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1. 3 D terminer le r el a tel que Passas 4 D terminer l esp rance de X ENSM Cours Pi Marc Bizet 2013 2014 Exercice 40 Un fabricant souhaite lancer une nouvelle console de jeu pour No l Les tudes marketing montrent que parmi les 2 000 joueurs de la r gion 40 ont d clar avoir l intention d acheter la console de jeu On appelle X la variable al atoire gale au nombre de joueurs qui vont effectivement acheter la console 1 Quelle est la loi suivie par X 2 En approximant la loi de la variable X par une loi normale dont on pr cisera les caract ristiques d terminer le stock que doit avoir un magasin pour que la probabilit de rupture de stock soit inf rieure 0 1 Exercice 41 qcm une seule r ponse X est une variable al atoire qui prend des valeurs 3 positives On suppose que P 1 lt X lt 3 gt 1 Si X suit une loi uniforme sur 0 N alors N est gal 16 3 2 Si X suit une loi exponentielle de param tre gt 0 alors a In2 b prend deux valeurs dont la valeur In2 c iln existe pas de tel a 8 b c 5 3 Exercice 42 qcm une ou plusieurs r ponses X est une variable al atoire qui suit une loi d finie par la densit f t kt sur 1 10 alors on peut avoir a n 0et pL 0 2 b n 1 et k c n 2 et k 9 Exercice 43 qcm une ou plusieurs r ponses X est une variable al atoire d esp rance 10 et de variance 8 1 Si X suit une2. loi binomiale de param tre n et p alors a n 20 et p 0 5 b n 25 et p 0 4 c n 50 et p 0 2 2 Si X suit une loi normale et si Y est la variable X 10 22 d finie par Y alors Exercice 44 Lors d une pid mie chez les bovins si la maladie est diagnostiqu e suffisamment t t sur un animal il est possible de le gu rir sinon la maladie est mortelle Un test est mis au point et exp riment sur un chantillon d animaux dont 1 est porteur de la maladie Les r sultats obtenus sont les suivants e Si un animal est porteur de la maladie le test est positif dans 85 des cas e Si un animal est sain le test est n gatif dans 95 des cas On choisit de prendre ces fr quences observ es comme probabilit s pour la population enti re et d utiliser ce test pour un d pistage pr ventif de la maladie On note e M l v nement l animal est porteur de la maladie e T l v nement le test est positif 1 Construire un arbre pond r mod lisant mod lisant la situation propos e 2 Un animal est choisi au hasard a Quelle est la probabilit qu il soit porteur de la maladie b Montrer que la probabilit pour que son test soit positif est p 0 058 3 Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif Quelle est la probabilit pour qu il soit porteur de la maladie 4 On choisit cinq animaux au hasard La taille de ce troupeau permet de consid rer c
3. D terminer le une loi normale N 0 1 plus petit r el a telque P a lt X lt a gt 0 99 b Indiquer un r el u tel que 2 Z est une variable al atoire qui suit la loi normale P u lt Y lt u 0 95 1 1 di J 0 1 c D montrer que p 1 p lt En d duire a Dans quel intervalle Z prend t elle ses 4 0 98 _ X 0 98 valeurs que i Les a jposs b D terminer une valeur approch e 10 Vn n Vn pr s du plus petit r el positif u tel que d Le tableau ci dessous r sume un essai sur P u lt Z lt u 2 gt 0 99 40 000 exp riences Points dans de Valeur Exercice 51 m thode de Monte Carlo n le disque a approch e de 7 40 000 31391 0 784 775 3 1391 En utilisant