TP sur la formation des images
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1. approche perturbative Moyen On dispose d une platine de translation pour focaliser la cam ra voir Figure 5 d une lame faces planes et parall les orientable sur le faisceau convergent et d un miroir d form sur le faisceau collimat Figure 5 lecture de la position de la cam ra sur le vernier de la platine de translation Travail r aliser Revenir un masque pupillaire circulaire unique gr ce la platine de translation sous la cam ra introduire petit petit une d focalisation de l image Observer la modification de l image et l interpr ter Trouver la position o une zone noire est observable au centre de l image Trouver la valeur du d phasage au bord de la pupille correspondant cette d focalisation en utilisant la formule suivante donnant la diff rence de marche optique en bord de pupille pour un faisceau convergent la distance f R 2f o R est le rayon de la pupille Commenter ces r sultats par rapport une interpr tation purement de trac de rayon optique g om trique calculer sous idl la fonction de transfert associ e et interpr ter changer de masque pupillaire pour un deux trous qu observez vous Interpr tez Revenir au masque circulaire unique D 3cm et au meilleur point focal ins rer la lame fournie perpendiculairement l axe optique Que se passe t il Reconnaissez vous l aberration introduite Comment la corriger faire tourner2. lentement la lame de verre plac e juste avant la cam ra en rattrapant le d calage du faisceau Observer la modification de l image et l interpr ter Faire varier la distance de focalisation En revenant au plan de focalisation initial faire varier le diam tre du masque pupillaire que constatez vous Calculer des coupes x et y de la fonction de transfert associ e et comparer au cas sans aberration changer le masque pupillaire pour un deux trous qu observez vous Interpr tez Troisi me exp rimentation r aliser Cas de l imagerie d un objet multi point Objectif L image de l objet est donn e par la convolution de la distribution d intensit dans l objet par l image d un point c est dire la FEP tudi e pr c demment I x y O x 7 FEP x 7 O y FEP XV y dx dy Cette relation peut aussi s crire dans le plan de Fourier de l image et peut alors s interpr ter comme le filtrage du spectre spatial de l objet par la fonction de transfert optique qui n est rien d autre que la transform e de Fourier de la FEP Moyen On utilise maintenant en plus une lame s paratrice devant le miroir plan pour cr er un faisceau r fl chi suppl mentaire et par rotation de la lame on obtient au moins deux faisceaux angulairement s par s simulant deux points sources l infini Travail r aliser Revenir un masque pupillaire circulaire unique faire un dessi
3. surfaces stigmatiques les plus fr quemment utilis es sont le miroir plan stigmatique pour tout point de l espace les coniques stigmatiques en leurs foyers parabole ellipse cercle hyperbole Dans la tr s grande majorit des syst mes le stigmatisme n est pas parfait On dit que le syst me pr sente des aberrations Figure 4 L image de A n est alors plus un point A mais une tache r sultant des points d intersection A de tous les rayons avec le plan focal Les sources d aberration sont nombreuses l utilisation de surfaces non stigmatiques souvent sph riques par commodit les d fauts de surface polissage contraintes m caniques exerc es par la monture le champ lorsque le stigmatisme est r alis en un point il n est pas n cessairement extrapolable tout le champ l homog n it du milieu travers verre atmosph re l alignement relatif des optiques vw 20 Figure 4 Illustration de la formation de l image d un point avec 2 syst mes optiques stigmatique gauche et non stigmatique droite On peut donc retenir grossi rement que fout syst me optique pr sente des aberrations L art du concepteur optique est de les minimiser de mani re ce que l talement des rayons lumineux soit n gligeable devant la r solution du syst me fix e selon les cas par la diffraction la taille du pixel ou le grain de la pellicule Quelques th or mes pratiques pou
