La preuve en mathématique Maria Alessandra Mariotti
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1. graphique et dynamiques c est le fait que le savoir incorpor est en parfaite ad quation avec la th orie g om trique en d autres termes c est le savoir g om trique dans ses assises th oriques qui est incorpor dans Cabri et comme tel fournit un instrument de m diation complexe mais non moins puissant pour la signification de la th orie C est dans cette perspective que nous avons utilis Cabri dans notre exp rience men e depuis quelques ann es Pise dans certaines classes des deux premi res ann es de l cole secondaire sup rieure c est galement dans cette m me perspective qu il a inspir le projet et la mise au point d un logiciel pour l alg bre L algebrista Cerulli 1999 Cerulli amp Mariotti 2000 qui en pr serve certaines des caract ristiques fondamentales du point de vue de la fonction de m diation vis vis de la signification de la th orie Dans le cas qui nous int resse le micromonde incorpore une th orie la g om trie euclidienne dans le cas de Cabri l alg bre des expressions litt rales dans le cas de L Alg brista Les objets informatiques travers lesquels l l ve interagit avec le micromonde peuvent tre pens s comme des signes ext rieurs avec une r f rence la th orie en jeu et ses l ments axiomes d finition th or mes et comme tels ils peuvent devenir des instruments de m diation s miotique Vygotsky 1978 utilis2. 28 M reprenons un instant tu penses que A pr sent l id e d quidistance s est d plac e de la relation entre droite et point la relation entre droites mais c est pr cis ment le fait de raisonner en termes d quidistance en particulier d quidistance entre deux droites qui permet Stefano de trouver finalement son chemin 33 S parce que si leur distance aux droites est la m me et qu ils ont tous la m me distance aux droites c est qu ils sont align s ils font partie de l axe de sym trie qui porte r en s C est donc effectivement le lien entre l intuition initiale d quidistance et l l ment th orique sym trie axiale qui permet d interpr ter les relations saisies intuitivement en termes de sym trie axiale et de porter terme la d monstration En ce qui concerne ce probl me intuition a en g n ral une racine tr s profonde dans une gestalt du dessin initial dont l imm diatet chappe au contr le th orique du moins la premi re approche Pour parvenir la solution aucun passage d ductif de propri t s exprim es par des th or mes la th orie n est n cessaire l image solution se pr sente imm diatement En outre exprimer verbalement une intuition donn d un seul coup d il imm diatement n est ni simple ni spontan l image solution ne jaillissant pas d une analyse g om trique de la figure elle p
3. The author has an unimpeachable reputation as an expert in the subject of the theorem There is a convincing mathematical argument for it rigorous or otherwise of a type they have encountered before Hanna 1989 p 21 22 Malgr le difficile changement de perspective qui a conduit la r vision radicale de l id e de v rit en math matiques le rapport entre compr hension et acceptabilit a l gard des affirmations math matiques ne semble pas avoir beaucoup chang au cours des si cles Et il continue de constituer un l ment caract ristique de cette discipline Le d veloppement de rapports toujours plus complexes entre deux moments fondamentaux du d veloppement des connaissances math matiques production d une conjecture comme le c ur de la production de connaissances et syst matisation de telles connaissances a conduit une lente laboration de l id e de rigueur qui a culmin la fin du XIXe si cle Tout cela nous conduit souligner la profonde continuit entre construction de connaissances et leur syst matisation en un corpus th orique entre aspects typiques de la communication comme celui d tre compr hensible et aspects typiques de la connaissance en tant que produit culturel comme l acceptabilit Diff rentes approches au probl me de la d monstration en didactique Lorsque s ouvre la discussion sur le th me de la d monstration on se retrouve g n ralement face deux compo
4. au d placement de C le triangle qui a la corde comme un de ses c t s est un triangle toujours constant tu as d montr que c est une circonf rence parce que c est le lieu des points quidistants 19 G C est tout a suffit pour d montrer que c est une circonf rence Giulia cherche un argument et le fait en se r f rant ses propres connaissances g om triques elle cherche un th or me qui justifierait pour elle le fait que la corde est une distance constante du centre de C2 Elle semble se rappeler vaguement un th or me propos des cordes mais alors qu elle est occup e reconstruire le th or me sous une forme qui puisse lui servir elle est assaillie par un doute 3 Elle se rend compte que les propri t s dynamiques du lieu comme elle le per oit partir de l image sur l cran ne peuvent tre exprim es par l argumentation qu elle est en train d laborer La rotation de la corde est per ue comme quelque chose qu il faut d montrer Giulia n est pas satisfaite elle sent la n cessit d exprimer par un nonc math matique la perception du mouvement par un nonc qu il soit ensuite possible de d montrer L interlocuteur fournit quelques suggestions et Giulia compl te la d monstration du fait que le point du milieu est une distance constante du centre de C2 Mais Giulia n est pas satisfaite et revient son doute initial Ce qu elle a d montr ne lu
5. partir d un ensemble d fini de principes l mentaires capables de g n rer une s quence d monstrative Tout se fonde sur un double crit re de v rit celui de l vidence qui concerne les principes et celui de la coh rence d ductive pour le parcours ult rieur Dans ce cadre une profonde unit lie l organisation et la compr hension rendant l organisation m me fonctionnelle pour la compr hension des contenus compr hension qui est li e de mani re indissoluble l exigence d acceptabilit et la reconnaissance l int rieur d une communaut scientifique L aspect qu il faut souligner est pr cis ment celui de la double finalit de compr hension d un c t et d acceptabilit de l autre Ces aspects nous semble t il sont parmi ceux qui sont unanimement reconnus comme caract ristiques d un corpus th orique et se retrouvent dans de nombreuses discussions concernant la nature et la fonction de la d monstration A titre d exemple citons Hanna Mathematicians accept a new theorem only when some combination of the following holds They understand the theorem that is the concepts embodied in it its logical antecedents and its implications and there is nothing to suggest it is not true The theorem is significant enough to have implication in one or more branches of mathematics and thus to warrant detailed study and analysis The theorem is consistent with the body of accepted results
6. vidente s parer l aspect op rationnel caract ristique d une construction de l aspect logique propositionnel qui consiste d terminer et exprimer les relations entre les l ments de la figure d duites sur la base de la construction Mais ce qui rend tr s int ressant cet exemple c est l usage insolite d une commande le report d angle Cette commande ne correspond aucun usage de la r gle et du compas donc du point de vue pratique il n a pas de sens au contraire il a du sens du point de vue th orique par ce qu il correspond un des axiomes qui ont t fix s dans la th orie Le cas de L Alg brista Comme nous venons de le voir le micromonde Cabri et son utilisation en tant que m diateur s miotique pour l id e de th orie a inspir le projet et la r alisation d un prototype de micromonde pour l alg bre Rappelons bri vement quels ont t les l ments cl s qui tout comme pour le cas Cabri ont guid notre recherche dans le domaine de l alg bre Le micromonde incorpore la th orie alg brique des expressions litt rales l l ment cl est la relation d quivalence entre les expressions qui est la base de la manipulation syntaxique des expressions L id e est celle d un micromonde des expressions alg briques o l utilisateur peut agir en transformant ces expressions en fonction des propri t s fondamentales des op rations qui correspondent aux axiomes de
