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Konzeptionelle Überlegungen zur Einbeziehung informatischer

1. Wettleidenschaft Codierung Datenschutz Systemwetten Datensicherung Tip per Zufall am Computer Kontrolle Datenerfassung Algorithmus Simulation am Computer Lottozentrale Speicherung Film Lagerung riesige Datenmengen Tip Ziehung Steuerung einer M llanlage Vergleich Statistik mit Computer Benachrichtigung Serienbrief Der Lebenslauf eines Lottoscheins Stationen mit wesentlichen T tigkeiten Rolle des Computers an den Stationen a Hinweis Nach heutigem Stand 2002 stellt LOTTO sich der Ablauf m glicherweise anders dar Abb 2 1 2 b Das Zahlenlotto als Beispiel eines komplexen Systems Ausschnitte aus der Realit t beschreiben Abbildung 2 1 2 b zeigt eine Gedankensammlung die das komplexe System ZAHLEN LOTTO beschreibt Mit der Aufgabe Erstelle eine Abbildung die den Lebenslauf eines Lottoscheins beschreibt wurde es von Sch lern erarbeitet die au erdem den Auftrag hatten nach Einsatzm glichkeiten des Computers innerhalb dieses Systems zu suchen So erkl ren sich die kursiv gedruckten Stichw rter F r einen Ausschnitt aus dem System steht ein in Objekt Pascal Delphi programmiertes und auch schon recht komplexes Teilsystem LOT TO zur Verf gung das die Bereiche Tippen Ziehung Auswertung realisiert Es fasst mehrere Komponenten zu einem Ganzen zusammen Die Komponenten bearbeiten wohlbestimmte Aufgaben die u a in der Oberfl che des Programms
2. 80 x2 p 2 sqgrt diskriminante WRITELN L sungen WRITELN x1 x1 10 4 WRITELN x2 x2 10 4 END ELSE WRITE Keine L sungen READLN END Abb 2 1 7 1 a Ein 10 Zeilen Programm aus den 80 er Jahren und eine heutige L sung Beispiel 2 L nge von Breitenkreisen Das folgende kleine BASIC Programm stammt aus Leh88 Es berechnet die L nge von Breitenkreisen auf der Erdkugel 1988 BASIC Programm 2001 Heute k nnten die Sch ler einfach eine Folge definieren Syntax des TI 92 10 m 2 3 1416 6370 20 a 0 _x 30 IFa gt 90 THEN 90 seq 2 7 6370 cos w w 0 90 5 40 w 3 1416 a 180 50 u m cos w Kommentar Hier wird eine Zahlenfolge aus dem Term 2 7 6370 cos w berechnet die 60 PRINT a 70 ea ei Werte f r w laufen von 0 bis 90 mit der 80 GOTO 30 Schrittweite 5 90 END Abb 2 1 7 1 b Ein 10 Zeilen Programm 1988 und die heutige L sung Weitere Beispiele f r solche kleinen Programme finden sich an vielen Stellen beispielsweise in den B chern von Arthur Engel z B in Eng77 Im Vorwort hei t es Durch die weite Verbreitung der Computer und Taschenrechner ist die Zeit reif geworden f r die n chste Reform unter dem Schlagwort algorithmisches Denken Der Begriff des Algorithmus sollte als Leitbegriff f r die Schulmathematik dienen Wir m s sen den gesamten Schulstoff vom algorithmischen Standpunkt neu durchdenken V
3. A Schon in der Unterstu fe kann man diesen inter essanten Algorithmus zum ben des Zahlenrechnens mit positiven Zahlen be nutzen Hierzu kann z B B In der Sekundarstufe 1 ab Klasse 7 ergeben sich Einsatzm glichkeiten wenn es um besondere Funktionsterme bzw Folgen geht C In Klasse 11 werden in der Regel Folgen be trachtet Der 3at 1 Algorithmus l dt mittels leichter Abwandlungen geradezu zum Experi D Wer erzeugt die l ng ste Folge Diese Frage kann im Informatik aber auch im Mathematikunter richt zum Halteproblem f hren mentieren ein Die Pro grammierung in einem CAS ist leicht ein passendes Spiel erfun den werden Einleitung des Projekts durch 3 Arbeitsauftr ge Der 3a 1 Algorithmus Dieser Algorithmus beginnend mit a erzeugt Zahlenfolgen die nach einer endlichen Anzahl von Schritten enden oder auch nicht Dargestellt in einem Struktogramm lautet der Algorithmus Starte mit einer beliebigen nat rlichen Zahl a gt 1 Ausgabe von a Fallunterscheidung a ungerade Wiederhole bis a 1 Abb 3 4 2 a Struktogramm zum 3a 1 Algorithmus Startet man beispielsweise mit a 3 so ergibt sich die Zahlenfolge 3 10 5 16 8 4 2 1 und damit endet der Algorithmus Arbeitsauftrag 1 F hre den Algorithmus f r verschiedene a Werte durch Arbeitsauftrag 2 In der folgenden Abbildung wird der Algorithmus f r a 3 und f r a 7 im Koordinat
4. Daraus entsteht die Rekursionsformel x n p 11 p 1 x n 1 p 21 In ANIMATO kann man dazu den Baustein fl definieren fl a 0 u b c fl a 1 c Wenn a 0 dann Anfangswert u u kann man mehrere Anfangswerte durchlaufen lassen sonst b c fl a 1 c rechnen gem der obigen Rekursionsfor mel f2 fl a 0 1 0 85 Bei f2 wird der Baustein aufgerufen f5 b c a u f5 und f6 dienen zur Kontrolle von fl und f2 Hier steht ein ent c 1 b e a 1 b c sprechender Baustein in expliziter Darstellung f6 f5 a 0 1 0 85 f6 ruft diesen Baustein mit den gleichen Werten wie oben auf Dabei gelten folgende an anderer Stelle vorgenommene Einstellun gen a Von 0 bis 20 Schrittweite 1 u 0 1 3 2 3 1 Anfangswerte 87 Se sr gt gt D D 4 o d 1 pP 1 Ri 6 F7 P 3 10 11 42 13 14 15 16 17 18 19 Abb 2 1 7 3 f Konvergenz der Markow Kette unabh ngig vom Startwert Beispiel 6 Programmieren mit Funktionen 3 Iteration in DERIVE 5 Wie kompakt und leistungsf hig Bausteinaufrufe sein k nnen zeigt auch die Benutzung von iterates einem vordefinierte Baustein in dem CAS System DERIVE 5 iterates x 2 x t 3 liefert die Funktionsterme t t 2 t 4 t 8 In der blichen mathemati schen Schreibweise bedeutet das x t Xari x f r n 1 bis 3 Erstellen einer Animation als Programmierprojekt Abbildung 2 1 7 3 f kann man auch schrittweise
5. Diese Idee wurde Grundlage des Berliner Informatik Rahmenplans von 1993 Senatsverwaltung f r Schule Berufsbildung und Sport Vorl ufiger Rahmenplan f r Unterricht und Erziehung in der Berliner Schule gymnasiale Oberstufe Fach Informatik g ltig ab Schuljahr 1993 94 Anmerkung Es handelt sich um den 4 Informatiklehrplan in Berlin 44 2 1 2 Modellbildung bei komplexen Systemen In den Naturwissenschaften und der Technik dienen h ufig Experimente dazu Informationen zur Best tigung oder Widerlegung von Hypothesen zu gewinnen Modelle werden dagegen oft zur L sung von Aufgaben eingesetzt deren Durchf hrung am Original selbst nicht m g lich oder zu aufwendig ist Auch der Erstellung des auf Seite 45 dargestellten Systems LOT TO ging eine Modellbildung voraus Realit t Ein Modell des komplexen Systems konstruieren Ein komplexes System ein Ausschnitt aus der Realit t Modellbildung Auswahl von Einflu gr en Modellverhalten feststellen Modell anwenden Systemverhalten Vergleich des Modellverhaltens mit dem Systemverhalten Konstruieren eines Modells Gegebenenfalls Korrektur des Modells Abb 2 1 2 a Modelle konstruieren Das folgende Beispiel Abb 2 1 2 b zeigt wie man im Informatikunterricht oder im Unter richt in informationstechnischer Grundbildung komplexe Systeme einf hren und in Aus schnitten bearbeiten kann Es wird deutlich wie das Gesamtsystem in Teilsysteme u
6. Lineare Algebra Markow Kette Kurs MA 3 Versandabteilung Warteschlange Eine Versandabteilung erh lt an jedem Morgen zu Beginn der Arbeitszeit Auftr ge Der Auftragsein gang an verschiedenen Tagen erfolge unabh ngig voneinander An einem Tag sollen h chstens zwei Bestellungen eingehen Die Wahrscheinlichkeiten f r den Eingang keiner einer oder zweier Bestel lungen seien 0 3 0 5 0 2 Die Erledigung eines Auftrags m ge genau einen Tag in Anspruch nehmen An einem Tag wird also stets nur ein Auftrag bearbeitet und erledigt Falls schon vor den Neuzug n gen am Morgen drei Auftr ge vorliegen wird h chstens noch ein Auftrag angenommen Die H chst zahl unbearbeiteter Auftr ge ist also gleich 3 1 1 Begr nden Sie dass eine 4 4 Matrix als bergangsmatrix_ geeignet ist Best tigen Sie die in der bergangsmatrix S 4 4 fett markierten Werte durch geeignete berlegungen bergangsmatrix mit 4 Zust nden S 4 4 1 2 In wie viel Prozent der F lle liegen am Morgen des vierten Tages zwei Auftr ge vor ohne eventu elle Neuzug nge des vierten Tages wenn am Morgen des ersten Tages ein Auftrag vorlag 1 3 Wie entwickelt sich das System langfristig a Begr nden Sie dass man diese Frage mit Hilfe eines LGS beantworten kann und zeigen Sie dass sich das folgende LGS ergibt mit der station ren Verteilung T t1t2 t3 t4 und mit S 4 4 siehe oben b L sen Sie das LGS mit dem CAS Ergebnis auf 4 Nachkommast
7. Folgen rekursiv definiert Simulation Veranschaulichung durch Zustandsgraphen bergangsgraphen das in beiden F chern n tzliche Verfahren der Simulation Anwendungsbezug Einsatz von Computeralgebrasystemen und ggf anderer Software Diese Ans tze werden in den Kapiteln 3 3 3 Versandproblem und 3 3 4 Crap Spiel ver folgt Als Ausgangsaufgabe in Kapitel 3 3 3 dient eine von mir im Jahr 2001 gestellte Lei stungskurs Abituraufgabe Die Aufgabenstellungen entfalten sich an einer Warteschlange die hier in Form eines Versandproblems auftritt ber die Abituraufgabe hinaus werden Variatio nen von Problemstellung und L sungen angeboten um die Vernetzung zwischen Mathematik und Informatik die in der Abituraufgabe nicht explizit benannt wurde noch mehr zu ver deutlichen Auftrag A Warteschlange in Arbeit Auftrag B Ps Auftrag D Markow Ketten und die vielen M glichkeiten ihrer Behandlung sind ein Musterbeispiel f r die heute geforderten mathematischen Aktivit ten offene Unterrichtsformen neue Aufga benkultur Medieneinsatz Auch der f r den neuzeitlichen Unterricht viel propagierte An wendungsbezug findet hier eine starke Ber cksichtigung da Markow Ketten in vielen An wendungssituationen wichtig sind Das sind u a Warteschlangenprobleme Bev lkerungs bewegungen Marktforschung Buchstabenh ufigkeiten Labyrinthe Spiele 123 Eine Abituraufgabe Leistungskurs Mathematik Lehmann Abitur 2001
8. des Systems durch Fehlerbeseitigung und Hinzuf gen selbst definierter Funktionen Abb 2 1 3 b Sichtweise der Mathematik auf ein Softwareprodukt Analyse des Systems Der Blick in das System wird insoweit relevant dass man versuchen k nnte einige mathema tische Algorithmen zu durchschauen z B Wie kommt das System wohl zu diesem Rechen ergebnis 52 Von besonderer Bedeutung ist hier die M glichkeit das System durch eige ne selbstdefinierte Funktionen Bausteine ggf auch durch programmierte Funktionen erweitern zu k nnen Auf diesen Aspekt wird in Kapitel 2 1 5 ausf hrlich eingegangen 2 1 4 Projektmethode Wie oben bereits bemerkt werden in der Schulinformatik im Rahmen von Projektarbeit kom plexe Informatik Probleme behandelt Der Modellierungsvorgang beginnt mit einer Brain storming Phase die zun chst zu einer Pr zisierung der Problemstellung f hrt und danach in die eigentliche Modellbildung bergeht Ein Phasenmodell f r Informatik Projekte Projekte im Informatik Unterricht werden in der Regel in Anlehnung an Methoden des Soft ware Engineering nach einem Software Life Cycle durchgef hrt wie er in Abbildung 2 1 4 a dargestellt wird Die einzelnen Phasen stellen an den Bearbeiter unterschiedliche Anforde rungen und die verwendeten Arbeitsformen sind unterschiedlicher Art Phase 1 START Phase 7 PROJEKTAUFTRAG BETRIEB WARTUNG PROBLEMANALYSE M glicherweise Fehlerhandbuch Eve
9. in der Zeitschrift mathematik lehren 1990 Heft 39 S 49 55 Her02 Herget W Malitte E Sinus Schw chen und Rechner Grenzen in Exponential und Winkelfunktionen Hrsg Herget W Lehmann E S 57 64 Lel02 Lehmann Ingmar Per Kopf oder Knopf Rechnen k nnen oder lassen In Medien verbreiten Mathematik Hrsg Herget Sommer Weigand Weth Bericht ber die 19 Arbeitstagung des Arbeitskreises Mathematikunterricht und Informatik in der GdM 2001 in Dillingen Franzbecker Verlag 2002 185 Leh93 Lehmann E Epsilon Delta ein neuer Weg zum Verst ndnis des Grenzwert begriffs durch Veranschaulichung mit dem Computer in Praxis der Mathematik 1993 Heft 5 Pei92 Peitgen H O u a Bausteine des Chaos Springer Verlag 1992 Seite 52 f Ros02 Rosebrock S Die Folgenmaschine in MNU 2002 Jahrgang 55 Heft 7 S 403
10. 2 3 und 3 2 simuliert Das entspricht einer Liste 0 0 mit 9 Elementen und Einsen an den Positionen 1 gt liste2 1 1 6 8 neuList lt 9 gt gt liste2 Diese Positionen seien also bekannt Abb 314b Enl AFFREN FUNC g t 1 Zun chst wird eine LISTE2 mit 9 Elementen Ga erzeugt Befehl newList 9 i 8 gt einspos a newListi9 gt liste iD 0 0 0 0 2 Danach weisen wir den Listenpositionen 1 6 E faigebralcsiclother Pranrolciean uef 8 Einsen zu a gt liste2 6 1 1 gt liste2 8 1 liste LISTEZ2 sieht nun so aus il 0 0 0 16090 1 083 i 100001010 1 0 0 listrmat liste2 3 fe 0 1 3 Der Befehl listmat liste2 3 erzeugt aus der 0 1 0 Liste LISTE2 eine Matrix mit 3 Zeilen und E hier auch 3 Spalten Diese ist in der ge MAIN RAD APPROX FUNC 21730 23 ht F Abb 3 1 4 c Be nee Zusammenfassung Zur Erzeugung von Matrizen mit vielen Nullen und wenigen Einsen gen gt es ihren Typ und die Positionen der Einsen zu kennen Man erzeugt zun chst eine Nullmatrix des gew nsch ten Typs und bringt dann die Einsen an die bekannten Positionen Bezieht man diese berle gungen auf umfangreiche d nn besetzte Matrizen so wird deutlich dass man erheblich an Speicherplatz sparen kann Die angesprochene Problematik ist in ein wichtiges Problem der Informatik eingebettet das der Dateiorganisation Speichern und Suchen in Dateien Zugriffe auf Dateielem
11. 3 Zust nde und ein Endzustand siehe Turingtafel Abb 3 3 2 h Jede zugeh rige Turingtafel hat 2 n Eintr ge f r die Nicht Endzust nde In diesem Fall sind es 2 3 6 Eintr ge Man k nnte nun alle diese Turingtafeln aufli sten und diejenige heraussuchen die die mei sten Striche erzeugt f r n 3 ist das gerade die Tafel von Abb 3 3 2 h Man kann aber f r n 3 auch noch andere Tafeln notieren Wie viel andere Jeder Eintrag in die Tafel besteht aus einem Tripel z B L Z2 Insgesamt gibt es an jeder Tabellenposition n 1 2 2 Tripel n 1 Zielzust nde Z0 Z1 Z n 1 ZE 2 zu schreibende Zeichen 2 Richtungen auf dem Band L R In diesem Fall sind es 4 2 2 16 m gliche Tripel 4 Zielzust nde 2 Zeichen 2 Richtungen F r die Position 1 1 der Tabelle sind das L Z0 L Z1 L Z2 L ZE R Z0 R Z1 R Z2 L ZE L Z0 L Z1 L Z2 L ZE R Z0 R Z1 R Z2 L ZE Insgesamt gibt es damit T n 4 n 1 Turingmaschinen 2 n ist die Anzahl der Positionen in der Tu ringtafel Es gibt in der Turingtafel 6 Positionen jede Position ist mit einem von 16 Tripeln besetzt Damit gibt es insgesamt 16 16 16 16 16 16 16 Tripel Nach der Formel ist T 3 4 3 1 also ebenfalls gleich 16 Abb 3 3 2 i berlegungen zum Beweis von Satz 2 Die Anzahl d
12. AltaVista Main Yahoo A Guide RealPlayer Das Web wurde nach Magische Quadrate durchsucht Resultate 1 10 von ungef hr 10 400 Suchdauer 0 07 Sekunden Magische Quadrate Das ber hmte Loh Shu aus dem Jahre 2800 v Chr Es ist das lteste bekannte magische Quadrat www magic squares de magisch html 11k Im Archiv hnliche Seiten Magische Quadrate Magische Quadrate Magische Quadrate sind schon sehr lange bekannt Das lteste bekannte magische www magic squares de allgemeines quadrate quadrate html 13k Im Archiv hnliche Seiten Weitere Resultate von magic squares de Magische Quadrate zur ck zur Startseite zur ck zu magische Quadrate Paul Heimbach Magische Quadrate eine CD ROM f r Windows 3 1 Win9S arch rwth aachen de kunstAWwheimbach start_cd htm 3k Im Archiv hnliche Seiten Magische Quadrate Teil Il Magische Quadrate Teil The Update Nachdem der erste Text den Brute Force ngriff auf alle Zahlen beschrieb gilt es nun sich dern Problem auf elegante Art www inf gr htw zittau de maettiD1 wildmag issuel3 mg2 htm 6k Im Archiv hnliche Seiten Magische Quadrate Teil Magische Quadrate Teil The Update Gesucht wird ein magisches 4 4 Quadrat es d rfen nur die Zahlen von 1 bis 16 verwendet werden und die auch nur jeweils wwww inf gr htw zittau de maettiD1 wildmag issue03 mg1 htm 3k Im Archiv hnlic
13. Das magische Quadrat hat augenscheinlich die magische Summe 15 Au erdem gilt f r 5 das mittlere Element 5 3 15 mag Aus dieser knappen Datenspeicherung l sst sich das magische Quadrat durch entspre chende Rechnungen rekonstruieren d 5 f mit dieser Matrix l sst sich das vollst ndige Quadrat herstellen g38 Man erkennt hier einen unmittelbaren Zusammenhang zwischen Formen der Datenspeiche rung und mathematischen berlegungen Einen engen Bezug gibt es zu dem zum magischen 3 3 Quadrat geh renden Gleichungssystem siehe obige Abituraufgabe Zusammenfassung Einige Ideen f r die Arbeit mit magischen Quadraten im Mathematik unterricht Magische Quadrate spezielle Matrizen Recherchen im Mathematik und Informatik Internet Lineare Glei Dan Datentypen Datenspei chungssysteme p cherung bei speziellen Bausteine Benutzen inhomogen AR He 5 a Matrizen Hash Verfahren Konstruktion und Untersuchung magi scher Quadrate ver Untersuchungen an den speziellen Matrizenformen Vektorr ume schiedener Ordnung Abb 3 1 4 e Magische Quadrate im Unterricht vielseitig einsetzbar auch im Kurs Lineare Algebra 100 3 2 Eine mathematisch informatische Entdeckungsreise Teilverh ltnisse auf Dreiecksseiten ein weiteres Projekt f r wenige Stunden Hinweise zur unterrichtlichen Verwendung des Themas A Etwa in Klasse 8 kann man die Mit telpunkte der Drei ec
14. Grunds tzlich k nnen mathematisch informatische Aspekte in beiden Sekundarstufen und auch schon fr her ber cksichtigt werden So gibt es schon jetzt einige diesbez gliche Lehr planangebote in der Sekundarstufe 1 F r die Berliner Schule seien genannt Mathematik mit Computern in der Sekundarstufe 1 Unterrichtseinheiten im Wahlpflichtfach Mathematik Klasse 9 10 e Modellbildung e Kryptologie e andere Unterrichtseinheiten in denen der Einsatz des Computers sinnvoll ist beispiels weise in den Einheiten Matrizenrechnung oder Statistik Im Mathematik Pflichtunterricht der Klassen 7 bis 10 fehlen konkrete Hinweise auf den Computereinsatz Man findet lediglich allgemeine Absichtserkl rungen Dennoch findet in zwischen die Arbeit mit Computern auch bei Lehrern der Sekundarstufe 1 Akzeptanz Hierzu geh ren zum Beispiel die dynamischen Geometriesysteme EUKLID und GEONEXT Rich tungsweisende Arbeit wird in dem anschlie end beschriebenen CAS Projekt geleistet Das Berliner CAS Projekt Sekundarstufe 1 Hier arbeiten alle neunten Klassen von vier Schulen und alle achten Klassen einer weiteren Schule mit dem Computeralgebrasystem des Taschencomputers TI 92 Plus der allen Sch lern st ndig zur Verf gung steht N heres hier ber findet man im Endbericht des Projekts Lehmann E Berliner CAS Projekt Sekundarstufe 1 im Rahmen des BLK Sinus Projekts Senatsverwaltung f r Bildung Jugend und Sport Berlin September 2002 Di
15. Mathematik und Informatikunterricht bedienen sich neben ihrer eigenen Di daktik Methodik auch geeigneter didaktisch methodischer Ans tze des jeweils anderen Faches und weiterer neuerer methodischer Ans tze A4 Mathematikunterricht behandelt Themen in denen neben der Mathematik in formatische Inhalte von wesentlicher Bedeutung sind Allerdings k nnen sol che Themen auch von der Informatik f r sich okkupiert werden ein Aspekt der bei Lehrplangestaltungen kaum beachtet wird Ein Beispiel liefert die Kryptolo gie die z B in Berlin an verschiedenen Stellen von Mathematik und Informa tiklehrpl nen zu finden ist In den folgenden Ausf hrungen wird es darum gehen die Aspekte Al bis A4 n her zu unter suchen um zu Vorschl gen f r eine Ber cksichtigung informatischer Inhalte und Methoden im Mathematikunterricht zu gelangen und exemplarisch einige Unterrichtssequenzen anbieten zu k nnen Umgekehrt profitiert nat rlich auch der Informatikunterricht von den mathematischen Inhal ten und den Methoden Pfeile in Richtung Informatik Abb 1 2 1 a Die Auswirkungen eines modernen Mathematikunterrichts auf den Informatikunterricht sind inzwischen erheblich Sie werden zum Beispiel bei dem Modulkonzept deutlich siehe Kapitel 2 1 5 Der Aspekt Ma thematik gt Informatik wird jedoch in dieser Arbeit nicht n her untersucht 1 2 2 berblick ber eine m gliche Platzierung mathematisch informatischer Themen im Mathematikunterricht
16. das was von den anderen Gruppen zusammengestellt wurde nachgearbeitet und erlernt werden z B f r die Klausur Meiner Meinung nach ist Gruppenarbeit eine gute Sache denn durch sie f llt die Schule nicht mehr als Last auf sondern man geht gerne zu diesem Unterricht sogar in der 6 Stunde Die Gruppenarbeit war zwar toll aber immer geht das nicht denn man muss auch lernen in einer gro en Gruppe Klasse auszukommen insbesondere f r das Studium da wird auch nicht in Gruppenarbeit erlernt sondern der Professor bernimmt diese Aufgabe Da ich nur wenig Kenntnisse am Computer habe vom Spielcomputer einige Kenntnisse fand ich die Arbeit mit den Computerprogrammen recht gut und sie war nicht so trocken wie gew hnlicher Unter richt Durch sie habe ich neue Kenntnisse in Sachen Programmen bekommen Die interessanteste Ar beit war die Arbeit am Computer Die Graphen und Abbildungen die man anhand des Programms PLOTI1 erstellen konnte das war f r mich faszinierend Mathematische Erkenntnisse Beweisf hrungen Erstellen von Formeln In der Tat schult projektartiger Unterricht in besonderem Ma e die Selbstst ndigkeit der Sch ler und f rdert ihr Selbstbewusstsein Der Lehrer muss sich ohnehin mehr auf selbstst n digere und kenntnisreiche Sch ler einstellen insbesondere wenn es um die Nutzung der neuen Medien geht Teamf higkeit eine Schl sselqualifikation Teamf higkeit geh rt heute zu den Schl sselqualifikatione
17. gruppe und vom Lehrplan ent scheiden muss ob er sie bear AIR ya X Na x lt lt WN J a N x ARTANA P EN NEN 2 7 50 NV va LN ZN OO y IE lt RV gt N DI X N beiten lassen kann In jedem Fall haben die Sch ler eine hohe Motivation zum L sen der selbstgestellten Aufgaben So kann z B projektartiger Unter richt entstehen gt OO WA EN X NZ TA K OZO NN Abb 1 4 f Bilder als Anl sse neue Aufgabenstellungen zu entwerfen Konsequente Ausnutzung von Sch lerkompetenz Offene Unterrichtseinstiege etwa ber komplexe Problemstellungen die auch au ermathe matische Aspekte Anwendungen in Betracht ziehen erreichen weit mehr Sch ler als das bei engen streng an die Mathematik angelehnten Problemen der Fall ist Entsprechendes l sst sich sogar f r innermathematische Aufgabenstellungen feststellen sofern diese offen und weit genug gefasst sind Damit ist f r den Unterricht zumindest in der Phase des Ideensammelns brainstorming mehr Sch lerkompetenz vorhanden Durch geschickte Steuerung des Lehrers geht es nun darum dieses Anfangsinteresse f r die l ngerfristige Motivation und damit auch f r die mathematischen Lernziele zu nutzen Das kann nicht erreicht werden indem man sich sofort auf die mathematischen Aspekte zur ckzieht Gelegentlich sollten auch Ideen verfolgt werden die fach bergreifend sind Dadurch darf man sich erhoffen mehr S
18. 123 7 4 bzw 123 7 17 7 Rest 4 Weiter j n j Graph int Pora E Programmierung in ANIMATO f1 a b int a b f2 f1 x 2 entspricht y mod x 2 f3 int x f r x aus 0 10 Graph zu y mod x 2 Abb 3 4 1 a Die Graphen der Funktionen y mod x 2 und y int x y int x wird ebenfalls h ufig benutzt der Graph dient hier zum Vergleich mit der Modulo Funktion int x liefert die Vorkommastelle von x Beispiele int 3 1416 3 und int 7 7 ber Unterricht mit der Modulo Funktion in der Sekundarstufe 1 kann man nachlesen in Lehmann E Das Projekt Modulo Projektarbeit im Wahlpflichtfach Mathematik Klasse 10 in MU Der Mathematikunterricht 1999 Heft 6 S 32f Friedrich Verlag 144 B Effizienz von Algorithmen In der Informatik sind Untersuchungen zur Effizienz von Algorithmen von gro er Bedeutung Beispielsweise interessieren bei Sortierverfahren u a die Anzahlen der notwendigen Verglei che je zweier Elemente und die Anzahlen der Bewegungen Zuweisungen von Elementen Hierzu eine Beispiel aus dem bekannten Buch von Wirth N Wirth Algorithmen und Daten strukturen Teubner Verlag 1975 S 94 Bei der Analyse des Sortierens durch direktes Einf gen gibt Wirth folgende Werte an Vergleiche Bewegungen C min schon sortiert n 1 M min 2 n 1 n n 2 C mittlere Anzahl PR n n n 3n 4 C max ung nstigster Fall M max Zr
19. 160 Ein sch nes Y Muster Auch 360 Punkte scheinen noch etwas wenig Aber das Bild wird schon IH IHN N Ih I Hill L T L 720 Punkte T 1t Hii jj fa l scheinen zu rei STIET TR PATTE chen Man erkennt o LIERE E SIRRI aber wie verschie la It L ik den die einzelnen Hig i N TEG Amplituden aus ey f t den Punkten 1 entstehen Abb 3 4 6 d y sin x und y sin 119x x von 0 bis 1 57 720 Werte 161 Hl IM 1440 Punkte hl n yl Damit wird der PTT N Sch ler wohl on Hi zufrieden sein A Abb 3 4 6 e y sin x und y sin 119x x von 0 bis 1 57 1440 Werte Also Vorsicht mit der Darstellung von Graphen Nicht zu wenig Punkte nehmen Problem 2 Der Differenzenquotient von y sin x u l uft von 1 auf 0 zu mit einer Schrittweite von 0 1111 sin x u sin x Abb 3 4 6 f Differenzenquotienten Funktion d x u en 0 zu y sin
20. 2 Urbild x Wert f6 sin t 3 Urbild y Wert f7 f5 f6 um vx 2 vy 3 verscho bene Ellipse 8 Bf f6 fAu fs 3 u f6 9 ffI f6 f3 u f5 f4 f6 Matrix Dn Urbild f3 f4 f4 3 Urbild t x 0 0000000000E 00 6 2800000000E 00 Schrittweite 2 0933333333E 01 30 Laufbereich f r die Winkel t in f5 f6 f7 u bzw n 1 0000000000E 00 1 0000000000E 02 1 0000000000E 00 99 n l uft von 1 bis 100 100 Ellipsen Aufgabenteil 3 2 a Drehstreckung Streckfaktor k 5 Drehwinkel aus cos t 3 5 t 53 13 b Arbeit in Parameterdarstellung am TI 92 Zeichnung erstellen und mit Daten auf Papier bernehmen Dreh winkel und Streckung verdeutlichen L sung im parametric Editor xtl t ytl 2 xt2 3t 4 t 2 yt2 4t 3 t 2 window tmin 1 tmax 1 c Matrix Punkte ergibt Bildpunkte Punkte markie ren Pl 1 7 P2 7 1 Summe 27 BE 100 AB1 AB2 AB3 F r die Erl uterung der Zeichnung sind ca 30 Minuten vorgesehen Es handelt sich um die Drehstreckung einer Ellipse f7 mit Hilfe der ersten 100 Potenzen der Drehstreckmatrix 0 98 n cos n 6 sin n 6 sin n 6 cos n 6 Die Sch ler erkennen das aus dem gegebenen Plot Programm in Verbindung mit der Abbildung und beschreiben die Auswirkung in Textform unter Benennung der Terme und der Ver kn pfung der einzelnen Programmelemente Hierf r werden insgesamt 12 BE vergeben 4 BE AB 1 f r Erkennen grundlegender Elemente 5 BE AB 2 f r Erkennen der
21. 3 Std f r 3 1 und 3 3 Problemanalyse und Modellbildung mit 3 2 3 Der Prozess der Problembearbeitung durch Simulation Modellbildung Modellbildung 2 kann bersprungen werden Exakte L sung mit Hilfe unendlicher geometrischer Reihen Modellbildung 3 Hinweise zum Computereinsatz zu 3 3 3 5 3 1 L sung mit Hilfe von bergangsmatrizen Modellbildung 4 je nach Vorkennt nissen ber Matrizen 3 4 3 6 ggf integrativ Abb 3 3 4 b Phasen der Modellbildung bei der Unterrichtsplanung Crap Spiel Kopie aus Leh97 S 5I Vernetzung zwischen Mathematik und Informatik C Gruppeneinteilung die Themen stellte der Lehrer Am 19 3 01 Gruppe 1 Man berechne die Gewinn und Verlustwahrscheinlichkeit des Crap Spiels Gruppe 2 Bearbeiten Sie das Problem durch Simulation Gruppe 3 Bearbeiten Sie das Problem mit Hilfe von Markow Ketten Gruppe 4 Bearbeiten Sie die Ausf hrungen zum Crap Spiel im Buch Lehmann E Wahrscheinlichkeitsrechnung Volk und Wissen Verlag 1997 mit der Probleml sung ber unendliche geometrische Reihen Gruppe 5 Schreiben Sie ein Struktogramm zu den vorliegenden Spielregeln und analysieren Sie die Arbeit des Programms CRAPAUTO EXE Gruppe 6 Schreiben Sie ein Simulationsprogramm f r das CRAP Spiel in DELPHI Gruppe 7 WWW Recherche zum Thema CRAP Spiel Bemerkung f r den Leser Hierzu finden sich tats chlich Ausf hrungen auf amerikani schen Websei
22. Abb 1 5 c Auswirkungen des Computereinsatzes im Mathematikunterricht 40 Der Verlust einiger bisheriger Unterrichtsgewohnheiten Angesichts der F lle der sich aus obigen Abbildungen ergebenden M glichkeiten f r die Gestaltung eines modernen Mathematikunterrichts sollten Hindernisse und Hemmnisse nicht vergessen werden Sie betreffen in starkem Ma e den unterrichtenden Lehrer aber auch die Sch ler e Der Lehrer kann nicht mehr wie bisher unterrichten e Bislang gewohnte und ge bte grundlegende Fertigkeiten gehen teilweise verloren e Es besteht die Gefahr die mathematische Struktur der bisherigen Lehrg nge zu verlieren e Auch die bisher gewohnten Unterrichtsziele werden sich zugunsten anderer weiterer Ziele ndern Die Komplexit t des Unterrichts wird sich erheblich vergr ern Form und Inhalt von Lernziel berpr fungen ndern sich zugunsten einer gr eren Vielfalt Der Lehrer muss sich und seinen Sch lern neue Arbeitsweisen und ein neues Rollenverst ndnis vermitteln Gewohnte Formen der Unterrichtsvorbereitung k nnen nicht mehr angewandt werden Damit erlebt der Mathematiklehrer seit einiger Zeit dramatische Ver nderungen seines Arbeitsfeldes Ver nderungen die sich angesichts der verbreiteten Verf gbarkeit von Computern wohl nicht aufhalten lassen So bleibt den Lehrern kaum etwas brig als sich auf die neuen Gegebenheiten einzustellen durch aktive Teilnahme an Fortbildungsveranstaltungen Kooperat
23. CAS Funktionale Sprachen funktionales Programmieren Weitere Themen e Kryptologie mit CrypTool Lernsoftware Algorithmen Datensicherheit Zahlentheorie Die folgende Abbildung zeigt beispielhaft M glichkeiten f r die Ber cksichtigung ge biets bergreifender Aspekte Man findet in ihr Elemente der Analysis Parameterdarstellung von Kurven hier Kardioiden der funktionalen Programmierung und der Computergrafik Abb 1 2 3 a Kardioiden interessante Objekte der Computergrafik Programmieren mit Funktionen fl at tcos b t das ist x t f2 a tsin b t das ist y t Mit Aufrufen dieses Bausteins werden nun Strecken zwischen Kurvenpunkten gezeich net f3 f1 371 2 371 214 3527 T2 372 4 f1l4 3 1 22 0 5 1 1 3 3 r E2 065373 5 f1 0 1 2 3717r ELU04 r E2 3 4 f6 f1 0 1 2 0 5 1 1 0 5 2 0 5 5 7 f1 3 1 2 3 1 1 3 6 2 3 6 8 f1l1 3 1 22 0 5 1 21 3 7 22 0 5 7 In sp teren Kapiteln werden einige der oben genannten Themen aufgegriffen weitere treten dann noch hinzu siehe insbesondere Kapitel 3 1 2 3 Ausgew hlte Methoden des Informatikunterrichts und ihre Anwendung im Mathematikunterricht Einige informatische Methoden eignen sich f r die Mathematik in besonderem Ma e und k nnen bei vielen mathematischen Themenstellungen eingesetzt werden Ausf hrlichere Un tersuchungen zu einigen hier genannten Methoden folgen in Kapitel 2 Metho
24. Coh95 Cohors Fresenborg E Kaune C Griep M Funktionenlehre Klasse 10 Osnabr ck 1995 FilO1 Filler A Dreidimensionale Computergrafik als Anwendung der Analytischen Geometrie im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II in Beitr ge zum Mathematikunterricht Verlag Franzbecker Hildesheim 2001 S 181 184 Kau95 Kaune C Der Funktionsbegriff als ein Fundament f r den gymnasialen MU in der S1 In Steiner Vollrath Hrsg Neue problem und praxisbezogene Ans tze in der mathematik didaktischen Forschung K ln 1995 Leh96 Lehmann E Lineare Gleichungssysteme In Hischer H amp Wei M Hrsg Rechenfertigkeit und Begriffsbildung zu wesentlichen Aspekten des Mathematik unterrichts vor dem Hintergrund von Computeralgebrasystemen Bericht ber die 13 Arbeitstagung des Arbeitskreises Mathematikunterricht und Informatik in der Gesellschaft f r Didaktik der Mathematik e V 1994 in Wolfenb ttel Franzbecker Verlag Bad Salzdetfurth 1996 183 Leh98a Lehmann E Wieviel White Box und wann Black Box Mathematik mit Computeralgebra Bausteinen des TI 92 Mathematik in der Schule Heft 3 1998 P dagogischer Zeitschriftenverlag Berlin Leh98b Lehmann E Lineare Algebra mit dem TI 92 Handreichung mit weitgehender Verfolgung des Bausteinprinzips Texas Instruments 1998 Leh99a Lehmann E Mathematikunterricht mit einem Computeralgebrasystem Analyse des Bausteins Binobau a b n a b n in
25. Daf r bieten sich dann auch projektartige Organisations formen an Der Unterricht und die Unterrichtsinhalte werden insgesamt transparenter Das Bausteinprinzip f hrt unabh ngig vom gerade behandelten mathematischen Gebiet zu einer ge meinsamen Sichtweise und erweist sich damit als eine wesentliche Leitidee Die Konstruktion von Bausteinen bereitet funktionales Programmieren vor Insofern wird ein Beitrag zum Informatikunterricht geleistet 2 1 5 7 Beispiele f r Bausteine Beispiel 1 Ein Baustein wird veranschaulicht en en ARE WEN ES AE E E OS Ka Abb 2 1 5 7 a Ein Bild das auch dem K nstler Francois Morellet gefallen w rde erzeugt durch Bausteinaufrufe Programmierung im Programm ANIMATO fl a cos t b Bausteindefinition in Parameterdarstellung x t a b f2 a sin t b y t a b f3 fl dl u 2 1 v Bausteinaufruf f r viele Kreise u und v sind Laufvariablen f4 fl l u 2 1 Oben wurde t aus 0 6 28 gew hlt hier nur aus 0 3 14 f5 fl 1 u 22 1 2 daher ergeben sich bei f4 und f5 Halbkreise sie wurden hier mit einer gr eren Strichbreite und grau gezeichnet 71 Hinweis Das Ausblenden des Koordinatensystems w rde zu einem Bild f hren wie sie Francois Morellet in hnlicher Weise ohne Computer erstellt hat siehe z B Katalog zur Ausstellung lt Morellet gt 22 1 20 5 2002 Museum Wirth K nzelsau Beispiel 2 Visualisierung eines Parabelbaustein
26. STRING VAR input STRING stringlaenge INTEGER erlaubt zeichenmenge ein m chtiger Baustein mit dem man eine Zeichenkette input maximal vorgegebener L nge stringlaenge beginnend an einer bestimmten Bildschirmposition spalte zeile eingeben kann Dazu wird noch ein Aufforderungstext geschrieben infotext und es werden nur Zei chen aus einer vorher festgelegten Menge zeichenmenge angenommen Die Verwendung dieser Prozedur erfolgt durch einen Aufruf wie z B Input_string 2 4 Eingabe des Namens nachname 20 4A Z T Damit hat man einen sehr universell verwendbaren Baustein zur Verf gung der in der Pro grammierpraxis im Unterricht vielfach zur Anwendung gekommen ist Ein kleiner berschau barer Programmausschnitt belegt diese Aussage REPEAT FOR i 0 TO 5 DO FOR j 0 TO 9 DO Input_string 4 i 11 3 j planstelle i j 10 A Z a z 0 9 Input_zeichen 1 23 Alles Ok j n antwort J N j n UNTIL antwort IN j J In diesem Ausschnitt aus einem TURBO PASCAL Programm wird der Baustein innerhalb zweier Schleifen verwendet um z B den Stundenplan eines Sch lers an sechs Schultagen einzugeben Ein zweiter hnlicher Baustein ist Input_zeichen An einer anderen Stelle des Programms hei t es Input_string 1 1 Ausgabe des Plans Dateiname dateiname 12 A Z a z 0 9 An Bildschirmposition 1 1 wird zun chst der Text ausgegeben Dann wird
27. TLabel Label12 TLabel Label13 TLabel procedure Button2Click Sender TObject procedure Button1Click Sender TObject private Private Deklarationen public Public Deklarationen end var Form1 TForm1 1 x1 9 v 91 v1 92 v2 anz integer implementation R DFM procedure TForm1 Button2Click Sender TObject begin close end unit Unit1 procedure TForm1 Button1Click interface Sender TObject begin ses randomize DELPHI Programm i random 6 1 j zrandom 6 1 x i j anz anz 1 if x1 0 then begin x1 X label 1 caption S inttostr x1 label2 caption S label3 caption if x1 7 or x1 11 then begin label3 caption Winner 92 g2 anz anz 0 g g 1 x1 0 end else if x1 2 or x1 3 or x1 12 then begin label3 caption Lo000000000ser v2 v2 anz anz 0 v v 1 x1 0 end end else begin label2 caption label2 caption inttostr x if x x1 then begin label3 caption Winner g2 g2 anz anz 0 g g 1 x1 0 end else if x 7 then begin label3 caption Looooooo00ser v2 v2 anz anz 0 v v 1 x1 0 end end label6 caption inttostr g label7 caption inttostr v if g gt 0 then label10 caption floattostr g2 g if v gt 0 then label11 caption floattostr v2 v if v gt 0 or g gt 0 then label13 caption floattostr v2 g2 v g end end Zusammenfassung Die Vielfalt der L sungsm glichkeiten zeigt die beso
28. Zur Bewertung der in der Tabelle angegebenen Ergebnisse ist eine Veranschaulichung ber aus n tzlich In Abb 3 4 1 b erkennt man u a den erheblichen Unterschied zwischen der minimalen und maximalen Anzahl der Vergleiche abh ngig von der Vorsortierung der gege benen Sortierfolge 200 80 60 40 20 00 Abb 3 4 1 b Sortieren durch direktes Einf gen fl Unten Minimale Anzahl von Vergleichen bei n zu sortierenden Elementen f3 Oben Maximale Anzahl f2 Mitte Mittlere Anzahl 145 n fl f2 f3 n fl f2 f3 1 0 0 0 12 11 38 5 77 2 1 1 2 13 12 45 90 3 2 25 5 14 13 52 104 4 3 45 9 15 14 59 5 119 5 4 7 14 16 15 67 5 135 6 5 10 20 17 16 76 152 7 6 13 5 27 18 17 85 170 8 7 17 5 35 19 18 94 5 189 9 8 22 44 20 19 104 5 209 10 9 27 54 21 20 115 230 11 10 32 5 65 C Zufallszahlen Gl cksr der Dieses Thema ist auch eine eigene Unterrichtsreihe wert siehe Kapitel 3 4 4 Hier soll insbe sondere der funktionale Aspekt betont werden In Kapitel 3 3 3 wurde bei der Simulation ei nes Versandproblems die Formel 1 n l T Int R 1 p Int R 1 L p Int R 1 A p benutzt Sie kann auch als For i 0 i 0 mel zur Simulation eines Gl cksrads aufgefasst bzw benutzt werden dessen Sektoren die Wahrscheinlichkeiten py Pp P haben Betrachten wir etwa die Zeile 2 zur Simulation des Versandproblems T Zeile Z2 Int R 1 Int R 0 7 Int R 0 2 Int R erreichbare Zust nde Z1 Z2 Z3 T Zeile Z2 1
29. f7 n f2 n abs fl n f2 lt f3 fl n undef dann senkrechte Strecken zeichnen In diesem Zusammenhang wird verwiesen auf Lehmann E Epsilon Delta ein neuer Weg zum Verst ndnis des Grenzwertbegriffs durch Veranschaulichung mit dem Computer Praxis der Mathematik 1993 Heft 5 e Was lernt man an dem Beispiel Keine vorschnellen Schl sse ber Folgengrenzwerte 166 Problem 4 Wo ist der Schnittpunkt Man l se die sich nur geringf gig unterscheidenden linearen Gleichungssysteme a 0 1000x 1y 2 und b 0 10000x 1y 2 0 1001x ly 2 001 0 10001x ly 2 001 Geradenpaar a y 2 000 0 10000x y 2 001 0 10010x Eee L 10 1 ae Geradenpaar b y 2 000 0 10000x y 2 001 0 10001x L 100 8 Die berlegungen lassen sich auf umfangreichere Gleichungssysteme bertragen e Bei schlecht kon ditionierten LGS ist h chste Vorsicht geboten Abb 3 4 6 n Schleifender Schnitt von Geraden a hat offenbar die L sung L 10 1 f r b ist L 100 8 Obwohl die Gleichungs systeme sich nur an einer Stelle geringf gig unterscheiden oben fett markiert sind die L sungsmengen arg unterschiedlich Eine grafische Darstellung Abb 3 4 6 j zeigt die Situation Alle Geraden liegen bei dem gew hlten Ma stab fast aufeinander sie haben einen schleifenden Schnitt Die Berechnung der L sungsmenge eines schlecht konditionierten LGS kann bei der Wahl sehr kleiner Pivotelemente etw
30. in Form von Programmablaufpl nen oder Struktogrammen konnte sich im Mathematikunterricht nicht durchsetzen Komplexe Softwaresysteme f r den Mathematikunterricht waren noch kaum bekannt Damit war der Com putereinsatz im Mathematikunterricht auf wenige Ausnahmen beschr nkt 23 Viele der seinerzeit schon reichlich vorhandenen einschl gigen B cher einige wurden oben genannt erf llten allerdings mit ihren zahlreichen ausgekl gelten Algorithmen f r die unter schiedlichsten Probleme wichtige Aufgaben f r die weitere nun professionelle Entwick lung von Mathematik Software Sie waren die Vorstufe f r die heutigen komplexen Software systeme z B zur Computeralgebra CAS Die weiteren Entwicklungen bis heute lassen sich in den Heften des Arbeitskreises Mathe matik und Informatik der GDM siehe Literaturverzeichnis z B Her93 aber auch in einer F lle von Beitr gen in Fachzeitschriften und B chern gut verfolgen Aber trotz des vor liegenden umfangreichen Materials blieb die Verbreitung des Computereinsatzes im Mathe matikunterricht gering Ein grundlegender Wandel konnte erst dann erwartet werden wenn die Lehrer und die Sch ler nicht mehr gen tigt waren eigene Programme f r den Mathe matikunterricht zu erstellen Es wurden Systeme ben tigt die die Standardaufgaben des Mathematikunter richts auf einfache Weise erledigen und gleichzeitig M glichkeiten selbst st ndigen entdeckenden Lernens bere
31. r Probleme der Computergrafik Damit wird ein direkter Bezug zu algebraischen und geometrischen Fragestellungen im Kurs Lineare Alge bra und Analytische Geometrie hergestellt Dieser gewinnt damit wesentlich an Attraktivit t Als Beispiel wird eine von mir gestellte Abituraufgabe aus dem Jahr 2001 gew hlt Die Auf gabe zeigt u a e Verwendung moderner Technologie im Mathematikunterricht e Bez ge zur Informatik durch Computergrafik und Programmieren mit Funktionen e Umgehen mit einer offenen Teilaufgabe siehe Aufgabenteil 3 1 auch im Abitur e Arbeit an vorgegebenem Material Die Problemstellungen sind ohne M he auf den Unterricht bertragbar Leistungskurs Mathematik Lehmann Abitur 2001 Abbildungsgeometrie Kurs MA 3 Vorschlag 2 Aufgabe 3 27 Bewertungseinheiten Die Anlage enth lt eine Grafik erstellt mit dem Funktionenplotter PLOT11 sowie Daten zur Erstellung der Grafik 3 1 Erl utern Sie die Grafik und ihren Entstehungsprozess unter Aspekten der Abbildungs geometrie ca 30 Wichtige Hinweise 156 e Beginnen Sie mit der Beschreibung der Ausgangsellipsen diese jeweils farbig markieren e Notieren Sie in Ihrer Bearbeitung Terme und Bausteine in der blichen mathematischen Notation Matrizen usw e Strukturieren Sie Ihre Erl uterungen durch geeignete Nummerierungen der betrachteten Aspekte 3 2 Gegeben ist die Matrix A 3 4 4 3 TI 92 Notation ca 40 a Zerlegen Sie die Matri
