Applications affines
Contents
1. F g x F a Montrer que tous les l ments de G fixent l isobarycentre de F b Montrer que si Aff F E alors G est fini de cardinal divisant n o n est Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt Page 34 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter le cardinal de F on pourra consid rer le morphisme de G dans le groupe des permutations de F obtenu par restriction F des l ments de G 2 Soit G un sous groupe fini de G A E Montrer qu il existe un point c fix par tous les l ments de G on pourra essayer de construire une partie finie F invariante par G 7 2 Points fixes d une application affine Proposition Soit f une application affine de E dans E L ensemble des points fixes de f est vide ou bien est le sous espace affine passant par un gt point fixe et de direction Ker f Idg Remarquons d abord que Ker Id est le sous espace vectoriel des vecteurs fixes par f C est donc le sous espace propre de associ la valeur propre 1 si 1 est valeur propre de f et il est r duit au vecteur nul sinon D monstration S il existe un point c de E fixe par f montrons que l ensemble X des points gt fixes de f est gal A c Ker f Id Soit a un point de alors on a l galit f a c f c or puisque les points cet a sont dans A le vecteur c appartient la direction de A soit Ker F Idg donc le vecteur c est fix2. 7 7 3 de Th or me de Pappus Dans le plan affine on consid re deux droites D et D concourantes en o et sur D resp D trois points a b c resp a b c distincts et distincts de o Soit u resp v resp w le point d intersection des droites bc et b c resp ac et a c resp ab et a b Montrer que u v w sont align s On consid rera les points d intersection a 5 7 des droites ab a c bc b a ca c b et on appliquera cinq fois dans un sens et une fois dans l autre le th or me de M n laiis au triangle a 6 y 7 7 4 amp Soient a b c un rep re du plan affine E et a b c des points distincts de a b c et situ s respectivement sur bc ca ab Soient a b c les sym triques de a b c par rapport aux milieux de bc ca ab Montrer que a b c sont align s si et seulement si a b c le sont 7 8 Probl me sur le th or me de d composition Les deux premi res parties inspir es d une preuve de concours des Ecoles Centrales proposent une approche de la d composition canonique d une application affine et pr sentent un exemple o elle n est pas possible La derni re partie fournit les tapes de la d monstration du th or me 7 5 Notation Soit une application affine f de E dans E On note l endomorphisme F Id de E 7 8 1 Origine adapt e 1 On suppose qu il existe un point c de E un vecteur Y de et u
3. 3 APPLICATIONS AFFINES PROPRI T S 3 1 Application affine et sous espace affine 3 1 1 Proposition Soit f une application affine de E dans F Alors l image par f d un sous espace affine de E est un sous espace affine de F Pr cis ment on a la for mule gt gt f a V f a F V D monstration Il suffit de montrer la formule ci dessus qui r sulte aussit t de l galit gt f a f a f v 3 1 2 Pr servation de l alignement Corollaire Soit f une application affine de E dans F Si trois resp quatre points sont align s resp coplanaires dans alors leurs images par f sont align es resp coplanaires dans F D monstration Les points consid r s dans F sont dans un sous espace affine V de dimen sion 1 ou 2 donc d apr s 3 1 1 leurs images sont dans le sous espace affine f V de m me gt gt dimension que f V donc inf rieure ou gale celle de V Ceci conclut En particulier une application affine conserve l alignement 3 1 3 amp Si f est une application affine de E dans F et D une droite de E le sous espace f D est il n cessairement une droite Discutez K Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt Page 16 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter 3 1 4 Corollaire Les homoth ties de rapport non nul et les translations transforment une droite affine en une droite parall le D monstration Si f est une
4. etc Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt 4 gt Page 33 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter Lorsque E F les seules applications nouvelles par rapport au vecto riel sont donc les applications affines sans point fixe et notamment les translations mais pas seulement voir en 7 6 les sym tries gliss es par exemple En fait on peut reconstruire toute application affine partir des trans lations et des applications affines fixant un point donn donc lin ai res 7 1 1 amp Soit f une application affine de E dans E et soit a un point de E Montrez que f s crit sous la forme f t o g o t est une translation et o g admet le point a comme point fixe De plus cette criture est unique 7 1 2 Remarques Cette criture pr sente plusieurs inconv nients a Quand on passe du point a un point a l criture change en g n ral b t et g ne commutent pas en g n ral ce qui rend d licat le calcul d une compos e fof Ces probl mes seront surmont s gr ce au th or me de d composition 7 5 7 1 3 amp On a vu en 6 5 2 que si c est un point fixe de f et si g appartient GA E g c est un point fixe de go fog On a donc go GAC E og GAy c E de sorte que les sous groupes GA E ne sont pas distingu s en dimension n gt 1 7 1 4 de Soit G un sous groupe de GA E 1 On suppose que G pr serve un ensemble fini F de points de E i e Vg E G Vx
5. V Ker pet W Im AUX k 2 Soit x E on note v la composante du vecteur x f x sur V dans la d composition E V W Montrer que v ne d pend pas de x On note Y ce vecteur de V 3 Soit a un point de E Montrer qu il existe un point c tel que Accueil af a p at nee En d duire que f admet au moins une origine adapt e Conclure quant au th or me de _ Pagede Tire d composition des applications affines 7 5 Sommaire 44 4 Page 40 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter
6. affine f de E sur F envoyant a sur b cf 1 3 et c est un isomorphisme en vertu de 5 3 1 5 3 3 Que dire du transform d une droite d un plan par une bijection affine 5 3 4 de Soient a b c un rep re d un plan affine E et f l application affine de E dans E d finie par les galit s f a b f b c f c a Montrez que f est un isomorphisme et que son inverse est une puissance de f 5 3 5 de Soient D et A deux droites d un plan affine s cantes en a et soit b un point de A distinct de a On d signe par o et op les sym tries de centre a et b par op la sym trie o D et OA la sym trie 0 p a D terminez toutes les applications compos es Ca 0 op OD Oa et op o dA A suivre en 6 2 1 Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 27 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter 5 4 Les espaces affines de dimension n sont isomorphes Corollaire Tout espace affine de dimension n est isomorphe R Par exemple tous les plans affines sont isomorphes R donc iso morphes entre eux C est pourquoi on s autorise parfois parler du plan affine m me remarque pour l espace affine 6 GROUPE AFFINE On suppose dans ce paragraphe que F et F co ncident 6 1 D finition et proposition Une application affine bijective f E E s appelle un automor phisme affine de E Les automorphismes affines forment un groupe pour la composition des