le r sultat du c peut on tre s r 95 de la premi re d cimale de x Permet il d envisager une valeur unique pour la deuxi me d cimale de 7 On consid re le disque de centre de rayon 1 et le carr ABCD circonscrit ce disque 1 a On choisit au hasard un point dans le carr quelle est la probabilit qu il appartienne au disque b On choisit un couple x y de nombres r els Que peut on affirmer si x y lt 1 2 Le r sultat du 1 a permet d envisager la recherche d une valeur approch e de m par une m thode statistique On r alise un grand nombre de fois exp rience suivante e choix d un r el x pris au hasard dans 1 1 e choix d un r el y pris au hasard dans 1 1 Le
4. ENSM Cours Pi Marc Bizet 2013 2014 Lois de probabilit s continues Exercice 1 Dans chacun des cas suivants dire si la fonction f est une densit pour une loi de probabilit sur 7 1 fix 2 I 0 3 2 f th3r 1 0 1 3 fint I 2 4 4 E 1 1 2 X Exercice 2 D terminer le r el k pour que la fonction f soit une densit pour une loi de probabilit sur 7 puis calculer PIa 1 fi xk I 1 9 2 f t gt k I 0 3 3 f t kt I 2 4 k 4 I 1 f Er e Exercice 3 On consid re une variable X suivant la loi uniforme sur 0 1 D terminer le s r el s tels que les v nements Xe 0 4 0 9 et Xe 0 3 r soient ind pendants y4 Exercice 4 On consid re la fonction f d finie sur 0 2 par f t k avec k gt 0 1 D terminer le r el k pour que f soit une densit de loi de probabilit sur l intervalle 0 2 2 On consid re une variable al atoire X suivant la loi de probabilit d finie par la densit f a Calculer P 1 lt X lt 2 b D terminer le r el a de 0 2 telque P 0 lt X lt a P 1 lt X lt 2 3 Une variable al atoire Y suit la loi uniforme sur l intervalle 0 2 a Indiquer la densit d finissant cette loi uniforme b Pourtout x gt 1 5 comparer P 1 5 lt X lt x et P 1 5 lt Y lt x Exercice 5 La variable al atoire X suit une loi exponentielle de param tre Dans chacun des cas ci dessous calculer P X
5. ation ENSM Cours Pi Marc Bizet 2013 2014 a D terminer une valeur approch e 10 pr s du param tre apr s avoir interpr t ce r sultat En d duire l esp rance de vie d un oscilloscope au mois pr s b Sachant qu un oscilloscope a fonctionn 8 ann es quelle est la probabilit que sa dur e de vie d passe 10 ans 10 pr s Exercice 14 Sur une ligne de train une enqu te a permis de r v ler que le retard alg brique du train en minutes peut tre mod lis par une variable al atoire X qui suit une loi normale N 4 0 Des observations ont permis d tablir P X lt 7 0 8413 et que E X 5 que 1 D terminer les param tres de la loi suivie par X 2 Quelle est la probabilit que ce train arrive avec moins de 3 minutes de retard 3 Quelle est la probabilit que le sup rieur 8 minutes 4 Sachant que le retard est sup rieur 3 minutes quelle est la probabilit qu il soit sup rieur 5 minutes retard soit Exercice 15 QCM une ou plusieurs r ponses 1 La fonction d finie sur 0 1 par f t k est une densit sur 0 1 lorsque a k 1 b jei 2 c k 3 2 La densit d finissant une loi uniforme sur l intervalle 2 3 est 1 a tet 5 b 1H1 c H0 2 3 L esp rance de la loi uniforme sur l intervalle 2 3 est 1 a 5 b 5 1 c 2 2 24 4 La fonction f t gt est une densit sur t l inter
