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1. elo T 2 Marti 99 Introduction Tr s rapidement nous avons d cid de nous orienter dans le th me de l espace celui ci nous int ressant tous les trois De m me le choix de r aliser un T P E sur la trajectoire d un satellite s est d cid imm diatement Apres avoir r fl chi sur plusieurs sujets nous nous sommes rendus compte de la compatibilit de deux d entre eux tude de la trajectoire d un satellite La cr ation d un logiciel de simulation De ces deux sujets nous int ressant nous avons formul la probl matique suivante Comment peut on calculer la trajectoire d un satellite puis laborer un logiciel de simulation L tude de cette question nous am nera effectuer des recherches dans les domaines math matiques physiques et informatiques Nous chercherons donc tout d abord le moyen de r aliser l approximation d une telle trajectoire La m thode obtenue sera ensuite utilis e dans le cas de l approximation de la trajectoire d un objet en chute libre afin de comparer nos r sultats avec ceux d un logiciel de simulation de mouvements en m canique Interactive Physique Apr s avoir v rifi la validit de cette m thode nous l utiliserons pour d terminer la trajectoire d un satellite L tude math matique de la m thode d Euler A Une approche math matique B Application la fonction carr e de d riv e 2x et de conditions ini2. 0 h gt 0 On obtient alors l approximation suivante f xch f x h f x h gt 0 h est appel le pas A partir de la construction du point Mo de coordonn es xo yo nous pouvons alors situer et placer le point M de coordonn es tel que e x xoth h 0 f xo h yothf yi h gt 0 amp L op ration se r p te a partir de pour construire le point M2 et ainsi pour tout point M de coordonn es Xn Yn connues on a Mn tel que h 9 Yal Yn h f Xn B Application la fonction carr e de d riv e f x 2x et de conditions initiales les coordonn es 1 1 de M1 Pour comprendre cette m thode nous nous sommes int ress une fonction simple telle que 2x fonction dont nous connaissons la solution Pour chacune des mesures on consid re les coordonn es Xn des points Mn 1 Avec un pas de 0 5 2 1 0 5 1 5 2 1 0 5 1 1 1 2 alors que 1 5 2 25 3 1 5 0 5 2 3 2 0 5 1 5 3 5 alors que 22 4 4 2 0 5 2 5 y4 3 5 0 5 2 5 5 alors que 2 5 6 25 On remarque qu en utilisant un pas de 0 5 les r sultats fournis par la m thode sont bien diff rents des r sultats r els Le pas ne semble pas appropri s On r duit alors sa valeur 2 Avec un pas de 0 1 x2 1 0 1 1 1 2 1 0 1 1 1 0 2 1 2 alors que 1 1 7 21 x3 1 1 0 1 1 2 v3 1 2 0 1 7 1 1 1 42
3. Dans de nombreux ph nom nes physique observables croissance et d croissance radioactive charge et d charge d un condensateur ou tablissement du courant dans une bobine oscillation d un ressort et bien s r la chute Hbre d un objet mais galement d mographiques comme la croissance d une population la vitesse de variation d une quantit est proportionnelle cette quantit On peut alors tablir une relation entre la d riv e d une fonction repr sentant l acc l ration du ph nom ne un instant et la fonction elle m me caract risant la vitesse du ph nom ne selon une criture dite diff rentielle f x C a et b r els On comprend ainsi comment le logiciel Interactive Physique peut calculer chaque instants les vitesses et les positions d un objet partir de la seconde loi de Newton en utilisant la m thode d Euler Nous avons ensuite d cid d tudier la trajectoire d un mouvement simple pour pouvoir comparer nos calculs de vitesses et de positions avec Excel en appliquant nous m mes la m thode d Euler et ceux fournis par le logiciel de simulation IP Le mouvement tudi sera donc celui d un objet en chute libre B Approximation de la trajectoire d un objet en chute libre avec Excel Le but est de comparer notre approximation de trajectoire par la m thode d Euler celle du logiciel Interactive Physique On consid re un objet de masse m 1kg Pour simplifier les
