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1. un excellent moment la lecture de Rationnel mon Q et il imagine que ce livre enchantera tous ceux qui aiment les math matiques les exercices de style l irrationalit les corps de nombres et les belles constructions formelles Autrement dit sans doute l int gralit des lecteurs de cette revue Olivier Fouquet Universit Paris Sud 11 Heights in Diophantine geometry E BOMBIERI W GUBLER Cambridge University Press 2007 668 p ISBN 978 0 521 17122 93 75 Le livre de Bombieri et Gubler expose tr s clairement les multiples notions de hauteurs qui ont t introduites dans le cadre de la g om trie diophantienne ainsi que les grands r sultats de cette th orie Les mots g om trie diophantienne ont t lanc s par Serge Lang il y a un demi si cle 9 5 Ils d signent une approche des quations diophantiennes via la g om trie alg brique clarifiant la distinction entre notions g om triques objets d finis sur le corps des complexes ou plus g n ralement sur un corps alg brique ment clos et arithm tiques objets d finis sur Z ou Q ou plus g n ralement sur un anneau ou corps de type fini Les solutions d quations diophantiennes sont ainsi vues comme les points entiers ou rationnels de la vari t d finie par les quations Un outil fondamental a merg la notion de hauteur qui dans sa forme la plus na ve peut tre d finie ainsi un point P de l espace projectif sur Q poss de des coordonn es
2. Mersenne ne m aime r dig enti rement au f minin et qui fait de la d monstration de l irrationalit de V2 un v ritable manifeste f ministe un brin moqueur toutefois Suivant cet axe de lecture on se pla t remarquer que le livre se cl t sur un texte intitul Lysistrata dont on rappellera tout hasard qu elle se rendit c l bre pour avoir voulu rem dier l irrationalit de sa soci t en d cr tant une gr ve du sexe dans Rationnel mon Q ce proc d devient bien s r l affirmation r volutionnaire que Q est alg briquement clos Envisag ainsi Rationnel mon Q pourrait se lire comme un t moignage ironique et fac tieux des difficult s que rencontrent une personne du sexe du fait de nos coutumes et pr jug s gt pour explorer en profondeur les sciences abstraites en g n ral et plus particuli rement Iles myst res des nombres pour citer Gauss dans sa correspondance avec celle qui signait d j du nom de Leblanc Ou bien faut il imaginer le Sisyphe condamn d montrer encore et toujours l irrationalit de V2 heureux et voir au contraire dans l acte de cr ation math matique et litt raire la porte de sortie par excellence pour celles et ceux il n y a pas de raison qui se trouveraient trop frustr s de l absurdit du monde social SMF Gazette 128 avril 2011 110 LIVRES Mais revenons nos racines L auteur de ces lignes qui confesse un faible pour l Oulipo a pass
3. lettres sans jambage inf rieur ou sup rieur on s interdit donc le et le p et ne restent que les lettres acemnorsuvwxz en forme de testament sur le mur de sa prison page 141 Au risque de passer pour coinc du corps des rationnels je reconnais avoir t un peu moins convaincu par ce que l on pourrait appeler la partie Q de l ouvrage SMF Gazette 128 avril 2011 LIVRES 109 Bien que l rotisme soit fr quemment pr sent dans les textes il m a la longue un peu ennuy et je ne suis pas s r que les augustes membres de la SMF trouvent tant de motifs de plaisir de ce c t l Mais peut tre cela r v le t il une intention des auteures comme nous allons le voir Une lecture possible de l uvre de Perec est de voir en son obsession virtuose du jeu avec les lettres et les mots l effort permanent de l auteur d extraire des signes un sens une identit m morielle peut tre m me une inspiration vitale apte donner un sens la vie et d abord la sienne bris e par la disparition brutale de ses parents m a sembl qu une pareille lecture finalement tr s intimiste pour un ouvrage si ludique au premier abord tait possible pour Rationnel mon Q Dans ce livre o amour et rotisme sont omnipr sents on ne peut tre que frapp par l insatisfaction profonde qu ils semblent procurer qu il soit matrimonial dans le magnifique Portrait de l artiste en jeune fille filial dans la Version latine e
