Les Affinités électives
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1. It is worth remembering if only for the sense of calif that it provides that We belong to those who reject T S gt L4 A and Resea gt ug gt N Zu uis Dp ration 11 INVITATION AU VaV Th o H ikay With e H las 5 NT MATH QUESTION CENTER Voici maintenant une version r vis e mais toujours accessible de la d finition Une suite S converge vers si quand on prolonge la suite on peut r duire ind finiment la distance entre 5 et f L image est celle d une mer d un bleu profond sur laquelle un bateau est port vers un phare par le mouvement des vagues la distance entre le navire et la c te inexorablement raccourcie Ce qui peut vous faire penser comme qa a t le cas pour des g n rations de math maticiens que la convergence s articule autour d une distance fixe mais tr s tr s petite C est ce point pr cis que les fant mes translucides des nombres infinit simaux viennent hanter momentan ment l expos La d finition de la limite leur permet enfin de reposer en paix Soit un nombre r el positif que nous laisserons repartir vers la mer et ses murmures Dire que la distance entre le navire et le phare peut tre ind finiment r duite revient dire que quelle que soit la valeur e il finira par y avoir un mouvement des vagues qui poussera la bateau jusqu un point s par du phare par une distance inf rieure e Notez le double jeu capital qui se pr sente pre2. na tend vers 0 n gt 0 L acte ds 5 intelligenac one ables Les 4 tant positifs le a ne pose pas de probl me Pour le p il est bon de se rappeler qu une convergence est uniforme si et seulement si le critere de Cauchy est v rifi uniform ment ce qui permettra peut tre avec 2 T l in galit due la convexit sin x gt 7x sur 0 2 de passer des a sin nx des des na en choisissant convenablement x Enfin quand rien ne marche pensez une transformation d Abel pour d bloquer la situation It is worth remembering if only for the sense of calif that it provides that We belong to those who reject T S a L4 j LA and Resea Dp ration INVITATION AU YO TUS Th o H ikay f MATH QUESTION CENTER Mu soliton Ue a _ Sila s rie des a cos nx converge pour tout x elle converge pour x 0 donc la E Xl7 s rie des a converge Si la s rie des a converge comme 4 tend vers 0 en d croissant les 4 sont positifs Sla ou nuls et V x e R a cos nx lt a ily a convergence absolue de la s rie des COS NX B _ C est beaucoup plus d licat Si la s rie des a sin nx u x converge uniform ment en appliquant le crit re de Cauchy uniform ment on a m Vg 0 dnyeIN Vn2ny Vm 2n Vx eR gt u x lt s p n 1 Prenons alors n2 no Xn 2n pour p n 1 n 2 2n ona ism 2n 1 lt I ot it 0 2 d 28 ccs gd gt et par concavit
3. 4 MATH QUESTION CENTER n p ntp m d Mg D a sin kx lt gt ka x lt pelxl xl k n 1 k n 1 T ala Puis sig 2 n p 1 en effectuant une transformation d Abel on a q gi gt a Sx S 0l S as D a 4 5 k n p l n p 1 n p k n p 1 soit comme 4 4 20 eten majorant s par T sin gt j 4 1 ee 1 D sin kx lt a a gt 4 7 1 ym qu e n p 1 q x EF k n p l k n p l SUUS i P 2a n n pt 1 On a donc avec q 2n p 1 et x 0 2n gt a sin kx lt pe x 2 x k n p l sin 2 z az N De plus a lt lt donc rx dans 0 n comme lo f Sy IINE mE a i e plus 4 1 ep p T onc pou a n comme 5 Pies H 2 i intervalle o on a sin y m on a finalement avec p 21etq 2 n p 1 SIN m wy d It is worth remembering if only for the sense of calf that it provides that We belong to those who reject LA eacher and Resea Zu Zu uis u Z T T Dp vati 11 INVIT inon AU vovas Th o Haikay J With Tto Mia MATH QUESTION CENTER in kx XE it lt E D a sin kx lt pex zy soit lt e px p Dx k n p l 1 5 1 Soit alors x e 0 etp 1 E 9 ona 1 2 pls p d o pre 1 x lt 1 r et p 1 x lt 1 x gt 1 d o lt 2n et la p 1 x majoration q gt a sin kx e 1 37 valable pour tout x de 0 m mais aussi en 0 et x donc k n p l le crit re de Cauchy s applique unifor
4. permettent d extraire la structure logique commune de nombreux faits diff rents Je retrouvais effectivement ce que Galil e avait d couvert quatre siecle auparavant et qui lui faisait dire que les math matiques sont le langage de l Univers Ce fut au XX siecle le credo d Einstein Retenons toutefois que les math matiques ne sont pas un langage purement servile il est apparu qu elles ont une autonomie propre qui peut les rendre f condes dans d autres disciplines J insiste bien plus tranges encore que celles que l on pourrait qualifier d utilitaires et qui servent d crire les ph nom nes physiques on d couvre des math matiques It is worth remembering if only for the sense of calif that it provides that We belong to those who reject T S gt L4 j CA and Resea u 4 9 wu Tz a 3 Zu Zu uis Dp ration Z MATE QUESTION CENTER qui semblent exister par elles m mes ind pendamment de toute r alit perceptible Un exemple z le fameux trois quatorze seize 3 1416 Les g om tres grecs l ont d couvert et relativement bien calcul Sa valeur exacte est aujourd hui connue avec une pr cision extr me Au palais de la D couverte Paris les premieres centaines de chiffres qui le composent couvrent un mur entier Comment a t on pu les connaitre En fait on a d couvert que ce nombre x peut tre calcul avec des formules purement math matiques sans compas Des concepts simp
