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La conjecture de Weil : II

1. 4 4444eesesse 4 1 Le th or me de Lefschetz difficile 422 4 2 Rappels sur les pinceaux de Lefschetz 4 3 Compl ment SGA 7 XIX 4 4 44444eesses ses 4 4 La monodromie des pinceaux de Lefschetz 4 5 Le th or me du pgod 444 44 esse 18 138 144 146 153 156 162 164 165 170 175 179 182 184 187 187 192 197 197 200 204 207 210 212 215 217 217 219 221 227 231 313 138 PIERRE DELIGNE 5 Application au Qy type d homotopie 234 5 1 Le Z t complexe de De Rham d apr s Grothendieck et Miller 234 5 2 Le Q7 type d homot pie issus mere nn nano E ETA danser eee 237 5 3 Graduations par le poids 240 6 Le formalisme des faisceaux mixtes 243 6 41 Stabilit Tin nee ERA den ae RU SE RER EE de LR AN er D GX 243 6x2 Complexes Purs AIR RAT ARR SE RE Sn tan Pit de 247 Introduction Dans 1 cit I par la suite nous avons d montr la conjecture de Weil donnant la valeur absolue complexe des valeurs propres de Frobenius agissant sur la cohomologie d une vari t projective et lisse d finie sur un corps
2. gt Gr V et que a agisse par multiplication par X I O o sur Gr V existence se voit en choisissant comme en 1 6 8 en identifiant Gr V V Paide du scindage V de la filtration et en transportant u au gradu par cette identification L unicit r sulte de Bourbaki Lie VIII 11 n 1 lemme 1 La formation de v est compatible au produit tensoriel et au passage au dual pris comme en 1 6 9 Ceci va nous permettre de d terminer le comportement de P par produit tensoriel et passage au dual 1 6 11 Choisissons une fois pour toutes pour chaque entier d gt o une repr sentation irr ductible S de SL 2 de dimension d 1 et un vecteur de plus bas poids e_4ES1 _aF0 et F A transforme e_ en e_ Posons 1 6 11 1 P d d j d d lt j lt d d et j d d 2 343 168 PIERRE DELIGNE et choisissons des isomorphismes de repr sentations x 6 11 2 SS je P d d x 6 11 3 S S S j Pour V N M et P comme pr c demment il existe un unique isomorphisme de repr sentations de SL 2 1 6 11 4 a DSP gt Gr V 3 o SL 2 agit trivialement sur P la source et par 1 6 9 au but tel que le compos P_ S S P_ lt gt Gri V soit l inclusion de de P_ Ceci fournit des isomorphismes 1 6 11 5 P_ Homgy s Gr V 1 6 12 Soient maintenant V et V comme en 1 6 10 V V V et crivons P P et P pour P V P V et PV D
3. pro P C xD gt D on dispose d un analogue de 3 6 1 notant X la fibre sp ciale f t 0 et X f t une autre fibre fe D on a un homomorphisme surjectif H X Q gt H X Q Ceci se d montre par un argument parall le 3 6 1 la filtration par le poids de la th orie de Hodge mixte se substituant celle d duite de Frobenius Voir J Steenbrink Mixed Hodge structure on the vanishing cohomology Symp in Math Oslo 1976 3 7 Retour I 8 Les r sultats des n 3 3 et 1 8 permettent de simplifier les preuves de 1 8 2 et 1 8 4 3 7 1 Soient S un sch ma lisse sur F f E gt S une famille de courbes elliptiques param tr e par So et rW Im H S Sym R f Q gt Ht S Syn REZ Q Pour S une courbe de compl tion projective j S So W peut encore se d crire comme H S j Sym R f Q Le faisceau RIF Q est ponctuellement pur de poids 1 Sa puissance sym trique k i me est donc pure de poids k et d apr s 3 3 6 W est pur de poids k 1 L assertion 5 1 de 4 est un cas particulier de ce r sultat Ceci rend inutiles les arguments de loc cit pour ramener 4 5 1 la conjecture de Weil sous sa forme usuelle I 1 6 Rappelons que 4 5 1 est un des points essentiels de la preuve de la conjecture de Ramanujam Peterson cit e en 1 8 2 3 7 2 Voici une version simplifi e de la preuve de 1 8 4 Soit Y F gt C un caract re addit
4. 154 PIERRE DELIGNE D apr s ces d finitions le faisceau o est ponctuellement pur et pour tout n est de poids Il est mixte d ensemble de poids vide Variante 1 2 3 Si k est un corps fini les faisceaux sur Spec k s identifient aux repr sentations adiques de Gal k On leur transporte la terminologie 1 2 2 Variante 1 2 4 Une m me terminologie s applique aux faisceaux de Weil 1 1 10 ainsi qu aux Q vectoriels munis d une action de Frobenius en ce qui concerne la variante 1 2 3 Stabilit s x 2 5 i La cat gorie des faisceaux ponctuellement purs de poids n est stable par les op rations de passage au quotient un sous faisceau par extension image r ciproque image directe par un morbhisme fini ii Le produit tensoriel de deux faisceaux ponctuellement purs de poids n et m est ponctuel lement pur de poids n m Le dual d un faisceau lisse ponctuellement pur de poids n est ponctuellement pur de poids n ii La cat gorie des faisceaux mixtes est stable par les op rations de i et par produit tensoriel iv Notons enfin que Q 1 est ponctuellement pur de poids 2 1 2 6 Pour montrer que c05 est pur de poids n il suffit de v rifier que pour tout isomorphisme de Q avec C le nombre complexe wx est de valeur absolue g Le nombre est alors automatiquement alg brique sans quoi wx pourrait tre n importe quel nombre transcendant Dans toute la suite nos
5. Soit XCP une vari t projective Les sections hyperplanes de X sont param tr es par les points de l espace projectif dual P et chaque droite de P param trise un pinceau de sections hyperplanes KAE 6 2 10 1 P lt gt D Pour K dans D X les Rif g K sont lisses sur un ouvert dense U de P On appellera g n rale une section hyperplane Y correspondant ueU Le groupe fondamental x U u agit sur H Y K Si D est assez g n rale et que eV UND l image de z V u dans GL H Y K co ncide avec celle de x U 4 En particulier on a 6 2 10 2 H Y K H Y K D assez g n ral Proposition 6 2 xx Avec les notations pr c dentes soit n un entier dans les bons cas la dimension de Y et supposons que pour chaque i le support de DK 9n 2 est de dimension lt n 1 1 Alors i Pour toute section hyperplane Y on a H X K gt H Y K pour i lt n et H X K H Y K ii Pour D un pinceau g n ral et ueD l image de H X K dans H Y K coincide avec l image de H D R f ig K 32 250 PIERRE DELIGNE La preuve est parall le celle de 4 1 6 On v rifie d abord le th or me de Lefschetz faible Hi X Y K o pour i lt n Par dualit cette nullit se ram ne celle de H X Y DK pour i gt n qu on a prise pour hypoth se L assertion i en r sulte par la suite exacte longue de cohomologie Pour Y une section hyperplane assez
6. 3 3 5 permettent de localiser comme suit les couples r s attach s aux valeurs propres de Frobenius sur un H Corollaire 3 3 8 On suppose X de dimension lt d En cohomologie support propre ou en cohomologie ordinaire pour X propre r s est dans un triangle inf rieur du diagramme ci dessous En cohomologie ordinaire et pour X lisse r s est dans un triangle sup rieur du m me diagramme 382 LA CONJONCTURE DE WEIL II 207 La v rification est facile On peut montrer que en cohomologie ordinaire r s est toujours dans le carr r union des deux triangles mis en vidence Prenons X propre et lisse On trouve que H X Q est pur de poids i Raisonnant comme dans I preuve de 1 7 1 6 on retrouve le th or me principal 1 6 de I avec projectif remplac par propre Corollaire 3 3 9 Soit Xo une vari t propre et lisse sur F Pour chaque i le polyn me caract ristique det t 1 F H X Q est coefficients entiers ind pendants de tp Les racines complexes x de ce polyn me les conjugu s complexes des valeurs propres de F sont de valeur absolue a g 3 3 10 Le th or me 3 3 1 vaut avec la m me d monstration avec mixte remplac par 1 mixte et n remplac par BEeR Les seuls poids qui peuvent appara tre dans R S F sont les nombres lt B i congrus mod Z l un des poids qui appara t dans F L argument 3 3 2 pour minorer les poids ne s
7. Nih er 5 Via lisomorphisme 1 7 9 1 de F D5 D avec F DE cette filtration par le poids s identifie celle construite par une application directe de 1 9 3 satisfaisant L W W K N cx unicit de la filtration par le poids On a E D et sur F E on d finit enfin W J comme d duit par fonctorialit de la filtration W J de F D5 via l isomorphisme E D E On a a par d finition et la condition b se d duit de L W J W K Nzek 3 pour F D Variante 1 9 5 Soient S un sch ma de type fini sur Z f X gt S un morphisme lisse DCX un diviseur croisements normaux relatif et F un faisceau lisse sur X D mod r ment ramifi le long de D Une variante de 1 9 2 vaut dans ce cadre Elle se v rifie fibre par fibre par r duction 1 9 2 Le cas d un diviseur croisements normaux dans un sch ma S r gulier de type fini sur Z semble par contre inaccessible d j pour S Spec Z 1 Remarque 1 9 6 ajout e sur preuves Comme expliqu dans 2 I on s attend ce que la th orie des variations de structures de Hodge toujours suppos es polarisables soit souvent parall le celle des faisceaux lisses ponctuellement purs Notons D le disque point Cattani et Kaplan viennent de prouver un analogue de 1 9 2 restreint au cas pur pour les variations de structures de Hodge sur D Dans leur contexte les c de la condition L W W N c1 peuvent m m
8. PIERRE DELIGNE La conjecture de Weil IX Publications math matiques de l LH S tome 52 1980 p 137 252 lt http www numdam org item id PMIHES_1980__ 52 137 _0 gt Publications math matiques de VLH S 1980 tous droits r serv s L acc s aux archives de la revue Publications math matiques de PI H S http www ihes fr IHES Publications Publications html implique l accord avec les conditions g n rales d utilisation http www numdam org legal php Toute utilisation commerciale ou impression syst matique est constitutive d une infraction p nale Toute copie ou impression de ce fi chier doit contenir la pr sente mention de copyright Numpam Article num ris dans le cadre du programme Num risation de documents anciens math matiques http www numdam org LA CONJECTURE DE WEIL II par PIERRE DELIGNE SOMMAIRE INTRODUCTION en men e tan enth dnde se nou nee E PAM Gun nettes de NOTATIONS ET CONVENTIONS esse eseessesseseeseeseeosseseseseesesessesrees LR Pareten TE TR A a a a E a A AEE GEEA 1x1 Faisceaux f adiques 24544 444444 E E dot ae ETAN E EE E ea ee 12 Poids oar are La sde Anne ten sn mb a el one O due ne At 1 93 Poids d terminantiels sse nuigooee di ain dansent lee De E se nat Det 1 4 Cohomologie des courbes et fonctions L rappels 155 Un trit re de puret sms nn ns rnnn Qu die de A REENT den et mu a 1 6 A
9. Soient V W F une variation de structures de Hodge mixtes sur D teD V la fibre de Ventet TeEnd V la transformation de monodromie On suppose pour simplifier que T est unipotente et on pose N logT Probl me 1 8 15 D gager une classe de bonnes variations de structures de Hodge mixtes sur D telle que pour V W F bonne et unipotente il existe sur V une filtration finie croissante M telle que NM CM _ et que N induise des isomorphismes bd OA GWV 3 GE oW N GipeGa V gt GG V On aimerait aussi que a la variation V soit asymptotique en un sens convenable une orbite nilpotente une bonne variation pour laquelle F en t exp u est le transform par exp uN de la filtration d duite de F par transport horizontal de t exp u b pour une orbite nilpotente V M F soit encore une variation de structures de Hodge mixtes 1 9 Monodromie locale des faisceaux mixtes Dans ce num ro qui ne sera pas utilis par la suite nous g n ralisons 1 8 7 au cas des diviseurs croisements normaux 1 9 1 Soient X un sch ma lisse sur F D un diviseur croisements normaux de X r union transverse de diviseurs lisses D el et E l intersection des D On suppose chaque D d fini par une quation globale o pour pouvoir appliquer la construction 1 7 8 cf toutefois 1 7 10 Soit par ailleurs F un faisceau lisse sur X D mod r ment ramifi le long de D On suppose qu
10. applique plus dans ce contexte Mais 3 3 4 sauf ce qui concerne les faisceaux entiers et 3 3 5 3 3 6 valent tels quels 3 3 11 Dans tout ceci l hypoth se lisse n appara t que pour justifier la dualit de Poincar Ceci permet de remplacer lisse par rational homology mani fold dans le contexte adique lisse purement de dimension n peut tre remplac par la condition si a est la projection de X sur F on a Ra Q Q 7 2r1 Par exemple un sch ma X qui localement pour la topologie tale est quotient d un sch ma lisse de dimension n par un groupe fini satisfait x 3 4 Application la structure des faisceaux mixtes Les notations 0 7 sont en vigueur Th or me 3 4 1 Soit Fi un faisceau mixte sur un sch ma X de type fini sur F i Fo admet une unique d composition F Fb la d composition selon le poids mod Z dans laquelle les poids ponctuels de Fo b sont tous dans b Cette d composition dans laquelle les F b sont bien s r presque tous nuls est fonctorielle en Fo Remarquons que chaque F b se d duit par torsion d un faisceau mixte de poids ponctuels entiers ii Si les poids ponctuels de Fo sont entiers et que Fo est lisse Fo admet une unique filtration finie croissante W par des sous faisceaux lisses la filtration par le poids ponctuel telle que Gr F soit ponctuellement 1 pur de poids i Cette filtration est fonctorielle e
11. apr s 1 6 10 le produit ten soriel des isomorphismes 1 6 11 4 pour V et V nous fournit un isomorphisme E 5 88 P_ 8P 3 G V J j Le composant avec les isomorphismes 1 6 11 2 on obtient P S PP S GM V JE PGJ d o enfin un isomorphisme ne d pendant que des choix 1 6 11 2 1 6 12 1 P gt POP jer i Pour le passage au dual on trouve de m me des isomorphismes ne d pendant que des choix 1 6 11 3 x 6 12 2 P_ V S PLV Proposition 1 6 13 Soient V un objet d une cat gorie ab lienne muni d une filtration finie croissante W et N un endomorphisme nilpotent de V qui respecte W Il existe alors au plus une filtration finie croissante M de V telle que NM CM _ et que N induise des isomorphismes Gr Gr V S Gr Gr V On proc de par r currence sur la longueur de W Ceci nous permet de supposer que pour un entier a on a W V et que 1 6 13 est vrai pour W 1 muni de la filtration induite par W et de l endomorphisme induit par N Un d calage simultan de m me amplitude sur les filtrations W et M respecte la condition de 1 6 13 Ceci nous permet de simplifier la notation en supposant que a 0 344 LA CONJONCTURE DE WEIL II 169 Soit M une filtration v rifiant les conditions de 1 6 13 La filtration induite cur W_ v rifie les m mes conditions donc est uniquement d termin e La filtration quotient est la filtration 1 6 1 de Gr V So
12. de la substitution de Frobenius L l ment F de W X x est bien d fini W X x conjugaison pr s car son centralisateur dans r X x s envoie sur un sous groupe ouvert de Gal 4 F si y est un point g om trique localis en y ce centralisateur contient une A copie de Gal y y dont l image dans Gal k F identifi 2 est deg 2 328 LA CONJONCTURE DE WEIL II 153 Nous appellerons degr s les fl ches droite du diagramme o m X x W X x Z CC POOO o o m X x m Xo 2 ona deg F degy Les fl ches deg sont surjectives si X est g om triquement connexe En g n ral si le plus grand sous corps fini de T X 0 est de degr n sur F leurs images sont nZ et 12 1 1 14 Soit F un faisceau sur X Si F X X est l endomorphisme de Frobenius de X d duit par extension des scalaires de l endomorphisme de Frobenius xx de X lequel est F lin aire et que id XF X X est l action du Frobenius g om trique FeGal F F on voit comme dans SGA 5 XV qu il y a un isomorphisme canonique id XF F F F Pour F un faisceau de Weil sur X on en d duit une correspondance de Frobenius FFFS F et le foncteur FaH F F est une qui valence de la cat gorie des faisceaux de Weil avec celle des faisceaux F sur X muni d un isomorphisme F F F SF Pour les faisceaux constructibles de Z modules ou pour les Z faisceaux constructibles on dispose d
13. on voit que F D5 admet un prolongement localement constant sur D iel TJ le faisceau D est L ramifi le long de la trace des D i J Ceci permet d it rer la construction et pour KCI J de d finir F D5 D5ug un faisceau localement constant sur D ug muni d une action de Z 1 par fonctorialit et d une action de ZK 1 La transitivit des images inverses fournit un isomorphisme Gen FID Dyo F Diuk compatible aux actions de Z 1 7YE Pour JCKCL le carr F Di Dk Di F D Di F DDP F Di est commutatif Tout ceci s tend aux Q faisceaux constructibles et aux faisceaux de Weil par passages la limite x 7 10 Les constructions 1 7 8 d pendent du choix des coordonn es Indiquons bri vement comment on peut les canonifier on introduit le fibr normal T de E dans X un fibr en espaces affines sur E et les sous fibr s T tangents aux D On remplace la construction de F E par celle d un faisceau F E sur T UT 349 174 PIERRE DELIGNE Un syst me d quations d finit une section de T UT et le faisceau F E d fini en terme des s identifie l image inverse de E par cette section La construction est par ailleurs compatible au changement de base par un morphisme lisse X X Les N et Z 1 agissent sur E qui joue le r le de la restriction de F un voi sinage tubulaire de E dans X On peut aussi le voir comme un analo
14. se r crit L 2 1 4 2 o1 Z log Nv No 7 Tr r x L vez n gt 0 Soit u une mesure sur G voire sur l ensemble des classes de conjugaison de G Pour toute repr sentation unitaire virtuelle de G nous poserons 2 143 B r Tr lt g u L int grale converge si la masse totale de u est finie Nous appellerons alors la fonc tion Thf r la transform e de Fourier de u Si l on n impose pas d tre unitaire on parle de m me de transform e de Fourier Laplace Si u est positive de masse totale finie on a pour toute repr sentation unitaire virtuelle p 21 44 BP H gt 0 pour p gt 0 L La formule 2 1 4 1 exprime que pour o gt 1 A t rT est la trans form e de Fourier de la mesure positive de masse totale finie 2 1 4 5 u log No No S xt EE n gt 0 sur G on crit a pour la mesure de Dirac en a Pour toute repr sentation unitaire virtuelle b de G de caract re r el et gt 0 on a donc A b gt 0 pour 6 gt 1 en particulier pour toute repr sentation unitaire virtuelle p on a 2 1 4 6 A p8 amp P gt 0 pour o gt 1 Pour re soit v t l ordre du p le l oppos de l ordre du z ro de L en to On prolonge v par additivit au groupe de Grothendieck de la cat gorie des repr sen r tations unitaires de G Pour t dans ce groupe la fonction AS n a que des p les simples et son r sidu en rw re est v r Faisant tendre c vers
15. sont des R faisceaux constructibles D coupant X on se ram ne pour le prouver au cas o DEL les K R m sont localement constants Tout complexe composantes plates L repr sentant K R m admet une filtration la filtration m adique de quotients suc L L cessifs quasi isomorphes K R m Les K R m sont donc localement constants et il suffit d tudier leur fibre en un point Dans le cas ponctuel enfin on applique l argument de SGA 5 XV p 32 b R ciproquement si F est un R faisceau constructible sans torsion le syst me projectif des complexes r duits R m en degr o est dans D X R Nous n aurons pas besoin de consid rer le cas o F a de la torsion il faudrait remplacer Z R m par r gt _ FOR m Spmt R m k assez grand pour que m tue la torsion de F le complexe obtenu est alors ind pendant de k c Sous des hypoth ses de finitude convenable par exemple lorsqu on travaille dans la cat gorie des sch mas de type fini sur S avec S r gulier de dimension lt 1 les cat gories D X R m sont stables par les quatre op rations Rf f Rf Rf ainsi que par les op rations internes amp et R Hom De plus toutes ces op rations commutent la r duction mod m Elles s tendent donc trivialement D X R De m me pour les foncteurs RY et R de la th orie des cycles vanescents Voir SGA 44 Th finitude 824 LA CONJONCTURE DE WEIL II 149 Exemp
16. supposer que G G et on a alors G GNXZ 835 160 PIERRE DELIGNE Prouvons 1 3 8 Soient G une suite de Jordan H lder pour Fg P le sous groupe de GL Z qui respecte la filtration G et N le sous groupe de P qui agit trivialement sur les quotients successifs radical unipotent et L P N Ona G CP et l analogue G de G pour Gr est l image de G dans L le groupe alg brique G est extension de G par un sous groupe de N automatiquement unipotent de sorte qu il suffit de prouver 1 3 8 pour Gr justifiable de 1 3 9 Lemme 1 3 10 Soit G un sch ma en groupes extension de Z par un groupe alg brique G dont la composante connexe de l identit G est r ductive Les conditions suivantes sont quivalentes i G admet une repr sentation lin aire dont la restriction G est fid le ii G admet une repr sentation lin aire dont la restriction G a un noyau fini iii Soit Z la composante connexe du centre de G La restriction Z de tout auto morphisme int rieur de G est d ordre fini iv Le centre de G s envoie sur un sous groupe fini de Z L implication i ii est triviale Prouvons que ii iii si p est une repr sentation lin aire comme en ii les poids de Z dans cette repr sentation forment un ensemble fini de caract res qui engendrent rationnellement le groupe des caract res de Z Cet ensemble fini est respect par l action de G sur Z par automorphis
17. 1 8 3 si Fo est ponctuellement pur de poids RB la repr sentation G F de W n n est pure 1 7 4 de poids B i 361 176 PIERRE DELIGNE Par torsion 1 2 7 on se ram ne supposer que B o Rempla ons X par un rev tement fini U et Fo par leurs images r ciproques et s par un point au dessus de s Ceci ne modifie ni les poids ni F ni la filtration M et nous ram ne au cas o la formule 1 7 2 1 pour la repr sentation p de W n n sur Foz vaut dans I tout entier p s exp 6s N pour cel Sous ces hypoth ses Ker N 7 cet espace vectoriel est la fibre de A en s D apr s 1 8 1 si est une valeur propre de F sur Ker N on a donc u lt 1 Soit une valeur propre de F sur P_ Z D apr s 1 6 14 2 on a ia 1 Appliquons ce r sultat D apr s 1 6 14 4 P_ F5 P_ F j est facteur direct de P F 87 de sorte que gi est valeur propre de F sur PFD Fox et g Le ixl lt g Appliquons ce dernier r sultat au faisceau dual Appliquant 1 6 14 5 on trouve que i a7tg i lt 07 ie ra gt qi Les valeurs propres de F sur P_ 7 v rifient donc a g et on conclut par 1 6 14 3 Corollaire 1 8 5 Supposons que F soit un faisceau lisse sur Ug et qu il admette une filtration finie croissante W par des sous faisceaux lisses telle que pour chaque i GY F soit ponctuellement 1 pur de poids i Notons encore W la filtration qui s en d duit sur F Alors
18. Il est bien d fini au signe pr s Dans le cas o n est pair et o p 2 exclu dans 1 4 3 le groupe d inertie I admet plusieurs caract res d ordre 2 Pour l un d eux d pendant de la singularit quadratique ordinaire de f la monodromie locale est encore donn e par la formule de loc cit Tous ces r sultats valent aussi bien en Z m en Z ou en Q cohomologie La preuve dans le cas de la Z m cohomologie dont d coulent les autres est dans SGA7 Notons le Corollaire 4 2 2 L image de H X dans H K est l orthogonal de 3 En Z ou Q cohomologie c est aussi le sous espace des invariants par le groupe d inertie I La seconde assertion r sulte de ce que l expression x qui appara t dans la formule de Picard Lefschetz donnant l action de I est nulle si et seulement si x S 0 c est clair si n est pas de torsion et si est de torsion x est identiquement nul 395 220 PIERRE DELIGNE 4 2 3 Th one globale On reprend les notations de 1 5 6 en particulier XCP est une vari t projective non singuli re connexe et de dimension 1 Xien est un pinceau de Lefschetz de sections hyperplanes de X S est l ensemble des valeurs exceptionnelles teD pour lesquelles la section hyperplane X est singuli re et j U D l inclusion de louvert compl mentaire On pose n 2n ou 2n 1 Identifions D une droite de l espace projectif dual P et notons X C P l image de X par l
19. On a encore la relation 5 1 4 2 entre ces groupes et la Z t alg bre t gradu e DG 5 2 1 2 Q X Z lim ind Q X Z 4 exactitude des limites inductives Faisons maintenant hypoth se E les H X Z sont des groupes finis Les arguments de SGA5 V 5 3 1 sappliquent montrent que chaque 5 2 1 3 H X Z lim proj H X Z est un Z module de type fini et qu on a les suites exactes habituelles o gt H X Z amp Z H X Z i Tor H X Z Z gt o coefficients universels Posons 5 2 1 4 Q X Z lim proj Q X Z 2 limite projective bigradu e c est une Z t alg bre t gradu e DG On a a les H X Z sont finis leur syst me projectif v rifie donc la condition de Mittag Leffler ML b en chaque bidegr i p sauf pour i p les morphismes de transition entre les QP X Z sont surjectifs 5 1 5 et la condition ML est v rifi e pour i p on a une suite exacte mn d 2 X ZI gt X Z gt H X Z o d o ML puisque la cohomologie v rifie ML Gr ce a b le passage la limite projective 5 2 1 4 est exact d o un morphisme 5 2 1 5 H Q X Z gt H X Z 9 Z t n qui identifie la cohomologie de Q X Z la somme des H X LAEES pour p lt n n Il est essentiel dans cette construction que la limite inductive sur ait pr c d la limite projective sur n 413 238 PIERRE DELIGNE Pour tout m
20. bre de Lie N de dimension 1 La th orie pr c dente s applique d s qu on choisit N o dans K Dans 1 6 13 l existence de la filtration M et cette filtration m me si elle existe sont ind pendantes du choix de N L isomorphisme N de Gr Gr V avec Gr Gr V a pour avatar un isomorphisme canonique de Gr Gr VON avec Gr Gr V Pour tout espace vectoriel Y crivons Y pour Y N L isomorphisme s crit 1 6 14 1 Gr Gr V k S Gr Gr V Pla ons nous dans la situation tudi e de 1 6 1 1 6 12 Ici la filtration M et P ne d pendent pas du choix de N mais les isomorphismes 1 6 4 1 et 1 6 12 1 et 2 en d pendent Si N est remplac par AN chacune de leurs composantes not e g n riquement X gt Y est multipli e par une puissance convenable 7 de N Elle d finit alors une application N X gt Y k qui elle est ind pendante du choix de N Les isomorphismes d finis pr c demment deviennent des isomorphismes ind pendants du choix de N 345 22 170 PIERRE DELIGNE x 6 14 2 Gr Ker N P pour 1 6 6 Rs 1 6 14 3 Give p pour 1 6 4 1 it J i j 6 14 a 8 P 1 1 6 14 4 E gare 2 pour 1 6 12 1 P j j d fini par 1 6 11 1 1 6 14 5 P_ V P_ V J pour 1 6 12 2 Pour se rappeler ces formules si on regarde Gr et P comme de poids et N comme de poids 2 les deux membres sont toujours isobares du m me po
21. d duit de l espace affine A par adjonction d un hyperplan infini Hp f la projection de Sx P9 sur S et j l inclusion de S x A dans S xP Localement pour la topologie tale le S sch ma SXP muni du fais ceau 7 7 FQ s est constant i e isomorphe au produit avec S d un espace muni d un faisceau C est clair sur SXA o pF FQ gs est localement constant et pr s d un point de H o Q ne s annule pas resp s annule on peut trouver des coordonn es locales un S morphisme tale d un voisinage tale de k dans SXA dans lesquelles Qs 4 resp Qs 24 4 Le couple SXP 7 YQ est donc localement acyclique sur S SGA 44 Th finitude 2 16 et les RAFF RP AA FQ S RP A FO sont donc lisses loc cit A2 3 7 4 Le sch ma S est connexe et les faisceaux RA FQ sont mixtes Pour prouver 3 7 2 3 il suffit donc d apr s 1 8 12 de le faire pour un polyn me Q particulier On prend Q XZX Pour ce choix le faisceau WQ est le produit tensoriel des images r ciproques de faisceaux analogues sur les n facteurs Af de A et la formule de K nneth ram ne 3 7 2 3 au cas o n 1 et Q X Pour ce cas je renvoie I 8 11 392 IV PINCEAUX DE LEFSCHETZ Dans ce paragraphe sauf au n 5 nous travaillerons au dessus d un corps alg briquement clos k de caract ristique p Soit un nombre premier distinct de p Les groupes de cohomologie consid r s seron
22. ee Puisque g lt 1 ilen va de m me des valeurs propres de F sur F tout entier 1 6 14 3 L in galit b 8 lt ia s obtient par passage au faisceau dual x 10 4 Si l on applique le th or me 1 10 3 aux puissances ext rieures de Fg on obtient une relation entre les polygones de Newton attach s aux F xe U et aux F se S Nous n noncerons le r sultat que pour p 1 10 7 pour p les valeurs propres de Frobenius sont en pratique toujours des unit s adiques et 1 10 3 n est jusqu ici utile que sous la forme suivante Corollaire 1 10 5 Si pour tout point xe U les valeurs propres a de F sur Fo sont des unit s l adiques i e si ix 1 alors pour tout point se S les valeurs propres de F sur Fo sont encore des unit s l adiques En rapetissant U on peut remplacer l hypoth se pour tout xe U par pour tous sauf un nombre fini et r cup rer gratuitement les x manquants x 10 6 Pour p il est utile de passer du langage des valeurs absolues celui des valuations Pour N une puissance de p soit donc Vy la valuation de Q nor malis e par Vy N 1 Soit er une famille finie d l ments de Q Son polygone de Newton rel N est le graphe de la fonction continue lin aire par morceau n de o I dans R caract ris e comme suit n 0 0 et si Pon range les vy en une suite croissante index e par les entiers entre 1 et I
23. entre H X et H X ie entre Hi X et H i X Les suites 5 et 6 nous fournissent donc une croix de suites exactes H i 1 X N 8 o Hi X 1 1 H X H X 0 8p H X Par passage la limite cette croix subsiste en Z cohomologie avec en haut le groupe lim H X Z La pr sence possible de torsion complique l interpr tation de ce groupe par dualit mais cette complication dispara t par passage la Q cohomologie o la croix 8 est nouveau valable Le groupe de Galois arithm tique Gal n n 0 agit sur cette croix via son quotient Gal F F Calculons les poids Lemme 3 6 2 H X est mixte de poids lt i Le groupe H X est la fibre en n du faisceau R f Q sur S D apr s 3 3 9 appliqu aux fibres de f ce faisceau est pur de poids et on applique 1 8 8 i pp1q 0 P P Lemme 3 6 3 HN i 1 X N est mixte de poids gt i 1 R sulte aussit t de 3 3 4 Bien que ce ne nous soit pas indispensable notons encore que H X est mixte de poids lt z Le foncteur W partie de poids lt i est exact En l appliquant 8 on obtient un diagramme exact o f WHU X H X o0 H X dont le th or me r sulte 390 LA CONJONCTURE DE WEIL II 215 3 6 4 Soient DCC le disque unit f XD un morphisme propre et sup posons X lisse et f lisse au dessus de D D o0 Si f se factorise par
24. et le lemme en r sulte Quel que soit les poids des valeurs propres de F ou de F rel q sont donc les m mes A limitation de 1 2 on d finit alors ce qu est une repr sentation pure mixte t pure et les poids d une repr sentation Proposition d fintion x 7 5 Supposons que les 1 poids de V soient entiers Il existe alors une et une seule filtration finie croissante M de V stable par W K K telle que Gr V soit pur de poids i On l appelle la filtration par le poids On a NM 1 CM _ Choisissons un rel vement F de Frobenius dans W K K Soit V la somme des sous espaces propres g n ralis s de F dans V correspondant aux valeurs propres telles que w x 1 et posons M IL Vj On a NM CM _ Il s agit de prouver que M est ind pendant de F cela assurera que M est stable par W K K et on aura M M Soit donc M la filtration d finie par un rel vement F Soit I comme dans 1 7 2 1 Puisque I I est fini il existe n gt o telque F F mod I Pour convenable dans Q 1 on a alors dans GL V E exp AN F donc F exp uN F exp uN si u A 1 g Puisque V est encore la somme des sous espaces propres g n ralis s de F relatifs aux valeurs propres telles que w x 1 lautomorphisme exp uN transforme M en M Puisque N respecte M on a gagn 347 172 PIERRE DELIGNE Corollaire x 7 6 Si V est 1 pur l action de I
25. j F idan Fr H X jF Dans cette formule a D apr s 1 4 6 le premier facteur au premier membre converge pour t lt 07 t et n a ni z ro ni p le dans cette r gion b D apr s 1 4 3 le second membre n a pas de p le pour t lt g7 6 2 c Comparant a et b on trouve que les facteurs restants det 1 F t j F Tt xe So sont sans p le pour t lt g7 t Si est une valeur propre de F sur j Fo on a donc lt N x 22 soit 1 8 1 2 Wyl lt B 2 Pour conclure on applique 1 8 1 2 aux puissances tensorielles de F Puisque k k QJ Fo est un sous faisceau de 7 7 on trouve que les valeurs propres de F sur j Fo satisfont ww kB 2 soit Wya lt B 2 k et on fait tendre k vers Pinfini Remarque 1 8 2 Comparons les z ros des deux membres de 1 8 1 1 A gauche il n y en a pas pour t lt g7 22 A droite le d nominateur ne s annule pas dans cette m me r gion Le num rateur ne peut donc s y annuler et pour toute valeur propre de F sur H X 7 7 on a w x lt B 2 1 8 3 Soient seS d image s dans S n le point g n rique du trait hens lien corps r siduel fini Xy et n un point g n rique g om trique de son hens lis strict Xg cf 1 7 1 La fibre F de F en n est une repr sentation du groupe de Weil W n Nous noterons M sa filtration de monodromie locale 1 7 2 Th or me 1 8 4 Avec les notations de 1 8 1 et
