GeoGebra Quickstart
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1. Gu a R pida de GeoGebra 5 0 para Web y Tablet 3 Se traza la Recta Perpendicular desde 0 al segmento a del 7 lado que une a B con C Se vuelve a emplear la herramienta Intersecci n para que quede establecido el de la perpendicular con el lado a D Atenci n Es importante distinguir que lo que se interseca sea la perpendicular con el lado no con el tri ngulo que es una alternativa tambi n posible pero err nea en este caso Con Circunferencia centro punto se completa la construcci n con un clic en el punto centro O y otro en el de intersecci n recientemente creado D Con Elige y Mueve se puede emplear el rat n o mouse para desplazar los v rtices del tri ngulo y notar como toda la construcci n se ajusta din micamente a los cambios manteniendo las relaciones establecidas que dan lugar a la circunferencia correspondiente Algunas Pistas Los botones de Deshace y Rehace en la esquina derecha de la barra de herramientas son muy tiles para el desenvolvimiento de cualquier construcci n y conviene emplearlos al menos tentativamente 2 Para ocultar un objeto basta con apuntarlo y con un clic derecho en SO Mac Ctrl clic y en el men contextual desplegado quitar el tilde a Objeto visible Para cambiar la apariencia de los objetos color tipo de trazo se puede emplear la barra de estilo un clic en el objeto y luego en el bot n del margen superior2. Gu a R pida de GeoGebra 5 0 para Web y Tablet 5 Detalles Cosm ticos Se puede mejorar el aspecto de la construcci n apelando a los recursos que se ofrecen en la Barra de Estilo Por ejemplo incrementando el grosor del segmento para que resalte respecto del eje de ordenadas mostrar el valor de la pendiente en lugar del nombre u otros detalles Para lograrlo basta con seleccionar el objeto y pulsar en el bot n de Gr ficos de la esquina superior derecha de la Vista Gr fica abriendo as la Barra de Estilo E e de Ejemplo 3 Intersecci n de Funciones Polin micas Desaf o Indagar c mo una par bola puede intersecar a una funci n lineal determinando las ra ces de sendas funciones 50m yo der Ja gt c qZ 1 Mx h 2 3 2 x42 X gt e x2 5 x 2 9 gixj a x b gt ad 7142 3 h x T x g x gt h x x 2x 4 hix Factor y x 2 5 Solvelh x gt x 0x 2 6 listl Intersectlf00 q gt 23 0 2 Preparativos e Abrir la versi n Web o para Applet de GeoGebra y seleccionar la Perspectiva de CAS de la pantalla inicial o e Con un clic en el bot n de Men del extremo superior derecho de la ventana de GeoGebra para seleccionar Nuevo del men de Archivo y reci n entonces elegir la Perspectiva CAS de la pantalla inicial Gu a R pida de GeoGebra 5 0 para Web y Tablet 6 Pasos de Construcci n Para este procedimiento basta introducir en la primera fila de la Vista C
3. de Entrada pueden anotarse directamente coordenadas ecuaciones comandos y funciones que pasar n a representarse en la Vista Gr fica al ingresarse pulsando Enter Intro en algunos teclados Primer Ejemplo Circunferencias en un Tri ngulo Tarea Construir un tri ngulo y la circunferencia que lo circunscribe Construcci n Guiada por el Rat n o Mouse Preparativos e Abrir el men de Perspectivas seleccionar la de ax Geometr a e Practicar un poco el modo de empleo de las Herramientas de la Barra de la Vista Gr fica teniendo en cuenta que las de cada caja se despliegan al pulsar sobre la primera Pasos de la Construcci n Seleccionar de la barra de herramientas la de Pol gono Ahora un clic tras otro en la Vista Gr fica permite crear los v rtices A B y Cde un tri ngulo que se cierra reiterando un clic sobre A Elegir la Bisectriz clic sobre la herramienta car tula de la cuarta caja despliega todas las disponibles para activar la Bisectriz Para trazar las de un par de ngulos basta con indicar los tres puntos que los delimitan en sentido anti horario con el v rtice entre sendos laterales B C A para uno y A B C para el otro Con la herramienta Intersecci n indicando ambas bisectrices queda establecido el punto del centro de la circunferencia buscada Para llamarlo 0 basta con un clic derecho sobre el punto Mac OS ctrl clic y elegir Renombra del men contextual desplegado