5. associe A gt 0 tel que s IKb dt s donc pour tout n fre fb sin pdt lt NI Kt at lt e A Si je prouve que pour A fix f t sin f dt 0 on aura pour le m me e gt 0 l existence de n tel que Vn no if A f t sin pdt lt eet a fortiori It is worth remembering if only for the sense of calif t We belong to those who reject L eacher and Resea C 6 30 idi gt N sla ZU Zu uis Dp ration INVITATION AU VOLTAGE Th o H ikay with Tho Wish MATH QUESTION CENTER f t sin ta lt 2s donc la limite cherch e sera nulle R solution Remarque l nonc reste tr s vasif sur f si ce n est que son th tre des op rations est IR Il me faut donc valuer les cas o f est constante r gl e voire Darboux int grable Or pour f t constante k sur 0 A ona k LE f t sin A f dt X 1 cos A A Ceci tend vers l infini car X tend vers n l infini par hypoth se A ce qui justifie d ailleurs 0 Par lin arit de l int grale et des limites si f est en escalier une fonction d finie sur un intervalle et qui ne prend qu un nombre fini de valeurs sur cet intervalle et qui a un nombre fini de points de discontinuit s est appel e fonction en escalier _ on a lim fA f t sin pdt 0 n gt 00 A Les fonctions continues de IR dans R sont r gl es et remarquons que f r gl e est limite uniforme de fonct
6. aye ilg n 20 sl 1 I D o f x 5 eS dt Mais alors x 1 et l int grale impropre ala qe NU f tdt converge pour s 0 C est la transform e de Laplace de f Je la note L f s 7 y 7 T etsnu Soit y gt 0 Ona n e f tdt p 3 iu 0 ES T 1 T T y st pitsin u ni 2x je p Se dt du par Fubini et 1 dps Lfs lim D g y u du avec g y u Sy ppc y gt o Comme S un lt e 7 et que je e dt lim g y u existe g y o al uniform ment en u e nr x car I H T sy a _ ur oe u ji Xe S e SIN Ne pv ae Sv ae a at lt i j ap majorant qui tend vers 0 si y tend vers It is worth remembering if only for the sense of calif that 1t provides that We belong to those who reject T S gt L4 j CA and Resea Opare ation 11 INVITATION AU YEA Th o Holle ay Z with Th o Heic MATH QUESTION CENTER 1 3 e amp itsin u Rd Onaden Ls 35 ue dt du al oo i ms e puc PME p eia 2n stisinu _1 t du _ 1 ftr isiny 2m s isinu 21 s sintu x 7 La partie imaginaire de l int grale est nulle fonction impaire en u donc 1 T S s du 2s 7 2 du LE 51 D Du ae e sinu nm ssi Avec t tgu gt dt 1 P il vient Z RIF 2s 1 f 2s dt iR Lfs m CUT 242 t Doe 2 52 1 s i 0 s 0 s S H I MEN d It is worth remembering if only for the sense of cal We belong to those wh
7. ories dites de jauge qui sont une forme labor e de la th orie quantique des champs La th orie de jauge la plus ancienne est celle de l lectromagn tisme Tous ceux qui ont appris un peu de physique connaissent bien les potentiels de l lectromagn tisme partir desquels on peut calculer les champs lectriques et magn tiques Ils savent aussi que ces potentiels ne sont pas directement observables Les quations de Maxwell ne d terminent pas les potentiels eux m mes de mani re absolue mais consid rent seulement les diff rences de potentiel En particulier on peut modifier arbitrairement la r f rence de ces potentiels sans bouleverser les lois de la physique On appelle transformations de jauge ces modifications de potentiel et on dit que les quations de Maxwell sont invariantes de jauge Plus tard dans les ann es cinquante la m thode d utilisation des th ories de jauge a t formalis e et entendue d autres types d interaction par deux th oriciens C N Yang It is worth remembering if only for the sense of calif that it provides that We belong to those who reject L eacher and Resea u 9 ul a 3 ZU Zu uis Dp ration J With Tto Hia MATH QUESTION CENTER et R Mills Ces th ories parlent le langage math matique puisque la notion de base qu elles utilisent celle de lagrangien n a de sens que dans le cadre du calcul int gral Une particularit de ces th ories
8. se plaignit de sa difficult Euclide lui r pondit simplement Il n y a pas de voie royale Je vais m appuyer sur quelques EL exemples comme pierre de touche mon argumentation exemples utilisant i N les int grales Mais tout d abord il me plait de dire que j ai particuli rement t marqu par la puissance intellectuelle de ce grand Maitre une articulation de la pens e frisant le g nie un regard percant et critique une imagination It is worth remembering if only for the sense of calif that it provides that We belong to those who reject darkness a eacher and Resea Dp ration INVITATION AU VOVAGS l Th o H ilkay MATH QUESTION CENTER p n trante une grande ind pendance par rapport aux id es la mode une d lectation intense les renverser E utis Au cours de mes tudes j imaginais sans peine l motion de certains grands scientifiques Mais au del de cette motion profonde ce qui m impressionna sla le plus fut de d couvrir la puissance de l esprit humain et de l outil dont il s est dot les math matiques Le fait qu une simple formule alg brique puisse nous donner le mode d emploi pour accomplir un tel exploit provoqua en moi comme un sentiment de vertige Je n en revenais pas Et d ailleurs je n en suis jamais revenu Dans mes travaux de recherches j ai souvent tent d tablir les quations d crivant un ph nom ne encore inexpliqu Les quelque
