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Algorithmes de calcul formel et numérique

1. 1 1 In pn 1 lt Mp zl prl 67 On rappelle qu on a la majoration u 1 16 1 Jars 101 lt 2 lt 2 qui va nous donner la minoration de pr 1 u 1 1 Pati 72 Pn 2 2 1 cos6n Un 1 2 Pn 1 1 2 8 so oo 2 4sin gt 1 1 2 02 T og y j Pn il 2 l 2X 41 On Z 9 Pn Dn mE En 2 1 1 1 1 2 gt H 2 x 1 1 Z 2Vp P 4 2 Ss E vP gt 1 1 1 AP 4 x 22n 2 en prenant les log et en minorant In 1 x par 2x 1 1 1 1 In pn 1 2 5 1 Mn pnl In 5 2 2300 pnl songs Finalement avec 67 1 1 ln pr4il lt Un Pnl EN 53 On en d duit 1 1 1 1 1 In pn lt an MP on 3 M un 92n 1 D2n 2 on In po on 2 La convergence du In u v vers 0 est donc g om trique donc un et v convergent quadratiquement 25 2 Lien avec les int grales elliptiques Le calcul de la limite commune des suites u et v en fonction de a et b n est pas trivial au premier abord Il est reli aux int grales elliptiques plus pr cis ment 277 on peut construire une int grale d pendant de deux param tres a et b et qui est invariante par la transformation Un Un gt Un 1 Un 1 65 es dt I a b VEA On a en effet E va f du y 22 u ab u On pose alors 1 ab t 5 i le t gt 0 o t u est une bijection croissante de t 0 00 vers u 00 00 donc b Fe t 2 b t va dt 2 1 ab t 0 al E 1 4 t ab
2. air ao P r 0 Si P n a que des racines simples r1 Tn C l ensemble des solutions est alors l espace vectoriel engendr par e 1t ent En effet on a le bon nombre d l ments n il suffit donc de montrer qu il s agit d une famille libre Cela se fait par r currence Au rang n 1 c est vident Sin gt 1 et si A1 An v rifient n y Ajen 0 j 1 on factorise e et on d rive on a Y ir rnet 0 on est ramen l identit pr c dente au rang n 1 donc par r currence r Tn 0 et 0 si j An puis A 0 avec la relation du d part Si P a des racines multiples on peut montrer que pour chaque racine r de multiplicit m gt 1 il faut rajouter te kt 71g7 t pour former une base de solutions En effet ty ty jy donc si y est solution de l quation alors ty est encore solution si nany n 1 an iy a 0 on reconnait l quation diff rentielle lin aire coefficients constants dont l qua tion caract ristique est P L ind pendance lin aire de ces fonctions se montre en faisant t 0 on est ramen au cas pr c dent puis en divisant par t et en faisant t 0 etc Si P est coefficients r els et admet une racine non r elle z alors Z est en core racine on peut r crire avec des fonctions trigonom triques les combinaisons lin aires de e et e a ibet a B e 0D e 2a c
3. Le lecteur voulant tester d autres exemples pourra utiliser le programme Xcas cf l appendice suivant pgcd a local b r res b diff a x res NULL for b 0 res res b r rem a b a b b r return res 2 6 Valeur g n rique des variables et hypoth ses Lorsqu on utilise un symbole sans lui affecter de valeurs en math matiques on s attend une discussion en fonction du param tre repr sent par ce symbole Ce qui n cessiterait de cr er un arborescence de calculs on retrouve ici les probl mes d explosion voqu s dans la section pr c dente La plupart des syst mes de calcul formel contournent la difficult en supposant que le param tre poss de une valeur g n rique par exemple la solution de t 1 a t 1 sera x 1 t 1 ou choisissent une branche pour les fonctions poss dant un point de branchement par exemple pour r soudre x t en fonction de t Certains syst mes demandent de mani re interactive l utilisateur si la variable est par exemple positive ou diff rente de 1 mais cela s oppose un traitement automatique On peut aussi anticiper ce type de d cision en faisant des hypoth ses sur une param tre la plupart des syst mes de calcul formel actuel proposent cette possibilit 23 2 7 Structures de donn es On a vu plus haut qu on souhaitait manipuler des entiers de taille non fixe des r els de pr cision fixe ou non des fractions d
4. L int r t de cet algorithme apparait lorsqu on veut calculer le logarithme avec beaucoup de pr cision en raison de la convergence quadratique de la moyenne arithm tico g om trique qui est nettement meilleure que la convergence lin aire 283 pour les d veloppements en s rie ou logarithmiquement meilleure pour l exponen tielle par contre elle n est pas performante si on ne veut qu une dizaine de chiffres significatifs On peut alors calculer les autres fonctions transcendantes usuelles telle l exponentielle partir du logarithme ou les fonctions trigonom triques in verses en utilisant des complexes et directes On trouvera dans Brent Zimmermann quelques consid rations permettant d am liorer les constantes dans les temps de calcul par rapport cette m thode cela n cessite d introduire des fonctions sp ciales 0 et d autres formules pour calculer T On peut ensuite partir du logarithme calculer l exponentielle en utilisant la m thode de Newton 26 Les g n rateurs de nombres pseudo al atoires 26 1 Selon la loi uniforme Les g n rateurs d entiers dans une plage donn e selon la loi uniforme servent en g n ral de base pour g n rer des nombres al atoires entiers ou non selon des lois classiques Ils doivent la fois tre rapides avoir une p riode gale la plage donn e et avoir de bonnes propri t s statistiques Xcas utilise un tiny Mersenne Twister de p riode
5. de E Ec ab mi V x t lagrangien en relativit restreinte z2 a L x i t me 4 1 a V x t Proposition 26 Equations d Euler Lagrange ce sont des conditions n cessaires pour que y t soit un extr mum si x 11 Zn est un syst me de coordonn es pas forc ment dans un rep re orthonorm elles sont donn es par d OL OL dt 0 Ox pouri 1 n On v rifie que cette quation a la bonne homog n it Sur les exemples on obtient pour la longueur minimale dans le plan on a Melo OU is 81 0x1 Ox 1 do qui est la premi re composante du vecteur tangent de m me pour la deuxi me composante donc le long de la courbe le vecteur tangent a sa d riv e nulle donc est constant Une courbe r alisant un extr mum de la distance entre deux points dans le plan est donc port e par une droite c est le segment reliant ces deux points Pour le deuxi me exemple OL OV OL mz 0x1 0x1 0x1 c est dire la composante sur x de la force et de la quantit de mouve ment donc l quation d Euler Lagrange donne l quation fondamentale de la dynamique Pour le troisi me exemple on a OL OV OL 1 m 0x1 Or 0x1 2 D c est dire la composante sur x de la force et de la quantit de mouvement en relativit restreinte on retrouve donc l quation fondamentale de la dy namique D monstration id e On fait var
6. erreur f x P Q il n existe pas 4 ma connaissance de r sultat explicite g n ral Pour la fonction exponentielle on peut calculer l erreur relative g x 1 e P Q puis tudier la fonction P Q fxnd pade exp x x 10 6 g 1 exp x P 0 factor g On en d duit que g est une fonction d croissante nulle en l origine son maximum en valeur absolue est donc atteint aux bornes de l intervalle d tude par exemple sur 1 4 1 4 l erreur relative est major e par 3e 1 7 il faudrait aller l ordre 12 pour avoir la m me pr cision avec Taylor donc faire 23 op rations quasiment le double Visuellement le graphe de l exponentielle et de l approximation de Pad sont encore tr s proches pour x 5 f x local P1 P2 x2 X2 XxXx P2 30240 x2x 3360 30xx2 P1 xx 15120 x2x 420 x2 retourne P2 P1 P2 P1 hi plot f x exp x x 6 6 color blue red 22 6 Autres applications On peut calculer certaines int grales de la m me mani re par exemple 1 2 1 V1 23 mais aussi des fonctions d finies par des int grales cas de nombreuses fonctions sp ciales 22 6 1 Exemple la fonction d erreur error fonction erf Cette fonction est d finie 4 une constante multiplicative pr s par eS 1 e dt On peut d velopper en s ries enti res l int grand rayon de convergence 00 puis int grer terme terme on obtient 00 en AE df 1 n 2
7. iy Leit R sa norme vaut 1 R et sa direction pointe vers le centre du cercle Donc la courbe est l ordre 2 au point consid r identique un cercle de rayon R Revenons au param trage initial t D rivons par rapport t la vitesse aM v 2 G on obtient T dM _ dv aM HIPI ds PM _ d dM Le dM dt dt dt ds dt ds ds Lacc l ration se a donc en deux parties le premier terme colin aire au vecteur tangent est l acc l ration tangen tielle de norme 7 le second terme perpendiculaire au vecteur tangent est l acc l ration nor male dont la norme est v R o R est le rayon de courbure Autre formule de calcul l acc l ration normale a vaut v R donc 3 3 12 Dh end pyr Proposition 16 On appelle rep re de Frenet en un point M r gulier d une courbe le rep re orthonorm direct form par le point de la courbe le vecteur tangent et le vecteur normal N On a alors Ferren dT aj Oe oe dt ds K ds l avant derni re formule vient du fait que T N est une base orthonorm e di recte le signe est d termin par la convexit de la courbe et z y _ yx On appelle centre de courbure le point Q M LW Le cercle de centre Q passant par M de rayon R est appel cercle osculateur en M a la courbe 97 Exemple calcul du cercle osculateur en un point d une parabole t t i 21 VIF h y 2 R V14 y1 41 2 Trac
8. 2 Sion a trouv un facteur le rajouter la liste F et supprimer les indices de v de la liste L terminer cette boucle int rieure 3 Sinon incr menter v de la mani re suivante On fait une boucle sur un index m initialis la taille de v diminuant de 1 chaque it ration on ajoute 1 l lement de v d indice m si l l ment obtenu est inf rieur ou gal au cardinal de L m n on arr te cette boucle sinon on passe l it ration suivante Sim 0 la fin de la boucle v ne peut pas tre incr ment 4 Si v ne peut tre incr ment on incr mente c et on termine la boucle int rieure 5 Sinon on fait une boucle nouveau sur m en partant de la valeur ac tuelle incr ment e de 1 et tant que m lt n on pose Un Vm 1 1 Puis on passe l it ration suivante de la boucle int rieure Il existe diff rentes m thodes qui am liorent la complexit de cette tape La recherche des degr possibles de facteurs fond e sur la factorisation en degr s distincts pour diff rents nombres premiers permet d viter des tests de division si une combinaison de facteurs est d un degr exclu par la facto risation pour d autres nombres premiers Le test de divisibilit du coefficient dominant ou du coefficient constant per met aussi d viter des divisions compl tes de polyn mes 152 Mais ces astuces n vitent pas l num ration de toutes les combinaisons possibles
9. kj EG wi Er TN y Yin j 0 262 On le prouve en rempla ant y par sa valeur 1 E 1 jil k Ent N LWR WN j 0 I 0 y NANA E j k l F mew N j 0 I 0 NA Nat k l yA ade Y I 0 j 0 N 1 WED k 1 sirp ee TON dl k I 0 N si Wy Or si wk g2im k 1 N 1 gi et seulement si k 1 d o le r sultat Propri t La transform e de Fourier discr te d une suite r elle v rifie Yy x Yk La preuve est imm diate en appliquant la d finition Un des int r ts de la DFT est de mettre en vidence rapidement d ventuelles p riodicit s de x divisant N Plus pr cis ment soit 7 est un entier divisant N Consid rons une suite r elle x dont la DFT y est nulle sauf y et yy Par li n arit on peut se ramener 2 cas y yy let y i yy i Dans le premier cas on obtient xy wit wy 2cos 2akl N dans le deuxi me cas on obtient x 2sin 27kl N qui sont p riodiques de p riode N l R ciproquement si x a comme p riode T N l alors en posant j Tm r avec m 0 J et r 0 T 1 ona x x donc y kj Uk TjW y si age 1 Comme y ee 1 yk 0 si kT kN l n est pas un multiple de N Finalement si k n est pas un multiple de l alors yz 0 Voyons maintenant le cas de pseudo p riodes supposons donc que x est p riodique de p riode N mais que de plus pour un T gt 0 quelconque ne divisant pas forc ment JV on ait T
10. le cercle de centre l origine et de rayon 1 peut se param trer par x t y t cos t sin t t 0 27 On peut bien sur le param trer par t R mais dans ce cas on parcourt plusieurs fois le cercle p riodicit On peut aussi param trer tout le cercle sauf un point avec le param trage rationnel x t y t ES Iia t R Ce param trage permet de calculer plus facilement des points du cercle mais contrairement au param trage trigono m trique il n est pas uniforme Exemple plotparam cos t sin t t 0 2xp1 plotparam 1 t 2 14 t 2 2t 1 t 2 t 10 10 ou avec les nombres complexes plotparam 1 ix t 1 ix t t 10 10 84 8 2 Repr sentation graphique La plupart des calculatrices graphiques et de nombreux logiciels de maths per mettent de repr senter graphiquement un arc de courbe en donnant des valeurs extr mes t_ et t souvent not es tmin et tmax et un pas At t step Le logi ciel value la valeur de x t et y t en t t_ At t_ 2At puis relie les points de la courbe obtenue par des segments parfois avec des autres arcs de courbes La plupart du temps cela donne une bonne id e de la courbe mais parfois on peut manquer un d tail int ressant valeur de At trop grande ou un morceau de courbe mauvaises valeurs de t_ et t4 Il peut tre n cessaire d ajuster le cadrage graphique l affichage xmin xmax ymin ymax ou de l affiner avec un men
11. 0 20 7 7 Exemple 1 A 2 est valeur propre de multiplicit 2 on obtient zop 1 1 1 BOSA TEA 2 5 1 3 5 E Els 2 9008 on applique l algorithme de Horner 1 1 1 B 2 1 11 0 0 0 2 1 1 B 2 2 1 1 1 1 1 Comme B 2 4 0 on pourrait arr ter les calculs en utilisant une colonne non nulle et le cycle de Jordan associ 2 2 1 1 1 0 0 0 0 Expliquons tout de m me l algorithme g n ral sur cet exemple La r duction de B 2 s obtient en effectuant les manipulations de colonnes C2 C1 C2 et C3 Cy C3 On effectue les m mes op rations sur B 2 et on obtient 1 0 0 100 00 0 2 1 1 2 1 1 10 0 L tape suivante consiste d placer vers le bas d une matrice les colonnes non nulles de la matrice du haut on obtient 1 1 1 1 1 1 00 0 qui se r duit en 1 0 0 1 0 0 0 0 0 on chercherait alors dans les colonnes 2 et 3 de nouveaux cycles puisque la co lonne 1 a d ja t utilis e pour fournir un cycle 20 7 8 Exemple 2 3 2 2 A 1 0 1 1 1 0 221 A 1 est valeur propre de multiplicit 3 On trouve 0 0 0 Bl 0 0 0 0 0 0 D DS Bl 1 1 1 te ol 1 0 0 Be No 4 50 001 Le processus de r duction commence avec B 1 en haut de la liste de matrices on effectue les op rations l mentaires de colonne C2 C1 C2 et C3 C1 C3 et on obtient 2 1 0 O 0 0 j 0 1 1 1 1 0
12. 0 1 donc 2 dx 2 dy K m o y1 1 k2sin 2 2 Jo y1 1 k cos y en posant y 7 2 x et f dy Ne v sin y k cos y la singularit de l int grale pour k proche de 0 apparait lorsque y est proche de 0 Si on effectue un d veloppement de Taylor en y 0 on trouve sin y k cos y k 1 k y 0 y Il est donc naturel de comparer K m l int grale fon J o ke 1 ky qui se calcule en faisant par exemple le changement de variables y sinh t 1 k ou directement avec Xcas 279 supposons k gt 0 amp amp k lt 1 J int 1 sqrt k 2 1 k 2 y 2 y 0 pi 2 qui donne apr s r criture ely ea 69 et on peut calculer le d veloppement asymptotique de J en 0 series J k 0 5 1 j mn Z rofa on peut alors pr ciser ce d veloppement par qui renvoie series J 1n k 1n pi k 0 5 1 qui renvoie apr s simplifications et o la notation O peut contenir des logarithmes i In r a k2 ale O k donc J In k In 7 lt a 1 E K 0 Examinons maintenant K J il n a plus de singularit en y 0 et il admet une limite lorsque k 0 obtenue en remplacant k par 0 K a f ay w eG mo D o pour K mant 0 as QE In k Pour pr ciser la partie du d veloppement de K en puissances de k nous allons majorer K J 1n 4 7 puis J In 7 k Posons
13. 1 Bais pBp f Bp 1 t dt 0 ce qui d finit de mani re unique les Bp La nullit de l int grale montre que Bp 1 1 Bp 1 0 ce qui simplifiera l expression des termes tout int gr s De plus on montre par r currence que les Bp ont une sym trie paire ou impaire selon la parit de p par rapport t 1 2 Apr s p int grations par parties on obtient 2 ORM E E y CR GAS es No f Gin a En faisant le m me raisonnement sur k k 1 pour k 1 N 1 et en sommant on obtient la formule d Euler Mac Laurin N re p t d 20 pm 71 Box 0 k i ey pl py N Bar sok FE penae peo EA de On pose alors x a ht donc dt dx h et f t g x donc f t df dt hdg dx on obtient 1 ros BO 1 0 ray 1 seoa OI N Bagg O fo Se naa jae 185 donc N Te y f g x dx 4 pe 20 gb g a N D pa e 1 J Pg de L acc l ration consiste liminer les puissances de h en commen ant par h avec des subdivisions deux fois plus fines chaque it ration Ainsi T f 4Thp2 f Tr f 4 1 n a plus de termes en h et tend vers l int grale approcher lorsque h tend vers 0 On peut d ailleurs v rifier qu il s agit de la m thode de Simpson On limine ensuite le terme en ht en posant T f PT 2 TH f 42 1 et ainsi de suite On construit un tableau triangulaire T dont chaque ligne l contien
14. Il existe un nombre fini de z tels que l un des facteurs irr ductibles Py de P valu en X z soit r ductible c est dire tels que 22 admette plusieurs facteurs pj distincts Preuve Pour d terminer C on remarque que les facteurs du contenu de P z sont des facteurs communs des coefficients de P valu s en z vu comme polyn me en X1 Xn_1 coefficients dans Z X Donc c z divise le g n rateur de l id al en gendr par ces coefficients ce g n rateur est un polyn me de Z X qui est constant car on a suppos P primitif on peut aussi dire que deux au moins des coefficients dans Z X de P sont premiers entre eux alors c z divise le coefficient de l identit de B zout de ces 2 coefficients vu comme polyn mes en X Consid rons maintenant un facteur irr ductible P de P de degr d par rapport X Pour X1 Xn 1 fix s on factorise P sur C P X xl X 25 On va maintenant se restreindre un domaine des X1 X 1 sur lequel les z ont une d pendance analytique par rapport X1 Xn 1 Pour cela on veut appliquer le th or me des fonctions implicites pour d terminer z au voisinage d une solution donn e On calcule donc la d riv e Py de P par rapport X On sait que P n a pas de facteurs multiples donc P et Pj sont premiers entre eux donc d apr s l identit de B zout il existe un polyn me non nul D d pendant de Xy Xn 1 et deux polyn mes U et V d pe
15. My gt lt lt egjAzr gt Cons quence si A sym trique d finie positive alors Gauss Seidel converge car M N D Pour la relaxation on a M N 2 w 1 D qui est d finie positive siw lt 2 229 20 9 3 M thode it rative du gradient conjugu Il s agit de r soudre Ax b o A est d finie positive Si on a une base ortho gonale pour le produit scalaire induit par A on peut calculer la j i me coordonn e de x dans cette base en faisant le produit scalaire de Ax b par le j i me vecteur de la base On construit donc petit petit une base orthogonale pj Pn pour A par un proc d a la Gram Schmidt mais on ne part pas de la base canonique on construit cette famille orthogonale pour A en meme temps qu on calcule les composantes de x Si x gt j gt 1 ajp alors lt blp gt lt Az p gt aj lt Ap p gt Posons x gt j lt jpj on a donc lt b Axilp gt 0sij lt i lt b Azrslp gt a lt Ap p gt sinon On peut donc construire x comme une suite r currente de la mani re suivante 1 on initialise par xy 0 2 la i i me it ration on pose r 1 b Ax on a donc lt rigilpj gt 0sij lt i 3 On en d duit que si r 1 est combinaison lin aire des p j lt 2 alors r 41 0 donc on a termin x zi 4 Sinon on compl te la famille A orthogonale par un nouveau vecteur p 1 tel que r 71 pi 1 soit dans Vect p1 p et A ortho
16. degre Qo degre Po et degre x Qi lt degre Qo et lcoeff x Po Pi O 2 lcoeffx Qo Qi O 2 Icoeff x F On tronque ensuite P et Q en ne conservant que les termes de degr 1 par rapport Koss On trouve de la m me mani re par r currence Py et Q homog nes de degr k par rapport X Xk de degr par rapport X respectivement inf rieur aux degr s de Qo et de Py et tels que Ficoeff F Po Pe Qo Qx O k 1 10 et lcoeff F Icoeffx Po Pg O k 1 Icoeffx Qo Qk O k 1 Si on est bien en un point de bonne valuation et si k est plus grand que le degr total par rapport aux variables X2 Xn du polyn me Filcoeff F on D lcoeff F Icoeff D polyn mes P et P et Q et Q satisfaisant 10 avec les m me termes de degr z ro Po et Qo alors en prenant la diff rence on obtient va v rifier que Po Pp En effet si on a deux suites de Po Pr P4 Qo Q1 Qx Pot Pl P1 Qo Q Q4 0 k 1 On gale alors les termes homog nes de degr j pour j 1 on obtient P5 Q1 Q1 Qo Pi Pi donc Qo divise Q1 Q qui est de degr strictement inf rieur au degr de Qo par rapport a Xy car on a l in galit large et les termes de plus haut degr sont gaux donc Q Q et P P On montre de la m me mani re que Qj Q et Pj P L criture est donc unique c est donc I criture en p
17. http www fourier ujf grenoble fr parisse giac html le code source de GiNaC cf http www ginac de 36 le site http www hpcalc org pour les calculatrices HP on y trouve tout de la documentation des mulateurs de calculatrices HP des outils de d veloppement pour Windows et Unix Linux Pour ce qui concerne cet article je conseille de lire http www hpcalc org hp48 docs programming rplman zip le site http www ticalc org on y trouve le portage tigcc du com pilateur C de GNU des mulateurs etc Des informations de cet article ont leur source dans le guide du d veloppeur TI89 92 http education ti com la librairie du syst me MuPAD archiv e dans le fichier 1ib tar des distri butions Unix pour une installation par d faut ce fichier se trouve dans le r r pertoire usr local MuPAD share 1lib cf www sciface com pour obtenir une licence d utilisation en Maple il est possible de d compiler une instruction Maple avec la com mande eval instruction apr s avoir tap interface verboseproc 2 le source du plus ancien syst me de calcul formel maxima devenu logiciel libre pour les personnes famili res du langage Lisp http sourceforge net projects maxima de m me pour le syst me Axiom le source de librairies plus sp cialis es GMP GP PARI Singular NTL Zen ALP GAP CoCoA rechercher ces moms sur google 37 2 11 Exercices sur types calcul exact et
18. on recopie Q dans P puis R gh dans Q on recopie q dans g et h q dans h Si on sort normalement de la boucle Q est nul on renvoie donc la partie primitive de P qui est le pgcd cherch Pour tester l algorithme avec xcas il suffit de d commenter les deux lignes 0 R g h d etg q h q d h d 1 ci dessus La preuve de l algorithme est un peu longue et par ailleurs bien expliqu e dans le 2 me tome de Knuth The Art of Computer Programming Semi numerical Al gorithms on y renvoie donc le lecteur int ress L id e g n rale et l origine du nom de l algorithme est de consid rer la matrice de Sylvester des polyn mes de d part P et Q celle dont le d terminant est appel r sultant de P et Q et de traduire les pseudo divisions qui permettent de calculer les restes successifs du sous r sultant en op ration de ligne sur ces matrices On d montre alors que les coefficients de R divis s par gh peuvent tre interpr t s comme des d terminants de sous matrices de la matrice de Sylvester apr s r duction et c est cela qui permet de conclure qu ils sont entiers Par exemple supposons que P Ro Q Rj Ra diminuent de 1 en de gr a chaque division c est le cas g n rique dans le d roulement de algorithme d Euclide Dans ce cas 6 1 il s agit par exemple de montrer que le reste R3 de Q R par R est divisible par le carr du coefficient dominant de Q R Voyons comment on ob
19. sin y NA Ed Tsu yr y sin y ff DE ysin y y sin y 281 On peut majorer y sin y lt y 6 donc 3 k2 2 Ay l By i y f S J 2sin y sin y y sin y sin y y sin y On majore enfin A et B par 1 IN y o y lt f 2 sin y l sin y Le premier morceau se calcule par int gration par parties k f y k Y ma f f 2 sin y 6 aa ef a 2 z apt meno ua Eo in sin t lt Ea m O Le deuxi me morceau se majore en minorant sin y gt 2y 7 k2 2 y k2 fin k27 3 f 7 lt y 6 J sin y 6 Jo 2 96 Finalement 4 1 m 1 1 1 K a lt k 1 SAS g nth 95 stata o J est donn en 69 Majoration de J In 7 k Ona 1 zm F 1 Ga 00 7 rol y weak et on va majorer la valeur absolue de chaque terme de la somme Pour k lt 1 2 on a 1 k k 1 lt v1 k V1 k 1 k27 3 4 v3 2 1 2 gt Pour le second terme on majore le facteur FE PA gt l argument du logarithme est inf rieur 1 et sup rieur Lag k 1 5 1 1 a is T2 gt 1 k donc le logarithme en valeur absolue est inf rieur 2k 282 donc pour k lt 1 2 T 2 T J sa A Finalement pour k lt 1 2 4 2 Ina _ 4 T 9 1 cok j oe Is Crean RESTE pu que l on peut r crire T ra k ln lt k 3 8 0 8In k 76 La formule 76 permet de calculer le logarithme d u
20. ula m A sin y k cos y B y 1 y k Majoration de K J In 4 7 L int grand de la diff rence K J In est 1 1 1 _ VB VA _ y sin y ab VA VB sin y y VAVB y sin y z B A y sin y 72 VAVB VA VB ysin y y sin y L k y siny 13 VAVB VA VB ysin y 280 Soit Heya y sin y 1 k y sin y y sin y VAB VA VB T 0 VAVB VA VB ysin y 74 On d compose l int grale en 2 parties 0 k et k 7 2 Sur 0 k on utilise 72 on majore chaque terme s par ment et on minore et B par A k 1 k sin y gt k B k 4 1 k y gt k FIB AJ k J 1 d Fi d ae A ya E y2 sin y PEREZ dy mltan 0 os gt lA 2k3 1 3 1k 1 sin 2k k k k lt TE In sin In 7 In cos 5 1734 51k 1 2k 8k 32k k lt 3 2 4 6 5 de lt TE In cos 5 2 2 a mt i 5 2 k2 k2 30 4 Sur k 7 2 on utilise 74 et on minore A et B par A sin y k cos y gt sin y B y 1 y k gt y E sf E C 1 k ysin y y sin y AVB BVA A VB y B VA sin y Ay Bsin y 1 k ysin y y sin y A VB y B VA sin y k y sin y on obtient ou Donc IC lt A WB y B VA sin y k y sin y B y A sin y 9 a lt aaa Ot y ilap a k i lt gr Zm k y sin y et 3 y
21. y c dx avec a b c d des constantes positives x l effectif des proies y celui des pr dateurs a correspond la reproduction naturelle des proies b la mortalit par rencontre d un pr dateur c la mortalit naturelle des pr dateurs et d la natalit d pen dant du nombre de proies On peut d terminer les points d quilibre et leur stabi lit comme pour n importe quel syst me autonome exercice on trouve 0 0 qui est instable et c d a b les valeurs propres du lin aris sont 2 imaginaires purs conjugu s donc on ne peut pas conclure sur la stabilit a ce stade On peut d terminer une int grale premi re en faisant apparaitre des d riv es logarthmiques 2 mf a by 7 a c dx dt donc en posant X ln x Y In y ona X a be Y c de d o X de c Y be a 0 donc f X Y de cX be aY est une int grale premi re du mouvement qui se passe donc sur les courbes de niveau de f en X Y ou de dx cln x by aln y en x y On observe 120 que ces courbes de niveau sont ferm es impliquant un mouvement p riodique si on exprime y en fonction de x par le th or me des fonctions implicites donc sur toute la courbe a l exception des deux points x o la tangente est verticale dx cln x by aln y K gt y y x alors on peut calculer la p riode du mouvement en appliquant dx z a by x fu y z a
22. 1 nxn 13 n 1 n 0 13 1n 13 sum 1 nx13 n 1 n 1 n 1 n 0 49 soit 0 577215664897 avec une erreur inf rieure 1 2e 11 Bien entendu cette m thode est surtout int ressante si on veut calculer un grand nombre de d cimales de la constante d Euler sinon on peut par exemple appliquer la m thode d acc l ration de Richardson la suite convergente 57 qui d finit y ou d autres m thodes d acc l ration en transformant par exemple la s rie en s rie altern e On calcule alors de deux mani res diff rentes f x pour x plus grand d termin par la pr cision qu on peut obtenir par le d veloppement aymptotique de f On peut calculer 7 de la m me mani re avec le d veloppement en s ries et asymptotique de la fonction sinus int gral on remplace exponentielle par sinus dans la d finition de f et l galit dont un sch ma de preuve est aussi donn plus bas 7 sin t gT 59 t E Calcul de C et preuve de 59 Pour cela on effectue une int gration par parties cette fois en int grant 1 t et en d rivant l exponentielle moins 1 dans la premi re int grale 1 1 00 1 e 1 dt f et dt 1 00 e 1 In In t e dt e In t f l ln t e dt 00 In t e dt 0 C 260 Pour calculer cette int grale on utilise l galit qui se d montre par r currence en faisant une int gration par parties 00 n te dt 0 On va
23. 2 y 1 2 On divise D par son contenu et on trouve x xy y 1 qui est bien le pgcd de P et Q D y x 3r 4 2r7 2 2x 2 y ry y y 3 3 3 EZGCD Il s agit d une m thode p adique On value toutes les variables sauf une on calcule le pgcd en une variable et on remonte au pgcd variable par variable EEZGCD ou toutes les variables simultan ment EZGCD par un lemme de Hen sel Il semble qu il est plus efficace de remonter les variables s par ment Soit donc F et G deux polyn mes primitifs d pendant des variables X1 Xn de pgcd D on fixe une des variables qu on appelera Xy dans la suite Soient Icoeff F et Icoeff G les coefficients dominants de F et G par rapport X1 On value F et G en un n 1 uplet b tel que le degr de F et G par rapport Xy soit conserv apr s evaluation en b On suppose que D X1 pgcd F b G b a le m me degr que D b On a donc l galit lcoeff F b F b Icoeff F b PI D Icoeff D i Do a b et de m me en rempla ant F par G Pour pouvoir lifter cette galit c est dire g n raliser plusieurs variables il faut que D et oe soient premiers entre eux Sinon on peut essayer de lifter l galit analogue avec G En g n ral on montre qu il existe un entier j tel que D et EMO soient premiers entre eux En effet sinon au moins un des facteurs irr ductibles de Dy va diviser Pye donc diviser a la foi
24. Ainsi la m thode RK4 utilise le tableau suivant 0 FETES DES 3 O 5 1 0 0 1 1 ae ae 6 3 3 6 124 Ce qui se traduit par h Y ylto gt to yo h h Yo y to 37 to Fai Y Y3 y to hf to h Ya Ya lto An ut 2 0 B Yi 2Flt0 K Ya Slo R Les m thodes de Newton Cotes utilis es sont les rectangles gauche puis a droite pour estimer le point milieu et la m thode de Simpson en prenant la moyenne des deux estimations pour le point milieu On peut montrer qu elle est d ordre 4 erreur locale en O h Les m thodes de r solution num riques impl ment es dans Xcas sont des m thodes explicites de Runge Kutta emboit es avec pas adaptatif le pas adaptatif est calcul en estimant l erreur avec 2 m thodes emboit es RK4 et Prince Dormand cf Hairer 13 Introduction au calcul variationnel La recherche de minimas maximas est une des application du calcul diff ren tiel en dimension 1 la d riv e s annule lorsque la fonction est maximale ou mi nimale en dimension plus grande c est le gradient qui s annule Le calcul varia tionnel est une g n ralisation du principe pr c dent lorsque l inconnue n est pas l endroit x o l extr mum est atteint un r el ou un point mais une fonction Par exemple si on recherche le plus court chemin entre 2 points de l espace ou entre 2 points situ sur une sph re ou une surface dans ce cas l inconnue est
25. Comme a 0 cela entraine a a ng C Le coefficient constant ag est aussi non nul donc a ay C et ng a ao ar an gt ng nm k an o k est constant done f exp ng e ao an est l mentaire Passons au cas du logarithme supposons que f In g d pende alg brique ment de la tour T on va commencer par montrer que f est l mentaire On crit anf ao 0 o les a sont des fractions rationnelles en T On d rive en appliquant f g g I pn 1 n 1 anf nan f an 1 f aif ag Comme f est une fraction rationnelle en T le polyn me aj X na f al X 14 af ah qui annule f doit tre un multiple du polyn me n 1l minimal de f il existe donc une fraction rationnelle C par rapport T telle que al Can na bal 4 Ca On en d duit f 1 al f _ an Mm 1 7 Ahi _ An 1 Nan Nan donc il existe une constante c telle que An 1 Nan f C donc f est l mentaire par rapport la m me tour T que g Montrons maintenant qu un logarithme f In g qui est l mentaire par rap port une tour de variable T est combinaison lin aire coefficients rationnelles 163 des logarithmes et des arguments des exponentielles de 72 Soit X la derni re variable de la tour T On factorise maintenant le num rateur et le d nominateur de gen j la o les P sont sans facteurs multiples et premiers
26. Dans les langages de programmation traditionnel C Pascal il existe d j des types permettant une repr sentation exacte des donn es type entier ou une re pr sentation approch e type flottant Mais ces types de donn e de base occupent une taille fixe en m moire le type entier est donc limit un intervalle d entiers par exemple 0 23 1 pour un entier non sign sur une machine utilisant un processeur 32 bits alors que le type flottant peut repr senter des nombres r els mais est limit une pr cision en nombre de digits de la mantisse et de l exposant par exemple 12 chiffres significatifs et un exposant compris entre 499 et 499 En calcul formel on souhaite pouvoir calculer rigoureusement d une part et avec des param tres dont la valeur n est pas connue d autre part il faut donc s af franchir de ces limites pour les entiers relatifs on utilise des entiers de pr cision arbitraire dont la taille en m moire est dynamique d termin e pendant l ex cution et non la compilation pour les nombres complexes on utilise un couple de nombres r els pour les rationnels on utilise un couple d entiers relatifs pour les irrationnels alg briques par exemple 42 on utilise un polyn me irr ductible dont ils sont racines pour les param tres x y z t on utilise un type structur contenant un champ de type chaine de caract res pour repr senter le nom du para
27. Y normal Y diff W x 5SxxT5 8xx 0 4 3xx 3 5xx 2 8xx 3 On v rifie bien que W x 2 x x 1 x x 3 est le produit des facteurs P On entame maintenant la boucle G gcd W Y x 3 1 gt Pl Y normal Y G W normal W G normal Y diff W x 2x0 2 4xXx G gcd W Y x 2 gt P2 Y normal Y G W normal W G Y normal Y diff W x 0 G gcd W Y x 2 3 gt P3 K puis W 1 et Y 0 et le prochain G vaut 1 on a bien trouv tous les facteurs P 16 2 Factorisation en une variable On suppose maintenant qu on veut factoriser un polyn me P sans facteur mul tiple et primitif En g n ral on commence par simplifier P par ses facteurs li n aires d tect s avec l algorithme pr sent dans le premier article de cette s rie On commence par chercher un nombre premier p tel que P dans Z pZ conserve le m me degr et reste sans facteur multiple donc pged P P 1 dans Z pZ ce qui est toujours possible il suffit de prendre p plus grand que le plus grand entier apparaissant dans l algorithme du sous r sultant pour calculer le pgcd de P et P dans Z Convention Tous les polyn mes ayant leurs coefficients dans un corps fini sont suppos s avoir comme coefficient dominant 1 lorsque le choix existe par exemple les facteurs d un polyn me modulo p 16 2 1 Factorisation dans Z pZ X On suppose qu on a un polyn me P coefficients dans Z pZ sans facteur
28. acheteur de tirer parti de sa calculatrice comme il l entend il suffit de voir la guerre entre les d veloppeurs de TI et la communaut Ndless digne de la lutte men e par Apple contre les jailbreaks qui permettent d utiliser l Ipad avec des logiciels en dehors du march control par Apple ou avec d autres op rateurs 293 t l phoniques L institution devrait bien r fl chir avant de se lancer dans l aven ture Certes le mode examen vitera le recours parfois abusif aux anti s ches mais cela va d courager le d veloppement de programmes par les l ves sur leurs cal culatrices car ces programmes seront effac s le jour de l examen et renforcer les in galit s en particulier pour l acc s au calcul formel qui est possible sur des mod les d entr e de gamme aujourd hui Je pense que si on veut vraiment des calculatrices avec mode examen alors c est l institution de les acheter puis de les pr ter aux l ves L ducation na tionale devrait aussi avoir plus de contr le sur les logiciels embarqu s qui ne de vraient pas tant d pendre des constructeurs et donc des programmes de l enseigne ment US Cela permettrait aussi de mettre fin des rentes pour les constructeurs en situation de position dominante que l on songe par exemple au b n fice sur les mod les de calculatrices les plus conseill es et vendues calculatrices qui ne se sont gu re am lior es depuis 20 ans Si ce sont le
29. arrondis et l erreur ventuelle sur la condition ini tiale Pour majorer cette erreur il est n cessaire de supposer que la fonction f est lipschitzienne par rapport la variable y l erreur globale fera alors intervenir un terme en eCt multipli par l erreur locale accumulation expo nentielle des erreurs au cours du temps 22 Pour une m thode pas variable le pas h peut d pendre de 122 Plus pr cis ment on a le r sultat suivant Th or me 25 Soit y t la solution de f t y y to yo sur to T On consid re une m thode de r solution un pas vi Yi hi ti Yi hi Si la m thode est d ordre p i e si pour h max h l erreur locale satisfait y t h t y t h y t lt Cone Yt to T h lt H et si la fonction est lipschitzienne en y de constante pour h lt H et y dans un voisinage de la solution y t i e si t z h i D t y h lt Alz an y alors l erreur globale v rifie C _ ly tn Yn lt h 2 e to 1 Par exemple pour Euler explicite t y h f t y la constante A est la constante de Lipschitz de f et on prendra pour Cy un majorant de 3 0 f t y dans un voi sinage de la solution y t pour t to tn Pour prouver ce r sultat il faut d terminer comment se propagent les erreurs locales introduites chaque pas Par exemple on a une erreur locale au pas 1 y t1 y donc une condition initiale modifi e pour le pas 2
30. chaque fois La premi re version publique de Xcas est disponible en 2002 elle est tr s influenc e par les interfaces de calculatrices En 2003 2004 pre mier contact avec le milieu de la recherche en calcul formel dont certains membres veulent cr er une alternative aux grands logiciels propri taires du domaine soit par conviction soit tout simplement pour des raisons de budget Une conf rence a lieu Lyon puis une cole d t o sont pr sents de mombreux d veloppeurs de logi ciels libres Axiom Fricas Maxima texmacs pari gap MPFR mais aussi des gens de Mupad m me s il n est pas libre Cette conf rence n a de mon point de vue abouti rien de concret chacun tirant pour sa chapelle La pr sentation des objectifs du projet Giac Xcas n a pas du tout attir les autres participants d une part cause de mes d ficiences en anglais d autre part parce que I objectif prio ritaire de Xcas pour l enseignement est souvent assez loign des objectifs d un logiciel pour la recherche en calcul formel sans parler de l orientation calculatrice de l interface de Xcas l poque C est plut t vers le projet Sage que la commu naut recherche de calcul formel libre se tournera un peu plus tard Les deux projets Giac Xcas et Sage sont aujourd hui concurrents m me si on peut appeler Giac depuis Sage voir plus bas section A 5 Parall lement Ren e a lanc a l IREM de Grenoble un groupe d
31. comme quivalent la publication d un article certains qualifient d ailleurs cette activit par pisser du code Cons quence l auteur d un morceau de code n a pas int r t en diffuser le source car cela n acc l rera en rien sa carri re il est souvent plus rentable de diffuser un article qui parle du code source sans rentrer trop dans les d tails qui rendent un algorithme efficace ventuellement on diffuse un ex cutable comme cela toute personne utili sant le code pour un autre travail de recherche devra collaborer ou remercier d une autre mani re Dans certains domaines on me dit que la situation en arrive au point o il faut communiquer les donn es l auteur du code qui renvoie le r sultat On est vraiment aux antipodes de la d marche scienti fique encore plus en maths o on attend de pouvoir consulter tous les d tails d une preuve On peut sans doute dire la m me chose concernant le d veloppement de lo giciels ducatifs Il n y a pas de reconnaissance de l institution et les encou ragements sont rares en tout cas c est le ressenti de notre visite de pr sen 294 tation de Xcas au minist re de Education Nationale il y a quelques ann es peut tre que ce serait diff rent aujourd hui Un autre frein au libre c est le droit qui est diff rent pour les logiciels et pour les crits scientifiques la personne qui dispose des droits patrimomiaux sur un logicie
32. cution rapide base pas trop grande Voir par exemple Cohen pour la d finition et les propri t s L instruction Xcas correspondante est 111 ou q 111 de PARI Cet algorithme est tr s utile en calcul formel pour viter une explosion com binatoire dans certaines op rations de recombinaison Par exemple supposons que nous souhaitions factoriser un polyn me P coefficients entiers sur Z X en uti lisant ses racines approch es Si plusieurs racines r correspondent un facteur entier alors pn rx doit tre un entier aux erreurs d arrondi pr s Tester toutes les combinaisons possibles serait beaucoup trop long en particulier si P est irr duc tible en gros 277 tests de recombinaison Pour viter ce probl me on construit un r seau engendr par degr P lignes dont les premi res coordonn es sont celles de la matrice identit compl t es par la partie r elle et imaginaire des racines de P multipli e par le coefficient dominant de P et par une puissance de 10 assez grande On ajoute deux lignes qui annulent les parties enti res des combinaisons lin aires des parties r elles et imaginaires L existence d un facteur irr ductible se lira sur un vecteur court du r seau avec des 1 et des 0 comme combinaison lin aire des vecteurs initiaux P 208 local 1 n prec M S A L 0 n degree P prec 2 n l proot P prec n M round tran op idn n lcoeff P x10 precxre 1 lcoeff P 10 precx
33. f 0 en effet RE a ea Probl me deux corps Cas d un point de R soumis une force centrale comme la gravit ou la force coulombienne Cr ES de Fr on montre la conservation du moment cin tique TE Pa 115 v rification imm diate en d rivant Ceci entraine que le mouvement est gt dans un plan orthogonal a L Lk et la loi des aires o 0 est langle form par 7 avec une direction fixe du plan d 2 r L dt ceci est vrai des que la force est centrale ind pendamment de la norme de la force la conservation du vecteur excentricit d fini par 1d7 Y Ld gt nE Z AES u dt r u dt gt En effet de dt d0 dte ou e eg k est orthonorm direct et L r d0 dt Si on prend l axe des x port par E en faisant le produit scalaire avec P 1 d rEcos 0 P E E ieee on obtient en appliquant les propri t s du produit mixte et la d finition de T L r p 1 Ecos 0 la courbe int grale est donc une conique d excentricit E ayant l origine pour foyer et parcourue selon la loi des aires laire balay e par le segment origine point mo bile est proportionnelle au temps 12 3 6 Quelques autres m thodes On peut encore citer changement de fonction changement de variables qua tion homog ne quations de Bernoulli de Clairault de Ricatti d veloppements en s ries enti res certaines de ces m thodes sont impl ment es par les logi
34. les F sont irr ductibles et premiers entre eux On va montrer que le noyau de p Id est compos des polyn mes Q tels que Q mod F est constant dans Z pZ pour tout j Si Q mod Fj s Z pZ alors QP mod Fj s sj donc par le th or me des restes chinois Q Q mod P R ciproquement si QP Q 0 mod P en utilisant la factorisation XP X Iliez pz X j on en tire P divise Q Q ILjez pz Q X j donc F divise l un des facteurs et Q X mod F Z pZ Le noyau de y Id est donc un espace vectoriel de dimension n le nombre de facteurs irr ductibles de P et poss de donc p l ments en effet pour tout n uplet de s on peut construire un polyn me 2 du noyau par le th or me des restes chinois en posant Q mod F sj L int r t du noyau de 1d est qu on peut le calculer sans connaitre les F Une fois ce calcul fait voyons comment on peut remonter aux F On connait 147 d ja la dimension du noyau donc le nombre de facteurs irr ductibles De plus on remarque que le polynome constant 1 est un l ment du noyau qu on appellera T on note alors T gt Tn les autres polyn mes unitaires d une base du noyau Ensuite on calcule le pgcd de P avec To jT pour j Z pZ On sait que T2 s2x mod F donc pged P To T est gal au produit des facteurs Fy tels que so jTi L un au moins des pgcd calcul s est non trivial car sinon T2 Ti mod F
35. lt x0 et pour n gt no ona x n 1 Ral SMIC 55 TO 250 On en d duit qu il existe un r el positif R gt 0 ventuellement gal 00 tel que la s rie converge la limite de la somme jusqu P infini existe lorsque x lt R et n existe pas lorsque x gt R ce r el est appel rayon de convergence de la s rie Par exemple ce rayon vaut 00 pour l exponentielle le sinus ou le cosinus Il est gal 1 pour la s rie g om trique x car elle diverge si x gt 1 et converge si x lt 1 On ne peut pas dire ce qui se passe g n riquement lorsqu on est la limite c est dire lorsque x R si R 4 00 Mais cela n a en fait pas trop d importance en pratique car m me si la s rie converge elle converge souvent trop lentement pour donner de bonnes approximations En fait la vitesse de convergence d une s rie enti re de rayon R 00 est en gros la m me que celle d une s rie g om trique de raison x R Lorsque 2 s ries ont un rayon de convergence non nul alors on peut effectuer leur somme leur produit comme des polyn mes et la s rie somme produit a un rayon de convergence au moins gal au plus petit des 2 rayons de convergence des arguments On peut inverser une s rie enti re non nulle en 0 en appliquant 1 1 r r r et on obtient une s rie enti re de rayon de convergence non nul On peut aussi com poser deux s ries enti res g et f en go f avec les r gles de cal
36. mod p qui d termine x4 On s arr te lorsque k est suffisamment grand pour pouvoir re construire les fractions l aide de l identit de B zout cf infra ce qui est le cas si p est sup rieur 4 fois la borne de Hadamard de A au carr Pour viter de recalculer plusieurs fois b 7 _ vip on utilise la r currence suivante Yk Tk yo b zk CYk mod p Yu Pour une matrice de taille n il faut O n op rations pour calculer C puis kn In n op rations pour calculer x le terme In n vient de la taille des coefficients de y dans le produit Cy donc pour pouvoir reconstruire x il faut prendre k de l ordre de n In n ce qui n cessite finalement O n In n op rations 20 1 4 B zout et les p adiques Soit n et a b une fraction irr ductible d entiers tels que b est premier avec n et a lt yn 2et0 lt b lt yn 2 Il s agit de reconstruire a et b connaissant x a x b mod n avec x 0 nl 203 Unicit S il existe une solution a b v rifiant a lt yn 2et0 lt b lt yn 2 soit a b une solution de x a x b71 mod n et v rifiant la lt yn et 0 lt Y lt yn alors ab ab mod n Comme ab lt n 2 a b lt n 2 on en d duit que ab a b Donc a b a b donc a a et b b car a b et a b sont suppos es irr ductibles Reconstruction lorsqu on sait qu il y a une solution On suit l algorithme de calcul des coeffici
37. par exemple pour t 1 G plotparam t t 2 t 2 2 color red t0 1 M point t0 t0 2 affichage point_croixtepaisseur_point_3 T tangent G M N normalize pente T 1 1 R 1 4t0 2 3 2 2 C cercle M R N R ou avec Xcas version 1 1 1 18 ou sup rieure C cercle_osculateur G M Remarques La courbure est aussi la d riv e par rapport abscisse curviligne de l angle 0 fait par la tangente avec une direction fixe par exemple l axe Ox En effet a 1 y 2t T cos 0 sin 0 dont la d riv e est le produit de 0 par le vecteur normal NV G n riquement une courbe reste du m me cot de sa tangente car le terme suivant dans le d veloppement est d ordre 2 de signe constant en 0 les ex ceptions sont les points d inflexion Par contre g n riquement une courbe traverse son cercle osculateur en y rentrant ou en en sortant car le terme suivant dans le d veloppement de la diff rence entre les points des deux courbes est d ordre 3 et change donc de signe en 0 Les exceptions tan geance courbe cercle osculateur d ordre 3 au lieu de 2 sont appel s som mets d une courbe par exemple le sommet d une parabole on peut calculer les coordonn es du centre du cercle osculateur de mani re alg brique partir des coordonn es param triques de M et de ses d riv es sans introduire de racines carr es la courbe D d crite par les Q lorsque M
38. sinon on cherche le pgcd de r N avec powmod x r p 1 2 p 12 N ou r est al atoire il y a une chance sur 2 que le pgcd soit de degr 1 Si p est assez petit disons p lt 1281 il est plus rapide de tester les carr s mod p de k 1 2 3 p 1 2 Comme k 1 k 2x k 1 mod p cela se r sume a faire un shift 2 une addition un test si gt p et dans ce cas une soustraction puis un test d galit avec N le tout avec des entiers courts 32 bits ce qui est tr s rapide 16 Factorisation des polyn mes On pr sente ici quelques algorithmes utilis s pour factoriser un polyn me a coefficients entiers pour la recherche de racines approch es d un polyn me cf la section 19 6 Pour un polyn me en une variable cele se fait en plusieurs tapes on commence par se ramener un polyn me P dont tous les facteurs sont de mul tiplicit un ensuite on factorise P dans Z pZ par la m thode de Berlekamp ou Cantor Zassenhauss puis on remonte Z p Z pour k suffisamment grand en fonction de la borne de Landau sur les facteurs de P et on recombine enfin les facteurs modulaires pour trouver les facteurs de P Lorsque P plusieurs variables on utilise une m thode analogue celle permettant de trouver le pgcd de polyn mes plusieurs variables Rappel Le pgcd des coefficients d un polyn me est appel contenu de ce polyn me Un polyn me est dit primitif si son contenu est gal 1 16 1 Les f
39. y t est alors ce point pour t 00 si l quilibre est stable ou gt oo si l quilibre est instable L tude des points singuliers est donc plus du domaine de la g om trie que de la cin matique Pour faire une tude locale plus pr cise dans le cas d un point r gulier ou pour d terminer la tangente en un point singulier il faut poursuivre le d veloppement de Taylor un ordre plus grand l ordre 2 si x et y sont 3 fois continument d rivables ona h AR M to M to h h x to y to 2 to 9 to e ts y y Si les vecteurs vitesse Y 2 to y to et acc l ration x to y to ne sont pas colin aires alors 47 forme une base et dans cette base M to M to h 87 a pour coordonn es h h 2 O h Parc de courbe est identique un arc de parabole l ordre 2 On parle de point bir gulier Si 17 a est une base di recte l arc est convexe la vitesse tourne dans le sens trigonom trique sinon il est concave On peut tester cela en calculant le d terminant des coordonn es de 17 a ou le sens de variations de la pente de la tangente 3 T aly ay NAG Mes x Th or me 13 Si x y x y gt 0 resp lt 0 sur un intervalle du domaine de d finition la courbe n a que des points r guliers la direction de la tangente en un point est donn e par le vecteur vitesse et la courbe est convexe resp concave Si x
40. 1 2 1 1 9 donc f lt 1 4 f est contractante de rapport 1 4 On peut donc it rer la suite partir par exemple de uy 1 et on va converger vers v2 en s en rapprochant chaque cran d un rapport inf rieur 1 4 Consid rons l quation en x x esin x t ee l0 1 c est l quation du temps utilis e en astronomie pour trouver la position d une plan te sur son orbite elliptique e tant l excentricit de l ellipse Il n y a pas de formule exacte permettant de calculer x en fonction de t Si on a une valeur num rique pour t on peut trouver une valeur num rique approch e de x par la m thode du point fixe en r crivant l quation sous la forme f x t esin x x On observe que f envoie R dans t e t e donc on peut prendre J t e t e de plus f lt e lt 1 f est contractante de rapport e 0 1 le th or me s applique il suffit de prendre une valeur initiale dans t e t e et d it rer la suite jusqu obtenir la pr cision d sir e Par exemple si on veut une valeur approch e de x 105 pr s il suffira que la diff rence entre deux termes successifs de la suite Un V rifie Un 1 Un lt 10 1 e on aura alors bien un 1 Un lt 1076 Un aS l e Cette m thode n est pas toujours optimale car la vitesse de convergence vers la limite est dite lin aire c est dire que le temps de calcul pour avoir n d c
41. 1 P IL z1 gt 1Pj donc diviserait P Le raisonnement en un rang quelconque est identique les polyn mes sont donn s par C Pre Wen Ua Pen DH Pr k gt m Lorsqu on programme cet algorithme le test d arr t est Gm 1 Square free factorisation Algorithme de Yun Argument un polyn me primitif P coefficients entiers ou dans Z i ou dans un corps de caract ristique nulle Valeur renvoy e une liste de polyn mes P telle que P ti Pr 1 Initialiser la liste r sultat liste vide 2 Initialiser W P et Y P Calculer le pgcd G de W et Y et simplifier W et Y par leur pgcd puis poser Y Y W 3 Boucle tant que Y 0 4 Calculer le pgcd G de W et Y Ajouter G la liste r sultat 5 Simplifier W et Y par G puis poser Y Y W et passer l it ration suivante Remarque lorsqu on veut factoriser un polyn me coefficients modulaires il faut aussi se ramener un polyn me sans facteurs multiples mais on ne peut pas utiliser cet algorithme tel quel car la caract ristique du corps n est pas nulle Exemple Factorisation sans facteurs multiples de P X X 1 X 2 X 3 En mode interactif avec un logiciel de calcul formel effectuons l tape d initiali sation W normal x 3 1 k 2 2 x 2 3 3 Y diff W x G gcd W Y xX5 2x x 4 6xx 3 12xx 2 9 x 18 142 W normal W G X 6 2xX 5 3xxX 4 5xX 3 2xx 2 3xx 6 Y normal Y G
42. 1 r solution de f exp x ou plus g n ralement si a x est un polyn me alors D 1 Si a x 1 27 on trouve D x et on pose y xz donc z xz 2 2x4z 1 soit x 2 2r 1 z 1 Reste le cas o Z est une exponentielle et P exp z On reprend le m me raisonnement y a pour valuation a lt 0 fy a pour valuation 8 a donc si gt 0 a yetsi f lt 0 a y Si 6 0 s il n y a pas de simplifications du terme de plus bas degr on est ramen au cas pr c dent Si 5 0 et s il y a simplification des termes de plus bas degr en Z notons fo le coefficient constant de f par rapport Z et Ya le coefficient de 2 dans y on a Ya az fo Ya 0 donc Ya exp az fi Comme ya est l mentaire et ind pendant de Z on en d duit par le th or me de structure de Risch que az f fo est combinaison lin aire coefficients rationnels des logarithmes et des arguments des exponentielles de la tour de plus le coefficient de z doit tre nul pour que Ya soit ind pendant de Z ce qui impose la valeur de a apr s avoir r solu r cursivement le probl me d int gration pour fo 174 Majoration du degr du num rateur de y En multipliant y par DZ puis en r duisant au m me d nominateur on se ra m ne alors une quation diff rentielle coefficients polynomiaux par rapport a la variable Z dont l inconnue est un polyn me N RN SN T 30 On va chercher une maj
43. 1 variables X1 Xn 1 co efficients dans Z X Alors Icoeff D le coefficient dominant de D relativement l ordre lexicographique sur les variables X1 Xn 1 est un polyn me en Xn qui divise le coefficient dominant de P et de Q donc divise le coefficient domi nant du pgcd des coefficients dominants de P et de Q On va donc reconstruire le polyn me D D G D A Xn pgcd lcoeff P X 1coeff Q X 52 c est dire D multipli par un polyn me qui ne d pend que de Xp Revenons G en un point a de bonne valuation C est un multiple entier de Ds a G BD Rigo Mia Donc comme polyn mes de X1 Xn 1 coefficients dans Z X ou dans Z Icoeff G Blcoeff D x Comme Icoeff D divise A X il en est de m me en Xn a donc Icoeff G divise GA a On en d duit que A a G qui est divi sible par A a est divisible par Icoeff G On va donc consid rer le polyn me A a G lcoeff G ses coefficients sont entiers et son coefficient dominant est A a Icoeff D X1 Xn 1 a donc A a G lcoeff G D X1 Xn 1 0 Algorithme du pgcd modulaire 4 plusieurs variables interpolation dense Arguments 2 polyn mes primitifs P et Q de n variables X1 Xn coef ficients entiers Renvoie le pgcd de P et Q 1 Sin 1 renvoyer le pgcd de P et Q en une variable 2 Test rapide de pgcd trivial par rapport X On cherche des n 1 uplets a tels que P a Xn et Q
44. 14 1 Rappels Soit K un corps fini Le plus petit entier p tel que p 1 0 est la caract ristique du corps c est un nombre premier car ry 0 gt x 0 ou y 0 et K est un Z pZ espace vectoriel de dimension finie n donc son cardinal est p Les inversibles pour la multiplication forment un groupe de cardinal p 1 et ce groupe est cyclique sinon on construit un l ment d ordre d le PPCM des ordres des l ments de K cet ordre est donc un diviseur strict de p 1 mais c est impossible car le polyn me z x a alors p 1 gt d racines L application x x est une application lin aire et le noyau de id est Z pZ Si P est un polyn me irr ductible coefficients dans Z pZ de degr divisant n alors P se d compose en produit de facteurs de degr 1 et on passe d une racine de P dans K une autre en appliquant en effet P divise xP x modulo pet x x Il ex u a Exemple faire GF 3 5 pour cr er le corps K de cardinal 3 puis P randpoly 5 3 factor P et ex cuter a niveau la commande jusqu ce que P soit irr ductible puis tester factor P g Evidemment ce r sultat n est plus vrai si P a des coefficients dans K au lieu de Z pZ essayer avec P randpoly 5 9 129 14 2 Repr sentation des corps non premiers 14 2 1 Cas g n ral Pour repr senter K on utilise g n ralement la repr sentation dite additive c est dire que K est isomorphe a Z
45. 2 puis l ordre k 1 H G PoQo 2y 2y 3y 1 x O 2 donc u reste U H d Qo ry et v reste V H d Po x Donc Qi xy aQo avec a x 1 1 Icoeff Po x et Qo Q1 y 1 x 1 xy De m me P x BPo avec B x 1 1 lcoeff P5 x donc Po Pi y 1 x 1 x On remarque que Pp P et Qo Q1 sont bien O 2 pr s les facteurs de Flcoeff F P 2 1 y 2 4 1 Pot Pi O 2 Q 2 1 y4 xy 1 Qo Q1 0 2 Une deuxi me it ration est n cessaire On calcule H G Po P1 Qo Q1 2y y 1 x 0 3 puis reste UH d Qo yx et reste V H d Po x Ici les coefficients a et B sont nuls car lcoeff F n a pas de partie homog ne de degr 2 On trouve alors P Po P Po et Q Qo Qi Qo Pour calculer le pgcd il suffit de calculer la partie primitive de P vu comme polyn me en y ici c est encore P car le contenu de P est 1 remarque pour Q le contenu est x 1 On trouve donc P comme pgcd 3 4 Quel algorithme choisir Il est toujours judicieux de faire une valuation en quelques n 1 uplets pour traquer les pgcd triviaux E EZGOD sera efficace si 0 0 est un point de bonne valuation et si le nombre de remont es n cessaires pour le lemme de Hensel est petit donc pour les pgcd de petit degr GCDMOD est aussi efficace si le degr du pgcd est petit Le sous r sultant est efficace pour les pgcd de grand degr car il y a alors
46. 7 6 Giac Xcas implementation and experimentation 78 LI CODCIUSION so he Gh be hed heehee a GE he eee ts 81 7 8 Repr sentation rationnelle univari e rur 82 8 Courbes param triques et polaires 84 Ml Tntod t LL 44 ds cu a e as h ae a 84 8 2 Repr sentation graphique 85 8 3 Parain trag o 4 44 4 La rada do due ae du 85 8 4 tude analytique d une courbe en param trique 86 84 1 Branchesinfinies 86 8 4 2 tude locale 60sec cep eas acres eee 86 So Plan d tude d une courbe oeoo toe a au gas ee 89 8 6 Courbes en polaires 4 esse ame de eue 89 Bet COMUS LL a aon eh rc ER da e 91 8 7 1 Param trisation rationnelle 91 AN 2 2428 4 aa nu OE 4 mire a 92 Seid Parabole ec od eck 4 LL nu pu niet we da 94 8 14 Hyperbole aa ssh 24 pu su pan dada sus Da 95 9 Propri t s m triques des courbes 96 Ol Longuetr dare a ia aa da a das 96 9 2 Courbure rep re de Frenet acc l ration normale et tangentielle 97 10 Repr sentation des courbes implicites 100 11 Formes diff rentielles et int grales curvilignes 101 11 1 Forme diff rentielle 102 11 2 Int grale Curvillgne lt oo 4 444 ds au mimi e a au 104 11 3 Forme diff rentielle exacte 105 11 4 Int grale curviligne et int grales doubles 106 12 quations et syst mes diff
47. Exercice comment passe t on simplement de la repr sentation d un nombre en base 2 un nombre en base 16 et r ciproquement Les microprocesseurs peuvent effectuer directement les op rations arithm tiques de base sur les entiers machine d clin s en plusieurs variantes selon la taille et la possibilit d avoir un signe Noter que la division de deux entiers a et b n a pas la m me signification que la division de deux r els comme elle ne tombe rait pas forc ment juste on calcule le quotient et le reste de la division euclidienne Ces entiers machines permettent de repr senter de mani re exacte des petits entiers relatifs par exemple un entier machine sign sur 4 octets est compris entre 281 931 _ 1 Ces entiers machines permettent de faire tr s rapidement du calcul exact sur les entiers mais condition qu il n y ait pas de d passement de capacit par exemple pour des entiers 32 bits 2 230 230 230 renverra 0 Ils sont utilisables avec tous les langages de programmation traditionnels 13 Les logiciels de calcul formel et certains logiciels de programmation permettent de travailler avec des entiers de taille beaucoup plus grande ainsi qu avec des ra tionnels permettant de faire du calcul exact mais on paie cette exactitude par un temps de calcul plus long de plus pas mal de m thodes num riques ne gagnent rien faire des calculs interm diaires exacts N anmoins l utilisation d un logic
48. Fubini on obtient fr fau ff ape ae A E ape de os D autre part B x 4 HUA r LE fot at I gt lI n B ay ty wy f BPE prey at Donc B ae 1 i f I f f Cr aM i E E pet 0 de On appelle noyau de P ano l expression NN n 1 k n 1 On a alors B B B l Feii f IN F a de lt Mar f ENG de 182 18 3 Simpson Il s agit de la m thode obtenue en approchant la fonction sur la subdivision a 8 par son polynome de Lagrange aux points a a B 2 6 On calcule l in t grale par exemple avec un logiciel de calcul formel avec Xcas factor int lagrange a atb 2 b fa fm fb x a b qui donne la formule sur une subdivision 1 F UI 8 et sur a b n 1l t f a f b 40 fat jh EOSED 37 j 0 Si on int gre t sur 0 1 en 1 subdivision par cette m thode on obtient 1 1 A 1 c est dire le r sultat exact ceci est aussi v rifi pour f polynome de degr in f rieur ou gal 2 puisque l approximation de Lagrange de f est alors gale f On en d duit que la m thode de Simpson est d ordre 3 pas plus car la m thode de Simpson appliqu e l int grale de t sur 0 1 n est pas exacte On peut am liorer la constante g n rale de la section pr c dente pour la majoration de l erreur en h4 fran DIS g 0 My En effet sur une subdivision l mentaire a 8 le
49. Python utilis par Sage et Sympy Sage doit toutefois tre un peu mis a part la plupart de ses fonctionnalit s sont en fait h rit es de biblioth ques C ou logiciels interfac s et les d veloppeurs ont recours une sorte de traducteur C cython pour optimiser certaines portions de code Python natif Sympy se classe pour le moment encore dans les syst mes de calcul formel jouets et est structurellement tr s lent compar a giacpy Je pense que le potentiel de portabilit et r utilisation de code est maximal en C C on peut s int grer dans du Python module giacpy et interface giac sage de F Han l inverse est beaucoup plus difficile et n cessite plus de ressources essayez d appeler du code sage depuis un programme C C du java module natif ja vagiac utilis par geogebra du Javascript le langage de base du web Giac se compile en Javascript du code natif pour le navigateur google chrome en embar qu sur les HP Prime mais aussi ailleurs la plus petite version de giac existante ce jour occupe moins de 5M et tourne sur calculatrices TI nspire ou enfoui dans un autre programme C C ou avec un langage interfa able par exemple de la liste fournie par SWIG La dur e de vie de code C C est aussi excellente le langage C C est au coeur de la tr s grande majorit des applications utilis es aujourd hui L avenir de Javascript ou de Python parait aujourd hui assur mais c tait la situation de J
50. a facilement les x tels que z N est divisible par p partir des 2 racines carr es de N modulo p si elles existent sinon on ne met pas ces racines dans la base de petits premiers Le crible consiste 4 incr menter de log p tous les l ments d un tableau dont l indice correspond un x tel que z N est divisible par p Lors qu on a parcouru tous les premiers de la base de nombres premiers on regarde dans le tableau les valeurs assez grandes vont correspondre des possibilit s d entiers friables on factorise alors les x correspondants pour avoir des relations D s qu on a k une marge de s curit par exemple 20 ou 50 relations o k est le nombre de premiers de la base on est sur qu on trouvera une vingtaine ou une cinquantaine de relations x y mod N Comme chaque relation a une chance sur 2 de donner un facteur de N on pourra factoriser NV sauf malchance vraiment exceptionnelle 15 3 1 Recherche de racine carr e modulo p Pour trouver les solutions x de x N divisible par p il faut calculer les racines carr es de N modulo p On proc de comme suit sip 2 alors VN N 23 Il n existe ma connaissance pas de r sultat sur pourquoi ces choix de f donnent des entiers bien r partis par rapport au hasard 140 sip 1 0 mod 4 si N est un carr alors N 1 2 1 mod p donc N e 4 mod p est la racine cherch e calcul effectu par l algorithme de la puissance rapide
51. assume 1 symbol vi seq exp ixl nx2 0xpi 1 0 n 1 w v for k from 1 to N do q pcoeff v ql q for j from 0 to n 1 do w 3 v 3 horner P v 3 horner qg1 v 3 1 od if 12norm w v lt epsx 12norm v return w V i w od 199 retourne max iter reached Fig Par exemple dw x 3 x 1 100 1e 10 renvoie des valeurs approch es des racines de x x 1 Si on s int resse seulement la racine de module maximal d un polyn me on peut en trouver une estimation assez simplement en appliquant la m thode de la puissance la matrice companion du polyn me On peut am liorer la pr cision d une racine par des it rations inverses ou par la m thode de Newton en une va riable 20 Alg bre lin aire On pr sente ici des algorithmes autour de la r solution exacte et approch e de syst mes r duction des matrices sous forme chelonn e et la recherche de valeurs propres et de vecteurs propres diagonalisation et jordanisation des matrices 20 1 R solution de syst mes calcul de d terminant 20 1 1 La m thode du pivot de Gau Le pivot on d termine partir d une ligne i la ligne j o apparait le premier coefficient non nul p dans la colonne r duire On change les lignes et 7 Puis pour gt 1 r duction sous diagonale ou 7 i r duction compl te on effectue l op ration L Lj a Inconv nient avec des donn es exactes de taille non born e la complexit de
52. e PaT ecos 0 Remarques La premi re loi de K pler dit que orbite d une plan te autour du Soleil est une ellipse dont le Soleil occupe un des foyers La troisieme loi de K pler donne la relation suivante entre le demi grand axe a la p riode de r volution T et u le produit de la masse du Soleil par la constante de gravitation OE T Ag 13 en n gligeant la masse de la plan te devant celle du Soleil 93 Attention t 0 Et dans le cas de I orbite de la Terre autour du Soleil aucun de ces deux param trages n est le temps 7 Le param trage par le temps se d duit de la loi des aires L r2d9 Ldr a a 1 e Il n cessite de r soudre une quation cf l quation du temps dans le cours www fourier ujf grenoble fr parisse climat orbite html L excentricit de la Terre est faible e 0 0167 en ce moment elle est res ponsable d une petite diff rence de dur e des saisons elle varie tr s lente ment au cours des si cles sous l action des autres plan tes du syst me so laire cette lente variation est une des raisons des glaciations du quartenaire On peut aussi d finir g om triquement l ellipse par un foyer F et une di rectrice D c est l ensemble des M tels que d M F ed M D Dans le rep re d origine O D a pour quation x a e dans le rep re d origine F c est x a e e a 1 e e En effet MF a ex e a e x 8 7 3
53. eux R ciproquement si et B sont premiers entre eux le syst me a une solution unique non seulement avec comme second membre 1 mais avec n importe quel polyn me de degr inf rieur p q donc le d terminant du syst me est non nul 59 D finition On appelle r sultant de A et B le d terminant de ce syst me 11 Il s annule si et seulement si A et B ne sont pas premiers entre eux ont au moins une racine com mune On appelle matrice de Sylvester la transpos e de la matrice du systeme les inconnues tant par ordre d croissant les coefficients de U et V Aa Aai in ne BG 0O ve 0 0O Ay es At Ag vce 0 M A B 0 0 Ao Bo Bui Bo 0 0 0 CO Bo cette matrice contient b degr B lignes de coefficients du polyn me A et a degr A lignes de coefficients du polyn me B les coefficients diagonaux sont les A et Bo Remarques Le r sultant s exprime polynomialement en fonction des coefficients des poly n mes A et B donc aussi en fonction des coefficients dominants de A et B et des racines Qj q de A et 5B1 3 B or si on fait varier les racines de B on annulera le r sultant si l une d elle coincide avec une racine de ceci montre que le r sultant est divisible par le produit des diff rences des racines 3 a de A et B On montre que le quotient est A Be en regardant le coefficient dominant du r sultant en degr total par rapport aux 3 dans le d terminant il faut prendre le produit de
54. l espace en gendr par vz et vg 1 la recherche d une relation avp42 bUk 1 Uk 0 permet alors de calculer les valeurs propres qui sont les deux racines de ax ba 1 0 La convergence est de type s rie g om trique on gagne le m me nombre de d cimales a chaque it ration Applications la m thode de la puissance peut donner une estimation du nombre de condi tion L d une matrice A On calcule B A A puis on effectue cette m thode sur B pour avoir une estimation de la plus grande valeur propre puis sur B71 par it rations inverses et on fait le rapport des racines carr es C est une m thode int ressante si la matrice est creuse et sym trique pour pouvoir faire Cholesky creux pour les it rations inverses 232 la m thode de la puissance peut donner une estimation rapide de la taille de la plus grande racine d un polyn me en module en it rant sur la matrice companion du polyn me matrice qui contient beaucoup de 0 donc le pro duit avec un vecteur se fait en temps O n o n est le degr du polyn me f P eps N local k 1 n v old new oldratio tmp l coeffs P n degree P l revlist 1 1 n 1 0 vi randvector n uniform 1 1 oldratio inf for k from 1 to N do old maxnorm v tmp 1 0 xv n 1 for j from 1 to n 1 do vide VOILE 11918705215 od v 0 lt tmp new maxnorm v if abs new old oldratio lt eps return new old oldratio new old od re
55. la matrice R proche d une matrice non inversible les deux derniers coefficients diagonaux de R sont proches de 0 On a alors seulement Q QR R Si on d compose QQ R R par blocs n 2 n 2 n 2 2 2 n 2 et 2 2 on a QQu QQi2 Ru Ri a QQuRu QQuRu Q0a QQ O Ra QQuRi2 QQ12Re2 QQaRi2 QQ22 R22 O Ru Ri 7 0 Ra Donc ona QQ11 Ru Rgl Comme Q est unitaire QQ Q 0 Q Q est sy m trique donc QQ est diagonale puisque sym trique et triangulaire sup rieure On peut donc ramener Q11 et R11 en des matrices r elles L algorihtme des it ra tions QR implicites traite de mani re efficace le cas des couples de valeurs propres complexes conjugu es ou plus g n ralement de clusters de valeurs propres c est l algorithme de Francis aussi appel bulge chasing en anglais qu on pourrait tra duire par la poursuite du bourrelet cela vient de la forme que prend la matrice apr s application d un shift elle a des entr es non nulles en premi re colonne plus bas que la sous diagonale qui forment un bourrelet non nul l annulation de ces entr es par des transformations de Householder d place le bourrelet sur la colonne suivante Revenons la localisation des valeurs propres On suppose qu on a maintenant une matrice unitaire P et une matrice triangulaire sup rieure S aux erreurs d ar rondi pr s telles que PAP 3 Que peut on en d duire 2 On va d abord arrondir P en une matr
56. lorsque cela est possible 73 6 7 Exemple de correction de g om trie et r sultant e1 x1 R o ab laca ita e2 y1 Rx 2b 1 b 2 2xa l a72 e3 x2 R gt 1 c 2 1 c 2 1 a 2 1 a 2 2 e4 y2 Rx 2c 14 c72 2xa 1t a 2 e5 x3 R d 2 1 d72 1 a72 1 a 2 e6 y3 Rx 2d 1 d 2 2 a 1 a 2 f1 factor resultant numer el numer e2 b 4 a 24 1 3 R 2 f2 factor resultant numer e3 numer e4 c 4 a 24 1 3 R 2 3 factor resultant numer e5 numer e6 d 4 a 24 1 3 R 2 g1l factor resultant f1 f2 R g2 resultant f1 3 R r factor resultant gl1 a 2 1 g2 a 2 1 a eql r 1 3 1 eq2 numer im x1l ix yl x2 ix y2 x x3 x2 ix x y3 y2 x3 x1 ix y3 y1 normal eql eq2 7 Bases de Gr bner 7 1 Ordre et r duction L anneau des polyn mes 4 plusieurs variables n a pas de division euclidienne On est donc oblig d utiliser des outils moins performants La premi re chose a faire est de choisir un ordre total sur les monomes compatible avec la multiplica tion des mon mes a lt b doit entrainer ac lt bc et tel que si un mon me a divise un autre mon me b alors a lt b Exemples d ordres utilis s fr quemment ce sont les 3 ordres propos s par les fonctions de Xcas l ordre lexicographique plex a1 a2 an gt b1 bn s
57. mais aussi par 1234567800e 10 Naturellement sur un ordinateur il y a des limites pour les entiers repr sentant la mantisse m et l exposant e Si on crit les nombres en base b la mantisse m s crira avec un nombre n fix de chiffres ou de bits en base 2 donc m 0 b Soit un r el x repr sent par z mb me 0 b Sim 0 b 1 alors on peut aussi crire 2 m b avec m mb 0 b quelle criture faut il choisir Intuitivement on sent qu il vaut mieux prendre m le plus grand possible car cela augmente le nombre de chiffres significatifs alors que des 0 au d but de m ne sont pas significatifs Ceci est confirm par le calcul de l erreur d arrondi pour repr senter un r el En effet si x est un r el non nul il ne s crit pas forc ment sous la forme mb on doit l arrondir par exemple au plus proche r el de la forme mb La distance de x ce r el est inf rieure ou gale la moiti de la distance entre deux flottants cons cutifs mb et m 1 b donc l erreur d arrondi est inf rieure ou gale b 2 Si on divise par x gt mb on obtient une erreur relative d arrondi major e par 1 2m On a donc int r t a prendre m le plus grand possible pour minimiser cette erreur Quitte 4 mulitplier par 14 b on peut toujours se ramener sauf exceptions cf ci dessous m pa b on a alors une erreur d arrondi relative major e par 1 9pn 1
58. me degr c est une m thode probabiliste On suppose donc qu on a un produit P d au moins deux facteurs irr ductibles de degr d casser Soit D l un des polyn mes irr ductibles de degr d coefficients dans Z pZ et soit K Z pZ Y mod D Y ona X X ST ee o puisque le corps K poss de pf l ments tous racines de l quation X p X Dae d On consid re un polyn me T non constant et le polyn me TP T En rem pla ant X par T ci dessus on en d duit T T ILex T a Donc pour tout l ment 6 K Z pZ Y mod D Y ona d T T 8 Haex T a 0 Donc T T est divisible par X LX puisque toutes les racines du second sont racines du premier donc est divisible par tout polyn me irr ductible de degr inf rieur ou gal d coefficients dans Z pZ Comme pt 1 pd m DETTE Ts 1 19 et que ces trois facteurs sont premiers entre eux on en d duit que tout polyn me irr ductible de degr inf rieur ou gal d coefficients dans Z pZ divise l un des trois facteurs ci dessus Pour casser P l id e consiste alors calculer le pgcd de P d Pa i pour un polyn me pris au hasard On sait que P divise le produit des 3 termes de 19 et on esp re que les facteurs irr ductibles de P ne diviseront pas tous le m me terme On va montrer que si T est un polyn me de degr lt 2d 1 choisi au hasard la probabilit que deux facteu
59. mod n ce qui permet de l inverser modulo n et c est ici qu intervient l identit de B zout En pratique quand on factorise un polyn me on commence par retirer les multiplicit s on peut donc supposer que P est sans facteur multiple dans Z Ceci n entraine pas forc ment qu il le reste dans Z nZ ce qui cr e une contrainte suppl mentaire sur le choix de n savoir que P et P restent premier entre eux dans Z nZ il existe forc ment de tels n par exemple n premier plus grand que le plus grand entier intervenant dans le calcul du PGCD de P et P dans Z Reste donc revenir dans Z partir d une racine pz dans Z n Z o on peut choisir k On va maintenant utiliser la repr sentation modulaire sym trique on prend comme repr sentant modulaire d un entier z dans Z n Z unique entier congru z modulo n qui est strictement compris entre n 2 et n 2 si n est pair la deuxi me in galit est choisie large Si qX p est un facteur de P alors agX p est encore un facteur de P le quotient de P par agX gp est coefficients rationnels mais le facteur est coefficients entiers Si on a choisi k tel que n gt 2 aqao l criture en repr sentation modulaire sym trique de a X 4p est inchang e en effet on a des estimations priori sur les entiers p et q q lt aq et p lt ao puisque q divise aq et p divise ag Comme ayX 4p est gal aa X px dans Z n Z il
60. multiple Il s agit de factoriser P dans Z pZ X Il existe essentiellement deux strat gies l une commence par factoriser par groupes de facteurs de m me degr puis casse les facteurs et l autre plus directe base d alg bre lin aire modulaire m thode de Berlekamp Dans les deux cas on utilise le fait que si F est un poly nome alors les polyn mes coefficients dans Z pZ modulo F forment un anneau A qui est aussi un espace vectoriel sur Z pZ de dimension le degr de F si F est 143 irr ductible alors A est un corps On s int resse alors aux propri t s de l applica tion p x Ar x On observe d abord que cette application est une application lin aire Cela d coule du petit th or me de Fermat pour p Ax Ap x et de la formule de Newton et de la primalit de p pour y x y p x w y Calcul de y Pour mettre en oeuvre ces algorithmes on commence par d terminer la matrice de l endomorphisme y x gt x dans Z pZ X mod P X muni de sa base canonique 1 X ve A deg P 1 16 2 2 Distinct degree factorization Cette m thode consiste d tecter les groupes de facteurs ayant un degr donn distinct degree factorization Si n cessaire on utilise ensuite un autre algorithme pour casser ces groupes On utilise ici les propri t s des it r es de application lin aire y sur des espaces vectoriels de corps de base Z pZ On va d terminer le produit P de tous les facteurs de P de
61. objet L utilisation de cette m thode facilite grandement l autoquotation on peut toutefois regretter que le syst me n ait pas pr vu d ins truction permettant l utilisateur d emp cher l valuation d une sous expression On ne peut pas faire d hypoth se globale sur un param tre par contre on peut faire des hypoth ses de type appartenance un intervalle ayant une port e locale 2 8 Algorithmes et complexit On va pr senter dans la suite quelques algorithmes que l on peut consid rer comme classiques dans le domaine du calcul formel Avant d impl menter ce type d algorithmes on a besoin des algorithmes de base en arithm tique Le lecteur trouvera en appendice une br ve pr sentation de certains de ces algorithmes mes r f rences en la mati re sont le livre de Henri Cohen et les livres de Donald Knuth cf appendice La plupart des probl mes pos s en calcul formel n cessitent des calculs dont la taille croit de mani re exponentielle voire doublement exponentielle en fonction de la taille des donn es et ce m me si le r sultat est lui aussi de taille petite Un exemple est la r duction des syst mes de plusieurs quations polynomiales bases de Groebner 6 Toutefois une adaptation du logiciel utilisant comme quantum de base par exemple 32 bits porterait cette limite 6553685535 1 28 2 8 1 Algorithmes modulaires ou p adiques Dans certains cas l application de th ories math ma
62. ona a at II aia 1 jAk jell v Finalement __w ar 0 Ta 14 5 2 Preuve du calcul de On avait s x avec deg s lt 2t 1 il s agissait de voir comment la solution u uv r calculee par Bezout u x x v x s x r x 18 136 avec arr t pr matur au ler reste r x de degr lt t 1 correspondait l quation I x s x w x moda avec deg 1 lt tet deg w lt t 1 On a vu que deg v lt t On commence par factoriser la puissance de x de degr maximal p dans v x et on simplifie 18 par x Quitte changer v et r on se ramene donc a ua u a s x r x avec v x premier avec x deg v lt t pet deg r lt t 1 p On simplifie ensuite par le pgcd de v x et de r x qui divise u x car premier avec x puisqu on a d j trait les puissances de x On a donc quitte changer de notation u v r tels que u x u a s a r x avec v et r premiers entre eux v premier avec x deg v lt t pet deg r lt t 1 p N B p 0 en general On observe que l x est premier avec x 0 n est pas racine de 1 On raisonne modulo 2 P l et v sont inversibles modulo donc s x w x inv l mod xP s x r x inv v mod x donc w x xinv 1 r x xinv v mod 274 w x xu x r x l x mod x donc w x x v x r x x l a cause des majorations de degres D autre part par construction w x est premier avec I x car chac
63. par exemple pour le cercle ci dessus t 0 27 soit par l existence de sym tries si les fonctions x t et y t sont paires ou impaires Par exemple si x et y sont paires alors on parcourt deux fois le m me arc de courbe sur R et R7 on peut restreindre le domaine d tude t gt 0 Si x est pair et y impair alors x t y t x t y t il y a une sym trie par rapport l axe des x on se restreint t R Dans le cas p riodique on peut tester des sym tries correspondant des demi voire quart de p riode Exemple 3 cos t 2 cos 3t 3 sin t 2sin 3t 8 4 1 Branches infinies On s int resse ensuite aux bornes du domaine de d finition et aux points o x ou et y ne sont pas d finis Si x et y admettent une limite finie on peut prolonger la courbe Si les limites existent mais ne sont pas finies on a une branche infinie x ou y Si l une des deux valeurs tend vers linfini l autre restant finie on a une asymptote horizontale si x tend vers l infini verticale si y tend vers l infini on peut d terminer la position de l arc de courbe par rapport l asymptote en cherchant le signe de y L ou x l lorsque t tend vers la valeur particuli re limite droite et limite gauche Enfin si x et y tendent vers linfini tous les deux on cherche la limite de y x Si E gt a 0 on a une branche parabolique de direction asymptotique y az on cherche alors la limite y a
