TP Méthodes Numériques
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1. un syst me diff rentiel ordinaire pour d duire l existence et l unicit de solutions du syst me initial 2 2 R duction un syst me diff rentiel ordinaire On va ramener 2 un syst me diff rentiel classique en posant y ln u Question 2 4 Montrer qu apr s plusieurs tapes le syst me 2 s crit PE x Le EE 3 t xu avec les conditions initiales 0 1 uo T k 4 u 0 uo o x y est le taux de variation relatif de u Question 2 5 En utilisant un th or me du cours tudier l existence et l unicit de solutions de 3 4 On admettra que cette solution est globale en temps Question 2 6 Programmer la r solution num rique de ce syst me 2 3 Approche num rique directe On consid re le syst me 2 sous l angle de l approximation num rique Question 2 7 Montrer que le probl me 2 peut tre vu sous une forme symbolique comme u f s u Co uo On va appliquer ce probl me les sch mas num riques courants Soit h un pas de temps et sn nh n N des points de discr tisation en temps 2 3 1 M thode d Euler L analogue de la m thode d Euler consisterait approcher la solution l aide de la suite Un 1 Un hf Sn Un Sirah A i u f un e de 0 K Question 2 8 Ecrire une fonction Euler qui calcule un nen en utilisant dans l galit ci dessus la formule des trap zes ou la formule de Simpson au choix de l utilisateur On peut am liorer2. TP int r t difficult s rencontr es temps de travail planning R f rences 1 Francesco M SCUDO Vito Volterra and theoretical ecology Theoretical Population Biology 2 1971 pp 1 23
3. but de l exp rience Le m tabolisme total d termine galement la concentration de d chets ou de toxines dans le milieu Pour simplifier supposons que l activit m tabolique de la population soit directement proportionnelle au nombre d individus et que la quantit de m tabolisme affecte lin airement le coefficient de croissance a Ce syst me peut tre repr sent par l quation int gro diff rentielle p 0 po dp t de bp cp fo p T dr o e a gt 0est le taux de naissances e b gt Q est le coefficient de comp tition interne l esp ce e c gt 0 est le coefficient de toxicit de la toxine e po gt 0 est la population initiale On se propose d tudier l volution du mod le 1 en fonction des param tres a b c et de la donn e initiale po Pour ramener au minimum le nombre de param tres qui sont effectivement significatifs dans le mod le on introduit les variables adimensionnelles c b c s t u s p t et on note k b a ab On consid rera que est une constante d ordre 1 Question 2 1 Montrer que le syst me 1 se r crit en fonction de ces nouvelles variables du A 2 Question 2 2 Rechercher les solutions stationnaires solutions qui ne d pendent pas du temps de 2 Question 2 3 Donner l ezpression de la solution analytique du syst me 2 Avant d tudier ce syst me plus en d tails nous allons voir comment on peut l exprimer sous la forme d
4. cette m thode en utilisant un sch ma pr dicteur correcteur le pr dicteur u est obtenu par la formule ci dessus et permet de calculer le correcteur On a donc get na 1 Un J unlo do n Un 1 Un T 2 f Sn Un T TS 4 On appellera cette m thode Euler modifi e Question 2 9 Programmer Euler modifi e 2 3 2 M thode de Runge Kutta d ordre 4 On peut galement utiliser la m thode de Runge Kutta d ordre 4 RK4 pour passer de Un Un 1 On d finit k hf sn un k as te ko A u 23 n 3 us unt 2 n t4 7e 2 k3 hf s 1 u 2 nTS u ER kar hf Sata 1 Un 1 Un Tr gt 2ko 2k3 ka Question 2 10 Comme pr c demment avec la m thode d Euler programmer la m thode RK4 2 4 R sultats et conclusions On prendra K 0 1 et uo 0 1 Question 2 11 Tracer les courbes obtenues avec les diff rentes m thodes les comparer commenter et interpr ter les resultats Remarque la d termination du temps o u atteint son maximum peut tre utile si on envisage de r colter la population Question 2 12 Avec le menu GUI and Dialogs de l aide de Scilab cr er une interface graphique qui permette de choisir les m thodes qui fasse bien appara tre la distinction entre les tapes de calcul et les trac s Cette interface doit permettre de r pondre la majorit des questions num riques de ce TP Question 2 13 Conclusions personnelles sur ce
5. vos fichiers Scilab par mail dans un fichier NomiNom2 tar ou dans une archive NomiNom2 zip Tout retard devra m tre justifi en personne Modalit s pratiques Ce TP est r aliser en bin me Aucun trin me n est accept Pour toute question commentaire ou demande de pr cisions vous avez trois solutions La page web du TP accessible depuis le Kiosk de l Ensimag Le mail tous les jours toute heure Vous pouvez aussi venir me voir l Ensimag o j assurerai une permanence L ho raire sera indiqu sur le Kiosk C Lucas Carine Lucas imag fr 1 Exercices On consid re une fonction f d finie sur a b et on souhaite approcher f f s ds Soit a t lt t2 lt gt lt tn 1 b une subdivision uniforme de l intervalle a b On note dt t ti 4 1 1 La m thode des trap zes On approche l int grale par la surface des trap zes b tis sur les cordes b n f rods SU tn dt e Y GUUR LL N TR 0 D j X NN RRQ N NS RRQ I o h AAB a ELLE LALL lt dt S _ N F1G 1 M thode des trap zes Question 1 1 Programmer une fonction trapeze qui calcule une approximation par la m thode des trap zes de l int grale d une fonction sur un intervalle Question 1 2 L int grale exacte de la fonction f t V 1 et sur l intervalle 0 2 est Te dt 2 V1 e V2 1 A HE E 406094 V2 V1 e 1 En
