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Mémoire de maîtrise - École Polytechnique de Montréal

1. CARH A300 L600 2 c T 07 CARH A300 L600 3 CARV A300 L600 1 06 CARV A300 L600 2 Boos CARV_A300_L600 3 a E 04 E 2 03 E 02 9 01 o 1 2 3 1 5 D placement post pic mm Figure 5 20 Courbes contrainte normalis e d placement post pic pour les sp cimens de longueur 600 mm YL D300 L1200 1 YL D300 L1200 2 CYL D300 LL200 3 Contrainte narmalis e sans dimension De placement post pic mm Figure 5 21 Courbes contrainte normalis e d placement post pic pour les sp cimens de longueur 1200 mm 143 Nous constatons que le caract re al atoire est encore bien pr sent S1 une de nos conclusions la suite du Tableau 5 2 pourrait tre que les sp cimens coul s horizontalement sont plus sensibles une rupture fragile que les sp cimens coul s verticalement il est assez paradoxal de voir que le sp cimen qui a pr sent les plus grandes d formations en maintenant une bonne contrainte est le sp cimen CARH A300 L600 3 la Figure 5 22 nous pr sentons toutes les courbes sur un m me graphique gauche les courbes sont trac es avec le d placement post pic en ordonn es et droite avec les d formations post pic La Figure 5 22 nous permet de juger de la localisation ou non des d formations En effet si la localisation tait aussi pr cise que dans les travaux de Van Mier 1984 Figure 2 10 on verrait une tr s
2. Uus Mal Qus i 7 204 8 7 4 0 nei AC Ma R dde La pr sence du param tre u _1 n cessite une proc dure d initiation du calcul avec le calcul de u_1 En g n ral on connait uo o Fexto et Ko 1 uo Atto fio 4 10 Avec o Mal Fexto Kolfuo sia Les calculs a effectuer sont alors tres simples en particulier parce que la seule matrice a inverser est la matrice de masse qui est diagonale De plus cette proc dure ne n cessite aucune it ration et ne connaitra aucun probleme de convergence Malgr un pas de temps tres petit de l ordre de 10 secondes pour nos analyses le gain en temps de calcul par rapport une r solution classique implicite avec ABAQUS Standard est consid rable Ben Ftima 2013 Par contre comme nous le verrons au paragraphe suivant on doit mettre en place un critere sur le pas de temps a utiliser pour la stabilit La d termination du vecteur des forces nodales quivalentes E passe par l int gration de la matrice K Ceci est fonction du type d l ment choisi et du mod le constitutif EPM3D dans notre cas La matrice de rigidit est mise jour Kn devient Kn 7 la fin de chaque pas de calcul l aide du vecteur fun 1 Enfin afin de pouvoir appr hender le comportement post pic adoucissant 1l est vident que nous devons piloter nos analyses en d placement Cela veut dire que pour certains DDL le d placement est impos
3. 2 2 5 2 Influence de la longueur des sp cimens 2 2 5 2 1 Localisation de la rupture Il a d abord t admis que la rupture en traction du b ton donne lieu une forte localisation des d formations Hillerborg et al 1976 La loi post pic n est plus exprim e en d formation mais en ouverture de fissure Mais il n tait pas admis que cela pouvait aussi tre le cas pour la compression jusqu la fin des ann es 1980 Van Mier 1986 fut l un des premiers avancer l hypoth se d une localisation des d formations lors d une rupture en compression Il montre que la courbe post pic o amp contrainte d formation du b ton est d pendante de la longueur du sp cimen et que la courbe o contrainte d placement est ind pendante de la longueur du sp cimen ce qui est caract ristique d une localisation des d formations On peut alors parler d ouverture de fissure en compression La Figure 2 10 montre les r sultats d une s rie d essais sur des prismes de section 100x100 mm et de rapports d lancement d de 0 5 1 et 2 effectu s par Van Vliet et Van Mier 1996 Le d placement post pic est tout simplement calcul de cette facon pp Otot 00 Otot amp oL 2 1 OU Opp est le d placement post pic est le d placement total o est le d placement au pic o la d formation au pic et L est la longueur de mesure ici c est la hauteur totale des sp cimens Decreasing _ L2 a slender
4. en pr sence de confinement actif Notons que plus le confinement augmente et plus le nombre d l ments est grand plus l analyse prouvait de difficult s rester stable Notamment les ratios d nergie artificielle consomm e par le sch ma de contr le d hourglass et d nergie cin tique sur l nergie interne d passaient r guli rement les crit res que nous nous tions fix s savoir 1 et 5 resp Il a fallu augmenter consid rablement le temps d application de la charge ou diminuer le pas de temps de calcul pour obtenir de bons r sultats Ainsi le temps de calcul augmente tr s rapidement lorsque l on r duit la taille du maillage et que l on augmente le confinement 111 220 200 180 160 d gt e m N e 100 Contrainte MPa co e 60 mh 55 mm 40 h 18 33mm 20 h 11mm 0 0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 D formation z Figure 4 15 Effets de la taille du maillage en pr sence de confinement actif sur les essais de Xie et al 1995 avec le b ton de 63 MPa On peut se rendre compte que la dispersion des courbes vis vis du maillage augmente en fonction du niveau de confinement mais cette dispersion est surtout due la diff rence du calcul du pic par la mod lisation pr pic En effet on peut voir pour les courbes avec du fort confinement que le calcul de la d formation au pic d pend du maillage Cette anomalie devra tre r
5. lancement ne s observe plus pour des valeurs sup rieures 2 Figure 2 8 Importance relative des zones confin es aux extr mit s en gris fonc pour des sp cimens de diff rentes longueurs d apr s Van Vliet et Van Mier 1996 Une des plus importantes conclusions de ce rapport d exp rience est qu il semblerait que pour un lancement de 2 et plus et pour un frottement faible pas forc ment nul aux fronti res les tests aient affich s une faible dispersion Le comit s est donc bas sur ces conditions pour tablir sa proc dure de test pour la mesure de l adoucissement Van Mier et al 2000 Le comit RILEM fournit des recommandations concernant le pilotage du chargement pendant les essais Pour un meilleur suivi de la courbe contrainte d formation en post pic il est conseill de mettre en place un contr le en boucle ferm e en utilisant le d placement axial comme signal de retour pour des b tons faible r sistance et une combinaison du d placement axial et de la force axiale pour des b tons haute r sistance Ceci a pour but d viter les ruptures fragiles par instabilit du b ton une fois la r sistance ultime atteinte Les principales conclusions de cette tude seront pr sent es au paragraphe suivant avec une revue des diff rents param tres d influence sur le comportement post pic en compression uniaxiale Nous nous appuierons aussi sur certains articles de r f rence plus anciens 18 2 2 5
6. quand la dur e de l application de la charge est lente par rapport la p riode fondamentale To du syst me Ainsi ABAQUS propose d appliquer une dur e gale a 10 fois To Afin de s assurer que notre analyse est bien quasi statique le ratio des nergies cin tique et interne du syst me global EA Ei doit toujours tre inf rieur 5 crit re fix par le manuel d ABAQUS En cas de non respect de ce crit re on peut allonger la dur e 20 ou 30 fois To Plusieurs tudes comparatives comme celles de Rebelo et al 1992 Prior 1994 ou encore Ben Ftima 2013 ont montr qu une m thode de r solution explicite tait bien plus efficace en terme de vitesse de calcul et pour une pr cision quivalente qu une r solution implicite pour les 91 probl mes dynamiques non lin aires Par contre la m thode que nous utilisons est conditionnellement stable c est dire qu il va falloir s assurer de respecter le crit re de stabilit 4 2 2 M thode d int gration temporelle explicite des diff rences centr es L une des m thodes de r solution explicite les plus r pandues dans les logiciels d l ments finis est la m thode des diff rences centr es C est cette m thode qui est utilis e dans ABAQUS Explicit Ici nous allons pr senter le principe de cette m thode avec l hypoth se que la matrice de masse est diagonale matrice de masse concentr e et que l amortissement visqueux est n gligeable Ces conditions rep
7. stabilized by matenal structure Coulomb friction deformation mm Figure 2 19 Mod le en 4 tapes du processus de fissuration dans le b ton en compression influence du confinement sur la contrainte r siduelle d apr s Van Mier 2009 2 3 Classification des mod les de b tons Il existe une multitude de modeles num riques pour repr senter le comportement du b ton et 1l est tr s pratique d tablir une classification afin de pouvoir situer notre mod le par rapport aux autres Chaque mod le peut suivre une approche diff rente qui est tablie pour un but pr cis Bien entendu chaque approche ses points forts et ses points faibles Nous pr sentons ici trois crit res selon lesquels les mod les peuvent tre class s l chelle la th orie utilis e pour le comportement non lin aire lastique en phase pr pic et la mod lisation de la fissuration en post pic 2 3 1 Classification selon l chelle de mod lisation Tout d abord on peut classer les diff rents mod les num riques du b ton selon leur chelle Habituellement on d finit trois chelles microscopique m soscopique et macroscopique Wittman 1983 Figure 2 20 32 Echelle microscopique Echelle m soscopique Echelle macroscopique Figure 2 20 Diff rentes chelles de mod lisation pour le b ton d apr s Wittman 1983 l chelle microscopique on vient mod liser les diff rents constituants de la pate de ciment comm
8. Barre en compression discr tis e en n l ments et loi constitutive bilin aire 37 Figure 2 22 Mise en vidence du manque d unicit de la solution en fonction du maillage 37 Figure 2 23 Diff rence entre le concept de fissuration fictive pour les m taux et pour le b ton d apres Dotlzaiete OS de teeter lalate da ie 41 Figure 2 24 Calcul de l nergie de rupture en traction Gy avec la courbe d un essai de traction directed apres BOUZAICNC 19995 es er na ea 42 Figure 2 25 Equivalence entre le mod le de fissuration fictive fissuration discr te et le mod le de fissuration par bande fissuration r partie d apr s Bhattacharjee 1993 44 XV Figure 2 26 Courbe en traction dans EPM3D d apr s Massicotte et al 2012 45 Figure 2 27 Mod le de Markeset et Hillerborg 1995 48 Figure 2 28 Courbe contrainte d formation pour le b ton confin d apr s Binici 2005 50 Figure 3 1 Concept de la d formation uniaxiale quivalente dans le cas d un chargement biaxial d apres DarwaB et Pecknold 19 77 ass ee e euet Er Ni 58 Figure 3 2 Forme d une enveloppe de rupture tridimensionnelle usuelle pour le b ton 60 Figure 3 3 Repr sentation des contraintes octa driques dans le plan d viatorique de coordonn e Iivdtostatique Om usate Da NE ea tud Malte eub activ alae Uu edis Rel te into 60 Figure 3 4 Ca
9. LISTE DES SIGLES ET ABR VIATIONS B ton fibr ultra haute performance B ton ordinaire Entreprise B ton Pr fabriqu Du Lac B ton renforc de fibres B ton renforc de fibres a haute performance Endommagement Progressif Multiaxial Tridimensionnel Nom du modele constitutif utilis dans les travaux de ce m moire Melinex Grease Aluminium dispositif de limitation de friction pour les plaques de chargement d une presse CHAPITRE 1 INTRODUCTION 1 1 G n ralit s Les codes de conception de structures en b ton arm consid rent pour la d termination de la r sistance ultime une certaine portion de la courbe post pic du b ton Pour les codes canadiens il est admis que la d formation l ultime pour du b ton normal est gale Eur 0 0035 ce qui correspond une d formation post pic la d formation au pic amp c pour du b ton normal tant d environ 0 0022 Par cons quent pour tous les calculs et valuation de structures jusqu l ultime la bonne formulation de la branche descendante en compression post pic du diagramme contrainte d formation est essentielle Ce ph nom ne appel adoucissement se traduit par une perte plus ou moins brusque de la capacit portante du b ton une fois le pic de r sistance pass tout en observant une augmentation des d formations Figure 1 1 Les codes pour la conception des structures en b ton arm comme la norme canadienne CSA A23 3 ou le code europ en
10. T 1 s Quatre tailles de maillage diff rentes ont t adopt es pour le b ton b ton 50 40 30 et 20 mm avec hucier 20 15 10 et 5 mm respectivement On voit que le mod le est quasi ind pendant du maillage en confinement passif Cependant on voit aussi que pour un maillage plus fin hp ron 20 mm courbe violette les r sultats diff rent en post pic Il faudra donc augmenter le temps d application de la charge de fa on obtenir une meilleure superposition avec les autres courbes De mani re g n rale plus on raffine le maillage plus le temps d application T de la charge doit tre augment Le temps de calcul r el augmente alors de mani re exponentielle Il faut donc trouver un quilibre entre la pr cision que l on d sire et le temps de calcul n cessaire pour obtenir 1600000 1400000 1200000 1000000 800000 Force N 600000 400000 200000 116 6 D placement mm hb50 ha20 hb40 ha15 hb30 ha10 2hb20 ha5 10 12 Figure 4 20 Influence de la taille du maillage pour un temps d application de charge fixe 4 5 Conseils pour la mod lisation de poteaux en b ton arm 4 5 1 Param tres requis pour l analyse avec EPM3D et ABAQUS Explicit Quand on veut r aliser une analyse d un poteau en b ton arm et que l on veut avoir une id e de son comportement lors d une rupture en compression on a vu qu une multitude de param tres peuve
11. apres Smith 1989 Traction fa dh Figure 2 17 Enveloppe de rupture du b ton sous sollicitation multiaxiale d apr s Bouzaiene 1995 Remarquons que l influence sur la phase pr pic du frottement due aux techniques de chargement constitue un type de confinement Finalement les efforts de cisaillement g n r s par frottement cr ent des zones de confinement seulement aux extr mit s du sp cimen Dans les logiciels par l ments finis 1l est possible de prendre en compte le frottement Gr ce un maillage raffin on peut m me observer les zones de confinement aux extr mit s Ainsi nous pensons 29 qu une formulation de la courbe post pic d pendant seulement du niveau de contrainte de confinement au sein de l l ment pourrait prendre en compte l effet des techniques de chargement Cela tant dit nous n inclurons pas le frottement comme param tre d entr e dans notre mod le 2 2 6 3 Influence du confinement lat ral sur la pente post pic Les essais biaxiaux et triaxiaux ont montr que le coefficient de la pente d adoucissement du b ton diminue quand le confinement grandit Autrement dit le confinement aurait tendance rendre le b ton moins fragile en retenant les d formations lat rales excessives et en emp chant la propagation rapide des fissures en bande de cisaillement qui comme on l a vu sont la cause principale de la chute de contrainte post pic Au point de transition le coefficient de la pen
12. des points diff rents sur la courbe post pic contrainte d placement 6 0 Ces essais ont t r alis s par Van Geel 1998 en d formation plane e2 02 0 et avec un rapport de contrainte 63 01 0 1 assurant ainsi un faible confinement favorable une rupture en bande de cisaillement Les chantillons ont t sci s et impr gn s sous vide de r sine poxy fluorescente afin d observer la fissuration On peut voir que la pente d adoucissement est directement li e a la propagation de la fissure de cisaillement Sur la Figure 2 5 et dans la plupart des essais en compression report s dans la litt rature l angle d inclinaison de la fissure avec l axe de chargement est d environ 45 Cependant cet angle peut varier et nous montrerons au paragraphe 2 2 5 3 que cela d pend des conditions limites de chargement dans le cas d une compression uniaxiale ou du niveau de confinement dans le cas d une compression multiaxiale 13 Plane strain 5 0 03 0 D 10 Am nb TS ee ji z NE Pii i ge 4 c M f 60 9p awe z x xd B fi 0 uw ra i e al 30 i 4 3 2 10 0 1 2 3 4 5 6 Deformation 6 mm Deformation 6 mm Figure 2 5 Rupture par bande de cisaillement S rie de photos prises successivement le long de la pente d adoucissement d apr s Van Geel 1998 2 2 2 2 Rupture par fendage La rupture par fendage peut tre consid r e comme une rupture en compression uniaxiale pure c est a dire
13. la sollicitation dans l axe majeure de compression Cependant la plupart du temps pour les essais en laboratoire des blocs de b ton sont test s en chargement biaxial ou triaxial en appliquant une pression sur les parois lat rales des chantillons Ce confinement est alors dit actif puisque c est un l ment ext rieur au sp cimen qui vient appliquer le confinement On peut alors appliquer le niveau de confinement que l on d sire et maintenir cette contrainte ind pendamment de la sollicitation majeure en compression Au chapitre 4 nous proc derons des validations de notre modele avec confinement actif dans un premier temps Nous verrons que la validation avec confinement passif est plus difficile mettre en ceuvre car cela d pend grandement de la formulation des effets de Poisson dans notre mod le et du choix de la taille du maillage par rapport l espacement vertical des triers 27 2 2 6 2 Influence du confinement sur la phase pr pic et sur le mode de rupture On sait depuis longtemps que la r sistance du b ton ainsi que sa d formation au pic augmentent quand il est confin Figure 2 15 Les premiers travaux de Richart et al 1928 ont valu le gain de r sistance avec la pr cision de l poque a environ 4 5 fois la contrainte de confinement 90 g4 MPa 0 0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 E1 Figure 2 15 volution de la r sistance et de la d formation au pic en fonction du confinement
14. 45 40 35 30 25 20 Contrainte MPa 15 10 0 0 002 0 004 0 006 0 008 0 01 0 012 0 014 D formation 2 Figure 4 6 Courbes contrainte d formation pour les 9 configurations h d 0 5 en bleu 1 en rouge et 2 en vert 450000 400000 350000 300000 250000 200000 Force N 150000 100000 50000 0 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 D placement mm Figure 4 7 Courbes force d placement pour les 9 configurations h d 0 5 en bleu 1 en rouge et 2 en vert 104 Contrainte normalis e au pic Contrainte normalis e au pic pp 0 7 14 mm 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 D placement post pic mm D placement post pic in lastique mm a b Figure 4 8 Courbes contraintes normalis es vs d placement post pic a sans et b avec prise en compte du d chargement lastique Figure 4 9 Localisation des d formations dans une rang e d l ments pour le sp cimen de ratio 1 et pour les trois maillages diff rents On s apercoit donc que l effet de la longueur est plut t bien repr sent Les courbes trac es en fonction des d formations sont confondues jusqu au pic puis la pente post pic devient de plus en plus forte pour les sp cimens de ratio d lancement de plus en plus grand S1 maintenant on regarde les courbes en fonction du d pla
15. Analysis of crack formation and crack growth in concrete by means of fracture mechanics and finite elements Cement and Concrete Research vol 6 773 782 Horii H et Nemat Nasser S 1985 Compression induced microcrack growth in brittle solids Axial splitting and shear failure Journal of Geophysical Research vol 90 3105 3125 156 Horii H et Nemat Nasser S 1986 Brittle failure in compression Splitting faulting and brittle ductile transition Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series A Mathematical and Physical Sciences vol 319 n 1549 337 374 Hulburt B 1985 Experimental and computational strain softening investigation of concrete M Sc A Civil Engineering Department University of Colorado Boulder Hsieh S Ting E et Chen W 1982 A plasticity fracture model for concrete International Journal of Solids and Structures vol 18 181 197 Ibrahimbegovic A 2006 M canique non lin aire des solides d formables formulation th orique et r solution num rique par l ments finis Herm s Sciences Publications Lavoisier Paris Irwin G R 1957 Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate Journal of Appied Mechanics vol 24 361 364 Jansen D C et Shah S P 1997 Effect of length on compressive strain softening of concrete Journal of Engineering Mechanics ASCE vol 124 n 1 25 35 Kotsovos
16. Conf 0 Ed 2054 7 Conf 3 8 200 Conf 8 3 9 d 1762 6 i Conf 12 8 iz d 2714 6 Z 150 Ed 5942 8 Conf 16 6 d 6507 eee Conf 26 3 100 Ed 9984 Conf 35 5 Ed 42017 Conf 44 5 50 0 0 0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 D formation 2 Figure 3 19 Courbes contrainte d formation issues de l article de Xie et al 1995 pour un b ton de 92 MPa avec plusieurs valeurs de confinement Sur la figure Figure 3 20 on repr sente le rapport a en fonction du ratio de du Omi x confinement a E pour chacun des trois b tons La courbe bleue est la courbe exp rimentale C et la courbe rouge est celle calcul e avec la formule d E d EPMS3D d pendant de x nouvelle version Ea est la pente post pic dans le cas de la compression uniaxiale x 1 On a fix une valeur de 0 pour chaque b ton pour obtenir la valeur exacte d Eau 84 05 Smith et al 1989 34 5 MPa Xie et al 1995 63 MPa 0 9 Xie et al 1995 92 MPa 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 0 3 0 35 0 4 0 45 0 5 Figure 3 20 volution d Eg Ea en fonction du ratio de confinement a pour les trois b tons consid r s en bleu la courbe exp rimentale en rouge la courbe calcul e avec EPM3D et la nouvelle version de x Pour toutes les courbes pr sent es le ratio d lancement h d des sp cimens tait gal 2 Pour le b ton de Smith et al 1989 de 34 5 MPa les essais ont t effectu s sur des sp cimens de
17. Dans un premier temps nous pr sentons les r sultats bruts 1ssus de la presse Sur la Figure 5 6 Figure 5 7 et Figure 5 8 sont repr sent es les courbes force d placement pour les sp cimens de grande section c est dire avec d 2 300 mm On a regroup les courbes par type de sp cimen La Figure 5 6 correspond aux sp cimens de section carr e coul s horizontalement la Figure 5 7 aux sp cimens de section carr e coul s verticalement et la Figure 5 8 aux sp cimens de section circulaire coul s verticalement Les courbes gauche correspondent aux sp cimens de rapport d lancement gal 2 et droite gal 4 Une petite figure c t des courbes rappelle la forme de l chantillon et son sens de coul e La logique est la m me avec la pr sentation des courbes force d placement des sp cimens de petite section c est dire d 150 mm test s sur la presse Instron Figure 5 9 Figure 5 10 et Figure 5 11 131 8000 8000 7000 7000 CARH_A300_L600 3 6000 6000 CARH_A300_L600 2 l 5000 CARH A300 L600 1 5000 CARH A300 L1200 3 e AE z x CARH A300 L1200 2 4000 w 4000 g 5 CARH_A300_L1200 1 E 2 H v 3000 3000 2000 2000 1000 1000 0 0 0 2 a 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 12 D placement du plateau de la presse mm D placement du plateau de la presse mm L 600 mm L 1200 mm Figure 5 6 Courbes force d placement de la presse des sp cimens de section carr e coul s horizo
18. E 2009 A mesoscopic model for the behaviour of concrete under high confinement nternational Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics vol 33 1407 1423 Elwi A et Murray D 1979 A 3D hypoelastic concrete constitutive relationship Journal of Engineering Mechanics Division ASCE vol 106 1383 1403 Flanagan D et Belytschko T 1981 A uniform strain hexahedron and quadrilateral with orthogonal hourglass control International Journal for Numerical Methods in Engineering vol 17 679 706 Gobbi M E et Ferrara G 1995 Strain softening of concrete under compression Report to RILEM Technical Committee 148 SSC ENEL CRIS Milano Griffith A A 1921 The phenomena of rupture and flow in solids Philosophical transactions of the royal society of London Series A containing papers of a mathematical or physical character 163 198 Han D J et Chen W F 1985 A nonuniform hardening plasticity model for concrete materials Mechanics of Materials vol 4 283 302 Hibbitt H D Karlson B I Sorensen E P 2011 ABAQUS version 6 11 finite element program Hibbitt Karlson and Sorensen Providence R I USA Hillerborg A 1989 Size dependency of stress strain curve in compression Analysis of concrete structures by fracture mechanics RILEM Proceeding 6 d par Elfgren and Shah 171 178 Hillerborg A Mode r M et Peterson P E 1976
19. E s o Avec y k R o R et Esec 6Esec Ec ou Esec est le module s cant au point de la courbe contrainte d formation auquel on se trouve et c est la d formation au pic Pour un b ton normal non confin x 1 au pic on a R 1 et Ed Esec 2 2 donc Ed chargement Eg On remarque que si on confine le b ton x diminue et donc le module de d chargement augmente et reste proche de Eo Arriv au pic la valeur est fix e et ne changera plus en phase post pic Pour de plus amples informations sur le module de d chargement nous renvoyons le lecteur la th se de Bouzaiene 1995 3 4 4 Contrainte r siduelle variable en fonction du confinement A Ovr amp ci i i Ben Ftima 2013 a donc introduit le param tre y S e eHtariale avec une valeur fc recommand e de 0 2 I s av re que la contrainte r siduelle est elle aussi d pendante du TI confinement comme le montre la Figure 3 13 tir e de l article de Samani et Attard 2012 En g n ralisant nous introduisons le param tre y ratio de la contrainte r siduelle et de la contrainte au pic en pr sence de confinement Or siduelle 3 22 i p P a Jde 0 6 F grat 0 01 02 03 04 05 06 OF 08 09 1 L f Figure 3 13 Contrainte r siduelle normalis e vs contrainte de confinement normalis e d apr s Samani et Attard 2012 Pour Samani et Attard fo correspond a notre contrainte au pic o et f
20. Effets de la taille du maillage en pr sence de confinement actif sur les essais de Xie etalk C995 dyec le beton de 65 MB de obe Les uU honest 111 Figure 4 16 R partition de la contrainte normale de confinement sur l axe x 077 dans un poteau CALCU AIL ef CAT SORTEO 112 Figure 4 17 Mod lisation d un poteau circulaire en b ton arm ici avec un espacement entre les eiere Ge S0 MIN ROC TR 113 Figure 4 18 Courbes force d placement avec confinement passif en bleu les sp cimens avec une section d trier de 100 mm en rouge 200 mm et en vert 300 mn 114 Figure 4 19 Influence du temps d application de la charge 115 Figure 4 20 Influence de la taille du maillage pour un temps d application de charge fixe 116 Figure 5 1 R capitulatif du nombre de sp cimens et des diff rents param tres 121 Figure 5 2 Photos des coffrages pour les sp cimens de sections carr es coul e horizontalement Figure 5 3 D tail de l instrumentation des sp cimens 4 126 Figure 5 4 Photo du montage d un sp cimen cylindrique de 150 mm de diam tre et de rapport d elancement Z sut Ta presse INS tl OM nies nn ne nd ns 128 PEieure 5 Destenation des S PeClIMe MS nn Man AMI deanna ane nel 129 Figure 5 6 Courbes force d placement de la presse des sp cimens de section carr e coul s hortzontalement aveca 300 Mi ieri room Mean A TR Msn te nie das 131
21. FCM pour les mat riaux parfaitement plastiques m taux Les contraintes la pointe de la fissure n augmentent plus l infini mais sont gales la contrainte plastique f du mat riau Il d finit une zone de processus ou d laboration Fracture Process Zone FPZ ou le mat riau est plastique en avant de la pointe de la fissure La longueur de la zone est not R sur la Figure 2 23a Les contraintes emp chant l ouverture de fissure dans la FPZ sont appel es les contraintes de coh sion Hillerborg et al 1976 ont ensuite adapt le mod le de fissuration fictive au b ton Pour le b ton la distribution des contraintes plastiques de coh sion dans la FPZ n est pas constante Comme illustr sur la Figure 2 23b les contraintes de coh sion diminuent progressivement sur une longueur le de la contrainte maximale en traction f z ro la pointe de la fissure r elle Le cas particulier du b ton est que la longueur le est tr s grande compar e Rp pour les m taux et la dissipation d nergie s effectue de maniere beaucoup plus complexe Contraintes r siduelles de traction Ma R yf L FETT LATINIS l Fissure r elle Fissure r elle Fissure fictive Fissure fictive a M taux Irwin 1957 b B ton Hillerborg et al 1976 Figure 2 23 Diff rence entre le concept de fissuration fictive pour les m taux et pour le b ton d apr s Bouzaiene 1995 Cependant Hillerborg et al 1976 font
22. Fibres Dramix 65 35 Bekaert 80 0 5 3 Fabrication des sp cimens Les coffrages ont t r alis s par nos soins l atelier de bois du laboratoire de Structures Pour les sp cimens de sections carr es coul s verticalement on a pu regrouper les sp cimens par trois en r alisant un coffrage avec trois compartiments Pour les sp cimens cylindriques on a utilis des tubes de cartons de type Sonotube Pour les autres sp cimens de sections carr es coul s horizontalement nous tions oblig s de cr er un coffrage pour chaque sp cimen Figure 5 2 Les coffrages sont compos s de plaques de bois contre plaqu avec une face de finition et de madriers de 2 x4 pour les raidisseurs Ils ont volontairement t surdimensionn s de fa on tre r utilisables pour un ventuel futur projet Ils sont facilement d montables gr ce l utilisation de tiges filet es Les sp cimens ont t fabriqu s directement avec les dimensions requises pour l essai Van Mier et al 2000 conseille plut t d obtenir les sp cimens en les sciant partir d un grand bloc de b ton afin de s affranchir des effets de bords caus s par la coul e et d obtenir des 124 sp cimens les plus homog nes possibles Cependant vu la taille de nos plus grands sp cimens L 1200 mm et d 300 mm nous n avions pas la possibilit de proc der ainsi au laboratoire Figure 5 2 Photos des coffrages pour les sp cimens de sections carr es coul
23. Figure 2 18 Courbes de compression triaxiale pour un b ton de 60 MPa et 92 MPa d apr s Xie et al 1995 2 2 6 4 Influence du confinement sur la contrainte r siduelle Pour Van Mier 2009 la contrainte r siduelle est due aux contraintes de frottement Coulomb friction qui se d veloppent entre les blocs cr s par les fissures en bande de cisaillement Figure 2 19 Sur la Figure 2 18 on peut voir que le plateau de contrainte r siduelle varie aussi en fonction du niveau de confinement Ceci peut toujours s expliquer par le fait que les d formations lat rales excessives sont emp ch es et donc les contraintes de frottement entre les blocs sont augment es Il semble que l augmentation du plateau suit la m me tendance que la diminution de la pente c est dire tr s rapide pour des niveaux faibles de confinement et plus lente pour des niveaux forts Il est cependant difficile de se faire une vraie opinion concernant la contrainte r siduelle car trop peu d essais se rendent jusque l Pour des valeurs de confinement au del du point de transition environ 30 de fe l enveloppe de rupture et l enveloppe de contrainte r siduelle coincident Samani et Attard 2012 31 onset of macro stress c MPa cracking un stable critical Stage B onset of micro large stress drop sus due to growth of shear fractures with W Slage C residual stress Stage A pre peak micro cracking e gt
24. Figure 4 5 Conditions limites appliqu es et d signation des surfaces du sp cimen de ratio d lancement de 0 5 Les valeurs de et de y sont respectivement 0 714 mm valeur par d faut d finie partir des essais de Van Mier au chapitre 3 et 0 1 Les autres parametres du mat riau sont les suivants module tangent l origine Eo 29170 MPa r sistance fe 45 MPa d formation au pic e 0 0026 coefficient de Poisson l origine vo 0 2 et masse volumique p 2450 kg m gt Ici pour les essais de validation on n glige l effet du poids propre mais la masse volumique doit tout de m me tre sp cifi e pour tablir la matrice de masse On repr sente les courbes contrainte d formation obtenues sur un m me graphique Figure 4 6 La contrainte est obtenue en sommant les forces selon Z agissant sur les noeuds de la face SOL et en la divisant par l aire totale de la section 100x100 mm La d formation moyenne est calcul e en divisant la moyenne des d placements selon Z de tous les n uds de la face PRESSE par la hauteur totale du sp cimen Ainsi les courbes o amp repr sentent le comportement global des sp cimens On repr sente ensuite ces m mes courbes en termes de force d placement sur un second graphique Figure 4 7 Enfin sur la Figure 4 8 on trace les courbes de la contrainte normalis e au pic 6 dmax en fonction du d placement post pic avec et sans prise en compte du d chargement lastique 103
25. Le b ton confin a une meilleure r sistance en compression et permet de plus grandes d formations pr pic dans la direction de la contrainte majeure de compression Le deuxi me mode d endommagement principal en phase pr pic est repr sent sur la Figure 2 2c Des microfissures dues aux microglissements l interface pate granulat apparaissent Elles bifurquent dans la matrice en suivant un c ne form au dessus et en dessous de l agr gat qui sont des zones de confinement triaxial En effet quand on vient exercer une pression sur l ensemble pate granulat des forces de frottement se cr ent l interface sur le dessus et le dessous des eranulats De ce fait les zones gris es sur la Figure 2 2c sont plus r sistantes que les zones lat rales La propagation de ces microfissures dans la p te se fera en mode II cisaillement voir Figure 2 4 et d pend fortement de l tat de contrainte appliqu Leur apparition autour des inclusions agr gats est quasi al atoire et se r partit sur l ensemble du volume Notons que ce cas de figure est possible seulement quand le granulat a un module d Young plus grand que celui de la matrice Em Dans le cas o Eg lt Em Figure 2 2d pour des b tons l gers par exemple des fissures de fendages vont se d velopper directement dans le granulat S 1l y a pr sence de pores au sein de la matrice Figure 2 2e en suivant le principe de la m canique de la rupture classique et en analysant le
26. M D 1980 A mathematical model of the deformational behavior of concrete under generalised stress based on fundamental material properties Materials and Structures vol 13 n 4 289 298 Kotsovos M D 1983 Effects of testing techniques on the post ultimate behaviour of concrete in compression Materials and Structures vol 16 3 12 Lacroix Sauvageau M Androu t C et Charron J P 2010 V rifications d une technique de formulation des b tons renforc s de fibres m talliques Rapport interne Ecole Polytechnique de Montr al Mander J B Priestley M J amp Park R 1988 Theoretical stress strain model for confined concrete Journal of structural engineering vol 114 n 8 1804 1826 Markeset G et Hillerborg A 1995 Softening of concrete in compression Localization and size effects Cement and Concrete Research vol 25 702 708 157 Massicotte B 2013 Calcul des structures en b ton arm Concepts de base ditions da Vinci Laval Qu bec Canada Massicotte B Nour A Ben Ftima M Yildiz E et Conciatori D 2012 EPM3D v3 1 A user supplied constitutive model for the nonlinear finite element analysis of reinforced concrete structures Rapport de recherche SR12 03 Ecole Polytechnique de Montr al Murray D et al 1979 A concrete plasticity theory for biaxial stress analysis Journal of Engineering Mechanics Division ASCE vol 105 98
27. au paragraphe 3 2 1 Sur la Figure 5 23 nous d finissons donc trois valeurs pour 0 min moy t Omax Nous avons calcul les pentes entre le pic et les valeurs des d placements 0 5 fe Pour la valeur y5o nous n avons seulement pris en compte que les sp cimens de dimension transversale 300 mm En effet comme on peut le voir sur la Figure 5 19 les sp cimens de petites sections n ont pas pr sent de contrainte r siduelle Nous sommes conscients que ces valeurs ne sont pas tr s repr sentatives et que de plus amples investigations devraient tre men es Quelques r serves doivent tre mises notamment en ce qui concerne tous les sp cimens fragiles ou pseudo fragiles Nous pensons que si nous reproduisons notre programme exp rimental en appliquant des vitesses de chargement plus faibles ou contr l es diff remment voir recommandations paragraphe 7 2 nous serions en mesure d valuer pour les sp cimens manquants et ainsi d gager des conclusions suppl mentaires sur l orientation des fibres et la localisation des d formations Il faut donc garder l esprit que la valeur 0 que nous d finissons correspond bien plus aux sp cimens CARV A300 L600 et CYL_D300_L600 avec des caract ristiques id ales c est dire avec un rapport d lancement proche de 2 une longueur de 600 mm et une orientation favorable des fibres 145 CYL D150 1300 1 CYL D150 L300 2 CYL D300 L600 2 lt CYL D
28. drique 8 n uds d ABAQUS Explicit l int gration r duite est disponible Il y a un seul point d int gration ce qui signifie que le calcul de la matrice de rigidit et du vecteur des forces internes est effectu en valuant la fonction B C B J en un seul point au centre de l l ment L expression de Kn est donc excessivement simple K 8 BT C B VD 0 0 4 19 car pour un seul point d int gration sur chaque axe le calcul se fait au centre de l l ment au point r s t 0 0 0 et wi w wy 2 Les avantages que pr sentent l int gration r duite sont principalement le gain en terme d op rations de calcul donc un temps d analyse largement r duit et la flexibilit de la matrice de rigidit supprimant ainsi les probl mes de verrouillage en cisaillement qui peuvent survenir lors d une int gration exacte Toutes les mod lisations faites avec EPM3D ici l cole Polytechnique de Montr al sont r alis es avec une int gration r duite En effet lorsque l on veut mod liser l chelle de la structure on se retrouve tr s vite avec des analyses comportant un tr s grand nombre d l ments La rapidit de calcul avec l int gration r duite est donc plus qu appr ciable elle est n cessaire 4 3 1 3 Choix d un sch ma de contr le des modes de d formation nulle L un des inconv nients majeurs de l int gration r duite par contre est l absence de prise en compte des modes de d for
