TRABAJOS PRÁCTICOS DE ÁLGEBRA LINEAL Para carreras de
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1. P gina 33 Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB En el siguiente cuadro figuran las matrices asociadas respecto de la base can nica de R2 de algunas transformaciones lineales Expansi n por un factor k a lo largo del eje X sik gt 1 Contracci n por un factor k a lo largo del eje X si O lt k lt 1 Expansi n por un factor k a lo largo del eje Y si k gt 1 Contracci n por un factor k a lo largo del eje Y si O lt k lt 1 Expansi n por un factor k en ambas direcciones si k gt 1 Contracci n por un factor k en ambas direcciones si O lt k lt 1 l Reflexi n respecto del eje X 1 0 Reflexi n respecto del eje Y o 1 cos 0 sen 6 Rotaci n con centro en el origen de coordenadas y ngulo 6 sen 6 cos 0 Ejercicios 4 Construya un archivo M para que dibuje el cuadril tero de v rtices 0 1 2 4 4 4 6 1 en ese orden y luego aplique a ste las siguientes transformaciones lineales de modo que todos los gr ficos se vean en una misma figura recuerde que para diferenciarlos puede usar distintos tipos de l neas y o colores a Expansi n por un factor 5 a lo largo del eje Y Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _ P gina 34 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB b Contracci n por un factor 1 2 en ambas direcciones c Reflexi n respecto del eje X 5 Modifique el archivo anterior para que dibuje la figura de v rtices 2 2 2 7 4 5 2 3 en ese orden2. 7 3 3 3 c 2 5 5 vi 0 v2 0 v3 0 8 0 7 Va 7 0 3 0 3 Determine si los siguientes conjuntos constituyen una base del espacio vectorial dado V Rix a 11 010 2 110 10111 B0 1 b V R3xI Dada la base B 1 2 3 1 0 7 7 5 0 de R3 Halle las coordenadas de vi va y v3 respecto de la base dada Realice el c lculo para los tres vectores en un solo procedimiento v3 7 2 8 v 1 2 3 v2 0 3 12 Fac de Ciencias Exactas y Tecnologias UNSE _ P gina 17 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB Trabajo Pr ctico N 4 Producto Interior Norma ngulo Conjuntos Ortogonales y Ortonormales Sixe y son dos vectores fila o columna de la misma dimensi n dot x y calcula el producto escalar de los vectores x e y 1 Halle el producto escalar de u y v en cada caso a u 2 3 0 v 0 1 8 b u 0 2 5 67 4 v 1 9 2 75 0 5 c u 0 73 1 v 2 0 2 La norma de un vector se puede calcular de diferentes maneras Proponga un vector v de cuatro componentes y calcule a dot v v A 1 2 Que operaciones realiza b sart dot v v Que operaciones realiza c norm v 2 d Compare los resultados y repita el ejercicio para vectores de m s componen tes 3 Dados v 1 1 yw 2 3 Calcule a El versor de v b Un vector paralelo a v de m dulo 5 c Un vector paralelo a w de m dulo 3 d La distancia de v aw e La proyecci n de v sobre w Utililando el
3. V 4 3 pi r 3 disp El volumen de la esfera es V Imprime el valor de V Si este archivo es guardado con el nombre de esfera m y luego se lo llama desde la ventana de orden tecleando esfera se obtiene El volumen de la esfera es V 57 9058 Ejercicios a Confeccione un archivo M que calcule el rea del tri ngulo cuya base y altura miden respectivamente 12 34cm y 7 82cm y gu rdelo en el disco b Ll melo desde la ventana de orden para ver que obtiene c Abra nuevamente el archivo haciendo click en Open M file del men file y luego de seleccionar el nombre del archivo haga click en Aceptar Modifique los valores de la base y altura del tri ngulo guarde el archivo modificado y ejec telo nuevamente desde la ventana de orden de MATLAB Archivos M de funci n Estos archivos permiten que el usuario pueda definir sus propias funciones Son similares a los de comandos pues son archivos de texto que tienen una extensi n m Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _P gina7 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB Los archivos M de funci n como los de comando admiten l neas de comentario que comienzan con un y no son activas al momento de ejecutarse La primera l nea activa no comentario tiene el siguiente formato obligatorio function V1 V2 Vn nombre_archivo a1 az ak donde V1 V2 Vn son las variables de salida y al aZ2 ak son los argumentos o v
4. hold on y 2 3 x 4 plot x y2 y3 1 2 x plot x y3 hold off Escriba la lista precedente de instrucciones y observe lo que obtiene Por defecto los ejes se autoescalan Si se desea cambiar la escala se usa el comando axis Si C Xmin Xmax Ymin Ymax es un vector de cuatro elementos donde Xmin Xmax son los valores m nimo y m ximo respectivamente que se toman sobre el eje X y Ymin Ymax SON los valores m nimo y m ximo que se toman sobre el eje Y axis c establece el escalado de los ejes a los l mites prescritos axis sin argumento congela el escalado actual para los gr ficos siguientes y escribiendo axis nuevamente se vuelve al autoescalado axis tequal produce separaciones de igual medida en los dos ejes Ejercicios 1 D las ecuaciones de cuatro rectas paralelas tal que una de ellas contenga al origen Graf quelas en una misma figura de forma que a El t tulo de la figura sea Rectas paralelas b Los ejes est n identificados con x e y c La gr fica aparezca cuadriculada d En cada recta aparezca su ecuaci n e La escala en ambos ejes sea la misma 2 Realice la gr fica de los siguientes pares de rectas y determine su punto de intersecci n a partir de la figura Luego calcule usando MATLAB mediante sistemas de ecuaciones la intersecci n de dichas rectas y compare resultados a Li y 2x 5 La y 1 3x 5 3 b Li y 7x Lo y x Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as
5. mesh x y Z Por qu se escribe x 0 y 0 z 3 y no x 3 simplemente Haga la prueba usando esta instrucci n y vea que ocurre 7 Realice la gr fica de los siguientes planos a El plano paralelo al plano XY que contenga al punto 0 1 3 b El plano paralelo al eje X que contenga al punto 1 1 5 c El plano YZ d Un plano que contenga al eje X En cada uno de los siguientes casos grafique los planos dados en una misma figura use hold on y hold off y observe su posici n relativa Resuelva tambi n en cada Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _P gina 26 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB caso usando MATLAB el sistema formado por las ecuaciones de dichos planos Compare la posici n relativa con la compatibilidad o incompatibilidad del sistema con el hecho de ser determinado o indeterminado y con el rango de la matriz de coeficientes Extraiga conclusiones a IT 2x 3y 2z 0 Mo 5x y 4z 0 b TM x y z 10 0 TT 2x 2y 22 0 c TM x 3y 2z 0 M2 x 5y 3z 1 0 M3 8y z 1 0 da TM 5x 2y z 3 0 Tl x z 0 Ms 2x 2z 20 0 Realice los gr ficos sobre el rect ngulo 4 4 x 4 4 gt Gr fica de rectas en el espacio Como pudo observar con el comando mesh se realiza la gr fica de una superficie de malla en el espacio tridimensional de modo que podemos mediante este comando ver la recta pero solo como la intersecci n de dos planos Para graficar una recta en el espacio se emp