4. 1 TP Instrumentation du Master Professionnel outils et syst mes de l astronomie et de l espace Ann e 2007 2008 TP sur la formation des images Responsables G rard Rousset et Fr d ric Cassaing gerard rousset obspm fr t l 01 45 07 75 49 l ONERA 01 467 347 37 frederic cassaing onera fr t l 01 467 348 54 Fax Observatoire 01 45 07 79 17 Fax ONERA 01 46 73 41 71 Lieu du d roulement du TP Office National d Etudes et de Recherches A rospatiales ONERA 29 Avenue de la Division Leclerc BP 72 92322 Ch tillon Cedex Dur e 1 journ e R sum L enregistrement d images est une des techniques les plus r pandues dans le domaine de l observation astronomique et spatiale pour acqu rir des informations pr cieuses sur les objets d int r t tudier Ces images sont d crites partir des principes physiques de l optique dite de Fourier que nous proposons de mettre en vidence dans ce TP Un banc modulaire install l ONERA permettra de r aliser plusieurs exp rimentations qui devront tre analys es par les tudiants Dans un premier temps il s agit d tudier la fonction d talement de point FEP ou encore r ponse impulsionnelle d un syst me optique imageur obtenue partir d un point source dans le cas parfait de la diffraction et en introduisant des d gradations par des aberrations simples La fonction de transfert du syst me optique pourra aussi
5. e sur une base de modes d emploi simple comme une famille de polyn mes orthonormaux Pour la plupart des syst mes pupille circulaire ces modes sont les polyn mes de Zernike Z x y qui permettent d exprimer les principales aberrations Z 1 piston traduit un retard pur non mesurable en optique part le piston diff rentiel en interf rom trie Z 2x et Z3 2y basculements ou tip tilt traduisent la direction de l onde Z 3 2r2 1 d focalisation indique la distance de focalisation Z 6 r sin20 et Z 6 r cos28 astigmatisme traduisent des optiques cylindriques diff rence de foyer entre X et Y Z 8 2r 2r sin0 et Zs 8 7 2r 2rjcos0 comas produisent une tache en forme d aigrette Z 8 rsin30 et Zio 8 rcos30 comas triples sont plut t d origine m canique monture trois points de fixation Z11 5 6r 6r 1 aberration sph rique traduit la perte de stigmatisme sur l axe Les aberrations commencent partir de Z5 car les premiers modes Z2 Z4 correspondent en optique g om trique la position lat rale et longitudinale de la FEP Par exemple pour une onde sph rique convergeant une distance f la surface d onde s crit au deuxi me ordre z r 2f o r z d signent les coordonn es radiale et longitudinale d un point de Z Ainsi pour calculer les aberrations on calcule l cart aberrant A entre Z et la surface d onde sph rique parfaite Z o
6. e domaine des fr quences spatiales ae Plan objet Syst me optique Plan d observation Points sources Lentille s conjugu de l objet R ponses impulsionnelles Figure 1 principe de la formation de l image d un objet par un syst me optique Dans le cas o un point source unique est utilis comme objet on enregistre donc la FEP du syst me optique Cette FEP est caract ris e par la taille et la forme des faisceaux optiques entrant dans le syst me mais aussi par la pr sence ou non d aberrations optiques dans le syst me Premi re exp rimentation r aliser Cas de l imagerie d un point source sans aberration Objectif Nous consid rons tout d abord un syst me optique parfait sans aberration sans perturbation des ondes optiques La FEP va tre directement d termin e par la forme du diaphragme d finissant la taille du faisceau optique appel pupille du syst me Une propri t importante des lentilles est de pouvoir r aliser une transformation de Fourier entre le champ lectromagn tique dans le plan pupille et le champ projet dans le plan focal Le champ ainsi projet distance finie par la lentille est donn par l approximation de Fraunhofer de la diffraction du champ dans la pupille d crivant le r sultat de sa propagation entre le plan pupille et le plan focal travers le syst me optique voir Figure 2 Plan pupille T Plan focal P x y entie Image I xr yr Cha
