Apostila Ângulos – parte 1
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1. PROF ANDR FONSECA GEOMETRIA 2014 Observe o texto a seguir que foi extra do de um manual de instru es de um aparelho de som Observe At a dist ncia de aproximadamente 7 metros entre o sensor e o controle remoto e ngulo de at 30 radialmente Extra do do manual de instru es do aparelho de som Micro Hi Fi System MC 856MUS Semp Toshiba Imagens retiradas da Internet Segundo o manual de instru es para que o sinal emitido pelo controle remoto seja captado pelo sensor do aparelho de som o controle remoto deve estar no m ximo a uma dist ncia de 7 metros do sensor localizado no aparelho e dentro dos limites do ngulo c nico com origem no sensor cujo valor de 30 Caso isso n o aconte a o sinal emitido pelo controle pode n o ser captado pelo sensor do aparelho de som Esta situa o uma de v rias no nosso dia a dia que nos deparamos com um conceito matem tico denominado ngulo Observe a seguir algumas perguntas ainda dentro desse mesmo contexto Voc seria capaz de respond las x Qual o ngulo de vis o de uma pessoa no campo visual binocular e monocular x Qual a inclina o ideal da mesa de trabalho de um desenhista x Qual o ngulo de rota o da ma aneta de uma porta x Qual a medida do giro que um autom vel faz quando tem que mudar da dire o Norte para a dire o Nordeste Veja a resposta a estas e outros perguntas em http www matematic2. ahoje com br telas autor ar tigos artigos publicados asp aux SemiRetas DEFINI O ngulos s o figuras geom tricas formadas por duas semirretas de mesma origem 0 A Para a figura ao lado damos a indica o AOB ou apenas As semirretas OA e OB s o denominados lados do angulo O o v rtice do ngulo UNIDADE DE MEDIDA PARA NGULOS A cada ngulo podemos associar um n mero ou seja uma medida A unidade de medida que vamos inicialmente utilizar o Grau Para voc entender o que o grau 1 grau considere uma circunfer ncia dividida em 360 partes iguais Agora imagine duas semirretas partindo do centro dessa circunfer ncia de modo que elas passem cada uma por uma das extremidades de um dos pequenos arcos formados pela divis o anterior como ilustra a figura a seguir Dessa forma temos que a abertura formada pelas duas semirretas tem medida 1 um grau Esta medida de 1 ainda pode ser dividida em 60 parte iguais Cada uma dessas partes conhecida como um ngulo de 1 um minuto E cada ngulo de 1 pode ser dividido em 60 novas parte iguais cada uma dessas partes conhecida como 1 um segundo PROF ANDR FONSECA GEOMETRIA 2014 CLASSIFICA O DOS NGULOS SEGUNDO AS SUAS MEDIDAS ngulo nulo E a figura formada por duas semirretas coincidentes considerando que n o h abertura entre elas 0 5 ngulo nulo A B B ngulo agudo Angu
3. entral correspondente ao setor da energia el trica gerada por usinas termonucleares o seguinte A 9 B 10 C 10 5 D 11 17 EPSJV 2006 A figura abaixo formada por dois c rculos conc ntricos onde os pontos A B L est o igualmente espa ados Posicionando se inicialmente a seta em A conforme indicado e girando a de modo que ela seja colocada dos seguintes ngulos 1 120 no sentido anti hor rio 2 180 no sentido hor rio 3 90 no sentido anti hor rio 4 210 no sentido hor rio 5 45 no sentido anti hor rio Pode se ent o afirmar que a posi o final da seta achar se a na posi o G na posi o K no ponto m dio entre G e H no ponto H e no ponto m dio entre H e GABARITO 1 a 110 b 160 2 D 3 B 4 B 5 A 6 B 7 40 8 x 15 e y 130 9 C 10 a 60 b 180 c 90 d 165 e 130 11 30 12 45 e 135 13 90 14 2102 15 D 16 A 17 E a
4. lo cuja medida est entre 02 e 90 ngulo agudo A B menor que 90 e maior que 0 m 0 gt ngulo reto Angulo que tem medida igual a 902 ngulo reto A B ngulo obtuso ngulo cuja medida est entre 90 e 180 ngulo obtuso A B ngulo raso ou Meia volta Angulo que tem medida igual a 1802 ngulo raso A B E SE E 0 B ngulo rombo ou uma volta Angulo que tem medida igual a 360 E B ngulo de uma volta A B OUTRAS CLASSIFICA ES As classifica es a seguir se referem a um par de ngulos ngulos congruentes Dois ngulos s o congruentes quando possuem e mesma medida 0 D A figura ao lado mostra dois ngulos com B medidas iguais m AOB 352 0 m AOB m COD 35 m C D 35 ngulos adjacentes Dois ngulos s o adjacentes quando t m o mesmo v rtice e um dos lados em comum e n o possuem pontos interiores em comum B ngulos A B e B C s o adjacentes e possuem o lado OB em comum ngulos complementares Dois ngulos s o complementares quando a soma de suas medidas 90 Na figura o ngulo A B tem medida be o ngulo B C tem medida a Como os ngulos B C e A B juntos formam um ngulo reto a b 90 s o denominados complementares Dizemos ainda que o complemento do ngulo a 90 a e o complemento do ngulo b 90 b ngulos suplementares Dois ngulos s o suplementares q
