells mit zwei Einheitsst ben und zwei St ben der L nge 2 die abwechslungsweise an den Enden gelenkig verbunden sind Ein solches Modell kann aus Pappe mit Mustert tenklam mern als Gelenken hergestellt werden Abb 12 Abb 12 Gelenkmodell 193 Der Baustein ist das Werkzeug Mit dem Gelenkmodell kann zum Beispiel ein Rechteck mit dem Seitenver h ltnis 42 wie bei den DIN Formaten gebildet werden und bei ber kreuzen der St be der L nge 2 eben das Einheitsquadrat oder das goldene Trapez Kehrzahl SH J5 1_5 2 Dia Trapez haben also zus tzlich gemeinsam dass das Produkt der L ngen der unteren und der oberen Parallelseiten 1 ergibt
224. t entwickelt Kaum ein Kinofilm kommt heute ohne computer generierte Raumszenen aus Zeichentrickfilme wurden durch Animations filme abgel st Aufw ndige Technik erm glicht f r diese Zwecke inzwi schen fotorealistische 3D Darstellung auf der Leinwand Was im Kino vom Band kommt kann man mit kleineren Abstrichen auch am PC in Echtzeit erleben In Computerspielen werden dank geschick ter Programmierung und immensen Leistungen heutiger Grafikkarten 3D Welten generiert die vom Kinofilm nur wenige Details entfernt sind Dabei ist die Geschichte solcher Spiele noch gar nicht so alt sie haben sich seit den 1980ger Jahren aus einfachsten Strichszenen entwickelt Parallel dazu hat sich auch das Erscheinungsbild von Geometriesoftware insbesondere im Bereich der Raumgeometriesoftware in hnlicher Weise ver ndert Erste Programme zeigten einfache stark verpixelte Schr gbilder von Kantenmodellen geometrischer K rper Heute sind Farbtiefe und Auf l sung deutlich h her die 3D Darstellung ist realistischer geworden 159 Raumgeometriesoftware und ihre Schnittstellen zum Menschen CeyCARANE 3 Abbildung 3 Entwicklung perspektivischer Darstellungen bei RGS und Computerspielen Doch was hei t realistisch im Kontext virtueller 3D Modelle Was macht den Tiefeneffekt bei der Abbildung einer dreidimensionalen Raumszene aus In der Gestaltpsychologie werden dabei vor allem sechs monokulare Effekte unterschieden mit d
225. t sich Archimedes beim Finden von Hypothesen zum Kugelvolumen einiger Analogien zwischen ebener Geometrie und Raumge ometrie Durch diesen Lehrsatz da eine Kugel viermal so gro ist als der Kegel des sen Grundfl che der gr te Kreis die H he aber gleich dem Radius der Kugel ist mir der Gedanke gekommen da die Oberfl che einer Kugel viermal so gro ist als ihr gr ter Kreis indem ich von der Vorstellung ausging da wie ein Kreis einem Dreieck gleich ist dessen Grundlinie die Kreisperipherie die H he aber dem Radius des Kreises gleich ebenso ist die Kugel einem Kegel gleich dessen Grundfl che die Oberfl che der Kugel die H he aber dem Radi us des Kugel gleich Archimedes Methodenlehre von den mechanischen Lehrs tzen Abschnitt II Zum anderen verwendet er zum Beweis dieser Hypothesen Methoden die ihm bereits bei der Bestimmung des Kreisinhaltes geholfen haben Statt einbeschriebener und umbeschriebener Polygone verwendet Archimedes bei der Bestimmung des Kugelvolumens entsprechende einbeschriebene und umbeschriebene Rotationsk rper Eine der Grundideen der Fusionsbestrebungen zu Beginn des 20 Jahr hunderts ist es diese so weitreichende Strategie der Analogiebildung f r eine st rkere Vernetzung der ebenen Geometrie und der Raumgeometrie auch im Mathematikunterricht nutzbar zu machen und zu thematisieren So fordert z B Klein 1908 von vornherein Ebene und Raum gleichzeitig nebeneinan
226. taltungen generierten Applikationen die im Kontext des Geometrie Wikis verwendet wurden Didaktik der Geometrie Im Sommersemester 2011 werden auch die Inhalte der Lehrveranstaltung Didaktik der Geometrie ein integraler Bestandteil des Geometrie Wikis sein Vorab unterst tzten die Teilnehmer der Didaktikveranstaltung als solche haben sie die Einf hrung in die Geometrie in der Regel bereits hinter sich im Sommersemester 2010 ihre Kommilitonen mit der Generie 42 Michael Gieding rung von Geogebra Applikationen zum Thema Satz des Thales in die sie ihr frisch erworbenes didaktisches Know How einflie en lie en _ikonisches halbikonisches Beweisen i m gl Beweisschritte F Schritt1 Strecke CM wird eingezeichnet von L vorgegeben F Schritt 2 gleichschenklige Teil Dreiecke B werden gefunden und markiert F Schit3 die kongruenten Basiswinkel werden gefunden und markiert SuS sollten den Basiswinkelsatz kennen und anwenden F Schritt 4 Die Innenwinkelsumme jedes Dreiecks ABC betr gt 180 Satz ber Innenwinkelsumme Sie setzt sich hier aus 2 rosa und 2 gr nen Winkeln zusammen Daraus folgt 1 gr ner und 1 rosa Winkel sind zusammen halb so gro 90 Die Summe des rosa und gr nen Winkels bei C ergibt immer einen Rechten Winkel der Gr e 90 auch wenn C verschoben wird Abb 7 Screenshot einer Geogebra Applikation die von Teilnehmern der Lehrveranstaltung Di