7. ichiers sur le compte etudiant icone sur le bureau Aller dans le dossier M2PRO OSAE C est dans ce r pertoire que seront crits les fichiers cette fen tre permettra d y faire du tri cr ation de sous r pertoires par exemple Lancer l interface labview icone Measurement amp Automation sur le bureau Double cliquer sur ph riph riques et interfaces Double cliquer sur NI IMAQ Devices Double cliquer sur img0 IMAQ PCI 1405 Double cliquer sur Channel 0 PAL le bouton snap permet de prendre une image le bouton grap permet l acquisition continue mode vid o le bouton save image permet de sauver l image affich e l cran gt sauver dans le format TIF uniquement pour l exploitation sous IDL pour zoomer clic sur un point de l cran pour d zoomer shift clic possibilit de changer la table de couleur par clic droit palette Mode d emploi pour l exploitation des images sur station de travail sur le terminal X se connecter sur la machine nitro entrer le nom d utilisateur etudiant et son mot de passe letudiant ouyrir une fenetre Xterm icone terminal barre inf rieure droite taper cd M2PRO OSAE cr er un sous r pertoire votre nom mkdir lt nom gt y aller cd lt nom gt taper sd dota tx39 lancer le logiciel de traitement IDL sous IDL lancer la CALCulette IMages calcim entrer le nom d un fichier de fond qui sera soust
8. l intensit mise en ce point est identique quel que soit le point on dit que le syst me optique est lin aire invariant par translation isoplan tique pour les opticiens c est dire que l image est donn e par la convolution de la distribution d intensit dans l objet par l image d un point L image d un point est appel e r ponse impulsionnelle du syst me optique lin aire Dans l interpr tation de l optique g om trique si le syst me n a pas d aberrations l image d un point est un point Cependant dans bien des cas et toujours sans aberration il faut tenir compte des effets dus la diffraction et donc la r ponse impulsionnelle n est plus un point mais une fonction bidimensionnelle de largeur non nulle dont nous allons tudier le comportement Cette r ponse impulsionnelle est appel e aussi fonction d talement de point FEP par les opticiens ou point spread function PSF en anglais Une image optique peut ainsi tre d crite comme le produit de convolution de la r partition d intensit de l objet par la FEP du syst me optique L image alors obtenue est une version liss e de la distribution d intensit dans l objet il s agit du filtrage des hautes fr quences spatiales de l objet par le syst me optique lin aire La notion de fonction de transfert associ e la r ponse impulsionnelle sera donc aussi utile pour l interpr tation des images dans l
9. mp U y Champ UKxr ye Distance focale f Figure 2 Sch ma de principe permettant le calcul de la diffraction de Fraunhofer donn e par une lentille On se place en lumi re monochromatique est la longueur d onde Soit P x y la fonction pupillaire donnant la forme du faisceau optique transmis par le diaphragme avant la lentille P x y 1 l int rieur de l ouverture 0 ailleurs L amplitude du champ dans la pupille s crit pour une onde plane incidente d amplitude unit point source l infini dans l espace d entr e de la lentille U x y P x y L amplitude du champ dans le plan focal s crit alors U x 7 RE TF U x y 0 27 Ux ny x Sf 2 pese yfad o f est la distance focale L intensit lumineuse enregistr e est donn e par le module carr du champ lectromagn tique dans le plan d observation On a donc 2 S 2 Paper x as L image repr sente la figure de diffraction de Fraunhofer de la pupille du syst me P x y 2 Ixy S Dans la cas d une pupille circulaire l image d un point source est la tache d Airy donn e par 2J dr AN ndr Af o d est le diam tre de la pupille et r le module du vecteur position dans le plan d observation On note que la largeur de la tache d Airy est directement reli e au diam tre de la pupille la longueur d onde et la focale de l instrument Sur la Figure 3 est pr sent e u