4. LIVRES Percolation et mod le d Ising W WERNER Soci t Math matique de France Cours Sp cialis s 16 2009 161 p ISBN 978 2 85629 276 1 40 La percolation et le mod le d Ising sont deux mod les de r f rence de la phy sique statistique pour tudier les transitions de phases Le mod le de percolation a t introduit par Hammersley en 1957 pour d crire certaines caract ristiques des milieux al atoires Le mod le d Ising qui fut invent par Lenz vers 1920 mod lise des effets collectifs produits par des interactions locales entre particules comme le ferromagn tisme Ces deux mod les issus de la physique posent aussi de for midables probl mes math matiques citons notamment le concept d universalit conjectur par les physiciens De nombreuses th ories de physique math matique ont t labor es pour essayer de r pondre ces questions Ces derni res ann es des r sultats spectaculaires sur les ph nom nes critiques en dimension deux ont t obtenus par les m thodes probabilistes de Lawler Schramm Werner Smirnov etc Ce livre repose sur des notes de cours donn s par W Werner au niveau M2 et sa grande originalit est de pr senter la fois les fondements de la percolation mais aussi les d veloppements les plus r cents sur l invariance conforme en dimension deux des mod les de percolation et d Ising Le livre s ouvre sur une introduction tr s p dagogique au mod le de percolation en d t
5. aillant les concepts fondamentaux de transition de phase d in galit s sto chastiques FKG BK et de d croissance des corr lations Ces r sultats classiques figurent dans l ouvrage de r f rence de Grimmettl mais c est ma connaissance le premier livre en fran ais sur la question La nouveaut dans la pr sentation du sujet est de permettre au lecteur d acc der ensuite tr s rapidement aux r sultats sur le r gime de la percolation critique en dimension 2 la th orie de Russo Seymour Welsh mais surtout la preuve de la formule de Cardy Smirnov La seconde partie du livre est d di e au mod le d Ising et plus g n ralement au mod le de Potts qui peuvent tre interpr t s comme des mod les de percolation d pendante FK percolation l image de la premi re partie les principaux as pects de la FK percolation sont expliqu s et plusieurs conjectures recens es Ces chapitres offrent un aper u concis mais assez complet de la FK percolation sans tre aussi exhaustif que le volumineux livre de Grimmett Le livre se conclut par une excellente introduction aux m thodes d velopp es par Smirnov pour prouver l invariance conforme du mod le d Ising Toute la d marche pour obtenir l analy ticit discr te est expliqu e tr s clairement les mod les de boucles la sp cificit du mod le d Ising G Grimmett Percolation Second edition Springer 1999 2 G Grimmett The Random Cluster Model Springer 2006 SMF Ga
6. alg brique irrationnel en prenant n 2 Li x y x ay Lo x y y on retrouve le th or me de Roth le nombre de rationnels x y Q tels que la x y lt y est fini La th orie servant de filigrane la premi re d monstration de la conjecture de Mordell est la g om trie d Arakelov qui a t brillamment d velopp e depuis Les id es arakeloviennes sont encore pr sentes dans le travail novateur de Vojta 12 dont Serge Lang a d clar que c tait une des plus belles visions math matiques qu il ait rencontr e Il s agit d analogies entre la th orie de Nevanlinna concernant la distribution des valeurs de fonctions de variable complexe et la th orie de l ap proximation diophantienne Les conjectures de Vojta sont loin d tre d montr es ou infirm es aujourd hui mais ont servi d inspiration aux travaux pr cit s elles entra nent notamment la conjecture abc confer ci dessous Le livre de Bombieri et Gubler pr sente un expos syst matique et tr s accessible de l ensemble de ces th mes Serge Lang a publi il y a quelques ann es un point de vue dans la Gazette 7 o il vantait les m rites d une vision g om trique des quations diophantiennes ce point de vue est devenu aujourd hui une vidence pour beaucoup Le pr sent livre concilie les deux points de vue abstraction g om trique et calculs concrets On peut regretter que certains aspects soit peu d velopp s comme les d veloppements aut
7. blement bien crit dans un style pr cis et d taill Il contient des expos s concis lumineux sur plusieurs sujets non abord s dans d autres livres comme les hauteurs sur les grasmanniennes les versions opti males du lemme de Siegel les estimations explicites des hauteurs le th or me de Beukers Schlickewei sur l quation aux unit s la version de Sprindzhuk du th or me d irr ductibilit de Hilbert les minorations de hauteurs probl me des petits points de Lehmer ou Bogomolov et m me quelques r sultats originaux comme le d compte des points situ s sur des droites dans un threefold cubique chapitre 11 Plusieurs chapitres produisent le meilleur expos crit sur leur sujet c est le cas notamment des chapitres sur le th or me de Roth et le th or me du sous espace du chapitre donnant la d monstration du th or me de Faltings sui vant la d monstration de Vojta revisit e par le ma tre 1 et le dernier appendice sur la g om trie des nombres C est un ouvrage qui m rite de figurer dans la biblioth que de tout e math maticien ne R f rences 1 Bombieri Enrico The Mordell conjecture revisited Ann Scuola Norm Sup Pisa 17 1990 615 640 2 Chambert Loir Antoine Relations de d pendance et intersections exceptionnelles Expos Bourbaki janvier 2011 3 Faltings Gerd Endlichkeitss tze f r abelsche Variet ten ber Zahlk rpern Invent Math 73 1983 349 366 4 Faltings Gerd Diop
