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exercices de mesures et instrumentaion avec quelques corriges 1

1. N oo oo 10 N N N N e en e wt H le 10 o D coo 00 00 O0 DIN mm ON NE sf HAO OD DO EF EF 00 00 x x x mi x x 3 x K x XK Pg 0 Pd x x Bd Pg 0 K x x x x xX Kl Kl Pd HN Bg Pd Pd Pg Bd P3 Pd Pd P3 Pd Pg Pd Pd PS Pd Pg Pg Pd PS Pg P3 Pg Pg Pg C c ON M x 10 000 c ANH HOO NO HMO ON 000 c cm NN NN cc co K E p n EE EE D EE Re 4 Chapitre 3 Traitement statistique a e oo c CODA mie im IQ IN f 10 0 CV CV CI CI CI CI CI CI CI CI NAN x BJ Pp x Kl Kl Pd Kl x x x Pd Pd Pd Pg P Pd Pg Pd ee Pd K C c 0 ec ANON P 10 NO c c c on K K K MAMMAM A A Analyse dimensionnelle Calcul d incertitudes Analyse ststaistiques simples Regression lineaire ou methode des moindre carrees Caracteristiques de capteurs Thermometres a mercure PT100 RTD Chapitre 3 Traitement statistique Ex 14 Ex 15 Ex 16 Ex 17 Ex 18 E
2. PA P2 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 P 10 P 11 Ce livre est destin aux tudiants de premi re ann e de l Ecole Nationale d Ing nieurs de Tunis de toutes sp cialit s Suite mes ann es pass es l ENIT en enseignant le cours de Mesures et Instrumentation j ai remarqu que mes l ves manquaient d outils pour mettre en pratique les connaissances acquises durant le cours Avec une charge horaire de 15h par an il est impossible aux enseignants de finir le programme en incluant des s ances de travaux dirig s dignes de se nom En plus je n ai pas pu trouver un livre d exercices r pondant aux besoins de nos tudiants et portant sur le programme enseign l ENIT Cette premi re version de ce livre est une tentative de ma part afin de venir en aide nos tudiants afin qu ils puissent s exercer et mettre en pratique les connaissances acquises En attendant la deuxi me version qui comportera les corrections de tous les exercices je propose dans cette premi re version quelques corrections afin d aider l tudiant dans son travail Aussi comme certain enseignants dont je fais parti assurent ce cours en anglais je propose la fin de ce livre quelques exercices en version anglaise Afin de faciliter l utilisation de ce livre l utilisateur pourra trouver dans les pages suivantes un mode d emploi expliquant comment l utiliser J ai essay de re
3. 2 c v c v c v 139 LecLv Lc Lv 2Lv c y 2Lv Or v c donc At t t 5 2 En conclusion E xAt 2x L _ 15007 x3 10 6 2x10 3 At At 2432 52 1072 434 10 us 2 AN v 337 5m s x At 2xL 4 v Lnc LnAt Ln2L dv _ dat 5 _ Se V At V At 3 10 140 _ 331 5x 434 107 26 56 ms Correction des exercices Chapitre 3 Traitements statistiques 3 TRAITEMENTS STATISTIQUES EXERCICE 2 1 On classe les donn es dans un ordre croissant Tableau C 3 1 Donn es classes par ordre croissant Colonne 1 Colonne 2 Colonne 3 118 8 119 6 120 4 118 9 119 6 120 4 118 9 119 8 120 6 118 9 119 9 120 8 119 4 119 9 120 9 119 4 120 1 121 119 6 120 2 121 21 La moyenne est donn e Em 119 91 C La M diane Tu 119 9 C Pour calculer le mode on est ramen faire une r partition en classe Nombre de classe 21 5 Tableau C 3 2 Distribution Statistique et calcul de fr quences Classes N obs Freq relative 118 5 119 4 0 19 119 119 5 2 0 10 119 5 120 6 0 29 120 120 5 4 0 19 120 5 121 5 0 24 119 75 Remarque que Mode Moyenne M diane donc la distribution suit la loi de Gauss et le nombre d observations peut tre consid r comme satisfaisant 14
4. 1 Organiser les r sultats obtenus dans un ordre croissant Mettez les donn es dans 5 intervalles pour obtenir la distribution de fr quence Calculer la fr quence relative ainsi que la fr quence cumul e S lectionner la pression m diane partir des donn es 2 Construire une courbe en histogrammes pr sentant la distribution Superposer la courbe de la fr quence 3 Construire la courbe de la fr quence cumul e 4 Pour les donn es de Pression a Calculer la moyenne relative chaque colonne b Calculer la moyenne des colonnes 1 2 et 3 4 c Calculer la moyenne de la totalit des donn es Commenter les r sultats obtenus en a 5 D terminer le mode et comparer le avec la m diane et la moyenne des donn es 6 D terminer a l cart type sx b le domaine R c la d viation moyenne la variance sx e le coefficient de variation Cy 21 Chapitre 3 Traitements statistiques EXERCICE 2 Dans cette exp rience 21 mesures de temp ratures sont r alis es Les r sultats sont regroup s dans le tableau suivant Tableau 3 1 b R sultats de mesure de pression Colonne 1 Colonne 2 Colonne 3 121 118 9 119 4 120 4 119 9 120 2 118 8 120 6 119 6 119 9 119 4 120 4 119 6 118 9 119 6 121 120 9 119 8 118 9 120 8 119 6 Reprendre les questions de l exercice 1 EXERCICE 3 Des mesures r p t es de lhauteur d un b timent ont donn les r s
5. 0 8 h D Re 3 Pr Ah _ AD ARe 1APr 0 8 h D Re 3 Pr A N Bn 0 8 uic LES 0 022 2 2 h 18 48 2131 31 14 Ainsi nous obtenons Ah 5 18W m C 6 Finalement le coefficient de transfert de chaleur s crit sous la forme h 339 29 5 18W m C 143 EXERCICE 21 1 Le principe de la m thode des moindres carr es est le suivant Soit un nombre de points exp rimentaux d terminons la droite qui minimise la somme des erreurs cart entre la valeur mesur e et la valeur pr dite par la droite Ax Y f 1 X Figure C 3 2 Principe de la m thode des moindres carr es r gression lin aire 2 D montrons les relations _ B 0 b 2 MEX 2 2 2 Ly 3 7 n Ex _ EXEy nExy E nxx L erreur global est ainsi donn e par Y i l Il s agit d une fonction convexe d pendant des deux param tres m et Cette fonction atteins son minimal quad son gradient est nul c a d OA 0 We 0 db Ce qui nous donne 144 Correction des exercices Chapitre 3 Traitements statistiques 2 om i l fS maro CLR 2 Sb mx b 0 db 2 5 mx b xx 0 Ms 2 by mx ba 0 Ms La r solution de ce syst me avec les inconnus m et b donne les quations 1 et 2 D apr s la figure nous avons Vo R i b En utilisant la relation de la m thode des moindres c
6. 70 65 60 55 50 45 40 35 t s 0 0 13 0 26 5 44 5 62 0 85 0 114 0 154 0 1 Tracer la droite T t T Ti T en fonction du temps t sur un papier semi logarithmique Ti tant la temp rature initiale 70 C On pose T t I T T exp 4 3 2 Calculer t la constante du temps du thermom tre partir de la pente de cette 43 Chapitre 4 Caract ristiques des capteurs droite 3 Calculer l incertitude AA en fonction de AT Ti et T on prendra ATi AT AT t AT 4 Proposer en utilisant AA et At une m thode graphique pour d terminer At 5 Expliquer l utilit de la constante de temps dans une mesure de temp rature EXERCISE 13 CONVERSION PAR VARIATION DE RESISTANCE Le curseur d un potentiom tre est li une membrane ou capsule de mani re ce que la d formation de ce corps d preuve entraine un d placement du curseur Le potentiom tre de r sistance totale Rn est aliment par une f e m e Voir figure 4 4 100 S A B 0 50 100 Figure 4 4 Potentiom tre par variation de r sistance 1 Quelle est la grandeur physique pour laquelle ce capteur est sp cifiquement con u 2 Quel est le signal lectrique fourni par ce capteur 3 a Donner l expression de la tension entre le curseur et l une de ces extr mit s b S il y a une proportionnalit entre pression p mesurer et d formation du corps d preuve
7. a 600 C b 400 C 90 C d 100 C 240 C 10 Pour une valeur de la temp rature la r sistance lectrique d une thermistance est donn e par R R xexp Bx dud 5 6 o exp T h i O est la r sistance la temp rature To est suppos e constante dans le domaine de temp rature utilis On donne Ro 50000 To 300 B 3000 K 1 Si la valeur de la r sistance mesur e est 1000 5 Q calculez la temp rature correspondante T et son incertitude AT 23 2 En supposant que la plus petite r sistance qu on peut mesurer avec le Pont Wheatstone utilis est de 10 d terminez la r solution T 320K et T 600K de ce thermom tre thermistance Commentez ces r sultats EXERCICE 11 Un Voltm tre Digital DVM est utilis pour mesurer la tension de sortie Vo d un thermocouple Cuivre Constantan comme montr dans la figure 5 5 D terminer la tension de sortie V Indiqu par le voltm tre DVM 200 Constantan 2100 T 0 C SSL 200 DVM Taio Sopper T Ty 20 Figure 5 5 Mesure de la tension issue d un thermocouple par un DVM EXERCICE 12 Pour un thermocouple quand la jonction froide est maintenue 09 les donn es d talonnage sont donn es dans le tableau suivant Tableau 5 3 Donn es de mesure de temp rature par un thermocouple 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 E uV
8. cole nationale d ing nieurs de Tunis EXERCICES DE MESURES ET INSTRUMENTAION AVEC QUELQUES CORRIGES 1 ANNEE TOUTE OPTION A l Ecole Nationale d Ing nieurs de Tunis Universit de Tunis Manar Karim Bourouni Ma tre Assistant en G nie Industriel Janvier 2011 ENIT Campus Universitaire B P 37 1002 Tunis Le Belv d re Tunisie Tel 216 71 874 700 Fax 216 71 872 729 http www enit mu tn Email karim bourouni enit rnu tn karimbourouni yahoo fr Site Web www karimbourouni com neaAIN op a8eg 8 UOISIAA a8eg egeq ejmoznog uapnog D UOISIS 1 enbndo GLY 001 14 e s1inojdeo ap sonbnsriayoeres Sommaire sop opoujour no 1 18 se duurs senbusrejsis 4 sopnjnourp jeD s jeuy 126 v o9 iz om 9 E 5 gt lt v om a Calcul d incertitude Chapitre 2
9. C 1 Give the expression of the expansion of metallic strip with an expansion coefficient amp as a function of temperature We suppose that the length of the strip at the temperature To is 10 2 Determine the expansion of each strip stainless steel and Copper at the temperature 1209 3 Explain the principle of functioning of this sensor in this case 4 The radius of curvature of the strip if it undergoes the temperature T is given by the following equation K AT Where AT T Toin and is the curvature radius is a constant that depends on thermal and physical properties of the two strips m C The characteristic of this sensor is given by the following table 7 7 Table 7 6 Results of the bimetallic strip calibration 9 15 20 25 30 35 45 p m 0 95 0 49 0 35 0 23 0 18 0 15 By using the regression analysis determine the value of the constant K You can by a variable change transform the Equation 7 7 to a linear relation Demonstrate that the relation 7 7 is true 5 Define the sensitivity of a sensor and determine its value for the studied instrument at 6 If the smallest length variation that can be measured by the sensor used to measure the radius of curvature is 1 mm determine the resolution of the bimetallic strip at this temperature 7 We suppose that the length L T of the bimetallic strip at the temperature T is the avera
10. La RTD R sistance Temperature Sensor PT100 et la thermistance donnant une variation de la r sistance en fonction de la temp rature respectivement suivant les lois RID R Ro 1 4T T2 413 V Tn O est la valeur de la r sistance 09 Thermistance R R xexp Bx ee T T O Ro est la valeur de la r sistance Les temp ratures sont exprim es en K 3 155 Chromel Chromel Chromel vo 1 3 vo 1 2 Alumel Alumel 1 019 mV 0 507 mV Figure C 5 3 Calcul de la tension aux bornes du thermocouple La tension d livr e par le voltm tre est U 1 019 0 507 0 512 mV 4 La valeur affich e par le voltm tre est en fait 0 652 mV Ce r sultat est diff rent celui qu on devrait trouver Ceci peut tre d aux erreurs d auto chauffage self heating Effet Peltier Effet Thompson Caract ristiques intrins ques de l instrument Mauvaise valeur de la temp rature de r f rence erreur de lecture etc Conditions op ratoires etc 5 Le voltm tre branch au thermocouple mesurant affiche une tension de 6 112 mV Un thermocouple dont les jonctions entre Ta et 09 donnerait comme f e m 0 507 0 6115 6 190 mV En consultant le tableau du thermocouple nous avons 116 C gt 6 140 mV 117 6 195 mV En faisant une interpolation lin aire nous obtenons _ 6 190 6 140 117 116 116 116 90 6 195 6 140 Chrome
11. Table 7 3 Variation of the resistance R1 and the voltage S versus the humidity h h 96 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 kQ 1000 999 4 99 9 95 8 25 9 5 2 S mV 0 199 0 198 0 175 1 422 104 97 2497 8 PROBLEM 6 Flow Measurement 112 English version Chapter 7 Review Problems To determine the mass flow Q in m s of a fluid in a pipe a change of section is created while passing from a section to a section A2 see Figure 7 10 By measuring the pressure P4 upstream and downstream we can deduce the mass flow Q by the following relation deduced from the Bernoulli equation A 2 p 2 5 7 4 1 E pi p2 differential Pressure in Pascal A1 Surface of the first section in m A2 Surface of the second section in m fluid density in kg m mass flow m s cross sectional area of pipe A cross sectional fluid density p area of pipe A Figure 7 10 System for mass flow measurement During a practical training a students group have decided to check the equation 7 4 Hence they have mounted an experimental similar to Figure 7 10 They used two tubes with diameters of d1 20 cm and d 18 cm As fluid they used the water with a density of 1000kg nm Two anemometers were set up to measure the pressure and p They also installed a flowmeter downstream from the section shown in figure 7 10 to perform a direct measurement of
12. 4 Durant une exp rience r alis e avec de l eau 1 0 kg l une conduite de 2 cm de diam tre est utilis e Les valeurs de qu sont mesur es pour diff rentes valeurs de AP Les r sultats de cette exp riences sont illustr s dans le tableau suivant Tableau 3 15 Tableau 3 15 R sultats relatifs aux mesures de d bits AP Pascal Qm kg s 100 0 88 150 1 07 200 1 29 250 1 39 300 1 61 5 Etablir des quations permettant de d terminer les coefficients de la r gression lin aire moindre carr es 6 En d duire la valeur de la constante K 37 Chapitre 4 Caract ristiques des capteurs 4 CARACTERISTIQUES DES CAPTEURS EXERCICE 1 Pour mesurer le d bit d un liquide dans un tube une turbine peut tre utilis e Ce type de capteur est talonn dans un environnement de 20 C et les caract ristiques vitesse de rotation d bit liquide obtenus sont r sum es dans le tableau suivant Table 4 1 Caract ristiques du capteur 20 Rotational speed rd s 0 00 0 20 0 40 0 60 0 80 1 00 Liquid flow Kg s 0 00 0 0 0 60 0 90 1 20 1 50 1 Expliquer le principe de fonctionnement de ce type de capteur 2 D terminer sa sensibilit 20 3 Le capteur est utilis pour mesurer le d bit d un liquide 50 lister les diff rentes erreurs qui peuvent tre faites et pr ciser si elles sont syst matiques ou al atoires 4 L exp
13. flux lumineux 2 D montrer partir de l quation du circuit lectrique quivalent figure 7 5 b que l expression de l amplitude I du courant lectrique peut s crire I 2 jxoxCx 1xelt4 V1 xej 7 2 Rm On donne le flux incident modul le courant i t 2I x x I Sa et la tension de sortie V t V x el PRO 3 En supposant le syst me de premier ordre de signal de sortie S et d entr e m de la forme BxS m donner la fr quence de coupure du circuit f B 2 xA 5 J1 fc 2 5 Calculer la sensibilit de cette photodiode s f et sa constante de temps 1 Qn fc 4 Montrer que V et 9 Arctg f fc Figure b Figurea 65 Figures 7 5 Sch mas de la photodiode PROBLEME 4 Partie 1 Mesure de Niveau Un capteur capacitif de forme cylindrique est utilis pour mesurer le niveau d un liquide dans un r servoir Ce condensateur est constitu de deux cylindres concentriques s par s par de l air Le cylindre int rieur a un diam tre di et le cylindre ext rieur un diam tre d voir la figure 7 6 La capacit de ce condensateur d pend du fluide qui se trouve dans le r servoir est la permittivit relative de ce liquide Si le r servoir est partiellement rempli par ce liquide la valeur de la capacit sera interm diaire entre celle d un condensateur dont le di lectrique est l air et celle d un condensateur dont le
14. however dynamic characteristic concerns the characterization of the sensor when the input exhibits a variation step variation sinwave linear etc Examples Static characteristics Precision accuracy zero drift Dynamic characteristics Time constant hysteresis etc 4 For the first order system the relations ship between the input and the output can be given by the following relation dt EXERCISE 4 Aging of the transducer Systematic Sensitivity error Systematic Reading Errors Random Zero drift of a measuring device Systematic Magnetic Noise around the measuring device Random 159 6 2 5 Le circuit de conditionnement sont des circuits lectriques qui convertissent compensent et manipulent le signal de sortie d un transducteur en un signal lectrique plus utile Exemple Pont de Wheatstone qui converti une variation de r sistance lectrique en une variation de tension On peut assimiler la distribution de l ensemble des r sultats une loi de Gauss si les r sultats ne pr sentent que des erreurs al atoires pas d erreurs syst matiques En supposant que la relation entre x et y est de la forme y mx b l erreur globale est donn e par Y i l Il s agit d une fonction convexe d pendant des deux param tres m et Cette fonction atteins son minimal quad son gradient est nul c est dire 0 od 0
15. is the black body temperature 3 If the smallest temperature readable by the pyrometer is 5 calculate the resolution of the pyrometer for non black body at T 1273 when 0 66 mm Ag 0 63 and 1 4388 104 um 4 If the pyrometer uses two Wavelengths and z with the same spectral width AA and when S4 1 Sa A2 K 4 K A2 and e 1 a Give the electrical signals Se and Sa corresponding respectively to and S md b Calculate the ratio r t and give the main interest of this type of el 2 pyrometer 103 REVIEW CURRENT ISSUES EXERCISE 1 1 Remember the basic units constituting the MKSA indicate the corresponding physical quantities 2 Precise the functioning principle of the transducer in an electronic instrument give an example 3 Explain the difference between systematic and random errors Give an example 4 What is the median of a statistic population EXERCISE 2 1 Give a figure resuming the principle components of an electronic instrument 2 What is the difference between an RTS and a Thermistor 3 Explain the difference between static and dynamic characteristics of an instrument Give some examples 4 Define a first order system EXERCISE 3 Sensor Influence quantity Mesurand Output Figure 6 1 Functioning of a sensor 1 What is the function ensured by this sensor 2 What is the mesurand 3 a Wha
16. 06 2 5E 06 3 0E 06 Racine p1 p2 Figure C 7 3 Variation of the mass flow versus pressure We remark that we obtain a linear curve 165 2 Demonstration Note A the total error done by this approximation with YX f i 1 Where yi is the coordinate obtained by the equation yi mxitb and Yi is the experimental ccordinate The best Line is that minimize the total error A Or minimizing A is equivalent to Min A the square in an increasing function the obtained function is convex so we should find m and b that give partial derivates according to m and b equal to Zero e Mo 2 0 db This gives us 2 n 5 PF o om om 1 ow afe 2 A mx bP 0 ma bP After derivation we obtain 450 mx x 0 ici 2X y mx b 0 i 1 The resolution of the system gives the equations 1 and 2 3 We define the correlation coefficient parameter such as 2 Ly 2y xy Zy 22 It expresses if there is a linear correlation between Y and x 4 If we apply the regression analysis we obtain m 0 0019 and b 0 2 1 That means that the relation f Jp p is linear and we verify that 166 orrection des exercices Chapitre 7 Probl mes de synth ses IL 2 0 0019USI 2 1_ 22 5 Q2 mx p p gt ap Sap 1 2 d 2 P P m 21 P We obtain
17. 1 3 9080 10 3 0 5 8019 107 5 4 O 8 est en degr Celsius et Ro 100 1 Vous voulez mesurer une temp rature avoisinant les 50 C quel capteur utiliseriez vous 2 Si la plus petite r sistance qui peut tre mesur e est de 0 1 Q d terminer la r solution du capteur choisi 50 C EXERCICE 6 On veut mesurer la stratification thermique dans un r servoir de stockage d eau chaude Pour cela on place 10 sondes pour la mesure de la temp rature de type PT100 espac es de 15 cm Pour une PT100 la caract ristique telle que donn e par le fabricant est la suivante R R x 1 0 00385xT 5 5 R est la r sistance en Ohm T est la temp rature en C Ro est la valeur de la r sistance 0 C Sa valeur est 100 Ohms A un instant t on mesure les temp ratures dans les diff rentes couches du ballon On obtient le tableau suivant Tableau 5 1 R sultats de mesure de temp rature dans les diff rentes couches Couche 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Resistanc 107 107 0 108 4 111 1 115 0 117 5 120 4 121 5 122 5 123 51 7 9 7 7 9 3 1 6 3 1 1 Chercher les valeurs la temp rature au niveau de chaque sonde 2 Tracer la courbe T 2 On remarque que la temp rature repr sente une irr gularit au niveau de la sonde N 5 On proc de alors son talonnage et on obtient le tableau suivant Tableau
18. 1 6 4 79 5 the sensitivity of a sensor is the ratio between the variation of the output by the variation of the input g A Output A Input The value of sensitivity at T is obtained as following K se ar SI K then _ K 4 99 gt 4 10 m C AT T T 120 10 6 The resolution of the bimetallic strip at this temperature is determined by 2 2 _ 020 710 4 99 168 2 42 Correction exercices Chapitre 7 Probl mes de synth ses L e l 7 E p 7 Figure 7 4 Curve radius calculation in radian p T 1 Cos an 1 cos Cos Q p T o T L 120 C Li L2 2 22 042 22 0027 2 22 022 cm p 120 C 4 99 110 0 045 m 4 54 cm e 120 C 0 045 1 22 02 4 54 0 045 1 4 85 0 039m 3 9cm dL ECOL os esi gt Ae 0 037 cm dp ROC D 169 PROBLEM 9 TEMPERATURE MEASUREMENT Part 1 Study of the temperature sensor 1 1 The reference junction temperature is at 17 3 C So we will suppose that we have the following configuration Chromel un lt gt Emfi Figure C 7 4 Thermocouple calculations Emf 0 163 mV Emf is determined from the table related to the chromel Constantan thermocouple by linear
19. 10 0 397 0437 0477 0 517 0557 0 597 0 637 0677 0 718 0 758 0 798 20 0 798 0 838 0 879 0 919 0 960 1 000 1 041 1 081 1 122 1 163 1 203 30 1 208 1 244 1 285 1 326 1 366 1 407 1 448 1 489 1 530 1 571 1 612 40 1 612 1 653 1 604 1 735 1 776 1 817 1 858 1 899 1 941 1 982 2 023 50 2 023 2 064 2 406 2 147 2 188 2230 2271 2 312 2 854 2 395 2 436 60 2 436 2 478 2 519 2 561 2 602 2 644 2 685 2 727 2768 2 810 2 851 70 2 851 2 803 2 984 2 976 3017 3 059 3 100 3 142 3184 3225 3267 80 3 267 3 308 3 350 3 391 3 433 3474 3 516 3 557 3 599 3 640 3 682 90 3 682 3 723 3765 3 806 3 848 3 889 3 931 3 972 4 013 4 055 4 096 100 4 006 4 138 4179 4220 4262 4303 4 344 4 385 4427 4 468 4 509 179 Table of Thermoelectric Voltages for Chromel Constantan Thermocouples with the reference Junction at 0 C 180 ee Exercices Corrig s de Mesure et Instrumentation Annexes 1 Table of thermocouples A D 181
20. 135 20 EFFET HALL LnVy LnKy Lnl LnB LnSin 4 CO ag 21 46 B 0 Pour 040 tg0 0 Ce qui nous donne dl dB 49 Ainsi AV 1 2 3 6 I 6 EXERCICE 21 MESURE DE L HUMIDITE DE L AIR 1 P 0 622 r P 0 622 r P Py AN r 0 069kg kg 7 2 Lnr Ln0 622 Ln P Py dr dP P P D o Ar AP P P AP P R Ar 1 1 0 04 0 02 0 02 4 44 0 9 0 9 0 9 136 Correction des exercices Chapitre 2 Calcul d erreurs et d incertitudes Ar 0 044x0 069 0 0031kg kg Finalement r 0 069 0 003 kg kg EXERCICE 23 d 2 1 V ho m xzx 2 V 2 1 3 14m Q 5 23 10 m s 2 LnV Ln h 2Lnd Ln4 dV dh 4 2 V h2 h h2 h D AV Ah AD pL 2 h h h hy D AV_Ahy h Ah hy AD V hj h h h h h D Ah _ AD _ Or 1 h h D Ce qui nous donne AV X ms hy om 2 h2 h1 hy hy AV AY 001x 21 522 007 7 V 1 1 Ainsi AV 0 07 x 1 0 22m 137 EXERCICE 24 1 La puissance transf r e dans cet changeur est donn e par la relation suivante Q nk amp xCpx T T SA