32. rn 2 Zust nde beweisen e Ein Beweis f r n gt 2 kann nur mit leistungsstarken Sch lern besprochen werden Er wird in Leh86b S 101 f allgemein daneben aber auch mit einem begleitenden Zahlenbeispiel durchgef hrt Markow Ketten mit endlich vielen Zust nden sind auch Beispiele f r endliche Automaten H ufig lassen sich Systeme durch absorbierende Markow Ketten beschreiben siehe Kapitel 3 3 4 Crap Spiel Als ein Weg von vielen m glichen Wegen durch eine Unterrichtseinheit Zustandsgraphen gedacht f r Leistungskurse wird der in Abb 3 3 1 b skizzierte Weg vorgeschlagen Zustandsgraphen Das Busy Beaver Ein Versandproblem Problem Einblick in Mathematik und Turingmaschinen Informatik und Automaten Einblick in Markow Ketten Zusammenstellung der Endliche Automaten erarbeiteten mathemati schen und informatischen e Ein Getr nkeautomat Begriffe und Inhalte e Das Crap Spiel Bewusstmachen der Zusammenh nge u a Verwenden von Demonstrationsprogrammen Abb 3 3 1 b Die bei diesem Lehrgang auftretenden Vernetzungen und weitere hier nicht verfolgte Zu sammenh nge sind vielf ltig Abbildung 3 3 1 d Seite 112 sagt Einiges dar ber aus Hinweis Ein weniger anspruchsvoller Weg f r Grundkurse oder f r Wahlpflichtunterricht in Klasse 10 Berlin w rde sich bei Behandlung von Markow Ketten mit nur 2 Zust nden ergeben zumal hier mehrere Visualisierungsm glichkeiten bestehen Hierzu wird u a a
33. w Weiter w rfeln V Verloren G Gewonnen wWVwWwGGwVwwwVGwwVGwwwGVwWwwwwGwwVwGwwwww VW WWWWwWwWwwVVwwVGwwGwVwVGwVVGwwVwwwwVwVG WWWWWVGVwwWwwwGwWwwWwwGGwWWWWWWGWWWWVWWWWG w V WWWwwWwVwwwVwGwWwwGWWwWWWWWVWWWWVWWGwWWVwVGw VwV Ergebnisse Spielanzahl 50 Weiter gespielt 101 Gewinne 22 44 Wurfanzahl insgesamt 151 Verluste 28 56 138 Modellbildung Simulation mit Hilfe des Computers Simulation 1 Anzahl der Wiederholungen lt 10000 10000 STATISTIK Relative H ufigkeit Spielanzahl 10000 10000 Gewinne 4956 0 4956 4913 0 4913 Verluste 5044 0 5044 5087 0 5087 Weiter gespielt 23527 23893 Wurfanzahl insgesamt 33527 33893 D2 Exakte L sung mit Hilfe von unendlichen geometrischen Reihen Teill sungen von Gruppe 4 Mathematisch informatisches M odell Modellbildung bergangsgraph Wenn man eine exakte Probleml sung angehen will ist ein neuer Schritt in der Modell bildung n tig Dieser besteht zun chst darin die Wahrscheinlichkeiten f r die einzelnen Paarw rfe zu bestimmen Man sieht leicht dass gilt Augensumme S 2 3 4 gt 6 7 8 9 10 11 12 Wahrschein 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 lichkeit bei S S bei Weiter Z3 bei 7 Ss 5 Algorithmus gege ben durch den Weiter Z5 bei Zustandsgraph a grap Abb 3 3 4 d berg nge zwischen den Zust nden 139 5 36 Der Zustandsgraph Abb 3 3 4 e beschreibt einen bergangsgraph m
34. 1 5 a Mathematikunterricht wer die Wahl hat hat die Qual 38 Mathematisch informatische Themen e Modellbildung Simulation e Kryptologie e Zustandsgraphen Markowketten Matrizen Automaten Turing Maschine Magische Quadrate numerische Mathematik schlecht konditionierte LGS H llkurven Schaltalgebra weitere Themen Mathematik Algorithmen Standardthemen Programmieren der Sekundarstufe 2 Module Parameter in neuer Sicht Modell Datenstrukturen Analysis bildung Stochastik Lineare Algebra Analytische Geometrie Hilfsmittel zum Elementargeometrie Rechnen Zeichnen Experimentieren Dokumentieren Didaktisch methodische Leitlinien Mathematik Software Neue Unterrichts und Aufgabenkultur e CAS e _Module Bausteine Funktionen Parameter andere mathematische Software e Modellieren Interpretieren e POVRAY e Experimentieren Vermuten Begr nden Beweisen ANIMATO Simulation EXCEL Benutzung von Materialien EUKLID usw Dokumentieren offene Unterrichtsformen Projekte usw weniger von Hand rechnen zeichnen daf r mehr verstehen und dabei auch Medien Internet Textverarbeitung zum nutzen Dokumentieren Probleml sen Verstehen Beweisen Visualisieren Erforschen Anwenden Vernetzen Zusammenh nge erkennen Abb 1 5 b berblicksdarstellung zur Konzeptentwicklung Die bisherigen Erfahrungen e dokumentiert in vielen
35. 3 4 2 Startet man beispielsweise mit a 3 so ergibt sich die Zahlenfolge 3 10 5 16 8 4 2 1 N heres zu diesem Problem einschlie lich einer instruktiven grafischen Darstellung und der Verbindung zur Informatik wird in Kapitel 3 1 dargestellt Beide Beispiele zeigen Mit kleinen Programmen kann viel erreicht werden Insbeson dere ergibt sich die M glichkeit experimentellen Arbeitens e Experimentieren mit verschiedenen Eingaben e Ausgaben auswerten e Vermutungen aufstellen und ggf verifizieren Diese Arbeitsweise ist heute hoch aktuell und mit den heutigen Mitteln leichter als damals zu realisieren siehe Kapitel 1 4 Kleine Programme k nnen heute auch mit der vorliegenden komplexen Software z B im CAS geschrieben werden siehe Weg D in Abb 1 3 a Beispiel 3 Matrizenprodukt und Modulprogrammierung PASCAL Prozedur aus dem Softwaresystem MATRIX E Lehmann Comet Verlag Duisburg1990 In diesem Beispiel wird ein Aspekt vorgestellt der sp ter erhebliche Bedeutung gewinnen sollte Mit Hilfe von fest definierten Funktionen und ihren Parametern hier die Matrizen multiplikation k nnen n mlich auch komplexe Probleme mit kurzen Programmen bew ltigt werden Programmtext Erl uterungen procedure PROD var mat3 matrix matl mat2 matrix Der Datentyp matrix wurde folgenderma en definiert berechnet das Produkt zweier Matrizen falls matl s mat2 z TYPE matrix RECORD produkt boolean ist
36. 5 Bausteine definieren benutzen analysieren Alle folgenden Ausf hrungen sind davon abh ngig wie weit dem Benutzer bereits Bausteine bekannt sind oder ihm erstmals begegnen Je nach Situation sind dann unterschiedliche Wege m glich Wir beginnen hier mit der Definition eines Bausteins A Definieren eines Bausteins Es geh rt zu den bevorzugten Arbeitsweisen mit einem CAS Objekte Terme Gleichungen usw mit einem passenden Namen und geeigneten Parametern zu versehen jedenfalls wenn das Objekt mehrmals verwendet werden soll Beispiele Anlass Erl uterung Definition des Bezeichners Benutzen des Bezeichners Der Funktionsterm sinus x a b c a sin x b c e sinus x 2 0 4 f x a sin x b c Das ist der Funktionsterm soll erforscht werden 2sin x 4 Wir wollen Anwendungen binomi binomi a b n a b n e binomi a b 3 also a b scher Formeln bearbeiten e binomi x 1 2 F r den folgenden Unterricht wer diffg x h f x h f x h e f x sin x den mehrfach Zeichnungen der diffq x 0 1 Differenzenquotientenfunktion e fx e x ben tigt diffq x 0 1 B Benutzen eines Bausteins Diese Anwendung wird am Beispiel des Bausteins solve gezeigt Dieser liegt hier also schon definiert vor Er ist eine Black Box die vielleicht auch schon fr her verwendet wurde oder die f r die Sch ler neu ist Er dient jetzt beispielsweise zur L sung der folgenden Auf gabe Aufgabe L
37. Ans tze in mathematischen Detailfragen bei der Dokumentation Der Lehrer als 57 Die Rolle der Sch ler Auch die Sch lerrolle ver ndert sich gegen ber der von ihnen im normalen Unterricht erwar teten Rolle Man darf deshalb nicht erwarten dass die in einer Lerngruppe erstmalige Anwen dung der Projektmethode von den Sch lern sofort in der gew nschten Weise praktiziert wer den kann Umso wichtiger ist es den Sch lern bei ihrem Projekt das Besondere dieser Ar beitsform zu verdeutlichen In einer Befragung nach einem mathematischen Projekt in Klasse 11 ber Abbildungsgeo metrie mit Matrizen schreibt ein Sch ler zu den Aspekten Rolle des Sch lers und mathe matische Erkenntnisse Rolle des Sch lers Die Sch ler konnten als Individuen arbeiten und ihre Pers nlichkeit entwickeln Die Sch ler konnten frei arbeiten und hatten nicht diesen Druck des Lernens Der Lehrer gab den ein zelnen Gruppen nur Hinweise wie die Aufgabe besser oder berhaupt zu l sen sei Die Teamarbeit spielt bei der Projektarbeit eine gro e Rolle Die Sch ler mussten aufeinander eingehen haben gelernt Formeln Beweise und Behauptungen zu konstruieren was nicht immer leicht war Die Projektarbeit hat viele Vorteile Das Lernen in kleinen Gruppen f llt leichter der Unterricht ist lockerer und vieles mehr Aber auch die Nachteile sind nicht zu bersehen Die einzelnen Teams fixie ren nur bestimmte Themen und dadurch mu
38. Arbeiten mit Parametern in der Sekundarstufe 1 Wie baut der Lehrer lineare Gleichungssysteme LGS mit so sch nen glatten L sungen L sung 1 L sung 2 1 Fir Fr Fur FE FEF 1 Fir Fr Fur FE FEF P lhtgebralesichiherr ntalciesn uel E isebralcirc other Frento ciesn uel _ z F gi J4 awe penatu es ateitas e 119 Ea b y termix Y a 6 utermnil 2 7 5 u glei 3 2 3 ntermx 4 7 5 termil 2 7 5 u gleii4h 50 2 3 4x 50 4 230 RT y i7 a gleit44 50 2 3 Zug ternix Y 3 8 ternti 2 3 8 a 5 a Tx y 13 gleitrandi randi 3i 2 2 Txt ty l Ein LGS mit Loes Paar 1 2 MAIN RAD AUTO FUNC_4 20 MAIN RAD EACT FUNG 19750 L sungsidee L sungsidee Linke und rechte Seite als Terme Operationen auf den Gleichungen x lx und y ly L sung 3 L sung 4 1 Fer FIY Fyr FE FEF r Ee fngebraltsrclotherlPrsnroleresn ue Sasse b b 3 m x bj gerala b m ts FU ftx 1u lasta i geral3 4 2 cd cd me geral3 d 75 Re gerals 4 3 and geral3 4 2 195 1 2 3 4 9 9 x 4 and y 3 Sxt4y 35 geral3 d 5 or geral3 4 5 2 x t2y y 2x 5 or y 23 5 en a 17 RAI EnHCT FUHC 2450 RAD ENACT FUN 9 19 L sungsidee L sungsidee ber Punkt Steigungsform geom Deutung Linke Seite des LGS Rechte Seite des LGS das entspricht der Fragestellung nnmerseersenen gt lgs a b c d lx ly Zeichne m glichst viele Geraden durch den Punkt P a b Mit den obigen L sungsideen lassen sich leicht LGS mit 2 Variablen u
39. Begriffen aus der Informatik e Ausweitung von Begriffen der traditionellen Mathematik z B des Funktionsbegriffs e Konkretisierung mathematischer Begriffe durch Implementation am Computer und An wendung e Notation vs Ding an sich unterschiedliche Problemsituationen k nnen unterschiedliche Notationen erfordern 24 e Konstruktive Fassung mathematischer Begriffe durch Erarbeitung aus Anwendungsberei chen Konkretisiert werden die berlegungen insbesondere an Beispielen f r das Arbeiten mit Funktionen in der Sprache SCHEME Die von den Autoren durchgef hrten feinsinnigen berlegungen zum Funktionsbegriff sind allerdings f r die Schulpraxis wenig hilfreich Was f r die Praxis bleibt ist die immer wieder belegte Unterrichtserfahrung Es ist in der Regel sinnvoll f r den Unterrichtserfolg einen Ge genstand einen Sachverhalt eine Aufgabenstellung usw in ver schiedenen Sichtweisen zu bearbeiten In dem oben genannten Tagungsbericht findet sich auch ein Beitrag Informations und kom munikationstechnologische Bildung allgemeine und fachbezogene Ziele letztere f r den Mathema tikunterricht S 146 147 Dieser ist ein Auszug aus Neue Technologien und Allgemeinbildung Band 11 Mathematik Anregungen f r den Unterricht Nieders chsiches Kulturministerium Hrsg Hannover 1990 Als fachbezogene Ziele werden dort f r den Mathematikunterricht genannt Modellbildung und Simulation Algorithmus Cod
40. Einrichtung von Informatik Leistungskursen seit kurzer Zeit auch in Berlin w chst der Anspruch an die fachlichen Grundlagen und der Informatikunterricht wird sich damit auch einer verst rkten Einbeziehung mathematischer Fragestellungen stellen m ssen 177 Literatur Hinweise Die Literaturangaben sind in der blichen Weise nach Autorennamen geordnet F r einige Themenbereiche werden die Angaben gesondert ausgewiesen um dem Leser die Literatursuche zu erleichtern Das trifft u a zu auf die wichtigen Grundlagenthemen TIMSS und PISA und auf einige Themen aus Kapitel 3 die ich besonders hervorheben m chte e Ame02 Amelung Udo u a Hrsg Neues Lernen neue Medien Blick ber den Tellerrand Tagungsdokumentation Westf lische Wilhelms Universit t M nster 5 8 Juni 2001 ZKL Texte M nster 2002 e Bar99 Bartke Peter Funktionale Programmierung ein aufgabenorientierter Lehr gang Kursunterlage Informatik Workshop MNU FU Berlin Version 8 9 1999 e Bau98 Baumann R Analysis 1 Ein Arbeitsbuch mit Derive Ernst Klett Verlag Stuttgart 1998 e Bau0l Baumann R Analysis 2 Ein Arbeitsbuch mit Derive Ernst Klett Verlag Stuttgart 2001 e Ber94 Berendt G Elemente der Kryptologie in Schulz R H Hrsg Mathematische Aspekte der angewandten Informatik BI Wissenschaftsverlag Mannheim 1994 e Dud93 Duden Informatik 1993 Lektorat des B I Wissenschaftsverlags unter Leitung von H Engesse
41. Lineare Algebra Matrizen Rechner MATRIX 8 2 Programmierung mit Hilfe von Prozeduren aus der UNITM9 U 8 3 Matrizen aus der Sicht der Informatik ausgew hlte Matrizenprozeduren 8 4 Aus der Computergrafik Heute haben CAS die seinerzeitigen L sungen verdr ngt Computergrafik wurde bereits oben mehrfach erw hnt 1990 waren CAS noch nicht verbreitet So entstand seinerzeit im Informatikunter richt eine Matrizen Software in der bereits zahlreiche Bausteine enthalten waren Auch heute noch sollte in einem Leistungskurs der eine oder andere Baustein der im CAS als Black Box vorliegt analysiert oder sogar nachprogrammiert werden Siehe Kapitel 3 4 5 Lange Zeit bestand ein Kurs Lineare Algebra und Analytische Geometrie berwiegend aus dem Durchf hren langwieriger und langweiliger Rechnungen L sen linearer Glei chungssysteme Bearbeiten von sogenannten Hieb und Stichaufgaben Best tigen von Vektorr umen usw Heute gewinnt dieser Kurs besondere Attraktivit t z B wenn man den oben beschriebenen Aufbau w hlt Abbildung 4 5 b fasst die Ideen zusammen die sich je nach Schwerpunktsetzung zu verschiedenen Kursabl ufen verbinden lassen Integration von Abbildungsgeometrie und Computergrafik als Motivation f r Analytische Geometrie Arbeit mit einem Ray Tracing Programm POVRAY als weitere Erg nzung der Analy tischen Geometrie 170 Matrizen als durchgehendes Prinzip Li
42. Lineare Algebra und Analytische Geometrie gew hlt Ausgangspunkt der berlegungen ist das Buch Lehmann E Lineare Algebra mit Matrizen und Vektoren Metzler Verlag 1990 Das folgende Inhaltsverzeichnis Spalte 1 wird in Spalte 2 mit einigen Angaben zum Computereinsatz insbesondere mit CAS versehen Die Angaben erm glichen eine erste Orientierung und werden durch einige Anmerkungen in Spalte 3 zu informatischen Aspekten erg nzt Inhaltsverzeichnis Man beachte die durchgehende Verwendung von Matrizen und die diversen Anwendungsbeispiele aus der Linearen Algebra Computereinsatz Software Informatische Aspekte 1 Tabellen Matrizen Die Eingabe von Matrizen erfolgt bei einem CAS TI 92 Plus ber einen Tabelleneditor oder in Form von Listen Bereits hier erfolgt die erste Begegnung mit informatischen Aspekten wenn man an die Datenspeicherung von Tabellen denkt zweidimensionale Felder oder Listen Insbesondere wird sp ter das Problem auftreten d nn besetzte Matrizen oder Matrizen in spezieller Gestalt platzsparend zu speichern Siehe auch Kapitel 3 1 4 2 Skalarprodukt Matrizenmultiplikation 2 1 Materialverflechtung Marktforschung 2 2 Einige besondere Matrizen 2 3 Matrizen in der Abbildungsgeometrie 2 4 Materialverflechtung Modellerweiterung 2 5 Gesetze f r das Rechnen mit Matrizen Die Verwendung eines CAS erm glicht eine Reduzierung des h ndischen Rechnens Damit ergibt
43. Sekundarstufe 1 Bereits ab Klasse 9 k nnen 2 2 Matrizen dazu ver wendet werden einfache Objekte Gerade Dreiecke Parabeln usw abzubilden Dabei k nnen die aus der Geometrie bekannten Abbildun gen wie Spiegelungen an Achsen am Nullpunkt Scherungen usw nun unter analytischen und program miersprachlichen Aspekten funk tionales Programmieren aufgegrif fen werden B Abbildungsgeometrie nun Se kundarstufe 2 in Analysis oder Lineare Algebra Analytische Geo metrie Kursen Siehe Ausf hrungen unter A Aber nun werden kom plexere Objekte z B Kreis Ellipse und Abbildungen genommen siehe Kapitel 3 4 5 1 C Die in A und B genannten Hinweise k nnen auf Abbildungs geometrie im dreidimensionalen Raum bertragen werden Einbet tung in den Unterricht zur Analyti schen Geometrie D Untersuchung von Darstel lungsproblemen bei geometrischen Objekten auf dem Bildschirm z B Geradendarstellung hidden line Problem siehe Kapitel 3 4 5 2 E Benutzen und Analysieren von Elementen fertiger Software zur Analytischen Geometrie zum Ray Tracing und von CAD Systemen Die Einbettung kann ebenfalls im Kurs Analytische Geometrie erfol gen siehe Kapitel 3 4 5 2 F Gestaltung von Animationen mathematischer Zusammenh nge siehe z B Anwendungen des Pro gramms ANIMATO siehe Kapitel 2 1 7 3 4 5 1 Abbildungsgeometrie mit Matrizen Matrizen sind ein wesentliches Hilfsmittel f
44. Sicherung von Basiswissen verst ndnisvolles Lernen auf unterschiedlichen Niveaus Modul 7 F rderung von M dchen und Jungen Modul 9 Verantwortung f r das eigene Lernen st rken Modul 2 Naturwissenschaftliches Ar beiten experimentelles Ar beiten Modul 5 Zuwachs von Kompetenz er fahrbar machen Kumulatives Lernen Computer Modul ein im Projektansatz nicht erw hntes Modul Einsatz neuer Medien Computeralgebrasysteme CAS Computergrafik CGK dynamische Geometriesyste me DGS weitere Unter richtssoftware Internet WWW Modul 10 Pr fen Erfassen und R ck melden von Kompetenzzu wachs Abb 1 4 a SINUS Modellversuch gt Steigerung der Unterrichtseffizienz Modul 3 Aus Fehlern lernen Modul 6 F chergrenzen erfahrbar ma chen Fach bergreifendes und f cherverbindendes Lernen Modul 8 Entwicklung von Aufgaben f r die Kooperation von Sch lern Modul 11 Qualit tssicherung innerhalb der Schule und Entwicklung schul bergreifender Standards 29 Die folgende Abbildung 1 4 b zeigt einige wichtige Elemente f r eine neue Unterrichtskultur und ihre Vernetzung Neue Unterrichtskultur Weiterentwicklung der offene Unterrichtsformen Nutzung Aufgabenkultur und F rderung von Sch lerkom weg von den Aufgabenkaskaden petenz Arbeiten mit vorgegebenem hin zu Anwendungen zu pro Material Buchtexte Grafiken blemorientierten Aufgaben mit WWW Seiten Dateien usw
45. Sie sind eine wesentliche Bereicherung f r den Kurs Lineare Algebra und Analytische Geometrie da hier auch andere als die blichen Unterrichtsobjekte Gera den Ebenen Kugeln im Raum verwendet werden k nnen wie Kegel Zylinder usw Die Pro grammierung ist durch die Verwendung von Bausteinen f r solche Objekte relativ leicht m glich F r die Gestaltung der Oberfl chen Beleuchtung Farbe Oberfl chenzustand stehen einfache Anweisungen zur Verf gung POVRAY ist eines dieser Programme Es ist leicht im Internet zu finden und kann von dort heruntergeladen werden Beispiel f r eine POVRAY Anwendung Spalte 1 1 Programmteil include colors inc cameraf location lt 0 0 6 gt look_at lt 0 0 0 gt light_source lt 10 10 5 gt color White sphere lt 0 0 0 gt 1 pigment Yellow finish phong 1 light_source lt 10 5 4 gt color Gray50 sphere lt 2 2 0 1 2 gt 0 25 pigment Red finish phong 1 Spalte 2 Fortsetzung sphere lt 1 2 1 2 0 gt 0 5 pigment Yellow finish phong 1 sphere lt 1 1 1 1 gt 0 2 pigment Red finish phong 1 cylinder lt 2 2 2 gt lt 6 2 2 gt 0 04 pigment Red finish phong 1 plane lt 0 5 0 7 0 51 gt 1 pigment checker color Gray color Blue 159 3 4 6 Unerwartetes in Bildern Eine Unterrichtseinheit ber unerwartete Ergebnisse am Computer sollte nicht fehlen Hierf r gibt es diverse M glichkeiten Hier
46. berlegungen zur Einbeziehung informatischer Methoden und Inhalte im Mathema tikunterricht f hrten In diesem Kapitel folgt nun eine systematischere Untersuchung der Anwendungsm glichkei ten informatischer Methoden und Inhalte im Mathematikunterricht Dabei wird insbesondere der Frage nachgegangen wie das Schulfach Mathematik das ja in dieser Arbeit im Mittel punkt steht von der Informatik profitieren kann Mathematikunterricht profitiert u a von A der Informatik im E E B fachlichen Inhalten methodischen Bereich Ea Ea der Informatik C den Kenntnissen die zu D von den durch h usliche mindest ein Teil der Sch ler im Arbeit erworbenen allgemei Informatikunterricht erworben nen Computerkenntnissen der hat Sch ler Abb 2 a Bei der Planung und Durchf hrung von Mathematikunterricht sollten alle vier in Abb 2 a genannten Aspekte ber cksichtigt werden C und D sind abh ngig von der jeweils vorlie genden Lerngruppensituation und werden leider im konkreten Unterricht bislang in der Regel bersehen obgleich sich bei Ber cksichtigung dieser Aspekte wesentliche Bereicherungen des Unterrichts ergeben k nnen F r die vorliegende Arbeit interessieren diese Aspekte aller dings nur beil ufig Wichtig sind hier die Aspekte A und B 43 2 1 berlegungen zur Nutzung von Methoden der Informatik im Mathematikunterricht 2 1 1 Komplexe Systeme Zerlegung in Teilsysteme Fundamentale Ideen Die Proble
47. beschreiben ihn in Kurzform e Sie dienen zur Dokumentation von Algorithmen Struktogrammsymbole Die Aktionen eines Algorithmus werden in geeigneter Form in Strukturbl cke eingetragen Diese Strukturbl cke k nnen je nach Problemstellung beliebig ineinander geschachtelt sein Die Darstellung kann in unterschiedlicher Beschreibungstiefe erfolgen indem ein grobes Struktogramm zunehmend verfeinert wird bis eine Stufe erreicht ist die sich leicht in einer Programmiersprache realisieren l sst Das m ssen dann nicht unbedingt die elementaren An weisungen der Sprache sein gelegentlich ist die bersetzungsstufe schon erreicht wenn sich f r den Teilalgorithmus ein passender Baustein findet Ein Beispiel f r die Anwendung dieser Technik auf ein mathematisches Problem erfolgt et was sp ter in diesem Kapitel Beispiel 1 Visualisierung eines Algorithmus zum Gleichung l sen Die Beispiel stammt aus dem Unterricht von Klasse 9 Alte Aufgabenstellung Bestimme die L sungsmenge x 3 x 5 Hinweis In einer derartigen Aufgabenformulierung kommt es in der Regel lediglich auf das Rechnen an Die Umformulierung der Aufgabe zielt auf die neue Aufgabenkultur ab Sie ber cksichtigt dabei die Aspekte wenig Handrechnen Benutzung eines CAS Fehler finden Rechnung kontrollieren L sungsweg bewerten Verstehen der zugrunde liegenden Mathematik 74 Neue Aufgabenstellung Mathias und seine Mitsch ler erhalten die folge
48. drei oder mehr Ma thematikstunden h ufig nicht zum Stundenplan passend zur Verf gung In der Regel hat der Informatikunterricht Vorrang Unterricht mit dem Computer auf Anmeldung ist weit weniger g nstig als spontane Entscheidungsm glichkeit f r einen Computereinsatz Bemerkung Bei Taschencomputern oder graphischen Taschenrechnern in der Hand der Sch ler entsteht dieses Problem nicht Zu den Behinderungen geh rt auch die mangelnde Vertrautheit vieler Mathematiklehrer mit den an der Schule vorhandenen Computernetzen Software viele Angebote Als besonders weitreichend f r fast alle Bereiche der Schulmathematik sind Computeral gebrasysteme CAS anzusehen Viele Schulen besitzen das Programm DERIVE f r Ta schencomputer gibt es sehr hnliche fest installierte Software etwa beim TI 92 PLUS Andere Computeralgebrasysteme sind MAPLE oder MATHCAD Dynamische Geometriesysteme DGS sind besonders f r den Unterricht in der Sekundar stufe 1 geeignet Beispiele EUKLID CABRI SKETCHPAD GEONEXT CINDEREL LA Bei diesen Systemen werden zunehmend auch Schnittstellen zur Darstellung von Funktionstermen oder gar zu CAS geschaffen Auch Tabellenkalkulationsprogramme decken einen gr eren mathematischen Bereich ab Beispiel EXCEL Funktionenplotter haben teilweise spezielle Eigenschaften die ber die Grafik von CAS hinausgehen Beispiel ANIMATO mit besonderen St rken in der Gestaltung der Bilder und bei mathematischen Anima
49. durch die Warteschlange ist die Zustandskette Z1 Z2 Z1 Z2 Z3 Z3 Zwanglos ergeben sich hieraus schon einige Fragen e wie z B die nach der Wahrscheinlichkeit f r die dargestellte Kette bis zu einem gewissen Kontrollzeitpunkt oder gar e die Frage nach einer Formel daf r Das sind Fragen die die Sch ler selbst gestellt haben Modellbildung Schritt 2 Die Elemente der bergangsmatrix Veranschaulichung Wie in der Abituraufgabe vorgef hrt sind hier f r die einzelnen Elemente berlegungen ge m der vorliegenden Situation durchzuf hren Diese f hren dann zu den bergangswahr scheinlichkeiten zwischen den einzelnen Zust nden Die bergangsmatrix weist interessante Regelm igkeiten auf die sich bei weiteren vorlie genden Auftr gen sinngem fortsetzen w rden Zur Veranschaulichung kann man den Zu standsgraphen Abb 3 3 3 a verwenden Modellbildung Schritt 3 Wie entwickelt sich das System langfristig Von einem Kontrollzeitpunkt zum n chsten Kontrollzeitpunkt gilt immer wieder die gleiche bergangsmatrix S brigens eine gewagte Modellannahme Abbildung 3 3 3 c zeigt dass zahlreiche 2 stufige berg nge m glich sind n mlich von ZO ber Z0 21 22 Z3 zu Z0 21 22 Z3 16 berg nge Z1 16 berg nge Z2 m 16 berg nge ZI un 16 berg nge das sind insgesamt 4 64 berg nge 129 Kontrollzeitpunkt Auf diese Weise w re auch die Ein f hrung der Matrizen multiplikatio
50. einschl gigen B chern und Fachzeitschriften e erprobt im Unterricht e diskutiert in Vortr gen und Fortbildungsveranstaltungen haben gezeigt dass die Auswirkungen des Computereinsatzes auf den Mathematikunterricht erheblich sind Abbildung 1 5 c vermittelt in welchem Umfang das geschieht Auswirkungen des Computereinsatzes auf den Mathematikunterricht didaktisch und methodisch auf Sch ler alte neue Inhalte mehr experi nderungen nderung weniger Inhalte in Computer mentieren beim Begriffs der Lehrer handwerk neuem grafik visualisieren lernen beim rolle liche F hig Gewand Numerik dokumentieren Regellernen vom keiten aber usw entdeckendes beim ben Dozieren neue Kom Lernen prakti Andere zum petenzen zieren Klausuren und Managen u a am Klassenarbeiten von Computer Unterricht mehr Anwendungen Neue Arbeitsformen andere selbst ndiger Modellbildungen Demonstrieren Partnerarbeit am Unter motivierter Interpretationen Computer Projekte mit richtsvor kreativer Computer usw bereitung hilfsbereiter Organisationsprobleme Weniger routinem ige Handrechnungen und Handzeichnungen daf r mehr verstehen Computereinsatz im Mathematikunterricht bringt erhebliche didaktisch methodische Bereicherungen und f hrt zu einer neuen Lehrer und Sch lerrolle Computereinsatz muss aber immer daran gemessen werden ob er in der aktuellen Situation zu einer Quali t tssteigerung des Unterrichts f hrt
51. hren Neue Zeilensumme x all x al2 x al3 y bll y bl2 y b13 6 BE AB1 Einen Beweis f h ren 97 x all al2 al3 y bll b12 b13 x s y s x y s neue Zeilensumme Andere Zeilen und Spalten und Diagonalen entsprechend Beweisf hrung kommentieren Summe 33 BE 13 BE AB 1 17 BE AB2 3 BE AB3 100 39 52 9 3 1 4 Datenspeicherung bei Matrizen Oben wurde bereits eine m gliche Datenstruktur f r die Speicherung von Matrizen angege ben TYPE matrix RECORD wert ARRAY I1 maxzeilen 1 maxspalten OF REAL Matrixelemente m INTEGER _ Zeilenanzahl n INTEGER Spaltenanzahl END Wie schon bemerkt kommen in Anwendungen h ufig Matrizen vor die besondere Gestalt aufweisen so ist die obige Datenstruktur nicht immer die g nstigste Hierzu ein Zitat aus Kurbel K Datenabstraktion und Modularisierung eine Fallstudie aus der linearen Programmierung in Informatik Spektrum Organ der Gesellschaft f r Informatik August 1984 Heft 3 S 127 137 Gemeinsames Merkmal gro er LP Probleme Anmerkung lineare Programmierung Optimierung ist die extrem d nne Besetzung der Matrizen Der Anteil der von Null verschiedenen Elemente liegt oft nur zwischen 0 5 1 h ufig sogar darunter Zur Speicherung d nn besetzter Matrizen wurden verschie dene Speicherformate entwickelt von denen das spaltenweise gepackte Schema row index columns pointer scheme im LP Berei
52. mehreren L sungsm glichkeiten Einsatz neuer Medien Arbeitsformen die zur Selbst n digkeit der Sch lerinnen und CAS Internet weitere Mathema Sch ler f hren tikprogramme Protokollieren am Experimentieren Beobachten Computer Nutzung von Bildpro Vermuten Vergleichen projektar jektoren tiges Arbeiten Systematisieren Ve rifizieren Falsifizieren Abb 1 4 b Einige Aspekte f r einen modernen Mathematikunterricht Aus diesen Gegebenheiten ergibt sich auch f r die Lehrer eine stark ver nderte Rolle Sie werden mehr und mehr zu Unterrichtsmanagern Die neue Rolle der Lehrer als Unterrichtsmanager Sie sind Organisatoren der Unterrichtsabl ufe sie haben den berblick kennen die mathematischen Hintergr nde sie lassen Arbeitswege do kumentieren lassen analysieren und systematisieren ordnen lokal und global sie bewerten Bei der Analyse der Unterrichtspraxis erweist sich die Weiterentwicklung der Aufgabenkultur als besonders dringlich Aber noch ist die in Abbildung 1 4 c dargestellte Auffassung zum Aufgabenl sen weit verbreitet Aufgabenbearbeiten im Mathematikunterricht alter Pr gung Es werden viele oft Der Schwerpunkt des Aufgaben Das Interpretieren von gleichartige Aufgaben l sens und bens liegt beim gt L sungen wird nur selten gestellt Handrechnen praktiziert Stumpfsinniges und langweiliges ben veranschaulicht wird nur selte
53. n 1 c d ein Teil des in f3 definierten Bausteins die mod Funktion wird in ANIMATO anders ausgedr ckt f3 n 0 f2 0 b c d f2 n b c d d Baustein f r Kongruenz Zufallsgeneratoren Startwert 71124 ein von mir erprobter Wert f4 f2 n 1 3 9 7 10 6 1 f2 n 3 9 7 10 6 1 Visualisierung des Bausteins Zwei aufeinanderfolgende Werte f2 n 1 f2 n dienen als Punktepaar x y Bausteinaufrufe Der Zufallsgenerator hei t x n 3 x n 1 7 mod 10 1 f9 f2 n 1 3 2 7 10 2 1 f2 n 3 2 7 10 2 1 Siehe f4 hier ein schlechter Zufallsgenerator x n 9 x n 1 7 mod 101 153 Abb 3 4 4 a Visualisierung der Ergebnisse zweier Kongruenz Zufallsgeneratoren grau f4 gut schwarz f9 schlecht Wertetafel f r die Zufallsgeneratoren x t fl f4 f9 0 0 1 0 71124 71124 Startwert 2 0 0 93229907 0 85148515 3 0 0 44255656 0 73267327 4 0 0 84076265 0 66336634 5 0 0 73120147 0 039603961 6 0 0 23846826 0 42574258 7 0 0 77076211 0 90099012 8 0 0 91058633 0 17821799 9 0 0 070815919 0 67326883 10 0 0 86974132 0 12872644 scheint gut nicht brauchbar brauchbar siehe Abb 3 4 4 a zu sein Der Aufruf f4 zeigt zumindest bei der gew hlten Anzahl von Zufallszahlen eine recht gleichm ige Verteilung von Punkten ber das Einheitsquadrat allerdings ist das nicht das einzige Kriterium f r die G te des Zufallsgenerators Der Aufruf f9 dagegen liefert sehr schnell Punkte auf parallelen Strec
54. q formel 3 4 Hilfe eines Bausteins und unter Benut solve x 2 p x q 0 x formel 1 1 zung des vordefinierten solve Befehls 2 Berechnung einer Tabelle mit der L nge Verwendung von seq seq 2 n 6370 cos w von Breitenkreisen unter Benutzung des w ist aktuelles Argument w 0 90 5 vordefinierten seq Befehls Sequenz das von 0 bis 90 l uft 3 Berechnung der L nge von Breitenkrei define folge k s folge 6370 5 sen mit Hilfe eines Bausteins und unter segq 2 n k cos w w 0 90 s weitere Aufrufe Benutzung des seq Befehls 82 e seq 2 n 6370 cos w w 0 90 5 entspricht einem kleinem Programm das man fr her aus f hrlicher aufschreiben musste siehe oben Ersetzt man beispielsweise den Erdradius durch einen beliebigen Kugelradius k und die Schrittweite f r die Breitenkreise durch ei nen Parameter s so wird dieses Programm sofort flexibler und ist gut zum Experimentie ren geeignet Mit der Verf gbarkeit von CAS ist also die Notwendigkeit des Schreibens von Programmen drastisch gesunken Das ist f r den Mathematikunterricht eine sehr positive Entwicklung Vernachl ssigung algorithmischer Aspekte Mit der M glichkeit Black Boxes zu verwenden verliert allerdings der durch das Program mieren in den Vordergrund ger ckte algorithmische Aspekt an Bedeutung Es ist jedoch f r das Verst ndnis mathematischer Sachverhalte durch die Sch ler unumg nglich
55. r Unterricht und Erziehung in der Berliner Schule gymnasiale Oberstufe Fach Informatik 1985 der dritte Informatiklehrplan in Berlin Sen93 Senatsverwaltung f r Schule Berufsbildung und Sport Vorl ufiger Rahmenplan f r Unterricht und Erziehung in der Berliner Schule gymnasiale Oberstufe Fach Informatik g ltig ab Schuljahr 1993 94 der vierte Informatiklehrplan in Berlin Sen95 Senatsverwaltung f r Schule Berufsbildung und Sport Vorl ufiger Rahmenplan f r Unterricht und Erziehung in der Berliner Schule Gymnasiale Oberstufe Fach Mathematik Berlin 1995 181 Sen96 Senatsverwaltung f r Schule Berufsbildung und Sport Vorl ufiger Rahmenplan f r Unterricht und Erziehung in der Berliner Schule Klassen 9 und 10 Gymnasium Wahlpflichtfach Mathematik 10 4 Kryptologie Berlin 1996 Sin02 Singh Simon Codes die Kunst der Verschl sselung die Geschichte die Geheimnisse die Tricks Hanser Verlag 2002 301 Seiten Sob00 Sobich N Variationen des immer Gleichen Modulm bel machen den privaten Wohnbereich flexibel und mobil in DER TAGESSPIEGEL 28 Juli 2000 S 14 Berlin Son01 Sonar T Angewandte Mathematik Modellbildung und Informatik Vieweg Verlag Wiesbaden 2001 Tex95 Texas Instruments TI 92 Handbuch 1995 Tie97 Tietze Klika Wolpers Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II Band 1 Fachdidaktische Grundfragen Didaktik der Analysis Friedr Vieweg amp Sohn Braunschweig 1997 Ulm
56. sich derartige Schreibweisen schon fr hzeitig schon in der Sekundarstufe 1 ab Klasse 7 zu verwenden Hierzu ein Beispiel aus dem neuen Schulbuch Mathematik Neue Wege Klasse 7 Hrsg A Lergenm ller G Schmidt Schroedel Verlag Hannover 2001 In der Geometrie sind dir schon Formeln begegnet mit Termen und u ab 2 a 2 b A la b a b A b je einen Term zur Berechnung der Fl che an 2 u a heraus was die drei Formeln darstellen a b c 4 a 4 b 4 c O a b c 2 a b 2 a c 2 b c Abb 2 1 5 3 a Verwendung von Parametern im Schulbuch Neue Wege s o S 39 Welche Gr nde sprechen daf r was ist zu beachten e Die Terme erscheinen unter einem gemeinsamen Aspekt indem die Schreibweise auf das We sentliche reduziert wird n mlich auf die gew hlte Einsetzung Unterschiede werden deutlicher e An der kompakten Schreibweise z B f x a b c d wird deutlicher dass man diverse Einsetzun gen f r die Parameter vornehmen kann Dieser Aspekt verst rkt die Motivation Einsetzungen zu erproben und gibt damit den Anreiz zu experimenteller Arbeit 62 e Statt der Einzelexemplare eines Objekttyps r cken nun Teilmengen von Objekten ins Blickfeld Zum Beispiel ist nun nicht mehr nur eine einzelne Kurve von Interesse sondern es geht gleich um Kurvenscharen und erst aus dem Vergleich verschiedener Exemplare erschlie en sich in der Re gel die entscheidenden Eigenschaften Dami
57. sich die zus tzliche M glichkeit des experimentellen Arbeitens durch Parametervariation Anwendungen f hren oft auf besondere Matrizenformen z B Drehstreck matrizen stochastische Matrizen Bandmatrizen die sich mit dem CAS gut erforschen lassen F r abbildungsgeometrische Frage stellungen gibt es zus tzlich zum CAS spezielle Programme z B ANIMATO siehe Kapitel 3 4 5 Mit dem CAS lassen sich Matrizengesetze etwa f r 3 3 Matrizen leicht nachrechnen In diesem Kapitel sind es in erster Linie die diversen Algorithmen die den Bezug zur Informatik herstellen Beispielsweise l sst sich eine Prozedur f r die Matrizen multiplikation nachprogrammieren Wie in der linken Spalte nachlesbar werden Matrizen in diversen wirtschaftlichen Anwendungen verwendet Sie lassen sich aber auch z B in der Kryptologie zum Verschl sseln verwenden enger Bezug zur Informatik oder sind wertvoll bei der Arbeit mit magischen Quadraten siehe Kapitel 3 1 F r den in Kapitel 1 des Lehrgangs definierten Matrizen Datentyp lassen sich nun diverse Verkn pfungen definieren und entsprechende Prozedu ren erstellen So entsteht insgesamt ein abstrakter Datentyp Matrix Die verschiedentlich angesprochenen Modellierungsprozesse sind ein weiteres Bindeglied zwischen Mathematik und Informatik 168 Inhaltsverzeichnis Computereinsatz Software Informatische Aspekte 3 Analytische Geometrie 3 1 Matri
58. sind h ufig nicht in der Lage die Vernetzungen zwischen bei den F chern auszunutzen So setzen z B etliche Informatiklehrer den Computer eigenarti gerweise nicht in ihrem Mathematikunterricht ein Diese Arbeit besch ftigt sich insbesondere mit der Frage e wie weit Mathematikunterricht Aspekte der Informatik gewisse Inhalte und Methoden aufnehmen kann Sie setzt sich zum Ziel unterrichtliche Vernetzungsm glichkeiten zwi schen den beiden F chern aufzuzeigen und f r den Mathematikunterricht nutzbar zu ma chen Diese Zielsetzung ist e eng verkn pft mit den vielen M glichkeiten des Computereinsatzes im Mathematikunter richt Zur detaillierteren Untersuchung werden solche Aspekte n her betrachtet die f r beide F cher von Bedeutung sind e Dabei wird es besonders darum gehen die Folgerungen f r einen Mathematikunterricht unter Einbeziehung informatischer Methoden und Inhalte auszuloten e Die theoretischen bzw allgemeing ltigen berlegungen m nden in Vorschl ge f r kon kreten Mathematikunterricht Eine Abiturklausur aus dem Jahr 1954 dient zum Einstieg in die Thematik Hier werden erste Hinweise gegeben was der Computer mit verschiedenen Softwaresystemen f r die L sung von Mathematikaufgaben leisten kann Kapitel 1 erl utert dann unter Ber cksichtigung lterer Erfahrungen Grundlagen die f r die Entwicklung von Vernetzungskonzepten wichtig sind Die Voraussetzungen f r einen modernen Mathematikunterricht de
59. werden drei unerwartete F lle dargestellt die im Unter richt vermutlich meistens bergangen werden Das Hauptziel derartiger Beispiele ist es das Vertrauen in den Computer zu ersch ttern Aus der Informatik erhalten wir die Antworten wenn wir der Frage nachgehen Wie rechnet der Computer Passende Beispiele hierzu findet man u a in dem Beitrag Per Kopf oder Knopf Rechnen k nnen oder lassen von Ingmar Lehmann in Medien verbreiten Mathematik Bericht ber die 19 Arbeitstagung des Arbeitskreises Mathematikunterricht und Informatik in der GdM 2001 in Dillingen Hrsg Herget Sommer Weigand Weth Franzbecker Verlag 2002 Problem 1 Unerwartete Graphen y sin x und y sin 119 x berraschung il Sieht der Graph von y sin 119x wirklich so aus 1 Ein sch nes Bild Es scheinen etwas wenig Punkte zu sein um y sin 119x ordent lich darzustellen Abb 3 4 6 b y sin x und y sin 119x x von 0 bis 1 57 180 Werte F r y sin 119x wird noch einmal gezeichnet jedoch ohne die Punkte miteinander zu verbinden
60. x u Man kann wundersch n verfolgen wie sich der Graph des Differenzenquotienten von 162 y sin x erwartungsgem immer mehr dem Graphen von y cos x n hert Doch zum Schluss pl tzlich diese Zacken Das ist Anlass zum Experimentieren mit kleinem u Dazu wird ein Baustein zum bequemen ndern von Werten definiert zum Beispiel u 10 Zum Unterscheiden von den schon vorhandenen Graphen l sst man jetzt Punkte zeichnen Deren Graph sieht noch recht gut aus Abb 3 4 6 g Noch kann man mit den Punkten zufrieden sein Weiter experimentieren Bei u 10 wird es kritisch k Abb 3 4 6 h Nun sieht auch der Punktegraph schon etwas seltsam aus Jetzt wird u 10 gew hlt 163 Vorsicht Abb 3 4 6 1 Das hat nun nichts mehr mit der cos Funktion zu tun e Also Vorsicht mit der Veranschaulichung von Grenzwerten Woran liegt es Es wird die Division durch sehr kleine Werte sein e Vorsicht bei der Division durch sehr kleine Zahlen e Weitere Informationen zum Thema Konvergenzverhalten an Beispielen passend ausgesuchter Folgen finden man z B bei Her90 S 49 55 oder bei Koe95 S 65f Das folgende Beispiel stammt aus diesem Aufsatz wird hier jedoch auf andere Weise veranschaulicht Problem 3 Folgengrenzwert 6 dien u lim lt CERN i NR 3 9 n 4 ZEBSEBEBESBESSEBSBESEN er Grenzwert scheint Deus uy esse unoeru E E 1 3 zu sein die Folgen glieder liegen
61. 0 t1 t2 t3 1 angeh ngt werden muss so dass ein 5 4 LGS mit 5 Gleichungen und 4 Variablen entsteht Das LGS lautet Eingabe der Matrix MK am CAS des TI 92 Die station re Verteilung wird mit Hilfe des LGS bestimmt b Anwendung des CAS Befehls rref MK L sungsvektor notieren rref MK T 27 65 18 65 12 65 8 65 c Im Mittel sind an einem Tag in 42 der F lle alle Auftr ge bearbeitet in 12 der F lle liegen 3 Auftr ge vor Immerhin lassen sich ca 30 der Auftr ge nicht innerhalb eines Ta ges ausf hren weil 2 oder 3 Auftr ge vorliegen Die Entlassung von Personen w rde den Wert noch vergr ern Bearbeitung von Aufgabe 1 4 a b a b 1 g PRDPEPPEPPLETTEPTLEPTLELLELTLEPTEETLLPLTELTLELTLSTLEPTLELTSTLELTLSLLLSTLEPTLELTESTLERTLEFTE a b a b 1 Die Matrix versand wird a b eingegeben Danach wird der g Baustein versand n gt vers a b n definiert nur in Teilen sichtbar 126 4 3 175 Untersuchungen mit z310 1 2 1 5 08 Matrizenpotenzen IB ld 172 173 J J 3710 7710 rei 13 50 1725 0 Der Kontrollaufruf vers 0 3 0 5 1 liefert gerade die oben in Zahlen gegebene bergangs matrix Mit dem Baustein ergeben sich nun diverse Varianten der obigen Aufgabenstellung z B beliebige Belegungen der Parameter und schnelle Berechnungen der Auswirkungen mit Hilfe der Potenzen oder das Erkennen von Gesetzm igkeiten durch Aufrufe wie vers a b 2 vers a b 3 usw Hier
62. 02 Ulm V P dagogische Schulentwicklung im Mathematikunterricht Wege zur Umsetzung des Konzepts von H Klippert Ein Beitrag zum BLK Programm Steigerung der Effizienz des mathematisch naturwissenschaftlichen Unterrichts vom Lehrstuhl f r Mathematik und ihre Didaktik an der Universit t Bayreuth ohne Jahresangabe vermutlich 2002 Wei97 Weigand H G Ver nderungen des Mathematikunterrichts aufgrund des Einflusses der Informatik In Hischer H Hrsg Geometrie und Computer Bericht ber die 15 Arbeitstagung des Arbeitskreises Mathmeatikunterricht und Informatik in der Gesellschaft f r Didaktik der Mathematik e V 1997 in Wolfenb ttel Wel02 Weller Hubert Computeralgebra in der Schule wie ein Tropfen auf den hei en Stein in Computeralgebra Rundbrief Oktober 2002 S 12 15 Wet97 Weth T Was bringt der Computer wirklich Neues f r den Geo metrieunterricht In Hischer H Hrsg Geometrie und Computer Bericht ber die 15 Arbeitstagung des Arbeitskreises Mathematikunterricht und Informatik in der Gesellschaft f r Didaktik der Mathematik e V 1997 in Wolfenb ttel Win88 Winter H Divergentes Denken und quadratische Gleichungen in mathematik lehren 1988 Heft 28 S 54 55 Wit98 Witten H u a RSA amp Co in der Schule Moderne Kryptologie alte Mathe matik raffinierte Protokolle Teil 1 LOGIN 1998 Heft 3 4 Teil 2 LOGIN 1998 Heft 5 ZubO1 Zuber J Kryptologie Ein Wahl
