X - Centre de Morphologie Mathématique
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1. Inf des longueurs des chemins d extr mit s x et y inclus dans X si aucun chemin n existe dy est une distance daat 0 x y ME dx x z lt dx x y 7 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 25 BOULES GEODESIQUES L introduction d une distance Bx 2 g od sique permet de d finir la notion de boule g od sique 2 dy z y lt Quand le rayon augmente la fronti re des boules dessine un front de propagation dans le m dium X Pour un rayon donn les boules Bx peuvent s interpr ter comme des l ments structurants dont la forme varie de place en place O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech PARTICULARIT S DES BOULES G OD SIQUES X espace g od sique Attention Une boule g od sique de rayon r et implant e au point y peut contenir une autre boule B z r de rayon r et implant e en z m me si r r O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 27 DILATATION GEODESIQUE ENSEMBLISTE Y La dilatation g od sique de taille A de Y dans l espace g od sique X est d finie par X x ox Y v Bx y Vert 8 Y Ixex B o Ys est croissante et extensive est galement croissante lorsqu on la consid re comme une transformation appliqu e l espace g od sique X Y fix Xc X S Y c 8 Y O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 282. e Zone d influence Z X de X ensemble des points plus proches de X que de toute autre composante connexe de X z X x Vj i d x X lt a x O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 120 CONSTRUCTION DU SKIZ Le SKIZ est construit l aide d paississements homotopiques combin s un op rateur liminant les barbules L paississement sur la trame hexagonale est r alis avec M indispensable dans le cas une composante connexe est r duite un point et l barbulage avec un l ment structurant not E 0 0 Es M 0 E 101 1 11 Le SKTZ n est pas une transform e homotopique les trous des composantes connexes sont limin s L algorithme par paississements engendre quelques biais O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 121 AMINCISSEMENTS PAISSISSEMENTS G OD SIQUES On peut d finir des amincissements et paississements g od siques Les l ments structurants sont d finis l aide de boules et de distances g od siques Ces l ments structurants ne sont pas rigides mais d formables P 1 O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 122 SKIZ G OD SIQUE Ensemble Y form de composantes connexes et inclus dans un espace g od sique X Zone d influence d une composante connexe ensemble des points de X une distance g od sique finie de la composante connexe et plus proche de celle ci que de tout autre composante connexe X X d x Y lt
3. O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 207 MYOPIE DES CASCADES Image hi rarchique h en rouge En gris les contours qui sont limin s par l algorithme des cascades Trois diff rents types de contours supprim s apparaissent 1 Contours dont l altitude est sup rieure ou gale h 2 Contours dont l altitude est inf rieure h mais plus proche de l image hi rarchique h que de 0 3 Contours dont l altitude est proche de 0 Seule la suppression du dernier type de contour se justifie O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech SES UN PREMIER ALGORITHME AL arl amm LPE initiale s Image hi rarchique h bet s w h Contours analyser Contours restitu s Segmentation finale Segmentation s initiale Contours restitu s et Segmentation finale s et contours analyser contour supprim O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 209 LIMITATIONS ET ALGORITHME P Dernier niveau JAMAIS vide Proc dure auto bloquante ERES Lorsque des maxima de l image hi rarchique apparaissent la LPE 2 les fait dispara tre transform e semi homotopique Ils ne contribuent plus la gen se des 4 hi rarchies R sultat final de l algorithme standard L algorithme P Une variante un bogue de l algorithme standard consiste comparer la hauteur des contours de s au lieu de s h e R introduction de contours d j limin s Ces contours sont l int rieur
4. DEFINITION D UN GRAPHE LPE ASSOCIEE D finition d un nouveau graphe e ia ses sommets correspondent aux arcs du gradient e M e mosaique 1 ses ar tes joignent tous les arcs entourant le 29 m me bassin versant chaque sommet est valu par la valuation de l arc d finie dans le gradient mosaique e Ga o gt z m me bassin versant sont adjacents Des arcs minimaux peuvent donc tre connect s bien que ce ne soit pas le cas dans le gradient mosaique comme illustr ci dessus les sommets en jaune correspondent des arcs minimaux EA Dans cette repr sentation les arcs entourant le 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech pH DEFINITION D UN GRAPHE ET LPE ASSOCIEE 2 Les contours les plus significatifs de Ki L w 6 is x i l image mosaique correspondent x 5 r e 4 o E mn ceux s parant des r gions marqu es FE EA e o a a a par des arcs minimaux Ils sont les Les lignes de partage des eaux de la LPE P 2 e 4 LA lt K r r r AUS d finie sur le graphe pr c dent Ek 7 gt d o d d B v amp e S amp e AS WS 9 KA Inondation l re tape 2 me tape deux BV 3 me tape premiers en bleu en bleu et vert Barrages en rouge 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 172 DEFINITION D UN ET LPE ASSOCIEE 3 Arcs du gradient mosaique correspondant aux lignes de partage des eaux 4 me tap e
5. ZY et Vj i d x Y lt d 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 123 SKIZ G OD SIQUE CONSTRUCTION SKIZ Y3 Y4 R gion non atteinte avec l l ment L L utilisation de l l ment structurant M est indispensable pour assurer la propagation dans les r gions de X de faible paisseur O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 124 R SIDUS NUM RIQUES On peut d finir en num rique des r sidus l mentaires par diff rence entre deux transformations w et avec lt y Les exemples les plus courants de r sidus l mentaires num riques sont le gradient morphologique et la transform e chapeau haut de forme e Gradient morphologique demi gradients I g et I Transform e chapeau haut de forme I y O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 125 R SIDUS EN MORPHOLOGIE NUM RIQUE On peut tenter d tendre aux fonctions les d finitions des r sidus ensemblistes Cette extension fait apparaitre certaines difficult s La diff rence d ensembles et la soustraction de fonctions ne sont pas vraiment quivalents Plusieurs r sidus diff rents peuvent apparaitre en un point x probl me de la d finition de la fonction associ e __ Des r sidus apparaissent pour diff rentes valeurs de i 126 O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech TRANSFORM ES R SIDUELLES NUM RIQUES D FINITION D finition bas e sur l observation de l volution ver
6. e Le squelette est anti extensif et idempotent n est pas croissant S X c X 5 5 s x X c Yn impliquepasS X c S Y Cependant la propri t suivante est vraie 5 S X Vn gt 0 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 94 PROPRI T S DU SQUELETTE PAR BOULES MAXIMALES Contrairement la plupart des op rateurs morphologiques la squelettisation est une op ration inversible L ensemble X ainsi que ses rod s ses dilat s et ses ouverts peuvent tre construits partir du squelette et de la fonction d extinction uy X X u amp s X v8 s X o x Ue s x La transformation r versible fournit une autre repr sentation de X La donn e de X ou du doublet S X q sont quivalents O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 95 R VERSIBILIT DU SQUELETTE Squelette P LE ib Boule max 5 Boule max 4 Boule max 3 Boule max 2 Boule max 1 Ensemble O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech PROPRI T S SUITE La donn e de S X et de q permet de construire galement e X 8 077 5 X eles dilatations de X ii 8 x Us s 09 les ouvertures de X X Us S X on ne peut pas reconstruire les fermetures Pourquoi e les rosions de X L rod ultime est toujours un sous ensemble du squelette par boules maximales L rod ultime correspond aux centres des boules maximales ultimes O 2014 Serge BEUCHER Mines Par
7. idempotence Y Sz X Y Ox Y Rx Y Cet op rateur permet la reconstruction de toutes les composantes connexes de X marqu es par reconstruction de X par Y 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 32 RECONSTRUCTION ET OUVERTURE A X donn la reconstruction g od sique de X par Y est une fermeture par rapport Y Mais si on consid re cette reconstruction comme une op ration sur l ensemble X variable pour un Y fix alors cette transformation est une ouverture O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech USAGES DE LA RECONSTRUCTION Si Y est un point isol P ouverture ponctuelle analyse individuelle de particules Si Y est une rosion ou une ouverture Ouverture par reconstruction Si Y est l intersection du bord de l image avec X S lection des composantes connexes de X touchant le bord de l image Si Y est l intersection du bord de l image avec le compl mentaire de X gt Reconstruction du fond O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech ANALYSE INDIVIDUELLE DE PARTICULES Algorithme Tant que l ensemble n est pas y vide extraire y premier point de X ordre de balayage vid o ou autre X Z Ry reconstruction de X par y Analyse de Z X X Y diff rence J 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech FILTRE PAR ROSION RECONSTRUCTION rosion supprime
8. CONTROLEE PAR DUNS Segmentation de route gradient D NA Image originale LPE contr l e par marqueurs du marqueurs gradient 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech LPE CONTROLEE PAR MARQUEURS ALGORITHMES Inondation niveau par niveau u M ensemble marqueur Wi SKIZ W ZHUM il Cet algorithme est plus simple que l algorithme classique il n y a pas de d tection de minima Files d attentes hi rarchiques vlv v Un jeton au niveau i j niveau FT courant peut appara tre Dans ce I E cas il est trait comme un jeton d au niveau j la file de niveau I i j n existant plus Avec la LPE contr l e par marqueurs le d bordement est la r gle et non plus l exception O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 1 RECONSTRUCTION GEODESIQUE RAPPEL La reconstruction g od sique est largement utilis e en morphologie math matique d tection d extrema minima maxima filtrage ouvertures et fermetures par reconstruction ligne de partage des eaux modification d homotopie cascades R f 5 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 75 RECONSTRUCTION GEODESIQUE 2 La reconstruction g od sique est capitale pour r aliser et comprendre la ligne de partage des eaux Une reconstruction duale peut galement tre d finie elle utilise les rosions EN X v od siques O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 76 MODIFICATION D HOMOTOPIE Swamping
