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1. 4 Le menu droites remarquables Ce menu sert construire des parall les ou des perpendiculaires une droite passant par un point sert galement tracer des m diatrices ou des bissectrices 20 D KR D placer KR Tourner autour du point Le 56 R Enregistrer dans Tableur KL D A Nouveau point Ka Intersection entre deux objets Ce r Milieu ou centre PN Fall Droite passant par deux paints Ba Segment entre deux points SZ Segment cr par un point et une longueur nd Demi droite passant par deux points Be Wecteur a Repr sentant CJ Droite perpendiculaire T SN S Ge ___ Droite parall le x M diatrice L Bissectrice Fe Tangentes Q Polaire ou Diametre Di Droite de r gression Sa Lieu 5 Le menu polygones Ce menu sert a construire des polygones triangles quadrilat res pentagones 6 Le menu cercle Ce menu sert a construire des cercles d fini par un centre et un point ou par un centre et un rayon ou des arcs de cercles L outil compas est galement utile pour reporter des longueurs 7 Le menu coniques Ce menu est inutile au college sauf si on veut dessiner un cercle vu en perspective 8 Le menu angles et mesures Ce menu sert a marquer et mesurer un angle a construire un angle donn a mesurer des longueurs ou des aires FailledeV gnen 117 Oddre 2010 gt e Polygone 8 4 Polygone r gulier O Cercle centre point a C2. O merry A N 117 O dare J0Tt _FailledV igne LI L Y playe Val 16 Yl UU Y U neaurtem nnue la bzarrade U UTUE JI AUUUE U UUHSAUUI UE GUY a ssn 0246 5752 o ranaeDijm 2010 Sanmalre v Agenda 1 v Jeux et Probl mes 3 Articles v Cryptage par les groupes 5 A SELIMOVIC et M CHARGRASSE v Une courbe m connue la bizarro de Michel LAFOND 11 v Guide pratique d utilisation de G oG bra Nicolas VISSAC 15 Edita ial Le premier article de cette Feuille de Vigne est de Alma Selimovic et Marine Chargrasse toutes deux tudiantes en deuxieme ann e de master de math matiques a Dijon Elles ont crit cet article lors de leur Travail d Etude et de Recherche de M1 dirig par leur enseignant Luis Paris C est une introduction a un domaine qui s est beaucoup d velopp ces derni res ann es l la cryptographie sur les groupes Elles vont toutes les deux passer l crit du CAPES en novembre nous leur souhaitons une bonne r ussite Le second article nous pr sente une courbe qui sous des airs de cercle dessin de la main gauche par un droitier poss de une surprenante propri t je n en dis FailledeV gnen 117 Oddre 2010 pas plus allez voir page 11 l article de Michel Lafond En fin de revue vous trouverez un article crit par Nicolas Vissac professeur au coll ge Les Amog
3. priv e tandis gue lt n c gt est la cle publique La s curit du systeme RSA repose sur la difficult a trouver les entiers p et q c est dire a fac toriser de grands nombres premiers Afin de pouvoir travailler sur le cryptage par les groupes il est important de bien connaitre le cryptage Diffie Hellman gue nous allons presenter ci apres Le syst me de Diffie Hellman On se place dans un groupe cyclique ici Z pZ ou p est un nombre premier On choisit a un g n rateur de Z pZ Comme pour RSA Patrick et Bob ne disposent pour com muniquer que d un canal non sur Il leur faut donc se mettre d accord publiquement sur un proc d de communi cation assurant la confidentialit Bob choi sit un nombre secret a compris entre O et p 2 I calcule b qa r duit b modulo p puis transmet b Patrick choisit de m me un nombre secret c Il calcule d a r duit d modulo p puis transmet d Bob et Patrick d cident ensuite que leur cl secrete commune sera e e E W e r duite aussi modulo p Remarquons qu ils peuvent bien la calculer tous les deux sans transmission supplementaire Si Patrick veut transmettre le message x il transmet elx s x D signons par b l inverse de b dans Z pZ Bob d code alors le message e x en le multipliant par b et en r duisant modulo p En effet b e x b d x x modulo p Il n y a pas de mani re facile d obtenir s a partir des seules indications transmises pu b
