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Suites et séries numériques.

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1. Enfin on tend la fonction inverse R 0 en posant toujours par d finition Attention l inverse de 0 n est toujours pas d fini 3 4 Application aux calculs de limites Proposition 3 4 1 On consid re deux suites r elles u ur nen et v vn nen et deux l ments L et l deR tels que lim un et lim wm n 00 n 00 Alors 1 Siu lt v alors lt L 2 Sil l est d fini alors u v tend vers L l 3 Si Ul est d fini alors uv tend vers LL 4 Si1 est d fini c est dire si l 0 alors un 0 pour n assez grand et lim lu 1 6 18 D monstration Si et V sont finies ce n est pas nouveau On supposera donc d sormais que ou l est infinie si l o ou o l in galit lt Z est toujours vraie Il ne reste que les cas 00 qui r sulte de G 2 1 5 et qui s en d duit en prenant les suites oppos es Pour les deux autres assertions on peut supposer quitte passer aux suites oppos es que ou 7 o 00 par sym trie on supposera m me que 00 2 le cas c est exclu forme ind termin e et donc la suite v est minor e par 2 3 4 si A R et pa Eg si il existe une constante a telle que v gt a et la suite u a tend 3 2 vers 00 par 3 2 1 6 donc u v aussi par 3 2 1 5 le cas 0 est exclu forme ind termin e donc quitte changer v en v on peut supposer
2. 00 D monstration Pour tout n N posons un 1 z ainsi u est une suite d finie sur N et d pendant de x qui est une donn e de l nonc L id e est de passer au logarithme pour cela il faut s assurer que un gt 0 ce qui est vrai pour n assez grand savoir explicitement pour n gt x ce qu on supposera dans la suite Sous cette hypoth se on a donc un e o vn n In 1 2 Par continuit de l exponentielle il suffit donc de montrer que lim v x Si l on pose hn on a n 00 nm 1 h Un n ln 1 hn a A hn Alerte Ceci n a pas de sens lorsque hp est nul ce qui arrive si et seulement si x 0 Mais dans ce cas la proposition est triviale v rifiez On suppose donc que x 0 et donc hn 0 notre formule est donc valable D apr s le r sultat pr c dant la proposition et le fait que lim hn 0 on a n gt too lii In 1 hn n 00 hn 1 d o le r sultat 27 Chapitre 6 Suites complexes 6 1 Les nombres complexes L ensemble des nombres complexes est comme R muni d une addition et d une multiplication qui en font un corps commutatif En revanche la relation d in galit ne se prolonge pas C Les propri t s de R vues en qui ne d pendent pas de cette relation mais seulement de l addition et de la multiplication s tendent sans difficult C Un nombre complexe z C s crit sous forme cart sienne z a ib o a
3. D finition 1 8 1 On dit qu un ensemble E est fini s il est vide ou s il existe un entier n non nul et une bijection u 1 2 n E ceci revient dire que E u1 Uun o les l ments u sont deux deux distincts on peut alors montrer qu un tel entier n est unique et on l appelle le cardinal de E Le principe de r currence permet d obtenir exercice le r sultat suivant Proposition 1 8 2 Un sous ensemble de R qui est fini et non vide a un plus petit et un plus grand l ment Exercice Montrer que tout sous ensemble d un ensemble fini E est fini On pourra faire une r currence sur le cardinal de E Montrer qu un sous ensemble de N est fini si et seulement si il existe un entier n tel que E C 0 1 n Comparaison des entiers et des r els On admet que le sous ensemble de R form des entiers naturels n est major par aucun r el ce qui quivaut la propri t suivante Propri t d Archim de Pour tout r el x il existe un entier naturel n tel que x lt n Exercice Soit E un sous ensemble non vide de N D montrer les deux r sultats suivants 1 L ensemble E a un plus petit l ment 2 Si E est major il a un plus grand l ment Ces deux propri t s sont elles v rifi es dans R Et dans Z Proposition 1 8 3 Pour tout r el x il existe un et un seul entier relatif k tel que k lt x lt k 1 Cet entier est not Ex et l application R Z x Ex est ap
4. I f g eth des fonctions r elles d finies sur I et V des r els On suppose que f resp g tend vers resp l en a Alors 1 Si f lt g alors lt l 2 unicit de la limite si f g alors 3 f g resp fg tend vers resp vers L ena 4 th or me des gendarmes si f lt h lt g et si l alors h tend vers l ena 5 si l 0 alors f x 0 pour tout x I assez proche de a c est dire qu il existe un intervalle ouvert J centr en a tel que f ne s annule pas sur INJ pour J comme ci dessus la fonction 1 f qui est d finie sur I N J tend vers 1 2 en a Noter que l on a a IN J de sorte que cette assertion a un sens On suppose maintenant que f est valeurs dans un intervalle J et que amp est une fonction r elle d finie sur J Alors 6 LEJ 7 composition des limites si p a une limite m en ce qui a un sens d apr s 6 alors la fonction compos e po f tend vers m en a De fa on imag e et plus facile retenir on exprime en disant si f x tend vers lorsque x tend vers a et si y tend vers m lorsque y tend vers alors y f x tend vers m lorsque x tend 23 vers a Noter cependant que l apparence vidente de cet nonc est trompeuse car les phrases telles que x tend vers a ou p y tend vers m prises isol ment n ont aucun sens Nous utiliserons librement toutes ces propri t s qui ne sont pas
5. les in galit s larges passent la limite Il n en est pas de m me des in galit s strictes consid rer par exemple les suites un 0 et 1 Un Cd Proposition et D finition 2 3 3 Unicit de la limite Soit u une suite convergente Alors u admet une seule limite Ceci justifie de parler de la limite de la suite si elle existe et si L est cette limite de noter L lim un n 00 D monstration Supposons que et l sont des limites de u Appliquant avec u u puisque u tend vers l et u vers l et que u lt u trivialement on en d duit lt V En changeant les r les on a aussi lt d o l cqfd Exercices Montrer que si lim uw ona lim fu 4 n 00 n 00 Ecrire la d finition de la suite u ne converge pas avec des quantificateurs Proposition 2 3 4 Toute suite convergente est born e D monstration Soit u une suite convergente et soit Z sa limite Alors il existe no tel que Un El 57 0 57 pour tout n gt no bien entendu vous pouvez refaire la d monstration en rempla ant 57 par ce que vous voudrez Pour tout entier n on a donc un B F L 57 57 o F est l ensemble fini donc born uo u1 un 1 Il est clair que B est born d o la conclusion Explicitement on a u lt max wol ui un 1 57 m 2 4 Limites et op rations Commen ons par le cas des suites tendant vers 0 Propos
6. crit aussi 00 00 00 Fedt lt XO fin lt f 0 f dt V n 0 0 46 Voici un exemple tr s important D finition 11 3 2 Soit a R un r el La s rie de terme g n ral a n gt 1 est appel e s rie de Riemann d exposant a Th or me 11 3 3 La s rie de Riemann d exposant a est convergente si et seulement si gt 1 D monstration Dans le cas lt 0 le terme g n ral 4 ne converge pas vers 0 donc la s rie est grossi rement divergente Si a gt 0 appliquons le th or me pr c dent la fonction x gt falz T Elle est positive continue et d croissante parce que gt 0 sur R donc le th or me s applique La fonction fa admet pour primitive la fonction UD iag zm Falz J 1 t dt a sia 1 On en d duit que lim Falz LT 00 si a lt 1 1 aI SI Q gt 1 d o le r sultat Remarques Lorsque a 1 on retrouve la divergence de la s rie harmonique Pour a gt 1 la remarque suivant le th or me donne l encadrement 8 1 1 1 lt j fi a 1 cn ne a 1 n l Exercice les s ries de Bertrand Soit a B R On consid re la s rie de terme g n ral Un ET n gt 2 Montrer que cette s rie converge lorsque a gt 1 ou que a 1 et 8 gt 1 Sinon elle diverge 11 4 Comparaison avec les s ries g om triques crit res de Cauchy et de d Alembert Proposition 11 4 1 crit re de d Alembert Soit un une
7. 1 2 u2 2 Unti 3 Un E Un du n n Cette suite est aussi connue sous le nom de suite de H ron On obtient ainsi u1 1 5 u2 1 4166666 u3 1 4142157 u4 1 4142136 Les valeurs de u semblent se stabiliser assez vite En v rifiant que g 1 414213 x g 1 414215 lt 0 l application du e E que 2 1 414213 1 414215 donc 1 414214 est une va leur d cimale approch e de 2 107 pr s Si on veut plus pr cis ment estimer la rapidit de convergence on est conduit estimer u 2 en fonction de n pour cela on peut utiliser l in galit des accroissements finis en majorant f sur un intervalle contenant les termes de la suite On voit que f 42 0 donc si on part assez pr s de V2 la convergence doit tre rapide Mais il y a mieux En effet on a un 1 V2 un VI lt CD lt un V2 Donc si 2Un lun V2 lt 107 avec p N on obtient us 1 V2 lt 107 On dit que la convergence est quadratique en gros le nombre de d cimales exacte double chaque it ration Ce ph nom ne est g n ral pour la m thode de Newton du moins pour des fonctions f assez r guli res par exemple deux fois contin ment d rivables Pour ceux qui connaissent les d veloppements limit s on a en effet au voisinage de f x FO 0 F0 SL F0 ele o lim efe 0 d o fle F 0 EFO x 40 Chapitre 10 S ries num riques 10 1 Not
8. 11 1 Un crit re de convergence Proposition 11 1 1 Soit un une suite dont tous les termes sont r els positifs La s rie de terme g n ral u converge si et seulement si la suite Sy de ses sommes partielles est major e D monstration L hypoth se implique que la suite des sommes partielles est croissante Or une suite croissante converge si et seulement si elle est major e 11 2 Comparaison de deux s ries termes positifs Proposition 11 2 1 Majoration par une s rie convergente Soient un et vn deux suites r elles telles que pour tout n N on ait O lt un lt vn Alors 1 Si la s rie de terme g n ral v converge celle de terme g n ral u converge aussi et on a 00 00 5 Un lt 5 Un n 0 n 0 2 Si la s rie de terme g n ral u diverge celle de terme g n ral v diverge aussi D monstration Pour tout N E N ona N N n 0 n 0 Si la s rie de terme g n ral v converge la suite de ses sommes partielles est major e d apr s la suite des sommes partielles de la s rie de terme g n ral u est aussi major e et cette s rie est termes positifs donc elle converge proposition ELLI L in galit entre les deux sommes s obtient en passant la limite dans est une cons quence imm diate de 1 Exemples 44 1 Si un 57 on a Yn N 0 lt un lt 5 le terme de droite est celui d une s rie g om trique de raison 3 qui converge car 13 lt 1 donc
9. I et un une suite valeurs dans I c est dire telle que Yn N un I On suppose que u converge vers a Soit f I R une fonction d finie sur I 1 On suppose que f a une limite en a Alors la suite f o u n gt f un converge vers 2 On suppose que a I et que f est continue en a Alors la suite fou n gt f un converge vers f a D monstration L assertion 2 est videmment un cas particulier de 1 Il suffit donc de montrer 1 Soit gt 0 Par hypoth se il existe gt 0 tel que VER Ixr a lt a f x lt e Pour un tel gt 0 l hypoth se lim un a permet de choisir un entier no tel que n 00 Yn gt no un a lt On a trouv no N tel que Yn gt no f un 4 lt E Ceci pour gt 0 arbitrairement petit D o le r sultat m Remarque Dans l nonc de l hypoth se que a T est en fait une cons quence du fait que u converge vers a et est valeurs dans J exercice 24 Exemple On a lim 1 0et lim 0 donc lim In 1 1 0 n 00 n 00 La proposition admet une r ciproque Proposition 5 1 6 les limites de fonctions se testent avec des suites Soient I un intervalle de R a I f I R une fonction d finie sur I et L R On suppose que pour toute suite un nen valeurs dans I telle que lim un a on a n 00 lim fun Alors on a lim f x n 00 xz gt a D monstration
