Aplicación de Técnicas de Optimización en Sistemas Eléctricos
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1. Funci n costo de generaci n de la unidad i P Potencia generada por la unidad i ay Coeficientes 2 P rdidas de transmisi n m nima o Minimizar las p rdidas hmicas del sistema 5 gt Rl donde Ri Resistencia de la l nea conectada entre el nodo i j Intensidad de corriente que transporta la l nea conectada entre el nodo i y j 3 Desviaci n m nima del punto de operaci n o Se define como la suma de los cuadrados ponderados de las desviaciones de las variables de control V Vi y donde Vi Tensi n el nodo 4 M nimo n mero de variables de control re despachados pr ctica son pocas las variables que pueden ser controladas 1 3 4 Variables de Control 3 Las variables de control son las variables manipuladas es decir representan las acciones que puede ejecutar un operador del SEP En la operaci n y control de un SEP las variables de control se pueden agrupar de acuerdo a los problemas tratados las cuales son 1 Sub problema de Potencia Activa Los MWs generados Taps del cambiador de fase Intercambio de MWs Transferencia de MWs en los enlaces HVDC O 000 2 Sub problema de Potencia Reactiva o Tensi n de generaci n o Cambiadores de Taps de transformadores o Banco de capacitores y reactores 3 Sub problema de Potencia Activa y Reactiva o Transformadores con variaci n de Taps complejo 6 o Partida o parada de generadores o Reducci n y o despr2. 225 8 4P 0 0025P 45 350 0 80 729 6 3P 0 0081 2 45 350 1 02 400 7 5P 0 0025P2 bs 229 Los costos de suministros de cada unidad F c H son F 180 6 72P 0 0020P F 743 58 6 426P 0 00826P F 360 6 75P 0 00225P a Empleando del m todo Iterativo Lambda se tiene la siguiente soluci n Considerando un Ainiciai 8 0 para encontrar la soluci n se requiere iteraciones los resultados se muestran en la tabla siguiente Tabla 3 II Resultados de las iteraciones Iter A Pr Error 1 8 0 320 95 2554 277 7778 693 0332 243 0332 2 7 2 120 46 8410 100 266 8410 183 1590 3 7 5438 205 9513 67 6474 176 4012 450 0 0 El lambda de la 3 iteraci n se obtiene mediante la interpolaci n b La resoluci n del problema utilizando el software Eureka presenta los siguientes reportes LLL Eureka Solver Version 1 0 Thursday June 19 2003 9 22 pm Name of input file D OPTIMI 1 EUREKA EJEM31 Ejemplo 3 1 Problema 3 7 ref 1 PD 450 Demanda F1 2254 F2 729 4 F3 400 4 8 4 P1 6 3 2 r 7 5 P3 4 41 0 0025 P1 2 0 80 Costo de 0 0081 P2 2 1 02 Generaci n 0 0025 P3 2 0 9 por unidad L1 8 4 0 005 P1 0 80 Costos marginales Lambdas L2 6 3 0 0
3. 0 65 X2A 0 65 X2B 0 35 X2C gt 0 16 9 0 95 X3A 0 05 X3B 0 05 X3C lt 0 10 0 5 X3A 0 5 0 5 X3C gt 0 11 12 X1B X2B X3B lt X1C X2C lt 2850 1300 13 3 X1A 3 2 3 2 XIB 2 X2B 2 X3B XIC X2C lt END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 10000 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1 41500 00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 5150 000000 0 000000 X2 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 XIA 1000 000000 0 000000 X2A 0 000000 2 000000 X3A 0 000000 4 000000 2850 000000 0 000000 X2B 0 000000 2 000000 X3B 0 000000 4 000000 1300 000000 0 000000 X2C 0 000000 2 000000 0 000000 4 000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2 0 000000 10 000000 3 0 000000 8 000000 4 0 000000 6 000000 5 1575 000000 0 000000 6 12 500000 0 000000 7 0 000000 0 000000 8 0 000000 0 000000 9 0 000000 0 000000 10 0 000000 0 000000 11 0 000000 3 333333 12 0 000000 6 666667 13 0 000000 2 333333 NO ITERATIONS 3 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE XI 10 000000 INFINITY 2 000000 X2 8 000000 2 000000 INFINITY X3 6 000000 4 000000 INFINITY XIA 3 000000 5 000000 2 000000 17 a b c d 2 X2B X3B XIC X2C X3C ROW 1 O P 10 11 12 13 3 000000 3 000000 2
4. 61 X62 20 X63 31 X64 63 XOS SUBJECT TO 2 X12 X13 X14 XI15 X16 X11 795 3 X21 X23 X24 X25 X26 22 1215 4 X31 X32 X34 X35 X36 X33 670 5 X41 X42 X43 X45 X46 X44 670 6 X51 X52 53 X54 X56 X55 670 7 X61 X62 X63 X64 X65 X66 670 8 X21 X31 X41 X51 X61 X11 670 9 X12 X32 X42 X52 X62 X22 670 10 X13 X23 X43 X53 X63 X33 700 11 X14 X24 X34 X54 X64 X44 910 12 X15 X25 X35 X45 X65 X55 830 13 X16 X26 X36 X46 X56 X66 910 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 11 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1 23555 00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X12 0 000000 89 000000 X13 0 000000 11 000000 X14 0 000000 31 000000 25 XIS 0 000000 70 000000 XI6 125 000000 0 000000 X21 0 000000 7 000000 X23 30 000000 0 000000 X24 240 000000 0 000000 X25 160 000000 0 000000 X26 115 000000 0 000000 X31 0 000000 65 000000 X32 0 000000 136 000000 X34 0 000000 78 000000 X35 0 000000 98 000000 X36 0 000000 27 000000 X41 0 000000 9 000000 X42 0 000000 60 000000 X43 0 000000 2 000000 X45 0 000000 40 000000 X46 0 000000 0 000000 X51 0 000000 48 000000 X52 0 000000 60 000000 X53 0 000000 22 000000 X54 0 000000 40 000000 X56 0 000000 32 000000 X61 0 000000 40 000000 X62 0 000000 122 000000 X63 0 000000 13 000000 X64 0 000000 62 000000 X65 0 000000 94 000000
5. unit commitment El problema es dificultoso de resolver matem ticamente ya que involucra variables enteras binarias 1 O on off Esto es un generador en particular tienen que estar conectado o desconectado de la red pero no todos los generadores estar n conectados al sistema sino de acuerdo a los requerimientos operacionales satisfacer la demanda y disponer de suficiente reserva en giro para enfrentar una contingencia pero la cuesti n es cu l ser la pol tica ptima Para resolver el problema existen tres t cnicas ampliamente utilizadas que son la lista de prioridades la programaci n entera mixta y la programaci n din mica Este problema no se aborda en el presente trabajo 3 2 Modelaci n de Centrales Para analizar los problemas asociados con el control de la operaci n de sistemas el ctricos de potencia es necesario conocer muchos de los par metros de inter s principalmente el comportamiento de las plantas de generaci n 33 Una turbina de vapor t pica requiere de 2 a 6 de la salida de la unidad para los servicios auxiliares bombas de alimentaci n de la caldera ventiladores bombas para la circulaci n de agua en el condensador etc La salida el ctrica no est conectada solamente al sistema el ctrico de potencia sino tambi n al sistema de potencia auxiliar en la central el ctrica La salida neta de la planta es la potencia el ctrica disponible para ser utilizado por el sistema el ctri
6. 000000 2 000000 2 000000 1 000000 1 000000 1 000000 2 000000 4 000000 INFINITY 2 000000 4 000000 INFINITY 2 000000 4 000000 INFINITY INFINITY 2 000000 INFINITY INFINITY 2 000000 INFINITY INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES CURRENT RHS INCREASE 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 2850 000000 1300 000000 10000 000000 5150 000000 0 000000 0 000000 INFINITY 12 500000 INFINITY 0 000000 INFINITY 0 000000 150 000000 3000 000000 150 000000 Cu l es la soluci n ptima ALLOWABLE ALLOWABLE DECREASE INFINITY INFINITY INFINITY 1575 000000 INFINITY 0 000000 INFINITY 0 000000 INFINITY 1890 000000 15 000000 3000 000000 De los datos se desprende que solo se produce la mezcla 1 Precios duales Ingredientes B 3 3333 Ingredientes C 6 6667 Del Capital 2 3333 Cu l es la utilidad semanal Utilidad semanal 41500 Cuales son los porcentajes de los ingredientes b sicos de la mezcla ptima Porcentaje de ingredientes b sicos en la mezcla ptima Ingrediente A 19 41 Ingrediente B 55 33 Ingrediente C 25 25 Es nica la soluci n ptima 18 e f S La soluci n ptima es nica ya que los costos reducidos son ceros las variables b sicas y mayores que cero en todas las variables no b sicas Adem s todos los multiplicadores de Lagrange DUAL PRICES son mayores o iguales que
