Introduction de la notion d`équation différentielle :
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1. recueil de donn es exp rimentales par l interface CBL 2 traitement de ces donn es dans l diteur de listes et l application graphique de toute calculatrice utilisation pour la m thode d Euler du tableur CellSheet support par les calculatrices TI 89 92 plus et Voyage 200 ou de programmes simples sur toute calculatrice L introduction en terminale scientifique de l quation diff rentielle y ay b et sa r solution sont propos es ici par une approche compl mentaire en sciences physiques et math matiques des r sultats exp rimentaux sont utilis s pour la mise en place d un mod le th orique les pr dictions permises par ce mod le sont ensuite confront es aux donn es exp rimentales en vue de valider la pertinence du choix de mod le Ce travail commun souhait par les instructions officielles a t amorc lors des journ es d t T 2002 Les exp riences retenues pour cette pr sentation ont t choisies avant tout pour leur simplicit de mise en uvre et l int r t de leur mod lisation l utilisation dans le cours de math matiques de relev s de mesures relatifs un ph nom ne connu peut permettre d introduire avec plus de facilit les objets math matiques nouveaux que sont quation diff rentielle et fonction exponentielle enrichis par l exploitation qui en est faite dans le cours de physique Plusieurs sc narios peuvent tre envisag s le professeur de math matiques peut con2. st s A8 On observe que la d croissance du taux de variation ag E fonction du temps t est d abord rapide puis de plus en plus lente b L hypoth se du physicien et sa confirmation exp rimentale A0 4 p A chaque instant le taux de variation re d pend de l cart r siduel entre la 4 TP et TS nnr Texas Tnetmimente temp rature courante et la temp rature finale correspondant l tat d quilibre thermique de la sonde dans la main 61 32 5 degr s Celsius a gt AG Le physicien met l hypoth se que le taux de variation At est proportionnel l cart 0 OL la constante de proportionnalit k d crivant la nature du contact thermique entre la a AG f sonde et la main At k 8 98 Cette hypoth se est coh rente avec l tat final lorsque tt DE 14 A la temp rature 8 atteint la temp rature d quilibre 8L l volution est achev e a est nul f a r AO z L hypoth se revient donc dire la d croissance a en fonction de la temp rature 8 suit un mod le affine Cherchons une confirmation exp rimentale de cette hypoth se avec le graphe L2 L3 accompagn d une r gression lin aire A Frj Tsve Jrgrhe onore Nuages trayi Mara as Croix gt Emme COOL CT LITE m ut Aane E E E tit frea ek cateSor gt NDW DER D AANE Laine PENSE TRE TIGE LAC ARE g La corr lation de la r gression lin aire est forte l ad qu
3. CS 2 x02 GERPH 12 r r Zil xatsiixenlot2 v atstiyes tot var ibt xatsiixcpiott vatsiivephoti TE nN a xattisxcriclr vattihucr Jot Grat Lt 2 HU vratsiiventoti a Jitz gsm y4 f Y T F3 Y Fu TFS A TroctikegrarhiMathidessiiray itinesomjrraceleesr ornlmarpeskrak ikinlesomlrr aceltesr arnan peska Construction par la m thode d Euler de la repr sentation graphique approch e sur 0 1 6 de la fonction f telle que f x 5 et f 1 0 FMAREErE po A B E EUREEN 21 11 611 Ll E EEE ERNEA LS li 3l ze4242 j 769231 AD MIT IL SORA RENE HR VE Es x atsisx cp lot v ats1sseplott Grat Eeri HOt NXEDIORZ va HER tot Grat 2 otiix chlore satsisvep totz Grar x Ps viatsisvertons yir 2 IT ry2 1in x B Ep ___ 1 x fn f ca EEI a E _ i 3 LS a Doit A enamn A Sdi a SSEL C2 Z Annexe C TP Euler 2 Document l ve Construction approch e par la m thode d Euler de la courbe int grale des I quations diff rentielles y y ety ay b l aide du tableur CellSheet Objectif on se propose de construire point par point et de fa on approch e la repr sentation graphique amp d une fonction f satisfaisant aux conditions f xo Yo et f af b a b xo Yo sont des nombres r els a 0 1 _L quation diff rentielle y ay b a En utilisant la m thode d Euler montrer que f xoth F xo 1 a h b h Trouver de
4. 1 20903 alors que a 0 917 Cela provient du fait que les nombres a et a ont t choisis et d finis par des approches diff rentes le r el a de l quation diff rentielie mod lisant l volution de temp rature a t obtenu par r gression lin aire d un nuage de points paragraphe 2 b le r el a mod lisant f sous la forme f n a n entier naturel puis f x a x r el positif paragraphe 4 c a t obtenu par lecture graphique ou num rique de ia demi vie de l volution de F On per oit bien la t che du chercheur physicien math maticien qui essaie de trouver d une part un mod le pertinent pour d crire un ph nom ne volutif ici une quation diff rentielle y a y b d autre part des coefficients num riques permettant d expliciter ce mod le l quation diff rentielle tant mise en place sa r solution consiste expliciter son unique solution Cette tude peut faire l objet d un travail la maison 11 TP et TS noir Toxne Tnetrinments 5 Conclusion Cette approche p dagogique de l quation diff rentielle y a y b et de ses r solutions num rique et analytique est tr s enrichissante car elle associe les techniques exp rimentales des sciences physiques avec la recherche du lien de cause effet les analyses th oriques classiques des math matiques sur les nombres d riv s les suites la recherche de fonctions continues et d rivables ad quates l