21. 30 210 238 60 220 236 90 215 241 120 205 232 150 214 231 180 220 238 2 1 Calculer les valeurs correspondant la temp rature et la valeur moyenne 2 2 Calculer l erreur AT correspondant la premi re mesure Thermistance et RTD 2 3 Si la r sistance la plus faible qui peut tre mesur e par le pont est de 10 d terminer la r solution des deux capteurs T 110 C 24 Quel est le capteur le plus ad quat pour ces mesures le RTD ou la thermistance PROBLEME 10 ETUDE DE L ECOULEMENT D UN FILM LIQUIDE AUTOUR D UN CYLINDRE Afin d tudier le transfert de chaleur dans un film liquide s coulant autour d un tube horizontal lisse l exp rience suivante a t r alis e Un tube lisse avec un diam tre int rieur de din 20 mm et un diam tre ext rieur dex 22 mm est plac horizontalement Un flux de chaleur q 100 W m est g n r l int rieur du tube et transf r l ext rieur du tube Le film liquide est ruissel en haut du tube et s coule autour du tube sans interruption figure 7 16 On consid re que la temp rature de film est uniforme et elle est prise sa valeur moyenne Toast 7 2 7 9 Deux Thermistances symbole sur la figure 7 16 sont utilis s pour mesurer les temp ratures Thaut et Tras Les caract ristiques de ces thermistances sont Ro 5000 Q 300 K B 3000 K La distribution de temp rature sur les parois du tube est d termin
22. D montrer que Vm est gale Z ro aux conditions initiales le pont est quilibre b D montrer que lorsque P est diff rent de Vm est proportionnelle et par la suite h2 h1 Donner la relation entre Vm et ho h1 4 Est ce que ce syst me peut tre utilis pour mesurer la diff rence de pression P1 P2 entre les deux r servoirs Donner une relation entre P1 P2 et Vin 5 Les deux capacit s ont une longueur L 1 m la permittivit relative du liquide est 4 L alimentation en puissance du pont est 6 Volts 6 Si le Voltm tre mesurant la tension de d s quilibre du pont V ait une r solution de 1 mV quelle peut tre la r solution du d placement de liquide ho h1 64 Chapitre 7 Probl mes de R vision PROBLEME 3 PHOTODIODE On utilise une photodiode comme capteur de mesure de flux lumineux La diode se comporte comme un g n rateur de courant i Sa o est le flux lumineux incident mesurer et Sa la sensibilit propre de la diode en A W ind pendante de la fr quence de En fait la grandeur lectrique de sortie du montage est la tension v aux bornes de la r sistance Rm voir figure 7 5 a la place du courant i Le sch ma lectrique quivalent du montage peut tre repr sent par celui de la figure 7 5 b C est la capacit de la jonction de la diode polaris e en inverse 1 Quels sont les signaux d entr e m et de sortie S de ce capteur de mesure du
23. Temperature measurement results 23 30 35 40 45 50 55 60 RQ 5000 3950 365 2890 2500 2150 1860 1630 Determine the best estimation of D by using the linear regression analysis least square method EXERCISE 25 The following expression relates the loss angle 6 of a capacitor the capacity the resistance R and the frequency f tg 2xnxRxCxf 3 11 1 Calculate the absolute error made on tg 6 We give 4500KQ with 1 C 3300 pF with 0 5 f 1000Hz with 276 2 Express correctly the measurement result of tg 6 We measure the reactive power in VAR of a receiver The active power P is equal to P 1500W with 1 and the phase difference 0 02 radian to 2 3 Calculate and express correctly the results of the measurement The value of is given by the following expression Q P tg 92 English version Chapter 3 Statistic Analysis 93 4 e SENSOR CHARACTERISTICS EXERCISE 1 To measure a liquid flow in a tube a turbine can be used Such sensor is calibrated in an environment of 20 C and has the following rotational speed liquid flow characteristics Table 4 1 Characteristics of the sensor at 209 Rotational speed rd s 0 00 0 20 040 0 60 0 80 1 00 Liquid flow Kg s 0 00 0 0 0 60 0 90 1 20 1 50 1 Explain the principle of functioning of this sensor 2 Determine the sensitivity of the turbine at 20
24. rience r alis e 509 montre que les caract ristiques de la turbine changent comme suit Table 4 2 Caract ristiques du capteur a 50 C Rotational speed rd s 0 00 0 20 0 40 0 60 0 80 1 00 Liquid flow Kg s 0 1 035 0 64 0 85 1 1 1 6 D terminer la sensibilit 50 C EXERCICE 2 Un capteur est talonn dans un environnement une temp rature de 21 C Les caract ristiques d flection charge sont illustr es dans le tableau suivant Table 4 3 Caract ristiques d flection charge 21 C Charge kg 0 50 100 150 200 D flection mm 00 10 20 30 40 Quand il est utilis 35 C ses caract ristiques changent comme suit Table 4 4 Caract ristiques deflection charge 35 Charge kg 0 50 100 150 200 Deflection mm 0 2 1 3 2 4 3 5 4 6 1 D terminer la sensibilit du capteur 21 C et 35 C Que remarquez vous 2 Calculer le d calage z ro et l cart de sensibilit 35 C EXERCICE 3 CALCUL D EXACTITUDE La sensibilit d un thermom tre r sistance sonde Pt100 dont la r sistance vaut 1000 0 C est de l ordre de 3 9 101 Q C suppos e sensiblement constante avec la temp rature variation lin aire de la r sistance avec la temp rature Calculer la pr cision sur la mesure de temp rature si l on mesure la r sistance de la sonde avec une incertitude de 0 1 au
25. 0 397 798 1203 1611 2020 2436 2850 3266 3681 4095 1 Dans ce domaine la courbe d talonnage est suppos e tre une droite Utiliser la m thode des moindres carr es pour d terminer l quation E f 0 2 Pour 2020 d terminer l erreur commise sur la temp rature si la courbe est utilis e 3 Ce thermocouple est utilis avec la jonction froide a 0 20 D terminer en utilisant le tableau convenable la temp rature si la f e m E 2052 uv x EXERCICE 13 54 Chapitre 5 Mesures de Temp rature Soit une enceinte qui est maintenir temp rature constante Tu 20 C au milieu d un environnement To 10 C par chauffage partir d une source thermique temp rature T Pour mesurer ces temp ratures 3 thermocouples Chromel Constantin sont utilis s Les jonctions de r f rences de ces thermocouples sont plac es la temp rature ambiante 1 Expliquer le principe de fonctionnement d un thermocouple 2 Quels sont les autres instruments de mesure de temp rature que vous connaissez 3 Un voltm tre digital est branch aux bornes du thermocouple mesurant la temp rature Tu Quelle devrait tre la tension affich e par ce voltm tre 4 La valeur affich e par le voltm tre est en fait 0 652 mV Que remarquez vous Interpr ter ce r sultat 5 Le voltm tre branch au thermocouple mesurant affiche une tension de 6 112
26. 1 137 2 142 7 140 0 142 8 134 5 1 Calculate the average temperature of the exhaust gases out of the chimney 2 Calculate the standard deviation 3 The interval of confidence in the hypothesis which says that the gas temperature at the exit of the chimney is 139 09 C EXERCISE 23 In the calibration of a Resistance Temperature detector we suppose that the variation of the Resistance versus Temperature is the following R Rox 1 aT amp a T 3 9 Where is the value of the resistance at 20 1 Determine according to the experimental results R the expression of the constants and a by the least square method 2 Basing on the experimental data given in the table 3 11 give the best estimations of the two values a1 and a Table 3 11 Results of the resistance measurement T 20 25 30 29 40 45 50 55 60 91 122 5 144 8 147 9 158 3 169 1 182 3 194 9 211 1 227 1 EXERCICE 24 The resistance of a thermistor at a temperature T is given by R R 2 3 10 Where Ro The resistance at the temperature K B a constant in the used range 5000 Q at 23 A static calibration is performed to determine the value of 1 Define the meaning of static calibration and explain how we can carry such experiment 2 The experimental results obtained are illustrated in the following table Table 3 11
27. 1 4388 104 um 4 Si le pyrom tre utilise deux longueurs d onde et Az avec la m me largeur spectrale et quand Sg A1 Sa 2 K Aq et 4 22 a Donner les signaux lectriques S4 and 5 2 correspondant respectivement M et b Calculer le ratio et donner l int r t principal type de el 2 pyrom tre optique 58 Chapitre 6 R vision Questions de cours REVISION QUESTIONS DE COURS EXERCICE 1 1 Rappeler les unit s de base constituant le syst me MKSA indiquer les grandeurs physiques correspondantes 2 Pr ciser le principe de fonctionnement d un transducteur dans un instrument de mesure lectronique donner un exemple 3 Quelle est la diff rence entre les erreurs al atoires et les erreurs syst matiques Donner un exemple 4 Qu est ce que la m diane d une population statistique EXERCICE 2 1 Donnez une figure illustrant les diff rents composants d un instrument lectronique 2 Qu elle est la diff rence entre une PT100 et une Thermistance 3 Expliquez la diff rence entre une caract ristique statique et une caract ristique dynamique d un instrument Donnez quelques exemples 4 D finissez un instrument de premier ordre EXERCICE 3 Grandeur d influence Sortie Mesurande Figure 6 1 Fonctionnement d un capteur 1 Quelle est la fonction r alis e par ce capteur 2 Qu appelle t on mesurande 3 a Que repr se
28. 150 214 231 130 58 110 50 180 220 238 128 98 109 59 7 7 2 Tin vi Y Tout vi Tiny 131 17 C and Tout 111 14 C 2 2 The Error 2 3 The resolution 171 R 1 1 dR dT For the thermistor Ln gt pese e 2 AR y TA AR R T At 110 we have R 310 68 so AT 0 034 C For the RTD we have Ro 1 aT AT AR At 110 C we have R 140 so AT 0 347 C 2 4 We remark that the resolution of the thermocouple at this temperature is inferior to that of the thermistor So we can conclude that the thermocouple is more adequate at this temperature PROBLEM 10 Part 1 1 1 The expression of the Thermistance Resistance as a function of temperature R R 1 2 Hence the value of temperatures are given as following 1s Which gives For R 1000 gt 84 544 C For R 980 Q gt T 85 407 C 1 For the corresponding errors after derivation we have 2 at This gives 172 Correction exercices Chapitre 7 Probl mes de synth ses For R 1000 Q gt AT 0 085 C For R 980 Q gt AT 0 065 Hence 84 544 0 085 C and 85 407 0 065 C 2 The average temperature of the film T top Tbottom _ 84 544 85 407 2 2 f 84 97 85 C 1 Using the Chromel Alumel table the temperatures corresponding to the different thermocouples are determined 09
29. 20 C are measured in each side of the wall by mercury in glass thermometer with a range of 25 C to 25 C and a quoted accuracy figure of 1 of full scale reading calculate the possible error in the calculated figure for the temperature difference EXERCISE 5 The density d of a liquid is calculated by measuring its depth c in a calibrated rectangular tank and then emptying it into a mass measuring system The length and width of the tank are a and b respectively and thus the density is given by 84 English version Chapter2 Error and uncertainty Calculation m 2 2 axbxc el Where m is the measured mass of the liquid emptied out If the possible errors in the measurements of and m are respectively 1 1 2 and 0 5 determine the possible error in the calculated value of the density d EXERCISE 6 direct current generator required for a circuit is obtained connecting together two batteries of 1 5 volt in series If the error on the voltage at the output of each battery is 1 calculate the possible error on the output voltage of the 3V generator EXERCISE 7 In order to measure the refractive index n for a wavelength we can use prism with an angle A realized with this material and measure the minimum deviation Dm between the incident and emergent rays Figure 2 1 Diffraction par un prisme So we have the following relation NC sin 2 1 We call AA and AD the
30. 3300 pF 0 5 pr t et f 1000 Hz 2 pr t 2 Exprimer correctement le r sultat de mesure de tg 6 On mesure la puissance r active Q en VAR d un r cepteur de puissance active P 15000W 1 pr t et de d phasage 0 02 radians 2 pr t 3 Calculer Q et pr senter correctement le r sultat de mesure On rappelle que Q PxTg EXERCICE 17 On mesure la valeur d une r sistance lectrique utilisant un amp rem tre et un voltm tre Deux montages sont possibles Montage amont Montage aval Figure 2 4 Montages pour la mesure d une r sistance 1 Lequel de ces deux montages donne t il la vraie valeur de la r sistance R Expliquer 2 Calculer les corrections apporter aux r sultats v i dans le montage amont et v i dans le montage aval pour obtenir la valeur de r sistance On notera g la r sistance interne de l amp rem tre et la r sistance interne du voltm tre Application num rique montage amont v 10 i 10 mA g 124 Q montage aval 8 72 V i 10 mA Ry 200 000 Q 18 Un Venturi Figure 2 5 est un syst me de mesure permettant la mesure du d bit d un liquide en convertissant une variation en pression un d bit massique en utilisant l quation suivante qm 7 Kx xd 2 10 O P1 et P sont les pressions en amont et en aval du Venturi et d le diam tre mesur du tube Figure 2 5 Principe de fonct
31. 9993 1 With a relation y mx b from this data we see first that p 1 So the linear relation can be maintained Moreover b 20 0004 0 which is very small compared to the measured value So b can be neglected Finally we can say that U Kx 3 With K m 12 559 V m 4 Kis the sensitivity of the sensor 5 The sensor can be classified as linear Zero order system 3 76 0 299 0 3mm 12 559 6 Part II 1 The operating principle of a thermocouple can be explained by the Seebeck Effect 2 a Reduce the number of combinations between and T2 standardisation All the tables are done in these conditions b The Error is not critical if we know the value of the ambient temperature c We can correct it by using this rule Chromel Chromel Chro mel T oc T Tat 0 Alumel Alumel Alumel 1 3 V 1 2 V 2 3 3 For the thermocouple 1 The value V 2 9965 mV does not exist in the table so we should use linear interpolation 2 976 mV gt 73 C 3 017 mV gt 74 C 2 9965mV2 73 _ 2 9965 2 976 with 173 59 74 73 3 017 2 976 175 Conclusion T 73 5 C For the Thermocouple 2 We check first the value given at 19 C which is Vo 2 3 0 758 mV Hence the corresponding voltage at this temperature when the cold junction is at 0 C is U2 2 259 0 758 3 017 mV Basing on the thermocouple Table we obtain T 74 C 4 overall heat transfer coeffi
32. C 3 The sensor is used to measure a liquid flow at 50 C list the different errors that can be done and precise if they are random or systematic 4 The experiment carried at 50 shows that the characteristic of the turbine changes to the following Table 4 2 Characteristics of the sensor at 50 Rotational speed rd s 0 00 0 20 0 40 0 60 0 80 1 00 Liquid flow Kg s 0 1 0 35 0 64 0 85 11 16 Determine the sensitivity at 50 C EXERCISE 2 A load cell is calibrated in an environment at a temperature of 21 C and has the following deflection load characteristics Table 4 3 Deflection load characteristics at 21 C Load kg 0 50 100 150 200 Deflection mm 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 When used in an environment at 35 C its characteristic changes to the following Table 4 4 Deflection load characteristics at 35 C Load kg 0 50 100 150 200 Deflection mm 0 2 13 2 4 3 5 4 6 1 Determine the sensitivity at 21 C and 35 C What you remark 2 Calculate the total zero drift and sensitivity drift at 35 C 3 Hence determine the zero drift and sensitivity drift coefficients in units of um C and um par kg C 94 English version Chapter 4 Sensor s Characteristics EXERCISE 3 ACCURACY CALCULATION The sensitivity of a probe platinum whose resistance is 100 at 0 C is of the order of 3 9 10 1 Q C assumed substantial
33. Deux an mome tres ont t mis en place pour mesurer les pressions pi et p Ils ont install galement un d bitm tre en aval de la section pr sent e sur la figure 7 10 pour r aliser une mesure directe du d bit Q en m h Gr ce une pompe fr quence variable ils ont pu r aliser des variations de d bit de 0 1 m h Les r sultats de cette exp rience sont illustr s dans le tableau suivant tableau 7 4 Tableau 7 4 R sultats de l exp rience de mesure de d bits 70 Chapitre 7 Probl mes de R vision p bar p bar m h 2 24 2 11 796 54 2 64 2 45 962 97 3 03 2 78 1104 60 3 32 3 03 1189 69 3 66 3 21 1481 98 3 87 3 36 1577 68 4 02 3 42 1711 24 4 14 3 92 1739 53 1 Etablir sur un papier millim tr le graphique f Jp j Que remarquez vous 2 On peut exprimer l quation Q f une relation de type y mx b D montrer par la m thode des moindres carr s r gression lin aire que les param tres m et b peuvent tre exprim s par _ gt gt gt n x et Xiy mxx Xxxxy Ex Xy n xxf nxx b 3 On appelle p le coefficient de corr lation donn par 2 X T ly mb 1 5 Pr Dour avec ly xy Quelle est la signification de ce param tre 4 D terminer l quation de la courbe ainsi obtenue Co
34. Justifier 2 Donner le sch ma lectrique quivalent du circuit r cepteur ne pas repr senter la capacit Cp des effets parasites 61 3 Pour un flux incident a Etablir l quation diff rentielle du syst me photodiode r sistance D duire l ordre du syst me b d terminer la constante du temps tenir compte des approximations 4 Pour un flux sinusoidal F t Fm cos cot la forme de la tension aux bornes de la r sistance est V t Vm cos attf Etablir les expressions de Vm et f Tracer les diagrammes de r ponse en fr quence Partie 2 Etude Statistique Lors de l envoie d une s quence de 8 bits tous 1 11111111 de l ordinateur vers l imprimante on mesure le courant circulant dans la r sistance R correspondant chaque bit Les r sultats sont r sum s dans le tableau suivant Tableau 7 1 R sultats de mesure de courant I mA 59 98 59 98 60 02 60 00 60 04 60 00 59 98 60 00 1 Ranger les valeurs dans 3 classes et calculer les fr quences relatives de chacune 2 Calculer la valeur moyenne du photo courant et de son cart type En d duire une meilleure estimation de la vraie valeur du photo courant et de l erreur Mettre le r sultat sous la forme J 2 1 AI 3 En supposant que la sensibilit Sa est constante et gale 0 3 uA uW Estimer le flux recu par la photodiode et son erreur Mettre le r sultat sous la forme t Ao 62 Chapitre 7
35. Le probl me contient une description d une exp rience puis deux parties compl tement ind pendantes Dans une centrale thermique la vapeur est refroidie avec de l eau de mer sans condensation par l utilisation d un changeur contre courant L eau de mer entre par le haut de l changeur Inlet et sort par le bas Outlet La vapeur circule en contre courant dans un tube horizontal figure 7 15 L changeur de temp rature est instrument par 4 capteurs de temp rature Deux thermocouples Chromel Constantin pour mesurer les temp ratures d entr e Tinw et de l eau de mer Une thermistance pour mesurer la temp rature d entr e de la vapeur Tame Les caract ristiques de cette thermistance sont D 2800 K et Ro 2500 T 25 C Un capteur de temp rature R sistance fait en platine R pour mesurer la temp rature de sortie de la vapeur T Nous supposerons que le coefficient de r sistivit pour la temp rature est y 0 4 C et que y est n gligeable La valeur de la r sistance 0 C est 1000 75 Sea Water Thermocouple 1 8 in glass thermometer Vapour Outlet Inlet mm o pcnc gt T T RTD Thermistor 1 in glass thermometer Outlet Reference Junction of the thermocouple Figure 7 15 Echangeur de chaleur pour le refroidissement de la vapeur Partie 1 Etude des capteurs de te
36. X4180x10 4180 W 2 L erreur sur le flux est d termin e de la fa on suivante LnQ Lnn amp LnCp Ln T T ES 40 dm dT dT a T T T T AQ Auk AT AT 5 Q T T t 0 01 0 1 0 1 0 21 21 AQ 0 21 4180 877 8W Ainsi on obtient Q 4180 877 8 W EXERCICE 25 1 La relation donnant Vmes peut tre obtenue par deux m thodes la premi re se base sur l quation de Thevenin et la deuxi me sur la loi des mailles 19 m thode Equation de Thevenin R R Mun eL D RR La f e m du g n rateur de Thevenin est Figure C 2 7 Pont de Wheatstone 138 Correction des exercices Chapitre 2 Calcul d erreurs et d incertitudes zi R4 R Vga Vg KLAR TR R 3 1 R D o R R VEN Et he DET PAE RE 2eme m thode Loi des mailles On peut d finir comme indique dans la figure C 2 7 deux mailles parcourues par des intensit s et i Ainsi on peut crire Maii ES Maille 2 V 4 R xi Xi gt i mS QM Vines Va Vg VA Vp Vg Ro xij Vines R 8 5 Ainsi i R R R4 R R Vines Vo n C c TES ew R R 2 Vmes 0 gt Ce qui donne RiR3 RoR RER RAR S dV Va v A 24 Lv gt e 3R 2R4 6 Vie Y EXERCICE 26 L L __
37. Z 120 R 120 AZ RAR LO AL Vo Z 852 1202 1202 12 R Lo Vo AZ AR 0 VR 120 JR 12 VR 120 Y Autre m thode Z VR o 2R 2Lo 2120 __ A cep NWR 1202 WR 2o WR Lo AQ 2 Vo R L AZ mL AR A Aq JR Lo JR Po JR 120 EXERCICE 17 Montage amont Montage aval Figure C 2 1 Montages pour la mesure d une r sistance 134 Correction des exercices Chapitre 2 Calcul d erreurs et d incertitudes Les deux montages donnent une erreur sur la mesure Rappel loi d Ohm U T Montage amont Ja valeur de la r sistance est inconnue Figure C 2 5 Le voltm tre est branch aux bornes de l Amp rem tre et de la R sistance Il y a donc erreur syst matique due la r sistance de l amp rem tre Rem des Rmes lt R il faut apporter une correction dR Rmes Si Rmes lt lt lt Rv gt R R mes 2 AR nes R hes R gt AR mes R mes R mes Rmes est petite devant la r sistance du voltm tre Rv alors le montage aval convient pour la mesure des r sistances de valeurs plus petites que C L Si lt R lt R ou R lt R R ou R lt J R R on adopte le montage aval Si c gt Saou gt R RAR on adopte le montage amont Si R JRAR les deux m thodes sont quivalentes
38. d formation du corps d preuve et d placement x du curseur d placement x du curseur et r sistance R x Comment s crit alors Vm 4 L amplitude du signal de sortie est de l ordre du volt Quel est l avantage de disposer d un signal de sortie lev 5 votre avis quels sont les inconv nients de ce type de capteurs 6 Proposer l instrumentation associ e a ce capteur EXERCISE 14 CAPTEUR HYDROELECTRIQUE Un d tecteur hydro lectrique est utilis pour la mesure des rayonnements optiques Le d tecteur hydro lectrique est un d tecteur thermique qui absorbe le rayonnement incident et le transforme en chaleur Il en r sulte une l vation de la temp rature de l l ment sensible du d tecteur Cette variation de la temp rature entraine une modification des propri t s du mat riau Un d tecteur hydro lectrique est expos un flux de rayonnement incident de puissance et de pulsation 0 la temp rature de celle ci sera modul e avec la m me pulsation mais avec une amplitude fonction de la fr quence La diff rence de temp rature T Ta entre le d tecteur la temp rature et le support thermique la temp rature ambiante Ta est d duite du bilan global des transferts d nergies au niveau du d tecteur Celui ci est traduit par l quation suivante P t Cih dE T 4 4 Avec Cin capacit calorifique du d tecteur J K 1 conductivit thermique syst me W K Puis
39. des am liorations a cette premi re version je vous demande de m envoyer vos commentaires suggestions remarques critiques corrections etc sur mon email Karim bourouni enit rnu tn ou karimbourounieyahoo fr MODE D EMPLOI Tous les exercices sont propos s dans ce livre en fran ais En plus certains d entre eux sont propos s en anglais Ces exercices sont pr c d s du symbole La page de la version anglaise est indiqu e dans le sommaire Les exercices pour les quels une correction est propos e dans ce livre sont indiqu s avec le symbole La page de la correction est indiqu e dans le sommaire 1 ANALYSE DIMENSIONNELLE EXERCICE 1 Compl ter le tableau suivant des dimensions et des unit s dans le syst me international relatif aux principales grandeurs Grandeurs M caniques Tableau 1 1 Dimensions des grandeurs m caniques Grandeur Symbole Dimension Unit s Unit s SI utilis Vecteur position m m tre Vitesse m s Vitesse angulaire rad s Acc l ration m s ou Nkg Acc l ration de la pesanteur m s ou H N Newton Travail W J Joule Energie Cin tique E J Energie potentielle Ep J Energie lectrostatique Es Energie magn tique Em J Puissance W Watt Pression P Nm ou Pascal Quantit de mouvement kg ms Superficie 5 Volume m Temps dur e t S Masse m kg k