7. 4 60 3 6 48 1 5 20 4 5 63 1 6 68 4 6 30 2 3 20 5 6 61 2 4 40 2 5 31 2 6 30 Las l neas tienen una capacidad de 100 MVA estos l mites est n dados por consideraciones de estabilidad En la Fig 2 se muestra el sistema de potencia tomado de la referencia 15 240 MW 80 MW 50 MW 240 MW O a es dii TY MW Fig 2 Estado del Sistema de Potencia Para resolver este problema se plantea un problema de optimizaci n sobre la base del modelo de transbordo caso particular del modelo de transporte donde existen nudos fuentes nudos de demanda y nudos de transbordo 16 La formulaci n matem tica del problema de transporte con transbordo queda de la siguiente forma 23 Min gt CijXij ieN jeN sa paraleN jeN bj K parajeN ieN OS Xjj SU D SULLO 2 2 m Nudos fuente generadores Jo ETL Aw n gt Nudos de demanda cargas N a Generaci n el nudo para i b Demanda en el nudo j para j Costo de transportar potencia desde el nudo i hasta el nudo j Cantidad de potencia enviada de hasta j Ui L mite superior del flujo de potencia enviada desde hasta j Determinada por la capacidad de la l nea de transmisi n K Suma de las demandas generaci n Si i e I entonces gt 0 de otro modo 0 Si j J entonces gt 0 de otro modo bj 0 O para todo i El costo de
8. 60 X53 40 X54 63 X56 20 X61 61 X62 20 X63 31 X64 63 X65 SUBJECT TO 2 X12 X13 X14 X15 X16 X11 795 3 X21 X23 X24 X25 X26 X22 1215 4 X31 X32 X34 X35 X36 33 670 5 X41 42 X43 45 X46 X44 670 6 51 52 X53 54 X56 55 670 7 X61 62 X63 X64 XOS X66 670 8 21 31 41 51 61 1 670 9 12 32 42 52 62 X22 670 10 X13 23 43 53 63 33 700 11 14 24 X34 54 64 44 910 12 15 25 35 45 65 55 830 13 16 X26 36 46 X56 X66 910 14 X16 lt 200 END LP OPTIMUM FOUND ATSTEP 17 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1 25450 00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X16 200 000000 0 000000 X24 385 000000 0 000000 X25 160 000000 0 000000 X36 40 000000 0 000000 X41 75 000000 0 000000 X43 70 000000 0 000000 X11 595 000000 0 000000 X22 670 000000 0 000000 X33 630 000000 0 000000 X44 525 000000 0 000000 X55 670 000000 0 000000 X66 670 000000 0 000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2 0 000000 50 000000 3 0 000000 0 000000 4 0 000000 70 000000 5 0 000000 30 000000 6 0 000000 30 000000 7 0 000000 90 000000 21 8 0 000000 50 000000 9 0 000000 0 000000 10 0 000000 70 000000 11 0 000000 30 000000 12 0 000000 30 000000 13 0 000000 90 000000 14 0 000000 20 000000 La soluci n final requiere la construcci n de 7 l neas con capacidad de 100 MVA 4 l neas en paral
9. carga de cada barra se comporta del mismo modo conforming load que la carga total La referencia 7 presenta procedimientos para calcular los coeficientes de B Bo y Boo 3 7 Factores de Penalizaci n De la soluci n de la funci n aumentada de Lagrange 39 o 0 para todo P lt P lt pres entonces Ea Pillo OP dP P Re ordenando la ecuaci n 1 dF 1 RL dP P 1 donde OP OP 1 se denomina p rdida marginal en la barra y CEN UN OP P se denomina factor de penalizaci n de la barra Las p rdidas se incrementan si se incrementa la potencia en la barra i por lo que el factor de penalizaci n es mayor que uno Esto significa que cuanto m s alejado se encuentra de la barra slack se tiene mayores costos incrementales debido a las p rdidas del sistema Para resolver un problema de despacho econ mico es necesario conocer las caracter sticas de las unidades de generaci n 3 8 Aplicaciones Ejemplo 3 1 Resoluci n del problema 3 7 planteado en la referencia 1 Asumiendo que las tres unidades t rmicas descritas en la tabla 3 1 est n en funcionamiento Determinar el despacho de carga econ mico para satisfacer una demanda de a 450 MW y b 850 MW 40 Tabla 3 1 Datos de los Generadores Datos de la Unidad Potencia Potencia Costo de Gasto de calor generada generada combustible m nimo m xima
10. cero esto asegura que se cumple la condici n de optimalidad de Karush 1930 Kuhn Tucker Lagrange K K T L El proveedor decide disminuir en 10 kilos la entrega de ingrediente C devolviendo su costo de 10 Es conveniente para la empresa Comente No le conviene a la empresa ya que su beneficio se modifica a 41420 El an lisis de sensibilidad solo nos indica que la cantidad total del ingrediente puede disminuir en 15 kilos asegur ndonos la invariabilidad de la base es decir nos asegura que seguimos produciendo solo la mezcla pero no nos entrega informaci n acerca de la variaci n del valor ptima o utilidad semanal El proveedor ofrece venderle 300 kilos adicionales del ingrediente B hasta que precio estar a la empresa disputa a pagar y si ofreciera 140 kilos Del an lisis de sensibilidad se desprende que no se deben comprar los 300 kilos del producto B ya que B 3150 se encuentra fuera del rango permitido 1216 666626 x bB x 3000 y as se asegura la permanec a de la base En el caso que solo se compraran 150 Kilos que es el m ximo permitido es necesario cambiar la restricci n 11 obteni ndose los siguientes resultados Utilidad semanal 42000 Mezcla 1 52000 kilos nica que se produce Ingrediente A 900 kilos Ingrediente B 3000 kilos Ingrediente C 1300 Kilos La diferencia de utilidad es de 500 que es lo m ximo que se est dispuesto a pagar por esos 150 kilos El precio m ximo a pagar e
11. est n conectados tanto en serie como en paralelo hablando hidr ulicamente En este caso la liberaci n de aguas arriba de una planta contribuye a la afluencia de la planta r o abajo conocido como acoplamiento hidr ulico La situaci n se pone a n m s compleja cuando las 35 plantas de bombeo almacenamiento est n construido conjuntamente con plantas hidroel ctricas convencionales El problema del uso ptimo de estos recursos involucra problemas complicados que est n asociados con la planificaci n del uso de aguas as como la operaci n ptima del sistema el ctrico y minimizar costos de producci n 11 Debido a la importancia del acoplamiento hidr ulico entre plantas se puede afirmar que no existen dos sistemas hidroel ctricos que sean exactamente iguales Por otra parte las plantas hidr ulicas se utiliza solamente durante los per odos donde las unidades t rmicas tienen altos costos de generaci n Otras veces se consideran como unidades de disponibilidad r pida reserva en giro 3 3 Modelo del Despacho de Carga Econ mico El modelo de optimizaci n queda formulada como sigue N Min E gt F P i 5 N P P gt P 0 i l p P lt pr donde Pr Demanda de Potencia PL P rdidas de potencia en el sistema P Potencia entregada por el generador i Es un problema de optimizaci n no lineal con restricciones de igualdad y desigualdad Para las restricciones de desigualdad
12. facilitar la comprensi n de los mismos A lo largo del texto una vez hecha la modelaci n y representaci n matem tica del problema se realiza la aplicaci n de tres programas de optimizaci n para la resoluci n de problemas de optimizaci n LINDO EUREKA y SOLVER de Excel Noviembre 1997 Armengol Blanco Benito ndice General Prefacio Indice General I 1 1 1 2 1 3 1 4 OPERACI N DE SISTEMAS EL CTRICOS Introducci n Modelaci n del Sistema El ctrico 1 2 1 Modelo de Optimizaci n 1 2 2 Variables de Control 1 2 3 Variables de Estado 1 2 4 Par metros de la Red 1 2 5 Perturbaciones de la Red Flujo Optimo de Potencia 1 3 1 Optimizaci n del SEP 1 3 2 Modelo de Optimizaci n del SEP 1 3 3 Objetivos Operacionales 1 3 4 Variables de Control 1 3 5 Restricciones de Operaci n Formulaci n de los Modelos de Optimizaci n 1 4 1 Dimensionamiento y Ubicaci n Optima de Bancos de Capacitores 2 3 2 4 2 5 1 4 1 1 Aplicaci n de la Programaci n Lineal 1 4 2 Operaci n Econ mica del SEP 1 4 3 Minimizaci n de P rdidas de Potencia Activa M TODOS DE OPTIMIZACI N Introducci n Programaci n Lineal 2 2 1 M todo Simplex 2 2 2 M todo Simplex revisado 2 2 3 El problema dual 2 2 4 Interpretaci n de las Variables Duales Software LINDO 2 3 1 Aplicaciones Programaci n No Lineal 2 4 1 T cnica de los Multiplicadores de Lagrange 2 4 2 T cnica de los Multiplicadores de Kuhn Tucker Softw