64. plus grand terme rencontr dans la suite Quelle est la perte de pr cision relative occasionn par cette m thode de calcul On peut utiliser les propri t s de la fonction exponentielle pour viter ce pro bl me Pour les nombres n gatifs on peut utiliser l quation e 1 e ne change pas l erreur relative Pour les grands r els on peut utiliser e e multiplie par 2 l erreur relative On peut aussi si on connait une valeur approch e de In 2 effectuer la division euclidienne de x par In 2 avec reste sym trique In 2 x aln 2 r aez p lt ZP puis si r est positif on somme la s rie de T f r si r est n gatif on calcule T f r et on inverse on applique alors e 2 e Il faut toutefois noter que In 2 n tant pas connu exactement on commet une erreur d arrondi absolu sur r d ordre an o 7 est l erreur relative sur In 2 il faut donc ajouter une erreur d arrondi relative de x In 2 7 qui peut devenir grande si x est grand Puis il faut ajouter la somme des erreurs d arrondi due au calcul de e que l on peut minimiser en utilisant la m thode de Horner pour valuer T f r car elle commence par sommer les termes de plus haut degr qui sont justement les plus petits termes de la somme Les coprocesseurs arithm tiques qui impl mentent la fonction exponentielle ont un format de repr sentation interne des double avec une mantisse plus grande que celle des dou
65. pour k j en divisant le produit complet par P on fait ainsi n 1 multiplications et n divisions au lieu de n n 1 multiplications Boucle ind finie sur n d cr ment de 1 par it ration Sin 2 on rajoute la liste r sultat les polyn mes Q et Q de l algorithme de B zout usuel et on renvoie la liste Sinon on calcule les polyn mes et Qn v rifiant 23 on rajoute Qn en d but de liste on remplace Q par Rp Remarquons que lorsque nous utiliserons cet algorithme sera la diff rence entre deux polyn mes de m me degr le degr de P et de m me coefficient dominant 1 on peut donc remplacer les Q par le reste euclidien de Q par P sans changer T galit 16 6 Factorisation rationnelle et sur une extension Pour factoriser des polyn mes ayant des coefficients dans des extensions al g briques il existe un algorithme assez simple l algorithme de Trager qui n est pas forc ment le plus performant la recherche est encore active dans ce domaine cf le livre de Henri Cohen pp 142 144 Cet algorithme est utilis lorsqu on met l extension alg brique en deuxi me argument de factor dans Xcas Pour trouver l extension alg brique qui permet de factoriser on peut dans les cas simples es sayer solve Si le polyn me P 4 factoriser est irr ductible sur Q on peut essayer factor P rootof P Mais en g n ral cela ne permettra d extraire qu un seul facteur de degr 1 Pour obtenir une d co
66. pour tout j donc T2 Ti Si on a de la chance tous les 52 seront distincts et les pgcd non triviaux de P avec T2 jT donneront les Fk Sinon il faudra continuer avec T3 jT etc Exemple Revenons sur la factorisation de P x 2x 2 x 2 mod 5 Commen cons par calculer la matrice de dans la base 1 x 2 5 On a videmment y 1 1etp x 29 puis p x x 2 24 223 2 mod P puis en multipliant par x et en divisant par P v x x 2x3 de la m me mani re on obtient p x a 224 z3 x 2 et y x x x z La matrice de y est donc 1 0 0 0 2 0 00 1 0 0 i 00 0 0 1 1 ae 0 0 2 2 1 1 00 1 1 2 0 01 1 0 1 0 On calcule ensuite le noyau de y Id comme matrice coefficients dans Z 52 on obtient une base du noyau en prenant par exemple les vecteurs 1 0 0 0 0 0 et 0 0 1 1 0 1 Donc le polyn me P poss de 2 facteurs dans Z 5Z X Pour d terminer les facteurs on calcule le pged de P avec le polyn me T gt s o To ax x x correspond au 2 me vecteur de la base du noyau On obtient pour s 0 un pcgd non trivial x 2 1 ce qui permet de calculer les 2 facteurs Si on avait essay d autres valeurs de s pour s 1 on obtient comme pgcd 1 pour s 2 on trouve le 2 me facteur x 2x2 x 2 16 2 5 Remont e Hensel Il s agit de passer d une factorisation de P dans Z pZ X une factorisation de
67. quations lin aires o ce sont les racines de l quation caract ristique La solution g n rale tend vers 0 si toutes les valeurs propres ont une partie r elle strictement n gative S il y a des paires de valeurs propres conjugu es de partie r elle n gative des ph nom nes cycliques amortis apparaissent Si les valeurs propres sont n gatives ou nulles mais distinctes la so lution reste born e avec des composantes qui peuvent tre p riodiques Si une des valeurs propres a une partie r elle strictement positive alors pour une condi tion initiale g n rique la solution tend vers l infini Exemples Y desolve y Ax y y 0 1 0 0 pour A 1 2 31 4 5 61 7 8 9 puis plot Y 0 x 0 4 la solution tend vers linfini vitesse exponentielle comme on peut le voir avec plot 1n Y 0 x 0 4 En effet 16 12 est valeur propre de A eigenvalues approx A On observe le m me comportement en rempla ant A par A ceci diff re de la dimension 1 o en changeant le sens du temps une solution divergente devient convergente On peut re pr senter le graphe de la courbe d crite dans l espace par exemple avec plotparam Y x 0 2 Y desolve y Ax y y 0 1 0 pourA 3 1 1 la courbe dans le plan est obtenue par plotparam Y x 0 10 en fai sant plusieurs zoom out on voit la courbe partir de la condition initiale le point 1 0 et aboutir presque en l origine Les valeurs propres sont en effet
68. randpoly n time resultant A B time det sylvester A B 5 Localisation des racines 5 1 Majoration On a vu au lemme 4 que si z est une racine complexe d un polyn me P de coefficient dominant pp alors Ploo Pn lz lt 1 5 2 Les suites de Sturm Lalgorithme du sous r sultant appliqu un polyn me sans racine multiple P et sa d riv e permet condition de changer les signes dans la suite des restes de connaitre le nombre de racines r elles d un polyn me coefficients r els dans un intervalle Ceci est tr utile pour par exemple simplifier des valeurs absolues de polyn mes dans un intervalle On d finit donc la suite de polyn mes Ag P A P A 0 par Aj Ai 1Q 42 Aj42 12 avec Az le dernier reste non nul un polyn me constant puisque P n a pas de racine multiple On utilise plutot l algorithme du sous r sultant que l algorithme d Euclide il faut alors s assurer que les signes de A et Aj 2 sont oppos s lorsque A 1 s annule quitte changer le signe de A 2 en fonction du signe du coefficient dominant de A 1 de la parit de la diff rence des degr s et du signe du coefficient ghi On d finit s a comme tant le nombre de changements de signes de la suite A a en ignorant les 0 On a alors le Th or me 10 Le nombre de racines r elles de Ay P sur l intervalle ja b est gal a s a s b Preuve Par continuit de la
69. re colonne devient ge 1A A al pg B et en d veloppant le d terminant par rapport cette derni re colonne on obtient Videntit de B zout Exemple le r sultant de x 1 et x 1 est 2 donc l quation x 1 U x 1 V 2 a une solution U 1 et V 1 dans Z X par contre 2 1 U 1 1 V 1 n a pas de solution dans Z X Ceci peut servir liminer des inconnues lorsqu on r soud un syst me d qua tions polynomiales Pied SOOO On pose 1 1 Pi X1 Xn 1 resultant P Pa Xn is Ana resultant Pn 1 Ph Xn Comme P P _ sont des combinaisons lin aires des polyn mes de d part coefficients dans l anneau si X1 Xn est solution du syst me de d part alors X1 Xn 1 est solution du deuxi me syst me On limine ainsi les va riables les unes apr s les autres pour se ramener une seule quation polynomiale Pre 0 dont on cherche les racines puis si r est une racine de PEL on remonte au syst me pr c dent Pr r1 X2 0 P37 r1 X2 0 que Pon r soud en cherchant les racines de ged P r1 X2 P3 r1 X2 et ainsi de suite jusqu au syst me de d part Lors des calculs de r sultant il peut arriver que le r sultat soit nul si les argu ments ne sont pas premiers entre eux dans ce cas il faut diviser par le PGCD de ces 2 polyn mes et traiter le cas du PGCD part Malheureusement les calculs de r sultant deviennent vite i
70. rifier que cette relation est quivalente la nullit de la partie imaginaire du birapport des affixes a B y 6 des 4 points a p 2 o E 6 6 D calage entier entre racines Soit P un polyn me coefficients entiers sans racines multiples On dira que P a la propri t Z si deux des racines de P sont d cal es d un entier En d autres termes si r1 Tn d signent les racines complexes distinctes de P P poss de la propri t Z s il existe au moins un entier parmi les diff rences r r pour i j 1 Soit R t resultants P x P x t 72 Montrer que est coefficients entiers Montrer que la propri t Z est qui valente la propri t R poss de une racine enti re non nulle On va main tenant construire un algorithme d terminant les racines enti res du polyn me R Apr s division de R par une puissance de t on peut supposer que R a un coefficient constant non nul Apr s division de R par son contenu on peut aussi supposer que le contenu de R est 1 En effectuant ensuite une factori sation square free de R on peut se ramener au cas o R et R sont premiers entre eux Soit a une racine de R a Donner une majoration de a en fonction du coefficient constant de R b Soit p un nombre premier ne divisant pas le coefficient dominant de R et tel que R et R soient premiers entre eux modulo p On peut calculer a partir d une racine de R modulo p en la remo
71. s je ne vois pas l int r t de forcer des l ves continuer faire ces calculs la main s ils savent les faire avec un logiciel ou une calculatrice En les bloquant sur un point technique on ne fera que les braquer et on les emp chera de comprendre a quoi cela peut servir par exemple ici faire un tableau de variations Il faut arr ter de croire que tous les scientifiques fonctionnent comme les matheux qui veulent comprendre de A Z c est d ailleurs souvent devenu impossible en recherche en maths les autres disciplines ont leurs propres r gles je pense par exemple qu un bon physicien n a pas forc ment besoin de savoir d montrer rigou reusement quelque chose l essentiel est qu il ait une bonne intuition des bonnes approximations faire pour calculer correctement calcul qu il n h sitera par d l guer la machine Interdire les outils de calculs ou les r server ceux qui savent d j les faire la main c est pour moi une pratique litiste on donne l acc s cer taines connaissances non pas ceux qui sont capables de les comprendre mais ceux qui sont suffisamment virtuoses du calcul la main Certains enseignants mettent sur le dos de l usage des outils de calcul tous les maux du syst me actuel alors qu mon avis cela n a rien voir Je pense que le probl me principal des maths au lyc e c est que les maths de S sont la fois dures pour des non matheux et inint
72. s de libert on peut donc ajouter d 1 conditions par exemple pour les splines naturelles on impose que les d riv es d ordre d 2 d 1 soient nulles en xo et n si d est pair on commence la d riv e d 2 1 i me nulle en zn Pour trouver les polynomes on doit donc r soudre un grand syst me lin aire Une m thode permettant de diminuer la taille du syst me lin aire r soudre dans le cas des splines naturelles consiste se fixer n inconnues 20 211 repr sentant les d riv es d i me de la spline f en zo sur xo 11 x 1 sur 2 1 n et d 1 2 inconnues fj repr sentant la valeur de la d riv e de f en xp pour j variant de 1 d 1 2 On peut alors crire le polynome sur l intervalle x0 11 car on connait son d veloppement de Taylor en xo On effectue un changement d origine par application r p t e de Horner en x1 On obtient alors le polynome sur x1 x2 en rempla ant uniquement la d riv e d i me par z1 On continue ainsi jusqu en n 1 Le syst me s obtient en calculant la valeur du polynome en zo Zn et la nullit 247 des d riv es d ordre d 1 2 d 2 en x On r soud le syst me et on remplace pour avoir les valeurs num riques des coefficients du polynome 22 D veloppement de Taylor asymptotiques s ries enti res fonctions usuelles Pour approcher les fonctions classiques exponentielle sinus cosinus log ne p rien on peut utiliser les
73. t4x a une limite car la racine au d nominateur de x et y est simple donc elle se simplifie avec le num rateur Exercice param trer et faire l tude des coniques x Ay 2xy 4 2 3y 2xy 4 8 7 2 Ellipse D finition 14 L ellipse E de foyers F et F2 de demi grand axe a est l ensemble des points M du plan tels que MF MF 2a Exemple ouvrir un niveau de g om trie 2d dans Xcas choisir le mode ellipse cli quer 2 points ce sont les foyers puis un 3 me point point de l ellipse passer en mode pointeur et faire bouger l un des points observer la forme de l ellipse qui en r sulte Ou dans une ligne de commande normale taper la commande el lipse avec en arguments les 2 points foyers et un point de l ellipse ou l quation cart sienne de l ellipse par exemple ellipse 1 1 3 1 trace l ellipse de foyers 1 0 1 0 et passant par le point 3 1 On note 2c FF la distance entre les deux foyers qui doit tre plus petite que 2a pour que l ellipse soit non vide L excentricit de l ellipse est d finie par e c a lt 1 Si e 0 on obtient un cercle de centre F1 F2 et de rayon a Sie 4 0 on va voir qu il s agit d un cercle contract selon l axe perpendiculaire F1 F2 dans un rapport de v 1 e2 On va galement calculer l quation en coordonn es polaires de E c est sous cette forme que l on montre que la Terre d crit une ellipse dont le So
74. un poly n me il suffit de poser le syst me form par les relations racines coefficients de ce polyn me et d en chercher la repr sentation rationnelle univari e cf la section 16 6 On peut galement s en servir pour trouver une extension alg brique unique contenant plusieurs extensions de Q dont on a le polyn me minimal Par exemple pour travailler dans Q V2 V3 V5 on pose G gbasis a 2 2 b 2 3 c 2 5 a b c rur on a alors y 2 rootof G 4 G 2 rootof G 3 G 2 43 rootof G 51 G 2 rootof G 3 G 2 5 rootof G 6 G 2 rootof G 3 G 2 on peut utiliser normal ou evalf pour d cider du signe 83 8 Courbes param triques et polaires Remarque dans ce cours sur les courbes le lecteur pourra s tonner de ne voir aucune figure Ceci est volontaire la place des figures qu on trouverait pour illustrer un cours classique de nombreuses commandes Xcas sont indiqu es le lecteur est invit les ex cuter telles quelles puis les modifier afin d illustrer lui m me de mani re active le cours 8 1 Introduction Le graphe d une fonction f J RC un intervalle est un exemple de courbe du plan mais il n est pas assez g n ral pour repr senter tous les types de courbe du plan par exemple un segment de droite vertical ou un cercle car deux points dis tincts d un graphe doivent avoir des abscisses diff rentes D autre part il apparait naturellement d autre
75. we will get by the same process but computing modulo p the Gp Groebner basis Therefore the computation can be done in parallel in Z and in Z pZ except for a finite set of unlucky primes since the number of intermediate polynomials ge nerated in the algorithm is finite If we are choosing our primes sufficiently large e g about 231 the probability to fall on an unlucky prime is very small less than the number of generated polynomials divided by about 2 even for really large examples like Cyclic9 where there are a few 10 polynomials involved it would be about 1e 5 The Chinese remaindering algorithm is as follow compute Gp for several primes for all primes that have the same leading monomials in G i e if coef ficient values are ignored reconstruct Gy p by Chinese remaindering then re construct a candidate Groebner basis Ge in Q by Farey reconstruction Once it stabilizes do the checking step described below and return G on success Checking step check that the original f polynomials reduce to O with respect to Ge and check that Ge is a Groebner basis Th or me 11 Arnold If the checking step succeeds then Ge is the Groebner basis of I This is a consequence of ideal inclusions first check and dimensions second check for a complete proof see Probabilistic checking algorithm instead of checking that s polys of critical pairs of Ge reduce to 0 check that the s polys reduce to 0 modulo several primes t
76. y 22 y 42 y 2910 on a P x 1 irr ductible on obtient donc la factorisation absolue par les com mande p x y y 10 2x 2x y 4 4x 6x xy 2 2x 10 pl p 1 y factor p1 v rification 157 factor p Xx y rootof pl mais c est beaucoup plus long que de faire factor pl sqrt 2 Pour un polyn me a 2 variables on peut toujours s y ramener de degr s par tiels m n en x y on remarque que le degr q gt 2 de l extension n cessaire est gal au nombre de facteurs chaque facteur tant conjugu d un facteur donn par change des racines qui sont donc tous de m me bi degr m q n q en particulier q divise le PGCD de m et n qui doit tre non trivial Ainsi par exemple pour P X Y Y 2Y24xX 14Y 7x X 6X 47 m 2 donc q ne peut tre gal qu 2 en faisant Y 0 on obtient que la seule extension possible est 4 2 Voir aussi la session afactor xws du menu Exemple poly de Xcas 16 8 Compl ments Pour factoriser sur des corps finis on peut consulter la th se de Bernardin dis ponible sur le web http www bernardin lu On peut aussi consulter le code source de Mupad les routines de factorisation se trouvent dans le r pertoire 1ib POLYLIB FACLIB apr s avoir d sarchiv la lib tar Le point d entr e pour factoriser des polyn mes plusieurs variables sur Z est le fichier mfactor mu on observera que l algorithme utilis par Mupad est assez diff rent de celui qu o
77. zout g n ralis 117 118 118 119 120 121 122 122 124 125 129 129 130 130 130 131 131 131 132 132 133 133 134 134 135 135 136 137 138 138 139 140 140 16 6 Factorisation rationnelle et sur une extension 16 7 Factorisation absolue 16 8 Compl ments 5 2 4 o Se PER Ae ae ES 16 9 Exercices factorisation des polyn mes 17 Int gration formelle U7 L WntodMction c p bs aes abs ah ede ad Ea aes 17 2 Fonctions l mentaires oa ee a Bae 17 2 1 Extensions transcendantes tour de variables 17 2 2 Th or me de structure de Risch 17 23 Theoreme de Liouville lt s se s s is neue due na 17 3 L algorithme d Risch 4 4 oe kh 4 4 ee dubai as we 17 3 1 Int gration d une fraction propre 17 3 2 R duction sans facteurs multiples 1733 La partie loganthmique lt o soea sasas camau 17 3 4 La partie polynomiale g n ralis e 17 3 5 Extension logarithmique 17 3 6 Extension exponentielle o o ec cranu 4 ee 17 4 Quelgues TETETENCOS wa ee a 18 Int gration num rique 18 1 Les rectangles et les trap zes 18 2 Ordre d une m thode sn sc La Base da L na male pe lgo SIMPSON vec de mu ddr MD Mus es eut 15 4 Newton Cotes o o cos e nur sus anne das dog NS BOTSUANA a ad 18 6 Acc l ration de Richardson Romber
78. 0 n add 1 k n 1 xl k n k 1 n r proot g subst g x r 0 2 741 e 41 1n 41 t k n local T T seq cos pix k 5 n 1 k 0 n return product x T 3 T k T 31 3 0 k 1 x product x T 3 1 T k T 31 3 k 1 n o n 40 f add abs t k n k 0 n plot f x 1 1 21 3 Interpolation de Hermite Si on fait tendre un des points d interpolation vers un autre la donn e de la valeur en ces 2 points serait redondante elle est remplac e par la valeur de la 245 d riv e Dans le calcul des diff rences divis es ci dessus on fera comme si les 2 points taient distincts et successifs disons x et x 41 on remplace le rapport ind termin fi fle 0 Ti 1 Ti 0 par f a On montre qu une fois ce changement r alis tout le reste est identique y compris la majoration d erreur On peut bien sur g n raliser au cas de plusieurs paires de points identiques ou des multiplicit s plus grandes faisant intervenir des d riv es d ordre sup rieures dans ce cas la diff rence divis e f 2 i m sera remplac e par fl 2 m 21 4 Polyn mes de Bernstein et courbes de B zier Les polyn mes de Bernstein de degr m sont les Bix A ay On reconnait la probabilit d avoir k succ s si on effectue n tirages ind pendants avec remise avec probabilit x 0 1 de succ s par tirage Ceci donne une relation de r currence 1 _ Br 1 2 Bey 2B qui pe
79. 1 20 9 1 1 SL 199 800 0 24875 10 20 Enfin pour les trap zes l aire du trap ze d limit par l axe des x les verticales y a y B et les points sur ces verticales d ordonn es respectives f a et f B vaut TORZO donc 9 i A 1 j Gel 101 10 2 Er o y agg ee j 0 Dans la somme des trap zes on voit que chaque terme apparait deux fois sauf le premier et le dernier Plus g n ralement les formules sont donc les suivantes n 1 rectangle gauche h dE f at gh 32 j 0 rectangle droit h y f a jh 33 j l n 1l h o E a R j point milieu DA 34 f a f b 2 n 1 f a jh 35 j 1 trapezes h o h b a n est le pas de la subdivision n le nombre de subdivisions On observe sur l exemple que le point milieu et les trap zes donnent une bien meilleure pr cision que les rectangles Plus g n ralement la pr cision de ap proximation n est pas la m me selon le choix de m thode Ainsi pour les rectangles gauche le r sultat est le m me droite si f est continument d rivable de d ri v e major e par une constante M sur a b en faisant un d veloppement de Taylor de f en a on obtient B B B B Lf toa f pera ferias ajat m EZ Q Ainsi dans l exemple on a Mi 3 l erreur est donc major e par 0 015 sur une subdivision donc par 0 15 sur les 10 subdivisions Pour le point milieu on fait le d veloppement en a B 2 l
80. 10R duction approch e des endomorphismes 20 10 1 M thode de la puissance 20 102 It rations inverses o 4 4 4 L 4 Lie dure 20 10 3 Elimination des valeurs propres trouv es 20 10 4 D composition de Schur 20 11 Quelques r f rences oo o 4 Lu ses a era 20 12 Exercices aleebre linGaire os Li dre desde euh 20 12 1 INSENCAONST oi cee ne 8 a de ue ee AO Z Exercices 3 aus is a bite bite 21 Approximation polynomiale 21 1 Polynomede Lagrange os 4 44 4 La Lui er see 21 4 1 Exastenceepunicite coi be pe EUR EL eS 21 1 2 Majoration de l erreur d interpolation 21 1 3 Calcul efficace du polyn me de Lagrange 21 1 4 Sensibilit aux erreurs sur les donn es 21 2 Interpolation aux points de Tchebyshev 22 23 24 25 26 21 3 Interpolation de Hermie 242 24 24 24 Pav ee de do da 21 4 Polyn mes de Bernstein et courbes de B zier 21 5 Polynomes orthogonaux 4 4 4 e a a EES 21 0 LES splines os ee du hi ss nets hd A Se D veloppement de Taylor asymptotiques s ries enti res fonctions usuelles 248 22 1 La fonction exponentielle Dig Seres enteres due DE Lu dE Le DANIEL ir E 22 3 Serie AMEM S t e 4 D DS Leurs dE ee ae ae 22 4 La fonction logarithme 4 4 4 ou de a we 22 5 Approximants de Pad
81. 2 2 et dans ce cas D vz Donc Las 5 it zD k et N Dh II vj j k Soit t un param tre formons le polyn me N tD N tD X cz 1 o k j k donc le pgcd en X des polyn mes N tD et D est si t n est gal aucun des cz N tD est premier avec vz pour tout k car ug divise gt zp ei t v I jz vy et vh Lx vy est premier avec vg Donc le pgcd est 1 sit est gal l un des cx alors le pgcd est le produit des vz tels que ck t notons que dans ce cas on peut rassembler ces vz l int rieur d un m me logarithme Consid rons le polyn me R de la variable t gal au r sultant par rapport X des polyn mes D et N tD rappelons qu il s agit du d terminant du syst me lin aire AD B N tD 1 o les inconnues sont les coefficients des polyn mes A et B ce d terminant est nul si et seulement si le syst me n a pas de solution donc si et seulement si D et N tD ne sont pas premiers entre eux alors ce polyn me en t s annule si et seulement si t cg On cherche les racines cz en t de ce polyn me elles doivent tre ind pendantes de x si F est l mentaire et dans ce cas la primitive F de f N D vaut F XO cpIn ged N cg D D cp racine de R Exemples 2z 2 T 2 D X 1D e X N tD 2 0 2 tX er 1 On calcule R 2 x x t 2 l unique racine est t 2 2x qui n est pas constante donc cette fonction
82. 4 v2 lt 0 119 5 M me chose avec A 1 2 2 1 Lacourbe part toujours du point 1 0 pour aboutir presque en l origine cette fois en spiralant car les valeurs propres sont complexes conjugu es PourA 0 2 2 0 1les valeurs propres sont imaginaires pures la courbe est un cercle d crite de mani re p riodique Cas autonome On ne sait pas int grer un syst me y f y sans plus de pr cision sur f ce n est plus une quation variables s parables et il n y a pas d ordre dans R donc pas de monotonie des solutions attendre On ne peut donc esp rer un r sultat g n ral que si la condition initiale est proche d un point d quilibre une solution de f r 0 Dans la plupart des cas on peut conclure sur la stabilit ou l instabilit du point d quilibre en fonction de la partie r elle des valeurs propres de f r un peu comme en dimension 1 Si toutes les valeurs propres ont des parties strictement n gative on peut montrer que le syst me revient l quilibre exponentiellement vite si l une des parties r elles est strictement positive pour une condition initiale g n rique le syst me s en loigne et s il y a des parties r elles nulles on ne peut pas conclure 12 45 Le mod le proie pr dateur C est un syst me autonome en dimension 2 pour lequel on sait calculer une int grale premi re Il se pr sente sous la forme t zx a by y
83. C D qui traduise le fait que ces 4 points sont cocycliques Cette condition tant inva riante par translation on cherche une relation entre les 6 coordonn es des 3 vec teurs v1 1 Y1 v2 x2 y2 et v3 x3 y3 d origine A et d extr mit B C et D On peut supposer quitte translater que le centre du cercle est l origine on a donc 5 param tres le rayon du cercle R et les 4 angles des points sur le cercle 90 01 02 et 03 La relation cherch e va s obtenir en liminant les 5 param tres des expressions des 6 coordonn es en fonction de ces param tres 1 Exprimer les 6 coordonn es en fonction de Reta tan 07 2 b tan 61 2 c tan 2 2 et d tan 03 2 On obtient ainsi 6 quations par exemple les deux premi res sont de la forme z F R a b 0 y G R a b 0 ou F et G sont deux fractions rationnelles 2 En r duisant au m me d nominateur calculer 6 polyn mes fonction de 1 Y1 T2 Y2 T3 Y3 R a b c d qui doivent s annuler pour que les points soient cocycliques Vous pouvez utiliser l instruction numer pour obtenir le num rateur d une fraction rationnelle 3 Eliminer b des polyn mes contenant x et y et factoriser le polyn me ob tenu faire de m me avec c 2 et ya et d x3 et y3 en d duire en supposant que les points sont tous distincts 3 polyn mes en 21 Y1 2 Y2 3 y3 R a qui s annulent 4 Eliminer R et a en d duire la relation cherch e 5 V
84. Comme dans le premier exemple sur le cercle trigonom trique on n obtient pas toujours toute la conique s il existe un autre point d abscisse x 0 8 En toute rigueur il faut ajouter deux autres cas l ensemble vide et les paires ventuellement confondues de droites 9 Sid e 0 le polyn me est homog ne et se factorise on obtient l origine ou la r union de deux droites 10 Cette m thode fonctionne pour les coniques mais ne fonctionne malheureusement pas pour n importe quelle quation cart sienne 91 Si on cherche les points o le d nominateur en s annule on doit calculer pour c 0 et en supposant que la fraction oS est irr ductible le discriminant de l quation du second degr A b 4ac Il y a trois cas possibles sib lt 4ac il n y a pas de racine le param trage est d fini pour tout t et les limites en 00 de x sont nulles car c 4 0 puisque 4ac gt b la conique est born e c est une ellipse si b 4ac il y a une racine double qui engendre une tude de branche infinie en t b 2c on obtient une parabole deux branches selon que t tend vers b 2c par la droite ou la gauche sib gt 4ac il y a deux racines distinctes t donc deux valeurs de o il faut faire une tude de branche infinie on a alors une hyperbole avec 4 branches infinies et deux asymptotes parall les y tia en effet le rapport y x t tend bien vers t et y
85. Do ea ee Ge be we a wk we ee hs 14 4 Codes lin aires et polynomiaux 144 1 Le bit de parit o 4 444 44 ui ui ua 14 4 2 Codes lin aires 14 4 3 Codes polynomiaux 14 44 D tection et correction d erreur PAA DISTANCES 4 a a LL a a dede a 14 4 6 Correction au mot le plus proche 14 4 7 Codes de Hamming 14 5 Les codes de Reed Solomon ESA Thone 0 se a we ds Fee 12 52 Preuve du calcul de 4 0 4 a a 14 5 3 VEGIACAS cusco sra a de a dre 15 Factorisation des entiers et primalit 15 1 Le test de primalit de Pocklington 15 2 La m thode pde Pollard o se 4 4 4 4 nu ce a 15 3 L cnble quadratiqu 2 os 44 coia cea a a ses 15 3 1 Recherche de racine carr e modulo p 16 Factorisation des polyn mes 16 1 Les facteurs multiples ns 4 44 4 ua deu sauts sa 16 2 Factorisation en une variable 16 2 1 Factorisation dans Z pZ X 16 2 2 Distinct degree factorization 16 2 3 La m thode de Cantor Zassenhaus 16 2 4 La m thode de Berlekamp 16 2 5 Remont s Hensel ae ee ee ee 16 2 6 Combinaison de facteurs 16 3 Factorisation plusieurs variables 16 4 Preuve de l identit de B zout g n ralis e 16 5 Algorithme de B
86. Il faut donc chercher v y tel que AV 4 1 G0Uj 0 Qd 1Uj d 1 Uj 1 d 1 51 En utilisant les relations de r currence pr c dentes on voit que cela revient a fixer Q A v o en fonction des vj avec j lt j l quelconque Ce qui est toujours possible en utilisant la colonne de matrices C qui s obtiennent en fonction des Cy 1 en appliquant Q 4 Plus pr cis ment calculons les v en fonction de v o et des v y j lt j On utilise les coefficients binomiaux la calcul s par la r gle du triangle de Pascal et on montre par r currence que inf l j Vi A vjo gt a Vj m l m 52 m 1 On remplace dans 51 d o inf d j d inf j ia e pe m 1 1 0 m 1 finalement d inf 1 5 Q AJujo Soa Y A Vj m l m 53 l 1 m 1 Application exemple Ici voo 4 24 12 32 8 4 et vo1 Avj dont une pr image par Q A est wi 0 4 4 8 4 4 et w1 1 411 0 On applique 53 comme qi 0 et q2 1 on doit avoir 2 inf 1 1 Q A rio Y q y h Vi m l m 2V0 1 i 1 m 1 donc vo 2A 0 4 4 8 4 4 8 32 0 48 16 16 vui Av1 0 V0 0 4 40 4 64 24 20 On v rifie bien que Av 1 21 0 Vo 1 225 20 7 11 Fonctions analytiques Soit f une fonction analytique et M une matrice Pour calculer f M on cal cule la forme normale de Jordan de M P D N P o D diag di dm est diagonale et N nilpotente d ordre n On calcule au
87. Linux et Mac OS avec une prise en main rapide aid e par un typage faible et par l interface Xcas ou Wxmaxima Maxima est plus connu dans le monde anglo saxon car il est plus ancien alors que Xcas est maintenant bien implant en France et sans doute dans d autres pays franco phones grace la documentation en francais Xcas volue plus vite Giac dispose d algorithmes beaucoup plus performants pour de gros calculs polynomiaux pour la recherche meilleur moteur open source de calcul de bases de Groebner a l heure actuelle par exemple et est bien adapt un usage en enseignement d s le lyc e en particulier par son int gration comme CAS de geogebra Un challenge pour Xcas pour les ann es a venir va tre d augmenter la part de march dans le monde anglo saxon il nous faudrait un amateur motiv parlant nativement anglais pr t a consacrer du temps pour am liorer la documentation en anglais Sage est tr s diff rent de Xcas et Maxima On peut certes l utiliser comme un logiciel local en ligne de commande mais pour une interface plus conviviale il faut utiliser une client serveur l interface tant alors dans le navigateur Les res sources n cessaires sont significativement plus importantes si on l installe locale ment et l acc s Internet est indispensable sinon Le langage de Sage est beau coup plus typ que celui de Giac il est philosophiquement plus proche de Magma que de Maple ou Mathematica donc plus di
88. Singular dont la version actuelle est tr s inefficace sur Z De ce fait le portage est difficile sans m me parler des OS de tablettes et smart phones il n y a pas de version native Windows on fait communiquer le navigateur sous Windows avec un serveur sage dans une machine virtuelle sous linux ce qui 31 Il serait d ailleurs int ressant de calculer le cout nerg tique d un m me calcul fait par Sage Maxima Xcas et une calculatrice formelle Pour avoir un ordre de grandeur une recherche sur google mettrait 7g de CO2 soit environ 16Wh de quoi faire fonctionner un ordinateur portable un quart d heure et une calculatrice haut de gamme pendant une journ e 291 n cessite significativement plus de ressources tourner sur des calculatrices Les deux strat gies de d veloppement de Giac et Sage sont assez oppos es Giac se contente de peu de ressources et cible le public enseignement d s le ly c e calculatrices geogebra alors que W Stein le fondateur de Sage se tourne vers le cloud computing Measured by the mission statement Sage has overall failed The core goal is to provide similar functionality to Magma and Maple Mathematica Matlab across the board and the Sage development model and community has failed to do this across the board since after 9 years based on our current progress we will never get there There are numerous core areas of research mathematics that I m personally familiar with
89. U et V de l identit de B zout AU BV c deg U lt deg B deg V lt deg A 13 par une m thode modulaire 1 Montrer en utilisant les formules de Cramer que les coefficients de U et V sont des entiers de valeur absolue inf rieure ou gale la borne de Hadamard h de la matrice de Sylvester de A et B dont le d terminant est c le r sultant de A et B Calculer h en fonction de la norme euclidienne de A B et de leurs degr s On calcule c Z puis on r soud 13 dans Z p Z X pour plusieurs nombres premiers p choisis si possible inf rieurs V231 pour des raisons d efficacit puis on calcule par le th or me des restes chinois 13 dans Z p iZ X Donner une minoration de p faisant intervenir h qui per mette de garantir que l criture en repr sentation sym trique de 13 dans Z piZ X est identique 13 dans Z X 3 Application r soudre de cette mani re l quation de B zout pour A X D Y X 3 B X 1 X 2 71 vous pouvez utiliser sans justifications l instruction de calcul de r sultant des coefficients de B zout dans Z p Z X et de reste chinois de votre logi ciel 4 Ecrire une fonction mettant en oeuvre cet algorithme 5 Que pensez vous de l int r t de cet algorithme par rapport l algorithme d Euclide tendu dans Z X 6 5 Exercice G om trie et r sultants On cherche une relation alg brique entre les coordonn es de 4 points A B
90. X pX 1 admet il une racine multiple R soudre le syst me en liminant successivement les variables gr ce au r sultant 8 a b e 6 a b 2c 4 6 4 D terminer l intersection de xy 4 et y x 3 x 16 rep senter graphiquement les courbes Discuter la multiplicit et le nombre d intersec tions M me question pour x 2 y 4 et y x 3 a 16 Donner le d tail des calculs avec B zout de la d composition en l ments simples de 1 x 1 2 puis calculer le coefficient de x du d veloppement en s ries enti res de cette fraction en 0 1 zr d J 1 2 T en utilisant le r sultant pour calculer les logarithmes Calculer Courbe param trique d pendant d un param tre on consid re la courbe Cm d pendant du r el m t m t Sarim YO x t Si Repr senter la courbe pour quelques valeurs de m on pourra utiliser dans un niveau de g om trie le menu Edit Ajouter un param tre pour cr er un curseur repr sentant m puis plotparam Donner l quation cart sienne de Cm D terminer les valeurs de m pour lesquelles la courbe admet un point singulier repr senter le graphe dans ce s cas et faire l tude de la courbe Exercice B zout modulaire Soit et B deux polyn mes coefficients entiers et premiers entre eux Soit c ZX le r sultant de A et B on va calculer les polyn mes
91. X Valeur renvoy e la liste des facteurs de P dans Z p Z X On calcule la borne de Landau Mignotte pour les facteurs de P on multiplie par le coefficient dominant de P et on calcule tel que p est strictement plus grand que deux fois cette quantit On calcule aussi les polyn mes Q de l identit de B zout g n ralis e pour Q 1 Puis on fait une boucle pour k variant de 241 On d termine P II P mod p on divise par p et on place le r sultat dans Q On multiplie les polyn mes Q de l identit de B zout g n ralis e corres pondants au polyn me 1 par Q et on d termine le reste de la division eu clidienne de QQ par Pj on multiplie par p et on ajoute le r sultat Pis 24 Rappelons qu il s agit d une majoration sur la valeur absolue des coefficients des facteurs de P 149 Il existe une version quadratique de cette m thode On passe alors de P TIP mod pl a P TIP 21 mod p Pour cela il faut trouver les polyn mes Q solutions de l quation y Qjlnzj Pk Q mod p j l Pour l 1 c est l identit de B zout g n ralis e mais ce n est plus le cas pour l gt 1 En fait on r sout cette galit en remontant l identit de B zout quadrati quement plus pr cis ment pour trouver les S solutions de n Sj Uke Pau Q mod p j 1 on pose S Q p Rj il s agit donc de trouver les R solutions de n SQ p R Hkz Pk a Q mod p j
92. approcher y az ce qui se fait par une m thode de Newton Cotes en utilisant les estimations des va leurs des y a j lt k On a donc des m thodes de Newton Cotes avec un sous ensemble croissant de points d interpolation donc pour chaque valeur de k une suite de coefficients w j lt k correspondant la m thode de Newton Cotes uti lis e Il faut aussi indiquer la valeur de p en donnant un coefficient cz 0 1 tel que Qk ti tee ti ti Chh En pratique on stocke un tableau dont les lignes donnent cx et les cyw 1 j lt k et le calcul de y az se fait ligne par ligne k 1 ylar Ye y ao gt gt Ckwjkf laj ylaj j 0 Par exemple pour la m thode d Euler explicite il y a deux lignes contenant 0 et un seul coefficient 0 L a Pour la m thode du point milieu il y a trois lignes la deuxi re ligne exprime comment on estime y t h 2 la troisi me y ti 1 y ti h Nie O NI on a donc i i y t 5h Yi ylti af ti y ti th Ya ylti EASE Yi ult thf tit put E ti La suite des temps a est croissante mais pas forc ment de mani re stricte on peut avoir a amp k 1 la valeur de y ax n tant pas estim e par la m me m thode de Newton Cotes que y ax 1 La valeur des coefficients est ensuite d termin e pour obtenir un ordre le plus grand possible pour l erreur locale ce qui peut n cessiter la r solution de syst mes avec pas mal d inconnues
93. aussi en ES une copie d cran de Xcas se trouve d ailleurs dans le sujet du bac ES 2014 La couverture en France est donc plut t bonne c est vers l tranger qu il faut maintenant gagner des parts de march ce qui n cessitera une am lioration de la documentation en anglais Au concours de l agr gation externe Xcas est choisi par une fraction signifi cative des candidats en mod lisation option C un tiers environ en 2012 Paral l lement la mont e en puissance de Xcas l arriv e de Sage la fin de Maple et Mathematica en classes pr paratoires et le succ s de Scilab en calcul num rique et probabilit s ont fait que la situation s est renvers e en 2015 seuls les logiciels libres sont autoris s cette preuve de mod lisation on peut dire que c est un beau succ s pour les logiciels libres auquel Xcas a contribu En 2013 14 j ai retra vaill pour les candidats aux options A et surtout B refonte de la page agr gation externe ajout de fonctionnalit s test es dans un cours de m thodes num riques niveau licence 3i me ann e Il y a en effet une part de march conqu rir parmi tous les candidats qui utilisaient auparavant Maple en particulier pour tous les certifi s qui ne sont pas inscrits 4 une pr paration Xcas est un choix qui semble rationnel ceux qui ont appris Maple peuvent utiliser leurs connaissances Xcas est aussi propos a l agr gation interne et les professeurs peuvent utiliser
94. avec les syst mes pr c dents L objectif est d avoir un syst me facile programmer directement en C proche du langage utilisateur lui m me compatible avec Maple ou MuPAD tout cela sans trop perdre en performances comparativement aux librairies sp cialis es crites en C C Ce qui explique un choix de type g n rique gen non orient objet avec un champ type et soit une donn e imm diate pour les nombres flottants par exemple soit un pointeur vers un objet du type correspondant au champ type pour les donn es de taille non fixe on pourrait donc se contenter du langage C mais le langage C permet de red finir les op rateurs sur des types utilisateurs ce qui am liore consid rablement la lisibilit du code source Les donn es dynamiques ne sont pas dupliqu es Giac utilise un pointeur sur un compteur de r f rence pour d truire ces donn es lorsqu elles ne sont plus r f renc es 2 Les HP Prime utilisent Giac comme noyau de calcul formel les TI Nspire CAS utilisent sans doute une version actualis e du syst me utilis sur les TI 89 92 Voayge 200 25 Les entiers en pr cision arbitraire sont h rit s de la bibliothque GMP crite en C du projet GNU Les flottants en pr cision arbitraire utiliseront aussi GMP plus pr cis ment MPFR Il y a un type fraction structure C compos d un champ num rateur et d un champ d nominateur et un type nombre complexe Les listes vecteurs matrices utilis
95. b AM est le vecteur unitaire port par gt AM Remarque Diff rentielle et gradient La diff rentielle dV a les m mes composantes que le gradient de V gradient V x y avec Xcas mais ce ne sont pas les m mes objets en un point donn dV est une application lin aire qui a un sens ind pendamment de la d finition d un produit scalaire alors que VV est un vecteur dont la relation avec la d riv e directionnelle d pend du produit scalaire on a pour tout vecteur w la relation dV w VV w On a la m me relation entre le travail d une force qui est une forme lin aire qui s applique sur les vecteurs d placement et la force correspondante qui est un vecteur d fini l aide du produit scalaire On parle parfois de vecteur covariant pour la diff rentielle et vecteur contravariant pour le gradient Applications 102 Tangente a une courbe de niveau le vecteur tangent en un point M d une courbe de niveau de V est dans le noyau de l application lin aire dV en ce point puisque V est constant le long de le courbe ou de mani re quivalente VV est orthogonal a la courbe de niveau Calcul du gradient en coordonn es polaires le rep re e e9 est orthonorm pour connaitre les coordonn es de VV dans ce rep re il suffit de calculer la d riv e directionnelle de V dans les directions e et eg car VV e dV er VV eg dV eg Or la d riv e directionnelle selon e est la d riv
96. c est un probl me d int gration Supposons donc que S 0 Si S est non constant par rapport Z ou si Z x le degr de N est strictement inf rieur au degr de SN on peut donc facilement r soudre Reste le cas o S b est constant non nul par rapport Z et Z est une exponentielle ou un logarithme Si Z exp z On a alors doit alors r soudre Ni kNgz bN Tk c est une quation diff rentielle de Risch mais avec une variable de moins Si Z ln z On doit alors r soudre N k DM DN Tk c est aussi une quation diff rentielle de Risch avec une variable de moins Exemple Voyons comment on int gre x avec n un param tre par l algorithme de Risch cela illustre les possibilit s couvertes par l algorithme mais aussi l efficacit des m thodes traditionnelles d int gration lorsqu elles s appliquent On crit d abord a er ntz donc la tour de variables est a Z In x X e il s agit donc d int grer X qui est un polyn me g n ralis On cherche donc A solution de l quation diff rentielle de Risch A n xA 1 Par rapport Z ln x la fonction f n x est un polyn me donc on applique le dernier cas ci dessus A est aussi ind pendant de ln x et on se ram ne r soudre la m me quation mais avec comme variable principale x et non Z Cette fois il y a un d nominateur x en f Si A poss de un d nominateur il faut qu il y ait annula
97. calculs sont un peu plus compliqu s On a ainsi trouv une solution yo de l quation diff rentielle de d part dont on peut facilement calculer une valeur approch e aussi facilement que par exemple la fonction sinus pour x lt 1 on peut alors trouver toutes les solutions de l quation diff rentielle en posant y yoz et en cherchant 2 Exercice faire de m me pour les solutions de y xy 0 fonctions de Airy 257 22 7 D veloppements asymptotiques et s ries divergentes Un d veloppement asymptotique est une g n ralisation d un d veloppement de Taylor par exemple lorsque le point de d veloppement est en l infini De nom breuses fonctions ayant une limite en l infini admettent un d veloppement asymp totique en linfini mais ces d veloppements sont souvent des s ries qui semblent commencer par converger mais sont divergentes Ce type de d veloppement s av re n anmoins tr s utile lorsqu on n a pas besoin d une trop grande pr cision sur la va leur de la fonction Nous allons illustrer ce type de d veloppement sur un exemple la fonction exponentielle int grale d finie 4 une constante pr s par oo t f a di On peut montrer que l int grale existe bien car l int grand est positif et inf rieur e qui admet e comme primitive cette primitive ayant une limite en 00 Pour trouver le d veloppement asymptotique de f en 00 on effectue des int grations par
98. centr en r de rayon n gt 0 contenue dans I alors on peut prendre tout r el e gt 0 tel que e lt 2 mM et ELM La d monstration est calqu e sur la dimension 1 mais il faut prendre le reste int gral dans la formule de Taylor Un 1 T Un 71 f un f un Pl F Cig ia e r F un puis on applique Taylor le long du segment r un 1 0 f r f un f un r un 1 0 r un f r 0 un r r un d donc iare fa 0 f r 0 tn 7 do is et on en d duit 42 et on conclut de m me en rempla ant intervalle centr en r de rayon par boule de rayon Remarque la convergence num rique au sens du calcul en flottant de la suite u ne suffit pas montrer l existence d une racine proche de un Une m thode de preuve alternative au calcul des constantes m et M consiste trouver un rec tangle ou une boule autour de un pr serv e par application z gt f x f x 19 6 Calcul approch des racines complexes simples La section pr c dente nous a montr qu on pouvait se ramener la recherche de racines simples ce qui donne envie d essayer la m thode de Newton On a mal heureusement rarement la possibilit de pouvoir d montrer qu partir d une valeur initiale donn e la m thode de Newton converge parce que les racines peuvent tre complexes et m me si elles sont r elles on n a pas forc ment de r sultat sur la convexit du p
99. class es par ordre de module strictement d croissant A1 gt A2 gt gt An d veloppement inspir par Peter J Olver dans le cas sym trique http www math umn edu olver aims_ qr pdf On peut toujours s y ramener quitte remplacer A par al Posons A et par r currence A QnRn avec Qn unitaire et R triangulaire sup rieure coefficients diagonaux positifs Ani1 RnQn On a alors AF Q1R1 QiRi QiR1 Qi R1 Qi Ri Q1 RiQ1 RiQ1 R1 Q1 RiQ1 Ri 1 Q2R2 Q2R2 Q2R2 Ri Q1Q2 R2Q2 R2 Q2R2R1 Q1Q2 Q3R3 Q3R3R2R1 Q Q Rz Ry D autre part A PSP donc A PS P Soit D la forme diagonale de S et U la matrice de passage S UDU o U est triangulaire sup rieure et o on choisit la normalisation des coefficients sur la diagonale de U valant 1 On a donc A PUDU P 234 Ensuite on suppose qu on peut factoriser U P LU sans permutations donc qu on ne rencontre pas de pivot nul et quitte 4 multiplier les vecteurs unitaires de P par une constante complexe de module 1 on peut supposer que les pivots sont positifs donc que U a des coefficients positifs sur la diagonale on a alors A PUD LU Q1 Qu6Rx Ri puis en multipliant par U D PUD L D Qi QgReeRiU D o Ry R U D est triangulaire sup rieure coefficients positifs sur la diago nale et Q Q est unitaire On regarde ensuite les entr es de la matrice D L D sous la d
100. contractance est sup rieure 1 2 y compris pr s de la solution de f x x Toutefois la m thode du point fixe reste int ressante si la constante de contrac tance est suffisamment petite par exemple k 0 1 garantit 15 d cimales en 15 it rations et pr sente l avantage de se g n raliser en dimension plus grande cf la section suivante 19 3 Le point fixe dans R Le th or me pr c dent se g n ralise Th or me 37 Soit I un ensemble ferm de R ou d un espace m trique complet tel que f envoie I dans I et tel que f soit contractante sur I Jk lt 1 Yx y I f x f y lt klx yl Alors pour tout uy I la suite un d finie par un41 f un converge vers l unique solution dans I de f 1 L La d monstration de la convergence est un peu diff rente de celle donn e en di mension 1 on montre que un est une suite de Cauchy car pour n gt m n 1 Un Um lt X uj 1 uj lt k j m donc un est convergente puisque nous sommes dans un ferm d un espace com plet Cela permet d ailleurs de g n raliser l nonc donn en dimension 1 au cas o a ou b est infini La vitesse de convergence est lin aire la d monstration est identique celle de la dimension 1 Remarque L existence d un point fixe sans hypoth se de contractance se g n ralise si I est un convexe compact pr serv par f th or me de Brouwer ou de Schau der
101. croissant si l un des monomes de A a toutes ses puissances plus grandes que LT B alors on limine ce terme disons Ax en retranchant A le polyn me A4 LT B B Ceci ne modifie pas le d but de A jusqu au mon me Az Les termes retranch s peuvent eux m me donner lieu une r duction par B par exemple A LT B Bo peut tre divisible par LT B Le proc d de r duction doit toutefois s arr ter sinon on pourrait construire une suite d croissante infinie pour l ordre gt avec les Az On peut m me diviser par plusieurs polyn mes B C en utilisant cet algorithme 7 2 Id aux En dimension 1 les id aux sont engendr s par un polyn me P et c est la di vision euclidienne par P qui permet de savoir si on est dans l id al En dimension plus grande l analogue est la base de Gr bner de l id al relativement un ordre monomial lt et on utilise la r duction par rapport aux polyn mes de l id al pour savoir si on est dans l id al On commence par montrer que les id aux de monomes sont engendr s par les mon mes minimaux qui ne sont divisibles par aucun autre mon me de l id al Supposons qu ils soient en nombre infini Consid rons le pre mier indice des monomes s il est born on aura une infinit de monomes ayant le m me indice sinon on aura une suite infinie de mon mes d indice croissant dans les deux cas on peut extraire une suite infinie dont la premi re composante est croissant
102. d acc l rer l algorithme par exemple on peut savoir l avance qu un s polyn me se r duit 0 r gles de Gebauer M ller il est donc inutile de le cal culer On peut aussi pr calculer tous les multiples des polyn mes par rapport aux quels on r duit et r duire simultan ment tous les polyn mes r duire en ramenant 75 la r duction un algorithme de pivot de GauB c est la partie alg bre lin aire de l algorithme F4 L ordre choisi est aussi tr s important pour l efficacit Enfin pour le cas des coefficients entiers des m thodes modulaires permettent d acc l rer les calculs Xcas impl mente un algorithme modulaire tr s comp titif pour l ordre revlex pr sent dans l article en anglais qui suit Les instructions Xcas correspondantes sont ghasis greduce 7 3 Introduction During the last decades considerable improvements have been made in CAS like Maple or specialized systems like Magma Singular Cocoa Macaulay to compute Groebner basis They were driven by implementations of new algorithms speeding up the original Buchberger algorithm Gebauer and M ller criterion 1 F4 and FS algorithms from J C Faug re and are widely described in the literature if the base field is a finite field Much less was said about compu ting over Q It seems that implementers are using the same algorithm as for finite fields this time working with coefficients in Q or in Z sometime
103. d un l ment de la base de Groebner On calcule ensuite la classe d un polyn me dans le quo tient en effectuant une r duction par la base de Groebner on obtient un vecteur de coordonn es dans cette base de monome Le calcul du polyn me minimal d une forme lin aire devient ainsi un probl me d alg bre lin aire Le calcul de chaque variable en fonction des puissances d une forme lin aire s parante est galement un probl me d alg bre lin aire on le fait simultan ment pour toutes les variables si on veut optimiser on peut m me faire une d composition LU lors du calcul du polyn me minimal et la r utiliser Pour viter les probl mes de croissance de co efficients dans les calculs interm diaires ce calcul est effectu modulo plusieurs nombres premiers dans giac jusqu a pouvoir reconstruire par les restes chinois le polyn me minimal de la forme s parante sur Q et les expressions des variables comme polyn me de la forme s parante on n a alors pas besoin de reconstruire la base de Groebner sur Q Bien entendu il faut traiter le cas des mauvaises r duc tions pour cela on regarde si les monomes de la base du quotient de l anneau par Vid al sont ind pendants du nombre premier choisi en cas de diff rence il faut conserver le nombre premier correspondant la liste de mon mes la plus grande l autre nombre premier est de mauvaise r duction ou rejeter les deux nombres premiers si aucune des deux listes d
104. d veloppements en s ries classiques le polyn me de Taylor en un point donne une bonne approximation pr s du point l quivalent en l infini appel d veloppement asymptotique donne une bonne approximation loin de 0 et les approximants de Pad o on approche par le quotient de 2 polyn mes ceci donne parfois de tr s bons r sultats comme pour la fonction exponentielle pr s de O par exemple Soit f une fonction ind finiment d rivable sur un intervalle J de R et xo I On peut alors effectuer le d veloppement de Taylor de f en xo l ordre n nl x Tn fx f x0 z zo f 0 a mrt o et se demander si Tp f converge lorsque n tend vers l infini si la limite est gale f x et si on peut facilement majorer la diff rence entre f x et T f x Si c est le cas on pourra utiliser Tn f x comme valeur approch e de f x On peut parfois r pondre ces questions simultan ment en regardant le d ve loppement de Taylor de f avec reste il existe 6 compris entre xo et x tel que 7 fit 0 Ra f x Ta f x x xo n 1 C est le cas pour la fonction exponentielle que nous allons d tailler ainsi que les fonctions sinus et cosinus 22 1 La fonction exponentielle Soit f x exp x et zo 0 la d riv e n i me de f est exp x donc Rx exp 0 2 n 1 avec 9 compris entre 0 et x ainsi si x est positif Rn x lt e x 1 n 1 et si x est n gatif R
105. de l cart moyen entre 2 culminations 4 minutes 240 secondes correspond 7 secondes cela explique la diff rence 24 2 Les saisons Les solstices sont d finis par les 2 points de l orbite o la projection de l axe de rotation terrestre est parall le l axe Terre Soleil Les quinoxes sont d finis par les 2 points o il y a perpendicularit Au solstice d hiver on voit que les parall les situ s aux hautes latitudes Nord ne sortent jamais de l obscurit Aux latitudes int rm diaires le morceau de parall le situ au jour est nettement plus petit que celui situ dans l obscurit l quinoxe de printemps chaque parall le est moiti au Jour et moiti dans l obscurit derri re la grille Au printemps la situtation est analogue Au solstice d t on est dans la situation inverse de l hiver 267 24 3 L orbite de la Terre En premi re approximation l orbite de la Terre est uniquement influenc e par la force de gravitation entre la Terre et le Soleil ce dernier pouvant tre consid r comme fixe en raison de sa masse on peut viter cette approximation en rempla cant le Soleil par le centre de gravit du syst me Terre Soleil La force de gravita tion qui d rive d un potentiel inversement proportionnel a la distance Terre Soleil est de la forme 7 r F K K u lt 0 MT r o r d signe le vecteur Terre Soleil mr est la masse de la Terre y Gms est le produit de
106. de la m me tour de variables 166 R ciproquement supposons qu une fonction l mentaire admette une primitive qui soit l mentaire c est a dire qu elle doit tre une fraction rationelle par rapport a une tour de variables mais pas forc ment identique a celle de d part Alors si une telle criture existe des termes logarithmiques pr s elle ne peut d pendre que de la m me tour de variables plus pr cis ment on a le th or me de Liouville Th or me 32 Soit f une fonction l mentaire par rapport une tour de variables T et un corps de constantes K admettant une primitive l mentaire F Alors il existe un nombre fini de constantes C1 Cn et de fonctions l mentaires V1 Un par rapport T avec comme corps de constantes une extension alg brique K de K tel que F X ck n vx soit l mentaire par rapport T et K Preuve 2 Soit f l mentaire de tour T corps K et F sa primitive suppos e l mentaire de tour T gt et de corps K une extension alg brique de K On commence par rajouter apr s les lements de T les lements n cessaires de To pour obtenir une tour T par rapport laquelle f et F sont l mentaires plus pr cis ment F sera l mentaire quitte autoriser des puissances fractionnaires des variables exponentielles de T3 Le th or me de structure de Risch permet de faire cela en effet on regarde pour chaque l ment de T2 s il est alg briquement ind pendant
107. de m me que 1 3 n a pas d criture exacte en base 10 Il existe une exception la possibilit de normaliser les flottants lorsqu on atteint la limite inf rieure de l exposant e Soit en effet em le plus petit exposant des flottants normalis s et consid rons les flottants x b 1 1 b et y b Ces flottants sont distincts mais leur diff rence n est plus repr sentable par un flottant normalis Comme on ne souhaite pas repr senter x y par 0 puisque le test x y renvoie faux on introduit les flottants d normalis s il s agit de flottants dont l exposant est l exposant minimal repr sentable sur machine et dont la mantisse appartient 0 b l Par exemple 0 est repr sent par un flottant d normalis de mantisse O en fait O a deux repr entation une de signe positif et une de signe n gatif Enfin on utilise traditionnellement une valeur de l exposant pour repr senter 15 les nombres plus grands que le plus grand r el reprsentable sur machine tradition nellement appel plus ou moins infini et les erreurs par exemple 0 0 ou racine carr e d un nombre r el n gatif traditionnellement appel NaN Not a Number Exercice quels sont les nombres r els repr sentables exactement en base 10 mais pas en base 2 Si on crit 1 10 en base 2 avec 53 bits de pr cision puis que Pon arrondit avec 64 bits de pr cision ou si on crit 1 10 en base 2 avec 64 bits de pr cision obtient
108. de type Monte Carlo par d faut notamment le calcul de d terminant de grandes matrices coefficients entiers ou de bases de Gr bner et un warning s affiche alors La variable proba_epsilon permet de r gler le niveau de probabilit d erreur accept e on peut la mettre 0 pour forcer l utilisation d algorithmes d terministes ou de type Las Vegas avec certi fication du r sultat Si l on fait des calculs but exp rimental pour tablir une conjecture il n est pas n cessaire de certifier un calcul et il ne sert rien de mettre proba_epsilon 0 Par contre pour tablir une preuve au sens math ma tique du terme qui n cessite un calcul fait sur machine on prendra soin de mettre proba_epsilon 0 On remarquera au passage que ce type de preuve ne peut se faire qu avec un logiciel open source puisqu il faut aussi pouvoir montrer que l algorithme utilis est correctement impl ment 31 2 9 Quelques algorithmes d arithm tique de base Les algorithmes de multiplication et division dit rapides des entiers et poly n mes Karatsuba FFT Cf par exemple Knuth ou pour les entiers la documentation de GMP ou infra pour Karatsuba Au lieu de la division euclidienne on utilise tr s souvent la pseudo division pour les polyn mes tant donn deux polyn mes A et B de degr s a et b coefficients dans un anneau contenu dans un corps par exemple Z on multiplie A par une puissance du coeffi
109. degr n si la m thode est d ordre 2n 1 alors il sera orthogonal tous les polyn mes de degr inf rieur strict n pour le produit scalaire f g fe f x g x dx puisque P x ie Pat sera combinaison lin aire des Pax en x k 1 n car l int grale est exacte puisque le degr du polyn me est au plus 2n 1 Donc P est une constante multiplicative pr s le n i me polyn me orthogonal pour l integrale sur a b si a b 1 1 c est Legendre n R ciproquement si les xx sont les racines de ce polyn me alors la formule d int gration est exacte on effectue la division euclidienne du polyn me P de degr au plus 2n 1 int grer par P P P Q R deg Q lt n 1 Ona f P Q 0 par orthogonalit et la combinaison lin aire correspondante en les x est nulle et on a exactitude pour R car de degr au plus n 1 18 9 M thode adaptative On calcule une valeur approch e de l int grale sur a b par deux quadratures gaussiennes emboit es on estime l erreur si elle est sup rieure la tol rance on divise en 2 On recommence en subdivisant en 2 l intervalle o l erreur est maxi male On s arr te lorsque erreur estim e est inf rieure a la tol rance L estimation de I erreur se fait par exemple avec deux quadratures gaussiennes emboit es c est dire que les points d interpolation de la moins fine sont conte nues dans les points d interpolation de la plus fine pour
110. des cas statistique ment les erreurs sur les r sultats sont moindres par exemple si on effectue n calculs susceptibles de provoquer des erreurs ind pendantes suivant une m me loi d esp rance nulle la moyenne des erreurs divis e par l cart type de la loi tend vers une loi normale centr e r duite De mani re plus d terministe on a l in galit de Bienaym Tchebyshev 2 no P X gt a lt az o X est la variable al atoire somme des n erreurs a l erreur et no la variance de la somme n erreurs suppos es ind pendantes cette probabilit tend vers O pour n grand si a est d ordre n et ne tend pas vers 0 si a est de l ordre de y n Il est d ailleurs souvent trop difficile de calculer une majoration rigoureuse de l erreur pour des calculs sauf les plus simples Lorsqu on doute de la pr cision d un calcul un test peu couteux consiste refaire ce calcul en utilisant des flottants en pr cision plus grande et tester si le r sultat varie en fonction du nombre de chiffres significatifs utilis s ou faire varier l g rement les donn es et observer la sensibilit du r sultat Si on veut travailler en toute rigueur sans pour autant calculer les erreurs priori il faut utiliser un logiciel utilisant des intervalles pour repr senter les r els section suivante 2 3 Darithm tique d intervalle Certains syst mes de calcul formel peuvent manipuler directement des inter valles r els par exemple par
111. des repr sentations graphiques on lui pr ferera une param tri sation trigonom trique pour une conique ou exponentielle pour une hypebole par exemple cos t sin t plutot que pour le cercle unit param trisation obte nue en calculant les l ments propres de la conique conique _reduite Pour les courbes alg briques de degr plus grand on commence par factoriser le poly n me c est une factorisation absolue section 16 7 qui est n cessaire ou au moins num rique dans C x y Pour le moment Xcas fait simplement une factorisation sur le corps des coefficients et rep re les quations de coniques 11 Formes diff rentielles et int grales curvilignes Il s agit dans cette section de calculer des int grales le long de l arc Cela inter vient par exemple pour calculer le travail d une force au cours d un d placement le long d une courbe ou la quantit de chaleur travail pendant un cycle en ther modynamique le long d une courbe dans le plan d fini par deux coordonn es in d pendantes comme par exemple pression temp rature ou pression volume Dans les cas favorables on a un analogue des primitives on peut calculer un potentiel et faire la diff rence de potentiel entre les deux extr mit s du chemin pour calculer Pint grale curviligne On va d abord d finir ce qu on peut int grer le long d une courbe savoir une forme diff rentielle aussi appel e 1 forme puis on donnera 101 quel
112. donner une d finition rigoureuse du terme fonction l mentaire On peut alors appliquer un algorithme d velopp par Risch pour les extensions dites transcendantes obtenue par ajout des fonctions exponentielle et logarithme qui permet de r pondre la question il s agit vu de tr s loin d une extension de l algorithme d int gration des fractions rationnelles Cet article se d compose en deux parties principales la section 17 2 pr sente les d finitions de fonctions l mentaires de tour de variables et donne deux th or mes le th or me de structure de Risch qui permet d crire une fonction contenant des exponentielles et des logarithmes comme une fonction l mentaire par rapport une tour de variable et le th or me de Liouville qui donne la forme que peut prendre une primitive d une fonction l mentaire lorsqu elle est aussi l mentaire la section 17 3 d crit l algorithme d int gration de Risch permettant de d cider si une fonction l mentaire donn e poss de ou non une primitive l mentaire et de la calculer dans le premier cas Nous ne pr sentons ici l algo rithme de Risch que pour les extensions transcendantes pures In et exp Le lecteur int ress par le cas des extensions alg briques pourra consulter la th se de Trager Pour les extensions plus g n rales incluant en particulier les fonctions tangente arctangente la r f rence est le livre de Bronstein donn e en s
113. e par la valeur de M borne sur la d riv e k i me de f plus k est grand plus M est grand en g n ral Nous allons voir dans la suite comment se comporte cette puissance de h en fonction de la facon dont on approche f 18 2 Ordre d une m thode On appelle m thode d int gration l criture d une approximation de l int grale sur une subdivision sous la forme B k f fat F Y wfs Q j 1 o les y sont dans l intervalle a 5 par exemple quir partis sur a 3 On utilise aussi la d finition B k f t at IF 8 a Y wif ys 180 On prend toujours gt wj p a ou gt w 1 pour que la m thode donne le r sultat exact si la fonction est constante On dit qu une m thode d int gration est d ordre n si il y a galit ci dessus pour tous les polyn mes de degr inf rieur ou gal n et non galit pour un polyn me de degr n 1 Par exemple les rectangles a droite et gauche sont d ordre 0 le point milieu et les trap zes sont d ordre 1 Plus g n ralement si on approche f par son polyn me d interpolation de Lagrange en n 1 points donc par un polyn me de degr inf rieur ou gal n on obtient une m thode d int gration d ordre au moins n Si une m thode est d ordre n avec des w gt Oet si f est n 1 fois continument d rivable alors sur une subdivision on a 8 a t 1 n 1 n 2 B f f I lt Masa 1 36 En effet on fai
114. e partielle de V par rapport r et la d riv e directionnelle selon eg est la d riv e partielle de V par rapport 0 divis e par r il faut diviser par r parce qu on se d place tangentiellement au cercle de rayon r donc 1 VV 0 Ve 09V ep r Tangente et la normale en un point M d une ellipse Ce sont la bissectrice ext rieure et int rieure issues de M du triangle d fini par M et les foyers Cela vient du fait que le gradient de la distance FM est le vecteur unitaire port par FM et que l ellipse est courbe de niveau de la somme des distances aux foyers On retrouve ainsi qu un rayon lumineux issu d un foyer se r fl chit sur l ellipse en passant par l autre foyer De m me on peut d terminer g om triquement la tangente et la normale une parabole ce sont les bissectrices issues de M de la droite MF o F est le foyer et de la perpendiculaire en M 4 la directrice de la parabole on retrouve ainsi que les rayons lumineux perpendiculaires la directrice se r flechissent sur la parabole en passant par le foyer et une hyperbole comme pour une ellipse On note donc dx resp dy la diff rentielle de V x y x resp V x y yl ona dV zV dx d V dy Une forme diff rentielle w est la g n ralisation de la diff rentielle d une fonc tion elle s crit sous la forme w M x y dz N x y dy o M et N sont des fonctions des deux variables x y mais pas forc ment les d r
115. entre eux 2 2 par rapport X il existe C ind pendant de X tel que g C P ng m C Sj PF 24 jeZ jeZ Alors f In C 7 jP Pj donc IT P f est un polyn me en X Soit N D la fraction irr ductible repr sentant f on a f ND ND gt on vient donc de montrer que ND ND II P p est un polyn me en X 25 j Soit P un facteur irr ductible de D de multiplicit k tel que D P Q donc P premier avec Q mais P est aussi premier avec N car f N D est irr ductible Alors en simplifiant num rateur et d nominateur par P 71 ona TT N PQ N kP Q PQ PQ est un polyn me en X 26 j On en d duit apr s simplification d au plus un facteur P au d nominateur avec Pun des Pj que PF divise N PQ N kP Q PQ donc P divise P Ceci n est possible que si P 1 et donc le d nominateur de f est gal 4 1 ou si la variable X est une exponentielle et P X Montrons que ce deuxi me cas est en fait exclus en effet si P X exp Y est une exponentielle on a alors D XF et Q 1 Comme P Y X 26 devient X N kNY II P l est un polyn me en X j Xk 1 Comme X ne divise pas N N poss de donc un coefficient constant ag non nul Le coefficient constant de N kN Y est af kaoY Si ce terme tait nul alors ah kagoY donc ap cexp kY cX or ag ne d pend pas de X donc c 0 donc ag 0 absurde Donc X ne divise pas N kN
116. environ 212 certaines implantations de Giac utilisent un g n rateur congruentiel 26 1 1 Les g n rateurs congruentiels Etant donn s trois entiers a c et m on consid re la suite Un 1 aUn C mod m o on choisit par exemple comme repr sentant de u le reste de la division eu clidienne par m La valeur de uo est appel e seed en anglais elle est initialis e usuellement soit O ce qui permet de reproduire des bugs dans un programme d pendant du hasard soit avec l horloge syst me ou tout autre entr e de l ordinateur par exemple p riph riques On supposera que a 1 le cas a 1 n est pas tr s int ressant On a alors Zo mod m Un a uy On cherche r aliser une p riode la plus grande possible id alement m mais m 1 peut fort bien convenir et c est possible si m est premier en choisissant a g n ra teur du groupe cyclique car on a alors a 4 1 mod m et c c Un a uo remap F mod m donc la suite est stationnaire ou prend toutes les valeurs sauf Exemple choisir pour m une puissance de 2 permet d effectuer la division euclidienne tr s rapidement mais cela a un inconv nient assez important les bits de poids faible de u ont une p riodicit tr s trop petite Il est alors int ressant de 284 prendre m 2 1 parce que la division euclidienne par m peut se coder efficace ment en base 2 on divise par 2 d calage de k bits e
117. est bien dans ce cas pour n 1 f1 est l exponentielle de x qui est alg briquement ind pendant de x Les fonctions 27 1 e ou x e 1 sont aussi l mentaires par rapport la tour de variables x er a n x exp x est l mentaire par rapport la tour x In x exp x mais aussi par rapport la tour x exp x In x aer iz est l mentaire en prenant n 2 f In x et fo eh a e 2 o n est un param tre convient avec comme tour x ln x e el ne convient pas car il n est pas alg briquement ind pendant de x ln x mais on peut le r crire sous une forme acceptable puisque e x elntr 2 ne convient pas non plus car son carr est gal x Une r criture ne suffit pas cet exemple est bien s r une extension alg brique et non trans cendante Dans la suite on va s int resser aux tours de variables dans lesquelles on a effectu des simplifications videntes On limine les Ino exp de la mani re sui vante si fk In gz on regarde si gy vu comme fraction en f fr 1 poss de un facteur E avec m Z lorsque fj exp g est une exponentielle Si c est le cas on a fx mg In gx gi On change alors de tour en rempla ant fy par nin x fr 9 97 fk mg On limine aussi les exp o In si fx exp gx pour j lt ksi fj est un logarithme on regarde si cj OF 9k 1 0 est un entier si c est le cas on remplace f par fe
118. et P X f XP X vu comme polyn mes en X n ont pas de facteurs en commun On commence donc si X est une exponentielle et Do un multiple de X par appliquer B zout pour d composer la fraction No Do en No N P DD Mz gcd X Di 1 Do X D On isole aussi la partie polyn miale en effectuant la division euclidienne de No par Do ou de N par D si X est une exponentielle on obtient alors une criture sous la forme a D UN j ou la somme sur 7 est finie et porte sur des entiers positifs ou nul si X n est pas une exponentielle ou sur des entiers relatifs si X est une exponentielle On effectue la m me criture sur la partie fractionnaire de F et en identi fiant les parties polynomiales et ventuellement la partie polaire en O si X est une exponentielle on peut s parer l int gration en 2 parties int gration de la partie polynomiale g n ralis e et int gration de la partie fractionnaire propre Exemples 24 1 e 0 22 1 X est un polyn me aln r sX a g In z 2 X X gt T la partie polynomiale est x de degr O en X la partie fractionnaire est 2 x X 169 z e 1 X 1 2x al ener X X41 2 X41 la partie polyn me g n ralis est X 7 17 3 1 Int gration d une fraction propre 17 3 2 R duction sans facteurs multiples On factorise D en Pi avec P sans facteurs multiples et les P premiers entre eux 2 2 et on d compose en l me
119. et si e est un vecteur propre norm crit en colonne on peut consid rer la matrice B A xhene qui poss de les m mes valeurs propres et m mes vecteurs propres que avec m me multiplicit sauf n qui est remplac par 0 En effet les espaces propres de A sont orthogonaux entre eux donc Ben Enen Ln ne en 0 Bek kek Inne ex TkEk On peut donc calculer la 2 me valeur propre en valeur absolue l liminer et ainsi de suite Si la matrice A n est pas sym trique il faut consid rer B A 2 n ye Peal o fn est vecteur propre de A associ xn En effet fx e Osii j car Aex fj Urex fj ek A fj ujexf et donc f ex 4 0 sinon ez est dans lV orthogonal de R Vect fi fn 20 10 4 D composition de Schur Il s agit d une factorisation de matrice sous la forme A PSP o P est unitaire et S diagonale sup rieure Existence th orique on prend une valeur propre et un vecteur propre correspondant puis on projette sur l orthogonal de ce vecteur propre et on s y restreint on prend nouveau une valeur propre et un vecteur propre correspondant etc On peut approcher cette factorisation par un algorithme it ratif qui utilise la factorisation QR d une matrice quelconque comme produit d une matrice unitaire par une matrice triangulaire sup rieure coefficients positifs sur la diagonale On fait l hypoth se que les valeurs propres de S sur la diagonale sont
120. fait que la premi re puissance de a telle que a lest x 2 1 Correction des erreurs Soit c x le polynome envoy d x le polyn me recu on suppose qu il y a moins de erreurs d x ca eu Y ape v lt t k 1 On calcule le polynome syndrome 135 on a donc On pose l x le produit des d nominateurs que l on appelle polyn me localisateur car ses racines permettent de trouver la position des symboles corriger on a alors U a s x D ara a x 1 a z 1 17 k 1 JFK JE LY Modulo 2 I x s a est donc un polyn me w de degr inf rieur ou gal y 1 donc strictement inf rieur t Pour le calculer on applique l algorithme de B zout s x et z dans Fg en s arr tant au premier reste w x dont le degr est stric tement inf rieur t au lieu d aller jusqu au calcul du PGCD de s x et x Les relations sur les degr s cf approximants de Pad et la preuve ci dessous donnent alors en coefficient de s x le polyn me l x de degr inf rieur ou gal t On en calcule les racines en testant tous les l ments du corps avec Horner donc la place des symboles erron s Pour calculer les valeurs g on reprend la d finition de w c est le terme de droite de l quation 17 modulo a donc w x X apat 1 II aix 1 k 1 j k je 1v Donc w a aj at II ata 1 jAk jell v Comme la a x 1 a r 1 jAk jell v
121. faut toutefois prendre garde aux mauvaises valuations et a la normalisation des pgcd avant d interpoler En effet si D X1 Xn d signe le pgcd de P et Q et G X1 Xn 1 lepgedde P X1 Xn 1 a etde Q X1 Xn 1 on peut seulement dire D X X _1 a divise G Plusieurs cas sont donc possibles lorsqu on value en un nouveau point a l un des degr s de G est plus petit que le degr du polyn me D reconstruit par interpolation jusque l Dans ce cas toutes les valuations qui ont conduit reconstruire D taient mauvaises Il faut recommencer l interpolation a z ro ou partir de G si tous les degr s de G sont inf rieurs ou gaux aux degr s du D reconstruit l un des degr s de G est plus grand que le degr du D reconstruit jusque 1a Il faut alors ignorer a Tous les degr s de G sont gaux aux degr s du D reconstruit jusque 1a Dans ce cas G est un multiple entier du polyn me D reconstruit jusque l et valu en X a Si on suppose qu on a pu s arranger pour que ce multiple soit 1 on ajoute le point aux points d valuation pr c dents a en posant On voit que les mauvaises valuations se d tectent simplement par les degr s Pour la normalisation on utilise une petite astuce au lieu de reconstruire lepgcdD on va reconstruire un multiple du pgcd D ce multiple appartiendra Z X On voit maintenant P et Q comme des polyn mes en n
122. fr de Exemples q 1 In lt Ba gt a y In e 1 et 3 1n 2 In 2 7 5 mae 3 eln 5 17 2 2 Th or me de structure de Risch On voit donc qu il est n cessaire de disposer d un algorithme pour d cider si des exponentielles et logarithmes sont alg briquement ind pendants Cet algo rithme est bas sur un th or me de structure d Risch Th or me 31 Soit f In g x le logarithme d une fonction l mentaire y par rapport une tour de variables T alors soit f est alg briquement ind pendant des variables de T soit f est l mentaire et plus pr cis ment combinaison lin aire rationnelle des logarithmes et des arguments des exponentielles de la tour T 162 Soit f exp g l exponentielle d une fonction l mentaire g par rapport une tour de variables T alors soit f est alg briquement ind pendante des variables de T soit il existe n tel que f soit l mentaire par rapport a T on peut alors appliquer le cas pr c dent ng In f D monstration Commen ons par le cas de l exponentielle On consid re le polyn me minimal de f exp g anf a9 0 a 4 0 a9 0 o les a sont des fractions rationnelles en T On d rive et on applique f g f al nang f aj kang fE 0 c est un multiple du polyn me minimal donc il existe une fraction rationnelle C par rapport a la tour de variables telle que Vk a kagg Cak
123. g avec une particularit dans les divisions euclidiennes successives on utilise le reste sym trique compris entre z 2 et z 2 Cette criture donne les coefficients d un polyn me G unique On extrait ensuite la partie primitive de ce polyn me G Lorsque z est assez grand par rapport aux coefficients des polyn mes P et Q si pp G divise P et Q on va montrer que le pgcd de P et de Q est D pp G On remarque tout d abord que d D z divise g En effet D divise P et Q donc pour tout entier ou entier de Gauss z D z divise P z et Q z Il existe donc une constante a telle que g ad On a aussi pp G divise D Il existe donc un polyn me C tel que D pp G C Nous devons prouver que C est un polyn me constant On suppose dans la suite que ce n est pas le cas Evaluons l galit pr c dente au point z on obtient __9 gt Or c G Cl Finalement a La proc dure de construction de G nous donne une majoration de ces coefficients par z 2 donc de c G par z 2 donc C z divise un entier de module plus petit que z 2 donc 2 C Liai KORE On consid re maintenant les racines complexes z1 Zn du polyn me C il en existe au moins une puisqu on a suppos C non constant On a C X cn X 21 X zn Donc comme cp est un entier ou entier de Gauss non nul sa norme est sup rieure ou gale 1 et CG gt Tel lz j 1 Il nous reste majorer les racines de C pou
124. gligeable par rapport la somme des repr sentants entrainant une erreur relative tr s grande Par exemple si x est repr sent par xo 1 275 avec une erreur d arrondi de 27 et y par yo 1 avec la m me erreur d arrondi l addition de x et y renvoie 275 avec une erreur absolue de 2 x 279 ici il n y a pas d arrondi lorsqu on fait la somme C est une erreur relative de 1 qui domine largement l erreur d arrondi ce qui signifie que dans la mantisse seul le premier bit sur les 52 a un sens la perte de pr cision est tr s grande Une autre cons quence importante est que addition de r els sur machine n est pas une op ration associative par exemple 2 0753 2 0753 1 0 gt 1 275 alors que 2 0753 1 0 2 07 gt 1 19 Si on a plusieurs termes additionner il faut commencer par additionner entre eux les termes les plus petits pour que les petits termes ne soient pas absorb s un un dans les erreurs d arrondi les petits ruisseaux font les grands fleuves Exercice pour calculer la valeur num rique d une d riv e de fonction il vaut mieux calculer f x h f x h 2h que f x h f x h Attention toutefois ne pas prendre h trop petit sinon x h x Par exemple h 1078 donne un h de l ordre des erreurs d arrondi Remarquons n anmoins que les erreurs calcul es ici sont des majorations des erreurs r elles ou si on pr f re l erreur obtenue dans le pire