7. affines de E dans F et A une partie finie ou non de E On suppose qu on a f a g a pour tout a A Montrez qu on a f b g b pour tout b Aff A Application Soit une application affine f R R qui conserve l ensemble de trois points non align s a b c et change deux points parmi ces trois quelle est la nature de f 2 7 3 de Nouvelle m thode pour l exercice 111 3 3 6 On consid re une partie finie ao ap non vide dans l espace affine E R On veut montrer que l enveloppe convexe C de A est compacte On note Ej le sous espace affine de R form des points xo gt xj tels que o xx 1 et on appelle e le point 0 0 1 0 0 de Ex le 1 est la 1 me place a Montrer qu il existe une application affine et une seule f de Ex dans E telle que f e Ai b Montrer que l ensemble Zy xo s k Ex Vi 0 k x gt 0 est compact et que c est l enveloppe convexe des points eo ex on appelle Xx le simplexe standard de dimension k Ainsi le r sultat est vrai pour le simplexe standard c Montrer que f Xj C d Conclure utiliser 2 6 5 Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 14 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter 2 8 Repr sentation matricielle d une application affine Le ressort de la d monstration de 2 7 c est le fait qu une application lin aire est d termin e par l image des vecteur
8. c a v Il vous reste v rifier que ce point c d fini partir du point a est un point fixe L existence r sulte donc de la surjectivit de l application f Id p L unicit du point fixe r sultera de son injectivit Unicit Puisque f admet un point fixe l ensemble de ses points fixes est un sous espace affine de direction Ker f Id 0 injectivit donc est r duit un point 7 4 Proposition Soient g une application affine de E dans E et un vecteur de E Les applications g et tz commutent si et seulement si Y appartient Ker g Id D monstration Les applications g et tg commutent si et seulement si on a Vm EE gotz m tz o g m Ceci est quivalent Vm E E g m g 0 g m Autrement dit la condition n cessaire et suffisante de commutation est le vecteur Y est propre pour la valeur propre 1 de g ou bien c est le vecteur nul Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt 4 Page 36 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter 7 4 1 de Sig a un unique point fixe quelles sont les translations qui commutent g 7 4 2 de Etudier la composition des l ments de HT E Remarquez que le produit de deux homoth ties n est pas toujours une homoth tie Quel est le centre de HT E 7 4 3 Pr cisez le rapport de l homoth tie h c otz avec Z 1 et utilisez le th or me de Thal s pour donner une construction
9. cc sont parall les on pourra appliquer 4 2 ou employer 4 3 Pour la r ciproque on utilisera 4 3 Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt 4 gt Page 22 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter 4 5 4 5 1 4 5 2 D autres r sultats g om triques Desargues Pappus 5 Les r sultats suivants sont de grands classiques Ils apparaissent parfois sous une forme plus ou moins cach e dans une preuve de CAPES o il est demand de les red montrer Pour prouver les th or mes de Desargues et Pappus vous pouvez utiliser la proposition 4 3 ou le th or me de Thal s Comparez l efficacit des deux m thodes Est il besoin de redire qu il faut faire des figures de Th or me de Desargues Soient deux triangles abc et a b c sans sommet com mun On suppose que ab respectivement bc ac est parall le a b respectivement b c a c Montrer que les droites aa bb et cc sont concourantes ou parall les de Th or me de Pappus Soient D et D deux droites distinctes du plan affine a b et c trois points de D et a b et c trois points de D Montrer que si les droites ab et a b sont parall les ainsi que les droites cb et c b alors les droites ac et a c le sont aussi Un autre th or me de Pappus est propos en exercice la fin de cette partie Comme vous l avez constat ci dessus pour montrer des r sultats nou veaux il a fallu r i
10. d une unique fa on on retrouve l existence et l unicit des coordonn es barycentriques Montrer que la fonction qui un point m associe sa me coordonn e barycentrique Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 18 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter x m dans le rep re ao ax est une forme affine sur E Si m est le milieu de p et q relier x m p et x q 3 2 7 Montrez la r ciproque de la proposition 3 2 1 Indication si une application f de E dans F pr serve la barycentration choisir un rep re quelconque apo ax de E consid rer l unique application affine y de E dans F telle que g a f a et montrer que f g 4 TH OR ME DE THAL S 4 1 Notation Rapport de deux vecteurs colin aires Soient Y un vecteur non nul de E et un vecteur colin aire V Il existe donc un r el RE p tel que l on ait dans ce texte on notera e A Attention cette notation sous entend toujours que Y est un vecteur non nul et que est colin aire Cette notation qui vite le choix d un rep re pour d finir la mesure alg brique et all ge donc les notations est fortement d conseill e l crit du concours On peut alors noncer la version g n rale du c l bre th or me de Thal s 4 2 Th or me de Thal s Soient E un espace affine H H H trois hyperplans de E parall les et distincts et D une
11. de sorte que f n est autre que la translation de vecteur a f a 6 2 1 de Suite de 5 3 5 b Calculer o op suivre en 7 6 1 6 2 2 Q On note GA l ensemble des couples A B o A est une matrice carr e de taille n inversible et B est une quelconque matrice colonne de hauteur n On munit GA de la loi de composition interne 4 B A B A A A B B V rifiez que G A est un groupe naturellement isomorphe GA R o Explicitez G A1 6 3 Corollaire T E est un sous groupe distingu de GA E D monstration C est le noyau d un homomorphisme de groupes Ce corollaire signifie simplement que si t est une translation et g un automorphisme affine g o t o g7 est une translation On peut m me pr ciser laquelle si t est la translation Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt Page 29 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter 1 de vecteur Y sa conjugu e g o t o g est la translation de vecteur g v En effet on a pour tout x de E gotog x got g x g g x 0 x J0 tao s Cette propri t sera g n ralis e en 6 5 6 4 Le sous groupe 71 Le th or me suivant r sulte de 2 3 Th or me L ensemble AT E des homoth ties de rapport non nul et des translations de est un sous groupe distingu de GA E Il est form des f GA E tels que f est une homoth tie vectorielle de rapport