13. nica En la modelaci n se considera que los generadores est n conectados a una barra nica no se considera las p rdidas del sistema de transmisi n Sus caracter sticas principales son o Costo marginal nico o Independiente entre per odos de estudio o Modelo simple b Modelo de Red En la modelaci n se considera las p rdidas del sistema de transmisi n Sus caracter sticas principales son o Costo marginal por barra o Serequiere resolver las ecuaciones de flujo de potencia o Ecuaciones de p rdidas el ctricas o Dependencia entre per odos de estudio para sistema hidrot rmicos din mico o Alta complejidad gran dimensionalidad Existen otras alternativas en la modelaci n de sistema el ctrico que son combinaciones de los modelos b sicos En general la formulaci n del flujo ptimo de potencia como un problema de optimizaci n con restricciones queda expresado por Minimizar f u x sujeto a u Variables de Control x Variables de Estado f Funci n Objetivo g Restricciones de Red h Restricciones de Operaci n 1 3 3 Objetivos Operacionales Los objetivos operacionales son los problemas a enfrenar en la operaci n del SEP Los principales objetivos operacionales que se consideran en los sistemas el ctricos son los siguientes 3 1 Costo de operaci n m nimo o El objetivo comprende la suma de costos de generaci n y transacci n de potencia 2 agi ajP donde
14. optimizaci n est dado por 30 Minimizar f x x 0 25 x sujetoa g x x 5 x x 0 h x x x 0 2x 3 lt 0 La funci n de Lagrange aumentada es m igi x Y 0 25 7 x 5 X 0 2x 3 La primera condici n establece que c N A pu 0 OX Eis 21 0 2u 0 OX La segunda condici n establece que OL 2 809 5 0 La tercera condici n establece que A 32 La cuarta condici n establece que u x 0 2x 3 0 u gt 0 La soluci n del problema aplicando la condici n de optimalidad de K K T L es f 7 8125 x 2 5 x 2 5 5 9375 4 6875 La soluci n del problema resuelto por Eureka entrega el siguiente reporte Eureka Solver Version 1 0 Thursday June 19 2003 8 53 pm Name of input file 23 31 Ejemplo 2 3 f 0 25 x1 2 x2 2 min f x1 x2 5 0 2 x2 lt 3 k k K k Solution Variables Values f 7 8125000 x 2 5000000 x2 2 5000000 Confidence level 98 6 All constraints satisfied La desventaja del software Eureka es que no entrega los valores de las variables duales es decir los multiplicadores de Lagrange y Kuhn Tucker Estos multiplicadores indican como se mejorar a la soluci n al modificar cualquiera de las restricciones del
15. problema 32 111 OPERACI N ECON MICA DE SISTEMAS EL CTRICOS 3 1 Introducci n a operaci n econ mica de sistemas el ctricos de potencia consiste en minimizar los costos de operaci n del sistema sujeto a las restricciones de red y operaci n Para lo cual se deber modelar las centrales el ctricas t rmicas e hidr ulicas la red y la demanda 1 El fundamento del problema de operaci n econ mica se basa en el conjunto de caracter sticas de entrada salida de las unidades de generaci n t rmica vapor fuel diesel y gas nuclear e hidr ulica Este problema conocido tambi n como el problema del despacho econ mico busca un nivel de generaci n para cada uno de los generadores disponibles tal que el costo total de operaci n sea el m nimo para satisfacer a toda la carga y las perdidas 10 Se supone que existen N unidades conectadas al sistema el prop sito del problema es encontrar una pol tica de operaci n ptima para estas N unidades El sistema consiste en N unidades t rmicas de generaci n conectados a una barra colectora nica que suministra energ a a la carga que tiene una demanda Pg las unidades hidr ulicas se consideran como unidades t rmicas equivalentes Como las p rdidas de transmisi n son importantes entonces se deber incluir en la modelaci n del sistema Por otra parte el problema de entrada en servicio de una unidad u otra es m s complejo y se denomina pre despacho de carga
16. y reactores V Los enlaces de flujo d de Corriente Continua vi En condiciones especiales La potencia programada de las centrales hidr ulicas potencia de emergencia y desprendimiento de carga 1 2 3 Variables de Estado x Las variables de estado son las otras variables que son necesarias para definir el estado del sistema Los ngulos de fase 8 de las tensiones cada barra ii Las magnitudes de tensi n V en las barras de carga PQ La frecuencia f del sistema iv La potencia reactiva Q en las barras PV 1 2 4 Par metros de la Red p Son los estados de ligaz n de los distintos nodos del SEP i Las impedancias de las l neas transformadores y cables La susceptancia capacitiva de las l neas y cables La topolog a de la red y iv La carga modelada como impedancia constante 1 2 5 Perturbaciones de la Red b Las perturbaciones de la red est n dadas principalmente por la variaci n de la carga Si se considera un modelo determin stico la carga es constante en un cierto per odo Al considerar un modelo probabil stico se deber considerar la aleatoriedad de la carga En la modelaci n del SEP para el an lisis econ mico no se considera los problemas de estabilidad permanente o transitoria se supone que el sistema es estable y que los niveles de tensi n satisfacen los requerimientos de operaci n y est n dentro de los valores normales En otras palabras se supone que el siste
17. 0 25 2 15 65 3 5 50 El precio de venta por kilogramo de mezcla 1 2 y 3 es 10 8 y 6 pesos respectivamente La empresa estima que puede vender todo lo que produce de cada una de las mezclas Los costos por kilogramos de A B y C son de 3 2 y 1 pesos respectivamente y la disponibilidad de B y C est n limitadas a 2850 y 1300 kilogramos semanales respectivamente Por otra parte la empresa tiene solo 10000 semanales para estos ingredientes b sicos para producir sus mezclas La empresa quiere saber c mo programar su producci n semanal de modo de maximizar sus utilidades 1 Formule un modelo lineal que permita resolver el problema planteado 2 Resuelva este Modelo usando el Programa LINDO con an lisis de sensibilidad Responder las siguientes preguntas a Cu l es la soluci n ptima b Cu l es la utilidad semanal Cu les son los porcentajes de ingredientes b sicos en la mezcla ptima d Es nica la soluci n ptima e El proveedor decide disminuir en 10 kilogramos la entrega del ingrediente C devolviendo su costo de 10 Es esto lo conveniente para la empresa Comente f El proveedor ofrece venderle 300 kilogramos adicionales de ingrediente B hasta qu precio estar a la empresa dispuesta a pagar g De acuerdo a los resultados le sugerir a Ud a la empresa solicitar dinero prestado para adquirir m s ingredientes Qu ingredientes podr a a
18. 0 0 0 0 0 Valor de la celda f rmula 0 0 0 13 lt P 13 2850 0 0 15 lt P 15 0 0 0 14 gt P 14 10000 0 0 17 lt P 17 0 0 0 12 gt P 12 12 5 0 10 gt P 10 0 0 0 11 P 11 1300 0 0 16 lt P 16 1575 0 0 9 P 9 0 0 0 8 P 8 0 0 0 7 P 7 0 0 0 6 P 6 49 Estado Obligatorio Obligatorio Obligatorio Obligatorio Obligatorio Opcional Obligatorio Obligatorio Opcional Opcional Opcional Opcional Divergencia 0 0 0 0 0 0 0 12 5 A 3 Flujograma M todo Iterativo Lambda Comienzo Calcular P Calcular Error e Fig A 3 Diagrama de flujo m todo iterativo proyecci n Lambda 50
19. 162 P2 1 02 o Multiplicadores L3 7 5 0 005 P3 0 90 de Lagrange de cada unidad 2 min F P1 P2 P3 PD Generaci n Demanda 54 lt P1 lt 350 Limites de generaci n 45 lt 2 lt 350 47 5 lt P3 lt 450 E Solution Variables Values F 4485 6381 1648 8252 2 1216 0904 1620 7224 L1 7 5438055 L2 7 5438055 L3 7 5438055 P1 205 95138 P2 67 647390 P3 176 40123 Eureka Solver Version 1 0 Page 2 Thursday June 19 2003 9 22 pm Name of input file 450 00000 Confidence level 96 1 All constraints satisfied Cuando la carga sube 850 MW El reporte del software Eureka es el siguiente 42 Eureka The Solver Version 1 0 Thursday June 19 2003 9 25 pm Name of input file 1 DLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLE Ejemplo PD 850 225 F2 729 4 3 1 Problema 3 7 ref 1 Demanda 8 4 P1 0 0025 P1 2 0 80 Costo de 6 3 P2 0 0081 P2 2 1 02 Generacion 400 4 7 5 P3 0 0025 P3 2 0 9 por unidad L1 8 4 0 005 P1 0 80 Costos marginales Lambdas L2 6 3 0 0162 P2 1 02 o Multiplicadores L3 7 5 0 005 P
