calcul d`ouvrages geotechniques pour les grands nombres
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1. 50 o10 100 kPa 60 no 100 kPa 40 50 30 40 20 10 o amp 20 10 20 x 1er cycle 0 30 N 1er cycle 4 50 me cycle 10 4 10 me cycle 40 100 me cycle 30 me cycle 50 li li I I T 20 0 2 01 0 01 02 03 0 0 5 1 1 5 2 u mm u mm Figure 1 Contrainte impos e Figure 2 Contrainte impos e non sym trique sym trique Rochet 300 100 80 200 60 100 40 T o _ 20 G g 0 100 1 20 200 AE 510 300 kPa 40 JY potes 20 cycles 60 30 amp nS 300 80 0 1 2 3 4 5 6 7 u mm u mm Figure 3 D placement impos e Figure 4 D placement impos e non sym trique Durcissement cyclique sym trique Relaxation 3 Pr sentation d une m thode de sauts de cycles 3 1 Fondements th oriques La m thode propos e consiste partir de la connaissance de l tat de contraintes et de d formations d une structure au cycle n de pouvoir d terminer son comportement au cycle n An avec An le nombre de cycles saut s sans calculer 595 Journ es Nationales de G otechnique et de G ologie de l Ing nieur INGG2010 Grenoble 7 9 juillet 2010 de mani re explicite les tats de contraintes et de d formations entre les deux cycles consid r s Entre les cycles n et n An l ouvrage ne subit aucune varia2. S z gt 1 5 E 3 5 G 0 1175 o 01 1 c1 1 mi o5 D C1 2 0 05 en C1 3 00 t 1 0 t t 0 5 10 15 0 2 4 6 8 10 12 Nombre de cycles 10 Nombre de cycles 10 Figure 8 Comparaison du d placement Figure 9 Comparaison du d placement pour diff rentes amplitudes de pour diff rents niveaux de chargements chargement initiaux La figure 10 propose partir du cycle 11 une comparaison entre le calcul men cycle par cycle C1 1 et le calcul effectu par la m thode de sauts de cycles CS1 1 Les r sultats sont tr s satisfaisants puisque le d placement vertical u calcul au niveau du point est quasiment identique pour les deux m thodes La m thode de sauts de cycles permet en outre une conomie cons quente du nombre de cycles calcul s tableau III Tableau III Nombre de cycles saut s CS1 1 Statistiques sur le nombre de cycles a saut s E Sur le nombre de cycles Sur D A ur l ensemble effectu s avec la A du calcul m thode cycle par cycle NCT 10704 19550 NCC 83 119 NCS 10621 19431 0 5 10 15 20 Gain 99 2 99 4 NCT Nombre de cycles total NCC Nombre de cycles calcul s NCS Nombre de cycles saut s Gain NCS NCT Nombre de cycles 10 Figure 10 Comparaison entre la m thode cycle par cycle et la m thode d
3. 25m Figure 11 Caract ristiques Figure 12 Maillage utilis g om triques du mod le 599 Journ es Nationales de G otechnique et de G ologie de l Ing nieur INGG2010 Grenoble 7 9 juillet 2010 Tableau IV Propri t s du pieu et du sol en place Poids volumique kN m Module d Young kPa Coefficient de Poisson Sol encaissant 20 20 10 1 3 Pieu 25 20 10 1 3 Erreur 1 1 1 I 1 2 Chargement monotone initial 5 Figure 13 Chargement cyclique appliqu au pieu Eu 50 Nombre de 100 150 200 cycles Figure 14 Comparaison du d placement pour diff rentes amplitudes de chargement 7 200 Nombre de cycles 400 600 Figure 16 Comparaison entre la m thode cycle par cycle et la m thode de sauts de cycles Tableau V Calculs r alis s AF Fy F 4 6 23 30 P1 1 P1 2 15 P1 3 16 14 12 10 E 8 6 4 2 0 0 50 100 150 200 Nombre de cycles Figure 15 Comparaison du d placement pour diff rents niveaux de chargements initial Tableau VI Nombre de cycles saut s saut s PS1 2 Statistiques sur le nombre de cycles Sur le nombre de cycles effectu s avec la S ur l
4. ensemble NCS Gain NCS NCT NCC Nombre de cycles calcul s Nombre de cycles saut s 2 du calcul m thode cycle par cycle NCT 259 475 NCC 58 82 NCS 201 393 Gain 77 6 82 7 NCT Nombre de cycles total 600 8