5. Editeur donn es 1 Courant 7 ebiichldata Gror pramek ECBA FSE AE ERE PEE wr yra a a Y mm rrei en hottia cont renhtenirelcaiduee 3 j Y F3 ER Eagt EA L Fractikesrart Tray PEUT ANT TD tit frea et cotusor NON Pre or EERE AS n E CO E zeip Ac Emo s ann Ci contre sur TI 83 Y 25 9762 2 Evolution de la temp rature tude du taux de variatio a2 Bien que les mesures soient impr cises ce traitement num rique des donn es exp rimentales va permettre d introduire une quation diff rentielle mod lisant l volution de temp rature coh rente avec les valeurs extr mes fournies par l exp rience 3 TD pt I 5 naur Texas Tnetrimaonre a Evolution temporelle du taux de variation f x h f x En math matiques ie taux de variation d une fonction hn fournit pour h assez proche de z ro une approximation du nombre d riv f x Calcul partir_de mesures exp rimentales le taux de variation f x 1 f x pour h 1 ce qui correspond la situation trait e ici o l cart de temp rature entre deux mesures est d une seconde est une approximation assez impr cise de f x du fait des incertitudes de mesure et surtout de la valeur trop grande de l accroissement h de la variable Dans une volution continue le nombre d riv sym trique utilis en physique est compt sur deux intervalles teen foch donne une meilleure approximati
6. POS y pee o LE et Aie Utit frea ot cakeJor NUN seren ANE mn wota LAN me m m EEIT E m CESR gt CESCESNNLE 3 1123 958 1 4 2124 818 1 J 5 325 589 A1 ti g uestion 2 r solution approch e par la m thode d Euler de l quation diff rentielle y y avec y 0 1 f nih fnh h z fnh h f nh z fnh h f nh f nh h onadonc f n 1 h f nh 1 h soit Yni Yn 1 h Onend duit y yo irh irh Fa F e F3 FU fbr FE Free 2oom Tracelke9rarh Craft y i Yrer F3 PN T Fii Fr DE oemitracelkeSrarh Crayti LU 4 un s mnt mms La feuille de calcul de la question 1 la courbe int grale approch e et l affichage simultan de avec les nouvelies valeurs initiales de y y avec y 0 i l exponentielle naturelle la fen tre d affichage est 0 3 0 20 Annexe D M thode d Euler programm e sur TI 83 et TI 83 Des programmes g n raux traitant de la m thode d Euler ont t propos s par ailleurs celui pr sent ci dessous a t r dig pour cette exp rimentation et n utilise que ie tableur standard L1 L6 de la TI 83 Un double objectif tracer le graphe de la fonction y solution de l quation y ay b pour le comparer au graphe trouv par l exp rience compl ter l diteur de liste avec les valeurs calcul es de Y en L6 pour les comparer facilement aux valeurs exp rimentales log es en L2 a Organigramme du programme de
7. ce nouveau pas tendre les formules aux plages A4 A52 D3 D51 et B4 B52 On s lectionnera un nouveau graphique graph2 et par FT on choisira la marque point et la plage A2 A52 B2 B52 Question 4 En confrontant le nuage de 51 points obtenu la question 3 au catalogue des fonctions de r f rence reconna tre un mod le approchant ce nuage A l aide des formules de d rivation trouver la 1 et telle que F 0 1 1 x Afficher sa repr sentation graphique dans l diteur de fonction Y en ia superposant aux deux graphiques pr c dents il suffit de ne pas d s lectionner graphi et graph2 fonction f dont la d riv e est f x Situation 2 Question I Construire en appliquant la m thode d Euler une approximation sur l intervalle 1 6 avec ie pas h 0 1 de la courbe int grale de la fonction F d finie sur 0 f telle que 1 0 et dont la d riv e _ 1 1 ne cie ji est la fonction inverse f x z Ici encore l existence et l unicit d une telle fonction est admise pour le moment Remarque ii suffit de copier la feuiile de caicui euler2 sous le nom euler3 puis apr s avoir ouvert ce nouveau fichier on modifie l initialisation f 1 0 soit A2 1 B2 0 on change la formule donnant f x plac e en D2 D2 1 A2 et on l tend la plage D3 D512 Question Compl ter le graphique obtenu la question 1 par l approximation de la courbe int grale 5 sur l intervalle 0 1 1 avec le
8. du mod le f l aide de l exponentielle naturelle et nouvelle confrontation au relev initial des temp ratures 1 Relation entre les solutions des quations y ay et y y Ces propri t s peuvent tre tablies dans le cadre du cours de math matiques ou faire l objet d un travail la maison 9 TP et TS naur Texas Tnetriments On s int resse ici au lien entre le coefficient de proportionnalit a qui lie f et f f a f et le nombre 1 not pr c demment a sur lequel s appuie l expression f x a pour x r el Ce lien d coule en fait de l tude d un cas particulier celui o le o le coefficient de proportionnalit est 1 En effet une fonction est solution de l quation diff rentielle y y avec y 0 1 si et seulement si la fonction f d finie par f x p ax est solution de y a y avec y 0 1 la formule de d rivation de la compos e p ax b du cours de premi re le montre ais ment On a alors a f 1 a et comme est solution de l quation y y cas particulier de y ay pour a 1 on peut crire pour tout r el x p x p 1 et donc a p a p 1 Finalement l expression analytique de f x pour tout r el x est li e au r el 1 f x ax p DY 2 Une introduction du nombre e par la m thode d Euler simulant un d coupage plus fin des intervalles de temps D coupons l intervalle 0 1 en n intervalles de m me longueur 1 n et appliquons la m thode
9. recherche pas pas des valeurs de la fonction y respectant l quation y a y b par la m thode d Euler Introduire successivement les donn es de d part la date initiale to la valeur initiale de la fonction yo les coefficients a et b de l quation diff rentielle trouv s par l exploitation de l exp rimentation le pas du calcul At choisi la fen tre d affichage en abscisse dates extr mes de la mod lisation et en ordonn e valeurs extr mes de la fonction Le programme calcule de lui m me la graduation des axes Il efface les listes L5 et L6 pour recevoir les dates et les valeurs successives de la fonction calcul es pas pas Il inscrit les valeurs initiales date et valeur de la fonction dans les cellules L5 1 et L6 1 Dans une boucle stopp e la date finale tmax il affiche le graphe du point courant calcule pas pas la nouvelle valeur de la fonction y en exploitant l quation diff rentielle pour un accroissement du temps At assez petit et reactualise la date et l indice des cellules des listes Voici la base de ce calcul y n 1 y n a y n At b At I I 2 t n 1 t n At b Listina du programme pour Ti 83 et TI 83 Input DATE TO T 191 Input DE DY DT AY B A T gt L5 T Input B B E gt L T Input ETAT INT YO E While T lt Tmax Input PAS DT S Pt Aff T E Input TEMPS MAX Xmax E AES BS gt E T gt Xmin I 1 gt I Xmax T 10 gt Xgrad E g