63. 1 l Turingmaschinen EN Die 5 Tupel sind so aufgebaut aktueller Zustand gelesenes Zeichen zu schreibendes Zeichen Bewegung des Bandkopfes Folgezustand L sung Beim Analysieren des bergangsgraphen in Abb 3 3 2 a oder des Programms in Abb 3 3 2 b zeigt sich dass der Algorithmus auf dem Band 6 Striche erzeugt Er ben tigt dazu 13 Schritte 116 Simulationsprogramm Ein anderer Unterrichtseinstieg k nnte mit Hilfe eines Simulationsprogrammes erfolgen Das Programm BEAVER3 Lehmann Eberhard Die Turingmaschine im Anfangsunterricht ein Bericht von den ersten Stunden eines Informatikkurses in Klasse 11 in LOGIN 1999 Heft 6 S 44 52 zeigt eine Simulation eines Turing Programms f r den Fall n 3 Zust nde Beginnend mit einem leeren Band berall Zeichen werden die Schritte des Kopfes einzeln auf Tasten druck abgearbeitet Anzeigen auf der Oberfl che dienen der Veranschaulichung der Vorg n ge Man kann sich auf diese Weise gut in die Problematik einarbeiten Die Oberfl che des Programms ist in Abbildung 3 3 2 c erkennbar abgedruckt ist ein Zwischenstand bei der Pro grammabarbeitung Man sieht dass zur Zeit 5 Striche erzeugt sind Das Programm erzeugt insgesamt sechs Striche und bricht dann ab IMULATION DES BUSY BEAUER PROBLEMS f r n 3 Zust nde Z9 21 22 und dem Ende ZE DAS TURING PROGRAMM r Start HEREIN 7 7 7 7 EEEE HE HERE E HEHE AE HE HEHEA HE HEDE E HEHEA HE HEHEHEHEHE HHH
64. 1 so ahnt man die F lle der M glichkeiten a b a gt 3a2b 3ab b y m x n w Syp Var A a c h 2 era vu e a 0a x asin t c PARP S y bcos t d Rz AM 2 y a x b x c y x a x b 63 berall in der Sekundarstufe 1 begegnet der Sch ler Termen mit Parametern Erst recht in der Sekundarstufe 2 Also sollte man die daraus erwachsenen M glichkeiten auch verwenden Allerdings Beim Unterricht mit dem Prozedurkonzept mit den h ufig erfolgenden Prozeduraufrufen muss daf r gesorgt werden dass der zugrunde liegende ausf hrlich geschriebene Term stets im Blickfeld bleibt Wie werden CAS Bausteine definiert In Computeralgebrasystemen kann man z B eingeben und damit einen Baustein definieren x 2 p x q parabel x p q Notation des Taschencomputers TI 92 oder define parabel x p q x 2 p x q Notation TI 92 und DERIVE Man bewirkt damit die Speicherung des Terms x px q in eine Variable parabel mit den Parametern x p und q Dieser Baustein steht nun f r sp tere Aufrufe zur Verf gung So kann man zum Beispiel parabel x 3 4 0 eingeben und erh lt die Gleichung x 3x 4 0 Informatiker w rden z B programmieren PROCEDURE parabel x p q REAL oder auch als Funktion FUNCTION parabel x p q REAL REAL jeweils gefolgt von einer passenden Anweisungsfolge Im Duden Informatik 2 Auflage Dudenverlag 1993 S 507 wird definiert Parameter Platzhalter in einer Progr
65. 2 2 2 2 Zum 4 Das Programm startet an der Stelle T im Zustand ZO ji und arbeitet nun nach dem Algorithmus von Abb 3 3 2 a 115 Zustandsgraph L Abb 3 3 2 a Algorithmus als Zustandsgraph Fragestellung Wie viel Striche auf dem Band erzeugt der Algorithmus L cken sind erlaubt Wie viel Schritte ben tigt er daf r Oder Wie viel Baumst mme legt der flei ige Biber ab Erl uterung des Zustandsgraphen Beim Start in ZO sind laut Zustandsgraph auch bergangsgraph genannt zwei M glich keiten al Zeigt der Bandzeiger auf so wird an diese Stelle ein geschrieben und der Zeiger be wegt sich um eine Stelle nach rechts a2 Zeigt der Bandzeiger auf so wird das Zeichen beibehalten und der Zeiger bewegt sich um eine Stelle nach links Entsprechendes sagt der bergangsgraph f r die Zust nde Z1 und Z2 aus Bei Zustand ZE endet das Programm Weitere Darstellungsformen des Algorithmus F r den Algorithmus gibt es in der Literatur auch noch andere Darstellungsformen die insbe sondere f r l ngere Algorithmen n tzlicher sind Genannt seien noch die Tabellenform und die 5 Tupelform Algorithmus in Tabellenform Algorithmus in Form eines Turingtafel Turingprogramms 5 Tupel 20 1 1 22 Z0 L Z2 R Z1 a aT Z1 R Z1 L Z0 Abb 3 3 2 b Weitere T a A Z2 L ZE L Z0 Darstellungsformen 22 1 L ZE ZE BEN von Algorithmen f r i Z2 j L Z
66. 6666667 F r u 1 ergeben sich die jeweiligen Mittelpunkte der Dreiecksseiten Der Grenzwert der y Folgen scheint Gy 2 3 zu sein Entsprechend sieht man Der Grenzwert der x Folgen scheint Gx 0 zu sein Eine entsprechende grafische Darstellung der y Folgen veranschaulicht das noch zus tzlich Abb 3 2 c Die drei y Folgen der Punktfolgen lt A gt lt B gt und lt C gt 104 Vermutung 2 Der Punkt G ist Schwerpunkt des Ausgangsdreiecks sogar aller Dreiecke Beweis Der Schwerpunkt berechnet sich mit den angegebenen Formeln f r Sx und Sy 4 B 0 1464 A B C _4A cN 6_ 2 Ss 3 3 3 3 0 und S Andere Teilverh ltnisse Abbildung 3 2 4 wandelt die Idee der Mittelpunkte ab und benutzt sehr kleine Teilstrecken z B das Teilverh ltnis u 0 02 f r die Mittelpunkte war oben u 1 7222 Abb 3 2 e Ein Blick ins Innere 105 Je nach Wahl von u k nnen also verschiedene Figuren erzeugt werden Die Anzahl der Schritte kann unterschiedlich gew hlt werden Die Zeichengeschwindigkeit und andere Op tionen wie z B Farbe Anzahl der Berechnungen k nnen je nach gew nschter Animation gesteuert werden Wir vergr ern nun die Anzahl der Iterationsschritte auf n 500 un
67. 997 Leh83 Lehmann E Lineare Algebra mit dem Computer Teubner Verlag Stuttgart 1983 179 Leh88 Lehmann E Mathematik Unterricht mit Computer Einsatz Band 1 Grundlagen didaktische und methodische Hinweise f r die Sekundarstufen I und II D mmler Verlag 1988 Band 2 Anwendungen Unterrichtsbeispiele f r die Sekundarstufen I und II D mmler Verlag 1988 Leh94a Lehmann E und Sch ler Projektbericht Potenzen besonderer 2 2 Matrizen in MU Der Mathematikunterricht Heft 6 1994 Leh94b Lehmann E Mathematik und Informatik Konkurrenten oder Partner In Hischer H amp Wei M Hrsg Fundamentale Ideen Zur Zielorientierung eines k nftigen Mathematikunterrichts unter Ber cksichtigung der Informatik Bericht ber die 12 Arbeitstagung des Arbeitskreises Mathematikunterricht und Informatik in der Gesellschaft f r Didaktik der Mathematik e V 1994 in Wolfenb ttel Leh95 Lehmann E Komplexe Systeme eine fundamentale Idee im Informatik Unterricht in LOGIN 1995 Heft 1 Leh96 Lehmann E Komplexe Systeme Teil 2 Komplexe Systeme auf Schulniveau reduzieren in LOGIN 1996 Heft 2 Leh98 Lehmann E Wieviel White Box und wann Black Box Mathematik mit Computeralgebra Bausteinen des TI 92 Mathematik in der Schule Heft 3 1998 P dagogischer Zeitschriftenverlag Berlin Leh99a Lehmann E Grundlagen von Projektarbeit Der Mathematik Unterricht 1999 Heft 6 Leh99b Lehmann E Neue
68. Ausgabe einer Wertetafel bzw F4 f r die Grafik die Ausgaben sehen Sie auch unten Die F1 Maske f 1 n 1 1 n 2 1 fl n 1 fl n 2 f 2 0 5 1 sqrt 5 n f 3 0 5 1 sqrt 5 n f4 V sgrt 5 f2 n f3 n c d f2 f3 1 6180 0 6180 2 6180 0 3820 4 2361 0 2361 6 8541 0 1459 11 0902 0 0902 17 9443 0 0557 29 0344 0 0344 46 9787 0 0213 76 0132 0 0132 122 9919 0 0081 199 0050 0 0050 321 9969 0 0031 521 0019 0 0019 842 9988 0 0012 1364 0007 0 0007 a 40 41 42 43 4a as Was f llt Ihnen so alles auf 1 2 u ern Sie sich zur Art der Darstellungen bei fl und f4 in der F1 Maske Betrachten Sie die Funktion f x 0 5 1 sqrt 5 fertigen Sie eine Skizze des Gra phen an x aus 10 10 In welchem Punkt P hat der Graph die Steigung 1 Wie hei t die Gleichung der Tangente durch P Hinweis Zu c und d Dokumentation der TI 92 Arbeit Erl uterung einer Zeichnung in Verbindung mit der zugeh rigen Wertetafel und von Folgen und Funktionstermen Software ANIMATO Verschiedene Darstel lungen der Fibonacci Folge Handskizze des Grafen von f Tangentengleichung berechnen Benutzung des Taschencomputers 36 1 5 Szenarien und Ziele f r einen modernen Mathematikunterricht Wie jeder Unterricht entwickelt sich auch der Mathematikunterricht aus einer F lle von Bedingungen Die Komplexit t konzeptioneller berlegungen zu diesem Bedingungsfeld wird an den nun folgenden b
69. Die getippten Zahlen erscheinen in der Spalte getippte Zah len Lottoziehung durchf hren Zuf llige Erzeugung von Ziehungen Diese werden in der Lottobox gespeichert Klick_Tippauswertung Der Kundentipp wird mit den durchgef hrten Ziehungen verglichen Die Anzahl der Richtigen wird bekanntgegeben Ziehung sortieren Das erzeugte Ziehungstupel wird aufsteigend sortiert L schen der Lottobox Das ist wichtig f r einen Neustart der Simulation Programmende Abb 2 1 2 d Hinter diesen Modulen stehen mehrere Algorithmen die sich teilweise auch mit einem Com puteralgebrasystem realisieren lassen So werden in Abbildung 2 1 2 e Sechs Tupel von Zu fallszahlen erzeugt so wie es auch im Lottosystem ben tigt wird Dabei muss aber noch be dacht werden dass im Lottosystem innerhalb eines 6 Tupels keine Zahlen doppelt vorkom men n seqgerandl 42 1 i 1 60 i45 4 9 Fr 2l Fur n seqgerandl 429 1 i 1 60 id 15 I il 4l E segirandi4aI 1 i l 6 il2 20 2 u segirandi 451 1 i 1 6 125 43 49 15 MAIN RAD AFFROG FUNC 28730 Abb 2 1 2 e Erzeugung von 6 Lottozahlen mit dem CAS des TI 92 Wir k nnen festhalten Eine mathematisch orientierte Sicht auf daf r geeignete komplexe informatische Systeme kann auch f r den Mathematikunterricht auf interessante Projekte f hren Au erdem erkennt man Softwareprodukte k nnen als komplexe Systeme aufgefasst werden Dieser Ansatz wird in Kapitel 2 1 3 n
70. Ein Blick in das Programmsystem MARKOW Die informatischen Bez ge des Themas Markow Ketten werden besonders deutlich bei der Programmierung Das oben benutzte System MARKOW enth lt beispielsweise neben vielen anderen Prozeduren die folgenden Anweisungen 134 MARKOW KETTEN A F Sn UNIT markow u Ausgew hlte Einblicke in mathematische Programme INTERFACE uses TXT91_U bild91_ u MTR89D_4 MTR89P_4 MATIO 89 MTASK DOS CRT LEH_SOFT ino91_u balk91_u gauss_u f r station re Verteilung type intfeld20 array 1 20 of integer In diesem Programmteil ist u a var quadratisch stochastisch boolean die h ufige Benutzung von Mo absorbierend boolean dulen Units erkennbar Diese absorbanzahl integer Idee wurde inzwischen auf die absorbfeld intfeld20 Math ik b ieh absorbfeld_neu intfeld20 VIBRIELOBLIE bertragen siehe u a Kapitel 2 1 5 2 1 7 Hauptprozedur der Unit procedure markow_kette mit _n zustaenden REPEAT ZUSTAENDE BERECHNEN z zustand jetzt zustand zustand 0 zufall random Hier erfolgt die Anwendung der oben angegebenen Simulations formel for S 1 to matz s do zustand TRUNC zufallt matt wert Z S zustand zustand zustand 1 danach zustand if ausgaben IN j J then begin if simulationen mod 15 0 then begin writeln write simulationen 5 end if simulationen div 150 gt 1 and simulationen mod 150 0 then c readkey
71. F Fyr FE Far FE k sehralestelther Pranzolciean uel B EPSL a a a all 4 153 2769 1946 123 414 2769 o 1946 1231 4133 Z769 1847 1231 4132 Zr69 1847 1232 2769 1946 123 versi J mP 2769 1846 1231 e So l sst sich vermuten dass sich die Matrixpotenzen S immer mehr einer festen Matrix G n hern e limS G NR e Wenn es eine Grenzmatrix G gibt so muss gelten G S G Bezeichnen wir die untereinander gleichen Zeilenvektoren von G mit g so gilt damit auch e Es gibt einen Zeilenvektor g Grenzverteilung mit der Eigenschaft g S g Die Anfangsverteilung Bisher wurde bei den berlegungen an keiner Stelle der Anfangsvektor 0 1 0 0 benutzt es liegt anfangs ein Auftrag vor Bilden wir nun 0 1 0 0 G so ergibt sich die 2 Zeile von G Nimmt man als Anfangsvek tor z B 0 0 0 1 so liefert 0 0 0 1 G die 4 Zeile von G Da aber alle Zeilen von G gleich sind kann festgehalten werden e Das Verhalten des Systems ist offenbar unabh ngig vom Anfangsvektor Modellbildung Schritt 5b Ein zweiter L sungsweg Station re Verteilung Fixvektor L sung eines LGS Diese berlegungen er ffnen nun eine weitere M glichkeit f r die Untersuchung des langfri stigen Systemverhaltens Der Vektor g spielt offenbar die Rolle eines Fixvektors Wenn ein Vektor f mit der Eigenschaft f S f tats chlich existiert dann kann man ihn aus einem linea ren Gleichung
72. H Kopf position DAS TURING BAND Zu n N 11 fer iz ua a Schrittweise weiter mit der lt Taste Abb 3 3 2 c Simulationsprogramm f r das Busy Beaver Problem mit n 3 Zust nden und Endzustand Nach dieser Einf hrung in die Problematik k nnen die Sch ler zun chst den Fall n 2 Zust nde untersuchen Der bergangsgraph muss dazu passend beschriftet werden Abbruchbedingung Ein Befehl muss zum Ende HALT f hren 117 In jedem Zustand kann der Biber auf 2 F lle sto en Er findet das Zeichen oder Also k n nen wir in jedem Zustand 2 Turing Befehle vergeben Aber welche sind die die m glichst viele Striche erzeugen Probieren Als Busy Beaver stellt sich das Programm von Abbildung 3 3 2 e heraus Busy Beaver f rn 2 Abb 3 3 2 e Busy Beaver f r n 2 Zust nde Z0 und Z1 und den Endzustand ZE Unser Biber schafft mit der Zustandsfolge Z0 Z1 Z0 Z1 Z0 Z1 ZE 4 Baumst mme her an Wie w re es mit dem folgenden Programm AAR Abb 3 3 2 f Dieser Biber ist etwas weniger flei ig er schafft nur 3 Baust mme heran Kein Busy Beaver Selbstverst ndlich k nnte man z B mit R beliebig viele Striche erzeugen aber wie bricht man ab Man muss dazu benutzen also vorher irgendwann einmal nach links gehen um auf einen Strich zu treffen Man erkennt hieran dass es ein besonderes Pro blem ist die richtige HALT Bedingung an der richtigen
73. Hinweise f r ihren Unterricht gege ben werden Aus dieser Zielsetzung erw chst auch der Wunsch gewisse Kernaussagen be sonders hervorzuheben etwa durch Texte in Quadern oder Textsymbolen wie sie das Text verarbeitungsprogramm zur Verf gung stellt Diese Kennzeichnungen dienen damit auch ei ner zus tzlichen Strukturierung der Zusammenh nge Kapitel 3 soll also die vorhergehenden mehr theoretischen berlegungen durch vielseitige Unterrichtsbeispiele h ufig in Form konkreter Unterrichtseinheiten verdeutlichen F r diese Zielsetzung gibt es verschiedenartige Angebote Es handelt sich um e kurze Unterrichtseinheiten die sich an verschiedenen Stellen des Mathematikunterrichts einschieben lassen Kapitel 3 1 3 2 3 4 e wumfangreichere Themen die einen gr eren Zeitbedarf haben Kapitel 3 3 und e die Skizzierung der Inhalte eines Lineare Algebra Analytische Geometrie Kurses unter Einbeziehung von Informatikinhalten von der Dauer eines Halbjahres Kapitel 3 5 F r die Vorschl ge werden auch m gliche Einordnungen in geltende Unterrichtsinhalte ange geben Kapitel 4 rundet die Betrachtung durch zusammenfassende Darstellungen und Bemerkungen ab Zu den in der Arbeit angesprochenen Themen gibt es umfangreiche Literatur Diese bezieht sich allerdings meistens auf jeweils eines der F cher Mathematik und Informatik Es wird auffallen dass h ufiger eigene Werke von mir aufgef hrt werden Dieses Vorgehen wird ver st ndlich wenn man bed
74. Int R T Zeile Z0 Int R 0 2 hier k nnen nur die Zust nde Z0 und Z1 erreicht werden da sich je nach Wert von R nur die Werte 0 oder I ergeben k nnen T Zeile ZI Int R 1 0 3 Int R 1 0 3 0 5 Int R 1 0 3 0 5 0 2 Int R 1 0 3 0 5 0 2 0 T Zeile ZI Int R 0 7 Int R 0 2 2 Int R T Zeile Z1 Int R 0 7 Int R 0 2 hier k nnen je nach Wert von R die Zust nde Z0 Z1 Z2 erreicht wer den T Zeile Z2 Int R 1 0 Int R 1 0 0 3 Int R 1 0 0 3 0 5 Int R 1 0 0 3 0 5 0 2 T Zeile Z2 Int R 1 Int R 0 7 Int R 0 2 Int R T Zeile Z2 1 Int R 0 7 Int R 0 2 erreichbare Zust nde sind hier Z1 Z2 Z3 TfZeile Z3 Int R 1 0 Int R 1 0 Int R 1 0 0 0 3 Int R 1 0 0 0 3 0 7 T Zeile Z3 2 Int R 1 Int R 0 7 Int R T Zeile Z3 2 Int R 0 7 erreichbare Zust nde sind hier Z2 Z3 Beispiel Wir starten beispielweise mit dem Zustand Z2 und erzeugen nacheinander folgende Zufallszahlen R Rechnen mit Neuer Zustand T Zeile 2 3 T Zeile 3 3 T Zeile 3 2 T Zeile 2 1 USW Mit dem im Folgenden kurz dargestellten lteren MS DOS Programm MARKOW 1991 l sst sich die Simulation schneller durchf hren RKOW KETTEN TSTELLEN VON MATRIZEN HILFEN rix eingeben laden rix andern Ausgabeformat ndern Matrix l schen Stochastische Matrix erzeugen rzdokumentation lesen gaben Notizen e
75. Int R 0 7 Int R 0 2 0 F r O lt R lt 0 3 ist T 1 f r 0 3 lt R lt 0 8 ist T 2 f r 0 8 lt R lt 1 ist T 3 Die erreichten T Werte 1 2 3 entsprechen den Zust nden Z1 Z2 Z3 In Abbildung 3 4 1 c erkennt man deutlich dass der bergang zu Zustand 2 am h ufigsten auftritt Das ist immer dann der Fall wenn gilt0 3 lt R lt 0 8 Wahrscheinlichkeit 0 5 Bei der Simulation von Problemen mit Hilfe von Zufallszahlen ist es von entscheidender Be deutung die richtige Transformation der durch die Random Funktion gewonnenen Zufalls zahlen aus dem Intervall 0 1 zu finden 146 Abb 3 4 1 c Visualisierung der Zustandsfolge mit Hilfe von ANIMATO Int R 1 Int R 0 7 Int R 0 2 Int R 1 Int R 0 7 Int R 0 2 P 7 Erea el ie A oe e eot 4 Abb 3 4 1 d Zwei Simulationen jetzt je 100 Werte zum Ausz hlen Bei der ersten Simulation sind die Werte verbunden die zweite Simulation wird durch die einzelnen dicker gezeichneten Punkte dargestellt 147 3 4 2 Der 3a 1 Algorithmus ein Projekt f r wenige Stunden In Kapitel 1 3 wurden bereits einige interessante Algorithmen erw hnt die geeignet sind um mathematische und informatische Fragestellungen miteinander zu verkn pfen Hier wird der dort ebenfalls genannte 3a 1 Algorithmus dort Beispiel 2 noch einmal aufgegriffen Hinweise zur unterrichtlichen Verwendung des Themas
76. Klausuraufgaben aus dem Jahr 1999 zeigen einige der neuen M glichkeiten Diese werden im Aufgabentext kurz kommentiert siehe kursiven Text in den Rechtecken 2 Klausur im Leistungskurs Mathematik Leh MA1 6 12 99 3 Schulstunden Neue Auf gabenkult ur 1 etwa 35 F hren Sie die folgenden Fl cheninhalts Berechnungen durch Hinweis Es sind jeweils passende Skizzen anzufertigen Die rechnerischen Ans tze sind zu begr nden Die TI 92 Eingaben und Ausgaben sind zu notieren und ggf zu kommentieren a F r die Fl chen zwischen der cos Kurve und der sin Kurve im Bereich 0 7 2 Ans tze finden Rechnungen mit dem b fix 0 2 x 3 3x 2 6x 8 g x 0 Taschencomputer TI 92 2 etwa 60 Das folgende TI 92 Bild zeigt eine Anwendung der so genannten Trapezregel zur angen her ten Fl chenberechnung a Erl utern Sie die in dem definierten Baustein trap a b n vorkommenden Variablen und seine Anwendung Einen Baustein b Ermitteln Sie weitere Werte f r n 5 10 15 25 30 Auswertung erl utern und den TI 92 benut c Vergleichen Sie mit dem Wert den das dazugeh rige Integral liefert Zen Eine For mel verstehen d Begr nden Sie die Formel durch eine passende Zeichnung zijn fix z n 1 nn 2 rossa j je i 1 35 3 etwa 40 Hinweis PLOTI1 ist ein Funktionenplotter Nach dem Starten der PLOT11 Datei FOLGE1 HPL sehen Sie in der F1 Maske mehrere Ein tr ge Dr cken Sie F3 zur
77. Konzeptionelle berlegungen zur Einbeziehung informatischer Inhalte und Methoden beim Computereinsatz im Mathematikunterricht der Sekundarstufe 2 Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades doctor rerum naturalium Dr rer nat im Fach Mathematik eingereicht an der Mathematisch Naturwissenschaftlichen Fakult t II der Humboldt Universit t zu Berlin von Eberhard Lehmann geb 3 3 1936 in Berlin Pr sident Pr sidentin der Humboldt Universit t zu Berlin Prof Dr J Mlynek au ae Dekan Dekanin der Mathematisch Naturwissenschaftlichen Fakult t II Prof Dr E Kulke Gutachter Gutachterin 1 PD Dr Ingmar Lehmann Humboldt Universit t Berlin Institut f r Mathematik 2 Prof Dr Wilfried Herget Martin Luther Universit t Halle Wittenberg Fachbereich Mathematik und Informatik 3 Prof Dr Wolfram Koepf Universit t Gesamthochschule Kassel Fachbereich Mathematik und Informatik Tag der m ndlichen Pr fung 6 Juni 2003 Vorwort Die Schulmathematik steht zur Zeit vor zahlreichen interessanten Herausforderungen Diese sind u a erwachsen e aus den Ergebnissen der weltweiten Studien TIMSS und PISA die dem Mathematik unterricht an den deutschen Schulen schlechte Noten beschert haben und e aus den vielf ltigen M glichkeiten die die neuen Medien f r den Unterricht speziell auch f r den Mathematikunterricht bringen Zu den Herausforderungen geh ren u a die Vermittlung e einer neuen Unterrichtskul
78. MNU Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht Heft 5 1999 D mmler Verlag K ln Leh99b Lehmann E Ein Projekt unter Verwendung eines Computeralgebrasystems und Computergrafik Der CAS Baustein Trap a b h in MU Der Mathematik Unterricht Heft 6 1999 Projekte im Mathematik Unterricht Leh02b Lehmann E Mathematiklehren mit Computeralgebrasystem Bausteinen Franzbecker Verlag Hildesheim 2002 Leh02c Lehmann E Mathematikunterricht mit Parametern in der Sekundarstufe 1 Schroedel Verlag Hannover 2002 Mye82 Myers Roy E Mikrocomputer Grafik Addison Wesley Publishin Company Amsterdam 1982 Schm96 Schmidt T G S Numerische Verfahren mit dem TI 92 Texas Instruments Freising 1996 SchumO1 Schumann H Modulares Arbeiten im Geometrieunterricht in MNU 2001 Heft 6 S 332 336 Kapitel 3 3 Literatur zu Zustandsgraphen bergangsgraphen Turing Maschinen Bie79 Biess G Graphentheorie BSB B G Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig 1979 Bre95 Brecht W Theoretische Informatik Vieweg Verlag Braunschweig 1995 Dew95 Dewdney A K Der Turing Omnibus eine Reise durch die Informatik mit 66 Stationen Springer Verlag Berlin Heidelberg 1995 Eng76 Engel A Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Band 2 Klett Studienb cher Stuttgart 1976 Gas92 Gasper Lei Spengler Stimm Technische und theoretische Informatik Bayerischer Schulbuch Verlag M nchen 1992 Le
79. Mut fehlen derartige berlegungen in den normalen Unterricht zu integrie ren etwa im Rahmen eines Stochastikkurses in Zusammenhang mit Markow Ketten siehe Kapitel 3 3 3 und 3 3 4 bleibt die M glichkeit einen der Projekttage der Schule f r das Vorhaben zu nut zen 122 3 3 3 Ein Versandproblem Markow Ketten Vernetzung zwischen Mathematik und Informatik In Kapitel 3 3 1 wurden bereits einige Gedanken ber Markow Ketten formuliert und auf Be arbeitungsm glichkeiten bei Vorliegen von zwei Zust nden hingewiesen Gegen ber fr heren Unterrichtsvorschl gen und Ver ffentlichungen ber Markow Ketten k nnen heutzutage Computeralgebrasysteme CAS eingesetzt werden was zu neuen unterrichtlichen M glich keiten f hrt Dazu geh rt auch die Bearbeitung von Markow Ketten mit mehr als zwei Zu st nden im folgenden Beispiel werden vier Zust nde verwendet Dabei k nnen verschie dentlich auch informatische Inhalte ber cksichtigt werden Somit erweisen sich Markow Ketten als besonders geeignet die in dieser Arbeit angestrebten Ziele zu verdeutlichen Hier f r kommen u a die folgenden Vernetzungen zwischen Mathematik und Informatik in Be tracht e Die den F chern gemeinsamen Methoden der Modellbildung e die auftretenden Algorithmen Speicherung von Tabellen stochastische Matrizen Matrizenmultiplikation Matrizenpotenzen weitere Matrizenoperationen Bearbeitung linearer Gleichungssysteme Gauss Verfahren
80. PTMENUE Tippen von Hand oder Computer Ziehung u Vergleich mit Tip Statistik Anleitung Hilfen Abbruch Quit Bitte mit dem Cursor ausw hlen 49 An dem Hauptmen des Lottosystems erkennen wir die haupts chlichen Funktionen Tippen Ziehung Auswertung Statistik Nach Aufruf von Option 1 k nnen wir u a Tipps von Hand eingeben Eine Option mit der Cursor auf ab Taste w hlen und die RETURN Taste dr cken HILFE COMPUTERTIPS HANDEINGABE TIPS ANSEHE ZUM HAUPTM LOTTO 6 aus 49 LOTTOSCHEIN Ar wg O Tr 9 14 15 18 24 25 28 35 38 45 48 Beenden mit I Name Ausgehend vom Hauptmen k nnen wir auch das Hilfemen aktivieren HILFE MENUE Allgemeine Lottoregeln Tippen Ziehung Statistik Auswertung Hauptmenue Geben Sie Ihre Wahl Offenbar liegt hier ein anderer Ansatz vor als bei der zuerst dargestellten L sung Unterrichtserfahrungen zeigen dass die Sch ler im Informatikunterricht sehr viel leichter verschiedene L sungen eines Problems erarbeiten k nnen als das im Mathematikunterricht der Fall ist Das gilt insbesondere f r Programmierprobleme Aber auch im Mathematikunter richt l sst sich der Aspekt der L sungsvielfalt verfolgen Im Rahmen des bundesweiten SI NUS Projekts liegen daf r zahlreiche Beispiele vor Hier folgt ein Beispiel aus einer meiner Lehrerfortbildungsveranstaltungen Bremen 2002 50
81. Rechnungen k nnte man auch auf Z1 verzichten Die l ngerfristige Entwicklung der Kette wird durch die Matrizenpotenzen ausgedr ckt Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z2 0 1 0 0 0 0 z3 0 o4 0 0 0 0 6 Matrix A100 Z4 0 0 4545 0 0 0 0 5455 nach 100 Schritten Z5 0 0 3333 0 0 0 0 6667 Z6 0 0 0 0 0 1 Aus dieser Matrix kann man die Grenzmatrix mit schon recht gro er Genauigkeit ablesen Bei Start in Zustand Z1 gewinnt man Endzustand Z2 mit einer Wahrscheinlichkeit von 0 4929 und verliert Endzustand Z6 mit einer Wahrscheinlichkeite von 0 5071 Das Spiel ist nicht fair D4 Programmierung Teilergebnisse der Gruppen 5 und 6 PROCEDURE simulation BEGIN FOR i 1 TO anzahl DO Simulationsprozedur BEGIN s RANDOM 6 1 RANDOM 6 1 IF s IN 7 11 THEN gewonnen gewonnentl IF s IN 2 3 12 THEN verloren verlorentl IF s IN 4 5 6 8 9 10 THEN weiter weitertl t 5 REPEAT S RANDOM 6 1 RANDOM 6 1 IF s 7 THEN verloren verlorentl IF s t THEN gewonnen gewonnentl IF s IN 2 12 7 t THEN weiter UNTIL s 7 OR s t END END Das DELPHI Programm von Gruppe 6 141 Windows Messages SysUtils Classes Graphics Controls Forms Dialogs StdCtris type TForm1 class TForm Button1 TButton Label1 TLabel Button2 TButton Label2 TLabel Label3 TLabel Label4 TLabel Label5 TLabel Label6 TLabel Label7 TLabel Label8 TLabel Label9 TLabel Label10 TLabel Label11
82. Stelle zu finden Hinweis Der Ablauf eines Turing Programms l sst sich gut durch Aufschreiben des jeweils aktuellen Zustands merken Dabei entsteht eine Zustandsfolge So kann man beispielsweise gut mit einer anderen L sung vergleichen oder seine eigene L sung rekonstruieren Zustandsfolge f r Abb 3 3 2 e Z0 Z1 Z0 Z1 Z0 Z1 ZE Zustandsfolge f r Abb 3 3 2 f Z0 Z1 Z0 Z0 Z1 ZE Mit dem Begriff der Zustandsfolge bereitet man auch gleichzeitig sp tere mathematische berlegungen an Markow Ketten vor siehe Kapitel 3 3 4 Die F llen 4 13 Striche und n 5 wurden dann im Verlauf des Unterrichts der Turingma schine bergeben und zum Erstaunen der Sch ler war die Anzahl der Striche bei n 5 Graph siehe unten bereits auf 501 Striche bei 134467 Schritten angewachsen Die Problematik wur de immer deutlicher offenbar kommt es bei den entworfenen Turingprogrammen darauf an die Maschine irgendwann zum Halten zu bringen F r den Fall n 5 Strichzahl 501 wird 118 hier noch der bergangsgraph angegeben Es gibt f r n 5 aber noch bessere Algorithmen so dass es sich hier nicht um einen Busy Beaver handelt Start n 5 Zust nde R OTT Abb 3 3 2 g Beaver f r 5 Zust nde und Endzustand 501 Striche aber kein Busy Beaver nach Gas92 Die Betrachtungen schon f r das noch recht kleine n 5 zeigen dass die Arbeitsweise der Turing Maschine nur noch schwer zu durchschauen ist Insbeson
83. Zusammenh nge 3 BE AB 3 f r schwierige Zusammenh nge wie ei genst ndiges Erkennen welche Auswahl von fl bis f9 hier gezeichnet wird worin sich f9 von f8 unterschei det warum die Ellipsen immer kleiner werden 3BE AB1 4 BE AB 2 v i lzoon Tr ace ReSraph Math Draw i el 4 BE AB2 4 BE AB 1 TI 92 Zeichnung zu 3 2 b AB 1 AB 2 AB3 11 41 13 48 3 1 Weitere Erl uterungen zu der Aufgabe Die Angabe der Bearbeitungszeiten ist bei dieser Auf gabe n tig um bei Teil 3 1 den erforderlichen Umfang der Erl uterungen in etwa zu charakte risieren 158 3 4 5 2 Weitere Probleme aus der Computergrafik Wie entsteht eine Gerade bzw Strecke auf dem Bildschirm F r die Untersuchung dieses Problems bietet sich der Bresenham Algorithmus an eine ber zeugende Verbindung zwischen Mathematik und Informatik Diesen Algorithmus findet man u a ausf hrlich erl utert unter der unten angegebenen Internet Adresse Weitere Adressen erh lt man durch Eingabe des Stichworts Bresenham Literaturangaben e Bresenham Algorithmus http www uni paderborn de fachbereich AG agdomik computergrafik cg_skript html node34 htm e Werner u a Taschenbuch der Informatik Fachbuchverlag Leipzig 2 Auflage 1995 S 534 f dort auch mehr ber Computergrafik Konstruktion fotorealistischer Szenen Ray Tracing Programme erm glichen die Programmierung fotorealistischer Darstellungen auf dem Bildschirm
84. a nach dem Gauss Algorithmus zu Schwierigkeiten f hren ber die Auswirkungen die kleinste nderungen an einem System ausl sen k nnen kann man u a in dem Buch von Peitgen nachlesen Pei92 Seite 52f Oben wurden bereits einige Beispiele erl utert die die Frage nach der Exaktheit der vom Computer erzeugten Ergebnisse als sehr relevant nachwiesen Zu dem Problem von Black Box Software ein Zitat aus dem oben genannten Werk von Peitgen u a Immer h ufiger werden Berechnungen heutzutage mit Hilfe von Black Box Software Paketen ausgef hrt deren genaue Funktionsweise verborgen bleibt Diese Pakete werden manchmal von renommierten wissenschaftlichen Zentren entwickelt und scheinen deshalb sehr zuverl ssig zu sein In der Tat sind sie es auch Das schlie t aber nicht aus da die hochwertigste Software manchmal v lligen Unsinn produziert und es ist eine Kunst f r sich zu verstehen und vorauszusagen wann und weshalb dies geschieht Au erdem haben die Benutzer oftmals keine M glichkeit eine Fehleranalyse durchzuf hren einfach deshalb weil sie keinen Zugang zum Black Box Algorithmus haben 167 3 5 Lineare Algebra ein Kurskonzept mit Matrizen Computereinsatz und informatischen Anteilen Die weitreichendste Form einer Verkn pfung von Mathematik und Informatik im Unterricht ist die durchgehende Ber cksichtigung informatischer Aspekte in einem gesamten Kurs Als Beispiel f r ein derartiges Kurskonzept wird die
85. ach der Formel V 27 y dx Die weitere Dokumentation der Arbeit befindet sich neben dem TI 92 Bild 0 Die Ellipsengleichung ist gegeben b x a y a b Da in den entsprechenden Formeln stets y vorkommt wird f r die CAS Rechnung y z substituiert Damit ist das Volumen des Rotation sellipsoids bestimmt Das Volumen des Zylinders berechnet sich aus V 2np h Dabei ist hier p gleich dem y Wert und h gleich dem x Wert von P Das Volumen vrest der Kappe des El lipsoids von x h bis x a berechnet sich mit dem angegebenen Term im Integral Dabei wurde g als Integrati onsvariable eingef hrt Laut Aufgabenstellung ist vrest vzyl gerade die H lfte des Volumens des Rotationsellipsoids Eine Termumformung hier bedeutungslos Berechnung der H he des Zylinders unter den angegebenen Bedingungen Der Term r beschreibt das Quadrat des Radius p Der Halbmesser p ist also etwa gleich dem 0 6 fachen von b Diese Aufgabenl sung m ge zur Einstimmung in die vielf ltige Problematik der Verbindung von Mathematik und Computer dienen Gleichzeitig zeigt die L sung die Leistungsf higkeit von Computeralgebra In diesem Fall arbeitet das CAS fast ausschlie lich mit Variablen und f hrt dabei recht komplizierte Rechnungen durch die man in einem modernen Mathema tikunterricht wohl kaum noch von Hand ausf hren w rde Weiterhin wird deutlich dass die Denkarbeit zum Finden von Ans tzen d
86. als Animation entstehen lassen indem man den im Programm notierten Termen passende Laufbereiche Laufzeiten und andere Eigen schaften z B Farben zuordnet Auf der folgenden Seite Abb 2 1 7 3 g wird gezeigt dass man das Erstellen einer derartigen Animation durch funktionales Programmieren auch als Programmierprojekt auffassen kann 88 A Programmieren mit Funktionen Relationen im Animationsprogrammsystem ANIMATO Progamm PLOT2 EXE 1 Das Problem die Idee 9 Benutzen 2 Variation von Parametern und Objekten forschen entdecken vermuten do kumentieren ggf begr n 2 Problemanalyse Zerlegen in Teilprobleme p den beweisen R O G R Inhalte und Abl ufe finden und ein A analysieren und in geben Bedin M terpretieren doku gei formulie M mentieren ggf be ren Syntax und gr nden beweisen Semantik beach E R E festlegen N f hren und ggf Verbesserungen be schlie en h Synthese animieren dynamische Abl ufe entwerfen Reihen folge Bereiche Farben Ge schwindigkeit B Bemerkung Der Informatikunterricht w rde sich auch f r die Analyse des Programmsystems ANIMATO Parser syntaktische Analyse die Mathematikmaschine interessieren Abb 2 1 7 3 g Animationen als Programmierprojekt 89 Die Bedeutung des eigenen Handelns bei der Benutzung oder eigenen Gestaltung einer Ani mation wird durch Abbildung 2 1 7 3 h
87. altung von Lehrpl nen f r die informationstechnische Bildung in der Sekundarstufe I bzw II und f r den Computer Einsatz im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II in MNU 1986 Heft 2 Schup02 Schupp Hans Thema mit Variationen Aufgabenvariation im Mathematik unterricht Franzbecker Verlag Hildesheim 2002 Sch87 Schulz R H bersetzen von Nachrichten f r die digitale bertragung ausgew hlte Aspekte der Quellencodierung in MU Der Mathematikunterricht Heft 3 Codieren und Chiffrieren 1987 Sch94 Schulz R H Informations und Codierungstheorie eine Einf hrung in Schulz R H Hrsg Mathematische Aspekte der angewandten Informatik BI Wissenschaftsverlag Mannheim 1994 Sch91 Schulz R H Codierungstheorie Eine Einf hrung Vieweg Verlag Braunschweig Wiesbaden 1991 Schw94 Schwill A 1994 Fundamentale Ideen in Mathematik und Informatik In Hischer H amp Wei M Hrsg Fundamentale Ideen Zur Zielorientierung eines k nftigen Mathematikunterrichts unter Ber cksichtigung der Informatik Bericht ber die 12 Arbeitstagung des Arbeitskreises Mathematikunterricht und Informatik in der Gesellschaft f r Didaktik der Mathematik e V 1994 in Wolfenb ttel Sen73 Der Senator f r Schulwesen Neugestaltung der gymnasialen Oberstufe Vorl ufiges Grundprogramm f r das Fach Mathematik Berlin 1973 Sen85 Der Senator f r Schulwesen Berufsausbildung und Sport Vorl ufiger Rahmenplan f
88. ammeinheit der erst bei der konkreten Verwendung Aufruf der Programmeinheit festgelegt wird Die in der Programmeinheit stehenden Platz halter bezeichnet man als formale Parameter die im Aufruf der Programmeinheit stehenden Werte als aktuelle Parameter Programmeinheiten sind Prozeduren T Funktionen T Mo dule oder andere spezielle Konstrukte Parameter k nnen T Konstanten T Variablen T Marken Prozeduren T Funktionen usw d h alle in einem Programm definierbaren Ob jekte sein Parameter bergabe Bei einem T Aufruf m ssen die formalen Parameter auf festgelegte Art durch die aktuellen Parameter ersetzt werden In der Informatikdidaktik hat man fr her noch dem Programmieren im Kleinen verhaftet derartige Definitionen von Prozeduren mit Parametern und die Arbeit mit diesen als schwierig eingestuft und im Anfangsunterricht zun chst nur Prozeduren ohne Parameter betrachtet Das hat sich mit wachsenden Unterrichtserfahrungen als nicht n tig erwiesen Mit den heutigen Hilfsmitteln k nnen von Anfang an komplexere Problemstellungen angegangen werden Die Komplexit t jedoch ist nur zu bew ltigen wenn man auf Konzepte zur ckgreift wie auf die der wiederverwendbaren Bausteine und die des Einsatzes von Tools Hilfsprogrammen Sol che wiederverwendbaren Bausteine sind u a Prozeduren aus Baustein Sammlungen Modu len 64 So ist z B die Prozedur PROCEDURE Input string spalte zeile INTEGER infotext
89. ar zeichnen lassen Abb 2 1 5 5 a Beispiele f r Bausteinaufrufe D Kennenlernen von Bausteinen Bausteinen kann man sich von verschiedenen Seiten n hern unter anderem so Bottom up V orgehensweise Ein Baustein entsteht aus einer Aufgabenserie mit einander hnlichen Termen oder Figuren Weitere Bausteinaufrufe erweitern die Kenntnisse Baustein als Black Box Ein Baustein ist schon bekannt oder wird vorgegeben und f r Anwendungen benutzt Top down Vorgehensweise Ein vorgegebener Baustein wird analysiert durch eine Vielzahl von Aufrufen und Beobach tung der Wirkung 69 Die Handrechnung bis zur L sung Algo DAS VERFAHREN VON HAND DURCH rithmen verstehen und entwickeln F HREN Von der White Box Dieses wird ersetzt durch schrittweise Umformungen mit Hilfe des die Grey Box Zwischenbox CAS nach den bekannten Rechenregeln Dieses wird ersetzt durch die Anwendung eines passenden CAS Black Box Bausteins mit passenden Parametern Die Abbildung zeigt 1 Ein Baustein wird schrittweise entwickelt bis er als Black Box abgelegt werden kann Aber auch der folgende Weg ist m glich 2 Ein Baustein der in Form einer Black Box vorliegt wird analysiert eine White Box ent steht Hinweis Man beachte den Startpunkt und die Pfeilrichtungen Die Handrechnung bis zur L sung White Box Algorithmen verstehen und ent DAS VERFAHREN VON wickeln HAND DURCHF HREN Startpunkt die mehrfache Anwe
90. as vorliegende Konzept tritt in verschiedensten Gebieten auf was der vielleicht wichtigste Grund f r die intensive Untersuchung von Systemen mit endlichen Zustands mengen ist Zustandsgraphen sind in der Regel immer dann geeignet wenn es um die Darstellung von Prozessabl ufen geht e Inder Informatik ist das z B bei der Behandlung von endlichen Automaten der Fall e In der Mathematik k nnen u a Markow Ketten als Beispiel genannt werden in dem Zustandsgraphen fundamental sind Um mit den Graphen zu arbeiten werden besondere Formen der Datenspeicherung z B der Datentyp Matrizen und auf den Graphendaten arbeitende Algorithmen ben tigt Die obigen Argumente sind wichtige Gr nde um hier ein ausf hrlicheres Angebot f r den Mathematikunterricht zu unterbreiten Die folgende Zusammenstellung von Begriffen und die Erl uterungen dienen u a dazu die Vernetzung zwischen den genannten Themen schon bei den Grundlagen zu verdeutlichen Hinweis Damit ist nicht etwa gemeint dass man eine Unterrichtsreihe mit diesen Begriffs festlegungen beginnen sollte Definition des endlichen Automaten Ein endlicher Automat ist ein 6 Tupel A X Y Z A Z0 X Eingabealphabet X Y und Z sind nichtleere endliche Mengen Y Ausgabealphabet Z Zustandsmenge Menge der Zust nde die der Automat annehmen kann ggf mit Endzust nden Z0 e Z ist der Anfangszustand Xx Z gt Z ist die bergangsfunktion Xx Z gt Y ist die Aus
91. ation re Verteilung suchen Fixvektor ermitteln L sung eines LGS Schritt 5b2 Interpretation der Ergebnisse aus Schritt 561 Schritt 6 Ggf weitere Modellrechnungen und deren Interpretation Schritt 7 Simulation des Versandproblems Modellbildung Schritt 1 Festlegung der Zust nde Aufbau der bergangsmatrix Veranschaulichung F r das System lassen sich Zust nde festlegen zwischen denen das System hin und her pen delt Im vorliegenden Fall sind die Anzahlen der noch unbearbeiteten Auftr ge geeignet Die Daten f r den Wechsel zwischen den einzelnen Zust nden lassen sich in sogenannten ber gangsmatrizen zusammenfassen 1 Wir gehen davon aus dass 4 Zust nde vorhanden sind zo es liegt kein Auftrag vor Z1 es liegt ein Auftrag vor Z2 es liegen zwei Auftr ge vor Z3 es liegen drei Auftr ge vor Damit hat die bergangsmatrix die Form bergang von Z3 nach Z2 128 Wenn anfangs ein Auftrag vorliegt kann man die Anfangsverteilung als Wahrscheinlich keitsvektor in der Form 0 1 0 0 schreiben Z0 Z1 Z2 Z3 In der Regel ist es n tzlich sich die Vorg nge zu veranschaulichen um so Modellvorstellun gen leichter entwickeln zu k nnen In Anlehnung an die Idee der Baumdiagramme kann das hier z B folgenderma en geschehen Kontrollzeitpunkte f r die Anzahl der vorliegenden Auftr ge 0 1 2 3 4 5 zo zo zo Z0 zo Z0 Z1 Zl 72 Z2 73 nn Z3 73 Z3 Z3 ER a 22 22 Abb 3 3 3 b Einer von vielen m glichen Wegen
92. atz eines Tools Computeralgebrasystem CAS F r die weitere Bearbeitung wird als Hilfsmittel das CAS des Taschencomputers TI 92 oder ein anderes CAS benutzt Die bergangsmatrix S wird eingegeben mit Zahlenwerten oder auch schon allgemein anschlie end wird der oben schon benutzte Baustein unter dem Na men vers a b n eingegeben Modellbildung Schritt 531 Bildung der Potenzen der bergangsmatrix F r diesen Schritt wird auf die obige Darstellung der Abituraufgabe verwiesen Modellbildung Schritt 532 Interpretation von Ergebnissen Bei der zehnstufigen bergangsmatrix das System l uft also jetzt 10 Kontrollpunkte lang f llt unter Beachtung der hier ausgegebenen 6 Nachkommastellen auf a Alle Elemente einer Spalte sind gleich b Die Zeilen der Matrix stimmen berein c Alle Elemente liegen im Intervall 0 1 d Die Summe der Elemente jeder Zeile ist stets gleich 1 130 Die Eigenschaften c und d sind die bekannten Eigenschaften von stochastischen Matrizen Es gilt der leicht auch allgemein nachrechenbare Satz Das Produkt zweier stochastischer Matrizen also auch das Produkt einer stochastischen Matrix mit sich selbst ist wieder eine stochastische Matrix e Bei den folgenden Potenzen ndern sich die Werte bei 6 Nachkommastellen nicht mehr Es gilt anscheinend S S allgemeiner S S f r gro e n Wir nehmen eine Zeile von S und rechnen mit dem TI 92 nach 1 Fer F
93. auch im Informatik Duden mehrfach verwendete Begriff Baustein wird dort nicht wei ter definiert F r die mathematischen Betrachtungen in dieser Arbeit sind die oben genannten Punkte 1 und 2 von Interesse Aus Sicht der Informatik sind Module in der Regel Einheiten innerhalb gr erer Systeme Diese Auffassung spiegelt sich jedoch in den konkreten Aufga benstellungen der Schulmathematik nur bedingt wider Der in dieser Arbeit verwendete Bau steinbegriff kn pft daher eher an den Prozedurbegriff und den Funktionsbegriff an 59 Im Informatik Duden 1993 Seite 433 f hei t es dann auch Das Modulkonzept geht in seiner Leistungsf higkeit ber das Prozedurkonzept hinaus W hrend sich beim Prozedurkonzept die Zerlegung auf die operationale Ebene beschr nkt d h nur eine Operation kann in mehrere andere zerlegt werden verallgemeinert das Modul konzept diese Idee auf die Daten und Operationsebene Daten Datentypen Variablen Kon stanten und Operationen darauf Prozeduren Funktionen werden zu einer Einheit einem Modul zusammengefa t 2 1 5 2 Das Prozedurkonzept Bei der Besch ftigung mit informatischen Ans tzen f r den Mathematikunterricht muss auch auf die Rolle des Programmierens im Mathematikunterricht eingegangen werden N here Ausf hrungen hierzu folgen in Kapitel 2 1 6 Dabei sind auch die hier folgenden Ausf hrun gen ber das Prozedurkonzept von Bedeutung Zu den wichtigsten Strategien des Programmiere