7. unit cognitive L exemple suivant est tir d une recherche Maracci 1998 qui a t men e travers des entretiens avec un chantillon d l ves de troisi me ann e d un lyc e scientifique Ce sont de tr s bons l ves qui ont suivi un cours de g om trie d ductive Consid rons le probl me suivant Probl me 1 soit deux segments gaux congruents construire deux triangles gaux congruents qui aient un sommet en commun et ces deux segments comme c t s homologues En g n ral la r solution de ce probl me s effectue apr s une longue recherche l l ve s engage dans une activit complexe d exploration au cours de laquelle de nombreuses argumentations sont produites qui soutiennent diversement la recherche de la solution Ces argumentations forment une base pour la d monstration qui est propos e par la suite En r alit dans ce cas ci quand la construction est identifi e les propri t s qui la mettent en relation avec les donn es du probl me sont d j d termin es la d monstration consistant simplement r ordonner ces relations Stefano est un l ve de 1 re dans un lyc e scientifique et il a suivi un cours de g om trie d ductive dans le cadre axiomatique des transformations g om triques Stefano lit l nonc du probl me Il en saisit la complexit que ce soit pour la vari t ou le nombre de relations g om triques possibles il comprend aussi que le probl me exig
8. Compulsory School Proc of PME XIX Recife Boero P Garuti R amp Mariotti M A 1996 Some dynamic mental processes underlying producing and proving conjectures in Proceedings of the 20th PME Conference Valencia Cerulli M amp Mariotti M A 2000 A symbolic manipulator to introduce pupils to algebra theory Proceedings of Worksjop W6 Learning Algebra with the Computer a Transdisciplinary Workshop ITS 2000 Montreal Cerulli M 1999 Uso di manipolatori simbolici nell introduzione all algebra realizzazione e sperimentazione di un prototipo Manuscript non publi Tesi di Laurea in Matematica presso Universita degli Studi di Pisa Pisa Duval R 1991 Structure du raisonnement deductivf et apprentisssage de la d mostration Educational Studies in Mathematics 22 233 261 Duval R 1992 93 Argumenter demontrer expliquer continuit ou rupture cognitive in Petit x n 31 pp 37 61 Garuti R amp Boero P 1997 Cognitive Unity of theorems and difficulty of proof Garuti R Boero P Lemut E amp Mariotti M A 1996 Challenging the traditional school approach to theorems a hypothesis about the cognitive unity of theorems in Proceedings of the 20th PME Conference Valencia Hanna G 1990 Some pedagogical aspects of proof Interchange 21 6 13 Harel G amp Sowder L 1998 Students Proof schemes Dubinsky E et al Collegiate Mathematics Education Vol III A M S 234 283 He
9. S voix basse comment expliquer qu ils sont align s il passe son stylo sur la figure Sirine Lane 4 Licer sincifict P deran Fig 2 Stefano dessin 2 Probl me 2 Il est int ressant de souligner comment dans ce cas ci la premi re caract risation 2 la droite disons quidistante du point P et de la droite r qui exprime d une certaine mani re l intuition initiale restera voir plus loin le noyau de la d monstration qui s accomplira ult rieurement et non sans difficult La premi re tentative 6 d impliquer les sym tries repr sente le passage au plan th orique o Stefano va chercher les instruments pour la d monstration Rappelons que Stefano a suivi un cours de g om trie d ductive dans le cadre th orique des transformations La r f rence aux sym tries pourrait avoir t sugg r e par le milieu du segment 5 ou bien il se pourrait que Stefano se soit souvenu que les sym tries centrales transforment une droite en une droite parall le Le commentaire qui suit 7 montre que la premi re tentative peut tre un peu trop m canique de recours la th orie est un chec Stefano semble alors revenir sa premi re intuition et tente d laborer l id e d quidistance utilisant des sym tries pour en d duire l galit des distance jusqu ce qu il admette 27 S voix basse je n arrive pas trouver le moyen de r soudre le probl me
10. cessairement des liens de cons quence logique D un autre c t comment conjecturer et ou d montrer le lien logique entre deux propositions sans faire r f rence aux significations Au niveau th orique la valeur pist mique de chaque nonc n a aucun int r t de m me que la valeur pist mique attribu e par l interlocuteur l nonc dont on fait la d monstration mais toutefois on ne peut pas penser une pratique des th or mes sans r f rence aux significations Ces deux points de vue ne sont pas n cessairement en opposition mais ils focalisent simplement l attention sur des aspects diff rents et tous importants de la d monstration La fonction de validation th orique est la fonction d explication li e l interpr tation et donc la compr hension D un point de vue psychologique et pist mologique mais aussi d un point de vue didactique il ne semble pas possible de pouvoir op rer cette distinction nette qu exigerait une vision purement formelle des math matiques to expose or to find a proof people certainly argue in various ways discursive or pictorial possibly resorting to rhetorical expedients with all the resources of conversation but with a special aim that of letting the interlocutor see a certain pattern a series of links connecting chunks of knowledge Lolli 1999 La fonction d explication reste fondamentale pour les d monstrations parce qu elle garant
11. deux angles doit tre d duite de l galit des deux triangles peut tre APV et BPV mais on ne proc de pas l individualisation des deux angles et justifier qu ils sont gaux Donc un premier embryon de d monstration est pr sent bien qu il ne soit pas totalement d velopp Il semblerait que la vision directe de la figure ait encore le dessus sur le contr le des diff rentes actions et des relations g om triques par rapport l intuition globale de l galit de deux figures Est int ressant de noter que dans la version limin e il y a des traces du raisonnement indirect suivi et dans un certain sens du projet de justification voila encore un exemple d Unit Cognitive Prenons maintenant deux autres exemples relatifs une consigne successive la t che relative la construction de la perpendiculaire La consigne est la suivante Construisez avec Cabri le milieu d un segment D crivez et justifiez g om triquement la construction r alis e S amp C 15 ans I Liceo Scientifico Ayant un segment construisez le point m dian Fig 5 Dessin 1 de S amp C Nous avons construit un segment AB nous avons fait deux circonf rences qui se croisent au niveau des points P et P Nous avons trac l intersection de deux objets entre les deux circonf rences et entre les circonf rences et le segment Fig 6 Dessin2 deS amp C Nous avons uni les points P et P avec une droite et nous av
12. donne se r f re soit la propri t soit aux boutons des commandes Marta 15 ans I Liceo Scientifico wren VIE usu DRY EIFS arb eQ ae laQ bh va db tbe de tho comm i aC tb n EY QM corel Z fe b ob a 4 b b Horns o en Deby LL dub o4 Qs be 0 eb b 4 b tb b 4 b b Loti a nach f le ye Dro b Ete 6 6 Connemut i a 4 2 tesb45 b b b 4 i Sly 7 o b 0 Q bb tt bot da els i otb e asb albh Cali eh Er a e Q a b 0 doute DEEE o Hoah e9 re b il Il n est pas possible de d crire ici de mani re fine le processus volutif des l ves i e le processus de internalisation Mariotti en cours de publication qui transforme des signes ext rieurs pertinents au micromonde en instruments psychologiques comme l a expliqu Vygostsky Vygotsky 1978 Dans le cas sp cifique l internalisation des commandes disponibles et utilis s dans les manipulations des expressions symboliques correspond au contr le logico th orique sur ces manipulations et devient par cons quent d terminante dans la construction de la signification de la th orie et de la d monstration Le cas de Giulia Pour finir je voudrais revenir au theme de UC et pr senter un exemple qui illustre comment la notion d UC permet de d terminer les difficult s en les interpr tant en termes de relation entre processus argumentatifs