26. me stabilit vaut pour les foncteurs Ext locaux 6 1 12 Nous allons maintenant d duire de 6 1 2 une stabilit analogue pour les faisceaux de cycles vanescents Soient donc S une courbe lisse sur F resp Q s un point ferm de S X un S sch ma de type fini et F un faisceau sur X Faisant le chan gement de base S S on obtient X F au dessus du trait hens lien S Soient n le point g n rique de Sj un point g om trique au dessus de s et y un point g o m trique g n rique du localis strict S Les faisceaux de cycles vanescents RF 7 sont des faisceaux sur X munis d une action continue de Gal r n au dessus de son action sur X via Gal s s La restriction de cette action au groupe d inertie est automati quement quasi unipotente D finissons pour un faisceau muni d une telle action de Gal n n ce que signifie tre mixte a Un faisceau sur X muni d une action continue de Gal s s s identifie un faisceau sur X SGA7 XIII 1 1 3 Si l action p se factorise par Gal s s on dit que Z p est mixte si le faisceau correspondant sur X l est b Si Z p admet une filtration finie F telle que Gr p se factorise par Gal s s cas unipotent on dit que p est mixte si Gr amp l est au sens a c L hypoth se b devient vraie apr s avoir remplac Gal n par un sous groupe d indice fini quasi unipotence G om triquement ceci revient remplacer S par un trai
27. un Q faisceau constructible sur un sch ma 0 1 X cf SGA 5 VI 1 4 2 a Soit A un anneau noeth rien de torsion Un faisceau de A modules F est dit constructible SGA 4 IX 2 s il existe une partition finie de X en parties localement ferm es X telle que les restrictions F X soient localement constantes de fibres des A modules de type fini b Soient R un anneau local noeth rien de caract ristique r siduelle et m son id al maximal On suppose R complet pour la topologie m adique La cat gorie des R faisceaux constructibles est la cat gorie 2 limite projective des cat gories de faisceaux de R I modules pour I un id al ouvert de R Pour la notion g n rale de limite pro jective resp inductive 2 cat gorique le lecteur peut consulter SGA 4 VI 6 10 resp 6 3 Nous lexpliciterons chaque usage pour qu il puisse se dispenser de le faire Ici Un R faisceau constructible F sur X est un syst me projectif de faisceaux de R modules index par les id aux ouverts I de R tel que x F est annul par I et est constructible en tant que faisceau de R I modules B pour IDJ le morphisme de transition de F dans Z induit un isomorphisme de F R JI avec Fi L application n gt m des entiers gt o dans l ensemble des id aux ouverts de R est cofinale Ceci permet dans les d finitions pr c dentes de remplacer la limite pro jective sur I par une limite projective sur n avec R I remplac par R
28. 1 8 1 Dans 1 8 1 1 le premier facteur au premier membre converge pour t lt 1 b resp t lt 1 gb 1 4 6 Le second membre n a pas de p le pour t lt 1 q b donc pour lt 1 b par 1 4 4 resp pour t lt 1 qb Les facteurs restant au premier membre t det 1 F t j Fo xe Sol sont donc sans p le pour t lt 1 b resp lt 1 gb ce qui prouve 1 10 1 resp prouve fix lt gb r sultat dont on d duit 1 10 1 en rempla ant F par ses puissances tensorielles comme en 1 8 1 1 10 2 Soient selS 5 n n comme en 1 8 3 et la repr sentation F du groupe de Weil W n n Nous appellerons valeurs propres de F sur Fg les valeurs propres d un rel vement de Fe W s s dans W n n agissant sur F Cette termi nologie ne sera utilis e que lorsque le choix du rel vement n importe pas cf 1 7 4 Th or me x 10 3 On se place dans le cas non archim dien Soit o lt b lt c lt oo Si pour tout point xe U et pour toute valeur propre x de F sur Fy on a b8 lt ra lt c38 alors pour tout point seS et pour toute valeur propre a de F sur Fo on a encore pr jalce 358 LA CONJONCTURE DE WEIL II 183 Soit se S Comme en 1 8 4 on passe un rev tement fini pour supposer la monodromie locale unipotente l action de IC W n r sur s crit oexp t 0 N Le lemme 1 10 1 assure que les valeurs propres de F sur Ker N satisfont ji
29. 11 Les valeurs propres de F sur EX H A R fr satisfont wa lt 2 27 Il suffit de le v rifier pour les valeurs propres de F sur chaque H A Gr Rifin 2 Si Gr Rifin est constant ce H est nul puisque A est une droite projective Sinon w Gr RI fin g est de poids entier lt 2 3 2 9 et 3 2 10 donc de poids lt 1 et Pon applique 3 2 5 k Lemme 3 2 12 Les valeurs propres a de F sur EP H A REfin g et sur EP H A R fin 4 satisfont w x lt 2 La formule 3 2 7 1 et une double application de 1 4 4 montrent que pour xe A les valeurs propres de F sur R fir i 0 2 satisfont Wya lt B i puis l nonc 3 2 13 Preuve de 3 2 4 R 1 sous les hypoth ses 3 2 6 Il r sulte de 3 2 11 3 2 12 et de la suite spectrale 3 1 1 5 que les valeurs propres de F sur H r satisfont w a L2 27 La m me estimation vaut a fortiori pour les valeurs propres de F sur HU F OH U F C H V C H n2 K nneth et 3 1 1 4 En particulier si est une valeur propre de F sur HU F on a wa lt 2 27 donc wa lt 1 27 0 3 2 14 Fin de la preuve de 3 2 4 k 1 La validit de Passer tion 3 2 4 k 1 est invariante par une extension pr liminaire du corps fini de base F cf preuve de 2 2 10 Puisque sur F il existe des plongements et des pinceaux satis 879 204 PIERRE DELIGNE faisant B il en existe
30. 3 1 On a donc dW CW 1 0o puisque W M est form de cycles on dispose d une projection naturelle de W 4 dans H X Q Elle est surjective puisque H est purement de poids n Soit p H X Q le compos de cette projection avec la projection de sur W qui annule les W 4 pour i gt n On v rifie facilement que p y est un quasi isomorphisme d alg bre DG d o le corollaire 5 3 8 Pour X normal on obtient de m me un th or me analogue au th or me de Morgan sur le syst me des quotients de r X qui sont des groupes de Lie adiques unipotents cf 9 Signalons quelques questions pass es sous silence 5 3 9 Pour un mod le minimal et une filtration comme en 5 3 1 soit G le groupe proalg brique des automorphismes de qui respectent les et H le sous groupe de ceux qui sont homotopes l identit Posons Aut 4 G H C est un groupe proalg brique Si X est une vari t alg brique sur alg briquement clos provenant par extension des scalaires de X k d nombrable l action naturelle de Gal k sur A X fournit un homomorphisme de groupes 5 3 9 1 Gal ko ko gt Aut k 4 Q Il faudrait v rifier que cet homomorphisme est continu i e que pour tout quotient alg brique de type fini Q de Aut A l homomorphisme de Gal k ko dans Q Q d duit de 5 3 9 1 est continu si Q Q est muni de sa topologie usuelle On
31. 8 Prouvons pour X lisse sur S et F lisse Le probl me tant local sur Y on peut supposer Y affine puis projectif remplacer Y par son adh rence dans un espace projectif Soient 1 YY et j Y Y garantis par 6 1 7 apr s r tr cissement de S x cl y NI Y r 420 LA CONJONCTURE DE WEIL II 245 Le raisonnement suivant o appara t formellement une cat gorie d riv e de faisceaux adiques sera justifi ci dessous Appliquons R au triangle d fini par la suite exacte 1 o gt j RAF gt RELF gt Lt RLF gt 0 on obtient un triangle 2 gt Rb A RAF gt Ra F bi RAF gt dans lequel les faisceaux de cohomologie des deux premiers termes sont mixtes sur un ouvert dense de S d apr s 3 3 1 pour le premier b est propre et 6 1 5 pour le second Les faisceaux de cohomologie de b RAF sont donc mixtes et on en d duit que ceux de Rf puis ceux de RF le sont galement Pour justifier cela on crit F comme d duit d une limite projective d un syst me projectif de faisceaux de R m modules libres localement constants se d duisant les uns des autres par r duction comme en 1 1 1 on consid re le syst me projectif corres pondant de triangles 1 et 2 et on r p te argument 6 1 9 Prouvons en g n ral L usage qui sera fait d une cat gorie d riv e se justifie comme ci dessus On commence par se ramener au cas o dans X existe un ouvert dense V
32. Es Cx 5 L o e ayant un p le simple en s 1 la fonction L ne peut s annuler en ce point On peut d duire de 2 1 12 et 2 2 9 des r sultats d quidistribution la Sato Tate Nous en repoussons la discussion 3 5 pour pouvoir traiter le cas de dimension gt 1 La variante suivante de 2 2 9 nous sera d un usage plus commode Corollaire 2 2 10 Soient Xo une courbe lisse sur F et Fo un faisceau lisse 1 pur de poids B sur X Alors si est une valeur propre de F sur H X F on a w a lt B 2 Ce corollaire am liore la majoration triviale w lt B 2 de 1 8 2 Il sera am lior en 3 2 La validit de 2 2 10 est invariante par une extension pr liminaire des scalaires de F F ceci remplace F par F et w par Wp Puisque H X F est somme sur les composantes connexes Y de X des H Y F nous sommes ramen s au cas o X est absolument irr ductible Si F figure dans une suite exacte courte 0 7 gt F Fy gt o la suite exacte longue de cohomologie gt H X F gt H X 7 H X F nous ram ne prouver 2 2 10 pour et Fy on peut supposer Fo irr ductible Les hypoth ses de 2 2 5 sont maintenant v rifi es par X Fo Si on y tient et que non seulement on proc de une extension du corps de base mais encore qu on remplace X par un rev tement ce qui est loisible car la cohomologie de X s injecte dans celle d un rev tement on rempl
33. F est mixte poids entiers la filtration de monodromie locale de V rel W 1 7 2 existe et elle co ncide avec la filtration par le poids de F 1 7 5 D apr s 1 7 5 et 1 8 4 appliqu aux Gr les propri t s caract ris tiques 1 6 13 sont en effet satisfaites par la filtration par le poids 1 8 6 Soient D un diviseur lisse dans un sch ma X lisse sur F U ouvert compl mentaire et Fg un faisceau lisse sur U mod r ment ramifi le long de D On suppose que Fy admet une filtration finie croissante W par des sous faisceaux lisses telle que Gr soit ponctuellement pur de poids nous verrons en 3 4 que tout faisceau lisse mixte de poids ponctuels entiers admet une telle filtration Supposons D d fini par une quation et soit F D le faisceau sur D muni d une action de Z 1 qui s en d duit par la construction 1 7 8 En restreignant F des courbes transverses D on d duit de 1 8 5 le r sultat suivant Corollaire 1 8 7 Avec les notations de 1 8 6 la filtration de monodromie locale autour de D de F D rel W existe Pour cette filtration not e M Gr Fo D est ponctuel lement pur de poids i Remarque 1 8 8 1 Avec les notations de 1 8 1 si F est un faisceau lisse sur U ona F ce groupe se d duit de Ker N en prenant les invariants par un groupe fini I I Sous les hypoth ses de 1 8 4 on sait que Ker NCM 1 6 La filtration M induit don
34. Fylt 1 La fonction L r s d finie pour s assez grand admet le d veloppement en puissances de q suivant 2 2 8 1 L s s Z Zo 50 8 t gs Corollaire 2 2 9 Si dim X 1 la fonction L t remplit la condition C de 2 1 10 V rifions les hypoth ses de 2 1 4 i e que a si la repr sentation irr ductible est unitaire et n est pas de forme la fonc tion L r s est holomorphe pour s gt 1 b la fonction L w est m romorphe pour s2 gt 1 avec pour seul p le dans cette r gion un p le simple en amp 0 amp D apr s Grothendieck on a det 1 Ft H X F 7 2 2 9 1 ZA ER 7 Gti F HX Fa Dans le cas a la restriction de G est non triviale La restriction de x X est donc non triviale et le d nominateur vaut 1 On conclut par 2 2 8 ii Dans le cas b L o tx s et l assertion est classique On peut aussi la prouver par voie cohomologique la formule 2 2 9 1 assure que Z X est une fonction rationnelle avec au plus des p les simples en t 1 et t q t et s il ny avait pas de p le en g7 les arguments de 2 1 12 montreraient que le nombre X F est born ind pendamment de n ce qui est absurde 371 196 PIERRE DELIGNE Ceci nous assure par 2 1 4 que L r v rifie C sauf peut tre pour un z ro en amp avec e d ordre 2 Le caract re e de W X x correspond un rev tement double X de X La fonction
35. Gg comme ci dessus extension de Z par le groupe compact GL et 2 Xo x la classe de conjugaison dans Gg d un conjugu de LF ogg TE 370 LA CONJONCTURE DE WEIL II 195 Ces donn es sont du type 2 1 1 et satisfont aux axiomes A et B Le produit infini en B est celui qui d finit la fonction de X Il converge pour Zs gt dim X 1 4 6 D s lors si dim X 1 les axiomes A B sont v rifi s si dim X N ils le deviennent si on prend pour caract re w non pas g7 comme ci dessus mais g N4 9 Dans la suite nous garderons le choix 2 2 7 de et modifierons en cons quence les nonc s du n 2 1 lorsque N gt 1 Par exemple pour unitaire les produits L t s convergent pour Zs gt N La relation entre les fonctions L de 2 1 et les s ries formelles adiques Z de I 1 14 est donn e par la proposition suivante de v rification laiss e au lecteur Proposition 2 2 8 i Les foncteurs extension des scala res par et restriction Gg sont des quivalences de cat gories repr sentations lin aires de G repr sentations lin aires de Go gt repr sentations complexes continues de Gg Pour une repr sentation complexe continue de Gp soit Folre le faisceau d duit de la repr sentation L adique correspondante de W X x Si est irr ductible ce faisceau est ponctuellement pur de poids 2R r ii Posons ZL F r JS det 1 F t8
36. Il r sulte du th or me de Cebotarev que ces produits de Frobenius sont denses dans le x g om trique que x envoie donc dans M la restriction de y au x g om trique est d ordre fini et on conclut comme pr c demment D finition 1 3 5 Soit Fy un faisceau lisse sur X Les poids d terminantiels a rel de Fo sont les nombres poids de AS pour Gy un constituant de Fo et d son rang Il est clair qu un faisceau lisse ponctuellement pur de poids est aussi purement de poids d terminantiel 1 3 6 Si Fa est lisse irr ductible de rang n et que beQ est tel que pour un JelX on a det F 2 Wl l Je faisceau F 1 2 7 est de poids d ter minantiel o rel pour tout sa puissance ext rieure maximale est d finie par un caract re d ordre fini 1 3 7 Pour tudier le comportement des poids d terminantiels par produit tensoriel et puissance ext rieure il nous sera commode de passer du langage des faisceaux celui des repr sentations de groupes alg briques de monodromie Le dictionnaire est inspir de Serre 11 II 1 3 Soit donc F un faisceau lisse sur X Soit G le sous groupe alg brique de GL Z adh rence de Zariski du groupe de monodromie g om trique 1 1 15 Par pusk out partir de la suite exacte 0o 7 X x W X x Z 0 on d finit un groupe alg brique non de type fini G extension de Z par G 0 m X x W X 7 Z 0 Lo 1 3 7
37. K L sur PI Ainsi la suite exacte longue de cohomologie relative pour X et YU provient de la suite exacte courte des complexes simples associ s des complexes multiples T P K T P L o T P L mu TT K R L K T L donnant respectivement la cohomologie de X celle support propre de X Y et celle de YU En particulier l obstruction tendre X X appara t bien comme tant dans H P mod t s K L 7 o s K gt L repr sente Rp Z m Comme expliqu en 4 3 7 les hypoth ses de la proposition 4 3 6 sont satisfaites Appliquons la Si on suit la 401 29 226 PIERRE DELIGNE d finition 4 3 5 on trouve pour l image de par 4 3 5 1 une nouvelle description comme obstruction on a une suite exacte courte Tr Pi K T Pi L o T Pi L T P K lt s es Kz L K gt La une classe amp droite qui induit dans H K H Y une classe transport e de acH Y et on cherche Pobstruction relever amp dans R T Pi K H Xa Zim Puisque est lisse sur P les faisceaux L sont constants et RT Pi L gt L est un quasi isomorphisme Ceci nous permet de remplacer la suite exacte courte ci dessus par son image quasi isomorphe T P K o re K s s K Kz L obstruction cherch e devient celle prolonger ae H Y au dessus de Pimage inverse de P dans amp Ces obstructions sont nulles si vient de H P
38. K dans D T on a un triangle gt RT T mod T K gt RT T K gt RT T K gt donnant lieu une suite exacte longue de cohomologie 899 224 PIERRE DELIGNE 4 3 5 Faisceaux sur Pl Soient X une vari t irr ductible compl te sur k x y deux points ferm s de X et K dans D X Soient et n des points g om triques localis s en des points g n riques n et n des hens lis s X et X On se propose d associer un X isomorphisme o de n avec un morphisme 4 3 5 1 H X x K H X mod x K H X mod K On le fait en suivant le diagramme d espaces t gt Xi 4 ne Ny M E E X X X X X y dont on peut remonter la premi re fl che parce que H X K H x K Proposition 4 3 6 Soit teP et soit K dans D P tel que les K soient cons tructibles et que le support de H K soit fini si i lt o Soit S une partie finie de P telle que les HK soient localement constants en dehors de S Alors le produit des morphismes 4 3 5 1 pour X P x t et yeS est injectif H P mod t K gt IH Pi mod 7s K Dans l application que nous ferons de 4 3 6 on aura t S Soit K le sous complexe de K form des Kf pour i lt o et de l image inverse dans Ker d CK du plus grand sous faisceau de K dont le support est fini Les groupes d hypercohomologie consid r s satisfont H K o pour gt 0 donc H1 K SH1 K
39. Premi re tape montrer que Wyle lt B 2 On le fait en exploitant la formule de Grothendieck pour la fonction Z U t appli quant on trouve gauche un produit infini convergeant pour w t lt B 2 droite une fraction rationnelle de num rateur 1 det I Ft HU F et on utilise le fait que les j F pour xeS contribuent Hi U F Deuxi me tape appliquer ce r sultat aux puissances tensorielles de Fg et de son dual en tenant compte de la structure connue de la monodromie locale 318 140 PIERRE DELIGNE Ceci acquis il est loisible et commode d tudier jF plut t que 7 7 si Fo est lisse et ponctuellement pur de poids BER il s agit de montrer que les valeurs propres de Frobenius sur H U F H X jF sont de poids w lt B 1 On supposera pour simplifier l criture que o On se ram ne ce cas par torsion 1 2 7 D Passage XX Xo La principale id e g om trique est de passer de U Fo UX Uo FoR Fo o FR F Dpr Fo et d analyser H UXU FAF H XxX jF RAF Paide d un pinceau de sections hyperplanes de X X X suppos en position g n rale Ceci pour un prolongement projectif convenable de XX X On suppose effectu le nettoyage Ai Le but est de prouver que le poids d une valeur propre de Frobenius sur H XXX 7 m7 v rifie w lt 3 2 1 Ceci acquis si est maintenant une valeur propre de Frobenius sur H X j F la formule de K nneth as
40. R fZ m Corollaire 4 3 9 En Q cohomologie on a une d composition en somme directe ortho gonale pour la forme d intersection Tr xUy H Y H X 9 Ev Y Cette reformulation du th or me de Lefschetz difficile r sulte de 4 3 3 et 4 1 2 4 3 10 En Z cohomologie la croix 4 3 3 2 montre que l intersection de la partie vanescente Ev Y de H Y et de la partie fixe H X H Y aP 80 est le sous groupe Ker no H X gt H X En Q cohomologie ce noyau est nul c est le th or me de Lefschetz difficile pour X et on retrouve ce que Lefschetz appelle son lemme fondamental un cycle la fois invariant et vanescent est nul Toutefois ainsi que J Morgan me l a fait remarquer ce noyau peut tre non nul en Z cohomologie donc sur C en cohomologie enti re si on remplace n par un multiple en changeant de plongement projectif on peut faire en sorte qu il co ncide avec le sous groupe de torsion de H X tout entier Le lemme fondamental de Lefschetz est donc faux en Z cohomologie et sur C en cohomologie enti re Ceci joint au fait que personne ne l ait r cemment comprise permet de mettre en doute la d monstration que Lefschetz croyait en avoir 402 LA CONJONCTURE DE WEIL II 227 4 4 La monodromie des pinceaux de Lefschetz Les notations sont celles de 4 3 1 Travaillons en Q cohomologie et soit G le groupe des automorphismes de Ev Y muni de la forme
41. V 2 ne change pas si on remplace la section g n rique V par une section assez g n rale W SGA 1 XIII d j cit et la remarque liminaire permet de supposer W d fini sur F i e provenant de W sur F Puisque H W Zi s envoie sur H X Zi il suffit de prouver 1 3 1 pour W ceci a t fait en 1 3 2 Remarque 1 11 5 La proposition 1 11 1 vaut pour tout morphisme de type fini f localisation sur S et un argument la Mayer Vietoris ram nent supposer plat fibres normales les arguments de restriction un ouvert 1 11 4 permettent ensuite de supposer f lisse et quasi projectif l argument de section hyperplane nous ram ne alors au cas de dimension relative 1 de 1 11 1 362 II LA M THODE DE HADAMARD DE LA VALL E POUSSIN 2 1 La m thode 2 1 1 Soient l un groupe isomorphe Z ou R un quasi caract re non trivial amp l R G un groupe localement compact extension de I par un groupe compact G X un ensemble infini d nombrable et x une famille index e par X de classes de conjugaison dans G On fait les hypoth ses A B suivantes Le lecteur trouvera des exemples en 2 1 2 2 1 3 2 1 9 et au num ro suivant A Si T est isomorphe R l extension G est triviale Cette hypoth se est en fait automatiquement v rifi e A Si T est isomorphe Z le centre de G s envoie sur un sous groupe d indice fini de T Pour d montrer 2 2 10 seul utili
42. X de compl ment S X Si les R f J F et les R fi F sont mixtes de poids lt n i les RIf F le sont gale ment appliquer a la suite exacte courte 0 7 F gt F gt i F 0o c D vissage en Y Soit j VY un ouvert de Y de compl ment i T Y Si la conclusion de 3 3 1 devient vraie apr s les changements de base par et 7 elle Pest au d part appliquer le th or me de changement de base d Transitivit Si f gh et que les R g RAF sont mixtes de poids lt n 1 7 alors les Rf F sont mixtes de poids lt n appliquer la suite spectrale de Leray R g Rh gt R 1f e Si YY est un hom omorphisme universel il suffit de v rifier 3 3 1 apr s le changement de base par g la cohomologie tale ne voit pas un tel changement de base Exemples Y Y a ou Y le normalis de Y suppos normal et int gre dans une extension ins parable de son corps de fonctions f Si f est de dimension relative o et que F est ponctuellement pur alors fF R fF est ponctuellement pur du m me poids et les Rf F sont nuls pour i 0o Pour un tel f on conclut par a 380 LA CONJONCTURE DE WEIL II 205 Les d vissages b c d nous ram nent supposer que f est de dimension relative 1 puis a b nous ram nent supposer que F est lisse et ponctuellement pur de poids n Notons que si C est une courbe sur un corps K et que F est un faisceau lisse sur C les assertions suivantes sont vraies pour K p
43. alin a Proposition x 3 x4 voir 1 3 2 Pour qu un faisceau lisse irr ductible Fo de T rang r sur X soit un faisceau tale il faut et il sufit que NF en soit un Tout faisceau lisse irr ductible est donc obtenu par torsion 1 2 7 partir d un faisceau tale Soit g central dans G comme en 1 3 12 il agit sur Fz par multiplication par r un scalaire u Le groupe G agit sur AZ via un quotient discret qui est aussi un quotient de W X x et pour que AF soit un faisceau tale il faut et il suffit que u soit une unit adique Supposons le et soit E une extension finie de Q telle que l action de W X x se factorise par GL r E Il s agit de montrer que l image de W X x dans GL r E est born e l image inverse d un sous groupe ouvert sera alors ouverte d indice fini et la repr sentation se prolongera au compl t x X x de W X x Soient W le sous groupe d indice fini de W X x image inverse de G x g7 W l image inverse de G et p le morphisme compos W G xg2G Puisque les u neZ forment un ensemble born il suffit de montrer que p W CG E est born Ce sous groupe normalise P W qui est compact et Zariski dense On conclut par le Lemme 1 3 15 Dans un groupe semi simple H sur un corps local E le normalisateur d un sous groupe compact et Zariski dense KCH E est compact Nous ne traiterons que le cas o E est de caract ristique o L application
44. arguments concerneront s par ment chaque isomorphisme C est pourquoi bien que les concepts importants soient ceux de 1 2 2 la terminologie suivante nous sera utile Soit un isomorphisme de corps de Q avec C Si q est une puissance d un nombre premier et que axeQ on pose 1 2 6 1 w x 2 loga c est le poids de rel q Pour tout nombre r el B un faisceau F est dit ponctuellement pur de poids B si pour tout xe X et toute valeur propre de F agissant sur F on a Wya On dit que F est mixte s il admet une filtration finie de quotients suc cessifs ponctuellement t purs Les poids de ceux de ces quotients qui sont non nuls sont les poids ponctuels de F On transpose de m me les variantes 1 2 3 et 1 2 4 L analogue de 1 2 5 reste vrai On notera que pour k un corps fini une repr sentation V de W k k est automatiquement t mixte 1 2 7 Torsion Pour beQ nous appellerons Qo un quelconque faisceau de Weil sur Spec F de rang un et pour lequel F soit la multiplication par b Pour b une unit adique c est un faisceau ordinaire Si un choix a t fait d une cl ture alg brique F 330 LA CONJONCTURE DE WEIL II 155 de F on le normalisera par le choix d un isomorphisme entre sa fibre g om trique en F et Q Pour X un sch ma de caract ristique p i e sur F Z un faisceau sur X et b une unit adique resp X de type fini sur F F un faisceau de Weil et be
45. calcul a du H si U est lisse connexe de point base x et que sur U F est d fini par une repr sentation V de m U x on a 1 4 1 3 H X F Vn0 1 1 4 2 Avec les conventions 0 7 soient X une courbe lisse absolument irr ductible sur F et F un faisceau lisse sur Xg Soit Fy resp 75 le plus grand sous faisceau resp faisceau quotient de F qui devienne constant sur X C est l image inverse d un faisceau Fg resp Fi sur Spec F et la discussion 1 4 1 donne 1 4 2 1 H X F F 1 4 2 2 H X F F ou o selon que X est ou n est pas complet 1 4 2 3 H X F F 1 Les faisceaux Fy et F resp Fy et Fy ont les m mes poids d terminantiels et ceux ci sont parmi les poids d terminantiels de F D apr s 1 4 2 on a donc le 338 LA CONJONCTURE DE WEIL II 163 Corollaire 1 4 3 Si a est une valeur propre de F sur H X F ou H X F resp H X F il existe un poids d terminantiel B de F tel que w a resp w x B 2 Plus trivialement on a aussi Corollaire 1 4 4 Si est une valeur propre de F sur HU X F ou H X F resp X F pour tout xe X E resp 1a 8 est une valeur propre de F sur Fo d 1 4 5 Si X est un sch ma de type fini sur F et que F est un faisceau sur Xg on a d apr s Grothendieck une galit de s ries formelles adiques 1 4 5 1 A det i FA F 71 Idet r Fi H X FOD Appliquons lui on ob
46. culier une puissance y n gt o de y est triviale sur x X i e de la forme wh be Si c est une racine n i me de b le caract re y est le produit du caract re wh 1E par un caract re d ordre n i e valeurs dans le groupe cyclique des racines n i mes de l unit de Q En particulier pour ye Xo on a ix F u le faisceau Fy est ponctuellement pur de poids le poids de c rel q 1 2 6 1 On a prouv Proposition x 3 4 Soient Fy un faisceau lisse de rang 1 sur X et x N Xo gt Q le caract re correspondant 333 158 PIERRE DELIGNE i Le groupe de monodromie g om trique de Fo est fini Plus pr cis ment le caract re y est le produit d un caract re wc bar un caract re d ordre fini Fo est ponctuellement 1 pur de poids le poids de c rel q 0 gt q Variante Si X est une courbe la d monstration de 1 3 1 est compl te ind pendante de 1 11 d o d j 1 3 4 Voici d apr s N Katz comment d duire le cas g n ral de 1 3 4 de ce cas particulier Soient ECQ comme plus haut et M le groupe des l ments d ordre fini de E racines de l unit C est un groupe fini On commence par montrer que quels que soient x et y dans X on a y F F dans E Q not multiplica tivement joignant x et y par une courbe on se ram ne au cas o X est une courbe et on applique 1 3 4 Quel que soit le o cycle de degr o En x x on a donc IIF eM
47. de 1 2 9 Conjecture x 2 10 Soient X normal connexe de type fini sur F et F un faisceau lisse irr ductible dont le d terminant est d fini par un caract re d ordre fini du groupe fondamental i F est pur de poids o ii I existe un corps de nombres ECQ tel que le polyn me det 1 Ft F pour xe X soit coefficients dans E ii Pour une place non archim dienne premi re p de E les racines inverses dans E du polyn me det 1 F t F valeurs propres de Frobenius sont des unit s A adiques iv Pour divisant p la valuation des racines inverses v rifie Jola Jo Nx 1 2 rg F v Pour E convenable peut tre plus grand qu en ii et chaque place non archim dienne premi re p il existe un E faisceau compatible F m mes valeurs propres des Frobenius vi Pour divisant p on esp re des petits camarades cristallins Les parties i iii iv de la conjecture r sultent du cas particulier o X est une courbe Pour F de rang 2 sur une courbe les travaux de Drinfeld ram nent la 331 156 PIERRE DELIGNE conjecture vi jusqu pr sent exclue au contr le de la constante de l quation fonc tionnelle de la fonction L attach e F il s agit de L F x L et ses tordues En particulier si F appartient un syst me compatible infini de repr sentations adiques i v sont v rifi s Remarque 1 2 11 Je ne pr tends pas croire l existence d
48. de m me caract re Rempla ant V par V on peut supposer que Dans ce cas on a plus g n ralement Lemme 4 4 7 Soient V et V deux repr sentations adiques virtuelles de W U u Si leurs caract res co ncident sur les puissances des Frobenius ils co ncident Soit V la somme des constituants de V et V G l adh rence de Zariski de l image de z U u dans GL V et G d fini comme en 1 3 7 Les repr sentations virtuelles V et V sont d finies par des repr sentations virtuelles de G Soit g un l ment central de G de degr d gt o et d coupons V et V selon les valuations adiques v des valeurs propres de g Le polyn me caract ristique de F agissant sur V d termine le polyn me caract ristique de F agissant sur chaque morceau V des valeurs propres de F prises RS v cf 1 3 14 Le polyn me caract ristique ne d pendant que des traces des puissances avec leur multiplicit on ne garde que celles de valuation t log det 1 Ft V 2 Tr F V n V et V ont m mes caract res sur les puissances des Frobenius Par torsion 1 2 7 ceci nous ram ne au cas o V et V proviennent de repr sentations de x U On applique enfin le th or me de Cebotarev selon lequel les Frobenius sont denses dans ce groupe 4 4 8 Pla ons nous dans les hypoth ses de 4 4 1 et supposons de plus 7 pair n 92m M fini et Ev Y non nul i e S o La
49. des plongements 1 11 2 X X compl ment de T LA X X compl ment de T Les X X sont des rev tements mod r s On dispose donc encore d une tour de compactifications 1 11 2 X gt X compl ment de T SGA XIII 5 Soient s un point g om trique de S teT n le point g n rique de X n une cl ture alg brique de k n et I Gal n r On dispose d une classe de conju gaison d applications de I dans r X g s Soit M l image de I dans M un sous groupe bien d fini conjugaison pr s Nous nous proposons de v rifier que si 5 se sp cialise en 5 et 4 en amp alors M se sp cialise en un conjugu de M On peut supposer S strictement local Dans ce cas t et sont sur une m me section de T et celle ci se rel ve en une section de T Le faisceau M agit sur T et il suffit d observer que les M sont les fibres en s et s du stabilisateur de Tout ceci vaut encore si les plongements voulus n existent que sur S S comme en 1 11 2 donc en tout cas sur un ouvert non vide de S Si s est de caract ristique p et que F sur X est mod r ment ramifi en eT lPapplication de I dans M se factorise par le groupe d inertie mod r IP Z Si F est mod r ment ramifi le long de la section de T S avec s elle se factorise m me par Zo E Zy 1 pour L l ensemble des nombres premiers inversibles sur S On dispose alors d un