10. n expliquant qu il s agit bien d une simulation de deux ou trois ou m me plus car r flexions multiples points sources Qu observez vous sur la cam ra Expliquer comment est mise en vidence la relation de convolution sur ce cas tr s simple Faire varier les caract ristiques de la FEP si n cessaire faire varier l angle de la s paratrice et donc du faisceau r fl chi en rapprochant les deux ou trois ou images mettre en vidence la limite de r solution du syst me par la mesure de la limite de s paration de deux images crit re de Rayleigh En donner une formulation en fonction des param tres du syst me faire varier la taille du masque pupillaire et discuter de la notion de r solution plus ou moins importante d une pupille interpr ter la notion de filtrage des fr quences spatiales apr s calcul sous idl des transform es de Fourier des images Dans l espace de Fourier crire la relation de formation des images pour vous aider Fin du TP 9 M mo informatique Vous disposez de deux postes de travail un PC reli la cam ra une station de travail permettant des manipulations sur les images Ces deux machines partagent le m me espace disque le compte etudiant Mode d emploi pour l acquisition d images par le PC V rifier que la cam ra fonctionne bien l aide du moniteur vid o que l on pourra laisser allum pour visualiser les r glages Ouvrir une fen tre F
11. ne coupe de I x y Le premier anneau noir est une position r 1 224f d Ixy 4 2 1 0 l 2 3 4 Figure 3 coupe de la tache d Airy la FEP d une pupille circulaire La fonction de transfert du syst me est la transform e de Fourier de I x y FEP Par les propri t s de la transform e de Fourier c est aussi l autocorr lation de P x y Moyen Le banc est quip d un trou source clair par un laser 0 65 um simulant un point source au foyer d une lentille focale 1 m d un diaphragme pupillaire ajustable sur le trajet en faisceau parall le de lames s paratrices permettant d utiliser diff rentes surfaces r fl chissantes d une lentille permettant de former l image focale f 0 50 m et d une ee cam ra quip e d un objectif de microscope de grandissement 10 cam ra de 384x288 pixels de pas physique 22 um num ris e sur 768x576 points Traitement des images on peut enregistrer les images sur un PC et par un code idl disponible calculer leur transform e de Fourier et des coupes x ou y pour en faire une analyse quantitative Travail r aliser partir des explications donn es en d but de s ance comprendre le banc optique en faisant un sch ma de principe et reporter les dimensions utiles pour interpr ter les images pour une taille donn e de diaphragme pupillaire observer la tache d Airy comparer la valeur de sa largeur mesur e su
12. r calculer les aberrations lors d une propagation libre l cart aberrant A 2 Z se conserve le long d un rayon lors de la travers e de plusieurs syst mes aberrants les carts aberrants s ajoutent Dans un syst me bien con u les aberrations sont minimis es et peu pr s constantes dans le champ La FEP est alors modifi e mais le formalisme de la premi re partie reste valide convolution fonction de transfert Le syst me est alors dit isoplan tique Les aberrations sont alors exprim es dans un plan commun tous les points du champ la pupille Si la FEP varie dans le champ le syst me est dit anisoplan tique Comme les aberrations r sultent de perturbations le long du chemin parcouru par les rayons carts aberrants ce n est pas l intensit qui est modifi e mais la phase de l onde On peut donc calculer la FEP en ajoutant un terme de phase dans l int grale de Fraunhofer Soit D x y les d phasages exprim s dans la pupille traduisant les aberrations du syst me optique Dans ce cas l amplitude du champ dans la pupille s crit pour une onde initialement plane incidente sur la pupille Ualx y P x y expli x y L intensit dans le plan focal de la lentille s crit alors partir de la transform e de Fourier de ce champ 2 Kpy lff E EE FEP x y Pour simplifier les calculs on d compose parfois l cart aberrant A x y ou la surface d onde not e P x y quand exprim e en phas