9. DILATATION G OD SIQUE DIGITALE Quand E est un espace m trique digital et quand x d signe la dilatation par une boule unitaire centr e au point x alors la dilatation g od sique unitaire est d finie par la relation SY 6 Y X La dilatation de taille n s obtient par it ration Y 8 8 8 Y oX oX X am eco Notons que les dilatations g od siques ne sont pas invariantes par translation EN 7 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 29 EROSION GEODESIQUE L rosion g od sique est d finie par e Y lyeY B vy c Y Elle peut se d finir par dualit par adjonction ou par compl mentation Le compl ment est d fini par rapport l espace g od sique X Y X V Y X YO eV X amp XV Y L rosion g od sique digitale l mentaire s crit alors ex Y E X UY NX est l rosion euclidienne l mentaire O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 30 EROSION G OD SIQUE CONSTRUCTION EY XV6 X Y X 5 X NYONX C ey Y Xo 0 X0Y9 P0X Gett gy Y Xne X UY X U Y g X LU Y Cette formule n est pas utilis e en pratique car elle n cessite le compl mentaire X de l espace g od sique qui n est pas toujours accessible en particulier quand X est identique au champ d analyse O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 31 RECONSTRUCTION GEODESIQUE It ration de dilatations g od siques jusqu
10. La hi rarchie de niveau sup rieure s obtient simplement en liminant les contours pr sentant une ZPD dans la segmentation Simple Mais FAUX Les ZPD la fronti re des zones de partage des eaux doivent tre gard es Mais trouver les zones de LPE n cessite la construction de la hi rarchie O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 199 BV ARCS SIGNIFICATIFS ET RECONSTRUCTION Le processus pr c dent ne fonctionne pas si on part de n importe quel bassin Cependant on remarque que l inondation finit par atteindre les BVs significatifs ha w Les inondations successives g n rent les sous bassins versants associ s chaque BV inondation juste avant le d bordement par la zemes selles ZPD Cette construction peut tre r alis e directement par une reconstruction duale de la fonction initiale par les ZPD 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech SES RECONSTRUCTION ET IMAGE HIERARCHIQUE Au lieu d utiliser les ZPD difficiles mettre en vidence l ensemble des lignes de partage des eaux peut tre utilis Le r sultat sera identique car la ZPD est la r gion bordant le bassin versant l altitude la plus basse f fonction initiale d finissons g x f x si et seulement si x appartient aux lignes de partage de f g X max sinon e h R g r sultat de la reconstruction duale de f par g encore appel e image hi rarchique W h LPE de h
11. entre eux 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 194 CONNEXIT DES ESPACES DIGITAUX Dans le cas digital la d finition de l homotopie d pend de la donn e d une connexit par arcs Or il n est pas trivial de d finir combien de composantes la figure suivante poss de faut cnoisir aes regies ae connexion portant sur 1es configurations diagonales pour que la connexit r alis e ait une structure de graphe planaire O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 108 CONNEXIT MAILLE CARR E En maille carr e deux types de connexit sont possibles 8 connexit pour es ensembles 8 connexit pour les nmm T ensembles et 4 connexit pour le fond 4 cunnexit le fond 4 connexit pour les ensembles et 8 connexit pour le fond 4 cunnexit pour les ensembles Cette structure est tr s p nalisante et complique les op rateurs topologiques pour le fond 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 109 CONNEXIT EN TRAME HEXAGONALE En trame hexagonale on peut d finir une 6 connexit A la fois pour les formes connexit pour pour le fond les ensembles 4 Simplification des algorithmes moins de voisins et configuration le fond auto duale En pratique la maille hexagonale peut tre construite partir de la maille carr e O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech Eg AMINCISSEMENTS HOMOTOPIQUES On peut ana
12. 1 avec m D Z D R Z 0 Le SKIZ simule la d p Z D propagation de l inondation 1 R est la reconstruction g od sique sans m lange des eaux O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 2s ALGORITHMES DE L P E l algorithme classique SKIZ avec des paississements en rotation L usage d l ments structurants en rotation dans le SKIZ g n re une inondation des plateaux non isotrope files d attente hi rarchiques ordre a priori d fini dans la file gu Y Les jetons appartenant la m me pile devraient tre trait s en m me temps 3 L PE bas e sur des graphes La plupart des algorithmes de LPE sont biais s O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 64 BIAIS ET INEXACTITUDES AU SUJET DE LA LPE Pour diverses raisons complexit vitesse de traitement paresse les algorithmes de LPE sans biais sont rarement utilis s Comparaison entre une LPE exacte gauche et le r sultat d un algorithme classique A cause de ces biais la LPE n est pas UNIQUE elle devrait l tre Ces biais peuvent avoir de spectaculaires cons quences pour les approches hi rarchiques bas es sur la comparaison de bassins versants adjacents O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 65 BIAIS ET INEXACTITUDES AU SUJET DE LA LPE 1 La ligne de partage des eaux ne peut pas tre construite en simulant l coulement de gouttes de pluie ruisselant sur la surface topographique ruisselement A OUBLIE
13. LPE finale 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 193 D UN GRAPHE 3D A UN GRAPHE PLANAIRE Le graphe d fini pr c demment est un graphe valu 3D pas facile zd manipuler Ce graphe peut tre transform en un graphe planaire gr ce la proc dure suivante Un nouveau sommet est ajout l int rieur de chaque bassin versant Les ar tes pr c dentes sont remplac es par deux ar tes successives reliant les sommets originaux en passant par le nouveau sommet La valuation du nouveau sommet est donn e par min v O les vij sont les valuations des arcs entourant le bassin versant 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech e REPRESENTATION SOUS FORME D IMAGE L image hi rarchique E w er Une image nomm e image hi rarchique peut tre construite partir du graphe planaire Les bassins versants du gradient mosaique sont remplis avec des valeurs de gris correspondant aux valuations des nouveaux sommets ajout s La LPE de l image hi rarchique fournit le niveau de hi rarchie sup rieur avec quelques restrictions O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech ZONES DE PREMIER DEBORDEMENT ZPD Appel es aussi improprement zones selles Les ZPD n ont rien de commun avec les zones selles classiques Ce n est pas une notion locale et comme la LPE il n y a aucun moyen de savoir a priori si un point donn appartient ou non une ZPD Premier d bordement Notion de sous bassi
14. La diff rence f R f c fournit les Original maxima tendus de hauteur au moins gale cdef R sultat e Les maxima M R f c peuvent tre d termin s e Les maxima initiaux M f de hauteur c de f sont alors gaux M f M f o M R 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 53 RECONSTRUCTION D UNE FONCTION PARTIR DE MARQUEURS Marqueurs initiaux On peut reconstruire une fonction partir v de n importe quel ensemble de marqueurs pas uniquement les maxima Cette op ration est une modification d homotopie ne sont conserv s partiellement que les d mes marqu s La reconstruction est partielle Reconstruire compl tement les d mes qui n ont pas t compl tement aras s peut se faire par Maxima de la fonction f l algorithme d crit pr c demment Reconstruction Maxima de la reconstruction Reconstruction de f partir de ses maxima inclus dans les maxima de la reconstruction pr c dente O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 7 DISTANCE G OD SIQUE G N RALIS E La distance g od sique entre x et y est gale la longueur du chemin minimal C entre deux points Cette longueur peut galement tre exprim e en temps de parcours L C ds v dt vT C Cay Cay Lorsque la vitesse v est constante le temps de parcours total T C du chemin peut tre pris en compte pour mesurer sa longueur Si la vitesse n est pas constante mais est remplac e
15. SQUELETTE L 1 S Cet amincissement est souvent appel squelette car lt a lest connexe lest construit l aide d un algorithme de propagation Le r sultat ressemble un squelette Cependant il pr sente de nombreux d fauts O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 116 D FAUTS DU SQUELETTE L ne contient pas le squelette par boules maximales e r sultat final diff re selon la s quence d l ments structurants Ce squelette peut tre tr s pais Le r sultat est souvent biais et les biais peuvent tre tr s importants O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 117 EXEMPLE SQUELETTE CONNEXE NON BIAIS Squelette par boules Squelette connexe maximales contenant le squelette par boules maximales O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech SS USAGE DU SQUELETTE Le squelette en tant que tel a peu d int r t Le squelette par boules maximales n est pas un bon descripteur de forme La repr sentation d un ensemble par son squelette et sa fonction d tanch it ne conduit pas la d finition d algorithmes plus performants pour effectuer les op rations morphologiques l mentaires sl squelette connexe pr sente de nombreux d fauts Le squelette par zone d influence SKIZ est beaucoup plus utilis O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 119 LE SQUELETTE PAR ZONES D INFLUENCE X ensemble form de n composantes connexes X