12. est un outil puis sant qui vous permettra lorsque vous serez professeur de comprendre les situations plus vite que vos l ves 2 1 Translation Soit E un espace affine Les translations de E sont des applications affines En effet si t est la translation de vecteur v on a pour tout point x de E t x x v Choisissons un point a E On a aussi t a a donc t x a at t a az de sorte que t est bien affine d application lin aire associ e l identit de E t 1d g En particulier l identit est une application affine Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt 4 Page 8 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter ho 1 1 de Que suffit t il de conna tre pour conna tre une translation 2 1 2 amp Montrez que si f est une application affine d application lin aire associ e l iden tit de E alors f est une translation Ainsi une application affine f E gt E est une translation si et seulement si f est l identit de E 2 2 Homoth tie affine D finition Soient F un espace affine c un point de E et un r el non nul L homoth tie affine de centre c et de rapport est d finie comme l application affine h c qui fixe le point c et dont l application lin aire associ e est l homoth tie vectorielle h donn e par h d V Si 1 h c A est l identit et ceci quel que soit le point c de E Si le rapport est 1 h c est appel e sy
13. et que r ciproquement toute application affine de E dans F est somme d une application lin aire et d une application constante 2 6 2 Utilisation de la fonction vectorielle de Leibniz pour d finir le barycentre Soit E un espace affine de direction vectorielle E et ao Ao ax Ax une famille de points pond r s de masse 2A On d finit une fonction de L de E dans E par a Montrer que est une application affine de dans E d application lin aire associ e l homoth tie de rapport A ici est muni de sa structure canonique d espace affine b En d duire que est constante si 0 et bijective sinon c Lorsque n est pas nul montrer qu il existe un unique g dans E tel que L g et v rifier que g a toutes les propri t s du th or me II 1 3 Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt Page 12 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter 2 6 3 amp Quelles sont les applications lin aires de R dans R et les applications affines On les crira analytiquement Montrez que toute application affine d une droite dans elle m me est soit une application constante soit une translation soit une homoth tie 2 6 4 amp Montrez que les applications affines de R dans R sont les fonctions du type v y z gt ax By yz az By 72 o a B 7 9 a B y sont des r els 2 6 5 amp Donnez la forme g n rale des app
14. g om trique du centre de cette homoth tie M me question pour t o h c 7 5 Th or me de d composition Si une application affine f de E dans E v rifie E Ker f Id O Im f Idg alors f s crit de mani re unique ty o g o 1 le vecteur Y appartient Ker f Td z ii g est une application affine admettant un point fixe iii g et t commutent D monstration Elle est propos e en 7 8 sous forme de probl me 7 5 1 de Si f v rifie x et a un point fixe f f o tg est donc son unique d composition satisfaisant 11 et 111 7 5 2 Remarque L hypoth se de d composition en somme directe peut para tre arbitraire On peut d j noter que les dimensions des sous espaces sont convenables pour avoir une telle criture et on v rifie qu elle est satisfaite en particulier par les isom tries affines De plus 7 5 3 Montrez que si F est diagonalisable alors l hypoth se est satisfaite Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 37 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter 7 6 Sym tries gliss es Soit f GA E et supposons que soit une sym trie vectorielle Les ventuelles valeurs propres de d sont 1 et 1 et elle est diagonalisable avec des sous espaces propres que nous noterons respectivement F ventuellement r duit 0 et G L application v rifie donc les hypoth ses du th or me de d composition Il y a trois cas possibles pour f s
15. gt gt gt Page 25 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter 5 2 Bijections affines Proposition Une application affine f de E dans F est injective resp sur gt jective bijective si et seulement si l application vectorielle associ e f est injective resp surjective bijective Si f est bijective l application f est alors affine et on a f t f 1 On dit que f est un isomorphisme affine D monstration Ce r sultat est valable m me en dimension infinie Injectivit Fixons un point a de E Soit un vecteur de Ker f Si f est injective les galit s f a f a f T f a nous permettent d affirmer que les points a et a co ncident donc Y 0 de sorte que f est injective a E TIT R ciproquement si deux points x et y ont m me image le vecteur f x f y est nul or Pio y E Z f x f y vaut F y Comme f est injective le vecteur 77 est nul et les points x et y sont confondus f est donc injective Surjectivit Fixons un point a de E Soit w un vecteur de F Si f est surjective il existe un point x de E tel que f x f a w Mais on a aussi l galit f x f a f az donc w f at et f est surjective R ciproquement Soit y un point de F Posons b f a On a donc l galit y b by Comme F est surjective il existe un vecteur Y de tel que fl 0 by Alors y est l image du point x a U et f est surjective Bijectivit On d duit des quiva
16. les droites ab et a b sont parall les on a deux cas f Premier cas Si les droites aa et bb se rencontrent en c on pose et on consid re c l homoth tie h h c On a h a a Posons b h b Il s agit de voir qu on a V b Mais la droite a b est parall le la droite ab donc on a a b a b Comme les points c b b et b sont align s b est l intersection de cb et a b on a bien DIE Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 21 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter Deuxi me cas Si les droites aa et bb sont parall les comme les droites ab et a b gt gt sont aussi parall les alors aa b b est un parall logramme Posons aa bb Alors la translation t envoie a sur a et b sur b 4 3 1 amp V rifiez que la transformation convenable est unique 4 3 2 di Etablir l analogue du r sultat pr c dent dans un espace affine de dimension n quelconque 4 4 Forme du th or me de Thal s enseign e dans le secondaire Proposition Soient D et D deux droites distinctes du plan affine issues d un point a Soient b et c resp b et c des points de D resp D distincts de a On a l quivalence bb c e ab ab Si l une des assertions quivalentes est v rifi e on a ac ac CE a ab bb 44 1 de Montrez la proposition Si les droites bb et
