Construcción de lugares geométricos en un ambiente de Geometría
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1. Sea O el centro de C Elegir un punto Q en C Construir la semirrecta OQ L F Trazar la mediatriz M del segmento PQ Construir el LG del punto de intersecci n de M con la semirrecta OQ cuando Q se desplaza en C i LG de la intersecci n de M y OQ Mariano Gonz lez Ulloa mgonzal pucp edu pe http macare Construir el LG de los puntos que equidistan de P y L Fijar una intersecci n A de los dos LGs La circunferencia con centro en A que pasa por P es una soluci n del problema Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare LG de los puntos que equidistan de P y L Dadas tres circunferencias con el mismo centro y diferentes radios construir un tri ngulo equil tero de manera que cada v rtice del tri ngulo se encuentre en cada una de las circunferencias Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare Llamar O al centro de las circunferencias Construir las tres circunferencias Ci C gt CG con centro en O y radios O0 lt n lt nm lt Hn respectivamente Elegir un punto A en C4 y M en Ca Construir el tri ngulo equil tero AMP Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare El tri ngulo equil tero AMP Construir el LG de P cuando M se desplaza en G Si existe marcar el punto B intersecci n del LG y C2 A partir del segmento AB construir el tri ngulo equil tero ABC El tri ngulo ABC es una soluci n del problema Mariano Gon2. d P B y Segmento AB transferir dicho valor a la semirrecta Llamar N al punto Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare Nociones preliminar Proble Problemas Complementarios Conclusiones Referencias Ubicar el punto medio de PN Llamarle R Zoe Or z semirrecta y perpendicular Mariano Gonz lez Ulloa mgonzal pucp edu pe http macare C ivc Nociones prelimin Prot Problemas Complementarios Conclusion Re Ubicar el punto medio de PN Llamarle R Trazar por N la perpendicular a EA la semirrecta Llamarla L i P A B L semirrecta y perpendicular Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare C ivc Nociones prelimin Prot Problemas Complementarios Conclusion Re Ubicar el punto medio de PN Llamarle R Trazar por N la perpendicular a t la semirrecta Llamarla L i Or z Transferir 0 05 a la semirrecta Llamar Q al punto 3 semirrecta y perpendicular Mariano Gonz lez Ulloa mgonzal pucp edu pe http macare Nociones prelimin Problema Problemas Complementa Conclusion Re Ubicar el punto medio de PN Llamarle R Trazar por N la perpendicular a EA la semirrecta Llamarla L i A P Transferir 0 05 a la semirrecta j A B Llamar Q al punto 3 Construir el segmento MQ semirrecta y perpendicular Mariano Gonz lez Ulloa mgonzal pucp edu pe http macare Nociones prelimin Problema Problemas Co
3. Dadas tres rectas paralelas construir un tri ngulo equil tero de manera que cada v rtice se encuentre en una de las rectas Mariano Gonz lez Ulloa mgonzal pucp edu pe http macare Construir tres rectas paralelas L1 L2 y L3 Elegir un punto M en L1 y B en L2 Tomar como lado MB y construir un tri ngulo equil tero MPB Mariano Gonz lez Ulloa mgonzal pucp edu pe http macare Tri ngulo equil tero MPB ivo Nociones prelimin Problema Problemas Complen Construir el LG de P cuando M f D N se desplaza en L1 lr j Fijar el punto C intersecci n del LG de P con L3 LG del v rtice P Mariano Gonz lez Ulloa mgonzal pucp edu pe http macare ivo Nociones prelimin Problema Problemas Complen LS Construir la circunferencia con centro en B y que pasa por C a Llamar A al punto de intersecci n de la circunferencia con L1 Circunferencia con centro en B y que pasa por C Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare Nociones preliminares GUEC Problemas Compl El tri ngulo ABC es una soluci n del problema NENE Me TAS a UE mgonzalOpucp edu pe htt Tri ngulo ABC ivo Nociones prelimin Problema Problemas Complen Dados un punto P una circunferencia C y una recta L Construir una circunferencia que pase por P y sea tangente tanto a C como a L Mariano Gonz lez Ulloa mgonzal pucp edu pe http macare
