Mode d'emploi
Contents
1. i 2 Ze E DPLE CPP CET D o COOP P tt LR T aN r Mean Fig 2 Comparaison entre distribution pseudo Wigner Ville liss e DPWVL et densit spectrale court terme DSCT sur le signal test dont la structure temps fr quence est donn e en a Pour chaque analyse a largeur de la fen tre d observation h est repr sent e par Traitement du Signal _ 47 Ainsi la DPWL permet par sa souplesse d emploi de fournir une approximation de la DWV retenant la plupart des avantages de cette derni re tout en en cartant les principaux d fauts ou plus exactement les principales difficult s d interpr tation Avant d aller plus avant il est possible d illustrer sur un exemple comment se comporte la DPWVL vis vis d une analyse court terme classique et ceci du point de vue qui est souvent celui de l utilisateur de la lisibilit dans le plan temps fr quence 4 Un exemple Les figures 2b 2g comparent diff rentes analyses d un signal dont la structure temps fr quence est don n e la figure 2a Il s agit de la superposition de deux signaux d gales amplitudes dont les lois de fr quence instantan e sont sinuso dales et harmoni ques l une de l autre Lorsque la fen tre d observation h est large fig 2 b et 2c la structure temps fr quence est compl tement ind chiffrable par analyse de Fourier glissante alors que la DPWYV la laisse appara2. tre mais noy e sous les termes d interaction propres la transformation de Wigner Ville Un choix plus DPWVL D G AU i le trait pais la dur e du lissage temporel ventuel g par le trait fin En haut DPWVL avec b h et g rectangulaires 4 f h Kaiser Bessel et g rectangulaire En bas DSCT avec c h rectangulaire e g h Kaiser Bessel volume 2 n 2 1985 ANALYSE TEMPS FR QUENCE PAR TRANSFORMATION DE WIGNER VILLE judicieux des fonctions de pond ration fig 2 d et 2e permet de faire clairement appara tre sur la DPWVL les lois recherch es l o la transform e de Fourier court terme utilisant la m me fen tre glissante n y parvient pas encore R tr cir davantage la fen tre d observation n am liore pas l image donn e par Pana lyse spectrale court terme classique fig 2g En effet si cette derni re concentre alors son nergie en deux lois relativement bien s par es c est au prix i d une r solution fr quentielle m diocre inf rieure celle fournie par la DPWVL quivalente fig 2 f i d un biais sur la d termination des lois de fr quence instantan e lorsqu on recherche les identifier comme lieux de concentration nerg tique i de fluctuations d amplitude sur les lignes de cr te Cet exemple illustre comment lutilisation d une DPWVL permet de d passer le compromis inh rent l analyse de Fourier
3. ration serait continuellement choisie comme l image en miroir de la tranche analys e Cette interpr tation 20 est la base d une propri t remarquable de la DWV dans le cas d un signal modul lin airement en fr quence sa DWV se concentre sur la loi de fr quence instantan e quelle que soit la pente de modulation x b er W t v 5 v at L extension de cette propri t la DPWV fournit le r sultat central selon lequel une telle analyse peut tre consid r e comme une transform e de Fourier court terme modifi e dans laquelle l hypoth se pro pre aux spectrogrammes de stationnarit ou de constance dans la dur e d observation peut tre rem plac e par l hypoth se plus faible d approximation lin aire sur cette m me dur e La possibilit ainsi PW t V q t Fig 1 Sch ma de principe de Panalyse temps fr quence par distribution pseudo Wigner Ville liss e Traitement du Signal 146 volume 2 n 2 1985 SYNTH SES offerte d largissement de la dur e d analyse permet d atteindre une meilleure r solution fr quentielle la meilleure fen tre d observation tant maintenant la plus grande pour laquelle approximation lin aire reste valide De plus et toujours sous cette approxima tion le choix d une fen tre ayant la forme d une fonction d autocorr lation ex une fen tre triangu laire suffira assurer la positivit de la repr sentation ass