17. non nul ou encore tels que pour toute droite D de E f D est parall le D D monstration Soit H l ensemble des homoth ties vectorielles de rapport non nul On a vu en 2 3 que HT E est form des l ments f de GA E tels que O f soit dans H autrement dit HT E 07 H Mais H est un sous groupe distingu de GL E c est son centre et O est un morphisme de groupes d apr s la proposition 6 2 donc HT E est bien un sous groupe distingu de GA E Nous avons d j vu en 3 1 4 que les homoth ties et les translations envoient une droite sur une parall le Supposons r ciproquement qu un l ment f de GA E envoie toute droite sur une droite parall le D apr s la proposition 3 1 1 cela veut dire que pour toute droite D de E la droite vectorielle D est invariante par Il en r sulte que tout vecteur non nul de est un vecteur propre de f Or c est un r sultat classique d alg bre lin aire que les seuls endomorphismes de E dont tous les vecteurs non nuls sont propres sont les homoth ties vectorielles Finalement T appartient H donc f est une homoth tie ou une translation 6 4 1 de Soit E un espace affine de dimension 3 et f un l ment de GA E telle que pour tout plan P f P soit parall le P Montrer que f est une homoth tie ou une translation Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 30 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter 6 5 Principe de conjugais
18. E Si on le note v on a pour tout x de E f x x c est dire f tz Supposons maintenant 1 et montrons que f admet un point fixe unique cf aussi 7 3 Fixons une origine w dans E Alors pour tout c E on a f c f w Donc c est point fixe de f si et seulement si f w c Aw soit 1 f w c Aw f w Puisque ATE E gt 1 l quation pr c dente admet une unique solution le point c f w MER w f w L application affine f fixe un point c et a pour application lin aire associ e l homoth tie vectorielle de rapport donc f est l homoth tie h c d apr s 1 3 Comme souvent on est pass au vectoriel pour caract riser une pro pri t affine Certains auteurs appellent dilatations les transformations de HT E Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt 4 Page 10 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter 2 4 Projection affine D finition Soient V un sous espace affine d un espace affine E c V et W un suppl mentaire de V dans E La projection affine sur V parall lement W est d finie comme l application affine py yz qui fixe c et dont l application E E lin aire associ e est la projection vectorielle pg sur V parall lement W 2 4 1 V rifiez que p yy fixe V point par point 2 4 2 Montrez que la d finition pr c dente ne d pend pas du choix du point c V X 2 4 3 dh Montrez que p yy as
19. Fermer Quitter 6 5 2 de Si le point cest fixe par f trouvez un point fixe de go f o g 6 5 3 de Si f est un automorphisme alors g o f o g_ en est un aussi 6 5 4 On a vu en 6 3 que si f est une translation de vecteur alors go f og est une translation de vecteur g 6 5 5 d De m me pour le conjugu d une homoth tie Si f est l homoth tie de centre c et de rapport montrez que go f o g_ est l homoth tie de rapport m me nature et de centre g c transport par g L exercice suivant vous permettra de tester si vous avez bien saisi le principe Vous pouvez aussi essayer d appliquer le principe dans le cas des isom tries des permutations 6 5 6 amp Soient f et g des l ments de GA E Calculez go f o g dans le les cas suivants a f est la sym trie par rapport au sous espace affine V de direction W avec comme toujours Vo W E tudiez en particulier le cas de la sym trie centrale b f est la projection sur le sous espace affine V parall lement W D duire de ce qui pr c de le centre du groupe GA E c est dire l ensemble des l ments g GA E qui commutent avec tous les f GA E L exercice suivant est un des ingr dients d une preuve du principe de conjugaison 6 5 7 de Si V estun sous espace affine invariant resp fixe point par point par f montrez que g V est un sous espace affine invariant resp fixe point par point par go f og Plus g
20. GEOMETRIE AFFINE Document de travail pour la pr paration au CAPES Quatri me partie APPLICATIONS AFFINES Accueil Marie Claude DAVID Fr d ric HAGLUND Daniel PERRIN Sommaire Marie Claude David math u psud fr YS 8 d cembre 2003 EIRE Dans cette partie nous tudions les applications affines qui sont les applications qui respectent la structure affine La pr sence de l espace PESA vectoriel sous jacent permet d associer une telle application une appli cation lin aire Une question essentielle est alors l existence de points Retour fixes pour une application affine En effet en pr sence de points fixes l application affine est d termin e par sa partie lin aire Dans le cas Ein COET contraire on dispose d un succ dan le th or me de d composition 7 5 qui s il n est pas au programme du CAPES dans sa forme g n rale intervient de fa on essentielle dans l tude des sym tries gliss es Fermer et des isom tries affines Nous montrons au paragraphe 4 des cons quences g om triques des Quitter applications affines pr cis ment des homoth ties translations en par ticulier le th or me de Thal s CONTENU DU COURS I Espaces affines II Barycentres III Convexit Accel IV Applications affines Page de Titre Dans l introduction vous trouverez le mode d emploi de ce document et les conseils de navigation Faites des dessins encore des dessins tou
21. Les espaces affines de dimension n sont isomorphes Groupe affine 61 Definition CE propositon RC a a a A Proposition 2 o Ea A E E ad a a a A 64 LesSous croupe MA ER PR a 65 Principede conjugaisons Ne S 15 15 16 18 18 18 20 21 22 24 24 25 26 27 Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 4 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter 7 Points fixes d une application affine th or me de d composition 32 TA 72 73 74 Applications affines laissant fixe Un point coe e a a a la e 32 Pomtsfixes d unc applic tronafhiine O 34 SS s D SV 34 E RE ET R R R 35 Th or me de d composition s us le e ee RL re 2 6a dep ea e Las EE 36 MA oda 37 Th or me de M nclals Z eean a a e n eE RRI 37 Probl me sur le th or me de d composition 38 copyleft LDL Licence pour Documents Libres Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 5 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter 1 APPLICATIONS AFFINES D FINITION 1 1 Th or me et d finition Soient F et F deux espaces affines et f une application de E dans F On dit que f est une application affine s il existe un point a de E et une application lin aire Fa de E dans F tels que pour tout point x de E on ait la formule 1 f x f a f a Alors pour tout point b de E on a aussi D 0 Fa On dit que a est l applicatio