4. ngulo es A bxy 5y y b 2by A 1y b 2by yy b 2y lt b y y b 2y 3 4 3 bt lt 4x27 El rea m xima es E y se alcanza cuando y aio x Il ajo Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare Nociones prelimin Problema Problemas Complementa Conclusion Re Dado un segmento AB construir el LG de los puntos P ubicados en un mismo plano de manera que la diferencia de distancias de A a P y de P a B sea menor de 0 05cm Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare Construir el segmento AB Segmento AB Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare C ivc Nociones prelimin Prot Problemas Complementarios Conclusion Re Construir el segmento AB Elegir un punto P que no pertenezca al segmento AB Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare Segmento AB C ivc Nociones prelimin Prot Problemas Complementarios Conclusion Re Construir el segmento AB Elegir un punto P que no m pertenezca al segmento AB Elegir un punto M y construir 4 una semirrecta con origen M A B Segmento AB Mariano Gonz lez Ulloa mgonzal pucp edu pe http macare Nociones prelimin Problema Problemas Complementa Conclusion Re Construir el segmento AB Elegir un punto P que no Sa pertenezca al segmento AB Elegir un punto M y construir 4 una semirrecta con origen M A B Calcular d A P
5. Nociones prelimin blema Problemas Complen Concli Re Mariano Gonz lez Ulloa 1 mgonzal pucp edu pe http macareo pucp edu pe mgonzal index htm 13 de agosto de 2010 lPont Univ Cat lica del Per Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare Lugar Geom trico Media aritm tica y media geom trica Problema 1 Problema 2 Problema 3 Problema 4 Problema 5 Problema 6 QOLA DOA Mariano Gonz lez Ulloa mgonzal pucp edu pe http macare Cualquier actividad a realizar se convierte en un problema En Matem ticas una manera de introducir conceptos y resultados es resolviendo problemas En particular en la ense anza de la Geometr a Una herramienta importante en este desarrollo es la Geometr a Din mica GD La GD ofrece ciertas ventajas para obtener la soluci n de problemas que requieren la construcci n de lugares geom tricos Aqu presentamos algunos ejemplos a trav s de los cuales podremos ver las ventajas y limitaciones de la GD Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare Intr n Objetivos Nociones prelimin Introducir conceptos y resultados de geometr a a trav s de la resoluci n de problemas de geometr a plana y tridimensional mediante la construcci n de lugares geom tricos Conocer el manejo y uso de un programa de GD para realizar construcciones tanto en el plano como en el espacio tridimensional Usar GD para conjeturar la soluci n d
6. a mediatriz del segmento FM Perpendicular a L y f E mediatriz de FM Marque el punto P intersecci n de L con la mediatriz de FM Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare C ivo Nociones prelimin Problemas Problemas Complen Marque el punto P intersecci n L de L con la mediatriz de FM E Genere el LG de P cuando M se g desplaza en L LG de los puntos que equidistan deFyL Mariano Gonz lez Ulloa mgonzal pucp edu pe http macare C ivo Nociones prelimin GUEC Problemas Complen Dados dos puntos A y B y una recta L contenidos en el mismo plano construir una circunferencia que pase por A y B y sea tangente a la recta L Mariano Gonz lez Ulloa mgonzal pucp edu pe http macare Construir el LG de los puntos y que equidistan de A y L la B par bola con directriz L y foco A A T Construir la mediatriz del segmento AB LG de los puntos que equidistan de A y L Mariano Gonz lez Ulloa mgonzal pucp edu pe http macare Ubicar los puntos de intersecci n de la par bola y la Pl mediatriz del segmento AB ps Uno de estos puntos es el centro de la circunferencia tangente a L que pasa por A y B Mediatriz de A y B Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare Circunferencia tangente a L que pasa por A y B Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare ivo Nociones prelimin Problema Problemas Complen