29. finition d un tel facteur R La plupart des mod les utilisent le ratio E C n e Omi e C est pourquoi nous exprimerons non seulement y en fonction de P mais aussi de x On peut C noter que le plateau de contrainte r siduelle augmente tr s vite pour des contraintes de confinement faibles Le confinement qu apporte la pr sence d triers au sein d un poteau de b ton est un confinement passif et de faible niveau D pendamment du ratio d acier le rapport de confinement ne d passe quasiment jamais 0 5 Cependant comme on peut le voir sur la Figure 3 13 c est bien entre 0 et 0 5 que la contrainte r siduelle augmente de la mani re la plus significative Il en est de m me pour la pente post pic Il est donc important de bien calibrer notre mod le sur cet intervalle Nous proposons donc de suivre une version modifi e de la formulation de Samani et Attard 2012 1 y 91 400a 5 8297 1 3 1 3 26 1 Yu Oni avec a E le ratio de confinement C La pr sence de y au d nominateur est une modification de notre part de la formule originale Nous nous d marquons donc du modele de Samani et Attard sur ce point car nous consid rons qu il est possible d observer une contrainte r siduelle non nulle lors d un essai de 79 compression uniaxiale Nous verrons notamment au chapitre 5 que y semble plus lev pour un b ton fibr que pour un b ton normal Au m me titre que 0 y
30. gration sur le volume de l l ment Le choix de l int gration de la matrice de rigidit peut avoir des cons quences sur le temps de calcul et sur la pr cision Il existe une multitude de m thodes mises au point par les math maticiens comme la m thode des trap zes ou la m thode de Simpson Mais la m thode la plus efficace et donc la plus utilis e dans les logiciels par l ments finis est la m thode de la quadrature de Gauss ou m thode d int gration de Gauss Le principe est assez simple on vient transformer l int gration d une fonction par une somme pond r e des valeurs que prend cette m me fonction Ces valeurs sont calcul es en des points strat giques de l l ment appel s points d int gration de Gauss 96 En r gle g n rale dans les logiciels on utilise des l ments isoparam triques Cela consiste transformer l int grale de la matrice de rigidit sur une g om trie quelconque en une int grale sur une g om trie simple avec des bornes variant entre 1 1 Kn A K 4 15 avec Ka B Cy B av ve B x y 2 C B x y z dxdydz 4 16 B r s t C B s JCr s drdsdt ou A repr sente la matrice d assemblage K J est la matrice de rigidit d un l ment V est le volume de l l ment 5 est la matrice qui lient les d formations au vecteur des d placements nodaux e B u et Cy est la matrice constitutive du mat ri
31. l ment cube avec l enveloppe de rupture de Hsieh et al 1982 3 4 2 Note importante sur les enveloppes de rupture Nous avons remarqu que le modele donnait des r sultats beaucoup plus satisfaisants quand l enveloppe de rupture d finie par Hsieh et al 1982 tait utilis e la place de l enveloppe de rupture de Willam et Warnke 1975 L enveloppe de Willam Warnke est celle utilis e par d faut dans le modele car elle donne de meilleurs r sultats de mani re globale notamment dans le traitement d essais de flexion et de traction Cependant le principal d faut de l enveloppe de Willam et Warnke 1975 est la surestimation de la contrainte maximale en compression sous faible confinement tant donn que la valeur de R est directement reli e Gmax et Gmin si on surestime Omax cela peut poser quelques probl mes comme on peut le voir sur la Figure 3 12 puisque R ne prendra pas les valeurs attendues et sera toujours environ gal 1 pour un faible confinement On voit que la pente post pic devient plus raide pour des valeurs de confinement de 2 ou 5 MPa que pour le cas de la compression uniaxiale ce qui ne correspond pas au ph nom ne physique observ Au dessus de 20 MPa de confinement le comportement devient ad quat mais les valeurs de la contrainte au pic et de la pente post pic ne sont pas bonnes Le point de transition est atteint pour un chargement quasi hydrostatique ce qui ne correspond pas aux observations de Bouzaien
32. rations faites par Ben Ftima 2013 4 1 Introduction et d finitions 4 1 1 Introduction Abaqus Ben Ftima 2005 a effectu une analyse comparative des trois logiciels de calculs par l ments finis les plus connus ADINA ANSYS et ABAQUS Cette tude portait sur plusieurs points comme la rapidit et la facilit du pr traitement phase d laboration du mod le la possibilit de diffuser les l ments de barres d armatures dans les l ments solides de b ton et la pr sence d une 87 m thode d int gration explicite Le logiciel de calcul par l ments finis ABAQUS a remport la mise Par la suite ABAQUS a t rachet par Dassault Syst mes le producteur du logiciel de dessin assist par ordinateur CATIA L interface graphique d ABAQUS a donc t am lior e et elle est maintenant tr s pratique pour le pr traitement ABAQUS est un logiciel tr s complet permettant de faire des analyses lin aires ou non lin aires statiques ou dynamiques Le module ABAQUS CAE est une interface dans laquelle l utilisateur peut d finir toutes les propri t s de son analyse g om trie des diff rentes pi ces propri t s m caniques choix des l ments choix de l int gration de la matrice de rigidit choix du mode de r solution Pour la r solution des analyses il existe deux modules ABAQUS Standard et ABAQUS Explicit Le premier est un module utilisant des sch mas de r solution implicite dits classiques po
33. s mat rielles au sein d une analyse par l ments finis Dans le mod le existant on a fait le choix d un raisonnement sur l nergie de rupture en compression analogue celui de la mod lisation de l adoucissement en traction mais avec quelques sp cificit s li es notamment la prise en compte du confinement 1 2 D finition du sujet de recherche Le sujet de ce m moire s nonce ainsi caract risation du comportement post pic en compression du b ton arm et non arm et extension au b ton renforc de fibres Cette partie du modele datait des premiers travaux de Bouzaiene 1995 et n tait plus d actualit Les r sultats taient trop d pendants du maillage et la prise en compte du confinement n tait pas optimale voire inexistante suite aux modifications de Ben Ftima 2013 1 3 Objectifs et contexte du m moire Ce m moire s inscrit donc dans une logique d am lioration continue du mod le EPM3D et fait suite aux travaux effectu s dans les deux theses de doctorat de Bouzaiene 1995 et de Ben Ftima 2013 R cemment les travaux de Nour 2005 ont pu rendre le mod le plus efficace en ce qui concerne la mod lisation du raidissement en traction du b ton arm Ben Ftima et Massicotte 2004 ont assur la portabilit du mod le qui a pu tre implant dans le logiciel de calcul par l ments finis ABAQUS Explicit Ce m moire a pour but d approfondir un des points abord s dans ces diff rentes theses qui e
34. supprimer la couche de laitance pour gagner en adh rence et obtenir des mesures fiables Le choix de coller les plots plut t que de percer des trous dans le b ton de fa on les ancrer plus solidement se justifie par le fait que nous ne voulions en aucun cas alt rer les chantillons et cr er de trop grandes zones de faiblesse Pour compl ter les mesures des capteurs nous disposions aussi des capteurs de la presse Nous avions acc s au d placement du plateau de la presse et la mesure de la force effectu e par la cellule de charge 10 KN Enfin les sp cimens ont t recouverts de peinture blanche pour une meilleure observation de la fissuration 5 5 Syst me de chargement et installation Comme nous l avons dit pr c demment une presse MTS de 12 MN a t utilis e pour les sp cimens de grande section avec une force maximale valu e 7200 kN Les petites sections 150x150 mm n cessitaient une force 4 fois moindre d environ 1800 kN Les quipements du laboratoire tant utilis s par beaucoup d tudiants 1l n tait pas possible d effectuer tous les essais sur la m me presse La presse Instron avec une capacit de 4 MN a t utilis e pour les essais de petite section Pour ce type d essai le montage est sommaire En effet nous n avons pas eu besoin de modifier beaucoup les presses Nous avons seulement install des plaques d acier sur les plateaux haut et bas des deux presses utilis es Comme nous l
35. ton nous invitons le lecteur se reporter la th se de Bouzaiene 1995 39 hypo lastique le param tre d endommagement utilis et le concept de la d formation quivalente Nous finirons par une introduction aux crit res de rupture La mod lisation du comportement post pic en compression dans EPM3D sera trait e part enti re au paragraphe 3 2 3 1 3 D finition d un mod le hypo lastique Bouzaiene 1995 rapporte que selon l ASCE 1982 l avantage de la th orie hypo lastique est d tre simple et ad quate pour d crire le comportement irr versible des g omat riaux comme le b ton L approche hypo lastique est tr s proche de l approche lastique non lin aire Il convient donc de faire le lien avec cette derni re L approche lastique non lin aire est tout simplement une g n ralisation de l approche lastique lin aire Nous rappelons donc que l approche lastique lin aire consiste relier par une relation lin aire loi de Hooke le tenseur des d formations celui des contraintes par l interm diaire de la matrice constitutive E u Oij ijriEk 3 1 ou Ex est une matrice carr e d ordre 6 dans le cas d un probl me en trois dimensions et coefficients constants Le passage la th orie lastique non lin aire se fait tout simplement en mettant en place une relation plus g n rale Oij FijaEr Er 3 2 ou Fix est une matrice fonction quelconque Le calcul de chaque cont
36. ton de facon repr senter le mieux possible le comportement post pic en compression uniaxiale Pour le b ton de 35 MPa 0 0 725 mm Pour le b ton de 63 MPa 0 660 mm Enfin pour le b ton de 92 MPa 0 623 mm On voit que la valeur de diminue en fonction de fe La pente post pic est donc plus grande pour un b ton de meilleure r sistance Pour les trois b tons on a y 0 15 Les conditions limites appliqu es sont les m mes que pour la validation du comportement en compression uniaxiale Les faces LIBREX et LIBREY subissent toutefois maintenant une contrainte appliqu e sous forme de pression uniforme Dans un premier temps on applique le confinement en 0 1 sec On vient ensuite appliquer le d placement de la presse en 1 sec Le confinement et le d placement de la presse sont appliqu s avec une amplitude lisse 107 Nous tenons a remarquer que la distinction des phases de confinement et de d placement de la presse n est possible que pour des ratios de confinement faibles inf rieurs a 0 5 Pour des ratios de confinement lev le fait d appliquer une contrainte biaxiale proche de fe apporte trop d instabilit au mod le Si on veut mod liser le comportement d un b ton fortement confin 1l faut appliquer le d placement de la presse et le confinement simultan ment Pour cette raison nous ne pr sentons ici que des courbes pour des ratios de confinement inf rieur 0 5 Le but ici est de valider l ex
37. 3 Conf 29 3 Experimental m EPM3D 0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 D formation s Figure 4 12 Xie et al 1995 b ton de 63 MPa ConfO Conf3 8 Conf 8 3 Conf 12 8 Conf 16 6 Conf 21 8 Conf 26 3 Experimental p Oee EPM3D D formation e Figure 4 13 Xie et al 1995 b ton de 92 MPa Tout d abord il convient de ne pas porter une trop grande attention l exactitude des courbes pr dites Les d formations sont surestim es dans l ensemble et comme notre mod lisation post pic est bas e essentiellement sur les valeurs au pic on ne peut pas obtenir une bonne corr lation La 109 X surestimation de la d formation au pic est due a l approche hypo lastique et du calcul par d formation quivalente qui n est pas vraiment adapt e au fait que nous appliquions le confinement et le d placement de la presse en deux tapes distinctes Pour ce qui est de la l g re surestimation des contraintes au pic notamment pour les sp cimens avec des valeurs de confinement lev es cela pourrait tre vit en utilisant un critere de rupture plus r cent comme celui de Pramono et Willam 1989 En effet le crit re de Hsieh et al 1982 ou encore le crit re de Willam Warnke sont selon nous obsol tes Ceci constitue un des prochains axes de travail pour l am lioration d EPM3D Par ailleurs nous d sirons attirer davantage l
38. 5 Conditions limites appliqu es et d signation des surfaces du sp cimen de ratio d lancement de 0 5 cccccececceccccscsccececcscecsncetaccsceccececcececsccscadcccaccetecsececsececaccscascscesecersecs 102 Figure 4 6 Courbes contrainte d formation pour les 9 configurations h d 0 5 en bleu en rouse EL 2 CN Vent sone era cee AR S nn SE aaa 103 Figure 4 7 Courbes force d placement pour les 9 configurations h d 0 5 en bleu 1 en rouge PA Ce DUR LC er DE 103 Figure 4 8 Courbes contraintes normalis es vs d placement post pic a sans et b avec prise en compte du dechareemenbelastiQque esa iis cereale ace ind dela de aces 104 Figure 4 9 Localisation des d formations dans une rang e d l ments pour le sp cimen de ratio 1 et pour les trois matllaces differents 25e donnant ete Si 104 XVII Figure 4 10 V rification de l ind pendance du maillage avec deux types d Hourglass control a Enhanced CUD dela STII SS sisi on bu dum OE Ute ee en ner et 105 Fieure 4 11 Smith et al 1989 b ton de 35 MPa erba eee ee aoo pa hte ruo paene 107 Fisure 4 12 Xie etal 1995 b ton de 65 MP iet ee ebat Ca E pe Pao e ea eerta 108 Fipure 4 15 Xie etal 1995 betonde 92 MIP A interne ae echoes A Ts 108 Figure 4 14 Trois maillages diff rents pour l tude de l ind pendance vis vis du maillage en presence de confimeident de UE siea T A R etat E fu tee des re 110 Figure 4 15
39. D Ecole Polytechnique de Montr al Binici B 2005 An analytical model for stress strain behaviour of confined concrete Engineering Structures vol 27 n 7 1040 1051 Bouzaiene A 1995 Caract risation et mod lisation du comportement non lin aire d l ments en b ton arm et non arm sous sollicitations multiaxiales Ph D D partement des g nies civil g ologique et des mines Ecole Polytechnique de Montr al Rapport n EPM GCS 1995 13 Bouzaiene A et Massicotte B 1997 Hypoelastic tridimensional model for non proportional loading of plain concrete Journal of Engineering Mechanics ASCE vol 123 n 11 1111 1120 154 CEB FIP Model Code 2010 first complete draft F d ration Internationale du B ton fib International Federation for Structural Concrete 2010 Craveur J C et Jetteur P 2010 Introduction la m canique non lin aire Calcul des structures par l ments finis Dunod Paris Crisfield M A 1984 Difficulties with current numerical models for reinforced concrete and some tentative solutions Computer aided analysis and design of concrete structure d par Damyanic et al Pineridge Press Swansea UK 331 358 Cusson D De Larrard F Boulay C et Paultre P 1996 Strain localization in confined high strength concrete columns Journal of Structural Engineering vol 122 1055 1061 Cusson D et Paultre P 1994 High strength concrete c
40. Les sp cimens cylindriques commencent par CYL et les sp cimens de sections carr es coul s horizontalement par CARH Nous allons commencer par pr senter les courbes force d placement trac es avec les donn es des capteurs de la presse et les diff rents types de rupture que l on a observ s Ensuite nous pr senterons les courbes trac es l aide des diff rentes mesures effectu es par les capteurs que nous avons mis en place sur les sp cimens Enfin en conclusion nous commenterons l influence des param tres que nous avons fait varier Notons cependant que les r sultats de seulement 2 sp cimens sur les 36 test s ont d tre cart s Le sp cimen CYL_D300_L600 1 tait notre premier test et l alignement avec l axe de la presse n tait pas optimal Nous avons observ des carts de d formations trop grands entre les faces Nord et Sud Nous avons donc chang notre proc dure d installation apr s ce premier essai Ceci fut concluant et nous avons gard cette m me proc dure pour tous les autres Le deuxi me sp cimen cart est CYL D150 L600 1 La coul e de ce sp cimen a t tr s mal r alis e et un Joint froid s est cr Le module d Young et la contrainte maximale de ce sp cimen taient bien plus faibles que ceux des autres sp cimens confirmant ainsi sa mauvaise qualit Les r sultats de ce dernier n ont donc pas t utilis s 5 7 2 Courbes force d placement de la presse et premi res remarques
41. Parametres d influence sur le comportement post pic en compression uniaxiale 2 2 5 1 Influence de la r sistance maximale en compression fe Sur la Figure 2 9a sont pr sent es les courbes contraintes d formations pour un b ton ordinaire BO de 45 MPa pour des chantillons avec des rapports d lancement de 2 5 5 Jansen et Shah 1997 Sur la Figure 2 9b on trouve les m mes courbes mais pour un b ton haute performance BHP de 90 MPa Notons que les contraintes sont normalis es au pic c est dire que l on repr sente avec o la contrainte maximale On voit bien que pour le BHP la pente C d adoucissement est globalement plus raide que pour le BO Relative Stress o s 0 0 002 0 004 0 006 0 008 0 0 002 0 004 0 006 0 008 Surface Strain e mm mm Surface Strain e mm mm a b Figure 2 9 Courbes de la contrainte relative en fonction de la d formation moyenne pour des lancements variant de 2 5 5 a B ton ordinaire de 45 MPa b B ton haute performance de 90 MPa d apr s Jansen et Shah 1997 Plus un b ton sera r sistant plus la pente d adoucissement sera lev e c est dire plus la rupture sera fragile Pour des b tons haute performance BHP avec des r sistances la compression sup rieures 70 MPa on peut m me observer le ph nomene de snap back La pente redevient alors positive Cela ne peut s observer qu avec des conditions d essais particuli res 19
42. TON ET MOD LISATION DE L ADOUCISSEMENT ssseeeeeeeteetete eene teretes 5 2 1 Comportement du b ton en compression en phase pr p1c cc ceeeeeeseececeeeeaeeeseeeeeees 3 PENES TT T T S MET 5 2 1 2 M som canismes d endommagement en phase pr pic et microfissuration 7 2 2 Comportement du b ton en compression en phase post pic essssssssseeessssssssseeerssss 1 2 2 1 Propagation des fissures en compression ss 11 PES MEM roce CS MUU ee Ra end tdi nie need te Mer niche nn Or ta ne 12 2 2 3 Concept d un comportement structural plut t que mat riel 15 2 2 4 Tentative d unification des donn es exp rimentales pour les essais de caract risation de l adoucissement dans la litt rature eese nnne 16 2 2 5 Param tres d influence sur le comportement post pic en compression uniaxiale 18 220 Initluyence du confieiment Jaleralo in orco oe bet rco A ebetu Re 26 2 3 Classification des modeles de DEOS errian nire a ded eoe marae ein 3l 2 3 1 Classification selon l chelle de mod lisation ss 3l 2 3 2 Classification selon la th orie utilis e pour le comportement pr pic 33 2 3 3 Classification selon la mod lisation de la fissuration eese 34 2 4 Mod lisation de l adoucissement par la m thode des l ments finis 35 2 4 1 Instabilit mat rielle en m canique n
43. attention du lecteur sur la bonne repr sentation du comportement post pic En effet si on se concentre sur la pente d adoucissement et la contrainte r siduelle on voit que l on obtient de bonnes valeurs La pente diminue tr s vite pour un ratio de confinement faible La diminution est alors plus lente avec des ratios de confinement plus lev s La d finition de x ind pendamment de la r sistance du b ton consid r est satisfaisante car les valeurs de la pente post pic sont correctes pour les trois b tons La contrainte r siduelle est elle aussi bien valu e Cependant nous tenons apporter un b mol sur ce point puisque certaines courbes exp rimentales s arr tent avant d atteindre le plateau de contrainte r siduelle et il est donc impossible de juger de sa bonne estimation 4 4 2 2 Sensibilit vis vis du maillage en pr sence de confinement actif Il faut maintenant examiner la d pendance vis a vis du maillage en pr sence de confinement Nous pr sentons exactement les m mes analyses qu la Figure 4 12 b ton de 60 MPa test par Xie et al mais cette fois ci en faisant varier la taille du maillage Nous avons effectu des analyses suppl mentaires afin de pr senter ces m mes courbes mais avec 3 tailles de maillages A diff rentes h 55 mm 18 33 mm et 11 mm pour chaque niveau de confinement Figure 4 14 110 Figure 4 14 Trois maillages diff rents pour l tude de l ind pendance vis vis du maillage
44. au m me titre que les relations existantes en traction mais aussi des conditions limites frottement avec les plaques de chargement pr sence de rotule de chargement etc Ce travail a t amorc dans l article de Samani et Attard 2012 De m me les essais o l on applique des d placements suffisamment grands pour obtenir la contrainte r siduelle sont trop peu nombreux et 1l faudra attendre de voir les r sultats publi s dans les ann es futures pour savoir si l on doit adopter une relation pour y et ou modifier la relation de y en pr sence de confinement Pour certains la contrainte r siduelle n existe pas m me en cas de confinement Il est vrai que notre mod le de contrainte r siduelle constante non nulle m me pour une d formation qui tend vers l infini est tr s th orique En r alit on sait bien que la contrainte va continuer diminuer lentement jusqu devenir nulle si on va tr s loin en d formation Il faudrait donc peut tre soit d finir une d formation maximale dans notre mod le constitutif soit utiliser une fonction lin aire avec un faible coefficient qui d croit lentement vers O pour la partie contrainte r siduelle plut t qu un plateau 150 6 2 Conclusions sur le programme exp rimental Ce programme exp rimental nous a permis tout d abord de r aliser la fabrication de nos sp cimens dans des conditions industrielles A la vue des r sultats pour la partie pr pic nous pouvons conclure
45. aujourd hui 46 se mettre d accord sur l existence d une nergie de rupture en compression Comme on l a vu les travaux de Van Mier 1986 mettent en vidence la localisation en compression mais ceci n est pas accept par toute la communaut scientifique La mod lisation de l adoucissement en compression manque cruellement de parametres intrinseques clairs pour avancer De plus le comportement post pic en compression est plus complexe qu en traction puisqu il est le r sultat de deux modes de propagations combin s modes I et II L effet du confinement doit aussi tre pris en compte dans la formulation post pic La rupture en compression s accompagne de d formations lat rales excessives Notons aussi que dans le cas d une rupture en traction le plan de fissure est facile identifier 1l est normal la direction de la contrainte maximale Dans le cas d une rupture en compression l orientation du plan de fissure est tr s difficile valuer Il est donc difficile de d finir physiquement la direction dans laquelle la mesure de h doit tre effectu e Pour une mod lisation en trois dimensions on conseille donc de garder des l ments avec une g om trie proche du cube o h est calcul par h VaV 2 10 o dV est le volume repr sent par le point d int gration Nous verrons au chapitre 4 que nous utilisons des l ments cubes int gration r duite avec un seul point d int gration Donc
46. avec des conditions de frottement parfaitement nul Ces conditions sont assez difficiles a obtenir en pratique car le frottement parfaitement nul n existe pas en laboratoire On peut tout de m me s en approcher en ayant recours a des dispositifs de limitation de frottement ex plaques de t flon Si on se r f re la Figure 2 3 sch matisant une fissure ailes l absence totale de confinement lat ral et de frottement va permettre la propagation des ailes en mode I Ainsi la coalescence des microfissures va former une macrofissure verticale fendant le sp cimen de haut en bas Figure 2 6 Cela s accompagne d une perte de r sistance 1mm diate sans d formation suppl mentaire il n y a donc aucun effet adoucissant La portion post pic de la courbe o comme de la courbe o serait une simple droite verticale jusqu une contrainte nulle Kotsovos 1983 d finit la rupture par fendage comme le cas limite d une rupture par bande de cisaillement avec une inclinaison de 0 par rapport l axe de la charge Or ce cas limite propos par Kotsovos est loin de faire l unaminit au sein de la communaut scientifique 14 Figure 2 6 Eprouvette classique d un test de compression avec rupture par fendage d apr s Kotsovos 1983 On peut aussi citer de Larrard et Rossi 1988 et Bazant 1993 qui ont mis l hypoth se que la rupture en compression uniaxiale est due au flambement de colonnettes form es par la
47. avec plusieurs macrofissures Vues de CYL D300 L600 3 139 Figure 5 18 Prise en compte des donn es fournies par les capteurs LP en phase post pic sur la face Nord du sp cimen CARV A300 L600O 1 Ru 141 Figure 5 19 Courbes contrainte normalis e d placement post pic pour les sp cimens de longueur Figure 5 21 Courbes contrainte normalis e d placement post pic pour les sp cimens de longueur LEA BEI EROR RNC T ee 142 XIX Figure 5 22 Comparaison de la superposition des courbes quand on utilise le d placement post pic ou la d formation post pic en ordonn e ss 143 Figure 5 23 D finition des param tres et y pour le mod le EPMG3D eee 145 Figure 5 24 Courbes contrainte normalis e d placement post pic in lastique pour des sp cimens de rapports d lancement de 2 4 avec un BHF de 90 MPa Jansen et Shah 1997 146 Figure 5 25 Courbes contraintes d formations pr pic pour les sp cimens de section carr e coul s NOZOMI AleIMMe NU RETE TT I 147 Figure 5 26 Courbes contraintes d formations pr pic pour les sp cimens de section carr e coul s be S Io PRIUS TORRE ETE 147 Figure 5 27 Courbes contraintes d formations pr pic pour les sp cimens de section cylindrique coules verticalermetit oo oro Du e Em M MM LU ET ADM LUE 147 BFUP BO BPDL BRF BRFHP EPM3D MGA XX
48. b ton renforc d une barre d armature La rigidit de l ensemble b ton fissur acier est meilleure que la somme de chaque partie s par ment Pour repr senter cette synergie on peut soit modifier la loi post pic en traction du b ton soit la loi en traction de l acier Le choix qui est effectu dans notre mod le est de venir modifier localement autour des armatures la loi post pic en traction du b ton en proposant l utilisateur plusieurs quations de raidissement issues de la litt rature 3 2 Mod lisation du comportement post pic en compression avant modifications Dans l tat actuel du mod le EPM3D l utilisateur a acc s aux deux param tres et y qui conditionnent le comportement post pic en compression uniaxiale Le param tre 6 correspond un d placement en millimetres post pic in lastique maximal en compression uniaxiale et sera d fini 63 au paragraphe suivant Le param tre y quant lui correspond au rapport de la contrainte r siduelle Or siduelle Sur la contrainte au pic fe en compression uniaxiale 3 2 1 D finition du param tre La d finition et la valeur de par d faut dans EPM3D proviennent de la s rie d essais r alis s par Van Mier 1986 sur des sp cimens avec des rapports d lancements vd de 0 5 1 et 2 Comme nous l avons vu au chapitre 2 Van Mier a montr que si l on consid re le post pic en termes de d placement mm et non plus en termes de d formations on p
49. band model qui constitue le fondement des mod les de fissuration diffuse pour le b ton L nergie de rupture devient Of Ef 2 7 C o 6 d6 w o E de 0 0 ou wc est la largeur de la bande Du point de vue purement math matique ce n est qu un s e 2 97 changement de variable avec 4 Cette galit assure la conservation de l nergie de rupture C La Figure 2 25 repr sente le passage de la fissuration discr te la fissuration r partie 44 inelastic elastic traction stress stress free distribution distribution real crack fictitious crack effective crack length LEFM tortuous crack profile blunt FPZ Figure 2 25 Equivalence entre le mod le de fissuration fictive fissuration discr te et le modele de fissuration par bande fissuration r partie d apr s Bhattacharjee 1993 Dans la zone fissur e la loi constitutive est d finie en termes de contrainte d formation Pour lutter contre les probl mes de d pendance du maillage expliqu s pr c demment Bazant et Oh 1983 fixent w trois fois la taille du plus gros granulat Tr s vite on s est rendu compte qu en reliant directement Gy la taille du maillage on diminuait consid rablement les probl mes de d pendance au maillage Willam et al 1986 Rots 1988 Pramono et Willam 1989 Dahlblom et Ottosen 1990 Yamaguchi et Chen 1990 wc a laiss place h le param tre de maille ou taille caract ristique du
50. champ de contrainte autour d un trou dans une plaque probl me courant de la m canique des milieux continus Timoshenko et Goodier 1970 on sait que des contraintes de traction vont se d velopper au dessus et au dessous du pore Ceci va cr er des fissures en mode I de part et d autre du pore P lt P F F Bifurcation de la a b P microfissure le long de la zone confin e Le Eq gt gt Em a Microglissement ou microfissure en mode Ei lt lt E Il l interface pate granulat c d e ITZ f g Figure 2 2 M som canismes responsables de l endommagement du b ton sous une charge de compression d apr s Van Mier 1998 Sur la Figure 2 2f on trouve l un des m som canismes tr s connu de la litt rature qui est la propagation des microfissures pr sentes initialement dans la p te de ciment ou a l interface pate granulat Elles sont plus ou moins inclin es par rapport a la direction principale de la charge et a chaque pointe de fissure apparaissent des ailes Ce probleme appel wing crack growth dans la litt rature Figure 2 3 que l on peut traduire par la propagation des fissures ailes Il a notamment t tudi par Horii et Nemat Nasser 1986 et Ashby et Hallam 1986 pour des mat riaux fragiles en compression comme la roche la c ramique ou la glace Ces tudes ont ensuite t adapt es au b ton et sont devenues des r f rences dans la th orie de l endommag
51. conseillons pour le moment de ne pas repr senter le b ton d enrobage si on veut mod liser le comportement post pic global de la colonne Le cadre dans lequel nous effectuons nos analyses EPM3D ABAQUS Explicit l ments avec contr le d Hourglass semble comporter une certaine limite qui devra faire l objet d une am lioration dans le futur De toute facon l influence du b ton d enrobage est n gligeable en phase post pic Le diametre de la colonne doit tre gal au diam tre du b ton de c ur soit gal la distance centre centre des triers Les triers doivent tre positionn s en p riph rie du b ton de coeur Toutefois si on tient repr senter le comportement du poteau avec le b ton d enrobage en phase pr pic 1l faut alors mod liser le poteau en deux parties distinctes b ton de c ur et b ton d enrobage Cependant dans l tat actuel du mod le EPMS3D il est difficile d obtenir une analyse stable lorsque que l on repr sente le b ton d enrobage En effet celui ci tant non confin il atteint sa r sistance maximale bien avant le b ton de coeur Les l ments situ s dans l enrobage passent en post pic bien avant ceux situ s dans le coeur ce qui est difficile g rer car le champ de contrainte varie alors tr s fortement l interface entre le b ton de c ur et d enrobage 119 7 Pour un maillage donn et pour une g om trie de colonne donn e section quantit d armature etc il faut dan
52. constitue aussi la conclusion de ce chapitre 4 5 2 R capitulatif et d marche pour la mod lisation avec EPM3D En r sum nous conseillons pour toutes les analyses o une rupture en compression peut survenir d utiliser pour le b ton l l ment C3D8R hexa dre 8 noeuds et int gration r duite avec le sch ma de contr le Enhanced Pour les poteaux en b ton arm l acier d armature peut tre mod lis par des l ments treillis ancr s dans les l ments de b ton avec la fonction Embedded Le chargement doit toujours tre contr l en d placement avec une amplitude lisse smooth step De plus les ratios d nergie cin tique et d nergie consomm e par le proc d de contr le d Hourglass sur l nergie interne totale EE et Ej E doivent tre contr l s plus s v rement que pour le cas d une rupture en traction Ces ratios ne doivent pas d passer 5 et 1 respectivement Dans certains cas on peut tout de m me avoir abaisser encore ces limites Pour la mod lisation d une colonne quelconque nous proposons la d marche suivante Utiliser les axes de sym trie de la section de la colonne afin de r duire la taille du mod le ex pour un poteau circulaire ne repr senter qu un quart De plus les conditions limites de sym trie apportent une robustesse tr s b n fique l analyse 2 Garder la hauteur totale du poteau pour tenir compte de l effet de localisation des d formations A ce propos l
53. dans notre cas h est gal l ar te du cube de l l ment Il faut donc faire des choix quant la pr cision que l on d sire pour notre mod le et les diff rents aspects sur lesquels nous voulons mettre l accent Dans le but de garder un mod le simple et donnant de bons r sultats Bouzaiene 1995 consid re une localisation des d formations parfaite en compression et d finit de mani re d guis e une nergie de rupture en compression en incorporant l effet du confinement De cette fa on Bouzaiene esp rait tre capable de mod liser le comportement ductile des colonnes en b ton arm plus ou moins confin es Plus tard Ben Ftima 2013 fera un parall le direct avec l nergie de rupture en traction en d finissant explicitement une nergie de rupture en compression Nous pr sentons plus en d tails au chapitre suivant le mod le de Bouzaiene et les modifications apport es par Ben Ftima 2013 47 Nous pr sentons dans ce qui suit des mod les que nous avons rencontr qui mod lisent le comportement post pic en compression en incluant le principe de conservation d nergie de rupture 2 5 2 2 Mod le de Markeset et Hillerborg 1995 pour la compression uniaxiale En 1995 Markeset et Hillerborg publient un article pr sentant un nouveau mod le appel CDZ model Compressive Damage Zone model C est une am lioration des mod les d Hillerborg 1989 et de Bazant 1989 qui ont propos une approche sim
54. est un param tre d entr e du mod le On repr sente y en fonction de a mm sur la Figure 3 14 avec pour l exemple y 0 2 P f g p pie y De plus l origine la formule d pend de fc Nous nous sommes plac s du c t conservateur en adoptant la formule pour un b ton de 120 MPa en point grand tiret sur la Figure 3 13 et nous avons simplifi les termes faisant intervenir fe 1 2 0 8 0 6 0 4 0 2 Figure 3 14 Courbe de y en fonction de 3 avec y 0 2 C 3 4 5 Proposition d une nouvelle relation pour K 3 4 5 1 Probl mes avec les premi res propositions Au d but nous avons propos des relations de x toujours en fonction de R car nous pensions que ce param tre introduit par Bouzaiene traduisait bien l tat de contrainte au sein du mat riau susceptible de mener une rupture fragile ou ductile Nous avons d abord remplac la relation lin aire introduite par Bouzaiene par des relations un peu plus complexes pour prendre en compte le fait que l effet du confinement sur la pente d adoucissement est tr s significatif des les premieres valeurs de confinement 80 Nous avons propos dans un premier temps une relation entre R et x en gardant la m me forme que la relation propos e pour l volution de la contrainte r siduelle en fonction du confinement que nous avons pu rencontrer dans le modele de Samani et Attard 2012 1 400p68097 13 4 1 n K 3 28 Avec b 3 636
55. et le terme LaWyendage peut tre n glig Samani et Attard 2012 C est pourquoi nous pensons que l hypoth se d un mod le bas sur l nergie de rupture en compression ou seule la propagation de la fissure en mode II entre en compte est tout fait appropri e lorsque le but ultime est de mod liser des poteaux en b ton arm Dans notre modele la variation de la pente post pic ne sera fonction que de la propagation de la fissure en bande de cisaillement influenc e par le confinement Nous rejoignons ainsi le mod le de Van Mier 2009 49 2 5 2 3 Mod les pour la compression triaxial Ces mod les traitent de l adoucissement en le caract risant par le couple d formation et contrainte au pic eo oo et la contrainte r siduelle Or siduelle lim o Ainsi la qualit du mod le 00 d pend essentiellement du crit re de rupture utilis pour calculer co oo et de la formule de la contrainte r siduelle fonction du confinement ou non La fonction de la courbe c e post pic reliant la contrainte au pic la contrainte r siduelle peut tre lin aire Saatcioglu et Razvi 1992 fractionnelle Attard et Setunge 1996 exponentielle Binici 2005 ou puissance Samani et Attard 2012 Certains d finissent des points suppl mentaires le long de la courbe d adoucissement comme des points d inflexions dans le mod le d Attard et Setunge 1996 pour une meilleure superposition des r sultats Tous ces mod les ad