9. sur sinx Z donc 2 In PM On DPSAP Bi n as la N I 3 A sin p x gt 2 F d m2n mn SIN m wy It is worth remembering if only for the sense of calf that it provides that We belong to those who reject darkness gt eacher and Resea Zu Zu uis n u Z 4 t Dp ration INVITATION AU VOYAGS Th o H ikay 4 MATH QUESTION CENTER En multipliant par a 2 0 toujours 4 tend vers 0 en d croissant et pour n ng 2n 2n p m 2n jobtiens gt a_sin p xn gt ack J gt p p Xn P 2n p n 1 penri Les a sont tous sup rieurs Ay y d croissance de la suite et m me on minore p WEN 4 par n d o Y n2 ng n 1 NT 2 nxa x 2na 2 0 onad j lim 2na 0 2n nn 2n 2n 2n n to Comme 0 x 2n 1 a 2n a FA lt 2na 4 et que la suite des a 2n 1 2n 1 2n 1 converge vers 0 on galement lim 2n 1 a O etfinalement lim ka 0 p te 2n 1 k gt o R ciproquement on suppose que a tend vers 0 en d croissant et que n a tend vers 0 aussi Cela a tend vers 0 en d croissant fait penser une transformation d Abel i n 1 x 7 e En introduisant S x x sinkx Im ENT pour x O 2n on a encore k 0 Comme 0 lt 2n 1 a 2n a a lt 2na a 2n 1 2n 1 2n 1 et que la suite des a 2n converge vers 0 on galement lim 2n 1 a O etfinalement lim ka 0 n gt 00 2n 1 k gt o It is worth r
10. A and Resea img gt N sla ZU Zu uis Dp ration 11 INVITATION AU Vavi Th o H ikay Wik thin Hein MATH QUESTION CENTER Dolaine Giroud Maths Sp MP Lyc e Sainte Genevi ve _ Que veut dire Einstein lorsqu il affirme que le principe cr ateur r side dans les math matiques Einstein would have it otherwise The creative principle resides in mathematics In a certain sense therefore I hold it true pure thought can grasp reality as the ancients dreamed Chere Dolaine en un sens donc je tiens pour vrai que la pens e pure peut saisir la r alit comme en r vaient les anciens Les math matiques s impliquent par exemple dans le champ de la physique C est en elles que r side le principe vraiment cr ateur selon le mot d Einstein Il est plusieurs fois arriv que des sp culations de nature purement math matique aient donn naissance des objets enti rement nouveaux de la physique fondamentale Ce fut le cas de l antiparticule de l lectron qu on appelle le positron qui a t calcul e par Dirac en 1927 avant d tre d couverte en 1932 dans le rayonnement cosmique Le positron avait t interpr t par Dirac comme une des solutions de la nouvelle quation qu il avait construite partir de l id e que le formalisme naissant de la m canique devait prendre en compte les postulats de la relativit restreinte La puissance des math matiques culmine en physique dans le cadre des th
11. Dp ration INVITATION AU VOLTA S Th o H ikay MATH QUESTION CENTER s Affinit s Electives S s jolt mot ds Goethe utis sites lo h oris dis ff int gration sft lb grammairien ala Ont grale je t ai so l e dans mes salles de classes je t ai so l e sans te d salt rer je t ai baign e dans les nuits pleines d toiles je t ai berc e sur les 4 g p 1 vagues j ai voulu t endormir sur les flots Int grale Int grale que te ferais je que veux tu donc Est ce que tu ne te lasseras pas de ce chantage qui m oblige connaitre l ivresse qui selon toi me fera croire meilleur plus grand plus respectable plus vertueux plus riche etc que je ne suis La r pondanes est une thique On est responsable de on est r pondant La voix et la pr sence qui s approchent de nous et par cons quent de l enseignement d un concept Mathilde Cazenave Maths Sp MP Lyc e priv F nelon _ Dans le document Connaissez vous Andrew Wiles Vous criviez J ai le souvenir d un grand maitre qui nous demandait lors de ma formation de prouver sans rel che d abord notre lucidit en posant correctement le probl me puis notre culture en produisant des exemples couvrant un champ assez vaste Serait il possible d avoir quelques claircissements sur cette affirmation 4 Ch re Mathilde la l gende raconte qu un roi ayant demand Euclide de lui enseigner la g om trie
12. T o f t sin DA 2 n to A La formulation d une hypoth se est un exercice actif et cr ateur non l enregistrement passif de r gularit s donn es Nous n argumentons pas des faits aux th ories si ce n est par le truchement de la r futation Un Mies aan Mant d ha rv ptit Barack Obama devant les jeunes Fran ais et Allemands dans le Hall du Gymnase du Rh nus de la ville de Strasbourg ce vendredi 3 avril 2009 J coute Barack Obama pendant a r daction de ce document et je veux dire quel point il est loquent Et que d une certaine mani re l loquence n est plus l L loquence politique est absente de nos soci t s Nous sommes nous les citoyens sevr s de langue sevr s de belle angue Nous n entendons plus que de l information grise plate nulle sotte r p titive etc plus personne n est dans la tradition loquente des hommes politiques d autrefois Et le peuple dont je suis adore cette musique l et d une certaine mani re Barack Obama a de l loquence de a rh torique de la musique If a pour ainsi dire du nombre Autrefois ce qu on appelait du nombre c est au fond l utilisation du langage tel qu il est port par un certain type de musique Et Barack Obama a cette musique l I a cette esp ce de don de a parole de a rh torique qui fait qu il emporte l adh sion des gens qui l coute l renoue ainsi avec a grande tradition des rh teurs de l antiquit On croit T d It is