125. heuristique Soit P un polyn me en X4 Xn coefficients entiers avec n gt 1 on choisit une des variables par exemple Xn qu on notera X dans la suite On consid re P comme un polyn me en X Xh_1 coefficients dans Z X On suppose que P est primitif quitte extraire son contenu qui est dans Z X On calcule ensuite P z pour un entier z tel que 7 z gt 2 P 2 On factorise P z dans ZX ds Xn 1 F Pre Ara 2 BX i ay 21 o c est le contenu du polyn me P z comme polyn me en n 1 variables coefficients entiers Il s agit de reconstruire les facteurs de P partir des p et de c Deux probl mes se posent alors celui de la recombinaison possible de plusieurs facteurs p pour obtenir un facteur irr ductible de P et l existence d un facteur entier du contenu c combiner avec un ou plusieurs p pour obtenir ce facteur irr ductible Plus pr cis ment si P est un facteur irr ductible de P ona Pr 2 d z certains Pj O d z divise c z 22 Onale Th or me 30 Soit P X1 Xn 1 X un polyn me coefficients entiers ayant au moins 2 variables On suppose que P est primitif vu comme polyn me en les variables Xy Xh_1 coefficients dans Z X Il existe une majoration C du contenu c z de P valu en X z plus pr cis ment on peut trouver un entier 26 Ici P d signe le plus grand coefficient de P en valeur absolue 153 C tel que c z divise C
126. i soit a QD j 1 Qe Pet p n SY Ryle Pet mod p j l on en d duit les R Algorithme de remont e de Hensel quadratique Arguments et valeur renvoy e identiques l algorithme de remont e de Hensel lin aire ci dessus On commence comme dans le cas lin aire par calculer les coefficients de l identit de B zout g n ralis e pour Q 1 et la valeur de telle que p soit sup rieur deux fois la borne de Landau des facteurs de P fois le coefficient dominant de P On fait une boucle sur k variant de 1 al On calcule P Il P mod p on divise par pa et on place le r sultat dans Q On multiplie par Q les polyn mes Q de l identit de B zout g n ralis e avec comme second membre le polyn me 1 on calcule le reste euclidien du r sultat par P modulo pen on multiplie par por et on ajoute a P avec les notations pr c dentes on passe ainsi des P 9 1 aux P 91 Sik l on renvoie la liste des Pj On calcule 1 De Q llx Pr mod p on divise par po et on place le r sultat dans Q On multiplie par Q les polyn mes Q de l identit de B zout g n ralis e et on calcule le reste euclidien du r sultat par P modulo pon on multiplie par por et on ajoute Q ce qui ajuste les polyn mes Q qui v rifient maintenant l identit de B zout modulo p Remarque Pendant l tape de remont e de Hensel une optimisation classique consiste tes ter la divisibilit dans Z du
127. in general shared by many rows the rows have the same reductor with a different monomial shift and a list of monomial indices where the index is relative to the ordered list of possible monomials We sort the matrix by decreasing order of leading monomial Each s polynomial is written as a dense vector with respect to the list of all possible monomials and reduced with respect to the sparse matrix by decreasing order with respect to lt To avoid reducing modulo p each time we are using a dense vector of 128 bits integers on 64 bits architectures and we reduce mod p only at the end of the reduction If we work on 24 bit signed integers we can use a dense vector of 63 bits signed integer and reduce the vector if the number of rows is greater than 215 Then inter reduction happens on all the dense vectors representing the redu ced s polynomials this is dense row reduction to echelon form 0 columns are removed first Care must be taken at this step to keep row ordering when learning is active gbasis update procedure Each non zero row will bring a new entry in the current basis we record zero reducing pairs during the first prime iteration this information will be used during later iterations with other primes to avoid computing and reducing useless critical pairs New critical pairs are created with this new entry dis carding useless pairs by applying Gebauer M ller criterion An old entry in the basis may be removed if it
128. l entier en base 256 Ils sont donc limit s par le champ longueur 255 octets le plus grand entier repr sentable est 256255 1 Il existe un tag sp cifique pour les rationnels pour les constantes r elles et enti res qui apparaissent par exemple en r solvant une quation Il existe des tags utilis s de mani re interne par exemple pour les nombres complexes Il n y a pas de tag pr vu pour les flottants en pr cision arbitraire ni pour les nombres alg briques racines carr es par exemple Les listes sont cod es par la succession de leurs l ments En principe elles ne peuvent pas contenir des listes sauf pour repr senter une matrice Quelques fonctions utilisent les listes pour repr senter des polyn mes denses une variable mais probablement pas pour repr senter de mani re r cursive des polyn mes plusieurs variables puisque le type liste n est en principe pas r cursif Comme les HP les TI utilisent une pile non visible par l utilisateur appel e expression stack afin de traduire un expression math matique sous forme d un texte en un objet symbolique cod exactement comme ci dessus en syntaxe polonaise Toutefois la pr sence du champ longueur permet d valuer un objet symbolique sans perdre en efficacit en partant de l op rateur final et en redescendant ensuite sur ces arguments c est la strat gie adopt e C est pour cela que le tag d identifica tion se trouve la fin de l
129. la premi re ligne telle que le coefficient de la 1 re colonne est in f rieur V 101 on retrouve bien 2 et 3 Quand on programme l algorithme de re construction on ne calcule bien s r pas la colonne des a ce qui donne par exemple le programme xcas ou mupad suivant Renvoie a b tel que a b x mod n et Jal b lt sqrt n padictofrac proc n x local r0 beta0 rl betal r2 q2 beta2 begin r0 n beta0 0 rl x betal 1 sgrtn float sqrt n while rl gt sqrtn do r2 irem r0 r1 q2 r0 12 r1 beta2 beta0 q2x betal beta0 betal rO rl betal beta2 rl r2 end_while return r1 betal end_proc 20 1 5 Base du noyau On pr sente ici deux m thodes la premi re se g n ralise au cas des syst mes a coefficients entiers la deuxi me utilise un peu moins de m moire elle travaille sur une matrice 2 fois plus petite Premi re m thode Soir M la matrice dont on cherche le noyau On ajoute droite de la matrice transpos e de M une matrice identit ayant le m me nombre de lignes que M On effectue une r duction sous diagonale qui nous am ne une matrice compos e de deux blocs M I UL Attention L n est pas la matrice L de la d composition LU de M on a en fait LM U donc N Mt Ut Les colonnes de L correspondant aux colonnes nulles de U ou si on pr f re les lignes de L correspondant aux lignes nulles de U sont donc dans le noyau de M et r ciproqueme
130. le minimum est n gatif il y a 2 instants ou s v 0 lever et coucher du soleil L nergie solaire recue pendant une journ e par une surface horizontale est proportionnelle l int grale entre le lever et le coucher de s v p S il ny a pas de lever coucher soit on ne recoit rien nuit polaire soit on recoit l int grale entre O et 24h de s v jour polaire D intervalle entre 2 culminations n est pas constant au cours de l ann e car po n est pas une fonction lin aire de 0 qui lui m me n est pas lin aire en fonction du temps sauf en premi re approximation avec une orbite terrestre circulaire On peut le calculer en d rivant 60 Par exemple dans l approximation d une excentricit nulle au solstice d hiver 9 6o on obtient d cos 1 yo 0 1 0 dpo 1 07 avec d0 qui correspond 4 minutes on trouve dyo correspondant 4 36 minutes L cart entre 2 culminations est donc d environ 24h 20secondes Au moment du solstice le Soleil se leve et se couche donc environ 20 secondes plus tard entre un jour et son lendemain dans l hypoth se d un mouvement circulaire de la Terre autour du Soleil En r alit l orbite terrestre tant faiblement elliptique l cart est un peu moins de 30 secondes en hiver et de 15 secondes en t le mouvement de la Terre autour du Soleil tant plus rapide d environ 3 au solstice d hiver et moins rapide d environ 3 au solstice d t Comme 3
131. matrice hermitienne complexe il suffit de remplacer 1 1 par likljk et liz par Jl Le nombre d op rations effectuer est asymptotiquement 2 fois plus faible que celui pour LU En effet pour la premi re ligne il faut 1 racine et n 1 divisions pour la deuxi me ligne 1 racine n 1 additions multiplications et n 2 divisions pour la i i me ligne 1 racine i 1 n i additions multiplications et n 2 divisions au final le cout est domin par les additions et multiplications en 1 6n pour chaque donc 1 3n en tout contre 2 3n pour la factorisation LU La commande Xcas correspondante est cholesky et renvoie la matrice L 20 6 Conditionnement Le conditionnement mesure la sensibilit de la solution renvoy e d un syst me lin aire aux donn es du probl me Soit le syst me lin aire Ax b de solution x 47 b supposons b connu avec une erreur e alors la solution renvoy e sera x Ale on a donc une erreur relative sur la solution de IA el _ 1AT el llell 116 AT el 1e Ab 1 lel lt IAT lA 10 la derni re in galit s obtient en crivant b A 4 b On en d duit que le rapport de l erreur relative sur la solution par l erreur relative du second membre est major e par le produit de la norme de A en tant qu application lin aire par la norme de A ce produit est appel conditionnement de la matrice A ou parfois nombre de condition de en adoptant la terminolog
132. me de Lagrange tant donn la facilit de manipulation qu apportent les polynomes on peut chercher a approcher une fonction par un polyn me La m thode la plus naturelle consiste chercher un polyn me de degr le plus petit possible gal a la fonction en certains points o T et trouver une majoration de la diff rence entre la fonction et le polyn me Le polynome interpolateur de Lagrange r pond 4 cette question 21 1 1 Existence et unicit Soit donc zo Tn des r els distincts et yo Yn les valeurs de la fonction approcher en ces points on posera y f x pour approcher la fonction f On cherche donc P tel que P x y pour j 0 n Commencons par voir s il y a beaucoup de solutions Soit P et Q deux solu tions distinctes du probl me alors P Q est non nul et va s annuler en zo En donc poss de n 1 racines donc est de degr n 1 au moins R ciproquement si on ajoute P un multiple du polynome A Tj o X 25 on obtient une autre solution Toutes les solutions se d duisent donc d une solution particuli re en y ajoutant un polynome de degr au moins n 1 multiple de A Nous allons maintenant construire une solution particuli re de degr au plus n Sin 0 on prend P Zo constant On proc de ensuite par r currence Pour construire le polyn me correspondant zo Tn 1 On part du polyno me P cor respondant zp n et on lui ajoute un multiple
133. n additions ce qui est gigantesque Or on peut factoriser une partie des calculs et se ramener n 2 op rations l mentaires au lieu de n n Remarquons aussi que le nombre d op rations l mentaires n a gu re de sens si on ne tient pas compte de la com plexit des expressions l avantage principal de la m thode de d veloppement tant d viter d effectuer des divisions Calcul du d terminant par d veloppement de Laplace On calcule d abord tous les mineurs 2x2 des colonnes 1 et 2 que l on place dans une table de mineurs puis on calcule les mineurs 3x3 des colonnes 1 3 en d veloppant par rapport la colonne 3 et en utilisant les mineurs pr c dents puis les mineurs 4x4 avec les mineurs 3x3 etc On vite ainsi de recalculer plusieurs fois les m mes mineurs Cf par exemple l impl mentation en C dans giac xcas www fourier ujf grenoble fr parisse giac html qui utilise le type g n rique map lt gt de la librairie standard C STL pour stocker les tables de mineurs fonction det_minor du fichier vecteur cc Nombre d op rations l mentaires il y a 3 mineurs d ordre 2 calculer n ces sitant chacun 2 multiplications et 1 addition puis 4 mineurs d ordre 3 n cessi tant 3 multiplications et 2 additions etc donc le nombre de multiplications est de 202 2 3 3 3 n celui d additions est 3 2 3 n 1 soit un nombre d op rations l mentaire
134. nominateur gq de g De plus on va montrer que la valuation a de P dans y est l oppos de celle de P dans _ gcd ga 0zga lle do c gcd fa ga 29 173 En effet si 8 gt 0 P ne divise pas fy donc ne divise pas c donc la valuation de P dans D est y 1 Si 8 lt 1 alors a y 8 lt 0 entraine y gt donc la valuation de P dans c est et la valuation de P dans D est y 1 8 1 Si 6 1 s il n y a pas de simplifications dans le membre de gauche pour les termes de plus petite puissance en P alors a y 1 S il y a simplification on d compose en l ments simples avec B zout puis on ordonne par puissances croissantes de P y NP f MP avec Nj Na de degr plus petit que P puis on remplace dans 28 On cherche les termes de valuation a 1 en P qui doivent se simplifier aN P P t No PIN PT 0 donc No aP ce qui d termine a R capitulons Si f est une d riv e alors 6 1 est exclus et on peut appliquer 29 pour d ter miner D Si f n est pas une d riv e on calcule les facteurs de degr 1 de fa fa n gcd fa Oz fa on d compose f par B zout en isolant la partie N f les a possibles sont alors les racines enti res en t du r sultant en Z de N tf et f ils correspondent aux facteurs gcd N a fj fi que l on retire de fy pour appliquer 29 Exemple Reprenons y 2xy a x Si a x
135. noyau de P ano vaut 60 160 ME 1e N x 4 6 3 3 3 6 3 _ a 16 2 _ 2 o 4 6 3 3 3 on observe que N x lt 0 sur a 5 N x 1 x 4 4 1 6 1 x 3 3 2 3 3 max 0 1 2 x 3 plot N x x 0 1 et son int grale vaut 1 2880 8 a int N x x 0 1 2 int N x x 1 2 1 La m thode de Simpson n cessite 2n 1 valuations de f le calcul de f est un point tant presque toujours l op ration la plus couteuse en temps d une m thode de quadrature au lieu de n pour les rectangles et le point milieu et n 1 pour les trap zes Mais on a une majoration en h au lieu de h donc le rapport qualit prix de la m thode de Simpson est meilleur on l utilise donc plutot que les m thodes pr c dentes sauf si f n a pas la r gularit suffisante ou si M4 est trop grand 183 18 4 Newton Cotes On peut g n raliser l id e pr c dente d couper la subdivision a 3 en n parts gales et utiliser le polyn me d interpolation en ces n 1 points zp 0 1 1 En P Ce sont les m thodes de Newton Cotes qui sont d ordre n au moins Comme le polyn me d interpolation d pend lin airement des ordonn es cette m thode est bien de la forme I f 8 0 w f x j 0 De plus les sont universels ils ne d pendent pas de la subdivision parce qu on peut faire le changement de variables x a t 3 a dans l int grale et le polyn me d interpolation et donc se ramen
136. on d termine n en liminant le coefficient de Z ln z provenant de f Ss Rp Sir s et s il y a simplification des termes de plus haut degr du membre de gauche alors N Rr NS O donc N exp f Ss R est l mentaire et ind pendante de Z On peut donc changer d inconnue N N M sans changer le fait que M est un polyn me de m me degr que N On se ram ne alors une quation du m me type y Ss T RM Bee a mais avec s diminu de 1 au moins R duction algorithme SPDE de Rothstein On observe d abord que si R et S ont un facteur en commun alors ce facteur divise T car N et N sont des polyn mes en Z On peut donc quitte simplifier par gcd R S se ramener au cas o R et S sont premiers entre eux il existe donc deux polyn mes U et V tels que RU SV T deg V lt deg R 31 En soustrayant 31 de 30 on montre que R divise N V Soit H N V R Alors N RH V donc R RH RH V SRH SV T RU SV donc apr s simplification par SV et division par R H v rifie l quation RH S R H U V C est une quation du m me type mais avec deg H deg N deg R ou H 0 si N V Donc si deg R gt 0 au bout d un nombre fini d tapes on doit tomber sur un second membre nul ou des simplifications de R avec S R telles que R simplifi soit constant en Z 176 R solution Si R est constant par rapport Z on simplifie par R et on doit r soudre N SN T Si S 0
137. on la m me chose Les ordinateurs reprsentent g n ralement les flottants en base 2 cf la section suivante pour plus de pr cisions mais cette repr sentation n est pas utilis e ha bituellement par les humains qui pr f rent compter en base 10 Les ordinateurs effectuent donc la conversion dans les routines d entr e sortie Le format standard utilis pour saisir ou afficher un nombre flottant dans un logiciel scientifique est compos d un nombre virgule flottante utilisant le point comme s parateur d cimal et non la virgule suivi si n cessaire de la lettre e puis de l exposant par exemple 1 23e 5 ou 0 0000123 Dans les logiciels de calcul formel pour dis tinguer un entiers repr sent s par un entier d un entier repr sent par un flottant on crit l entier suivi de O par exemple 23 0 Remarque Les microprocesseurs ayant un mode BCD peuvent avoir un format de repr sen tation des flottants en base 10 les nombres d cimaux comme par exemple 0 3 peuvent tre repr sent s exactement Certains logiciels notamment maple uti lisent par d faut des flottants logiciels en base 10 sur des microprocesseurs sans mode BCD ce qui entraine une baisse de rapidit importante pour les calculs nu m riques on peut partiellement am liorer les performances en utilisant evalhf en maple 2 2 2 Les flottants au format double Cette section d veloppe les notions de la section pr c dente pour les flottants machine s
138. parties r p t es en int grant l exponentielle et en d rivant la fraction rationnelle asi _ t fle ESp a er 00 et f q at x a t ES t t3 et e 00 Det t z x f t3 i fi E ene _ 1 n 1 n 1 e E G ES i n 2 dt S x R x ou le E er 1 n 1 n 1 e t 56 Le d veloppement en s ries est divergent puisque pour x gt 0 fix et n tendant vers Pinfini i n En im 00 n gt oo nel mais si x est grand au d but la s rie semble converger de mani re tr s rapide 1 1 2 gt gt gt gt x q x3 On peut utiliser S x comme valeur approch e de f x pour x grand si on sait majorer R x par un nombre suffisamment petit On a n 1lert n 1 le Rof See EE 258 On retrouve une majoration du type de celle des s ries altern es l erreur relative est inf rieure la valeur absolue du dernier terme somm divis par e x Pour x fix assez grand il faut donc trouver un rang n s il en existe un tel que n 1 2 lt e o e est la pr cision relative que l on s est fix e Par exemple si x gt 100 n 11 convient pour e 12 100 5e 16 peu pr s la pr cision relative d un double Ceci permet d avoir une approximation de la fonction avec une bonne pr cision et peu de calculs mais contrairement aux s ries enti res il n est pas possible d am liorer cette pr cision de mani re
139. pivot de Gauss num rique 20 3 1 Efficacit de l algorithme 20 3 2 Erreurs d arrondis du pivot de Gauss 20 4 La m thode de factorisation LU 20 4 1 Interpr tation matricielle du pivot de Gauss 20 4 2 Factorisation PA LU 4 eee eee 20 4 3 Applications de la d composition LU 20 5 La factorisation de Cholesky 20 6 Conditionnement o s es eea ee 20 7 R duction des endomorphismes 20 7 1 Le polyn me minimal 20 7 2 Le polyn me caract ristique 20 7 3 La m thode de Hessenberg co 54 4 444444 20 7 4 La m thode de Leverrier Faddeev Souriau 20 7 5 Les vecteurs propres simples 20 7 6 La forme normale de Jordan MT Exemple L ua oa 4 4 o Me wee du 20 70 Exemple 2 24 4 san o ns amp 20 7 9 Le polyn me minimal par Faddeev 20 7 10 Formes normales rationnelles 20 7 11 Fonctions analytiques 20 8 Quelques autres algorithmes utiles 20 8 1 Complexit asymptotique 20 9 Quelques m thodes alternatives au pivot 20 9 1 Factorisation QR 20 9 2 M thodes it ratives de Jacobi Gauss Seidel relaxation 20 9 3 M thode it rative du gradient conjugu 20
140. polyn me P par le facteur lift P 25 lorsqu il n a 25 Plus exactement on multiplie Pj par le coefficient dominant de P modulo p 150 pas subi de modification pendant 2 tapes successives autrement dit lorsque P mod pl P mod p t ou mod p pour le lift quadratique Si la divi sion est exacte on obtient un facteur irr ductible de P dans Z On recalcule alors la borne de Landau de P P pour diminuer le nombre d it rations effectuer dans cette tape Exemple Reprenons le polyn me P X X X 1 X X 1 et supposons qu on ait choisi de le factoriser modulo 5 puis de remonter On a 3 facteurs a x 2 b xz g 1etc x 2x x 2 Si on d veloppe P on trouve 6 coefficients non nuls de valeur absolue 1 on peut calculer la borne de Landau Mignotte correspondante sur les coefficients d un facteur entier 25 6 1 soit un peu plus de 110 il suffit donc d effectuer 3 tapes de remont e lin aire 54 625 gt 111 2 On commence par trouver 3 polyn mes A B C tels que A z x Da Qa x 2 B x D a Qn x 2 4 ECla 2Da x 1 1 mod 5 On commence par r soudre D a 2x x 2 C x 2 x z 1 1 mod 5 on trouve C 2r 2et D 2x 2x 2x 1 Puis on calcule A et B en r solvant E x x 1 F x 2 1 qui donne E 1 et F x 2x qu on multiplie par D donc A Det B 2x5 x 2x3 2x Ce qui donne l identi
141. pouvoir effectuer un changement de coordonn es plus facilement car la propri t de rendre l action extr male pour un chemin est ind pendant du choix des coordonn es Par exemple si n 2 on peut utiliser les coordonn es polaires r 0 on a alors L l m 726 V r 0 Si le potentiel est sym trie sph rique alors L ne d pend pas de 0 seulement de 0 donc d OL dt 06 on a donc une int grale premi re qui est le moment cin tique mr 0 Plus g n ralement si L ne d pend pas explicitement du temps alors le hamil tonien d fini par H 2 vin est une int grale premi re en effet dH d OL OL aD i OL di A Legs Dae Da OL SE ias do Es oa a Il o 127 Exercice calculer H pour le lagrangien de la m canique classique et de la relativit restreinte Exemple On cherche la forme d un toboggan qui permette de se rendre le plus rapidement possible d un point A origine du rep re un point B situ une altitude plus basse sous l action de la gravit en n gligeant les frottements Si cette courbe est un graphe de fonction y x alors la vitesse est donn e par Y W 1 y D autre part v y 2gy Donc d vite y 29y on en d duit 1 y dt de y 2gy donc le temps minimiser est a dt pr ne A Cas Pour se ramener au probl me pr c dent on change de notations x devient un t
142. r el de A n Pri Pa An 1 zj j 0 Ainsi on a toujours Ph 1 x y pour j 0 n on calcule maintenant a 1 pour que Pa 1 n 1 Yn 1 En remplacant avec l expression de P ci dessus on obtient A Pr tn41 any En 23 Yn 1 j 0 Comme tous les x sont distincts il existe une solution unique Yn 1 Piri An 1 m j 0 n41 zj On a donc prouv le Th or me 48 Soit n 1 r els distincts x0 et n 1 r els quelconques YO Un Il existe un unique polyn me P de degr inf rieur ou gal n appel polynome de Lagrange tel que Exemple d terminons le polynome de degr inf rieur ou gal a 2 tel que P 0 1 P 1 2 P 2 1 On commence par Py 1 Puis on pose P Po 014X 1 X Comme P 1 2 1 a on en tire a 1 donc P 1 X Puis on pose P gt P agX X 1 ona P2 2 3 209 1 donc ag 1 finalement P gt 1 X X X 1 21 12 Majoration de Perreur d interpolation Reste estimer cart entre une fonction et son polynome interpolateur on a le Th or me 49 Soit f une fonction n 1 fois d rivable sur un intervalle I a b de R xo Zn des r els distincts de I Soit P le polynome de Lagrange donn par les x et y f x Pour tout r el x I il existe un r el E a b qui d pend de x tel que _ fee y Ainsi l erreur commise d pend d une majoration de la taille
143. re donc la suite r currente d finie par une valeur uy proche de la racine et par la relation Un 1 Un F un n TZ zro Il y a deux th or mes importants l un d eux prouve que si ug est assez pro che de r alors la suite u converge vers r malheureusement il est difficile de savoir en pratique si on est assez proche de uo pour que ce th or me s applique Le second th or me donne un crit re pratique facile a v rifier qui assure la conver gence il utilise les propri t s de convexit de la fonction Th or me 38 Soit f une fonction de classe C 2 fois continument d rivable sur un intervalle ferm I Soit r une racine simple de f situ e l int rieur de I telle que f r 0 et f r 4 0 Alors il existe e gt 0 tel que la suite d finie par u Un 1 Un a juo r lt e converge vers r Siona f lt M et 1 f lt m sur un intervalle r n r n contenu dans I alors on peut prendre tout r el e gt 0 tel que e lt 2 mM ete lt 1 194 D monstration on a flun un r f un flun J un f Un En appliquant un d veloppement de Taylor de f en un l ordre 2 on obtient pour un r el O situ entre r et uy Un 1 7 Y Un r 0 flr flun rte f un Gr LO donc m0 un 1 f un Fun un PES E 1 IO r un r luni r ln PP On commence par choisir un intervalle r e r contenant strictemen
144. re pour simplifier l exposition Lorsqu on r duit la colonne j d une matrice partiellement r duite partir de la ligne 7 1 en supposant j 0 cela revient multiplier gauche par une matrice L cr e en partant de la matrice identit de taille l o on remplace les 0 colonne j lignes 7 1 l par le coefficient de la combinaison de ligne effectu e D J 1 3 li gt l D donc E RR O oS OS oo oa OF gt Iv En 210 On v rifie facilement que l inverse de cette matrice est 1o 0 0 0 0 e Me ay 0 0 1 0 0 A 0 0 1 0 n Le 0 O LE 0 0 0 A 1 Donc A est le produit des matrices L par une matrice r duite U qui est triangulaire sup rieure A Lj L U On v rifie ensuite que le produit des matrices L1 L _1 revient remplacer les coefficients de la colonne j sous la diagonale par ceux de L ce qui donne une matrice L triangulaire inf rieure avec des 1 sur la diagonale Pour l obtenir il suffit au cours de l algorithme de r duction sous diagonale du pivot de Gauss de stocker le coefficient de la combinaison lin aire dans une matrice initialis e la matrice identit on peut aussi le faire en place dans la matrice 4 r duire Attention le produit Ly_1 L ne s obtient pas en copiant la colonne j de L pour j variant de 1 l 1 On peut l obtenir en faisant une r duction sous diagonale de la matrice b
145. realroot de Giac Il existe un autre algorithme de localisation de racines r elles d a Vincent Akritas et Strzebonski cf la commande VAS de Xcas Cet algorithme est tres efficace pour donner des intervalles d isolation des racines sur lesquels on peut faire de la dichotomie Ces suites se g n rallisent dans le plan complexe on peut d terminer le nombre de racines contenues dans un rectangle du plan complexe cf par exemple l article de Mickael Eiserman sur www fourier ujf grenoble fr eiserm Malheureusement il faut calculer une nouvelle suite de Sturm pour chaque rectangle alors que dans R on peut r utiliser la m me suite de Sturm Ce qui est donc beaucoup plus couteux en pratique on ne peut gu re aller au del du degr 10 avec l instruction complexroot de Giac analogue de realroot Une autre m thode dans le cas complexe peut tre plus prometteuse consis terait utiliser un hybride num rique exact Les racines d un polyn me Q sont aussi les valeurs propres complexes de sa matrice companion M On peut alors par une m thode it rative on pose Ag M puis on factorise An QR par la m thode de Hessenberg et on d finit A 1 RQ fac toriser cette matrice sous forme de Schur M P S P o P est unitaire et S diagonale sup rieure aux erreurs d arrondis pr s On peut calculer un minorant de m lt Q z Q z pour z racine complexe approch e coeffi cient diagonal de 2 On a alors
146. renvoyer false 6 Boucle infinie sur 7 entier initialis O incr ment de 1 chaque it ration si pged Dp O C constant alors arr ter la boucle D IcF jlcG 0 Icoeff D remont e de Hensel lin aire ou quadratique Si le r sultat est false renvoyer false Sinon renvoyer le premier polyn me du r sultat divis par son contenu vu comme polyn me en X coefficients dans Z X3 Xn 7 Lifter l galit F jG IcF jlcG 0 par Remont e de Hensel lin aire Arguments F un polyn me IcF Icoeff F son coefficient dominant Pp un facteur de F 0 ayant comme coefficient dominant IcF 0 et dont le cofacteur Qo est premier avec Po Renvoie deux polyn mes P et Q tels que FlcF PQ et P 0 Po et Icoeff P Icoeff Q IcF 1 Soit G FlcF Qo G 0 Po P P Q Qo 2 D terminer les deux polyn mes U et V de l identit de B zout tels que PU QoV d o d est un entier 3 Boucle infinie avec un compteur k initialis 1 incr ment de 1 chaque it ration Sik gt degrey x QG renvoyer false Si P divise G renvoyer P et G P Soit H G PQ O k Soit u U4 et v V4 on a Pu Qov H Remplacer v par le reste de la division euclidienne de v par Py et u par le reste de la division euclidienne de u par Qo La somme des deux quotients est gale au quotient euclidien de H par PoQo c est dire au coefficient dominant de H divis par le produit d
147. ressantes pour des matheux au sens large cons quence de l universalit des d bouch s accessibles en sortant de S Dans le sup rieur hors pr pas le probl me principal c est la multiplication des parcours la semestrialisation et l atomisation des enseignements en unit s beaucoup trop pe tites qui augmentent les effets fronti res sont contradictoires avec les chelles de temps pour assimiler des notions cr ent des casses t tes pour faire les emplois du temps multiplient les sessions d examens A cela s ajoute la perte d attractivit des m tiers de l enseignement et de la recherche en maths que ce soit dans le se condaire conditions de travail reconnaissance par la soci t ou dans le sup rieur d gradation des conditions d exercice de la recherche mais aussi de l enseigne ment Rien d tonnant ce que les jurys du CAPES et de l agr gation n arrivent pas pourvoir tous les postes Les programmes des classes pr paratoires aux grandes coles ont supprim r cemment l apprentissage d un logiciel de calcul formel peut tre une victoire des enseignants qui sont contre l usage des outils de calcul formel Ce sont les m mes qui conseillent leurs l ves l achat de calculatrices graphiques non formelles au lyc e ce qui arrange bien les constructeurs qui peuvent ainsi faire payer au prix 296 fort le mod le formel Je pense que ce combat d arri re garde est vou l c
148. restant dans Z et en tant r versible On peut toutefois effectuer des manipulations l mentaires r versibles dans Z gr ce l idendit de B zout Si a est le pivot en ligne 2 b le coefficient en ligne j annuler et u v d les coefficients de l identit de B zout au bv don fait les changements b L uly vL L lt 74i SLi 206 qui est r versible dans Z car le d terminant de la sous matrice l mentaire corres pondante est u b d On peut donc cr er des z ros en dessous de la diagonale il existe une matrice inversible L telle que LM U o U est triangulaire sup rieure On peut m me rendre les coefficients hors diagonale de U inf rieur aux pivots de leurs colonnes respectives en faisant une combinaison lin aire de lignes L Lj qLp j lt pou q est le quotient de la division euclidienne de M par Mpc p la ligne du pivot en principe p c On observe aussi que les pivots sont les pgcd des l ments de la colonne du pivot a partir de la ligne du pivot Applications Cette r duction dite forme normale de Hermite lorsqu on r duit les lignes au dessus de la diagonale par division euclidienne par le pivot permet de trouver une base du noyau coefficients entiers et telle que tout l ment du noyau a coefficient entier s crit comme combinaison lin aire a coefficients entiers des l ments de la base Il suffit d appliquer la r duction de Hermite M J on obtient une
149. sentation dense ou creuse r cursive ou distribu e Xcas propose deux types de repr sentation dense une variable poly1 1 ou distribu e et des instructions de conversion poly2symb et symb2poly entre repr sentations L int r t d une repr sentation non symbo lique est l efficacit des op rations polynomiales et la possibilit de chronom trer des op rations comme le produit de 2 polyn mes Les instructions qui suivent utilisent la repr sentation symbolique certaines acceptent les autres repr sentations coeff coefficient s d un polyn me coeffs liste des coefficients d un polyn me d velopper auparavant en mupad on utilise coeff content contenu pgcd des coefficients degree degr divide division euclidienne gcd lcm PGCD et PPCM gcdex B zout genpoly cr e un polyn me partir de la repr sentation z adique d un entier utile pour le PGCD heuristique icontent contenu entier pour un polyn me a plusieurs variables indets liste des noms de variables d une expression lcoeff coefficient dominant d un polyn me ldegree valuation primpart partie primitive d un polyn me quo rem quotient et reste euclidien tcoeff coefficient de plus bas degr d un polyn me 68 interp interpolation de Lagrange convert sqrfree d composition en facteurs n ayant pas de racine multiples conver
150. suite des polyn mes s ne peut varier que si l un des polyn mes s annule On consid re la suite des signes en un point elle ne peut contenir deux 0 successifs sinon toute la suite vaudrait 0 en ce point en appliquant 12 or A est constant non nul Elle ne peut pas non plus contenir 0 ni 0 cause de la 65 convention de signe sur les restes de 12 Donc une racine b de A pour 0 lt i lt k n influe pas sur la valeur de s au voisinage de b il y a toujours un changement de signe entre les positions 1 et 4 1 Comme Aj est constant seules les racines de Ao P sont susceptibles de faire varier s Comme A P le sens de variations de Ap au voisinage d une racine de Ag est d termin par le signe de A donc les possibilit s sont vers ou vers ce qui diminue s d une unit 5 3 Autres algorithmes On peut localiser les racines r elles par dichotomie on sait que toutes les racines sont situ es dans l intervalle C C avec C P lcoeff P On coupe l intervalle en deux on calcule le nombre de racines dans chaque partie et on continue en conservant uniquement les intervalles contenant au moins une racine Lorsqu un intervalle contient une seule racine on passe a la dichotomie classique changement de signe ou a la m thode de New ton avec valuation exacte du polym me et arrondi du d nominateur une puissance de 2 C est ce qui est utilis par l instruction
151. t optimiser n cessite une longue pratique et rend le programme optimis encore plus incompr hensible que dans d autres langages Et bien sur c est un langage propri taire compl tement inutilisable en dehors des HP48 49 50 C est donc avec ces d fauts en t te que j ai choisi le langage de Giac porta bilit facilit s pour optimiser mettre au point et modifier vitesse Ce qui excluait tout langage interpr t Le choix de C C c tait aussi la possibilit d utiliser des op rateurs sur le type g n rique de giac pour pouvoir crire b b 4 axc et pas sub mult b b mult 4 mult a c comme en Java Je ne regrette pas un instant ce choix Si on regarde les logiciels de calcul formel on a essentiellement 3 langages 32 512M de RAM pour la machine virtuelle linux 4 quoi il faut ajouter le logiciel VirtualBox et le navigateur De plus la taille des calculs possibles est limit e par la RAM allou e a la machine virtuelle 33 Ce qui est peut tre une bonne chose on peut le voir comme deux strat gies compl mentaires pour le calcul formel libre 292 Lisp utilis par Maxima Cela affecte le nombre de d veloppeurs potentiels du syst me et n cessite d avoir un interpr teur Lisp sur certaines plate formes avec des probl mes de lenteur C C utilis par Xcas Maple Mathematica mais aussi par de nombreux lo giciels et librairies math matiques GMP MPFR NTL Pari GP Singular
152. un article de comparaison de ces algorithmes par Fateman et Liao dont la r f rence bibliographique est Evaluation of the heuristic polynomial GCD in ISSAC pages 240 247 1995 Quelques autres r f rences K O Geddes et al Alg for Computer Algebra Kluwer 1992 pour GCDHEU Char Geddes Gonnet Gcdheu Heuristic polynomial gcd algorithm based on integer gcd computation in Journal of Symbolic Com putation 7 31 48 1989 pour SPMOD Probabilistic Algorithms for Sparse Polynomials in Sym bolic amp Algebraic Comp Ed E W Ng Springer 1979 pp216 4 Ler sultant 4 1 D finition Il s agit d un point de vue d alg bre lin aire sur le PGCD Consid rons deux polyn mes A et B coefficients dans un corps de degr s p et q et de pgcd D et Videntit de B zout correspondante AU BV D 11 avec degr U lt q et degr V lt p Imaginons qu on cherche U et V en oubliant qu il s agit d une identit de B zout en consid rant simplement qu il s agit d un probl me d alg bre lin aire de p q quations obtenues en d veloppant et en identifiant chaque puissance de X de 0 p q 1 p q inconnues les p coefficients de V et les q coefficients de U On sait que et B sont premiers entre eux si et seulement si ce probl me d alg bre lin aire a une solution pour D 1 Donc si le d terminant du syst me est non nul alors et B sont premiers entre
153. un programme calculant la borne de Hadamard d un d terminant coefficients r els rappel c est la borne obtenue en faisant le produit des normes euclidiennes des vecteurs colonnes 3 Cr ez une matrice 4x4 al atoire avec des coefficients entiers compris entre 100 et 100 calculer la borne de Hadamard de son d terminant avec le pro gramme pr c dent calculer ce d terminant modulo quelques nombres pre miers choisis en fonction de la borne de Hadamard et v rifiez le r sultat de la reconstruction modulaire du d terminant 4 Cr ez une matrice 100x100 al atoire coefficients entiers et calculez son d terminant modulo quelques nombres premiers Dans quels cas peut on conclure que la matrice est inversible dans R dans Z 5 crire un programme calculant par interpolation de Lagrange le polyn me caract ristique d une matrice en donnant de det AJ A n 1 valeurs distinctes 6 Long crire un programme qui calcule un d terminant de matrice en cal culant les mineurs 2x2 puis 3x3 etc m thode de Laplace 7 Recherche du polyn me minimal On prend un vecteur al atoire coeffi cients entiers et on calcule v Av A v puis on cherche une relation li n aire minimale entre ces vecteurs en calculant le noyau de la matrice ayant ces vecteurs colonnes Si le noyau est de dimension 1 alors le polyn me minimal est gal au polynome caract ristique et correspond un vecteur de la base du noya
154. veloppement en s ries en x 0 en utilisant une pr cision interm diaire plus grande puisque ce d veloppement en s ries va sembler diverger au d but avant de converger pour n suffisamment grand Par exemple on pose x 13 on calcule f 13 par 56 avec n 13 qui correspond au moment o le terme g n ral de la s rie est minimum puisque le rapport de deux termes successifs est en n a et une erreur absolue inf rieure e719131 131 4e 12 259 F 13 exp 13 sum 1 nxn 13 n 1 n 0 13 puis on remplace dans 58 avec TA et 29 a grt A raa n 0 dont on obtient une valeur approch e en faisant la somme jusqu au rang 49 pour lequel le terme g n ral est de l ordre de 1e 12 le reste de cette somme R59 est positif et est inf rieur 1 750x 13 51 51 51 qui est de l ordre de 8e 12 evalf sum 1 n 13 n 1 n 1 n 1 n 0 49 La somme argument de evalf tant exacte il n y a pas de probl mes de perte de pr cision on peut aussi faire les calculs interm diaires en arithm tique approch e on doit alors prendre 4 chiffres significatifs de plus pour tenir compte de la valeur du plus grand terme somm dans la s rie terme que l on d termine par exemple par seq 13 n 1 n 1 n 1 n 0 20 ce terme vaut 1311 11 11 soit 4000 environ Digits 16 sum 1 nx13 7 n 1 n 1 n 1 n 0 49 On obtient finalement comme valeur approch e de y exp 13 xsum
155. viter de devoir calculer la fonction en de nouveaux points on consid re alors l erreur sur la quadrature la moins fine comme la valeur absolue de la diff rence des deux valeurs Ou avec trois quadratures emboit es Hairer propose de prendre comme quadrature la plus fine en h 15 points interm diaire en h avec les m mes points sauf le point central moins fine en h avec les points 1 3 5 9 11 13 et d estimer l erreur par 2 1 er 30 Lia es 30 Lo e 2 2 On observe en effet que e est en h comme l ordre de la m thode 187 18 10 M thodes probabilistes Pour d terminer Je f t dt on l interpr te comme une esp rance plus pr cis ment comme b a E f X o X est une variable al atoire qui suit la loi uniforme sur a b et on approche cette valeur par PES Flax k 1 ou x est obtenu par un g n rateur pseudo al atoire selon la loi uniforme Par exemple f t exp t 2 n 1000 l ranv n uniform 0 2 2 0 sum apply f 1 n int f t t 0 2 0 La convergence en fonction de n est assez lente on peut l observer en faisant plu sieurs estimations m ranm 500 n uniform 0 2 T seg 2xsum apply f m k n k 0 size m 1 histogram I 0 0 01 En effet les tirages sont quidistribu s selon la m me loi la loi des grands nombres s applique donc on fait b a fois une moyenne de n tirages si n est grand on converge vers une
156. x lt 27 1 n 1 Dans les deux cas la limite de R est O lorsque n tend vers l infini car pour n gt 2x ona ati a x 1x n 1 nin 17 2n on a donc pour tout x r el CO k x E w ge A J DT k 2 k Comment en d duire une valeur approch e de e Il suffira d arr ter la som mation lorsque R x n 1 six lt 0 ou lorsque R e x n 1 six gt 0 est inf rieur l erreur absolue souhait e le plus t t tant le mieux pour des raisons d efficacit et pour viter l accumulation d erreurs d arrondi Si on veut 248 connaitre e une erreur relative e donn e par exemple e 275 pour stocker le r sultat dans un double il suffit que R e lt e donc si x est positif il suffit que x n 1 lt e on peut donc arr ter la sommation lorsque le terme suivant est plus petit que e On observe que plus x est grand plus n devra tre grand pour r aliser le test d arr t ce qui est facheux pour le temps de calcul De plus le r sultat final peut tre petit alors que les termes interm diaires calcul s dans la somme peuvent tre grands ce qui provoque une perte de pr cision relative par exemple si on veut calculer e ou plus g n ralement l exponentielle d un nombre n gatif de grande valeur absolue Exercice combien de termes faut il calculer dans le d veloppement de l ex ponentielle de 10 pour que le reste soit plus petit que 2753 Quel est la valeur du
157. y au lieu de y t Cette erreur se propage au pas 2 en une erreur ly y ti t ya ha D ylti h lt 0 ly y lt lt ely y t1 De m me aux pas suivants donc au pas n l erreur locale au pas 1 s est propag e en une erreur inf rieure ou gale a end MAA y t1 ento lay A y t1 lt Che tte to Il faut ensuite sommer les erreurs locales propag es de chaque pas n 1 n 1l gt Chen lt Cph y h eMtn ts i 0 i 0 Comme eA tn 1 par l int grale est positive d croissante sur to tn on peut majorer la somme C h M Atn dt to d o le r sultat On observe qu on peut atteindre n importe quelle pr cision pourvu que A soit suffisamment petit Mais en pratique ce n est pas le cas En effet le th or me ne tient pas compte des erreurs d arrondis Si le pas est trop petit les erreurs d ar rondi ne sont plus n gligeables elles s ajoutent aux erreurs locales et se propagent comme les erreurs locales avec amplification exponentielle Il y a donc un pas op timal et une pr cision maximale que l on peut atteindre R f rences Hairer Demailly 123 12 5 2 M thodes de Runge Kutta explicites Ce sont des m thodes explicites qui utilisent une m thode de Newton Cotes pour approcher f f t y t dt sur t t 1 Pour simplifier les notations notons ti 0 tiy1 GB on a alors B N feu CT Q k 0 Pour estimer la valeur de f ap y ax il est n cessaire d
158. 0 1 2cos f 1 7r 6 r cos 20 r C est un cas particulier de courbe en param triques puisque x y r 0 cos 0 r 0 sin 0 mais on pr f re souvent faire l tude directement sur la fonction r Le plan d tude est calqu sur celui d une courbe en param trique mais on n a qu une seule fonc tion r a tudier domaine de d finition de r recherche de p riodicit s et sym tries 9 0 ou ajout d une demi ou d un quart de p riode Si la p riode n est pas un multiple de 27 cela correspond obtenir un arc de la courbe par rotation partir d un autre arc de la courbe branches infinies pour 09 non infini o r n est pas d fini La branche a pour direction asymptotique la droite faisant un angle 49 avec l axe des x On calcule alors la limite si elle existe de r sin 0p c est l ordonn e dans le rep re obtenu par rotation d angle 04 si la limite est finie et vaut on a une asymptote d quation Y dans le rep re tourn si la fonction n est pas p riodique il y a lieu d tudier l existence de limites de r en oo si la limite est nulle on s approche en spiralant de l origine si elle est finie il y a un cercle asymptote si elle est infinie une spirale comme OM re er cos 0 sin 0 la vitesse si le temps est 0 est donn e par v r er reg o e eg est une base orthonorm e directe Donc sir 4 0 our 0 le point est r g
159. 0G C est la derni re ann e ou je travaille activement en recherche sur des th mes de physique math matique Au moment o nous avions d cider de basculer l enseignement d algorithmique du Pascal au C fin des ann es 90 j avais regard les possibilit s de biblioth que pour faire un peu de calcul en pr cision arbitraire d faut de faire du calcul formel on a essay LiDiA PARI mais sans vraiment tre satisfait En mai 2000 alors que le projet HP40 s ach ve je me lance dans un projet d extension de la librairie C de calcul symbolique GiNaC il s agissait dans un premier temps d am liorer les fonctions polyn miales avec des repr sentations non symboliques pour avoir de la simplification et de la factorisation Apr s plusieurs mois je me rends compte que la philosophie de GiNaC ne me convient pas je bascule vers un projet com pl tement ind pendant que je nomme Giac en r f rence GiNaC Au d but il s agissait juste d avoir une librairie C capable de faire des op rations sur les po lyn mes de mani re efficace Pendant 2 ans j impl mente les algorithmes de base d un CAS pour la licence de maths pgcd factorisation int gration limites puis je cr e une petite interface pour pouvoir tester le tout sans avoir crire un pro 30 acronyme r cursif de GiNac Is Not A Cas jeu de mot identique Gnu is Not Unix alors que Giac est l acronyme de Giac Is A Cas 288 gramme C
160. 1 3 1 Le sous r sultant La premi re id e qui vient l esprit pour am liorer l efficacit de l algorithme d Euclide consiste viter les fractions qui sont cr es par les divisions eucli diennes On utilise cet effet la pseudo division au lieu de prendre le reste R de la division euclidienne du polyn me P par Q on prend le reste de la division de Pq par Q o q d signe le coefficient dominant de Q et la diff rence entre le degr de P et de Q Exercice En utilisant votre syst me de calcul formel pr f r calculez les restes interm diaires g n r s dans l algorithme d Euclide lorsqu on utilise la pseudo division par exemple pour les polyn mes P x x 1 7 x 1 6 et sa d riv e Une solution avec giac xcas x mode C a b 2 polynomes gt pgcd de a et b pgcd a b local P p 0 q R g h d convertit a et b en polynomes listes et extrait la partie primitive P symb2polyl a p lgcd P pgcd des elements de la liste P P p Q symb2polyl b q 1gcd 0 0 0 q if size P lt size Q echange P et Q R P P 0 Q R calcul du contenu du pgcd p gcd p q g 1 h 1 while size Q 1 q Q 0 coefficient dominant d size P size Q R rem q d 1 P Q if size R 0 return p polyl2symb Q lgcd Q x P Q Q R ligne suivante a decommenter pour prs 0 R gx h d print 0 ligne suivante a deco
161. 1 0 0 0 1 La premi re colonne donne le premier cycle de Jordan 1 0 0 gt 2 1 1 On d place les premi res colonnes d une matrice vers le bas 2 I 1 1 0 1 1 O qu on r duit par les op rations 2C2 C1 C2 et 2C3 Ci gt C3 en 2 1 1 ere 0 1 1 Puis on effectue C3 C2 C3 et la deuxi me colonne nous donne le deuxi me cycle de Jordan r duit ici un seul vecteur propre 0 1 1 20 7 9 Le polyn me minimal par Faddeev On v rifie ais ment que le degr du facteur A dans le polyn me minimal de est gal n k o k est le plus grand entier tel que Vi lt k BW A 0 20 7 10 Formes normales rationnelles On se place ici dans une probl matique diff rente trouver une matrice sem blable la plus simple possible sans avoir introduire d extension alg brique pour 222 factoriser le polyn me caract ristique Quitte a compl ter plus tard la factori sation et la jordanisation partir de la forme simplifi e Il existe diverses formes associ es une matrice et plusieurs algorithmes permettant de les relier entre elles forme de Smith de Frobenius forme normale de Jordan rationnelle On va pr senter une m thode directe de calcul d une forme normale contenant le maximum de z ros dont la forme dite normale de Jordan rationnelle peut se d duire en utilisant le m me algorithme que pour la forme normale de Jordan Soit Q A qo q
162. 193 Pour v rifier les hypoth ses du th or me dans R il suffit de montrer que dans J la norme triple de f subordonn e la norme choisie dans R est inf rieure k lt 1 Pour f lin aire cela revient calculer une norme su bordonn e de matrice et donne lieu des m thodes it ratives alternatives l inversion de matrice cf la section 20 9 2 l algorithme de recherche PageRank de google utilise le point fixe en tr s grande dimension n est le nombre de pages Web I est l ensemble des vec teurs de R dont toutes les coordonn es sont positives ou nulles et dont la somme des coordonn es vaut 1 f est la somme d un vecteur constant et du produit du vecteur x par une matrice A transpos e d une matrice stochas tique 19 4 La m thode de Newton dans R La m thode de Newton est une m thode de r solution de l quation f x 0 attention la diff rence avec le th or me du point fixe qui permet de r soudre num riquement f x x Si xo est proche de la racine r on peut faire un d velop pement de Taylor l ordre 1 de la fonction f en xp f x f z0 x 20 f 20 O x 20 Pour trouver une valeur approch e de r on ne garde que la partie lin aire du d ve loppement on r sout donc si f 1p 4 0 _ x f x Graphiquement cela revient tracer la tangente la courbe repr sentative de f et chercher o elle coupe l axe des x On consid
163. 1950 RAM RAM alea6 0 83 1 08 26 4 18 202 204 738 gt 1h This leads to the following observations Computation modulo p for 24 to 31 bits is faster that Singular but seems also faster than magma and maple For smaller primes magma is 2 to 3 times faster The probabilistic algorithm on Q is much faster than Singular on these examples Compared to maple16 it is reported to be faster for Katsural0 and as fast for Cyclic8 Compared to magma it is about 3 to 4 times slower If is up to date except about giac giac is the third software and first open source software to solve Cyclic9 on Q It requires 378 primes of size 29 bits takes a little more than 1 day requires 5Gb of memory on 1 proces sor while with 6 processors it takes 8h30 requires 16Gb The answer has integer coefficients of about 1600 digits and not 800 unlike in J C Faug re 80 F4 article for a little more than 1 milliion monomials that s about 1 4Gb of RAM The deterministic modular algorithm is much faster than Singular for Cyclic examples and as fast for Katsura examples For the random last example the speed is comparable between magma and giac This is where there are less pairs reducing to O learning is not as ef ficient as for Cyclic or Katsura and larger coefficients This would suggest that advanced algorithms like f4 f5 etc are probably not much more efficient than Buchberger algori
164. 2 a des 1 l o la parit est fausse 134 Indice 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 pl x x x x x x p2 X xX X xX xX xX x x p4 X X X X x xX x x p8 X X X X X X x x pl p2 dl p4 d2 d3 d4 p8 d5 d6 d7 d8 d9 d10 dll Autre exemple le minitel utilisait d 2 m 7 n 2 1 14 5 Les codes de Reed Solomon Il s agit de codes polynomiaux qui r alisent la distance maximale possible n k 1 De plus la recherche du mot de code le plus proche peut se faire par un algorithme de B zout avec arr t pr matur 14 5 1 Th orie On se donne un g n rateur a de F et le polyn me g x x a a a donc n k 2t Typiquement q 2 avec m 8 a est une racine d un polyn me irr ductible de degr m coefficients dans Z 2 qui ne divise pas x 1 pour l diviseur strict de 2 1 en pratique on factorise le quotient de 2 1 par le ppem des x 1 P 1 o p parcourt les diviseurs premiers de 2 1 et on en extrait un facteur de degr m Distance du code Si la longueur n d un mot v rifie n lt 2 1 alors la distance entre 2 mots du code est au moins de 2t 1 En effet si un polynome P de degr lt n est un multiple de g ayant moins de 2t 1 coefficients non nuls 2t P x Spe ip lt n k 1 en crivant P a P a t 0 on obtient un d terminant de Van der Monde on prouve qu il est non nul en utilisant la condition ip lt n et le
165. 4 0 ce qui a une probabilit 1 d tre vrai pour un vecteur al atoire vy est quivalent Vp z en Lorsque n est grand vy est presque colin aire au vecteur propre en que l on peut estimer par v divis par sa norme ce que l on d tecte en testant si vz 1 et vk sont presques colin aires De plus le facteur de colin arit entre v 41 et vx est presque n la valeur propre de module maximal En pratique pour viter des d bordements d exposant des coordonn es des vk on normalise vz chaque tape on pose donc wy 1 Avg Uk 1 W 1 1 0x41 et on estime x en calculant Ay wx vg Lorsque la matrice A est sym trique r elle ou hermitienne complexe on peut utiliser comme test d arr t wg Aguz lt e En effet A est alors diagonalisable dans une base orthonormale on crit la relation A Az ux lt e dans cette base 231 et on obtient qu il existe une valeur propre de A distance inf rieure ou gale e de la valeur propre estim e Az Ce r sultat n est malheureusement plus vrai si A est quelconque car deux vecteurs propres peuvent faire un angle tr s petit Par exemple la matrice 1 0 aloo a pour valeurs propres 1 et 1 mais A E donc O semble tre une valeur propre approch e Il vaut alors mieux tester l cart entre deux estimations cons cutives de la valeur propre en effet au premier ordre k R man Da j n o la somme porte sur les indices j des
166. 4A un facteur irr ductible de degr d et de multiplicit q du polyn me caract ristique P Il s agit de construire un sous espace de dimension dq form de cycles de Jordan rationnels On part toujours de la relation AI A yen 1 Br P A I On observe que Q A I Q A est divisible par AI A donc il existe une matrice M A telle que QAZ QA SI B QOVMA k lt n 1 On observe aussi que a pour coefficient dominant 1 puisqu il divise P on peut donc effectuer des divisions euclidiennes de polyn mes donc de polyn mes a co efficients matriciels par Q sans avoir a diviser des coefficients Ce qui nous permet de d composer B A gt gt lt _ ByA en puissances croissantes de Q BO Y CHAQU deg Cx lt q k On remplace et on crit que les coefficients des puissances inf rieures q de Q sont nulles la k i me tant non nulle car M A n est pas divisible par Q pour les m mes raisons que pour la forme normale de Jordan On a donc les relations Q A Co 0 Cr Q A Ck 1 ce qui donne une colonne de matrice C 1 gt C 2 gt Co 0 qui sont images l une de l autre en appliquant Q A On peut alors faire l algorithme de r duction simultan e sur les colonnes des C4 On observe ensuite que le nombre de cycles de Jordan de Q A de longueur donn e est un multiple de d en effet il suffit de multi plier un cycle par A A pour cr er un autre cycle de plus ces cycles for
167. A v 0 donc P divise le polyn me minimal M Donc si P est de degr n P M Sinon il faut v rifier que le polyn me obtenu annule la matrice A On peut aussi calculer en parall le le polyn me P pr c dent pour quelques vecteurs al atoires et prendre le PPCM des polyn mes obtenus Exemple 1 1 1 2 4 1 1 11Y f1 0 6 2 10 38 0 1 5 Le noyau est engendr par 6 5 1 donc P x 5x 6 Exemple 2 Polyn me minimal de On prend v 1 0 la matrice r duire est alors 3 2 2 A 1 0 1 1 1 0 en prenant v 1 0 0 on obtient la matrice 1 3 5 7 1 0 I 2 A 0 1i 2 3 gt 01 2 3 0 1 2 3 00 0 0 le permier vecteur du noyau est 1 2 1 d o un polyn me divisant le poly n me minimal a 2x 1 215 20 7 2 Le polyn me caract ristique Pour une matrice g n rique le polyn me caract ristique est gal au polyn me minimal il est donc int ressant de chercher si le polyn me annulateur de A sur un vecteur al atoire est de degr n car le temps de calcul du polyn me caract ristique est alors en O n Si cette m thode probabiliste choue on se rabat sur une des m thode d terministe ci dessous on utilise la formule det AZ A d termin par une des m thodes de calcul de d terminant ci dessus Cela n cessite O n op rations mais avec des coefficients polyn mes en A on fait une interpolation de Lagrange en donnant n 1 valeurs disti
168. Algorithmes de calcul formel et num rique B Parisse Institut Fourier UMR 5582 du CNRS Universit de Grenoble I R sum Giac Xcas est un logiciel libre de calcul formel dont une caract ristique est de n cessiter peu de ressources sans sacrifier les performances en par ticulier sur les calculs polynomiaux Ce document d crit une partie des al gorithmes de calcul formel et num rique qui y sont imple ment s l objec tif long terme est de couvrir l essentiel des algorithmes impl ment s Ce n est pas le manuel d utilisation de Xcas ni un manuel de programmation ou d exercices illustr s avec Xcas voir le menu Aide Manuels R f rence calcul formel Programmation Exercices Amusements Ce texte regroupe donc des r sultats math matiques qui ont t ou sont utilis s dans Giac ou sont susceptibles de l tre ils sont en g n ral accompagn s de preuves et souvent d illustrations avec Xcas Pour plus d informations sur Giac Xcas cf www fourier ujf grenoble fr parisse giac_fr html Table des mati res 1 Index plan 2 Calculer sur ordinateur 2 1 Zed 240 2 4 23 2 6 21 2 8 Repr sentation des entiers TESTS dio a RS Re CRIS 22 1 Virgule fixeet flottante a 0 00 08 mi 2b ae a 2 2 2 Les flottants au format double 2 2 3 Op rations sur les flottants Zoe Errei us ada da bain eine 2 2 5 Erreur absolue relat
169. Az ax1 o Ax est choisi pour acc lerer la convergence vers O du coefficient d indice ligne n colonne n 1 id alement il faut prendre a proche de A la valeur propre de module minimal afin de minimiser An ax An 1 x En effet si Ak AI QkRpk et Ak 1 RkQk Axl alors A ayl A agl Q R Q R az a1 M Q1R ax a1 MI Qi RiQi a2 a1 M R1 Q1R a3 0 1 1 Q1Ri ax a1 1 Q Ao ail a2 041 DR1Q1 R1Q1 ag a1 I R1 Q1 Ri ox Q1 Ag 091 A2 azl As al Ri Q1 Q Rp Ry 235 On peut aussi liminer la derni re ligne et la derni re colonne de la matrice pour acc lerer les calculs d s que le coefficient en ligne n colonne n 1 est suffisamment petit On remarque que pour une matrice r elle si on choisit des shifts conjugu s alors Q Q Ry Ry est r el Or si QR QR et si R est inversible Q Q RR On a donc une matrice sym trique car a 2 et triangulaire sup rieure On en d duit que 0 0 D est diagonale donc Q QD On peut donc rendre Q r elle en divisant chaque colonne par un e et rendre R r elle en conjuguant par la matrice D Mais ce proc d de retour au r el apr s limination de 2 valeurs propres complexes conjugu es d une matrice r elle se heurte un probl me de condition nement parce que le choix d un shift int ressant pour la convergence va rendre
170. D un point de vue th orique la preuve repose plut t sur ce qu on appelle le th or me du point fixe on met la valeur approch e de y t trouv e dans l qua tion int grale pour avoir une nouvelle valeur approch e de y t on recommence ainsi de suite et on montre que le processus converge il s agit math matiquement parlant d une suite r currente de fonctions la preuve rigoureuse de la convergence n cessite des outils math matiques de niveau L3 M1 de maths c est l analogue des suites r currentes de r els qui permettent de r soudre num riquement des quations comme x cos x abord es en mat249 Cons quence du th or me 23 deux courbes int grales de la m me quation diff rentielle ne peuvent se couper dans D Donc si on connait une courbe int grale C de D et qu on prend une condition initiale en dehors de cette courbe la courbe int grale unique passant par cette condition initiale restera du m me cot de D Si on connait deux courbes int grales de D une courbe int grale passant par une condition initiale entre les deux courbes restera entre les deux courbes Exemple y y 1 y Cette quation autonome admet deux solutions videntes y 0 et y 1 Donc pour toute condition initiale y to 0 1 on a y t ejo 1 On en d duit que y y 1 y gt 0 donc la solution y est strictement croissante comme elle est born e par 0 et 1 elle admet une limite pour t gt too donc y tend
171. Ensuite l aide d estimations priori sur la taille des solutions ventuelles du probl me initial on reconstruit la solution au probl me initial avec le th or me des restes chinois Par exemple on peut calculer un d terminant d une matrice coefficients en tiers en cherchant ce d terminant dans Z nZ pour plusieurs nombres premiers n dont le produit est deux fois plus grand qu une estimation priori de la taille du d terminant donn e par exemple par l in galit d Hadamard cf Cohen p 50 Les m thodes p adiques commencent de mani re identique par un calcul dans Z nZ on augmente ensuite la pr cision de la solution en la liftant de Z n Z vers Z n 17 ou vers Z n Z lift lin aire ou lift quadratique on s arr te lorsque k est assez grand l aide d estimations priori et on reconstruit alors la solution initiale L tape de lift est en g n ral un lemme de Hensel dont on verra quelques exemples dans les prochains articles L algorithme commun au lemme de Hensel et au th or me des restes chinois est l identit de B zout que l on retrouve d ailleurs un peu partout par exemple pour le calcul de primitives Illustrons cette m thode sur un exemple simple la recherche de racines ra tionnelles d un polyn me P X aqX ag coefficients entiers ou poly nomiaux avec aq et ay non nuls L algorithme g n rique assez connu consiste chercher les diviseurs de a
172. II aX 1 j la l21 j la l lt 1 48 qui d apr s le lemme a la m me norme que P La norme de P majore donc le coefficient constant de P d o P IL los s IPI 6 lagl gt 1 p On remarque que 6 reste vraie si on consid re les racines 6 de norme plus grande que 1 d un diviseur D de P puisque le produit porte alors sur un sous ensemble On crit maintenant l expression des coefficients d de D l aide des racines 6 de D nl lal gt O choixdejracinesparmilesmracinesdeD 5 eracineschoisies Pour majorer d on commence par majorer 64 par 6 max 1 d On est donc ramen a majorer Cjm B y II Br choixdejparmimvaleurss B echoix avec pour hypoth se une majoration de M x donn e par la relation 6 Pour cela on cherche le maximum de el B sous les contraintes M fix et bk 1 On va montrer que le maximum ne peut tre atteint que si l un des 6 M et tous les autres 8 1 Sinon quitte r ordonner supposons que les 5 sont class s par ordre croissant On a donc 6 1 1 on pose Br Bj pour k lt m 2 Bm 1 1 et Bm Bm 18m Comparons 0 m P et o nm 8 Si le choix de j parmi m comporte k m 1 et k m le produit est inchang Sinon on a la somme de deux produits l un contenant k m 1 et l autre k m On compare donc B Bm 1 8m et B 1 Bm 18m avec B Ts eresteduchoix Br Comme 1 Bm 1bm gt Bm 1 oF Bm puisque la diff renc
173. Ik 1 quo Cfk 1 0Q x wa E E D return E E ecriture B x 2 2 2 QA Ax A 2xidn 6 On v rifie bien que normal QAx E 0 et normal QAx E 1 E 0 sont nuls On sait qu on a un bloc de taille 2 de cycles de Jordan de longueur 2 donc il n est pas n cessaire de faire des r ductions ici il suffit de prendre une colonne non nulle de E 0 par exemple la premi re colonne en x 0 et la colonne cor respondante de E 1 et leurs images par A ici cela donne 4 24 12 32 8 4 correspondant 0 4 4 8 4 4 on calcule les images par A la matrice de l endomorphisme restreint ce sous espace est alors le bloc de taille 4 0 2 0 1 1000 0 0 0 2 0 0 1 0 224 Cette forme normale minimise le nombre de coefficients non nuls mais pr sente un inconv nient la partie nilpotente ne commute pas avec la partie bloc diagonale contrairement a la forme normale rationnelle de Jordan qui contient des blocs identit s au dessus de la diagonale de blocs Pour cr er la forme normale 0 1 rationnelle de Jordan on doit donc remplacer les blocs 0 O par des matrices identit s Supposons constitu s les 7 premiers blocs de taille d num rot s de 0 j 1 avec comme base de vecteurs Up 0 Vo d 1 Vj 1 d 1 Il s agit de trouver un vecteur v o pour commencer le bloc suivant On d finit alors v en fonction de v _ en appliquant la relation Av _1 vj vj 1 1
174. Li et L Lz puis on effectue Ly L eL ce qui donne 1 0 2 0e y 1 0 3 0 remplac e en raison des erreurs d arrondi par 1 0x y 1 0 donc y 1 0 puis on remplace y dans L ce qui donne x 3 0 2 0y 1 0 On observe dans les deux cas que la valeur de y est proche de la valeur exacte mais la valeur de x dans le premier cas est grossi rement eloign e de la valeur correcte On peut aussi s int resser la sensibilit de la solution d un syst me lin aire des variations de son second membre Cela fait intervenir le nombre de condi tionnement de la matrice voir plus bas du syst me qui est essentiellement la valeur absolue du rapport de la valeur propre la plus grande sur la valeur propre la plus petite plus ce nombre est grand plus la solution variera donc plus on perd en pr cision 20 4 La m thode de factorisation LU Dans sa forme la plus simple elle permet d crire une matrice comme pro duit de deux matrices triangulaire inf rieures et sup rieures ce qui ram ne la r so lution de syst me la r solution de deux syst mes triangulaires Pour tenir compte d l ments diagonaux nuls et pour optimiser les erreurs d arrondi il est n cessaire d effectuer des permutations sur les lignes de la matrice 20 4 1 Interpr tation matricielle du pivot de Gauss On notera et c le nombre de lignes et colonnes de A pour viter la confusion avec le facteur L et on supposera A non singuli
175. On appelle flottant normalis un flottant tel que m b 1 b Pour crire un r el sous forme de flottant normalis on crit le r el en base b et on d place la vir gule pour avoir exactement n chiffres non nuls avant la virgule et on arrondit par exemple au plus proche L exposant est gal au d calage effectu Notez qu en base 2 un flottant normalis commence forc ment par 1 ce qui permet d cono miser un bit dans le stockage Ainsi l erreur d arrondi commise lorsqu on repr sente un r el connu exacte ment par un double normalis est une erreur relative inf rieure de 275 b 2 et n 52 1 pour les doubles Exemples en base 10 avec n 6 pour repr senter 7 3 14159265 on doit d caler la virgule de 5 positions on obtient 314159 265 onarrondit 314159 donc on obtient 314159e 5 en base 2 avec n 10 pour repr senter trois cinqui mes 3 5 en base 10 not 11 101 en base 2 on pose la division en base 2 de 11 par 101 ce qui donne 11 101 EQ res 10 0 1001 010 100 L000 101 O11 on retrouve le nombre de d part donc le d veloppement est p riodique et vaut 0 1001 1001 1001 On d cale le point de 10 positions on arrondit donc trois cinqui mes est repr sent par la mantisse 1001100110 et l exposant 10 On observe aussi sur cet exemple que 3 5 dont l criture en base 10 0 6 est exacte n a pas d criture exacte en base 2
176. P dans Z p Z X la m thode est analogue celle de l algorithme EZGCD de calcul de pgcd de polyn mes On suppose donc que P Wj_ P mod p o les Pj sont premiers entre eux deux deux dans Z pZ Il s agit de trouver des polyn mes Py Pj mod p tels que P Ii Pj mod pr Commen ons par le cas k 2 On pose Pj2 Pi pQ P mod p 148 On a alors P Mio mod p P pQy mod p n IMP p Y gt Qing Pe mod p j 1 Donc k PSE Y Qi Pa mod p j l On est ramen a r soudre une identit de B zout g n ralis e On montrera dans l appendice le Th or me 29 Identit de B zout g n ralis e Soit Pi Pa n gt 2 des poly n mes premiers entre eux deux deux modulo p Alors pour tout polyn me Q il existe des polyn mes Q Qn tels que SQ Uzi Pe Q mod p jal On a donc r ussi remonter l galit P IIP mod p P IIP 2 mod p Le passage de P IIP mod p P TP 11 mod p t est identique on a Piya Pia PQ o les Q sont les solutions de l identit de B zout g n ralis e avec P M P p Q Lorsqu on programme cet algorithme cf l appendice on calcule une fois pour toutes les solutions de l identit de B zout pour Q 1 et on multiplie par Q Algorithme de remont e de Hensel lin aire Arguments Un polyn me P coefficients entiers la liste L P de ses fac teurs dans Z pZ
177. Parabole Si F est un point et D une droite ne passant pas par F la parabole de foyer F et directrice D est l ensemble des points quidistants de F et D En choisissant un rep re tel que la droite D ait pour quation y 0 et en prenant F 0 1 M x y appartient la parabole si ly d M D d M F y y 1 2 donc en passant au carr x 1 2 y 1 y La parabole est donc ici un graphe de fonction donc un cas particulier de courbe param trique On peut trouver son quation en polaire en prenant F comme ori gine et la directrice verticale donc l quation de la droite devient par exemple y 1 sous la forme 1 1 sin 0 cf l exercice sur les coniques donn es par foyer et directrice qui traite aussi le cas des hyperboles On peut aussi faire titre d exercice l tude de la courbe en polaire p A P SS SS SSS 1 ecos 6 lorsque e 1 ete gt 1 Un int r t majeur de la parabole en optique est que les rayons incidents per pendiculaires la directrice se r fl chissent en passant par le foyer on peut m me montrer que cela caract rise une parabole Illustration d monstration avec Xcas dans un niveau de g om trie taper les commandes 94 P plotfunc x 2 2 1 2 x 5 5 supposons a 1 4 5 5 0 1 D droite x a M inter_unique P D T tangent P M R symetrie T D trace R puis faire varier a en cliquant sur les fl ches Noter la valeu
178. Q et Q par F pourquoi et on pose s P n 1 s P n A s pR R s p n o A est un pr facteur compris entre 0 et 1 et ajust 1 lorsqu on est proche du facteur 160 17 Int gration formelle 17 1 Introduction Que peut on esp rer d un syst me de calcul formel lorsqu il s agit de calcu ler une primitive Tout d abord on peut esp rer qu il sache r soudre ce que l on donne en exercice nos tudiants Ceci suppose donc de connaitre quelques m thodes classiques par exemple int gration de polyn mes polyn mes multi pli s par exponentielle ou et fonctions trigonom triques de polyn mes trigonom triques par lin arisation de fractions rationnelles de fractions trigonom triques de fractions de racines carr es de polyn mes du second ordre de fonctions s y rame nant par une ou plusieurs int grations par parties ou par changement de fonction par exemple reconnaissance de formes F u u ou par changement de variables etc Mais au del de ces m thodes qui ont l avantage de la rapidit mais tiennent parfois plus de la recette de cuisine que de l algorithme on peut se demander si la primitive d une fonction donn e peut ou non s exprimer en terme des fonctions l mentaires Par exemple tout le monde sait que la fonction e n admet pas de primitive simple encore faut il donner un sens math matique pr cis cette affirmation Ceci n cessite de
179. Xcas mode galement disponible sur certaines calcula trices Exercice tracer le champ des tangentes et quelques solutions pour quelques exemples de fonction f y t avec Xcas cr er une figure 2d puis choisir le mode Champ des tangentes du menu Geo Graphe entrer la fonction puis cliquer en quelques points pour faire tracer la solution passant par ces points L quation 16 est d ordre 1 or certaines quations diff rentielles se pr sentent naturellement comme des quations d ordre 2 par exemple l quation fon dementale de la dynamique acc l ration somme des forces divis e par la masse Mais on peut facilement se ramener 4 un syst me diff rentiel d ordre 1 en aug mentant la dimension de y Par exemple si on pose y x t v t o x t est la position et v t la vitesse alors l quation devient un syst me d ordre 1 O A dt v t E o F est la force qui d pend de la position x t champ lectrique gravitation et ventuellement de la vitesse force de frottement champ magn tique On utilise aussi assez fr quemment y q t p t o q t est la position et p t la quantit de mouvement qui d pend de la vitesse lin airement en m canique classique Repr sentation graphique comme pr c demment on peut se placer dans l es pace des t x v si x est en dimension 1 mais il est souvent plus difficile d ob server des ph nom nes sur un graphe en 3 d que dans le plan o
180. Xcas avec leurs l ves ce qui est certainement un excellent entrainement pour la mise au point d un petit programme le jour du concours Xcas est aussi pr sent pour les oraux du Capes mais je n ai pas de retour sur son utilisation r elle par les candidats m me si plusieurs pr parations semblent utiliser Xcas La collaboration entam e avec Geogebra en 2013 se concr tise avec la ver sion 4 4 sortie en d cembre 2013 qui interface Giac module natif java et version web avec l cran CAS de Geogebra Les interfaces vers d autres langages s am liorent module Python interface avec Sage F Han utilisation depuis javascript Plusieurs projets libres utilisent Giac comme moteur de calcul Qcas interface alternative qui pourrait remplacer Xcas un jour Smartcas calculatrice CAS dans votre navigateur Xcas Pad sur tablettes Cot valorisation Giac fait aujourd hui l objet de plusieurs contrats de com mercialisation en dual licensing dont un avec HP pour le CAS des calculatrices HP Prime A 5 Les concurrents open source Les principaux concurrents open source de Giac Xcas sont Maxima et Sage Il existe d autres logiciels libres de calcul formel g n ralistes mais ils ne semblent pas avoir beaucoup d utilisateurs 290 D utilisation de Giac et de Maxima est assez proche ce sont tous deux des logiciels qui fonctionnent localement sans avoir besoin de connexion Internet installables facilement sous Windows
181. Y Comme X divise IT P X N kNY on en d duit que XF divise un des P Donc k 1 et P XQ Revenons maintenant 24 ona f In g In C jm XQ 1In P lAj on d rive A P f m C Y 2412 Bri 27 cette preuve peut tre saut e en premi re lecture 164 on voit qu il n est plus n cessaire de multiplier f par Pj pour avoir un polyn me multiplier par Q suffit plus pr cis ment N D ND II P Qj pr 7 est un polyn me en X Aj donc X divise Ts Pi Qi X N kN Y ce qui est impossible Donc D 1 dans tous les cas et on a f N Donc fi N In CY X I P P est un polyn me par rapport a X J On en d duit que les P ne d pendent pas de X sauf si X est une exponentielle et P X Dans les deux cas N ne d pend pas de X donc le polyn me N est de degr 0 ou 1 en X si X est une exponentielle N est forc ment de degr 0 Si X exp Y est une exponentielle avec Y l mentaire ne d pendant pas de X alors f N est ind pendant de X On retire jY f et on divise g par X en posant j 0 si aucun des Pj n est gal X qui devient ind pendant de X on conserve ainsi l galit f In g mais avec une variable de moins dans la tour de variables par rapport laquelle f et g sont l mentaires Si X n est pas une exponentielle N cX d avec c dans le corps de constantes et d ind pendant de X Si X x on a g exp cx d qui n est
182. a Xn soient de m me degr que P et Q par rapport la variable X On calcule le pgcd G de ces 2 polyn mes en une variable Si le pgcd est constant alors on retourne le pgcd des coefficients de P et Q 3 On divise P et Q par leur contenu respectifs vu comme polyn mes en Xj coefficients dans Z X on note C X le pgcd des contenus On calcule aussi le pgcd A X des coefficients dominants de P et de Q 4 On initialise D le pgcd reconstruit 0 Z X le polyn me d interpolation 1 0 61 d 1 la liste des degr s partiels du pgcd par rapport Xj1 Xn 1 au minimum des degr s partiels de P et Q par rapport X1 Xp 1 e le nombre d valuation O et E l ensemble des points d interpolation la liste vide 5 Boucle infinie Faire a entier al atoire n appartenant pas E jusqu ce que degre P X1 Xn 1 degrey P X1 Xn degre Q X1 Xn 1 degre x Q X1 Xn Calculer le pged G X1 Xn 1 enn 1 variables de P X1 Xn 1 a COPA ota ty Si degre G lt 6 pour un indice au moins Si degre G lt 6 on pose degre G D Cisse I X a e 1et E la sinon on pose 6 min 6 degre G D 0 1 1 e 0 E On passe a Pit ration suivante Si degre G gt 6 on passe l it ration suivante Si degre G on interpole A a GS Croft 53 ap i Di Te MO Xi Xe 0 IL es
183. a a I Ix X a e 1 et ajouter a E Si e est strictement plus grand que le minimum des degr s partiels de P et Q par rapport Xn on pose D la partie primitive de D vu comme polyn me coefficients dans Z Xn on teste si P et Q sont divisibles par D si c est le cas on renvoie D C X D On observe que dans cet algorithme on fait le test de divisibilite de D par P et Q En effet m me apr s avoir valu en suffisamment de points rien n indique que tous ces points sont des points de bonne valuation En pratique cela reste extr mement improbable En pratique on teste la divisibilit plus t t d s que D n est pas modifi par l ajout d un nouveau point la liste des a Il existe une variation de cet algorithme appel SPMOD sparse modular qui suppose que seuls les coefficients non nuls du pgcd en n 1 variables sont encore non nuls en n variables ce qui a de fortes chances d tre le cas L tape d inter polation est alors remplac e par la r solution d un sous syst me d un syst me de Vandermonde Cette variation est int ressante si le nombre de coefficients non nuls en n 1 variables est petit devant le degr Si elle choue on revient l interpola tion dense Notons enfin qu on peut appliquer cette m thode lorsque les coefficients de P et Q sont dans Z nZ mais il faut alors v rifier qu on dispose de suffisamment de points d interpolation Ce qui en combi
184. a b C avec R a gt 0 R b gt 0 On va voir que la suite arithm tico g om trique converge encore tude de Pargument On voit ais ment par r currence que R u gt 0 de plus R v gt 0 car par d finition de la racine carr e R vn gt 0 et est de plus non nul car le produit de deux complexes d arguments dans 7 2 7 2 ne peut pas tre un r el n gatif On en d duit que arg un 1 arg un Un se trouve dans l intervalle de bornes arg un et arg v et que arg vn41 arg un arg vn donc 1 arg un 1 arg un 1 lt zlarg un arg un Apr s n it rations on a arg Un arg un lt M A Apr s quelques it rations Un et vn seront donc presque align s Faisons 4 it ra tions On peut factoriser par exemple vp et on est ramen l tude de la suite de termes initiaux a Un Un d argument arg u arg v petit inf rieur en valeur absolue 7 16 et b 1 On suppose donc dans la suite que Un m 16 lt arias E tude du module Ona Un 1 _ 1 Un 1 Omer 2 Un Jun Un Posons 2 pre ona Un 1 1 i0n 2 1 16 2 EE ADS gun 6 n oe Pn v Pn 1 1 On 1 On gt z VPn cos Uy sin 9 k Pn T 9 Pn dae 9 1 2 On 1 4 Pn 2c0s8 2 Pn Si p d signe le max de p et 1 p on a alors la majoration Un 1 1 I lt 5Ve p 20 Ve Un 1 276 donc en prenant les logarithmes
185. a base canonique il est int ressant d utiliser la base 1 n n n 1 n n 1 n 2 n n 1 n p 1 En effet 39 appliqu Qxyin n 1 n k s crit Qg 1 n 1 n k n n 1 n k 1 Qeailk 1n n 1 n k 1 on obtient donc Qx 1 Pk k 1 Le calcul des coefficients P s effectue efficacement par l algorithme des diff rences divis es partir du polyn me P et de sa valeur en 0 1 2 degr P 19 2 Le point fixe dans R Soit f une fonction continue sur un intervalle J a b de R et valeurs dans J attention bien choisir J pour que l image de J par f reste dans J On s int resse la suite Un 1 flun wel 40 Supposons que un converge vers une limite l I lorsque n gt 00 alors la limite doit v rifier f puisque f est continue On dit que l est un point fixe de f Ceci am ne l id e d utiliser ces suites pour r soudre num riquement l quation f x x Nous al lons donner un th or me permettant d assurer que la suite 40 converge et que la limite est unique solution de f l l sur I D finition 35 On dit que f est contractante de rapport k lt 1 sur I si En pratique les fonctions f que l on consid rera seront continument d ri vables donc d apr s le th or me des accroissements finis f y f x F 8 y x 0e x y ainsi pour v rifier que f est contractante on tudie la valeur abs
186. acer le vecteur em 1 de la base par le vecteur e 1 ue ou plus pr cis ment multiplier 1 0 Nr bee 1 0 H gauche par ai et droite par la matrice inverse u 1l en utilisant les lignes et colonnes m 1 et au lieu de 1 et 2 pour ces matrices Ceci a pour effet d annuler le coefficient Him dans la nouvelle matrice On obtient ainsi en O n op rations une matrice H semblable H de la forme 1 1 1 1 1 Ha Hy 2 pes His Hit Hin 1 1 1 1 1 2 1 252r Hee 2 n 2 2 n 2 n 1 1 1 1 0 Als 5 ar H3 9 He H3 n 1 1 1 OS SOs yt ed E 1 1 0o 0 Oy ecn he 216 On calcule alors le polyn me caract ristique de H par une r currence qui s obtient en d veloppant le d terminant par rapport a la derni re colonne ha A det AIn H Hp n hn 1 Bra A m1 ina A HB 29 nn1 H in 2 An 3 o les h s entendent en gardant les premi res lignes colonnes de H On peut crire cette formule pour m lt n Am A A Hn a m on ILM m jt l1 m j hi 1 A Pour effectuer cette r currence de mani re efficace on conserve les h A dans un tableau ue polyn mes et on utilise une variable produit contenant successivement les ITA m j 1 m j Remarques Une variante de la r duction ci dessus utilise des matrices de ro tation de Givens il s agit d une rotation dans le plan engendr par deux vecteurs de base e e prolong e par l identit On doit alors eff