56. et que pour les autres c est la force qui est impos e souvent z ro sauf dans nos analyses de confinement actif Ainsi pour les DDL ou le d placement est impos c est 93 la composante du vecteur des forces externes Fextn correspondante qui devient l inconnue Pour ces DDL l inversion de la matrice diagonale n est donc pas n cessaire 1 Fext n a At2 Ma lun 1 2 u on 523 T Kn un 4 12 Cela revient a transformer le d placement impos en une force d inertie en faisant une approximation sur le vecteur des acc l rations par la m thode des diff rences centr es Pour de meilleurs r sultats en analyse quasi statique avec cette m thode on conseille d utiliser une amplitude lisse smooth step dans ABAQUS pour le chargement surtout lorsque l on impose le d placement Figure 4 1 De cette fa on il n y a pas de discontinuit dans le taux de chargement et on limite la cr ation d ondes parasites Ben Ftima 2013 D placement as Fesses ene SSSR esse See SS 2S Temps 0 Atstable T Figure 4 1 Amplitude lisse pour le d placement impos 4 2 3 Crit re de stabilit La m thode des diff rences centr es est conditionnellement stable Elle exige que le pas de temps soit inf rieur un pas de temps critique fonction du syst me tudi Tmin 2 At lt Aterit or avec Tmin min ee 4 13 max 94 O Tmin est la plus petite p riode de vibration du syst me n DDL
57. et vaut m EM 2e Emax Ec T lastique Ec E 3 5 C 3 1 5 Concept de la d formation uniaxiale quivalente Le principe de la d formation uniaxiale quivalente est apparu avec le mod le hypo lastique de Darwin et Pecknold 1977 Ce mod le a connu le succ s par sa simplicit et sa e349 JN JN contraintes biaxiales et a t tendu au cas de chargement triaxial par Elwi et Murray 1979 Ce principe r pond la question comment peut on obtenir la courbe o e d un chargement biaxial partir de celle d un chargement uniaxial La technique consiste essentiellement soustraire les effets de Poisson lorsqu on vient calculer les modules de rigidit de la matrice constitutive Bouzaiene 1995 Sur la Figure 3 1 on repr sente la courbe o e dans la direction de compression principale o3 correspondant un chargement dans le domaine lin aire biaxial et proportionnel avec o a03 et o2 0 Pour un niveau de contrainte donn e on veut connaitre la d formation correspondante 58 Le concept s explique bien en condition de chargement biaxial dans le domaine lin aire Cela devient un peu plus compliqu a illustrer dans le cas d un chargement triaxial dans le domaine non lin aire C est pourquoi nous ne rentrerons pas dans les d tails et laissons au lecteur int ress le soin d approfondir ce point en allant lire les articles mentionn s Courbe B chargement biaxial Courbe A chargement
58. fibres nous ne pourrons pas non plus discuter de l influence de la taille ou de la forme de celles ci Le but final est d utiliser les donn es collect es pour des analyses d l ments structuraux l aide d ABAQUS et du mod le EPM3D Nous pr senterons au chapitre 6 un exemple d application portant sur l analyse d un poteau en b ton arm et fibr Ici nous avons plut t mis l accent sur l influence de la g om trie en faisant varier le rapport d lancement 2 et 4 et la forme de la section de sp cimens circulaires ou carr s On a effectu nos essais avec deux tailles caract ristiques pour la dimension transversale 150 mm et 300 mm afin de mettre en vidence un ventuel effet d chelle Enfin le dernier param tre que nous avons fait varier est le sens de coul e horizontal et vertical des sp cimens de section carr e Les sp cimens cylindriques ont tous t coul s verticalement Nous savons aujourd hui que nous pouvons orienter les fibres de facon pr f rentielle avec le sens de coul e Ainsi nous esp rions observer l influence de l orientation des fibres sur le comportement en compression post pic Dans un ouvrage en b ton fibr il est assez difficile d obtenir une orientation parfaite des fibres dans le sens d sir Ainsi en coulant nos sp cimens verticalement et horizontalement nous avons voulu nous placer dans deux cas limites qui peuvent survenir lors de la fabrication d l ments structuraux en b ton fi
59. forces de frottement entre nos sp cimens et les plaques de chargement n taient pas tr s lev es 141 fournissaient des mesures du retour lastique quand la jauge ne rencontrait aucune fissure tant t ils se d collaient cause du passage de la fissure sous le plot de mesure Plots de mesures du capteur LP Figure 5 18 Prise en compte des donn es fournies par les capteurs LP en phase post pic sur la face Nord du sp cimen CARV_A300_L600 1 Malgr le fait que nous ayons du rejeter beaucoup de donn es nous avons pu tracer les courbes contrainte normalis e vs d placement post pic 0 o 4 00 en faisant la moyenne des 0 d placements enregistr s avec minimum deux capteurs LP par sp cimen oo et do sont la contrainte et le d placement au pic pour chaque sp cimen Nous pr sentons donc sur les figures 5 19 5 20 et 5 2 les courbes post pic pour les 15 sp cimens adoucissants Nous les avons regroup es par longueur dans un premier temps dans un souci de clart 142 0 4 0 8 CYL D150 L300 1 C l D150 L300 2 E 07 3 CARV A150 L300 1 e 06 T AR 4150 L300 2 s 05 CARV A150 L300 3 E 04 9 s 03 E 5 02 c 2 0 1 o 1 2 3 4 5 D placement post pic mm Figure 5 19 Courbes contrainte normalis e d placement post pic pour les sp cimens de longueur 300 mm CYL D300 L600 2 CYL D300 L amp 00 3 0
60. gl e par des travaux futurs sur la mod lisation pr pic S1 on se concentre uniquement sur la phase post pic la pente ainsi que la contrainte r siduelle sont quelque peu d pendantes du maillage mais cela reste tr s correct Pour les niveaux de confinement faibles correspondant ceux que l on rencontre habituellement dans un poteau en b ton arm la dispersion est tr s faible ce qui est tr s encourageant 4 4 3 Validation de la compression avec confinement passif Les mod lisations que nous pr sentons ici ont t r alis es sur des quarts de poteaux cylindriques Le fait de consid rer un poteau cylindrique nous permet d avoir une meilleure r partition de la contrainte de confinement au sein du volume On obtient ainsi plus facilement de 112 bons r sultats qu avec un poteau de section carr e En effet pour cette derniere des concentrations de contraintes ont lieu dans les coins aux niveaux des armatures La pente post pic tant principalement due a la contrainte au pic atteinte dans le premier l ment du poteau qui fissure si l tat de contrainte au sein du poteau n est pas bien repr sent alors son comportement post pic ne le sera pas galement On repr sente sur la Figure 4 16 le champ de contraintes normales de confinement selon l axe x 077 dans un poteau en b ton arm de section circulaire et de section carr e Ce sont des captures d cran du logiciel ABAQUS o on peut repr senter l aide
61. hauteur de 108 mm Pour les b tons de 63 MPa et 92 MPa de Xie et al 1995 la hauteur tait de 110 mm Les valeurs de o entr es afin d obtenir la bonne pente Eau sont respectivement 0 726 mm 0 660 mm et 0 623 mm pour les b tons de 34 5 MPa 63 MPa et 92 MPa On peut voir que l on se trouve dans le m me ordre de grandeur que la valeur par d faut propos e par Bouzaiene qui est de 0 714 mm pour un b ton de 45 MPa 85 On obtient une tr s bonne superposition des courbes exp rimentales sauf peut tre pour le b ton de 92 MPa dans l intervalle a 0 05 0 15 o l on surestime un peu l effet du confinement Cependant nous verrons au chapitre 4 avec nos validations que cela reste tr s correct 3 4 6 Conclusion sur les modifications Nous avons effectu des modifications pour prendre en compte l effet du confinement dans le but de rendre le mod le capable de mod liser des poteaux en b ton arm o le ratio de confinement se situe souvent entre O0 et 0 5 tout d pendant de l espacement et l aire des triers utilis s L accent a t mis sur la calibration de la pente post pic et de la contrainte r siduelle dans le cas d essais en compression triaxiale avec des donn es exp rimentales d articles renomm s L quation de la pente post pic fait maintenant intervenir le module de d chargement et la contrainte au pic pour assurer la conservation de l nergie L influence de la longueur des sp cimens sera donc bien prise en co
62. int gration r duite et les deux types d Hourglass control Enhanced et Relax Stiffness Pour le sp cimen avec h d 1 nous avons fait quelques analyses de plus avec d autres tailles de maillage 400000 400000 lel retax l el enhanced 350000 el gnhanced 35U0LRUCI I Fi rl aes i Tel enhanced J Tal relax SOUU 41 o onhanced 30000 4 b4e relax 175 l enhanced 125 l relax 250000 512el enhanced 250000 512el relax OLLI 200000 Force N Force M 150000 150000 100000 100000 SOOO 50000 0 2 4 6 0 8 1 UN 4 0 6 0 8 1 D placement mm D placement mm a b Figure 4 10 V rification de l ind pendance du maillage avec deux types d Hourglass control a Enhanced et b Relax Stiffness Comme on peut le constater sur la Figure 4 10 pour les analyses effectu es avec le sch ma de contr le Enhanced la superposition des courbes est correcte mais pour le sch ma Relax Stiffness on voit que l analyse ne se comporte plus de mani re stable pour des maillages avec un grand nombre d l ments 125 l ments et 512 l ments Ces analyses ont t r alis es avec le m me 106 temps d application de la charge 1 sec et le calcul du pas de temps est le m me Pour obtenir des analyses plus stables avec le sch ma Relax Stiffness 11 faut augmenter consid rablement le temps d application de la charge ou venir dimin
63. la pente d adoucissement ainsi que pour l angle d inclinaison du plan de rupture en cisaillement Selon les photos de l article de Kotsovos 1983 il semblerait que les conditions limites soient directement responsables de l angle d inclinaison de la bande de cisaillement Plus le frottement aux extr mit s du sp cimen est fort plus l angle sera grand et plus la pente de la courbe post pic diminue On retrouve le cas limite de la rupture par fendage inclinaison 0 pour les dispositifs avec le moins de frottement caoutchouc et MGA active restraint 2 plain steel platen 3 brush platen rubber layer V 5 MGA pad I i 2m k i Lr AMAN ROME 4 27 prs 6 amp Ultimate stress and corresponding W H axial displacement f 50 MPa e 1 e I sm Qm t d mm mp Figure 2 12 Photos et courbes contrainte d placement des sp cimens test s avec diff rentes conditions limites d apr s Kotsovos 1983 Pour obtenir un vrai champ de contrainte de compression uniaxiale sur la totalit du sp cimen il faut donc limiter au maximum le frottement et donc la proportion des zones triaxialement confin es par rapport au volume de l chantillon L effet des techniques de chargement se manifeste surtout pour des lancements inf rieurs a 2 Pour des lancements de 2 et plus si le coefficient de frottement reste faible l effet s estompe consid rabl
64. les diff rentes formulations de lois constitutives pour la phase pr pic du b ton 2 3 3 Classification selon la mod lisation de la fissuration Toujours au sein des mod les macroscopiques on peut d finir deux classes distinctes selon leur fa on d appr hender la fissuration du b ton Certains mod les sont dits a fissuration diffuse smeared crack alors que d autres se servent de la th orie de la fissuration discr te discrete crack La th orie de la fissuration discr te revient mod liser la s paration cr e par la fissure de mani re explicite C est a dire que l on va pouvoir observer une v ritable s paration et une progression du front de la fissure Souvent c est l utilisateur qui vient d finir l endroit de l initiation de la fissure Ensuite la propagation de la fissure peut tre trait e de deux mani res diff rentes soit on consid re que le chemin de fissuration est connu et donc le maillage est effectu en fonction du chemin choisi soit il est d termin en calculant chaque it ration la direction des contraintes maximales et on proc de un remaillage autour de la fissure La th orie de la fissuration diffuse ou aussi appel e fissuration r partie est comme son nom l indique un artifice de calcul qui sert diffuser ou r partir sur un volume de mat riau consid r les d formations dues a la fissuration Elle a vu le jour avec Rashid 1968 On ne cherche pas a Savoir ou va se si
65. lisation L identification du passage d un comportement a un autre est donc primordiale et ne fait toujours pas l unanimit Cependant dans ce m moire nous consid rerons que le mat riau entre dans un comportement structural des le pic de r sistance 2 1 2 M som canismes d endommagement en phase pr pic et microfissuration Plusieurs chercheurs se sont int ress s aux m canismes d endommagement en compression l chelle m soscopique afin de tirer des conclusions pouvant tre exploitables l chelle macroscopique Il existe donc une multitude de m som canismes mis en avant dans la litt rature qui sont responsables de la microfissuration observ e dans la phase pr pic Ils sont repr sent s a la Figure 2 2 Consid rons le b ton comme un amas de particules sph riques comme la Figure 2 2a sous une charge de compression externe P Des forces de traction horizontales F se d veloppent entre les particules cause des surfaces de contact inclin es Ces forces de traction sont responsables de ce que l on appelle le fendage Si maintenant on applique une force lat rale de confinement P2 lt P7 comme la Figure 2 2b les forces de fendages vont tre diminu es F F Cela explique pourquoi les microfissures de fendage se d veloppent plus difficilement quand le b ton est confin L effet de dilatance est ainsi retard Par cons quent la d gradation du module tangent est plus lente
66. macrofissure unique en bande de cisaillement alors que d autres ont pr sent une macrofissuration moins pr cise avec plusieurs fronts de fissures et de mani re plus tortueuse Ceci nous mene alors identifier 6 modes de ruptures diff rents La Figure 5 12 la Figure 5 17 pr sentent des photos dans l ordre Nord Ouest Sud et Est de sp cimens correspondant chaque mode de rupture Tableau 5 2 R capitulatif des modes de ruptures Types de ruptures Fragile Pseudo fragile Ductile Proche du fendage En bande de cisaillement Macrofissure localis e Macrofissure localis e CARH_A150_L600 1 CARH_A150_L600 2 Sections carr es coul es horizontalement CARH_A150 L300 1 CARH A150 L300 3 Sections carr es coul es verticalement Sections cylindriques coul es verticalement CARH A150 L600 3 CARH A300 1200 1 CARH A300 L1200 2 CARH A300 L1200 3 CARV A300 1200 1 CARV A300 1200 2 CARV A300 1200 3 CYL D150 L300 3 CARH A150 L300 2 CARV A150 L600 1 CARV A150 L600 3 CYL D150 L600 2 CYL D150 L600 3 CARH A300 L600 1 CARV A150 L600 2 CARV A150 L300 2 CARV A150 L300 3 CARH A300 L600 2 CARH A300 L600 3 CARV A150 L300 1 CARV A300 L600 1 CARV A300 L600 2 CARV A300 L600 3 CYL D150 L300 1 CYL D150 L300 2 CYL D300 L600 2 CYL D300 L600 3 CYL D300 L1200 1 CYL D300 L1200 2 CYL D300 L1200 3 Si on jette un coup d ail rapide ce tableau on peut voir se d gager une tendance qui voudrait q
67. maillage 2 8 Gr ur 1 o e de 45 Pour un maillage donn le ratio G7 A est fix Il faut donc modifier la loi constitutive pour chaque maillage c est dire pour chaque h choisi de facon ce que l int grale soit toujours gale a Gyh 1 on choisit une loi lin aire pour le comportement post pic il est alors tr s facile de la modifier en jouant uniquement sur le coefficient de la pente Si la loi est bilin aire exponentielle ou inverse on peut jouer sur d autres param tres Par exemple dans le mod le EPM3D on utilise une forme exponentielle avec iam a a 2 9 a O Ee 7 et amp est le param tre d pendant de h qui permet de modifier la loi de fa on conserver 0 l nergie On assume un comportement lin aire en pr pic Figure 2 26 Courbe en traction dans EPM3D d apres Massicotte et al 2012 Notons que la taille caract ristique h de l l ment d pend de la g om trie de l l ment du nombre de points d int gration de Gauss et de l orientation du plan de fissure Elle doit tre mesur e dans la direction normale au plan de fissure 2 5 2 Cas de la compression 2 5 2 1 Consid rations La th orie de la fissuration diffuse pour l adoucissement en traction repose donc sur la postulat fondamental que l nergie de rupture en traction est un param tre intrins que du mat riau Pour le cas de la compression il s av re que les chercheurs n arrivent toujours pas
68. max est la pulsation maximale correspondante Lorsque le syst me comporte un grand nombre de DDL il est fastidieux de d terminer la plus petite p riode de vibration du syst me ABAQUS proc de alors une estimation conservative de At en prenant h At E 4 14 ou est comme au chapitre 3 la longueur caract ristique de l l ment et c la vitesse de propagation d onde au sein de l l ment par exemple c i pour un mat riau lastique avec un coefficient de Poisson nul ABAQUS calcule ce At pour tous les l ments du maillage et prend le minimum On peut choisir que 4t soit calcul au d but et reste fixe durant toute l analyse ou qu il soit calcul chaque pas de temps On peut aussi entrer un facteur de r duction de At afin de gagner en pr cision Pour des analyses plus performantes en termes de vitesse de calcul on peut augmenter artificiellement 4t en proc dant un mass scaling On vient alourdir les l ments de plus petites tailles de notre maillage afin que le At minimum corresponde un l ment plus grand Cependant nous n utiliserons pas ce proc d et veillerons ce que tous les l ments du maillage aient sensiblement la m me taille Comme nous l avons d j mentionn nous conseillons que la g om trie des l ments reste proche de celle du cube 4 3 Choix du type d l ment 4 3 1 Type d l ment pour le b ton 4 3 1 1 l ments disponibles en trois dimensions dans ABAQU
69. mode II qui correspond une rupture en cisaillement est pr sent dans la partie centrale de la fissure d Horii et Nemat Nasser de longueur 2C sur la Figure 2 3 et dans les fissures d interface pate granulat Le mode II est le mode dominant dans les macrofissures en bande de cisaillement en post pic De plus la rupture en compression s accompagne de d formations lat rales importantes dues dans un premier temps aux microfissures de fendage dans la phase pr pic puis aux macrofissures en bande de cisaillement dans la phase post pic 12 MODE MODE Il MODE Ill Ouverture Cisaillement Vissage Figure 2 4 Modes de propagations des fissures selon la m canique de la rupture Wikip dia 2 2 2 Types de rupture 2 2 2 1 Rupture par bande de cisaillement en mode II Ce mode de rupture est le plus couramment observ C est un mode de rupture plus ou moins fragile Il apparait dans les essais de compression uniaxiale lorsque le frottement entre le sp cimen et les plaques de chargement n est pas compl tement supprim Il survient aussi avec des chargements multiaxiaux ou le niveau de confinement reste faible en dessous du point de transition fragile ductile d fini plus loin Il peut survenir pour un chargement proportionnel ou non proportionnel c est dire lorsque les contraintes lat rales de confinement ne sont pas gales dans les deux axes o 02 La Figure 2 5 est une s rie de photos prises sur 6 chantillons
70. normalis e d placement post p1c 140 24 4 Etfet notable Sur la phase pre plIe issidto coto nan uit 146 CHAPITRE6 CONCLUSIONS ET RECOMMANDATIONS 0 enr 148 Xi 6 1 Recommandations sur l volution possible du mod le EPM3D en compression post jc EY 148 6 2 Conclusions sur le programme exp rimental ss 150 6 3 Recommandations pour un ventuel futur programme exp rimental de compression post DIC ourn BR PS acd hemes sete eerianscas saueettanS And in een des 150 14 S Ri S ASIN OS 152 xli LISTE DES TABLEAUX Tableau 5 1 Formulation du BRF 80 MPa d apr s Androu t et al 2013 123 Tableau 5 2 R capitulatif des modes de ruptures Us 136 xiii LISTE DES FIGURES Figure 1 1 Courbe contrainte d formation classique du b ton l Figure 2 1 Courbe contrainte d formation du b ton en compression uniaxiale a contrainte normalis e vs d formation axiale et lat rale b contrainte normalis e vs d formation volumique d apr s Bouzaiene 905 sen ait in et Nas 6 Figure 2 2 M som canismes responsables de l endommagement du b ton sous une charge de compression d apr s Van Mier 998 incite iie in PD atn eo pia qo a mE MPa ER UIS 9 Figure 2 3 Sch ma pour l tude de la propagation des fissures ailes wing crack growth dapres Hornret Nemat Nasser 1053 sn rote rio petiit pu deve semina tendant 10 Figure 2 4 Modes
71. par Van Mier et al 1997 et les recommandations qui ont suivi constitue un premier pas dans cette direction mais le chemin reste encore tr s long En attendant nous pensons que la prise en compte de l influence de fe peut tre r alis e par l interm diaire du param tre Il doit rester un param tre d entr e que l utilisateur doit d terminer pour chaque m lange de b ton G tant gale 1 Gro 590 v fe 3 17 Pour un b ton de r sistance fe donn e il faut d finir de fa on ce que l analyse se superpose du mieux possible avec la courbe contrainte d formation exp rimentale Nous avons d ailleurs proc d ce type de raisonnement plus loin pour le calibrage de x Dans la m me optique l un des buts principaux de notre programme exp rimental pr sent au chapitre 5 est la d termination de la valeur de pour un b ton fibr de 80 MPa tr s utilis l cole Polytechnique Cela aura pour but notamment d am liorer des analyses de poutres en flexion qui ont subi une rupture du bloc de compression 3 4 Modifications apport es EPM3D 3 4 1 Remise en service du coefficient x Nous avons tout d abord remis en place le parametre x Pour garder un comportement post pic ind pendant du maillage nous devions appliquer le coefficient directement l nergie de 73 rupture Nous notons donc a partir de maintenant Gy l nergie de rupture en compression dans le cas g n ral Elle
72. placement du plateau de la presse mm L 300 mm L 600 mm Figure 5 9 Courbes force d placement de la presse des sp cimens de section carr e coul s horizontalement avec a 150 mm 2000 2000 1800 am CARV_A150 L300 1 1800 1600 CARV_A150 L300 2 1600 1400 CARV_A150 L300 3 1400 1200 1200 z E w 1000 w 1000 o o u 800 800 mm CARV_A150_L600 1 600 600 CARV_ A150 L600 2 V 400 A 400 CARV A150 L600 3 200 200 V 0 0 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 D placement du plateau de la presse mm D placement du plateau de la presse mm L 300 mm L 600 mm Figure 5 10 Courbes force d placement de la presse des sp cimens de section carr e coul s verticalement avec a 150 mm 2000 2000 1800 CYL D150 1300 1 1800 CYL D150 L600 2 1600 CYL D150 L300 2 1600 CYL_D150_L600 3 1400 CYL_D150_L300 3 1400 1200 1200 z z x 1000 1000 S C j 800 800 600 600 400 400 200 200 0 0 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 D placement du plateau de la presse mm D placement du plateau de la presse mm L 300 mm L 600 mm Figure 5 11 Courbes force d placement de la presse des sp cimens de section circulaire coul s verticalement avec d 150 mm 133 Comme on peut le voir la phase pr pic ne subit quasiment pas de dispersion pour les sp cimens de section carr e Pour les sp cimens de section circulaire la disper
73. poss de une presse universelle MTS de 12 MN pilotable en d placement En effet le m lange de b ton ayant une r sistance autour de 80 MPa les sp cimens de section carr e 300x300 mm n cessitaient une force d environ 7 2 MN pour arriver la rupture Enfin nous tenons pr ciser que nous avons essay au maximum de remplir toutes les conditions donn es par l article de Van Mier et al 2000 pour l obtention de la courbe d adoucissement Malheureusement certains facteurs du notamment la taille de nos sp cimens et aux capacit s du laboratoire nous ont oblig prendre nos propres initiatives Toutes les modifications de la proc dure propos e par Van Mier et al 2000 sont justifiables par la volont de garder des conditions identiques de chargement pour la totalit de nos sp cimens afin de pouvoir comparer au mieux les r sultats 5 2 laboration du m lange Dans le cadre de la recherche sur le d veloppement de nouvelles m thodes de construction de ponts avec des b tons innovants une formulation de b ton renforc de fibres m talliques haute performance et autoplacant a t labor e au cours des derni res ann es notamment gr ce aux travaux de C dric Androu t et al 2013 au laboratoire de Structures de l cole Polytechnique de Montr al Une multitude de projets de recherche se sont succ d s apportant chaque fois leurs am liorations Lacroix Sauvageau et al 2010 Voisin et al 2011 de Montai
74. probl me rend la matrice de rigidit singuli re c est dire que K n est plus inversible L instabilit g om trique peut survenir en cas de flambement ou d effets P par exemple Cependant m me quand l hypoth se des petites d formations est v rifi e la matrice de rigidit peut devenir singuli re Ceci se produit quand le mat riau pr sente un comportement adoucissant c est dire un module tangent n gatif On parle alors d instabilit mat rielle 2 4 2 Mise en vidence du probl me d unicit de la solution lors de la localisation des d formations Le fait que la matrice de rigidit du probl me devienne singuli re conduit des probl mes d unicit de la solution vis vis du maillage On parle de r sultats d pendants ou ind pendants du maillage mesh dependent or mesh independent results Ces probl mes sont dus la localisation des d formations introduite par un module tangent n gatif L initiation de la localisation se fait dans l l ment ou rang e d l ments le ou la plus faible du maillage Quand bien m me si tous les l ments sont identiques la localisation est in vitable Elle sera alors produite num riquement par la m thode de r solution cause de l ordre dans lequel sont effectu es les op rations ou des erreurs d arrondis Supposons que l on applique un d placement la structure et qu au sein d un l ment ou d une rang e d l ments du maillage la d formation
75. que la composition de b ton labor e grace aux travaux d Androu t 2013 a rempli sa mission savoir obtenir un m lange stable et homog ne peu importe le volume et la forme des chantillons La r sistance vis e tait de 80 MPa ce qui a t confirm par les r sultats avec une faible dispersion 5 MPa maximum En ce qui concerne le d roulement des essais de compression nous avons pu mettre en vidence des tendances sans pouvoir les quantifier r ellement Tout d abord il semblerait que l influence du sens de coul e et donc de l orientation des fibres se fasse plus sentir sur les sp cimens de petites sections que sur les plus gros sp cimens en ce qui concerne le mode de rupture Il y aurait donc un effet d chelle qui n a pas pu tre valu Une analyse sur les modes de rupture nous a permis de mettre en vidence que les chantillons coul s verticalement ont un meilleur comportement en r gle g n rale que ceux coul s horizontalement Ces derniers ont rompu de mani re tres fragile et leur comportement se rapprocherait plus d un b ton non fibr a haute performance La forme de la section circulaire ou carr e a peu d influence sur les valeurs des d placements post pic Cependant une section circulaire semble favoriser la rupture ductile Enfin la principale observation que l on peut retenir est le caract re tr s al atoire des courbes post pic et la remise en question d une localisation des d format
76. syst me de chargement se rapprochant le plus possible du cas id al o le frottement est nul Ici avec des feuilles de t flon le coefficient de frottement est de l ordre de 0 01 En tenant compte encore du d chargement lastique nous devrions donc changer la valeur de 0 714 mm par 0 41 mm pour un b ton de 45 MPa 3 3 3 Prise en compte de l influence de f sur la pente post pic Comme nous l avons mentionn au chapitre 2 la pente post pic est plus raide pour des b tons de plus fortes r sistances Autrement dit plus fe est grand plus Ea est grand Bouzaiene avait d ailleurs essay de prendre en compte ce ph nom ne dans sa d finition d mais toujours de mani re qualitative 12 Nous pensons que l influence de fe ne tient en fait qu la d finition de Gru Au m me titre que Gy en traction il faudrait calibrer Gy sur des donn es exp rimentales Cela implique de faire de nombreux essais de compression uniaxiale standardis s sur des m langes aux compositions diff rentes afin d obtenir les lois de contrainte ouverture de fissure en compression Une fois cette base de donn es constitu e on pourrait proposer une relation empirique de G en fonction de fe et ou du diam tre du plus gros granulat et ou de tout autre constituant de la matrice Cependant nous manquons aujourd hui cruellement de ce type de donn es d autant plus qu il n existe toujours pas de test standardis Le test round robin men
77. une bonne estimation des d formations pr pic D autres techniques pour obtenir o peuvent tre utilis es comme la prolongation suivant la contrainte d viatorique Tm en fixant o ou la prolongation selon une ligne droite passant par l origine de l espace oi o2 03 mais elles conduisent tant t une surestimation tant t une sous estimation des d formations A un pas de calcul donn lorsque l incr ment de contrainte rencontre l enveloppe il y a alors rupture On garde la derni re valeur de o calcul e et on passe alors dans une toute autre dimension celle du post pic O4 m ridien de compression axe hydrostatique LA incr ment de contrainte a m ridien d extension d 0 Figure 3 4 Calcul de la contrainte maximale en compression multiaxiale l aide de l enveloppe de rupture d apr s Bouzaiene 1995 3 1 7 Autres capacit s du mod les Quand on s approche de la r sistance maximale du b ton la proportionnalit entre les d formations axiales et lat rales due aux effets de Poisson n est plus valable Le coefficient de Poisson n est plus constant et augmente tr s rapidement Il se pose alors un probl me lors d un chargement biaxial avec un axe de compression majeure et o l on viendrait confiner le b ton selon un deuxi me axe et le laisser libre sur un troisi me Il en r sulte que les d formations lat rales seront asym triques et donc qu il faut utiliser des c
78. 1 R A noter ici que nous avons proc d un changement de variable l aide de b dans l quation afin de respecter la plage de valeur de x savoir 0 1 pour allant de 0 725 1 Si on repr sente cette nouvelle relation entre x et A et l ancienne sur le m me graphique Figure 3 15 on comprend que l effet du confinement augmentera tr s vite pour des contraintes de confinement faibles Nous tenons faire remarquer que la courbe que nous avions propos e respectait la tendance mais n tait pas calibr e sur des essais de la litt rature 1 0 9 4 0 8 0 7 4 0 6 x 0 5 4 0 4 0 3 4 0 2 0 1 0 725 0 775 0 825 0 875 0 925 0 975 Rt Figure 3 15 Comparaison entre la nouvelle et l ancienne relation entre x et R Apr s avoir pass beaucoup de temps essayer de modifier les coefficients de la relation de fa on obtenir un comportement ad quat nous avons d abandonner l id e d exprimer x en fonction de R En effet le fait que la pente Ea de la courbe fasse d j intervenir la contrainte au pic Oc aussi pr sente dans cela conduisait une redondance qui tait difficile g rer Nous avons o min donc d cid de proposer une relation en fonction de P C 81 3 4 5 2 Proposition retenue Finalement nous proposons donc l quation suivante que nous repr sentons sur la Figure 3 16 1 E 30g 912951 1 K 3 29 Omin jc Avec a Figure 3
79. 16 Repr sentation de x en fonction de a Les coefficients de l quation sont calibr s sur trois essais connus de la litt rature Sur la Figure 3 17 Figure 3 18 et Figure 3 19 les courbes o e issues des essais de Smith et al 1989 et Xie et al 1995 sur des b tons de 34 5 MPa 63 MPa et 92 MPa sont repr sent es avec plusieurs valeurs de confinement On a valu la pente d adoucissement pour chaque courbe 82 120 N Ed 600 9 100 80 l ConfO E Ed 819 41 a ConfO 7 g 60 f Conf3 5 I i Ed 1311 1 Conf6 9 OQ id J Conf13 8 y Ed 2485 8 20 q Ed 6965 0 T T T T T T T I 0 0 005 0 01 0 015 0 02 0 025 0 03 0 035 0 04 D formation 2 Figure 3 17 Courbes contrainte d formation issues de l article de Smith et al 1989 pour un b ton de 34 5 MPa avec plusieurs valeurs de confinement 200 Ed 849 7 180 zd 1288 3 160 Conf 0 Conf 2 3 140 4 Conf 5 3 120 rJ Conf 8 3 e 100 Conf 11 3 f a0 Conf 14 3 c Conf 20 3 60 Conf 23 3 40 j Conf 29 3 20 7 0 0 0 005 0 01 0 015 0 02 0 025 0 03 0 035 0 04 D formation s Figure 3 18 Courbes contrainte d formation issues de l article de Xie et al 1995 pour un b ton de 63 MPa avec plusieurs valeurs de confinement 83 350 300 d 1017 9 _ Ed 1220 250 a
80. 2 1 N cessit et condition d une analyse quasi statique avec r solution explicite Le module ABAQUS Standard propose une multitude de m thodes d int gration num rique implicite dite classiques Pour les probl mes statiques la m thode de Newton Raphson classique modifi e BFGS ou la m thode de longueur d arc sont disponibles Pour les probl mes dynamiques nous pouvons utiliser les m thodes de Newmark Wilson ou encore HHT a Ces diff rentes m thodes implicites que ce soit en analyse statique ou dynamique prouvent beaucoup de difficult s converger en cas de forte non lin arit mat rielle comme g om trique Le temps de calcul augmente de facon exponentielle et peut devenir infini si la convergence est impossible Dans le cas d un mat riau adoucissant comme le b ton la non lin arit mat rielle est bien videmment tr s forte L un des probl mes que l on rencontre alors avec une r solution implicite est la difficult redistribuer l instabilit cr e par la localisation des d formations Ainsi la meilleure mani re d appr hender le comportement adoucissant du b ton est d utiliser une int gration explicite Or l int gration explicite dans ABAQUS n est possible que pour les probl mes dynamiques Il faut alors consid rer le probl me comme quasi statique c est dire utiliser les quations de l analyse dynamique avec une application tr s lente du chargement On d finit un chargement lent
81. 300 L600 3 CYL D300 L1200 1 CYL D300 L1200 2 CYL D300 L1200 3 CARH A300 L600 2 CARH A300 L600 3 CARV A150 L300 1 CARV A150 L300 2 CARV A150 L300 3 CARV A300 L600 1 CARV A300 L600 2 CARV A300 L600 3 Contrainte normalis e sans dimension 0 1 Smin 1 43 mm po 2 37 mm Snax 23 85 mm 0 1 2 3 4 5 6 D placement post pic in lastique mm Figure 5 23 D finition des param tres et y pour le mod le EPM3D Sur la Figure 5 24 nous pr sentons les courbes post pic de l article de Jansen et Shah 1997 Le programme exp rimental de cet article est tr s proche du n tre car les essais sont effectu s sur des sp cimens lanc s h d variant de 2 4 et le m lange utilis est un BHP 90 MPa Jansen et Shah effectuent la m me modification que nous pour obtenir les d placements post pic in lastiques Cela constitue donc un excellent point de comparaison pour valuer nos r sultats par rapport un b ton non fibr Ainsi quand on regarde par exemple nos sp cimens qui se sont rendus jusqu un plateau de contrainte r siduelle on se rend compte que l on peut maintenir entre 20 et 30 de la charge maximale ce qui n est pas le cas dans les essais de Jansen et Shah ou la contrainte r siduelle est plus aux alentours de 10 de fe Pour ce qui est de la localisation on se rend compte que nos
82. 9 1006 Needleman A 1988 Material rate dependence and mesh sensitivity in localization problems Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering vol 67 69 85 Nour A Ben Ftima M et Massicotte B 2005 A user supplied constitutive model for the nonlinear finite element analysis of reinforced concrete structures Part I Theoretical background Rapport interne Ecole Polytechnique de Montr al Ortiz M Leroy Y et Needleman A 1987 A finite element method for localized failure analysis Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering vol 61 189 214 Paultre P 2005 Dynamique des structures applications aux ouvrages de g nie civil Herm s Sciences Publications Lavoisier Paris Pijaudier Cabot G et Bazant Z 1987 Nonlocal damage theory Journal of Engineering Mechanics vol 113 n 10 1512 1533 Pramono E et Willam K 1989 Fracture energy based plasticity formulation of plain concrete Journal of Engineering Mechanics ASCE vol 115 1183 1204 Prior A 1994 Applications of implicit and explicit finite element techniques to metal forming Journal of Materials Processing Technology vol 45 n 4 649 656 Rashid Y R 1968 Analysis of prestressed concrete pressure vessels Nuclear Engineering and design vol 7 n 4 334 344 Rebelo N Nagtegaal J Taylor L et Passman R 1992 Comparison of implicit and explicit finite elem
83. CEB FIP 2010 se contentent souvent de d finir la totalit de la courbe contrainte d formation par une seule et m me quation dite formulation totale Cela conduit comme nous le verrons des probl mes d unicit de la solution vis vis du maillage dans une analyse par l ments finis Post pic Contrainte 0AF D formation Figure 1 1 Courbe contrainte d formation classique du b ton Bien que les recherches principalement effectu es dans les ann es 1990 aient permis de bien appr hender ce ph nom ne il est encore de nos jours tr s difficile de le mod liser tant il est complexe De multiples param tres li s au mat riau mais aussi aux conditions externes doivent tre pris en compte pour obtenir des r sultats fid les la r alit En effet comme nous le verrons le ph nom ne d adoucissement n est pas li uniquement aux param tres intrins ques du mat riau Les m canismes de microfissuration menant la rupture du b ton en compression sont bien connus et document s notamment gr ce aux multiples campagnes d essais men es dans les ann es 80 90 Mais leur mod lisation est encore limit e due la difficult dans l obtention des param tres d entr e des diff rents mod les Il n existe ce jour aucune formulation qui fait l unanimit et les chercheurs peinent encore trouver un accord sur la d finition de certains parametres Il est aussi tr s difficile de compiler et unifier les r sulta