4. z u p x J Fig 3 Structure de calcul en temps discret d une distribution pseudo Wigner Ville fiss e chantillonnage au taux de Shan non Nyquist u multiplication de la tranche consid r e par son r alisation c bl e en temps quasi r el comp titive vis vis des solutions classiques bases de spectro grammes 28 29 6 Extension aux signaux al atoires non Stationnaires Si l on suppose maintenant que x est un signal al atoire non stationnaire de covariance K harmoni sable on peut montrer que la transposition des pro pri t s d crites au paragraphe 2 conduit retenir comme spectre d pendant du temps la quantit 31 12 WG o Ka t 51E emar Traitement du Signal 149 image en miroir THD transformation de Hilbert discr te TFD transformation de Fourier discr te Cette quantit est appel e spectre de Wigner Ville SWV car sous des conditions peu restrictives elle n est autre que l esp rance math matique de la DWV construite comme int grale stochastique sur x 31 Outre le fait que le SWV permette de d finir la notion de fr quence instantan e pour un signal al atoire Vy vW t v av W t v dv il poss de parmi ses nombreux avantages celui de se r duire la densit spectrale de puissance usuelle dans le cas d un processus stationnaire K u v T u v W t v f r e dE volume 2 n 2 1985 ANALYS
5. 25 T A C M Czaasen et W F G MECKLENBRAUKER The Wigner distribution A tool for time frequency signal analysis Part Il Discrete time signals Philips J Res 35 4 5 1980 p 276 300 26 T A C M CLaasen et W F G MECKLENBRAUKER The aliasing problem in discrete time Wigner distribu tions IEEE Trans on Acoustics Speech and Signal Processing ASSP 31 5 1983 p 1067 1072 27 G F BouprEAUx BARTELS et T W Parks Reducing aliasing in the Wigner distribution using implicit spline interpolation IEEE Int Conf on Acoustics Speech and Signal Processing ICASSP 83 Boston 1983 p 1438 1441 Traitement du Signal 4 5 4 28 P FLanpriN W Mart n et M Zakar On a hardware implementation of the Wigner Ville transform in Digital Signal Processing 84 V CAPPEL LINI et G ConSTANTINIDES eds North Holland Amsterdam 1984 p 262 266 29 D CuesterR F J TayLor et M Doyle Application of the Wigner distribution to speech processing IEEE ASSP Spectrum Estimation Workshop II Tampa 1983 p 98 102 30 H O BARTELT K H Brenner et A W LOHMANN The Wigner distribution function and its optical pro duction Opt Commun 32 1980 p 32 38 5 D finition et estimation du spectre de Wigner Ville 31 W Martm Time frequency analysis of random signals IEEE Int Conf on Acoustics Speech and Signal Processing ICASSP 82 Paris 1982 p 1325 1328 32 W Martm et P FLANDRIN
6. Analysis of non stationary processes short time periodograms versus a pseudo Wigner estimator in Signal Processing theories and applications II H Scn ss er ed North Holland Amsterdam 1983 p 455 458 33 P FLanpriN et W MaRTIN Pseudo Wigner estimators for the analysis of non stationary processes IEEE ASSP Spectrum Estimation Workshop II Tampa 1983 p 181 185 34 P FLanprin et W MARTIN A general class of estima tors for the Wigner Ville spectrum of non stationary processes in Lecture Notes in Control and Information Sciences 62 Springer Berlin 1984 p 15 25 35 W Mart et P FLanDRIN Detection of changes of signal structure by using the Wigner Ville spectrum Sig Proc 8 2 1985 p 215 233 6 Applications 36 C P Janse et A J M Kaiser Time frequency distribu tions of loudspeakers the application of the Wigner distribution J Audio Eng Soc 31 4 1983 p 198 223 37 W Mart Measuring the degree of non stationarity by using the Wigner Ville spectrum IEEE Int Conf on Acoustics Speech and Signal Processing ICASSP 84 San Diego 1984 p 41 B3 1 41 B3 4 38 P BERTRAND et C FuGier GaRREL Formulation de la th orie de la communication dans le plan temps fr quence Aspects pratiques 8 Coll GRETSI Nice 1981 p 829 834 39 B Bouacnacz B Escupt et J M Komarirscu Sur la possibilit d utiliser la repr sentation conjointe en temps et fr quence
7. court terme assurant ainsi outre de bonnes propri t s th oriques et pour des fen tres d observation quivalentes une image plus satisfaisante dans le plan temps fr quence Ce nouveau paradigme d analyse temps fr quence pose alors un probl me de r alisation pratique des calculs et en particulier de formulation en temps discret 5 Discr tisation et algorithme de calcul Quoiqu une DWV puisse tre estim e par voie optique 30 ou analogique suivant le sch ma de la figure 1 une solution num rique adapt e des signaux temps discret est souhaitable En fait le passage de la DWV temps continu 1 une formula tion temps discret conservant l quivalent des pro pri t s de la distribution initiale n est pas un probl me trivial Une tude des diff rentes possibilit s 26 conduit cependant retenir comme solution satis faisante l expression 25 0 W m 2 x t T x Tje tm T 0 o X est le signal temps discret obtenu par chantil lonnage de x une p riode prise comme unit Cette formulation satisfaisante bien des gards pose n an moins le probl me d un possible repliement spectral En effet si Pon consid re un signal r el x correcte ment chantillonn au sens du crit re de Shannon Nyquist la fonction W donn e en 10 appara t comme p riodique de p riode 1 2 en v au lieu de 1 comme dans le cas du spectre du signal chantillonn il y a donc r