10. R 0 1 3 Relation d in galit lt L ensemble R est muni d une relation not e lt Pour deux r els x et y x lt y se lit x est inf rieur ou gal y ou y est sup rieur ou gal x et se note aussi y gt x on dit que x est positif respectivement n gatif si on a 0 lt x respectivement x lt 0 On note R respectivement R l ensemble des r els positifs respectivement n gatifs Rappelons les premi res propri t s de la relation lt 1 5 6 Antisym trie Vr yeR x lt yety lt x x y 2 R flexivit Vr ER x lt x 3 4 Totalit On peut toujours comparer deux r els Yx y R x lt y ou y lt x Ceci permet Transitivit Vr y 2 R x lt yety lt z x lt z de d finir max x y comme tant y dans le premier cas et x dans le second noter qu il n y a pas d ambigu t m me si l on est dans les deux cas la fois Cette relation est compatible avec Vr y z R x lt y x 2 lt y 2 Elle est compatible avec x Vx y R 0 lt zetx lt y 2xx lt 2x y L ensemble de ces propri t s se r sume en disant que le corps R x est un corps totalement ordonn Par d finition x lt y ou encore y gt x signifie x lt y et x y et se lit x est strictement inf rieur y Cons quences 1 OROT SE RAIN L ensemble R est la r union des deux sous ensembles R4 et R d intersection 0 Va yER x lt y am
11. ainsi que quelques termes de la suite en fonction de uo Ces dessins peuvent permettre de deviner le comportement de la suite u selon les valeurs de uo un dessin en escalier fait conjecturer que la suite est monotone un dessin en escargot que les deux sous suites uzn et u2 1 sont monotones ce dessin peut aider deviner si la suite est convergente ou non 2 V rifier si la suite est bien d finie en cherchant par exemple un intervalle conserv par f 3 Chercher les candidats pour une limite ventuelle de la suite 4 Ensuite on peut tudier la monotonie ventuelle de u cas d un escalier ou de ses sous suites usn et u2n 1 cas d un escargot et essayer d utiliser le th or me sur les suites monotones ou le th or me sur les suites adjacentes m thode qualitative Attention Si f est continue les limites ventuelles de un et de u2 1 sont des points fixes de fof et non de f regarder l exemple o uo est un r el quelconque et o Un 1 un 38 5 On peut aussi utiliser une m thode quantitative en estimant u o Z est un candidat limite On arrive parfois estimer u 1 en fonction de u puis par r currence en fonc tion de uo 4 On peut par exemple utiliser l in galit suivante dite des accroissements finis Proposition 9 2 1 Si f est d rivable sur I et Yx I f x lt M on a pour tous x y I JF f u lt Mr y
12. dire 0 lt x N lt 1075 ou encore zy lt lt TN 107 2 Pour tout N EN onaxn 0 a1 an 3 x lim 0 a an N o0 D monstration 1 s obtient en appliquant la d finition de zy Pour N N par d finition de ay on a an lt 100 x ny_1 lt 1 an donc E 10 x 10Nxwv_1 an et par d finition de y N N_1 TU Le r sultat 2 s obtient donc en faisant une r currence sur N 3 est une cons quence directe de 1 et 2 Th or me 8 2 2 1 Tout r el est limite d une suite de d cimaux 2 Tout intervalle ouvert non vide de R contient au moins un rationnel et un irrationnel D monstration 1 est une cons quence de la proposition pr c dente 2 On peut se ramener au cas d un intervalle a b o a lt b Le milieu 7 de l intervalle est limite d une suite n de d cimaux Pour N assez grand zy est donc dans l intervalle et il est rationnel L intervalle a 2 b 4 2 contient de m me un rationnel r et r V2 appartient Ja b Or V2 n est pas rationnel donc r 4 2 non plus On a trouv un irrationnel dans a b 8 3 D veloppement d cimal Soit an une suite de nombres entiers compris entre O et 9 avec ao 0 et pour N N xn 0 al QN 35 La suite xy est croissante et born e xy 0 1 pour tout N donc elle converge vers un r el r lim zy de l intervalle 0 1 que l on note x 0 aia2 ayn On dit que a1 an
13. f x est arbitrairement proche de L quand x est suffisamment grand soit Ve gt 0 24 gt 0 Vrel x gt A f x L lt e iii Cas l o et L limite o en 00 f x est arbitrairement grand quand x est suffisamment grand soit YM gt 0 3A gt 0 Vzx I x gt A gt f x gt M On a des d finitions analogues en rempla ant 00 par co Remarque Dans tous les cas si f x admet une limite L quand x tend vers a on peut montrer que cette limite est unique et ceci justifie la notation lim f x L T a Exemples Retenir lim 2 0 et lim 60 oo oo 7f La proposition P 1 5 se g n ralise avec une d monstration analogue ainsi que sa r ciproque 5 1 6 Proposition 5 3 2 Soit I un intervalle f I R une fonction d finie sur I a TetLeR 1 Soit un une suite valeurs dans I On suppose que AUS Un et que lim f L Alors in flun L 2 R ciproquement supposons que pour toute suite u N I ayant pour limite a on ait lim flun L Alors f a pour limite L en a n too Exemples i lim 0 donc lim 0 De m me lim P oo x 00 n 00 n 00 ii Fonctions puissances Soit R Pour tout x R on a z exp aln z En utilisant les limites des fonctions In et exp l infini on obtient lim n 1si 0 lim n o sia gt 0et lim n 0 si are n 00 n 00 n a lt 0 C
14. gt 0 et que P _1 soit v rifi e Pour tout p N on a alors up lt Up k d apr s Pk 1 et d autre part Up k lt Up k 1 d apr s d o Up lt Up 1 k par transitivit Ainsi P est d montr e cqfd Exercices crire l aide de quantificateurs la d finition d une suite non major e resp non minor e non born e On consid re la relation de r currence 1 2 Yn EN Un zn n V rifier qu il existe une et une seule suite Un nen v rifiant cette relation et telle que uo 2 Etudier l ventuelle monotonie de u et montrer que un est born e 2 2 Suites convergentes D finition 2 2 1 Soit u une suite r elle 1 On dit que u tend ou converge vers O ou que u a pour limite O si un intervalle ouvert arbitrairement petit centr en 0 contient tous les termes de la suite partir d un certain rang c est dire formellement Ve gt 0 Ino E N Yn E N n gt no gt url lt 2 On dit que u converge vers un r el ou tend vers ou a pour limite si la suite u tend vers Q 3 On dit que u converge s il existe un r el tel que u tende vers Exemples 1 Une suite constante ou stationnaire est convergente plus pr cis ment la suite constante de valeur a pour limite 2 La suite G converge vers 0 En effet fixons gt 0 La propri t d Archim de dit qu il existe un entier no tel que 1 lt no On a alors pour tout entie
15. le second membre d signe la fonction constante M sur S autrement dit tel que l on ait f x lt M pour tout x dans S Bien entendu un tel M est appel majorant de f Dire que f est major e par M quivaut dire que l image de f c est dire la partie de R d finie par FCS Im f f x x S y ER Jx S tel que f x y est major e par M On d finit de m me les fonctions minor es et les fonctions born es Exercice La somme de deux fonctions major es resp minor es resp born es a la m me propri t Le produit et la diff rence de deux fonctions born es sont des fonctions born es Si f est major e minor e born e que peut on dire de f 1 8 Entiers et r els Principe de r currence Soit E un sous ensemble de N Supposons que 1 0 E 2 pour tout entier n si n E E alorsn 1 E Alors E N Mode d emploi On applique ce principe lorsqu on veut d montrer qu une propri t P n a priori vraie ou fausse selon la valeur de l entier naturel n est vraie pour tous les entiers n On consid re l ensemble E des entiers n tels que P n soit vraie Une premi re tape est de bien d finir la propri t P n Restent deux tapes 1 Initialisation de la r currence on montre que P 0 est vraie 2 H r dit on fixe un entier n tel que P n soit vraie et on montre que P n 1 est encore vraie On peut alors conclure que P n est vraie pour tous les entiers n
16. no gt un lt lt On en d duit x La r ciproque est imm diate M me chose pour une limite quelconque 5 On peut aussi remplacer les intervalles ouverts centr s en par les intervalles ouverts contenant exercice Pour utiliser efficacement la notion de limite il y a beaucoup de propri t s d montrer limite d une somme d un produit in galit s sur les limites Commen ons par quelques cons quences imm diates de la d finition pour les suites convergeant vers 0 Proposition 2 2 2 Soit u et v deux suites r elles 1 On suppose que u tend vers 0 Soit r un r el strictement positif Alors on a un lt r pour tout n assez grand c est dire il existe no N tel que l on ait un lt r pour tout n gt no alors v tend vers Q 2 Siu tend vers 0 et si v lt u 3 Pour que u tende vers 0 il faut et il suffit que u tende vers 0 D monstration Pour l assertion 1 il suffit d appliquer la d finition de la convergence avec E Tr pour tout n au moins gal no convenable on a un lt r et a fortiori un lt r Montrons l assertion 2 Soit gt 0 arbitraire Comme u tend vers 0 il existe no N tel que l on ait u lt pour tout n gt no Pour un tel n on a a fortiori un lt ce qui montre bien que v converge vers 0 Enfin 3 r sulte de appliqu e aux suites u et u Remarque On a videmment la propri t sym trique de si s e
17. que e gt 0 Choisissons un A ctel que 0 lt c lt l Alors pour n assez grand on a v gt cet un gt 0 donc UnUn gt Cun D apr s ee 8 2 11 7 la suite cu tend vers 00 on conclut donc par G 2 1 6 4 c est la proposition TG Exemples dans le cas o l l 0o i Exemple o u v n a pas de limite un n Un n 1 ii exemple o u v tend vers 00 Un n Un n iii exemple o u v tend vers 00 Un N Un n iv exemple o u v tend vers a R fix arbitrairement Un n Un a n Exercice Refaire les d monstrations de 3 4 1 directement en partant dans chaque cas de la d finition d une limite Dans le cas des formes ind termin es donner des exemples illustrant les diff rentes pos sibilit s Des m thodes pour calculer des limites i Majorer ou minorer la LE pour se ramener une suite plus simple 1 sin n pees sinn ES lt zy im HT 0 donc En m 0 ii Mettre en vidence les termes pr pond rants pour lever les ind terminations 2 1 n241 _ 55 CT pe Ea x n241 _ 140 _ n3 3n 1 n 1 E Z et im n im zz 0 donc AU ST 1400 L On verra d autres m thodes plus loin chapitre 5 19 Chapitre 4 Exemples importants 4 1 Suites arithm tiques D finition 4 1 1 Soient a et b deux r els La suite arithm tique de raison a et de terme initial b est la suite nEN un b na Bien enten
18. rie converge donc si et seulement si q lt 1 et dans ce cas on obtient la formule fondamentale 41 00 1 2 9 Silgl lt 1 m 1 1 1 1 3 Si un es on observe que pour tout entier n DGI it a d o S u y 1 va pour tout entier N La s rie est donc convergente et l on a 00 1 n 0 FDF 4 La s rie harmonique est la s rie de terme g n ral un Montrons que la s rie harmonique est divergente en effet si on suppose par l absurde qu elle converge on a Vin San 1 Sn 1 0 la suite Sy 1 est convergente et la 00 1 EL de sommes partielles Sy suite S2n_1 en est une sous suite donc a la m me limite Mais pour tout N N on a 2N 1 San 1 Sn 1 D z gt Nx 3y d o une contradiction n N E za poaz 1 5 La s rie harmonique altern e est la s rie de terme g n ral a CDN S u n t i GH On verra plus loin qu elle est convergente on peut montrer que sa somme est gale In 2 de sommes partielles 6 Soit ay nen une suite d entiers compris entre 0 et 9 Les r sultats du chapitre 8 montrent que la s rie 7 107 a est convergente et que sa somme est par d finition le nombre dont l criture d cimale est ao a1a2 an Utilisation du signe N La somme Sy J un ne d pend que de N et pas de n on dit que l indice n est muet On n 0 N peut tout aussi bien crire
19. s suivantes n 00 1 S 1ER lim Aun AL 2 lim un Un L L 3 lim mer ts n 00 4 sil 0 on a un 0 partir d un certain rang no et lim amp 2 n o0o Un n gt no D monstration Posons u u et v v l par hypoth se les suites u et v tendent vers 0 Comme w tend vers 0 la suite u Au M tend vers 0 d apr s 2 4 1 2 Donc Au tend vers M comme annonc La preuve de 2 est analogue en appliquant 1 aux suites u et v Pour 3 on remarque que uv L w v W Lu Vu uv Les suites 4v et lu tendent vers 0 en vertu de 2 4 1 2 et uv aussi par toute suite convergente est born e Donc uv L lv Vu u v tend vers 0 d o le r sultat Supposons pour fixer les id es que gt 0 Alors 4 2 lt donc pour n gt no convenable on a Uun gt 2 et en particulier un 0 Dans la suite on supposera cette condition v rifi e On a aussi 0 lt 1 un lt 2 de sorte que la suite 1 un d finie pour n gt no est born e Pour montrer qu elle converge vers 1 2 on remarque que Un Par hypoht se un tend vers 0 et a est born e puisque l est L assertion r sulte donc nouveau de 2 4 1 3 Th or me 2 4 3 Th or me des gendarmes Soient trois suites r elles u v et w telles que v lt U lt W v et w convergent vers une m me limite Alors u converge vers 13 D monstrat