84. QUS Il est maintenant possible d effectuer des analyses avec le module ABAQUS Explicit qui est plus appropri pour les analyses avec des mat riaux adoucissants Nous expliquerons plus en d tails au chapitre 4 les diff rences que cela implique vis vis d une r solution implicite traditionnelle Cela nous permet de proc der relativement facilement la validation du mod le La courbe o e post pic en compression est toujours repr sent e par une fonction lin aire Cependant un plateau traduisant la pr sence d une contrainte r siduelle est maintenant ajout Figure 3 8 Le mod le se veut toujours aussi simple car on cherche seulement pouser les diff rentes tendances qui ont pu tre mises en vidence au chapitre 2 68 Q a Qt p 7 2 vf F 7 DOR Figure 3 8 Courbe contrainte d formation en compression pour le comportement post pic dans EPM3D d apr s Massicotte et al 2012 L aire gris e sous la courbe contrainte d formation sur la Figure 3 8 est gale G h Ben Ftima a ajout l aire correspondante au d chargement lastique qui manquait dans la d finition de la pente de Bouzaiene On a 2201 72 z z 3 14 ou Gr est l nergie de rupture en compression uniaxiale Elle est tout simplement gale l aire sous la courbe contrainte ouverture de fissure en compression Figure 3 9 Ben Ftima garde comme r f rence les essais de Van Mier e
85. Reports of the Tohoku University vol 22 93 112 Xie J Elwi A E et MacGregor J 1995 Mechanical properties of three high strength concretes containing silica fume ACT Materials Journal vol 92 n 2 Yamaguchi E et Chen W 1990 Cracking model for finite element analysis of concrete materials Journal of Engineering Mechanics Division ASCE vol 116 1242 1260
86. S Explicit Le mod le EPM3D comme son nom l indique est un mod le de b ton trois dimensions Il s utilise donc seulement avec des l ments solides Malheureusement ABAQUS Explicit dispose de peu d l ments 3D Il existe un l ment hexa drique un l ment prisme triangulaire et deux 95 l ments t tra driques premier et second ordre Figure 4 2 Le choix s est tr s vite port sur l l ment hexa drique du premier ordre fonctions de forme lin aires 8 n uds not C3D8 dans ABAQUS car il est tr s performant pour les probl mes g om trie simple et parce qu il offre la possibilit d une int gration r duite on le note alors C3D8R favorable la mod lisation des mat riaux adoucissants Ben Ftima 2013 En comparaison avec un l ment t tra drique cet l ment est aussi plus adapt notre modele orthotrope de b ton Les matrices de transformation pour passer d un syst me de coordonn es locales un syst me global sont tr s simples Il en r sulte donc un l ger gain de temps de calcul Hexa dre 8 noeuds Prisme 6 noeuds T tra dre 4 noeuds T tra dre 10 noeuds Figure 4 2 l ments disponibles dans ABAQUS Explicit d apr s http www si ens cachan fr accueil_V2 php page aftiche ressource amp id 184 4 3 1 2 Int gration de Gauss exacte ou r duite Pour acc der la matrice de rigidit ou aux forces internes 1l faut mettre en place une proc dure d int
87. UNIVERSITE DE MONTREAL CARACTERISATION DU COMPORTEMENT POST PIC EN COMPRESSION DU BETON ARME ET NON ARM ET EXTENSION AU B TON RENFORC DE FIBRES NATHAN AUBREE DEPARTEMENT DES GENIES CIVIL GEOLOGIQUE ET DES MINES ECOLE POLYTECHNIQUE DE MONTREAL M MOIRE PRESENTE EN VUE DE L OBTENTION DU DIPL ME DE MAITRISE ES SCIENCES APPLIQUEES G NIE CIVIL AOUT 2014 Nathan Aubr e 2014 UNIVERSITE DE MONTREAL ECOLE POLYTECHNIQUE DE MONTREAL Ce m motre intitul CARACTERISATION DU COMPORTEMENT POST PIC EN COMPRESSION DU BETON ARME ET NON ARME ET EXTENSION AU BETON RENFORCE DE FIBRES pr sent par AUBREE Nathan en vue de l obtention du dipl me de Ma trise s sciences appliqu es a t d ment accept par le jury d examen constitu de M BOUAANANI Najib Ph D pr sident M MASSICOTTE Bruno Ph D membre et directeur de recherche M BEN FTIMA Mehdi Ph D membre et codirecteur de recherche M CONCIATORI David Ph D membre 111 D DICACE Pascaline Liam et la petite qui s en vient mon p re ma m re mon fr re et ma s ur Merci pour votre soutien infaillible 1V REMERCIEMENTS Je tiens a remercier tout d abord mon directeur de recherche Pr Bruno Massicotte pour la confiance qu il m a accord e en m assignant cette t che Sa bonne humeur inconditionnelle et sa disponibilit pendant ces deux ann es et demie o l on a pu changer longuement m ont grandement aid
88. XVIII Figure 5 7 Courbes force d placement de la presse des sp cimens de section carr e coul s V rucal ement aveo q s 900 MMS end 131 Figure 5 8 Courbes force d placement de la presse des sp cimens de section circulaire coul s verticalement avec d 300 mm 0 ccceccsccccececcececccceccecsccccececsececsccscacceceecececsecsccecececceces 131 Figure 5 9 Courbes force d placement de la presse des sp cimens de section carr e coul s horizontalement avec a 150 mm 2 0 0 cece cece ccc eccececccceccsceccscececcecescsceccsceceececescscesescesescuceeees 132 Figure 5 10 Courbes force d placement de la presse des sp cimens de section carr e coul s verticalement avec a 150 mm 2 cee cece ccc cececcsceccccecsccecstcsceccececsececsececaccscecsecessececcecsceeseces 132 Figure 5 11 Courbes force d placement de la presse des sp cimens de section circulaire coul s yertcalement avec 1 50 Mind pai Ri aie etum Fei oua b voie tad ge due 132 Figure 5 12 Rupture fragile proche du fendage Vues de CARH A150 L300 3 138 Figure 5 13 Rupture fragile en bande de cisaillement Vues de CARH A300 L1200 1 138 Figure 5 14 Rupture pseudo fragile avec une seule macrofissure Vues de CARV A150 L600 1 M 139 Figure 5 16 Rupture ductile avec une seule macrofissure Vues de CARV A150 L300 3 139 Figure 5 17 Rupture ductile
89. a la contrainte de confinement Gmin On peut noter que Samani et Attard consid rent que lors d une compression Omi te Orio uniaxiale ra 0 la contrainte r siduelle est nulle y E c EE H C 0 contrairement notre mod le qui recommande y 0 2 On voit aussi sur la Figure 3 13 que la contrainte r siduelle Omi augmente en fonction du niveau de confinement pour atteindre des valeurs proches de pour ma C Omin gt 0 5 ce qui correspond au point de transition pour des b tons ordinaires Le ratio est appel C ratio de confinement dans la litt rature Explications et lien avec Bouzaiene 1995 Pour des b tons normaux on consid re souvent l quation de Richart et al 1928 pour estimer grossi rement la contrainte au pic 6c Omax Omax fe 4 506min 3 23 78 O Ow Om R As aea pr S05 3 24 fi E T fi iB Si on divise par fe au num rateur et au d nominateur et qu on remplace par les valeurs calcul es au dessus f f _ 825 0 5 Ze Zu 3 254 0 5 one Omin R 0 733 0 725 3 25 e Jc En effet pour un rapport de confinement de 0 5 nous sommes tr s proches de la valeur avanc e par Bouzaiene 1995 pour le point de transition L influence du confinement exprim e en Omin fonction du ratio P plut t que est donc quivalente D ailleurs nous n avons jamais rencontr C dans aucun mod le la d
90. able dans notre cas En phase pr pic le b ton est donc consid r comme un mat riau homog ne mais orthotrope L orthotropie apparait pour des contraintes sup rieures la limite lin aire lastique Elle est prise en compte par la d finition de 6 coefficients de Poisson diff rents vi vji En phase post pic le b ton se divise en deux milieux homog nes la zone de d chargement lastique et la zone fissur e La taille de la zone fissur e est due uniquement la taille du maillage La continuit 54 du champ de d formation entre les deux zones est assur e Le principe de superposition des d formations est possible car les deux zones subissent la m me contrainte Le raisonnement est analogue a une chaine de ressorts en s rie 3 1 2 Diff rentes approches pour la mod lisation de la phase pr pic Bouzaiene et Massicotte 1997 ont donc fait le choix d un mod le tridimensionnel avec l approche hypo lastique pour traiter du comportement non lin aire du b ton comportement pr pic Il faut savoir qu il existe une multitude d approches avec chacune leurs mod les fondateurs associ s approche lastique non lin aire Kotsovos 1980 ou Ahmad et Shah 1986 lasto plastique avec r gle d coulement associ e Murray et al 1979 ou non associ e Han et Chen 1985 lasto plastique endommageable Bazant et Kim 1979 ou enfin endochronique Bazant et Bhat 1976 Le choix d un mod le hypo lastiqu
91. ainte MPa 100 30 80 70 60 50 40 30 20 10 carr e coul s verticalement C L_D150 1300 1 L an 50 L 300 3 CYL_D150_L600 2 CYL D150 L600 3 CY D300 L600 1 CYL D300 L600 2 CYL_0300 L600 3 YL D300 L1200 1 YL D300 L1200 2 CYL D300 L1200 3 4000 5000 D formation longitudinale ue 90 oo Contrainte MPa ut 60 2000 D formation longitudinale pe Figure 5 27 Courbes contraintes d formations pr pic pour les sp cimens de section cylindrique coul s verticalement 148 CHAPITRE6 CONCLUSIONS ET RECOMMANDATIONS 6 1 Recommandations sur l volution possible du mod le EPM3D en compression post pic On a vu que le mod le tait capable de tenir compte de mani re satisfaisante de l effet du confinement actif ou passif et de l effet de localisation des d formations De plus le limiteur de localisation bas sur la modification du module d adoucissement en fonction de la taille du maillage permet d obtenir une quasi ind pendance du maillage que ce soit en compression uniaxiale ou en compression multiaxiale Cependant d importantes simplifications ont du tre mises en uvre Tout d abord nous consid rons que le coefficient de la pente post pic est enti rement d la propagation d une macrofissure en cisaillement C est ce qui nous permet de d finir une nergie de rupture en compression en int grant la courbe contrainte ouverture d
92. aintenue tandis que l on continue le d placement vertical de la presse On peut remarquer que les plans ou se produit l crasement sont des plans normaux l axe de la charge principale Ainsi en vulgarisant 15 on pourrait d finir un autre tat limite pour l angle d inclinaison des plans de fissuration On pourrait consid rer que la rupture se produit toujours selon un plan de cisaillement avec un angle d inclinaison variant entre 0 rupture par fendage et 90 rupture par crasement Figure 2 7 crasement de la matrice lors d un chargement avec une contrainte de confinement de 200MPa pour un b ton de r sistance uniaxiale de 60 MPa d apr s Dupray et al 2009 2 2 3 Concept d un comportement structural plut t que mat riel Au regard des diff rents types de ruptures expos s pr c demment on s apercoit que le b ton peut pr senter diff rents comportements en fonction des conditions dans lesquelles se d roule le chargement Dans les ann es 80 Van Mier 1986 emploie pour la premi re fois le terme sp cimen structure en parlant des prouvettes de tests en compression uniaxiale En effet il affirme que pour le comportement post pic la pente descendante de la courbe o e ne peut plus tre consid r e comme une propri t intrins que du mat riau Elle d pend de multiples param tres dont certains n ont aucun rapport avec la microstructure du mat riau mais sont li es
93. ais avec la bonne valeur de L Si le d placement est calcul entre les plateaux de la presse comme dans le cas pr sent pour les essais de Van Mier alors L est gale la hauteur du sp cimen On repr sente sur la Figure 3 6 ci dessous les diff rents d placements consid r s dans le diagramme contrainte d placement N TA S Qn A 2 Eo L n Eo L l 1 80 Figure 3 6 Repr sentation du d placement post pic in lastique dpp On peut noter que Bouzaiene a suppos que les parties des sp cimens de Van Mier en dehors de la zone de rupture se d chargeaient lin airement avec un module Eo correspondant au module lastique initial En d finitive cela revient effectuer une petite rotation pour chaque courbe dans le sens trigonom trique La superposition des courbes s en trouve l g rement modifi e comme on peut le voir sur la Figure 3 7 ci dessous Opp peut tre d fini comme une ouverture de fissure en compression Mais si on consid re que la rupture se produit uniquement avec une bande en cisaillement et que l on n glige les fissures de fendage r parties sur une zone d endommagement 65 plus grande alors opp est simplement une ouverture de fissure en cisaillement C est ce param tre qui est actuellement utilis e dans EPM3D et qui est not simplement Bouzaiene 1995 consid re que c est un param tre intrins que du mat riau La valeur de sera alors diff rente pour chaque comp
94. as distribuer les d formations sur plusieurs l ments La localisation des d formations a toujours lieu et il n y a toujours qu une seule rang e d l ments qui plastifient Le limiteur agit seulement sur le comportement global de la structure pour assurer l unicit de la solution vis vis du maillage 2 5 1 Cas de la traction Le concept de la fissuration r partie a t d velopp pour le cas de la fissuration en traction Il est donc important de pr senter le concept dans le cas plus simple d une propagation de fissure en mode I avant d en faire une g n ralisation pour le cas de la compression 2 5 1 1 Mod le de fissuration fictive FCM adapt au b ton d finition de l nergie de rupture en traction Gy La d finition de l nergie de rupture en traction Gy trouve son origine la base de la m canique de la rupture avec la th orie de Griffith 1921 qui traite de la propagation d une fissure en mode I pour un mat riau purement lin aire lastique Linear Elastic Fracture Mechanics LEFM L nergie de rupture est d finie comme tant l nergie consomm e par la propagation de 41 la fissure Pour un mat riau purement lin aire les contraintes la pointe de la fissure augmentent l infini C est un cas tr s th orique qui est adapt seulement aux mat riaux comme le verre la c ramique ou la glace Plus tard Irwin 1957 a introduit le concept de fissuration fictive fictitious crack model
95. ation selon la th orie utilis e pour le comportement pr pic partir de ce point nous ne nous int resserons plus qu aux mod les macroscopiques Au sein de cette classe de modeles on peut faire apparaitre une nouvelle r partition en fonction de la th orie utilis e quant la repr sentation du comportement pr pic La description de l volution des contraintes en fonction des d formations dans la phase pr pic peut se faire sous deux formes totale ou incr mentale La formulation totale fait correspondre toute valeur de contrainte prise par un noeud une d formation Les modeles lastiques non lin aires sont bas s sur une modification simple des mod les lastiques lin aires La relation lin aire entre les contraintes et les d formations appel e loi de Hooke o Ee est remplac e par une fonction non lin aire oij Fij ex 2 2 L inconv nient majeur des mod les formulation totale est l impossibilit de la prise en compte du chemin de chargement Dans les mod les connus de la litt rature on peut citer celui de Kotsovos 1980 un des premiers mod les isotropes avec g n ralisation de la loi de Hooke Dans la formulation incr mentale on vient faire le lien entre l incr ment de contrainte et l incr ment de d formation avec un module tangent Ce module tangent est recalcul chaque pas 34 de calcul Dans la pr sentation du mod le EPM3D au chapitre 3 nous reviendrons plus en d tails sur
96. au o C e Dans notre cas C est mise jour chaque pas de temps d o la notation indicielle et est calcul e partir du mod le EPM3D J r s t est le jacobien d terminant de la matrice jacobienne qui permet d effectuer le changement de variable entre les coordonn es globales x y z et les coordonn es isoparam triques r s f de l l ment dxdydz J r s t drdsdt 4 17 On peut donc appliquer l int gration de Gauss Cela consiste transformer l expression sous forme int grale de la matrice K en une somme pond r e Ky IBI C 8 VD Gr s D drdsdt ny ng n 4 18 x gt 2 gt w w WyC B C4 B UDC Sj tx i 1 j 1 k 1 O Wi W wk Sont les poids associ s aux points de coordonn es ri Sj tk Il y a respectivement n Ns et n points de Gauss sur les directions r s et t Tr s souvent pour avoir la m me pr cision de 97 calcul dans les trois axes on a n 2 n n Dans un l ment hexa drique on va avoir 1 8 27 etc points de Gauss L int gration de Gauss est dite exacte quand le nombre de points de Gauss sur chaque axe est suffisant pour obtenir la valeur exacte de l int grale Un nombre ng de points permet d int grer exactement un polyn me de degr 2nc 1 On appelle l ment int gration r duite un l ment qui dispose d un nombre de points de Gauss inf rieur celui n cessaire pour une int gration exacte Avec l l ment hexa
97. auges de d formations sur les faces Nord et Sud ainsi que les 4 capteurs LP mesuraient les d formations longitudinales c est dire les d formations dans le sens de la charge alors que les deux autres jauges mesuraient la d formation lat rale sur les faces Sud et Ouest Les jauges de d formations fournissent de meilleures mesures mais de facon tres locale alors que les Linear Pot fournissent une mesure moins exacte mais leur plage de mesure est tr s modulable Ils permettent d obtenir des mesures sur une plage tres grande Pour nos plus grands sp cimens L 1200 mm la longueur de jauge tant de L 2 pour tous nos sp cimens la plage de mesure des LP tait de 600 mm La longueur de jauge tait centr e sur la hauteur de la colonne Les jauges de d formation longitudinale taient plac es a mi hauteur et les jauges de d formation transversale juste en dessous Le d tail de l instrumentation des chantillons pour chaque face est pr sent a la Figure 5 3 ci dessous 126 Capteurs Linear Pot Jauges de d formation Nord Est Sud Ouest Figure 5 3 D tail de l instrumentation des sp cimens L alignement des sp cimens tait tr s difficile a r aliser en pratique surtout pour les sp cimens de tres grandes tailles grande section et grande longueur Nous verrons au paragraphe suivant que l installation des sp cimens dans la presse tait rendue difficile pour plusieurs raisons Les 4 capteurs de d placement
98. aux conditions externes et au type d essai r alis Ainsi le sp cimen fractionn en deux blocs ou plus qui glissent les uns par rapport aux autres dans le cas d une rupture par bande de cisaillement peut tre consid r comme une structure et non comme un continuum de mati re Si de plus on ajoute l influence du syst me de chargement et la pr sence de confinement actif ou passif cela devient une structure encore plus complexe Il est alors tr s difficile de comparer les r sultats exp rimentaux de la litt rature car chaque laboratoire a son propre mode op ratoire et ses propres 16 quipements En d coule alors la n cessit d une uniformisation des tests de compression et de la mise en place d une norme pour l obtention de la courbe post pic du b ton au m me titre qu il existe des normes pour le module d Young le coefficient de Poisson et la r sistance 2 2 4 Tentative d unification des donn es exp rimentales pour les essais de caract risation de l adoucissement dans la litt rature Dans le rapport du test round robin tabli par le comit RILEM TC 148 SSC Van Mier et al 1997 ont essay de mettre en place un test standardis universel pour la caract risation de l adoucissement en compression uniaxiale du b ton Il n est donc pas question de confinement lat ral dans cette tude Ce programme exp rimental est encore ce jour le plus complet en ce qui concerne l appr hension du ph nom ne Chaq
99. avons signal plus t t la principale difficult r side dans l alignement des sp cimens avec l axe de la presse La position de l axe de la presse a t d termin e l aide d un niveau laser Cependant nous tions tr s limit s par la taille des sp cimens leur qualit de surface et leur parall lisme Pour les chantillons coul s horizontalement comme les deux faces aux extr mit s taient des faces de coffrages nous n avons pas eu besoin de les rectifier Les coffrages ont t assez bien r alis s assurant un parall lisme suffisant Pour les sp cimens coul s verticalement nous avons t oblig s de rectifier les surfaces laiss es l air libre car la finition du b ton que nous avons effectu e tait loin d tre parfaite Pour les petites sections nous avons pu utiliser la machine rectifieuse du laboratoire Nous avons appliqu une rectification sur les deux extr mit s de facon obtenir un 128 meilleur parall lisme Par contre pour les sp cimens de grande section la dimension transversale tant de 300 mm nous emp chait de nous servir de la rectifieuse Ici la rectification des surfaces a t faite manuellement l aide d une scie b ton Le r sultat fut certes bien moins pr cis qu avec la machine mais les mesures des jauges de d formation lors des essais ont montr que le parall lisme tait suffisant Chaque sp cimen tait donc pos sur une couche de Drystone directement au centre
100. br Les sp cimens coul s horizontalement auront des fibres orient es de mani re g n rale dans le sens longitudinal donc parall lement la direction de la charge tandis que 121 ceux coul s verticalement auront des fibres orient es de mani re g n rale perpendiculairement la charge Afin de s affranchir du caract re al atoire dispersion statistique du comportement du b ton nous avons r alis trois essais par type de sp cimen ce qui porte le nombre d chantillons 36 Sur la Figure 5 1 ci dessous nous pr sentons un r capitulatif du nombre de sp cimens et des diff rents param tres que nous avons pris en compte x 2 dimensions transversales diff rentes 150 mm et 300mm 36 sp cimens Section carr e Section carr e Section cylindrique Coul e horizontale Coul e verticale Coul e verticale Figure 5 1 R capitulatif du nombre de sp cimens et des diff rents param tres Un des aspects importants de ce programme exp rimental r side dans la possibilit de r aliser des tests sur des sp cimens de grande section Habituellement la taille standard des chantillons se situe autour de 100 mm de diametre et 200 mm de longueur Ainsi dans la litt rature peu d essais de compression de b ton ont t r alis s avec de telles sections et encore moins pour 122 l obtention de la courbe post pic Ceci a donc t possible car le laboratoire de Structures de l cole Polytechnique
101. ccceeeseseececeeeeeaaeeeeseeeeeeeeeaas 67 3 3 Commentaires sur le mod le avant nos modifications 69 2 Prise En COompI du confinement stainless 69 3 3 2 Commentaire sur la valeur par d faut du param tre 0 70 3 3 3 Prise en compte de l influence de fe sur la pente post pic 71 3 4 Modifications apport es EPM3D sise 72 ol Remise EN SERVICE AUCOC MICENE RS di en ondes 72 3 4 2 Note importante sur les enveloppes de rupture ss 74 3 4 3 Incoh rence du module de d chargement lastique 75 3 4 4 Contrainte r siduelle variable en fonction du confinement sssee 76 3 4 5 Proposition d une nouvelle relation pour Ke 79 3 40 Conclusion sur les miOdITICatlODls i ito uasa eepas ennemies 85 CHAPITRE 4 VALIDATION DU MOD LE AVEC ABAQUS EXPLICIT 86 4 1 Introduction et Cet MOUS srera devel A aient 86 A Mal duttoductton a A DAQUS etie iet RS A A 86 4 1 2 Introduction la mod lisation par l ments finis pour les probl mes non lin aires 87 4 1 5 IDCTHMMONS MPOTANI SE Rien um oies 88 4 2 Choix de la m thode d int gration num rique 90 4 2 1 N cessit et condition d une analyse quasi statique avec r solution explicite 90 4 2 2 M thode d int gration temporelle explicite des diff rences centr es 91 4 2 3 Crit re de stabilit se nn en cmt neo cd tee ne ne Ca 93 4 3 Choix du ity pe d lemen cues nn m T UT S 94 TL Type
102. cement post pic elles sont bien plus proches Et bien s r lorsque l on tient compte du d chargement lastique d chargement lin aire avec un module de 2 d chargement Ed ch Eo elles sont quasiment confondues Le fait que les courbes soient quasiment confondues et non parfaitement confondues explique pourquoi on parle de limiteur de localisation bas sur la conservation de l nergie de rupture et non de suppresseur de localisation Il reste donc une l g re d pendance au maillage On 105 remarque d ailleurs que plus il y a d l ments empil s les uns sur les autres dans la direction de la compression plus les courbes s cartent de la droite id ale du mod le Figure 4 8b Enfin sur la Figure 4 9 on repr sente le champ de d placement selon z au sein du sp cimen Les parties bleues et rouges sont les parties qui se d chargent lastiquement et o le d placement est uniform ment r parti Le d placement est positif dans la partie bleu et n gatif dans la partie rouge La rang e d l ments ou se produit la localisation des d formations est celle en arc en ciel qui repr sente la variation rapide du champ de d placement Cette variation est d autant plus brusque que la taille du maillage est petite 4 4 1 2 Note sur l effet du sch ma de contr le des modes de d formation nergie nulle Ces analyses ont t r alis es avec l l ment C3D8R hexaedre 8 noeuds avec
103. compression remis en cause Avec ce qu a d montr Kotsovos 1983 et avec les travaux compl mentaires pour le test round Robin du comit RILEM Van Vliet et Van Mier 1996 ont montr que l nergie de rupture en compression tait d pendante du syst me de chargement utilis et donc ne pouvait pas tre consid r e comme un param tre intrins que du mat riau Comme on peut le voir sur la Figure 2 13 la localisation de la rupture apparait peu importe le syst me de chargement Toutefois lorsque l on utilise un dispositif de r duction de frottement avec des plaques de t flon f 0 01 l aire sous la courbe 6 6max Opp diminue et donc l nergie de rupture Gy aussi 24 Dry friction ETRAS i Brushes Dime nsionless 54 re ss a leflon 1 35 E 5 LI LL TETI Ia 1 0 Postpeak Deformation imm Figure 2 13 Courbes contrainte normalis e vs d placement post pic avec trois dispositifs de chargement diff rents plaques d acier plaques pinceaux et plaques de t flon d apr s Van Vliet et Van Mier 1996 Si l on doit d finir quel fuseau de courbes peut tre consid r comme une propri t intrins que du mat riau il faut choisir celui des essais r alis s avec les plaques de t flon car le coefficient de frottement est tr s proche de O0 On pourrait aussi d finir une nergie de rupture en compression Gj f qui d pend du frottement f et qui a pour valeur limite inf rieure l nergie
104. continus Pour mettre en place ces limiteurs de localisation il faut donc apporter aucune modification cat gorie 1 de l g res modifications cat gorie 2 ou d importantes modifications cat gorie 3 du cadre standard de la th orie locale de la m canique des milieux continus Les limiteurs de la premi re cat gorie sont les plus simples mettre en uvre On vient seulement modifier la loi constitutive du mat riau de fa on ce que l nergie dissip e soit ind pendante du maillage On peut par exemple modifier la loi constitutive du mat riau en la 39 rendant viscoplastique c est a dire en introduisant un parametre fictif de viscosit d pendant du pas de calcul de l analyse afin d assurer l ind pendance vis a vis du maillage On parle alors de r gularisation viscoplastique Needleman 1988 On peut aussi modifier la loi en rendant le module tangent d adoucissement d pendant du maillage Cette technique est celle qui est utilis e dans notre mod le car c est la plus simple a mettre en uvre et elle a montr de tr s bons r sultats Elle sera d taill e au paragraphe suivant Les limiteurs de la deuxi me cat gorie sont les plus utilis s aujourd hui d apr s Ibrahimbegovic 2006 Ils n cessitent quelques modifications de la th orie locale de la m canique des milieux continus En effet on vient introduire volontairement des discontinuit s dans le champ des d placements Simo et al 1993 ou
105. d chargement lastique 21 du reste de l chantillon en assumant un d chargement selon le module d Young initial Eo Sur la Figure 2 11 Jansen et Shah 1997 d finissent une nergie lastique pr pic Apre aire hachur e et une nergie de rupture post pic Apost aire gris e C est cette d finition de l nergie de rupture que Ben Ftima 2013 a choisi pour le mod le EPM3D Figure 2 11 D finition du d placement din lastique et de l nergie de rupture en compression selon Jansen et Shah 1997 2 2 5 3 Influence des conditions limites i e des techniques de chargement 2 2 5 3 1 Essais de Kotsovos 1983 Le premier avoir consid r l influence des syst mes de chargement dans les tests de compression uniaxiale est Kotsovos 1983 Dans son article il pr sente les r sultats de tests de compression effectu s l aide de cinq dispositifs diff rents afin d obtenir cing valeurs de coefficient de frottement diff rents entre les plaques de chargement et le sp cimen Figure 2 12 Ces prouvettes ont toutes un rapport d lancement h d 2 Les cinq dispositifs utilis s sont pour les chantillons de la gauche vers la droite sur la photo un blocage actif des plaques d acier des plaques pinceaux des plaques de caoutchouc tr s souple en cisaillement et un dispositif 22 MGA Les r sultats montrent une r elle d pendance aux conditions limites pour la r sistance ultime en compression pour
106. d passe la d formation au pic ee Si le mat riau est adoucissant la contrainte au sein de cet l ment va baisser alors que les l ments 36 voisins subissent toujours une augmentation de contrainte l it ration suivante la m thode de r solution cherchant satisfaire l quilibre interne de la structure les l ments voisins vont alors subir une baisse de contrainte Ils vont alors se d charger en n ayant jamais d pass le pic Le d chargement des l ments sera alors absorb par l l ment qui se plastifie Ainsi toutes les d formations plastiques vont se produire au sein d un l ment ou rang e d l ments On comprend alors ais ment que le milieu n est plus homog ne et qu il existe maintenant deux zones distinctes avec des lois constitutives distinctes Le probl me est que la g om trie de ces zones d pend du maillage Pour deux maillages diff rents on aura alors deux probl mes diff rents et donc deux solutions diff rentes Il n y a plus unicit de la solution On dit que le r sultat est d pendant du maillage mesh dependent Pour illustrer ceci nous allons prendre l exemple d une barre soumise de la compression mod lis e par des l ments une dimension Figure 2 21 que l on retrouve souvent dans la litt rature notamment dans Crisfield 1984 De Borst 1987 ou Ibrahimbegovic 2006 La barre de longueur L et de section A est discr tis e en n l ments treillis Elle est
107. d clement pour le DOLO nn nu teste 94 4 3 2 Type d l ment pour l acier et interaction avec les l ments de b ton 90 M CIE une pete nent amendement 90 EEL Compression MIM AK dle 2d peii eDI pates oM nm ane 100 4 4 2 Validation de la compression avec confinement actif 106 4 4 3 Validation de la compression avec confinement passif ccccccceesssseeeeeceeeeeeeees 111 4 5 Conseils pour la mod lisation de poteaux en b ton arm 116 4 5 1 Param tres requis pour l analyse avec EPM3D et ABAQUS Explicit 116 4 5 2 R capitulatif et d marche pour la mod lisation avec EPMS3D ss 117 CHAPITRE 5 CARACT RISATION DU COMPORTEMENT POST PIC EN COMPRESSION D UN DEPED eiiis so utet a satanic cbs cuna cdi co icum eese desit 120 5 1 Pr sentation et d finition du cadre exp rimental cccccccccccccccesseeeseeceeeeeeeeeeeeeeeeees 120 52 laboration du m lange eene tete tnter tette 122 3 3 Fabrication des SPECIMENS cerisier a E AE EE 123 o instrumieutaton des Specimens ess re 125 5 5 Systeme de chargement et mstallatiOnssccsissiccicsi i dei 127 2 0 MDETOUICINENE CES CSSAIS sirek a a een 129 5 7 Real eer N E E 129 5 151 Desienatonet Spectmerns T6 Jel6S i esae a E eds 129 5 7 2 Courbes force d placement de la presse et premi res remarques 130 Dele Types d DITS ODSOPV Sune ar tented a a 135 5 7 4 Courbes contrainte
108. de rupture dans le cas uniaxiale pur Gro Gfe 0 Le probl me est que cela n cessite de refaire un grand nombre d essais en compression pour obtenir avec pr cision Go de mani re standardis e et l volution de Gr en fonction du frottement Nous tenons enfin ce que le lecteur garde l esprit qu il faut comparer ce qui est comparable Les r sultats de notre programme exp rimental effectu avec des plaques de chargement en acier non lubrifi es ne peuvent tre compar s ceux d essais effectu s avec des plaques de t flon par exemple Le programme de Jansen et Shah 1997 est le plus proche du n tre pour un b ton non fibr Ils ont utilis des plaques d acier s ches et ont effectu des mesures sur une hauteur plus petite que la hauteur totale du sp cimen Nous avons gard le m me principe afin de pouvoir comparer nos r sultats aux leurs 25 2 2 5 4 Influence de la g om trie de la section des chantillons Van Mier et al 1997 survolent dans le test round robin l influence des param tres g om triques comme la forme de la section et l effet d chelle Les r sultats pr sent s sont tr s sommaires Le laboratoire de l ENEL Cris de Milan avec Gobbi et Ferrara 1995 a effectu des tests sur des cylindres et des prismes Selon la Figure 2 14 la variation de la pente post pic en fonction de l lancement ne semble pas tre affect e par la forme de la g om trie Il semblerait aussi que les sp cimens cyl
109. de la presse C est un pl tre ultra haute r sistance tr s utilis au laboratoire de l cole Polytechnique Il permet de rattraper tous les petits d fauts de surface en comblant les trous ou les asp rit s Nous avons pu tester sa r sistance lors de tests de validation pour le choix du pl tre Pour cela nous avons r alis des petites galettes de 10 mm d paisseur que nous avons plac entre deux cylindres en acier dans la presse La contrainte pouvait s lever au del de 120 MPa sans observer de rupture du Drystone Enfin on coulait une autre couche de Drystone sur la surface sup rieure du sp cimen et on venait appliquer directement le plateau de la presse pour vacuer le surplus et assurer un contact surfacique parfait Sur la Figure 5 4 on peut voir le montage final d un sp cimen cylindrique sur la presse Instron Le coefficient de frottement entre le Drystone sec et les plaques d acier n a pas t valu avec pr cision mais nous pensons qu il est proche de celui du b ton avec l acier Figure 5 4 Photo du montage d un sp cimen cylindrique de 150 mm de diam tre et de rapport d lancement 2 sur la presse Instron 129 5 6 D roulement des essais Les essais ont bien entendu t r alis s en d placement contr l Nous avons appliqu une vitesse de d placement calcul e de fa on ce que chaque sp cimen subisse le m me taux de chargement en phase pr pic environ 125 kPa s ce qui don
110. de la fonction isosurface l enveloppe des zones effectivement confin es que l on rencontre souvent dans la litt rature Figure 4 16 R partition de la contrainte normale de confinement sur l axe x 611 dans un poteau circulaire et carr On considere donc ici un poteau cylindrique dont on ne repr sente qu un quart afin d avoir un temps de calcul relativement court Pour respecter la sym trie on bloque les d placements normaux sur les faces SYMX et SYMY On d finit toujours une face SOL et une face PRESSE Figure 4 17 Les param tres pour le b ton sont fc 31 MPa E 25470 MPa v 0 2 0 714 mm et y 0 15 113 SYMY s 50 mm SOL Figure 4 17 Mod lisation d un poteau circulaire en b ton arm ici avec un espacement entre les triers de 50 mm Dans un premier temps on fixe la taille du maillage du b ton et de l acier pour toutes nos analyses b ton 50 mm et acier 20 mm Nous effectuerons une analyse de sensibilit au maillage plus loin On fait varier la quantit d armature de confinement en prenant trois espacements s 75 50 et 30 mm et trois sections d triers A 100 200 et 300 mm Pour le moment on consid re qu il n y a pas de b ton d enrobage et donc que les triers sont dispos s sur la p riph rie de la section De toute facon la contribution du b ton d enrobage pour le comportement post pic est nulle Le poteau a un diam tre de 300 mm et une hauteu
111. de propagations des fissures selon la m canique de la rupture Wikip dia 12 Figure 2 5 Rupture par bande de cisaillement S rie de photos prises successivement le long de la pente d adoucissement d apr s Van Geel 1998 13 Figure 2 6 prouvette classique d un test de compression avec rupture par fendage d apr s FOCON L0 99 ee eS e Oe CE LER Sr ee 14 Figure 2 7 Ecrasement de la matrice lors d un chargement avec une contrainte de confinement de 200MPa pour un b ton de r sistance uniaxiale de 60 MPa d apr s Dupray et al 2009 15 Figure 2 8 Importance relative des zones confin es aux extr mit s en gris fonc pour des sp cimens de diff rentes longueurs d apr s Van Vliet et Van Mier 1996 17 Figure 2 9 Courbes de la contrainte relative en fonction de la d formation moyenne pour des lancements variant de 2 5 5 a B ton ordinaire de 45 MPa b B ton haute performance d 90 MPa d apres Jansen et Shah 1997 ci eitis te eate oue bue ah eed e oae a one pex ends 18 Figure 2 10 Preuve de la localisation de la rupture en compression a courbes contrainte d formation b courbes contrainte d placement post pic d apr s Van Mier 1986 19 Figure 2 11 D finition du d placement Oin lastique et de l nergie de rupture en compression selon EIE ISI er SOON dem Unies de done 21 X1V Figure 2 12 Photos et courbes contrainte d p