13. la th orie o l on proc de En d autres termes le manipulateur symbolique est totalement sous le contr le de l utilisateur qui transforme les expressions en utilisant pas pas les propri t s th oriques exprim es par les commandes disponibles La cha ne des transformations des expressions va correspondre une cha ne d ductive dans la th orie et donc la d monstration d un nonc concernant l quivalence entre deux expressions Le micromonde ne d termine pas quelles sont les transformations qu il faut effectuer mais dirige le travail de l l ve en permettant seulement des transformations permises c est dire celles qui correspondent aux axiomes de la th orie Les activit s dans le champ d exp rience des manipulations dans le micromonde L Alg briste sont donc comme dans le cas de Cabri r gies par la logique interne a la th orie incorpor e Les objets de calcul en jeu peuvent tre interpr t s comme dans le cas de Cabri comme des signes ext rieurs des l ments cl s de la th orie et dans ce sens tre utilis s comme instruments de m diation s miotique Pour donner une id e du type d activit s qui se d roulent dans la classe nous proposons ci dessous un exemple issus de notre exp rience en cours La t che demandait la d monstration de l quivalence entre deux expression litt rales Marta r sout le probl me dans l environnement papier crayon mais la d monstration qu elle
14. monstration dans un cadre plus large et plus pr cis qui tienne compte de tous les l ments en jeu et de la d monstration En particulier comme nous l avons d j dit il ne faut pas oublier le fait que il n y a pas de d monstration sans th orie le fait qu une d monstration ait un sens seulement en r f rence une th orie i e des axiomes des d finitions des th or mes Donc d un point de vue didactique un des aspects cruciaux semble tre celui de la n cessit d laborer un sens de la d monstration comme strictement li celui de la th orie Si on consid re les premi res observations qui ont conduit l laboration de la construction de l UC on voit que la mod lisation de ph nom nes celui de l ombre du soleil par exemple donne lieu la construction d un mod le th orique partir de principes qui trouvent leur pertinence et leur acceptabilit dans l exp rience de tels principes deviennent la fois des principes explicatifs pour les ph nom nes et des principes de d duction dans la th orie Les activit s de production de conjecture se joignent leur laboration en th orie fournissant un cadre intellectuel o la continuit entre le moment de l argumentation et celui de la d monstration est fortement favoris es D monstration et th orie Nous voici donc face un probl me important du point de vue didactique l initiation des l ves la d monstration
15. rente de la raison et inf rieure celle ci des termes correspondant une certaine th orie Il s agit d une v rit relative d rivant de l hypoth se de v rit faite pour les axiomes et de l hypoth se du fait que les r gles d inf rence accept es transforment la v rit en v rit La relativit du sens du vrai est cependant fondamentale les axiomes ne sont pas des v rit s absolues et encore moins des v rit s factuelles A statement B can be a theorem only relatively to some theory it is senseless to say that it is a theorem or a truth in itself even a proposition like 2 2 4 is a theorem in a theory A e g some fragment of arithmetic Arzarello 2000 On n arrive pas spontan ment au contr le qui est souvent un fait automatique et inconscient et que l expert r alise partir de la relativit du sens de v rit il nous semble que ce soit plut t une conqu te et dans ce sens un objectif formateur Du point de vue didactique il semble vident que la persistance de la confusion entre les deux points de vue sans que soit clarifi le rapport entre fonction d explication et fonction de validation conduit la production d une d monstration plus laborieuse et parfois impossible Ce serait mes yeux une erreur de caract re pist mologique que de laisser croire aux l ves par quelque effet jourdain qu ils seraient capables de production de preuves math matique
16. s par l enseignant pour r aliser une activit de classe dans le but d initier les l ves une perspective th orique L activit en classe est organis e en r f rence au Champ d Exp rience celui des constructions g om triques dans l environnement Cabri celui des manipulations symboliques dans l environnement L Alg briste Le terme Champ d Exp rience est utilis suivant la d finition de Boero amp autres 1995 the system of three evolutive components external context student internal context teacher internal context referred to a sector of human culture which the teacher and students can recognise and consider as unitary and homogeneous Le champ d exp rience se d veloppe a travers les activit s sociales de la classe en particulier travers les interactions r alis es dans l activit collective visant la construction sociale du savoir les Discussions math matiques Bartolini Bussi 1998 polyphonys of articulated voices on a mathematical object that is one of the objects motives of the teaching learning activity Bartolini Bussi 1996 La polyphonie se r alise entre le registre de la pratique et celui de la th orie La pratique est relative l exp rience commune du dessin ou du calcul alors que la th orie est relative la Th orie g om trique incorpor e dans les logiciels Cabri ou L alg briste et repr sent e par les ph nom nes observables
17. sur l cran et par les commandes disponibles Comme nous venons de le voir les l ments du logiciel qui sont observables et utilisables peuvent tre consid r s comme des signes ext rieurs pertinents pour des l ments de la th orie Le champ d exp rience des constructions de Cabri Dans le cas du micromonde Cabri un l ment caract ristique est constitu par la possibilit du d placement dragging en anglais Le fait que le micromonde incorpore la th orie g om trique s exprime travers le fait que le comportement des figures de Cabri computational objets Noss amp Hoyles 1996 sous l effet du d placement d pende des liens logiques entre les l ments de la figure tels qu ils ont t exprim s travers les commandes utilis es en d autres termes le d placement consitue la contrepartie ext rieure directe signe du contr le th orique Cela signifie que la stabilit d une construction sous l effet de l encha nement correspond au fait que dans le cadre de la th orie il existe un Th or me qui valide la construction ex cut e La justification c est dire ce qui explique le pourquoi d un ph nom ne parfaitement reconnaissable sur l cran peut tre donn en termes de th orie g om trique celle l m me a laquelle les commandes font r f rence Les probl mes de construction deviennent ainsi de mani re naturelle des probl mes th oriques une fois qu ils sont
18. th orique bas e sur un champ d exp rience sp cifique qui a comme l ment caract ristique l utilisation des potentialit s offerte par le Micromonde Cabri G om tre Baulac Bellemain amp Laborde 1988 Comme cela a t discut ailleurs de mani re plus vaste Mariotti en cours de publication un micromonde particulier celui de Cabri par exemple peut tre interpr t comme un art fact culturel et son fonctionnement dans le cadre des activit s scolaires peut tre interpr t en termes de m diation s miotique Les l ments caract ristiques qui font d un micromonde un instrument de m diation s miotique concernent sa nature d art fact culturel tout autant que son utilisation sp cifique dans les activit s scolaires Cabri comme d autres micromondes est un art fact produit par notre culture dont il incorpore une partie du savoir il incorpore en particulier une grande partie de la th orie l mentaire de la g om trie C est gr ce ce savoir incorpor que Cabri fournit un syst me d instruments qui renvoyant ce savoir peuvent fonctionner non seulement vers l ext rieur Vygotsky 1978 mais produire aussi des dessins particuliers vers l int rieur contribuant ainsi la construction de significations relatives au savoir incorpor et la th orie g om trique en particulier Ce qui rend Cabri particuli rement int ressant notamment par rapport d autres logiciels
19. toujours plus et toujours mieux le caract re humain vivant et pour cela m me fuyant de quelque chose qui n a de sens qu en r f rence une th orie mais qui est pratique dans son essence Nous sommes profond ment convaincus que la d monstration et l aspect th orique des math matiques ne peuvent tre vacu s comme accessoires dans la formation math matique On ne peut enseigner et transmettre les math matiques en laissant de c t les d monstrations L objectif de cette conf rence est de soutenir cette affirmation qui pour beaucoup enseignants math maticiens et didacticiens peut sembler trop forte et inacceptable et montrer en m me temps comment les r flexions sur la nature de la d monstration peuvent nous indiquer de possibles voies quant la r solution du probl me didactique qui nous tient c ur La faute Euclide Les racines profondes de la d monstration se trouvent dans les l ments d Euclide et dans la mani re d exposer toute particuli re utilis e dans son c l bre trait Suivant le commentaire de Proclo apr s une description de ce que l on doit consid rer comme l ment se trouve affirmation suivante Il est maintenant difficile comme dans toute science de choisir tout autant que de ranger dans l ordre d les l ments desquels d rive tout le reste Health vol I pp 115 116 Le probl me semble donc tre comment ranger les connaissanc