227. tands der Daten w re z B im Zugmodus das Mitwandern eines Punktes mit dem Mauszeiger R ckmeldungen oder Erl uterungen sollten eine einheitliche Terminologie verwenden die sich aus der Schulmathematik ableitet vgl ebd S 7 Der Benutzer kann wahlweise eine Erl uterung in allgemeiner Form oder in 57 Voraussetzungen f r die Nutzung von DRGS im Unterricht Form eines Beispiels abrufen Ein DRGS wie Cabri 3D bietet eine Hilfe an die mit der gegenw rtigen T tigkeit zusammenh ngt kontext sensitive Hilfe wie etwa die Online Hilfe vgl ebd S 7 Allgemein soll die Qualit t von R ckmeldungen oder Erl uterungen den Bedarf minimieren Benutzerhandb cher oder externe Informationen heranziehen zu m ssen und so h ufigen Medienwechsel vermeiden Die R ckmeldungen und Er l uterungen sollten keine Werturteile enthalten vgl ebd S 8 Globale und lokale Hilfen und Erl uterungen sollten in sch lerverst nd lichen Formulierungen erfolgen Diese k nnen automatisch oder benutzer definiert abgerufen werden Damit kann Orientierungsverlust unbekannten und falschen Eingaben sowie inhaltlichen Fragen den Anwendungsbereich betreffend begegnet werden SB Steuerbarkeit Ein Dialog ist steuerbar wenn der Benutzer in der Lage ist den Dialogablauf zu starten sowie seine Richtung und Geschwindigkeit zu beeinflussen bis das Ziel erreicht ist ebd S 8 Hier werden die dem Windowsstandard entsprechenden
228. te Komplexit tsgrads Berech nungsmodell paarweise teilweise nicht hinreichend differenziert es kann lediglich eine Tendenz best tigt werden So werden im Mittel die K rper paare 1 2 3 4 bzw 5 6 vergleichbar erfolgreich bearbeitet obgleich das gesetzte K Modell jeweilige Leistungsunterschiede prognostiziert 181 Die Suche nach der angemessenen Darbietung r umlicher Strukturen Fragen Niveau B ee TR y JID DII Abb 7 Boxplot Betrachtungen des STR Fragen Niveau B f r jeden einzelnen K rper Um ein noch differenzierteres Bild zu erhalten werden nachfolgend bzgl des STR f nf Leistungsgruppen getrennt bewertet und visualisiert Die entsprechenden graphischen Darstellungen aller Einzelbetrachtungen Abb 8 zeigen jeweils einen Verlauf der sich weitestgehend parallel so wohl zum Gesamtdatenverlauf Abb 7 als auch untereinander verh lt Dies legt die Interpretation nahe dass Sch ler aller Leistungsklassen ein hnlich relatives Komplexit tsgradempfinden ist leichter als ist schwerer als ist gleich schwer haben Die relative Schwierigkeitswir kung der verschiedenen K rper verh lt sich demzufolge hnlich f r alle Leistungsklassen jedoch auf einem unterschiedlichen Niveau Korrelationsbetrachtung AVOID IJJI Str 35 44 Punkte 2 ao S 250 Str 21 34 Punkte P Str 27 30 Punkt 5 1 50 Tr unkte 10 Str 19 26 Punkte 5 0 50 0 00
229. te ein f r die f x y 0 gilt 2 Abb 27 Drei Geraden Abb 28 Die Gerade x 0 und y Zr X 5 Es ist f x y xy 3 x da ein Produkt genau dann 0 ist wenn einer der Faktoren es ist besteht das Bild aus der Vereinigung der drei Geraden 90 Oliver Labs x 0 y 0 und 3 x 0 siehe Abb 27 hnlich l sst sich die Menge der Punkte mit 5xy 2x 0 verstehen Wegen 5xy 2x x sy 2x besteht das Bild aus der vertikalen Geraden x 0 und der Parabel mit Glei chung 5y 2x 0 bzw ya s Abb 28 Nat rlich ist das Zeichnen der Kurve per Hand f r die Sch lerinnen und Sch ler nur dann m glich wenn der Term in lineare oder einfache quadrati sche Faktoren zerf llt die Faktorisierung wird dann im Bild der algebrai schen Kurve unmittelbar wiedergespiegelt Ist ein Werkzeug zum Anzeigen algebraischer Kurven verf gbar so kann dies auch auf h here Kurven aus geweitet werden Weitere Themen der Schulalgebra die im Zusammenhang mit Faktorisie rung stehen finden ebenfalls in naheliegender Weise Anwendung etwa binomische Formeln Beispiel 10 Binomische Formeln und Kurven Faktorisiere den Term f x y x 4y und zeichne die zugeh rige Kur ve f x y 0 in ein Koordinatensystem ein Wegen der binomischen Formeln ist x 4y x 2y x 2y als Produkt schreibbar Damit sehen wir wenn wir wieder bedenken dass ein Produkt genau dann 0 ist wenn einer der Faktoren es ist dass die Kurve f x y 0 aus der V
230. teil der gro en Quadrat 133 Welcher Bruchteil der gro en Quadrat fl che ist schraffiert fl che ist schraffierf fl che ist schraffier Abb 20 Eigenmanns Aufgaben und Variationen 143 Geometrische Veranschaulichung und Bruchrechnung Durch die folgenden Aufgaben Abb 21 und Abb 22 k nnen Br che im Unterricht der r umlichen Geometrie angesprochen werden Sie erfordern r umliches Vorstellungsverm gen und Kenntnisse von Begriffen aus der r umlichen Geometrie aber auch Kenntnisse des Soma W rfels Welcher Bruchteil der W rfelober Welchen Anteil hat dieser K rper an fl che ist gr n Welcher Bruchteil dem Volumen des ganzen Soma W r der W rfeloberfl che ist orange fels Welche Anteile haben die ein zelnen Soma Teile an dem Volumen des gesamten Soma W rfels Dieser K rper besteht aus zwei Somateilen Abb 21 Soma W rfel Abb 22 Soma K rper Die folgende Aufgabe kann mit Hilfe einer Zeichnung siehe Abb 23 oder auf der enaktiven Ebene durch die Betrachtung der Modelle bearbeitet wer den Sie bietet dar ber hinaus Ankn pfung an den Stochastikunterricht wenn die jeweiligen K rper als Spiel W rfel interpretiert werden Ordne den sichtbaren Fl chen der platonischen K rper ihren Anteil an dem gesamten Oberfl cheninhalt des jeweiligen K rpers als Bruch zu Welche weiteren Perspektiven auf die f nf platonischen K rper sind m glich Wel che Br che
