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L`algebre lineaire au troisieme degre du secondaire

1. 249 Ung CORNE LA 4 84 LUE LAS EE VAS ANS SAN RES 251 243 244 B Les sections de cube Construire la section d un cube par un plan d termin par trois points situ s sur les faces du cube est une des activit s rencontr es normalement dans un cours de g om trie de l espace Elle permet d illustrer et d utiliser les propri t s d incidence et de parall lisme Elle n cessite un encha nement rigoureux de ces propri t s ainsi qu une bonne vision spatiale A travers cette activit ce sont la fois des comp tences d analyse et de synth se qui sont mises en jeu Notre propos dans cette annexe est de montrer comment la construction d une section d un cube peut tre r alis e l aide du logiciel reseau exe Nous indiquerons trois m thodes diff rentes La premi re est g n rale et tr s proche de la m thode tradition nelle La deuxi me utilise de fa on plus syst matique les propri t s d un r seau cubique Elle s applique essentiellement lorsque parmi les trois points d finissant le plan de section certains sont dans une m me face La troisi me m thode fait intervenir de fa on explicite et intensive le calcul vectoriel Selon la position des points sur les faces du cube la section est plus ou moins facile construire Nous ne chercherons pas traiter tous les cas possibles laissant l utilisateur le plaisir de la d couverte Nous consid rerons donc u
2. On a ainsi montr que A B et C engendrent R ce qui signifie que tout point de l espace est une combinaison lin aire de A B et C De plus ils sont lineairement independants ce qui signifie qu aucun d entre eux n est une combinaison lin aire des deux autres 1 C n est pas une combinaison lin aire de A et B car C n appartient pas au plan OAB 2 B n appartient pas au plan OAC sinon C appartiendrait OAB 3 De m me A n appartient pas OBC Cette propri t d ind pendance lin aire de A B et C a pour cons quence que deux de ces trois points ne sont pas suffisants pour engendrer l espace par combinaisons lin aires par exemple en combinant lin airement A et B on n obtient que des points du plan OAB et jamais C ni aucun multiple de C ni aucun point qui s crit a A b B h C avec h 0 124 2 Les sequences d enseignement A l issue de l tude des situations d crites dans les fiches 7 12 nous retiendrons les r sultats suivants A propos de l intersection d une droite et d un plan On consid re une droite AB avec A B et un plan MNP avec M N et P non align s trois cas peuvent se pr senter La droite AB est dans le plan MNP lt gt Vu R w ER tels que A u B M v N M w P M La droite AB coupe le plan MNP lt gt Ju v w ER tels que A u B M v N M w P M La droite AB n a aucun point commu
3. Q32 Q22 Q12 Q21 _ a a _ a a On sait que TA 33 23 et gt 3 733 de l on pose 3 412 Q22 3 12 Q22 413 023 a13 Q23 Q22 Q32 Ci 3 423 Q33 Q32 Q22 Co 433 Q23 Q12 Q22 C3 Q13 Q23 o le coefficient a est au croisement de la 1 ligne et de la j colonne de la matrice consid r e Mais on ne parle pas du d veloppement selon une ligne ou une colonne Le deuxi me chapitre traite des espaces vectoriels Pour commencer Kostrikin y introduit les combinaisons lin aires sans motivation parti culi re Puis la d pendance et l ind pendance lin aires sont pr sent es avant d en arriver la notion de dimension et de base C 1 A Kostrikin Introduction a l algebre 255 On ne parle pas de partie g n ratrice En lieu et place on dit que lt l enveloppe lin aire gt ce qui est engendr par la partie consid r e co ncide avec l espace vectoriel Le lien est ensuite fait entre le rang d une matrice et les inconnues principales dans un syst me d quations lin aires Remarquons que ce n est que bien longtemps apr s avoir vu les matrices que l on d finit les applications lin aires Cette fa on de faire n est peut tre pas la plus appropri e quant la sinification des notions Cependant le produit matriciel est vu parall lement la composition de deux applications lin aires de m me pour les matrices inverses Kostrikin en profite pour montre
4. F Pham et H Dillinger Alg bre lin aire Paul R Halmos Finite dimensional vector spaces Le concept de vecteur Introduction 24 otse 44 4 8 au has nu has nu EH app au dt 2 das D 2 Quelques pr sentations du concept de vecteur 134 1 101 22 D 2 3 D 2 4 D 2 5 D 2 6 LE D 2 8 D 2 9 MoM eoret OGL sos teon a Ba E na a s E RS E a a Nkume IIO LL La Le ka onio AE G ei era n ete J Die donn 1964 o o 2 4 212 4 La 54 she eh eat bas R M Hochtrasser 1965 oo ooo sacco ue atauws e Papy 1908 oe aconse esia sadora dg Eae a eh bo a ea K Borsuk 1969 o 5 scac a AE A e HAN Ilo o esae p a ure p a iga etan Da a a e E Niya TAPETE IIA in due a e a a a A R ee de a T Banchoff et J Wermer 1992 232 237 238 239 241 242 243 244 245 247 249 251 252 254 256 258 261 262 vi Table des matieres D3 Concise ds a a a a a 276 Bibliographie 277 50 02 0 3 0 4 0 5 L alg bre lin aire dans l enseignement secondaire Les difficult s d enseignement de l alg bre lin aire Le malentendu de l alg bre lin aire Les objectifs de notre recherche R sultats de la recherche 2 Introduction En general on ne se rend pas compte de facon claire que dans l enseignement secondaire mis a part les rudiments du calcul in nitesimal on n ens
5. Si nous rassemblons les pr c dents gra phiques et joignons les points trouv s nous voyons appara tre l ombre du tri angle RST 62 2 Les sequences d enseignement SECONDE M THODE B K F Dessinons un nouveau cube translat l de ABCDEFGH de telle sorte que R E joue le r le de B Si L est le milieu de i XY alors par translation RL est pa T rall le BW La projection de R sur le i plan CDHG est le point d intersection de RL avec ce plan ES a A E Or le plan RQLZ coupe la face LAN D E CDHG suivant MN o M est sur CD et N est sur OP on peut en d duire N que MN est parall le CW L intersection R de MN avec RL est la Z projection du point R On proc de de m me pour construire les projections Y de S et T 2 1 5 2 Commentaires et prolongements Dans cette construction nous avons utilise subrepticement le fait que si deux plans sont paralleles toute droite qui coupe l un coupe l autre Ce resultat est evidemment tres intuitif et dans certaines circonstances on pourrait etre tente d en omettre la demonstra tion Dans d autres circonstances il n y aurait aucune raison de l eviter Nous allons donc enoncer et demontrer formellement ce resultat Il repose notamment sur la cha ne de propositions qui suit PROPOSITION 2 1 15 Toute droite parallele a deux plans secants est parallele a leur intersection Soient a et 6 deux plans s cants d leur intersect
6. Th me VIT Syst mes d quations lin aires 11 Table des matieres 111 1 2 10 Th me VIII Matrices et composition des transformations lin aires 41 TRAIL BODIES c sc eeste raa AAA AA 42 13 Relatians entre les themes corso 4 a a 44 2 Les s quences d enseignement 45 2 1 La g om trie d incidence de l espace A7 2l Turdi II 48 loo PR NN 0d a gn a e e A EnA S e de S 49 2 1 3 Fiche n 1 Incidence et parall lisme 1 52 214 Fichen 2 Incidence et parall lisme 2 4 44 4 4 4 4 rocosos 56 2 1 5 Fiche n 3 Incidence et parall lisme 3 60 DUT 0 AE 65 2 2 La g om trie vectorielle l mentaire 68 2al ORNE 2 LL Land ae da dus R a nE IR se 69 2 2 2 Fiche n 4 Projections et coordonn es 71 2 2 3 Fiche n 5 quations vectorielles d une droite TT 2 2 4 Fiche n 6 quations vectorielles d un plan 80 a 22 LA LD E date ds 408 A HUE 83 2 3 Syst mes d quations lin aires et fonctions lin aires 86 2al TEAM coser 87 2 3 2 Fiche n 7 Point de perc e d une droite dans un plan 88 2 3 3 Fiche n 8 quations cart siennes d un plan 92 2 3 4 Fiche n 9 quations cart siennes d une droite 99 2 3 5 Fiche n 10 Projecteurs et quations cart siennes 110 2 3 6 Fiche
7. UZVI UZUZ 2 41 U1U9U9 us 2 414 U3U3 2 49U243U3 2 2 2 2 2 2 2 2 UU UZVI 2 4 U U909 ULU3Z UZVI 2 41U1UgUz E U2U3 UZVI 2 U9U2U3U3 u ua uzv u1v3 uzv uzUz u3ua On obtient ainsi une formule permettant de calculer l aire du parall logramme d termin par les points O U et V partir de leur coordonn es aire OUPV y uva u301 uvz uzu usvz uzv Perpendiculaire un plan issue d un point de ce plan Cette question a t tudi e dans les prolongements de la fiche n 14 Consid rons donc un plan m OUV d termin par trois points non align s dont un est l origine des coordonn es et dont les deux autres sont donn s par leurs coordonn es ui Y U us tV v u3 U3 On demande de d terminer la perpendiculaire n au plan m passant par le point P P P2 ET P3 La connaissance de l quation cart sienne de 7 nous fournirait imm diatement un vecteur perpendiculaire 7 Mais nous ne disposons pas de cette quation Nous allons donc directement rechercher un vecteur N qui soit perpendiculaire U et V qui satisfasse donc aux quations NeU 0 NeV 0 ou encore Nu Nous N3uz 0 Nu Novo N3u3 0 C est un syst me de deux quations du premier degr en trois inconnues N1 Na et N3 dont nous savons qu il admet des solutions non nulles puisque les deux quations ne sont pas proportionnelles les points U
8. un peu de patience et de m thode on obtient un ensemble de repr sentants de tous les mots possibles class s d apr s le degr croissant des mots 1 p y B Br yb y By BP PB IBP By By BPB PE BY PB PBP IPP BPB BPE B8 BYE On compte ainsi 24 mots diff rents et on v rifie que chacun d entre eux correspond exactement une rotation cubique C est la concision du proc d de description qui fait l int r t du r sultat On peut le r sumer de la mani re suivante le groupe fini et non commutatif des rotations cubiques not I est le groupe deux g n rateurs 6 et y soumis aux trois relations G l By 1 En notations condens es Fetes et 178 2 Les sequences d enseignement On trouvera dans les compl ments qui suivent une d monstration compl te de ce que l en semble des rotations de l espace forme aussi un groupe pour la composition des rotations dont T est donc un sous groupe fini Il en r sultera que l ensemble correspondant des ma trices 3 x 3 dont on donnera cette occasion une caract risation purement matricielle forme un groupe pour la multiplication des matrices 2 6 2 2 Commentaires et prolongements Comme annonc dans la r ponse la question a d montrons que toute rotation R est une application lin aire c est dire que quels que soient les points X et Y et le nombre r el a el gt y REX Rp Y R a
9. 00 Le graphe de la fonction S t admet deux asymptotes obliques CEES e Mm puisque S t 2 4 2t 1 2 Ces asymptotes ont une interpr tation g om trique 2 2t 1 est pr cis ment l aire du triangle AN t B o N t est le point situ la verticale du point M t sur la m diatrice de AB parall le la droite CD 137 2 4 Le produit scalaire AR NA 2 B e AH N t E M 0 My 1 138 2 Les sequences d enseignement Existe t il un plan n ayant qu un seul point commun avec une sph re Comment le caract riser 2 4 3 1 Solution comment e On note S R la sph re de rayon R centr e en l origine des coordonn es C est le lieu g om trique des points de l espace situ s une distance R de l origine P P p R P R ou p p p3 R P3 Tout plan passant par l origine coupe la sph re suivant une courbe plane dont tous les points sont encore situ s la m me distance R de l origine Cette courbe est donc un cercle de m me rayon que celui de la sph re on l appelle un grand cercle au sens o il est manifestement impossible de trouver un cercle qui soit une section plane de la sph re et dont le rayon soit strictement sup rieur R 2 4 Le produit scalaire 139 Soit T un point quelconque sur la sph re On note m un plan contenant les points O et T
10. 1 1 0 mnm aAa On calcule alors successivement les angles AM t B et CM t B 2 Les sequences d enseignement 1 Ecrivons le produit scalaire A M t e B M t 2t 2 2t 2 2t 2 2 2 8 8t 4 D autre part par la formule de la norme A MAI 118 MH 282 2 242 2 2 V8t 8t 8 Ainsi finalement B M e 4 ME SAME OA MU _ B 8t 4 82 8t 8 2241 A z 1 O HA2 DEON A SiS end Le plus grand angle AM t MA B possible est or dont le cosinus est minimal C est le cas lorsque t t 1 est minimal en t i comme nous l indique la d riv e de cette expression Pour t 5 ona cos AM t B 1 337 3 L angle maximal vaut donc arccos 3 1 230959417 rad ou encore 70 31 43 6 De fa on analogue on a C M t e B M t 2t 2t 2 2t 2t 0 2 84 4t et IC M VIZ 48 24 21 Le vecteur C M t est nul si t 0 Il est difficile de parler dans ce cas de l angle CM t B Les calculs qui suivent supposent donc t 0 On a alors C M no aid le a an LE a T 4t 2t 1 2V 2 t V 8t 8t 8 4t 2t 1 Slt vt t 1 1 t Zo 1 sgn 2 t 2 1 2 4 Le produit scalaire 135 o sgn t est le signe de t 1 si t est positif 1 si t est n gatif On remarque imm diatement que la fonction cos C M t B vaut 0 donc que l angle ps CM t
11. v U 1 0 1 et a 1 5 1 proj xy P pario 5 P Q P V U 1 1 1 2 1 Dans le m me ordre d id es il est facile d observer que la multiplication par un m me nombre k de toutes les coordonn es d un point correspond g om triquement l application ce point d une homoth tie de centre O et de rapport k Cela permet de r crire la formule 2 1 sous la forme condens e proj xy P P 2 V U o z est la hauteur de P Cette formule contient la fois le proc d alg brique de calcul de prov P et la signification g om trique de ce proc d lt on fait descendre P le long de la direction de UV de telle sorte qu on arrive la hauteur 0 gt REMARQUE 2 2 2 Le fait que z soit la hauteur de P dans la formule ci dessus provient de ce que la 3 coordonnee de V U est 1 car nous avons vu dans cette che que la methode pour descendre d un etage se reproduit pour n importe quelle hauteur C est une homothetie de rapport z qui nous a permis de ramener la situation generale a celle du cube de hauteur 1 2 2 La geometrie vectorielle elementaire 77 On consid re le mUme projecteur qu la fiche N 4 la direction de projection est celle de la droite UV le plan de projection est le plan OXY 0 5 1 De plus U V 2 et4 1 1 0 0 a D terminer tous les points ayant m me projection que A b D terminer les coordonn es de tous les points se projetant sur un point qu
12. 261 Paul R Halmos Finite dimensional vector Spaces 262 252 253 Avertissement Les r f rences pr cises des ouvrages mentionn s dans cette annexe se trouvent dans la bibliographie situ e la fin du fascicule 254 C Bibliographie commentee Dans cet ouvrage tr s g n raliste trois chapitres nous int ressent plus particuli rement Le premier d entre eux la genese de l algebre nous parle de transformations de syst mes d quations lin aires en syst mes quivalents avant de parler des d terminants sur lesquels on peut faire les m mes transformations Puis toujours sur de tels syst mes Kostrikin introduit la m thode de r duction la forme lt en chelon gt ou lt quasi triangulaire gt Sous cette forme un syst me sera dit compatible d s qu il ne contient pas d quation de la forme b 0 avec un b par ailleurs non nul On explique en fait la m thode d limination des inconnues de Gauss que l on reprend par apr s de fa on plus formelle en passant par des d terminants d ordre peu lev s Le d terminant 2 x 2 est introduit sans r elle motivation Cependant Kostrikin pr sente de mani re simple la m thode de Cramer pour le cas 2 x 2 puis la g n ralise au cas 3 x 3 La fa on d introduire le d terminant 3 x 3 est pratique mais il n y a pas de vraie justifi cation des valeurs donn es aux d terminants C1 C2 et C3 de la m thode de Cramer
13. 27 3 I J K 2 6 3 8 Composition des rotations et produit matriciel Consid rons deux rotations quelconques R et R o les points P et Q et les angles orient s 0 et p sont arbitraires On se propose de d crire l effet de la transformation compos e R o R sur un point quelconque La lin arit de chacune de ces transformations implique la lin arit de la compos e et permet de calculer T R Oo RE X RgoRp x RioRpla 1 22 J 23 K T3 RE x1 RE 22 Rp J 23 Rp K 21 RG o Rp I 23 RG o Rp J 23 RG o Rp K Si nouveau on souhaite effectuer le calcul pratique de l effet de cette composition sur un point quelconque de l espace on commence par associer Til Pa T13 la matrice M ra rz r la rotation R r31 T32 T33 11 12 13 la matrice M S S22 823 la rotation RG S31 S32 33 En vertu de la lin arit de la transformation compos e R o Rb la matrice correspondante doit tre constitu e des colonnes R o RE 1 RE o Rp J et Rg o Rp K 2 6 Les rotations de l espace 185 Notons la li tia ti3 ME ta ta ta t31 t32 t33 Chacun des termes de cette matrice est encore le r sultat d un calcul de produit scalaire Par exemple 0 0 0 t32 RE o Rp J e K R6 o Rp J e Ro o Ro K Rp o R K puisque toute rotation de l espace laisse le produit scalaire invariant Le terme s obtient T12 donc en fai
14. S lectionner un point dans le plan de l cran ne permet pas de d terminer un point de l espace puisque quel que soit le mode de repr sentation utilis toute une droite de l espace correspond au m me point de l cran Aussi le programme ne peut choisir effectivement que des points qui ont d j t marqu s et dont il conna t les coordonn es Lorsque le curseur de la souris indique un point de l cran qui correspond un point connu de l espace d une part le curseur change de forme d autre part les coordonn es spatiales du point apparaissent sous le curseur de la souris C est seulement dans ce cas qu il est utile de presser le bouton gauche Apr s avoir d fini la direction de projection il est encore n cessaire de s lectionner trois points afin de d terminer le plan de projection La proc dure est analogue la pr c dente Le projecteur est alors bien d fini mais cela n appara t pas d une quelconque fa on l cran Si l utilisateur a choisi une direction de projection parall le au plan de projection le fait lui est signal et il est invit recommencer 2 Homoth tie Pour d finir une homoth tie on s lectionne d abord un point qui en sera le centre Ensuite on introduit le rapport d homoth tie dans une bo te de dialogue 3 Translation Pour d finir une translation il suffit de s lectionner un point et son image Chacune des routines Projecteur Homoth tie et peut t
15. ag 2 1 21 09 X9 03 3 R puisque T S R de telle sorte que X T eT 0 lt gt 41 11 09 12 03 03 R Cette derni re relation est une quation cart sienne d un plan passant par le point T En conclusion on a ainsi tabli que l ensemble 7 est un plan dont le seul point de contact avec la sph re S R est le point T 2 4 3 2 Commentaires et prolongements Perpendicularit droite plan Commen ons par tablir la propri t suivante Il suffit videmment de d montrer la seule propri t Si la droite d est perpendiculaire a d et da elle est perpendiculaire a toute droite du plan determine par d et da passant par T On peut tablir ce r sultat sans passer par l quation cartesienne du plan d termin par les droites d et d 142 2 Les sequences d enseignement d TY M mac On note T le plan d termin par les deux M T droites d et da s cantes en T et on consid re ES 1 des points M et M v rifiant les conditions Mi di MAT Mo da Ma AT Puisque d est perpendiculaire d et da ren OE ES D De M 7 0 Il s agit de prouver que pour tout M T et pour tout DEd D Fe M T Or D s lors quel que soit D d Dee Dern D T S M T AUDE T e ET k amp 0 1 0 0 La proposition est ainsi etablie Cette proposition ne regle pas completement la question de la perpendicularite d une droite et d un pl
16. biy di Gz a91 bay d C22 admet une solution unique quels que soient les seconds membres Autrement dit il est possible d exprimer l abscisse et l ordonn e des points de la droite d en fonction de leur hauteur Si la droite tait horizontale tous ses points auraient la m me hauteur donc aussi la m me abscisse et la m me ordonn e ce qui est manifestement impossible 108 2 Les sequences d enseignement La condition a1b2 a2b1 4 0 entra ne aussi que le couple est une combinaison lin aire des couples a et E c est dire qu il existe des r els k et l tels que u ka las V kb bo On a en effet ub vas k a1b2 bia2 ce qui permet de d terminer k Le second coefficient l est d termin de fa on semblable x A pr sent si le point P y v rifie les deux quations ax biy c z d et aoz b yY 22 dz donc aussi l quation ux vy wz q il v rifie galement l quation k aix biy c12 llag boy c22 ux vy wz kdi Ido q laquelle n est autre que kc lc w z kdi ldz q Comme la droite d n est pas horizontale l quation ci dessus ne peut tre v rifi e par tous les points de d que si kc1 lc2 w 0 et kd ld2 q 0 Ainsi l quation ur vy wz q est une combinaison lin aire de ax biy c z di et aoz boy C22 da u 01 02 VU 7 bi l ba w C1 C2 q di d2 Nous venons d tablir que Nous p
17. Le point cherch Q est le point de perc e de la droite OC dans le plan parall le OAB passant par Q Un raisonnement identique celui effectu en a nous m ne la condition Q a A b B k C qui peut s crire x N N 2 3 Systemes d equations lineaires et fonctions lineaires 113 ou encore x a 3 b 0 k 1 y a 0 b 2 k 2 z a 2 b 1 k 2 js di 2k 5 EAN On en d duit a Ee b 52 En rempla ant a et b par ces expressions dans la troisi me 2 ia 2k N quation on obtient A TH z 2k d o k 4x 3y 6z E 14 et 6r y 2z E Ae Ya 14 Ni 7 Le point Q cherch est 1 4143y 62 Q tr 4x E 3y 6z 2 Ee 14 2 E 7 Son abscisse par rapport au rep re de OC obtenu en choisissant O comme origine et C 4x 3y 6z 14 comme point d abscisse 1 vaut 2 3 5 2 Commentaires et prolongements A nouveau l quation cart sienne d un plan Nous venons de trouver l abscisse sur OC de la projection du point Q y z 4x 3y 6z 14 2 Par exemple pour P 2 cette abscisse vaut FALE A 2 ainsi que nous 7 l avions trouv pr c demment 114 2 Les sequences d enseignement Nous pouvons pr sent caract riser alg briquement le plan a parall le OAB et passant par P car ce plan est constitu de tous les points de l espace qui ont m me projection sur 2 OC que le p
18. auparavant le but tant ici de g n raliser en sens et en dimension Pour finir Kuiper applique l alg bre lin aire au monde des statistiques coefficients de corr lation parle des vecteurs et valeurs propres d endomorphismes et va jusqu aux formes de Jordan Il consacre un chapitre l tude des groupes d isom tries et termine avec la repr sentation en g om trie projective des ellipses des paraboles et des hyperboles 258 C Bibliographie commentee Comme son titre l indique cet ouvrage entraine le lecteur dans le monde de l alg bre lin aire gr ce de forts soutiens de g om trie d abord une puis deux et surtout trois dimensions le but tant d en arriver de la g om trie vectorielle n dimensions Au fil de l ouvrage la mati re progresse par des exercices et des questions pos es aux l ves Toute une th orie s tablit tout d abord deux dimensions et est d calqu e par apr s trois dimensions D s le d part les auteurs introduisent une notion de base dans un rep re mais en la parachutant de mani re peu convaincante Puis ils donnent le produit scalaire usuel sans d finir un produit scalaire par ses pro pri t s mais au niveau du secondaire il est peu utile d en conna tre d autres Cepen dant une interpr tation g om trique de ce produit scalaire par les coordonn es polaires est d velopp e plus loin On d finit des distances en partant de la g
19. on peut comme on l a vu plus haut supposer orthonorm s sans nuire la g n ralit Si on U u Er u2 Es us Ez V uw E 02 2403 Ez on calcule sans peine U A V uiva uzv E E A Es u uz uzuv E A Es uaus uzv2 Es A Ez qui montre comment le bivecteur associ un plan se d compose dans un syst me de coordonn es La r ciproque tablit que tout bivecteur est associ un et un seul plan Plus pr cis ment quel que soit le bivecteur w a E A Ea b E A Ez c Ea A E3 il existe au moins deux vecteurs U et V tels que w U V de plus tous ces vecteurs U et V tels que w U AV sont orthogonaux au vecteur c Ei B Eo a E3 On note xw lt toile de Hodge gt le vecteur c E b Eo a Ez ainsi associ au bivecteur w a E AE b E AE c Ea A Eg Dans le cas o le bivecteur w est d j d compos c est dire si U et V sont deux vecteurs comme ci dessus et w U AV uva uoui Ey A Eo uivs uzu1 Ej A E3 ugu U3u2 i Ez A Ez alors on appelle xw le produit vectoriel de U et V ce qu on note U x V on a donc UxV u ua U301 E Ez uzv U1U3 E Es uzuz uzv2 E E On retrouve sans peine les propri t s bien connues du produit vectoriel En particulier on peut interpr ter de mani re classique le module de U x V comme mesure de l aire du parall logramme associ U et V mais dans l espace cette fois ci Cela renfor
20. quables et qui r sultent de calculs l mentaires D abord le d terminant est trilin aire ou multilineaire c est dire que quels que soient les nombres r els a b et c D t U V a X b Y D t U a X b Y W D t a X b Y V W a D t U V X b D t U V Y a D t U X W b D t U Y W a D t X V W b D t Y V W Ensuite le d terminant est antisymetrique au sens o D t U V W D t U W V D t V U W D t V W U D t W U V D t W V U ce qui implique que d s que deux parmi les trois l ments U V et W sont gaux on a D t U V W 0 Plus g n ralement l interpr tation en termes de volume entra ne ais ment D t U V W 0 lt O U V et W sont coplanaires 164 2 Les sequences d enseignement Orientation de l espace Les propri t s d antisym trie du d terminant permettent de d finir une notion d orien tation relative de l espace sur le mod le de celle d orientation relative dans un plan Si U V W et X Y Z sont deux bases de l espace point en O elles d finissent la D t vw gt est positif et elles d finissent deux orientations D t X Y 2 m me orientation de l espace si D t U v w D t a est n gatif oppos es si Encore une fois il est impossible que D t U V W ou D t X Y Z soient nuls puis qu alors O U V et W ou O X Y et Z seraient coplanaires et donc U
21. tion ainsi que celles qui gouvernent l impression Avec Repr sentation et Couleurs ce sont les param tres de la repr sentation plane d objet trois dimensions et les couleurs utilis es qui sont modifiables Enfin permet de d finir un projecteur de l espace sur un plan parallelement une droite une homoth tie de l espace et une translation 228 A Le programme Reseau exe Ce menu comprend plusieurs sous menus d truit tous les objets d finis ant rieurement efface l cran et r initialise le programme affiche la liste des fichiers d extension lt res gt disponibles dans le r pertoire courant du disque dur L utilisateur peut en s lectionner un et charger son contenu Il est possible de changer de r pertoire ou de lecteur de disque Pour quitter cette routine sans charger de fichier appuyez sur la touche Ena cr e sur le disque dur un fichier d extension lt res gt contenant les informations n cessaires pour redessiner ult rieurement les figures actuellement pr sentes Les param tres de la repr sentation sont galement stock s L extension lt res gt ne doit pas tre introduite par l utilisateur Si celui ci choisit un nom d j attribu un fichier du r pertoire courant du disque dur un message lui demande de confirmer son choix permet de d finir l imprimante connect e a l ordinateur et de choisir entre imprimer directement sur imprimante dans un fichier ou
22. 1 Enfin l o ces compositions ont du sens on obtient facilement les formules i2 1 ij k j 1 et surtout jk kj i k 1 ki ik j Des nombres complexes aux quaternions 1 2 Les grands themes 31 Par analogie avec la construction des nombres complexes et leur interpr tation g om tri que en termes de rotation du plan on introduit alors l ensemble H q a bi c j dk a b cdeR des quaternions de Hamilton munis d une op ration d addition terme terme et d une op ration de multiplication induite des formules ci dessus L observation fondamentale est que cette multiplication ne pourrait pas tre commutative et ce pour les raisons g om triques d taill es plus haut A part ce d faut de commutativit l essentiel des propri t s alg briques des nombres complexes est pr serv Le tableau suivant en r sume quelques unes Nombres complexes Quaternions Ecriture z a bi o a beR q a bi cj dk o a b c d K standard Conjugu Z a bi q a bi cj dk Trace Tr z z Z 2a Tr q q q 2a Norme N 2 2 2 a b Nl q 7 0 b c Norme multiplicative Norme multiplicative Inverse z 0 gt z7 Na q 0 gt q Na Corps commutatif non commutatif O Pon retrouve R Le sous espace Ho bi cj dk b c d R des quaternions appel s lt purs gt
23. 2 1 La geometrie d incidence de l espace 65 A Tissue de l tude des situations d crites dans les fiches 1 3 nous retiendrons les r sultats suivants A propos des projections D FINITION 2 1 2 On appelle projection d un point P sur un plan a parallelement a une droite d non parallele a a le point d intersection avec a de la parallele a d passant par P PROPOSITION 2 1 13 La projection d une droite sur un plan parallelement a une droite est une droite sauf dans le cas degenere ou la direction de d est la direction de projection A propos du parall lisme de droites PROPOSITION Euclide 2 1 6 Par tout point de l espace passe une et une seule parallele a une droite donnee PROPOSITION 2 1 10 Soient a b et c trois droites telles que a b et b c alors a c Transitivit du parall lisme de droites A propos du parall lisme de plans PROPOSITION 2 1 16 Soient a et y tels quea B et B y Alors a y Transitivit du parall lisme de plans A propos du parall lisme de droites et plans PROPOSITION 2 1 7 Une droite parallele a une droite d un plan est parallele a ce plan PROPOSITION 2 1 8 Si la droite a est parallele au plan a tout plan 4 passant par a et non parallele a a coupe suivant une parallele a a PROPOSITION 2 1 12 Etant donnees deux droites non paralleles a et d il existe un et un seul plan passant par a et parallele a d PROPOSITION 2 1 15 Toute droite para
24. Comme cette derni re formule est vraie quel que soit le point X on en d duit en posant P11 successivement X I J ou K lP interpr tation g om trique cherch e du point ri 713 ou de la ligne 711 712 113 savoir 2 6 Les rotations de l espace 183 RP T12 ou ri T12 113 Pareillement RJ r2 OU r21 T22 T23 Rp K T32 ou r31 T32 133 En conclusion la rotation R Rp inverse de la rotation R est enti rement d termin e par la donn e de sa matrice T11 Ya T31 Pig T22 T32 Ti3 T23 T33 appel e transpos e de la matrice M et not e Mf obtenue en permutant les lignes avec les colonnes de la matrice M8 2 6 3 6 Remarque importante On prendra bien garde ne pas croire que la transpos e d une matrice quelconque en est toujours l inverse Comme nous venons de le d montrer cette propri t est propre aux matrices qui repr sentent une transformation orthogonale c est dire une transformation qui respecte le produit scalaire 2 6 3 7 Quelques exemples Voici l expression matricielle de quelques rotations cubiques exprim es dans la base I J K 0 0 1 Mi O 1 0 puisque la rotation RY envoje I sur K fixe J et envoie K sur 1 0 0 I 100 Mg O 0 1 puisque la rotation R3 g envoie I sur I et permute K et J 0 10 184 2 Les sequences d enseignement 0 0 1 Mo K 1 0 0 puisque la rotation R x envoie I sur J J sur K et K sur I 010 Etc
25. Ez B bi E b Ez ce qui permet d crire le syst me sous la forme 11 A1 2 A B Cette criture sugg re imm diatement un proc d graphique de r solution du syst me en question dans un syst me d axes d origine O associ aux vecteurs et Exa on dessine les vecteurs A1 Az et B et on d termine x et x2 de telle sorte que z Aj et 12 Az d terminent les c t s du parall logramme dont B repr sente la diagonale issue de O L criture vectorielle alli e la notion de produit ext rieur fournit par ailleurs imm diate ment les c l bres lt formules de Cramer gt 1 Ay 72 49 A 42 B A Az gt gt x D t A1 A2 D t B A2 11 Ar do A2 A BAA gt xa D t A2 A1 D t B A dont le caract re antisym trique rev t ainsi une signification g om trique 40 1 Analyse theorique Enfin si le syst me 411 1 419 by 49181 09229 b2 poss de des solutions celles ci ne sont en g n ral pas assujetties un calcul lin aire sauf si b b2 0 Pour pallier cet inconv nient et afin de pouvoir alors exploiter fond les ressources du calcul lin aire on commence par homog n iser ou lin ariser ce syst me 04111 T A122 bit 0 04911 T U99T9 bot 0 Cette lin arisation a l avantage de fournir un syst me qui a toujours au moins une solution savoir 11 12 t 0 Il reste en d terminer toutes les solutions et parmi celles
26. FINITION 2 1 3 Deux plans sont paralleles lorsqu ils n ont aucun point commun ou qu ils sont confondus 2 1 La geometrie d incidence de l espace 51 D FINITION 2 1 4 Une droite est parallele a un plan lorsqu elle est contenue dans ce plan ou qu elle en est disjointe Projection D FINITION 2 1 5 La projection sur un plan d un point P parallelement a une droite d est le point d intersection avec a de la parallele a d passant par P Dans toute la suite de ce fascicule les passages en italique sont sp cialement destin s au professeur Quant au signe M il marque la fin des d monstrations 52 2 Les sequences d enseignement Soit K le milieu de l ar te BF Construire l ombre projet e par le triangle AKE sur le plan CDGH les rayons du soleil tant orient s dans la direction de la droite FH 2 1 3 1 Solution comment e Principe de la construction Nous allons dessiner les ombres des points A K et E Puis nous les relierons pour conna tre ombre du triangle AK E R solution utilisant de fa on informelle les propri t s du r seau cubique B K F a b E Construisons un nouveau cube 4 B C D E F G H E sur la face AEDH Notons K le milieu du segment DH CG elo yd Ke DES H G D H La construction encha ne les tapes suivantes 1 Tracer les diagonales AD et EH Les droites AD EH et KK sont pa
27. M N k kaJ U V Cette galit exprime en termes vectoriels que la droite projetante de G est parall le la droite UV Mais cette galit ne fait plus r f rence au point G de telle sorte que nous pouvons Pinterpr ter de la mani re suivante Quel que soit le point N de l espace la droite projetante de N est l ensemble des points M tels qu il existe l reel avec M N I U V 2 2 La geometrie vectorielle elementaire 79 2 2 3 2 Commentaires et prolongements 1 Nous venons d laborer l quation vectorielle d une droite projetante mais il est remar quable que nous pouvons pr sent abandonner le qualificatif lt projetant gt Toute droite MN est en effet projetante pour tout projecteur parall lement MN Nous retiendrons donc de ce qui pr c de l nonc suivant Soit UV une droite et N un point Un point M appartient a la parallele a UV passant par N si et seulement s il existe un reel l tel que M N 1 U V Dans la formule M N 1 U V nous pouvons interpr ter le r el comme tant l abscisse du point M sur la droite parall le UV passant par le point N pour autant que le point N soit choisi comme point d abscisse 0 et N U V comme point d abscisse 1 2 Si nous notons Q le point N U V la droite parall le UV passant par N est la droite NQ et l quation vectorielle de cette droite s crit M N I Q N Cette notation d une part fai
28. REMARQUE Si la droite d est perpendiculaire au plan 7 si dir T et si D est un point de d diff rent pa de T alors quels que soient les points P et QET ona Q P e D T Q T T P e D T Q T e D T T P e D T 0 0 0 144 2 Les sequences d enseignement D FINITION 2 4 4 On dit que la droite determinee par P et Q est orthogonale a la droite d lorsqu elle est incluse dans un plan perpendiculaire a d sans avoir necessairement de point commun avec d Vecteur orthogonal un plan Consid rons pr sent un plan a d quation cart sienne az by cz d et cherchons d terminer toutes les droites perpendiculaires ce plan Il est tout fait remarquable que la r ponse est consign e int gralement dans l quation cart sienne elle m me Consid rons d abord le plan ay parall le a et passant par l ori gine Il a pour quation cart sienne ax by cz 0 Nous en d duisons l quivalence logique M y 03SMeA 0 z o A est le vecteur b Ou encore C Le point M appartient au plan ay si et seulement si les droites OM et OA sont perpen diculaires Au lieu de OM L OA nous crirons MLA et nous dirons que les vecteurs M et A sont perpendiculaires ou orthogonaux Ainsi 2 4 Le produit scalaire 145 Le plan ay est donc enti rement d termin par le vecteur ce qui est normal puisque les coordonn es de sont les coefficients de l quation de ao mais
29. Si nous munissons la droite OC d un rep re en choisissant O comme origine et C comme point d abscisse 1 quelle est l abscisse du point P z c R pondre aux m mes questions pour le point Q y Z 2 3 5 1 Solution comment e Reponse a la question a Le point cherch P est le point de perc e de la droite OC dans le plan parall le OAB passant par P Puisque P appartient ce plan il existe des r els a et b tels que P P a A b B Puisque P appartient OC il existe un r el k tel que P k C Les r els a b k doivent donc v rifier la condition P a A b B RC On peut crire la condition ci avant 2 a 0 b 2 Sk 2 3 Systemes d equations lineaires et fonctions lineaires 111 A A i Pa OY B OX ou encore 2 a 3 b 0 k 1 2 a 0 b 2 k 2 7 a 2 b 1 k 2 De la premi re quation on d duit a EZ et de la deuxi me b k 1 En rempla ant a et b par ces expressions dans la troisi me quation on obtient 2 k 1 7 2k d o a 0 b k 2 Ainsi 2 3 0 1 2 112 2 Les sequences d enseignement A Fi LT OX Reponse a la question b Puisque P 2 C l abscisse de P par rapport au rep re de OC obtenu en choisissant O comme origine et C comme point d abscisse 1 vaut 2 Reponse a la question c
30. de EFG N anmoins vu que la hauteur z de L ne fait intervenir que le param tre h une limination traditionnelle est plus rapide h z 2 x 7g 6 z 2 y 14g 2 z 2 5 d o 2x y 12 z 2 2 z 2 5 14 2 2 5 Une quation cart sienne de EFG est donc 2 y 142 23 Un syst me d quations cart siennes de l intersection des plans EFG et ABC est alors z 4x 3y 5 2x y 14z 23 Reponse a la question d M AFD lt JAk lER M A k F A 1 D A 102 2 Les sequences d enseignement 14 13 larisa 9 4 3 14k 131 7 lso di Consid rons le plan 2 d termin par l origine et les points F A et D A Cherchons des points N et P situ s respectivement dans les intersections de 8 avec OXZ et OYZ z ll o kn FA In D A Pe ls AED Nous trouvons par exemple N F A 2 C 4A Pis 18 SO AO A Nous avons ainsi une nouvelle quation vectorielle du plan AFD ME AFD MmneR M A 13m n F A 14m 2n D A 7 0 40 7 m 40 n 0 2 10 10 40n 7 40m 7 10m 10n 2 Cherchons pr sent une quation cart sienne de AFD nous posons M y et 2 liminons les param tres m et n 2 3 Systemes d equations lineaires et fonctions lineaires 103 x 40n 7 y 40m 7 z 10m 10n 2 Les deux premi res quations nous donne
31. de lin arit permet de calculer l image d un point quelconque X q T3 par la rotation R En effet on a 172 2 Les sequences d enseignement RU 1 RAJ K 0 R K J 1 0 d o par la formule de lin arit 1 0 0 R X ZX 0 Lo 0 T3 1 0 1 0 T1 T2 On fait de m me pour les autres rotations cubiques Mais il reste tablir une liste de toutes les rotations de l espace qui laissent le cube donn globalement invariant Une telle liste s obtient partir des deux observations suivantes Le centre du cube doit tre invariant pour toutes les rotations tous les axes sont donc des droites passant par l origine Si on appelle l ment gt de la surface lat rale du cube un sommet une ar te ou une face de ce cube alors l intersection d un axe de sym trie avec un l ment de la surface lat rale est un centre de symetrie de cet l ment On en d duit la liste de toutes les droites qui peuvent supporter un axe de rotation les droites obtenues en joignant l origine des coordonn es aux centres I J et K de faces du cube les droites obtenues en joignant l origine des coordonn es aux points I J I J J K J K I K I K qui sont les milieux des ar tes du cube les droites obtenues en joignant l origine des coordonn es aux sommets J K l JI K 1 J K 1 J K ces droites sont les diagonales du cube 2 6 Les rotations d
32. e par la fonction f x B 1 1 2 x 2 xr l A x 1 Ax 4x A x 1 1224204233 124 4 32 x2 2 3 2 x2 2x 2 3 2 8x 4x 4x A x 1 A x 1 4222 124 4 32 x2 9 92 2 2g 2 3 2 x2 2x 2 3 2 Voici le graphe de cette fonction 202 3 Un reseau cubique electrique 0 17 5 15 12 5 10 D n An in Comme f la fonction f2 est positive autrement dit les influences des deux premi res couches s additionnent Cependant l intensit de F gt est nettement plus faible que celle de Fi 3 5 Et le champ correspondant a la couche n n 203 La m thode appliqu e pr c demment permet de d terminer le champ cr par n importe laquelle des couches Cn Les calculs sont simplement plus longs et n cessitent une orga nisation soigneuse Analysons de plus pr s la couche C Nous d terminerons en particulier le nombre de points du r seau qui en font partie Nous pouvons crire T Cn y eZ lx ly 12 n zZ L abscisse d un point de Cn est n cessairement comprise entre n et n D coupons C en tranches de points ayant m me abscisse La tranche Tnk k n 0 n est d finie par z Tak y EeZ r k et x ly 2 n z Autrement dit E Tak k y E Z z EZ et y z n k PA Chaque tranche est l ensemble des points coordonn es enti res situ s sur le bord d un carr la section de l octa dre Cn par l
33. et b1 b2 on note AMB l l ment d aire orient e gt associ au parall logramme OADB et pareillement pour E A Ez Si on convient alors de traduire l id e g om trique d orientation par celle alg brique d antisym trie AAB BAA E AE E E les observations faites ci dessus se r sument dans la formule AAB a1b2 a2b1 E1 A E qui pr sente l avantage de d crire a1b2 a2b comme un coefficient de proportionnalit entre deux l ments d aire orient e D autre part si on explicite le membre de gauche de cette derni re formule a Ej az E A bd E b2Ez aba ab E A Es et qu on fait r f rence l hypoth se d antisym trie cette formule appara t comme l ex pression d une op ration bilin aire sur les vecteurs de Va il suffit d observer qu il est tout fait g om trique de prolonger l antisym trie aux cas d g n r s par Ey AE E2 A Ea 0 Mais arriv l il se fait qu on a obtenu beaucoup plus qu on ne croit Plus pr cis ment tout couple U V de vecteurs du plan on a associ un nouvel objet not U AV et caract ris par 1 2 Les grands themes 39 une propriete d antisymetrie U AV V AU une propriete de linearite k U 1 V AW k UAW 1 VAW d o d coule la formule A A B ab a2b1 E1 A Es Mais ces propri t s elles m mes ne d pendent pas du choix d un syst me de coordonn es elles sont en particulier va