187. acteurs multiples tant donn un polyn me P coefficients entiers on cherche crire _ mn k P Wp Py o les P n ont pas de facteurs multiples et sont premiers entre eux deux deux Comme on est en caract ristique 0 cela revient dire que pgcd P Py 1 et pgcd P P 1 Bien entendu on va utiliser la d riv e de P dans l algorithme de recherche des Py n k 1 j P BP aP k 1 Soit G le pgcd de P et de P Ona G E Ma en effet G divise Pet P P P E WM 5 MaP A Dd EPL k 1 141 il s agit de v rifier que W et Z sont premiers entre eux Soit F un facteur irr ductible du pgcd de W et Z4 alors F divise l un des Pk appelons P ce facteur Comme F divise Il z P sik l on en d duit que F divise le dernier terme de la somme de Z4 c est dire que F divise P Tl 4 P donc F divise Py puisque les Py sont premiers entre eux Donc P et P ont un facteur en commun ce qui est contraire aux hypoth ses On pose alors Y Z Wi X k 1 P ljk P k gt 1 On d finit alors par r currence des suites de polyn mes Wn Yn et Gm par Gm pgcd Wm Ym Wn Wm Gm et Yn41 Ym Gm Wii On va montrer que P Gm Commen ons au rang n 1 on voit que P divise Y puisqu il est commun tous les IT 44P car k gt 1 et divise W1 Et c est le seul facteur commun car tout autre facteur irr ductible serait un diviseur d un P pour l gt 1 donc diviserait 1
188. action la preuve pour les deux premi res tapes se fait facilement la main ou avec un syst me de calcul formel cf infra pour le cas g n ral on v rifie que le d terminant de la matrice de d part est gal au dernier coefficient sur la diagonale obtenu par 200 cette m thode de r duction ce dernier est donc entier le m me raisonnement fait sur des sous matrices dont on prend les k premi res lignes et colonnes et une autre ligne et une autre colonne montre que tous les coefficients des matrices interm diaires sont entiers On peut utiliser cette m thode aussi bien pour la r duction sous diagonale que pour la r duction compl te les lignes intervenant dans la combinaison lin aire subissent des modifications identiques dans les deux cas V rifions qu on n introduit pas de d nominateur dans la m thode de Bareiss Sans restreindre la g n ralit il suffit de le montrer avec une matrice 3x3 coefficients symboliques g n riques Pivot M n m 1 n ligne du pivot m colonne r ligne a modifier local COL j a b COL ncols M a M n m b M r m for j from 0 to COL 1 do afficher j a b n m r M r j a M r j b M n j end_for return M hi M matrix 3 3 A B C D E F G H8 31 M Pivot M 0 0 1 M Pivot M 0 0 2 lere colonne x M Pivot M 1 1 2 M Pivot M 1 1 0 2eme colonne x factor M 2 2 Ce qui met bien en vidence le facteur A dans M3 3 20 1 2 L
189. action rationnelle en que l on crit sous forme normale Les polyn mes ont un r le central dans tout syst me de calcul formel puisque sauf dans les cas les plus simples fractions d entiers par exemple la simplifica tion d expressions fait appel un moment ou un autre des calculs de PGCD de polyn mes Le PGCD de polyn mes est un algorithme tr s sollicit auquel nous consacrerons une section En effet l application brutale de l algorithme d Euclide pose des probl mes d efficacit ce qui a oblig inventer des m thodes plus effi caces Anticipons rapidement sur un exemple qui montre l un des probl mes ma jeurs des algorithmes de calcul formel l explosion en taille ici des coefficients des 22 restes successifs Voici donc les restes successifs lorsqu on applique l algorithme d Euclide pour calculer le PGCD de P x a 1 a 1 avec sa d riv e les deux polyn mes sont premiers entre eux 7 x D 6 x 1 162 s Z390 a 10603 780 gt 474 T8 a y 49 40 ge Ag 140 0 49 157780 4 507640 3 290864 101528 28028 729 2187 729 729 799 1 1400328 3 732888 1133352 _ 732888 49 2645 2645 3703 18515 1 2161816376832 555436846944 _ 301917024864 2187 4669921 4669921 4669921 1 469345063045455 47641670106615 907935 129411872 1920411872 5497465490623352995840 209648836272383412129
190. actionnaire Proposez une commande permettant de d cider si a est un entier D terminer la valeur et le signe de la fraction rationnelle ye 22 113 y y 121y 2 y84 F x y 5 2 1335 6 ll z 4 en x 77617 et y 33096 en faisant deux calculs l un en mode appro ch et l autre en mode exact Que pensez vous de ces r sultats Combien de chiffres significatifs faut il pour obtenir un r sultat raisonnable en mode approch Que se passe t il si on essaie d appliquer l algorithme de la puissance rapide pour calculer x y z 1 par exemple pour k 64 Calculer le nombre de termes dans le d veloppement de x y z 1 et expliquez 39 15 Programmation de la m thode de Horner Il s agit d valuer efficacement un polyn me P X an ao en un point On pose bo P a et on crit P X bo X a Q X o Q X bn X EX b On calcule alors par ordre d croissant bn bn 1 bo a Donner b en fonction de a puis pour lt n 1 b en fonction de a et b 1 Indiquez le d tail des calculs pour P X X 2X 5et une valeur de a non nulle b crire un fonction horn effectuant ce calcul on donnera en arguments le polyn me sous forme de la liste de ces coefficients dans l exemple 1 0 2 5 et la valeur de a et le programme renverra P a On pourra aussi renvoyer les coefficients de Q c En utilisant cette foncti
191. ae A z a o 12 4 6 Forcage pr s d un point d quilibre de syst me dt donc Si on ajoute un terme d pendant du temps y f y g t on ne sait plus r soudre l quation ni d crire son comportement qualitatif en toute g n ralit Si la condition initiale est proche d un quilibre stable et si la perturbation est petite en tenant compte de l chelle de temps des exponentielles du syst me lin aris on peut alors lin ariser et esp rer que la solution se comporte comme la solution de y f re y re g t au moins pendant un certain intervalle de temps Exemple mod le coupl d volution temp rature CO2 On mod lise l volution de la temp rature T de la Terre par dT CO2 dnote T r sin 280 o T 13 o Te 288K est la temp rature d quiibre de la Terre et CO2 t la concentration en ppm de gaz carbonique k mod lise la capacit calorifique de la Terre on peut estimer k 0 0025 K yr o la constante de Stefan Boltzmann 5 67e 8 S L Le taux de CO2 de l atmosph re peut tre consid r comme un for age ex t rieur d pendant de sc narios d missions de CO2 mais il d pend aussi de la temp rature de l oc an on peut donc mod liser l volution conjointe des deux variables par un syst me diff rentiel autonome auquel on ajoute une composante d pendant du temps missions anthropiques On peut raffiner ce mod le en ajoutant par exemple la glace et s
192. alcul du d terminant d une matrice coefficients entiers de grande taille En effet le PPCM f des d nominateurs des composantes de x est un diviseur du d terminant et si b est choisi avec des coefficients al atoires on a une forte proba bilit d obtenir le dernier facteur invariant de la matrice A Comme le d terminant de a une tr s faible probabilit de contenir un gros facteur carr ce dernier fac teur invariant est tr s proche du d terminant Ce dernier est pour une matrice al atoire lui m me un facteur de l ordre de 2 7 proche de la borne de Ha damard Il suffit donc de tr s peu de nombres premiers pour d terminer det A f par le th or me des restes chinois En pratique pour des n de l ordre de 100 1000 cet algorithme est plus rapide que le calcul uniquement par les restes chi nois Pour des n plus grands il faut se rabattre sur des algorithmes probabilistes avec arr t pr matur pour tre plus rapide on s arr te lorsque le d terminant n vo lue plus par reconstruction par les restes chinois pour plusieurs nombres premiers successifs le r sultat n est alors pas certifi c est ce qui se passe dans Xcas si proba_epsilon n est pas nul ou utiliser des m thodes d inversion ou de r duction de type Strassen 20 2 2 R duction de Hermite et Smith Lorsque M est une matrice coefficients entiers on ne peut plus faire l al gorithme du pivot de Gauss ou de Gauss Bareiss en
193. alculer a b on tapera a b C est la syntaxe dite polonaise invers e RPN Un avantage de cette syntaxe est que le codage d un objet symbolique par cette syntaxe est vidente il suffit de stocker la liste pr c dente a b Les objets symboliques sont donc repr sent par une suite d objets crit en syntaxe polonaise invers e L valuation d un objet symbolique se fait dans l ordre polonaise invers les arguments sont valu s puis les fonctions leur sont appliqu s Pour des raisons d efficacit on repr sente souvent les objets composites listes symboliques par leurs composants plac s sur la pile appel meta objets Une rigidit de la syntaxe polonaise est que les fonctions ont toujours un nombre fixe d arguments par exemple l addition a toujours 2 arguments ainsi a b c est obtenu par a b c ou par a b c c est dire respectivement b c ou a b c ce qui brise parfois artificiellement la sym trie de certaines op rations En polonaise invers e le syst me doit de plus jongler avec l autoquote puisque les arguments sont valu s avant l op rateur qui ventuellement demande rait ne pas valuer ses arguments noter l existence d une commande QUOTE permettant l utilisateur de quoter une sous expression Les hypoth ses sur des variables r elles sont regroup es dans une liste stock e dans la variable globale REALAS SUME on peut supposer qu une variable est d
194. ale si un autre polyn me U de degr au plus n v rifie lUlo lt 1 et a le m me coefficient dominant que Tn alors la diff rence T U est du signe de T en X cos kr n k 0 n puisqu en ces points Tn est extr mal et donc T U s annule n fois sur 1 1 mais son degr est au plus n 1 On a donc int r t prendre les abscisses des points d interpolation en les ra cines tp de Tn a b C O lla 5 tn tn cos k 5 k 0 n 1 On pourra observer que le ph nom ne de Runge qui apparait par exemple pour f x 1 25x 1 avec des points d interpolation quidistants n apparait plus si on prend des points de Tchebyshev Ceci est reli a la constante de Lebesgue qui pour des points de Tchebyshev vaut un peu moins de 4 pour n lt 100 se comporte comme 2 In n pour n grand on peut montrer que les polyn mes de Lagrange aux points de Tchebyshev convergent uniform ment vers 1 25x 1 c est plus g n ralement vrai pour toute fonction C sur l intervalle Remarque ce n est pas le polyn me de meilleure approximation de f celui qui minimise la norme L de la diff rence car la d riv e n 1 i me varie en g n ral sur a b Mais il est trop difficile de le calculer en g n ral Exemple de calcul explicite de constante de Lebesgue pour n 40 avec Xcas 1 k n product x 3 k 3 3 0 k 1 product x 3 k 3 3 k 1 n n 40 f add abs 1 k n k 0 n plot f x 0 n g 1
195. aleurs propres compt es avec leur multiplicit On fait un d veloppement de Taylor en A P A I A Al 200 BAJA i AIO JA Comme A AI A A I A A on obtient pour les n premi res puissances de A A AT B A 0 46 A XI B X Bis 47 ds 48 BOYD BD ti ce gee 4 BODA BD 7 m A Ail T i Ho a I 50 219 Le calcul des matrices BW A n pour n lt n se fait en appliquant n fois l algorithme de Horner avec reste Th or me 45 L espace caract ristique de A est gal l image de BV X ni 1 Preuve On montre d abord que ImB n 1 est inclus dans l espace caract ris tique correspondant A en appliquant l quation 49 et les quations pr c dentes R ciproquement on veut prouver que tout vecteur caract ristique v est dans l image de B 1 A n 1 Prouvons le par r currence sur le plus petit entier m tel que A A v 0 Le cas m 0 est clair puisque v 0 Supposons le cas m vrai prouvons le cas m 1 On applique l quation 50 v il suffit alors de prouver que Ni A w A Toa Ni appartient l image de B D A n 1 Comme B A commute avec A car c est un polyn me en A ou en appliquant le fait que B A inverse de A AJ BO dj Ajay w A 0 et on applique l hypoth se de r currence w Pour calculer les cycles de Jordan nous allo
196. alors que v 1 a det up41 b d ce sont les cofacteurs du PPCM de a et b en particulier les coefficients de B zout v rifient up lt bet vk lt a On va aussi voir que Un 2 Un 2 est la n i me r duite du d veloppement en fractions continues de a b donc les coefficients de B zout se lisent sur l avant derni re r duite On introduit la notation 1 lao 41 An ao i a ag ak pour ay gt 0 a gt 0 an gt 0 On a alors a a q2 93 5 qx En effet a e TO A ra i 1 De p MO ee cet r2 D autre part on montre par r currence sur n gt 1 que si x gt 0 Uy T Un 1 q2 An x Un Y Un 1 en effet au rang n 1 UT VO r ett UT UO 34 et pour l induction 1 Gos see qn 425 gt dn 1 qn Un 1 Qn 1 x Un 2 Uun 1 qn ze 1 x Un 2 EUR Un 2 Un 1 DU ida lz Un 2 T Un 1 Unt Un UnT Un 1 Donc au rang n 1 et pour x qn on obtient Un 1 q2 seng qn Un 1 Les fractions continues servent bien entendu aussi et d abord approcher les r els par des rationnels L algorithme de calcul des termes du d veloppement est le suivant Soit x gt 0 On initialise y x et la liste des a vide Puis on fait une boucle on ajoute la partie enti re de y a la liste on calcule la partie fractionnaire de y si elle est nulle on s arr te dans ce cas x Q sinon o
197. an de l cliptique Le calcul de ces variations est bien au dela des pr tentions de ce texte le lecteur int ress pourra se r f rer par exemple aux publications de Laskar chercher ce mot clef ou des mots comme orbite perturbation symplectique hamiltonien On se bornera ici a indiquer que le demi grand axe ne varie pas ce qui donne une relation entre les variations de la constante des aires et de l excentricit L est proportionnel y 1 e Les variations des param tre orbitaux modifient long terme ensolleillement de la Terre la valeur de l nergie regue en un lieu sur une surface horizontale s v p d pend de la latitude de la position de la Terre sur son orbite mais aussi de l excentricit de l orbite de l obliquit et de la date du p rih lie par rapport aux saisons et sa r partition sur le globe par latitude il est naturel de supposer qu elles influent sur le climat de la Terre Par exemple l nergie moyenne recue par la Terre au cours d une p riode T de une ann e est donn e par 1 3 1 2 27 Tj TJ L TL est proportionnelle TI donc 1 eh ts 2 car T est aussi constant d apr s la 3 me loi de K pler Au premier ordre la variation de e entraine donc une variation de l ensolleillement global de 1 y Pour la Terre cela repr sente au plus 2 5 pour mille la p riode la plus favorable aux glaciations tant celle o l orbite est circulaire soit sans r tr
198. ans un intervalle Il n y a pas ce jour de possibilit de supposer qu une variable est enti re ni fortiori qu une variable une valeur modulo un entier fix bien qu il ait t d cid de r server la variable globale INTEGERASSUME cet effet Il n y a pas de possibilit de faire des hypoth ses ayant une port e locale 2 7 4 Calculatrices formelles T192 89 Voyage 200 Le langage utilis pour programmer ces calculatrices est le langage C on peut aussi crire du code en assembleur pour ces calculatrices On retrouve ici les dif 4 Plus pr cis ment deux piles la pile de donn e et la pile g rant le flux d ex cution Cette derni re n est pas visible par l utilisateur 5 Sauf si on utilise comme dernier argument le nombre d arguments de la fonction ou si on utilise cf infra un tag de d but de liste d arguments 27 f rents types de donn es regroup en un type g n rique qui est un tableau d octets aussi appel quantum Le champ type est appel tag dans la documentation TI Contrairement ce qui pr c de ce champ type est plac en m moire la fin de l objet ce qui est possible car la longueur d un objet est toujours indiqu e au d but de l objet Ceci est fait afin de faciliter l valuation cf infra Les entiers en pr cision arbitraire sont cod s par un tag parmi deux pour dif f rencier le signe un octet pour la longueur puis la valeur absolue de
199. ant conjugate_gradient A b x0 eps Voir aussi le programme en langage Xcas depuis le menu Exemple analyse gradconj 20 10 R duction approch e des endomorphismes On pourrait trouver des valeurs propres approch es d une matrice en calcu lant le polynome caract ristique ou minimal puis en le factorisant num riquement Mais cette m thode n est pas id ale relativement aux erreurs d arrondis calcul du polynome caract ristiaue de ses racines et nouvelle approximation en calculant le noyau de AJ lorsqu on veut calculer quelques valeurs propres on pr f re utiliser des m thodes it ratives directement sur A ce qui vite la propagation des erreurs d arrondi 20 10 1 M thode de la puissance Elle permet de d terminer la plus grande valeur propre en valeur absolue d une matrice diagonalisable lorsque celle ci est unique Supposons en effet que les va leurs propres de soient 21 amp n avec lui lt tal lt lt n 1 lt ral et soient 1 n une base de vecteurs propres correspondants On choisit un vec teur al atoire v et on calcule la suite vy Avx_1 A v Siva pour coordonn es Vi Vn dans la base propre alors n n k k k j Uk J Vitie TpWk Wk J Vj 2 ej Tn j l j l L hypoth se que x est l unique valeur propre de module maximal entraine alors que limz gt 00 Wk Vnen puisque la suite g om trique de raison x x converge vers 0 Autrement dit si Vp
200. apidement vers l infini donc si les a sont plus grands que 1 La convergence la plus lente correspond au cas o tous les a 1 cas du nombre d or ou partir d un certain rang nombre de Q V5 2 9 3 La puissance rapide it rative Pour calculer a mod n on d compose k en base 2 J J k SK a IL z Il 2 j 0 j 0 j k5 0 On initialise une variable B 1 B vaudra a mod n en fin de calcul on initialise une variable k k On calcule dans une boucle les carr s successifs de a mod n que l on stocke dans une variable A A vaudra donc successivement a mod n a mod n a mod n et simultan ment on teste si k vaut 1 en prenant le reste de la division par 2 de k dans ce cas on multuplie B par A modulo 7 on divise ensuite k par 2 au sens du quotient euclidien rapide a k n local A B A a B 1 tantque k 0 faire Si irem k 2 1 alors B irem A B n fsi k 1quo k 2 A irem AxA n ftantque return B 2 10 Pour en savoir plus Sur des aspects plus th oriques Knuth TAOCP The Art of Computer Programming volumes et suivants Henri Cohen A Course in Computational Algebraic Number Theory Davenport Siret Tournier Calcul formel Syst mes et algorithmes de ma nipulations alg briques Sur des aspects plus pratiques quelques r f rences en ligne la plupart sont accessibles gratuitement le code source de Giac disponible PURL
201. approch algorithmes de bases Pour t l charger et installer Xcas sur votre ordinateur suivre les instructions donn es sur http www fourier ujf grenoble fr parisse giac_fr html Pour lancer xcas sous linux cherchez Xcas dans le menu Education ou ouvrir un fen tre terminal et taper la commande xcas amp Lors de la premi re ex cution vous devrez choisir entre diff rents types de syntaxe compatible C maple ou TI89 Vous pouvez changer ce choix tout moment en utilisant le menu Configuration gt mode syntaxe L aide en ligne est accessible en tapant nom_de_commande Dans Xcas vous pouvez aussi taper le d but d un nom de commande puis la touche de tabula tion a gauche du A sur un clavier francais s lectionner la commande dans la boite de dialogues puis cliquer sur Details pour avoir une aide plus compl te dans votre navigateur Pour plus de d tails sur l interface de Xcas consultez le manuel Aide gt Interface Si vous n avez jamais utilis de logiciel de calcul formel vous pouvez commencer par lire le tutoriel menu Aide gt Debuter en calcul formel gt tutoriel et faire certains des exercices propos s des corrig s sous forme de sessions Xcas sont dans Aide gt Debuter en calcul formel gt solutions Il peut tre interessant de tester ces exercices en parall le avec Xcas et des calculatrices formelles 1 A quelle vitesse votre logiciel multiplie t il des grands entiers en fonction du nombre
202. ar affinit d une astroide Donner une quation param trique simple de A V rification avec Xcas version jour E plotparam 4cos t 3sin t t 0 2p1 A developpee E eg simplify parameg A trigcos re eq im eq De plus comme N est norm la longueur d arc de courbe de la d velopp e est donn e par ti dl 1 t dt Ele 2 R Reo 0 Cons quence si on enroule un fil sur la d velopp e D que ce fil est tendu et que son extr mit co ncide avant de commencer le d rouler avec un point de la courbe C alors dans la suite du d roul l extr mit parcoura la courbe C on dit que C est une d veloppante de D La d velopp e peut servir calculer une caustique en optique On envoie des rayons lumineux parall le une direction fix e vers un miroir ayant la forme de la courbe C la caustique est l enveloppe des rayons lumineux r fl chis que l on observe par une plus grande intensit lumineuse On peut montrer que la caustique est la d velopp e de l anticaustique de C par rapport une droite perpendiculaire aux rayons lumineux pour d terminer l anticaustique d une courbe par rapport une droite on prend un point de la courbe on le proj te sur la droite puis on prend le sym trique du pro jet par rapport la tangente la courbe au point choisi l anticaustique est le lieu de ces sym triques Cf dans Xcas la session exemple du menu Exempl
203. arbitraire en poussant le d veloppement plus loin il y a une pr cision maximale possible qui d pend de x Ce type de d veloppement asymptotique peut tre effectu pour d autres fonc tions du m me type par exemple 00 00 4 t f e dt f sin t dt T HA t Digression calcul approch de la constante d Euler y On peut montrer que n y Un Un In n 57 k 1 existe par exemple en cherchant un quivalent de u 1 Un qui vaut 52 et on d finit y comme sa limite Malheureusement la convergence est tr s lente et cette d finition n est pas applicable pour obtenir la valeur de y avec une tr s grande pr cision Il y a un lien entre y et la fonction exponentielle int grale plus pr ci s ment lorsque x 0 f x admet une singularit en ln x plus pr cis ment f x In x admet un d veloppement en s ries de rayon de convergence 00 Car 1 t 27 t f x In x as dt x 1 1 pot oo t z t 1 1 Qu di f dt 0 t 1 t 0 t Que vaut la constante du membre de droite 1 1 00 1 c e na f e dt 0 t 1 t Il se trouve que C y voir plus bas une d monstration condens e et donc y E u fa ma 58 Pour obtenir une valeur approch e de y il suffit donc de prendre un x assez grand pour pouvoir calculer f x par son d veloppement asymptotique la pr cision requise puis de calculer l int grale du membre de droite par le d
204. argument puis on extrait le PGCD 2 2 des arguments de logarithmes jusqu obtenir des arguments de In premiers entre eux Si c est une exponentielle on teste si son argument est combinaison lin aire coefficients rationnels des arguments des exponentielles pr c dentes des In des logarithmes pr c dents de ln x et de i 7 Pour cela on substitue les ln par des ind termin es et on d rive une fois par rapport cette ind termin e le r sultat doit tre un rationnel pour les variables exponentielles il faut r duire au m me d nominateur et r soudre le syst me lin aire obtenu en identifiant les coefficients du num rateur Si exponentielle est ind pendante des pr c dentes on extrait de l exponen tielle rajouter la partie lin aire de la d pendance en les ln pr c dents si le coefficient correspondant est entier Par exemple on r crit ze na In 2 re Remarque On n est pas oblig de se limiter aux seules fonctions logarithmes et exponentielles l essentiel est de pouvoir tester l ind pendance alg brique des expressions cr es Pour viter d avoir introduire des exponentielles et logarithmes complexes dans une expression r elle on peut autoriser par exemple des extensions en tangente ou en arctangente 17 2 3 Th or me de Liouville On a vu que la d riv e d une fonction l mentaire d pendant d une tour de variables est une fonction l mentaire d pendant
205. ations pour le calcul de la d composition de Schur en flot tant n b pour Hessenberg initial puis n b par it ration et un nombre d it rations proportionnel b Pour le calcul exact de Se il faut inverser une matrice de taille n avec des coefficients de taille proportionnelle b donc O n bIn n op rations en modulaire la taille des coefficients de l inverse est O nbIn n puis calculer un produit avec une matrice n n de coefficients de taille proportionnelle b soit O n b In nb op rations Asymptotiquement on peut faire mieux avec des m thodes de multiplication et d op rations matricielles par blocs Pour viter la perte d un facteur n on peut aussi ne pas faire de calculs en mode exact et controler les erreurs sur la matrice S On peut regrouper les valeurs propres par clusters si elles sont trop proches la pr cision de b bits Pour la recherche des racines d un polyn me P on peut montrer en calculant le r sultant de P et de P qui est en module plus grand ou gal 1 et en l crivant comme produit des carr s de diff rences des racines et en majorant toutes les diff rences de racine sauf une l aide de la norme infinie de P qu il faut au pire b O n bits pour s parer les racines 20 11 Quelques r f rences Comme toujours on renvoie l excellent livre de Henri Cohen A Course in Computational Algebraic Number Theory Gantmacher Th orie des matrices Press e
206. au moins une racine de Q dans le disque de centre z et de rayon degre Q m car CRC 1 Ae ee Drm k donc si z gt degre Q m pour toutes les racines zz alors IF 2 gt m contradiction Si les disques obtenus sont disjoints on a ainsi une localisa tion des racines complexes On peut aussi utiliser l arithm tique d intervalles pour essayer de trouver un petit rectangle autour d une racine approch e qui est conserv par la m thode de Newton g x x f x f x le th or me 66 du point fixe de Brouwer assure alors qu il admet un point fixe qui n est autre qu une racine de g 67 6 Exercices PGCD r sultant 6 1 Instructions Elles sont dans les menus Cmds gt Integer et Cmds gt Polynomes de Xcas 6 1 1 Entiers chrem restes chinois entier divisors en maple numtheory divisors liste des diviseurs d un entier gcd lcm PGCD et PPCM igcdex B zout pour des entiers iquo et irem quotient et reste de la division euclidienne de deux entiers isprime test de primalit Utiliser is_pseudoprime pour effectuer un test plus rapide de pseudo primalit mods reste euclidien sym trique nextprime et prevprime nombre premier suivant ou pr c dent powmod a b n calcul de a mod n par l algorithme de la puissance rapide 6 1 2 Polyn mes On peut repr senter les polyn mes par leur criture symbolique par exemple x 2 1 ou par des listes repr
207. ava il y a une dizaine d ann es alors qu aujourd hui on ne peut plus en dire autant Bien sur crire un programme en C C n cessite un peu plus d apprentissage qu crire un programme en Python ou en tout autre langage interpr t mais c est je pense aussi plus formateur on comprend mieux les avantages et inconv nients d utiliser un conteneur un type de donn e pr cis ou un algorithme avec un lan gage plus proche de la machine r elle qu avec une machine abstraite filtr e par les possibilit s mises disposition par l interpr teur avec souvent un biais lorsqu on optimise on favorise l instruction impl ment e le plus efficacement par I interpr teur au d triment de l algorithme le plus efficace ce qui conduit par exemple a choisir un style fonctionnel plus difficile 4 concevoir relire et modifier et moins efficace dans un langage compil B 2 Le libre la recherche et l ducation Le logiciel libre a fini par se faire une place au soleil mais cela n a pas t facile Au sein de l ducation nationale c est probablement les restrictions budg taires qui ont t le meilleur alli du libre et Open Office ou Libre Office Geoge bra Xcas sont maintenant bien pr sents dans les lyc es et manuels mais 1 OS reste Windows et l volution dans le monde des calculatrices va dans le mauvais sens L id e de mettre en place un mode examen en 2018 va l encontre de la possi bilit pour l
208. ayant beaucoup de coef ficients nuls Voyons maintenant plus pr cis ment sur quelques exemples de logiciels de cal cul formel r pandus quelles structures de donn es sont utilis es Plusieurs l ments entrent en compte dans les choix faits 1 Certains syst mes de calcul formel calculatrices par exemple utilisent d ailleurs des m thodes sp cifiques pour g rer le probl me de la fragmentation de la m moire appel s garbage col lector Ce type de m thode est int gr dans des langages comme Lisp ou Java en C C on trouve des libraries pour cela par exemple GC de Boehm incluse dans la distribution de GCC 24 le s profil s d utilisation enseignement ing ni rie calcul intensif recherche les ressources disponibles m moire puissance du processeur la facilit d impl mentation choix du langage outils disponibles en particu lier d buggueurs l histoire du syst me un syst me con u avec les outils disponibles aujour d hui est forc ment diff rent d un syst me con u il y a 20 ans Voyons quelques exemples d abord Giac puis des syst mes pour ordinateur o les ressources par exemple m moire sont moins limit es ce qui permet d utiliser des langages de programmation de plus haut niveau On termine par les calculatrices formelles HP et TI des ann es 20007 Ce sont des syst mes plut t destin s l en seignement soumis de fortes contraintes en terme
209. basis and the reconstructed basis s polys must reduce to 0 this is done on Q either directly or by modular reconstruction for the deterministic algorithm or checked modulo several primes for the probabilistic algorithm On success output the Q Groebner basis otherwise continue with next prime at step 3 Benchmarks Comparison of giac 1 1 0 26 with Singular 3 1 from sage 5 10 on Mac OS X 6 Dual Core 15 2 3Ghz RAM 2 2Go Mod timings were computed modulo nextprime 2724 and modulo 1073741827 nexprime 2 30 Probabilistic check on Q depends linearly on log of precision two timings are reported one with error probability less than 1e 7 and the second one for 1e 16 Check on Q in giac can be done with integer or modular computations hence two times are reported gt gt means timeout 3 4h or more or memory exhausted Katsura12 modular le 16 check with giac or test not done because it would obviously timeout e g Cyclic8 or 9 on Q with Singular giac mod p giac singular giac Q prob giac Q singular 24 31 bits run2 mod p le 7 1e 16 certified Q Cyclic7 0 5 0 58 0 1 2 0 3 5 4 2 21 29 3 gt 2700 Cyclic8 7 2 8 9 1 8 52 5 103 106 258 679 Cyclic9 633 1340 200 1 day Kat8 0 063 0 074 0 009 0 2 0 33 0 53 6 55 4 35 4 9 Kat9 0 29 0 39 0 05 1 37 2 1 3 2 54 36 41 Kat10 1 53 2 27 0 3 11 65 14 20 7 441 335 480 Kat11 10 4 13 8 2 8 86 8 170 210 4610 Kat12 76 103 27 885
210. ble par exemple 64 bits au lieu de 53 et une table contenant des constantes dont In 2 avec cette pr cision le calcul de e par cette m thode entraine donc seulement une erreur relative d arrondi au plus proche sur le r sultat converti en double donc de 2793 Notons que en g n ral x lui m me a d ja t arrondi ou n est connu qu avec une pr cision relative Or si x gt 0 est connu avec une erreur relative de e donc une erreur absolue de x alors et tela elx eve donc on ne peut pas esp rer mieux qu une erreur relative de ef lel 1 sur Pexpo nentielle de x Si ex est petit cette erreur relative impossible a viter quel que soit l algorithme utilis pour calculer l exponentielle est d ordre e x Si ex est grand alors l erreur relative devient de l ordre de 1 et la valeur de l exponentielle 249 calcul e peut tre tr s loign e de la valeur r elle Notons que pour les double il y aura dans ce cas d bordement soit vers l infini soit vers O par exemple si x est sup rieur 709 l exponentielle renvoie infini Exercice refaire les m mes calculs pour les fonction sinus ou cosinus On utilise par exemple sin x 7 sin x sin x sin x sin x cos T 2 x pour se ramener au calcul de sin x ou de cos x sur 0 7 4 co g Pe ks sin x XV Gni Dr cos x XV 2n Cette m thode a toutefois ces limites car il peut devenir impraticable de calcu le
211. cHiern X zj 154 donc L est un facteur de P De plus L est un polyn me en Xj X _1 X coef ficients rationnels par construction Ceci vient en contradiction avec l hypoth se P irr ductible car on a construit un facteur de P coefficients rationnels L de degr strictement inf rieur Corollaire Pour z assez grand la reconstruction z adique de c z p z est un polyn me dont la partie primitive est un facteur irr ductible de P Preuve du corollaire On prend z assez grand pour que tous les facteurs irr ductibles de P valu s en z aient un seul facteur polynomial i e soient de la forme d z p z Quitte augmenter z on peut supposer que z gt 2C L o C est la majoration de c z et Lest la borne de Landau sur les facteurs de P Alors la reconstruction z adique de c z p z est c z d z P donc sa partie primitive est un facteur irr ductible de P Algorithme de factorisation heuristique plusieurs variables Argument un polyn me P primitif en au moins 2 variables Valeur renvoy e les facteurs irr ductibles de P Choisir la variable X par rapport laquelle P est de plus bas degr puis factoriser le contenu de P vu comme polyn me coefficients dans Z X Initialiser un entier z 2 P 2 o P est le plus grand coefficient entier de P en valeur absolue et une liste L la factorisation de du contenu de P Boucle ind finie Si P 1 renvoyer la liste L des facteurs de P Tant qu
212. carr es repr sent e de mani re interne par le type programme Il y a un type sp cifique pr vu 3 un quartet un demi octet 26 pour les flottants en pr cision arbitraire mais l impl mentation des op rations sur ces types n a pas t int gr e en ROM 4 ce jour Les types listes programmes et objet symbolique sont compos s du prologue champ type suivi par la succession d objets situ s en m moire vive ou de poin teurs sur des objets situ s en m moire en lecture seule ROM et se terminent par un pointeur sur une adresse fixe appel e SEMI Ces types sont eux m mes des objets et peuvent donc tre utilis s de mani re r cursive La longueur des types listes programmes symboliques n est stock e nulle part c est le d limiteur final qui permet de la conna tre ce qui est parfois source d inefficacit On utilise de ma ni re interne les listes pour repr senter les polyn mes denses avec repr sentation r cursive pour les polyn mes plusieurs variables Les calculatrices HP4xG utilisent une pile c est dire une liste de taille non fix e d objets On place les objets sur la pile l ex cution d une fonction prend ces arguments sur la pile et renvoie un ou plusieurs r sultats sur la pile ce qui est une souplesse du RPN compar aux langages o on ne peut renvoyer qu une valeur de retour Il faut donc donner les arguments avant d appeler la fonction correspondante Par exemple pour c
213. ce lorsque a gt b gt 0 On va commencer par estimer le nombre d it rations n cessaires pour que Un et Up soient du m me ordre de grandeur Pour cela on utilise la majoration ln un 1 In un 1 lt ln un In un 1 5 lun ln vn donc 1 1 Un ye _ lt pm My In I un In va lt z mfa In b 55 Ing 1 Un Donc sin gt alors In 7 lt m par exemple on peut prendre m 0 1 In 2 pour avoir Un Un L i e0 1 Le nombre minimum d it rations no est proportion nel au log du log du rapport a b Ensuite on est ramen tudier la convergence de la suite arithm tico g om trique de premiers termes a Un et b Vno et m me en tenant compte de M a b aM 1 b a a 1 et b v u donc 0 lt a b lt 1 e 1 Alors l quation 66 entraine 1 Un 1 Uny1 lt a un Un puis par r currence 1 n 0 lt Un Un lt grat a by Donc comme M a b est compris entre Vn et un l erreur relative sur la limite commune est inf rieure une pr cision donn e e au bout d un nombre d it rations proportionnel au In In 1 e 275 Typiquement dans la suite on souhaitera calculer M 1 b avec b de l ordre de 27 en d terminant n chiffres significatifs il faudra alors O In n it rations pour se ramener M 1 b avec b e 1 1 puis O In n it rations pour avoir la limite avec n chiffres significatifs Le cas complexe On suppose maintenant que
214. ce que f est croissante Variantes Il existe des variantes par exemple si f r lt 0 et f gt 0 sur a r Si f lt 0 on consid re g f Application On peut calculer la valeur approch e de la racine k i me d un r el a gt 0 en appliquant ce deuxi me th or me En effet si a gt 0 alors z a est 2 fois continument d rivable et de d riv e premi re kx et seconde k k 1 a strictement positives sur Rt car k gt 2 Il suffit donc de prendre une valeur de d part uy plus grande que la racine k i me par exemple 1 a k en effet 1 a k gt 1 ka k 1 a En appliquant l in galit du th or me on a uk a k k uk a uk a 1 ka va ka 1 5 0 lt un Ya lt k k kila Pour avoir une valeur approch e de a e pr s on peut donc choisir comme test d arr t k ka Un as T a M Par exemple pour v2 le test d arr t serait u 2 lt 2e 19 5 La m thode de Newton dans R Le premier nonc du cas de la dimension 1 se g n ralise en Th or me 42 Soit f une fonction de classe C 2 fois continument d rivable sur un ferm I de R Soit r une racine simple de f situ e l int rieur de I telle que f r 0er f r 3 fi r inversible Alors il existe e gt 0 tel que la suite d finie par Un 1 Un S Un fun uot Se 197 converge vers T Siona f lt M et f lt m sur une boule
215. centre d inertie en x en y c est identique on doit calculer 1 1 f 1 J x day 50 ay 0 5 f cos t cos t dt 0 5 7 2 e 3 et on divise par 7 4 l aire du quart de cercle on trouve donc 32 37 on peut vi sualiser avec la commande cercle 0 1 G point 4 3 pi 4 3 pi 12 Equations et syst mes diff rentiels 12 1 Introduction et repr sentation graphique On s int resse a l quation diff rentielle y dy Hour f y t 16 107 o y R et f R x R gt R Sin 1 c est une quation diff rentielle si n gt 1c est un syst me diff rentiel Exemple en dimension n 1 y f y t ay On sait r soudre cette quation les solutions sont de la forme y t Ce Si on trace la courbe repr sentative de ces solutions appel e courbe int grale on observe que par tout point du plan il passe une solution unique La tangente une courbe int grale a pour pente y ay donc pour vecteur directeur le vecteur de composantes 1 ay C est vrai de mani re plus g n rale le vecteur directeur de la tangente une courbe int grale est 1 f y t Si on repr sente dans le plan selon un quadrillage r gulier les vecteurs 1 f y t une courbe int grale doit tre tangente ces vec teurs chaque fois qu elle passe en un point du quadrillage et peu pr s tangente si elle passe 4 proximit Un tel quadrillage est appel champ des tangentes com mande plotfield en
216. ciels de calcul formel 12 4 Comportement asymptotique des solutions Les quations de la physique sont souvent des quations autonomes sans se cond membre pas de d pendance explicite en temps ou avec un second membre qui est le seul terme de l quation d pendant du temps il s agit d un for age ex t rieur Dans le premier cas les solutions doivent rester born es par exemple en nergie donc ne peuvent pas tendre vers l infini Dans le second cas une question naturelle est alors la suivante le syst me atteint il un quilibre peut on d compo ser la solution en deux parties un r gime permanent et un r gime transitoire On a d j fait une tude de comportement asymptotique pour l quation y y 1 y la solution y 0 se comporte comme un point d quilibre instable si on en d vie m me l g rement on s en loigne d finitivement alors que y 1 se comporte comme un point d quilibre stable Nous allons g n raliser cette tude pour les quations lin aires coefficients constants avec ou sans second membre perturbation d pendant du temps les quations autonomes sans second membre et dans le cas de syst mes diff rentiels lin aires coefficients constants 116 124 1 Equations lin aires coefficients constants d ordre 1 et 2 Pour les quations homog nes d ordre 1 y ay 0 la solution g n rale est y t Ce le comportement asymptotique lorsque 00 d pen
217. cient dominant B de B plus pr ci s ment par BEH ce qui permet d effectuer la division par B sans que les coefficients sortent de l anneau BIHA S BOTER On utilise cette m thode lorsqu on peut multiplier les polyn mes par des constantes sans changer le probl me par exemple pour algorithme d Eu clide Lalgorithme d Euclide est un algorithme g n rique de calcul de PGCD Il n est en g n ral pas utilis tel quel Pour les entiers on utilise une variation adapt e la repr sentation binaire des entiers cf Cohen ou le manuel de GMP version 4 pour plus de d tails Nous d crirons des algorithmes de PGCD plus efficaces pour les polyn mes dans le prochain article identit de B zout aussi appel e PGCD tendu tant donn deux entiers ou deux polyn mes a et b on calcule u v et d tels que au bv d On crit la matrice a 1 0 b 0 1 o on remarque que pour chaque ligne le coefficient de la 1 re colonne est gal a multipli par le coefficient de la 2 me colonne additionn b mul tipli par le coefficient de la 3 me colonne Ce qui reste vrai si on effec tue des combinaisons lin aires de lignes type r duction de Gau Comme on travaille dans les entiers ou les polyn mes on remplace la r duction de Gau des matrices coefficients r els par une combinaison lin aire utilisant le quotient euclidien entier ou polynomial selon le cas q de a par b On obtient alors le r
218. coef n pcara lmat j n ncols A Id idn n matrice identite Aj Id lmat B initialise a liste vide pcara 1 coefficient de plus grand degre de P 218 for j from 1 to n do lmat append lmat Aj rajoute Aj a la liste de matrices AAJ AJxA coef trace AAj j pcara append pcara coef rajoute coef au pol caract Aj AAj coef Id end_for return lmat pcara resultat hi 20 7 5 Les vecteurs propres simples On suppose ici qu on peut factoriser le polyn me caract ristique ou calculer dans une extension alg brique d un corps Lorsqu on a une valeur propre simple Ao en crivant la relation A A01 B A0 P A0 1 0 on voit que les vecteurs colonnes de la matrice B Ag sont vecteurs propres Remarquer que B Ao 4 0 sinon on pourrait factoriser Ay dans B A et apres simplifications on aurait B P A Aol do Ao L A dol 0 300 or le 2 me membre est inversible en Ag ce qui n est pas le cas du premier Pour avoir une base des vecteurs propres associ s Ag on calcule B Ao par la m thode de Horner appliqu e au polyn me B A en Ag et on r duit en colonnes la matrice obtenue 20 7 6 La forme normale de Jordan Pour les valeurs propres de multiplicit plus grande que 1 on souhaiterait g n raliser la m thode ci dessus pour obtenir une base de l espace caract ristique sous forme de cycles de Jordan Soit n les v
219. comp titif Ma d cision d abandonner le d veloppement sur HP49 40 fut alors la cons quence d une part de la mise en retrait de HP du march d autre part de la modification de l preuve d option de l agr gation de maths qui devenait un oral de mod lisation avec utilisation de logi ciels l poque seuls les logiciels propri taires leaders du march taient auto ris s Maple et Mathematica pour ne pas les nommer il n y avait pas un seul logi ciel libre de calcul formel et cela m avait beaucoup choqu Au d but j argumentais pour l ajout de Mupad qui tait sinon libre au moins gratuit Mupad n existe plus isol ment aujourd hui Quelques ann es plus tard Maxima et d autres logiciels libres ont t rajout s la liste des logiciels mais sans connaitre beaucoup de suc c s parmi les candidats Au lancement du projet Giac Xcas en 2000 j avais comme objectif que Xcas soit un jour int gr dans la liste des logiciels de oral de mod lisation ce fut le cas en 2005 mais les premiers candidats l utiliser ne ont fait que vers 2007 ou 2008 A 2 L enfance d Xcas 2000 2006 L ann e 2000 marque sans doute un tournant dans ma carri re je viens d ache ver l ann e de d l gation pour mettre au point la HP49 et le travail se poursuit pour sortir la HP40 a la rentr e scolaire Le tandem se met en place avec Ren e qui r dige le manuel de calcul formel de la HP4
220. conique 91 101 constante de Lebesgue 244 contenu 41 continue fraction 35 contractante 190 convexe 88 196 corps fini 129 correction d erreur 133 cos 250 courbe implicite 101 courbure 98 courbure rayon 97 crible 138 crible quadratique 140 curviligne int grale 104 cyclique l ment 130 cycloide 96 129 d normalis 15 d terminant 201 d terministe 31 d velopp e 98 d veloppement asymptotique 258 d terminant modulaire 201 ddf distinct degree factorization 144 DFT 262 diff rences divis es 242 diff rentielle 102 diff rentielle forme 103 discriminant 60 distance d un code 133 distance de Hamming 133 divis es diff rences 242 diviseur l mentaire 208 division euclidienne 13 double 16 Durand Kerner Weierstrass 199 Ei 258 ellipse 92 270 elliptique int grale 277 enveloppe 98 erf 255 erreur 17 18 209 erreur absolue 18 erreur relative 19 erreur fonction 255 Euler constante 259 Euler m thode d 122 Euler Mac Laurin 185 Euler spirale 99 Euler Lagrange 126 evaluation 21 exacte forme diff rentielle 105 excentricit 268 exp 248 exponentielle 248 exponentielle int grale 258 exposant 16 extension alg brique 157 extension alg brique 26 83 156 facteurs invariants 208 factorisation 138 198 factorisation absolue 157 factorisation alg brique 156 factorisation de Cholesky 212 factor
221. connait une solution w d une quation lin aire alors en posant y wz la fonction z v rifie une quation lin aire d ordre un de moins ainsi si on connait une solution d une quation lin aire d ordre 2 on peut la r soudre compl tement Le calcul d une solution particuli re d une quation lin aire avec second membre se fait en faisant varier les constantes d int gration on prend la forme g n rale de la solution de l quation homog ne on remplace les constantes d int gration par des fonctions inconnues on remplace dans l quation avec second membre et on r soud en les fonctions inconnues La solution g n rale est la somme d une solu tion particuli re et de la solution g n rale de l quation sans second membre Exemple y ty t solution g n rale de l quation homog ne y t Cet 2 variation de la constante on remplace alt 0 t et 2 dans y ty t et on obtient C e 2 t donc C te et C e024 K d o la solution g n rale y t 74 24 Kye 1 Kef 2 123 3 Equations lin aires coefficients constants On peut chercher des solutions de l quation sans second membre sous la forme d exponentielles e r doit alors v rifier une quation polynomiale P r 0 ap pel e quation caract ristique de degr le degr de l quation diff rentielle Plus 111 pr cis ment si on remplace e dans any ay aoy 0 alors anr
222. cul de composition des polyn mes si f 0 0 On peut enfin d river et int grer une s rie enti re terme terme dans son rayon de convergence On dit qu une fonction est d veloppable en s rie enti re en 0 si elle est gale son d veloppement de Taylor en 0 somm jusqu en l infini dans un disque de centre O et de rayon non nul Les fonctions exponentielle sinus cosinus sont donc d veloppables en s rie enti re en 0 La fonction tangente galement car le d nomi nateur cosinus est non nul en 0 mais son rayon de convergence n est pas linfini et le calcul des a est assez complexe La fonction 1 x est d veloppable en s ries enti res pour tout a R avec un rayon de convergence 1 ou linfini pour a entier positif 1 1 a 1 Ine as GO An ln 4 2 n Pour a 1 c est la s rie g om trique de raison x en effet si x lt 1 k 1 x k 1 1 X a ss l zx 1 2 n 0 En int grant par rapport x on obtient que In 1 x est d veloppable en s rie enti re en O de rayon de convergence 1 et ce q yn tl n 0 On peut calculer de mani re analogue le d veloppement en s rie enti re de arctan x en iint grant celui de 1 1 x de m me pour arccos x et arcsin r en int grant celui de 1 x 1 2 28 gent arctan x A n 0 251 On peut donc calculer In arctan par ces formules mais il faut r pondre la question o arr te t on la somme pour obten
223. d 45 Il nous manque une relation entre les pz et Bz pour pouvoir faire le calcul par valeurs d croissantes de k on va montrer le 217 Th or me 44 La d riv e du polyn me caract ristique P A est gale la trace de la matrice adjointe de AI A tr B P A Le th or me nous donne tr Bg k 1 pk 1 Si on prend la trace de 45 on a tr Bn 1 NPn k 1 px41 tr ABk 1 NPr 1 donc on calcule p en fonction de By 1 puis By tr ABr 1 _ B AB I kion k 1 Pk 1 Pk 1 D monstration du th or me Soient V A Vn A les vecteurs colonnes de AJ A et b les coefficients de B on a P o det Vi A V2 Val is det V Ao ValMo a Vn Ao det Vi Ao V3 Ao Vn A0 det Vi Ao Va Ao V A0 Il suffit alors de remarquer que V Ag est le i i me vecteur de la base canonique donc det Vi Ao ValAo Pere Vi Ao Va lAo bi i Ao Finalement P o D bi i Ao tr B Ao i 1 Remarque En r indexant les coefficients de P et B de la mani re suivante P A XA pA por pn B A NON a Bos on a montr que A pi t A Bi A1 p A2 AB p2 3tr A9 By A2 pol Ay ABy_1 Pr tr Ag Bp Ap phl On peut alors v rifier que Bn An pnl 0 D o ce petit programme Faddeev A renvoie la liste des matrices B et le polynome P local AJ AAJ Id
224. d du signe de a si a gt 0 la limite est O et la solution d croit exponentiellement vite Donc si a gt 0 quelle que soit la condition initiale toutes les solutions de l quation avec second membre y ay f t ont le m me comportement asymptotique celui d une solution particuli re de l quation on a donc un r gime transitoire exponentiellement d croissant et un r gime permanent Pour les quations homog nes d ordre 2 ay by cy 0 la solution g n rale est y t Ae Be si r et ra sont les deux racines simples de ar br c 0 ou y t e A Bt si l quation caract ristique admet une racine double Le comportement l infini d pend du signe de la partie r elle de r et r2 Il faut que les deux parties r elles soient strictement n gatives pour que la solution tende vers 0 vitesse exponentielle si l une au moins des parties r elles est positive ou nulle alors il n y a pas convergence vers 0 Plus pr cis ment Si A b 4ac lt 0 il y a deux racines complexes conjugu es dis tinctes de partie r elle b 2a donc la solution d croit exponentiellement vers O si b a gt 0 comme e4 2a t avec des oscillations p riodiques en eiv A 2a t de p riode T 4ra A r gime oscillatoire amorti enve lopp par e 2a Si b 0 la solution ne tend pas vers 0 reste de taille born e elle est p riodique de p riode T 41a y A r gime oscillatoire Si A b 4ac
225. dante du temps ramenant le syst me un syst me diagonal ou triangulaire e E Ou si f A t dt commute avec A on t 1 t peut prendre exp f A t comme solution un exemple avec A 12 3 5 Int grales premi res Lorsqu on ne sait pas r soudre explicitement une quation ou un syst me dif f rentiel il peut arriver qu on connaisse une ou des constantes du mouvement en cin matique appel es aussi int grales premi res C est le cas par exemple de l nergie totale m canique plus cin tique pour des forces conservatives En dimension un la connaissance de l int grale premi re nergie totale permet de ramener l quation fondamentale de la dynamique d ordre 2 une quation du premier ordre variables s parables ma V x C En dimension plus grande cela peut permettre de connaitre la forme de la courbe int grale et m me parfois de r soudre compl tement l quation cas du probl me deux corps ci dessous Autre exemple la d couverte d un facteur int grant pour la forme diff rentielle Mdx N dy donne une int grale premi re pour l quation dy dx M N en effet p Mdx Ndy dV x y est nul sur une courbe int grale donc V x y est constant les courbes int grales sont donc les courbes de niveau de V x y Une quation variables s parables est un cas particulier avec M ne d pendant que de x et N de y Pour un syst me autonome F est une int grale premi re si grad
226. de F doit diviser k en effet on crit l idendit de B zout pour degr de F et k on a alors udeg F vk pgcd deg F k on change de membre les signes pour n avoir que des entiers positifs on prend X pgeda deg O puissance p la puissance des deux membres on en d duit que Y Y mod F donc degr de F divise k sinon il y a trop de solutions l quation ci dessus dans le corps Donc Py est gal au pgcd de P Il 4P avec O Algorithme distinct degree factorization Argument un polyn me P coefficients entiers sans facteur multiple et primitif Valeur renvoy e la liste L des produits des facteurs irr ductibles et du degr cor respondant de P ordonn par ordre croissant de degr 144 On commence par initialiser L vide et un polyn me auxiliaire Q X il contien dra les valeurs de XP X mod P on fait une boucle ind finie sur k commen cant 1 et incr ment de 1 chaque it ration Sik est strictement plus grand que le degr de P divis par 2 on rajoute le couple P degre P L et on renvoie L On remplace Q par Q mod P en utilisant le calcul de y modulo P On calcule le pgcd G de Q X et de P SiG vaut 1 on passe a l it ration suivante On rajoute le couple G k la liste L et on remplace P par le quotient de P par G Exemple Factorisation en degr distincts de X3 X 1 X X 1 dans Z 5Z On regarde d abord si P reste sa
227. de chiffres On pourra tester le temps de calcul du produit de a a 1 o a 10000 a 15000 etc M me question pour des poly n mes en une variable g n rer par exemple avec symb2poly randpoly n ou avec poly1 op ranm 2 Comparer le temps de calcul de a mod m par la fonction powmod et la m thode prendre le reste modulo m apr s avoir calcul a Programmez la m thode rapide et la m thode lente Refaites la comparaison Pour la m thode rapide programmer aussi la version it rative utilisant la d composition en base 2 de l exposant on stocke dans une variable locale b les puissances successives a mod m a mod m a2 mod m on forme a mod n en prenant le produit modulo m de ces puissances successives lorsque le bit correspondant est a 1 ce qui se d tecte par le reste de divisions euclidiennes sucessives par 2 le calcul de b et du bit correspon dant se font dans une m me boucle 3 D terminer un entier c tel que c 1 mod 3 c 3 mod 5 c 5 mod 7 etc 2 mod 11 4 Calculez dans Z 11Z 10 4 a 0 5 Algorithmes fondementaux crire des programmes impl mentant a le pged de 2 entiers b l algorithme de B zout 38 10 11 12 13 14 c l inverse modulaire en ne calculant que ce qui est n cessaire dans l al gorithme de B zout d les restes chinois Construire un corps fini de cardinal 128 GF puis factoriser
228. de degr n l aide de la formule x x p irr ductible unitaire deg P divise n P Trouver un l ment cyclique se fait aussi au hasard rand g en Xcas si g est le g n rateur d un corps fini la probabilit se calcule l aide de l indicatrice d Euler de p 1 D terminer le polynome minimal d un l ment est alors un probl me d alg bre lin aire il se r soud en calculant le noyau de la matrice dont les colonnes sont les coefficients des puissances de l l ment instruction pmin en Xcas La repr sentation additive est pratique pour additionner ou soustraire des l ments de K multiplier n cessite de faire une division euclidienne par P et prendre le reste inverser n cessite de faire une identit de B zout avec P Il existe une repr sentation alternative dite multiplicative on repr sente alors un l ment g de K par la puissance k 0 p 2 du g n rateur g et on repr sente Ox par 1 ou par p 1 Mais l addition est alors difficile sauf si on dispose d une table passant de la repr sentation additive la repr sentation multiplicative 14 2 2 Corps de petit cardinal cas de la caract ristique 2 Si le cardinal du corps n est pas trop grand par exemple moins que quelques milliers il est int ressant de construire une table de passage entre repr sentation additive et multiplicative c est dire une permutation de 0 p 1 si on utilise des entiers pour la r
229. de facteurs et donc la complexit exponentielle Lorsque les combinaisons d un petit nombre de facteurs par exemple 3 chouent les syst mes r cents utilisent l algorithme knapsack de Van Hoeij bas sur l algorithme LLL recherche de base d un r seau ayant des vecteurs de petite norme qui permet d eliminer compl te ment cette complexit exponentielle Exemple Toujours le m me exemple il nous restait deux facteurs dans Z 125Z le facteur x x 1 ayant t d tect comme un facteur de P z x5 z3 x 1 dans Z On teste chacun des facteurs a2 x 37 et c2 x 37x 6 x x 27 s par ment sans succ s On les multiplie alors modulo 125 ce qui donne z4 x 1 en repr sentation sym trique qui est bien un facteur de P donc un facteur irr ductible 16 3 Factorisation plusieurs variables Comme pour le PGCD en plusieurs variables on se ram ne d abord en une variable en g n ral on value toutes les variables sauf celle correspondant au de gr partiel le plus faible On factorise ensuite en une variable puis on remonte A chaque tape de remont e il peut tre nouveau n cessaire de combiner plusieurs facteurs Diff rentes strat gies existent comme pour le PGCD factorisarion heu ristique avec reconstruction z adique remont e variable par variable ou toutes les variables en m me temps comme dans EZGCD On va pr senter ici plus en d tails l algorithme de factorisation
230. de la d riv e n 1 i me sur l intervalle mais aussi de la disposition des points x par rapport a x Par exemple si les points x sont quidistribu s le terme I x x sera plus grand pr s du bord de J qu au centre de J Preuve du th or me Si x est l un des x l galit est vraie Soit C f x P x x zj 0 J on consid re maintenant la fonction n g t f t P t C z j 0 elle s annule en x pour j variant de 0 n ainsi qu en x suite au choix de la constante C donc g s annule au moins n 2 fois sur l intervalle contenant les x et x donc g s annule au moins n 1 fois sur ce m me intervalle donc g s annule au moins n fois etc et finalement g s annule une fois au moins sur cet intervalle Or gt tH fret _ O n 1 vs Use fe Z gt n n 1 car P est de degr inf rieur ou gal n et _y x zj x est de degr inf rieur ou gal n Donc il existe bien un r el dans l intervalle contenant les x et x tel que _ flere a n 1 21 1 3 Calcul efficace du polyn me de Lagrange Avec la m thode de calcul pr c dent on remarque que le polyn me de La grange peut s crire la Horner sous la forme Ple ag a z z0 An x Lo 1 Lnp 1 ao x 20 a1 x 41 QQ Ln 2 J 0 1 Lp 1 0n 242 ce qui permet de le calculer rapidem
231. degr k en calculant le pgcd de P et de X X dans Z pZ X Pour k 1 XP X est le produit des X k pour tout k Z pZ par le petit th or me de Fermat k k mod p donc le pgcd de P et de X P X dans Z pZ X est le produit des facteurs de P de degr 1 Pour k gt 1 le raisonnement se g n ralise de la mani re suivante on consi d re un facteur irr ductible F X de P de degr k et le corps K Z pZ Y mod F Y Le corps K est un corps fini c est aussi un espace vectoriel sur Z pZ de dimension k donc K poss de p l ments et K est un groupe multipli catif p 1 l ments donc tout l ment de K v rifie l quation aP 1 1 donc tout l ment de K v rifie x x En particulier pour x Y mod F Y on trouve que Y Y mod F Y donc F X divise X X dans Z pZ R ciproquement si on se donne un facteur irr ductible F qui divise X Da soit K le corps correspondant F alors le noyau de l application lin aire k reKox rekK est K tout entier car Y Y mod F entraine Y2 0 YP yr Y mod F et de m me pour les autres puissances de Y qui avec Y 1 ga lement dans le noyau forment une base de l espace vectoriel K sur Z pZ Donc le nombre d l ments de K est inf rieur ou gal au degr du polyn me X FX puisque X 2 X est divisible par X x pour tout x K donc le degr de F est inf rieur ou gal k En fait le degr
232. degre G gt degre D Sinon n est un nombre pre mier malchanceux pour ce calcul de pgcd degre G gt degre D il faut essayer un autre premier Remarque On serait tent de dire que les coefficients de D sont born s par le plus grand coefficient de P C est malheureusement faux par exemple X 1 dont le plus grand coefficient est 2 divise X 1 X 1 dont le plus grand coefficient en valeur absolue est 1 Soit P Y p X un polyn me coefficients entiers On utilise la norme euclidienne IP gt lp 5 On tablit d abord une majoration du produit des racines de norme sup rieure a 1 de P l aide de P Ensuite si D est un diviseur de P le coefficient dominant d de D divise le coefficient dominant p de P et les racines de D sont aussi des racines de P On pourra donc d terminer une majoration des polyn mes sym triques des racines de D et donc des coefficients de D Lemme 7 Soit A Der a X un polyn me et a C Alors X a A X 1 4 Pour prouver le lemme 7 on d veloppe les produits de polyn mes On pose 4 1 Ga 1 0 et on note la partie r elle a 1 a l X a Al 2 es 1 adj X laj alla 2R a _1aa j 0 a l a l EA 2 me ae GX 1 Al faa 1 aj axl aja ajl 28 aj_145 Les deux donnent bien le m me r sultat Soit P X p X ay la factorisation de P sur C On introduit le poly n me p II lt X aj
233. derni res lignes donc avec des coefficients de B le degr total est n g 1 Le degr total du produit vaut donc a b b m a an 0 i b m a an mn m a n b i 1 il est donc au plus mn avec galit si m a ou n b c est dire si le degr total est identique au degr partiel en x pour au moins un des deux polyn mes Lorsqu on enl ve la variable d homog n isation en posant t 1 on peut galement perdre un ou plusieurs degr s Dans le cas de polyn mes en 2 variables A x y B x y cela correspond un point d intersection l infini entre les 2 courbes A x y B x y 0 en coordonn es homog nes on a t 0 qui est solution et on remplace t par 0 dans A x y t B x y t 0 pour trouver la direction Exemple tir d un TP de Fr d ric Han intersection des 2 courbes x y 4 et y x 3 x x 16 On a donc A zy 4 B y x 3 2 16 m 2 n 3 on d finit alors A xxy 4t 2 B y 2x t x 3t x x 2 16t 2 On observe que resultant A B x est bien de degr 6 carn b 3 alors que resultant A B y est de degr 5 m 4 a n b On a donc 5 points d intersection complexes et un point d intersection l infini correspondant la racine t 0 du r sultant en x de coordonn es homog nes x y t 0 1 0 Illustration solve subst resultant A B y t 1 implicitplot subst A t 1 implicitplot subst B t 1 Plus g
234. des l ments de Ti ou non S il l est on le rajoute la tour 7 s il ne l est pas alors dans le cas d un loga rithme il est l mentaire et dans le cas d une exponentielle une de ses puissances est l mentaire Donc F est bien une fraction rationnelle par rapport aux l ments logarithmiques de T aux racines n i me des l ments exponentiels de T et des l ments de T gt dans cet ordre le corps des constantes tant K Premi re tape Commen ons par les l ments restant de 72 Soit Xy l l ment au sommet de la tour T La d riv e f de F par rapport Xy ne d pend pas de Xy Donc soit F ne d pend pas de Xy et on passe la variable suivante soit Xy In vz est un logarithme et F cz In v dy avec cg K et vz et dy ind pendants de Xy S iln y a pas d autres l ments restants de 72 on passe la 2 me tape Sinon soit Xy 1 la variable suivante juste en dessous de X dans la tour En d rivant on a Pog tie Uk Supposons que vz d pende de X _1 on fait alors un raisonnement analogue celui de la preuve du th or me de structure de Risch en d composant vz en pro duit quotient de facteurs sans multiplicit s vx P et en crivant dg N D ona ND ND Nt eo D2 j est un polyn me en X _ 1 On en d duit comme pr c demment que D 1 N d est ind pendant de X _ Comme on a suppos que vz d pend de X _1 Xy 1 exp Yz 1 est alors une expo
235. dominants de P et Q D divise le pgcd G de P et Q dans Z nZ par convention le pgcd dans Z nZ est normalis pour que son coefficient dominant vaille 1 Comme on calcule G dans Z nZ les coefficients des restes interm diaires de l algorithme d Euclide sont born s on vite ainsi la croissance exponentielle des coefficients Il faudra ensuite reconstruire D partir de G 47 On remarque d abord que si on trouve G 1 alors P et Q sont premiers entre eux En g n ral on peut seulement dire que le degr de G est sup rieur ou gal au degr de D En fait le degr de G est gal au degr de D lorsque les restes de l algorithme d Euclide calcul en effectuant des pseudo divisions cf l exercice 1 ont leur coefficient dominant non divisible par n Donc plus n est grand plus la probabilit est grande de trouver G du bon degr Dans la suite nous allons d terminer une borne b priori majorant les coeffi cients de D On utilisera ensuite la m me m thode que dans l algorithme modulaire de recherche de racines videntes on multiplie G dans Z nZ par le pgcd dans Z des coefficients dominants p et q de P et Q Soit D pgcd p q G le r sultat crit en repr sentation sym trique Si n gt bpgcd p q et si G est du bon degr on montre de la m me mani re que D D Comme on ne connait pas le degr de D on est oblig de tester si D divise P et Q Si c est le cas alors D divise D donc D D puisque degre D
236. dre de X In Y On en d duit que pour j gt k 1 ona A 0 et Az 1 est constant En fait la valeur constante de Az sera d termin e par une condition de compatibilit en r solvant I quation au rang du dessous On continue la r solution de Al J 1 Aj Y a par valeur d croissante de j chaque rang on va d terminer A une constante pr s en r solvant un probl me d int gration par appel r cursif de l algorithme de Risch mais si 7 4 0 sans autoriser l ajout de nouveaux logarithmes sauf In Y et la valeur de la constante de A 1 on fait varier Aj de la constante n cessaire pour absorber le terme en In Y qui apparait lors de l appel r cursif de Risch Au rang 0 on est ramen a un probl me d int gration avec une variable de moins la constante ind termin e dans A peut par exemple tre choisie comme le coefficient constant de ln Y s il en apparait un en int grant 172 Exemple X ln z 1 et on cherche Vint grale de X On a donc Az est constant 2 343 In 2 1 1 La primitive de 1 est l mentaire et ne fait pas intervenir de In donc 43 0 et Ap x Co Au rang 1 ona 30 Cz In x 1 0 On calcule la primitive de 6x x 1 qui doit tre une fraction rationnelle un Cln x 1 pr s on voit que ce n est pas le cas donc X n admet pas de primitive l mentaire Remarque si on avait voulu int grer X au lieu de X la m me m thode montre que la primitive
237. dy gt i dy _Infy r fy Fry f r d o le r sultat pour une justification plus rigoureuse il faut appliquer le th or me des fonctions implicites pour d terminer y et v rifier que o 1 s int gre 1 o 1 dy 14 o 1 f dt t K Th or me 24 On consid re l quation diff rentielle y f y o f est continu ment d rivable et a des racines r elles class es par ordre croissant rk Si la condition initiale y to est situ e entre deux racines la solution est monotone entre ces deux racines et tend vers une des racines lorsque t gt 00 Si y to est situ au del de la derni re racine ou en dec de la premi re racine si elles existent la solution est monotone et tend vers cette racine lorsque t ou diverge en temps fini ou infini Si f rk lt 0 la solution y rx est appel e quilibre stable pour toute condition initiale situ entre rz_1 et rx la solution tend vers rx lorsque t 00 et la convergence se fait vitesse exponentielle comme Ce reJt 1 0 1 Exemple pour l quation logistique y y 1 y f r r l r r r f r 1 2r il y a deux quilibres ro O et r 1 avec f ro 1 gt 0 et f r1 1 lt 0 donc un quilibre stable en 1 et un quilibre instable en 0 12 44 Syst mes lin aires Cas lin aire L volution du syst me est gouvern e par les valeurs propres de la matrice A du syst me exactement comme pour les
238. e geometrie caustique Les d velopp es peuvent aussi servir dans le calcul de caustiques par r fraction http www mathcurve com courbes2d c On peut faire une tude analogue pour une courbe dans l espace dans ce cas la d riv e de N par rapport l abscisse curviligne s fait intervenir une composante sur le troisi me vecteur du rep re direct TAN B comme binormal appel torsion Equation intrins que d une courbe Il s agit de trouver une courbe v rifiant une relation entre la courbure ou rayon de courbure et l abscisse curviligne par exemple la relation Rs b avec b gt 0 fix Pour trouver une telle courbe on la param tre par I abs 16 Ce type de courbe appel spirale d Euler ou de Fresnel ou clothoide est utilis e pour faire des raccordements de chemin de fer ou de route entre une portion rectiligne o l acc l ration normale est nulle et un arc de cercle o l acc l ration normale est constante en effet si Rs b est constant alors l acc l ration normale varie lin airement en fonction de l abscisse curviligne donc du temps vitesse constante C est plus agr able pour les passagers qui passent d une acc l ration nulle une acc l ration constante progressivement mais aussi pour cr er une pente progressive lat rale sur les rails pour compenser la force centrifuge par la gravit et viter une usure pr matur e du rail 99 cisse curviligne s do
239. e le d veloppement de Taylor est d j fait 8 5 Plan d tude d une courbe 1 On d termine et on restreint le domaine de d finition p riodicit sym tries 2 On tudie les branches infinies point exclus du domaine 00 asymptotes horizontales verticales directions asymptotiques asymptotes obliques 3 Recherche de x et y on tudie l annulation conjointe des deux points sin guliers 4 Signe de x et y double tableau de variations faisant apparaitre x x y y et mise en vidence des tangentes horizontales et verticales 5 Pour pr ciser le trac on peut chercher la convexit en tudiant le signe de 1 1 11 cy Y 6 Trac des points remarquables et des asymptotes et on les relie entre eux en suivant les sens de variations du tableau de variations 8 6 Courbes en polaires Une courbe en polaire est essentiellement donn e par la distance au centre O d un point M de la courbe en fonction de l angle 0 entre la direction Ox et le vecteur OM OM r 6 On s autorise toutefois des valeurs n gatives pour r si c est le cas on prend alors le sym trique par rapport l origine du point situ distance r et d angle 0 Repr sentation graphique avec Xcas on utilise la commande plotpolar sur calculatrices graphiques s lectionner le mode de trac en polaire Par exemple plotpolar cos 2x x 0 2 pi 89 Exemples de courbes en polaire 1 1 2 cos
240. e pour approcher f x esin on peut utiliser les commandes suivantes en Xcas x exp sin x Pa F seq f k N 2 pi k 0 N 1 G fft F G G 0 tsum G 3 exp 1x3 x 3 1 k sum G N 3 exp 1x3 Xx 3 1 K 5 He normal exp2trig g N plot h x pi pi color red plot f x x pi pi Ou directement 2xre G 3 N est une valeur approch e du j i me coefficient de Fourier a de f et 2xim G 3 N de bj par exemple 1 pixint f x cos 4x 10 2 pi 2 re G 4 N 1 pixint f x sin 5x 0 2 10 2 xpi 2xim G 51 N On observe en effet une tr s bonne concordance 11 d cimales Bien entendu cela n est pas tr s utile pour approcher esini il vaut mieux composer exponentielle et sinus mais cela pourrait le devenir pour une fonction p riodique plus compliqu e ou pour une fonction p riodique dont on ne connait qu un chantillonage r gulier par exemple un fichier num rique audio 18 8 Quadratures gaussiennes On a vu que l interpolation polynomiale tait de meilleure qualit en prenant les points de Tchebyshev plutot que des points quidistants il est donc naturel de calculer des approximations d int grale de cette mani re ou encore d optimiser le choix des abscisses pour avoir une m thode d int gration d ordre maximal Si on se fixe n abscisses x1 n on peut obtenir l ordre 2n 1 En effet si on consid re le polyn me P _ x x il est de
241. e 1 La r duction de Smith sert par exemple montrer qu un sous module de Z ob tenu par quotient par l image d une application lin aire de matrice A est isomorphe aZ d x x Z d x ZT C est ce qu on obtient pour un module pr sent par des g n rateurs et relations entre g n rateurs Les coefficients d sont appel s facteurs invariants de la matrice leur factorisation en produit de nombres premiers une certaine puissance donne les diviseurs l mentaires Exemple 1 on se donne le groupe ab lien engendr par x et x2 v rifiant les relations 2x1 4x2 0 2 1 6x2 0 On fait La L L et Co C2 Ci ce qui donne la matrice r duite de diagonale 2 et 10 qui en sont les facteurs invariants le groupe est isomorphe Z 2 x Z 10 parfois not au lieu de x Exemple 2 on se donne un module sur Z engendr par m ma my et les rela tions 2m1 3m2 5m3 0 7m1 38m2 5m3 0 OnposeA 2 3 5 17 puis U B V ismith A on a donc B UAV Si M m ma mg on a AM 0 donc BV M UAM 0 On pose nj 72 73 N VIM les g n rateurs ny M 6m2 20m3 n9 Ma 3m3 n3 M3 v rifient donc bin 0 bene 0 by 1 ba 15 le module est donc isomorphe Z 1 x Z 15 x Z soit encore Z 15Z x Z 20 2 3 L algorithme LLL Il s agit d une m thode permettant d obtenir rapidement une base courte d un r seau Ce n est pas la base la plus courte possible mais un compromis temps d ex
242. e 3 mois apr s le solstice l ordre 2 on peut faire la m me tude cette fois l amplitude est divis e par aw ibw c y bw aw c e aw 12 4 3 quation autonome sans second membre Il s agit d une quation de la forme y f y o on suppose f continument d rivable Les solutions stationnaires sont donn es par les racines de f les r telles que f r 0 Pour toute condition initiale entre deux racines cons cutive de f la solution va rester entre ces deux racines cons cutives Comme f ne s annule pas entre deux racines cons cutives f est de signe constant donc la solution est monotone et tend vers une des racines lorsque t oo Si f gt 0 on tend vers la plus grande des racines lorsque t gt 00 sinon vers la plus petite Si la condition initiale est au del de la plus grande racine ou en dega de la plus petite racine on tend soit vers l infini soit vers la racines On peut pr ciser la vitesse de convergence Si f y c y r c lt 0 f lin aire la convergence vers r se fait comme e pour t 00 Dans le cas g n ral si f r 4 0 ce r sultat est encore valable heuristiquement 1 1 z M UNEND gt S AS AMNESIA PN 21 On peut prouver l existence globale de la solution exactement comme pour l exemple y y 1 y de la section 12 2 1 o 1 118 o o 1 est une fonction qui tend vers 0 lorsque y tend vers r donc
243. e a vers i In a tend vers In i 5 et on obtient 1 00 1 al fe s e dt do i t a t 2 dont la partie imaginaire nous donne 59 et la partie r elle une autre identit sur y faisant intervenir la fonction cosinus int gral 23 La transform e de Fourier discr te 23 1 D finition et propri t s Soit N un entier fix Une suite x p riodique de p riode N est d termin e par le vecteur x zo 1 amp N 1 La transform e de Fourier discr te DFT not e FN fait correspondre une suite x p riodique de p riode N une autre suite y p riodique de p riode N d finie pour k 0 N 1 par N 1 ro gt ay 5 0 2ir o wy est une racine N i me primitive de l unit on prend w e N si x est coefficients r els ou complexes On observe que si la suite x est la suite des valeurs d une fonction p riodique f sur une discr tisation de la p riode alors la transform e de Fourier discr te est la suite des valeurs approch es des coefficients de Fourier obtenus en appliquant la m thode des trap zes sur cette discr tisation Cette transformation est lin aire la transform e de la somme de 2 suites est la somme des transform es et la transform e du produit par une constante d une suite est le produit par cette constante de la transform e de la suite La transform e de Fourier discr te FN est une transformation bijective dont la r ciproque est donn e par 1 1 N 1
244. e au sens large On fait le m me raisonnement sur la suite extraite pour la 2 me composante etc et on aboutit une suite infinie de mon mes qui se divisent les uns les autres ce qui est absurde Donc les mon mes minimaux sont en nombre fini Une base de Gr bner s obtient en prenant des polyn mes correspondant aux mon mes minimaux de l id al de mon mes LT 1 des coefficients dominants de I La r duction par rapport aux l ments de cette base donne alors 0 pour tous les l ments de J ce qui montre que J est engendr par cette base On appelle s polyn me d une paire de polyn mes et B le polyn me ob tenu en calculant le mon me PPCM L de LT A et LT B et en cr ant la diff rence qui annule ce mon me PPCM L LT A A L LT B B On peut montrer que la base de Gr bner peut se calculer partir d une famille g n ratrice en effectuant la boucle suivante on calcule tous les s polyn mes de la famille g n ratrice courante on les r duit par rapport la famille g n ratrice courante si tous les s polynomes sont nuls la famille courante est la base cherch e sinon on garde les s polyn mes r duits non nuls on r duit la famille g n ratrice courante par rapport ces s polyn mes r duits non nuls et on fusionne les poly n mes non nuls en la famille g n ratrice courante pour l it ration suivante de la boucle Le probl me est que cela devient tr s vite tr s long Il existe des m thodes permettant
245. e avec faire du calcul en particulier faire un peu de calcul mental pour avoir une id e de la plausibilit d un 34 ainsi Allan Steel le principal codeur du logiciel Magma dont l attractivit doit tout au g nie algorithmique de cet auteur n apparait m me pas dans la citation recommend e du logiciel 295 r sultat obtenu par un logiciel ordre de grandeur C est de l hygi ne intellectuelle analogue faire de l exercice physique Faire quelques calculs la main est aussi une fa on de s approprier de nouveaux concepts Mais une fois cette tape franchie je ne vois aucune raison de devoir continuer apprendre faire des calculs fasti dieux ou techniques alors que l ordinateur fait cela beaucoup mieux que nous Il est beaucoup plus judicieux de savoir diriger un logiciel pour cela et donc de pas ser un peu de temps autrefois consacr faire des calculs techniques connaitre leurs possibilit s et limites la fois en termes de fonctionnalit s et de temps de calcul Prenons l exemple de la r solution des quations du second degr Au moment o on enseigne cette technique je pense qu il est important de faire faire quelques calculs de racines de trin mes sans calculatrices et d expliquer comment ce genre de calculs peut se faire avec un logiciel de calcul formel ce qui d ailleurs permet tra aux l ves de v rifier les r sultats de leurs calculs faits la main Un an ou deux ans apr
246. e d exceptions la plupart des fonctions n admettent pas de primitives qui s ex priment l aide des fonctions usuelles Pour calculer une int grale on revient donc la d finition d aire sous la courbe aire que l on approche en utilisant par exemple un polynome de Lagrange Le principe est donc le suivant on d coupe l intervalle d int gration en sub divisions a b a a h a h a 2h a n 1 h a nh b o h b a n est le pas de la subdivision et sur chaque subdivision on approche l aire sous la courbe 18 1 Les rectangles et les trap zes Sur une subdivision a 3 on approche la fonction par un segment Pour les rectangles il s agit d une horizontale on peut prendre f a f 8 rectangle droite et gauche ou f 3 2 point milieu pour les trap zes on utilise le segment reliant a f a 6 f 8 Exemple calcul de la valeur approch e de fo t dt on en connait la valeur exacte 1 4 0 25 par ces m thodes en subdivisant 0 1 en 10 subdivisions pas h 1 10 donc a 5 10 et 8 j 1 10 pour j variant de 0 9 Pour les rectangles gauche on obtient sur une subdivision f a j 10 que Pon multiplie par la longueur de la subdivision soit h 1 10 9 5 1 js 6 10 210 agp O Pour les rectangles droite on obtient 10 1 j 121 0 3025 10 gt Go 400 j 1 178 Pour le point milieu f a 8 2 f j 10 j 1 10 2 f 5 10
247. e d terminant On peut bien s r appliquer les m thodes ci dessus en tenant compte des pivots utilis s et du produit des coefficients diagonaux Dans le cas de la m thode de Ba reiss si on effectue la r duction sous diagonale uniquement il n est pas n cessaire de garder une trace des pivots et de calculer le produit des coefficients diagonaux montrons que la valeur du d terminant est gal au dernier coefficient diagonal en effet si R d signe la matrice r duite et que l on pose Ro o 1 alors la r duction par la m thode de Bareiss de la colonne 2 a pour effet de multiplier le d terminant de la matrice initiale M par Ris Ri 1i 1 Donc 1 det R det M Ri Riri1 3 3 gt lI E n Rii det M II Rii i l i l Ran det M Pour les matrices coefficients entiers on peut aussi utiliser une m thode mo dulaire on calcule une borne a priori sur le d terminant et on calcule le d termi 201 nant modulo suffisamment de petits nombres premiers pour le reconstruire par les restes chinois En effet si le produit des nombres premiers utilis s est sup rieur au double d un majorant de la valeur absolue du d terminant alors le d terminant est le r sultat des restes chinois crit en repr sentation sym trique L avantage de cet algorithme est qu il est simple et facile parall liser On utilise souvent la borne d Hadamard sur le d terminant Idet M lt TT gt Imig 1 lt i lt