6. El siguiente es un cuadro que muestra los caracteres que deben ir encerrados entre comillas para graficar con distintos tipos de colores y puntos o l neas Colores Tipos de punto o l nea amarillo punto violeta c rculo celeste Cruz rojo m s verde l nea llena azul gt punto y trazo blanco l nea de trazos negro lnea de puntos Y m c r 9 b w k Fac de Ciencias Exactas y Tecnologias UNSE _ P gina 15 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB Algunas funciones importantes de MATLAB necesarias cuando se quieren realizar gr ficas La instrucci n grid realiza un cuadriculado del gr fico actual Pueden ponerse t tulos comentarios en los ejes o en cualquier otra parte con los siguientes comandos que tienen una cadena como argumento title t tulo del gr fico Ej title Vectores xlabel comentario en el eje x Ej xlabel Eje x ylabel comentario en el eje y Ej ylabel Eje y gtext texto posicionado con el mouse Ej gtext v 2 3 text texto posicionado mediante coordenadas Ej text 2 3 v 2 3 hold se emplea cuando se desea ver simult neamente dos o m s gr ficos en una misma figura hold on congela la pantalla gr fica actual de forma que las gr ficas posteriores se superponen en ella Escribiendo hold off se libera el hola ES Ingrese el siguiente grupo de sentencias y observe el gr fico obtenido compass 2 3 hold on compass 1 1 co
7. Mexico Ed Prentice Hall Hispanoamericana S A Nakos G y Joyber D 1999 lgebra Lineal con aplicaciones M xico International Thomson Editores Poole David 2003 lgebra Lineal M xico International Thomson Editores Gerber H 1992 lgebra Lineal M xico Grupo Editorial Iberom rica Noble B Daniel J 1989 lgebra Lineal Aplicada 3 Ed M xico Ed Prentice Hall Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _P gina 40 _
8. UNSE _ P gina 23 _ gt Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB Cc Li x 4 t La x 1 1 2t y A ya Las siguientes rectas son ortogonales Li y 2x 5 La y 1 2x a Realice la gr fica de ambas rectas en la misma figura cuadricule y observe si stas se ven perpendiculares b Escriba ahora la instrucci n axis tequal y vea que ocurre c Explique la diferencia entre los items a y b Escriba la ecuaci n de la recta que contiene al origen y es ortogonal a la recta de ecuaci n x 2 3t y a Como en el caso anterior verifique lo obtenido tenga en cuenta que en este caso deber graficar dos rectas Gr ficos con MATLAB en el espacio La instrucci n mesh crea en un gr fico tridimensional una superficie de malla que est definida por las terceras componentes de los puntos sobre una cuadr cula rectangular en el plano XY Para realizar el gr fico de una funci n se debe definir en primer lugar los vectores x e y que dan la partici n del rect ngulo es decir se define el dominio con la funci n meshgrid Ejemplo 1 x y meshgrid 4 0 2 4 genera una rejilla rectangular de puntos igualmente espaciados entre 4 y 4 en cada eje z y 2 16 x 2 9 mesh x y z Este conjunto de instrucciones genera la gr fica del paraboloide hiperb lico 2 2 z ca i sobre el rect ngulo 4 4 x 4 4 que se muestra en la figura siguiente 16 Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog
9. ejecutar una sucesi n de instrucciones almacenadas en archivos de disco Estos archivos se denominan archivos M debido a que su extensi n deber ser m Los archivos M pueden ser de comandos o de funciones lt Archivos M de comandos Estos archivos consisten en una sucesi n de instrucciones de MATLAB y son guardados como un simple archivo de texto salvo que su extensi n es m y no txt Pueden ser usados para introducir gran cantidad de datos o cuando se desea cambiar el valor de una o m s variables y reevaluar una serie de rdenes Para elaborar un archivo M se hace click en New del men File y se selecciona M file Aparecer una nueva ventana para la edici n de texto donde se teclea la lista de Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _P gina6 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB comandos de MATLAB Para guardarlo como archivo M en el disco se hace clik en Save as del men File y se escribe el nombre del archivo con la extensi n m Escribiendo simplemente el nombre del archivo sin la extensi n m en la l nea de orden de MATLAB se ejecutar n l nea por l nea las rdenes contenidas en el archivo Ejemplo Un archivo M para calcular el volumen de una esfera Volumen de una esfera L nea de comentario Asigna a la variable r el valor del radio 2 4 i de la esfera Calcula el volumen y guarda el resultado en la variable V Imprime en pantalla el texto encerrado entre comillas
10. las siguientes rectas a La recta que contiene al origen y es paralela al vector 1 2 6 b La recta que contiene al punto 2 0 2 y es paralela al eje X c La recta que contiene al punto 1 1 1 y es ortogonal al plano XY d La recta cuyas ecuaciones cartesianas son 2x 3y z 0 3x 5y 2z 3 0 Sugerencia pase primero estas ecuaciones a la forma param trica Fac de Ciencias Exactas y Tecnologias UNSE _ P gina 28 _ 10 Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MATLAB En cada uno de los siguientes casos realice los gr ficos de la recta y el plano dados en una misma figura y analice su posici n relativa Luego resuelva el sistema formado por las ecuaciones de la recta y el plano empleando MATLAB y extraiga conclusiones Sugerencia en este caso es aconsejable que trabaje con las ecuaciones cartesianas de la recta x 5 y 5 z a L II 2x 3y 5z 0 2 3 5 a L x y z 1 1 0 t 1 1 0 I z 3 b x 1 t y II 5x z 3 0 z 2 5t Trabajo Pr ctico N 6 Transformaciones lineales Halle la matriz asociada a la transformaci n lineal dada respecto de las bases B y B Tenga en cuenta que primero deber trabajar con papel y l piz hasta formar los sistemas de ecuaciones que tendr n la misma matriz de coeficientes pero variar n en sus t rminos independientes f R3 R2 tal que f x y z x z B 1 20 1 0 3 0 1 3 B faa 1 1 Observe la matriz ampl