10. sa limite est not e e e lim 1 n gt 2 On admet que cette limite est le nombre o 1 Cons quence on dispose maintenant d une criture de w x o est ia solution de l quation diff rentielle y y telle que y 0 1 pour tout r el x o x e est appel e fonction exponentielle naturelle et not e exp f tant la solution de l quation diff rentielle y a y telle que y 0 1 on a alors pour tout r el x f x p a x e 3 Confrontation de l expression exponentielle du mod le aux mesures initiales de temp rature L volution de la temp rature a t mod lis e par l quation diff rentielle 8 a0 b avec a 0 1025 et b 3 3155 et la condition initiale 8 0 23 on a 32 5 0 9 5 telle que f 0 1 D apr s ce qui pr c de f t e et 6 t 325 95e Validation graphique du mod le introduit par anamorphose paragraphe 4 la fonction f solution de y a y o 7 T Fa 7 2 7 EUR LTEN YAL Renan s yi 10249917751379 x 3 1 x 2 32 5 9 5 zia U3 32 5 9 5 6 1025x Remarque deux mod les ont t mis en piace pour d crire une m me suite de mesures exp rimentales 8 t 325 95 a avec 0 917 paragraphe 4 c 2 et 8 t 325 95e aveca 01025 paragraphe 4 d 3 En fait il s agit du m me mod le car a e et donc a e mais pas tout fait quand m me comme le montrent les approximations assez diff rentes e
11. sentation graphique du mod le f t 0 916 R TP et TS nmr Texne Tnetriments Faisons le point on a montr que si une fonction f d rivable sur R v rifie f 0 1 et f af alors il existe un r el a gal f 1 tel que pour tout rationnelr f r a L existence d une telle fonction f est admise provisoirement ce qui revient dire que l on peut construire f x pour tout r el x et pas seulement pour x rationnel l L unicit d une telle fonction s tablit ais ment f a de plus la propri t suivante pour tous r els x et y f x y f x FUP ce qui l gitime l extension de la notation F r a aux r els non rationnels f x a avec a f 1 Les r sultats tablis ici pour a 0 1025 nombre li l exp rience s tendent tout r el a non nul Retour au relev initial des temp ratures v rifions l ad quation du mod le analytique qui vient d tre construit au graphe des mesures exp rimentales on a d fini par 32 5 6 t anamorphose f t ET et on vient de mettre en place ie mod le f t a On en 2 1 1 d duit 8 t 325 95a aveco rs 0 917 2 On peut suivre l ad quation du mod le au nuage des mesures exp rimentales Sur TI89 REED GRR CORRE SU A y t mt TETT m kol wei yez at yi 16249917751379 x sh jy vy2 32 5 9 5 z Sur TI 83 Grarh rarhs SEIST 1025x 3 31 Vezg 916 Y3052 5 9 3 0 9 17X syys NY5 d Expression
12. Introduction de la notion d quation diff rentielle une interaction sciences physiques math matiques Evolution temporelle d un syst me relev exp rimental de mesures traitement des donn es pour une mod lisation par une quation O gt diff rentielle r solution par la m thode d Euler et validation par confrontation aux donn es exp rimentales Introduction des fonctions exporentielles Sommaire Introduction La prise de temp rature de la main l aide d une sonde Z z o AB Evolution de la temp rature tude du taux de variation Fe R solution num rique par la m thode d Euler de l quation diff rentielle introduite par l hypoth se du physicien et confrontation aux donn es exp rimentales Une introduction du mod le exponentiel en math matiques par l tude de propri t s de la liste des mesures exp rimentales de temp rature Conciusion Annexes CBL 2 pour les nuls mode d emploi M thode d Euler avec CellSheet pour y f f fonction donn e 1 S Tle 5 M thode d Euler avec CellSheet pour y ay b a et b donn s par l exp rience Programmes de la m thode d Euler pour y ay b a et b donn s par l exp rience Un autre exemple d volution temporelle d un syst me mesure de tension lors de la d charge d un condensateur 1 TP otT S nmm Texnse Tnetmimoente Introduction L approche p dagogique pr sent e ici utilise la technologie Texas Instruments
13. aaltaeend ea bad pondi Euh eE el po le pas est fix a h 1 Cezi Re rs _ t i enfin la formule f x D2 1 1 1 A2 placera f 0 en D2 ES ner TE 1 4 2 12 707107 CT 5775 5 f3 5 284457 D _ B3 h 7 c 7 d7 En mode auto l entr e C2 1 conduit l affichage des valeurs exactes alors que C2 1 noter le point d cimal apr s le 1 force l affichage de valeurs approch es d cimales ligne 3 formules de calcul A3 A2 C 2 pour obtenir O h B3 B2 C 2xD2 pour l approximation f O h F 0 h f 0 lignes 4 7 extension des formules colonne A 1 s lectionner A3 et copier 2 s lectionner ia plage A4 A7 3 colier deux m thodes pour s lectionner une plage s lectionner A4 presser T et descendre le curseur gt jusqu A7 ou bien s lectionner plage a4 a7 PA uu Maea colonne D s lectionner D2 copier colier vers D3 D6 colonne B s lectionner B3 copier coiler vers B4 B7 M tren et cotesor 7 NS c graphique configuration trac s lectionner un graphique graph1 par exemple puis F1 choix voir ci contre choix d une fen tre WINDOW 1 5 k 0 4 5 xsci 0 25 ysc 0 5 par exemple affichage du graphique ES RS Sig PET AS LD 7 Question 3 Une deuxi me construction approch e avec le pas h 0 1 Proc der de m me avec une nouvelle feuille euler2 pour obtenir une construction approch e de la courbe int grale sur 0 5 il faudra avec