20. suite de la forme uoq o ug C On g n ralise alors les propositions et 4 2 3 Proposition 6 3 2 Soit q C i Siq 1 alors q est constante ii Si q lt 1 alors lim q 0 n 00 iii Si q gt 1 q n est pas born e donc ne converge pas iv Si q 1 q 1 la suite q ne converge pas 1 gn i 1 q v Siq 1 alors Yn eN 1 q q D monstration Pour ii et iii il suffit de remarquer que q q iv supposons que q 1 et que q converge vers un complexe Comme lim q lim q n 00 n 00 et lim q q lim q on a ql f soit q 1 ou 0 Mais le cas 0 est exclu car la n 00 n 00 suite q est gale 1 donc ne tend pas vers 0 Donc q 1 La propri t v se d montre comme dans le cas r el 30 Chapitre 7 Suites r elles monotones 7 1 Majorants et limite d une suite croissante convergente Une suite r elle convergente est born e Pour les suites monotones on a plus pr cis ment Proposition 7 1 1 Soit u une suite r elle Si elle est croissante resp d croissante et converge vers un r el alors elle est major e resp minor e par Attention La r ciproque est tr s fausse Si un est croissante et major e par un r el elle ne converge pas forc ment vers la preuve tous les r els gt sont aussi des majorants alors que u a au plus une limite D
21. un d l ments de E telle que E soit l ensemble des l ments un Exemples Un ensemble fini non vide est d nombrable les ensembles N Z D et Q sont d nombrables Proposition 8 4 2 L ensemble 0 1 n est pas d nombrable l ensemble R non plus D monstration Soit u une suite de nombres l ments de 0 1 Pour n N on note ah Ne le d veloppement propre de un et a af 21 si am Ze Ts a 0 Soit x 0 ajs Eee c est un d veloppement propre et pour tout n N on a al a donc x un L ensemble 0 1 ne se r duit pas l ensemble des l ments u de la suite Ceci tant vrai pour n importe quelle suite ni 0 1 ni R ne sont d nombrables Exercice Calculer 0 98989898 x 0 12121212 36 Chapitre 9 Suites d finies par une formule de r currence 9 1 G n ralit s On cherche souvent tudier des suites v rifiant une relation Vn N Uun 1 f un o f est une fonction de R dans R ou de C dans C Exemple Soit q R Si on cherche les suites r elles u v rifiant Yn N Un 1 qun il est facile de voir que les solutions sont les suites un aq o a R c est dire les suites g om triques de raison q La premi re question est de savoir si on peut d finir de telles suites Plus g n ralement Proposition 9 1 1 Soient E un ensemble quelconque f une application de E dans E et a un l ment de E Il existe alors une et une seule
22. On montre la proposition contrapos e de celle annonc e Supposons donc que f ne tend pas vers en a Nous allons construire une suite un nen qui converge vers a mais telle que f un ne converge pas vers L hypoth se sur f nous dit qu il existe gt 0 tel que pour tout amp gt 0 il existe x tel que ta al lt a et f a l gt Soit n N pour d finir le terme u de notre suite on applique la propri t pr c dente avec a Posant donc Un x1 41 on obtient d n 1l 1 fun a lt et flun 4 gt eo 1 La suite un converge donc vers a puisque un a lt z pour tout n En revanche la suite f un ne tend pas vers 0 elle est minor e par o gt 0 donc f un ne tend pas vers cqfd Li Remarque sur la d finition des limites de fonctions Reprenons les notations de la d finition 1 1 et supposons de plus que a I Dans ce cas certains ouvrages donnent une d finition diff rente d une limite en excluant a c est dire en rempla ant Vx I par Vx I a Par exemple la fonction amp d finie sur R par 0 six 0 p z 1 sig 0 a une limite en 0 savoir 0 chez ces auteurs mais n en a pas avec notre d finition En fait on v rifie facilement exercice que si a I et si f a pour limite en a alors on a n cessairement f a en effet en appliquant la d finition avec x a on c
23. R et b R Cette criture est unique de sorte que a et b m ritent des noms ce sont respectivement la partie r elle et la partie imaginaire de z Notations a Re z b Im z Pour z a ib comme ci dessus on d finit son module z par z Va b et son conjugu Z par Z a ib On rappelle les formules o z et w sont des nombres complexes quelconques Z2FwW Z W Z0 Z0 z2 2 92Re z z2 Z 2ilm z zZ z zwl 2 l wl et les in galit s triangulaires z w lt j jw z wl z lwl Si z 0 z s crit sous forme polaire z z e o 0 R dans ce cas on a aussi pour tout k Z z 2 e 0F2kr les nombres 0 2kr sont appel s arguments de z Exemples i e5 1 i V2eit V2 Les notions de partie major e ou minor e de R n ont pas d analogue dans C On dit en revanche qu une partie X de C est born e si la fonction r elle z gt z est born e sur X Il revient au m me de dire qu il existe un r el R strictement positif si l on veut tel que z lt R pour tout z C ou encore que X est contenu dans un disque centr en 0 du plan complexe Compte tenu des in galit s IRe z lt el m z lt 2 le lt Re 2 Im 2 valables pour tout z C la troisi me r sulte de l in galit triangulaire on voit que X est born e si et seulement si les fonctions Re et Im sont born es sur X Si est un ensemble quelconque et f une fonction valeurs complexes sur
24. c est dire une application de dans C on dit comme dans le cas r el que f est born e si son image est born e 28 c est dire s il existe un r el R gt 0 tel que f x lt R pour tout x E Il revient au m me de dire que la fonction r elle f est born e ou encore que les deux fonctions r elles Re f et Im f sont born es utiliser les in galit s ci dessus La notion de fonction complexe born e sera notamment utilis e plus bas dans le cas des suites 6 2 Convergence des suites complexes D finition 6 2 1 On appelle suite complexe toute application de N dans C On utilise le m me type de notations n gt un etc que pour les suites r elles D finition 6 2 2 Soit u une suite complexe 1 On dit que la suite u tend ou converge vers O si la suite r elle u donn e par n lui tend vers Q 2 On dit que la suite u tend ou converge vers un nombre complexe si la suite u converge vers 0 autrement dit d apr s 1 si lim un 0 n gt OO Remarque Dire que u tend vers veut donc dire Ve R Ino Yn EN n gt no gt lun 4 lt Autrement dit si on se donne un disque ouvert de centre arbitrairement petit un appartient ce disque d s que n est assez grand Exercice V rifier que si la suite u est r elle et si Z est r el la phrase u converge vers a le m me sens dans R et dans C Autrement dit la d finition ne contredi
25. converge pour tout x tel que x lt 1 vers In 1 x Une s rie de la forme J apx o az une suite de r els est appel e s rie enti re Si elle converge sur un intervalle 00 00 I et si So x D apx pour x I on dit que Y apg est un d veloppement en s rie enti re de k 0 k 0 D FR k 1 7 x S sur I lci gt in est donc un d veloppement en s rie enti re de In 1 x sur 1 1f k 0 Beaucoup de fonctions peuvent tre ainsi d velopp es en s rie enti re Les propri t s de ces fonctions sont tudi es dans le module SSF Suites et s ries de fonctions 53
26. entier Remarques propos de ces conventions il serait plus coh rent mais peut tre moins lisible de supprimer le 0 isol avant la virgule ainsi 1 10 serait not 1 et 0 serait d sign par la suite vide ou avec virgule On rappelle que la virgule est le seul s parateur d cimal l galement en vigueur en France et dans la majeure partie de l Europe occidentale l exception des les Britanniques Ceux qui 34 invoquent l informatique pour justifier l usage du point d cimal sont de gros menteurs et ou de gros paresseux les syst mes les plus r pandus notamment les tableurs donnent le choix Pour les d cimaux n gatifs la convention est que 1 2 se note 0 5 et non par exemple 1 5 on prendra donc garde que la partie avant la virgule n est pas en g n ral la partie enti re Posons zo ba bo et pour 1 lt N lt c y bg bo a1 an On v rifie que pour tout NE 1 c zy 107 E 10 x et ay E 10 x zy 1 l 8 2 Approximation des r els par les d cimaux Ce qui pr c de se g n ralise aux nombres r els au moyen de la notion de limite Pour simplifier on va se restreindre aux r els compris entre 0 et 1 Proposition 8 2 1 Soit x un r el tel que x 0 1 Posons xo 0 et pour N N zy 107 E 10 zx et ay E O0 x xn_1 l Alors 1 Pour tout N N le nombre d cimal xy est une valeur approch e par d faut de x 10 pr s c est
27. est un d veloppement d cimal de x n On a Le 1 iir donc la limite 0 999 1 et plus g n ralement si an 9 on a 0 a1a2 an999 0 a1a2 a000 o ay 1 an Un d veloppement qui ne stationne pas 9 est dit propre Proposition 8 3 1 Un r el x 0 1 a un d veloppement d cimal propre et un seul D monstration Comme on l a vu plus haut 8 2 1 si on pose YN N zy 1070 Ef10 x 0 a1 an alors 0 a1 an est un d veloppement de x Si ce d veloppement stationnait 9 on aurait x aja2 an999 tN Dr ce qui est impossible Donc x a au moins un d veloppement propre Inversement soit a1 an un d veloppement propre de x Puisque an ne stationne pas 9 pour tout N N il existe un n gt 1 tel que anin 9 On a alors x lt 0 a1 an9 9ann999 0 a1 an9 9a o ayn 1 ann Donc zx lt x lt 0 a1 an9 9 zy 10 V1 i lt y 1070 On obtient vy 107M E 10 x On retrouve le d veloppement consid r dans la proposition Donc x a un seul d veloppement propre Remarques Un r el de 0 1 est d cimal respectivement rationnel si et seulement si son d veloppement propre stationne 0 respectivement est p riodique Seuls les nombres d cimaux ont deux d veloppements un qui stationne 9 et un qui est propre 8 4 Compl ments D finition 8 4 1 Dire qu un ensemble E est d nombrable signifie qu il existe une suite
28. l objet de ce cours Les d mons trations sont d ailleurs enti rement analogues celles vues dans le cas des suites en gros l id e est toujours de remplacer pour n N assez grand par pour x I assez proche de a D finition 5 1 3 fonction continue Soient I un intervalle r el f I R une fonction d finie sur I et xo un point de I On dit que f est continue en xo si lim f x f xo On dit que f est continue sur T si elle est T T0 continue en tout point de I On d duit imm diatement de la proposition suivante Proposition 5 1 4 La somme les combinaisons lin aires le produit de deux fonctions continues sur I sont des fonctions continues sur I Le quotient de deux fonctions continues sur I dont le d nominateur g ne s annule pas sur I est continu sur I Si f I J C R est continue et si g J R est continue alors go f I R est continue Rappelons aussi qu une fonction d rivable est continue Exemples Les polyn mes sont continus sur R ainsi que les fractions rationnelles sur leur domaine de d finition Les fonctions sin et cos sont continues sur R ainsi que la fonction exponentielle La fonction logarithme est continue sur R Pour tout a R la fonction puissance x z sur R3 d finie par z e M est continue sur R Revenons aux suites L nonc qui suit est analogue la composition des limites vue en Proposition 5 1 5 Soient I un intervalle a
29. r el m est un minorant de E sim est inf rieur ou gal tous les l ments de E c est dire si VxeE m lt x ou encore E C m 00 3 L ensemble E est major s il admet un majorant minor s il admet un minorant born s il admet un majorant et un minorant Remarque Un ensemble est born si et seulement si il existe B tel que Vz E z lt B D finitions 1 6 2 Soit E un sous ensemble de R 1 Dire qu un r el M est un plus grand l ment de E signifie que M est un majorant de E qui appartient E On note alors M max E 2 Un r el m est un plus petit l ment de E si m est un minorant de E et appartient E On note alors m min E Exemples L intervalle 0 00 est minor par 24 par exemple n est pas major donc pas born Il admet un plus petit l ment 0 et pas de plus grand l ment L intervalle 2 1 est born on peut le majorer par tout r el sup rieur ou gal 1 le minorer par tout r el inf rieur ou gal 2 on a aussi Vx 2 1 x lt 2 Il n admet ni plus grand l ment ni plus petit l ment exercice L ensemble vide est born il n a ni plus grand l ment ni plus petit l ment et pour cause il n a pas d l ment du tout Un ensemble quelconque E C R a au plus un plus grand l ment si x et y sont deux plus grands l ments de alors x lt y car x E et y majore E et y lt x en changeant les r les d o x y Autre