20. 3 0 90 de Lagrange de cada unidad F Fl F2 min F P1 P2 P3 PD Generacion Demanda 54 lt P1 lt 350 Limites de generacion 45 lt P2 lt 350 47 5 lt P3 lt 450 DLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLI Solution Variables F Fl F2 F3 L1 L2 L3 P2 P3 Values 7660 5107 2777 0000 1654 1953 3229 3153 8 1200000 8 4491118 8 4490436 350 00000 122 43475 377 56525 Eureka Solver Version 1 0 Page 2 Thursday June 19 2003 9 25 pm Name of input file 43 O PD 850 00000 Confidence level 96 0 1 constraint not satisfied el primer caso carga de 450 MW los costos marginales lambdas son iguales En el segundo caso cuando la carga llega a 850 MW la unidad 1 trabaja a su m xima capacidad su costo incremental es menor que de las restantes es la unidad m s econ mica Referencias Bibliogr ficas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 Wood B F Wollenberg Power Generation Operation amp Control Jhon Wiley amp Sons New York 1983 A Blanco Control de Emergencias y Desprendimiento Optimo de Carga Tesis de Magister PUCCh Santiago de Chile 1992 B Stott et al Security Analysis and Optimization Proc IEEE Vo
21. 5 1550 000000 0 000000 6 0 000000 30 000000 7 0 000000 0 000000 8 0 000000 8 461538 9 0 000000 0 000000 10 0 000000 7 000000 11 0 000000 0 500000 12 0 000000 31 500000 13 375 000000 0 000000 Este modelo arroja como resultado Beneficio semanal 42375 Mezcla 1 5200 kilos Unica que se produce Ingrediente A 1050 kilos Ingrediente B 2850 kilos Ingrediente C 1300 kilos En el anexo A 2 se presenta la misma soluci n utilizando la rutina SOLVER de la hoja electr nica Microsoft EXCEL 13 La rutina SOLVER resuelve problemas lineales lineales enteros y no lineales Los datos del modelo deben ser introducidos en la hoja de c lculo en el formato requerido por EXCEL Ejemplo 2 2 Una empresa el ctrica desea ampliar su sistema de transmisi n para satisfacer el crecimiento de la demanda de potencia 15 Inicialmente el sistema consta de 5 barras una vez realizada la predicci n de la demanda y generaci n en la tabla 2 11 se tiene la programaci n de la generaci n Y en la tabla 2 III est n los datos de las longitudes entre las distintas barras Tabla 2 II Datos de Potencia Inyectada Barra Generaci n Carga Pp 1 50 80 30 2 0 240 240 3 165 40 125 4 0 160 160 5 0 240 240 6 545 0 545 22 Tabla 2 Longitudes entre las distintas barras P Q Longitud P Q Longitud Mi Mi 1 2 40 3 4 59 1 3 38 3 5 20 1
22. 98 No 3 May June 1979 pp 1061 1068 F S Hillier G J Lieberman Introducci n a la Investigaci n de Operaciones Mc Graw Hill M xico 3ra Edici n 1991 45 ANEXOS A 1 Ayuda y Comandos del LINDO MS DOS help THIS IS LINDO LINEAR INTERACTIVE DISCRETE OPTIMIZER COPYRIGHT C 1998 1999 LINDO SYSTEMS LINDO IS LICENSED MATERIAL WITH ALL RIGHTS RESERVED COPYING EXCEPT AS AUTHORIZED IN LICENSE AGREEMENT IS PROHIBITED LINDO SOLVES LINEAR INTEGER AND QUADRATIC PROGRAMS ENTERED IN NATURAL FORM THE FOLLOWING WOULD BE VALID INPUT MAX 2X 3Y sT 4 5Y 9 6Y lt 13 END GO TO LEARN THE AVAILABLE COMMANDS TYPE COMMANDS TO GET HELP FOR A PARTICULAR COMMAND TYPE HELP name WHERE name IS THE COMMAND NAME FOR MORE HELP ON ENTERING A FORMULATION TYPE HELP MAX TO GET OUT OF A COMMAND WHICH IS PROMPTING FOR INPUT TYPE EITHER END OR SIMPLY A CARRIAGE RETURN YOU WILL RETURN TO COMMAND MODE SEE SPECIFIC COMMANDS FOR THE EFFECT IF ANY ON PROCESSING DONE BY THAT COMMAND MAXIMUM SIZE OF INPUTS ARE INPUT MAX SIZE NONZEROS 2000000 COLUMNS 300 ROWS 150 INTEGER VARIABLES 50 VAR ROW NAME CHARACTERS 8 LARGER VERSIONS ARE AVAILABLE PLEASE CONTACT LINDO SYSTEMS INC P O BOX 148231 CHICAGO IL 60614 EMAIL INFOQ LINDO COM TEL 312 988 7422 command LINDO COMMANDS BY CATEGORY FOR INFORMATION ON A SPECIFIC COMMAND TYPE HELP FOLLOWED 46 BY THE COMMAND NAME 1 INF
23. ORMATION HELP LOCAL TIME DATE 2 INPUT MAX MIN RETR RMPS TAKE LEAV RDBC FBR FINS 3 DISPLAY TABL LOOK NONZ SHOC SOLU RANGE BPIC RPRI DMPS PPIC LKLG 4 FILE OUTPUT SAVE DIVE RVRT SMPS SDBC FBS FPUN SMPN 5 SOLUTION GO 6 PROBLEM EDITING ALT EXT DEL SUB APPC SLB FREE 7 QUIT QUIT 8 INTEGER QUADRATIC AND PARAMETRIC PROGRAMS INT QCP PARA POSD TITAN GIN IPTOL 9 CONVERSATIONAL PARAMETERS WIDTH TERS VERB BAT PAUS 10 USER SUPPLIED ROUTINES USER 11 MISCELLANEOUS INV STAT BUG DEB SET TITL NEWPW 47 A 2 Aplicaci n de la Rutina SOLVER de Microsoft EXCEL Se muestra la planilla de datos y salidas para el ejemplo 2 2 EB X1 X X3 A OR A ab X2B Ee X3C 5150 O O 1000 0 O 2850 0 O 1300 0 0 Valor 10 8 6 3 3 2 2 2 4 4 41500 6 js t 7 r1 1 1 1 1 0 0 0 0 8 r2 1 1 1 1 0 0 0 0 9 r3 1 1 1 1 0 0 0 0 110 r4 0 5 0 5 0 5 lt 1575 0 0 0 r5 0 25 0 25 0 75 gt 12 5 0 0 r6 0 85 0 15 0 15 lt 0 0 0 0 r7 0 65 0 65 0 35 gt 0 0 0 0 14 r8 0 95 0 05 0 05 lt 0 0 0 0 15 r9 0 5 0 5 05 gt 0 0 0 0 16 r10 1 1 1 lt 2850 0 2850 0 17 r11 1 1 1 lt 1300 0 1300 0 18 r12 3 3 3 2 2 2 1 1 1 10000 0 10000 0 Microsoft Excel 9 0 Informe de sensibilidad Hoja de c lculo Libro21 xIs Hoja1 Informe creado 30 06 03 4 00 54 Celdas cambiantes Valor Gradiente Coeficiente Aumento Aumento Celda Nombre Igual re
24. UNIVERSIDAD T CNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA APLICACI N DE T CNICAS DE OPTIMIZACI N EN SISTEMAS EL CTRICOS Curso de Actualizaci n MCs Ing Armengol Blanco Benito Reimpresi n Oruro octubre 2003 PREFACIO presente texto del curso de actualizaci n sobre Aplicaci n de T cnicas de Optimizaci n en Sistemas El ctricos tiene el objetivo de profundizar el estudio de la operaci n econ mica de los Sistemas El ctricos de Potencia Para analizar la operaci n ptima de sistemas el ctricos de potencia se requiere del auxilio de varias t cnicas modelaci n an lisis optimizaci n dise o y simulaci n las cuales se estudian en los cursos superiores de Ingenier a El ctrica En este curso breve se har nfasis en la modelaci n del problema de Optimizaci n y sus m todos de soluci n Para que la operaci n del sistema tenga el costo m nimo se requiere utilizar principalmente los m todos de Optimizaci n denominados tambi n m todos de investigaci n operativa En una primera parte se analiza la operaci n de los sistemas el ctricos de potencia En la segunda parte se trata el problema de la optimizaci n y sus m todos de soluci n Y finalmente en la ltima parte se aborda el problema de la operaci n econ mica de los sistemas el ctricos de potencia En el texto se hace nfasis en el aspecto acad mico de los problemas enfocados con el fin de
25. XII 670 000000 0 000000 X22 670 000000 0 000000 X33 670 000000 0 000000 X44 670 000000 0 000000 X55 670 000000 0 000000 X66 670 000000 0 000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2 0 000000 41 000000 3 0 000000 0 000000 4 0 000000 68 000000 5 0 000000 30 000000 6 0 000000 30 000000 7 0 000000 61 000000 8 0 000000 41 000000 9 0 000000 0 000000 10 0 000000 68 000000 11 0 000000 30 000000 12 0 000000 30 000000 13 0 000000 61 000000 Analizando los resultados representados en la Fig 3a permite afirmar que es necesario la construcci n de 4 nuevas l neas Por otra parte los flujos en 4 l neas son ceros es decir son sub utilizadas Considerando que solo se pueden construir l neas con capacidad de 100 MVA y que las nuevas l neas se deben conectar a las barras cercanas al nudo generador Esta situaci n se puede simular 26 considerando que los costos de transporte a los nudos lejanos son altos en este caso se considera que los costos son 5 veces La reformulaci n del problema conduce a un nuevo modelo de optimizaci n y los resultados no nulos entregados por el software LINDO son TITLE EJEMPLO 2 2 L L GARVER MODIFICADO MIN 48 12 38 X13 20 X14 59 X15 20 X16 240 X21 340 X23 30 X24 30 X25 305 26 38 X31 68 X32 40 X34 60 X35 20 X36 20 X41 30 X42 40 X43 40 X45 156 X46 59 X51 30 X52
26. a que la soluci n ptima de un problema proporciona informaci n complementaria sobre la soluci n ptima para el otro Si se considera un modelo de optimizaci n en su forma can nica Min cx s a Entonces el problema dual utiliza exactamente los mismos par metros que el problema primal 2 2 4 Interpretaci n de las Variables Duales Una vez resuelto el modelo de optimizaci n lo relevante de la soluci n son las variables duales que dan informaci n respecto al mejoramiento de la soluci n que se puede lograr al modificar las restricciones o variables 2 3 Software LINDO El software LINDO Linear Interactive Discrete Optimizer 8 resuelve programas lineales enteros y cuadr ticos el modelo de optimizaci n se introduce en forma natural y es muy amigable su utilizaci n Este software inicialmente fue desarrollado en el lenguaje de programaci n FORTRAN Actualmente existe la versi n para ambiente Windows 2 3 1 Aplicaciones 14 Se presentan dos ejemplos resueltos utilizando el software LINDO el primero es un problema de una industria qu mica y el segundo problema es una aplicaci n a un SEP Ejemplo 2 1 Una peque a empresa produce tres tipos de productos qu micos mezclando en distintas proporciones tres ingredientes b sicos A B y C conforme a las siguientes especificaciones Tabla 2 Combinaci n de Ingredientes Mezcla M ximo porcentaje de M nimo Porcentaje de A C 1 5