13. ec mon sujet d analyse chaque fois que dans un nouveau chapitre je recueille du u Z une nouvelle donn e je me demande si et en quoi elle pourrait clairer ma lanterne et faire progresser ma recherche Un terrain particuli rement fertile pour mon enseignement se situe a la frontiere entre des domaines apparemment sans rapport entre eux Pour cette raison entre It is worth remembering if only for the sense of calif that it provides that We belong to those who reject T S a LA j LA and Resea u 00 wu l I 9 zu ZU ZU UIS u Z T t Dp ration INVITATION AU VOYAGE Th o H ikay MATH QUESTION CENTER autre la culture scientifique est un l ment fondamental de l apprentissage du m tier d enseignant Un pr alable que j estime indispensable Souvenons nous par exemple il y a environ plus de cent dix ans en 1895 quand on a d couvert l lectron l poque on a pens que cette petite chose qui tourne autour du noyau d un atome tait un tout petit caillou C tait un brin de mati re cela semblait une vidence Eh bien plus de cent dix ans plus tard on ne pr sente plus du tout l lectron comme un brin de mati re Et pourtant cette conception erron e figure toujours au programme des lyc ens Aujourd hui nous pouvons avoir un regard lucide sur cet objet L lectron nous disent les physiciens est un paquet d ondes Qu est ce que cela veut dire Cela
14. emembering if only for the sense of calyf that it provides that We belong to those who reject T S a L4 j LA and Resea imi SES N Sla Ju Zu uis u Z Dp ration INVITATION AU VOV 55 Th o H ikay 4 MATH QUESTION CENTER R ciproquement on suppose que a tend vers 0 en d croissant et que n a tend vers 0 aussi Cela a tend vers 0 en d croissant fait penser une transformation d Abel i n 1 x En introduisant S x D sin kx Im gu pour x O 27 on a encore i n 1 x 2 n 1 n l e x 2i sin 7 x sin X S I in x _ S S SIFT SSS C i rent rl 2 ub x2isin sin D o pour x O 2n S 6 lt UE sin q Je vais majorer une somme du type S x D a sinkx avec q gt n en k n 1 proc dant de fa on diff rente suivante x D abord on travaille pour x dans 0 2x p riodicit et m me 0 x imparit en fait Pour x 0 n la somme est nulle Comment utiliser l hypoth se n 4 tend vers 0 Peut tre en majorant sin kx par k xl Soit e gt 00 3n Vk2n 0 lt ka lt e n oublions pas les a sont positifs 0 0 k k Donc pour n ny et p 2 1 on verra comment lier x et p ensuite ona d It is worth remembering if only for the sense of calif that it provides that We belong to those who reject T S a L4 j yN and Resea Dp ration INVITATION AU YO TUS Th o H ikay
15. ering if only for the sense of calif that it provides that We belong to those who reject T S a L4 j LA and Resea u 9 ud ax I Zu Zu uis ation TION AU VOTAUS Th o H ikay S 35 3 EX f with Tin M l MATH QUESTION CENTER n 1 n Ly aen EP Y ny n n pen k 0 2a Or e d 1 est exclu sinon il existerait a dans Z tel py 2an et P e Q on a donc une progression g om trique de raison diff rente de 1 donc 1 ly Qe n k 0 ipnxy 2_ pn p 2i sin ET x ip v n 1p Y e X 2i sin pny eg ipn 9 xe T e d sin quantit qui dans C tend vers 0 si n tend vers co Il en r sulte que l galit est valable pour les fonctions du type x cos px ou x sin px donc par lin arit pour les polyn mes trigonom triques Puis si f est limite uniforme de fonction g continues 27 p riodiques v rifiant r relIN l galit alors f la v rifie En effet posons d It is worth remembering if only for the sense of calrf that it provides that We belong to those who reject T S gt L4 j CA and Resea imi gt N Sla du Zu uis u Z Dp ration INVITATION AU VOYAGS Th o H ikay 4 MATH QUESTION CENTER Dye L0 8 T Li 8 LUE n 1 1 1 Eo Wells gt f ki geek k 0 Soite gt 0 dr tel queVr2 ry IIf g lle lt e en particulier 0 1 lt 2
16. ervons aussi qu une fonction f d finie sur g b est dite continue par morceaux si elle a un nombre fini de points de discontinuit et si en chacun de ces d It is worth remembering if only for the sense of calif that it provides that We belong to those who reject eacher and Resea C 3 30 Op ration INVITATION AU YONG Th o H ikay Z Witt Th o H las MATH QUESTION CENTER points elle a une limite droite et gauche Ce sont des fonctions que l on est capable Tw de repr senter par un dessin Les fonctions continues par morceaux sont int grables ug a o er Le e M 8 6 2 S i 00 2 2 2 Ce faisant j introduis w n fla 0 exp a de Que faire comme disait Oulianov Commencer par traduire la continuit de f en a OnaVez 0 3p 0 telquea x a p gt fx fla 0 lt g ceci nous sugg re de couper l int grale en deux IL A Tu B A ieee A d o wu als 2 y q 2 2 y _ m2 la jonl s apl EEA ge 2 ute xn 77 ew Pocos ad nea a p EL T SIN En posant n x a t ndx dt on obtient It is worth remembering if only for the sense of calif that it provides that We belong to those who reject eacher and Resea C 4 30 Op ration INVITATION AU YONG Th o H ikay Z wa Th f La f P co P Iv lt Ji nB exp a 2 lfl le J apl ja ug gt N 00 P t La convergence del i