11. n est contenida en la ltima columna de la forma reducida de la matriz ampliada Use la notaci n de submatrices para asignar a la variable X la soluci n VX 3y 3z 1 X iy z i 4x z 1 y iz i 5x 1 3y 2 5z 1 ix 2y i 7Z 2x 3y 2z 2 Calcule A X y compare con B 6 Para cada uno de los siguientes sistemas introduzca la matriz ampliada y use la funci n rref para encontrar la forma escal n reducida por filas Concluya que ninguno tiene soluci n 2x 3y 2 x 2y z 4w l 2x y x 3y 7z 2w 2 3x 2y 1 x 12y 1lz l w 5 Fac de Ciencias Exactas y Tecnologias UNSE _ P gina 13 _ 7 Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MATLAB Las matrices siguientes son matrices ampliadas de sistemas de ecuaciones que tienen m s de una soluci n 9 27 3 3 12 2 3 i i 3 2 9 27 10 1 19 0 2 l i i 1 3 5 96 2 1 i l 2i 2 i para cada matriz use la funci n rref Para obtener el conjunto soluci n de estos sistemas necesitar papel y l piz Para cada sistema asigne la variable A a la matriz de coeficientes B a la motriz de t rminos independientes d una soluci n particular del sistema y as gnele el nombre X Calcule A X y compare con B 8 Analice si los siguientes sistemas homog neos son determinados o indeterminados Resuelva el ejercicio empleando a la funci n rref b la funci n rank c Indique cual de las dos formas es la m s conveniente en este caso y explique los alcances y limit
12. que son linealmente independientes Es decir que forman una base d Realice el producto interior de los vectores columnas de B y calcule sus normas a fin de verificar que dicha base es ortonormal Determine una base ortonormal para los siguientes subespacios a El subespacio generado por vi 2 3 1 v2 0 2 2 b El subespacio generado por v 2 5 0 4 v2 1 1 2 1 va 1 0 0 0 c W 1 xy Z e R3 x 2y Z 0 Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _P gina 19 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB Trabajo Pr ctico N 5 Recta y Plano gt Gr ficos con MATLAB en el plano Introduzca los vectores fila u 3 0 5 4 v 0 0 1 2 y a continuaci n escriba plot u v oprima enter y observe que ocurre En este caso el comando plot representa una biyecci n entre los elementos de u y los elementos del u En los ejes aparece una porci n de escala necesaria auto escalado para que se puedan representar las componentes de los vectores dados El comando plot grafica entonces en este caso los puntos 3 0 0 0 5 1 y 4 2 y dibuja un segmento de recta entre los consecutivos como lo muestra la figura 2 1 8 16 14 12 aL 081 06 0 4 0 2 0 o 1 2 3 4 5 Proponga vectores con gran diferencia de valores positivos y negativos y observe la acomadaci n de las escalas gt Gr fica de funciones Se desea graficar la funci n seno en el intervalo 2I1 2
13. y luego aplique a esta las siguientes transformaciones lineales precediendo del mismo modo que en el ejercicio anterior a Expansi n por un factor 4 en ambas direcciones b Reflexi n respecto del eje Y c Rotaci n en el sentido positivo con centro en el origen y un ngulo de 60 Tener en cuenta que MATLAB trabaja con ngulos expresados en radianes por lo que 60 1 3 que en el lenguaje de MATLAB se escribe pi 3 6 Dibuje una curva cualquiera y aplique la o las transformaciones lineales que m s le agraden a fin de experimentar gt Modificaci n de figuras y cuerpos en el espacio por medio de transformaciones lineales Al igual que en el plano se puede ver en el espacio tridimensional los efectos que produce una determinada transformaci n lineal sobre una figura o un cuerpo Para realizar la gr fica de figuras o cuerpos en el espacio usaremos el comando plot3 que funciona de la siguiente manera Dados los vectores x X1 X2 X3 Xn Yy ly1 Y2 Y3 Yn Z Z1 Z2 Z3 Z2n plot3 x y z dibuja los puntos x1 y1 Z1 x2 y2 22 X3 Y3 Z3 Xn yn Zn y los une con un segmento de recta De esto se deduce que el vector x est formado por las primeras componentes de tales puntos el vector y por las segundas componentes y el vector z por las terceras Si se desea aplicar a estas figuras o cuerpos una transformaci n y luego poder visualizar su efecto se procede en forma an loga a lo realizado en el plano Ejer
14. 11 Para ello se escriben las siguientes instrucciones x 2 p1 0 1 2 pi y sin x plot x y El vector x es una partici n del dominio con incremento de 0 1 mientras que y es un vector con los valores que toma el seno en los puntos de esa partici n Este conjunto de instrucciones produce el siguiente gr fico Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _P gina 20 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB Pueden tambi n realizarse gr ficas de curvas definidas param tricamente Por ejemplo 1 0 2 pi 100 2 pi x sin 2 t y sin 3 t plot x y produce el gr fico Veamos a modo de ejemplo como graficar la elipse cuya ecuaci n est dada por 2 2 a aj 9 4 Esta elipse tiene por centro a C 0 0 la longitud del semieje mayor es 3 del semieje menor es 2 su eje focal se encuentra sobre el eje X sus v rtices son A 3 0 A 3 0 Para realizar la gr fica se dan valores a x y stos deben incluir las absisas de los v rtices de modo que pueda verse en el gr fico la elipse completa y no una porci n de ella Por lo tanto se tomar n los elementos del vector x en el intervalo 3 3 Por otra parte el vector y debe estar expresado en funci n de x Entonces despejando y se tiene que 4 4 x a a Por lo tanto las instrucciones siguientes producir n el gr fico de la elipse dada Fac de Ciencias Exactas y Tecnologias UNSE _
15. 456 7 89 d D C e EF 30 5 6 f F 1 9 9 G 1 91 h H 0 2 12 i 1 1 3 sart 3 6 4 j K 1 2 ii 1 Para que se utiliza 2 Para que se utiliza 2 Para que se utiliza g Para que se utilizan los espacios en blanco Que ocurre cuando al final de una matriz se escribe 2 Qu significa Existen funciones en MATLAB como por ejemplo rand magic eye etc que proporcionan una forma sencilla para crear matrices con las que se puede experimentar Introduzca las siguientes matrices y extraiga conclusiones como por ejemplo que la instrucci n rand n y rand m n crean matrices nxn y mxn respectivamente con entradas aleatoriamente generadas distribuidas entre O y 1 Magic n crea una matriz cuadrada de orden n m gica las filas y las columnas suman la misma cantidad con entradas enteras a rand 4 d eye 6 9g ones 4 7 j tril A b rand 2 3 e eye 4 2 h zeros 4 5 k A c magic 3 f ones 6 i triu C Genere los siguientes vectores sin introducir expl citamente sus elementos Fac de Ciencias Exactas y Tecnologias UNSE _P gina9 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB a Un vector columna cuyos elementos sean n meros naturales consecutivos entre el 15 y el 28 b Un vector fila cuyos elementos sean 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5 8 5 y 9 5 c Un vector columna tal que su primer elemento sea 3 su ltimo elemento 2 y los restantes se obtienen inc