30. suite termes r els strictement positifs Supposons que lim o R4 U 00 i Si lt 1 la s rie converge ii Si gt 1 ona lim Un 00 et la s rie diverge grossi rement n OO D monstration i Supposons lt 1 et choisissons un r el q tel que lt q lt 1 par exemple 1 Il existe un entier no tel que pour n gt no on a mE lt q soit puisque un gt 0 z U zZ 7 z k Un 1 lt qun On en d duit Yn gt no un lt un q po La s rie g om trique de terme g n ral q converge puisque 0 lt q lt 1 Le premier crit re de comparaison montre que la s rie de terme g n ral u converge 47 ii Supposons gt 1 et choisissons un r el q tel que 1 lt q lt On montre comme ci dessus qu il existe un entier no tel que pour tout n gt no on ait un gt cq o c est une constante gt 0 Comme q gt 1 on en d duit le r sultat Remarque Comme on le voit dans la d monstration on a un r sultat plus g n ral s il existe q 0 1 tel que uy11 lt qun pour n assez grand la s rie converge S il existe q gt 1 tel que uy11 gt qun pour n assez grand le terme g n ral tend vers 00 Proposition 11 4 2 crit re de Cauchy Soit un une suite r elle termes positifs Supposons que limy un r o LE R U 00 i Si lt 1 la s rie converge ii Si gt 1 ona lim un et la s rie diverge grossi rement n 00 La d monst
31. suite u N E d l ments de E v rifiant les conditions suivantes i uo a Yn N wa f un On dit alors que un est d finie par r currence par les conditions i et D monstration L unicit est facile sous la forme suivante si un nen et uh nen v rifient les conditions voulues alors on voit tout de suite par r currence sur p que up up pour tout p Esquissons la preuve de l existence qui est un peu plus subtile qu il n y para t Pour chaque entier p N notons X l ensemble des solutions partielles de rang p du probl me c est dire l ensemble des suites finies s s 0 s p v rifiant s 0 a et s k 1 f s k pour tout k lt p ce sont les conditions i et ii limit e aux entiers lt p On montre alors facilement par r currence sur p que Xp a un unique l ment que l on peut donc nommer disons sp s 0 s p De plus il est clair que pour tout k lt p la suite s 0 s k appartient Zx et est donc gale sk 0 Sk k Autrement dit s k qui a un sens d s que p gt k est ind pendant de p Si l on 37 pose Un Sn n pour tout n N on v rifie alors que la suite un nen v rifie les conditions i et ii de l nonc m Remarque En pratique nous appliquerons cette proposition lorsque E est un intervalle Z de R f est alors une fonction r elle mais il faut v rifier soigneusement qu elle d finit bien une application d
32. t s de convergence des suites r elles puis complexes 2 1 D finitions D finition 2 1 1 On appelle suite r elle toute application n un de N dans R On la note un neN et pour n N un est appel terme d indice n de la suite Remarques 1 Une suite est donc une fonction comme les autres La notation un plut t que n u n ou simplement u n a aucune justification autre que la tradition 2 Toutes les notions relatives aux fonctions r elles sur un ensemble s appliquent en particulier aux suites on sait par exemple ce qu est une suite major e minor e born e 3 Par extension il arrive que l on appelle suite une fonction r elle d finie seulement sur l ensemble des entiers gt no pour un certain entier no On notera alors alors un n gt no une telle suite Exemples 1 Les termes de la suite peuvent tre donn s par une formule par exemple Yn E N Un cosn ou Vn E N un Tr 2 On peut chercher tudier les suites v rifiant une relation de r currence par exemple les suites telles que Yn E N Un 1 sin un 3 De m me pour des r currences deux pas Vn N Un 2 2Un 1 Un 4 On obtient souvent des suites quand on tudie l volution d un syst me Par exemple si on lance une balle qui rebondit au sol on peut se poser la question de savoir si la balle s arr te au bout d un certain temps ou si elle rebondit ind finiment Pour d crire l volution on peut consi
33. un une suite croissante convergeant vers une limite r elle Z et soit un r el tel que lt 31 1 Montrer qu il existe un entier no tel que pour tout n gt no on ait lt un lt autrement dit On a Un gt pour tout n assez grand 2 Montrer que la limite est le plus petit des majorants de la suite 7 2 Un crit re de convergence Une suite born e n est pas toujours convergente Mais on admet que l ensemble des r els v rifie la propri t fondamentale suivante Th or me 7 2 1 admis Toute suite r elle croissante et major e resp d croissante et minor e est convergente Bien entendu le cas d croissant est cons quence du cas croissant remplacer la suite envisag e par la suite oppos e Remarque Si un nen est une suite r elle croissante il y a donc deux possibilit s Si un est major e elle converge dans R Si un n est pas major e on a lim Un 00 M me chose en rempla ant croissante par n OO d croissante major e par minor e et 00 par 00 On voit donc notamment que toute suite r elle monotone a une limite dans R 7 3 Suites adjacentes D finition 7 3 1 Dire que deux suites r elles ay nen et bn nen sont adjacentes signifie que l une des suites est croissante l autre est d croissante et lim an bn 0 n OO Remarque Supposons par exemple an croissante et b d croissante On a alors Vn N Vp E N
34. 1 vu que dans ce cas la suite Sp converge aussi vers S De plus pour tout n N on a Sony lt S2n 3 lt S lt Soni2 lt Son d o les in galit s 0 lt S Son41 lt Son 2 S2n 1 U2n 2 Son S lt Son S2n41 U2n 1 uzn On obtient 0 lt R n 1 lt U2n 2 Ron lt 0 et R n lt u2n 1 D o le r sultat Exemples fs rA z 2 gr z A 1 Pour z 1 la s rie de terme g n ral un Jari mary St altern e et Jun d cro t vers 0 donc cette s rie converge 2 La s rie harmonique altern e converge Elle ne converge pas absolument C est un exemple de s rie semi convergente Pour n N on a Rn lt CoE La convergence est lente si l on veut approcher la somme 106 pr s il faut sommer environ 106 termes 3 Ne pas oublier l hypoth se de d croissance Consid rons par exemple la s rie de terme g n ral 1 IE n pair Un 1 CESSE n impair C est une s rie altern e dont le terme g n ral tend vers 0 Pourtant elle est divergente si l on note Sn la suite des sommes partielles on a pour tout entier p P Sue a T Le i 0 0 Au second membre la premi re somme tend vers oo avec p divergence de la s rie harmonique alors que la deuxi me somme a une limite finie convergence de la s rie de Riemann d exposant 2 Donc limp oo S2p 1 00 4 Voici un autre contre exemple On consid re les s ries Un Un n Ce sont deux s
35. Licence MIEE Module AN2 Suites et s ries num riques L1 2010 2011 S2 S4 R sum de cours Chapitre 1 Premi res propri t s des nombres r els 1 1 Introduction Vous avez d j rencontr des ensembles de nombres et travaill avec eux par exemple l ensemble N des entiers naturels l ensemble Z des entiers relatifs l ensemble D des nombres d cimaux c est dire de la forme n10 o n et p sont des entiers relatifs l ensemble Q des rationnels l ensemble R des r els Ces ensembles v rifient les relations d inclusion suivantes NC Z lt CQCR La repr sentation intuitive de R se fait sous la forme d une droite N anmoins cette repr sentation graphique ne permet pas de bien comprendre la distinction entre les r els et les rationnels Vous connaissez des nombres r els qui ne sont pas rationnels par exemple V2 e ou m mais il y en a beaucoup d autres Ce cours sur les suites permettra entre autres choses d affiner notre perception de pr ciser le beaucoup et quelles propri t s on attend de R Nous supposerons connus ces ensembles ainsi que leurs propri t s usuelles concernant l addition la multiplication et la relation d in galit lt Pour R nous les rappelons dans les sections suivantes On peut aussi consid rer l ensemble des nombres complexes C sous leur forme cart sienne x iy ou polaire pet cet ensemble se construit facilement partir de R Sa repr sentation intuitive e
36. Soit un une suite r elle et R Il y a quivalence entre les deux propositions suivantes 14 i La suite un admet pour limite ii Les deux sous suites usn et u2n 1 admettent pour limite D monstration On note toujours Un U2n et Wn U2n 1 L implication i ii est un cas par ticulier de Supposons que les sous suites v et wn convergent toutes les deux vers et montrons qu il en est de m me de u Fixons donc gt 0 Par hypoth se il existe deux entiers no et n tels que pour tout n eN n gt no un 4 lt n gt n lun lt Posons n2 sup 2no 2n1 1 et soit n N n gt no Si n est pair n 2n avec n gt no et on a uw Vn donc uw un 4 lt Si n est impair n 2n 1 avec n gt n et on a un wn donc uy wn lt e Dans les deux cas on a montr que n gt n2 uw lt De tout ceci on d duit que la suite u converge vers fie 2n 3 n 5 ER Exemple On d finit une suite u par uzn et uon 1 3577 On obtient voir le th or me 2 4 2 lim um lim Uni 3 donc un converge et lim un n 00 n 00 n 00 15 Chapitre 3 Limites infinies 3 1 D finitions D finition 3 1 1 On dit qu une suite r elle un nen a pour limite ou tend vers 00 resp o0 SI YM E R Jno E N Yn gt no un gt M resp YM ER In
37. ait un gt 1 e appliquer la d finition 3 1 1 avec M 1 e On aura donc 1 u lt pour tout n gt max N no d o la conclusion Les assertions 4 et 5 sont laiss es comme exercices au lecteur Montrons 6 soit donc M gt 0 Alors il existe no N tel que pour tout n gt no on ait un gt M a ce qui implique que a un gt M cqfd Montrons soit donc M gt 0 Alors il existe no N tel que pour tout n gt no on ait un gt M c ce qui implique que cu gt M cafd O a t on utilis l hypoth se sur c Exercice Enoncer et d montrer l analogue de la proposition pour les suites tendant vers oo On a une r ciproque partielle Proposition 3 2 2 Soit u une suite r elle tendant vers 0 et strictement positive resp strictement n gative Alors on a lim 1 un resp 0co n OoO D monstration suffit de traiter le cas positif l autre est enti rement analogue et d ailleurs peut s en d duire en utilisant G 2 1 4 On veut montrer que 1 u tend vers 00 soit donc M un r el gt 0 Puisque M et tous les un sont gt 0 l in galit 1 un gt M est quivalente un lt 1 M et m me un lt 1 M or par hypoth se en appliquant la d finition 2 2 1 avec 1 M il existe bien un entier no tel que pour tout n gt no on ait u lt 1 M et donc aussi 1 u gt M cqfd m Remarque La condition de signe est videmment essentielle D abord pour que 1 u ait un s
38. an lt bp En effet montrons d abord que a lt bn pour tout n cas n p la suite an bn neN est croissante puisque a et b le sont et tend vers 0 donc est lt 0 d apr s la proposition Autrement dit a lt b Le cas g n ral n et p quelconques s en d duit si n lt p alors a lt ap lt bp et si n gt p alors an lt bn lt bp Th or me 7 3 2 Th or me des suites adjacentes Si deux suites sont adjacentes elles convergent dans R et leurs limites sont gales D monstration Soient a et b deux suites adjacentes avec a croissante et b d croissante D apr s la remarque ci dessus la suite a est major e par n importe quel terme de b par exemple bo Elle a donc une limite Comme a b tend vers 0 la suite b tend donc aussi vers Remarque Avec les notations de la d monstration on a Yn N Vp E N an lt L lt bp 32 d apr s la proposition Ceci pr cise l in galit Exercice Propri t des segments embo t s Soient a et bn deux suites de r els tels que Vn EN an lt bn et an 1 0n 1 C lan bn on dit alors que la suite an bn est une suite de seg ments embo t s Montrer qu il existe au moins un r el x appartenant l intersection N enlan bn c est dire tel que Yn N an lt x lt by Autrement dit l intersection d une suite de segments embo t s n est jamais vide Noter que l nonc analogue pour les intervalles ouverts ou non bo