17. est qu elles concluent partir d un principe fondamental d invariance et de sym trie la n cessit d introduire de nouvelles entit s en physique par exemple de nouvelles particules Elles sont donc capables d enrichir l ontologie de la physique En particulier c est avec elles qu on compte unifier toutes les interactions fondamentales de la nature La titia ASTAGNEAU Maths Sp MP Institution Sainte Marie Pouvez vous tre plus explicite sur le fameux sens math matique que vous souhaitez transmettre aux jeunes Ch re La titia Il semble qu aucun chemin logique n existe entre les faits et l id e th orique partir de la quelle ils prendront sens Les oui mais bon sang mais c est bien s r sont des jaillissements pas des conclusions et il ne suffit pas pour cr er de r pertorier des arguments et d aligner des raisonnements On ne d couvre pas la chaine on n invente pas qu avec des puisque et des donc Ceux qui croient aujourd hui que pour mettre sur pied la m canique ondulatoire il suffirait de dire Puisqu on associe un quantum de lumi re aux ondes lumineuses pourquoi ne pas associer sym triquement une onde l lectron manquent singuli rement de recul Il faut en effet se rappeler que lorsque Louis de Broglie eut cette id e il tait encore pratiquement le seul avec Einstein croire au quantum de lumi re qui d ailleurs ne s appelait pas encore photon l id e de quantum de lumiere n a
18. iced away This may suggest as it suggested to generations of mathematicians that convergence hinges only upon some fixed but very very small distance It is at this point that the translucent ghost of infinitesimal numbers for a moment flits over the discussion The definition of a limit allows them to rest in peace Lest be a positive real number and return again to the sea and its sounds To say that the distance between the ship and the lighthouse may indefinitely be decreased is only to say that what ever the value of e there will eventually be some motion of the waves carrying the boat to a point whose distance from the lighthouse is less than e Note the crucial double play which presents itself almost as an incantation or sea chantey whatever the requisite distance some suitable motion can be found This idea carries over from ships to sequence 5 converges toward a limit if whatever the value of e some point in the sequence can be found such that there and for points beyond the intervening distance is less than e Autre exemple Ce qui me fascine litt ralement c est que gr ce aux math matiques il soit possible de pr voir avec une pr cision vertigineuse l itin raire des astres qu on peut observer sur une terrasse familiale Il me parait utile de faire comprendre aux l ves et tudiants pourquoi un m me concept pouvait s appliquer plusieurs ph nom nes L explication tient en ces quelques mots les math matiques
19. ions en escalier donc combinaison lin aires de fonctions It is worth remembering if only for the sense of calif that it provides that We belong to those who reject eacher and Resea C 7 30 ZU Zu uis ETS Dp ration INVITATION AU VOLTA GS Th o H ikay J With Th o Wiha MATH QUESTION CENTER constantes Soit f int grable sur 0 A si on suppose f r gl e il existe g en escalier telle que If gll lt e d o fA fb sin t lt fth giat x iat Jr g t sin A dt IA sA fA s sin a dt et in V n 2 nm N L g t sinQ tdt lt g g en escalier d o A f t sin tdt lt e l A pou n 2 ny on a bien la limite nulle lim Jj A Kt sin Qbdt Si f est Darboux int grable il existe u eto en escalier telles que V t 0 A u t lt f t v t et p v u lt penser aux sommes de Darboux Mais alors f A f sin dt f f t sin tdt est major e par It is worth remembering if only for the sense of calif t We belong to those who reject eacher and Resea C 8 30 zu teu SE 9 a ZU Zu UIS n u Z T t Op ra tion 11 INVITATION AU vouas Th o H ikay IM e Heidi MATH QUESTION CENTER J le fojdt lt f u lt s et comme lim s v t sin At 0 i n 00 v en escalier on conclut comme pr c demment lim J A f t sin A Dit 0 n 00 Onadonc lim
20. iques c par morceaux pour lesquelles l galit est v rifi e donc elle l est pour f L activit du prof de maths me fait souvent penser un jeu de puzzle dont les pieces au d part se pr sentent sous la forme d un ensemble disparate dans lequel il faut trouver du sens En tant que joueur j essaie de reconnaitre celles qui s associent correctement pour faire une image coh rente Ayant par exemple identifi un fragment de la queue d un oiseau je recherche d autres l ments pour suivre assembler les diff rentes parties de l oiseau pour l avoir en entier Ses pattes montrent qu il est perch sur une branche Il faut reconstituer l arbre etc Peu peu j assemblerai ainsi des fragments qu il ne me restera ensuite qu accoler pour r aliser une fresque oti chaque morceau aura une place pr cise dans le paysage De la m me fa on le chercheur que je m efforce d tre se trouve confront une multitude d observations diff rentes partir desquelles il tente d lucider le comportement d un th or me dans un domaine d termin la vie des concepts par exemple C est ce qui me permet de corriger le livre de l tudiant o ce parcours n est pas fl ch De plus je dois op rer un tri dans l immense moisson d informations qui me parvient pour ne conserver que celles qui me permettront d avancer En tat de ZU Zu uis vigilance je garde continuellement l esprit l ensemble des interrogations en rapport av