4. sticas para empezar 1 Se agradece por sugerencias y propuestas a Judith Hohenwarter judith dgeogebra org y Markus markus Mgeogebra orq Gu a R pida de GeoGebra 5 0 para Web y Tablet 1 Si m s adelante en cualquier otro momento se cambia de enfoque se puede volver a este men y elegir otra Perspectiva La siguiente imagen ilustra la pantalla usual de la Perspectiva Algebraica que incluye la Vista Algebraica y la Vista Gr fica en la ventana de GeoGebra lr ES gt O E s e ABC 22 p FE Deshace Rehace TD Q Entrada O 4 Men O Campo de Entrada Bot n de Gr ficos ki Vista Algebraica Vista Gr fica La Barra de Herramientas incluye una serie de cajas con una colecci n de tiles del mismo tipo que permiten crear construcciones en la Vista Gr fica simplemente apuntando a una y otra adem s de a los objeto o elementos adicionales necesarios en cada caso Mientras se despliega cada uno de los elementos de la construcci n en simult neo van apareciendo las coordenadas y ecuaciones correspondientes en la Vista Algebraica Como cada Vista cuenta con su propia Barra de Herramientas da acceso a diferentes juegos de tiles El Campo de Entrada en la Vista Algebraica permite el ingreso directo de coordenadas ecuaciones comandos o funciones Al pulsar la tecla de entrada sea Enter o Intro en algunos casos el registro algebraico aparece en esta Vista y as como la construcci n en la Vista Gr fica Ad
5. AS el siguiente contenido pulsando Enter al final f x xX 2 3 2 X 2 Con la herramienta adecuada crear un par de deslizadores a y b aceptando los valores por omisi n para uno y otro iOjO Despu s del clic en la Vista Gr fica se despliega un cuadro que permite especificar los par metros del deslizador en marcha Un clic all se cierra el cuadro se aceptan los valores en base a los cuales se crea el deslizador Ingresar en la segunda fila de la Vista CAS el siguiente contenido correspondiente a una funci n lineal pulsando Enter al final g x a x b Anotar en la tercera fila de la Vista CAS el siguiente contenido para establecer la diferencia entre sendas funciones pulsando Enter al final h x f x g x Ingresar h x luego seleccionar la herramienta Factoriza desde la Barra de Herramientas de la Vista CAS para factorizar el polinomio OjO Pueden usarse estos factores para determinar las ra ces de h x Anotar en la cuarta fila de la Vista CAS el comando Resuelve h x para confirmar el valor de las ra ces Ingresar Interseca f x g x para crear los puntos de intersecci n de las funciones f x y g x Exploraci n Por tanteo y experimentaci n se puede procurar descubrir qu tienen en com n los puntos de intersecci n de f x y g x con las ra ces de la funci n diferencia h x Cambiando los valores de los par metros de la funci n lineal se puede llegar a establecer para qu valores de a y b ha
6. GerGebro Gu a y Referencia de versiones para Web y para Tablet Autor a de Liliana Said n Dir Centro Babbage Instituto GeoGebra de Argentina Qu es GeoGebra e Un conjunto unificado y f cil de usar que conforma un potente programa de Matem tica Din mica e Un utilitario para ense ar y aprender en todos los niveles educativos e Un encuadre vers til en que se conjugan geometr a interactiva lgebra el c lculo propio del an lisis y de las estad sticas y sus registros gr ficos de organizaci n en tablas y de formulaci n simb lica e Una fuente abierta del programa libre accesible en www geogebra org Lo Primero a Destacar e GeoGebra le facilita a los estudiantes la creaci n de construcciones matem ticas y modelos para las exploraciones interactivas y los sucesivos cambios de par metros e GeoGebra es tambi n una herramienta de autor a que les permite a los docentes crear p ginas web interactivas adaptarlas de entre las existentes y o seleccionarlas de entre las que colegas de todo el mundo ofrecen para compartir las producciones en www geogebratube ora Al Comenzar Al iniciar la versi n de GeoGebra para Web o Tablet aparece la siguiente pantalla de inicio con las Perspectivas disponibles S A AB o AE Algebra Geometr a Hoja de C lculo X A Ah CAS Gr ficos 3D Probabilidad Basta con seleccionar la Perspectiva que mejor se adec a a los temas de matem tica a trabajar Geometr a Algebra Estad