39. d rer la suite tn des instants o la balle rebondit et la suite vn des vitesses de rebonds au sol Pour que ces suites soient bien d finies on fera la convention que si la balle s immobilise au bout de N rebonds on pose pour n gt N tn ty et un 0 Cette tude d pendra des hypoth ses faites lasticit frottements et s appuiera sur les lois de la physique D finition 2 1 2 Soit un une suite r elle Dire qu elle est constante signifie que tous les termes de la suite sont gaux pour tout n N un uo stationnaire signifie qu partir d un certain rang tous les termes de la suite sont gaux no E N Yn EN n gt no Un Uno p riodique signifie qu il existe N N tel que Remarque La premi re propri t n est qu un cas particulier de la notion de fonction constante sur un ensemble quelconque Il n en va pas de m me des deux autres la notion de suite stationnaire utilise l ordre sur N la notion de suite p riodique utilise l addition dans N Les notions de croissance qui suivent utilisent aussi l ordre sur l ensemble de d part Si E est un sous ensemble de R et f E R une fonction r elle sur E on rappelle que f est dite croissante resp strictement croissante si pour tout couple x y d l ments de E tel que x lt y on a f x lt f y resp f x lt f y On dit que f est d croissante resp strictement d croissante si f est croissante resp strict
40. de la fa on suivante On choisit un uo T Puis pour calculer uh 1 en fonction de un on consid re la tangente la courbe repr sentative de g au point un g u un 1 est alors l abscisse du point d intersection de cette tangente avec l axe des x Quelle est la relation de r currence Comme l quation de la tangente en un glun est y g un g un x un on obtient y 0 si glun T Un g un d o la relation un 1 f Un Un gia 39 Evidemment pour que cette construction soit possible il faut que un I pour que g u soit d fini que la tangente au graphe de g au point d abscisse un existe et qu elle ne soit pas parall le l axe des x Pour n donn ces conditions permettent de calculer u 1 lequel doit v rifier les m mes conditions En pratique il suffit de pouvoir choisir 7 de sorte que g soit d rivable sur I et g x 0 pour tout x on ait f 1 C I o f est la fonction x x ar qui est bien d finie sur J vu la condition pr c dente On peut observer que f et aussi que f 0 au moins si f est deux fois d rivable en Dans l exemple ci dessus on a g x x 2 et I 1 2 la premi re condition est bien v rifi e La fonction f est donn e par 1 2 Si x I 1 2 alors 2 I donc f x I c est la moyenne de x et 2 donc on a bien f I C I On obtient donc une suite u d finie par uo 1 par exemple et
41. du bin me donne n q 1 a X Cka 1 na a k 0 On en d duit Vn N q gt 1 na d o lim q d apr s la proposition B216 Au n 00 lieu d utiliser la formule du bin me on aurait pu aussi d montrer l in galit 1 a gt 1 na par r currence sur n iii Posons q EE On a q gt 1 donc lim q 00 d apr s ii Comme Yn N g Fe n gt too on obtient lim q 0 c est dire lim q 0 n 00 n 00 iv Pour tout n N on a q 1 q Donc d apr s les cas pr c dents la sous suite des termes d indice pair q resp celle des termes d indice impair q 1 a pour limite 1 ou resp 1 ou suivant que q 1 ou q lt 1 Ces deux sous suites n ont donc pas la m me limite cqfd m Proposition 4 2 3 Soit qe R Pour n N notons Sn X q 1 q 4 q Alors k 0 on a pour tout n EN n i si q 1 Sy 1 qt gt siq l a si q D monstration Le cas q 1 est vident Pour q quelconque et n N on crit Sn 1 q q et qSn q q q q d o en faisant la diff rence et en simplifiant a formule vraie m me si q 1 mais pas tr s glorieuse dans ce cas Si q 1 il suffit de diviser par 1 q pour obtenir le r sultat Exercice Red montrer par r currence sur n 21 4 3 Suites de puissances enti res Proposition 4 3 1 Soit p Z Consid rons la suite n
42. du on a wo b Pour b 0 et a 1 on obtient la suite des entiers naturels u n La somme de ses n 1 premiers termes c est dire la somme des n premiers entiers est donn e par la formule conna tre ou savoir retrouver n Un EN Dk 1 9 n D k 1 Exercices 1 Montrer qu une suite un est une suite arithm tique de raison a si et seulement si elle v rifie Yn EN Un 1 Un a 2 Calculer la somme des n premiers termes n dlonn d une suite arithm tique quelconque directement ou partir du cas particulier ci dessus On fera attention au sens de l expression les n premiers termes 4 2 Suites g om triques D finition 4 2 1 Soient c et q deux r els La suite g om trique de raison q et de terme initial c est la suite Remarque On rappelle que q 1 pour tout q 0 La bonne convention ici en particulier pour la proposition 4 2 3 est de poser q 1 m me si q 0 Ceci dit le cas q 0 n est pas tr s 20 int ressant Exercice Montrer qu une suite un est une suite g om trique de raison q si et seulement si elle v rifie Yn EN Un 1 qun Proposition 4 2 2 Soit q ER i Siq 1 la suite q est constante et gale 1 ii Siq gt 1 ona lim q o n 00 iii Silg lt 1 ona lim q 0 n 00 iv Siq lt 1 la suite q n a aucune limite dans R D monstration ii Posons q 1 a o a gt 0 Soit n N La formule
43. e I dans J c est dire que f est d finie sur J et que f T c I Bien entendu c est imm diat si I R et si f est d finie sur R Exercice Etudier l existence de suites r elles u telles que a uo 2 et pour tout entier n Un 1 Un b uo 2 et pour tout entier n Un 1 Vun 1 Pour quelles valeurs de a R peut on d finir une suite u v rifiant uo a et a resp b Proposition 9 1 2 Soient I un intervalle de R f une fonction d finie sur I et valeurs dans I et a I Soit u N I la suite d finie par les conditions ug a et un 1 f un pour tout n N On suppose de plus que f est continue sur I Alors si la suite un converge vers un r el appartenant T ona f Les r els tels que f sont appel s points fixes de f La proposition dit que les seules limites possibles pour u sont les points fixes de f Remarque Ne pas oublier l hypoth se que un a une limite En revanche la condition que I est automatique si J est un intervalle ferm exercice D monstration Supposons que un converge vers l I Comme f est continue on a lim f un f d apr s la proposition Comme un11 f un pour tout n ceci donne Ty n f A lim uy 1 f L Or n un 1 est une sous suite de u donc converge vers d o finalement 00 9 2 tude d une suite r currente 1 Il est souvent utile de repr senter la fonction f la droite y x
44. eci g n ralise la proposition iii Comparaison des exponentielles et des puissances Soit a R et q gt 0 On peut crire en passant la forme exponentielle et en mettant le terme r pond rant n en facteur n q expln al nq l En utilisant lim 7 0 on obtient pr p q p q En n Sia E R et q E R4 q 1 les suites n q et q ont m me limite ventuelle Ceci g n ralise les r sultats de 26 5 4 Utilisation de d riv es D finition 5 4 1 fonction d rivable Soient I un intervalle r el f I R une fonction d finie sur et xo un point de I On dit que f est d rivable en x0 si la limite lim T T0 T TO F Fo 525 ni lt a existe cette limite est appel e nombre d riv de f en xo et not e f xo On dit que f est d rivable sur T si elle est d rivable en tout point de I la fonction f x1 f x est alors appel e fonction d riv e de f Exemples Si l on admet que sin cos on a sin 0 cos 0 1 c d par d finition lim Sen Z cos0 1 de m me lim ROSE In 1 1 Retenir 0 x 0 x 0 x 0 a lin 2 et Jim 27 x 0 40 x 0 1x40 de 1 sin g 1 sin 44 Par exemple on a lim 0et lim 1 comme nsin 5 on en d duit n 00 x 0 1 0 m 1 lim n sin n 00 n Proposition 5 4 2 Pour tout r el x on a Voici une application utile lim 1 z e n
45. ement croissante On dit que f est monotone resp strictement monotone si elle est croissante ou d croissante resp strictement croissante ou strictement d croissante Exercices 1 Pourquoi a t on suppos que E est une partie de R plut t qu un ensemble quelconque 2 V rifier que f est croissante resp d croissante si et seulement si pour tous x y dans E si x lt y alors f x lt f y resp pour tous x y dans E si x lt y alors f x gt f y 3 Montrer que constante quivaut croissante et d croissante Dans le cas particulier des suites i e N on a un crit re tr s commode Proposition 2 1 3 Soit un une suite r elle Pour que u soit croissante resp d croissante strictement croissante strictement d croissante il faut et il suffit que pour tout n N on ait Un lt Un 1 resp Un 1 lt Un Un lt Un 1 Un 1 lt Un D monstration La partie il faut est triviale puisque l on a toujours n lt n 1 R ciproquement supposons que Yn E N Un lt Un 1 et montrons que u est strictement croissante les autres cas sont enti rement analogues Soient donc p et q deux entiers naturels tels que p lt q il s agit de voir que up lt ug On peut crire q p 1 k o kE N montrons alors par r currence sur k la propri t P Vp EN Up lt Up 1 k Initialisation la propri t Po n est autre que elle est donc v rifi e H r dit supposons que k
46. ens il faut bien supposer que un 0 au moins pour n assez grand M me dans ce cas la suite u d finie par un 1 n 1 tend vers 0 et est termes non nuls mais la suite 1 u n a pas de limite dans R 17 3 3 Calculs dans R Pour faciliter les calculs sur les limites il est pratique de d finir dans R une relation d ordre total lt une addition et une multiplication prolongeant celles de R On fera toutefois attention que l addition et la multiplication dans R ne sont pas partout d finies Commen ons par l ordre Soient a et b dans R On dit par d finition que a lt b si l on est dans l un des cas suivants a et b sont finis i e dans R et a lt b au sens usuel a et b est quelconque b et a est quelconque En d autres termes on impose que 0 lt a lt o pour tout a R On voit tout de suite que c est une relation d ordre total sur R qui admet 00 comme plus grand l ment et o0 comme plus petit l ment Ensuite on tend l addition et la multiplication usuelles de R en deux op rations de m me nom dans R commutatives mais partiellement d finies par les tableaux suivants dans lesquels ND signifie non d fini on parle aussi de formes ind termin es a b a a eR a 00 ab a lt 0 a 0 a gt 0 b o 00 00 ND b o 00 ND 00 b 00 ND 00 00 b 00 00 ND 00
47. gt 1 des puissances p mes des entiers naturels i Si p 0 cette suite est constante gale 1 ii Sip gt 0 ona lim n o n 00 iii Sip lt 0 ona lim n 0 n 00 D monstration i est vident ii Supposons p gt 0 Pour tout n N on a n nl xn gt n Or lim n o D o le n 00 r sultat d apr s la proposition B 2 1 5 iii Supposons p lt 0 et notons p p D apr s ii on a lim n 00 Or pour tout n N n OO n donc lim n 0 d apr s la proposition 8 2 1168 nP n 00 4 4 Comparaison des suites g om triques et des suites de puissances Quand on multiplie une suite g om trique par une suite de puissances de n on aboutit parfois des formes ind termin es La proposition suivante permet de lever ces ind terminations Proposition 4 4 1 Soit q E R et p N i Siq gt 1 ona lim T 00 n 00 ii Si0 lt qg lt 1 alors lim g n 0 n 00 D monstration i Supposons q gt 1 On a lim q et lim n 0 d o une forme n 00 n 00 ind termin e On consid re deux cas Cas p 1 Comme dans la d monstration de la proposition si l on crit q 1 a donc a gt 0 et si l on utilise la formule du bin me on obtient pour tout entier n gt 2 1 1 Padin De 4er MD M P n m donc gt nta On en d duit lim 00 n n co Cas g n ral On se ram ne au cas pr c dent en s
48. ion En retranchant aux trois suites ce qui pr serve les in galit s postul es on est ramen au cas o 0 Les in galit s impliquent u lt max lu w lt v w d o le r sultat m Exercice Voici une d monstration fausse du th or me des gendarmes Puisque les in galit s larges passent la limite ona lt lim un lt donc lim Un cqfd O0 n 00 n O est l erreur 2 5 Utilisation de sous suites Soit un une suite r elle On consid re souvent les deux suites vn et wn d finies par Yn N Un Un Et Wn U2n 1 Les suites un uzn et wn u2n 1 Sont respectivement appel es sous suite des termes d indices pairs et sous suite des termes d indices impairs de un Exemple Consid rons la suite u 1 La sous suite des termes d indices pairs est la suite Un constante gale 1 et celle des termes d indices impairs est la suite wn constante gale 1 Cette notion se g n ralise soit y N N une application quelconque Pour toute suite u on fabrique une nouvelle suite qui n est autre que l application compos e uo 6 N R envoyant n sur le r el Uy n Dans l exemple ci dessus les deux sous suites v et w correspondent respectivement pi n 2n et gain 2n 1 Pour nos besoins c est dire pour l tude des limites cette notion est trop g n rale Par exemple l application p 0 donne la suite uo uo uo