34. le milieu du segment L abscisse 1 correspond au sym trique du deuxi me point par rapport au premier etc De cette facon vous pourrez d finir des points avec toute la pr cision voulue et par la m me occasion vous combinez travail de g om trie pure et travail plus alg brique gt Cette ic ne vous permet de d finir un segment simplement en d signant deux points Ici aussi il suffit de d signer deux points Une droite se diff rencie graphiquement d un segment par le fait qu elle est dessin e d un bord l autre de l cran Pour d finir un polygone vous devrez indiquer d abord le nombre de sommets dans une bo te de dialogue Ensuite vous s lectionnerez ces sommets un la fois 240 A Le programme Reseau exe permet de d finir un cube en une seule tape Pour bien comprendre son fonc tionnement il faut savoir que tout cube construit de cette mani re tant de c t unit sa position est d termin e par celle du sommet dont les coordonn es sont les a plus petites appel ici le sommet initial En s lectionnant le point b comme c sommet initial on d termine donc le cube dont les sept autres sommets sont a a a a 1 a 1 a 1 a 1 b b 1 b 1 b b j b 1 b 1 c 1 c 1 C C c 1 c 1 C D s que vous cliquez sur l ic ne le curseur de la souris se transforme en un cube D placez ce cube de mani re l amener l endroit souhait Chaque fois que le sommet initial
35. monstrations de r sultats g om triques dont on se dit que lt ce n est plus de la g om trie gt C est le cas de certaines applications du produit scalaire C est encore plus le cas des calculs bas s sur les nombres complexes Lors de l tude de la g om trie plane la transition du point de vue synth tique vers un point de vue alg brique doit s effectuer sans br ler les tapes en veillant ce que l l ve ait pr sent l esprit le sens g om trique des calculs alg briques Sans quoi il ne sera pas en mesure de distinguer qu un probl me formul uniquement en termes g om triques peut ventuellement tre r solu par une m thode alg brique Les m mes principes peuvent tre appliqu s la g om trie de l espace Mais au troisi me degr du secondaire l l ve n est plus tout fait un d butant Il a d j rencontr en g om trie plane l usage de m thodes alg briques En particulier il sait ce qu est un syst me de coordonn es cart siennes Il n est donc pas indispensable d avoir rencontr beaucoup de concepts et de r sultats de g om trie synth tique avant de traduire certaines situations en termes alg briques On peut plut t envisager un enseignement qui am ne les l ves r guli rement en contact avec les divers points de vue assurant ainsi la coordina tion de ces points de vue et conservant un sens g om trique m me aux calculs purement alg briques C est cette approche que
36. quation cart sienne d un plan partir d une quation vectorielle exprim e en coordonn es en y liminant les deux param tres Si az by cz d est une quation cart sienne d un plan 7 alors en posant une quation vectorielle du plan s crit X D x U D y V D De cette mani re les param tres x et y deviennent les coordonn es d un point quelconque du plan dans le rep re D U V A propos des quations cart siennes des plans passant par une droite donn e Un plan y contient l intersection des plans a et O toute quation cart sienne de y est une combinaison lin aire de celles de a et 2 A propos de projecteurs et de formes lin aires La donn e d un rep re dans l espace permet d associer tout plan un ensemble de formes lin aires proportionnelles Pour plus de d tails cfr les commentaires de la fiche N 12 126 2 Les sequences d enseignement 2 4 Le produit scalaire 127 Dans les deux fiches qui suivent nous allons construire et utiliser le produit scalaire La formule fondamentale reliant le produit scalaire l une de ses expressions en termes de coordonn es sera directement extraite du th or me de Pythagore sous sa forme g n ralis e Les applications tudieront entre autres certaines fonctions associ es des mesures d an gles le crit re d orthogonalit entre droites et plans la notion de plan tangent et de distance en g om trie de la sph re 128 2 Les
37. x T3 2 6 3 4 L action d une matrice sur un vecteur colonne La forme particuli re de la colonne qui donne cette expression explicite de R X m rite que l on s y attarde un peu il semble en effet difficile de ne pas reconna tre un produit scalaire dans chacune des coordonn es de R X Plus pr cis ment 182 2 Les sequences d enseignement Ti Tii L1 21 111 Lo r12 23 113 xa ol ri ou matriciellement r11 r12 r13 e 9 T3 T13 T3 L1 Toi Ti 1 Toi Lo T22 T3 To3 xo le ro ou matriciellement r21 r22 r23 e 22 T3 T23 T3 T1 T31 L1 11 13 T2 T32 3 5133 2 o r3 ou matriciellement r31 r32 r33 0e 2 T3 T33 T3 Il reste donner une interpretation geometrique aux trois nouveaux gt points de coor donn es T11 T21 T31 T12 gt T22 et T32 T13 T23 T33 c est dire aux lignes de la matrice M ri ria r13 r21 r22 r23 et r31 T32 T33 C est l objet du point suivant 2 6 3 5 Rotations inverses et matrices transpos es La rotation R admet une rotation inverse c est dire une rotation not e R dont la compos e avec R est l identit c est la rotation de m me axe mais d angle orient 0 On notera donc Rp Rp Mais d autre part on a 21 T11 22 112 23 113 R5 X o I R X e Rb o RP D X Rp I puisque toute rotation de l espace laisse le produit scalaire invariant Et donc T1 r11 T2 r12 23113 Xe RP I
38. 0 6 0 5 1 La couche n 1 va tre d bit e en trois tranches 71 1 Tio et Tia 1 1 Ti ne contient que le point 41 1 0 196 3 Un reseau cubique electrique 0 0 2 Tio comprend les quatre points Aio 1 Bio 1 Cio 0 0 0 0 Dio 0 1 1 3 Enfin la tranche Ti est r duite au point A 0 0 Comme nous l avons remarqu ces points sont les six sommets d un octa dre r gulier et en chacun de ces sommets se trouve un charge n gative Nous devons donc calculer les expressions gt 1 Pa AP 1 1 PAF 1 1 Fo nt pipe pro 4 P 1 0 E PA 3 1 0 PB ol 1 0 PC ol 1 0 D P PD a gt 1 Fi A P 1 1 PA T Puisque P 0 et0 lt zx lt l1l ona 0 PA al 1 7 PArik i g et PA o PB1o PC 10 PDi 0 ve 1 Le champ d la couche n 1 est donc au facteur K pr s F E Fio Fii 1 my aA 1 aras Bio Cio Dio 4P 1 Ari P 3 3 Le champ cree par les deux premieres couches 197 Comme A10 B10 O et Cio Dio O pe js 0 EE CEE gt 1 7 k 1 z2 3 2 Comme la sym trie de la situation le laissait pr voir ce champ est dirig e selon l axe OX Son intensit vaut 1 1 1 AS en ar ape ra Voici le graphe de cette fonction 10 Pour x 0 le champ est nul les champs cr s par les quatre points de la tranche Ti o s quilibrent alors que les influences des tranches T5 _ et Ti
39. 0 et d axe OP la transformation de l espace not e R5 d finie de la mani re suivante si X est un point quelconque on note Ilx le plan perpendiculaire la droite OP contenant X oriente conform ment Paxe OP Cx le point de perc e de la droite OP dans le plan Ilx Ri la rotation plane d angle orient 0 et de centre Cy dans le plan IIx et alors REX e RE K Cette d finition implique que d s que X est un point sur la droite OP R X X Une rotation de l espace conserve le produit scalaire Les rotations de l espace laissent encore le produit scalaire invariant c est dire si R est une rotation d angle orient 0 et d axe la droite OP alors quels que soient les points X et XeY R X e RS Y La d monstration de ce r sultat est plus labor e que dans le cas des rotations planes Si on note R X X et R Y Y alors X eY Cx Xx Cx e Cy Y Cy Cy e Cy X Cy e Y Cy 168 2 Les sequences d enseignement car les droites X Cx et Y Cy sont perpendiculaires la droite OP D autre part la translation qui am ne Cx sur Cy permet d crire cfr figure X Cx H Cy Y AL E i H i C X Xx 10 d o X eY CxeCy H Cy o Y Cy Cx e Cy Ri H Ri Y Cy e Cy H Cy o Y Cy gr ce l invariance du produit scalaire pour la rotation plane R Or on a aussi XeY C
40. 2 Bo 2 C20 O 0 2 0 et D20 0 Leur distance P est Vz 4 2 0 0 0 0 Les milieux des c t s du carr sont les points 1 1 1 et 1 1 1 1 Leur distance P vaut vz 2 Tranche T Elle est analogue la tranche Ts _ quatre points formant un carr Ces quatre points sont la distance yx 2x 2 de P 2 Tranche 72 Elle n est constitu e que du sommet A22 0 Sa distance P vaut 0 2 2 Nous d composons donc l expression du champ cr par C2 en cinq composantes cor respondant aux cinq tranches Les charges situ es en les points de Cs tant positives les champs correspondant sont des forces de r pulsion donc exprim es par les vecteurs P A 2 P Az 1 alors que dans le cas de la couche n 1 on devait consid rer Ai 1 P se Ainsi x 2 Pone Pou g CE ETET A Da i 2 1 F e 22 2x 2 3 2 CP Az 1 P Bo 1 P C2 11 P Da 1 3 4 Le champ cree par la couche n 2 201 i x 1 4 0 GEETE N cs 1 Fao CESE P A20 P B20 P C20 P D20 i 0 0 ona pra a P 1 1 1 x LA 4 1 1 E 12 4 3 2 i 1 2 3 2 gt 1 Pai P A21 P B21 P C21 P D21 12 2x 2 3 2 1 x 1 o 0 1 1 12 1 1 F2 P A2 3 A e A CETS On constate nouveau que le champ r sultant est dirig suivant l axe OX Son intensit est donn
41. 4 point C Quel que soit X S R NT et par construction la droite d termin e par X et C est perpendiculaire PERRA la droite d termin e par O et C de telle sorte qu on obtient par le th or me de Pythagore IXO 0X OC Cste L intersection S R Nr est donc le cercle de centre C et de rayon p y R OC 2 Les sequences d enseignement 146 Si A et B sont deux points distincts de la sph re S R s par s d une distance rectiligne de 2d avec 0 lt d lt R alors leur distance sph rique mesur e sur une section plane de rayon p lt R est donn e par L p 2p arcsin p C est une cons quence imm diate de la figure suivante AS 2 diminue La fonction p est une fonction d croissante de p En effet si p augmente alors 2 sin el diminue Mais la fonction sin est croissante 2 sur l 3 z de telle sorte que Comme la plus grande valeur que p puisse atteindre est R cela correspond la section plane passant par A B et C 0 c est dire un grand cercle Distance de deux points sur le globe terrestre en fonction de AAA SOS SA SS Application leurs latitudes L et longitudes N SW SU SN ES SS pm gt X ZS lt En E m E ENT T NTT ea ATH HHH TE ii we Si les donn es sont rapport es une sph re de rayon 1 cos Lp cos lg cos Lp sin g
42. B vaut un droit si t 1 2 Lorsque t tend vers 00 le cosinus tend vers 1 et l angle vers 0 Une autre caract ristique remarquable est que la fonction CM t B est discontinue en 0 H OH OH HO H pp MON U OU M NYO 4 NN RN to 000000000 OH N a OU M Jo do ww La repr sentation des deux fonctions sur le m me graphique fait appara tre clairement que l angle AM DB est maximal lorsque B M t est perpendiculaire CD On notera que dans ce cas M t est aussi perpendiculaire CD et que M t est le milieu de C D 2 4 2 2 Commentaires et prolongements Le rectiligne d un di dre Il est clair qu avec la situation qui vient d etre etudiee nous sommes a un cheveu de la de nition du rectiligne d un diedre c est a dire de l angle de deux plans Mais auparavant il convient de rencontrer les proprietes elementaires de la perpendicularite entre droites et plans C est ce que prepare la che n 14 La bilinearite du produit scalaire jouera un role crucial dans cette etude Encore une variation de fonction Avec les m mes donn es que pr c demment tudions la variation de la mesure de l aire du triangle AMB Ona 136 2 Les sequences d enseignement m Z BM 0 JAM 0 sin A t B U I U a I 1 3 l4 Mr cos AM t B 1 242 2t 1 8P 8t gite a 2 l Fe 22 2t 2 2 1441 4t 43 On observera que lim AM 1 B 0 lim S t t
43. BC EH FG A D B C D H D H Nous admettons aussi que deux l ments lun situ dans le cube ABCDEFGH l autre dans le cube A B C D E F G H qui se correspondent par translation au long d une ar te sont parall les et ont m me longueur s il s agit de segments Nous pensons que ces propri t s ne doivent pas n cessairement tre explicit es dans un premier temps Cependant si les l ves posent des questions il convient videmment de leur r pondre et de toutes fa ons certaines d monstrations devant tre donn es dans un second temps une synth se devra tre r dig e 50 2 Les sequences d enseignement Pour tenir compte de ce double point de vue les traitements de certaines des situa tions fiche n 1 et dernier exercice de la fiche n 3 ont re u une pr sentation lt en deux passages gt Dans un premier passage on donne des justifications reposant sur les consta tations intuitives exploitant la situation particuli re du r seau cubique en particulier l invariance de certains l ments par translation Le second passage fournit des justifica tions plus compl tes ne recourant pas aux translations qui conservent un r seau cubique et ne faisant appel en dehors des propri t s l mentaires d un cube angles droits ar tes parall les et de m me longueur qu aux d finitions et axiomes mentionn s ci dessous On nonce alors explicitement les propri t s devant fai
44. Ces d finitions et r gles de calculs s appliquent d autres objets math matiques que les seules colonnes de coordonn es On appelle vecteur n importe quel objet math matique porteur d un calcul lin aire c est dire d une addition et d une multiplication par un r el ces op rations respectant les propri t s d crites ci dessus On appelle combinaison lineaire d un ensemble fini de vecteurs 01 V2 U n importe quelle expression du type 01 011 09 02 An Un o les coefficients a sont des r els Ainsi l espace des colonnes est un exemple d espace de vecteurs ou encore d espace vecto riel Par extension on qualifie de vectoriel tout objet propri t quation d fini en terme de vecteurs A propos de l quation vectorielle d une droite L quation vectorielle d une droite d passant par les deux points distincts A et B s crit X ed gt KER X A Kk B A On dit alors que d est munie du rep re 4 B au sens o le point A est obtenu pour la valeur k 0 du param tre et est appel origine du rep re et le point B est obtenu pour la valeur k 1 du param tre La valeur de k correspondant un point X est appel e abscisse du point X dans le rep re 4 B Le point B A est appel vecteur directeur de la droite AB L quation vectorielle d une droite d passant par le point A et parall le la droite CD avec CAD X Eed 4 gt KER
45. Cr le grand cercle d termin par le plan r t la perpendiculaire dans le plan x en T la droite OT La droite t n a que le point T comme point commun avec le cercle T 140 2 Les sequences d enseignement VM Etr MAT M Ol gt R T Vo Cela r sulte facilement par exemple du th or me de Pythagore appliqu au triangle rec tangle OT M Cette droite est tangente dans le plan x au grand cercle c Chaque plan m passant par O et T contient ainsi une seule droite tx qui est perpendiculaire la droite OT en T dont aucun des points sauf T n appartient la sph re S R Il s agit de montrer que l ensemble des points de toutes ces droites est un plan Notons T l ensemble des points de toutes ces droites il existe des ensembles de droites toutes concourantes en un m me point et qui ne sont pas coplanaires Par exemple un c ne circulaire droit est form de droites toutes concourantes au sommet du c ne Par d finition de 7 si X est un point diff rent de T on a Xert gt TX LOT ou encore en utilisant le produit scalaire Xert 4 gt X T T 0 2 4 Le produit scalaire 141 puisque d s que X 4T X ET gt OTX 1 Or si on pose ai T T a ES R et X z a3 T3 on obtient X T eT 0 lt x1 a1 a7 22 43 02 23 43 03 0 d autre part x a1 a1 2 a2 a2 3 03 43 01 11 09 22 03 13 ar a2
46. La m thode suivante plus l gante s appuie sur les r sultats de la fiche N 8 D terminons d abord une quation cart sienne du plan a parall le ABC et passant par l origine Ce plan a a pour quation vectorielle 6 M k B A I C A k 9 1 7 3 Un point de P intersection de a avec OY Z est d termin par l quation 8k 6l 0 0 Choisissons par exemple k 3 et l 4 Le point N 1 appartient a N OY Z 3 2 De m me on constate que le point P 0 appartient aN OX Z Ainsi nous avons 8 une nouvelle quation vectorielle de 0 2n M m 1 n m 3 8 3m 8n Nous en d duisons une quation cart sienne de z 3y 4x 7 Une quation cart sienne de ABC est donc du type 45 3y 2 k Or 7 ABC 2 d o 4 7 3 7 2 k et k 5 Une quation cart sienne de ABC est finalement z 4x 3y 5 2 3 Systemes d equations lineaires et fonctions lineaires 101 Un syst me d quations cart siennes de l intersection des plans OXY et ABC est par cons quent z 0 4x 3y 5 Reponse a la question c Nous connaissons d j l quation cart sienne du plan ABC trouvons en une pour le plan EFG Le EFG gt 3g hER L E g F E h G E 0 7 5 g 14 h 2 2 0 Tg 6h 14g 2h 5 h 2 Nous pouvons appliquer ici la m thode pr c dente pour obtenir une quation cart sienne
47. MN 1 2n Le point V s obtient donc directement l aide de la routine de d finition d un point sans devoir construire M ni N et a fortiori sans devoir tracer les droites MN et M N Le r sultat ci dessus aurait aussi pu tre obtenu directement en utilisant l quation vecto rielle de la droite MN si nous appelons l abscisse de V par rapport au rep re M N nous avons V M UN M Par cons quent Cette technique permet de d terminer sans difficult s les diff rents points d intersection qui interviennent dans la m thode synth tique 250 B Les sections de cube Nous pouvons aussi exploiter jusqu au bout l id e vectorielle et chercher directement le point de perc e de la droite CG dans le plan MNP Nous sommes ainsi amen s utiliser les techniques d velopp es dans le th me B en crivant l quation vectorielle C h G C M 2N M m P M ou 0 0 Le Ln Tm 1 Em 1 h 0 ym k 1 Ym L Yp Ym 0 1 1 Zn 1 Zo D o le syst me O 2m k tn Em Ll tm Ym ag k 1 F Ym L Yp m Ym h 1 k zn 1 l 1 Les deux premi res quations fournissent les valeurs de k et En rempla ant dans la troisi me quation on obtient l abscisse h du point de perc e de CG dans le plan de la section Si h est compris entre 0 et 1 le point appartient l ar te CG en le joignant N on trouve lun des c t s de la section Sinon on cherche d
48. NB ou PGL2 Col une bo te de dialogue appara tra dans laquelle l utilisateur pourra indiquer les di mensions de la figure imprim e Ceci permet de corriger d ventuelles distorsions de la figure Enfin si l utilisateur a choisi d imprimer dans un fichier le nom de celui ci lui sera demand L extension ne doit pas tre indiqu e Apr s avoir fait ce choix vous serez invit donner un nom l image Elle sera alors sauv e dans un fichier d extension bmp que vous pourrez ensuite retravailler dans un logiciel de traitement d image ou utiliser dans un film permet de quitter temporairement le programme pour lancer S a a une commande DOS On revient au programme par la commande EXIT est la routine qui permet de stopper le programme Il est tout aussi simple de pousser sur la touche End Les param tres de configuration du programme mode de repr sentation imprimante couleurs sont alors conserv s pour une session ult rieure affiche un panneau rappelant que pour chaque l ment de menu une aide est acessible l cran en utilisant la touche F1 lorsque cet l ment est affich en surbrillance A 3 Les menus 231 A 3 2 Le menu Ce menu donne acc s trois sous menus 1 Projecteur Pour d finir un projecteur sur un plan parall lement une droite on devra d abord d finir la direction de projection Ceci se fait en cliquant sur deux points d j pr sents l cran
49. OA OB cos AOB c est le produit scalaire des vecteurs et B not AeB Cette m me relation permet de justifier toutes les propri t s usuelles du produit scalaire dont la bilin arit 28 1 Analyse theorique Comme on le verra dans la description du TH ME V les rotations de l espace pour raient tre tudi es partir d une extension appropri e de l interpr tation g om trique des nombres complexes Ceci en plus de leur importance fondamentale en math matiques et en physique explique qu un th me consacr aux nombres complexes et aux rotations du plan trouve sa place ici Ce th me est classique et suffisamment document pour qu il ne soit pas utile de reprendre ici le d tail de son d veloppement On se limitera dans la suite deux commentaires D abord il semble essentiel de fournir une raison valable l existence des nombres com plexes L tude de l quation du troisi me degr sous forme r duite x px q 0 m ne sans grande difficult la formule dite lt de Cardan gt pour en d terminer une racine Mais l application de cette formule quelques exemples simples tels que x 15r 4 0 ou x 7x 6 0 dont on peut ind pendamment d terminer toutes les racines am ne une conclusion pa radoxale la formule de Cardan bien que manifestement correcte ne peut pas s appliquer parce qu elle n cessite l extraction de la racine carr e d un nombre n gatif P
50. OX Commen ons par tracer les parall les m et n m et n passant par le point P Les droites n et m se coupent en et les droites m et n se coupent en B Le parall logramme OAP B se projette parall lement OZ sur le plan OXY selon un rectangle OP P P z 0 SiP y ma P P 0 et P y De plus d apr s ce que z 0 z 0 z 0 nous avons vu en a 0 etB y 3 y 94 2 Les sequences d enseignement Enfin puisque P A B ona axe OZ axe OY axe OX Les coordonn es d un point quelconque du plan a sont donc caract ris es par la relation Dee 2 y Nous l appellerons une equation cartesienne du plan a Reponse a la question c Un point quelconque de 4 a pour coordonn es 0 4 8 0 d 3 e 6 0 5 2 o d et e sont des r els Ce point appartient OXZ si et seulement si 3d 6e 0 Un point quelconque P de BNOXZ est donc donn par 0 4 8 0 P 0 2e 3 e 6 e 0 0 5 2 7 2 3 Systemes d equations lineaires et fonctions lineaires 95 Cette intersection est donc l axe OZ le plan P est vertical Par cons quent l intersection BNOYZ est aussi laxe OZ Enfin un point quelconque R de p aN OXY est donn par 8 28 2 5 P e e 6 e 2 0 Cette derni re droite a donc pour quation cart sienne dans le plan OXY 3 Y 7 Mais cette quation caract rise aussi tous les points du plan 8 q
51. On introduit les points U et V d finis par U P R V Q R La translation qui applique l origine O sur le point R envoie le point U sur le point P et le point V sur le point Q puisque U R 0 P R R P V R 0 Q R R Q axe OZ axe OX On en d duit PRQ UOV d o 191 1 V cos VOV P RI IQ RI cos PRQ D autre part d apres l galit remarquable obtenue plus haut UV cos UOV p r1 q1 71 p2 19 42 r2 ps r3 gs r3 Ainsi IIP RI IQ R cos PRO p r1 q1 r1 p2 r2 g2 r2 ps ra gs r3 132 2 Les sequences d enseignement Cela permet de calculer l angle form par les trois points P R et Q en fonction de leurs coordonn es p 1r1 q1 r1 p2 r2 g2 r2 p3 13 q3 13 cos PRO il pi r1 p2 r2 p3 r3 y q 11 q2 12 gs ra Notion de produit scalaire Dans le raisonnement pr c dent le r sultat clef est l galit AU VII cos UOV u1 v1 uo v2 43 03 Cette galit est remarquable parce que le membre de gauche est ind pendant des coor donn es des points U et V alors que le membre de droite ne d pend et tr s sym triquement que des coordonn es de U et V Par ailleurs on peut observer que la forme de cette galit ne permet pas seulement de calculer un angle En effet dans le cas p
52. POE EIQ POFO PT ITO 10 q 1 02 ta 93 ts POP On appelle norme du vecteur colonne Q P et on note Q P la distance qui s pare le point P du point Q La formule pr c dente s crit alors et on l appelle parfois la formule de la norme Dans le cas particulier o Q O on obtient JOP pr p p3 PI qui calcule la distance s parant le point P de l origine des coordonn es 130 2 Les sequences d enseignement Angle d termin par trois points On commence par consid rer le cas particulier de l angle form par les deux points ul Vi U w amp V v u3 U3 avec l origine O On utilise la forme g n ralis e du th or me de Pythagore dans le triangle OUV afin d y d terminer l angle UOV UV OU OV 2 10U 0V cos UOV Gr ce la formule de la norme on en tire vi u vo uo uz uz u uo uz v va vz 2 OU OV cos UOV ou encore Dot V 0 U2 de 2 03 43 uz n u us 01 02 v 2 JOU OV cos UOV Apr s simplification on obtient l galit remarquable que l on peut aussi crire en termes de vecteurs colonnes IUI IV cos UOV u1 01 Uo U2 Ug 03 On considere maintenant les trois points P q Ti P p Q q etR ra P3 43 P3 2 4 Le produit scalaire 131 et il s agit de d terminer l angle PRQ
53. Vecran Ils sont neanmoins dispo nibles pour de nir de nouvelles droites ou segments Si on veut les renforcer il su t de position ner le pointeur de la souris sur le point vise et de cliquer une fois du bouton droit 246 B Les sections de cube Apr s que la droite UV ait t d termin e la section se construit de proche en proche Dans le cas de la figure UV coupe les ar tes AB et BC en I et J On peut par cons quent dessiner les droites IP intersection du plan MNP avec la face ABFE et JN intersection de MNP avec BCGF Comme JN coupe l ar te FG on a un deuxi me point de l intersection de MNP avec EFGH ce qui permet de terminer la section Dans certains cas il serait necessaire de tracer une droite parallele a une droite deja tracee Il su rait pour ce faire de de nir une translation appliquant la seconde droite sur la premiere et d executer cette translation Il reste enfin redessiner la section en tant que polygone et effacer les l ments devenus inutiles B 3 Une methode basee sur le reseau cubique 247 Cette m thode est moins g n rale car elle suppose que les points M N et P sont situ s sur des ar tes ou tout au moins que certains des segments MN NP et MP sont sur les faces du cube Par exemple si le segment MN est situ sur la M face ABF E il est possible de trouver l intersection E F de la droite MN avec les c t s de cette face si
54. X x I 22 J z K alors T3 REP X z1 REP D z2 READ z3 RIP K 2 6 Les rotations de l espace 171 La d monstration de cette formule peut tre consid r e comme un exercice de lecture En effet la rotation R pr serve le produit scalaire La base orthonorm e I J K de l espace point en O est donc transform e en une nouvelle base EPM ROO R7 K 1 K 0 encore orthonormee Et la conservation du produit scalaire signifie que R X doit s exprimer en fonction de R 1 REI RF K exactement de la m me mani re que X s exprime en fonction de I J K Autrement dit comme X z1 I 2 J z3 K equivaut T1 Xeol E X0e J T3 Xe K et qu on a par invariance du produit scalaire par rotation X I RIP X e RG X J R X e RG J XeK R7 X R7 K on en d duit qu on a aussi d o r sulte la formule annonc e REP X z1 RD z2 RIP J z3 RP K Or ce raisonnement est manifestement tout fait independant de la rotation particuli re RE consid r e En d autres mots on a aussi tabli que si P est un point quelconque et R la rotation d angle orient 0 et d axe OP alors R X R zo Rai l to J z K 21 RED z2 RAJ 23 R5 K T3 Cette propri t de lin arit est independante du choix de la base I J K C est ce qui est d montr dans le prolongement de cette fiche Ti La propri t
55. citoyen le voit voluer sous ses yeux C est un des parti pris de notre projet que de faire face avec des moyens simples des situations g om triques complexes Ainsi comme la proportionnalit est une des bases des math matiques l mentaires c est elle que nous avons choisie comme mod le simple pour arriver la notion centrale de relation s de d pendance s lin aire s Comme on l a vu c est cette notion qui permet de rassembler des situations math matiques priori bien diff rentes D j les coordonn es les points ou les translations peuvent tre vues comme incarnations d un m me objet le vecteur qui les exprime tous et qui simplifie les situations le vec teur de la g om trie de l espace n est qu un seul objet qui en repr sente trois d s qu on l exprime dans un syst me d axes L tude du produit ext rieur a pareillement montr comment la pens e lin aire permet de d gager d une situation complexe et multiple deux r gles simples qui renferment en elles toutes l information dont on a besoin Le calcul matriciel n a pas d autre but que de permettre la manipulation d informations multiples une matrice 3 x 3 permet de traiter 9 nombres comme un seul Ainsi une notion aussi l mentaire que la proportionnalit bien utilis e simplifie et ordonne les ph nom nes 1 2 Les grands themes 43 A tous les moments cruciaux de la progression dans les th mes il a encore t fa
56. crire l quation vectorielle du plan sous la forme M3i N I A N k B N 82 2 Les sequences d enseignement 2 2 4 2 Commentaires et prolongements L quation M N 1 4 N k B N caract rise les points du plan a Nous entendons par l qu est valide l quivalence logique M a s Il k M N L A N k B N que l on r sume par l expression consacr e M N 1 A N k B N est une equation vectorielle de a gt L quation vectorielle ci dessus montre aussi la possibilit de construire un point quel conque M du plan a en appliquant au point N successivement les deux translations L A N et k B N D une fa on g n rale n importe quel plan d termin par trois points E F et G admet une quation vectorielle du type M E k F E m G E En effet on peut toujours consid rer le plan EFG comme tant le plan projetant de la droite EF parall lement FG sur n importe quel plan passant par EG On dit que k F E m G E est une combinaison lineaire de F E et G E Dans le rep re constitu de l origine E et de ces deux translations nous pouvons in terpr ter k m comme les coordonn es du point M dans le plan EFG pour autant que les points F et G aient respectivement les coordonn es 1 0 et 0 1 2 2 La geometrie vectorielle elementaire 83 A l issue de l tude des situations d crites dans les fiches 4 6 nous retiendrons les construc
57. cube B F B F C NZ IQ 1 Projeter AFH sur CDGH pa 2 Projeter AFH sur CDGH pa rall lement RD R est le milieu rall lement AH du segment AE 3 Projeter AFU sur CDGH parall lement BH U est le milieu du segment EH 2 1 4 1 Solution comment e Projection de AFH parall lement RD Cherchons l ombre du triangle AFH sur le plan CGH D en supposant que le soleil claire dans la direction de la droite RD A EN Sur la face ABCD construisons un nou s x E veau cube et coupons le en deux Le point A joue dans l un de ces demi cubes le m me r le que R dans le demi cube comprenant E Ao ABCD et R On trouve ainsi facilement que LLC N JG la projection de A est A ARDA est un pa E rall logramme ii 2 1 La geometrie d incidence de l espace 97 B F A 7 E A E De m me on trouve que l image de F est F milieu du segment C G Comme le point mn H fait partie du sol il est sa propre image hi Le En reliant 4 F et G on trouve l ombre du Laser cl e NYF JG triangle A D H Remarquons que le triangle AFH est quilat ral En effet comme les segments AF AH et HF sont des diagonales de carr s de m me taille ils ont m me longueur Cependant son ombre n est pas un triangle quilat ral comme on peut le voir sur la vue a rienne du sol ci dessous Ceci est rapprocher de la re
58. cz d et a z b y dz d sont proportionnelles lorsque a ka b kb keR d d kd 2 3 Systemes d equations lineaires et fonctions lineaires 99 7 1 1 Soient les points suivants A 7 B 2 C 0 D 2 3 1 6 0 7 6 6 E l 5 f 9 l amp G 7 1 2 2 3 a Quelle est l intersection des plans OXY et OBC b Quelle est l intersection des plans OXY et ABC c Quelle est l intersection des plans ABC et EFG d Quelle est l intersection des plans AFD et EBG 2 3 4 1 Solution comment e Reponse a la question a Suivant les m thodes de la fiche N 8 nous obtenons sans peine T x 4k M y EOXYNOBC J keER 4 y 2k E 2 0 x 2y z 0 Ces quations sont les quations cart siennes des plans OXY et OBC Les points de l intersection de ces plans doivent donc satisfaire aux deux quations Ensemble elles constituent un systeme d equations cartesiennes de la droite passant par O et B 3 C Nous en d duisons Reponse a la question b Le plan OXY a pour quation cart sienne z 0 Quant au plan ABC nous savons que M ABC lt gt Xk lER M A k B A 1 C 100 2 Les sequences d enseignement 1 8 6 7 k 9 1 2 8k 6 7 9k 7 7 5k 3l 2 La recherche d une quation cart sienne de ABC peut passer par l limination classique de k et l partir de l quation vectorielle
59. d quations cart siennes E c avec l m n H 0 qui d crit une l m a droite passant par le point b et qui s obtient imm diatement partir de l quation c vectorielle de cette droite Le fond du probl me n en aurait pas t modifi 88 2 Les sequences d enseignement 1 0 0 0 Soient les points suivants C 3 D 5 E 0 F 1 5 6 0 2 6 6 6 1 5 G 4 LL H 5 0 J 2 et K 4 2 6 8 2 a Trouver le point de perc e de la droite CD dans le plan OXY le sol b Trouver le point de perc e de la droite C D dans le plan EFG c Trouver le point de perc e de la droite HT dans le plan EFG d Trouver le point de perc e de la droite JK dans le plan EfG 2 3 2 1 Solution comment e Reponse a la question a Il s agit d appliquer les r sultats des fiches N 4 et N 5 L quation vectorielle de la droite CD est P Qik 1 0 1 3 k 5 3 5 6 5 1 3 k 5 1 P est le point de perc e de C D dans le sol si et seulement si sa hauteur vaut 0 ainsi PEOXY gt 5 k 0 gt k 5 D o 2 3 Systemes d equations lineaires et fonctions lineaires 89 Reponse a la question b D apr s les conclusions de la fiche N 6 M EFG lt 3r sER M E r G E s F E 6 r Les points M de ce plan ont donc pour coordonn es dr s o r et s sont des 2 r 2 5 param tres r els Le point de perc e cherch est l un
60. d un enseignement de l alg bre lin aire dans le secondaire autant vis vis de la g om trie que d autres parties des math matiques Cela est notamment possible travers la r solution de probl mes o l alg bre lin aire est indispensable ainsi que par la mise en vidence de la symbiose entre alg bre et g om trie De mani re tr s succincte parmi les probl mes qui semblent les plus pertinents citons V tude g om trique des syst mes d quations lin aires c est dire la traduction g om trique de tous les r sultats classiques concernant leur r solution il est remar quable que cette traduction aura comme source des g n ralisations appropri es des notions de surface et volume V tude g om trique des rotations de l espace en particulier la question de la com position de ces rotations l tude g om trique des changements lin aires de variables et de leur composition en terme d un lt dictionnaire matriciel gt et en prolongement entr autres des deux problemes pr c dents Tels quels ces probl mes ne signifient pas encore grand chose ou au contraire peut tre trop de choses C est pour cela que nous fournissons dans la suite une premi re description plus d taill e des grands th mes qui devraient traverser lt la g om trie de Palg bre lin aire gt Certains de ces th mes seront trait s au chapitre 2 l aide d une ou plusieurs fiches constituant autan
61. d autres points que ceux de m me hauteur que U Commen ons par le point D Une situation similaire a d j t rencontr e dans la fiche N 2 Projection de AUF parall lement BH et il est facile d en d duire que la projec tion D de D co ncide avec A ou A On peut atteindre la m me conclusion en observant la similitude des pav s de diagonale BB et de diagonale DA Le point D tant de hauteur 2 sa projection D s obtient par le m me proc d que celui d gag plus haut pourvu qu il soit repete deux fois Cette conclusion subsiste pour tous les points de hauteur 2 c est dire de m me hauteur que D Au total on passe de D D en avan ant de 1 parall lement OX de 1 parall lement OY et en descendant de 2 c est dire en avan ant de 2 parall lement OZ 2 2 La geometrie vectorielle elementaire 73 axe OX axe OX Il reste traiter le cas d un point S de hauteur z quelconque et donc non n cessairement enti re mais comme on s en aper oit vite cela ne pr sente plus aucune difficult Commen ons par le cas o le point S appartient laxe OZ axe OZ D L homoth tie de centre O et de rapport z am ne le cube unite de diagonale OC sur axe OX un cube dont S est un sommet REMARQUE 2 2 1 Si la notion d homothetie de l espace est inconnue des eleves il est possible de presenter le
62. d objet vous voulez appliquer l homoth tie d finie en dernier lieu Si aucune homoth tie n a t d finie rien ne se passe 3 Cliquez sur l ic ne Pal 4 Un nouveau message vous demande de choisir le polygone ce que vous ferez l aide de la souris Chaque fois que celle ci pointera avec pr cision sur le premier point ayant servi d finir un polygone celui ci clignotera C est ce moment que vous pouvez le s lectionner simplement en pressant le bouton gauche de la souris L homoth tie lui est alors appliqu e Insistons sur le fait que dans la derni re tape c est n cessairement sur le premier point ayant servi d finir le polygone que vous devez pointer la souris pour que le polygone soit s lectionnable Si vous avez oubli quel est ce premier sommet il vous reste les essayer tous les uns apr s les autres Plus g nante serait la situation si vous aviez d fini plusieurs polygones ayant le m me premier sommet Dans ce cas seul le premier introduit de ces polygones serait accessible une quelconque transformation Il ne devrait pas tre trop difficile d viter une telle situation Nous avons ainsi effectu une rapide pr sentation technique du logiciel A vous de jouer B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 OTTOCUCHON 22 acd eh Da a a a bu 244 La m thode synth tigue ocios Lan eu RA eme A 245 Une m thode bas e sur le r seau cubique 247 Une m thode vectorielle
63. de B E et G E En effet F A 2 B E 2 G E et D A B E 2 G E 2 3 Systemes d equations lineaires et fonctions lineaires 105 2 3 4 2 Commentaires et prolongements Des combinaisons lin aires de points A plusieurs reprises dans ce qui pr c de nous avons remplac une quation vectorielle d un plan par une autre quation vectorielle du m me plan se pr tant mieux aux calculs que nous avions effectuer Par exemple dans la r solution de la question b nous connaissions une quation vectorielle du plan 8 6 M k B A4A 1 C A k 9 11 7 3 0 Nous avons alors d termin un point N 1 appartenant aNOYZ et un point 3 2 P 0 appartenant a N OXZ ce qui nous fournissait une nouvelle quation 8 vectorielle de 0 2 2n M m 1 n 0 m 3 8 3m 8n Les points N et P taient des combinaisons lin aires de B A et C A N 3 B 44 C A 4 P 7 B M4 9 C A4A On remarque imm diatement que tout point combinaison lin aire de N et P est en effet une combinaison lin aire de B A et C A et appartient donc a si X a N b P alors X 3a 7b B A 4a 9b C A Ainsi toute combinaison lin aire de N et P est bien un point de a Mais il y a plus toute combinaison lin aire de B A et C A c est dire tout point de a est une combinaison lin aire de N et P Nous pouvons en effet inverser les relations N 3 B 4 4 C A
64. e W OY Or on a U9Uzg UgUa U x V u103 E uzv U1UV2 U2V1 d o on tire U X V eW uaus U3V2 W1 u13 uzv W2 uiva UzV1 W3 WUUW3 V1W2U3 W U9U3z U3U2W V3W2U1 W3ZU2V1 158 2 Les sequences d enseignement On appelle determinant des trois vecteurs colonnes ul V wi U Ua y Vo et W Wa u3 U3 W3 le nombre r el not det U V W d fini par det U V W UxV eW U1U2W3 U1W92U3 W1U2U3 UgUaW V3W2U1 W3U2V1 Le volume demand la question a s crit donc finalement vol OUVW 8 1 1 2 2 2 4 D autres propri t s du d terminant sont tudi es dans les prolongements ci apres 2 5 2 2 Commentaires et prolongements Equation normale d un plan Nous avons tabli plus haut que le vecteur U x V est perpendiculaire au plan OUV et que sa norme est l aire du parall logramme OU PV Il en r sulte que le vecteur Ea UxV U x VI Nr est un vecteur de norme 1 galement perpendiculaire OUV On l appelle le vecteur normal au plan t OUV De mani re g n rale la distance qui s pare un point W d un plan m d termin par trois points non align s T U et V est donc donn e par la formule dist W T n e W T o U T x V T IU T x V T ho Si le plan 7 en question est d crit par une quation cart sienne Ait Ata A3t3 B 0 2 5 Produit vectoriel volume et determinant 159 alors on tire
65. et V n tant pas align s avec l origine L un au moins des nombres ujU2 Ua U2U3 Ugua et Uzv1 U1V3 est donc non nul Admettons que ce soit 41UV U1 2 5 Produit vectoriel volume et determinant 155 La solution alg brique du syst me est particuli rement int ressante et ce y compris du point de vue g om trique Si on multiplie la premi re quation par v2 la seconde par uz et que l on soustrait membre membre on obtient uiv u301 N uzuz u3U3 N3 0 Pareillement si on multiplie la premi re quation par v et la seconde quation par uy et que l on soustrait membre membre on obtient uiva u301 N2 u uz E uzv N3 0 D o un nouveau syst me de deux quations du premier degr trois inconnues N1 Na et N3 u ua u301 Ny T uzua u2U3 N3 ui vo uw N2 ae u uz u3v1 N3 Maintenant puisque nous avons suppos uv uv 0 on obtient imm diatement U1V2 U201 i N As uu U3U2 Ws s N Pa uiv3 uzv En choisissant N3 uiv usv on arrive la solution U92U3 U3U2 N u103 ri uzv U41V UU Au cas o on aurait uv uv 0 mais u3U3 ugva 0 un calcul analogue aboutirait au m me r sultat Il en serait encore de m me si c tait uzv1 uv qui tait diff rent de 0 Nous avons ainsi d termin un vecteur N perpendiculaire au plan d termin par O U et V Mais et c est tout aus
66. et de coucher du soleil sont donn es par l quation cos H 0 516953 d o A 121 128 et H 121 128 Apr s conversion de ces angles en heures minutes secondes et en tenant compte de ce que l angle H 0 correspond midi nous constatons que le soleil se l ve ce jour l qui est le plus long de l ann e 3 heures 55 minutes et se couche 20 heures 5 minutes Rappelons qu il s agit ici de l heure solaire vraie qui n cessite donc diverses corrections apr s lesquelles il appara t que les heures de lever et de coucher du soleil ne sont que rarement sym triques par rapport midi Comment se fait il qu il arrive que le soleil ne se couche pas Reprenons l quation cos H tgytg Pour qu elle ait des solutions il faut que tg y tg soit compris entre 1 et 1 La condition peut s crire tg p lt cotg ou encore tg p lt tg 5 6 Par exemple en un point de l h misph re nord pour que le soleil soit visible durant une journ e compl te il faut avoir y gt 5 Le point le plus au sud de l h misph re nord o il est possible d admirer le soleil de minuit au moins une fois par an s obtient le jour du solstice d t quand la valeur de est maximale 23 27 Dans ce cas on doit avoir gt 66 33 le point le plus au sud correspondant y 66 33 C est la latitude du cercle polaire arctique cette latitude le jour du solstice d t minuit le soleil