94. aus 7 O Kerner Numerische Mathematik mit Kleinstrechnern VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1985 10 INPUTa x0 20 LETx1 x0 a x0 2 30 PRINT x1 40 LET x0 x1 50 STOP 60 GOTO 20 Nach der Eingabe von z B a 2 und x0 1 h lt das Programm mit der Anzeige des Wertes xl 1 5 an Es wird nach einem Tastendruck in Zeile 20 fortgesetzt und liefert immer bessere N herungswerte f r V2 Ein hnliches Programm w rde heute z B mit dem CAS Taschencomputer TI 92 programmiert werden Mit einem CAS geht es aber auch anders und f r Sch ler und Lehrer einfacher Hierzu sp ter mehr in Kapitel 2 1 7 Beispiel 2 Der 3a 1 Algorithmus Eng77 S 11 Dieser Algorithmus beginnend mit a erzeugt Zahlenfolgen die nach einer endlichen Anzahl von Schritten enden oder auch nicht Er k nnte im Mathematikunterricht z B beim The ma Folgen benutzt werden und dort zur experimentellen Arbeit dienen 1 Starte mit einer beliebigen nat rlichen Zahl a 2 Falls a 1 beende das Programm 3 Falls a gerade ist ersetze a durch a 2 und fahre bei 2 fort 4 Falls a ungerade ist ersetze a durch 3a 1 und fahre bei 2 fort 20 Engel gibt das folgende BASIC Programm an 10 INPUTA 20 PRINT A 30 IF A 1 THEN 90 40 IF A 2 lt gt INT A 2 THEN 70 50 A A 2 60 GOTO 20 70 A 3A 1 80 GOTO 20 90 END Hinweis Eine Bearbeitung des Problems mit einem CAS und dem Programm ANIMATO folgt in Kapitel
95. ausgew hlte Algorithmen zu kennen Hier ist in erster Linie an die mathematischen Standardalgorithmen im Schulunterricht zu denken Will man Algorithmen studieren so ist man jedoch nicht unbe dingt auf die Realisierung in einer Programmiersprache angewiesen Vielmehr geht das auch durch grafische Darstellungsformen wie z B Flussdiagramme und Struktogramme oder durch die Analyse von Bausteinen Hier ber wurden bereits oben Aussagen gemacht siehe Kapitel 2 1 5 und Kapitel 2 1 6 Unterrichtserfahrungen und viele Beitr ge zum Computereinsatz im Mathematikunterricht weisen nach dass sich mit dem Computer die M glichkeiten experimentellen Arbeitens er heblich vergr ert haben siehe z B Eng91 Leh94a Leh99b Tie77 B h02 Schum01 Her90 Damit verbessert sich auch die Situation bez glich der Verwendung heuristischer Methoden CAS Programmierfans Angesichts dieser Entwicklung verwundert es dass einige Lehrer sich offensichtlich dem Programmieren in CAS verschrieben haben Hierf r ist eine Programmiersprache n tig die z B vom CAS des TI 92 in einer Form angeboten wird die bei l ngeren Programmen leicht zu den l ngst von der Informatik abgelehnten Spaghetti Codes f hrt Die folgenden Programmbeispiele dienen dazu einige Abgrenzungen zwischen Probleml sungen ohne bzw mit Programmen zu erm glichen Das Schreiben von Programmen im Programmeditor des TI 92 Schon bei dem folgenden kleinen Programm sind einig
96. bb 1 1 a TIMSS und PISA siehe S 180 mit ihren schlechten Ergebnissen f r den deutschen Mathe matikunterricht und ihren m glichen Folgerungen waren noch nicht im Gespr ch Neue Auf gabenkultur offene Unterrichtsformen in heutigem Sinne und Einfl sse von Computer algebrasystemen oder Internet lagen noch in weiter Ferne e il fi xr ta gy aA Aray ak _ Rechnen Heute mit einem Computeralgebrasystem Abbildung 1 1 a Mathematik Unterricht 1954 Die seinerzeit gestellten Abituraufgaben vom 6 12 1954 Abb 1 1 b w rden in dieser Form zur Zeit von keiner Genehmigungsstelle ihre Zustimmung erhalten e Die zu erbringenden Teilleistungen werden dem Sch ler nicht deutlich e die Anforderungen sind also zu wenig detailliert e zu wenig Analysis w ren vermutlich einige der Einw nde vielleicht w rde es auch hei en Zu schwer Heute stellt sich zus tzlich die Frage wie weit hier Rechnereinsatz m glich ist denn schlie lich sind hier diverse komplexe Rechnungen und Zeichnungen durchzuf hren f r die ein 1 2 Grundlegende konzeptionelle berlegungen 1 2 1 Zusammenh nge zwischen Mathematik und Informatikunterricht Die Darstellung in diesem Teilkapitel dient einer ersten Einf hrung in die bei der Verkn p fung mathematischer und informatischer Inhalte und Methoden entstehenden Probleme Sie ist gleichzeitig Grundlage und Begr ndung f r die ausf hrlichen Darstellungen der einzelnen Aspekte in sp t
97. ch ler als ge w hnlich auch f r den mathematischen Anteil am Gesamtproblem zu interessieren Bei einem derartigen Ansatz zeigt sich erfahrungsgem immer wieder dass eine breite Sch ler kompetenz f r die verschiedensten Bereiche vorliegt Diese gilt es auszunutzen indem man sie im Unterricht allen Beteiligten zur Verf gung stellt Der Sch lerspezialist bringt sein Wissen ein p E Sch ler e im Unterrichtsgespr ch e in Form eines Vortrags unt erricht en e bei der Partnerarbeit Sch ler e durch Hilfestellung f r andere Sch ler gruppen usw 32 Sch ler werden zu Hilfslehrern nach dem Motto Sch ler unterrichten Sch ler in Bereichen in denen dem Lehrer m glicherweise Kompetenz fehlt aber auch in Bereichen in denen er diese Kompetenz durchaus hat Aber der Lehrer muss ja aus p dagogischen Gr nden nicht alles an die Sch ler weitergeben was er zu dem Thema wei Denn Steuerung des Unterrichts und der Unterrichtsinhalte durch die Sch lerinnen und Sch ler bedeutet gleichzeitig mehr Motivation f r diese Weitere Ausf hrungen zum Thema Selbstst ndigkeit bei Sch lern findet man z B in Lehmann E 2000 Neues Lernen neue Medien selbst ndige Sch ler innen ZKL Texte M n ster 2000 Hrsg Udo Amelung Projektartige Arbeitsformen F r die F rderung selbstst ndiger Arbeit bei Sch lern eignen sich in besonderem Ma e pro jektartige Arbeitsformen Nach einem Proj
98. ch am weitesten verbreitet ist Auch das in der Abituraufgabe in Kapitel 3 1 3 angegebene lineare Gleichungssystem mit 10 Variablen und 8 Gleichungen weist viele Nullen und wenige Einsen auf Der Sachverhalt kann schon an wenig umfangreichen Matrizen demonstriert werden wozu auch ein CAS gut geeignet ist Ein erster Hinweis auf die Problematik findet sich schon bei der normalen Einga be einer Matrix in ein CAS In der Regel wird dort zun chst eine Matrix mit lauter 0 Elementen angegeben so dass eine Eingabe bei wenigen Elementen ungleich Null schnell erledigt ist Datenspeicherung einer Permutationsmatrix 0 0 1 Speicherung als 3 3 Matrix PMI emi R O 1 2 Aufruf der Einsen durch Angabe der Position O 1 08 Wenn man wei dass die Elemente nur 0 oder s pmili 1 pmil2 3 pmil3 2 J 1 sind reicht auch die Speicherung der Positio i 1 1 nen an denen eine 1 steht Das spart deutlich an J n rl ar a Speicherplatz x 3 Der Befehl matlist pm1 f hrt zu einer Um i wandlung der Matrix PM1 in eine Liste LISTEI 0 1 O 1 83 LMAIN RAD APPROX FUNC 5714 Abb 3 1 4 a 98 Wie erwartet f hrt der Aufruf der Listenele mente an den Positionen 1 6 und 8 zu den dort HOSES 0 0 0 0 1 0 g a stehenden Einsen Nach diesen einleitenden s listei l1 listei l6 listei 5 H i Bemerkungen wird nun der Aufbau einer 3 3 Matrix mit Einsen an den Positionen 1 1
99. chinenmodell ist ein wichtiges Modell zur Untersuchung von Grundlagenproblemen der theoretischen Informatik in Zusammenhang mit dem Begriff Berechenbarkeit und dem Haltepro blem 114 3 3 2 Das Busy Beaver Problem Turingmaschinen Man nehme ein nach beiden Seiten unendliches Band das Bandalphabet und eine Turingmaschine mit n Zust nden Z0 Z1 Z2 Z n 1 und einem zu s tzlichen Haltezustand ZE In jedem Schritt soll die Turingmaschine eines der Symbole oder schreiben und eine Bewegung nach links oder rechts machen oder aber anhalten Die Tu ringmaschine mit n Zust nden die auf dem anfangs leeren Band anfangs lauter Zeichen die meisten Striche schreibt erh lt den Titel flei iger Biber die Strichfolge darf L cken enthalten Gr nde f r die Besprechung des Busy Beaver Problems im Mathematikunterricht 1 Das Problem ist f r kleine n n aus 1 2 3 4 leicht l sbar siehe folgende Seiten aber f r gr ere n ist ein regelrechter Wettbewerb entstanden bei dem zu einer vorgegebenen An zahl n von Zust nden immer flei igere Biber konstruiert wurden Insofern findet das Problem auch bei Sch lern gro es Interesse Nach meinen Erfahrungen ist es ein Selbstl ufer 2 Es gibt zahlreiche M glichkeiten das Problem in der Schule anzugehen Materialsuche im Internet oder in der Literatur Vorgabe und Analysieren von Algorithmen eigenes Entwickeln von Algorithmen als Tabellen Zus
100. d zoomen die Zeichnung um den vermutlichen Grenzpunkt herum Abb 3 2 f Zoom um den Konvergenzpunkt herum Abbildung 3 2 g erg nzt die bisherigen Darstellungen und zeigt die Ortskurven der A B C Punkte so wie sie auch in Abbildung 3 2 f erkennbar sind In Eberhard Lehmann Von den Mittendreiecken zu Teilpunktpolygonen Zeitschrift ML Mathematikleh ren 1988 Heft 27 Seite 13 19 werden zu den oben benutzten rekursiv definierten Formeln f r die x Werte fl n 1 7 fl n 1 tu f2 n 1 14u f2 n 1 6 f2 n 1 u f3 n 1 1 u f3 n 1 1 f3 n 1 u f1 n 1 1 u explizite Formeln hergeleitet mit denen dann der Grenzwert der Folgen exakt berechnet wer den und als Schwerpunkt des Dreiecks identifiziert werden kann 106 Abb 3 2 g Die drei Punkt Folgen im Koordinatensystem Zusammenfassung und Ausblick Der informatische Anteil dieses Kapitels bestand in der Bereitstellung geeigneter Animations software und deren funktionaler Programmierung Da die Sch ler mit dieser Software durch die Wahl verschiedener Optionen gestalterisch t tig werden k nnen kommt die hier auf Pa pier nicht darstellbare Dynamik der Figuren bei der Arbeit am Rechner voll zum Tragen so dass eine motivierende Unterrichtsreihe entstehen kann Die sich aus den Bildschirmdarstel lungen ergebenden Vermutungen k nn
101. de Verwendung Verwendung in der Informatik in der Mathematik Modellierung Bearbeitung komplexer Pro Bearbeitung komplexer Pro Zerlegung in Teilprobleme bleme bleme siehe Kapitel 2 1 2 2 1 3 Projektmethode Bearbeitung komplexer Pro bleme Software Life Cycle SLC Bearbeitung umfangreicherer Problemstellungen ange passter SLC Ausarbeitung in Kapitel 2 1 4 Analyse Techniken Analysieren von Program men Entdecken von Algo rithmen Analyse von Probleml sun gen Entdecken von L sungs verfahren siehe Kapitel 2 1 5 5 2 1 6 Modulkonzept Prozedurkon zept Wiederverwendung von Modulen und Prozeduren Wiederverwenden von Mo dulen und Algorithmen bei anderen Problemstellungen Wiederverwenden vorhande ner Teil Probleml sungen Wiederverwenden von Mo dulen und Algorithmen bei anderen Problemstellungen Wiederverwenden vorhande ner Teil Probleml sungen Bausteindefinitionen siehe Kapitel 2 1 5 Programmieren Softwareerstellung Kleine Programme zu ausge w hlten mathematischen Al gorithmen Ausarbeitung in den Kapiteln 1 3 1 und 2 1 6 Abb 1 2 3 a Ausgew hlte Methoden der Informatik CAS Computeralgebrasystem in der Zeit abnehmender Hand Rechenkompetenzen gute Hil fe leisten k nnte Abituraufgaben mathematischer Zug Abi tur 19 5 4 gestellt am 6 12 1954 an der Schadow Oberschule in Berlin Zehlendorf 1 Wie weit sind zwei Punkte
102. dere ergibt sich die Frage wann die Maschine anhalten soll Wenn man z B mit seinem Algorithmus bei 501 Strichen und damit bei einem m glichen Maximum in Zustand Z3 angekommen ist ergibt sich die Frage ob man durch Fortsetzung z B mit Z3 R Z1 vielleicht noch zu einer h heren Strichzahl kommt oder ob man anhalten soll Z3 R ZE Nachdem der Umgang mit dem Busy Beaver Problem durch verschiedene Aktivit ten gefe stigt ist kann man sich Fragen zuwenden die zu allgemeineren Aussagen f hren Satz 1 Zu jeder Anzahl n von Zust nden muss ein Busy Beaver existieren Die Aussage ist plausibel da zu dem Busy Beaver eine spezielle Turingtafel geh rt und es ersichtlich nur endlich viele Turingtafeln zu jedem n und dem Bandalphabet B2 gibt Satz 2 sagt aber noch Pr ziseres aus Satz 2 Die Anzahl der Turingmaschinen mit n Zust nden betr gt T n 4 1 Beweis Zum besseren Verst ndnis werden die allgemeinen berlegungen mit dem Spezialfalln 3 unterst tzt Hierzu ist die obige Darstellung des Algorithmus in Tabellenform n tzlich Algorithmus in Tabellenform als Turingtafel Aktueller Aktueller Bandinhalt ist Aktueller Bandinhalt ist Zustand Abb 3 3 2 h Z0 L Z2 1 1 R Z1 1 2 Z1 R Z1 2 1 L Z0 2 2 L1 1 2 Z2 L ZE BD 4L Z1 3 2 and ale Tobellen ZE K positionen 119 n Zust nde dazu kommt ein Endzustand
103. deutlich Das mathematische Bild ansehen interpretieren analysieren fragen wie es zustande kommt Das Bild liegt fer tig vor den Entstehungsvorgang sehen Zusammenh nge besser erkennen den Entstehungsprozess gedanklich nachvollziehen Das Bild entsteht dynamisch in den Entstehungsprozess eingreifen z B durch Parametervariation und nderung von Einstellungen Das Bild wird va riiert Das Bild und den Erzeugungsprozess eigen es st ndig entwerfen und dabei Das Bild wird die mathematischen Zusammenh nge selbst eigenst ndig finden und hergestellt den Ablauf gestalten mathematisch k nstlerisch 7 4 h here Lernziele Abb 2 1 7 3 h Bedeutung des eigenen Handelns bei der Bilderstellung Der Anspruch an den Sch ler steigt je mehr er selbst t tig wird Gleichzeitig werden damit h here Lernziele erreicht Die Motivation f r eine derartige Arbeitsweise ist hoch 90 Abschlie end wird eine Empfehlung zur Rolle des Programmierens im Unterricht vorgelegt Baustein und Pro grammieraktivit ten im M Unterricht in CAS Im Leistungskurs In Klasse 11 im Grundkurs Im Klassenunterricht 7 10 Aktivit ten von 7 bis 10 ansteigend Benutzen Aufrufen fertiger Bausteine z B seg i 2 1 1 10 ja ja ja Selbstdefinieren und Benutzen von Baustei nen Funktionen mit Parametern z B m x n gt gerade x m n ja ja Experimentieren mit Bau
104. die Eingabe eines Dateinamens der maximalen L nge 12 erwartet Dieser darf nur aus den angegebenen Zeichen bestehen Wieder zeigt Input_string seine F higkeiten Beide oben genannten Bausteine und weitere Eingabe Bausteine sind in einer Prozedursammlung gespeichert F r die Mathematik kann eine solche Sammlung eine Bausteinkiste werden aus der wir uns je nach Bedarf Bausteine heraussuchen und miteinander kombinieren k nnen Die Erfahrungen haben gezeigt dass den Sch lern derartige Prozedur Aufrufe mit Pa rametern schon im Informatik Anfangsunterricht nicht schwerfallen sofern die Bedeu tung der Parameter klar dokumentiert ist Mit Hilfe von Bausteinen wird in der Informatik auch die Programmierung komplexer Systeme m glich Das Programmieren solcher Systeme wird damit zu einem erheblichen Teil ein Zerlegen in Teilsysteme Module und ein Konfigurieren passender Bausteine Prozeduren Funk tionen k nnen also in dem oben beschriebenen Sinne als Bausteine f r umfangreichere informatische Probleml sungen bezeichnet werden An diese Erfahrungen kann der Mathematikunterricht ankn pfen denn in entsprechender Weise kann nun auch von der Anwendung von Bausteinen f r mathematische Probleml sungen gesprochen werden 65 2 1 5 4 Das Bausteindreieck Die folgenden Ausf hrungen liefern grundlegende Informationen ber die didaktisch methodischen M glichkeiten des Bausteineinsatzes Bausteine mit Parameterbelegun mit ander
105. dsgraphen in Informatik und Mathematik ein l ngeres Projekt 3 3 1 Endliche Automaten und Markow Ketten 3 3 2 Flei ige Biber das Busy Beaver Problem Turingmaschinen 3 3 3 Ein Versandproblem Markow Ketten Vernetzung zwischen Mathematik und Informatik 3 3 4 Das Crap Spiel Markow Kette und endlicher Automat 3 4 Ideen f r weitere mathematisch informatische Themen 3 4 1 Ausgew hlte mathematische Funktionen der Informatik unter mathematisch informatischen Aspekten 3 4 2 Der 3a 1 Algorithmus ein Projekt f r wenige Stunden 3 4 3 Mathematische Aspekte aus der Kryptologie 3 4 4 Zufallszahlen Grundlage f r Simulationen 3 4 5 Einige Elemente der Computergrafik 3 4 5 1 Abbildungsgeometrie mit Matrizen 3 4 5 2 Weitere Probleme aus der Computergrafik 3 4 6 Unerwartetes in Bildern 3 5 Lineare Algebra ein Kurskonzept mit Matrizen Computereinsatz und informatischen Anteilen 4 Zusammenfassung Literaturverzeichnis 70 12 78 78 79 81 92 92 92 93 95 97 100 107 108 114 122 122 135 142 142 147 150 152 155 155 158 159 167 171 177 1 Grundlagen f r die Entwicklung von Konzepten zur Einbeziehung informatischer Aspekte und zum Computereinsatz im Mathematikunterricht 1 1 Eine Abiturklausur aus dem Jahr 1954 1954 konnte mein Mathematiklehrer seinen Vortrag zur analytischen Geometrie noch unbe helligt von den heutigen Sorgen des Mathematikunterrichts darbieten A
106. e problemo rientierte offene Ans tze sind selten Die vorherrschende Unterrichtsform ist das Unterrichts gespr ch Ein mathematisches Projekt in dem ein Team an einem komplexen Problem h u fig realit tsnah aber auch innermathematisch arbeitet setzt ein entsprechendes Engagement des Lehrers voraus und erfordert einigen Mut desselben Mut zur Abweichung von engen Lehrplanvorgaben zu einem gro z gigen Zeitrahmen zu einer anderen aufwendigeren Unterrichtsform sich neuen Anforderungen didaktisch methodischer Art zu stellen einen m glicherweise ungewissen Ausgang zu erleben zur Bew ltigung berraschender Situationen und Probleme Projektunterricht kann f r die Beteiligten besonders interessant sein Er bringt aber auch etli che Schwierigkeiten mit sich auf diese wird unten n her eingegangen Zun chst werden einige Intentionen von Projektunterricht formuliert die nicht nur auf den Mathematikunter richt zutreffen sie werden diesen dabei aber besonders ber cksichtigen Projektunterricht ist eine besondere Arbeitsform die ihre eigenen Ziele hat Mit der Projekt arbeit werden neben den mathematischen Zielen allgemeine Ziele angestrebt u a 55 Teamf higkeit entwickeln einzeln und im Team Entscheidungen treffen k nnen Kritikf higkeit zu eigener und fremder Arbeit entwickeln Artikulationsf higkeit entwickeln Notwendigkeit und Sinn von Arbeitsteilung einsehen selbstst ndig arbeiten k nnen Erlangen von Pla
107. e Geometrie f hren 33 Selbstverst ndlich darf im Unterricht nicht nur mit offenen Problemstellungen gearbeitet wer den Einseitigkeit in Aufgabenkultur und Unterrichtsform sollte stets vermieden werden Selbst eine anfangs attraktiv erscheinende Form bleibt f r die Sch ler nicht auf Dauer attraktiv M gliche Aufgabenstellungen ergeben sich aus Abbildung 1 4 h Je nach Kenntnisstand der Lerngruppe und auch der Kompetenzen des Lehrers k nnen die genannten M glichkeiten ausgesch pft werden A Nicht offene Aufgaben B Offene Aufgaben aber ohne C Nicht offene Aufgaben Computereinsatz aber mit Computereinsatz D Offene Aufgaben mit Com putereinsatz Abb 1 4 h Offene Aufgabenstellungen ohne und mit Computereinsatz Die h chsten Anforderungen an die Lehrerkompetenzen stellen die offenen Aufgaben mit Computereinsatz Beispiele Zu A Berechne die Ableitung der Funktion y x durch ausf hrliche Herleitung mit Hilfe des Grenzwerts des Differenzenquotienten Zu B Ermittle die Ableitung der Funktion y x Hier sind die Wege frei gestellt z B wie bei A oder grafisch oder mit Hilfe der Produktregel f r y x x oder Zu C Ermittle die Ableitung der Funktion y x mit Hilfe deines CAS Zu D Erstelle eine Computer Animation die den Vorgang bei der Bildung des Grenzwerts der Differenzenquotientenfunktion zur Funktion y x verdeutlicht 34 1 4 2 Aufgabenbeispiele eine Klausur Die folgenden
108. e Kurse sind f r gute Grundkurssch ler und f r Leistungskurssch ler ge dacht und sollen auf Leistungskursniveau stattfinden Im Lehrplan werden u a folgende Themen genannt Inzidenzgeometrie Nichteuklidische Geometrie Logik Zahlentheorie Numerische Mathematik Differentialgleichungen Unendliche Reihen Markowketten Der Senator f r Schulwesen Berufsausbildung und Sport Rahmenpl ne Berlin Fach Mathematik Gymna sium Juni 1990 Diese Kurse sind deshalb besonders geeignet weil sie dem Lehrer wegen der Freir ume gute Gestaltungsm glichkeiten geben Gewisse Freir ume finden sich auch im Profilkurs Mathe matik Klasse 11 Diese lassen sich von einem kundigen Lehrer auch f r informatische Ans t ze nutzen Bei allen genannten Unterrichtsangeboten aber auch im normalen Mathematikun terricht k nnten Vernetzungsm glichkeiten zur Informatik genutzt werden Insgesamt kann man zur Zeit von folgender Situation ausgehen Unterricht mit informatischen Aspekten in den Standardgebieten der Sekundarstufe 2 Der f r den Mathematikunterricht zur Zeit wohl wirkungsvollste und weitestgehende Ansatz f r eine Verkn pfung mathematischer Inhalte und Methoden mit informatischen kann f r die drei Standardgebiete Analysis Lineare Algebra Analytische Geometrie und Stochastik for muliert werden Hier lassen sich diverse Themen in den Lehrpl nen finden die daf r geeignet erscheinen wobei auch gebiets bergreifende Them
109. e Programmierkenntnisse n tig 1 Fer Frey Fury FE Fir ev Yi F E iaa 421555464 5 ro 54236322545 4 For 1 1 0 seycrandta k 1 b sc sales 4 14 2246 2 Dise c 12 2 S A E E O R E a E Por 246245632432 J 5 1521422235 5 55624323334 4 44362512022 6 Abb 2 1 7 3 a Abb 2 1 7 3 b 83 Beispiel 1 satz a b d Erzeugung von W rfelzahlen Mit diesem kleinen Programm k nnen u a W rfelzahlen erzeugt werden aus denen man ab lesen kann wann ein vollst ndiger Satz erreicht ist jede W rfelzahl muss mindestens einmal vorkommen Der Aufruf satz 6 12 8 liefert die obige Tabelle Beispiel 2 trapez a b n Fl cheninhaltsberechnung Hier wird eine Trapezformel zur n herungsweisen Fl cheninhaltsberechnung zwischen Graph und x Achse definiert Der Anspruch ist hier schon erh ht Func Local h term1 term2 i b a n h f a f b gt term1 I f ati h i 1 n 1 gt term2 h 2 term1 2 term2 EndFunc Beispiel 3 drawtrap a b n Trapeze auf den TI Bildschirm zeichnen Hier wird die Grenze des Programmierens f r einen normalen Mathematikkurs deutlich ber schritten Ein derartiges Programm sollte bestenfalls vom Lehrer oder von kompetenten Sch lern z B aus Informatikkursen hergestellt werden Es kann dann aber von allen benutzt oder auch als Demonstrationsprogramm eingesetzt werden drawtrap a b n Prgm Local h i Festlegung des x Achsen Bereiches a b a 10 gt xmin a b a 10 gt xma
110. e Prozeduraufrufe k nnen an jeder Stelle des Anweisungsteils des Programms erfolgen PROCEDURE Prozedurbezeichner gt Bock gt formale Parameter BEE Prozedur Kopf BE Prozedur Rumpf 60 Beispiel in der Programmiersprache TURBO PASCAL Prozedurvereinbarung PROCEDURE Gehe_zu_Position x y INTEGER BEGIN gr Block END Prozeduraufruf innerhalb eines l ngeren Programms Gehe_zu_Position 12 14 F r die Unterrichtsarbeit ist die Unterscheidung zwischen Prozedurvereinbarung und Proze duraufruf besonders wichtig Die im Prozedur Kopf m glicherweise genannten Parameter sind so genannte formale Para meter Beim Prozeduraufruf werden sie ersetzt durch die aktuellen Parameterwerte Dabei muss auf gleiche Reihenfolge der Parameter geachtet werden 4 Prozedurarten Es gibt verschiedene Arten von Prozeduren Aufrufbeispiele Prozeduren ohne Parameter Clrscr l sche Bildschirm Prozeduren mit Parametern Gehe zu Position 12 14 Funktionen ohne Parameter y xX X Funktionen mit Parameter y potenz basis hochzahl Funktionen sind besondere Prozeduren die bei einem Aufruf stets einen Wert zur ckliefern und damit Teil einer Anweisung sind w hrend ein Prozeduraufruf eine eigene Anweisung ist Bausteine Prozeduren Funktionen k nnen in dem oben beschriebenen Sinne als Bausteine f r um fangreichere informatische Probleml sungen bezeichnet werden In entsp
111. e ist das Verhalten der Folge bei anderen Startwerten Notiere deine Feststellungen Einige Ans tze ergeben sich aus dem folgenden Text L sungen Bemerkungen zur Problemstellung Der informatische Anteil e In ANIMATO kann man so programmieren Programmzeilen Erl uterungen fl 3 Startwert der Folge f2 n 1 f1 f2 n 1 2 int f2 n 1 2 f2 n 1 2 3 f2 n 1 1 Wenn n 1 dann fl nehmen andernfalls wenn der Vorg nger ungerade dann die H lfte des Vorg ngers nehmen andernfalls das 3 Fache des Vorg ngers 1 nehmen f3 7 f4 n 1 f3 f4 n 1 2 int f4 n 1 2 f4 n 1 2 3 f4 n 1 1 Entsprechend wie oben Der ANIMATO Algorithmus f hrt zu der folgenden Wertetafel x t f2 f4 x t f2 f4 x t f2 f4 1 3 7 7 2 26 13 2 16 2 10 22 8 1 13 14 1 8 3 11 9 4 40 15 4 4 4 16 34 10 2 20 16 2 2 5 17 11 1 10 17 1 1 6 4 52 12 4 5 18 4 4 usw Wiederholung der Teilfolge 4 2 1 e L sung f r den Taschencomputer VOYAGE 200 oder f r TI 92 Plus o 1 2 0 TAR o a a E A u Cn when kmod lt ul n 1 2 0 u RAD APPROX SER MAIN Abb 3 4 2 d when mod ul n 1 2 0 ul n 1 2 3 ul n 1 1 Startwert ist hier gleich 3 150 Weitere Anregungen zum Experimentieren e Startwert Anzahl der Schritte bis zum Abbruch bei a 3 ist s 8 bei a 7 ist s 17 Startwert mit gez hlt Systematisches Vorgehen den Startwert laufen lassen Maximales El
112. eare Algebra Analytische Geometrie B Einige Kursinhalte werden mit informatischen Fragestellungen angereichert B F r diese Situation werden die folgenden Vorschl ge unterbreitet 3 2 Eine mathematisch informatische Entdeckungsreise Teilverh ltnisse auf Dreiecksseiten ein weiteres Projekt f r wenige Stunden z B Klasse 11 rekursiv definierte Folgen 3 3 3 Ein Versandproblem Markow Ketten Kurs Lineare Algebra oder Stochastik 3 3 4 Das Crap Spiel Markow Kette und endlicher Automat Kurs Lineare Algebra oder Stochastik 3 4 2 Magische Quadrate z B Kurs Lineare Algebra 3 4 4 Zufallszahlen Grundlage f r Simulationen Stochastikunterricht 3 4 1 Ausgew hlte mathematische Funktionen der Informatik unter mathematisch informatischen Aspekten Klasse 11 oder Kurs Analysis 3 4 5 Einige Elemente der Computergrafik u a Kurs Lineare Algebra 172 Unterrichtssituation Hinweis Das ein oder andere Thema passt zu mehreren Situationen Angebot in der vorliegenden Arbeit C Neue im Kursplan in der Regel nicht vorge sehene mathematisch informatische Inhalte Teilthemen k nnen auch als bungsaufgaben zu verschiedenen Gebieten aufgefasst werden C 3 1 Der 3a 1 Algorithmus ein Projekt f r wenige Stunden 3 4 3 Mathematische Aspekte aus der Kryptologie 3 4 6 Unerwartetes in Bildern Unterrichtliche Verwendung in verschiedenen Gebieten D Mathematisc
113. ei n Zust nden bis der Busy Beaver ermittelt ist und S n Anzahl der Schritte bei n Zust nden bis der Busy Beaver ermittelt ist sind nicht berechenbare Funktionen Der Beweis dieses Satzes ist f r den Schulunterricht wohl zu schwierig Man findet ihn u a im Internet bei Reinhard V ller http www informatik fh hambung de voeller th thinf node16 htm Au erdem wird erneut auf das oben genannte Buch Gas92 verwiesen An der gleichen Stelle findet man auch einen Kandidaten f r einen Busy Beaver mit 6 Zu st nden Nach den dortigen Angaben soll das folgende Programm f r diese Arbeit etwas um geschrieben 95 524 079 Striche erzeugen und nach 8 690 333 381 690 951 Schritten anhal ten Hier das Programm ZO R ZO ZO R Z1 Z1 L Z1 Z1 L Z2 Z2 1 L Z3 Z2 R Z5 Abb 3 3 2 1 Auf der Suche nach einem Z3 L Z4 Z3 R ZO Busy Beaver f r n 6 Zust nde zzgl Z4 l L Z5 Z4 L ZE einem Endzustand ZE Z5 L Z2 Z5 L Z0 Zusammenfassung Die Darstellung d rfte gezeigt haben dass die obigen Inhalte auch f r einen Mathematik Leistungskurs geeignet sind Besondere Informatikkenntnisse sind nicht notwendig man kann mit dem Thema quasi bei Null anfangen Der Wert der Betrachtungen f r einen Mathematikkurs liegt u a in dem Kennenlernen Benutzen und Entwerfen ungewohnter Algorithmen und nicht berechenba rer Funktionen Sollte der
114. ein in der Regel ist nur so der Antrieb f r die Sch ler vor handen um ein Projekt durchzustehen Dabei geht es u a um die Dokumentation der Projekt arbeit und das Aufbereiten der Ergebnisse z B mit Textverarbeitung und Grafik F r Mathematikprojekte Entsprechendes gilt f r alle F cher sind z B folgende Formen der Ver ffentlichung m glich 1 Aushang von Projektergebnissen auf Tafeln im Klassenraum oder an anderen geeigneten Stellen in der Schule oder auch bei ausw rtigen Veranstaltungen 56 2 Zusammenfassung der Ergebnisse in einem kleinen Projektbuch das jeder Projektteil nehmer erh lt Das Projektbuch kann aber auch noch zur Pr sentation andernorts dienen oder gar gegen ein kleines Entgelt Auffrischung der Klassenkasse abgegeben werden 3 Benutzung des Projektbuches in anderen Lerngruppen 4 Ver ffentlichung einer Projektbeschreibung in der Sch lerzeitschrift vielleicht sogar in einer Fachzeitschrift 5 Die Erfahrungen zeigen dass sich die Sch ler zur Dokumentation des Projektes in zu nehmendem Ma e der neuen Medien bedienen e Benutzung eines Textverarbeitungsprogramms e Scannen von Bildern e Herstellen von Grafiken mit Grafikprogrammen usw Diese Ans tze f hren dann auch dazu dass beispielsweise e Ergebnisse in das Internet gestellt werden e Dokumentationen und eventuell Programme auf eine Diskette oder eine CD gebracht werden Die Rolle des Lehrers bei Projektarbe
115. ekt mit dem Thema Besondere 2 2 Matrizen Klasse 11 schreibt ein Sch ler siehe Leh94a 8 67 Die Sch ler konnten als Individuen arbeiten und ihre Pers nlichkeit entwickeln Die Sch ler konnten frei arbeiten und hatten nicht diesen Druck des Lernens Der Lehrer gab den einzelnen Gruppen nur Hinweise Die Teamarbeit spielt bei der Projektarbeit eine gro e Rolle Die Sch ler mu ten aufein ander eingehen haben gelernt Formeln Beweise und Behauptungen zu konstruieren was nicht im mer leicht war Die Projektarbeit hat viele Vorteile Das Lernen in kleinen Gruppen f llt leichter der Unterricht ist lockerer und Vieles mehr Aber auch die Nachteile sind nicht zu bersehen Die einzel nen Teams fixieren nur bestimmte Themen und dadurch muss das was von den anderen Gruppen zu sammengestellt wurde nachgearbeitet und gelernt werden z B f r die Klausur Projektunterricht wird angesichts seiner Bedeutung u a f r die Entwicklung der Sch ler pers nlichkeit Selbst ndigkeit und der Erarbeitung von Probleml sungen im Team Kapitel 2 1 4 ausf hrlicher dargestellt Vorab ein Beispiel Vom Einheitskreis zur Ellipse xa 051 i cos t yA 0 6 1 sin 0 51 Abb 1 4 g Abbildung des Einheitskreises mit einer Matrix l 6 r Das Ergebnis ist eine Ellipse Variationen der Matrixelemente oder auch des Ausgangsobjektes kann leicht zu einem Pro jekt z B im Kurs Lineare Algebra und Analytisch
116. ektronischer Geldtransfer Versenden von Nachrichten in Netzen elektronische Unterschrift gro e Bedeutung erhalten Einige mathematische Grund lagen der Kryptologie k nnen somit praxisbezogen handlungsorien tiert aber auch im historischen Zusammenhang im Unterricht behan delt werden ohne jeweils vollst ndig pr zisiert werden zu m ssen h ufig gen gt statt eines Beweises beispielhafte Verdeutlichung Der RSA Algorithmus kann nur an kleinen Primzahlen demonstriert werden Unterrichtsziele Die Sch ler sollen Texte verschl sseln und entschl sseln nach ver schiedenen Methoden Einige Aspekte zur Sicherheit der Verfahren sind zu untersuchen Die historische und aktuelle Bedeutung der Kryptologie soll verdeutlicht werden Lerninhalte Hinweise l Klassische Verfahren Monoalphabetische Chiffrierungen Transpositionschiffre Verschiebeschiffre Verwendung eines Schl sselwortes und eines Schl ss buchstabens Polyalphabetische Chiffrierungen K to e Das RSA Verfahren Schl sselerzeugung Verschl sselung Entschl sselung Es sollte deutlich werden da im Unterschied zur Codierung mit ffentlichen Schl sseln die Schl s sel nur den Sendern und Empf ngern bekannt sind Bei der Behandlung verschiedener Kryptosysteme sind jeweils auch die Sicherheit und damit die M glichkei ten der Entschl sselung ohne Kennt nis des Schl ssels zu untersuchen Kryptoanalyse Monoalphabetisch chiffri
117. ellen und in Bruchform c Kommentieren Sie das L sungstupel unter dem Aspekt dass die Abteilungsleitung eine Verrin gerung des Personalbestands in Erw gung zieht 1 4 In dem obigen Eingangstext zur Aufgabe hei t es u a Die Wahrscheinlichkeiten f r den Ein gang keiner einer oder zweier Bestellungen seien 0 3 0 5 0 2 Dieser Satz wird nun abgewandelt zu Die Wahrscheinlichkeiten f r den Eingang keiner einer oder zweier Bestellungen seien a b c mit atb c 1 Definieren Sie einen Matrizenbaustein M a b n f r die Potenzen der allgemei nen bergangsmatrix zu obigem Versandproblem Hinweis Es gilt c 1 a b Kontrollieren Sie den Baustein indem Sie mit ihm die in 1 1 gegebene bergangsmatrix erzeugen Nennen Sie zwei ber die obigen Fragen hinausgehende Problemstellungen die sich mit dem Baustein bear beiten lassen Ende der Abituraufgabe 124 L sungsskizzen und Erg nzungen Erg nzung 1 Zustandsgraph Die in der bergangsmatrix gegebenen Daten k nnen in einem Zustandsgraphen dargestellt werden 0 5 Eine nicht absorbierende Markow Kette 0 7 Abb 3 3 3 a Zustandsgraph f r das Versandproblem Auff lligerweise gibt es bei diesem Zustandsgraphen keinen Endzustand Es ist eine nicht absorbierende Markow Kette In Kapitel 3 3 4 wird ein Beispiel f r eine absorbierende Mar kow Kette angegeben Crap Spiel Automaten W hrend die Kanten des Graphen bei dem Busy Beaver Problem mit bestimmte
118. ematikunterricht Dort wird der folgende Ablaufplan vorgestellt S 7 Phase 0 Projektvorbereitung Vorkenntnisse organisatorischer Rahmen vorhandene Software Phase 1 Offene komplexe Problemstellung meistens durch den Lehrer m glichst ge biets bergreifend oder fach bergreifend Brainstorming Ordnen Zerlegung des Problems in Teilprobleme Auswahl von Teilproblemen zwecks Bearbeitung Pr zisierungen Festlegung der Teamstruktur Gruppeneinteilung Phase 2 Arbeit in den Gruppen ggf Lehrerhilfe berwa e Materialbeschaffung y e T Benutzung von Hilfsmitteln Computer Projekt Kommunikation mit anderen Gruppen Dokumentationsarbeiten Zwischenzusammenfassungen Berichte Kritik neue Direktiven vom Team bzw vom Lehrer manager Phase 3 Integration der Arbeitsergebnisse Endberichte Vorlegen der Dokumentationen Erg nzungen Zusammenstellung Beurteilung und Wertung Kritik Ordnen Phase 4 Der mathematische Ertrag st rkere Lehrerhilfe Ordnen der mathematischen Ergebnisse Lehrplanbezug Einordnen in gr ere Zusammenh nge Abb 2 1 4 b Ablauf eines mathematischen Projekts 54 Im Einzelnen kann auch hier der Projektablauf andere Formen annehmen Dennoch nennt die Abbildung wichtige Aspekte f r viele Projekte Angesichts der gro en Bedeutung von Projektunterricht f r Ziele dieser Arbeit werden nun einige vertiefende Betracht
119. ement der jeweiligen Folge Arbeit mit anderen Folgen und hnlichen Algorithmen Gesetzm igkeiten f r das Stoppen des Algorithmus Engel schreibt in seinem oben genannten Buch 1977 auf Seite 15 Es ist nicht bekannt ob die Folge f r passende Startwerte nach divergiert oder in eine Schleife hineinl uft Das Artificial Intelligence Laboratory am M I T Memo 239 1972 hat alle A aus 10 lt A lt 6 10 7 untersucht Die Folge lief stets in eine der folgenden f nf Schleifen hinein D J Selfridge Berkeley hat nachgepr ft da der Algorithmus f r alle A lt 2 stoppt Nach einer unbest tigten Meldung gilt dies auch f r alle A lt 10 Die Frage des Stoppens des Algorithmus ist aus Informatiksicht besonders interessant in Ver bindung mit dem sogenannten Halteproblem Diese Problematik wurde bereits bei der Dar stellung des Busy Beaver Problems behandelt siehe Kapitel 3 3 Hinweis Mit den erw hnten Themen lie e sich auch eine mathematisch informatische Unterrichtseinheit Hal teprobleme entwickeln a der 3a 1 Algorithmus b das Busy Beaver Problem usw Zusammenfassung Mit kleinen Programmen kann viel erreicht werden Insbesondere ergibt sich die M glichkeit experimentellen Arbeitens e Experimentieren mit verschiedenen Eingaben e Ausgaben auswerten e Vermutungen aufstellen und ggf verifizieren Diese Arbeitsweise ist heute hoch aktuell und mit den jetzt zur Verf gung stehend
120. en gen Datentypen aus Datentypen dem direkten Umfeld des Bausteins Abb 2 1 5 4 a Das Bausteindreieck Definieren Benutzen Analysieren Das Bausteindreieck zeigt M glichkeiten im Umgang mit einem Baustein Nach seiner Defi nition kann er in Form von Bausteinaufrufen auf Probleme angewendet werden Der Baustein kann aber auch analysiert werden indem man gezielte Aufrufe durchf hrt Au erdem k nnen h ufig auch die Datentypen variiert werden um den Baustein in anderen Wertebereichen zu erforschen Die berlegungen werden nun an einem konkreten Beispiel in Abbildung 2 1 5 4 b verdeut licht Das Bausteindreieck an einem Beispiel Beispiel Bausteindefinition a b gt bino2 a b Aufrufe Zum Beispiel bino2 3x 2y oder bino2 5 6 a und b sind formale Parameter 3x 2y bzw 5 6 sind aktuelle Parameter A Ein binomischer Baustein bino2 a b Aufrufe f r Zahlen aus N Z und R z B bino2 2 3 bi Setze f r a und b Terme mit Ele a und b seien jetzt Matri menten aus R ein und finde grafi zen Analysiere den Bau sche Veranschaulichungen stein unter diesem Aspekt no2 2 3 bino2 sqrt 2 2 Abb 2 1 5 4 b Das Bausteindreieck am Beispiel eines binomischen Bausteins Unterricht mit Bausteinverwendung K nnte an jeder der drei Ecken des Bausteindrei ecks beginnen Definieren Benutzen K Analysieren Abb 2 1 5 4 c Startpunkte f r die Arbeit mit Bausteinen 67 2 1 5
121. en so dass die Vorg nge f r den Sch ler noch transparenter werden 76 Visualisierung B Struktogramm x 3 amp 5 IN Fallunterscheidung Fall 1 amp 3 amp 5 Fall 3 amp 3 x 5 Li L 1 L L4 1 L sung falsch L sung richtig L sung falsch L sung richtig Abb 2 1 6 c Darstellung der quivalenzumformung in einem Struktogramm Auch diese Visualisierung tr gt zu einem tieferen Verst ndnis des Sachverhalts bei Visualisierung C Baumdiagramm x 3 x 5 IN L L 1 L 1 L falsch richtig richtig falsch Abb 2 1 6 d Darstellung der quivalenzumformung in einem Baumdiagramm Beispiel 2 Visualisierung eines Algorithmus als bergangsgraph Wir betrachten das Kaufverhalten von 1000 K ufern ber einen l ngeren Zeitraum hin und wollen Voraussagen ber den langfristigen Anteil der K ufer von Tageszeitung A gewinnen Die festgestellen Daten T gliche berg nge zwischen den Zust nden Kauf von A gt danach wieder Kauf von A 80 der Leser Kauf von A gt danach Kauf von nA 20 der Leser KaufvonnA gt gt danach Kauf von A 50 der Leser KaufvonnA gt gt danach wieder Kauf von nA 50 der Leser Hinweis nA bedeutet dass A nicht gekauft wird 77 Visualisierung A Die berg nge zwischen den zwei Zust nden werden durch eine Matrix S beschrieben A nA A 0 8 0 2 S nA 05 05 Visualisierung B Die berg nge zwischen den
122. en Mitteln leichter als damals zu realisieren In der vorliegenden Arbeit finden sich zu dieser Methode mehrere Beitr ge 3 4 3 Mathematische Aspekte aus der Kryptologie Fragestellungen aus der Kryptologie sind zur Zeit sowohl in der Informatik als auch in der Mathematik hoch im Kurs Die Informatik interessiert sich hierbei f r die Algorithmen und Fragen der Datensicherheit die Mathematik ist mehr an den mathematischen Hintergr nden Zahlentheorie und den Algorithmen interessiert findet aber in den informatischen Fragen ihr Anwendungsgebiet Angesichts der F lle informativer Ver ffentlichungen zur Kryptologie auch f r Umsetzun gen in der Schule wird hier auf eine ausf hrlichere Darstellung verzichtet und u a auf das Literaturverzeichnis z B Ber94 Sch94 und Sin02 verwiesen Jedenfalls handelt es sich um ein auch f r die Zielsetzungen dieser Arbeit sehr attraktives Thema Au er den Literatur angaben wird hier noch der zur Zeit 2002 in Berlin geltende Rahmenplan f r das Wahl pflichtfach Mathematik Klasse 10 zur Unterrichtseinheit Kryptologie abgedruckt Dieser Plan vermittelt einen ersten Eindruck ber unterrichtsrelevante Themenstellungen die sich mathematisch aber auch informatisch f llen lassen Wahlpflichtfach Hathenatik Klasse 10 10 4 Kryptologie 151 Rahmenplan Methoden der Chiffrierung und Dechiffrierung haben mit der Nutzung elektronischer Medien z B Telefon ber Satellit el
123. en Ungerade Anzahl von Einsen Abb 2 1 7 3 d Endlicher Akzeptor zur berpr fung von Bit Folgen 1 gelesen Bit Folge einlesen 1 gelesen 85 Programmierung in DERIVE 5 Derive 5 Erl uterungen Eingaben und Ausgaben 1 f2 n Definition der Funktion f2 n An Ifn 0 fangswert f2 0 0 ansonsten den Vor 0 g nger nehmen und jeweils eine Zu f2 n 1 FLOOR 2 RANDOM I fallszahl O0 oder 1 addieren n ist die Wortl nge der Bit Folge 2 f2 7 3 5 Test Eine Bit Folge der L nge 7 enth lt hier 5 Einsen 4 VECTOR f2 10 i 1 10 10 Bitfolgen i 1 10 der L nge 10 5 5 4 6 6 3 5 5 5 5 6 enthielten 5 4 6 Einsen 6 VECTOR FLOOR 2 RANDOM i 1 10 Beispiel f r eine Bit Folge der L nge 7 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 10 Hier sind es 6 Nullen und 4 Einsen Das Programm f3 rand erzeugt Zufallszahlen aus dem Intervall 0 1 fl n 0 0 int 2 rand 0 n transformiert diese Zu fallszahlen auf die Men ge 0 1 so entsteht ei ne Bit Folge z B mit n 20 f2 n 0 0 f2 n 1 fl n z hlt die Anzahl der Einsen Abb 2 1 7 3 e Graphische Darstellung einer Bit Folge Punkte und einer rekursiv definierten Funktion zum Z hlen der Einsen hier sind es 13 Einsen in der Bit Folge Der untere Graph zeigt die Zufallswerte aus 0 1 Das Programmieren besteht in diesem Fall aus einer logischen Aneinanderreihung von Funk tionstermen oder auch Relationstermen und der Wahl sinnvol