49. ion de s rie On est souvent amen tudier la convergence d une suite fabriqu e de la fa on suivante on part d une suite r elle ou complexe u un nen couramment appel e terme g n ral et on lui associe la suite S u dite des sommes partielles d finie par n S u n uo u1 Un X uk k 0 D finition 10 1 1 Soit un une suite r elle ou complexe Pour N N on pose Syn S u n N D te n 0 On dit que que la s rie de terme g n ral un converge resp diverge si la suite Sn des sommes partielles converge resp diverge N 00 Dans le cas convergent la limite lim Sy lim X un est not e X un et appel e somme de N 00 N 0 n 0 n 0 la s rie Remarques 00 La notion de somme d une infinit de termes n a pas de sens en g n ral L criture gt un n 0 n est qu une notation suggestive mais parfois dangereuse pour l utiliser il faut toujours revenir sa d finition comme limite des sommes partielles et aux r sultats g n raux sur les s ries Dans les nonc s la s rie est d sign e par son terme g n ral alors que la suite des sommes partielles est celle dont on tudie la convergence Exemples 1 Pour la suite des entiers un n on obtient pour tout N S u x 0 1 N TEE il est donc clair que cette s rie diverge 2 Si un est une suite g om trique de raison q q E C q 1 on obtient Jz qt YN EN S u n EA La s
50. ition 2 4 1 Soient u et v deux suites r elles et un nombre r el 1 Siu etv tendent vers 0 alors u v tend vers Q 2 Siu tend vers 0 alors Au tend vers Q 3 Si u tend vers Q et si v est born e alors uv tend vers Q D monstration Montrons 1 Soit gt 0 arbitraire Pour tout n N on a un un lt un vn qui sera donc lt d s que l on aura un lt 2 et un lt 2 Par hypoth se il existe n N et na N tels que E Vn gt n unl lt 5 et Vn gt n2 Un lt z 12 Prenons alors no max n1 n2 Pour tout n gt no on a alors la fois un lt 2 et u lt 2 donc un Un lt cqfd Montrons 2 Premi re d monstration il existe un entier naturel m tel que A lt m Il suffit donc de montrer que mu tend vers 0 puisque Au lt mul ici on applique 2 2 21 2 Or cela r sulte de par r currence sur m en remarquant que mu m lju u Deuxi me d monstration plus classique si O l assertion est imm diate Sinon soit gt 0 et choisissons no tel que l on ait un lt A pour tout n gt no Pour un tel n on aura alors Aun lt JAI cqfd Montrons 3 Soit M gt 0 un r el tel que v lt M Alors on a uv lt Mu qui tend vers 0 d apr s 2 Donc uv tend vers 0 d apr s L 22 Th or me 2 4 2 Soit un nen et Un nen deux suites r elles convergentes l lim Un et N 00 l lim vw On a les propri t
51. l Sous ces m mes hypoth ses on en d duit en effet la majoration un 1 f un f lt Mur pour tout entier n d o un 4 lt M uo 4 Si M lt 1 la suite converge alors d autant plus vite que M est plus petit Cette m thode ne dit rien sur la monotonie ventuelle de un mais permet par exemple de d terminer n pour que l erreur un soit inf rieure un donn 9 3 M thode de Newton On veut calculer une valeur d cimale approch e d une solution d une quation g x 0 o g J R est une fonction d finie sur un intervalle J On commence par localiser la solution cherch e c d d terminer un intervalle 7 a b C J sur lequel g s annule une fois et une seule Exemple Pour calculer une valeur d cimale approch e de 2 on peut consid rer la fonction g R R telle que g x x 2 pour tout r el x et prendre T 1 2 En g n ral on peut utiliser le r sultat suivant Th or me 9 3 1 Si g est continue sur un segment I a b et si g a g b lt 0 alors l quation g x 0 a une solution x dans I Si de plus g est strictement monotone sur I cette solution est unique Remarques La premi re assertion est connue sous le nom de th or me des valeurs interm diaires nous l admettrons ici La seconde est vidente puisque g est alors injective Une fois la solution localis e on utilise une suite r currente u obtenue par lin arisation
52. la s rie de terme g n ral u positif converge aussi 2 Si un Sy pour tout n on a Un gt i gt 0 La s rie de terme g n ral u est donc divergente comme la s rie harmonique Voici une premi re application Proposition 11 2 2 Utilisation d un quivalent Soient un et Un les termes g n raux de deux K s ries termes r els strictement positifs Si lim w alors les deux s ries de termes g n raux n 00 n Un et vn sont de m me nature D monstration Utilisons la d finition de lim gt 1 pour Il existe N N tel que n 00 sin gt N ona 5 lt 3 5 donc 5Un lt Un lt 50n Il suffit d appliquer la premi re proposition de comparaison de deux s ries 11 3 Comparaison avec une int grale Soit f une fonction d croissante et positive d finie disons sur 0 co Nous allons tudier la convergence de la s rie de terme g n ral f n les sommes partielles sont donc donn es par la suite croissante Sn f 0 f n On peut alors comparer le comportement de la suite Sn et celui de la suite galement croissante des int grales on suppose qu elles existent c est le cas notamment si f est continue In F dt Pour cela posons pour tout n N n 1 Ja i f dt Puisque f est d croissante et positive on a 0 lt f n 1 lt f t lt f n pour tout t n n 1 On en d duit que J est encadr e par les int grales sur n n 1 des co
53. lt Ll eE 3 xell e l El Proposition 1 5 2 Soit I un intervalle Pour tous les l ments x et y de I tels que x lt y on a x y CI Remarque On peut montrer que la r ciproque de cette proposition est encore vraie toute partie I de R v rifiant la propri t de l nonc est un intervalle On obtient ainsi une caract risation des intervalles de R D monstration Consid rons le cas d un intervalle 7 de bords a et b a lt b Les autres cas sont laiss s au lecteur Soient x y dans T et z x y Si z x ou z y on a z I par hypoth se Sinon onaa lt g lt z lt y lt b donc z a b et comme Ja b est inclus dans 7 on obtient z T Donc x y C T Proposition 1 5 3 Soit I un intervalle ouvert et un l ment de I Il existe alors un intervalle ouvert contenu dans I et de centre D monstration Pour la comprendre faire un dessin Consid rons le cas d un intervalle 7 a b Notons min a b On a gt 0 a L L a lt L ce et L e lt b 2 b Soit zEll el el onaa lt l e lt x lt e lt b d o x Ejla b Donc l e est contenu dans Ja b Les autres cas sont laiss s en exercice 1 6 Majorants et minorants D finitions 1 6 1 Soit E un sous ensemble de R 1 Dire qu un r el M est un majorant de E signifie que M est sup rieur ou gal tous les l ments de E c est dire VxeE x lt M ou encore E C Mi 2 Un
54. ment dit le plus grand l ment s il existe est unique et il m rite donc l article d fini M me remarque pour le plus petit l ment 1 7 Extension aux fonctions Soit S un ensemble quelconque Beaucoup des notions d finies pr c demment pour les r els s tendent aux fonctions r elles sur S c est dire aux applications de S dans R L ensemble de ces applications se note parfois R Si f et g sont deux fonctions r elles sur S on d finit leur somme f g point par point c est dire par la formule vres f g x f x g x On fait de m me pour le produit l oppos la diff rence A Les propri t s 1 0 de 1 2 sont encore valables l exception de 8 dire qu une fonction f n est pas nulle f 0 signifie qu elle n est pas la fonction nulle autrement dit il existe x S tel que f x 0 dire qu elle est inversible quivaut dire qu elle est partout non nulle autrement dit que l on a f x 0 pour tout x S On dit que f lt g si l on a f x lt g x pour tout x dans E Cette relation v rifie les propri t s 1 6 de 1 3 l exception de 4 par exemple la fonction x x sur R n est ni positive ni n gative A On prendra garde que la notation f gt 0 signifie par d finition que f x gt 0 pour tout x dans S ce qui n est pas la m me chose que f gt 0 et f 0 On dit qu une fonction f sur S est major e s il existe un r el M tel que f lt M o
55. monstration Supposons u croissante le cas d croissant est laiss au lecteur et montrons que u lt Ll Soit donc no N il s agit de voir que uno lt Or la sous suite n un n de u converge vers et elle est gt uno Passant la limite on en d duit que gt ung Question Peut il arriver que Ung Que peut on dire dans ce cas sur la suite u Variante Le m me raisonnement peut tre pr sent par l absurde supposons que u soit croissante et non major e par sa limite Z Il existe donc un entier no tel que lt u Mais pour tout n gt no ON a Un Uno gt ce qui contredit la proposition 2 3 1 appliqu e avec uno ou encore la d finition d une limite appliqu e avec un Proposition 7 1 2 Soit un nen une suite r elle Alors 1 Si un est croissante et non major e on a lim Un 00 n OO 2 Si un est d croissante et non minor e ona lim un 00 n 00 D monstration 1 Supposons que un soit croissante et non major e Fixons un r el M puisque M ne majore pas la suite on peut choisir un entier nm tel que u gt M la suite tant croissante on a alors Vn gt nm Un Uny gt M Ceci pour M arbitrairement grand ce qui revient dire que lim Un 00 n 00 2 Si un est d croissante on raisonne de m me ou on consid re la suite oppos e u m Remarque Ces r sultats sont faux pour des suites non monotones Exercice Soit
56. nstantes f n 1 et f n En d autres termes VnenN fin 1 lt lt f n En sommant ces in galit s de 0 N 1 N gt 1 entier on obtient FA FN lt Jo Jn lt f 0 F N 1 c est dire par la relation de Chasles et la d finition de Sy Sn f 0 lt In lt Sna Si Iy a une limite lorsque N tend vers 00 on en d duit que la suite Sy f 0 et donc Sy est major e donc convergente R ciproquement si la suite Iy diverge alors elle tend vers 00 puisqu elle est croissante il en est donc de m me de Sx_1 donc de Sy la s rie diverge 45 Nous avons donc montr Th or me 11 3 1 Soit f 0 o R une fonction d croissante et positive On suppose en outre que f est int grable sur tout intervalle born 0 a a gt 0 cette condition est notamment r alis e lorsque f est continue Alors pour que la s rie de terme g n ral f n soit convergente il faut et il suffit que la suite des int grales p A f t dt ait une limite finie lorsque n tend vers 00 Remarques Dans le cas o In a une limite on dit que l int grale hs f t dt est convergente ou que f est int grable sur 0 oo Dans ce cas on pose e f t dt lim I f t dt n 00 La d monstration ci dessus montre par passage la limite d in galit s que l on a l encadrement 00 00 Sn lt I fdt lt Y fn n 1 0 n 0 ce qui s
57. o E N Yn gt no un lt M Remarques 1 Autrement dit pour M gt 0 arbitrairement grand tous les u partir d un certain rang sont dans la demi droite M co resp dans oo M Une suite qui tend vers 00 resp o0 n est pas major e resp n est pas minor e elle n est donc pas convergente On dit parfois qu elle diverge vers oo ou vers co La phrase la suite u tend vers 00 par exemple doit tre consid r e comme une expression toute faite Nous n avons jamais d fini oo ni o jusqu pr sent Remarquer d ailleurs que ces notations n apparaissent pas dans la d finition La droite r elle compl t e R Pour les manipulations de limites il est cependant commode d introduire deux symboles appel s c et oo et de poser R RU 00 co Il est alors possible de parler de limite d une suite dans R sans avoir distinguer les cas On rappelle cependant qu une suite convergente a par d finition une limite finie et les symboles 00 et oo ne sont pas des nombres Exercices Montrer que dans les d finitions pr c dentes on peut remplacer les in galit s strictes par des in galit s larges et aussi prendre M R au lieu de M R4 N V rifier qu une suite r elle un nen admet au plus une limite dans R utiliser la remarque 2 ci dessus Ceci justifie l criture lim u pour LE R n 00 G n raliser la prop