5. ndo se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito A denomina o 900 refere se ao n mero de graus que o atleta gira no ar em torno de seu pr prio corpo que no caso corresponde a a uma volta completa b uma volta e meia c duas voltas completas d duas voltas e meia 03 A medida do suplemento de um ngulo cuja medida a a 90 a b 180 a c 90 a d 180 a 04 U Passo Fundo RS A diferen a entre dois ngulos suplementares 48 O menor deles mede a 42 b 66 c 76 d 204 e 114 05 Na figura abaixo a medida de x 06 Na figura abaixo a medida do menor ngulo 2x 20 3x 65 0 B 08 Na figura abaixo qual o valor de x e y 50 2x 20 a A B A C c A C E G b A C B E d B D C F PROF ANDR FONSECA GEOMETRIA 2014 10 Qual o menor ngulo formado pelos ponteiros de um rel gio supondo um rel gio anal gico quando o rel gio estiver marcando a 2h 11 Qual o ngulo que somado ao triplo do seu complemento igual a 210 12 Determine dois ngulos suplementares sabendo que um deles o triplo do outro 13 Qual a medida do ngulo formado pelas bissetrizes de dois ngulos adjacentes e suplementares 14 CAP UFRJ 2009 Considere a figura acima como uma representa o do seletor de canais da TV antiga sc 4 E 3 a l J 10 Na 2 SR seletor de canas Nela veem se ci
6. rcunfer ncias conc ntricas e a sequ ncia num rica de 2 a 13 referente aos canais O marcador branco e preto ao centro gira indicando o canal selecionado Na situa o em que o seletor se encontra se ligada a TV transmitiria o canal 6 Considerando que o bot o pudesse ser girado apenas no sentido hor rio e que a sequ ncia num rica apresentada define a divis o do seletor em 12 regi es congruentes determine a medida em graus do giro que deveria ser dado para que o seletor fosse do canal 6 ao 13 13 ESCOLA SESC 2012 O rel gio de ponteiros da figura abaixo est marcando 8h00min E correto afirmar que daqui a 30 minutos a medida do menor ngulo formado pelos ponteiros ser igual a a 120 b 135 c 90 d 75 e 60 16 IFRJ 2011 Motivados principalmente pelo ltimo acidente nuclear no Jap o ambientalistas do Brasil questionam a seguran a nas usinas de Angra 1 e Angra 2 Mas segundo este gr fico setorial a energia el trica gerada por usinas termonucleares representa somente 2 5 do total do que produzido no Brasil epresenta o do GERA O DE ENERGIA EL TRICA NO BRASIL BRASIL Hidrel trica 85 5 Termonuclear s Termel trica a derivados de petr leo 2 8 Termel trica a g s a natural 3 3 Termel trica a carv o Termel tricaa E lica 0 1 mineral 1 8 biomassa 4 1 Balan o Energ tico Brasileiro EPE MME 2007 Ent o de acordo com esse gr fico o ngulo c
7. uando a soma de suas medidas 180 Na figura A B e B C de medidas respectivamente a e b s o suplementares pois formam juntos B um ngulo de meia volta a b Dizemos ainda que o suplemento do ngulo a 180 a e que o 0 C suplemento do ngulo b 180 b Bissetriz de um ngulo Bissetriz de um ngulo a semirreta com origem no v rtice desse ngulo que o divide em dois outros ngulos congruentes iguais C A Na figura a medida do ngulo C A igual a medida do ngulo A D portanto OA a bissetriz do ngulo D C D PROF ANDR FONSECA GEOMETRIA 2014 ngulos opostos pelo v rtice Dois ngulos s o chamados opostos pelo v rtice quando os lados de um ngulo s o semirretas opostas aos lados do outro Dois ngulos opostos pelo v rtice s o sempre congruentes ou seja t m a mesma medida Na figura A B e C D s o opostos pelo v rtice O O principal objetivo de todas as investiga es sobre o mundo exterior deve ser descobrir a ordem racional e harm nica nele imposta por Deus e que Ele revelou para n s na linguagem da matem tica J ohannes Kepler AGORA CONTIGO 01 Descubra a medida dos centrais desconhecidos ngulos 02 ENEM 2004 Nos X Games Brasil em maio de 2004 o skatista brasileiro Sandro Dias apelidado Mineirinho conseguiu realizar a manobra denominada 900 na modalidade skate vertical torna
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