16. ATLAB se obtiene el gr fico de un tri ngulo x 2 4 6 2 y 5 7 2 5 plot x y grid Recuerde que plot grafica los puntos de una biyecci n entre x e y en este caso 2 5 4 7 6 2 y 2 5 y los une con un segmento de recta Como puede observarse en la Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _P gina 30 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB gr fica estos puntos son justamente los v rtices de un tri ngulo Por lo tanto si se desea dibujar un tri ngulo conociendo sus v rtices se forman los vectores x e y de tal manera que los elementos de x sean las absisas y los elementos de y sean las ordenadas de cada punto Observe que el primer elemento debe repetirse al final tanto en x como en y porque si esto no ocurriera plot no unir a el ltimo v rtice con el primero Pruebe realizando la gr fica para los vectores x e y dados pero sin el ltimo elemento Ejercicio Dibuje las siguientes figuras respetando el orden en el que est n dados los v rtices a El tri ngulo de v rtices 1 3 0 0 3 2 b El paralelogramo de v rtices 1 2 2 1 6 1 5 2 c El pol gono de v rtices 3 0 1 2 2 2 4 2 0 5 d Modifique el orden dado a los v rtices en el tem c y observe la figura que obtiene Extraiga una conclusi n Dada una figura en el plano se desea ver que efectos produce sobre ella determinada transformaci n lineal Ejemplo La transf
17. LA TRABAJOS PR CTICOS DE LGEBRA LINEAL Para carreras de Ingenier a F C E y T U N S E Mar a In s Morales de Barrionuevo Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB INTRODUCCION Normalmente se requiere de modelos computacionales con el fin de resolver problemas de ingenier a Muchas veces puede ser til hacer un programa que Utilice matrices complejos y otras estructuras matem ticas f cil de escribir y revisar MATLAB es ideal para esto El nombre MATLAB proviene de la contracci n de MATrix LABoratory Es un sistema de trabajo interactivo y una herramienta importante para cualquier tarea que requiera c lculos matriciales ya sea que involucren ecuaciones sistemas caracter sticos m nimos cuadrados etc y la visualizaci n gr fica de los mismos Se pueden resolver problemas num ricos relativamente complejos sin necesidad de escribir un programa para ello Tiene gran capacidad de expansi n ya que permite que el usuario defina sus propias funciones es por ello que es considerado como un lenguaje de programaci n para c lculos t cnicos y cient ficos donde se encuentran implicados elevados c lculos matem ticos y la visualizaci n gr fica MATLAB trabaja esencialmente con un solo tipo de objetos matrices con entradas eventualmente complejas Esto significa que todas las variables representan matrices de este modo los escalares quedan caracterizados por matrices 1x1 y los vectores po
18. P gina 21 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB x 3 1 3 y 1 sqrt 4 4 9 x 02 2L o E o y2 sqrt 4 4 9 x A2 st e e an plot x y1 Pa w hold on os plot x y2 of axis equal ei J al e F De manera similar se puede graficar cualquier c nica Ejercicio Realice el gr fico de las siguientes rectas de R2 de modo tal que en cada eje aparezcan escritos sus nombres X e Y el t tulo del gr fico sea Recta sobre la recta se vea escrita su ecuaci n y la gr fica est cuadriculada De la observaci n de la figura identifique algunos puntos pertenecientes a cada recta Nota tenga en cuenta que para graficar una recta son necesarios solo dos puntos a y 2x 3 b y 4x o x t a xy 1 2 y 3t Tenga en cuenta en el punto d que la ecuaci n vectorial debe expresarse en forma param trica o cartesiana Existen dos formas en las que se puede realizar una graficaci n simultanea de curvas Esto es importante cuando se quieren comparar los gr ficos de dos o m s funciones Ejemplo x 0 3 y1 2x x y2 2 x 1 plot x y1 x y2 Produce el gr fico 2 o gt n w 0 0 N o o TT qq L L L L 0 5 1 1 5 2 2 5 3 Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _ P gina 22 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB Otra forma es usando el comando hold Ejemplo x 0 3 y1 2 X plot x y1
19. aciones de ambas funciones x 2y z 3w 0 4x 2y 2w 0 2x 4y 2z 6w 0 2x 3z 2w 0 3x 6y 3z 9w 0 x 3y 4z 3w 0 x 3y z 2w 0 X 4z 4w 0 9 Se pueden resolver sistemas cuadrados AX B en los cuales la matriz de coeficientes es inversible realizando X inv A B Teorema de Cramer Confeccione un archivo M de funci n que resuelva cuando sea posible los siguientes sistemas cuadrados 1 1 3 1 6 2 l i 3 1 2 1 1 1 5 f f a A B b Al l i O0 2 3i Bl 2 1 2 4 2 6 f i 0 i 2i l i 3 1 2 l 8 Fac de Ciencias Exactas y Tecnologias UNSE _ P gina 14 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB Trabajo Pr ctico N 3 Espacios vectoriales Combinaciones lineales Subespacio generado Dependencia e independencia lineal Base y dimensi n Los vectores de R se introducen en MATLAB como matrices de una fila o una columna y se puede operar con ellos de igual modo que con las matrices Es posible graficar vectores del plano empleando la funci n compass compass x y dibuja una flecha que emana del origen de coordenadas cartesianas y cuyo extremo es el punto del plano x y Ejemplo compass 2 3 Produce el siguiente gr fico Se puede agregar un tercer argumento a la funci n compass encerrado entre comillas que indica el color o tipo de l nea de la flecha as por ejemplo compass 2 3 r realizar el mismo gr fico anterior pero el color de la flecha ser rojo
20. ariables de entrada que ser n asignadas en el mismo orden al convocar la funci n Cuando se tipea help nombre_archivo aparece en pantalla el primer bloque de l neas de comentario del archivo en el cual usualmente se describe la funci n nombre_archivo Ejemplo El archivo esfera m del ejemplo anterior puede ser modificado de manera tal que el valor del radio de la esfera pueda ser ingresado directamente desde el teclado vol esf r calcula el volumen de una esfera de radio r function V vol_esf r V 4 3 pixrA3 disp El volumen de la esfera es Notas Este archivo debe guardarse con el nombre de vol_esf m Las l neas de comentario del archivo de funci n constituyen el texto visualizado en respuesta a la orden help vol_esf Ejercicio 1 a Guarde el archivo vol_esf en el disco y desde la ventana de orden de MATLAB escriba V vol_esf 5 b Halle el volumen para diferentes valores der Ejercicio 2 Construya un archivo de funci n que calcule el valor de la funci n f x 2x3 2x2 5x 1 Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _P gina8 _ l 3 Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MATLAB Trabajo Pr ctico N 1 Introducci n de Matrices Operaciones Los siguientes ejemplos definen diferentes formas de introducir matrices en MATLAB Pruebe y saque conclusiones CUIDADO los espacios en blanco tienen su significado a A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 b B 1 2 3 4 5 67 8 9 c EAU