4. duire facilement on dit que ces systemes cryptographiques sont a cl priv e ou cl sym trique car la publication de ex rend le systeme peu sur Les syst mes a cl priv e ont un d faut ils n cessitent la communication au pr alable de la cl K entre Bob et Patrick par un ca nal s r avant la transmission du message chiffre Dans la pratique cela peut s av rer difficile a realiser Par exemple si Patrick et Bob vivent a des endroits loign s et s ils d cident de communiquer par courrier lectronique ils n ont raisonnablement pas acces a un canal sur L objectif des sys temes cl publique est de rendre la r gle dx impossible retrouver a partir de ex Ainsi la r gle de cryptage ex peut tre pu bli e dans un r pertoire d o le nom du Historique e XVI avt J C e V7 avt J C Un potier grave sa recette secrete sur une tablette d argile en modifiant l orthographe des mots Utilisation des premi res techniques de chiffrement dans des textes religieux la plus connue atbash une m thode de substitution invers e A devient Z B devient Y PE Le code C sar 1379 Le secr taire du Pape crit un recueil de codes et de cl s nomenclateur permet de crypter des mots courants et sera utilise pendant plusieurs siecles par des diplomates am ricains et europ ens 1412 Premi re encyclop die en 14 volumes dans le domaine de la cryptographie par l gyptien al Oal
5. la cle secrete Comme dans le systeme precedent on prefere tra vailler pour l instant avec le groupe des tresses a cause du probleme de conjugai son qui semble tre difficile r soudre dans un temps raisonnable La cl Stickel On prend comme groupe G le groupe des matrices n n inversibles a coef ficients dans Z pZet g un element de G Soient a et b des elements de G qui com mutent Soient m l ordre de b i e le plus petit entier tel que b 1 et n l ordre de a Pour creer une cle secrete Patrick et Bob doivent proceder de la maniere suivante Patrick choisit k au hasard tels que est compris entre O et n et k est compris entre O et m Il calcule u a gb et l envoie a Bob De m me Bob choisit r et s tels que r est compris entre O et n et s est compris entre O et m Il calcule v a gb et l envoie a Pa trick Patrick calcule k avb a op b Bob calcule k a ub a gb La cle partag e secretement est donc s k Kp Les hommes ont toujours voulu prot ger les messages qu ils transmettent que ce soit des messages amoureux de guerre ou encore des coordonnees bancaires De puis une dizaine d ann es beaucoup de crypto systemes sont apparus afin d es sayer d augmenter la s curit des messa ges transmis Les systemes de cryptogra phie par les groupes se sont developpes les protocoles de Ko Lee ou de Anshel Anshel Goldfeld sont les premieres idees de cryptages par les groupes en atten
6. les machines Enigma syst me cl publique L avantage du syst me cl publique est que Patrick ou toute autre personne peut envoyer un message chiffr par ex a Bob sans communication priv e au pr alable Bob est la seule personne capable de le d chiffrer en utilisant sa regle secrete dx Ceci est analogue a la situation suivante Patrick place un objet dans un coffre fort dont Bob seul connait la combinaison et le ferme Bob pourra ensuite et lui seul r cup rer l objet grace a la combinaison secrete L id e de ce syst me a cl publi que qui date de 1976 est due a Diffie et Hellman La premiere realisation d un systeme a cle publique fut publi e en 1977 par Rivest Shamir et Adleman le systeme RSA Le syst me RSA On veut coder par exemple le mot cryptage On consid re A l alphabet usuel auquel on adjoint des symboles virgule point blanc et B un ensem ble Au lieu de remplacer une lettre par une autre on peut remplacer une suite de lettres disons 2 lettres k dans le cas g n ral par un l ment de B Cette transformation est appel e fonction de hachage Ici Supposons par exemple que B est l ensemble des mots de deux lettres et que la fonction de hachage envoie le mot cryptage sur cr yp ta ge On d finit galement une application H gui a un element de B associe un entier Cette application sert a remplacer les lettres par des chiffres pour pouvoir co der Su