8. candaleux que cette recension ne comporte pas de note de bas de pages l o l ouvrage en compte plus de 90 pas forc ment toujours essentielles n est pas David Foster Wallace qui veut ma co autrice me fait remarquer que bien que les auteures se soient donn es beaucoup de mal pour tre lues m me par les r sidants habituels de l arri re de la salle c est de la peine gt qu elles auraient d crire page 64 SMF Gazette 128 avril 2011 LIVRES 111 travaux de Vojta et Faltings 4 13 Si G est une vari t semi ab lienne extension d un tore par une vari t ab lienne et un sous groupe de rang fini l intersection de T avec une sous vari t X ferm e dans G n est pas dense dans X est contenue dans une hypersurface de X sauf si X est un translat de sous groupe alg brique La d monstration de ce dernier r sultat repose sur la th orie des hauteurs et pas mal de g om trie alg brique mais fait aussi fait appel des techniques classiques d approximation diophantienne qui culminent avec la preuve du th or me de Roth 1955 puis du th or me du sous espace de Wolfgang Schmidt dans les ann es 70 Dans une version simplifi e celui ci affirme que si les L sont des formes lin aires ind pendantes coefficients alg briques l ensemble des solutions enti res x x1 Xn de l in quation IL LC lt HG i 0 est contenu dans une r union finie de sous espaces vectoriels stricts Lorsque a est un nombre
9. hantine approximation on abelian varieties Ann of Math 133 1991 549 576 5 Hindry Marc La g om trie diophantienne selon Serge Lang Gazette Math No 108 2006 17 32 6 Hindry Marc Silverman Joseph H Diophantine Geometry An introduction GTM 201 Springer Verlag 2000 Lang Serge Mordell s review Siegel s letter to Mordell Diophantine geometry and 20th century mathematics Gazette Math No 63 1995 17 36 8 Lang Serge Hyperbolic and Diophantine analysis Bull Amer Math Soc 14 1986 159 205 9 Lang Serge Fundamentals of Diophantine geometry Springer Verlag New York 1983 version augment e de Diophantine geometry Interscience New York 1962 10 Lang Serge Number theory III Diophantine geometry Encyclopaedia of Mathematical Sciences 60 Springer Verlag Berlin 1991 11 Serre Jean Pierre Lectures on the Mordell Weil theorem Traduit et dit par Martin Brown partir de notes de Michel Waldschmidt Aspects of Mathematics Vieweg 1989 12 Vojta Paul Diophantine approximations and value distribution theory Lecture Notes in Mathematics 1239 1987 13 Vojta Paul Siegel s theorem in the compact case Ann of Math 133 1991 509 548 7 Marc Hindry Universit Paris Diderot SMF Gazette 128 avril 2011
10. homog nes xo x que l on peut choisir enti res et premi res entre elles on pose alors H P max x xhl l Un des premiers r sultats important du domaine est le th or me de Mordell Weil qui dit que le groupe des points rationnels d une courbe elliptique ou plus g n ralement d une vari t ab lienne est de type fini 1922 28 Ce r sultat est crucial dans la preuve du th or me de Siegel 1929 l ensemble des points entiers d une courbe affine est fini pourvu que la courbe ait un genre au moins gal un ou au moins trois points l infini L arch type du th or me de g om trie diophantienne est aujourd hui le th or me de Faltings 3 quondam conjecture de Mordell L ensemble des points rationnels d une courbe de genre au moins deux est fini gt L analogie entre les tores alg briques groupes alg briques isomorphes une puissance du groupe multiplicatif Gm au moins sur la cl ture alg brique du corps de d finition et les vari t s ab liennes a une longue histoire Par exemple le groupe des points entiers sur un corps de nombres K de Gm n est autre que le groupe des unit s OK de l anneau des entiers alg briques de K le th or me des unit s de Dirichlet indique que ce groupe est de type fini comme le groupe de Mordell Weil Cette analogie avait sugg r Serge Lang une g n ralisation de la conjecture de Mordell galement d montr e en 1991 gr ce principalement aux 3 Comme il serait s
11. n r pondent plusieurs contraintes tout d abord ils contiennent ou au minimum voquent la d monstration de l irrationalit de 42 l occasion quelques autres ensuite ils sont r dig s en un certain style litt raire ou math matique d sinvolte p dant enfin ils satisfont une propri t technique oulipienne ou pastichent le style d un auteur du monde des arts des sciences ou des lettres Ultime crit re les auteures s amusent exhiber leurs textes en couple Chaque variation admet une adjointe moins que ce ne soit une transposition qui vient l clairer d une nouvelle lumi re Des lettres Ludmila Duch ne et Agn s Leblanc n en manquent pas m me si comme il se doit le e finira par dispara tre et le W par briller par son absence C est avec un r el bonheur que j ai d couvert comment l irrationalit de V2 aurait pu tre trait e par Beckett Flaubert Joyce ou Moli re ou comment le crit re d Eisenstein permet d expliquer le Th or me de Pasolini J avoue m me quelques francs clats de rires quand les auteures s amusent aux d pens de ceux qui ont tendance tirer un peu trop sur la super corde page 117 ou quand elles font discuter le petit Nicolas avec son homonyme pold ve page 133 Brillants sont galement les exercices plus formels les m nes de Th t te nous offrent une charmante d monstration monovocalique un prisonnier anonyme nous griffonne la sienne en utilisant uniquement les