50. du gradu et le complexe sous jacent oubli de la filtration Par abus de langage nous appellerons parfois triangles de tels objets de DF X R Nous les crirons comme une suite exacte courte e La d finition des foncteurs de troncature T lt est d licate Si K est un complexe de faisceaux le complexe K est le complexe K K 1Ker d 0 Ce foncteur transforme quasi isomorphismes en quasi isomorphismes donc passe la cat gorie d riv e Mais il ne respecte pas la Tor dimension finie On contourne comme suit la difficult Si K est dans D X R et que le complexe de faisceaux K est un L repr sentant de K amp R m soit Ten K le sous complexe de r K obtenu en rempla ant Ker d par le sous faisceau des cycles dont l image dans H KOR m est dans Im K gt HRK OR Jn Le complexe K est dans D X R m et l on pose ee K lim proj lt L K R m Cette construction repose de fa on essentielle sur le fait que R est r gulier de dimension 1 150 PIERRE DELIGNE Variante 1 1 3 On note D X E la cat gorie d duite de D X R en tendant les scalaires de R E on dispose d un foncteur essentiellement surjectif r EL D X R Fe D X E et Hom K L r E gt Hom K E L E On pose ensuite D X Q 2 lim ind D X E limite sur les extensions E CQ de Q3 x 1 4 Dans la suite de cet article nous utiliserons librement pour les Z Q
51. forme sur Ev Y est valeurs dans Q n Elle correspond une forme encore not e sur Ev Y n valeurs dans Q Les cycles vanescents 3 sont des l ments de Ev Y Ils v rifient S 1 2 Th or me 4 4 9 Sous les hypoth ses de 4 4 8 a Le Z module L engendr par les cycles vanescents est tel que L Q Ev Y r la forme est valeurs enti res sur L b Les cycles vanescents 3 forment dans L un syst me de racines R de type D ou E Le groupe M est le groupe de Weyl correspondant Dans M les r flexions de la forme s sont caract ris es ind pendamment de 4 comme tant conjugu es un l ment non trivial d un groupe d inertie en un seS Soient donc deux r flexions s et sy On a Tr ssss dim Ev Y 2 5 8 406 LA CONJONCTURE DE WEIL II 231 L entier Tr s s dim Ev Y 2 a donc une racine carr e dans Q pour tout f p C est donc le carr d un entier et 8 3 eZ Si les 3 eR forment une Q base de Ev Y n on a donc d eZ pour tout eR et est combinaison lin aire coefficients rationnels des L assertion a en r sulte Les s forment une seule classe de conjugaison dans M et M est fini engendr par les r flexions s de L Il en r sulte que R est un syst me de racines irr ductible dont toutes les racines sont de m me longueur donc de type A D ou E et M est son groupe de Weyl 4 5 Application le
52. g n rale la restriction de K Y v rifie l hypoth se avec n remplac par n 1 Cela r sulte du th or me d acyclicit g n rique SGA4 Th finitude pour Z P et g K on a D K Y DK Y 1 2 Ceci permet d appliquer 4 3 7 comme en 4 3 8 et de conclure comme en 4 3 9 Corollaire 6 2 x2 th or me global des cycles invariants pour les complexes purs Sous les hypoth ses de 6 2 11 si K est potentiellement pur alors pour Y une section hyperplane g n rale de X H X K s identifie au sous groupe H Y K 0 des invariants de la mono dromie dans H Y K Il suffit de le v rifier pour une section hyperplane assez g n rale Pour un pinceau D assez g n ral i g K sur X est potentiellement pur on a D g K q DK On peut donc appliquer 6 2 9 en chaque point de D V et on trouve que HD R ig K gt HY Kyaw D apr s 6 2 11 H X K s envoie donc sur H Y K 0 D H Y K 0 Th or me 6 2 13 Soient XCP un sch ma projectif n la premi re classe de Chern de O 1 et KeOb D X un complexe potentiellement pur On identifie Z Z 1 sur k pour pouvoir regarder n comme tant dans H X Z Soit n un entier et supposons K et DK 2n v rifient la condition suivante pour tout i la dimension du support du faisceau H gt est lt n i on pose par convention dim Alors pour tout 120 le cup produit it r n H UX K gt H
53. gt 2 les fl ches extr mes sont des isomorphismes par le th or me de Lefschetz faible rappel ci dessous et la fl che m diane est un isomorphisme d apr s l hypoth se de r currence d o le th or me Pour i 1 le cas crucial Lefschetz faible dit seulement que H t X s injecte dans H 1 Y Son transpos H t Y H 1 X est donc sur jectif et pour que le compos soit bijectif il faut et il suffit que l nonc du lemme soit 393 28 218 PIERRE DELIGNE vrai Rempla ant Z par une de ses puissances tensorielles on peut supposer que dans le plongement projectif d fini par Z X admet un pinceau de Lefschetz de sections hyperplanes SGA7 XVII 2 5 Prenons Y dans un tel pinceau Yem Y Y Nous allons prouver 4 1 2 pour Y en interpr tant l image de H X dans H Y en terme de monodromie Soit S l ensemble des valeurs de amp pour lesquelles Y est singuli re Les H Y t P S sont alors les fibres d un Q faisceau lisse sur P S et x P S 4 agit sur H Y On a 4 1 3 L image de H X dans H 1 Y est le sous espace H 1 Y des invariants par la monodromie Ce r sultat est prouv dans SGA7 XVIII 5 6 10 sous l hypoth se que Y v rifie le th or me notre hypoth se de r currence Sur C et en cohomologie enti re une d monstration directe est donn e dans SGA7 XIX 4 y conjuguer 4 3 1 et la formule de Picard Lefschetz Au n 4 3 nous transposerons cet
54. il admet une filtration finie croissante W par des sous faisceaux lisses telle que Gr soit ponctuellement t pur de poids nous verrons en 3 4 1 que tout faisceau lisse mixte de poids ponctuels entiers admet une telle filtration Soit L 355 180 PIERRE DELIGNE l ensemble de tous les nombres premiers p et d finissons F E comme en 1 7 8 C est un faisceau lisse sur E muni d une action de Z 1 cette action est quasi uni potente d o des endomorphismes N ZT E 1 ZT E 1 7 8 Etant donn s un faisceau deux filtrations finies croissantes W et W de Z et une famille finie d endomorphismes N 1 eA nous aurons consi d rer la condition L W W Nsea Les N stabilisent W v rifient N W 1 CW o et quels que soient les nombres rationnels gt 0 l endomorphisme N 24 N induit des isomorphismes N Gria b S Gr GT g Il r sulte de 1 6 13 que W et la famille des N tant donn s il existe au plus une filtration W v rifiant cette condition Dans son nonc il est loisible de remplacer nombre rationnel gt o par nombre entier gt o remplacer les c par nc et N par nN Th or me 1 9 2 Avec les hypoth ses et notations de 1 9 1 il existe sur F E un et un seul syst me de filtrations finies croissantes W J JCI par des sous faisceaux lisses stables par Z 1 donc par les N tel que a W est la filtrat
55. isomorphismes entre Q et C et ceux ci ne sont qu une commodit d exposition Chaque fois que nous prouverons qu un nombre est pur un fragment facile de la d monstration suffirait tablir qu il est alg brique Pour le reste des arguments il suffirait alors de consid rer les plongements complexes du sous corps de Q form des nombres alg briques et ceci ne requiert pas l axiome du choix D finition 1 2 12 Soient X un sch ma de type fini sur Z et F un faisceau lisse sur X On dit que F est totalement r el si pour tout xe X les coefficients du polyn me caract ristique de F agissant sur F sont des nombres alg briques totalement r els La variante suivante nous sera utile en gale caract ristique Variante 1 2 13 On dit que F est v r el si pour tout xe X le polyn me det 1 F t F est coefficients r els Remarque 1 2 14 Tout faisceau lisse ponctuellement pur F est facteur direct d un faisceau lisse ponctuellement pur totalement r el savoir s il est de poids n le faisceau FOF n De m me un faisceau lisse ponctuellement pur de poids entier est facteur direct d un faisceau lisse ponctuellement pur r el Dans ces variantes on peut prendre pour F un faisceau de Weil pour les faisceaux de Weil un faisceau lisse ponctuellement pur de poids quelconque est facteur direct d un faisceau lisse ponctuellement pur t r el 1 3 Poids d terminantiels Les conve
56. la preuve de 3 4 1 3 5 Application th or mes d quidistribution 3 5 1 Reprenons les notations et hypoth ses de 2 2 on a 0 m X 7 W X Z 0 D o gt Q0 G Z 0 386 LA CONJONCTURE DE WEIL II 211 avec X normal g om triquement connexe de dimension N et d apr s 2 2 8 pour toute repr sentation irr ductible de Ga le faisceau correspondant est ponc tuellement pur de poids 22 7 On note G l espace des classes de conjugaison de degr i de G et p la mesure sur G4 d finie en 2 1 10 Si re est une repr sentation complexe irr ductible de G le produit qui d finit L t converge pour t gt N La formule 2 2 8 1 l interpr tation cohomologique de Grothendieck des fonctions L 1 4 5 1 et 3 3 4 modul par la deuxi me varia tion 3 3 10 montrent que L t se prolonge en une fonction m romorphe sur G qui n a de z ros ou de p les que pour Z entier ou demi entier et que pour Z r gt N 1 2 L r est holomorphe inversible sauf pour un p le simple en t wy Ceci permet d appli quer les r sultats d quidistribution 2 1 10 2 1 12 avec remplac par x cf 2 2 7 3 5 2 Pour tout entier n gt o soit F l extension de degr n de F dans k et Xn le sch ma sur F d duit de X par extension des scalaires Le sch ma X est un rev tement de X il correspond au sous groupe de W X x form des l m
57. le compos H X H Y H X est le cup produit avec n 4 Y On ne peut en d duire la m me croix en Z cohomologie par passage la limite projective les Ev Y pris en Z i cohomologie ne formant pas toujours un syst me projectif Toutefois les Ev Y s envoient les uns sur les autres et si les B engendrent Ev Y en cohomologie adique on peut passer la limite dans la suite exacte 0 H X gt H Y 2 4 d o en Z cohomologie une croix Ev Y 4 3 3 2 o gt Ev Y H Y H X o 1A H X En Q cohomologie on retrouve la surjectivit du morphisme H Y gt Ev Y transpos de Pinclusion de Ev Y dans H Y 4 3 4 Cohomologie relative Soit u T gt T un morphisme de topos Les triples F sur T F sur T uF gt F forment alors un nouveau topos T Si F F F est un faisceau ab lien de T on pose H T mod T F Ker H HYT F gt H0 T F Par d rivation de ce foncteur on obtient la cohomologie relative de T mod T On peut encore le construire par d rivation du foncteur Fe H T F H T F des faisceaux ab liens sur T dans les complexes de faisceaux r duits aux degr s o et 1 Cela revient au m me parce que tout faisceau F s injecte dans un faisceau F pour lequel H est surjectif une somme de faisceaux 0 F et F u F La seconde description montre que pour
58. m me si on se limite aux g tels que deg g 1 Puisque p g normalise M et que les p g pour deg g 1 forment une classe lat rale sous M il suffit de v rifier le Lemme 4 5 4 Si geGL E normalise le groupe de monodromie g om trique M les gm pour meM wont pas de valeur propre commune Dans cet nonc on peut remplacer M par son adh rence M7 pour la topologie de Zariski Celle ci est soit le groupe symplectique d une forme altern e non d g n r e sur E soit le groupe orthogonal d une forme quadratique non d g n r e sur E soit un groupe de Weyl de type A D ou E L l ment g est selon le cas une similitude sym plectique une similitude orthogonale ou un multiple scalaire d un automorphisme du syst me de racines Il est loisible de remplacer g par un gm meM et de le mul tiplier par un scalaire ce qui multiplie toutes les valeurs propres par Dans les deux premiers cas ceci nous ram ne montrer que les l ments du groupe symplectique resp orthogonal n ont pas de valeur propre commune On observe que Id et Id d j n en ont pas Dans le cas d un groupe de Weyl on se ram ne supposer que g est un automorphisme du syst me de racines et seule compte sa classe mod W i e Pauto morphisme correspondant g du diagramme de Dynkin Si g est trivial il s agit de prouver que les l ments de W n ont pas de valeur propre commune i e puisque 6e W de trouver un l ment
59. n ayant pas la valeur propre 1 On peut prendre une transformation de Coxeter Le cas o g est l involution 408 LA CONJONCTURE DE WEIL II 233 d opposition triviale pour A D E E d ordre 2 pour A k gt 1 D Eo se ram ne au pr c dent en rempla ant g par g Il reste traiter les cas D g d ordre 2 et D g d ordre 3 Cas Da Z d ordre 2 le syst me de racines est l ensemble des vecteurs ij de Z WUzgW est le groupe des permutations avec changement de signe ventuel des e et W le sous groupe des permutations avec un nombre pair de chan gements de signe Les l ments CRE ET d Je Fe Es ces pts T las ces Oxo 61 ont respectivement pour valeurs propres 1 et les racines 2 de 1 donc n ont aucune valeur propre en commun Cas D Z d ordre 3 le syst me de racines est l ensemble des quaternions entiers I eve de Hurwicz de norme 2 et on peut prendre pour g la multiplication par si i j k I Ses valeurs propres sont les nombres au IV 3 et get g n ont pas de valeur propre commune d o le r sultat puisque 1 est dans le groupe de Weyl 409 30 V APPLICATION AU Q TYPE D HOMOTOPIE L objet de ce paragraphe est de justifier certains des r sultats annonc s dans 3 Il s agit d attacher chaque vari t alg brique X sur un corps alg briquement clos k une Q alg bre diff rentielle gradu e A X bien d finie q
60. ou Q faisceaux les th or mes connus pour les faisceaux constructibles de R m modules Les expos s SGA 5 V VI XV pour la formule des traces cf aussi SGA 44 Rapport et les remarques ci dessus justifient nos arguments L o une difficult appara trait elle sera signal e 1 1 5 Dans ce num ro et le suivant nous dirons simplement faisceau pour Q faisceau constructible Cette convention sera relay e par 1 3 2 1 1 6 Une repr sentation L adique d un groupe profini m ou plus g n ralement d une extension d un groupe discret de type fini par un groupe profini sur un Q espace vectoriel V est un homomorphisme 6 7 GL V tel qu il existe une extension finie E de Q dans Q et une E structure Vp sur V telles que o se factorise par un homo morphisme continu de x dans GL V On d finit de m me les repr sentations de x dans un groupe alg brique sur Q Pour X connexe point par un point g om trique x on a la relation habituelle entre faisceaux lisses et repr sentations continues du groupe fondamental r X x une quivalence de cat gories Hle r module Nous transporterons aux faisceaux la terminologie famili re pour les repr sentations Que X soit connexe ou non nous dirons encore qu un faisceau lisse F sur X est simple ou irr ductible s il est non nul et n a pas de sous faisceau lisse non trivial et semi simple s il est somme de faisceaux simples Une suite de fordan H lder de F e
61. pas localement constante sur la sph re x x 2 de W elle prendra des valeurs non exclues dans 4 4 3 sur une partie topologiquement dense de RNW car ROW est localement ferm et Zariski dense dans ladite sph re Comme en 4 4 4 ceci contredit la maximalit de W La forme 8 x est donc localement constante sur la sph re x x 2 de W Ceci ne peut arriver que dans les cas suivants a W est de dimension 1 b LW c W est isotrope WAW est de codimension 1 dans W et SL WAnW Si WnWl o on doit tre dans les cas b ou c et RC WAaW ceci contredit l hypoth se que R engendre V Si dim W1 on doit donc tre dans le cas b et RCWUW Comme en 4 4 4 on en d duit que W V et que M O V Reste le cas o W est toujours de dimension 1 D apr s 4 4 3 les produits sca laires 3 8 3 eR sont alors tous de la forme 2 cos 8 avec 0 multiple rationnel 404 LA CONJONCTURE DE WEIL II 229 de 27 Puisque R est alg brique ceci n est possible que si 9 ne prend qu un nombre fini de valeurs Si les 5 eR forment une base de V on n a qu un nombre fini de possi bilit s pour les 3 eR et R est donc fini Le groupe M qui s injecte dans le groupe des permutations de R l est galement Nous allons tudier plus en d tail le cas o le groupe M est fini Proposition 4 4 5 Si M est fini le groupe analogue en cohomologie Ll adique est galement fini
62. sch mas de type fini et F un faisceau mixte sur X Alors il existe un ouvert dense U de S au dessus duquel les faisceaux R f F sont mixtes Reprenons la d monstration de SGA4 Th finitude 2 1 2 8 6 1 4 Cas o X est lisse sur Y S o F est lisse et o les RfF sont lisses Dans ce cas les RIF se d duisent par dualit de Poincar des RIS F auxquels 3 3 1 s applique 6 1 5 Cas o X est lisse sur Y S et o F est lisse On se ram ne 6 1 4 en rempla ant S par un ouvert dense convenable 6 1 6 Prouvons par r currence sur n l assertion x La conclusion de 6 1 3 est vraie si S est int gre de point g n rique n que f est un plongement ouvert d image dense et que dim X lt Pour 7 0 quitte r tr cir S on a X Y x est vident Supposons _ et prouvons Dans _ on peut remplacer plongement ouvert par plon gement comme on le voit en factorisant en plongement ouvert et plongement ferm Lemme 6 1 7 Quitte r tr cir S la conclusion de 6 1 3 vaut sur Y CY le compl ment Y de Y tant fini sur S L assertion est locale sur Y qu on peut supposer affine Y CA L hypoth se de r currence _ s applique X Y N Ti As Il existe donc pour chaque i un ouvert dense U de A4 tel que la conclusion de 6 1 3 vaille au dessus de pr U elle vaut au dessus de la r union des pr U et 6 1 7 en r sulte 6 1
63. se factorise par un quotient fini Par torsion on se ram ne supposer V de poids entier La filtration M est par hypoth se r duite un seul cran Puisque NM CM _ on a donc N o et 1 7 6 en r sulte Remarque 1 7 7 La preuve de 1 7 5 montre que n importe quelle repr sentation V admet une unique d composition V ZV eQ g racines de 1 telle que les valeurs propres des rel vements de Frobenius dans V soient dans Chaque V est obtenu par torsion partir d une repr sentation mixte Variante 1 7 8 Si D est un diviseur lisse dans un sch ma r gulier X les constructions qui pr c dent ont un analogue pour les faisceaux sur X D mod r ment ramifi s le long de D Un peu plus g n ralement soit D un diviseur croisements normaux de X r union transverse de diviseurs lisses D teI On se localise pour que chaque D admette une quation globale o Soit E l intersection des D Pour n inversible sur X posons X X le sous sch ma de l espace affine sur X de coordon n es T d fini par les quations T 4 Le rev tement ramifi r X X de X est tale au dessus de X D et totalement ramifi au dessus de E au dessus de E r admet la section 0o on appelle restriction E d un faisceau sur X son image inverse par cette section On d finit une action de u sur X en faisant agir fer sur par multiplication par r Soient L un ensemble de n
64. sulte d s lors du lemme suivant Lemme 4 4 6 Soient U une vari t alg brique normale et g om triquement connexe sur F munie d un point base u G le quotient de W U u par un sous groupe d indice fini de m U u et V une repr sentation L adique virtuelle de G Soit aussi V une repr sentation l adique virtuelle de N U u On suppose que sur les puissances des Frobenius Fe W U u xe U l les caract res de V et V prennent des valeurs rationnelles et co ncident Alors V provient par inflation d une repr sentation virtuelle de G et les caract res de V et V sont valeurs rationnelles et gaux Preuve D apr s Cebotarev tout l ment de G de degr assez grand est de la forme F cf 3 5 3 Un caract re de G est uniquement d termin par sa restriction aux l ments de degr assez grand pour g central de degr gt o et heG la fonction de n nry g h est en effet combinaison lin aire de fonctions n et la non nullit d un d terminant de Vandermonde montre que quel que soit N les restrictions de ces fonctions 2ZN sont lin airement ind pendantes Il r sulte donc des hypoth ses que le caract re de V est rationnel le comparer un de ses conjugu s sous Aut C Q 405 230 PIERRE DELIGNE La repr sentation virtuelle V est donc r alisable sur un corps de nombres neutralisant quelques alg bres simples et il existe une repr sentation virtuelle adique V de G
65. ter ces majorations par des minorations 3 3 5 Par exemple si X est propre et lisse et que le faisceau Fo est lisse constant tordu dans une autre terminologie et ponctuellement pur de poids n alors les valeurs propres de Frobenius sur H X F sont toutes de poids n i ce que nous exprimerons encore en disant que H X F est pur de poids n 1 Pour Z Q de poids 0 on retrouve le r sultat principal de I avec l hypoth se projectif et lisse remplac e par propre et lisse 314 LA CONJONCTURE DE WEIL II 139 Une r duction facile parall le la preuve du th or me de finitude pour les R f cf SGA 4 XIV 1 ram ne le th or me 1 au th or me suivant et une tude locale l infini des faisceaux lisses ponctuellement purs sur une courbe C ci dessous Th or me 2 cf 3 2 3 Soient Xo une courbe propre et lisse sur F j Uo Xo l inclusion d un ouvert dense et Fo un faisceau lisse ponctuellement pur de poids n sur U Alors H X j F est pur de poids n 1 Voici les grandes lignes de la d monstration A Nettoyages i Si u XX est un morphisme fini surjectif de source une courbe propre et lisse X et qu on d signe par le changement de base par u les H X j F sont des facteurs directs des H X jF Cet argument permet de se ramener au cas o la monodromie locale de F en les points de X U est unipotente ii Un th or me de dualit assure que H X j F et H X j
66. th or me du pgcd Les notations 0 7 sont en vigueur Le th or me suivant est utilis par Katz et Messing 7 pour comparer les coho mologies adiques et cristallines Th or me 4 5 1 Soient X une vari t projective lisse absolument irr ductible de dimension n 1 sur F et X cp un pinceau de Lefschetz de sections hyperplanes de X d fini sur F Pour p 2 et n pair on le suppose assez g n ral Soit SCP1 l ensemble des t pour lesquels X est singulier Alors le polyn me det 1 Ft H X est le ppcm des polyn mes ST II 1 0 T ayant la propri t suivante Pour t un point de P S d fini sur Fp et F l endomorphisme de Frobenius de X relatif sa Fk structure naturelle on a IT 1 0 T divise det 1 FT H X crivons H X H X Ev X 4 3 9 Si les B sont les valeurs propres de Frobenius sur H X compt es avec leur multiplicit cette d composition donne pour d fini sur Fx det 1 FT H X Il 1 6 T det 1 FT Ev X de sorte que le polyn me I l 1 8 T det 1 FT H X satisfait x Il reste voir que tout polyn me satisfaisant le divise Nous prouverons plus pr cis ment Lemme 4 5 2 Quels que soient les polyn mes P T IT i YT e Q T I 1 8T les y et sont suppos s 0 si pour tout point tEP1 S d fini sur F x on a I1 T I 1 8 T det 1 FT Ev X alors P Q D duisons le lemme 4 5 2 d
67. un sch ma de type fini sur Z F un faisceau sur X y un point de X valeur dans un corps fini k y Spec k gt X et une cl ture alg brique de k L image inverse de F sur Spec k est justifiable de 1 1 7 Gal k k agit sur Fz Par abus de notation nous crirons det 1 F i F pour det 1 Ft Fz Nous parlerons de m me des valeurs propres de F agissant sur F Supposons X connexe muni d un point g om trique x On dispose alors d une classe de conjugaison d applications Gal k k x Spec k Spec k gt x X x On note F l image du Frobenius g om trique par une quelconque de ces applications Pour F lisse d fini par une repr sentation V de r X x on a det 1 F t F det 1 F t V ce qui justifie la notation Un cas particulier y est un point ferm de X et on consid re le morphisme d inclu sion de Spec k y dans X On peut souvent se borner consid rer les Frobenius ainsi obtenus Si z est un point de X valeur dans un corps fini k d image y dans X et que k k y n le Frobenius relatif z est la puissance n i me du Frobenius relatif y 1 1 9 Lorsqu on tudie les sch mas de type fini sur F il est souvent commode de remplacer les groupes de Galois resp faisceaux par les groupes de Weil resp faisceaux de Weil d finis ci dessous Le lecteur prendra garde que la d finition des faisceaux de Weil est relative au choix d une cl ture alg brique F de F D finition 1 1
68. 1 o GG 70 GL Z 334 LA CONJONCTURE DE WEIL II 159 Voici la d finition exacte si w est un l ment de W X x de degr 1 W X x est le produit semi direct du groupe w engendr par w par m X x L image w de w dans GL Z normalise celle de x X x le groupe de monodromie g om trique Elle normalise donc son adh rence de Zariski G et G est le produit semi direct de Z par G relativement l action int w de Z sur G Le groupe G obtenu s ins re dans un diagramme 1 3 7 1 et ceci le caract rise isomorphisme unique pr s Chaque repr sentation lin aire du groupe alg brique G d finit une repr senta tion adique de W X x donc un faisceau de Weil sur X Le faisceau Fo de d part correspond la repr sentation tautologique 1 3 7 1 de G dans GL Z Si F est une famille finie de faisceaux lisses et qu on applique la construction pr c dente la somme A des F on peut dans 1 3 7 1 remplacer GL par le sous groupe IGL ZP Chaque faisceau F est d termin par la repr sentation de G dans le facteur correspondant GL F Th or me 1 3 8 Grothendieck Soient Fo un faisceau lisse sur Xg G et G comme ci dessus et G la composante neutre de G Alors le radical du groupe alg brique G est unipotent Nous prouverons d abord le Corollaire 1 3 9 Si Fo est semi simple Padh rence de Zariski G du groupe de monodromie g om trique de Fo est extension d un gro
69. 1 dans 2 1 4 6 on trouve donc que pour toute repr sentation unitaire virtuelle de G v p P Z gt 0 Le th or me r sulte du lemme suivant Lemme 2 1 5 Soit v une fonction valeurs enti res sur On suppose que a pour la repr sentation triviale 1 v 1 1 b v r v c v r lt o pour t1 365 190 PIERRE DELIGNE d prolongeant v par additivit au groupe de Grothendieck des repr sentations unitaires de G on a pour toute repr sentation unitaire p de G v p b gt 0 Alors v r 0o pour 1 sauf pour au plus une repr sentation de dimension un et d finie par un caract re d ordre deux Dans ce lemme G n appara t que via ses repr sentations unitaires Ceci nous permet de le remplacer par un groupe compact son adh rence dans le produit de ses repr sentations unitaires et de ramener 2 1 5 la variante suivante Variante 2 1 6 M me nonc que 2 1 5 mais cette fois G est un groupe compact et lensemble de ses classes d isomorphie de repr sentations irr ductibles Dans la preuve de 2 1 6 si est une repr sentation de G nous crirons p g pour la valeur en g du caract re de p et nous identifierons repr sentations et caract res Pour re nous notons p la multiplicit avec laquelle appara t dans p On a e r l f o e r e de la mesure de Haar dg tant normalis e pour tre de masse totale 1 Lemme 2 1 7 Soit T un ensemble fini de
70. 1 v lt IROp 1 01 1 e E dim r v s Faisons tendre e vers o et prenons T de plus en plus grand On trouve 2 dim T y r gt 0 TEG et 2 1 6 en r sulte 2 1 9 Expliquons le titre du chapitre Avec les notations de 2 1 2 le cas de la fonction de Riemann correspond G f e Pensemble des nombres pre miers et Np p On a AO lt logp p G ps Sp Y o i de sorte que pour o2 gt 1 la fonction det A t Uoti est la transform e de Fourier de la mesure positive log p p S n log p C est donc une fonction positive au sens de Bochner en Paaie elle satisfait la sempiternelle in galit BFA 0 4 A 22A 2t gt 0 dont Mertens d duit le th or me de Hadamard et de La Vall e Poussin selon lequel ne s annule pas pour Zs 1 2 1 10 Il est classique que la non annulation de L t pour Z r 1 implique une quidistribution des x Le cas o I est isomorphe R est trait en d tail dans Serre 11 IA2 Je traiterai ici du cas o T est isomorphe Z Faisons donc les hypoth ses C la fonction L t admet un prolongement m romorphe pour r gt 1 dans ce domaine elle a un p le simple en w et aucun autre p le et elle ne s annule pas pour r 1 D T est isomorphe Z 367 192 PIERRE DELIGNE Soit z un l ment central de G de degr d gt 0o L espace GA des classes de conju gaison de G est le quotient de G par le groupe compact G 27
71. 10 Avec les notations 0 7 i Un faisceau de Weil Fo sur Xo consiste en un faisceau F sur X muni d une action de W F E 1 1 7 sur X F qui induise sur X X 9r F l action d duite de laction de W F F sur F ii Soit x un point g om trique de X Le groupe de Weil W X x est l image inverse de W FJF par l application naturelle de r X5 X dans mi Spec F x Gal F F Conform ment aux d finitions g n rales un automorphisme de X F est un couple f g form d un automorphisme f de X et d un isomorphisme g fp F gt F il peut tre plus commode de consid rer plut t que g l isomorphisme f 8 f F gt F Ceci pour expliquer le mot action 327 152 PIERRE DELIGNE Pr cisons que la topologie du groupe de Weil W Xo 1 X5 Xea W F F est la topologie produit le sous groupe m X x Ker ni Xo x gt m Spec F x est ouvert et ferm Un sch ma X sur F est aussi un sch ma sur F X Spec F gt Spec F et une cl ture alg brique de F est aussi une cl ture alg brique de F On v rifie que remplacer ainsi F par F ne change ni la cat gorie des faisceaux de Weil ni le groupe de Weil utiliser que Xr F HUX 8r F o o parcourt Hom F F Gal F F Les notations 0 7 sont en vigueur dans la fin de ce num ro 1 1 11 L image inverse sur X d un faisceau sur X est munie d une action par transport de structure de Gal F F Cette constructio
72. 13 D Suzzivan Infinitesimal calculations in topology Publ Math IHES 47 1977 269 331 SIGLES EGA l ments de g om trie alg brique par A Grothendieck et J Dieudonn parus aux Publ Math IHES I 4 II 8 III 11 17 IV 20 24 28 32 SGA S minaire de g om trie alg brique du Bois Marie La liste compl te des SGA figure dans SGA5 nous n avons d citer que SGAr Rev tements tales et groupe fondamental par A Grothendieck Lecture Notes in Mathematics 224 Springer Verlag 1971 427 252 SGA4 SGA43 SGA5 SGA7 428 PIERRE DELIGNE Th orie des topos et cohomologie tale des sch mas par M Artin A Grothendieck J L Verdier Lecture Notes in Math 269 270 805 Springer Verlag 1972 1973 Cohomologie tale par P Deligne Lecture Notes in Mathematics 569 Springer Verlag 1977 Cohomologie adique et fonctions L par A Grothendieck Lecture Notes in Math 589 Springer Verlag 1977 Groupes de monodromie en g om trie alg brique I par A Grothendieck II par P Deligne et N Katz Lecture Notes in Mathematics 288 340 Springer Verlag 1972 1973 Institut des Hautes tudes Scientifiques 35 route de Chartres 91440 Bures sur Yvette France Manuscrit re u le 197 juin 1979
73. 2 Il donne en Z m cohomologie que H X Y o pour i gt n 1 394 LA CONJONCTURE DE WEIL II 219 Puisque X Y est lisse on a aussi par dualit de Poincar H X Y o pour i lt n La suite exacte longue de cohomologie relative Hi X Y gt H X gt H Y permet d en d duire que H X SH Y pour i lt n dim Y et que H X H Y Les morphismes de Gysin transpos s par dualit de Poincar des morphismes de res triction sont donc tels que H Y SH 4 X pour 1i gt n et H Y H X Par passage la limite ces r sultats restent vrais en Z et Q cohomologie En Z cohomologie la formule des coefficients universels H X Y ZH H X Y Z Z TorZ Hi 1 X Y Z Ze fournit le renseignement suppl mentaire que H X Y Z est sans torsion Ceci implique que H Y Z H X Z est sans torsion 4 2 Pinceaux de Lefschetz Dans 1 3 I 4 je r sumais les r sultats essentiels de la th orie des pinceaux de Lefschetz en excluant le cas o p 2 et o les sections hyperplanes sont de dimension paire Le but de ce num ro est de r parer en partie cette omission et ce faisant de compl ter SGA7 XVIII dans le cas sauvage la th orie vaut pour des pinceaux de Lefschetz g n raux et non seulement pour ceux qui sont g n riques 4 2 1 Th orie locale Soit f X gt S comme en 1 4 2 de dimension rela tive n On pose n 2n ou 2n 1 Soit SEH X 7 le cycle vanescent
74. 2 2 6 Soit ve X et soit 1F l image d un Frobenius g om trique F EW Xo x par lapplication compos e W X x GG La composante semi simple F de F est alors conjugu e un l ment de Gg et ce dernier est unique GA conjugaison pr s L unicit r sulte de 2 2 2 Prouvons l existence Soient V comme en 2 2 4 c et V les constituants de la repr sentation V Si V se d duit de V par torsion 1 2 7 et que V V la repr sentation V satisfait encore les hypoth ses dec Rempla ant V par V convenable on peut donc supposer que G agit sur V via un quotient G Z avec deg Z d indice fini dans Z Les faisceaux d duits des constituants de V sont alors ponctuellement purs et de poids d terminantiel o cf 1 3 12 donc ponctuellement purs de poids o pour ve X et une valeur propre de F sur un quelconque consti tuant de V on a uwx 1 Notons t la repr sentation de G sur V et soit t tF la composante semi simple de 1F Puisque 1F a pour valeurs propres des nombres de valeur absolue 1 le groupe 1F est relativement compact dans GL V Puisque Ve est une repr sentation lin aire de noyau fini du groupe alg brique de type fini G Ze on a t iF 1F et l image dans G Z du groupe F 7 est relativement compact donc contenue dans un sous groupe compact maximal ceux ci tant tous conjugu s 1F est contenu dans un conjugu de Gpr 2 2 7 Soient maintenant