7. afficher l objet ou afficher l tiquette Il est galement possible de renommer un objet faire un clic droit sur l objet et s lectionner renommer 7 GeoGebra Fichier diter Affichage Options Outils Fen tre Aide e ei ia 2 A les Objets libres A Point A Coordonn es polaires w Afficher l objet AS Afficher l tiquette d Trace activ e Ei Copier dans Champ de saisie b Renommer l Effacer a Propri t s Il est galement possible d effacer un objet ou d afficher ses propri t s en faisant un clic droit sur cet objet Enfin le logiciel poss de galement un mode Trace clic droit et cocher trace activ e qui permet d afficher la trace d un objet lors du d placement de la figure ou de sa d formation SCH GeoGebra Fichier diter LIL CHE Outils Fen tre Aide z e G NN RES D placer V 4 HL gt D placer ou s lectionr LN libres D A 3 41 5 85 Objets d pendants a 2 63 b 6 77 c 7 17 poly1 8 9 Point C Coordonn es polaires v Afficher l objet v As Afficher l tiquette v Trace activ e FailledeV ignen 117 Oddre 2010 2 Barre des menus Tout en haut du logiciel apparait la barre de menus G GeoGebra Fichier diter Affichage Options Outils Fen tre Aide 1 Fichier Pour cr er un nouveau fichier enregistrer imprimer Ly GeoGebra Fichier diter Affichage Options Outil _ Nouvel
8. aphie http www lamontagne fr editions locales clermont ferrand un manuscrit de blaise pascal mis au_jour CARGN FdJSsGERKEBRw htmi http bibliophilie blogspot com 2010 09 un manuscrit de blaise pascal decouvert html htto www lexpress fr actualites 1 dominique descotes une vie sur es traces de blaise pascal_920487 html http www lefigaro fr sciences technologies 2010 08 26 01030 20100826A RTFIG00638 decouverte d un manuscrit de blaise pascal inconnu php Jax P rdlens Michel LAFOND mlafond001 yahoo fr JEU 67 Quelle est la suite logique de 0 6 0 8 1 0 28 2 0 96 0 936 0 352 1 0 8432 0 5376 1 1 PROBLEME 67 Quel est le seul nombre premier qui peut s crire sous la forme nt 22 n 148 n 282n 27 avec n entier naturel Solutions JEU 66 Soit F un ensemble du plan sans axe de sym trie Le jeu consiste a disposer dans le plan un nombre impair de figures F sans empi tement de maniere a obtenir une figure ayant un axe de sym trie Le retournement est autoris Exemple partir de 5 figures F On obtient FailledeV gnen 117 Oddre 2010 Faire de m me avec les figures ci dessous Solution PROBLEME 66 D montrer que tous les entiers dont l criture d cimale commence et finit par 1 et qui alternent les 1 et les 0 c est dire N 1 0 1 0 1 0 1 0 1 sont des nombres compos s non premiers sauf 101 Solution Distinguons 2 cas
9. dant de trouver le bon groupe celui ou les elements pourront tre efficacement manipul s et stock s R f rences e www wikipedia org e Lionel Schwarz algebre troisieme ann e DUNOD a Patrick Dehornoy Mathematiques de l informatique DUNOD e Douglas Stinson Cryptographie th orie et pratique THOMSON G Brassard Cryptographie contem poraine MASSON e math u bourgogne fr topolo paris LesTresses pdf Sciences 1 univ oujda ac ma CIMPA Cours 11 Marraki marakibraidPartie2 pdf e Simon R Blackburn Carlos Cid and Ciaran Mullan Group theory In cryp tography U neaurte m mnue la bzarrade Michel LAFOND Mots cl courbe carr carr inscrit param trage trigonom trie R sum Une curieuse propri t concernant un carr inscrit dans une courbe Tout est facilement v rifiable en terminale e Consid rons et admirons la courbe plane ayant pour quations param tr es 1 x cos t cos 4f C 16 i le param tre f variant de 0 a 27 y sin t Ti FailledeV ignen 117 Oddre 2010 2 Qu a t elle de si remarquable Cela ne se voit pas mais il se trouve qu un carr peut tourner completement a l int rieur de C tout en ayant ses 4 sommets sur C et bien s r en gardant ses dimensions e D montrons le Notons M t le point de C correspondant au param tre t Posons A M B M t 2 C M et D M et notons pour simpli