231. ten werden Diese Werte sollten aber auch durch andere Werte oder durch andere aufgabenangemes sene Vorgabewerte ersetzt werden k nnen wie dies in Cabri 3D m glich ist Die Eingabe z B ber einen wissenschaftlichen Taschen Rechner in Cabri 3D gestattet die Eingabe freier Werte voreingestellter Werte z B e m und abh ngiger Werte Ein DRGS sollte keine unn tigen Arbeitsschritte erforderlich machen um eine spezifische Aufgabe zu l sen SE Prinzip der Selbstbeschreibung und Selbsterkl rung Ein DRGS sollte dem Benutzer dort wo es zweckm ig ist eine R ckmel dung geben vgl ebd Die in den jeweiligen Hilfeoptionen in Cabri 3D etwa die Online Hilfe das Benutzerhandbuch und die Online Tutorials beschriebenen Programmeigenschaften sollten integriert sein Wenn der Vollzug einer Handlung schwerwiegende Folgen haben kann sollten vor der Ausf hrung Erl uterungen gegeben und eine Best tigung verlangt werden ebd z B Wollen Sie wirklich ohne speichern abbrechen Das unmittelbare Anzeigen eingegebener Daten und das Anzeigen des nde rungszustands der Daten sind notwendig um Anmerk d A dem Benutzer beim Verstehen dessen zu helfen was in der Anwendung geschieht und was er beeinflussen kann ebd Eine unmittelbare Anzeige w re bezogen auf Cabri 3D bspw die sofortige Erzeugung eines Punktes an dem Ort auf den der Nutzer geklickt hat Das unmittelbare Anzeigen des nderungszus
232. terrichts als Aufgabe des Raumgeometrieunterrichts gesehen wird vgl z B KMK Bildungsstandards 2004 Weigand 2009 kommt der Raumgeometrie in der Unterrichtsrealit t h ufig nur eine unter geordnete Rolle zu Becker 1992 stellt fest dass sich die Raumgeometrie der Sekundarstufe auf die Bestimmung von Oberfl che und Volumen eini ger K rper beschr nkt Wesentliche Komponenten der Raumvorstellung z B das Erkennen r umlicher Beziehungen und die r umliche Orientierung vgl Maier 1999 oder konkreter das Operieren mit K rpern im Raum werden im Mathematikunterricht nicht in angemessener Form gef rdert F r diese Diskrepanz lassen sich im Wesentlichen zwei Gr nde ausmachen e Die traditionelle Trennung von ebener Geometrie und Raumgeometrie e Das Fehlen sch lergerechter Veranschaulichungsm glichkeiten und Werkzeuge zum Operieren mit K rpern im dreidimensionalen Raum Die Probleme bei der Entwicklung geeigneter Computerwerkzeuge f r den Einsatz im Raumgeometrieunterricht liegen vor allem in der Gestaltung der Schnittstellen zwischen Mensch und Computer begr ndet So gen gt weder die klassische Mauseingabe noch die Darstellung r umlicher Situationen am 2D Bildschirm den Anforderungen an eine intuitive Arbeitsumgebung f r die Raumgeometrie im Mathematikunterricht Die neue Welle der Euphorie auf dem Gebiet der 3D Technologie im Heimkino und Spielkonsolenbe reich verspricht jedoch Entwicklungen die diese Probleme
233. the too poor quality of drawing at that time making formal approaches more efficient with new computer based tools geometrical thinking can return to be a central source of insights when exploring new domains of knowledge p 436 Im gleichen Band vertreten Keith Jones u a die Meinung It may be that in another 20 years we will have moved beyond flat screen technology perhaps to a spherical screen for spherical geometry and perhaps to virtual reality environments which embed the user in space p 58 In beiden Zitaten wird die Hoffnung deutlich dass mit Hilfe neuer techno logischer Entwicklungen ein Schritt zu einer besseren Darstellung geometri 12 Hans Georg Weigand scher Zusammenh nge und zu einer ad quaten Visualisierung unserer Um welt erm glicht wird Neue Technologien k nnen Werkzeuge f r die besse re Integration der Geometrie in andere Bereiche der Mathematik d h im Mathematikunterricht vor allem in die Algebra sein 2 These Die Beziehung zwischen fr her und heute muss bewusst aufgebaut werden Es ist hinl nglich bekannt dass Lernen nur auf einem breiten Fundament vorhandenen Wissens und K nnens aufbauen kann Wissen wird kumulativ erworben Der Aufbau auf bereits vorhandenem Wissen erm glicht nicht nur Lernen berhaupt er gibt auch die Sicherheit des Bew hrten und Ver trauten er entwickelt Sinn durch die Verkn pfung von Inhalten und das Auf