124. en durch mathematische berlegungen exakt erkl rt werden 107 3 3 Zustandsgraphen in Informatik und Mathematik ein l ngeres Projekt Recherchen im Internet zu den Begriffen Zustandsgraphen oder bergangsgraphen brin gen eine reiche Ausbeute Hier ein kleiner Auszug der neben weiteren in 3 3 1 genannten Aspekten von der Bedeutung des Themas zeugt Ohne Titel Aufgabe 3 bergangsgraph Erkennen von Sprachen 3 3 Punkte Geben Sie einen endlichen Automaten an der die SpracheL a3b3bmcna2 n gt 0 EUR ne www mathe2 uni bayreuth de axel informatik1_ws0001_blatt1 htmi 5k Im Archiv hnliche Seiten Grundlagen Digitaler Systeme Formelsammlung Sequentielle Schaltsysteme Il statisch gesteuerte ungetaktete Schaltsysteme Trajektorie Raumkurve Zustands berg nge in bergangsgraph bei konstanter www user tu chemnitz de rola hauptstud ds frmi_ds htmi 42k Im Archiv hnliche Seiten Musteraufgaben des Oberschulamts Karlsruhe der berg nge Verbale Beschreibung der berg nge zwischen verschiedenen Stadien Pfeildiagramm andere Bezeichnungen Graph bergangsgraph Flu graph www lehrer uni karlsruhe de za242 osa mstproz Muster98 html 31k Im Archiv hnliche Seiten pprjEinf hrung in die Informatik II Automaten Dateiformat PDF Adobe Acrobat HTML Version f r die bergangsfunktion O Die bergangsfunktion eines endlichen Automaten l sst s
125. en gefunden werden k nnen Die folgende Tabelle nennt Beispiele die sich sicher durch weitere interessante Themen erg nzen lassen Ausgew hlte informatische Inhalte und ihre Verwendung in der Mathematik Mathematik Lehrplanthema Beispiele f r geeignete Software einige passende informatische Inhalte Analysis CAS Funktionenplotter ANIMATO e H llkurven Elemente der Computergrafik e Ortskurven e Fl chen Algorithmen programmiersprachliche berechnungen Aspekte Lineare Algebra CAS ANALYGEO Analytische Geometrie POVRAY Matrizen als Datenspeicher Algorith men auf zweidimensionalen Feldern e Magische Quadrate komplexe Datenstrukturen e Abbildungsgeometrie Elemente der Computergrafik Stochastik CAS e Binomialverteilung e Geometrische Verteilung e Markow Ketten spezielle Programme Baumstrukturen Zustandsgraphen Automaten 15 Besondere M glichkeiten finden sich bei Beachtung gebiets bergreifender Aspekte u a aus Analysis Lineare Algebra Analytische Geometrie Stochastik und endlicher Mathematik Diese sind allerdings noch keine Lehrplanthemen und erfordern vom Lehrer in besonderem Ma e eigene Gestaltungsf higkeiten Gebiets bergreifende Themen e Zustandsgraphen CAS Funktionenplotter Graphen als Beschreibungsmittel f r kleine spezielle Programme Algorithmen Graphen als Datenspei cher Speichern von Daten in Matrizen e Rekursion Funktionenplotter
126. enkt dass ich seit circa drei ig Jahren ber Themen zum Mathema tik bzw Informatikunterricht in Buchform oder in Fachzeitschriften ver ffentliche In der Dissertation werden jedoch nur Werke genannt die f r das Arbeitsthema auch wirklich rele vant sind Berlin November 2002 Eberhard Lehmann Konzeptionelle berlegungen zur Einbeziehung informatischer Inhalte und Methoden beim Computereinsatz im Mathematikunterricht der Sekundarstufe 2 Inhaltsverzeichnis Seite 1 Grundlagen f r die Entwicklung von Konzepten zur Einbeziehung informatischer Aspekte und zum Computereinsatz im Mathematikunterricht 7 1 1 Eine Abiturklausur aus dem Jahr 1954 7 1 2 Grundlegende konzeptionelle berlegungen 11 1 2 1 Zusammenh nge zwischen Mathematik und Informatikunterricht 11 1 2 2 berblick ber eine m gliche Platzierung mathematisch informatischer 12 Themen im Mathematikunterricht 1 2 3 Ausgew hlte Methoden des Informatikunterrichts und ihre Anwendung im 16 Mathematikunterricht 1 3 Entwicklungslinien in der Schulmathematik unter dem Einfluss 17 mathematischer Software und der Informatik Lehren aus der Vergangenheit Hinweise f r die Zukunft 1 3 1 Die 10 Zeilen Programme 18 1 3 2 Weitere Mathematikprogramme 21 1 3 3 Mathematik und Informatik erste Integrationsans tze 23 1 4 Mathematikunterricht heute 26 1 4 1 Die heutigen Unterrichtsvoraussetzungen 26 1 4 1 1 Hardware und Software 26 1 4 1 2 Neue Unterrichtskultur neue Aufgabe
127. ensystem veran schaulicht a Erl utere die Abbildungen 3 4 2 b und 3 4 2 c b F r die Abbildungen wurde das Animationsprogramm ANIMATO benutzt Schreibe ein Programm f r ANIMATO oder f r eine andere zur Verf gung stehenden Software c Wiederhole mit deinem Programm die obigen Ergebnisse der Abbildungen 3 4 2 b und 3 4 2 c 148 Arbeitsauftrag 3 In der Literatur findet man das folgende BASIC Programm Engel A Elementarmathematik vom algorithmischen Standpunkt Klett Studienb cher Stuttgart 1977 S 11 Erl utere das Pro gramm und teste es Alternative f r einige Sch ler Schreibe ein Programm in der von dir verwendeten Programmiersprache 10 INPUT A 60 GOTO 20 20 PRINT A 70 A 3A 1 30 IF A 1 THEN 90 80 GOTO 20 40 IF_A 2 lt gt INT A 2 THEN 70 90 END 50 A A 2 2 F r Startwert 27 grau F r Startwert 31 schwarz h Be NM A NV a i go g0 go 110 Abb 3 4 2 c Veranschaulichungen des 3a 1 Algorithmus Startwerte sind hier 27 bzw 31 149 Projektfortsetzung Die Fortsetzung des Projekts kann nun unter starker Ber cksichtigung von Sch lereigent tig keit auf verschiedene Weise erfolgen Hierf r bieten der 3a 1 Algorithmus und geeignete Aufgabenvariationen diverse Angriffspunkte f r experimentelle Arbeit f r Entdeckungen und Vermutungen Hierzu sei noch einmal auf Eng77 S 148 verwiesen Naheliegend ist z B die Frage Wi
128. ente k nnen erfolgen u a durch e einen Zugriff ber den Dateninhalt oder e ber die Speicherposition der Daten Hash Funktion Es gibt jedoch auch eine Mischform die diese Ans tze verbindet Die sich daraus ergebende Datenstruktur wird Hash Tabelle genannt In einer Hash Tabelle wird dem jeweiligen Daten inhalt mittels einer Speicherfunktion Hash Funktion h X Datenraum gt A Adressraum eine eindeutige Speicheradresse zugeordnet Eine m gliche Form einer Hash Funktion ist h x f x mod p z B h x x mod 17 Hier zeigt sich erneut die Verwendungsm glichkeit der Modulo Funktion siehe auch Kapitel 3 4 1 und 3 4 3 N here Informationen findet man z B unter der Internetadresse ivs cs uni magdeburg de dumke EAD Skript38 html oder im Informatik Duden Im Folgenden wird ein Weg gezeigt wie man auch ber magische Quadrate auf die Proble matik des Speicherns von speziellen Matrizenformen gelangen kann 99 Problem Wie viel Elemente muss man bei einem magischen 3 3 Quadrat mindestens kennen wenn man die magische Summe s 15 kennt Zur Bearbeitung des Problems k nnte man mit einem Beispiel beginnen Es sei 276 maq 95 1 Offenbar reicht z B die Kenntnis der Elemente 5 3 8 in der in maq ange 438 gebenen Position und mit s 15 Benutzt man auch noch dass f r das mittlere Element e gilt 3e s so reichen sogar die Kenntnis von 5 3 und 8 Damit kann man f r die Speicherung der Daten so vorgehen
129. er m glichen Turingtafeln berechnet mit einem CAS kann man Abbildung 3 3 2 entnehmen Fr laebralestclthereranzoletesn uel n165 2 3 4 3 7 54 20736 l rrrzi ZIEHE 6z l rrr i Abb 3 3 2 j Berechnung von Werten der Funktion T n Es ist also nur mit gewaltigem Aufwand verbunden alle m glichen Turingtafeln ausrechnen zu wollen um den jeweiligen Busy Beaver zu finden zumal man au erdem zu jeder Tafel den Algorithmus ablaufen lassen muss um damit die Anzahl der Striche und Schritte zu finden Den Versuch eines passenden Algorithmusses f r das Problem findet man auf Seite 121 120 Die Zusammenfassung bisheriger Ergebnisse und einiger Erg nzungen ergibt die Tabelle in Abbildung 3 3 2 k Anzahl der Zust nde Anzahl der m glichen Busy Beaver Busy Beaver ohne Endzustand Turingtafeln Anzahl der Striche Anzahl der Schritte n T n 4 n 1 Sw S n 1 64 1 2 20 736 4 3 16 777 216 6 13 4 25 600 000 000 13 5 63 403 380 965 376 gt 4098 6 28 7 324 8 36 k berechenbare nicht berechenbare nicht berechenbare Funktion Funktion Funktion Abb 3 3 2 k Zum Fall n 5 schreibt A K Dewdney Der Sprung von 13 bei n 4 auf 2 4098 bei n 5 ist symptomatisch f r die nichtberechenba re Natur von gt Die Zahl 4098 hat eine interessante Geschichte hinter sich In der Augustausgabe 1984 des Scientific American erschien ein Artikel ber den damals f
130. erblicksdarstellungen deutlich Abbildung 1 5 a zeigt zahlreiche zu beachtende Aspekte Fachinhalte und Fachmethoden Aufgabenkultur Unterrichtskultur Kompetenzen von Lehrern und Sch lern Medien und ihre Einsatzformen z B als Demonstrationsmedium sonstige Bedingungen z B organisatorische Unter Ber cksichtigung dieser Aspekte entstehen diverse Unterrichtsszenarien Ein anspruchsvolles Szenarium ergibt sich beispielsweise aus der Vernetzung von mathemati schen Inhalten und Methoden e mit informatischen Inhalten und Methoden e in Form eines Projektunterrichts e mit komplexen und offenen Problemstellungen und e unter Verwendung neuer Medien insbesondere im Rahmen eines experimentellen Computereinsatzes Die Vielfalt der Szenarien und der sich ergebenden Konzepte kann in der vorliegenden Arbeit nur f r einige Vernetzungen verdeutlicht werden Dabei wird der Schwerpunkt auf der Konzeption eines Mathematik unterrichts liegen der informatische Methoden und Inhalte einbezieht dabei selbstverst ndlich den Computer einsetzt und in der Regel von offenen Aufgabenstellungen und offenen Unterrichtsformen ausgeht F r derartige Konstellationen werden viele Beispiele aus der Unterrichtspraxis und f r die Unterrichtspraxis vorgestellt Hierf r ergeben sich zahlreiche Hinweise aus Abbildung 1 5 b Diese Abbildung zeigt den gro en Vorrat an Verkn pfungsm glichkeiten f r konzeptionelle berlegungen zur Ber cksichtigun
131. eren Kapiteln Die Einbeziehung informatischer Aspekte in den Mathematikunterricht ist auf verschiedenen Ebenen und mit unterschiedlichen Strategien m glich Wir betrachten hierzu Abbildung 1 2 1 a Mathematisch informatische Themen A4 Besprechung im Mathematikunterricht B4 Besprechung im Informatikunterricht Mathematik Mathematik und Unterricht Informatik profitie ren voneinander e inhaltlich methodisch Informatik Unterricht Al A2 Algorithmen Programme Algorithmen Didaktisch methodische Aspekte e Neue Unterrichts und Aufgabenkultur A3 Realisierung im Mathematikunterricht A2 B2 Internet B3 Realisierung im Informatikunterricht e BI Entwicklung von mathem Software Benutzung von Software e Al Mathematik Software Abb 1 2 1 a Mathematik und Informatik einige Zusammenh nge Hinweis Diese Abbildung wird sp ter verfeinert siehe Kapitel 4 Der Mathematikunterricht kann auf mehreren Wegen von informatischen Ans tzen profitie ren Al Mathematikunterricht benutzt mathematische Software Die Softwarepro dukte sind Konstruktionen der Informatik die durch Programmierung der ma thematischen Algorithmen und geeigneter Oberfl chenstrukturen entstehen Hierzu geh ren auch die im Internet angebotenen Demonstrationsprogramme und Lernumgebungen A2 Mathematikunterricht benutzt das Internet zur Recherche ber mathemati sche Inhalte Das Angebot hierf r ist inzwischen fast un bersehbar A3
132. erser anderer Tests z B des Pokertests Wie kann man G tetests durchf hren e Wie kann man Zufallszahlengeneratoren programmieren e Zufallszahlen m ssen h ufig gem der gerade vorliegenden Aufgabenstellung transfor miert werden Wie geht das Diese und andere Fragen ber hren Mathematik und Informatik Hier soll nur der folgende Aspekt herausgegriffen werden Visualisierung von Zufallszahlen und einigen Transformationen Einige Abbildungen sollen Anregungen zu Visualisierungen von Zufallszahlen geben Man vergleiche hierzu auch das Deckblatt der Dissertation mit Zufallspunkten in einem Quadrat Benutzt wird hier wieder die Software ANIMATO Das Programm stellt Zufallszahlen mit den folgenden Befehlen zur Verf gung random bzw random 1 random 2 random 3 Jeder Aufruf liefert eine neue Zufallszahl usw rand rand 1 rand 2 rand 3 Diese Variante sorgt daf r dass die gerade ermittelte usw Zufallszahl z beim Aufruf verschiedener Funktionen gleich bleibt In den Aufrufen fl n z f2 n z usw wird also immer dasselbe z verwendet Erst ein neuer Aufruf mit einem anderen Wert f r n benutzt eine neue Zufallszahl aber f r dieses n dann wieder immer dieselbe Abbildung 3 4 4 a zeigt die Visualisierung zweier Kongruenz Zufallsgeneratoren Hierzu wurde ANIMATO folgenderma en programmiert Programm Erl uterung fl 0 1 1 1 1 0 zeichnet den Rand des Einheitsquadrats f2 n 0 71124 frac b f3
133. erte Texte lassen sich elementar durch Bestimmung der Zeichenh ufigkeit entschl sseln Mindestens ein klassisches poly alphabetisches Verfahren z B der Vigenere Algorithmus und dessen Kryptonalyse mit Hilfe des Kasiski Tests soll behandelt werden Die Idee ist an einem einfachen Bei spiel zu verdeutlichen z B Koffer mit Namen und Schlo Schl ssel Hier bietet sich die M glichkeit einige Aspekte der elementaren Zah lentheorie zu behandeln Es ist not wendig auf einige Eigenschaften von Primzahlen hinzuweisen Senatsverwaltung f r Schule Jugend Sport Vorl ufiger Rahmenplan f r Unterricht und Erziehung u Berliner Schule Klassen 9 und 10 Gymnasium Wahlpflichtfach Mathematik Berlin 1996 Seite 152 3 4 4 Zufallszahlen Grundlage f r Simulationen Zufallszahlen und Simulationen wurden in dieser Arbeit bereits an verschiedenen Stellen verwendet siehe z B Kapitel 3 3 3 3 3 4 3 4 3 Dabei wurden die vom Programm bereit gestellten Zufallsgeneratoren benutzt die in der Regel mit Befehlen wie random random 5 usw aufgerufen werden k nnen Das Thema wird im Unterricht immer dann relevant wenn vom Rechner erzeugte Zufallszahlen ben tigt werden Die Thematik Zufallszahlen wirft einige naheliegende Fragen auf z B e Wie findet man mit dem Rechner gute Pseudo Zufallszahlen Gut bedeutet f r Pseudozufallszahlen u a das Vorhandensein einer sehr langen Periode und das Bestehen div
134. erungen e Beispiele aus der Informatik Arbeitsweisen aus dem Informatikunterricht Aus dem Informatikunterricht bekannte Arbeitsweisen eignen sich h ufig auch f r den Ma thematikunterricht So ist z B das Programmieren im Informatikunterricht trotz aller vorheri gen Planung h ufig auch ein Experimentieren und Suchen nach der besten Realisierung ein Arbeiten mit einer L sungsidee und der h ufig n tigen Abwandlung und Verbesserung der Idee Auf diese Weise k nnen aber auch manche mathematische Problemstellungen angegan gen werden Experimentieren vermuten begr nden beweisen 175 Sch lerkompetenz durch Computernutzung Aus dem Informatikunterricht ist der Sch ler in der Regel gewohnt sehr eigenst ndig am Computer zu arbeiten und Ergebnisse sinnvoll festzuhalten Hiervon profitiert der Mathema tikunterricht sofern der Lehrer diese F higkeiten f r seinen Unterricht auch beachtet Durch die h usliche Arbeit am Computer besitzen die Sch ler weitere Kompetenzen Im Computer handling und in speziellen anderen Bereichen Auch diese k nnen f r den Mathematikunter richt genutzt werden Die meisten der in der vorliegenden Arbeit verwendeten Beispiele sind im Verlauf vieler Jah re unterrichtlich erprobt Dabei handelte es sich um verschiedene Lerngruppen Informatik kurse ab Klasse 11 Grundkurse und Leistungskurse der gymnasialen Oberstufe Wahlpflicht fachkurse Klasse 9 und 10 So beruht mein Erfahrungshintergru
135. eses Projekt wird in Klasse 10 fortgesetzt und an zwei der Schulen in den neuen Klassen 9 durchgef hrt Mathematik mit Computern in der Sekundarstufe 2 Klasse 11 13 In dem zur Zeit g ltigen Lehrplan gibt es zwar Hinweise f r den Computereinsatz konkrete Beschreibungen f r einzelne Unterrichtseinheiten fehlen allerdings Gedacht ist in erster Linie an den Einsatz mathematischer Unterrichtssoftware Der Bezug zur Informatik wird v llig vernachl ssigt An einigen Schulen wird der Computer bis hin zu Mathematik Abitur aufgaben verwendet Die hierbei benutzte Software ist im Wesentlichen das Compu teralgebrasystem DERIVE Vereinzelt wird in der Sekundarstufe 2 auch mit Funktionenplot tern Tabellenkalkulation dynamischen Geometriesystemen oder speziellen Programmen wie ANALYGEO oder POVRAY f r Analytische Geometrie und Computergrafik gearbeitet Seit Mitte 2002 besch ftigt sich der Berliner CAS Arbeitskreis mit besonderen Problemen des Computereinsatzes Au erdem werden sich ab April 2003 sechs Schulen an einem neuen CAS Projekt Sekundarstufe 2 mit dem Taschencomputer VOYAGE 200 Texas Instru ments f r Grundkurse beteiligen Mathematische Zusatzkurse Eine weitere M glichkeit der Verkn pfung von Mathematik und Informatik im Rahmen des Berliner Mathematik Lehrplans besteht in den im Lehrplan formulierten Erweiterungsgrund kursen oder in weiteren Zusatzkursen die sich Lehrer vom Landesschulamt genehmigen las sen k nnen Dies
136. f r die Stelle Aktueller Zustand Eingabe Ausgabe Folgezustand Z1 drehen nichts Z1 Beispiel eines Eingabe Protokolls Uber die Eingaben in den Automaten kann man Protokoll f hren Lfd Nummer Zustand Eingabe Ausgabe Folgezustand 1 Zo 1 Euro nichts Z1 2 Z1 drehen nichts Z1 3 Z1 1 Euro nichts Z2 4 Z2 drehen Blume zo 110 Die Eingaben bilden ein Eingabewort W 1 Euro drehen 1 Euro drehen Die Zustands wechsel k nnen in der Zustandskette K Z0 Z1 21 22 Z0 zusammengefasst werden Als Ausgabe wird das Ausgabewort V nichts nichts nichts Blume erzeugt Markow Kette Grundbegriffe Gegeben sei eine Folge von Zufallsexperimenten mit dem endlichen Zustandsraum Z Z Z2 Zn Es m ge jeweils nur einer der n Zust nde eintreten Diese Ta bildet eine endliche Markow Kette wenn die bergangswahrscheinlichkeiten pi i j 1 n dass der Zustand Z im t ten Experiment bergang Schritt eintritt nur davon a welcher Zustand Zj im t 1 ten Experiment vorlag Die bergangswahr scheinlichkeiten werden in einer been S zusammengefa t Sind diese ber gangswahrscheinlichkeiten auch noch unabh ngig von der Nummer des Experiments so spricht man von einer endlichen homogenen Markow Kette F r homogene Markow Ketten sind also die bergangsmatrizen von Experiment zu Experi ment gleich F r den Start des Systems liegt in der Regel eine Anfangsverteilung v mit den augenblicklichen Wahrsche
137. fruf loes 0 3 0 5 die von oben bekannte station re Verteilung Simulation des Versandproblems Wie bei vielen komplexen Problemen bietet sich auch bei dem vorliegenden Versandproblem eine Untersuchung durch Simulation an Die Bez ge zur Informatik sind bei Simulationen besonders eng werden doch in der Regel entsprechende Simulationsprogramme ben tigt Aber auch Computeralgebrasysteme k nnen herangezogen werden 132 Beim Versandproblem ist die Simulation nicht ganz einfach Die berg nge zwischen den Zust nden sind von den bergangswahrscheinlichkeiten abh ngig Deren Werte sind also passend zu ber cksichtigen In Leh78 S 227 242 wird eine Formel f r die Simulation von Markow Ketten entwickelt Sie lautet 1 n l T Int R 1 p Int R 1 p Int R 1 p bzw noch kompakter i 0 i 0 n k T I Int R 1 gt p Die Formel errechnet den jeweiligen Folgezustand T k 0 i 0 Dabei ist R eine Zufallszahl aus dem Intervall 0 1 die f r eine Berechnung fest bleibt po Pi Pn 1 sind die Wahrscheinlichkeiten einer Zeile der bergangsmatrix Die Zust nde sind Z0 Z1 Z n 1 Sie werden hier durch die ganzen Zahlen 0 1 2 n 1 ausgedr ckt Int steht f r die Integerfunktion Vorkommastelle Also z B int 3 21 3 F r die Versandmatrix ergibt sich also gem T Zeile Z0 Int R 1 0 8 Int R 1 0 8 0 2 Int R 1 0 8 0 2 0 Int R 1 0 8 0 2 0 0 T Zeile Z0 Int R 0 2 3
138. g informatischer Inhalte und Methoden im Mathematik unterricht Viele der Aspekte werden sich dann in den folgenden Kapiteln wiederfinden Beide Abbildungen bieten somit einen berblick ber zu ber cksichtigende Themen und m gliche inhaltliche Verkn pfungen Sie bilden damit auch die Grundlage f r die nun folgenden konkreten und detaillierten Ausf hrungen 37 Vortrag Gelenk Partner Gruppen Stationen Projekt Frontal tes Unter arbeit arbeit lernen arbeit unter richts richt gespr ch Mathe Taschen matische rechner Inhalte Metho den Informati Szenarien graphi sche f r einen vielf ltigen Mathematikunterricht scher Inhalte Taschen Metho 4 rechner den Weitere Mathematikunterricht Taschen fach ber en compu greifen unter Ber cksichtigung ter de Inhalte TI 92 Metho informatischer Inhalte und Methoden und den unter Beachtung der neuen Unterrichtskultur E POS der neuen Aufgabenkultur book und dem Einsatz alter und neuer Medien PC Sch ler erfordert kompetente Sch ler und Lehrer und neue CEG kompe PC a Bewertungsformen Lehrer Internet kompe tenzen andere PE ONESTA Medien Nicht Nicht Offene Offene offene offene Aufgaben Aufgaben Aufga Aufga ohne mit ben ohne benmit Computer Compu Compu Computer einsatz tereinsatz tereinsatz einsatz Abb
139. gabefunktion 109 Zustandsgraph eines Blumen Automaten Einzahlung gesperrt Drehen Fach ffnet sich Blumen entnehmen danach automatische R ckstellung auf Anfangszustand Z0 S Y R ckstellung in Startzustand Abb 3 3 1 a Zustandsgraph In diesem Fall sind die charakteristischen Automaten Daten Eingabealphabet X 1 Euro drehen Ausgabealphabet Y nichts Blume Zustandsmenge Z Z0 Z1 Z2 Anfangszustand zo bergangsfunktion amp XxZ gt 2Z Die Paare aus X x Z haben die Form Eingabeelement Zustand Die einzelnen Eingaben bewirken bei den einzelnen Zust nden den bergang zu den Folge Zust nden drehen Z0 gt Z0 1 Euro Z0 gt Zl drehen Z1 gt ZI 1 Euro Z1 gt 22 Blumenaut omat drehen Z2 gt Z0 1 Euro Z2 gt 22 weil Einzahlung gesperrt 1 Euro drehen Jedem m glichen Paar Eingabe Zustand ist ein Folgezustand zugeordnet I O Ausgabefunktion XxZDY drehen Z0 gt nichts 1 Euro Z0 gt nichts drehen Z1 gt nichts 1 Euro Z1 gt nichts drehen Z2 gt Blume 1 Euro Z2 gt nichts Jedem m glichen Paar Eingabe Zustand ist eine Ausgabe zugeordnet Die Angaben kann man auch zu einer Automatentabelle zusammenf hren Eingaben Zustand Z0 Zustand Z1 Zustand Z2 1 Euro nichts Z1 nichts Z2 nichts Z2 drehen nichts ZO nichts Z1 Blume Z0 Eine weitere sp ter verwendete M glichkeit besteht im Notieren von 4 Tupeln etwa
140. gebrasysteme ndert sich zur Zeit die Sachlage Auf umfangreiche Handrechnungen soll in der Regel kein Wert mehr gelegt werden sie werden dem Rechner berlassen siehe W Herget H Heugl B Kutzler E Lehmann Welche handwerklichen Rechenkompetenzen sind im CAS Zeitalter unverzichtbar In MNU 2001 Heft 8 ber diesbez gliche Aspekte wurde bereits u a in den Kapiteln 1 4 und 2 1 5 nachgedacht Heute hei t ein Motto Weniger Handrechnen mehr verstehen Dieses Verstehen betrifft auch die Algorithmen im Mathematikunterricht Es gibt jedoch an dere bessere Methoden als zu versuchen das Verst ndnis durch vielfaches Rechnen zu errei chen Wege zum Analysieren von Algorithmen sind vor allem e passende Visualisierungen Struktogramme Ablaufpl ne andere grafische Darstellungen e die Verwendung von Programml ufen mit geeigneten Eingabedaten Zwischenergebnissen und Ausgabedaten e die Untersuchung des Programm Quelltextes ggf auch nur von Teilen desselben aber auch das e Handrechnen einfacher charakteristischer Beispiele Man beachte hierzu auch die Ausf hrungen in Kapitel 2 1 5 zum Analysieren von Bausteinen in denen ja Programme bzw Algorithmen versteckt sind Abbildung 2 1 6 a nennt weitere Aspekte die beim Analysieren von Algorithmen von Bedeutung sind Analysieren von Algorithmen Algorithmen anwenden auf au er oder inner mathematische Probleme Der Computer hilft beim Rechnen oder Zeichnen Algorithme
141. global definiert wert ARRAY 1 maxzeilen 1 maxspalten var i j k integer OF REAL Matrixelemente s real m INTEGER Zeilenanzahl n INTEGER Spaltenanzahl END begin if matl s lt gt mat2 z then Die Spaltenanzahl der 1 Matrix stimmt nicht mit der begin Zeilenanzahl der 2 Matrix berein writeln writeln Das Matrizenprodukt ist nicht definiert mat3 z 0 mat3 s 0 rk readkey produkt false exit end else Bei bereinstimmung begin produkt true mat3 z matl z mat3 s mat2 s for i 1 to matl z do for k 1 to mat2 s do begin s 0 for j 1 to matl s do s s matl wert i j mat2 wert j k mat3 wert i k s 21 Zeilen und Spaltenanzahl der Ergebnismatrix ber alle Zeilen von matl ber alle Spalten von mat2 ber alle Spalten von matl Bildung der Skalarprodukte Das errechnete Element an der Stelle i k end der Produktmatrix end Das Produkt steht in der Matrix mat3 end of PROD Hinweis Mit der hier ben tigten Programml nge kommt ein 10 Zeilen Programm an seine Grenzen Entsprechende Prozeduren gibt es f r zahlreiche weitere ein und zweistellige Matrizenverkn pfungen Damit kann das Programmieren und L sen komplexer Matrizenaufgaben im Wesentlichen auf ein Aufrufen geeigneter Matrizenproze duren mit passenden Parametern zur ckgef hrt werden Dieser Ansatz ist verallgemeinerungsw rdig und kann heute beim CAS Einsatz eine we
142. gsf ll st ndig Inhalte zur Ver 11 99 Metho f gung d auch zu Hause Note an nein book ja zu PC Hause Sch ler vernetzte kompe hoch interessiert viele S haben auch Informatik ja PC tenzen Lehrer Internet kompe vertraut mit modernen Arbeitsmethoden und Computereinsatz Ja tenzen andere ERORI kaum wenig h ufig h ufig diverse Medien Nicht Nicht Offene Offene i offene offene Aufgaben Aufga Sch ler arbeiten bereits Aufga Aufga ohne ben mit sehr selbst ndig Computerraum steht ben ohne benmit Computer Compu st ndie zur Verf gun Compu Computer einsatz terein 8 8 SA tereinsatz einsatz satz Abb 1 5 d Mathematikunterricht Unterrichtsszenarium in einem Leistungskurs Lineare Algebra 42 2 Informatische Methoden und Inhalte und ihre Anwendungsm glichkeiten im Mathematikunterricht Der Mathematikunterricht muss sich dieser Herausforderung durch die Informatik stellen und er k nnte davon durchaus profitieren durch schrittweise ffnung gegen ber eines proze orientierten Sichtweise insbesondere im Bereich Modellbildung und Simulation durch behutsame bernahme von projektorientierten Arbeitsweisen durch wohlbegr ndete Einbeziehung von geeigneten Themen der Informatik Her93 In Kapitel 1 wurden verschiedene Aspekte der Begegnungen zwischen Mathematik und In formatik an der allgemeinbildenden Schule Gymnasium dargestellt die zu ersten konzep tionellen
143. h auf Seite 109 der Evaluation 176 e Hoher Arbeitsaufwand f r den Lehrer Dieser Feststellung kann nicht widersprochen werden Tats chlich erfordert ein Unterricht mit neuen Unterrichtsformen neuen Aufgabenformen und Medieneinsatz wesentlich mehr Auf wand und damit auch Vorbereitungszeit f r den Lehrer Mit wachsender Kompetenz des Leh rers w chst aber auch die Chance eines souver nen Umgangs mit den Gegenst nden beson ders dann wenn der Eigent tigkeit der Sch ler und deren Kompetenzzuwachs gro e Bedeu tung beigemessen wird Der Lehrer kann dadurch immer mehr zum Unterrichtsmanager wer den Er spart Kraft im Unterricht und kann auf die eine oder andere von fr her gewohnte Un terrichtsvorbeitung verzichten Inhaltliche Bereicherung In Kapitel 3 werden Unterrichtsinhalte genannt die viele Vernetzungsm glichkeiten zwischen Mathematik und Informatik aufzeigen Klassische Inhalte werden durch informatische Aspekte erg nzt weitere Inhalte kommen ins Blickfeld Kapitel 2 liefert die Grundlagen f r diese Ans tze und stellt methodisches R stzeug bereit Insgesamt ergeben sich wesentliche didaktische und methodische Bereicherungen f r den Mathematikunterricht durch die Einbe ziehung informatischer Aspekte Dadurch entstehende zeitliche Ausweitungen k nnen durch Einsparungen insbesondere bei den bertriebenen und unn tigen Rechen und Zeichen bun gen vermieden werden siehe u a Her01 Software Programmierung Ne
144. h informatische Themen f r Projekttage oder f r zus tzliche Kurse Teilthemen k nnen auch als bungsaufgaben zu verschiedenen Gebieten aufgefasst werden Hinweis Hier k nnen selbstverst ndlich auch Themen aus A bis C eventuelle mehrere bearbeitet werden D 3 3 Zustandsgraphen in Informatik und Mathematik ein l ngeres Projekt 3 3 1 Endliche Automaten und Markow Ketten 3 3 2 Flei ige Biber das Busy Beaver Problem Turingmaschinen 3 3 3 Ein Versandproblem Markow Ketten 3 3 4 Das Crap Spiel Markow Kette und endlicher Automat Die unterrichtliche Verwendung erfolgt z B in den Kursen Lineare Algebra oder Stochastik oder in Projekten aus verschiedenen Anl ssen Abb 4 1 Mathematik Unterricht mit informatischen Inhalten und Methoden Zur didaktisch methodischen Aufbereitung der oben genannten Themen stehen vielf ltige Unterrichtsmethoden zur Verf gung siehe u a Kapitel 1 4 1 2 und 2 1 4 insbesondere bieten sich h ufig projektartige Arbeitsformen an Weiterhin empfiehlt es sich die Leitlinie Arbeit mit Modulen Bausteinen m glichst oft und fr hzeitig zu verfolgen Die Ausf hrungen in dieser Arbeit und insbesondere die oben ausgearbeiteten Unter richtsbeispiele zeigen dass kein Mangel an Themen besteht um mathematische Inhalte mit informatischen Inhalten zu vernetzen Ein gr eres Problem d rfte dagegen die h ufig fehlende Bereitschaft von Lehrern f r ei
145. h99 Lehmann E Die Turingmaschine im Anfangsunterricht ein Bericht von den ersten Stunden eines Informatikkurses in Klasse 11 in LOGIN 1999 Heft 6 S 44 52 184 N0176 Noltemeier H Graphentheorie mit Algorithmen und Anwendungen Walter de Gruyter Berlin New York 1976 Wer95 Werner u a Taschenbuch der Informatik Fachbuchverlag Leipzig 1995 Kapitel 3 3 3 Literatur zu Markow Ketten Hel78 Heller u a Stochastische Systeme Walter de Gruyter Berlin New York 1978 Hen78 Hengartner Theodorescu Einf hrung in die Monte Carlo Methode Hansa Verlag 1978 Kr 75 Kr ger S Simulation Grundlagen Techniken Anwendungen Walter de Gruyter Berlin New York 1975 Leh78 Lehmann E Simulation von endlichen Markoff Ketten in Didaktik der Mathematik 1978 Heft 3 S 227 242 Leh86a Lehmann E Markow Ketten in Der Mathematikunterricht 1986 Heft 5 S 60 92 Leh86b Lehmann E Fallstudien mit dem Computer Markow Ketten und weitere Beispiele aus der Linearen Algebra und Wahrscheinlichkeitsrechnung Teubner Verlag Stuttgart 1986 Leh86c Lehmann E Programmsystem MARKOW f r MSDOS Rechner Berlin 1986 neuere Version 1997 in Leh86b Leh97 Lehmann E Wahrscheinlichkeitsrechnung problemorientierte Unter richtseinheiten Verlag Volk und Wissen Berlin 1997 Kapitel 3 4 6 Literatur zu Unerwartetes in Bildern Her90 Herget W Konvergenz Experimente mit dem Computer
146. he Seiten Weitere Resultate von v inf gr htw zittau de 1 Magische Quadrate vorherige Seite n chste Seite beenden 1 Magische Quadrate Anf nge Magische Quadrate bei Arnold M ller Hed eO O o gt Abb 3 1 a Einige Angebote aus dem Internet zum Thema magische Quadrate siehe im Internet auch unter magic squares 3 1 2 Einige Unterrichtsideen zu magischen Quadraten Hinweise zum unterrichtlichen Einsatz finden sich jeweils bei den genannten Ideen 1 Definition eines Bausteins mit dem CAS des TI 92 Eingabe der Daten als 3 3 Matrix Er R gebralcaichtherranzolciean ue e b atbte e a a tb e e sn rejonaunca ate a bte b e Done 38 4 a magquali 2 5 p 5 6 2 7 maqua 1 2 e MAIN RAD EXACT FUNC 3730 2 Arbeit mit dem Baustein Diverse Aufgabenstellungen z B ein magisches 3 3 Quadrat erzeugen in dem jede der Zahlen 1 2 9 vorkommt Die Fragestellung ist f r Lerngruppen beider Sekundarstufen geeignet 3 Recherche im Internet in Gruppen werden Fragestellungen herausgesucht bearbeitet vorgetragen diskutiert 94 e Wie kommt es zu den angegebenen Formeln f r magische Quadrate verschiedener Ord nung f r Kurse zur Linearen Algebra Thema lineare Gleichungssysteme e Magische Quadrate mit anderen Symbolen als Zahlen Datei Bearbeiten Ansicht Gehe Communicator Hilfe 3 2 8 9 8 Zur ck or Neuladen A
147. hen end lich viele ihre Anzahl sei gleich TH n 3 diese TH n Turingmaschinen erzeugen dabei auch nur eine endliche Menge von Strichan zahlen diese Menge besitzt ein Maximum e Damit geh rt zu jedemn eN eine nat rliche Zahl Zw und gt erweist sich als eine in blichem Sinne mathematisch definierte Funktion 121 Ein Algorithmus zur Berechnung von Yon f r jedes n k nnte folgenderma en arbeiten 1 Eingabe von n 2 Ermitteln aller Turingmaschinen mit n Zust nden ihre Anzahl ist T n 3 Ermitteln aller nicht haltenden Maschinen und diese aussondern 4 Alle haltenden Turingmaschinen ihre Anzahl ist TH n auf einem leeren Band lauter Zeichen starten 5 Jeweils die entstehenden Anzahlen notieren in einer Menge M sammeln 6 Das Maximum in M nehmen Das ist dann der Busy Beaver Dieser Algorithmus arbeitet jedoch nicht wie gew nscht weil es in 3 nicht gelingt alle nicht haltenden Maschinen zu finden Damit sind auch 4 6 irrelevant Mit den vorstehenden berlegungen ist nun auch der Begriff der berechenbaren Funktion vorbereitet Duden Informatik Duden Verlag 1993 S 80 f Im normalen Mathematikunterricht wird angesichts des dort verwendeten Funktionenmaterials auf den Begriff der berechenbaren Funktion nicht eingegangen ein Mangel der sich bei Ber cksichtigung informatischer Aspekte wie oben gezeigt beseitigen l sst Man beachte dazu auch Kapitel 3 4 2 Satz 3 Zo Anzahl der Striche b
148. her untersucht und f r Unterrichtszwecke aufbereitet 48 Lernen von der Informatik Das Verh ltnis zwischen Mathematik und Informatik ist f r den Schulunterricht in beide Richtungen von erheblicher Bedeutung siehe z B Her93 Leh94 Schw94 Wei97 Das immer noch um breite Anerkennung und Verbindlichkeit ringende Schulfach Informatik ent h lt einerseits viele mathematische Grundlagen obwohl diese im Unterricht oft zur ckge dr ngt werden kann aber andererseits insbesondere im methodischen Bereich wertvolle An regungen f r den Mathematikunterricht liefern Zu dem letztgenannten Aspekt folgen nun einige Ausf hrungen die auch in Zusammenhang mit der Verwendung von Computeralge brasystemen stehen Zun chst werden drei Leitlinien der Informatik genannt die f r das in Kapitel 2 1 5 n her dar gestellte Bausteinkonzept und damit f r den Mathematikunterricht von gro er Bedeutung sind e Zerlegen eines komplexen Problems in Teilprobleme Wichtige Aspekte f r Modularisierung Modulkonzept das Bausteinprinzip siehe Kapitel 2 15 e das Prozedurkonzept e Bearbeitung der Teilprobleme und Zusammenf gen zur Gesamtl sung L sungsvielfalt Die Informatik macht uns und den Sch lern vor dass sich Probleme h ufig auf vielf ltige Weise l sen lassen Das ist ein Aspekt der gerade heute von einem zeitgem en Mathematikunterricht gefordert wird Hierzu noch einmal das Lottoproblem mit einer zweiten L sung HAU
149. hiedene Lerngruppen 5 Was haben magische Quadrate mit Vektorr umen zu tun f r den Leistungskurs Lineare Algebra Thema Linearkombination von Matrizen 6 Programmierung magischer Quadrate f r den Leistungskurs Lineare Algebra oder f r Informatikkurse Hinweis Der Datentyp matrix kann in der Programmiersprache PASCAL z B folgenderma Ben definiert werden TYPE matrix RECORD wert ARRAY 1 maxzeilen 1 maxspalten OF REAL Matrixelemente m INTEGER Zeilenanzahl n INTEGER Spaltenanzahl END 7 Entwurf einer Wandzeitung ber magische Quadrate zum Aushang in der Schule mehr f r die Sekundarstufe 1 95 3 1 3 Eine Abituraufgabe zu magischen Quadraten Die Aufgabe setzt auf der obigen Bausteinidee aus der Informatik auf verwendet ein Ergebnis aus dem Internet und f hrt mit linearen Gleichungssystemen zu einem Kernthema der linearen Algebra in der Schule Hierzu geh rt auch eine Teilaufgabe zur Abgeschlossenheit bei Vek torr umen Damit werden hier mathematische und informatische Inhalte verkn pft Auch f r den Unterricht im Kurs Lineare Algebra ergeben sich durch die verschiedenen Teilaspekte verschiedene Einsatzm glichkeiten Eine Abituraufgabe Leistungskurs Abitur 2001 an der R ckert Oberschule a b c 1 Ausgehend von der Matrix M d f findet sich im WWW g h i die a b e Formel f r die Konstruktion magischer 3 3 Quadrate 1 1 Wie gro ist die magische Su
150. hmik zu wenig ist zumal de ren Bedeutung angesichts der CAS Systeme heute neu zu bewerten ist Auch in der Stellungnahme zur Einbeziehung von Inhalten und Methoden der Informatik in den Mathematikunterricht der Sekundarstufe 1 und in die Hochschulausbildung von Mathematiklehrern GDM Juli 1981 ver ffentlicht u a in dem oben genannten Tagungsbericht 1992 wird die Aufnahme informatischer Methoden in die Hochschulausbildung von Mathematiklehrern ge fordert wenn auch einseitig auf Algorithmik ausgerichtet 1986 weist dann die GDM in ihren berlegungen und Vorschl ge zur Problematik Computer und Unterricht in MNU 1986 Heft 6 auf diverse diesbez gliche Schwierigkeiten der Akzeptanz hin Wir m ssen heute aber auf verwickelte und tiefliegende Probleme hinweisen vor die sich allgemein der Unterricht insbesondere der Mathematikunterricht in Konzeption und Praxis durch die verschiedenen m glichen Weisen des Umgangs mit dem Computer gestellt sieht und auf spezielle Probleme die sich mit der angestrebten informationstechnischen Bildung f r alle Sch ler und Jugendlichen gegeben sind Explizit werden dann genannt und ausgef hrt Probleme der Rechtfertigung inhaltliche Ver nderungen des Mathematikunterrichts Ver nderungen des Lernens Probleme f cher ber greifender Ans tze und Probleme der Lehrerfortbildung Zusammenfassend l sst sich feststellen dass es bisher kaum gelungen ist bewusst informati sche As
151. ht Dieser wird zur Zeit bestimmt durch Bem hungen die zu einer Steigerung der Effizienz des mathe matisch naturwissenschaftlichen Unterrichts f hren sollen Hierzu geh ren u a die Aspekte Ver nderte Unterrichtskultur mit offenen Unterrichtsformen mehr Sch lerzentrierung insbesondere Bem hungen zu mehr selbst ndiger Arbeit der Sch ler neue Aufgabenkultur d h unter anderem Offene Aufgabenstellungen mehr Anwen dungsbezug experimentelles entdeckendes Lernen Einsatz neuer Medien Weiteres hierzu kann auch aus Abbildung 1 4 a abgelesen werden Au erdem wird hingewie sen auf die Ausf hrungen zur TIMSS Studie von Henn Hen99 und Blum W Neubrand M Blu98 Abbildung 1 4 a zeigt die Module des 1998 aufgelegten bundesweiten Modellversuchs SI NUS zur Steigerung der Effizienz des mathematisch naturwissenschaftlichen Unterrichts Hinweis Das Computermodul wurde von mir eingef gt und ist in dem Modellversuch nicht enthalten 28 Steigerung der Effizienz des Mathematikunterrichts Hauptziel aller Bem hungen zur Steigerung der Effizienz des Mathe matikunterrichts ist eine Weiterentwicklung der gesamten Unterrichts kultur insbesondere hin zu offenen Unterrichtsformen in denen der Lehrer nicht mehr die dominierende Rolle spielt und bei denen sich die Leistungsf higkeit der Sch ler besser entwickeln kann Modul 1 Weiterentwicklung der Aufga benkultur im mathematisch naturwissenschaftl Unterricht Modul 4
152. ich auf verschiedene Art und Weise darstellen als Graph bergangsgraph wwwbruegge in tum efteaching ss01 Info2 Abb 3 3 a Internetrecherche zum Begriff bergangsgraph 108 3 3 1 Endliche Automaten und Markow Ketten Kapitel 3 3 ist dem Thema Zustandsgraphen h ufig wird auch von bergangsgraphen gesprochen und einigen wichtigen damit zusammenh ngenden Fragestellungen und Algo rithmen gewidmet Es wird gezeigt dass diese Thematik besonders geeignet ist Vernetzun gen zwischen Mathematik und Informatik aufzuzeigen In der Schulinformatik wird beson ders in Leistungskursen das Thema Endliche Automaten oder auch das Thema Turing maschinen behandelt In einigen Mathematiklehrpl nen wird das Gebiet Markow Ketten genannt Dabei werden auch Zustandsmengen und Zustandsgraphen bergangsgraphen verwendet Insgesamt findet das Thema jedoch noch zu wenig Beachtung obwohl es in Ma thematik Informatik und anderen Wissenschaften eine wesentliche Bedeutung hat Abb 3 3 a gab hier ber bereits einige Informationen Weitere Hinweise ergeben sich aus Wer95 5 33 f Viele Beispiele f r Systeme mit endlichen Zustandsmengen findet man in der Informatik H ufig be nutzte Programme wie Texteditoren oder lexikalische Analyser werden oft als Systeme mit endli chen Zustandsmengen entworfen Die Theorie der endlichen Automaten ist damit ein n tzliches Werk zeug zum Design solcher Systeme D
153. icht nicht in den Vorder grund r cken Kennzeichen des Programmierens mathematischer Fragestellungen sind u a e Analysieren von Algorithmen Finden geeigneter Parameter Konstruieren von Prozeduren und Funktionen Bausteinen Konstruieren von Wiederholungsschleifen Ber cksichtigung spezieller Bedingungen Fallunterscheidungen 79 Wozu im Mathematikunterricht programmieren Die Programmierung erfolgt u a e zur L sung spezieller Probleme die sich nicht mit dem CAS elementar z B durch Ver wendung vordefinierter oder selbstdefinierter Bausteine bearbeiten lassen e Herstellung von Black Boxes zum Zweck der Mehrfachverwendung und zur F rderung experimentellen Arbeitens e zur Analyse von Algorithmen Bedenken gegen das Programmieren im Mathematikunterricht e Viele Lehrer scheuen sich vor dem Programmieren Die Sch lerspezialisten k nnen es besser e Vielen Sch ler f llt das Programmieren schwer e Programmieren f hrt wegen mancher Misserfolge zur Demotivation von Sch lern e e e Programmieren verst rkt die Unterschiede in der Leistungsf higkeit von Sch ler Programmieren ist zeitaufwendig und kann sich leicht verselbstst ndigen Es gibt im CAS gen gend andere M glichkeiten um Probleml sungen zu finden oder Program mierlernziele zu erreichen 2 1 7 2 Einf hrende Beispiele Programmieren fr her und heute Die folgenden Ausf hrungen besch ftigen sich mit einem speziellen Aspe