75. 7 sont en dualit parfaite valeur dans Q 1 Ceci ram ne v rifier que les conjugu s complexes des valeurs propres de Frobenius sur H X 7 sont de valeur absolue a lt q 2 Le cas difficile est celui du H B Plongements complexes Soient cQ une valeur propre de Frobenius sur H X j F Il est commode de reformuler comme suit les estimations v rifier pour chaque isomorphisme 1 Q C on a ix lt g 2 Dans la d monstration chaque isomorphisme sera trait s par ment ceci conduit introduire les notions de faisceaux ponctuellement pur ou mixte il s agit de ne pas regarder tous les conjugu s complexes des valeurs propres x mais seulement 1x Il est par ailleurs commode de permettre aux poids d tre des nombres r els quelconques Voir 1 2 6 On prouvera le th or me 2 avec pur remplac par t pur Je renvoie 1 2 11 le lecteur qui comme moi r pugne l axiome du choix implicite dans l usage d isomorphismes entre Q et C C Monodromie locale des faisceaux purs Posons S X U On commence par montrer que si Fo est lisse et ponctuellement pur de poids BEeR le poids Wya 2 2 l08n 1x d une valeur propre de F sur j Fo pour x eS est de la forme B m avec m entier gt o et on d termine m en terme de la monodromie locale de F en x 1 8 4 Plus g n ralement on d termine wx pour valeur propre de F sur Fo au sens 1 10 2
76. Hom K DL D finition 6 2 2 Un complexe K est mixte de poids lt n st pour tout i le fais ceau AK est mixte de poids ponctuels lt i n Avec cette d finition le th or me fondamental 3 3 1 fournit la Variante 6 2 3 Soit f X gt Y un morphisme de sch mas de type fini sur F Si KeOb D X est mixte de poids lt n alors RfK est mixte de poids lt n Soit en effet la suite spectrale EP R SIK PTIRf K D apr s 3 3 1 le terme Ef est mixte de poids ponctuels lt p g n L aboutissement 1RfK est donc mixte de poids ponctuels lt p q n D finition 6 2 4 Un complexe K est pur de poids n s il est mixte de poids lt n et que DK est mixte de poids lt n Un faisceau F est pur de poids n si le complexe r duit F en degr o l est Exemples 6 2 5 a Quel que soit N un complexe K est mixte de poids lt n si et seulement si K N 2N Pest Dans la d finition 6 2 4 de la puret on peut donc remplacer le complexe dualisant Ky par un complexe localement de la forme K amp N 2N1 et DK par DK N 2N b En particulier pour X lisse on peut remplacer la condition sur DK par RHom K est mixte de poids lt n Si les faisceaux de cohomologie de KeOb D X sont lisses le complexe K est pur de poids 7 si et seulement si chaque K est ponctuellement pur de poids i n 423 248 PIERRE DELIGNE c Soient X une courbe lisse et j UX un ouvert dense de X Si F es
77. I module V on a donc une suite spectrale 2 E HP Z 1 HT V I V L espace V des invariants de I dans V a un unique suppl mentaire I stable Sur ce dernier T n a ni invariant ni co invariant Ceci fournit un isomorphisme V Vp entre invariants et co invariants De plus H I V 0 pour q gt o de sorte que 2 se r duit 3 HP L V H Z 1 V HZ 1 Vr Pour toute repr sentation adique V de Z 1 on a 4 H Z 1 En HZ V Vz 1 H Z 1 V 0 pour p gt 2 4 Combinant 1 3 4 on trouve des suites exactes analogues aux suites exactes de Wang 5 0H X 1 1 H X gt H X 0 On dispose d une suite exacte longue de Z cohomologie support 6 gt H X H X gt H X gt 389 214 PIERRE DELIGNE Le th or me de changement de base pour le morphisme propre f donne un iso morphisme H X SH X et sp est le compos 7 sp H X SH X H X H X Puisque X est essentiellement tale sur X et que X X on a Hi X H X Rempla ant X par une de ses composantes connexes on se ram ne supposer que X est purement d une dimension N Le groupe de cohomologie H4 X peut alors s inter pr ter comme un groupe d homologie de X si a est la projection de X sur Spec k l adjonction entre Ra et Ra appliqu e Z f x et aux Z i sur Spec fournit une dualit parfaite valeurs dans Z N
78. K Rempla ant K par K K ceci nous ram ne supposer que K o pour 1 lt o et que XK n a pas de section support ponctuel On le suppose Les groupes de cohomologie consid r s donnent lieu une suite exacte 0 H14 0K H1 K HA 1K il suffit donc de v rifier que H P mod t 1 K gt ITH P mod hio 1K et Hi P mod t K ITH P mod 1 K Le cas du H est laiss au lecteur il suffirait ici droite d un produit tendu S Posons K Il nous reste v rifier que pour sans section support ponctuel et localement constant en dehors de S on a H P mod gt HHHPH mod 7s Le groupe gauche classifie les torseurs P sur Pt trivialis s en t donc sur Pip Ces torseurs n ont pas d automorphismes Ils peuvent se construire comme suit par tapes a sur Pip c est le torseur trivial avec sa trivialisation naturelle b le prolonger P S t revient se donner une action continue de x P1 S vi sur sa fibre P en n Cette action doit tre telle que o 4 p 0 h 0 p 400 LA CONJONCTURE DE WEIL II 225 c le prolonger en outre au dessus de seS revient prolonger Pi le torseur d j donn sur n Pour tout o 7 gt 1 le groupe de monodromie locale en s Gal n n s envoie dans m P S 7 L image 4 3 5 1 de P dans H P modn d termine la action du groupe image sur P ainsi que le prolon
79. Q on note F le produit tensoriel de F par l image inverse de Q on dit que F se d duit de F par torsion Le faisceau Q est ponctuellement pur de poids w b la torsion h accro t donc les poids par w b Remarque 1 2 8 Dans les d finitions des faisceaux ponctuellement purs et des faisceaux mixtes nous avons impos aux poids d tre entiers Dans celles des faisceaux ponctuellement purs et des faisceaux 1 mixtes il est commode de leur permettre d tre des nombres r els quelconques Le th or me profond 3 4 1 montre a posteriori que pour X de type fini sur F cette g n ralit est largement illusoire tout faisceau 1 mixte est somme directe de faisceaux d duits par torsion 1 2 7 de faisceaux mixtes de poids entiers et tout faisceau mixte pour tout est somme directe de faisceaux d duits par torsion de faisceaux mixtes Tout faisceau lisse est extension successive de faisceaux lisses irr ductibles et nous verrons en 1 3 6 que tout faisceau lisse sur X normal connexe de type fini sur F se d duit par torsion d un faisceau dont le d terminant puissance ext rieure maxi male est d fini par un caract re d ordre fini du groupe fondamental de X La Conjecture 1 2 9 Sur X de type fini sur F tout faisceau est 1 mixte est donc cons quence de la conjecture 1 2 10 plus pr cise ci dessous Un de nos outils principaux le th or me 1 5 1 est un r sultat partiel en direction
80. V 342 LA CONJONCTURE DE WEIL II 167 1 6 8 Si k est de caract ristique o on peut interpr ter la filtration M en terme du th or me de Jacobson Morosov si SL 2 GL V satisfait o du i x I O et que V est le sous espace de V form des vecteurs v tels que u o No o A alors M est la somme des V pour j lt i Pour le voir on se ram ne supposer que V est une repr sentation irr ductible de SL 2 i e une puissance sym trique de la repr sentation vidente On est alors dans la situation de 1 6 7 Cette interpr tation de M donne son comportement par produit tensoriel et passage au dual pour lequel on peut plut t invoquer 1 6 2 Proposition x 6 9 D finissons le produit tensoriel V N de V N et V N par V V V N N r1 1 N et le dual de V N comme tant V N i Si k est de caract ristique o la filtration M d un produit tensoriel est le produit tensoriel des filtrations M des facteurs M V V gt M V 8M V i La filtration M d un dual est le dual de la filtration M de Pespace de d part M V M_i 1 V iii Sous ces hypoth ses la formation de Gr est donc compatible au produit tensoriel et au passage au dual x 6 10 On suppose dor navant que V est de dimension finie sur k de carac t ristique o Sur Gr V il existe alors une unique repr sentation v de SL 2 telle que dv R soit N Gr V
81. X K est un isomorphisme La preuve est parall le celle de 4 1 1 Elle proc de par r currence sur la dimension de X Si X est de dimension o et que K o Phypoth se donne o lt n i et o lt n i 2n i n soit i n Le groupe H K est donc nul pour i n et l assertion en r sulte Si Y est une section hyperplane assez g n rale de X la restriction de K Y v rifie encore les hypoth ses avec n remplac par n 1 Ceci permet comme en 4 1 1 de ne consid rer que l application n H UX K gt H Y K gt H 1 X K 426 LA CONJONCTURE DE WEIL II 251 La seconde fl che est transpos e du morphisme de restriction H 1 X DK 21 gt H Y DK 2r Il s agit donc de v rifier que la dualit parfaite entre H Y K et H 1 Y DK 2n o DK 2n D K Y 2 n 1 induit une dualit parfaite entre les parties fixes 6 2 12 Cela se v rifie par 4 1 4 la repr sentation de x U u sur H Y K tant semi simple 6 2 6 et 3 4 1 iii Ajout sur preuves Soit X une vari t alg brique complexe qu on supposera irr ductible et normale On sait que la cohomologie interm diaire de Mac Pherson et Goresky de X peut se d finir comme l hypercohomologie de X coefficients dans un certain complexe de faisceaux Iy La construction de I admet un analogue en cohomologie tale et ce sur un corps de base quelconque O Gabber vient de prouver la pure
82. X C des recouvre ments X Chacun de ces nerfs a le type d homotopie de X Le syst me projectif des a fournit un morphisme de X C dans X On va maintenant d duire du th or me de comparaison SGA4 XVI 4 1 Construction 5 2 5 Construction d isomorphismes entre les mod les minimaux de la Q alg bre DG A X et le tensoris avec Q des mod les minimaux M X C de Sullivan 6 du type d homotopie rationnelle de l espace topologique X C D apr s SGA4 XVI 4 1 le morphisme Q X Z Q X C Z 2 est un quasi isomorphisme il induit sur la cohomologie des isomorphismes d duits des isomorphismes de comparaison H X Z S H X C Z On a aussi des quasi isomorphismes J Q N Z Q X C Z 2 Par passage la limite on trouve des quasi isomorphismes O X Z gt O X C Z lt O N Z On a de plus des quasi isomorphismes O N Z 82Z gt O N Z et lim O N Z 8Q gt Oors Ne Onrs X C d o une cha ne de quasi isomorphismes A X gt A X 0 lt lim Q N Z 9Q 8Q Qnr Na EQ Oors Xc 8 Q7 Passer au mod le minimal remplace ces quasi isomorphismes par des isomorphismes 415 240 PIERRE DELIGNE 5 3 Graduations par le poids 5 3 1 Soit A une alg bre DG sur un corps K de caract ristique o Pour nous K sera Q ou Q On suppose que H A K et que les H A sont de dimension finie Pour la d finition des mod les minimaux A de A je renv
83. a construction Z t complexe de De Rham qui sera d finie plus bas est un foncteur contravariant qui chaque ensemble simplicial X associe une Zit alg bre t gradu e DG XHQ X On note Q X la partie de degr p pour la structure DG degr ext rieur Les t degr et degr ext rieur d un l ment bihomog ne satisfont 5 1 4 1 o lt degr ext rieur lt t degr 410 LA CONJONCTURE DE WEIL II 235 On dispose de plus d un morphisme fonctoriel de Z f alg bres bigradu es 5 1 4 2 H Q X H X Z Z r e qui identifie la cohomologie de Q X la somme des H X Z 9 pour p lt n n 5 1 5 Plus g n ralement pour tout anneau commutatif A les cas qui nous importent sont A Z Z Q on dispose d un foncteur A t complexe de De Rham Q X A ob issant au formalisme 5 1 4 avec Z remplac par A Il est covariant en A et l isomorphisme 5 1 4 2 est fonctoriel en A Pour A Q on dispose d un mor phisme de Q X Q dans la Q alg bre t gradu e DG d duite du complexe de De Rham Sullivan Qprs X de X par extension des scalaires de Q Q t Cet isomorphisme est compatible avec 5 1 4 2 Il identifie la partie de t degr n de Q X Q le sous complexe de Qprs X form des formes de degr lt n en les coordonn es bary centriques de chaque simplexe Si B est un quotient de A le morphisme naturel de Q X A j B dans Q X B est un isomorphisme sauf en la composant
84. a corres pondance l hyperplan H est tangent X en x Un pinceau de Lefschetz est dit transverse si D est transverse X en particulier DAX si X n est pas une hyper surface Dans le cas d exception un pinceau de Lefschetz n est pas automatiquement transverse Rappelons cf SGAr V 5 7 qu un chemin entre deux points g om triques a et b d un sch ma S est un isomorphisme entre les foncteurs fibre en a et fibre en b de la cat gorie des rev tements tales de S dans Ens Pour tout chemin c trac sur U de u un point g n rique g om trique de D on a H X Z gt H X Z d o un cycle vanescent 5 dans H X Z m D finition 4 2 4 i L ensemble des cycles vanescents est l ensemble de ces cycles 8 pour c et teS variables ii La partie vanescente de H X est le sous espace engendr par les A8 1e Z y n vanescent 4 2 5 Puisque la droite projective D est simplement connexe le groupe fonda mental x U u est topologiquement engendr par les conjugu s des groupes d inertie I pour teS Le groupe de monodromie image de m U u dans GL H X Z est donc topologiquement engendr par les images des conjugu s des I n impair par les transvections xHx 2 x9 8 AeZ 1 le quotient primaire du groupe d inertie mod r n pair par les r flexions x k gt x 1 x5 5 ona 8 5 1 2 Il devrait r sulter d u
85. ace G par un sous groupe d indice fini et on peut supposer G de la forme G x Z Soient xe X G comme en 1 3 7 et r la repr sentation naturelle de G sur Foz On a F Fi r On se ram ne par torsion 1 2 7 supposer que B o Dans ce cas avec les notations de 2 2 t d finit par extension des scalaires par une repr sentation t de G dont la restriction GR est unitaire D apr s 2 2 9 L r w est donc holomorphe inversible pour Zs2 gt 1 sauf qu elle a un p le simple pour ro Il reste appliquer 2 2 8 1 2 2 9 1 372 III LE TH OR ME FONDAMENTAL 3 1 Un calcul de cycles vanescents Les r sultats de ce paragraphe serviront calculer modulo entiers les poids de certains groupes de cycles vanescents 3 1 1 Soient S une surface projective et lisse sur un corps alg briquement clos k D un diviseur croisements normaux sur S V S D j l inclusion de V dans S et F un faisceau sur V mod r ment ramifi le long de D Nous nous proposons d tudier par la m thode des pinceaux de Lefschetz les groupes de cohomologie H V F Comme dans I 5 on plonge S dans un espace projectif P et on la balaie par un pinceau d hyperplans H Notations A est une droite dans l espace projectif dual P elle param trise les hyperplans contenant un sous espace de codimension 2 de P laxe A du pinceau pour te A S est la section hyperplane SNH de S SCSxA est l espace des cou
86. acer X par Xo as il existe un ouvert dense 7j U X sur lequel Fy satisfait aux hypoth ses additionnelles de 3 4 7 L hypoth se de r currence s applique au compl ment F Rappelons enfin que le foncteur Fae J Fo Fo fl che de sp cialisation est une quivalence de la cat gorie des faisceaux sur X avec la cat gorie des triples Ff Fg s form s d un faisceau sur U d un faisceau sur F et d un morphisme 5 57 Preuve de i Il s agit de voir que le morphisme de sp cialisation st CPo gt h Pa envoie t7 b dans 1 7 J Fo b On d duit en effet de 1 8 9 par torsion que les poids ponctuels de 1 j J F7o b sont dans b de sorte que ce faisceau co ncide avec ERJ Fo b 385 27 210 PIERRE DELIGNE Preuve de ii L unicit tant assur e on peut supposer par descente que X est normal On a alors j 7 Fo et l on prend W j W j ceci donne GYF j Gry j Fj et l on applique 1 8 10 Variante 3 4 9 On d duit aussit t de 3 4 1 que tout faisceau mixte lisse admet une filtration par le poids ponctuel par des sous faisceaux lisses et que tout faisceau pur est g om triquement semi simple 3 4 10 Soit P une propri t de faisceaux sur les sch mas de type fini sur un corps fini p e tre mixte tre ponctuellement pur Un faisceau F sur un sch ma X de type fini sur k alg briquement clos est dit avoir potentiellement la propri t P s
87. admet une section Cest Pexistence des graduations 5 3 3 Il est donc surjectif comme morphisme de sch mas sur Q Le groupe proalg brique G est donc sur Q extension de G par U On sait qu une telle extension est toujours triviale et que deux sections en sont toujours U conjugu es Ceci prouve Pexistence et l unicit lorsqu on ne consid re que des graduations induisant une graduation sur chaque M Pour conclure il resterait prouver le lemme technique suivant dont la v ri fication un peu p nible est laiss e au lecteur Lemme 5 3 5 Pour tout ensemble fini d automorphismes de M il existe une filtra tion 5 3 1 de M stable par tous ces automorphismes 5 3 6 Pour X une vari t alg brique sur un corps alg briquement clos quel conque on peut encore d finir une filtration par le poids sur H X Q en terme des sous espaces propres g n ralis s d automorphismes de Frobenius convenables et les constructions pr c dentes fournissent des graduations du mod le minimal de A X induisant sur la cohomologie une graduation qui scinde la filtration par le poids 417 31 242 PIERRE DELIGNE Corollaire 5 3 7 Pour X propre et lisse un mod le minimal de A X est un mod le minimal de H X Q muni de la structure DG pour laquelle d 0 Soit W une graduation par le poids d un mod le minimal de A X Le groupe H X Q tant purement de poids i est enti rement de degr s gt n 5
88. agissant par automorphismes int rieurs Il est somme disjointe des G1 pour GA l ensemble des classes de conjugaison de degr n et la multiplication par induit un isomorphisme de G avec G pa Consid rons les mesures suivantes sur G et G u 2 deg o g 03 x vEeX n gt 0 dg la mesure de Haar sur G pour laquelle G est le volume 1 uo le produit de dg par la fonction caract ristique de l ouvert o amp _ gt 1 u5 la projection de p sur G Proposition 2 x xx Si C et D sont satisfaites la transform e de Fourier Laplace de u yu8 qui converge pour reG A x gt 0 se prolonge en une fonction holomorphe de pour A x 0 L Par 2 1 4 1 la transform e de Fourier Laplace de u est nenn e log q L Dans le domaine w T Celle de p s annule en dehors des w et sa valeur en o est me 1 q R r gt o Q et R sont donc m romorphes avec pour seul p le un p le simple de r sidu 1 log q en w La proposition en r sulte Pour comparer les mesures p et u sur G4 nous les ram nerons dans un G avec o lt i lt d par translation par une puissance de z On a Th or me 2 1 12 Sous les hypoth ses C et D quel que soit i la mesure z u G na sur G converge vaguement vers z u8 G na pour n gt 00 Des arguments bien connus 11 IA1 montrent que 2 1 12 quivaut Passer tion suivante o z n appara t plus Corollaire 2 1 13 Pour to
89. anches de D tangentes distinctes avec S se coupent sur Sy Les cohomologies de V et sont li es par un isomorphisme canonique 3 1 1 3 H F Z H V F O H VNA F 1 plac en degr 2 Pour la suite il nous suffirait de savoir Pinjectivit 3 1 1 4 r HV F gt H tF le transpos par dualit de Poincar de z H V F gt H T F est une r traction de 3 1 1 4 Pour tudier la cohomologie de V nous utiliserons la suite spectrale de Leray 3 1 1 5 ER H A RA F HHY F Les faisceaux RIfin F R f jn F sont lisses sauf en les valeurs exceptionnelles de f Soient une valeur exceptionnelle de f A l hens lis de A en un trait stric tement hens lien et n un point g n rique g om trique de A Appliquons la th orie des cycles vanescents l image inverse de S 77 sur Af Les faisceaux de cycles vanescents jn F sont concentr s au point exceptionnel x de S et l on trouve une suite exacte longue 3 1 1 6 ne S RAF gt RSF D 3 1 2 Nous nous proposons de calculer les ou plut t leur gradu pour une filtration convenable sous hypoth se additionnelle suivante E La monodromie locale de F autour de D est unipotente Soient deD S le localis strict de S en d et V l image inverse de V dans Sa L hypoth se E assure que l image inverse de F sur V admet une filtration finie F par des sous faisceaux lisses telle que les fai
90. arfait donc dans le cas g n ral apr s une extension finie purement ins parable de K x Il existe dans Ca une partie finie dont le compl ment C est lisse sur K 8 Il existe un rev tement fini surjectif u DC o D est le compl ment dans une courbe projective et lisse D d un diviseur E tale sur K tel que 4 F soit mod r ment ramifi le long de E F est facteur direct de uu F Ru F Nous appliquerons ceci la fibre de f en un point g n rique n de Y Les arguments habituels de passage la limite montrent que C D existent avec les m mes propri t s au dessus d un voisinage de n dans Ya On se ram ne par c e supposer que ce voisinage est Y a tout entier et que Ya est lisse puis par b f a supposer que X soit le compl ment dans X projectif et lisse purement de dimension relative 1 sur Y d un diviseur D fini tale sur Y et que F soit mod r ment ramifi le long de D x XD Po Y On a RfF Rf j Consid rons la suite exacte o gt F gt F gt hij Fo et la filtration induite par la filtration de monodromie locale M sur 57 7 1 8 6 1 8 8 La formation de ces faisceaux et de M est compatible au passage aux fibres Le th or me 3 2 3 appliqu tous les isomorphismes 1 assure donc que RF jF est ponctuellement pur de poids n 1 et le th or me 1 8 4 lui aussi pour tout assure que G ij 7 nul pour k gt o est pur de poids n k sur D 1 8 8 Le mor phism
91. aussi sur une extension finie de F Sur une extension finie plus grande C sera satisfait Ceci prouve 3 2 4 k 1 sous la seule hypoth se A Le th or me de monodromie assure qu il existe un rev tement fini surjectif g UU avec Ug lisse tel que g Z sur U v rifie A on conclut en notant que le morphisme g injecte HU F dans HU F 3 2 15 Preuve de 3 2 3 L assertion est triviale pour i 0 ou 2 1 4 Pour i 1 la validit de 3 2 5 k pour tout k assure que w lt B 1 Appliquons ce r sultat au faisceau 73 1 Puisque H X 7 9 et H X j F 1 sont en dualit SGA 44 dualit 1 3 et 2 1 on trouve que w lt B 2 1 i e que w x gt fB 1 Le th or me en r sulte 3 3 Le cas g n ral Th or me 3 3 1 Soient f X gt Y un morphisme de sch mas de type fini sur Z et F un faisceau sur X Si F est mixte de poids lt n alors pour chaque i R fF est mixte de poids lt n i La preuve utilise les d vissages suivants a D vissages en F Soit une suite exacte o gt F gt F gt F o Si les RfF et RIF sont mixtes de poids lt n i alors les RIFF le sont galement Si les Rf F et RAF sont mixtes de poids lt n i alors les R f7 le sont galement appliquer la suite exacte longue de cohomologie Si la suite est scind e et que R F est mixte de poids lt n i alors RIF l est galement b D vissage en X Soit j U X un ouvert de
92. c sur j une filtration pour laquelle Gr j 7 est pur de poids B 1 et nul pour 1 gt 0o 352 LA CONJONCTURE DE WEIL II 177 2 De m me avec les notations de 1 8 6 si F est un faisceau lisse sur U mod r ment ramifi le long de D la restriction de j F D est le sous faisceau des invariants d un sch ma en groupes finis y dans Ker N C Fy Do et si Fy est ponctuel lement pur de poids on d duit par torsion de 1 8 7 que pour la filtration de monodromie M Gr j 7 Do est ponctuellement pur de poids B 1 et nul pour i gt o 3 Sous les hypoth ses de 1 8 6 on voit aussi que W et la monodromie d finissent sur j 7o Do une filtration M pour laquelle Gr j 7 Do est lisse et pur de poids Corollaire 1 8 9 Soient Xo un sch ma de type fini sur F j Uo gt X un ouvert de Xo et Fo un faisceau mixte de poids ponctuels lt B sur U Alors j Fo est encore mixte de poids ponctuels lt B Si les poids ponctuels de Fo sont entiers ceux de j Fo le sont aussi Nous utiliserons les d vissages suivants justifi s par 1 2 5 a D vissage en Fy si Fo est une extension de Fy par Fy la suite exacte O gt Fo gt Fo gt Fo montre qu il suffit de v rifier 1 8 9 pour Ff et Fy b Support si i V U est un sous sch ma localement ferm de U d adh rence V dans X et que ii on peut remplacer X Uo Fo par Vo Vos Fo c Normalisation si s X gt X
93. ce 856 LA CONJONCTURE DE WEIL II 181 affine type A n convenable envoyant x sur l origine Restreignons F la courbe d quation param trique 0 t t Plus pr cis ment on envoie la droite affine coordonn e dans l espace affine A de coordonn es f u par t gt t 0 et on prend Pimage inverse de F sur la courbe C produit fibr d un voisinage de x et de la droite affine au dessus de A Notons encore x resp x le point resp le point g om trique de C au dessus de x resp x dans X et au dessus de o dans la droite affine et passons au localis strict Cg La fibre g n rique g om trique sur Qg de F s identifie F E Via cette identification le logarithme de la monodromie devient N et 1 9 3 r sulte de 1 8 5 1 9 4 D duisons le th or me de son cas particulier 1 9 3 On remarque d abord que la filtration W T de 1 9 3 ne d pend pas du choix des amp puisque carac t ris e ind pendamment de ceux ci comme tant la filtration par le poids Pour JCI soient X D et D comme en 1 7 9 et appliquons 1 9 3 X3 aux traces des D jeJ et leur intersection D On obtient sur F D une filtration par le poids W J et elle satisfait L W W J Nhe 5 R appliquons cette construction D aux traces des diviseurs D i J et F D5 muni de la filtration W J Pour JCK on trouve sur D D une filtration par le poids W K satisfaisant L W J W K
94. ce SGA 44 finitude la th orie qu il d veloppe s applique aussi bien aux foncteurs R f et R f lorsque f est un morphisme de type fini entre sch mas de type fini sur un sch ma r gulier excellent de dimension lt 1 Elle s applique de m me aux foncteurs faisceaux de cycles va nescents R F et R 323 148 PIERRE DELIGNE 1 1 2 Au 6 nous travaillerons de fa on essentielle dans une cat gorie d riv e d une cat gorie de faisceaux adiques Il s agit d une th orie qui n est pas au point Nous nous r fugierons dans le cadre suivant Soient R Panneau des entiers d une extension finie E de Q et m son id al maximal Si X est un sch ma on note D X R la cat gorie 2 limite projective sur n D X R 2 lim proj D7 X R m Un objet K de D X R s identifie un syst me projectif d fini par des complexes K eOb D X R m et par des isomorphismes K On R m 3 K dans D X R m L Le complexe K se notera plut t K R m On s int ressera surtout la sous cat gorie D X R form e des KeOb D7 X R L L tels que K R m soit born cohomologie constructible Pour tout n K R m est alors dans D X R m complexes born s de Tor dimension finie dont les faisceaux de cohomologie sont constructibles cf a ci dessous Les remarques suivantes justifient l usage que nous ferons de D X R o L a Si K est dans D X R les K lim proj K R m
95. ces isomorphismes le morphisme N de Gr V dans Gr V est l inclusion vidente pour i gt 1 22 gt 1 la projection vidente pour i 2 lt 1 Grz Pid EA Gr P Pon cr P P nes Gro Pal P Ei uas c t Pi P Das e Al P Lemme 1 6 5 Le morphisme N V M gt V M d cal de 2 est strictement compatible aux filtrations Il faut prouver que NM DIm N NnM Distinguons deux cas Si lt o le morphisme N M gt M a un gradu surjectif donc est surjectif et NM M d o a fortiori l assertion Si 20 le morphisme N V M 2 V M a un gradu injectif donc est injectif et N tM C M 2 d o a fortiori Passertion Ceci permet d changer les constructions Ker N et G Corollaire 1 6 6 L inclusion de Ker N dans V induit des isomorphismes Gr Ker N S P 1 6 7 Supposons maintenant que V soit un espace vectoriel de dimension finie sur un corps k Nous commencerons par d crire M lorsque dans une base e de N la matrice de N est 0 O 00 1 O O 0 1 6 7 1 O I O Oo ol 0 O I oO Posons dim V d 1 et indexons les vecteurs de base par les entiers allant de 2 en 2 de d d de sorte que Ne 64 _ pour i d et que Ne_ 0o Alors M est engendr par les ej pour j lt i En g n ral V est somme de sous espaces V stables par N avec N du type 1 6 7 1 sur V et la filtration M de V est somme des filtrations ci dessus des
96. d intersection non d g n r e d apr s le th or me de Lefschetz difficile 4 3 9 Le groupe x P1 S o agit sur Y en respectant la forme Notons M son image dans G Th or me 4 4 x On suppose X irr ductible Si p 2 et que n est pair on suppose de plus le pinceau assez g n ral d axe dans un ouvert convenable d une grassmannienne Alors de deux choses l une a M est ouvert dans G b n est pair et M est fini Pour p 2 et n pair assez g n ral signifie tel que 4 2 8 soit applicable Le groupe G est un groupe alg brique semi simple sur Q Pour que le sous groupe compact M de G soit ouvert il suffit donc qu il soit Zariski dense La densit de Zariski se v rifiant apr s extension des scalaires de Q Q nous sommes ramen s appliquer les lemmes alg briques 4 4 2 pour n impair et 4 4 2 pour n pair la cl ture de Zariski de M dans G Q et la classe de conjugaison des transformations de Picard Lefschetz Les hypoth ses en sont v rifi es gr ce 4 2 5 et 4 2 8 Dans ces lemmes on a subrepticement remplac Q par le corps isomorphe C pour se sentir plus Paise Lemme 4 4 2 Soit V un C espace vectoriel de dimension finie muni d une forme altern e non d g n r e M un sous groupe alg brique de Sp V et R une orbite de M dans V qui engendre V On suppose que M est le plus petit sous groupe alg brique de Sp V contenant les tran
97. e tre pris r els gt o plut t que rationnels gt o n aT 367 182 PIERRE DELIGNE 1 10 Valeurs absolues non archim diennes Les conventions 0 7 sont en vigueur Soient X une courbe lisse absolument irr ductible sur F j U X un ouvert de X compl ment de l ensemble fini de points S et Fo un faisceau lisse sur U Au n 1 8 nous avons exploit la formule des traces sous la forme 1 4 7 2 et la structure de la monodromie locale pour tudier la valeur absolue archim dienne des valeurs propres de Frobenius sur Fo en les points de S au sens 1 10 2 ci dessous Dans ce num ro nous tudierons des valeurs absolues non n cessairement archim diennes Choisissons donc soit a un isomorphisme t de Q avec cas archim dien soit b un nombre premier une cl ture alg brique Q de Q et un isomorphisme de Q avec Q cas non archim dien On normalisera la valeur absolue naturelle de Q par 1 par exemple Le lemme 1 8 1 se g n ralise en le Lemme 1 10 1 Soit b gt o Si pour tout point x de U et toute valeur propre de F sur Fona ia lt b alors pour tout point x de S et toute valeur propre de F sur j Fo on a encore ia lt b0 Reprenons la preuve de 1 8 1 Nous nous placerons dans le cas non archim dien et indiquerons sous forme de resp les modifications apporter pour traiter le cas archi m dien qui est une l g re g n ralisation de
98. e DG Q o est un foncteur contravariant de 6 C est clair sur 5 1 6 3 le couple Z Z diagonal tant un foncteur contra variant en c Plus concr tement p 7 0 on associe qui envoie x sur x Par p t exemple pour tCo et p le morphisme d inclusion s obtient en faisant x 0 pour TET 5 1 7 Voici l id e de la construction dans le contexte parall le des sch mas simpliciaux de Godement on part d un ensemble S et d un ensemble de parties finies non vides de S les simplexes On suppose que chaque partie 1 l ment de S est un simplexe et que tout sous ensemble non vide d un simplexe est un simplexe Pour ce F on note o le simplexe usuel de R tendu par les vecteurs de base amp ico et l on prend pour espace X la r union des o pour oe F Soit X le c ne sur X la r union des c nes de sommet O tendus par les o Il nous sera plus commode de consid rer les espaces homotopes X r union des espaces affines o tendus par les o et X r union des espaces vectoriels amp tendus par les o Soit 4 R gt R la fonction somme des coordonn es L espace X est la fibre en r de la restriction X R de t X Pour chaque o soit Q o la Z t alg bre DG des formes diff rentielles relatives rel t polynomiales enti res puissances divis es sur 6 Par d finition une p forme axe Q X est une famille eQ o osef de p formes telle