4. En comparant notre tableau de calcul avec celui donn par IP nous avons not amp que les valeurs correspondantes aux vitesses Vy de l objet que nous trouvons sont identiques avec celles de IP mais que les valeurs repr sentant l altitude Py de l objet sont diff rentes l cart tant croissant Le fait que l cart entre nos valeurs et celles du logiciel est croissant nous avons pens que les diff rences provenaient du pas de calcul Nous avons alors mis deux hypoth ses concernant l origine de l erreur les mesures devenant compliqu es pour le logiciel IP modifie la valeur de son pas partir d une certaine altitude le pas fonctionne par tranches le pas de IP varie au cours temps 2 que nous n avions pas pris en compte a gt Etude de la premi re hypoth se Les diff rences d altitudes tant pr sentes d s les premi res valeurs nous avons rapidement cart la premi re hypoth se selon laquelle les r sultats ne varieraient qu une fois que l objet ait atteint une certaine vitesse et par cons quent une certaine altitude b gt Etude de la deuxi me hypoth se Pour v rifier la validit de cette hypoth se nous avons calcul le pas utilis par IP en fonction de la vitesse et de l altitude diff rents instants Dans le cas de la vitesse on constate que le pas est bloqu 0 02 secondes donn e de d part Dans le cas de l altitude on constate que le pas varie l g rement autour de 0 02seco
5. alors que 1 2 1 44 4 1 2 0 1 1 3 4 1 42 0 1 1 2 1 66 alors que 1 3 1 69 On remarque qu avec un pas de 0 1 les r sultats se rapprochent de la r alit Pour les premi res valeurs la marge d erreur est de l ordre du centi me 3 Comparaison des courbes obtenues par approximation affine avec la courbe repr sentative de la fonction x GEOPLANW C DOCUME 1 LEGUIT 1 BUREAU TPEDIS 1 EULEREXP G2W E Tree gt TEC Jad 8121 k 0 15 copie d cran de _ approximation un pas de 0 5 approximation avec un pas de 0 1 CONCLUSION La m thode d Euler ne nous fournira toujours que des approximations et valeurs approch es des r sultats r els Cependant il est possible de rendre ces r sultats exploitables en choisissant un pas de calcul relativement petit Mais qu en est il de son utilisation en physique II Utilisation dans le domaine physique Etude d un mouvement simple la chute d un objet A D monstration th orique 1 Etudes des forces s exercant sur un objet subissant des frottements a gt Expression des forces qui s exercent sur un objet en chute libre Selon la seconde loi de Newton nous savons que la somme des forces exerc es sur un objet en chute libre X Fext est gale au produit de sa masse m et du vecteur acc l ration ag ZFex Ag Nous pouvons d composer ce produit en 3 forces s exer ant su
6. s au point P Cela permet de simplifier l expression de l acc l ration et du vecteur acc l ration d un objet ayant une trajectoire circulaire uniforme de rayon r et de vitesse v 2 r Et par cons quent l expression de acc l ration sera y2 r gt n 2 D termination de la vitesse du satellite pour avoir une trajectoire circulaire Afin de pouvoir d terminer la vitesse du satellite requise pour obtenir une trajectoire circulaire nous allons mettre en relation la deuxi me loi de Newton et l expression du vecteur vitesse en base de Fr net La deuxi me loi de Newton appliqu e au corps S satellite de masse m dans un r f rentiel galil en ayant pour origine le centre de la Terre T M tant la masse de la Terre entra ne m E 2 Soit en divisant par m ons O ap m n On rappelle que dans le cas d une trajectoire circulaire uniforme le vecteur acc l ration peut s crire en base de Fr net ap NE n r De ces deux expression nous pouvons d duire l galit suivante Soit Grace a cette relation nous pouvons maintenant calculer la vitesse du satellite de fagon a ce qu il ait une trajectoire circulaire en fonction de la vitesse de l altitude puis v rifier avec notre logiciel 3 comparaison avec notre logiciel Altitude en m 200 000 300 000 1000000 5000000 10 000 000 Vitesse en m s Calcul e Chiffres significatif