21. as UNSE _P gina 24 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB OS SS hs AS Un gr fico de superficie de la misma funci n se obtiene con la funci n surf en lugar de mesh Por lo que surf x y Z producir el gr fico siguiente Y si se le agregan las sentencias shading interp colormap copper se produce Del igual modo se pueden graficar otras cu dricas Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _P gina 25 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB Ejercicio Escriba las siguientes instrucciones en MATLAB x y meshagrid 2 0 1 2 Z x y l surf x y z Qu figura obtiene Nota Los comandos axis hold grid title xlabel ylabel zlabel etc tienen en este caso la misma aplicaci n Ejercicios 5 Realice el gr fico de los siguientes planos de tal modo que en cada eje est escrito su nombre X Y y Z y el gr fico est cuadriculado a 2x 3y z 2 b x y z 0 c x z 5 6 Se desea realizar la gr fica del plano x 3 Tenga en cuenta que la informaci n que nos brinda esta ecuaci n es que mientras y y z varan en todos los reales x toma siempre el valor 3 Luego el conjunto de instrucciones que se deben escribir var an ligeramente de las dadas anteriormente En este caso se definir n primero los valores para y y z ya que stas no dependen de ninguna variable y se escribir y z meshgrid 2 0 2 3 x 0 y 0 z 3
22. cicios 8 Dado el tri ngulo de v rtices 2 3 1 5 0 2 4 2 0 aplique las siguientes transformaciones lineales de modo que todas puedan verse en una misma figura diferenci ndose entre si por distintos colores o tipos de l neas a Simetr a respecto del plano XY definida por f R3 R f x y z x y Z b Simetr a respecto del origen de coordenadas definida por Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _ P gina 35 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB f R3 R3 f x yz X y 2 c Simetr a respecto del eje Z definida por f R3 R3 f x y Z x y z 9 Dada la figura de v rtices 2 0 0 1 5 3 0 3 4 y 6 5 3 en ese orden Halle su imagen respecto de la transformaci n lineal f y a la figura resultante aplique la transformaci n lineal g Siendo f R3 R3 f x y z 2x 2y 2z y 9 R3 R g x y z x y y x y z Gr fico de cuerpos Se desea dibujar un tetraedro de v rtices P 2 4 0 Q 1 6 0 R 0 2 0 y S 0 4 5 Se realizar el gr fico de este cuerpo con el comando plot3 Observe los siguientes gr ficos y ejecute las instrucciones para poder comprender el modo de confeccionar los vectores x y y Z Figura 1 Figura 2 Intente unir los v rtices P Q R y S de la Figura 1 formando un tetraedro como el de la Figura 2 pero sin levantar el l piz se le permite dibujar una l nea sobre otra Escriba el orden que sigui para unir estos pu
23. el determinante de una matriz MATLAB cuenta con la funci n det det A calcula el determinante de la matriz cuadrada A Aplique la funci n det a cada una de las siguientes matrices y explique la respuesta de MATLAB en cada caso 27 032 4 05 10 1 3 1 25 1 a 2 023 5 6 1 5 3 i 3 l A B 5 0 2 C33 0 1 D E 17 032 4 0 3 2 4i 0 12 9 5 1 5 2 de 63 0 0 Escriba help inv a fin de conocer lo que realiza esta funci n y ver su sintaxis Para cada una de las matrices del ejercicio anterior aplique inv y explique que obtiene Por an lisis de ejemplos estudie la posible validez de las siguientes propiedades a Inv I 1 b Si A es inversible inv inv A A Cc Si A y B son inversibles A B es inversible e inv A B inv B inv A Es posible encriptar un mensaje secreto usando una matriz cuadrada inversible cuyos elementos y los de su inversa son n meros enteros sta se llama matriz de c digo El procedimiento es el siguiente se asigna a cada letra del abecedario un n mero por ejemplo A 1 B 2 etc y espacio 28 se transforma el mensaje asignando a cada letra el n mero correspondiente los n meros obtenidos se ubican de izquierda a derecha en las filas de una matriz M matriz de mensaje de tal modo que el n mero de elementos de cada fila sea igual al orden de la matriz de c digo se multiplica M por la matriz de c digo por derecha se transcribe el mensaje a una cadena de n meros que se lee de izquierda a derecha a lo la
24. eros complejos se introducen siguiendo el convenio usual vale decir que z1 2 3i se introduce como gt gt Zz1 2 3 Ordenes de Prop sito General Para recordar informaci n para poder visualizar cuales variables han sido ya introducidas se teclea who Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _P gina4 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB Para conocer el contenido de una variable simplemente se tipea su nombre y se oprime 0 enter Para eliminar una variable de la memoria se utiliza la instrucci n clear seguida del nombre de la variable ej clearA Si se escribe clear simplemente se borran todas las variables Help Si teclea help seguido de un comando funci n o archivo de MATLAB aparecer una descripci n del comando Por ejemplo help dar informaci n sobre como puede usar en MATLAB help rref dar informaci n sobre el comando rref Uso de flechas Al emplear la flecha T se desplazar n los comandos anteriores Se pueden utilizar las flechas T 4 e gt para localizar un comando y modificarlo y al oprimir la tecla enter se ejecuta el comando modificado Comentarios Si se inicia una l nea con el s mbolo MATLAB interpretar como un comentario Por ejemplo Este es un comentario Supresi n de vista en pantalla Si se escribe una instrucci n de MATLAB y no se desea ver los resultados desplegados se finaliza el comando con un punto y coma Esto es e
25. es con MATLAB resuelva a 312 1 2 2 4 b 3A2 1 2 2 A c 3M2 1 2 2 4 Variables En MATLAB como en cualquier otro lenguaje de programaci n y o asistente matem tico se utilizan variables Las variables deben tener un nombre seg n ciertas reglas Estas reglas son MATLAB distingue min sculas de may sculas esto quiere decir que A y a representan variables diferentes Si se desea que su utilizaci n sea indistinta se debe tipear la sentencia casesen Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _P gina3 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB Las variables pueden contener hasta 19 caracteres y comenzar por una letra seguida de cualquier n mero de letras d gitos o guiones de subrayado Ejemplo suma A S3 CIRCULO valor_propio etc Los nombres de variables no pueden contener operadores ni puntos No es v lido usar MATLAB cuenta con variables especiales algunas de ellas son ans de answer respuesta es la variable que MATLAB crea autom ticamente cuando hay una expresi n a la que no se le asign nombre de variable Ejemplo 2 5 1 5 da como respuesta ans 11 5000 pi Raz n de una circunferencia y su di metro inf Infinito Por ejemplo a 1 0 Warning Divide by zero a Inf NaN Magnitud no num rica Por ejemplo b 0 0 Warning Divide by zero b NaN yj Se emplean para introducir n meros complejos Es decir i j v 1 Nota los n m