16. de maxima de l image hi rarchique Ces maxima sont alors eux m me r introduits Ils peuvent alors intervenir dans le classement des hi rarchies O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 210 ALTERNANCE DE CONTOURS DANS EP E n La r introduction des contours synchronise les hi rarchies alternance peut tre de p riode quelconque A L oscillation est toujours amortie stabilit Une configuration monstrueuse 211 O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech EXEMPLES COMPARATIFS Algorithme standard Algorithme P O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 212 EXEMPLES COMPARATIFS 2 Algorithme standard Algorithme P O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 213 AUTRES EXEMPLES 620 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 214 AUTRES EXEMPLES 2 O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 215 ALGORITHME P ET SEUILLAGE L algorithme P se r duit finalement un seuillage suivi d un barbulage de la LPE valu e Ebarbulage Algo P Seuil 26 de S Hauteur du minimum 52 mosaique hy La valeur de seuil est d termin e automatiquement selon des crit res de saillance pas compl tement lucid s Ce seuil est appliqu toute l image et il ne peut en tre autrement O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 216 VERS UN ALGORITHME GENERAL DE SEGMENTATION HIERARCHIQUE Notons qu il est souvent plus effica
17. des inf filtres Le filtre w est un v filtre si y w Iv y un filter if y w I v Un filtre qui est la fois un sup filtre et un inf filtre est un filtre fort Ww w I Ww w I v v Les ouvertures et fermetures morphologiques sont des filtres forts O 2013 Serge BEUCHER Mines ParisTech ZONES D INFLUENCE SKIZ X ensemble form de n composantes connexes IX Zone d influence Z X de X ensemble des points plus proches de X que de toute autre composante connexe de z X vjsid x X dan Le SKIZ peut tre construit l aide d paississements O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 20 CONNEXITE COMPOSANTES CONNEXES Ensemble connexe Un espace topologique X est connexe s il n est VEN pas la r union de deux ouverts non vides disjoints ou de deux ferm s non vides disjoints C2 Ensemble connexe par arcs O D Un ensemble X est connexe par arcs si et seulement si tout couple de points de X est reli par un chemin Une partie Y de E est connexe par arcs si et seulement si tout couple de points de Y est reli par un chemin restant dans Y Composante connexe La plus grande partie connexe d un ensemble X contenant un point x s appelle composante connexe C de x dans X tre connect d finit une relation d quivalence Les classes d quiva lence sont appel es composantes connexes de X O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 21 LES TRANSFORMATIONS GEODESIQ
18. g n re la segmentation hi rarchique de niveau sup rieur asins Quand f est une LPE valu e cette image hi rarchique est la m me que celle d finie pr c demment O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 291 CASCADES ET IMAGES MOSAIOUES Dans ce cas l approche hi rarchique et l approche par les cascades sont identiques L algorithme des cascades est la g n ralisation n importe quelle fonction de l approche hi rarchique La valuation minimale du bassin versant correspond la hauteur de la ZPD minimale La valuation produit un r sultat identique la reconstruction duale du gradient mosaique par les ZPD minimales Image gradient mosaique MEE Image hi rarchique Image des cascades O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 202 SEGMENTATION HIERARCHIQUE EXEMPLE 2 fw aun RS Es G LPE initiale Premier niveau oinal mage originale de hi rarchie Image mosa que 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 203 EXEMPLES D APPLICATION C est juste une LPE de la LPE uw P PT Fri a ars EUER A s Us E E 2T G r em FEA ex Set PX See e SE T s EUM a Misi TM n SH SC SS i ds TRE SE EE i un VIA pue La segmentation hi rarchique produit un nouveau bassin versant en vert qui peut tre utilis comme marqueur de la route Le marqueur ext rieur peut alors tre choisi parmi les au
19. par un champ de vitesses la longueur d un chemin C sera alors d finie par le temps de parcours de ce chemin s X ds T G nds i G Tenseur des vitesses L inverse n 1 o de la vitesse est appel e r fringence La donn e de ce champ de r fringence permet de calculer le temps de parcours de tout chemin et donc de d finir la distance g od sique g n ralis e entre deux points x et y comme le temps de parcours minimal entre ces deux points EN A c C est le plus court chemin O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 55 DISTANCE G OD SIQUE G N RALIS E DIGITALE Dans un espace digital le champ de r fringence est un graphe valu Ce champ peut tre d riv d une quelconque fonction image f n x v F x f v La distance peut ventuellement tre remplac e par un cart r fringence nulle Cette distance peut tre alg brique d z T non sym trique en maille hexagonale O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech DILATATION G OD SIQUE G N RALIS E La dilatation de temps n d un ensemble Y dans un champ de r fringence n est un processus it ratif Cette dilatation s obtient par n dilatations de taille 1 Algorithme de dilatation l mentaire Les points d cart nul avec Y sont ajout s Y La r fringence des ar tes du graphe connect s Y est diminu e de 1 Les points d cart nul connect s Y sont ajout s l ensemble Dilat d
20. 014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 136 AUTRES OUVERTS ULTIMES On peut d finir de nouveaux ouverts ultimes en utilisant des ouvertures bas es sur des crit res Ouvertures surfaciques e Ouvertures bas es sur des diam tres de F ret et des tailles de boites englobantes O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 137 OUVERTURES SURFACIQUES Ouvertures surfaciques ensemblistes 3 09 x e X Aire C X gt Si X est une composante connexe de X y X est gal l union des X dont l aire est sup rieure ou gale Y X U X Aire X gt original 1250 pixels 2000 pixels O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 138 OUVERTURES SURFACIQUES Ouvertures surfaciques num riques ODO sup h lt FO x e Y T M T f est le seuil de f la valeur h ZN Z gt N original Taille 100 pixels Taille 500 pixels L ouverture surfacique s obtient en empilant les ouvertures surfaciques de tous les seuils de la fonction O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 139 OUVERTURES PAR ENGLOBANTES Plut t que la surface on peut utiliser les diam tres de F ret horizontaux et verticaux des composantes connexes de X ou la taille de la boite englobante Largeur CC Boite englobante max H L Hauteur CC O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 140 EXEMPLE D OUVERTURE PAR ENGLOBANTE L ouverture par boite englobante est une union d ouvertures
21. 11 Sesmentations 3D bas es sur les gradients Image IRM 3D du cerveau O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 157 GRANULOMETRIE MARQUEURS Chaque seuil A de la fonction eranulometrique q est rod par un disque de taille k k 1 Cette op ration g n re des marqueurs des blocs dont la taille est proportionnelle la taille du bloc OUR 1 O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 158 SEGMENTATION DES BLOCS Les marqueurs extraits de la fonction granulometrique fournissent des germes pr cieux pour la segmentation par LPE contr l e par ces marqueurs des crit res de taille et de contraste peuvent tre m lang s O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 193 OUVERT ULTIME PAR RECONSTRUCTION On peut galement utiliser les ouvertures par reconstruction M ado mm Ouvert ultime Fonction granulom trique O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 160 SEGMENTATION AVEC L OUVERT ULTIME PAR RECONSTRUCTION T e 0 i E rti LPE du gradient de l ouvert ultime Ouvert ultime Fonction ranulom trique S lection de marqueurs partir de la fonction granulom trique Extraction des r gions saillantes O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 162 AUTRE EXEMPLE e Sc ne de video surveillance Quasi distance Quasi distance de l image invers e O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 1
22. 63 AUTRE EXEMPLE 2 Marqueurs des r gions gauche 8 s LPE du sup des quasi distances en haut droite Les r gions en mouvement sont d tect es en bas droite O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech Ios GRADIENT ET QUASI DISTANCE La quasi distance peut tre calcul e sur le gradient invers Une seule quasi distance est calcul e Hi rarchie des r gions bas e sur leur contraste relatif comme dans l algorithme des cascades voir plus loin La forme des r gions est prise en compte fermeture des r gions pas totalement ferm es O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech i APPLICATIONS DETAILLEES Fractures de clivage dans _ La K ER VA N 25 4 Premi re LPE Barrages communs aux deux LPE Fonction contraste Seconde LPE O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 166 APPLICATIONS DETAILLES 2 Marqueurs de la Azimuts de la Paire st r oscopique premi re image fonction distance Les marqueurs de la premi re image sont jet s sur la seconde B et migrent selon la plus grande pente pour Azimuts 2 me image donner les nouveaux marqueurs en vert O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 167 APPLICATIONS DETAILLEES 3 A droite contours de facettes sur la premi re image et leurs homologues sur la seconde image Ci dessous le d placement d une facette qui peut tre mesur permettant ainsi le calcul de son l v
23. Bas sur la reconstruction la modification d homotopie permet de construire une nouvelle fonction dont les minima correspondent aux marqueurs Ensemble marqueur 1 5 Fonction modifi e g 1 Une fonction marqueur 2 La reconstruction de h au est d finie dessus de g inf g h est h x 1 ssi x e M r alis e h x max sinon gt R h fonction modifi e O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech POSITION DES MARQUEURS Segmentation obtenue image de droite avec une LPE du gradient contr l e par marqueurs marqueurs gauche Quand les minima sont imi remplac s par des marqueurs il est crucial de contr ler la position de ces marqueurs O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech ZE POSITION DES MARQUEURS 2 Question Si on remplace les minima originaux par des marqueurs o placer les marqueurs pour s assurer que la LPE finale sera identique Zone selle Notion de sous bassin versant C est la partie du bassin versant inond e avant le premier d bordement par la zone selle la moins lev e Zones selle Solution les marqueurs doivent tre inclus dans les sous bassins versants Une correspondance biunivoque n est pas indispensable pourvu que les marqueurs inclus dans le m me bassin versant aient la m me tiquette 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 79 LE PARADIGME DE LA SEGMENTATION Fonctions Segmentation Partie m caniq