8. dans l analyse des signaux modul s en fr quence mis en vibrosismique 7 Coll GRETSI Nice 1979 p 121 1 121 6 40 M D Rey Detecting time varying spectral energy concentrations JEEE Digital Signal Processing Workshop Chatham 1984 p 5 6 1 5 6 2 41 T KreurLs R Joerres W MARTIN et K BRINKMANN System analysis of the circadian rythm of Euglena Gracilis II masking effects and interactions of light and temperature responses Z Naturforsch 39c 1984 p 801 811 42 G F Boupreaux BaRTELs et T W Parks Signal esti mation using modified Wigner distributions IEEE Int Conf on Acoustics Speech and Signal Processing ICASSP 84 San Diego 1984 p 22 3 1 22 3 4 volume 2 n 2 1985
9. de libert en choisissant pour r aliser le lissage une fonction s parable en ses deux variables 8 Fp t v g t Q v Un tel lissage d finit la distribution pseudo Wigner Ville liss e DPWVL 32 PW t v C t v Fp PW 6 et q r eu nxfu 32 u 5 Jau as o q T est la transform e de Fourier de Q v La structure d une telle transformation prend une forme simple de corr lation pond r e et centr e sur 9 g Cu t la date de travail suivie d une transformation de Fourier elle m me pond r e fig 1 Une deuxi me interpr tation de cette repr sentation est possible qui rend plus tangible sa mise en uvre en l apparentant une transform e de Fourier court terme modifi e En effet si l on suppose dans un premier temps que 3 g t 5 h h la DPWYV non liss e s crit 2 h x xX Z 2 2 x se vt dr 2 soit encore PW t v W u V y et g t el PW t v A o x u x u h u t est le signal x pond r par h autour de t Ceci permet donc de travailler court terme en faisant porter l op ration de transformation de Fourier non sur une tranche de signal comme dans le cas des spectrogrammes mais sur le produit de celle ci par son image en miroir Ou ce qui revient au m me calculer une transform e de Fourier court terme dans laquelle la fen tre de pond
10. 1 Introduction 2 La distribution de Wigner Ville 3 Lissage des DWV 4 Un exemple 5 Discr tisation et algorithme de calcul 6 Extension aux signaux al atoires non stationnaires 7 Conclusion Bibliographie 1 D finition et propri t s de la distribution de Wigner Ville 2 Autres repr sentations et tudes comparati ves 3 Probl mes d interpr tation 4 Probl mes de calcul et de discr tisation 5 D finition et estimation du spectre de Wigner Ville Applications 1 Introduction La transformation de Fourier en permettant une description simple des relations entr e sortie des filtres lin aires occupe une place privil gi e dans la th orie et le traitement des signaux N anmoins la nature m me de cette transformation ne peut donner d un signal temporel qu une information fr quentielle glo bale de laquelle toute notion de chronologie a disparu son champ d application naturel est l analyse des signaux stationnaires Ainsi d s lors que l on consid re des signaux modul s ou des processus non stationnaires une analyse spectrale classique fournit une information moyenn e sur la dur e d observation et donc peu caract ristique de la structure instantan e du signal tudi Une solution partielle ce probl me la plus intuitive et nagu re la plus populaire consiste associer un signal non stationnaire une suite de transform es de Fourier court terme en essayant d adapt