5. autres phases _ M ETR eet 06 O 13 e Dans tous les cas Z T rl 14 avec M tan w l angle de dilatance initiale chaque s quence de chargement Ut le d placement tangentiel plastique calcul depuis la derni re inversion de chargement wc et a deux param tres du mod le 2 3 Potentialit s de la loi de comportement Afin de bien identifier les potentialit s de cette loi diff rentes mod lisations sur des chemins homog nes en d placements et en contraintes ont t r alis es La loi impl ment e dans le logiciel Flac3D Itasca 2002 permet d observer 594 Journ es Nationales de G otechnique et de G ologie de l Ing nieur INGG2010 Grenoble 7 9 juillet 2010 e Sous contrainte impos e sym trique figure 1 l augmentation ou la diminution des d formations apr s le premier cycle e Sous contrainte impos e non sym trique figure 2 le ph nom ne d adaptation ou de rochet voire ventuellement d accommodation qui est relativement complexe mod liser et qui est contr l par le param tre Rs e Sous d formation impos e sym trique figure 3 les ph nom nes de durcissement ou de radoucissement qui se traduisent respectivement par une augmentation et une diminution de la contrainte e Sous d formation impos e non sym trique figure 4 le ph nom ne de relaxation de la contrainte moyenne qui est associ celui de rochet
6. Journ es Nationales de G otechnique et de G ologie de l Ing nieur INGG2010 Grenoble 7 9 juillet 2010 CALCUL D OUVRAGES GEOTECHNIQUES POUR LES GRANDS NOMBRES DE CYCLES METHODES DE SAUTS DE CYCLES HIGH CYCLIC LOADING GEOTECHNICAL DESIGN CYCLE EXPLICIT METHOD Jianping CAO S bastien BURLON Hussein MROUEH 1 Laboratoire de G nie Civil et de g o Environnement USTL Villeneuve d Asca France 2 Laboratoire R gional des Ponts et Chauss es de Lille Haubourdin France R SUM Cet article comporte la pr sentation d une loi de comportement cyclique pour les interfaces L exemple d un pieu charg axialement est analys pour cerner les possibilit s de cette loi de comportement sur un ouvrage r el partir de cet exemple une m thode de sauts de cycles permettant des conomies cons quentes de temps de calcul est pr sent e ABSTRACT A cyclic constitutive interface model is investigated in this paper An axially loaded pile is presented in order to illustrate this model particularly the accumulation of strain Based on this example a high cycle explicit method is developed to reduce computational time significantly 1 Introduction La prise en compte des sollicitations cycliques est une composante essentielle du dimensionnement de certains ouvrages g otechniques comme les oliennes ou les plate formes off shore Le travail r alis propose dans le cadre de pieux charg s axialement une m tho
7. de g n rale permettant d envisager des calculs tr s grand nombre de cycles Cette m thode n cessite une loi de comportement pour les interfaces permettant de reproduire les ph nom nes suivants radoucissement ou durcissement cyclique relaxation adaptation ou rochet Lema tre et Chaboche 1985 Elle int gre aussi une strat gie r duisant de mani re cons quente les temps de calcul Son principe consiste extrapoler le comportement d un ouvrage sans r aliser le calcul cycle par cycle Deux exemples d application sont propos s dont celui d un pieu charg axialement 2 Pr sentation d une loi de comportement pour les chargements cycliques 2 1 Pr sentation de la loi La loi de comportement pr sent e dans cet article est celle propos e par Shahrour et Rezaie 1997 Elle est bas e sur les principes de l lastoplasticit L incr ment de d placement tangentiel relatif du est d compos en une partie lastique du et une partie plastique dus Le comportement lastique est r gi par les deux relations suivantes 593 Journ es Nationales de G otechnique et de G ologie de l Ing nieur INGG2010 Grenoble 7 9 juillet 2010 do Kdu et dr Gdu 1 et 2 Avec do et dr les incr ments de contrainte normale et tangentielle dun et du les incr ments de d placement normal et tangentiel lastique et K et G les param tres lastiques Le comportement plastique est r gi par l existence d une surface li