12. our de la conjecture de Zilber Pink voir 2 ou l apport de la th orie d Arakelov mais il sera difficile de bouder son plaisir devant la richesse et la qualit des quelques 600 pages propos es Le titre des chapitres d crit assez bien leur contenu 1 Hauteurs 2 Hauteurs de Weil 3 Tores lin aires 4 Petits points 5 quation aux unit s 6 Th or me de Roth 7 Th or me du sous espace 8 Vari t s ab liennes 9 Hauteurs de N ron Tate 10 Th or me de Mordell Weil 11 Th or me de Faltings 12 Conjecture abc 13 Th orie de Nevanlinna 14 Conjectures de Vojta Trois appendices concernent un r sum des outils de g om trie alg brique de la th orie de la ramification et de la g om trie des nombres Le chapitre sur la conjecture abc est riche de r sultats Belyi Elkies Darmon Granville et questions la conjecture abc initialement pro pos e par Masser et Oesterl peut se formuler tr s l mentairement sur le corps des rationnels Si R n d signe le radical de n i e le produit des nombres premiers SMF Gazette 128 avril 2011 112 INFORMATIONS divisant n cette conjecture pr dit que pour des entiers premiers entre eux v rifiant a b c 0 on a l in galit max al bl c lt CeR abc Parmi les textes pr existant sur la g om trie diophantienne citons le survey de Serge Lang 10 essentiellement sans d monstration et les ouvrages 6 9 11 Le livre de Bombieri et Gubler est remarqua
13. ssentiellement sexuel pour les textes X et Y ainsi que pour celui intitul Fonctoriel ou m me simplement voqu ou potentiel d une des auteures pour son interlocuteur de l introduction ou de la r veuse pour l tourdi l amour est toujours d u tromp quivoque ou univoque et finalement insatisfaisant L absurdit la contradiction finale d montrant l irrationalit de nos pr misses que les auteures veulent porter notre attention serait donc peut tre l observation sans cesse r it r e par les protagonistes de l ouvrage que ni la virtuosit math matique et linguistique ni l rudition et la culture ne sont suffisantes pour susciter af fection et amour qu elles peuvent m me rendre plus cruelles ou du moins plus d sagr ables les petites humiliations que l on doit subir lorsque l on appartient la gent f minine Car pour tre math maticiennes les auteures n en sont pas moins femmes dans la vie comme dans Rationnel mon Q et semblent toujours avoir l esprit que le mieux qu elles peuvent attendre de la vie est un cours NdA de math matiques bien s r ou un suave roman sans sexe car sans amour gt comme elles l crivent page 141 simple co ncidence Est ce pour cela que le sexe comme nous l avons d j voqu est si faible dans cet ouvrage ce que l auteur de ces lignes refuse cat goriquement d attribuer par essence au genre choisi Est ce ainsi galement que l on doit lire le texte intitul
14. zette 128 avril 2011 108 LIVRES Cet ouvrage constitue la fois une excellente introduction math matique l tude de mod les probabilistes sur r seau percolation mod les d Ising et de Potts et un point d entr e remarquablement clair et concis aux ph nom nes cri tiques en dimension deux Il s agit d une lecture conseiller aux tudiants pour d couvrir ces mod les comme aux chercheurs confirm s qui souhaitent comprendre les r sultats r cents de S Smirnov sur l invariance conforme en dimension deux Thierry Bodineau cole Normale Sup rieure Paris Rationnel mon Q L DUCH NE ET AGN S LEBLANC Hermann 2010 ISBN 978 2 70567 031 3 15 Logique formelle combinatoire th orie des graphes alg bre Que ce soit dans la d finition de nouvelles r gles formelles ou dans les th mes abord s La Vie Mode d emploi reste sans doute le seul Prix M dicis contenir le symbole Hom les math matiques ont on le sait t une source d inspiration f conde pour les auteurs de l Oulipo Avec Rationnel mon Q sous titr 65 exercices de style sur l irrationalit de racine de 2 les math matiques rendent la poli tesse Dans la plus pure tradition de la fameuse citation de Raymond Queneau remarquant que l e classique qui crit sa trag die en observant un certain nombre de r gles qu il conna t est plus libre que le po te qui crit ce qui lui passe par la t te les 65 exercices en questio

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