21. les associ s quelques r gles suivre suffisent pour faire d filer ses d cimales sur un ordinateur aussi longtemps que vous le voudrez Tout se passe comme si ce chenapan existait dans un autre monde invisible nos sens mais tout aussi r el celui des nombres accessible notre seul esprit avec ses paysages ses structures propres En anglais on met en parall le les landscapes paysages mat riels et les mindscapes paysages mentaux La question de savoir si ces concepts existent vraiment hors de l activit mentale des tres pensants se pose depuis l poque des philosophes grecs le monde des Id es de Platon sans que pour autant nous puissions y r pondre Du reste que signifie exister pour un chiffre ou un nombre Voici une question d battre en famille deux plus deux faisaient ils quatre au temps des dinosaures alors qu aucun esprit n avait invent les chiffres Il faut me semble t il red couvrir ce que les philosophes grecs appelaient l tonnement jusqu quel point les nombres nous permettent ils d expliquer le monde Autrement dit les math matiques puisent elles la r alit Toute interrogation pourrait elle y trouver sa r ponse Tout probl me sa solution Tout mystere son lucidation Que resterait il alors du merveilleux et de l enchantement du monde It is worth remembering if only for the sense of calif that it provides that We belong to those who reject T gt L4 j C
22. m ment en x bee S Soit f continue 27 p riodique de IR dans IR et y dans 0 27 tel que e Q Montrer que lim mi fx ky a f n gt to It is worth remembering if only for the sense of calnf that it provides that We belong to those who reject T S a L4 j LA and Resea Dp ration INVITATION AU VOVAGS Th o H ikay f MATH CUESTION CENTER H J acte dE intelligence at afripe 3 4 iM 8 Une approche possible quand on veut un r sultat valable pour tout l ment f d un P ensemble E ici les fonctions continues 2x p riodiques est de se demander pour la quelles fonctions il suffirait d avoir le r sultat Les deux membres de l galit A d pendent lin airement de f semblent stables par limite uniforme Ne pourrait on pas approcher f par des polyn mes trigonom triques en appelant Stone Weierstrass la rescousse Ou bien passer par les fonctions continues 2n p riodiques E par morceaux a OK Les deux membres de l galit d pendent lin airement de f et sont stables par convergence uniforme en f On peut donc tablir le r sultat pour les polyn mes trigonom triques l tendre aux fonctions continues p par morceaux puis aux continues ipx x 1 2 Pour f x e cospx isin px ona T f t dt 1 si p 0 0 si pz0 als pA N 3 Pour p 0 donc f 1 ona z f x ky 1 d o l galit dans ce cas Il k 0 E Pour p 0 SIN m wy It is worth rememb
23. n I f 8 P 1 x2nxg t xnxgz 2g n puis pour ry fix dn Vn2m Lg lt e d o Vn gt n o lt 3e on a bien 0 0 lim 1 f 0 c est dire l galit pour f n o Mais alors on peut conclure rapidement si on sait que f continue 27 p riodique est limite uniforme sur 0 2x de polyn mes trigonom triques grace au Th or me de Stone Weierstrass Sinon on fait un d tour en passant par les fonctions continues de classes C par morceaux qui sont alors sommes de leur s rie de Fourier qui converge uniform ment Honn tement je ne sais pas si on n utilise pas Stone Weierstrass pour obtenir cela L L galit est donc vraie pour f continue C par morceaux Enfin si f est b tement sur IR 2n p riodique elle est uniform ment continue Soit 2 donc e gt 0 et a gt 0 tel que Ix y E F fco lt g si A lt a en coupant It is worth remembering if only for the sense of calif that it provides that We belong to those who reject T S a L4 j LA and Resea Dp ration 11 INVITATION AU VOLTA S Th o H ilkay MATH QUESTION CENTER D 2x en n segments et en construisant g affine par morceaux en joignant les 2k 2k points e f pour k 0 1 n on obtient g continue de classe e par utis morceaux avec lf gll lt s gt ei Pour conclure f continue 2r p riodique est limite uniforme d une suite de fonctions 21 p riod