99. e Q dans Q et G Q est la r union des groupes topologiques G F pour F une extension finie de Q dans Q contenant E On suppose que la premi re fl che verticale m X G Q se factorise par un homomorphisme continu de z X dans un G F et que l image de m X x est Zariski dense dans G 369 25 194 PIERRE DELIGNE En cons quence pour toute repr sentation lin aire V 7 de G resp de G on a V V 3 Chaque repr sentation lin aire V t de G d finit une repr sen tation adique de W X d o un faisceau lisse Z muni d un isomorphisme de W X repr sentations r V Via cet isomorphisme on a Ve Vad H X F r c Il existe une repr sentation lin aire V de G dont la restriction G soit de noyau fini telle que le faisceau lisse correspondant soit t mixte D apr s 2 2 8 i pour toute repr sentation V 7 r est alors mixte La conjecture 1 2 9 implique que la condition c est toujours remplie Exemple 2 2 5 Soient F un faisceau lisse mixte sur X V Z et sup posons que la restriction x X x de la repr sentation V de W X x soit semi simple par exemple Fy semi simple On d finit G comme en 1 3 7 et la preuve de 1 3 9 montre que les hypoth ses de 2 2 4 sont satisfaites tendons les scalaires de Q C par l isomorphisme On obtient une suite exacte 2 2 1 1 Choisissons Gg comme en 2 2 1 Proposition
100. e X au dessus de x e X Pour chaque BER soit Z 8B la somme des sous espaces propres g n ralis s de F relatifs aux valeurs propres de t poids rel g7 On a n cessairement F b F8 et si les poids ponctuels sont entiers WA D FR B lt i Ceci prouve l unicit et la fonctorialit 3 4 7 Prouvons i ii sous les hypoth ses additionnelles que X est lisse et que Fa est extension successive de faisceaux lisses ponctuellement t purs C est une cons quence formelle de 3 4 4 et de la semi exactitude du fonc teur Extl On proc de par r currence sur le nombre d extensions requises pour cons truire Fo Ceci nous permet de supposer que F est extension d un faisceau lisse Fy v rifiant i ii par un faisceau lisse ponctuellement pur F de poids f Preuve de i Soit b la classe de B dans R Z D apr s 3 4 4 si b b l image inverse de Fy b dans F est une extension triviale de b par Fy On prend pour b l image inverse de Fy b et pour Z b b b un rel vement dans Fy b Preuve de ii Sous les hypoth ses ii B est un entier D apr s 3 4 4 l image inverse de W _ dans F est une extension triviale de W _ par Fg Pour i lt B on prend pour W un rel vement de W F CW _ dans A Pour 126 on prend pour W l image inverse de W 7 3 4 8 Preuve de i ii On proc de par r currence sur dim X Quitte rempl
101. e classe de conjugaison d applications de Z 1 dans M Ici encore si 5 se sp cialise en 5 et en amp se sp cialise en Pour la preuve sinon pour l nonc voir SGA 1 XIII 2 11 1 11 4 Preuve de 1 3 1 Les notations sont celles de 1 3 1 On peut supposer et on suppose que dim X 21 Observons qu il suffit de prouver l assertion apr s une extension finie pr liminaire du corps des scalaires F Notons H X le plus grand quotient ab lien de r X x et H X p le plus grand quotient premier p L image de x X x dans W X est le plus grand 361 24 186 PIERRE DELIGNE quotient de H X sur lequel Frobenius agit trivialement et il nous faut montrer que le plus grand quotient de H X 2 sur lequel Frobenius agit trivialement est fini Soit U un ouvert dense quasi projectif de X on prend par exemple U affine et plongeons U dans un espace projectif P Soit V une section lin aire g n rique de dimension 1 de U on prend un point g n rique g om trique n de la grassmannienne des sous espaces lin aires de codimension dim U 1 de P le sous espace D sur k n correspondant et sur y l intersection V U k n N D Le th or me de Bertini assure que pour v un point base dans V le groupe fondamental x V v s envoie sur n U v On sait par ailleurs que x U v s envoie sur z X v fortiori H V p s envoie sur H X 2p Le groupe H
102. e de t degr p 5 1 6 Quelques pr liminaires avant de donner l id e de la construction puis la construction elle m me 5 1 6 1 Si est un ensemble fini on notera Z x le sous anneau de Q xico de Z base les mon mes LH ai Soit Q o le complexe de De Rham corres Mi pondant c est le sous complexe du complexe de De Rham de Q x de Z x 2 base les produits de dx prendre un produit pour chaque partie finie de o Posons t Xx et soit enfin Q 0 le quotient de Q 6 par l id al engendr par dt C est une Z t alg bre t gradu e DG si on prend pour tf graduation la graduation pour laquelle x et dx sont de t degr 1 On l appelle la Z t alg bre t gradu e DG des formes diff rentielles relatives rel t polynomiales enti res puissances divis es sur R 5 1 6 2 Quel que soit l anneau A on pose de m me Q o A Q 0 8A 5 1 6 3 Une construction plus intrins que est la suivante a Si L est un A module libre on consid re Q L T L L le degr ext rieur est celui de la puissance ext rieure et le t degr est la somme des degr s ext rieurs et sym triques la diff rentielle compatible aux puissances divis es est caract ris e par d x 1 1 x b Si M est un quotient libre de L on consid re le quotient Q L M I L 1M de Q L c On prend Q o A Q A A modulo A diagonal 411 236 PIERRE DELIGNE 5 1 6 4 La Z t alg bre t gradu
103. e fi est fini et il ne reste qu appliquer f a 3 3 2 Pour minorer les poids on peut utiliser les r sultats de SGA 7 XXI 5 sur les valuations p adiques des valeurs propres de Frobenius Disons qu un faisceau est entier si les valeurs propres des Frobenius sont des entiers alg briques Les poids d un faisceau mixte entier sont n cessairement positifs si un entier alg brique est pur de poids n rel g et de degr d sa norme est un entier ordinaire de valeur absolue le produit q des valeurs absolues de ses conjugu s complexes de sorte que n gt o Corollaire 3 3 3 Soient f X gt Y un morphisme de sch mas de type fini sur Z et F un faisceau entier sur X Si F est mixte de poids lt n alors pour chaque i N f F est mixte de poids entre o et n i Si i d passe la dimension maximum d des fibres les poids sont compris entre 2 i d et n i D apr s SGA 7 XXI 5 2 2 appliqu aux fibres de f les faisceaux RIF et R fF i d sont en effet entiers 381 206 PIERRE DELIGNE Lorsque X et Y sont de caract ristique p gt o on peut remplacer les faisceaux tales par des faisceaux de Weil Le cas le plus important est celui o Y Spec F Dans ce cas 3 3 1 et 3 3 3 signifient ceci avec les notations 0 7 Corollaire 3 3 4 Soient X un sch ma de type fini sur F et Fo un faisceau mixte de poids lt n sur Xo Alors H X F est mixte de poids lt n i pour chaque i et chaque valeur
104. e l application compos e est surjective Par ailleurs Paction de r U u sur la cohomologie de la section hyperplane X correspondant u se factorise par n P X u Pour prouver la conjugaison des cycles vanescents sous m U 4 il suffit donc de prouver une conjugaison sous m U u Ce groupe s envoie sur Gal n n et la conjugaison r sulte par transport de structure de ce que Gal n n agit transitivement sur S connexit de Corollaire 4 2 7 Pour p 2 n pair on suppose que le pinceau de Lefschetz X en est assez g n ral d axe dans un ouvert convenable de la grassmannienne Alors i n impair les homomorphismes de Z 1 dans le groupe de monodromie donn s par les Jormules de Picard Lefschetz xt gt x 42 x0 0 pour S un cycle vanescent sont conjugu s entre eux ii n pair les r flexions xk gt 2x 1 x8 5 pour S un cycle vanescent sont conjugu es entre elles Pour un pinceau g n rique ce corollaire r sulte de 4 2 6 et des formules de Picard Lefschetz donnant l action des groupes d inertie locaux On passe de l au cas g n ral gr ce 1 11 Corollaire 4 2 8 Sous les hypoth ses de 4 2 7 les cycles vanescents pris au signe pr s sont tous conjugu s dans H X Q Si l on n glige la torsion est en effet d termin au signe pr s par la transfor mation de Picard Lefschetz correspondante 4 3 Compl ment SGA7 XIX 4 Nous supp
105. e noyau de l application CAN gt re est un quotient de I r donc est le produit d un pro p groupe par un groupe fini et ve le groupe image 7 1 k des classes de diviseurs de degr o pour l quivalence lin aire est fini Weil BNT IV Th 7 La vari t de Picard Pic X est en effet de type fini et ce groupe de classes de diviseurs est le groupe des points rationnels sur F de Pic X x 3 2 Dans la suite de cet article nous appellerons simplement faisceaux les faisceaux de Weil 1 1 10 Les Q faisceaux constructibles seront appel s faisceaux tales Cette convention nous am nera parfois appliquer des Q faisceaux des r sultats prouv s pour des Q faisceaux La justification sera toujours imm diate 1 3 3 Soit F un faisceau de rang 1 sur X Le groupe W X x agit sur F par homoth ties via un caract re y W X gt Q R ciproquement pour tout tel caract re y l quivalence 1 1 12 nous fournit un faisceau x muni d une trivia lisation Z x Q Le caract re y se factorise par le plus grand quotient ab lien de W X x D apr s 1 3 1 le groupe de monodromie g om trique de Fg i e l image par x de m X x est donc le produit d un groupe fini par un pro p groupe Cette image est aussi un sous groupe compact de E pour ECQ une extension finie de Q C est donc le produit d un groupe fini par un pro groupe et puisque p c est un groupe fini En parti
106. e son cas particulier o P est de degr 1 P 1 yt On proc de par r currence sur deg P Si deg P gt o seul cas non trivial et que y est 407 232 PIERRE DELIGNE Pun des y le lemme pour P r1 yt montre que y co ncide avec l un des et on applique l hypoth se de r currence P 1 YT et Q 1 YT Il reste prouver 4 5 2 pour P 1 YT Ra isonnons par l absurde et sup posons y distinct de tous les j Pour chaque J soit k le g n rateur de l id al des entiers tels que 3 et soit N le produit des k non nuls L hypoth se assure que pour k 1 N on a y d et donc 4 5 3 1 yT det 1 FT Ev X sur F k 1 N En particulier y est une unit adique Soit u un point g om trique de P S Le groupe x P S u agit sur E Ev X Par ailleurs il s envoie dans 7x Spec F Gal F F 2 Soit G l image de x P S par l application diagonale dans GL E x2 C est une extension de par le groupe de monodromie g om trique M d termin au num ro pr c dent Notons p sa projection dans GL E et deg sa projection dans Pour te P S F4 et F l image dans G du Frobenius correspondant on a deg F k et det i FT Ev X det 1 p F T Les F tant denses dans G Cebotarev on d duit par continuit de 4 5 3 que 4 5 4 Pour geG avec deg g 1 N y est valeur propre de p g Nous allons voir que ceci est absurde
107. ents de degr divisible par n Chaque point x de X coordonn es dans F d finit un point rationnel de X donc un point ferm de X On note F un l ment de Frobenius g om trique correspondant et son image dans W X x Cette image est de degr n On note encore F son image dans G et 1F la classe de conjugaison dans GX des l ments conjugu s la composante semi simple de FeG 2 2 4 Si un point ferm x de X est image d un point rationnel de X son degr d divise n R ciproquement si d n il y a d points rationnels x de X au dessus de x et pour chacun d eux F F conjugaison pr s Sur l espace des classes de conju gaison dans W X x on a donc une identit entre mesures 3 5 2 1 Z deg x S F F n gt 0 n gt 0 ElXol 20 Xo Fgn Choisissons un l ment central z de degr d gt o pour identifier entre eux les G lorsque parcourt une progression arithm tique de raison d Compte tenu de 3 5 2 1 le th or me 2 1 12 se sp cialise en le suivant Th or me 3 5 3 Avec les notations de 3 5 1 quel que soit i la mesure a g BO S LE sur Gh converge vaguement vers ua GR 27 ua Gus pour n gt Re Exemple 3 5 4 Soit f E X une famille de courbes elliptiques param tr e par X et prenons Z R1fQ Posons V On a un isomorphisme naturel 2 AV Q 1 compatible l action de G Puisque G agit sur Q 1 par w_ les
108. er de poids non d tect s par les cycles vanescents soit b dont la restriction V est ponctuellement t pure de poids entier Heureusement les faisceaux a ne contribuent pas au groupe H Pt R1f 3 qui nous int resse puisque Pt est simplement connexe et que H1 P1 Q o Quels poids entiers n apparaissent Si on suppose d j connu le th or me avec une erreur lt 1 et qu on l applique aux fibres de f il fournit l estimation n lt 1 5 Puisque n est entier on a m me lt 1 Appliquant le th or me avec l erreur 5 P1 et aux quotients successifs de Rif pour la filtration introduite pr c demment on trouve que les valeurs propres de Frobenius sur Ht P1 R1 sont de poids w x lt 2 5 notre but Au d part toutefois on a seulement S 1 et permettre n 2 ruine l argument E Le poids d un H est lt 2 Nous prouvons directement que pour F lisse et ponctuellement pur de poids o les valeurs propres de Frobenius sur HHX 77 sont de poids w x lt 2 Ceci appliqu la fibre de f en un point de V suffit faire d marrer la d monstration Ce r sultat permet aussi de s parer les valeurs propres de Frobenius sur H X j F de poids w lt 2 de celles sur H X j F de poids 2 Appliqu aux fibres de f il est utilis dans la d monstration du fait que Rif amp est sur Vo facteur direct d un faisceau lisse t r el La d monstration est inspir e de la d monstration de Merten
109. est fini et surjectif Us X Des on a j Fo sj Fo Ceci permet de remplacer X Ug Fo par X5 Uo eZ d Faire de Pinfini un diviseur si Fy est lisse et que k V U est un ouvert dense on a 7 7 Jk k Fo Ceci permet de remplacer Ug et Fo par Vo et R Fo e Localisation au point g n rique Pinfini soit F X le compl ment de U et k V gt F un ouvert dense de F Si X est normal et Z lisse on a j Fa gt kkj Fa Soient en effet x un point g om trique de F y une g n risation de x dans V et z une g n risation de y dans U L hypoth se assure que l image inverse de U dans Phens lis strict de X en x est connexe donc que j Fo Fo La factorisation de cette fl che en ER Fo a gt RAT Po gt Foy gt Fo fournit Pinjectivit voulue Prouvons 1 8 9 par r currence sur dim U Les d vissages a d nous ram nent supposer X normal U lisse et le compl ment d un diviseur de Weil F et Z lisse ponctuellement 1 pur et mod r ment ramifi aux points g n riques de F Dans e 853 23 178 PIERRE DELIGNE le th or me est acquis par r currence pour k et il suffit donc de prouver 1 8 9 apr s avoir remplac X par des ouverts dont la r union des traces dans F soit dense dans F Ceci nous ram ne 1 8 8 2 Corollaire 1 8 10 Soient Fo un faisceau lisse sur Xo de type fini sur F et j Uo gt X un ouvert dense de Xo Si la restric
110. est sans section support ponctuel injectivit des mor phismes de sp cialisation Son H s injecte donc dans H Y et l image est la fibre en o du plus grand sous faisceau constant de R fiZ m La th orie locale montre par ailleurs que Ev Y est la fibre en o du plus grand sous faisceau localement constant de R fiZ m Puisque P est simplement connexe il est constant d o l assertion Enfin en Z cohomologie la th orie locale montre que R fZ m est l image directe de sa restriction P S d o H P R fZ H PS R fZ H Y e 5o Rappelons que par Lefschetz faible H X s injecte dans H Y On a la Proposition 4 3 3 Ev Y est encore l image de H X dans H Y La d monstration pour la Z m cohomologie sera donn e en 4 3 7 Auparavant trois pr liminaires une r duction au cas de la Z m cohomologie ci dessous le forma lisme de la cohomologie relative en 4 3 4 un raisonnement qui se substituera la th orie de Morse pour une boule qui grossit dans P1 C en 4 3 5 On peut crire 4 3 3 comme une suite exacte H X H Y gt Ev Y Pour les Z m modules le passage au dual est exact le transpos par dualit de Poincar du 398 LA CONJONCTURE DE WEIL II 223 morphisme de restriction est un morphisme de Gysin et en Z m cohomologie 4 3 3 fournit une croix de suites exactes Ev Y 4 3 3 1 o Ev Y H Y H X o A H X o
111. fa on respecter une filtration comme en 5 3 1 Ceci s applique en particulier oeGal k k Si l on prend pour o un Frobenius comme dans 3 les hypoth ses de 5 3 2 sont v rifi es par et la graduation correspondante de Q induit sur la cohomologie une graduation qui scinde le tensoris avec Q de la filtration par le poids de la th orie de Hodge sur H X C Q loc cit Un raisonnement de Sullivan montre alors l existence d une graduation de ayant les m mes propri t s Plus pr cis ment Th or me 5 3 4 Il existe des graduations W de M compatibles la filtration par le poids des H H X C Q en ce sens que W H X C Q W H 4 Deux telles IKM graduations sont conjugu es par un automorphisme de M induisant l identit sur Gr H X C Q Choisissons une filtration de comme en 5 3 1 Les graduations de compatibles la filtration par les s interpr tent alors comme les homomorphismes de G dans le groupe proalg brique G Aut M M lim proj Aut des automorphismes de qui respectent la filtration de M par les Soit Gs le sous groupe de Gx G form des couples g A tels que x g respecte la filtration par le poids des H X C Q sur Gr H il agit par multiplication par X On v rifie que le noyau de l homomorphisme g A HA est unipotent o gt U gt G gt G Apr s extension des scalaires Q le morphisme
112. fini Nous tudions ici la cohomologie valeur dans un faisceau il s agit de passer des propri t s ponctuelles du faisceau celles de sa cohomologie Soient donc X un sch ma de type fini sur F et F un Q faisceau sur X On suppose choisie une cl ture alg brique F de F et on indique par la suppression de l indice o l extension du corps de base de F F cf o 7 Pour x e X un point ferm de X et xeX F au dessus on dispose de l automorphisme de Frobenius F de la fibre F de F en x I 1 11 1 13 ou 1 18 On appellera ses valeurs propres les valeurs propres de F sur Fo On dit que Fo est ponctuellement pur de poids n si pour tout x X les valeurs propres de F sur Fo sont des nombres alg briques dont tous les conjugu s complexes sont de valeur absolue N x On dit que F est mixte s il est extension it r e de faisceaux ponctuellement purs les poids de ceux ci sont les poids de Fo Notre r sultat essentiel est le Th or me 1 3 3 1 Soient f Xo gt So un morphisme de sch mas de type fini sur F et Fy un faisceau mixte de poids lt n sur X Alors pour chaque i le faisceau R f F sur So est mixte de poids lt n i Pour S Spec F ce th or me dit que pour chaque valeur propre de Frobenius sur H X F il existe un entier m lt n lt 1 le poids de tel que les conjugu s complexes de soient tous de valeur absolue g La dualit de Poincar permet parfois de compl
113. finit Pangle de Frobenius 0 x e o m en demandant que les valeurs propres de F soient les nombres 4 9 i e en demandant que la courbe E sur Fp ait 1 2 cos0 x g g points rationnels Dans Gg SU 2 xZ on a 1F 6 x Le th or me fournit donc en gale caract ristique le th or me d quidistribution conjectur par Sato Tate Proposition 3 5 7 Avec les notations pr c dentes et pour j non constant lorsque n gt oo la mesure e S O x tend vaguement vers Z sin20d0 q 2EX0Fyr 2T Ce r sultat avait t obtenu par H Yoshida On an analogue of the Sato conjecture Inv Math 19 4 1973 p 261 277 pour certaines familles modulaires de courbes elliptiques C est originellement pour tendre son r sultat au cas d une famille un param tre quelconque que j ai d montr le th or me la Hadamard de la Vall e Poussin du 2 3 6 Application le th or me local des cycles invariants Soient k un corps alg briquement clos S le spectre de l hens lis de k T en l id al T s le point ferm de S n le point g n rique et n un point g n rique g om trique Soit f X S un morphisme propre On dispose alors d un morphisme de sp cia lisation sp H X H X son image est contenue dans les invariants sous l action du groupe d inertie Gal n n 388 LA CONJONCTURE DE WEIL II 213 Th or me 3 6 x Supposons X essentiellement lisse sur k et Xz lis
114. gement du torseur de y Pi On conclut en notant que parce que P est simplement connexe les images des groupes de monodromie locale engendrent topologiquement m P S v 4 3 7 Plan de la preuve de 4 3 3 les notations sont celles de 4 3 1 L injection de H X dans H Y se factorise par H P R fZ m CH Y et il nous faut v rifier que si est dans cet H l obstruction dxeH t X Y prolonger de Y X est nulle On a X Y Y et si p est la projection de X sur P ona H 1 X Y H P mod o Ro Z m r Si t S est une vari t affine lisse purement de dimension n Pour i lt n son H est donc nul th or me de Lefschetz faible Le support du faisceau R Z m est donc fini CS pour lt n en fait le faisceau est m me nul mais peu importe Ceci permet d appliquer 4 3 6 et nous ram ne calculer des obstructions locales qui ne sont autres que les 4 3 8 Preuve de 4 3 3 Soit eH Y et son image r ciproque sur l image r ciproque YU de YCX dans X L obstruction dueH X Y tendre X co ncide avec l obstruction tendre X X Pour lPexprimer nous utiliserons la version cat gorie d riv e de la suite spectrale de Leray de f Soit donc Z m une r solution flasque de Z m sur K f Zim et L f Z m Les groupes de cohomologie qui nous int ressent s expriment tous en terme du morphisme de complexes z
115. gue des nilpotents orbits en th orie des variations de structures de Hodge 1 7 11 Supposons X hens lien local X Spec R et prenons pour L l ensemble de tous les nombres premiers inversibles sur X Nous allons interpr ter en termes galoisiens la construction 1 7 8 Soient donc le corps r siduel de R K son corps des fractions R un hens lis strict de R de corps r siduel une cl ture s parable de k et de corps des fractions K K une cl ture alg brique de K et K CK l extension de K obtenue en adjoignant K les racines i mes des 4 pour n inversible dans R Pour qu un faisceau d ensembles sur X D localement constant soit mod r ment ramifi le long de D il faut et il suffit qu il devienne trivial sur Spec K et ceci identifie le groupe fondamental mod r de X D rel au point base Spec K Gal K K C est une extension de Gal K K Gal k par Gal K K 2 1 o gt Z 1 gt n X D Spec K Gal k k gt o Le choix des et des scinde cette extension prendre pour rel vement de Gal k k le fixateur des i D un faisceau d ensemble F sur X D localement constant et mod r ment ramifi le long de D identifi un ensemble F sur lequel n i X D Spec K agit on d duit donc une action de Gal k 4 sur F et une action Gal k k quivariante de 2 r1 Ceci d finit un faisceau sur Spec k ou un faisceau localement constant su
116. i X F k se d duit par un changement de base x Spec k gt S d un syst me Xg Fg sur S avec X de type fini sur S de type fini sur Z tel que les restrictions de F aux fibres de X S en les points ferm s de S aient la propri t P Exemple 3 4 11 Si f Y X est propre et lisse les faisceaux R f Q sont potentiellement ponctuellement purs Ceci r sulte d un argument standard de passage la limite pour construire fo Y5 X S propre et lisse et de 3 3 9 appliqu aux fibres de f Le th or me de sp cialisation 1 11 1 1 11 5 permet de g n raliser 3 4 1 iii comme suit Corollaire 3 4 12 Soient X un sch ma normal de type fini sur k alg briquement clos et F un faisceau lisse sur X Si F est potentiellement ponctuellement 1 pur il est semi simple En particulier l exemple 3 4 11 donne le Corollaire 3 4 13 Soient S un sch ma normal connexe sur k alg briquement clos et f X gt S un morphisme propre et lisse Alors les faisceaux R f Q sont semi simples Remarque 3 4 14 Le point clef dans la d monstration du th or me de Lefschetz difficile donn e en 4 1 1 est un cas particulier de 3 4 13 dans lequel f est projectif et S une courbe un ouvert de Pt Pour traiter ce cas il suffit de 1 1 6 pour assurer la puret de R f Q 1 11 1 pour l argument de sp cialisation et 2 2 10 Hada mard de la Vall e Poussin pour interdire la valeur propre 1 dans
117. ids Nous utiliserons aussi une variance faisceautique de 1 6 14 1 7 Monodromie locale 1 7 1 Soient R un anneau de valuation discr te hens lien K son corps des fractions k R m son corps r siduel K une cl ture alg brique de K et le corps r siduel du normalis de R dans K L extension de k en est une cl ture alg brique Il est souvent commode de choisir d abord et ensuite K comme suit on prend une cl ture alg brique de k puis une cl ture alg brique K du corps des fractions de l hens lis strict de R rel cf 0 6 Le groupe d inertie est d fini comme un noyau 1 7 1 1 o gt I gt Gal K K Gal k k o Lui m me ou son image dans une repr sentation s appellent encore groupe de mono dromie locale Rappelons que si k est d exposant caract ristique p on dispose d une suite exacte 10 5 2 o gt P gt IS 2p 0 o P est un pro p groupe Le quotient 2p 0 Al Z 1 est le groupe d inertie mod r Prenant la composante de t on trouve Fe t4 1 Z de noyau un groupe pro fini d ordre premier 1 7 2 Soit p 1 GL V une repr sentation adique de I Grothendieck a montr que l hypoth se suivante est souvent v rifi e en pratique voir SGA 7 I La restriction de p un sous groupe d indice fini I de I est unipotente Si elle l est il existe une unique repr sentation nilpotente p de Q 1 vue comme alg bre de Lie de dimens
118. ie des Q faisceaux constructibles est la cat gorie Q lin aire 2 limite inductive des cat gories des E faisceaux constructibles pour ECQ une extension finie de plus en plus grande de Q En d autres termes Pour ECQ une extension finie de Q on dispose d un foncteur E lin aire FF OQ des E faisceaux constructibles dans les Q faisceaux constructibles Il induit des isomorphismes Hom F 0 Q Hom 7 Q Q 8 On a des isomorphismes canoniques F amp Q F 89 rQ F QrQ compatibles 1 y Tout Q faisceau constructible est de la forme F rQ pour E et F convenables Un Q faisceau constructible est lisse s il est localement de la forme F amp Q avec F lisse Pour que ces d finitions soient utilisables il faut disposer d un formalisme du type habituel pour ces faisceaux Un tel formalisme est partiellement construit dans SGA 5 V VI Dans ces expos s Jouanolou montre que les Z faisceaux constructibles sur X forment une cat gorie ab lienne noeth rienne VI 1 1 3 donne la relation entre Z faisceaux constructibles lisses et repr sentations du groupe fondamental VI 1 2 5 montre que les Z faisceaux constructibles sont lisses sur les strates d une stratification de X VI 1 2 6 d finit produits tensoriels et images r ciproques et d finit et tudie les foncteurs images directes support propre R f pour f X gt Y un morphisme de type fini de sch mas noeth riens VI 2 2 Gr
119. if non trivial de F Si QEF X1 X est un polyn me de degr d premier p dont la partie homog ne de degr d Q4 d finit une hypersurface projective et lisse il s agit de prouver que 3 7 2 1 BO Te Ql o Ldi nE F9 On regarde comme tant valeurs adiques plut t que complexes l aide de et comme dans SGA 44 Sommes trigonom triques on d finit un faisceau Z YQ sur l espace affine A de dimension n sur F l aide de Y et du rev tement d Artin Schreier T T Q de A Ona 3 7 2 2 D Y Trim Q o 2 2 1 Tr F HA F FQ Tlse 391 216 PIERRE DELIGNE et on va prouver le r sultat plus pr cis que 3 7 2 1 3 7 2 3 H A F Q 0 pour i n dim H A F WQ d 1 et HA F FYQ est pur de poids n Soient S l espace affine sur F qui param trise les polyn mes n variables de degr lt d et S l ouvert de S qui param trise ceux dont la partie homog ne de degr d d finit une hypersurface non singuli re i e est de discriminant 0 Soit Q eH S Os X pires X le polyn me universel sur S c est une section du faisceau structural de Sx A5 il d finit un faisceau F a FQ sur Sx A5 Soit f la projection de S x Ag sur S Le polyn me Q correspond un point rationnel de S et A5 Q est la fibre de S XA FWQ en ce point Lemme 3 7 3 Les faisceaux NF WQs sur S sont lisses Soient Pg l espace projectif sur F
120. igueur Soit X une courbe lisse absolument irr ductible sur F La d monstration du th or me suivant est parall le celle du th or me 1 3 2 qu il g n ralise Th or me 1 5 x Les constituants de tout faisceau lisse 1 r el sur Xo sont 1 purs Lemme 1 5 2 Soient F un faisceau lisse 1 r el sur X et r le plus grand de ses poids d terminantiels rel 1 3 5 Alors pour tout xe X et toute valeur propre de E sur F on a Wyola lt r Quitte ter de X un point autre que celui auquel on s int resse on se ram ne supposer X affine Pour chaque entier positif k on a alors une galit 1 4 7 2 2k det 1 Ft H X OF 1 5 2 1 IL t det 1 F87 2 2 X det 1 Ft H X 9 F Dans cette formule a Les facteurs det 1 F t 8 OF au membre de gauche sont des s ries formelles de terme constant 1 coefficients r els gt o La d monstration est comme en 1 3 3 3 4 avec rationnel remplac par r el b D apr s 1 3 13 ii les poids d terminantiels des constituants de Z sont lt 2kr D apr s 1 4 3 le membre de droite n a donc pas de p le pour lt g 2 2 2k D apr s 1 3 5 3 6 les facteurs 1 det 1 F QF n ont pas de p le pour lt g 22 En particulier si est valeur propre de F sur Fg 1x 88z est un p le et l u degs lt q D soit TN gt a lt r I k Le lemme s obtient en fai
121. ii est trivialement v rifi e on a Z e et le conoyau est fini d apr s 1 3 10 iv 336 LA CONJONCTURE DE WEIL II 161 Corollaire 1 3 12 Supposons Fy semi simple et soit g un l ment central de degr mo de G Pour que le faisceau d fini par une repr sentation V de G soit purement de 1 poids d terminantiel B il faut et il suffit que les valeurs propres de g agissant sur V v rifient toutes ia gr On se ram ne supposer V simple auquel cas g est scalaire On remplace alors V par sa puissance ext rieure maximale pour se ramener au cas o V est de rang 1 Ce cas est laiss au lecteur cf 1 3 4 Cette interpr tation du poids d terminantiel fournit aussit t la proposition suivante qui est le r sultat principal de ce num ro Proposition 1 3 13 i Soit f X X un morphisme dominant de sch mas normaux connexes de type fini sur F Pour qu un faisceau lisse sur Xo soit purement de 1 poids d termi nantiel B il faut et il suffit que son image inverse sur X le soit ii Si des faisceaux lisses F et Go sur Xo sont purement de poids d terminantiel B et y alors Fo Fo est purement de 1 poids d terminantiel B iii Soit F un faisceau lisse sur X et soit n B la somme des rangs des constituants de Fo de 1 poids d terminantiel B Alors les poids d terminantiels de F sont les Za B B avec Xa B a et a B lt r B Pour ii on prendra G d fini par Fo et Fo 1 3 7 dernier
122. inverse de Fy sur le normalis de X on trouve que l ensemble des points de X o F est pur d un poids contient avec un point ferm x toutes les composantes irr ductibles de X passant par x Il est donc ouvert et ferm Variante 1 8 13 Dans tout ce paragraphe on peut remplacer pur et mixte par pur et mixte ainsi que par pur de poids entiers et mixte de poids entiers 1 8 14 Dans le dictionnaire heuristique de 2 I le th or me 1 8 4 cor respond la th orie de W Schmid du comportement asymptotique des variations de structures de Hodge polarisables sur le disque point D Le corollaire 1 8 5 sugg re le probl me suivant 354 LA CONJONCTURE DE WEIL II 179 Appelons variation de structures de Hodge mixtes sur un espace analytique lisse S la donn e de a un syst me local V de Z modules libres de type fini b une filtration finie croissante W de V V Q par des sous syst mes locaux d espaces vectoriels sur Q c une filtration finie d croissante F de V V 0 par des sous fibr s vectoriels i e la filtration F varie de fa on holomorphe on exige que F v rifie l axiome de trans versalit VFCQ F 1 et que W et F d finissent en chaque point de S une structure de Hodge mixte Les variations qui apparaissent en g om trie alg brique ont des propri t s additionnelles par exemple les variations de structures de Hodge Gr V sont polarisables