234. thmetik nicht nur gef rdert sondern auch gefordert und vielleicht sogar herausgefordert werden Wie nun die beschriebenen Besonderheiten der Geometrie und ihrer ikoni schen Sprache als Werkzeuge in der Schule ber cksichtigt werden und vertieft werden k nnen ist der Gegenstand des folgenden Abschnitts Ein Blick in die schulische Unterrichtspraxis Wie sieht es mit der geometrischen Veranschaulichung von Br chen in der schulischen Praxis aus In den im Berliner Lehrplan formulierten Anforde rungen f r die 5 6 Klasse hei t es z B Sch ler k nnen arithmetische Vorstellungen mithilfe von geometrischen Veranschaulichungen st tzen und begr nden Rahmenlehrplan Grundschule Berlin 2004 S 39 Diese Formulierung war entscheidend f r die Wahl des Titels und der zentralen Begrifflichkeiten des vorliegenden Beitrages Als Inhalte werden dazu vor allem Br che genannt Wie das genau geschehen soll bleibt offen Ein Ausschnitt aus einer Klassenarbeit f r die Klasse 5 Abb 2 illustriert wie diese Anforderungen von einer Lehrerin interpretiert wurden Zwei der f nf vorgestellten Aufgaben beziehen geometrische Darstellungen von Br chen mit ein Die in der Aufgabe 1 angegebenen geometrischen Darstel lungen lassen mindestens zwei verschiedene Antwortm glichkeiten zu Die eine bezieht sich auf den Anteil der gef rbten und die andere auf den Anteil der nicht gef rbten Fl che Die Teilaufgaben 1c und 1d beziehen sich auf Br che
235. tig darauf hingewiesen dass ein Tangram nicht f r alle Beispiele g nstig sei Das bringt ihn auf neue Gedanken Abb 18b Abgesehen von Rechtschreibfehlern wird deutlich dass Linus beginnt konkrete Br che mit geometrischen Figuren zu verbinden Was beim K rzen mit den geometri schen Darstellungen der Br che geschicht bleibt an dieser Stelle unklar AT Zum Adbhoree ScrGdrerhieren rn qeg dA aia Toprak eh ra N Dane Nun Bann nagan or TA engel Abb 18b berlegungen von Linus II Weniger erfolgreich war der Einsatz der Arbeitsbl tter zur Erkl rung von Multiplikation und Division Die Misserfolge werden im Folgenden jedoch nicht dargestellt um zu zeigen dass es nicht sinnvoll ist nach Wegen zu suchen auch Division und Multiplikation geometrisch darzustellen sondern mit dem Ziel dem Suchenden Umwege zu ersparen Dar ber hinaus sei auf eine Untersuchung zur Veranschaulichung der Bruchdivision von Chen und Li 2008 verwiesen die zu positiven Ergebnissen gef hrt hat 140 Swetlana Nordheimer Die Regeln der Addition und Subtraktion konnten enaktiv durch Aneinan derf gen der Steine oder auch durch Bilder allenfalls mit minimalen verba len Erkl rungen ikonisch dargestellt werden Im Gegensatz dazu k nnen Darstellungen von Multiplikation und Division nur mit Hilfe von beschrei benden Texten oder Hilfsw rtern verstanden werden siehe hierzu z B Stoye 2010 S 106 112 So griff ich
236. tion der Augen bestimmt und verfolgt werden Die entsprechende nderung der virtuellen Raumszene wird dann in Echtzeit vom Computer errechnet und am Bildschirm dargestellt Eyetracking Die Firma Nintendo hat mit der Spielkonsole Wii einen Controller auf den Markt gebracht der zur Positionsbestimmung des Spielers oder besser seiner Hand und ihrer Bewegungen dient Der Controller der in der Hand gehalten wird kommuniziert dabei per Infrarot bertragung mit einer Senso renleiste und bestimmt unter anderem aus der Lage von IR LEDs in der Leiste seine Position im Raum Aus diesem Controller l sst sich mit etwas handwerklichem Geschick und der n tigen Software nach einer Idee von John Chung Lee leicht ein entsprechendes Positionsbestimmungssystem zur Softwaresteuerung zusammenbasteln Hierzu wird die Sensorenleiste z B auf einem Brillengestell befestigt und mit dem Wii Controller abgefragt der sich direkt ber dem Bildschirm befindet 164 Markus Ruppert Jan W rler Abbildung 6 Aus dem Controller der Spielkonsole Nintendo Wii und der zugeh rigen Senso ren leiste l sst sich eine Headtrackingsystem aufbauen Hier Sensorenleiste mit Brille als Haltegestell Eleganter sind L sungen die ohne zus tzliche Positionsmarker am Kopf auskommen und auf Hardware zur ckgreifen die zur Standardausr stung heutiger PCs oder Laptops geh rt Hierf r kann etwa die interne Webcam eines Laptops oder aber eine externe Kamera auf oder
237. tlich g nstiger um eine allgemeine Regel zun chst f r die Umf nge zu finden Im Nenner steht offenbar n aber wie erhalte ich den Z hler Eine DGS die die korrekten Br che anzeigt stand mir nicht zur Verf gung die DGS Geometry Expressions soll dies allerdings bereits leisten Auch N J A Sloanes Encyclopedia of Integer Sequences hilft hier nicht weiter da mit zwei Eingaben die noch nicht ein mal aufeinanderfolgende Glieder darstellen wenig zu erreichen ist n 7 Mec 598571 U9 Sechseck Bei dieser Ziffernfolge der Nachkommastellen denken wir evtl an die Peri ode von z 0 142857 Dann liefert die Multiplikation von x 5 285714 mit 1000000 den Wert 5285714 285714 also 999999 x 5285709 d h _ 5285709 _37 gt Ist die Erinnerung an die Periode von verblasst hilft 999999 7 T 114 Ingmar Lehmann auch die folgende Variante Wir nehmen an es existieren zwei ganze Zah len p und q mit Pz 5 28571 dann muss auch p 5 28571 q eine ganze q Zahl sein was q 7 vermuten l sst 5 28571 7 36 99997 Zn 1 Schlie lich war aber auch das geschafft Z hler Die Probe f r n 3 5 7 9 liefert die von der DGS angezeigten N herungswerte n a u 9 Use _ 3n 1 7 19 37 61 U 9 Sechseck 4n 3 5 7 9 2 33333 3 8 5 28571 x 6 777178 F r das Verh ltnis der Fl cheninhalte lag die Vermutung auf der Hand dass 2 der Z hler das Quadrat von LBA ist Mit Blick auf d