154. ie Folgenterme k nnen dann mit vollst ndiger Induktion erfolgen Man kann in solchen F llen die Grenzmatrix exakt bestimmen Phasen der Modellbildung beim Versandproblem Hinter der Bearbeitung der obigen Abituraufgabe stehen einige Modellbildungsphasen in en gerem Sinn die im Folgenden verdeutlicht werden sollen Gleichzeitig wird angedeutet wie die Einf hrung mathematischer Begriffe kursiv geschrieben in den Prozess eingebettet werden kann Die im vorliegenden Fall vorgef hrten Modellierungsvorg nge f hren jeweils zu anderen mathematischen Modellen Bei Markow Ketten erg nzen sich diese in berzeugender Weise weil die Modellbildungen zu gut vergleichbaren Ergebnissen f hren Die folgende Darstellung ist so aufbereitet dass eine m gliche Abfolge von Modellbildungs phasen deutlich wird Antrieb f r die Modellierung ist wie h ufig auch bei anderen Anwen dungen von Markow Ketten die Fragestellung Wie verh lt sich das System langfristig Schritte der Modellbildung Schritt 1 Aufbau der bergangsmatrix Festlegung der Zust nde Veranschaulichung Schritt 2 Elemente der bergangsmatrix finden Veranschaulichung Schritt 3 Langfristige Entwicklung des Systems untersuchen mehrstufige bergangswahrscheinlichkeiten berechnen Schritt 4 Einsatz eines CAS der Baustein vers a b n Schritt 5a Bildung von Potenzen mit Hilfe des Bausteins Schritt 522 Interpretation der Ergebnisse aus Schritt 5a1 Schritt 5b1 St
155. ie Kompetenz des Anwendens der richtigen Formeln und die des Auswertens der erzeugten Terme die gleiche wie fr her bleibt F r die heutigen Abituraufgaben 2002 werden detaillierte Formulierungen zur Aufgaben beschreibung f r den Sch ler und zu den von den Sch lern erwarteten Anforderungen f r den Gutachter erwartet zumindest f r das Land Berlin das noch kein Zentralabitur hat 2002 Allerdings findet zur Zeit eine rege Diskussion dar ber statt wie man die heute ge w nschten offenen Aufgaben und den gew nschten offeneren Unterricht und Computer einsatz auch in Klausur und speziell Abituraufgaben einbringen kann Bemerkenswert f r die heutige Situation ist auch die bei der obigen Musterl sung verwendete Form der Dokumen tation des L sungswegs Bezug zur Informatik Ein Bezug zur Informatik der ja in dieser Dissertation besonders interessiert l sst sich bei den hier angebotenen drei Aufgaben durch die Verwendung von Software zum Rechnen und Zeichnen sowie durch das in der Software m gliche Arbeiten mit Modulen Bausteinen her stellen e Durchgehende Benutzung eines Computeralgebrasystem TI 92 siehe Musterl sung zu Aufgabe 3 e Anwendung eines Funktionenplotters zur Visualisierung bei Aufgabe 1 e Anwendung eines Ray Tracing Programms z B POVRAY zur Erstellung fotorealisti scher Szenen zu den Aufgaben 2 und 3 Direktere Bez ge zur Schulinformatik werden in den folgenden Kapiteln an anderen Beispie len e
156. ierung M glichkeiten und Grenzen des Rechners Das sind Aspekte die auch im Rahmen der vorliegenden Arbeit eine wichtige Rolle spielen siehe Kapitel 2 In dem Beitrag von Horst Hischer geht es um Neue Technologien als Anla einer erneuten Stand ortbestimmung f r den Mathematikunterricht S 148 ein Thema das heute in der Diskussion ber den Einsatz neuer Medien in der Schule wieder hoch aktuell ist Passend f r das Anlie gen meiner Arbeit ist besonders These 5 Auch die Wissenschaft Informatik spielt ber die Informations und Kommunikationstech nologien eine bedeutsame Rolle im Rahmen der technologischen Synergie Eine ihrer wesent lichen fundamentalen Ideen und Methoden ist die Algorithmik Hierin erweist sich die Infor matik als Spr ling der Mathematik geh rt doch der Algorithmus zu den mathematischen Urbest nden Die w hrend der Zeit des Bourbakismus in der Mathematik in den Hintergrund getretene algorithmische Methode bekommt jedoch im Rahmen neuerer mathematischer Theorien und Anwendungen Fraktale Chaostheorie Katastrophentheorie Dynamische Systeme eine bedeutsamere Rolle als je zuvor Selbstverst ndlich muss dieser Aspekt in der vorliegenden Arbeit ber cksichtigt werden Man vergleiche hierzu die Ausf hrungen in den Kapitel 2 1 6 und 2 1 7 sowie in den vielen Kon kretisierungen des Kapitels 3 25 Es wird sich aber zeigen dass eine Einbeziehung informati scher Aspekte nur ber Algorit
157. ierzehn Jahre sp ter liest man auf dem R ckdeckel des Buches Arthur Engel Mathematisches Experimentieren mit dem PC Klett 1991 Der PC bietet neue heuristische Methoden die Mathematik liefert effiziente Algorithmen Engel r ckt damit zwei Aspekte in den Vordergrund die f r die Ber cksichtigung informati scher Aspekte im Mathematikunterricht wichtig sind e Algorithmisches Denken effiziente Algorithmen e heuristische Methoden F r die beiden oben genannten B cher war f r den Lehrer die Kenntnis einer Programmier sprache unumg nglich Das waren in diesem Fall BASIC 1977 bzw TURBO PASCAL 1991 Die Entwicklung zeigte dann aber gl Die kleinen 10 Zeilen Programme dennoch oft mit relativ gro er Wirkung und h ufig ge dacht zum Experimentieren mit mathematischen Ans tzen konnten sich jedoch in der Schule wegen fehlender Hardware und vor allem wegen fehlender Akzeptanz durch die Leh rer nicht in breitem Ma e durchsetzen Siehe Kapitel 1 3 1 Die heutige Hardwaresituation ist jedoch viel g nstiger und auch die Akzeptanz ist durch zahlreiche Fortbildungsveranstaltungen und die Entwicklungen um TIMSS und PISA erheb lich gr er geworden 2 1 7 3 Programmieren im CAS Einige Beispiele f r Bausteine hierzu wurden oben bereits notiert Sie werden hier aus CAS Sicht wiederholt Beispiel Bausteindefinition Bausteinaufrufe 1 L sung einer quadratischen Gleichung mit define formel p
158. ikunterricht z B zum Auffin den mathematischer Gesetzm igkeiten und mathematischer Modelle o Herausstellung und F rderung des Anwendungsbezuges e F rderung des selbst ndigen und kooperativen Arbeitens o kritische Reflexion und Bewertung des Rechner Einsatzes Schulischer Mathematikunterricht mu sich mit der Existenz neuartiger Software z B Computer Algebra Systemen auf Mikrocomputern auseinandersetzen Er sollte die Verbreitung solcher Systeme zum Anla nehmen seine Bildungs und Zielvorstellung zu reflektieren und den Umfang der zu ver mittelnden algorithmischen Fertigkeiten immer wieder neu zu bestimmen unter Ber cksichtigung des Zusammenhangs zwischen bung und Verst ndnis Es erhebt sich insbesondere die Frage welches Gewicht algorithmische Teile bei schriftlichen Leistungsmessungen haben sollen Auszug aus MNUS6 Auch wird bereits 1986 auf die Existenz der neuartigen Computeralgebrasysteme hingewie sen Ein Beispiel ist das System MUMATH So wird deutlich wie lange die Bem hungen um einen effizienten Computereinsatz im Mathematikunterricht schon gehen und wie relativ wir kungslos derartige Empfehlungen gewesen sind Bis zum Jahr 2002 sind seit diesen Empfeh lungen bereits 17 Jahre vergangen und bestenfalls in den letzten f nf Jahren wird die Akzep tanz deutlich gr er Als Ergebnis der 80 er Jahre muss man aber festhalten Das Programmieren und das daf r notwendige Analysieren von Algorithmen z B
159. in der Epsilon Umgebung f re 0 05 Ip BA p EF p p 10 M 12 1a da 15 J6 17 18 13 20 21 2 Abb 3 4 6 j Darstellung der Folgenglieder bis n 22 die Epsilonumgebung ist hier 0 05 164 Die Folgenglieder verlassen die oo je 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 5 90 95 1 Abb 3 4 6 k Darstellung der Folgenglieder bis n 100 Epsilon ist hier 0 05 Abb 3 4 6 1 Darstellung der Folgenglieder bis n 1000 Jetzt sollte doch lieber gerechnet werden von Hand oder mit dem CAS SE ni 0 RE SR su REFEN Ge a aAa i a lim z In 9 lim 9 e3 O n O e3 pap Eu BERGE BEE n n Eine erneute Darstellung der Folge ber cksichtigt dieses Ergebnis und setzt diesen Grenzwert an n l uft nun bis 5001 Offenbar gelangen dabei die Folgenglieder wieder in die Epsilon umgebung 165 L b 0 5 D 4 bb 0 00 1000 1500 000 500 000 500 4000 4500 10 1 10 2 10 3 10 4 0 5 0 6 Abb 3 4 6 m Darstellung der Folgenglieder bis n 5000 die Epsilonumgebung ist 0 5 der vermutete Grenzwert ist 2 3 Wertetafeln und Rechnungen mit dem CAS best tigen diese Ergebnisse Zur grafischen Darstellung wurde hier wieder im Programm ANIMATO funktional programmiert fl 1 3 11 n 9 9 n 9 der Folgenterm f2 2 3 0 n der vermutete Grenzwert f3 0 05 das gew hlte Epsilon f4 f2 f3 Epsilon Umgebung f5 f2 f3 Epsilon Umgebung f6 n abs f1 n f2 lt f3 f1 n undef Wenn in der Epsilon Umgebung
160. in der Unterrichtspraxis zur Zeit vielfach mit engen Aufgabenstellungen gearbeitet wird Vorhandene M glichkeiten wie sie in der Abbildung angedeutet sind werden noch zu wenig ausgenutzt Bislang kaum praktizierte M glichkeiten sind Mit vorgelegtem Material arbeiten Mathematische Texte zu den Rech mit Buchtexten Abbildungen Zeich nungen verfassen und Veranschauli nungen vorstrukturierten Beweisen Sich h ufiger chungen durchf hren Erl uterung Ergebnisse oder Teil Rechnungen auf Teilrech von Ans tzen und Strategien Inter erl utern und interpretieren Aufga nungen be pretationen unter Verwendung der ben mit mehreren L sungswegen schr nken Fachbegriffe stellen Wege zu einer neuen Aufgabenkultur Anwendungs Die Methode der Aufgabenvariation benutzen aufgaben Die Sch ler gelegentlich auch die Lehrperson werfen ausgehend von stellen einer vorliegenden Aufgabenstellung verwandte Fragestellungen auf und versuchen diese zu bearbeiten Abb 1 4 e Neue Aufgabenkultur die Aufgabenstellungen sind viel variabler und offener 31 Abbildung 1 4 f zeigt ein Beispiel f r eine sehr offene Problemstellung Aufgabe EINES WAA AAAS OOO OOOX AOOO LER INN NV vavava ATERT AED AUS IT TI I Erfindet mathematische Auf gabenstellungen zu dem ab gebildeten T rgitter K Derartige offene Auftr ge f h ren oft zu phantasievollen Auf gaben von denen der Lehrer in Abh ngigkeit von der Lern
161. ineare Gleichungssysteme von Graphen Eo gungen Analysis Folgen Grenzwerte 8 a nen sehe nicht berechen Stochastik Rechnen mit ber i Erea ea or Halteproblem bare Funktio gangswahrscheinlichkeiten Markow Berechenbar nen ein neuer Wartezeiten bis zum Erfolg ee enale keit Aspekt f r dem Graphentheorie andie endliche M Unterricht Automaten Automaten 4 Anwendungsbez ge u a Anwendungsbez ge u a e Automaten Warteschlangen Maschinen berwachung Auftrags e nebenl ufige Prozesse bearbeitung Wettervorhersage Marktforschung Abb 3 3 1 d Algorithmen und Anwendungen von Zustandsgraphen und verwandten Problemen im Mathematik und Informatikunterricht 1936 hat der englische Mathematiker A M Turing 1912 1954 ein universelles Automatenmodell vorgeschlagen Turingmaschinen sind spezielle Automaten siehe Seite 108 Man kann sich eine Tu ringmaschine als ein Band vorstellen das in Felder unterteilt ist auf denen genau ein Zeichen steht Ein Lese bzw Schreibkopf kann den Inhalt des gerade darunter befindlichen Feldes lesen und beschrei ben Das Band merkt sich also Zwischenergebnisse Das Band kann sich jeweils um ein Feld nach links oder rechts bewegen Dabei werden jeweils gewisse Zust nde aus einer endlichen Zustandsmen ge angenommen Diese Aktionen werden durch ein Programm gesteuert das zu den Zustands nderun gen f hrt Das Turingmas
162. inlichkeiten f r die einzelnen Zust nde vor Eine endliche homogene Markow Kette kann also durch das Tripel Z S vo beschrieben werden Z Zustandsraum S bergangsmatrix vo Anfangsverteilung Kernst ck der Theorie ber Markow Ketten ist der folgende Satz Grenzwertsatz Gegeben sei eine endliche homogene Markow Kette Z S vo mit der An fangsverteilung vo der bergangsmatrix S und dem Zustandsraum Z Z Z2 Zu Wenn es ein t gibt so dass die bergangsmatrix S bergangsmatrix nach t Schritten min destens eine Spalte ko hat in der alle Elemente positiv sind dann existieren a alle Grenzwerte lim pin t amp Grenzwahrscheinlichkeiten der t stufigen bergangs wahrscheinlichkeiten und es gilt lim pi gk unabh ngig von den Zeilennummern jJ f r alle Zust nde Zj und Z des Zustandsraums Dabei ist die Summe aller gx gleich 1 Die Ma trix S G aus den Grenzwahrscheinlichkeiten hat also lauter gleiche Zeilen 8 81 82 Sn b g 2 83 Zn ist unabh ngig von der Anfangsverteilung vo c g 81 22 Zn ist die einzige L sung des linearen Gleichungssystems w wSmit w w2 w l Die station re Verteilung w ist also unter den angegebe nen Voraussetzungen gleichzeitig auch Grenzverteilung w g 111 Dieser Satz l sst sich im Unterricht e an Beispielen f r zwei oder mehr Zust nde plausibel machen da man ja einfach nach rechnen kann oder auch e f
163. ion im Fachbereich Mathematik Informatik Nutzen der vielf ltigen konkreten Unterrichtsbeschreibungen in B chern und Fachzeitschriften Nutzen der Angebote des Internet Umstellen ihrer Lehrerrolle Anerkennung und Nutzung der Sch lerkompetenzen insbesondere ber neue Medien aber auch Vermeiden von Gefahren der neuen Entwicklungen wie beispielsweise die einseitige Betonung nur neuerer Unterrichts oder Aufgabenformen und damit etwa Vernachl ssigung des bens Faktenwissens und mathematischer Hintergr nde Viele der genannten Aspekte wirken auch auf die Sch ler und f hren bei diesen zu ver nderten Vorgehens und Verhaltensweisen 41 Abbildung 1 5 d bringt ein Beispiel f r ein Unterrichtsszenarium aus der Erfahrung in einem Leistungskurs Mathematik beim Thema Lineare Algebra siehe auch Kapitel 3 5 Kurs Vortrag Gelenk Partner Gruppen Statio Lineare Frontal tes Unter arbeit arbeit nen Alaah unter richts GA lernen genra icht gespr ch Mathe Taschen matische sehr selten fast im h ufig h ufig nein gelegent rechner Inhalte mer nach lich Metho GA sonst den selten Ren Informati graphi sche werden stets mit bedacht scher Inhalte Taschen Metho nein rechner den Weitere TI 92 Taschen fach ber steht compu reifende erwachsen aus den jeweiligen Anwendungsf llen er greifend h den jeweiligen Anwendun
164. ist auch f r die Lernenden schwer und zudem zeitaufw ndig Diese Einsch tzung gilt auch heute noch e Das Erstellen l ngerer Programme in CAS Systemen leidet unter den gleichen M ngeln wie seinerzeit am PC etwa in BASIC Es f hrt schnell zu un bersichtlichen Programmen mit den bekannten Spaghetti Codes die der Informatiker mit Recht ablehnt L ngere Programmierphasen in Computeralgebrasystemen sind daher f r den normalen Mathema tikunterricht ein eher belastender R ckschritt Diese Aussage schlie t jedoch nicht aus dass gelegentlich geeignete Sch ler auch Programme als Black Boxes zur Verwendung f r alle bereitstellen und zuweilen ber deren Konstruktion berichten e Die oben genannten Gr nde waren es ja neben vielen anderen die zur Entwicklung leichter zu bedienender Mathematik Software und insbesondere von Computeralgebrasy stemen gef hrt haben e Programmieren im Mathematikunterricht bedarf des kompetenten Lehrers der die Chan cen des Programmierens aber auch die Gefahren bertriebenen Programmierens richtig einsch tzen kann e Als Alternativen f r umfangreiches Programmieren im CAS Programmeditor bieten sich an a Benutzung vor und selbstdefinierter Bausteine siehe u a Beispiel 6 Diese k nnen vielseitig verwendet werden etwa zur Probleml sung zum Experimentieren und zum Analysieren der in ihnen verborgenen mathematischen Inhalte b Funktionales Programmieren in kleinem Umfang Hierbei k nnen insbes
165. it Aus gr eren Projekten etwa auch aus dem Informatikunterricht ist der Begriff des Projekt managements bekannt Er erweist sich als n tzlich wenn es darum geht die hier gegen ber verbreiteteren Unterrichtsformen andersartigen Aufgaben des Lehrers zu verstehen So ergibt sich eine erweiterte Sichtweise Ein Projektmanager hat die Aufgabe das Projekt zu f hren und zu verwalten In der Schule wird der Projektmanager in der Regel der unterrichtende Lehrer sein Unter g nstigen Bedin gungen k nnen gelegentlich auch verst ndige Sch ler mit p dagogischem Geschick Pro jektleiter sein Der Projektmanager ist verantwortlich f r die Organisation und Vorgehensweise der Projekt gruppe und muss in der Lage sein Probleme zu erkennen sich um sie zu k mmern und sich mit seinen Mitarbeitern um systematische konstruktive L sungen zu bem hen Bei mathematischen Projekten hat der Lehrer insbesondere folgende Aufgaben zu bernehmen Auswahl des Projektthemas jedenfalls in den meisten F llen Aufteilung in Gruppen ggf in Zusammenarbeit mit den Sch lern Leitung bei der Pr zisierung von Aufgabenstellungen Projektmanager Leitung gemeinsamer Diskussionen E EREN A Organisation von Zwischenberichten Bereitstellung von den Sch lern nicht bekannten mathematischen und anderen Hilfsmitteln Bereitstellung von Medien e Hilfestellung durch Hinweise auf geeignete Computerprogramme und Bedienungshinweise beim Finden schwieriger
166. it den f bergangswahrscheinlichkeiten endlichen Automaten Einsatz unendlicher geometrischer Reihen Berechnung der Gewinnwahrscheinlichkeit bergang von Z5 nach Z2 siehe Abb 3 3 4 e Unendliche geometrische Reihen Anzahl der Schritte 1 2 3 4 n Wahrscheinlichkeit 3 36 27 36 27 36 2 27 36 3 27 36 n 1 3 36 3 36 3 36 3 36 Das ist eine geometrische Reihe mit dem Quotienten q 27 36 Als deren Summe ergibt sich 21 36 L siehe unten Ausgehend von Z1 k nnen wir nach Z2 auf verschiedenen Wegen gelangen Weg Wahrscheinlichkeit Von Z1 direkt nach Z2 8 36 Von ZI berZ3nachz2 8 36 2 s Das sma die Summen der unendlichen Von Z1 ber Z4 nach Z2 10 36 45 99 pei u Von Z1 ber Z5 nach Z2 6 36 1 3 Diese Wahrscheinlichkeiten m ssen nun noch aufsummiert werden Additionsregel g Z1 gt 2Z2 244 495 0 49292929 Gewinnwahrscheinlicheit des Crap Spiels g Z1 gt 2Z6 1 244 495 251 495 0 507171 Verlustwahrscheinlicheit des Crap Spiels Das Spiel ist nicht fair 140 D3 L sung mit Hilfe von bergangsmatrizen Teilergebnisse von Gruppe 3 Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z1 0 8 36 8 36 10 36 6 36 4 36 gt Zeilensumme 1 Z2 0 1 0 0 0 0 gt Z2 ist Endzustand Z3 0 4 36 26 36 0 0 6 36 Matrix A l Z4 0 5 36 0 25 36 0 6 36 eine Stufe Z5 0 3 36 0 0 27 26 6 36 Z6 0 0 0 0 0 1 gt Z6 ist Endzustand 4 berg nge nach Z1 sind nicht m glich da Z1 Anfangszustand F r die
167. itenmittelpunkte im Dreieck Punktfolgen Al A2 A3 Bl B2 E C 1 6 Abb 3 2 b Zeichnung im Koordinatensystem ACTA B 6 4 102 Die Programmierung von ANIMATO zeigt die verwendeten Rekursionsformeln EEE ee ee ee ee ee ee ee ee ee n 1 7 fl n u f2 n 1 1 u 2 ER Ein Programm f r die Ani n 1 1 f3 n 1 u f1 n 1 1 u N A nee f4 n 1 4 f4 n 1 u 5 n 1 1 u a HL f5 n 1 4 f5 n 1 u f6 n 1 1 u f6 n 1 6 f6 n 1 u f4 n 1 1 u f1 n f4 n f2 n f5 n Programmieren mit rekursiv 2 n f5 n f3 n f6 n definierten Funktionen f3 n f6 n fl n f4 n flo fl n f4n EEE nennen nn nl Programmerl uterungen Terme Erl uterungen fl d n 1 7 fl n l u R n 1 l u fl berechnet die x Werte der A Punkte aus den vorhergehenden A und B Punkten f r den Mittelpunkt ist u 1 f2 n 1 6 f2 n 1 u f3 n 1 1 u f2 berechnet die x Werte der B Punkte aus den vorhergehenden B und C Punkten i f3 n 1 1 f3 n 1 u fl n 1 1 u f3 berechnet die x Werte der C Punkte aus den vorhergehenden C und A Punkten f4 n 1 4 f4 n 1 u f5 n 1 1 u f4 berechnet die y Werte der A Punkte aus den i vorhergehenden A und B Punkten f r den Mittelpunkt ist u 1 f5 n 1 4 f5 n 1 u f6 n 1 1 u 5 berechnet die y Werte der B Punkte aus den vorhergehenden B und C Punkten f6 n 1 6 f6 n 1 u f4 n 1 1 u f6 berech
168. itstellen k nnen Inzwischen gibt es zahlreiche derartige Systeme Diese wurden zwar in der Regel nicht direkt f r den Schulunterricht entwickelt jedoch erwiesen sich Teilbereiche davon als sehr n tzlich f r den Unterricht Im Wesentlichen sind es drei Arten von Softwarepaketen die heute f r den Mathematikunterricht zur Verf gung stehen CAS Computeralgebrasysteme DGS Dynamische Geometriesysteme TK Tabellenkalkulationsprogramme 1 3 3 Mathematik und Informatik erste Integrationsans tze Ans tze zur Integration informatischer Inhalte in den Mathematikunterricht lassen sich u a in den schon oben erw hnten Berichten ber die Tagungen des Arbeitskreises Mathematik und Informatik in der GDM verfolgen Hier ist insbesondere der Bericht von 1992 zu nennen Wieviel Termumformung braucht der Mensch Fragen zu Zielen und Inhalten eines k nftigen Ma thematikunterrichts angesichts der Verf gbarkeit informatischer Methoden Horst Hischer Hrsg Franzbecker Verlag Hildesheim 1993 In diesem Bericht schreiben H L the und C Wagenknecht ber die Integration informatischer Begriffe in die Mathematik erste Erfahrungen S 24 f Die Erfahrungen beruhen auf dem Projekt CIMS Computerintegration in das Mathematiklehrerstudium 1991 an der PH Lud wigsburg Die Autoren besch ftigen sich dabei insbesondere mit Formen und Stufen der be grifflichen Integration Sie unterscheiden e Additive Hinzunahme von
169. kann oder nach einigen Monaten die Syntax nicht mehr versteht Bau steine werden zwar von den Benutzern erarbeitet und eingetippt aber es kann leicht passieren dass nach monatelanger Anwendung eines bestimmten Bausteins der Sch ler zwar noch wei was das Ergebnis zu bedeuten hat und auch die Eingabe ist klar aber leider gibt ein CAS keine Zwischener gebnisse aus so dass die Herleitung an Bedeutung verliert Die Frage wie das CAS Aufgaben rechnet ist ein weiteres Problem denn der Benutzer sollte es schon wissen wieso das Ergebnis her auskommt ber den Einsatz von CAS in der Sekundarstufe 1 ohne besondere informatische Inhalte habe ich jedoch gerade ein Projekt abgeschlossen an dem 16 Lehrer und ca 450 Sch ler aus 16 neunten und dann zehnten Klassen 2001 2003 beteiligt waren Jeder Sch ler hatte dabei einen Taschencomputer TI 92 st ndig zur Verf gung In der Evaluation werden mehrere stati stische Umfragen bei Lehrern und Sch lern vorgestellt und ausgewertet die ber die breite Akzeptanz des Taschencomputereinsatzes im Mathematikunterricht informieren siehe Leh02 S 82 94 Die Darstellung endet in Kapitel 6 mit Zusammenfassung wichtiger Ergebnisse und Emp fehlungen f r Computer Projekte im Mathematikunterricht Die Projektlehrer stellen dabei u a einen hohen Arbeitsaufwand f r die Lehrer fest Eine Antwort auf diesen Hinweis die auch im Rahmen der vorliegenden Dissertation g ltig ist findet sic
170. ken ein m gliches Kennzeichen f r einen unbrauchbaren Zufallsgenerator Transformation von Zufallszahlen Punktepaare f2 int 4 random 1 int 4 random 1 Zufallspunkte mit x y aus 1 2 3 4 f3 int 6 random 1 int 5 random 1 Zufallspunkte mit x aus 1 2 3 4 5 6 und y aus 1 2 3 4 5 f4 int 3 random 1 int 3 random 1 Zufallspunkte mit x aus 1 2 3 und y aus 1 2 3 f5 int 2 random 1 int 2 random 1 Zufallspunkte mit x y aus 1 2 range0 0 1 200 201 Punkte 154 Abb 3 4 4 b Vier Transformationen f2 f3 fa 85 Punktepaare Drehen eines Gl cksrads mit den Sektoren 1 2 3 4 1 Abb 3 4 4 c Drehen eines Gl cksrads mit den Sektoren 1 2 3 4 Erzeugende Formel int rand 1 int rand 0 6 int rand 0 2 int rand 0 1 int rand Die Visualisierung von Zufallszahlen und ihren Transformationen dient dem besseren Verst ndnis der Abl ufe bei Probleml sungen durch Simulationen Diese sollten heute Bestandteil jedes Stochastikkurses sein und k nnen oft auch schon in der Sekundarstufe 1 als leicht einsichtige L sungen schwierig aussehender Probleme verwendet werden 155 3 4 5 Einige Elemente der Computergrafik Computergrafik ist ein f r Sch ler besonders attraktives Thema das auch viele Bez ge zwi schen Mathematik und Informatik bietet Im Folgenden werden einige Bereiche angedeutet die sich f r verschiedenen Unterrichtssituationen eignen A Abbildungsgeometrie in der
171. ksseiten konstru ieren und ber die Mittelpunktsformeln berechnen lassen Diese k nnen dabei ggf hergeleitet wer den B In Klasse 10 oder 11 ist das The ma Folgen rele vant Die Entdek kungstreise ist eine sch ne Anwendung rekursiv definierter Folgen C Im Analysiskurs kann man zun chst wie in B vorgehen Anschlie end k n nen explizite Dar stellungen gesucht und Grenzwerte gebildet werden D Im Kurs Ana lytische Geometrie kann es neben den Teilpunktberech nungen um die Schwerpunktberech nung gehen Au er dem kann mit ande ren Teilverh ltnis sen experimentiert E Grafische Dar stellungen sind z B im CAS oder mit ANIMATO schon in A D erw nscht Zus tzlich k nnen diese unter dem As pekt der Computer grafik gesehen und m glicherweise pro werden grammiert werden Die Entdeckungsreise zielt insbesondere auf folgende Aspekte ab e Mathematik betreiben mit rekursiv definierten Funktionen e Programmieren lernen ben mit rekursiv definierten Funktionen Relationen e entdeckendes Lernen praktizieren mit Hilfe einer dynamischen Animationssoftware die die eigene Konstruktion von Animationen erm glicht e das Wechselspiel zwischen Visualisierung Numerik Wertetafeln und exakten Beweisen erfahren e Mathematik verstehen durch Experimentieren Entdecken und Beweisen Mittendreiecke Ausgangspunkt f r eine mathematische Entdeckungs
172. kt von CAS bzw anderer Software dem Programmieren in diesen Systemen im Mathematikunterricht Hier gibt es Anzeichen dass sich bei einigen Lehrenden mit dem bertriebenen Schreibenlas sen von Programmen eine gef hrliche Praxis einschleichen k nnte die dem Mathematikunter richt eher schadet als nutzt Die Problematik des Programmierens muss sehr diffenziert unter sucht werden sie ist u a abh ngig von der jeweiligen Lerngruppe von der Lehrerkompe tenz und von den Unterrichtszielen Bez glich des Programmierens im Mathematikunterricht sind auch fr here Erfahrungen wichtig Diese wurden in Kapitel 1 3 bereits aufgezeigt Er g nzend werden zwei weitere Beispiele gebracht die nun aber auch mit den heutigen M g lichkeiten angegangen werden und damit den Wandel auf diesem Gebiet kennzeichnen Beispiel 1 Quadratische Gleichung 1988 PASCAL Programm 2001 Heute k nnten die Sch ler mit dem vordefi nierten Baustein SOLVE arbeiten Baustein im CAS des TI 92 PROGRAM quadratische_gleichung USES Crt VAR p q diskriminante x1 x2 REAL solve x 2 p x q 0 x gt pqformel p q BEGIN Clrscr WRITE p READLN p WRITE g READLN g diskriminante p p 4 g IF diskriminante gt 0 THEN BEGIN x1 p 2 sgrt diskriminante Aufrufe des Bausteins wie z B pgformel 3 4 pgformel 3 1 l sen dann sofort die entsprechende quadratische Gleichung oder geben die Meldung false keine L sung in R aus
173. lche handwerklichen Rechenkompetenzen sind im CAS Zeitalter unverzichtbar 22 Die Mathematik Lehrpl ne der 80 er Jahre und auch noch einige Jahre danach dr ckten sich bez glich des Computereinsatzes wie auch vorher bzgl des Taschenrechnergebrauchs sehr vorsichtig aus und gaben bestenfalls einige Hinweise im allgemeinen Teil meistens ohne Bezug auf konkrete inhaltliche Fragen In dem Berliner Rahmenplan von 1973 werden die breiten Einsatzm glichkeiten des Computers in den Themenbereichen des Mathematikunter richts noch nicht erw hnt Es gab lediglich einen speziellen von den brigen Angeboten iso lierten Kurs B5 Behandlung mathematischer Probleme mit Computereinsatz in dem einige ausgew hlte mathematische Fragestellungen zur Bearbeitung mit Computern empfohlen wur den Bemerkenswert sind dann jedoch die Empfehlungen zum Computereinsatz im Mathema tikunterricht der Sekundarstufe II MNU 1986 Heft 2 Hier wird schon mit gro er Klarheit gesehen welche Chancen sich durch Computereinsatz bieten F r den Einsatz des Computers im Mathematikunterricht sehen wir folgende Schwerpunkte e Einsatz von Rechnern als Werkzeug f r die Bearbeitung von Problemen d h Computer als Ar beitsmittel und nicht prim r als simples Demonstrationsmedium e verst rkte Nutzung der Computer Grafik als Arbeitsmittel als Verst ndnishilfe und zur Motivati on e st rkere Einbeziehung experimentellen Arbeitens in den Mathemat
174. lei igsten 5 Zustands Biber der 1984 von Uwe Schult einem deutschen Informatiker gefunden wurde Schults flei iger Biber erzeugt 501 Einsen bevor er anhielt Als Antwort auf den Artikel f hrte George Uhing ein amerikanischer Programmierer eine Computersuche nach flei igen Bibern mit f nf Zust nden durch und fand einen der 1915 Einsen Anm Striche ausgab bevor er anhielt Sp ter 1989 wurde Uhings Rekordbiber durch einen neuen flei igeren Biber verdr ngt der von J rgen Buntrock und Heiner Marxen in Deutschland entdeckt wurde Der Buntrock Marxen Biber der bei einer dreit gigen Suche auf einem Hochgeschwindigkeitsrechner gefunden wurde schreibt 4098 Einsen bevor er an h lt A K Dewdney Der Turing Omnibus eine Reise durch die Informatik mit 66 Stationen Springer Verlag Berlin Heidelberg 1995 S 287 Zur Vorbereitung der folgenden Betrachtungen ist es zweckm ig die oben bereits verwen dete Funktion Zw genauer zu definieren siehe auch Gas92 Seite 205 f Definition Die Funktion X N N sei definiert durch n Maximale Anzahl von Stri chen die eine haltende Erreichen eines Endzustands Turingmaschine mit n Zust nden und dem Bandalphabet auf das Turingband bestehend aus lauter Zeichen schreibt 1 Zu jedem neN gibt es nur endlich viele Turingmaschinen ihre Anzahl sei gleich T n siehe oben 2 von diesen Turingmaschinen halten bei Start auf einem leeren Band nur Zeic
175. ler Darstellungsbereiche An der folgenden Wertetabelle l sst sich der Vorgang nachvollziehen 86 x fl f2 f3 x fl 2 f3 0 0 0 0 93917661 11 0 4 0 11960204 1 1 1 0 69960631 12 0 4 0 22486038 2 1 2 0 75786615 13 0 4 0 20084231 3 0 2 0 064851833 14 0 4 0 44569231 4 0 2 0 28547014 15 0 4 0 48619037 5 1 3 0 89120151 16 0 4 0 25379192 6 0 3 0 24637593 17 0 4 0 32703635 7 0 3 0 17682424 18 0 4 0 39082003 8 0 3 0 02026429 19 1 5 0 62837611 9 1 4 0 8219245 20 1 6 0 55226295 10 0 4 0 24634541 Hinweis Das in Beispiel 4 bearbeitete Problem wird in Puhlmann Hermann Funktionales Programmieren eine organische Verbindung von Informatikunter richt und Mathematik in LOGIN 1998 Heft 2 S 46 f angesprochen und dort mit einem kleinen Programm in der funktionalen Sprache Standard ML bearbeitet Beispiel 5 Programmieren mit Funktionen 2 Rekursion Typisch f r funktionales Programmieren ist die Verwendung rekursiv definierter Funktionen Beispiel 5 ber cksichtigt diesen Aspekt verwendet au erdem das Bausteinprinzip und berei tet auf die Unterrichtseinheit ber Markow Ketten in Kapitel 3 3 vor Abbildung 2 1 7 3 f stellt den Verlauf einer Markow Kette dar p 11 pd2 Wir betrachten die Markow Kette mit der bergangsmatrix S DWD pQ und der n 1 ten Verteilung V n 1 x 1 y n 1 F r die n te Verteilung gilt V n V n 1 S also x n p l1 x n 1 p 21 y n 1 x n p ll x n 1 p21 1 x n 1
176. lingen Der algorithmische Strang im gymnasialen Mathematikunterricht 86 R Baumann Analysis mittels Computer 97 G Schrage Computereinsatz im Statistikunterricht 107 W D rfler Computer im Mathematikunterricht Beispiele aus der Stochastik 122 E Lehmann Computereinsatz in Kursen zur linearen Algebra 147 H W underling Komplexe Zahlen mit Computer 175 R Gunzenh user ber neuere Entwicklungen des rechnergest tzten Lernens 186 Literaturhinweise 199 Abb 1 3 b Inhaltsverzeichnis aus Gra85 1 3 1 Die 10 Zeilen Programme Der Bezug zur Informatik spielte sich hier auf der programmiertechnischen Ebene ab Die Programme wurden in der Schule in der Regel von einigen engagierten Lehrern erstellt die meistens auch die in der Schule sich entwickelnde Informatik unterrichteten Dazu mussten die entsprechenden Algorithmen analysiert werden Dieses Vorgehen war allerdings an den Schulen kaum verbreitet So schreibt z B L Klingen in seinem Beitrag siehe Abb 1 3 b Vielfach herrschen g nzlich falsche Vorstellungen ber den Aufwand den der Einstieg in Betriebssystem und Programmiersprache fordert Einige Schulen verf gen heute schon ber eine technische Umgebung welche diesen Aufwand so minimiert da man das vorgeschrie bene Mathematikcurriculum vollst ndig ausfahren kann Die folgenden Jahre zeigten dass Klingen die Problematik falsch einsch tzte In der Tat waren die technischen und organisatorischen Hemmnisse so g
177. llung der Terme im Koordinatensystem in Form einer Animation x 3 x 5 x 3 e x 3 amp 5 u i teo A gp P p P0 M j2 43 j4 45 16 A Abb 2 1 6 b Grafische Darstellung 1 der falschen quivalenzumformung und der richtigen Rechnung An dieser Visualisierung lassen sich etliche Sachverhalte ablesen die das mathematische Ver st ndnis der Situation wesentlich bereichern 1 Der Schnittpunkt der Parabeln liegt bei S 1 16 Nach den quivalenzumformungen muss sich also x 1 ergeben 2 Die Umformung von Mathias f hrt zu zwei Geradengleichungen y x 3 und y x 5 Die Geraden schneiden sich jedoch nicht mehr Demnach m sste die L sungsmenge leer sein Wo ist die L sung x 1 geblieben 3 Nimmt man die beiden Geraden mit den Gleichungen y x 3 und y x 5 hinzu die Terme x 3 und x 5 w rden sich ja beim Wurzelziehen auch ergeben k nnen und kom biniert die vier Geraden anders so tauchen die Schnittpunkte mit x 1 wieder auf 4 Weitere Umformung ergibt schlie lich den Punkt P 1 1 Die L sungsmenge ist also L 1 5 Wichtige Erkenntnis Bei der grafischen Darstellung aller hier durchgef hrten quivalen zumformungen liegen die Schnittpunkte aller Objekte auf der senkrechten Geraden mit der Gleichung x 1 Ist das bei allen Gleichungen und ihren Umformungen so Mit dem Programm ANIMATO l sst sich Abbildung 2 1 6 b schrittweise in Form einer Ani mation erzeug
178. ls CRAP ist ein W rfelspiel Man kann es alleine oder zu zweit oder mit noch mehr Personen spielen 1 2 W rfel werden geworfen oder auch ein W rfel zweimal Dann wird die Augensumme gebildet Wir nennen diese im 1 Wurf geworfene Summe S a Wenn man die Augensumme 7 oder 11 wirft hat man sofort gewonnen b Wenn man die Augensumme 2 oder 3 oder 12 wirft hat man sofort verloren c In allen anderen F llen geht es weiter 2 Wir w rfeln erneut mit den beiden W rfeln und bilden wieder die Summe Wir nennen sie S a Wenn man die Summe S 7 hat hat man verloren b Wenn man eine Summe S S hat also wie im ersten Wurf hat man gewonnen c In allen anderen F llen geht das Spiel weiter bei 2 Hinweis S ist also immer die Summe des ersten Wurfes Abb 3 3 4 a CRAP Spielregeln B Unterrichtsplanung Ist das Spiel fair e Kern aller Bearbeitungen sind Beantwortungen der Frage Ist das Spiel fair d h sind die Wahrscheinlichkeiten f r Gewinn und Verlust gleich Zur Gesamtplanung wird hier eine Planungsbild aus dem oben genannten Buch gezeigt Abb 3 3 4 b aus dem dann die Einteilung der Sch ler in diesem Fall waren es 19 unter Beachtung verschiedener Formen des Medieneinsatzes und von Hilfsmitteln erwachsen ist Die Gruppen sind auch unter dem Aspekt der Leistungsf higkeit der Sch ler eingerichtet worden d h die Aufgabenstellungen sind unterschiedlich in Schwierigkeitsgrad und Auf wand 136
179. lsoa e h b e h i e 2e h i also muss man aufrufen magic 2e h i i e e Dann ergibt sich mit dem TI 92 2e i 2e h ethti 2e h 2i e 4e h 2i 3e h i h i 4 BE AB 1 3 BE AB 1 Baustein definieren 3 BE AB2 Die Transformation einer Matrix in eine ande re mittels eines Bausteins ist neu Ansatz und Umformungen sind nicht selbstverst ndlich Daher AB 3 Arbeit mit 3 BE AB 3 dem Bau stein Aufgabe 1 3 LGS aufstellen notieren und Matrix eingeben 0 FF h sehraleate therr nzolciean uel 4 J Ha S Ee aE T 1 E714 666667 5 1 en i4 666667 5 Ia 1 333333 s 1 2 666667 5 1 E714 2 e714 333333 s 1 2 1 33333 s D 00060 DOODO MAIN RAD APPROX PAR 30730 evtl in Bruchform 1 3333 4 3 usw Aus der letzten Zeile liest man z B ab D nn besetz te Matrix 6 BE AB 2 Arbeiten mit umfangreichen Datenmengen Hinweis Hier ergibt sich eine Querverbindung zur Informatik zu den Themen Dateiorganisati on Hash Verfahren LGS mit 10 Variablen und 8 Gleichungen 4 BE AB 2 Befehl rref anwenden notieren 4 BE AB 2 Endschema auswerten g h i s Man kann also h und i als freie Variable w hlen Dann heisst die letzte Zeile der Formel s h i h i bzw 3e h i h i Entsprechend liest man die anderen Zeilen ab Insgesamt entsteht die oben angegebene h i e Formel mit e s 3 Aufgabe 1 4 Beweis f r erste Zeile f
180. me in Zusammenhang mit der Stofff lle haben im Mathematikunterricht schon vor Jahren unter anderem dazu gef hrt sich n her mit den fundamentalen Ideen des Faches zu besch ftigen So wurde in vielen Lehrpl nen bewusst das Spiralprinzip ber cksichtigt leicht ablesbar beispielsweise bei der Behandlung linearer Gleichungssysteme in verschiedenen Klassenstufen oder beim Funktionsbegriff und den diversen Funktionsklassen die im Verlauf des Mathematikunterrichts behandelt werden Die Informatik muss sich mit hnlichen Problemen auseinandersetzen allerdings in noch st rkerem Ma e als die Mathematik denn in kurzer Zeit haben sich aufgrund des breiten An wendungsbereichs der Informatik viele neue Gebiete entwickelt Die Innovationszyklen sind au erordentlich kurz Fundamentale Ideen sind grundlegende Prinzipien Denkweisen und Methoden A Schwill Fundamentale Ideen der Informatik ZDM 1993 Heft 1 S 20 f Nach sSchwill sind fundamentale Ideen in verschiedenen Bereichen des Fachgebietes erkennbar Horizontalkriterium in verschiedenen Altersstufen aufzeigbar und vermittelbar Vertikalkriterium l ngerfristig relevant Zeitkriterium und stehen in Beziehung zu Sprache und zum Alltag Praxiskriterium Eine sehr weitreichende fundamentale Idee der In formatik ist die der komplexen Systeme mit den Aspekten e Benutzung eines vorhandenen Systems e Analyse des Systems e Wartung des Systems e Konstruktion eines neuen Systems
181. mme s e Definieren Sie einen Baustein magic a b e f r den TI 92 und e erzeugen Sie mit diesem zwei magische Quadrate mit nat rlichen Zahlen ie Welche Bedingungen m ssen dazu a b e erf llen ie Welche Rolle spielt der Parameter e 1 2 Welche Belegung der Parameter a b e muss man w hlen um die Formel von den Para metern h i und e abh ngig zu machen Ergebnis Bei dem passenden Aufruf ergibt sich die neue h i e Formel 2e 1 2e h e h i 2e h 2i e 4e h 2i 3e h i h i 1 3 Leiten Sie die h i e Formel aus der oben gegebenen Matrix M durch L sung eines geeigneten linearen Gleichungssystems her Die magische Summe sei s Notieren Sie hierzu das LGS und das ermittelte Endschema in bersichtlicher Weise 1 4 A und B seien zwei magische 3 3 Quadrate mit den magischen Summen s1 und 32 Zeigen Sie dass jede Linearkombination x A y B wieder ein magisches Quadrat ist Magische Summe Verwenden Sie beim Beweis die Matrizen A aik 6 3 und B bik 5 3 Hinweis Es reicht den Beweis f r eine Zeile zu f hren L sungen und Bewertungen 96 Aufgabenteil L sungsskizzen Erwartungen Bewertungseinheiten BE Anforderungsberei che AB Erl uterungen Aufgabe 1 1 e Matrix M eingeben im Matrix Editor des TI 92 M gt magic a b e e Aufrufe z B magic 1 2 10 magic 2 4 15 e a lt eundb lt eundatb lt e e Es gilt e s 3 bzw s 3e Aufgabe 1 2 e b i alsob i e e a b h a
182. n Abb 1 4 c Herk mmliche Aufgabenkultur 30 Das Wunschbild dagegen sieht so aus Probleme l sen im Mathematikunterricht neuer Pr gung Probleme stellen _ Rechnen mit CAS unter Verwendung sinn _ L sungen in und finden lassen voller Strategien wenig Handrechnung terpretieren Arbeitswege reflektieren Modellieren Veranschaulichen ohne und mit Computer und dokumen ben Kontrollieren Experimentieren Entdecken tieren Forschen Plausibel machen Beweisen Abb 1 4 d Probleme l sen im Mathematikunterricht und die neue Rolle des bens Mathematikunterricht neuer Pr gung stellt mehr offene Probleme e bt deren Modellierung e sucht nach unterschiedlichen L sungswegen e benutzt in sinnvoller Weise den Computer zum Rechnen und h ufigen Veranschaulichen zum Kontrollieren zum Experimentieren Forschen Entdecken Vermuten erlaubt den Sch lern Fehler zu machen und diese zu reflektieren bt den sinnvollen Umgang mit anderen neuen Medien bt die Darstellung des Arbeitsweges bt auch die Interpretation Angesichts der neuen M glichkeiten erh lt auch das Beweisen einen neuen Stellenwert Sind die Computerergebnisse zuverl ssig siehe z B Kapitel 3 4 6 Muss das berhaupt noch bewiesen wer den Abbildung 1 4 e zeigt Erweiterungen der heutigen Aufgabenpraxis die zu offeneren Aufga benstellungen f hren k nnen Man wird daran erinnert dass
183. n derartiges Vorgehen sein Erfahrungen zeigen z B dass selbst Informatiklehrer die sich ja durchaus mit dem Computer auskennen und auch Mathematik unterrichten den Com puter im Mathematikunterricht nicht einsetzen weil sie von den M glichkeiten dazu zu wenig wissen Unter Bezug auf die berblicksdarstellungen in Kapitel 1 2 1 und Kapitel 1 5 stellt sich die Ausarbeitung des Konzepts nun wie folgt dar 173 e Das erarbeitete Konzept im berblick Das Konzept Kapitel 1 Mathematisch informatische Themen Kapitel 3 Konzipiert als Bausteine f r einzelne Unterrichts sequenzen Magische Quadrate Matrizen Kap 3 1 Teilpunkte auf Dreiecksseiten Kap 3 2 Modellbildung Simulation Kap 3 3 Zustandsgraphen Kap 3 3 Busy Beaver Turing Maschine Markow Ketten Matrizen endliche Automaten Ausgew hlte mathematische Funktionen der Informatik Kap 3 4 1 Das 3a 1 Problem Kap 3 4 2 Mathematische Aspekte aus der Kryptologie Kap 3 4 3 Zufallszahlen Grundlage f r Simulationen Kap 3 4 4 Einige Elemente der Computergrafik Kap 3 4 5 Unerwartetes in Bildern Kap 3 4 6 Lineare Algebra Kurs Kap 3 5 oder als Kur se teilweise als Projekt Math tik EETEEEEEEE EEE BB BEN EEBBBBmM atnemat Informatik m Algorithmen K2 1 6 Standardthemen Programmieren K 2 1 7 u in neuer Sicht Kerl o nalv i Module Param K 2 1 5 na ysis Datenstrukturen e St