20. 2 PME Conference Stellenbosh pp I 180 95 Mariotti M A en cours de pubblication Influence of technologies advances on students math learning in English L Bartolini Bussi M G Jones G Lesh R amp Tirosh D eds Handbook of International Research in Mathematics Education Lawrence Erbaum Associates Mogetta C en cours de pubblication Informal and formal aspects of the proving process within a computer based learning environment Proceedings of ICTMT4 Plymouth Noss R amp Hoyles C 1996 Windows on mathematical meanings Dordrech Kluwer Acc Press Thurston W P 1994 On Proof and Progress in Mathematics Bull of the A M S 30 161 177 Vygotskij L S 1978 Mind in Society The Development of Higher Psychological Processes Harvard University Press
21. ABO ou ce c t il indique OD et AO en th orie 116 Int nous voudrions par exemple que le c t AO 117 Ste interrompant soit gal au c t OD 118 Int et alors o allons nous trouver O 119 Ste nous devons trouver qu est ce que je suis b te Maintenant Stefano est arriv la solution le dessin produit pr sente une fois encore un cas particulier o les deux axes ne se rencontrent pas sur la feuille cela conduit Stefano douter mais malgr tout il parvient aller au bout de son raisonnement et formuler la conjecture 169 Ste c est le point d intersection entre les deux axes des segments ce devrait donc tre le point qui se trouve gale distance de A et de B il les indique et le point c est un point qui est gale distance de C et de D il les indique il n est pas dit que la distance 171 Ste pardon de A de A et de C et de B et de D il trace les deux couples de c t s des triangles j ai r ussi j ai r ussi j ai r ussi 173 Ste alors 174 Int tu es s r qu il est gale distance de A et de C 175 Ste oui 176 Int Pourquoi 177 Ste parce que l axe il fait partie de l axe du segment AC 178 Int et c est vrai qu il est a gale distance de B et de D 179 Ste oui parce que c est pareil parce qu il fait partie de l axe de B et de D de BD donc ce c t est gal celui ci par hypoth se il indique AB et CD ce c
22. La preuve en math matique Maria Alessandra Mariotti D partement de Math matiques Universit de Pise e mail mariotti dm unipi it Introduction Comme de nombreuses autres activit s humaines les math matiques ont plusieurs aspects et plusieurs esprits des aspects et des esprits qui refusent d tre circonscrits et enferm s dans des sch mas trop rigides ou pire encore dans un seul sch ma Mais il est vrai que chacun en fonction de son propre comportement vis vis des math matiques issu de sa propre exp rience et du rapport personnel qu il entretient avec celles ci tend privil gier et renforcer un aspect une pratique En cons quence la complexit et la richesse de ce ph nom ne de l exp rience humaine risquent d tre compromis Cela fait maintenant quelques ann es que le probl me de la d monstration est devenu un des th mes de recherche dans le domaine de la didactique et aussi un des th mes de notre r flexion personnelle si nous devions exprimer notre volution personnelle nous dirions que nous avons l impression que nos id es sur la d monstration ont chang ces derni res ann es et qu elles s av rent surtout beaucoup plus incertaines et confuses Et c est pr cis ment dans notre tentative de les rendre plus claires que nous avons not combien il est difficile d enfermer l id e de d monstration dans un discours qui la d crirait Nous avons eu l occasion de v rifier
23. ath T 1956 The Thirtheen Books of Euclid s Elements Dover New York Hilbert D 1971 Foundation of Geometry Open Court Classic Original title Grundlagen der Geometrie first published 1899 Lakatos 1976 Proof and refutations Cambridge university press Lolli G 2000 Truth and Proofs a short course in the epistemology of mathematics in Arzarello F amp Ferrari P L eds Proceedings of the School on Epistemology of Mathematics and Didactics Levico Terme 8 12 February 1999 to appear Maracci M 1998 Risoluzione di problemi di geometria piana l analisi dei processi in situazione sperimentale Manuscript non publi Tesi di Laurea in Matematica presso Universita degli Studi di Pisa Pisa Mariotti M A 1996 Costruzioni in geometria su L insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate 19B n 3 pp 261 88 Mariotti M A 1997 Justifying and proving figural and conceptual aspects in Hejny M amp Novotna J eds Proceedings of the European Research Conference on Mathematical Education Podebrady Czech Republic Mariotti M A Bartolini Bussi M Boero P Ferri F amp Garuti R 1997 Approaching geometry theorems in contexts from history and epistemology to cognition Proceedings of the 21th PME Conference Lathi pp I 180 95 Mariotti M A amp Bartolini Bussi M G 1998 From drawing to construction teachers mediation within the Cabri environment in Proceedings of the 2
24. doit prendre en compte le probl me de leur initiation l id e de th orie Le d veloppement qui suit pr sente une proposition labor e partir de ce probl me didactique dans le cadre d un projet coordonn conduit par les groupes de recherche de G nes Pise et Mod ne Mariotti et autres 1997 Les champs d exp rience pour l initiation la pens e th orique art facts et instruments Le cadre de r f rence au sein duquel se d roule la discussion que nous entendons d velopper est celui de la th orie vygotskienne dans ce cadre il est possible de donner une interpr tation de la fonction jou e par des art facts particuliers quand ceux ci sont introduits dans la pratique scolaire et utilis s par l enseignant comme instruments de m diation s miotique Vygotsky 1978 Par art fact on entend un produit particulier projet et construit par l homme une classe particuli re d art facts est constitu e par ces objets dont l utilisation a comme finalit d atteindre des buts bien particuliers un tire bouchon est un bon exemple d art fact Dans la pratique didactique l utilisation d objets communs n est pas nouvelle c est plut t l interpr tation de ces objets en termes de m diation s miotique qui l est A ce propos un exemple int ressant nous est donn par le projet d velopp par le Groupe de Mod ne coordonn par Bartolini Bussi Il s agit d une exp rience qui a de nombreuse a
25. e des cas Stefano 18 ans III Liceo Scientifico Probl me 1 43 Ste Disons qu on va dessiner deux triangles gaux avec un sommet en commun et voyons comment j arrive les trouver alors il dessine dess 5 un triangle voila le triangle A le triangle ABO il inscrit les lettres il dessine un autre triangle avec un somment en O faisons semblant qu ils sont gaux a c est le triangle bon CDO il inscrit C et D il trace BC et sa perpendiculaire pour O c est bon comme a le sommet des deux semble tre sur la perpendiculaire BC pourquoi alors 48 Ste mon avis c est la perpendiculaire et elle est exactement l axe de BC Le fait d avoir saisi les r quisits du probl me conduit Stefano apr s une br ve analyse la production d une nouvelle conjecture encore partielle qui n est pas explicite en termes pr cis mais qui semble acqu rir la force et le caract re d une intuition 50 Ste si j arrive d montrer que O appartient l axe de CB c est que j y suis arriv Fig 1 Stefano dessin 5 Probl me 1 Stefano a utilis la m thode classique d analyse et synth se partant de l hypoth se que O doit appartenir la droite de sym trie de BC Stefano d montre l galit des segments BO et OC et il poursuit 111 Ste j ai deux c t gaux il me suffit de trouver cet angle il indique les angles DCO et