10. e Si on a un nombre pair de 1 alors N est multiple de 101 Exemple 101010101010101 101 x 1000100010001 e Sion aun nombre impair de 1 disons 2p 1 alors N 10 10 P 410 410 P 24 410 1 WT ze 1019 1 107 1 9 11 et N est le produit de deux entiers puisque 10 1 modulo 9 et 10 1 modulo 11 Le cas p 0 donne N 1 x 1 1 qui n est pas premier et partir de p 1 les deux facteurs sont au moins gaux 91 N est encore compos Cryptage par les eroupes em La cryptologie etymologiquement la science du se cret n est vraiment consid r e comme une science que depuis peu La crypto graphie quant a elle est une des discipli nes de la cryptologie s attachant a prote ger des messages en s aldant de secrets ou de cl s Aujourd hui consid r e com me une branche des math matiques de l informatique et des sciences de la com munication la cryptographie donne des moyens pour envoyer des messages confidentiels travers des canaux publics de communication internet Les diffe rents systemes de cryptage existant de nos jours utilisent divers algorithmes et protocoles afin d envoyer et de recevoir des messages crypt s Cet article permet tra l initiation aux syst mes de cryptage bas s sur la th orie des groupes Le sujet ici concerne la cryptographie cl publi que l exp diteur utilise la cl publique du destinataire pour coder le message que seul ce destinatai
11. e ces pages A bonnez vous la page de votre question et vous saurez si un l ment de r ponse y a t apport Un courriel vous sera envoy automatiquement Nous vous tiendrons galement au courant de nos activit s dans la feuille de vigne Dans celle ci par exemple vous pourrez lire un mode d emploi de g og bra pour les coll ges crit par Nicolas V issac Notre groupe est ouvert et si vous voulez en faire partie il suffit de vous enregistrer et de m crire mascret ac dijon fr Nos r unions se feront le plus souvent par internet ce qui permet aux membres du groupe d tre diss min s dans toute l acad mie Alain Mascret College La Champagne 21220 Brochon FalilledeV ignen117 Oddre 2010 l Un manuscrit de Blaise Pascal vient d tre d couvert Dominique Descotes chercheur clermontois a mis au jour un manuscrit inconnu de Blaise Pascal Ce serait la seule note mathematique de la main de Pascal Ce document se trouvait dans le manuscrit des pens es conserv a la Bibliotheque Nationale de France C est un morceau de papier us d coup sur lequel on peut voir une figure et des sommes de surfaces ar r e e A H Sie 574 pr oc Pere SES Sa EE D GE SE O GP opens el ee Ge EE Case BE sn begabt Ce document m me s il est at int r t scientifique limit pourra donner des indications sur les m thodes de travail du philosophe math maticien et de voir penser Pascal Sitogr
12. er l tiquette A lt Copier le Style graphique ie Effacer l objet G og bra est un logiciel tres complet Ce petit guide n en aborde que les aspects g om triques de base et permet ainsi une prise en main rapide pour les l ves et aussi pour les professeurs Pass cette phase d initiation l utilisateur curieux pourra se familiariser avec les autres possibilit s de ce logiciel C est le souhait de auteur 22 MISE EN PAGE Francoise BESSE COMITE DE REDACTION ET DE LECTURE Catherine LABRUERE CHAZAL Alain MASCRET Marie No lle RACINE REDACTEUR EN CHEF Catherine LABRUERE CHAZAL DIRECTEUR DE LA PUBLICATION Catherine LABRUERE CHAZAL Directrice de l IREM DEPOT LEGAL n 194 2 semestre 2010 IMPRESSION Service Reprographie FEUILLE DE VIGNE Universit de Bourgogne UFR Sciences et Techniques IREM 9 Avenue Alain Savary BP 47870 21078 Dijon cedex 12 03 80 39 52 30 Fax 03 80 39 52 39 iremsecr u bourgogne fr http math u bourgogne fr IREM