27. accionado por la turbina La cantidad de material fisionable utilizado va decreciendo y no es capaz de mantener un nivel de potencia adecuado de modo que el combustible tiene que ser retirado y el reactor se recarga con un nuevo combustible En la instalaci n de una planta sobre la base de reactores nucleares ser necesario tomar en cuenta que los reactores comerciales disponibles tiene una capacidad como m nimo una potencia de 1000 MW para una operaci n rentable Se utiliza como planta base Una Planta hidroel ctrica tiene caracter sticas de entrada salida similares que una turbina de vapor pero sus costos marginales pueden despreciarse debido principalmente a que el combustible agua no tiene costo es gratuito En el despacho econ mico una planta hidroel ctrica se representa por un modelo t rmico equivalente para representar las restricciones de escasez de agua en per odos de sequ as La entrada est en funci n de volumen de agua por tiempo unitario y la salida est en funci n de la potencia el ctrica La Fig 4c y 4d muestra una curva de entrada salida t pica para una planta hidroel ctrica donde la ca da hidr ulica neta es constante Estas caracter sticas muestran una curva casi lineal del requerimiento de volumen de agua de entrada por unidad de tiempo como funci n de la potencia disponible a medida en que aumenta la potencia desde un m nimo hasta plena carga En muchas plantas los sistemas de r os
28. anto la funci n objetivo f y las restricciones g h son funciones lineales George B Dantzig 7 formula en 1947 el problema general de optimizaci n lineal y presenta el M todo Simplex para su resoluci n Sea el modelo de optimizaci n Maximizar 2 3 5 Sujeto a x lt 4 2x S12 3x 2x lt 18 X X 2 0 11 Considerando un espacio bidimensional en la Fig 1 se muestra la regi n soluci n regi n factible delimitado por las restricciones Una forma de visualizar la t cnica es emplear el m todo gr fico que consiste en encontrar la regi n soluci n dado por las acotaciones de las restricciones En forma general los puntos de intersecci n de las restricciones lineales v rtices del poliedro son los candidatos para ser soluci n del problema planteado En un espacio n dimensional la funci n objetivo es un hiperplano y las restricciones son otros hiperplanos entonces la regi n de intersecci n ser la soluci n factible La regi n factible en ste caso es un poliedro formado por los hiperplanos definidos por las restricciones en el espacio dimensional n El m todo simplex consiste en probar todos los puntos candidatos intersecciones si satisface la condici n de optimalidad entonces el punto de intersecci n en cuesti n ser la soluci n x2 10 8 X174 6 2x2 12 z 20 z 3 1 5 2 36 4 z 10 2 3x4 2x2 18 Fig 1 Soluci n gr fica 2 2 1 M todo Si
29. are EUREKA 2 5 1 Aplicaciones P g N O O UI YU UY YN N N F N 111 OPERACI N ECON MICA DE SISTEMAS EL CTRICOS Introducci n Modelaci n de Centrales Modelo del Despacho de Carga Econ mico M todos de Soluci n 3 4 1 M todo Iterativo Lambda Costos Marginales Costos Incrementales P rdidas de Transmisi n Factores de Penalizaci n Aplicaciones CJ CJ CJ w w Ww J OY UT Referencias Bibliogr ficas Anexos A 1 Ayuda y Comandos de LINDO A 2 Aplicaci n de la Rutina SOLVER de EXCEL A 3 Flujograma Del M todo Iterativo Lambda iii 42 46 I OPERACI N DE SISTEMAS EL CTRICOS 1 1 Introducci n a operaci n de los Sistemas El ctricos de Potencia SEP conlleva la aplicaci n e implementaci n de varias t cnicas tales como modelaci n an lisis optimizaci n dise o y simulaci n que ayudar n al operador del sistema a tomar una decisi n adecuada En la operaci n de sistemas interconectados se efect a el control y despacho econ mico de potencia de tal modo que los costos de operaci n sean m nimos Estos aspectos de la operaci n del sistema tropiezan con varios problemas los cuales necesitan ser resueltos Hoy en d a la operaci n de los sistemas el ctricos se basa en los costos marginales a corto mediano y largo plazo es decir los costos por d a semanas y a os respectivamente Con la desregulaci n del mercado el ctrico en el mundo muchos i
30. barra nica Por medio de los factores de penalizaci n se distribuyen los costos geogr ficamente Los costos marginales instant neos spot price o costo marginal a corto plazo de la potencia activa est n dados por x Y 38 Costo marginal para el nudo barra y Costo marginal de generaci n denominado sistema lambda com n a todos los nudos OL Costo marginal de p rdidas L son las p rdidas en el sistema k 07 4224 1224 ZB D Costo marginal de restricciones Z son las restricciones de red k L mite t rmico de transferencia l mites de estabilidad restricciones de seguridad l mites de potencia reactiva etc Los dos ltimos t rminos dependen del nudo en cuesti n Los costos incrementales se calculan en funci n de incrementos Mientras que los costos marginales se calculan como la derivada Para fines pr cticos se puede considerar que son iguales 3 6 P rdidas de Transmisi n Las p rdidas de un sistema el ctrico p rdidas en el sistema de transmisi n pueden representarse aproximadamente por 1 P B P P B B donde P Vector de Generaci n en MW B Matriz cuadrada de la misma dimensi n de P Bo Vector de la misma dimensi n de P Boo Constante La ecuaci n se denomina formula de p rdidas Y puede re escribirse como 1 P gt Bo 1 La suposici n b sica para la obtenci n de la formula es que la
31. co de potencia y es una informaci n til para planificar la generaci n En la Fig 4c y 4b se muestra la caracter stica entrada salida t pica Pmin Pmax Pmin Pmax Pmin Pmax Pmin Pmax de una planta o Fig 4 Caracter stica Entrada Salida t pica de plantas t rmicas e hidr ulicas donde F Costo de combustible P Potencia de salida Q Caudal de agua turbinada Ocasionalmente F es el costo operativo por hora de una unidad que incluye los costos de operaci n y mantenimiento adecuadamente prorrateado A finales de los 1960 un nuevo tipo de configuraci n de planta de vapor la planta de ciclo combinada comenz a ser utilizado en mayor grado 34 Una Turbina de gas de ciclo simple consiste en una turbina y compresor de gas conectados por un eje nico a una unidad generadora La turbina de gas de ciclo simple tiene un rendimiento en el rango de 25 al 30 es decir la tasa de calor de unidad de 13 600 a 11 400 MBTU KWH basado en el valor de calentamiento m s alto del combustible requiere diesel o gas como combustible y se utilizan principalmente para horas punta en los sistemas el ctricos Un reactor nuclear utiliza como combustible uranio ligeramente enriquecido como fuente de suministro de energ a b sica Durante el per odo de tiempo en que el combustible est en el reactor se genera calor y vapor que acciona una turbina de vapor convencional y la potencia el ctrica se obtiene del generador que es
32. dquirir Cu nto deber a estar dispuesto a pagar por cada peso prestado Hasta cu nto dinero podr a solicitar a este precio h Si el precio de venta de la mezcla aumenta en un peso por kilogramo cambia el programa de producci n ptimo Y si aumenta en tres pesos i Cu nto deber a aumentar como m nimo el precio de venta de la mezcla 3 para que cambie el programa de producci n ptimo j Puede decir algo de la soluci n ptima s el costo del ingrediente A baja a 2 5 el kilogramo Resoluci n En la resoluci n del problema se decidi agregar 3 variables adicionales las que nos permitan tener una visi n mas clara del comportamiento de cada una de las mezclas estas variables son Xi Total de kilos de la mezcla i i 1 2 3 El resto de las variables son Xij cantidad de kilos del ingrediente j en la mezcla i 1 2 3 j La utilidad est dada por la diferencia del ingreso por ventas de la mezcla menos los gastos por compra de insumos ingredientes La formulaci n del modelo lineal para resolver el problema est dada por TITLE EJEMPLO 2 1 TRES TIPOS DE PRODUCTOS QUIMICOS MAX 10X1 8X2 6X3 3XIA 3X2A 3 X3A 2 X1B 2 X2B 2 X2C X3C SUBJECT TO 2 X1 XIA XIB XIC O 3 X2 X2A 2 2 0 4 X3 X3A X3B X3C 0 5 0 5 XIA 0 5 XIB 0 5 lt 0 6 0 25 X1A 0 25 XIB 0 75 gt 0 7 0 85 X2A 0 15 X2B 0 15 2 lt 0 8