26. e la th orie Par rapport aux axiomes classiques euclidiens outre aux l ments de base point droite par deux points et circonf rence centre point il est possible d utiliser seulement les commandes report de segment et report d angle D un point de vue th orique cela correspond disposer des trois crit res de congruence qui viennent ainsi constituer les trois premiers axiomes de la th orie Les activit s qui ont suivi ont permis d introduire de nouveaux l ments de la th orie pour la bissectrice d un angle on a labor une d finition une construction et le th or me qui la justifie et apr s pour la perpendiculaire on a labor une d finition comme bissectrice d un angle plat Tout cela constitue la th orie laquelle les tudiants peuvent et doivent faire r f rence dans leurs justifications au moment quand on leur propose le probl me suivant Construisez avec Cabri la perpendiculaire une droite donn e par un de ses points D crivez et justifiez g om triquement la construction r alis e Les tudiants travaillent par groupes sur un m me ordinateur Pour la solution ils doivent r aliser une image sur l cran mais aussi un texte crit L individualisation du proc d suivre n a pas cr e de difficult s excessives Mais le fait de r aliser la construction correctement repr sente seulement la premi re phase du travail Les difficult s se
27. enne du plan la g om trie de la r gle et du compas Mais en effet le syst me math matique subjacent est trop complexe les instruments g om triques disponibles dans le menu standard de Cabri rendent disponible une richesse de propri t th oriques difficile tre contr l en d autres termes dans l accomplissement d une t che il est difficile d tablir ce qui un moment donn fait partie de la th orie et ce qui doit tre encore d montr Pour d passer la complexit relative cette ambigu t entre d monstration et th orie de r f rence on a pens de ne pas utiliser le menu standard de Cabri mais plut t de r aliser notre menu petit petit avec les tudiants Au d but un menu vide a t pr sent et on a discut du choix des commandes introduire en correspondance des assertions sp cifiques choisies comme faits de base dont on doit partir ces seront nos axiomes Par la suite au fur et mesure que de nouvelles constructions ont t r alis es et accept es en correspondance avec de nouveaux th or mes d montr s l introduction des commandes correspondantes a t discut e et n goci e avec les tudiants De cette fa on nous avons cherch ce que les tudiants participent la construction d une axiomatique et au menu correspondant dans l environnement Cabri La gradualit avec laquelle les l ments de la th orie sont introduits trouve un l ment c
28. es dans l ordre d L exposition propos e par Euclide para t avoir eu c ur tout autant le contenu que le destinataire ce dernier tant celui qui doit apprendre l l ve les l ments sont en effet d crits comme des moyens pour perfectionner la compr hension de l l ve en r f rence toute la g om trie Le mode d exposition fait r f rence un style de rationalit que certains historiens d finissent justement comme euclidien Vegetti 1983 La nature du style vient du fait qu il est possible de ramener la mani re d exposer les l ments une sorte d id e r gulatrice de l organisation de la science capable de produire des images de la science qui la rendent reconnaissable et plausible l int rieur d une communaut ibid p 135 Que la mani re euclidienne constitue un style cela tait connu des anciens l organisation en d finitions axiomes d monstrations de th or mes tait devenu le sens commun d une science qui se voulait rigoureuse Les applications d un tel style dans des domaines diff rents des math matiques comme la m decine par exemple Galeno prouvait la valeur de mod le expositif pertinent pour les sciences ayant comme l ments caract ristiques Primaut de la forme invariante c est dire description du savoir en termes g n raux Conception de la science en tant qu assemblage d velopp dans une s quence d ductive
29. et processus d monstratifs En m me temps cela nous permet d observer comment le processus de construction du contr le logique bas sur le dragging est beaucoup plus complexe que l on croit Les ph nom nes observables dans un milieu dynamique autant que ceux qui le sont dans la r alit sont mod lis s l int rieur d une th orie et le processus de mod lisation ne peut passer sous silence il devra tre pris en compte et discut L exemple est tir des protocoles recueillis par Catia Mogetta dans le cadre de son travail de recherche pour sa Th se de Doctorat Consid rons le probl me suivant Deux circonf rences s cantes C1 et C2 ont en commun une corde AB Soit C un point variable sur la circonf rence Cl On prolonge les segments CA et CB jusqu ce qu ils coupent la circonf rence C2 respectivement en E et en F Que pouvons nous dire de la corde EF au changement de position au d placement de C sur la circonf rence C1 Quel est le lieu g om trique du point moyen de EF quand C se d place sur la circonf rence Giulia est une l ve du quatri me ann e d une cole sup rieure scientifique Le probl me a t pr sent dans l environnement Cabri II Elle a d j r solu la premi re partie du probl me en conjecturant et d montrant que la corde EF a une longueur constante La deuxi me partie du probl me demande d identifier un lieu g om trique Giulia produit rapidement
30. eut ne pas tre caract ris e par des propri t s li es aux donn es du probl me En effet il peut arriver que quand le sujet essaie de caract riser l image solution il le fait en explicitant des propri t s g om triques de la figure telle qu elle appara t ou telle qu elle a t dessin e mais pas n cessairement travers des propri t s qui lient la solution aux donn es du probl me La diff rence entre les diverses caract risations de la droite solution aucune d elles n tant ancr e une argumentation qui ait soutenu la production de la conjecture marque une rupture entre le processus de production de la solution en termes de conjecture et le processus de construction de la d monstration mais surtout elle cr e des difficult s parce qu en l absence d une caract risation pr cise on est incertain sur ce qu on doit d montrer Mais il y a d autres difficult s qui sont mises en lumi re par une subtile analyse en termes d UC la description du rapport entre l argumentation et la d monstration au del de l affirmation d une distance ou d une diff rence s enrichit d une description plus fine des liens n cessaires pr sents ou manquants Une description plus riche pr voit de prendre en compte d un c t le processus de production d une conjecture relativement un syst me de conceptions et de techniques argumentatives li es au sujet de l autre la n cessit d inclure la d
31. ffinit s avec la n tre Dans les deux cas la signification que l on entend introduire et par rapport laquelle on utilise un art fact comme m diateur s miotique est celle de Th or me en liaison troite avec celle de Th orie Bartolini Bussi et al 1999 Dans ce cas pr cis les art facts culturels sont les syst mes d engrenage et la th orie de r f rence est la cin matique de H ron livre ler de la m canique premier si cle apr s J sus Christ Un principe facilement acceptable et qui peut tre mis la base d une th orie est le suivant Deux cercles engren s tournent en direction oppos e L un vers la droite l autre vers la gauche On peut tirer de ce postulat bien des th or mes int ressants L exp rience se d roule dans une classe de CM1 et malgr l ge des l ves on observe que la plupart d entre eux est en mesure de produire des nonc s g n raux relatifs au mouvement des engrenages et de construire des argumentations pour les justifier en ayant recours au principe tabli Dans ce sens il est possible de parler de pens e th orique Micromondes et th orie Il existe une proposition pour initier les l ves l id e de th orie qui serait celle de consid rer les potentialit s offertes par certains micromondes L utilisation de certains syst mes informatiques en particulier des logiciels des fins ducatives est bien connue C est partir de S Papert que l