24. CONCLUSION METHODOLOGIE EVOLUTIVE M thodologie fructueuse Extension au monde 3D Extension aux graphes Nouveaux d veloppements r sidus Ces outils sont presque ais ment compr hensibles et pratiques n y a usuellement pas de changement d espace espace image La boite outils s est enrichie de nouvelles transformations Les performances s am liorent spectaculairement Nouveaux algorithmes en particulier pour les segmentations hi rarchiques Vitesse des algorithmes permettant du temps r el Nouveaux outils disponibles O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 212 BIBLIOGRAPHIE S BEUCHER C LANTUEJOUL Use of watersheds in contour detection International Workshop on image processing real time edge and motion detection estimation Rennes Sept 1979 disponible en t l chargement S BEUCHER Segmentation d images et morphologie math matique Doctorate thesis Ecole des Mines de Paris Cahiers du centre de Morphologie Math matique Fascicule n 10 Juin 1990 disponible en t l chargement E MEYER S BEUCHER Morphological segmentation Journal of Visual Communication and Image Representation n 1 Vol 1 Oct 1990 S BEUCHER F MEYER The Morphological approach of segmentation the watershed transformation In Dougherty E Editor Mathematical Morphology in Image Processing Marcel Dekker New York 1992 disponible en t l chargement S BEUCHER Watershed hierarchical se
25. ETAILLEES 5 Premi re Phase ded Exemple de d tection sur une s quence compl te O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 174 APPLICATIONS DETAILLEES 6 Phase II Image de la s quence l instant i non Phase I 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech s APPLICATIONS DETAILLEES 6 Phase II Segmentation de la voie par LPE marqueur g n r par l image pr c dente Phase I 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech nm APPLICATIONS DETAILLEES 6 Phase II Phase I Les pixels appartenant au contours de la voie so sont s lectionn s Phase I 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech P APPLICATIONS DETAILLEES 6 Phase II et utilis s pour ajuster un mod le de Sign vole Phase I 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech Pe APPLICATIONS DETAILLEES 6 Phase II Le mod le de voie permet de g n rer un non nouveau marqueur Phase I 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech SS APPLICATIONS DETAILLEES 6 Phase II Si aucune erreur n est d tect e traitement de l image suivante non Phase I 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech APPLICATIONS DETAILLEES 6 Phase II Phase I Le marqueur pr c dent est utilis pour segmenter KE ZER l image courante Phase I O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech d APPLICATIONS DETAILLEES 6 Phase II Le marqueur pr c dent est utilis pou
26. Hauteur Largeur Bo te englobante original a a 141 O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech QUASI DISTANCE V E En binaire 0 et q ne sont pas int ressants I et q est la fonction distance E Bug En num rique q est appel e quasi distance Des distances perch es apparaissent O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 12 QUASI DISTANCE 2 La quasi distance n est pas 1 Lipschitzienne On peut rendre la quasi distance 1 Lipschitzienne par un op rateur it ratif de descente des distances perch es A X e En tout point x o odds faire q x e q x 1 R it rer jusqu idempotence 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech s QUASI DISTANCE 3 Quasi distances brute et corrig e Image initiale Quasi distance brute Quasi distance corrig e O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 144 UTILISATION DES OUTILS DE SEGMENTATION O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 145 FONCTION DISTANCE amp EROSION ULTIME La fonction distance est construite par empilement des rod s successifs de X L rod ultime correspond alors aux maxima de cette fonction distance L rod ultime est un op rateur r siduel O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 146 APPLICATIONS Grains de caf rz a 7 t La fonction distance de l ensemble est calcul e Cette fonction distance est invers e et sa LPE est construite L ensemble marqu
27. MERIQUES L rosion g od sique num rique de f par g avec g 2 f se d duit de la dilatation g od sique par la dualit engendr e par l inversion autour d une valeur pivot m E g m 0 r a m 5 Le r sultat est ind pendant de la valeur pivot m Cette dualit est diff rente de la dualit par compl mentation transform es ensemblistes 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech DUALIT S ET ROSIONS G OD SIQUES T 4 L op rateur ensembliste l mentaire quivalent l rosion g od sique num rique s obtient en effectuant une rosion de le x t XcY l ext rieur de X E e Y LU On peut d finir une rosion g od sique A 1 num rique quivalente l rosion ensembliste Il faut pour cela introduire un masque m correspondant aux points rum x pour lesquels f x g x 7 fvm oB 2014 Serge BEUCHEK Mines Farisiecn L rosion g od sique num rique de f par g n est pas quivalente l rosion ensembliste car on ne travaille pas sur le m me espace g od sique dans le cas de l rosion et de la dilatation l espace g od sique est galement pivot RECONSTRUCTION GEODESIQUE NUMERIQUE La reconstruction g od sique de g partir de f est le supremum des dilatations g od siques de f l int rieur de g On la note R f R f V lt f gt 0 Cette transformation et sa duale sont de tr s importantes machines outils en morph
28. R Ligne de cr te L inondation sur les plateaux est bas e sur un MODELE vitesse Plateau Ruisselement LPE constante Il a x principalement deux avantages il est simple 7 et il a un sens physique Minimum 7 LU 7 Inondation En aucun cas les r sulats ne pourraient tre identiques cause de la propagation sur les plateaux O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 66 BIAIS ET INEXACTITUDES AU SUJET DE LA LPE 2 La ligne de partage des eaux n est pas locale En particulier elle n est pas li e des structures locales lignes de cr te escarpement La LPE n est pas un concept LOCAL Vous ne pouvez pas avec la seule connaissance locale du voisinage d un point r pondre la question Ce point appartient il une ligne de partage des eaux 206 AY ISe De E 67 d Le 269 du de D Qu O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 67 BIAIS ET INEXACTITUDES AU SUJET DE LA LPE 3 L inondation est elle toujours un ph nom ne ascendant En d autres termes quand l inondation est la hauteur h est il vrai que TOUS les points une altitude inf rieure ont t inond s La r ponse est NON Contre exemple la boutonni re clich M GIDON Boutonni re dans le Gr sivaudan O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 68 LA BOUTONNIERE zone non inond e d m tape suivante O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech USAGE DE LA LIGNE DE PARTAGE DES EAUX La ligne de partage des e
29. SEGMENTATION D IMAGE amp MORPHOLOGIE MATHEMATIQUE Cours du Master OIV St Etienne Serge BEUCHER CMM Mines ParisTech F vrier 2014 O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech REMARQUES PRELIMINAIRES n y a pas de d finition g n rale de la segmentation d image L approche morphologique de la segmentation est pragmatique N anmoins cette approche propose une m thodologie de la segmentation un guide d utilisation des outils de la segmentation est important de garder l esprit les diverses propri t s de ces outils pour viter quelques pi ges Leur implan tation doit tre aussi pr cise que possible pour garantir des r sultats de qualit O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech SOMMAIRE Introduction rapide de ce cours Pr sentation de la Ligne de Partage des Eaux Rappels de morphologie math matique G od sie op rateurs g od siques reconstruction Introduction la segmentation d image LPE Op rateurs r siduels op rateurs r siduels homotopiques Usage en segmentation segmentation avanc e exemples d applications e Segmentation hi rarchique nouveaux outils O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech RAPPELS DE MORPHOLOGIE MATHEMATIQUE O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech RAPPELS MORPHOLOGIE MATHEMATIQUE La morphologie math matique c est Une m thodologie de traitement d images bas e sur des concepts ensemblistes Des brique
30. UES O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech LES OPERATEURS GEODESIQUES En MM les l ments structurants peuvent tre d finis de diff rentes mani res Par leur g om trie De fa on explicite liste de points A l aide d une distance B z y dz lt Trivial lorsqu on utilise la distance euclidienne Beaucoup plus int ressant lorsqu on utilise une distance non euclidienne g od sique 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 23 NOTION DE CHEMIN D finition Si X est un espace topologique et si x et y sont deux points de X on appelle chemin d origine x et d extr mit y toute application continue y 0 1 telle que y 0 x et y 1 y On dit que x et y sont reli s si et seulement s il existe un chemin d origine x et d extr mit y Chemin digital CS X image binaire sous ensemble de Z munie d une relation de voisinage v relation reflexive et sym trique Un chemin de longueur k 1 est une s quence de k points tels que VI 1 lt 1 lt 1 Exemple chemin entre P et M en 4 connexit eS DOUX DS PEX 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech e CHEMIN amp DISTANCE GEODESIQUES Si X est un espace topologique et si x et y sont deux points de X on appelle chemin d origine x et d extr mit y toute application continue y 0 1 A E telle que y 0 x et y 1 y La distance g od sique dx E x E R est d finie dans l espace g od sique X par dy