26. figura del MATLAB una expansi n a lo largo del eje Y con un factor igual a 2 La matriz asociada a esta transformaci n lineal respecto de la base can nica es 1 0 M Fac de Ciencias Exactas y Tecnologias UNSE _ P gina 32 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB De la misma forma en que se aplica una transformaci n lineal a una figura del plano puede tambi n aplicarse a curvas planas el procedimiento es similar solo que se trabaja con una mayor cantidad de puntos Suponga que se desea aplicar una rotaci n un ngulo Sa a la porci n de la par bola y 4x 2 correspondiente al intervalo 2 2 y teniendo en cuenta que la matriz de TT cos sen rotaci n es 4 el siguiente conjunto de instrucciones producir n lo T sen cos 4 4 deseado X 2 2 2 y y 4 x 2 2 gt dibuja la par bola original plot x y hold on m cos pi 4 sin pi 4 sin pi 4 cos pi 4 Introduce la matriz asociada puntos x y forma una matriz cuya primera fila est compuesta por las absisas y la segunda por las ordenadas de los puntos de la par bola puntos_imag m puntos Calcula la imagen de dichos puntos xl puntos_imag 1 Forma el vector fila de las absisas de los puntos imagen yl puntos_imag 2 Forma el vector fila de las ordenadas de los puntos imagen plot x1 y1 r 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 G Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE
27. iada que ha formado con las tres columnas de t rminos independientes Qu vectores est n ubicados en las columnas de la matriz de coeficientes Qu vectores est n ubicados en las columnas de t rminos independientes Luego de aplicar rref a la matriz ampliada qu matriz representa la submatriz formada por las tres ltimas columnas De estas observaciones confeccione una regla que le permita en lo sucesivo trabajar menos con papel y l piz 1 En cada uno de los siguientes casos halle la matriz asociada a la transformaci n lineal dada respecto de las bases B y B Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _ P gina 29 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB a f R2 gt R2 tal que f x y x x y 2y B foa 1 5 A 1 2 3 3 3 3 2 0 1 b f R3 R tal que Aasi 0i eaa a B f e23 01 0 0 1 p 020 0 1 2 0 0 3 2 Construya un archivo de funci n tal que dada la matriz asociada a una transformaci n lineal respecto de las bases con nicas calcule la imagen de un vector 3 Sea Ala matriz asociada a una transformaci n lineal f R gt R3 respecto de las bases can nicas en ambos espacios 1 0 A 2 1 6 8 Use el archivo creado en el ejercicio anterior a fin de calcular la imagen de los siguientes vectores a f 0 1 b f 3 4 c f 0 0 gt Modificaci n de figuras del plano por medio de transformaciones lineales Si se escriben siguientes instrucciones de M
28. lea el comando plot3 que es una extensi n del comando plot a gr ficos en el espacio tridimensional Ejemplo Se desea graficar la recta que contiene al punto 1 0 3 y es paralela al vector 1 1 2 La ecuaci n vectorial de esta recta es x y z 1 0 3 t 1 1 2 Y las ecuaciones param ftricas x 1 t y 1t z 3 0t Se puede realizar la gr fica empleando las ecuaciones param tricas del siguiente modo nt 3 0 1 3 DX 1 t y t z2 3 2x1 plot3 x y Z Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _P gina 27 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB Si se agrega la instrucci n grid puede verse el gr fico cuadriculado Puede realizarse tambi n la gr fica empleando las ecuaciones cartesianas de la recta en este caso son zZ 3 x 1 y 2 Es importante tener en cuenta que para graficar una recta con plot3 a partir de sus ecuaciones cartesianas stas deben estar expresadas de tal forma que dos de las variables est n en funci n de una misma por ejemplo y y z en funci n de x En este caso las ecuaciones cartesianas quedar an expresadas Y x 1 Z 2x 5 Escriba hold on para graficar en la misma figura y as poder verificar si efectivamente se obtiene la misma recta luego escriba las siguientes instrucciones x 3 0 1 3 y x 1 Zz 2 Xx 5 plot3 x y z b hold off El argumento b en plot3 significa que la recta se graficar en color azul 9 Realice el gr fico de
29. lizaci n Formas cuadr ticas Las funciones matriciales que se describen a continuaci n le ser n tiles para resolver los problemas planteados en este Trabajo Pr ctico eig eig A produce un vector columna cuyos elementos son los valores propios eigenvalores de una matriz cuadrada A V D eig A produce una matriz V cuyas columnas son los vectores propios de A y una matriz D diagonal en la cual los elementos de la diagonal son los valores propios de A poly si A es una matriz cuadrada de orden n poly A es un vector fila tal que sus n 1 elementos son los coeficientes del polinomio caracter stico de A ordenados en forma decreciente 1 Halle los valores propios de las siguientes matrices consideradas sobre el cuerpo de los n meros reales a 3 10 b 2 a3 3 3 10 4 5 CE c 1 0 0 d 2 70 1 3 10 15 0 2 071 2 E 0 a ag O 2 0041 2 Para cada una de las matrices del ejercicio anterior encuentre su polinomio caracter stico y verifique que los valores propios obtenidos son efectivamente las ra ces de dicho polinomio 3 Verifique la posible validez de las siguientes proposiciones mediante el an lisis de ejemplos En todos los casos A es una matriz cuadrada Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _ P gina 38 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB a Si A es una matriz diagonal entonces sus valores propios son los elementos de la diagonal b O esun valor propio de A si y so