6. couple x y repr sente alors un point du carr ABCD e on teste si ce point appartient au disque e dans l affirmative on le comptabilise e dans la n gative on n en tient pas compte Au bout d un grand nombre d exp riences effectu es on peut calculer la fr quence d appartenance des points au disque et en d duire une valeur approch e de Simuler cette exp rience sur un tableur 3 Soit X la variable comptant le nombre de points dans le disque sur n exp riences On pose ST np 1 p et pa 4 10
7. d finie sur 0 0 R pondre en utilisant le graphique ou des consid rations de cours 7 1 Le param tre doit tre gal a 2 b 0 5 c 4 2 La probabilit P 1 3 3 a est gale b correspond l aire A c est environ gale 0 4 3 La probabilit P 5 a correspond l aire A b est inf rieure 0 1 c est gale 1 P 0 5 Exercice 20 QCM On a repr sent ci dessous la courbe de la densit de loi normale Jf 0 1 sur R R pondre aux questions l aide du graphique ou par calcul YA n Dr 4 Lol N my 1 L aire comprise entre la courbe de la densit de loi normale 0 1 sur R a correspond une surface illimit e b est infinie c est gale 1 2 La probabilit P 0 1 a est gale la probabilit P 1 0 b est comprise entre 0 3 et 0 4 c est sup rieure la probabilit P 1 00 3 laire color e a correspond un intervalle de probabilit 0 95 environ b est environ celle de l intervalle 1 96 1 96 c est inf rieure celle de l intervalle 1 1 Exercice 21 QCM T X et Y sont des variables al atoires 1 T suitlaloi Jf 0 1 P T gt 0 a 0 5 b plus de 0 5 c moins de 0 5 2 X suitlaloiN 2 4 V X a 4 b 2 c 16 4 Y suitlaloiN 2 4 P Y gt 2 a onne peut pas savoir b 0 5 c 0 25 Exercice 22 QCM Parmi les fonctions repr sent es graphiqu
8. e durant les 7 jours suivants tous les pains pesaient plus de 1 kg Il tait finalement revenu voir le boulanger pour lui dire qu il tait d cid ment un incorrigible tricheur On suppose que le poids du pain en kg suit une distribution normale de loi normale JP 10 1 Le boulanger assure que 95 de ses pains p sent entre 0 9 kg et 1 1 kg a En d duire une valeur approch e de b En d duire la probabilit qu un pain p se moins de 0 9 kg puis la probabilit que pendant une semaine tous les pains p sent moins de 0 9 kg 2 Avec les m mes hypoth ses d terminer la probabilit pour qu un pain p se plus de 1 kg puis la probabilit que tous les pains pendant une semaine p sent plus de 1 kg 3 Refaire les calculs pr c dents en supposant que simplement 68 des pains p sent entre 0 8 kg et 1 1 kg Le boulanger est il cr dible Exercice 49 qcm une ou plusieurs r ponses La variable al atoire X suit une loi exponentielle de param tre gt 0 1 Si P X lt 1 0 5 alors 1 a 2 b In2 1 c A ln 2 2 Si l esp rance de X vaut 0 5 alors 1 a 2 b 2 c In2 3 La probabilit de l v nement 2 lt X lt 3 est a ee b e 1 4 co e 4 Pxz X 23 est gal a P X2 gt 2 b Px X gt 11 g g ENSM Cours Pi Marc Bizet 2013 2014 Exercice 50 a Justifier que Y peut tre approxim e par 1 X suit une loi uniforme sur 4 4
9. ement ci dessous d terminer celles qui d finissent une densit de probabilit sur l intervalle 0 2 YA yA 1 E Bi TT 7 N 2 w lol F1 15 le 0 STI R YA Y4 Tes j At di A A TTL JEANEN ENSM Cours Pi Marc Bizet 2013 2014 Exercice 23 vrai faux On a trac ci dessus la courbe associ e une loi normale I 4 9 1 La moyenne est gale 3 2 L aire d limit e est environ gale 0 683 3 La probabilit de l intervalle 2 1 est gale celle de l intervalle 3 6 4 La courbe en cloche associ e la loi normale JE 4 4 admet le m me axe de sym trie et est plus resserr e