14. ation des donn es exp rimentales au mod le affine est satisfaisante La constante de proportionnalit k caract risant la nature du contact thermique entre la sonde et la main est fournie par le coefficient a de la r gression lin aire k 0 1025 la temp rature finale peut alors tre estim e l aide du coefficient b 3 3155 as k 8 8 k6 kB a6 b donc amp gt 32 25 en degr s Celsius Cette estimation est l g rement inf rieure celle que les derniers relev s de temp rature permettent de conjecturer 32 5 environ L exp rience a ainsi conduit mod liser l volution de la temp rature d une sonde oo de plac e soudainement dans la paume de la main par l quation a 6 b on dit alors que dt 8 est une solution de l quation diff rentielle y ay b 5 TP et TS nour Texans Tnetmimente 3 R solution num rique par la m thode d Euler de l quation diff rentielle introduite par l hypoth se du physicien et confrontation aux donn es exp rimentales En restant dans le cadre num rique la m thode d Euler permet de construire point par point une repr sentation graphique approch e de la solution 8 de l quation diff rentielle y ay b en fonction du temps o do _ Elle repose sur l approximation O t At 0 t dth t qui s crit en de tenant compte du choix du mod le pr 0 b 6 t At z0 t a0 t b At Un pas At tant choisi on obtient ainsi par it ration une
15. d Euler la fonction d finie sur R par p 0 1 et afin de d terminer une approximation de 1 on obtient ia suite de valeurs approch es i 1 1 5 0 gt p 0 1 7 sp E E Ea En notant ux la valeur approch e par la m thode d Euler de 5 pour k entier non 1 PPT nul ona Uk u k 1 uk est une suite g om trique de raison 1 i de premier 1 1 terme m l Alors 1 e 1 SN ge En particulier pour k n 1 est une approximation de gt c est dire de 1 1 Notons v 1 7 Attention les suites u et v ne sont pas gales seul le terme d indice n est identique L observation de la liste des termes de la suite vn pour n gal 10P pour p variant de 1 10 par exemple permet de conjecturer son sens de variation et permet d envisager l existence d une limite r elle dont 2 718 serait une approximation par d faut ir MR Les he aeii C E x CEE io 2 5937424601 2 718280465693 2 7048138794 10000000 2 1 2 7169239322 2 718145926858 1006000060 ar 18281827 100000909000 Can O0 alu OI Gt godd 100600 COLE 18281828 0D Q Q E3 5D KINIK di al pet BIS ire a A Cairn LE A p co b g N x t 10 TP et TS nmm Toxne Tnetriimonte On d montre que la suite vn est croissante et major e ce qui permet de conclure va converge
16. duire dans son cours l ensemble de la s quence y compris l exp rience et la saisie de mesures correspondante S il souhaite m me pour un bref moment ne pas se substituer au professeur de physique il peut aussi demander aux l ves de conduire l exp rience et saisir les donn es chez eux ou en travaux pratiques de sciences physiques La situation exp rimentale choisie ici est la prise de temp rature du corps facile appr hender chacun a t am n effectuer de tels relev s pour savoir s il a ou non de la fi vre cette situation favorise l anticipation lors de l observation de l volution de la temp rature au cours du temps Un relev de mesures par l interface CBL 2 sera effectu un traitement num rique de ces donn es conduira le physicien mettre une hypoth se sur la nature du lien entre le taux de variation de la temp rature A8 At et la temp rature 9 Cette hypoth se conduira a mod lisation de l volution du syst me par une quation diff rentielle Sa r solution num rique par la m thode d Euler sera confront e aux donn es exp rimentales et viendra conforter la pertinence du choix de mod le Un traitement math matique amorcera la construction de la solution de l quation diff rentielle et permettra d introduire une fonction exponentielle TP et TS nour Texne Tnetmimente Cette solution analytique mise en place en math matiques n est plus indispensable aux physiciens n anmoins quand el
17. e Z Graphiquement la suite de segments reliant deux deux jes points Ak r alise une construction approch e sur a b ou b a de la repr sentation de f appel e courbe int grale Situation 1 il s agit de construire une approximation sur l intervalle 0 5 de la courbe int grale Z de la fonction f d finie sur 1 qui prend la valeur 1 en O c est dire telle que f 0 1 et dont la d riv e 1 est donn e par f x x L existence et unicit d une telle fonction f est admise dans un premier temps x Question 1 a Que peut on dire du sens de variation de f b Dans un rep re orthonormal unit 2 cm marquer le point Ao de la courbe Z d abscisse O le seul que l on conna t d terminer et tracer la tangente Z en Ao c En se limitant l intervalle 0 5 quel est le point de Z o la tangente a le plus grand coefficient directeur Et le plus petit En notant b l abscisse de ce dernier tracer ia parall ie en Bo b 0 cette tangente de plus petit coefficient directeur Question 2 Une premi re construction approch e avec le pas h 1 I Travail la main pour la construction des trois premiers points a En appliquant la m thode d Euler donner une approximation de F 1 et marquer sur le graphique le point A d abscisse 1 et d ordonn e gale l approximation de f 1 obtenue Tracer le segment AoA que repr sente t il pour la courbe Z b M me question pour f 2 par
18. e l exp rience par exempie saisie ferme de la sonde de temp rature juste avant cette annonce sonore Les points exp rimentaux s affichent progressivement l cran si le temps entre deux mesures est assez lent Attendre le deuxi me bip sonore annonciateur de la fin des mesures e Taper 6 QUIT ou recommencer l acquisition si eile ne convient pas Les donn es sont enregistr es dans ies listes L1 temps et L2 mesures de la voie CH1 pour TI 83 ou pour les machines TI 89 92 et V200 dans un fichier de donn es nomm cbldata Dans les deux cas les listes L et L2 ou le fichier cbldata s ouvrent dans l diteur de donn es ou dans l application CellSheet utiliser alors la touche d dition F3 et importer les valeurs exp rimentales Annexe B TP Euler 1 Construction approch e d une courbe int arale Document l ve Objectif on se propose de construire point par point et de fa on approch e ia repr sentation graphique Z d une fonction f dont on conna t la valeur F a en un point a et la fonction d riv e f M thode d Euler elle repose sur l approximation f a h F a h f a Pour un r el h fix cette m thode fournit par it ration une suite d approximations de f sur un intervalle a b ou b a suivant le signe de h F a h f a 2h f a kh k entier naturel On obtient ainsi une suite de points Ak arkh f arkh dont le premier Aoa f a est r ellement situ sur ie courb