238. tweise im Mathematikunterricht wie etwa Einzelbetrachtungen bestimmter Teilge biete der Mathematik das Bewerten der aktuelle Situation ohne die Einbe ziehung der Entwicklung wie es dazu gekommen ist der Blick auf Sch le rinnen und Sch ler ohne Einbezug von Lehrkr ften und Inhalten der Blick auf Technologien ohne Einbezug von Sch lern Inhalten und Lehrkr ften keine tragf hige Grundlage f r zuk nftige Entwicklungen ist Ein bezie hungshaltiges Denken ist die zentrale Voraussetzung f r Ver nderungen Verbesserungen im Mathematikunterricht Digitale Werkzeuge k nnen dabei unterst tzend wirken 1 These Die Beziehung zwischen Algebra und Geometrie muss verst rkt werden Es l sst sich hier zum einen fragen ob es zu einer Algebraisierung der syn thetischen Geometrie kommen wird Grundlage daf r bildet zum einen das Konstruktionsprinzip von Dynamischer Geometrie Software durch die die Geometrie algebraisch numerisch dargestellt wird In Programmen wie Geogebra und Felix wird dabei die algebraisch geometrische Wechsel beziehung explizit dargestellt Zum anderen kann aber auch gefragt werden ob die Geometrie in der Algebra oder berhaupt in der Mathematik wieder eine gr ere Rolle spielen wird In der aktuellen ICMI Study 17 Hoyles u Laborde 2010 vertritt Jean Marie Laborde die Meinung Until the 17 century geometry has been the queen of sciences and then de cayed It might be because of
239. uf aus den angezeigten Informationen erkannt werden kann ebd So pr ft etwa der Rechner in Cabri 3D die Benutzereingaben auf definierte Ziffern falls nur Ziffern erlaubt sind Ist diese Vorgabe nicht erf llt so zeigt Cabri 3D eine Fehlermeldung Nicht definiert an Dabei enth lt es Informationen ber das Auftreten des Fehlers die Art des Fehlers und m gliche Methoden der Korrektur in dem Ma e in dem das DRGS diese Informationen geben kann vgl ebd S 11 Die kontextsensitive Hilfe in Cabri 3D k nnte dies bez glich noch ber die Online Hilfe hinaus erg nzt werden Cabri 3D verzeiht dem Sch ler den die begangenen Fehler mittels Aufruf einer Undo Funktion Eine programminterne nicht sichtbare und anzuzei gende externe Protokoll Funktion etwa via Konstruktionsbeschreibung erm glicht dem Nutzer den individuellen Arbeitsweg zur Selbstkontrolle zur ck zu verfolgen und den gew nschten Arbeitsschritt aufzurufen EK Prinzip der Erwartungskonformit t Ein Dialog ist erwartungskonform wenn er konsistent ist und den Merkmalen des Benutzers entspricht z B den Kenntnissen aus dem Arbeitsgebiet der Aus bildung und der Erfahrung des Benutzers sowie den allgemein anerkannten Konventionen ebd S 9 Die Interaktion mit dem System soll den Erwartungen der Sch ler entspre chen die sie bereits aus Erfahrungen mit Arbeitsabl ufen ohne und mit dem Computer haben Das Dialogverhalten und die
240. ung AN p asb F a AAN S Yal AN Hillfskonstruktion zur Beweisf hrung x A Winkelhalbierende w von ZACB ae N g b hy W a Begr ndung der Hilfskonstruktion Z N Pr Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden A A Folgerung aus der Hilfskonstruktion Ma a BA E Es existiert W der Schnittpunkt von w mit AB A A e w N B Begr ndung der Folgerung m Lemma 1 1 Fr a b F Voraussetzung 2 v Ya Yg wist Winkelhalbierende von y 3 r r i 1 Schenkell nge 6 Aus 4 folgt unmittelbar die Behauptung Begr ndung Abb 4 Screenshot einer eingebetteten Geogebra Applikation Weitere Medienoptionen im Wiki Man kann Dokumente im PDF Format auf die Wiki Plattform hochladen und dann per Link in die Wiki Dokumente einbinden In das Wiki lassen sich weiterhin Videos einbetten die auf anderen Plattformen wie etwa You tube gehostet sind Von dieser M glichkeit machten wir Gebrauch indem Videoaufzeichnungen von Vorlesungsteilen in das Wiki eingef gt wurden Mittels des Tags lt iframe src gt Applikation lt iframe gt lassen sich zudem auf externen Servern laufende Applikationen einbinden etwa swf Multiple Choice Tests Eine Erweiterung der MediaWiki Software ist die Generierung verschiede ner Formen von Tests auf der Grundlage von Multiple Choice Die Erg n zung der klassischen bungsaufgaben durch einen derartigen Test wurde von den Studierenden ausnahmslos begr t auch wegen der Hinweise zur L