autour de cet axe Exercice 24 vrai faux La fonction f propos e d finit une loi de densit de probabilit sur l intervalle 7 3 3 1 1 1 3 1h t l f 72 2 2 I 1 2 fanti 1 3 I 1 e une 2 4 I 2 dr Exercice 25 vrai faux Une variable al atoire X suit une loi de probabilit d finie par une densit f sur l intervalle 2 2 1 P X 2 P X lt 0 P X 20 3 f ne s annule pas sur 2 2 4 si P X lt 1 0 6 alors P X gt 1 5 lt 0 4 P X 1 Exercice 26 vrai faux 1 On ne peut pas d finir une loi uniforme sur l intervalle 3 0 2 Avec une loi uniforme sur un intervalle 7 si deux intervalles de Z ont la m me probabilit alors ils sont gaux 3 Avec une loi uniforme la probabilit d un inter
10. es cinq choix comme ind pendants et d assimiler les choix des tirages avec remise On note X la variable al atoire qui aux cinq animaux choisis associe le nombre d animaux ayant un test positif a Quelle est la loi de probabilit suivie par X b Quelle est la probabilit pour qu au moins un des cinq animaux ait un test positif 5 On teste 1200 vaches sur le cheptel d un d partement On admet que l on peut consid rer ces 1200 tests comme ind pendants et les assimiler des tirages avec remise On note Y la Variable al atoire gale au nombre d animaux ayant un test positif a Justifier que la loi de Y peut tre approxim e par une loi normale dont on pr cisera les param tres b En d duire une approximation P 50 lt Y lt 70 de ENSM Cours Pi Marc Bizet 2013 2014 Exercice 45 On consid re une variable al atoire suivant une loi binomiale de param tres n 40 p 0 4 1 Calculer P X 16 et P 13 lt X lt 15 2 On approche X par une variable Y de loi normale NW 16 9 6 a justifier l approximation r alis e b Calculer P Y 16 et P 13 lt Y lt 15 Que remarque t on ph nom ne 3 On effectue alors une correction de continuit en calculant P 15 5 lt Y lt 16 5 et P 12 5 lt Y lt 15 5 Effectuer comparer avec les r sultats du a Comment expliquer ce les calculs et Exercice 46 Au sortir du laminoir un lingot est d coup en billettes de 6 m tres de l
11. lt 0 5 et P X gt 10 1 1 4 2 2 G 3 A 0 1 Exercice 6 1 D terminer la valeur du param tre A de la densit f t gt 4e sachant que la loi de probabilit d finie par f v rifie P 0 3 J 2 En d duire la valeur de e Sites Exercice 7 Une variable al atoire X suit une loi exponentielle de param tre 2 D terminer le r el dans chacun des cas suivants 1 P X gt t 0 75 2 P X lt t 0 5 3 P X221 0 05 X21 Exercice 8 La dur e de vie exprim e en heures d une ampoule lectrique d un certain mod le est une variable al atoire qui suit une loi exponentielle de param tre o est un r el strictement positif 1 Sachant que P X lt 1000 0 229 d terminer la valeur exacte de puis en donner une valeur approch e 10 pr s 2 a Sachant que l v nement X gt 1000 est r alis d terminer la probabilit de l v nement X gt 2 500 b D montrer que pour tous r els 1 gt 0 et h20 P X lt t h P X lt h c Sachant qu une ampoule a fonctionn plus de 3000 heures quelle est la probabilit qu elle tombe en panne avant 4000 heures 3 D terminer la dur e moyenne de vie d une ampoule lectrique on arrondira l heure pr s ENSM Cours Pi Marc Bizet 2013 2014 Exercice 9 X suit une loi binomiale B 50 0 6 X 30 On pose Y On assimile Y une V50X0 6X0 4 variable al atoire suivant une loi f 0 1 1 Quel