6. ENSIMAG 1 re ann e 2005 2006 TP M thodes Num riques Objectifs Les objectifs de ce TP sont d tudier et de comprendre deux m thodes num riques d une part l int gration num rique partie 1 d autre part des m thodes de r solution des quations diff rentielles partie 2 d utiliser un logiciel de calcul scientifique Scilab pour impl menter et r soudre les algorithmes et visualiser les r sultats de valider cette m thode num riquement Compte rendu Vous devez r diger un compte rendu de TP dans lequel vous r pondrez toutes les questions de l nonc expliciterez les m thodes employ es pr senterez et commenterez les r sultats obtenus La qualit de la r daction de la synth se de l analyse des r sultats obtenus sont des crit res importants pour la note La derni re page de votre compte rendu devra tre une sorte de manuel d utilisation o vous expliquerez comment utiliser vos programmes Le compte rendu sera dactylographi de pr f rence avec le logiciel TEX vous aurez votre disposition un fichier de r ponses Ce compte rendu n exc dera pas 10 pages et ne comportera pas de programmes Vous me ferez galement parvenir vos fichiers Scilab la lisibilit du code et la pertinence des commentaires seront pris en compte Le TP est rendre au plus tard le vendredi 24 F vrier 2006 17h00 votre compte rendu imprim dans le casier pr vu cet effet et
7. calculant cette int grale pour plusieurs subdivisions tudier l effet du nombre d intervalles n sur l erreur de calcul On note maintenant k 1 Sk at e SEY flt i 2 pour 2 lt k lt n 1 approximation de l int grale de f sur a tx Question 1 3 Donner une formule de r currence sur Sp Question 1 4 Programmer une fonction trapeze2 qui calcule l approtzimation par la m thode des tra p zes de l int grale d une fonction sur un intervalle en utilisant cette formule de r currence Question 1 5 Comparer trapeze et trapezeZ2 dans les cas suivants b si on veut calculer f f s ds si on veut calculer tous les termes f s ds pour k 2 n 1 1 2 La m thode de Simpson La m thode de Simpson repose sur l interpolation de f entre a et b par une parabole sur les valeurs a b 442 Plus pr cis ment on cherche un polyn me P de degr inf rieur ou gal 2 tel que f a P a f P b et f 2 P 4 On trouve ro STOR 2 ro F1G 2 M thode de Simpson Cette m thode peut tre am lior e en utilisant une subdivision uniforme de pas dt 7 o n est pair Avec les notations introduites au d but on a re a f f s vas f fs ds rod On applique la formule ci dessus pour les pairs tipi 2dt JO Fods fe 47 ft ti et on obtient b f rosg Fa Ftna HS Fe 2 5 ft poir Timpa c est la formule de Simpson Questi
8. on 1 6 Programmer une fonction simpson qui calcule une approximation par la m thode de Simp son de l int grale d une fonction sur un intervalle Question 1 7 Donner les valeurs de l int grale de f t V1 et sur l intervalle 0 2 pour n 2 4 8 et 16 On note Sk 1 dt F1 f tx41 4 5 fti 2 D FC k pair i 2 i pair i impair pour 2 lt k lt n int grale de f sur fa tk41 S dt 0 Question 1 8 Donner une formule de r currence sur Sk 1 Question 1 9 Programmer une fonction simpson qui calcule l approrimation par la m thode de Simp son de l int grale d une fonction sur un intervalle en utilisant cette formule de r currence On souhaite maintenant modifier ces fonctions pour tudier le cas o n est impair Dans la fonction simpson il faut rajouter la valeur de l int grale po f s ds que l on approchera par la m thode des trap zes F tn 1 ftn Question 1 10 Modifier la fonction simpson pour tenir compte du cas n impair Si on consid re maintenant la formule de r currence c est S2 qu il faut donner et la formule de r currence permettra de calculer tous les S2 7 On fait la m me approximation que pr c demment S2 dt f t1 f t2 Question 1 11 Modifier la fonction simpson pour tenir compte du cas impair Question 1 12 Comme dans le cas de la formule des trap zes comparer simpson et simpson2 2 Mod le de population de Volterra 2 1 Introduction Vito Vol
9. terra 1860 1940 math maticien italien cf 1 a principalement tudi les mod les proies pr dateurs la suite d un probl me de p che dans la mer Adriatique Le cas le plus simple est celui d un organisme asexu qui se reproduit et qui est insensible l ge Son comportement ne change pas au cours du temps ni en fonction du nombre d organismes La quantit p t peut repr senter le nombre d individus ou bien le poids total le poids total de certaines parties ou toute autre mesure de la quantit de vie Sous ces conditions si est le taux intrins que de 3 d _ croissance de la population on a ap t donc p t po exp at Dans ce mod le les ressources environnementales sont illimit es On peut cependant consid rer une ca pacit environnementale finie en prenant pour a une fonction d croissante de p par exemple une fonction lin airement d croissante avec p c est l quation de Verhulst Pearl de a p p t a bp t p t souvent appel e quation logistique Si on consid re des m canismes sp cifiques affectant la reproduction ou la mortalit on a des relations beaucoup plus complexes Dans la suite nous allons tudier un environnement compl tement clos comme des micro organismes confin s dans un tube essais La quantit de nutriments disponibles diminue au cours du temps proportionnellement la quantit totale de m tabolisme qui a lieu dans le tube depuis le d
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