7. calculer dans un premier temps l erreur de m thode B Erreurs de m thode et de calculs Pour un intervalle de temps donn T le pas de calcul peut s crire T n avec n le nombre de mesures effectu es durant cet intervalle de temps Pour un m me intervalle de temps la courbe obtenue par approximation affine s approchera d autant plus de la courbe repr sentative de la fonction cherch e que le pas T n est petit donc que n est grand cf II B A cette erreur de m thode qui s amoindrit avec la diminution du pas de calcul on doit ajouter l erreur due aux calculs num riques qui elle augmente avec le nombre de mesures effectu es Il y a donc un nombre x de mesures partir duquel l erreur globale va augmenter Les calculs sont effectu s avec Excel avec un arrondi sur la quinzi me d cimale L incertitude est donc de 101 pour chaque calcul Le nombre de calculs n cessaires la r alisation de la trajectoire du satellite est de 25000 lignes sur six colonnes L erreur de calcul sera donc de 25000 6 10 1 5 1019 Il nous a t impossible de trouver sur Internet la solution analytique de ces quations diff rentielles toutes les solutions trouv es sont en coordonn es polaires Nous n avons donc pas pu d finir l cart entre notre approximation et le mod le th orique L erreur de calcul tant de l ordre de 1077 elle peut tre consid r e comme n gligeable cependant on ne peut d terminer l influence de l erreu
8. calculs on consid re que la seule force s exer ant sur lui est son poids D apr s la seconde loi de Newton lt tant le vecteur acc l ration m g m a g Ainsi on obtient les deux quations suivantes At At tant le pas de calcul 9 Zip Z vi At A partir de ces deux quations on construit sur Excel un tableau donnant les positions successives de l objet voir en annexe 1 le d tail de la feuille de calcul r alis e sur Excel Avec un pas de 0 01 seconde on obtient les r sultats suivants Temps Vitesse Altitude 5 m s 0 0 00000 0 000000 0 01 0 09810 0 000000 0 02 0 19620 0 000981 0 03 0 29430 0 002943 0 04 0 39240 0 005886 0 05 0 49050 0 009810 C Comparaison de nos r sultats ainsi tablis avec ceux d un logiciel de simulation Interactive Physique 1 Des divergences li es certains param tres Nous avons donc param tr IP selon le cas de la chute libre d un objet quelconque sans force de frottement et nous avons r alis les mesures avec un pas identique celui utilis lors des calculs effectu s sur Excel lt gt Interactive Physique Sans titrett1 amp Fichier Edition Monde Vue Objet Definition Mesure Fenetre ME 2 Diol p gt x E 3 l gt N N copie d cran de la simulation r alis e Pour obtenir les valeurs calcul es par IP il suffit de les importer dans une feuille de calcul Excel
9. er PAIE Physique 5 Fichier Edition Monde Yue Objet Definition Mesure Fenetre Exec Reinit Precision de la simulation gt Rapide Pas animation Erreur de position 8 Automatique gt Precise Personnalisec 100 000 45 Integrateur Euler Runge Vitesse acceleration elevee Fac Superposition initiale de deux objets Variable Verouille Contraintes redondantes z Contraintes incompatibles copie d cran d IP permettant le choix de la m thode d int gration et notamment la m thode d Euler La premi re tape de notre tude fut donc la d couverte et l assimilation de la m thode d Euler Cette m thode n a t abord e en classe qu au mois de Janvier A Une approche math matique La m thode d Euler math maticien 1707 1783 est une m thode de r solution num rique d quation diff rentielle Cette m thode consiste en la construction approximative de la repr sentation d une fonction f d rivable sur un intervalle I connaissant sa d riv e f et des conditions initiales Xo yo xo appartenant I Les points M1 M2 M3 seront construits selon des intervalles r guliers cet intervalle est appel le pas Onconsid re f d rivable pour tout x appartenant I ensemble de d rivabilit de f F x h f x h f x h g f Avec lim e h
10. m me occasion affiner notre utilisation d Excel celle d IP et de g oplan Nous remercions sinc rement madame Criado et madame Loppin qui nous ont aid et orient PRODUCTION FINALE 0 114407 308E 00 6000 0 8 48000 11375000 0 309E 00 6000 24 7436783 Bibliographie Indice maths Terminale S enseignement obligatoire BORDAS D clic maths Terminale S Enseignement obligatoire HACHETTE Physique Terminales C et E HACHETTE Physique Terminale S enseignement obligatoire BORDAS Mode d emploi de IP