40. di lectrique est le liquide La mesure de la valeur de la capacit nous permettra de d duire le niveau du liquide dans le r servoir Mesure de Figure 7 6 Principe de mesure de la capacit La capacit mesur e d pend de la permittivit relative du liquide 1 Le niveau du liquide est indiqu par luf wt d 7 3 2XTX p X o est la constante di lectrique du vide 8 85 1012 As V d 2 5 cm di 1cm 1 1 Quels sont les signaux d entr e et de sortie de la sonde 1 2 D terminez l expression de la sensibilit du capteur 1 3 Le capteur est il lin aire Justifiez votre r ponse Un calibrage statique de la sonde donne les r sultats suivants voir le tableau 7 2 66 Chapitre 7 Probl mes de R vision Tableau 7 2 Calibration statique du capteur de niveau Capacit C pF 25 30 35 40 45 50 55 60 Niveau du liquide 34 41 2 47 5 54 5 61 7 68 1 75 1 81 7 cm 1 4 Tracez la courbe C f L 1 5 D terminez en utilisant la m thode des moindres carr s la permittivit relative du liquide 1 1 6 En consid rant les erreurs relatives sur les diam tres dj et d 2 sur la capacit 5 et sur la permittivit relative du liquide 3 D terminez l erreur sur le niveau du liquide AL si le niveau de liquide est de 68 cm Partie 2 Mesure de temp rature Un thermocouple chromel Alumel est utilis pour mesurer la te
41. e en utilisant six thermocouples chromel Alumel pour lesquels les jonctions de r f rence sont plac es la surface aux positions angulaires 0 30 60 90 150 et 180 les angles sont pris par rapport a la position verticale Le symbole e est utilis pour l emplacement des thermocouples sur les parois du tube Partie 1 Etude des Thermistances 77 Dans cette partie du probl me une attention particuli re est port e la mesure de la temp rature avec les thermistances 1 1 Donner l expression de la R sistance de la thermistance comme fonction de la temp rature 12 Les valeurs des r sistances donn es par les thermistances sont 1000 5 et Reas 1000 5 Q D duire les temp ratures du film liquide en haut et en bas du tube 1 3 Calculer les erreurs correspondantes 1 4 Calculer la temp rature moyenne du film Tr Thermistance enhaut du tube El ment chauffant Thermistance en bas du tube Figure 7 16 Distribution des capteurs autour du tube horizontal Partie 2 Mesure de la Temp rature avec des thermocouples Les tensions d livr es par les thermocouples plac s autour du tube figure 7 16 sont r sum es dans le tableau 7 8 La jonction froide du thermocouple plac 90 est plac la temp rature ambiante 24 par ailleurs les jonctions froides de autres thermocouples sont plac es 2 1 En utilisant le tableau du thermocouple Chromel Alum
42. equal to Zero at the initial conditions the bridge is balanced b Demonstrate that when P4 is different from Vm is proportional to C C2 and hence to h2 h1 Give the relation between Vm and ho h1 4 Can this system be used to measure the difference of pressure P1 P2 between the two vessels Give a relation between P1 P2 and Vin 5 Both capacitors have a Length L 1 m the relative permittivity of the liquid is 4 The bridge power supply voltage 6 Volts 6 If the Voltmeter which is measuring the bridge unbalance voltage Vm is having a resolution of 1 mV what can be the resolution in liquid displacement h2 h 1 107 PROBLEM 3 PHOTODIODE We use photodiode sensor to measure the light flux The diode functions as a current generator i Sa where is the incident light flux to measure and Sa the proper sensitivity of the diode A W independent from the frequency of In fact the electrical output of the setting is the voltage v at the edges of the resistance see figure 7 5 a instead of the current i The equivalent electrical scheme of the setting can be represented by that of the figure 7 5 b where C is the capacitance of the junction of the polarised diode in inverse 1 What are the input signal m and the output signal S of this sensor 2 Basing on the the equation of the equivalent electrical circuit figure 7 5 b show that the amplitude I of the electric current can
43. est de 3 C 6 Ces thermocouples sont maintenant utilis s avec une soudure de r f rence 20 d terminer en utilisant la table la nouvelle temp rature de l un de ces thermocouples si l indication de sa f e m tait e 2 567 mV 7 On veut faire un thermocouple Fer M tal M D terminer la sensibilit de ce thermocouple sachant que celle du thermocouple M Constantan est gale 25 29uV C EXERCICE 17 La distribution de la temp rature d une plaque chauffante r gul e est mesur e par 6 thermocouples fer constantan pour lesquels les soudures de mesures sont coll es diff rents points de la surface tudier Les soudures de r f rence de ces thermocouples sont plac es la temp rature ambiante 25 C Les tensions de sorties des diff rents thermocouples sont r sum es dans le tableau suivant Table 5 6 R sultats de mesure par les cing thermocouples N Thermocouple 1 2 3 4 5 6 Tension mV 3 828 3 991 4 154 3 991 3 773 3 882 1 En utilisant la table du thermocouple fer constantan d terminer les temp ratures correspondant aux diff rents thermocouples 2 Calculer la temp rature moyenne l cart type sur la mesure de la temp rature de la plaque chauffante et l incertitude AT a un chiffre significatif 3 Exprimer correctement le r sultat de mesure de la temp rature 4 Pour une tension mesur e de 5 350 mV il n existe pas une valeur enti re de la temp rat
44. measurements altogether At the end of 100 and 200 measurements the distributions were as follows Table 3 2 Number of measurements within intervals of 0 1 Intervals Number of Number of observations observations 100 measurements 200 measurements 10 5 10 6 1 3 10 6 10 7 7 18 10 7 10 8 13 21 10 8 10 9 9 17 10 9 11 6 17 11 11 1 24 50 11 1 11 2 24 48 11 2 11 3 10 20 11 3 11 4 5 5 11 4 11 5 1 1 Construct the relevant histograms and compare them Do you think a 90 English version Chapter 3 Statistic Analysis sufficiently clear shape is emerging from the measurements to back the opinion of A or B against the other and is so who would you support Explain your answer EXERCISE 5 The following measurements are made of the output voltage from a high gain amplifier which is contaminated due to noise fluctuation 1 53 1 57 1 54 1 54 1 50 1 51 1 55 1 54 1 56 and 1 53 1 Determine the mean value and the standard deviation 2 Hence estimate the accuracy to which the mean value is determined from these ten measurements 3 If 1000 measurements were taken instead of ten but o remained the same by how much could the accuracy of the calculated mean value be improved EXERCISE6 Measuring the temperature at the outlet of a chimney gives us the following values in degrees Celsius 135 0 136 1 138 9 142 7 140
45. of scale W m C 15 Two Thermocouples type K Chromel Alumel are used to measure temperatures Tc and Tr After an operating period of 1500h and in an ambient temperature of 19 C we noted the following values Thermocouple 1 cold liquid film 2 9965 mV Thermocouple 2 hot fluid V 2 259 mV The experimenter forgot to bring the cold junction of the second thermocouple in the ice bath Note This is the same experience studied in the part I for which we used both direct and indirect methods 2 1 Explain the operating principle of a thermocouple 2 2 a Why should we put the cold junction of a thermocouple at O C b Does the error made by the experimenter leave the cold junction at room temperature is critical c Otherwise how can we correct it 2 3 Determine the values of the temperatures of hot and cold fluids 2 4 Calculate the overall coefficient of heat transfer U 2 5 Deduce the value of the scale thickness x at that moment 2 6 Compare the results obtained with both measures Experiments in Parts I and II of the problem 2 7 Based on equation 1 give the expression of the relative error on the overall 125 heat transfer coefficient 2 8 If the errors on the flux Q is 1 and the temperatures Te and T are 0 05 what is the error made on the overall heat transfer coefficient U Comment on this result 2 9 By neglecting other errors show that the error on the scale thickness x
46. r est donn e en module par la loi de coulomb F LS 4xnx xr usn La force de la base entre deux fils parall les parcourus respectivement par les courants I et de longueur L et s par s par une distance est donn e par F Uo XIXTXL 1 6 2XTXrI 1 Donner les dimensions de o et Ho 2 V rifier l homog n it de la relation poeoC 2 1 avec C tant la vitesse de la lumi re dans le vide 2 INCERTITUDES CALCUL D ERREURS EXERCICE 1 Deux r sistances ont des valeurs respectives 10 7 2 ohm et 26 5 0 5 ohm 1 Quelle est la valeur de la r sistance quivalente quand ils sont connect es 1 en s ries 2 en parall le 2 D duire l erreur sur la r sistance quivalente dans chaque cas EXERCICE 2 Une r sistance R 5 1 est travers e pendant 60 0 par un courant continu d intensit 2 2 A Quelle est l nergie thermique d pens e dans cette r sistance Donner son incertitude absolue Donner le r sultat en deux chiffres significatifs Les incertitudes absolues des diff rents termes sont au plus gales a une unit de l ordre du dernier chiffre EXERCICE 3 Quand on mesure une constante de temps d un circuit RC nous supposons l expression suivante 2 8 2 1 Tension aux bornes de la capacit V Tension de saturation V Tension initiale lt lt V Calculer l incertitude AA en fonction de l incer
47. relev e toutes les trois minutes Les mesures correspondant la premi re heure de l exp rience sont donn es dans la figure suivante 67 4 672 67 66 8 4 66 6 66 4 66 2 66 5 65 8 4 65 6 654 65 2 65 64 8 4 64 6 4 64 4 Temperature C 0 10 20 30 40 50 60 temps min Figure 3 1 Variation de la temp rature en fonction du temps 1 Donner la valeur moyenne la m diane et le mode de ces mesures Quelle information vous pouvez tirer de ce r sultat 2 Calculer l cart type 3 Ecrire proprement le r sultat sous la forme T Tt AT 4 Etablir les histogrammes correspondant la distribution EXERCICE 10 Dans une conduite cylindrique parcourue par un fluide chaud le coefficient de transfert de chaleur h w m C entre le fluide chaud et les parois internes de la conduite est donn par la relation suivante h 0 023x x Re 3 3 1 conductivit thermique du fluide 0 4w m C D le diam tre du tube en m tre Re nombre de Reynolds caract risant l coulement sans unit s Pr nombre de Prandtl caract risant les transferts thermiques dans la conduite sans unit s Afin de d terminer le coefficient h plusieurs mesures du diam tre nombre de Reynolds et nombre de Prandtl sont effectu es Les r sultats sont illustr s dans le tableau suivant 25 Chapitre 3 Traitements statistiques Tableau 3 5 Table de me
48. sultats de mesure 2 2 La livre anglaise ou pound U2 vaut 0 453492 kg En prenant le kilogramme pour 01 quelle est la masse en kg de 0 275 pound 3 Le psi est l unit de mesure anglo saxonne pound per square inch de la pression On donne les quations aux unit s 1 inch 2 54 10 2 m tre 1 pound 4448222 Newton Que vaut le psi dans le syst me international On rappelle que l unit SI de pression est le Pascal et repr sente la pression exerc e par une force de 1 Newton sur la surface de 1 m tre carr 4 Etablir l quation aux dimensions et donner la valeur num rique dans le syst me SI de la constante de Boltzmann k us A On rappelle que le syst me SI Comprend 7 unit s Longueur L Masse M temps T courant lectrique I temp rature K quantit de mati re mol et intensit lumineuse On donne R 8 314510 J mol K t 6 0221367 1023 mol 5 L indice de r fraction de l air affecte les longueurs d onde des radiations lectromagn tiques par la relation nx 1 1 air vide Les formules d Edlen permettent de calculer l indice de r fraction de l air La premi re formule d indice de r fraction de l air dans les conditions standards 2406030 15997 1 x10 8342 13 12 n 1 130 02 598 607 2 O n est l indice de r fraction dans des conditions d air standards c est dire pour une temp rature T 15 C et une pression P
49. upper limits of the systematic errors on and Dm calculate An the upper limit of the systematic errors on n 2 Numerical application 85 A 60 Dm 40 AA 1 ADm 2 EXERCISE 18 A venturi Figure 2 5 is a measuring system allowing the measurement of a liquid mass flow in a tube by converting a variation in a pressure into a mass flow as the following Qm Kx xd x Jpx Py Pr 2 10 Where and are the upstream and downstream pressures d the measured diameter of the tube Figure 2 5 Principle of functioning of a diaphragm 1 If K 1 Pi 1 bar 0 999 bar d 20 cm and p 1000 kg n calculate the liquid mass flow kg s 2 If the possible error in each measurement P and d is 1 estimate the possible error in the calculated mass flow EXERCISE 20 HALL EFFECT When a flat plate semi conductor material is crossed by a current I and submitted to an induction B doing an angle with the current a voltage perpendicular to the current and to the induction appears This latter is given by the following relation Ky XIX Bx Sind 2 12 Where Ky is a constant For values of 0 close to 0 tg0 8 the relative error are 2 on I 1 on B and 3 on 6 Calculate the possible error on Vu 86 English version Chapter2 Error and uncertainty Calculation EXERCISE 21 AIR HUMIDITY MEASUREMENT The air Humidity r corresponds to the ratio of the vapo
50. valeur est 820mV 1 La tension appliqu e au primaire du est 3V 0 5 Calculer F1 et l incertitude sur cette valeur On donne L 1m W 5cm h 5mm E 1 1 x 10 Pa 73 PROBLEME 8 REGULATION DE TEMPERATURE AVEC UNE METALLIQUE Une bilame m tallique est fabriqu e partir de l acier inoxydable et du cuivre La longueur de la lame suppos e droite To 10 C est de lo 22 cm Ce capteur est utilis dans un thermostat pour contr ler la temp rature L objectif de cette exp rience est de maintenir la temp rature une valeur de 120 C Les coefficients de dilatation des deux barres sont les suivantes Acier inoxydable 17 3 109 C Cuivre 1 1 106 9 1 Donner l expression de l allongement d une barre m tallique de coefficient de dilatation en fonction de la temp rature T On supposera que sa longueur une temp rature de r f rence est 10 2 D terminer l allongement de chacune de deux barres acier et cuivre la temp rature 120 C 3 Expliquer le principe de fonctionnement capteur bilame m talliques 4 Le rayon de courbure de la bilame m tallique est donn par l quation suivante K p O AT T To en et p est le rayon de courbure en m est une constante qui d pend des propri t s thermo physiques des lames en m C talonnage de ce capteur a permis d obtenir les r sultats suivants Tableau 7 6 R sultats de l t
51. voisinage de 100 C EXERCICE 4 On reprend l exercice 19 du chapitre 3 1 On suppose que la seule erreur significative soit dans la valeur de Vo trouvez le d calage par rapport z ro du voltm tre 2 Calculer la sensibilit du syst me de mesure 3 Si la r solution du voltm tre est de 0 1 mV calculer la r solution de l ensemble du syst me de mesure de la temp rature en 4 Si l tendue de mesure Range du voltm tre est de 0 0 15 0 mV trouvez le domaine de mesure du syst me de mesure de temp rature EXERCICE 5 1 Soit une r sistance destin e la mesure de la temp rature dont les caract ristiques telles que d finies par le fabricant sont donn es par le tableau suivant Tableau 4 5 Caract ristiques de la r sistance 0 25 50 75 100 R O 100 110 120 130 140 2 D terminer la sensibilit de cette r sistance Utiliser pour cela la m thode des moindres carr s R gression lin aire 3 On utilise un Ohm m tre qui a une r solution de 0 1 Quelle est la r solution en temp rature qu on peut avoir avec l ensemble Ohmm tre 39 Chapitre 4 Caract ristiques des capteurs R sistance 4 On branche la r sistance dans le circuit suivant On mesure la tension au lieu de mesurer directement la r sistance La personne qui a effectu le branchement n est pas exp riment e en soudure Elle a mis une grosse boule d tain lors de la soudu
52. 01 4 61485 5 147786 V 2 5 6 9 12 En absence de V E Eo 2 44949 D terminer les valeurs des constantes A B et n avec 5 chiffres significatifs l aade d une m thode de votre choix EXERCICE 21 Un capteur de temp rature donne un signal en courant i proportionnel la temp rature absolue T lorsqu on lui applique une tension V entre 4 et 30 V Le capteur a une sensibilit de 1 Le capteur est connect une r sistance figure 3 3 La tension Vo est mesur e aux bornes de la r sistance Ce circuit est utilis comme un syst me pour la mesure de la temp rature Capteur de Temp rature Rs Figure 3 3 Montage du capteur de temp rature Le tableau 3 10 donne les valeurs de la temp rature ainsi que les courants i et les tensions Vo aux bornes de la r sistance Tableau 3 10 Variation des param tres lectriques i et Vo en fonction de la temp rature 298 323 373 398 423 i LA 298 323 373 398 423 Vo mV 10 6 11 5 13 3 14 1 15 0 1 Expliquez le principe de la m thode des moindres carr s 2 D montrer les relations XxXy nXxy m 2 52 Dm Ex 2 PRET 3 8 x n5 x 3 Trouver la valeur de la r sistance R en utilisant la m thode des moindres carr s La suite de l exercice est port e l exercice 4 du chapitre 4 pour l tude des caract ristiques du capteur EXER
53. 1 5 T TY 0 72 0 72 3 1 421 4 La distribution de temp rature est la suivante 0 16 C d o on peut crire T 119 9140 16 C 0 35 0 3 gt E 0 25 4 E 0 2 4 0 154 01 0 05 0 118 5 119 119 119 5 119 5 120 120 120 5 120 5 121 Groupe Figure C 3 1 Distribution statistique de la population EXERCICE 10 1 Les valeurs moyennes sont n 5 24 24 pour le diam tre d E 18 48mm n n 5 XRe Re pour le nombre de Reynolds Re Te 2131 n 5 e Pn XP pour le nombre de Prandtl Pr E 1 14 n 3 Pour le calcul d erreurs utilisons les quations suivantes s Red qeuhe 3 n li 1 0 06mm pour le diam tre Ad pour le nombre de Reynolds 142 Exercices Corrig s de Mesure et Instrumentation Correction des exercices Chapitre 3 Traitements statistiques n 5 a YfRGe z 12 Rei S n 1i 1i jd E 9 54 Jn Jn pour le nombre de Prandtl 5 I Jaber Pr 5005 00 28 NN in 15 595 Yn Yn 4 La valeur moyenne du coefficient de transfert de chaleur est donne par h 0 023 239 92W m C 5 Pour le calcul d erreur nous pouvons utiliser la m thode suivante h 0 023 Pr Lnh Ln0 023 LnA LnD 0 8Ln Re sin Pr dh dD dRe 1dPr
54. 1 5 0 2 10 On peut utiliser l autre formule AY gt AX Xi AW R At PtAR 2 I AL R t AW RIX A p4R 241 t AR I 129 4 L erreur effectu e sur la premi re mesure est MPa 100 En ce qui concerne la deuxi me mesure elle est de 20x1 27 100 0 2 C L erreur probable sur la diff rence est AT JAT AT 0 2 C Par rapport a l tendue du thermom tre cette erreur repr sente AT 0 2 22100 4 Etendue 50 EXERCICE 7 1 die 2 n A sin 2 T OD aa A D A D A A D A 1 Cos 2 E Cos 2 sin 2 Cos 72 sin sin A D D Cos m Sin d 2 dD dA Pam mz sin gt sin 5 130 Correction des exercices Chapitre 2 Calcul d erreurs et d incertitudes D Dn Cos Sin An AD E A 2 sin sin 2 Application num rique 100 40 2 Sin e 1 0 044 1 UT e SIN gt sin 2 EXERCICE 9 2 E DL dieu Lng Ln4n LnL 2LnT dg _dL_ dT g L T Bg AP oo g L T AL 4xx xL AL AT Ag gx 2 s x 2 1 1 1 6 2 t Soit Ate et Ata les erreurs d enclenchement et de d clenchement du chronom tre At JAt2 At2 40 12 0 12 4 0 02 0 145 T ainsi 4 1 t 100xAt 14 14s 7 0 645 3 T t N 4x7 xL 5
55. 10 2 9 17 10 9 11 6 17 11 11 1 24 50 11 1 11 2 24 48 11 2 11 3 10 20 11 3 11 4 5 5 11 4 11 5 1 1 3 Construire les histogrammes relatifs ces mesures et comparer les 4 Est ce que vous pensez que des r sultats suffisamment clairs peuvent tre d duits partir de ces courbes afin de donner raison A ou B 5 Qui des deux a t il raison Expliquer votre r ponse 5 Les mesures suivantes V sont prises sur la tension de sortie d un amplificateur gain lev qui est perturb cause d une fluctuation du bruit 1 53 1 57 1 54 1 54 1 50 1 51 1 55 1 54 1 56 et 1 53 1 D terminer la valeur moyenne et l cart type 2 Estimer la pr cision avec laquelle la valeur moyenne est d termin e partir de ces dix mesures 3 Si 1000 mesures ont t prises au lieu de dix mais o est rest e la m me de combien l exactitude de la valeur moyenne calcul e pourrait tre am lior e amp EXERCICE 6 La mesure de la temp rature la sortie d une chemin e nous donne les valeurs suivantes en degr Celsius 135 0 136 1 138 9 142 7 140 1 137 2 142 7 140 0 142 8 134 5 1 Calculer la temp rature moyenne des gaz d chappement la sortie de cette chemin e 2 Calculer l cart type 3 D terminer l intervalle de confiance dans lhypoth se qui dit que la temp rature du gaz la sortie de cette chemin e est de 139 0 23 Chapi
56. 101325 Pa et 1 est le nombre d onde en um dans le vide la radiation consid r e La deuxi me formule donne l indice de r fraction de l air dans les conditions d utilisation 1 04126 107 ra jun 1 1 0 008671x T o O ny est l indice de r fraction de l air la temp rature T en et la pression P en Pa 5 1 Quelle est la dimension de l indice de r fraction n 5 2 Donner la dimension de lunit des nombres figurant dans les expressions 1 2 et 1 3 8342 13 13 130 15997 0 003671 1 04126 105 6 Dans les domaines la g om trie de la cin matique de la dynamique et de l lectricit le syst me SI utilise les quatre grandeurs physiques de base suivantes Longueur Masse Temps et Intensit de courant lectrique dont les symboles sont not s L M T et I respectivement 6 1 Compl ter le tableau suivant des grandeurs physiques d riv es les plus courantes Tableau 1 3 Grandeurs physiques d riv es Nom Symbole Equation de Exposants d finition dimensionnels Vitesse V V L T Acc l ration y y V T Force F F My Energie W W FL Puissance P P W T Action A A W T Quantit Q Q IT d lectricit D d p U U P I Resistance R R U I 6 2 On se propose de construire un syst me de grandeurs physiques couvrant le m me domaine partir des quatre grandeurs physiques de base suivantes Longueur Action Temps et
57. 3 Q 153 10 On sait que 1 1 x 0 ZL E T J D o 1 R 1 In Ro 1 Ainsi pour R 100 ona T2 37554 K On a aussi 2 T AR AISR D o pour AR 50 on obtient AT 0 21 K En conclusion 375 54 0 21 K 2 La r solution est d termin e par la relation suivante 2 T AR aT T Af Pour 320 K R 2676 31 Q donc AT 0 13 Pour T 600 K on a R 33 69 Q donc AT 35 62 EXERCICE 13 1 Un thermocouple est une jonction entre deux m taux diff rents d livrant une tension f e m lorsque les deux jonctions sont port es deux temp ratures diff rentes 154 Correction des exercices Chapitre 5 Mesure de temp ratures Material A Material A Material B Material B Material B M N Vo 2 Ci x T T cx r 2 Figure C 5 2 Principe de fonctionnement d un thermocouple Un thermocouple fonctionne par l effet Seebeck C est l effet par lequel les lectrons excit s par la chaleur vont se d placer de la r gion chaude vers la r gion froide 2 La temp rature peut tre mesur e par diff rents types de capteur en se basant sur la mesure d une caract ristique physique variant avec la temp rature longueur r sistance lectrique masse volumique etc On peut citer comme exemples Thermom tre avec un r servoir en liquide dilatation Bilame m tallique rayon de courbure varie avec la temp rature