8. e sauts de cycles 3 3 Cas d un pieu charg axialement Le cas propos est relativement simple il s agit d un pieu vertical pr sentant une longueur de 30 m et une section carr de 1 m figures 11 et 12 La charge sur le pieu F est verticale et est appliqu e sous forme de contraintes Les caract ristiques des diff rents mat riaux sont pr sent es dans le tableau IV Comme pr c demment le calcul comprend deux phases une premi re phase de chargement monotone qui permet d atteindre une certaine fraction de la charge ultime Fu d termin e pour un d placement du pieu de 10 cm et une seconde phase 598 Journ es Nationales de G otechnique et de G ologie de l Ing nieur INGG2010 Grenoble 7 9 juillet 2010 de chargement cyclique d amplitude AF figure 13 et tableau V Le calcul est r alis avec le logiciel Flac3D La loi de comportement permet de reproduire les m mes tendances que pour l exemple acad mique figures 14 et 15 La m thode de sauts de cycles a t test e partir du cycle 10 Au cycle 200 les diff rences entre le calcul cycle par cycle P1 2 et le calcul de sauts de cycles PS1 2 sont relativement faibles de l ordre de 5 figure 16 Le nombre de cycles saut s est bien lev et les conomies de temps de calcul sont bien r elles tableau VI 4 Conclusions Dans cet article une loi de comportement cyclique pour les interfaces ainsi qu une m thode de sauts de c
9. mite qui restreint les tats pouvant tre atteints par l interface et d une surface de charge crouissage cin matique non lin aire dont la position est d finie par rapport un axe de r f rence qui d pend de l histoire de chargement La surface limite est d finie par les relations suivantes fa Os Rna Et Rex tan o DRlI e 3 et 4 ou f fr 0 Rx AVEC dR pax DR ADR e du et Rmx 0 tan p 5 et 6 avec langle de frottement au premier cycle y le d placement tangentiel plastique cumul DR un param tre obtenu en comparant les valeurs de cisaillement au premier cycle et au cycle stabilis et ADR un param tre de calage La surface de charge cin matique est d finie par les relations suivantes Rax RJ 7 8 et 9 du R Idu 10 et 11 r 0 R nc 0 R dR 2H H 7 et dRe y ou r 6 R max avec Re la fonction d crouissage cyclique Ro l ouverture de la surface de charge par rapport l axe de r f rence qui est consid r e nulle dans ce cas H le module d crouissage et enfin y et Be deux param tres contr lant l volution de la surface de charge cin matique La r gle d coulement permet de reproduire les ph nom nes de contractance et de dilatance au cours d un cycle et est d finie par les relations suivantes e Pour la phase initiale de chargement g m a es o D 12 e Pour les
10. tion globale de chargement mais des d formations plastiques s accumulent Il s agit donc de r soudre le syst me m canique suivant divo 0 Sur Q o n 0 Sur set u 0 Sur Lu 15 g E 8 16 La r solution de ce syst me m canique dont le processus it ratif a t contr l consiste appliquer des forces nodales de la forme B CuAetdO 17 Q Avec B la matrice des d riv es des fonctions d interpolation C la matrice constitutive et Ask les d formations plastiques entre les cycles n et n An Ainsi pour passer du cycle n au cycle n An il faut tre en mesure de pouvoir d terminer les d formations plastiques au cycle n An au moyen d une extrapolation Sa 1993 Niemunis 2005 Cette derni re peut reposer sur la m thode des moindres carr s A partir des d formations plastiques calcul es pour 3 cycles successifs il s agit de d terminer la fonction qui ajuste au mieux ces valeurs de d formations Deux types de fonctions sont utilis s car il appara t que les d formations tangentielles et normales plastiques n ont pas les m mes volutions En particulier les valeurs des d formations normales plastiques du fait des ph nom nes de contractance et de dilatance peuvent tre n gatives ou positives ce qui rend leur pr vision plus complexe Les fonctions choisies sont les suivantes e Pour les d formations tangentielles plastiques s n 8n 18 e Pour les d formations normales plastiq