67. gles qui pr sident la reproduction fid le de ce que nous voyons il faut se regarder en train de voir et analyser alors g om triquement l ensemble du processus En d autres mots il faut amener port e de la conscience ce qui de par sa nature fonctionne inconsciemment 16 1 Analyse theorique M me dans les cas o le probl me de repr sentation plane d un objet spatial est r solu de fa on satisfaisante m me dans les cas o on a eu recours un mod le mat riel trois dimensions la complexit de l objet lui m me ne permet pas toujours de tirer de cette repr sentation ou de cette mod lisation le b n fice que l on en esp rait Ainsi des exp riences r alis es en URSS ont montr qu une am lioration de la perception spatiale n est pas suffisante pour entra ner automatiquement la prise de conscience des raisonne ments effectuer voir 29 On peut dire que l appr hension d une situation spatiale est plus difficile que celle d une situation plane La conjonction des difficult s math matiques propres au sujet des difficult s inh rentes la repr sentation plane des objets de l espace et des difficult s d appr hension des si tuations spatiales pourrait avoir comme cons quence importante que les programmes de g om trie de l espace soient moins ambitieux que ceux de g om trie plane alors que la g om trie de l espace tant celle du monde o nous vivons devrait tre la p
68. la proposition suivante a b d 0 fo A X b est X si et seulement si a d b c 0 Soit A une application lineaire de matrice A Le seul vecteur X tel que Mais ce n est qu apres avoir r solu des systemes d quations lin aires et des matrices inverses que l on parlera vraiment de d terminants Malheureusement leur d finition reste a d b c Cependant les auteurs restent dans la g om trie puisqu ils lient ces d terminants 2 x 2 la notion de deux vecteurs orient s positivement ou n gativement On peut alors faire le lien entre un d terminant et l aire d un parall logramme Les isom tries sont d finies comme des transformations du plan qui pr servent la longueur et elles sont vues la suite d exercices sur des transformations qui pr servent l orientation On explique alors la diagonalisation d une matrice 2 x 2 afin de parler de vecteurs et valeurs propres et d aboutir aux coniques en passant par les quadriques C est l que s arr te la partie concernant la g om trie deux dimensions Les auteurs vont ensuite reprendre les m mes notions dans le m me ordre mais en passant trois dimensions Les d terminants 3 x 3 sont vus en cons quence du produit vectoriel Le d terminant de la matrice 4j Q2 Q3 A 1 gt bi ba b3 B Ci C2 C3 C est le nombre 4 B x C On voit l interpr tation g om trique du d terminant 3 x 3 ce dernier tant le volume d un pr
69. le rayon solaire passant par P l heure H a comme quation vectorielle cos H X P sl snH 0 216 4 Construire un cadran solaire Dans les deux cas nous devons rechercher la valeur de s pour laquelle X ce qui revient r soudre l quation N X 0 La valeur de s est donc donn e par N P sN Q H P 0 0 cotg cos H Puisque P 0 etQ H P cotg sinH 1 N P sin Y ETA N Q H P sing cosy cotg cos H et ombre de P sur est f cotg cos H sin Y f Rs H H tg sin H s A sin Y cos p cotg cos H Free i sin y cos H _ cotg md E sing cos cotg cos H 7e cos y cos H t E cos H aa tgytg cos H Le cos H N P sN sinH 0 0 D o s TT et cos H tgp Ro H 0 E sin H tgytgH cos H i Ayant calcul R H dans les deux cas 4 0 et 0 notons Cs la courbe parcourue par le point Rs H pour une valeur d termin e de la d clinaison du soleil Etudions les courbes C5 en commen ant par le cas 4 0 Nous pouvons alors crire tep 0 Ro H 0 tgH tg 1 0 4 4 Ou est l ombre 217 La courbe Co d crite par l ombre du style est donc une droite passant par le point Ro 0 tg p 0 et parall le laxe OY 1 Introduisons dans le plan un rep re orthonorm OUV en pla ant l origine au point O qui est aussi l origine de l espace en superposant l axe OU OY et en pla ant OV perpendiculaireme
70. me des r sultats obtenus dans la fiche 15 Les rotations planes D FINITION 2 6 1 Dans un plan oriente pointe en C on appelle rotation d angle oriente 0 et de centre C la transformation de ce plan notee R de nie de la maniere suivante si X est un point quelconque de ce plan A RX X amp o IRPI IX XCX 0 c et on pose R C C x Une rotation plane conserve le produit scalaire Une rotation plane tant d finie partir d une galit de longueurs et d une mesure d angle il est naturel de consid rer son effet sur le produit scalaire de deux vecteurs La propri t fondamentale des rotations planes est qu elles laissent invariant le produit scalaire Plus pr cis ment si R est une rotation d angle orient 0 et de centre C alors quels que soient les points X et Y XeY R X e R Y En effet si on note R X X et R Y Y alors RAI RAM cos CY X Y cos X CX XCY Y CY XI Y cos 0 XCF 0 RF X RAY 2 6 Les rotations de l espace 167 XI IY cos XCY XeY Les rotations de l espace D finitions Dans l espace point en un point O on appelle axe toute droite passant par O munie d un rep re c est dire d un point P d abscisse 1 Comme d taill dans les compl ments de la fiche 15 un axe induit une orientation sur tout plan qui lui est perpendiculaire Dans l espace point en un point O on appelle rotation d angle oriente
71. me param tre o que nous appellerons l angle de pivotement En faisant varier cet angle on donne l im pression que la figure observ e effectue un mouvement de rotation autour de la droite joignant l origine l il de l observateur Les formules permettant de calculer les coordonn es u v de la projection sur 7 x d un point y de l espace sont les suivantes dans le cas o 0 sinon on z compose avec une rotation d angle o uj sin COS 0 E v J cosfcos sinpcos sinf a a ES ka y Bi N S N Le cube est projete sur un de ses Le cube est projete sur un plan pas plans medians orthogonalement a ce sant par son centre qui n est ni pa plan La direction de projection est rallele ni perpendiculaire a une face donc celle d une arete du cube et L image ne presente aucun angle l image est un carre median droit A 3 Les menus 235 Le cube est projete sur un plan per pendiculaire a une face Ce plan est donc parallele a quatre aretes et cer Projection a chee par le logiciel tains angles droits sont conserves dans le cas de la gure ci contre c La perspective centrale est bas e sur le m me principe que la projection ortho gonale ceci pr s que l observateur au lieu d tre l infini est distance finie La figure spatiale repr senter est do
72. n 11 gt Formes lin aires 1 Los sata sad e au 116 2 3 7 Fiche n 12 Formes lin aires 2 lt 2444440 te es 120 A A 124 24 Leproduit scalaire gt ccoo ori desk e ea axe 126 Sal 1 RI FR Rae re 127 2 4 2 Fiche n 13 Le produit scalaire coo 4 4 44 4 2 128 24 3 Fichenn lir Spheres et plans cs y 5 4 4 mu SN ma a 138 A IA 148 2 5 Produit vectoriel volume et d terminant 150 Table des matieres D INICIAN estaria ra es e Sat a 151 2 5 2 Fiche n 15 Produit vectoriel volume et d terminant 152 20 Les rotaciones de lepate o cosas 4 6 due a dre das 165 201 PNR ico daa rr E e p eta g 166 26 2 Fiche n 16 Les rotations cubigues gt s u oe ca so cae de 169 2 6 3 Fiche n 17 La repr sentation matricielle des rotations 180 IT Applications 3 Un r seau cubique lectrique 3 1 Introduction gt i 214144 4044 44 dau de dau on cb ue de ul 3 2 La g om trie des charges lectriques 3 3 Le champ cr par les deux premi res couches 34 Le champ cr par la couch e n 2 4 droe rasade ha uses eue 3 5 Et le champ correspondant la couche nn 3 6 Pourquoi pas une couche cubique 4 4 4 44 a ek tea 4 Construire un cadran solaire LT Introduccion canicas Da da de tb da a ae 12 UQuestlesolail 2 4 4 4 u tamin game ba eme bee LA R ee 4 3 Les cadrans sol
73. nous suivons toujours la m thode de la fiche pr c dente nous trouvons le syst me suivant dans lequel r est l abscisse de la projection de P sur OD par rapport au rep re O D 2 a 3 b 0 r 1 3 1 2 a 0 b 2 r 2 2 m 7 a 2 b 1 r 2 2 1 m r 3 r 1 2 b 2 r 2 m r 2 3 2 Nous en d duisons a En rempla ant a et b par ces expressions dans la troisi me quation il vient r 2 Nous retrouvons donc comme pr vu la m me abscisse que sur la droite OC Il n est pas inutile de donner une interpr tation g om trique de ce fait Il est d abord clair que le point D appartient au plan a parall le OAB passant par C puisque D C L A m B C A piej nmm DI e E Le TT D2 D2 D e E eco ee Pa Sa a P ps a a B D3 o B Quelle que soit la position du point D dans le plan a l abscisse de la projection du point P sur OD par rapport au rep re O D sera toujours la m me En effet soit 8 le plan parall le OAB passant par P Consid rons trois points D1 D2 et D3 de a ainsi que les points de perc e D Da et D3 des trois droites OD OD et OD dans le plan 8 Chacun des points D est la projection de P sur OD parall lement OAB Soit P le point de perc e de la droite OP dans a Via le th or me de Thal s nous voyons que OP _ ODi _ OD2 l _ lODs OP TDi ODA TOP 118 2 Les sequences d enseigne
74. occupe une position connue du logiciel les coordonn es de cette position apparaissent l cran En cliquant ce moment du bouton gauche le cube est cr et fix l emplacement choisi A noter que si vous avez choisi le mode de repr sentation en perspective le cube curseur est de taille r duite Il prendra sa taille normale lorsque vous s lectionnerez un sommet A 4 Les icones 241 Cette ic ne est ja Elle permet de marquer un point d une lettre Apr s que vous ayez cliqu sur l ic ne le programme vous demandera de s lectionner un point et d introduire son nom deux lettres maximum dans une bo te de dialogue 242 A Le programme Reseau exe FLE Ces ic nes vous permettent de construire l image d un objet par une transformation ou de d truire un objet Les quatre actions possibles sont 1 appliquer l objet choisi le projecteur d fini l aide du menu Projection 2 appliquer l objet choisi l homoth tie d finie l aide du menu Homoth tie 3 appliquer l objet choisi la translation d finie l aide du menu Translation 4 d truire l objet choisi Elles fonctionnent de fa on analogue Supposons par exemple que vous vouliez construire l image d un polygone par une homoth tie Il faut que le polygone et l homoth tie aient t d finis au pr alable Si c est le cas 1 Cliquez sur l ic ne 2 Un message appara t vous demandant quel type
75. orienter comme on le souhaiterait Les cas les plus simples sont ceux des cadrans orient s Nord Sud ou Est Ouest d orientation quelconque Nous nous limiterons dans ce qui suit l tude des cadrans quatoriaux et horizontaux 4 4 Ou est l ombre Adoptons un rep re orthonorm dont lori gine est le point situ la base du style et choisissons la longueur de celui ci comme unit Prenons comme axe OZ la droite qui supporte le style dont l extr mit est 0 par cons quent le point P 0 Ainsi 1 d fini l axe OZ est dans le plan m ridien de P Placons galement l axe OX dans le plan m ridien perpendiculairement a OZ et en direction du nord g ographique Le plan XOZ est donc le plan m ridien 213 Enfin laxe OY est plac perpendiculairement ce plan donc dans le plan horizontal passant par l origine et dans la direction oppos e au soleil couchant c est dire vers Pest De cette fa on l ombre du style sera superpos e midi la partie positive de OX et balaiera le premier quadrant au cours de l apr s midi Notons que le tri dre que nous venons de d finir est l vogyre 214 4 Construire un cadran solaire La table d un tel cadran est parall le au plan quatorial Supposons que le soleil ne soit pas dans ce plan c est dire que sa d clinaison n est pas nulle Alors le c ne solaire passant par l extr mit du style est un c ne droit d axe OZ et
76. par analogie avec les nombres imaginaires purs est isomorphe R3 Si p bi cj dk et q b i c j d k sont deux quaternions purs un petit calcul fournit la formule 1 z1r pa bb cc dd qui montre que le sous espace des quaternions purs muni de la forme iT r pq est isom tri que muni du produit scalaire euclidien usuel Et les vraies rotations Comme les quaternions ont une multiplication non commutative il faut distinguer la multiplication gauche par un quaternion q qu on notera g de la multiplication droite par ce quaternion q qu on notera dy 32 1 Analyse theorique Le TH ME IV sugg re que si O est un angle quelconque alors 9cos9 ising Correspond une rotation d angle 0 dans le plan sous tendu par 1 et i tout comme deos9 isino Mais l effet de ces op rations dans le plan sous tendu par j et k est l g rement diff rent 9coso isino correspond encore une rotation d angle 0 dans le plan sous tendu par j et k tandis que deos0 ising Correspond une rotation d angle 0 dans ce m me plan On saisit alors l occasion en composant une multiplication gauche avec une multiplica tion droite de d crire non plus une rotation dans un plan de l espace comme au tout d but de la construction mais bien une rotation de l espace Plus pr cis ment si q est un quaternion non nul on note l application qui tout quaternion p fait correspondre Rip q p q7 On v ri
77. pr conis e dans les premi res fiches nous avons r alis un didacticiel intitul Reseau exe gt qui est joint au pr sent fascicule et dont les annexes 1 et 2 proposent d une part un mode d emploi d autre part un exemple d utilisation Les annexes 3 et 4 pr sentent un inventaire succinct des principaux textes classiques consacr s l alg bre lin aire et la notion de vecteur 10 Introduction Le travail est compl t par une bande vid o d environ 10 minutes qui illustre les fiches de la section A Enfin signalons que ce travail a fait l objet de trois communications dans le cadre du S minaire de Didactique des Math matiques organis l Universit de Mons Hainaut en f vrier et mars 1997 11 Li L O MARS sine we a AR A pa 13 1 1 1 L enseignement de la g om trie 14 1 12 Le probl me de la repr sentation plane 15 1 13 Le probl me de la m thode 17 1 14 La g om trie de l alg bre lin aire 20 1 Les Han hemes secr 3 4 do has A bee dde ARE 21 121 TEEN esporas ia a A e S 22 1 2 2 Les themes fondamentaux et les th mes annexes 23 1 2 3 Th me I G om trie d incidence de l espace 24 1 2 4 Theme II G om trie vectorielle l mentaire 25 LAS Th me 11 3 Produit scalaire e cs coa coca Va mu ad 27 1 2 6 Th me IV Nombres complexes et rot
78. propos es dans la pr sente fiche ont galement fait appara tre un nouveau type de repr sentation d une transformation g om trique Consid rons toujours le point x Q y et son image par le projecteur proj 0 8 sur OC parall lement OAB z Nous avons calcul cette image et obtenu Ax 3y 6z 14 Ax 3y 6z 7 Ax 3y 6z 2 3 Systemes d equations lineaires et fonctions lineaires 115 Si nous notons Q y nous pouvons donc crire z Le Ax 3y 6z 14 4x 3y 62 LE es 4x 3y 62 T Ce syst me d quations peut raisonnablement tre appel un systeme d equations du pro jecteur mais il convient de pr ciser lt relativement au rep re de l espace gt puisque x y z ainsi que 2 y 2 sont des coordonn es relatives au rep re choisi dans l espace Nous pourrions aussi tenir compte de ce que le projecteur proie 48 applique l int gralit de l espace sur la droite OC et qu une seule coordonn e suffit pour rep rer un point sur une droite C est ainsi que nous avons d termin l abscisse de Q lorsqu on choisit sur OC le point O comme origine et le point C comme point d abscisse 1 Cette abscisse est alors donn e par la formule __ 4x 3y 6z 14 OAB que nous pouvons appeler l equation du projecteur projgg relativement au repere usuel de l espace et au repere O C de la droite O
79. raisonnement ci dessus en se bornant a evoquer le theoreme de Thales dans les trois plans OBE OEF et OFB C est aussi une bonne occasion de parler d homothetie 74 2 Les sequences d enseignement axe OZ L homoth tie envoie le prisme de diago nale BB sur le prisme de diagonale ST Il s ensuit par le m me raisonnement que 7 pr c demment que la projection du point S axe OX est le point T axe OY On passe de S T en avan ant de 5 parall lement OX de 5 parall lement OY puis en descendant de z parall lement OZ On en d duit toujours comme pr c demment la projection d un point quelconque P de hauteur z elle s obtient partir de P par le m me chemin qui m ne de S T x En conclusion la projection parall lement UV du point P y sur le plan OXY 2 est donn e par la formule T 25 UV projoxy P y 2 3 2 2 1 2 2 2 2 Prolongements points translations et triplets de nombres Dans la formule ci dessus la notation proj Y d signe le lt projecteur sur le plan OXY parall lement la direction de la droite UV gt Cette formule a une criture remarqua 1 blement homog ne on ajoute terme terme le triplet y et le triplet 2 5 z z 1 Il s agit de donner un sens g om trique une criture aussi remarquable Pour tous les points P de hauteur 1 on a 8 f j E NIe NR HUV HUV
80. s que la quantit ad bc est n gative Il est par ailleurs facile de constater que ad bc ne peut pas galer 0 car sinon les points O W et Z seraient align s La notion d orientation d un plan est ainsi une notion relative elle permet de pr ciser quand deux bases d un m me plan d finissent une m me orientation de ce plan ou deux orientations oppos es de ce plan Angle orient dans un plan orient On convient dans la suite d exprimer les angles en radians et donc de les repr senter par des nombres r els compris entre T et T 162 2 Les sequences d enseignement Le produit scalaire permet de calculer le cosinus de l angle d termin par deux vecteurs d o on peut d duire la valeur absolue de cet angle Le produit vectoriel permet de d finir le signe de cet angle pourvu que le plan d termin par les deux vecteurs soit muni d une orientation Plus pr cis ment si II est un plan contenant l origineO des coordonn es et orient par le choix d une base U V de ce plan et si X et Y sont deux points de ce plan avec X 4 O Y O langle orient XOY est par d finition unique nombre r el tel que r lt XOY lt r FAT _ XoY cos XOY im X xY X Yl snXOY K o K est le vecteur unitaire de m me sens que U x V 1 K UxV IUI V Aire orient e dans un plan orient Si II est un plan contenant l origineO des coordonn es et orient par le choix d une base U V d
81. sequences d enseignement On consid re les points 1 1 1 A 1 B 1 C 1 et D 1 il 1 Etudier les variations de l amplitude des angles AMB et CMB lorsque le point M parcourt la droite CD Repr senter les deux fonctions obtenues sur le m me graphique 2 4 2 1 Solution comment e Visualisons tout d abord la situation sur un dessin Pour calculer l amplitude d un angle dans un triangle quelconque on utilise la forme g n ralis e du th or me de Pythagore d s que l on conna t la longueur de tous les c t s L nonc permet videmment de supposer que les coordonn es des points A et B sont connues ainsi que celles du point M M t ces derni res tant des fonctions d un param tre t d duites de l quation vectorielle de la droite CD Cela sugg re d obtenir d abord une formule permettant de calculer la distance qui s pare deux points en termes de leurs coordonn es et d en d duire ensuite partir de la forme g n ralis e du th or me de Pythagore une formule permettant de calculer l amplitude d un angle d termin par trois points en termes de leurs coordonn es 2 4 Le produit scalaire 129 Distance entre deux points On consid re deux points P1 q P Pa et Q q2 P3 q3 axe OZ Q de axe OX L application du th or me de Pythagore dans les triangles rectangles PQ Q et P TQ donne
82. son intersection avec le plan OXY est un cercle dont le rayon vaut tg 5 0 cotg Ceci r gle d finitivement le cas des cadrans solaires quatoriaux on les gradue tout simplement en d coupant le plan en 24 secteurs de 15 La trajectoire de l ombre de l extr mit du style est alors un cercle dont le rayon varie au cours de l ann e de cotg 23 27 2 305 linfini Les astronomes appellent lt angle horaire gt l angle dont la terre a tourn sur elle m me depuis le dernier passage du soeil dans le plan m ridien Cet angle est mesur en heures partir du sud dans le sens horlogique Il varie donc de Oh midi 24h minuit correspon dant H 12h Cette pratique des astronomes ne nous convient gu re car les fonctions trigonom triques que nous utilisons supposent que les angles sont mesur s en radians Nous pr f rons crire cos H plut t que cos a Dans ce qui suit nous nous cartons donc de la pratique des astronomes en admettant que H varie de 0 27 H 0 correspondant midi et H m minuit Si Q H est le point du cercle parcouru par l ombre de l extr mit du style l heure H on cotg cos H Q H cotg sin H 0 Sur la figure ci contre on a repr sent de l ext rieur vers l int rieur les cercles correspon dant aux valeurs 5 10 15 20 et 23 27 de la d clinaison du so leil Notons qu un cadran quatorial n est utilisable que durant la demi ann e d
83. terre tait transparente c est le plan perpendiculaire au plan m ridien et passant par le style a 6 h et 18 h etc Comme ce plan contient aussi l ombre du style la position de celle ci ne d pend que de l heure solaire vraie et indique cette heure Il suffit de rep rer la position de l ombre midi une heure pour graduer efficacement le cadran Pour d terminer l ombre du style il suffit aussi de d terminer l ombre de son extr mit et de la joindre la base du style Nous nous int resserons donc la trajectoire au cours de la journee de l ombre de l extremite du style Si la table du cadran solaire est plane ce qui est g n ralement le cas rechercher cette trajectoire revient rechercher la section du c ne par le plan de la table du cadran La forme de cette section d pend de l orientation de la table par rapport au style On distingue ainsi des cadrans solaires quatoriaux la table du cadran est perpendiculaire au style elle est donc parall le au plan quatorial horizontaux la table est horizontale L angle entre le style et la table est alors la latitude du lieu que nous notons y Il est des lieux sur la terre o un cadran horizontal est aussi quatorial Lesquels verticaux la table est verticale Ceci ne fixe pas compl tement sa position Les cadrans solaires verticaux sont g n ralement plac s sur la fa ade d un b timent ce qui ne permet pas toujours de les
84. trie elle a le gros inconv nient de limiter la taille des syst mes d quations rencontr s 2 ou 3 Or dans la pratique quotidienne des applications les syst mes d quations de taille nettement plus lev e sont monnaie courante Il nous semble donc important que les l ves soient durant leur scolarit mis au moins une fois en pr sence d un syst me de taille appr ciable Faute de temps nous n avons pu r diger une application significative qui n cessite la mani pulation de syst mes d quations de taille sup rieure 2 ou 3 Le lecteur pourra se reporter la bibliographie notamment un r cent document de la Commission P dagogique de la sBPMef 8 Le travail avec les quations lin aires trois inconnues ne peut gu re tre s par de celui avec les fonctions lin aires c est dire les applications lin aires de R dans R Ces fonctions s introduisent naturellement via la consid ration des projecteurs sur une droite parall lement un plan C est ce sujet que sont consacr es les fiches 10 12 Comme d j signal plus haut le choix des sujets abord s dans les fiches qui suivent n a rien d exhaustif et peut donc tre consid r comme arbitraire Par exemple les syst mes d quations cart siennes permettant de d crire une droite ont t directement envisag s sous la forme la plus g n rale possible Il aurait peut tre t plus classique de partir du za b z systeme
85. 10 Nous les r pertorions dans le tableau suivant Point Segment Droite Polygone Cube lola le Lettre Projecteur Homoth tie Translation Bombe IE 4 2 8 Ces neuf ic nes se r partissent en trois groupes 1 les ic nes de cr ation Point Segment Droite Polygone et Cube 2 l ic ne de d nomination Lettre 3 les ic nes d ex cution Projecteur Homoth tie Translation Bombe A 4 Les icones 239 Comme le nom l indique ces ic nes servent cr er des objets g om triques De fa on plus pr cise encore l ic ne lt Point gt sert cr er un point Indiquons comment elles fonctionnent En cliquant sur cette ic ne vous faites appara tre deux messages successifs Le premier vous demande de s lectionner deux points d j existants A noter qu au lancement du programme des points sont d j d finis sans quoi nous serions en pr sence d un cercle vicieux Il s agit des points de coordonn es enti res comprises entre 3 et 3 Seuls sont dessin s les huit sommets du cube originel Apr s avoir choisi deux points donc une droite vous devrez indiquer une abscisse dans une bo te de dialogue Il s agit de l abscisse du point sur la droite choisie les points d abscisses O et 1 tant respectivement le premier et le deuxi me point que vous avez s lection s Par exemple si vous choisissez l abscisse 5 vous aurez d fini
86. 9 50 ol K Pavlopoulou Propedeutique de l algebre lineaire la coordination des registres de representation semiotique These de doctorat Universit de Strasbourg 1994 4 K Pavlopoulou Un probleme decisif pour l apprentissage de l algebre lineaire la coordination des registres de representation Annales de Didactique et de Sciences Cognitives IREM de Strasbourg vol 5 67 93 1993 4 F Pourbaix De la cinquieme annee du secondaire aux premieres candidatures scienti ques traces de l apprentissage de l algebre lineaire M moire de licence Universit de Mons Hainaut 1996 Y et R Sortais Geometrie de l espace et du plan Hermann Paris 1988 P Tilleuil Bivecteur produit vectoriel volume determinant Centre de Di dactique des Sciences Universit de Mons Hainaut mars 1997 164 P Tilleuil Quaternions et rotations de l espace Centre de Didactique des Sciences Universit de Mons Hainaut mars 1997 C Tisseron Geometries a ne projective et euclidienne Hermann Paris 1988 B L Van Der Waerden Geometry and Algebra in Ancient Civilizations Springer Verlag Berlin Heidelberg 1983 B L Van Der Waerden A History of Algebra From al Khwarizmi to Emmy Noether Springer Verlag Berlin Heidelberg 1985 D van Hiele Geldof De didaktiek van de meetkunde in de eerste klas van het V H M O These de Doctorat Universit d Utrecht 1957 24 P Van Muylen Applicat
87. C 116 2 Les sequences d enseignement D Se Reprenons la situation de la fiche n 10 O res Q 0 1 B 2 C 2 P 2 Jet A 1 2 R a Sur OC choisissons le rep re Po p C o p proj 94B p et projo Q b Soit D C 1 A m B o l m R Sur OD choisissons le rep re O D Calculer les abscisses de proj 94 B p et proj 24B py c Soit E p C 1 A m B o k l m R Sur OE choisissons le rep re O E Calculer les abscisses de proj 0 4B p et proj 24B 9 Calculer les abscisses de 2 3 6 1 Solution comment e Reponse a la question a Le cheminement est le m me que celui de la fiche pr c dente On connait deux expressions des coordonn es de l image de P et Q Si s est l abscisse de P par rapport au rep re O pC on a P s pC d o p 2 P s np 2p 4 De m me p HA Q s 2p AA 4r 3y 6z 2p Ainsi l abscisse de P par rapport au rep re O pC est et celle de Q est Dans 2 ces conditions le plan a parall le OAB et passant par le point 2 est caract ris 7 comme suit 2 3 Systemes d equations lineaires et fonctions lineaires 117 2 Ar 3y 6z 2 4x 3y 62 gt Meca l 14 p p 14 Remarquons que l on retrouve l l quation de la fiche N 10 cette equation est indepen dante du point choisi d abscisse 1 sur OC Reponse a la question b Par calcul si
88. De Waele Geometrie dans l espace avec complements Maison d ditions A Wesmael Charlier Namur 27 me dition 1968 J Dhombres et P Radelet Degrave Contingence et necessite en mecanique Etude de deux textes inedits de Jean d Alembert Physis vol XXVIII 35 114 1991 278 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 39 36 37 38 39 Bibliographie J Dieudonn Algebre lineaire et geometrie elementaire 3 me dition Hermann Paris 1964 J Dieudonn P Dugac W J F Ellison J Guerindon Abrege d histoire des mathematiques 1700 1900 Hermann Paris 1986 H Dillinger et F Pham Algebre lineaire Diderot Ed Paris 1996 J L Dorier Analyse dans le suivi de productions d etudiants de DEUG A en algebre lineaire Cahier de Didirem n 6 IREM de Paris VII 1990 4 J L Dorier Analyse historique de l emergence des concepts elementaires de l algebre lineaire Cahier de DIDIREM 7 Universit de Paris V IT juin 1990 4 J L Dorier Premieres approches pour l etude de l enseignement de l algebre lineaire a l Universite Annales de Didactique et de Sciences Cognitives IREM de Strasbourg vol 5 95 123 1993 4 J L Dorier et des contributions d autres auteurs L enseignement de l algebre lineaire en question La Pens e Sauvage France 1997 P Du Val Homographies quaternions and rotations Clarendon Press Ox
89. I J K 176 2 Les sequences d enseignement Dans la position o se trouve le cube apr s que la transformation lui ait t appliqu e les points milieux des segments AB et HG n ont pas boug la transformation admet donc un axe savoir la droite obtenue en joignant l origine des coordonn es au point J K On identifie alors facilement R RF o RP ARI y Comme la compos e de deux rotations cubiques est encore une rotation cubique la formule de lin arit permet de calculer comme dans la r ponse la question a l image d un point quelconque par la compos e de deux rotations cubiques Reponse a la question c La solution de cette derni re partie du probl me est affaire de patience et de m thode Dans la liste connue des 24 rotations cubiques d crites la fin de la solution comment e la question a on supprime chaque rotation qui appara t comme compos e d au moins deux autres rotations pr sentes dans cette liste Aprss avoir exhib assez de relations de ce genre on arrive la conclusion qu il y a moyen de d crire toutes les rotations cubiques partir de la composition de seulement deux d entre elles On peut m me se permettre d oublier la signification g om trique de ces deux rotations g n ratrices pourvu qu on tienne compte de certaines relations simples entre ces deux rotations relations qui traduisent l essentiel de la g om trie de la situation Voici en bref une pr sentati
90. P 7 B A 9 C A Par exemple en multipliant la premi re quation par 7 la seconde par 3 et en les sous trayant on obtient C A 7N 3P De fa on analogue B A 9N 4P B A 9N 4P C A TN 3P 106 2 Les sequences d enseignement C est cette possibilit d inverser les formules donnant N et P en fonction de B et C A qui justifie que l on peut utiliser volont une quelconque des deux quations vectorielles M k B A 1 C A ou M m N n P pour tudier le plan a car ces deux equations caracterisent le meme plan D une fa on g n rale supposons qu un plan 8 passant par l origine soit donn par une quation vectorielle X aU bV et que P et Q soient des combinaisons lin aires de U et V donc appartiennent au plan 8 P kU l V Q mU n V Nous pouvons alors nous demander si ces formules sont inversibles de sorte que le m me plan 8 aurait aussi pour quation vectorielle X a P b Q D un point de vue g om trique il est clair que la condition est que les deux points P et Q ne soient pas align s avec l origine sans quoi les combinaisons lin aires de P et Q ne rempliraient pas B Les couples E et ne peuvent donc pas tre proportionnels ce qui s exprime par la condition kn ml 0 Il n est alors pas difficile de v rifier qu effectivement si cette quantit n est pas nulle les points U et V s expriment comme combinaisons lin aires de Pet
91. Q 1 a A S Te ee 1 V ZA tmp kQ Des combinaisons lin aires d quations Nous avons vu dans cette fiche qu une droite est caract ris e par un syst me de deux quations cart siennes Il est important de noter que ces quations ne peuvent tre quel conques Chacune d entre elles caract rise un plan Associer un syst me de deux quations cart siennes une droite c est lui associer un syst me de deux plans dont la droite est l intersection Les deux plans ne peuvent tre confondus Leurs quations ne peuvent donc tre proportionnelles Ainsi le systeme de deux equations aix biy 12 di a91 bay CZ da caracterise une droite si et seulement si l un au moins des trois nombres ab asb a1C3 G2C1 b1C2 b2C1 n est pas nul Par ailleurs toute droite d de l espace peut s exprimer de nombreuses fa ons comme l inter section de deux plans et poss de donc non un mais des syst mes d quations cart siennes du type aix biy C17 di a91 bay CZ da 2 3 Systemes d equations lineaires et fonctions lineaires 107 On peut alors se demander comment construire partir de l un d entre eux tous les syst mes de deux quations cart siennes du type pr c dent qui repr sentent la droite d z En abordant cette question on remarque imm diatement que si un point P 2 v rifie les deux quations ci dessus il v rifie galement toute q
92. Sur les autres imprimantes impression est r alis e par copie d cran On trouvera dans cette annexe une simple description du fonctionnement technique des diff rentes routines propos es par le programme Pour des situations p dagogiques illus trer par le programme on se r f rera d abord aux diff rentes fiches pr sentes dans ce fascicule mais aussi l annexe 2 Installation Pour installer le programme Reseau exe il suffit de le copier dans le r pertoire de son choix 226 A Le programme Reseau exe Lorsque le programme d bute l utilisateur se trouve devant un cran comportant au long du bord sup rieur une ligne de menus au long du bord gauche une colonne d ic nes au long des bords inf rieur et droit des ascenseurs dans le coin inf rieur droit une ic ne repr sentant une bombe au centre un syst me d axes et un cube Les menus concernent l environnement g n ral d ex cution du programme Les ic nes permettent de cr er des objets g om triques Les ascenseurs permettent de modifier les param tres de la repr sentation La bombe permet de d truire un objet Le syst me d axes et le cube constituent la figure int ressante Nous allons passer en revue ces divers l ments A 3 Les menus 227 La barre de menus situ e en haut de l cran comporte quatre l ments Le menu contient les routines permettant d enregistrer ou de charger une situa
93. TiallX o ias 214 142 Lesecadrans HOMO ic cc sra A 215 207 208 4 Construire un cadran solaire Des cadrans solaires ont t construits depuis la plus haute antiquit Le plus ancien cadran connu serait gyptien et daterait du premier mill naire et demi avant notre re cependant que lt les chinois pr tendent qu ils employaient d j des cadrans l poque de l empereur Yao 24 si cles avant J sus Christ Malheureusement l existence de l empereur Yao est incertaine gt t Il est des cadrans de formes et de disposition vari es Certains sont de v ritables uvres d art Tous sont bas s sur le m me principe Une baguette appel e style est fix e sur une table qui peut tre verticale aussi bien que horizontale ou oblique Un cadran ensemble de rayons issus de la base du style est dessin sur la table La position de l ombre du style par rapport ce cadran indique l heure Si un cadran solaire indique l heure il s agit bien videmment de l heure solaire Il n est peut tre pas inutile de rappeler rapidement les faits de base ce sujet Comme chacun sait le globe terrestre est anim de deux mouvements de rotation la rotation diurne mouvement au cours duquel la terre tourne sur elle m me en 24 heures autour de l axe des p les Ce mouvement induit un d coupage du temps en jours Il est aussi utilis afin de d finir l heure la r volution autour d
94. Universit de Mons Hainaut Service d Analyse et M thodologie Math matiques G No l F Pourbaix Ph Tilleuil 1997 O Introduction 0 1 L alg bre lin aire dans l enseignement secondaire 0 2 Les difficult s d enseignement de l alg bre lin aire 0 3 Le malentendu de l alg bre lin aire 0 4 Les objectifs de notre recherche 0 5 R sultats de la recherche I La g om trie de l alg bre lin aire 1 Analyse th orique 11 La PITA ciar De des se A LLI 1 1 2 1 1 3 1 1 4 L enseignement de la g om trie Le probl me de la repr sentation plane Le probl me de la m thode La g om trie de l alg bre lin aire L2 Les grands Hemes ios 44 tam da Ra med Ron ee UE 6 Lal 1 242 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 26 LT 128 1 29 Lee PEI oe ra a ed IR A EDS Les th mes fondamentaux et les th mes annexes Th me I G om trie d incidence de l espace Th me IT G om trie vectorielle l mentaire Theme II Produit scalaire 4 soe 404 dia s t Res R Th me IV Nombres complexes et rotations du plan Th me V Les rotations de l espace Th me VI Volume produit ext rieur et d terminant
95. V W ou X Y Z ne serait pas une base Il s ensuit par exemple que si les points O U et V ne sont pas align s alors la base 1 U V U x V est de m me orientation que la base canonique I J K o 1 0 0 J 1 et K 0 puisque D t 1 J K 1 et D t U V U x V U x V e U x V U x VI gt 0 Volume orient dans un espace orient Si l espace point en O est orient par le choix d une base U V W et si X Y et Z sont trois points on appelle volume orient d termin par X Y et Z et on note V X Y Z le nombre reel d fini par D t X Y Z V X Y Z D t U V W Dans le cas particulier o U V W I J K est la base canonique d crite plus haut le volume orient s identifie au d terminant REMARQUE 2 5 1 Un expose au Seminaire de Didactique des Mathematiques du C D S a Mons le 25 mars 1997 intitule Bivecteur produit vectoriel volume determinant gt a ete consacre a une presentation des memes themes que ceux abordes dans cette che mais a partir de la notion de produit exterieur 44 2 6 Les rotations de l espace 165 166 2 Les sequences d enseignement Cette section est consacr la description des rotations de l espace qui laissent globalement invariant un cube donn et la repr sentation matricielle des rotations Cela n cessite quelques pr liminaires rassembl s ci dessous Il est fait un usage fr quent dans tout ce th
96. X a R5 Y On consid re une base orthogonale U V W de l espace point en O Comme la rotation R conserve le produit scalaire le triplet Rb U R V R W est encore une base orthogonale de l espace On calcule alors gr ce la bilin arit du produit scalaire et son invariance sous la rotation R6 R X Y Ri X REY e R U RX Y e R U R X e RL U R Y e RE U X Y eU XeU YeU 0 Pareillement REA Y Rp X Rp Y e RE V Rp X Y e REV REX e RE V REY e Rp V X Y 0 V XeV VoV 0 et enfin REX Y REX RAY e Rp W R X Y e Rb W ROA e Rb W RO Y e RW X Y e W XeW Y e W 0 2 6 Les rotations de l espace 179 L l ment R X Y R X Rb Y tant ainsi orthogonal aux trois l ments d une base de l espace doit tre identiquement nul d o R X Y R X RY On proc de de m me pour tablir Rola a RA ce qui acheve de d montrer que toute rotation de l espace est une application lin aire Dans l espace toute application lineaire qui laisse invariant le produit scalaire c est dire les longueurs et la valeur absolue des angles orient s est appel e une isom trie de l espace La signification g om trique de la propri t de lin arit est l mentaire mais fondamen tale En vertu de ce que l on sait de l quation vectorielle ou des quati
97. X A k D C A propos de l quation vectorielle d un plan L quation vectorielle d un plan a passant par les trois points distincts A B et C non align s s crit Xea gt 3HIER X A K B A 1 C A 2 2 La geometrie vectorielle elementaire 85 On dit alors que a est muni du rep re A B C au sens o le point A est obtenu pour les valeurs k 0 et l 0 des param tres et est appel origine du rep re Quant aux points B et Cils sont respectivement obtenus pour les valeurs k 1 0etk 0 l 1 Les valeurs de k et l correspondant un point X sont appel es les coordonnees du point X dans le rep re 4 B C 86 2 Les sequences d enseignement 2 3 Systemes d equations lineaires et fonctions lineaires 87 L tude des syst mes d quations lin aires n est vraisemblablement pas celle qui pose le plus de probl mes aux enseignants La th orie en est bien connue et ne n cessite gu re de commentaires Nous avons donc opt dans ces fiches pour une pr sentation pratique tra vers des situations g om triques De fa on plus pr cise nous rencontrerons des syst mes d quations lin aires de nombreuses reprises via des probl mes de d termination d in tersections de droites et plans Ce sera aussi l occasion d introduire l quation cart sienne d un plan Si cette fa on de faire a l avantage d int grer l tude de l alg bre lin aire celle de la g om
98. aires classiques d Quest l ombre sensores error AAA Adl Les cadrans CMOS e e coes bini Leu ne aa 4 4 2 Les cadrans horizontaux II Annexes A Le programme Reseau exe Al Introduction cir 44 5 tiaa de nia a na eae ea A2 Lastructure du PIES oo o soa coca ce be a a a a a A 3 Les menus Aal Lemeni Prot sinus NL NN sa mia s Ee A A A32 Lem nu Transformation oo c sa osea oo rga aa 187 188 189 192 195 199 203 206 207 208 211 212 213 214 215 223 Table des matieres A 3 3 A 3 4 Le menu Repr sentation Le menu Coulenis uo sesat serek ada a a a E o AN B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 C 1 C 2 C3 CA C 5 D 1 A 4 1 A 4 2 A 4 3 Les ic nes de cr ation o 4 4 4 a ue due n au a dada pate d L ic ne de d nomination Les ic nes d ex cution Les sections de cube LOU o loa e kipe DR RS ENS RSR a a a E Por La m thode synth tique lt ca s se ta nd se Da be 4e n e R Une m thode bas e sur le r seau cubique Une m thode vectorielle 4 Line conclusion 22 La pemoc a ad Bibliographie comment e A Kostrikin Introduction l alg bre 4 444 a sue N Kuiper Linear Algebra and Geometry T Banchoff J Wermer Linear Algebra through Geometry