7. alelep pedo Mariano Gonz lez Ulloa mgonzal pucp edu pe http macare Nociones prelimin Problema Problemas Complementa Conclusion Re Sea V x y z xy z el volumen del paralelep pedo El problema consiste en optimizar la funci n V x y z bajo las restricciones x gt 0 y gt 0 72 gt 0 x y z 3 V x y z xyz 3 F 3y 5 1 El m ximo volumen es 1 y se alcanza cuando x y z 1 IA Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare Pro Podemos observar que los problemas que se resuelven recurriendo a la construcci n de alg n lugar geom trico permiten al estudiante indagar si el problema tiene soluci n y en caso la tenga permite conjeturar si existe m s de una soluci n Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare Referencias Podemos observar que los problemas que se resuelven recurriendo a la construcci n de alg n lugar geom trico permiten al estudiante indagar si el problema tiene soluci n y en caso la tenga permite conjeturar si existe m s de una soluci n Al hacer las construcciones para la soluci n de un determinado problema permite al estudiante revisar propiedades y conceptos propios de la geometr a lo cual ayuda a la reafirmaci n de los mismos Mariano Gonz lez Ulloa mgonzal pucp edu pe http macare Introducci n Nocione Problemas Complementarios Conclusiones Referencias Pp Mariano Gonz lez Ulloa mg
8. e determinados problemas de construcciones geom tricas Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare Un lugar geom trico LG es el conjunto de todos los puntos que satisfacen una determinada propiedad Si el lugar geom trico es definido por la propiedad P entonces Todo punto del LG satisface la propiedad P Todo punto que satisface la propiedad P pertenece al LG Por ejemplo una circunferencia es el lugar geom trico de los puntos contenidos en un plano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado centro Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare Pro Sean a1 a2 an n meros reales positivos la media aritm tica de tales n meros es n 2a an n MA y la media geom trica es MG v a122 an Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare Pro Si a1 a2 an son n meros reales positivos entonces a 2a2 adn n yaa dp La igualdad ocurre si y solo si a a2 an Prueba Ver Bulajich 2005 Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare Dada una recta L y un punto F ubicados en un mismo plano identificar el conjunto de puntos en dicho plano que equidistan de la recta L y del punto F Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare Construya una recta L y un punto F Elija un punto M en L L Trace la recta L perpendicular a F L por M T Construya l
9. e http macare C ivc Nociones prelimin Prot Problemas Complementarios Conclusiones Re Construir el tri ngulo con v rtices en A 3 0 0 B 0 3 0 y C 0 0 3 Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare Planox y z 3 Nociones prelimin Problema Problemas Complementa Conclusion Re Construir el tri ngulo con v rtices en A 3 0 0 B 0 3 0 z y C 0 0 3 Elegir un punto P de la regi n tringular ABC Plano x y z 3 Mariano Gonz lez Ulloa mgonzal pucp edu pe http macare Nociones prelimin Prot Problemas Complementa Conclusion Re Construir el tri ngulo con v rtices en A 3 0 0 B 0 3 0 y C 0 0 3 Elegir un punto P de la regi n tringular ABC Usando el origen de coordenadas y el punto P como extremos de la diagonal principal construir el paralelep pedo de acuerdo a las Plano x y z 3 condiciones del problema Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare Nociones prelimir Proble Problemas Complementarios Conclusiones Referencias Calcular el volumen del paralelep pedo M ximo volumen de un paralelep pedo Mariano Gonz lez Ulloa mgonzal pucp edu pe http macare Nociones prelimin Prot Problemas Complementarios Conclusion Re Calcular el volumen del paralelep pedo Mover el punto P en la regi n triangular para averiguar el valor m ximo del volumen M ximo volumen de un par