32. i semble pas suffisant elle doit d montrer que c est un cercle mais il appara t clairement qu il existe une distance entre la d finition de cercle que Giulia dont elle dispose cercle comme lieu statique et la conception de lieu qu elle est en train d utiliser li e au milieu dynamique sp cifique dans lequel elle travaille Il semble donc qu il y ait conflit entre la th orie disponible dans ce cas celle de la g om trie classique et en particulier la d finition de cercle de nature statique Heath 1956 et les conceptions en jeu issues d un milieu dynamique Giulia exprime ses propres doutes vis vis de la d monstration qu elle a produite ce qu elle a d montr ne suffit pas pour r soudre le probl me il faut exprimer th oriquement l aspect dynamique du probl me Elle pense qu elle doit d montrer le fait que la corde tourne et que ses points forment un cercle par effet de rotation Cet exemple nous semble particuli rement int ressant parce qu il incarne parfaitement tous les aspects que nous avons d velopp s D un c t la continuit entre les arguments produits partir d une conjecture et les arguments produits pour une d monstration semble tre une n cessit pour Giulia de l autre une telle n cessit est remise en cause par le cadre th orique disponible pour ce type de probl me la g om trie d Euclide La nature intrins quement statique de la th orie g om trique ne permet
33. id e de construire et d utiliser des logiciels des micromondes dans la pratique scolaire a t labor e et longtemps tudi e Hoyles 1993 L approche qui a inspir la premi re id e d utiliser des micromondes des fins ducatives pose un grand nombre de probl mes et sa faiblesse intrins que conduit une n cessaire volution du cadre th orique qui rende justice la complexit des rapports en jeu entre l ve et milieu Dans cette forme avanc e du constructivisme la connaissance n est plus une propri t du seul sujet mais celle d un complexe form par le sujet le milieu et leurs interactions Balacheff 1998 p 20 L analyse doit tre fine pour rendre compte des aspects sp cifiques du milieu et des dynamiques interpersonnelles qui entrent en jeu dans la construction de la connaissance L approche que nous proposons n en exclue pas d autres mais porte son attention sur l art fact dans ce cas le micromonde et sur son fonctionnement en tant que m diateur de significations Conform ment ce que nous avons dit pr c demment nous consid rons qu il est fondamental de ne pas s parer l approche de l id e de d monstration de celle de th orie Nous consid rons en fait que l initiation l id e de d monstration qui est cruciale doit s laborer en m me temps que la construction de l id e de th orie Nous proposons ci dessous une approche particuli re de la perspective
34. it justement le support n cessaire la compr hension mais une telle fonction d pend troitement de l interpr tation des nonc s en jeu et de la valeur de v rit correspondante que l on reconna t chacun d eux En cons quence m me si du point de vue th orique une d monstration peut tre consid r e comme tout fait ind pendante de l interpr tation et donc de la valeur pist mologique attribu e aux propositions en jeu du point de vue cognitif il est impossible de faire abstraction de cet aspect La discussion de Duval permet toutefois de montrer clairement le danger qu il y a se placer sur un plan s mantique et focaliser l attention sur la valeur pist mologique des nonc s la rupture peut tre irr m diable et l argumentation entendue comme processus dont la finalit est d agir sur la valeur pist mique d un nonc elle peut m me emp cher la production d une d monstration c est dire d une argumentation correcte qui suit les r gles d acceptabilit propres la communaut math matique Du reste la distinction entre les techniques argumentatives et leur pertinence par rapport au probl me de la construction de connaissances n avait pas chapp la subtile analyse des anciens Aristote propos des techniques argumentatives souligne dans son trait sur la rh torique l inad quation d un certain langage dans le cas de la g om trie Le choix du
35. la conjecture correcte le lieu est un cercle puis elle explicite la d finition de cercle comme lieu des points qui sont la m me distance du centre Elle demande si elle doit justifier l nonc elle essaie et arrive trouver une justification au fait vident que la corde EF a toujours la m me distance du centre du cercle C2 Giulia 18 ans IV Liceo scientifico 1 G Oui si ce segment ci doit toujours tre il est toujours gal il a toujours la m me distance du centre parce qu en changeant le segment je veux dire que les segments gaux sont ceux a qui je ne me rappelle pas exactement ce que dit le th or me mais des segments gaux sont ont la m me distance du centre des segments gaux sur la m me circonf rence ont la m me distance du centre et donc si je d montre non pas si je d montre j ai d j d montr que ce segment l est toujours gal 2 C Oui mais si tu dis cela c est vrai que si tu as des cordes gales la distance du centre reste constante des cordes de la m me longueur sont quidistantes du centre mais dit comme a 3 G je ne l ai pas d montr parce que je n ai pas d montr que cette roue ou quelque chose de ce genre A 4 G Maintenant je dois dire aussi pourquoi le lieu g om trique est une circonf rence Je dois le d montrer C Tu ne l as pas d j dit Tu as dit qu il reste toujours constant G il res
36. langage 2 est une op ration n cessaire quel que soit le type d enseignement du moins en partie En ce qui concerne l nonc en effet le choix de l expression fait toute la diff rence Mais pas outre mesure parce qu il s agit toujours d une question de sensibilit et c est quelque chose qui concerne seulement l auditeur c est pour cela que personne n enseigne la g om trie de cette mani re Aristote Rh torique HI 1 1404 a 10 Le probl me fondamental semble donc tre celui de r soudre le conflit possible entre les deux fonctions expliquer et valider et parvenir une pens e flexible qui sache passer de mani re d sinvolte et consciente du niveau intuitif celui de la v rit en termes de significations des nonc s au niveau formel de la validit en termes de relations de d pendance logique entre les nonc s Du reste la pratique des math maticiens est cet gard clairante chaque math maticien est convaincu de d montrer des th or mes vrais mais en m me temps la v rit est comprise en 1 C est seulement en comprenant le jeu de la d duction l int rieur d une th orie qu il est possible de d passer la difficult de signification qu ont les l ves quand on leur demande de d montrer des faits connus et vidents 2 J xis soit la mani re de parler de prononcer etc 3 phantasia une simple affection de l me pathos et comme telle diff
37. le de travail du deuxi me type est donn par Harel amp Sawder 1998 qui d crivent les diff rentes conduites des tudiantes face la solution de probl mes dans le domaine de l alg bre lin aire La classification des diff rents arguments propos s dans la solution est tr s fine mai les auteurs ne soulignent jamais la diff rence entre les sch mes d argumentation en terme du mod le d ductif propre aux math matiques tous les arguments son class s comme des Proof schemes sch ma de d monstration le mot proof est utilis soit pour indiquer des v ritables d monstration soit des arguments quelconques Selon l opinion de nombreux auteurs le rapport entre le plan s mantique et le plan th orique se pose par rapport au probl me de la compr hension il nous semble donc int ressant de soulever le probl me particulier de comment se pose la forme hypoth tico d ductive par rapport la compr hension et donc la fonction d explication reconnue lors de la d monstration Il peut exister plusieurs possibilit s Si l on choisit de souligner la rupture entre le plan s mantique o il est possible de parler de la v rit valeur pist mique d un nonc donn et le plan th orique o l on ne peut parler que de validit il faut galement distinguer les points de vue diff rents en termes de compr hension Au plan s mantique la compr hension peut renvoyer des liens entre les significations et pas n
38. ons fait l intersection entre deux objets c est dire entre segment et droite Je consid re les triangles PAP et PBP qui ont en commun le c t PP par construction AP BP puisque ce sont des rayons de la m me circonf rence donc A PAP et A PBP sont gaux selon le 3i me crit re d galit La description est en partie insuffisante il n y a pas d indication sur la fagon dont les deux circonf rences ont t trouv es alors qu elle est tr s pr cise sur les intersections entre deux objets L application du 3i me crit re est essentiellement correcte m me si pour l application il manque un couple de c t s AP et BP L galit de ces c t s est cependant indiqu e sur la figure Il semblerait que le rapport pas simple entre les rayons d une m me circonf rence et les rayons de circonf rences qui ont le m me rayon ne soit pas totalement maitris et cela peut avoir comport la contraction de deux relations a une seule relation En outre il n y a pas de passage d finitif la d monstration de l galit de AM et BM Nous sommes encore loin de la formulation compl te et correcte du Th or me nonc et d monstration qui fournit une validation th orique de la construction effectu e N anmoins la copie montre que la solution a d pass le niveau pratique commun ment assign un probl me de construction en plus en se d pla ant l int rieur du syst me g om t