241. ung es selbst vermutet und bewiesen zu haben Spezielle Ecktransversalen eines Dreiecks Die beste Art etwas zu erlernen ist es selbst zu entdecken Polya 1967 Am Beispiel der in der Schule behandelten Transversalen eines Dreiecks Mittelsenkrechten Winkelhalbierenden H hen und Seitenhalbierenden steigen wir in das Thema ein Nachdem wir uns in einem Zirkel der Mathe matischen Sch lergesellschaft MSG an der Humboldt Universit t zu Ber lin mit dem Satz von Morley besch ftigt hatten stellte sich die Frage Was passiert im Innern eines beliebigen Dreiecks wenn anstelle der Winkeldrit telung jede Seite dieses Dreiecks gedrittelt wird Sind die entstehenden Dreiecke ebenfalls gleichseitig Werden Winkel und Seiten gemessen berechnete Verh ltnisse zweier Fl cheninhalte dann per Zugmodus konstant bleiben dr ngen sich einige Ver mutungen auf Welche Invarianten verbergen sich hinter konstanten N he rungs Werten Steht 2 65 f r V7 oder f r Die Gefahr wurde oft genug benannt Liefert der Zugmodus stets aufs Neue die Best tigung der aufgestellten Vermutung wird dies von den Sch lern eventuell vorschnell als Beweis akzeptiert bzw missverstanden Dreiecke im Dreieck Dreiecke im Innern Satz 1 Die Seiten a BC b AC und c AB eines Dreiecks AABC seien gedrittelt deshalb die hochgestellte 3 Verbindet man die Drittelungs punkte mit den gegen berliegenden Eckpunkten so entstehen im Innern
242. ung der o g Kriterien zur Beurteilung der Intuitivit t sowie damit einhergehend der vermehrten Nutzung von DRGS im Unter richt und eingebunden in ein entsprechendes Untersuchungsdesign Analyse Damit k nnten die obigen Hypothesen wissenschaftlich berpr ft werden Zudem lie en sich R ckschl sse zur Gebrauchstauglichkeit eines DRGS ziehen Gebrauchstauglichkeit meint im Gegensatz zur Benutzbarkeit die Usability einer Software im konkreten Nutzungskontext also unter Ber cksichtigung der am Arbeitsplatz geltenden Anforderungen durch Benutzer Arbeitsaufgabe und Arbeitsumgebung M ller et al 2008 S 21 Im Falle der Nutzung von DRGS im Unterricht also den Sch ler als Benut zer beim Be Arbeiten im Rahmen des Visualisierens Erzeugens und Ma nipulierens raumgeometrischer Ph nomene bzw Aufgaben in der Arbeits umgebung Schule mit ihren heute faktisch vorhanden rechtlichen perso nellen r umlichen s chlichen organisatorischen und administrativen Vor gaben und Ressourcen Wie k nnte ein geeignetes Design aussehen Ein erster Zugang k nnte z B durch Konstruktionsaufgaben wie die im Vortrag s o vorgef hrten erfolgen So k nnte der Versuchsleiter die Pro banden gewonnen durch duale Randomisierung von Schulen und Sch ler gruppen und ausreichenden Sch lerzahlen in einer dem quantitativen For schungsparadigma folgenden empirischen Untersuchung in zwei vergleich bare Gruppen A und B teilen Jede
243. ungen des echten Spielers gesteuert werden http www xbox com de DE kinect 170 Markus Ruppert Jan W rler e Die Firma Microsoft hat sich in diesen Tagen den light induced shape memory polymer display screen patentieren lassen einen Bildschirm der auch Oberfl chenstrukturen simulieren kann http appft uspto gov Patentnummer 20100295820 e Mit Diminished Reality wird das Prinzip der Augmented Reality umgekehrt Die Technische Universit t Ilmenau hat ein System entwickelt mit dem einzelne reale Objekte in Echtzeit aus Live Kameraaufnahmen entfernt werden k nnen http www tu ilmenau de e OR Codes sind zweidimensionale schwarz wei e Pixelmuster die insbesondere zur Visualisierung von Webadressen dienen Sie werden per Handy oder Web cam mit einem OR Reader ausgelesen und f hren dann auf den entsprechenden Link Denkbar w re hier eine gleichzeitige Verwendung der Codes als Marker f r webbasierte Augmented Reality Applikationen Software zum Erzeugen von OR Codes http gogqr me OR Reader http www mobile barcodes com qr code software e Die Verkn pfung von virtuellen Raumszenen mit selbsterstellten Markerk rtchen kann z B mit der Software buildAR hergestellt werden Mit der Open Source Software blender k nnen Raumszenen im erforderlichen Dateiformat generiert werden http buildar com http fwww blender org Literatur Becker G 1992 Integration von ebener und r umlicher Geometrie d
244. urch Bildung von Analogien In Mathematica Didactica 15 1 S 5 14 Euklid 2005 Die Elemente B cher I XIII bersetzt von Clemens Thaer Harry Deutsch Frankfurt a M Goldstein E B 2008 Wahrnehmungspsychologie Der Grundkurs Deutsche Ausgabe von Irtel H Hrsg Spektrum Akademischer Verlag Berlin Heidelberg 7 Aufl Klein F 1909 Elementarmathematik vom h heren Standpunkte aus II Teubner Leipzig Kultusministerkonferenz KMK 2004 Bildungsstandards im Fach Mathematik f r den mittleren Schulabschluss Wolters Kluwer M nchen Lazzeri G Bassani A Treutlein P 1911 Elemente der Geometrie Teubner Leipzig Maier P H 1999 R umliches Vorstellungsverm gen Auer Donauw rth Schumann H 2007 Schulgeometrie im virtuellen Handlungsraum Franzbecker Hildesheim 171 Raumgeometriesoftware und ihre Schnittstellen zum Menschen Thurstone L L 1938 Primary mental abilities The University of Chicago Press Chicago Illinois T nnis M 2010 Augmented Reality Einblicke in die Erweiterte Realit t Ber lin Heidelberg Springer Weigand H G 2009 Didaktik der Geometrie f r die Sekundarstufe I Spetrum Akademischer Verlag Heidelberg 172 Die Suche nach der angemessenen Darbietung r umlicher Strukturen Analyse von Pr sentationsformen und Beschreibungsmodell der K rperkomplexit t J rgen Steinwandel Matthias Ludwig Zusammenfassung In dies