13. ercle centre rayon e Compas Cercle passant par trois points e Demi cercle e Arc de cercle centre 2 points e b Arc de cercle cr par 3 points A Secteur circulaire centre 2 points 5 Secteur circulaire cr par 3 points sn d Ellipse Na Ce Hyperbole 4 e m i Parabole ex 5 d Conique passant par cing points E Le Angle a 2 Angle de mesure donnee cm e m a Distance ou Longueur 2 TA Aire LA Pente 21 9 Le menu des transformations Ce menu sert a effectuer des sym tries centrales ou axiales les autres transformations n tant pas au programme du college 10 Le menu d insertion L outil le plus utile de ce menu est l outil relation entre deux objets qui permet de comparer deux objets Dire si deux droites sont paralleles par exemple Les curseurs permettent d animer certaines figures 11 Le menu d affichage Ce menu sert modifier l affichage le d placer l agrandir ou le r tr cir Ki Sym trie axiale a D F A Symetrie centrale Va Inversion he D Be Rotation or Translation e Homoth tie DI Il ra az d ds Curseur et Boite de s lection des objets a Afficher Cacher ABC Ins rer un texte D nestor unes aa Inserer une image a a p Relation entre deux objets gt D placer Graphique EL Agrandissement A R duction V d Afficher cacher l objet Afficher cach
14. fier k ad A a pour coordonn es Xx cos t k cos 4t ya Sin f k sin 4f B a pour coordonn es Xp COS t Si k cos 4 t 5 sin 1 k cos 41 yp sin t 2 k sin 4 t 5 cos tf k sin 41 C a pour coordonn es xc COS t x k cos 4 t D cos t k cos 4t Yc Sin t 7 k sin 4 t m sin t k sin 4t D a pour coordonn es Sosa k cos 4 t sin k cos 41 yp sin t ksin 4 t cos t k sin 40 S1 on pose s Sin t et c cos t alors les vecteurs AB BC CD DA ont pour composantes R sl l Gig aa SC C S On a donc AB s c s c 2 8 2 d o AB V2 On v rifie de m me que BC CD DA y2 Ensuite le produit scalaire AB BC vaut s chx s c s c x s c 0 On v rifie de m me que les produits scalaires BC CD CD DA DA AB valent 0 12 Le quadrilat re ABCD est donc un carr de c t V2 dont les 4 sommets sont sur C Comme 1 est quelconque les points M t d crivent compl tement la courbe CQFD Le carr ABCD est obtenu pour la valeur t 0 6 du param tre FailledeV gnen 117 Oddre 2010 13 Guide pratique d utilisatim de G G ra par le dlae Nicolas VISSAC Coll ge les Amognes Saint Benin d Azy Mots cl G om trie dynamique g og bra coll ge R sum Le logiciel g og bra offre de nombreuses pos
15. ien connu en theorie des grou pes est appel probl me de conjugaison Ce protocole est notamment plus facile construire sur e groupe des tresses Le groupe des tresses Pour tudier ce groupe on doit d ja fixer un entier n qui repr sente le nombre de brins Une tresse est comme on peut se l imagi ner d finie par plusieurs brins que l on pas se les uns sur les autres mais sans revenir en arriere La tresse triviale est le brin Avec deux tresses on peut construire une troisie me la compos e On obtient ainsi le grou pe des tresses les tresses ainsi que leurs compositions Le groupe des tresses Bn n est pas commutatif a partir de n 3 Pour le moment on sait mal cons truire des tresses aleatoires pour lesquels il soit certain que le probleme de conjugaison est difficile ce qui pose probleme pour le choix de cles Syst me Anshel Anshel Goldfeld On suppose toujours que G est un groupe non commutatif Il n est pas n ces saire que A et B commutent On choisit publiquement un certain nombre d l ments aj ax Di Dm de ce groupe G Patrick choisit en secret x parmi aj a et envoie Bob xb x xbmX De la m me mani re Bob choisit y parmi by Dm et envoie yay Yay Patrick calcule yxy et Bob xyx La cle secrete du protocole est s x y xy ou x et y sont les inverses de x et y respectivement Notons que Patrick et Bob peuvent tous les deux calculer