39. orrespondant dans la transformation successive du menu qui acquiert de nouvelles commandes En m me temps le syst me g om trique est construit graduellement de fa on ce que la complexit augmente petit petit l objectif est de fournir des niveaux successifs de difficult qui peuvent tre affront s par les tudiants Si tout le syst me est pr sent d s le d part on court le risque que les tudiants ne soient pas en mesure de contr ler toutes les relations en jeu plus particuli rement les relations entre ce qui est donn et ce qu on doit d montrer Evolution de la signification de justification L analyse des copies des tudiants montre un processus d volution de la signification de construction Les descriptions des proc d s changent travers une ma trise croissante des termes la clart s am liore et dans le m me temps les argumentations s approchent de plus en plus au statut des th or mes c est dire que les justifications fournies par les tudiants prennent de plus en plus la forme d un nonc suivi par la d monstration relative Une analyse attentive montre galement que ce proc d est tr s lent et fatigant Voyons quelques exemples concernent des probl mes de construction en environnement Cabri Il s agit de deux des activit s propos es la situation pr voit l utilisation d un menu r duit contenant les commandes correspondant aux premi res phases d
40. pas l intuition de Giulia d exprimer imm diatement son dynamisme Les propri t s intrins quement dynamiques qui mergent des ph nom nes observables en milieu Cabri doivent trouver leur place dans un cadre th orique intrins quement statique Ce qui signifie que la gestion de la fonction du d placement en relation avec la production de conjectures peut se r v ler bien plus complexe que pr vu Le rapport entre ph nom nes observables et propri t s g om triques doit tre tabli sur la base d un processus de mod lisation qui d termine le passage du monde des figures de Cabri au monde th orique de la G om trie L interpr tation des invariantes par d placement doit passer travers une interpr tation utilisant les termes de la th orie disponible une telle interpr tation n est ni simple ni imm diate Les difficult s mises en lumi re par l exemple de Giulia nous conduisent consid rer attentivement ce processus d interpr tation La proposition de construction de la th orie telle que nous l avons pr sent e repr sente une tentative de prendre ce processus explicitement en compte Le travail de recherche qui se poursuit encore concerne pr cis ment l analyse fine du processus de m diation s miotique qui on a mis comme hypoth se Les r sultats de l exp rience d velopp e ces derni res ann es nous ont sembl tr s encourageants et nous entendons utiliser le mod le explicatif labor en es
41. plong s dans le milieu Cabri et que se pose le probl me d expliquer pourquoi une construction donn e est stable dans le d placement Selon notre hypoth se en accord avec ce changement de signification du probl me de la construction on s attend ce que la signification de justification change elle aussi en prenant une perspective plut t th orique Il y a deux aspects cruciaux qui entrent en jeu pour comprendre ce que signifie d montrer la n cessit de fournir une justification et le fait que cette derni re doit tre construite l int rieur d un syst me th orique particulier L volution doit donc partir d une n cessit g n rale de justifier avec l intention de donner une validation l int rieur d un syst me th orique Le probl me crucial reste cependant celui d tablir un lien explicite entre un cadre ph nom nologique Cabri et ses figures et une th orie la g om trie L id e g n rale a t celle d utiliser l environnement Cabri et d introduire graduellement les tudiants une g om trie d ductive en construisant une correspondance entre la logique du logiciel et la th orie g om trique fond e sur la correspondance entre les commandes de Cabri et les propri t s acceptables dans la th orie Le probl me central consiste dans la n gociation des r gles pour l acceptabilit d une construction Cabri est un micromonde qui correspond la g om trie Euclidi
42. pr sentent tout d abord lorsqu il s agit de verbaliser le proc d suivi et de fournir une justification de son exactitude Prenons la copie suivante L amp C 5 ans I Liceo Scientifico Dans le menu nous avons l intersection et la bissectrice d un angle Nous avons dessin une droite et nous avons pris un point de cette droite nous avons construit deux autres cercles avec leur centre dans les intersections du cercle avec la droite puis gr ce la commande de la droite par deux points nous avons dessin une autre droite passant par les intersections des deux circonf rences et celle ci est la perpendiculaire La perpendiculaire est la bissectrice de l angle plat et une bissectrice divise l angle en deux angle gaux je d montrerai que les angles a et b sont gaux puisque ce sont des angles de deux triangles gaux en effet a et b sont gaux car ce sont des angles de deux triangles gaux 4 La phrase en italique a t affac Fig 4 La construction de la perpendiculaire donn par L amp C La construction est correcte et la description assez pr cise mais on ne sp cifie pas comment le point sur la droite a t pris ni comment a t dessin le cercle avec son centre en ce point La justification donn e contient le raisonnement correct qui fait r f rence la d finition de perpendiculaire elle montre galement comment les tudiants ont la conscience du fait que l galit entre les
43. rique on va donner une justification en se r f rant L exemple suivant se r f re encore au probl me de la construction du milieu G amp C 15 ans I Liceo Scientifico Cr ez le milieu d un segment Je dessine un segment passant par deux points Je construis trois autres points sur l cran et j y construis l angle Avec la commande Report d angle je copie cet angle sur les sommets du segment et je cr e l intersection de ces deux nouvelles demi droites Avec la circonf rence je centre pointe sur les sommets du segment et je pointe sur l intersection des demi droites en obtenant ainsi deux circonf rences gales En joignant les deux intersections je trouve le point m dian O sur le segment Fig 6 Les passages de la construction de G amp C La copie ne contient pas de dessin faisant probablement r f rence la figure sur l cran nous avons reproduit passage par passage la construction pour claircir le proc d J ai fait cela puisqu en cr ant deux angles gaux sur ce segment on cr e un triangle isoc le En utilisant les deux c t s gaux de ce triangle comme des rayons de deux nouvelles circonf rences j arrive construire deux circonf rences gales aux sommets du segment En ce que concerne le d veloppement de la signification de la justification cela est encore insuffisant la description du proc d suivi se fonde avec la justification Il y a aussi une difficult
44. rtements possibles en opposition et qui parfois semblent proc der en parall le sans parvenir communiquer comme le sugg re Balacheff 1999 ceux ci semblent faire r f rence des perspectives culturelles diff rents une perspective pist mologique une perspective psychologique Dans un cas le point de d part est l analyse pist mologique quand dans l autre cas le point de d part est plut t l analyse des comportements des l ves qui donne lieu des classifications tr s fines des erreurs et des difficult s qu on peut s attendre dans la pratique scolaire Des exemples classiques de contribution du premier type sont les travaux de Duval 1992 93 et Balacheff 1987 Argumenter d montrer expliquer continuit ou rupture C est le titre d un article fondamental de R Duval qui tient une position radicale focalise l attention sur un point crucial la diff rence entre le plan s mantique ou la valeur pistemique de l nonc est fondamental et le plan th orique ou seulement la validit est en jeu c est dire seulement la d pendance logique d un nonc par rapport aux axiomes de la th orie ind pendamment des valeurs de v rit que l on attribue aux propositions en jeu En cons quence de cette analyse Duval souligne le probl me de la distance cognitive entre la d monstration et l argumentation et aussi la pertinence de cette question pour la Didactique de math Un exemp