99. ait tre le suivant Dans le th me pr c dent on a consid r l espace des solutions d un syst me lin aire Ici il s agirait aussi d tudier le calcul lin aire sur les quations lin aires elles m mes afin de pouvoir attribuer aux quations lin aires puis aux applications lin aires le statut de vecteur Cela pourrait d boucher sur une premi re approche de la notion de dualit par exemple partir du produit scalaire Quant au produit matriciel il serait fait mention que ce n est pas la premi re fois qu un produit est d fini sur des objets g om triques ici les substitutions lin aires les nombres complexes et les quaternions sont des nombres lt g om triques gt munis d une multiplication dont on peut expliciter une repr sentation matricielle et le produit ext rieur permettrait d introduire la notion de d terminant avec ses principales propri t s y compris la multiplicativit cfr la discussion sur la lt relativit gt des l ments d aire orient e Mais d autre part ce th me quant ce qui concerne les transformations lin aires et leur composition aurait d j t significativement explor travers les th mes pr c dents On peut citer dans cet ordre d id es les notions de d pendance lin aire de rotations du plan et de l espace avec leur composition mais surtout les nombreuses discussions concernant la signification g om trique de toutes les notions introduites et qui
100. an Nous venons de voir que si la droite d est perpendiculaire a d et da elle est perpendiculaire a toute droite du plan engendre par d et da et passant par le point T Il reste a prouver que toute droite d passant par T et perpendiculaire a d est situee dans le plan engendre par d et da De cette facon nous pourrons dire que le plan engendre par d et d2 est exactement l ensemble des points M tels que d L MT PROPOSITION 2 4 2 Sous les hypotheses et avec les notations precedentes toute droite d perpendiculaire en T a d est situee dans le plan determine par d et do 2 4 Le produit scalaire 143 d d M Y M Consid rons un point M d avec M ZT T ainsi qu un point D d avec D 4 T Les M points M M2 D et T sont non coplanaires T il existe donc r s et t R tels que M T LE TEDET D s lors puisque d L d 005 WE De M ET r D T e M T s D T e M T t D T e D T r0 s0 t D T e D T On obtient ainsi l galit 0 1D T Mais D ZT D s lors t 0 et M T r M T 5 M T Autrement dit le point M appartient au plan engendr par d et da et la droite d est situ e dans ce m me plan Les deux propositions pr c dentes justifient la d finition de lt droite perpendiculaire un plan gt D FINITION 2 4 3 Une droite d est perpendiculaire a un plan T si et seulement si elle est perpendiculaire a toutes les droites de T qui lui sont secantes Lo
101. apports de segments de droites parall les les effets sur les coordonn es de transformations telles que translations sym tries centrales ou orthogonales rotations 2 au deuxi me degr voir 2 et 3 le th or me de Thal s et les triangles semblables en particulier homoth tiques les coordonn es du milieu d un segment la construction de la quatri me pro portionnelle et le partage d un segment en n parties gales les proportions les translations rotations et sym tries Vaddition de deux vecteurs et la multiplication d un vecteur par un scalaire les composantes d un vecteur la g om trie analytique plane de la droite Vanalyse et la construction de graphiques de fonctions du type x ax b les fonctions quations et in quations du premier degr l quation cart sienne d une droite les syst mes de deux quations deux inconnues les probl mes conduisant des quations du premier degr la liaison entre les transformations g om triques et les graphiques des fonctions flo f x k f x k kf x f kz la moyenne d un tableau de nombres Si l enseignement de l alg bre lin aire durant les quatre premi res ann es de l enseigne ment secondaire peut raisonnablement proc der par accumulation de r sultats il vient un moment o une mise en ordre s impose o une synth se doit tre r alis e Ce n est qu ce p
102. ar contre si l on cr e une racine carr e de 1 et qu part cela on calcule comme d habitude on retrouve sans trop de peine les racines connues par ailleurs Une telle mise en situation permet d expliquer autant les raisons de l invention des nombres complexes que les r gles de calcul qu on leur impose 4 D autre part le d veloppement des propri t s des nombres complexes utilisera les notions de norme et de trace d un nombre complexe Pour m moire si a et b sont des nombres r els et z a bi un nombre complexe on note Z a bi le conjugu de z on appelle trace de z et on note Tr z le nombre r el d fini par Tr z z Z 2a et on appelle norme de z et on note N z le nombre r el d fini par N 2 z Z a b La trace de z est donc le double de la partie r elle de z cependant que la norme en est le carr de la valeur absolue 4 Par ailleurs il est peut tre utile de signaler que le polyn me caract ristique d une transformation lin aire de R est un polyn me du troisi me degr qu une transformation affine de l inconnue permet de ramener toujours une forme r duite 1 2 Les grands themes 29 R ciproquement la connaissance de la trace et de la norme d un nombre complexe z permet de retrouver ce nombre en r solvant l quation du second degr Z Tr 2 Z N z 0 En particulier si les deux nombres complexes u a bi et v a b i sont interpr t s comm
103. articulier o on y fait U V Q P alors UOV 0 et IUII IV cos VOV U 10 PIP tandis que Uu1 U1 U2 U2 U3 U3 u uo ug q p q2 pa q3 p3 de telle sorte que l galit permet aussi de retrouver la formule de la norme IQ PIP q pr 92 pa q3 ps La possibilit d attacher une expression simple qui ne d pend que des coordonn es une signification g om trique en termes de mesures d angles et de distances souligne l int r t tres particulier que rev t cette galit Ainsi et en conclusion on appelle produit scalaire des vecteurs colonnes U et V et on note U e V le nombre r el d fini par 2 4 Le produit scalaire 133 et on a alors la formule On d duit imm diatement de la d finition ou de la formule les propri t s suivantes SiUetVX0 UeV 0 lt OU est perpendiculaire OV Ue V V e U commutativit a U b V e W a U e W b V e W lin arit ou plut t bilin arit compte tenu de la commutativit Retour nonc On commence par calculer les coordonn es du point variable M sur la droite d termin e par les points C et D De l quation vectorielle M M t C t D C on tire 1 2 Mel 1 el 143 0 1 1 1 2t 2 2t A M t 1 14 42 2t 1 1 2 1 1 2t 2t B M t 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2t 2t C M t 1 14 2 2t
104. ations du plan 28 1 2 7 Th me V Les rotations de l espace oaoa 4 4 4 a 30 1 2 8 Th me VI Volume produit ext rieur et d terminant 33 1 2 9 Theme VII Syst mes d quations lin aires 39 1 2 10 Th me VIII Matrices et composition des transformations lin aires 41 SA MR 42 1 3 Relations entre les th mes 44 12 1 1 La problematique 13 Cette introduction rel ve quelques uns des probl mes rencontr s par l enseignement de la g om trie dans l espace et plus particuli rement dans ses relations avec l enseignement de l alg bre lin aire 14 1 Analyse theorique Les probl mes pos s par l enseignement de la g om trie sont l objet d un rapport r cent de la Commission Internationale de l Enseignement Math matique CIEM ou ICMI Geometry considered as a tool for understanding describing and interacting with the space in which we live is perhaps the most intuitive concrete and reality linked part of mathematics On the other hand geometry as a disci pline rests on an extensive formalization process which has been carried out for over 2000 years at increasing levels of rigour abstraction and generality Among mathematicians and mathematics educators there is a widespread agreement that due to the manifold aspects of geometry the teaching of geometry should start at an early age and continue in appropriate for
105. brer ainsi la memoire des eleves en leur donnant l impression d une theorie lourde et complexe Ne vaut il pas mieux leur apprendre a organiser leurs connais sances en ne retenant qu un petit nombre d enonces a partir desquels on peut aisement retrouver tous les autres 68 2 Les sequences d enseignement 2 2 La geometrie vectorielle elementaire 69 L objectif des fiches qui suivent est de familiariser l l ve avec le calcul vectoriel et la notion de lin arit partir des r seaux cubiques employ s dans les fiches pr c dentes qui induisent un rep re orthonorm nous allons d duire les propri t s du calcul vectoriel en particulier la notion de combinaison lin aire Prenons un r seau cubique et int ressons nous un cube en particulier bien choisi Un des sommets de la face inf rieure est appel origine et not O Les droites supportant les c t s du cube passant par O sont les axes Nous les diff rencions en les baptisant OX OY et OZ En prenant pour unit le c t d un cube nous associons un nombre r el chaque point de l axe OX Nous faisons de m me pour les deux autres axes OZ 2 OX Gr ce ces indications nous pouvons rep rer chaque point P du r seau par un triplet de nombres Le premier de ceux ci fixe la projection du point sur l axe X parall lement au plan YZ nous savons par la fiche N 1 qu il n existe qu un et un seul plan
106. c e de la formule U AV kn lm E A Ez s ensuit Toute cette construction et la discussion qui l a suivie s applique sans modification l espace tout couple U V de vecteurs de l espace on associe l objet not U AV et caract ris par les propri t s 36 1 Analyse theorique d antisymetrie U AV V AU de linearite k U 1 V AW k UAW I VAW Ce nouvel objet math matique est appel produit exterieur ou de Grassmann de U et V La construction toute lin aire qu on en a donn e justifie qu on attribue encore le statut de vecteur ce nouvel objet m me s il est intrins quement associ l id e de plan et d aire et non plus la seule id e de ligne ou de segment C est pour signaler cette nuance qu on utilise souvent la terminologie de 2 vecteur ou bivecteur On peut alors revenir la question de d crire une notion d l ment directeur pour un plan vectoriel d termin par deux vecteurs U et V suivant les exigences de proportionnalit lt largie gt d aire et d orientation d taill es au tout d but de la description du th me Et la r ponse est maintenant imm diate l analogue du vecteur directeur est ici le produit ext rieur U A V puisqu il a toutes les propri t s requises Il reste encore r gler un probl me qu on peut qualifier de r ciproque du pr c dent Consid rons deux vecteurs U et V quelconques et soient Ej Ez Ez trois vecteurs que l
107. ce si besoin l id e qu un bivecteur mod lise un l ment d aire orient 1 2 Les grands themes 37 Il n est pas inutile de signaler que si p et q sont deux quaternions purs p bi cj dk g bi cji dk on calcule facilement pq bb cc dd ed c d i bd b d j be b c k de telle sorte qu travers l isomorphisme Ho R3 le produit des quaternions purs fournit la fois dans sa partie r elle le produit scalaire et dans sa partie pure le produit vectoriel des vecteurs associ s p et q Pour ce qui concerne le produit scalaire cette observation avait permis d tablir dans le TH ME V l isom trie Ho R3 gr ce la forme 3Tr pg Il reste montrer que l op ration de produit ext rieur peut tre it r e et qu elle garde une interpr tation g om trique analogue celle d gag e ci dessus Pour l essentiel si U V W sont trois vecteurs quelconques de l espace il s agit de cal culer une mesure du volume au sens usuel du parall lipip de qu ils d terminent Pour ce faire on consid re trois vecteurs Ej E2 Ez qu on suppose orthonorm s mais cela ne nuit pas davantage la g n ralit qu auparavant et gr ce auxquels on peut d composer lin airement U V W U uw E u2 Ea u3 Ez V E v Ea v Es W w E w Ea 3 Ez Un raisonnement l mentaire montre que la mesure du volume du parall li
108. ce qui fournit de plus une interpr tation g om trique extremement importante de l quation cart sienne d un plan Nous voyons aussi que deux vecteurs perpendiculaires a sont n cessairement propor a a tionnels si A b et A Y sont tous deux perpendiculaires ay ce plan c Cc admet les deux quations ax by cz 0 et a x b x c z 0 Ces deux quations sont donc proportionnelles autrement dit les deux vecteurs A et 4 sont eux m mes propor tionnels A pr sent nous pouvons affirmer que les droites perpendiculaires sont simplement les droites parall les OA Une telle droite d poss de une quation vectorielle P U kA Si son point de perc e dans a est V et si M est un point quelconque de a on a M V o V U M V e x4 k M V e et ce r sultat vaut 0 puisque M V as Distance sph rique Avant d abandonner la g ometrie de la sph re il nous semble opportun de parler un peu du probl me de la plus courte distance entre deux points sur une sph re Nous allons esquisser une d monstration analytique du r sultat suivant La d monstration s effectue en trois tapes Toute section plane de la sph re S R est un cercle de rayon 0 lt p lt R Soit m un plan quelconque passant par et B on trace la droite p perpendiculaire au plan T et issue de la fiche suivante tudiera en d tails fie cette construction La droite p coupe le plan 7 au
109. ci v rifier s il en existe qui soient telles que t 1 Mais l int r t premier de cette lin arisation est qu elle permet d attribuer le statut de vecteur toute solution du syst me lin aris puisque ces solutions peuvent maintenant s additionner entre elles pour donner de nouvelles solutions et qu en les multipliant par un nombre r el on fabrique encore des solutions Ceci fait si Ej E et Ez sont trois vecteurs lin airement ind pendants on introduit les lt vecteurs lignes gt NM an E az Ez b1 E3 N a Ei az E2 b2 E3 et on montre que les solutions du syst me lin aire consid r sont les multiples du vecteur x N A N N x N L interpr tation g om trique de ce r sultat partir des vecteurs normaux aux plans vectoriels sous jacents est bien connue Il faut signaler que pour un syst me qui au d part pr sente plus de deux inconnues cette m thode de lin arisation pr alable n cessite de travailler dans un espace plus de trois dimensions Mais pas plus les r sultats que leur interpr tation ne s en trouvent modifi s L interpr tation g om trique de la discussion pr c dente pourrait se prolonger dans le THEME X consacr une introduction la g om trie projective et plus particuli rement au th or me de Desargues et sa signification en alg bre lin aire 1 2 Les grands themes 41 Pour le calcul matriciel l un des points de d part pourr
110. cos L4 cos LA et B sin Lp cos L A4 sin f4 A sin LA 2 4 Le produit scalaire 147 d o cos AOB AeB cos L4 cos LA cos LB cos lg cos LA sin 4 cos Lg sin lg sin La sin Lg cos LA cos Lpg cos lg la sin La sin Lg Si R est le rayon terrestre on obtient dists2 r A B R arccos cos LA cos Lg cos lg la sin La sin Lp 148 2 Les sequences d enseignement A l issue des situations d crites dans les fiches 13 et 14 nous retiendrons les constructions et les r sultats suivants A propos du produit scalaire On appelle produit scalaire des vecteurs colonnes ul Y U u2 V U2 u3 U3 et on note U V le nombre r el IUIL IV I cos UOV uiv ugu Uzuz Le produit scalaire jouit des propri t s suivantes SiU et V 0 U eV 0 lt OU est perpendiculaire OV Ue V V e U commutativit aU bV eW a U e W b V e W lin arit ou plut t bilin arit compte tenu de la commutativit A propos de la perpendicularit entre droite et plan D FINITIONS Une droite d est perpendiculaire un plan 7 si et seulement si elle est perpendiculaire toutes les droites de 7 qui lui sont s cantes On dit que la droite d termin e par P et Q est orthogonale la droite d lorsqu elle est incluse dans un plan perpendiculaire d sans avoir n cessairement de point commun avec d TH OR MES Une droite d est perpendiculaire en un p
111. d un enseignement int gr d alg bre et de g om trie L alg bre lin aire au sens large a mis en vidence le caract re lin aire ou multilin aire de ces notions tout fait fondamentales dans la g om trie d Euclide que sont le point la droite le plan l incidence le parall lisme la perpendicularit la mesure des distances des angles des volumes Depuis plus de 150 ans la g om trie d Euclide s exprime largement dans le langage de l alg bre lin aire L alg bre lin aire a aussi permis d ouvrir la g om trie pour l essentiel c est m me ce qui en organis le d veloppement en rendant accessible par exemple les espaces de dimension sup rieure 3 Introduction Coordonner alg bre lin aire et g om trie permet de montrer la puissance en g om trie de l outil alg brique mais aussi de faire b n ficier l alg bre lin aire de l intuition acquise en g om trie C est ce que Hans Freudenthal voir 28 appelle alg briser la g om trie et g om triser l alg bre Cette coordination de l alg bre lin aire et de la g om trie constitue la premi re partie et la plus importante de notre travail inti tul e La geometrie de l algebre lineaire Nous nous y effor ons de mettre en vidence syst matiquement les trois clairages de la plupart des activit s de g om trie de l espace le but tant de permettre l l ve qui doit r soudre un probl me de choi sir celui d
112. de ces points M Or par la fiche N 5 nous savons que MeCD ER M C q D C 1 1 M 3 4 2 5 1 Lg M 3 2 q 95 4 Afin de trouver le point de perc e de la droite CD dans le plan EFG nous devons trouver des r els r s et q tels que Lg 607 3 2q 4r s 5 q 2 r 2 s La 1 quation nous donne r 3 3 4 de sorte qu en remplacant r par cette expression dans les deux quations suivantes on obtient le syst me quivalent I EE e gl e a 2d 5 SOS He q 3 3404 28 Ou encore E S r eu Bi od ci di 2717 De Re 90 2 Les sequences d enseignement Les deux derni res quations impliquent q 0 d o r sultent r t et s z Le point de 6 1 1 1 6 2 perc e cherch est donc le point de coordonn es 4 4 Rd 235 J la 5 6 c est dire le point C Dans la fiche N 6 nous avons rencontr une condition n cessaire et suffisante pour que le point fasse partie du plan d fini par les trois points E F et G 0 C E doit tre une combinaison lin aire de F E et G E Comme E 0 f 0 nous voyons que C est une combinaison lin aire des points F et G Plus pr cis ment C G 3 F Reponse a la question c M e HI ER z l an S X Ne 6 0 M 0 u 5 6 10 6 M 9 U 6 10 u Essayons de trouver des r els r s et u tels que 6 6 r Bbu 4r s 6 10 u 2 r 2 s La 1 quation
113. de d finir les combinaisons et applications lin aires les matrices n intervenant que bien apr s Kuiper donne d int ressants exercices de rapport de section concernant des figures deux et trois dimensions point d intersection des m dianes d un triangle application d un corollaire du th or me de Ceva etc Le th or me de Desargues est pr sent avec trois preuves diff rentes dans des cas diff rents aussi faisant intervenir la g om trie avec plus ou moins d importance et ce la suite des th or mes de Menelaus et de Ceva Le birapport de quatre points pour expression a c a d abcd bec bad Kuiper utilise ce rapport avec des fonctions lin aires et en conclusion en d gage le th or me de Pappus Regardons pr sent les entiers modulo 5 0 1 2 3 et 4 Sur ces nombres on peut construire un plan affine fini ayant 25 l ments chaque point de ce plan tant donn par un couple de coordonn es e 7 Dans ce plan une droite ne peut tre obtenue que par les fonctions qui envoient un point sur ou sur 7 k e o k est un entier de 0 4 Il n existe donc que six fonctions de ce type Une droite sera par exemple 7 3 compos e des points 4 4 0 3 1 2 2 1 et 3 1 Il introduit plus loin les matrices comme tant des repr sentations des morphismes d es paces vectoriels Les propri t s des matrices y compris leur multiplication sont pr sent es comme des c
114. de l algebre lineaire on a d ailleurs observe quelques derapages gt dans ce sens Par ailleurs la resolution de ce type de probleme necessite souvent des prerequis lies a des techniques algebriques speci ques au domaine en jeu calcul polynomial calcul integral ou derivation etc Les di cultes que ce phenomene engendre peuvent dans certains cas prendre des proportions telles que l enjeu se trouve entierement deplace et que les questions d algebre lineaire n apparaissent plus que comme secondaires D un autre cote le deuxieme type de problemes proposes en algebre lineaire se situe dans un cadre entierement formel sans reference exterieure Les espaces utilises sont generaux on peut dire que les questions sont de vraies questions d algebre lineaire mais que leur interet hors de ce cadre n est en general pas visible dans le probleme ce qui peut poser un probleme de motivation L enseignement vise ici est celui de lt techniques objets gt les di cultes qu il souleve sont liees a l utilisation du formalisme du langage ensembliste dont on sait que les etudiants ont beaucoup de mal a l adopter surtout en l absence de point d appui sur un cadre de reference plus complet gt Ainsi l alg bre lin aire de l enseignement secondaire belge ou du d but de l enseignement universitaire fran ais serait soit inutile soit trop g n rale Dans les deux cas elle ne serait pas motivante Mais de quelle alg bre lin aire s agit
115. e sans d nominateur sans singularit les quaternions de norme 1 correspondent la sph re unit de dimension trois et elle rend compte de mani re simple de la composition des rotations par la seule multiplication de ces nombres g om triques gt que sont les quaternions Les r sultats qui seraient d gag s dans ce th me pourraient tre prolong s dans le TH ME IX consacr la g om trie de la sph re 1 2 Les grands themes 33 Ce th me est l occasion d enrichir la collection d objets qui m ritent le statut de vecteurs partir de la notion de direction d un plan A nouveau c est le fait d tre porteur d un calcul lin aire qui sera au centre de la discussion S il s agit de formaliser la notion de direction d un plan il convient d abord de revenir sur la notion de direction d une droite Dans l espace une droite vectorielle c est dire passant par l origine O est enti rement d termin e par un vecteur non nul le vecteur directeur de la droite Ce vecteur n est pas unique et il importe de bien comprendre ce que signifie cette non unicit Si U et V sont deux vecteurs directeurs d une m me droite il existe un nombre r el k tel que U k V Ce nombre r el d crit deux propri t s g om triques simples mais importantes de la droite en question sa valeur absolue permet de comparer les mesures de longueurs sur la droite selon qu on se sert de U ou de V comme un
116. e ce plan et si X et Y sont deux points de ce plan on appelle aire orientee d termin e par X et Y et on note A X Y le nombre reel d fini par X xY A X Y K o comme ci dessus K DPI U x V est le vecteur unitaire de m me sens que U x V En ce sens il s agit d une mesure d aire relative la base U V Dans le cas particulier o U V est une base orthonorm e du plan IT et si Ea a U b V Y c U d V on calcule comme plus haut XxY a U b V x c U d V ac UxU ad UxV be V xU bd V xV ad bc U xV ad bc x K de telle sorte qu alors A X Y ad be 2 5 Produit vectoriel volume et determinant 163 Dans ce contexte d un plan orient par une base orthonorm e on appelle parfois l aire orient e A X Y le d terminant 2 x 2 de X et Y Propri t s du d terminant 3 x 3 ui Vi W On a d fini plus haut le d terminant de U us V v et W w par u3 U3 w3 D t U V W UxV eW U2U3 U3U2 wi u vz uzv e wz UU UV 03 U1U2W3 ViWouz W1U9U3 UgU2W V3W2U1 W3ZU2V1 On appelle parfois ce produit U x V e W le produit mixte de U et V par W Une signification g om trique de ce produit a aussi t d gag e en m me temps que sa d finition D t U V W U x V e W est le volume du parall l pip de d termin par U V et W La seule d finition du d terminant entra ne encore une fois quelques propri t s remar
117. e en place de la notion de coordonn es et de relier ainsi le plus t t possible l approche g om trique l approche alg brique En ce sens le r seau cubique peut tre assimil une structure visuelle g om trique au sens de Van Hiele voir 49 mais appropri e la g om trie dans l espace et pr alable d autres formes de repr sentations plus alg briques 1 2 Les grands themes 25 On dit qu une variable y d pend lin airement d une variable x s il existe un nombre r el a tel que y a x Plus g n ralement une variable y d pend lin airement des variables T1 Ta Zn S il existe des nombres r els a1 az an tels que Y 01 21 Q2 L2 H i Fan In Comme signal dans l introduction un nombre suffisant de ph nom nes lin aires ont d j t rencontr s et tudi s dans les enseignements de math matiques des ann es pr c dentes Un des objectifs du cours d alg bre lin aire est d organiser maintenant tous ces r sultats en les unifiant Cette organisation s entame avec la d couverte du calcul vectoriel et l tude des premi res incarnations g om triques de la notion de vecteur Partant de cette id e fondamentale de lin arit un vecteur est provisoirement d fini comme n importe quel objet math matique porteur d un calcul lin aire de telle sorte qu attribuer un objet math matique le statut de vecteur signifie expliciter ses compor tements caract ristiqu
118. e g om trie de l espace t On peut lui apporter deux types de solutions La premi re consiste d velopper une lt imagination de l espace gt c est dire ap prendre se figurer consciemment l espace tel qu il est et non pas tel qu on le voit Par exemple des droites non coplanaires ou gauches doivent tre pr sentes l esprit comme constituant un objet r el alors que celui ci n est pas r ductible un objet plan Ou des droites parall les doivent tre imagin es telles alors qu on les voit s cantes La seconde solution revient d coder aussi explicitement que possible des modes de repr sentation plane des objets de l espace c est dire apprendre se figurer consciem ment l espace soit tel qu on le voit perspective centrale soit suivant d autres r gles l mentaires de repr sentation plane perspective cavali re projections orthogonales etc En un mot il s agit de dessiner l espace tel qu on sait bien qu il n est pas Si la d couverte des r gles de la perspective centrale c est dire du dessin des objets de l espace tels qu ils sont vus par les peintres italiens du Quattrocento a t si tardive c est que ces r gles n taient pas videntes Pourquoi Probablement parce que nous ne percevons pas consciemment que notre vision est plane et que donc ce que nous voyons est d j lt pr cod gt Des lors s il s agit d noncer les r
119. e l espace 173 K i J K i I K 4 A IA ARAS ARE Ne N EN ES PS J K Ea I K Il J K I J K Il reste pr ciser pour chacune de ces droites les axes eux m mes leur rep re et les angles de rotation possibles pour chacun de ces axes On observe d abord que sur une droite le rep re oppos un rep re donn ne permet pas de cr er des rotations diff rentes de celles associ es ce rep re lui m me de telle sorte qu on peut se limiter dans la suite au rep re associ au lt centre de sym trie gt choisi pour d terminer la droite Commen ons par les droites obtenues en joignant l origine des coordonn es aux points 1 Jet K Si laxe est la droite OT munie du rep re o le point est d abscisse 1 alors les seuls angles de rotation possibles except langle nul sont 5 5 et m Les rotations ainsi d crites sont not es 2 7 2 a Ri REP et RT REA I 3 I gt On obtient de mani re analogue les rotations p RP aR Fo J A et RP REP RE RO Pour ce type d axes on trouve ainsi neuf rotations diff rentes 174 2 Les sequences d enseignement Poursuivons avec les droites obtenues en joignant l origine des coordonn es aux points 1 J 1 J J K J K 1 K 1 K Si l axe est la droite joignant l origine des coordonn es au point I J et munie du rep re o le point I J est d abscisse 1 alors l
120. e la m me mani re le point de perc e d une autre ar te de la face CDHG dans le plan MNP On proc de de la m me fa on avec les autres faces B 5 Une conclusion 251 Les deux premieres methodes qui viennent d etre decrites ont l avantage d etre plus vi suelles plus geometriques La seconde n est pas tout a fait generale mais est su sante pour les cas traites le plus souvent dans les classes Ces deux methodes ont les in convenients qui correspondent a leurs avantages elles ne sont guere generalisables a des polyedres plus compliques qu un cube ou un tetraedre Elles sont par la meme moins puissantes que la methode vectorielle C est toute la di erence entre geometrie synthetique et geometrie analytique Conformement a la philosophie developpee dans l introduction de ce fascicule nous preco nisons de munir les eleves de plusieurs methodes di erentes d attaque d un probleme de maniere a ce qu ils puissent choisir celle qui convient le mieux a la situation particuliere qu ils ont a traiter C est dans cet esprit que nous pensons que les trois methodes decrites ci dessus pourraient etre rencontrees a travers le logiciel reseau exe C 1 C 2 C 3 CA C 5 A Kostriaa Introduction l alg bre ci suis era ee noia aa 254 N Kuiper Linear Algebra and Geometry 256 T Banchoff J Wermer Linear Algebra through Geometry 258 F Pham et H Dillinger Alg bre lin aire
121. e n a pas le m me ton que les pr c dentes Elle est plus proche d un expos que d une situation probl me On peut ventuellement la proposer aux l ves comme exercice de lecture et de compr hension d un texte math matique 2 6 3 2 Situation g n rale On note la base canonique de R On consid re une rotation quelconque R d axe OP et d angle orient 9 On se propose T d tudier l image d un point X x 11 1 2 J x3 K quelconque par cette T3 rotation 2 6 Les rotations de l espace 181 2 6 3 3 Notion de matrice En vertu de la formule de lin arit voir fiche pr c dente la rotation R tant enti rement d termin e par la donn e de T1 T12 T13 RSD ra l RO ra et RA K ra T31 T32 T33 on la repr sente par le tableau appel lt matrice 3 x 3 gt Tir Tiz 713 M z T21 T22 T23 Tai T32 T33 dont les colonnes sont les coordonn es de R 1 R J et R K On d duit imm diatement de la lin arit de la rotation Rf R X Rail 223 zs K Tii T12 T13 Zi ra r22 3 T23 T31 T32 T33 T T1 T T2 r12 T L3 T13 T1 r21 T La 22 T T3 T23 Li T31 T T2 T32 T T3 T33 ce qu on note matriciellement Tu Tis Tis T1 Ti Tii T L2 T2 T 37713 RE X Mp X Toi T22 T23 Ta Ti Tai 22 T22 T3 T23 T31 T32 733 T3 X1 Y31 T T2 T32 T T3 T33 T et qui d crit explicitement l effet de la rotation R sur un point X
122. e n n nous la noterons Cn Elle est form e des charges situ es aux sommets du r seau pour lesquels z y z n La pr sence de valeurs absolues dans cette formule nous am ne consid rer s par ment la portion de C situ e dans chacun des huit octants de l espace Le premier octant par exemple est form des points pour lesquels x gt 0 y gt 0 et z gt 0 Dans cet octant l quation x y z n n 0 se r duit x y z n C est l quation du plan passant par les points 0 n 0 0 0 et 0 La portion de Cn contenue dans le premier octant est donc form e des points n de coordonn es enti res situ s l int rieur ou au bord du triangle ayant ces points comme sommets En proc dant de la m me fa on pour chacun des huit octants nous constatons que la couche C est constitu e des points coordonn es enti res situ s dans huit triangles quilat raux et isom triques C est un octa dre r gulier ayant pour sommets les six points 3 3 Le champ cree par les deux premieres couches 195 Int ressons nous au champ lectrique cr en un point 0 de l axe OX par les couches Co et C1 Supposons de plus 0 lt x lt 1 La couche n 0 est constitu e d un seul point l origine Le champ Faen 0 est donn au facteur K pres directement par la formule 1 1 De 1 p P 0 3 0 gt 3 Voici le graphique de son intensit x fo x pourO lt xz lt l 10 o Z 0 4
123. e plan OUV Des quations param triques de C5 sont donc tg ysin H tepte cos H cos H cos p tg y tg cos H Eliminons H En divisant les deux expressions membre membre on obtient u siny tg H v D o tg H e De la deuxi me quation on tire aussi cos H che En exploitant Pidentit 1 tg H gt on obtient alors successivement v sino u 1 vcosp v sin y vsin ytg v sin ytg u tg 1 2vcosp v cos g Si nous ne sommes pas en un p le nous pouvons diviser par cos p 2 Et si nous sommes en un p le le cadran horizontal est identique un cadran quatorial la courbe Cs a pour quation u v cotg ce que nous savions 220 4 Construire un cadran solaire 2 ee o te ptg 6 1 27 1 cos p COS D Cette quation est celle d une ellipse si tg pte 4 1 gt 0 d une parabole si tg y tg 1 0 et d une hyperbole si te y tg 6 1 lt 0 La condition tg y tg 6 1 lt 0 est quivalente tgwtgo lt 1 condition d j rencontr e Elle est satisfaite en un lieu de latitude 4 le jour o la d clinaison du soleil vaut 6 si et seulement si le soleil n est pas visible durant 24 heures cons cutives en ce lieu Dans ce cas nous savions d j que la courbe C s avait deux directions asymptotiques Nous voyons maintenant qu en fait c est une hyperbole Par contre les jours o brille le soleil de minuit la latitude y
124. e plan x k D terminons le nombre de points de chaque tranche La tranche T _ ne contient que le n n sommet n n 0 De m me la tranche Tp n ne contient que Ann 0 0 0 Il est clair que 7 4 et T _ contiennent le m me nombre de points La tranche Tn n 1 RS ei est form e des quatre points 1 0 0 1 D une fa on g n rale si k 4 n et k 4 n la tranche 7 4 contient 204 3 Un reseau cubique electrique k k k 1 les quatre points Ank n k Baux n Ikl Cnr 0 0 0 n k k Dax 0 n k 2 les points coordonn es enti res situ s sur les c t s du carr de sommets Ax Bu Cnk Dhk Par exemple sur le c t pour lequel y gt 0 et z gt 0 on trouve outre les sommets A et Cur les n k 1 points k k k 1 2 n k 1 n k 1 n k 2 1 Nous voyons que si k 4 n et k 4 n la tranche T contient 44 4 n k 1 4 n k points Finalement le nombre S de points de la couche Cn est donn par la formule Sh TRAS HH ln 4 dan ll e RRA DABA er ER Cm 2 An 2 Ainsi Si 6 Sa 18 S3 38 die Le champ cr par la couche C est donc la somme de 4n 2 champs l mentaires Pour effectuer le calcul on tient compte de ce que la somme des termes correspondant aux points d une m me tranche est n cessairement pour des raisons de sym trie une force parall le l axe OX A l exception de ceux q
125. e proposer la composition de forces electrostati ques coulombiennes comme application du calcul vectoriel et cela dans une situation qui ne soit pas simpliste De la consideration d un cristal ionique nous ne conserverons que l idee de charges electriques ponctuelles situees aux sommets d un reseau cubique les charges positives alternant avec les charges negatives La question posee consistera a determiner le champ electrique cree en un point de l axe OX par certaines con gurations de ces charges ayant des proprietes remarquables de symetrie Ceci simpli e considerablement la situation en assurant que le champ resultant soient oriente pa rallelement a l axe OX en point de cet axe Les idees a mettre en uvre ne necessitent que la connaissance de la somme d un nombre ni de vecteurs mais le probleme necessite une bonne ma trise de la technique des qualites d analyse et d organisation ainsi que du soin et de la perseverance Les sujets rencontres sont outre le calcul vectoriel des polyedres reguliers elementaires dont les proprietes de symetrie sont exploitees et des fonctions algebriques qui sont representees et dont le comportement peut etre etudie sans qu il soit absolument necessaire d en faire une etude systematique precise Pour arriver nos fins nous n avons besoin de conna tre que la loi de Coulomb Si deux charges electriques de valeurs respectives q et q sont situees en des points et B la force exercee par la cha
126. e seul angle de rotation possible toujours en dehors de langle nul est 7 La rotation ainsi d crite est not e TT R za On obtient pareillement T T 1 1 3 R 3 TK Roux et R5 x RS Tex Rig et Rig ix Pour ce type d axes on trouve ainsi six rotations diff rentes Il reste consid rer les droites obtenues en joignant l origine des coordonn es aux points I J K I J K I J Ket1 J K Si laxe est la droite joignant l origine des coordonn es au point I J K et munie du rep re o ce point est d abscisse 1 alors les seuls angles de rotation possibles sont toujours en dehors de l angle nul 2 et 2z 3 3 On s en convainc sans trop de peine en construisant le plan perpendiculaire l axe consid r et passant par l origine il d coupe sur la surface lat rale du cube un hexa gone r gulier Les triangles EBD et CHF sont situ s dans des plans parall les celui de cet hexagone C B g SE LS Les deux rotations ainsi d crites sont not es 27 3 2r 3 27 3 1 Rix et Resik Rix On obtient de la m me mani re les rotations 27 3 2r 3 27 3 1 Rien et Rig Bis 2 6 Les rotations de l espace 175 27 3 2r 3 ES 27 3 1 Rik Rp RK 27 3 2r 3 27 3 Rip et Reser R 54 k Pour ce dernier type d axes on trouve ainsi huit rotations diff rentes Au total et si on woublie pas l identit qui es
127. e vecteurs de R on a la formule 1 Tr u0 a bb La forme T r uv permet donc de retrouver l expression du produit scalaire de deux vecteurs du plan 30 1 Analyse theorique Comme signal dans la Probl matique ce th me serait consacr un premier temps fort l tude des rotations de l espace et de leur composition En voici de mani re suc cincte les tapes principales Les rotations l mentaires Lors de l tude g om trique des nombres complexes on observe que la multiplication par i s interpr te comme une rotation de 5 radians On g n ralise cette observation l espace de la mani re suivante On note I J K un syst me orthonorm de trois vecteurs orient dans le sens direct la rotation directe d un angle de 5 radians d finie dans le seul plan perpendi culaire 1 j la rotation directe d un angle de 5 radians d finie dans le seul plan perpendi culaire J k la rotation directe d un angle de 5 radians d finie dans le seul plan perpendi culaire K On v rifie imm diatement que Dex J K I et j 1 K k 1 J Ad T De plus on note 2 j k les rotations r ciproques de 1 j k Comme c est le cas de 1 j k ces rotations ne sont d finies que dans un plan et i sont d finies dans le plan perpendiculaire J etc On v rifie sans plus de peine que K ikd j K 1 et 5 1 K ie k J
128. eigne rien d autre que de l algebre lineaire J Dieudonne L importance de l alg bre lin aire et de ses applications est tr s largement reconnue Ainsi dans son Cadre global pour l enseignement des mathematiques le CREM voir 4 para graphes 7 1 3 et 7 1 5 crit lt L algebre lineaire comporte une multitude d applications dans les do maines les plus varies C est pourquoi elle est un des chapitres les plus im portants l autre est l analyse dans la plupart des cours universitaires de mathematiques generales gt et plus loin lt Parmi les theories algebriques c est l algebre lineaire qui possede les applications les plus nombreuses et les plus variees Ceci est du en partie au fait que la propor tionnalite et ce qui mathematiquement la generalise la linearite sont parmi les choses les plus aisement concevables par l esprit humain meme s il est vrai qu elles donnent du l a retordre aux ecoliers Ceci fait que beaucoup de situations qui prises dans toute leur complexite ne sont pas lineaires sont neanmoins par raison de commodite representees par un modele mathematique lineaire choisi le moins inadequat possible L algebre lineaire sert a resoudre des problemes de mecanique des vibrations de reseaux electriques d evolution de population de systemes chimiques economiques sociaux etc gt Il n y a donc rien d tonnant ce que le ph nom ne lin aire soit pr sent dans le cours de math
129. el conque du plan OX Y c Plus g n ralement tant donn un point quelconque de l espace comment d terminer les coordonn es de tous les points ayant m me projection que lui 2 2 3 1 Solution comment e Reponse a la question a Suivant les axiomes et les d finitions rappel s dans l introduction de la section A Pen semble de points en question est la droite d4 parall le UV et contenant le point A Cette droite d4 est appel e droite projetante du point A T Si le point M y appartient d4 les conclusions de la fiche N 4 donnent imm dia 2 tement A M z V U Puisque A 0 x 2 z 3 z 1 Donc 1 2 1 z i 78 2 Les sequences d enseignement ou encore M A z V U Utilisant la lettre k la place de z nous pouvons crire l quivalence Med gt M A k U V Nous dirons que M A k U V est l equation vectorielle de da Reponse a la question b Le principe sera le m me qu la question a mais cette fois nous ne connaissons plus les coordonn es du point sur lequel nous projetons a Notons b les coordonn es d un point G situ dans le plan OXY et y les 0 Z coordonn es d un point quelconque M de sa droite projetante dg Nous avons directement M G k U V Reponse a la question c M et N sont deux points quelconques de la droite projetante de G il existe des r els k et ka tels que M G ki U V N G ko U V d o
130. ement s il existe un r el tel que Q A 1 V A 2 2 La geometrie vectorielle elementaire 81 Observons que pour 0 respectivement l 1 on obtient Q A respectivement 1 0 axe OX Nous pouvons pr sent en revenir l id e voqu e plus haut Toujours d apr s les r sultats de la fiche N 5 et quel que soit le point Q situ sur la droite AV un point M appartient la droite projetante de Q si et seulement s il existe un nombre r el k tel que M 0Q k U V D s lors le plan projetant de la droite AV est l ensemble des points M pour lesquels il existe deux nombres r els k et l tels que M A 1 V A k U V Remarquons que pour l 0 nous retrouvons l quation de la droite d de la question a Reponse a la question b On sait que la droite d a pour quation M N 1 Q P On sait aussi que la parall le UV passant par N a pour quation Ma N k V U Le plan a d fini par ces deux droites s cantes puisqu elles ont le point N en commun est le plan voulu Il a pour quation vectorielle M3 N 1 Q P k V U Nous pouvons faire jouer un r le particulier au point N intersection des deux droites qui d terminent le plan a en choisissant des points A et B respectivement situ s sur d et sur la parall le UV passant par N et v rifiant les galit s suivantes A N Q P et B N V U on peut alors