11. D finition et propri t s de la distribution de Wigner Ville 1 E P Wicxer On the quantum correction for thermody namic equilibrium Phys Rev 40 1932 p 749 759 2 J Vure Th orie et applications de la notion de signal analytique Cables et Transm 2 1 1948 p 61 74 3 T A C M Craasen et W F G MECKLENBRAUKER The Wigner distribution A tool for time frequency signal analysis Part I Continuous time signals Philips J Res 35 3 1980 p 217 250 4 B Bouacuacne et P Franorin Wigner Ville analysis of time varying signals JEEE Int Conf on Acoustics Speech and Signal Processing ICAS SP 82 Paris 1982 p 1329 1332 2 Autres repr sentations et tudes comparatives 5 B Escupt Repr sentation en temps et fr quence des signaux d nergie finie analyse et observation des signaux Ann T l com 34 3 4 1979 p 101 111 6 T A C M Craasen et W F G MECKLENBRAUKER The Wigner distribution A tool for time frequency signal analysis Part III Relations with other time frequency signal transformations Philips J Res 35 6 1980 p 372 389 7 H Farcetron R GenpRin et J L Lacoume Adaptive methods for spectral analysis of time varying signals in Signal Processing theories and applications Il M Kuwr et F DE CouLon eds North Holland Amster dam 1980 p 787 792 8 J B Azcen et L R RABNER A unified approach to short time Fourier analysis and syn
12. E TEMPS FR QUENCE PAR TRANSFORMATION DE WIGNER VILLE Le SWV tant ainsi d fini se pose le probl me de son estimation Ce probl me qui passe par celui de l estimation de la covariance est en fait double En effet si l on ne dispose pratiquement que d une r alisa tion du processus x une hypoth se d ergodisme est n cessaire pour autoriser l estimation d une moyenne d ensemble par une moyenne temporelle et ceci avec des propri t s statistiques d autant meilleures que le moyennage temporel est plus important Malheureuse ment dans le cas d un processus non stationnaire ceci ne peut se faire qu au prix de restrictions sur la description des non stationnarit s Un compromis satisfaisant peut cependant tre trouv dans le cas quasi stationnaire une classe g n rale des estimateurs envisageables est alors d crite par 3 en consid rant W comme la DWV de la r alisation 34 L tude statistique de tels estimateurs conduit encore privil gier les DPWVL 32 33 34 Dans ce cadre l utilisation d un lissage d crit par une fonction s para ble permet de d coupler biais et corr lation suivant les axes temps et fr quence Le lissage temporel a pour effet essentiel de r duire la variance d estimation Dans le cas de processus localement stationnaires on montre que cette proc dure d estimation est particu li rement bien adapt e 34 Elle peut alors tre optimi s e dans le choix des param tres
13. SYNTH SES Principe et mise en uvre de l analyse temps fr quence par transformation de Wigner Ville Principle and application of time frequency analysis by means of the Wigner Ville transform Patrick FLANDRIN Laboratoire de Traitement du Signal LA 346 b CNRS ICPI 25 rue du Plat 69288 LYON CEDEX 02 GRECO CNRS 69 Syst mes adaptatifs Ing nieur ICPI Lyon en 1978 Docteur Ing nieur INPG Grenoble en 1982 Attach de recherches au CNRS Principaux domaines d int r t repr sentation temps fr quence et m thodes non stationnaires liens entre Th orie du Signal et M canique Quantique tude des syst mes sonar animaux Bernard ESCUDI Laboratoire de Traitement du Signal LA 346 b CNRS ICPI 25 rue du Plat 69288 LYON CEDEX 02 Enseignement et Recherche en Traitement et Analyse des Signaux professeur l ICPI responsable du LA 346 b CNRS Domaine de recherche repr sentations conjointes temps et fr quence des signaux certains et al atoires imagerie spatiofr quentielle des sources sonores mobiles tude des syst mes sonars animaux a riens histoire des Sciences et Techniques propos de la thermodynamique et du Traitement du Signal R SUM La transformation de Wigner Ville occupe une place centrale dans l analyse temps fr quence des signaux On se propose dans cet article de rappeler l int r t d une telle transformation en insistant sur les probl mes pratiques pos s par sa mise
14. d analyse en identi fiant les zones de stationnarit locale du processus tudi 35 7 Conclusion L ensemble des propri t s de la DWV et du SWV conf re la transformation de Wigner Ville un r le central comme outil d analyse dans le plan temps fr quence A l instar de toute m thode son utilisation n cessite cependant des pr cautions d emploi et d in terpr tation On a essay ici de cerner l essentiel de celles ci justifiant la fois les limitations propres des analyses court terme classiques et l introduction pour la DWV d une approximation satisfaisante et souple d emploi la DPWVL Celle ci outre le fait qu elle exploite au mieux les deux degr s de libert du plan temps fr quence a permis une justification simple de ses bonnes propri t s de r solution guidant ainsi dans le choix des param tres d analyse D une mani re un peu sch matique on peut consid rer que la transformation de Wigner Ville permet de d passer les limitations propres aux traitements lin aires de situations non stationnaires en for ant en quelque sorte une stationnarisation locale par une op ra tion non lin aire Le prix payer pour cette derni re valeurs n gatives de la repr sentation et termes d in terf rence peut alors tre minimis par un choix ad quat des lissages adopt s On dispose ainsi d un outil d analyse puissant dont l utilisation a d j prouv l efficacit dans