58. 39 0 173 0 23 6 12574E 17 0 01 148 Correction des exercices Chapitre 3 Traitements statistiques En tra ant cette courbe nous obtenons y 1 2309x 0 001 R 0 99 Figure C 3 3 Variation de AT en fonction de cos 8 et application de la m thode des moindres carr es 2 D apr s la m thode de la r gression lin aire nous avons m 1 2309 2Lv 12309xc 1 2309x1000 7 21 2309 2 v 6 15 107 87 3 p 0 99 1 Donc la r gression est bonne 4 L erreur syst matique est l cart par rapport Z ro Zero drift b 0 001 us 149 4 CARACTERISTIQUES DES CAPTEURS EXERCISE R R 1 a soit dR dT R 0 39 Q K 51 R 139 et AR R 0 1 gt AR 0 139 Q AT 0 139 0 39 0 356 C 0 4 C 150 Correction des exercices Chapitre 5 Mesure de temp ratures 5 MESURE DE TEMPERATURE EXERCICE 2 1 Quand la temp rature augmente les deux barres se dilatent Etant donn que les coefficients de dilatation sont diff rents l allongement des deux barres n est pas le m me d ou une courbure 2 Al lo AT Al 04 19 AT 17 3 106 30 110 0 057 cm Ab l AT 1 1 10 6 30 110 0 0036 cm hy hy Eco 2975 h h h 6 mm 5 3 n E 193 3x 1 0 2 1 0 2x0 75r 0 22 cerae 0 2 0 75 6 17 3 1 107 1 0 2 120 10 1 25m K 4 p Ar avec k 138 164 K dT A
59. 5 2 Etalonnage de la sonde N 5 T C 20 30 40 50 60 106 15 110 25 114 30 118 35 122 45 3 Cherchez les caract ristiques de cette sonde Qu est ce que vous pouvez en d duire 4 Lors d un test on doit chauffer et bien m langer l eau au ballon jusqu 60 Le m lange doit tre effectu jusqu ce que la diff rence entre la temp rature de la couche N 1 et celle de la couche N 10 soit inf rieure 0 5 C Quelle doit tre la r solution de l ohm m tre pour obtenir une telle pr cision Tio N Ts Ti Figure 5 3 Placement des capteurs dans le ballon 52 Chapitre 5 Mesures de Temp rature EXERCICE 7 4350 K et Ro 3000 Q 298 d terminer la r sistance de la thermistance pour les temp ratures suivantes a 80 C b 40 C c 0 C d 50 C e 75 C 150 C EXERCICE 8 La thermistance d crite exercice 7 est connect e circuit potentiom trique courant continu constant 1 Si le courant est de 10 mA pr parer un graphe montrant la tension de sortie Vo quand la temp rature varie de 50 C 300 C 2 Utiliser une thermistance ayant la m me valeur D mais Ro 110 25 C EXERCICE 9 Recommander un capteur entre le 100 y 0 003902 C Ro 100 0 C et la thermistance 4350 Ro 3000 298 pour tre utilis afin de contr ler le processus quand la temp rature est
60. 50 Hz Table 7 5 Results of measurement with the LVDT d mm 0 10 20 30 40 V mV 0 240 520 730 1020 Where d is the displacement of the LVDT magnetic core in mm V is the Voltage across the secondary of the LVDT 1 Calculate the LVDT Sensitivity using the least squares method 2 Find the expression which relates the force F applied to the deflecting arm to the Output Voltage in the secondary of the LVDT 3 Deduce the expression of the sensitivity of this force measuring system Calculate its value 4 We consider that the output voltage is measured using a digital voltmeter The digital voltmeter resolution is 1 mV what can be the resolution in the force measurement 5 A force F1 has been applied The output voltage in the secondary has been measured its value was 820mV 1 The applied voltage in the primary of the LVDT is 3V 0 5 Calculate Fi and the uncertainty on this value Given L 1m W 5cm h 5 mm E 1 1 x 10 Pa PROBLEM 8 TEMPERATURE REGULATION WITH BIMETALLIC STRIP 116 English version Chapter 7 Review Problems bi metallic strip is fabricated from stainless steel and Copper The length of the strip at the temperature 10 C is 22 cm This sensor is used thermostats to control temperatures Our aim is to maintain temperature at 120 C The expansion coefficients of the two bars are the following Stainless steel o4 17 3 10 6 C 1 1 10 6
61. 85 aon 10 04s Ag 46 a 0 208m s d o g 9 96 0 21m s 131 EXERCICE 10 1 V2 JgxLx 1 cos0 d o 1 m thode Logarithme LnV Lng LnL Ln 1 cos8 dV 1 46 dL sine V 2 g L 1 cos0 AV l Ag AL sin I Os ep V 2 g L 1 50 2eme m thode Diff rentielle AV av Aya dea Mr dE L 1 cos0 g 1 cos0 sin0 M ee SOR LOS COEM HIN c 2 8L 1 cos8 572 gL 1 cos0 2 8L 1 cos8 Or V JgxLx 1 0 D o dV 1 dL sino d V 2g L 1 cos0 Ainsi on obtient AV 1 Ag AL V 2 g L 1 50 2 0 38 m s D o AV 0 01 m st 132 Correction des exercices Chapitre 2 Calcul d erreurs et d incertitudes EXERCICE 12 1 1 1 000m 0 00 1m 2 g g 9 8N kg 0 01N kg AN T 2 007 s Calcul d incertitude ab EA TAE Al Ag TO 23 2 1 g AR Re 2 007 0 01 0 0025 1 9 8 wl T 2 007 0 002 s Y Autre M thode pour le calcul de AT 1 1 001 lux 2X0X_ AN 20x 2 009 5 E min 9 79 Tain 2XTX Lmin PAN Tnax 2XTX 64 2 0055 5 max 9 81 Y Autre m thode Biete 2 2 8 72111 g EXERCICE 13 ZzAR 120 21 1207 1 A R 11 A Lo Z 2 R L 28 1202 26 120 133 En utilisant le principe suivant AX 1 2 Y gt AY Y nous obtenons Aw AZ RAR bo E
62. AQ 0 037 m s so AQ Q 16 7 gt This measurement is not precise dP AP AP 6 a the resolution of a measurement system is the smallest variation that can be detected by an instrument at a certain value AP AP 7 7 10 m s m b AQ PROBLEM 8 Temperature regulation by a BIMETALLIC STRIP 1 Al a lo T To 2 Al ou lo T To 17 3 10 X 22 X 120 10 0 042cm oc lo T To 1 1 10 6 X 22 X 120 10 0 0027cm 3 Two metallic strips are welded When this bimetallic strip submits a variation in temperature both strips exhibit a length variation inducing to a curvature of the instrument 4 Applying one of the following variable changes v First one X 1 AT the equation becomes X The corresponding table is the following 167 Table 7 2 Variable change 1 C 0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 p 0 95 0 49 0 35 0 23 0 18 0 15 By applying the regression analysis we obtain K m 4 79 and 0 99 Y The second one can be ln p In K In AT gt Y Inp et X In AT the corresponding table is Table C 7 3 Variable change Lnp 0 05 0 71 1 05 L47 1 71 1 90 LnAT 1 61 2 30 2 71 3 00 3 22 3 40 applying the regression analysis we obtain b Ink 1 6 and p 0 99 So exp
63. CICE 22 Dans un laboratoire de mesure le pr parateur d sire talonner un thermocouple pour l utiliser dans une exp rience importante Il sait que la relation entre la sortie de l instrument U et l entr e T s crit U axT 3 9 O a et b sont deux constantes Pour cela il utilise un bain thermostat et il rel ve la valeur de la tension pour 10 valeurs constantes de la temp rature Les r sultats obtenus sont repr sent s dans le tableau suivant Tableau 3 11 Variation de la tension en fonction de la temp rature T C U mV T C U mV 20 0 1 38 45 0 4 65 25 0 2 38 50 0 5 56 30 0 3 10 60 0 7 25 35 0 3 65 70 0 8 25 40 0 3 95 75 0 9 35 1 D terminer partir de la m thode de la r gression lin aire les constantes a et b 2 Est ce que la relation utilis e par le pr parateur est acceptable ou non 33 Chapitre 3 Traitements statistiques x EXERCICE 23 Pour l talonnage d une PT100 on suppose que la variation de la r sistance en fonction de la temp rature s crit de la facon suivante R 1 a T 3 10 O est la valeur de la r sistance 20 C 1 D terminer en se basant sur les donn es Tj Ri l expression des constantes et a en utilisant la m thode des moindres carr es 2 En se basant sur les r sultats de mesures illustr s dans le tableau 3 12 donner les meilleurs estimations des deux valeu
64. ERCICE 13 Soit X1 et X2 deux mesures tels que les esp rances math matiques sur X1 et X2 sont et E X2 u2 respectivement et les variances V X1 7 o1 et V X2 2 62 On forme Y 1 Calculer E Y et V Y On posera cov X1 X2 E Xa p1 X2 u2 et on l appellera covariance 2 Montrer que cov X1 X EGG X2 Lupo 27 Chapitre 3 Traitements statistiques EXERCICE 14 On consid re les grandeurs ind pendantes X et Y dont on connait E X Ux E Y o et Vy X et Y sont lies aux variables al atoires et h qui repr sentent respectivement la charge de l lectron et la constante de Planck par les relations h X et Y 3 3 h 4 p Calculer une valeur approch e de E e ue et E h un Applications num riques ux 483 5939 1012 Hz V uy 5453 198 Q EXERCICE 15 Une bille tombe sans vitesse initiale d une hauteur de 1 m On mesure la dur e de la chute de la bille l aide d un chronom tre au centi me pr s de seconde On suppose que les seules erreurs possibles sont accidentelles al atoires Au cours d une s rie de 20 mesures on a obtenue les r sultats suivants Tableau 3 6 Temps correspondants aux chutes de la bille Temps s 0 43 0 44 0 45 0 46 0 47 Nombre de mesure 1 4 10 4 1 1 Tracer l histogramme du temps 2 Calculer la valeur moyenne du temps ainsi que l cart type 3 Soit x une variable al atoi
65. Probl mes de R vision x PROBLEME 2 Deux r servoirs communicants sont remplis avec un liquide Le premier est soumis une pression P et le deuxi me subit une pression P Voir Figure 7 2 1 D montrer que la diff rence de niveau de liquide 2 Ah est reli e la diff rence de pression Donner l expression de AP comme une fonction de Ah n e h2 hi Figure 7 2 R sevoirs communicants 2 Dans chaque r servoir on immerge des capteurs capacitifs sous forme de cylindres plats co centriques La longueur du capteur est L Figure 7 3 Liquid level Figure 7 3 Mesure de niveu L Aux conditions initiales P4 Po Pag et hy h h 1 2 Dans ces conditions les deux capteurs ont les capacit s 63 2 b a ho est niveau du liquide dans le r servoir aux conditions initiales ho L 2 o la permittivit de la surface libre entre les deux plaques capacitives la permittivit relative du liquide a b respectivement les rayons des cylindres int rieur et ext rieur 7 1 Ainsi une pression P est appliqu e sur le r servoir 1 Les niveaux des liquides deviennent h ho Ah dans le r servoir 1 et h hot Ah dans le r servoir 2 D montrer que C C est proportionnel hp h 3 Les deux capacit s sont connect es aux bornes d un Pont Sauty comme montre dans la figure suivante lt C2 D Figure 7 4 Montage Pont Sauty a
66. T T To T Ty Ap K d o S T 0 01 m C T T T Ty 5 R solution AT pin APmin 8 6 prg L L 6 30 03 cm 151 lp 7 0 A A Z Y 7 Cos Q T TNT 1 Cos p T Ua 0 3 pour 120 C e 1 25 Cos 0 03m 1 25 8 7 e p 1 cos 5 COS Oe 96 e 7 68 son 3 104m 152 Correction des exercices Chapitre 5 Mesure de temp ratures EXERCICE 6 I Les niveaux de la temp rature de chaque sonde sont d termin s partir de l quation 5 5 R R x 1 0 00385x T 1 T 2 2 597R 259 74 0 00385 Les valeurs obtenues sont r capitul es dans le tableau suivant Tableau C 5 1 Variation de la r sistance en fonction de la temp rature Couche 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Resistance 107 1070 108 4 111 1 113 0 1173 120 4 121 5 122 3 123 Q 7 9 7 7 9 3 1 6 3 1 Temp ratu 20 18 41 22 29 34 45 53 56 58 60 C 2 Tra ons la courbe T 2 Figure C 5 1 Variation de la temp rature en fonction de Z 3 On remarque que la r sistance varie de mani re lin aire avec la temp rature p2 1 la sensibilit est gale 2 457 Q C et le d calage au z ro est de 240 8
67. Voltage mV Tin 0 3 681 90 30 3 734 91 29 60 3 764 92 90 2 845 93 120 3 847 94 150 3 905 95 40 180 3 93 96 For the angle 90 the following rule is used V T 0 C V T 24C 24 2 845 0 96 3 805 mV gt 93C 2 The values are illustrated in the following table e he W m C 0 00 1818 18 30 00 1446 28 60 00 1298 70 90 00 1136 36 120 00 1010 10 150 00 873 73 180 00 826 45 3 Rog 173 Lnhg Lnq Ln Tg T dhg 44 hg q 9 1 dhg E dq _ To hg q Tg Hence Ahg x he 1 Tg For 90 we obtain APO 6 00 25 hg 3 5 0 001 0 0126 1 26 On the other hand for 90 he 1136 36 W m C So Ahe 14 3 W m C 4 We have hg By applying the following variable change we obtain Lnhg LnA B 0 After a variable change and by using the least squares method we find the following results Ln A 7 4447 B 0 00043 and 0 9812 p 1 so the assumption is good 1710 8 W m C 0 00043 C1 11 PartI 1 The input signal of the transducer is the layer thickness and the output signal is the Voltage 174 Correction exercices Chapitre 7 Probl mes de synth ses 2 Using the linear regression method least square we obtain the following data m 12 559 b 0 0004 and 0
68. a section de la poutre Utilisation d un LVDT pour la mesure du d placement de l extr mit du bras Le d placement de l extr mit libre de la poutre console va tre mesur e l aide d un LVDT figures 7 13 et 7 14 72 Chapitre 7 Probl mes de R vision Figure 7 12 D placement du bord libre de la Figure 7 13 Connexion de l extr mit de la poutre console poutre console LVDT La caract ristique du LVDT a t mesur e au laboratoire Les donn es suivantes ont t trouv es pour une tension d entr e de 3 Volts dans le primaire du LVDT et une fr quence de 50 Hz Tableau 7 5 R sultats des mesures avec le LVDT d mm 0 10 20 30 40 V mV 0 240 520 730 1020 d est le d placement du noyau en fer doux du en mm V est la tension aux bornes du secondaire du 1 Calculer la sensibilit du LVDT 2 Trouver l expression reliant la force F appliqu e l extr mit de la poutre la tension la sortie du secondaire du LVDT 3 En d duire l expression de la sensibilit de ce syst me de mesure de force Calculer sa valeur 4 Nous consid rons que la tension de sortie est mesur e l aide d un voltm tre num rique La r solution du voltm tre est de 1 mV qu elle est la valeur de la r solution pour la mesure de la force 5 Une force F1 a t appliqu e La tension de sortie dans le secondaire a t mesur e sa
69. alonnage de la bilame m tallique 15 20 28 30 35 45 0 95 0 49 0 35 0 23 0 18 0 15 En utilisant la m thode de r gression lin aire moindres carr es d terminer la valeur de K On pourra faire un changement de variable pour 2 lin ariser l quation 7 7 D montrer que cette relation est vraie 5 D finir la sensibilit d un instrument et d terminer sa valeur pour le capteur T1 Est ce que le capteur peut tre consid r comme lin aire 6 Si la tol rance du capteur mesurant le rayon de courbure est de 1 mm d terminer la r solution de la barre la temp rature T1 120 C 7 La longueur L T de la bilame m tallique la temp rature T est suppos e gale la moyenne des longueurs des deux barres utilis es Le bouton contr lant le thermostat est plac une distance e en dessous de l extr mit de la barre suppos e droite la temp rature To figure 7 14 74 English version Chapter2 Error and uncertainty Calculation Figure 7 14 Principe d utilisation de la bilame m tallique 8 D montrer que pour maintenir la temp rature du syst me une valeur constante T le bouton poussoir doit tre plac une distance e telle que zu 7 8 e T p T i es em Calculer e pour 1 120 C 9 Si les erreurs sur L T et p T sont de 1 d terminer l erreur possible sur la distance e PROBLEME 9 MESURE DE TEMPERATURE NB
70. andeurs ont des variations respectives 07 0 07 d terminer l expression de la variance sur la mesure de F EXERCICE 12 La temp rature d un bain thermo r gul varie en fonction du temps entre deux limites 04 et 05 selon la loi repr sent e par la figure 3 2 tant la p riode du ph nom ne t t dt T 2 T 3 T 2 2 t Figure 3 2 Variation de la temp rature d un bain thermo r gul 1 Etablir pour le domaine correspondant au segment de la figure la loi 6 4 de variation de la temp rature en fonction du temps On donnera 0 t en fonction de T et 05 04 2 Si on effectue dans ce bain un grand nombre d exp riences influenc es par la temp rature la dur e de chaque exp rience tant beaucoup plus petite que T et si on ne mesure pas la temp rature lors de chaque exp rience on peut consid rer 0 comme une variable al atoire dont la valeur num rique est f 0 dO pour que la temp rature prenne une valeur situ e entre et 6 46 est gale dt T 2 voir figure 3 2 Calculer et montrer qu il s agit d une densit de probabilit sachant que f 0 est nulle pour toute temp rature ext rieure l intervalle 04 62 3 Calculer l esp rance math matique E 0 et la variance V 0 Exprimer cette derni re en fonction de 4 L cart type o tant gal V 0 calculer la probabilit pour que la temp rature ait une valeur num rique comprise entre E 0 o et E 8 EX
71. arr es nous obtenons 5 i Vo RE ri Bei 35 120 4 Le d calage par rapport z ro du voltm tre est N535702 1 p 2 SD ep 15m v 5 La sensibilit du syst me de mesure est 5 Or on ai Si xT avec Si 1 Et Vo SxT b Rsxi b RsxSixT b d ou S RsxSi 35 12 uV K 6 La r solution du voltm tre est AVo 0 1 mV AV 0 1 S 0 085 AT 2 48K Vo b S Pour le domaine de mesure Range du voltm tre il est de 0 0 a 15 0 mV l tendu est alors de 4 35 K 422 80 K Tele 145 22 Faisons le changement de variable suivant LnU Lna bLnT Posons y LnU x LnTetc Lna L quation devient y b x c Nous obtenons ainsi le tableau suivant Tableau C 3 3 Changement de variables applique aux donn es x LnT y LnU 3 00 0 32 3 22 0 87 3 40 113 3 56 1 29 3 69 1 37 3 81 1 54 3 91 1 72 4 09 1 98 4 25 2 11 4 32 2 24 1 A partir de la m thode de la r gression lin aire nous obtenons 2 32 Xy nYx b m dy cm RY n gt d x b 1 34 et c Ln a 3 535 D o a 0 03 Ainsi nous aurons U 0 03xT 1 34 2 2 0 98 d o la corr lation est bonne 146 Correction des exercices Chapitre 3 Traitements statistiques E Hy by Hzr n EXERCICE 24 1 L talonnage consiste d terminer des valeurs de l ou
72. ax 216 71 872 729 http www enit rnu tn Email karim bourouni enit rnu tn karimbourouni yahoo fr Site Web www karimbourouni com Page de la correction 142 144 145 146 148 149 151 152 152 155 Niveau de difficulte M YFP NESAIN gt a8eg UOISI9A aseg 20 DI9X9 9824 eyMoznog JON uopnog D PA ste jue UOISI9 A gt enbndo o uejsruuau enbrejour GLY 00LLd sinojde senbnsrrapoeres sop no UOISS2189 sarduris sanbnsrejss as eu sopnineourp MED e J euuorsuauirp as qeuy Chapitre 5 Mesure de temperature 15 55 100 55 56 Ex 16 Ex 17 56 101 K Ex 18 Chapitre 6 Questions de cours 58 103 156 58 103 156 58 103 58 104 157 59 104 158 59 104 59 104 60 62 105 K 64 107 159 65 108 160 67 110 K 69 112 163 71 114 K 73 116 165 74 117 168 76 119 170 78 122 172 Ex1 Ex2 Ex3 Ex 4 Ex 5 Ex 6 Ex7 Chapitre 7 Problemes de synthese
73. be written I 2 jxoxCxV1xelt 4 xej 7 2 We _ EA jot The incident flux modulated t xe the current i t I x xe ot I Sad and the output voltage V t V xe 3 Supposing the system first order with an output signal S given by BxS m give the cut frequency of the circuit fc B 2 TA 5 5 Calculate the sensitivity of this photopile s f and its time constant t 1 2 fc 4 Show that V and Arctg f f Figure a Figures 7 5 Schemes of the photodiode PROBLEM 4 108 English version Chapter 7 Review Problems Part 1 Level measurement by detecting physical properties To measure the liquid level we can detect physical parameters that are significantly different between the atmosphere and the fluid such as capacitance conductivity etc The sensor is in direct contact with the liquid to detect its electrical properties In most applications a rod electrode is arranged vertically in the tank The electrode is insulated the metallic vessel acts as a reference electrode see figure 7 6 Principle of operation for a capacitance type level device insulated electrode protrudes into the liquid The capacitance between the inner conductor and the tank wall is measured b As a capacitance level switch the electrode can be mounted at the appropriate position Figure 7 6 Principle of operat
74. can be given by the following equation AU _ Ax U C x where C is a constant 7 15 126 Correction des exercices Chapitre 1 Analyse dimensionnelle CORRECTIONS 127 1 ANALYSE DIMENSIONNELLE 4 LR 9 9 gt II xr Ainsi on obtient e aix F x r Or F 2 MxLxT r L xr Wise Ce qui nous donne e 4 2xmxrxE De m me Uo ce qui nous donne IxIxL r x F Lx MxLxT MxLxT xI T x T x L 2 Pour montrer l homog n it de l quation o C 1 il suffit de v rifier que cette quation est sans dimensions Or ng C Dx T4 M xE xMXxLXxT xI xL xT 1 Donc l quation est bien homog ne 128 Correction des exercices Chapitre 2 Calcul d erreurs et d incertitudes 2 INCERTITUDES ET CALCUL D ERREURS EXERCICE 2 Remarque les incertitudes des diff rents termes sont au plus gales une unit de l ordre du dernier chiffre inscrit 51 51 01 Q P R I 2 2 0 p W t 60 0 1 s t L nergie thermique d pens e est W Rt A N W 5 1x2 2 x60 1 5 107 Calcul d incertitude AW AR AQ AT W R 12 AW AI 2 W R I T Ainsi l incertitude absolue est d termin e par l quation suivante AW Wx AW 182 200 D o W
75. ce sensors are given by r 0 Ry 1 5 4916 10 3 6 6666 10 6 02 5 3 R 0 Ry 1 3 9080 10 3 6 5 8019 10 7 62 5 4 Where is in degree Celsius and Ro 100 Q 1 You want to measure a temperature around 50 C which sensor you have to choose 2 If the smallest resistance which can be measured is 01 determine the resolution to three significant figures of the chosen sensor EXERCISE 7 If B 4350K and Ro 3000 Q at To 298 determine the resistance of a thermistor at a 80 C b 40 C c 0 C d 50 C e 75 C f 150 C EXERCISE 8 The thermistor described in exercise 7 3 is connected in a constant current potentiometer circuit a if the current is 10 mA prepare a graph showing the output voltage Vo as the temperature increases from 50 C to 300 C b Use a thermistor having the same p but Ro 110 Q at 25 C EXERCISE 10 The resistance of a thermistor at a temperature T is given by 99 xenp 5 3 0 Where Ro The resistance at the Temperature B a constant in the used range Ro 5000 at 300 K B 3000 1 Determine the value of the temperature when 1000 5 Q 2 If the smallest resistance which could be measured using a Wheatstone Bridge is 10 W determine the resolution of the thermistor at T 320 K and T 800 EXERCISE 11 A DVM is being used to measure the output voltage Vo from a copper constantan t
76. cient U is given by 2 2 10000 2000 Wi AX T T 10x 74 73 5 5 lc 7 14 n eas ae 1 1 After calculation we obtain x 0 297 mm 0 3 mm 7 From the direct measurement we have x1 0 299 mm From the indirect measurement we have x2 0 297 mm The results obtained from both experiments are very close Q Ax T T dU 90 407 5040 e ar 1 0 0 dg 0 p Ax nem Aer 176 Correction des exercices Chapitre 7 Probl mes de synth ses 1 0 0 AU AT 7 Axi apy s AU _ AX T T 1 AQ Q AT U Q xen Aa BU U Q 9 AU sypie qe 0 1575 15 75 U 74 73 5 74 73 5 This error is high so we cannot rely on the indirect measurement 10 If we neglect the other errors in the equation 7 14 we can write is as 1 R x xC Where is a constant LnU Ln R x LnC dU 1 So AU _ Ax U R x 177 ANNEXES 178 Exercices Corrig s de Mesure et Instrumentation Annexes 1 Table of thermocouples ANNEXES 1 Table of Thermoelectric Voltages for Chromel Alumel Thermocouples with the reference Junction at 0 C Thermocouple type 0 1 2 3 4 5 6 d 8 9 10 0 0 000 0 039 0 079 0 119 0 158 0 198 0 238 0 277 0 317 0 357 0 397
77. ckness The electronic sensor delivers a voltage of 3 76mV Determine the corresponding thickness Table 7 9 Thickness sensor calibration Layer thickness in mm 0 02 04 06 0 8 1 1 2 Voltage measured by the sensor in mV 0 2 48 4 89 7 62 10 32 12 46 14 98 E y n xy Y y my x 1 m 2 n Part 2 Indirect Measurement of the scale layer A second method described as indirect may be used Figure 7 17 b It involves measuring the temperatures on both sides of the exchange surface than determine the overall heat transfer coefficient by the following equation Q U A AT 7 12 Where Q is the heat flux transferred through the exchange surface A For this experiment the heat flux was fixed at 10000 W m and the area of the tubes A 10 m 124 English version Chapter 7 Review Problems The difference between the temperature of hot fluid inside tubes and cold outside of tubes AT T 7 13 Moreover the coefficient U depends on the scale thickness x by the following equation U 4 2 2 7 14 3 nes E be eei h Rh k k R Where Parameters Signification Unit Value Ro Outlet radius of the tubes m 0 0287 Ri Inlet radius of the tubes m 0 028 hi Inlet Heat Transfer coefficient W m C 5000 ho Outlet Heat Transfer Coefficient W m C 4202 Kw Thermal conductivity of tube s Material W m C 100 ks Thermal conductivity