22. applications qu on appelle le groupe affine de F et qu on note GA E D monstration Cela r sulte du paragraphe pr c dent 6 2 Proposition L application O de GA E dans GL E qui une application affine f associe l application lin aire associ e f est un homomorphisme de groupes de G A E dans GL E Cet homomorphisme est surjectif et son noyau est le groupe T E des translations de E D monstration L application O est un homomorphisme de groupes car l application lin aire associ e la compos e est la compos e des applications lin aires associ es O go f O g 0 f Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 28 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter La surjectivit r sulte de 1 3 soient H un automorphisme lin aire et c un point de E l application f qui fixe c et dont l application lin aire associ e est y v rifie O f w Il reste donc calculer le noyau de O c est dire l image r ciproque de l l ment neutre de GL qui est l identit de E On cherche donc les applications affines dont l application lin aire associ e est l identit Le groupe des translations T E est contenu dans le noyau de O R ciproquement on va montrer que tout l ment du noyau est une translation Si f est un automorphisme affine tel que soit l identit on a pour tout point x de E f x f a a f a af a f a x x af a
23. de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 24 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter 5 COMPOSITION DES APPLICATIONS AFFINES ISOMORPHISMES AFFINES 5 1 Proposition La compos e de deux applications affines est une application affine et l ap plication lin aire associ e la compos e est la compos e des applications lin aires associ es D monstration Soient f une application affine de E dans F et g une application affine de F dans G Fixons un point a de E et calculons l image d un point quelconque x de E par go f On a f x f a faz on applique g cette galit et on obtient go fa go f a G f a L application g o f est donc affine et on a la formule i gof go f 5 1 1 Si f R gt RP est affine repr sent e par le couple A B de Ap n et si f RP R est affine repr sent e par le couple 4 B de Am p la compos e f o f est repr sent e par a de 5 1 2 de Soit abc un triangle et mo un point du segment ab La parall le bc issue de mo coupe ac en m la parall le ab issue de m1 coupe bc en ma la parall le ac issue de m2 coupe ab en ma etc Montrer que mg et mo sont confondus Dans quel cas my et mg sont ils confondus H lt 5 1 3 de Suite de 3 2 5 c D terminer les applications affines p qui v rifient pop p d D terminer les involutions affines lt Accueil Page de Titre Sommaire 44
24. droite non faiblement parall le H Posons DOH a Dane ler Dit le 1 Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 19 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter Y Alors le r el A ne d pend que des hyperplans H H H et non de la droite D D monstration Soit une autre droite qui coupe les hyperplans respectivement en b b b On consid re la la projection affine p de E sur A parall lement Par d finition de p on a les galit s p a b p a b et p a b On applique p la relation aa Maa gt et comme J est lin aire on obtient p aa A p aa ou encore bb ADD 4 2 1 de Donnez une d monstration directe du th or me de Thal s sans utiliser les appli cations affines H lt Comparer les deux d monstrations longueur niveau des outils utilis s 4 2 2 Les l ves de quatri me connaissent les propri t s de la droite des milieux dans un triangle En utilisant ces propri t s montrer que si trois droites parall les d coupent des segments de m me longueur sur une s cante il en est de m me sur toute s cante En d duire le th or me de Thal s pour les rapports rationnels La m thode utilis e ci dessus pour montrer Thal s repose sur l utilisa tion d une projection Dans la pratique avant de chercher utiliser le th or me de Thal s il est souvent plus astucieux de chercher la pro
25. e par fet f a vaut a c est dire que le point a appartient X Soit b un point de X on a l galit cb f c f b cb donc le vecteur cb est dans gt Ker f Idg et le point b c cb appartient A 7 2 1 d Quels sont les points fixes d une sym trie affine d une projection affine 7 3 Th or me tr s important Soit f une application affine de E dans E de dimension finie toujours et soit a l application lin aire associ e f Alors l application f admet un unique point fixe si et seulement si 1 n est pas valeur propre de f Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt 4 gt Page 35 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter D monstration Si f admet un unique point fixe d apr s 7 2 l ensemble de ses points fixes est un sous espace affine de direction 0 Ker f Id g donc 1 n est pas valeur propre de R ciproquement si 1 n est pas valeur propre de T nous avons d montrer un r sultat d existence et d unicit Existence Fixons un point a de F et cherchons d terminer un point fixe c Les quivalences suivantes vont guider notre recherche mais ne pr sument en aucun cas de l existence de c Ho c e faj f at ara e Faa F Idg a Maintenant reprenons la d monstration Comme E est de dimension finie et que f Id z est injective F Id y est surjective le vecteur Faja a donc un ant c dent Y par f Idg Posons
26. elon le nombre de points fixes de f 1 Si F est r duit 0 f a un unique point fixe c c est la sym trie affine de centre c 2 Si F n est pas r duit au vecteur nul et que f ait des points fixes alors f admet un sous espace affine de points fixes F de direction F et f est la sym trie affine oblique d axe F et de direction G 3 Si F n est pas r duit au vecteur nul et que f n ait pas de point fixe f se d compose comme g o tz o g admet un point fixe c L application g est donc une sym trie o FC avec F c Fet tz est une translation de vecteur Y vecteur non nul de F On dit que f est une sym trie gliss e 7 6 1 de Suite de 6 2 1 c D terminer les applications op o 04 et op 0 op Th or me de M n la s 7 7 1 amp Soient a b c E et ha hy he trois homoth ties non triviales de centres a b c On suppose ha o hy o he Idg Montrer que les points a b et c sont align s 7 7 2 de Th or me de M n laiis On suppose que E est un plan affine Soient a b c trois points non align s de E et soient a b c trois points distincts de a b c situ s respecti vement sur les droites bc ca ab A l aide de 7 7 1 montrer que a b c sont align s si et seulement si l on a gt gt b be da OS c ba cb Q a Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 38 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter Applications du th or me de M n la s