11. u niveau du point A Le d placement uo est celui calcul l issue du chargement monotone et Au d signe l augmentation du d placement u au cours des cycles Le calcul est r alis avec le logiciel Flac3D La loi de comportement utilis e permet de reproduire quelques observations classiques D une part partir d une charge donn e figure 8 l augmentation de l amplitude de chargement cyclique induit une augmentation du d placement u D autre part pour deux chargements cycliques identiques figure 9 appliqu s partir de deux charges initiales diff rentes il appara t que le d placement u augmente plus rapidement en fonction du nombre de cycles pour le syst me initialement le plus charg Tableau Propri t s de l interface kn kPa m k kPa m ol ve ac yc kPa Bc DR ADR 22 107 8330 41 5 0 03 10000 1 55 0 1 0 05 Figure 5 Exemple acad mique Tableau Il Calculs r alis s AF Fu g F 0 04 0 08 90 C1 1 C1 2 50 C1 3 En Fm e p aa l a D a a a a a a a AF Chargement monotone initial eo a a Figure 6 D finition du chargement UE PE da ENAS MEN GGIqUs limite Fu 597 Journ es Nationales de G otechnique et de G ologie de l Ing nieur INGG2010 Grenoble 7 9 juillet 2010 3 0 25
12. ues n she 19 n L estimation des d formations plastiques au cycle An n est r alis e partir d un d veloppement limit des fonctions trouv es 2 e n An x e n Ane n er n 20 Le nombre de cycles saut s An est valu en supposant la condition suivante 2 ane n gt gt VE er a soit An gt gt 2p 2n 21 et 22 e n Avec p un facteur de pr cision pris gal en g n ral 0 2 Cette galit traduit le fait que extrapolation est valable tant que la fonction d termin e est suffisamment lin aire par rapport au cycle n 3 2 Cas d un exemple acad mique 596 Journ es Nationales de G otechnique et de G ologie de l Ing nieur INGG2010 Grenoble 7 9 juillet 2010 Cet exemple relativement simple pour r aliser rapidement des calculs de plusieurs milliers de cycles comprend une interface constitu e de 4 points 2 en A et 2 en B tableau et figure 5 Les l ments massifs de part et d autre de l interface ont un comportement lastique E 200 MPa v 0 3 Diff rents calculs ont t r alis s tableau Il ils comprennent d une part une phase de chargement monotone qui permet d atteindre une certaine fraction de la charge ultime Fu d termin e pour un d placement vertical u au niveau du point A de 1 cm et d autre part un chargement cyclique d amplitude AF figures 6 et 7 Il s agit de suivre en fonction des cycles n le d placement horizontal u a
13. ycles ont t propos es La loi de comportement permet de mod liser les observations faites habituellement en laboratoire et fournit l chelle de l ouvrage des r sultats raisonnables Des am liorations restent apporter pour viter les ph nom nes de rochet syst matiques dans le cas de chargement en contrainte impos e non sym trique La m thode de sauts de cycles semble performante pour valuer des augmentations de d placements de faible ampleur de l ordre de quelques induits par le chargement cyclique Dans le cas de trop grandes variations la m thode d extrapolation pr sente des impr cisions n anmoins acceptables et des am liorations doivent donc tre apport es 5 R f rences bibliographiques Itasca Consulting Group Manuel d utilisation de Flac3D 2002 Lemaitre J et Chaboche J L 1985 M canique des mat riaux solides Dunod Paris Niemunis A Wichtmann T et Triantafyllidis T 2005 A high cycle accumulation model for sand Computers and Geotechnics Vol 32 No 4 245 263 Shahrour l et Rezaie F 1997 An elastoplastic constitutive relation for the soil structure interface under cyclic loading Computers and Geotechnics Vol 21 No 1 pp 21 39 Sai K 1993 Mod les grand nombre de variables internes et m thodes num riques associ es Th se L Ecole Nationale Sup rieure des Mines de Paris 1 14
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