31. al est un sommet de la surface topographique c est dire une r gion connexe mais pas forc ment r duite un point d o il n est pas possible partant d un point quelconque de cette r gion de rejoindre un point de la surface d altitude sup rieure par un chemin jamais descendant Le point x est un maximum pour rejoindre y le chemin C comprend des portions descendantes Les points z y t n appartiennent pas des maxima O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 51 D TECTION DES MAXIMA Un maximum de la fonction f l altitude i est une composante connexe de la section X f de f ne contenant aucune composante connexe de toute section AT o j gt i X f x En posant j i 1 on montre que l indicatrice ky f des maxima M de f est gale kf FR F1 Les maxima sont les r sidus de la reconstruction g od sique de f par f 1 Une d finition et une mise en vidence similaires elles utilisent la reconstruction duale existent pour les minima m de f K f R f 1 f O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech MAXIMA TENDUS On peut restreindre l extraction des maxima ceux qui marquent des pics ou d mes de hauteur au moins gale c Les chemins descendants issus de ces maxima ont une hauteur au moins gale c On peut donc mettre ces maxima en vidence en reconstruisant la fonction f initiale avec la fonction f c On effectue la reconstruction
32. ar marqueurs les marqueurs de la LPE sont les marqueurs des gouttes O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 152 APPLICATIONS 7 LPE finale gauche La m me LPE superpos e aux diff rentes sections droite Pour trouver la meilleure section une LPE du gradient contr l e par marqueurs est r alis e sur chaque section avec le m me ensemble marqueur r sultat en bleu et le meilleur ajustement avec le contour pr c dent est d termin La section correspondante donne la coordonn e z de la goutte O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 153 APPLICATIONS 8 Segmentation de voies de circulation vum xw lt E Les marqueurs des voies sont obtenus gr ce un seuillage automatique Le marqueur du fond est le compl mentaire d une dilatation A partir d une s quence de n images f deux images sont g n r es La moyenne H fi La moyenne des diff rences absolues If f 1 J 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 124 APPLICATIONS 9 Extraction du marquage au sol par une transformation chapeau haut de forme Calcul de la fonction distance du marquage au sol entre les marqueurs des voies LPE de la fonction distance 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech APPLICATIONS 10 Sesmentations 3D bas es sur les fonctions distance Mousse de polyester 156 O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech APPLICATIONS
33. ation O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 168 APPLICATIONS DETAILLEES 4 Le projet PROMETHEUS HAH Segmentation de route et d tection d obstacle 74 Deux phases segmentation primaire de la PS route ou de la voie LPE hi rarchique Aucune 2 information n est partag e entre les images de la s quence 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 167 D finition d un mod le de route voie parfois tr s l mentaire et utilisation de ce mod le pour construire des marqueurs utilis s dans la segmentation de l image suivante APPLICATIONS DETAILLEES 5 Premi re Phase ded Image initiale O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 170 APPLICATIONS DETAILLEES 5 Premi re Phase EI DEOR GC el PETTY TAN SH E FH GE ded Ea SE 2 AN Ee lr UT nA ER ey SE DC Se m L ih La Te ES dm ri VOR kt o im Hs bou S s D E ER EE Ge ir M Rod NIME GE LT Ee MINER dii Kaz Se Se id E SEH Si NAR TU i Premi re segmentation 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech xn APPLICATIONS DETAILLEES 5 Premi re Phase Second niveau de hi rarchie et extraction du marqueur O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech ER APPLICATIONS DETAILLEES 5 Premi re Phase ded Segmentation finale O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 173 APPLICATIONS D
34. autre composante connexe x X d x Y lt x Z Y i et Vj id lt d O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 39 GEODESIE NUMERIQUE Les transformations g od siques ensemblistes peuvent tre tendues aux fonctions num riques par le biais des sections des fonctions en appliquant ces sections des op rateurs ce od siques ensemblistes et en construisant de nouvelles fonctions partir des nouveaux ensembles obtenus X f x f x 2 i 9 x g x 2 ij On peut aussi utiliser les fonctions num riques pour d finir des distances g od siques g n rales sur lesquelles on d finit des op rateurs ce od siques g n ralis s O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 40 DILATATIONS GEODESIQUES NUMERIQUES Soit f et g deux fonctions images teintes de gris avec g lt f Consid rons les sections au niveau h de f et deg La dilatation g od sique ensembliste de taille de chaque section au niveau h deg l int rieur de la section correspondante de f g n re sur g une dilatation g La version digitale de cet op rateur utilise la dilatation g od sique l mentaire Gei 8 g f it r e n fois lt chemin horizontal de longueur lt 9 5 8 Le sous graphe de g est l ensemble des points du sous eraphe de f qui sont reli s g par un O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech i EROSIONS GEODESIQUES NU
35. aux est utilis e en segmentation e Segmentation d images La LPE du module du qu gradient correspond aux contours des objets e Segmentation d ensembles D coupage d objets en une union d objets convexes l aide de la LPE de la fonction distance 70 O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech LE GRADIENT RAPPEL Gradient morphologique g f f amp B f O B D autres gradients morphologiques demi gradients peuvent galement tre d finis g f f f O B g f f B f Gradients pais g f Bj f O Bj Gradients r gularis s O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 71 LPE CONTROLEE PAR MARQUEURS La LPE du gradient est sur segment e Les images gradient sont souvent bruit es et contiennent un grand nombre de minima Chaque K a la A E Le 5 e __ w minimum g n re un bassin versant 1 d Ee 2222227 dans la LPE Get ee My E lt lt d y Ea dE Pa P s EL don 7 7 7 7 L up s N E X 7054 HORS EE Aw GEN DE BOOTH COO DENEN a 8 NI E ER e t 73 Pour viter cette sur segmentation d e de nombreuses sources d inondation seules certaines d entre elles peuvent tre s lectionn es les marqueurs et une LPE contr l e par ces marqueurs peut tre r alis e 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 72 EXEMPLE DE LIGNE DE PARTAGE DES EAUX
36. ce de comparer la segmentation courante s avec une plus anciennes avec i gt j D finition d un algorithme g n ral d pendant de deux param tres S lection du niveau de segmentation hi rarchique s comparer avec l image hi rarchique courante h s Sup i j 0 est appel offset Les hauteurs des contours de s sont multipli es par un facteur et compar es la hi rarchie courante Celles qui sont plus grandes d finissent un masque m points verts m ix Als S gt 8 Les contours marqu s sont r introduits dans la segmentation courante s s mal h s vs Offset maximum la segmentation initiale s est toujours sompar e la hi rarchie courante e 2 m Algorithme P 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech PERSPECTIVES LIEES A L ALGORITHME algorithme P est un algorithme auto bloquant et non param trique Une caract ristique remarquable de l algorithme P est sa capacit s parer les formes du fond Cette caract ristique fait de l algorithme un outil puissant de perception de structures gestalt Travaux actuels entre autres Explication du r le de l algorithme P en relation avec certains m canismes de perception ancrage articulation Probl me de la comparaison des r sultats pour le moment elle reste tr s subjective Utilisation de la base de segmentation d images de Berkeley O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 212
37. d abord les composantes connexes de X de taille inf rieure elles ne peuvent contenir un disque de taille A e Puis l ouverture R Y par l ensemble marqueur Y XOB reconstruit les autres composantes connexes Erosion de X par un Reconstruction disque de taille A Image initiale L op ration est identique si X XOB B O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 36 Z N PARTICULES AU BORD DU CHAMP Soit Z Pensemble des bords de limage et X les grains analys s L ensemble Y est la reconstruction de X par Z A X La diff rence entre X et Y extrait les particules int rieures Image initiale Particules Diff rence touchant les bords 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 37 BOUCHAGE DE TROUS Soit Z l ensemble des bords de l image et X les grains analys s L ensemble Y est la reconstruction de X par Z A X La compl mentation de Y bouche les trous Image initiale X Partie des bords Y compl ment touchant X Certaines particules coupant le bord du champ ne sont pas correctement bouch es Suggestions d am lioration O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 38 SKIZ GEODESIQUE Y Ensemble Y form de SKIZ composantes connexes et inclus dans un espace g od sique X Ya Zone d influence d une composante connexe ensemble des points de X une distance g od sique finie de la composante connexe et plus proche de celle ci que de tout
38. des implantations de l origine z de 1 l ment Elemen structurant B quand celui ci structurant Cen rencontre A SX 12 Le dilat de X par B est galement not X B addition de Minkowski de X par le transpos de B Dilatation O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech L EROSION L rosion de X par B est le lieu des positions de l origine z de l l ment structurant B quand El ment structurant celui ci est inclus dans X eX z B c X On crit parfois l rosion sous la forme X soustraction de Minkowski de X par le transpos de B Erosion Erosion et dilatation sont deux transformations duales O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech EXTENSION AUX FONCTIONS Toute fonction num rique f sur un ensemble E peut tre consid r e de mani re quivalente comme une pile d ensembles d croissants Chaque ensemble est la section du sous graphe de f par le plan de cote X 71xeE f x 234 f x sup A xeX 0 1 Pour toute fonction f on Azu c O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 10 EROSION amp DILATATION NUMERIQUES En dilatant ou en rodant Intensit chaque section X 60 Dilatation d une fonction f par un m me l ment structurant gt Original B on engendre sur f une dilatation ou une rosion Erosion dite planaire Element Leurs expressions sont structurant donn es par les formules suiva