112. dent ni de la charge ni du temps e Une m thode d int gration num rique pour un probl me statique ou dynamique est dite explicite lorsque l on calcule les inconnues du pas n uniquement partir des valeurs connues de l tat pr c dent n ou de quelques tats pr c dents n n n 2 etc Une m thode d int gration num rique pour un probl me statique ou dynamique est dite implicite si l on vient calculer les inconnues du pas n partir d une combinaison des valeurs de l tat pr c dent n et d une estimation sur les valeurs au pas n Une r solution implicite n cessite donc une boucle d it rations et un crit re de convergence habituellement on applique une certaine tol rance sur le r sidu e Une m thode d int gration num rique est dite conditionnellement respectivement inconditionnellement stable s il existe une restriction respectivement n existe pas de restriction sur le pas de calcul afin de rendre l analyse stable Avec ces d finitions nous pouvons maintenant d crire nos analyses comme des analyses quasi statiques non lin aires avec int gration temporelle explicite conditionnellement stable Nous allons dans un premier temps expliquer le choix et le fonctionnement de la m thode d int gration 90 num rique que nous utilisons Puis dans un second temps nous expliquerons le choix du type d l ment pour le b ton et l acier 4 2 Choix de la m thode d int gration num rique 4
113. donn es avec des essais standardis s pour tous les types de b tons et pour la totalit de la courbe g e Cependant les parametres faire varier comme le niveau de confinement la g om trie ou la r sistance sont tellement nombreux que l ampleur de la t che est colossale La recherche sur le comportement post pic souffre aussi d une grande dispersion des r sultats en fonction du mat riel d essai et du processus utilis vitesse du chargement dispositif de contr le en d placement etc dans les laboratoires du monde entier Le test round robin men par Van Mier et al 1997 est un premier pas pour la mise en place de normes vis vis des essais mais ceci reste limit Il a donc fallu effectuer des choix quant aux param tres majeurs prendre en compte et aux param tres mineurs laisser de c t Nous pr senterons au chapitre 3 les am liorations que nous avons apport es notre mod le Elles ne tiennent pas forc ment compte de tout ce que nous avons pr sent dans cette revue de litt rature Nous tenions garder une formulation la plus simple possible en limitant le nombre de parametres d entr e de mani re observer un bon comportement global 53 CHAPITRE3 PR SENTATION ET MODIFICATIONS DU MOD LE CONSTITUTIF EPM3D 3 1 Pr sentation d EPM3D 3 1 1 Introduction Dans ce paragraphe nous allons d crire les principaux aspects th oriques de notre mod le En effet quand on labore un modele de mat riau on d
114. e horizontalement Par ailleurs le volume total de b ton n cessaire la fabrication tait de plus de 1 m3 Ayant la volont d avoir exactement le m me b ton pour tous nos sp cimens et donc de couler les sp cimens en une seule g ch e les capacit s du laboratoire de b ton de l cole Polytechnique n taient pas suffisantes Nous avons t oblig s de faire appel aux entreprises B ton Central filiale de B ton Provincial et B ton Pr fabriqu Du Lac BPDL pour r aliser la coul e Ces deux entreprises voisines sont situ es Saint Eugene de Grantham Qc De plus le fait de travailler directement avec une entreprise sp cialis e nous a permis de tester la capacit de notre m lange dans des conditions de fabrication industrielle Les coffrages ont donc t emmen s par camion l usine BPDL Le m lange de b ton sans fibres a t livr par camion par l entreprise B ton Central Nous avons nous m mes ajout les fibres au dernier moment directement dans le camion toupie Des essais de v rifications c ne d Abraham L box de la maniabilit de la s gr gation et de la stabilit du m lange ont t effectu s avant de commencer couler Quelques ajustements sur le dosage en superplastifiant furent n cessaires de facon gommer l effet d chelle d la diff rence entre le volume des g ch es d laboration effectu es dans le malaxeur du laboratoire et le volume du camion toupie La coul e a ensu
115. e 1995 79 300 250 4 200 150 100 50 Contrainte principale de compression MPa 0 0 02 0 04 0 06 0 08 0 1 0 12 D formation s Figure 3 12 Analyses de compression triaxiale avec diff rents niveaux de confinement r alis es sur un simple l ment cube avec l enveloppe de rupture de Willam et Warnke 1975 Par contre quand on prend l enveloppe de rupture de Hsieh et al 1982 le comportement est ad quat savoir une diminution graduelle de la pente post pic en fonction du degr de confinement et ce gr ce une meilleure estimation de la contrainte maximale Figure 3 11 Ainsi si lors d une analyse il se produit une rupture en compression nous recommandons fortement d utiliser cette enveloppe de rupture Dans la suite de ce m moire toutes les analyses de validation sont effectu es avec le crit re de Hsieh et al 1982 3 4 3 Incoh rence du module de d chargement lastique Dans les premi res analyses que nous avons effectu es pour v rifier l ind pendance des r sultats vis vis du maillage nous avons pu constater une incoh rence par rapport au module de d chargement consid r En effet comme on l a vu Ben Ftima a consid r un d chargement lastique selon le module d Young initial Eo pour tablir la formule d Eg Or en parcourant la th se de Bouzaiene nous nous sommes aper us qu il avait mis en place une d finition du module de d chargement particuli re Eg char
116. e fissure en compression Nous faisons un parall le direct avec ce qui peut se faire en traction Cependant on a vu notamment avec le mod le de Markeset et Hillerborg 1995 qu une partie de la courbe post pic est en r alit due la propagation des fissures de fendages Ces fissures sont r parties sur un volume donn de l chantillon et donc au sein de ce volume la loi post pic doit encore tre exprim e en fonction des d formations Si l on veut prendre en compte la participation des fissures de fendages sur le comportement post pic dans une analyse par l ments finis nous sommes dans l obligation de changer de limiteur de localisation et s rement d adopter l un des limiteurs de la deuxi me ou troisi me cat gorie d finies au paragraphe 2 4 3 Ceci n cessite alors de modifier non seulement le modele mais aussi de sortir du cadre standard de la th orie locale de la m canique des milieux continus Ibrahimbegovic 2006 affirme que les limiteurs de localisation qui enrichissent le cadre de la th orie locale comme ceux propos s dans les articles de Simo et al 1993 ou de Ortiz et al 1987 sont aujourd hui les plus utilis s Il serait alors int ressant l avenir d essayer de les mettre en place Cependant le but premier de ce m moire tant de rendre plus ad quate la mod lisation de poteaux en b ton arm l aspect de la compression uniaxiale ou avec faible confinement dans le cas de poteaux faiblement arm s est
117. e fut justifi par Bouzaiene pour diff rentes raisons Tout d abord l approche hypo lastique tient compte de l historique de chargement dans la formulation de la loi constitutive ce qui est indispensable pour la mod lisation d essais cycliques sismique ou fatigue Elle n est pas la seule pouvoir le faire mais les autres approches telles que l approche endochronique ou lasto plastique endommageable conduisent des proc dures de calculs trop lourdes et sont confront es des difficult s quant la d finition des param tres d entr e du mod le Le but tant de mod liser le b ton l chelle de la structure il a fallu faire le choix d un calcul moins co teux avec une pr cision moindre mais tout fait acceptable De plus afin de prendre en compte la transition entre les deux tats extr mes du b ton savoir son comportement adoucissant en compression uniaxiale et son comportement ductile voire crouissant en compression triaxiale Bouzaiene et Massicotte 1997 ont fait le pari que la th orie hypo lastique bas e sur le concept de d formation quivalente de Darwin et Pecknold 1977 serait la mieux adapt e Dans ce qui suit nous allons dans un premier temps pr senter la mod lisation du comportement pr pic Sans trop entrer dans les d tails nous d finirons le principe du mod le Pour une description d taill e des diff rentes approches non lin aires pour les mod les constitutifs de b
118. e les particules de C S H ou la portlandite Cette chelle de mod lisation est n cessaire pour prendre en compte des ph nom nes li s la microstructure du b ton comme l hydratation des grains de ciment le retrait ou le fluage l chelle m soscopique on ne consid re plus que la p te de ciment et les granulats qui vont tre consid r s comme deux milieux continus distincts Dans certains mod les on prend aussi en compte l interface p te granulat cette chelle les mod les par l ments finis peuvent tre utilis s ainsi que les mod les en treillis lattice models en anglais pour d crire le comportement du mat riau et m me simuler la formation de fissures Un des mod les treillis l chelle m soscopique les plus c l bres est celui de Schlangen et Van Mier 1992 Pour les mod les l ments finis des propri t s sont d finies pour chacun des deux milieux p te et granulat et on peut introduire des contraintes d interactions entre eux Enfin l chelle macroscopique est celle utilis e dans notre mod le et dans tous les mod les qui ont pour but de faire des analyses l chelle de la structure cette chelle le b ton devient un mat riau continu et homog ne Ces propri t s sont liss es sur tout le volume en faisant une moyenne des diff rents param tres La th orie de la m canique des milieux continus est donc applicable et il est possible d utiliser des m thodes de calcul
119. e representation of the behavior under confinement loads Then we proceed to the validation of the model by means of simple analyses with the software ABAQUS and the module of explicit dynamic resolution called Explicit Also we present its specificities compared with a classic implicit static resolution We supply some advice to the reader and future students who are susceptible to model real reinforced concrete columns with EPM3D Finally we made an experimental program to characterize the post peak behavior in uniaxial compression of a fiber reinforced concrete mixture FRC with the aim of considering the possibility or not of an extrapolation of our model for FRC Vil TABLE DES MATIERES DEDI A T C III REMERCIEMENTS esa sed acters ee ee MM a ao Us E nd CC vou conte IV RESUME racunara an V ABSLRACI x ge A a en ser teen ee Cee Seer een ee VI TABLE DES MATIERE S a en f md oo ene ee VII LISTE DES TABEEAUNX nn near EA can in XII IIS TEES ESP IG URESS oodencne a dd es a nt arty Rin ene Teen aa Renee annem iene XIII LISTE DES SIGLES ET ABR VIATIONS an dede XX CHAPTITRE INTRODUCTION dci 1 1 1 E S TA E E ceeds E E A A E A l 12 DPenm ond sujetde rechercheren de REA 3 1 3 Objectits et contexte du re molte esia ob EAM ne el o ditat 3 1 4 Structure d MEMOLE oi cierra ed re Ser Pu uma eene EN UA said ier state te dues sa taut its ae 3 CHAPITRE 2 COMPORTEMENT EN COMPRESSION DU B
120. ement Pour des essais de compression uniaxiale sur des sp cimens tr s lanc s h d gt 3 il est m me pr f rable de garder un peu de frottement On garde ainsi des zones de b tons confin s plus r sistantes aux extr mit s Par exemple dans l article de Jansen et Shah 1997 les mesures de d formations post pic sont effectu es l aide de LVDT install s m me la surface du sp cimen Melinex Grease Aluminium dispositif compos d une feuille d aluminium d une couche de graisse et d un film plastique Melinex 23 sur une longueur plus petite que la longueur totale et centr e sur le milieu du sp cimen Ainsi on s assure que la rupture se produira bien dans le milieu de la colonne et donc dans la plage de mesure des LVDT On a volontairement laiss les plaques de chargement s ches et sans dispositif de diminution de friction La fissuration et l caillement du b ton se produiront aussi pr f rablement mi hauteur et non sous les points de mesures Dans notre programme exp rimental pour les m mes raisons qu avanc es ci dessus nous avons fait le choix de ne pas mettre de dispositifs de r duction de frottement car nos sp cimens avaient des ratios d lancement de 2 et 4 Nous mesurons tout de m me un champ de contrainte de compression uniaxiale car nous avons plac nos capteurs hors des zones de confinement situ es aux extr mit s Figure 2 8 2 2 5 3 2 Principe de l nergie de fissuration en
121. ement On a pu d montrer qu il existait une transition entre deux modes d endommagement conditionn s par le 10 niveau de confinement lat ral Ainsi sous l effet d une charge de compression et d un confinement faible la fissure aura tendance a se propager en mode I par extension des ailes alors que pour un confinement fort la propagation s effectuera en mode II par glissement des l vres de la fissure principale Sachant que pour le mode par glissement des l vres le frottement est intense ceci constitue une autre explication du comportement plus ductile du b ton lorsqu il est confin d formation et contrainte au pic plus lev es Is Figure 2 3 Sch ma pour l tude de la propagation des fissures ailes wing crack growth d apr s Horii et Nemat Nasser 1985 Enfin le dernier ph nom ne responsable de l endommagement du b ton que nous mettrons en lumi re ici est celui de l crasement des zones poreuses d interface p te granulat appel es ITZ Interface Transition Zone Figure 2 29 Il ne peut survenir qu en cas d une tr s forte contrainte hydrostatique au sein du mat riau Il a notamment t rapport par Van Geel 1998 Bouzaiene 1995 en avait fait l hypoth se en parlant de d t rioration de la liaison pate granulat lors de ses essais de compression triaxiale 11 2 2 Comportement du b ton en compression en phase post pic Ainsi l tude du comportement post pic du b ton en comp
122. ement est donc O Or siduelle t do ES Or siduelle EXP 2G fc h 1 Avec Vl 00 Or siduelle 09 50 lt 0 2 13 2 Or siduelle Ec 2 14 o le param tre a est calcul de fa on ce que l aire hachur e sous la courbe de la Figure 2 28 soit gale Gj h Le crit re de rupture utilis pour d terminer eo do 1989 Ce crit re de rupture est tr s utilis dans les mod les r c La contrainte r siduelle d pend du niveau de confinement et est est celui de Pramono et Willam ents et fournit de bons r sultats aussi calcul e avec le crit re de Pramono et Willam Le d chargement est suppos se produisant lin airement avec le module d Young initial Ex A Ultimate Strength Pig quer 1 Y Softening UH j M Equation 10 Equation 8 E v t Ui Y j I Or tte dede Oye 4 Elastic Limit Elastic l E Equation 7 E10 le O lateral confinement O5 2 O3 Residual Streneth s de Gif l Figure 2 28 Courbe contrainte d formation pour le b ton confin d apres Binici 2005 Les valeurs de l nergie de rupture Gy sont calcul e uniaxiale 1ssus d articles de r f rences comme Van Mier 19 al 1997 s partir d essais de compression 86 Vonk 1992 ou Van Mier et Le point faible de ce mod le tient au fait que Binici consid re Gy ind pendante de la contrain
123. en compte de l effet du confinement taient les points les plus importants am liorer avec comme but principal la mod lisation du comportement la rupture de poteaux en b ton arm En se basant sur une revue de litt rature compl te la liste exhaustive des diff rents param tres ayant une influence sur le comportement post pic en chargement uniaxial et multiaxial a t tablie Dans la suite de cette revue nous pr sentons les difficult s de la mod lisation d un mat riau adoucissant dans un calcul par l ments finis et le principe du limiteur de localisation mis en place En s inspirant des modeles rencontr s dans la litt rature nous proposons donc des modifications de la relation existante en apportant une attention particuli re la bonne repr sentation du comportement sous charges de confinement Nous proc dons ensuite la validation du mod le l aide d analyses simples avec le logiciel ABAQUS et le module de r solution Explicit dont nous pr sentons les sp cificit s par rapport une r solution statique implicite classique Nous fournissons quelques conseils au lecteur et aux futurs tudiants susceptibles de mod liser des poteaux r els en b ton arm avec EPM3D Enfin nous avons effectu un programme d essais pour caract riser le comportement post pic en compression uniaxiale d un m lange de b ton renforc de fibres BRF dans le but d envisager la possibilit ou non d une extrapolation de notre m
124. ensions grace aux travaux d Elwi et Murray 1979 3 1 4 Principe de variable d endommagement Le principe de la variable d endommagement est n cessaire pour une bonne mod lisation des cycles de chargement et d chargement Avec cette variable on vient prendre en compte la d gradation de la matrice de b ton par microfissuration due aux m som canismes pr sent s au paragraphe 1 2 A l instant o il effectue le calcul le mod le a besoin de savoir comment le b ton a t sollicit depuis le d but de l analyse En effet un b ton qui aura subit une forte compression gt 70 de f e dans une certaine direction aura un module de d chargement affaibli Ed chargement lt Eo et sera moins performant en traction selon cette m me direction qu l tat initial I en est de m me pour des chargements o la direction de la contrainte majeure de compression peut varier pendant l essai Si on commence par une forte compression sur l axe x et que l on bascule la sollicitation de l prouvette progressivement sur l axe z la r sistance selon l axe z ne sera pas la m me que pour un essai uniaxial classique sur l axe z Ainsi Bouzaiene 1995 d finit un param tre d endommagement pour tenir compte de la d gradation de la matrice du b ton et tre capable de mod liser correctement les chargements non proportionnels I suit ainsi la position nonc e dans l tat de l art de l ASCE 1982 savoir que pour avoir une formulation ind pe
125. ent methods in the simulation of metal forming processes Proceedings of the 4th 158 International Conference on Numerical Methods in Industrial Forming Processes NUMIFORM 92 Valbonne France Richart F Brandtzaeg A et Brown R 1928 A study of the failure of concrete under combined compressive stresses Engineering Experiment Station University of Illinois bulletin n 185 Rokugo K et Koyanagi W 1992 Role of compressive fracture energy of concrete on the failure behaviour of reinforced concrete beam Application of fracture mechanics to reinforced concrete d par Carpenteri Elsvier applied Science 437 464 Rots J G 1988 Computational modeling of concrete failure Ph D Delft University of Technology Delft Pays Bas Saatcioglu M et Razvi S 1992 Strength and ductility of confined concrete Journal of Structural Engineering vol 118 1590 1607 Samani A K et Attard M M 2012 A stress strain model for uniaxial and confined concrete under compression Engineering Structures vol 41 335 349 Schlangen E et Van Mier J G M 1992 Simple lattice model for numerical simulation of fracture of concrete materials and structures Materials and Structures vol 25 n 9 534 542 Sheikh S A et Uzumeri S M 1980 Strength and ductility of tied concrete columns Journal of the Structural Division ASCE 15388 Proceeding vol 106 1079 1102 Simo J Oliver J
126. et Armero F 1993 An analysis of strong discontinuities induced by strain softening in rate independent inelastic solids Computational Mechanics vol 12 277 296 Smith S S Willam K J Gerstle K H et Sture S 1989 Concrete over the top or Is there life after peak ACT Journal vol 86 491 497 Timoshenko S et Goodier J 1969 Theory of Elasticity McGraw Hill New York 3 me dition Tordjman F 2012 Caract risation m canique en traction des BRF Rapport de maitrise Ecole Polytechnique de Montr al 159 UNI EN 2005 14651 Test method for metallic fiber concrete Measuring the flexural tensile strength limit of proportionally LOP residual European Committee for Standardization vol 18 Van Geel H 1998 Concrete behaviour in multiaxial compression Ph D Eindhoven University of Technology Van Mier J G M 1986 Multiaxial strain softening of concrete Part I Fracture Materials and Structures RILEM vol 19 179 190 Van Mier J G M 1998 Failure of concrete under uniaxial compression an overview Fracture Mechanics of Concrete Structures Proceedings FraMCoS 3 d par H Mihashi et K Rokugo Freiburg AEDIFICATIO 1169 1182 Van Mier J G M 2009 Mode II fracture localization in concrete loaded in compression Journal of Engineering Mechanics vol 135 n 1 1 8 Van Mier J G M 2013 Concrete Fracture A Multiscale Approac
127. et plus particuli rement les deux jauges de d formations longitudinales avaient donc en phase lastique le r le de contr ler l alignement du sp cimen avec la presse Ils mesuraient la d formation longitudinale sur les 4 faces Par exemple si l cart tait trop grand entre la d formation Sud et Nord nous pouvions en conclure que le sp cimen tait mal centr et qu un moment parasite tait cr en t te de colonne Si tel tait le cas il fallait d charger le sp cimen et le repositionner Les jauges de d formations tant plus exactes elles avaient pour r le de confirmer les valeurs donn es par les LP en phase pr pic En toute rigueur il aurait fallu disposer deux jauges de plus pour mesurer les d formations longitudinales sur les faces Est et Ouest mais cela aurait t trop co teux cause du nombre de sp cimens Par contre pour les mesures dans la phase post pic seuls les capteurs LP ont pu tre utilis s En effet d s lors qu une macrofissure se cr e les mesures des jauges de d formation ne sont plus exploitables Chaque capteur de d placement LP n cessite la pose au pr alable de deux plots avec un pas de vis pour venir fixer les deux extr mit s du capteur Les plots ainsi que les jauges de d formation ont t coll s directement la surface des chantillons l aide d une colle extra forte particuli rement adapt e au b ton Au pr alable nous avons proc d un pon age localis afin de 127
128. eut d montrer que la rupture est localis e Ainsi quand on trace la courbe contrainte d placement post pic de ces trois essais on obtient trois courbes qui se superposent Figure 3 5 max d d m h fa b hid 5 hjd 1 0 h d 2 0 Dimensionless Stress a a 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 Postpeak Displacement mm Figure 3 5 Courbe contrainte d placement post pic des essais de Van Mier 1986 Sur ce graphique la contrainte est normalis e au pic et le d placement post pic est calcul simplement en soustrayant au d placement totale 04 le d placement 0 au pic Opp Stor c 3 7 Si on assimile ces trois courbes une seule droite en pointill s rouges on peut d finir le d placement maximal correspondant a une contrainte r siduelle nulle On le note dppmax et 11 vaut ici 0 52mm Dans sa th se Bouzaiene d duit la composante lastique du d placement 04 correspondant au d chargement des r gions en dehors de la zone de rupture De cette facon il s assure de 64 repr senter le vrai comportement du mat riau au sein de la zone de localisation En effet la zone de localisation absorbe le d chargement lastique des parties adjacentes Le d placement post pic in lastique qu il consid re a donc pour expression fc 9 L 3 8 Opp Otot amp Stot s E o L est la longueur de mesure du capteur de d placement Il faut donc veiller modifier les courbes des ess
129. fixe une extr mit et subit une force F l autre Placons nous dans le cas le plus simple possible en supposant que la barre reste lin aire durant toute la phase pr pic avec un module Eo 0 On note Ea lt 0 le module d adoucissement de la loi g e du mat riau On note Emoy le module d adoucissement moyen pour la totalit de la barre On a AEmoy 2 3 F L 37 Ea Figure 2 21 Barre en compression discr tis e en n l ments et loi constitutive bilin aire Il y a donc un seul l ment qui plastifie selon Ea et tous les autres se d chargent selon Eo Si on assimile la chaine d l ments une mise en parall le de n ressorts on a alors 1 B 1 5 1 2 4 Emoy Jb JE WW Es Le module d adoucissement global de la structure Emoy est donc fonction du nombre d l ments Cela se traduit par un comportement global de la structure d pendant du maillage comme on peut le voir sur la Figure 2 22 Enoy Ea Emoy Figure 2 22 Mise en vidence du manque d unicit de la solution en fonction du maillage 38 On rencontre le m me souci en 2D ou en 3D que ce soit pour un adoucissement en compression en traction ou en cisaillement On doit alors mettre en place ce que l on appelle des limiteurs de localisation On parle aussi de m thode de r gularisation 2 4 3 Limiteurs de localisation partir des ann es 80 avec l essor de la m thode des l ments finis d a
130. forc s de fibres de Montaignac 2011 Tordjman 2012 longation AI Figure 2 24 Calcul de l nergie de rupture en traction G avec la courbe d un essai de traction directe d apr s Bouzaiene 1995 Gy d pend avant tout de la composition du b ton notamment de la taille du plus gros granulat et de sa r sistance en compression fe Le code CEB FIP 2010 europ en stipule la formule suivant pour Gy en N m ET 2 6 43 O fom est la r sistance moyenne et vaut fe 8 MPa Cette quation est valable pour une temp rature ambiante de 20 C 2 5 1 2 Mod le de fissuration diffuse principe de conservation de l nergie de rupture Les mod les de fissuration r partie ou diffuse smeared crack model reposent donc sur un postulat fondamental de la m canique de la rupture du b ton l nergie de rupture en traction du b ton not e Gy est un param tre intrins que du mat riau C est pourquoi les mod les qui utilisent cette technique de r gularisation sont aussi appel s dans la litt rature energy based fracture model On rencontre aussi l appellation mod le de Dugdale Barenblatt Dugdale 1960 et Barenblatt 1962 L approche d Hillerborg et al 1976 consid re que la fissure est lin ique En r alit la fissure est tortueuse et la localisation des d formations se produit sur une bande de mat riau C est pourquoi Bazant et Oh 1983 proposent un modele de fissuration par bande crack
131. gemen dans la phase pr pic Ed chargement d pend du module initial Eo du parametre d endommagement 4 et du niveau de confinement repr sent par l ancienne valeur de x Il varie de Eo a Eo arriv au pic Il est ensuite fix a Eo pour la partie post pic Cela signifie 76 que les l ments hors zone de localisation se d chargeaient lastiquement avec un module 2 717 iN Ed chargement Eo et que les l ments o la localisation avait lieu se d chargeaient lastiquement avec un module Eo La conservation de l nergie sur tout le sp cimen n tait donc plus respect e Cela conduisait a un d calage des courbes en fonction de la taille caract ristique du maillage Cela s observait d autant plus pour un faible confinement et pour un maillage grossier h grand Il fallait donc aussi r crire la formule d E avec le bon module de d chargement h 6 h 3 20 KO E d chargement Il convient de noter que pour le calcul du module de d chargement il faut donc faire un choix entre garder la formulation de x de Bouzaiene ou opter pour la nouvelle formulation de x propos e plus loin pour la pente d adoucissement Cependant ce choix ne pourrait se justifier que par une s rie d essais exp rimentaux Pour le moment nous garderons la formulation de Bouzaiene pour le calcul d Egecnargemeni L quation dans la phase pr pic pour le module de d chargement est Ea chargement Eo 1 X 3 21
132. gnac 2011 Tordjman et al 2012 De Broucker et al 2013 Le m lange de b ton utilis dans ce programme exp rimental visait une r sistance en compression uniaxiale de 80 MPa 28 jours Le rapport E C tait fix 0 28 Le ciment utilis est un ciment binaire fum e de silice de type GUb SF et a t fourni par Lafarge Canada On a utilis un superplastifiant le Plastol 6400 fourni par Euclid Canada pour assurer une bonne maniabilit compte tenu du faible rapport E C La quantit de superplastifiant est de 0 54 secL Les fibres utilis es sont des fibres simples crochets Dramix 65 35 longueur 35 mm fournies par l entreprise Bekaert Ces fibres tant des fibres longues on ne s attend pas ce que le comportement pr pic soit modifi Car nous rappelons que des fibres d une telle longueur n agissent que sur les macrofissures c est dire lors d une ouverture de fissure de l ordre du 123 millimetre visible uniquement en post pic Le pourcentage volumique de fibres est 1 vo Le Tableau 5 1 ci dessous r capitule les diff rents constituants pr sents dans le m lange et leurs quantit s en masses volumiques Tableau 5 1 Formulation du BRF 80 MPa d apr s Androu t et al 2013 Quantit Constituant D signation en kg par m3 de b ton Ciment GUb SF Lafarge Canada 685 0 Eau 185 7 Superplastifiant Plastol 6400 Euclid Canada 9 8 Sable St F lix BPDL 854 8 Pierre 5 10 St Donat BPDL 629 9
133. h CRC Press Taylor amp Francis Group Van Mier J G M Shah S P et al 1997 Strain softening of concrete under uniaxial compression Materials and Structures RILEM vol 30 n 4 195 209 Van Mier J G M Shah S P et al 2000 Test method for measurement of the strain softening behaviour of concrete under uniaxial compression Recommendations Materials and Structures RILEM vol 33 n 230 347 351 Van Vliet M R A et Van Mier J G M 1996 Experimental investigation of concrete fracture under uniaxial compression Mechanics of Cohesive Frictional Materials vol 1 n 1 115 127 Vonk R A 1992 Softening of concrete loaded in compression Ph D Eindhoven University of Technology Voisin O Androu t C Charron J P et Massicotte B 2011 D veloppement de deux b tons renforc s de fibres m talliques Rapport interne Ecole Polytechnique de Montr al 160 Willam K Hurlbut B et Sture S 1986 Experimental and constitutive aspects of concrete failure Finite element analysis of reinforced concrete structures ASCE Publication d par Meyer and Okamura 226 254 Willam K et Warnke E 1975 Constitutive model for triaxial behaviour of concrete Proceedings International Association for Bridge and Structural Engineering ISMES Bergame Italie vol 19 p 174 Wittmann F H 1983 Structure and mechanical properties of concrete The Architectural
134. hargements biaxiaux et triaxiaux en compression Un des buts de ce m moire tant la mod lisation d une colonne en b ton arm nous devons nous assurer que le confinement amen par la pr sence d triers dans la colonne soit mod lis ad quatement Ainsi l effet de la variation du taux de confinement sur la courbe post pic qui peut tre effectu e en augmentant la section des triers ou en diminuant l espacement vertical entre les triers par exemple sera pris en compte par notre mod le Cependant 1l existe encore trop peu d articles de r f rences qui fournissent les courbes g e compl tes c est dire pour de grandes d formations jusqu au plateau de contrainte r siduelle voir Figure 2 19 pour la d finition de la contrainte r siduelle Nous ne pouvons r ellement statuer que sur une tendance et non sur des valeurs exactes Dans l article de Samani et Attard 2012 une revue tr s complete des essais de compression multiaxiale connus est effectu e ce qui a facilit norm ment nos recherches 2 2 6 1 Confinement actif ou passif Tout d abord il faut faire le distinguo entre le confinement actif ou passif Dans les structures r elles comme des poteaux le confinement du b ton en compression est passif puisqu il est assur par les armatures Les triers de confinement lat ral vont retenir la d formation du b ton et donc retarder l expansion des fissures Le confinement lat ral n est donc assur que par r action
135. he ou les sp cimens CARH D150 L300 Figure 5 9 gauche Il est alors tres difficile de tirer des conclusions claires et nettes sur le comportement post pic de notre m lange Toutefois nous pouvons d s maintenant avancer quelques explications quant cette dispersion Tout d abord il ne faut pas oublier que ce b ton est haute performance c est pourquoi il faut pr voir que la pente post pic sera tr s abrupte De plus la pr sence des fibres et leur orientation ne semble pas avoir apport la m me ductilit pour les sp cimens de diff rents rapports d lancement Ces fibres sont assez longues 35 mm et agissent sur les macrofissures or le d veloppement des macrofissures en bande de cisaillement est tr s sensible la quantit d nergie dissiper L absence totale de comportement post pic observ e lors des essais de rapport d lancement gal 4 peut justement s expliquer par une trop grande quantit d nergie de d formation dissiper Si de plus on tient compte du fait que la presse emmagasine elle aussi une grande quantit d nergie lastique on obtient un syst me beaucoup trop instable Si on reste dans le cas lin aire pour deux sp cimens de m me section mais de longueur simple au double on 134 applique la m me force donc le d placement est double et donc l nergie lastique est aussi doubl e E amp tastique 5 6 5 1 EA n Avec la raideur k T gt O E est le module d Y
136. hydrostatique On peut repr senter n importe quel champ de contrainte 07 02 o3 initialement crit dans la base des contraintes principales par un triplet om t O OU Om est la contrainte hydrostatique moyenne Tm est la contrainte d viatorique et 0 est l angle de similarit compris entre 0 m ridien de traction et 60 m ridien de compression Ces contraintes sont appel es contraintes octa driques En fait om fixe la coordonn e sur l axe hydrostatique du plan d viatorique dans lequel on se trouve tm et 0 sont les coordonn es polaires du point correspondant au champ de contrainte dans le plan d viatorique Figure 3 3 Dans le cas du crit re de rupture de Willam et Warnke 1975 pour une pression hydrostatique croissante la forme de l enveloppe de rupture dans le plan d viatorique passe progressivement d un triangle un cercle Les deux enveloppes de rupture que nous utilisons ont un point commun dans le sens ou elles donnent toutes les deux la r sistance ultime aussi bien en compression qu en traction en consid rant que la r sistance ne d pend pas du trajet de contrainte la d gradation de la r sistance tant d j assur par le param tre d endommagement 4 Elles se distinguent principalement par le nombre de points de contr le utilis s 5 pour l enveloppe de Willam Warnke et 4 pour Hsieh Ting Chen On comprend ais ment que plus il y a de points de contr le plus l enveloppe de rupture est sophistiqu e et plu
137. ic model of concrete for triaxial stress Journal of Engineering Structural Division ASCE vol 108 728 742 Androu t C Massicotte B et De Broucker W 2013 D veloppement d un b ton renforc de fibres m talliques Rapport interne EPM GRS BRFSO BPDL 1 1 Ecole Polytechnique de Montr al ASCE TASK COMMITTEE ON CONCRETE AND MASONARY STRUCTURES 1982 State of the art report on finite element analysis of reinforced concrete ASCE Special Publication Ashby M F et Hallam S D 1986 The failure of brittle solids containing small cracks under compressive stress states Acta Metallurgica vol 34 n 3 497 510 Attard M M et Setunge S 1996 Stress strain relationship of confined and unconfined concrete ACI Materials Journal vol 93 n 5 Barenblatt G I 1962 The mathematical theory of equilibrium cracks in brittle fracture Advances in Applied Mechanics vol 7 55 129 Bazant Z 1989 Identification of strain softening constitutive relation from uniaxial tests by series coupling model for localization Cement and Concrete Research vol 19 973 977 Bazant Z 1993 Size effect 1n tensile and compressive quasibrittle failure Proceeding of International Work Shop Size effect in structure d par Mihashi Okamura et Bazant E amp EN Spon Japon 161 180 Bazant Z et Bhat P 1976 Endochronic theory of inelasticity and failure of concrete Journal of Engineer
138. igurations diff rentes Figure 4 4 Les conditions limites appliqu es Figure 4 5 constituent un des aspects les plus importants vis vis de la stabilit de nos analyses En effet au vu des nombreux types d instabilit s qui peuvent survenir lors d une mod lisation 3D en m canique non lin aire et de surcroit lorsqu on mod lise un mat riau adoucissant il est primordial de rendre l analyse la plus robuste possible Pour cela il ne faut pas h siter bloquer le plus de mouvements possibles tant que cela ne vient pas obstruer le comportement que l on veut observer Nous avons donc consid r que nos sp cimens taient plac s dans un coin c est dire que nous avons bloqu le d placement normal sur 3 faces ex sur une face de normale X nous avons bloqu seulement le d placement selon X Ces trois faces sont nomm es SOL de normale Z MURX de normale X et MURY de normale y Nous imposons un d placement de 1 mm sur la deuxi me face de normale Z nomm e PRESSE Ce d placement est impos avec une amplitude lisse smooth step et une dur e totale de 1 seconde Nous avons laiss libres les deux 101 derni res faces identifi es par LIBREX et LIBREY Ainsi la d formation longitudinale selon Z et les d formations transversales selon x et y dues aux effets de Poisson sont toujours permises Figure 4 4 Configurations pour la validation de l effet de la longueur et de la sensibilit au maillage 102
139. in Patrick B langer David Ek et Xavier Willem qui ont particip de pr s ou de loin la r alisation de mes essais Je tiens remercier toutes les personnes que j ai pu c toyer au bureau tout au long de ma maitrise William De Broucker Thomas Minty Amadou Thiaw Alexis Lefran ois Maxime Hubert Jean Philippe Ouellette Jonathan Gleize Nicola Cordoni Alex Constantin L a Faggio Maxime Mehouas Maxime Gascon Jalila Tanji Michel Ange Assily Alegre V ronique Tremblay j en oublie c est s r RESUME Le modele constitutif de b ton EPM3D Endommagement Progressif Multiaxial en 3 Dimensions est d velopp l cole Polytechnique de Montr al depuis 1990 Bouzaiene et Massicotte 1995 ont choisi l approche hypo lastique avec le concept de d formation quivalente et la mise en place d un param tre d endommagement scalaire pour repr senter la microfissuration du b ton en compression pr pic Le comportement post pic adoucissant en traction et en compression est bas sur le concept de conservation de l nergie de rupture Dans le contexte des l ments finis cela requiert la d termination d un limiteur de localisation des d formations bas sur un module d adoucissement d pendant de la taille de l l ment du maillage La formulation du mod le EPM3D dans le cas de la compression post pic devait tre r vis e Les probl mes vis vis de la d pendance de la taille du maillage et l absence de la prise