16. le fen tre Ctrl N Nouveau ES ouvrir Ctrl 0 Sauvegarder Liz Sauvegarder Sous Exporter y Aper u avant impression Ctrl P ka Fermer Alt F4 2 diter Pour annuler la derni re action ou pour voir les propri t s d un objet ceci peut tre tr s utile pour modifier l apparence de l objet couleur paisseur des traits etc diter Affichage Options Outils Fen tre Aide Zen Annuler Ctri 7 Tout s lectionner Ctri A Graphique vers le presse papiers Ctri Maj C a Propri t s CAE 3 Affichage Les fonctionnalit s utiles de ce menu ont t vues pr c demment c est dire faire appara tre ou dispara tre les axes ou la fen tre alg bre Affichage Options Outils Fen tre Aide vw LS Axes EH Grille w Fen tre Alg bre Ctri Maj 4 Tableur Ctri Maj s Objets auxiliaires vw Mosa que verticale vw Champ de saisie vw Liste des Commandes E Protocole de construction Navigation dans les tapes de construction e R trat ir lat a Es Rafraichir l affichage Ctrl F 1 g Recalculer tout Ctri R Le protocole de construction permet de se relire et m me de faire refaire la figure tape par tape 4 Options Ce menu sert choisir l unit de mesure des angles ou la pr cision d arrondi des nombres Options Outils Fen tre Aide E Capture d un point k a 2 lt Unite d angle di NI SA Arrondi k 0 d cimale Continuit 1 d cimale a d cimales e Style
17. liquement Trouver s revient a r soudre un probleme difficile en temps raisonna ble appel probleme du logarithme dis cret Il s agit de trouver a connaissant o et a De la m me mani re que le probl me de factorisation des grands nombres pre miers est garant de la s curit du syst me RSA le probleme du logarithme dis cret l est de la s curit du syst me de Diffie Hellman Les crypto syst mes bas s sur la th orie des groupes n ont pas encore abouti des syst mes rivalisant avec RSA et Diffie Hellman mais les id es sont int res santes et les diff rentes perspectives conduisent des probl mes int ressants en th orie des groupes Nous allons en voir quelques uns ci apr s Systeme de Ko Lee Soit G un groupe non commutatif On choisit publiquement un element g de G Soient A et B deux sous groupes de G commutant l un avec l autre i e tout l ment de A commute avec tout element de B Pour envoyer un message a Bob Pa trick choisit un l ment a de A calcule a ga not dl ou a est l inverse de a dans A et transmet a Bob De m me Bob choisit un l ment de B calcule geb ob et transmet a Patrick Comme ba ab cha cun peut alors calculer la cle secrete s g g On crypte le message de la m me maniere que pour le systeme de Diffie Hellman La securite de cette methode reside dans la difficult d terminer a partir de a ga et g ou b a partir de b gb et g Ce pro bleme b
18. nes a Saint Benin d Azy Il s agit d un guide tres pratique sur l utilisation du logiciel GeoGebra pour faire de la g om trie avec des l ves de college Nicolas Vissac appartient au groupe Utiliser des logiciels libres pour faire de la g om trie de l IREM de Dijon Vous pouvez consulter le wiki du groupe l adresse http geowiki u bourgogne fr Bonne lecture C Labru re Chazal Dates des rallyes Rallye des lyc es de Bourgogne mercredi 26 janvier 2011 Rallyes des coll ges de Bourgogne vendredi 21 janvier 2011 Connaissez vous g owiki Le groupe Logiciels de g om trie de l IREM de Dijon dispose maintenant d un wiki h berg par l universit dont voici l adresse http geowiki u bourgogne fr Nous vous invitons vous y rendre de temps en temps pour suivre nos travaux et surtout a les influencer en nous posant des questions techniques ou p dagogiques concernant l utilisation des logiciels de g om trie Pour poser des questions c est tr s simple II suffit de vous enregistrer On vous demandera un nom d utilisateur votre nom et une adresse de courriel o vous sera envoy votre mot de passe apres quelques secondes Des cet instant vous pouvez vous connecter sur geowiki et vous disposez du droit d crire et m me de d poser des fichiers dans la partie questions V ous pouvez aussi vous abonner aux pages qui vous int ressent vous serez ainsi tenu au courant des modifications d