248. e est le produit 1 8 1 Bm 1 de deux nombres positifs on arrive a la contradiction souhait e Ensuite on d compose les choix de om en ceux contenant M et des 1 et ceux ne contenant que des 1 d o la majoration jmb lt ai w a RR On peut en d duire une majoration ind pendante de j sur les coefficients de D en majorant d par p puisque d divise p et les coefficients binomiaux par 271 obtenue en d veloppant 1 1 7 1 D o le et finalement 49 Th or me 8 Landau Mignotte Soit P un polyn me coefficients entiers ou entiers de Gauss et D un diviseur de P de degr m Si P d signe la norme euclidienne du vecteur des coefficients de P et p le coefficient dominant de P alors les coefficients d de D satisfont l in galit dj lt 27 1PI pl 8 Avec cette estimation on en d duit que si n est un premier plus grand que min 2488r8 P 1 P p 2488r8 0 1 Q al 0 alors le pgcd trouv dans Z nZ va se reconstruire en un pgcd dans Z si son degr est le bon Malheureusement la borne pr c dente est souvent tr s grande par rapport aux coefficients du pgcd et calculer dans Z nZ s av rera encore inefficace surtout si le pgcd est 1 Cela reste vrai m me si on optimise un peu la majoration 9 en repartant de 7 L id e est donc de travailler modulo plusieurs nombres premiers plus petits et reconstruire le pgcd des 2 polyn mes coefficients entiers partir des
249. e exactement cette quation variables s parables les solutions sont de la forme Ct On observe que contrai rement y ay o passe une solution et une seule par chaque point du plan ici toutes les solutions valent 0 en t 0 il passe une infinit de solutions par le point 0 0 et il n en passe aucune par 0 a a 0 Ce ph nom ne de non uni cit non existence vient de la mise sous forme r solue y y t qui fait apparaitre une singularit de f y t ent 0 On pr sente dans la suite de cette section des r sultats qualitatifs sur les qua tions sous forme r solue lorsqu on ne sait pas les r soudre ainsi que quelques m thodes explicites pour certaines quations diff rentielles que l on sait r soudre 12 2 Existence et unicit Il s agit ici de pr ciser dans quelles conditions le r sultat intuitif suivant est vrai tant donn une condition initiale y to yo il y a une et une seule volution possible donc une solution unique y t de l quation ou du syst me 16 On a le Th or me 23 Cauchy Lipschitz Si f est continument d rivable en y et t sur R x R ou sur un domaine ouvert D inclus dans R x R alors l quation ou le syst me r solu 16 admet pour toute condition initiale y to yo une solution unique sur un intervalle maximal ouvert en temps contenant to Remarques Attention l existence d une solution ne signifie absolument pas que l on sait calculer explici
250. e monomes ne contient l autre Les fonctions solve fsolve et cfsolve utilisent cet algorithme pour des syst mes polynomiaux qui s y pr tent en cherchant une forme s parante d abord parmi les variables puis avec des combinaisons lin aires al atoires petits coef ficients entiers solve essaie de renvoyer des solutions exactes si le polynome minimal de la forme lin aire s parante se factorise sur Q fsolve en mode r el localise les racines r elles par la m thode d Akritas cfsolve localise les ra cines complexes par factorisation de Schur de la matrice companion La fonction gbasis eqs vars rur avec comme param tre optionnel rur effectue le calcul de la repr sentation univari e rationnelle et renvoie une liste contenant le polyn me minimal P exprim e arbitrairement en fonction de la 1 re variable du syst me sa d rivee P et les P Pa qui permettent d exprimer la i me va riable d une solution comme tant P r P r avec r racine de P On peut alors v rifier que l on a bien une solution en rempla ant la variable x par P P dans les quations le reste de la division euclidienne du num rateur de la fraction obtenue par le polynome minimal P doit donner 0 La repr sentation rationnelle univari e a des applications au del de la seule r solution de syst mes polynomiaux On peut s en servir pour trouver une exten sion alg brique unique de Q permettant de calculer toutes les racines d
251. e pgcd P z P z 0 incr menter z de 1 Factoriser P z c z IIp Pour tous les facteurs p d terminer le polyn me P tel que c z p P 2 par remont e z adique avec les coefficients de P crit en repr sentation sym trique de valeur absolue plus petite que z 2 Tester si la partie pri mitive de P divise P Si oui rajouter un facteur irr ductible la liste L et diviser P par ce facteur Augmenter z par exemple remplacer z par la partie enti re de 2z 16 4 Preuve de l identit de B zout g n ralis e Elle se fait par r currence Pour n 2 c est l identit de B zout usuelle Pour passer du rang n 1 au rang n on isole P dans l identit r soudre n 1 Y Qj li lt rsn 104 Pa Pa Qnilg n 1Pr Q mod p j 1 Comme F est premier avec Ily lt 1Pj en appliquant B zout on trouve deux polyn mes Qn et R tels que RnPn QnUk lt n 1 Pr Q mod p 23 Il reste r soudre n 1 y Qjlli lt r lt n 1 04jPp Rn mod p j l ce que l on peut faire par hypoth se de r currence 155 16 5 Algorithme de B zout g n ralis Arguments une liste P Pa de polyn mes premiers entre eux 2 2 et un polyn me Q coefficients dans Z pZ Valeur renvoy e la liste de polyn mes Q1 Qn tels que SN QjUnzj Pe Q mod p j 1 On peut commencer par calculer le produit de tous les Py puis faire une boucle sur j pour calculer les produits des Py
252. e relative la subdivision xp x de a b On peut le calculer num riquement pour une subdivision quidistribu e et n 1 montrer qu il croit comme par exemple pour n 40 il vaut environ 5e9 Illustration avec Xcas 1 k n product x j k 3 3 0 k 1 product x 3 k 3 3 k 1 n n 10 f add abs 1 k n k 0 n plot f x 0 n puis essayer avec n 20 Pour n 40 en observant que le max est atteint dans 0 1 on peut remplacer les valeurs absolues par la bonne puissance de 1 g 1 0 n tadd 1 k n 1 x x1 k n k 1 n on a alors un polyn me dont on calcule l abscisse du maximum par 1 proot g puis subst g x 1 0 qui donne environ 4 7e9 enIn n 244 21 2 Interpolation aux points de Tchebyshev L id e la plus naturelle pour interpoler un polyn me en n 1 points d un inter valle a b consiste couper en n morceaux de m me longueur Mais ce n est pas le plus efficace car le terme _ x x est plus grand pr s des bords Il est donc plus judicieux d avoir plus de points pr s des bords et moins l int rieur C est l qu interviennent les polyn mes de Tchebyshev ils sont d finis par d veloppement de cos nx en puissances de cos x Th cos x cos nx Sur 1 1 le polyn me Tn vaut en valeur absolue au plus 1 et atteint cette valeur exactement n 1 fois lorsque x kr n donc X cos x cos kr n De plus cette majoration est optim
253. e si les arguments des In sont des polyn mes sans fac teurs multiples alors les x sont entiers Rappelons que les In g sont alg bri quement ind pendants on peut donc construire des polyn mes irr ductibles par 165 rapport aux variables de la tour tels que J divise une fois g mais ne divise pas les gk pr c dents Soit h jeZ P la factorisation sans facteurs multiples de h On d rive alors In h ce qui donne So ngia Y JPP j ou j pi est la d composition sans facteurs multiples de h Comme divise un et un seul des P on en d duit que x est gal au j correspondant et est donc entier Remarque si on n impose pas aux arguments des logarithmes d tre des polyn mes sans facteurs carr s on obtiendrait ici des coefficients rationnels En pratique On peut effecter l algorithme de la mani re suivante on cherche les variables g n ralis es de l expression qui d pendent de x On ajoute les variables g n ralis es en commen ant par la moins longue Si c est un logarithme on extrait les puissances des exponentielles pr c dentes dont il d pend On cherche des relations entre fonctions In en les r crivant comme combinaison lin aire de ln ind pendants Pour avoir des ln ind pendants on se ram ne d abord des polyn mes sans facteurs multiples en utilisant la relation In a b ln a ln b et en crivant la factorisa tion sans facteurs multiples de chaque polyn me
254. e travail sur l utilisation des calculatrices formelles au lyc e l automne 2000 HP mettait disposition des profs de lyc e participants des valises de HP40G pr t es aux l ves Peu apr s HP se d sint resse des calculatrices l id e de tester le Xcas d alors en classe est venue tout naturellement Ce sont Mich le Gandit et Christianne Serret qui se lancent dans l aventure c est bien le mot parce qu il fallait y croire avec les tr s nombreux bugs et manques de l interface de l poque C est l observation des probl mes rencontr s par les l ves qui m a fait prendre conscience qu une r vision compl te de l interface s imposait et j y ai consacr une bonne ann e de travail aboutissant une interface proche de l actuelle C est cette nouvelle interface qui a permis le d collage de Xcas que l on peut juger au nombre de t l chargements ainsi que par les interactions avec des utilisateurs inconnus A 3 La mont e en puissance 2007 2013 En 2007 Xcas participe aux Troph es du Libre concours de logiciels libres qui n existe plus aujourd hui et obtient la 3i me place dans la cat gorie logiciels scientifiques J esp rais que cela marquerait une tape d cisive dans la mont e en puissance par exemple en faisant entrer Xcas dans des distributions Linux mais cela n a pas servi et encore aujourd hui Giac n a pas r ussi entrer dans les dis tributions Linux majeur
255. e we can reuse the same collection of mo nomials that were used for the first prime p to build matrices for next primes see Buchberger Algorithm with F4 linear algebra in the next section If we use learning we have no certification that the computation ends up with a Groebner basis modulo the new primes But this is not a problem since it is not required by the checking correctness proof the only requirement is that the new generated ideal is contained in the initial ideal modulo all primes which is still true and that the reconstructed Ge is a Groebner basis 7 6 Giac Xcas implementation and experimentation We describe here briefly some details of the Giac Xcas gbasis implementation and give a few benchmarks The optimized algorithm runs with revlex as lt ordering if the polynomials have at most 15 variables it s easy to modify for more variables adding multiples of 4 but this will increase a little memory required and slow down a little Partial and total degrees are coded as 16 bits integers hence the 15 variables limit since 1 slot of 16 bits is kept for total degree Modular coefficients are coded as 31 bit integers or 24 The Buchberger algorithm with linear algebra from the F4 algorithm is imple mented modulo primes smaller than 2 using total degree as selection criterion for critical pairs Buchberger algorithm with F4 linear algebra modulo a prime 1 Initialize the basis to the empty list and a list of critical
256. ection 17 4 17 2 Fonctions l mentaires 17 2 1 Extensions transcendantes tour de variables On se donne une expression f x d pendant de la variable x que l on souhaite int grer par rapport x L algorithme de Risch s applique cette expression si on peut l crire comme une fraction rationnelle plusieurs variables alg briquement ind pendantes T f x faz fi z sa faz fila fala f x Sty fn 1 x f x es fn 2 2 161 o les f sont soit l exponentielle soit le logarithme d une fraction rationnelle le corps de base appel aussi corps de constantes ici est soit C soit une extension al g brique de Q ou une extension alg brique d un corps de fractions rationnelles s il y a des param tres On appelle tour de variables la suite des x f1 fn chaque tage est donc une exponentielle d une fraction rationnelle ou le logarithme d une fraction rationnelle d pendant des tages pr c dents et on dira que f est une fonc tion l mentaire par rapport a cette tour de variables L int r t de l criture d une expression sous forme de tour est qu elle est stable par d rivation si on d rive par rapport x une fonction l mentaire d pendant d une tour de variables on obtient encore une fonction l mentaire d pendant de la m me tour de variables Autrement dit l ensemble des fonctions l mentaires pour une tour fix e est un corps diff rentiel Exemples e
257. ectuer deux combinaisons lin aires de ligne et deux combinaisons lin aires de colonnes par transformation donc deux fois plus de calculs mais l avantage est que la matrice de transforma tion est unitaire donc facile inverser et bien conditionn e On peut aussi utiliser des matrices de Householder pour se ramener une forme de Hessenberg La matrice de Householder associ e a v est d finie par aie eae c est la matrice de la sym trie par rapport l hyperplan perpendiculaire v Hv v et pour tout vecteur perpendiculaire v ona Hw w donc H est orthogonale On l utilise en g n ral pour v a b avec a b on a alors Ha b puisque H a b b acarv a bet H a b a b car v est orthogonal a b puisque a 20 7 4 La m thode de Leverrier Faddeev Souriau Cette m thode permet le calcul simultan des coefficients p i 0 n du po lyn me caract ristique P A det AI A et des coefficients matriciels B i 0 n 1 du polyn me en donnant la matrice adjointe ou transpos e de la co matrice B A de AI A AI AJB A NM A Y BM So pM POM 44 k lt n 1 k lt n Remarquons que cette quation donne une d monstration assez simple de Cayley Hamilton puisque le reste de la division euclidienne du polyn me P A I par AL A est P A Pour d terminer simultan ment les p et By on a les relations de r currence Bn Pn 1 Bea ABA pee
258. elles On ne sait en g n ral pas le r soudre sauf pour certaines classes de suites en particulier celles qui suivent une r currence affine 19 1 1 R currence affine On peut toujours se ramener au cas d une suite vectorielle dans R v rifiant un r currence un cran Un 1 Avn B 38 o A est une matrice ind pendante de n et B un vecteur qui peut d pendre de n Par exemple pour une suite u r currente deux crans Un 2 aUn 1 bun c on pose Un Un Un 1 qui v rifie alors o 1 0 La solution g n rale de 38 est la somme de la solution de quation homog ne Un 1 Av et d une solution particuli re solution que l on sait calculer lorsque B est combinaison lin aire d un produit d exponentielle par un polyn me en n L quation homog ne a pour solution v A vo o l expression de A se calcule sur un corps alg briquement clos par r duction de Jordan fonction mat pow dans Xcas On peut aussi utiliser un algorithme de puissance rapide pour calculer le reste de la division euclidienne de A par un polyn me annulateur de A minimal ou caract ristique ce qui permet de rester dans le corps des coefficients Le calcul d une solution particuli re dans le cas o B c P n avec P un vecteur coefficients polynomiaux de degr au plus p se fait en posant n c Q n o Q est un vecteur de polyn me de degr p plus la multiplicit de c comme valeur propre de A En effet on do
259. elon la norme IEEE 754 utilisables dans les langage de programmation usuels elle peut tre omise en premi re lecture La repr sentation d un double en m moire se compose de 3 parties le bit de signe s 1 sur 1 bit la mantisse M 0 292 sur 52 bits et l exposant e 0 211 sur 11 bits Pour les nombres normaux l exposant est en fait compris entre 1 et 2 2 le nombre repr sent est le rationnel M 10 1 2 tee Pour crire un nombre sous cette forme il faut d abord chercher par quel multiple de 2 il faut le diviser pour obtenir un r el r dans 1 2 ce qui permet de d termi ner l exposant e Ensuite on crit la repr sentation en base 2 de r 1 0 1 Exemples 2 Signe n gatif Il faut diviser sa valeur absolue 2 par 2 pour tre entre 1 et 2 donte 1 210 1 l exposant est e 210 On a alors r 1 r 1 0 Repr sentation 1 10000000000 00000000 0000 1 5 3 2 Signe positif compris entre 1 et 2 dont l exposant v rifie e 1 210 0 16 soit e 210 1 29 28 27 26 2 24 23 2 214 2 Ona r 1 1 2 27t D o la repr sentation 0 01111111111 10000000 0000 6 4 32 5 Positif Il faut le diviser par 2 pour avoir 8 5 1 2 donc e 1 210 2 soit e 210 1 Ensuite r 3 5 qu il faut crire en base 2 cf section pr c dente on crit donc les 52 premiers l ments du d veloppement avec une r gle d arrondi du de
260. ement asymptotique de l erreur en fonction de h ne contient que des puissances paires de h De plus on peut tre amen faire varier le pas h en fonction de la plus ou moins grande r gularit de la fonction 18 5 En r sum Int gration sur a b h pas d une subdivision Mz majorant de la d riv e k i me de la fonction sur a b formule Lagrange degr ordre erreur rectangles 32 33 0 0 Mih b a 2 point milieu 34 0 1 Moh b a 24 trap zes 35 1 1 Moh b a 12 Simpson 37 2 3 Maht b a 2880 184 18 6 Acc l ration de Richardson Romberg Proposition 34 Soit g une fonction de classe C sur a b Th g la valeur de la m thode des trap zes sur a b de pas h b a N N entier Alors Th g admet un d veloppement en puissances paires de h l ordre 2k Pour montrer ce r sultat il faut tablir la formule d Euler Mac Laurin On com mence se placer sur une subdivision de l intervalle 0 1 on int gre par we TEF o f t dt en faisant apparaitre la formule des trap zes on int gre donc 1 ent 5 1 al 0 f 1 me f roa hrs pra EL Dy a 0 0 0 ou encore 1 1 1 y ge IO at Pour poursuivre on pose B1 t t qu on va int grer en t 5 c o on choisit c pour que l int grale re nulle donc c 1 6 On pose B2 t 1 1 6 ona EY Ba m1 1 Bo 1 ar f Broa Plus g n ralement on pose
261. emps virtuel 7 et y y est la d riv e de y par rapport ce temps virtuel il faut minimiser 1 g V 29y le lagrangien ne d pend pas explicitement de 7 donc le hamiltonient correspondant _ OL TB ad Deane H L est conserv donc ind pendant de 7 donc en revenant la notation x pour l abs cisse on a af Vw y Vou 1y H Oy 29y 1 E y aa V 2gy y1 y 1 Va RO Apr s simplification on obtient l quation diff rentielle 29H y 1 y 1 soit y 1 c gH y Comme y lt 0 et y 0 0 on en d duit que y est n gatif 2 dy 4 1 dx y 128 Il s agit d une quation variables s parables En posant y c cY x cX on obtient une quation ind pendante de c 2 Y dY Toy IX Ty 1 Y a fax puis pour trouver la constante d int gration on observe que Y 1 pour X 0 Donc 1 Y arccos Y X Si on pose Y cos t t 0 7 ona X t sin t la solution est donc une cyclo de renvers e On peut aussi le v rifier directement en rempla ant dans l quation x et y par les quations param triques de la cyclo de renvers e x c t sin t y c ccos t t 0 7 on trouve pour le membre de droite 4 e cy e cos o 200 1 1 t dt 1 cos t 1 cos t cy 1 cos t dt csin t dt dy 1 cos t dt I O nan 14 Corps finis
262. en introduisant des fonctions sp ciales adapt es appel es int grales elliptiques a int sqrt sin t 2 4xcos t 2 t 0 2 pi evalf a 14 qui tire son nom de la trajectoire d un point fix un cercle roulant sans glisser sur une droite par exemple l extr mit d un rayon sur une roue de v lo 96 9 2 Courbure rep re de Frenet acc l ration normale et tangentielle Si on choisit la longueur d arc comme nouveau param tre de temps la longueur parcourue est gale au temps donc la vitesse instantann e est de norme 1 On peut aussi le voir en notant M t x y aM AMP ds aje Mi dt ds dt dt dt donc aM 1 les deux autres termes tant gaux Calculons maintenant l acc l ration avec ce nouveau param tre Comme la vi tesse est de norme constante gale 1 donc de carr 1 en d rivant 4M ds par rapport s on v rifie que l acc l ration est perpendiculaire la vitesse pour ce pa ram trage par la longueur d arc s L acc l ration est donc port e par la normale la trajectoire et sa mesure alg brique est appel courbure sign e not e la valeur absolue de l inverse de est appel le rayon de courbure la direction de l acc l ration pointe vers le centre de courbure Si on se d place sur un cercle de centre O et de rayon R vitesse 1 alors x t iy t Re F la vitesse est donn e par al iy eE donc de norme 1 et l acc l ration par x
263. en x peut d pendre de y c est donc une fonction C y on remplace dans N V et on int gre en y pour trouver la valeur de C y une constante pr s Cette op ration est execut e par la commande potential de Xcas Si une forme n est pas ferm e elle n est pas exacte et on ne peut pas calculer une int grale curviligne par diff rence de potentiel Il peut arriver qu en multi pliant la forme par une fonction on trouve une nouvelle forme qui elle est ferm e on parle alors de facteur int grant Par exemple en thermodynamique la forme cha leur n est pas ferm e mais en divisant par la temp rature on obtient une forme fer m e dont le potentiel est l entropie Cela peut aussi servir trouver des constantes du mouvement pour certaines quations diff rentielles En effet si on se d place le long d une courbe de niveau du potentiel d une forme exacte alors le long de cette courbe le potentiel est constant donc la forme appliqu e au vecteur tangent est nulle on dit que la courbe de niveau est une courbe int grale de la forme diff rentielle exacte 11 4 Int grale curviligne et int grales doubles Terminons ce chapitre par le lien entre int grale curviligne sur un lacet chemin ferm et int grale double l int rieur du lacet C est videmment surtout int res sant pour les formes non exactes car si y est un lacet et w une forme exacte alors 106 J w 0 On a le th or me de Stoke
264. ent d unifier en un seul type symbolique les fonctions ayant un ou plusieurs arguments en voyant plusieurs arguments comme un vecteur d arguments Les fonctions sont le plus souvent elle m me incluses dans le type g n rique permettant ainsi l utilisateur de saisir des commandes ou programmes fonctionnels on peut utiliser une fonction comme ar gument d une commande Pour des raisons d efficacit les syst mes de calcul formel utilisent souvent des repr sentations particuli res pour les polyn mes dont on a dit qu ils jouaient un r le central Pour les polyn mes une variable on peut utiliser la liste des coef ficients du polyn me on parle alors de repr sentation dense On peut aussi d cider de ne stocker que les coefficients non nuls on parle alors de repr sentation creuse on stocke alors un couple form par le coefficient et le degr du mon me corres pondant Pour les polyn mes plusieurs variables on peut les consid rer comme des polyn mes une variable coefficients polynomiaux on parle alors de repr sentation r cursive On peut aussi d cider de ne pas briser la sym trie entre les variables pas de variable principale on parle alors de repr sentation distribu e le plus souvent les repr sentation distribu es sont creuses car les repr sentations denses n cessitent tr s vite beaucoup de coefficients Les m thodes de repr senta tion creuses sont parfois aussi utilis es pour les matrices
265. ent le type param tr vector lt gt de la li brairie standard C Standard Template Library Les objets symboliques sont des structures compos s d un champ sommet qui est une fonction prenant un ar gument de type gen et renvoyant un r sultat de type gen et d un champ feuille qui est de type gen Lorsqu une fonction poss de plusieurs arguments ils sont rassembl s en une liste formant le champ feuille de l objet symbolique Les pro grammes sont aussi des objets symboliques dont le champ sommet est la fonction valuation d un programme Les listes sont aussi utilis es pour repr senter vec teurs matrices et polyn mes en une variable en repr sentation dense on peut y ac c der par valeur ou par r f rence lt Ces polyn mes servent eux m mes 4 repr senter des l ments d une extension alg brique de Q vus comme un couple de polyn mes P Q o Q est un polynome minimal irr ductible coefficients en tiers autrement dit P Q vaut P a o Q a 0 ou des l ments d un corps fini comme ci dessus mais ici Q est coefficients dans Z pZ avec p premier cf la commande GF Giac poss de aussi un type pour les polyn mes en repr sentation creuse distribu e en plusieurs ind termin es cf les commandes symb2poly et poly2symb L valuation d un objet symbolique se fait en regardant d abord si la fonction au sommet doit valuer ou non ses arguments autoquote on value les arguments si n ce
266. ent une fois les a connus On observe que f x1 f xo ao f xo a 11 To On va voir que les a peuvent aussi se mettre sous forme d une diff rence On d finit les diff rences divis es d ordre n par r currence Fl sha Tk i 1 Vi f zi Fa Eli Bere SIETE On va montrer que ay f Xo k C est vrai au rang 0 il suffit donc de le montrer au rang k 1 en l admettant au rang k Pour cela on observe qu on peut construire le polyn me d interpolation en Zo Tx 1 partir des polyn mes d in terpolation P en Zo k et Qk en 27 Uz 1 par la formule k 1 Pk 20 Lk 1 Lo Pr 1 x0 en effet on v rifie que Px 1 x f x pour 1 k car Prlx f xi Qx x et pour i O et i k 1 ona aussi Px41 x0 f xo et PrrilUr 1 F 2x 1 Or Ax 1 est le coefficient dominant de P donc c est la diff rence du coefficient dominant de Q et de Py divis e par 21 1 o c est dire la d finition de f zo Tx 1 en fonction de f x1 Tx 1 et F zo Tx Exemple on reprend P 0 1 P 1 2 P 2 1 Ona xi fx FE tral f xo 21 2 0 1 2 1D 4 0 1 donc P x 1 x 01 1 x 1 1 1 2 Q z On peut naturellement utiliser l ordre que l on souhaite pour les x en obser vant que le coefficient dominant de P ne d pend pas de cet ordre on en d duit que f
267. entation des donn es 3 PGCD 4 r sultant 5 racines 7 bases de Gr bner 14 corps finis 15 et 16 factorisation des entiers et polyn mes 17 calcul de primitives 20 alg bre lin aire 25 moyenne arithm tico g om trique le lecteur physicien trouvera peut tre un int r t aux chapitres tir s de mon cours de licence L2 courbes et quations diff rentielles pour la physique sections 8 9 10 11 12 13 ainsi que le calcul de la r partition du rayonne ment solaire sur Terre 24 Index quation caract ristique 111 quation lin aire 111 acc l ration normale 97 acc l ration tangentielle 97 action 125 affine r currence 189 Akritas 66 al atoire 284 alg brique extension 26 83 156 157 arrondi 15 assume 23 astroide 99 asymptote 86 asymptotique direction 86 atan 251 autonome 118 120 B zier courbes de 246 B zout g n ralis 156 B zout identit de 32 B zout th or me 62 Bareiss 200 base 13 base de Gr bner 74 BCD 16 Berlekamp 147 Bernstein polyn mes de 246 Bessel 257 bir gulier 88 bit 16 branche infinie 86 branche parabolique 86 Cantor Zassenhaus 146 caract ristique quation 111 caract ristique polyn me 216 caustique 99 centrale force 115 chinois 32 Cholesky 212 clothoide 99 code correcteur 131 code lin aire 131 code polynomial 131 conditionnement 214 congruentiel g n rateur 284
268. ents de B zout pour les entiers n et x On pose ARN Pre Trk o les r sont les restes successifs de l algorithme d Euclide avec la condition initiale ao 1 Bo 0 a1 0 Bi 1 70 ni ri T et la relation de r currence Tk Tk 2 Tk 1 Br 2 bk Qk 20k 1 dk 2 Ona kx rx mod n pour tout rang mais il faut v rifier les conditions de taille sur 5 et rg pour trouver le couple a b Montrons par r currence que Br ire rk 1bk Din 43 Au rang k 0 on v rifie l galit on l admet au rang k alors au rang k 1 on a Pr 2Tk 1 Tk 2bk 1 BrTk 1 27 k 1Pk41 Tk 2Pkr 1 Bereta re Tk 2 bk 1 Te 28Bk 1 BrTk 1 Tk Br 1 1 n On v rifie aussi que le signe de By est positif si k est impair et n gatif si k est pair on d duit donc de 43 lBr ilre lt n avec galit si r41 0 Consid rons la taille des restes successifs il existe un rang k tel que rx gt yn et rey lt yn On a alors By 1 lt n rp lt Jn Donc l algorithme de B zout permet de reconstruire l unique couple solution s il existe Exemple On prend n 101 a 2 b 3 a b 68 mod 101 Puis on effectue B zout pour 68 et 101 en affichant les tapes interm diaires par exemple avec TEGCD sur une HP49 ou exercice avec votre syst me de calcul formel alphax101 betax68 101 1 0 68 0 1 11 1 12 38 1 1 L2 2xL3 2 2 3 204 On s arr te
269. epr sentation additive On calcule donc une fois pour toutes la repr sentation additive de toutes les puissances de g ce qui fournit la table de pas sage multiplicatif vers additif puis la permutation inverse on peut alors effectuer toutes les op rations sur le corps K tr s rapidement la multiplication devient un test si l un des l ments vaut p 1 suivi d une addition modulo p 1 si ce n est pas le cas l addition une criture en base p et n additions dans Z pZ 130 En caract ristique 2 l addition est encore plus simple il s agit d un ou exclusif bit bit sur un type entier court 8 ou 16 ou 32 bits De plus le calcul de la permuta tion de passage est tr s rapide pour trouver g en fonction de g il faut multiplier par g ce qui est un d calage de bit vers la gauche tester si l entier est sup rieur 2 et si oui faire un ou exclusif avec l entier repr sentant le polyn me minimal de g Si le cardinal du corps est assez petit par exemple 2 ou disons moins que 213 la permutation et son inverse tiennent dans le cache du microprocesseur et les op rations sur le corps K se font en une dizaine de cycles du microprocesseur 14 3 Exercices 1 Trouver un polyn me irr ductible P de degr 5 sur Z 7Z En d duire une repr sentation de GF 7 5 Factoriser le polyn me P sur votre repr senta tion de GF 7 5 on pourra utiliser l application gt x 2 D terminer le polyn me min
270. er 0 1 Exemple on prend le polyn me d interpolation en 5 points quidistribu s sur une subdivision a b m thode de Boole Pour calculer les w on se ram ne 0 1 puis on tape int lagrange seg 3 4 3 0 4 f0 f 1 f2 f3 f4 x 0 1 et on lit les coefficients de 0 4 qui sont les wo wa 7 90 32 90 12 90 32 90 7 90 La m thode est d ordre au moins 4 par construction mais on v rifie qu elle est en fait d ordre 5 exercice la majoration de l erreur d une m thode d ordre 5 est b lt 1 35 h b IIS sgt PO a elle peut tre am lior e pour cette m thode pr cise en rs Ea A 1935360 En pratique on ne les utilise pas tr s souvent car d une part pour n gt 8 les w ne sont pas tous positifs et d autre part parce que la constante M devient trop grande On pr f re utiliser la m thode de Simpson en utilisant un pas plus petit Il existe aussi d autres m thodes par exemple les quadratures de Gauss on choisit d interpoler en utilisant des points non quir partis tels que l ordre de la m thode soit le plus grand possible ou la m thode de Romberg qui est une m thode d acc l ration de convergence bas e sur la m thode des trap zes on prend la m thode des trap zes en 1 subdivision de a b puis 2 puis 22 et on limine les puissances de h du reste f f I f en utilisant un th or me d Euler Mac Lau rin qui montre que le d velopp
271. es erreurs vont tre introduites on parle de calcul approch par opposition au calcul exact sur les rationnels En effet la repr sentation doit d abord arrondir tout r el qui n est pas un rationnel dont le d nominateur est une puissance de 2 Ensuite chaque op ration va entrainer une propagation de ces erreurs et va y ajouter une erreur d arrondi sur le r sultat Enfin l utilisation du type double peut provoquer un d passement de capacit par exemple 100 x100 Pour diminuer ces erreurs et les risques de d passement de capacit il existe des types flottants multiple pr cision qui permettent de travailler avec un nombre fix l avance de d cimales et une plage d exposants plus grande Les calculs sont plus longs mais les erreurs plus faibles Attention il s agit toujours de calcul approch De plus pour des quantit s dont la valeur est d termin e de mani re exp rimentale la source principale de propagation d erreurs est la pr cision des quantit s initiales il ne sert souvent rien d utiliser des types flottants multipr cision car les erreurs dus la repr sentation double sont n gligeables devant les erreurs de mesure Dans ce cas il est pertinent lorsqu on value f x avec x mal connu de calculer aussi f x en effet f x L h f x 2hf 2 O n Perreur relative sur f x est donc au premier ordre multipli e par ef x f x Par exemple l erreur relative sur e est au pre
272. es m me si l entr e dans Fedora semble imminente En fait la mont e en puissance s est faite progressivement avec environ une dizaine de d utilisateurs en plus chaque ann e gr ce aux am liorations impl ment es par l interaction avec les profs de maths sur le forum de Xcas ou par email C est aussi vers 2008 que l interface est devenue suffisamment intuitive pour que les tu diants de la pr paration l agr gation de Grenoble option calcul formel basculent de Maple vers Xcas avec une p riode de transition o certains travaillaient avec Maple en m me temps que d autres avec Xcas Suivis peu de temps apr s par Jussieu F Han Puis progressivement dans certains enseignements de licence Grenoble et sans doute ailleurs Le projet Giac va aussi prendre en 2011 une direction un peu impr vue c est 289 la valorisation Le noyau de Giac va en effet pour la premi re fois tre int gr une application commerciale PocketCAS Ce qui n cessitera de contacter les services de valorisation de l universit d but d un pisode difficile que je ne peux pas commenter plus pour des raisons de confidentialit A 4 Le pr sent et le futur proche Le nombre de t l chargements de Xcas d passe maintenant les 50 000 par an avec des pointes mensuelles en septembre et octobre a plus de 12 000 principale ment sous Windows Xcas est pr sent dans la grande majorit des livres de maths de Terminale S on en parle
273. es coefficients dominants de Po et Qo qui sont gaux donc on a l galit lcoeff H p P AI Pe E a Qo Soita Icoeff F Icoeff P lcoeff Po et 6 Icoeff F Icoeff Q lIcoeff Po On ajoute aP v ainsi lcoeff P v lcoeff F O k 1 et BQo u ainsi lcoeff Q u Icoeff F O k 1 Icoeff H Icoeff PoQo Pou Qov H O k 1 en utilisant les propri t s lcoeff F Icoeff P O k Icoeff Q O k Icoeff Po O 1 Remarque on montre alors que a 3 O k 1 donc R duire u et v en liminant les termes de degr strictement sup rieur a k par rapport X2 Xn S il reste un coefficient non entier renvoyer false 57 Remplacer P par P v et Q par Q u passer l it ration suivante Exemple F x 1 y 1 y zy 1 G 1 1 y 1 1 y4 xy 1 On a F 0 y y 1 y 1 et G 0 y y 1 y 1 le pgcd est donc D y 1 On remarque que D est premier avec le cofacteur de F mais pas avec le cofacteur de G Si on value en un autre point par exemple x 1 on trouve un pgcd D de m me degr donc 0 est vraissemblablement un bon point d valuation ici on en est s r puisque le pgcd de F et G se calcule vue On a lcoeff F x 1 on va donc lifter G x 1 y x2 1 y xy 1 x 1 PQ ot Po y 1 et Qo y 1 On calcule les polyn mes de l identit de B zout U 1 y et V 1 avec d
274. es comme vec teurs de base et si A a deux valeurs propres distinctes A est alors diagonalisable alors chaque coordonn e suit une exponentielle dans ce rep re y t ae Be avec a b Si a et b sont r els l une des exponentielles domine l autre lorsque t gt 00 et c est l inverse lorsque t oo la courbe est donc asymptote aux directions propres Si a et b sont complexes conjugu s de partie r elle non nulle on a une spirale qui tend vers O d un cot et vers l infini de l autre selon le signe 20 Cela vient du fait que les puissances de A forment une famille d un espace vectoriel de di mension finie n donc la famille est li e partir de n 1 l ments en fait on peut montrer que c est le cas si on consid re J A A 114 de la partie r elle Si A est sym trique alors a et b sont r els ce cas ne peut pas se produire de plus on peut choisir un rep re propre orthonorm les courbes res semblent a des hyperboles Ce sont des hyperboles si trace A 0 la somme des valeurs propres vaut O donc le produit des coordonn es dans le rep re propre vaut une constante ces hyperboles sont quilat res si A est sym trique Remarque pour un syst me diff rentiel coefficients non constants il n existe pas de m thode g n rale de r solution Il arrive que dans certains cas particuliers on puisse r soudre le syst me par exemple si on trouve une matrice de passage in d pen
275. es de coefficients condition d avoir un anneau euclidien plong dans C avec une minoration sur la valeur absolue des lements non nuls de l anneau Nous n avons jusqu pr sent aucune certitude qu il existe des entiers z tels que la partie primitive de G divise P et Q Nous allons montrer en utili sant l identit de B zout que pour z assez grand c est toujours le cas Plus pr cis ment on sait qu il existe deux polyn mes U et V tels que PU QV D Attention toutefois U et V sont coefficients rationnels pour avoir des co efficients entiers on doit multiplier par une constante enti re a donc en valuant en z on obtient l existence d une galit coefficients entiers P z u Q z v aD z 46 Donc le pgcd g de P z et Q z divise aD z ad Comme g est un multiple de d on en d duit que g d o 6 est un diviseur de a Si on a choisi z tel que z gt 2 Dlla alors z gt 2 D 8 donc l criture sym trique en base z de g est G BD Donc la partie primitive de G est D le pgcd de P et Q Exemple 6 Si Py 6 X 1 et Qo 4 X 1 Le contenu de P est 6 celui de Qo est 4 On a donc pgcd des contenus 2 P X 1 Q X 1 La valeur initiale de z est donc 2 1 2 4 On trouve P 4 15 Q 4 63 Le pgcd entier de 15 et 63 est 3 que nous crivons sym triquement en base 4 sous la forme 3 1 4 1 donc G X 1 sa partie primitive est X 1 On teste s
276. es interactions avec la temp rature si la temp rature monte la glace fond si la glace fond l al b do de la Terre diminue ce qui va faire monter la temp rature ce qui am ne un syst me diff rentiel en dimension 3 vig k o T T 6In 8G 3 a G F T G C f T E g C T a t ou f est une fonction d croissante Org est positif et a t repr sente la perturbation anthropique la puissance deux tiers appliqu e la masse de glace sert passer d un volume une surface pour repr senter effet de la variation de volume de glace sur l alb do 121 12 5 R solution num rique 12 5 1 M thodes un pas On consid re l quation diff rentielle y f ty teR y t ER y 0 yo o y t est la fonction inconnue cherch e et o f est une fonction r guli re de t et y par exemple Ct sur un domaine pour avoir existence et non recoupement des courbes int grales dans ce domaine On cherche a approcher num riquement y t pour gt 0 On pr sente ici des m thodes de r solution num rique un pas dont le principe consiste discr tiser l intervalle 0 t en des subdivisions en temps de petite taille 0 t1 t1 ta tn 1 tn t Si y est une valeur approch e de y t la m thode un pas se traduit par une relation de r currence entre y et yj 1 qui refl te une m thode d int gration approch e de yt ut f FEO at Par exemple la m thode d Euler explici
277. es nombres complexes des ex tensions alg briques des param tres des expressions symboliques La plupart des syst mes proposent un type g n rique qui recouvre ces divers types de scalaire On peut par exemple utiliser un type structur comportant un champ type et la donn e ou un pointeur sur la donn e avec dans ce cas un pointeur sur un compteur de r f rences de la donn e pour pouvoir la d truire d s qu elle n est plus r f renc e En programmation orient e objet on utiliserait plut t un type abstrait dont d rivent ces diff rents scalaires et le polymorphisme Il faut aussi un type pour les vecteurs les matrices et les listes Il faut prendre garde la m thode utilis e par le syst me lorsqu on modifie un l ment d un vec teur matrice ou liste soit on effectue une copie de tout l objet en modifiant I l ment soit on modifie l l ment de l objet original La premi re m thode par va leur est plus ais e 4 comprendre pour un d butant mais la seconde m thode par r f rence est bien plus efficace On peut se poser la question de savoir s il faut inclure ces types dans le type g n rique en g n ral la r ponse est affirmative une des raisons tant que les in terpr teurs qui permettront de lire des donn es dans un fichier texte sont en g n ral bas sur le couple de logiciels lex flex yacc bison qui ne peut com piler qu a destination d un seul type Ceci permet galem
278. espondant a un facteur a coefficients entiers Soit p un entier premier et P un polyn me a coefficients dans Z pZ On a la relation ged X X P J f fir ductible fiPdeg f k En utilisant cette relation d terminer les degr s des facteurs de a a4 1 2 2 1 modulo 5 et 7 sans utiliser la commande factor Peut on en d duire que L3 x 1 et x x 1 sont irr ductibles sur Z Utiliser les options verbose de votre logiciel de calcul formel pour factori ser 2202 g 0 1 et v rifiez que vous avez compris la m thode utilis e Trouver les facteurs de degr 1 s ils existent de 37 2524 672 774 55x 13 en remontant ses racines dans Z pZ X pour p premier bien choisi Factoriser le polyn me x x 1 par la m thode de Berlekamp Montrer que 2x x2y 2 271 y 9 est irr ductible sur Z sans utiliser Pinstruction factor 2 variables on pourra factoriser pour quelques valeurs de x ou de y Que se passe t il lorsqu on ex cute l algorithme de Yun dans Z nZ 159 12 Recherche des facteurs de degr 2 d un polyn me coefficients r els sans racines r elles en utilisant la m thode de Bairstow d crite ci dessous On cherche un facteur F x sx p de P on calcule le quotient et le reste de la division P FQ R par une m thode de type Horner il s agit de rendre R vu comme un vecteur 2 composantes nul On calcule donc s pR en cherchant le quotient et le reste de x
279. est p et p divise v 1 CQFD Ce test n cessite de savoir factoriser N 1 au moins partiellement Pour des N grands cela peut n cessiter de certifier que les facteurs obtenus sont eux m me premiers ce qui peut n cessiter une sorte d appel r cursif du test C est l tape difficile la recherche des a n est pas un blocage en pratique mod v 1 mod v puisque 15 2 La m thode p de Pollard Th or me des anniversaires la probabilit que n l ments pris au hasard parmi N soient distincts 2 2 pour n ay N et N oo est quivalente 4 2 et peut donc tre rendue arbitrairement petite En effet cette probabilit vaut P 1 1 p E donc lt k In P Y 1n 1 a k 0 on reconnait une m thode de rectangles pour approcher f In 1 t fonction croissante positive sur R d o l encadrement n 1 t n t lt pote T In 1 K dt lt In P lt In 1 N dt On int gre par parties en posant 1 N t t t t ma Ky N t ln 1 SES dt N t ln 1 wii Sit N o 1 la primitive vaut t t2 t3 t t3 139 Donc pour n av N ona a2 2 O VN lt In P lt d o le r sultat annonc Application si N est compos on prend des entiers modulo N g n r s par une suite r currente 7 41 f 1 mod N on esp re qu ils ont de bonne pro pri t s de r partition et on regarde s ils sont distincts modulo
280. est premier Preuve Si N n est pas premier alors il a un facteur premier p lt VN Donc q et p 1 sont premiers entre eux car q est premier et q gt p 1 Soit u l inverse de q modulo p 1 Alors 1 a 1 mod p car p divise N Donc 1 a N 1 mod p a 2 N D 2 mod p a N D 4 mod p d apr s le petit th or me de Fermat Ceci contredit le fait que a N 1 4 1 soit premier avec N 138 Le couple a q est alors un certificat de primalit pour N Le probl me c est que trouver a q peut tre tres difficile voire impossible Mais il existe une g n ra lisation de ce th or me qui est plus facile a r aliser Th or me 28 Supposons que l on sache factoriser N 1 AB comme produit de deux entiers premiers entre eux avec A gt y N dont la factorisation en produit de facteurs premiers est connue Si pour tout facteur p de A il existe un entier ap Z N 1 tel que a7 1 mod N et as p N est premier let N sont premiers entre eux alors Preuve soit v un facteur premier de N Soit p premier divisant A et p la plus grande puissance de p divisant A On va montrer que v 1 mod p Par le lemme chinois on en d duira v 1 mod A puis v gt VN ce qui est impossible pour au moins un facteur premier de NV Montrons donc que v 1 mod p Soit b a ie mod v Alors b 1 mod v puisque v divise N et b ao Die ag P _ 1 et N sont premiers entre eux Donc l ordre de b modulo v
281. este r en 1 re colonne L a 1 0 La b 0 L3 Li T ql r 1 q et on recommence jusqu obtenir 0 en 1 re colonne L avant derni re ligne obtenue est l identit de B zout la derni re ligne donne les cofacteurs du PPCM de a et b Si l on veut l inverse de a modulo b on remarque qu il n est pas utile de calculer les coefficients appartenant la 3 me colonne Enfin les lignes interm diaires peuvent servir reconstruire une fraction d entier repr sent e par un entier de Z nZ lorsque le num rateur et le d nominateur sont de valeur absolue inf rieure y n 2 Le th or me des restes chinois Si on conna t x a mod m et x b mod n avec m et n premiers entre eux on d termine c tel que x c mod m x n On a donc c a mu b nv et on applique B zout pour 32 trouver u ou v on en d duit c En pratique on cherche un des coefficients de B zout par exemple on cherche U tel que mU nV 1 on a alors c a m b a U Si n est petit devant m par exemple 32 bits U est aussi petit on commence par r duire b a modulo n puis on multiplie par U on r duit nouveau modulo n et on multiple enfin par m Les tests de pseudo primalit Il est essentiel d avoir une m thode rapide permettant de g n rer des nombres premiers pour appliquer des m thodes modulaires et p adiques On utilise souvent le test de Miller Rabin qui pro longe le petit th or me de Fermat si p est premie
282. esult in place of 1 we first compute all the a2 there is only 1 then all the a3 2 etc a0 y0 al y1 1_ 1 0 a0 ak yk sum_ j 0 k 1 1l_kjxaj Puis on r soud U 47 L colonne par colonne second step solve uxinverse 1 1 now under the diagonal we compute a column of inverse by solving the system uxcol inverse corresponding row of 1 1 and overwrite the row of 1 1 by solution ux x0 xn 1 a0 an x_ n l a_ n 1 u_ n 1 n 1 x_ n 2 a_ n 2 u_ n 2 n 1 x_ n 1 u_ n 2 n 2 x_k a_ k sum_ j k 1 n 1 u_ k j x_j u_ k k gt n 3 2 operations To store the solution in place we first compute all the x_ n 1 put them in the last line of m then all the x_ n 2 etc 20 5 La factorisation de Cholesky Dans le cas o la matrice est r elle sym trique ou plus g n ralement hermi tienne on peut obtenir une criture analogue mais o U est la transconjugu e de L A U U LL L reste triangulaire inf rieure mais n a plus des 1 sur sa diagonale en g n ral Si A est d finie positive on peut rendre l criture unique en imposant aux coefficients diagonaux de L d tre r els positifs 212 Lalgorithme de calcul de U est la traduction matricielle de l algorithme de Gauss de r duction des formes quadratiques On a en effet g Ax 2 U Uz Ux les lignes de U ou les colonnes de L sont donc les coefficients des formes lin aires ind pendantes qui interv
283. et une 5 i me colonne parmi les suivantes on obtient la fin de la r duction une matrice 1 1 qui contient un des coefficients de R3 selon le choix de la 5 i me colonne Donc ce coefficient est gal au d terminant de la matrice 1 1 qui est gal au signe pr s au d terminant de la matrice 3 3 dont il est issu par notre r duction en effet dans la 2i me partie de la r duction on a multipli deux fois L par r2n 2 mais on doit ensuite diviser le d terminant par es pour liminer les colonnes 1 et 2 Quant au d terminant de la matrice 3 3 il se d duit du d terminant de la matrice 5 5 par multiplication par q4_ 2 lignes ont t multipli es 2 fois par qn 1 et division par q2_ limination des colonnes 1 et 2 Au final tout coefficient de Rg est gal au produit d un d terminant 5 5 extrait de la matrice de Sylvester de P et Q par q _ qui est justement le coefficient magique par lequel on divise le reste de R1 Q par Ra lors de l algorithme du sous r sultant 44 3 2 Le pgcd en une variable 3 2 1 Le pgcd heuristique On suppose ici que les coefficients sont entiers ou entiers de Gauss On peut donc se ramener au cas o les polyn mes sont primitifs Lid e consiste valuer P et Q en un entier z et extraire des informations du pgcd g des entiers P z et Q z Il faut donc un moyen de remonter de l entier g un polyn me G tel que G z g La m thode consiste crire en base z l entier
284. existe car au rang 0 il n y a plus de contraintes sur les In qu on peut rajouter 17 3 6 Extension exponentielle Si X exp Y est une exponentielle on doit r soudre S Aj Y AD XI Y aX j J J Ceci va se faire degr par degr A jY Aj 4 27 Exemple Pour calculer f a x exp x on a j 1 et on doit r soudre I quation diff ren tielle 2xA1 a x Pour j 0 il suffit de faire un appel r cursif l algorithme de Risch mais pour j FO la situation se complique Notons Z la variable situ e juste en dessous de X dans la tour de variables dans l exemple ci dessus Z x il s agit de r soudre y fy 9 28 avec f y l mentaires par rapport une tour dont le variable au sommet est Z on cherche y l mentaire par rapport cette tour ici f jY est une d riv e mais dans certains cas nous devrons r soudre par appel r cursif des quations du type ci dessus o f ne sera pas une d riv e limination des d nominateurs Soit P un facteur irr ductible du d nominateur de y notons a lt 0 la valuation de y par rapport P 8 celle de f y celle de g Si P n est pas une exponentielle la valuation de y est a 1 celle de fy est a 8 Si 8 4 1 il n y a pas de simplification possible dans le membre de gauche donc a min B 1 y Autrement dit si 6 gt 0 alors a y 1 et si 8 lt 1 alors a y p On observe que y lt 0 donc P est un facteur du d
285. fficile 4 apprendre pour qui n est pas alg briste Sage se fonde sur un norme corpus de logiciels et biblioth ques dont Maxima appel pour les calculs symboliques Giac peut d ailleurs en tre un com posant optionnel qu il fait communiquer entre eux un peu la mani re d une distribution linux qui fait cohabiter des composants logiciels mais de mani re plus intime Python servant de colle entre les briques logicielles crits en diff rents lan gages c est aussi l une diff rence importante avec Giac qui utilise C C pour dialoguer avec d autres biblioth ques ou logiciels tout en restant utilisable comme module Python C est la force et la faiblesse de Sage car on b n ficie de certains composants tr s performants mais le code propre de Sage est tr s d pendant de l volution de ces composants son composant d infrastructure le plus fondamental la version de Python utilis e est fig e depuis plusieurs ann es en 2 7 alors que le module giacpy pour acc der giac depuis Python fonctionne en versions 2 7 et 3 x toutes les op rations de calcul formel non sp cialis font tr s souvent appel Maxima si une int grale rend un r sultat incorrect il faut en informer les d veloppeurs de Maxima les op rations polynomiales rapides font appel des biblioth ques C C et d pendent donc des performances de ces biblioth ques par exemple le calcul de base de Groebner sur les entiers utilise
286. g 18 7 Cas des fonctions p riodiques 18 8 Quadratures gaussiennes 18 9 M thode adaptative 18 10M thodes probabilistes 19 Suites r currentes et applications 19 1 Calcul de l expression des suites r currentes POA RECUITENCS aline Leu se su ue we a He 19 1 2 Utilisation de la base de Newton si A Jgetc 1 19 2 Le pout axe dans Ro 4 S404 Lou sa pas sise 19 3 Lepomtnxe dans R aos ae a 4 us sn Loue Re ee 19 4 La m thode de Newton dans R 19 5 La m thode de Newton dans R 19 6 Calcul approch des racines complexes simples 20 Alg bre lin aire 20 1 R solution de syst mes calcul de d terminant 20 1 1 La m thode du pivot de GauB 2012 LERMA 2 44 ee bad ak aed ha Bae 20 13 Systemes HOGAITOS eos oeenn ee a aaa s 20 1 4 B zout et les p adiques MAR Base du NOYA a cocodrilo af no te a 161 161 161 161 162 166 169 170 170 170 172 172 173 177 178 178 180 183 184 184 185 186 187 187 188 188 189 189 190 190 193 194 197 198 20 2 Alg bre lin aire ST An oes ia ce eke a 20 2 1 Calcul du d terminant d une matrice coefficient entiers 20 2 2 R duction de Hermiteet Smith 20 2 3 L algorithme LLL v e eee e be he ee 20 3 Le
287. g et de ay et tester toutes les fractions de ces diviseurs on montre en effet ais ment que si X p q fraction irr ductible est racine de P alors q divise ag et p divise ag Cet algorithme est tr s inefficace si ag ou ag est un grand entier car on ne sait pas forc ment le factoriser ou s il a beaucoup de facteurs premiers la liste des diviseurs tester est alors tr s grande Lorsque les coefficients de P sont entiers la recherche pr c dente revient trouver un facteur coefficients entiers qX p de P on peut donc r duire le probl me modulo un entier premier n qui ne divise pas aq si un tel facteur existe dans Z alors ce facteur r duit modulo n est un facteur de P dans Z nZ donc P 29 admet une racine dans Z nZ puisque q est inversible modulo n car on a choisi n premier ne divisant pas aq On value maintenant P en les n l ments de Z nZ S il n y a pas de 0 alors P n a pas de racine rationnelle S il y a des racines on va les lifter de Z n Z dans Z n Z On suppose donc que pour k gt 1 il existe un entier pz tel que P px 0 mod n Il s agit de trouver un entier x tel que py41 px n x v rifie P Pr 1 0 mod n On applique la formule de Taylor l ordre 1 pour P en px le reste est nul modulo n donc Plpx n xP pp 0 mod n24 soit finalement o P Pp mod nf On reconna t au passage la m thode de Newton pour qu elle fonctionne il suf fit que P p 0
288. g u cos 27d En effet si on consid re un couple de variables qui suivent une loi normale centr e r duite la densit de probabilit au point x y coordonn es cart siennes ou r 0 est 1 224 y r2 1 1 _s L ze z dx dy era do Ge ds i 27 27 2 20 2 o r s Donc s suit une loi exponentielle g n r e par la r ciproque de la distribution cumul e et 0 uniforme les deux sont ind pendantes On crit alors x r cos 0 On peut pour le m me prix g n rer y rsin 0 Pour viter de calculer des lignes trigonom triques on peut aussi tirer x et y uniform ment dans 1 1 accepter le tirage si s x y 0 1 et renvoyer deux valeurs al atoires selon la loi normale Pour la loi du y k degr s de libert on fait la somme des carr s de k r els al atoires selon la loi normale Pour la loi de Student on fait le quotient d un r el selon la loi normale par la racine carr e d un r el selon la loi du x divis par le nombre de degr de libert Pour la loi de Fisher on fait le quotient d un r el selon la loi du x en ky degr s de libert divis par k et d un r el selon la loi du x en ka degr s de libert divis par k2 286 A Bonus le making of de Giac Xcas A 1 Comment le projet Giac Xcas est n Lorsque j tais au lyc e au d but des ann es 80 nous avions des calculatrices scientifiques mais les calculatrices graphiques n e
289. gcd consiste donc diviser par son contenu pgcd des coefficients entiers chaque polyn me Exemple P 4X 4 et Q 6X 12X 6 Le polyn me X 1 est un pgcd de P et Q puisqu il est de degr maximal divisant P et Q mais le pgcd de P et Q est 2 X 1 Remarquons qu avec notre d finition 2 X 1 convient aussi Par convention on appelera pgcd dans Z X le polyn me ayant un coefficient dominant positif D finition On appelle contenu c P d un polyn me P le pgcd des coeffi cients de P On d finit alors la partie primitive de P pp P P c P Si c P 1 on dit que P est primitif Proposition Si A et B sont primitifs et si B divise A dans Q X alors A B Z X Preuve Soit Q A B Q X Soit q N le PPCM des d nominateurs des coefficients de Q et notons P qQ Z X Ona PB qQB qA Si q 1 la proposition est d montr e Sinon consid rons un facteur premier p de q dans Z pZ X on a PB 0 mod p Comme B est primitif B 4 0 mod p donc P 0 mod p donc P p q pQ Z X ce qui est absurde car q est le PPCM des d nominateurs de Q Donc le PGCD de A et B polyn mes primitifs de Z X est obtenu en prenant un PGCD de A et B dans Q X en multipliant par le PPCM des d nominateurs et en rendant le polyn me obtenu primitif on change le signe du r sultat si n cessaire pour avoir un coefficient dominant positif On en d duit que D pgcd P Q pgcd c P c Q pgcd pp P pp Q 4
290. gcd modulaire multivariables SR AA 3 4 Quel algorithme choisir 3 5 Pouren savoir plus oo 4 ew dia min pis 4 Le r sultant EL D MO oo LL ek Bo do dessous Du de dosette A2 ADPHCANONS booger ars eo dus 4 da Nas dede 4 3 Resultant et degr s Ti e a os das sa aa A 4 4 Lien avec l algorithme du sous r sultant calcul de PGCD 4 5 Calcul efficace du r sultant Localisation des racines 31 MROMO ee Lu Loos a O e re 52 Les Sites de SII os 842 na Ay 0 A a E ue 4 5 3 Autres algorithmes s es 4 Le nan en HAE dd as Exercices PGCD r sultant 6 1 Tnstuctions 4 4 Lau 4 44 den bus as be ed a GRL TIUS esla aid der G l2 Polynomies lt e segoe sin ee ee ee 6 1 3 Calcul modulon ss ce dut a a a 6 2 Exercices PGUD accord a 6 3 Exercices r sultant oc a a a ea 6 4 Exercice B zout modulaire 6 5 Exercice G om trie et r sultants 6 6 D calage entier entre racines 6 7 Exemple de correction de g om trie et r sultant 41 42 45 45 47 51 51 52 55 58 59 59 59 60 62 63 64 65 65 65 66 7 Bases de Gr bner 74 LU io AIN 74 EA IIA 75 Teo NHOAMOAONM 4 a o ds ue he oo ae 76 7 4 Checking a reconstructed Groebner basis 76 7 5 Speeding up by learning from previous primes 78
291. gonal On observe que r 1 est combinaison lin aire des p pour j lt i 1 donc lt r rx gt 0 sii lt k puisque rx est orthogonal aux p pour j lt i lt k 5 On calcule la 1 i me composante de x sur la famille orthogonale aug ment e lt blpi 1 gt lt Api i Pit1 gt On peut maintenant ajouter la 1 i me composante de x x pour obtenir Li 1 Ti Ai 1Pi 1 6 Pour calculer efficacement p 1 on observe que Qi 1 Tk41 Tr A tr 1 Ep Ak Pk Donc rj41 pi est orthogonal py pour k lt i 1 1 lt Ti41 pi 1l Apk gt lt rip Apr gt gt lt rigilreti Te gt 0 Qk Qk Ainsi rj41 Pi 1 Pipi et 1 lt Tina Pi Ap gt as rigilriz gt Bi lt pil Ap gt 2 7 De plus lt Ti ilri gt lt Api i piti gt En effet comme b Azi ri 1 et comme r 1 est orthogonal aux pj j lt i Qi 1 Lire An riti Piy Tala gt ral 230 8 Donc Store lt rilri gt Bi y Pi 1 Fi Pipi On s arr te en au plus la dimension it rations lorsque la famille orthogonale est devenue une base En grande dimension on peut d cider de s arr ter pr matur ment sur une solution approch e en testant si la norme de la valeur du r sidu v rifie Irall llb Azil lt e La commande conjugate_gradient A b de Xcas permet de faire ce calcul on peut pr ciser une valeur initiale de recherche x0 et une pr cision eps en tap
292. gt 0 on a deux racines r elles distinctes qui sont toutes les deux strictement n gatives si l oppos de leur somme et leur produit sont positifs b a gt 0 c a gt 0 r gime amorti quivalent la plus grande des deux exponentielles Si A b 4ac 0 on a une racine double b 2a il y a convergence vers 0 si b a gt 0 Dans tous les autres cas la partie r elle d une des racines est positive ou nulle et il n y a pas de convergence vers 0 de la solution g n rale Si on a deux racines imaginaires pures conjugu es la solution est p riodique sinon la solution tend vers linfini pour une condition initiale g n rique Exemples y y 0 deux racines imaginaires pures conjugu es solution g n rale asin x bcos x p riodique y y y 0 deux racines complexes conjugu es de partie r elle n ga tive il y a convergence exponentielle vers O avec des oscillations la solution g n rale est e a cos 3a 2 bsin V3r 2 y 2y 3y 0 deux racines r elles une positive une n gative La solution g n rale est ae be elle tend g n riquement vers linfini sauf condition initiale annulant a On peut g n raliser un ordre quelconque Si toutes les racines de l quation caract ristique sont de partie r elle n gative la solution g n rale de l quation ho mog ne tend vers 0 linfini elle est appel e r gime transitoire Quelle que soit la condi
293. hat do not divide the leading coefficients of Ge and stop as soon as the inverse of the product of these primes is less than a fixed e gt 0 Deterministic checking algorithm check that all s polys reduce to 0 over Q This can be done either by integer computations or even by rational computations I have not tried that or by reconstruction of the quotients using modular reduc tion to 0 over Z pZ for sufficiently many primes Once the reconstructed quotients stabilize we can check the 0 reduction identity and this can be done without com puting the products quotients by elements of G if we have enough primes with appropriate bounds on the coefficients of Ge and the lcm of the denominators of the reconstructed quotients 77 7 5 Speeding up by learning from previous primes Once we have computed a Groebner basis modulo an initial prime p if p is not an unlucky prime then we can speedup computing Groebner basis modulo other lucky primes Indeed if one s poly reduce to 0 modulo p then it reduces most certainly to 0 on Q non zero s poly have in general several terms cancellation of one term mod p has probability 1 p simultaneous cancellation of several terms of a non zero s poly modulo p is highly improbable and we discard this s poly in the next primes computations We name this speedup process learning It can also be applied on other parts of the Groebner basis computation like the symbolic preprocessing of the F4 algorithm wher
294. hec les calculatrices graphiques de milieu de gamme commencent a avoir des logiciels de calcul formel jouets comme par exemple Eigenmath sur Casio Graph 35 USB et 75 85 95 et moyen terme 10 ans ces calculatrices auront suffisamment de capacit m moire pour permettre le portage de logiciels de calcul formel complets comme Giac B 4 Calculatrices tablettes ou PC Si on est convaincu de l int r t d utiliser un outil de calcul se pose alors la question du choix de l outil Voici quelques l ments de r flexion Les calculatrices ont pour avantages la disponibilit imm diate on ap puie sur ON en 1 seconde on peut travailler 1 encombrement faible la ro bustesse le clavier scientifique d di avec sur les calculatrices graphiques haut de gamme une interface facilitant la saisie d int grales limites etc la consommation faible des piles qui durent plusieurs mois ou des batteries dont la charge tient plusieurs semaines l absence de connection Internet pour les examens Les inconv nients prix lev taille d cran trop petite pour faire des gros calculs et puissance parfois insuffisante plus difficile de charger sauvegarder des donn es dans des fichiers pas de souris l utilisation du clavier peut tre p nible pour programmer ou saisir une ligne de commandes un peu longue le clavier des TI92 et des TI Nspire CX est un bon compromis cran tac tile des HP Prime permet de se passe
295. horizontale pour un pan neau solaire il faudrait calculer les coordonn es d un vecteur perpendiculaire au panneau est proportionnelle o p 9 a 1 e 1 ecos 0 d signe la distance Terre Soleil Le calcul de s v donne en notant p 27t J s v cos 1 cos p cos 9 Bp cos cos 1 sin p sin 9 0 sin 1 cos 9 0p sin i On rassemble les deux premiers termes qui d pendent rapidement du temps par l interm diaire de y le 3 me terme n en d pend que par 0 qui ne varie que d en viron 1 degr pendant une journ e et on applique la formule de trigonom trie A cos a0 cos Bsina y A B cos a ag a VA FD sin ag EF Ici apr s avoir factoris cos 1 on a V A2 B2 ycos 0 09 cos i 2 sin 0 40 1 sin i cos 80 On peut aussi calculer B _ tan 9 65 A cos i tan ao qui donne ay modulo x et compl ter en regardant le quadrant o se trouve A B ici o et 0 Oy sont tous deux dans 0 x ou tous deux dans 7 0 Finalement on obtient le Th or me 52 L nergie solaire recue au sol est proportionnelle a 1 ecos 0 s v o s v est donn par s v cos 1 y 1 sin i cos 8 9 cos p po sin 1 cos 9 4 sin i et e est l excentricit de l orbite elliptique environ 0 0167 actuellement test l obliquit inclinaison de laxe de rotation de la Terre env
296. i X 1 divise P et Q c est le cas donc c est le pgcd de P et Q et le pgcd de Pp et Qo est 2 X 1 Algorithme gcdheu En arguments deux polyn mes P et Qo coefficients entiers ou entiers de Gauss Retourne le pgcd de Po et Qo ou faux en cas d chec 1 Calculer le contenu de P et Qo V rifier que les coefficients sont entiers de Gauss sinon retourner faux 2 Extraire la partie primitive P de Py et Q de Qo calculer le pgcd c des conte nus de Py et Qo 3 D terminer z 2 min P Q 2 4 D but de boucle initialisation du nombre d essais 1 test d arr t sur un nombre maximal d essais avec changement de z entre deux it rations par exemple z 22 5 Calculer le pgcd g de P z et Q z puis son criture sym trique en base z dont on extrait la partie primitive G 6 Si GnedivisepasP passer l it ration suivante De m me pour Q 7 Retourner cG 8 Fin de la boucle 9 Retourner faux On remarque au passage qu on a calcul le quotient de P par G et le quotient de Q par G lorsque la proc dure r ussit On peut donc passer la proc dure gcdheu deux param tres suppl mentaires par r f rence les deux polyn mes que l on affectera en cas de succ s ce qui optimise la simplification d une fraction de 2 polyn mes 3 2 2 Le pgcd modulaire On part du fait que si D est le pgcd de P et Q dans Z ou Z i alors apr s r duction modulo un nombre premier n qui ne divise pas les coefficients
297. i az gt b ou si ay b et a2 gt ba ou si a b1 a2 ba et az gt b3 etc le degr total tdeg on commence par comparer le degr total et en cas d galit on utilise l ordre lexicographique revlex on commence par comparer le degr total et en cas d galit on renvoie le contraire de l ordre lexicographique attention cela ne veut pas dire inverser ordre des variables On remarque sur ces 3 exemples qu il ne peut exister de suite strictement d crois sante infinie pour l ordre gt Lorsque le degr total est le premier crit re c est vident puisque le nombre de monomes lt un monome donn est fini Pour l ordre lexicographique on raisonne par l absurde On regarde d abord le premier indice comme la suite est d croissante tous les mon mes ont un indice inf rieur ou gal au premier indice du premier mon me On peut donc extraire une sous suite strictement d croissante et infinie de mon mes dont le ler indice est constant On passe alors au 2 me indice et ainsi de suite jusqu au dernier indice qui donne une contradiction On fait donc dans la suite l hypoth se qu il n existe pas de suite 74 strictement d croissante infinie pour l ordre gt On peut alors effectuer une sorte de remplacement de la division euclidienne de par B appel e r duction qui consiste comparer le terme dominant de B au sens de l ordre not LT B aux monomes de par ordre d
298. iable Xx On continue le raison nement comme dans le cas unidimensionnel Deuxi me cas si C d pend d une autre variable par exemple X1 On re garde le coefficient de plus haut degre de C par rapport a X1 Ce coeffi cient divise le coefficient de plus haut degre de P et de Q par rapport a Xj Comme C z est constant on en deduit que le coefficient de plus haut degre 51 de P et Q par rapport a X est divisible par Xy z donc le coefficient de plus bas degre en Xx de ces coefficients de plus haut degre est divisible par z ce qui contredit la majoration de ce coefficient En pratique cet algorithme n cessite le calcul r cursif de pgcd sans garantie de r ussite On l vite donc s il y a beaucoup de variables la limite est par exemple de 5 pour MuPAD 3 3 2 Le pgcd modulaire multivariables Ici on travaille modulo X a o X1 Xn d signent les variables des polyn mes On consid re donc deux polyn mes P et Q comme polyn mes de la variables X avec des coefficients dans Z X1 Xn 1 On value en Xn a on obtient deux polyn mes en n 1 variables dont on calcule le pgcd r cursive ment Il s agit de reconstruire le pgcd par interpolation Tout d abord on a une borne vidente sur le degr du pgcd par rapport la variable Xn c est le minimum 6 des degr s par rapport Xn des polyn mes P et Q A premi re vue il suffit donc d valuer les polyn mes en 6 1 points a Il
299. iable et on r soud l quation obtenue en cette va riable pour chaque solution on aura une unique solution en remontant les autres variables La repr sentation univari e rationnelle fait pr cis ment cela et donne m me les autres variables comme polyn me en la forme lin aire s parante La pr sentation classique de la repr sentation univari e rationnelle utilise des calculs de trace cf par exemple le rapport de l Inria 1998 de Fabrice Rouillier l algorithme impl ment dans Giac Xcas versions 1 1 1 et ult rieures est un al gorithme modulaire On commence par se ramener au cas d un id al radical c est a dire que les points solutions du syst me sont de multiplicit 1 en ajoutant aux g n rateurs de l id al les parties squarefree des polyn mes minimaux de toutes les variables Pour un id al radical on montre qu il existe une forme lin aire s parante le degr du polyn me minimal de cette forme lin aire s parante est exactement gal la dimension du quotient de l anneau de polyn mes par l id al radical On peut donc tester si une forme lin aire est s parante en calculant son polyn me minimal En pratique on commence par calculer une base de Groebner pour l ordre rev lex le plus efficace On g nere la liste des monomes du quotient en commengant 82 par majorer les degr s en chacune des variables puis on limine parmi les mo nomes possibles ceux qui sont divisibles par le monome dominant
300. iagonale elles convergent g om triquement vers 0 donc UD L D tend vers une matrice triangulaire sup rieure dont les coefficients diagonaux valent etk argel s On montre que cela entraine que Q1 Q est quivalent P D D Q1 Q_ P D D Ry R U71 D D D U DF L D Donc Qx tend devenir diagonale et R Qy Ax11 triangulaire sup rieure De plus A Q AQT Q1 Qkr Aky Q1 Qk t la matrice Az est donc semblable A En pratique on n impose pas la positivit des coefficients diagonaux de R dans la factorisation QR ce qui ne change videmment pas le fait que Qk s approche d une matrice diagonale et A d une matrice triangulaire sup rieure avec conver gence vitesse g om trique On commence aussi par mettre la matrice A sous forme de Hessenberg par conjugaison par des matrices de Householder c est dire presque triangulaire sup rieure on autorise des coefficients non nuls dans la partie inf rieure seulement sur la sous diagonale a 0 siz gt j 1 Cela r duit consid rablement le temps de calcul de la d composition QR le produit RQ ayant encore cette propri t une it ration se fait en temps O n au lieu de O n Le calcul de RQ partir de A est d ailleurs fait directement on parle d it ration QR implicite On utilise aussi des shifts pour acc lerer la convergence c est dire qu au lieu de faire QR et RQ sur la matrice Az on le fait sur
301. ice exacte coefficients rationnels dont les d nominateurs sont une puissance de 2 en fait 29 Si est la matrice companion d un polyn me une autre approche consiste rechercher un rectangle du plan complexe stable par it r e de la m thode de Newton ou calculer les disques de centre les coefficients diagonaux et de rayon le degr du polyn me divis par un minorant de la d riv e du polyn me par la valeur du polyn me 236 c est exactement ce que donne l criture d un flottant en base 2 une fois ramen tous les exposants la m me valeur On a donc une matrice P presque unitaire exacte et telle que Se BAR est semblable A et presque triangulaire sup rieure comme P est presque uni taire sa norme et la norme de son inverse sont proches de 1 donc Se est proche de S les coefficients de Se sont de la m me taille que les coefficients de A le changement de base est bien conditionn et c est la raison pour laquelle on a choisi d effectuer des transformations unitaires Notons 41 in les coefficients diagonaux de Se soit e un majorant de la norme des coefficients sous diagonaux de Se et soit un minorant de I cart entre 2 uj distincts On a donc Se U E o U est triangulaire sup rieure E est triangulaire inf rieure avec des O sous la diagonale et des coefficients de module major s par e Si e est suffisamment petit devant 6 on va montrer qu on peut loca liser les valeurs
302. icites pour d terminer Y en fonction de x au voisinage de x 0 et de cha cune des racines de P 1 Y en Y puisque les racines sont simples Le point est dit singulier r gulier ou singulier ordinaire C est ce que fait la commande implicitplot de Xcas affichage des informations interm diaires Si le point singulier n est pas ordinaire l quation devient YY Y t 90 Y 0 k gt 1 et il faut faire intervenir des puissances fractionnaires en x d pendant de termes sup rieurs du d veloppement de Taylor de f en 0 0 pour d singulariser les k arcs de courbes ayant m me tangente y tz en 0 0 Par exemple si g 0 t 4 0 on pose X alk Y t XZ qui donne Z GO t XZ g X t XZ 0 2 pour X 0 ona alors k solutions non nulles Z qui se prolongent au voisinage de X 0 par le th or me des fonctions implicites Certains cas particuliers peuvent tre trait s en transformant la courbe implicite en courbe param trique c est le cas des courbes alg briques de degr 2 qui sont des coniques On peut les param trer rationnellement si on en connait un point en prenant la droite passant par ce point de pente m et en cherchant l autre point d intersection avec la conique il y en a forc ment un et un seul autre parce que l quation correspondant aux points d intersection est de degr 2 et on connait d j une solution cette param trisation est int ressante pour faire du calcul formel mais moins pour
303. ie anglo saxonne On remarquera que le conditionnement d pend du choix de la norme sur l es pace vectoriel Si on prend comme norme la norme L le calcul de 4 n ces site de maximiser lt Ab Ab gt pour b de norme 1 ce qui revient maximiser 1 lt b A Ab gt En diagonalisant la matrice hermitienne A A on voit qu il suf fit d en trouver la plus grande valeur propre et d en prendre la racine carr e Les valeurs propres de A A sont appel es valeurs singuli res de A ce sont des r els positifs Le m me raisonnement pour A dont les valeurs singuli res sont les inverses des valeurs singuli res de nous donne alors le Th or me 43 Lorsqu on r soud un syst me lin aire Ax b matrice connue pr cis ment et inversible b connu avec une erreur relative en norme L l erreur relative en norme L sur x est au plus multipli e par An K2 A DM o A resp A1 est la plus grande resp plus petite valeur singuli re de A ra cines carr es des valeurs propres de A A Ce facteur d amplification des erreurs relatives est videmment sup rieur ou gal 1 Il est gal 1 si la matrice est unitaire puisque A est une matrice d isom trie ou car AA I S il est de l ordre de 2 on perdra au plus c bits de pr cision sur la mantisse de x Avec Xcas les valeurs singuli res s obtiennent par l instruction SVL A le condi tionnement L par COND A 2 Attention les valeurs si
304. iel de calcul formel permettra dans certains cas d illustrer certains ph nom nes dus au calcul approch 2 2 Les r els On se ram ne d abord au cas des r els positifs en machine on garde tradition nellement un bit pour stocker le signe du r el repr senter 2 2 1 Virgule fixe et flottante La premi re id e qui vient naturellement serait d utiliser un entier et de d placer la virgule d un nombre fixe de position ce qui revient mulitplier par une puissance n gative de la base Par exemple en base 10 avec un d calage de 4 1234 5678 serait repr sent par 12345678 et 1 2345678 par 12345 on passe de l entier au r el par multiplication par 1074 L inconv nient d une telle repr sentation est qu on ne peut pas repr senter des r els grands ou petits comme par exemple le nombre d Avogadro la constante de Planck etc D o l id e de ne pas fixer la position de la virgule on parle alors de repr sentation a virgule flottante ou de nombre flottant on repr sente un nombre par deux entier l un appel mantisse reprend les chiffres significatifs du r el sans vir gule l autre l exposant donne la position de la virgule Attention le s parateur est un point et non une virgule dans la grande majorit des logiciels scientifiques On s pare traditionnellement la mantisse de l exposant par la lettre e Par exemple 1234 5678 peut tre repr sent par 12345678e 8 mantisse 12345678 ex posant 8
305. iennent dans l criture de la forme quadratique comme somme diff rence de carr s de formes lin aires Si est d finie positive seules des sommes interviennent et les variables s liminent l une apr s l autre le coefficient de x est forc ment non nul lorsqu on a limin x et ainsi de suite ceci explique la forme triangulaire de U et L Le calcul de L se fait donc colonne par colonne en calculant d abord le coef ficient diagonal comme racine carr e du coefficient diagonal a A Ensuite on effectue les combinaisons de ligne sous la forme 1 lj gt l li gt Qjli j aj Qg On peut aussi tout simplement effectuer le produit de LL et chercher les in connues en commencant par 1 1 puis on calcule les l 1 pour gt 1 etc En suivant wikipedia pour une matrice r elle E On eat d E la la gt 0 Int Ino PE lnn min i j Het Slade Y litis 1 lt 6 Sn k 1 La matrice A tant sym trique il suffit que les relations ci dessus soient v rifi es pour lt j c est dire que les l ments l de la matrice L doivent satisfaire 2 D ly LE En k 1 Pour 1 on d termine la premi re colonne de L a11 dd ay ul donc E 1j lii 4 11 lji a pour j 1 On d termine la i i me colonne de L 2 lt i lt n apr s avoir calcul les i 1 premi res colonnes ai dada aig lilja lily DDE 1 likl jk lii pour j gt i 213 Pour une
306. ier le chemin en ajoutant y t x1 t tn t un vecteur uA t avec A to A t 0 on obtient une action S u on calcule la d riv e en u 0 de S u elle doit s annuler pour avoir un extr mum et ce quel que soit la 126 valeur de la fonction A telle que A tp A t 0 Prenons pour commencer A uniquement sur la premi re composante A t t 0 0 ona ti S u a COR ICRA EEN E E ee ae to on d rive par rapport u sous le signe int grale on peut intervertir d riv e et int grale car y 6 L sont deux fois continument d rivables Comme u intervient dans deux composantes de Z il y a deux d riv es partielles qui interviennent Terob aL s o f es Di dt On int gre par parties le deuxi me terme a le terme tout int gr est nul car 9 to t1 0 d o t t o s0 Z g mo a 2 Soe oa to 0x1 dt 0x1 to 0x1 dt 0x1 Comme le r sultat doit tre nul pour toute valeur de 6 on en d duit la premi re quation d Euler Lagrange en prenant t to t1 t 2 L a fe sila r gularit est suffisante ou sinon en raisonnant par l absurde si l quation n est pas v rifi e en un point alors on prend 6 non nulle seulement au voisinage de ce point et nulle ailleurs et on choisit 6 de m me signe que l autre facteur l int grale est alors strictement positive absurde Un des int r ts de cette criture des quations de la m canique c est de
307. ilis e pour des matrices de taille plus petites que plusieurs centaines de lignes et colonnes De m me on peut gagner sur le calcul du polyn me minimal en faisant des op rations de multiplication par bloc 20 9 Quelques m thodes alternatives au pivot 20 9 1 Factorisation QR La factorisation QR consiste crire une matrice A comme produit d une ma trice orthogonale ou unitaire dans C et d une matrice triangulaire sup rieure Les 226 matrices orthogonales ayant un conditionnement de 1 en norme L cette factori sation est num riquement stable Il existe plusieurs algorithmes pour effectuer cette factorisation La m thode de Householder utilise des matrices de sym trie par rapport un hyperplan Pour annuler les coefficients de la premi re colonne c de A on construit le vecteur u C1 c le o es est le premier vecteur de base et le signe est le signe de la premi re composante de c pour assurer la stabilit num rique On fait alors la sym trie Q par rapport l hyperplan H orthogonal u qui laisse H invariant et transforme u en u Comme u est vecteur directeur de la bissectrice int rieure ou ext rieure de c1 et e1 la sym trie change ces deux vecteurs ventuellement au signe pr s La matrice A Q A a donc comme premi re colonne un multiple de e1 on continue ensuite en faisant le m me raisonnement sur la matrice A en se limitant et lignes et colonnes d indice gt 2 Apr s n 1 i
308. illes un de mes tudiants de Deug on dirait licence 1 re ann e aujourd hui qui m a montr le calcul d une d riv e symbolique et d un inverse de matrice sur une calculatrice HP qui tait le leader du march haut de gamme avant que TI ne sorte la TI92 puis la TI89 L id e de pouvoir faire ce type de calculs sur calculatrices m a s duit j tais assez insatisfait des exercices que l on donnait en examen aux tudiants o la diff rence entre un 8 et un 12 se fait souvent sur une petite tour derie dans une r solution de syst me lin aire et pas du tout sur la compr hension des notions au programme J ai donc d cid de rattraper mon retard dans le do maine d acheter une calculatrice et de la documentation pour la programmer l t suivant C tait indispensable car le moteur de calcul formel fourni sur les HP48 tait tr s limit D un certain point de vue c tait une chance puisqu il y avait tout faire donc tout apprendre Au cours des ann es qui ont suivi j ai am lior ces programmes et je les ai mis disposition de la communaut des utilisateurs de calculatrices HP sous le nom d Erable clin d oeil Maple Erable fait partie de ce que l on peut qualifier de syst me de calcul formel jouets j entends par l ca pable de r soudre les exercices calculatoires donn s du lyc e la licence de maths En m me temps j enseignais l algorithmique en licence avec toute une
309. im 1 M op M 0 n 10 prec 0 0 n 1 10 prec S A L O 111 M retourne 1 A ho Par exemple P x 3 x 1 x x 4 x 1 suivi de 1 A f P fait appa raitre en premi re ligne de A le vecteur 1 1 1 0 0 0 0 0 0 On essaie donc de recombiner les trois premi res racines de 1 pcoeff 1 0 1 1 1 2 renvoie bien un facteur presqu entier de P Il faut bien entendu des encadrements rigoureux pour d terminer la pr cision utiliser pour les racines pour prouver l ir r ductibilit de P si ne contient pas de vecteur court contenant uniquement des let0 20 3 Le pivot de Gauss num rique 20 3 1 Efficacit de l algorithme Si la matrice poss de L lignes et C colonnes le nombre maximal d op rations pour r duire une ligne est C divisions C multiplications C soustractions donc 3C op rations arithm tiques de base Il y a L 1 lignes r duire chaque tape et min L C tapes effectuer on en d duit que le nombre maximal d op rations pour r duire une matrice est 3LCmin L C Pour une matrice carr e de taille n cela fait 3n op rations 20 3 2 Erreurs d arrondis du pivot de Gauss Comme a c lt a une tape de r duction multiplie au plus l erreur absolue des coefficients par 2 Donc la r duction compl te d une matrice peut multiplier au pire l erreur absolue sur les coefficients par 2 o n est le nombre d tapes de r duction inf rieur au plus petit d
