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1. loin La fl che double indique une r action r versible tandis que la fl che simple traduit la non r versibilit Globalement le m canisme effectue une conversion du substrat en un produit P du fait de la catalyse enzymatique Une analyse plus d taill e fait appara tre la formation du complexe SE La loi d action de masse indique que la vitesse de r action est proportionnelle au produit des concentrations des r actants pour l quation B A AB on a AB _dAI _ dt dt 4 k A B Ces concentrations sont not es par des lettres minuscules s 5 e E c SE p P 2 La loi d action de masse appliqu e au sch ma 1 conduit un syst me d quations diff rentielles non lin aires ds de kies kc PA kes k_1 k c 3 dc dp ro kies k_1 kajc T Les k dites constantes de vitesse sont des constantes de proportionalit ind pendantes des concentrations La premi re quation de 3 traduit par exemple que la concentration s de substrat varie avec une vitesse obtenue en composant une perte de taux proportionnelle la concentration c du complexe Une condition initiale est requise pour compl ter cette formulation kac 4 s 0 so e 0 eo c 0 0 p 0 0 5 lles textes de cin tique chimique distinguent la loi d action de masse d crivant l quilibre dans 3 4 et la loi de Van t Hoff d crivant la cin tique Nous ne ferons pas cette disti2. Nous cherchons un raccordement pour l ordre 0 du d veloppement asymptotique de telle sorte que l erreur de raccordement soit O e ainsi que les erreurs sur les segments 0 n2 et m oo qui recouvrent respectivement la couche limite et le domaine ext rieur Nos degr s de libert sont le choix du param tre de la question 8 et le choix des n e Question 12 A l aide de la condition de raccordement montrer que ugo est solution de l quation uo T Kin uo r 1 r D terminer les expressions de u r e et v T l ordre 0 4 4 Cons quences Dans la majorit des applications en biologie on a 0 lt e lt 1 Question 13 Que peut on en d duire pour le d veloppement asymptotique On crit les concentrations de produit et d enzyme libre sous les formes adimension nelles Ie EU 17 S0 Question 14 Avec la question 1 donner les expressions de z et w Question 15 Commenter l expression hypoth se de pseudo quilibre 5 G n ralisation On se place dans le cas o les quations 9 10 s crivent sous forme g n rale du dv 1 dr f u v dr E glu v 18 HSE ei 19 o 0 lt e lt l Question 16 On souhaite tudier ce mod le en utilisant l hypoth se de pseudo quilibre Expliquer comment proc der cette tude les quations que l on va devoir r soudre 6 M thodes num riques et validation 6 1 Approximation au premier ordre Question 17 Tracer uo vo Uo et
3. Question 25 Conclusions personnelles sur ce TP int r t difficult s rencontr es temps de travail planning
4. v qui passe de la condition initiale v9 0 la valeur donn e par l quation de pseudo quilibre seconde quation de 12 La couche limite est l intervalle 0 71 o ae On effectue le changement de variable amp et on pose U o e u r e Vi o e v r e 16 Question 9 R crire les quations 9 10 en fonction de U V a Ce syst me n est plus singulier pour 0 et le syst me diff rentiel limite est un syst me diff rentiel bien pos Mais on ne pouvait pas faire ce changement de variables d s le d but si est dans un intervalle fini 7 est dans un intervalle de la forme 0 ecr qui se r duit lorsque 0 et ne permet pas de d crire la solution loin de l origine Question 10 Comme hors de la couche limite faire des d veloppements asymptotiques sur U et V et donner les quations aux ordres O 1 et O e Question 11 Calculer explicitement Uo et Vo 4 3 Raccordement des d veloppements asymptotiques Nous poss dons maintenant deux d veloppements asymptotiques couvrant chacun une partie du domaine Il nous faut les raccorder pour obtenir une solution globale remarque le param tre de la question 8 n a pas t fix D finition 1 Deux d veloppements asymptotiques l un int rieur l autre ext rieur se raccordent l ordre O e s il existe un segment d int rieur non vide m n sur lequel les deux d veloppements co ncident une erreur o e pr s