123. ion 1 dans V telle qu on ait 1 7 2 1 p o exp p o pour oel CI 346 LA CONJONCTURE DE WEIL II 171 On appelle p le logarithme de la partie unipotente de la monodromie locale On peut identifier p un morphisme nilpotent N V 1 gt V La formule de d finition s crit alors 1 7 2 2 p o exp N o pour oelCI La th orie 1 6 14 1 6 15 s applique cette situation Le twist k de loc cit n est autre qu un twist la Tate Les filtrations 1 6 1 et 1 6 13 de V s appel leront respectivement filtration de monodromie locale de V et filtration de monodromie locale de V rel W 1 7 3 Supposons le corps r siduel fini q l ments On d finit le groupe de Weil W K K comme le sous groupe de Gal K K image inverse de W Z k Soit V une repr sentation adique de W K K D apr s Grothendieck SGA 7 I la condition x de 1 7 2 est automatiquement v rifi e Le logarithme de la partie unipotente de la monodromie N V 1 gt V est donc d fini Il commute l action de W K K Lemme 1 7 4 Si F et F sont deux rel vements dans W K K de FeW k k les valeurs propres de F et F co ncident multiplication pr s par des racines de l unit Pour le v rifier on peut remplacer V par sa semi simplifi e donc supposer que Paction du groupe d inertie I se factorise par un quotient fini Dans ce cas il existe n gt o tel que F et F aient m me image dans GL V
124. ion d duite de W par fonctorialit b pour JCK la condition L W J W K Nizex s est v rifi e En outre GrY F E est ponctuellement pur de poids a L unicit des W J r sulte aussit t de 1 6 13 et il suffit de disposer des condi tions a et b pour C K Pour prouver existence nous traiterons d abord un cas particulier Lemme 1 9 3 Soit G rer un syst me de nombres entiers gt o Le faisceau FTE admet une unique filtration finie croissante W I par des sous faisceaux lisses telle que N Xc N v rifie la condition L W W T N En outre GrP F E est ponctuellement 1 pur de poids a Vu lunicit 1 6 13 si pour tout point g om trique x de E localis en un point ferm x il existe une filtration finie croissante M sur F E satisfaisant L W M N alors ces filtrations se recollent en une filtration M de F E par des sous faisceaux lisses satisfaisant L W W I N Il suffit m me de prouver l existence de M en un point de chaque composante connexe de E Ceci nous ram ne pour prouver 1 9 3 montrer que pour x et x comme ci dessus M existe et que Gr F E est pur de poids a Nous le v rifierons par r duction 1 8 5 Une extension pr liminaire du corps fini de base nous ram ne supposer que x est un point rationnel On compl te alors les en un syst me de coordonn es locales 4 u centr en x une application tale d un voisinage de x dans l espa
125. ique de X Soit G l extension o gt n X gt W X Z gt o o n q1 I X et x le Frobenius g om trique F On a amp _ x Nv La condition A n est en g n ral pas satisfaite mais cf les remarques apr s A Les conditions B sont satisfaites Les fonctions L r s sont les fonctions L d Artin associ es aux repr sentations irr ductibles de Gal K K non ramifi es sur X ou plut t ces fonctions L priv es des facteurs locaux hors de X et translat es en s Th or me 2 1 4 Avec les hypoth ses et notations de 2 1 1 supposons que la fonction L r se prolonge en une fonction m romorbhe de x pour r gt 1 et que dans cette r gion R r gt 1 elle est holomorphe sauf pour un p le simple en w Alors la fonction L r ne s annule pas pour B r 1 sauf pour au plus une repr sentation t de dimension 1 et d finie par un caract re we avec e d ordre 2 Pour une repr sentation non n cessairement irr ductible on d finira encore L et L t s comme en 2 1 1 On pose Lan E s On a dans le domaine de convergence SES L 2 1 4 1 7 05 rs Nv Tr q x n gt 0 364 LA CONJONCTURE DE WEIL II 189 On peut plus g n ralement prendre pour une repr sentation virtuelle i e un l ment du groupe de Grothendieck de la cat gorie des repr sentations de G Pour unitaire et o r el gt 1 T est dans le domaine de convergence et 2 1 4 1 appliqu amp 7
126. isse purement de dimension 1 sur k Soit X un sch ma de type fini sur un corps k Si X est connexe le morphisme structural X gt Spec k admet une unique factorisation X Spec k gt Spec k avec k 320 LA CONJONCTURE DE WEIL II 145 extension finie s parable de k et X k g om triquement connexe En g n ral chaque composante connexe de X admet une telle factorisation On a l en particulier un proc d m canique pour ramener les propri t s des courbes lisses sur les corps finis celles des courbes lisses absolument irr ductibles sur les corps finis Nous l emploierons souvent tacitement pour passer des unes aux autres 0 6 Un trait est le spectre d un anneau de valuation discr te V Il est dit hens lien si V Pest et strictement local s il est hens lien et que son corps r siduel est s parablement clos L expression un trait S n s signifie un trait S de point ferm s et de point g n rique y L expression un trait S n s n s signifie un trait S n s muni d un point g om trique s localis en s et dont le localis strict Sg est muni d un point g om trique g n rique 1 0 7 On d signera toujours par p un nombre premier f par q une puissance de p par F un corps fini q l ments et par F une cl ture alg brique de F resp de F si F n a pas t introduit Les conventions suivantes seront souvent en vigueur F et F sont fix s les objets
127. it c un entier tel que Gr Gr V ne soit non nul que pour c lt i lt c V rifions les identit s suivantes pour i gt o 1 pour 1 gt 6 on a M M W 2 M_ M W_ N M 3 M Ker Nit V V M _ L assertion 1 exprime que M_ Gr V o pour i gt c Dans 2 l inclusion D r sulte de hypoth se NM CM _ L inclusion C r sulte de ce que l image de N M dans Gry V est N M Gr V M_ Gr V Dans 3 l inclusion C r sulte de l hypo th se NM CM Il suffit donc de prouver l galit apr s passage aux Gr avec j lt o et pour cela de prouver l inclusion D apr s passage aux Gr Posons G Gr V et notons encore M la filtration induite par M sur G On a GrW Ker N V gt V M_ _ CKer Nit G gt G M_ _ et ce dernier noyau co ncide avec M G Gr M l application N tt de G M dans G M _ est injective car son Gr l est i e les applications N 1 GrG gt Gri _ G pour k gt i le sont l application it r e de N de Gr dans Gr gt _ est par hypoth se un isomorphisme et k 2i 2 gt k gt 2j k Enfin une r currence descendante sur montre que les identit s 1 2 3 d terminent uniquement M en terme de sa restriction W_ et de N 1 6 14 Dans les applications la cat gorie ab lienne consid r e sera celle des espaces vectoriels sur un corps de caract ristique o et nous disposerons non pas d un endomorphisme nilpotent N de V mais d une action nilpotente d une alg
128. ithme N de la partie unipotente de la monodromie locale en se So satisfait N t o En effet si m est le plus petit entier tel que N o F admet des valeurs propres et a N s et on applique 1 10 3 1 11 Sp cialisation de la monodromie Proposition x xx x Soient S un sch ma irr ductible f X S un morphisme lisse purement de dimension relative 1 fibres g om triquement connexes g une section de f et F un Z faisceau lisse sur X Pour chaque point g om trique 5 de s soit MZ l image de r X g s dans Aut F F g Alors il existe un ouvert U de S tel que pour tout n et tout point g o m trique s de U M soit la fibre en s d un sous faisceau lisse M de Aut g F E F sur U Soit I le rev tement fini tale Som F l F f EF LF de X On a Sl Atl FF L automorphisme identique nous fournit une section g de I au dessus de g Apr s avoir rapetiss S nous construisons simultan ment les M et une tour de rev tements finis tales X CI contenant la section g stables par M et tels que fibre g om trique fibre g om trique X soit le rev tement galoisien de X qui trivialise F jF On aura M 2 X X Soit F la fibre de F en un point g om trique La preuve repose sur les faits que Aut F F est fini tandis que le groupe des automorphismes de F triviaux sur F F est un pro groupe Prenons la composante neutre de la section g de I Au dessus d un o
129. l ments de degr n de G agissent sur V avec pour d terminant g Lemme 3 5 5 Si l invariant modulaire j de EJX est non constant le groupe G est le groupe SL V tout entier 387 212 PIERRE DELIGNE Soient n un entier sup rieur ou gal 3 premier p et X l une des composantes connexes du rev tement Ssom E Z n de X c est un rev tement galoisien tale de X de groupe de Galois un sous groupe de SL 2 Z n sur lequel le faisceau E est trivial on dispose de E gt Z n Soit x un point base au dessus de x Le couple E d finit un morphisme u de X dans le sch ma de module M des courbes elliptiques munies d une structure de niveau n L hypoth se sur j assure que le morphisme u est dominant donc que l image de u 7 X x rx M u x est d indice fini On sait par voie transcendante que 7 M x s envoie sur le sous groupe de SL HI E Z form s des l ments 1 mod n Le groupe de monodromie g om trique de F X contient donc un sous groupe d indice fini de SL H1 E Z et 3 5 5 en r sulte 3 5 6 On suppose j non constant Le lemme 3 5 5 montre alors que Gg n est autre que SU 2 XZ agissant sur 1V C par g n q 9 Identifions l ensemble des classes de conjugaisons dans SU 2 o x par i0 e o classe de aje o e On sait que limage directe de la mesure de Haar de SU 2 est la mesure Z sin2040 sur o z S Pour xeX F on d
130. la pente de n entre j 1 et j est la J i me de ces valuations La valeur de n en l entier j o lt j lt I est donc la plus petite valuation d un produit de j d indices distincts Pour xe X le polygone de Newton de Fy en x rel est le polygone de Newton rel N x de Pimage par du syst me des valeurs propres de F sur Z La valeur en Pentier j o lt j lt rg Fo de la fonction correspondante est le plus petit des J nombres vy 1 pour valeur propre de F sur AZ Corollaire 1 10 7 Supposons que pour presque tout xe U Fo ait en x le m me polygone de Newton n rel Alors pour se So le polygone de Newton n de F en s est au dessus den n gt n et a les m mes extr mit s La minoration n 2 gt n reformule la majoration 1 10 3 des valeurs absolues des j valeurs propres de F pour les faisceaux AZ Le compl ment m me extr mit n rg Fo n rg Fo r sulte de ce que pour un faisceau de rang un en l occurrence 359 184 PIERRE DELIGNE la puissance ext rieure maximale de Fo la valuation Vy de x pour la valeur propre de F est ind pendante de x cf 1 3 3 1 10 8 On obtient des r sultats plus pr cis en tenant compte de la filtration de monodromie M Par exemple Corollaire x 10 9 Soient B lt Y et supposons que pour presque tout xe U les valeurs propres de F sur Fo satisfont B lt owa ix y Alors si n est la partie enti re de y 6 le logar
131. le Soient X de type fini sur S comme ci dessus et F et Y deux R faisceaux constructibles sans torsion sur X Les faisceaux amp xth n F R m SOR m forment alors un syst me projectif et on pose EF G HR Hom F G lim proj ty FOR m FOR m Cet amp xt est nouveau un R faisceau constructible Cette construction passe au quotient pour d finir des amp xt de E faisceaux constructibles et s tend par passage la limite aux Q faisceaux constructibles d Si quels que soient K et L dans D X R les groupes Hom K R m L R m sont finis tel est le cas pour X de type fini sur un corps fini ou alg briquement clos alors la cat gorie D X R est triangul e de triangles distingu s les triangles dont la r duction modulo m est distingu e pour tout n En g n ral la consid ration de triangles est avantageusement remplac e par celle de complexes filtr s on d finit DF X R m comme la cat gorie d riv e de la cat gorie des complexes born s filtr s de filtration finie dont le gradu est de tor dimension finie cf L Illusie Complexe cotangent et d formations I LN 239 Springer chap V n s 1 3 On pose DF X R 2 lim proj DF X R m et chaque fois qu on aimerait consid rer un triangle dans D X R on peut faire mieux construire un objet de DF X R dont la filtration n a que deux crans les sommets du triangle cherch tant les deux composantes
132. lg briques de son complexifi K Deux l ments de K conjugu s dans K sont donc conjugu s dans Kg Si Z est le sous groupe de GX engendr par un l ment central de degr non nul on prouve 2 2 2 en appliquant ce qui pr c de au groupe compact GX Z et en observant que deux l ments de Gg de m me degr sont conjugu s si leurs images dans G Z le sont 2 2 3 Un l ment de Go est dit semi simple si son image dans le groupe alg brique G Z l est unipotent s il est contenu dans G et unipotent dans ce groupe alg brique Tout l ment g de Go s crit de fa on unique comme produit g 2 8 Lugs avec g semi simple et g unipotent Cela r sulte du m me fait pour G Z et de ce que les l ments unipotents de Gg s envoient bijectivement sur ceux de G Z 2 2 4 Soit X un sch ma de type fini sur F normal et g om triquement connexe muni d un point base xeX Le groupe de Weil W X x est une exten sion 1 1 13 1 de Z par le groupe fondamental g om trique r X x Soit un morphisme d extensions o m X x W X x Z 0 Lo o G Z 0 satisfaisant aux conditions a b c suivantes a G est un groupe alg brique sur Q z extension d un groupe fini par un groupe semi simple Cette hypoth se implique que G admet des repr sentations lin aires fid les b Le groupe G peut tre d fini sur une extension finie suffisamment grande E d
133. lisse sur S Pour S spectre d un corps parfait il suffit de remplacer X par X et Y par Yea En g n ral il faut rapetisser S faire un changement de base fini radiciel et surjectif S S et remplacer X et Y par Xa et Ya La topologie tale tant insensible aux morphismes finis radiciels et surjectifs ceci est innocent Quitte r tr cir V on peut supposer F lisse sur V vx y Ceci permet d appliquer 6 1 8 j et fj D finissons A par le triangle 1 gt F Rj jJ F gt A Les faisceaux de cohomologie de A sont support dans X V et dim X V lt n L hypoth se de r currence permet donc de supposer que Rf A est mixte Appliquons Rf au triangle 1 on trouve un triangle RFF RKR f 7 F R A dans lequel deux des sommets sont mixtes Le troisi me l est donc galement 6 1 10 Prouvons 6 1 2 Le probl me est local sur Y qu on peut supposer affine Prenant un recouvrement affine de X et invoquant sa suite spectrale de Leray on se ram ne avoir X galement affine On peut alors factoriser f en un plongement ouvert suivi d un morphisme propre f gj do Rf Rzg R Le plongement ouvert est justiciable d un le morphisme propre de 3 3 1 421 246 PIERRE DELIGNE On a comme cons quence formelle de 6 1 2 cf SGA4 4 Th finitude 1 5 Corollaire 6 x xx Les quatre op rations R f RIF f et Rif transforment faisceaux mixtes en faisceaux mixtes La m
134. logarithme d abord d finie sur un voisinage assez petit de e est tendue la r union des sous groupes 337 21 162 PIERRE DELIGNE compacts de H E par la formule log x log x La densit de K et le fait que H soit semi simple impliquent que log K engendre Lie H comme espace vectoriel sur E Soient Op l anneau de la valuation de E et L le module engendr par le compact log KCLie H IL est stable sous le normalisateur de K La repr sentation adjointe tant noyau fini et ad H E GL Lie H propre il en r sulte que ce normalisateur est compact 1 4 Cohomologie des courbes et fonctions L rappels Ce num ro rassemble quelques r sultats bien connus dont nous ferons un usage constant 1 4 1 Si X est une courbe sur un corps alg briquement clos k et F un faisceau sur X les groupes H X F H X F H X F H X F sont de nature l mentaire a H X F est le groupe des sections globales H X F le sous groupe de celles support compact support fini si X n a pas de composante irr ductible compl te Si X est connexe de point base x et que F est lisse d fini par une repr sentation V de m X x on a 1 4 1 1 HUX F V 2 Vrai 2 X let EE HUX s pour comple o sinon b Si U est le compl ment d une partie finie de X ona HU F S H X F Prenant U assez petit pour que Ua soit lisse et F lisse sur U ceci permet de calculer le H par dualit de Poincar partir du
135. m Le foncteur F lim proj F est pleinement fid le de la cat gorie des R faisceaux constructibles dans celle des pro faisceaux de R modules pro objets de la cat gorie des faisceaux de R modules et on appellera encore R faisceau constructible tout pro faisceau dans l image essentielle Ceci conduit abandonner la notation F On crira plut t F R I Justification de cette notation pour F comme avant le syst me projectif en J des Z R I est essentiellement constant de valeur F On dit que F est lisse dans une autre terminologie constant tordu si les F R I sont localement constants c Soient E une extension finie de Q et R la cl ture int grale de Z dans E La cat gorie des E faisceaux constructibles est le quotient de la cat gorie des R faisceaux 322 LA CONJONCTURE DE WEIL II 147 constructibles par la sous cat gorie paisse des faisceaux de torsion En d autres termes x On dispose d un foncteur essentiellement surjectif E des R faisceaux constructibles dans les E faisceaux constructibles B On a Hom F E Z E Hom F 7 E Un E faisceau constructible est lisse s il est localement de la forme F E avec F lisse d Pour F une extension finie de E on dispose d un foncteur FF amp F des E faisceaux constructibles dans les F faisceaux constructibles On a Hom F F 7 F Hom G QE Pour une extension it r e on a un isomorphisme canonique 1 FOF 9rG F QG La cat gor
136. mes int rieurs Un sous groupe d indice fini de G agit donc trivialement sur cet ensemble et sur Z0 Prouvons que iii gt iv Soit g un l ment de G d image 1 dans Z et soit y l auto morphisme xkgxg7 de G On sait que le groupe des automorphismes d un groupe r ductif est le produit semi direct du groupe des automorphismes respectant un pinglage par le groupe adjoint automorphismes int rieurs SGA 3 XXXIV 1 3 et qu un automorphisme qui respecte un pinglage est d ordre fini si et seulement si sa restriction au centre connexe l est L hypoth se iii assure donc que y est le produit d un auto morphisme d ordre fini respectant un pinglage par un automorphisme int rieur Modifiant g par un l ment de G on peut supposer y d ordre fini La restriction de Int g G est alors elle aussi d ordre fini Si elle est d ordre n g est central comme centralisant G et g et iv en r sulte Enfin sous l hypoth se iv G admet un sous groupe central Z engendr par un l ment g d image 0 dans Z le groupe G Z est alg brique et toute repr sentation fid le de G Z fournit une repr sentation de G dont la restriction G est fid le Corollaire x 3 xx Supposons Fy semi simple et soit Z le centre de G Alors les noyaux et conoyaux de deg Z 2Z sont finis Le noyau ZAG est contenu dans le centre de G qui est fini d apr s 1 3 0 D apr s 1 3 9 encore la condition 1 3 10 i
137. n Fy Plus pr cis ment tout morphisme entre faisceaux lisses mixtes de poids ponctuels entiers est strictement compatible leurs filtrations par le poids ponctuel iii Si Fo est lisse ponctuellement 1 pur et que X est normal alors le faisceau F sur X est semi simple 383 208 PIERRE DELIGNE Lemme 3 4 2 Si Fo et Ga sont deux faisceaux lisses sur X on a une suite exacte 0 HU X om F G Ext Fy So gt HUX om F 2 Dans ce lemme F en exposant resp en indice indique le groupe des invariants resp co invariants pour l action de W amp F Le Ext est le groupe des classes d exten sions dans la cat gorie ab lienne des faisceaux sur X La fl che de droite est l image r ciproque sur X Extt 7 Fo gt Extt Z G H X om F G On tombe dans la partie invariante par F Si une extension amp de 7 par est g om triquement triviale elle admet sur X un scindage p Les autres scindages sont de la forme f avec feHom F G L extension est triviale sur X si et seulement si o f peut tre choisi invariant par F i e si Fp veHom 4 est de la forme Ff f i e est d image nulle dans Hom Z et la construction amp Fp met en bijection classes d extensions g om triquement triviales et Hom F 5 HU X om F G p Le lemme en r sulte Lemme 3 4 3 Si Fo et Go sont lisses sur X lisse et ponctuellement 1 purs de poids B et y alors il ne peut existe
138. n nous permet d identifier les faisceaux sur X des faisceaux de Weil particuliers en fait ceux pour lesquels l action de W F F se prolonge en une action continue de Gal F F Nous admettrons pour les faisceaux de Weil Panalogue des r sultats de Grothen dieck pour les faisceaux ordinaires La g n ralisation est facile l aide de 1 3 14 1 1 12 Si X est le rev tement universel de X point par le point g om trique 7 on dispose d un morphisme quivariant relativement au morphisme naturel de W X x dans W F F X avec action de W X gt X avec action de W F F a 2 L image inverse sur X d un faisceau de Weil est donc munie d une action de W X x 3e ad Si le faisceau est lisse sa fibre en x s identifie ses sections globales sur X d o un foncteur fibre en x faisceaux de Weil lisses repr sentations de W X o repr sentation est d fini comme en 1 1 6 Des arguments standard montrent que si X est connexe ce foncteur est une quivalence de cat gorie Il nous permet comme en 1 1 6 de transposer aux faisceaux de Weil lisses le langage des repr sentations 1 1 13 Supposons X connexe Pour ye X ou plus g n ralement pour y un point de X valeur dans un corps fini les Frobenius F sont dans W X x l image de F dans Gal amp F tant la puissance enti re p o deg y k F
139. ncident avec le groupe analogue calcul sur D et la suite exacte longue d duite de 3 1 4 1 par application du foncteur cohomologique fournit des isomorphismes 3 1 4 2 DQ EP D Q Si B est l ensemble des deux points de l hens lis D au dessus de on a donc 3 1 4 3 HQ 0 pour g 1 et 3 1 44 1Q 0Q 08 B Dans le cas g n ral soit F une filtration comme en 3 1 2 On trouve par d vissage que 3 1 4 5 jrF 0 pour q et que Di jr F admet une filtration F pour laquelle 3 1 4 6 GOLA nF GrilF Q B 375 200 PIERRE DELIGNE 3 1 5 Cas c Soit B l ensemble deux l ments des branches de D par x Notant la projection dans S ou S de la normalis e D de D on a au voisinage de x une suite exacte 3 1 5 1 0 Q Q iQ Q e B 0 Puisque f est lisse en x et que fo est lisse en les deux points de D au dessus de x les fais ceaux sont nuls pour Q et i Q On obtient donc des isomorphismes 3 1 5 2 DAQ DE x QDc B Les 2 x Q e B sont nuls pour g 1 et Drt x Q e B Q e B Ceci fournit la valeur des jQ et par d vissage celle de D jr 7 3 1 5 3 Dur F 0o pour g r et pour F comme en 3 1 2 3 1 5 4 GED n F Gri 7 Se B 3 2 Dimension 1 Les conventions 0 7 sont en vigueur Proposition 3 2 1 Soient Xo une courbe lisse absolument irr ductible sur F et Fo un faisceau lis
140. ne th orie non crite des cycles vanescents pour une base de dimension gt 1 que pour un pinceau de Lefschetz transverse les cycles vanescents pris au signe pr s sont tous conjugu s sous le groupe de monodromie et que la g o m trie de la situation en particulier le groupe de monodromie ne d pend pas du pinceau de Lefschetz transverse choisi Nous nous contenterons de r sultats plus faibles cf SGA7 XVIII 6 Proposition 4 2 6 Pour un pinceau de Lefschetz g n rique les cycles vanescents pris au signe pr s sont tous conjugu s sous le groupe de monodromie Si X n est pas une hypersurface de P alors pour un pinceau g n ral on a S 59 L assertion est triviale dans ce cas Supposons donc que X soit une hypersurface Puisque X est suppos irr ductible X est irr ductible 396 E LA CONJONCTURE DE WEIL II 221 Soit y le point g n rique de la grassmannienne des droites dans P 7 un point g n rique g om trique D la droite projective sur k n correspondante et D celle qui s en d duit par extension des scalaires k n Sur D le lien critique S est l intersection de D avec X Le sch ma S s envoie sur le point g n rique de X avec une fibre g om trique connexe Le sch ma S est donc connexe Posons U D S et U D S Pour veU consid rons les groupes fondamentaux n Uz 4 m U u gt m P XX u Le th or me de Bertini assure qu
141. ntions 0 7 sont en vigueur Soient X un sch ma normal g om triquement connexe de type fini sur F et x un point g om trique de X Dans cette section nous donnons des cons quences du th or me suivant Th or me 1 3 1 L image du groupe fondamental g om trique mi X x dans le quotient de W X x par l adh rence de son groupe d riv est le produit d un groupe fini d ordre premier p par un pro p groupe Ce th or me est bien connu mais je n ai pu le trouver dans la litt rature Pour nos r sultats principaux seul le cas o X est une courbe nous importe Ci dessous une preuve dans ce cas Le cas g n ral sera trait en 1 11 4 332 LA CONJONCTURE DE WEIL II 157 Soient X la compl t e projective et lisse de X et S X X Notons k le corps des fonctions de X son compl t en une place v identifi e un point ferm ve X r le groupe des unit s de k et ki le groupe des id les de 4 La th orie du corps de classe identifie W X x au groupe de classes d id les II 7 la limite pro jective des groupes de classes de diviseurs Li C diviseurs sur X ceux de la forme avec p 1 m pour m un module de plus en plus grand concentr sur S L image du groupe fonda mental g om trique s obtient en rempla ant kh par le sous groupe k des id les de norme 1 i e en rempla ant les C par les sous groupes CO des classes de diviseurs de degr o L
142. odule t gradu sur Q f par exemple sur Q f notons lim M la limite inductive du syst me inductif des composantes homog nes M de M avec pour morphisme de transition de M M la multiplication par Posons 5 2 1 6 H X Q TX Z 874Q et 5 2 1 7 A X lim Q Q X Z On d duit de 5 2 1 5 par passage la limite un isomorphisme 5 2 1 8 H A X H X Q 5 2 2 Soit X une vari t alg brique sur un corps alg briquement clos k Elle peut tre d finie sur un sous corps alg briquement clos d nombrable k de k Soit donc X sur k dont X se d duit par extension des scalaires Parce que k est d nombrable on peut trouver un syst me projectif d nombrable index par les entiers de morphismes tales et surjectifs X gt X tel que pour tout morphisme tale et surjectif U gt X il existe et une factorisation de par Pour chaque et chaque ensemble fini o soit X X le produit fibr sur X d une famille index e par o de copies de X Lorsque o parcourt les ensembles finis A 0 n ces produits fibr s forment un sch ma simplicial On pose 5 2 2 1 X To X4 X1 a et 5 2 2 2 A X A X Il e t t plus naturel de prendre plut t que les X X un syst me projectif cofinal d hyperrecouvrements tales de X d apr s Artin cela revient essentiellement au m me Par d finition de la cohomologie tale si on avait consid r des hyper
143. oie 6 On d duit facilement de la construction inductive de qu il existe une filtration croissante exhaustive de par des sous alg bres de type fini n gt o telle que x Tout automorphisme de est homotope un automorphisme de qui respecte chaque M Si l automorphisme 6 de respecte la filtration par les il y a un sens parler des valeurs propres de c et de la graduation de par les sous espaces propres g n ralis s apr s extension des scalaires une cl ture alg brique K de K MOK est somme directe des a U Ker o a aek et ceux ci forment une graduation de de type K j On d duit facilement de la construction inductive de que toute valeur propre de o sur K est un produit de valeurs propres de o sur les H A K voire m me sur les quotients sph riques des H A K Plus pr cis ment une valeur propre de c sur KR est un produit I de valeurs propres de o sur H avec En i gt n Soit lle sous groupe du groupe multiplicatif de K engendr par les valeurs propres de 6 Si v 1 Z est un homomorphisme les M n M a forment une graduation de type Z de K Si pour toute valeur propre de o sur H A on a v x gt o cette graduation est degr s gt o Si pour toute valeur propre de c sur H A on a v gt i et ce pour tout i alors K est enti rement en degr s gt n Si T est contenu dans I stable par Gal K K et que v se
144. ojectif P et balayons S par un pinceau d hyperplans d axe AC P On suppose que le plongement et le pinceau peuvent tre pris de sorte que B S D et le pinceau de sections hyperplanes d axe A remplissent les conditions de position g n rale A D de 3 1 1 On fera enfin l hypoth se de commodit C Les points exceptionnels 3 1 1 sont d finis sur F Les fl ches du diagramme 3 1 1 1 proviennent par extension des scalaires de morphismes de F sch mas que nous d signerons par les m mes lettres f x j Nous noterons T l ensemble fini des valeurs exceptionnelles de f W le compl ment de T dans A5 et w l inclusion de W dans A Soit FR Fo p F Qpr F le produit tensoriel externe de Z avec lui m me Nous appliquerons la th orie 3 1 au calcul de la cohomologie de Z Les hypoth ses A E de 3 1 sont satisfaites par hypoth se par S D 9 et le pinceau d axe A 377 26 202 PIERRE DELIGNE Lemme 3 2 7 Le faisceau lisse wR fin amp sur Wo est facteur direct d un faisceau u r el Preuve Puisque le faisceau est lisse et ponctuellement pur de poids o le faisceau A est ponctuellement pur et t r el et il nous suffit de v rifier que sur W le faisceau R fr est 1 r el C est une cons quence de 3 2 1 si xe Wo si Y est la fibre de f U XU Ai en x une courbe sur k x et si Y se d duit de Y par l extension des scalaires de k x F d finie par un poin
145. ombres premiers inversibles sur X et F un faisceau d ensembles sur X D localement constant mod r ment ramifi le long de D et m me L ramifi le long de D au sens suivant pour d le point g n rique d une composante irr ductible de D l hens lis X est un trait hens lien si n en est un point g n rique g om trique on demande que le groupe d inertie agisse sur F via un L groupe Le lemme d Abhyankar assure alors l existence d un entier n dont tous les facteurs premiers sont dans L tel que l image inverse de F sur rx X D CX soit la restriction x X D d un faisceau localement constant F sur X que nous appellerons le prolongement localement constant de F X Nous noterons ZF E la restriction de F E Elle est munie d une action de ul d duite de l action de ul sur X Posant Z0 LZ x un pro faisceau sur E on obtient ainsi un foncteur F gt F E des faisceaux d ensembles sur X D localement constants et L ramifi s le long de D dans les faisceaux d ensembles localement constants sur E munis d une action de Z 1 Ce foncteur passe aux Q faisceaux constructibles par passages la limite et on a une variante pour les faisceaux de Weil Dans bien des cas voir 1 7 12 1 et notamment si X est de type fini sur Z l action de Z 1 est quasi unipotente il existe des endo morphismes nilpotents commutant entre eux N dans End Z E 1 tels que si o est dans un s
146. onstants sur V et que les Gri notation 3 1 2 soient purs de poids entiers Pour xeV Z lui m me est pur de poids entier savoir o Soient feT xeS le point exceptionnel au dessus 3 1 1 et x leurs images dans Te et S n un point g om trique localis au point g n rique de Afp et n le point g n rique de A a Les faisceaux de cycles vanescents calcul s au n 3 1 tant concentr s en x et nuls pour 1 on trouve une suite exacte cinq termes 3 2 9 1 o RS Rire Po 5 gt Di Rire Por RAin So 0 378 LA CONJONCTURE DE WEIL II 203 X L injectivit gauche assure que Rtfiu n a pas de section support dans t Ceci prouve 3 2 8 On trouve aussi des suites exactes courtes o gt Gr Rif n So GREAT Zo Ai o o A est un sous quotient de Di Le calcul 3 1 assure que t donc Af admet une filtration de quotients successifs purs de poids entier D apr s 1 8 4 si Ai o le faisceau pur w Gr R fr amp est donc de poids entier Pour conclure on note que si pour 2 fix tous les Af sont nuls le fais ceau Gr Rifin est lisse donc constant sur A puisque la droite projective A est simplement connexe Lemme 3 2 10 Les constituants de w R fin G sont ponctuellement purs de poids lt 2 On sait que les constituants sont ponctuellement purs Il suffit de tester les poids en un point Le lemme r sulte de 2 2 10 cf 3 2 7 1 Lemme 3 2