39. e taille 1 La proc dure est r it r e avec les nouvelles valeurs du champ de r fringence E Y MD O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech e Points de Y Ke Tu Ge SE MAR Se ME TEE EL g ALT Kee points ajout s par dilatation de taille 1 Nr 9 179 da NAA di VA CX ANSA A Ier Ze EEN Ve EYES VE Fev E i VEINS UNSER S APPLICATION L ANALYSE DU TRAFIC Les transformations g od siques g n ralis es permettent de r aliser des op rations tenant compte de la perspective selon la taille r elle des objets dans la sc ne Image de trafic Facteur d chelle utilis Ouverture de taille gale pour d finir la 1m distance au sol r fringence O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 28 LA LIGNE DE PARTAGE DES EAUX O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech UNE MACHINE OUTIL LA LIGNE DE PARTAGE DES EAUX LPE En MM la segmentation d image s articule autour d une transformation la ligne de partage des eaux 1979 l introduction de marqueurs a augment spectaculairement l efficacit de la LPE 1982 Cette transformation fait partie de la famille des op rateurs morphologiques et en particulier de la classe des transformations ce od siques La LPE peut tre r alis e sur diverses structures ou repr sentations d images images 3D vid os graphes etc Cette capacit a g n r des solutions de segmentation hi rarchi
40. ensemble W g J 2 La LPE valu e est la fonction w g d finie sur W et gale g en chaque s Hs point de W Initial image Gradient g O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 187 IMAGE MOSAIQUE ET SON GRADIENT Construction de l image mosaique LPE du gradient Pour chaque minimum du gradient d terminer 1 la valeur de gris corres pondante Remplir le bassin versant avec cette valeur T O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech SUR SEGMENTATION ET PERCEPTION DES IMAGES Une illustration simple utilisant une image mosa que En d pit du fait que l image soit sur segment e la tache blanche se d tache ais ment du fond parce que simultan ment les fronti res entre les r gions l int rieur de la tache et les fronti res l int rieur du fond sont moins contrast es que les fronti res qui s parent la tache du fond La tache comme le fond sont marqu s par des fronti res avec un contraste minimal O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 189 DEFINITION D UN GRAPHE Arcs de hauteur minimale Dans l image mosaique chaque arc c s pare deux bassins versants et CB La valuation i de l arc est donn e par V 181783 g etg sont les valeurs de oris dans les bassins versants Un arcc ij est dit minimal si sa valuation est inf rieure celles des autres arcs entourant CB et CB O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 190
41. es familles fy et de primitives O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 99 R SIDUS EN MORPHOLOGIE ENSEMBLISTE Op rateurs bas s sur la diff rence de deux familles d op rateurs d pendant d un param tre i N V 6 W 26 1 ie I Exemple trivial e Si I 1 la famille d op rateurs est r duite une seule paire en prenant y I et e rosion l mentaire on r I e contour int rieur de l ensemble e Si y et j g 0 I ek l intersection des r sidus produit galement une transformation r siduelle mais elle est l mentaire 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 85 R SIDUS EN MORPHOLOGIE ENSEMBLISTE Exemples moins triviaux Erod ultime V 6 Vie e e Squelette par boules maximales y ctu sey Le e Bissectrice conditionnelle n E VW gt je og Ces op rateurs sont constitu s d un doublet La transformation ensembliste Une fonction associ e q q x i 1 si et seulement si x r On ajoute 1 q x afin d obtenir une valeur strictement positive sur le support de la fonction O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech ROSION ULTIME Les deux familles d op rateurs sont constitu es des rod s successifs de l ensemble et de l ouverture par reconstruction de chaque rod 1 q y e Original Erosion 1 Erosion 2 Erosion 3 Ouverture par recunst Ouverture par recunst O
42. eur est constitu des maxima de la fonction distance La LPE est r alis e sur le support de la fonction distance Les maxima sont filtr s pour viter la sur segmentation des probl mes de parit 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech E APPLICATIONS 2 Grains de nitrate d argent sur un film Probl me segmentation des grains m me superpos s Le marqueur du fond est ajout Ensemble marqueur final lers marqueurs maxima LPE de la fonction de la fonction distance distance O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech HP APPLICATIONS 3 Gradient Marqueurs L gt P Ge R sultat final Ligne de partage des eaux 149 O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech APPLICATIONS 4 Restitution 3D de gouttes d eau partir d un hologramme Une image 3D d un a rosol brouillard artificiel est g n r e partir d un hologramme Les diverses sections de l image 3D sont obtenues avec une cam ra faible profondeur de champ n sections S e trouver le meilleur contour position x y 7 de chaque goutte volume O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 150 APPLICATIONS 5 Crit re Sup des gradients O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 134 APPLICATIONS 6 Marqueurs Gouttes maxima significatifs du sup filtr de toutes les sections Fond gt LPE du sup des images invers Cette LPE est une LPE contr l e p
43. gmentation and waterfall algorithm Proc Mathematical Morphology and its Applications to Image Processing Fontainebleau Sept 1994 Jean Serra and Pierre Soille Eds Kluwer Ac Publ Nld 1994 pp 69 76 S BEUCHER Transformations r siduelles en Morphologie Num rique Note interne CMM n 04 04 MM Mars 2004 disponible en t l chargement S BEUCHER B MARCOTEGUI P algorithm a dramatic enhancement of the waterfall transformation Web document September 2009 disponible en t l chargement O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 220
44. icule simplement connexe On lui associe un centroide C l aide de l amincissement Dthin voir plus loin Les extr mit s de la particule sont alors d finies comme l rod ultime g od sique dans X de l ensemble Y Extr X Us v v 80 82 09 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 101 LA TRANSFORM E EN TOUT OU RIEN La transformation en tout ou rien HMT g n ralise la fois rosion et dilatation en mettant en jeu le couple d l ments structurants disjoints T T T n X x T x e X eer e X e lee x La HMT est un r sidu n X Er X _ X O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 102 AMINCISSEMENT PAISSISSEMENT L amincissement 0 est le r sidu entre l ensemble initial et sa transformation par tout ou rien 0 X X X e X ne X L paississement 5 est introduit alors par dualit pour le compl ment amp X Xon T ne X O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 10 PROPRI T S L amincissement selon TT T est le dual pour le compl ment de l paississement selon T T T CHEN Tout amincissement est anti extensif et tout paississement extensif Pour que ces op rations ne se r duisent pas identit 11 faut que l origine de T appartienne dans le cas des amincissements ou pour les paississements Il existe des amincissements simp
45. ique En chaque point x q x est gal l unit pr s la taille de la plus grande boule recouvrant ce point x dans le cas binaire au rayon du plus grand cylindre significatif de la reconstruction partielle recouvrant x dans le cas num rique 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech EX OUVERT ULTIME 2 Fonction associ e l ouvert ultime d un ensemble Ouvert ultime num rique et fonction associ e O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 132 OUVERT ULTIME RECONSTRUCTION Image originale Ouvert ultime Fonction granulom trique Reconstruction par squelette O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 133 GRANULOM TRIES ET SEGMENTATION Blocs en tas D termination de la granulom trie des blocs 2 FEU Fonction granulom trique Cind amri th Ces fonctions permettent de d finir la granulom trie des r gions plus ou moins homog nes de l image AVANT de les segmenter 134 GRANULOM TRIES ET SEGMENTATION 2 D finition de marqueurs pour le comptage et la segmentation Pour chaque seuil i de la fonction granulom trique bouchage des trous rosion de taille j max k i c k 1 Marqueurs des blocs g n r s partir de la fonction granulo m trique O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 135 GRANULOM TRIES ET SEGMENTATION 3 es S 3a BA T CE FS Marqueurs des blocs g n r s partir de la fonction granulom trique 2
46. is de l ensemble X s il n existe aucun autre indice k et aucun autre centre y tels que B xcB y cX n lt k x Boule maximale Le squelette d un ensemble X selon une famille de boules Bi est le lieu g om trique des centres de toutes ses boules maximales S X x e X 3B x maximale Boule maximale de centre x 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 91 SQUELETTE PAR BOULES MAXIMALES A chaque point x du squelette on peut associer une fonction q x prenant la valeur du rayon de la boule maximale implant e au point x Cette fonction est appel e fonction d tanch it ou fonction d extinction n x S X B x maximale 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 92 SQUELETTE PAR BOULES MAXIMALES ET PAR OUVERTURES e On peut montrer que le squelette s iN b a i a par boules maximales et le squelette 1 1 2 par r sidus d ouvertures sont V identiques 4 Q 4 m s x U Iech e Chaque r sidu not aussi S est le lieu des centres des boules maximales de rayon 1 Les boules maximales sont d finies sur les familles homog nes de boules obtenues par les dilatations successives de la boule l mentaire B O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 93 PROPRI T S DU SQUELETTE PAR BOULES MAXIMALES Le squelette par boules maximales d un ensemble connexe n est pas connexe d une mani re g n rale la connexit du squelette n est pas av r e