58. onclut que pour tout gt 0 on a f a lt Noter que l assertion 7 composition des limites de la proposition serait fausse avec l autre d finition d une limite on trouve un contre exemple en prenant pour 4 la fonction ci dessus et pour f la fonction nulle 5 2 Intervalles dans R La notion d intervalle se g n ralise de fa on vidente R outre les intervalles de R on dispose maintenant des intervalles a 00 c a etc Nous utiliserons surtout ces intervalles dans le contexte suivant partant d un intervalle 7 de R on a d j d fini I en ajoutant T ses extr mit s dans R Nous noterons Z la r union de Z et de ses extr mit s dans R donc ventuellement infinies Par exemple si I 0 c alors T 0 c et 7 0 00 Ce sera commode pour noncer ci dessous des propri t s de passage la limite dans Z sans avoir distinguer chaque fois entre les limites finies et infinies 25 5 3 G n ralisation limites de fonctions infinies ou l infini D finition 5 3 1 Soit I un intervalle de R f I R une fonction d finie sur I a TetLeR Dire que f x a pour limite L quand x tend vers a signifie suivant les cas i Casa R et L o limite o en un point r el f x est arbitrairement grand quand x est suffisamment proche de a soit VM gt 0 2a gt 0 Vxel fx a lt a gt f x gt M ii Cas a et L R limite finie en
59. ortant l exposant p on remarque que q E q P p E roN P ne n o n r o l on a pos r q P Puisque r gt 1 le cas pr c dent montre que T tend vers 00 et il en est donc de m me de les r sultats sur le produit de deux suites s tendent au produit de p suites ii Supposons 0 lt q lt 1 et posons q a comme 1 lt qg on a lim A 00 c d n lim rF 00 Donc lim qg n 0 d apr s la proposition 8 2 18 En tudiant les autres cas n 00 on arrive au r sultat Pour pe Z et q E R4 q 1 les suites q nP nen et q nen ont m me limite 22 Chapitre 5 Limites de suites et limites de fonctions 5 1 Utilisation des fonctions continues D finition 5 1 1 Soient I un intervalle f I R une fonction d finie sur I a I et ER Dire que f a pour limite en a signifie que les valeurs f x sont arbitrairement proches de quand x est suffisamment proche de a ou encore qu un intervalle ouvert arbitrairement petit centr en contient tous les f x d s que x est dans un intervalle ouvert centr en a suffisamment petit soit Ve gt 0 Ja gt 0 Yx I x a lt a f x 4 lt On a des r sultats enti rement analogues ceux obtenus plus haut pour les limites de suites l exception de la composition des limites qui est une nouveaut Proposition 5 1 2 Soient I un intervalle f I R une fonction d finie sur I a
60. osition limite d une sous suite au cas o RU 00 00 Donner un exemple de suite non major e qui n a pas pour limite oo 16 3 2 Calculs sur les limites premi res propri t s Proposition 3 2 1 Soit u un nen une suite tendant vers 00 Alors 1 un gt 1 pour tout n assez grand de sorte que 1 u est d fini pour n assez grand La suite u est minor e La suite 1 u cf propri t 1 tend vers 0 La suite u tend vers co th or me des gendarmes l infini Soit v une suite v rifiant v gt u Alors v tend vers 00 Pour tout r el a on a lim a un 00 n 00 N OS SG amp 8 amp N Pour tout r el strictement positif c on a lim cun 00 n too D monstration L assertion 1 r sulte imm diatement de la d finition 3 1 1 qu il suffit d appliquer avec M 1 Nous allons en d duire 2 En effet choisissons N N tel que un gt 1 pour tout n gt N Alors pour tout entier n le r el un appartient l ensemble B FU 1 oo o F est l ensemble fini uo u1 un_1 On a donc un gt min l uo u1 un_1 d o l assertion 2 Noter l analogie avec la proposition 2 3 4 Montrons 3 Gardons N comme ci dessus donc 1 u a un sens pour tout n gt N et soit gt 0 arbitraire Pour chaque n gt N la condition 1 u lt est quivalente puisque un gt 0 amp Un gt 1 Or par hypoth se il existe no tel que pour tout n gt no on
61. p x y lt O0 Vz y E R x lt y gt y lt x Vzr y ER z lt 0 et x lt y zxXy lt zx x Yz R 0 lt x 0 lt et x lt 0 lt 0 Vz y E R 0 lt r lt y gt 0 lt 7 lt 1 Exercice D montrer ces six points en utilisant les propri t s de lt rappel es plus haut A Manipuler des in galit s avec des sommes ne pose en g n ral pas de probl me Il n en est pas de m me quand on passe aux inverses ou qu on multiplie une in galit par un nombre ou deux in galit s entre elles Une seule solution tre tr s prudent 1 4 Valeur absolue D finition 1 4 1 On d finit la fonction valeur absolue not e x x deR dans R en posant pour LER x sir z max x x x si x lt 0 Propri t s Pour tout r el x on a 0 lt z et z 0 lt z 0 Helak vesk si AER Ixl lt A amp A lt zx lt A Pour tous r els x y on a zy x lyl et les in galit s triangulaires Ile lul lt l yl lt lel lui 1 5 Intervalles de R D finition 1 5 1 Soient a b des r els avec a lt b On d finit les ensembles suivants 1 ab xeRl a lt zx lt b a b rxeR a lt zx lt b a b xeR a lt x lt b a b reR a lt zx lt b a o xeRl a lt x a oof xeRl a lt x co a xeR x lt a oo a xeR zx lt a 9 c oo R Une partie de R est un intervalle si elle est de l un des types ci dessus SD ON S Gr amp N No
62. par exemple Sy J ug il faut seulement prendre garde remplacer k 0 la lettre n par la lettre k partout o elle appara t On peut faire des changements d indice Par exemple en faisant le changement n n 1 on N N 1 N 1 obtient 5 z J 4 Il est viveent conseill de changer le nom de l indice quitte n 0 n 1 n 1 revenir au nom initial ensuite comme on vient de le faire 10 2 Suites et s ries partir d une suite un on peut construire la s rie de terme g n ral u dont les sommes partielles N sont Sy J un le comportement de la s rie d pend troitement de celui de la suite un n 0 Inversement pour tudier une suite w il est souvent int ressant de consid rer la suite un d finie par uo 0 et Un Un Un 1 pour tout n gt 0 C est par exemple ce qu on fait quand on tudie la monotonie de w n On a alors pour tout n un J ug c est dire que v est la somme partielle d ordre n de la s rie k 0 de terme g n ral u On voit ainsi que toute suite est la suite des sommes partielles d une unique s rie Avec ces notations dire que vn est croissante respectivement d croissante revient dire que les 42 termes Un sont tous positifs respectivement n gatifs l exception possible de uo 10 3 Convergence d une s rie Si deux suites ont tous leurs termes gaux partir d un certain rang no les sommes partielles des deux s ries correspondan
63. pel e fonction partie enti re D monstration D monstration de l existence Consid rons d abord le cas o x R D apr s la propri t d Archim de il existe un entier no tel que x lt no L ensemble E n N n lt x des entiers inf rieurs ou gaux x est contenu dans 0 1 n0 1 et contient 0 il est donc non vide et fini Soit k le plus grand des l ments de E qui existe d apr s la proposition 1 8 2 On a alors k lt r lt k l1 Supposons maintenant x R_ On vient de voir qu il existe un entier k tel que k lt x lt k 1 On obtient k 1 lt x lt k Si x k on pose k k et sinon on pose k k 1 dans les deux cas onak lt x lt k 1 D monstration de l unicit Supposons maintenant qu il existe deux entiers k et k tels que k lt zr lt k letk lt zxr lt k 1 On obtient k lt x lt k 1 donc k lt k 1 soit k lt k De m me k lt x lt k 1 d o k lt k Finalement k k Ceci prouve l unicit de l entier recherch m Remarque On rencontre aussi les notations x et x pour la partie enti re d un r el x et aussi la notation x pour le plus petit entier gt x Exercices 1 Quelle est la partie enti re de 7 2 Tracer le graphe de la fonction partie enti re 3 Pour deux r els x et y quelconques comparer x y et x y Chapitre 2 Suites num riques Dans cette section on tudie les premi res propri
64. pitre 12 S ries absolument convergentes D finition 12 0 3 Soit un une suite complexe On dit que la s rie de terme g n ral un est absolument convergente si la s rie de terme g n ral r el positif u est convergente Proposition 12 0 4 Soit un une suite complexe On suppose que la s rie de terme g n ral u est absolument convergente Alors cette s rie est convergente et l on a 00 00 Jun lt D lun n 0 n 0 D I apr nest pas absolument Attention La r ciproque est fausse La s rie harmonique altern e X convergente mais on verra au chapitre 13 qu elle converge Une s rie qui converge mais n est pas absolument convergente est dite parfois semi convergente D monstration Supposons d abord que la suite u est r elle Pour tout entier n on note alors u sup un 0 et u sup un 0 les parties positive et n gative de u on a alors 0 lt uf lt fu l et 0 lt uy lt u n Les s ries ayant respectivement pour terme g n ral u et u sont donc convergentes d apr s le crit re de comparaison Comme un u u pour tout n le r sultat s obtient par la proposition Dans le cas g n ral on remarque que pour tout n N on a Re u lt un et Im u lt uh Le crit re de comparaison 11 2 1 entra ne donc que la s rie de terme g n ral r el Re u resp Im un est absolument convergente donc convergente d apr s le cas r el tabli ci dessus Donc la s rie de te
65. positif ou n gatif c est dire Yn E N un 1 unl ou Yn N un 1 tlun Exemples Dry 1 La s rie de terme g n ral In 1 7 1 2 La s rie harmonique altern e de terme g n ral 1 z7 Proposition 13 0 6 Si la s rie de terme g n ral un est altern e et si la suite un d croft et tend vers 0 la s rie est convergente Dans ce cas notons S sa somme Sn la suite des sommes partielles et pour tout n N posons 00 Rn S Sn gt Uk Un 1 Un 2 k n 1 Rn est appel reste d ordre n de la s rie Alors R a le signe de un41 et v rifie Rn lt un 1 le reste est major en module par son premier terme Commentaire Si on approche la somme S par Sn l erreur commise est R On peut donc estimer cette erreur partir de la majoration pr c dente D monstration Supposons pour fixer les id es que uz gt 0 et u2x11 lt 0 pour tout entier k Pour tout entier n on a Son 2 Son Uon 2 U2n 1 U2n 2 u2n 1 lt 0 Son 3 S2n 1 U2n 3 Uon 2 u2n 3 u2n 2 gt 0 Son 1 San lU2n 1 pour les deux premi res relations on a utilis l hypoth se que la suite u est d croissante Donc la suite S2 est d croissante la suite S2n 1 est croissante et lim Soni1 S2n 0 c est dire Nn OO que les deux sous suites S2 et S2n 1 sont adjacentes Elles ont une limite commune S et on a 5
66. que l on ne veut certainement pas consid rer comme une sous suite de u En revanche de bons exemples sont les sous suites n up2 ou nt ugn La bonne d finition est la suivante D finition 2 5 1 Soit un une suite r elle Une sous suite de u est une suite v de la forme NE Un Uyfn O Y N N est une application strictement croissante Lemme 2 5 2 Soit p N N une application strictement croissante Alors on a n gt n pour tout n N La d monstration laiss e en exercice est imm diate par r currence sur n On notera cependant que l analogue pour les applications de R dans R4 est faux Proposition 2 5 3 Soit u une suite r elle admettant une limite Alors toute sous suite de u converge vers D monstration Soit v une sous suite de u d finie par y N N strictement croissante Montrons que v tend vers Soit donc gt 0 On sait qu il existe no N tel que l on ait u lt pour tout n gt no Montrons que ce m me no convient pour v pour tout n gt np on a y n gt n gt no d apr s le lemme donc uy n lt d apr s le choix de no cafd Exemple On d duit de cette proposition et de l unicit de la limite que la suite n 1 vue plus haut ne converge pas puisqu elle admet deux sous suites n ayant pas la m me limite Dans le cas particulier des sous suites paire et impaire on a une sorte de r ciproque Proposition 2 5 4
