Tema: Señales y Sistemas Discretos en el tiempo
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1. if any imag x 0 error x no es una secuencia real end m flipir n m1 min m n m2 max m n m m1 m2 nm n 1 m 1 n1 1 length n x1l zeros 1 length m x1 n1 nm x x x1 xe 0 5 x flipir x xo 0 5 x fliplr x 6 Se ales y Sistemas Discretos Gu a 3 Parte Il Discretizaci n de una se al en MATLAB Tutor a Considere la f rmula para una se al sinusoidal de tiempo continuo xlt senl 2af t Pp Podemos muestrear x 1 a una raz n fs 1 7 para obtener la se al de tiempo discreto A 002 n 0 S x n x t t nT 8 x t 1 Elabore una gr fica simple de la onda seno muestreada Asigne una frecuencia de la se al senoidal de 300Hz y tome muestras en un intervalo de 10ms con una frecuencia de muestreo de 8kHz Considere la fase lt 45 Grafique el resultado de la se al en tiempo discreto usando stem Soluci n Sabemos que t nT Por lo tanto t n gt n t f T S Para este caso fs 8000 Hz y t 0 01 s por lo tanto n 0 010 8000 Entonces n 80 Los comandos a implementar en MATLAB para desarrollar este ejemplo son los siguientes n 1 80 x sin 2 pi 300 8000 n pi 4 stem n x 2 Repita el numeral anterior con una frecuencia de muestreo de 4kHz y una de 1KHz Parte Ill Adquisici n de una se al por medio de la tarjeta de sonido de la PC 1 Escriba el siguiente archivo de gui n en MATLAB ai analoginput winsound addchannel ai 1 ai2. Se ales y Sistemas Discretos Gu a 3 Facultad Ingenier a Escuela Electr nica Asignatura Se ales y Sistemas Discretos Tema Se ales y Sistemas Discretos en el tiempo Contenidos e Generaci n de una se al en MATLAB e Discretizaci n de una se al en MATLAB e Adquisici n de una se al por medio de la tarjeta de sonido de la PC Objetivos Espec ficos 1 Conocer que es un sistema de tiempo discreto 2 Digitalizar se ales usando la tarjeta de sonido de la PC 3 Poder representar cualquier se al discreta real en sus componentes par e impar 4 Generar se ales discretas en MATLAB Material y Equipo 1 Computadora con sistema operativo Windows y MATLAB 1 Micr fono para PC Introduccion Teorica Un sistema de tiempo discreto es uno que transforma una secuencia de n meros de entrada x K en una secuencia de n meros de salida y k de acuerdo a alguna f rmula de recursi n que representa la soluci n a la ecuaci n diferencia que describe al sistema Para un sistema f sico la ecuaci n diferencia expresa las caracter sticas del que es frecuentemente llamado un filtro digital o procesador de se ales Podemos representar los sistemas discretos en una forma similar a la representaci n de los sistemas continuos Un sistema discreto simple se muestra en la figura 1 1 El sistema en la figura 1 1b un divisor tiene una salida que es independiente de la entrada an
3. Ko respectivamente El sistema y k 2kx k es no invariable con el tiempo porque la salida para x k Ko es y k 2kx k ko Esto es muy diferente de introducir un desplazamiento de tiempo de k ko en el sistema el cual da como resultado una salida y k 2 k ko x k ko Sistema discreto Entrada de Salida de a la se al 1k la se al r e 11 e 1 yik qA discreta o discreta E t a b ll Unidad de AA retraso c Unidad de retraso Figura 1 1 Sistemas Discretos 1 2 ECUACIONES DIFERENCIA LINEALES Suponga que el sistema de tiempo discreto o procesador de se al que transforma una secuencia de entrada de n meros x k en una secuencia de n meros de salida y x se expresa por la ecuaci n diferencia ylk x k 3x k 1 x k 2 1 1 Esta expresi n espec fica que el k simo miembro de la secuencia de salida est formado Se ales y Sistemas Discretos Gu a 3 3 por la suma de los siguientes t rminos la presente o k sima entrada x X tres veces el valor de la entrada previa o retrasada x k 1 y el segundo valor retrasado de la entrada En particular si la secuencia de entrada a este sistema con k 0 es el conjunto de n meros 1 2 0 3 1 5 0 la salida correspondiente ser la secuencia de n meros 1 5 7 5 10 11 16 Un proceso de tiempo discreto familiar a muchas personas es el asociado con una cuenta de