15. des applica tions concr tes On peut citer le cas de l optimisation de haut parleurs par analyse temps fr quence des r ponses impulsionnelles 36 celui de l tude de rythmes circadiens 37 41 ou encore celui de l ana Traitement du Signal 450 lyse d chos radar 38 de signaux sismiques 39 ou de parole 40 Seul le probl me de l analyse a t consid r ici mais de nouvelles applications se font jour depuis qu une solution efficace au probl me de synth se a t propos e 42 La DWV se trouve tre ainsi un outil bien adapt pour des probl mes de filtrage dans le plan temps fr quence optimisation de fen tres d analyse de r ponses de filtres S tant galement plac s ici dans un cadre volontaire ment non param trique nous n avons pas consid r les am liorations que peuvent apporter aux spectro grammes classiques des m thodes comme l analyse spectrale AR volutive 17 ou les mod les ARMA d pendant du temps 18 L int r t de ces m thodes est ind niable mais leur comparaison n est pas chose facile 7 19 faute d un cadre th orique commun Ce dernier serait pourtant souhaitable de telle sorte que la m thode propos e ici puisse ventuellement incorpo rer des mod lisations ou en tout cas que les domaines d application privil gi s des deux approches param trique et non param trique soient mieux cern s Manuscrit re u le 4 octobre 1984 BIBLIOGRAPHIE 1
16. en uvre et son interpr tation On discute particuli rement le choix des fonctions de lissage utiliser pour obtenir des performances sup rieures celles des m thodes classiques base de transform e de Fourier court terme Ceci fournit un cadre non param trique tr s g n ral tant pour l analyse de signaux d terministes modul s que pour lestimation de spectres d pendant du temps dans le cas de processus non stationnaires MOTS CL S Wigner Ville repr sentations temps fr quence analyse spectrale signaux non stationnaires SUMMARY The Wigner Ville transform is known to be a very powerful tool for signal processing in the time frequency plane This paper is devoted to emphasize the capability and versatility of this transform with special focus on interpretation problems and practical realization requirements The problem of efficiently smoothing a Wigner Ville distribution is addressed and solutions are proposed to improve the performances obtained via short time Fourier analyses This defines a very general non parametric framework including the time frequency analysis of deterministic signals as well as estimation procedures for time varying spectra of non stationary processes KEY WORDS Wigner distribution time frequency representations spectral analysis non stationary signals Traitement du Signal 4 4 3 volume 2 n 2 1985 ANALYSE TEMPS FR QUENCE PAR TRANSFORMATION DE WIGNER VILLE TABLE DES MATI RES
17. epliement spectral si Vmax gt 1 4 A cela deux rem des sont possibles i sur chantillonner le signal r el d un facteur sup rieur ou gal 2 ii construire la DWV discr te sur le signal analyti que associ au signal r el chantillonn normalement le repli des seules fr quences positives affecte ainsi les Traitement du Signal 448 fr quences n gatives pour lesquelles la contribution spectrale est nulle a tant donn s les avantages du signal analytique men tionn s plus haut cette deuxi me solution semble en g n ral pr f rable Il importe de noter que dans les deux cas le calcul correct d une DWY discr te n ces site la prise en compte de deux fois plus d chantillons qu un spectre classique En effet partant d un signal r el d crit par M chantillons la premi re solution sur chantillonnage travaille sur un signal r el 2 M chantillons alors que la deuxi me solution signal analytique utilise un signal complexe dont les parties r elle et imaginaire ont chacune M chantillons 1 Notons qu une troisi me solution a t propos e qui utilise une interpolation implicite du signal r el de d part 27 L extension de ces consid rations une DWV liss e conduit adopter comme DPWVL temps discret N 1 11 A a gt hol Me N 1 Euh 2 Eh T2 k 9 e er k M 1 o z est le signal complexe temps discret dont la partie r elle est le signal r e