5. ENSIMAG 1 re ann e 2004 2005 TP M thodes Num riques II Objectifs Les objectifs de ce TP sont d tudier et de comprendre une m thode num rique les d veloppements asympto tiques d utiliser un logiciel de calcul scientifique Scilab pour impl menter et r soudre les algorithmes et visualiser les r sultats de valider cette m thode num riquement Compte rendu Vous devez r diger un compte rendu de TP dans lequel vous r pondrez toutes les questions de l nonc expliciterez les m thodes employ es pr senterez et commenterez les r sultats obtenus La qualit de la r daction de la synth se de l analyse des r sultats obtenus sont des crit res importants pour la note La derni re page de votre compte rendu devra tre une sorte de manuel d utilisation o vous expliquerez comment utiliser vos programmes Le compte rendu sera dactylographi de pr f rence avec le logiciel ETEX Vous me ferez galement parvenir vos fichiers Scilab la lisibilit du code et la pertinence des com mentaires seront pris en compte Le TP est rendre au plus tard le vendredi 8 avril 2005 17h00 votre compte rendu imprim dans le casier pr vu cet effet et vos fichiers Scilab par mail dans un fichier NomiNom2 tar ou dans une archive NomiNom2 zip Tout retard devra m tre justifi en personne Modalit s pratiques Ce TP est r aliser en bin me Aucun trin me n est accept Pour to
6. Vo Faire varier les pas d espace Question 18 Tracer les approximations de u et v l ordre 0 Ces r sultats sont ils coh rents avec ceux de la question 4 Quelle remarque peut on faire par rapport la question 5 Question 19 Tracer galement z et w 6 2 Calculs d erreurs entre les deux m thodes Pour les questions suivantes choisir les pas de temps et les figures les plus repr sentatifs Question 20 Tracer la fonction l Udirecte t Udev asym t Udev asym t O Udirecte Est la solution obtenue la question 5 Uqey asym est obtenue la question 18 Faire de m me pour v Qu observe t on Que peut on en conclure t 3 On rappelle que lle suril Ol 5 fll f POJ dt fll Ifl IFI Question 21 Cr er une fonction qui calcule les normes L L H Question 22 Donner les erreurs relatives en norme L L H entre les deux m thodes 7 Interface graphique Question 23 R aliser une interface graphique o l on pourrait par exemple choisir la m thode de calcul le nombre de points de calcul donc le s pas de temps On pourrait galement choisir la norme de l erreur Ne pas oublier d crire un manuel d utilisation 8 Conclusions sur le travail effectu Question 24 Quel est l int r t de la m thode asymptotique et des quations approch es qu elle permet d introduire ses inconv nients Les m thodes num riques permettent elles de s en affranchir
7. iers r sultats num riques Question 5 On consid re le cas o K 0 5 0 2 e 0 01 R soudre le syst me 9 10 avec un sch ma d Euler explicite Faire varier le pas de temps justifier les r sultats obtenus Repr senter les solutions sur plusieurs plages de temps Ces r sultats sont ils coh rents avec ceux de la question 4 Le ph nom ne observ pour T petit s appelle une couche limite Il est n cessaire d employer une chelle de temps adapt e 4 L hypoth se de pseudo quilibre En biologie l efficacit catalytique remarquable des enzymes se refl te tr s fr quem ment dans les faibles concentrations d enzymes par rapport aux substrats requises dans 3 les r actions avec catalyse enzymatique Dans le mod le 9 10 cel signifie que a lt 1 des valeurs typiques tant de l ordre de 107 1077 Ceci est la cause du ph nom ne de couche limite 4 1 D veloppement asymptotique Nous postulons un d veloppement asymptotique des solutions u r v T en fonc tion de de la forme u T D er V T dev r 11 tel que k Vk 0 lt k lt N u re X euT O t n 0 et k2 Vk 0 lt k lt N v Tie X eol O t n 0 o les u et v sont ind pendants de On suppose que les u et v sont uniques fix et que toutes les fonctions sont suffisamment r guli res Question 6 Dans les quations 9 10 remp