47. isTech 97 BISSECTRICE CONDITIONNELLE La bissectrice conditionnelle est le r sidu entre la famille d rosions de taille I et la dilatation g od sique de taille k k gt l de ces rosions V amp og s r sidu d un r sidu quand k lt gt sin a q x La bissectrice conditionnelle est un seuil sur la d riv e de la fonction d tanch it La bissectrice permet une identification plus pr cise des composantes des ensembles que l rosion ultime 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 98 R SIDUS G OD SIQUES Tous les op rateurs r siduels d finis dans un contexte euclidien peuvent tre transpos s dans des espaces g od siques Les boules g od siques peuvent tre d finies partir de la distance g od sique B xr X d x y lt 3 Les boules maximales g od siques ont la m me d finition que les boules maximales euclidiennes mutatis mutandis Il faut n anmoins viter certains pi ges O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 99 SQUELETTE G OD SIQUE Le squelette par boules maximales g od siques S Y d un ensemble Y inclus dans un espace g od sique X est d fini par S Y 5 H o amp v Construction du squelette g od sique 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 109 EXTR MIT S DE PARTICULE L rod ultime g od sique peut tre utilis pour mettre en vidence les extr mit s d une part
48. les Cependant les plus utiles sont ceux qui respectent une propri t topologique particuli re l homotopie O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech EE COMBINAISON D AMINCISSEMENTS On peut combiner les amincissements de deux mani res diff rentes S quentiellement S quence T d l ments structurants o 90 0 08 T Sous forme d unions Famille T d l ments structurants d al Mk 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 105 HOMOTOPIE Propri t relative la d formation de chemins et de lacets D finition intuitive Deux chemins ou lacets d un espace X connexe par arc sont homotopes si on peut appliquer de fa on continue l un sur l autre L homotopie est une relation d quivalence Deux espaces connexes par arcs sont homotopes homotopiquement quivalents si on peut appliquer l un sur l autre par une suite continue de d formations O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 196 TRANSFORMATIONS HOMOTOPIQUES Une transformation y est homotopique si l ensemble de d part X et d arriv e Y w X sont homotopes c est dire s il existe une transformation bicontinue pour passer de l un l autre telle que chaque composante connexe de X contient le m me nombre de trous que son transform Y chaque trou de X contient le m me nombre de composantes connexes que son transform Y l homotopie d crit l organisation des composantes connexes et des trous
49. lyser toutes les configurations d l ments structurants T d finissables aux rotations sym tries pr s sur la boule l mentaire et d terminer lesquels pr servent l homotopie des chemins passant dans la boule Cas de la trame hexagonale Le chemin rouge peut tre remplac par le chemin vert homotope apr s suppression du point central Seules les configurations o T et sont simplement connexes produisent des amincissements homotopiques O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech d EL MENTS STRUCTURANTS L M ET D En trame hexagonale en regroupant certaines configurations on d finit trois familles d l ments structurants produisant des amincissements homotopiques condition d tre utilis s s quentiellement L M D O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 112 EXEMPLE D AMINCISSEMENT S QUENCIEL O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 113 AMINCISSEMENTS PAR D AM s D est utilis pour mettre en vidence les composantes simplement connexes elles sont homotopes un point On l utilise galement pour construire un centroide de la composante connexe ce n est pas le centre g od sique O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech s AMINCISSEMENT PAR M o 2 La E Eire amincissement est rarement utilis e le r sultat est beaucoup trop chaotique paississement est utilis dans un contexte g od sique O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 115
50. n versant C est la partie du bassin versant inond e avant le premier d bordement par la ZPD la moins lev e O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 196 CASCADES Introduction P O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech Consid rons la fonction f et sa LPE Les diff rents bassins versants sont num rot s de 1 9 Consid rons l inondation partir du minimum m Au cours du remplissage de 1 un d bordement vers CB2 se produit Si maintenant nous remplissons CB2 le premier d bordement s effectue vers 1 Dans ce cas les d bordements cascades sont sym triques On peut donc supprimer la ligne de partage s parant CB1 et CB2 et r unir les lacs de 1 et CB2 197 CASCADES 2 51 le processus d inondation est it r le flot envahit CB3 qui en retour lorsqu il est inond se d verse dans la r union des bassins 1 et CB2 Ici encore les cascades sont sym triques et CB3 est rattach l inondation Etape par tape et parce que chaque fois les cascades sont sym triques tous les bassins versants num rot s de 6 sont r unis Mais quand l inondation se d verse dans CB7 la situation change Si maintenant nous inondons CB7 la cascade n est plus sym trique On doit donc conserver la ligne de partage des eaux s parant CB7 de la r union des autres bassins versants O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 198 UNE AUTRE INTERPRETATION ERRONEE
51. ntes 40 60 80 Echantillon 5300 f sup f y ep f f OB x inf f y yeB 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech ELABORATION D OPERATEURS COMPLEXES De nombreux op rateurs complexes peuvent tre construits par assemblage d op rateurs de base et appliqu s sur des images binaires niveaux de gris couleur en 2D 3D 4D sur des images en mouvement Ouvertures fermetures filtres Transformations en Tout ou Rien HMT paississements amincissements squelettes Op rateurs de contraste Op rateurs r siduels Op rateurs de segmentation Etc O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech OUVERTURE FERMETURE MORPHOLOGIQUE Structuring element L ouverture d un ensemble X est le produit d une rosion par une dilatation L l ment structurant transpos doit tre utilis pour la dilatation La fermeture est la concat nation d une Closing dilatation suivie d une rosion e a L B 2013 Serge BEUCHER Mines ParisTech OUVERTURE FERMETURE POUR LES FONCTIONS Level Ces transformations 60 A Closing s tendent des fonctions images de gris sans aucune gt Original 8 40 difficult B Opening V Y f f o B 2 Structuring 10 element B E B o 0 20 40 60 80 Sample 2013 Serge BEUCHER Mines ParisTech PROPRIETES DES TRANSFORMATIONS e Crois
52. ologie math matique X 8 Chaque section au niveau i de la reconstruction est gale la reconstruction binaire des sections au m me niveau de g par les sections correspondantes de f 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech RECONSTRUCTION DUALE GO La reconstruction duale R f de g par f est l inf des rosions ce od siques de f au dessus de g g La dualit est identique celle gt utilis e dans l rosion g od sique d P d inversion autour d une valeur pivot f Fi m 0 m m f 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 45 EXEMPLE D UTILISATION Bouchage de trous num riques Fre Grains d alumine avec inclusions Reconstruction de l image partir du bord du champ O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 46 OUVERTURE PAR ROSION RECONSTRUCTION Pr servation des contours Tandis que l ouverture classique modifie les contours cette transformation permet de reconstruire efficacement et avec pr cision les contours des objets qui n ont pas t totalement limin s par l rosion El ment Structurant B Algorithme Dilatation L espace g od sique est l image originale Ouverture par un disque Erosion Le marqueur est l rod euclidien de S l image originale H E f Ouverture par reconstruction f B 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech Reconstructi
53. on 47 APPLICATION LA R TINOPATHIE Le but de l op ration est de localiser et d extraire les an vrismes r tiniens Les op rateurs de reconstruction nous assurent que l on peut supprimer exclusivement les petits pics isol s Image initiale ouverture par diff rence des deux images rosion reconstruction suivie par un seuil O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech FILTRES GEODESIQUES L utilisation de la reconstruction g od sique directe ou duale avec des rosions permet de d finir des filtres morphologiques bas s sur des crit res de taille uniquement Ces filtres sont plus esth tiques que les filtres construits avec de simples ouvertures et fermetures Comparaison entre une ouverture classique au centre et une ouverture par reconstruction droite les deux ayant une taille identique O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech s NIVELLEMENTS SIMPLES Les nivellements dans leur d finition simplifi e permettent une g n ralisation de la reconstruction g od sique directe ou duale lorsque la fonction marqueur est quelconque Reconstruction directe et recons truction duale de la fonction f en noir par la fonction g en bleu Seules les parties de g au dessous ou au dessus de f sont utilis es dans les reconstructions respectives En rouge r sultat du nivellement O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech MAXIMA D UNE FONCTION Un maximum d une fonction f ou maximum r gion