19. point A b 6 77 c 7 71 4 2 d 4 38 poly1 14 75 B 3 A GeoGebra GeoGebra Fichier diter Affichage Opti ons Outils Fen tre Aide WAI AI 7 P L mes E Fichier Editer Affichage Options Outils D o EE Grille E AW gt a Te ppg od Fen tre Alg bre E E 3 A 2 58 ll Fees L B 274 gem SC en Objets libres Fermer x 3 C 1 92 Objets auxiliaires z A 12 58 2 74 9 D 4 58 w Mosa que verticale D cocit A PA E Objets a per D cocher 9 B 2 74 3 08 PA O b 6 77 v Champ de saisie La C 1 92 1 22 ee A reals Liste des commandes E ree D 4 58 0 66 Croix 9 polyt 14 ES Protocole de construction Navigation dans les tapes dec e Rafraichir l affichage Ctrl F Recalculer tout Ctri R De m me il est souvent inutile d avoir des axes dans la fen tre g om trique Pour les faire dispara tre il suffit de d cocher axes dans le menu affichage GeoGebra Fichier Editer Affichage Options Outils Fen tre Aide Axes HH Grille Objets libres vw Fen tre Alg bre oe Seege A A 2 58 E TR Tableur B 2 74 0 C 192 Objets auxiliaires D cocher 16 a D 4 58 wv Mosa que verticale Chaque objet cr par le logiciel poss de un nom que le logiciel appelle tiquette Pour chaque objet il est possible de faire appara tre ou dispara tre l objet ou son tiquette pour cela il faut faire un clic droit sur l objet et cocher ou d cocher
20. point k SC S BEES 3 d cimales m Taille Case a cocher SES ie 4 decimales Codage angle droit k GR Je ang j 5 d cimales Coordonn es V Re 10 decimales AA Etiquetage k S e 9 15 decimales A Taille des caract res b 7 3 significatifs Langue k a 5 significatifs a Graphique 10 significatifs 15 significatifs Sauvegarder la configuration Configuration par d faut d 5 Les autres menus n ont pas grand int r t pour l utilisation du logiciel en college Outil permet de fabriquer un nouvel outil a partir des outils de base et fen tre ouvre une nouvelle fen tre sans fermer celle qui tait utilis e 3 Barre d outils Afin de pouvoir effectuer les diverses actions le logiciel dispose d une barre d outils L outil s lectionn est encadr en bleu Ci contre all f c est la fl che qui est s lectionn e D placer Fler Chacun de ces onglets est en fait un menu D placer Fl che d roulant si on clique sur la petite fl che en bas ns droite de chaque onglet comme on peut le voir ci contre a KR Enregistrer dans Tableur FailledeV ignen 117 Oddre 2010 e 1 Le menu d placer Les fonctionnalit s sont indiqu es a cote de chaque ic ne 2 Le menu point Ce menu sert cr er des points libres ou d finis comme une intersection de deux objets g om triques ou comme un milieu de segment 3 Le menu droite Ce menu sert construire des droites des segments des demi droites
21. pposons par exemple que f cr 2 Blyp 11 Bl ta 3 B ge 8 Alors cr yp ta ge devient 2 11 3 8 Pour utiliser le systeme RSA Bob choisit une paire de nombres entiers assez grands Pour l exemple p 19 et q 43 Puis il calcule n pq 817 et le rend publique Il calcule ensuite p n p 1 q 1 756 qui se trouve tre le nombre d entiers inf rieurs a n et premiers avec n et choisit au hasard un entier c de fa on a ce qu il soit premier avec p n Dans cet exemple choi sissons c 11 Bob rend c galement publique Pour coder le message Patrick qui conna t la valeur de c calcule EN 1 38 puis r duit ces entiers modulo 817 i e tous les entiers entre 1 et 816 ne chan gent pas et on remplace chaque entier su p rieur a 816 par le reste de la division eu clidienne par 817 Voila le message cod 414 64 675 677 D signons par d l inverse de c dans le groupe Z 756Z Grace l algorithme d Eu clide on obtient d 275 Remarquons que Bob est le seul pouvoir faire ce calcul car p et q n tant pas publiques p n 756 ne l est pas non plus Pour d coder le message Bob fait alors le calcul suivant 4 1 4 64 675 677 Il reduit ces entiers modulo 817 et retrou ve le message de depart 2 11 3 8 Ceci est obtenu grace au Th or me de Fermat Euler s a est pre mier avec n alors a la puissance p n est un multiple de n Le triplet lt p q d gt est la cl