7. ar la que se quiere tratar y pulsar en la herramienta adecuada Como por ejemplo la que s Factoriza Ejemplo 4 Gr fico de Dispersi n y Recta de Mejor Ajuste Desaf o Crear un Gr fico de Dispersi n y emplear la herramienta de An lisis de Regresi n de dos variables para el conjunto de datos en juego Explorar c mo los datos at picos afectan al mejor ajuste lineal 3 ai A B 1 y NON wm bh U N Preparativos e Abrir la versi n Web o para Applet de GeoGebra y seleccionar la Perspectiva de gt Hoja de C lculo de la pantalla inicial o e Con un clic en el bot n de Men del extremo superior derecho de la ventana de GeoGebra para seleccionar Nuevo del men de Archivo y AB reci n entonces elegir la Perspectiva Hoja de C lculo de la pantalla inicial Gu a R pida de GeoGebra 5 0 para Web y Tablet 8 Pasos de Construcci n Ingresar los siguientes datos en la Hoja de C lculo en las sucesivas celdas de la columna A A1 1 AZ 2 A3 3 A4 4 AS 1 OjO Para validar cada valor ingresado debe pulsarse la tecla Enter Anotar los siguientes n meros en las celdas de la columna B B1 1 B2 2 B3 3 B4 4 B5 1 Crear un Gr fico de Dispersi n a partir de los datos Seleccionar todas las celdas de las columnas A y B que contengan los datos Luego la herramienta Listado de puntos de la Barra de Herramientas de la Hoja de C lculo para crear los puntos acorde a los datos ingresados Ate
8. bra de la pantalla inicial o e Con un clic en el bot n de Men del extremo superior derecho de la ventana de GeoGebra para seleccionar Nuevo del men de Archivo y reci n entonces elegir la Perspectiva de lgebra de la pantalla inicial Pasos de Construcci n TE Ingresar en el Campo de Entrada y 0 8 x 3 2 y pulsar Enter MN Qu par metros se modifican al cambiar la posici n EE la recta arrastr ndola por la Vista Gr fica En la Vista Gr fica con la herramienta adecuada borrar la recta OjO Es necesario abrir la Barra de Herramientas para seleccionar la que se precisa Con la herramienta adecuada crear un par de deslizadores a y b aceptando los valores por omisi n para uno y otro OjO Despu s del clic en la Vista Gr fica se despliega un cuadro que permite especificar los par metros del deslizador en marcha Un clic all se cierra el cuadro se aceptan los valores en base a los a se crea el deslizador ingresar en el Campo de Entrada y a x b y pulsar Enter Seleccionar la herramienta ntersecci n desde la Barra de Herramientas de la Vista Gr fica para crear el punto en que la recta corta el Eje x Seleccionar la herramienta que permite incorporar un Punto en Objeto para crear uno en el origen y Con la herramienta Segmento crear el que tenga a uno y otro de los puntos creados como extremos y Con la herramienta Pendiente crear la de la recta que contiene al segmento creado
9. derecho de la Vista Gr fica la expone E e S y oculta El Los Ejes y la Cuadr cula pueden mostrarse u ocultarse empleando la Barra de Estilo que se despliega pulsando en el bot n cuando dentro de la Vista Gr fica no hay objeto alguno seleccionado A Se p eden seleccionar diferentes vistas como la Vista Algebraica Gr fica Hoja de C lculo y o CAS de Algebra Simb lica seg n se tilden o no en el men Vista que se puede seleccionar de la lista desplegada al pulsar en el bot n de Men en Para desplazar la construcci n en la Vista Gr fica basta con seleccionar la herramienta que Desplaza la Vista Gr fica y arrastrarla El Protocolo de Construcci n es un tem del men Vista en cuya ventana emergente se lista la secuencia de construcci n para revisarla paso a paso y cambiar el orden o modificarla Usando los botones correspondientes se puede volver a realizar la construcci n paso a paso En su propio men se fija la lista exhaustiva de datos a ostentar por cada paso de construcci n Adem s se pueden desplazar las filas de cada paso hacia arriba o abajo para modificar el orden de los pasos Gu a R pida de GeoGebra 5 0 para Web y Tablet 4 Ejemplo 2 Par metros de una Ecuaci n Lineal Desaf o Cambiar din micamente los par metros de una ecuaci n lineal usando deslizadores Preparativos e Abrir la versi n Web o para Applet de GeoGebra y seleccionar la Perspectiva L de Alge