67. r n gt no H lt zH lt D o le r sultat Cette propri t est en fait quivalente celle d Archim de Remarques 1 La d finition montre que la convergence vers ne d pend pas des premiers termes de la suite si deux suites u et v v rifient un Vn pour n assez grand et si u tend vers alors v tend vers 2 Explicitement dire que u tend vers signifie Ve gt 0 Ino E N Yn EN n gt no gt un 4 lt En d autres termes un intervalle ouvert arbitrairement petit centr en contient tous les termes de la suite partir d un certain rang dans la formule ci dessus il s agit de l intervalle J e ef La d finition adopt e plus haut permet de se ramener au cas d une limite nulle souvent plus simple manipuler 3 En explicitant la variable n on dit aussi que un tend vers lorsque n tend vers L expression u tend vers est en fait une abr viation justifi e par le fait que pour les suites contrairement d autres fonctions la seule notion de convergence int ressante est celle ci 10 4 On peut remplacer l in galit stricte u lt de la d finition de la convergence vers 0 par une in galit large xx Ve gt 0 Ino E N Yn E N n gt no gt un lt En effet supposons cette formule vraie et fixons gt 0 on applique ce qui donne un no tel que pour tout n N n gt
68. ration se fait comme celle du crit re de d Alembert Exemples 1 Si un 25 on a Yn N un gt 0 et SH 3 4 de terme g n ral un diverge d apr s le crit re a d ERN donc lim mt 3 gt 1 la s rie n 00 n 1 n donc lim un 0 la s rie de E n o0 terme g n ral u converge d apr s le crit re de Cauchy 2 Si un Can on a Yn E N un gt 0et un z Attention R 1 Il peut arriver que mnt ou un n ait pas de limite 1 LPS 2 Lorsque lim 1 resp lim un 1 le crit re de d Alembert resp de Cauchy n 00 m n 00 ne permet pas de conclure Voir par exemple le cas des s ries de Riemann Exemples 1 Si un rer avec a gt 0 les termes g n raux un et z sont strictement positifs etona lim 2 1 Donc la s rie de terme g n ral u est de m me nature que la s rie de n 00 Riemann d exposant Elle converge si et seulement si gt 1 2 Soit un ee On peut voir que AUS unn 0 donc que pour n assez grand 3 kii i Gia poii 0 lt unn2 lt 1 ce qui donne 0 lt un lt Les deux s ries sont termes positifs La s rie nZ de Riemann d exposant 3 converge gt 1 et majore celle de terme g n ral u donc celle ci converge aussi 1 aa le a gt 1 3 Soit un eD Ona a NUn 00 donc pour n assez grand un gt gt 0 d o l on d duit la divergence de la s rie de terme g n ral u 48 Cha
69. ries altern es v rifier terme g n ral tendant vers 0 La premi re converge d apr s la proposition 13 0 6 Il en r sulte que la deuxi me diverge sinon la s rie de terme g n ral vn Un ms serait convergente D V n 1 alors que les deux s ries ne sont pas de m me nature On voit donc que dans le crit re d quivalence de la proposition 11 2 2 la condition de signe est essentielle Exercice ce crit re s tend toutefois aux s ries absolument convergentes Exercice Pour n N on note Sn Pt t DM dt 1 Calculer la somme 1 t t 1 71t 7 et en d duire Sn iwape Er dt puis Sn In2 lt Un autre int r t de cet exemple est que A 1 tend vers 1 lorsque n tend vers co N uk 2 Montrer d autre part que Sn gt G k 0 52 3 En d duire 3 UE m2 k 0 Plus g n ralement pour x r el x lt 1 on peut de m me consid rer S fe L1 t 1 1491 dt et montrer que n 1 Frkt k 1 1 Six gt Le fr 1 2 Sn ln 1 x lt SF JF ak i 3 Sc Eyra ln 1 z La somme S x est donc un polyn me de degr n qui approche In 1 x pour x proche de 0 comme z 1 On dit que S x est un d veloppement limit d ordre n de In 1 x au voisinage de 0 Les d veloppements limit s sont tudi s dans le module AN3 Fonctions de variable r elle JE k 1 rate D autre part la s rie X a
70. rme g n ral Re u iIm u un converge L in galit sur les sommes s obtient en remarquant l in galit analogue pour les sommes partielles N N D un lt D lun n 0 n 0 qui est toujours v rifi e in galit triangulaire puis en prenant les limites lorsque N tend vers 00 m Exemples A 1 1 Si un Ce on un est absolument convergente la s rie de Riemann 4 est convergente donc la s rie Ju 49 z h x ane e 2 Soit z C et un Janaa Ma lu TE On peut essayer d appliquer le lun 1l Z crit re de d Alembert la s rie de terme g n ral strictement positif u ona lim li la n 00 n z On en d duit ce qui suit i si z lt 1 la s rie X un converge donc la s rie un est absolument convergente a fortiori convergente ii si z gt 1 on a ALU lun oo donc la s rie X un est grossi rement divergente iii Si z 1 ce crit re ne permet pas de conclure Mais dans ce cas on a un 1 Vn 1In n 2 et on a vu plus haut exemple 3 la fin du 411 que cette s rie diverge La s rie de terme g n ral un n est donc pas absolument convergente Si z 1 la s rie diverge sinon il faut trouver d autres arguments pour d cider si elle est ou non convergente 50 Chapitre 13 S ries altern es D finition 13 0 5 La s rie de terme g n ral r el u est dite altern e si le terme g n ral u est alternativement
71. rn s est faux consid rer les suites d intervalles 1 10 z1 et n oof 33 Chapitre 8 D veloppement d cimal d un r el 8 1 Nombres d cimaux D finition 8 1 1 On dit qu un r el x est un nombre d cimal s il existe un entier naturel c tel que 10 x soit entier L ensemble des nombres d cimaux est not Un nombre d cimal est donc un nombre rationnel de la forme o o aceZetceN Exercice Soit x un rationnel avec a et b entiers premiers entre eux Montrer que x est d cimal b si et seulement si les seuls nombres premiers ventuels divisant b sont 2 et 5 Par exemple 1 3 est rationnel mais n est pas d cimal En criture d cimale le symbole b4 bo a1 ae o d N c N et les bj et les ax pour 0 lt j lt d et 1 lt k lt c sont des entiers compris entre 0 et 9 repr sente le nombre d cimal d y c r b D E j 0 k 1 On a x bq bo 0 a1 ac La partie apr s la virgule v rifie L 9 C D O m SD 110 lt 1 donc elle appartient 0 1 et la partie enti re de x est l entier bq bo Il est facile de montrer exercice que tous les d cimaux positifs ont une criture de cette forme et qu elle est unique si l on adopte les conventions habituelles la partie avant la virgule est la suite 0 ou bien son premier chiffre est non nul le dernier chiffre apr s la virgule est non nul et en pratique on omet la virgule dans le cas d un
72. st celle d un plan dit plan complexe 1 2 Op rations sur les r els L ensemble R est muni de deux op rations l addition R x R gt R x y gt z y et la multiplication RXR R x y r x x y Rappelons leurs propri t s essentielles 1 L addition est associative Vr y 2 R r y z x y 2 2 Elle est commutative Vz y ER r y y 7x 3 Elle admet un l ment dit neutre not 0 et caract ris par la propri t suivante Vz R x 0 0 xz x Caract ris signifie qu il est le seul ayant cette propri t ce qui permet de lui donner un nom Tout l ment x de R admet un oppos c est dire un r el y tel que x y y x 0 cet l ment est unique et on le note x On abr ge l criture x y en x y 5 La multiplication est associative Vx y z R x x y xXz xx y x 2 6 Elle est commutative Vx yEeR x X y y x x 7 Elle admet un unique l ment neutre not 1 Vx R x x 1 1 x x x De plus 1 n est pas gal 0 Tout r el non nul x admet un inverse c est dire un r el y tel que x x y y x x 1 cet inverse est unique et non nul et on le note x ou L On abr ge l criture x x z en T Les op rations et x sont compatibles Vx y z R x y x z x x z y x z et xx y z xxy zx z L ensemble de ces propri t s se r sume en disant que R x est un corps commutatif On note R
73. st un r el lt 0 alors un gt s pour n assez grand La d monstration est enti rement analogue on peut aussi d duire cette propri t de appliqu e la suite u et r s puisque montre notamment que si u tend vers 0 alors u tend vers 0 2 3 Limites et in galit s Proposition 2 3 1 Soit u une suite tendant vers R et soit un r el gt Alors on a un lt pour tout n assez grand D monstration Cela r sulte de en consid rant la suite u et le r el Ici encore on a la propri t sym trique si lt alors on a uw gt pour n assez grand On d duit de une propri t importante de comparaison de limites Proposition 2 3 2 Soient u et u deux suites tendant respectivement vers des r els et l 1 On suppose que lt l Alors on a un lt uw pour tout n assez grand 2 On suppose que u lt u Alors on a lt V 11 D monstration Choisissons un r el un tel existe vu l hypoth se par exemple He convient Appliquons 2 3 1 comme u tend vers et que lt A il existe no tel que l on ait un lt pour tout n gt no De m me il existe n tel que l on ait u gt pour tout n gt n Pour tout n gt max no n1 on aura donc ces deux propri t s et donc un lt lt uh d o la conclusion Sinon on aurait lt l d o une contradiction d apr s 1 A De fa on imag e on exprime en disant que
74. t pas 2 2 1 Proposition 6 2 3 Soient u une suite complexe et C Les conditions suivantes sont quivalentes 1 u converge vers l 2 la suite Re u converge vers Re et la suite Im u converge vers Im Remarquer qu il s agit de suites r elles D monstration Posons u u Alors la condition quivaut u tend vers 0 D autre part on a Re u Re u Re et Im u Im u Im donc la condition 2 quivaut Re u et Im u tendent vers 0 Or on a les in galit s d j signal es dans 6 1 0 lt Re w lt fw 0 lt Im w lt u l 0 lt lu lt Re u Im u Si l on suppose 1 alors u tend vers 0 donc Re u et Im u aussi d apr s les deux premi res in galit s et la proposition ou le th or me des gendarmes Donc 2 est v rifi e R ciproquement si est satisfaite alors la troisi me in galit implique de m me que u tend vers 0 cqfd Exercice G n raliser aux suites complexes la proposition 2 3 3 unicit de la limite 29 la proposition 2 3 4 toute suite convergente est born e la notion de sous suite et les propositions et 2 5 4 le th or me op rations sur les limites On conseille d utiliser le cas r el et la proposition 6 2 3 6 3 Suites g om triques complexes D finition 6 3 1 Soit q C Comme dans le cas r el on appelle suite g om trique de raison q une
75. ter que si a b on a a b a et a b a b a b de sorte que l ensemble vide est un intervalle En g n ral on prend soin de supposer a lt b dans les cas 2 En dehors de ce cas on peut montrer qu un intervalle Z non vide appartient un seul des types I g et que les r els a et b sont alors le cas ch ant d termin s par I La d monstration sera plus simple lorsque nous aurons vu les notions de borne inf rieure et de borne sup rieure Dans les quatre premiers cas a et b sont les bords ou extr mit s de l intervalle suppos non vide b a est sa longueur et son centre ou milieu est anA Dans les cas 5 8 on parle aussi de demi droites de bord a Un intervalle J est ouvert s il est de la forme Ja b co a ou a o0 ferm s il est de la forme a b co a ou a o On notera le plus petit intervalle ferm qui contient T c est dire a b pour un intervalle de bords a et b a 00 dans les cas 5 et 6 co a dans les cas 7 et 8 exercice Remarque Soient x et des r els tels que gt 0 L intervalle ef est centr en est son rayon et x est la distance de x Z Dire que x est dans l intervalle ouvert de centre et de rayon revient dire que la distance de x est strictement inf rieure Autrement dit il y a quivalence entre les propri t s suivantes 1 z 4 lt e 2 Ll e lt x
76. tes diff rent d une constante C partir du rang no Les deux s ries sont donc de m me nature convergentes divergentes Autrement dit la nature d une s rie de terme g n ral up ne d pend pas des premiers termes de la suite u En revanche si les deux s ries convergent leurs sommes diff rent de la constante C Proposition 10 3 1 Une condition n cessaire de convergence Si la s rie de terme g n ral u converge on a lim un D monstration Supposons que la s rie converge soit Sw nen la suite de ses sommes partielles et soit S lim sa somme Pour tout entier n on a Un Sn Sn 1 donc la suite un converge N c et sa limite est S S Q A La r ciproque est fausse Par exemple le terme g n ral de la s rie harmonique tend vers 0 mais la s rie diverge Une s rie dont le terme g n ral ne converge pas vers 0 est dite grossi rement divergente 10 4 Op rations sur les s ries Proposition 10 4 1 Soient un r el ou un complexe et u et vn deux suites de nombres r els ou complexes 00 1 Si la s rie de terme g n ral u converge la s rie de terme g n ral Xu converge et X Aun n 0 00 n 0 2 Si les deux s ries de terme g n ral u et v convergent la s rie de terme g n ral un Un 00 00 00 converge et X un Un X Un DC Un n 0 n 0 n 0 D monstration Laiss e au lecteur 43 Chapitre 11 S ries num riques termes r els positifs

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