140. indriques donnent globalement une r sistance un peu plus faible que les prismes et avec une plus faible dispersion des r sultats stress MPa normal strength concrete low friction teflon FNEL cylinder nn m im prism h d 0 5 o 2 4 6 8 10 12 strain 0 Figure 2 14 Influence de la forme de la section sur le comportement en compression d apr s Van Mier et al 1997 Gobbi et Ferrara 1995 ont aussi test l effet d chelle Trois s ries de sp cimens avec les m mes proportions mais a trois chelles diff rentes ont t test es dimension transversale de 50 mm de 100 mm et de 150 mm Ils n ont cependant d cel aucune tendance ni aucun comportement qui viendraient remettre en cause les points expos s jusqu a maintenant Cependant compte tenu du faible nombre d exp riences men es sur l influence de la g om trie dans la litt rature nous avons voulu int grer cet aspect dans notre programme exp rimental C est pourquoi nous avons d cid de faire des tests sur des chantillons de section circulaire et carr e avec deux chelles diff rentes dimension transversale de 150 mm et de 300 mm 26 2 2 6 Influence du confinement lat ral Comme nous le verrons au chapitre 3 la prise en compte de l effet du confinement sur la courbe post pic au sein de notre modele n tait pas optimale C est pourquoi une attention particuli re a t port e sur les articles traitant des c
141. ing Mechanical Division ASCE vol 102 701 722 Bazant Z et Kim S S 1979 Plastic fracturing theory for concrete Journal of Engineering Mechanics Division ASCE vol 109 69 82 153 Bazant Z et Lin F 1988 Non local yield limit degradation International Journal of Numerica Methods in Engineering vol 26 1805 1823 Bazant Z et Oh B 1983 Crack band theory for fracture of concrete Materials and Structres RILEM vol 16 155 177 Bazant Z et Pijaudier Cabot G 1988 Non local continuum localization instability and convergence Journal of Applied Mechanics ASME vol 55 n 2 287 293 Bhattacharjee S S 1993 Smeared fracture analysis of concrete gravity dams for static and seismic loads Ph D Ecole Polytechnique de Montr al Belytschko T Liu W K et Moran B 2000 Nonlinear finite elements for continua and structures Chichester John Wiley amp Sons Ben Ftima M et Massicotte B 2004 Introduction du mod le de Bouzaiene et Massicotte 1995 dans ABAQUS Version 6 4 1 Standard et Explicit Rapport interne Ecole Polytechnique de Montr al Ben Ftima M 2005 Comparaison des trois logiciels d l ments finis Ansys Adina et Abaqus Rapport interne Ecole Polytechnique de Montr al Ben Ftima M 2013 Utilisation de la m thode des l ments finis non lin aire pour la conception des structures en b ton arm Applications aux structures massives Ph
142. int On ne consid re pas de pente positive en post pic pour traduire l crouissage au del du point de transition On consid re que l crouissage s il a lieu sera pris en charge par l approche hypo lastique et le crit re de rupture en phase pr pic En r sum avec cette formulation simple Bouzaiene entendait prendre en compte l augmentation de la pente en fonction de fe et la diminution de la pente en fonction du confinement De plus en reliant directement la pente Ez la taille caract ristique du maillage A il voulait prendre en compte l effet de la localisation 67 Mais cette formulation n tait pas tout a fait ad quate et amenait des problemes de d pendance vis vis du maillage La d finition de la pente Eu n incluait pas le d chargement lastique de l l ment fini dans lequel avait lieu la fissure La formule propos e par Bouzaiene tait juste qualitative et ne v rifiait donc pas la conservation de l nergie de rupture en compression 3 2 3 Modifications apport es par Ben Ftima Ben Ftima 2013 a donc reformul l quation d E de Bouzaiene 1995 pour r duire la d pendance du mod le la taille du maillage et v rifier la conservation de l nergie de rupture Il a aussi introduit le param tre y qui est le rapport de la contrainte r siduelle sur la contrainte au pic en compression uniaxiale u Or siduelle_uniaxiale 3 13 1 fe De plus il a import le mod le dans le logiciel ABA
143. ions pour un b ton fibr 6 3 Recommandations pour un ventuel futur programme exp rimental de compression post pic sur un BRF Malheureusement nous avons effectu plusieurs erreurs ne pas reproduire pour obtenir les courbes post pic pour l ensemble des sp cimens Notamment nous avons pu tirer tr s peu d informations des essais sur les sp cimens de rapport d lancement gal 4 Certes ces erreurs auraient pu tre vit es notamment en diminuant drastiquement la vitesse de chargement aux abords du pic et en adoptant un chargement contr l par une combinaison de la force et du 151 d placement de la presse comme utilis par Jansen et Shah 1997 Ainsi nous aurions pu enregistrer un ventuel snap back retour en arriere Cependant nous pensions que l effet des fibres pr sentes dans le m lange aurait t bien plus prononc et nous ne nous attendions pas a observer du snap back m me pour les sp cimens les plus lanc s A cause de la grande r sistance du b ton 80 MPa il semblerait que l nergie de rupture soit trop grande pour tre dissip e par le b ton et les fibres Les efforts qui s appliquent sont trop grands et trop brusques pour que les fibres aient le temps de les retenir Il faudrait refaire quelques essais en diminuant la r sistance de notre b ton De plus nous pensons que les futurs essais de compression post pic sur des m langes de b tons fibr s doivent se faire avec la pr se
144. ite t effectu e directement avec la goutti re du camion pour les gros volumes coul s verticalement et avec des seaux pour les petits volumes et les gros volumes coul s horizontalement Pour les sp cimens coul s horizontalement on a favoris l orientation des fibres dans le sens longitudinal en faisant un mouvement de balancier de droite gauche avec le seau Ce simple geste suffit obtenir une orientation globale des fibres dans le sens d sir Enfin la finition des surfaces a t effectu e la truelle d acier 125 La cure du b ton a t effectu e en deux tapes Tout d abord les chantillons sont rest s dans les coffrages et sous film plastique la temp rature de l usine Le b ton tait arros par les employ s de BPDL tous les jours Comme c est une usine de b ton pr fabriqu la temp rature a l int rieur du hangar est toujours maintenue aux environs de 20 C ce qui tait id al Au bout d une semaine les sp cimens ont t d coffr s et stock s dans le hangar de l usine pendant environ deux mois toujours 20 C Enfin les sp cimens ont t rapatri s l cole Polytechnique sur des palettes afin de commencer instrumentation 5 4 Instrumentation des sp cimens L instrumentation des sp cimens a t l tape la plus longue du processus En effet chaque sp cimen tait quip de 4 capteurs de d placement appel s Linear Pot LP et de 4 jauges de d formations Deux j
145. l 1982 suite aux remarques faites au chapitre 3 100 4 4 1 Compression uniaxiale Dans un premier temps on ne va pas consid rer l effet du confinement le but tant de montrer qu avec l int gration explicite et l l ment C3D8R on est capable d avoir une analyse stable et quasi ind pendante de la taille du maillage pour mod liser l adoucissement De plus nous rappelons que les effets du frottement aux extr mit s ou conditions de chargement ou encore influence des techniques de chargement n est pas pris en compte directement dans le mod le Nous faisons l hypoth se que les contraintes lat rales dues au frottement ne sont qu un cas particulier de confinement passif des zones d extr mit s Par cons quent nous ne proc derons pas ici la validation du comportement en fonction des diff rentes conditions limites Nous ne faisons donc que la validation de l effet de la longueur et on v rifie la d pendance vis vis du maillage 4 4 1 1 Effet dela longueur ou localisation des d formations Nous proc dons la mod lisation des essais de Van Mier 1986 Le b ton a une r sistance de 45 MPa La section des sp cimens est carr e et mesure 100x100 mn Il y a 3 ratios d lancement de 0 5 1 et 2 Nous ferons varier la taille du maillage avec 3 valeurs diff rentes pour h savoir 50 mm 25 mm et 12 5 mm ce qui correspond discr tiser le c t de la section par 2 4 et 8 l ments Cela repr sente donc 3x3 9 conf
146. lacement des sp cimens test s avec diff rentes conditions limites d apr s Kotsovos 1983 22 Figure 2 13 Courbes contrainte normalis e vs d placement post pic avec trois dispositifs de chargement diff rents plaques d acier plaques pinceaux et plaques de t flon d apr s Van Vhetet v aly Vite 19006 een em ten eee eme ete nt 24 Figure 2 14 Influence de la forme de la section sur le comportement en compression d apr s Van hou Ac 9T PR DR nen te siete 25 Figure 2 15 volution de la r sistance et de la d formation au pic en fonction du confinement lat ral d apres IMASSiCOtte 201 ia nn Re a mt tin 21 Figure 2 16 Courbes de contraintes normalis es 03 fc en fonction des d formations normalis es au pic longitudinales 3 0 et lat rales 1 0 pour des niveaux de confinement diff rents en ksi pour un b ton de 5 ksi 34 5 MPa d apr s Smith 1989 28 Figure 2 17 Enveloppe de rupture du b ton sous sollicitation multiaxiale d apr s Bouzaiene Figure 2 18 Courbes de compression triaxiale pour un b ton de 60 MPa et 92 MPa d apr s Xie COS a en te fe 30 Figure 2 19 Mod le en 4 tapes du processus de fissuration dans le b ton en compression influence du confinement sur la contrainte r siduelle d apr s Van Mier 2009 31 Figure 2 20 Diff rentes chelles de mod lisation pour le b ton d apr s Wittman 1983 92 Figure 2 21
147. lat ral d apr s Massicotte 2013 la fin des ann es 80 et au d but des ann es 90 la recherche sur la compression multiaxiale a connu un regain d int r t avec par exemple Van Mier 1986 Smith et al 1989 Figure 2 16 Xie et al 1995 Bouzaiene 1995 Attard et Setunge 1996 Plusieurs de ces articles avaient pour but d exhiber la transition entre un mode de rupture fragile et ductile Sur la Figure 2 17 Bouzaiene 1995 sch matise l existence de ce point de transition sur l enveloppe de rupture du b ton sous sollicitation multiaxiale La mod lisation de l influence du confinement sur la phase pr pic est aujourd hui tr s bien r alis e dans EPM3D gr ce une approche hypo lastique Cependant on cherche aujourd hui mod liser la courbe o compl te en tenant compte des variations de l adoucissement Malheureusement il existe beaucoup moins d articles qui traitent du comportement post pic du b ton en grandes d formations c est dire jusqu au plateau de contrainte r siduelle 28 H BIB i HIG 2 3 0 EEI 7 ace mi 4 H 0 V 1 0 N y 2 0 EPS 3 EPS 0 EPS 1 EPS 0 BAITILE QUCTILE TRANSITION 5 KSI CONCRETE Figure 2 16 Courbes de contraintes normalis es en fonction des d formations C e 2 e e e 3 1 e e normalis es au pic longitudinales et lat rales pour des niveaux de confinement 0 0 diff rents en ksi pour un b ton de 5 ksi 34 5 MPa d
148. lcul de la contrainte maximale en compression multiaxiale l aide de l enveloppe de r pt re d apres Douzatene 995 outset Re ovas E ded catt bd 61 Figure 3 5 Courbe contrainte d placement post pic des essais de Van Mier 1986 63 Figure 3 6 Repr sentation du d placement post pic in lastique 0pp 64 Figure 3 7 Courbes contrainte normalis e vs d placement post pic avec d duction de la composante lastique d apr s Bouzaiene 1995 65 Figure 3 8 Courbe contrainte d formation en compression pour le comportement post pic dans EPMSDCd apres MASSICOUR el al 720 T2 Sn sie hein 68 Pour DEMO AO M Hc 69 Figure 3 10 Courbes contrainte normalis e au pic vs d placement post pic pour diff rents rapports d lancement et syst mes de chargement d apr s Van Mier et Van Vliet 1997 71 Figure 3 11 Analyses de compression triaxiale avec diff rents niveaux de confinement r alis es sur un simple l ment cube avec l enveloppe de rupture de Hsieh et al 1982 74 Figure 3 12 Analyses de compression triaxiale avec diff rents niveaux de confinement r alis es sur un simple l ment cube avec l enveloppe de rupture de Willam et Warnke 1975 75 Figure 3 13 Contrainte r siduelle normalis e vs contrainte de confinement normalis e d apr s pamane Altar 2017 aeia oodd taie E A E E EEE 77 Figure 3 14 Courbe de y en fonction de o minfc a
149. le Le comportement du capteur est donc correct mais les valeurs demandaient tre quelque peu corrig es Au pic ou peu apr s le pic nous perdions les mesures des jauges et seuls les capteurs LP nous fournissaient des donn es Pour tablir les courbes post pic nous avons pris en compte uniquement les donn es provenant des capteurs LP dont la plage de mesure chevauchait la macrofissuration voir Figure 5 18 ci dessous Sur cette figure on voit le cas ou il n y a qu une seule fissure mais le principe reste le m me quand il y en a plusieurs c est le d placement des blocs form s par macrofissuration par rapport aux autres qui nous int resse Les autres capteurs LP ont t rejet s car tant t ils 7 L effet de barreling est comme son nom l indique une d formation globale du sp cimen en forme de tonneau barrel en anglais En pr sence d un tel effet les jauges de d formations plac es mi hauteur du sp cimen et mesurant une d formation tr s locale donneraient des d formations plus petites que les capteurs LP qui eux donnent une d formation moyenne sur toute leur longueur de jauge L 2 dans notre cas Cet effet se produit principalement l approche du pic quand le coefficient de Poisson du mat riau augmente tr s fortement et pour des conditions de chargement avec beaucoup de frottement C est pourquoi au centre du sp cimen la d formation lat rale est plus grande qu aux extr mit s Ainsi cela prouve aussi que les
150. le champ des d formations Ortiz et al 1987 au sein de l l ment qui plastifie La r gularisation est effectu e sur la formulation de l l ment m me donc sur la matrice B qui fait le lien entre les d placements nodaux et le champ des d formations Il serait bon l avenir d introduire ce type de limiteur dans nos analyses Cela constitue une bonne piste d am lioration de notre mod le aussi bien pour l adoucissement en traction en cisaillement ou en compression L implantation num rique des limiteurs de la troisi me cat gorie est tr s compliqu e a mettre en uvre et c est pourquoi 1ls sont peu utilis s Le principe de la th orie non locale est de calculer la contrainte en un point en prenant en compte toutes les d formations dans le voisinage de ce point par exemple une boule d fini partir d une longueur caract ristique Ibrahimbegovic 2006 Les articles qui posent les fondements de la th orie non locale sont Bazant et Lin 1988 Pijaudier Cabot et Bazant 1987 et Bazant et Pijaudier Cabot 1988 Pour que la r gularisation soit efficace on doit avoir plusieurs l ments l int rieur de cette longueur caract ristique Or cela amene plusieurs complications Les l ments doivent communiquer entre eux pour effectuer le calcul du champ des contraintes ce qui est loin d tre facile g rer avec un logiciel de r solution par l ments finis classique De plus la longueur caract ristiq
151. le postulat que l nergie de rupture du b ton est calculable de la m me fa on que pour les m taux et d finissent donc l nergie de rupture en traction dissip e par unit de surface par l int grale de la courbe contrainte de coh sion vs ouverture de fissure fictive 42 Of 2 5 6 o 6 d 0 ou c est la contrainte de coh sion variant le long de la FPZ de longueur le 0 est l ouverture de fissure fictive la pointe et oy est l ouverture de la fissure fictive o la contrainte de coh sion devient nulle Gy s exprime en N m En pratique on peut obtenir Gren r alisant un essai de traction directe On int gre la courbe de contrainte d placement de la presse en soustrayant la partie de la courbe correspondant au mat riau non fissur Figure 2 24 On peut aussi obtenir Gy de facon plus pr cise avec le test de la poutre en flexion 3 points pr conis par le comit RILEM UNI EN 2005 Ce test est effectu sur une poutre de longueur 600 mm et de section 150x150 mm entaill e sur sa fibre inf rieure a mi longueur De cette fa on on impose une faiblesse et on contr le l apparition de la fissure On mesure l ouverture de fissure et la force appliqu e mi trav e et par calcul inverse on obtient Gy Il existe aussi un test sur une dalle circulaire pos e sur 3 appuis avec charge au centre Ces m thodes sont utilis es l cole Polytechnique de Montr al pour la caract risation m canique des b tons ren
152. mations nergie nulle En effet avec un seul point d int gration et de surcroit situ au centre de l l ment nous ne sommes pas en mesure de d tecter certains modes de d formations illustr s la Figure 4 3 ci dessous Ces modes appel s aussi modes parasites ou 98 modes de sablier Hourglass modes sont au nombre de 12 4 dans chaque axe principal pour l l ment C3DSR Figure 4 3 Modes de d formations nulles pour l l ment C3D8 selon l axe I d apr s Flanagan et Belytschko 1981 On peut voir que les d placements aux noeuds imposent une d formation nulle au point d int gration situ au centre du cube Ainsi l l ment se d forme mais l incr ment de d formation au point d int gration est nul donc il n y a pas de variation de contrainte Il en d coule une d formation excessive de l l ment qui n est pas du tout pris en compte dans le calcul du champ de contrainte Cela fausse alors tous les r sultats On pourrait vulgariser en disant que l utilisation de l int gration r duite dans ce cas conduit un surplus de flexibilit du maillage Il faut donc mettre en place des algorithmes de contr le pour emp cher la formation de ces modes Ces sch mas de contr le sont appel s Hourglass controls dans la litt rature ABAQUS propose plusieurs sch mas de contr le appel s Enhanced Relax Stiffness Viscous Stiffness et Combined Viscous Stiffness Nous ne pr senterons pas le d tail de ces p
153. mique atteint un minimum entre 80 et 100 de fe pour ensuite augmenter tr s rapidement Ce ph nom ne de dilatance appel inelastic dilatancy en anglais est propre au b ton Il est d l expansion rapide des microfissures de fendage dans les directions non confin es On observe alors une forte augmentation des d formations lat rales vis a vis des d formations axiales Le coefficient de Poisson augmente de maniere exponentielle Au pic de charge fe on a un mat riau tr s endommag multifissur et instable G n ralement cela se traduit par l apparition plus ou moins rapide d une macrofissure due la coalescence des microfissures On observe habituellement une perte de charge accompagn e d une augmentation des d formations ph nomene dit d adoucissement ou softening en anglais dont la compr hension et la mod lisation sont les buts de ce m moire Enfin on peut mettre une remarque quant l apparition de la macrofissure En effet pour certains la macrofissure appara t au pic de r sistance alors que pour d autres elle se produit un peu apr s le pic On pourrait penser que ceci n a pas forc ment d une grande importance mais en r alit l apparition de la macrofissure marque la fin d un comportement dit mat riau et le d but du comportement dit structural pour l chantillon Ceci s accompagne d un changement drastique quant a la philosophie a adopter pour la mod
154. mpte Les effets des techniques de chargement c est dire du coefficient de frottement entre les plaques de chargement et les sp cimens lors d un essai de compression uniaxiale n ont pas t consid r s pour deux raisons Premi rement nous pensons que cela peut tre directement pris en compte avec l effet du confinement dans les zones de confinement triaxiales aux extr mit s Deuxi mement l effet du coefficient de frottement s estompe tr s vite quand on proc de des essais de compression triaxiale Donc dans le cas de la mod lisation de colonne en b ton arm nous pouvons le n gliger L effet de fe sur la pente est pris en compte directement par la d finition de pour un m lange donn Ce parametre doit tre d termin par l utilisateur Enfin l influence de la g om trie de la section des sp cimens n a m me pas t abord e car nous manquons beaucoup trop de donn es sur lesquelles nous baser Au chapitre suivant nous proc dons un ensemble de validation des modifications apport es Ce sont des analyses volontairement tr s simples de fa on v rifier que le mod le fournit un comportement global fidele la r alit 86 CHAPITRE4 VALIDATION DU MODELE AVEC ABAQUS EXPLICIT Le mod le EPM3D a t d velopp pour tre implant dans un logiciel de calcul par l ments finis Gr ce aux progres de l informatique et a sa simplicit de programmation la m thode des l ments finis a con
155. n du niveau de confinement Nous allons devoir modifier 70 la relation entre x et R en se calibrant sur les essais de compression triaxiale de la litt rature En effet Bouzaiene 1995 avait propos une relation lin aire entre ces deux param tres juste pour tenir compte de la tendance Les r sultats de Smith et al 1989 ou de Xie et al 1995 montrent que la relation n est pas lin aire Une diminution significative de la pente post pic s observe pour des valeurs de confinement faibles Pour des valeurs de confinement proches du point de transition le coefficient de la pente ne semble plus beaucoup varier Il faudra probablement mettre en place une relation avec une fonction inverse x ou exponentielle inverse e entre x et R De plus il semblerait que le confinement ait aussi un effet sur le plateau de contrainte r siduelle Van Mier 2009 Samani et Attard 2012 nous devons donc faire varier le plateau de contrainte r siduelle en fonction du confinement Selon les diff rents essais pr sents dans la litt rature la contrainte r siduelle serait en grande partie due aux contraintes de frottement se d veloppant entre les diff rents blocs de b ton glissant les uns par rapport aux autres une fois que les macrofissures se sont propag es Le fait de confiner un chantillon vient augmenter les contraintes de frottement Il en r sulte un gain de r sistance 3 3 2 Commentaire sur la valeur par d faut du param tre Bo
156. nce de confinement En effet nos r sultats nous poussent croire que la pr sence de fibres se fera d autant plus sentir en cas de confinement notamment pour la contrainte r siduelle Ainsi l apport de ductilit par les fibres ne sera vraiment significatif qu en pr sence d un nombre minimum d triers dans le sp cimen Elles pourraient alors mieux s opposer la propagation de la macrofissure de cisaillement Par cons quent nous pensons que l quation du param tre x traduisant l effet du confinement sur la pente post pic sera quelque peu diff rente pour un BRF par rapport un b ton non fibr Nous supposons que le param tre tendra encore plus vite vers O tat de transition et ce d autant plus que le pourcentage de fibres dans le m lange sera lev De plus nous sommes conscients que la longueur des fibres utilis es dans notre programme exp rimental 35 mm n est pas forc ment appropri e pour rendre le b ton plus ductile Ces fibres longues ont besoin d une assez grande ouverture de fissure pour entrer pleinement en action Dans le cas d un BFUP avec des fibres courtes environ 10 mm on observerait un gain de ductilit bien plus significatif Il faudrait peut tre adapter la composition de ce m lange en utilisant un cocktail de fibres de deux longueurs diff rentes 152 R F RENCES ABAQUS 2011 Abaqus v6 11 Analysis User s Manual SIMULIA Dassault Syst mes Ahmad et Shah S P 1986 Orthotrop
157. ndante de la rotation des axes de contraintes principales seul un scalaire peut fournir une mesure ind pendante de l historique des d formations Ce param tre d endommagement not 4 est donc un scalaire dont la valeur est incr ment e de AA pour chaque incr ment de d formation plastique Ze Un incr ment de d formation n gatif c est dire dans le sens du d chargement n a donc aucun effet sur la valeur du param tre 57 d endommagement Ce dernier fournit donc une mesure de l irr versibilit des l sions qu a subit la matrice Il pourrait s apparenter une forme de calcul d entropie dans la th orie du d sordre Il est toujours positif et ne peut qu augmenter Il est born entre O et 1 o O signifie que le b ton est sain et encore l tat lastique et 1 signifie que l on a atteint le pic sur la courbe uniaxiale quivalente Le param tre d endommagement est not et s exprime par A f Hef ae asmes ey GH Jchemin de chargement Es EP SE fx Bi ee E 0 ou A eg est l incr ment de d formation quivalente qui vient de la courbe de d formation quivalente uniaxiale d crite au paragraphe suivant Jo est l incr ment de contrainte selon l axe consid r e et oc sont la d formation et la contrainte au pic sur la courbe de d formation quivalente Eo est le module lastique et amp est la d formation plastique max repr sente donc la d formation plastique maximale
158. ne des vitesses de chargement diff rentes en fonction de la longueur 2 um s pour les sp cimens de longueur 300 mm 4 um s pour une longueur de 600 mm et 8 um s pour une longueur de 1200 mm La norme ASTM C469 pour le calcul du module d Young stipule un taux de chargement de 250 kPa s pour des chantillons standardis s avec un ratio d lancement gal a 2 Ce taux de chargement a t divis par deux afin de tenir compte de nos sp cimens de ratio gal 4 dont l nergie lastique augmente deux fois plus vite que les sp cimens de ratio gal 2 et afin de contr ler plus facilement l approche du pic En arrivant proche du pic aux alentours de 70 MPa la vitesse de chargement tait r duite de moiti 5 7 R sultats 5 7 1 D signation et sp cimens rejet s Dans cette section nous allons pr senter les r sultats des essais de compression Pour rep rer les 36 essais nous avons tabli un code dont voici l explication Ex CARV A300 L0600 2 D signe le type de section D signe la place dans la s rie des ainsi que le sens de coul e trois essais du m me type D signe la dimension D signe la longueur en transversale en millim tres millim tres Figure 5 5 D signation des sp cimens Si on prend cet exemple c est donc un sp cimen de section carr e coul verticalement de c t a 300 mm et de longueur L 600 mm C est le deuxi me de la s rie de trois sp cimens de 130 ce m me type
159. ness 5 2 p 1 0 do xs d h TA hid 0 5 hid 1 0 hid 2 0 Dimensionless Stress o o Dimensionless Stress oio e m h 50mm ODF C 0 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 Strain 10 7 Postpeak Displacement mm b a Figure 2 10 Preuve de la localisation de la rupture en compression a courbes contrainte d formation b courbes contrainte d placement post pic d apr s Van Mier 1986 20 Sur la Figure 2 10b on voit que les trois courbes correspondant aux trois sp cimens d lancement diff rents sont quasiment confondues Les sp cimens subissent le m me d placement en mm avec la m me baisse relative de charge C est pourquoi quand on repasse en d formation moyenne en divisant le d placement par la hauteur de chaque sp cimen les courbes sont d cal es Figure 2 10a Notons que cette s rie d essais a t r alis e l aide d un syst me de chargement de plaques pinceaux brush platen Nous verrons au paragraphe suivant que cela a son importance Notons aussi que des discussions sont toujours en cours en ce qui concerne la localisation des d formations Certains chercheurs comme Hulburt 1985 et Vonk 1992 ne sont pas tout a fait d accord avec les r sultats de Van Mier 1986 ou Jansen et Shah 1997 et jugent que la localisation n est pas aussi parfaite Elle se situerait plut t dans une bande de mat riau d une certaine paisseur Markeset et Hillerborg 1995 consid
160. nette am lioration de la superposition des courbes lorsque l on passe en d placement post pic Or comme on peut le voir ici ce n est pas tout fait le cas L introduction des fibres semble modifier quelque peu les pr ceptes tablis pour les b tons conventionnels Comme nous l avons vu au Tableau 5 2 la quasi totalit des sp cimens avec une phase adoucissante ont pr sent plusieurs macrofissures Cela peut donc expliquer pourquoi nous n observons pas une tr s bonne superposition On se retrouve plus dans le cas du modele de Markeset et Hillerborg 1995 o il faut attribuer une certaine quantit de d formation la macrofissuration localis e et une autre quantit une fissuration diffuse s effectuant sur une bande de mat riau Contrainte normalis e sans dimension Contrainte normalis e sans dimension i O OUS 0 01 015 QU D formation past pic D placement post pic mm Figure 5 22 Comparaison de la superposition des courbes quand on utilise le d placement post pic ou la d formation post pic en ordonn e Cependant nous d sirons tout de m me tirer de notre programme exp rimental les valeurs et y d finit au chapitre 3 dont nous nous servirons pour la mod lisation d l ments structuraux labor s avec notre m lange C est pourquoi nous proc dons une derni re modification des 144 courbes post pic en prenant en compte la composante due au d chargement lastique comme expliqu
161. nt avoir une influence sur la courbe post pic Ils peuvent tre class s en plusieurs cat gories param tres li s au mod le constitutif EPM3D fc 0 Yu choix del enveloppe de rupture param tres li s l int gration num rique explicite des quations quasi statiques Atstabie temps d application et forme d application du d placement de la presse amplitude lisse parametres li s au choix des l ments taille du maillage du type d l ments et du nombre de noeuds par l ments int gration num rique exacte ou r duite nombre de points de Gauss type de sch ma d Hourglass control dans le cas d une int gration r duite 117 param tres li s au ph nom ne physique que l on cherche mod liser disposition des armatures de confinement en spirales ou avec des cadres paisseur d enrobage et dimension du c ur de b ton effectivement confin pourcentage d armature de confinement espacement vertical des couches d triers section des triers aire de l armature longitudinale Ces param tres sont donc tr s nombreux et leur interaction rend le probl me tr s complexe On peut vite se perdre surtout lorsque l on veut faire des tudes de sensibilit par rapport tel ou tel param tre Il convient d adopter une d marche pour s assurer d avoir le r sultat le plus pr cis possible Nous en proposons une au paragraphe suivant accompagn e de quelques conseils Ceci
162. ntalement avec a 300 mm 8000 8000 7000 1009 a CARV_A300 L600 1 CARV_A300_L1200 1 6000 6000 CARV_A300 L600 2 CARV_A300_L1200 2 5000 wee CARV_A300 L600 3 5000 CARV_A300_L1200 3 5 z f f w 4000 w 4000 2 2 o6 o uu a 3000 3000 2000 2000 V 1000 1000 0 0 0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 12 D placement du plateau de la presse mm D placement du plateau de la presse mm L 600 mm L 1200 mm Figure 5 7 Courbes force d placement de la presse des sp cimens de section carr e coul s verticalement avec a 300 mm Bo00 8000 7000 7000 6000 CWL D300 L600 2 6000 CYL D300 L1200 1 CYL D300 L1200 2 S000 CiL_0300_ 1600 3 J gt 4000 T 2 9 e 2 3000 2000 t n 5000 CYL D300 L1200 3 J KLK 4000 3000 y 2000 1000 0 0 2 4 6 8 10 12 D placement du plateau de la presse mm D placement du plateau de la presse mm L 600 mm L 1200 mm Figure 5 8 Courbes force d placement de la presse des sp cimens de section circulaire coul s verticalement avec d 300 mm 132 2000 2000 1800 1800 1600 CARH A150 1300 3 1600 1400 CARH A150 L300 2 1400 CARH A150 1600 3 1200 CARH A150 1300 1 1200 CARH A150 L600 2 x x v 1000 y 1000 CARH_A150_L600 1 5 S Ae uU C 800 800 600 600 H 400 Lf 400 200 200 H 0 0 4 5 0 1 2 3 d 5 0 1 2 3 D placement du plateau de la presse mm D
163. nte d formation axiale s carte de la droite en pointill s pour gt 0 3 Ce comportement est d C l apparition de microfissures r parties sur l ensemble du volume du mat riau dont nous verrons les causes au paragraphe suivant Le mat riau est toujours consid r isotrope c f G f Bifurcation rapide des microfissures dans la matrice volume minimal atteint par le b ton Propagation des microfissures autour des agr gats Microfissuration due au retrait D formation lat rale D formation axiale D formation volumique a b Figure 2 1 Courbe contrainte d formation du b ton en compression uniaxiale a contrainte normalis e vs d formation axiale et lat rale b contrainte normalis e vs d formation volumique d apr s Bouzaiene 1995 Au del de 80 de la charge maximale le mat riau devient anisotrope ses propri t s m caniques seront diff rentes selon l axe consid r Les microfissures de fendage se propagent rapidement et de facon pr f rentielle c est dire parallelement la direction de la contrainte maximale de compression On repr sente souvent le b ton comme un mat riau orthotrope cause de cette orientation pr f rentielle L orthotropie est un cas particulier d anisotropie ou un mat riau pr sente des propri t s diff rentes suivant deux composantes perpendiculaires ex le bois On peut voir sur la Figure 2 1b que la d formation volu
164. nts treillis On ne tient pas compte d une ventuelle perte de r sistance par flambement des armatures longitudinales De m me on ne tient pas compte de l effet goujon des armatures transversales sur le coeur de b ton ABAQUS a aussi t choisi pour sa facilit mod liser les armatures avec la fonction contrainte Embedded region Cette fonction permet de diffuser les l ments d acier dans le b ton c est dire qu il n est pas n cessaire d y avoir une coincidence entre les n uds des l ments d acier et de b ton Les DDL aux n uds des l ments d acier sont directement li s aux DDL de l l ment de b ton par interpolation Ainsi on peut mod liser les armatures part et les positionner ensuite au sein du volume de b ton Il est conseill de donner une longueur caract ristique aux l ments d acier gale ou inf rieure la longueur caract ristique des l ments de b ton de facon ce que chaque l ment de b ton travers par un l ment d acier comporte au moins un nceud de cet l ment En d autres termes la discr tisation des armatures doit toujours tre plus fine que celle de la masse de b ton Ap ton gt hacier Enfin nous tenons pr ciser qu en utilisant cette fonction nous supposons implicitement une adh rence parfaite entre l armature et le b ton 4 4 Validation du modele Toutes les analyses de validation que nous avons effectu es sont r alis es avec le crit re de rupture de Hsieh et a
165. nu un essor consid rable depuis sa cr ation et surtout dans les 20 derni res ann es Cette m thode consiste a discr tiser un volume de fa on r soudre de mani re approch e un probl me aux valeurs limites Beaucoup de logiciels utilisant cette m thode ont vu le jour et notre choix s est port sur le logiciel ABAQUS et son module de r solution ABAQUS Explicit La premi re partie de ce chapitre explique les diff rents aspects th oriques abord s li s notamment la m thode des l ments finis Nous expliquons notamment le principe de la r solution explicite ainsi que l int gration de Gauss r duite que nous utilisons Cette partie a t r dig e en consultant les livres de Paultre 2005 Ibrahimbegovic 2006 et Craveur et Jetteur 2010 ainsi que le manuel d utilisateur d ABAQUS version 6 11 Hibbitt et al 2011 La deuxi me partie consiste en une s rie de validations du mod le notamment pour v rifier la prise en compte de la localisation des d formations du confinement actif et du confinement passif en pr sence d triers chaque fois une tude de la sensibilit vis vis du maillage est effectu e La derni re partie est un ensemble de conseils suivre pour la mod lisation du comportement post pic de colonnes en b ton arm avec ABAQUS Explicit et EPM3D en tenant compte de tous les param tres qui peuvent entrer en compte Nous tenons aussi pr ciser que ce chapitre reprend tr s largement les consid
166. od le au BRF vi ABSTRACT Since 1990 constitutive concrete model EPM3D Multiaxial Progressive Damage in 3 Dimensions has been developed at Polytechnique Montreal Bouzaiene and Massicotte 1995 choose the hypoelastic approach with the concept of equivalent deformation and the implementation of a scalar damage parameter to represent the microcracking of concrete in pre peak compression The post peak softening behaviour in tension and in compression is based on the concept of conservation of the fracture energy In the finite elements context 1t requires defining a localisation limiter acting on the softening modulus depending on the element size The formulation of EPM3D model in the case of the post peak compression required revisions Mesh dependence problems and the absence of the consideration of the confinement effect were the most important points to improve with as main goal the modelling of the fracture of the reinforced concrete columns With a complete literature review we try to establish an exhaustive list of the numerous parameters having an influence on the softening behavior under uniaxial and multiaxial loads In the second part of this review we exhibit the difficulties of modelling a softening material with finite elements theory and the principle of the set up localization limiter Inspired by models we met in literature modifications of the previously established relation are proposed by focusing on a more adequat