78. distance L et plac s au milieu d un fluide en coulement la vitesse v La vitesse des ultrasons dans le fluide est not e Soit t le temps mis pour parcourir et t le temps pour le passage de T2 T1 Dans le reste de l exercice on n gligera la vitesse du fluide v par rapport la vitesse des ultrasons c Figure 2 8 principe de fonctionnement d un d bitm tre ultrasons 1 D montrer que la relation entre la vitesse du fluide et la diff rente de temps At t2 t peut s crire e 2xL v x At 2 17 2 D terminer la vitesse de l eau s coulant dans une conduite lorsque la diff rence de temps enregistr e est de 3 us pour des capteurs ultrasons distants de 1 cm 3 Si les erreurs absolues commises sur ti et t sont respectivement de 3 107 us et 19 5 10 us quelle est l erreur sur At 4 En d duire l erreur relative sur v calcul e la question 2 Donn es La vitesse des ultrasons dans l eau est de 1500 m s 3 TRAITEMENTS STATISTIQUES EXERCICE 1 La pression d air en kPa l int rieur d une conduite est mesur e toutes les 15 mn pour une p riode de 8h Les r sultats obtenus sont regroup s en 4 colonnes comme suit Tableau 3 1 a R sultats de mesure de pression Colonne 1 Colonne 2 Colonne 3 Colonne 4 779 724 690 669 738 696 662 690 752 676 641 710 669 848 600 724 655 814 558 758 634 772 586 779 710 710 627 827 807 696 648 883
79. e EXERCICE 13 L imp dance d une portion de circuit est Z XR 120 2 7 Chaque grandeur tant entach e d incertitude donner l expression th orique de l incertitude absolue sur Z EXERCICE 14 Soit l expression suivante BET d 2 8 m m O m m4 m sont des masses 1 Etablir l expression de l incertitude relative sur d Simplifier l expression de l incertitude relative sachant que m gt m1 gt nm et que Am Am Amo 2 Calculer la valeur maximale de d partir des valeurs num riques fournies ci dessous En d duire la valeur de Ad m 138 2 g m 47 8 g m2 41 6g Am 0 1g EXERCICE 15 Le circuit de la figure 2 3 ci dessous est constitu d un g n rateur de f e m e et de r sistance interne connect une r sistance de charge Re Pour mesurer la tension v aux bornes de on utilise un voltm tre de r sistance d entr e Re 1 Faire un sch ma montrant le branchement du voltm tre 2 L indicateur v du voltm tre est elle gale la tension cherch e v Justifier 3 Donner l erreur syst matique sur la mesure de la tension en fonction des caract ristiques du circuit 13 Figure 2 3 Mesure de tension dans un circuit EXERCICE 16 On consid re la relation qui relie l angle de perte 6 d un condensateur la capacit la r sistance et la fr quence f suivante tg 2nRCf 2 9 1 Calculer l incertitude absolue commise sur tg on donne R 4500 KQ 1 pr t C
80. e 7 8 Schematic view of the transducer for humidity measurement Notice 50 of humidity corresponds to h 0 50 1 What is the unit of A 2 Give the expression of R4 made by putting in parallel the resistance R and the humidity sensor HOS 201 3 The Resistance is now installed in a Wheatstone bridge see Figure 7 9 Resistances R and are equal the value of each of them is 10 111 Figure 7 9 Wheatstone Bridge installation What is the expression of the voltage S between and B as function of R Rz and E Show that it can be expressed by the following equation 4 What is the equilibrium condition of this bridge as function of the four resistances values 5 What is the value of the resistance of the sensor noted R50 at 50 of humidity 6 The bridge is in equilibrium when Rs Deduce the value of in this case 7 What is the expression of the voltage S 5 S and S 4 for respectively the values of the sensor resistance Ro R and 50 as function of Ri and E correspond to the values of the sensor HOS201 resistance at the respective humidity values of 0 10 and 50 8 For various values of the relative humidity h the output voltage of the bridge 5 and the value of the resistance are determined experimentally the obtained values are given in table 7 3 Use a linear regression least squares method to deduce the value of E
81. e is taken as the mean value Lip Les 7 9 Two Thermistors symbol figure 1 are used to measure the temperatures 120 English version Chapter 7 Review Problems With the following characteristics Ro 5000 Q at 300 K B 3000 K The temperature distribution on the tube wall is measured using six chromel Alumel thermocouples for which the hot junctions are placed on the tube surface at angles of 0 30 60 90 150 and 180 angles are reported to the vertical positions The symbol e is used for thermocouple s placement on figure 1 In this part of the problem we will focus on the temperature measurement by thermistors However in the second part we will consider the measurement with thermocouples Part 1 Measuring temperature with thermistors 1 1 Give the expression of the Thermistor s Resistance as a function of temperature 1 2 The values of resistance given by the two thermistors are 1000 2 Q and 980 1 5 Q Deduce the temperatures of the liquid film at the top and the bottom of the tube 1 3 Calculate the corresponding errors 1 4 Calculate the average temperature of the film T 121 Thermistor at the top ofthe tube Thermistor at the bottom of the tube Figure 7 16 Distribution of the sensors around the falling film horizontal tube Part 2 Measuring temperature with thermocouples The output voltage corresponding to the dif
82. el d terminer les temp ratures correspondantes aux diff rents thermocouples Tableau 7 8 Valeurs de la temp rature autour du tube 78 English version Chapter2 Error and uncertainty Calculation 09 tension mV 0 3 681 30 3 734 60 3 764 90 2 845 120 3 847 150 3 905 180 3 93 2 2 Le coefficient de transfert de chaleur local est d termine par l quation suivante int x 7 10 ext Io To est la temp rature correspondant la position Tr la temp rature moyenne du film Etablir le tableau correspondant aux couples ho 2 3 Calculer l erreur absolue pour la position 90 quand les erreurs relatives correspondantes de la temp rature et le flux de chaleur q sont de 0 1 Tr est suppos e constante 2 4 Les r sultats exp rimentaux montrent que la variation du coefficient local de transfert de chaleur he en fonction de la position angulaire peut tre exprim e par hg Axel 7 11 En utilisant la m thode des moindres carr es dites si cette quation est acceptable ou pas D terminer les param tres A et B PROBLEME 11 MESURE DE DEPOT DE TARTRE SUR UN CYLINDRE HORZONTAL Lors de l coulement des fluides dans les changeurs thermiques un film liquide ruisselant sur un faisceau de tubes par exemple des couches de tartre peuvent se d poser sur la surface externe d change provoquant la chute des performances
83. ert mesurer la temp rature d un fluide A l instant initial to 0 la temp rature du fluide est et celle du capteur est 0 C A to le capteur est immerg soudainement dans le fluide L change de chaleur entre le capteur et le fluide s effectue uniquement par convection 1 Montrez qu il s agit d un syst me de premier ordre et que sa constante de temps t est donn e par 41 Chapitre 4 Caract ristiques des capteurs 4 2 A tant la surface du capteur h est le coefficient d changes de chaleur par convection 2 On consid re maintenant que la temp rature du fluide suit la courbe suivante D temps Figure 4 3 Variation de la temp rature en fonction du temps 4 On change maintenant de capteur On consid re que la mesure doit tre effectu e gr ce un thermocouple On consid re que la jonction de mesures du thermocouple est constitu e d une sph re dont les caract ristiques sont les suivantes D 0 5 mm 8920 kg m Cp 394 kg K 23W mK Quelle est la constante de temps du thermocouple lorsque la vitesse d coulement est de 1 m s Commentez ce r sultat EXERCICE 9 Nous voulons mesurer gr ce un thermocouple la temp rature d un four toutes les 2 minutes pendant 24 heures La mesure doit s effectuer d une mani re automatique 1 D crivez les composants ainsi que les caract ristiques requises pour le syst me de mesure 2 La valeur mesur e doi
84. ferent thermocouples located around the tube figure 1 are resumed in the table 1 Table 7 8 The output voltage delivered by the different thermocouples 0 Voltage mV 0 3 681 30 3 734 60 3 764 90 2 845 120 3 847 150 3 905 180 3 93 The cold junction of the thermocouple placed at 90 is placed at the ambient temperature Tamb 24 C however for the other thermocouples the cold junctions are placed at 0 2 1 Using the Chromel Alumel table determine the temperatures corresponding to the different thermocouples 2 2 The local heat transfer coefficient is determined by the following equation 122 English version Chapter 7 Review Problems h q x x ue Ra Where Te is the temperature corresponding to the position Tr the average film temperature T 85 C Establish a table corresponding to the couples hg 2 3 Calculate the absolute error Ah for the position 90 when the relative errors corresponding to the temperature and heat flux q are 0 1 T is assumed to be a constant 2 4 The experimental results show that the variation of the local heat transfer coefficient he with the angular position 0 can be expressed by hg AxeP Using the least squares method Say if this equation is acceptable or not Find the best estimation of the parameters A and B PROBLEM 11 SCALE MEASUREMENT ON HORIZONTAL TUBE During the flow of fluids thr
85. figure 2 7 Figure 2 7 Wheatstone bridge 1 Demonstrate that the expression of Vmes be given by the following equation R R Ms 2 15 R R R R 2 When the bridge is balanced Vmes is equal to Zero Find a relation between and the other resistances 3 Suppose that 2xR Determine the error on Vnes if the value of is measured with an error equal to 1 88 English version Chapter 3 Statistic Analysis 3 STATISTIQUE ANALYSIS EXERCISE 1 The air pressure in kPa at a point near the end of an air supply line is monitored at 15 mn intervals over an 8h period The readings are listed in four columns that follow Table 3 1 Results of pressure measurements Column 1 Column 2 Column 3 Column 4 779 724 690 669 738 696 662 690 752 676 641 710 669 848 600 724 655 814 558 758 634 772 586 779 710 710 627 827 807 696 648 883 1 List the pressure readings order of increasing magnitude Rearrange the data in five group intervals to obtain a frequency distribution Show both the relative frequency and the cumulative frequency this tabular rearrangement Select the median pressure reading from the data 2 Construct a histogram Superimpose a plot of the relative frequency on the histogram 3 Prepare curve of the cumulative frequency 4 For the air pressure data a Compute the sample means of the individual colu
86. fine the resolution of measurement system b If the resolution of pressure sensors during the last measurement Table 7 4 is 0 01 bars what would that of the flow measurement system Comment the result PROBLEM 7 FORCE MEASUREMENT Consider a cantilever deflecting arm which is subject to a force F The deflecting arm has a length L and a rectangular cross section Its width is W and its height is h The force F is applied to the deflecting arm free end according to figure 7 11 2 E d REPE OD Figure 7 11 Schematic view of the deflecting arm When the force F is applied a displacement of the deflecting arm free edge occurs see figure 7 12 This displacement is equal to D 4 12 F 3 E W h y 7 6 Where E the YOUNG Modulus I the moment of Inertia given by the following expression I W and h respectively the width and height of the deflecting arm Use of an LVDT for the deflecting arm free end displacement measurement The displacement of the free end of the deflecting arm is going to be measured using an LVDT ref Figure 7 13 115 Figure 7 14 Connection of the deflection arm Figure 7 13 Displacement of the free edge of LVDT oan the deflecting arm The LVDT characteristic curve has been measured in the laboratory The following data have been found for an input voltage of 3Volts in the Primary of the LVDT and a frequency of
87. ge of the two strip lengths The switch controlling the thermostat will be placed at a distance e under the extremity of the strip supposed straight at the temperature To figure 7 14 117 Lo at To Vat F Metal 1 2 Metal 2 02 Switch contact e Switch Figure 7 14 Principle of using bimetallic strip Demonstrate that if T is the desired temperature the switch must be placed at the distance L T e T p T cos zd 7 8 Calculate e for T 120 C 8 If the error on the L T and is 1 determine the possible error on the distance e PROBLEM 9 TEMPERATURE MEASUREMENT Att The problem contains a description of an experiment The two parts are completely independent In a thermal power plant the vapor flows in a horizontal tube without condensation and it is cooled with seawater by using a heat exchanger figure 7 15 The seawater enters at the top of the exchanger Inlet and goes out by the bottom Outlet 118 English version Chapter 7 Review Problems Sea Water Thermocouple 1 Mercury DS in glass thermometer Vapour Outlet Inlet mm poca 1 gt Mercury RTD Thermistor 1 in glass thermometer Reference Junction of the thermocouple Figure 7 15 Heat exchanger for seawater cooling The heat exchanger is equipped with 4 temperature sensors Two Chromel Con
88. grouper les exercices propos s par chapitre toutefois certains exercices portent sur plusieurs parties du cours Ce livre est reparti en sept chapitres Le premier chapitre porte sur l analyse dimensionnelle Dans le deuxi me le lecteur trouvera des exercices sur le calcul d incertitudes L analyse statistique des donn es est le sujet du troisi me chapitre En ce qui concerne le quatri me chapitre il porte sur les caract ristiques des instruments de mesure Dans le cours de mesure et instrumentation enseign l ENIT une attention particuli re est port e la mesure de la temp rature Pour cette raison un long chapitre 5 lui a t consacr J ai essay galement de mettre ces exercices par type d instrument bilame m tallique PT100 Thermistance etc Afin de r viser son cours et tester ses connaissances l tudiant peut trouver dans le chapitre 6 quelques exercices de connaissances g n rales Enfin j ai mis dans le dernier chapitre des probl mes de r vision permettant l l ve de se pr parer pour les examens Une partie de ces exercices a t prise des examens propos s l ENIT depuis 1999 Certains ont t propos s par mes coll gues en particulier M Chiheb Bouden A chaque fois qu un exercice est pris d un examen ou d un travail quelconque de mes coll gues je leur fait r f rence dans la partie sommaire pr sent au d but de ce livre Pour finir je vous souhaite un bon travail et afin d apporter
89. hermocouple as shown in the following figure 5 5 Determine the output voltage V indicated by the DVM T 200 C Constantan AG hs S AN 200 DVM T 100 c Copper 20 C Figure 5 5 Measure of the output voltage of a thermocouple by a DVM T 0 C EXERCISE 12 For a thermocouple when the cold junction is kept at 0 C the calibration data are given below Table 5 4 Data for temperature measurement by a thermocouple 6 C 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 E uV 0 397 798 1203 1611 2020 2436 2850 3266 3681 4095 1 In this range the calibration curve is assumed to be a straight line use the least square method to determine its equation E f 0 2 At E 2020 uV determine the error committed on the temperature if the curve is used 100 English version Chapter 5 Temperature Measurements 3 This thermocouple is used with the cold junction at 0 20 C Determine using the table the temperature if the emf is E 2052 uv EXERCISE 13 Consider a thermostatic enclosure which is kept at a constant temperature Tu 20 the surrounding environment temperature is To 10 The enclosure is heated using a heat source which temperature is Ta see Figure 1 To measure the temperatures at these points 3 Chromel Alumel thermocouples are used The reference junctions for these thermocouples are kept at the ambien
90. ibilit de ce capteur 120 C Ecrire la relation pr c dente sous la forme p aT 5 Si la plus petite valeur qui peut tre mesur e par le capteur mesurant le rayon de courbure est de 0 001 mm d terminer la r solution de la barre cette temp rature 6 La longueur L T de la bilame m tallique la temp rature T est suppos e gale la moyenne des longueurs des deux barres utilis es Le bouton contr lant le thermostat est plac une distance e en dessous de l extr mit de la barre suppos e droite la temp rature T figure 5 1 Lo at To Metal 1 0 d Metal 2 o gt Switch contact Switch Figure 5 1 Principe de fonctionnement d une bilame m tallique D montrer que pour maintenir la temp rature du syst me une valeur constante T le bouton poussoir doit tre plac a une distance e telle que 4 1 5 2 Calculer e pour T 120 7 Si les erreurs sur L T et p T sont de 1 d terminer l erreur possible sur la distance e 49 EXERCISE 3 LAME D ALARME Le syst me d alarme thermique est constitu d une lame de longueur L LO 20 cm To 25 C d un circuit d alarme enclench par un bouton poussoir m Pour viter de travailler des temp ratures lev es on choisie une lame qui pr sente une dilatation partir d une certaine temp rature donn e et se d forme suivant une courbure comme il est pr sent en traits interrompu voi
91. ilogramme Masse volumique p kg m Moment de force M N m Moment cin tique kg m s Fr quence Hz hertz Longueur d onde m P riode T 5 Pulsation rad s Angle plan y 8 9 rad Angle solide Q sr st radian Grandeurs Electromagn tiques Tableau 1 2 Dimensions des grandeurs lectrom caniques Intensit de courant I A Amp re Charge lectrique qQ C Coulomb gt Moment dipolaire p C m Coulomb x metre Champ lectrique E Vm Volt m Potentiel lectrique V V Volt Densit lin aire de charge cm Densit superficielle de cm charge Densit volumique de charge cm Flux de champ A o Capacit d un condensateur C Farad 7 Densit de courant lectrique J A m Conductivit lectrique y S m R sistance R Q ohm Force lectromotrice V Volt 7 Champ magn tique B T Tesla Wb m Potentiel vecteur Wb m Coefficient de self inductance L H henry Coefficient de mutuelle M H henry inductance m 7 2 Moment magn tique m Permittivit lectrique F m Permittivit magn tique HO H m EXERCICE 2 1 Donner la d finition d une grandeur physique et sa propri t fondamentale 2 Une masse est mesur e l aide de deux unit s U et U Le rapport de ces deux unit s est LE 1 2 1 Quelle est la valeur du rapport des deux r
92. ilogramme d air sec La plupart des instruments utilis s pour la mesure de l humidit se basent sur la d termination de la pression partielle de la vapeur dans l air P et de la pression totale du m lange P La relation entre ces deux pressions et l humidit est donn e par la formule suivante 2 13 0 622 1 Calculer la valeur de l humidit de l air lorsque P 1bar et P 0 1bar 2 D terminer l erreur r alis e pour cette mesure si les erreurs sur la pression sont de 2 EXERCICE 22 Estimer l erreur effectu e lors de la d termination du volume d une sph re ayant un diam tre de 100 mm si le diam tre est mesur avec un cart type Sx 0 05mm amp EXERCICE 23 Le d bit d un liquide est calcul en permettant l coulement d un liquide dans une cuve cylindrique plac e verticalement sur un plan et mesurant la hauteur de la surface du liquide avant et apr s l coulement pour une dur e de dix minutes Le volume collect au bout de 10 minutes est donn par 17 2 Volume h 2 14 O hi et h2 sont les niveaux initial et final du liquide et d le diam tre du r servoir 1 Si h 2 m h 3 m et d 2m calculer le d bit du liquide m s 2 Si l erreur possible sur chaque mesure de hi het d est de 1 estimer l erreur possible sur la valeur calcul e du d bit liquide EXERCICE 24 On consid re que l eau entre dans un changeur de chaleur de temp
93. incertitude obtenue sur la temp rature du four EXERCICE 16 On veut mesurer la stratification thermique dans un bassin solaire rempli d eau tr s sal e Pour cela on place 5 thermocouples Fer Constantan espac s de 20 cm en profondeur A un instant t on mesure les forces lectromotrices e donn es par les 5 thermocouples on obtient les r sultats suivants Table 5 5 Temp ratures mesur es par les 5 thermocouples N Thermocouple 1 2 3 4 5 f e m e mV 1 019 1 536 2 058 2 089 3 115 1 Chercher les valeurs des temp ratures en utilisant la table du thermocouple Fer Constantan sachant que les soudures de r f rences de thermocouples sont plac es la glace fondante 2 Quelle f e m e donnerait un thermocouple Fer Constantan si sa soudure de r f rence tait la temp rature T 309 et sa soudure de mesure T 60 3 En supposant que la courbe d talonnage des thermocouples est une droite dans ce domaine de temp rature utiliser la m thode de moindre carr pour d terminer les caract ristiques de cette droite 4 D terminer 3 chiffres significatifs pr ts l erreur commise sur la mesure de temp rature correspondante la fe m e 1 797 mV en faisant cette 56 Chapitre 5 Mesures de Temp rature approximation 5 Quelle doit tre la r solution un chiffre significatif pr t du voltm tre utiliser si la r solution voulue sur la mesure de temp rature
94. incertitude relative sur T soit gale 176 sachant que les 11 X incertitudes sur t sont dues l erreur d enclenchement et l erreur de d clenchement du chronom tre sont de 0 1 s chacune 4 Sachant que le nombre d oscillations est de 22 oscillations pendant le temps t d duire la p riode T 5 Calculer g et Ag EXERCICE 10 La vitesse d une masse suspendue par un fil l extr mit d un pendule simple est donn e par la formule suivante V JgxLx 1 cos0 2 5 Avec g l acc l ration de la pesanteur L la longueur du fil l amplitude angulaire du pendule 1 En appelant Ag Al et A0 les incertitudes sur g L et 0 Calculer de deux mani res diff rentes l incertitude sur la vitesse V 2 Application num rique 9 81 N m Ag 0 01 N m L 1 000m AL 0 001m 0 10 A0 1 Calculer V et AV EXERCICE 11 Une r sistance 51 est travers e pendant 60 0 s par un courant continu d intensit 2 2 A Quelle est l nergie thermique d pens e dans cette r sistance Donner son incertitude absolue Donner le r sultat avec deux chiffres significatifs Les incertitudes absolues des diff rents termes sont au plus gales une unit de l ordre du dernier chiffre inscrit EXERCICE 12 La p riode d un pendule simple pour des oscillations de faible amplitude est 1 1 000m 0 001 Z2XTUX 4 g AVES 5 9 8N kg 0 01N kg Calculer et son incertitude absolu
95. interpolation Emfj 1011 17 1071 1011 18 17 Emf 1 029 mV So Emf 1 029 0 163 1 192 mV According to the thermocouple table we deduce T 20 C 6 _ ZT 1 2 T 30 61 The standard deviation is determined 6 2 6 2 Ym T EU T gp ict _ 032C n 1 5 The uncertainty is deduced from the standard error from the mean _ 0 32 Sp NA Te 0 13 C So 170 Correction exercices Chapitre 7 Probl mes de synth ses 30 61 0 13 C 1 3 The errors that have to be considered in this experiment are the following Illegitimate errors Systematic errors error of the reference value bad accuracy of mercury in glass thermometer error of the characteristic of the transducer and correction and interpolation error Random errors errors of reading of the RJT by the mercury in glass thermometer Part 2 Statistical analysis 2 1 For the thermistor we have 1 1 B 1 TT R 1 0 gt 1 1 R 1 In D Ro To Where T and To arein K For the RTD Rp 1 T Roz C Ro Where T is in Applying the formula to the experimental results we obtain the following table Table C 7 4 Temperature calculation t min Ri Q R2 Q Ta C Tous 0 200 235 134 55 114 00 30 210 238 131 66 111 50 60 220 236 128 98 109 50 90 215 241 130 31 110 00 120 205 232 133 10 13 00