12. ongueur On sait que la t te du lingot pr sente un d faut sur une certaine longueur X o X est une variable al atoire qui suit une loi normale J 8 4 Pour tenter d liminer la longueur d fectueuse on d truit syst matiquement les deux billettes de t te 1 Quel est le risque pour que la troisi me billette pr sente encore un d faut 2 Calculer le nombre de billettes d truire pour que la premi re billette retenue soit sans d faut avec une probabilit de 99 Exercice 47 Les tests de QI sont talonn s c est dire que l on d cide priori que la r partition des QI suit une loi normale N m o 4u et sont fix s l avance Voici quelques valeurs test de test de test de Wechsler Stanford Binet Catell u 100 100 100 o 15 16 24 1 D terminer pour chaque test un intervalle centr autour de la moyenne qui contient peu pr s 68 des individus 2 On consid re parfois qu un individu est surdou s il fait partie des 5 de la population ayant le QI le plus lev D terminer quelle valeur de Q il correspond pour chacun des tests propos s Exercice 48 Le grand math maticien Henri Poincar 1854 1912 avait l habitude d acheter tous les jours un pain de 1kg chez son boulanger Il s tait aper u que sur une semaine d achat 7 jours tous les pains achet s pesaient moins de 900 g Apr s s tre plaint au boulanger il avait constat qu
13. th or me permet de justifier l approximation 2 En d duire une valeur approch e de P 20 lt X lt 24 Exercice 10 On consid re une variable al atoire X suivant la loi normale centr e r duite 0 1 Dans cet exercice on donnera pour les probabilit s demand es des valeurs approch es 10 pr s 1 A l aide de la table d terminer la probabilit P X lt 0 73 2 A partir de cette valeur d terminer a P X gt 0 73 b P X lt 0 73 c P X2 gt 0 73 3 D terminer l aide de la table a P X lt 0 55 b P X lt 0 77 c A partir de ces calculer P 0 55 lt X lt 0 77 4 Soit t un r el strictement positif Exprimer P X gt t puis P X lt t en fonction de II t P X lt t r sultats Exercice 11 Un chercheur a tudi l ge moyen auquel les premiers mots du vocabulaire apparaissent chez les jeunes enfants L tude montre que l ge X d apparition en mois des premiers mots suit une loi normale de moyenne 11 5 et d cart type 3 2 1 Evaluer l aide de la table a La probabilit qu un enfant ait prononc ses premiers mots entre 8 et 10 mois b La probabilit qu un enfant ait prononc ses premiers mots avant 7 mois c La probabilit qu un enfant ait prononc ses premiers mots apr s 10 mois 2 D terminer un intervalle Z centr autour de la moyenne qui permette d affirmer la probabilit que l ge d apparition des premiers mo
14. ts appartienne 1 est 95 Exercice 12 On consid re un r el a gt 1 et la fonction f d finie 7 3 sur l intervalle 1 par Pes t 1 54 1 0 54 n T 0 05 15 3 25 3 35 0 54 1 D terminer le r el a pour que f soit une densit pour une loi de probabilit sur l intervalle 1 a 2 Le choix d un nombre x au hasard dans l intervalle 1 3 suit une loi de probabilit de densit sur 1 3 Calculer P x22 puis P gt 15 X22 Les v nements x22 et x21 5 sont ils ind pendants 3 On veut d finir une loi de probabilit sur k l intervalle 1 par une fonction g t gt t o ke 0 a D montrer que g est une densit pour une loi de probabilit sur 1 si et seulement si k 1 b On suppose que k 1 Calculer P 1 4 en d duire P 4 Exercice 13 On donne la d finition suivante Si une variable suit une loi exponentielle de param tre on appelle demi vie de X le param tre 7 tel que P O lt X lt r P X2 gt 7r In2 1 D montrer que T 2 Comparer la demi vie avec l esp rance de la variable al atoire X 3 Un fabricant a commercialis un lot tr s important d oscilloscopes identiques dont la dur e de vie en ann es est une variable al atoire X suivant une loi exponentielle de param tre avec 2 gt 0 On sait que le seuil de 50 d oscilloscopes encore en fonctionnement a t atteint apr s 5 ann es et demie d utilis