167. oefficients de Poisson diff rents pour chaque plan principal Bouzaiene a donc mis en place une formulation pour les 6 coefficients vi f 62 di 3 6 O vij vo ACL vo lt 0 So C Vij Vo sinon OU o est la contrainte majeure de compression et o est l une des contraintes de confinement vo est le coefficient de Poisson usuel du b ton souvent pris gal 0 2 Bouzaiene fait intervenir le param tre d endommagement dans l expression des coefficients de Poisson Quand on s approche de la rupture en compression et que la contrainte de confinement devient n gligeable devant la contrainte majeure de compression vj tend vers 4 c est dire vers 1 C est gr ce la d finition non sym trique de ces coefficients que l on rend la matrice constitutive non sym trique l approche du pic et donc que l on prend en compte la transformation du b ton en un mat riau orthotrope Le param tre donne juste une information de l avanc e de la microfissuration au sein du mat riau de mani re globale On peut voir aussi qu avec cette d finition si on reste en chargement lastique alors 0 et donc vj vo La matrice constitutive reste alors sym trique L une des autres capacit s du mod le est la prise en compte du raidissement en traction Les travaux de Nour et al 2005 ont notamment apport des am liorations sur ce point Ce ph nom ne bien connu est observ lors de la mise en traction d un
168. oit faire des choix quant la philosophie adopter pour r pondre au mieux ses propres besoins En suivant les diff rentes classifications donn es au paragraphe 2 3 nous pouvons d finir le mod le EPM3D Endommagement Progressif Multiaxial Tridimensionnel comme un modele constitutif de b ton l chelle macroscopique suivant la th orie hypo lastique pour le comportement pr pic Pour la phase post pic la th orie de la fissuration diffuse smeared crack theory est adopt e et le limiteur de localisation choisi est bas sur la conservation de l nergie de rupture aussi bien en traction qu en compression Toutes les informations donn es ici peuvent tre retrouv es dans le rapport interne le plus r cent Massicotte et al 2012 La principale fonction de ce modele est la mod lisation de structures en b ton arm par les l ments finis Il n est donc pas question ici de parler de l interaction des granulats ou des effets de linfiltration de l eau dans la matrice Le comportement que nous cherchons est un comportement global Traiter la fissuration de mani re diffuse est obligatoire quand on mod lise l chelle de la structure en l ments finis taille caract ristique des l ments environ entre 107 et m En effet la th orie de la fissuration discr te n cessite un maillage tr s fin autour de la fissure si on veut obtenir des r sultats appr ciables taille caract ristique entre 10 et 10 m ce qui est inconcev
169. olumns confined by rectangular ties Journal of Structural Engineering vol 120 n 3 783 804 Cusson D et Paultre P 1995 Stress strain model for confined high strength concrete Journal of Structural Engineering vol 121 n 3 468 477 Dahlblom O et Ottosen N 1990 Smeared crack analysis using generalized fictitious crack model Journal of Engineering Mechanics ASCE vol 116 55 76 Darwin D et Pecknold D 1977 Nonlinear biaxial stress strain law for concrete Journal of Engineering Mechanics ASCE vol 103 229 241 De Borst R 1987 Computation of post bifurcation and post failure behaviour of strain softening solids Computer amp Structures vol 25 n 2 211 224 De Broucker W 2013 tude du comportement en flexion et l effort tranchant de poutres pr contraintes en BRF M Sc A Ecole Polytechnique de Montr al de Larrard F et Rossi P 1988 Le flambement a deux chelles dans la rupture du b ton en compression Bulletin de Liaison des Laboratoires des Ponts et Chauss es n 154 de Montaignac R 2011 Analyse du comportement d l ments fl chis en b ton renforc de fibres m talliques du mat riau la structure Ph D Ecole Polytechnique de Montr al 155 Dugdale D S 1960 Yielding of steel sheets containing slits Journal of the Mechanics and Physics of Solids vol 8 100 108 Dupray F Malecot Y Daudeville L et Buzaud
170. on lin aire 35 2 4 2 Mise en vidence du probleme d unicit de la solution lors de la localisation des deloma OS oe tec ee sh aa ee NAN SL MN ee i Ge ee 35 2 43 Idamiteurs de IOCAltSatlOfto eoe diri ddan eee died sde ae 38 2 5 Limiteur de localisation bas sur la r gularisation du module tangent d adoucissement th orie de la fissuration diffuse avec conservation de l nergie de rupture 40 ZO ase Ia acho oisi ER Ree tbt iub Coo Flo bui er cn alate 40 2 9 2 X us de Ia COITIDEGSSIOTE ES a ii hee Ue dcs debemus teta opis euis ie LU pete tU AES 45 CHAPITRE3 PR SENTATION ET MODIFICATIONS DU MODELE CONSTITUTIF EDS estin ode ossa eM LUE 53 3 1 Presentation a E PMOT ae E emn uarie A E a EE 53 EE O HOME E E NE E 53 3 1 2 Diff rentes approches pour la mod lisation de la phase pr pic 54 3 1 3 D finition d un mod le hypo lastique eese 55 3 1 4 Principe de variable d endommagement e a R 56 3 1 5 Concept de la d formation uniaxiale quivalente us 57 LLG Cuter Oe TUDLUTO Csi a a 58 o4 Aures capice sdi modeles arn nen a a dites taunt 6l 1X 3 2 Mod lisation du comportement post pic en compression avant modifications 62 32 1 Deliminon Gu parainciiic 0 seein ere D Motu ae dae ee ae 63 3 2 2 Equation de la pente d adoucissement de Bouzaiene 1995 65 3 2 3 Modifications apport es par Ben Ftima ou cececccccccec
171. optent un param tre r glable de fa on ce que l aire sous la courbe soit toujours gale G h Ils sont donc utilisables dans une mod lisation par l ments finis Cependant l aire sous la courbe prise en compte est un peu diff rente En effet on ne prend que l aire comprise entre oo et Or siduelle Figure 2 28 On peut voir ceci comme la v ritable nergie dissip e par la propagation de la fissure en bande de cisaillement puisqu une fois la fissure compl tement propag e il ne reste que des contraintes de frottement responsable de la pr sence de la contrainte r siduelle De plus on vient ajouter l aire correspondante au d chargement lastique La forme suppos e pour le d chargement varie d un modele l autre Elle peut tout aussi bien tre lin aire mais avec un module de d chargement sp cifique ou bien tre non lin aire C est une des questions encore en suspens dans la litt rature Cependant pour que le modele soit coh rent il faut absolument que les l ments se trouvant hors de la zone de localisation se d chargent bien de la m me facon que celle suppos e dans le calcul de l aire hachur e Nous verrons au chapitre 3 que notre modele souffrait d une telle incoh rence 2 5 2 3 1 Mod le de Binici 2005 l instar de Cusson et Paultre 1995 ou Cusson et al 1996 Binici 2005 propose une fonction exponentielle pour d crire la partie adoucissante de la courbe o e L quation de la courbe d adouciss
172. orsque l on cherche retrouver les r sultats d un essai sur une colonne r elle une attention particuli re doit tre port e sur la localisation des points de 118 mesure pour les d formations et la longueur de jauge afin de superposer les courbes du modele avec les donn es exp rimentales Fixer dans un premier temps la taille du maillage du b ton gale l espacement vertical des triers Ab ton S Fixer la taille du maillage de l acier entre 0 3 et 0 4 fois la taille du maillage du b ton hacier 0 3 ou O dhp on La longueur caract ristique des l ments treillis pour les armatures doit toujours tre plus petite que celle du b ton De cette fa on chaque l ment de b ton travers par un l ment treillis d acier comporte au moins un n ud de cet l ment La fonction Embedded sera alors plus efficace Nous conseillons de fixer les valeurs et y l aide de la courbe de compression uniaxiale si elle est disponible Sinon a d faut d avoir d autres informations nous conseillons de garder les valeurs par d faut 6 0 714 mm et y 0 15 pour un b ton normal de 45 MPa Van Mier 1986 Pour un b ton de 35 MPa 0 0 726 mm Smith et al 1989 Pour un b ton de 92 MPa 0 623 mm Xie et al 1995 Ces valeurs sont importantes pour des poteaux faiblement arm s mais deviennent beaucoup moins importantes en cas de grand confinement a cause de la formulation du param tre x et du param tre y Nous
173. osition de b ton Sans le vouloir r ellement c tait une mani re d guis e de d finir une nergie de rupture en compression uniaxiale Gfeu 0 Oppmax 0 714 mm 0 02 04 0 6 08 i pp Figure 3 7 Courbes contrainte normalis e vs d placement post pic avec d duction de la composante lastique d apr s Bouzaiene 1995 Pour le m lange de b ton de Van Mier 1986 on trouve donc dppmax 0 71 4mm pour un b ton normal d environ 45 MPa C est cette valeur qui est utilis e par d faut actuellement dans EPM3D 7 2 2 quation de la pente d adoucissement de Bouzaiene 1995 Au d part Bouzaiene a fait le choix d une mod lisation tr s simple en repr sentant la phase post pic par une simple fonction lin aire sans plateau de contrainte r siduelle Il a d fini une droite passant par le pic et dont la pente E est simplement le produit de h la taille caract ristique du maillage et d Ej la pente du diagramme contrainte d placement Ey Eiph 3 9 Avec Eg k 14fzx pour 0 714mm 3 10 ou est l ouverture de fissure maximale en compression d finie au paragraphe pr c dent x est un coefficient introduit par Bouzaiene afin de prendre en compte l effet du confinement sur la pente 66 d adoucissement En fait x relie directement la pente d adoucissement R ratio introduit par Bouzaiene qui traduit l tat de contrainte dans lequel se trouve l l men
174. oung et A est l aire Ces deux valeurs sont communes aux deux sp cimens L est la longueur S il n y a que la longueur qui diff re entre les zu k deux sp cimens avec L2 2L alors k2 A et 02 20 donc Ea 2 2Ea4 1 La rupture devient alors beaucoup plus fragile et l action des fibres est r duite z ro car elles n ont pas le temps de se mettre l uvre La courbe contrainte d formation est alors semblable celle du verre ou de la c ramique c est dire que la courbe s arr te nette au pic de contrainte Ces r sultats sont assez d cevants puisque nous n avons pas la possibilit de juger du post pic pour la plupart des sp cimens longs Ceci montre aussi que l obtention du comportement post pic pour des sp cimens lanc s ne doit pas tre effectu e de la m me mani re que pour les sp cimens plus courts malgr la pr sence de fibres Nous sommes conscients que ceci aurait pu tre vit en changeant nos conditions de chargement Par exemple on aurait pu diminuer encore d avantage la vitesse de chargement l approche du pic Ou encore on aurait pu mettre en place un contr le sur une combinaison du d placement et de la force comme propos par Jansen et Shah 1997 l avenir cela nous permettrait ventuellement d observer la pr sence de snap back ce qui tait impossible avec les param tres de chargement que nous avions choisis Cependant nous tenions tout prix garder les m me
175. pass au second plan 149 De m me dans un futur proche on pourrait adopter compl tement le mod le de compression post pic propos par Samani et Attard 2012 Ce mod le comprend l influence de tous les param tres que nous avons pu pr senter au chapitre 2 et notamment prend en consid ration la pr sence des fissures de fendage Ce sera alors nous de le rendre compl tement exploitable dans une analyse par l ments finis avec un nouveau limiteur de localisation De plus notre d finition de la courbe post pic l aide d une fonction lin aire et d un plateau constant de contrainte r siduelle est pratique car elle simplifie grandement les quations et a le m rite d tre tr s facilement compr hensible mais elle reste cependant tr s primaire et loin de la forme r elle de la courbe Ainsi avec l adoption d une fonction puissance Samani et Attard 2012 ou une fonction exponentielle Binici 2005 on aurait une forme de courbe plus esth tique et plus fid le la r alit De plus on a vu que la d finition du param tre correspondant la d finition de l nergie de compression uniaxiale tait sujet d bat On pourrait alors constituer une base de donn es des diff rents essais de compression uniaxiale de la litt rature afin de mettre au point une relation tenant compte non seulement du mat riau quantit s des composants du m lange r sistance en compression diam tre du plus gros granulat etc
176. ple en faisant un parall le entre adoucissement en traction et en compression uniaxiale Le mod le de Markeset et Hillerborg 1995 ne prend pas en compte les effets du confinement lat ral Il se base sur l hypoth se d une zone de fracture en compression de longueur limit e La Cette longueur est plus grande que celle donn e par Bazant 1989 Ils prennent en compte la localisation des d formations ainsi que les effets d chelle mais aussi la fissuration par fendage Le post pic en compression est d crit au moyen de trois courbes Figure 2 27 La premiere courbe d finit le d chargement lastique Cette courbe est valide sur la longueur totale du sp cimen L La deuxi me d crit la fissuration par fendage distribu e sur la longueur La tandis que la troisi me est li e la localisation des d formations par fissuration en bande de cisaillement D apres Van Mier 2013 c est le mod le en compression uniaxiale le plus abouti ce jour car c est le seul consid rer les fissures de fendage sur une certaine longueur La Cependant ce mod le est qualitatif et aucune quation n est calibr e sur des essais exp rimentaux Il apporte juste des l ments de r ponse quant la prise en compte des diff rents ph nom nes observ s La d formation d adoucissement moyenne se d compose donc en trois parties comme ceci da W 2 11 Em E l Ru T O Em est la d formation moyenne sur toute la hauteur L du sp cimen e es
177. pour accomplir ce travail et am liorer mes connaissances Je tiens aussi a le remercier chaleureusement pour son soutien financier tout au long de ce projet qui m a permis de vivre pleinement cette exp rience l abri des soucis et du stress Ces deux ann es et demie ont t marqu es par la naissance de mon fils Liam en juin 2013 Cela aurait t s rement beaucoup plus difficile sans la patience et la compr hension de M Massicotte Pour toutes ces raisons je suis heureux d avoir crois son chemin et J esp re que nous resterons en contact dans les ann es futures Mes remerciements vont aussi mon codirecteur Mahdi Ben Ftima et David Conciatori qui ont toujours t disponibles Ils m ont prodigu de pr cieux conseils pour la r alisation de mes analyses avec le logiciel Abaqus et ont facilit grandement ma compr hension du mod le EPM3D Cela m a vit plus d une fois de longues prises de t te Je tiens aussi remercier tous les membres du laboratoire du Groupe de Recherche en G nie des Structures de l cole Polytechnique de Montr al Jai une pens e particuli re pour C dric Androu t qui a labor le m lange de b ton utilis dans mon programme exp rimental et m a accompagn pendant toute la phase de fabrication des sp cimens Les voyages l usine BPDL ont laiss part de grandes discussions philosophiques et me laisseront un agr able souvenir Merci aussi particuli rement Ga l Asor
178. pour ces sp cimens une simple diminution de la vitesse de chargement aurait pu tre b n fique de fa on laisser le temps au front de fissure d avancer et de dissiper toute l nergie lastique emmagasin e Ainsi on aurait pu obtenir une plus grande partie de la courbe post pic Enfin ces courbes issues de la presse ne sont la que pour confirmer les modes de ruptures que nous allons pr senter au paragraphe suivant Elles ne peuvent pas tre prises pour tracer la courbe contrainte d formation intrins que du mat riau puisque le capteur de d placement de la presse mesure plus que la d formation du sp cimen Il englobe aussi une partie de la d formation lastique des l ments de la presse notamment la cellule de charge qui peut s apparenter un ressort tr s rigide Ceci apporte une souplesse suppl mentaire au syst me presse chantillon qui est difficile estimer et qui vient quelque peu fausser les mesures de d formation du mat riau Pour un trac pr cis des courbes contrainte d formation nous avons utilis la moyenne des jauges de d formation longitudinale Nord et Sud pour la phase pr pic Ensuite pour les sp cimens qui ont pr sent une phase post pic nous avons utilis les mesures fournies par certains capteurs LP bien choisis Nous expliquerons ce choix au paragraphe 5 7 4 5 7 3 Types de rupture observ s Nous pr sentons ici un tableau r capitulatif qui classe les sp cimens en fonction du type de ruptu
179. pression propos e pour le param tre x Nous pr senterons plus loin des courbes exhibant le point de transition fragile ductile dans le cas du confinement passif Nous avons fait toutes nos analyses avec un param tre de maillage gal la moiti de la hauteur 54 mm pour Smith et al et 55 mm pour Xie et al De cette fa on nous n avions que deux l ments et les analyses taient tr s rapides Nous pr sentons plus loin des courbes pour mettre en vidence la sensibilit de nos analyses vis vis du maillage en pr sence de confinement Sur les figures Figure 4 11 Figure 4 12 et Figure 4 13 les courbes exp rimentales sont en trait plein et les courbes du mod le sont en pointill s Chaque paire de courbe de la m me couleur correspond un niveau de confinement donn en MPa dans la l gende 120 4 ConfO ConfO0 7 100 Conf3 5 Conf6 9 Conf13 8 80 Experimental EPM3D a co a 60 Contrainte MPa 40 ee meee eee eee ee we 20 0 0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 D formation Figure 4 11 Smith et al 1989 b ton de 35 MPa 220 200 180 160 140 120 100 Contrainte MPa 80 60 40 20 320 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 Contrainte MPa 108 Conf 0 Conf 2 3 Conf 5 3 Conf 8 3 Conf 11 3 Conf 14 3 Conf 20 3 Conf 23
180. propagation verticale des fissures de fendage 2 2 2 3 crasement de la matrice Le cas limite de l crasement de la matrice a t mis en vidence entre autres par Bouzaiene 1995 en appliquant un confinement lat ral suffisant pour emp cher l expansion des microfissures de fendage et l apparition d une macrofissure Cela se traduit par une augmentation consid rable de la r sistance De plus le b ton est capable de subir de grandes d formations devenant m me crouissant Le b ton va subir un crasement dans les zones les plus faibles de la matrice c est dire dans les ITZ paragraphe 2 1 2 zones poreuses d interface p te granulat Ce ph nom ne a t d crit au paragraphe 2 1 2 et illustr la Figure 2 2g Ici il faut remarquer que nous parlons d crasement plut t que de rupture car le sp cimen garde son int grit tant que le confinement est suffisant Dans le cas extr me d un chargement hydrostatique o o2 o3 tr s haute valeur de contrainte il peut m me se produire une transformation de phase Van Mier 2013 Sur la Figure 2 7 on peut voir gauche les r sultats du mod le m soscopique de Dupray et al 2009 d une prouvette sous une contrainte de confinement de 200 MPa ainsi qu droite une photo de l chantillon en question Le b ton utilis a une r sistance uniaxiale de 60 MPa L chantillon est amen par chargement hydrostatique jusqu 200 MPa ensuite la pression lat rale est m
181. r sentent le cas id al d application de la m thode et sont particuli rement adapt es une analyse quasi statique o les forces d inertie et d amortissement sont quasi nulles ABAQUS Explicit travaille toujours avec des matrices de masse diagonales cependant l amortissement peut tre non nul Pour une pr sentation plus g n rale de la m thode nous renvoyons le lecteur au paragraphe 6 2 de l ouvrage de Belytschko et al 2000 ou encore au chapitre 23 du livre de Paultre 2005 La m thode des diff rences centr es s appelle ainsi car on vient approcher le vecteur des vitesses et des acc l rations nodales par une diff rence de d placements centr e sur le pas de calcul n Le vecteur des vitesses nodales peut s crire Un y Uu LL 4 4 tin m De m me le vecteur des acc l rations nodales peut s crire Uni Vna i d n434 n 4 4 5 At En d calant l indice de l quation du vecteur des vitesses de 2 et de et en reportant dans l quation du vecteur d acc l rations nodales on obtient Un 1 ips 2 Un uni e 4 6 iin L quation du mouvement que nous consid rons est 92 Ma n Knl un 20079 4 7 En reportant la nouvelle quation du vecteur des acc l rations on obtient une relation directe pour calculer le vecteur des d placements au pas n uniquement en fonction de valeurs d j connues au pas n et n 1 ung AE Ma Fextn
182. r de 300 mm h d 1 Le d placement appliqu est de 10 mm et plus et il est effectu avec T 1 s et plus afin de respecter les crit res sur les ratios d nergie Sur la Figure 4 18 on trace les courbes force d placement des diff rentes configurations La force est toujours obtenue en faisant la somme des forces aux noeuds de la surface SOL Pour avoir la force correspondant au poteau complet il faut multiplier les r sultats par 4 114 2500000 _ r oe mob of v s of 2000000 4 y l 4 T mer or PUE ge eeemeaeememeememmenememee AT E LR 7 at a P e x P m 5 lf gg r P x 1500000 2 A a oo z ul D Pill Pr ain L Q q 4 o aS m o 44 FE t 7 el o d 2 a u le 7 wee PC EE T 1000000 if T gt i T m y 500000 lt 50 A300 75 A300 0 I f 0 2 4 6 8 10 12 14 D placement mm Figure 4 18 Courbes force d placement avec confinement passif en bleu les sp cimens avec une section d trier de 100 mn en rouge 200 mm et en vert 300 mm L effet du confinement passif est donc bien pris en compte Quand le pourcentage d armature transversale augmente on observe bien une diminution de la pente post pic et une augmentation de la contrainte r siduelle De plus on peut voir que pour le sp cimen avec s 30 mm et A 300 mn on atteint quasiment le point de t
183. rainte est effectu par une fonction diff rente Ce genre de fonction est g n ralement difficile mettre en ceuvre et n cessite souvent beaucoup de param tres d entr es Il est aussi tr s difficile par l interm diaire de cette th orie de d finir une variable interne d crivant le comportement du b ton Ici la formulation est dite totale car on vient d finir la loi contrainte d formation pour tout tat de d formation On parle de relation injective entre le tenseur des d formations et le tenseur des contraintes L aspect fondamental de l approche hypo lastique r side alors dans la formulation incr mentale de la loi constitutive En effet dans notre cas on d finit une relation lin aire entre l incr ment de contrainte et l incr ment de d formation 56 adj Cina osa Ers A dex 3 3 ou Ci est appel le tenseur constitutif tangent ou par vulgarisation module tangent Il est recalcul a chaque incr ment et d pend de l historique des contraintes et d formations Opg Ers et d un param tre d endommagement que nous d finissons au paragraphe suivant Un mod le hypo lastique sera alors d autant plus efficace si la d finition de son param tre d endommagement est fid le la r alit Le passage d un mod le hypo lastique a une dimension un mod le deux dimensions est assur par le principe de la d formation quivalente de Darwin et Pecknold 1977 puis par g n ralisation a trois dim
184. ransition de rupture fragile ductile Dans le modele une fois arriv au pic les coefficients de Poisson sont fix s a z ro c est a dire que le sp cimen ne subit plus de d formation transversale suppl mentaire dans la phase post pic M me si cela ne repr sente pas bien la r alit cela nous permet d avoir une contrainte de confinement fixe en post pic On se ram ne finalement au cas th orique du confinement actif Pour chaque analyse on a d proc der une tude de sensibilit par rapport la taille du maillage de b ton et au temps d application de la charge Par exemple pour le sp cimen avec des triers espac s de 50 mm et de section 100 mm nous pr sentons sur la Figure 4 19 l effet du temps d application de la charge On a fait varier T de 0 1 2 secondes Au del d une seconde les r sultats convergent Les courbes T 1 sec et T 2 sec sont confondues 115 1200000 1000000 800000 600000 4 Force N 50 A100 t0 1 400000 50 A100 t0 5 50 A100 t1 200000 7 5s50 A100 t2 D placement mm Figure 4 19 Influence du temps d application de la charge Pour le sp cimen avec des triers espac s de 30 mm et de section 100 mm nous montrons sur la Figure 4 20 que la taille du maillage a un l ger effet sur le calcul de la contrainte et de la d formation au pic et donc sur la phase post pic Le temps d application de la charge est fix
185. re observ Tableau 5 2 Nous d finissons trois grands types de rupture a savoir fragile pseudo fragile et ductile Ils sont d finis respectivement par l absence totale la pr sence partielle et la pr sence compl te d une courbe post pic La diff rence entre une rupture fragile et une rupture pseudo fragile peut aussi tre d finie par la pr sence de signes pr disant la rupture En effet pour les ruptures fragiles aucun signe avant coureur de la rupture n a pu tre observ Elle se produit 136 tres brutalement sans apparition de microfissures au pr alable Pour les ruptures pseudo fragiles on a pu observer ou entendre l apparition de fissures Le pic est d pass et la rupture survient apr s l obtention de quelques points post pic Une rupture ductile est caract ris e par la pr sence d une contrainte r siduelle apr s de grandes d formations Nous classons aussi les sp cimens en fonction de la fissuration observ e En effet pour les ruptures fragiles par exemple nous avons observ en r gle g n rale des ruptures tr s nettes en bande de cisaillement Cependant pour les sp cimens CARH_D150_L300 1 et 2 des ruptures plus proches du fendage avec plusieurs fissures quasiment verticales ont pu tre observ es Pour les deux autres modes de rupture pseudo fragile et ductile nous s parons les sp cimens en fonction de la localisation plus ou moins pr cise de la fissuration Certains sp cimens ont pr sent une
186. rent qu une partie de l adoucissement peut tre d finie par une courbe contrainte d placement pour le mode de rupture en cisaillement et une autre par une courbe contrainte d formation pour repr senter les fissures de fendages r parties sur un certain volume Ce mod le est pr sent plus en d tails au paragraphe 2 5 2 2 Cela implique que la localisation est l g rement d grad e d pendamment de l importance de la fissuration par fendage par rapport la fissuration de cisaillement Dans le mod le EPM3D nous rejoignons l hypoth se de Van Mier 1986 et supposons une localisation parfaite de la rupture 2 2 5 2 2 D finition d une nergie de rupture en compression Suite aux travaux de Van Mier 1986 beaucoup de chercheurs comme Rokugo et Koyanagi 1992 ont consid r que l nergie de rupture ou de fissuration en compression constituait une propri t intrins que du mat riau Autrement dit au m me titre que pour l nergie de rupture en traction souvent not e Gy dans la litt rature on peut d finir l nergie de rupture en compression Gy en int grant la courbe 5 0 Figure 2 10b d un essai de compression uniaxiale Mais l encore il existe diff rentes d finitions de Gf Pour Jansen et Shah 1997 l nergie de rupture doit tre int gr e partir de la courbe o oc Oin lastique Le d placement in lastique Oin lastique COorrespond au d placement post pic dpp avec prise en compte du
187. ression correspond l tude d un mat riau tr s endommag et instable ce qui rend le probl me complexe Le comportement post pic en compression est souvent caract ris par une pente plus ou moins inclin e traduisant le ph nom ne dit d adoucissement Il est admis g n ralement que les d formations apr s le pic de r sistance se localisent dans une zone en bande de cisaillement mais cela reste sujet controverse Dans ce paragraphe nous allons donc dans un premier temps d finir les diff rents types de rupture possibles pour le b ton partir des sollicitations qu il subit Nous essaierons de d finir le comportement post pic en compression uniaxiale d prouvettes de b ton en mettant en lumi re les principaux facteurs d influence la r sistance les conditions limites l effet de la longueur et la forme des sp cimens Puis nous nous int resserons l influence du confinement lat ral dans les cas de chargement biaxiaux ou triaxiaux 2 2 1 Propagation des fissures en compression La rupture en compression du b ton est beaucoup plus complexe que la rupture en traction En effet la fissuration en compression est une combinaison des modes I et II d finis par la m canique de la rupture classique Griffith 1921 Figure 2 4 Le mode I est pr sent dans les microfissures de fendages r parties sur tout le volume C est aussi le mode qui gouverne la propagation des ailes de la fissure d Horii et Nemat Nasser Figure 2 3 Le
188. roc d s tr s complexes car cela d passe le cadre de ce m moire Nous invitons le lecteur lire le chapitre 5 7 du livre de Belytschko Liu et Moran 2000 ou Flanagan et Belytschko 1981 ou encore le manuel ABAQUS Analysis pour de plus amples informations Selon les travaux des l ves pr c dents les proc d s Enhanced et Relax Stiffness sont ceux qui conviennent le mieux pour la mod lisation d un mat riau adoucissant Cependant nous ne pouvons l expliquer de fa on th orique Ces proc d s ajoutent artificiellement une certaine raideur ou viscosit au syst me afin d emp cher la formation des modes Hourglass Il faut donc surveiller que l nergie consomm e par le proc d ne soit pas trop grande Ben Ftima 2013 l image du crit re sur le ratio d nergie 99 cin tique par l nergie interne a fix le ratio d nergie consomm e par le proc d par l nergie interne not Em E 5 Nous nous sommes aper us que ce crit re n tait pas assez s v re dans notre cas Nous l avons fix 1 Malgr tout avec toutes les analyses de validation que nous avons effectu es lors des diff rentes modifications du modele EPM3D nous ne sommes pas encore arriv s la conclusion qu un sch ma est meilleur qu un autre 4 3 2 Type d l ment pour l acier et interaction avec les l ments de b ton Les armatures d acier longitudinales comme transversales sont toutes repr sent es par des l me
189. s conditions de chargement sur l ensemble du programme exp rimental et comme nous avions commenc notre programme par les sp cimens de rapport d lancement de 2 sur la presse MTS de 12 MN courbes de gauche des Figure 5 6 Figure 5 7 et Figure 5 8 sans le vouloir nous avons commenc par les essais qui ont pr sent le comportement le plus ductile Il tait alors difficile de changer les conditions de chargement apr s les 9 premiers chantillons De plus nous pensions que les fibres allaient apporter plus de ductilit et modifier de fa on plus significative le comportement post pic de notre m lange par rapport un BHF standard ce qui n a malheureusement pas t le cas 135 Cependant les sp cimens longs cylindriques CY L_D300_L1200 ont tout de m me pr sent un comportement ductile Ils constitueront un bon point de comparaison entre les sp cimens courts et longs pour le comportement post pic On pourra ainsi mettre en vidence une ventuelle localisation de la fissuration comme l avait fait Van Mier 1984 Figure 2 10 Nous d finissons plus loin un comportement pseudo fragile Il s agit des sp cimens qui ont pr sent des signes avant coureurs de rupture En effet contrairement aux sp cimens fragiles on a observ et entendu le d but de la fissuration avant la perte totale de la charge On a pu tracer quelques points apr s le passage du pic sur la courbe force d placement de la presse Nous pensons que
190. s le nombre de param tres d entr es est grand Or les param tres d entr e doivent tre d termin s exp rimentalement et leur obtention n est pas chose facile Ainsi il faut faire un compromis pour avoir un crit re de rupture performant et simple d utilisation Quand nous parlons de contrainte au pic c est en fait la contrainte maximale que l on peut atteindre sur l axe majeur de compression Dans notre cas on d finit toujours o5 comme tant la contrainte majeure de compression On a toujours 01 gt 02 63 60 T2 gG17037903 Plan d viatorique S Figure 3 3 Repr sentation des contraintes octa driques dans le plan d viatorique de coordonn e hydrostatique om Une fois que l on a d fini l enveloppe de rupture avec les coordonn es octa driques il faut mettre en place un moyen de calculer la contrainte maximale Tant que l on se situe loin de la rupture le calcul de la contrainte au pic o est effectu chaque pas en prolongeant lin airement l incr ment de contrainte de fa on rencontrer l enveloppe de rupture Figure 3 4 La d formation c est automatiquement calcul e avec le principe de la d formation quivalente Ainsi pour chaque pas de calcul on se r f re une nouvelle courbe contrainte d formation uniaxiale quivalente o la d formation et la contrainte au pic pour l axe majeur de compression amp o ont t actualis es 61 au pas pr c dent Cela permet
191. s qui d finissent la courbe contrainte d formation dans sa totalit en adoptant le principe de conservation de l nergie de rupture en compression Au chapitre 3 nous d finirons les principaux aspects du mod le constitutif EPM3D et nous ferons un tat des lieux en ce qui concerne la mod lisation du comportement post pic en compression Nous proposerons alors des modifications pour tenir compte des diff rents ph nom nes mis en avant au chapitre 2 Au chapitre 4 nous proc derons la validation de notre mod le en pr sentant un certain nombre d analyses par l ments finis la g om trie volontairement tr s simple pour v rifier son comportement ad quat et son ind pendance vis vis du maillage Ces analyses sont tout de m me assez complexes notamment cause du sch ma d int gration utilis et nous d taillerons les aspects th oriques abord s La validation de l effet du confinement actif et passif constituera le point principal de ce chapitre A la fin du chapitre 4 nous mettrons une liste de conseils pour l utilisateur qui souhaite mod liser le comportement post pic en compression de colonnes en b ton arm avec variation du taux de confinement espacement et aire des triers variables Au chapitre 5 nous pr senterons les r sultats d un programme exp rimental men au laboratoire de Structures afin de caract riser le comportement post pic en compression uniaxiale d un m lange de b ton fibr utilis dans diff ren
192. s r sultats sont bien plus satisfaisants que ceux de Binici 2005 C est pourquoi nous nous en inspirerons Par ailleurs ils utilisent leur propre crit re de rupture pour le calcul des coordonn es au pic et assument eux aussi un d chargement lin aire avec le module initial Ils calculent la contrainte r siduelle en fonction du confinement Nous adopterons d ailleurs directement leur formule pour le calcul de la contrainte r siduelle dans notre mod le C est pour nous le meilleur mod le que nous ayons rencontr car il incorpore tous les ph nom nes que nous avons d crits dans cette revue Il est calibr sur une multitude d essais de compression triaxiale connus de la litt rature Il est m me capable de mod liser le b ton sous compression uniaxiale en proposant des quations un peu diff rentes dans le cas d un confinement nul et ainsi tenir compte de la fissuration de fendage Dans les conclusions et recommandations de Voir l article de Samani et Attard pour la liste compl te des essais qui ont servi la calibration des quations 22 ce m moire nous conseillons dans un futur proche d adopter compl tement ce mod le pour la partie post pic 2 5 2 4 Remarques Ces modeles ont besoin de s appuyer sur une multitude d essais exp rimentaux et malheureusement on manque dans la litt rature d essais en compression multiaxiale qui se rendent jusqu la contrainte r siduelle Il faudrait constituer une banque de
193. s un premier temps faire une analyse de sensibilit des r sultats selon le temps d application de la charge car la technique de r solution explicite n cessite dans notre cas que le probleme reste quasi statique Si l on rencontre des probl mes de stabilit de l analyse due aux effets cin tiques EAE trop grand on doit aussi augmenter le temps d application de la charge T On peut aussi diminuer le pas de temps Atstable s1 cela est n cessaire 8 Enfin une fois que l on a r gl le probl me de sensibilit d la technique de r solution explicite des quations on doit proc der une analyse de sensibilit vis vis du maillage en diminuant et en augmentant la taille du maillage tout en gardant un ratio entre 0 3 et 0 4 pour les l ments d acier En d autres termes pour obtenir une bonne estimation du niveau de ductilit qu apporte la pr sence d triers il faut d abord s affranchir des impr cisions dues aux parametres li s au maillage et la m thode d int gration num rique On peut aussi tre tent de r duire syst matiquement la taille du maillage pour avoir une meilleure approximation du champ de contrainte de confinement ce qui nous permettrait d obtenir de facon plus pr cise la contrainte de confinement au pic o et donc un meilleur comportement post pic Cependant un maillage trop fin rencontre certaines limites Non seulement cela entraine une augmentation drastique du temps de calcul mais de plus cela devien
194. sion est un peu plus visible mais cela reste tout de m me acceptable Cela prouve la bonne r alisation de l alignement des sp cimens avec l axe de la presse Cela illustre aussi que l on a t capable de r aliser un m lange parfaitement homogene dans des conditions de fabrication industrielle camion toupie ce qui est tr s encourageant pour son utilisation future Nous rappelons que les coffrages des sp cimens cylindriques ont t fabriqu s avec des cylindres en carton de type Sonotube Ils taient de moins bonne qualit ce qui peut expliquer en partie la pr sence d une plus grande dispersion l inverse pour ce qui est de la phase post pic les essais ont montr une grande dispersion allant de l absence totale de comportement adoucissant rupture extr mement fragile un comportement tr s adoucissant avec un bon maintien de la contrainte r siduelle Comme on peut le voir les sp cimens lanc s rapport d lancement gal 4 ont connu en regle g n rale des ruptures fragiles c est dire que la courbe s arr te nette au pic Seuls les sp cimens cylindriques CYL D300 L1200 ont pr sent une certaine ductilit la charge ne tombe pas imm diatement Z ro pr sence d une contrainte r siduelle On peut voir aussi que m me pour certains sp cimens courts on peut observer des ruptures assez fragiles notamment pour les sp cimens coul s horizontalement comme le sp cimen CARH_D300_L600 1 Figure 5 6 gauc