310. imal de quelques l ments de GF 7 5 en uti lisant votre repr sentation ou celle de Xcas M me question mais en degr 4 avec la repr sentation de Xcas 3 Factoriser avec Xcas x x modulo 2 on pourra utiliser factors 2et 0 En d duire les polyn mes irr ductibles de degr 4 sur Z 2Z d terminez les polyn mes irr ductibles primitif de degr 4 pour l un d entre eux construire une table entre repr sentation multiplicative et additive de GF 2 4 4 crire une fonction permettant de d terminer si un polyn me A est irr duc tible modulo p en utilisant le PGCD avec les z x modulo p Quelle est sa complexit si A est irr ductible de degr d 14 4 Codes lin aires et polynomiaux Les corps finis premiers servent dans tous les algorithmes modulaires on en a vu par exemple l int r t pour le PGCD la factorisation Les corps finis premiers et non premiers servent aussi dans le domaine de la cryptographie et des codes correcteurs d erreurs on pr sente ici ce dernier point R f rences Demazure G Z mor wikipedia pour les codes de Hamming binaires On appellera symbole d information l unit de base transmise qu on supposera appartenir un corps fini K par exemple pour un bit un l ment de K Z 2Z ou pour un octet un l ment du corps 256 l ments K F256 Fa On veut coder un message de longueur k avec des possibilit s de d tection et de correction d erreurs p
311. imales est proportionnel n ou encore il faut effectuer un nombre d it ra tions proportionnel n chaque it ration faisant gagner en pr cision de l ordre du rapport k de contractance En effet supposons que f est continue en et que 0 lt L F D lt 1 Il existe alors un intervalle J 1 n l n tel que L 1 L el gt gt S Pal lt _ 2 2 Le th or me des accroissements finis donne alors lun 1 I fun FOL 1 0 lun ll 0 un l Si uo I alors 0 I donc ui lt uy l et u1 J par r currence on a pour tout n un I L 14 Flt l Sling Slum i a on a donc par r currence EN 1 L 5 Jug l lt un l lt Juo l 192 Donc pour avoir u l lt e il suffit que 1 L nr en ug l lt gt n gt 5 to tse nz En et il faut que i n n 5 fo lt e gt n gt et On peut acc lerer la convergence par la m thode dite de relaxation au lieu de r soudre f x x on r soud f x ax 1 0 z soit x f x ax 1 a on choisira alors a proche de f Si f est suffisamment r guli re il existe une m thode plus rapide lorsqu on est proche de la racine ou lorsque la fonction a des propri t s de convexit c est la m thode de Newton voir aussi la m thode de la s cante Et m me si Newton n est pas applicable une simple dichotomie peut tre plus efficace si la constante de
312. in arithmetic geometry where Sage has barely moved in years and Sage does only a few percent of what Magma does The longterm plan is to start a separate for profit company if we build a sufficient customer base If this company is successful it would also sup port fulltime development of Sage e g via teaching buyouts for faculty support of students etc similar to how Magma and Mathematica etc development is que pour Giac qui peut m me 33 funded nttp sagemath blogspot co uk 2014 08 what is sagemathcloud lets clear some html B Quelques opinions B 1 Languages La question du choix de langage en informatique est r currente J ai choisi C pour Giac Xcas en fait c est plut t du C au sens o Giac d finit tr s peu de classes lui m me mais utilise les facilit s de la biblioth que C Lorsque j ai d velopp pour la HP48 dans les ann es 90 le langage tait du RPL un d riv du Forth sorte de Lisp restreint crit en polonaise invers sp cia lement con u pour cr er des programmes compacts le CAS de la HP49 occupe en viron 200K l ensemble du syst me environ 1M C tait un langage o on pouvait tout manipuler y compris la pile des retours de fonction Mais c tait un langage difficile maitriser et o le moindre changement n cessitait de reconcevoir com pl tement le programme C tait aussi un langage interpr t donc lent et comme pour tout langage interpr
313. inconnues de degr 5 en liminant une variable on passe 4 quation en 4 inconnues de degr 25 puis 3 quations en 3 inconnues de degr 25 625 puis 2 quations en 2 inconnues de degr 625 390625 et enfin un polyn me de degr 152587890625 Pour n quations de degr n on a une majoration par ne gt ainsi pour n 4 on trouve 65536 qui est d j discutable 4 4 Lien avec l algorithme du sous r sultant calcul de PGCD On peut calculer le d terminant avec la suite des restes de divisions eucli diennes de la mani re suivante on part de la pseudo division de A par B BOPA BQ R on effectue alors sur chaque ligne contenant les coefficients de A la manipulation de ligne correspondante c est dire multiplier la ligne par Bee et soustraire qo fois la ligne de B terminant dans la m me colonne q fois la ligne de B termi nant une colonne avant Toutes les lignes contenant les coefficients de A ont t remplac es par des lignes contenant les coefficients de R Ces lignes contiennent k z ros initiaux avec k gt 1 ce qui permet de r duire le d terminant 4 celui de la matrice de Sylvester de R et B a un coefficient multiplicatif pr s qui vaut BF par rapport au pr c dent donc B A pe par rapport au d terminant de d part On change ensuite R et B ce qui change ventuellement le signe et on continue en faisant les divisions euclidiennes de l algorithme du sous r sultant cf Knuth o on
314. ins favorables on peut exprimer y et t en fonction d un param tre u la courbe int grale est une courbe param tr e Dans les cas d favorables on reste sous forme implicite Exercice r soudre explicitement l quation y y 1 y et retrouver les r sultats qualitatifs de la section pr c dente 12 3 2 Equations lin aires On commence par r soudre quation sans second membre aussi appel e ho mog ne an t yl a1 0 y ao t 0 L ensemble des solutions est un espace vectoriel car l quation est lin aire et de dimension l ordre de l quation pour le prouver on peut appliquer le th or me de Cauchy Lipschitz au syst me d ordre 1 quivalent ce syst me est tel que y est un vecteur de R on a ensuite un isomorphisme entre les solutions et la condition initiale Si l ordre est 1 on a une quation variables s parables y y ao t a1 t et la solution est une exponentielle y t Ge Sar Exemple y ty 0 ona y t Cel t t Cet 2 Si Pordre est plus grand que 1 on n a en g n ral pas de solution explicitable avec les fonctions usuelles et des primitives pour certaines quations importantes en physique des fonctions sp ciales ont t cr es pour exprimer les solutions par exemple les fonctions de Bessel Il existe quelques cas particuliers o le calcul ex plicite est possible dont le cas o les coefficients sont constants section suivante Si on
315. integer coefficient size and may be faster than Magma on multi processors while computation modulo p are faster for characteristics in the 24 31 bits range Moreover the modular algorithm memory usage is essentially twice the memory required to store the basis on Q sometimes much less than the memory required by other algorithms 7 4 Checking a reconstructed Groebner basis Let fi fm be polynomials in Q zx tn I lt f1 fm gt be the ideal generated by f fn Without loss of generality we may assume that the f have coefficients in Z by multiplying by the least common multiple of the denominators 76 of the coefficients of f We may also assume that the f are primitive by dividing by their content Let lt be a total monomial ordering for example revlex the total degree reverse lexicographic ordering We want to compute the Groebner basis G of I over Q and more precisely the inter reduced Groebner basis sorted with respect to lt Now consider the ideal 7 generated by the same f but with coefficients in Z pZ for a prime p Let Gp be the Groebner basis of Tp also assumed to be inter reduced sorted with respect to lt and with all leading coefficients equal to 1 Assume we compute G by the Buchberger algorithm with Gebauer and M ller criterion and we reduce in Z by multiplying the s poly to be reduced by appro priate leading coefficients if no leading coefficient in the polynomials are divisible by p
316. ion rationnelle en X On a donc v IN gt cr f fraction rationnelle en X vu D Notons que le fait que X soit une exponentielle est essentiel car par exemple lin t grale d une fraction rationnelle d pendant de x comme 2 ou 1 x 1 ne s exprime pas en fonction de z3 On traite d abord la partie polynomiale g n rali s e de fen X Sa jeZ Son int grale est un polyn me g n ralis ventuellement d pendant de X soit jez A X On d rive et on obtient pour k non multiple de n A Y n Aj 0 dont Az 0 est solution La partie polyn me g n ralis ne d pend donc que de X On effectue aussi les int grations par parties pour r duire le d nominateur de f aun polyn me sans facteurs multiples r duction de Hermite ce qui se fait en introduisant des fractions rationnelles en X uniquement Reste la partie logarith mique On utilise le crit re du r sultant les coefficients des logarithmes sont les racines c du polyn me en t Resx D N tD o ces racines doivent tre ind pendantes de x puisque F existe et les vg corres pondants sont gaux gcd D N c D Or comme X est une exponentielle D est un polyn me en X de m me que D et N donc vx est un polyn me en X Troisi me tape Il reste enfin montrer que seuls les cz et vz n cessitent une extension alg brique de K Ceci est encore une cons quence de l algorithme de Risch la const
317. ique on les utilise pour n 3 21 5 Polyn mes orthogonaux Autre exemple important pour l int gration les polyn mes de meilleur ap proximation au sens de normes L ou L poids on projette alors sur une base de polyn mes orthogonaux de degr s croissants pour le produit scalaire attach a la norme Par exemple pour l int grale sur 1 1 sans poids les polyn mes de Legendre forment une base orthonorm e S f 9 int xg x 1 1 gramschmidt 1 x x 2 x 3 x 4 S f 1n x 2 C seq S f legendre k S legendre k Legendre k k 0 4 g sum C j legendre j Jj 0 4 plot f g x 1 2 1 2 color red blue 21 6 Les splines Il s agit de fonctions d finies par des polynomes de degr born sur des inter valles dont on fixe la valeur aux extr mit s des intervalles comme pour le poly nome de Lagrange ce qui rend la fonction continue de plus on exige un degr de r gularit plus grand par exemple etre de classe C Enfin on fixe des condi tions aux bornes de la r union des intervalles par exemple avoir certaines d riv es nulles Par exemple supposons qu on se donne n intervalles donc n 1 points zo Un on se fixe une r gularit C Ceci entraine n 1 d conditions de recollement on y ajoute n 1 conditions de valeur en Zo n on a donc nd 1 conditions la borne sur le degr des polynomes doit donc etre d ou plus mais d suffit ce qui donne n d 1 degr
318. ir une pr cision donn e Dans le cas de In 1 x on pourrait r pondre comme avec l exponentielle en majorant la d riv e n 1 i me mais ce n est plus faisable pour arctan arcsin arccos On va donner un autre crit re qui ne n cessite pas de calculer cette d riv e mais utilise Palternance des signes dans la somme 22 3 S rie altern e Th or me 51 Soit Sn yo 1 uy la somme jusqu au rang n d une s rie de r els tels que la suite des ux d croit partir d un rang ny et tend vers 0 lorsque k 00 Alors Sn converge vers une limite S Sin gt no la limite est comprise entre deux sommes partielles succesives Sn et Sh 1 et le reste est major par la valeur absolue du premier terme non somm Rp lt Un 1 D monstration on montre que les suites Un Son et Wn S2n 1 sont adjacentes On a 2n 2 pe Unt1 Un Sen42 Sen 1 2m 2 U2n 1 U2n 2 U2n 1 lt O donc v est d croissante de m me Wp est croissante et Un Wn Uan 1 est positif et tend vers 0 On en d duit que Vn et wn convergent vers la m me limite S telle que vn gt S gt wry et les in galit s du th or me s en d duisent Remarque lorsqu on utilise une suite altern e pour trouver une valeur approch e il faut que un tende assez vite vers 0 sinon il y aura perte de pr cision sur la mantisse lorsqu on effectuera usn U2n 1 On sommera aussi les termes par ordre d croissant pour diminuer les erreurs d arr
319. iron 23 degr 27 minutes actuellement 0 est langle fait par la direction Terre Soleil avec la direction du demi grand axe Soleil p rih lie 00 le m me angle au solstice d hiver de l h misph re Nord environ 13 degr s En premi re approximation on peut faire varier 0 proportionnellement au temps voir la fin de la section 24 6 pour un calcul plus pr cis l est la latitude y la longitude tenant compte de la rotation de la Terre somme de la longitude g ographique et du terme d pendant du temps 21t J po 7 7 est de m me signe que 0 bo et est d fini par tan 0 00 t a cos i 60 266 Variations de s v au cours d une journ e dans l approximation o 0 ne varie pas On obtient une sinusoide entre les deux valeurs extr mes cos 1 1 sin i cos 0 46 sin 1 cos Op sin i Le maximum est atteint pour y potn 2nt J po b r J 23h56m le moment correspondant est appel culmination c est le midi solaire si le maxi mum est positif et ne d pend pas de la latitude bien entendu la valeur du maxi mum en d pend Si le maximum est n gatif ou nul la nuit dure 24h Si le minimum est positif ou nul le jour dure 24h Par exemple au solstice d hiver 0 60 selon la latitude on obtient un maximum n gatif pour l 7 2 pole Nord positif pour l 7 2 pole Sud le minimum et le maximum croissent entre ces 2 valeurs Si le maximum est positif et
320. isation de Schur 234 factorisation LU 210 Faddeev 217 ferm e forme diff rentielle 106 FFT 264 fixe point 190 flottant 16 for age 118 force centrale 115 forme diff rentielle 103 Fourier transform e discr te 262 fraction continue 35 Frenet 97 Fresnel spirale 99 g n rateur congruentiel 284 Gau 200 Gauss Seidel 227 GF 129 Givens 217 Gr bner base de 74 gradient 102 gradient conjugu 230 gravit centre 107 Green Riemann 107 Horner 40 Hadamard borne 202 hamiltonien 127 Hamming 133 Hensel 57 148 Hermite forme de 206 Hermite interpolation de 245 Hermite r duction de 170 Hessenberg 216 heuristique PGCD 45 51 Householder 217 hyperbole 92 hypoth se 23 id al 75 implicite courbe 101 inertie moment 107 inflexion 88 insolation 265 int grale curviligne 104 int grale premiere 115 int gration 161 integration 178 interpolation 241 intersection de courbes 62 intervalle arithm tique 20 irr ductible 130 isolation de racines 66 it rations inverses 233 Jacobi 227 Jordan 219 Jordan rationnel 222 K pler 270 Karatsuba 33 knapsack 153 Lagrange 241 lagrange 241 242 lagrangien 125 Landau 50 Laplace d terminant 202 Las Vegas 31 Lebesgue constante de 244 Legendre 187 Leverrier 217 lexicographique 74 lin aire quation 111 lin aire r currence 189 10 lin aire syst me diff ren
321. it alors r soudre Un 1 Aun c cQ n 1 AQ n P n soit cQ n 1 AQ n P n 39 Si Q n Xo Q n alors le coefficient de n de cette quation est cI4 A Qq P Si c n est pas valeur propre de A alors on peut calculer Q en fonc tion de P et en descendant de degr en degr on peut trouver Q solution de m me degr que P Si c est valeur propre de A la r solution de cette fa on est plus compliqu e il faut s parer les Q en deux composantes l une sur l espace caract ristique associ c et l autre sur la somme des autres sous espaces caract ristiques ce qui peut se faire avec l identit de B zout si M un polyn me annulateur de A est M x x c N x o mest la multiplicit de c dans M alors il existe U et V tels que x c U x N x V x 1 donc A cI U A y N A V A y y 189 on a crit y comme somme de deux vecteurs le premier dans le noyau de N A et le second dans le noyau de A cl Pour la premi re composante on est ramen au cas o cn est pas valeur propre de A pour la seconde composante on jordanise puis on travaille composante par composante pour chaque composante on aura une quation du type c Q n 1 Q n polyn me connu quation que l on peut r soudre efficacement avec la base de Newton voir section ci dessous 19 12 Utilisation de la base de Newton si A J etc 1 Plut t que d exprimer les polyn mes dans l
322. ithm to compute Groeb ner basis over Q which combined to linear algebra from F4 gives a sometimes much faster open source implementation than state of the art open source imple mentations for the deterministic algorithm The probabilistic algorithm is also not ridiculous compared to the best publicly available closed source implementations while being much easier to implement about 10K lines of code while Fgb is said to be 200K lines of code no need to have highly optimized sparse linear algebra This should speed up conjectures with the probabilistic algorithm and automa ted proofs using the deterministic algorithm e g for the Geogebra theorem prover 81 steps time H2 gbasis alea6 indets cyclic5 revlex modular_check either using Giac Xcas or one of it s interfaces to java and python or adap ting it s implementation to other open source systems With fast closed source im plementations like maple or magma there is no certification that the result is a Groebner basis there might be some hidden probabilistic step somewhere in inte ger linear system reduction for example I have no indication that it s the case but one can never know if the code is not public and at least for my implementation certification might take a lot more time than computation There is still room for additions and improvements the checking step can certainly be improved using knowledge on how the basis element modulo p where bui
323. iv es partielles d une fonction V La d finition g om trique d une forme diff rentielle w est la donn e en tout point du plan ou d un domaine ouvert du plan d une application lin aire de IR 17 G om triquement dx resp dy est la forme lin aire constante i e ind pendante du point du plan choisi qui a tout vecteur de R associe sa premi re resp deuxi me coordonn e dx vi v2 v1 dy vi v2 ve 103 valeur dans R 1 ou en tout point de l espace d une application lin raire de R3 a valeurs dans R pour une courbe de R3 Si on prend la base canonique de R une application lin aire de R dans R est caract ris e par sa matrice qui poss de une ligne et deux colonnes et a donc deux coefficients M et N une forme diff rentielle quivaut donc bien la donn e d un couple de fonction M x y N x y 11 2 Int grale curviligne Ceci permet de donner la D finition 18 Pour calculer l int grale curviligne d une forme diff rentielle le long d un arc de courbe orient on choisit un param trage de larc continument d rivable par morceaux on suppose qu il en existe un et on calcule l int grale usuelle par rapport au param tre de la forme diff rentielle appliqu e au vecteur tangent entre les deux valeurs du param tre correspondant l origine et extr mit de l arc de courbe 4 1 Y to dt i dx dy M x A ae N ay d a M a t y t dt N ax t y t re t En coo
324. ive arrondi propagation des erreurs D arithm tique d intervalle Calcul exact et approch types valuation Forme normale et reconnaissance du 0 Valeur g n rique des variables et hypoth ses Structures de donn es 4 44 4 sui das dus 2 7 1 Maple Mathematica Zo leo GUROS sas par Baad hae ES DEEDES Pa 2 7 3 Calculatrices formelles HP48 49 2 74 Calculatrices formelles TI92 89 Voyage 200 Algorithmes et complexit o 4 411444 2 8 1 Algorithmes modulaires ou p adiques 2 8 2 Algorithmes d terministes Algorithmes probabilistes Las Vegas et Monte Carlo 2 9 Quelques algorithmes d arithm tique de base 2 9 1 Exemple l algorithme de Karatsuba 2 9 2 Bezout sur les entiers et les fractions continues 2 9 3 La puissance rapide it rative 2 10 POUF e savoir plugs eso pcan d un a 2 11 Exercices sur types calcul exact et approch algorithmes de bases Le PGCD de polyn mes 3 1 Lesouseresultant o c a sss sus au ge mama dus 3 2 Lepgcdenune variable o 4 4 4 4 Lu mi me dia 3 2 1 Le pecd heuristiqu o na ca 020 Gb 2 4 32 2 Lepecdmodulare cocer gag ain is vu 3 3 Le pgcd plusieurs variables oo co co cnoca ana aoi 33 1 Le peed hewristigquey 2 21 lsusaiuee ss 3 3 2 Le p
325. jiT Xj Vj 0 N T 263 On peut refaire le raisonnement ci dessus modulo des erreurs plus pr cis ment ceil N T T ceil N T T 1 m Y ata Y D op j N m 0 r 0 On calcule donc yx une erreur de ceil N T T N termes major s par x pr s Et le membre de droite vaudra kceil N T T T 1 rn Ly HT r 0 N Le module de la fraction est gal a AAA E PA D sin TkT N sin TkT N il est petit si k n est pas proche d un multiple de ceil N T Par exemple prenons N 216 65536 et T N 10 6554 Dans ce cas ceil N T T 10 x 6554 65540 il y a donc une erreur de 4 termes sur le calcul de yy Si k n est pas proche d un multiple de 10 on doit trouver y proche de O relativement la valeur des 25 Les p riodes et pseudo p riodes de x correspondent donc aux valeurs de yz grandes par la r gle k p riode N 23 2 La transform e de Fourier rapide Le calcul de la DFT est relativement lent il n cessite de l ordre de N op ra tions car il revient calculer la valeur du polyn me de degr N 1 aux N points 1 wy UN on a Yk Pao Mais si N est une puissance de 2 on peut calculer de mani re plus astucieuse et r duire le nombre d op rations un ordre N ln N En effet N 2M on d coupe P en 2 parties de m me longueur P x Q X R X on a alors P w Q R w Pr Q R u w Sula D seu x On est donc ramen a deux additions de 2 pol
326. k 1 On multiplie P par 2 on calcule le reste R de la division de Px par g On met alors Px R qui est divisible par g Les mots de code sont les polyn mes divisibles par g Exercice crire de cette fa on le codage du bit de parit Puis une proc dure Xcas de codage utilisant g X7 X 1 ce polyn me tait utilis par le Minitel N B on obtient le polyn me X sous forme de polynome liste dans Xcas par poly1 1 0 n k 132 14 4 4 D tection et correction d erreur Si le mot recu n est pas dans l image de application lin aire il y a eu erreur de transmission Sinon il n y a pas eu d erreur d tectable il pourrait y avoir eu plusieurs erreurs qu se compensent Plut t que de demander la r mission du mot mal transmis ce qui serait par exemple impossible en temps r el depuis un robot en orbite autour de Mars on essaie d ajouter suffisamment d information pour pouvoir corriger des erreurs en supposant que leur nombre est major par NV Si les erreurs de transmissions sont ind pendantes la probabilit d avoir au moins N 1 erreurs dans un message de longueur L est ad E 1 EJ 54 o e est la probabilit d une erreur de transmission c est aussi 1 binomial_cdf L epsilon N Par exemple pour un message de 10 caract res chacun ayant une probabilit d erreur de trans mission de 107 si on prend N 3 alors la probabilit d avoir au moins 4 erreurs es
327. l c est l employeur de l auteur et pas l auteur lui m me or les res ponsables de projets universit s et autres organismes publics de recherche sont beaucoup plus r ticentes au logiciel libre que les auteurs eux m mes surtout s ils ont des organismes de valorisation Ce n est pas seulement une question financi re mais tout simplement de qui controle quoi une fois un logiciel lib r le contr le est dans les mains des personnes qui codent et chappe aux services de valorisation ou aux scientifiques qui dirigent le projet Plus g n ralement le financement de la recherche aujourd hui n est pas fa vorable aux projets de long terme Le manque de confiance des d cideurs envers les chercheurs est une cause majeure de perte d efficacit des cher cheurs en raison de l inflation du temps pass chercher des cr dits va luer des projets valuer les coll gues pour les nominations et promo tions aujourd hui bientot peut tre pour les services d enseignement Le syst me actuel favorise d ailleurs la politique d dition d nonc e plus haut avec une floraison d indices utilisant les publications dans les journaux pres tigieux Il serait bien plus rentable de faire confiance aux chercheurs avec des financements p rennes et la fin des contr les syst matiques bien sur il y aura toujours quelques abus mais globalement on gagnerait en efficacit B 3 Les maths et les outils de calc
328. l interm diaire de la biblioth que C MPFI Les op ra tions arithm tiques sur des intervalles renvoient alors le meilleur intervalle possible contenant toutes les valeurs possibles lorsque les op randes parcourent leurs inter valles respectifs Exemple en Xcas version 1 1 1 et ult rieures 1 2 x 1 renvoie 2 4 Attention ici on parcourt toutes les valeurs possibles de xy x 1 2 y 1 2 Ce qui est diff rent du carr d un intervalle ou plus g n rale ment de l valuation d un polyn me en un intervalle horner x 2 1 2 renvoie ainsi 0 4 Les fonctions disponibles sont souvent moins riches qu en arithm tique flot tante le calcul d une fonction non monotone sur un intervalle peut s av rer d licat alors que si la fonction est monotone il suffit de calculer l image des deux bornes de l intervalle Pour les polyn mes Xcas d compose les coefficients en deux par ties P P P_ en fonction du signe puis utilise la monotonie de P et P_ sur Rt et R respectivement L arithm tique d intervalle dans C est beaucoup plus difficile mettre en oeuvre puisqu il n y a plus d ordre ni de monotonie on doit alors s en remettre des estimations sur les parties r elles et imaginaires qui ne tiendront pas compte du 20 ph nom ne ci dessus sur la diff rence entre ry x 1 2 y 1 2 et x x 1 2 2 4 Calcul exact et approch types valuation
329. l plus grand dont l tat initial est g n r par un g n rateur congruentiel Ils utilisent une relation de r currence qui ressemble aux g n rateurs congruentiels mais au lieu de travailler sur de grands entiers on d coupe l entier en mots de taille g r e par le CPU et on fait des op rations de type matriciels avec des op rations bit bit ou exclusif par exemple au lieu d op rations arithm tiques 26 2 Selon plusieurs lois classiques La m thode g n rale consiste calculer la distribution cumul e de la loi et prendre la fonction r ciproque d un r el g n r al atoirement entre 0 et 1 se lon la loi uniforme Lorsqu on a un nombre discret de valeurs possibles pas trop grand et que l on veut g n rer plusieurs nombres selon la m me loi on peut pr calculer la distribution cumul e en chaque valeur et faire une dichotomie pour trouver la valeur de la fonction r ciproque du nombre al atoire g n r Les cal culs peuvent tre rendus difficiles par des d passement de capacit des flottants si on utilise des m thodes naives pour estimer les fonction de r partition On trou vera dans Abramowitz Stegun diverses formules pour initialiser les m thodes de Newton pour inverser les fonction de r partition courante Il existe aussi quelques cas particuliers o on peut obtenir plus facilement un r el selon la loi donn e Pour la loi normale on g n re 2 r els u d entre O et 1 on calcule 2 lo
330. la primalit pour les entiers plus petits que 1014 au del le nombre est tr s probablement premier moins de 1 42 malchance d avoir un non premier au sens o le nombre de bases a lt p qui passent le test alors que le nombre p n est pas premier est plus petit que p 4 Si on veut certifier qu un nombre est premier on peut utiliser le test de Pocklington voir la section d di e ou le test APRCL via PARI la m thode p de Pollard qui permet de trouver les petits facteurs d un entier N plus petits que 10 environ Cette m thode est d taill e plus bas La commande i factor de PARI permet de d tecter des petits facteurs de plus grande taille par la m thode des courbes elliptiques ECM cf Cohen par exemple Pollard p et ECM sont des m thodes de factorisation de type L dont le temps d ex cution est fonction de la taille du plus petit facteur de l entier factoriser suppos non premier le crible quadratique qui permet de factoriser en un temps raisonnable les en tiers jusqu 107 environ Une esquisse de cette m thode est pr sent e plus bas Cette m thode est dite de type II son temps d ex cution est fonction de la taille de l entier 15 1 Le test de primalit de Pocklington Th or me 27 Soit N gt 1 entier S il existe deux entiers a et q tels que q est un facteur premier de N 1 plus grand que VN 1 aN 1 1 mod N aN D 1 1 est premier avec N alors N
331. la constante de gravitation universelle par la masse du Soleil Le moment cin tique de la rotation de la Terre autour du Soleil est d fini par dr L rA E On v rifie que sa d riv e est nulle donc L garde une direction fixe k orthogonale ar l orbite de la Terre reste donc dans le plan d fini un instant donn par l axe Terre Soleil et le vecteur vitesse de la Terre De plus la conservation de L entraine la loi des aires aire balay e par le rayon Soleil Terre est proportionnelle au temps On utilise un rep re en coordonn es polaires centr au Soleil p d signant la distance Terre Soleil et 4 langle fait par rapport une direction fixe on a alors gt d k car si on calcule en coordonn es polaires dr dt la composante sur le vecteur radial er est dp dt et la composante sur le vecteur perpendiculaire eg est pd0 dt 24 3 1 Calcul en utilisant le vecteur excentricit Montrons que le vecteur est aussi conserv o on rappelle que u provient de la force de gravitation F F mr ur r Le deuxi me terme est proportionnel au vecteur radial e dont la d riv e est le vecteur orthogonal d6 dteg Comme L est constant la d riv e du premier terme est 1 F AL 5 y p L T ALk Zey p P Notons que E est dans le plan de l orbite prenons comme origine des angles pour rep rer la Terre par rapport au Soleil la direction de E En faisant le produit 268 scalaire de E avec r o
332. le chemin que l on peut repr senter par une courbe param tr e On obtient alors une qua tion diff rentielle qui permet de d terminer le chemin de m me que l quation f x 0 ou Vf 0 permettait de trouver la position d un extr mum R cipro quement certaines quations diff rentielles de la physique peuvent se mettre sous la forme minimiser une fonction d pendant d un chemin le chemin tant la courbe int grale de l quation diff rentielle C est le cas par exemple des quations de la dynamique en m canique classique aussi bien qu en relativit Un des int r ts d une formulation variationnelle de ces quations c est que ce type de formulation est plus intrins que plus g om trique elle ne d pend pas des coordonn es Le probl me est donc le suivant on se donne un lagrangien L z z t R x R x R gt R ou Lest une fonction d pendant de la position x R de la vitesse IR et du temps deux fois continument d rivable Aet B R sont deux points et on cherche parmi les courbes param tr es deux fois continument d rivables y t d origine y to A et extr mit y t1 B le s chemin s r alisant le minimum s il existe de l action ti S L t a t dt to 125 Exemples longueur minimale dans le plan n 2 et L x t t V 1 x2 lagrangien de la m canique classique n 1 2 ou 3 dans un r f rentiel galil en
333. le polyn me x y o y est un l ment quelconque du corps fini Comparer avec la valeur de y Utiliser la commande t ype ou whattype ou quivalent pour d terminer la repr sentation utilis e par le logiciel pour repr senter une fraction un nombre complexe un flottant en pr cision machine un flottant avec 100 d cimales la variable x l expression sin x 2 la fonction x gt sin x une liste une s quence un vecteur une matrice Essayez d acc der aux parties de l objet pour les objets composites en utilisant op par exemple Comparer le type de l objet t si on effectue la commande t 2 0 apr s avoir purg t ou apr s avoir affect t 1 2 3 Comparer l effet de l affectation dans une liste et dans un vecteur ou une matrice sur votre logiciel en Xcas on peut utiliser lt au lieu de pour stocker par r f rence Voici un programme qui calcule la base utilis e pour repr senter les flottants Base local A B A 1 0 B 1 0 while evalf evalf A 1 0 A 1 0 0 0 A 2xA while evalf evalf A B A B lt gt 0 B B 1 return B Testez le et expliquez D terminer le plus grand r el positif x de la forme 27 n entier tel que 1 0 x 1 0 renvoie O sur PC avec la pr cision par d faut puis avec Digits 30 Calculer la valeur de a exp mv 163 avec 30 chiffres significatifs puis sa partie fr
334. leil occupe un foyer Soit O le milieu de F et F2 on se place dans le rep re orthonorm dont le premier axe Ox contient F et F2 donc les coordonn es de F sont c 0 et celles 11 sinon on aura deux droites parce que le polyn me P x y se factorise en produit de deux facteurs de degr 1 dont dx ey Plus pr cis ment ce cas correspond t d e racine de ct bt a 0 12 On peut aussi voir ce discriminant comme le d terminant de la matrice de la forme quadratique associ e 92 de F sont c 0 Soit M x y un point de l ellipse on a d une part MF MF x c x c 4cx et d autre part MF MF MF MF MF MP 2a MF MP donc 2cx MF MP en additionnant avec M F1 MF 2a et en appliquant c ea on en d duit MF 4 a e2 15 En prenant le carr on a x ea y a ex d o y 12 1 e a 1 e finalement 2 y 2 a 1 2 qui est bien la contraction selon Oy de rapport V1 e du cercle de centre O et de rayon a appel grand cercle de l ellipse En coordonn es param triques on peut utiliser le param trage suivant x y acos t bsin t En coordonn es polaires on note p la distance de F1 M et 0 l angle entre l axe Ox et F M L abscisse de M est donc x ea pcos 0 que l on combine avec 15 pour obtenir p a ex a l e ep cos 0 donc _ a 1
335. lement on peut calculer une racine k i me d un r el a en r solvant f z x a par la m thode de Newton 195 Linconv nient de ce th or me est qu il est difficile de savoir si la valeur de d part qu on a choisie se trouve suffisamment pr s d une racine pour que la suite converge Pour illustrer le ph nom ne on peut par exemple colorer les points du plan complexe en n 1 couleurs selon que la suite d finie par la m thode de Newton converge vers l une des n racines d un polyn me de degr n fix au bout de par exemple 50 it rations la n 1 i me couleur servant aux origines de suite qui ne semblent pas converger Passons maintenant a un crit re tr s utile en pratique D finition 39 convexit Une fonction f continument d rivable sur un intervalle I de R est dite convexe si son graphe est au dessus de la tangente en tout point de I Il existe un crit re simple permettant de savoir si une fonction de classe C est convexe Th or me 40 Si f est C et f gt 0 sur I alors f est convexe D monstration L quation de la tangente au graphe en xp est y f xo f zo x zo Soit g x f x f xo F xo x zo ona g xo 0 g x z f x f xo g 20 0 g un 20 donc g est croissante comme g x0 0 g est n gative pour x lt xp et positive pour x gt Zo donc g est d croissante pour x lt xo et croissante pour x gt Zo On conclut alors que g gt 0 pui
336. leurs approch es de la fonction solution a la pr cision souhait e en utilisant le d veloppement en s ries enti res 256 22 6 3 Exemple fonctions de Bessel d ordre entier Soit m un entier positif fix on consid re l quation diff rentielle ay ay a m y 0 dont on cherche une solution s rie enti re y D 9 aps En remplacant dans l quation si x est dans le rayon de convergence de la s rie rayon suppos non nul on obtient DH 1 aya rt e m apa 0 soit encore k 0 mag 1 Daz le m Jak ax o a Par exemple prenons le cas m 0 On a alors ao quelconque a nul et pour k gt 2 Ak 2 k2 Donc tous les a d indice impair sont nuls Les pairs sont non nuls si ay 0 et ils sont de signe altern Soit x fix on observe que pour 2k gt zl dh 2k 2k 2 lat lt azx 20 donc la s rie 52 apx est altern e partir du rang partie enti re de x plus un Donc elle converge pour tout x le rayon de convergence de y est 00 et le reste de la somme jusqu l ordre 2n est inf rieur en valeur absolue Ron lt aon 222772 Par exemple pour avoir une pi approch e le 10 pr s de y x pour ao 1 et x lt 1 on calcule y e ot on s arr te au rang n tel que aan 22 lt Janya lt 10770 On remarque que CD en D 2242 2n nn An donc n 7 convient Pour m 0 on peut faire un raisonnement analogue les
337. loc obtenue en collant A avec la matrice identit ayant l lignes 20 4 2 Factorisation PA LU Si on veut mettre en oeuvre la strat gie du pivot partiel ou en calcul exact si un coefficient diagonal est nul il est n cessaire d intervertir une ligne de la matrice partiellement r duite avec une ligne en dessous Cela revient r duire la matrice A de d part apr s change de ces m mes lignes En cons quence ce n est pas A qui est le produit LU mais une matrice obtenue par permutations de lignes de que l on peut crire comme produit gauche de par une matrice de permutation P Remarque si une tape de r duction tous les coefficients de la colonne j partir de la ligne j sont nuls on peut simplement ignorer cette colonne et in cr menter j de 1 L sera l identit Mais ceci diff re de la r duction sous forme chelonn e o on incr mente j de 1 mais pas 2 on ne peut plus alors d duire le rang de U du nombre de lignes non nulles On peut aussi effectuer un change de colonnes ce qui revient multiplier droite par une matrice de permutation 20 4 3 Applications de la d composition LU On peut r soudre des syst mes lin aires par la factorisation LU En effet soit r soudre Ax b On effectue la permutation de lignes sur A et b correspon dant la matrice de permutation P ce qui donne PAx Pb LU puis on r soud Ly Pb syst me triangulaire inf rieur puis on r soud Ux y s
338. loi normale dont cart type est en b a oa n La valeur de la constante peut se calculer partir de f 2 1 2 1 i o froa f 104 par exemple ici 2xsqrt int f t 2 t 0 2 2 1 2xint f t t 0 2 2 sgrt n mais on ne fait pas ce calcul en pratique puisqu il faudrait calculer une int grale on estime l cart type o n de la loi normale par l cart type de l chantillon des estimations stddevp 1 Cette m thode converge donc beaucoup moins vite que les quadratures en di mension 1 Mais elle se g n ralise tr s facilement en dimension plus grande en conservant la m me vitesse de convergence alors que le travail n cessaire pour une m thode de quadrature croit comme une puissance de la dimension et ne n ces site pas de param trer des domaines d int gration compliqu s il suffit par exemple d utiliser la m thode du rejet pour avoir un g n rateur uniforme dans un domaine inclus dans un cube 19 Suites r currentes et applications Cette section comporte une premi re petite partie sur le calcul de l expression exacte de suites r currences lin aires puis une deuxi me partie sur l int r t du calcul approch de limites de suites r currentes dont on ne sait en g n ral pas d terminer l expression g n rale 188 19 1 Calcul de Pexpression des suites r currentes Le probl me g n ral est I analogue discret de la recherche de solutions d qua tions diff renti
339. lt checking could also benefit from parallelization As an alternative to the modular algorithm a first learning run could be done modulo a 24 bits prime and the collected info used for f4 on Q as a proba bilistic alternative to F5 FGLM conversion is still not optimized and therefore slow in Giac Xcas Acknowledgements Thanks to Fr d ric Han for interfacing giac with Python Thanks to Vanessa Vitse for insightfull discussions 7 8 Repr sentation rationnelle univari e rur Lorsqu on r soud un syst me polynomial on a en g n ral autant d quations que d inconnues et en principe un nombre fini de solutions On peut utiliser une base de Groebner dans l ordre lexicographique r soudre par rapport la derni re variable puis remonter mais d une part le calcul d une base de Groebner dans l ordre lexicographique est significativement plus long que dans l ordre revlex et d autre part il faut calculer des PGCD et factoriser des polyn mes sur des exten sions alg briques dont la taille peut augmenter au fur et mesure que l on remonte ou faire des calculs approch s Il serait plus int ressant de calculer d un seul coup une extension alg brique de Q qui permette d exprimer toutes les variables Ceci peut se faire si on arrive trouver une forme lin aire en les variables qui s pare les solutions la valeur de la forme est distincte si les points solutions sont distincts On rajoute cette var
340. m tre et un champ pour attribuer une valeur ou une hypoth se sur ce param tre pour les nombres transcendants par exemple 7 on est oblig d introduire un param tre auquel on attribue une valeur num rique qui ne sera utilis e qu au moment o on veut une approximation num rique d une expression contenant ce nombre transcendant on parle de constante lorsqu on a besoin d une approximation num rique d un nombre on peut utiliser des conversions de ces types en un type flottant On peut aussi pour lutter contre les erreurs d arrondi utiliser des nombres flottants tendus dont la pr cision est dynamique ou m me des intervalles de flottants tendus il faut aussi un nouveau type appel expression ou symbolique permettant d appliquer une fonction qu on ne peut valuer directement sur les objets pr c dents par exemple sin x Il doit s agir d une op ration de cl ture au sens o appliquer une fonction un objet symbolique ne n cessite pas la cr ation d un nouveau type en g n ral on renvoie un objet symbolique Enfin il faut pouvoir valuer un objet en particulier symbolique par exemple valuer sin x lorsqu on assigne une valeur x Dans cet exemple on voit qu il faut d abord remplacer x par sa valeur avant de lui appliquer la fonction sinus C est le m canisme g n ral de l valuation mais il y a quelques exceptions o on souhaite emp cher l valuation d un
341. matrice U L telle que U LM Dans Xcas on peut utiliser l instruction ihermite ou mathnf de PARI Laide d taill e de Xcas donne un exemple de calcul de Z base d un noyau Exemple soit r soudre en entiers 2x 3y 5z 0 OnposeM 2 3 5 puis L U ihermite tran M les lignes nulles de U correspondent des lignes de L qui forment une base du noyau de M soit 6 1 3 et 5 0 2 En effet U LM donc Ut ML les colonnes nulle de U sont donc images par M des colonnes correspondantes de L ainsi les lignes de L correspondant des lignes nulles de U sont dans le noyau Et si un vecteur coefficient entiers est dans le noyau alors il se d compose sur les vecteurs colonnes de L avec des coefficients entiers puisque L GL Z on applique M et on conclut que ses composantes sur les colonnes non nulles de U sont nulles Plus g n ralement chercher une solution particuli re du syst me MX B revient r soudre UtY B avec Y L X la recherche de Y est alors tr s simple puisque U est chelonn e Par exemple M 2 3 5 7 5 3 puis B 3 2 puis L U ihermite tran M donne pour tran U 1 0 0 0 1 0 on a donc y 3 ya 2 y3 quelconque puis on calculeX tran L x 3 2 y3 on peut v rifier avec normal MxX On peut aussi se servir de la forme normale de Hermite pour compl ter un vecteur v a1 an de contenu 1 en une base de Z si le contenu n est pas 1 c est bie
342. mbres premiers r alisant le mi nimum des degr s trouv s D taillez l algorithme du PGCD heuristique pour les polyn mes P x 1 x 16 et sa d riv e Comparez avec l algorithme d Euclide na f crire un programme mettant en oeuvre le pgcd heuristique pour des poly n mes une variable On veut comprendre comment un logiciel de calcul formel calcule i AR x3 1 On se ram ne d abord une fraction propre num rateur N de degr inf rieur au d nominateur Soit P x 1 calculez le PGCD de P et P puis deux polyn mes U et V tels que N U P V P On d compose alors Vint grale en deux morceaux N U Pi ra pr I Vp Faites une int gration par parties sur le deuxi me terme et en d duire la valeur de l int grale du d part crire un programme qui d termine le degr probable du PGCD par rap port toutes les variables de 2 polyn me plusieurs variables en utilisant l valuation en toutes les variables sauf une Calculer le pgcd par une m thode modulaire de xy x 1 xy x 1 et xy x y xy x 1 En utilisant uniquement l instruction de calcul de PGCD d terminer la mul tiplicit maximale d un facteur irr ductible de 14 213 1441 4 12001 78x10 54x 22478 11617 36176 12917 33004 7223 1602 16x 32 Exercices r sultant Pour quelles valeurs de p le polyn me X
343. ment des familles libres car on a suppos Q irr ductible On peut donc choisir pour un cycle de longueur k des bases de la forme uy_1 Avp 1 AFI 1 1 gt gt vo Avo A tvo 0 0 o la fl che d signe l image par Q A Si on crit la matrice de A dans la base vo Avo Ad tog SUL AVE tos Atop on obtient un quasi bloc de Jordan rationnel de taille kd multiple de d 0 O0 q One es 1 1 q OO we 0 0 1 q2 Gb 0 Ov dis GO ie 0 00 0 0 0Q0 0 0 0 1 0 q1 223 Exemple Soit la matrice 1 2 4 2 5 4 5 7 5 Pme RE BE 1 A 2 9 2 2 7 0 1 5 3 3 0 0 2 23 1 3 1 3 L 1i tor 1 335 Son polyn me caract ristique est x 2 x 2 et on va d terminer la partie bloc de Jordan rationnel correspondant au facteur irr ductible sur les entiers Q x x 2 de multiplicit q 2 On calcule B x et l criture de B comme somme de puissances de Q ici avec xcas en mode xcas A 1 2 4 2 5 4 0 1 5 2 7 2 2 5 21 1 5 2 2 1 2 5 2 81 0 1 9 2 1142135 7 2 0 0 2 2 3 1 1 3 2 1 2 1 3 2 1 2 P det A xxidn 6 B normal Pxinv A xx idn 6 preferer un appel a faddeev bien sur ecriture B Q q local j k 1 n C D E LA Se C B D B E NULL n coldim B for j 0 j lt q j for k 0 k lt n k for 1 0 1l lt nj 1 D k 1 rem C k 1 0 x C
344. mier ordre l erreur relative sur x multipli e par x 2 2 5 Erreur absolue relative arrondi propagation des erreurs On a vu pr c demment que pour repr senter un r el on devait l arrondir ce qui introduit une erreur m me si le r el est connu exactement par exemple 1 10 Voyons comment se propagent les erreurs dans les op rations arithm tiques de base on distingue l addition la multiplication et l inversion La soustraction se ram ne l addition car le calcul de l oppos n introduit aucune erreur nouvelle Pour l addition si x o lt o et si y yol lt 1 alors par l in galit triangulaire la b lt la b on a I x y zo yo lt x zo ly yol lt o 1 on dit que les erreurs absolues s additionnent D finition 2 L erreur absolue est d finie comme un majorant de la valeur absolue de la diff rence entre le nombre r el et son repr sentant double x xo lt 18 Mais comme il faut repr senter zp yo en machine on doit ajouter une erreur d arrondi qui est proportionnelle la valeur absolue de xo yo d o la notion d erreur relative D finition 3 L erreur relative est gale a l erreur absolue divis e par la valeur absolue du nombre x zo lt elzo Remarquons au passage que les erreurs de mesure exp rimentales sont pratique ment toujours des erreurs relatives Donc lorsqu on effectue une addition ou
345. mmenter pour prs g q h q d h d 1 return p On s aper oit que les coefficients croissent de mani re exponentielle La deuxi me id e qui vient naturellement est alors 4 chaque tape de rendre le reste primitif 42 donc de diviser R par le pgcd de ces coefficients Cela donne un algorithme plus efficace mais encore assez peu efficace car chaque tape on doit calculer le pgcd de tous les coefficients on peut imaginer le temps que cela prendra en dimension 1 et fortiori en dimension sup rieure L id al serait de connaitre l avance une quantit suffisamment grande qui divise tous les coefficients du reste C est ici qu intervient l algorithme du sous r sultant apr s chaque pseudo division euclidienne on exhibe un coefficient magique qui divise les coefficients du reste Ce coefficient n est pas le pgcd mais il est suffisamment grand pour qu on vite la croissance exponentielle des coefficients Algorithme du sous r sultant Arguments 2 polyn mes P et Q primitifs Valeur de retour le pgcd de P et Q Pour calculer le coefficient magique on utilise 2 variables auxiliaires g et h initialis es a 1 Boucle effectuer tant que Q est non nul on note degre P degre Q et q le coefficient dominant de Q on effectue la division euclidienne sans fraction de q P par Q soit le reste Si R est constant on sort de l algorithme en renvoyant 1 comme pgcd
346. mpilation du type msse 2 2 3 Op rations sur les flottants Les op rations arithm tiques de base sur les flottants se font de la mani re suivante addition et soustraction on d tecte s il faut additionner ou soustraire en valeur absolue en analysant les signes on d termine l exposant le plus grand et on d cale la partie mantisse du flottant dont l exposant est le plus petit pour se ramener additionner deux entiers partie mantisses correspondant au m me exposant on d cale nouveau la partie mantisse en modifiant Pexposant apr s l op ration pour normaliser le flottant multiplication on additionne les exposants et on multiplie les parties man tisses vus comme des entiers on arrondit et on ajuste l exposant si n ces saire division on soustrait les exposants et on divise les parties mantisses divi sion virgule on tronque et on ajuste l exposant si n cessaire 2 2 4 Erreurs La repr sentation des nombres r els par des doubles pr sente des avantages les op rations arithm tiques sont faites au plus vite par le microprocesseur Les 17 coprocesseurs arithm tiques int gr s sur les microprocesseurs de PC proposent m me le calcul des fonctions usuelles trigonom triques racine carr e log et exp sur le type double et utilisent des formats de repr sentation interne ayant plus de 64 bits pour les doubles ce qui permet de limiter les erreurs d arrondi Par contre d
347. mposition compl te si P est de petit degr on peut essayer de construire une extension en formant une expression non sym trique partir des racines approch es puis en appliquant toutes les permuta tions de racines cette expression et en construisant le polyn me ayant ces racines si on a suffisamment de pr cision sur les racines on peut arrondir le polyn me ob tenu le factoriser sur Q et prendre un des facteurs irr ductibles de degr suffisant comme argument de rootof Par exemple soit factoriser P zt 3x 1 sur Q On entre la fonction suivante P local k 1 p r l proot P if dim 1 4 return erreur k max abs l k floor 24xlog10 1 4xk 4 4 chiffres de precision en plus l proot P k 156 p 0 1 2 3 r 1 for j from 0 to 23 do k 1 p 011 1 p 111 2x1 p 211 r append r k p nextperm p od retourne r hi puis q pcoef f x 4 3x 1 on voit que les coefficients sont presque en tiers on fait donc factor x 4 3x 1 rootof round q qui d com pose zf 3x 1 en 4 facteurs de degr 1 Le polyn me obtenu est de degr 24 cas g n rique si P est de degr n on s attend un degr n au del de n 5 cette m thode est trop couteuse Attention aussi m me pour n 4 il peut tre n cessaire de calculer les racines en multi pr cision par exemple ci dessus les l ments de r sont major s par 4R o R est un majorant du module des racine
348. mpraticables cf infra on ne peut gu re traiter par cette m thode que des syst mes 3x3 ou 4x4 si on est patient Pour des syst mes plus ambitieux on utilisera plut t un calcul de bases de Groebner Mais le r sultant est tr s bien adapt par exemple la recherche d quations cart siennes d une courbe ou surface param tr e par des fractions ra tionnelles 61 4 3 R sultant et degr s Si A et B sont des polyn mes en d variables de degr total m et n alors le r sultant de A et B par rapport une des variables disons la premi re not e x est un polyn me en d 1 variables on va voir qu on peut majorer son degr total par mn Quitte ajouter une variable d homog n isation appelons la t on peut sup poser que A et B sont homog nes par exemple si A x xy 1 on consid re A x xyt t Le degr total par rapport aux d 1 variables d un coeffi cient A de A est alors m j et pour Bp c est n k On d veloppe le d terminant comme somme sur toutes les permutations de a b l ments et on regarde le degr total d un terme par rapport aux d 1 variables on a donc un produit de r pour i entre 1 et a b Pour i entre 1 et b on est dans les b premi res lignes donc avec des coefficients de A le degr total de rio se d duit de la distance la diagonale il vaut m a g puisque sur la diagonale c est m a Pour i entre b 1 et b a on est dans les a
349. n 1 255 Ce d veloppement converge tr s rapidement pour x lt 1 Par contre pour x grand il faut calculer beaucoup de termes avant que le reste soit suffisamment petit pour tre n gligeable et certains termes interm diaires sont grands ce qui pro voque une perte de pr cision qui peut rendre le r sultat calcul compl tement faux Contrairement la fonction exponentielle il n y a pas de possibilit de r duire l argument une plage o la s rie converge vite Il faut donc soit utiliser des flottants multipr cision avec une pr cision augment e de la quantit n cessaire pour avoir un r sultat fiable soit pour les grandes valeurs de x utiliser un d veloppement asymptotique en puissances de 1 x de 00 3 f e dt x 00 5 i et dt 0 2 Le d veloppement asymptotique s obtient par exemple en changeant de va riable u t et en effectuant des int grations par parties r p t es en int grant e et en d rivant u et ses d riv es successives Ce type de d ve loppement asymptotique a la propri t inverse du d veloppement en 0 les termes successifs commencent par d croitre avant de croitre et de tendre vers l infini Il faut donc arr ter le d veloppement un rang donn d pendant de x et il est impossible d obtenir une pr cision meilleure pour cette valeur de x par un d veloppement asymptotique on parle parfois de d veloppement des astronomes Exercice donne
350. n admet pas de primitive l mentaire 21 x 2 X X2 x 1 X 0 Ona D 2 2x 1 X24 1 2x 1 x 1 X 1 X exp z z R 2r 1 x 1 2z 1 2 1 t D t 1 171 les racines en t sont constantes et gales 1 et 1 donc c 1 et v gcd N D D X 1et co 1 v2 gcd N D D x X donc EE X2 x 1 X In X 1 In x X Remarque importante Pour les extensions exponentielles ou logarithmiques la d riv e de la partie lo garithmique calcul e comme ci dessus contiendra en g n ral une partie enti re constante par rapport X il faut donc retirer cette partie enti re la partie po lynomiale 17 3 4 La partie polynomiale g n ralis e O A X1 y ajX j j avec une somme sur j Z si X est une exponentielle et j N sinon Si X x j gt 0 et la r solution est imm diate on prend Ao 0 et Ajy1 a j 1 On doit r soudre 17 3 5 Extension logarithmique Si X In Y est un logarithme j gt 0 et on doit r soudre y S A j DAj JA S aX j20 j Soit k la plus grande puissance non nulle de f a 0 si j gt k et az 0 Pour j gt k ona Y On r sout pour des valeurs de 7 d croissante pour 7 suffisamment grand on a Aj 1 0 car la somme sur j est finie donc A est constant Si A 4 0 alors au rang j 1 ona A _ jA Y Y qui n admet pas de solutions car A _ ne peut pas d pen
351. n cessite de faire un d veloppement de Taylor en t to jusqu au premier ordre q o l on a les d riv es d ordre 1 p 1 de x y s annulent la d riv e d ordre p gt 0 est non nulle on la note les d riv es d ordre p 1 q 1 sont colin aires la d riv e d ordre p ce qui inclus le cas ot elles sont nulles 88 la d riv e d ordre q est non colin aire p on la note Dans la base IT A les composantes de M to M t sont alors respectivement quivalentes hP p et h1 q o h t to On en d duit que la tangente la courbe est port e par T si pest pair on a un rebroussement de premi re esp ce si q est impair cas g n rique d un point singulier p 2 q 3 ou de deuxi me esp ce si q est pair On ne peut pas r gulariser le point singulier par changement de param trage Si p est impair on peut reparam triser la courbe pour rendre le point non singulier prendre t t E P mais au risque de perdre de la r gularit Si p est impair et q impair on a un point d inflexion g om trique change ment de sens de convexit Exemples de points singuliers en t 0 2 8 24 046 8 6 6 6 Les deux derniers cas peuvent tre reparam tr s au prix de la perte de d rivabilit seconde en posant t t1 3 Pour faire l tude d un point singulier avec Xcas on peut utiliser la fonction series sur x t et y t ici c est inutil
352. n ralement soit deux courbes alg briques d quations respectives A x y 0 et B x y 0 de degr totaux m et n et premiers entre eux alors A et B ont au plus mn points d intersection th or me de B zout En effet le r sultant en x par exemple est non nul puisque les 2 polyn mes sont premiers entre eux donc est un polyn me en y qui a un nombre fini de racines puis on cherche les racines en x de gcd A y B y pour chaque valeur de y racine il y a donc un nombre fini d intersections On peut donc changer de rep re et choisir un rep re tel que deux points d intersections distincts aient leurs abscisses distinctes On refait le m me raisonnement et on utilise la majoration du degr du r sultant par rapport 62 y par mn on a donc au plus mn valeurs de y donc au plus mn points d inter sections puisqu une valeur de y ne correspond qu a une valeur de x par choix du rep re Lorsqu on travaille dans C le d faut de nombre de points d intersection par rapport au majorant mn provient des points l infini condition de prendre en compte la multiplicit des intersections Dans R on perd aussi les points non r els Exemple intersection de x 2 y 4 et y x 3 x x 16 Le degr du r sultant explique pourquoi on ne peut pas r soudre en pratique de grands syst mes polynomiaux avec cet outil d limination Par exemple pour un syst me de 5 quations en 5
353. n Y 1 lt j lt n Preuve de la borne on majore le d terminant par le produit des normes des vec teurs colonnes de M L algorithme de calcul modulaire du d terminant d une matrice born e de taille nest en O n In n op rations en effet chaque calcul modulaire n cessite O n op rations et il faut O n In n nombres premiers d une taille donn e par exemple 31 bits pour d passer le double de la borne de Hadamard on montre facilement que la norme euclidienne d une colonne de A est lt n A 0 on en prend la puis sance n i me C est meilleur que la m thode de Bareiss qui est en O n In n avec multiplication na ve des entiers En effet lors de la r duction de la k i me colonne on manipule des entiers qui sont des mineurs de taille donc de taille O kIn k d o une complexit en OO 71 n k k In k Mais la m thode de Bareiss fonctionne dans bien d autres situations par exemple si les coefficients sont des polyn mes Remarque Si on veut juste prouver l inversibilit d une matrice coefficients entiers il suffit de trouver un nombre premier p tel que le d terminant de cette matrice modulo p soit non nul D veloppement par rapport une ligne ou une colonne On a tendance oublier ce type de m thode car le d veloppement complet du d terminant faisant intervenir une somme sur toutes les permutations du groupe sym trique n cessite d effectuer n produits de n coefficients et
354. n a d taill dans la section pr c dente 158 16 9 Exercices factorisation des polyn mes 1 10 11 D terminer le nombre de racines de x z4 12x 5 comprises entre 0 et 6 en utilisant les suites de Sturm on donnera les d tails des calculs crire un programme calculant la suite de Sturm d un polyn me suppos squarefree on peut tester avec sqrfree en utilisant l algorithme d Eu clide Prendre un polyn me de degr 100 coefficients al atoires randpol y le factoriser num riquement proot puis donner pour les premi res racines approch es renvoy es des intervalles ou disques o on peut certifier qu il existe une racine Calculer avec un logiciel les valeurs num riques des racines complexes de P x 2 x 1 Trouver les combinaisons de racines dont la somme est enti re aux arrondis pr s En d duire la factorisation en facteurs irr duc tibles sur Z de P Factorisation num rique sur C crire un programme qui calcule une racine d un polyn me a coefficients complexes en utilisant une m thode it rative de type m thode de Newton avec ventuellement un pr facteur lorsqu on d bute la recherche Les polyn mes seront repr sent s par la liste de leurs coefficients et l valuation faite par la m thode de Horner Trouver ensuite toutes les racines du polyn me en liminant la racine trouv e toujours avec Horner Trouver les combinaisons de racines corr
355. n du temps coul depuis le passage au p rih lie Il faut calculer V par des m thodes num riques point fixe ou m thode de Newton en appliquant 62 on en d duit 0 avec 64 En r sum on a le Th or me 53 Soit 0 langle entre le demi grand axe de l ellipse et la direction Soleil Terre t T 2 T 2 le temps coul depuis le passage au p rih lie t 0 lorsque 0 0 T 1 an Soit V 7 1 la solution de t V esi In esin V T o e est l excentricit de l ellipse Alors 0 est donn par cos V e cos 0 al 273 24 7 Les variations des param tres orbitaux La Terre n est pas une sph re id ale elle a un renflement au niveau de l qua teur due a rotation de la Terre sur elle m me la force centrifuge y est plus impor tante Ce renflement est dans un plan qui fait un angle avec le plan de cliptique le Soleil exerce donc un couple sur ce renflement Ce ph nom ne est l origine de la pr cession des quinoxes le passage au p rih lie de la Terre se d cale dans le temps De plus la Terre n est pas seulement soumise l influence du Soleil mais aussi des autres plan tes en particulier Jupiter Cela modifie sur de tr s longues p riodes tous les param tres de l orbite terrestre en particulier l excentricit la pr cession des quinoxes mais aussi l obliquit inclinaison de l axe de rotation terrestre par rapport la perpendiculaire au pl
356. n obtient en notant e la norme de E epcos 0 E r 1 dr r AL Er She 1 dr AL r a JE p 1 dr rA L Pa q Le 1 LL p d o L p u 1 ecos 0 24 3 2 Calcul par P quation diff rentielle On a les quations de conservation de l nergie et du moment cin tique K m Y dov de y do HORORA ESS dp _ On change de variable d pendante pour p en prenant au lieu de t comme 1d0 ar I d A p P 5 ona ES e p E Ci On effectue ensuite le changement de variable p 1 u p u u d o He 1 4 Ku 5 E a Put a soit A L Kut Su u2 Ci donc a 20 2 12 1 A 1 K u u u C3 K ap lt 3 On pose maintenant v u K 2 d o 12 vi u C3 T On montre en exprimant v en fonction de v puis en s parant les variables que cette quation diff rentielle a pour solution g n rale v y C4 cos 0 8o 269 D o 1 1 pP u v K y C4 cos 0 06 E Comme K lt 0 et comme la trajectoire de la Terre autour du Soleil passe par tous les angles donc p est d fini pour tout 6 le d nominateur ne peut pas s annuler ona 2 ZK e 0 1 CSIR ecos 0 66 FE On d finit ensuite a par a 1 e et on obtient finalement l quation d une ellipse dont l origine le Soleil est un des foyers E a 1 e 1 ecos 6 60 p On suppo
357. n pr f re ne pas repr senter explicitement le temps t mais uniquement x v on est donc naturel lement ramen repr senter une solution une courbe int grale par une courbe param trique en x v ou en position impulsion On a encore la notion de champ des tangentes si f y t f y ne d pend pas explicitement du temps on dit que le syst me est autonome dans ce cas une courbe int grale a pour tangente en y R de direction port e par le vecteur f y R Exemple x v 5 v x La commande plotfield 5x y x x 1 1 y 1 1 normalize permet d en repr senter le champ des tangentes et d avoir une id e approximative de l allure des solutions On sait r soudre ce syst me diff rentiel soit en appliquant une technique matricielle pr sent e ci dessous soit en se ramenant une quation lin aire d ordre 2 coefficients constants ge 5v 25 108 donc x t Acos 5t Bsin 5t A B tant d termin s par les conditions ini tiales sur x v Une quation donn e sous la forme 16 est appel e une quation r solue en y car on a exprim la d riv e en fonction de y et de t Il existe plus fr quemment en math matiques d autres formes d quations diff rentielles non r solues ot le premier travail de r solution peut consister exprimer y en fonction de y et t ce qui n est pas toujours possible explicitement Exemple en dimension 1 ty y on sait r soudr
358. n r el positif avec presque n bits lorsque k lt 2772 ce quoi on peut toujours se ramener en calculant le logarithme d une puissance 2 i me de x ou le logarithme de 2 x en calculant au pr alable In 2 Par exemple prenons k 2727 on trouve en 8 it rations M 1 2727 M 0 0781441403763 On a avec une erreur inf rieure 19 x 2754 1 1 x 10715 T T M 1 2727 M CR aaa 21n 229 58In 2 On peut donc d duire une valeur approch e de 7 si on connait la valeur approch e de In 2 et r ciproquement Si on veut calculer les deux simultan ment comme les relations entre In et 7 seront des quations homog nes on est oblig d intro duire une autre relation Par exemple pour calculer une valeur approch e de 7 on calcule la diff rence In 2 1 In 22 dont on connait le d veloppement au premier ordre et on applique la formule de la moyenne arithm tico g om trique Il faut faire attention la perte de pr cision lorsqu on fait la diff rence des deux lo garithmes qui sont tr s proches ainsi on va perdre une trentaine de bits de m me pour les moyennes On peut aussi calculer m directement avec M 1 V en utilisant des propri t s des int grales elliptiques f n local X V 2Z P5 x evalf 1 sqri yi 1 x 2 sqrt zZ 1 sqrt x p evalf 2 sqrt 2 2 n for k from 1 to n do PrY Z p 1l y 1 z 1 y sqrt y 2 1 yxz 1 z sqrt y od retourne p hay
359. n stocke dans y Pinverse de cette partie fractionnaire et on recommence On note classiquement h 2 0 h_ 1 hp aphp 1 Rp 2 1 k_2o 1 k_1 0 kp Apkp 1 kp 2 2 On a ho ao hy aao 1 ko 1 k1 ay Les suites hp et kp sont donc positives et strictement croissantes pour p gt 1 puisque pour p gt 1 a gt 1 elles tendent vers l infini au moins aussi vite que des suites de Fibonacci vitesse au moins g om trique donc On a aussi ais ment par r currence hpkp 1 E hp 1k pr 3 On montre aussi comme ci dessus Yhp 1 hp 2 a0 Ap 05 Up 19 ykp 1 kp 2 On d finit x par x lag dp 1 Up en faisant y x on a alors x Lphp ithp pepo ce qui donne x en fonction de x et Lpkp 1 kp 2 p Us Mp mins e e Zkp 1 hp 1 En faisant y ap on obtient ao ap La On montre ensuite que les suites p hp kp pour les indices pairs et impairs sont deux suites adjacentes qui convergent vers x et on a hp pa _ PT kp Kkp 1 kpkp 1 4 35 En effet la derni re galit est une cons quence imm diate de 3 la croissance ou d croissance des suites d indice pair ou impair s en d duit en ajoutant 4 au cran suivant La convergence vient de la limite infinie de kp en l infini On a donc e 1 1 Eka blah S ke p 0 P p 1 pl p p 1 pRp 1 ZT Q0 La convergence est d autant plus rapide que les kp tendent r
360. n sur impossible puisque le d terminant est un multiple du contenu il suffit de prendre les colonnes de ql o L U ihermite tran v En effet on a U Lv et U est gal 1 0 0 car le contenu de v vaut 1 La r duction chelonn e sous la diagonale correspond ihermite la r duc tion compl te correspond ismith ou mat snf de PARI qui calcule la d com position de Smith d une matrice A coefficients entiers et en donne les coefficients invariants Il faut pour cela alterner plusieurs d composition de Hermite en ligne et en colonne En effet un l ment hors diagonale a non nul d une r duction de Her mite est un reste de division euclidienne par le pivot aj respectivement a selon ale Q 207 qu on r duit en lignes ou en colonnes sur la diagonale il est donc strictement plus petit et donnera lieu l tape de r duction suivante un pgcd soit gal en as resp ajj et dans ce cas a deviendra nul soit strictement plus petit donc soit l un des pivots d croit soit l un des a hors diagonale s annule On obtient en un nombre fini d tape une matrice diagonale La forme normale de Smith d une matrice A impose galement que les coefficients diagonaux non nuls di d2 d se divisent Pour r aliser cela si par exemple d ne divise pas dz on remplace C1 par C1 Co puis on fait apparaitre le pgcd de d et da en ligne 1 colonne 1 en cr ant un 0 en ligne 2 colonn
361. n2 Ny 0 et Nn Cex ono 7 n P R On appelle alors l algorithme de Risch avec une variable de moins S et R ne d pendent plus de Z pour calculer I f Ss R Il s agit alors de trouver n tel que l exponentielle pr c dente soit l mentaire et ind pendante de la variable Z Le th or me de structure de Risch implique que nz J S R est combinaison lin aire coefficients rationnels des logarithmes et des arguments des exponentielles de autres variables de la tour jusqu z non compris Ceci permet de d terminer n de mani re unique c est le coefficient rationnel de f Sef Ren z 175 Si Z ln z exponentielle de logarithme Ici aussi les Ny peuvent ne pas tre constants on a n 1 N Y Ny z ENL ZN 1 k 0 Si Nn n est pas constant le terme de plus haut degr de RN est N R Z si Nn est constant le terme de plus haut degr de RN est R nN 2 24 N7 _ 2 7 qui est non nul sinon 2 2 C Nj_ et z exp CN _1 serait une exponentielle Le terme de plus haut degr de SN est N S Z S Sir lt s ou si r s sans simplifications alors n t s Sir gt s lousir s 1 sans simplifications alors deg N t r donc n t roun t r l Sir s 1 et s il y a simplifications alors N est constant et R nNnz z Ni _1 Ss Nn 0 alors Nn 1 C f NnSs Rr nNn ln z doit tre l mentaire et ind pendante de Z donc f S R est l mentaire
362. nant avec l algorithme modulaire une variable donne un algorithme doublement modulaire pour calculer le pgcd de 2 po lyn mes coefficients entiers C est cette m thode qu utilise par exemple MuPAD en essayant d abord SPMOD puis l interpolation dense Exemple Dans cet exemple on donne F et G sous forme factoris e le but tant de faire comprendre l algorithme En utilisation normale on n ex cuterait cet algorithme que si F et G taient d velopp s P 2 1 y 22 1 y42 2y 1 Q x 1 y z 1 y zy 1 Prenons x comme variable X et y comme variable X2 Les coefficients domi nants de P et Q sont respectivement y et y donc A y En y 0 P x 0 x 1 n est pas du bon degr En y 1 P x 1 x x 2 x 2 et Q x 1 x z 2 x sont du bon degr Leur pgcd est G x x 2 A 1 1 donc D 2 x 1 On teste la divisibilit de P par D le teste choue En y 2 P x 2 x 2x 3 2x 5 et Q x 2 2 22 3 22 3 donc G x 2x 3 A 2 2 On interpole y 1 D x r 24 2 1 21 20 3 2 10 2 y 1 30 4 20 2 On teste la divisibilit de P par D le test choue En y 3 P x 3 12 3x 4 31 10 et Q z 3 4 32 4 3a 8 donc G x 3x 4 A 3 3 On interpole N D 3x 4 2x 2 x y 2 y 1 3 2 3 1 3 a 3x 4 3 2 3x 4 2x 2 UV e donc y
363. nc la vitesse dM ds est de norme 1 et caract ris e par langle s fait avec une direction fixe on a alors s 1 R et on en tire s puis M s Dans exemple on a s s b donc s s 2b en choisissant la direction fixe pour annuler la constante d int gration puis dM _ e s ds 2 ap puis en choisissant l origine du rep re Ss u2 s u2 M s J cos 3 au f sin 37 du en posant u V 2bv on a aussi M s V2b pe cos v du a sin v du 0 0 10 Repr sentation des courbes implicites Certaines repr sentations graphiques n cessitent peu d outillage math matique ainsi les fonctions les courbes param trique et polaires peuvent tre repr sent es en chantillonant une ou plusieurs expressions selon une discr tisation donn e ex plicitement par l utilisateur ou par des param tres par d faut les points obtenus tant ensuite reli s par des segments On pourrait bien sur automatiser avec le cal cul formel l tude de la courbe tableaux de variations asymptotes points singu liers etc Par contre les courbes donn es par une quation implicite font intervenir des algorithmes et des math matiques plus int ressantes En dimension 2 on se donne donc une quation f x y 0 et on suppose f suffisamment r guli re Supposons la courbe non vide soit o yo un point de cette courbe si 0 f Oy f to Yo A 0 on peut appliquer le th or me des fonctions implicites et la cou
364. nctes Ce qui n cessite O n op rations mais avec des coefficients ind pendants de A de plus cette m thode est facile programmer de mani re parall le si la matrice est coefficients entiers on peut utiliser la m thode de Hessen berg voir ci dessous on calcule une borne priori sur les coefficients du polyn me caract ristique cf Cohen p 58 59 Pkl lt oi n YE on calcule le polyn me caract ristique modulo suffisamment de petits entiers puis on remonte par les restes chinois 20 7 3 La m thode de Hessenberg Pour les matrices coefficients de taille born e modulaires par exemple on pr f re la m thode de Hessenberg qui est plus efficace car elle n cessite de l ordre de n op rations sur les coefficients On se ram ne d abord une matrice triangulaire sup rieure une diagonale pr s qui est semblable a la matrice de d part puis on applique une formule de r currence pour calculer les coefficients du polyn me caract ristique Algorithme de r duction de Hessenberg Dans une colonne m donn e de la matrice H on cherche partir de la ligne m 1 un coefficient non nul S il n y en a pas on passe a la colonne suivante S il y ena un en ligne 2 on change les lignes m 1 et et les colonnes m 1 et 2 Ensuite pour tout gt m 2 soit u Him Hm 1 m on remplace alors la ligne L de H par Li uL 1 et la colonne Cm 1 par Cm 1 uC ce qui revient rempl
365. ndant de X1 Xh_1 X tels que UP VP D Si D X Xn 1 ne s annule pas on va pouvoir appliquer le th or me des fonc tions implicites On se fixe 21 1 1 On calcule dans C les racines z du poly n me P x1 Un 1 X pour une solution z telle que P x1 n 1 2 0 comme D est non nul on a P x1 amp n 1 Zj 4 0 donc on peut crire au voisi nage de 1 amp n 1 25 2 ss A PX Xn 1 25 0 avec des fonctions z analytiques Si D est constant D ne s annule pas sinon quitte permuter les variables on peut supposer que le degr de D par rapport Xj est non nul On peut alors se restreindre une zone X1 gt gt X2 gt gt gt gt Xn 1 gt gt 1 o D sera non nul ce qui permet de suivre analytiquement les z Supposons maintenant qu il existe un nombre infini de z tels Py z soit r duc tible Alors il existe un ensemble infini Z de ces valeurs de z pour lesquels l un des facteurs coefficients entiers fj de Py 2 correspond un m me sous ensemble R des racines z de Py et un m me contenu c puisqu il y a un nombre fini de com binaisons possibles des racines en facteur et un nombre fini de diviseurs possibles du contenu de P4 Pour z Z ona fi X saN naz Mer z gt 25 fj Z Xi saN ni Soit L X le polyn me obtenu par interpolation de Lagrange en cardinal R 1 points z de Z gal fj en X z Pour des raisons de degr on a L
366. ndante du temps et b t R On commence par r soudre l quation homog ne y Ay Si la matrice A est diagonalisable alors A PDP o D diag d dn est diagonale et P inversible le syst me devient y PDP y donc en posant y Pz on a puisque P est ind pendant du temps RDS amp z dkzk k l1l n donc z ce puis la solution g n rale cenit y t P ae Cnet Le calcul avec Xcas se fait en utilisant la commande desolve par exemple desolve y 1 2 2 1 y ou avec conditions initiales desolve y 1 2 2 1 y y 0 1 2 On peut aussi utiliser la fonction exp avec comme argument At on g n ralise ainsi la notation e de la dimension 1 multipli par la condition initiale exp 1 2 2 1 t 1 2 113 Les calculs interm diaires pour diagonaliser la matrice A sont ex cut s par les commandes eigenvals eigenvects jordan On peut ensuite calculer une solution particuli re par la m thode de variation des constantes ou encore en r solvant z Dz P b t composante par com posante ou par transformation de Laplace Avec Xcas il suffit d ajouter le second membre dans la commande desolve desolve y 1 2 1 2 1 y x x 1 Si la matrice A n est pas diagonalisable ce qui entraine qu elle a au moins une valeur propre de multiplicit plus grande que 1 on peut alors la trigonaliser on se ramene r soudre un syst me triangulaire ce qui revient r soudre po
367. ndre les solstices et quinoxes avec le mo ment o la Terre coupe le grand axe de son ellipse autour du Soleil Il n y a aucune raison que la projection de I axe de rotation de la Terre sur le plan de ellipse soit parall le ou perpendiculaire au grand axe de l ellipse et actuellement ce n est pas le cas le solstice d hiver a lieu le 21 d cembre alors que le passage au plus proche du Soleil a lieu vers le 3 janvier donc pendant l hiver de l h misph re Nord et le passage au plus loin du Soleil a lieu d but juillet pendant l t C est pour cette raison que les saisons sont moins marqu es dans l h misph re Nord que dans l h misph re Sud De plus la loi des aires oblige la Terre a se d placer plus vite lorsqu elle est proche du Soleil que lorsqu elle en est loign e ce qui diminue la dur e de l hiver bor al et augmente la dur e de t bor al c est peut tre pour cette raison que f vrier n a que 28 jours alors que juillet et aout ont 31 jours 24 6 L quation du temps la dur e des saisons FIGURE 1 Ellipse et quation du temps La trajectoire elliptique E de la Terre autour du Soleil est repr sent e sur la figure 24 6 en bleu l excentricit de l orbite a t norm ment exag r e il s agit d une ellipse de foyers S le Soleil et S Le point A d signe le p rih lie de l orbite passage de la Terre au plus proche du Soleil qui a lieu vers le 4 ja
368. nentielle N dy ne d pend pas de Xy _ et Pun des P X _ sinon tous les P seraient constants en Xg donc vg aussi On limine alors la variable X _ en crivant In vx 1Y 1 In wx avec Yz 1 et wz l mentaires et ind pendants de X _1 28 Peut tre omise en premi re lecture 167 Si vz est ind pendant de Xy 1 alors dj aussi donc soit d est ind pendant de X _1 et on passe la variable suivante soit X _ est un logarithme et dx Ck 1 In vp_ 1 dx_1 En continuant pour toutes les variables restantes de T gt on obtient F gt cy In vu d k avec d et vz l mentaires pour 71 avec exponentielles modifi es en en prenant une racine n i me et K Deuxi me tape Il s agit de montrer que pour les exponentielles il n est en fait pas n cessaire de prendre de racines n i me La compr hension de cette tape de mande un peu de familiarit avec l algorithme de Risch cf infra On va faire la preuve pour la variable au sommet de la tour T si c est une exponentielle On verra dans le d roulement de l algorithme de Risch que pour les autres va riables il y a appel r cursif de l algorithme d int gration donc traiter la variable au sommet suffira Soit donc exp Y la variable au sommet de la tour T on note X exp Y n la racine n i me de cette variable qui est utilis e pour exprimer F Y cx Inv N D comme une fraction rationnelle en X alors que f F est une fract
369. nguli res de A ne sont 214 pas les valeurs absolues des valeurs propres de A c est le cas si A commute avec sa transconjugu e mais ce n est pas g n ral On peut utiliser la m thode de la puissance cf infra pour estimer la plus grande valeur singuli re de A donc sans diagonaliser compl tement la matrice A A et de m me sur 47 en utilisant LU ou Cholesky pour trouver les it r es sans calculer A71 On peut aussi prendre la norme L sur l espace vectoriel dans ce cas la norme de matrice correspondante est la norme de colonne exercice le maximum des sommes valeurs absolues des l ments des colonnes colNorm A en Xcas et le conditonnement est le produit de colNorm A par colNorm inv A qui est renvoy par COND A en Xcas Si la matrice du syst me A de nombre de condition not A est elle m me connue avec une certaine incertitude alors pour A A suffisamment petit on montre que la solution de A AA x Ax b Ab v rifie Ar K 4 o gt es a IAA b NA lel 1 aJ IBA UT TA 20 7 R duction des endomorphismes 20 7 1 Le polyn me minimal On prend un vecteur v au hasard et on calcule la relation lin aire de degr minimal entre v Av A v en cherchant le premier vecteur w du noyau de la matrice obtenue en crivant les vecteurs v Av etc en colonne dans cet ordre Les coordonn es de w donnent alors par ordre de degr croissant un polyn me P de degr minimal tel que P
370. nm 1000 1000 uniform 1 1 228 b 151000 linsolve A b jacobi A b 50 1e 12 Pour Gauss Seidel le calcul de M7 n est pas effectu on r soud directement le syst me triangulaire M n 1 b N n soit D Lis b Utn Gauss Seidel est moins adapt la parall lisation que Jacobi On adapte le pro gramme pr c dent seidel A b N eps local L U x0 x1 n j n size A L diag A left U A L x0 0 0Sn pour j de 1 jusque N faire x1 b Uxx0 x1l lLinsolve L x1 si 12norm x1 x0 lt eps 12norm x0 alors return x0 fsi x0 x1 fpour return non convergent bi Dans la m thode de relaxation on pose pour M la matrice triangulaire inf rieure M 4D L o w gt 0 donc N 4 1 D U et on utilise la r currence Man b Nay donc Men b M A x puis M n41 n b Azn puis D wL tn41 Tn w b Ath On remarque que Gauss Seidel correspond w 1 Proposition 47 Convergence si A M N est une matrice sym trique d finie positive et si M N est d finie positive alors la m thode converge On utilise la norme correspondant la forme quadratique de matrice A et on calcule la norme subordonn e de MIN on a MINx x y avec y M Ax donc MN lla lt ylA x y gt lt dlAr gt lt ylAy gt lt y Ax gt lt x Ay gt lt xlAr gt lt ylAy gt lt y My gt lt Myly gt lt dxlAr gt lt yl M