8. lacer les fonctions par leur d veloppement asymptotique S parer les diff rentes puissances de Donner les quations obtenues pour les ordres 0 et 1 en l ordre O 1 2 quations liant uo vo 12 uo 0 vo 0 13 l ordre O e 2 quations liant uo vo u1 vi 14 u1 0 vi 0 15 Question 7 Expliquer le probl me rencontr avec les quations 12 13 Le syst me 12 13 ne d crit pas le ph nom ne pour 7 petit Par contre si on consid re T gt 0 sur nous allons voir que ce syst me fournit le premier terme du d ve loppement asymptotique cherch Nous traduirons le fait que ce d veloppement asymp totique convient l ext rieur d une couche limite 0 71 en disant que le d veloppement u r e v rT e fournit les approximations asymtotiques ext rieures ou non singuli res dont les premiers termes peuvent tre calcul s l aide des syst mes 12 13 14 15 Question 8 Montrer que le syst me 12 13 se ram ne une quation scalaire Exprimer la solution en faisant intervenir un param tre Pourquoi ne peut on pas fizer ce param tre avec les conditions initiales 4 2 D veloppement asymptotique de la couche limite L id e est de faire un changement de variables en la variable 7 qui dilate le voisinage de l origine dans laquelle la variation rapide de la concentration v de complexe a lieu Le ph nom ne qui se produit est une adaptation rapide de la valeur de
9. nction La solution du probl me 3 4 5 repr sente l volution des concentrations au cours du temps les vitesses de r action s en d duisent Toutes les concentrations intervenant dans ce mod le sont positives ou nulles Les equations 3 4 ne sont pas ind pendantes et la derni re quation est d coupl e du reste du syst me Question 1 A l aide des quations 3 4 5 exprimer p en fonction de c et donner une loi de conservation pour l enzyme en fonction de c Question 2 R crire le syst me 3 4 5 en fonction des variables s c des constantes ki et des conditions initiales Un mod le math matique sous une forme adimensionnelle s obtient en posant T keot 6 Se He T So o k k_ ko K 8 kiso k so l Question 3 Montrer que le syst me obtenu la question 2 s crit avec ses conditions initiales d d H eo 9 dT dT u 0 1 v 0 0 10 On note que K gt 0 Ce proc d d adimensionnalisation est largement arbitraire La r action 1 qui convertit S5 en un produit P indique que l tat final doit tre u 0 et v 0 c est dire que l on a puis le substrat et le complexe form avec l enzyme Les solutions du syst me non lin aire 9 10 ne peuvent s exprimer par des formules Question 4 Pr ciser les comportements qualitatifs de u et v Dans quels intervalles les fonctions u et v prennent elles leurs valeurs 3 Prem
10. ute question commentaire ou demande de pr cisions vous avez trois solutions La page web du TP accessible depuis le Kiosk de l Ensimag Le mail tous les jours toute heure Vous pouvez aussi venir me voir l Ensimag o j assurerai une permanence L ho raire sera indiqu sur le Kiosk Bon travail C Lucas Carine Lucas imag fr 1 Introduction Le mod le tudi dans ce TP d crit l effet catalytique des enzymes C est une quation diff rentielle qui comporte un petit param tre que la mod lisation en biologie exploite en faisant une hypoth se de pseudo quilibre pour l une des r actions On tudie la relation entre le mod le complet par syst me diff rentiel et ces mod les simplifi s Pour cela on emploie une m thode de d veloppement asymptotique sa justification math matique ne fait pas partie du TP On discute ensuite l application de m thodes num riques au probl me d origine au probl me r duit par l hypoth se de pseudo quilibre et pour la justification du proc d asymptotique 2 Cin tique de la r action enzymatique Le mod le de r action enzymatique fait intervenir un substrat S qui r agit avec une enzyme E pour former un complexe SE ce dernier est son tour converti en un produit P et restitue l enzyme Sch matiquement S E SE SERPLE 1 Les constantes k k2 et k_1 sont associ s aux vitesses de r action et seront d finies plus
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