195. st rest en suspens En effet dans les conclusions et recommandations de la th se de Bouzaiene 1995 l auteur admet que la loi constitutive qu il a mise en place pour la mod lisation de l adoucissement du b ton en traction et en compression devrait dans l id al assurer une meilleure repr sentativit du ph nom ne de localisation de la rupture Les conclusions de sa th se montrent que le mod le doit encore s am liorer dans la simulation de la phase post pic pour le b ton arm prise en compte du confinement passif Pour une colonne de b ton non arm ne comportant pas d triers on obtient un comportement post pic proche mais qui peut tre aussi am lior C est pourquoi ce m moire s attachera reprendre la mod lisation du comportement post pic au commencement c est dire que nous suivrons une d marche en progression pour aller du plus simple au plus compliqu 1 4 Structure du m moire Dans un premier temps au chapitre 2 nous ferons un bref rappel des m canismes d endommagement du b ton en phase pr pic qui m nent la rupture en compression Ensuite nous parcourrons la litt rature a la recherche de tous les facteurs qui peuvent avoir une influence sur le comportement post pic du b ton en compression Nous nous int resserons aussi aux difficult s de la mod lisation d un mat riau adoucissant dans une analyse par l ments finis Nous pr senterons enfin des mod les d j existant
196. t d finit toujours la loi contrainte ouverture de fissure en compression par une droite Le calcul est alors tr s simple et donne 1 Grou 360 4f 3 15 Notons que Gf est homog ne au produit d une contrainte par un d placement MPa mm ou N mm Par exemple pour le m lange de Van Mier 1986 Gru 16 N mm avec y 0 et fc 45 MPa 69 Gr vil fc Vu RSR C yu 6 pp mm Figure 3 9 D finition de Gyeu Nous avons alors deux quations pour d finir Gy Afin de maintenir l galit entre ces deux quations la pente E doit s exprimer ainsi h 8 h 3 16 fe Eo Notons que Ben Ftima consid re toujours un d chargement lin aire avec le module lastique initial Eo La prise en compte du confinement a compl tement t mise de c t par Ben Ftima car le mod le tait trop d pendant du maillage quand on venait multiplier la pente Ea par le coefficient x Par cons quent la description du comportement post pic est faite uniquement dans le cas de la compression uniaxiale 3 3 Commentaires sur le mod le avant nos modifications 3 3 1 Prise en compte du confinement Le mod le n est donc plus en mesure de traiter l effet du confinement sur le comportement post pic Il va falloir remettre en place le param tre x tout en temps gardant a l esprit que le mod le doit demeurer ind pendant du maillage On apportera aussi une attention particuli re quant la diminution de la pente post pic en fonctio
197. t de b ton R est d fini comme tant le rapport entre le cisaillement maximal et la contrainte normale moyenne Cmax Tmin Tmax 2 Omax Omin lt 1 3 11 i Omoy Cua Omax Omin B OU Gmax 03 est la contrainte majeure en compression et Omin o est la contrainte de compression minimale dans le plan normal la direction de Omax autrement dit la contrainte de confinement la plus faible Notons que le mod le est cod de fa on ce que l on ait toujours o3 o2 s oj Rc est toujours compris entre 0 et 1 Pour un tat de contrainte non confin ou en traction c est dire pour Omin 2 0 R 1 Pour un tat de contrainte hydrostatique de compression c est dire pour 63 g S 0 R 0 L une des plus importantes contributions de la th se de Bouzaiene fut la d termination du point de transition entre le comportement fragile et ductile du b ton sous confinement En effet 11 a montr que celui ci tait d fini pour R environ gal 0 725 Ainsi il a introduit le coefficient x afin de lin ariser les valeurs de R entre 0 tat de transition et 1 tat non confin k 3 636R 2 636 0 3 12 Ainsi pour Rr 1 b ton non confin 1 Et pour Rr 0 725 b ton au point de transition k Q Pour toute valeur de Rr lt 0 725 on pose x 0 Au point de transition et au del la pente post pic Ea sera donc nulle Le b ton sera consid r comme parfaitement plastique ce po
198. t de plus en plus difficile de contr ler la formation des modes nergie nulle En effet contrairement ce que le manuel d ABAQUS pr conise dans notre cas le crit re sur le ratio Ej E devient impossible respecter m me pour un temps d application de la charge tr s grand lorsque l on augmente le nombre d l ments Normalement le fait d augmenter le nombre d l ments fait en sorte de limiter la formation de modes nergie nulle Ce point reste donc encore claircir 120 CHAPITRE 5 CARACTERISATION DU COMPORTEMENT POST PIC EN COMPRESSION D UN BRFHP 5 1 Pr sentation et d finition du cadre exp rimental Ce programme exp rimental a pour but de fournir les caract ristiques completes en compression d un m lange de b ton fibr tr s utilis dans les essais exp rimentaux l cole Polytechnique Ce m lange a t utilis par exemple dans les travaux de De Broucker 2013 pour l tude de poutres pr contraintes en b ton fibr L int r t de ce programme exp rimental ne r side pas tant dans l tude de l influence des fibres ou des diff rents constituants du m lange sur le comportement en compression mais plut t de fournir une fiche caract ristique en compression de ce m lange en particulier Nous tenons pr ciser que l tendue de ce programme de recherche tait d j assez vaste et que nous nous sommes concentr s sur une seule composition de b ton Comme nous n utilisons qu un seul type de
199. t la d formation moyenne due au fendage sur la hauteur endommag e La et w est l ouverture de fissure en bande de cisaillement Ce dernier param tre peut tre compar l ouverture de fissure dans la mod lisation de l adoucissement en traction 48 TETEE Compressive Stress o Nonlinear elastic Compressive Stress CDZ model Markeset 1993 Ed w mtn En E e Ld H EL 4 tttt tte a b Repr sentation des trois courbes et leurs zones d application Composition des d formations dans la zone endommag e Figure 2 27 Mod le de Markeset et Hillerborg 1995 Ici l nergie de rupture en compression peut donc tre d compos e en deux termes Gre Gf cisaillement LaWrenaage 2 12 OU Gf cisaillement 8St l nergie de rupture dissip e par la bande de cisaillement par unit de surface et est analogue Gren traction Wrendage est l nergie de rupture dissip e par la fissuration de fendage par unit de volume On ramene l nergie de rupture dissip e par fendage une nergie par unit de surface en la multipliant par la longueur La Cependant ce mod le pose probl me puisqu il introduit des param tres suppl mentaires d terminer de facon exp rimentale et ceci n est pas ais L obtention en pratique de la longueur La de la zone de dommage est tr s difficile Par ailleurs lors de la pr sence de confinement m me faible niveau les fissures de fendage n apparaissent plus
200. te devient nul Au del de ce point le b ton peut tre consid r comme crouissant avec un module tangent positif La Figure 2 18 est issue de l article de Xie et al 1995 On peut voir que d s les premi res valeurs de confinement la pente post pic diminue tr s rapidement car les fissures longitudinales de fendage mode I ne peuvent plus se d velopper Ainsi on peut faire un lien avec le confinement qu apportent les triers dans un poteau en b ton arm o le niveau de confinement n est pas tr s lev mais le gain en ductilit est tout de m me cons quent Sheikh et Uzumeri 1980 Mander Priestley et Park 1988 Cusson et Paultre 1994 De plus on peut voir que pour des valeurs plus lev es de confinement la pente continue diminuer mais de facon plus lente Comme notre modele est volontairement simple avec une mod lisation lin aire de l adoucissement il faudra donc veiller faire varier le coefficient de la pente en fonction du confinement de facon ad quate 30 250 350 300 CONFINING STRESS 44 5MPa 200 CONFINING STRESS 29 3MPa Q z 250 35 5 23 3 n 3 20 3 summ 26 3 P aA m 7 21 8 E PE d is 5 es 7 3 Le s 5 100 j 3 16 6 2 11 3 fi ion j 12 2 8 3 s 100 i B 5 E 8 3 nd 5 3 50 50 3 8 23 0 AS i A a 3 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Longitudinal Strain x 0 001 Longitudinal Strain x 0 001 a 60 MPa b 92 MPa
201. te de confinement Cela conduit une mauvaise superposition des r sultats 2 5 2 3 2 Mod le de Samani et Attard 2012 Le mod le de Samani et Attard 2012 paru tout r cemment est une version am lior e du mod le d Attard et Setunge 1996 Ce dernier avait quelques limitations majeures Par exemple 51 il ne prenait pas en compte les effets d chelle et tait tabli pour des faibles contraintes de confinement ne pouvant ainsi afficher le mode de transition fragile ductile Samani et Attard 2012 proposent une fonction puissance pour d finir le comportement post pic E Eq 2 e Or siduelle 4 1 sien im BL ee eee Oo Oo To n 2 15 ou c oi sont les coordonn es du point d inflexion de la courbe L utilisation d un point d inflexion comme point de passage obligatoire de la courbe post pic leur permet d avoir des r sultats qui se superposent bien avec les donn es exp rimentales C est sur ces param tres que l on peut jouer pour la conservation de l nergie 1 1 Gre 5 VUE e Eo do Or siduette z 2 Go Or siduelle 2 16 h In In oi Ee Samani et Attard 2012 d finissent une nergie de rupture en compression d pendant du confinement Le calcul de ei oi fait intervenir la plus petite contrainte de confinement dans le plan normal la contrainte majeure de compression Cela permet de prendre en compte les chargements ou le confinement lat ral n est pas uniforme Le
202. telles que la m thode des l ments finis sur l ensemble du volume Il est important de pr ciser qu cette chelle nous ne pourrons pas prendre en consid ration les param tres li s la microstructure du b ton mais seulement les caract ristiques globales Et c est l toute la difficult Par la volont de toujours mod liser plus finement le comportement de notre mat riau nous devons am liorer les lois constitutives macroscopiques partir des r sultats obtenus sur des analyses l chelle de la microstructure En 33 d autres termes certains param tres d entr e de notre mod le comme la r sistance en compression par exemple sont des param tres de sorties pour des mod les microscopiques On voit se dessiner l un des grands d fis de la mod lisation de la rupture La localisation des d formations lors de la rupture en compression rend alors l hypoth se d un milieu continu discutable et donc l application de la th orie des milieux continus n est plus appropri e en l tat En effet la propagation de la fissure et la zone de localisation correspond plut t une chelle m soscopique Nous allons tre oblig s de mod liser un ph nom ne local avec une chelle macroscopique et au sein d un mat riau aux propri t s globales Nous verrons comment l introduction de certains artifices de calcul comme la th orie de la fissure r partie smeared crack theory peut palier ces difficult s 2 3 2 Classific
203. ts des diff rents programmes exp rimentaux pr sents dans la litt rature car les conditions des essais diff rent beaucoup trop d un laboratoire un autre Nous serons donc confront s des choix quant la philosophie et la tendance que nous voudrons imposer notre modele Cela se traduira par diff rentes simplifications du probl me r el l cole Polytechnique de Montr al un mod le constitutif tridimensionnel de b ton a t labor au d but des ann es 90 afin de profiter de la puissance grandissante des machines de calculs et des nouvelles m thodes d analyses par l ments finis Ce mod le a pour but d effectuer des analyses de structures en b ton arm Cela n cessite une approche macroscopique du b ton Il n est donc pas question de mod liser le mat riau l chelle du grain de ciment ou m me l chelle du granulat comme cela peut tre le cas dans des mod les traitant de la microstructure du b ton Ici le mat riau est consid r comme un mat riau homog ne avec des propri t s globales De plus les parametres d entr e du modele se doivent de rester en petit nombre et simple d obtention afin de lui prof rer une utilisation la plus ergonomique qui soit Enfin le comportement adoucissant post pic en compression du b ton est difficilement mod lisable l chelle macroscopique car comme nous le verrons dans cet ouvrage la localisation de la rupture en compression cr e des probl mes d instabilit
204. ts finis dynamique est de la forme quation du mouvement de Newton M K CHU K tu t ext 0 4 2 o M est la matrice de masse C la matrice d amortissement i le vecteur des acc l rations et fu le vecteur des vitesses Ici c est un ensemble d quations diff rentielles en temps que l on cherche r soudre Une analyse est dite dynamique quasi statique lorsque l application des charges externes est assez lente pour que les termes de forces d inertie et d amortissement soient quasi nuls M f l C u 0 on a donc Fext ed K tu 4 3 89 On met en place des crit res sur le taux d application de la charge ou du d placement pour que l analyse soit toujours consid r e comme quasi statique On peut donc r soudre des probl mes statiques avec les outils d analyse dynamique si l on respecte ces crit res Une analyse statique est dite lin aire si la matrice de raideur K est coefficients constants c est dire si elle est ind pendante du chargement Dans le cas inverse on dit que l analyse est non lin aire Les non lin arit s sont soit mat rielles mat riau lastique non lin aire lasto plastique hyper lastique etc soit g om triques effet P 4 grandes d formations flambement etc Une analyse dynamique est dite lin aire si les matrices de masse d amortissement et de rigidit sont a coefficients constants c est a dire si elles ne d pen
205. ts projets de recherche l cole Polytechnique de Montr al L accent sera mis sur la possibilit ou non de la d finition d une nergie de rupture en compression pour le b ton fibr Enfin nous conclurons au chapitre 7 par quelques recommandations pour am liorer encore le travail effectu dans ce m moire et pour la r alisation de futurs programmes exp rimentaux CHAPITRE2 COMPORTEMENT EN COMPRESSION DU B TON ET MOD LISATION DE L ADOUCISSEMENT Dans un premier temps nous ferons une revue de litt rature sur les diff rents m canismes entrant en jeu lors de la compression du b ton Ces m canismes sont microscopiques lors de la phase pr pic et deviennent macroscopiques en phase post pic Nous nous int resserons plus particuli rement au comportement adoucissant du b ton en essayant de donner une liste exhaustive des diff rents param tres prendre en compte et de caract riser leurs influences La deuxi me partie de cette revue portera sur la mod lisation num rique du b ton et plus particuli rement de la phase d adoucissement post pic Nous pr senterons ainsi les difficult s li es a la pr sence d un module tangent n gatif dans une analyse par l ments finis et les moyens qui ont t mis en uvre pour les contourner cette occasion certains mod les bas s sur le concept de conservation de l nergie de rupture dont nous nous sommes inspir s seront aussi pr sent s Nous tenons pr ciser que ce
206. tte revue de litt rature reprend en grande partie les aspects abord s dans la th se de doctorat de Bouzaiene 1995 puisque c est cette th se qui est l origine du mod le EPM3D 2 1 Comportement du b ton en compression en phase pr pic 2 1 1 Bref rappel Avant d analyser le comportement post pic du b ton en compression il faut avoir une bonne connaissance des tapes par lesquelles passe le mat riau avant de se rendre au pic de charge L analyse et la mod lisation du b ton en phase pr pic est d j un travail rendu tr s difficile par la complexit de la microstructure du mat riau Cette derni re se compose d l ments aux dimensions et aux caract ristiques m caniques diff rentes Les zones d interface entre ces diff rents constituants ont un r le tr s important dans les m canismes responsables de l endommagement Le b ton en compression uniaxiale se comporte d abord de mani re lin aire lastique jusqu environ 30 de sa r sistance fe Les seules fissures qui peuvent tre pr sentes ce stade sont des microfissures g n ralement caus es par le retrait mais non par la sollicitation m canique Au del de 30 de fe le b ton devient non lin aire Pour une analyse par l ments finis cela se traduit par le fait que la matrice constitutive qui relie le vecteur des contraintes et le vecteur des d formations n est plus une matrice a coefficients constants Sur la Figure 2 1 la courbe contrai
207. tuer exactement la fissure et quel sera son chemin de propagation mais plut t a obtenir un comportement global r aliste de la structure avec le bon d placement et les forces correspondantes Pour cela on vient modifier localement la loi constitutive dans la zone fissur e La loi est toujours exprim e en termes de contraintes d formations diffus es sur une certaine hauteur La fissuration diffuse est tout a fait adapt e a la mod lisation macroscopique par l ments finis car la zone fissur e est encore consid r e comme un milieu homogene La m canique des milieux continus y est donc encore applicable continuit du champ de d formation Dans la terminologie des l ments finis on parle de limiteurs de localisation par r gularisation de la loi constitutive Nous allons d tailler ceci au paragraphe suivant 35 2 4 Mod lisation de l adoucissement par la m thode des l ments finis 2 4 1 Instabilit mat rielle en m canique non lin aire On parle d instabilit pour un syst me donn si lorsqu on applique une petite perturbation vis a vis de la sollicitation ou du chargement cela conduit a une modification disproportionn e du comportement de ce syst me Il existe deux types d instabilit s que l on peut rencontrer en m canique non lin aire g om trique ou mat rielle L instabilit g om trique apparait lorsque l hypoth se des petites d formations n est plus v rifi e et que la g om trie changeante du
208. u progr s de l informatique beaucoup d articles ont propos des m thodes afin de contrer les difficult s rencontr es avec des mat riaux adoucissants Le b ton tant un des mat riaux les plus utilis s au monde il n est pas anodin de constater que beaucoup de ces articles taient directement appliqu s au cas du b ton La majorit des recherches taient consacr es l adoucissement en traction car on s est tr s vite rendu compte que sa prise en consid ration am liorait significativement les r sultats des mod les de poutres en b ton arm en flexion avec raidissement en traction Cependant les aspects th oriques d velopp s ici sont applicables pour tout mat riau adoucissant et pour n importe quelle sollicitation traction compression cisaillement Ce paragraphe est largement inspir des livres M canique non lin aire des solides ind formables Ibrahimbegovic 2006 et Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures Belytschko et al 2000 Diff rentes m thodes ont t propos es dans la litt rature afin de limiter la localisation des d formations On peut r pertorier 3 grands types de limiteurs les limiteurs qui s inscrivent dans le cadre de la th orie locale des milieux continus 2 les limiteurs qui cherchent enrichir le cadre de la th orie locale des milieux continus 3 les limiteurs qui s inscrivent dans le cadre de la th orie non locale des milieux
209. ue est difficile d finir physiquement Bazant et Lin 1988 fixent pour le b ton en traction une longueur caract ristique entre 3 6 fois le diam tre du plus gros granulat Cela veut dire que l on doit avoir une taille de maillage de l ordre du diametre du plus gros granulat ce qui peut causer des probl mes de mod lisation pour certaines chelles de structures Pour toutes ces raisons ces limiteurs n ont pas rencontr beaucoup de succ s 40 2 5 Limiteur de localisation bas sur la r gularisation du module tangent d adoucissement th orie de la fissuration diffuse avec conservation de l nergie de rupture Le limiteur le plus simple de tous a mettre en place fait bien str partie de la premiere cat gorie Il est bas sur une r gularisation du module tangent d adoucissement en le rendant d pendant du maillage Le principe de conservation de l nergie de rupture est adopt C est ce type de limiteur que Bouzaiene 1995 a choisi pour la mod lisation du comportement adoucissant du b ton en traction et en compression et que l on retrouve aujourd hui dans notre mod le EPM3D Ce choix est justifi aussi par la volont de garder un mod le portatif c est dire que l on veut qu il soit utilisable avec n importe quel logiciel d l ments finis et sans aucune modification du cadre standard de la th orie locale de la m canique des milieux continus Nous tenons pr ciser que ce type de limiteur ne va p
210. ue laboratoire 10 au total et leur quipe de chercheurs ont publi un article avec entre autres Van Vliet et Van Mier 1996 et Jansen et Shah 1997 Les principales variables consid r es sont l lancement des sp cimens c est dire le rapport h d h tant la hauteur du sp cimen et d tant la dimension transversale et le coefficient de frottement entre les plaques de chargement et les sp cimens Plusieurs tests ont donc t effectu s sur deux formulations de b tons 45 MPa et 75 MPa en faisant varier le rapport d lancement et le coefficient de friction entre les plaques et le sp cimen mais aussi en faisant varier la forme des sp cimens section carr e ou section circulaire Pour la phase pr pic les exp riences ont r v l que pour un coefficient de frottement faible entre les plaques de chargement et le sp cimen l lancement n avait pas d effet sur la valeur de la r sistance en compression Pour des coefficients de frottement lev la r sistance en compression augmente quand l lancement diminue Ceci est d aux tats de contraintes triaxiales cr s au sein du mat riau dans les zones proches des plaques de chargement Figure 2 8 Par ailleurs pour des Les round robin tests sont des essais de m mes chantillons par des laboratoires diff rents de facon valider les m thodes d essais ou valuer la qualit des laboratoires Wikip dia 17 conditions de frottement lev l effet de l
211. ue pour les sp cimens coul s verticalement on obtient plus facilement une rupture ductile que pour les sp cimens coul s horizontalement et ce d autant plus quand la section est circulaire Seuls deux sp cimens coul s horizontalement se sont comport s de maniere ductile L influence du sens de coul e semble tre aussi plus importante pour les sp cimens de petites 137 sections que pour les sp cimens de grandes sections Si on retourne nos courbes force d placement de la presse et que l on compare la Figure 5 6 la Figure 5 7 et la Figure 5 9 la Figure 5 10 on s apercoit qu il existe un effet d chelle pour les modes de ruptures Cela peut s expliquer par le fait qu il est plus difficile d obtenir une orientation pr f rentielle des fibres dans des gros volumes Il y aura plus de fibres susceptibles d tre orient es dans le bon sens dans les sp cimens CARH_A300_L600 que dans les CARH_A150_L300 C est pourquoi pour un m me rapport d lancement on a pu observer une grande diff rence de ductilit 138 Figure 5 12 Rupture fragile proche du fendage Vues de CARH A150 L300 3 Figure 5 13 Rupture fragile en bande de cisaillement Vues de CARH A300 L1200 1 En Figure 5 14 Rupture pseudo fragile avec une seule macrofissure Vues de CARV A150 L600 1 139 Figure 5 15 Rupture pseudo fragile avec plusieurs macrofissures Vues de CARV_A150_L600 2 Figure 5 16 Rupture ductile a
212. uer le pas de temps de l analyse Cela conduit des temps d analyses plus long surtout lorsque le nombre d l ments est lev De plus il y a des cas ou cela ne suffit pas et l utilisation de Relax Stiffness ne conduit jamais une r ponse stable C est pourquoi nous n utiliserons plus le sch ma Relax Stiffness Toutes les analyses de validation suivantes sont effectu es avec le sch ma Enhanced 4 4 2 Validation de la compression avec confinement actif 4 4 2 1 V rification de la calibration du param tre K Ici nous pr sentons des mod lisations d essais de compression avec confinement actif sur des prouvettes de b ton Nous avons voulu valider notre mod le avec les trois types de b tons provenant de la litt rature avec trois niveaux de r sistance diff rents avec lesquels on a calibr le param tre x Les courbes provenant de l article de Smith et al 1989 pour un b ton de 35 MPa et les courbes provenant de l article de Xie et al 1995 pour deux b tons de 63 et 92 MPa servent ici de r f rences Ces essais ont t r alis s sur des sp cimens de ratio d lancement de 2 Pour Smith et al la hauteur des sp cimens est de 108 mm et pour les essais de Xie et al de 110 mm Nous avons donc fait nos analyses avec ces m mes dimensions de fa on pouvoir superposer nos r sultats directement sur les courbes contraintes d formations donn es dans ces articles Nous avons entr des valeurs diff rentes de 6 pour chaque b
213. un incr ment de d placement de charge ou encore de temps Il faut aussi faire le choix d imposer une force ou un d placement sur chaque degr de libert not DDL dans la suite du modele 88 Une fois le choix de l int gration num rique effectu il faut proc der la discr tisation g om trique du probl me c est dire mailler la structure Pour cela il faut choisir un type d l ment et une taille moyenne pour le maillage Il faut aussi choisir comment la matrice de rigidit de l l ment sera int gr e L int gration de Gauss exacte ou r duite est la m thode la plus utilis e dans les logiciels 4 1 3 D finitions importantes e Une analyse est dite statique si l quation r soudre ne fait pas intervenir les forces d inertie et d amortissement visqueux L quation r soudre pour un probl me par l ments finis statique est de la forme quation usuelle de la m thode des l ments finis Foxe Fint OU Fine K u 4 1 O Fax est le vecteur des forces externes Fint est le vecteur des forces internes K est la matrice de rigidit et u le vecteur des d placements Ici c est un ensemble d quations alg briques que l on cherche r soudre Une analyse est dite dynamique si l quation r soudre fait intervenir la variable temps Les forces d inertie et d amortissement visqueux doivent tre prises en compte L quation r soudre pour une analyse par l men
214. uniaxial E3 Figure 3 1 Concept de la d formation uniaxiale quivalente dans le cas d un chargement biaxial d apr s Darwin et Pecknold 1977 3 1 6 Crit res de rupture Dans le mod le d origine de Bouzaiene 1995 deux enveloppes de ruptures sont disponibles l enveloppe de rupture de Willam et Warnke 1975 et celle de Hsieh et al 1982 Nous ne donnerons pas ici les quations de ces deux enveloppes de ruptures car leur formulation est compliqu e et ceci alourdirait la lecture de ce m moire inutilement mais nous renvoyons le lecteur la th se de Bouzaiene ou directement aux articles de r f rences pour de plus amples informations Nous nous attarderons plus ici sur la mani re de les utiliser au sein du mod le puisque la formulation de la courbe post pic fait intervenir le couple d formation et contrainte au pic Ee oc Le choix du crit re est donc crucial pour avoir une bonne superposition des r sultats d analyse avec les essais exp rimentaux 59 Les enveloppes de rupture sont n cessaires pour valuer la contrainte au pic o gt dans le cas d un chargement triaxial quelconque On repr sente souvent les enveloppes de rupture dans un rep re orthonorm trois dimensions comme sur la Figure 3 2 avec les contraintes principales pour axes directeurs On appelle axe hydrostatique l axe repr sent sur la Figure 3 2 et d quation o 02 63 On appelle plan d viatorique tout plan normal l axe
215. ur des analyses statiques comme la m thode Newton Raphson ou la m thode de Risks m thode de longueur d arc Il peut aussi r soudre implicitement des probl mes dynamiques notamment avec la m thode de Newmark f Le second utilise une m thode de r solution explicite pour l int gration temporelle des probl mes dynamiques Cette m thode est encore assez nouvelle dans le domaine du g nie civil Elle permet notamment une meilleure prise en compte des probl mes forte non lin arit mat rielle et est donc particuli rement adapt e pour les mat riaux adoucissants 4 1 2 Introduction la mod lisation par l ments finis pour les probl mes non lin aires Pour toute mod lisation par l ments finis d une structure il faut effectuer des choix en fonction des sp cificit s du probl me des diff rents param tres prendre en compte et du degr de pr cision que l on exige Pour l analyse non lin aire des structures tant donn que les propri t s de rigidit et ou d amortissement peuvent changer au cours de l analyse en fonction du temps du chemin de chargement ou du changement de g om trie de la structure la r solution directe n est plus possible et l on doit proc der une discr tisation de l quation du probl me afin de le r soudre pas pas L quation prend alors une forme incr mentale Le type d incr ment ou pas de calcul d pend du type d analyse et du choix de l int gration num rique Cela peut tre
216. us il semblerait que l effet d chelle soit plus prononc Cependant nous n effectuerons par plus de commentaires sur ces courbes car nous n avons pas trouv d explications Nous les pr sentons juste titre indicatif 1 Contrainte MPa 00 30 CARH_A150 1300 1 CARH A150 1300 2 CARH ALSO 1300 3 CARH_A150 L600 1 CARH A150 L600 2 CARH AL150 1600 3 CARH A300 L600 1 wm CARH A300 L600 2 om CARH A300 L600 3 CARH A300 L1200 1 CARH_A300 L1200 2 CARH A300 L1200 3 90 85 80 75 Contrainte MPa 70 65 4000 D formation longitudinale u 60 5000 2000 D formation longitudinale ue 147 4500 Figure 5 25 Courbes contraintes d formations pr pic pour les sp cimens de section Contrainte MPa 100 90 80 70 60 50 40 30 20 carr e coul s horizontalement 30 CARV A150 L300 1 CARV A150 1300 2 CARV A150 L300 3 CARV A150 L600 1 CARV A150 L600 2 CARV A150 1600 3 CARV A300 1600 1 CARV A300 1600 2 CARV A300 1600 3 CARV A300 1200 1 CARV A300 1200 2 CARV A300 1200 3 4000 5000 D formation longitudinale pe m Contrainte MPa Wi c GO 2000 D formation langitudinale yc 4500 Figure 5 26 Courbes contraintes d formations pr pic pour les sp cimens de section Contr
217. uzaiene 1995 a mis en place le param tre en consid rant qu il tait un param tre intrins que du mat riau Comme on l a vu la valeur par d faut est fix e 0 714 mm pour un b ton de 45 MPa Deux ans plus tard dans l article de Van Mier et Van Vliet 1997 des essais suppl mentaires ont t r alis s sur la m me composition de b ton et avec des sp cimens de m me g om trie Seules les conditions limites de chargement variaient Si l on regarde la Figure 3 10 ci dessous on s apercoit que pour les trois syst mes de chargement utilis s on obtient trois valeurs de diff rentes pour un m me mat riau 71 1 0 Slenderness h d Dry friction 0 5 0 8 0 6 ir E 04 202 t s Teflon t flon 0 25 mm brushes 0 52 mm ary friction 0 86 m 0 25 0 50 0 75 1 0 Postpeak Deformation mm Figure 3 10 Courbes contrainte normalis e au pic vs d placement post pic pour diff rents rapports d lancement et syst mes de chargement d apr s Van Mier et Van Vliet 1997 On retrouve la valeur dppmax 0 52mm not ici Oprushes qui a servi au mod le de Bouzaiene On voit ici que si on limite au maximum le frottement aux extr mit s du sp cimen la pente de la courbe 5 0 devient plus raide et donc dppmax diminue r flon 0 25 mm En toute logique si l on veut d finir 0 comme tant l ouverture de fissure maximale en compression uniaxiale il faut prendre une valeur de 6 obtenue avec un
218. valeurs sont bien plus dispers es et donc que la d finition d un param tre pour le b ton fibr est moins vidente On peut noter que Omin 1 43 mm pour notre BRF 80 MPa est tout de m me bien plus grand que celui du BHF 90 MPa qui vaut environ 0 58 mm Cependant nous ne pouvons pas conclure avec certitude que l introduction des fibres apporte un tel niveau de ductilit car nos r sultats restent bas s seulement sur les sp cimens qui ont effectivement pr sent s une phase adoucissante I serait int ressant de constater si les sp cimens coul s horizontalement fournissent des valeurs plus proches d un b ton non fibr 146 Figure 5 24 Courbes contrainte normalis e d placement post pic in lastique pour des sp cimens de rapports d lancement de 2 a 4 avec un BHF de 90 MPa Jansen et Shah 1997 5 7 5 Effet notable sur la phase pr pic Les courbes contrainte d formation pr pic mesur es l aide des jauges de d formation sont pr sent es ci dessous sur la Figure 5 25 la Figure 5 26 et la Figure 5 27 On les a regroup es par type de sp cimen Le graphique de droite est juste un zoom de celui de gauche au niveau du pic Les chelles et les bornes sont toutes les m mes ce qui permet une comparaison facile On peut se rendre compte que pour les sp cimens coul s verticalement section carr e et cylindrique la dispersion au niveau du pic est plus grande que pour les sp cimens coul s horizontalement De pl
219. vaut Grew 1 Gfe d 1 fc K 2 3 18 fc K y Pour x 1 on retrouve bien G Pour un niveau de confinement approchant l tat de transition x 0 G tend vers l infini ce qui est correct puisque le mat riau devient ductile La pente post pic devient nulle et donc le mat riau ne rompt plus L quation d Ea devient alors h h 3 19 KO Eo Eg Notons que nous avons remplac au d nominateur fe par oc Ainsi la droite est bien d finie partir du pic peu importe le niveau de confinement Apr s quelques analyses avec ABAQUS sur un l ment cube simple et avec l enveloppe de rupture de Hsieh et al 1982 on obtient une pente de E variant en fonction du confinement et qui devient nulle partir du point de transition R 0 725 Figure 3 11 La r sistance fe du b ton utilis ici est de 45 MPa L effet du confinement est donc nouveau pris en compte par le mod le pour la partie post pic Nous allons proc der la calibration de x au paragraphe 3 4 5 Nous verrons au paragraphe suivant que l utilisation de tel ou tel crit re de rupture a une grande importance pour notre mod le 74 140 e N pay e eo 80 eo H 40 4 Contrainte principale de compression MPa 0 0 02 0 04 0 06 0 08 0 1 0 12 D formation 2 Figure 3 11 Analyses de compression triaxiale avec diff rents niveaux de confinement r alis es sur un simple
220. vec une seule macrofissure Vues de CARV A150 L300 3 Figure 5 17 Rupture ductile avec plusieurs macrofissures Vues de CYL D300 L600 3 140 5 7 4 Courbes contrainte normalis e d placement post pic Comme nous l avons dit un peu plus t t pour une meilleure repr sentation du comportement post pic 1l faut regarder les courbes issues des capteurs lin aires LP Tout d abord dans la partie pr pic les capteurs et les jauges de d formations ont donn des mesures tr s proches en termes de d formations Notons au passage que les jauges donnent des valeurs en microd formation et les capteurs LP fournissent des d placements en millim tres nous avons donc divis les mesures des capteurs LP par leur longueur de jauge pour pouvoir comparer les valeurs des deux dispositifs Les jauges fournissant des mesures plus exactes ceci nous a permis d avoir un contr le sur les donn es des capteurs LP et donc de s assurer que les mesures taient bonnes jusqu au pic Ceci nous a permis de constater qu en phase pr pic le champ de d formation est homog ne sur toute la hauteur des sp cimens et donc qu il n y a quasiment pas eu d effet de barreling D autre part certains capteurs LP donnaient des valeurs d cal es par rapport aux jauges mais avec un d calage qui restait constant le long de la courbe pr pic Cela peut s expliquer par le fait que certains capteurs peuvent se bloquer au d but de l essai par arc boutement par exemp
221. vec y 0 2 79 XVI Figure 3 15 Comparaison entre la nouvelle et l ancienne relation entre x et R 80 Figure 5 16 Repr sentation de X en fonction ded bere reete niches 81 Figure 3 17 Courbes contrainte d formation issues de l article de Smith et al 1989 pour un b ton de 34 5 MPa avec plusieurs valeurs de confinement Us 82 Figure 3 18 Courbes contrainte d formation issues de l article de Xie et al 1995 pour un b ton de 63 MPa avec plusieurs valeurs de confinement cceeeceeccccccceeeeeeesecceceeeeeaeeseeeceeeeeenaas 82 Figure 3 19 Courbes contrainte d formation issues de l article de Xie et al 1995 pour un b ton de 92 MPa avec plusieurs valeurs de confinement sesi 83 Figure 3 20 Evolution d EyEx en fonction du ratio de confinement a pour les trois b tons consid r s en bleu la courbe exp rimentale en rouge la courbe calcul e avec EPM3D et la NOUV EIS VERSION e eec inima tutu E IAM ah M ech ee LE IM EE ML Ld 84 Figure 4 1 Amplitude lisse pour le d placement 1IMpos 93 Figure 4 2 l ments disponibles dans ABAQUS Explicit d apr s 95 Figure 4 3 Modes de d formations nulles pour l l ment C3D8 selon l axe I d apr s Flanagan et BORIS OS D ee E Di atiotiinee 98 Figure 4 4 Configurations pour la validation de l effet de la longueur et de la sensibilit au AA TS tec ete eee i ea E el Rec pce ceca M 101 Figure 4

Mémoire de maîtrise - École Polytechnique de Montréal

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