96. ion for a capacitance type level device The measured capacitance C depends on the liquid permittivity 1 The level of the liquid is given by 7 3 2XTX Eg XE gois the dielectric constant of vacuum 8 85 10 2 As V m1 d is the diameter of the insulation d 2 5 cm di is the diameter of the electrode di 1 cm 1 1 What are the input and the output of the sensor 1 2 Determine the expression of the sensitivity 1 3 Is the sensor linear Justify your response 1 4 A static calibration of the sensor gives the following results see table 7 2 109 Table 7 2 Static calibration of the level sensor Capacitance 25 30 35 40 45 50 55 60 C pF Liquid 34 41 2 47 5 54 5 61 7 68 1 75 1 81 7 Level cm Plot the curve C f L 1 5 Determine by using the regression analysis the relative permittivity 1 of the liquid 1 6 If the relative errors on the diameters d and d are 2 the capacitance is 576 and the relative permittivity of the liquid 1375 Determine the error on the liquid level AL for a liquid level of 68 cm Part 2 Temperature measurement A Chromel Alumel thermocouple is used to measure the liquid temperature Its reference junction is placed at the ambient temperature An RTS made of Platinium is placed near the reference junction See Fig2 1 5 1 ChromelAlumelThermocouple 2 2 RTS in Platinium 3 TheReference junc
97. ionnement d un Venturi 1 Si 1 0 P1 1 bar 0 999 bar d 20 0 cm et p 1 0 kg l calculer le d bit 15 massique du liquide en kg s 2 Si l erreur possible sur chaque mesure de Pi P et d est de 1 estimer l erreur possible sur le d bit massique calcul EXERCICE 19 La mesure de la tension aux bornes d un capteur r sistif dans un montage potentiom trique se fait en se basant sur le montage suivant Appareil de mesure Figure 2 6 Montage potentiometrique La tension est donn e par la relation suivante Ss 2 11 Vn e Xx m R Si l erreur sur les r sistances est de 1 et l erreur sur e est de 2 calculer l erreur relative sur Vm pour R Ri 500 EXERCICE 20 EFFET HALL Lorsqu un mat riau g n ralement semi conducteur et sous forme de plaquette est parcouru par un courant I et soumis une induction faisant un angle 0 avec le courant I une tension Vy perpendiculaire au courant et l induction apparait Cette derni re est donn e par la relation suivante Vy Ky xIx BxSin0 2 12 est une constante Pour des valeurs de 0 proche de 0 tg0 0 les erreurs effectu es sont de 2 sur 1 1 sur B et 3 sur Calculer l erreur possible sur Vy EXERCICE 21 MESURE DE L HUMIDITE DE L AIR L humidit absolue r de l air correspond au rapport de la masse de la vapeur par la masse d air sec et s exprime en g Kg gramme de vapeur par k
98. is 18 0 0 5 C The voltmeter reading is 9 19 mV What is the value of the furnace temperature 2 The voltmeter resolution is 0 01 mV does it make sense to change the mercury in glass thermometer by a second one having a resolution of 0 1 C What is the measuring system resolution at the furnace temperature 3 Calculate the uncertainty obtained on the furnace temperature 5 5 OPTICAL PYROMETERS EXERCISE 18 The total radiation from a non black body is given by WA T EG 5 4 Where is the total emissivity W is the total radiation of a black body at the same temperature and with the same surface In general the optical pyrometer uses a fraction of the emitted spectrum centred on the Wavelength and having a width AX A photoelectric sensor converts this radiation in an electrical signal Sa given ho Ds K A x Sq A x W 5 4 My 072 S el Where K A is a geometrical factor and 5 the emissivity of the 102 English version Chapter 5 Temperature Measurements photoelectric detector 1 Using the Planck s Law e and assuming that 20 ex 52 1 od Show hat Sy Kt 5 0 D Bref 2 If the optical pyrometer is calibrated relative to a black body show that the electrical signal Sa corresponds in the case of non black body to a temperature T given by T i X 5 5 9 x Lne Where
99. issance r active en VAR d un r cepteur de puissance active P 1500W 1 pr t et de d phasage 0 02 radians 2 pr t 3 Calculer et pr senter correctement le r sultat de mesure On rappelle que P tg EXERCICE 26 La mesure du d bit du sang dans un faisceau sanguin peut se faire gr ce au montage de la figure 3 4 Dans ce montage on mesure le d calage du temps entre la transmission des ondes ultrasons des capteurs vers T2 temps t1 et de T2 vers temps t2 Les deux capteurs sont distants de L On d montre que la relation entre la vitesse du fluide v est l cart de temps At t2 t1 peut s crire 6088 3 13 Figure 3 4 principe de fonctionnement d un d bitm tre ultrasons Dans une exp rience les temps enregistr s par le d bitm tre ultrasons sont les suivants t1 1 04 0 03 us et t2 4 34 0 02 us Les autres param tres mesur s sont 45 L 2 cm et c 1000 m s Les erreurs effectu es durant la mesure sont les suivantes sur l angle 8 est A0 0 019 35 Chapitre 3 Traitements statistiques sur la longueur L est AL 0 1 mm 1 Calculer la valeur de la vitesse du sang dans le vaisseau 2 Quelle est l erreur sur la diff rence de temps At 3 En d duire l erreur sur la vitesse Dans une exp rience nous avons fait varier l angle 0 et nous avons relev les temps enregistr s par le d bitm tre t et t Les r sultats obtenu
100. l Chromel Chromel 0 0 To T T vo 1 3 vo 1 2 vo 2 3 Alumel Alumel 6 619 mV Alumel 0 507 mV 6 112 mV Figure C 5 4 R gle d utilisation d un thermocouple 156 Correction des exercices Chapitre 5 Mesure de temp ratures EXERCICE 14 1 Voir exercice 13 2 Voir exercice 13 3 partir de la r gle F Chapitre 4 nous pouvons crire Constantan Chromel Constantan 100 C 20 C 10KC 20 C 100 C 20 C Alumel Alumel Chromel V A C V A B V B C Figure 5 5 R gle d utilisation d un thermocouple in nne Ce donne Vogtumet Const Vogtumet Chrom Vo Chrom Const Const 2 Vochrom Const Vo Chrom Alumel Or d apr s la r gle E du m me chapitre 100 C4 2009 lt 20 C lt 20 Vam 20 100 Vam 0 100 0 20 C Figure C 5 6 R gle d utilisation d un thermocouple D apr s le tableau des thermocouples a Vchromel Alumel 20 C 100 C 4 095 0 798 3 297 mV V chromel Constantan 20 C 100 C 6 312 1 192 5 12 mV D o V Alumel Constantan 20 C 100 C 5 12 3 297 1 823mV 4 Cette diff rence est due aux erreurs de mesure 157 QUESTIONS DE REVISION EXERCICE 1 1 m m tre pour la Longueur L kg kilogramme pour la masse M s seconde pour le Temps A Amp re pour l intensit I 2 Le principe de fonctionnement d un transducteur il converti la mesurande en une variation d un signal
101. ld we base to choose in convenient manner a temperature sensor Illustrate by an example 105 REVIEW PROBLEMS PROBLEM 2 Two communicating vessels are filled with a liquid The first vessel is subject to a pressure P and the second is a subject to P2 1 Demonstrate that the liquid level difference 2 Ah is related to the pressure difference Give the expression of AP as a function of Ah h2 hi Figure 7 2 Connected vessels 2 In each of vessels is immersed a concentric cylinders plate capacitive transducer The transducer length is L Liquid level Figure 7 3 Level Measurement At the initial conditions P4 Patm and h h ho 1 2 In these conditions both transducers are having the capacitance 106 English version Chapter 7 Review Problems 2 2 b a ho is the liquid level in the vessel at the initial conditions ho 1 2 QE amm 7 1 0 the permittivity of the free space between the capacitor plates the relative permittivity of the liquid a b respectively the radius of the interior and exterior cylinder Than a pressure P is applied on vessel 1 The liquid levels become h ho Ah in vessel 1 and h hot Ah in vessel 2 Demonstrate that C1 C2 is proportional to hz hi 3 Both capacitors are connected in two arms of a Sauty Bridge as shown in the following figure C C2 D Figure 7 4 Sauty Bridge Demonstrate that Vm is
102. le rayon de courbure de la bande m tallique si elle subit une variation de temp rature de a 120 C b 230 C c 80 C Les propri t s m caniques et thermiques de inoxydable et du zinc sont les suivantes Acier inoxydable 193 Gpa a 17 3 10 6 C Zinc 145 a 1 1 10 6 C EXERCICE 2 BAIN THERMOSTATE Une bilame m tallique est fabriqu e partir de l acier inoxydable et de l Invar avec des paisseurs respectives de 4 mm et de 2 mm Ce capteur est utilis dans un thermostat pour contr ler la temp rature Les propri t s thermom caniques de l acier inoxydable et de l invar sont comme suit Acier inoxydable 193 Q4 17 3 10 6 C Invar E2 145 1 1 10 6 C 1 Expliquer le principe de fonctionnement de ce capteur dans ce cas 2 L objectif de cette exp rience est de maintenir la temp rature une valeur de 1209 Donner l expression de l allongement de la barre en fonction de la temp rature D terminer l allongement de chacune de deux barres cette temp rature La longueur de la barre suppos e droite 10 C est de 22 cm 3 D terminer le rayon de courbure de la barre une temp rature de 120 C Sx oen rend t xh 5 1 6x a a x 1 r x AT hy h n le rapport des paisseurs 48 Chapitre 5 Mesures de Temp rature no a v le rapport des modules d lasticit 1 4 D terminer la sens
103. lectrique Exemple l effet photo lectrique 3 Les erreurs al atoires sont d origine non consistante et ne peuvent pas tre d termin es Elles sont non constantes et ne peuvent tre qu estim es partir des m thodes statistiques Par ailleurs les erreurs syst matiques sont d origine consistante et provoquent un cart constant entre la valeur mesur e et la vraie valeur de la mesure Elles peuvent tre limin es par un bon talonnage du capteur Exemple Erreur d interpolation erreur syst matique Bruit magn tique erreur al atoire 4 M diane C est la valeur qui partage la population des mesures en deux parties de taille gale EXERCISE 2 1 The figure resuming the principle components of an electronic instrument is the following 158 Correction des exercices Chapitre 6 Questions de R vision Power Supply Power Supply Amplifier circui Data Processor Controller Command generator Figure 6 1 Les diff rents composants d un instrument de mesure lectronique 2 The difference between an RTS and Thermistor is that thermistor is semiconductors while RTS are simple resistance The relationship between temperature and resistance is given by RTS R RO 1 YT y T Yn Thermistance R eB T 3 The difference between static and dynamic characteristics of an instrument Static characteristics concern the study of a sensor when the input is constant
104. ly constant with temperature linear variation of resistance with temperature Calculate the accuracy of the temperature measurement if we measure the resistance of the probe with an uncertainty of 0 176 in the vicinity of 100 C EXERCISE6 Develop the expression for the response of a temperature sensor to the truncated ramp type of input function shown in the following figure for T T t me to Figure 4 2 Ramp input variation EXERCISE 7 Use the following equation dT de 4 1 Where Co 1 44 102 m K 0 63 um To prepare a graph of error dT T versus temperature T over the range from 1000 to 4000 for an optical pyrometer if the emissivity of the surface is in error by equal to a 0 05 b 0 10 c 0 20 d 0 50 95 EXERCISE 11 A K type thermocouple chromel Alumel is used for a furnace temperature measurement The measuring junction is inside the furnace the reference junction is at the ambient temperature The ambient temperature is measured using a mercury in glass thermometer 1 The obtained value for the ambient temperature is 18 0 0 5 C The voltmeter reading is 9 19 mV What is the value of the furnace temperature 2 The voltmeter resolution is 0 01 mV does it make sense to change the mercury in glass thermometer by a second one having a resolution of 0 1 C What is the measuring system resolution at the furnace temperature 3 Calc
105. mV Quelle est la temp rature de la source thermique Source thermique Enceinte isotherme Figure 5 6 Chauffage d une enceinte isotherme x EXERCICE 14 1 Expliquer le principe de fonctionnement d un thermocouple 2 Quels sont les autres instruments de mesure de temp rature que vous connaissez 55 3 Un millivoltm tre digital est branch aux bornes d un thermocouple Alumel Constantan dont la jonction chaude est plac e dans de l eau en bullition la pression atmosph rique et la jonction froide la temp rature ambiante Tamb 20 C Quelle doit tre la tension affich e par ce millivoltm tre 4 La valeur affich e par le voltm tre est en fait 2 3 mV Que remarquez vous Interpr ter ce r sultat EXERCISE 15 Un thermocouple de type K chromel Alumel est utilis pour mesurer la temp rature d un four La jonction de mesure est l int rieur du four la jonction de r f rence est la temp rature ambiante La temp rature ambiante est mesur e en utilisant un thermom tre mercure 1 La valeur obtenue pour la temp rature ambiante est 18 0 0 5 C La mesure partir du voltm tre donne 9 19 mV Quelle est la valeur de la temp rature du four 2 La r solution du voltm tre est 0 01 mV est ce que ca un sens de changer le thermom tre mercure par un deuxi me ayant une r solution de 0 1 C Qu elle est la r solution du syst me de mesure la temp rature du four 3 Calculer l
106. ment en signal lectrique Donner la suite des conversions interm diaires r alis es avant d aboutir au signal lectrique 3 Quelles sont les grandeurs d influences susceptibles de fausser la mesure du niveau h Le capteur de pression diff rentielle comme son nom l indique est sensible a la diff rence de pression P Po et la convertie en variation de capacit Figure 4 6 Membrane Figure 4 6 Principe de fonctionnement du capteur de pression Le capteur est constitu d un condensateur C compos de deux armatures A1 et A ayant la m me surface A L armature A est li e aux deux membranes de mani re a ce que leur d formation entraine un d placement perpendiculairement son plan Soit son d placement par rapport a la position d origine Armature 1 4 Donner l expression de la capacit du condensateur form par les deux armatures 5 Quelle est la grandeur physique mesur e Quelle est la grandeur lectrique fournie 6 Expliquer bri vement le principe de fonctionnement de ce capteur 7 En supposant que le d placement de l armature A est proportionnel la diff rence de pression P Po d K P Po donner l expression de 8 Comment peut on utiliser ce dispositif exp rimental pour la mesure de la masse volumique p 47 5 MESURE DE TEMPERATURES EXERCICE 1 Une bilame m tallique est fabriqu e partir de l acier inoxydable et le zinc d paisseurs respectives 5 mm et 1 mm D terminer
107. mns b Compute the sample means of the columns 1 2 and 3 4 c Compute the sample mean of the complete set of data d Comment on the results a b c 5 Determine the mode and compare if the median and the mean of the data 6 Determine the a standard deviation sx b range R c mean deviation d variance 2 89 e coefficient of variation Cy EXERCICE 3 Repeated measurements of the height of a building gave the following results 33 48 33 46 33 49 33 50 33 49 33 51 33 48 33 50 33 47 33 48 33 49 33 50 33 47 33 51 33 50 and 33 48 m 1 Give the mean value the median and the mode of these measurements 2 Calculate the standard deviation 3 Write properly the result of the measurement in the form h h Ah 4 Plot a histogram of the distribution EXERCICE 4 A and B observe light flashes to the north A believes there is only one source of these while B believes there are two The bearings of each of 15 successive flashes were measured with the following results Direction east of the north 10 72 11 05 11 36 10 74 11 16 10 85 10 92 11 18 10 96 10 63 11 02 11 26 10 64 10 95 11 13 Show these results at the 5 10 15 measurements stages as normalized histograms with intervals of 0 1 in width starting from 10 5 Do you think that B S more elaborate explanation is justified by these results The observers in the precedent problem make a total of 200
108. mp rature Les temp ratures des jonctions froides des thermocouples RJTi and sont mesur es par deux thermom tres mercure Les f e m fournies par les capteurs sont mesur es par deux voltm tres digitaux figure 7 15 1 1 Dans des conditions stationnaires les valeurs moyennes des param tres mesur s au niveau de la sortie d eau de mer thermocouple 2 sont les suivants Emf 0 163 mV RJT1 17 3 C Calculer la valeur moyenne de la temp rature mesur e par ce thermocouple 12 La temp rature d entr e de l eau est mesur e dans des conditions stationnaires chaque 30 minutes pour une p riode de 3 heures Les valeurs correspondantes sont les suivantes 30 24 30 75 30 87 30 24 30 58 and 31 C Calculer la valeur moyenne et l erreur r alis e 1 3 Quelles sont les erreurs r alis es durant l exp rience Pr ciser si elles sont syst matiques ou al atoires Partie 2 Traitement statistiques des r sultats exp rimentaux En ce qui concerne la mesure des temp ratures de la vapeur les r sistances de la thermistance et de la RTD sont d termin es par un Pont de Wheatstone toutes les 30 minutes dans des conditions stationnaires Les r sultats exp rimentaux sont illustr s dans le tableau 7 7 Tableau 7 7 R sultats exp rimentaux correspondant aux mesures de la temp rature 76 English version Chapter2 Error and uncertainty Calculation t min 0 200 235
109. mp rature d un liquide Sa jonction de r f rence est plac e la temp rature ambiante Une PT100 faite en Platine est plac e pr s de la jonction de r f rence voir figure 7 7 1 2 1 Thermocouple Chromel Alumel 2 100 3 La jonction froide du thermocouple 3 Figure 7 7 Principe de mesure avec le thermocouple 2 1 Expliquez pourquoi la platine est le mat riau le plus utilis dans la fabrication des capteurs r sistifs 2 2 Le coefficient de r sistivit du capteur PT 100 est 0 4 C R O C 100 Q Pendant l exp rience la r sistance est mesur e par un pont de Wheatstone WB Si le WB indique 200 d duisez la temp rature mesur e par le capteur en tenant compte du ph nom ne d auto chauffage 2 3 Si plus petite valeur qui peut tre mesur e par le WB est 0 5 calculez la r solution du capteur PT100 50 C 2 4 La tension indiqu e par le thermocouple est 3 456 mV D terminez la 67 temp rature du liquide PROBLEME 5 MESURE D HUMIDITE Un transducteur est compos d un capteur r sistif d humidit HOS201 dont la r sistance est install en parall le avec une r sistance R voir figure 7 8 La valeur de la r sistance du capteur d humidit HOS 201 a pour quation pour h gt 50 e 8Xh 7 3 Avec A 6 92 101 05 B 21 h l humidit relative La valeur de la r sistance est gale a 1 MQ CE Figure 7 8 Sch ma du capteu
110. mpte tenu du dispositif exp rimental utilis l quation 7 4 est elle v rifi e 5 Pendant la premi re mesure voir tableau 7 4 les tudiants ont fait une erreur de 1 sur la mesure des pressions et p Qu elle est l erreur effectu e sur la mesure du d bit Q Que pensez vous de cette mesure 71 6 D finissez la r solution d un syst me de mesure b Si la r solution des capteurs de pression durant la derni re mesure tableau 7 4 est de 0 01 bars quelle serait celle du capteur de d bit Commentez le r sultat PROBLEME 7 MESURE DE FORCE Consid rons l exemple d une poutre console qui est soumise une force F appliqu e son extr mit La poutre console ayant la forme d une lame parall l pip dique a une longueur L et une section transversale rectangulaire Sa largeur est W et sa hauteur est h La force F est appliqu e l extr mit de la poutre console conform ment ce qui est montr sur la figure 7 11 h c Z h E CENE Sees RE RR Figure 7 11 Vue sch matique de la poutre console Lorsque la force F est appliqu e un d placement du bord libre de la poutre console se produit voir la figure 7 12 La valeur de ce d placement est donn e par l expression D 4L EI EWE _ E Le module d YOUNG W h Le moment d inertie donn par l expression suivante I W et h respectivement la largeur et la hauteur de l
111. nsor used to measure the radius of curvature is 0 001 mm determine the resolution of the bimetallic strip at this temperature 6 We suppose that the length L T of the bimetallic strip at the temperature T is the average of the two strip lengths The switch controlling the thermostat will be placed at a distance e under the extremity of the strip supposed straight at the temperature T figure 1 RE 2 at To OY Metal 2 02 Switch contact Switch gt 2 2 Figure 5 1 Functioning principle of a Bimetallic strip Demonstrate that if T is the desired temperature the switch must be placed at 1 e 2j 5 2 Calculate e for 120 the distance 5 If the error on the L T and is 1 determine the possible error on the distance e The mechanical and thermal properties of stainless steel and Invar are as follows Stainless steel 193 Gpa a 17 3 10 0 Invar E2 145 Gpa o 1 1 10 6 98 English version Chapter 5 Temperature Measurements EXERCICE 4 fabricated from platinum exhibits temperature coefficient of resistivity y 0 003902 C Assume that is negligible If the resistance of the sensor is 100 Q at 0 C find the resistance at a 240 C b 120 C c 90 C d 260 C e 600 C 900 EXERCISE 5 The relationship between resistance and temperature respectively for nickel and platinium resistan
112. nt de mesure Est ce une caract ristique statique ou dynamique 2 Quels sont les principes physiques utilis s pour la mesure de temp rature 3 Sur quels facteurs doit on se baser pour choisir d une mani re convenable un capteur de temp rature illustrez par un exemple 60 Chapitre 7 Probl mes de R vision 7 PROBLEMES DE SYSNTHESE PROBLEME 1 La communication entre le port d un infrarouge d un ordinateur et celui d une imprimante est sch matis e par la figure suivante Port infrarouge de l ordinateur Port infrarouge de l ordinateur Montage emetteur Montage r cepteur Figure 7 1 Sch ma de communication entre le port d un infrarouge d un ordinateur et celui d une imprimante Un tel syst me d mission r ception est constitu de un circuit metteur composer essentiellement d un phototransistor un circuit r cepteur composer d une photodiode D et une r sistance R La photodiode se comporte comme un g n rateur de photo courant I S4 est la sensibilit propre de la photodiode exprim e en uA uW et est le flux Donn es R 70 Q 15 1010 Q 5 10 F avec est r sistance interne de la photodiode C4 correspond la capacit interne de la photodiode Partie 1 Etude lectrique 1 a Quelle est la grandeur physique mesur e par le capteur optique b Quelle est la grandeur lectrique fournie par le capteur c Quel estle type du capteur utilis
113. nte la grandeur d influence b Comment doit tre sa contribution au signal de sortie c Peut on utiliser un capteur pour mesurer une grandeur d influence si oui donner un exemple EXERCICE 4 Pr ciser si les erreurs suivantes sont syst matiques ou al atoires Vieillissement de l instrument 39 Erreur sur la sensibilit de l instrument Erreur de lectures D calage du Z ro Signaux parasites autour du capteur EXERCICE 5 1 Donner une d finition du circuit de conditionnement dans un instrument lectronique et donner un exemple 2 A quelles conditions peut on appliquer la loi de probabilit de Gauss un ensemble de N valeurs de mesure d une grandeur X 3 Montrez que dans la m thode des moindres carr s les coefficients m et b permettant de relier par une droite Y mx b des points dispers s ont pour 1 expression gt gt 6 1 nxx on et Xy mzx Zxxxy zrx E 27 gt 6 2 EXERCICE 6 1 D finissez la fid lit et la justesse d un appareil de mesure Expliquer la diff rence entre ces deux param tres 2 Qu elle est la diff rence entre un transducteur actif et un transducteur passif Donner quelques exemples 3 D finissez un syst me d ordre deux donner un exemple 4 Qu elle est la diff rence entre un syst me de mesure d ordre un et un d ordre deux EXERCICE 7 1 D finissez la r solution d un instrume