11. ndes Le pas n est donc pas constant c Conclusion Nous avons pens qu IP utilise donc deux pas diff rents un pour la vitesse bloqu 0 02 secondes et un pour les altitudes variant autour de 0 02 Mais nous nous sommes rendu compte que dans notre premi re simulation IP tient galement compte des frottements cin tiques statiques et de l lasticit exerc s sur l objet en chute libre S Comp sur Oy de de Cercle 1 m m s m s 2 Proprietes D x Mass i zl LI Nous avons supprim alors toute force de frottement ce que nous pensions avoir fait au d but et nous avons obtenus les r sultats suivants Data From Sans titre 1 Comp sur Oy de P V A de Cercle 1 1 0 000 0 000 0 000 9 810 0 010 9 810e 04 0 098 9 810 0 020 0 003 0 196 9 810 0 030 0 006 0 294 9 810 0 040 0 010 0 392 9 810 0 050 0 015 0 491 9 810 0 060 0 021 0 589 9 810 En annulant ces param tres dans notre simulation nos r sultats concordent en tout point avec ceux fournis par IP Lors de cette tude nous avons cependant remarqu que le pas d animation de Ip une animation accompagne les r sultats peut avoir une influence sur le calcul des positions Nous l avons donc r gl pour qu il corresponde au pas de calcul A Interactive Physique Sans titreft1 all m Fichie
12. nt permet d obtenir l acc l ration sur y GM y 0 9 49 ty d ty Ay sera l acc l ration sur e Aun instant t les vitesses sur x ainsi que sur y sont donn es par approximation affine selon la m thode d Euler h tant le pas de calcul Axi h la vitesse sur y s obtient par le m me raisonnement Vy Ayh Connaissant la vitesse sur x et y un instant t la position du satellite est donn e sur x par l quation suivante La position du satellite est donn e sur y par l quation suivante Yt En appliquant cette m thode pour d terminer les positions successives de l objet sur x et y on obtient les tableaux suivants Conditions initiales R sultats 0 1 14E 07 0 3 09E 00 7800 0 62400 11375000 0 3 09E 00 7800 24 7436783 0 016966328 3 09E 00 7799 864269 49 48623972 124798 9142 11374604 11 Nous pouvons alors tracer la courbe param trique dont l quation en x sera la position en x du satellite et l quation en y sera la position sur y Les d tails de la feuille de calcul r alis e sont en annexe 2 Nous avons aussi pens faire figurer la terre sur notre feuille de calcul pour avoir une chelle des distances Les d tails des calculs sont en annexe 3 Notre page de calcul r alis e 1 nous fallait valider nos r sultats nous avons d cid de
13. r Edition Monde Vue Objet Definition Mesure Fenetre Precision de la simulation lt ntegrateur 23 uler Em Prediction Correction ANI gt Runge Kutta 4 Vitesse acceleration elevee PES Een Superposition initiale de deux objets gt Variable Verouille Contraintes redondantes Contraintes incompatibles III Elaboration de notre propre logiciel de simulation A R alisation d un tableur Excel La trajectoire d un satellite dans un r f rentiel g ocentrique est d finie par les deux quations diff rentielles suivantes qui tant donn es par des lois de la physique hors de notre port e nous ont t donn es parles professeurs a GM zx 0 avec G 6 67 unit SI en a 4 0 et M masse de la Terre 6 00 10 kg MIS Pour nos calculs de trajectoire l espace est rapport un plan A partir de ces deux quations diff rentielles on peut pr voir la trajectoire d un satellite partir d une position initiale sur x et y ainsi que sa vitesse initiale galement d finie sur x et y amp acc l ration tant la d riv e de la vitesse elle m me d riv e des positions successives de x et y nous avons identifi d x dt comme l acc l ration A L acc l ration sur x est donc calcul e ainsi amp x GM GM d Gary d Gary X Ax sera l acc l ration sur x Le m me raisonneme
14. r cet objet Son poids P P m g Les frottement de l air F F h v h coefficient de frottement fluide laminaire gt La pouss e d Archim de p V g h v p V g m On consid re le poids m d un volume de fluide gal au volume de l objet tudi tel que m zp V Alors la pouss e d Archim de 7 s crit sous la forme m g Donc EF m m g h v b Etablissement d une quation diff rentielle Nous savons que l acc l ration d un objet un instant t ag correspond la d riv e de la vitesse au m me instant Exprimons alors la somme des forces ext rieures exerc es sur l objet en fonction de la d riv e du vecteur vitesse EF m a m dv On cherche alors exprimer la d riv e de la vitesse en fonction des diff rentes forces connues m dv m ag m m g h v gt m m 8 m h v mg 1 1 C dv M gu On consid re un r el tel que a 1 m 0 4 On finit par tablir la relation suivante gt dv h m g a 3 y Cu 2 e ID a g h et m sont des constantes et seule la vitesse v est variable Nous avons donc mis en vidence une quation diff rentielle de la forme f b pouvant tre r solue en utilisant la m thode d Euler 2 Les quations diff rentielles des quations liant fonction et d riv e