245. usgewertet Dabei ist aufgefallen dass sich kein Sch ler f r die Aufgaben 2 und 5 gemeldet hat Offensichtlich haben die Formulierungen die Sch ler nicht angesprochen Die ersten beiden Teil aufgaben der Aufgabe 1 wurden erfolgreich bearbeitet Der Schritt zwischen den Teilaufgaben der Aufgabe 1 erwies sich als zu weit Interessant war dass die Aufgabe 3 ohne Probleme bearbeitet wurde Die Sch ler haben f r die Teilaufgabe 3 d mehrere verschiedene Vorschl ge unterbreitet Zu der Aufgabe 4 gab ein Sch ler wider Erwarten des Lehrers eine anschauliche Begr ndung der richtigen L sung Robert sagte H tte ich eine S ge so w rde ich ein gro es Dreieck nehmen und in zwei H lften zers gen So h tte ich zwei mittlere Dreiecke Diese sind Achtel von dem Ganzen So kommt in der Aufgabe raus weil ich das Dreieck halbiere Der Lehrer lobte die L sung und fragte danach was man machen w rde falls man keine S ge hat Daraufhin kamen die Sch ler zu dem Schluss dass Division nicht f r alle Aufgaben mit Hilfe des Tangrams erkl rt werden kann Sie merkten dass in diesem Fall der Divisor nicht gr er als der Dividend sein sollte Diese bung wurde eingef gt damit die Sch ler dar ber reflektieren dass Geometrie nicht f r alle Aufgaben Erleichterungen bringt In einem Auswertungsgespr ch mit dem Lehrer stellte sich heraus dass er die bungen zur Addition und Subtraktion als Verkn pfung mit den Fl cheninhalten f r sinnvoll
246. uters and Informatics on Mathematics and its Teaching Churchhouse 1986 wurde ein gro er Enthusiasmus bzgl der Entwicklungsperspektiven des Mathematikunterrichts angesichts der Verf gbarkeit neuer Technologien deutlich Viele wie etwa Jim Kaput sagten voraus dass neue Technologien sehr schnell alle Bereiche des Mathematikunterrichts ver ndern w rden Technology in mathematics education might work as a newly active volcano the mathematical mountain is changing before our eyes 1992 p 515 Werkzeug Taschenrechner 1972 kam der erste Taschenrechner auf den Markt Zwischen 1976 und 1978 wurde er in den meisten Bundesl ndern im Mathematikunterricht meist ab Klasse 7 erlaubt In der DDR wurde der Schulrechner SR 1 an der Erweiterten Oberschule ab Schuljahr 1984 85 in der Klasse 11 und in der Polytechnischen Oberschule mit dem Schuljahr 1985 86 in Klasse 7 eingef hrt In der Stellungnahme der Gesellschaft f r Didaktik der Mathematik GDM vom 28 Februar 1978 wurde ein kontrollierter Einsatz von Taschenrech nern ab dem 7 Schuljahr aller Schulformen S 117 gefordert Davon erwartete man sich e das Erm glichen experimenteller Sch leraktivit ten im Rahmen des entdeckenden Lernens und Probleml sens e cine konkrete numerische Ausgangsbasis f r Begriffsbildungen e das wirklichkeitsnahe Behandeln von Anwendungsaufgaben durch reali t tsad quate Zahlen e das Entlasten von T tigkeiten die f r die L
247. utzer und einer Software hier DRGS ist um ein bestimmtes Ziel zu erreichen vgl CEN 1995 S 5 Um dem Aufbau von H rden entgegenzuwirken sollte die Benutzeroberfl che einen Aufforderungscharakter besitzen und den Nutzer zur aktiven Auseinandersetzung mit ihr anregen Sie sollte ihn ermuntern sich weiter 54 Olaf Knapp mit ihr zu besch ftigen um alle in die Software implementierten Optionen nach und nach kennen zu lernen um sie sp ter selbst ndig etwa beim Prob leml sen nutzen zu k nnen Der Aufforderungscharakter wird u a dadurch bestimmt inwieweit die Software an das Vorwissen des Nutzers ankn pft z B durch Wiedererkennungseffekte an ihm bereits bekannte Programme und Wissensbereiche oder ob die Benutzeroberfl che intuitiv ist Was bedeutet in diesem Zusammenhang intuitiv Das Wort intuitiv wird etymologisch h ufig synonym f r instinktiv unwillk rlich spontan oder gef hlsm ig verwendet Ebenso finden sich Parallelen zum Begriff des intuitiven Denkens In der Lernpsycholo gie sind wesentliche Merkmale intuitiven Denkens der spontane Einfall und ein averbaler Charakter wie er bspw in psychologischen Diagnosen als Unmittelbarkeit der Erkenntnis oder eingebungsartige Erfassung des Wesentlichen gekennzeichnet wird vgl Edelmann 2000 S 142 f Edel mann weist aber auch darauf hin dass Trotz des Gef hls der Evidenz Of fensichtlichkeit