184. n m glich Abb 3 3 3 c Denkbare Wege von Z3 nach Z2 mit einem Zwischen Kontrollpunkt Hinweis Einige Wahr scheinlichkeiten k nnen auch den Wert 0 haben werden hier jedoch der Vollst ndigkeit halber eingezeichnet In der Abbildung wird der 2 stufige bergang von Z3 nach Z2 zu beliebigen Kontrollzeit punkten i i 1 i 2 dargestellt Der bergang kann ber jeden der 4 Zust nde als Zwischenzu stand erfolgen Verfolgen wir die einzelnen Wege von Z3 nach Z2 so haben wir folgende Wahrscheinlichkeiten zu bilden P Z3 nach Z0 P Z0 nach Z2 0 0 Hier kann ggf P Z3 nach Z1 P Z1 nach Z2 0 i 0 2 die Einf hrung P Z3 nach Z2 P Z2 nach Z2 0 3 0 5 des Skalarpro P Z3 nach Z3 P Z3 nach Z2 0 7 i 0 3 dukts erfolgen Addition aller Ergebnisse 4 Zeile vonS mal 3 Spalte von S Skalarprodukt Durch Addition aller Ergebnisse erh lt man die zweistufige bergangswahrscheinlichkeit P Z3 nach Z2 2 Stufen 0 0 0 15 0 21 0 36 In der Sprache der linearen Algebra Wir haben das Skalarprodukt gebildet aus dem Vektor in der 4 Zeile von S mit dem Vektor in der 3 Spalte von S Bildet man auf diese Weise alle m glichen 16 Skalarprodukte Zeile Spalte so erh lt man die vollst ndige zweistufige bergangsmatrix als Matrizenprodukt der bergangsmatrix S mit sich selbst Zweistufige bergangsmatrix S S s Auf diese Weise kommen Matrizenpotenzen ins Spiel Modellbildung Schritt 4 Der Eins
185. n Handlungsanweisungen versehen waren werden hier die Kanten zwischen den Zust nden mit Wahrscheinlichkeiten bewertet Bearbeitung von Aufgabe 1 1 Als jeweiliger Zustand der Kette wird die Anzahl der unbearbeiteten Auftr ge genommen Das k nnen 0 1 2 3 noch vorliegende Auftr ge sein da die H chstzahl unbearbeiteter Auf tr ge 3 sein soll berg nge Z0 nach Z0 Es lag kein Auftrag vor Im n chsten Zeitpunkt liegt wieder keiner vor Eventuell eingehende Auftr ge m ssen also bearbeitet worden sein D h es ist kein Auftrag Wahr scheinlichkeit 0 3 oder ein Auftrag Wahrscheinlichkeit 0 5 eingegangen der dann am glei chen Tag bearbeitet wurde zusammen also 0 3 0 5 0 8 Entsprechend kann f r die ande ren berg nge argumentiert werden Insgesamt entsteht schlie lich die in Aufgabe 1 1 ange gebene Matrix Bearbeitung von Aufgabe 1 2 e Eingabe der bergangsmatrix S am CAS Anfangsvektor definieren v 0 1 0 0 Ansatz v S am CAS bilden v S 0 423 0 323 0 186 0 068 Auswertung der Ergebnismatrix Ergebnis angeben 0 186 Eingaben und Ergebnisse werden dokumentiert 125 Bearbeitung von Aufgabe 1 3 a Bei Existenz einer station ren Verteilung muss T S T sein keine nderung des Systems mehr mit der Zusatzbedingung t0 t1 t2 t3 1 T ist sie eventuell existierende station re Verteilung T S T ist ein 4 4 LGS das umgeformt werden muss auf T S E O und an das noch die Zeile t
186. n besprechen und verstehen unter Ver wendung einfacher Bei spiele Algorithmen auf verschiedene Weise visualisie ren Vertieftes Verst ndnis von Algorithmen durch komple xe Beispiele u Sonderf l le Der Computer spielt da bei eine wesentliche Rolle Experimentieren mit Al gorithmen Der Computer spielt dabei eine wesentli che Rolle Allgemeine L sungen Die Rolle des Computers Formeln k nnen h ufi u a von CAS bei der hy 2 Computer SE Arbeit mit Algorithmen Abb 2 1 6 a Algorithmen und net werden Computer 73 Algorithmen visualisieren F r k rzere Algorithmen sind u a geeignet e Programmablaufpl ne Baumdiagramme Struktogramme bergangsgraphen z B bei Markow Ketten und Automaten siehe Kapitel 3 3 Animationen zur Darstellung der algorithmischen Abl ufe F r umfangreichere Algorithmen eignen sich gut e Struktogramme durch Unterscheidung verschiedener Bearbeitungstiefen e reduzierte Baumdiagramme hierbei werden Pfade eines Baumdiagramms zusammenge fasst siehe Abb 2 1 6 f e Animationen zur Darstellung der algorithmischen Abl ufe Struktogramme Ein bew hrtes Hilfsmittel zur Veranschaulichung von Algorithmen sind Struktogramme e Struktogramme sind h ufig eine Vorstufe der Programmierung Sie unterst tzen das strukturierte Entwerfen und Programmieren sowie das Analysieren von Algorithmen e Sie zeigen den Ablauf eines Algorithmus in bersichtlicher Form und
187. n verwendet Das Gebiet ist zeichenintensiv Es kann h ufig mit Computergrafik gearbeitet werden Mathematische Sachverhalte k nnen durch Programmierung verdeutlicht werden Die verwendeten Funktionen k nnen auch in der Informatik eine Rolle spielen Auftretende Modelle k nnen simuliert werden Das Gebiet ist besonders f r entdeckendes Arbeiten am Computer geeignet F r das Gebiet gibt es spezielle eventuell auch programmierbare Software 3 W hle passende Vernetzungen f r den Unterricht aus 4 W hle aus der Vielfalt der M glichkeiten jeweils passende Unterrichtsformen aus beachte und benutze dabei die Sch lerkompetenzen auch aus der Informatik 5 Beachte die Bedeutung von Dokumentationen und die Hervorhebung wichtiger Ergebnisse Vergiss nicht die notwendigen mathematischen Zwischen und Endzusammenfassungen e Was bringt die Einbeziehung informatischer Methoden und Inhalte in den Mathematikunterricht ber Unterrichtsziele eines neuzeitlichen Mathematikunterrichts wurde bereits in den Kapi teln 1 4 und 1 5 nachgedacht Was kann man zus tzlich von den f cher bergreifenden Ans t zen aus dem Informatikunterricht erwarten Sichtweisen Es ist bekannt dass unterschiedliche Sichtweisen auf einen Sachverhalt das Verst ndnis des selben wesentlich f rdern k nnen Dabei kann die mehr innermathematische Sicht erg nzt werden beispielsweise durch e verschiedenartige Darstellung von Algorithmen e weitere Visualisi
188. n vieler Berufe Darauf muss in der Ausbildung reagiert werden Teamf higkeit bedeutet e kooperatives Arbeiten und Konfliktbew ltigung in einer Gruppe insbesondere Artikulationsf higkeit zum Vertreten eigener Meinungen und Aufnahmef higkeit f r andere Meinungen sowie Kritikf higkeit eigener und fremder Arbeit gegen ber entwickeln e Notwendigkeit und Sinn von Arbeitsteilung einsehen 58 2 1 5 Module CAS Bausteine 2 1 5 1 Informatische Grundlagen Hinweis Die Ausf hrungen in Kapitel 2 1 5 bernehmen teilweise berlegungen aus meinem k rz lich erschienenen Buch ber Computeralgebrasystem Bausteine Leh02 Da diese berlegungen auch hier f r das Verst ndnis des Bausteinkonzepts Vernetzung Informatik Mathematik unerl sslich sind erscheint es mir angemessen diese berlegungen ohne Umweg ber andere Literatur in Teilen zur Verf gung zu stellen In dem Werk findet man ausf hrlichere Untersuchungen zum Bausteinprinzip Angesichts des in dieser Arbeit h ufiger verwendeten Begriffs Baustein sind zun chst eini ge Ausf hrungen zu den Begriffen Modul Prozedur und Baustein n tig Modul In der Literatur wird im Zusammenhang mit CAS immer wieder der Begriff Modul ge nannt h ufig ohne dass er definiert wird So wird er beispielsweise im T 92 Handbuch 1995 oder im Handbuch f r DERIVE f r WINDOWS 1997 nicht erw hnt In der Informatik spielt der Begriff eine wesentliche Rolle Der Inf
189. nbildenden H heren Schulen Gymnasien in sterreich in Der Mathematikunter richt 1995 Heft 4 DERIVE Projekte im Mathematikunterricht verantw Koepf Wolfram Iwa94 Iwainsky A u Wilhelmi W Lexikon der Computergrafik und Bildverarbei tung Verlag Vieweg Braunschweig 1994 Ker85 Kerner I O Numerische Mathematik mit Kleinstrechnern VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1985 Ker95 Kerner I O Beitrag von Theorieanteilen der Informatik zur Allgemeinbildung Teil 1 in PM Praxis der Mathematik 1995 Heft 1 S 21 25 Teil 2 in PM Praxis der Mathematik 1995 Heft 4 S 168 175 Kl175 Klingen Laubsch Neufang Roth Informatik Themenhefte der Mathematik Klett Verlag Stuttgart 1975 Koe93 Koepf W Ben Israel A Gilbert R P Mathematik mit DERIVE Vieweg Braunschweig Wiesbaden 1993 Koe94 Koepf W H here Analysis mit DERIVE Vieweg Braunschweig Wiesbaden 1994 Koe95 Koepf W Zur Einf hrung S 3f und Was ist 0 S 65f In MU Der Mathematikunterricht DERIVE Projekte im Mathematikunterricht Hrsg Koepf W Heft 4 1995 Koe96 Koepf W DERIVE f r den Mathematikunterricht Vieweg Braunschweig Wiesbaden 1996 Kop94 Koppelberg S Was k nnen Algorithmen In Schulz R H Hrsg Mathematische Aspekte der angewandten Informatik BI Wissenschaftsverlag Mannheim 1994 Kut97 Kutzler Bernhard Einf hrung in DERIVE F R WINDOWS Hagenberg Austria 1
190. nd auch mit 3 oder 4 oder mehr Gleichungen erzeugen F r die obige Aufgabenstellung wurde hier jeweils das CAS des TI 92 Plus benutzt 51 2 1 3 Sichtweisen auf Softwareprodukte Die informatische Sicht Abbildung 2 1 3 a beschreibt ein gegebenes Softwareprodukt aus der Sicht der Informatik aufgefasst als komplexes System Benutzung des Systems Der Blick auf das System Wir sehen die Systemoberfl che erkennen seine Funk tionen erfassen die Schnitt stellen bemerken Teilsyste me Ein Softwarepro dukt als ein kom plexes System Wartung des Systems Analyse des Systems Der Blick in das System e Wir erkennen die Bausteine des Sy stems Module Pro zeduren Funktionen sehen programmier technische Details Wir verwenden unsere Kenntnisse ber das System und k nnen es warten Fehler beseitigen und durch neue Konstruktionen erweitern Abb 2 1 3 a Sichtweise der Informatik auf ein Softwareprodukt Die mathematische Sicht Aus der Sicht der Mathematik stellen sich Softwareprodukte nicht so differenziert dar Hier berwiegt eindeutig der Nutzungsaspekt Der Blick in das System findet auf andere Weise statt siehe Abbildung 2 1 3 b Benutzung des Systems Der Blick auf das System l Wir sehen die System oberfl che erkennen seine Funk tionen erfassen die Schnitt stellen bemerken Teilsysteme Ein mathemati sches Software produkt als ein komplexes System Wartung
191. nd damit in Teilprobleme zerlegt werden kann die dann m glicherweise getrennt einer L sung zuge f hrt werden k nnen Das seinerzeit von einem Informatikkurs programmierte Teilsystem LOTTO siehe Abb 2 1 2 b bearbeitete einen Teilbereich des umfassenden komplexen Sy stems Es stellt hier einen Ausschnitt aus der Realit t dar Die intensive Besch ftigung mit Softwaresystemen auf verschiedenen Betrachtungsebenen und Handlungsebenen f hrt zu wesentlichen informatischen Erkenntnissen Man wird aber auch sehen dass die Mathematik von den genannten Gedankeng ngen profitieren kann In diesem Fall sind die informatischen Erkenntnisse u a die folgenden a Besch ftigung mit dem Anwendungsbereich ggf auch mit gesellschaftlichen Aspekten der Da tenverarbeitung b Kennenlernen praxisrelevanter spezifischer Arbeitsmethoden 45 c das Erkennen von System Bausteinen und das Verstehen von Benutzeroberfl chen d das Erkennen von Schnittstellen e Verwenden von Hilfsprogrammen zur Erstellung von Oberfl chen Schnittstellen Wiederverwenden vorgefertigter Bausteine Konstruktion eigener Bausteine Lebenslauf eines Lottoscheins aus einer ITG Unterrichtseinheit Wettleidenschaft in Klasse 9 ITG Informationstechnische Grundbildung 1994 Mai 1994 Entwurf und Herstellung des Lottoscheins Datentr ger CAD Design ER Die Spieler u Annahmestelle Vision Elektronisch bertragen Transport
192. nd zwar auf insgesamt vielen Sch lern die Sammlung empirischer Daten gr eren Umfangs war jedoch angesichts der gro en zeitlichen Streuung und der unterschiedlichen Voraussetzungen nicht m glich und w re auch nicht sinnvoll gewesen Interessante gut durchdachte u erungen von Sch lern meines letzten Leistungskurses 2001 zur Arbeit mit CAS Bausteinen finden sich in Leh02b S 155 166 Hieraus ein Zitat des Sch lers Thomas Kolonka Im Allgemeinen sind Bausteine eine sehr sinnvolle Anwendung wenn es darum geht ein Problem schnell und immer wieder zu l sen Da der Baustein vom Benutzer selbst erarbeitet werden muss und der Baustein in der Regel eine allgemeine L sung ist Baustein mit Variablen ist es eine wunder sch ne bung um allgemeine L sungsans tze herauszufinden Mit einem Baustein l sst es sich wun derbar experimentieren d h mit wenigen Handgriffen kann man verfolgen wie sich eine Funktion oder Anderes ver ndern wenn man cos x statt sin x oder einsetzt Hier ist f r den Benutzer eine gro e M glichkeit gegeben um das Verhalten von Funktionen zu studieren Auch die M glichkeit zwei Bausteine miteinander zu verbinden l sst f r den Benutzer eine Reihe von M glichkeiten offen Ein Nachteil ist dass das Rechnen von Hand vernachl ssigt werden kann Auch dass viele Er gebnisse nicht auf dem Papier stehen k nnten sondern nur auf dem TI ist eine Gefahr f r den Sch ler da er es entweder l schen
193. nde Aufgabe Bestimme die L sungsmenge x 3 x 5 Die Bearbeitung von Mathias sieht so aus x 3 x 5 UN x 3 x 5 3 5 also gilt L Was sagt das CAS Und was sagst du CAS L sung mit dem TI 92 Eingaben Ausgaben Kommentare x 3 x 5 gt g x done Solve gl x x x 1 Die L sungsmenge ist L 1 Es gibt nur eine L sung Eine m gliche Sch lerl sung Wie man durch Einsetzen erkennen kann ist x 1 eine L sung denn g 1 ist 1 3 1 5 also 16 16 das ist eine wahre Aussage Mathias darf aus der Glei chung nicht auf beiden Seiten die Wurzel ziehen denn Abbildung 2 1 6 a zeigt siehe folgende Seite welche Situation hier vorliegt e Es geht um den Schnittpunkt der beiden Parabeln der offenbar bei S 1 16 liegt x 1 ist die L sung der Gleichung e Bei quivalenzumformungen m sste die L sung stets auf der Geraden x 1 bleiben e Durch das falsche Wurzelziehen ergeben sich nur die Geraden mit den Gleichungen y x 5 und y x 3 die parallel sind also keinen Schnittpunkt haben L sungsmenge leer Betrachtet man aber alle hier m glichen Geradengleichungen also y x 5 und y x 5 sowie y x 3 und y x 3 so gibt es Schnittpunkte n mlich bei x 1 Sicher werden die Sch ler auch die L sung durch Ausmultiplizieren w hlen RHI R x 6x 9 x 10x 25 16x 16 x 1 75 Visualisierung A graphische Darste
194. ndere Eignung des Themas Crap Spiel f r den Unterricht auf Grund des unterschiedlichen Schwierig keitsgrads k nnen einige L sungen auch schon in der Sekundarstufe 1 gefunden werden 142 3 4 Ideen f r weitere mathematisch informatische Themen 3 4 1 Ausgew hlte mathematische Funktionen der Informatik unter mathematisch informatischen Aspekten In der Informatik sind einige Funktionsarten von besonderer Bedeutung Behandelt man der artige Funktionen im Mathematikunterricht so liefert die Informatik das Anwendungsgebiet das man dann im Unterricht auch zumindest kurz behandeln sollte und es ergibt sich f cher bergreifender Unterricht Im Folgenden sollen einige derartige Funktionen genannt oder auch veranschaulicht werden und es soll kurz auf Anwendungsbereiche hingewiesen werden Hinweise zur unterrichtlichen Verwendung der Themen A Modulo Funktion B Effizienz von C Zufallszahlen Algorithmen Gl cksr der Befehle wie mod 19 12 k nnen Einsetzbar in Klasse 11 oder in Dieses Thema kann sehr flexibel schon in der Unterstufe u a bei der Analysiskursen bei Untersuchung eingesetzt werden im Rahmen von Teilbarkeitslehre eingesetzt werden von Funktionseigenschaften insbe Stochastikunterricht beiden Sekun sondere wenn Informatiksch ler im darstufen aber auch in anderen Kurs sind Einzelstunden In der Sekundarstufe 1 sind Siehe auch Kapitel 3 4 4 Simula mod x 4 und Abwandlu
195. ndung wird erforscht des CAS Bausteins Parameterva durch Black Box riationen mit passenden Parametern 2 1 5 6 Warum Bausteine mit Parametern im Unterricht Unterrichtserfahrungen Neben den schon in 2 1 5 3 genannten Vorz gen der Bausteinverwendung im Mathematikun terricht haben meine Unterrichtserfahrungen gezeigt Erweiterung des Vorrats an Strategien zur Problembearbeitung Die Suche nach einem L sungsansatz ist h ufig auch die Suche nach einem geeigneten schon vorhan denen oder noch zu definierenden Baustein Allgemeine L sungen von Problemen r cken wieder mehr in der Vordergrund Da Bausteindefinitionen in der Regel mit Parametern erfolgen werden auch die mit Zahlenwerten gestellten Aufgaben schon beim L sungsansatz h ufig verallgemeinert Mehr Selbstst ndigkeit bei der Arbeit mit mathematischen Inhalten Ein vorhandener oder gerade definierter Baustein regt wegen seiner Parameter von sich aus zum For schen und Entdecken an Offene Unterrichtsformen unterst tzen diesen Ansatz 70 Bausteine vernetzen Jeder Baustein enth lt eine eigene kleine Mathematikwelt die auch den Sch lern deutlich werden kann An die Stelle vieler Einzelaufgaben tritt nun eine durch den Baustein miteinan der vernetzte zusammengeh rige Mathematikwelt Die bisher bliche sequentielle Abarbei tung des Lehrplans wird aufgebrochen zugunsten einer mehr gleichzeitigen Bearbeitung von Inhal ten aus der jeweiligen Mathematikwelt
196. neare Algebra Kurse und Analytische Geometrie Kurse Ausnutzen der vielf ltigen Bez ge zur Informatik Datenspeicherung Algorithmen Module Bausteine Programmierung Durchgehende Benutzung des Computers CAS und Visualisierungen als Rechen und Zeichenhilfsmittel und zum entdeckenden Lernen Integration der vielen Anwendungs probleme unter Verwendung vielf ltiger Unterrichtsformen und einer offenen Aufgabenkultur Abb 4 5 b Ein Lineare Algebra Kurs auf der Basis des Matrizenkalk ls als durchgehendem Prinzip 171 4 Zusammenfassung Nach der Darstellung der Grundlagen in den Kapiteln 1 und 2 wurden in Kapitel 3 verschie dene Unterrichtsvorschl ge mit mathematisch informatischen Inhalten unterbreitet F r die konkrete Unterrichtssituation wurden dabei mehrere Ans tze verfolgt Sie werden auf der linken Seite der folgenden Tabelle aufgelistet Die rechte Seite der Tabelle verweist auf die vorgelegten Themen und ihren Standort in der Arbeit e Mathematik Unterricht mit informatischen Inhalten und Methoden Unterrichtssituation Hinweis Das eine oder andere Thema passt zu mehre ren Situationen Angebot in der vorliegenden Arbeit A Ein gesamter Mathematikkurs wird durch gehend mit Ber cksichtigung informatischer Querverbindungen unterrichtet A F r diesen Ansatz steht Kapitel 3 5 Lineare Algebra ein Kurskonzept mit Ma trizen Computereinsatz und informatischen Anteilen Kurs Lin
197. net die y Werte der C Punkte aus den vorhergehenden C und A Punkten 7 f1 f4 f2 f50 7 zeichnet die Strecken AB f2 n 5 n 3 n f6 n f8 zeichnet die Strecken BC f9 f3 n f6 n fl n f4 n f9 zeichnet die Strecken CA oT f10 zeichnet die A Punkte in einer anderen Farbe um die Ortskurve darzustellen Die Ausgangspunkte der Berechnung sind A 7 4 B 6 4 und C 1 6 Vermutung 1 103 Die Punktfolgen Al A2 A3 Bl B2 B3 C1 C2 C3 Konvergieren auf einen ge meinsamen Punkt zu Ein Blick in die Wertetafel f r die Funktionen f4 f5 f6 diese stellen die y Folgen der drei Punktfolgen dar best tigt das numerisch vos PR WwND x mm mc Pur f4 f5 4 4 4 1 45 d 0 25 0 25 0 25 0 875 0 5625 0 875 0 71875 0 71875 0 6796875 0 66015625 0 66015625 0 66503906 0 66666508 0 66666627 0 66666687 0 66666687 0 66666672 0 66666664 0 66666664 0 66666666 0 66666667 0 66666667 0 66666667 f6 6 1 1 5 1 5 0 875 0 5625 0 71875 0 640625 0 640625 0 66015625 0 66992188 0 66992188 0 66666746 0 66666746 0 66666687 0 66666657 0 66666657 0 66666664 0 66666668 0 66666668 0 66666667 0 66666667 0 66666667 0 5625 0 640625 0 6796875 0 6796875 0 66992188 0 66503906 0 66666746 0 66666627 0 66666627 0 66666657 0 66666672 0 66666672 0 66666668 0 66666666 0 66666666 0 66666667 0 6
198. nfang Suchen Guide Drucken Sicherheit Shop Stop a we Lesezeichen A Adresse hitp home nikocity de geelhaar spielwiese quadrat magisches htmil E Altavista Main Yahoo A Guide RealPlayer Magische Quadrate Als magische Quadrate werden Zahlenfolgen bezeichnet die so auf den Feldern eines Quadrats verteilt werden dass die Summen der Zahlen in jeder Zeile jeder Spalte und jeder der beiden Diagonalen gleich sind Dies sind die sog Haupteigenschaften des magischen Quadrats die Summe wird Konstante oder magische Zahl genannt Durch die Anzahl der Felder in jeder Zeile oder Spalte des magischen Quadrats wird seine Ordnung bestimmt ein magisches Quadrat 3 Ordnung hat in jeder Reihe 3 Felder ein magisches Quadrat 4 Ordnung 4 usw Mit meinem Puzzle kann man versuchen Quadrate 4 Ordnung zu finden Die Geschichte der magischen Quadrate reicht weit zur ck Das erste magische Quadrat das chinesische Gl cksamulett Lo Shu ist seit dem 2 nach anderen Quellen sogar dem 4 vorchristlichen Jahrtausend bekannt Es sieht so aus ong Aus Indien sind uns magische Quadrate berliefert die im 1 Jahrhundert aufgezeichnet wurden Das sch nste bei uns als D rer Quadrat bekannte soll hier vorgestellt werden Konstante 34 HEHE m se Dokument bermitteit zee H P Z Z Abb 3 1 1 b Eine der vielen Internetseiten zum Thema magische Quadrate 4 Suche andere magische Figuren geeignet f r versc
199. ngen da tionen von Beispiele f r st ckweise defi nierte Funktionen mit Anwen dungsbezug etwa bei Codierungs problemen In der Sekundarstufe 2 k nnen die Das Thema wird auch f r Infor Anwendungsm glichkeiten von matikkurse empfohlen modulo in der Informatik zur Sprache kommen in Klasse 11 13 Das Thema ist f r Informatikkurse von besonderem Interesse A Modulo Funktion e Zum Beispiel ist mod 32 27 5 denn bekanntlich gilt 32 27 1 27 5 bzw 32 27 1 Rest 5 Division mit Rest 2 Beispiel mod 4 9 4 e Auch Derive oder das CAS des TI 92 verstehen Anweisungen wie mod 32 27 Damit ergeben sich diverse M glichkeiten f r eine mathematisch informatische Unterrichtseinheit ber die Modulo Funktion und ihre Anwendungen e Anstelle von mod a b schreibt man auch a mod b Es kann allgemein definiert werden F r alle a be N gilt Falls a lt b gilt amodb a falls a gt b gilt a mod b r wobei a p b r und 0 lt r lt b mitr peN falls a b gilt a mod b 0 also r 0 143 Anwendungsbereiche sind u a e Kryptologie z B RSA Algorithmus e Verschl sselung von Texten mit Matrizen e Programmierung von Zeilenumbr chen bei Datenausgaben e Programmierung von Kongruenz Zufallsgeneratoren siehe Kapitel 3 4 4 Benutzung eines Demonstrationsprogramms Subtraktionsalgorithmus Berechnung von mod a b a 123 b 7 116 109 102 95 88 81 74 67 60 53 46 39 32 25 18 11 4 mod
200. nkultur 27 1 4 2 Aufgabenbeispiele eine Klausur 34 1 5 Szenarien und Ziele f r einen modernen Mathematikunterricht 36 2 Informatische Methoden und Inhalte und ihre Anwendungsm glichkeiten im 42 Mathematikunterricht 2 1 berlegungen zur Nutzung von Methoden der Informatik im 43 Mathematikunterricht 2 1 1 Komplexe Systeme Zerlegung in Teilsysteme 43 2 1 2 Modellbildung bei komplexen Systemen 44 2 1 3 Sichtweisen auf Softwareprodukte 51 2 1 4 Projektmethode 52 2 1 5 Module CAS Bausteine 58 2 1 5 1 Informatische Grundlagen 58 2 1 5 2 Das Prozedurkonzept 59 2 1 5 3 Bausteine und ihre Parameter 60 2 1 5 4 Das Bausteindreieck 65 2 1 5 5 Bausteine definieren benutzen analysieren 67 2 1 5 6 Warum Bausteine mit Parametern im Unterricht Unterrichtserfahrungen 69 2 1 5 7 Beispiele f r Bausteine 2 1 6 Algorithmen 2 1 7 Programmieren im Mathematikunterricht 2 1 7 1 Was ist Programmieren 2 1 7 2 Einf hrende Beispiele Programmieren fr her und heute 2 1 7 3 Programmieren im CAS 3 Mathematisch informatische Unterrichtssequenzen und Projekte 3 1 Magische Quadrate 3 1 1 Magische Quadrate zwischen Mathematik und Informatik 3 1 2 Einige Unterrichtsideen zu magischen Quadraten 3 1 3 Eine Abituraufgabe zu magischen Quadraten 3 1 4 Datenspeicherung bei Matrizen 3 2 Eine mathematisch informatische Entdeckungsreise Teilverh ltnisse auf Dreiecksseiten ein weiteres Projekt f r wenige Stunden 3 3 Zustan
201. ns in imperativen Programmiersprachen wie z B PASCAL oder auch in Computeralgebrasystemen geh rt das Prozedurkonzept Was ist darunter zu verstehen 1 Prozeduren bei der Zerlegung eines Problems in Teilprobleme Viele Probleme sind so umfangreich und komplex dass eine Zerlegung in Teilprobleme sinn voll ist Damit wird die Bearbeitung durchsichtiger und kann ggf auch an verschiedene Bear beiter delegiert werden F r diese Teilprobleme kann man nun passende Prozeduren konstru ieren so dass sich schlie lich die gesamte Probleml sung als eine Sammlung geeignet ange ordneter Prozeduren darstellt 2 Wiederverwendbarkeit von Prozeduren Man wird dabei auch bemerken dass immer wieder Prozeduren ben tigt werden die die glei che Aufgabe bearbeiten etwa die Eingabe von Zeichenketten Damit gewinnen manche Pro zeduren einen universellen Charakter so dass sie f r eine Probleml sung mehrfach oder auch bei der Bearbeitung anderer Problemstellungen eingesetzt werden k nnen Das setzt aller dings eine geeignete universell brauchbare Formulierung voraus Derartige Prozeduren sollte man in Bibliotheken zusammenfassen um sie immer auf einfache Weise zur Verf gung zu haben 3 Definition von Prozeduren Prozeduren m ssen zum Beispiel in TURBO PASCAL im Vereinbarungsteil des bergeord neten Programmteils definiert werden Wie das Syntaxdiagramm zur Prozedurvereinbarung zeigt haben Prozeduren einen hnlichen Aufbau wie ein Programm Di
202. ntuell Anforderungsspezifikation neuer Durchlauf Anderungshandbuch Ende der Anwendersicht aufgrund gr erer System Anderungsw nsche benutzung REENGINEERING Phase 2 Phase 6 FUNKTIONELLE ANALYSE INSTALLIERUNG DES SYSTEMS Funktionelle Spezifikation Renutzeihandbiich Pflichtenheft Wertinssh ndh ch Entwicklersicht ungs vr Phase 3 Phase 5 ENTWURF SYSTEMINTEGRATION MODULARISIERUNG SYSTEMTEST Eventuelle Protokoll der Integrationsstufen Entwurfsspezifikation R ckl ufe Integriertes System Phase 4 MODULPROGRAMMIERUNG MODULTEST Modulprogramme Testprotokolle Abb 2 1 4 a Life Cycle f r Softwareprodukte nach Lehmann E Projekte im Informatikunterricht Software Engineering D mmler Verlag Bonn 1995 53 Zur Relevanz solcher Phasenmodelle Zun chst muss bemerkt werden dass der Software Life Cycle wir schreiben kurz SLC eine idealisierte Darstellung einer Softwareentwicklung ist Es hat sich gezeigt dass die hier ge nannten Phasen tats chlich auftreten dass aber oft Vermischungen zwischen den Phasen und insbesondere R ckgriffe auf Vorhergehendes n tig sind Dennoch ist der SLC eine wesentli che Hilfe bei der Durchf hrung von Softwareprojekten Ein Phasenmodell f r Mathematik Projekte Das Phasenmodell f r Informatik Softwareprojekte kann unter Beachtung der spezifischen mathematischen Gegebenheiten auf Mathematik Projekte bertragen werden Hierf r wird hingewiesen auf das Leh99a Projekte im Math
203. nung S tze 6 2 St cklistenproblem 6 3 Input Output Analyse Wieder ist ein CAS geeignet mit dem sich u a Modellrechnungen an den genannten Anwendungen durchf hren lassen U a treten hier Terme der Form x E T y auf Interessant sind hier auch die Auswirkungen der Inversenbildung bei abbildungsgeometrischen Fragestellungen unter Benutzung der oben genannten Software Mit dem CAS l sst sich z B auch die Formel A B B 4 entdecken Inverse Matrizen k nnen auf verschiedene Weise berechnet werden Ein leicht durchzuf hrender Algorithmus ist z B der von Faddejev Seine Begr ndung ist allerdings schwieriger Sie erfolgt ber die Eigenwerttheorie und ist daher nur f r Leistungskurse m glich Literatur siehe unten Ein Effizienzvergleich der Algorithmen bietet sich an E Lehmann Lineare Algebra mit dem Computer Teubner Verlag 1983 S 57 f u a Struktogramm zum Algorithmus von Faddejev 7 Matrizenpotenzen mehrstufige Prozesse 7 1 Maschinen berwachung Irrfahrten 7 2 Aus der Populationsdyna mik 7 3 Stochastische Matrizen Das Berechnen von Matrizenpoten zen ist einfach aber zeitaufwendig Angesichts der vielen Anwendungen f r Matrizenpotenzen kommt ein CAS gerade recht F r spezielle Matrizen lassen sich f r die Potenzen Formeln entwickeln ber die Bez ge zur Informatik wird in Kapitel 3 3 ausf hrlich berichtet 8 Computereinsatz in der linearen Algebra 8 1 Der
204. nungskompetenz diverse Arbeitsmittel benutzen und zur Verf gung stehende Ressourcen richtig einsch tzen k nnen das Gewinnen und Auswerten von Informationen ben gemeinsam gewonnene Arbeitsergebnisse integrieren k nnen Bewusstmachen des Lern und Arbeitsprozesses in einer sozialen Gruppe Bewusstmachen der benutzten Arbeitsmethoden Erzeugung von Produkten zur eigenen Verwendung oder zur Benutzung durch andere Per sonen bzw Lerngruppen e berwindung des Auseinanderfallens von Theorie und Praxis sowie festgelegter schuli scher F chergrenzen durch Ber cksichtigung f cher bergreifender Aspekte Spezielle auf den Anwendungsbereich oder die Realit t bezogene Ziele sind e Komplexit t realer Problemstellungen erkennen k nnen e die Auswirkungen unterschiedlicher Designentscheidungen einsch tzen k nnen Die obigen Zielsetzungen f r Projekte im Mathematikunterricht werden gerade zurzeit beson ders unterst tzt durch die Forderungen nach einer offenen Unterrichts und Aufgaben kultur im Mathematikunterricht wie sie in den Modulen des BLK Projekts Steigerung der Effizi enz des mathematisch naturwissenschaftlichen Unterrichts SINUS Modellversuch sichtbar werden siehe Kapitel 1 4 1 2 Viele der dort genannten Module gewinnen ihre Relevanz auch durch projektartigen Unterricht Projektunterricht unterst tzt die Intentionen des BLK Modellversuchs in besonderem Ma e Produktorientierung Projekte sollten produktorientiert s
205. ochastik u e Lineare Algebra m Hilfsmittel zum e Analyt Geometrie Rechnen Zeichnen Experimentieren u m Dokumentieren Neue Themen u in vielen Kapiteln E gebiets bergreifend g E E Didaktisch methodische Leitlinien Mathematik Software Kap 1 4 Kap 2 Kap 1 4 1 1 Neue Unterrichts und Aufgabenkultur e CAS e _Module Bausteine Funktionen Parameter e Modellieren interpretieren j P 3 l andere mathematische Software e Fxperimentieren vermuten begr nden bewei ei e Tabellenkalkulation Simulation e ANIMATO Benutzung von Materialien e POVRAY Dokumentieren usw offene Unterrichtsformen Projekte Weniger von Hand rechnen zeichnen aber mehr verstehen und die Medien nutzen e Textverarbeitung zum Doku Neue Kompetenzen sind u a siehe auch oben mentieren e Internet Probleml sen Verstehen Beweisen Visualisieren Erforschen Anwenden Vernetzen Zusammenh nge erkennen Abb 4 2 Das Konzept im berblick 174 e Ein Ablaufplan f r die Entwicklung von Unterrichtseinheiten f r Mathema tikunterricht mit Computereinsatz und informatischen Methoden und I nhal ten 1 W hle das mathematisches Gebiet aus 2 Untersuche die Inhalte des Gebietes auf Ansatzpunkte f r informatische Inhalte Kennzei chen daf r k nnen sein Das Gebiet ist rechenintensiv und enth lt wichtige Algorithmen Das Gebiet ist datenintensiv Es werden komplexere Datentype
206. ondere rekur sive Programme verwendet werden Abbildung 2 7 1 3 i fasst wesentliche Aspekte zusammen und gibt Unterrichtsempfehlungen f r den Umgang mit CAS Bausteinen und der Programmerstellung im CAS 92 3 Mathematisch informatische Unterrichtssequenzen und Projekte Kapitel 3 verdeutlicht die vorhergehenden mehr theoretischen berlegungen und Einzel beispiele durch vielseitige konkrete Unterrichtssequenzen Angesichts dieser Zielsetzung gibt es verschiedenartige Angebote Al A2 Kurze Unterrichtseinheiten Umfangreichere Themen die sich an verschiedenen die einen gr eren Zeit A3 Skizzierung der Inhalte eines Kurses Lineare Al Stellen des Mathematik bedarf haben gebra Analytische Geo unterrichts einschieben las Kapitel 3 3 sen Kapitel 3 1 3 2 3 4 metrie unter Einbeziehung von Informatikinhalten von der Dauer eines Halbjah res Kapitel 3 5 Abb 3 a Planung f r die Darstellung von Unterrichtssequenzen F r alle Vorschl ge werden auch m gliche Einordnungen in g ngige Lehrpl ne angegeben 3 1 Magische Quadrate 3 1 1 Magische Quadrate zwischen Mathematik und Informatik Die Attraktivit t dieser Thematik f r den Mathematikunterricht beruht auf mehreren Faktoren e Magische Quadrate faszinieren die Sch ler erfahrungsgem und das in verschiedenen Klassenstufen Magische Quadrate k nnen von Klasse 7 oder auch schon vorher bis zum Abitur in unterschiedlicher Bearbeitungstiefe eingese
207. ormatik Duden 1993 sagt hierzu S 433 Modul engl module Der Begriff wird in mehreren Bedeutungen verwendet 1 Software Modul Bausteine aus denen sich ein Software System zusammensetzt be zeichnet man als Module Die Beziehungen zwischen Modulen werden durch TSchnitt stellen festgelegt Viele Programmiersprachen unterst tzen ein solches Modulkonzept Ein Modul wird in der Praxis als ein in sich zusammenh ngender Baustein aufgefasst der stets folgende Eigenschaften besitzen sollte vgl auch TSoftware Engineering e Er ist logisch oder funktional in sich abgeschlossen e Wie er arbeitet oder implementiert ist braucht au en nicht bekannt zu sein informati on hiding e Er besitzt klar definierte Schnittstellen nach au en e Er ist berschaubar und somit leicht testbar e Er sollte nur m glichst wenige andere Module verwenden 2 Realisierung eines abstrakten TDatentyps Orientiert man sich an diesen theoretischen Grundlagen so lassen sich die unter 1 genannten f nf wichtigen Eigenschaften recht gut erf llen Anmerkung kein Zitat Datentyp Zusammenfassung von Wertebereichen und Operationen auf ihnen zu einer Einheit Beim abstrakten Datentyp sind seine Eigenschaften von besonderem Interesse unabh ngig von einer Programmiersprache 3 Hardware Baustein mit wohldefinierten Ein und Ausg ngen 4 In der Mathematik Zahl bez glich derer der Rest bei einer Division gebildet wird Zitatende Der
208. pekte im Mathematikunterricht zu ber cksichtigen oder gar in den Mathematik Lehrpl nen zu verankern 26 1 4 Mathematikunterricht heute 1 4 1 Die heutigen Unterrichtsvoraussetzungen Die Bedingungen f r eine zeitgem e Gestaltung von Mathematikunterricht haben sich in den letzten Jahren sehr verbessert und sind teilweise durchaus g nstig 1 4 1 1 Hardware und Software Hardware oft sind die notwendigen Voraussetzungen gegeben Die Ausstattungen vieler Schulen mit Personalcomputern mit schulinternen Netzen und mit Verbindungen zum Internet sind inzwischen meistens gut Als weitere M glichkeit speziell f r den Mathematikunterricht sind an etlichen Schulen grafische Taschenrechner oder als weitergehende Variante Taschencomputer mit CAS z B TI 92 Plus vorhanden teilweise in h herer St ckzahl Dabei besteht an einigen Schu len auch die M glichkeit derartige Rechner an Sch ler auch f r l ngere Zeit zu verleihen und damit auch f r Hausarbeiten verf gbar zu machen In einigen Bundesl ndern sind graphische Taschenrechner ohne CAS verbindlich eingef hrt Als Projektionsm glichkeiten im Klassenraum stehen Beamer f r PCs oder View Screens f r Taschenrechner und Taschencomputer zur Verf gung Zahlreiche Sch ler haben auch zu Hause selbst oder ber ihre Eltern Personalcomputer und Internet Anschluss Hardware es gibt aber auch noch Behinderungen Computerr ume stehen angesichts der vielen Klassen und Kurse mit
209. r bearbeitet von Volker Claus und Andreas Schwill Dudenverlag Mannheim 1993 e Eng77 Engel Arthur Elementarmathematik vom algorithmischen Standpunkt Klett Verlag Stuttgart 1977 e Eng91 Engel Arthur Mathematisches Experimentieren mit dem PC Klett Verlag Stuttgart 1991 e Feh94 Fehr E Mathematische Aspekte der Programmiersprachen in Schulz R H Hrsg Mathematische Aspekte der angewandten Informatik BI Wissenschaftsverlag Mannheim 1994 e Gra85 Graf K D Hrsg Computer in der Schule Perspektiven f r den Mathematikunterricht Teubner Verlag Stuttgart 1985 e Gra90 Graf K D Hrsg Computer in der Schule 3 Materialien f r den Mathematik und Informatikunterricht Teubner Verlag Stuttgart 1990 e Hen97 Henn Hans Wolfgang Realit tsnaher Mathematikunterricht mit DERIVE D mmler Verlag Bonn 1997 e HerOl Herget W Heugl H Kutzler B Lehmann E Welche handwerklichen Rechenkompetenzen sind im CAS Zeitalter unverzichtbar In MNU 2001 Heft 8 178 Her93 Herget W Ziele und Inhalte des Informatikunterrichts zum Vergleich In Hischer H Hrsg Mathematikunterricht und Computer neue Ziele oder neue Wege zu alten Zielen Bericht ber die 11 Arbeitstagung des Arbeitskreises Mathematikunter richt und Informatik in der Gesellschaft f r Didaktik der Mathematik e V 1993 in Wol fenb ttel S 28 Heu95 Heugl Helmut Computeralgebrasysteme im Mathematikunterricht der Allge mei
210. r auch auf offene Unter richtsformen eine neue Aufgabenkultur und auf Computereinsatz setzt werden auf Grund der besseren Verf gbarkeit von Rechnern und durch Lehrerfortbildungsma nahmen zunehmend g nstiger Kapitel 1 5 zeigt diverse Szenarien f r die Unterrichtsgestaltung wobei die f r die Arbeit besonders relevanten Bereiche noch einmal deutlich markiert werden Kapitel 2 bringt eine ausf hrliche und begr ndende Darstellung informatischer Methoden und Inhalte die f r eine Einbeziehung in den Mathematikunterricht als besonders geeignet er scheinen Dabei werden die theoretischen Ausf hrungen immer wieder mit Beispielen aus der Unterrichtspraxis angereichert Die in Kapitel 3 angebotenen Beispiele sind in der Regel aus meinen langj hrigen T tigkeiten als Mathematik und Informatiklehrer und Seminarleiter in diesen F chern entstanden und in der Regel in ihren Teilen unterrichtserprobt In einigen F llen neu ist die hier besonders be tonte direkte Vernetzung von Mathematik und Informatikinhalten z B bei der Unter richtseinheit Zustandsgraphen Kapitel 3 3 Die Erfahrungen aus beiden F chern zeigen dass sich diese Unterrichtsangebote auch tats chlich realisieren lassen Sie sind auch nicht auf ein Bundesland Berlin ausgerichtet sondern bei entsprechenden Voraussetzungen berall verwendbar ber die Ziele einer Dissertation hinaus habe ich den Anspruch Lehrern in ei ner nachfolgenden Ver ffentlichung der Arbeit konkrete
211. rarbeitet 1 3 Entwicklungslinien in der Schulmathematik unter dem Einfluss mathematischer Software und der Informatik Lehren aus der Vergangenheit Hinweise f r die Zukunft B Mathematik wird von der Informatik ben tigt gg D Seen Rn C F Mit Hilfsmitteln der C Informatik Software erstellen A Software hilft beim Untersuchen und L sen mathemati scher Probleme Kleine M Mathematik Software Andere Software Programme D Auch in der heuti 10 Zeilen Komplexe Software gen komplexen Soft Programme ware werden kleine Programme erstellt Abbildung 1 3 a Einige Abh ngigkeiten zwischen Mathematik und Informatik in der Schule Das Beispiel von Kapitel 1 1 f hrte in die Thematik des Computereinsatzes im Mathematik unterricht Wege A in Abbildung 1 3 a ein Hierzu werden nun in Kapitel 1 3 die wichtigsten Entwicklungslinien von den ersten Anwendungen des Computers in der Schulmathematik bis zur heutigen Situation dargestellt Die Entwicklung der Schulinformatik wird dabei allerdings nur gestreift Wir verfolgen zun chst den fett ausgezogenen Weg A in Abb 1 3 a Die folgenden Ausf hrungen orientieren sich besonders e an den Tagungen und Ver ffentlichungen des Arbeitskreises Mathematikunterricht und Informatik in der Gesellschaft f r Didaktik der Mathematik und e an langj hrigen eigenen Erfahrungen aus meinen T tigkeiten als Fachseminarleiter f r Mathematik sp ter f r Info
212. rechender Wei se kann nun auch von Bausteinen f r mathematische Probleml sungen gesprochen werden 2 1 5 3 Bausteine und ihre Parameter Parameter bei Kurvenscharen und bei Parameterdarstellungen Bekanntlich sind Kurvenscharen ein Standardthema in der Analysis das viel interessante Mathematik beinhaltet und nicht ohne Grund beliebt im Unterricht und bei Klausuraufgaben ist Hierbei werden die Sch ler m glicherweise erstmals auch mit dem Umgang mit Pa rametern vertraut gemacht Weitere Gebiete in denen schon lange mit Parametern gearbeitet wird sind die vektorielle analytische Geometrie z B bei Geradengleichungen oder Kurven in Parameterform Dabei werden vielfach knappe Termabk rzungen wie f r y verwendet mit denen man viel an Verst ndnis und an unterrichtlichen M glichkeiten verschenkt Schreib 61 weisen die die Parameter explizit nennen erweisen sich bei den heute vorliegenden M glich keiten als g nstiger So kann man z B schreiben Kurzschreibweise ausf hrliche Notation Aufrufbeispiel Kurvenscharen f x ax bx cx d mit x a b c d E R f x a b c d ax bx cx d Aufrufbeispiel f x 1 2 3 4 Vektorielle Geradengleichung r t r tu r r tu Aufrufbeispiel r 5 Kurve in Parameterform x t cos t und y t sin t x cos t y sin t Aufrufbeispiel x 7 3 y 7 3 Trapez Fl cheninhalt A a b h a b h 2 A a b h 2 Es lohnt
213. reise Gegeben ist ein Dreieck Die Mittelpunkte der drei Seiten werden verbunden so dass ein neues Dreieck entsteht Wird dieser Vorgang f r die folgenden Dreiecke wiederholt so erh lt man eine Folge von Mittendreiecken Der geschilderte Ansatz und Variationen der Aufgabenstellung k nnen eine interessante mathematische Entdeckungsreise einleiten Abbildung 3 2 a zeigt die Ausgangskonfiguration im Unterricht sollte man sie zun chst durch Handzeichnungen erzeugen lassen Problembearbeitung Rekursion Das Problem l sst sich elegant mit rekursiv definierten Folgen angehen Derartige Folgen sind ein berzeugendes Beispiel f r eine Schnittstelle zwischen Mathematik und Informatik Ei nerseits lassen sich viele mathematische Probleme mit rekursiven Funktionen bearbeiten an dererseits geh ren rekursiv definierte Funktionen zu den Grundelementen funktionaler Pro grammiersprachen Die Schnittstelle spiegelt sich u a bei der Arbeit mit einem Funktionen plotter wider Hier wird die schon mehrmals erw hnte Animationssoftware ANIMATO be nutzt 101 Bei der Interpretation der entstehenden Bilder kann man u a folgende Besonderheiten fest stellen Entstehen einer Spirale beim Verbinden aller Punkte A B oder C gleiche Proportionen der Seitenl ngen f r alle Dreiecke alle entstehenden Dreiecke einer Teilungsstufe sind kongruent hnlichkeit der aufeinanderfolgenden Dreiecke C1 B2 C2 Al Abb 3 2 a Se