114. ough heat exchangers tubes bundle for example scale layers can be deposited on the exchange surface causing the drop in heat exchangers performance Several direct and indirect methods can be used to determine the scale layer thickness Figure 7 17 This allows determining exactly when it is necessary to proceed to an acid cleaning of the exchanger Couche de Tartre Fluide Froid Fluide Chaud Thermocouple 1 Thermocouple 2 a b 123 Figure 7 17 Scale thickness measurements on tubes exchanger a Direct Measurement b Indirect Measurement Part 1 Direct Measurement of scale layer thickness on tubes In the case of a direct measurement Figure 1a a sensor converts the measured thickness into an electrical signal voltage U in mV To calibrate the sensor one tube is covered with thick metallic sheets with known thickness and use the sensor to measure the voltage output The results of these measurements are shown in Table 1 1 1 What are the input and output signals of the probe 12 Using the linear regression method least square method we express the relation between Voltage U and thickness x by an expression of the form U K x 1 3 If yes determine the value of K indicating its unity 1 4 How do we call this parameter K 1 5 What is the order of this sensor 1 6 After a period of 1500 hours of operation of the exchanger we used two methods direct and indirect to measure the thi
115. our une longueur d onde on peut utiliser un prisme d angle A r alis avec ce mat riau et mesurer l angle de d viation minimum Dp entre le rayon incident et le rayon mergent Figure 2 1 Diffraction par un prisme On a alors la relation D Sin 2 3 9 1 En appelant AA et les limites de l erreur syst matique sur et Dm calculer An limite sup rieure de l erreur syst matique sur n 2 Application num rique A 60 Dy 40 AA 1 ADm 2 EXERCICE 8 Soit une grandeur physique calcul e partir des grandeurs physiques X1 et X2 par une relation de forme Y f X1 X2 En outre X et X sont li es par la relation d terministe g X1 X4 et X sont entach es d erreurs syst matiques valu es par les incertitudes AX et AX Calculer l incertitude AY qui en r sulte sur Y en faisant un calcul correct en faisant un calcul d erreur qui ignore la relation entre X4 et X2 EXERCICE 9 L acc l ration g de la pesanteur mesur e avec une pendule r versible est donn e par la relation suivante AxmT xL Avec L 104 23 cm la longueur du pendule et AL 0 1 mm T est la p riode des oscillations 2 4 Figure 2 2 Sch ma d une pendule 1 Exprimer l incertitude absolue sur g en fonction de AL AT L et T 2 veut mesurer la p riode avec un chronom tre pour cela on compte N p riodes pendant un temps t Calculer t pour que l
116. por temperatures the values of the thermistor and the RTD resistances are determined each 30 minutes using a Wheatstone bridge The experimental results obtained in steady state conditions are given in table 7 7 Table 7 7 Experimental results for temperature measurement t min Q R2 Q 0 200 235 30 210 238 60 220 236 90 215 241 120 205 232 150 214 231 180 220 238 2 1 Calculate the corresponding inlet outlet vapor temperatures the mean values for each of them 2 2 Calculate the error DT corresponding to the first measurement Thermistor and RTD 2 3 If the smallest resistance which could be measured using Wheatstone bridge is 0 2 determine the resolutions of the thermistor and the RTD at T 110 C 2 4 Which sensor is more adequate to this experiment the RTD or the thermistor PROBLEM 10 Falling film flow around a horizontal tube In order to investigate heat transfer in a liquid film flowing around horizontal smooth tube the following experience was carried A smooth tube with an internal diameter din 20 mm and an external diameter det 22 mm is placed at the horizontal position A heat flux of q 100 W m is generated inside the tube and is delivered to the liquid film outside the tube The liquid film is distributed at the top of the tube and falls without interruption around it see figure 1 We consider that the film temperature is uniform and its valu
117. quantit d lectricit dont les symboles seront not s L A T et Q respectivement a Etablir un tableau quivalent celui qui a t donn plus haut comprenant dans l ordre les grandeurs physique suivantes vitesse v acc l ration g nergie w puissance force masse m intensit de courant lectrique i diff rence de potentielle u et r sistance r on donnera les exposants dimensionnels dans l ordre suivant L A T et b Les unit s de base du nouveau syst me sont d duites des unit s SI par les relations suivantes 1 L 2 42631 10 1 m 1 7 6 626176 10 54 J s 1 T 8 093299 10 21 s 1 L 1 602189 10 19 C En d duire les valeurs num riques 01 02 et d finis ci apr s 1 V m s 1 F 05 1 Q L T 204 A EXERCICE 3 1 A partir de l quation de d finition du champ lectrique E d terminer la dimension de la permittivit du vide o et d duire son unit dans SI 2 a D terminer la dimension du champ magn tique B et d duire son unit dans SI b D duire la dimension de la permittivit du vide ainsi que son unit dans le SI 3 Montrer que la c l rit de la lumi re dans le vide C v rifie l quation suivante 1 4 Eo X Ho On donne 0 8 85 10 12 uo 12 56 107 EXERCICE 4 La force qui s exerce entre deux charges lectriques q et q s par es par une distance
118. que mesure 2 2 La valeur moyenne 2 3 La variance et l cart type 3 Diviser la population en 6 classes d duire la probabilit de trouver une mesure dans chacune des classes 4 Pour qualifier l exp rience pr c dente l tudiant a eu l id e d utiliser une distribution de mesure de type C O lt a lt a f t Ou a1 et a sont des constantes 0 ailleur Tracer f t 5 5 1 Donner la condition pour que f t soit une distribution 52 D duire que 29 Chapitre 3 Traitements statistiques C 1 3 5 6 Calculer l expression math matique de et la variance En d duire l cart type 7 D terminer la distribution d erreur f e 8 Calculer la probabilit de trouver une mesure entre t et to de m me la probabilit de commettre une erreur entre e1 et e2 9 Calculer la probabilit d avoir une mesure entre u ko et ou est un entier naturel D duire la valeur maxi male de k 10 Calculer ai et a pour que la distribution f t d cri la population e la question 1 EXERCICE 17 On mesure une longueur l aide d une r gle talonn e Chaque d termination x peut tre repr sent e par la relation suivante O li est la i me lecture de la r gle 15 est un terme qui d crit le positionnement du z ro de la r gle et est un terme correctif donn par le laboratoire qui a talonn la r gle On suppose connus les carts types 01 et qui repr sentent l ince
119. qui nous donne ON E0 mx b o om LG awe alfa Lot PS mx b 0 2 70 mx j 2 La r solution de ce syst me avec les inconnus m et b donne les quations 6 1 et Ms y mx b x 0 Ms px 0 1 160 Correction exercices Chapitre 7 Probl mes de synth ses 7 PROBLEMES DE SYSNTHESE PROBLEME 1 The input signal m is the light flux F and the output signal 5 is the voltage V 2 i ictir where i BE dt dt Rm So we obtain V joe C V4 9 9 CV ia 1 fel gt oot dt Ry V Finally we deduce I1 j m 3 The differential equation is AS ps me CN 1 26 dt dt Ry Where ju puse So f o c 54 Rin9d 27A 2nRC 1 4 Sa Cj o V4 Rm By applying the module we obtain 2 1 Rm V 54 OR mC 1 where 2 7 f and R C 1 gt d gt V a ald iW 2 4 fe f 2 GEG C By applying the argument we obtain 161 1 1 Arg Sq Cjo 0 So Arg m m Ant f f tg Da d CR T gt arag E c Kette 5 S f V V e applying the module 90 mod 2 Fe fe The Time constant is given by t R 23 PROBLEME 4 Part 1 Level Measurement Luci C 2 T y amp 1 1 The inp
120. r Figure 5 2 jusqu appuyer sur le bouton poussoir m qui fermera le circuit d alarme et donc on aura un enclenchement de la sonnerie La longueur de la lame varie donc en fonction de la temp rature on la notera L T Z Metal 1 h T ras Metal 2 Figure 5 2 Principe de fonctionnement d une bilame m tallique Le probl me est de d terminer l expression de la distance e qui elle aussi devient fonction de la temp rature on la notera e T On se servira du mod le quivalent qui sch matise le cas la lame touche le bouton poussoir pour d terminer la distance e T Donn es p T rayon de courbure de la lame avec EL Avec A constante m C 1 Mont que p T OS EE 2 D terminer l incertitude absolue sur e T 50 Chapitre 5 Mesures de Temp rature EXERCICE 4 Un capteur RTD fabriqu partir de la platine subit une variation de temp rature Le coefficient de r sistivit est 0 003902 C est suppos n gligeable Sila r sistance du capteur est de 100 Q 0 C d terminer la valeur de la r sistance aux temp ratures suivantes a 240 C b 120 C c 90 d 260 C e 600 C f 900 C EXERCISE 5 Les relations entre r sistance lectrique et temp rature respectivement pour des capteurs en nickel et platine sont donn es par r 8 Ro 1 5 4916 103 6 6666 10 6 5 3 R 0 Ro
121. r d humidit Remarque 50 d humidit correspond h 0 50 1 En quelles unit s doit on exprimer A 2 Quelle est l expression de la r sistance obtenue parla mise en parall le de la r sistance R et du capteur d humidit HOS 201 3 La r sistance est maintenant mise dans un Pont de Wheatstone Voir Figure 7 9 Les r sistances et R4 sont gales et valent 10 KO Figure 7 9 Mise en pont de la r sistance Quelle est l expression de la tension entre et B not e S en fonction de Ri P 68 Chapitre 7 Probl mes de R vision 4 R2 R4 et E D montrer qu on peut la mettre sous la forme Quelle est la condition d quilibre de ce pont en fonction des quatre r sistances 5 Quelle est la r sistance du capteur not e R50 50 d humidit 6 7 En d duire la valeur de la r sistance sachant que le pont est l quilibre pour cette condition Quelle est l expression de la tension S et Sx pour les diff rentes valeurs de la r sistance du capteur Ro et R59 et E Ro Ro tant les valeurs de la r sistance du capteur R une humidit respective de 076 1076 et 5076 Pour diff rentes valeurs de l humidit relative h on a relev la tension de d s quilibre du pont S ainsi que la valeur de la r sistance Voir tableau 7 3 Utilisez une r gression lin aire par la m thode des moindres carr s pour d duire la vale
122. rature Te de 50 0 1 0 et sort la temp rature T de 40 0 1 0 C Si le d bit massique n amp de l eau dans l changeur est de 360 kg hr et l erreur relative sur cette mesure est de 1 1 Quel serait le flux de chaleur transf r dans cet changeur 2 Quelle serait l incertitude sur ce flux Le flux est donn par l expression suivante Q2 n amp x Cpx T T 2 15 On donne la chaleur massique du fluide qui circule dans l changeur Cp 4 18 kJ kg K EXERCICE 25 PONT DE WHEATSTONE On consid re le pont de Wheatstone pr sent sur la figure 2 7 Figure 2 7 Montage du Pont de Wheatstone 1 Montrer que la tension Vmes peut tre obtenue par l expression suivante V 2 16 UR R RR 2 A l quilibre la valeur de Vmes est gale Z ro En d duire une relation entre et les autres r sistances 3 On suppose que les r sistances et R4 sont gales et que Ri 2xRo D terminer l erreur relative sur Vmes sachant que l erreur sur Vg est gale 176 EXERCICE 26 MESURE DE DEBIT PAR DES CAPTEURS A ULTRASONS Pour mesurer le d bit d un fluide dans une conduite on peut utiliser la m thode de mesure par variation de la vitesse de transmission des ultrasons dans le sens de l coulement et le sens oppos La Figure 2 8 montre le principe de variation de vitesse de transmission des impulsions Les capteurs d ultrasons T et T sont s par s par une
123. re continue appartenant une loi de distribution normale N y 62 c est dire que sa densit de probabilit s crit f x 26 3 4 1 GV2T 3 1 Donner l allure de variation de cette fonction en pr cisant les coordonn es du maximum leou les points d inflexion I oJ2x 3 3 Calculer l esp rance math matique et la variance de x 3 4 Que repr sente la surface sous la courbe entre les points et x2 3 2 Quel est le r le du coefficient 3 5 Calculer la probabilit pour que x soit compris entre ko et u ko Application num rique k 1etk 2 4 On d sire repr senter la distribution du temps par cette fonction math matique Donner les valeurs de et 5 Quelle est la probabilit pour que la mesure soit comprise entre 0 42 et 0 48 On donne Too 242 Too Ded 712 2 Vt dx dx 0 J x dx ES QU 258 Em 2 0 Ci dessous on donne la table de la fonction de r partition de la loi r duite N 0 1 N E 2 F u JK 2 dz et f z ae On montre que P u ko x lt u ko 2 F k 1 EXERCICE 16 Un tudiant effectue 20 mesures de la dur e en seconde de chute d une bille dans un cylindre rempli d huile Il trouve 78 72 75 79 76 71 72 80 75 73 79 76 80 78 74 74 77 73 71 77 1 Ordonner les r sultats dans l ordre croissant et remplir le tableau suivant Temps s effectif 2 Calculer 2 1 La probabilit de trouver cha
124. re de la r sistance On mesure alors la tension aux bornes de la r sistance en fonction de la temp rature on trouve le tableau suivant le courant I tant constant et gal 0 1 mA Figure 4 1 Montage ohmique Tableau 4 6 R sultats de l exp rience TEPC 0 25 50 75 100 U mV 10 2 11 2 12 2 13 2 14 2 a D duire les valeurs des r sistances en fonction temp rature b Quel est l effet de la boule d tain sur ce capteur de temp rature c Comment appelle t on ce ph nom ne d Comment classez vous ce type d erreurs syst matique ou al atoire Expliquez votre r ponse EXERCICE 6 D velopper l expression pour la r ponse d un capteur de temp rature un changement au niveau de la fonction Input pr sent e dans la figure suivante T T time Figure 4 2 Changement au niveau de la fonction Input d un capteur EXERCICE 7 Utiliser l quation suivante de x pt 4 1 O C2 144 102 m K 0 63 um Pour pr parer un graphe d erreur dT T en fonction de la temp rature T sur un domaine allant de 1000 a 4000 C pour un pyrom tre optique si l missivit de la surface une erreur d gale a _ 0 05 b 0 10 c 0 20 d 0 50 EXERCICE 8 On consid re un capteur de temp rature de forme sph rique de diam tre D de masse m et de chaleur massique Cp Ce capteur s
125. rs ai et a Tableau 3 12 R sultats de mesure de r sistance T 20 25 30 35 40 45 50 55 60 R T en Q 122 5 144 8 147 9 158 3 169 1 182 3 194 9 211 1 227 1 EXERCICE 24 La r sistance d une thermistance une temp rature est donn e par la relation suivante 1 1 R R 3 11 i 10 La valeur de la r sistance la temp rature K B une constante dans le domaine consid r Ro 5000 Q 23 C Un talonnage est r alis afin de d terminer la valeur de la constante D dans le domaine d tude 1 Donner la signification de l talonnage et expliquer comment conduire une telle d exp rience 2 Les r sultats exp rimentaux obtenus sont illustr s dans le tableau suivant Tableau 3 13 R sultats de mesure de temp rature 23 30 35 40 45 50 55 60 R Q 5000 3950 365 2890 2500 2150 1860 1630 En utilisant la r gression lin aire m thode des moindres carr es d terminer la meilleure estimation de p x EXERCICE 25 On consid re la relation suivante qui relie l angle de perte 6 d un condensateur la capacit C la r sistance et la fr quence f tg 2xnxRxCxf 3 12 1 Calculer l incertitude absolue commise sur tg on donne 4500KQ 1 3300pF 0 5 et f 1000Hz 2 2 Exprimer correctement le r sultat de mesure de tg6 On mesure la pu
126. rtitude de lecture l incertitude de positionnement du z ro et l incertitude d talonnage l lo et sont consid r s comme des variables al atoires ind pendantes 1 Calculer l cart type 6 d une mesure Application num rique 0 8 mm OA 0 15 mm 2 On effectue deux mesures x et Calculer la covariance entre x et x EXERCICE 18 1 D terminer les coefficients m et b de la droite d quation y m x b obtenue partir de la r gression lin aire appliqu e aux donn es suivantes Tableau 3 7 Donn es diverses de mesures 2 D terminer le coefficient de corr lation p pour l analyse de r gression EXERCICE 19 Au cours de la mesure du courant et de la tension aux bornes d une r sistance on trouve le tableau de mesure suivant Tableau 3 8 Mesure de tension aux bornes de la r sistance Tension V 2 6 10 12 Courant mA 2 9 16 18 D terminer la droite V m I b XxXy nxxy Sachant que m nxx et _ Xiy mxx EXUxy Ux Ly n x nxx b EXERCICE 20 Soient les deux grandeurs physiques E et V reli es par l quation suivante E A BxV 3 7 Avec A B etn des constantes d talonnages 31 Chapitre 3 Traitements statistiques Le tableau suivant montre les r sultats d un exp rimentateur au cours de son talonnage Tableau 3 9 R sultats d talonnage du capteur 3 76794 4 039329 4 144704 4 409
127. s sont illustr s dans le tableau suivant Tableau 3 14 R sultats de mesure avec un d bitm tre ultrasons 6 ti US t2 us 0 3 80 5 12 10 4 60 5 81 20 5 30 6 42 30 2 70 3 76 40 4 60 5 49 50 5 70 6 46 60 3 40 4 07 70 4 40 4 79 80 5 61 5 84 90 3 42 3 43 4 Tracer sur le papier millim tr la courbe At f cos 0 5 En utilisant la m thode de la r gression lin aire moindres carr s d terminer la vitesse du sang dans le vaisseau 6 Est ce que la r gression utilis e est bonne 7 Quelle est l erreur syst matique r alis e D terminer sa valeur EXERCICE 27 Un diaphragme est un syst me permettant la mesure de d bit massique d un fluide circulant dans une conduite en mesurant la variation de pression entre l amont et l aval du syst me La relation entre le d bit et la diff rence de pression est la suivante qm K 2 D pAP 3 14 Ou qm est le d bit massique AP est l cart de pression entre l amont et l aval du diaphragme et D le diam tre du tube 1 SiK 1 0 AP 100 0 Pascal D 20 0 cm et p 1 kg l Calculer le d bit massique du fluide en kg s 2 Si les erreurs relatives possibles sur les mesures de AP et de D sont de 1 donner une estimation de l erreur absolue possible dans le calcul de d bit massique obtenue en 1 3 Quelles sont les erreurs commises pendant cette exp rience Pr ciser se elles sont al atoires ou syst matiques
128. sance du flux de rayonnement incident W 1 Expliquer le principe de fonctionnement de ce capteur 2 Donner le montage lectronique correspondant en pr cisant linput et l output de ce capteur 3 Montrer alors que la sensibilit de ce capteur est de la forme 4 5 4 S agit il d un capteur de premier ou de deuxi me ordre 5 Donner l expression de la temp rature O t suite a une excitation de rayonnement d t eit 6 Donner alors l expression de la sensibilite du d tecteur hydro lectrique EXERCISE 15 MESURE DE NIVEAU PAR METHODE HYDROSTATIQUE Un capteur de pression diff rentielle est place fixe la base d un r servoir Figure 4 5 ou la pression P a pour valeur P pgh Po tant la pression au sommet du reservoir gale ou non selon les cas la pression atmosph rique pgh 45 Chapitre 4 Caract ristiques des capteurs est la pression hydrostatique due la hauteur h du liquide de densit p l acc l ration de la pesanteur tant g Le capteur a pour corps d preuve une membrane soumise sur l une de ses faces la pression P est sur l autre face la pression Po La d formation de la membrane convertie en signal lectrique est rationnelle au niveau h Capteur de Pression differentielle Figure 4 5 Capteur de pression diff rentielle 1 Rappeler l unit de la pression exprim e dans le syst me international 2 La hauteur h mesurer n est pas convertie directe
129. seur de la couche de tartre d pos e Le capteur lectronique d livre une tension de 3 76 mV Qu elle est alors l paisseur correspondante Tableau 7 9 Etalonnage du capteur d paisseur Epaisseur de la feuille en mm 0 02 04 06 0 8 1 1 2 Tension d livr e par le capteur en mV 0 2 48 4 89 7 62 10 32 12 46 14 98 Partie 2 Mesure Indirecte de l paisseur du tartre 80 English version Chapter2 Error and uncertainty Calculation Une deuxi me m thode qualifi e d indirecte peut tre utilis e Figure 7 17 b Il s agit de mesurer les temp ratures de part et d autre de la surface d change ensuite d terminer le coefficient global de transfert de chaleur U par la relation suivante Q U A AT 7 12 Ou Q est le flux de chaleur transf r via la surface d change A Pour cette exp rience le flux de chaleur a t fix 10000 W m et la surface des tubes A 10 AT L cart entre la temp rature du fluide chaud l int rieur des tubes et froid T l ext rieur des tubes AT T Tf 7 13 Par ailleurs le coefficient U d pend de l paisseur x du tartre par la relation suivante U s 7 14 Dex RT h Rh k k R O Param tres Signification Unit Valeur Ro Rayon ext rieur des tubes de l changeur m 0 0287 Ri Rayon int rieur des tubes de l changeur m 0 028 hi Coefficient int rieur de transfer
130. stantan thermocouples to measure the seawater inlet and outlet temperatures Tin w Thermistor Ri to measure the vapor inlet temperature Ti v The characteristics of this sensor are B 2800 Ro 2500 Qa T 25 platinum Resistance Temperature detector to measure the vapor outlet temperature Tours We assume that the RTD exhibits a temperature coefficient of resistivity 0 4 and the value of y is negligible The value of the RTD resistance is 2000 at 0 C Part 1 Study of temperature sensor Two mercury in glass thermometers measure the thermocouples reference junctions temperatures RJT1 and RJT2 see figure 7 15 The emf delivered by the sensors are measured by two digital voltmeters 1 1 The steady state conditions the values corresponding to the outlet parameters are the following Emf 0 163 mV 17 3 Calculate the corresponding value of the outlet temperature from the thermocouple table 1 2 The inlet water temperature is measured in steady state conditions each 30 minutes during three hours The corresponding values are the following 30 24 30 75 30 87 30 24 30 58 and 31 Calculate the mean temperature and uncertainty using the standard deviation 1 3 What are the errors to be considered during this experiment Explain if they are systematic or random 119 Part 2 Statistical analysis of experimental results Concerning the measurement of the va
131. sur l quation 1 donner l expression de l erreur relative sur le coefficient global de transfert de chaleur 2 8 Si les erreurs relatives sur le flux est de 1 et les temp ratures et T sont de 0 05 quelle est l erreur relative r alis e sur le coefficient global de transfert de chaleur U Commentez le r sultat obtenu 2 9 En n gligeant les autres erreurs d montrer que l erreur sur l paisseur x du tartre peut tre donn e par la relation suivante AU __Ax U C x ou C est une constante 7 15 82 English version Chapter2 Error and uncertainty Calculation ENGLISH VERSION 83 20 ERROR AND UNCERTAINTY CALCULATION EXERCISE 1 Two resistors have resistances of 10 7 2 ohm and 26 5 0 5 ohm 1 What is their equivalent resistance when connected 1 in series 2 in parallel 2 Deduce the error on the equivalent resistance in each case EXERCISE 3 When we measure the time constant of RC circuit we assume the following expression lt 5 2 1 MA Where Vc capacitor voltage Vs saturation voltage Vi initial voltage Vs lt Ve lt Vi Calculate the uncertainty of this expression AA versus the uncertainty of the voltage Vi Vc and Vs We assume that AV AV AV EXERCISE 4 In order to calculate the heat loss through the wall of a building it is necessary to know the temperature difference between the inside and outside walls If temperature of 5 C and
132. sures pour la d termination du coefficient h N Mesures D mm Re Pr 1 18 6 2120 1 2 2 18 4 2100 1 0 3 18 5 2150 1 1 4 18 6 2135 1 3 5 18 3 2150 1 1 1 D terminer les valeurs moyennes du diam tre Nombre de Reynolds et Nombre de Prandtl 2 Calculer les erreurs r alis es sur ces param tres 3 D duire la valeur moyenne du coefficient de transfert de chaleur 4 D terminer l erreur r alis e sur ce param tre 5 Pr senter le coefficient de transfert de chaleur sous la forme h h Ah EXERCICE 11 On veut effectuer une mesure du module F de la force de tension exerc e sur la corde vibrante d un instrument de musique de longueur 1 et de masse lin ique masse par unit de longueur On excite m caniquement cette corde et on mesure la fr quence v du son mis par celle ci lors d une oscillation libre c est dire la fr quence de r sonance v de son oscillation libre compte tenu des conditions aux limites notamment la tension impos e par son implantation dans l instrument On d duit la valeur de partir de celles mesur es de v et l aide de la relation de r sonance 2 n 3 2 u 1 Etablir dans le syst me international d unit s l quation aux dimensions associ e la grandeur physique v 2 Donner alors son unit 3 Proposer une m thode de mesure de la force F 4 En supposant que les mesures de v et sont ind pendantes et que ces gr