18. er les fen tres d observation successives aux variations de structure du signal de telle sorte que les hypoth ses de stationnarit limitatives de ce genre de m thode soient localement satisfaites De telles tentatives se heurtent malheureusement une n ces sit de compromis insurmontable entre les r solutions temporelle et fr quentielle Une deuxi me solution Traitement du Signal 444 plus satisfaisante consiste chercher directement un outil adapt l tude de ph nom nes non station naires sans r f rence directe aux m thodes issues du cas stationaire Dans cet esprit un regain particulier d int r t se manifeste depuis quelques ann es pour une transformation propos e en M canique Quanti que par E P Wigner 1 Cette transformation permet de d finir ce que nous conviendrons d appeler la distribution de Wigner Ville DWV en r f rence et hommage J Ville qui le premier introduisit cette m me notion en Th orie du Signal La DWV est maintenant bien connue mais quoique ses avantages aient t souvent remarqu s certains des probl mes d interpr tation qu elle soul ve ont sembl freiner son utilisation effective comme alternative avantageuse aux analyses spectrales court terme classique On se propose ici den pr senter les principes de base ainsi que les modifications n cessaires conduisant la possibilit d une telle utilisation L ensemble de l article s appuie sur des r
19. h se D I INPG Grenoble 1984 18 Y GRENIER Time dependent ARMA modeling of non stationary signals IEEE Trans on Acoustics Speech and Signal Processing ASSP 31 1983 p 899 911 19 Y GRENIER et D ABOUTAIDINE Comparaison des repr sentations temps fr quence de signaux pr sentant des discontinuit s spectrales Ann T l com 38 11 12 1983 p 429 442 3 Probl mes d interpr tation 20 P FLanpriN et B Escupi An interpretation of the pseudo Wigner Ville distribution Sig Proc 6 1 1984 p 27 36 21 P FLanprn et B Escupit G om trie des fonctions d ambiguit et des repr sentations conjointes de Ville l approche de la th orie des catastrophes 8 Coll GRETSI Nice 1981 p 69 74 22 F HLawartsca Interference terms in the Wigner distri bution in Digital Signal Processing 84 V CAPPELLINI et A G ConsTANTINIDES eds North Holland Amster dam 1984 p 363 367 23 T A C M CLaasen et W F G MECKLENBR UKER On the time frequency discrimination of energy distri butions can they look sharper than Heisenberg IEEE Int Conf on Acoustics Speech and Signal Processing ICASSP 84 San Diego 1984 p 41 B7 1 41B7 4 24 P FLANDRIN Some features of time frequency represen tations of multicomponent signals IEEE Int Conf on Acoustics Speech and Signal Processing ICASSP 84 San Diego 1984 p 4i B4 1 41 B4 4 4 Probl mes de calcul et de discr tisation
20. ion sans signification physique imm diate 4 21 22 Une tude attentive de ces limitations indique en fait quel les modifications apporter la DWV pour rendre son utilisation plus souple et ses r sultats plus facilement interpr tables Traitement du Signal 145 3 Lissage des DWV La bilin arit de la transformation 1 assure l exis tence de termes d interaction entre toutes composan tes du plan temps fr quence en particulier entre les fr quences positives et n gatives du spectre d un signal r el De tels termes interf rentiels pourront donc tre supprim s si l on construit syst matiquement la DWV d un signal r el sur le signal analytique qui lui est associ Outre cet avantage de clarification de la repr sentation 12 ceci permet de d finir de mani re unique les notions de fr quence et amplitude instantan es 2 De plus on verra au paragraphe 5 que ce choix est bien adapt la formulation discr te de la DWV Cependant cette op ration n emp che nullement l apparition de termes d interaction entre composantes distinctes sur l axe des fr quences positi ves Une tude d taill e 21 22 montre que de tels termes poss dent une structure fortement oscillatoire l inverse des composantes propres du signal qui poss dent une structure beaucoup plus r guli re Ceci sugg re de r duire l influence des termes parasi tes d interaction par une proc dure appropri e de lissage et c