371. non Q afin d am liorer sa pr cision comme racine de P Une m thode de calcul plus stable utilise la recherche des valeurs propres de la matrice companion en double pr cision puis affine par la m thode de Newton pour obtenir des valeurs approch es multi pr cision c est ce que fait proot par exemple proot x 3 x 1 50 Il existe aussi un algorithme de recherche de racines d Sch nhage dont la convergence est garantie cet algorithme est im pl ment dans PARI voir la th se de Xavier Gourdon et l article Splitting circle method de Wikipedia et est appel par Xcas pour des polyn mes mals condition n s Enfin on peut appliquer directement la m thode de Newton pour trouver dans C toutes les racines simultan ment c est la m thode de Durand Kerner Weiers trass On pose g z j_ x zi il s agit de r soudre en z g z P x On a a l ordre 1 en z galz w gz z Xu 6 zj O w P x i l jHi pour trouver w on pose x z on obtient IG zwi P e IA donc P z LG 25 On peut aussi calculer le produit du d nominateur en effectuant g z la d riv e porte sur x On retrouve la m thode de Newton une variable o la d riv e du polyn me au d nominateur est remplac e par la valeur approch e du polyn me D o le programme Wi dw P N eps Weierstrass Durand Kerner polynomial rooter local 1 v w n jJ k q qQ1 P P lcoeff P n degree P
372. nous suffit d crire en repr sentation modulaire sym trique ag X px agX p Pour conclure on sait que a X p est un multiple entier de qX p On divise donc le facteur agX p par le pgcd de aq et p et on teste la divisibilit de P par ce facteur r duit Exemple Consid rons le polyn me 2X X X 3 qui est sans facteur carr On ne peut pas choisir n 2 car on r duirait le degr pour n 3 ona P X 1 qui est facteur de P pour n 5 P 6X 2X 1 on v rifie que P et P sont premiers entre eux par exemple avec GCDMOD sur une HP49 o on aura fix la variable MODULO 5 30 On teste ensuite les entiers de 2 2 sur P Seul 1 est racine modulo 5 P 1 5 on va maintenant lifter p 1 L estimation priori est 2 ay ao 12 donc k 2 5 25 gt 12 une it ration suffira On a P 1 7 Pinverse de P 1 mod 5 est 2 donc et pp 1 5 x 2 11 est racine de P dans Z 25Z On calcule ensuite aq X pk 2 X 11 2X 22 2X 3 en repr sentation sym trique le PGCD de 2 et 3 est 1 donc on teste le facteur 2X 3 ici il divise P donc P admet un unique facteur entier de degr 1 qui est 2X 3 2 8 2 Algorithmes d terministes Algorithmes probabilistes Las Vegas et Monte Carlo L algorithme p adique pr sent ci dessus est un algorithme d terministe il ren voie toujours un r sultat certifi et le
373. nouveau int grer par parties on int gre un facteur multiplicatif 1 et on d rive l int grand on simplifie puis on int gre t et on d rive l autre terme puis t 2 etc 00 C ette J te 1n t dt 00 00 0 I et dt te In t dt 0 0 1 1 Togi e In t dt 2 at n ug 1 1 1 5 z n n In 00 4r In aS In t In n dt Pour d terminer on fait le changement de variables t nu 00 n T us e In u n du 0 In n pr l 00 end In u du 0 n Or en faisant le m me changement de variables t nu 00 00 n Met dt pop Url du 0 0 Donc for err 4 In u du 1 enlin u u du In Lorsque n tend vers l infini on peut montrer que In 0 en effet les int grales sont quivalentes a leur valeur sur un petit intervalle autour de u 1 point ot argument de l exponentielle est maximal et comme l int grand du num rateur a une amplitude In w qui s annule en u 1 il devient n gligeable devant le d nominateur Finalement on a bien C 261 On peut remarquer qu en faisant le m me calcul que C mais en remplacant et par e pour R a gt 0 donne lim I In a car le point critique o la d riv e de la phase s annule est alors 1 0 Ceci peut aussi se v rifier pour a r el en faisant le changement de variables at u 1 1 00 1 7 1 2 dt f e _ dt y In a 0 t 1 t En faisant tendr
374. ns effectuer une r duction par le pivot de Gau simultan ment sur les colonnes des matrices B A k o k lt ni La simultan it a pour but de conserver les relations 46 49 pour les matrices r duites Pour visualiser l algorithme on se repr sente les matrices les unes au dessus des autres colonnes align es On commence par r duire la matrice B A jusqu ce que l on obtienne une matrice r duite en recopiant les op rations l mentaires de colonnes faites sur B A sur toutes les matrices B A k On va continuer avec la liste des matrices r duites issues de B A BD A n 1 mais en d placant les colonnes non nulles de B d une matrice vers le bas pour une colonne non nulle de la matrice r duite B A les colonnes correspondantes de B Ai r duite sont remplac es par les colonnes correspondantes de B amp D yj r duite pour k d croissant de n 1 vers 1 A chaque tape on obtient une famille ventuellement vide de cycles de Jordan ce sont les vecteurs colonnes correspondants aux colonnes non nulles de la matrice r duite du haut de la colonne On limine bien s r les colonnes correspondant aux fins de cycles d ja trouv s Par exemple si B 4 0 son rang est 1 et on a une colonne non nulle et un cycle de Jordan de longueur n fait des n vecteurs colonnes des matrices BW A k r duites Plus g n ralement on obtiendra plus qu un cycle de Jordan et dans ce cas B A
375. ns facteur multiple apr s r duction modulo 5 P normal x 3 x 1 x 4 x 1 mod 5 gcd P diff P x 1 mod 5 gt ok P est sans facteur multiple Pl gcd P x 5 x mod 5 1 ee 5 x 2 mod 5 gt Pl P normal P P1 P2 gcd P x 5 2 x mod 5 1 mod 5 gt pas de facteur de degre 2 P3 gcd P x 5 3 x mod 5 x 6 2xx 5 x 2 x 2 mod 5 Donc P admet 3 facteurs dans Z 5Z un de degr 1 x 2 et deux de degr 3 dont le produit est x 2x5 x x 2 Le m me calcul dans Z 7Z donne P normal x 3 x 1 x 4 x 1 mod 7 gcd P diff P x 1 mod 7 gt ok P est sans facteur multiple Pl gcd P x 7 x mod 7 1 mod 7 P2 gcd P x 7 2 x mod 7 1 mod 7 P3 gcd P x 7 3 x mod 7 BSE mod 7 donc P poss de un facteur de degr 3 modulo 7 donc le facteur restant de degr 4 est forc ment irr ductible On remarque sur cet exemple que 7 est plus int ressant que 5 car la factorisa tion modulo 7 donne moins de facteurs a recombiner pour trouver la factorisation dans Z et la factorisation est compl te modulo 7 alors que modulo 5 il faut casser le facteur de degr 6 en deux facteurs de degr 3 La plupart des algorithmes de factorisation effectuent la factorisation en degr distinct modulo plusieurs entiers ce qui peut de plus tre parall lis et choisissent le meilleur 145 16 2 3 La m thode de Cantor Zassenhaus Cet algorithme sert casser des groupes de facteurs de m
376. nt on n a pas utilis b la borne de Landau Mignotte On peut penser que P tape 6 ne devrait tre effectu e que lorsque N est plus grand que pgcd p q b En pratique on effectue le test de l tape 6 plus t t parce que les coefficients du pgcd sont rarement aussi grand que b Mais pour viter de faire le test trop t t on introduit une variable auxiliaire A qui contient la valeur de H de l it ration 50 pr c dente et on ne fait le test que si H H ou bien s r si on a d pass la borne Remarque L algorithme ci dessus fonctionne galement pour des polyn mes plusieurs variables Exemple 1 Calcul du pgcd de X 1 3 X 1 et X 1 Prenons pour commencer n 2 On trouve comme pgcd X 1 en effet 1 1 donc on cherchait le pgcd de X 1 etde X 1 X 1 On teste si X4 1 divise P et Q ce n est pas le cas donc on passe au nombre premier suivant Pour n 3 on trouve X 1 Donc n 2 n tait pas un bon nombre premier pour ce calcul de pgcd puisqu on a trouv un pgcd de degr plus petit On teste si X 1 divise P et Q c est le cas ici donc on peut arr ter le pgcd cherch est X 1 Exemple 2 Calcul du pgcd de X 1 X 1 et X 1 Pour n 2 on trouve un polyn me de degr 7 Pour n 3 on trouve X6 1 donc n 2 tait une mauvaise r duction Comme X 1 ne divise pas P et Q on passe An 5 On trouve X 4 2X 2X 1 On applique le th o
377. nt si Mv 0 alors Ut L lu 0 donc comme U est r duite L lv est une combinaison lin aire des vecteurs de base d indice les lignes nulles de U Finalement les lignes de L correspondant aux lignes nulles de U forment une base du noyau de M 205 Deuxi me m thode On commence bien stir par r duire la matrice r duction compl te en dehors de la diagonale et on divise chaque ligne par son premier coefficient non nul appel pivot On ins re alors des lignes de 0 pour que les pivots non nuls se trouvent sur la diagonale Puis en fin de matrice on ajoute ou on supprime des lignes de O pour avoir une matrice carr e de dimension le nombre de colonnes de la matrice de d part On parcourt alors la matrice en diagonale Si le 5 i me coefficient est non nul on passe au suivant S il est nul alors tous les coefficients d indice sup rieur ou gal du 7 i me vecteur colonne v sont nuls mais pas forc ment pour les indices inf rieurs 2 Si on remplace le eme coefficient de v par 1 il est facile de se convaincre que c est un vecteur du noyau on le rajoute donc la base du noyau On voit facilement que tous les vecteurs de ce type forment une famille libre de la bonne taille c est donc bien une base du noyau 20 2 Alg bre lin aire sur Z 20 2 1 Calcul du d terminant d une matrice coefficient entiers L algorithme p adique de r solution de syst mes lin aires peut servir acc l rer le c
378. ntant modulo p pour k assez grand algorithme p adique Pour quelle valeur de k peut on reconstruire toutes les racines enti res de R c Comparer l algorithme ci dessus avec les algorithmes suivants la fac torisation de R sur Z la recherche num rique des racines complexes de R la recherche des racines enti res de R parmi les diviseurs entiers du coefficient constant de R et leurs oppos s Une fois les racines enti res de R connues comment peut on en d duire les facteurs de P dont les racines diff rent de cet ces entier s Soit P x z 92 2974 41r 372 59x 31 Montrer que P a la propri t Z Calculer la ou les racines enti res de R et donner la factorisation correspondante de P crire un programme qui effectue cet algorithme sur un polyn me quel conque On pourra utiliser la fonction rationalroot de Xcas pour d terminer les racines enti res de R Application on cherche calculer n gt 9x 27x 30 P x 14 k 1 D composer cette fraction en l ments simples donner le d tail des cal culs en utilisant la factorisation pr c dente et l identit de Bezout abcuv en Xcas Calculer la somme pr c dente 14 On pourra remarquer que pour k entier r ES 1 at 1 A ae strictement positif Fath Fla exprime comme une somme de diff rences 1 1 f j 1 a crire un programme effectuant ce calcul avec une fraction quelconque
379. nts simples relativement cette factori sation en appliquant B zout 550 E Pour chaque polynome P on applique B zout P et P Ni Aj B P Pi Er Pi N AiP F BP gt on int gre par parties le second terme A B Fi B PPS Pet e a PR 2 on rassemble les deux int grales ayant pal au d nominateur et on recommence jusqu avoir une puissance 1 au d nominateur Il reste alors int grer une somme de fractions du type N D avec D et D premiers entre eux Exemple On reprend le dernier exemple de la section pr c dente pour liminer la puissance 2 au d nominateur No 2x et Pa X 1 avec X e Ona P X donc Ay 2x et Bp 22 lee E 21 P J 2 rome Jb Py Ps il reste donc int grer 2x 2 e 1 17 3 3 La partie logarithmique Comme on l a vu lors de la preuve du th or me de structure de Risch si on d rive une fraction en X le d nominateur de la d riv e ne peut se d composer qu en produit de facteurs de multiplicit sup rieure ou gale 2 Il en r sulte que la fraction int grer r siduelle encore not e f N D apr s l tape de r duction ci dessus ne peut provenir que de la d rivation de F 2 cx In vy f l vk Doy 170 En identifiant les d compositions en l ments simples de F et f on montre ga lement que les vg divisent D plus pr cis ment on peut imposer aux uz d tre pre miers entre eux
380. nvier En noir 272 on a dessin le grand cercle de ellipse ellipse s obtient par contraction du grand cercle de rapport v 1 e o e est l excentricit de l orbite L aire d crite par le rayon Soleil Terre ST est proportionnelle au temps loi des aires qui d coule de la conservation du moment cin tique il en est donc de m me de I aire en vert du d crite par le rayon SM Si on ajoute cette aire verte l aire en rouge du triangle OSM on obtient l aire de l arc de cercle OAM Donc iV x OA 508 x HM est proportionnel au temps coul depuis le passage au p rih lie Comme HM OM sin V et OS e x OA on en d duit que t V esin V Ct 27 62 o la constante C s obtient en faisant varier V de 0 27 ce qui correspond la dur e T d une r volution de la Terre autour du Soleil 1 an La relation entre 0 not t sur la figure et V s obtient par exemple en calculant l abscisse de M xz acos V ea pcos _ 3 e ea T ecos 0 cos 0 Les angles V et 0 sont de m me signe et _ cos 0 e cle 1 ecos 6 a et r ciproquement cos V e ja AI 4 ES 1 ecos V 64 Dur e des saisons Il suffit de connaitre l angle lors du solstice d hiver et de lui ajouter kr 2 pour k 1 2 3 pour connaitre l angle 0 au printemps en t et l automne on en d duit V par 63 puis le temps coul depuis le p rih lie avec 62 Calcul de 6 en fonctio
381. oactions une variation globale de 0 2 degr s Kelvin 25 La moyenne arithm tico g om trique La moyenne arithm tico g om trique est un processus it ratif qui converge tr s rapidement et est tr s utile pour calculer les fonctions transcendantes r ciproques en multi pr cision On peut alors trouver les fonctions transcendantes directes par application de la m thode de Newton 274 25 1 D finition et convergence Soient a et b deux r els positifs on d finit les 2 suites Un Un Ug 6 b tea y Unt y Un Un 65 On va montrer que ces 2 suites sont adjacentes et convergent donc vers une limite commune not e M a b et il se trouve que la convergence est tr s rapide en raison de l identit 1 1 Un 1 Un 1 21 Un y Un 2 VUn Vn un Un y 66 la convergence est quadratique On suppose dans la suite que a gt b sans changer la g n ralit puisque changer a et b ne change pas la valeur de un et v pour n gt 0 On a alors un gt Un d apr s 66 pour n gt 0 et Uni lt Uy car 1 Un 1 Un 3 Un Un lt 0 et Un 1 YUnUn gt VUnUn Un Donc un est d croissante minor e par vo Un est croissante major e par uo ces 2 suites sont convergentes et comme Un 1 ngon elles convergent vers la m me limite l qui d pend de a et b et que Pon note M a b On remarque aussi que M a b bM a b 1 aM 1 b a Pr cisons maintenant la vitesse de convergen
382. olue de f sur I il suffit de montrer que cette valeur absolue est strictement inf rieure un r el k lt 1 pour conclure il faut donc chercher le maximum de f sur J Attention il s agit du maximum de f et pas du maximum de f ce qui revient chercher le maximum de f et de f On a alors le 190 Th or me 36 du point fixe si f est contractante de I a b dans I de rapport k alors la suite 40 converge vers l unique solution de f l l dans I On a de plus les encadrements Un 1 Un n i lt k b al n l lt hegia has le 41 D monstration Tout d abord si f est contractante on montre partir de la d finition de la continuit que f est continue Soit g x f x x alors g est continue positive en a et n gative en b il existe donc 1 a b tel que g l 0 th or me des valeurs interm diaires Soit u une suite d finie par 40 On a alors pour tout n Junta I f un FO lt Klun ll Donc par une r currence vidente lun I lt k Juo 1 ce qui entraine d ailleurs que u l lt k a b Comme k 0 1 la suite g om trique k converge vers O lorsque n tend vers linfini donc u tend vers l Notons que est unique car si l est une autre solution alors J 1 f 1 f U lt k l 1 donc 1 k 1 1 lt 0 or 1 k gt 0 et 1 1 gt O donc l 1 doit tre nul Pas
383. olyn me homog ne de degr croissant de be que l on reconstruit Cet algorithme permet donc de reconstruire D il suffit de tester chaque tape si Po Py divise Flcoeff F On appelle cette m thode de remont e lemme de Hensel lin aire Il existe une variante dite lemme de Hensel quadra tique qui consiste passer de O k O 2k Elle n cessite toutefois un calcul suppl mentaire celui de l identit de B zout O 2k pr s pour les polyn mes Po Pr 10etQ0 Qk 1 Ce calcul se fait galement par lifting Algorithme EZGCD Hensel lin aire Arguments 2 polyn mes F et G coefficients entiers et primitifs Renvoie le pgcd de F et G ou false 1 Evaluer F et Gen X2 Xn 0 0 v rifier que les coefficients dominants de F et de G ne s annulent pas Calculer le pgcd D de F 0 et de G 0 Prendre un autre point d valuation au hasard qui n annule pas les coefficients dominants de F et de G et v rifier que le pgcd a le m me degr que D Sinon renvoyer false on peut aussi faire une translation d origine de F et de G en un autre point mais cela diminue l efficacit de l algorithme 56 2 On note IcF et lcG les coefficients dominants de F et de G par rapport Xj 3 Si degre F lt degre G et degre D degre G et F divise G renvoyer F 4 Si degre G lt degre F et degre D degre F et G divise F renvoyer G 5 Si degre F degre D ou si degre G degre D
384. olyn me cf cependant une application des suites de Sturm qui per met de connaitre le signe de P sur un intervalle sans le factoriser Par contre on peut montrer post riori des estimations sur la distance entre une racine approch e et la racine la plus proche d un polyn me plus pr cis ment cette distance est inf rieure ou gale au degr du polyn me multipli par le module de P P en la racine approch e 5 3 On effectue donc souvent des it rations de Newton en partant de 0 0 en esp rant s approcher suffisamment d une racine pour que le th or me de convergence th orique s applique On se fixe un nombre maximal d it rations si on le d passe on prend alors une valeur initiale al atoire complexe et on recommence Une fois une racine d termin e on l limine en calculant le quotient euclidien Q de P par X r par l algorithme de Horner puis on calcule les racines du quotient Q qui sont des racines de P Un probl me pratique apparait alors c est que r n est pas exact donc le quo tient Q non plus au fur et mesure du calcul des racines de P on perd de plus en plus de pr cision Il existe une am lioration simple si r est une racine approch e 198 de Q alors elle est racine approch e de P et on a toutes les chances qu elle soit suf fisamment proche d une racine de P pour que le th or me s applique on effectue alors 1 ou 2 it rations de Newton avec r mais pour P et
385. on crire une fonction qui calcule le d velop pement de Taylor complet d un polyn me en un point 40 3 LePGCD de polyn mes Comme on l a remarqu dans le premier article l algorithme d Euclide est in efficace pour calculer le pgcd de deux polyn mes coefficients entiers On va pr senter ici les algorithmes utilis s habituellement par les syst mes de calcul formel sous r sultant PRS modulaire GCDMOD p adique EEZGD et heuristique GCDHEU Le premier est une adaptation de l algorithme d Euclide et s adapte des coefficients assez g n riques Les trois autres ont en commun d valuer une ou plusieurs variables du polyn me dans ce dernier cas il est n cessaire de bien dis tinguer le cas de polyn mes plusieurs variables et de reconstruire le pgcd par des techniques distinctes la plupart du temps ces algorithmes fonctionnent seulement si les coefficients sont entiers Soit donc P et Q deux polyn mes coefficients dans un corps Le pgcd de P et Q n est d fini qu une constante pr s Mais lorsque les coefficients de P et Q sont dans un anneau euclidien comme par exemple Z ou Z i on appellera pgcd de P et Q un polyn me D tel que P D et Q D soient encore coefficients dans l anneau et que D soit optimal c est dire que si un multiple uD de D v rifie P uD et Q uD sont coefficients dans l anneau alors yy est inversible La premi re tape d un algorithme de calcul de p
386. on donnant le nouveau en fonction de l ancien param trage soit une bijection qui peut m me renverser le sens de d roulement du temps c est dire le sens de parcours de la courbe On utilisera d ailleurs plus loin un param trage par la longueur o la courbe est parcourue vitesse constante gale 1 Le choix d un param trage est ce qui fait la diff rence entre la cin matique on prend le temps comme param tre et la g om trie o on cherche d crire les propri t s intrins ques de la courbe ind pendamment du param trage Ainsi l quation cart sienne d une courbe est une propri t g om trique ind pendante du choix de param trage choisi pour l obtenir On observe aussi que l op ration inverse trouver un param trage partir d une quation cart sienne de courbe n est pas possible de mani re explicite sauf dans quelques cas particuliers C est pour cette raison qu il est beaucoup plus difficile 85 et couteux en temps d obtenir une repr sentation graphique d une courbe donn e par son quation cart sienne 8 4 tude analytique d une courbe en param trique On supposera dans toute la suite que les fonctions x t et y t sont continument d rivables au moins 2 fois sauf peut tre en un nombre fini de r els d un intervalle I de R On commence par d terminer le domaine de d finition de x t et de y t et on essaie de le r duire si possible soit par p riodicit
387. ondi 22 4 La fonction logarithme Si nous voulons calculer In 1 x pour x 0 1 avec une pr cision e il suffit de calculer n k 1 or 1 k 0 pour n tel que la valeur absolue du terme suivant soit plus petit que e n 1 LE 1 n tel que n en effet les signes sont altern s et la suite a d croit vers 0 Si la suite d croit lentement vers 0 cette m thode est mauvaise num riquement et en temps de calcul car il y a presque compensation entre termes successifs donc perte de pr cision sur la mantisse et il y a beaucoup de termes calculer C est le cas pour le logarithme si x est voisin de 1 il faut calculer n termes pour avoir une pr cision en 1 n par exemple 1 million de termes pour avoir une pr cision de le 6 sans tenir compte des erreurs d arrondi Si x est proche de 1 2 il faut de 252 l ordre de In In 2 termes ce qui est mieux mais encore relativement grand par exemple 50 termes environ pour une pr cision en le 16 13 termes pour le 4 On a donc int r t se ramener si possible calculer la fonction en un x o la convergence est plus rapide donc x le plus petit possible Par exemple pour le calcul de In 1 x on peut utiliser la racine carr e ln 1 x 2ln v1 2 on observe que x x 1 lt 1 V1 x 2 il faut toutefois faire attention la perte de pr cision sur X par rapport x lorsque x est petit utiliser l inverse X
388. oration sur le degr possible de N puis utiliser l identit de B zout pour simplifier cette quation On crit maintenant N Y p o NZ k et on remplace il y a nouveau trois cas selon le type de Z Si Z x cas exponentielle rationnelle Donc Z 1 le degr de RN est r n 1 si N est non constant c est dire si T n est pas un multiple de S le degr de SN est s n Sir 1 s on en d duit que n t max r 1 s Sir 1 s on peut avoir une simplification du terme de plus haut degr s n sinon on est dans le cas pr c dent si nR Ss d o on d duit le degr n de N Par exemple pour y 2xy T ou pour x 2 2x4 1 z 1o0nar s 1 donc n s t donc pas de solution dans le deuxi me cas dans le premier cas il ne peut y avoir de solutions que si t gt s en particulier il n y a pas de solution pour t 1 on a donc d montr que f exp x n admet pas de primitive l mentaire Si Z exp z cas exponentielle d exponentielle Ici les Ng peuvent ne pas tre constants ona n N X N kNgz Z k 0 Comme on l a d j observ N nN z 0 donc le degr de N est gal au degr de N On a donc trois cas sir As alors n t max r s sir s et les termes de plus haut degr du membre de gauche ne se simpli fient pas alors n t r t s sir s et s il y a simplification alors RAN nNnz SeNn 0 donc s N G
389. ordre 2 en 179 supposant que f est deux fois continument d rivable b B a B Q Q f ro fr f ree a 2 B 9 E 2829 M 8 a b s JS y a Dans l exemple on a M2 6 donc l erreur sur une subdivision est major e par 0 25e 3 donc sur 10 subdivisions par 0 25e 2 0 0025 Pour les trap zes la fonction g dont le graphe est le segment reliant a f a 10 f B est f a t 0 8 a f 8 c est en fait un polynome de Lagrange si f est deux fois continument d rivable on peut donc majorer la diff rence entre f et g en utilisant 54 on int gre la valeur absolue ce qui donne B B B qn ay f toa f soas PE ot 81 lt M S o Mp est un majorant de f sur a b Lorsqu on calcule l int grale sur a b par une de ces m thodes on fait la somme sur n b a h subdivisions de longueur 6 a h on obtient donc une majoration de l erreur commise sur l int grale pour les rectangles droite ou gauche nM h 2 M h b a 2 pour le point milieu M2h b a 24 pour les trap zes Moh b a 12 Lorsque h tend vers 0 l erreur tend vers 0 mais pas la m me vitesse plus rapide ment pour les trap zes et le point milieu que pour les rectangles Plus on approche pr cis ment la fonction sur une subdivision plus la puissance de h va tre grande plus la convergence sera rapide lorsque h sera petit avec toutefois une contrainte fix
390. os bt 28 sin bt Exemples y 3y 4y 0 quation caract ristique r 3r 4 0 deux racines distinctes r 1 r 4 donc y t ae Be y 2y y 0 quation caract ristique r 2r 1 0 a une racine double r 1 donc y t ae t Bte y 2y 2y 0 quation caract ristique r 2r 2 0 deux racines conjugu es r 1 donc y t e acos t Bsin t 112 On peut trouver une solution particuli re de l quation avec second membre comme dans le cas g n ral m thode de variation des constantes Si la solution g n rale est engendr e par y1 Yn ON pose n y y AiYi i 1 On pose n n So Ny 0 gt y Ay i 1 i 1 et ainsi de suite jusqu la d riv e d ordre n de y ces n 1 quations et l quation diff rentielle donnent alors un syst me lin aire n n en les A Pour des second membre combinaison lin aire de termes b t e avec b poly n me on peut chercher une solution particuli re combinaison lin aire de a t e o a est de m me degr que b si r n est pas racine de P ou de degr le degr de b plus la multiplicit de r comme racine de P On peut aussi utiliser la transformation de Laplace et son inverse 12 3 4 Syst mes diff rentiels lin aires coefficients constants d ordre 1 Il s agit donc de syst mes de la forme y Ay b t ou y t R A est une matrice carr e de taille n ind pe
391. ot du code s il est dans l image de l application lin aire Pour assurer l injectivit tout en facilitant le d codage on utilise souvent une matrice identit k k comme sous bloc de la matrice n k par exemple on prend l identit pour les k premi res lignes de M on ajoute ensuite n k lignes Pour savoir si un vecteur est un mot de code il faut v rifier qu il est dans l image de M On peut par exemple v rifier qu en ajoutant la colonne de ses co ordonn es M on ne change pas le rang de M qui doit tre k mais c est assez couteux On pr f re utiliser une matrice de controle H x Im M amp Hr 0 Si la matrice M est compos e de l identit 14 et d une matrice C sur ses n k derni res lignes alors H C I _x Exercice cr ez une matrice M de taille 7 4 injective Puis un programme qui teste si un vecteur est un mot de code et en extrait alors la partie avant codage V rifiez votre programme avec un vecteur Mv on doit obtenir un mot de code Instructions utiles idn matrice identit ker noyau d une application lin aire rank rang tran tranpos e Pour cr er une matrice on peut coller les lignes de 2 matrices A et B par op A op B ou avec blockmatrix 14 4 3 Codes polynomiaux D finition Il s agit d un cas particulier de codes lin aires On se donne un polyn me g x de degr n k On repr sente le message de longueur k a coder par un polyn me P de degr
392. ou plusieurs arguments d une fonction avant l valuation de la fonction Par exemple si on veut calculer la valeur num rique d une int grale par des m thodes de quadrature on ne souhaitera pas rechercher une primitive de la fonction int grer Dans le jargon on parle alors de quoter un argument l origine du terme vient probablement de la notation du langage 21 Lisp Certaines fonctions doivent toujours quoter leurs arguments par exemple la fonction qui permet de purger le contenu d un param tre on parle parfois d auto quotation 2 5 Forme normale et reconnaissance du 0 Une fois d fini ces types de base repr sentant les nombres d un syst me de calcul formel il faut pouvoir comparer ces nombres en particulier d cider si deux repr sentations distinctes correspondent au m me nombre ou ce qui revient au m me par soustraction d cider quand un nombre est nul Par exemple 4 2 et 2 repr sentent le m me nombre Lorsqu on dispose d un algorithme permettant de repr senter un nombre d une mani re unique on parle de forme normale C est par exemple le cas pour les nombres rationnels la forme normale usuelle est la fraction irr ductible de d nominateur positif C est aussi le cas pour les fractions rationnelles de polyn mes 4 coefficients entiers repr sent es par une fraction ir r ductible avec au d nominateur un coefficient de plus haut degr positif Mal heureusement il n est pas toujo
393. our cela on rajoute des symboles calcul s partir des pr c dents on envoie un l ment d un code ayant n symboles 14 4 1 Le bit de parit On prend k 7 bits et n 8 bits On compte le nombre de 1 parmi les 7 bits envoy s si ce nombre est pair on envoie 0 comme 8i me bit sinon 1 Au final le nombre de bits a 1 de l octet 1 octet 8 bits est pair On peut ainsi d tecter une erreur de transmission si a la r ception le nombre de bits d un octet est impair 131 mais on ne peut pas corriger d erreurs On peut aussi dire que l octet repr sente un polyn me coefficients dans Z 2Z divisible par X 1 Exercice crire un programme Xcas permettant de rajouter un bit de parit a une liste compos e de 7 bits Puis un programme de v rification qui accepte ou non un octet selon sa parit Vous repr senterez l octet par une liste de bits avec le d limiteur poly1 pour pouvoir effectuer des op rations arithm tiques polynomiales et vous effectuerez la v rification de deux mani res en comptant le nombre de 1 ou avec l instruction rem 14 4 2 Codes lin aires D finition On multiplie le vecteur des k symboles par une matrice M 4 co efficients dans K de taille n x k et on transmet l image Pour assurer qu on peut identifier un ant c dent unique partir d une image il faut que M corresponde a une application lin aire injective ce qui entraine n gt k On dit qu un vecteur de n symboles est un m
394. p o p est le plus petit facteur de N Il suffira d en g n rer O p pour avoir une bonne proba d en trouver deux gaux modulo p Comme on ne connait pas p le test d galit modulo p se fait en calculant le pgcd des diff rence des 2 entiers modulo N et de N qui doit tre non trivial La fonction f peut par exemple tre gt x 1 ou x 1 ou x 3 On ne teste pas toutes les diff rences de paires d entiers g n r s car ce serait trop long mais les x2 x pour k 1 2 ce qui suffit car la suite x est ultimement p riodique le dessin d une suite ultimement p riodique est un p d ou la m thode tire son nom Le calcul n cessite donc O p In N op rations ce qui est toujours mieux que la division triviale car p lt VN 15 3 Le crible quadratique On cherche des relations x y mod N en esp rant trouver un facteur de N en calculant pgcd x y N Probl me trop difficile la place on va essayer de factoriser sur une base de petits nombre premiers des a N pour x proche de VN nombre friable La taille de la base d pend de la taille de N La recherche de z se fait par produit de x tel qu il n apparaisse que des carr s de la base des petits nombres premiers ce qui s obtient en r solvant un gros syst me lin aire coefficient dans Z 2Z Pour trouver les x on utilise un crible sachant que si on a une solution de z N 0 mod p alors x p x 2p etc le seront aussi on
395. pZ X P X avec P un polyn me irr ductible de Z pZ X de degr n Si la classe de X est d ordre p 1 dans K on dit que P est primitif Dans Xcas c est cette repr sentation qui est utilis e Pinstruction GF p n g n re al atoirement un polyn me irr ductible de degr n sur Z pZ puis cherche un l ment cyclique calcule son polyn me minimal qui est donc primitif et affiche le nom d un g n rateur par d faut g il suffit alors d crire n importe quelle expression symbolique polynomiale en ce g n rateur pour cr er un l ment de K En interne Xcas stocke les l ments de K comme des polyn mes listes coefficients dans Z p7 et les affiche comme poly n me symbolique en fonction du g n rateur On peut aussi utiliser un entier entre 0 et p 1 dont l criture en base p repr sente les coefficients du polyn me Pour g n rer un polyn me irr ductible on utilise un g nerateur al atoire d en tiers dans 0 p on cr e un polyn me unitaire de degr n et on teste son irr ductibi lit en calculant le PGCD de P avec les x x pour k de 1 jusque n 2 En pratique on calcule les powmod x p k p P en prenant la puissance modulaire p i me du pr c dent on retire x et on calcule le pgcd avec P si on trouve un r sultat dif f rent de 1 on passe au polyn me suivant g n r al atoirement On peut calculer la probabilit de r ussir en d nombrant les polyn mes irr ductibles
396. pairs to empty 2 Add one by one all the f to the basis and update the list of critical pairs with Gebauer and M ller criterion by calling the gbasis update procedure described below step 9 3 Begin of a new iteration All pairs of minimal total degree are collected to be reduced simultaneously they are removed from the list of critical pairs 4 The symbolic preprocessing step begins by creating a list of monomials gluing together all monomials of the corresponding s polys this is done with a heap data structure 5 The list of monomials is reduced by division with respect to the current basis using heap division like Monagan Pearce without taking care of the real value of coefficients This gives a list of all possible remainder mo nomials and a list of all possible quotient monomials and a list of all quotient 78 10 times corresponding basis element monomial products This last list together with the remainder monomial list is the list of all possible monomials that may be generated reducing the list of critical pairs of maximal total degree it is ordered with respect to lt We record these lists for further primes during the first prime computation The list of quotient monomials is multiplied by the corresponding elements of the current basis this time doing the coefficient arithmetic The result is recorded in a sparse matrix each row has a pointer to a list of coefficients the list of coefficients is
397. par chaque facteur trouv multipli par le coefficient dominant de P Si la division est exacte on a un facteur irr ductible mais si elle n est pas exacte il peut se produire qu un facteur irr ductible de P dans Z X soit un produit de deux voir plusieurs facteurs modulaires Il faut donc tester la divisibilit de P dans Z X par toutes les combinaisons possibles de produits de facteurs modulaires toujours multipli par le coefficient dominant de P Cette tape peut tre exponentiellement longue si le nombre de facteurs modulaires est grand et si par exemple P est irr ductible bien que les cas soient tr s rares Algorithme de recombinaison Arguments un polyn me coefficients entiers primitif et sans facteur multiple P de coefficient dominant pn la liste L des facteurs de P dans Z p Z X pour l assez grand et pl Valeur de retour la liste F des facteurs de P dans Z Initialiser F vide initialiser le nombre de facteurs combine c 1 entamer une boucle infinie Si cest strictement sup rieur au cardinal de L divis par 2 ajouter le quotient de P par le produit des facteurs de F F et retourner F Initialiser un vecteur v v1 Uc c composantes la valeur 1 c Boucle ind finie int rieure 1 Faire le produit des facteurs de F d indice v multiplier par pn dans Z p Z crire le facteur en repr sentation sym trique le rendre primitif et tester si c est un facteur de P dans Z
398. parcourt la courbe tudi e C est appel e d velopp e de la courbe C La vitesse de Q vaut d 1 die 1 d EM EN vT 4 EN l zol KT EN on en d duit que la tangente la d velopp e en Q a pour direction la normale L enveloppe des normales une courbe est donc sa d velopp e Exemple d velopp e de l ellipse 2 cos t sin t Ouvrir un niveau de g om trie 2d dans Xcas taper une commande par ligne G plotparam 2xcos t sin t t 0 2xpi M element G T tangent M N perpendiculaire M T trace N passer en mode pointeur menu mode du niveau de g om trie et faire bou ger le point M le long d un quart de l ellipse ceci trace un faisceau de nor males l ellipse dont on voit apparaitre l enveloppe limite entre la r gion 15 L enveloppe d une famille de droites est une courbe dont l ensemble des tangentes est la fa mille de droite 98 couverte et non couverte par des points du faisceau de normales cette enve loppe est la d velopp e de l ellipse vous pouvez utiliser le menu M droite du dessin pour effacer les traces Avec Xcas version 1 1 1 18 ou ult rieure on peut tracer la d velopp e avec la commande developpee G Cf aussi les animations de l article D velopp e de wikipedia Exercice calculer le rep re de Frenet pour une ellipse E par exemple x t 4cos t y t 3sin t puis le rayon de courbure puis la d ve lopp e A on obtient une courbe image p
399. peu de divisions euclidiennes effectuer et les coefficients n ont pas trop le temps de croitre SPMOD est int ressant pour les polyn mes creux de pgcd non trivial creux GCDHEU est int ressant pour les probl mes relativement petits Avec des machines multiprocesseurs on a probablement int r t lancer en parall le plusieurs algorithmes et s arr ter des que l un deux recontre le succ s 58 3 5 Pour en savoir plus Parmi les r f rences cit es dans le premier article ce sont les livres de Knuth H Cohen et Davenport Siret Tournier qui traitent des algorithmes de pgcd On peut bien s r consulter le source de son syst me de calcul formel lorsqu il est disponible pour MuPAD sur un syst me Unix depuis le r pertoire d installation de Mu PAD en g n ral usr local MuPAD apr s avoir d sarchiv le fichier lib tar du r pertoire share 1lib par la commande cd share lib amp amp tar xvf lib tar on trouve les algorithmes de calcul de PGCD dans le r pertoire share lib lib POLYLIB GCD Pour l algorithme EZGCD je me suis inspir de l impl mentation de Singu lar logiciel libre disponible www singular uni kl de Sur le web on trouve quelques articles en lignes sur le sujet en cherchant les mots clefs GCDHEU EZGCD SPMOD sur un moteur de recherche il y a par exemple une description un peu diff rente du pgcd heuristique sur www inf ethz ch personal gonnet CAII HeuristicAlgorithms nodel html et
400. pgcd des polyn mes dans Z nZ et du th or me des restes chinois En pratique on prend des nombres premiers inf rieurs 4 la racine carr e du plus grand entier hardware de la machine donc plus petits que 216 sur une machine 32 bits ce qui permet d utiliser l arithm tique hardware du processeur sans risque de d bordement Algorithme du PGCD modulaire en 1 variable En argument 2 polyn mes primitifs P et Q coefficients entiers Le r sultat renvoy sera le polyn me pecd Variable auxiliaire un entier N initialis 1 qui repr sente le produit des nombres premiers utilis s jusqu ici et un polyn me H initialis O qui repr sente le pgcd dans Z NZ Boucle infinie 1 Chercher un nouveau nombre premier n qui ne divise pas les coefficients dominants p et q de P et Q 2 Calculer le pgcd G de P et Q dans Z nZ Si G 1 renvoyer 1 3 Si A 0 ou si le degr de G est plus petit que le degr de H recopier G dans H et n dans N passer la 6 me tape 4 Si le degr de G est plus grand que celui de H passer l it ration suivante 5 Si le degr de G est gal au degr de H en utilisant le th or me des restes chinois calculer un polyn me H tel que H H modulo N et H G modulo n Recopier H dans H et nN dans N 6 Ecrire pgcd p q H en repr sentation sym trique Soit H le r sultat rendu primitif Tester si H divise P et Q Sic est le cas renvoyer H sinon passer Pit ration suivante Finaleme
401. plan Try de l cliptique plan de l orbite de la Terre autour du Soleil avec T y orthogonal a 1 axe de rotation de la Terre donc Tx la projection de l axe de rotation de la Terre sur ce plan Soit 0 l angle que fait la Terre avec la direction du passage au p rih lie et 69 l angle de la position de la Terre au solstice d hiver avec la direction du p rih lie l angle entre la direction Terre Soleil et Tz est donc 9 6o Dans Tzxyz le vecteur unitaire s de la direction Terre Soleil a pour coordonn es s cos 69 sin 6 0 On effectue ensuite une rotation autour de Ty d angle l inclinaison de l axe de rotation de la Terre On obtient ainsi un rep re TX yZ TX et TZ se d duisent de Tx et Tz par rotation d angle 2 Dans ce rep re le vecteur untaire s a pour coordonn es s cos 69 cos 2 sin 40 cos 0 Op sin i Calculons maintenant dans ce rep re TX yZ les coordonn es des vecteurs de la base locale On se place en un point de latitude l et de longitude on note J la dur e d une p riode de r volution de la Terre sur elle m me 23 heures 56 minutes c est un peu moins d un jour car il faut encore en moyenne 4 minutes pour compen ser le d placement de la Terre sur son orbite autour du Soleil La verticale locale a pour coordonn es v cos 1 cos 2rt J cos l sin o 27t J sin 1 L nergie solaire recue au lieu donn sur une surface
402. pour q le plus grand entier tel que a bg gt 0 La division euclidienne permet d crire un nombre entier en utilisant une base b et des caract res pour repr senter les entiers entre O et b 1 Nous crivons les nombres entiers en base b 10 avec comme caract res les chiffres de 0 9 Les ordinateurs utilisent des circuits binaires pour stocker les informations il est donc naturel d y travailler en base 2 en utilisant comme caract res 0 et 1 ou en base 16 en utilisant comme caract res les chiffres de 0 9 et les lettres de A F En g n ral pour trouver l criture d un nombre en base b par exemple b 2 on effectue des divisions euclidienne successives par b du nombre puis de ses quotients successifs jusqu ce que le quotient soit 0 et on accolle les restes obtenus premier reste droite dernier reste gauche Inversement pour retrouver un entier d partir de son criture d dg on traduit les divisions euclidiennes successives en d dnb dn 1 d dn 2 d1 b do dnb dn 1b 7 ee do Par exemple vingt cinq s crit en base 16 0x19 car 25 divis par 16 donne quo tient 1 reste 9 En base 2 on trouverait 0b11001 car 25 24 28 1 On peut effectuer les op rations arithm tiques de base division directement en base 2 ou 16 Par exemple la table de l addition est 0 0 0 0 1 1 0 1 et 1 1 0 je retiens 1 donc 01001111 01101011 10111010
403. propres de Se qui sont celles de A au moyen des j1 En effet fixons j et soit C un cercle de centre yu uj et de rayon a lt 2 Si A est une matrice diagonalisable on sait que 1 nombre de valeurs propres C trace A 21 i 2177 C En prenant A Se et en crivant S 21 7 U zI E 1 U 2D Ey HU 21 on d veloppe le second terme si la norme de U zI E est strictement inf rieure al Sia PS OU 21 DEZA AAN AO EUA Al Le puis on calcule la trace trace Se 21 SoH z n j avec U z1 7 El U IE Au final le nombre de valeurs propres dans C est donn par In lt 2nal U 21 II U 21 El U 21 TE 14 lal Samaxzcol U 20 Il suffit donc que le max soit plus petit que 1 pour avoir l existence d une valeur propre et une seule de Se dans le cercle C distance au plus a de y Ce sera le cas Si 1 e a ES 2 121 52 vn 1 on choisit donc a pour r aliser galit ci dessus sous r serve que ne soit pas trop petit rappelons que a doit tre plus petit ou gal 4 2 Si est petit il peut tre 237 n cessaire d utiliser une pr cision plus grande pour les calculs de la d composition de Schur en arithm tique flottante Typiquement on peut esp rer pour un cart 6 pas trop petit pouvoir localiser les racines d un polyn me de degr n par cette m thode avec pr cision b bits en O n3b n b3 op r
404. ques r sultats sur les formes ferm es et exactes c est le cas favorable il cor respond aux forces conservatives en m canique ou aux diff rentielles totales de fonctions d tat en thermodynamique 11 1 Forme diff rentielle Soit V x y une fonction de deux variables continument d rivable On s int resse aux variations de V lorsqu on se d place dans le plan depuis le point M x y dans une direction donn e la vitesse w On a alors une formule quivalente celle de la d riv e d une fonction d une variable Proposition 17 Pour tout vecteur w w1 wa la d riv e de V en x y dans la direction w est donn e par h gt 0 h 0 Vw OyV we On appelle diff rentielle de V et on note dV l application qui en un point x y associe au vecteur w la valeur de la d riv e directionnelle de V en x y selon w dV w zV wi V w2 Cette application est lin aire par rapport w En effet V x wih y wzh V x wih y V x wih y wah o h V z y 0 V x y w1h OyV a wih y wah o h donc ROUTES VE V x y w y V x wih y wa o 1 gt n gt 0 sV 2 y w1 0yV x y wa Exemples la d riv e de V selon la direction 1 0 axe des x est O V et selon la direction 0 1 axe des y est V Soit A a b et V x y y 1 a y b la distance de A au point M x y Alors dV existe en tout point M diff rent de A et 0 V 0 V x a y
405. quipe tr s sympathique Ren e Roland G rard Fr d ric On programmait en Pascal au d but puis rapidement on a bascul les enseignements en C C Ren e s in t ressait aussi aux calculatrices et pensait qu il faut contacter HP il y a un centre HP en banlieue de Grenoble ce qui ne fut pas vident mais finit par d boucher sur la cr ation d un module optionnel calculatrices en Deug avec des calculatrices pr t es par HP puis en 1997 des contacts avec la nouvelle quipe calculatrices de HP en Australie En 1998 99 j ai effectu une d l gation pour mettre au point 287 la HP49 avec l quipe australienne afin d y int grer Erable Un an plus tard nous sortons la HP40 version lyc e simplifi e et moins ch re de la HP49 projet port par Jean Tavenas chez HP Grenoble Mais HP d cide alors que les calculatrices graphiques ne sont pas assez rentables les efforts de Jean pour faire la publicit de la HP40 sont stopp s juste au moment o ils commengaient porter leurs fruits avec une calculatrice formelle au prix de la TI83 la HP40 avait pourtant toutes ses chances c est d ailleurs encore vrai en 2014 la HP40GS est la calculatrice for melle la moins ch re du march on la trouve cette rentr e 2014 a un prix quivalent aux graphiques d entr e de gamme de TI et Casio C est cette exp rience avec HP qui m a fait prendre conscience qu il tait pos sible d crire un logiciel de calcul formel
406. r inter_unique R droite x 0 elle est ind pendante de a et est le foyer On peut montrer qu une courbe ayant cette propri t est une parabole 8 7 4 Hyperbole Une hyperbole de foyers F et F est d finie comme l ensemble des points M tels que IMF MF 2a o a est une constante telle que 2a gt 2c FF avec une excentricit e c a gt 1 En physique les hyperboles interviennent dans les trajectoires non p riodiques en m canique c leste mais aussi comme courbes de d phasage constant entre deux sources situ es aux deux foyers les figures d interf rence font apparaitre des hy perboles On peut faire un calcul analogue celui de l ellipse MF MF MF MF 2a MF MF MF MF 2ex on en d duit que MF a ex l quation cart sienne de l hyperbole dans le rep re centr au milieu des foyers d axe Ox l axe des foyers est donc ae y a a e 1 On peut param trer les deux branches de l hyperbole par x t tacosh t y t ay e 1sinh t et en polaires a l e To ecos 0 Exercice faire l tude de la courbe param tr e et montrer que l hyperbole admet deux asymptotes d quation y g 95 9 Propri t s m triques des courbes 9 1 Longueur d arc La longueur ds d un morceau de courbe r gulier parcouru pendant un petit intervalle de temps dt est gal au premier ordre 4 la long
407. r alors a a mod p Voir le manuel de programmation de Xcas 2 9 1 Exemple l algorithme de Karatsuba Soient P Q deux polyn mes de degr s strictement inf rieur 2n On suppose que le cout d une op ration arithm tique dans le corps des coefficients vaut 1 et on n glige les autres op rations on suppose par exemple que le corps des coefficients est un corps fini On crit P A4 2 B Q C 2 D avec A B C D de degr s strictement inf rieur n on a alors PQ AC 2 AD BC x BD Il y a 4 produits de polyn mes de degr s lt n mais au prix d additions interm diaires on peut se ramener 3 produits en effet A B C D AC BD AD BC donc pour calculer le cofacteur de x il suffit de soustraire A B C D les produits AC et BD que l on calcule par ailleurs Soit M n le temps n cessaire pour calculer le produit de 2 polyn mes par cette m thode on a alors M 2n 3M n 8n o 8n repr sente le nombre d additions ou de soustractions pour former A B C D soustraire AC et BD et tenir compte des retenues les termes de degr gt n de AC se combinent avec ceux de degr lt 2n de AD BC et les termes de degr lt 3n de x BD avec ceux de degr gt 2n de AD BC On en d duit Un MP Uni 3Un 8 x 2 cette r currence se r soud facilement par la commande rsolve u nt 1 3 u n 8 2 n u n u 0 1 qui donne M 2 un 8 2 4 9 3 Asympto
408. r me des restes chinois qui va nous donner un polyn me dans Z 15Z On cherche donc un entier congru 2 modulo 5 et 0 modulo 3 3 est la solution crite en repr sentation sym trique donc le polyn me modulo 15 est X 3X4 3X 1 X 1 Ce polyn me divise P et Q c est donc le pgcd de P et de Q 3 3 Le pgcd plusieurs variables 3 3 1 Le pgcd heuristique On suppose comme dans le cas une variable que les polyn mes sont primitifs donc qu on a simplifi les polyn mes par le pged entier de leurs coefficients entiers Le principe est identique celui du PGCD 1 variable on value les deux polyn mes P et Q de k variables X1 Xp en un X z et on calcule le pgcd g des 2 polyn mes P z et Q z de k 1 variables On remonte ensuite un polyn me G par criture sym trique en base z de g et on teste si pp G divise P et Q Il s agit nouveau de montrer que si z est assez grand alors pp G est le pgcd cherch On sait que d D z divise g Il existe donc un polyn me a de k 1 variables tel que g ad On sait aussi que pp G divise D donc il existe un polyn me C de k variables tel que D C x pp G On value en z et on obtient d C z g c G o c G est un entier donc c G a x C z Comme c G est un entier a et C z sont des polyn mes constants Comme pr c demment on a aussi C z lt z 2 puisque c G lt z 2 Premier cas si C ne d pend que de la var
409. r point 87 100 r duction 74 Rabin 33 138 racine 198 racine carr e modulaire 140 racine rationnelle 29 rapide puissance 36 rapide transform e de Fourier 264 rationnelle repr sentation univari e 82 rebroussement 89 rectangle 179 Reed Solomon codes 135 relaxation 193 repr sentation rationnelle univari e 82 restes chinois 32 resultant 59 revlex 74 Richardson Romberg 185 Risch 161 Romberg 185 Rothstein 176 Runge Kutta 124 rur 82 s polyn me 75 s parables variables 110 s rie alt rn e 252 s rie enti re 250 saisons 267 saisons dur e 272 Schur factorisation 234 Si 260 Simpson 183 sin 250 singuli re valeur 214 singulier point 87 100 sinus int gral 260 Smith forme de 206 Souriau 217 sous r sultant 42 splines 247 squarefree 141 Stokes 107 Strassen 226 Strzebonski 66 Sturm suites de 65 suite 188 Sylvester 60 Taylor 248 Taylor d veloppement 248 Tchebyshev 245 temps quation du 272 transform e de Fourier discr te 262 transform e de Fourier rapide 264 trap ze 179 valeur singuli re 214 variables s parables 110 Vincent 66 Winograd 226 Yun 141 12 2 Calculer sur ordinateur 2 1 Repr sentation des entiers Proposition 1 Division euclidienne de deux entiers si a et b sont deux entiers a gt 0 b gt 0 il existe un unique couple q r tel que a bq r re f 0 bl Preuve On prend
410. r de souris il faudrait un hybride des deux Bien adapt l enseignement y compris dans le sup rieur m me si elles y sont souvent d nigr es par les enseignants Les avantages des ordinateurs portables clavier cran puissance de cal cul convient pour d autres usages que le calcul Les inconv nients poids encombrement fragilit dur e de charge des bat teries souvent 3 4h connectivit Internet pour les examens Id al en usage stationnaire Les avantages des tablettes disponibilit imm diate cran large convient pour d autres usages que le calcul Les inconv nients saisie de donn es fastidieuse encombrement et fragilit usage sans recharge limit une petite journ e connectivit Internet en examen Peut tre int ressant en mobilit si on a beaucoup de documents consulter en ligne avec de temps en temps un petit calcul faire Les tablettes avec possibilit de branchement de clavier ont un potentiel int ressant pour un usage en mobilit avec un peu plus de donn es saisir 297
411. r la d riv e n i me d une fonction par exemple avec tan x et encore plus de la majorer D o l int r t de d velopper une th orie des fonctions qui sont gales leur d veloppement de Taylor linfini d une part et d avoir d autres m thodes pour majorer le reste nous pr sentons ici le cas des s ries altern es 22 2 S ries enti res Les s ries de type prendre la limite lorsque n tend vers l infini du d veloppe ment de Taylor en x 0 sont de la forme k n Soda lim Sane de fo n 0 n On peut s int resser plus g n ralement Y 7 anx lorsque an est un complexe quelconque c est ce qu on appelle une s rie enti re on peut aussi les voir comme des polyn mes g n ralis s S il existe un point x tel que a xf est born ce sera le cas en particulier si la s rie converge en xo alors anx lana lt Mm Lp To To la s rie converge donc en x si x lt xo et on peut majorer le reste de la s rie au rang n par x n 1 Ral lt M 1 2 TO la vitesse de convergence est donc du m me type que pour le th or me du point fixe le nombre de termes calculer pour trouver une valeur approch e avec k d cimales d pend lin airement k les constantes sont d autant plus grandes que x est grand Th or me 50 S il existe un rang no un r el M gt 0 et un complexe xy tels que pour n gt no on ait la zo lt M alors la s rie converge pour x
412. r minorer C z Comme C divise D il divise P et Q donc les racines de C sont des racines communes P et Q On va appliquer le 45 Lemme 4 Soit x une racine complexe d un polyn me P a X 9 Alors Application du lemme C X ona 1 c lt 1 donc si on a choisi z tel que z gt 2 min P Q 2 alors pour tout j z lt z 2 donc eo gt E qui contredit notre majoration de C z Th or me 5 Soit P et O deux polyn mes a coefficients entiers On choisit un en tier z tel que z gt 2min P Q 2 si la partie primitive du polyn me G reconstruit a partir du pgcd de P z etQ z par criture en base z avec comme reste euclidien le reste sym trique divise P et Q alors c est le pgcd de P et Q Pour finir la d monstration du th or me il nous faut encore montrer le lemme Ona 1 On 2 Gn 10 a0 Donc la 1 1 T e ul lt PIA fe plat Ici on peut supposer que x gt 1 sinon le lemme est d montr donc x 1 est positif et pd P gt z 1 lt lan lan lel 1 lt IPIE x Remarques Le th or me publi par Char Geddes et Gonnet porte sur des coefficients entiers et c est comme cela qu il est utilis par les syst mes de calcul for mel en commen ant historiquement par Maple Peu de syst mes l utilisent pour les polyn mes coefficients entiers de Gauss On peut d ailleurs g n raliser le th or me d autres typ
413. r une valeur approch e de f 1 4 le 16 pr s Combien de termes faut il calculer dans la somme pour trouver une valeur approch e de f 7 le 16 pr s Comparer la valeur de f 7 et la valeur absolue du plus grand terme de la s rie quelle est la perte de pr cision relative si on effectue les calculs en virgule flottante Combien de chiffres significatifs faut il utiliser pour assurer une pr cision finale de 16 chiffres en base 10 Calculer le d veloppement asymptotique en l infini et d terminer un encadrement de f 7 par ce d veloppement Combien de termes faut il calculer pour d terminer f 10 4 le 16 pr s par le d velop pement asymptotique et par le d veloppement en s ries Quelle est la meilleure m thode pour calculer f 10 ainsi que S 22 6 2 Recherche de solutions d quations diff rentielles On peut aussi appliquer les techniques ci dessus pour calculer des solutions de certaines quations diff rentielles dont les solutions ne s expriment pas l aide des fonctions usuelles on remplace dans l quation la fonction inconnue par son d veloppement en s ries et on cherche une relation de r currence entre an 1 et an Si on arrive montrer par exemple qu il y a une solution ayant un d veloppement altern e ou plus g n ralement si on a une majoration an41 an lt C alors le reste de la s rie enti re est major par a x 1 Cx lorsque x lt 1 C on peut alors calculer des va
414. rationnel que si c 0 On a alors d donc f et g constants Si X In Y est un logarithme avec Y l mentaire ne d pendant pas de X alors Yj Pj 1 donc g est l mentaire ind pendante de X On a alors f N clIn Y d In g avec c dans le corps des constantes d et g l mentaires ind pendants de X On cherche maintenant la fonction l mentaire d Cette fonction n est pas le logarithme d une fonction l mentaire en g n ral car c n est pas forc ment entier mais d a les m mes propri t s que la d riv e du logarithme d une fonction l mentaire On peut donc reprendre le m me raisonnement mais avec une variable de moins dans la tour de variables Si la tour qu on a choi sie est normalis e alors ne contient au num rateur et au d nominateur aucune puissance d une exponentielle d une variable de la tour donc le po lyn me P du cas pr c dent ne peut provenir de Y ce qui entraine que j est bien entier dans le cas pr c dent bien que c ne le soit pas forc ment Apr s avoir fait une r currence sur le nombre de variables de la tour on a donc f qui s exprime comme combinaison lin aire coefficients entiers des arguments gk des variables exponentielles fg exp gz de la tour et coefficients a priori quelconque des variables logarithmes f In g de la tour f So jrg dx mg In g k i Comme y est l mentaire h g exp 9x est l mentaire de logarithme gt ya m g Montrons qu
415. rbe est localement comme une courbe de fonction en x ou en y On en calcule la tangente et on peut suivre cette tangente un pas de discr tisation puis utiliser une m thode num rique de recherche de solution pr s de la tangente Ces points sont appel s points r guliers Les points o 0 f 0 f 0 sont les points singuliers G n riquement il n y en a pas puisque cela donne 3 quations 2 inconnues par contre si on s int resse une famille de courbes d pendant d un param tre il en apparait En ces points on calcule le d veloppement de Taylor et on recherche le premier terme homog ne non nul homog ne apr s translation bien sur par exemple P 2 y pour z x y en 0 0 Supposons que le polyn me correspondant P est sans racines multiples et quitte faire une rotation que le coefficient de y est non nul Pm est un polyn me homog ne donc se factorise au moins num riquement en rempla ant une des variables par 1 on est ramen en dimension 1 et on montre qu il y a m arcs de courbe complexes tangents aux droites d quations ces m facteurs et au plus m arcs de courbe r els si on ne garde que les racines r elles En effet on pose y xY et on est amen r soudre r Pm 1 Y a RA g a Y 100 o g est un polyn me si f est un polyn me plus g n ralement a la m me r gularit que f Apr s simplification par x on peut appliquer le th or me des fonctions impl
416. rdonn es Exemple on prend w ydz et on calcule l int grale curviligne le long de l arc de parabole t t pour t 0 1 on obtient 1 dt 2 0 3 En param trant par u ut avec u 0 1 1 6 1 u 2u du Ka l Suda Be Pi on retrouve le m me r sultat La valeur de l int grale est bien d finie ind pendamment du param trage en effet si on change de param trage avec une bijection t u t envoyant to t sur uo u1 on a en utilisant la lin arit de w la deuxi me ligne ul ty f w 22 du w 420 a io du to du dt dt a dt dy t du dt Zaf dt dt f W 22 dt to dt 18 Pour tre complet on suppose de plus que cette application lin aire qui d pend du point du plan en d pend de mani re continue voire diff rentiable 104 Attention l orientation si on change d orientation on change le signe par exemple si on parcourt l arc de parabole de 1 1 vers 0 0 en utilisant le para m trage 1 t 1 t 0 1 on obtient l oppos Fo t dt E LA _ Remarque le travail d une force F Fy Fy le long d un arc de courbe est donn par l int grale curviligne de la forme diff rentielle F dx Fydy 11 3 Forme diff rentielle exacte Voyons maintenant a quelle condition il existe un analogue du calcul avec une primitive Ona av vote Vato Y En effet si on est sur un morceau d arc o on pe
417. relative Finalement nous savons calculer In et exp sous r serve d avoir dans une table la valeur de In 2 Pour calculer In 2 pr cis ment on peut utiliser In 2 In 1 2 In 1 1 2 253 et le d veloppement en s rie calcul en mode exact avec des fractions un ordre suffisant on majore le reste en utilisant que le terme g n ral de la s rie In 1 x est born par M 1 en x 1 donc d apr s 55 Rn lt Z on peut m me obtenir 1 n2 car on a besoin de M uniquement pour les termes d ordre plus grand que n on peut donc prendre M 1 n Par exemple pour avoir In 2 avec une mantisse de 80 bits on effectue une fois pour toutes avec un logiciel de calcul formel a sum 1 2 k k k 1 80 l puis la division en base 2 avec 81 bits de pr cision iquo numer a 2 81 denom a Exercice pour les fonctions trigonom triques il faut une m thode de calcul de 7 On peut par exemple faire le calcul de 16 arctan 1 5 4 arctan 1 239 en utilisant le d veloppement de la fonction arctan un ordre suffisant 22 5 Approximants de Pad Soit une fonction f x dont on connait le d veloppement de Taylor B en 0 l ordre n on souhaiterait plutot approcher f par une fraction P Q avec degr P lt det degr Q lt n d 5 0 artl f B O 2 Si Q 0 0 ceci quivaut P BQ 2 S o S P Q sont des polyn mes inconnus On reconnait une identit de type B zout pour les polyn me
418. rentiels 107 12 1 Introduction et repr sentation graphique 107 12 2 Existence SCUDICIHE 4 24 44 ee ue se m ne ia 109 12 3 Quelques m thodes de r solution explicite 110 12 3 1 Equations variables s parables 110 12 3 2 Equations lin aires 111 12 3 3 Equations lin aires coefficients constants 111 12 3 4 Syst mes diff rentiels lin aires coefficients constants d ordre a aa ra 113 12 3 5 Integrales premieres so soe sona ea aa 115 12 3 6 Quelques autres m thodes 116 12 4 Comportement asymptotique des solutions 116 12 4 1 Equations lin aires coefficients constants d ordre 1 et 2 1242 FOrCage perodigue LL pe ae a ew 12 4 3 Equation autonome sans second membre 12 4 4 Syst mes lin aires 12 4 5 Le mod le proie pr dateur 12 4 6 Forcage pr s d un point d quilibre de syst me 12 5 R solution num rique 125 1 M thodes AU DAS lt 3 4 4 4 saunas du 12 5 2 M thodes de Runge Kutta explicites 13 Introduction au calcul variationnel 14 Corps finis EI Rappel 2 8 Gs Go SRS ra 14 2 Repr sentation des corps non premiers 142 1 Cas g neral 5 Le sce i e an He 14 2 2 Corps de petit cardinal cas de la caract ristique 2 14 3 Exercices oi 4 2
419. rnier bit au nombre le plus proche Ici le bit suivant le dernier 1001 est un 1 on arrondit donc 1010 D ot la repr sentation o 1000000001 100110011001 10011010 On observe que la repr sentation en base 2 de 6 4 a du tre arrondie car elle est infinie en base 2 bien qu elle soit exacte finie en base 10 Seuls les entiers et les rationnels dont le d nominateur est une puissance de 2 peuvent tre repr sent s exactement Ceci entraine des r sultats qui peuvent surprendre comme par exemple le fait que 0 5 5x0 1 n est pas nul Des repr sentations sp ciales avec e 0 ou e 21 1 ont t introduites pour repr senter 00 pour les flottants plus grands en valeur absolue que le plus grand flottant repr sentable et pour repr senter les nombres non nuls plus petits que le plus petit flottant repr sentable de la mani re expos e ci dessus on parle de flottants d normalis s ainsi que le nombre NaN Not a Number lorsqu une op ration a un r sultat ind fini par exemple 0 0 Remarque Sur les processeurs compatibles avec les 1386 le coprocesseur arithm tique 1387 g re en interne des flottants avec 80 bits dont 64 bits de man tisse Sur les architectures 64 bits x86 ou AMD le jeu d instruction SSE per met de travailler avec des flottants de 128 bits Le compilateur gcc permet d uti liser ces flottants longs avec le type Long double ou les types__ float 80 et __ float 128 en utilisant un drapeau de co
420. roximativement un syst me si n est grand et si chaque it ration est en O n ceci veut dire qu on ne calcule pas M sauf si c est vident par exemple si M est diagonale mais le proc d n est pas int ressant pour le calcul de l inverse de A Notons D la partie diagonale de A L sa partie triangulaire inf rieure stricte U sa partie triangulaire sup rieure stricte La m thode de Jacobi utilise pour M la diagonale D de alors que la m thode de Gauss Seidel prend pour M la partie triangulaire inf rieure D L de diagonale comprise Pour Jacobi on a donc En D b D Ajzn n D7 b Aan En Xcas on peut programmer la m thode par jacobi A b N eps local D x0 x1 n J n size A D diag A 1 x0 0 0 n pour j de 1 jusque N faire x1 b Axx0 si 12norm x1 lt eps alors return x0 fsi x0 x0 D x1 fpour return non convergent bi Un cas simple o on a convergence Proposition 46 Lorsque la matrice A est a diagonale strictement dominante c est a dire que l l ment diagonal est en valeur absolue strictement sup rieur a la somme des l ments non diagonaux de la m me ligne Jail gt So aay JA la m thode de Jacobi converge En effet M7 Nello lt rl car Noja lt Y laylle lt Y laiglllelloo lt laiilllt loo gt M7 Wojil lt Izl JAi JA On retrouve ce cas pour une petite perturbation d une matrice diagonale par exemple A 2xidn 1000 1e 4x ra
421. rs irr ductibles de P ne divisent pas T T est proche de 0 5 Soient donc A et B deux facteurs irr ductibles de P de degr d D apr s l identit de B zout tout polyn me T de degr lt 2d 1s crit de mani re unique sous la forme T AU BV 20 avec degre U lt d 1 et degre V lt d 1 et r ciproquement une combinaison lin aire de cette forme est un polyn me de degr lt 2d 1 Choisir T au hasard revient donc choisir un couple U V de polyn mes coefficients dans Z pZ au hasard et de mani re ind pendante D autre part A et B tant de degr d on sait que dans K Z pZ Y mod D Y ces polyn mes admettent d racines Soit donc a respectivement 5 une racine de A resp B dans K Alors divise T 1 si et seulement si T a E 1 et de m me pour B et B car Tai d_ a ses coefficients dans Z pZ et non dans K En appliquant 20 A divise T a 1 si et seulement si Le premier terme de cette galit est une constante gale 1 ou 1 le second a peel 2pA irr ductible V a d crit K lorsque V d crit les polyn mes de degr lt d 1 De d une probabilit proche de 0 5 gale a de valoir 1 ou 1 car comme A est m me B a une probabilit proche de 0 5 de diviser Pre 1 et ces 2 probabilit s sont ind pendantes puisque U et V le sont donc la probabilit que soit A soit B d divise divise T7 1 est proche de 0 5 Algorithme de Cantor Zassenha
422. ruction de la partie polynomiale ventuellement g n ralis e et de la partie fractionnaire ne font en effet intervenir que des coefficients dans le corps K 168 17 3 L algorithme de Risch On suppose dans la suite qu on s est ramen a une fraction rationnelle par rap port a une tour de variables ot on a effectu les simplifications videntes In o exp ainsi que expo ln dans le premier cas en extrayant les facteurs vidents en les variables pr c dentes exponentielles dans le deuxi me cas en extrayant la partie lin aire coefficient entier en les variables logarithmes pr c dentes On note X la variable au sommet de la tour et No Do l criture de la fonction l mentaire comme fraction irr ductible avec No et Do polyn mes en X Exemples fer 1 e X e No 2x 1 X Do 1 fe X In x M 2xX Do x X x In x La premi re tape va consister se ramener un d nominateur sans facteurs multiples Elle est analogue au cas des fractions rationnelles de x et est bas e sur l identit de B zout entre P et P vu comme polyn mes en la variable du haut de la tour Il apparait toutefois une difficult pour les extensions exponentielles savoir que X el et X f X ne sont pas premiers entre eux comme polyn mes en X on devra traiter le p le 0 d une fraction rationnelle en une exponentielle X comme on traite l int gration d un polyn me en x Si P est sans facteurs multiples et premier avec X alors P X
423. s l ves qui sont propri taires du mat riel alors ils doivent pouvoir y installer les logiciels de leur choix En fait avec la baisse du prix des tablettes et autres netbooks o chacun peut installer le logiciel de son choix est il raisonnable de continuer utiliser des calculatrices graphiques plus de disons 20 euros Il vaudrait peut tre mieux pr voir des dispositifs de brouillage des communications de type wifi ou et des sujets avec une partie sans outil informatique pour controler les questions de cours Cot recherche l esprit libre progresse mais il y a encore beaucoup de che min accomplir L dition scientifique est encore essentiellement bas e sur le pa radigme du 20i me si cle revue papier vendue a prix d or aux biblioth ques droits d auteurs c d s par les auteurs des articles sans aucune contrepartie acc s en ligne payant Les diteurs priv s s approprient ainsi la connaissance financ e par les fonds publics un comble Heureusement les archives en ligne permettent la plupart du temps de contourner ces acc s payants Il reste que les cr dits utilis s pour payer les abonnements seraient bien mieux utilis s financer les journaux en ligne et en les rendant publics Concernant le d veloppement logiciel il y a beaucoup de logiciels scientifiques libres de qualit aujourd hui mais il y a des freins la publication de code source de logiciel scientifique n est pas consid r
424. s aussi appel en dimension 2 formule de Green Riemann Th or me 22 Si U est un domaine de fronti re orient e y continument d rivable y est donc un chemin ferm parcouru une fois que l on oriente dans le sens tri gonom trique et si wv Mdx Ndy est une forme diff rentielle continument d rivable alors Ju f fe en aM andy Y U U Id e de la preuve on commence par le cas o U est un rectangle a b x a 5 on peut alors calculer fhan dudy fax dx dy oo N a y dy on compare avec les int grales curvilignes sur les segments verticaux a y y la B et b y y 8 a De m me pour M et les segments horizontaux Pour le cas d un domaine d int gration U plus g n ral on approche U par une r union disjointe de petits rectangles Application pour calculer l aire d un domaine U de fronti re y il suffit de calculer l une des int grales curvilignes var ay PEL Y Y Y 2 Par exemple laire l int rieur de l ellipse x a cos t y bsin t vaut bsin t d a cos t a cos t d bsin t fe 0 2 On peut aussi calculer des moments d inertie ou la position d un centre de gravit en se ramenant une int grale curviligne Exemple Calculer la position du centre d inertie d un quart de cercle C cos t sin t t 0 7 2 On a donc U d limit par y r union de x 0 x 0 1 C et 0 y y 1 0 Pour trouver la position du
425. s 0 et au en contradiction avec la d finition de D pgcd F b G b On lifte alors l galit obtenue en rempla ant F par F kG ci dessus Dans la suite on suppose qu on peut prendre j O pour all ger les notations On va aussi supposer que b 0 Sinon on fait un changement d origine sur les polyn mes F et G pour que b 0 convienne on calcule le pgcd et on lui applique la translation d origine oppos e On adopte ensuite la notation suivante si k est un entier on dit qu un poly nome P est un O k si la valuation de P vu comme polyn me en X2 Xn a coefficients dans Z X est sup rieure ou gale k ou de mani re quivalente si P X1 hX2 hXn Onso h pour deux valeurs distinctes de j et va L galit a lifter se r crit donc Flcoeff F PoQo O 1 Icoeff F b __ F b lcoeff F b D Icoeff D el Qo Ds lcoeff 4 degr 0 par rapport aux variables X2 Xn Cherchons Pi O 1 et Q O 1 de degr 1 par rapport aux variables X2 Xn tels que Flcoeff F Po P Qo Q1 O 2 o Pp sont premiers entre eux et de 55 Il faut donc r soudre Flcoeff F PoQo PoQ1 QoPi O 2 On peut alors appliquer l identit de B zout qui permet de d terminer des po lyn mes P et Q satisfaisant l galit ci dessus avec comme reste O 2 nul puisque Po et Qo sont premiers entre eux De plus on choisit P et Q1 tels que degre y P lt degre y F
426. s A 1 et B On d roule l algorithme d Euclide it ratif pour A et B on d finit donc 3 suites Uk Vk Ry o Ry est la suite des restes d Euclide de degr s strictement d croissants Rr 2 Ry Qe Resi Uk 2 Uk QkUk 1 Vk 2 Vk QuVr 1 et les initialisations Up 1 U 0 V 0 V4 1 Ro A R B On s arr te au rang N 1 tel que degr Ry gt det degr Ry 1 lt d Rappelons qu on montre par r currence que Vp Rk 1 Vig Rp aye D autre part la suite des degr s des V4 est strictement croissante partir du rang 1 car degr Q gt 0 on en d duit que degr V4 1 degr R n 1 donc degr Vw 1 lt n d On pose alors P Ryy1 et Q Vy4i qui v rifient P BQ AUN 1 Si Q 0 4 0 on a existence d une solution P Q et cette solution est alors unique car si on a 2 triplets solutions P BQ AS P BQ AS A X alors PQ P Q est un multiple de X donc nul pour des raisons de degr donc P Q P Q 254 Par exemple pour f x e etn 10 d 5 pade e x x 10 6 renvoie le quotient de deux polyn mes de degr 5 Pa P oS P gt 30240 33602 30x Pi x 15120 4202 x 2 1 fraction que l on peut valuer en 12 op rations 5 additions 1 soustraction 5 multi plications et 1 division et qui donne une approximation de meilleure qualit que le d veloppement de Taylor l ordre 10 Pour d montrer des estimations sur
427. s coefficients augmente plus vite qu en choisissant le pivot le plus simple possible remarque lorsque les donn es sont approch es on n utilise pas non plus cette m thode pour des raisons de stabilit num rique Le domaine d utilisation naturel concerne donc les coefficients dans un corps fini par exemple Z nZ Le pivot partiel On choisit le meilleur coefficient non nul de la colonne o meilleur d pend du type de coefficient avec des donn es exactes on choisirait le coefficient de taille la plus petite possible avec des donn es ap proximatives on choisit le coefficient de plus grande norme dans la colonne Le domaine d utilisation naturel concerne les coefficients approch s Pour les coefficients exacts on remplacerait la r duction par L pL p L pour ne pas effectuer de division Mais avec cette m thode la taille des co efficients augmente de mani re exponentielle On peut am liorer la taille des coefficients interm diaires en divisant chaque ligne par le PGCD de ses coefficients mais comme pour le calcul du PGCD par l algorithme du sous r sultant il existe une m thode plus efficace pr sent e ci dessous La m thode de Bareiss on initialise un coefficient b 1 On remplace l tape de r duction ci dessus par L pL p L b la fin de l tape de r duction on met le coefficient b la valeur du pivot p L int r t de la m thode est que la division se fait sans introduire de fr
428. s de P donc les coefficients de q sont major s par exemple par 1 4R 4 2e20 donc on prend 24 chiffres Autre m thode plus efficace utilisant la repr sentation rationnelle univari e section 7 8 on crit le syst me v rifi par les relations racines coefficients ici P x 4 3x l eq lcoeff P xpcoef a b c d symb2poly P on v rifie qu on obtient les 24 permutations de racines par cfsolve eq la b c d Le polyn me permettant de factoriser compl tement P se lit dans G gbasis eq a b c d rur on obtient la factorisation compl te par factor x 4 3xt 1 rootof G 2 On peut aussi la d duire de l expressions des racines Q product x rootof G k G 2 rootof G 3 G 2 k 4 size G 1 normal Q 16 7 Factorisation absolue On peut aussi se demander pour un polyn me coefficients rationnels square free quelle extension permet la factorisation la plus compl te Par exemple x est irr ductible sur Q z y mais pas sur Q i x y ou x y est irr ductible sur Q z y mais pas sur Q v2 x y Ceci am ne la notion de factorisation absolue d un polyn me Une m thode simple mais pas forc ment tr s efficace pour d terminer une telle extension alg brique consiste valuer toutes les variables sauf une au hasard jusqu a obtenir un polyn me irr ductible M On factorise alors sur le corps correspondant M Mais cela peut tre tr s long par exemple pour P x y
429. s de taille m moire et destin s traiter des petits probl mes 2 7 1 Maple Mathematica Ces syst mes ont un noyau ferm au sens o l utilisateur n a pas acc s du tout ou en tout cas pas facilement aux structures de donn es de base Je ne dispose donc pas d information sur les structures de donn es utilis es par le noyau D interaction syst me utilisateur se fait quasiment toujours en utilisant le lan gage de programmation propre au syst me langage interpr t par le noyau du sys t me ce qui ralentit l ex cution Ces langages utilisateurs sont essentiellement non typ s on travaille avec des variables du type g n rique sans pouvoir acc der aux types sous jacents On ne b n ficie en g n ral pas des v rifications faites lors de la compilation avec un langage typ de plus ces syst mes ne sont pas toujours fourni avec de bon outils de mise au point Enfin ces langages ne sont pas standar dis s d un syst me l autre et il est en g n ral impossible d utiliser ces syst mes comme des librairies depuis un langage de programmation traditionnel Leur int r t principal r side donc dans une utilisation interactive en profitant de la librairie de fonctions accessibles 2 7 2 Giac xcas Il s agit du syst me de calcul formel que j impl mente actuellement sous forme d une biblioth que C ce qui permettra aux programmes tiers d utiliser beau coup plus facilement du calcul formel qu
430. s k lignes qui sont toujours des mots de code est au plus den k 1 Exercice si votre code lin aire n est pas de distance 3 modifiez les 3 derni res lignes pour r aliser un code de distance 3 On ne peut pas obtenir une distance n k 1 4avec n 7et k 4 dans Z 2Z essayez Essayez sur Z 3Z et Z 5Z N B Pour les codes non polynomiaux par exemple convolutifs la distance n est pas forc ment le param tre le mieux adapt la correction d erreurs 133 14 4 6 Correction au mot le plus proche Une strat gie de correction bas e sur la distance consiste trouver le mot de code le plus proche d un mot donn Si la distance d un code est sup rieure ou gale 2t 1 et s il existe un mot de code de distance inf rieure t au mot donn alors ce mot de code est unique On corrige alors le mot transmis en le rempla ant par le mot de code le plus proche Exercice crivez un programme permettant de corriger une erreur dans un mot dans votre code lin aire On dit qu un code t correcteur est parfait si la r union des boules de centre un mot de code et de rayon t pour la distance de Hamming est disjointe et recouvre l ensemble des mots K Exercice votre code lin aire sur Z 2Z celui de distance 3 est il un code 1 correcteur parfait 14 4 7 Codes de Hamming Soit un code de longueur n de dimension k le nombre d informations suppl mentaires est not m n k Un code de Hamming perme
431. s leading monomial has all partial degrees greater or equal to the leading monomial corresponding degree of the new entry Old entries may also be reduced with respect to the new entries at this step or at the end of the main loop If there are new critical pairs remaining start a new iteration step 3 Other wise the current basis is the Groebner basis Modular algorithm 1 Ze Set a list of reconstructed basis to empty Learning prime Take a prime number of 31 bits or 29 bits for pseudo di vision run the Buchberger algorithm modulo this prime recording symbolic preprocessing data and the list of critical pairs reducing to 0 Loop begin Take a prime of 29 bits size or a list of n primes if n processors are available Run the Buchberger algorithm Check if the output has the same leading terms than one of the chinese remainder reconstructed outputs from previous primes if so combine them by Chinese remaindering and go to step 4 otherwise add a new entry in the list of reconstructed basis and 79 continue with next prime at step 3 clearing all learning data is probably a good idea here 4 If the Farey Q reconstructed basis is not identical to the previous one go to the loop iteration step 3 a fast way to check that is to reconstruct with all primes but the last one and check the value modulo the last prime If they are identical run the final check the initial polynomials f must reduce to 0 modulo the reconstructed
432. s major par n 2 On observe exp rimentalement que cet algorithme est int ressant lorsque le nombre de param tres dans le d terminant est grand et que la matrice est plut t creuse majorit de coefficients nuls Il existe des heuristiques de permutation des lignes ou des colonnes visant optimiser la position des z ros par exemple les auteurs de GiNaC www ginac de suite des exp rimentations privil gient la simplification des petits mineurs en mettant les colonnes contenant le maximum de z ros gauche selon la description faite ici Pour se convaincre de l int r t de cet algorithme on peut effectuer le test O1 de Lewis Wester http www bway net lewis calatex html il s agit de calculer un d terminant de taille 15 avec 18 param tres 20 1 3 Syst mes lin aires On peut appliquer la m thode du pivot de Gauf ou les r gles de Cramer ma trices creuses avec beaucoup de param tres par exemple Pour les syst mes a coefficients entiers non singuliers on peut aussi utiliser une m thode p adique asymptotiquement plus efficace On calcule d abord une borne sur les coefficients des fractions solutions de l quation Ax b en utilisant les r gles de Cramer et la borne d Hadamard On calcule ensuite C l inverse de A modulo p en changeant de p si A n est pas inversible modulo p puis si T Sup AO zip b mod p i lt k on ajoute zp et on obtient l quation b De tip ATk pk