33. ducido objetivo permisible permisible B 2 X1 5150 0 10 1E 30 2 00000036 C 2 2 0 0 7 999999798 2 00000034 1E 30 D 2 X3 0 0 5 999999848 4 00000023 1 30 E 2 1 1000 0 3 5 5 71428712 F 2 2 0 6 3 000000288 5 71428689 1 30 G 2 0 8 3 000000288 8 00000068 1 30 H 2 X1B 2850 0 2 1E 30 3 33333333 962 2 0 6 1 999999949 5 71428668 1 30 9492 0 8 1 999999949 8 00000046 1E 30 K 2 X1C 1300 0 1 1 30 2 00000047 9192 2 0 0 1 000000339 2 00000046 1E 30 M 2 X3C 0 O 1 000000339 4 00000041 1 30 Restricciones Valor Sombra Restricci n Aumento Aumento Celda Nombre Igual precio lado derecho permisible permisible 0 13 lt Valor 0 0 0 0 0 1 30 0 0 15 lt Valor 2850 0 3 3 2850 150 1890 0 14 48 Microsoft Excel 9 0 Informe de respuestas Hoja de c lculo Libro21 xls Hoja1 Informe creado 30 06 03 4 00 54 Celda objetivo M ximo Celda Nombre 0 4 NOMBRE Celdas cambiantes Celda Nombre B 2 X1 C 2 D 2 E 2 F 2 G 2 H 2 1 2 J 2 K 2 L 2 M 2 X2 X3 X1A X2A X3A X1B X2B X3B X1C X2C X3C Restricciones Celda 0 13 0 15 0 14 0 17 0 12 0 10 0 11 0 16 0 9 0 8 0 7 0 6 Nombre lt Valor lt Valor lt Valor lt Valor lt Valor lt Valor NOMBRE NOMBRE NOMBRE Valor original Valor final 41500 0 41500 0 Valor original Valor final 5150 5150 0 0 0 0 1000 1000 0 0 0 0 2850 2850 0 0 0 0 1300 130
34. e instalar bancos n Todos los casos considerados El costo total ser gt C AQ 1 4 2 Operaci n Econ mica del SEP La operaci n econ mica de un sistema el ctrico ser ptima si los costos de generaci n son m nimos y son satisfechas las restricciones de red y operaci n La funci n costo est expresada por una funci n polinomial que depende de la potencia generada y est dado por 1 b ap j ps lt P lt p El modelo de optimizaci n queda expresado como Minimizar VF Sujeto a P P j pr lt P lt Pr donde P M nima Potencia Generada Pi Potencia Generada P M xima Potencia Generada Pr Demanda de Potencia P P rdidas de Potencia en el Sistema La soluci n de este modelo tambi n se lo puede realizar mediante la linealizaci n de las ecuaciones 6 y tener una soluci n aproximada 1 4 3 Minimizaci n de P rdidas de Potencia Activa 5 La minimizaci n est basada en la formulaci n del despacho de potencia reactiva consiste en minimizar las perdidas de potencia activa que se producen en las componentes hmicas de las ramas del SEP La funci n objetivo est representada por Minimizar P V 2V V cos 8 k 1 sujeto a Q sa lt Q lt Q NE lt ME Q Cp Q donde Vi Esel m dulo de tensi n del nodo i Q Y V V Y sen 8 0 0 Es la potencia reactiva inyectada en el nodo Qu Es la capacidad del banco de capacitor
35. elo entre G6 y D2 2 l neas en paralelo entre G6 y D4 una l nea en paralelo entre G3 y D5 Quedar an 2 l neas con flujo cero es decir son sub utilizadas Los resultados se ilustran en la Fig 3b 240 30 240 30 Fig 3 Resultados del problema de planificaci n de la expansi n 2 4 Programaci n No Lineal El modelo de optimizaci n no lineal Minimizar f x sujeto a gx 0 h x x0 donde f Funci n Objetivo g Restricciones de Igualdad h Restricciones de Desigualdad x Variables de Decisi n 28 2 4 1 T cnica de los Multiplicadores de Lagrange Si el modelo de optimizaci n solo contiene restricciones de igualdad se aplica el m todo de los multiplicadores de Lagrange 1780 La filosof a del m todo consiste en que la optimizaci n del problema n dimensional se convierte en un problema 2n dimensional de ecuaciones sea Minimizar f x sujeto a g x 0 donde x Vector de variables reales de dimensi n n La funci n de Lagrange se forma como m Z x X f x YA g x 1 1 donde 2 Multiplicador de Lagrange La condici n necesaria para obtener el ptimo est dada por SE zi J 1 2 n x Ed 1 1 2 m ON Del conjunto de n m ecuaciones se obtienen ntm inc gnitas X2 2 Am la soluci n de la cual da el punto ptimo en la regi n factible 2 4 2 T cnica de los Multiplicadores de Kuhn Tucker Si el modelo de optimizaci n adem s conti
36. endimiento de carga o Conmutaci n de L neas 1 3 5 Restricciones de Operaci n 3 Las restricciones de operaci n se refieren a las limitaciones f sicas de los diferentes equipos del SEP entonces se tendr an diferentes restricciones las cuales son 1 Sub problema de potencia activa Flujos de MWs en las ramas Los MWs de reserva rodante Intercambio de MWs entre reas Angulos de tensi n en barras O 0000 2 Sub problema de Potencia Reactiva Tensi n en barras Flujos de MVARS en las ramas Los MVARs de reserva rodante Intercambio de MVARS entre reas O 000 3 Sub problema de Potencia Activa y Reactiva o Flujos de MVAs y Corrientes en las ramas 1 4 Formulaci n de Modelos de Optimizaci n De las diversas funciones objetivos que se pueden deducir de los problemas reales se tendr a principalmente los siguientes o Dimensionamiento y Ubicaci n ptima de Banco de Capacitores o Operaci n Econ mica del SEP o Minimizaci n de P rdidas de Potencia Activa 1 4 1 Dimensionamiento y Ubicaci n ptima de Banco de Capacitores En la planificaci n y dise o de redes de transmisi n algunas veces es necesario la instalaci n de bancos de capacitores controlables en algunas barras para mantener la tensi n durante las condiciones de emergencia Considerando la seguridad del SEP uno de los mayores problemas son los MVARs necesarios y su ubicaci n en el sistema para evitar los colapsos de tensi n en el siste
37. ene restricciones de desigualdad se aplica el m todo de los multiplicadores de Kuhn Tucker 1955 Sea el problema de optimizaci n Minimizar f x sujeto a g x 0 lt 0 Vector de variables reales de dimensi n La funci n de Lagrange aumentada se forma como 29 0 XIAO k 1 donde 2 Multiplicador de Lagrange ux Multiplicador de Kuhn Tucker Las condiciones para obtener el ptimo de la funci n de Lagrange est n dadas por 1 Lo j 1 2 n Ox 2 7860 6 1 1 2 m D k 1 2 p 4 u 0 k 1 2 m 20 Para determinar las n m gt p inc gnitas xi X2 m U2 Up ES necesario resolver el conjunto de n m p ecuaciones La soluci n da el punto ptimo en la regi n factible 2 5 Software EUREKA Eureka The Solver 9 es un software desarrollado por la BORLAND INTERNATIONAL Inc con las siguientes caracter sticas 1 Resoluci n de ecuaciones lineales no lineales y trascendentes 11 Resoluci n de polinomios de orden mayor 111 Evaluaci n de derivadas y integrales iv Minimizaci n y maximizaci n de funciones con y sin restricciones El editor de Eureka pr cticamente es igual al editor del Turbo Pascal 2 5 1 Aplicaciones El software Eureka se aplica a la resoluci n de un problema tomado del ap ndice del cap tulo 3 de la referencia 1 Ejemplo 2 3 El modelo de
38. es inductores conectado en el nodo i nr N mero de ramas del sistema El presente modelo se puede resolver mediante la programaci n lineal al linealizar la funci n objetivo y las restricciones Las variables de control del problema son i Taps de los transformadores t ii Tensi n en bornes de los generadores Vg iii Banco de capacitores e inductores conectado en los nodos Q Cualquier cambio en las variables de control afecta a las variables de estado el perfil de tensiones del sistema y las p rdidas del sistema 10 II M TODOS DE OPTIMIZACION 2 1 Introducci n os distintos problemas de optimizaci n considerados en un sistema el ctrico de potencia en forma general pueden ser formulados o modelados como Minimizar f x sujeto a g x 0 h x SO donde Funci n Objetivo g Restricciones de Igualdad h Restricciones de Desigualdad x Variables de Decisi n Las funciones del modelo de optimizaci n pueden ser lineales no lineales o una combinaci n de ambas Existen diversos m todos y t cnicas para resolver el modelo de optimizaci n En general el problema de maximizar una funci n f hallar el m ximo se reduce a minimizar la funci n negativa f que tiene una soluci n v La soluci n del problema original es v ya que las restricciones no cambian En lo que sigue se presentan solo problemas de minimizaci n 2 2 Programaci n Lineal En los modelos de optimizaci n lineal t