19. e variation Au At n gatif subit au cours du temps une variation semblable celie de la tension u elle m me et s annule en m me temps que la tension On peut supposer qu il est li la tension u par une simple relation de proportionnalit Au At au Pour v rifier cette hypoth se tracer et analyser ie graphe Au At en fonction de ia tension u x 4086 T 73318r Ce graphe est lin aire d apr s le calcul de r gression L exp rience est donc d crite par l quation diff rentielle Au At 0 174 u La r solution de cette quation peut s effectuer par la m thode num rique d Euler ou par une approche math matique analogue celle d j d velopp e pour la saisie de temp rature c Analyse math matique de la suite des tensions chaque seconde pour trouver l expression analytique de la tension u du condensateur en fonction du temps de la d charge On compare entre elles les tensions successives chaque seconde u N 5 u N en liste L4 L4 suite L2 N 5 L2 N N195 5 On rappelle que les mesures se succ dent toutes les 0 2 seconde la seconde suivant l instant N est donc N 5 Le rapport est sensiblement constant et gal la moyenne des termes de la liste L4 Donc u N 5 u N 0 84 La tension chaque seconde forme une suite g om trique d croissante caract ristique de la diminution sans vieillissement de la population des charges lectriques log es sur les plaques du co
20. elopp e du TP Euler 2 12 TP ot TS nour Texas Tnetriimente Annexe CBL2 pour les nuls mode d emploi 1 Positionnement du mat riel La calculatrice TI 83 ou 89 se loge l int rieur d un support en mati re plastique qui s adapte sur l interface CBL2 la communication s effectue par le c ble de connexion classique La TI 92 ou la V200 est reli e l interface CBL2 par le c ble sans faire intervenir le support 2 Chargement de l application DATAMATE d acquisition de mesures exp rimentales si ce n est d j fait Pour tester la pr sence de cette application sur la calculatrice e sur TI 83 taper on doit voir s afficher DataMate e sur TI 89 92 V200 taper VAR LINK on doit voir s afficher datamate PREM Si votre calculatrice ne contient pas cette application il suffit de la transf rer depuis le CBL2 Avec la TI 89 92 ou V200 cr er au pr alable un r pertoire CBL puis le choisir comme r pertoire actif touche MODEI Pour effectuer le transfert de l application DATAMATE mettre la calculatrice en mode r ception touche VAR LINK et appuyer sur la touche TRANSFER du CBL2 L application DATAMATE est transmise assez rapidement 3 Pr paration de la prise de mesure a Brancher le capteur ad quat temp rature ou tension dans la voie CH1 du CBL2 b Lancer le programme DATAMATE sur la calculatrice pour cela TI 83 appuyer sur la touche TI 89 92 et V200 taper sur la ligne d ditio
21. le est tablie sa connaissance facilite grandement la r flexion et permet de meilleures g n ralisations La m me approche est applicable une multitude d autres ph nom nes dont l volution est d crite par une quation diff rentielle y a y b un deuxi me exemple charge ou d charge d un condensateur sera trait dans l annexe E titre de g n ralisation 1 La prise de temp rature de la main l aide d une sonde Une sonde de temp rature plac e dans une pi ce une vingtaine de degr s est mise soudainement au contact de la main et y est maintenue fermement pendant une minute environ Le contact des surfaces entra ne une mont e de temp rature dans la sonde rapide au d part puis de plus en plus lente Chaque i ve disposant d un thermom tre et d une montre peut observer ce ph nom ne et noter dans un tableur grapheur la temp rature toutes les deux secondes Une calculatrice ou un ordinateur munis d une interface d acquisition appropri e peut saisir ces donn es automatiquement toutes les secondes enune minute environ Voici les r sultats d une exp rimentation comportant 61 mesures saisies toutes les secondes les mesures capt es par le CBL sont directement transmises la calculatrice le temps en seconde et la temp rature en degr Celsius dans les listes Li et L2 du tableur de la TI 83 acc s par STAT Edite ou dans les listes c1 et c2 du fichier cbidata des TI 89 92 et V200 acc s par b
22. lle 8 a 8 amp e amp 8 a e 8 etendivisant par amp 6 f a f Phase de mod lisation de elle consiste construire une fonction math matique d finie sur IR ou m me sur R d rivable qui respecte l tat initial 0 1 l tat limite lim f O ainsi que son volution dans le temps savoir la proportionnalit avec sa d riv e f a f b R partition dans le temps des demi volutions successives de f Cherchons sur les donn es exp rimentales la demie vie de l volution de Ff c est dire la date T pour laquelle f T 0 5 l utilisation de Trace dans l application graphique voir le dernier cran TI 89 ci dessus o xc 7 correspond t 8 car le premier point repr sent a pour abscisse xc 0 donne T compris entre 7 et 8 prenons T 8 s on 1 e 0 peut tre la temp rature ambiante de la pi ce dans laquelle s est d roul e l exp rience ou bien l g rement sup rieure si la main a t mise au contact de la sonde une seconde avant le d but de l acquisition 7 TP ot TS naur Texans Tnetmimente 1 observe alors que f 2T 0 25 et f 3T 0 125 ce qui am ne poser f kT A 1k On constate que la fonction cherch e co ncide sur les multiples de 8 peu de chose pr s avec une suite g om trique En serait il de m me avec tous les entiers c Etude des termes cons cutifs de la suite F n des mesures de temp rature chaque seconde Caiculons pour les vingt cinq premiers