22. quashandi 1467 Leone Battista Alberti expose pour la premi re fois le chiffrement par substitution polyalphab tique Le proc d consiste a remplacer chaque lettre du texte par une lettre d un autre alphabet et a changer plusieurs fois d alphabet de substitution au cours du codage rendant la cryptanalyse par analyse de fr quence inefficace Le premier livre traitant de cryptologie il expose notamment le proc d st nographique consistant rempla cer chaque lettre par un groupe de mot le texte crypt ressemblant ainsi a un po me Un pionnier du t l graphe Charles Weatstone invente le chiffrement de Playfair qui est bas sur une metho de de substitution diagrammatique consistant a remplacer un couple de lettres adjacentes par un autre couple choisi qui constitue la cl La machine Enigma machine a chiffrer lectrom canique a t invent e pour les civils Elle fut reprise par les militaires Elle remplace chaque lettre par une autre et la substitution change d une lettre l autre Quand on appuie sur une touche du clavier un circuit lectrique est forme et une lampe s allume indiquant que la lettre a t cod e Ses points forts le nombre de cles enorme pour l poque et la reversibilite Ses point faibles les operateurs commencaient souvent leurs messages par mon general de ce fait connaissant le debut en clair et en code il tait facile de trouver la cl qui tait la m me pour toutes
23. re en possession de la cl priv e peut d coder L objectif de cet article est une fois le terrain classique explore RSA et autres fond s sur des dif ficult s li es l arithm tique d aborder de nouveaux protocoles fond s sur Tat gorithmique de th orie des groupes de type fini non commutatifs Donnons un exemple classique de crypto syst me utilise par Jules Cesar pour commencer Consid rons les lettres de l alphabet et une modification quel conque de cet ensemble Par exemple la permutation cyclique qui envole a sur b b sur c z sur a Si on applique cette A Selimovic M Chargrasse M moire 1 ann e de Master transformation a un mot on obtient par exemple pour le mot ou le mot py Pour dechiffrer le message on applique videm ment la transformation inverse Le proble me avec cet exemple classique est que cet te transformation et son inverse peuvent tre facilement d duites a partir de quel ques messages Il suffit en effet de connai tre la fr quence d apparition des lettres dans un texte A partir d un chantillon de messages suffisant le d cryptage est rapi de Le probleme est donc de rendre prati quement impossible la determination de l application inverse Dans le modele classique de la cryp tographie deux individus Bob et Patrick choisissent secretement une cle K qui defi nit des r gles ex cryptage et dx d cryptage Lorsque ex et dx sont identi ques ou peuvent se d
24. sibilit s qui peuvent freiner sa prise en main par de jeunes l ves Ce guide pratique pr sente les commandes qui sont utiles aux l ves des coll ges 1 G n ralit s G oG bra est un logiciel qui allie dessin g om trique et calcul Pour cela le logiciel est compos son ouverture de deux parties Une fen tre alg bre sur la gauche qui sert au cal cul Une fen tre g om trie pour les trac s CX GeoGebra Fichier diter Affichage Options Outils Fen tre Aide N A Pad e A 9 a Ki a 2 gt acer o ET p Al ASEA E AN mer D placer ou s lectionner un ou des objets Ctrl Raccourci Esc CH Objets libres x P CH Objets d pendants Fen tre algebre 5 SEN Fen tre g om trie Une particularit de ce logiciel est que tout objet g om trique appara t galement dans la fen tre alg bre comme sur l exemple ci dessous FailledeV ignen 117 Oddre 2010 mn En college on utilise essentiellement la fen tre g om trie Il est possible de faire dispara tre la fen tre alg bre soit en utilisant la croix en haut droite de la fen tre alg bre soit en d cochant fen tre alg bre dans le menu affichage C GeoGebra Fichier diter DAR HS Outils Fen tre Aide KE ba D placer e ba EI D placer ou s lectionner un ou des ob El 318 libres A 2 58 2 74 B 2 74 3 08 2 C 1 92 1 22 5 D 4 58 0 66 O Objets d pendants Le
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