4. La cantidad 1 r n debe evaluarse y luego multiplicarse por x k 1 Este resultado se guarda en el acumulador se combina con el apropiado x k y se deduce el x k actualizado Durante el pr ximo periodo el x presente se convierte en el dep sito inicial kx 1 y el proceso se repite As para un inter s conocido r un dep sito inicial 0 y una secuencia de dep sitos especificada se resuelve la ecuaci n diferencia para establecer todos los valores sucesivos Note que se hace una distinci n notacional entre los sistemas que generan ecuaciones diferencia de la forma dada en 3 1 en los cuales Xx depende solo de x y los valores pasados de la entrada y los sistemas que generan ecuaciones diferencia tales como el 3 2 el cual especifica el valor de x k en t rminos de los valores pasados de x los valores presentes de x k as como tambi n los valores pasados de x k El primer tipo se llama no recursivo transversal o respuesta al impulso de duraci n finita FIR finite impulse response El segundo tipo se llama un sistema recursivo o de respuesta al impulso infinita IIR infinite impulse response Espec ficamente un sistema IIR se describe 4 Se ales y Sistemas Discretos Gu a 3 matem ticamente por una ecuaci n diferencia de N simo orden de la forma yk a y k 1 ayy k N byx k b x k 1 b x k M 1 3 la cual puede escribirse en forma compacta como yk Eso n balk
5. Y genexp B NO L B entrada escalar que da la raz n entre t rminos NO instante de comienzo entero L longitud de la se al generada Y se al de salida Y 1 L if L lt 0 error GENEXP longitud no positiva end nn n0 1 L 1 vector de ndices y b nn 4 Escriba un programa que calcule y exprese la secuencia sim trica par e impar de una secuencia cualquiera y pru belo con la siguiente secuencia programa que calcula la simetr a par e impar de una secuencia x n u n u n 10 figure numbertitle off name Visualizaci n de la parte par e impar de una secuencia n 0 10 x stepseq 0 0 10 stepseq 10 0 10 xp xi m evenodd x n subplot 2 1 1 stem n x title Pulso Rectangular xlabel n ylabel x n axis 10 10 0 1 2 subplot 2 2 3 stem m xp title Parte Par xlabel n ylabel xp n axis 10 10 0 1 2 subplot 2 2 4 stem m xi title Parte Impar xlabel n ylabel xi n axis 10 10 0 6 0 6 Luego cree tambi n la siguiente funci n function x n stepsegq n0 n1 n2 Se genera x n u n n0 nl lt n2 n0 gt n1 x n stepseq n0 nl n2 if no lt n1 n0 gt n2 error los argumentos no satisfacen nl lt n0 lt n2 end n n1 n2 x zeros 1 n0 n1 ones 1 n2 n0 1 y esta otra function xe xo m evenodd x n Descomposici n de una se al Real en sus partes pares e impares xe xo m evenodd x n
6. m 1 4 n 0 Si todos los valores a 0 el sistema se describe por M ylk Y b x k n 1 5 n 0 Esta es la descripci n general de un sistema FIR En contraste con los sistemas continuos cuya operaci n se describe o modela por un conjunto de ecuaciones diferenciales los sistemas de tiempo discreto son aquellos cuya operaci n se describe por un conjunto de ecuaciones diferencia Procedimiento Parte I Generaci n de una se al en MATLAB Tutor a 1 Genere y grafique la siguiente se al impulso En cada caso el eje horizontal n se debe extender el rango indicado y se debe presentar su escala en forma correcta Cada secuencia se debe presentar como se al de tiempo discreto usando el comando stem La funci n a implementar es la siguiente x n 0 905n 5 1 lt n lt 20 La soluci n al problema anterior es L 20 imp zeros L l imp 5 0 9 stem imp 2 Pruebe las siguientes l neas para crear una se al repetitiva en el vector x x 0 1 1 0 0 0 0 ones 1 7 x x size x lt devuelve la longitud de la se al 3 Estudie la siguiente funci n para ver como se genera en MATLAB una se al exponencial de tiempo discreto Seguidamente utilice la funci n para representar gr ficamente la exponencial x n 0 9 en el intervalo n 0 1 2 3 20 function y genexp b nO L GENEXP genera una se al exponencial b n Se ales y Sistemas Discretos Gu a 3 5 Uso
7. SampleRate 8000 ai SamplesPerTrigger 40000 ai TriggerType Immediate start ai d t getdata ai disp Hable al micr fono por 5 s pause 5 figure plot t d 2 Salga de los programas apague todo el equipo y desconecte los circuitos Se ales y Sistemas Discretos Gu a 3 7 An lisis de Resultados 1 Cu l es la diferencia entre los comandos plot y stem de MATLAB Es la suma de las componentes par e impar de la se al escal n de la parte I igual a la se al original Explique 3 En la Parte ll Se sigue obteniendo una se al discretizada correcta al cambiar las frecuencias de muestreo a 4KHz y 1 KHz Explique 4 C mo puede cambiarse el tiempo total de muestreo de la se al capturada por la tarjeta de sonido 5 Presente las gr ficas obtenidas en la pr ctica con sus respectivos nombres y t tulos Investigaci n Complementaria 1 Investigue como puede reproducir los datos de funciones generadas en MATLAB en la tarjeta de sonido 2 Generar y muestrear una se al senoidal de 3 5KHz utilizando SCILAB Bibliograf a e The MathWorks Inc Manual del usuario de MATLAB e SCILAB 8 Se ales y Sistemas Discretos Gu a 3 Hoja de cotejo 3 Gu a 3 Se ales y Sistemas Discretos en el tiempo Alumno Maquina No 3 Docente GL Fecha S y EVALUACION 25 Conocimiento Conocimiento CONOCIMIENTO APLICACI N DEL CONO