27. homoth tie ou une translation et D une droite de E alors f D est un sous espace affine de E de direction R D o h est l homoth tie vectorielle de rap port non nul associ e f Or pour une telle homoth tie on a R D D donc par d finition f D est une droite parall le D SES Quelles sont les droites affines globalement invariantes par une homoth tie une translation 3 2 Effet d une application affine sur les barycentres 3 2 1 Proposition Soit x1 A1 22 2 x une famille de points pond r s de E de masse totale non nulle et de barycentre x et f une application affine de E dans F Alors f x est le barycentre des points f x affect s des masses A On dit qu une application affine conserve les barycentres En particu lier elle conserve les milieux D monstration On part de la relation E A zz qui exprime que x est barycentre des x et on lui applique On obtient en utilisant la lin arit et la relation entre f et A r Nara O a 0 i 0 1 0 et cette derni re relation exprime que f x est barycentre des f x affect s des masses 2et pourtant a priori elle ne conserve pas les distances m me s il y a une notion de distance ce qui n est pas le cas dans un espace affine g n ral Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 17 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter 3 2 2 dh A l a
28. ide de cette proposition red montrez que l image d un sous espace affine est un sous espace affine 3 2 3 Montrez que l image directe d un convexe par une application affine est un convexe 3 2 4 de Montrez que l image r ciproque d un sous espace affine si elle n est pas vide resp d un convexe par une application affine est encore un sous espace affine resp un convexe 3 2 5 de Soit une application affine f de E dans E a Montrez que sion a f o f f alors f admet un point fixe b Montrez que si f est involutive c est dire v rifie f o f Idg alors f admet un point fixe que l on cherchera comme barycentre A suivre en 5 1 3 3 2 6 ee Fonction barycentre d une famille de points donn e Soit E un espace affine quelconque On reprend les notations Ey e du 2 7 3 On suppose que ao ax est une famille de k 1 points de E et on consid re l application b de Ej dans E qui xo gt gt xx associe le barycentre du syst me ao zo ax x a Montrer que b est l unique application affine de Ej dans E telle que b e a Expliciter l image et le noyau de b b Montrer que b Ej Aff ap ap et que b est injective si et seulement si les points a sont affinement ind pendants c On suppose maintenant que ao ax est un rep re affine D duire de ce qui pr c de que tout point m de E est barycentre des a affect s de co efficients x de somme 1 et ce
29. jection ou d autres applications affines homoth ties translations comme on le verra dans le paragraphe suivant cela peut simplifier consid rablement la r daction de la d monstation Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt Page 20 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter 4 3 La variante classique de Thal s Le r sultat suivant est important D abord il redonne la forme de Thal s vue dans l enseignement secondaire mais aussi d autres r sultats De sargues Pappus Il montre pourquoi il peut tre int ressant de consi d rer des applications affines ici des homoth ties ou des translations pour d montrer une propri t g om trique ici le parall lisme Il est indispensable de faire deux figures une pour chaque cas et de les m moriser Proposition Soient a a b et b quatre points distincts dans le plan affine Les droites ab et a b sont parall les si et seulement s il existe une homo th tie ou une translation u qui transforme a en a et b en b L application u est unique si les droites aa et bb se coupent en c u 7 rue ca s est l homoth tie de centre c et de rapport gt si aa et bb sont parall les ca u est la translation de vecteur aa D monstration On sait d j que s il existe une homoth tie ou une translation qui transforme a en a et b en b alors les droites ab et a b sont parall les R ciproquement si
30. jours des dessins Page 2 de 40 Table des mati res Ein 1 Applications affines D finition 5 1 1 5 Th or me et d finition Pr een CC gt 12 Exemple tet 2 2 20 2 222 OI 6 _ Plein cran ES O R Te NOG O o a e NES ooo 6 Fermer 2 Applications affines Exemples 7 2 Translation A A A DS N T E T NT 22H6mMm0 h He AIMONS UT AV AED 2 EE 8 2 3 L ensemble des homoth ties et des translations de E 8 Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 3 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter 24 Projecionmatine n o a O O O o FR A E 251 EE S 2 A 2 E RIT 26 Cas particuliers 72 PER a 2 OI 2 777 Determination d une application affine ER A S 2 e La S 2 8 Repr sentation matricielle d une application affine Applications affines Propri t s 3 1 Application affine etsous space alfine lt o e e oee eeaeee 8 ale 3 2 Effet d une application affine sur les barycentres Th or me de Thal s 4 1 Notation Rapport de deux vecteurs colin aires 42 Th eorcme de Thales o EE a se a e e anes 43 La variante classique de Thales a 4 4 Forme du th or me de Thal s enseign e dans le secondaire 4 5 D autres r sultats g om triques Desargues Pappus Composition des applications affines isomorphismes affines SU Propositions A A O R 52 Bijectons aines 2 22 a a dd BECAS Es dae A 5 4
31. lences pr c dentes que f est bijective si et seulement si T l est Soit g l application affine de F dans E qui envoie b f a sur a et dont l application lin aire associ e est F l on v rifie facilement que g o f est l identit de E donc g est f ce qui ach ve de prouver la proposition 5 2 1 Montrer que si E et F sont de m me dimension finie une application affine de E dans F est bijective si et seulement si elle est injective si et seulement si elle est surjective Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt 4 gt Page 26 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter 5 3 Bijections et rep res 5 3 1 Proposition Si E et F ont m me dimension une application affine f de F dans F est un isomorphisme d espaces d affines si et seulement si elle envoie un resp tout rep re de E sur un rep re de F 2 N A D monstration Soit ao an un rep re de E et b f a Alors bob f aoai La ET suite aoa est une base de E Donc f est un isomorphisme si et seulement si bob est une base de F i e si bo bn est un rep re de F On conclut avec la proposition 5 2 5 3 2 Proposition Soient F et F deux espaces affines de m me dimension munis respecti vement de deux rep res ao an et bo bn Alors il existe un unique isomorphisme affine de E sur F envoyant a sur b D monstration Il existe une unique application