30. lo si A no es inversible Cc A y A tienen el mismo polinomio caracter stico d A es ra z de su polinomio caracter stico Teorema de Cayley Hamilton En cada uno de los siguientes casos indique si la matriz A dada es diagonalizable Si as lo fuera encuentre la matriz C que la diagonaliza y calcule C7 A C all da sl b 1 0 0 0 3 1 2i g 02 gt Del Para cada una de las siguientes matrices sim tricas halle una matriz ortogonal que la diagonalice A 1 1 6 38 2 1 5 12 9 17 1 5 0 0 2 2 A 5 4 2 B C 6 0 8 3 2 3 o E 8 0 3 6 3 9 En los siguientes casos i Realice la gr fica correspondientes a las ecuaciones cuadr ticas dadas li Escriba la ecuaci n en la forma Av v d donde A es una matriz sim trica y elimine el t rmino que contiene a xy rotando los ejes un ngulo 6 iii Escriba la ecuaci n en t rminos de las nuevas variables e identifique la c nica que se obtiene iv Verifique los resultados compar ndolos con la gr fica realizada a 3x2 2xy 5 0 b 3x2 6xy 5y2 36 cC x2 2xy y2 0 Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _ P gina 39 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB Bibliograf a E E The Math Works Inc 1997 MATLAB Versi n 5 Gu a del Usuario The Math Works Inc 1996 MATLAB Edici n de Estudiante Versi n 4 Gu a del Usuario 19 Ed Nakamura S 1997 An lisis Num rico y Visualizaci n Gr fica con MATLAB 1 Ed
31. mpass 1 2 3 hold off Dados los vectores u 2 4 y v 3 2 a Resuelva con MATLAB las siguientes operaciones u v u v 2u 5v 1 2v b Grafique en una misma figura los vectores dados y los obtenidos de resolver las operaciones anteriores de tal manera que se diferencien entre si ya sea por el color o tipo de l nea Ponga t tulos y nombre a los vectores Escriba al vector s como combinaci n lineal de los vectores s y s2 Utilice la funci n rref para determinar los escalares 3 2 1 s 5 si 1 s 3 3 1 5 Determine en cada caso si el vector v pertenece al subespacio generado por el conjunto dado Resuelva el problema de dos maneras diferentes empleando la funci n rref y luego la funci n rank Explique cual es la m s conveniente para este caso en particular a 3 1 0 1 v4 2 A 2 1 i 1 1 0 3 0 0 2 0 J X JE JU Fac de Ciencias Exactas y Tecnologias UNSE _ P gina 16 _ 5 6 7 8 a u 12 0 3 gusli 0 53 a vi 1 2 Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB 6 v 034 As DT Determine si los vectores u v y w generan al espacio vectorial V ys 5 4 15 velo 140 w 4 14 V Rio welia e Jys Determine en cada caso si el conjunto de vectores vi vz v3 es linealmente independiente o linealmente dependiente considerando los respectivos espacios sobre el cuerpo de los n meros reales V3 2 3 1 v 11 2 b 1 5 v 3 v2 1 v3
32. ntos por ejemplo P Q R P S R Q S Forme los vectores x y y z con las primeras segundas y terceras componentes respectivamente de estos puntos en el orden establecido Los pasos siguientes para realizar la gr fica son ya conocidos Ejercicios 10 Aplique al tetraedro del ejemplo anterior las siguientes transformaciones lineales de modo que todas se puedan ver en una misma figura a Una rotaci n alrededor del eje Z un ngulo de 60 b Una rotaci n alrededor del eje X un ngulo de 30 c Una rotaci n alrededor del eje Y un ngulo de 45 Las matrices asociadas a estas transformaciones lineales se describen en el cuadro siguiente Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _ P gina 36 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB Las siguientes son matrices asociadas de algunas transformaciones lineales en el espacio respecto de la base can nica de R3 0 0 cose sen8 Rotaci n alrededor del eje X un ngulo 8 sen 0 cos 6 Rotaci n alrededor del eje Y un ngulo 8 Rotaci n alrededor del eje Z un ngulo 6 Expansi n por un factor k si k gt 1 Contracci n por un factork si O lt k lt 1 Proyecci n sobre el plano XY Proyecci n sobre el plano YZ Reflexi n respecto del eje X Reflexi n respecto del plano XZ Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _ P gina 37 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB Trabajo Pr ctico N 7 Valores y vectores propios Diagona
33. o el s bado se consumen 30 bebidas del tipo 1 40 del tipo 2 20 del tipo 3 40 del tipo 4 y 40 del tipo 5 Represente estos datos en una matriz cuyas filas sean tipos de bebidas y cuyas columnas sean d as de la semana c Use las matrices de los incisos anteriores para obtener una matriz en la que se pueda leer la cantidad de ingredientes consumidos por d a Responda entonces a las siguientes preguntas Cu ntos refrescos de cola se consumen por semana Cu ntas limonadas Cu ntas botellas de ron sabiendo que cada botella rinde 20 medidas Submatrices Matrices por bloques y matrices aumentadas 7 Introduzca las siguientes matrices 13 O0 50 1 A 7 245 B 3 6 8 13 5 En cada uno de los siguientes casos explique lo que obtiene i M A 2 3 ii N A 3 iii O A 3 iv P A 1 3 v Q A 2 31 1 2 vi R A B vii T Q ones 2 vili S P B eye 3 8 Introduzca las siguientes matrices a Forme la matriz ampliada C A B b Forme la matriz U que consiste solo en la 2 y 4 columnas de A c Forme la matriz T que consiste solo en la 1 y 2 filas de A d Forme la matriz V que consiste solo en las filas 2 y 3 y las columnas 1 y 22 de A Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _ P gina 11 _ 3 4 Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MATLAB Trabajo Pr ctico N 2 Determinante Inversa de una matriz Sistemas de Ecuaciones Para calcular
34. ormaci n lineal f R gt R2 tal que f x y 3x y produce una expansi n a lo largo del eje X La matriz asociada a esta transformaci n lineal respecto de la base can nica de R2 es 3 0 A oO 1 Ahora bien se desea aplicar esta transformaci n lineal al tri ngulo de v rtices P 0 0 Q 2 5 y R 6 3 El procedimiento a seguir es el siguiente 1 Se introducen los vectores P Q y R Es conveniente que stos sean expresados como vectores columnas ya que posteriormente deber n multiplicarse por la matriz A 2 Se construye una matriz T cuyas columnas son P Q y R Esta matriz tiene como primera fila a las absisas de los v rtices y como segunda fila a las ordenadas 3 Se forman los vectores x de las absisas e y de las ordenadas de los v rtices y se realiza la gr fica del tri ngulo Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _ P gina 31 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB 4 Se realiza el producto AxT a fin de obtener las im genes 5 Se construyen los vectores x1 de las absisas e yl de las ordenadas de las im genes y se realiza la gr fica en una misma figura del transformado del tri ngulo Las instrucciones correspondientes son 12 f P 0 0 Q 2 5 R 6 3 ge frp QR P x T 1 y T 2 3 plot x y A 30 49 01 Im AxT hold on 52 x1 Im 1 yl Im 2 plot x1 y1 g Realice a continuaci n para el mismo tri ngulo y siempre en la misma