21. l chantillonn en accord avec le crit re de Shannon Nyquist et dont la partie imaginaire est la transform e de Hilbert discr te de la partie r elle Ceci conduit au sch ma de principe g n ral de la figure 3 La transformation finale mise en jeu est une transformation de Fourier discr te qui en exploitant les sym tries pr sentes peut avantageusement se r crire suivant 28 N 1 P e TL D e LIRE M 1 CD gn k z t k T 2 k o k M 1 z260 dans le cas de fr quences discr tes v n 2N n 0 buia N Cette derni re formule se pr te directement l emploi d une transformation de Fourier rapide TFR autori sant en outre le calcul d une DPWVL fen tre x glissante hy de 2N points Paide d une TFR seulement N points Le nombre d op rations requis par cette structure de calcul permet d envisager une En toute rigueur la transform e de Hilbert d un signal dur e limit e a un support temporel infini Nous nous contenterons de supposer ici que le signal de dimension M est form du signal r el dur e limit e compl t par suffisamment de z ros vers le pass et le futur pour que le support du signal en quadrature soit encore d crit par M chantillons avec une erreur n gligeable On supposera que les conditions de commutation entre les op rateurs de troncature et de quadrature sont approximativement satisfaites volume 2 n 2 1985 SYNTH SES x u
22. la partie r elle s identi fie x t et dont la partie imaginaire est la transform e de Hilbert de x t 21 Z O x iEv APT R t u La d finition fr quentielle quivalente est alors Z v 2U V X v o U v est l chelon unit de Heaviside ce qui revient dire que le signal analytique est obtenu par suppression des fr quences n gatives Par d finition l enveloppe a t la fr quence instantan e v t et le retard de groupe t v sen d duisent par les relations 2 a t z 0 l d v t PET Arg z t l d t v 7 Arg Z v On montre alors que les moments locaux d ordre un de la DWV fournissent directement v t et t v lorsque celle ci est construite sur z i vW t v avi W t v dv v 0 WG nt WG Vdt t V 00 iv la DWV conserve les supports temporel et fr quentiel du signal x t 0 IX v 0 t gt T W t v 0 Ivl gt B W t v 0 It gt T v gt B v la DWV est compatible avec les translations les changements d chelle les filtrages lin aires et les modulations de produit En contrepartie la DWV poss de des propri t s ren dant son interpr tation d licate i elle peut prendre des valeurs n gatives ce qui interdit de l interpr ter localement comme une densit nerg tique 23 la structure bilin aire de la TWV cr e dans le plan temps fr quence des termes d interact
23. oci e si le signal consid r est monocomposante Cette stationnarisation locale se fait cependant au prix d un traitement non lin aire dont l effet secondaire est de cr er des termes d interf rence entre composantes du plan temps fr quence Si l on revient alors la forme g n rale 9 la pond ration g intro duit un nouveau lissage suivant l axe des temps Dans Panalyse des signaux certains modul s le r le essentiel de ce lissage secondaire est pr cis ment de r duire l influence des termes d interaction entre composantes situ es autour de fr quences diff rentes Une analyse pr cise peut tre donn e 24 dont le r sultat essentiel est le suivant amplitude d un terme interf rentiel provenant de deux composantes distantes d un inter valle fr quentiel v sera rendue n gligeable devant l amplitude associ e chacune des composantes si le lissage temporel se fait sur une dur e au moins gale 1 ov 7 C Se are Se SA El Q H j l l lt Fe he i pes Da Ert Dr P 4 WT Y lt Gr 73 ET LEE AT Eve i i p ii 3 N a Ay e nd 2 Ft d rzy ies nn Y ie ei cs Le TT Le Li SA Fr gt TER Pa R LT lt tA SE Se EE 24 he B gt N I re q ar r Tat Ta SPY PET t 7 s r 2 tas ses ara SERRE ANNE TENNIS S DATES Et
24. onduit proposer une repr sentation modifi e 3 C t v F f WE V F E 1 v v dt dv o F est une fonction de lissage normalis e 4 F F t v dtdv 1 0 L encore les propri t s de telles repr sentations ont t abondamment discut es pour traduire sur la fonction F les contraintes impos es par Putilisateur 5 6 nous n y reviendrons pas ici Le point important est qu on peut montrer que la repr sentation ainsi form e d finit la classe la plus g n rale des repr sentations nerg tiques bilin aires admissibles sous la seule contrainte d invariance vis vis des translations dans le plan temps fr quence 11 Ceci permet de retrouver la plupart des repr sentations propos es ant rieurement comme cas particuliers de 3 13 14 Citons le cas des spectrogrammes ou densit s spectrales court terme pour lesquels la fonction de lissage s identifie la DWV de la fen tre d observation temporelle h 8 5 F t v W t v fo 2 C 6v F9 x u h t u e t duj ou encore la densit complexe nerg tique propo s e par A W Rihaczek 15 6 Felt 2e ft gt C t v F x X ver tmi o X est la transform e de Fourier de x volume 2 n 2 1985 ANALYSE TEMPS FR QUENCE PAR TRANSFORMATION DE WIGNER VILLE Le choix d une pond ration d termine donc cruciale ment la m thode d analyse retenue comme approxima tion li