147. ormalisme des poids citons le th or me local des cycles invariants 3 6 1 et les r sultats annonc s dans 3 quant l existence de graduation par le poids sur des Q types d homo topie 5 3 4 On dispose de r sultats parall les en th orie de Hodge laquelle permet aussi de parler de poids 12 9 Le th or me 1 s ins re dans un formalisme souvent beaucoup plus facile manier que I En 3 7 on montre comment il permet de simplifier les preuves des applications donn es en 1 8 Pour le mode d emploi de son application aux majorations de sommes trigonom triques je renvoie SGA 44 Sommes trigonom triques et sp cialement aux n 1 2 3 7 Les r sultats essentiels de l article concernent les sch mas de type fini sur un corps fini avec deux mais a Ils ont des cons quences g om triques pour un sch ma de type fini sur la cl ture alg brique d un corps fini et des arguments de sp cialisation permettent de passer de l au cas d un corps de base alg briquement clos quelconque b Certains r sultats valent pour des sch mas de type fini sur Z Ils se d duisent imm diatement de la d monstration des r sultats analogues sur un corps fini mais non de leur nonc Nous les omettrons de la revue ci dessous section par section de l article En 1 1 on rappelle ce qu est un Q faisceau constructible avec quelques variantes On donne aussi un formalisme pour une cat gorie d riv e cor
148. osons choisi un isomorphisme sur k entre Z et Z 1 Ceci nous dispensera d crire les twists la Tate Dans ce num ro nous donnons une d monstration directe de 4 1 3 g n ralisant SGA7 XIX 4 au cas d un corps de base quelconque pour la Z cohomologie La d monstration est une transposition de celle de loc cit que bien que ce ne soit pas logiquement n cessaire le lecteur est invit lire au pr alable 397 222 PIERRE DELIGNE 4 3 1 Soient P un espace projectif sur k XCP projectif et lisse purement de dimension 1 un sous espace de P de codimension 2 qui coupe X transversa lement et supposons que les hyperplans par A balayent sur X un pinceau de Lefschetz de sections hyperplanes SGA7 XVII 2 2 Soient A XNA X d duit de X en clatant A et AXP1 le diviseur exceptionnel On sait que les sections hyperplanes du pinceau sont les fibres d un morphisme f KP SGA7 XVIII 4 1 1 Soient S l ensemble des valeurs critiques de f et o S un point rationnel de P On note Y la fibre de f en et l on pose Y Y A 4 3 1 1 Y PR lt D X 4 o P La partie vanescente Ev Y de H Y a t d finie en 4 2 4 Nous noterons Ev Y son orthogonal pour la forme x y Tr xU y Lemme 4 3 2 En Z m cohomologie on a H P R fZ m S Ev Y c H Y En Z ou Q cohomologie ces groupes co ncident encore avec H V 5 0 Le faisceau R fZ m
149. ous faisceau ouvert Z 1 convenable de Z 1 il agisse par exp ZN c On appellera N le logarithme de la partie unipotente de la monodromie 348 LA CONJONCTURE DE WEIL II 173 autour de D Dans le cas d un diviseur lisse I 1 on utilise cet endomorphisme comme pr c demment pour d finir la filtration de monodromie locale de F D resp rel W x 7 9 Au voisinage d une intersection p p des D D appara t comme la r union de p diviseurs lisses et on peut refaire les constructions qui pr c dent Quelques notations pour JCI D est Pintersection des D jeJ X est le compl ment de la r union des D J et Di D NnX On a a les D i J d coupent sur le sch ma r gulier D un diviseur croisements normaux de compl ment D b les D jeJ d coupent sur X un diviseur croisements normaux de compl ment X D lintersection des traces des D est D Soit donc F un faisceau d ensembles sur X D localement constant et L ramifi le long de D Appliquant 1 7 8 b ci dessus on obtient pour chaque J un faisceau F D sur Di muni d une action de Z 1 Pour n convenable facteurs premiers dans L c est la restriction D du prolongement localement constant de F X f jeJ Choisissons n de sorte que F admette un prolongement localement constant X X jeJ iel J Restreignant ce prolongement l image inverse r duite D iel TJ de D
150. peut esp rer des r sultats plus pr cis mais je crois qu il my a pas lieu d esp rer une action raisonnable de Gal ko ko sur M 5 3 10 Il faudrait v rifier que les filtrations croissantes attach es aux gradua tions par le poids de 5 3 3 ou de 5 3 6 sont toutes conjugu es entre elles sous le groupe des automorphismes de le mod le minimal adique homotopes Pidentit Dans le cadre 5 3 3 o M est le adifi du mod le minimal rationnel de Sullivan leur classe de conjugaison devrait tre d finie sur Q ou ce qui revient au m me tre l orbite d une filtration d duite par extension des scalaires d une filtration de Ma 418 VI LE FORMALISME DES FAISCEAUX MIXTES 6 1 Stabilit 6 1 1 Dans ce num ro nous tablissons dans les contextes suivants que la cat gorie des faisceaux mixtes est stable par toutes les op rations usuelles a gale caract ristique p on ne consid re que des sch mas de type fini sur F faisceau signifie faisceau de Weil b gale caract ristique o il s agit plus pr cis ment de consid rer des sch mas de type fini sur Z et des faisceaux au sens Q faisceau constructible en se donnant chaque instant le droit de remplacer X par X 1 En ce qui concerne les sch mas cela revient consid rer des sch mas de type fini sur Q leur cat gorie est la 2 limite inductive des cat gories des sch mas de type fini sur les Z 1 Il n en va pa
151. ples x f tels que xeH est Pimage inverse de V dans 8 et les applications premi res et secondes coordonn es d finissent un diagramme V j j 3 1 1 1 S 5 t A Que des lettres y d signent deux applications ne devrait pas cr er de confusion Les fibres de f SA sont les S On fait les hypoth ses de position g n rale A D suivantes A L axe A est transverse S et disjoint de D l espace est donc lisse d duit de S par clatement des points de l ensemble fini SNA Aucun de ces points n est sur D ce qui nous permet d identifier D un diviseur de 8 B Les seules singularit s de f sont des points quadratiques ordinaires aucun de ces points critiques n est sur D C Sur le normalis D de D les seules singularit s de f sont des points quadra tiques ordinaires Aucun de ces points n est au dessus d un point singulier de D Un point de S sera dit exceptionnel s il est de l un des trois types a un point critique de f sur S b un point critique de f sur D c un point singulier de D Une fibre S 378 198 PIERRE DELIGNE te A de f sera dite exceptionnelle si elle contient un point exceptionnel et on dira alors que est exceptionnel D Chaque fibre exceptionnelle ne contient qu un point exceptionnel Les fibres exceptionnelles sont donc de l un des trois types suivants 3 1 1 2 D D S S S D a courbe ayant un point double b tangence de D c deux br
152. pour tout p En tant que quotient de n P S o il est ind pendant de t et le caract re de sa repr sentation dans Ev Y Qp est valeurs enti res ind pendantes de t Pour tout le groupe fondamental m x P S o agit trivialement sur H Y pour i n et H Y est somme directe d un sous espace sur lequel il agit trivialement et de la partie vanescente La repr sentation de m sur la partie vanescente est semi simple et disjointe de la repr sentation triviale On retrouve donc la repr sentation de 7x sur Ev Y en d barrassant la repr sentation virtuelle de x sur Z 1 H Y de ses facteurs triviaux il suffit de v rifier que le caract re de cette repr sentation virtuelle est valeurs rationnelles ind pendantes de Un argument facile de sp cialisation utilisant 1 11 nous ram ne supposer que est la cl ture alg brique d un corps fini La vari t XCP Y le pinceau de Lefschetz et donc le morphisme f KP sont alors d finis sur un corps fini F et avec les notations 0 7 la repr sentation virtuelle de x P S o sur Z 1 H Y est induite par une repr sentation virtuelle de P S o groupe fondamental arithm tique Pour tout point x de Pi S rationnel sur Fm la valeur de son caract re en F est enti re et ind pendante de d apr s la formule de traces de Lefschetz c est le nombre de points F rationnels de la fibre de X en x La proposition r
153. prolonge en v Z invariant par Galois cette graduation de K est d finie sur K i e provient d une graduation de M 5 3 2 Le cas qui nous int resse est celui o K Q et o pour un entier g gt 1 convenable puissance d un nombre premier on peut prendre pour I l ensemble des nombres alg briques dont tous les conjugu s complexes ont la m me valeur absolue celle ci tant de la forme q une puissance enti re de g On prend v n x Les graduations par le poids adiques mentionn es dans 3 sont obtenues par cette m thode pour o un Frobenius Voici quelques exemples 5 3 3 Soit X une vari t alg brique complexe Elle peut tre d finie sur un sous corps de C de type fini sur Q i e est d duite de X ko par extension des scalaires Ceci permet de faire agir Gal k k9 sur A X d fini comme en 5 2 Soit le mod le minimal de Sullivan du type d homotopie rationnelle de l espace topologique X C D apr s 5 2 5 Q est un mod le minimal de A X Plus pr cis ment on dispose d une classe d homotopie naturelle de quasi isomorphismes de Q avec A X 416 LA CONJONCTURE DE WEIL II 241 ceux ci induisent en cohomologie les isomorphismes naturels de H X 0 Q Q avec H X Q Pour tout automorphisme co de A X on dispose donc d un auto morphisme de Q bien d termin homotopie pr s tel que soit homotope op On peut choisir amp de
154. propre a de F sur Hi X F est alg brique et il existe un entier w ni tel que tous les conjugu s complexes de soient de valeur absolue Si Fy est entier on a w gt o Si de plus i d passe la dimension d de X on a w gt 2 i d Corollaire 3 3 5 Soient X lisse de type fini sur F et Fo un faisceau lisse mixte de poids gt n sur X Alors H X F est mixte de poids gt n i v On se ram ne supposer X purement d une dimension N Soit FY le faisceau dual de F Il est mixte de poids lt n D apr s 3 3 3 le groupe HS i X F N est mixte de poids lt n 2N i 2N n i La dualit de Poincar identifie H X F son dual mixte de poids gt n 1 Combinant les in galit s oppos es de 3 3 4 et 3 3 5 on obtient le Corollaire 3 3 6 Soient X lisse de type fini sur F et Fo un faisceau lisse pur de poids n sur X Alors l image de H X F dans H X F est pure de poids n i Dans SGA 44 Sommes trigonom triques j explique comment ces r sultats per mettent de majorer certaines sommes trigonom triques 3 3 7 Soit est un nombre alg brique pur d un poids z rel q et normalisons les valuations p adiques de Q x en exigeant que v q 1 A et chaque valuation v attachons le couple de nombres rationnels v a v q a 1 o q a t a Si est entier ces nombres sont gt o Leur somme vaut n Pour le faisceau constant Q 3 3 4 et la m thode de dualit
155. qu il ny a pas d ambiguit H X F pour H X f F De m me pour l hyper cohomologie avec ou sans supports 0 3 Un point g om trique x de X est un morphisme du spectre d un corps alg briquement clos not k x dans X Il est dit localis en x eX si x est son image dans X Il est dit alg brique si k x est une cl ture alg brique de k x Chaque point g om trique d finit un point g om trique alg brique remplacer k x par la cl ture alg brique de k x dans k x On utilisera parfois cette construction pour tacitement tendre aux points g om triques une terminologie introduite pour les points g om triques alg briques Chaque point x de X corps r siduel s parablement clos d finit un point g o m trique y prendre la cl ture parfaite de k x On identifiera souvent x et x Si f X Y est un morphisme tout point g om trique x de X d finit par compo sition un point g om trique f x de Y qu on notera parfois simplement x 0 4 Sauf mention expresse du contraire localement signifie localement pour la topologie tale Si x est un point d un sch ma X nous noterons X l hens lis de X en x le spectre de l hens lis de l anneau local de X en x Si x est un point g om trique 0 3 de X nous noterons X le localis strict hens lis strict de X en x Son corps r siduel est la cl ture s parable de k x dans k x 0 5 Une courbe lisse sur un corps k est un sch ma l
156. que pour tCo x soit la restriction de eQ o Q r 5 1 8 Voici la d finition formelle Restreignons le foncteur Q o 5 1 6 4 aux ensembles finis A 0 n et aux applications croissantes entre ceux ci On obtient une Z t alg bre f gradu e DG simpliciale Q On pose Q X A Hom X Q A somme sur i p des groupes des morphismes d ensembles simpliciaux de X dans la composante i p bihomog ne de Q A 5 1 9 Pour la preuve des propri t s fondamentales de cette construction je renvoie 8 Indiquons seulement que a Le morphisme 5 1 5 dans Qprs X amp Q s obtient en envoyant x sur coordonn e barycentrique x t b Le point clef est le calcul des groupes d homologie faut il dire d homotopie du groupe simplicial Q chaque H est isomorphe Z et est plac en degr ext rieur et t degr i Ce calcul r sulte facilement de 5 1 6 3 si on se rappelle que le groupe simplicial cA est homotope o son normalis est r duit AA en degr s homo 412 LA CONJONCTURE DE WEIL II 237 logiques o et 1 on a I AS I o oHA et AS modulo diagonal se calcule par les th or mes de d calage de Quillen son normalis est l alg bre sym trique du A module A le Sym tant plac en degr homologique n 5 2 Le Q type d homotopie 5 2 1 Soit X un syst me projectif filtrant d ensembles simpliciaux X Posons 5 2 1 1 H X Z lim ind H X Z2
157. r sultats du 2 voir E ci dessous permettent de le d duire de ce que F lui m me est facteur direct d un faisceau r el savoir FOF parce que Fz est de poids o son dual joue le r le d un complexe conjugu Comment calculer les poids de RI V Dans 1 3 2 l hypoth se ii assurait que le faisceau consid r n ait pas de sous faisceau lisse non trivial donc soit ponc tuellement pur d apr s 1 5 1 et l hypoth se i permettait de calculer son poids Dans l application 1 6 3 de 1 3 2 ces hypoth ses r sultaient de la th orie des 816 LA CONJONCTURE DE WEIL II 141 pinceaux de Lefschetz et plus particuli rement du th or me de conjugaison des cycles vanescents Ici R f admet des points de ramification de trois types g om triquement distincts et il faut un autre argument La th orie des cycles vanescents permet de contr ler le saut de Rif en un point de Pi V partir d informations locales sur XX Xo HA F0 savoir les groupes de cycles vanescents Un calcul local et les r sultats de C appliqu s Fo permettent de d terminer les poids des valeurs propres de Frobenius sur les groupes de cycles vanescents On trouve que ces poids sont des entiers Appliquant alors les r sultats de G aux quotients successifs de R1f amp V pour une filtration convenable on parvient montrer que RIF est extension successive de faisceaux lisses sur V et soit a lisse sur Pt tout enti
158. r E cela revient au m me muni d une action de Z 1 C est le faisceau F E de 1 7 8 1 7 12 Si k est fini on d finit W X D Spec K comme l image inverse de W k k dans x X D Spec K On a g n ralisant 1 7 3 1 7 7 et avec la m me d monstration 1 7 12 1 La restriction Z 1 d une repr sentation adique V de W X D Spec K est quasi unipotente 1 7 12 2 Si F et F sont deux rel vements dans W de FeW k k les valeurs propres de F et F co ncident multiplication pr s par des racines de l unit Ceci permet de d finir les poids comme en 1 7 4 x 7 12 3 Si les t poids de V sont entiers il existe sur V une et une seule filtration par le poids M comme en 1 7 5 Les analogues de 1 7 6 et 1 7 7 sont vrais 350 LA CONJONCTURE DE WEIL II 175 1 8 Monodromie locale des faisceaux purs Les conventions 0 7 sont en vigueur Soient X une courbe lisse absolument irr ductible sur F cf 0 5 et J US X un ouvert de X compl ment de l ensemble fini de points S Lemme 1 8 1 Si Fo est un faisceau lisse ponctuellement 1 pur de poids B sur U alors pour tout xe S et toute valeur propre a de F sur j 7 on a Wyl lt B Quitte ter de X un point dans U on se ram ne supposer X affine On a alors une galit 1 4 7 2 1 8 1 1 TE RSR AU IT det 1 F t82 j F zE U zE s _udet r Fi H X
159. r d extension amp de Fy par Goa g om triquement non triviale que si B y mod Z et que BY Il suffit de v rifier que F agissant sur H X om 7 G n admet pas la valeur propre 1 Le faisceau om 7 G est en effet lisse de poids y B et d apr s 3 3 5 amplifi par 3 3 10 les seuls poids qui peuvent appara tre dans son H sont de la forme y 1 n avec n entier gt o le poids o ne peut appara tre que pour B y mod Z et BY La m me d monstration donne Lemme 3 4 4 Si Fo et Go sont lisses sur Xo lisse et ponctuellement purs de poids B et y alors on ne peut avoir Extt Fo Z o que si B y mod Z e By 3 4 5 Preuve de iii Si U est un ouvert de X et un point g om trique de U m Uo s envoie sur Xo 4 Rempla ant X par U ceci nous ram ne supposer que X est lisse Soit F le plus grand sous faisceau lisse semi simple de F la somme des sous faisceaux irr ductibles de F Par transport de structures il est stable par Frobenius donc provient d un sous faisceau Ff de Fy Posons Fy Fol Fa D apr s 3 4 3 puisque Fy et Fy sont purs de m me poids l extension Fg de Fy par Fy est g om triquement triviale Si F o ceci contredit la maximalit de F relever dans F un sous faisceau simple de F On a donc F o et ceci prouve 3 4 1 iii 384 LA CONJONCTURE DE WEIL II 209 4 6 Preuve de l unicit dans i ii 3 4 D Soit x
160. rations inspir es de SGA 44 Th finitude que leur cat gorie est remarqua blement stable On d finit aussi une notion de complexe pur g n ralisant celle de faisceau lisse ponctuellement pur sur un sch ma lisse 6 2 4 6 2 5 L image directe Rf par un morphisme propre transforme complexes purs en complexes purs On leur g n ralise le th or me local des cycles invariants et sous des hypoth ses de dimension le th or me global des cycles invariants et le th or me de Lefschetz difficile 319 144 PIERRE DELIGNE Notations et conventions o r Dans tout cet article sauf mention expresse du contraire on fixe un nombre premier f et on ne consid re que des espaces alg briques noeth riens s par s sur lesquels f est inversible On les appelle simplement sch mas Le lecteur qui r pugne aux espaces alg briques remplacera dans 0 1 espace alg brique par sch ma 0 2 On fixe une cl ture alg brique Q du corps Q des nombres adiques On d signe par un isomorphisme de corps de Q avec cf 1 2 11 Exception au n 1 10 on d signera encore par amp un isomorphisme de corps de Q avec une cl ture alg brique Q du corps des nombres adiques Le mot faisceau signifiera selon le num ro faisceau pour la topologie tale Q faisceau constructible ou faisceau de Weil Voir 1 1 5 1 3 2 Si f X Y est un morphisme et F un faisceau sur Y on crira souvent lors
161. re Ap de type fini sur Z 1 b S provient par extension des scalaires et hens lisation d une courbe lisse S sur munie d une section c f provient d un morphisme propre fo Xo gt So d K provient d un complexe pur K eOb D X Le th or me suivant g n ralise 3 6 1 Th or me 6 2 9 th or me local des cycles invariants pour les complexes purs Avec les notations ci dessus soit K un complexe potentiellement pur sur X Alors le morphisme de sp cialisation p H X K gt H X K est surjectif 424 LA CONJONCTURE DE WEIL II 249 La d monstration est parall le celle de 3 6 1 On dispose d une croix 3 6 1 8 HX X K 0 gt HT X K 1 1 DES H X K mee H X K md y r lt sp Hi X K et H X K H X DK Ceci exprime que D change les foncteurs R et 2 pour Pinclusion de X dans X et commute RT X L analogue de 3 6 2 resp 3 6 3 se prouve en rempla ant la r f rence 3 3 9 resp 3 3 4 par une r f rence 6 2 6 resp 6 2 3 et on conclut comme en 3 6 6 2 10 Dans la fin de ce num ro nos arguments seront g om triques sauf une r f rence 6 2 9 et une r f rence 3 4 Soit donc un corps alg briquement clos Pour tout sch ma X de type fini sur a X gt Spec k on d finit comme en 6 2 1 Kz RaQ et D K R Hom K Ky On a le m me formalisme qu en 6 2 1
162. recouvre ments et d apr s Artin avec la d finition choisie on a H X Z H X Z On sait par ailleurs que H X Z gt H X Z La condition F est v rifi e d apr s SGA4 4 Th finitude 1 1 Par d finition de la cohomologie adique on a donc un isomorphisme H A X 3 H X Q 5 2 3 Supposons X d fini sur un sous corps d nombrable k de k et prenons pour k la cl ture alg brique de k dans k On peut alors choisir le syst me projectif des X d fini sur k Le groupe de Galois Gal k k agit alors sur X donc par transport de structure sur A X Cette action est compatible avec l action de Galois sur la coho mologie adique de X 414 LA CONJONCTURE DE WEIL II 239 On prendra garde que A X est norme c tait le prix payer pour qu il d pende canoniquement de X de sorte qu on ne peut gu re parler de continuit pour l action de Galois On peut seulement dire que Galois agit contin ment sur les Q X Z munis de la topologie discr te pour tout n 5 2 4 Faisons k C et soit un syst me projectif X comme en 5 2 2 On peut alors trouver un syst me projectif d espaces X au dessus de X C et de mor phismes a X X C tel que chaque X soit la somme disjointe des ouverts d un recouvrement ouvert de X les intersections p p de ces ouverts tant vides ou contractiles pour tout p gt 1 Soit X C le syst me projectif des nerfs N x X
163. renvoie l intro duction Pour i 1 le groupe H X F est aussi l image de HU F dans H U F cf les groupes de cohomologie parabolique rencontr s dans l tude des formes modulaires Nous commencerons par prouver par r currence sur k la proposition suivante qui pour k o r sulte de 1 8 2 Lemme 3 2 4 k Soient Ug une courbe lisse sur F et Fo un faisceau lisse ponc tuellement pur de poids o sur U Alors les valeurs propres x de F sur HU F satisfont w a L127 3 2 5 k Si U est un ouvert dense d une courbe X 7 UX et que amp est un faisceau sur X la suite exacte longue de cohomologie d finie par la suite exacte courte 077 Solj fao fournit une surjection HU 3 H X jJ 2 gt H X 2 Si U est lisse et que j est lisse et ponctuellement pur de poids B il r sulte donc de 3 2 4 k et d un argument de torsion 1 2 7 que les valeurs propres de F sur Hi X Z satisfont w a lt B 1427 3 2 6 Soit k gt o Admettons 3 2 4 k et son corollaire 3 2 5 k et prouvons 3 2 4 k 1 Nous le ferons d abord sous les hypoth ses A C ci dessous Soit X la courbe projective et lisse dont U est un ouvert dense A Le faisceau F sur U est mod r ment ramifi monodromie locale unipotente en les points de X U Soient So XXxX X Vo UoX Us D le diviseur croisements normaux de S dont V est le compl ment plongeons S dans un espace pr
164. repr sentations irr ductibles du groupe compact G Pour tout eo il existe une repr sentation p de G telle que p8p rl gt 1 e dimr p p 1 pour tout TeT Soit X l alg bre des combinaisons lin aires coefficients complexes de caract res On sait que X est stable par o g Ro g et par g gt et est dense dans lalg bre des fonctions continues centrales sur G Quels que soient e e gt 0 il existe donc p EX qui est a r el strictement positif tel que po g po g et tel que sa masse soit concentr e autour de e au sens suivant b il existe un voisinage V de e dans lequel r g r e lt e t e pour tout teT et tel que PE eo 8 dg lt caf Polg D apr s a p est combinaison lin aire coefficients r els de caract res irr ductibles On peut m me supposer les coefficients rationnels voire entiers multiplier p par un entier Posons n somme sur les caract res irr ductibles Po XX n ona pp 0t p7 a as Ge po p p7 et e p p 366 LA CONJONCTURE DE WEIL II 191 Prenons es e lt e Pour teT on a alors p8p P0 Po 1 2 p 8P 67 p 7 gt po8Fo r1 lro 4 l 2 dg gt 1 e r e lpo g 1Pdg 1 e r e FD 0 1 1 lt dim r 086 1 d o le lemme 2 1 8 Prouvons 2 1 6 Soit T une partie finie de G avec 16T et soit p comme dans 2 1 7 Puisque v o lt o pour o 1 ona o lt v e8p E EF olv 0 LOF 1V1 E PeF
165. respondante En 1 2 on d finit les faisceaux ponctuellement purs ou t purs mixtes et on nonce sous une forme plus pr cise une conjecture selon laquelle sur un sch ma de type fini sur F tout Q faisceau constructible est mixte Les n 5 1 3 1 5 sont consacr s la g n ralisation annonc e de 1 3 2 En 1 3 on exploite le th or me de Grothendieck 1 3 8 pour d finir les poids d terminantiels d un faisceau lisse Fg sur une courbe lisse Ug Ils ne d pendent que des puissances ext rieures maximales des constituants de Fg et contr lent le H et donc le H de tout faisceau d duit de F par passage un espace de tenseurs La proposition 1 3 13 d apparence anodine jouera le r le jou dans 1 3 2 par la th orie classique des invariants pour le groupe symplectique Les n 8 1 6 1 8 sont consacr s au point C ci dessus de la d monstration En 1 6 des pr li minaires alg briques la th orie d un endomorphisme nilpotent d un espace vectoriel en 1 7 des pr liminaires g om triques comment la monodromie locale fournit des endomorphismes nilpotents La fin multi dimensionnelle de 1 7 ne servira qu en 1 9 lui m me inutile au reste de l article Le n 1 9 est une application de 1 8 la monodromie locale d un faisceau mixte lisse sur le compl ment d un diviseur croisements normaux le long duquel il est mod r ment ramifi Un r sultat analogue pour les va
166. riations de structures de Hodge vient d tre obtenu par Cattani et Kaplan 318 LA CONJONCTURE DE WEIL II 143 Dans le n 1 10 on applique les m thodes de 1 6 1 8 des valeurs absolues non archim diennes Le r sultat de semi continuit 1 10 7 a permis de montrer que pour une intersection compl te g n rale de caract ristique p le polygone de Newton d fini par les pentes de la cohomologie cristalline co ncide avec le polygone de Hodge Que ce probl me de nature p adique n ait pu tre r solu que par des m thodes adiques tient l absence jusqu pr sent d une bonne th orie des cycles vanescents en coho mologie p adique Le n 1 11 sp cialisation de la monodromie est technique et sans surprise Le 2 contient la partie E ci dessus de la d monstration En 3 5 par des arguments connus on en d duit un th or me d quidistribution dont un cas particulier est l analogue pour un corps de fonctions de la conjecture de Sato Tate sur la distribution des angles de Frobenius pour une courbe elliptique sur K Le n 3 3 contient la preuve du th or me 1 et quelques corollaires Le n 3 2 donne celle du th or me 2 et 3 1 donne le calcul de cycles vanescents utilis cf D ci dessus En 3 4 le th or me 1 est appliqu l tude des extensions successives qui d finissent un faisceau mixte On prouve en particulier qu un faisceau mixte lisse admet une filtra
167. s dans la preuve du th or me principal on pourrait se contenter du cas o G est le produit de Z par un groupe de Lie compact G de composante connexe G semi simple La condition A n est pas n cessaire pour prouver le th or me 2 1 4 ci dessous le groupe n y appara t que via ses repr sentations lin aires continues complexes de dimension finie et si G admet une repr sentation lin aire dont la restriction G a un noyau fini A est automatiquement satisfaite 1 3 10 Pour seC posons Notant encore w le morphisme compos G gt T C on pose Nv w_ x Si T est isomorphe Z on note g et deg le nombre gt 1 et Piso morphisme de T avec Z tels que a y g On a amp 0 gg Notant encore deg le morphisme compos G T 7Z on pose deg v deg x Soit g un l ment du centre de G d image non triviale dans T Il en existe par hypoth se Une repr sentation lin aire complexe G GL V est unitarisable si et seulement si r g l est d une structure hermitienne invariante par g on en d duit une invariante par G par int gration sur le groupe compact G g Si est irr ductible donc r g scalaire il existe un unique nombre r el o tel que r g e g et t o est unitarisable On appelle o la partie r elle A z de On a Z r o r s Soient l ensemble des classes d isomorphie de repr sentations irr ductibles de G et G l ensemble de celles qui sont unitaire
168. s Les ensembles r ow seC forment une partition de et l application sbr w identifie r w seC au quotient de C par 363 188 PIERRE DELIGNE un sous groupe discret de iR si T Z et Csi TR Nous munirons G de la structure de surface de Riemann pour laquelle il est la somme disjointe de ces quotients B Pour tout veZ on a Nv gt i B Le produit infini IL No converge absolument pour s gt 1 vE Pour T isomorphe Z ces conditions peuvent se r crire deg v gt o et pour tout e gt 0 v deg u n lt O g 9 L hypoth se B assure que pour reG le produit infini L r IT det i x t ver converge absolument pour t gt 1 Chaque facteur est holomorphe en pour Z gt 0 et L t est fonction holomorphe de pour Z r gt 1 On pose Li r s L t Exemple 2 1 2 Supposons que TR et donnons nous un isomorphisme de Pextension G avec G xT Soit x la composante de x dans G La situation est enti rement d crite par le groupe compact G la famille des classes de conjugaison x dans G et la famille des nombres r els Nv gt 1 Les axiomes A B deviennent le produit infini IT 1 No converge absolument pour Z s gt 1 Cette situation est consid r e par Serre dans 11 IA2 et nous renvoyons le lecteur aux exemples que donne Serre Exemple 2 1 3 Soient X une courbe lisse absolument irr ductible sur F K son corps des fractions et x un point g om tr
169. s de m me pour les faisceaux si X est de type fini sur Z j ignore si un faisceau constructible sur X provient toujours d un faisceau constructible sur un X 1 n Si F et Z sont deux faisceaux constructibles sur X on a toutefois Hom sur Xa F amp lim ind Hom sur X 1 7 amp En d autres termes la 2 limite inductive des cat gories de faisceaux sur les X 1 s identifie une sous cat gorie pleine de celle des faisceaux sur X4 La terminologie suivante permet de donner des nonc s uniformes dans les contextes a et b pour X un sch ma de type fini sur Q d duit par changement de base de X de type fini sur Z et Fq un faisceau sur Xq nous dirons que F est mixte pur si Fo se d duit d un faisceau F sur un XT 1 et que la restriction de F X 1 nm est mixte pure pour m convenable Les r sultats obtenus dans le contexte b seront pr sent s sous la forme de variantes de ceux obtenus dans le contexte a On pourrait aussi donner des variantes poten tielles 3 4 10 nous ne les expliciterons pas Th or me 6 x 2 Soient f X VY un morphisme de sch mas de type fini sur F resp Q et F un faisceau mixte sur X Alors les faisceaux R f F sont mixtes Compte tenu du th or me de changement de base g n rique SGA4 Th fini tude 1 9 cet nonc r sulte du suivant 419 244 PIERRE DELIGNE Lemme 6 1 3 Soient S un sch ma de type fini sur Z 1 f XV un morphisme de S
170. s du th or me de Hadamard de la Vall e Poussin non nullit de s pour Rs 1 On peut d duire de E que si Fo est un faisceau lisse ponctuellement pur sur une courbe lisse U la fibre F de F en ue U est une repr sentation compl tement r ductible du groupe de monodromie g om trique 3 4 1 iii cf 3 4 14 Via le dictionnaire heuristique de 2 1 ceci correspond au th or me de semi simplicit 2 II 4 2 6 en th orie des variations de structures de Hodge Un cas particulier du th or me montre que si X est une vari t projective non singuli re sur alg briquement clos que H ep est un pinceau de Lefschetz de sections hyperplanes de X avec H singulier pour teS et que uePi S les H H Q sont des repr sentations compl tement r ductibles de x P1 S u un argument de sp cialisation ram ne supposer que k F X et le pinceau sont alors d finis sur un corps fini et l hypoth se de puret requise r sulte de la conjecture de Weil pour les H Comme il est bien connu les arguments 317 142 PIERRE DELIGNE originaux de Lefschetz permettent de d duire de cette compl te r ductibilit le th or me de Lefschetz difficile sur le cup produit it r par la classe de cohomologie d une section hyperplane 4 1 1 On en donne aussi une variante pour la cohomologie valeurs dans un faisceau voire un complexe 6 2 13 D autres nonc s purement g om triques r sultent de l existence d un f
171. sant tendre k vers Pinfini 1 5 3 Preuve de 1 5 1 Soit Fo un faisceau lisse r el sur X Pour BeR soient F 6 la somme des constituants de Fa de poids d terminantiels rel et n le rang de B Soient xe X et af 1 lt i lt n les valeurs propres de F sur 8 compt es avec leur multiplicit Il nous faut prouver que Wylaf B Par d finition du poids d terminantiel on a pour tout y 1 5 3 1 wna a nly Y Supposons ce qui est loisible que Z B 0 et soit N la somme des n y pour y gt D apr s 1 3 13 iii les poids d terminantiels de la puissance ext 340 LA CONJONCTURE DE WEIL II 165 rieure N 1 i me de Fo sont lt B Z n y y Puisque chaque f II May est N 1 yY gt B v gt Bs valeur propre de F sur Fo on a par 1 5 2 Wye G 2 Zur LB 2 20 Y Soustrayant de cette in galit les galit s 1 5 3 1 pour y gt on trouve 1 5 3 2 Wy af LB Pour d duire de cette in galit une galit on peut soit passer au faisceau dual soit observer que si on somme sur 1 les in galit s 1 5 3 2 on trouve l galit 1 5 3 1 pour f 1 6 Autour de Jacobson Morosov Proposition x 6 x Soit N un endomorphisme nilpotent d un objet V d une cat gorie ab lienne Il existe alors une et une seule filtration finie 0 10 M de V croissante telle que NM CM _ et que N induise un isomorphisme Gr V amp Gr V Prouvons l existence l