54. que 1990 D veloppements r cents nouveaux outils hi rarchiques nouveaux crit res de segmentation 62005 20079 mines ParisTech 60 DE QUOI SERA T IL QUESTION La ligne de partage des eaux l outil de segmentation en MM Definition description Comment la construire Biais probl mes inexactitudes Comment segmenter avec la LPE L id e initiale Pourquoi cela ne marche pas bien La LPE contr l e par marqueurs La boite outils de segmentation et son manuel EXEMPLES d utilisation D APPLICATIONS Outils anciens et r cents r sidus e Segmentation hi rarchique L algorithme des cascades L algorithme P O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 61 L ALGORITHME CLASSIQUE DE L P E C est un processus d inondation Les sources d inondation sont les minima de la fonction Deux hi rarchies apparaissent progression de l inondation avec l altitude processus s quenciel inondation des plateaux ou zones plates processus parall le Le r sultat est une partition de l image en bassins versants et en lignes de partage des eaux barrages O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 62 L ALGORITHME CLASSIQUE DE L P E 2 La transformation peut tre construite l aide des niveaux successifs Z de la e 1 fonction f W o Les bassins versants au niveau sont les minima ce niveau Minimum au niveau 1 Ligne de partage W ISKIZ 10 PANTO i
55. r segmenter 9e ZER l image courante Phase I O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech ne APPLICATIONS DETAILLEES 6 Phase II Et un nouvel ajustement du mod le de voie est non r alis Phase I 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 122 APPLICATIONS DETAILLEES 6 Phase II Phase I Illustration du processus sur une s quence compl te mod le de chauss e trois voies Notons que malgr son apparente complexit Phase I cette phase est plus rapide que la phase I pas de segmentation hi rarchique O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech Pos SEGMENTATION HIERARCHIQUE O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 185 SEGMENTATION HIERARCHIQUE CASCADES Probl mes non r solus Il n est pas toujours possible d viter la sur segmentation l aide d une LPE contr l e par marqueurs car il n est pas toujours possible de trouver de bons marqueurs et ou de bons crit res de segmentation D autres approches de la segmentation qui ne sont pas bas es sur une s lection a priori des marqueurs peuvent donc tre utiles Diff rents algorithmes existent Ils ont tous pour but de d finir une hi rarchie de segmentations Hi rarchie bas e sur des valeurs d extinction Hi rarchie bas e sur les cascades Hi rarchie bas e sur des empilements O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 186 LIGNE DE PARTAGE DES EAUX VALUEE LPE Valu e La LPE d une fonction g est un err cu NTC T pou
56. s de base op rateurs l mentaires Un assemblage des op rateurs produisant des op rateurs de plus en plus complexes Un contexte math matique vari Un ensemble d outils d analyse d images applicables dans de nombreux domaines Des librairies de traitement d images r unissant ces deux fonctionnalit s boite outils et mode d emploi dela MM O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech OUTILS LOGICIELS Diff rentes librairies logicielles existent pour pratiquer les outils morphologiques Librairie recommand e MAMBA _ http www mamba imaese or MAMBA est une librairie multi plateformes Linux Windows distribu e sous licence libre X11 MIT Elle a t d velopp e par Nicolas BEUCHER en collaboration avec le CMM MAMBA est la suite libre du logiciel Micromorph Elle est crite en C et tourne sous Python O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech LES BRIQUES ELEMENTAIRES Les objets d tude sont les ensembles XCE La morphologie math matique les d crit en associant tout xcE un ensemble test B muni d une origine et appel l ment structurant Deux types d v nements peuvent tre test s lorsque l l ment structurant B balaie l espace E l ment structurant B coupe t il l ensemble X b DILATATION e l ment structurant B est il inclus dans l ensemble X b EROSION O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech LA DILATATION Le dilat de X par B est le lieu
57. sance XcY w X cw Y e Extensivit anti extensivit X c Ww X v X c X Idempotence wll ll wow X w Y 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech OUVERTURE FERMETURE ALGEBRIQUES D finition En alg bre toute transformation qui est croissante anti extensive et idempotente est une ouverture alg brique croissante extensive et idempotente est une fermeture alg brique Les ouvertures fermetures morphologiques sont aussi des ouvertures fermetures alg briques Il existe diverses facons de cr er des ouvertures fermetures alg briques sup d ouvertures inf de fermetures et surtout reconstructions g od siques 2013 Serge BEUCHER Mines ParisTech 16 FILTRES MORPHOLOGIQUES D finition g n rale Toute transformation croissante et idempotente d finit un filtre morphologique Croissance XcY w X c v Y Idempotence v v vow9 v9 O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 17 EXEMPLES DE FILTRES Les ouvertures et les fermetures morphologiques sont des filtres Un filtre peut tre d fini par composition de filtres Y Composition en s rie Produits Gv Filtres altern s s quentiels alternance d ouvertures et de fermetures de taille croissante f Y Composition en parall le Centre Contraste v y f 1 O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 18 PROPRIETES DES FILTRES Certains filtres ont de bonnes propri t s ce sont des sup filtres ou
58. ticale de l image au cours de sa transformation D finitions Transformation 0 Sup wv E 6 ie Fonction associ e q argmax r 1 argmax w 1 q x max i Tub r x gt et maximum Dans le cas binaire cette d finition et la d finition classique sont identiques O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 127 EXEMPLES 1 Erod ultime 128 O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech EXEMPLES 2 Squelette par cylindres maximaux significatifs Probl me de la reconstruction Il n est g n ralement pas possible de reconstruire enti rement la fonction l aide de son squelette ef SUD Bu xeE O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 129 NOUVEAUX R SIDUS l extension de la d finition des r sidus ensemblistes comme l rod ultime ou les squelettes par ouvertures aux fonctions est int ressante Cette d finition des r sidus permet surtout d introduire en num rique et en binaire de nouvelles transformations r siduelles int ressantes tant du point de vue de la transformation elle m me que de la fonction associ e On introduira en particulier ouvert ultime avec diverses variantes La quasi distance des r sidus bas s sur des empilements O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 180 OUVERT ULTIME E lua En binaire la transform e ne pr sente aucun int r t 0 I La fonction associ e q est appel e fonction granulom tr
59. tres bassins versants significatifs 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 204 USAGE DES CASCADES Protocole On part d une LPE valu e initiale s Un processus it ratif fournit les segmentations hi rarchiques successives S s W h o h est l image hi rarchique associ e la segmentation s Reconstruction 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech An USAGE DES CASCADES 2 Image initiale f et son gradient g So W g US E d c e ET iP DE CAL EAS LEO OLEO RC ex Eu ELE E bird AS oa e ils EEN KE n Al mre eeh P GC L PR RO Ss EE ELE t yis H lt L Rib tB Yo li Ce H CIN Ska d EE ui i i3 ME A d SE H 7 oe EN Ze ET EN GE tut Ge Mea Se E E dtp SE MEE ELE p ERI SUR aA KL So S S N niveaux hi rarchiques avec Sy 2 e T est difficile de choisir un bon niveau de hi rarchie D autres probl mes cruciaux apparaissent O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 206 PROBLEMES AVEC LES CASCADES C est une approche non param trique algorithme des cascades peut tre it r ce qui conduit de possibles niveaux sup rieurs de hi rarchie mais Un crit re d arr t n est pas disponible Les niveaux successifs de hi rarchie sont loin d tre pertinents Myopie aux hi rarchies de niveaux diff rents de classement
60. ue O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech QUELS CRITERES e Crit res de contraste Gradient Transformation chapeau haut de forme e Crit res de taille et de forme Fonction distance Fonction granulom trique Quasi distance Combinaison de plusieurs crit res O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech EXPLORATION DE LA BOITE A OUTILS Boite outils limit e Quels types d outils Est il possible d agrandir cette boite Math Morph Tous les op rateurs utilis s avec la LPE sont des r sidus Un op rateur r siduel est la diff rence de deux op rateurs appel s op rateurs primitifs Gradient morphologique gt dilatation rosion Transform e chapeau haut de forme gt y identit ouverture Fonction distance rod ultime gt y 8 rosion ouverture d rosion gt De nouveaux r sidus peuvent tre d finis 201 12 EO ctbtier 2BditisTech 82 OPERATEURS RESIDUELS O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech D FINITION G N RALE D UN R SIDU Un op rateur r siduel l mentaire est un op rateur construit l aide de la diff rence de deux op rateurs Diff rence ensembliste pour les ensembles r W Diff rence alg brique pour les fonctions r y 6 w2G r s appelle r sidu v et les primitives Il existe diff rentes mani res d utiliser et d assembler ces r sidus en particulier lorsqu ils sont g n r s par d
61. uverture par recunst R sidu R sidu R sidu Erosion ultime 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 87 EROSION ULTIME ET FONCTION DISTANCE La fonction distance est construite par empilement des rod s successifs de X L rod ultime correspond alors aux maxima de cette fonction distance La fonction associ e q donne une unit pr s la taille de l rosion correspondant l apparition de chaque composant connexe de l rod ultime O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 88 USAGE DE L ROD ULTIME entation N e G La fonction distance de l ensemble est invers e et sa LPE est construite L ensemble marqueur est constitu des maxima de la fonction distance Probl me de la s paration de deux disques imbriqu s 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech 89 SQUELETTE PAR OUVERTURES ou squelette par boules maximales El ment structurant M Erosion 3 Erosion 4 Erosion 0 Erosion 1 Erosion 2 Ouverture Ouverture Ouverture HARMAN re ZE Dee berech LA UU ee SE GN GE ENN EE E e EEN e ee R sidu R sidu R sidu R sidu Boule maximale 2 Boule maximale 3 Boule maximale 4Boule maximale 5 R sidu Boule maximale 1 Erosion ultime 90 O 2014 Serge BEUCHER Mines ParisTech BOULES MAXIMALES Une boule de taille n et de centre x est maximale vis v
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