25. ss e de la DWV initiale De plus les propri t s de la repr sentation r sultante sont en un sens r su m es dans la pond ration choisie ce qui en retour guide dans le choix de cette derni re Ainsi on sait 7 4 que les m thodes du type spectro grammes ou sonogrammes dans leur quivalent fr quentiel sont fondamentalement limit es par la n ces sit d un compromis entre les r solutions temporelle et fr quentielle am liorer la r solution fr quentielle ne peut se faire qu au prix d un largissement de la dur e d observation i e d une diminution de la r solution temporelle dans une situation non station naire Ceci provient directement du fait que la fonc tion de lissage associ e DWV de la fen tre d observa tion poss de des panouissements temporel et fr quen tiel ne pouvant tre control s s par ment On montre en effet que pour tout signal h d nergie unit et toute dur e T l in galit d Heisenberg Gabor se traduit sur la DWV par la relation 3 LS re 7 7 T vvo Wa t v dt dv 2 zat TS 2n o to t Vo sont les date et fr quence moyennes du signal h Les r solutions temporelle et fr quentielle tant ainsi li es analyse court terme classique peut tre consid r e comme une m thode un degr de libert Une solution naturelle apparait alors pour am liorer cette situation celle de passer une analyse deux degr s
26. sultats pour la plupart d j connus le souci premier tant de les rassembler d une mani re homog ne au service d une pr sentation g n rale d un mode d emploi de la m thode 2 La distribution de Wigner Ville Par d finition la transformation de Wigner Ville TWV associe un signal temporel x d nergie finie la fonction W des deux variables tempst et fr quence v 1 W t o gt 5 jeter Cette fonction appel e distribution de Wigner Ville DWV 1 2 poss de un grand nombre des pro pri t s souhaitables pour une repr sentation temps fr quence En particulier et sans reprendre les discus sions exhaustives donn es dans 3 5 on peut rappeler que i la DWV est une fonction r elle r partissant l ner gie d un signal dans le plan temps fr quence 2 Ig W t vardv x 9 dt ii ses distributions marginales s identifient la puis sance instantan e et la densit spectrale du signal W t v dv x f 2 gt W t v dt X v o X v est la transform e de Fourier de x t ii les caract ristiques de modulation d un signal r el enveloppe fr quence instantan e retard de groupe volume 2 n 2 1985 SYNTH SES sont d finies de mani re univoque par l interm diaire du signal analytique associ 2 Rappelons que si x t est un signal r el son signal analytique associ z t est le signal complexe dont
27. thesis Proc IEEE 65 11 1977 p 1558 1564 9 P Franorn et B Escupi Sur la localisation des repr sentations conjointes dans le plan temps fr quence C R Acad Sc Paris 295 s rie I 1982 p 475 479 10 A J E M Janssen On the locus and spread of pseudo density functions in the time frequency plane Philip J Res 37 1982 p 79 110 volume 2 n 2 1985 SYNTH SES 11 P FLanpr Repr sentations des signaux dans le plan temps fr quence Th se D I INPG Grenoble 1982 12 B BouacHAcHE Repr sentation temps fr quence A ppli cation la mesure de l absorption du sous sol Th se D I INPG Grenoble 1982 13 L Comen Generalized phase space distribution func tions J Math Phys 7 1966 p 781 786 14 B Escunit et J Gr A Sur une formulation g n rale de la repr sentation en temps et fr quence dans lana lyse des signaux d nergie finie C R Ac Sc Paris 283 s rie A 1976 p 1049 1051 15 A W Raczek Signal energy distribution in time and frequency IEEE Trans on Inf Theory IT 14 1968 p 369 374 16 P FLanprin et W MART Sur les conditions physi ques assurant l unicit de la repr sentation de Wigner Ville comme repr sentation temps fr quence 9 Coll GRETSI Nice 1983 p 43 49 17 N Martm D veloppement de m thodes d analyse spectrale autor gressive Applications des signaux r els non stationnaires ou N dimensions T
Download Pdf Manuals
Related Search