32. lications affines de R dans R et montrez qu elles sont continues Cas particulier o p 1 on parle alors de forme affine d ailleurs l application lin aire associ e est une 2 7 D termination d une application affine On a vu en 1 3 qu une application affine est donn e par l image d un point et par l ap plication lin aire associ e En fait pour d finir une application affine il suffit de se donner l image d un rep re comme le montre la proposition suivante Proposition Soient E et F deux espaces affines ao amp 1 an un re p re de E et bo b1 b des points quelconques de F Alors il existe une unique application affine f de E dans F qui v rifie pour tout dans 10 i Rae D f ai bi D monstration Comme ap au a est un rep re de E agai agar est une base de E Soit J l application lin aire de E dans F d finie sur cette base par flava bb Vie l n Alors il est clair que l application affine d finie par l galit f ao bo et par cette appli cation lin aire est l unique application affine qui envoie les points ay a1 a sur les points bo b1 bn Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 13 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter 2 7 1 de Que dire d une application affine qui fixe les sommets d un triangle de R 2 7 2 Prolongement des identit s Soient f et g deux applications
33. m trie de centre c et not e a En vertu de 1 3 ces donn es d finissent bien une application affine On peut traduire g om triquement cette d finition de la fa on suivante qui revient la d finition donn e dans l enseignement secondaire 2 2 1 amp Sim est l image de m par h c A on a l galit cm cm Montrez le 2 2 2 dh Par la donn e de combien de points et de leurs images une homoth tie est elle d termin e 2 3 L ensemble des homoth ties et des translations de F Proposition et d finition Soient E un espace affine et f de E dans E une application affine Les assertions suivantes sont quivalentes Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt Page 9 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter i f est une homoth tie ou une translation ii 7 est une homoth tie vectorielle de rapport non nul On note HT E l ensemble des homoth ties et des translations de E D monstration i gt ii par construction pour les homoth ties et on l a d j v rifi pour les translations ci dessus ii gt i Soit f une application affine de E dans E dont l application lin aire associ e est une homoth tie vectorielle de rapport A non nul E _ n gt gt Si 1 cela signifie que f Id Donc pour tout a b E f a f b ab et _ gt _ gt _ gt d apr s la relation de Chasles bf b af a Ainsi le vecteur x f est ind pendant de x
34. n ralement si on a la relation f V V alors on a la relation go fo g V V o on a not V le sous espace g V Page de Titre Sommaire 44 4 gt Page 32 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter 7 POINTS FIXES D UNE APPLICATION AFFINE TH OR ME DE D COMPOSITION Dans tout ce paragraphe on consid re des applications affines de F dans lui m me 7 1 Applications affines laissant fixe un point D finition et proposition Soit c un point de E et posons GAC E f GA E f c c GA E est un sous groupe de GA E La restriction de O GA E induit un isomorphisme de ce groupe sur le groupe lin aire GL E D monstration En effet comme la seule translation qui fixe c est l identit la restriction de O est injective Elle est aussi surjective car y tant donn e l application affine f dont est l application lin aire associ e et qui fixe c v rifie O f Cette proposition est importante elle dit qu une application affine qui poss de un point fixe est essentiellement une application lin aire C est pourquoi on cherche toujours d abord si une application affine poss de un point fixe et dans ce cas on la comprend comme une application li n aire et on peut lui appliquer les techniques bien connues d tude r duction la forme diagonale et autres C est d ailleurs essentiellemnt ce qu on a fait dans le cas des homoth ties des sym tries
35. n lin aire associ e f elle v rifie les deux for mules 2 Vz e E We E f x f x f u 3 VaeE V e E fla 0 f a 7 D monstration On a pour tout x E la formule 1 f x f a f az Montrons qu on a la m me formule en rempla ant a par un point b E quelconque Par Chasles on a ax ab br Comme f est lin aire on en d duit gt gt gt f x f a F ab fbs Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt Page 6 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter d o la conclusion puisque par 1 on a f b f a F ab Les formules 2 et 3 sont des cons quences imm diates de 1 A Attention si f est une application de E dans F et a un point de E on R toujours d finir une fonction vectorielle f par la formule d duite g de 3 fa d f a f a 5 mais cette fonction n a aucune raison d tre lin aire et elle d pend a parn du Pout a Par exemple lorsque E R F R et f x y x y calculez foo et f 1 1 et v rifiez qu elles sont diff rentes et non lin aires 1 2 Exemple test On reprend l espace E de l exemple 1 1 2 et on d finit une application f de E dans R3 par f x y z 2x y 2 x y 2 2 y 2x V rifiez que f envoie E dans E et que f est une application affine de E dans E La proposition suivante est essentielle Elle montre qu une application affine est d finie par la donn e d une applicati
36. ne application affine g Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 39 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter ayant c comme point fixe tels que f tzog go0tz _ gt Montrer que Y appartient au noyau de y et qu on a l galit cf c v 2 R ciproquement on suppose qu il existe un point c tel que cf c appartienne au noyau de y et on pose c f c Montrer qu il existe une application affine y ayant c comme point fixe tels que J tsog gotsz Dans ce cas on dit que le point c est une origine adapt e f 7 8 2 Cas p 0 On suppose dans cette question que y est nulle 1 Montrer que ou bien f n a pas d origine adapt ou bien tous les points de E sont des origines adapt es f 2 Exemple On suppose que E est R Soient et yu deux r els et f l application affine de E dans E d finie par f z y A x 2y u y Montrer que p est nulle Pr ciser les valeurs de et u pour lesquelles f admet des _ gt origines adapt es V rifier que dans ce cas le vecteur cf c d pend du point c choisi 7 8 3 Avec les hypoth ses du th or me On dira que f a la propri t si Ker f Idg O Im f Idg 1 Montrer que f a la propri t en particulier si n a pas la valeur propre 1 ou si f est diagonalisable Montrer que si p est nulle f n a pas la propri t On suppose d sormais que f a la propri t et on pose