15. r de m thode L erreur globale reste donc impossible d terminer pr cis ment Il nous fallait valider nos calculs Nous avons appris que pour les satellites la vitesse en orbite circulaire n est fonction que de son altitude Donc une altitude correspond une seule vitesse pour laquelle le mouvement obtenu est circulaire Nous avons pens que c tait un moyen de v rifier nos calculs de trajectoires B D termination de la vitesse permettant une trajectoire circulaire 1 Expression de l acc l ration a gt Dans un r f rentiel g ocentrique Dans le cas d un mouvement circulaire uniforme de centre O de rayon r et de vitesse v le vecteur vitesse v au point P peut s crire zc Le vecteur OP donnant le sens et la direction du vecteur v De m me en P ce vecteur acc l ration peut s crire o r Le signe n gatif vient du fait que le vecteur v et OP sont de sens oppos s acc l ration tant la d riv premi re de la vitesse en P le vecteur acc l ration peut donc s crire a d gOP yv GOP 2 v Veg OP dt r r dt r r r Le vecteur acc l ration en P peut donc s crire Loy OP r r b En base Fr net La base de Fr net consiste utiliser un rep re d fini par deux vecteurs n et t orthogonaux a n dirig vers le centre de la rotation avec n OP a t tangent la trajectoire et orient dans le sens du mouvement ces deux vecteurs tant associ
16. s 7773 946387 7715 71376 7341 71716 5915 08627 4931 64248 Vitesse en m s mesur e avec votre logiciel CONCLUSION GENERALE C est la d couverte math matique de la m thode d Euler et son application dans le domaine physique qui nous ont permis de r aliser une approximation de la trajectoire d un satellite La validit de nos r sultats fut apport e par l application de la m thode d Euler dans un cas simple et la comparaison avec les r sultats fournis par IP L ensemble de ce travail a donc logiquement abouti l laboration de notre propre interface de calcul permettant de d finir le mouvement d un satellite en fonction de sa vitesse initiale et de son altitude Cependant l tude des erreurs engendr es par l application de cette m thode nous a permis de constater que la validit de nos r sultats finaux pouvait tre compromise par une erreur de m thode dont nous ne pouvons calculer l ampleur Le temps nous a galement manqu dans la perspective de l laboration d une macro qui aurait permis de visualiser l volution de la trajectoire du satellite Les recherches effectu es lors de ce TPE nous ont permis d appr hender diff rentes notions des programmes de math matiques m thode d Euler quations diff rentielles et de physique base de Fr net que nous avons par la suite approfondi en cours pour Euler mais nous n avons pas encore abord la m canique Nous avons par la
17. tiales les coordonn es 1 1 de M1 1 Avec un pas h de 0 5 2 Avec un pas h de 0 1 3 Comparaison des courbes obtenues par approximation affine avec la courbe repr sentative de la fonction x II Mise en pratique physique dans le cas du mouvement d un objet en chute A D monstration th orique 1 Etudes des forces s exer ant sur un objet subissant peu de frottements 2 Les quations diff rentielles des quations liant fonction et d riv e B Approximation de la trajectoire d un objet en chute libre avec Excel C Comparaison de nos r sultats ainsi tablis avec ceux d un logiciel de simulation Interactive Physique 1 Des divergences li es certains param tres 2 que nous n avions pas pris en compte III Elaboration de notre propre logiciel de simulation A R alisation d un tableur Excel B L erreur de m thode C D termination de la vitesse permettant une trajectoire circulaire Expression de l acc l ration 2 D termination de la vitesse du satellite pour avoir une trajectoire circulaire 3 comparaison avec notre logiciel I L tude de la m thode d Euler En tudiant avec nos professeurs le logiciel Interactive Physique logiciel de simulation de mouvement en m canique nous avons remarqu que ce logiciel calculait les vitesses et les positions des objets en utilisant le seconde loi de Newton et que une des m thodes de calcul utilis e tait la m thode d Eul
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