10. em s de la Vista Gr fica que aparece expuesta en la disposici n usual puede ponerse a la Vista desde el correspondiente men eLa Vista Gr fica 3D ela Vista CAS de lgebra Simb lica en la que se puede operar con literales empleando herramientas espec ficas ela Hoja de C lculo en que puede operarse con herramientas acorde incluso con recursos estad sticos de tratamiento de los datos euna instancia de C lculo de Probabilidades para graficar este tipo de distribuciones Todas las Vistas de GeoGebra est n din micamente vinculadas de modo tal que los cambios en un objeto no solo desencadenan los propios en los dependientes sino que las modificaciones provenientes de cualquiera de sus registros y se reflejar n de inmediato en los restantes Gu a R pida de GeoGebra 5 0 para Web y Tablet 2 Sea a dedo en Tablet o en la versi n Web guiando con el rat n o mouse los tiles de la Barra de Herramientas pueden trazarse construcciones en la Vista Gr fica a partir de elementos cuyas coordenadas o ecuaciones aparecen en simult neo en la Vista Algebraica lo geom trico y lo algebraico en GeoGebra se complementan y se registran uno junto al otro A continuaci n se desarrollar n ejemplos que pueden llevarse adelante tanto en la versi n Web como la de GeoGebra para Tablet sea clic a clic con el rat n o mouse o a dedo Para agiliza la redacci n se mantendr el t rmino clic como onomatopeya general En la Barra
11. la Barra de Estilo E e de Gu a R pida de GeoGebra 5 0 para Web y Tablet 9 Ejemplo 5 Punto de Intersecci n de una Recta y un Plano Desaf o Descubrir c mo se pueden intersecar un plano y una recta en la Vista 3D tridimensional de GeoGebra MJ le ds a gt A ON a f DC qA Poni 0 A 34 3 9 B 4 2 1 e C 0 11 1 33 1 22 Line a X 343 4 7 6 4 Preparativos e Abrir la versi n Web o para Applet de GeoGebra y seleccionar la Perspectiva de A Vista Gr fica 3D de la pantalla inicial o e Con un clic en el bot n de Men del extremo superior derecho de la ventana de GeoGebra para seleccionar Nuevo del men de Archivo y reci n entonces elegir la Perspectiva A Vista Gr fica 3D de la pantalla inicial Pasos de Construcci n Ingresar p x y zen el Campo de Entrada de la Vista Algebraica pulsando la tecla Enter para definir el plano p Crear dos puntos A y B anotando A 3 4 3 y B 4 2 1 en el Campo de Entrada de la Vista Algebraica pulsando la tecla Enter tras cada entrada Con la herramienta de Intersecci n y un clic en el plano y la recta se cre el punto correspondiente Exploraci n Con la herramienta de Desplazamiento se puede cambiar la posici n de los puntos A y B par air detectando qu sucede con el punto de intersecci n si la recta es paralela al plano o si sendos puntos est n en el mismo plano por ejemplo Gu a R pida de GeoGebra 5 0 para Web y Tablet 10 Deta
12. lles de Apreciaci n e Al rotar la Vista 3D con la correspondiente herramienta se logran diferentes puntos de apreciaci n de la construcci n Retoques Cosm ticos Se puede mejorar el aspecto de la construcci n apelando a los recursos que se ofrecen en la Barra de Estilo Por ejemplo incrementando el grosor del segmento para que resalte respecto del eje de ordenadas mostrar el valor de la pendiente en lugar del nombre u otros detalles Para lograrlo basta con seleccionar el objeto y pulsar en el bot n de Gr ficos de la esquina superior derecha de la Vista Gr fica abriendo as la Barra de Estilo E o CS Incluso se pueden ocultar tanto los ejes de