131. en vue de leur assurer une pr paration ad quate L enseignement de l alg bre lin aire doit tre compl tement repens C est cette entreprise que notre travail doit apporter une contribution 0 4 Les objectifs de notre recherche 7 Nous venons d indiquer ce que notre travail n est pas l alg bre dont il est question dans la suite n est pas l tude formelle de la structure d espace vectoriel ni des appli cations lin aires M me si nous estimons que cette derni re notion qui n est qu une g n ralisation directe de la proportionnalit constitue le point essentiel de tout cours d alg bre lin aire nous pensons contre indiqu de l aborder sans une pr paration appro fondie qui permette de la mettre en valeur Notre but a t de mettre au point des s quences d enseignement du niveau du troisi me degr de l enseignement secondaire et qui m nent progressivement les l ves des notions l mentaires de g om trie aux concepts fondamentaux de l alg bre lin aire Nous nous appuyons sur deux principes 1 En ce qui concerne le contenu ne pas enseigner l alg bre lin aire pour elle m me Nous ne voulons pas crire un cours d alg bre lin aire mais rencontrer ses concepts et ses techniques le plus souvent possible et cela de fa on souvent informelle l occasion d activit s diverses Le cours de g om trie de l espace se pr te particuli rement bien la r alisation
132. entaires et en particulier le th or me de Thal s transformations etc Il aura effectu un premier apprentissage des notions de base positions relatives inci dences parall lismes de la g om trie dans l espace N anmoins le THEME I repren dra ces notions et ces r sultats dans un contexte appropri leur traduction alg brique ult rieure Une premi re approche de la notion de vecteur dans le plan si elle n est videmment pas nuisible n est pas indispensable pour la suite comme on s en rendra compte dans le THEME IL Par contre une familiarisation avec l utilisation des coordonn es pour r soudre des problemes g om triques l mentaires dans le plan semble n cessaire La g om trie euclidienne L leve aura une connaissance suffisante des r sultats de base de la g om trie euclidienne du plan isom tries th oreme de Pythagore trigonom trie du triangle quelconque En cons quence de ce qui a t signal ci dessus propos de la notion de vecteur le produit scalaire ne doit pas avoir t rencontr L alg bre du second degr L l ve aura une connaissance raisonn e du calcul des radicaux du second ordre des propri t s de l quation autant que de la fonction du second degr 1 2 Les grands themes 23 Le coeur de la partie La g om trie de l alg bre lin aire est constitu par huit grands th mes I G om trie d incidence de l espace II G om trie vec
133. entifiques de niveau universitaire contexte dans lequel la structure vectorielle est de fa on standard enseign e pour elle m me Leurs remarques montrent suffisance les d fauts de la m thodologie adopt e lt Notre analyse prealable de la nature des concepts d algebre lineaire nous laisse supposer que leur aspect uni cateur et simpli cateur ainsi que l absence de probleme lt simple gt permettant de justi er a lui seul l introduction de concepts qui n ont de reelle justi cation que dans leur emploi repete conduisent a un enseignement dichotomique 0 2 Les di cultes d enseignement de l algebre lineaire 5 D un cote on propose des problemes qui soulevent de lt vraies gt questions mais pour lesquels l algebre lineaire n est qu une facon plus generale mais pas indispensable de resolution Ce nouveau point de vue apporte eventuellement une simpli cation mais qui n est vraiment e ective que d une part si on ma trise bien les concepts d algebre lineaire et d autre part si on a a resoudre plusieurs problemes du meme type En situation d enseignement le risque est grand que la resolution du probleme par la methode utilisant l algebre lineaire ne soit qu un e et du contrat global on est en cours d algebre lineaire donc il faut s en servir gt ou bien que les questions qui decoupent la tache obligent a cette demarche Il n est par contre pas certain que libre de son choix l etudiant privilegie la methode issue
134. es en termes de lin arit Il est classique d attribuer ce statut trois types d objets 1 Le passage aux coordonn es est une cl essentielle pour introduire les diff rentes incarnations proprement g om triques de la notion de vecteur et de cette fa on permettre de parler de ce calcul lin aire Dans un syst me de coordonn es quelconques du plan ou de l espace d origine fix e en un point O les coordonn es de deux points et B d s qu elles s additionnent d terminent ainsi un nouveau point C Cette addition formelle donne naissance une figure g om trique remarquable le parall logramme OAC B D autre part l ensemble de tous les multiples des coordonn es d un seul point 44 O coincide avec l ensemble des coordonn es des points de la droite AO Ces r sultats justifient que un syst me de coordonn es tant fix le statut de vecteur soit attribu tout triplet de nombres r els consid r comme coor donn es d un point de l espace On note R l espace de ces vecteurs 2 Dans la construction pr c dente les interpr tations g om triques des deux op ra tions constitutives d une relation lin aire savoir l addition et la multiplication par un nombre r el sont en fait ind pendantes du choix d un syst me de coordonn es 2 I n est peut tre pas inutile de rappeler que le mot vecteur provient de la racine latine vec signifiant transporter On parle ainsi en biolog
135. es points de vue synth tique vectoriel ou analytique qui se r v le le plus ad quat Actuellement alg bre et g om trie semblent parler de l espace de mani res diff rentes l une l aide de figures d images et de d monstrations souvent l gantes l autre partir de calculs et de structures formelles Et ces deux approches des m mes probl mes semblent tr s loign es l une de l autre L l ve n apprend pas choisir l outil qui lui permet de r soudre le probl me qui lui est pos La limitation de la dimension 3 se r v le rapidement un inconv nient important qui emp che de percevoir la port e v ritable des concepts d alg bre lin aire D autres activit s doivent donc galement tre propos es aux l ves Elles peuvent tre issues d autres domaines math matiques analyse probabilit s mais aussi d autres disci plines Il est en particulier souhaitable de pr senter galement des activit s ayant un caract re interdisciplinaire Deux d entre elles constituent la seconde partie de notre travail En ce qui concerne les activit s mettre en vidence des analogies et laisser m rir les notions D s que l l ve a acquis les principes de g om trie vectorielle synth tique ou ana lytique ce devrait tre lui de choisir librement la m thode de r solution des probl mes qui lui sont soumis Mais c est l enseignant de faire ressortir les analo gies et les diff rence
136. essentielles Ult rieurement un nouvel isomorphisme appara t quand on attribue le statut de vecteur aux bipoints de l espace pourvu qu on identifie les bipoints quipollents c est dire images les uns des autres par translations Les exemples pr c dents concernant les aspects g om triques de la notion de vecteur sont classiques et se retrouvent dans tous les apprentissages de l alg bre lin aire Mais d autres plus originaux pourraient tre abord s dans les th mes ult rieurs le bivecteur directeur dans le TH ME VI les solutions d un syst me d quations lin aires dans le TH ME VII les transformations lin aires dans le TH ME VIII en prolongement de l tude de l espace des quations lin aires Avec une telle collection d exemples tous les ph nom nes lin aires tudi s dans les cours de math matiques des ann es pr c dentes auraient t rencontr s unifi s et substantiel lement g n ralis s De plus d s la construction des premiers exemples et des premiers concepts la d marche devrait tre inductive En r sum ce th me propose une construction inductive du calcul vectoriel qui s arr te juste avant l apparition de la structure d espace vectoriel Cette construction prend comme point de d part la g om trisation de la notion alg brique de ph nom ne lin aire Elle explicite les isomorphismes entre les diff rentes incarnations g om triques de la no
137. est situ au nord et vient raser l horizon minuit 4 4 Ou est l ombre 219 Revenons notre courbe Cs parcourue par l ombre R 5 H de l extr mit du style Si teptg0 lt 1 le d nominateur tgwtg0 cos H de Rs H s annule pour deux valeurs H et H de H de sorte que la courbe admet deux directions asymptotiques Le soleil n est lev que pour A lt H lt H c est donc la portion de la courbe Cs d termin e par cette in quation qui doit tre trac e sur la table du cadran solaire Ci dessous nous d terminerons l quation de l int gralit de C5 mais nous ne devrons pas oublier que seule une portion de cette courbe est utile Remarquons aussi que si tgwtg 1 l quation n a qu une seule solution H 7 c est bien comme nous l avons d j mentionn plus haut minuit que le soleil vient ventuellement raser 1 horizon et est en fait visible durant au moins 24 heures cons cutives Dans ce cas la courbe Cs n admet qu une direction asymptotique mais elle reste non born e Elle ne se ferme pas dans le plan Enfin si tgytg gt 1 la courbe Cs est born e et ferm e elle n a pas de directions asymptotiques Recherchons une quation de C5 Puisque R H E et que dans le syst me d axes choisi dans le plan OUV nous pouvons crire Ro H ae dans cos p ce syst me d axes nous avons Rs H cos H teptg H il tgytg cos H 1 cos Y Notons u et v les coordonn es dans l
138. et plus particuli rement sur le triangle BEH La droite VU joint les milieux des deux c t s de ce triangle D apr s le th or me de Thal s dans le plan de ce triangle VU est parall le BH 2 1 La geometrie d incidence de l espace 59 B F REMARQUE 2 1 14 Nous pouvons aussi visualiser ce resultat sur un reseau cubique plus n que le premier comme dans la gure ci dessous a droite BH est la droite qui supporte la diagonale du petit cube 1 Par translation cette diagonale est parall le la m me diagonale du petit cube 4 qui n est autre que UV 3 Puisque UV BH les points U et V ont la m me ombre Or Pombre de V qui est le centre du carr ABFE est le point V centre du carr A HF E Cette ombre appartient donc AF Il en r sulte que l ombre du triangle AFU est le segment 4 F B F 60 2 Les sequences d enseignement Soit K le milieu du segment BF Construire l ombre au soleil du triangle RST sur le plan CDGH le soleil tant dans la direction de la droite KH 2 1 5 1 Solution comment e K est le milieu du segment BF Cherchons l ombre du triangle RST sur le sol en supposant que le soleil claire dans la direction de la droite K H sachant que R ABCD S E CBFG et T EFGH Dans les enonces precedents le triangle dont on cherchait l ombre etait toujour
139. f P est exactement l abscisse de P au long de OC Nous obtenons ainsi une interpr tation g om trique int ressante de la fonction 1 y 2 gt ax by cz qui figure aux premiers membres des quations des plans de la famille p et dont nous dirons que c est une forme lineaire associ e aux plans de cette famille pour autant que le rep re de OC soit choisi de la mani re indiqu e si nous consid rons deux points PA T2 Pi y et P y la valeur absolue 21 22 ax1 by c21 axe bya cza n est autre que la longueur de la projection du segment P Pa sur la droite OC Cette expression repr sente en quelque sorte la distance entre les deux plans ap et ap mesuree au long de la droite OC Une telle interpr tation de la fonction ax by cz est particuli rement int ressante lorsque la droite OC est perpendiculaire aux plans ap Elle d bouche sur l quation normale d un plan comme on le verra dans les fiches consacr es au produit scalaire 120 2 Les sequences d enseignement Soit un rep re OXY Z fix On consid re la fonction Lai y 2r 3y 5z Existe t il un plan OAB et une droite OC tels que l abscisse de la projection z proj 9 P P d un point P y soit L P zZ 2 3 7 1 Solution comment e D apr s la fiche N 11 si un tel plan OAB et une telle droite OC existent nous pouvons g crire que la projection sur OC parall lement OAB d un
140. facilement de tout ce qui pr c de que Aj 1 r 2 2 2 Az VA A A 3 et que pour tout point T de r 1 Mae gt 5 5 AoT VA A5 A Zp vA A3 4 wi de telle sorte que si W ws W3 dist W r nro W T n oW n e T 1 JA A A B TARA RAR 1 2W2 3w3 Une quation cart sienne d un plan 7 Ait AT A3t3 B 0 pour laquelle A A3 A 1 est appel e une equation normale de ce plan Dans ce cas la formule qui exprime la distance du point W au plan est particuli rement simple dist W Tr Aw Aowo A3w3z B Propri t s du produit vectoriel ui Vi On a d fini plus haut le produit vectoriel de U us et V vz par u3 U3 U2U3 U3V2 UxV u103 U3U1 U41UV2 UU Une signification g om trique de ce nouveau produit a t d gag e partir de deux propri t s tablies en m me temps que sa d finition 160 2 Les sequences d enseignement U x V est orthogonal U ainsi qu V U x VI JU V sin VOV est l aire du parall logramme d termin par O U et V La seule d finition de produit vectoriel entra ne imm diatement quelques propri t s re marquables D abord le produit vectoriel est bilin aire c est dire que quels que soient les nombres r els a b et c Ux a X b Y a X b Y xV a XxV b Y x V a a Xx Ce Ensuite le produit vectoriel est an
141. fie imm diatement en vertu de la discussion pr c dente que Reoso isino est liden tit dans le plan sous tendu par 1 et 1 et correspond une rotation d angle 20 dans le plan sous tendu par j et k Or si p est un nombre r el R p p ce qui implique imm diatement que R Hb C Ho de telle sorte que l application R induit aussi une application dans R Cette applica tion est manifestement lin aire Il est alors clair que Reos0 ising repr sente une rotation compl te et non plus partielle comme plus haut d axe correspondant i et d angle 20 On obtient une conclusion analogue pour Reoso jsing t Reoso rsino Un r sultat miraculeux On d duit de tout ce qui pr c de le r sultat central de ce th me Si quel que soit le quaternion q de norme 1 on pose q cos sin0 1 ou 1 Ho et N 1 alors R induit par l isometrie Ho R une rotation d axe v et d angle 20 dans R De plus dans cette correspondance la multiplication des quater nions de norme 1 correspond a la composition des rotations c est a dire que la rotation R suivie de R correspond a la rotation R La deuxi me partie du r sultat fournit une param trisation remarquable de l ensemble des rotations de R par l ensemble des quaternions de norme 1 Cette param trisation se trouve en effet tre l une des meilleures possibles au sens suivant elle est rationnell
142. ford 1964 Hans Freudenthal Mathematics as an educational task Reidel 1973 8 17 L Gurova The in uence of a visual aid on the process of solving spatial problems Soviet studies in the psychology of lea rning and teaching mathematics Vol IV 137 147 J Kilpatrick and I Wirszup editors School mathematics study group Stanford University and Survey of recent east european mathematical literature University of Chicago 1970 16 P R Halmos Finite dimensional vector spaces 2nd ed D Van Nostrand company Princeton USA 1958 R M Hochtrasser Molecular aspects of symmetry W A Benjamin Inc New York USA 1966 W V D Hodge and D Pedoe Methods of algebraic geometry Vol I Cambridge Univ Press Cambridge 1994 A Kostrikin Introduction a l algebre Mir Moscou 1977 1981 N H Kuiper Linear algebra and geometry North Holland Publishing Company Amsterdam 1962 S Lang Algebre lineaire 2 tomes InterEditions Paris 1976 G Lupsin et R Graas Trigonometrie spherique La Procure Namur Bruxelles 8 me dition 1971 R S Millman Kleinian transformation geometry Amer Math Monthly 84 338 349 1977 G No l Geometrie de l espace des axiomes d incidence au produit vectoriel et a Vorientation Notes de cours UMH 1986 G Papy Mathematique moderne 6 Tomes d Marcel Didier 1968 Bibliographie 279 40 41 42 43 44 45 46 47 48 4
143. he teaching of geometry for the 21st century Discussion document for an ICMI study L enseignement math matique 40 345 357 1994 14 N C T M Curriculum and evaluation standards for school mathematics 1989 ET Commission du dictionnaire de l APMEP La mathematique parlee par ceux qui Venseignent 1967 1975 25 S B P M ef Produit scalaire matrices et applications Dossier d exploration didac tique n 5 89 pages 1997 87 H Anton and C Rorres Elementary linear algebra with applications John Wiley New York 1987 T Banchoff and J Wermer Linear algebra through geometry 2nd edition Springer Verlag New York 1992 M Barnabei A Brini and G C Rota On the exterior calculus of invariant theory J Algebra 96 1220 160 1985 R Bkouche De l enseignement de la geometrie Colloque International sur lEn seignement de la G om trie Universit de l Etat Mons 33 44 1982 15 K Borsuk Multidimensional analytic geometry Polish Scientific Publishers Wars zawa Poland 1969 N Bourbaki Algebre Ch 1 3 4 5 6 7 8 9 Hermann Paris 1958 1970 N Bourbaki Notes historiques Algebre Ch 1 3 4 5 6 7 8 9 Hermann Paris 1958 1970 H S M Coxeter Introduction to geometry J Wiley amp Sons Inc New York USA 1961 M Crowe A history of vector analysis The evolution of the idea of a vectorial system Univ Notre Dame Press Notre Dame 1967 265 A Dalle C
144. i une interpr tation nouvelle de l quation cart sienne d un plan ou plus exactement de ce qui est commun aux quations cart siennes de plans parall les c est dire les termes du premier degr de ces quations Expliquons nous Consid rons un plan passant par l origine ao Qo tait not OAB dans les activit s ci dessus et une droite OC s cante avec Si P est un point de OC notons ap le plan parall le passant par P 2 3 Systemes d equations lineaires et fonctions lineaires 119 Clairement tous les plans p ont une quation cart sienne du type ax by cz f P o les coefficients a b et c ne d pendent pas du point P choisi sur OC Nous savons que l quation d un plan n est d finie qu un facteur pr s mais nous d cidons de choisir ici la m me expression ax by cz quel que soit P OC de sorte que seul le terme ind pendant f P varie selon la position de P sur la droite OC De plus il r sulte des probl mes trait s dans cette fiche d une part que la valeur de f P ne d pend ni du choix de la droite OC pourvu qu elle soit s cante q ni du rep re choisi sur OC et d autre part que cette valeur de f P est proportionnelle a l abscisse de P sur OC En cons quence si nous choisissons comme point unit sur OC le point de perc e de OC dans le plan de la famille ap dont l quation est ax by cz 1 la valeur de
145. ic and coordinate representations deduce properties of gures using transformations and using coordinates identify congruent and similar gures using transformations analyze properties of Euclidean transformations and relate translations to vectors and so that in addition college intending students can deduce properties of gures using vectors apply transformations coordinates and vectors in problem solving L introduction de m thodes alg briques en g om trie est donc in vitable et cela des P tude de la g om trie plane On se trouve alors confront au probl me du choix de la methode de r solution d un probl me 18 1 Analyse theorique Dans le contexte de la g om trie synth tique plane on distingue d j la g om trie des figures et la g om trie des transformations L introduction d un rep re cart sien permet de ramener de nombreux probl mes des r solutions d quations Le calcul vectoriel et le calcul barycentrique sont adapt s certains probl mes particuliers Une autre forme extr mement puissante mais qui n est d habitude enseign e ni dans le secondaire ni ailleurs de ce que nous pourrions appeler un calcul alg brico g om trique est disponible d s qu ont t introduits les nombres complexes et leur interpr tation g om trique Mais plus la r solution d un probl me est alg brique plus elle risque de s carter de l intui tion g om trique On peut ainsi rencontrer des d
146. ie d un organisme vecteur du germe d une maladie et dans le domaine militaire d un missile vecteur d une charge nucl aire Le mot est apparu en astronomie dans la locution rayon vecteur droite cens e porter une plan te dans son mouvement autour du soleil Il est pass en g om trie dans le cadre de l usage des coordonn es polaires On consultera ce sujet la notice du mot vecteur dans 7 26 1 Analyse theorique Il est donc normal que l on attribue aussi le statut de vecteur tout point de l espace L addition de tels vecteurs est associ e la configuration du pa rall logramme et la multiplication par un nombre r el est associ une homoth tie de centre O 3 Quel que soit le syst me de coordonn es consid r une translation de l espace ne se d crit pas par une ou plusieurs relations lin aires Mais il est n anmoins tout fait justifi de consid rer la composition des translations ainsi que la multiplication des translations par un nombre r el comme donnant lieu un calcul lin aire Ces r sultats justifient que l on attribue encore le statut de vecteur toute translation de l espace Les correspondances d crites ci dessus font r f rence des isomorphismes On rencontre ainsi cette id e fondamentale que des objets g om triques a priori diff rents peuvent tre des incarnations d une m me notion celle de vecteur qui rend compte de mani re unifi e de leurs caract ristiques
147. il 6 Introduction Depuis les ann es soixante une habitude malencontreuse s est instaur e consistant as similer lt alg bre lin aire gt lt tude formelle de la structure d espace vectoriel gt ce qui n en est qu un point particulier et pas le plus int ressant C est bien l alg bre lin aire comprise dans ce sens restreint que s appliquent la plupart des critiques qui ont t men tionn es ci dessus Cette erreur de vocabulaire et cette approche de la structure d espace vectoriel qui n en assurait pas le sens par une liaison correcte avec d une part les applications d autre part les concepts g om triques l mentaires a finalement eu pour cons quence non seulement le rejet de l tude formelle de la structure d espace vectoriel mais aussi de ce concept lui m me et la plus grande partie de ceux qui y sont associ s En termes familiers nous dirions qu on a lt jet le b b avec l eau du bain gt C est ainsi qu on a vu ces derni res ann es l importance de l alg bre lin aire au sens large diminuer singuli rement dans le troisi me degr de l enseignement secondaire alors qu il n est pas excessif de consid rer que la grande majorit des jeunes gens qui abordent des tudes sup rieures techniques scientifiques conomiques ou m me de sciences humaines seront confront s des situations relevant de cette discipline Un effort particulier doit tre r alis
148. illes assez ancienne Elle est tr s peu fr quente Enfin si vous avez une imprimante couleurs r cente qui comprend le PCL5 choisissez PGL2 Col Ce choix convient par exemple pour les HP LaserJet Color et HP DeskJet 1200C et 1500C Apr s avoir choisi une imprimante il vous reste indiquer quel port cette imprimante est connect e Par d faut la case intitul e lt Port gt comporte la mention LPT1 gt qui est le nom habituel du port parall le G n ralement il suffit de ne pas modifier cette mention V rifiez enfin que les cases Fichier et Image bmp n ont pas t s lectionn es Eventuellement d selectionnez les en cliquant dessus 2 Vous pourriez souhaiter imprimer dans un fichier par exemple pour pouvoir r imprimer une figure ult rieurement sans devoir relancer le programme Dans ce cas choisissez d abord une imprimante comme ci dessus puis cochez la case Fichier Le fichier qui sera cr aura une extension indiquant quelle imprimante il est destin Le tableau qui suit reprend ces extensions LaserJet LJ Epson FX80 FX Postscript eps PaintJet PJ Epson JX80 JX PGL2 NB plt DeskJet DJ Epson LQ24 LQ PGL2 Col plt Il est un autre cas o il peut s av rer utile d imprimer d abord dans un fi chier celui o votre ordinateur fait partie d un r seau et n a acc s une imprimante qu travers ce r seau Dans ces conditions il se
149. invariant Pobservateur a l impression que ce rayon balaie un c ne droit de sommet P et dont l axe est parallele l axe de la terre Appelons le le cone de soleil La gure ci contre est destinee a illustrer la situa tion mais elle ne presente aucun caractere realiste puisque le globe terrestre et le cone de soleil sont representes suivant des conventions di erentes Si la declinaison du soleil c est dire l angle entre les rayons solaires et le plan de l quateur est not e l ouverture du c ne de soleil langle entre l axe du c ne et les g n ratrices est l angle compl mentaire de Au cours de l ann e varie de 23 27 2327 L ouverture du c ne est donc toujours comprise entre 90 et 66 33 En particu lier l ouverture vaut 90 de sorte que le c ne de soleil est un plan lorsque le soleil est situ dans le plan de l quateur ce qui arrive deux fois par an lors des quinoxes 212 4 Construire un cadran solaire Le style d un cadran solaire classique est orient parall lement l axe de la terre Le rayon solaire passant par l extr mit du style balaie donc une c ne droit dont l axe est le style plus exactement la droite supportant le style Quel que soit le jour de l ann e le plan d termin par le style et ce rayon solaire une heure donn e occupe toujours la m me position c est le plan m ridien midi ce serait aussi le plan m ridien minuit si la
150. ion et x une droite parall le tant a qu 6 Si d n tait pas parall le x d apr s la proposition 2 1 12 fiche 1 par d il ne pourrait passer qu un seul plan parall le x alors qu ici nous en avons deux et 8 Donc d x PROPOSITION 2 1 16 Soient a B et y tels que a B et B y Alors y transitivite du parallelisme de plans Supposons que a et y ne sont pas parall les Notons alors x leur intersection D apr s la proposition pr c dente toute droite du plan 5 devrait tre parall le x ce qui est videmment impossible 2 1 La geometrie d incidence de l espace 63 PROPOSITION 2 1 17 Si a et 8 sont deux plans paralleles tout plan y qui coupe a coupe aussi 8 et les intersections a N y et B N y sont deux droites paralleles D apr s la transitivit du parall lisme de plans le plan y coupe le plan 8 des qu il coupe a et que a et 8 sont parall les Toute droite du plan a tant parall le 5 la proposition 2 1 8 entra ne que les deux droites a N y et 6 N y sont parall les PROPOSITION 2 1 18 Si deux plans a et f sont paralleles toute droite d qui coupe l un coupe l autre Supposons que la droite d coupe le plan a en un point P Soit y un plan contenant d Le plan y n est pas confondu avec si non d serait contenue dans a et n est pas parall le a sinon d ne coupe rait pas a Par cons quent y coupe a Vu la proposition pr c dente y coupe aussi 8 et
151. ions d algebre lineaire M moire de licence Universit de Mons Hainaut 1995 M Vilers L algebre lineaire par des applications interdisciplinaires M moire de licence Universit de Mons Hainaut 1995
152. ions et plus 276 D Le concept de vecteur Certaines des visions ci dessus peuvent tre class es par cat gories mais il est clair qu il y peu pr s autant de fa ons diff rentes de concevoir le vecteur que d auteurs traitant du sujet Un tel constat met en vidence le fait que ce concept est loin d tre facile aborder au niveau des l ves De plus la lecture des divers points de vues que nous venons de faire montre aussi la n cessit de coordonner les nombreuses d finitions ou registres de repr sentation de cette notion notamment l aide d exercices de conversion Bibliographie 277 1 2 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Minist re de lEducation de la Recherche et de la Formation Premier degr de l enseignement secondaire Programme de mathematiques 7 5609 1995 2 Minist re de l Education de la Recherche et de la Formation Deuxi me degr de l enseignement secondaire 3 ann e Programme provisoire de mathematiques 7 5721 1996 3 Minist re de l Education de la Recherche et de la Formation Commission plura liste des programmes de math matiques pour l enseignement secondaire de tran sition Vue generale de la matiere aux deuxieme et troisieme degre 1996 3 CREM Les mathematiques de la maternelle jusqu a 18 ans Essai d elaboration d un cadre global pour l enseignement des mathematiques 1995 2 ICMI Perspectives on t
153. isme construit sur les vecteurs lignes de la matrice consid r e Banchoff et Wermer parlent alors de matrices sym triques avant d entreprendre une clas sification des quadriques 260 C Bibliographie commentee Ils peuvent alors munis de tout ce mat riel envisager le passage plus de 3 dimensions en d veloppant la notion d espace vectoriel C 4 F Pham et H Dillinger Algebre lineaire 261 L originalit de cet ouvrage tient dans sa fa on d interpeler le lecteur en attirant son attention sur divers points importants de diff rents types par une iconographie appropri e situ e dans la marge Les notions fondamentales les passages demandant de la r flexion les exercices permet tant de progresser les notes historiques et d autres choses encore sont ainsi rep r s par de petits dessins facilement reconnaissables ce qui apporte une aide non n gligeable au lecteur afin de s y retrouver dans la structure de l ouvrage En outre des exercices bien situ s jouent le r le de tests de niveau pour que le lecteur consciencieux puisse juger de sa progression Cette volont de prendre l tudiant par la main pour le mener plus loin s incarne galement dans le ton pris par moments par les auteurs dans leur r daction n h sitant pas manier un certain humour afin de mieux s ancrer dans la m moire Les auteurs partent de l tude des syst mes lin aires Ils y introduisent d embl e l criture matriciel
154. isym trie du produit vectoriel signifie alors qu une permutation des l ments de la base U V choisie change l orientation du plan II consid r 2 5 Produit vectoriel volume et determinant 161 D un point de vue lt physique gt un observateur dont les pieds sont en O et la t te au point U x V et qui regarde le mouvement qui am ne U sur V d crira ce mouvement comme allant lt de la droite vers la gauche gt dextrogyre ou lt de la gauche vers la droite gt l vogyre selon la position relative des points U et V par raport lui Un observateur dont les pieds sont en O et la t te en U x V et qui regarde le m me mouvement le d crira allant dans le sens oppos du pr c dent Le changement de sens du mouvement est traduit par le changement de signe dans le produit vectoriel La d finition donn e ci dessus de l orientation d un plan peut tre formul e sans faire r f rence un axe Si U V et W Z sont deux bases d un m me plan point en O il existe donc quatre nombres r els a b c et d tels que e a cU d V On calcule alors gr ce la bilin arit et l antisym trie du produit vectoriel WxZ a U b V x c U d V ac UxU ad U x V bc V xU bd V xV ad bc U x V Ainsi les bases U V et W Z d finissent la meme orientation du plan qu elles en gendrent des que la quantit ad bc est positive et elles d finissent des orientations opposees de ce plan d
155. it et son signe pr cise l orientation sur cette droite La question est maintenant d obtenir une description d un plan vectoriel c est dire passant lui aussi par l origine O aussi proche que possible de la description rappel e ci dessus d une droite vectorielle Dans ce but nous cherchons a d finir ce qui pourrait s appeler un l ment directeur d un plan vectoriel Or si tous les vecteurs directeurs d une m me droite sont pour une raison de dimen sion naturellement proportionnels les vecteurs situ s dans un m me plan ne le sont pas n cessairement plus pr cis ment il faut deux vecteurs entre lesquels n existe aucune re lation lin aire pour d terminer un plan vectoriel et si U et V sont deux tels vecteurs alors deux vecteurs S et T d termineront le m me plan pourvu qu ils d pendent lin airement de U et V c est dire qu il existe des nombres r els k l m et n tels que tan avec kn ml 0 T mU n V La relation de proportionnalit est donc premi re vue moins directement interpr table D autre part la notion de longueur n est pas un aspect intrinseque de la notion de plan c est plut t la notion d aire qui conviendrait Enfin la notion intuitive d orientation d un plan s appuie par exemple sur la donn e d un couple ordonn de vecteurs non colin aires de ce plan Cet ensemble d observations pr side la cr ation d un nouvel objet math matique associ la directio
156. it mention aussi explicitement que possible du pourquoi des choses Ainsi les nombres complexes ne sont ils pas apparus pour le plaisir mais pour r soudre les paradoxes de Cardan et les r gles de leur calcul en ont t d duites Pareillement les quaternions de Hamilton ont vu le jour pour ma triser les rotations de l espace et leur composition Le produit ext rieur a t introduit pour rendre compte de la direction des plans de la mesure des aires et des volumes mais aussi pour unifier toutes les questions de r solutions de syst mes d quations Sans parler de l invention m me de la notion de vecteur Une fois d voil e leur raison d tre ces objets soi disant abstraits perdent de leur myst re deviennent aussi r els que les autres et la port e de tout le monde Et ce qui n a pas encore t dit c est que cet effort de projeter la seule id e de proportion nalit dans tous les recoins de la g om trie est efficace Cet effort lib re la g om trie de Pobstacle de la repr sentation visuelle et paradoxalement peut tre en mod lisant conve nablement les objets g om triques les plus fondamentaux et les plus visuels L obstacle de la pens e visuelle d j perceptible en dimension 3 et presque infranchissable au del s vanouit d s qu on pense lin airement Car il y a moyen de montrer que tout ce qui a t fait dans ce projet se g n ralise un nombre quelconque de dimensions sans aucu
157. l heure solaire vraie que nos montres renseignent mais une heure lt officielle gt qui nous est communiqu e par la radio les lt tops horaires gt ou l horloge parlante L heure solaire vraie est afflig e d un autre inconv nient qui la rend impropre la consom mation C est que la dur e du jour solaire vrai varie d un jour l autre Autrement dit l intervalle de temps qui s pare deux passages cons cutifs du soleil au m ridien d un lieu donn n est pas toujours le m me Cela r sulte de l autre mouvement de la terre le mou vement annuel de r volution autour du soleil Pendant qu elle tourne sur elle m me la terre avance au long de son orbite autour du soleil Apr s qu elle ait effectu un tour complet le plan m ridien d un point P a repris une position parall le sa position initiale mais ne contient plus le soleil La terre doit encore tour ner d un petit angle a avant que le soleil traverse de nouveau le plan m ridien de P 210 4 Construire un cadran solaire L angle vaut environ 4 minutes d arc Le jour lt vrai gt est donc en quelque sorte 4 minutes trop long Mais il ne s agit l que d une premi re approximation car la trajectoire de la terre tant elliptique sa vitesse varie au cours de l ann e et l angle q varie aussi Tout ceci a amen les astronomes d finir plusieurs notions de lt jour gt le jour solaire vrai le jour solaire moyen On peut d
158. la courbe Cs est une ellipse Enfin la courbe peut tre une parabole C est par exemple le cas en les points du cercle arctique le jour du solstice d t Pla ons nous en un lieu et un jour qui v rifient la condition tg pte 9 1 lt 0 C est le cas en Belgique toute l ann e La courbe Cs est donc une hyperbole Mais entre le lever et le coucher du soleil seule une branche de l hyperbole est parcourue par l ombre de extr mit du style du cadran L autre branche de l hyperbole sera cependant parcourue par cette ombre lorsque la d clinaison du soleil vaut 0 Car l quation de Cs montre bien que les hyperboles Cs et C_ sont identiques Il reste appliquer les techniques usuelles d tude et de dessin des coniques pour r aliser la figure suivante repr sentant la table d un cadran solaire horizontal pour les lieux de latitude 50 Y sont dessin es les hyperboles C correspondant aux valeurs 5 10 15 20 et 23 27 de la d clinaison du soleil L tiquette figurant sur une branche d une hyperbole mentionne que c est cette branche qui est parcourue par l ombre de l extr mit du style lorsque la d clinaison vaut Dans ce cas la seconde branche de la m me hyperbole porte l tiquette 0 Sur la figure sont galement repr sent es les droites indiquant la direction de l ombre heure par heure La droite correspondant l heure H coupe la branche correspondant si le jour o
159. la d clinaison vaut 0 le soleil se l ve avant l heure H et se couche apr s celle ci 4 4 Ou est l ombre 221 13 14 Sols ve d hiver 10 He 02 Equinoxes Rs ee Res er AA AA HSE EN LT 7 gt 5 Quest nm DZA 18 ii L Y Y y PRISA 5 Solstice d t 4 Trac d un cadran solaire pour un lieu de latitude 50 222 4 Construire un cadran solaire 223 AL Tnfroduchion cesa ma due Dee og de dau Don a a 225 A 2 La structure du programme 5 4 den a ae A ae de ae 226 Ao s mems a rire Lise di am eh UMR ee 4 x dE ER dE 227 Mal Le mena Prod sses 4 6 du 2 Da 4 he dem bob ef 228 A32 L menu Transionmation 4 c cee cacare teaca iatis 231 A 3 3 Le menu Repr sentation 232 A 3 4 Le menu Couleurs LA a a e e e a a 237 A 4 Lesic nes cia a a A A A 238 A 4 1 Les ic nes de cr ation 239 AZ L icone de d nomination 4 6 4 a Xp 48 241 A 4 3 Les ic nes d ex cution 4 4 coros 242 224 A 1 Introduction 225 Le programme Reseau exe a pour premier objectif de fournir l enseignant un moyen simple pour r aliser des figures de g om trie de l espace faisant appel un r seau cubique et l usage de coordonn es Il permet en particulier de r aliser la plupart des figures rencontr es dans le pr sent fascicule Ses performances en tant qu outil de construction de fig
160. la transitivit du parall lisme nous savons d j que a et b sont coplanaires Et la droite c est incluse au plan ab puisqu elle contient un point de a et un point de b La proposition suivante fournit un peu plus que la r ponse la question 2 PROPOSITION 2 1 12 Etant donnees deux droites non paralleles a et d il existe un et un seul plan passant par a et parallele a d 2 1 La geometrie d incidence de l espace 55 Soit P un point de a Par P tra ons la parall le p d d apr s la proposition 2 1 9 toute parall le d passant par un point de a est dans le plan pa Les parall les constituent donc le plan pa et celui ci est parall le d Il reste prouver qu il n y a qu un seul plan passant par a et parall le d Supposons qu il y en ait deux a et 6 Si P est un point de a d apr s la proposition 2 1 8 Pd coupe aussi bien a que 8 selon une parall le d Ainsi toutes les parall les d passant par les points de a sont la fois dans a et 8 de sorte que a 6 Puisque les parall les une droite d passant par les points d une droite a constituent un plan on a imm diatement le corollaire suivant COROLLAIRE 2 1 13 Sia et d sont deux droites non paralleles et si est un plan non parallele a d la projection de a sur a parallelement a d est une droite 56 2 Les sequences d enseignement Construire les ombres au soleil de triangles dont les sommets sont situ s sur les faces d un
161. lables sans que ce syst me soit orthonorm et sans que cela n enleve quoi que ce soit l interpr tation de l objet U A V comme lt l ment d aire orient gt La traduction en coordonn es permet m me de comparer entre eux de tels l ments En effet si E et Ez sont deux vecteurs quelconques alors quels que soient les vecteurs U et V d crits dans le syst me de coordonn es associ E et Ez par U k E l Eo V m E n E ona UAV kn lm E A Ez o kn lm s interprete bien au signe pr s comme facteur de proportionnalit entre l aire usuelle du parall logramme associ U et V et l aire usuelle du parall logramme associ Es et Es Pour s en convaincre si besoin est il suffit de consid rer deux vecteurs orthonorm s cette fois ci F et Fo de Va et les nombres r els a b c et d tels que E a Fi b F gt Ez c Fi d F gt on a alors les nouvelles relations de d pendance lin aire U ka lc F kb ld Fa V ma nc F mb nd F gt qui impliquent U AV ka lc mb nd kb Id ma nc F1 A F2 et font de ka lc mb nd kb ld ma nc laire usuelle du parall logramme associ U et V Or on v rifie sans peine ka lc mb nd kb Id ma nc kn Im ad bc tandis que E A Eo ad bc Fi AE fait de ad bc laire usuelle du parall logramme associ Ej et Ez L interpr tation annon
162. le des syst mes d quations Cette criture est ici justifi e par un c t pratique Mais on peut d j parler de rang et de formes lin aires Puis Pham et Dillinger introduisent les espaces vectoriels pour remplacer les mesures de proportions que l on pourrait faire sur une feuille de papier par des calculs exacts Toute la panoplie classique de d finitions et de propositions est ici mise en branle On y parle galement de g om trie affine Remarquons que les fonctions lin aires et affines sont d finies en parall le ce qui aide la compr hension de la nuance entre ces concepts La notion de dualit arrive alors et les r sultats qui en d coulent sont ensuite trait s dans une version affine Les auteurs parlent par apr s du calcul matriciel en expliquant le comment mais en laissant le pourquoi au lecteur en prenant soin de revenir un cadre g om trique Le chapitre suivant nous parle des endomorphismes d espace vectoriel depuis un double point de vue g omtrique et matriciel L ouvrage se termine par des annexes abordant les polyn mes la th orie des ensembles et les structures alg briques 262 C Bibliographie commentee Le but de cet ouvrage est de parler des transformations lin aires sur des espaces vectoriels de dimensions finies en utilisant des m thodes g n rales Notamment Halmos ne donnera jamais les coordonn es d un vecteur Le premier chapitre introduit d embl e la notion d e