15. ur tout r el x P 1 lt X lt 2 P 0 lt X lt 1 P X lt 1 gt 0 75 P 1 lt X lt 1 2P X lt 1 e a Exercice 34 vrai faux 1 Si X suit une loi J u0 2 1 esp rance de X est E X u 2 Si X suit une loi u 0 la variance de X est V X 0 H suit une loi 3 Si X suit une loi f w 0 normale Jf 0 1 ENSM Cours Pi Marc Bizet 2013 2014 Exercice 35 Une variable al atoire X suit une loi f 18 9 On lui X 18 associe la loi Y 1 Quelle est la loi suivie par Y 2 En d duire gr ce la table les probabilit s suivantes a P X lt 21 b P X2 gt 24 c P 21 lt X lt 24 d P X 215 e P 15 lt X lt 21 Exercice 36 On admet qu une variable al atoire qui suit la loi normale J 40 a une fonction de densit d finie sur R par 1 t a 20 TOS e OV27 On a repr sent ci dessous trois telles fonctions de densit D terminer pour chacune la valeur de 4 et sachant que l une des trois correspond 4 0 et o 1 xY Exercice 37 calculatrice Sur une Casio graph 35 le mode d emploi indique ceci e NormPD x la densit de la loi normale centr e r duite e NormPD x 4 la densit de la loi normale de moyenne u et d cart type e NormCD a b la probabilit de l v nement P a lt x lt b avec la loi normale centr e r duite e NormCD a b o g la de l v nement P a lt x lt b a
16. valle est proportionnel sa longueur 4 La densit d une loi uniforme sur l intervalle 1 1 4 est la fonction constante gale z 5 On ne peut pas d finir une loi uniforme sur l intervalle 0 Exercice 26 bis QCM une ou plusieurs r ponses On consid re une variable X qui mod lise le choix d un r el au hasard dans l intervalle 0 10 On d signe par Ent la fonction partie enti re 1 P X 5 est gal a 5 r OH b c P X lt 1 2 P Ent X 5 est gal 1 a 10 b 0 c P X lt 1 3 P X gt 7 est gal a P X 27 1 b P X 27 c P X lt 3 4 Lesp rance de X est 1 10 b 1 c 5 5 P X gt 9 est gal 1 a 10 b Px X 26 5 c 0 7 Exercice 27 vrai faux P est la probabilit d finie par une loi exponentielle de param tre 1 1 P 0 2 2P 0 1 2 Paa CEZARO 3 si AEE alors 4 e w e 5 si P 0 in4 0 5 alors 2 ENSM Cours Pi Marc Bizet 2013 2014 Exercice 28 QCU une seule r ponse La variable al atoire X suit une loi exponentielle de param tre gt 0 1 Si P X gt 2 0 5 alors a jnt 2 b A In2 C 3 tin 2 2 Si esp rance de X vaut 3 alors a ga 3 b A In3 C jets 3 3 La probabilit de l v nement 1 lt X lt 3 est a e e b e e e Cu e 4 Lesp rance de X est gale da 2 p 12 1 CR E
17. valle Z si a I 1 10 1 V3 b I 1 3 2 3 c I 1 Exercice 16 QCM une ou plusieurs r ponses La variable al atoire X suit une loi exponentielle de param tre et mod lise la dur e de fonctionnement exprim e en heures d un appareil m nager avant sa premi re panne 1 pour tout r el t20 la valeur exacte de P X 2t est a 1 e b e 1 co e 2 La valeur du r el 7 tel que P X lt r P X 2 est a b 3 gt Sir 3 Silon sait que la probabilit qu un appareil tombe en panne avant la premi re ann e est 0 18 alors a a 41 b a 50 S