433. s s 4 4 acs 4 sam 22 6 Autres applications 4 4 creces ae x 22 6 1 Exemple la fonction d erreur error fonction erf 22 6 2 Recherche de solutions d quations diff rentielles 22 6 3 Exemple fonctions de Bessel d ordre entier 22 7 D veloppements asymptotiques et s ries divergentes La transform e de Fourier discr te 23 1 D finition et propri t s 23 2 La transform e de Fourier rapide 23 9 ADDICAUOMS lt o i e 2a pa dd dau dent A ae Le rayonnement solaire 24 1 L insolation au cours de l ann e LA L SSAISONS ee ok De de Gk aot ne pins mi 24 3 L orbite d la Terre 4 LL 4 oeae area aa ia ua 24 3 1 Calcul en utilisant le vecteur excentricit 24 3 2 Calcul par l quation diff rentielle 245 5 Lois de Kepler acca Lama sa das ete pans 24 4 Quelques propri t s de l ellipse 24 5 Influence de l ellipse sur les saisons 24 6 L quation du temps la dur e des saisons 24 7 Les variations des param tres orbitaux La moyenne arithm tico g om trique 25 1 D finition et convergence 25 2 Lien avec les int grales elliptiques 25 3 Application calcul efficace du logarithme Les g n ra
434. s termes diagonaux pour avoir le degr maximal en les 3 On peut aussi l crire sous la forme resultant A B A II B a 1 Soit P un polyn me de degr n et coefficient dominant pn Le coefficient do minant de P est npn un multiple de pp le r sultant de P et P est donc divisible par pn on appelle le quotient discriminant En terme des racines r de P ona resultant P P a E disc P ee Ph 12 p II ri rj i 1 Pn 1 lt i lt j lt n Ce r sultat a un int r t pour par exemple minorer priori l cart entre 2 racines d un polyn me a coefficients entiers 4 2 Applications Revenons au cas o nos polyn mes sont coefficients dans un anneau contenu dans un corps par exemple Z Q ou un anneau de polyn mes Z Xo Xn dans son corps de fractions On remarque alors que quation AU BV C a une solution dans l anneau si C est le r sultant r de et B ou un multiple En effet on crit les solutions comme celles d un syst me de Cramer le d nominateur 60 de chaque inconnue est r le num rateur est un d terminant ayant les coefficients de C dans une des colonnes on peut donc y factoriser r et simplifier On peut le voir directement partir de la d finition du r sultant en effectuant sur le d terminant une manipulation de colonnes sur la derni re colonne on ajoute cette derni re colonne x fois l avant derni re x fois l avant avant derni re etc La derni
435. s types de courbes que les graphes de fonction par exemple la trajectoire d un mobile dans le plan dont les coordonn es x y d pendent du temps selon une quation diff rentielle ou un syst me diff rentiel ce sont les courbes param triques ou des courbes v rifiant une quation cart sienne par exemple en g om trie le cercle x y 1 ou en cin matique des courbes de niveau de l nergie totale dans le plan position impulsion ce sont les courbes implicites Dans cette section on va tudier les courbes en param triques donn e par un couple de fonctions x t y t d finies pour t dans un sous ensemble des r els et valeurs dans R Ceci ne restreint pas trop la g n ralit on peut montrer sous des hypoth ses assez g n rales que l allure locale d une courbe implicite est identique celle d une courbe param trique sauf en certains points dits singuliers c est le th or me des fonctions implicites Exemples le graphe d une fonction y f x est une courbe param tr d quation x t y t t F t x est le temps On aurait aussi pu choisir x t y t t 1 f t 1 ce qui revient changer l origine des temps ou d autres pa ram trages Exemple plotfunc sin x xplotparam t 1 sin t 1 t une droite d quation y ax best le graphe d une fonction donc param trable comme ci dessus Une droite verticale x a peut se param trer par x t y t a t
436. s with fast integer linear algebra despite the fact that an efficient p adic or Chinese remaindering algorithm were described as soon as in year 2000 by E Arnold The reason might well be that these modular algorithms suffer from a time consuming step at the end checking that the reconstructed Groebner basis is indeed the correct Groebner basis Section 7 4 will show that 1f one accepts a small error probability this check may be fast so we can let the user choose between a fast conjectural Groebner basis to make his own conjectures and a slower certified Groebner basis once he needs a mathematical proof Section 7 5 will explain learning a process that can accelerate the computation of a Groebner basis modulo a prime px once the same computation but modulo ano ther prime p has already been done learning is an alternative to the F5 algorithm in order to avoid computing useless critical pairs that reduce to 0 The idea is simi lar to F4remake by Joux Vitse used in the context of computing Groebner basis in large finite fields Section 7 6 will show in more details how the gbasis algorithm is implemented in Giac Xcas and show that at least for the classical academic benchmarks Cyclic and Katsura the deterministic modular algorithm is competitive or faster than the best open source implementations and the modular probabilistic algorithm is comparable to Maple and slower than Magma on one processor at least for mo derate
437. se maintenant quitte faire pivoter l axe des x que 00 0 24 3 3 Lois de K pler Lorbite de la Terre est donc une ellipse dont le Soleil occupe un des foyers 1 re loi de K pler On a aussi vu que L p d0 dt est constant ceci entraine la loi des aires infinit simalement on a 1 1 p d0 Ldt 2 2 ce qui se traduit par l aire balay e par le rayon vecteur Soleil Terre est proportion nelle au temps 2 me loi de K pler Au cours d une p riode TT l aire parcourue est celle de l ellipse donc 1 ra V1 e SLT En prenant le carr et en appliquant L alle u on en d duit la troisi me loi de K pler a3 u T 4r Ana pT o on rappelle que yy est le produit de la constante de gravitation universelle par la masse du Soleil On peut videmment faire le m me calcul pour la Lune autour de la Terre 24 4 Quelques propri t s de I ellipse D finition L ellipse E de foyers F et F2 de demi grand axe a est l ensemble des points M du plan tels que MF MF 2a 270 On note 2c FF la distance entre les deux foyers qui doit tre plus petite que 2a pour que l ellipse soit non vide L excentricit de l ellipse est d finie par e c a lt 1 Si e 0 on obtient un cercle de centre F F2 et de rayon a Sie 4 0 on va voir qu il s agit d un cercle contract selon l axe perpendiculaire F1 F2 dans un rapport de v 1 e2 On va galement calculer l q
438. sons la preuve de la majoration 41 qui est importante en pratique car elle donne un test d arr t de calcul des termes de la suite r currente on crit pour m gt 0 Un l Un Uny1 Uns Un Untm 1 Un m Um l puis on majore avec l in galit triangulaire m 1 Un m ll lt y ieee dy zF um ll j 0 puis on applique le fait que f est contractante de rapport k m 1 Jun F l lt gt k un Un 1l F um EH l j 0 soit 1 k lun I lun Un 1 Jum l On fait alors tendre m vers l infini d o le r sultat Remarque on peut aussi voir plus bas le point fixe en dimension n mon trer l existence de la limite en montrant que un est une suite de Cauchy On peut alors faire a oo ou b dans l nonc du th or me On remarque aussi que l existence d un point fixe dans a b pour a et b finis ne n cessite pas la contractance de rapport k lt 1 il suffit de pr server a b Exemples Cherchons une valeur approch e de y2 par cette m thode Il faut d abord trouver une fonction f dont 2 est un point fixe par exemple T 2 z On v rifie que f V2 V2 puis que f 1 x 1 donc f d croit On va voir si les hypoth ses du th or me du point fixe s appliquent sur par exemple 1 2 Comme f est d croissante f 1 2 f 2 f 1 4 3 3 2 qui est bien inclus dans 1 2 De plus f est comprise entre 1 1 1 1 4 et
439. sque g x0 0 Donc f est bien au dessus de sa tangente On arrive au deuxi me th or me sur la m thode de Newton Th or me 41 Si f r 0 f r gt O et si f gt 0 sur r b alors pour tout uo r b la suite de la m thode de Newton Un 1 Un gt J un est d finie d croissante minor e par r et converge vers r De plus u O0 lt un r lt f n f r On prendra garde dans cette estimation aux erreurs en calcul approch le calcul de la valeur de f un proche de 0 va typiquement faire intervenir la diff rence de deux termes tr s proches d ou perte de pr cision sur la mantisse 196 D monstration Ona f gt 0 donc si f r gt 0 alors f gt 0 sur r b f est donc strictement croissante sur r b on en d duit que f gt 0 sur Jr b donc u 1 lt Un Comme la courbe repr sentative de f est au dessus de la tangente on a Un 1 gt r car Un 1 est l abscisse du point d intersection de la tangente avec l axe des x La suite uy est donc d croissante minor e par r donc convergente vers une limite l gt r A la limite on a iO PD Set donc l r car f gt 0 sur Jr b Comme u est d croissante on a bien 0 lt un r pour montrer l autre in galit on applique le th or me des accroissements finis il existe 0 r un tel que Fun f r Un r f 8 comme f r 0 ona a eh ss J un 4 f 0 et la deuxi me in galit du th or me en d coule par
440. ssaire puis on applique la fonction Une hypth se sur un param tre est une valeur sp ciale affect e au param tre valeur ignor e par la routine d valuation 2 7 3 Calculatrices formelles HP48 49 Les langages utilis s pour programmer ces calculateurs sont l assembleur et le RPL Reverse Polish Lisp adapt l criture de code en m moire morte tr s compact Le type g n rique est impl ment avec un champ type appel prologue qui est en fait un pointeur sur la fonction charg e d valuer ce type d objet suivi de la donn e elle m me et non d un pointeur sur la donn e on conomise ainsi la place m moire du compteur de r f rence Le type entier en pr cision arbitraire est cod par le nombre de digits sur 5 quartets suivi du signe sur un quartet et de la repr sentation BCD en base 10 de la valeur absolue de l entier Le choix de la repr sentation BCD a t fait pour optimiser les temps de conversion en cha ne de caract res pour l affichage La m moire vive disponible est de 256K c est elle qui limite la taille des entiers et non le champ longueur de l entier Il n y a pas de type sp cifique pour les rationnels on utilise un objet symbolique normal Les fonctions internes des HP49 50 40 utilisent le type programme pour repr senter les entiers de Gauf complexes dont la partie r elle et imaginaire est enti re Les nombres alg briques ne sont pas impl ment s sauf les racines
441. sse la direction du vecteur vitesse est donc une propri t g om trique alors que le vecteur vitesse est une propri t cin matique On notera en particulier que la tangente est horizontale si y 0 et verticale si x 0 On appelle point singulier un point o la vitesse s annulle On verra dans la suite comment tudier la tangente en un point singulier d une courbe G n riquement une courbe n a pas de points singuliers car il faut annuler simultan ment les deux d riv es or on n a qu un seul param tre libre t Par contre une famille de courbes m t Ym t d pendant d un param tre m par exemple Em t t mt ym t m 1 t poss de en g n ral un nombre discret de valeurs du param tre pour lesquelles la courbe admet un point singulier Dans Pexemple x 2t m yj 2mt 1 t 1 les deux d riv es s annulent sim 2 en t 1 x 1 y 2 ou m 2 en t 1 Commandes Xcas x t 2 m t y m 1 t 2 t solve diff x t diff y t m t supposons m 2 0 5 5 0 1 plotparam x y t 3 3 Remarque en cin matique si la vitesse est nulle en un point et que les qua tions ne d pendent pas explicitement du temps on reste ind finiment en ce point qui est un point d quilibre la notion de tangente a la courbe n a alors pas de sens On peut aussi suivre une trajectoire qui se rapproche de plus en plus d un point d quilibre la limite de x t
442. ssi le d veloppement de Taylor formel de f en x l ordre n 1 on a alors HET ys l f N P 5 as af j 0 N pr 20 8 Quelques autres algorithmes utiles 20 8 1 Complexit asymptotique Pour calculer le produit de matrices on peut utiliser l algorithme de Strassen on pr sente ici la variante de Winograd Soit a calculer 411 012 bi b2 Y faa C12 a21 022 b21 b22 C21 C22 1 021 022 2 581 011 Sa S n 021 4 01 2 2 On calcule t b12 bii t2 b22 t t3 b22 b12 ta bai ta puis p 1 1b1 1 p2 412b21 P3 siti Pa Sata ps S3t3 pe Sab22 pr a2ota ui p p2 u2 p Pp4 Us u2 p5 U4 u3 p7 U5 U3 T P3 U6 U2 T P3 U7 U6 T Pe Alors C1 1 U1 1 2 U7 C21 U4 C2 2 U5 Cet algorithme utilise 7 multiplications et 15 additions ce qui conomise 1 multi plication et permet en appliquant r cursivement cet algorithme pour des matrices blocs de r duire la complexit d un produit de grandes matrices normalement en O n n 22 ON M m la preuve est analogue celle de la multi plication des polyn mes par l algorithme de Karatsuba En utilisant une factorisation LU par blocs on peut montrer que cette com plexit asymptotique se g n ralise au calcul de l inverse On peut d ailleurs am liorer l exposant mais la constante non explicit e dans le O augmente aussi En pratique Strassen n est pas ut
443. t ab 1 4 t ab t dt 2 I a b o a t b On note au passage que J est d finie si a b C v rifient R a gt 0 R b gt 0 on peut montrer que la relation ci dessus s tend par holomorphie Lorsque a b l par exemple lorsqu on est la limite le calcul de J l est explicite e dl T n rie donc a b T M a b MD Ey On peut transformer a b en posant t bu a du 2 pe du A Varna E Puis en posant u tan x du 1 u dz j y 1 tan x a 1 re P 2 et enfin en posant tan x 2 x I a b n dx 1 sin x Si on d finit pour m lt 1 278 alors on peut calculer K en fonction de J en posant m 1 b a soit b a l yrn K m af a av1 m 2 M a aV 1 m 2M 1 V1 m d o l on d duit la valeur de l int grale elliptique en fonction de la moyenne arithm tico g om trique 3 dx T K m f 68 m o Vl msin x 2 2M 1 v1 m Dans l autre sens pour x et y positifs T T T _ T EEY P Yay _ Ep M 1 0 2M ym 22M Ve 4M z y et finalement T T Y 4 EN K 25 3 Application calcul efficace du logarithme On peut utiliser la moyenne arithm tico g om trique pour calculer le loga rithme efficacement pour cela on cherche le d veloppement asymptotique de K m lorsque m tend vers 1 Plus pr cis ment on va poser 1 m k avec k
444. t parfrac d composition en l ments simples resultant calcule le r sultant de 2 polyn mes par rapport une variable sturm suites de Sturm sturmab nombre de racines dans un intervalle r el ou un rectangle du plan complexe Notez aussi que le menu Exemples gt poly gt pgcd xws de Xcas contient des exemples de programmes de calcul de pgcd de type Euclide 6 1 3 Calculs modulo n Pour travailler dans Z nZ X avec Xcas on utilise la notation comme en C parexemple gcd P 3 Q 3 On peut aussi utiliser la notation Maple en mode syntaxe Maple cf ci dessous en mode compatible Maple on utilise les formes inertes des instructions qui renvoient l instruction non valu e dont le nom est le m me que le nom de commande habituel mais pr c d par une majuscule puis on indique mod n par exemple Gcd P Q mod 11 69 6 2 Exercices PGCD 6 3 1 202 a 2101 Calculez le pgcd de x 1 et sa d riv e modulo 3 et modulo 5 Conclusion P 514 352 39x 115 et Q 172 23x 34x 39x 115 Calculez le pgcd de P et Q modulo 5 7 et 11 En d duire le pgcd de P et Q par le th or me des restes chinois Pourquoi ne doit on pas essayer modulo 17 crire un programme qui d termine le degr probable du pgcd de 2 poly n mes en une variable en utilisant le pgcd modulaire on consid re le degr probable d termin lorsqu on trouve deux no
445. t de B zout g n ralis e Passons aux calculs de remont e On a abe x 4x5 5x4 9x x 4 et P x 1 x x 1 donc Q P abc 5 x xt 2x 1 On pose alors a1 a 5 QA mod a mod 25 by b 5 QB mod b mod 25 c amp c 5 QC mod c mod 25 donc aj a 5x 2 b b4 50 c amp c c 5 x 227 y En principe on continue encore 2 it rations de la m me mani re La 2 me it ration donne Q P axb c 25 6a FAT Be 2x 1 a a 25 QA mod a mod 125 bg b1 25 QB mod b mod 125 co c 25 QC mod c mod 125 donc ay a1 25 1 2 37 bo b b c2 c1 25 1 2 43727 60 27 On peut aussi observer que b b ceci laisse penser que b est un facteur de P dans Z ce qu on v rifie en effectuant la division euclidienne de P par b x a 1 Comme elle tombe juste on est ramen factoriser x x 1 et donc remonter la factorisation de ac La borne de Landau diminue 8 4 3 1 puisque le degr est 4 et la norme euclidienne du polyn me est 4 3 Il suffit alors de remonter dans Z 125Z au lieu de Z 625Z on gagne ainsi une it ration 151 16 2 6 Combinaison de facteurs Lorsqu on a les facteurs de P dans Z p Z X avec p plus grand que le pro duit du coefficient dominant de P multipli par la borne de Landau Mignotte sur les coefficients de P on commence par tester la divisibilit dans Z X de P
446. t rations on a A _1 Qn 1 QiA qui est triangulaire sup rieure d o la factorisation annonc e Matriciellement Q I 2vv o v u llull pour calculer Q A il faut effectuer A 2uv A on calcule donc w v A en n op rations ou une op ration est une addition et une multiplication puis on soustrait 2v w de aij en n op rations En faisant de m me aux tapes qui suivent sans tenir compte de la simplification progressive du vecteur v on effectue 2n op rations La constante 2 peut tre un peu am lior e en tenant compte des 0 initiaux de v aux tapes 2 et ult rieures elle est toutefois sup rieure LU et Cholesky mais en contrepartie la m thode est tr s stable num riquement Application On peut alors crire Ax b sous la forme QRx b donc Rx Q b qui est un syst me triangulaire sup rieur donc r soudre Ax ben O n op rations une fois la factorisation QR effectu e Mais c est surtout pour r soudre au sens des moindres carr s un syst me sur d termin que la factorisation QR trouve tout son int r t En effet minimiser Ax b 3 revient r soudre A Ax A b donc R Q QRx R Q b soit R Rx R Q b Si est une matrice ayant L lignes et C colonnes avec L gt C et de rang L alors les L premi res lignes de R forment une matrice R inversible et les C L lignes restantes sont nulles L quation pr c dente devient Rj Riz RTQ b et se simplifie en Rix Q b il vaut mie
447. t si M 0 V et N V alors w dV donc Jw V B V A 105 Proposition 20 Une forme diff rentielle w est exacte si et seulement si il existe une fonction V telle que w rV dz 0 V dy dV Si V est deux fois continument diff rentiable alors dx V Oy V D o une condi tion n cessaire pour que w soit exacte 3yM Oya V ry V ON D finition 21 On appelle forme diff rentielle ferm e une forme diff rentielle w Mdz Nady telle que 0yM 0 N Une forme exacte est toujours ferm e mais la r ciproque n est pas toujours vraie une forme ferm e n est pas forc ment exacte cela d pend o elle est d finie Si elle est d finie dans un domaine ouvert de R sans trou R tout entier un rectangle un disque etc on peut montrer qu une forme ferm e est une forme exacte en appliquant le th or me de Stokes voir section suivante Sinon il existe des contre exemples comme sur le cercle unit _ ydx zdy ETT La forme est ferm e simplify diff y x 2 y 2 y diff x x 2 y 2 x mais elle n est pas exacte x cos t y sin t int y diff x t x diff y t x 2 y 2 t 0 2 pi Pour trouver le potentiel V dont une forme diff rentielle ferm e w Mdx N dy est la diff rentielle on r soud d abord par exemple M 0 V en int grant M par rapport x y tant consid r comme un param tre on obtient V a une constante d int gration pr s cette constante d int gration
448. t 4 mesure le signe du r sultant en tenant compte des degr s de pour inverser l ordre de A _ et Az dans le r sultant Utilisation La valeur du r sultant est tr s utile pour savoir si 2 polyn mes d pendant de para m tres sont premiers entre eux en fonction de la valeur des param tres En effet la fonction gcd d un logiciel de calcul formel calculera le PGCD par rapport toutes les variables en incluant les param tres En cherchant quand le r sultant s annule en fonction des param tres on obtient un autre type d information Exemple Chercher quand le polyn ne P x px q poss de une racine multiple en fonction de p et q On calcule le r sultant de P et P et on trouve 4p 27q donc P a une racine multiple si et seulement si 4p 27q 0 4 5 Calcul efficace du r sultant On dispose essentiellement de deux strat gies avec des sous strat gies 64 Calcul comme un d terminant On peut utiliser des m thodes modulaires ou p adiques par exemple si A et B sont a coefficients entiers ou et de Pinterpolation si A et B sont coefficients polynomiaux ou la m thode de Gauss Bareiss ou le d veloppement de Laplace Il suffit de forcer une strat gie dans l appel det sur sylvester A B Algorithme du sous r sultant C est cet algorithme qui est utilis par Xcas Il peut aussi se d cliner en m thode modulaire ou avec interpolation Exemple de comparaison n 100 A randpoly n B
449. t T gt Te Jal f avec des indices qui com mencent 0 Pour calculer le terme d indice 0 de la ligne courante on fait une m thode des trap zes sur 2 fois plus de subdivisions que la pr c dente puis pour le j i me terme T 1 j on effectue 4 j3 T 1 1 j 1 T 1 j 1 4 j 1 on n a donc besoin que de la ligne pr c dente pour calculer la ligne courante On s arr te par exemple lorsque la valeur absolue de la diff rence entre les derniers termes de deux lignes cons cutives est inf rieur la pr cision souhait e erreur empirique 18 7 Cas des fonctions p riodiques Si f est une fonction p riodique r guli re C alors la m thode des trap zes sur une p riode est d ordre arbitrairement grand En effet pour une s rie de Fourier tronqu e m la formule des trap zes avec N subdivisions donne le r sultat exact de eee t dt des que N gt m Il suffit ensuite d utiliser que le reste de la s rie de a a gt N a des coefficients d croissance rapide La m thode des trap zes donne donc de bons r sultats pour une fonction p riodique on peut d ailleurs aussi l appliquer pour calculer une valeur approch e des coefficients de Fourier de la fonction La liste des valeurs approch es obtenue est alors la transform e de Fourier discr te des valeurs de la fonction f aux N points de la subdivision elle se calcule donc rapidement avec la transform e de Fourier rapide Par exempl
450. t al Numerical recipies in Fortran C Pascal Pour des algorithmes num riques sur les matrices et autres 20 12 Exercices alg bre lin aire 20 12 1 Instructions Les commandes d alg bre lin aire de Xcas sont regroup es dans le menu Cmds gt Alglin En maple V la commande 1inalg affiche la liste des commandes d alg bre lin aire En maple V il est conseill d ex cuter with linalg sinon il faut pr c der chaque commande de linalg Attention il faut utiliser le carac t re amp avant la multiplication et il faut souvent utiliser eva 1m dans les pro grammes utilisant des matrices et vecteurs Notez aussi que les matrices sont toujours pass es par r f rence en maple V en Xcas le choix revient l utili sateur affectation par par valeur ou par lt par r f rence Pour travailler avec des coefficients modulaires en Xcas on fait suivre les coefficients ou matrices de n utiliser O pour enlever les modulos en maple V on utilise les noms de commandes avec une majuscule forme inerte suivi de mod n 238 20 12 2 Exercices 1 En utilisant un logiciel de calcul formel comparez le temps de calcul d un d terminant de matrice al atoire coefficients entiers de tailles 50 et 100 d une matrice de taille 6 et 12 avec comme coefficients symboliques ligne j colonne k x lorsque j k est pair et 0 sinon Peut on en d duire une indication sur l algorithme utilis 2 crire
451. t de 0 019 arrondi par exc s P N eps L sum comb L k xeps k 1 eps L k k N 1 L 5 P 3 1e 3 10 3 ou directement 1 binomial_cdf 1000 1e 3 3 Exemple On ne peut pas corriger d erreur avec le bit de parit 14 4 5 Distances La distance de Hamming de 2 mots est le nombre de symboles qui diff rent il s agit bien d une distance au sens math matique elle v rifie l in galit triangu laire Exercice crire une proc dure de calcul de la distance de Hamming de 2 mots En Xcas la fonction s appelle hamdist La distance d un code est la distance de Hamming minimale de 2 mots diff rents du code Pour un code lin aire la distance est aussi le nombre minimal de coefficients non nuls d un vecteur non nul de l image Pour un code polynomial la distance du code est le nombre minimal de coefficients non nuls d un multiple de g de degr inf rieur n Exercice quelle est la distance du code lin aire que vous avez cr plus haut Majoration de la distance du code La distance minimale d un code lin aire est inf rieure ou gale n k 1 en effet on crit en ligne les coordonn es des images de la base canonique ce qui revient transposer la matrice et on r duit par le pivot de Gauss comme l application lin aire est injective le rang de la matrice est k donc la r duction de Gauss cr e k 1 z ros dans chaque ligne donc le nombre de coefficients non nuls de ce
452. t le d veloppement de Taylor de f par exemple en a l ordre n t a ft my E ft 04 Tf fla ta f a RE fia Donc Ur fais ire na El De plus pr a n 1 a As 3 laa GT ayy y sl PR 0 IA Donc comme la m thode est exacte pour Tn f on en d duit que ia Ur DAI fs Fr P LE IP pq yr 2 yn l 8 a 4 y ll Mn 8 a j 1 IA A Mn 1 n 2 n 1 Siles w gt 0 alors a lw 4 w 8 wet on obtient finalement 36 On remarque qu on peut am liorer la valeur de la constante en faisant tous les d veloppement de Taylor en a 3 2 au lieu de a Apr s sommation sur les n subdivisions on obtient que 181 Th or me 33 Pour une m thode d ordre n coefficients positifs et une fonction f n 1 fois continument d rivable Arti 1 Et b a 2rtlin 1 n 2 b f E IPS Mu 1 a On observe que cette majoration a la bonne puissance de h sur les exemples d ja trait s mais pas forc ment le meilleur coefficient possible parce que nous avons trait le cas g n ral d une m thode d ordre n et utilis une majoration pas toujours optimale du reste Pour obtenir la meilleure valeur possible de la constante il faut exprimer le reste de la formule de Taylor sous forme int grale et utiliser la forme pr cise de la m thode a f t A f fH a de Q donc o Ni a eee t x En intervertissant les deux int grales
453. t on ajuste x 2 1 q r 2kq r q Ainsi pour k 4 et m 24 1 17 mest premier On peut construire une suite de p riode 16 en choisissant a g n rateur de Z 17Z par exemple a 3 et c 2 donne la suite 0 2 8 9 12 4 14 10 15 13 7 6 3 11 1 5 Onale Th or me 54 La suite un d finie ci dessus est de p riodicit maximale m si et seulement si 1 cet m sont premiers entre eux 2 a 1 est divisible par tous les facteurs premiers de m 3 a 1 est multiple de 4 si m l est On observe d abord que vouloir la p riodicit maximale revient pouvoir supposer que uy 0 Il est donc n cessaire d avoir c et m premiers entre eux sinon tous les Un sont multiples du pgcd de c et m Ensuite on pose m p la d composition en facteurs premiers de m et on raisonne modulo chaque premier par le lemme chinois la p riodicit est le PPCM des p riodicit s modulo chaque p Si a 1 mod p alors a 1 est inversible modulo p donc modulo p on a c C 0 Un a uo pa a 1 et la valeur c a 1 ne peut pas tre atteinte ou alors la suite est stationnaire Donc a 1 doit tre divisible par tous les facteurs premiers de m pour avoir la p riodicit maximale R ciproquement il faut trouver le premier ordre n tel que a 1 a 1 0 mod p On pose a b 1 on a a 1 b 1 1 Far nfn 1 es a gt 0b Si E AE On sait que b a 1 es
454. t r et tel que f lt M et 1 f lt m sur r e r c est toujours possible car f et 1 f sont continues au voisinage de r puisque f r 4 0 Si u est dans cet intervalle alors 9 aussi donc lun rl 42 Mm _ lun r Mm un 1 r lt un r 5 lt 2 On a lun r lt e on diminue si n cessaire e pour avoir e lt 2 Mm on a alors _ Mm lun 1 r lt klun rl k 5 donc d une part u 1 est encore dans l intervalle r e r e ce qui permettra de refaire le m me raisonnement au rang suivant et d autre part on a une convergence au moins g om trique vers r En fait la convergence est bien meilleure lorsqu on est proche de r grace au carr dans u rl plus pr cis ment on montre par r currence que Mm 2 1 2 jin 7 lt one il faut donc un nombre d it rations proportionnel In n pour atteindre une pr ci sion donn e Remarque ce th or me se g n ralise sur C et m me sur R cf la section suivante Exemple pour calculer 42 on crit l quation x 2 0 qui a V2 comme racine simple sur J 1 2 2 on obtient la suite r currente ul 2 Un 1 Un dun Si on prend y 1 2 on a f 2x et f 2 donc on peut prendre M 2 et m 1 car 1 f lt 1 sur V2 1 2 V2 1 2 On a 2 mM 1 on peut donc prendre e 1 2 la suite convergera pour tout ug V2 1 2 2 1 2 Plus g n ra
455. t un multiple de p disons b qp on en d duit que pour n p ona bien a 1 a 1 0 mod p alors que pour n p et p 2 a 1 a 1 n mod p 4 0 Le m me calcul pour p 2 prise en compte de la division par 2 de n n 1 donne la condition b a 1 est multiple de 4 si m l est On trouvera dans Knuth une discussion d taill e du choix de a b m Exemple m 2 1 est premier on peut donc construire un g n rateur congruentiel de p riode m 1 en choisissant a g n rateur de Z mZ Pour en trouver un on peut tester a pris au hasard et voir si EN 1 mod m pour tous les diviseurs premiers de m 1 Par exemple F ifactors b m 1 G seq F 2 x3 3 0 1iquo size F 1 2 a 456783546 for k in G do afficher powmod a b k m od etat 1 initialise l tat du g n rateur r return etat irem axetat n Un appel r renvoie un entier entre 1 et m 1 pour avoir un g en rateur pseudo al atoire selon la loi uniforme sur O 1 on tape evalf r m Ainsi L seq evalf r m 3 1 10000 histogramme L 0 01 permet de v rifier visuellement si les r els g n r s sont bien r partis ou bien seq point evalf r n r n affichage point_point 3 1 10000 qui d tecte des biais invisibles avec le test pr c dent par exemple pour a 7 285 26 1 2 Mersenne twister Ce sont des g n rateurs plus performants avec un tat interne en g n ra
456. t une correction donc la distance du code 6 est au moins 3 Si le code est parfait sur K Fy ona my oon k n 1 n d 1 d d n a Par exemple si d 2 et m 4 alors n 15 Il n y a qu une matrice de controle possible de taille 15 4 telle que Hz donne la position de l erreur en base 2 elle est obtenue en crivant les entiers de 1 4 15 en base 2 Or ee 1 1 0 1 1 1 1 1 O e e 1 1 0 1 Or OH a RH kH Om OH Cor Ff 1 0 0 1 SO LEO gt O oO OO m on d place les colonnes de la matrice identit colonnes 1 2 4 8 en fin pour crire H C I4 le code correspondant est A il permet de corriger une erreur on calcule Hz et si le r sultat est non nul on change le bit d indice Hz en tenant compte du d placement des colonnes 1 2 4 et 8 En fait il est plus simple de ne pas faire ce d placement de colonnes Code syst matique On rep re les indices de bit en commen ant 1 On crit les indices de bit en base 2 Les bits dont les indices sont des puissance de 2 sont des bits de parit Les autres bits sont des bits de donn e On A U N e Les bits de parit sont calcul s pour avoir parit paire selon les bits d indice respectifs 1 mod 2 pour le bit de parit pl selon les bits d indice divis par 2 valant 1 mod 2 pour le bit de parit p2 etc 6 Pour corriger une erreur on corrige le bit dont la position crite en base
457. te utilise la m thode des rectangles gauche Yit1 Yi tig ti f ti yi Yi hf ti yi o h ti41 t alors que la m thode d Euler implicite utilise la m thode des rectangles a droite Yaa Yi tizi ti Gage Yi hf h ye cette derni re relation n c ssite de r soudre une quation pour d terminer y 1 d o son nom de m thode implicite Plus g n ralement la m thode de r solution revient se donner une fonction t y h et poser Yi 1 Yi hB ti yi h pour la m thode d Euler explicite t y h f t y pour la m thode d Euler implicite s obtient en r solvant une quation par exemple avec la m thode du point fixe pour h suffisamment petit Lorsqu on compare la solution de l quation et une valeur approch e obtenue par une m thode un pas il faut distinguer erreur locale ou erreur de consistance de la m thode qui est une majora tion de y1 y t en fonction du pas h t to on dit qu une m thode est d ordre au moins n si y1 y t1 lt Cnh t cette notion est reli e l ordre de la m thode num rique d int gration approch e utilis e l erreur globale de la m thode qui accumule deux ph nom nes erreur lo cale chaque pas et l erreur sur la condition initiale pour les subdivisions ti ti 1 i gt 0 cons quence des erreurs pr c dentes en pratique il faudrait aussi ajouter les erreurs d
458. tement y t L existence et l unicit d une solution permet d affirmer le caract re d ter ministe de l quation Mais la m connaissance pr cise de la condition ini tiale peut au cours du temps provoquer une erreur tellement grande sur y t que celle ci devient impr dictible Le th or me ne dit rien sur la taille de l intervalle d existence de la solution en temps Certaines solutions peuvent exploser en temps fini par exemple desolve y y 2 y 0 1 Bien entendu si on mod lise une quantit physique par y dire que y explose en temps fini ou infini du reste signifie que les approximations utilis es pour la mod lisation ne sont plus valable bien avant On admettra ce th or me voici quelques id es heuristiques de la preuve L qua tion y f y t peut se r crire sous la forme int grale quivalente t st to y u du y to MC 109 Si t est assez proche de tg on peut approcher l int grale par y t y to t to f y to to petite erreur C est exactement ce qu on fait en suivant le champ des tangentes pour approcher une courbe int grale graphiquement et si on discr tise le temps avec un pas petit cette m thode d approximation est appel e m thode d Euler On peut bien sur uti liser d autres approximations meilleures de l int grale pour avoir une meilleure approximation de la solution et les m thodes dites de Runge Kutta utilisent cette id e
459. temps de calcul n cessaire son ex cution ne d pend pas du hasard sauf si on choisit le nombre premier p au hasard Ce type d algorithmes est parfois trop long par rapport d autres type d algorithmes utilisant le hasard les algorithmes de type Las Vegas Ceux ci utilisent un l ment al atoire dont d pend le temps d ex cution mais certifient le r sultat Par exemple pour calculer le polyn me caract ristique d une matrice M de taille n on choisit un vecteur v al atoirement et on cherche une relation lin aire entre v Mv M v s il n y en a qu une constante multiplicative pr s alors elle donne le polyn me caract ristique sinon on se rabat sur une autre m thode ou on renvoie une erreur les algorithmes de type Monte Carlo Ceux ci utilisent un l ment al atoire mais ne certifient pas le r sultat qui a une tr s faible probabilit d tre in exact Par exemple pour calculer un d terminant d une matrice coefficients entiers on peut faire le calcul modulo plusieurs nombres premiers et recons truire le r sultat par le th or me des restes chinois et d cider de s arr ter lorsque le r sultat reconstruit est stable pour un deux nombres premiers L inverse de la probabilit d erreur est gale au produit des nombres pre miers pour lesquel on observe la stabilit Autre exemple le test de pseudo primalit de Miller Rabin Dans Xcas certains algorithmes sont
460. teurs de nombres pseudo al atoires 26 1 Selon la loi uniform a se coes ee ne do msattanss as 26 1 1 Les g n rateurs congruentiels 26 12 Mersenne TWISTER os ea we ds de ere ds 26 2 Selon plusieurs lois classiques Bonus le making of de Giac Xcas A 1 Comment le projet Giac Xcas est n A 2 L enfance d Xcas 2000 2006 A 3 La mont e en puissance 2007 2013 248 262 262 264 265 265 265 267 268 268 269 270 270 272 272 274 274 275 277 279 284 284 284 286 286 A 4 Le pr sent et le futur proche 290 A 5 Les concurrents open source 290 Quelques opinions 292 IBA Languages eee 44e ss sushi ss buses 292 B 2 Le libre la recherche et l ducation 293 B 3 Les maths et les outils de calcul 295 B 4 Calculatrices tablettes ou PC 297 Index plan L index commence page suivante dans la version PDF Quelques conseils de lecture Des aspects calcul num rique sont abord s dans les sections 2 repr senta tion des donn es 18 int gration num rique 19 point fixe Newton 20 Gauss LU conditionnement Schur 21 et 22 interpolation approxima tion polynomiale 23 transform e de Fourier discr te Des aspects calcul exact sont abord s dans les sections 2 repr s
461. thm for these kind of inputs without symmetries Certification is the most time consuming part of the process except for Cy clic8 Integer certification is significantly faster than modular certification for Cyclic examples and almost as fast for Katsura Example of Giac Xcas code aleab 5x x 2x t 37x yx t rut32xy t rvt t2l1xtrv oaxruxv 39xxxyxv 23xy 2xu 57xyxzxu 56xyxu 2 10 z 2 52xtxu v 33xx 2xt 51 xx 2 42xxxt xv 5lxy 2xu 32xy xt 2 v 3 44xxxt 2 42xyxt 4 xyxu 2 12xzxt 2xzxuxv 43xtxu 2 49xx 2xz 11 xxxy xz 39xxxtxu 44xxxtxu 54xxxt 45xy 2xu 48xxxzxt 2xz 2xt 59xz 2xv 17xz 36xt 3 45xu l i X y Z t U V pl prevprime 2 24 p2 prevprime 229 time G1 gbasis alea6 pl l revlex time G2 gbasis alea6 p2 1 revlex threads 2 set the number of threads you want to use debug_infolevel 1 uncomment to show intermediat proba_epsilon 1e 7 probabilistic algorithm time HO gbasis alea6 indets cyclic5 revlex proba_epsilon 0 deterministic time H1 gbasis alea6 indets cyclic5 revlex size G1 size G2 size H0 size H1 size H2 write Halea6 H0 Note that for small examples like Cyclic5 the system performs always the deter ministic check this is the case if the number of elements of the reconstructed basis to 50 7 7 Conclusion T have described some enhancements to a modular algor
462. tiel 113 119 Liouville 166 LLL 208 In 252 logarithme 252 279 LU 210 Mac Laurin Euler 185 mantisse 14 16 Mignotte 50 Miller 33 138 minimal polyn me 215 modele proie pr dateur 120 modulaire sym trique 30 modulaire d terminant 201 modulaire m thode 29 modulaire PGCD 47 52 Monte Carlo 31 188 moyenne arithm tico g om trique 274 multiplicit 141 Newton 194 196 197 Newton base de 190 Newton m thode de 30 Newton Cotes 184 nombre de condition 214 normale loi 286 normalis 15 noyau 205 orbite de la Terre 268 ordre 180 ordre de mon mes 74 orthogonaux polyn mes 247 osculateur cercle 97 p adique syst me lin aire 203 p adique m thode 29 P ano noyau de 182 Pad 254 parabole 94 param trique courbe 86 parit bit de 131 PGCD polyn mes 41 pi calcul de 283 pivot 200 pivot partiel 209 Pocklington 138 point r gulier 100 point fixe 191 point milieu 179 point singulier 100 point singulier ordinaire 101 point singulier r gulier 101 polaire courbe 89 Pollard 139 polyn mes orthogonaux 247 potentiel 105 106 premiere int grale 115 primalit 138 primitif 130 primitive partie 41 probabiliste 31 proie pr dateur mod le 120 pseudo division 32 puissance 231 puissance rapide 36 QR 226 234 quadratique crible 140 quadrature 178 quadratures gaussiennes 187 r currence 188 r gulie
463. tient les coefficients de Rg partir de la matrice de Sylves ter de P et Q Prenons la sous matrice constitu e des 2 premi res lignes de P et des 3 premi res lignes de Q et r duisons la sous forme chelonn e sans introduire de d nominateur Pn Pn 1 Pn 2 Pn 3 0 Pn Pn 1 Pn 2 dn 1 An 2 An 3 Un 4 0 dn 1 n 2 Un 3 0 0 dn 1 Un 2 43 On effectue Li qn 1L1 pn Lz et La qn 1L2 PnLa ce qui correspond l limination du terme en x du quotient de P par Q 0 dn 1Pn 1 Pndn 2 one 0 0 Qn 1Pn 1 PnIn 2 Qn 1 An 2 An 3 Qn 4 0 dn 1 4n 2 dn 3 0 0 dn 1 An 2 on effectue ensuite Li Qn 111 Qn 1Pn 1 Pndn 2 L4 L a1 qn 1Pn 1 Pndn 2 L5 ce qui correspond l limination du terme constant du quotient de P par Q on obtient 0 0 T2 n 2 ee 0 0 0 T2 n 2 An 1 n 2 dn 3 Gn 4 0 dn 1 An 2 dn 3 0 0 dn 1 4n 2 si on enl ve les lignes 3 et 4 et les colonnes 1 et 2 on obtient apr s changes de lignes une sous matrice de la matrice de Sylvester de Q et Ra dn 1 Qn 2 0 T2n 2 On recommence les op rations de r duction de cette sous matrice correspondant a la division euclidienne de Q par Ra on obtient 0 0 T3nm 3 T2 n 2 0 T2n 2 puis apr s suppression des colonnes 1 et 2 et des lignes 2 et 3 la ligne des coeffi cients de Ra Supposons qu on se limite d s le d but de la r duction ne garder que les colonnes 1 4
464. tion du terme de plus bas degr en x car le second membre n a pas de d nominateur on obtient n a 0 qui n a pas de solution donc A est un polyn me en x et l quation se r crit en rA nA x On majore alors le degr en x de A par 1 car il ne peut pas y avoir d annulation de terme de plus grand degr Ensuite on peut appliquer l algorithme SPDE de Rothstein pour r duire le degr ou ici conclure la main x divise nA donc A Cx qu on remplace et C 1 n 1 Finalement Ay x n 1 et fa x n 1 x 17 4 Quelques r f rences M Bronstein Symbolic Integration I Transcendental functions Springer 177 M Bronstein Integration tutorial http www sop inria fr cafe Manuel Bronstein publications mb_papers J H Davenport Y Siret E Tournier Calcul formel Syst mes et algorithmes de manipulations alg briques R Risch les r f rences des articles originaux de Risch sont dans le Integration tuto rial de Bronstein B Trager PHD thesis MIT 1984 On peut lire en clair le code source de l impl mentation en MuPAD sous Unix d sarchiver le fichier 1ib tar du r pertoire usr local MuPAD share lib et regarder dans le sous r pertoire 1ib INTLIB 18 Int gration num rique Les fractions rationnelles admettent une primitive que l on calcule en d com posant la fraction avec B zout comme expliqu pr c demment Mais elles font figur
465. tion initiale on tend vers la solution particuli re appel e r gime permanent 117 12 4 2 Forcage p riodique Il arrive souvent qu un syst me physique soit soumis un for age ext rieur p riodique par exemple pour la temp rature chelle fine l alternance jour nuit ou grande chelle l alternance des saisons ou circuit RCL soumis un courant p riodique Il est donc utile de d terminer les caract ristiques de la solution en r gime permanent Exemple ordre 1 y ay Ae a gt 0 On sait qu une solution particuli re est donn e par Be on remplace et on obtient A a iw Bliw a A gt B L amplitude de la solution particuli re est donc l amplitude du second membre di vis e par le module a iw ya w et l exponentielle subit un d phasage donn par l argument de B soit arctan w a 7 2 0 La solution particu li re suit donc le second membre avec un d phasage compris entre 0 et un quart de p riode selon la valeur de a Si le syst me a une forte inertie intrins que a petit pour avoir une exponentielle d croissant lentement on s approche du quart de p riode c est pour cette raison que la temp rature pres de la mer atteint son maximum en t environ 2 mois apr s le solstice alors que dans les terres c est plutot 3 semaines apr s le maximum d un quart de p riode tant presque r alis par la banquise qui atteint son minimum d extend presqu
466. tiquement M 2 9 3 ce qui est bien meilleur que la multiplica tion naive en 2 4 mais pour de petites valeurs de n la multiplication naive est plus rapide on utilise Karatsuba r cursivement uniquement pour des valeurs de n suffisamment grandes th oriquement lorsque 8n le surcout d aux additions est plus petit que la multiplication conomis e soit 8n lt 2n soit n gt 4 en pratique plut t pour n de l ordre de quelques dizaines selon les impl mentations car nous n avons tenu compte que des op rations arithm tiques 33 2 9 2 Bezout sur les entiers et les fractions continues Il existe une variante de l identit de B zout pr sent e ci dessus pour les en tiers Soient a gt b gt O deux entiers on pose En aun bun 1 rp o ro a ri b et rn42 est le reste de la division euclidienne de r par rh 1 qn 2 le quotient uy 1 41 0 v0 0 v1 1 Comme pr cedemment chaque ligne s obtient par combinaison lin aire des deux pr c dentes mais cette fois avec une addition Ln 2 Ln Qn 2Ln 1 ce qui se traduit par Un 2 Un Gn42Un 4 1 Un 2 Un Qn 2Un 1 Les suites un et vn sont alors strictement croissantes partir du rang 1 pour un Au rang k du dernier reste non nul on a aux buy 1 rz rx d gcd a b et au rang suivant GUp41 bUk 1 0 On montre par r currence que UnTn 1 Untiln 4 et une relation analogue pour un on en d duit
467. tiques parfois sophisti qu es permet de r duire la complexit par exemple M Van Hoeij a d couvert r cemment qu un algorithme tr s utilis en th orie des nombres l algorithme LLL permettait d am liorer la complexit d une des tapes de la factorisation des po lynomes coefficients entiers sur les entiers Heureusement dans de nombreux cas on peut r duire la complexit donc le temps de calcul par des adaptations au probl me d une m me id e condition de faire des hypoth ses sur les donn es autrement dit en abandonnant la volont d impl menter un algorithme tr s g n rique ou tout au moins en sp cialisant des algorithmes g n riques Par exemple lorsqu on travaille avec des entiers ou des polyn mes coefficients entiers ou des matrices coefficients entiers on utilise souvent des algorithmes modulaires et p adiques Comme le calcul exact n cessite presque toujours de calculer avec des entiers ces m thodes ont un r le central en calcul formel nous les pr sentons donc maintenant bri vement Dans les prochaines sections nous utiliserons ce type de m thode par exemple pour le calcul de PGCD ou la factorisation de polyn mes coefficients entiers Les m thodes modulaires consistent r duire un probl me dans Z son qui valent dans Z nZ pour une ou plusieurs valeurs de n nombre premier Le calcul dans Z nZ a l avantage de se faire avec des entiers dont la taille est born e
468. tourne undef bi Ceci peut par exemple servir a d terminer pour un polyn me P donn squa refree de degr n et coefficient dominant p l cart minimal entre 2 racines on calcule R normal resultant P subst P x x y x x degree P c est un polyn me bicarr dont on cherche la plus petite racine en calculant le carr de la plus grande racine en module de numer subst R y 1 sqrt x On peut obtenir un minorant a priori de cette plus petit racine en calculant resultant P P p t II ri r 1 lt i lt j lt n on isole l cart minimal au carr on majore les autres carr s en majorant les ra cines et on peut minorer le r sultant a priori par 1 si P est coefficients entiers 20 10 2 It rations inverses La m thode pr c dente permet de calculer la valeur propre de module maximal d une matrice Pour trouver une valeur propre proche d une quantit donn e x on peut appliquer la m thode pr c dente la matrice A xJ en pratique on effectue LU sur xl et on r soud A x1 u 41 Un En effet les valeurs propres de cette matrice sont les x x 7 dont la norme est maximale lorsqu on se rapproche de x Attention ne pas prendre x trop proche d une valeur propre car le calcul de A xl uy 1 Un est alors peu pr cis la matrice tant mal conditionn e 233 20 10 3 Elimination des valeurs propres trouv es Si la matrice A est sym trique
469. u elles sont de trois types ellipses hyperbole parabole 8 et on va les param triser partir de leur quation cart sienne ou partir de leurs l ments g om triques le calcul des l ments g om trique a partir de l quation cart sienne fait intervenir l tude des formes quadratiques il ne sera pas abord dans ce cours Les coniques sont des courbes importantes en g om trie ce qui a un int r t en optique parabole mais aussi en cin matique premi re loi de Kepler l orbite d crite par une plan te est une ellipse dont le Soleil occupe un foyer 8 7 1 Param trisation rationnelle Si on connait un point d une conique on peut effectuer un changement d ori gine en ce point l quation cart sienne devient P x y ax bry cy dx ey 0 On suppose que d e 0 0 On cherche alors l intersection de la conique avec la droite y tx de pente t on va voir que la droite coupe en g n ral la conique en deux points l origine et un autre point dont on calcule les coordonn es en fonction de t Graphiquement par exemple t 2 implicitplot x 2 3y 2 xxy 3x y droite y txx puis faire varier la valeur de ou d un des coefficients de l quation En effet on obtient une quation du second degr en x qui se factorise par x l autre solution donne alors x comme fraction rationnelle en t puis y tz d et ct bt a ax btx ct x d et x 0 x 0 x
470. u Sinon il faut choisir un vecteur du noyau correspondant au degr le plus petit possible puis faire le PPCM avec les polynomes ob tenurs avec d autres vecteurs pour obtenir le polyn me minimal avec une grande probabilit Essayez avec la matrice de taille 3 ayant des O sur la diagonale et des 1 ailleurs crire un programme mettant en oeuvre cette recherche testez le avec une matrice al atoire de taille 30 8 Testez l algorithme m thode de Fadeev pour la matrice ci dessus M me question pour Jeri 3 2 2 A 2 0 1 A 1 0 1 A D 1 1 0 9 Ecrire un programme calculant par une m thode it rative la valeur propre de module maximal d une matrice a coefficients complexes Dans le cas r el modifier le programme pour pouvoir traiter le cas d un couple de complexes conjugu s de module maximal Dans le cas hermitien ou r el sym trique li miner le couple valeur propre vecteur propre et continuer la diagonalisation num rique 239 10 Soient Jal b lt n 2 crire une fonction ayant comme arguments a b mod n qui calcule a et b Utiliser ce programme pour r soudre un syst me 4 4 coefficients entiers par une m thode p adique 240 21 Approximation polynomiale On pr sente dans cette section quelques m thodes d approximation de fonc tions par des polyn mes sur un intervalle la section suivante pr sente des m thodes d approximation pr s d un point ou de l infini 21 1 Polyn
471. u de zoom Sur les calculatrices les op rations de changement de cadrage graphique provoquent un nouveau calcul complet qui peut durer une dizaine de secondes Mise en oeuvre avec Xcas on utilise la commande plotparam dans le menu Graphe Courbes Le cadrage graphique est calcul automatiquement et peut tre modifi par les touches menus droite du graphe On peut sp cifier le pas avec l argu ment optionnel tstep sur les calculatrices il faut s lectionner le mode de trac param trique par exemple avec une touche MODE ou en s lectionnant une application par une touche APPS ou MENU puis l cran de d finition de x t y t ap parait ventuellement apr s appui sur une touche Y Si les r glages gra phiques ne sont pas directement fournis la touche WINDOW permet d y ac c der puis la touche GRAPH lance le trac Exemples essayez de tracer quelques courbes en param triques 2cos t 3sin t cos 2t sin 3t 2 9 t41 t 2 2 8 vi 1 vV2 1t 8 3 Param trage On adoptera souvent la convention d appeler temps le param tre t Mais cela ne signifie pas que le param trage est r ellement le temps mesur en secondes On peut tr s bien param trer une courbe avec un param tre autre qui peut tre un multiple constant ou variable du temps c est d ailleurs conforme au principe de la relativit Le param trage n est jamais unique on peut changer de param trage pourvu que la foncti
472. u nombre de lignes et de colonnes Ceci signifie qu avec la pr cision d un double on peut au pire perdre toute pr cision pour des matrices pas si grandes que a n 52 Heureusement il semble qu en pratique l erreur absolue ne soit que tr s rarement multipli e par un facteur sup rieur 10 Par contre si on ne prend pas la pr caution de choisir le pivot de norme maxi male dans la colonne les erreurs d arrondis se comportent de mani re bien moins bonnes cf l exemple suivant Exemple Soit r soudre le syst me lin aire ex 1 0y 1 0 x 2 0y 3 0 avec 27 pour une machine utilisant des doubles pour les calculs en flottant plus g n ralement on choisira e tel que 1 0 3e 1 0 soit indistinguable de 0 0 209 Si on r soud le syst me exactement on obtient x 1 1 2e environ 1 et y 1 3e 1 2e environ 1 Supposons que l on n utilise pas la strat gie du pivot partiel on prend alors comme pivot donc on effectue la manipulation de ligne Lz La 1 eL ce qui donne comme 2 me quation 2 0 1 0 e y 3 0 1 0 Comme les calculs sont num riques et cause des erreurs d arrondis cette 2 me quation sera remplac e par 1 0 e y 1 0 e d o y 1 0 qui sera remplac dans la 1 re quation donnant ex 1 0 1 07 0 0 donc x 0 0 Inversement si on utilise la strat gie du pivot partiel alors on doit changer les 2 quations L
473. uation en coordonn es polaires de E pour montrer que l quation obtenue ci dessus est bien celle d une ellipse dont le Soleil occupe un foyer Soit O le milieu de F et F2 on se place dans le rep re orthonorm dont le premier axe Ox contient F et F2 donc les coordonn es de F sont c 0 et celles de F sont c 0 Soit M x y un point de l ellipse on a d une part MF MF 2 x c dex et d autre part MF MF MF MFy MF MB 2a MF MF donc 2 MF MF en additionnant avec M F MF 2a et en appliquant c ea on en d duit MF a a ee 61 En prenant le carr on a x ea y a ex d o yY 27 1 e a 1 e finalement 2 y 2 a 1 2 qui est bien la contraction selon Oy de rapport V1 e du cercle de centre O et de rayon a appel grand cercle de l ellipse En coordonn es polaires on note p la distance de F1 M et 0 langle entre l axe Ox et F M L abscisse de M est donc x ea pcos 0 que l on combine avec 15 pour obtenir p a ex a 1 e epcos 0 donc _ a 1 e oases ecos 0 ce qui nous permet d affirmer que l orbite de la Terre dans l approximation du point mat riel soumis uniquement au Soleil suppos fixe est une ellipse dont le Soleil occupe un foyer 271 24 5 Influence de l ellipse sur les saisons Il faut prendre garde a ne pas confo
474. ueur du segment tangent parcouru ou encore au produit de la norme de la vitesse instantan e par dt q y2dt On remarque que cette quantit est invariante par changement de param trage si t t 7 alors dx dy ds dt Va a dx dy dry dt dr dt dt dt dr dx dy Nata Proposition 15 La longueur d un arc de courbe entre les points de param tre to ty f x 2 y dt to On en d duit et t vaut En coordonn es polaires 01 f Vr r2d0 0 Remarque il est tr s rare que l on puisse effectuer le calcul explicite d une primitive de y x y il faut alors se contenter d une valeur approch e de lin t grale lorsque to et t ont des valeurs num riques calcul e par des m thodes num riques qui g n ralisent la m thode des rectangles cf le cours de mat249 Ce calcul se fait avec Xcas ou une calculatrice formelle en donnant une valeur approch e l une des bornes Il y a quelques exceptions par exemple la longueur d un arc de parabole se calcule avec une formule explicite essayez la commande int sqrt 1 4t 2 t t0 t1 ouarcLlen t t 2 t t0 t1 Lacy cloide a t R t sin t y t R 1 cos t admet aussi une formule simple pour sa longueur exercice pour v rifier le r sultat avec Xcas on peut utiliser la commande halftan Par contre la longueur d un arc d ellipse ne se calcule pas avec les fonctions usuelles on pourrait le faire mais
475. ul En un demi si cle les outils de calcul informatiques ont gagn en puissance de mani re radicale Aujourd hui pour une centaine d euros on a la puissance de calcul qui tait r serv e il y a une vingtaine d ann es aux centres de calculs sp cialis s Cela a des cons quences visibles dans tous les domaines de la vie quotidienne il est impossible de les ignorer en maths sauf peut tre dans certains domaines de recherche En tout cas pas dans le domaine de l enseignement Bien entendu les maths c est pour partie du raisonnement mais pour l crasante majorit des gens y compris scientifiques c est surtout un outil et pas une fin en soi sur une classe d age deux trois pour mille vont tre des professionnels des maths en comptant tous les enseignants de maths Je pense que si les matheux veulent survivre en tant que discipline il faut qu ils adaptent leur enseignement pour un usage intelligent des outils de calcul sinon ils finiront comme les langues anciennes On ne devrait par exemple plus tudier les courbes sans utiliser un logiciel ou une calculatrice pour en avoir une repr sentation graphique avant on faisait l tude compl te pour aboutir au trac parce qu on n avait pas le choix de faire autrement aujourd hui il faut faire le trac et l tude simultan ment l tude analytique servant expliquer les particularit s du trac Utiliser des outils de calcul n est pas contradictoir
476. ulier et l angle V de la tangente avec e v rifie tan V 5 E RU 00 sir 4 0 etr 0 la tangente est port e par eg Si r 0 la tangente est port e par ep On ne peut avoir un point singulier que pour r 0 On ne fait pas leur tude comme en param triques en effet la tangente est toujours port e par er si r change de signe la courbe a la m me allure que pour un point r gulier si r ne change pas de signe on a un rebroussement de premi re esp ce puisqu on traverse la tangente lorsque 9 augmente Convexit pour avoir un point d inflexion il faut que 1 1 2 12 H e 08 amp r 2r 7rr 0 r r On peut le montrer en calculant la d riv e de 0 arctan r r ou avec Xcas de la mani re suivante 7 Sir 0 cela se lit sur l expression de la vitesse qui est non nulle mais c est encore vrai si r 9 r 0 0 et r non identiquement nul pour le voir on observe que M 8 M 0 h OM h a pour direction er 0 h qui tend vers e 0 lorsque tend vers 0 90 X r x xcos x Y r x sin x simplify X x Y Y xX simplify 1 r x 1 r x o on a not x l angle 0 pour pouvoir d river avec et X et Y les deux coordonn es de m me on calcule la courbure d finie en section 9 2 r 292 rr vr a 8 7 Coniques Les coniques sont des courbes implicites dont l quation cart sienne est du second degr ax cy bay dx eyt f 0 On va voir q
477. un des fac teurs de I x divise tous les l ments de la somme d finissant w x sauf un donc I x divise v x et comme v x est premier avec r x on en d duit que v x Cl x o C est une constante non nulle puis r x Cw x Bezout donne donc apr s simplifications du couple v x r x par son pgcd le polynome localisateur une constante pr s donc les racines et les positions des erreurs et on peut calculer les valeurs des erreurs avec v et r car la constante C se simplifie 14 5 3 Avec Xcas Ouvrir la session Aide gt Exemples gt crypto gt reed_s 137 15 Factorisation des entiers et primalit Les principaux algorithmes utilis s dans Xcas sont les suivants la division pour les nombres premiers plus petits que 10000 stock s dans une table Cela permet de factoriser les entiers plus petits que 10 et de d tecter les premiers on teste si k divise N pour k dans la table tel que k lt N Cela permet la factorisation partielle des entiers plus grands Le temps d ex cution est proportionnel au nombre de premiers dans la table plus petits que VN multipli par un facteur In WV pour la factorisation partielle Le crible d Erathosth ne permet de trouver la liste des premiers plus petits qu une valeur donn e Voir le manuel de programmation de Xcas le test de pseudo primalit de Miller Rabin voir le manuel de program mation de Xcas effectu pour 20 bases a il donne en cas de r ussite
478. une soustraction de deux r els sur machine on doit additionner les deux erreurs absolues sur les op randes et ajouter une erreur d arrondi relative de 2753 titre d exercice on pourra v rifier que cette erreur d arrondi est major e par l erreur absolue de la somme x y des l instant o x et y ont eux m me une erreur d arrondi Lorsqu on effectue une multiplication de deux nombres x y dont les repr sen tants xo Yo sont non nuls on a TY LOYO Toyo T yY To Yo 1 1 LO Yo To Yo Perreur relative est donc la somme des erreurs relatives et du produit des erreurs relatives on peut souvent n gliger le produit devant la somme Il faut aussi y ajouter une erreur relative d arrondi de 2753 sur xoyo On observe que la multiplication est une op ration posant moins de probl mes que addition car on manipule toujours des erreurs relatives par exemple si er reur relative sur deux doubles x et y non nuls est de 2753 alors l erreur relative sur xy sera de 2 53 2 53 2 106 9 323x979 Lorsque l erreur relative sur les donn es est grande devant 2793 l erreur relative d arrondi final est n gligeable on peut alors dire que les erreurs relatives s addi tionnent pour un produit c est aussi vrai pour un quotient exercice Par contre si on additionne deux nombres dont le repr sentant de la somme est proche de 0 la somme des erreurs absolues peut devenir non n
479. ur chaque composante une quation diff rentielle lin aire d ordre 1 avec un ventuel second membre Remarque il y a un lien avec la section pr c dente En effet une quation d ordre n peut s crire comme un syst me diff rentiel d ordre 1 on peut calculer le polyn me caract ristique de la matrice on retrouve alors l quation caract ristique Inversement toute matrice admet un polyn me P annulateur tel que P A 020 le polyn me caract ristique de A est un polyn me annulateur th or me de Cayley Hamilton Les composantes des solutions du syst me diff rentiel sont des solutions de l quation diff rentielle dont l quation caract ristique est P x 0 En effet 0 P A y prA y gt pry k 0 k 0 Exemple en dimension 2 Soit A A en d duit y puis y2 Supposons donc b 0 alors Sib 0 alors of ay on P x z z a d ad be on peut v rifier que P A 0 donc si y Ay alors yi a d y ad bc 0 et ya s en d duit avec y ay by2 on peut du reste partir de cette relation pour tablir l quation d ordre 2 v rifi e par y1 On peut ainsi r soudre tous les syst mes de dimension 2 m me si la matrice A n est pas diagonalisable Exercice R soudre de cette mani re le syst me desolve y 1 21 2 111x y y 0 1 2 1 Remarque allure des courbes en dimension 2 Si on se place dans le rep re propre en prenant les vecteurs propr
480. urs possible de trouver une forme normale pour diverses raisons th oriques ou pratiques on ne connait pas toujours le statut de certaines constantes par exemple la constante d Euler il n existe pas d algorithmes permettant de d terminer s il existe des rela tions alg briques entre constantes iln existe pas forc ment une seule forme plus simple par exemple V2 De 1 _ e y2 1 e V2 1 V2 1 z 1 Ce cas se pr sente fr quemment avec les extensions alg briques en pratique il peut tre trop co teux d utiliser une forme normale par exemple le polyn me ee 1 poss de 1000 mon mes En r sum au mieux on a une forme normale au pire on risque de ne pas recon na tre un z ro entre les deux on peut ne pas avoir de forme normale mais tre capable de reconna tre coup s r une expression nulle par contre si le syst me de calcul formel d termine qu une expression est nulle alors elle l est Il n existe pas d algorithme solution pour le probl me de la reconnaissance du z ro pour une classe d expressions assez g n rale Heureusement dans la plupart des cas pratiques on sait r soudre ce probl me en se ramenant le plus souvent au cas des polyn mes et fractions rationnelles Par exemple pour simpli fier une expression trigonom trique on remplace les fonctions trigonom triques sin x cos x tan x par leur expression en fonction de t tan x 2 on est ainsi ramen une fr
481. us Argument Un polyn me P coefficients dans Z pZ de degr k dont tous les fac teurs irr ductibles sont de degr d Valeur renvoy e la liste des facteurs irr ductibles de P Sik d renvoyer une liste contenant P D terminer un polyn me T al atoire de degr inf rieur ou gal 2d 1 et de coefficient dominant 1 Calculer le pgcd D de P et de T p 1 2 _ 1 Si le degr de T est gal 0 ou k recommencer cette tape Appeler r cursivement cet algorithme avec T et P T et renvoyer la liste r union des deux listes renvoy es Exemple Cassons le polyn me de degr 6 obtenu dans l exemple pr c dent modulo 5 Donc P 1 4 2x25 2 x 2 mod 5 etd 3 2d 1 5 p 1 2 62 On choisit au hasard un polyn me de degr inf rieur ou gal 5 par exemple T x 23 2 1 puis on calcule T modulo P ce qui donne x 2 27 1 mod 5 puis le pged de T 1 et de P qui vaut x x 1 mod 5 on a donc cass P en deux En prenant T x 2 x 2 on trouve T 1 mod P donc ce T n aurait pas permis de casser P 16 2 4 La m thode de Berlekamp Cette m thode permet de factoriser un polyn me sans facteurs multiples elle peut aussi servir casser des groupes de facteurs de m me degr Ici on travaille dans l anneau des polyn mes coefficients dans Z pZ modulo le polyn me P et on s int resse au noyau de y Id o p x gt xP On suppose que P 12915 o
482. ut param trer par x alors fav fav ac vtt Verte y TO De m me si on peut param trer par y On recolle alors les morceaux d arcs on peut param trer par x ou par y en tout point r gulier de y Pour une force qui d rive d un potentiel on a donc montr que le travail de la force se calcule en faisant la diff rence de potentiel entre les deux extr mit s Cette propri t analogue au calcul d int grale classique en utilisant une primitive n est pas automatique car elle implique que l int grale curviligne ne d pend pas du chemin choisi pour relier les deux points Or en thermodynamique la chaleur est mod lis e par une forme diff rentielle mais la chaleur chang e d pend du chemin suivi c est vrai aussi en m canique pour le travail de forces non conser vatives comme les forces de frottement En math matiques on parle de forme diff rentielle exacte ou non exacte D finition 19 Une forme diff rentielle w est exacte s il existe une fonction V telle que sur tout arc de courbe y d origine et extr mit B fo V B V 4 ds Attention la convention de signe est oppos e celle utilis e pour le potentiel d une force en physique Si on choisit comme chemin un segment entre deux points A et B d ordonn es identiques y et d abscisses x et x h alors ath Mdzx Ndy V x h y V x y en faisant tendre h vers 0 on a V x h y V x aV De m me N 0 V R ciproquemen
483. ut servir calculer les B On en d duit aussi que l esp rance de k selon cette loi vaut ng somme de n variables d esp rance x et l esp rance de k nx vaut nx 1 x variance de la somme de n variables ind pendantes de variance x On en d duit qu on peut approcher uniform ment une fonction continue sur un intervalle a b par des polyn mes en se ramenant a 0 b 1 on pose En effet par continuit uniforme de f sur 0 1 pour e gt 0 il existe 6 gt 0 tel que jx y lt f x f y lt 2 dans Pata f UE IB k 0 on d compose la somme sur k en deux parties k n x lt det k n x gt pour la premi re somme on majore f f par e 2 puis par Py pour la deuxi me somme on majore par 2 f et on utilise 1 lt k n x 62 1 n 8 k nx pour se ramener au calcul de la variance de k au final Pa e fa lt one 2 flee 2 n202 il suffit de choisir n assez grand pour rendre le membre de droite plus petit que e Les polyn mes de Bernstein ne sont pas des polyn mes interpolateurs aux points k n 0 lt k lt n et la convergence n est pas forc ment tr s rapide On 246 les utilise pour approcher rapidement des morceaux de courbes si on se donne des points de controle Apo An on construit la courbe param tr e n n WG nAn t A t gt Ae Joa x k 0 appel e courbe de B zier En prat
484. utilise la matrice de Sylvester pour prouver que l algorithme du sous r sultant est correct Rappelons que le sous r sultant d finit les suites A Ao A A1 B dy le degr de Az k dk dk 1 gk go 1 si k 0 gx coefficient dominant de Ax Ry ho 1 heya ta et E a ge Ar1 ArQuii 91h k 1 Th or me 9 Le r sultant est gal au signe pr s au coefficient hy o k correspond au reste Ay constant en supposant que le r sultant soit non nul Preuve La transcription de l galit pr c dente sur les r sultants donne par la m thode ci dessus ea di te eee a oF 1 DdkRes Ay_1 Ak gp Res g 1hy 1 Ak 1 Ax did TA Ik ds gr 1h WRes Ax 1 Ak 63 On en d duit que Res Aj_1 Ax ER de dei x 1 lde ride 1 de 1 Reg A A de pal Ik k 1 k 1 Ak 9x1 1 On observe que 2 dg 1 p r 1deti dr 1 os poe 1 D de 1 _ le det _ Ik j k 1 TU k 1 k 1 hk donc Oise dx 1 Res Az 1 Az RS ts Se Sr sl An _ go 1d 41 9 1 1 dz k Res Ay11 Ap k h k 1 hk Jk 1 1 d d dy 1 AE gtk dra Res Az 1 Ax Res Ax 1 Ar ge po 1 Donc en valeur absolue Res 4o Ay g pee Res Az 1 Ax pl CL En prenant le rang k tel que A est constant on a dx 0 et le r sultant est gal de i 9 on obtient donc git Res Ao 41 k 1 Comme ici 6 1 dg_1 le terme de droite est hz Remarque On peut calculer au fur e
485. ux r soudre cette quation que A Ax A b car le conditionnement de cette derni re est le carr du conditionnement de le nombre d op rations est multipli par une constante car QR a une constante plus grande que Cholesky mais le r sultat est plus pr cis 20 9 2 M thodes it ratives de Jacobi Gauss Seidel relaxation Lorsqu on a une matrice creuse peu d l ments non nuls l algorithme du pi vot de Gauss a tendance a densifier rapidement la matrice r duite surtout avec le pivot partiel o on ne controle pas le nombre de z ros de la ligne contenant le pivot Il peut alors tre int ressant d utiliser des m thodes alternatives ne faisant intervenir que des produits de matrice donnant ventuellement un r sultat seule ment approch Par exemple pour calculer l inverse d une matrice A M N avec M facile inverser par exemple diagonale et N petit en norme et creuse on peut crire AT M N 1 MUI M N 1 I M IN M IN M7 227 De m me pour r soudre un syst me lin aire Ax b avec A M N on consid re la suite Ma 41 Na b donc x41 est obtenu en r solvant le syst me MIn 1 b NZp 2 0 pour laquelle on v rifiera les hypoth ses du th or me du point fixe il suffit par exemple de v rifier que la plus grande valeur singuli re de MIN est strictement plus petite que 1 Lorsque la matrice N n est pas creuse le proc d est int ressant pour r soudre app
486. vVl zx 2 In 1 2 In 1 1 2 1 5 lorsque x est proche de 1 x 1 x est proche de x 2 on a presque divis par 2 Attention toutefois on se retrouve alors avec une s rie non altern e mais on peut utiliser 55 pour majorer le reste dans ce cas trouver une valeur approch e yo de In 1 x une pr cision faible par exemple 1e 4 et utiliser la m thode de Newton pour am liorer la pr cision Soit en effet y In 1 x alors e 1 x on pose f y e 1 2 on utilise la suite it rative eu 142 e n Un 1 Yn Comme yy est proche le 4 de y on peut esp rer avoir une valeur appro ch e de y le 16 en 2 it rations Notez que y est proche de 0 on est dans un domaine o le calcul de e est rapide et pr cis et de plus la m thode de Newton corrige les erreurs interm diaires Nous sommes donc en mesure de calculer pr cis ment le logarithme In 1 x pour disons x lt 1 2 Pour calculer In sur R on se ram ne 1 2 en utilisant l criture mantisse exposant puis si x 3 2 2 on peut en prendre la racine carr e pour se retrouver dans l intervalle souhait On peut aussi effectuer une division par 2 Remarquons que si x est connu une erreur relative e pr s comme m x 1 In x In l e ln x est connu une erreur absolue de In 1 e Si ln x est proche de 0 on a une grande perte de pr cision
487. valeurs propres de module sous dominant En g n ral cette somme se r duit au seul indice 7 n 1 et Ax 41 Az se comporte comme une suite g om trique de raison x x on peut alors estimer I erreur par Ak 1 Ar Rese Ane k 1 k 17 k Ag nl Se Skato 7 Mais cette estimation n est plus correcte s il y a plusieurs indices 7 sous dominants cas par exemple d une paire de valeurs propres conjugu es pour une matrice r elle Exercice tester la convergence de vy A v vers l espace propre associ 3 pour la matrice 1 1 2 4 et le vecteur v 1 0 Attention ne pas calculer A pour d terminer vx utiliser la relation de r currence Si on n observe pas de convergence ou si elle est trop lente alors n 1 est proche de z ou gal il est judicieux de faire subir la matrice un shift on remplace A par A AJ On peut prendre A al atoirement ou bien mieux faire des it rations inverses sur A AJ si A est une estimation d une valeur propre voir les it rations inverses ci dessous Lorsqu on applique cette m thode a une matrice r elle il peut arriver quil y ait deux valeurs propres conjugu es de module maximal On peut appliquer la m thode ci dessus avec un shift complexe non r el mais on doit alors travailler en arithm tique complexe ce qui est plus couteux Le m me type de raisonnement que ci dessus montre que pour k grand vz est presque colin aire
488. vers 0 pour oo donc y tend vers 0 ou 1 et comme y croit y 0 en t ooet y 1 ent 00 Le comportement l infini est donc ind pendant de la valeur pr cise de la condition initiale pourvu qu elle soit dans 0 1 Exercice toujours pour y y 1 y que se passe t il pour une condition initiale y to gt 1 12 3 Quelques m thodes de r solution explicite 12 3 1 Equations variables s parables Si on peut factoriser f y t en termes ne d pendant que de y ou ne d pendant que de t on dit que l quation est variable s parable et on int gre y f y t g t h y gt os ES dt On obtient une quation implicite de la forme H y G t C o G est une primitive de g H de 1 h et C une constante arbitraire Dans les cas favorables on 19 En toute rigueur il faut prouver que la solution maximale est bien d finie sur R tout entier Soit tm tm l intervalle maximal de d finition de la solution Si tag 4 00 alors en int grant y qui est born sur to t M on obtient une valeur finie pour la limite en tm de y t on peut alors prolonger y t autour de tm en appliquant le th or me de Cauchy Lipschitz en t tm ce qui est contradictoire avec l hypoth se de maximalit Donc tmy 00 et de m me tm 00 110 peut exprimer y en fonction de t par exemple si quation est lin aire sans second membre on a h y y donc H est le log que l on sait inverser Dans les cas mo
489. xistaient pas encore et les parti culiers n avaient pas d ordinateurs ni de t l phone portable cela doit paraitre in croyable a un lyc en actuel pourtant cela fait 4 peine plus de 30 ans On pouvait programmer le calcul d une fonction pour faire un tableau de valeurs par une suite d op rations ressemblant un peu a de la programmation en langage assembleur avec quelques r gistres pour stocker des r sultats interm diaires et un nombre tr s limit de m moires et de pas de programmes environ 50 instructions J ai ensuite appris 4 programmer sur un Apple II en Basic puis en assembleur puis en Pascal sur un PC compatible IBM avec 512K de RAM pour plus de 10kg mais sans jamais essayer de logiciels de maths tout cela en amateur puisque je faisais mes tudes de maths conclues en 1992 par un doctorat en physique math matique a Orsay je n ai donc jamais suivi un seul cours d informatique ni m me de cours ot on utilise l outil informatique j ai sans doute perdu quelques enseignements utiles mais je n ai pas t d form par l enseignement de certains je pense par exemple ceux qui n ont jamais crit de gros programmes et pr conisent de ne pas utiliser break ou return dans une boucle alors que cela rend le code beaucoup plus lisible que d ajouter un bool en artificiel ou qui sont incapables de mettre au point un programme Je n avais donc jamais entendu parler de calcul formel avant 1993 et c est G
490. xo xx est ind pendant de l ordre des x on peut donc partir du tableau ci dessus crire P par exemple avec l ordre 2 1 0 sous la forme P x 1 4 2 2 1 x 1 1 1 a 2 zx La commande Xcas interp ou son synonyme lagrange effectue ce calcul Pour avoir les diff rences divis es on peut cr er le programme suivant dd X Y Algorithme des diff rences divis es local k 1 n A old cur si size X size Y alors return erreur fsi n size X 1 A Y 0 old Y pour k de 1 jusque n faire 243 calcul de cur en fonction de old cur pour 1 de 0 jusque n k faire cur 1 o1d 1 1 o1d 1 X 1 k X 1 fpour A k cur 0 old cur fpour retourne A ho N B pour rendre ce programme optimal il faudrait utiliser l affectation en place 21 1 4 Sensibilit aux erreurs sur les donn es Si les y sont connus avec une certaine erreur alors le polyn me d interpolation j est connu de mani re approch e Plus pr cis ment si on note Tk Tj Tk KAIS le j gme polynome de Lagrange valant 1 en x et 0 ailleurs l erreur vaut gt Gj gra j Si Perreur relative sur les y est major e par e l erreur sur le polyn me d interpo lation est major e par emax y X m x j il y a amplification de l erreur par un facteur major par n MAX 5 ab IT x j 0 Ce facteur s appelle constante de Lebesgu
491. y x y 0 on parle de point d inflexion analytique Exemple point d inflexion en 0 de t3 7 1 t2 1 12 2 La courbe admet deux autres points d inflexion t 3 16 ett 1 31 qu on peut d terminer avec les commandes Xcas suivantes X x 3 x 2 1 Y x 1 x 2 2 fsolve X xY X xY x Note on note x comme param tre pour pouvoir utiliser la notation pour d ri ver si on utilise t comme param tre il faut utiliser diff t pour calculer la d riv e par rapport t On observe que la convexit est presque une propri t g om trique en effet si on change de param trage dx dz C Ses dt ds on d rive par rapport dx r n2 dz _ aed s Cass Agee ds puis dx dy dy dy du dx dx dy dy d x A eee 12 2 12 WY ISPS LOA AD PU TY EU a ds FA PL aa e Cas d3 ds ds on retrouve en facteur s qui est positif si on parcourt la courbe dans le m me sens ou n gatif sinon La convexit d crit qualitativement la g om trie de la courbe l ordre 1 On verra plus loin que le rayon de courbure d crit quantitativement la g om trie de la courbe l ordre 2 comme la tangente d crit la g om trie de la courbe l ordre 1 Dans le cas d un point singulier Y 0 si 0 alors la tangente est port e par 7T L tude compl te de la nature d un point singulier ou de la convexit d un point r gulier tel que est colin aire W
492. yn mes de degr M une multipli cation coefficient par puissances 4M op rations et au calcul des deux DFT de Q Ret R Q Si N 2 on v rifie que cela n cessite O n2 op rations donc N In N op rations On appelle alors FFT cette m thode de calcul DFT FFT si N2 Elle se g n ralise des N qui ne sont pas des puissances de 2 264 23 3 Applications La DFT peut servir trouver des p riodes dans des donn es exp rimentales da t es On peut par exemple le voir sur des enregistrements de son par exemple avec le logiciel libre audacity mais dans bien d autres domaines par exemple si on l applique aux donn es issues des pal oclimats on voit apparaitre les p riodicit s des param tres orbitaux de la Terre en phase avec la th orie de Milankovitch En calcul exact la FFT permet d obtenir une complexit optimale pour calculer des produits de grands entiers ou de polyn mes en une variable Voir par exemple la session mult fftdu menu Aide Exemples arit de Xcas 24 Le rayonnement solaire 24 1 L insolation au cours de l ann e Pour connaitre la quantit d nergie recue un moment donn il faut calculer langle entre la verticale du lieu et la direction du Soleil Plus g n ralement on va calculer les composantes du vecteur Terre Soleil et les composantes des vecteurs de la base locale verticale locale direction du Sud et direction du parall le On choisit d abord comme r f rence le
493. yst me triangulaire sup rieur Comparaison avec la r duction compl te sous forme chelonn e de A b 211 La factorisation LU peut reservir plus tard pour r soudre le m me syst me lin aire avec un autre second membre Avec rre f il faut d s le d part mettre tous les vecteurs colonnes second membre a A Le nombre d op rations pour r soudre un syst me n n est moindre La r duction sous diagonale n cessite de r duire les colonnes 7 de 1 n 1 avec pour r duire la colonne 7 n j combinaisons lin aire de lignes ayant n 1 j coefficients non nuls soit Do n 1 2 n j n 1 j 2 3n O n op rations 1 multiplication et 1 soustraction par coefficient La r solution des syst mes triangulaires est en O n Le calcul est plus favorable au cache m moire puisqu on travaille sur une portion de plus en plus petite de la matrice On peut inverser une matrice en utilisant la d composition LU Supposons pour simplifier que la permutation est l identit On calcule d abord L en utilisant le fait que L est triangulaire inf rieure voici comment cela est impl ment dans Xcas L est not 1 first step compute 1 1 solve lxa y for y a canonical basis vector a0 y0 al yl 1l_ 1 0 xa0 ak yk sum_ j 0 k 1 1_kj aj if y 0 0 1 0 0 1 at position i aQ a_ i 1 0 a_i 1 and we start at equation k i 1 and sum_ j i gt n 3 6 operations To store the r
494. z si cette limite est finie et vaut b on a une asymptote oblique y ax b on peut d terminer la position en cherchant le signe de y ax b Exemples A 1 ESA Pp 1 1 t it 9 tit t t 1 ayy aq 272 a t 1 On peut utiliser la commande 1imit dans Xcas pour tudier une asymptote par exemple dans le premier cas pour tudier la branche infinie pour t gt 00 x t i t 2 t 1 y t 8 1 t 2 1 a limit y t x t t 1nf limit y t a x t t inf 8 4 2 Etude locale On se place en une valeur de ty o x et y sont continument d rivables au moins deux fois On notera la d rivation par rapport au param tre par le signe en phy sique on utilise aussi le point On a alors un d veloppement de Taylor l ordre 2 86 du vecteur M to M to h zlto h z to ylto h ylto 2 hla to y to a ta Y 19 o tz et ty sont compris entre to et ty Si le vecteur vitesse v x to y to est non nul on en d duit un quivalent M to M to h h 2 to y to Lorsque h est proche de 0 le vecteur M to M to h est quivalent un vecteur colin aire Y x to y to qui est donc vecteur tangent la courbe en x to y to D finition 12 On appelle point r gulier d une courbe param trique un point o la vitesse Y t lt t y t est non nulle En un point r gulier la courbe est tangente au vecteur vite

Algorithmes de calcul formel et numérique

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