163. le plan d quation ax cz 0 contient l axe OY 2 Supposons pr sent c 0 Un au moins des coefficients a et b est diff rent de 0 Admettons par exemple a 4 0 L quation s crit ax by 0 et on a b ar by 0 gt r y a a 0 lt gt y 1 z 0 2 2 0 1 0 Ainsi ax by 0 est l quation cart sienne du plan passant par 1 et 0 1 Ce plan contient l axe OZ Nous venons de voir que tout plan comprenant l origine admet une quation cart sienne du type ax by cz 0 et que toute quation de ce type est l quation d un plan comprenant l origine du moment qu un au moins des coefficients a b c n est pas nul Mais il est clair que si k est un r el non nul on a l quivalence ax by cz 0 amp kax kby kez 0 de sorte que l quation d un plan a n est certainement pas unique Il importe de remarquer que deux quations ax by cz 0 et ax b y d z 0 qui caract risent le m me plan a sont n cessairement proportionnelles c est dire qu il existe un r el non nul k tel que a ka b kb et c ke Pour v rifier cette assertion consid rons l intersection du plan a et du plan OXY Il s agit d une droite de ce plan Si a admet les deux quations cart siennes pr cit es la droite OXY Na aura dans ce plan les deux quations cart siennes ax by 0 et a x b y 0 Ces quations sont donc quivalentes tout point 5 qui v rifie l une v rifie aus
164. ler les coordonn es des projections sur le plan OXY parall lement au segment UV des points suivants 1 0 1 0 A B 0 0 D 0 0 il 2 En d duire une formule qui calcule les coordonn es de la projection d un point quelconque 2 2 2 1 Solution comment e Avant toute chose visualisons la situation sur un r seau cubique axe OZ D axe OX 12 2 Les sequences d enseignement Le point A est confondu avec sa projection A car il se trouve dans le plan OXY donc 1 A A 0 Regardons pr sent les points B et C Ils ont m me hauteur que le point U c est dire 1 Construisons leurs projections B et C l aide de translations appropri es du prisme de diagonale UV cfr fiche N 3 lt Projection de RST parall lement KH gt seconde m thode Cette construction implique imm diatement que les coordonn es de B et C s obtiennent a chaque fois partir d un m me proc d encod dans le prisme de diagonale UV Avancer de 5 parall lement l axe OX 1 2 Avancer de parall lement l axe OY 2 Descendre de 1 c est dire avancer de 1 parall lement l axe OZ Ce proc d s applique tous les points de hauteur 1 axe OZ B axe OX Il s agit maintenant d tudier comment ce proc d peut se g n raliser
165. les quations vectorielles de m n et p b Calculer la hauteur d un point quelconque P de a en fonction de l abscisse x et de l ordonn e y de sa projection sur le plan OXY c Suivre une d marche analogue afin de caract riser les coordonn es d un point 8 quelconque du plan 5 passant par l origine et les points R et S 6 2 2 3 3 1 Solution comment e Reponse a la question a Un point quelconque de a a pour coordonn es 0 6 O d 1 e 3 0 4 5 o d et e sont des r els Ce point appartient OXZ si et seulement si d 3e 0 Un point quelconque P de m aNOXZ est donc donn par 0 6 4 14 F 0 3e e 3 0 0 4 5 7 Nous avons trouv une quation vectorielle de m De m me un point quelconque Q de n a N OY Z est donn par WII WI 2 3 Systemes d equations lineaires et fonctions lineaires 93 Et un point quelconque R de p aN OXY est donn par 0 6 z R 0 e 1 e 3 e 0 4 5 0 Remarquons que nous nous sommes chaque fois ramen s des points dont une coor donn e est nulle Cela signifie notamment que la droite m est dans le plan y 0 Dans ce plan elle a pour quation z 2x De m me n est situ e dans le plan x 0 Dans ce plan elle a pour quation z y Idem pour la droite p situ e dans le plan z 0 et qui dans ce plan a pour quation 2 Reponse a la question b axe OZ axe OY eS P P P axe
166. les deux droites aN y et BNy sont parall les La droite d tant dans le m me plan y et ayant un point com mun avec Q N y coupe n cessairement aussi 8 N y et a donc un point commun avec 7 REMARQUE 2 1 19 Nous venons de decrire comment projeter un triangle sur un plan parallelement a une direction donnee dans le cas ou les sommets du triangle appartiennent aux plans des faces d un cube et ou le plan sur lequel on projette est lui meme une face du cube Il n est peut etre pas inutile de remarquer que etant donnes un triangle RST et un plan a sur lequel on veut projeter RST on peut toujours trouver un cube dont l une des faces est dans le plan a et dont les faces eventuellement prolongees contiennent les points R S et T La construction s organise de la mani re suivante 1 Construction d un tri dre trirectangle adapt 64 2 Les sequences d enseignement Par R et S on m ne le plan 8 perpendiculaire au plan a Par T on m ne le plan y perpendiculaire a et 8 Les trois plans a 8 et y forment des tri dres trirectangles 2 Construction d un cube La distance d un des points R S ou T au plan a d termine par exemple l ar te d un cube qui r pond la question Un tel cube n est pas unique Mais on remarque que la solution propos e est telle qu un des c t s du triangle RST dans notre cas c est RS est enti rement dans le plan d une face du cube
167. liciter les l ments d un tel sous ensemble 2 6 2 1 Solution comment e Reponse a la question a Consid rons la rotation RE E d angle orient gal 5 radians et dont l axe est la droite OI munie du rep re o le point est d abscisse 1 Le cube tant enti rement d termin par la donn e des points 7 J et K on va d abord d terminer l effet de la rotation sur eux On a videmment RP 1 Ensuite RAJ K et RA K J 170 2 Les sequences d enseignement On observe aussi facilement l effet de la rotation RE 2 sur les sommets du cube Par exemple le sommet I J K a comme image IS AN E iK On r alise sans trop de peine en poursuivant ce genre d observations que la rotation consid r e laisse le cube globalement invariant T 2 Mais il y a mieux Si on remarque dans le dernier r sultat que T J4 K RPUD ROD RP K on en d duit la formule RP J K RPI REPU RPK D autre part on a aussi RAJ K et RI K J d o on d duit encore les formules RUI R Uea E OK R K Ces observations et toutes celles qu on peut faire pareillement sur d autres points remar quables du cube sugg rent deux hypoth ses concernant la rotation R 2 Premi re hypoth se La rotation RE est enti rement d termin e par son effet sur les seuls points 7 J et K Seconde hypoth se qui tient compte de la premi re T si
168. llele a deux plans secants est parallele a leur intersection PROPOSITION 2 1 17 Si a et 5 sont deux plans paralleles tout plan y qui coupe a coupe aussi 5 et les intersections a N y et B N y sont deux droites paralleles PROPOSITION 2 1 18 Si deux plans sont paralleles toute droite qui coupe l un coupe l autre Cette liste est strictement limit e a des propri t s importantes dont on a eu besoin pour traiter compl tement les situations des fiches 1 3 D autres r sultats doivent venir s ajou ter aux r sultats pr c dents Ils peuvent assez ais ment tre illustr s dans des situations li es un r seau cubique Nous nous contenterons de mentionner les propositions sui vantes 66 2 Les sequences d enseignement PROPOSITION 2 1 20 Si une droite a est parallele a un plan et si P la parallele a a passant par P est entierement contenue dans Q C est un corollaire de la proposition 2 1 8 le plan Pa coupe le plan a suivant une parall le a qui est donc LA parall le a passant par P PROPOSITION 2 1 21 Tout plan 5 parallele a deux droites secantes a et b d un plan a est parallele a Si et p taient s cants d apr s la proposition 2 1 15 les droites a et b sont toutes les deux parall les la droite N 6 ce qui est impossible puisqu elles sont s cantes PROPOSITION 2 1 22 Par tout point P de l espace passe un et un seul plan parallele a un plan a donne Vu la tran
169. lleles au plan de projection La perspective centrale est une transformation projective Elle ne conserve guere que l alignement la concourance et le birapport On ne la rencontre pas souvent dans l enseignement secondaire Et cependant c est elle qui correspond le mieux a notre vision comme lont nalement compris les peintres de la renaissance Elle peut donner lieu a une re exion interessante ayant tant des aspects artistiques que scienti ques a La repr sentation la plus populaire est la perspective cavali re Elle convient particuli rement bien pour repr senter un cube dont deux faces sont parall les au plan de repr sentation Elle permet donc des dessins assez simples dans ce contexte l A 3 Les menus 233 Elle est par ailleurs assez peu r aliste en ce sens que l image d un objet qui se forme sur notre r tine puis dans notre cerveau n est pas une pers pective cavali re de cet objet On s en convainc ais ment en faisant varier les param tres de la repr sentation Has rtnee La perspective cavali re est une projection affine de l espace sur un plan dans laquelle la direction de projection est quelconque Par contre nous choisissons toujours le m me plan de projection le plan Y OZ Seule la direction de projection est donc d finir elle l est par le point 1 et son image zju Deux param tres suffisent donc pour d finir une LAT perspective cavali re nous choisisson
170. ltats 192 3 Un reseau cubique electrique Dire que les charges lectriques positives et n gatives alternent aux sommets du r seau 1 0 0 a pour cons quence qu en les sommets 0 y 1 et 0 se trouvent des 0 1 2 0 0 1 charges n gatives Ensuite en 0 2 et 0 mais aussi en 1 0 2 0 1 0 0 et 1 on trouve des charges positives 1 1 Continuant de la sorte on constate que les charges positives boules blanches occupent les sommets du r seau dont la somme des coordonn es est paire et que les charges n gatives disques noirs sont aux sommets dont la somme des coordonn es est impaire Nous exploiterons cette remarque en r partissant les charges lectriques en couches 0 la couche n 0 est form de l origine 0 0 la couche n 1 comportera les charges situ es aux sommets pour lesquels x y la 1 8 la couche n 2 comportera celles qui sont situ es aux sommets pour lesquels x yl 121 2 etc m La quantit x y z est parfois appel e la taxi distance du point P y au z 0 point O C est tout simplement le nombre minimum d ar tes du r seau parcourir 0 pour aller de P l origine O Quel est l aspect g om trique de chacune des couches On note au passage que x y z et x yl z ont toujours la m me parit 3 2 La geometrie des charges electriques 193 Couche n 1 Pour n gt 0 consid rons la couch
171. lus tudi e et probablement la plus ambitieuse Et en effet l enseignement autant en g om trie synth tique qu en g om trie analytique d s qu on en arrive la dimension 3 se limite en g n ral la seule tude des relations les plus l mentaires incidences parall lismes orthogonalit s pour les droites et les plans Il appara t ainsi une disproportion assez manifeste avec le volume de connaissances dis pens dans le cours de g om trie plane Il en r sulte aussi un manque de possibilit s d enseignement en spirale les sujets concern s paraissant trop difficiles Un exemple ty pique est la faible place r serv e l tude des transformations de l espace alors qu elle devrait prolonger de mani re essentielle l tude des transformations du plan On donne ainsi l image d une g om trie lt ferm e gt qui ne sait pas g n raliser qui n a plus d outils assez puissants pour d passer les difficult s 2 Il n en a pas toujours t ainsi Par exemple les programmes belges de 1955 comportaient des chapitres consacr s aux di dres tri dres divers poly dres la sph re sans parler de la g om trie descriptive 1 1 La problematique 17 La g om trie est certainement un des lieux privil gi s de l apprentissage de l activit math matique pour les l ves du secondaire Mais comment donner ces l ves suffisam ment de moyens d tre cr atifs en g o
172. m plement en prolongeant ventuellement ces c t s Et de tels prolongements sont facilement r alis s en construisant un ou des cube s adjacent s au a N 7 premier ce qu fournit de plus un support visuel A appr ciable Les droites MN et AB se coupent en le point U La droite UP est alors l intersection des plans MN P et ABCD Elle coupe le c t CD en V Il reste tracer par translation la parall le MN passant par V et terminer le dessin B 4 Une methode vectorielle 249 La m thode utilis e par le logiciel reseau exe pour d finir un point a pour cons quence que tout moment les coordonn es de tout point sont accessibles l utilisateur et que ces coordonn es sont g n ralement assez simples H G M Nous reprendrons ci dessous la situation du pre mier paragraphe Il est alors possible de d terminer N directement par exemple le point de perc e V de la droite MN dans le plan ABCD sans aucune P construction mais l aide d un calcul pr alable Il AAA AA nous suffit de trouver l abscisse de V sur la droite MN par rapport au rep re M N MV Autrement dit nous devons trouver le rapport I Or d apr s le th or me de Thal s MV MM NV NN La hauteur de M tant 1 nous n avons besoin que de la hauteur de N Notons la zn Nous obtenons ainsi MV NV MV MN On en d duit finalement M
173. m trie de l espace vu que comme signal ci dessus les difficult s y sont grandissantes qu il est n cessaire de relayer lt l imagination de l es pace gt et que le dessin n y suffit pas Peut on alors laisser l l ve s enfermer dans une g om trie ferm e et pauvre en r sultats Freudenthal nous rappelle opportun ment que l alg bre peut venir notre secours From Descartes onwards algebra was admitted into geometry though the ho nori c title of true geometry was still reserved to the Euclidean method Ho wever the more geometry proved unable to compete with the greater fertility of algebra and analysis the more it was neglected and the more its weakness became evident the more people were inclined to rely on the so called ana lytic geometry Hilbert s Grundlagen der Geometrie could not turn back this trend On the contrary it showed even more clearly what was lacking in Euclid and how hard it was to ll the gaps Moreover was not the nal result of Hilbert s approach the coordinatization and algebraization of geometry 28 p 420 Dans sa brochure proposant des lt standards gt le National Council of Teachers of Ma thematics U S A voir 6 p 161 esquisse un programme de lt g om trie alg brique gt In grades 9 12 the mathematics curriculum should include the study of the geometry of two and three dimensions from an algebraic point of view so that all students can translate between synthet
174. marque faite dans l introduction A D H H Projection de AFH parall lement a AH Cherchons l ombre du triangle AFH sur le sol en supposant que le soleil donne dans la direction de la droite AH A Remarquons que cette fois le c t AH du triangle est parall le la direction de projection Les pro jections de et H sont donc confondues L image du triangle est un segment de droite inclus l in tersection des plans AFH et CGDH Il reste construire l image de F D UA D H Construisons un nouveau cube sur la face EFGH afin que le point F puisse jouer le r le de A dans la face AE DH On trouve imm diatement que l image de F est F AFF H est un parall logramme 98 2 Les sequences d enseignement B F E CO G o en X a D H H A Projection de AU F parall lement BH Cherchons l ombre du triangle AU F sur le sol en supposant que le soleil claire dans la direction de la droite BH B F A E U JE A Ale D H B F A amp V Nous allons faire jouer le r le de B A et A E F Pour ce faire nous allons construire de nouveaux cubes sur les faces AEDH et EFGH Par translation on trouvera les images des points A et F donc l ombre de AF Notons V le milieu de AF et remarquons que la droite BH est parall le la droite UV Centrons notre attention sur le plan diagonal BEH
175. matique des la fin de l cole primaire Il suffit de rappeler les questions li es la proportionnalit directe pourcentages int r ts changements d unit s dessins l chelle emploi d op rateurs fractionnaires etc Tout au long du premier et du deuxi me degr de l enseignement secondaire le ph nom ne lin aire continue d tre pr sent en force On rencontre de nouveau la proportionnalit mais aussi 1 au premier degr voir 1 les rep rages sur une droite dans un plan ou dans l espace Ces activit s consti tuent les premiers contacts de l l ve avec la g om trie analytique laquelle peut tre consid r e comme l application de l alg bre lin aire et multilin aire la g om trie 0 1 L algebre lineaire dans l enseignement secondaire 3 la moyenne d un ensemble de donn es num riques des probl mes conduisant des quations du type ax b c des applications diverses telles que la relation espace temps pour un mobile le montant d une facture de t l phone ou le prix d une course en taxi la mise en vidence et la distributivit les translations sym tries et rotations et leurs invariants fondamentaux no tamment l alignement des points les projections parall les et les agrandissements et r duction d une figure plane les reproductions l chelle la perspective cavali re et ses invariants parall lisme de droites et r
176. mblerait normal de remplacer LPT1 gt par la d nomination du port r seau dans la bo te de dialogue L exp rience montre que cela n est pas toujours suffisant pour pou voir imprimer Si vous avez des difficult s de ce genre essayez d imprimer votre image dans un fichier puis imprimez le fichier l aide d un autre logiciel que reseau exe Il suffit normalement de revenir sous DOS et d utiliser alors soit l instruction print soit l instruction copy Si vous travaillez sous Windows 95 des difficult s sont craindre car ce syst me d exploitation semble s tre ing ni compliquer les t ches d impression directe m me quand on ne tra vaille pas dans un r seau dans ce cas copiez d abord l cran dans une image de format bmp voyez plus loin puis r cup rez cette image dans un programme de traitement d images tel que Paintbrush et imprimez la partir de l Nous ne garantissons pas que des distorsions ne se seront pas produites entretemps 230 A Le programme Reseau exe permet comme le nom l indique d imprimer la figure Si une imprimante a d j t s lectionn e le logiciel considere d office que c est encore cette imprimante l qui va tre utilis e De m me le choix lt Imprimante gt ou lt Fichier gt est conserv Si ces choix doivent tre modifi s il est n cessaire de repasser par la la routine Imprimante Si l imprimante choisie est de l un des types Postscript PGL2
177. me ergodique et les s ries de puissances Remarquons que Paul R Halmos propose au lecteur l instar de ce que Serge Lang fit par apr s des exercices la fin de chaque partie repr sentative de l ouvrage Dl Tutroducion 4 4 Leu Da dia ee ou dou a 265 D 2 Quelques pr sentations du concept de vecteur 266 Dat To REE SOL Lu LL id en due en ee af AE 267 D22 WD Kmper M 42 44 4 D du a aan un a aod ai i 268 D23 J Dieudonn T901 ona ss set es LA Lee TENTE 269 D24 RM Hochtrasser 1905 e s Li dact esmara da da te be ten 270 LS EPT ira dadas A a e 271 D26 K Bors k 1909 ca sarria A 272 DST Plann TNI a nete A a a aT en E 273 D283 PAPE UTE esre 4 La 4 Ea d oea Giroa BoE pa 0 274 D29 T Banchodi el J Wermer T1992 o e o s os sou dt a ua ny aa a A 275 LLE AI 276 264 D 1 Introduction 265 Le concept de vecteur pose un grand probl me dans l enseignement des math matiques Bien souvent rencontr au d part par les l ves en tant qu objet de la physique caract ris par une direction un sens une grandeur et un point d application il est d licat de faire voluer cet archange indomptable vers la notion d l ment d un espace vectoriel quel conque L ouvrage de M J Crowe 17 montre par ailleurs quel point ces id es ont volu avant d aboutir aux concepts actuels Dans les pages qui suivent nous allons pr senter le concept de vecteur tel que l e
178. ment Par cons quent tous les points D ont m me abscisse pour autant que l on prenne chaque fois le point D comme point d abscisse 1 sur la droite OD et cette abscisse commune est aussi l abscisse du point P lui m me sur la droite OP lorsqu on choisit sur cette droite le rep re O Pa Quant au point Q l abscisse de sa projection sur OD s obtient en r solvant le syst me d quations x a 3 b 0 r 1 3 y 0 b 2 r 2 2 m z a2 b 1 r 2 21 m On obtient nouveau r IE L quation cart sienne du plan a parall le OAB 2 et passant par le point 2 qui se d duit de ces calculs est encore i 4r 3y 6z 9 14 Reponse a la question c Le point E est le point d abscisse k de la droite relativement au rep re O C Ce cas g n ralise ainsi ceux rencontr s en a o l m 0 et b o k 1 Des calculs analogues aux pr c dents montrent que l abscisse de proj 24P p n est autre que gt et que celle de OAB Ax z proj o Q est L quation cart sienne du plan a est donc encore et toujours 4x 3y 62 14 o 2 2 3 6 2 Commentaires et prolongements Nous venons d obtenir par un proc d direct la confirmation de ce que l quation cart sienne d un plan consid r comme plan projetant ne d pend ni de la droite sur laquelle on projette ni du rep re choisi sur cette droite Le travail r alis nous a galement fourn
179. ms throughout the whole mathematics curriculum However as soon as one tries to enter into details opinions diverge on how to accomplish the task There have been in the past and there persist even now strong disagreements about the aims contents and methods for the teaching of geometry at various levels from primary school to university Perhaps one of the main reasons for this situation is that geometry has so many aspects and as a consequence there has not yet been found and perhaps there does not exist at all a simple clean linear hierarchical path from the rst beginnings to the more advanced achievements of geometry Unlike what happens in arithmetic and algebra even basic concepts in geometry such as the notions of angle and distance have to be reconsidered at di erent stages from di erent viewpoints 5 pp 345 346 Mais si ces problemes ne sont pas nouveaux ils prennent depuis quelques ann es une urgence nouvelle comme le signale le m me document p 346 Thus the teaching of geometry is not at all an easy task But instead of trying to face and overcome the obstacles arising in the teaching of geometry actual school practice in many countries has simply bypassed these obstacles cutting out the more demanding parts often without any replacement For instance three dimensional geometry has almost disappeared or has been con ned to a marginal role in the curricula in most countries Quant l enseignement de la g
180. n cessitaient d tudier l effet du choix d un syst me d axes quant au sens de certaines formules dans le cas du produit scalaire ou du produit ext rieur par exemple Ainsi ce dernier grand th me serait autant un th me de synth se qu un th me de d cou verte 42 1 Analyse theorique Un certain nombre de raisons d tre de ce projet tant p dagogiques que math matiques ont d j t d taill es dans l introduction et la premi re partie du chapitre 1 de ce rapport A l issue de cette description r sum e des grands th mes il est possible d expliciter d autres raisons encore la fois plus techniques et plus g n rales qui ont pr sid au choix des sujets L alg bre lin aire a la r putation d une discipline tr s abstraite dont l exploration si non la ma trise devrait tre r serv e au seul futur math maticien professionnel En ce sens elle ne figurerait pas dans ce bagage math matique de base qu on appelle lt les math matiques du citoyen gt Ce projet voudrait fournir quelques l ments de r flexion qui vont l encontre de cette croyance Nous sommes persuad s que l alg bre lin aire fait partie de ces math matiques du citoyen gt parce que son objet est de faire face avec les moyens les plus simples possible des situations complexes et qu il est bien clair que cette complexit sans cesse croissante est une des caract ristiques premi res du monde tel qu un
181. n avec le plan MNP lt Vu v weEeR A u B A Z M v N M w P M A propos de l quation cart sienne d un plan l quation cart sienne d un plan 7m s crit ax by cz d et signifie m est un plan si et seulement s il existe a b c R non tous nuls et d VX y XET ar by cz d zZ R tels que Deux quations cart siennes d terminent un m me plan si et seulement si elles sont proportionnelles Cela signifie que les quations cart siennes aiz b1y c1z di et ax boy c22 da repr sentent le m me plan si et seulement si la colonne colonne 041 C1 d est multiple de la A propos des positions relatives des plans en termes d quations cart siennes Plusieurs cas s offrent nous 2 3 Systemes d equations lineaires et fonctions lineaires 125 Deux quations cart siennes ax b1y cC z d et a2x b2y c22 dz d terminent deux plans s cants si et seulement si un au moins des nombres a1b2 a2b1 a1C2 2C1 b1C2 bac est diff rent de 0 Deux quations cart siennes a b1y cC z d et agx boy c2z d d terminent deux plans parall les si et seulement si les trois nombres a b2 a2b a amp 1C2 4a2C1 b1C2 b c sont nuls les deux plans peuvent tre ventuellement confondus A propos des relations entre les quations cart siennes et vectorielles d un plan On obtient une
182. n cube ABCDEFGH et trois points M N et P B 2 La methode synthetique 245 Si les points M N P occupent des positions particuli res sur les ar tes par exemple il est souvent possible de d terminer la section par une m thode plus simple que celle qui va tre d crite Pla ons nous dans le cas g n ral o les points M N et P sont situ s dans des faces diff rentes et non sur des ar tes Par exemple M EFGH N BCGF et PE ABFE M La m thode consiste d terminer l intersection du plan MNP et du plan de l une des faces On choisit N souvent la face ABC D Pour trouver les points de perc e des droites po MN et MP dans le plan de la face ABCD on po E d termine d abord les projections orthogonales M N et P de M N et P sur ABCD Le logiciel permet de construire M N et P en d finissant le projecteur proj 24 et en l appliquant aux points M N P On peut aussi d finir successivement les trois trans lations de vecteurs EM EN EP les appliquer au segment EA construisant ainsi des segments MM NN et PP Le point N est alors l intersection de NN et BC cepen dant que P est l intersection de PP et AB L intersection des plans MNP et ABCD est la droite UV o 1U MP N M P et V MNN MN Tous les points de nis en tant qu intersection de deux droites ou de deux segments ont ete construits automatiquement par le logiciel mais non renforces a
183. n d un plan C est l id e de mesure d une aire qui est d cisive et on va l tudier suivant la m thode d j utilis e dans le cas du produit scalaire 34 1 Analyse theorique On travaille d abord dans le plan et on fixe un rep re orthonorm d origine O et on consid re les points A de coordonn es a az B de coordonn es b1 b2 et le pa rall logramme OADB o D A B Une mesure de l aire de ce parall logramme est alors donn e par OA O B sin0 o 0 est l angle orient AOB La d finition du produit scalaire donne nn Fee 2 IBI2 4e BY su 0 yj ria pap Tag rar aa d o on tire 114 IBI E sin AOB y az az b ba gt aby azba a1 ba azb1 La pr sence des valeurs absolues signale que telle quelle cette formule ne pourrait pas avoir une interpr tation strictement lin aire On observe par la m me occasion que l expression abs ab d pend de l ordre dans lequel on consid re les vecteurs et B et aussi de l ordre dans lequel on consid re les axes de coordonn e une notion alg brique d aire devrait donc tre porteuse d un signe associ l id e d orientation tant pour le syst me de coordonn es que pour les vecteurs qu on consid re On est ainsi amen proposer la d finition suivante Si on consid re deux vecteurs ortho norm s F et Ez du plan tels que les coordonn es correspondantes des points A et B soient a a2
184. nc projet e sur un plan partir d un point fixe assimil l oeil d un observateur L oeil est dans le plan de base du cube dont aucune face n est parallele au plan sur lequel on projette Dans le logiciel Reseau exe le plan sur lequel on projette passe par l origine et est perpendiculaire la direction de l il de l observateur Cette direction est d termin e par les trois m mes param tres angulaires que dans le cas de la pro jection orthogonale Un quatri me param tre intervient la distance de l observa teur l origine des axes En modifiant cette distance on peut r aliser des effets de perspective saisissants 236 A Le programme Reseau exe Deux cubes isometriques Ce menu n appelle gu re de commentaires en d pla ant un curseur au long d un ascenseur on modifie volont la taille de la figure Le coeffi cient de proportionnalit varie de 0 2 Les trois l ments suivants du menu sont relatifs au mode de dessin des ar tes cach es des cubes et uniquement de ces ar tes Trois possibilit s sont propos es Par d faut le mode de fonctionnement est le mode Vu et cach gt Les ar tes vues sont dessin es en traits pleins les ar tes cach es en pointill s Les dessins se conforment strictement ces conventions tant qu ils ne comprennent ni polygones autres que les faces des cubes ni cubes imbri
185. ne difficult nouvelle sans avoir rien imaginer de nouveau Alors que c tait l que la complexit visuelle des situations g om triques nous arr tait l obstacle s vanouit la complexit est ma tris e Bien s r toutes ces raisons ne rendent 2 pas encore enti rement compte de la pertinence d un enseignement de l alg bre lin aire dans les deux derni res ann es de l enseignement secondaire Elles montrent en tout cas qu c t de ses innombrables applications l alg bre lin aire poss de une r elle valeur formative profond ment adapt e un projet ducatif C est l une des meilleures raisons qui soient pour la d fendre et l illustrer 44 1 Analyse theorique Syst mes G om trie G om trie d quations a EEN Alg bre du A e d incidence euclidienne lin aires second degr ES A du plan plane l mentaires I G om trie d incidence de l espace IT O TIT G om trie Produit vectorielle scalaire l mentaire X G om trie G om trie de projective la sph re J IV Nombres Rotations de complexes et l espace rotations du plan VI Volume VII produit Syst mes ext rieur et d terminant d quations lin aires g om triques VIII Matrices et composition des transfor mations lin aires 46 2 Les sequences d en
186. ne parallele a a Soit 5 un plan passant par a Si a C a alors a N 8 a et la th se est prouv e Si a a l intersection de a et 8 est une droite d apr s l axiome IV La droite a ne saurait avoir aucun point commun avec cette intersection qui est donc une droite parall le a PROPOSITION 2 1 9 Soient a et b deux droites paralleles distinctes et P un point non situe dans le plan ab Les plans Pa et Pb se coupent selon une parallele a a et b Posons d Pan Pb Puisque a b a est parall le au plan Pb D apr s la proposition pr c dente la droite d est parall le a De m me d est parall le b PROPOSITION 2 1 10 Soient a b et c trois droites telles que a b et b c alors ae Si la droite c est incluse au plan ab on sait que c est parall le a car la transitivit du parallelisme des droites dans le plan est connue Sic ab soit P un point de c non situ dans ab D apr s la proposition 2 1 9 l intersection de Pa et de Pb est une droite parall le a et b C est donc la parall le b passant par P c est dire la droite c elle m me Par cons quent c a Pourquoi les parall les FH passant par les points de AK constituent elles un plan On tablit d abord l nonc suivant PROPOSITION 2 1 11 Soient c et d deux droites non paralleles Par deux points distincts A et B de c on trace les paralleles a et b a d Alors les droites a b et c sont coplanaires Vu
187. nous avons esquiss e dans l introduction g n rale Mettre en vidence syst matiquement les trois clairages synth tique vectoriel analy tique de la plupart des activit s de g om trie de l espace doit permettre l l ve aux prises avec un probl me de choisir celui de ces points de vue qui est le plus efficace Il s agit non pas de lui enseigner une methode de resolution des probl mes de g om trie de l espace mais de lui en enseigner plusieurs et surtout de lui apprendre a en choisir une Dans ce contexte l alg bre lin aire est un outil privil gi Elle permet de traiter avec aisance certaines situations g om triques qui ne pourraient tre tudi es qu avec difficult s par les m thodes synth tiques Il en est ainsi par exemple des transformations de l espace Mais ce que nous avons appel le malentendu de l alg bre lin aire gt dans l introduction g n rale a eu pour cons quence de priver le cours de g om trie de l espace du b n fice des m thodes d alg bre lin aire Dans l tat actuel des choses il y a par cons quent un vide combler entre l enseignement de la g om trie de l espace dans le secondaire et l ensei gnement de l alg bre lin aire dans les coles sup rieures et les universit s D autant plus que ce vide se traduit par une formidable perte de sens et handicape ainsi s rieusement l apprentissage de l alg bre lin aire par ceux l m mes qui son
188. nous donne r 1 En rempla ant r par 1 dans les deux autres quations nous obtenons deux quations quivalentes 5u 4 s Le syst me se r duit donc Il nous reste deux quations pour trois inconnues La valeur de r tant d termin e nous pouvons choisir notre guise l une des deux inconnues restantes Si s 0 alors u s si s 1 alors u 1 etc Ou encore si u 0 alors s 4 si u 1 alors s 1 etc Ainsi 2 3 Systemes d equations lineaires et fonctions lineaires 91 Nous constatons que tous les points de la droite HI appartiennent au plan EFG L in tersection est donc la droite HT elle m me Reponse a la question d MEJK gt WER M J v K J 1 6 M 2 u 6 8 6 1 6 u M 2 6 u 8 6 u Essayons de trouver des r els r s et u tels que 6 u Gr 2 6 u 4r s 8 6 u 2 r 2 5 La 1 quation nous donne r u En rempla ant r par cette expression dans les deux autres quations on obtient le syst me quivalent Les deux derni res quations tant incompatibles ce syst me est impossible Il n y a donc pas de point de perc e la droite JK est disjointe et parall le au plan EFG 92 2 Les sequences d enseignement 6 4 Soit le plan passant par l origine et les points Q 1 et R 3 4 5 a On note m n et p les droites d intersection de a avec les plans OX Z OY Z et OXY On demande
189. nt y 7 n io 2 7 FE T0 En rempla ant m et n par ces valeurs dans la troisi me quation l quation cart sienne souhait e apparait OR ES De m me LEEBG 3g hER L E k B E h G E 0 1 5 9 3 A 2 2 1 g 6h 3g 2h 5 g h 2 Cherchons comme pr c demment des points Q et R v rifiant les conditions Q 0 g9 B E hG E Nous trouvons par exemple Dre BARF CEE P BA AMC SE 104 2 Les sequences d enseignement Nous trouvons ainsi une nouvelle quation vectorielle du plan EBG LEEBG JmneR L E 2m 6n B E 3m n G E 0 20 0 5 m n 20 2 5 II A ES 0 5 20n 5 5m 5n 2 Remplacons L par y Z x 20m y 20n 5 z 5m 5n 2 Les deux premi res quations nous donnent 2 Me D0 z y 5 n t En rempla ant m et n par ces valeurs dans la troisi me quation l quation souhait e apparait Le syst me d quations cart siennes que l on obtient ainsi pour l intersection des plans AFD et EBG est z hu iy 2 30 iy Ce syst me n a aucune solution puisqu on a deux fois la m me quation au terme ind pen dant pr s L intersection des plans AFD et EBG est donc vide ce qui signifie que l on a affaire deux plans parall les Remarquons que l on pouvait voir imm diatement que F A et D A sont des com binaisons lin aires
190. nt OU L axe OV est donc orient vers le nord g ographique et l axe OU vers l est Le point Ro 0 est alors situ sur l axe OV la distance 4 1 tg y 2 cos p de l origine La droite Co est la parall le OU passant par Ro 0 L abscisse de Ro H 0 dans le plan OUV vaut tgwtg H puisque Ro H Ro 0 tgeptgH 1 Dans le 0 syst me de coordonn es qui vient d tre d fini nous pouvons crire teptgH Ro A 1 COS Y Comme 24 heures correspondent un angle de 27 radians nous marquerons sur Cy les points Ro H correspondant H 0 H x 12 H 27 12 etc et nous retrouverons la pratique des astronomes en les notant 12 13 11 Nous savons que la direction de l ombre du style en un moment d termin de la journ e ne d pend pas de la d clinaison du soleil Nous pouvons donc d s pr sent tracer les droites qui joignent l origine du plan OUV qui est la base du style du cadran aux points qui viennent d tre marqu s sur la droite C5 Pour la latitude y 50 nous obtenons ainsi la figure ci dessous sur laquelle les indications de 20 h 4 h n ont pas t mentionn es les ombres tant rarement observables lorsquele soleil est couch Cette figure peut tre utilis e pour conna tre l heure solaire vraie en observant la direction de l ombre du style pr sent tudions les courbes C5 En observant sur laquelle de ces courbes se trouve l ombre de l ex
191. ntendent divers auteurs rencontr s dans la bibliographie de l alg bre lin aire Ces diverses visions sont class es chronologiquement Les r f rences des ouvrages d o elles sont tir es se trouvent dans la bibliographie 266 D Le concept de vecteur D 2 Quelques presentations du concept de vecteur 267 La transition d un groupe multiplicatif un groupe additif correspondant est la base de la th orie des logarithmes En dehors du domaine de l arithm tique le choix entre multiplication et addition est sou vent une simple question de notation En particulier le groupe multiplicatif ab lien des translations devient le groupe additif des vecteurs Remarque deux points quelconques A et A d terminent une unique translation A si A on a alors l identit Si A4 B B est un parall logramme ou si pour tout parall logramme 44 C C bas sur AA il y a un autre parall logramme CC BB la translation B B est la m me que la translation 4 Une translation est sp cifi e par l effet qu elle a sur un point donn Dans le dessin ci dessus on a AA BB CC De plus on sait que le produit com position des translations B et B C est la translation A C Ceci nous assure que AB BC AC De plus on sait que la co mposition des translations est commutative donc pour tout vecteur T et bona d D D4 7 268 D Le concept de vecteur L aute
192. oint 2 Ainsi 7 Ar 3y 6 Mecas H ET 4x 3y 67 28 La consid ration du projecteur parall lement au plan a nous a ainsi amen s retrouver une quation cart sienne de ce plan En m me temps il appara t clairement que l quation de tout plan parall le a ne diff re de celle de que par le terme ind pendant En effet un plan parall le a se projette en un point de OC d abscisse diff rente de 2 par exemple u et est alors caract ris par l quation Ba AN E u 14 Des questions apparaissent cependant l gitimes quation cart sienne du plan a obtenue par ce proc d d pend elle du point choisi comme point unit sur la droite OC Et que se passe t il lorsqu on utilise le projecteur parall le a sur une autre droite que OC Les r ponses ces questions sont a priori connues la suite des r sultats obtenus dans les fiches pr c dentes Nous y avons montr en effet que toutes les quations cart siennes de a sont multiples l une de l autre Le changement du rep re choisi sur la droite OC ou de la droite OC elle m me ne saurait donc entra ner d autre modification l quation cart sienne obtenue que la multiplication de tous les coefficients par la m me constante La r ponse traitera cependant cette question directement sans supposer connue l unicit un facteur pr s de l quation cart sienne d une droite Les quations d un projecteur Les activit s
193. oint T deux droites d et da s cantes en T si et seulement si elle est perpendiculaire toutes les droites du plan d termin par d et d passant par T Sous les hypoth ses et avec les notations pr c dentes toute droite d perpendiculaire en T d est situ e dans le plan d termin par d et do 2 4 Le produit scalaire 149 A propos d un vecteur orthogonal un plan Si a est le plan d quation cart sienne ax by cz d si o le plan parall le passant par l origine et donc d quation cart sienne ax by cz 0 a et si A b alors C Le plan ap est le plan perpendiculaire OA passant par l origine M Eao gt MeA 0 a Le vecteur b est un vecteur normal au plan ay et donc aussi au plan a c Toutes les droites perpendiculaires a sont les droites parall les OA 150 2 Les sequences d enseignement 2 5 Produit vectoriel volume et determinant 151 Cette section ne comporte qu une seule fiche consacr e au calcul du volume d un prisme C est l occasion d introduire le produit vectoriel et le produit mixte ou d terminant dans un contexte g om trique Diff rents commentaires et prolongements consacr s l quation normale d un plan et aux questions d orientation cloturent cette section et pr parent la suivante Il n a pas t r dig de synth se pour cette section les propri t s essentielles du produit vectoriel et du d