172. sceaux Gri F soient constants sur V On note Gri F la fibre en d du prolongement constant de Gri sur Sg c est HV Gr 7 374 LA CONJONCTURE DE WEIL II 199 Nous utiliserons la notation suivante si B est un ensemble deux l ments e B est un groupe muni de deux isomorphismes oppos s avec Z index s par B Par 2 exemple AZ ou Z Z diagonal Distinguons trois cas selon la nature du point exceptionnel x de S 3 1 1 2 3 1 3 Cas a Puisque jr Z est lisse en x on a j F D Q O F et Q est donn par la th orie de Picard Lefschetz en dimension relative 1 P Q 0 si g 1 et si B est l ensemble deux l ments des branches de S en x on a D Q Q 1 e B Au total 3 1 3 1 P n F 0 pour q 1I et 1 3 2 D t F SF 1 e B On peut donner de l isomorphisme 3 1 3 2 la description suivante que nous n uti liserons pas Si W est la vari t des cycles vanescents en x il provient d isomorphismes 3 1 3 3 Z gt HW ue DZ 1 si u et v sont des quations locales pour les deux branches de S en x le g n rateur canonique de H W up est d fini par le rev tement kumm rien Tp uv 3 1 4 Cas b Supposons d abord que F soit le faisceau constant Q Soit la suite exacte courte 3 1 4 1 o gt iQ gt Q gt Q po Les groupes de cycles vanescents sont nuls pour le faisceau constant Q puisque f est lisse en x Pour Q ils co
173. se ponctuellement 1 pur et r el sur X Alors les polyn mes det 1 Ft H X F sont coefficients r els Dans la formule de Grothendieck 1 4 7 1 les facteurs au membre de gauche sont par hypoth se des polyn mes r els et la fonction rationnelle au membre de droite est r elle Soit 8 le poids de F D apr s 1 4 4 et 2 2 10 les z ros de 1 det 1 F H X F pris avec leur multiplicit sont ceux des p les de cette fonction rationnelle qui sont de valeur absolue q7 22 Leur ensemble est stable par conjugaison complexe et le polyn me det 1 Ft H X F est r el Si X est affine le H est nul Si X est projective c est le dual de H X 1 dualit de Poincar et le polyn me det 1 Ft H X 7 1 tant r el on trouve dans tous les cas que le polyn me det 1 Ft H X F est r el Le d nominateur au membre de droite de 1 4 7 1 est donc r el et le num rateur det 1 Ft H X F doit l tre galement Remarque 3 2 2 Les arguments de 0 5 montrent que 3 2 1 vaut sans hypoth se d irr ductibilit absolue Th or me 3 2 3 Soient Xo une courbe projective et lisse sur F j Uo gt Xo un ouvert dense de Xo et Fo un faisceau lisse ponctuellement pur de poids B sur Ug Alors les valeurs propres a de F sur H X j 7 satisfont w x 8 1 376 LA CONJONCTURE DE WEIL II 201 Pour une description des grandes lignes de la d monstration je
174. se sur n Alors en Q cohomologie le morphisme sp H X gt H X est surjectif Pour pouvoir parler de poids on commence par se ramener une situation arith m tique Un argument de passage la limite permet tout d abord de supposer que S est l hens lis en un point s d une courbe S lisse sur et que f se d duit par le chan gement de base g S 5 S s d un morphisme propre f X S avec X lisse sur et lisse sur S sauf au dessus de s Utilisant 1 11 3 on se ram ne ensuite supposer que est la cl ture alg brique de F Pour F assez grand on peut enfin supposer que F X S s sur k provient par extension des scalaires de fy Xg So 5 sur F Soient Sos os 5 Phens lis de Sg en 5 et fH Xo gt S d duit de fy par le changement de base g So s gt S3 s Ona sur F J Xos Sos global qui se localise en f Xo Sos 5 sur F f X S s global qui se localise en f X S s Le groupe de Galois Gal n n est le groupe d inertie de Gal n n ce dernier agit sur la cohomologie de X et ceci permet de parler de poids cf 1 7 4 Calculons la Z cohomologie de X l aide de la suite spectrale de Leray de X n appel e aussi suite spectrale de Hochschild Serre 1 ER H I H X gt H X On sait que I est une extension de Z 1 quotient mod r de I par un groupe pro fini T d ordre premier Pour tout Z
175. st une filtration finie de F par des sous faisceaux lisses les Gri F tant irr ductibles ou nuls Les constituants de F sont les Gri F non nuls pour une suite de Jordan H lder de F et le semi simplifi de F est la somme directe de ses constituants Constituants et semi simplifi sont d finis isomorphisme non unique pr s 1 1 7 Soient k un corps fini q l ments et k une cl ture alg brique de k La substitution de Frobenius eGal k k est l automorphisme xx de k Le Frobenius g om trique FeGal k k est l inverse de Le groupe de Weil W RJR est le sous groupe de Gal k k form des puissances enti res de F Il est isomorphe Z et Gal k k est 326 LA CONJONCTURE DE WEIL II 151 son compl t profini On identifiera souvent W Z k Z et Gal k par l isomor phisme qui envoie F sur 1 Sp cialisons 1 1 6 X Spec k Si F est un faisceau sur Spec k la fibre F de F en le point g om trique Spec est un espace vectoriel sur Q sur lequel Gal 4 agit par transport de structure Cette action est continue l application n gt F se prolonge par continuit en un homomorphisme de dans GL Z En d autres termes les valeurs propres de F sont des unit s adiques Le foncteur F gt F est une quivalence de la cat gorie des faisceaux sur Spec k avec celle des espaces vectoriels sur Q munis d un automorphisme F de valeurs propres des unit s adiques 1 1 8 Soient X
176. sur F sch mas ou faisceaux sur des F sch mas sont not s avec un indice La sup pression de cet indice indique l extension des scalaires de F F Par exemple si F est un faisceau sur le F sch ma X on note F son image inverse sur X X8 F Les points g om triques Spec K X de X seront toujours suppos s d finis par un point g om trique de X i e K sera suppos muni d un F morphisme de F dans K 0 8 Si X est un sch ma de type fini sur un corps ou sur Z on notera X l ensemble de ses points ferm s Avec les notations de 0 7 si X est de type fini sur F tout point xe X d finit un point g om trique encore not X Spec F X On parlera sim plement du point g om trique xe X 0 9 Dans cet article le point de vue sera plus galoisien que dans I ceci nous am nera souvent crire F l o dans I eut figur F o 10 Une filtration F d un objet V d une cat gorie ab lienne est dite finie s il existe n et m tels que F V V et F 0 0 11 On crit lim ind et lim proj pour les limites inductives et projectives Des guillemets indiquent une limite prise dans une cat gorie de ind objets ou de pro objets ainsi lim ind X d signe le ind objet d fini par le syst me inductif des X suppos filtrant On crit pour une galit dont le second membre est la d finition du premier 821 19 I PURET 1 1 Faisceaux adiques 1 1 1 Rappelons la d finition d
177. sure que est valeur propre de Frobenius sur H XXX j7 RAF et on obtient w x lt 1 5 Plus g n ralement supposons le th or me d j v rifi pr s au sens suivant pour toute courbe et tout faisceau encore de poids z ro les valeurs propres de Frobenius sur H X j 7 sont de poids w lt 1 3 Le but est alors de prouver que le poids d une valeur propre de Frobenius sur H XXX j 7 BAF v rifie w x lt 2 35 Proc dant comme plus haut ceci am liore l estimation originale en w lt 1 35 2 pour H X j7 et on it re le proc d Cette it ration remplace l usage de grandes puissances cart siennes en 1 7 3 Prenons un pinceau assez g n ral de sections hyperplanes de X x X Les sections hyperplanes du pinceau sont les fibres d un morphisme f Y PS o Y se d duit de X x X en clatant un nombre fini de points Soit amp l image inverse de 7 sur La suite spectrale de Leray pour f r duit pour l essentiel l tude de HUXXX AF BAF celle de H P RIA 2 La g n ralisation 1 5 1 de la majoration fondamentale 1 3 2 permet de montrer que sur un certain ouvert V de P o le faisceau RIF est lisse il est extension successive de faisceaux lisses ponctuellement purs Des hypoth ses I 3 2 seule subsiste l exigence que sur Vo RIS 2 soit facteur direct d un faisceau lisse t r el un faisceau 2 tel que les polyn mes det I F soient coefficients r els Les
178. svections xt x x8 3 eR En d autres termes on suppose que M est engendr par les sous groupes un param tre de transvections U xrx A xd S AeC pour SER Alors M Sp V Lemme 4 4 3 Soient amp S ER non orthogonaux Alors les combinaisons lin aires non nulles de amp et amp sont dans R Le sous groupe de G engendr par Uy et U est le groupe SL 2 du plan tendu par 9 et 3 Il est dans M et les vecteurs non nuls de ce plan forment une seule orbite pour SL 2 4 4 4 Prouvons 4 4 2 Le cas R o est trivial Excluons le Si eR on a alors S 0 et il existe eR tel que 5 5 o puisque R engendre V et que est non d g n r e D apr s 4 4 3 les multiples non nuls de sont donc dans R Soit W un sous espace maximal de V tel que RAON soit dense dans W Ona W o S il existe eR W qui n est pas orthogonal W il r sulte de 4 4 3 que R est dense 403 228 PIERRE DELIGNE dans W C 5 Ceci contredit la maximalit de W On a donc R RnW U RnW1 Puisque R engendre V on a V W W et W est non isotrope Le groupe M est engendr par les U eR donc contenu dans Sp W xSp W Puisque R est une seule orbite de M on a RCW et W V R est dense dans V les U eV sont tous dans M et M Sp V Lemme 4 4 2 Soit V un C espace vectoriel de dimension finie muni d une forme bilin aire sym trique non d g n r e M un sous groupe alg brique de O V e
179. t de I Son th or me permet d appliquer les r sultats de ce num ro la cohomologie de Mac Pherson Goresky BIBLIOGRAPHIE 1 P Dercne La conjecture de Weil I Publ Math IHES 48 1974 273 308 2 P Deuiene Th orie de Hodge I Actes ICM Nice Gauthier Villars 1970 t I 425 430 II Publ Math IHES 40 1971 5 58 III Publ Math IHES 44 1974 5 77 31 P Derrcne Poids dans la cohomologie des vari t s alg briques Actes ICM Vancouver 1974 79 85 41 P DeLIcNe Formes modulaires et repr sentations adiques S m Bourb 355 f vr 1969 in LN 179 Springer Verlag 5 P DELIGNE Les constantes des quations fonctionnelles des fonctions L in Proc Antwerpen conf vol 2 LN 349 Springer Verlag 501 595 6 P Dericne P Grirrirus J Morcan et D SuzzivanN Real homotopy theory of K hler manifolds Inv Math 29 1975 245 274 71 N Katz and W MEssiNG Some consequences of the Riemann Hypothesis for Varieties over Finite Fields Inv Math 28 1974 73 77 81 E Mrrer De Rham cohomology with arbitrary coefficients Topology 17 2 1978 193 203 9 J Morcan The algebraic topology of smooth algebraic manifolds Publ Math IHES 48 1978 137 204 10 J P SERRE Corps locaux Publ Math Nancago Hermann 1962 11 J P SERRE Abelian t adic representations and elliptic curves Benjamin 1968 12 J STEENBRINK Limits of Hodge structures Inv Math 81 1976 229 257
180. t coefficients dans Z Q ou Z m pour m une puissance de 2 4 1 Le th or me de Lefschetz difficile Dans ce num ro nous supposerons choisi un isomorphisme sur entre Z et Z 1 Ceci nous dispensera d crire les twists la Tate Th or me 4 1 1 Soient X une vari t projective et lisse sur k L un faisceau inversible ample sur X et n c Z EH X Q On suppose X purement de dimension n Alors pour chaque i gt o le cup produit par wf no H X Q gt H X Q est un isomorphisme Prouvons le th or me par r currence sur n Le cas 7 0 est trivial et on suppose que n2 gt 1 Puisque c Z2 mc lassertion du th or me pour Z quivaut la m me assertion pour ses puissances tensorielles Ceci nous permet de supposer tr s ample Soit Y une section hyperplane lisse de X dans le prolongement projectif d fini par Z Nous allons tout d abord d duire de l hypoth se de r currence que le th or me pour X et Z quivaut au Lemme 4 1 2 cf SGA7 XVIII 5 2 4 La forme d intersection sur H 7 Y est non d g n r e sur l image de H 1 X Pour i 0 le th or me est trivial Pour 2 gt 1 on interpr te le cup produit par n c Y comme le compos du morphisme de restriction H X gt H Y et de son transpos par dualit de Poincar H Y H X SGA 44 pour factoriser no H X gt H X en no H X HET nily H 9 6 1 Y ss H X Pour
181. t R une orbite de M dans V qui engendre V On suppose que les l ments de R satisfont 5 S 92 et que M est le plus petit sous groupe alg brique de O V contenant les r flexions 53 xrx x5 5 pour ER Alors M est fini ou M O V Lemme 4 4 3 Soient ER Si 3 0 n est pas de la forme 2 cos 9 avec 0 multiple rationnel de 27 les combinaisons lin aires de S et S telles que 3 S 2 sont dans R La m me conclusion vaut si amp 2 mais nous n en aurons pas besoin Dans le premier cas la forme est non d g n r e sur le plan tendu par 5 et 5 et 5 5 est une rotation d ordre infini dans ce plan Le plus petit sous groupe alg brique contenant 5 5 est donc le groupe SO de ce plan de dimension 1 et on conclut comme en 4 4 3 Dans le second cas on se ram ne supposer que 3 3 2 en rempla ant si besoin est par 5 9 35 On peut aussi supposer que 8 La restriction de au plan tendu par 3 et a alors pour noyau C 3 35 et dans ce plan 5 5 est une transvection non nulle parall le ce noyau L enveloppe alg brique est ici le groupe de toutes ces transvections et l on conclut comme auparavant 4 4 4 Prouvons 4 4 2 Comme en 4 4 2 soit W un sous espace non totalement isotrope de V maximal parmi ceux tels que ROW soit dense dans la sph re 3 S 2 de W Si SeR W et que la forme lin aire 5 x n est
182. t fini sur S On dit que J p est mixte s il le devient au sens b apr s un tel changement de trait Th or me 6 x x3 Avec les notations ci dessus si F est mixte les faisceaux de cycles vanescents sont galement mixtes Gr ce au th or me de monodromie quitte remplacer S par un rev tement fini convenable on peut supposer que le groupe d inertie I agit de fa on unipotente via son quotient Z 1 On peut alors appliquer les constructions des num ros 1 6 1 1 6 14 Les formules 1 6 14 montrent qu il suffit de v rifier que les faisceaux R 7 sont mixtes Soient u l inclusion de X dans X et v celle de l ouvert compl mentaire Proc dant comme en 3 6 1 on voit que ces faisceaux sont quotients des faisceaux u R v uo F et on applique 6 1 11 422 LA CONJONCTURE DE WEIL II 247 6 2 Complexes purs Dans ce num ro nous nous pla ons dans le cadre 6 1 1 a 6 2 1 Pour tout sch ma X de type fini sur F a X Spec F nous posons Kx R4 Q Cest le complexe dualisart Exemple si X est lisse purement de dimension n Ky est r duit au faisceau Q n plac en degr 2n Ky Q n 2n Nous notons D le foncteur contravariant dual valeur dans le complexe dualisant D D X gt D X K RHom K Kx Ce foncteur est involutif Pour tout morphisme f X Y il change les foncteurs Rf et f ainsi que les foncteurs Rf et Rf On a aussi D K L R
183. t g om trique x localis en x on a 32 72 RATH HY A et Pon applique 3 2 2 pour i 1 et pour la restriction de r Y4 Nous prouverons ensemble les lemmes 3 2 8 et 3 2 9 ci dessous Lemme 3 2 8 Le faisceau R fin amp n a pas de section support dans T Ce lemme permet d identifier R fr un sous faisceau de w w Rifin 2 D apr s 3 2 7 et 1 5 1 le faisceau w R fr admet une filtration finie quotients successifs lisses et ponctuellement purs On la prolonge en une filtration finie de Rifi n par la formule GRLA n Z w Gw RES 8 N REAT 4 intersection dans w w R fr Z Lemme 3 2 9 Si Gri Rifin g ne devient pas constant sur A sa restriction Wo est ponctuellement pure de poids entier Soient xeX U x son image dans X U n le point g n rique de Xy et n un point g om trique localis au point g n rique de Xg D apr s 1 8 4 la repr sentation Fo du groupe de Weil W n admet une filtration de quotients successifs purs de poids entiers L hypoth se A donne de plus que sur ces quotients l inertie n agit pas Pour xeU la m me conclusion vaut par hypoth se pour la filtration triviale un seul cran Soient xeSs V un point g om trique localis en x Soa l hens lis de So en x et Von l image inverse de V dans Soa Par produit tensoriel on trouve que o admet sur Vi une filtration finie F telle que les Gri soient c
184. t un faisceau pur de poids n sur U alors j est pur de poids n appliquer 1 8 8 1 et la formule RHom j F Q J Hom F Q d Pour X lisse j UX le compl ment d un diviseur lisse D et F un faisceau lisse ponctuellement pur de poids n sur U mod r ment ramifi le long de D le faisceau j F est encore pur de poids n m me argument Proposition 6 2 6 Si f X Y est propre et que KeOb D X est pur alors RA K est pur du m me poids On applique 6 2 3 K et DK compte tenu de ce que DRAK R DK puisque f est propre Variante 6 2 7 Pour tout sch ma X de type fini sur Z 1 a X gt Spec Z 1 posons K RaQ On a encore un foncteur de passage au dual D K R Hom K K4 et une d finition de la puret parall le 6 2 4 Si X est de type fini sur F on a K Kx 1 2 les foncteurs D et D se d duisent l un de l autre par d calage et twist et d apr s 6 2 5 a la d finition ci dessus de pur de poids n g n ralise 6 2 4 La proposition 6 2 6 reste vraie 6 2 8 Soient k un corps alg briquement clos S le spectre de l hens lis de T en T s le point ferm de S n le point g n rique et n un point g n rique g om trique Soit f X S un morphisme propre Un complexe KeOb D X est dit potentiellement pur si XJS K provient d une situation arithm tique du type suivant a Spec k est un point g om trique g n rique d un sch ma int g
185. te derni re au cas de la Z cohomologie sur k quelconque Nous savons par ailleurs 3 4 13 que H Y est une repr sentation compl tement r ductible de r P1 S t et il ne reste qu appliquer le lemme alg brique suivant Lemme 4 1 4 Soit V une repr sentation lin aire compl tement r ductible d un groupe x munie d une forme bilin aire invariante par m et non d g n r e Alors la restriction de V est non d g n r e Par compl te r ductibilit on a V V W pour une sous repr sentation W ne contenant pas la repr sentation triviale en quotient Le sous espace W est donc orthogonal V V O P W et D V7 est non d g n r e Corollaire 4 1 5 Les nombres de Betti d indice impair d une vari t projective non singuli re X sont pairs On se ram ne supposer la vari t connexe purement de dimension n Si n c 7 avec Z ample la forme Tr rxy sur H X est non d g n r e d apr s 4 1 1 et la dualit de Poincar Si n i est impair elle est altern e de sorte que b _ b est pair Ce r sultat devrait valoir sans hypoth se de projectivit mais je ne sais pas le prouver en caract ristique 0 4 1 6 Lefschetz faible Soient X et Y comme ci dessus cela pr s qu on suppose X purement de dimension 1 donc Y purement de dimension n Le r sultat clef est celui qui donne la dimension cohomologique des vari t s affines SGA4 XIV 3
186. tient une galit entre s ries formelles complexes qui exprime que le membre de gauche est le d veloppement en s rie de Taylor de la fonction ration nelle au membre de droite Si le produit au membre de gauche converge pour t lt R on obtient dans ce disque une galit entre fonctions analytiques Voici un crit re de convergence Proposition 1 4 6 Si pour xe X les valeurs propres a de E sur F v rifient Wyl LB le produit I det 1 F t 7 converge pour t lt g7 P done na ni z ro ni p le dans ce disque Posons d dim X et d coupons X en morceaux dont chacun est quasi fini sur un espace affine Af on trouve une majoration nombre de points xe X de degr n lt C g Ceci ram ne la convergence du produit celle de la s rie g om trique nd 8 2 n Zg gP e 1 4 7 Si dim X lt 1 les Hi sont nuls pour i 0 1 2 La formule d duite de 1 4 5 1 par application de se r duit donc 1 4 7 1 det 1 Ft H X F det 1 Free gyt M OR A a HR D det r F4 HU 7 Si X est une courbe lisse affine et que Z est lisse le H est nul et la formule se simplifie en det 1 Fi H X F 4 7 CE x ee 47e I s et i F 1 det Fi H X F Dans l usage que nous ferons de ces formules le membre de gauche sera contr l par 1 4 6 et les p les au membre de droite par 1 4 3 339 164 PIERRE DELIGNE 1 5 Un crit re de puret Les conventions 0 7 sont en v
187. tion de Fo U est ponctuellement 1 pure alors Fy lui m me est ponctuellement 1 pur Soit B le poids de F U Ona Fo Fo et F gt J F7 puisque Fo et son dual FY sont lisses D apr s 1 8 9 Fo est donc t mixte de poids ponctuels lt Puisque son dual est de m me mixte de poids ponctuels lt ses poids ponctuels sont aussi gt et 1 8 10 en r sulte Il n est en fait pas n cessaire d invoquer 1 8 9 par restriction des courbes et normalisation on se ram ne facilement au cas o X est une courbe lisse et on invoque directement 1 8 1 Corollaire x 8 xx Tout faisceau lisse mixte Fo sur X normal de type fini sur F est extension successive de faisceaux lisses ponctuellement 1 purs On peut supposer X connexe et on se ram ne supposer le faisceau irr ductible Puisque X est normal sa restriction un quelconque ouvert non vide U est encore irr ductible donc ponctuellement pure pour U convenable par d finition des faisceaux mixtes et on applique 1 8 10 Nous verrons plus tard 3 4 1 que 1 8 11 vaut sans hypoth se de normalit Corollaire 1 8 12 Soit Fy un faisceau lisse mixte sur Xp connexe et de type fini sur F Si Fo est pur en un point de X il est ponctuellement 1 pur Supposons d abord X normal Il r sulte alors de 1 8 11 que les poids de Fo se lisent sur sa fibre en un point arbitraire de X Dans le cas g n ral en appliquant 1 8 11 l image
188. tion par le poids par des sous faisceaux lisses et que la monodromie g o m trique d un faisceau lisse ponctuellement pur sur un sch ma normal est semi simple En 3 6 le th or me local des cycles invariants en 3 7 des simplifications aux preuves de I 8 Le n 4 1 contient la preuve du th or me de Lefschetz difficile Les n 5 4 2 et 4 3 apportent quelques compl ments SGA 7 Dans 4 3 l usage d un topos ad hoc permet de transposer les arguments d aspect th orie de Morse utilis s par Lefschetz Dans 4 4 on montre que le groupe de monodromie g om trique de la partie va nescente de la cohomologie des sections hyperplanes d un pinceau de Lefschetz suppos assez g n ral dans le cas sauvage de caract ristique 2 est Zariski dense dans un groupe orthogonal ou symplectique ou est un groupe de Weyl Ce dernier cas est tudi en d tail En 4 5 on en d duit le th or me du pgcd utilis dans 7 pour comparer les cohomologies adiques et cristallines des vari t s projectives et lisses Au 5 on applique le yoga des poids au Q type d homotopie La d finition de ce dernier utilise de fa on essentielle la construction par Miller 8 et Grothendieck d une alg bre diff rentielle gradu e anti commutative attach e un ensemble sim plicial qui permette le calcul de sa cohomologie enti re Le 6 enfin d veloppe le formalisme des faisceaux mixtes On montre avec des d monst
189. uasi isomorphisme pr s fonctorielle en X qui soit le Q type d homotopie de X En particulier on veut que H A X H X Q On veut aussi que si k C le mod le minimal de A X se d duise du mod le minimal de Sullivan 6 du type d homotopie rationnelle de X C en tendant les scalaires de Q Q La m thode laquelle je pensais pour construire A X lorsque je r digeais 3 s est vanouie Celle que j emploie ici utilise de fa on essentielle une construction due ind pendamment Grothendieck et Miller 8 d crite au n 1 5 1 Le Z t complexe de De Rham d apr s Grothendieck et Miller 5 1 1 L alg bre des polyn mes puissances divis es sur Z est le sous anneau Z t i A de Q ff de Z base les La t graduation de Z t est celle pour laquelle est de degr n n n 5 1 2 Nous abr gerons diff rentiel gradu en DG et les alg bres DG seront toujours suppos es commutatives au sens de la r gle de Koszul exemple type d alg bre DG les formes diff rentielles ext rieures sur une vari t 5 1 3 Soit A un anneau commutatif et posons A A Z t Pour A Q on trouve simplement l anneau des polyn mes Q t Une A t alg bre t gradu e DG est une A t alg bre DG dont chaque composante homog ne est munie d une graduation la t graduation qui en fait un A t module gradu et telle que le produit et la diff ren tielle d soient homog nes de degr o 5 1 4 L
190. un r sultat analogue Le lecteur prendra garde qu il n en va pas de m me pour les Q ou Q faisceaux prendre par exemple Q et F multiplication par ueQ qui ne soit pas une unit adique Le morphisme compos F H X F S H X FF S H X F d duit de la correspondance de Frobenius co ncide avec l action de FEW amp F agissant sur H X F par transport de structure De m me pour les H 1 1 15 On appelle r X x le groupe fondamental arithm tique et m X x le groupe fondamental g om trique Si X est normal ce sont des groupes profinis Si F est un faisceau de Weil lisse sur X son groupe de monodromie g om trique est Pimage de x X x dans GL F 1 2 Poids D finition 1 2 x Soient q une puissance d un nombre premier et neZ Un nombre x est dit pur de poids n rel q s il est alg brique et que tous ses conjugu s complexes sont de valeur absolue g Dans la suite nombre signifiera l ment de Q D finition 1 2 2 Soient X un sch ma de type fini sur Z et F un faisceau sur X i On dit que F est ponctuellement pur s il existe un entier n le poids de F tel que pour tout xe X les valeurs propres de F soient pures de poids n rel N x ii F est mixte s il admet une filtration finie de quotients successifs des faisceaux ponctuel lement purs Les poids de ceux de ces quotients qui sont non nuls sont les poids ponctuels de F q q P P 329 20
191. unicit se prouve de m me On proc de par r currence sur un entier d tel que N 1 o Pour d 0 N 0o on prend une filtration M triviale Gr V o pour i o Ensuite on prend M V M _ Ker N M_ Im N et M_ _ 0 de sorte que Gr V et Gr V soient les co images et images de N Sur Ker N Im Nf la puissance d i me de N induit o Ceci permet de d finir M sur Ker N Im N par r currence et on d finit M sur V d 1 gt 1 gt d comme l image inverse dans Ker N du sous objet M pour Ker N Im N Remarque 1 6 2 La caract risation 1 6 1 de M montre sa compatibilit au passage la cat gorie duale D finition 1 6 3 La partie primitive P V ou simplement P de Gr V est le noyau du morphisme induit par N de Gr V dans Gr V 1 6 4 Si i gt 0 N Gr V Gr V est injectif puisque N 0N est un iso morphisme et P 0 Si i gt o et si l on crit que NoN Gr V gt Gr V gt Gr V est un isomorphisme on trouve que Gr V est somme directe de P_ et de l image de Gr par N le morphisme N induit un isomorphisme de cette image avec Gri _ V R p tant cette construction on construit par r currence d croissante sur gt o un isomorphisme de Gr V avec la somme des P_ pour j gt i etj congru i mod 2 Utilisant de plus les isomorphismes N Gr V gt Gr V on obtient des isomorphismes 1 6 4 1 Gr V EP izlil j i 2 j 341 166 PIERRE DELIGNE Via
192. upe fini par un groupe semi simple Si la repr sentation de W X x sur Fg est semi simple il en va de m me de sa restriction au sous groupe distingu m X x la somme des 7x X x sous modules simples est W stable donc a un suppl mentaire Nous prouverons 1 3 0 en supposant seulement que la repr sentation de r X x est semi simple Sous cette hypoth se G est r ductif et il s agit de prouver que son plus grand tore central T est trivial Il est isog ne au plus grand tore T quotient de G Supposons tout d abord que G G et que G est un produit G G XZ L application W x x gt G fournit alors des morphismes W X x T tels que Pimage de n X x soit Zariski dense Puisque T est un produit de groupes multipli catifs il r sulte de 1 3 4 que cette image est finie et T 1 Nous ram nerons le cas g n ral ce cas particulier en rempla ant X par un rev tement fini et F par une extension finie donc W X x et G par des sous groupes d indice fini Le groupe W X x agit sur T en respectant l ensemble fini FC X T des caract res par lesquels T agit sur Fyz Cet ensemble engendre X T car G donc T agit fid lement le groupe W X x agit donc sur T via un quotient fini et on se ram ne supposer cette action triviale Le groupe des automorphismes ext rieurs de G triviaux sur T est fini on peut supposer que W X x agit sur G par auto morphismes int rieurs On se ram ne enfin
193. ute repr sentation unitaire de G de caract re encore not on a fa T8 ui ui dg gt o pour n 00 Prouvons 2 1 13 Pour n gt o posons a f g T 8 ui ut En t o la transform e de Fourier Laplace de pf p f vaut Za g D apr s 2 1 11 la s rie de puissance Za f est une fonction holomorphe de t pour lt 1 donc aussi pour dans un disque un peu plus grand de sorte que a d cro t comme une s rie g om trique 2 2 Puret et compacit Les conventions 0 7 sont en vigueur 2 2 1 Soit Go un sch ma en groupes sur C extension de Z par un groupe alg brique G dont la composante neutre G est semi simple 2 2 1 1 o gt G 3 gt G gt Z o 368 LA CONJONCTURE DE WEIL II 193 D apr s 1 3 10 le centre Z de Gg s envoie sur un sous groupe d indice fini de Z Le sch ma en groupe G Z est donc un groupe alg brique i e est de type fini Choisissons un sous groupe compact maximal U dans G Z et notons Gg son image inverse dans Go L intersection G de Gg avec G est un sous groupe compact maximal de G et l on dispose d une suite exacte 2 2 1 2 o gt G gt GgRr gt Z o Lemme 2 2 2 Deux l ments de Gp conjugu s dans Go sont conjugu s dans Gp Si K est un groupe compact ses classes de conjugaison sont s par es par les carac t res de ses repr sentations complexes irr ductibles et on sait que celles ci se prolongent en des repr sentations a
194. utour de Jacobson Morosov r 7 Monodromielocale 5 25588 antenne ent te nos en nine amen s 1 8 Monodromie locale des faisceaux purs 1 9 Monodromie locale mod r e des faisceaux mixtes 1 10 Valeurs absolues non archim diennes 1 11 Sp cialisation de la monodromie 2 La m thode de Hadamard de la Vall e Poussin Gi La m thode fins Ea EEE seat OEE AA de cle ETE 242 Purete eto compacit st ea i E E E EEE nes some a ee Rhinite 3 Le th or me fondamental i sesesussseresreresereseseserserecesersrearerreeeso 3 1 Un calcul de cycles vanescents 3 2 Dimension 1 50 en rire neo sent aide nee dre aaa A ara Lane date NES GATE 3 3 4 Le cas g n ral se runs etats os Horde dt A E E E alt edit E a 3 4 Application la structure des faisceaux mixtes 3 5 Application th or mes d quidistribution 3 6 Application le th or me local des cycles invariants 327 Retour d Inde tee di Panel les Moy aa a a a A iS Pas 4 Pinceaux de Lefschetz
195. uvert conve nable U de S cette construction est compatible au changement de base cf EGA IV 9 7 7 Elle nous fournit sur U le rev tement X cherch On prend M1 g X Soient L un ensemble de nombres premiers inversibles sur U et pour m un groupe fondamental soit xl son plus grand quotient qui soit un pro L groupe On sait que quitte remplacer U par un ouvert plus petit U les x X g 5 pour 5 point g om trique de U s organisent en un syst me local sur U SGA 1 XIII 3 1 3 3 et 4 5 o le lecteur trouvera un nonc pr cis Pour L il agit sur F A la tour des quotients qui agissent trivialement sur les gF j F correspond la tour cherch e de rev tements finis tales X CI On prend M gX 360 LA CONJONCTURE DE WEIL II 185 Remarque 1 11 2 Pour que les nP X g 5 forment un syst me local sur S il suffit qu il existe un plongement Xe gt X o X est propre et lisse sur S de dimension relative 1 et o X est le compl ment d un sous sch ma T fini tale sur S SGA 1 XIII 4 4 4 5 Il suffit m me qu un tel plongement existe apr s un chan gement de base S S fini radiciel et surjectif que la topologie tale ne voit pas Ceci est toujours possible sur un ouvert de S se ramener par passages la limite au cas o S est spectre d un corps parfait Remarque 1 11 3 Avec les notations de 1 11 1 rempla ons S par U et supposons qu il existe

La conjecture de Weil : II

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