214. rmatik und umfangreichen Unterrichtserfahrungen in beiden F chern an der R ckert Oberschule Gymnasium in Berlin Sch neberg 1964 bis 2001 Betrachten wir das Inhaltsverzeichnis von Computer in der Schule Gra85 aus dem Jahr 1985 siehe Abbildung 1 3 b Hier wird deutlich dass der genannte Arbeitskreis sich anfangs besonders mit dem Computereinsatz im Mathematikunterricht CiM und nur wenig mit in formatischen Fragen befasst hat Das nderte sich sp ter zumindest auf einigen Tagungen siehe Kapitel 1 3 3 Tagung 1992 Computereinsatz im Mathematikunterricht bedeutete damals e Den Computer zum numerischen Rechnen manchmal auch schon zum Zeichnen zu benutzen und e geeignete Mathematikprogramme daf r zu erstellen mei stens in der Programmiersprache BASIC sp ter oft in PASCAL Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 Stellungnahme der Gesellschaft f r Didaktik der Mathematik J Ziegenbalg Erfahrungsbericht ber das Unterrichtsprojekt Anwendungsbereiche f r Kleincomputer 12 A W ynands Algorithmisches Arbeiten mit dem Taschenrechner im Mathematik unterricht Beispiele f r Begriffsentwicklung und dynamische sequentielle Verfahren in den Klassen 5 13 29 W L the Arbeitsstil und Programmiermethodik bei der Computernutzung im Mathematikunterricht der Einflu von LOGO 42 E Lehmann Computereinsatz im Mathematikunterricht der Sekundarstufe 1 55 K Menzel Reale Datenverarbeitung im Unterricht 74 L H K
215. ro dass CiM noch lange eine Aus nahme bildete Auch das Schreiben von Programmen blieb f r die meisten Lehrer unerreich bar Diejenigen Lehrer die das schafften mussten sich mit einem weiteren Problem auseinan dersetzen wenn sie die Algorithmen im Unterricht besprechen oder die Sch ler sogar selbst programmieren lassen wollten Die Zeit reichte einfach nicht um den umfangreichen Lehr plan zu erf llen So gelang nur wenigen Lehrern eine sinnvolle Integration des Computerein satzes in ihren Mathematikunterricht Auch Demonstrationsprogramme wurden von den Leh rern nicht angenommen Sinnvolle Integration bedeutet hier eine e Verbesserung des Mathematikunterrichts durch CiM an daf r geeigneten Stellen des Lehrplans Dennoch entstand eine F lle von Programmen f r Algorithmen aus beiden Sekundarstufen aber eben ohne gro e Verbreitung zu finden Selbst das sch ne Buch von A Engel Eng77 konnte hier kaum etwas ndern Arthur Engel Elementarmathematik vom algorithmischen Standpunkt Klett Verlag Stuttgart 1977 Die Idee der 10 Zeilen Programme war f r die meisten Lehrer immer noch nicht umsetzbar Auf die Rolle des Programmierens im Mathematikunterricht wie man sie heute sehen kann wird sp ter noch ausf hrlicher eingegangen siehe Kapitel 2 1 7 Hier werden noch einige der seinerzeit betrachteten Kurzprogramme angegeben Dabei wird auch ihre heutige Relevanz eingesch tzt Beispiel 1 Iteration BASIC Programm
216. s Abb 2 1 5 7 b Parametervariation bei einem Parabelbaustein Strategien zur Erforschung fl a x b 2 c der Parabelbaustein f1 1 0 0 Normalparabel f3 f1 1 7 u a 1 b 7 Variation von c u 3 2 1 0 1 2 f4 f1 1 v 2 a 1l Variation vonb c 2 ve 3 2 1 0 1 2 3 f5 fl v 7 2 Variation vna b 7 c 2 ve 2 1 833 0 333 Beispiel 3 Eine Anwendung des Differenzenquotienten Bausteins Yeah fo gt diffgq x h Durch Wahl verschiedener h Werte mit A gt 0 werden die Graphen der Differenzenquotien tenfunktionen immer mehr zum Graphen der Ableitungsfunktion h 0 Schrittweise Entstehung F der Zeichnung x sin x Abb 2 1 5 7 c Anwendung des Bausteins auf F die Sinusfunktion Man vergleiche hierzu auch Seite 161 72 2 1 6 Algorithmen Die engste Verbindung zwischen Mathematik und Informatik ist sicherlich ber die in beiden F chern ben tigten Algorithmen gegeben Der Informatikunterricht realisiert diese in passen den Programmiersprachen der Mathematikunterricht tut das nur gelegentlich siehe u a Kapitel 2 1 7 Algorithmen durchziehen den gesamten Mathematikunterricht und standen lan ge im Mittelpunkt des Unterrichts was dann u a zu den langweiligen bungen zum Hand rechnen mit Aufgaben aus den umfangreichen und in der Regel unmotivierten Aufgaben plantagen der Schulb cher f hrte Angesichts der heute verf gbaren Computeral
217. s Lernen neue Medien selbst ndige Sch ler innen In Tagungsdokumentation 25 28 5 1999 Neues Lernen mit neuen Medien Mathematikunterricht der Zukunft Westf lische Wilhelms Universit t ZKL Texte 8 M nster 1999 Leh99c Lehmann E Mathematik mit Bausteinen und ihren Parametern PM Praxis der Mathematik Heft 3 1999 Aulis Verlag K ln Leh02a Lehmann E Berliner CAS Projekt Sekundarstufe 1 im Rahmen des BLK Sinus Projekts Senatsverwaltung f r Bildung Jugend und Sport Berlin August 2002 LeH01 Lehmann Hergen Animationsplotter ANIMATO Berlin 2001 LeI93 Lehmann Ingmar Eulersche Quadrate in Mathematik in der Schule 31 1993 S 612 617 Lel96 Lehmann Ingmar Zum L sen von Gleichungen mit Tafel und Kreide oder Computer In Mathematik in der Schule Teil 1 Exaktes und n herungsweises L sen 34 1996 11 S 623 632 Teil 2 Computer Fallen und Fehler 34 1996 12 S 684 696 180 Lel00 Lehmann Ingmar F r und Wider von Termumformungen mit einem CAS In Herget W Weigand H G Weth T Hrsg Standardthemen des Mathematik unterrichts in moderner Sicht Hildesheim Franzbecker 2000 S 67 75 Le101 Lehmann Ingmar Per Kopf oder Knopf Rechnen k nnen oder lassen In Beitr ge zum Mathematikunterricht 2001 Hildesheim Franzbecker 2001 S 376 379 Lud97 Ludwig M Projekte im Mathematikunterricht des Gymnasiums Dissertation W rzburg 1997 MNUS6 Empfehlungen zur Gest
218. sen schreiben CHT ABSORBI EREND der Kette 18 Simulation 19 Station re Verteilung eststellen Auswahl mit CURSOR AUF AB Und hier sind die Ergebnisse 133 c Eberhard Lehmann 1 9 91 RECHNEN MIT STOCHASTI SCHEN MATRI ZEN Transponieren A B Produkt A B Gleichheit pr fen Potenz Potenzen Verteilungen von bis Eigenwerte f r 2 2 3 3 Matrix Eigenwerte charakter Gleichung MARKOW KETTEN ABSORBIEREND Ordnen nach absorbier Zust nden Simulation Station re Verteilung Grenzmatrix Mittelwerte Zum Hauptmen 26 Ende Anzahl der berg nge zwischen den Zust nden bei 10000 Schritten Zustand absolute relative H ufigkeit nach 1 2 3 4 1 4210 0 4210 von 1 3358 852 0 0 2 2861 0 2861 von 2 852 1472 538 0 3 1742 0 1742 von 3 0 537 834 371 4 1187 0 1187 von 4 0 0 370 816 Erwartungswert 1 9906 Anzahl der berg nge zwischen den Zust nden bei 20000 Schritten Zustand absolute relative H ufigkeit nach 1 2 3 4 1 8159 0 4079 0 4153 von 1 6508 1650 0 0 2 5581 0 2791 0 2769 von 2 1651 2758 1173 0 3 3765 0 1882 0 1846 von 3 0 1173 1850 742 4 2495 0 1247 0 1230 von 4 0 0 742 1753 Erwartungswert 2 0298 Die bergangsmatrix war 0 8000 0 2000 0 0000 0 0000 nie 0 3000 0 5000 0 2000 0 0000 Die oben E 0 0000 0 3000 0 5000 0 2000 0 0000 0 0000 0 3000 0 7000 ieten Ergebisse Die Simulation liefert also je nach Anspruch recht ordentliche Ergebnisse
219. sentliche Rolle spielen mehr dazu u a in Kapitel 2 1 5 1 3 2 Weitere Mathematikprogramme Demonstrationsprogramme Ein weiterer Ansatz zur Verbreitung von Computern in der Schulmathematik versuchte es mit Demonstrationsprogrammen die mathematische Sachverhalte veranschaulichten Auch hier gab es keinen Durchbruch da es keine gen gende Anzahl von Computern an den Schulen gab Diese wurden dann auch noch von den Informatiklehrern quasi als ihr Eigentum be trachtet Damit scheiterte auch dieser Ansatz an organisatorischen Gegebenheiten aber auch an mangelnder Kompetenz von Lehrern Heute gibt es jedoch auch f r Demonstrationsprogramme gute Ein satzm glichkeiten mit eigenen methodischen Wegen zumal die Bedie nung durch die modernen Oberfl chen wesentlich vereinfacht werden kann Beispielsweise finden sich im Internet zu zahlreichen Problemen leicht bedienbare Java Applets Trainingsprogramme Gelegentlich werden auch Trainingsprogramme eingesetzt die gewisse Grundfertigkeiten im Rechnen ben helfen Drill and Practice Beispiele sind Programme f r die schrittweise L sung linearer Gleichungssysteme oder zum Umformen von Termen Trainingsprogramme sind auch heute Randerscheinungen zumal sich heute das langwierige ben von Alegorith men durch die Verf gbarkeit von CAS anders als fr her darstellt Man vergleiche hierzu z B Herget Heugl Kutzler Lehmann MNU Heft 8 2001 Dort wird die Frage gestellt und unter sucht We
220. so in zeitlichen Abl ufen denken und seine Probleml sung aus nachein ander auszuf hrenden Schritten aufbauen Charakteristisch sind das Variablenkonzept und Begriffe wie Unterprogramme Prozeduren Wertzuweisungen Schleifen bedingte Verzwei gungen usw Programme berechnen Funktionen die Eingabedaten in Ausgabedaten abbilden In der funktionalen Programmierung beschreibt man daher die Beziehungen zwischen Ein und Ausgabedaten mit Hilfe mathematischer Ausdr cke indem man elementare Ausdr cke f r einfache Funktionen zugrundelegt und hieraus mit Operationen die auf Funktionen definiert sind komplexere Funktionen darstellt Das wichtigste Konstruktionsprinzip ist hierbei die Rekursion Ein Programm besteht aus einer Menge von Ausdr cken die Funktionen definieren Eine Berechnung ist die Anwendung einer Funktion auf eine Liste von Werten oder Ausdr cken Informatik Duden Duden Verlag 1993 S 545 Damit ist das funktionale Programmieren n her an den Begrifflichkeiten der Mathematik als das imperative Programmieren An den Erl uterungen erkennt man dass der Entwurf von Programmen mit bestimmten Me thoden und Denkweisen Problemzerlegung strukturiertes Programmieren objektorientiertes Programmieren funktionales Programmieren usw erfolgt von denen der Mathematikunter richt profitieren kann die aber dort teilweise nur bedingt eigenes Thema sein k nnen Der Vorgang der Programmerstellung soll jedoch im Mathematikunterr
221. steinhilfe ja ja Analyse von Bausteinen durch Parametervaria tionen ja gelegentlich bis h ufig gelegentlich bis h ufig Analyse von Bau stein Algorithmen h ufig gelegentlich gelegentlich 10 Zeilen Programme benutzen Demonstrati on experimentieren ja ja ja 10 Zeilen Programme analysieren Algorithmen Parame tervariation h ufig selten selten 10 Zeilen Programme programmieren Programmeditor benut zen gelegentlich nein nein Viele Zeilen Programme benutzen ja selten nein Viele Zeilen Programme analysieren gelegentlich auch Teil algorithmen betrachten nein nein Viele Zeilen Programme programmieren Programmeditor benut zen nein bestenfalls Sch lerspezialisten nein nein Abb 2 1 7 3 i bersicht zum Benutzen und Konstruieren von Programmen im Mathematik Unterricht 91 Zusammenfassung Auf das Schreiben von Programmen im CAS Programmeditor und erst recht in einer anderen Programmiersprache sollte in normalen Mathematikkursen aus folgenden Gr nden weitge hend verzichtet werden e Die Phasen der Entwicklung des Computereinsatzes im Mathematikunterricht der Schule zeigen dass das Programmieren f r eine weite Verbreitung des Computers im Unterricht hinderlich war Ein gro er Teil der Lehrenden wollte sich nicht damit befassen Program mieren
222. sung Bestimme den Schnittpunkt der Geraden gl und g2 Im Schnittpunkt S der beiden Geraden falls sie einen gl y 2x 1 g2 3x 4y 2 besitzen sind x und y Wert bei beiden Geraden gleich Somit kann man S durch L sung eines linearen Gleichungssystems bestimmen Hierf r k nnen wir den Baustein solve benutzen solve y 2x 1 and 3x 4y 2 x y Als Schnittpunkt ergibt sich S 6 11 1 11 Bei dieser Aufgabe wurde der Baustein solve zur L sung eines linearen Gleichungssy stems verwendet also als Black Box denn f r den L sungsalgorithmus haben wir uns hier nicht interessiert siehe D C Analyse eines Bausteins Hat man einen Baustein mehrfach benutzt und einige seiner Anwendungsm glichkeiten er kannt besteht m glicherweise der Wunsch in den Baustein hineinzublicken P Was kann der Baustein so alles Baustein 9 Ein Beispiel Analyse des M Definition x 2 p x q gt parabel x p q Bausteins parabel x p q parabel x 2 3 das ist parabel x p 4 das ist der parabel x 5 q der Parabelterm Term einer Parabelschar die Parabelschar x 2 2x 3 x 2 p x 4 x 2 5x q Fallunterscheidungen f r p q parabel 5 2 3 12 Punkt P 5 12 der Parabel parabel x 2 3 0 Ansatz f r die Nullstel len parabel 5 2 3 10 false gt 5 10 nicht auf Parabel solve parabel x 2 3 0 x parabel x 5 q lqa 12 3 4 5 x1 1 3 gt yl x Parabelsch
223. system errechnen 131 e f S f ausf hrlich f0 fl 2 f3 S f0 f1 f2 f3 mit der Bedingung f0 f1 2 f3 1 Hinweis Im Unterrichsablauf wird diese Zusatzbedingung meistens vergessen Dann ist das LGS zun chst nicht eindeutig l sbar und man kommt im Nachhinein auf diese Bedingung Wir k nnen nun unter Beachtung der Matrixtypen z B folgenderma en rechnen e fas S 4 4 fas mit f f0 fl f2 f3 und fO fl f2 f3 1 fas Saa Eas 009 wobei Eq 4 eine 4 4 Einheitsmatrix und Oq 4 eine 1 4 Nullmatrix ist Nehmen wir nun noch die zus tzliche Gleichung f0 f1 f2 f3 1 in die Matrixgleichung auf so erhalten wir das lineare Gleichungssystem rechte Seite des LGS Dieses kann als erweiterte Koeffizientenmatrix M in das CAS des TI 92 eingeben werden und liefert mit rref M die allgemeine L sung des LGS recht umfangreiche Terme die hier nicht vollst ndig abgedruckt werden Damit ist die station re Verteilung der Markow Kette be rechnet F r Sonderf lle Nenner 0 existiert diese nicht FE his bralcsiclotherPranrolciesn ue 1 0 0 0 4154 5 a b 1 5 0 1 0 0 2769 a 2 b 1 5 b 1 2 b 1 1oes 3 5 0 0 1 0 1846 0 0 0 1 1231 0 0 0 0 0 rref lt 1lysmat MAIN RAD APPROX FUNC 375 MAIN RAD APPROX FUNC 1730 Zum Beispiel ergibt sich f r f3 der oben dick umrahmte Term Speichert man die allgemeine L sung unter loes a b so liefert der Au
224. t wird auch der Wunsch nach Fallunterscheidungen unterst tzt e Die berlegungen bez glich der einsetzbaren Werte verbreitern das Anwendungsfeld des Terms auf manchmal unerwartete unterschiedliche Bereiche So ist es z B m glich in gewisse Terme statt reeller Zahlen Funktionsterme oder auch quadratische Matrizen einzusetzen Beispiel Einset zungen in den Baustein a b 2 gt Binom a b Hinweis gt ersetzt die STOre Taste auf dem TI 92 e Die Schreibweise mit Parametern ist computeralgebra freundlich und wird von den CAS Systemen entsprechend unterst tzt sowohl in algebraischer als auch in grafischer Hinsicht Bei spiel define parabel x p q x 2 p x q bzw x 2 p x q gt parabel x p q e Die schon f r die Sekundarstufe 1 sehr n tzliche Konzeption von Unterricht unter Parameter Aspekten erweist sich als ausgezeichnete Vorbereitung f r die Probleme der Sekundarstufe 2 Und schlie lich ein besonders wesentlicher Aspekt der bedeutungsvoll f r die berlegungen zum Programmieren im Mathematikunterricht ist e Bausteine ersetzen h ufig kleine Programme und machen somit einen Teil des Programmierens berfl ssig Gerade hierin liegt u a die Bedeutung von Computeralgebrasystemen Man kann somit festhalten Diese Aussage gilt sowohl f r die Sekundarstufe 2 als auch f r die Sekundarstufe 1 Betrach tet man z B den folgenden Auszug aus mathematischen Formelsammlungen f r die Sekun darstufe
225. tandsgraphen Programm experi mentelles Arbeiten mit Programmen 3 F r die Informatik und f r die Mathematik ist das Problem wichtig als Beitrag f r die Frage nach der Berechenbarkeit von Funktionen und als Beitrag zum Halteproblem 4 Im Informatikunterricht kann das Problem ein ganzes Feld von Folgethemen erzeugen siehe Abb 3 3 1 d u a die Themen Endliche Automaten Turingmaschine 5 Das Thema ist auch f r den Mathematikunterricht interessant Dabei geht es um einige berlegungen kombinatorischer Art und wie oben schon formuliert um Zusammenh nge mit Themen der Mathematik wie die Anwendungen von Markow Ketten Zudem stellt das Thema nichtberechenbare Funktionen bisher v llig vernachl ssigt eine wichtige Erg nzung zu den vielen berechenbaren Funktionen im Mathematikunterricht dar Flei ige Biber das Busy Beaver Problem Den Unterricht zum Thema Zustandsgraphen k nnte man z B folgenderma en mit einem Arbeitsblatt beginnen 1 Der bergangsgraph von Abbildung 3 3 2 a stellt einen Algorithmus dar der das Busy Beaver Spiel f r den Fall von 3 Zust nden Z0 Anfangszustand Z1 Z2 Zwischenzust n de und einem Endzustand ZE beschreibt 2 Dieser Algorithmus arbeitet auf einem unendlich langen Band mit lauter Kreuzen die beim Abarbeiten des Algorithmus im Verlauf der Arbeit teilweise durch Striche ersetzt werden 3 Das gegebene Band sei 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
226. ten Bezogen auf den Medieneinsatz ergab sich damit folgende Situation 137 Gruppe Auftrag Medien f r Mathematik und Informatik alle Gruppen dokumentieren mit Textverarbeitung WORD 1 Gewinn und Verlustwahrscheinlichkeiten beliebig 2 Simulation Handsimulation TI 92 3 Markow Ketten Matrizen TI 92 notfalls Buch 4 Unendliche geometrische Reihen Buch CAS TI 92 DERIVE 5 Struktogramm Algorithmus Programmanalyse vorgelegtes PASCAL Programm 6 Simulationsprogramm in DELPHI PC mit Objekt PASCAL 7 Informieren Sie sich im WWW zum Thema WWW CRAP Abb 3 3 4 c Planung f r die Gruppenarbeit Innerhalb der Gruppen kam es noch zu diversen Aufgabenverteilungen und dabei auch zur Dokumentation der Arbeit unter Benutzung der Textverarbeitung WORD D Einige Probleml sungen Im Anschluss an die Erarbeitungen k nnten die Ergebnisse zusammengef gt werden z B zu einem Crap Buch Hier wurden die Ergebnisse teilweise vorgetragen oder es wurde von den anderen Gruppen in die einzelnen Word Dateien eingesehen Die Programme wurden demonstriert Insgesamt ergibt sich sehr beeindruckend wie ein mathematisches Problem durch unterschiedliche L sungsans tze bearbeitet werden und mit einer Vielfalt von Arbeits methoden angegangen werden kann D1 Problembearbeitung durch Simulation Auswahl aus den Ergebnissen von Gruppe 2 Modellbildung Protokoll f hren und auswerten
227. thema im Schuljahrgang 13 in LOGIN 2001 Nr 3 4 182 Spezielle Literatur zu TIMSS und PISA Bau97 Baumert J et al TIMSS Mathematik naturwissenschaftlicher Unterricht im internationalen Vergleich Deskriptive Befunde Opladen Leske Budrich 1997 Blu98 Bluhm W Neubrand M TIMSS und der Mathematikunterricht Informationen Analysen Konsequenzen Schroedel Verlag Hannover 1998 Bru02 Bruder R u a PISA und kein Ende oder Dies ist erst der Anfang in Zeitschrift Mathematiklehren Friedrich Verlag August 2002 Heft 113 S 64 Pis02 Deutsches PISA Konsortium Hrsg PISA 2000 Die L nder der Bundes republik Deutschland im Vergleich Leske Budrich Opladen 2002 Hen99 Henn H W Mathematikunterricht im Aufbruch eine Ver ffentlichung des Landesinstituts f r Erziehung und Unterricht Stuttgart Schroedel Verlag Hannover 1999 Kno02 Knoche N u a Deutsche PISA Expertengruppe Mathematik PISA 2000 Die PISA 2000 Studie einige Ergebnisse und Analysen in Journal f r Mathematik Didaktik Heft 3 4 2002 Kapitel 2 1 5 Literatur zur Arbeit mit Bausteinen und Parametern B h02 B hm Josef How I Learned Loving Parameters in The Derive Newsletter 47 W rmla September 2002 Coh93 Cohors Fresenborg E Kaune C Griep M Vertragswerke ber den Umgang mit Zahlen Handbuch f r Lehrer 2 berarbeitete Auflage Osnabr ck Forschungsinstitut f r Mathematikdidaktik 1993
228. tionen 27 Es gibt diverse Programme f r einen engeren Anwendungsbereich z B ANALYGEO f r Belange der Analytischen Geometrie POVRAY f r fotorealistische Gestaltung von Szenen ebenfalls verwendbar f r Ana lytische Geometrie und andere Anwendungen in der Computergrafik F r die Software gibt es zumindest bei einigen Programmen g nstige Schullizenzen oder sogar Landeslizenzen H ufig k nnen die Sch ler die Software auch zu Hause auf ihren Rechnern benutzen was sehr w nschenswert ist Die Software kann in der Regel in diversen Arbeitsweisen eingesetzt werden Rechnen Zeichnen Programmieren Experimentieren und Entdecken im Rahmen zahlreicher Unter richtsformen Software auch hier gibt es noch Behinderungen An erster Stelle steht die mangelnde Vertrautheit vieler Lehrer mit den Programmen be sonders mit ihren sinnvollen Einsatzm glichkeiten Computereinsatz fordert zwingend andere Unterrichtsmethoden als den bisherigen lehrer zentrierten Unterricht Es fehlt gerade hierin an geeigneter Fortbildung der Lehrer Die meisten Systeme sind nicht f r die Belange der Schule konstruiert Der Lehrer muss also h ufig nach methodischen Wegen suchen um das berangebot an Optionen einzu schr nken 1 4 1 2 Neue Unterrichtskultur neue Aufgabenkultur Computeralgebrasysteme und andere Software leisten wie oben angedeutet in manchen Schulen bereits einen wesentlichen Beitrag zu einem modernen Mathematikunterric
229. trie 4 5 Homogene und inhomogene LGS 4 6 Probleme bei der L sung von LGS CAS sind es u a Befehle wie Solve und Rref die die Glei chungslehre stark beeinflussen Andere M glichkeiten zur Benut zung eines CAS finden sich bei der schrittweisen Ermittlung der L sungen siehe Lehmann E Lineare Algebra mit dem TI 92 Texas Instruments 1999 besondere wie der Computer auf Sonder f lle reagieren soll beispielsweise Zeilen oder Spaltentausch Von Interesse sind dabei auch schlecht konditionierte Gleichungssysteme und sehr umfang reiche LGS Anwendung u a in der Tomographie siehe Thomas Sonar Angewandte Mathematik Modellbildung und Informatik Vieweg Verlag 2001 S 123 144 5 Vektorr ume 5 1 Magische Quadrate Vektorr ume 5 2 Lineare Abh ngigkeit 5 3 Zeilenrang und Spaltenrang einer Matrix 5 4 Basis Dimension Basis transformation Ein besonders motivierendes Vektorraum Modell sind magische Quadrate siehe auch Kapitel 3 1 Ein CAS dient zum Forschen Entdecken Formulieren von Vermutungen und deren Begr ndung Dabei erweisen sich wieder CAS Bausteine mit Parameter als sehr n tzlich Kapitel 3 1 zeigt die Verbindungen dieses Themas zur Informatik Die Arbeit mit Bausteinen und ihren Parametern ist hier besonders einleuchtend 169 Inhaltsverzeichnis Computereinsatz Software Informatische Aspekte 6 Inverse Matrizen 6 1 Begriff Berech
230. tsre geln Exponentialfunktion im n Xn Koordinaten system y 1 a x 1 b y xty 1 Schnitt von Geraden Abbildungsgeometrie mit stochastischen Matrizen Abb 3 3 1 c Markow Kettten mit 2 Zust nden berblick zu gebiets bergreifenden Ans tzen im Mathematik und Informatikunterricht kursiv grafische Darstellungsm glichkeiten 113 Unterricht nach Abbildung 3 3 1 d geht von je einer Problemstellung aus Informatik Busy Beaver Problem und Mathematik Versandproblem aus Modellbildungsprozesse f hren zu verschiedenen mathematischen und informatischen Inhalten Je nach Unterrichtsvorausset zung u a Lehrplan und den zeitlichen und organisatorischen M glichkeiten k nnen nun verschiedene Wege eingeschlagen werden wobei f r die Mathematik besonders die Vernet zungsm glichkeiten innerhalb der drei Standardgebiete Analysis Lineare Algebra und Sto chastik interessieren Zu diesen Gebieten gesellen sich nun noch die informatischen Ans tze In den Kapiteln 3 3 2 und 3 3 3 werden die oben genannten Kernprobleme Busy Beaver Problem Versandproblem n her ausgef hrt Zustandsgraphen und Anwendungsbereiche Das Busy Beaver Problem Ein Versandproblem aus der Welt der Turingmaschi Beispiel einer Markow Kette mit nen mehr als zwei Zust nden Informatik Mathematik Mathematik Informatik Speicherung _ Kombinatori Lineare Algebra Matrizen Speicherung ar i sche berle L
231. tur mit offenen Arbeitsformen e einer ver nderten Aufgabenkultur mit offenen Aufgabenstellungen e neuer Kompetenzen f r Lehrer und Sch ler In fast allen Bereichen der Praxis hat die Datenverarbeitung und damit auch die Informatik ihre berragende Bedeutung l ngst nachgewiesen F r die Schule h ngt manch einer trotz vieler Misserfolge weiter dem Gedanken nach Inhalte der Informatik in die Schulf cher zu integrieren und den Informatikunterricht damit m glicherweise zu verw ssern oder gar wieder abzuschaffen Dabei wird jedoch h ufig der Unterschied zwischen dem fachbezogenen Com putereinsatz und dem was Schulinformatik ausmacht bersehen Andererseits kann Schulin formatik nicht ohne Mathematik auskommen denn viele Inhalte der Informatik beruhen auf mathematischen Grundlagen Mathematik lebt u a von den zu rechnerischen oder grafischen Probleml sungen notwendi gen Algorithmen die mittels entsprechender Programmiersprachen Bezug zur Informatik als m chtige mathematische Werkzeuge eingesetzt werden k nnen im Gegenzug ben tigt Informatik immer wieder Erkenntnisse der Mathematik zur Entwicklung von Algorithmen f r die Bearbeitung ihrer Probleme So sollte man meinen dass sich auch der Schulunterricht in Mathematik und in Informatik gewisser Inhalte und Methoden des jeweils anderen Faches bedient Die Schulpraxis zeigt dass das leider nur in Ausnahmef llen geschieht Selbst Leh rer die beide F cher vertreten
232. tzt werden e Definiert man magische Quadrate ber Bausteine mit Parametern siehe unten ergeben sich hervorragende M glichkeiten zu experimentellem Arbeiten Gleichzeitig wird durch ein derartiges modulares Arbeiten die Verbindung zur Informatik besonders deutlich e Da magische Quadrate spezielle Matrizen bzw Tabellen sind k nnen wichtige infor matische Themen angesprochen werden z B das Thema der Definition einer geeigneten Datenstruktur und von Operationen auf diesen Daten abstrakte Datenstruktur In der Praxis werden oft sehr umfangreiche Matrizen verwendet die h ufig speziell aufgebaut sind z B d nnbesetzte Matrizen viele Nullen Das wieder bedingt besondere Formen der Datenspeicherung e Magische Quadrate k nnen in vielf ltiger Form gut in Kursen zur Linearen Algebra ver wendet werden siehe Kapitel 3 5 insbesondere bei Gleichungssystemen beim Thema Vektorr ume und als besonders geformte Matrizen e Zu magischen Quadraten gibt es eine F lle von Material im Internet auf das im Unterricht gut aufgebaut werden kann Hieraus ergeben sich auch zahlreiche Varianten von Aufga benstellungen 93 F Google Suche Magische Quadrate Netscape JOJ x Datei Bearbeiten Ansicht Gehe Communicator Hilfe 3 3 2 a HA Q 3 i Zur ck Wor Neuladen Anfang Suchen Guide Drucken Sicherheit Shop Stop 3 we Lesezeichen A Adresse http www google de search q Magische Quadrate amp hl de amp btnG Google Suche amp meta
233. uf das auf dieser Seite genannte Buch Leh865 und auf das Softwarepaket Lehmann E Markow Ketten ein Programmsystem unter MS DOS Leh Soft Berlin 1986 verwiesen Abbildung 3 3 1 c gibt einen berblick ber die diversen inhaltlichen Ansatzpunkte bei der Einbeziehung von Markow Ketten mit zwei Zust nden in den Unterricht 112 Kaufverhalten ein Problem Daten Datenmodellierung aus der Marktforschung und seine Strichlisten Tabellen Ubergangsmatrix Bearbeitung mit Markow Ketten endlich homogen 2 Zust nde b1 b wahrscheinlichkeite J j a s Prozents tze Ubergangs Kurzfristige Entwickungen Langfristige Entwicklungen Schrittweise Berechnungen von Vertei mittels diversen mathematischen Modellbil lungen mittels Pfadregel Additionssatz dungen die sich als Fortf hrung der Ans t Gegenwahrscheinlichkeit Matrizen ze zur kurzfristigen Entwicklung ergeben multiplikation Matrizenpotenz bergangsgraph Baumdiagramm reduzierter Baum Rekursion Xn a b xn 1 b Anfangswert xo Yn l xn Simulation des Kaufverhal tens Explizite Darstellung Matrixpotenzen Xn a b xo b 1 a b 1 a b Yn I Xn Z hlwerke im bergangsgraphen S ulen deren H he laufen lassen sich mit n ndert im n X Kosy oder Cobweb im Xn 1 Xn Koordi natensystem Station re Ver Grenzverteilung i Wahrscheinlich teilung wenn lim Xn lim yn i keitsabakus Xn Xn 1 X und Mittelwer
234. ungen zur Projektarbeit im Mathematikunterricht angeschlossen Der Projektbegriff Projekt lat bedeutet Plan Vorhaben oder auch Entwurf Der Projektbegriff ist damit so allgemein dass er in den verschiedensten Zusammenh ngen au erhalb und innerhalb der Schule verwendet werden kann wovon dann auch in B chern Zeitschriften Zeitungen usw reichlich Gebrauch gemacht wird In dieser Arbeit geht es um Projektarbeit an Schulen Bekanntlich findet auch dort Projektarbeit in sehr unterschiedlichen Auspr gungen statt Genannt seien z B Projekttage Projektwochen Projekte ber ein Kurs semester Projekte ber mehrere Unterrichtsstunden hinweg fachbezogen oder fach bergrei fend In der Regel geht es bei Projekten um f r den jeweiligen Bereich komplexe Aufgaben stellungen die dann im Gegensatz zu Routineaufgaben auch mit besonderen Organisa tionsformen und Methoden bearbeitet werden m ssen Die obigen Bemerkungen zeigen bereits dass es wenig fruchtbar ist den Projektbegriff ge nauer zu definieren Wir werden uns f r unsere schulischen Projekte vielmehr darauf be schr nken besondere Intentionen von Projektarbeit zu benennen um so eine Abgrenzung gegen ber dem sonstigen Unterricht vorzunehmen zu k nnen Warum Projekte im Mathematikunterricht Projektziele Im Mathematikunterricht berwiegt in der Regel die relativ eng an den Inhalten des Lehrplans ausgerichtete Arbeit Die behandelten Themen haben meistens eine geringe Weit
235. uzeitlicher Mathematikunterricht benutzt CAS und weitere Software Im Informatikunter richt ist u a das Hinterfragen von Software beispielsweise von darin enthaltenen Algorith men wichtig Das f rdert den verst ndigen Umgang der Sch ler mit Software Besonders kann der Mathematikunterricht von den Sch lerkenntnissen in der im Informatikunterricht verwendeten Programmiersprache profitieren allerdings nur dann wenn es dem Lehrer ge lingt diese Kenntnisse sinnvoll in engen Grenzen siehe u a Kapitel 1 3 in den Mathema tikunterricht einzubauen Die vielen Beispiele haben gezeigt dass hierbei wegen Arbeitsweise in CAS insbesondere Grundkenntnisse in der funktionalen Programmierung von Bedeutung sind Ausblick Aus Abbildung 4 2 erw chst auch die Fragestellung e Was bringt die Einbeziehung mathematischer Methoden und Inhalte in den Informatikunterricht Dieser Frage konnte und sollte in dieser Arbeit nicht nachgegangen werden Nachdem an fangs Informatikunterricht stark durch mathematische Probleme bestimmt war gab es ber viele Jahre eine Abkehr davon h ufig zugunsten gesellschaftlicher Fragestellungen ltere derartige Probleme wie z B nach der Umstrukturierung von Betrieben und der gesellschaft lichen Relevanz von Computern sind nicht mehr so aktuell Stattdessen werden u a Probleme der Datensicherheit und damit auch das mathematisch informatische Thema Kryptologie anhaltend diskutiert Auch mit der zunehmenden
236. voneinander entfernt deren Polaren f r die Parabel y 5x die Gleichungen I 10x 3y 6 und Il 2x 3y 6 besitzen Es ist ferner zu zeigen da der Schnittpunkt der beiden Polaren der Pol der Verbindungslinie der beiden Punkte P1 und P2 ist 2 Ein zylindrischer oben offener Beh lter vom lichten Inhalt VO und der konstanten Wand st rke a ist mit m glichst wenig Material M herzustellen Wie gro m ssen der innere lichte Radius und die H he dieses zylindrischen Hohlgef es sein 3 Der durch Drehung der Ellipse b x a y a b um die x Achse entstehende Drehk rper soll in der Richtung der x Achse zentrisch so durchbohrt werden da der Rauminhalt des ringf rmigen Restk rpers gleich der H lfte des Rauminhaltes des Rotationsellipsoids ist Der Halbmesser p der Bohrung ist zu bestimmen Abbildung 1 1 b Abituraufgaben aus dem Jahr 1954 Benutzen wir Aufgabe 3 dieser alten Abiturklausur um die heutigen M glichkeiten des Soft wareeinsatzes zu zeigen Der Einsatz moderner Hilfsmittel beim L sen einer alten Abituraufgabe a Skizze erstellen Das sollte hier von Hand erfolgen Nat rlich k nnte man auch passende Software benutzen Textverarbeitung Zeichenprogramm Abbildung 1 1 c Planfigur zur Abituraufgabe 3 b Rechnerische L sung Hinweis F r diese wird m glichst der Text des L sungsoriginals aus dem Jahr 1954 verwen det Man bestimmt zun chst das Volumen des Rotationsellipsoids n
237. write zustand 2 end else begin gotoxy 75 25 write simulationen 5 end absh zustand absh zustand 1 simulationen simulationent1 matz wert jetzt danach matz wert jetzt danach 1 UNTIL SIMULATIONEN gt anzahl_simulationen Zusammenfassung Oben ist die langfristige Systementwicklung auf sehr unterschiedliche Arten mit sich gegen seitig best tigenden Ergebnissen untersucht worden e ber die Folge der Matrizenpotenzen der bergangsmatrix S e ber ein lineares Gleichungssystem mit 4 Variablen und 5 Gleichungen e durch Simulation Es d rfte deutlich geworden sein dass Markow Ketten ausgezeichnet geeignet sind auch informatische Aspekte im Mathematikunterricht zu ber cksichtigen 135 3 3 4 Das Crap Spiel Markow Kette und endlicher Automat Das Crap Spiel ist eine sch nes Beispiel f r die Verbindung von Mathematik und Informatik ber die Idee des endlichen Automaten Mittels einer Unterrichtseinheit im Leistungskurs Stochastik 2001 ber das Crap Spiel wird nun gezeigt wie sich dabei mathematische und informatische Inhalte mischen Au erdem wird deutlich werden wie man unterschiedliche Medien bei projektartiger Arbeit einsetzen kann Damit wird ein weiterer informatischer Aspekt ber cksichtigt Ich beschr nke mich im fachlichen Teil auf wenige Ans tze und Ergebnisse Eine detaillierte Unterrichtsplanung mit L sungen kann in Leh97 S 49 62 nachgelesen werden A Die Spielregeln des Crap Spie
238. x Zeichnen der Funktion CrIDraw Graph f x b a n gt h Zeichnen der Trapeze For i 0 n 1 Line ati h 0 ati h f ati h Line a i 1 h O at i 1 h f a i 1 h Line ati h f ati h a i 1 h f a i 1 h EndFor EndPrgm Aus G nter Schmidt u a Numerische Verfahren mit dem TI 92 Funktionen Programme Graphen Texas Instruments 1999 Eine f r die Sch ler mit wenigen Befehlen zu erstellende Visualisierung kann auf einfache Weise dem Programm ANIMATO erfolgen 84 Realisierung der Animation mit dem Programm ANIMATO Programmieren mit Funktionen Erl uterung fl sin a fl Die gew nschte Funktion f2 0 5 f2 Schrittweite f r Trapeze f3 t f2 0 t f2 fI t f2 f3 f4 Zeichnen der Trapeze aus f4 t f1 t t f2 f1 t f2 den durch zwei Punkte gegebenen Strecken Dazu kommen passende Fenster und Bereichseinstellungen Abb 2 1 7 3 c Trapeze unter der Sinuskurve Die Beispiele 4 und 5 zeigen einige Elemente funktionalen Programmierens die f r den Un terricht geeignet sind Beispiel 4 Programmieren mit Funktionen 1 Problemstellung Enth lt eine vorgegebene Bit Folge eine gerade oder ungerade Anvon zahl Einsen Beispiel 0 0 1 1 1 O 1 enth lt eine gerade Anzahl von Einsen Das Problem kann mit einem endlichen Automaten Akzeptor erkennender Automat bear beitet werden Dieser l sst sich folgenderma en darstellen vergl Kap 3 3 1 3 3 2 0 gelesen 0 gelesen Gerade Anzahl von Eins
239. x so dass die Abbildungseigenschaften deutlich werden b Die Matrix wird nun auf die Parabel mit der Gleichung y x mit x aus 1 1 ange wendet Zeichnen Sie die Parabel und ihr Bild mit dem TI 92 parametric und berneh men Sie die Zeichnung und Daten in gewohnter Weise in Ihre Klausurarbeit Verdeutli chen Sie in der Zeichnung die Abbildungseigenschaften beachten Sie hierzu Teil c c Die Ausgangsparabel enth lt u a die Punkte PI 1 1 und P2 1 1 berpr fen Sie ihre Zeichnung durch Berechnung der beiden Bildpunkte Pl und P2 Tragen Sie alle Punkte in ihre Zeichnung ein Anlage zu Vorschlag 2 Aufgabe 3 Kurs MA 3 Abbildungsgeometrie Abb 3 4 5 1 a fl 0 98 f3 fl n cos n f2 f5 2cos t 2 f8 f3 u f5 f4 u f6 f4 u f5 f3 u f6 Laufbereiche f2 pi 30 f4 fl n sin n f2 f6 sin t 3 f9 f4 u f5 f3 u f6 f3 u f5 f4 u f6 der Variablen f7 f5 f6 t x 0 00E 00 6 28E 00 2 09E 01 30 u bzw n 1 00E 00 1 00E 02 1 00E 00 99 Abb 3 4 5 1 b Programmierung Leistungskurs Mathematik Abitur 2001 157 Vorschlag 2 Aufgabe 3 Erwartungshorizont L sungen Aufgabenteil L sungsskizzen Erwartungen Bewertungseinheiten Anforderungsbereiche Erl uterungen Aufgabenteil 3 1 fl 0 98 f2 pi 30 Streckfaktor Drehwinkel 6 f3 fl n cos n f2 0 98 n cos n 6 f4 fl n sin n f2 0 98 n sin n 6 Drehstreckmatrix Elemente 1 1 und 2 1 f5 2cos t
240. ystems deutlich werden Der Zweck eines Softwareprodukts besteht in seiner Anwendung f r von ihm verlangte Auf gaben Schon die Anwendung und die Dokumentation verraten uns viel von dem Leistungs umfang des Systems Damit wird bereits der Anfang einer Systemanalyse vollzogen Durch 46 das Hineinsehen in das System aus welchen Bausteinen besteht es wie sind die Daten strukturen wie wurden die Teilprobleme programmiert kann die Analyse fortgesetzt wer den Diese Kenntnisse ben tigt man um z B das System an m glicherweise ver nderte Ge gebenheiten anzupassen es also zu warten Das Lotto System aus mathematischer Sicht In dem berblick von Abb 2 1 2 b und in der folgenden Abbildung 2 1 2 c sind auch diverse mathematische Probleme enthalten Es sind u a e Algorithmen zur Simulation der Lottoziehung u a Erzeugung von Lotto Zufallszahlen e Codierungsprobleme e Statistische Fragestellungen usw Lottoformular Abb 2 1 2 c Die Oberfl che eines DELPHI Programms zur Simulation von Lottoziehungen und Auswertungen Die Oberfl che des in der Programmierumgebung DELPHI mit der objektorientierten Pro grammiersprache Objekt Pascal erstellten Simulationsprogramms l sst erkennen wie die Zerlegung des f r den Schulunterricht komplexen Lottosystems f r die Entwurfsarbeiten ausgesehen haben k nnte 47 Eingabe der Tippzahlen Der Kunde gibt seinen Tipp ab das k nnte z B ein 10 Wochen Tippschein sein
241. zen Vektoren Geraden Ebenen Linearkombinationen 3 2 Skalarprodukte Abstands F r die g ngigen Objekte der Analytischen Geometrie lassen sich im CAS Bausteine definieren mit denen dann rationell gearbeitet werden kann Damit lassen sich die Schnittaufgaben zwischen Geraden Ebenen usw auf ein Minimum Die Verwendung eines Ray Tracing Programms wie z B POVRAY f hrt in den Programmierbereich in dem wieder Bausteine f r diverse Objekte zum Einsatz kommen Der Entwurf foto realistischer Szenen ist in erster Linie eine informatische Aufgabe Weiterhin und Winkelberechnungen reduzieren Auch das Programm dr ngen sich Fragen nach der Darstel ANALYGEO Kaese Software hilft lung der Objekte auf dem Bildschirm dabei Andere Objekte k nnen in auf hidden line Problem Bresenham einem Ray Tracing Programm zum Algorithmus zur Liniendarstellung usw Beispiel POVRAY betrachtet werden Kegel Zylinder usw 4 Lineare Bei linearen Gleichungssystemen In der Schule wird der Gauss Gleichungssysteme empfiehlt sich Computereinsatz in Algorithmus benutzt ggf in verschie 4 1 Probleme die auf LGS besonderem Ma e da er das l stige denen Varianten Hier lohnen sich f hren Handrechnen vermeiden hilft Beim berlegungen zur Programmierung ins 4 2 Eliminationsverfahren nach Gau 4 3 Rang einer Matrix L sungskriterien f r LGS 4 4 Anwendungen linearer Gleichungssysteme u a aus der Analytischen Geome
242. zu noch einige TI Bilder Fev Far _ F r F5 F r R gebrakatclotherler nzoleiesn ve 1OOOOOOOOOOOQOOOOOOOOOAOONAQAQAQQQQQ 207604647287127231439230440848281855 SIIIIIIICTIIIIIITTIIIIIIGTHIIIIIGTHHT 415463 276935 194577 123025 415403 276926 194607 123065 415299 27691 194657 123134 415209 276396 184701 123194 MAIN RAD EXACT FUNC 3727 MAIN RAD EXACT FUNC 30730 vers 0 3 0 5 3 vers 0 3 0 5 50 50 te Matrizenpotenz Das langfristige Verhalten des Systems kann also auch mit den Potenzen der bergangsma trix versand untersucht werden Die 50 Potenz zeigt deutlich eine typische Eigenschaft von ergodischen Markow Ketten Mit wachsendem Exponenten der Potenzen der bergangsmatrix stimmen e die Matrixzeilen und e die Werte in jeder Spalte immer mehr berein Der Beweis dieses Satzes kann mit guten Sch lern bew ltigt werden siehe Leh86b S 101 110 1 Fov F3r Y_ F r F5 f r FErlk sebralesteotherfPranzolciesn ue 0 a p a expand vers a b 2 ab ta b 32 3 2 b 3 2 b2 2 b a 2 2b 232 2 2b 2 a b2 Entdecken von Gesetzm igkeiten a 2 a b 0 a 2 MAIN RAD EXACT FUNC 27730 Die ersten beiden Spalten der Matrix versand 2 127 Das Entdecken von Gesetzm igkeiten f r die Folge einiger Elemente auf den gleichen Posi tionen der Matrizenpotenzen ist hier kaum m glich in anderen F llen geht das Beweise f r d
243. zwei Zust nden werden durch einen bergangsgraphen beschrieben 0 2 Abb 2 1 6 e Algorithmus in Form eines bergangsgraphen Der Algorithmus besteht in dem mehrmaligen Durchlaufen des Graphen da der Vorgang ber einen l ngeren Zeitraum betrachtet wird und der Rechnung f r die langfristige prozentuale Verteilung der K ufer Visualisierung C Die berg nge zwischen den zwei Zust nden werden durch ein reduziertes Baumdiagramm beschrie ben A 0 8 0 8 0 8 usw Startwerte nA 0 5 0 5 0 5 Abb 2 1 6 f Algorithmus als reduziertes Baumdiagramm Der reduzierte Baum k rzt den ausf hrlichen Baum mit seinen vielen Verzweigungen ab Anders als bei Visualisierung B lassen sich die einzelnen Stufen des Prozesses gut erkennen und rechne risch leichter umsetzen 78 2 1 7 Programmieren im Mathematikunterricht 2 1 7 1 Was ist Programmieren Unter Programmieren versteht man zum einen den Vorgang der Pro grammerstellung und zum anderen das Teilgebiet der Informatik das die Methoden und Denkweisen beim Entwickeln von Programmen um fasst Informatik Duden Duden Verlag 1993 S 549 Computeralgebrasysteme z B DERIVE 5 stellen in der Regel Elemente des imperativen und des funktionalen Programmierens zur Verf gung Prozedurale oder imperative Programmiersprachen sind nach einem ablauforientierten Sprachkonzept konstruiert Ein Programm stellt eine Folge von Anweisungen dar Der Pro grammierer muss al

Konzeptionelle Überlegungen zur Einbeziehung informatischer

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