194. om trie de l espace il poss de ses difficult s propres qui ne sont pas sans interaction avec l apprentissage de l alg bre lin aire 1 1 La problematique 15 Comme toute discipline math matique la g om trie de l espace poss de ses difficult s propres Mais d une certaine mani re elle poss de une difficult de plus li e notre mode de vision Cette difficult suppl mentaire d j analys e entre autres par R Bkouche voir 12 est celle de la repr sentation plane des objets de l espace Il est bien difficile d imaginer un cours de g om trie dans l enseignement secondaire qui puisse ne pas recourir au dessin ce stade de l apprentissage une repr sentation aussi fid le que possible de l objet g om trique tudier est manifestement indispensable Or la feuille de papier tant un objet naturellement associ l id e de plan le manque de fid lit de la repr sentation dessin e d un objet g om trique plan ne r sulte g n ralement que de l paisseur in vitablement non nulle des traits Cette discordance tant reconnue on peut consid rer qu il n y a pas de probl me de repr sentation fid le des objets plans par le dessin Mais et toujours parce que la feuille de papier est plane il y a un probl me r el quant la repr sentation lt fid le et plane gt des objets trois dimensions Ce probl me est une difficult premi re et incontournable dans le cours d
195. om trie mais en se basant sur l alg bre lin aire et en suivant une utilisation tr s logique des vecteurs qui m ne juste apr s la r solution de syst mes de deux quations lin aires homog nes deux inconnues Les coordonn es polaires servent nouveau cette fois pour introduire une id e sous jacente de matrice dans les rotations Remarquons que cette id e n est vraiment exploit e que quelques pages plus loin o l on reprend des exemples de transformations du plan vus pr c demment projection sym trie rotation homoth tie pour en tirer c te c te les d finitions des applications lin aires et des matrices Signalons que les applications lin aires ne sont pas d finies par les deux propri t s clas siques mais sont donn es comme tant des transformations du plans pouvant s crire sous la forme d un syst me d quations lin aires x ax b y Y cx d y Les matrices sont vues d embl e comme des symboles pour repr senter des applications lin aires L application ci dessus sera donc repr sent e par C 3 T Bancho J Wermer Linear Algebra through Geometry 259 Remarquons que de ce fait le produit a b z cd Ly coule de source et c est un premier pas vers le produit matriciel g n ralis Des matrices on tire ais ment les deux propri t s habituelles des applications lin aires toujours ici deux dimensions L id e de d terminant 2 x 2 est introduite par
196. on d un tel r sultat On choisit par exemple les deux rotations RER k eb RE On a d abord 27 3 7 2 T RaR o Ry Ry Notons pour abr ger 8 o Ns RY n La relation pr c dente se note By R7 pourvu qu on convienne de juxtaposer ou multiplier les lettres 5 et y pour symboliser l op ration lt o gt de composition et qu on prenne bien garde l ordre d criture puisque 16 Ri o Ring RI K Ri py Si on convient encore de noter lt 1 gt pour l identit on fait appara tre des relations dont le contenu g om trique est clair pi ral 87 1 2 6 Les rotations de l espace 177 Ces deux rotations g n ratrices savoir 5 et y et les trois relations pr c dentes per mettent de retrouver les 24 rotations cubiques Plus pr cis ment on d duit de ces trois relations les relations lt d riv es gt 8 B amp d o aussi o pr ep BB Il s agit alors de dresser une liste de repr sentants de tous les mots form s avec les deux seules lettres 8 et y et en tenant compte autant de l ordre d criture que des trois relations pr c dentes et de toutes celles qu on peut en d duire Ainsi par exemple le mot y 8 y peut tre simplifi PBA B1B F 7 By et le mot y8 7 8 peut tre rendu quivalent beaucoup d autres entre autres 8y 8 YB FOBNTE PBB PBID PPIP POBI y By p 6161878 BE BIAB BYE BP BIBO BPR Avec comme annonc
197. ons quences des propri t s respectives des morphismes On parle des quaternions comme un ensemble particulier de matrices de type a B y B a y ly a B 0 y E a C 2 N Kuiper Linear Algebra and Geometry 257 o les lettres grecques repr sentent des r els Soient e i j et k des matrices 4 x 4 e est l unit telles que q a e Bi 0 k alors on retrouve ce que l on connait des quaternions Une d finition quivalente est de parler de l ensemble des matrices O a u p i et C y u i avec u LO et i ee 0 1 1 0 Ce n est qu apr s avoir vu les matrices d un peu plus pr s que Kuiper les applique la r solution de syst mes d quations lin aires Et il discute des cas o des syst mes ont une solution avant d introduire les d terminants en tant que rapports de fonctions n lin aires antisym triques Le probl me est que ces fonctions antisym triques sont pr sent es de fa on g n rale et on ne voit le lien avec les morphismes et les matrices que bien longtemps apr s Il faudrait plut t motiver cette mati re par l int r t de trouver une fonction determinant Kuiper utilise ensuite les d terminants sur des probl mes de volumes notamment de simplexes et termine leurs applications par la m thode de Cramer Puis on passe au produit scalaire de deux vecteurs apr s avoir vu la th orie des fonctions quadratiques Mais on en avait d j parl
198. ons param triques d une droite ou d un plan cette lin arit signifie que toute rotation de l espace transforme une droite en une droite et un plan en un plan 180 2 Les sequences d enseignement 2 6 3 1 Liminaire La fiche suivante peut tre con ue comme un prolongement de la fiche N 16 consacr e aux rotations cubiques Elle d veloppe la repr sentation matricielle des rotations quelcon ques de l espace sans puiser le sujet En particulier on n y tudie pas la caract risation alg brique des rotations de l espace S il a sembl plus appropri de ne pas aborder ce sujet en m me temps que l tude des ro tations cubiques c est parce que la repr sentation matricielle des seules rotations cubiques n offre pas grand int r t Mais d autre part l interpr tation matricielle des transformations lin aires lorsqu elle est introduite partir des matrices de rotation met en vidence le role du produit scalaire dans le produit matriciel C est ce qui est d taill dans la fiche qui suit Du produit scalaire la forme lin aire associ e il n y a qu un pas et on sait que pour les transformations lin aires quelconques c est par le biais des formes lin aires c est dire de la dualit des espaces vectoriels que l on arrive comprendre la raison d tre g om trique des r gles du calcul matriciel Mais c est l une autre histoire Au vu de son objectif cette derni re fich
199. ouvons pr sent d terminer dans quel cas deux syst mes de deux quations lin aires caract risent la m me droite Les deux systemes de deux equations ar biy C12 di ULT vy W12 q a21 bay c22 da U2X VY Waz Go determinent la meme droite si et seulement si chacune des equations d un systeme est une combinaison lineaire des deux equations de l autre systeme Autrement dit il doit exister des r els k l m n et k l m et n tels que 2 3 Systemes d equations lineaires et fonctions lineaires 109 ul Q a2 u2 41 a2 V1 b ba V2 bi ba k 1 m n Wi C Ca Wa Ci C2 q d d2 q2 d d et Q U ua a2 ul ua bi Vi Vo ba on Vo k ele m n C1 W wa C2 wi wa di q q2 da q q2 Visiblement nous nous retrouvons dans une situation analogue a celle rencontree plus haut qui etait relative aux combinaisons lineaires de points La seule di erence est que nous manipulons a present des colonnes de quatre nombres au lieu de colonnes de trois nombres Ces calculs debouchent inevitablement sur l introduction des matrices e E et ke La et sur le fait que ces matrices sont inverses l une de l autre 110 2 Les sequences d enseignement 0 3 On consid re quatre points non coplanaires O 0 01 B 0 2 0 2 C 2 et le projecteur sur la droite OC parall lement au plan zi B 2 a Quelles sont les coordonn es de la projection P du point P 2 7 b
200. parall le au plan Y Z qui passe par le point consid r cette projection est donc unique Nous l appellons abscisse de P Le deuxi me nombre fixe la projection du point P sur l axe Y parall lement au plan XZ C est l ordonnee de P Enfin le troisi me nombre fixe la projection de P sur l axe Z parall lement au plan XY C est la hauteur de P 70 2 Les sequences d enseignement Prenons par exemple le point P suivant OZ Ed e IL OX Ses projections sur les axes X Y et Z sont respectivement 2 5 et 2 Nous adoptons la notation suivante P WIN ICT CIN Nous identifions donc le point P la colonne de ses coordonnees cartesiennes Le choix de cette notation n est pas innocent il permet de justifier la notation P Q utilis e pour d signer le quatri me sommet du parall logramme dont les trois premiers sommets sont P O et Q Dans la suite nous tudions les projections parall les en termes de coordonn es A partir de l nous construisons pas pas les quations vectorielles et cart siennes des droites et des plans de l espace Nous avons vu dans les activit s de la fiche n 1 des m thodes qui nous permettent de construire des projections de points Ces m thodes constitueront le point de d part des fiches de cette section 2 2 La geometrie vectorielle elementaire 71 N nia On donne les points U et V niw 0 Calcu
201. pas exactement aux th mes du chapitre 1 Le tableau suivant indique la concordance entre th mes et sections Th me Section Titre I A G om trie d incidence IT B G om trie vectorielle V F Rotations de l espace VI E Produit vectoriel volume et d terminant VII C Syst mes d quations lin aires et fonctions lin aires VIII F Rotations de l espace IX X On notera en particulier que les th mes V et VIII de l tude th orique sont abord s ensemble dans les fiches de la section F sans intervention des quaternions L tude du produit ext rieur pr vue au th me VI a t ramen e celle du produit vectoriel dans les fiches de la section E Telles qu elles sont les fiches sont plus destin es au professeur qu aux l ves Elles pro posent une construction inductive de la th orie partir de probl mes lesquels ne sont pas con us pour tre r solus par les l ves sans intervention de l enseignant Si une pro longation du projet avait t possible la seconde ann e aurait t consacr e en partie leur exp rimentation dans des classes Les chapitres 3 et 4 ouvrent une porte vers des activit s interdisciplinaires en proposant des applications peu classiques le calcul du champ lectrique cr par des charges ponctuelles situ es aux sommets d un r seau cubique et la construction d un cadran solaire Afin de faciliter la visualisation de situations sur un r seau cubique
202. pip de en ques tion est donn e par la valeur absolue du nombre r el U x V e W Une telle formule est un peu h t roclite elle m le deux produits diff rents le produit vectoriel et le produit scalaire dans le but d valuer une grandeur pour laquelle les trois vecteurs concern s devraient jouer des r les quivalents D autre part U x V e W uvg u301 w3 u103 Uzv W2 UgU3 Uzv W1 qui pr sente des propri t s d antisym trie remarquables Tout cela ajout un raisonnement analogue celui qui a men la d finition de bivec teur m ne tendre lop ration de produit ext rieur A tout triple U V W de vecteurs on associe l objet not U A V A W et caract ris par les deux propri t s UAVAW VAUAW WAVAU antisymetrie lt graduee gt k U 1 UNAVAW k UAVAW 1 1 0 AV AW linearite Ce nouvel objet math matique est encore appel produit ext rieur ou de Grassmann de U V W Sa construction tant toujours celle d un objet lin aire il m rite comme auparavant le statut de vecteur m me s il est cette fois intrins quement associ l id e de volume ou d espace 38 1 Analyse theorique Avec les m mes hypoth ses que plus haut et gr ce aux deux seules propri t s d anti sym trie et de lin arit on obtient imm diatement UAVAW u102 uzv W3 u1v3 uzv W2 uzUz u3v2 W E A Es A Ez ce qui confirme toutes nos intuitions De plus e
203. ple de nombres repr sentera donc dans un espace n dimensions soit un point soit un vecteur selon le contexte Puis Serge Lang donne une d finition axiomatique des espaces vectoriels et dit en g n ral que les l ments de tels espaces sont galement appel s vecteurs 274 D Le concept de vecteur L auteur introduit d s le d part l aide d exemples une notion g n rale de ce qu il appelle un lt vectoriel gt par exemple les progressions arithm tiques Puis Fletcher donne deux lois de composition l addition terme terme et la multiplica tion par un scalaire Il dit qu un ensemble ferm pour ces deux lois est appel un vectoriel et que les l ments d une telle structure sont appel s des vecteurs Gr ce ces deux lois l id e de combinaison lin aire et de base est d gag e D 2 Quelques presentations du concept de vecteur 275 Les auteurs commencent par d finir la notion de vecteur sur une droite comme tant un segment oriente allant d une origine fix e jusqu un point de la droite donn par sa coordonn e Ce sont donc des vecteurs li s On introduit alors leurs somme et produit scalaire puis on passe au plan Dans le plan un vecteur est un couple de nombres 5 crit en colonne o x et y sont les coordonn es d un point Le vecteur est la fl che ou le segment orient allant de l origine du plan ce point Le m me cheminement est appliqu pour 3 dimens
204. point quelconque P y z de l espace est donn e par proj 9 P P 2x 3y 52 C Car 2x 3y 5z est dans ce cas l abscisse du point P sur la droite OC par rapport au rep re O C Puisque proj 9 P 0 le point C cherch doit satisfaire l quation 21 3y 5z 1 Prenons par exemple 2 C 0 1 De m me les points et B se projettent sur l origine et doivent tous deux satisfaire 0 l quation 2x 3y 5z 0 Nous pouvons prendre par exemple A 5 et 3 3 B 2 2 3 Systemes d equations lineaires et fonctions lineaires 121 L quation cart sienne 2x 3y 5z 1 est donc celle du plan parall le OAB passant par le point C Et nous avons ainsi r pondu la question 2 3 7 2 Commentaires et prolongements Dans cette fiche nous adoptons la d marche r ciproque de celles des deux fiches pr c dentes Dans celles ci nous avions d abord montr que tout projecteur sur une droite parall lement un plan d termine une forme lin aire c est dire une fonction du type x y z gt ax by cz d s qu un rep re a t choisi dans l espace et un autre sur la droite image du projecteur Nous avions aussi remarqu qu en modifiant la droite sur laquelle on projette ou le rep re choisi sur cette droite la forme lin aire associ e tait simplement multipli e par une constante Nous pouvons donc dire que La donnee d un repere dans l espace permet d associer a tout plan
205. proj xy F proj xy y 1 E e 4 mi Nr 2 2 La geometrie vectorielle elementaire 75 Le proc d g om trique correspondant est une translation d crite par laddition terme terme du triplet Dans ce cas un triplet de nombres r els re oit une nou 1 2 1 2 1 velle interpr tation celle d op rateur de translation Comment relier cette nouvelle in terpr tation celle premi re de coordonn es d un point 1 2 Notons Q le point de coordonn es t Il y a deux observations faire 1 1 Si on situe Q U et V sur la m me figure la consid ration des pav s de diagonale UV et de diagonale OQ montre que OUVQ est un parall logramme La translation qui envoie U sur V est donc d termin e par le seul point Q axe OZ axe OX 0 2 2 Les coordonn es de U et V U 3 V 2 d terminent par soustraction 1 0 celles du point Q 1 1 2 2 g i 2 3 2 2 1 0 1 De ces deux observations il r sulte que les deux interpr tations d un triplet de nombres r els que sugg rait la formule 2 1 sont quivalentes 76 2 Les sequences d enseignement Mais et c est l son principal int r t cette equivalence etant etablie il y a alors moyen d ecrire les formules 2 1 et 2 2 sous forme bien plus economique en termes d addition ou de soustraction de coordoonnees de points 1 1 0 2 2 Q i 2
206. qu s l un dans l autre Le dessin est encore correct si les cubes dessin s forment ensemble un poly dre convexe et cela m me si des polygones y figurent Dans les autres cas le programme m riterait d tre am lior Le mode lt Transparent gt ne pose aucun probl me toutes les ar tes sont repr sen t es en traits pleins Le mode lt Opaque gt ne pr sente de faiblesses qu au cas o l utilisateur a d fini des cubes imbriqu s l un dans l autre Mais en mode opaque on ne peut videmment rien apercevoir des objets situ s l int rieur des cubes Dernier l ment de ce menu Tr l vogyre Ce choix permet de modifier l orientation du tri dre de r f rence Au d part ce triedre est dextrogyre et l indication qui appara t au menu est lt Tr l vogyre gt Si on effectue ce choix l indication sera remplac e par lt Tr dextrogyre gt Le menu indique donc toujours l orientation oppos e celle qui est en cours A 3 Les menus 237 Ce menu ne pose gu re de probl mes Il permet Putilisateur de modifier volont les couleurs utilis es Apr s avoir s lectionn Couleurs l cran affiche des rectangles des seize couleurs possibles En cliquant sur une quelconque d entre elles on acc de aux ascenseurs qui permettent de modifier les composantes rouge verte et bleue de la couleur choisie 238 A Le programme Reseau exe Les ic nes y compris la bombe sont au nombre de
207. r la non commutativit du produit matriciel Ce chapitre se termine par l tude de l espace des solutions d un syst me lin aire ho mog ne dimension de kero etc La d finition du d terminant est raffin e peu peu dans le troisi me chapitre On utilise la r currence pour construire les d terminants n x n la d finition finale tant celle donn e par les trois propri t s suivantes det est une fonction multilin aire des lignes de la matrice det est une fonction sym trique gauche des lignes de la matrice A ce qui signifie que det Ar 59 As A1 ss An det Ar 6 A1 As a Any le d terminant de la matrice identit vaut 1 On y d veloppe le d terminant par rapport la premi re colonne puis on montre que le r sultat est semblable avec n importe quelle ligne ou colonne Puis on tudie les variations du d terminant d une matrice A lorsqu on modifie les co lonnes et les lignes de A Enfin Kostrikin donne des applications des d terminants crit re de r gularit d une matrice forme g n rale de l inverse d une matrice m thode de Cramer rang d une ma brice 256 C Bibliographie commentee Dans cet ouvrage le but de Nicolaas Kuiper est de mener le lecteur la g om trie pro jective et aux plans non euclidiens dans le cadre de l alg bre et de la g om trie Il part de la notion de vecteur puis de rapports sur les figures g om triques avant
208. rall les FH car elles se correspondent par translation au long d ar tes du r seau cubique Elles sont donc parall les entre elles 2 L ensemble des parall les FH passant par les points de AK constitue le plan AKK D C est le plan PROJETANT de AK 3 La projection de la droite AK sur CGDH parall lement FH est la droite D K car c est l intersection des plans AK K D et CGDH 4 La projection du segment AK sur CGDH parall lement FH est le segment D K En effet dans le plan AK K D comme dans tout autre plan la projection d un segment sur une droite parall lement une autre droite est un segment 2 1 La geometrie d incidence de l espace 53 5 De m me les projections des segments KE et AE sont les segments K H et D H et la projection du triangle AK E est le triangle D K H 2 1 3 2 Justifications compl tes et propri t s retenir Seules les etapes 1 et 2 de la construction necessitent des justi cations complementaires Elles constituent aussi l occasion d introduire les premieres proprietes de la geometrie d incidence Vu le caractere classique de la plupart des demonstrations nous laissons au lecteur le soin de realiser lui meme des gures illustratives Mais nous insistons sur l idee de placer ces gures dans le contexte d un reseau cubique ce qui facilite la perception spatiale 1 Pourquoi les droites KK AD EH et FH sont elles deux deux pa rall les Le quadrilat
209. re KFHK est un parall logramme car les c t s KF et K H sont parall les et de m me longueur Puisque tout th or me de g om trie plane est va lable dans tout plan de l espace axiome V KK FH De m me EH FH et ADE Nous pourrions de la sorte etablir les six relations de parallelisme entre les quatre droites KK AD EH et FH Il est plus economique et surtout plus utile de prou ver la transitivite du parallelisme ce qui necessite des propositions intermediaires importantes en elles memes PROPOSITION 2 1 6 Euclide Par tout point de l espace passe une et une seule parallele a une droite FH Soit P un point Si P FH la seule parall le FH passant par P est FH par la d finition du parall lisme de deux droites Si P FH toute parall le FH passant par P est dans le plan PFH Et dans ce plan on trouve effectivement une et une seule parall le FH passant par P via l axiome d Euclide dans le plan et l axiome V PROPOSITION 2 1 7 Une droite a parallele a une droite b d un plan est parallele au plan a Supposons a b et b C a Si a b alors a C a donc a a Si a A b le plan ab coupe a selon la droite b axiomes IT et IV Donc tout point de a qui appartiendrait a serait sur b ce qui est impossible Ainsi a a 54 2 Les sequences d enseignement PROPOSITION 2 1 8 Si la droite a est parallele au plan tout plan P passant par a et non parallele a coupe a suivant u
210. re l objet d une synth se et auxquelles il sera fait appel dans les situations suivantes Cette m thode permet de motiver les d veloppements th oriques en les ins rant dans la r solution d un probl me Nous pensons que quel que soit le niveau de la classe il est utile pour la formation de l intuition spatiale de faire d abord appel aux raisonnements li s au r seau cubique Selon les circonstances le professeur d cidera ensuite du niveau de rigueur qu il d sire atteindre avec les l ves en pr sentant ventuellement les justifications valables en dehors de la situation initiale Ces justifications reposent sur les d finitions et axiomes suivants Axiomes AXIOME I Par deux points de l espace passe une et une seule droite axiome de droite AXIOME II Par trois points distincts non align s de l espace passe un et un seul plan et toute droite passant par deux points d un plan est enti rement incluse ce plan ariome de plan AXIOME III Il existe quatre points non coplanaires AXIOME IV Deux plans qui ont un point commun ont une droite commune passant par ce point AXIOME V Toute propri t g om trique du plan est valable dans tous les plans de l espace ariome d extension Les axiomes III et IV signifient ensemble que l espace est de dimension 3 D finitions Parallelisme D FINITION 2 1 2 Deux droites sont paralleles lorsqu elles sont coplanaires disjointes ou confondues D
211. re utilis e autant de fois qu on le d sire mais pour chacune d entre elles seule la transformation introduite en dernier lieu est m moris e On peut ainsi avoir simultan ment en m moire une trans formation de chaque esp ce et une seule Si vous voulez abandonner l ex cution d une routine que vous avez entam e par er reur essayez la touche Escape Parfois on interrompt ainsi l ex cution intempestive 232 A Le programme Reseau exe Ce menu permet 1 de choisir le mode de repr sentation graphique des solides de l espace en perspective centrale en projection orthogonale ou en perspective cavali re de zoomer de choisir le mode de repr sentation des ar es des cubes en vu et cach en trans parent ou en opaque de choisir l orientation du tri dre de r f rence Mode de repr sentation des solides Les trois l ments du menu sont les suivants Le choix d une representation plane de gures spatiales est un peu une question de circonstances On peut conseiller de choisir si possible une representation qui conserve celles des caracteristiques d une gure que l on veut etudier Par exemple la perspective cavaliere et la projection orthogonale sont des projec tions a nes Elles conservent la linearite le parallelisme les rapports de longueurs de segments paralleles Mais elles ne conservent pas les valeurs des angles sauf si les cotes de ces angles sont situes dans des plans para
212. rge q sur la charge q s exprime en unites MKSA par la formule 5 1 qg gt Py HA Areo AB dE ou Tag est un vecteur de longueur 1 dirige de A vers B On voit que si les charges q et q sont de m me signe la force F est une force de r pulsion alors que c est une force d attraction si q et q sont de signes oppos s Les charges lectriques s expriment en coulombs les distances en m tres et les forces en New tons est une constante dont la valeur nous importe peu mais qu il n y a cependant aucune raison de cacher o 8 854187182 x 107 F m Pour le lecteur non physicien l unit est le Farad par m tre Nous nous placerons dans le cas o les sommets du r seau cubique sont occup s alterna tivement par des charges lectriques de 1 Coulomb et de 1 Coulomb l origine tant occup e par une charge positive repr sent e par une boule blanche sur les diff rentes figures La question pos e est Quel est le champ electrique cree en le point 0 3 1 Introduction 191 Rappelons que le champ lectrique en un point est la force lectrique qui s exercerait sur z une charge unit plac e en ce point Le champ cr en P 0 par une charge de 1 0 Coulomb en le point A b du r seau est donc K pp lar EK app P A o c K __ constante que nous liminerons de nos calculs puisque multipliant toutes les ATEQ forces consid r es elle ne modifie pas l allure des r su
213. rix que la puissance de l outil introduit sera ma tris e par les l ves et qu il sera possible de le rendre pleinement op rationnel 4 Introduction Dans les programmes mis en application partir de 1968 la synth se reposait sur une explicitation de la structure d espace vectoriel pr sent e des la quatri me ann e Apr s quelques ann es d application on s est rendu compte que l introduction de cette struc ture tait trop rapide et que les l ves ne disposaient pas en temps voulu de la maturit n cessaire De plus loin de jouer le r le d une synth se l tude de la structure d espace vectoriel tait souvent r alis e pour elle m me sans liaison suffisante avec les applica tions qu il s agisse des applications extra math matiques g n ralement inaccessibles aux l ves du secondaire mentionn es dans la citation du CREM ou d applications beaucoup plus simples notamment la g om trie de l enseignement secondaire Des recherches men es en France pour d terminer la nature des difficult s d enseignement de l alg bre lin aire ont confirm peut tre m me de fa on amplifi e les observations effectu es dans l enseignement secondaire belge Mentionnons en particulier les travaux de J L Dorier voir 23 24 25 et K Pavlopoulou voir 40 41 Ces auteurs ont analys l enseignement d alg bre lin aire tel qu il se donne en France dans une premi re ann e d tudes sci
214. rrespondant la couche n n 203 Pourquoi pas une couche cubique occiso ba de bp be 206 188 3 1 Introduction 189 L application qui suit nous a ete inspiree par la constatation que certains cristaux dits ioniques sont constitues non d atomes neutres mais d ions charges certains positivement d autres negativement Par exemple le sel de cuisine NaC cristallise dans un reseau cubique les ions Na et Cl alternant aux sommets de ce reseau Dans la gure suivante les boules blanches representent les ions Na et les boules noires representent les ions CL Dans un premier temps nous avons essaye de montrer la stabilite du cristal L idee est simple on imagine qu on ecarte un des ions de sa position d equilibre et on calcule la resultante des forces coulombiennes exercees alors sur lui par les autres ions Si cette force resultante tend a le ramener au point de depart on peut considerer le cristal comme stable Nous avons du constater que nous ne parvenions pas de cette facon a etablir la stabilite du sel de cuisine En l occurrence ce ne sont pas les aspects mathematiques qui sont trop compliques mais bien les aspects physico chimiques Il semble en e et que la stabilite d un cristal ionique ne depende pas seulement des forces coulombiennes mais egalement d autres types de forces d attraction ou de repulsion 190 3 Un reseau cubique electrique Il nous a semble cependant interessant d
215. s 0 0 0 1 T In Le syst me devient y R 0 OZ y Les matrices colonnes de cette derni re z z quation sont appel es vecteurs R 0 OZ est donc un op rateur capable de faire tourner un vecteur d un angle 0 autour de laxe OZ D 2 Quelques presentations du concept de vecteur 271 Papy introduit tout d abord la notion de couples quipollents dans le plan deux couples sont quipollents lorsqu ils sont reli s par un parall logramme ou deux Propri t s de l quipollence r flexivit sym trie et transitivit cette derni re en axio me L quipollence est donc une relation d quivalence Puis l auteur introduit les translations comme tant des classes de couples quipollents exemple la translation ab est l ensemble des couples quipollents a b Gr ce la loi de composition les translations forment un groupe multiplicatif Si on prend le signe lt gt pour loi alors on appelle vecteurs les translations Papy propose m me un dictionnaire des synonymes pour passer de l un l autre 212 D Le concept de vecteur Borsuk consid re les espaces R R et R qu il appelle espaces cartesiens et qu il note Cn avec n 1 2 3 Dans ces espaces il prend une paire de points p et q et il appelle leur paire ordonnee p un vecteur d origine p et de fin q Les coordonn ss de ce vecteur sont celles de q auxquelles ont soustrait celles de p Borsuk di
216. s annulent mutuellement D s que x augmente l intensit devient positive le champ est dirig dans la direction des x croissant l influence de 711 domine Lorsque x tend vers 1 l intensit du champ tend vers linfini ce quoi on pouvait s attendre Nous pouvons aussi additionner les champs cr s par les couches n 0 et 1 198 3 Un reseau cubique electrique bo fl 17 5 15 12 5 10 D n A in 3 4 Le champ cree par la couche n 2 199 La couche C2 est constitu e des charges situ es aux points du r seau pour lesquels x lyl z 2 Ces points occupent les six sommets et les douze milieux d ar tes d un octa dre Nous d couperons cette couche C en cinq tranches T2 _2 Tao La tranche Tz p est form e des points de Cp d abscisse k z Examinons tranche par tranche les distances au point P 0 des points de la 0 couche C2 Les 18 distances ne prennent que six valeurs diff rentes 2 Tranche 7 _ Elle n est constitu e que du sommet A2 _2 0 Sa distance P 0 vaut 2 x 200 3 Un reseau cubique electrique 1 1 Tranche 7 _ Elle comprend les points A2 _1 1 B2 1 1 C2 11 0 0 1 1 0 et Da 1 O constituant les sommets d un carr Ces quatre points 1 sont la distance vz 2x 2 de P Tranche 72 Elle comprend huit points situ s aux sommets et aux milieux des c t s d un carr 0 0 Les quatre sommets sont les points A20
217. s entre les traitements possibles Le but n est pas tant de r soudre un probl me que de r fl chir sur ce qui fait que le probl me peut tre r solu Les traits fondamentaux tant g om triques qu alg briques doivent ainsi appara tre et r appara tre dans des circonstances diff rentes Les applications non g om triques relevant de contextes vari s doivent galement permettre de mettre en vidence des analogies conduisant des conomies de pens e Ce sont les faits structurels de l alg bre lin aire qui doivent tre mis en place en souplesse et sans formalisation On attendra donc que l l ve ait de lui m me saisi la signification profonde des analogies remarqu es avant de les exploiter en vue d une quelconque formalisation Cette derni re pourrait m me ne jamais avoir lieu dans le cadre de l enseignement secondaire mais les activit s men es ce niveau la rendrait possible et fructueuse dans l enseignement sup rieur 0 5 Resultats de la recherche 9 Le chapitre 1 du pr sent travail propose un sch ma d organisation de l enseignement de l alg bre lin aire selon 10 grands th mes th oriques Pour op rationnaliser ce sch ma une p riode de plusieurs ann es de travail serait n ces saire Nous avons donc d nous limiter en traiter seulement une partie Les fiches que nous pr sentons au chapitre 2 sont ainsi structur es de fa on diff rente et regroup es en sections qui ne correspondent
218. s les coor ie donn es polaires p et de l image de T dans le I dl plan yoz 5 E y Pour simplifier nous appelons u v les coor a y donn es cart siennes dans le plan image YOZ et T par cons quent 1 T et l 1 La perspective cavali re de param tres p et a est l application lin aire qui applique z le point y de R sur le point de R donn par Z CSI Ia a i V psina 0 i Les deux param tres p et d nomm es respectivement lt Coefficient gt et lt Angle gt peuvent tre modifi s volont en d pla ant des curseurs au long d ascenseurs Il en est de m me pour les param tres qui commandent les autres routines de repr sentation b La projection orthogonale correspond la vision que nous avons d un objet situ tr s loin Un observateur est suppos se trouver linfini d finissant ainsi une direction la direction du regard Les figures spatiales sont projet s sur un plan 7 orthogonal cette direction passant par l origine des axes 234 A Le programme Reseau exe 2 La direction de projection c est dire la direction du regard de l observateur est d termin e selon le 9 P P syst me des coordonn es polaires de l espace par deux angles la colatitude 0 et la longitude Aaa z Une base orthonorm e Lu T est choisie dans le plan m Clairement elle n est d termin e qu une rotation pr s ce qui introduit un troisi
219. s particu lier en ce que ses sommets etaient soit des sommets du cube soit situes au milieu d une arete Nous rencontrons ici le cas general les sommets du triangle ne sont plus des points particuliers du cube Nous le traiterons par deux methodes di erentes La premiere repose sur la consideration de sections du cube par des plans particuliers la seconde exploite les proprietes associees a un reseau cubique PREMI RE M THODE Notons W le milieu du segment DH On remarque par translation que la droite BW est parall le la droite KH Par cons quent elles d terminent toutes deux la m me projection parall le B K F 2 1 La geometrie d incidence de l espace B K F B K F A DN E lo 7 C G A A II 2 s D Ww H B K F A S D A 61 Les points B R et W d terminent un plan dont l intersection avec la face CDHG s obtient de la mani re sui vante comme B et R sont tous deux dans la face ABCD la droite BR coupe la face CDHG en un point de l ar te C D L intersection demand e est le segment IW On proc de de m me pour le point S On trouve S Les points T et B ne se trouvent pas dans une m me face Afin de trouver la projection de T nous construisons un nouveau cube sur la face EFGH Le point F joue le r le de B et en proc dant pr sent comme pour les deux autres points on trouve T
220. s sont evidemment quivalents puisque Pr et L sont li s par la formule Pr P L P C Si R et Q appartiennent au m me plan ap la droite RQ est parall le ay et le point Q appartient ao On a donc tout aussi evidemment que plus haut Pr R Pr Q et Pr R Q 0 d o r sulte L R L Q et L R Q 0 Cette remarque nous permet d crire Pr R Q Pr R Pr Q et L R Q L R L Q Mais alors Pr R Q Pr R Q Pr R Pr Q et comme Pr Q Pr 1 Q 1 Pr Q Pr Q il vient Pr R Q Pr R Pr Q Cette propri t g om trique du projecteur Pr entra ne automatiquement la pro pri t correspondante de la forme lin aire L L R Q L R L Q Cette derni re formule aurait aussi pu tre obtenue par un simple calcul sur les coordonn es Li Lo L R Q L y 21 22 a x1 12 b y1 yo b z1 22 az by Ca ax bya C22 L R L Q Les formules qui viennent d tre tablies peuvent tre condens es l aide du forma lisme des combinaisons lineaires 2 3 Systemes d equations lineaires et fonctions lineaires 123 Introduisons pr sent un rep re O A B dans le plan ay et soit P un point quelconque de l espace Soit P Pr P Si h est l abscisse de P sur OC on a alors P h C De plus le point P P appartient ao Il existe donc des r els a et b tels que P h C a A tb B ou encore P a A b B h C
221. sant le produit scalaire de s31 S32 533 par ro T32 De mani re explicite 0 Mp Sin r11 S12 r21 13 Tan 811 T12 12 T22 13 T32 11 T13 12 T23 13 Tag S21 T11 22 T21 823 T31 S21 T12 22 T22 23 T32 S21 713 22 T23 23 T33 831 Tit 833 ta S33 Ta1 S31 tris S32 22 S33 T33 S31 13 S32 123 833 T33 S11 12 S13 fia 712 713 Ainsi est d fini le produit de M S21 S22 S23 par M8 Toi f Ta3 S31 32 33 T31 T32 T33 P0 Afe 0 qu on note M p M Mr 2 6 3 9 La non commutativit du produit matriciel Ce produit matriciel n est pas commutatif de la m me mani re que la composition des rotations et plus g n ralement des transformations lin aires n est pas commutative On v rifie par exemple que 7 2 27 3 pr Ryo Ris Bras alors que comme on l a vu plus haut 27 3 T 2 _ pr Rigo Ry RIK En terme de matrices on v rifie de m me que 0 01 00 1 01 0 MP MZ x l 0 101 10 0 10 0 M 211 10 0 0 01 00 1 tandis que 0 0 1 0 01 a M MSs 1 00 0 10 0 01 M z 01 0 AE 0 10 186 2 Les sequences d enseignement 187 3 1 3 2 3 3 3 4 3 0 3 6 Ode cesos a a Don du D ee pe M un au a te 189 La g om trie des charges lectriques 192 Le champ cr par les deux premi res couches 195 Le champ cr parla couche n 2 4 4 4 4 ma du ae ra 44 nt 199 Et le champ co
222. seignement 24 LETICIA Lu sesed pa EUR RSS Lee 4 re 126 oh CIDRE LU LR LCL LA Fa RE Ce Re era ee 127 24 2 Fiche La Le produ scales coi Les eh due ue ea 128 24 3 Fiche n 14 Spheres et plans 4 0 444 rotou sue 8e 4 138 ue CAMINO a 1 Mai a di UN ul mini au 148 2 5 Produit vectoriel volume et d terminant 150 20 1 MCU o esc seacte Ra phare x des 151 2 5 2 Fiche n 15 Produit vectoriel volume et d terminant 152 2 6 Les rotations de l espace 1 Li 44 sis unes 165 201 o A LL DIR NID ae RUES at eee a 166 2 6 2 Fiche n 16 Les rotations cubiques 169 2 6 3 Fiche n 17 La repr sentation matricielle des rotations 180 2 1 La geometrie d incidence de l espace A7 48 2 Les sequences d enseignement Dans cette premi re section nous rappelons quelques r sultats l mentaires de la g om trie d incidence de l espace dans le cadre des ombres au soleil C est l occasion d tablir quelques propri t s des projections parall les et d introduire l usage de r seaux cubiques Il y a deux types d ombres les ombres au soleil et les ombres la lampe qui correspondent respectivement aux projections parall les et aux projections centrales On peut ais ment faire le lien entre ces deux types de projections ce qui permet de d gager une propri t caract ristique des projections parall les Voici en effet une pe
223. si l autre Par exemple le point 7 v rifie la premi re quation a b b a 0 Par cons quent on a a b b a 0 ou d b ab 2 3 Systemes d equations lineaires et fonctions lineaires 97 En consid rant les intersections de avec les plans OXZ et OY Z on obtient de m me a c ac et b c be Si les trois nombres a b et c sont diff rents de 0 on en d duit les galit s d V d a b c La valeur commune k de ces trois rapports ne peut tre nulle puisque lun au moins des coefficients a b et c n est pas nul Les deux quations sont donc proportionnelles Si deux seulement des coefficients a b et c ne sont pas nuls par exemples a et b on a de m me a x On a aussi dans ce cas 0 puisque c 0 ac a c 0 et a 0 Les deux quations sont donc aussi proportionnelles dans ce cas Enfin si un seul des coefficients a b c n est pas nul par exemple a alors b et c sont aussi nuls puisque ab a b 0 et ac a c 0 Nous obtenons encore la proportionnalit des deux quations Ainsi dans tous les cas Les equations ax by cz 0 et a x b y d z 0 determinent le meme plan si et seulement si elles sont proportionnelles il existe un reel non nul k tel que a ka b kb et c ke Equation cart sienne d un plan quelconque Un plan quelconque a est toujours parall le un plan ay passant par l origine Il existe donc toujours au moins une translation qui applique a
224. si remarquable la formule obtenue plus haut et qui permettait de calculer l aire du parall logramme d termin par les points O U et V s interprete maintenant par aire OUPV IN ul Vi On appelle produit vectoriel des vecteurs U us et V v le vecteur not u3 V3 U x V d fini par 156 2 Les sequences d enseignement U9Uzg U3gUa UxV u103 A ugu U10V UU dont on a ci dessus tabli les propri t s suivantes U x V est perpendiculaire OU et OV U x V est laire du parall logramme d termin par O U et V En particulier AU x VI 1Ul 1V sin VOV D autres propri t s du produit vectoriel sont tudi es dans les prolongements qui suivent cette solution comment e Distance d un point un plan Si W est un point quelconque de l espace et H est le pied de la perpendiculaire abaiss e de W sur le plan OUV on d duit imm diatement de tout ce qui pr c de INILIW cos NOW INILIW A Ne W OZ OY d o a Ne W wWE TN Retour au volume d un prisme Commen ons par r pondre la question b en crivant la formule generale laquelle on arrive en cons quence des r sultats d j obtenus Si on consid re trois points 2 5 Produit vectoriel volume et determinant 157 ul v wi U Ua V2 et W Wa u3 U3 w3 alors vol OUVW aire OUPV WH Ne W RSS IN U x V e W U xv IU x VI UxV
225. sitivit du parall lisme des plans de l espace l unicit du plan cherch est vidente Il suffit donc d tablir qu il existe bien un plan 6 comprenant P et parall le a Consid rons deux droites s cantes a et b du plan a et la parall le d a passant par P D apr s la proposition 2 1 12 il existe un et un seul plan 8 passant par d et parall le b Ce plan P tant parall le deux droites s cantes de a est parall le a PROPOSITION 2 1 23 Les projections sur un plan de deux droites paralleles a et b parallelement a une droite d sont sauf si a d b deux droites paralleles En ces projections sont les intersections avec des plans parall les d passant par a et b et ces deux plans sont parall les On illustre facilement sur un r seau cubique le fait que deux droites non parall les peuvent tr s bien avoir comme projections des droites parall les REMARQUE 2 1 24 D autres proprietes encore pourraient etre enoncees Par exemple de la proposition 2 1 20 et de la transitivite du parallelisme de droites on deduit trivialement que si deux droites a et b sont paralleles et si a est parallele a un plan a alors b est parallele a a Par contraposition on trouve alors que si deux droites a et b sont paralleles tout plan a qui coupe a coupe aussi b 2 1 La geometrie d incidence de l espace 67 Nous ne croyons pas formateur d accumuler des resultats tellement proches les uns des autres et d encom