45. s quand ils n auraient qu argument Balacheff 1999 Dans le m me temps les aspects de continuit entre l argumentation et la d monstration entre la fonction d explication et celle de validation non seulement ne peuvent tre ignor s mais ils peuvent donner des indications int ressantes du point de vue didactique offrant des indications sur la mani re d orienter l intervention didactique en vue d initier les l ves la d monstration La notion d Unit Cognitive La continuit entre processus argumentatifs et processus d monstratifs se manifeste dans la notion d Unit Cognitive La notion d UC est n e d une analyse historico pist mologique qui a mis en vidence des l ments de continuit entre le processus de production d une conjecture et la d monstration ult rieure de celle ci A ce propos Lakatos d crit magistralement le lien entre les argumentations qui accompagnent la formation d une conjecture et la d monstration qui en d rive Lakatos 1976 d autres pistes dans ce sens nous sont galement donn es par les r centes r flexions sur le travail de production de th or mes de math maticiens contemporains Thurston 1994 Du point de vue de la didactique des signes de processus similaires dans les productions des l ves taient reconnaissables dans les r sultats d crits par certains auteurs en particulier Harel amp Sawder L hypoth se d une continuit po
46. sayant de d crire les processus fins impliqu s dans le processus de m diation s miotique dans le cas du passage de l utilisation du dragging au contr le th orique Bibliographie Balacheff N 1987 Processus de preuve et situations de validation Educational Studies in Mathematics vol 18 n 2 pp 147 76 Balacheff N 1999 Pour un questionnement ethnomath matique de l enseignement de la preuve La lettre de la preuve Sett Oct 1999 http www cabri imag fr Preuve Newsletter 9909 10 html Balacheff N 1998 Apprendre la preuve In J Sallantin Szczeciniarz J J eds La preuve la lumi re de l intelligence artificielle Paris PUF Bartolini Bussi M G 1998 Verbal interaction in mathematics classroom a Vygotskian analysis Sierpinska A et al eds Language and communication in mathematics classroom NCTM 65 84 Bartolini Bussi M G Boni M Ferri F amp Garuti R 1999 Early Approach To Theoretical Thinking Gears in Primary School Educational Studies in Mathematics 39 1 3 67 87 Baulac Y Bellemain F amp Laborde J M 1988 Cabri G om tre un logiciel d aide l enseignement de la g om trie Logiciel et manuel d utilisation Version 1 0 Macintosh de Apple Paris Nathan logiciels Boero P Dapueto C Ferrari P Ferrero E Garuti R Lemut E Parenti L Scali E 1995 Aspects of the Mathematics Culture Relationship in Mathematics Teaching Learning in
47. ssible entre la d monstration d un nonc et le processus de production de la conjecture de cet nonc a conduit a l tude attentive de ces processus Boero et al 1996 Garuti amp Boero 1997 et la d finition de la construction th orique de l Unit Cognitive Mariotti et al 1997 Definition de l Unit Cognitive La notion de l UC utilis e comme instrument d analyse des processus permet de mettre en vidence les potentialit s de certaines situations probl matiques en ce qui concerne l initiation des l ves la d monstration et permet en m me temps de mettre en vidence de possibles obstacles L analyse des cas o l UC est absente permet en effet d avancer des hypoth ses en termes d obstacles Produire des th or mes et les produire compl tement c est dire de la formulation de la conjecture dans un nonc la construction de la d monstration semble tre une bonne approche l id e de d monstration La pr sence de processus argumentatifs dans le cas de probl mes ouverts qui ont besoin de la formulation et de la d monstration d un nonc conduit sugg rer ce type de contexte dans la mesure o celui ci est encourageant en termes didactiques Boero et al 1996 Nous prendrons quelques exemples et nous tenterons de montrer comment la notion d UC peut nous tre utile pour analyser les processus impliqu s dans la production de d monstrations Un exemple d
48. t est gal celui ci il indique OB et OD et ce c t est gal celui ci il indique AO et OC donc nous avons deux triangles avec trois c t gaux qui en th orie devraient donc tre gaux Le probl me est qu il m a sembl que je ne peux pas le faire pour tous les cas Comme nous venons de le voir la d monstration r sume toutes les propri t s labor es durant la phase de production de la conjecture Dans ce cas nous parlons d unit cognitive la d monstration utilisant les m mes arguments qui petit petit avaient merg sous des formes diff rentes et avaient port la production de la conjecture Cet exemple nous montre aussi comment l exploration et la production de la conjecture se d roule avec une r f rence constante un syst me th orique axiomes d finitions th or mes dans le quel Stefano pense devoir justifier la solution L unit cognitive comme r v lateur de difficult s Voyons maintenant quelques exemples o la notion d unit cognitive utilis e comme instrument d analyse du rapport entre processus de production et conjecture et processus de production et d monstration permet de mettre en vidence des difficult s Prenons le probl me suivant Probl me 2 Soit un point et une droite d terminer le lieu des points quidistants du point et de la droite Examinons une fois encore le comportement de Stefano face ce nouveau probl me L intui
49. te constant C comment tu d finis la circonf rence G Je la d finis comme lieu tu as raison lieu des points quidistants du centre Oe CEE Oyen J ai pens que je devais d montrer aussi non c est peut tre stupide que je devais d montrer aussi qu elle tournait autour du centre 10 C Ah qu elle tournait 11 G Mais ce n tait pas une chose si je dis bon qu elle forme mais la circonf rence que c est une circonf rence je le vois bien quand je prends et que je tourne et que je fais glisser le point C sur la circonf rence mais si je prends un point au hasard je pourrais aussi ne pas avoir une circonf rence comment je fais pour dire avec certitude que c est une circonf rence 12 C Comment cela un point au hasard 13 G Je veux dire un point au hasard je ne dois pas d montrer qu il me donne une circonf rence qu il est le lieu g om trique 14 C Non parce que ce n est pas un point au hasard c est le point m dian de cette corde qui tourne au changement de position d placement du point C sur la circonf rence 15 G Je ne dois pas d montrer qu il tourne Pacte Es Opra Alen Ms a ma le J Fe art 2 Fig 7 Le dessin qui appara t sur l cran de l ordinateur 16 C Comment fais tu d montrer qu il tourne 17 G Je ne sais pas en fait c est a le probl me 18 C Le fait est que quand tu as d montr qu
50. tion de la solution est tr s rapide la conjecture est produite sans difficult et n est pas reproduite pour tre confirm e ni pour trouver une formulation plus pr cise Mais il se demande imm diatement comment puis je le d montrer C est l qu il semble commencer une recherche de propri t s qui puissent tre utiles pour la d monstration Stefano 18 ans III Liceo Scientifico Probl me 2 2 S il pose sa r gle sur la feuille pour prendre les points moyens des segments trac s mon intuition me dit que c est la droite le lieu c est la droite disons quidistante du point P et de la droite r mais c est seulement une intuition 4 S elle est parall le ar voyons maintenant alors il inscrit les lettres aux extr mit s et aux points des segments trac s Stefano 4 Lien Scientifien LE anni dano fig 2 Stefano dessin 1 Probl me 2 5 S ce sont toujours des points au milieu des segments je veux dire quidistants non ils ne sont pas quidistants ils sont quidistants du point sur la droite et du segment il indique de mani re confuse il semble indiquer le point P je trace une droite parall le r et passant par P il la trace et l appelle s pour M il trace le segment perpendiculaire r passe son stylo sur la figure surtout sur les l ments du dessin proche de M 6 S voix basse dans les sym tries du centre il passe son stylo sur la figure 7
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