13. r la coupe de l image et celle calcul e partir des dimensions physiques donn es ci dessus faire varier la taille du diaphragme et interpr ter les variations observ es de la largeur de la tache d Airy et de la largeur de la fonction de transfert associ e en tra ant des courbes en fonction de la taille de la pupille mettre le diaphragme carr et interpr ter l image sachant que la transform e de Fourier d une fonction porte bidimensionnelle de largeur d est proportionnelle sin rdx Af sin xdy Af zdx Af ndy Af mettre un diaphragme deux trous circulaires interpr ter limage pourquoi voit on des franges Calculer et interpr ter la fonction de transfert associ e changer de type de masque et confirmer l interpr tation Deuxi me exp rimentation r aliser Cas de l imagerie d un point source avec aberrations optiques Objectif La section pr c dente supposait le syst me optique parfaitement stigmatique c est dire tel que le point image A est parfaitement conjugu du point objet A Figure 4 Ceci peut s illustrer de deux mani res interpr tation corpusculaire tous les rayons issus de A convergent exactement en A interpr tation ondulatoire la surface d onde sph rique Xo qui diverge de A se transforme en une surface d onde sph rique Z qui converge en A Ces deux interpr tations sont quivalentes car les rayons lumineux sont orthogonaux la surface d onde Les
14. rait l image utiliser les 4 fen tres graphiques gr ce au menu affich permettant de lire sauver des images effectuer des TF des coupes et des vues 3D les images sont recentr es automatiquement et font 256x256 pixels dans calcim le nom des images sauv es est incr mental vous de bien noter les num ros sur le cahier de manip
15. st invariant par translation on peut introduire et utiliser les notions de r ponse impulsionnelle et de fonction de transfert transform e de Fourier de la r ponse impulsionnelle La r ponse impulsionnelle est la r ponse du syst me une impulsion appel e aussi Dirac Alors la r ponse du syst me un signal d entr e quelconque est donn e par le produit de convolution de ce signal par la r ponse impulsionnelle Dans l espace de Fourier la transform e de Fourier du signal d entr e son spectre est simplement multipli e par la fonction transfert du syst me c est dire filtr par un filtre passe bas dans le cas de l optique pour donner le spectre de la r ponse Pour former l image d un objet nous allons utiliser une lentille ou un jeu de lentilles qui permet de conjuguer le plan d observation avec l objet Dans ce plan d observation la distribution d intensit lumineuse est appel e image et est enregistr e par une cam ra quip e d une matrice de d tecteurs bidimensionnelle appel e CCD L image est ensuite visualis e sur un cran vid o et peut tre num ris e sur un PC Un objet peut tre interpr t comme tant la somme d une infinit de points sources la lentille image chaque point dans le plan d observation voir Figure 1 L image de l objet est donc la superposition des images individuelles de tous les points de l objet Si l image de chaque point normalis e de
16. tre calcul e et analys e partir de la FEP Tout d abord on passera en revue plusieurs formes de diaphragme pupillaire afin de comprendre les propri t s de la diffraction qui lient plan image et plan pupille Les lois de comportement simples seront d duites en analysant les cas particuliers de la tache d Airy et des franges d Young On introduira ensuite des aberrations simples comme une d focalisation afin d tudier les d gradations induites sur la FEP du syst me Dans un deuxi me temps des images simulant un objet tendu seront produites pour mettre en vidence et analyser la relation de convolution de l objet par la FEP du syst me d crivant la formation des images partir de diff rents diaphragmes pupillaires 2 TP Instrumentation du Master Professionnel outils et syst mes de l astronomie et de l espace Formation des images L objet de ce TP est d utiliser un banc optique modulaire permettant d illustrer l influence des param tres clefs d un instrument optique sur la formation des images et de l interpr ter comme d crite par un syst me lin aire Principes Du fait de la lin arit de l quation de propagation des ondes lumineuses dans la plupart des milieux dit lin aires le processus de formation d une image peut tre interpr t comme une op ration lin aire Donc un instrument d optique peut tre d crit par la th orie des syst mes lin aires Si le syst me e
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