10. mplementa Conclusion Re Ubicar el punto medio de PN Llamarle R Trazar por N la perpendicular a t la semirrecta Llamarla L Or z Transferir 0 05 a la semirrecta Llamar Q al punto 3 Construir el segmento MQ Ubicar el punto de intersecci n semirrecta y perpendicular de L con el segmento MQ Mariano Gonz lez Ulloa mgonzal pucp edu pe http macare Nociones prelimina Probl Problemas Complementarios Conclusi Ubicar el sim trico de dicho punto respecto a R Mariano Gonz lez Ulloa mgonzal pucp edu pe htt C ivc Nociones prelimin Prot Problemas Complementarios Conclusiones Re Ubicar el sim trico de dicho punto respecto a R Activar la traza en el ltimo punto marcado Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare C ivc Nociones prelimin Prot Problemas Complementarios Conclusiones Re Ubicar el sim trico de dicho punto respecto a R Activar la traza en el ltimo punto marcado Arrastrar el punto M Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare Nociones prelimin Prot Problemas Complementa Conclusion Re Construir un paralelep pedo con un v rtice en el origen de coordenadas tres de sus caras en los planos coordenados y el v rtice diagonalmente opuesto al origen en el plano x y z 3 Hallar la longitud de las aristas para que el paralelep pedo tenga volumen m ximo Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu p
11. onzal pucp edu pe http maca Nociones prelimina Problema Problemas Complementarios Conclusiones Referencias Mariano Gonz lez Ulloa mgonzal pucp edu pe http maca Referencias Muchas gracias iano Gonz lez Ulloa mgonzal pucp edu pe http maca Construcci n de lugares geom tricos en un ambiente de Geome
12. roblema Problemas Complementa Conclusion Re Fijar los puntos Fi y F2 Construir la circunferencia C con centro en F y radio igual a d Elegir un punto Men C Trazar la mediatriz de FoM Ubicar el punto P intersecci n de la mediatriz con F M Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare Nociones prelimin Problema Problemas Complementa Conclusion Re Fijar los puntos Fi y F2 Construir la circunferencia C con centro en F y radio igual a d Elegir un punto Men C Trazar la mediatriz de FoM Ubicar el punto P intersecci n de la mediatriz con F M Construir el LG de P cuando M se desplaza en C Es la soluci n del problema Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare Nociones prelimin Prot Problemas Complementa Conclusion Re Considerar una hoja de papel rectangular ABCD de lados a y b 0 lt a lt b Doblar la hoja de manera que el v rtice B caiga sobre el lado opuesto AD en el punto B formando el tri ngulo rect ngulo PAB P es el punto de doblez del lado AB Hallar las longitudes de los catetos del tri ngulo rect ngulo PAB para que su rea sea m xima Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare Nociones preliminar Probl Problemas Complementarios Sean a yb a lt b los lados del rect ngulo ABCD x e y los catetos del tri ngulo rect ngulo PAB y b y su hipotenusa Luego X ye 2by El rea del tri
13. z lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare ABC B jez El tri ngulo equil tero Nociones prelimin Problema Problemas Complementa Conclusion Re Dados dos puntos F y Fa fijos en un plano 7 y d un n mero positivo mayor que la distancia entre Fi y F2 identificar el conjunto de puntos P del plano T tales que la suma de la distancia de P a Fi m s la distancia de P a F sea igual a d Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare Nociones preliminar Problema Problemas Complementarios Conclusion Referencias Fijar los puntos Fi y Fo iano Gonz lez Ulloa mgonzalGpucp edu pe http macare C ivc Nociones prelimin Prot Problemas Complementarios Conclusion Re Fijar los puntos Fi y F2 Construir la circunferencia C con centro en F y radio igual a d Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare C ivc Nociones prelimin Prot Problemas Complementarios Conclusion Re Fijar los puntos Fi y F2 Construir la circunferencia C con centro en F y radio igual a d Elegir un punto Men C Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare Nociones prelimin Problema Problemas Complementa Conclusion Re Fijar los puntos Fi y F2 Construir la circunferencia C con centro en F y radio igual a d Elegir un punto Men C Trazar la mediatriz de FoM Mariano Gonz lez Ulloa mgonzalOpucp edu pe http macare Nociones prelimin P
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