39. ico el sistema el ctrico de potencia puede ser representado sin perder generalidad por 1 2 1 Modelo de Optimizaci n El planteamiento general del problema de optimizaci n del SEP conduce a un modelo general el cual puede ser resuelto por los algoritmos utilizados por las t cnicas de optimizaci n La formulaci n del problema general puede ser expresada como Minimizar f u x 1 sujeto a g ux 0 2 h ux sO 3 u lt u lt u 4 donde u Variable de Control x Variable de Estado 1 Funci n Objetivo 2 Restricciones de Red 3 Restricciones de Operaci n 4 L mites de la Variable de Control 1 2 2 Variables de Control u Para un tiempo dado son conocidas la potencia activa y reactiva de la carga y generaci n Para unidades t rmicas la funci n costo de combustible es conocida Para las plantas hidr ulicas la optimizaci n diaria entrega los valores de la potencia y tambi n la funci n de costos equivalente de la planta hidr ulica que se maneja como una planta t rmica ficticia En esas condiciones las variables sobre las cuales el operador del centro de control puede manipular usualmente son 2 i La potencia activa P generada por las unidades t rmicas o equivalentes 2 ii Las magnitudes de las tensiones Vg de generaci n y de condensadores s ncronos iii La relaci n de transformaci n taps t y cambiadores de fase a iv Otras fuentes de potencia reactiva Q banco de capacitores
40. l 75 No 12 December 1987 pag 1623 1644 R M Maliszewski et al Linear Programming as an Aid Planning Kilovar Requirements IEEE Trans PAS Vol PAS 87 No 12 December 1968 pp 1963 1968 N Deeb S M Shahidehpour Linear Reactive Power Optimization in a Large Power Network Using the Decomposition Approach IEEE Trans PS Vol 5 No 2 May 1990 pag 428 438 R Aduviri Operaci n Econ mica de Sistemas El ctricos de Potencia Proyecto de Grado UTO Oruro 1988 P S R Murty Power System Operation and Control Mc Graw Hill New Delhi 1984 LINDO Manual del Usuario Eureka Manual del Usuario F Schweppe et al Spot Pricing of Electricity Klumer Academic Publisher Bost n 1988 P Almendras Modelo de Coordinaci n Hidrot rmica en Sistemas El ctricos de Potencia Proyecto de Grado UTO Oruro 1996 H A Taha Investigaci n de Operaciones Una Introducci n Representaciones y servicios de ingenier a M xico 1981 K Mathur D Solow Investigaci n de Operaciones Prentice Hall M xico 1996 H Rudnick Aspectos T cnico Econ micos de la Desregulaci n del Sector El ctrico La Paz Bolivia Febrero 1995 44 15 16 17 L L Garver Transmission Network Estimation Using Linear Programming IEEE Trans PAS Vol PAS 89 NO 7 September October 1970 pp 1688 1697 D L Wall et al An Optimization Model For Planning Radial Distribution Networks IEEE Trans PAS Vol PAS
41. las condiciones necesarias para la soluci n son dE para P lt P lt P dP dF lt para P P dP dF gt para P 1 dP 36 3 4 M todos de Soluci n Existen varios m todos para resolver el problema que se pueden dividir en o M todos generales o M todos particulares Entre los m todos generales se pueden mencionar el m todo del gradiente del descenso m s pronunciado que es ampliamente empleado para resolver problemas de gran dimensionalidad Entre los m todos particulares enfocados a las particularidades del problema se tienen los siguientes Iterativo Lambda Gradiente de 1 orden Gradiente de 2 orden y Factores de participaci n O O O O 3 4 1 M todo Iterativo Lambda El m todo iterativo Lambda para resolver el problema del despacho de carga econ mico en sistemas t rmicos 1 es de f cil implementaci n computacional Soluci n Soluci n Fig 5 Ilustraci n gr fica del m todo lambda Para enfocar la soluci n de este problema y comprender el m todo es necesario apoyarse en una t cnica gr fica para resolver el problema y entonces extender ste por medio de algoritmos e implementarlo en un programa computacional Al elegir un valor para lambda sobre la base de una cierta heur stica est determinado la generaci n para cada planta la generaci n total ser mayor 37 menor que la demanda estableci ndose un error al considerar
42. ma 7 En algunas redes de transmisi n se utilizan condensadores s ncronos o capacitores est ticos para mantener un perfil de tensi n adecuado El problema consiste en determinar la ubicaci n y la cuant a y caracter sticas de los bancos de capacitores 1 4 1 1 Aplicaci n de la Programaci n Lineal La t cnica para la soluci n de los requerimientos de potencia reactiva puede ser hecha mediante m todos de programaci n lineal para buscar el m nimo requerimiento de potencia reactiva y satisfacer las condiciones de tensi n especificada El m todo est basado en la linealizaci n de las ecuaciones de flujo de carga para peque as variaciones el cambio de la magnitud de tensi n para un cambio de la potencia reactiva generada est dada por 4 AEi gt X AG La funci n objetivo elegida para la minimizaci n es la suma de los La soluci n deseada es minimizar la suma de los requerimientos de potencia reactiva Se puede a adir el costo por los MVARS de capacidad obteni ndose la suma CjAQj donde Cj es el costo del banco MVAR La formulaci n del problema de programaci n lineal y el modelo de Optimizaci n queda expresado por Minimizar 7 40 i Sujeto a AE Y XIAO AQ 20 donde AE Cambio de la magnitud de tensi n en la barra i Elemento de la matriz de reactancias AQ Cambio de los KVARs generados en la barra i i Todas las barras que conciernen 1 Todas las barras donde se pued
43. ma est en operaci n normal es decir no se consideran contingencias probables que llevar an al sistema a un estado de emergencia u otro 2 1 3 Flujo ptimo de Potencia La operaci n del SEP tiene asociado los costos de operaci n que dependen de los costos de generaci n y transacci n de energ a y potencia Los costos de operaci n comprenden costos fijos y variables Los costos fijos son independientes de la potencia generada o transmitida Mientras que los costos variables dependen del nivel de carga del sistema que tiene un comportamiento estoc stico por lo que la operaci n econ mica se enfoca a minimizar los costos de operaci n ya sea a corto mediano o largo plazo 1 3 1 Optimizaci n del Sistema de Potencia Dada la complejidad de los sistemas el ctricos de potencia donde existen centrales de generaci n tanto t rmicas como hidr ulicas sistemas transporte compuesto por l neas de transmisi n y subestaciones de transformaci n sistemas el ctricos de distribuci n y una demanda de energ a el ctrica es necesario utilizar t cnicas y m todos para optimizar la operaci n del sistema 1 3 2 Modelo de Optimizaci n de SEP Dependiendo del grado de complejidad en la representaci n del sistema de generaci n t rmico o hidrot rmico y el sistema de transmisi n existen dos modelos b sicos que son empleados por las distintas empresas el ctricas en el mundo Estos modelos son a Modelo de Barra
44. misma el valor ptimo aumente en 500 Este an lisis no se puede aceptar porque el costo del ingrediente A tambi n influye en una restricci n lo que nos lleva a plantear un nuevo modelo TITLE EJEMPLO 2 1 TRES TIPOS DE PRODUCTOS QUIMICOS CON MODIFICACIONES MAX 10 1 8 2 6 3 2 5 X1A 2 5 X2A 2 5 X3A 2 XIB 2 X2B 2 X3B XIC X2C X3C SUBJECT TO 2 X1 X1A XIB XIC 0 3 X2 X2A X2B X2C 0 4 X3C 0 5 0 5 0 5 XIB 0 5 lt 0 6 025 0 25 0 75 gt 0 7 0 85 X2A 0 15 2 0 15 2 lt 0 8 0 65 X2A 0 65 2 0 35 2 gt 0 9 0 95 0 05 0 05 lt 0 10 0 5 0 5 X3B 0 5 gt 0 11 2 lt 2850 12 2 lt 1300 13 2 5 2 5 X2A 2 5 2 2 2 2 X3B XIC X2C lt 10000 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 5 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1 42375 00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 5200 000000 0 000000 X2 0 000000 0 000000 X3 0 000000 0 000000 XIA 1050 000000 0 000000 X2A 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 2850 000000 0 000000 X2B 0 000000 0 000000 X3B 0 000000 0 000000 2 1300 000000 0 000000 X2C 0 000000 21 538462 X3C 0 000000 23 000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2 0 000000 10 000000 3 0 000000 8 000000 4 0 000000 6 000000