coordenadas como el plano x y apelando a la Barra de Estilo Basta con un clic en cualquier lugar libre de la Vista Gr fica para asegurarse de no tener seleccionado objeto alguno y luego seleccionar el bot n de Gr ficos que se encuentra en el v rtice superior derecho de la para habilitarla gt M s Informaci n GeoGebra ofrece ejemplos de todo tipo adem s de otras informaciones y recursos Quedan invitados a visitar Software http www geogebra orqg La p gina web de GeoGebra en que encontrar n tanto informaci n complementaria y diversificada como la ltima versi n del programa Manual y Tutoriales http wikI geogebra orqg Consultas al foro o a la moderadora Ims Wcentrobabbage com GeoGebra Tube http www geogebratube org http
13. nci n Los valores de la columna A determinan la coordenada x y los de B las ordenadas de los puntos iOjO Puede ser necesario emplear la herramienta que Desplaza la Vista Gr fica si alguno de los cinco puntos no quedara visible Seleccionar la herramienta An lisis Regresi n de dos variables de la Barra de Herramientas de la Vista Gr fica Crear la recta de mejor ajuste a los datos enmarcando los puntos en una selecci n rectangular que los contenga OjO Crear una selecci n rectangular con un clic en el v rtice superior izquierdo de la Vista Gr fica para luego deslizarse hacia inferior derecho de modo de dar cabida a todos los puntos en tal encuadre Exploraci n A partir de esta construcci n se puede evidenciar c mo los datos at picos afectan a la recta de mejor ajuste de un conjunto de datos Para ilustrar este efecto basta con arrastrar a uno o dos de los puntos para que opera como atipicidad OjO You can also change the initial data directly in the Spreadsheet View Detalles Cosm ticos Se puede mejorar el aspecto de la construcci n apelando a los recursos que se ofrecen en la Barra de Estilo Por ejemplo incrementando el grosor del segmento para que resalte respecto del eje de ordenadas mostrar el valor de la pendiente en lugar del nombre u otros detalles Para lograrlo basta con seleccionar el objeto y pulsar en el bot n de Gr ficos de la esquina superior derecha de la Vista Gr fica abriendo as
14. www geogebra org forum Por sugerencias o avisos dirigirse en ingl s al foro o en espa ol a la traductora y moderadora lillana saidonWcentrobabbage com Traducci n actualizaci n edici n y revisi n de Liliana Saidon lillana saidonOcentrobabbage com Directora del Centro Babbage Instituto GeoGebra para la Rep blica Argentina Gu a R pida de GeoGebra 5 0 para Web y Tablet 11
15. y dos puntos de intersecci n uno o ninguno OjO Con la herramienta de Desplazamiento se puede cambiar el valor de los deslizadores para crear nuevas funciones a explorar Consideraciones La Vista CAS permite operar con fracciones ecuaciones y f rmulas que incluyan literales o dicho de otro modo variables no definidas Ingresos y auto completado NS Ingresar y 2X 1 para definir una ecuaci n NS Ingresar f x 2x 1 para asignarle el nombre fa la funci n Al anotar par ntesis o corchetes de apertura GeoGebra intercala los de cierre correspondientes autom ticamente Al anotar las primeras letras de un comando en la Vista CAS GeoGebra intenta completarlo autom ticamente proponiendo una sintaxis posible e incluso desplegando una lista de sugerencias de la que se puede elegir la alternativa que se precise Gu a R pida de GeoGebra 5 0 para Web y Tablet La Barra de Herramientas de la Vista CAS ofrece tres diferentes para establecer el resultado de lo ingresado f Eval a calcula y simplifica lo ingresado en t rminos simb licos Valor num rico calcula num ricamente lo ingresado y establece el resultado en notaci n decimal Conserva entrada conserva y controla lo ingresado Es muy til cuando solo se quiere una simplificaci n autom tica como por ejemplo al anotar expresiones con las que se va a operar por secciones Se puede operar incluso con partes de una expresi n Basta con seleccion
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