23. m me une approximation de f xo n 1 h en fonction de a b h et F xorn h n IN b Application l aide du tableur CeliSheet l quation diff rentielle mod lisant l volution de la temp rature de la main y zay b avec a 0 1025 b 3 3155 et la condition initiale f 0 23 temp rature l instant t O construire le nuage de points approchant selon la m thode d Euler avec le pas h 1 la courbe amp sur l intervalle 0 60 Quelques indications si n cessaire Ouvrir une nouvelle feuille de calcul nomm e euler 2 par exemple on placera ie temps en colonne A O lt lt 60 les approximations de f t en colonne B le pas h en C et les r els a et ben Det E respectivement ep n L cran ci contre pr sente l initialisation de la feuille de calcul ARENDE choix de xo A 2 O choix de yo B 2 23 choix de h C 2 1 choix i iF e n a b de a D 2 0 1025 choix de b E 2 3 3155 EPNER e Quelle formule mettre en A3 pour qu en ia dupliquant sur la plage A4 A62 on obtienne la liste des instants de 1 60 e M me question en B3 pour obtenir les approximations de f n h pour O lt n lt 60 Compl ter le tableau plage A4 B62 e Configurer le graphique et l affichage de deux nuages celui tabli la suite de l acquisition des mesures graph 1 et celui obtenu partir de la feuille de calcui ci dessus 2 Cas particulier a 1 b 0 l quation diff re
24. n de et l aide du curseur l application HOME datamate ou bien aller chercher le s lectionner DATAMATE et nom du programme datamate dans VAR LINK taper valider par ENTER apr s l avoir s lectionn et penser refermer la parenth se Lancer ie programme par ENTER CREER e Genriiose s frauticohtemulssmam brFransais JOr9Sanize Le capteur est identifi automatiquement bo nlrraceRegrarhitetnDrauls i en voie CHi comme le montre l cran du menu 2e principal datamate ci contre MODE TIME GRAPH S50 1 SETUP 4 ANALYZE 23 START 9 TOOLS 3 GRAPH 6 GUIT c Configuration de l acquisition des mesures m me proc dure sur toutes les calculatrices e Taper 1 SETUP e Descendre le curseur sur MODE taper et s lectionner l option 2 TIME GRAPH on pourra ensuite choisir l option 2 CHANGE TIME SETTINGS hitispesnir ceesrarnen ele ef TIME GRAPH SETTINGS TIME INTERUAL 1 NUMBER OF SAMPLES 60 EXPERIMENT LENGTH 60 15 0K 3s ADURNCED Z CHANGE TIME SETTINGS san APPRIS D M5 4 a e Modifier votre guise l intervalle de temps s parant deux mesures et le nombre total de mesures exemple sur l cran ci contre e Confirmer vos derniers choix par 1 OK et revenir au menu initial 3 Lancement et fin de l acquisition e Choisir l option 2 START e Un bip sonore annonciateur du d but de l acquisition des mesures retentit au bout d une ou deux secondes D marrer si possibl
25. ndensateur La solution pour le terme N est donc u N u 0 0 84 avec u 0 tension initiale N t est un entier Cette relation reste vraie avec t r el La tension pendant la d charge est solution de l quation diff rentielle y 0 17 y avec la condition initiale u 0 4 3V son expression l instant t est donc u t u 0 0 84 4 3 0 84 43 e 7 Ces formes exponentielles quivalentes mod lisent bien le comportement du circuit Le caicui de r gression exponentielle de la calcuiatrice le confirme d Interpr tation physique Les lois du circuit lectrique concernant la r sistance et le condensateur sont u Ri gq cu et i dq dt C du dt Ces relations conduisent une quation diff rentielle du dt u RC O et recoupent bien le cas particulier observ du dt 0 174 u O Ici 1 RC 0 174 Attention dans la pratique les valeurs nominales de R et C sont mal d finies et la capacit de l interface de saisie joue aussi un r le Au bout d un temps gal 5 R C l volution de la tension est pratiquement achev e On peut faire appara tre la constante t RC dans la solution de l quation diff rentielle pr c dente u t u 0 0 84 u 0 e 7 u 0 e Remarque Cette loi de d croissance est pr cise et permet de d finir le temps coul depuis le d but de la d charge en mesurant la tension restante Elle sert de base la construction pratique de certaines h
26. ntielle a Soit yn la suite des approximations par la m thode d Euler avec ie pas h de ia solution f de l quation diff rentielle y y satisfaisant la condition initiale y 0 1 l existence et l unicit de f sont ici admises ia condition initiale donne yo 1 valeur exacte et y est l approximation de f O n h c est dire de f n h Exprimer y en fonction de y et montrer que la suite yn est une suite g om trique de raison 1 h en d duire pour tout entier naturel n l expression de y en fonction de h b Construire la repr sentation graphique approch e sur 0 3 de la solution de l quation diff rentielle y y satisfaisant la condition initiale y 0 1 On observera qu il suffit de changer les valeurs initiales de la feuille de calcul pr c dente B2 1 valeur de F 0 C2 0 05 choix de h D2 1 r el a et E2 O r el b Faire ensuite afficher simultan ment la repr sentation graphique de l exponentielle naturelle On choisit ici les valeurs obtenues la suite de l exp rimentation paragraphe 2 b Quelques l ments de r ponse Question 1 r solution approch e par la m thode d Euler de l quation diff rentielle mod lisant l volution de la temp rature de la sonde plac e dans la main A3 A2 C 2 B3 B2 C 2 x D 2 x B2 E 2 5 5 ekihir Graph i Fie F2 E3 F4 L Sel r el reii CRET ntiisleosm TracejResr aonjriacnipenicrayk Mar paean