35. r matrices de una fila o una columna Es importante destacar que el alcance y la potencia de MATLAB van m s all de lo que pueda verse en esta serie de trabajos pr cticos Caracter sticas b sicas Al ejecutarse MATLAB aparece una ventana la ventana de orden que es el lugar fundamental donde se interacciona con MATLAB Cuando esta ventana est activa aparece a la izquierda el s mbolo gt gt seguido del cursor es el indicativo de petici n de ordenes del MATLAB Operaciones aritm ticas b sicas En el cuadro de la p gina siguiente se ilustran las operaciones aritm ticas b sicas el simbolo que emplea MATLAB y un ejemplo Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _P gina2 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB Suma 3 6 Resta 12 7 5 Multiplicaci n 23 2 5 12 Divisi n 77 51 Potencia 5 2 El orden en que estas operaciones se eval an en una expresi n est dada por la siguiente regla de precedencia Las expresiones se eval an de izquierda a derecha con la operaci n de potencia teniendo el orden de precedencia m s alto seguido por multiplicaci n y divisi n que tienen ambas igual precedencia y seguidas finalmente por suma y resta que tienen igual precedencia Se pueden emplear par ntesis para alterar esta usual ordenaci n en cuyo caso la evaluaci n se inicia dentro del par ntesis m s interno y procede hacia fuera Ejercicio Para observar como funcionan estas operacion
36. rementando 0 5 al anterior 4 Dadas las siguientes matrices 1 3 3 2 M 2 1 N 1 5 O 3 3 3 4 7 6 A Investigue que operaciones son las siguientes a M b MEN c M N d O M e M O f M N g M N h M N i 2x0 j 0 2 k O A2 I 2 M I 2 M m M 2 n M 2 Siempre es posible realizar dichas operaciones Qu ocurre cuando no es posible 5 Utilice MATLAB a fin de verificar los resultados que obtuvo al operar con matrices en la gu a de trabajos pr cticos correspondiente 6 Resuelva usando MATLAB la siguiente situaci n En un bar se preparan 5 tipos de bebidas cuyas recetas se muestran a continuaci n 1 medida de ron Bebida 1 Cuba libre e 1 medida de ron Bebida 2 Cuba campechana Y refresco de cola Y agua mineral 2 medidas de ron Bebida 3 Cuba doble Y refresco de cola Y de agua mineral Y Cerveza Bebida 4 Shandi Y limonada 2 1 medida de ron Bebida 3 Especialidad de la casa cerveza Y limonada Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _ P gina 10 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB 5 a Represente los datos en una matriz cuyas filas sean ingredientes en las bebidas y cuyas columnas sean tipos de bebidas b La experiencia demuestra que de lunes a jueves se consumen en promedio por d a 20 bebidas del tipo 1 30 del tipo 2 10 del tipo 3 20 del tipo 4 y 30 del tipo 5 mientras que tanto el viernes com
37. rgo de cada fila y se env a el mensaje El receptor del mensaje conoce la matriz de c digo arregla el mensaje encriptado en una matriz ubicando los n meros de izquierda a derecha en cada fila de modo tal que el n mero de columnas de dicha matriz coincida con el orden de la matriz de c digo multiplica por derecha por la inversa de la matriz de c digo y puede leer el mensaje decodificado Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _ P gina 12 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB Actividad Si C es la matriz de c digo decodifique el mensaje que se encuentra m s abajo 1 2 3 4 5 2 5 8 8 9 ES 1237 3 1 1 0O 6 12 2 4 6 8 11 Mensaje 128 107 167 55 235 206 279 39 232 188 347 183 273 194 412 274 272 221 353 126 x x kx k MATLAB cuenta con dos funciones matriciales que resultan de gran utilidad a la hora de resolver sistemas de ecuaciones lineales ellas son rank y rref rank A proporciona el rango de la matriz A rref A devuelve la matriz escal n reducida por filas de A la cual nos permite obtener un sistema de ecuaciones lineales m s simple equivalente al dado 5 Para cada uno de los sistemas siguientes llame A a la matriz de coeficientes y B a la matriz columna de t rminos independientes Forme la matriz ampliada y use la funci n rref para encontrar la forma escal n reducida por filas Muestre que cada uno de estos sistemas tiene soluci n nica y que la soluci
38. sencial para evitar p rdidas de tiempo al mostrar los resultados intermedios Cualquier tipo de c lculo gr fico o impresi n puede detenerse sin salir del programa con CTRL C Cuando se sale de MATLAB se pierden todas las variables Para evitarlo se puede utilizar la instrucci n save antes de salir Esto hace que las variables se almacenen en el archivo de disco matlab mat Al ingresar nuevamente a MATLAB se pueden recuperar todas las variables con la instrucci n load Ejercicios 1 Realice las siguientes operaciones con MATLAB y verifique las respuestas a 2 9 3 4 Rta 16 5 1 2 2 b Rta 2 7941 07 1 Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _P gina5 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB c 1 0 25 12 4 81 1 2 Rta 5 3660 a 256 _ 1 25 2 Rta 0 3i Nota sqrt x calcula la ra z cuadrada de x 2 e 6 i a Rta 1 8780 8 3436i 2 Seona 4 b 2 c 2 3 calcule a A ab c b B alb lt 3 a Ingrese la orden who para observar que variables ha introducido b Guarde todas las variables cierre el programa y a continuaci n vuelva a abrirlo c Escriba el comando who y apriete enter Qu ocurre d Escriba el comando load y repita el paso c e Escriba el nombre de alguna variable y apriete enter para ver su contenido f Guarde solo una de las variables cierre el programa vuelva a abrirlo y repita los pasos Cc y a ARCHIVOS M MATLAB puede
39. valor encontrado halle un vector ortogonal a w Realice una gr fica de los vectores v y w y de cada uno de los vectores resultantes de cada tem todos en la misma figura para poder comparar 4 Calcule la medida del ngulo entre v y w para los vectores del ejercicio anterior Ayuda MATLAB cuenta con la funci n acos tal que acos x da la medida del ngulo cuyo coseno es x expresado en radianes 5 MATLAB cuenta en su librer a con la funci n matricial trace que calcula la traza de una matriz cuadrada Para los siguientes pares de matrices calcule el producto interior definido como A B Tr B A Fac de Ciencias Exactas y Tecnolog as UNSE _ P gina 18 _ Trabajos Pr cticos de lgebra Lineal con MA TLAB 3 1 1 2 12 5 4 6 5 3 5 a A B b A 7 4 21 B 1 7 6 20 4 1 2 2 5 2 4 10 Calcule la norma de cada una de las matrices del ejercicio anterior Determine cuales de los siguientes conjuntos son ortogonales y cuales ortonormales a 1 8 1 4 01 1 0 3 4 5 5 15 0 1 b 0 2 Sl lla 0 J 3 5 3 4 4 5 C fio 5 430 2 430 2 v5 O 1 V5 1 46 2 46 ana Para obtener bases ortonormales de un espacio vectorial MATLAB cuenta con la funci n orth orth A da una base ortonormal del subespacio generado por las columnas de la matriz A Realice lo siguiente a Introduzca la matriz A 1 2 0 4 b Escriba B orth A c Verifique que las columnas de B generan al subespacio columna de A y
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