45. mplex El m todo simplex es ampliamente utilizado para resolver el problema de optimizaci n lineal Este m todo procede con pasos sistem ticos se parte desde una soluci n inicial factible hasta la soluci n ptima en un n mero finito de 12 pasos Este m todo puede ser implementado por medio de las siguientes reglas b sicas 1 Transformar el modelo de optimizaci n lineal a la forma can nica Min cx 5 lt b gt 0 2 Adicionar las variables de holgura Y Min cx s a AX Y b X20 Y20 3 Construir la tabla con los coeficientes del modelo de optimizaci n 4 Determinar los costos reducidos 2 y elegir la m s negativa 5 Seleccionar el vector de salida mediante la siguiente regla X Br X Br PM o Y Y k 6 Efectuar el pivote de Gauss de tal forma que el vector aj sea un vector unitario 2 2 2 M todo Simplex Revisado El m todo simplex original requiere mucha memoria y tiempo para su resoluci n La matriz A de los problemas reales es una matriz muy dispersa por lo que se desarroll el m todo simplex revisado que tiene las siguientes reglas 1 Hallar el vector B sico Bb 2 Hallar la nueva base 3 Resolver el sistema 13 2 2 3 El Problema Dual Cada problema de programaci n lineal tiene un segundo problema asociado con l Uno se denomina Primal y el otro Dual 12 Los dos problemas poseen propiedades muy relacionadas de tal maner
46. nvestigadores est n trabajando a n para dar soluciones al problema del flujo de carga ptimo FOP que promete extender el despacho econ mico para incluir al escenario 1 un perfil ptimo de tensiones de generaci n cambiador de taps del transformador y fuentes de potencia reactiva A la lista se pueden a adir nuevos problemas que surgir n los que se resolver n con nuevas metodolog as de soluci n y nuevas tecnolog as 1 2 Modelaci n del Sistema El ctrico 2 En la modelaci n de la operaci n del SEP en estado permanente el sistema se representa mediante un conjunto de variables de estado x y de control u par metros p y perturbaciones b Las leyes f sicas leyes de Kirchhoff relacionan dichas variables y par metros Considerando al SEP como un sistema de control este queda representado por las siguientes ecuaci n e inecuaci n 0 0 g u x p b h u x p b I donde g Ecuaciones del flujo de potencia h Inecuaciones que representan la factibilidad y las condiciones de seguridad u Vector de variables de control x Vector de variables de estado p Par metros de la red b Perturbaciones Para la resoluci n de este modelo se emplean diversos m todos siendo el m s popular el m todo Newton Raphson Desacoplado R pido NRDR En la operaci n normal no se modifica los par metros p de la red y la probabilidad de ocurrencia de una perturbaci n es muy baja Considerando un modelo determin st
47. or cada peso prestado Lo cual confirma con el precio dual 2 3333 Si el precio de venta de la mezcla 2 aumenta en un peso por kilo Cambia el programa de producci n ptimo Y si aumenta en 3 pesos Por el an lisis de sensibilidad se ve que le incremento m ximo del precio de venta de la mezcla 2 es 2 y el decremento es m ximo es infinito Sin que se modifique el programa de producci n ptimo por tanto si aumenta en 1 por kilo no cambia el programa ptimo y a su vez si aumenta en 3 se supera el incremento permitido cambiando el programa de producci n ptima Cuanto deber a aumentar como m nimo el precio de venta de la mezcla 3 para que cambie el programa de producci n ptima Por el an lisis de sensibilidad se ve que le precio de venta de la mezcla puede incrementar en 4 sin modificar el programa de producci n ptimo por tanto debe aumentar como m nimo en mas de 4 para modificar al programa de producci n 20 Puede decir algo de la soluci n ptima si el costo del ingrediente A baja a 2 5 el kilo Si el costo del ingrediente A solo influyera en la funci n de costo se desprender a el siguiente an lisis Que el costo del ingrediente A baja a 2 5 significa en 5 esto se modifica en 5 el costo X1A X2A y X3A los cuales pueden disminuir respectivamente en 2 infinito e infinito En los tres es posible la modificaci n sin que cambie el programa ptimo y la soluci n ptima sigue siendo la
48. otro valor de lambda se tendr un nuevo error En la Fig 5 se muestra una gr fica del error vs lambda costo incremental Considerando dos puntos se puede hallar la intersecci n con el eje lambda proyecci n donde el error ser peque o y se tiene un nuevo lambda precedi ndose de igual modo hasta que el error sea menor a la tolerancia especificada Con dos soluciones se puede extrapolar o interpolar entre las dos soluciones y se est m s cerca del valor deseado de potencia total En el anexo A 3 se muestra un diagrama de bloques del m todo iterativo lambda 1 3 5 Costos Marginales Si se considera la estructura de costos de una empresa del sector el ctrico sus costos totales son los costos relacionados con servir una demanda dada en un horizonte espec fico de tiempo Tiene una componente fija y otra variable Los costos fijos est n relacionados con decisiones de costos de inversi n y los costos variables son todos los costos de operaci n Costo de combustible operaci n y mantenimiento 14 Costos Marginales d Costos Totales d Carga Un supuesto b sico es considerar que los costos fijos no son afectados por variaciones de la carga Por lo que los costos marginales est n determinados por los costos variables d Costos Variables d Carga Costos Marginales Los costos marginales de energ a se calculan por medio del despacho de carga econ mico de todos los generadores conectados a una
49. retener el exceso de potencia en un nudo I es para todo La variable se puede interpretar como una variable slack Si no existe conexi n entre los nudos y j entonces se asume que La raz n para a adir el n mero K 17 es que no se conoce de antemano la demanda en un nudo de transbordo Y as la demanda generaci n se hace grande en un nudo Los costos de transportar potencia de un nudo a otro se suponen que son proporcionales a su longitud En la tabla 2 IV se tienen los costos de transporte 24 Tabla 2 IV Costo de transporte 1 2 3 4 5 6 Generaci n G3 G6 D1 D2 D4 D5 Generaci n 1 G3 0 48 38 20 59 20 795 2 G6 48 0 68 30 30 61 1215 3 D1 38 68 0 40 60 20 670 4 D2 20 30 40 0 40 31 670 5 D4 59 30 60 40 0 63 670 6 D5 20 61 20 31 63 0 670 Demanda 670 670 700 910 830 910 Se asume que el costo de transportar de un nudo i a otro j es igual al costo de transportar de j hasta i La formulaci n del modelo lineal para resolver el problema y la soluci n del modelo usando el programa LINDO son TITLE EJEMPLO 2 2 L L GARVER MODIFICACIONES MIN 48 X12 38 X13 20 X14 59 X15 20 X16 48 X21 68 X23 30 X24 30 X25 61 X26 38 X31 68 X32 40 X34 60 X35 20 X36 20 X41 30 X42 40 X43 40 X45 31 X46 59 X51 30 X52 60 X53 40 X54 63 X56 20 X61
50. s de 500 150 kg 3 3333 kg El ofrecimiento de 140 kg del ingrediente B no modifica la base ptima del problema ya se encuentra dentro del rango dado el an lisis de sensibilidad Utilidad semanal 41966 67 Mezcla 1 5196 6667 kilos Ingrediente A 906 6667 kilos La nueva diferencia de utilidad es de 466 67 que es lo m ximo que se esta dispuesto a pagar por los 140 kilos 19 9 h El precio m ximo a pagar es de 466 67 140 kg 3 3333 kg Lo cual esta confirmado por el precio dual 3 3333 De acuerdo a los resultados le sugerir Ud a la empresa solicitar dinero prestado para adquirir mas ingredientes Que ingredientes podr a adquirir Hasta cuanto dinero podr a solicitar a este precio o Si Se recomienda a la empresa obtener un pr stamo o Las restricciones 11 y 12 est n ambas activas ya que el valor de las variables de holgura es cero es decir se ha utilizado toda la cantidad disponible que hay de los ingredientes B y C por tanto solo se puede comprar A que no tiene restricciones o Por an lisis de sensibilidad se ve que le dinero pude aumentar hasta 10150 sin que modifique el programa de producci n ptimo as se pedir un pr stamo de 150 compr ndose 50 kilos mas de ingrediente A se obtiene Utilidad semanal 41850 7 1050 8 2850 9 1300 41850 Este deja utilidades extra de 350 41850 41500 As la empresa estar a dispuesta a pagar hasta 350 150 2 3333 p
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