27. on de f x comme le laisse entrevoir une interpr tation graphique partir d un nombre fini de points la repr sentation graphique de f est ainsi approch e par des cordes se chevauchant deux deux assurant ainsi un certain lissage de la courbe Dans l diteur de listes de la calculatrice le taux de variation Ag est calcul en L3 selon l instruction L3 suite L2 x 1 L2 x 1 2 x 2 n 1 n tant le nombre de donn es ici n 1 60 La liste L3 ainsi cr e est plus courte que les listes Li et L2 il y manque le premier et le dernier terme Or l affichage du graphique Lils exige des listes de m me dimension on veillera donc soit supprimer le premier et le dernier terme de L soit dupliquer dans Ls la valeur initiale et la valeur finale commettant ainsi une petite erreur syst matique Remarque Sur TI 89 92 ou V200 la duplication de la cellule c3 i n cessite ia suppression de ia formule not e en c3 ci dessous ce qui heureusement n efface aucune donn e on ins re alors touche F une celiuie avant c3 1 on copie c3 2 et on colle en c3 1 l insertion de la derni re cellule se fait ensuite sans difficult EE Type Frqphe oroarea Nue gt MT iaaea SSD ERE PESTE RUE F r Fo Lau di gp e D ez cs 23 071 98705 24 209 98705 2 _125 046 7817 25 773 68655 S E SRE xigh Ay Sr A ggg Util frea et categJor WDN gt LERE t AS no
28. orloges lectroniques simples
29. pas h 0 1 On veillera effacer la plage A12 B52 de fa on ne calculer que les dix points d abscisse allant de O i 1 puis x 1 dans les rx x situations 1 et 2 et de deux r els xo yo donn s dans l ensemble de d finition de on a r alis une construction approch e de la repr sentation graphique de la fonction f d finie par sa d riv e f et sa valeur yo en xo F xo yo On dit que f est solution de l quation diff rentielle y avec la condition initiale y xo yo N B La question d existence et unicit d une telle fonction n a pas t soulev e ici Conclusion Dans ce TP partir d une fonction donn e x Le format AutoCalc voir le premier cran page pr c dente relance le calcul chaque modification ce qui est long on aura int r t viter ce caicul automatique F AutoCalc non Apr s avoir modifi A2 B2 et D2 l actualisation des calculs se fait par F8 Recalc Situation 1 Quelques crans Construction par la m thode d Euler de la repr sentation graphique approch e sur 0 51 de la fonction f telle que f x et f 0 1 x Avec le pas h 1 on obtient 6 points On en obtient 51 avec le pas h 0 1 Les deux nuages superpos s Et la solution exacte Situation 2 TETAAREETER ae crb EE EAE EEL R B E N P ENEA E 07164 4 2 2 707107 _ 57735 EREA Lis 1 28663 577058 B3 b2
30. peut se d rouler devant une classe enti re Exemple propos ici R 5600 ohms et C 10001F avec 100mesures de tensions s par es de 0 2s Fi T 4 40B6 La tension initiale u0 caract rise la diff rence d tat lectrique des plaques du condensateur cr e et maintenue par le g n rateur Cette tension d cro t d s qu on d branche le g n rateur car les charges positives sont rejointes par les lectrons venus de l autre plaque travers la r sistance R Ce transfert s effectue de plus en plus lentement cause de la baisse progressive de la tension elle m me qui caract rise l tat lectrique r siduelle des deux plaques b Etude du taux de variation de la tension Au At en fonction du temps puis en fonction de la tension restante u pour tablir l quation diff rentielle repr sentative du ph nom ne de d charge observ La tension est en liste L2 et le temps en liste L1 Le taux de variation sym trique est calcul en liste L3 L3 suite L2 N 1 L2 N 1 L1 N 1 LI N 1 N 2 98 Attention les incertitudes sont amplifi es par ce type de calcui Egaliser la dimension des trois listes en supprimant la premi re et la derni re valeur de L1 et L2 ou en recopiant ie premier et ie dernier l ment de L3 pour ralionger cette liste la dimension des autres La valeur absolue du taux de variation d croft rapidement puis de plus en pius lentement avec le temps yaer siz Le taux d
31. rature d finie sur l intervalle O w On sait d apr s ce TP et TS naur Toxne Tnetmimente qui pr c de que est une fonction croissante telle que 8 0 23 et lim 8 32 5 valeur oL sugg r e par le tabieau de mesures et le calcul pr c dent La fonction t 325 0 t a donc une limite nulle en et d croft de 9 5 0 32 5 6 t s A 20 a toujours une limite nulle en et d croft de 1 0O Confirmation graphique on cr e une nouvelle liste La 32 5 L2 9 5 o les coefficients 32 5 et 9 5 sont li s aux tats limites particuliers de l exp rience r alis e en fait La OL L2 L L2 1 et on affiche ie nuage Li La Enfin la fonction f t Le chischidat Grap 4 nj TYPE IraPNe oasarsee NuaSe gt MOFG oeseesesssenuursessasa i CCS CCE eamm puits Lans des ASRA VAL 23 071 98705 99248 CPC TETE OL TL CET ETS MST Ar ny Miss Util frea ct cateter NON LEE RTS op Tag teti 1 25 046 4 25 773 68659 0814 CT CA CS7 5 c2 9 5 L observation exp rimentale de la temp rature 6 a conduit au paragraphe 2 exprimer son volution par l quation diff rentielle 8 a8 b avec a 0 1025 et b a r 3 3155 soit encore 6 a 6 amp Qu est devenue 329 0 OL ro cette relation lors de l anamorphose F os O plus exactement f oo Il s agit de savoir si f est encore solution d une quation diff rentie
32. suite d approximations 6 to At to 2At 9 to kAt jusqu 6 tx Ce travail est r alis dans les annexes C pour une r alisation manuelle sur le tableur CellSheet et D pour l obtention directe par programme La repr sentation graphique des points de coordonn es to kAt 6 to k t r alise une approximation point par point de la courbe int grale de l quation y ay b Sa superposition au graphe des mesures exp rimentales de temp rature r alis au paragraphe 1 appara t de bonne qualit ce qui valide la pertinence du mod le Dm RENE Sur l intervalle 10 301 en abscisse pts le nuage obtenu par la m thode x d Euler est situ l g rement au dessus de celui des mesures exp rimentales Idem sur TI 83 Le choix d une m thode num rique de r solution ici la m thode d Euler a permis de valider le mod le sans n cessiter la connaissance de l expression analytique de la solution de l quation diff rentielle 4 Une introduction du mod le exponentiel en math matiques par l tude de propri t s de la liste des mesures exp rimentales de temp rature Il s agit de rechercher un mod le fonctionnel d crivant l volution de la temp rature dans le temps La d marche sera guid e par la question comment la temp rature s approche t elle de l tat limite a Normalisation des donn es par anamorphose afin d en faciliter le traitement On note la fonction temp