37. nvestir les r sultats anciens Le m me principe vaut l crit du CAPES il faut toujours penser r utiliser les questions pr c dentes Quand les hypoth ses sont sym triques les conclusions doivent l tre aussi cela permet de ne faire qu un seul calcul ou un seul raisonnement et d obtenir imm diatement d autres r sultats par sym trie 4 5 3 e Constructions g om triques de la somme et du produit inspir du CAPES in terne de 1988 Soient D et D deux droites s cantes en un point o Sur D on suppose qu il y a trois gt o ob points a b et m m o On note x et y les rapports gt et gt om om o z Donnez une construction la r gle et au compas des points c et d tels que gt x y Accueil om od o P 7 n A et gt xy On construira des parall logrammes et on utilisera Thal s Page de Titre om SERE La surprenante morale de cette histoire c est que si les notions clas siques de g om trie droites parall lisme peuvent tre facilement d finies l aide d alg bre lin aire r ciproquement les notions clas gt gt siques d alg bre addition multiplication peuvent tre retrouv es par des constructions purement g om triques Si ces questions vous int 4 gt ressent vous pouvez consulter le livre d Emil Artin Alg bre g om trique Gauthier Villars 1962 Page 23 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter Accueil Page
38. on D finition Soient f une application affine de E dans E et g un automor phisme affine de E La conjugu e de f par g est l application affine go fog 6 5 1 Montrez que l application py GA E GA E d finie par py f go fo g est un automorphisme de groupes Cela signifie en particulier qu on a go fiofr og go fio g7 o go f2 og L application qui g associe p g wg est un homomorphisme de groupes de Lesquels En particulier on a Yg py 1 Le principe de conjugaison est une remarque tr s simple mais essen tielle dans de nombreuses questions Il s nonce comme suit Principe de conjugaison Soient f et g des applications affines de E dans E g tant un isomorphisme Alors 1 le conjugu g o f o g est une application affine de m me nature g o m trique que f 2 les l ments caract ristiques de g o f og s obtiennent partir de ceux de f en les transportant par g Cette formulation est videmment un peu vague c est pourquoi nous parlons d un principe et non d un th or me mais elle permet dans toutes les situations particuli res de trouver un nonc pr cis qu il reste alors d montrer dans chaque cas Ce principe est d ailleurs valable dans beaucoup d autres contextes par exemple dans le cas des groupes de permutations En voici quelques illustrations Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt Page 31 de 40 Retour Plein cran
39. on lin aire et de l image d un point Elle sera utilis e pour exhiber de nombreux exemples 1 3 Proposition Soient f une application lin aire de dans F a un point de E et b un point de F Il existe une unique application affine f de E dans F v rifiant f a b et d application lin aire associ e T Cette application est d finie par la formule _ Ve E f x b f at Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 7 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter D monstration Unicit par d finition d une application affine on a pour tout x de E f x f a faz Donc si f et f2 sont deux applications affines de E dans F telles que fi a b fala et fi fo on a fi x fa pour tout x E Existence la preuve de l unicit conduit d finir une fonction f de E dans F par gt gt f x b fla On a alors f a b f O b Ainsi le point a v rifie Vx E f x f a f az c est la d finition d une application affine d application lin aire associ e f 2 APPLICATIONS AFFINES EXEMPLES Les exemples d applications affines qui suivent translation homoth tie projection sym trie vous sont d j familiers et vous en avez vu des d finitions g om triques dans l enseignement secondaire Nous en proposons ici une approche qui s appuie sur la proposition pr c dente Nous esp rons vous convaincre que l alg bre lin aire
40. s d une base ou encore qu une application lin aire est d termin e par sa matrice dans des bases fix es De cette fa on l ensemble des applications lin aires de R dans R est en bijection naturelle avec l espace des matrices n colonnes et p lignes Il y a une repr sentation analogue pour les applications affines de R dans R qui correspond la d composition des applications affines comme somme d applications lin aires et d applications constantes cf 2 6 Soit An p l ensemble des couples A B o A est une matrice n colonnes et p lignes et B est une matrice colonne p lignes Si A B est dans An p consid rons l application Fa qui un point x x1 de R associe le point y y1 Yp d fini par Y AX B o X et Y sont les vecteurs colonnes correspondant x et y 2 8 1 amp Montrez que l application fa p est affine donnez son application lin aire asso ci e A quoi correspond le point b dont le vecteur colonne est B 2 8 2 dh Montrez que l application A B H gt fa p est une bijection de Ap sur l en semble des applications affines de R dans R Analogie avec M m R Autrement dit se donner une application affine de R dans RP c est se donner une matrice n colonnes et p lignes ainsi qu une matrice colonne p lignes Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 15 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter
41. socie un point m de E l unique point m tel que Vn m W m y Cela signifie encore que m est l unique point de V tel que mm soit dans W 2 5 Sym trie affine Nous gardons les notations du paragraphe pr c dent D finition La sym trie affine ou oblique par rapport V parall le ment W est d finie comme l application affine o qui fixe c et dont l application lin aire associ e est la sym trie vectorielle Fow par rapport V parall lement W 2 5 1 amp Montrez que la d finition pr c dente ne d pend pas du choix du point c V Accueil Page de Titre Sommaire 44 gt gt gt Page 11 de 40 Retour Plein cran Fermer Quitter 2 5 2 Soit m un point de E on pose 0 m m Montrez que m est caract ris par l une des deux propri t s quivalentes suivantes gt A Sa E de i mm W et le milieu de mm appartient V ii le milieu de mm est le projet Pym de m 2 5 3 V rifiez que 0 q fixe V point par point 2 5 4 Une sym trie centrale de E de centre c est une sym trie affine avec V et ma 2 6 Cas particuliers Comme pour les sous espaces le lin aire est un cas particulier de l affine 2 6 1 amp Soient E et F deux espaces vectoriels munis de leurs structures affines cano niques Montrez qu une application lin aire f de E dans F est affine qu une application constante est affine
Download Pdf Manuals
Related Search