24. n 3 Cultured If C 1 x 2n 2 en ye Existence et calcul de js e ftt Soit la s rie n 2 0 tude de la convergence Soit f x sa somme Cet exercice est en quelque sorte un dialogue entre d Alembert Wallis Laplace Fubini et bien d autres It is worth remembering if only for the sense of cal We belong to those who reject idi gt N sla ZU Zu uis Dp rz ation f INVITATION AU VOT US Th o H ikay A With Theo Mia MATH QUESTION CENTER n 2n 1 x de x2 1 Pour x 0 avec u x Chr on par d Alembert L a tena qui 2 n 1y2 u 4 n 1 tend vers 0 donc la s rie converge pour tout x r el 1x3x5x x Qn I xn n 2 ORUA ee ee Te 7 Un peu de culture I sin t dt Bod OR gt Soit 2n ix sin t L Zn z z int grale de Wallis donc partant de e anf een 2 nly nz0 qui converge normalement en f x fix ona i eixsint gy 2 e E sin tdt n20 Les int grales pour n impair sont nulles fonction impaire sur x 7 il reste 4 PN T parit et sym trie par rapport 2 du sinus 2n Ug gt S D car Sy sin t dt n gt 0 d It is worth remembering if only for the sense of calif that it provides that We belong to those who reject T S gt L4 j CA and Resea Op ration f INVITATION AU YONG Th o H ikay J With Th o Wiha MATH QUESTION CENTER n ai Qn x 2 a cm iud 2 Qr
25. nt grale impropre I exp E dt donne alors 0 2 00 P A e gt 0 onassocie A gt 0 tel que exp 4 dt lt g mais alors B tant associ A pr c demment il existe ne tel que Vn gt no np gt A d o Vn gt n wy e I 21 Ifl lo il en r sulte que la suite des w converge vers 0 06 n 00 n Or w f x exp a dx fao exp a ma dx a a Et que la deuxi me int grale se calcule en posant n x a t soit ndx dt il wn 00 n 00 P als vient feo exp ea dx faro exp 7 dt n fla 0 a a 0 Ii 0 2 4 onafinalement lim 1 f x exp L x ci NL f a O T gt to 4 u Z D une mani re analogue partir de It is worth remembering if only for the sense of calif that it provides that We belong to those who reject eacher and Resea C 5 30 ZU Zu uis aja Op ration f INVITATION AU YONG h g H ikay 4 with Tio M l MATH QUESTION CENTER w n fla 0 exp Poa dx conduit 00 a 2 Z 2 lim n f x exp ecu dx Xn f a 0 et finalement la suite des u n too converge vers x Aa 0 f a 0 Dune Soit A une suite croissante de r els telle que lim X et f IR IR n 00 Too ed telle que i f t dt converge Calculer ER o f t sin tdt 9 A halijse dh Probl me I Kt lat converge par hypoth se donc e gt 0 on
26. o reject L eacher and Resea ii 3 N sla ZU Zu uis Qn ration INVITATION AU VOLTAGE Th o H ikay j 4 With Theo M l MATH QUESTION CENTER S 2s o dt 2 n s 1 S mg ve 0 1 et finalement Lf s Ne pour s gt 0 1 s2 Hannah SCHEID IPESUP PC Selon vous pourquoi Galil e dit il que les math matiques sont le langage de la nature Ch re Hannah sans doute cet nonc est il plus m taphysique que physique Mais ce qui est s r c est que les math matiques sont devenues la grammaire de la physique et les r gles de cette grammaire doivent tre apprises par ceux qui veulent d crire la nature Il n y a pas d alternative On peut le d plorer g mir et m me s insurger contre cette tournure h g monique Il est vrai que notre esprit n est pas spontan ment attir par les matrices unitaires les tenseurs du deuxi me ordre les g om tries quatre dimensions ou les racines carr es de 1 Comment par exemple faire passer l id e d une limite L un des grands accomplissements de la civilisation Une suite S converge vers si quand on la prolonge ses termes se rapprochent de plus en plus de Jusqu ici tout va bien Deux mouvements mentaux sont mis en ceuvre la prolongation de la suite et sa convergence vers une limite Et ce qui rend toute d finition venir plus r barbative encore c est le fait que ces deux mouvements mentaux soient obscur ment coordonn s
27. s rares fois o j ai r ussi o je suis arriv prouver mes conjectures j ai retrouv cette m me sensation Me revenaient alors en m moire les mots du physicien Eugene Wigner le plus tonnant c est l extraordinaire efficacit des math matiques d crire la r alit Soit f une application de IR dans R continue par morceaux et born e et a un r el Li Rei nd a dx 00 fix D terminer la limite de u n f x exp 1 ZU ZU UIS m u Z It is worth remembering if only for the sense of calyf that it provides that We belong to those who reject dhrknkss a t j UN and Resea C 2 30 gt Zu uis Op ration INVITATION AU YONG Th o H ikay 4 with Tho Wish MATH QUESTION CENTER A zali se di Probl me n t a 2 La fonction t exp 7 est paire en f a et pr sente une bosse en a car si t al gt a gt 0 lorsque lal tend vers l infini la d croissance vers 0 des valeurs de l exponentielle est rapide Le poids de l exponentielle se concentre en a o f se comporte comme f a 0 ou f a 0 Ceci m incite introduire 2 y 2 2 y 2 v n fo fa 0 p E n p fos opl AGE a 7 4 a 4 que je sais calculer avec n x t puis valuer u v R olutson Observons que l int grale impropre converge car fco IIfllo sur R et 1 x a 2 lim x exp 4 0 pour n gt 0 x 00 Obs
28. signifie que c est un endroit o il y a des ondes qui s accumulent Mais que sont elles ces ondes Elles sont repr sent es par une formule math matique savante qui nous a permis de savoir que le carr de w est gal la probabilit de pr sence de l objet en question Plus personne n y comprend rien Eh oui plus personne n y comprend rien Mais on a compris qu on ne comprenait pas Autrement dit on a compris que la matiere n tait pas ce qu on imaginait qu elle n est pas faite de tout petits cailloux La mati re est plut t faite d ondulations de chocs dans l espace en fonction du temps Voil un effort consid rable pour tre plus lucide c est dire pour comprendre enfin que l on avait cru comprendre et que l on n avait pas vraiment compris La connaissance est moins une accumulation de savoirs que la capacit d interroger correctement l Univers encore une chose que l on n apprend nulle part Nulle part on ne vous enseigne poser correctement des questions Or la science est une discipline de remise en cause permanente L art de poser des questions fausses ou inad quates des questions auxquelles les connaissances d une poque ne permettent pas de r pondre cet art semble faire partie de l histoire de l humanit Pourquoi vouloir absolument r duire les math matiques des regles d arithm tiques Il a fallu des milliers d ann es pour passer d une tache lumineuse qui bouge dans le ciel un astre toujours identique l