33. t L6 I E gt Ymin T S27T Prompt Ymax T gt L5 T Ymax Ymin 10 gt Ygrad End Effliste L5 L c Conclusion Ce programme est tr s int ressant quand le graphe exp rimental est actif car il permet la comparaison directe du mod le et de l exp rience Il peut tre relanc plusieurs fois en modifiant certains param tres et favorise l interactivit et la r flexion En l absence de CellSheet il remplit l diteur de listes et permet de comparer l ensemble des valeurs exp rimentales aux valeurs calcul es par la m thode d Euler La pr sentation du programme claire bien les bases de cette m thode Annexe E Etude de la d charge d un condensateur travers une r sistance a Mesure de la tension u aux bornes du condensateur de capacit C pendant sa d charge dans une r sistance R Trombones relier la pile Les Six gominos C Le montage exp rimental utilise 6 dominos d lectricit accol s Aux extr mit s deux trombones en partie d form s assurent ie branchement et ie d branchement facile d une pile plate de 4 5V Les extr mit s du condensateur et de la r sistance sont directement reli s aux deux trombones D s que ia pile est enlev e le condensateur commence sa d charge dans ia r sistance Le temps total de la d charge exprim en seconde est pr visible car il est voisin du produit 5R C Avec ce montage simple l acquisition automatique des mesures de tension du condensateur
34. termes de la suite des mesures le rapport de 1 deux termes successifs E en liste L5 Ls suite La N 1 LA N N 1 25 CS __ c e 87931 931558 87271 89914 18468 90245 0814 90399 ric mouenneccs L tb mosermerls 2 Ce rapport pratiquement constant de valeur moyenne 0 916 demand e dans la cellule Le 1 montre que les termes successifs f n sont en progression g om trique f nr1 0 916f n et donc pour tout entier naturel n f n 0 0 916 Remarque qui n cessite la connaissance de la fonction racine n i me On a vu au b ci dessus que le mod le recherch est une fonction f qui doit v rifier f kT j pour tout k entier avec T 8 c est dire F 8k sn 1 n 1 n alors en posant n 8k f n B z 3 avec 0 917 On constate 2 Ne 2 ah que la relation f n a avec a pan tablie au b pour les multiples de 8 n 8k k entier 2 naturel est en fait v rifi e par tous les entiers naturels Qu en est il pour les rationnels P On peut montrer que pour tout rationnel F P za Le mod le f cherch v rifie donc f n a pour les entiers et plus largement f r a pour les rationnels La calculatrice qui travaille avec ces rationnels particuliers que sont les d cimaux permet d valuer graphiquement l ad quation du mod le analytique aux donn es par superposition du graphe exp rimental et de la repr
35. tir de l approximation de f 1 obtenue pr c demment l approximation s crit f 2 f 1 1 f 1 1 x f 4 Marquer sur le graphique le point Az d abscisse 2 et d ordonn e gale l approximation de f 2 obtenue Tracer le segment A A que repr sente t il pour la courbe amp c Une derni re fois avec f 3 marquer A le d finir et tracer le segment A2A3 que repr sente t il pour la courbe Z TI Construction des points suivants utilisation du tableur CeliSheet pour l automatisation des t ches N B Mettre la calculatrice en mode automatique ou approch touche mode a Ouvrir une nouvelle feuille de calcu CellSheet nouveau nom de variable euler1 par exemple On utilisera quatre colonnes A pour les valeurs de x O 1 2 3 4 5 B pour les approximations de f x C pour le pas h gal 1 dans cette question une seule cellule sera utilis e et D pour les nombres d riv s f x Quelques r glages pour une meilleure lisibilit 1 le format d affichage F voir ci contre 2 la largeur des cellules A etC largeur 3 Bet D largeur 8 PU PERS RSR ay FORMATS aJ i p Autotait BiH gt T cursor Mumt RIGHTS b ligne on peut entrer l intitul des colonnes voir cran ci dessous facultatif 1 R Show FORMULA gt E ligne 2 initialisation f 0 1 autrement dit pour x 0 ona f x 1 on BS SETDA rentre ces informations dans les cellules A2 et B2 A220 B2 1 Fr datnels Ir
36. utilisation conviviale et interactive des outils informatiques tableur grapheur en particulier L tude de la radioactivit n est pas propos e ici car elle exige beaucoup plus de donn es pour tablir une moyenne et s abstraire de l aspect al atoire qui masque dans un premier temps ies ph nom nes de d croissance long terme Un deuxi me exemple d volution temporelle d un syst me est bri vement d crit dans l annexe E il s agit de la mesure de la tension U aux bornes d un condensateur de capacit C en fonction du temps t pendant sa d charge dans une r sistance R La mod lisation s effectue en suivant la m me d marche que dans l exemple ci dessus elle r alise une ad quation plus pr cise encore aux donn es exp rimentales Puisse cette contribution collective apporter d utiles l ments de r flexion p dagogique Note au sujet des annexes B et C les documents pr sent s sont des fiches de TP destin es aux l ves elles ont t exp riment es sous cette forme dans une classe de terminale S quip e de calculatrices TI 89 rappelons la possibilit d emprunter une valise de calculatrices du mod le de son choix pour une p riode de quelques semaines Ti s agit donc de documents de travail susceptibles d voluer leur seul m rite tient leur authenticit Le TP Euler 1 plus d taill a servi de premi re initiation l utilisation du tableur CellSheet ce qui explique la pr sentation moins d v
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