133. t avoir une r solution de 5 1 2 digits Expliquez la signification de ce nombre EXERCICE 10 On souhaite mesurer un d placement angulaire avec une r solution d au moins 1 1 Quelles sont les diff rentes techniques utilis es 2 Donnez les avantages et les inconv nients de chacune d elles 3 Pr sentez les caract ristiques m trologiques de la chaine de mesures dans chaque cas 11 Un thermocouple de type Chromel Alumel est utilis pour la mesure temp rature dans un four La jonction de mesure est l int rieur du four la jonction de r f rence a la temp rature ambiante La temp rature ambiante est mesur e par un thermom tre mercure 1 La valeur obtenue pour la temp rature ambiante est 18 0 0 5 C La lecture du voltm tre donne 9 19 mV Qu elle est la valeur de la temp rature du four 2 La r solution du voltm tre est de 0 01 mV est ce qu il est int ressant de changer le thermom tre mercure par un deuxi me ayant une r solution de 0 1 C Qu elle est la r solution du syst me de mesure de la temp rature du four 3 Calculer l incertitude obtenue sur la temp rature du four EXERCICE 12 Le Tableau ci dessous montre l volution en fonction du temps t de la temp rature T indiqu e par un thermom tre mercure au cours de son refroidissement l air ambiant de temp rature 19 Tableau 4 7 Variation de la temp rature en fonction du temps
134. t de chaleur W m2 C 5000 ho Coefficient ext rieur de transfert de chaleur W m C 4202 Kw Conductivit thermique du mat riau du W m C 100 tube ks Conductivit thermique de la couche du W m C 15 tartre Deux thermocouple de type Chromel Alumel sont utilis s pour la mesure des temp ratures et T Apr s une p riode de fonctionnement de 1500h et une temp rature ambiante de 19 C on a relev les valeurs suivantes Thermocouple 1 fluide froid 2 9965 mV Thermocouple 2 fluide chaud V 2 259 mV L exp rimentateur a oubli de mettre la jonction froide du deuxi me thermocouple dans le bain glac Il s agit de la m me exp rience tudi e dans la parie I et pour laquelle nous avons utilis les deux m thodes directe et indirecte 81 2 1 Expliquer le principe de fonctionnement d un thermocouple 2 2 a Pourquoi doit on mettre la jonction froide d un thermocouple 0 C b Est ce que l erreur faite par l exp rimentateur laisser la jonction froide la temp rature ambiante est grave c Sinon comment peut on la corriger 2 3 D terminer les valeurs des temp ratures des fluides chaud et froid 2 4 Calculer la valeur du coefficient global de transfert de chaleur U 2 5 D duire la valeur de l paisseur de tartre x cet instant 2 6 Comparer les r sultats obtenus avec les deux mesures exp riences de la partie I et II du probl me 2 7 En se basant
135. t represents the influence parameter b How should be its contribution to the outlet signal c Can we use a sensor to measure an influence parameter if yes give an example EXERCISE 4 104 English version Chapter 6 Review Current Issues 1 2 Precise if the following errors are random or systematic Aging of the sensor Sensitivity error Reading errors Zero drift of a measuring device Magnetic noise around the measuring device EXERCISE 5 Give a definition of the conditioning circuit in an electronic instrument and give an example In which conditions could we apply the Gaussian distribution in a group of N values of measurements of the parameter X 3 Demonstrate that in the least square method the coefficients m and b allowing e N to rely by a line Yi m xi b the dispersed points have as expression _ EXEy nExy 6 1 nxx 6 1 and xy mrzx Exxxy Xx x 6 2 xx nxx EXERCISE 6 Give the definition of precision and accuracy and explain the difference between them What is the difference between active and passive transducers Give some examples Define a second order system Give an example What is the difference between a first order and second order systems EXERCISE 7 Define the resolution of a measuring device Is it a static or dynamic characteristic What are the physical principles used for temperature measurements On which factors shou
136. t temperature 1 Explain the principle of a thermocouple List the names of some other temperature transducers 3 The thermocouple measuring the temperature Tu is connected to the terminal of a digital voltmeter what should be the value of the displayed voltage at the voltmeter screen 4 Actually the value displayed by the voltmeter is 0 652 mV Explain this result 5 The voltmeter connected to the thermocouple measuring displays a voltage equal to 6 112 mV what is the heat source Temperature value Source thermique Enceinte isotherme Figure 5 6 Heating of isothermal enclosure EXERCICE 14 101 1 Explain the principle of functioning of a thermocouple 2 What are the other instruments for temperature measurement that you know A digital Voltmeter is connected to thermocouple Alumel Constantan whose the hot junction is placed in the boiling water at the atmospheric pressure and the cold junction at the ambient Tamp 20 C What should be the voltage displayed by the voltmeter 4 The value displayed by the voltmeter is in fact 2 3 mV what you remark Interpret the result EXERCISE 15 A K type thermocouple Chromel Alumel is used for a furnace temperature measurement The measuring junction is inside the furnace the reference junction is at the ambient temperature The ambient temperature is measured using a mercury in glass thermometer 1 The obtained value for the ambient temperature
137. the mass flow Q in m h Thanks to a pump variable frequency they were able to achieve variations in flow from 0 to 2000 m h The results of this experiment are shown in the following table Table 7 4 113 Table 7 4 Results corresponding to the Experiment of flowmeter measurement p bar p bar m h 2 24 2 11 796 54 2 64 2 45 962 97 3 03 2 78 1104 60 9 92 3 03 1189 69 3 66 321 1481 98 3 87 3 36 1577 68 4 02 3 42 1711 24 4 14 3 52 1739 53 1 Establish on the attached graduated paper the graph f Jp What your remark 2 We can express the following equation f P2 relation such Demonstrate by using the least square method linear regression that the parameters m and b can be expressed by IEXXy n xy nxx and po Zy mzk rxzxy rx zy n zxf nxx 3 We define the correlation coefficient parameter such as p 1 b l mby 7 5 n 2 With 2 zy Ey What is the significance of this parameter 4 Determine the equation of the curve Show the validity of the equation 7 4 5 During the first measurements see Table 7 4 the students have made an error of 1 on the measurement of pressures p1 and p2 What is the error made on the measurement of flow rate What do you think about this measurement 114 English version Chapter 7 Review Problems 6 a De
138. thermiques des changeurs Plusieurs m thodes directe et indirecte peuvent tre utilis es pour d terminer l paisseur de la couche du tartre Figure 7 17 Ceci est r alis en vue de d terminer quel moment pr cis il faut proc der un nettoyage acide de l changeur Couche de Tartre Fluide Froid Fluide Chaud Figure 7 17 Mesure de l paisseur d une couche de Tartre sur les tubes d un changeur Mesure directe b Mesure Indirecte Partie 1 Mesure directe de l paisseur d un film de tartre sur des tubes Dans le cas d une mesure directe Figure 7 17 a un capteur convertit l paisseur mesur e en un signal lectrique tension U en mV Pour talonner le capteur on couvre le tube avec des feuilles m talliques d paisseur connues et on mesure l aide du capteur la tension d livr e Les r sultats de ces mesures sont illustr s dans le tableau 7 9 1 1 Quels sont les signaux d entr e et de sortie de la sonde 1 2 En utilisant la m thode de la r gression lin aire moindres carr es peut on exprimer la relation Tension U Epaisseur x par une expression de la forme U Kx 1 3 D terminer alors la valeur de K en pr cisant son unit 1 4 Comment appelle t on ce param tre K 1 5 Quel est l ordre de ce capteur alors 1 6 Apr s une p riode de 1500 heures de fonctionnement de l changeur nous avons utilis les deux m thodes directe et indirecte pour mesurer l pais
139. tion of the thermocouple 3 Figure 7 7 Temperature measurement with a thermocouple 2 1 Explain why the platinium is the most used material in RTS manufacturing 2 2 The resistivity coefficient of the RTS is y 0 4 C R 25 C 100 Q During the experiment the resistance is measured Wheatstone Bridge WB a if the WB indicates 200 Q deduce the temperature measured by the RTS b Explain the Self heating phenomenon Which kind of error is it The self heating Factor Fsh 0 5 C mW The supply Voltage is 1V DC 110 English version Chapter 7 Review Problems determine the variation of the temperature AT due to the self heating Correct the measured value 2 3 If the smallest value that can be measured by the WB is 0 5 calculate the resolution of the RTS at 50 2 4 The voltage indicated by the thermocouple is 3 456 mV Determine the temperature of the liquid PROBLEM 5 HUMIDITY MEASUREMENT A humidity Transducer is made of a humidity sensor HOS 201 in parallel with a resistor which is basically a resistive sensor its resistance is R This sensor is installed in parallel with a resistor its resistance value is R 1 see figure 7 8 For a value of the relative humidity h 2 5075 The value of the resistance of the 5201 can be calculated using the following expression R A e 5Xh 7 3 With 6 92 101 SIu 21 h the relative humidity Figur
140. titude sur la tension Vi Ve et Vs Nous supposons que AV AV AV EXERCICE 4 Afin de calculer les pertes de chaleur travers les murs d un b timent il est n cessaire de conna tre la diff rence de temp rature entre l int rieur et l ext rieur Des temp ratures de 5 C et 20 C sont mesur es de chaque c t du mur par un thermom tre mercure avec un domaine de 25 C 25 C La pr cision des mesures est de 1 de la lecture calculer l erreur possible dans la figure calcul e pour la diff rence de temp rature x EXERCICE 5 La densit d un liquide est calcul e par la mesure de sa profondeur dans un r servoir calibr de section rectangulaire et en le vidant dans un syst me de mesure de mass La longueur et la largeur du r servoir sont respectivement a et b A nsi la densit est donn e par m d 2 2 2 axbxc 2 2 Ou m est la mass mesur e du liquide Si les erreurs possibles des mesures sur a b c et m sont respectivement 1 1 2 et 0 5 d terminer l erreur possible sur la valeur calcul e de la densit d EXERCICE 6 Un g n rateur de courant continu de 3 V exig pour un circuit est obtenu en connectant ensemble deux batteries de 1 5 Volts en s rie Si l erreur sur la tension la sortie de chaque batterie est de 1 calculer l erreur possible sur la tension de sortie du g n rateur 3 V EXERCICE 7 O Pour mesurer l indice n d un mat riau transparent p
141. tput d un instrument pour des valeurs constantes de l input 1 1 LnR LnRo B E Faisons le changement de variable suivant y LnR i et b LnRo To Ainsi la relation devient lin aire y x b Avec ce changement de variable nous obtenons Tableau C 3 4 Changement de variables appliqu aux donn es T C 23 30 35 40 45 50 55 60 R Q 5000 3950 365 2890 2500 2150 1860 1630 T K 296 303 308 313 318 323 328 333 X 0 8E 5 1E 4 2E 4 2E 4 3E 4 3E 4 4 4 8 5 8 3 8 1 8 0 7 8 7 7 7 5 7 4 En appliquant la m thode de r gression lin aire moindres carr es et IEXxXy nrxy p IiY mxx Xxxxy Ex Ly n Nous obtenons 2985 6 K b 8 52 e 0 9999 147 EXERCICE 26 c xAt 1 V 2xLxcos0 _ 10007 x 4 34 1 04 10 116 67m s 2x2 10 45 2 At JA AG 0 03 0 02 3 6 107 3 ER 2xLxcos0 Lnc LnAt Ln2 LaL Ln cos 8 dL sin V At L cos0 CARE tg0 A0 V At L AN Av 36 10 0 1 10 t 2 v 3 3 10 2 10 Av 1 87 m s 1 0 01x _ 0 016 1 6 180 4 Pour les diff rentes valeurs calculons cos et AT Tableau C 3 5 Changement de variables applique aux donn es Cos 02 AT us 1 1 32 0 984 1 21 0 939 112 0 866 1 06 0 766 0 89 0 642 0 76 0 500 0 67 0 342 0
142. tre 3 Traitements statistiques EXERCICE 7 La mesure de la capacit thermique C d une vase calorim trique a donn la s rie des valeurs suivantes Tableau 3 3 R sultats de mesure de capacit thermique Capacit thermique mesur e J K1 200 210 220 230 240 250 260 270 Effectif 2 9 19 26 24 14 5 1 1 Calculer la valeur centrale Cm 2 Positionner sur le m me axe les valeurs Cmin Cmax et Cm 3 Ecrire sous la forme usuelle le r sultat de la mesure C Cm AC J K 1 4 Tracer la courbe de distribution de la s rie des valeurs 5 Qualifier cette distribution EXERCICE 8 Un exp rimentateur lors du d roulement de son exp rience s int resse mesurer le temps t correspondant a la dur e d un ph nom ne physique Des mesures r p t es ont permis d obtenir la s rie des valeurs suivantes Tableau 3 4 S rie de mesures de la dur e t T s 3 56 3 58 3 57 3 52 3 54 3 56 3 57 3 53 3 56 3 56 3 57 3 59 3 54 3 56 1 Classer les valeurs trouv es par ordre croissant et donner pour chaque r sultat le nombre n fois ou il a t trouve 2 Calculer la valeur moyenne T de la dur e et l tendue r des r sultats 3 Calculer l intervalle de temps dans lequel la vraie valeur T a 95 de chance de se trouver 4 Calculer l cart type EXERCICE 9 Dans un processus chimique donn la temp rature est
143. ulate the uncertainty obtained on the furnace temperature 96 English version Chapter 5 Temperature Measurements 5 TEMPERATURE MEASUREMENT EXERCISE 1 A bi metallic strip is fabricated from stainless steel and Invar with thickness of 5 mm and 1 mm respectively Determine the radius of curvature of the strip if it undergoes a temperature change of a 120 C b 230 C c 80 C The mechanical and thermal properties of stainless steel and Invar are as follows Stainless steel Ei 193 17 3 109 C Invar E2 145 oo 1 1 106 C EXERCISE 2 TEMPERATURE BATH A bi metallic strip is fabricated from stainless steel and Invar with thickness of 5 mm and 1 mm respectively This sensor is used in thermostats to control temperatures 1 Explain the principle of functioning of this sensor in this case 2 Our aim is to maintain temperature at 120 Determine the expansion of each strip at this temperature The length of the strip at the temperature TO 10 C is 22 cm 3 Determine the radius of curvature of the strip if it undergoes the temperature of 120 C 2 2_ 1 3x 1 n Y 1e nx _ H 5 1 6x a a x 1 r x AT Where Th Bie the thickness ratio 1 the modulus of elasticity ratio 1 4 Determine the sensitivity of this sensor at 120 C Write the equation 1 as K pro 97 5 If the smallest length variation that be measured by the se
144. ultats suivant 33 48 33 46 33 49 33 50 33 49 33 51 33 48 33 50 33 47 33 48 33 49 33 50 33 47 33 51 33 50 et 33 48 m 1 Donner la valeur moyenne la m diane et le mode de ces mesures 2 Calculer l cart type 3 Ecrire proprement le r sultat entant que relation de type h h Ah 4 Dessiner l histogramme de la distribution EXERCICE 4 A et B observent des flashes de lumi re vers le nord A croit qu il n y a qu une seule source Par ailleurs B croit qu il y en a deux La position de chacun des 15 flashes successifs a t mesur e Les r sultats suivants ont t obtenus Direction nord est 10 72 11 05 11 36 10 74 11 16 10 85 10 92 11 182 10 96 10 63 11 02 11 26 10 64 10 95 11 13 1 Montrer ces r sultats entant qu histogrammes normalis s avec des intervalles de 0 1 de largeur partir de 10 5 en consid rant respectivement les 5 10 et 15 premi res mesures 2 Est ce que vous pensez que l explication de peut tre justifi e par ce r sultat 3 Les observateurs dans le probl me pr c dent ont effectu un total de 200 mesures la fin des 100 et 200 mesures la distribution obtenue est la suivante Tableau 3 2 Nombre des mesures dans des intervalles 0 19 Intervalles Nombre d observation Nombre d observation 100 mesures 200 mesures 10 5 10 6 1 3 10 6 10 7 7 18 10 7 10 81 13 21 10 8
145. ur de E Expliciter votre d marche Tableau 7 3 Variation de la r sistance et de la tension S en fonction de l humidit h 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 Ri kQ 1000 999 4 99 9 95 8 25 9 5 2 S mV 0 199 0 198 0 175 1 422 104 97 2497 8 69 PROBLEME 6 MESURE DE DEBIT Pour d terminer le d bit volumique en m s d un fluide dans une conduite on cr e un changement de section le long de la conduite en passant d une section A1 une section A Voir Figure 7 10 En mesurant la pression en amont et en aval on peut d duire le d bit par la relation suivante d duite de l quation de Bernoulli 2 V EET ME 7 4 pression diff rentielle en Pascal A Surface de la premi re section en m A Surface de la deuxi me section en m masse volumique du fluide en kg m Q D bit volumique en 3 5 section de surface A i section de Fluide de masse surface A volumique p V Figure 7 10 Syst me de mesure pour le d bit Pendant une s ance de travaux pratiques des tudiants ont voulu v rifier quation 7 4 Pour ce faire ils ont mont un dispositif exp rimental similaire celui de la figure 7 10 Ils ont utilis deux tubes de section circulaires de diam tres respectifs d1 20 cm et d 18 cm Comme fluide ils ont utilis de l eau de masse volumique 1000 kg m
146. ur mass contained in the air to the dry air and it is expressed by kg of vapour per kg of dry air The majority of humidity measurement instruments are based on the determination of the partial vapour pressure and the total pressure P of the air The relation between these two pressures and the humidity is given by the following equation 2 13 0 622 1 Determine the value of the humidity When P 1bar and Pv 0 1 bar 2 Determine the error on the humidity when the errors carried on the pressures measurements are about 2 EXERCISE 22 Estimate the error made when determining the volume of a sphere with a diameter of 100 mm if the diameter is measured with a standard deviation Sx 0 05mm EXERCISE 23 The volume flow rate of a liquid is calculated by allowing the liquid to flow into a cylindrical tank stood on its flat end and measuring the height of the liquid surface before and after the liquid has flowed for ten minutes The volume collected after 10 minutes is given by D 2 Volume hy hi x 28 2 14 Where h and hg are starting and finishing surface heights and D is the measured diameter of the tank 1 If hy 2 m 3 m and d 2 m calculate the volume flow rate m s 2 If the possible error in each measurement hy h and d is 176 estimate the possible error in the calculated value of volume flow rate 87 EXERCISE 25 Wheatstone Bridge Consider the Wheatstone bridge shown in
147. ure indiqu e sur la table en tenant compte de l incertitude introduite par le syst me de mesure AT 3 C faut il faire une interpolation lin aire Justifier votre r ponse x EXERCICE 18 La radiation totale partir d un corps gris est donn e par la relation suivante Wy T eA Wa B T 5 7 Ou T est l missivit totale et W est la radiation totale d un corps noir de m me surface et a la m me temp rature 57 g n ral le pyrom tre optique utilise une fraction du spectre d mission centr e sur la longueur d onde Ag avec une tendue AX Un capteur photo lectrique converti cette radiation a un signal lectrique Sa donn e par auc M K A xS4 A X W T da 5 8 do gt O K A est un facteur g om trique et 5 l missivit du capteur photo lectrique 1 RC Ll exp AT ho et 1 montrer que 4 K x S ed Dx I amp 0 2 Si le pyrom tre optique est talonn par rapport a un corps noir montrer que le signal lectrique Sa correspond dans le cas d un corps gris a une temp rature T donn e par 1 En utilisant la loi de Planck W 3 et en supposant que 1 5 9 L x Lne A O est la temp rature du corps noir 3 Si la plus petite temp rature lu par le pyrom tre optique est 5 calculer la r solution du pyrom tre pour un corps gris a T 1273 K quand 0 66 mm 0 63 et C
148. ut is the level L and the output is the capacitance 125 AL in 1 2 3 The sensor is linear because the output C varies linearly versus the input L the sensitivity is constant 2 4 The curve f L is as follows 162 Correction exercices Chapitre 7 Probl mes de synth ses 65 60 4 55 50 4 45 4 40 4 Capacite C pF 35 4 30 4 25 4 20 30 40 50 60 70 80 90 Niveau cm Figure C 7 1 Variation of the capacitance versus the liquid level 1 5 By using the regression analysis we obtain m 7 10 F m Ln j2 1 115AV 2 g R ine 2ME Ee dy oL oL oL oL dL de dd dC de dd od Ri 3g 92 2181 dii amp 1 d Part 2 Temperature Measurement 2 1 The platinium is the most used material in RTS manufacturing because it gives a stable and linear variation of the electrical resistance versus the temperature 2 2 R T 200 Q the temperature measured by the RTS R R 195 200 100 YRo 0 4x100 Self heating phenomenon When WB is used and the current flow inside wires 163 T 25 27 5 C Joule effect produced and the RTS is heated It is systematic error 2 P 1 Pr Rri 2 1 25mW 4R 4R 4x200 800 AT Fy XAT 0 5x1 25 0 625 C So the corrected temperature is Teor 27 5 0 625 26 875 2 9 The resolution of the RTS at 50 C is given b
149. x 19 Ex 20 Ex 21 Ex 22 Ex 23 Ex 24 Ex 25 Ex 26 Ex 27 Bd Pd Pd K Bd Pd 0 Pd 0 Pd K Bd Pd Pd Chapitre 4 Caracteristiques des capteurs Ex1 x K x Ex2 xi x Ex 3 x x Ex 4 x x 5 xj KX x Ex 6 x Ex7 x x Ex 8 x Ex9 x 10 x 11 x x Ex 12 x x Ex 13 x Ex 14 5 Ex 15 X Chapitre 5 Mesure de temperature Ex1 Ex2 Ex3 Ex4 K Ex5 Ex Ex 6 px Ex7 Ex8 Bilame metallique Thermistance Ex9 x Ex 10 X Ex 11 Ex 12 x K Ex 13 Ex 14 Pyrometre optique Thermocouple Correction Version anglaise Ref C Bouden x x x x x x Ref Bouzouita Page de l exercice Page de la version anglaise 27 27 28 29 30 30 30 31 32 33 90 33 91 34 91 34 35 37 92 37 92 38 93 38 38 39 93 40 93 40 41 42 42 94 42 43 44 44 47 95 47 95 49 50 97 50 97 50 52 97 52 97 52 52 98 53 98 53 98 54 99 54 100 ENIT Campus Universitaire B P 37 1002 Tunis Le Belv d re Tunisie Tel 216 71 874 700 F
150. y AR 0 5 0 0125 Roy 100 0 4 2 4 The situation can be presented as following Chromel Chromel Chromel 1 1 3 Alumel U2 Alumel 01 mV 3 465 mV Figure C 7 2 Thermocouple Voltage calculation We have U2 Ui 3 465 mv Ui corresponds to the voltage indicated by a Chromel Alumel thermocouple with the reference Junction at 0 C and the other at 26 875 C This voltage is determined by linear interpolation from the table 26 21 041 mV 279 21 081 mV So for 26 875 C we have 1 076 mV gt U2 1 076 3 465 4 541 mV According to the table we have 4 508 mV gt 110 C 4 549 mV gt 111 C By linear interpolation we obtain finally 110 8 C 164 Correction exercices Chapitre 7 Probl mes de synth ses PROBLEM 6 FLow MEASUREMENT 1 To establish on the attached graduated paper the graphO P2 we have to convert the parameters in the adequate units 1 bar 10 Pa Q m S Q m h 3600 So we obtain the following table and curve Table C 7 1 Data conversion Pa 4P1 P2 m s 13000 114 0175 2 21E 01 19000 137 8405 2 67E 01 25000 158 1139 3 07E 01 29000 170 2939 3 30E 01 45000 212 1320 4 12E 01 51000 225 8318 4 38 01 60000 244 9490 4 75E 01 62000 248 9980 4 83E 01 5 00E 01 4 50E 01 4 00E 01 2 3 50 01 o 3 00E 01 2 50E 01 2 00E 01 1 0 06 1 5E 06 2 0

exercices de mesures et instrumentaion avec quelques corriges 1

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