In82 In100 4 P X23 a 1 P 2 lt X lt 3 b P X2 gt 1 c P X2 gt 3 Exercice 17 vrai faux 1 La variable X suit une loi uniforme sur 1 5 On a P O X lt 2 2 Si une variable al atoire suit une loi exponentielle de param tre la probabilit que X soit is k A 1 sup rieure son esp rance ne d passe pas 2 3 La variable al atoire T suit une loi exponentielle sur 0 Alors P 1 lt T lt 4 P 5 lt T lt 8 Exercice 18 vrai faux La fonction f propos e d finit une densit de probabilit sur l intervalle 7 1 1 0 1 f te 2 1 0 1 f t 4t 3 I 1 0 fiter 4 I1 1 1 fin r ENSM Cours Pi Marc Bizet 2013 2014 Exercice 19 QCM une ou plusieurs r ponses On a repr sent ci dessous la fonction de densit d une loi exponentielle de param tre
18. vec la loi normale probabilit de moyenne u et d cart type 1 Interpr tez les r sultats suivants a NormCD 1 6 2 3 0 7745375448 b NormPD 0 3 0 3813878155 c InvNormCD 0 975 1 0 1 959963985 d InvNormCD 0 45 4 10 9 497354613 2 Quelle instruction donner la machine pour calculer avec X variable al atoire suivant la loi normale Jf 0 1 3 Quelle instruction donner la machine pour calculer avec X variable al atoire suivant la loi normale JP 10 4 a P 10 1 lt X lt 10 8 b P X lt 8 Exercice 38 On a observ que la taille T des basketteurs en cm suivait approximativement une loi normale 195 6 1 D terminer sans calcul un intervalle dans lequel la taille d un basketteur pris au hasard a deux chances sur trois de se trouver 2 Un recruteur d cide de restreindre sa recherche aux basketteurs qui se situent dans le plus petit intervalle 7 centr en 195 tel que P TE1 0 8 a D terminer cet intervalle b Sachant que le meilleur basketteur fran ais Tony Parker mesure 1 86m que peut on penser du choix du recruteur Exercice 39 On consid re la fonction f d finie sur 22 par 2 2 1 D terminer le r el k pour que f soit la densit f thkcost o ke R d une loi de probabilit sur 22 et la repr senter graphiquement 2 Soit X une variable al atoire suivant la loi de probabilit d finie par f calculer a rx gt 6 b p Z lt x lt 2 4 4 1
19. xercice 29 vrai faux La dur e d attente en secondes la caisse d un supermarch est une variable al atoire Y qui suit une loi exponentielle de param tre 0 01 1 La densit de probabilit d finissant la loi de Y est la fonction f O c par Tee 2 Pour tout r el r positif P Y lt t 1 e 3 La probabilit d attendre moins de 3 minutes cette caisse est 10 pr s gale 0 03 4 Ily a plus d une chance sur deux que l attente soit sup rieure 1 minute d finie sur Exercice 30 Quelle est la probabilit qu un appareil dont la dur e de vie suit une loi exponentielle ait une dur e de vie sup rieure ou gale au 1 double de son esp rance 2 triple de son esp rance Exercice 31 vrai faux La variable X suit une loi binomiale B n p X suit une loi normale J 0 1 t e dt 15 impl eoa P X e 1 4 P X e 4 1 P X e 2 6 P X e 0 4 X np 4 lt np 1 p wW N suit la m me loi que X Exercice 32 QCM une ou plusieurs r ponses La variable al atoire X suit une loi normale J 0 1 1 P X gt 2 est gal a P X lt 2 b P X gt 2 c P X lt 2 2 On pose P 2 lt X lt 2 p a p gt 0 95 b p lt 0 99 c p gt 0 99 3 On pose P X lt 2 q 1 1 a qg P 2 lt X lt 2 Gers b q lt 0 95 c q 2P 0 lt X lt 2 Exercice 33 vrai faux On a repr sent la fonction de densit de la loi normale 2 y f x e po
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