8. ahorros en un banco Considere una cuenta de ahorros que capitaliza un inter s de r por a o calculado n veces por a o n 4 corresponder a a cuatro capitalizaciones El inter s se calcula a la raz n de r n en cada periodo de capitalizaci n Asumiremos que los dep sitos en cualquier periodo no ganan inter s sino hasta el pr ximo periodo Definimos lo siguiente y k balance total de la cuenta del banco al final del k simo periodo de capitalizaci n x k total de dep sitos durante el k simo periodo de capitalizaci n Claramente a la conclusi n de cualquier periodo de capitalizaci n el balance total de la cuenta del banco es igual a la suma de lo siguiente el balance de la cuenta del banco al inicio del periodo de capitalizaci n el inter s acumulado de este balance y los dep sitos hechos durante este periodo Este resultado puede expresarse matem ticamente por la expresi n n MO o i le e 1 2 Esta es una ecuaci n diferencia de primer orden ya que k y k 1 en la variable desconocida la salida difieren por una unidad La soluci n a tales ecuaciones puede realizarse num ricamente a mano o por m quina puede realizarse anal ticamente y puede encontrarse usando el m todo de la transformada Z Resolver esta ecuaci n a mano o con m quina requiere que se guarden los valores inicial y 0 y la secuencia de entrada x k k 1 2 3 es decir est n en los registros de almacenaje de una computadora
9. CIMIENTO ACTITUD deficiente de los fundamentos te ricos No realiza bien los procedimientos y no explica los script 1 uso de Genexp 20 2 Secuencia par e impar 20 3 Generaci n de se al en MATLAB 20 4 Script de captura de audio 10 Es un observador pasivo Es ordenado pero no hace un uso adecuado de los recursos Conocimiento y explicaci n incompleta de los fundamentos te ricos Realiza bien los procedimientos pero los explica parcialmente Participa ocasionalmente o lo hace constantemente pero sin coordinarse con su compa ero Hace un uso adecuado de los recursos respeta las pautas de seguridad pero es desordenado completo y explicaci n clara de los fundamentos te ricos Realiza correctamente los procedimientos y sabe explicar los c digos correctamente Participa propositiva e integralmente en toda la pr ctica Hace un manejo responsable y adecuado de los recursos conforme a pautas de seguridad e higiene
10. terior por lo tanto no tiene memoria Seg n lo anterior es llamado sistema sin memoria El sistema discreto mostrado en la figura 1 1c tiene memoria El sistema de la figura 1 1d es un diferenciador ya que y k x k x k 1 Un sistema discreto es causal si la salida en cualquier tiempo depende de los valores presentes y pasados de la entrada Por ejemplo el sistema definido por y k y k 1 x k es causal pero el sistema definido por y k y k 1 x k 1 es no causal 2 Se ales y Sistemas Discretos Gu a 3 Los sistemas discretos lineales se caracterizan por el principio de superposici n Por ejemplo si una entrada x k a un sistema discreto produce una salida y k y la entrada x k produce una salida y k entonces para un sistema lineal la entrada x k x k produce la salida y k yo k Un sistema se llama homog neo si la entrada ax k bxz k produce la salida ay k b yo k La estabilidad es otra propiedad importante de los sistemas discretos Un sistema discreto estable se caracteriza porque sus salidas disminuyen cuando el tiempo progresa Si su salida aumenta sin l mite en el tiempo el sistema es inestable Por ejemplo el sistema con la salida y k a k20 es inestable si a gt 1 y es estable si a lt 1 Otra propiedad importante de los sistemas discretos es la invariabilidad con el tiempo Un sistema es invariable con el tiempo cuando las entradas x k y x k ko producen las salidas y k e y k y k
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