248. w AO _ BQ _ CO _2n n und AO _ BQ _ CQ _2n n 1 AA BB CC 3n l A BB CC 3n 1 a n 1 1 d h die Punkte O teilen die Transversalen im Verh ltnis 5 2 oder me F r die n Teilungspunkte Transversalen hei t das AO5 0501 014 BO1 0103 05B CQ 0 05 Q5C 2 in gt A0 040 0 gt B06 0601 0 B CQ 0 06 0 C L 1 A Das bedeutet zudem Q20 Q Q6 AB analog gelten 0 0 030 AC und 010 Q405 BC Ist das Dreieck AABC gleichseitig a b c so sind auch die Dreiecke AO1030 und AO gt 040 gleichseitig und zudem kongruent q1 92 q Der Beweis l sst sich elementargeometrisch mit Hilfe der S tze von Stewart und Heron f hren indem man zun chst die L nge der Strecken auf den Transversalen bestimmt woraus man auf die Seitenl ngen der Dreiecke AO10305 und AO gt 040 schlie en kann 010 3 2 y2n n 1 c 2n n 1 a n 1 n 1 b n 0305 2 Y2n n Da 2n n 1 b n l n 1 e 3n 1 1 0501 z Y2ncn D8 2n n e n 1 n Na In 1 analog f r AO 0 0 Die Heron Formel liefert dann einerseits A naBc Wa b c a b c b c a c a b und andererseits z at 20 b c b e 2b c A A003905 3n 1 108 Ingmar Lehmann Analog geht man f r das Dreieck AO 040 vor was zu Aage _ Amge _ 3n 1 Ao 0 0 Ag 0 0 4 f hrt Es gibt aber neben Satz 2 eine weitergehende Verallgemeineru
249. zeigen eines roten Fadens beim Lernen Ein historisch interessantes Beispiel ist das Rechenbuch von Adam Ries Rechnung auff der Linihen und Federn in dem er von dem den damaligen Lernenden vertrauten Rechnen auf den Linien ausgeht und darauf aufbauend schriftliche Re chenverfahren Rechnen mit der Feder erkl rt In hnlicher Weise forderte Philipp Melanchthon 1497 1560 im Jahr 1518 in Wittenberg in seiner Antrittsrede mit dem Thema ber die Verbesse rung der Studien der Jugend ein ad fontes also ein Zur ck zu den Quel len Damals bedeutete das f r Melanchthon die Lekt re antiker Schriftstel ler Heute kann das ad fontes aber auch als Leitspruch f r das Arbeiten mit digitalen Werkzeugen angesehen werden wenn Quellen die in Jahr tausenden gewachsenen geometrischen und mathematischen Grundlagen und Zusammenh ngen bedeuten Durch neue Werkzeuge wird nun ein neu er Zugang zu diesen Quellen m glich Sie stellen auch heute eine oder die Grundlage f r Weiterentwicklungen dar 3 These Die Beziehung zwischen 2D und 3D Geometrie wird weiter entwickelt Die Forderung nach einer St rkung des r umlichen Anschauungsverm gens durch eine gr ere Ber cksichtigung des Raumes als Tr ger plani metrischer Beziehungen tritt bereits in der Meraner Reform 1905 auf Seitdem wird die Entwicklung dieser Beziehung immer wieder gefordert 13 Werkzeuge im Ge
250. zu Fl che i ist nicht mehr so direkt zu verstehen nur mit Hilfe von 77 Gleichungen in Bildern Quadratwurzeln und Fallunterscheidungen ist eine Aufl sung nach einer Variablen zu realisieren Und f r noch kompliziertere Gleichungen ist aus der Galoistheorie bekannt dass das Aufl sen nach einer Variablen durch auch h here Wurzeln im Allgemeinen gar nicht m glich ist Visualisierungssoftware Das Zeichnen algebraischer Fl chen erscheint wegen der Beispiele des vorigen Abschnittes zumindest nicht trivial und ist in der Tat noch heute ein Objekt der Forschung auf dem Grenzgebiet zwischen Mathematik und In formatik trotzdem existiert Software die interaktiv ist und die f r den Schuleinsatz im Wesentlichen geeignet erscheint wie z B das in der Einlei tung erw hnte Programm Surfer Software zum Visualisieren von Kurven ist dagegen wesentlich einfacher zu realisieren und sogar aktuelle Taschen rechner wie der TI nspire beherrschen dies im Gro en und Ganzen z B ber die Eingabe f x zeros x 2 y 2 x 3 y und auch die aktu elle Beta Version der Dynamischen Geometrie Software GeoGebra Hohenwarter 2011 liefert bei der Eingabe x 2 y 2 x 3 0 ein korrek tes Bild Kostenfreie Software zum Anzeigen algebraischer Kurven und Fl chen ist also verf gbar Die Visualisierung ebener algebraischer Kurven mit Hilfe der aktuellen Beta Version von GeoGebra bettet sich intuitiv in diese recht verbreitete Software ein dort einfac
251. zu Winkeln bei der Konstruktion des Dreibogenecks Aus 1 und 2 ergibt sich schlie lich y a Da y ein gegebener Winkel des Ausgangsdreiecks ist lassen sich die Mittelpunkte der drei gesuchten Kreise damit schrittweise konstruieren In dem erw hnten Sch lerzirkel gelang es keinem der Teilnehmer den skizzierten L sungsweg ber Winkelbeziehungen zu finden Hierzu ist ein 30 Andreas Filler hohes Ma an Erfahrung bei der Ausnutzung von Winkelbeziehungen in mehreren haupts chlich gleichschenkligen Dreiecken und der Zusammen setzung der gefundenen Beziehungen zur Bestimmung eines gesuchten Winkels erforderlich ber das die beteiligten Sch ler nicht verf gten Ein anderer Weg der Erarbeitung einer vollst ndigen Konstruktionsvor schrift beruht auf dem Zusammenhang zwischen den drei Kreisb gen des Dreibogenecks und dem Umkreis des gegebenen Dreiecks Die Tangenten bedingung an die Kreisb gen des Dreibogenecks ist erf llt wenn die Tan genten seiner drei Kreisb gen in den Eckpunkten zu den jeweiligen Tangen ten des Umkreises des gegebenen Dreiecks A ABC senkrecht sind Da die Mittelpunkte der Kreise deren B gen das Dreibogeneck bilden auf den Mittelsenkrechten der jeweiligen Dreieckseiten liegen m ssen und ebenso der Mittelpunkt des Umkreises ist die Konstruktion derartiger Kreise m g lich siehe Abb 16 Umkreis Abb 16 berlegungen zu Winkeln bei der Konstruktion des Dreibogenecks Da die beteiligt

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