29. sque comme une incantation ou une chanson de marin quelle que soit la distance requise on peut trouver un mouvement qui convienne L id e passe maintenant des navires aux suites 5 converge vers une limite si quelle que soit la valeur de on peut trouver un terme de la suite tel que pour ce terme et les suivants la distance soit inf rieure e Votre nom semble indiquer des origines anglo saxonnes Si tel est le cas une traduction dans la langue de Shakespeare de ce qui pr c de donnerait A sequence S has a limit at the number if as the sequence is extended its terms get close and closer to So far so good There are two mental motions here the extension of the sequence and its convergence toward a limit And what makes any definition to come still more rebarbative is the fact that these mental motions are somehow coordinated A revised but still a vernacular version of the definition now follows A sequence S converges to if by extending the sequence the distance between S and may indefinitely be decreased It is worth remembering if only for the sense of calif that it provides that We belong to those who reject dhrknkss gt 1 eacher and Resea C 15 30 idi gt N sla Zu Zu uis Dp ration Z wa Th f La f The image is of a boat on the deep blue sea conveyed toward a light house by the motion of the waves the distance between ship and shore being inexorably sl
30. ui m me Moralit on ne voit qu au moyen de concepts c est une vidence rarement exprim e Un sens sans concept permet de r agir imm diatement pas de comprendre It is worth remembering if only for the sense of calif that 1t provides that gt We belong to those who reject darkngss zP t j UN and Resea C 30 30
31. vait pas t prise suffisamment au s rieux pour les physiciens aient jug utile de le d clarer l tat civil Il semble que pour inventer il faille penser non de travers mais c t ou en plus Une tr s grande connaissance scientifique est bien s r une condition n cessaire mais elle ne suffit pas car les id es nouvelles ne germent pas de la simple accumulation des id es Il faut un petit coup de pouce par lequel l instant du eur ka chappe son It is worth remembering if only for the sense of calif that it provides that We belong to those who reject T S gt L4 j CA and Resea imi gt N ala _ zu du Zu uis u Z Dp ration 11 INVITATION AU VOLTA S Th o H ikay f wink Tin M l MATH QUESTION CENTER contexte C est le plus souvent l imagination qui se charge de donne les pichenettes d cisives Cet exercice de l imagination parfois proche d une r verie consciente peut veiller en nous une intuition subite qui nous d tache des lourdes stabilit s Il peut nous permettre de voir au dessus du mur sur lequel butait notre regard Bien entendu cela se travaille tous les jours le plus souvent par des exercices relativement simples Voyons le sur deux exemples l Soit une suite r elle d croissante convergeant vers 0 4 e a _ Montrer que gt a coSnx converge e gt a converge n2 0 n20 B _ Montrer que gt a sinnx converge uniform ment lt
32. worth remembering if only for the sense of cal We belong to those who reject LA eacher and Resea C 9 30 ZU ZU UIS Dp ration T INVITATION AU YT GE Th o H ikay MATH QUESTION CENTER entendre Cic ron on croit entendre les orateurs antiques Barack Obama utilise a langue anglaise avec une sorte de bonheur qui emporte les foules If a un corps parlant et m me sans entendre ce qu il dit si on entend a musique on est d j s duit On est s duit par son corps habit par a parole Je regardais ses paules sa mani re de se tenir ses bras ses gestes a fa on dont il a de se mouvoir Barack Obama a un corps parlant et renoue avec les conteurs anciens et peut tre les griots Africains Pr cisons Dans les villages od a tradition orale est seule garante de la transmission des savoirs les mages les griots les sages les philosophes les vieillards ceux qui savent viennent raconter mythes et cosmogonies qui sont les histoires fondatrices de la tribu Le parleur s installe souvent sous l arbre palabres et tout autour de lui sont install s ceux qui coutent et se nourrissent de a parole nonc e Et a voix qui se d plie se d veloppe se d ploie raconte baroque un r cit Je l admire par ce qu il a r invent le vieil homme politique loquent et rh teur Ce qui me fascine chez Barack Obama c est sa facult de rompre le d terminisme c r bral et d emp cher la stagnation de l intellect bruna
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