226. situations exploit es dans cette section reposent sur l utilisation d un r seau cubique On peut en effet consid rer que les l ves ont d j eu tr s souvent l occasion de manipuler un cube avant d arriver dans le troisi me cycle de l enseignement secondaire Cet objet leur tant familier sa repr sentation graphique plane leur est plus facile interpr ter que bien d autres figures a priori plus l mentaires Par exemple montrer deux droites gauches sur la repr sentation d un cube en perspective cavali re poss de une signification Par contre toute repr sentation isol e de deux droites gauches est toujours aussi celle soit de deux droites s cantes soit celle de deux droites parall les et ne peut donc aucu nement contribuer l apprentissage de la lt vision spatiale gt c est dire de la capacit d interpr ter spatialement une repr sentation graphique plane De plus les l ves ont d un cube une connaissance intuitive sur laquelle nous pouvons nous appuyer pour d gager les propri t s que nous voulons mettre en vidence Nous utiliserons ainsi sans explications inutiles le fait que si deux cubes ABCDEFGH et A B C D E F G H de m me taille sont plac s de fa on que la face EFGH co ncide avec la face A B C D alors les faces ABFE et 4 B F E sont coplanaires ainsi que AEH D et A E H D etc De m me les faces ABCD EFGH 4 B C D et E F G H sont parall les ainsi que les droites AD
227. sous forme d une image de format bmp qui peut tre r cup r e dans un programme de traitement d image La bo te de dialogue suivante appara t l cran Imprimante Epson FX80 Postscript PaintJet Epson JX80 PGL2 NB DeskJet Epson LQ24 PGL2 Col Port 1 Si vous d sirez imprimer directement choisissez d abord une imprimante Commencons par d crire les sept cases qui correspondent des imprimantes en noir et blanc Si vous avez la chance d avoir une imprimante qui comprend le langage Postscript effectuez ce choix de pr f rence Le choix est opportun si vous avez une imprimante qui comprend le langage graphique PCL5 ou post rieur dont PGL2 est un sous langage C est le cas des HP LaserJet III ou post rieures Si vous avez une HP LaserJet IT ou ant rieure s lectionnez la case LaserJet A 3 Les menus 229 Les choix PaintJet et DeskJet sont videmment destin s ces imprimantes tous mod les mais si vous avez un mod le tr s r cent v rifiez s il ne comprend pas le PCL5 et le PGL2 Choisissez une des cases Epson si vous avez une imprimante aiguilles Elles sont souvent compatibles avec les Epson Les anciens mod les comportent g n ralment neuf aiguilles Dans ce cas choisissez Epson FX80 Les plus r centes en ont 24 Dans ce cas utilisez Epson LQ24 La derni re imprimante Epson pr vue est la Epson JX80 C est une impri mante couleurs 9 aigu
228. space vectoriel et de ses l ments les vecteurs Trois exemples repr sentatifs sont donn s l ensemble des complexes l ensemble des polyn mes coefficients complexes et l ensembles des n uples de complexes jug plus int ressant par l auteur La relation de d pendance lin aire vient alors suivie tr s logiquement par les concepts de base de dimension et de sous espace Avant de parler des espaces duaux Halmos propose de repr senter l image d un vecteur par une fonction lin aire par la notation x f au lieu de f x La propri t d finissant une fonction lin aire s crit alors la b x2 y a 21 f b x f L auteur pr sente ensuite des fa ons de construire de nouveaux espaces vectoriels partir de ceux que l on connait par les sommes directes les espaces quotients et le produit tensoriel Puis il parle de permutations de cycles et de formes multilin aires et altern es Le deuxi me chapitre aborde les transformations lin aires pr sent es comme tant des vecteurs elles aussi Puis viennent leurs produits polyn mes et inverses avant d introduire la notation matricielle Halmos donne d abord une d finition g n rale des matrices et puis seulement montre petit petit l utilit consid rable qu elles ont dans la repr sentation des transformations lin aires Le chapitre se poursuit avec le cort ge classique des notions qui accompagnent le sujet jusqu aux d terminants e
229. t la forme de Jordan L auteur entame alors le chapitre de l orthogonalit dans lequel il est bien oblig de donner les coordonn es d un vecteur de R dans un exemple illustrant la notation suivante Si X z1 To alors on note la distance de X l origine X 4 x1 222 De l le produit scalaire est d fini tout d abord dans R puis dans les complexes et enfin en g n ral Halmos peut ainsi parler d orthogonalit qu il d veloppe jusqu au th or me spectral C 5 Paul R Halmos Finite dimensional vector spaces 263 Le livre se termine sur un court chapitre traitant d analyse dans lequel l auteur tente d int resser le lecteur des probl mes de convergence dans des espaces vectoriels munis de produits scalaires En prenant dans un espace vectoriel quelconque muni d un produit scalaire un vecteur x et une suite de vecteurs n Halmos d finit la convergence de deux fa ons lx z 0 quand n oo n x y 0 quand n pour tout y fix dans l espace vectoriel consid r La notation x y d signe le produit scalaire de l espace consid r Cette notation peut avec prudence pour les complexes conjugu s prendre la place de la notation x f car a toute fonction lin aire f sur l espace consid r correspond un unique vecteur y tel que x y x f pour tout x Dans ce dernier chapitre l auteur aborde pour finir le th or
230. t amen s devoir s en servir concr tement dans des contextes divers 1 1 La problematique 19 De telles difficult s doivent pouvoir se dissiper si on en revient aux sources m mes de l alg bre lin aire Il existe en effet des chemins qui vont de la g om trie vers l alg bre lin aire sans r duire pour autant le cours de g om trie une illustration dess ch e des notions d alg bre lin aire 20 1 Analyse theorique La premi re partie de notre travail consiste en un expos qui claire les difficult s propres l enseignement de la g om trie de l espace et contribue les r soudre par l introduction de notions d alg bre lin aire qui facilite la transition entre l enseignement secondaire et l en seignement sup rieur en ce qui concerne l apprentissage des modes de pens e particuliers de l alg bre lin aire et dissipe ainsi les malentendus signal s plus haut En ce sens on y entendra parler sans arr t de points de droites de plans d incidences de parall lisme de perpendicularit de distances d angles de surfaces de volumes de transformations et des relations que tous ces objets entretiennent entre eux mais on y entendra parler tout autant de la mani re dont on am ne tous ces objets la port e du calcul de la signification de ce calcul et des avantages g om triques qu on en retire Il y a enfin au coeur de notre projet la volont de convaincre de la pertinence
231. t de s quences d enseignement 1 2 Les grands themes 21 Les trois grands axes de notre coordination alg bre lin aire g om trie tels qu ils ont t sommairement d crits la fin de la section pr c dente vont tre abord s dans la suite travers huit th mes fondamentaux fortement reli s entre eux not s I VIII et auxquels pourraient s ajouter deux th mes annexes IX et X 22 1 Analyse theorique La mise en vidence de l aspect g om trique de l alg bre lin aire s organise sur base de certains pr requis qui ont en g n ral fait l objet d un enseignement syst matique dans le second degr de l enseignement secondaire Ces pr requis peuvent tre regroup s sommairement en quatre rubriques Les syst mes d quations lin aires l mentaires L l ve aura rencontr diff rentes situations g om triques ou autres qui d bouchent sur un syst me d quations du premier degr deux trois ou encore plus d inconnues Il s agit en r gle g n rale de syst mes coefficients num riques d o la qualification d lt l mentaires gt L l ve sera en mesure de r soudre de tels syst mes et d interpr ter la solution obtenue dans le contexte du probl me consid r La g om trie affine plane L l ve aura une connaissance suffisante des r sultats de base de la g om trie affine du plan propri t s d incidence et de parall lisme configurations g om triques l m
232. t encore une fois pour les m mes raisons que dans le cas des bivecteurs l hypoth se d orthonormalit n a plus rien d essentiel dans l interpr tation de cette formule Enfin on appelle determinant des vecteurs U V W par rapport E1 Ez Ez et on note D t U V W le nombre r el d fini par UAV AW D t U V W E1 A Ez A Es Une telle d finition permet d obtenir toutes les propri t s usuelles du d terminant par tir de raisonnements g om triques en termes de volumes Il n y a videmment aucune difficult suppl mentaire pour d finir pareillement la notion de d terminant 2 x 2 1 2 Les grands themes 39 A la suite de ce qui pr c de l tude des syst mes d quations lin aires n est plus qu un exercice de g om trie On se limite dans la suite l tude des syst mes de deux quations deux inconnues qui permet d j de voir l uvre toutes les notions introduites depuis le d but Dans l approche g om trique les situations plus de deux inconnues n offrent pas de difficult substantiellement nouvelle pour la simple raison que la g om trie montre clairement le chemin suivre et qu il est d ailleurs d j tout trac On consid re le syst me 41101 012 bi 4911 02229 b2 On peut l crire vectoriellement si Ey et Ea sont deux vecteurs lin airement ind pendants on introduit les vecteurs colonnes gt Aj au E az Ez A2 aja Ej a22
233. t mieux appara tre le fait qu une droite est d termin e par deux points et d autre part remet en m moire les deux interpr tations d un triplet de nombres comme point et comme translation 80 2 Les sequences d enseignement Dans cette fiche galement nous conservons la situation de la fiche N 4 a D terminer les cordonn es de tous les points dont la projection est situ e sur la droite AV b Soient N P et Q trois points distincts de l espace On consid re la droite d passant par N et parall le PQ Trouver l quation vectorielle du plan passant par d et parall le UV 2 2 4 1 Solution comment e Reponse a la question a La droite AV est distincte de la droite UV les activit s rencontr es dans le th me A ont montr que l ensemble des points recherch s est un plan parall le la droite UV et contenant la droite AV Ce plan est appel plan projetant de la droite AV axe OZ axe OX L id e qui permet de r soudre le probl me est de faire pour tous les points situ s sur la droite AV ce qui a d j t r alis dans la fiche N 5 pour un seul point du plan OXY Mais cela n cessite au pr alable de d crire l ensemble des coordonn es des points de la droite AV Nous pouvons appliquer la remarque finale de la fiche N 5 la droite AV est la droite passant par A et parall le AV Par cons quent un point Q appartient AV si et seul
234. t que deux vecteurs pd et 73 sont gaux si le centre de la paire ps est le m me que celui de la paire gr ce quoi il attribue le caract re g om trique de la relation d galit vectorielle Soumis une isom trie f de Cp deux vecteurs p et r gaux restent des vecteurs gaux f p f q et f r f s Cette condition d galit revient dire que les coordonn es des deux vecteurs sont gales Cette relation d quivalence permet de former des classes de vecteurs que Borsuk nomme vecteurs libres ou encore vecteurs Il appelle verseur un vecteur de norme 1 et zero le vecteur nul D 2 Quelques presentations du concept de vecteur 273 Serge Lang est devenu l usage une r f rence classique Le premier chapitre de son lt Alg bre lin aire gt est consacr aux vecteurs Il commence par situer le lecteur dans un espace de dimension n mais revient bien vite la dimension 2 pour plus de facilit C est dans ce cadre qu il donne une premi re d finition du vecteur lie comme tant un couple de points repr sent par une fl che entre les deux points Deux vecteurs li s AB et CD seront equivalents si B A D C il s agit ici d addition de coordonn es de points Cette quation repr sente un syst me ayant autant d quations qu il y a de dimensions en l occurrence deux On appellera vecteur un vecteur li l origine du rep re choisi tout vecteur li est quivalent un vecteur Un n u
235. t une rotation comme les autres et qui est elle d angle nul et d axe quelconque on a obtenu ainsi 9 6 8 1 24 rotations Elles laissent le cube globalement invariant et il n y en a pas d autres qui fassent de m me Avertissement Lorsqu on tudie l effet d une rotation donn e sur le cube il faut videmment lt garder en m moire gt une trace de la position ant rieure du cube A cet effet on convient de NE PAS faire tourner le REP RE form par les trois points I J et K En accord avec cette convention les lettres 7 J et K sont exclusivement r serv es dans la suite aux points qui d terminent ce rep re Ces points et leurs combinaisons lin aires EN TANT QU ILS D TERMINENT CE REP RE OU SONT LI S CELUI CI ne sont donc PAS affect s par les rotations et restent TOUJOURS fixes Mais consid r s en tant que points li s au cube ils subissent alors l effet de la rotation Le bon sens et le contexte des questions devraient permettre de ne pas tre gar par ces abus de langage Reponse a la question b Tant qu on se limite aux rotations cubiques il n y a pas de grandes difficult s v rifier que la compos e de deux telles rotations est encore une rotation cubique An de de 2 p2r 3 A at V rifions le en tudiant la transformation compos e R a K oR qui sera provisoirement not e A c B E A D A F R o J E 0 Goo F O dd D H Gu C RP G F pue
236. terminant tant reprises galement dans les commentaires et prolonge ments 152 2 Les sequences d enseignement On consid re les points 2 1 1 E l1 V 12 4 W I 1 1 1 2 a D terminer le volume du prisme de c t s OU OV et OW b Plus g n ralement si U V et W sont trois points quelconques de l espace d terminer le volume du prisme de c t s OU OV et OW en fonction des coor donn es de U V et W OY 2 5 2 1 Solution comment e On sait que le volume d un prisme se calcule gr ce la formule aire d une base x hauteur correspondante Il s agit donc de calculer L aire du parall logramme OU PV 2 5 Produit vectoriel volume et determinant 153 La longueur du segment W H o H est le pied de la perpendiculaire issue de W au plan OUV OY OX Aire du parall logramme OU PV On obtient l aire du parall logramme O PV gr ce la formule aire OU PV base x hauteur U V sin VOV On en d duit aire OUPV UI VI sin UOV UI JV 12 4 cos UOV UV JU I I1V 7 cos VOV UIP 1Vf U e V D s lors si u V U w et V vw u3 U3 alors la forme pr c dente devient aire OU PV u ul u2 v v2 43 uv uw uzv 2 2 2 2 2 2 272 2 2 2 2 UU UV UU UU UIUI UIUI 154 2 Les sequences d enseignement 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 UZVI UZVI UZUz UU
237. terminer l heure solaire moyenne en appliquant une correction appel e equation du temps l heure solaire vraie La courbe donnant l quation du temps est grav e sur certains cadrans solaires Dans ce chapitre nous ne nous pr occuperons pas des corrections appliquer au temps solaire vrai pour d terminer le temps solaire moyen puis le temps officiel Nous nous contenterons de d crire un cadran solaire fournissant le seul temps solaire vrai Cela revient admettre que la terre et le soleil occupent des positions fixes dans l espace la terre se contentant de tourner sur elle m me en 24 heures Comme il est d usage nous admettrons aussi que le soleil est suffisamment loin pour que tous les rayons solaires puissent tre consid r s comme parall les 4 2 Ou est le soleil 211 Puisque nous ne nous int ressons qu au mouve ment de rotation diurne de la terre nous admet N trons que l axe de cette rotation est fixe De cette chu fa on les rayons solaires ayant toujours la m me direction l angle entre ceux ci et l axe de la terre ne change pas au cours d une journ e T Mais pour un observateur terrestre situ en P ce n est pas la terre qui tourne autour du soleil en un jour c est le contraire Le soleil est pour lui anim d un mouvement journalier que l on qualifie d apparent o Puisque l angle entre le rayon solaire arrivant en P et la direction de l axe de la terre est
238. tion de vecteur pour faire percevoir le caract re unificateur de cette notion Cela fait les l ments fondamentaux de la g om trie de l espace tels que rappel s dans le TH ME I sont disponibles pour ce lt calcul g om trique gt qui tait le r ve de LEIBNIZ 1 2 Les grands themes 27 Le produit scalaire est souvent per u comme li aux seules questions de perpendicularit dans l espace Le produit scalaire fait bien s r mieux que cela il r gle la question de la mesure des angles quelconques dans l espace La notion m me de produit scalaire est une cons quence imm diate du th or me de Py thagore g n ralis et du calcul du module d un vecteur en terme de ses composantes De mani re un peu plus pr cise si on travaille dans un syst me de coordonn es ortho gonales d origine O et si on consid re les points A de coordonn es a a2 a3 et B de coordonn es b1 b2 b3 le th or me de Pythagore g n ralis dans le plan d termin par A O et B fournit la relation b1 a bo ao b3 as a a2 a2 02 02 02 2 0A OB cos AOB d o on tire imm diatement IOA OB cos AOB a1 bi az bz az bs La richesse remarquable de cette relation et en particulier le fait que le membre de gauche soit ind pendant du choix d un syst me de coordonn es pourvu qu elles soient orthogo nales justifie qu on attribue un nom particulier la quantit
239. tions Cette m thode consiste construire et tudier la figure associ e au probl me dans un r seau cubique lt bien adapt gt La pr sence de ce r seau cubique permet de mieux visualiser la position relative des objets points droites plans tudi s En particulier les plans et les droites se prolongent plus naturellement les faces du r seau servent de support aux constructions et des m thodes de r solution sont sugg r es Un exemple simple est celui du point de perc e dans une face d un cube d une droite d finie par deux points situ s dans deux autres faces de ce cube la solution habituelle quivaut l usage de coordonn es cubiques Il est bien clair que le seul usage de r seaux cubiques ne permet pas de r soudre simplement tous les probl mes l mentaires de g om trie de l espace La g om trie de la mol cule de m thane est un exemple simple de probl me non cubique Mais la technique cubique se transpose sans grand mal on sait en effet quel r le privil gi est d volu l orthogonalit dans la g om trie du t tra dre r gulier C est travers l orthogonalit que la technique cubique se prolonge De plus on observe assez facilement que m me des r seaux non orthogonaux se mani pulent sans difficult suppl mentaire notable et pr sentent les m mes avantages Le recours des r seaux cubiques et la place r serv e l orthogonalit permettent de pr parer la mis
240. tions et les r sultats suivants A propos des op rations sur les coordonn es Deux op rations ont t d finies sur les colonnes de coordonn es L addition a d a d b e b e c f c f La multiplication par un nombre r el a k a k b kb c k c Les deux op rations s effectuent composante par composante Elles jouissent des propri t s usuelles de l addition de deux r els et de la multiplication d un r el par un r el fix savoir Associativit de l addition 0 Existence d un neutre ici il s agit de la colonne 0 0 a a Existence pour tout l ment b d un oppos b c C Commutativit de l addition Associativit de la multiplication par un r el Distributivit de la multiplication par un r el sur l addition Distributivit de l addition sur la multiplication par un r el La multiplication par 1 est l identit On peut figurer les calculs sur les points repr sentant les colonnes de coordonn es en leur appliquant les r gles de calcul rappel es ci dessus 84 2 Les sequences d enseignement Dans ce contexte on appelle translation d finie par le point b l op ration qui consiste additionner un point quelconque le point De m me si k est un nombre r el on appelle homoth tie de rapport k l op ration qui consiste multiplier un point quelconque par k A propos de vecteurs
241. tisymetrique c est dire UxV VxU Cette antisym trie implique UxU 0 Mais on a aussi plus g n ralement UxV 0 lt 0 U et V sont align s On d duit par exemple de ces propri t s que d s que les trois points O U et V ne sont pas align s alors U V U x V est une base de l espace point en O et que si U V est une base orthonorm e d un plan contenant le point O alors U V U x V est une base orthonorm e de l espace point en O Orientation dans un plan La propri t d antisym trie du produit vectoriel permet de d finir une notion d orientation dans un plan de la mani re suivante On appelle axe dans l espace toute droite munie d un rep re On note O P l axe obtenu en munissant la droite OP du rep re pour lequel O est le point d abscisse O et P est le point d abscisse 1 Si O P est un axe et II un plan contenant le pointO et perpendiculaire l axe on dit qu une base de IT d finit uneorientation positive de ce plan par rapport l axe si le produit vectoriel U x V est un multiple positif de P O P On dit alors aussi que le plan II estoriente conformement a l axe par le choix de la base U V Dans le cas o le produit vectoriel U x V est un multiple n gatif de P O P on dit que la base U V d finit une orientation n gative du plan IT par rapport l axe ou que le plan II estoriente contrairement a l axe par le choix de la base U V La propri t d ant
242. tite exp rience Consid rons deux b tons plac s perpendiculairement une table et une lampe plac e sur cette table une hauteur plus grande que la taille des b tons lampe Nous observons une projection centrale dont le centre de projection est la lampe En prolongeant mentalement les ombres P Q et R S des b tons PQ et RS nous obtenons deux droites a et b qui se rejoignent la verticale de la lampe A pr sent loignons la lampe de plus en plus des bases Q et S des b tons Le point d intersection des droites a et Y s loigne en cons quence et les droites a et b tendent ainsi de plus en plus tre parall les de m me que les droites a et b Dans ce cas extr me on parle de projection parall le ou affine Les ombres au soleil de segments verticaux sont donc parall les De mani re plus g n rale la projection sur un plan a d un point P parall lement une droite d est le point d in tersection avec a de la parall le d passant par P Une telle projection conserve le parall lisme des droites REMARQUE 2 1 1 Les ombres au soleil ou a la lampe ne conservent pas en general les distances Les ombres au soleil contrairement aux ombres a la lampe conservent les rap ports des longueurs de segments paralleles Mais ni les ombres au soleil ni les ombres a la lampe ne conservent les rapports des longueurs de segments quelconques 2 1 La geometrie d incidence de l espace 49 Les
243. torielle l mentaire III Produit scalaire IV Nombres complexes et rotations du plan V Rotations de l espace VI Volume produit ext rieur et d terminant VII Syst mes d quations lin aires g om triques VIII Matrices et composition des transformations Il s y greffe deux th mes annexes IX G om trie de la sph re X G om trie projective La suite est consacr e une description un peu plus d taill e de ces divers th mes pris l un apr s l autre Cette description n est pas exhaustive on s y est limit mettre en valeur certaines constructions et certains r sultats qui refl tent mieux que d autres les orientations caract ristiques du projet Les th mes tant reli s les uns aux autres par un grand nombre de relations un diagramme r sumant leur organisation logique est fourni la page 44 24 1 Analyse theorique Notre objectif est de rappeler les r sultats l mentaires de g om trie affine de l espace caract risation de points droites plans incidences parall lismes notions de perpendi cularit Le probl me des ombres au soleil ou des projections parall les fournit l occasion de mettre cet ensemble de r sultats en situation Mais ce probl me n est pas trait de mani re tout fait classique On propose une m thode simple de repr sentation des objets de l espace qui permet d installer une intuition r elle des propri t s et de sugg rer des solu
244. tr mit du style nous saurons approximativement quelle est la d clinaison du soleil donc la date 218 4 Construire un cadran solaire Nous avons d termin la valeur de R H tg p teptg H 1 cos H tgptg cos H H COS Ro H Rs H A tg tg y cos H y Remarquons imm diatement que cette formule montre en particulier que les points R H et Ro H sont align s avec l origine quel que soit ce qui confirme qu une heure d termin e la direction de l ombre du style est la m me tous les jours de l ann e Int ressons nous aussi au d nominateur tgytg cos H Il peut tre nul si cos H teytg Si le d nominateur est nul c est que le point R H se trouve linfini Plus pr cis ment rappelons nous que R H est le point de perc e de la droite PQ H dans le plan Dire que le d nominateur est nul signifie que le rayon du soleil est parall le au plan horizontal donc qu il est lui m me horizontal Cela se produit au lever et au coucher astronomiques du soleil pour autant que le soleil se l ve et se couche n oublions pas l existence du soleil de minuit Les solutions ventuelles de l quation cos H tgytg sont donc les heures de lever et de coucher astronomiques du soleil emplacement du cadran solaire Par exemple la latitude y 50 latitude approximative des ardennes belges le jour du solstice d t 4 2327 les heures de lever
245. u ils soient dans OXY ou non Ainsi y g ou 3x 4y est aussi une quation cart sienne du plan 6 2 3 3 2 Commentaires et prolongements Equation cart sienne d un plan passant par l origine Nous venons d obtenir deux exemples de relations liant les coordonn es d un point quel conque situ dans un plan passant par l origine En g n ral une telle relation est du type ax by cz 0 o a b et c sont des r els fix s Nous appellerons une telle relation une equation cartesienne du plan consid r Comme c est le cas pour les quations vectorielles rencontr es pr c demment une quation cart sienne doit tre interpr t e comme l abreviation d une equivalence logique dire que ax by cz 0 est une quation cart sienne d un plan a signifie tr s exactement M y eaocar by cz 0 Montrons que la r ciproque est galement vraie une quation de ce type est l quation d un plan pour autant que l un au moins des nombres a b c soit diff rent de 0 1 Dans un premier temps supposons c 0 On a alors ar by cz 0 gt z r y 96 2 Les sequences d enseignement lt y y 2 la y z 1 0 lt gt y r 0 y 1 Ceci montre que la relation ax by cz 0 est une quation cart sienne du plan 1 0 passant par l origine et par 0 et 1 a b Remarquons que si a 0 le plan d quation by cz 0 contient laxe OX De m me si b 0
246. u soleil mouvement qui s effectue en approximativement 365 25 jours Ce mouvement induit un d coupage du temps en ann es Le d coupage en mois n est pas d au mouvement de la terre mais bien celui de la lune Le fait que l ann e ne comporte pas un nombre entier de jours est la raison des difficult s rencontr es pour fixer un calendrier L volution du calendrier depuis l antiquit jusqu nos jours est un sujet qui comporte des aspects math matiques int ressants mais que nous n aborderons pas ci dessous Nous nous int resserons uniquement au mouvement de rotation diurne et au d coupage du jour en 24 heures qu il permet de d finir Le principe est simple et bas sur le fait que pour un observateur vivant la surface du globe terrestre tout se passe comme si c tait le soleil qui tournait autour de la terre en un jour plut t que la terre autour du soleil L intervalle de temps separant deux passages consecutifs du soleil dans le plan meridien d un lieu donne de nit ce qui est appele le jour solaire vrai Les cadrans solaires classiques L Astronomie 419 428 1983 4 1 Introduction 209 Rappelons que le soleil ne passe pas la verticale de tous les points de la terre En fait il n est jamais la verticale que de points situ s entre les deux tropiques c est dire des points de latitude comprise entre 23 27 et 2327 De plus il ne passe la verticale d un de ces points qu au maximum deu
247. uation ux vy wz q obtenue par combinaison lin aire des deux pr c dentes c est dire toute quation pour laquelle on peut trouver deux r els k et l tels que u ka las v kb T lba w kc le q kdi ldz En effet si de tels nombres k et 1 existent on a videmment quel que soit le point z P y ded Z ux vy wz k aix biy c12 l azx bay c22 kdi lda q Donc ar biy 12 di a bay C22 da ur uy 0 4 L interpr tation g om trique de cette implication est claire le plan d quation ux vy wz q contient la droite intersection des plans a et B d quations respectives aix biy C2 di et aox bay c22 da Il se fait et c est la cl de la r ponse notre probl me que r ciproquement tout plan passant par la droite intersection des deux plans a et 5 poss de une quation cart sienne qui est combinaison lin aire de celles de ces deux plans La v rification de cette propri t utilise le fait que les deux quations cart siennes donn es ne sont pas proportionnelles puisqu elles sont celles de deux plans s cants L un au moins des nombres abs a2b1 410209201 b1C2 b2c1 est donc diff rent de z ro Admettons qu on ait a1b2 a2b 4 0 Dans ce cas la droite d n est pas horizontale En effet la condition amp 1b2 a2b1 0 entra ne que le syst me de deux quations lin aires en deux inconnues l a
248. ui correspondant aux tranches 7 _ et Tr n les termes se regroupent par paquets de 4 En tenant compte de ce que les charges situ es en les point de C sont positives pour n pair et n gatives pour n impair nous obtenons les r sultats suivants 1 Champ engendr par Ti p 2 Champ engendr par Th n 3 5 Et le champ correspondant a la couche n n 205 3 Champ engendr par Tax n 1 lt k lt n 1 Cette tranche a la forme d un carr Nous calculerons d abord l influence de l un des c t s de ce carr en n y incorporant qu un seul sommet k k k Consid rons donc les points n k n kl 1 1 0 1 n k 1 k Leur forme g n rale est n k h o h varie de 0 n k 1 La distance h de ce point P 0 vaut x k n k h h et le champ cr en 0 P est uk iy l PEN CS TT Lorsqu on prend en compte les quatre c t s du carr on note que la situation est invariante par une rotation de 90 autour de laxe OX Il en r sulte que dans le calcul de T les composantes selon OY et OZ s annulent et que la composante selon OX vaut quatre fois celle qui r sulte de la consid ration d un seul c t Ainsi n k 1 k Fn 4 1 n k 2 x e k n Z Ikl h de h2 3 2 O O e L intensit de la force F est ainsi donn e par la fonction a 1 1 A x k EN G n 4 Z 2 ak mkh ze An
249. un ensemble de formes lineaires que nous pouvons appeler lt proportionnelles gt Il s agissait dans la pr sente fiche d tablir que r ciproquement toute forme lin aire L x y z gt ax by cz est en effet associ e de la fa on qui vient d tre indiqu e un projecteur sur une droite OC parall lement un plan que nous noterons a Nous d signerons ce projecteur par la notation simplifi e Pr D Le rep re sur la droite OC tant bien choisi pour P y la valeur de L P L x y 2 est exactement l abscisse de la projection de P sur OC Si le point C est le point d abscisse 1 de la droite OC on a donc Comme dans les commentaires de la fiche 11 notons y le plan parall le a comprenant l origine c est dire le plan d quation ax by cz 0 Nous noterons aussi p le plan parall le a comprenant un point P Ainsi le plan ay est l ensemble des points dont l image par la projection Pr proj 9 e est l origine O Et ap est l ensemble des points qui ont m me projection que P sur OC Plusieurs constatations sont imm diates Par exemple du th or me de Thal s r sulte facilement que pour tout r el h l abs cisse du point Pr hP est h fois l abscisse de Pr P ce que nous pouvons crire Pr h P hPr P Le calcul suivant est encore plus imm diat L h P a hx b hy c hz h ax by cz hL P 122 2 Les sequences d enseignement Les deux r sultat
250. ur consid re le plan lt ordinaire gt dans lequel on fixe une origine Puis il consid re toutes les fl ches issues de cette origine dans le plan Une fl che est caract ris e par ses extr mit s c est donc un couple ordonn de points On appelle vecteur une fl che ayant l origine comme point initial Il y a une bijection entre les vecteurs et les points du plan Les fl ches parall les celles qui partent de l origine repr sentent aussi des vecteurs Kuiper introduit alors la somme et la multiplication scalaire comme des conventions respecter D 2 Quelques presentations du concept de vecteur 269 Le vecteur est introduit comme tant un l ment d un espace vectoriel donn comme tant un ensemble v rifiant huit axiomes bien connus Cette fa on de voir les choses est assez classique mais n aide pas toujours l tudiant Citons la Commission Romande de Math matique qui dans son Fundamentum d Algebre Lineaire pr ne galement cette d finition du concept de vecteur Paul R Halmos donne lui aussi une d finition semblable 270 D Le concept de vecteur Le but de Hochtrasser n est pas d introduire la notion de vecteur mais de faire des rappels et d veloppements de parties de l alg bre des matrices Consid rons une rotation dans l espace R x x cos 0 y sin 0 0 z y x sin 0 y cos 0 0 z z O x O y z Sa matrice est cos sin 0 R 0 0Z sin0 co
251. urant laquelle le soleil et le style se trouvent du m me c t de la table c est dire de l quinoxe de printemps celle d automne pour les lieux situ s dans l h misph re nord Il n est pas non plus utilisable aux moments des quinoxes puisque la cotangente de 0 n tant pas d finie le point Q H ne l est pas non plus 4 4 Ou est l ombre 215 Il est sans doute plus facile d installer un cadran horizontal qu un cadran quatorial puisque sa table est horizontale Nous pouvons assez facilement trouver l quation du plan horizontal passant par l origine la base du style par rapport au syst me d axes choisi pr c demment En effet le plan XOZ est le plan m ridien et l axe OY est situ dans le plan horizontal De plus l angle de l axe OZ avec le plan horizontal est la latitude du lieu L quation du plan horizontal est donc x COS zsin y 0 COS D Un vecteur normal au plan est le vecteur N 0 sin Y Au paragraphe pr c dent dans le cas o le soleil n est pas dans le plan de l quateur 9 4 0 nous avons d termin l ombre Q H de l extr mit du style le point P sur le plan perpendiculaire au style Pour trouver l ombre de P sur le plan horizontal il suffit de d terminer l intersection de la droite PQ H et du plan C Nous utiliserons dans ce but l quation vectorielle X P s Q H P o s R de la droite PQ H Dans le cas o 0
252. ures spatiales plus g n rales sont limit es Trois modes de repr sentation sont disponibles la perspective centrale la projection orthogonale et la perspective cavali re tout moment il est possible de modifier en continu les param tres de la repr sentation choisie ce qui revient par exemple faire tourner l objet repr sent sous les yeux de l observateur Ce proc d devrait se r v ler une aide puissante pour former la perception spatiale de ceux qui prouvent des difficult s lt voir dans l espace gt Par ailleurs les figures apparaissant l cran peuvent tre imprim es sans difficult ce qui constitue un moyen simple de fournir aux l ves des figures de base de bonne qualit figures qu ils peuvent compl ter selon les activit s r alis es en classe Le programme Reseau exe est un programme DOS qui doit pouvoir fonctionner sur n importe quel ordinateur PC IBM ou compatible disposant d une carte graphique VGA Il est cependant conseiller d utiliser une machine assez rapide En particulier les routines permettant de faire tourner les objets l cran n cessitent beaucoup de calculs entre deux dessins successifs Les ordinateurs quip s d un processeur ant rieur au mod le 486 ne donneront pas sur ce point de r sultat satisfaisant Quant l impression les meilleurs r sultats seront obtenus avec des imprimantes de type postscript ou des imprimantes comprenant le langage PCL5
253. x X Cxl e Cy Y Cy Cy Cy X Cx e Y Cy Cy e Cy H Cy e Y Cy puisque X Cx H Cy ce qui ach ve d tablir l invariance du produit scalaire pour les rotations de l espace Cette invariance traduit en partie l image intuitive d une rotation de l espace comme mouvement rigide lors d un tel mouvement ni les longueurs ni les positions relatives des objets ne peuvent changer REMARQUE 2 6 2 Il faut prendre garde a ce qu une transformation de l espace qui laisse invariant le produit scalaire n est pas necessairement une rotation En anglais le terme lt rigid motion gt est traditionnellement reserve aux rotations de l espace 2 6 Les rotations de l espace 169 Probl me Dans un syst me d axes orthonorm centr en un point O on consid re le cube dont les trois points sont des centres de faces a D crire toutes les rotations de l espace qui laissent ce cube globalement inva riant on qualifiera d sormais une telle rotation de lt cubique gt Expliciter l image T1 d un point quelconque X z par une telle rotation T3 b Comment ces rotations se composent elles Expliciter l image d un point quel T conque X x par une telle composition T3 c Comment ces propri t s de composition permettent elles d exprimer 1 ensemble de toutes les rotations cubiques partir d un sous ensemble le plus petit possible de telles rotations Exp
254. x fois par an C est donc le passage du soleil dans le plan m ridien qui sert de r f rence Rappelons donc aussi ce qu est le plan m ridien d un point de la terre Le plan meridien du point P situe a la surface de la terre est le plan passant par P et par l axe de rotation de la terre A pr sent nous pouvons d finir correctement le jour solaire vrai Le jour solaire vrai est l intervalle de temps separant deux passages consecutifs du soleil dans le plan meridien d un lieu donne Au moment o le soleil est dans le plan m ridien d un point P on dit que qu il est midi vrai gt s il fait jour ou lt minuit vrai gt s il fait nuit La d finition est parfaite et il ne reste plus qu trouver un moyen par exemple un cadran solaire de d couper ce jour solaire vrai en 24 heures pour pouvoir d terminer l heure Cette d finition comporte cependant un inconv nient l heure d pend du lieu Deux points n ont la m me heure que s ils ont le m me plan m ridien c est dire s ils ont la m me longitude Si cet inconv nient tait faible tant que les hommes et les femmes restaient dans leur village il est devenu majeur d s lors que les activit s humaines impliquent des d placements fr quents et importants De l ont r sult au dix neuvi me si cle l adoption d un temps de r f rence celui du m ridien de Greenwich et le d coupage de la surface terrestre en fuseaux horaires Ce n est donc pas
255. x o Re z k 1 ss En 2 a k y n k h 2 i ar Pour des valeurs particuli res de n on peut l aide d un bon logiciel de repr sentation graphique dessiner cette fonction sans difficult 206 3 Un reseau cubique electrique Dans ce qui pr c de nous avons choisi d examiner les champs cr s par des parties du r seau ayant la forme d un octa dre L avantage tait que tous les points du m me couche taient munis de charges de m me signe De plus chaque couche tait constitu e des points situ s une taxi distance d termin e de l origine Rien ne nous emp che de consid rer d autres configurations En regroupant les points du r seau par exemple selon leur distance euclidienne l origine Les couches sont alors sph riques selon la valeur de leur plus grande coordonn e en valeur absolue On obtient des couches cubiques selon des plans passant par l origine Les configurations int ressantes sont nombreuses On peut aussi examiner le champ cr en un point situ ailleurs que sur un axe Les calculs seront plus complexes Mais dans tous les cas les id es appliquer ne seront gu re diff rentes de celles que nous venons de rencontrer 4 1 4 2 4 3 4 4 Introduction poes 44 Led Du Da Da D Ra DR 208 UE E SS ca Lise du sa vus s en eee nues 211 Les cadrans solaires classiques 212 Ouest PORT ancora ride A AA 213 44 1 Lescadrans EQUILo
256. y sur Si cette translation s crit u u PH P v le point v appartient a en tant qu image de l origine par la w w translation De plus x x x Tu y lea 3 y o0m l y l y 1 vu lt gt y v a z i z z w z w Si ax by cz 0 est une quation cart sienne de ay on a donc x y Ea gt a x u b y v c z w 0 z lt gt az by cz au bv cw Le second membre tant une constante une quation cart sienne de a est du type ax by cz d 98 2 Les sequences d enseignement o de R Nous avons vu qu un plan comprenant l origine peut tre caract ris par une infinit d quations d finies un facteur pr s Il en est clairement de m me dans le cas des plans ne comprenant pas l origine D une part tout point de a qui v rifie l quation ax by cz d v rifie aussi kaz kby kez kd D autre part si les quations ax by cz d et ax b y cz d caract risent toutes deux le plan a alors le plan parall le a passant par l origine est d termin par ax by cz 0 aussi bien que par a x b y z 0 Ces deux quations sont donc proportionnelles il existe k 4 0 tel que a ka b kb c kc Montrons qu on a alors z aussi d kd si P y est un point quelconque du plan on a 2 d ax by cz ka x kb y kdz k a x b y cz kd Nous dirons encore que les quations ax by

L`algebre lineaire au troisieme degre du secondaire

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