Choix binaires avec influences sociales : mode d`emploi et
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1. Les courbes repr sentatives de Ox no J et Pin no j coupent les droites a et a j un m me point d abscisse j gt jp A 2 12 et Figure A 2 3 Pour des valeurs de j gt j l quation h p lt D n admet 2 solutions nm et n4 1 dans la zone o a lt h p lt et deux solutions 15 04 05 Denis Phan univ rennes1 fr 34 na 0 et yn dans la zone a j gt h p gt Qnin Dans la zone o l on a a j lt h p lt a les deux solutions sont n 0 n 1 Enfin pour h p lt Na est solution unique et pour h p gt maxs Na est solution unique Figure A 2 3 max 2 mi A 2 12 t a jf Din 3 2a jt 0 gt paf a 07 gt jp J Figure A 2 3 Distribution triangulaire l espace des phases h p j 1 O lt n lt 1 Nm 2 L RS er hr 15 04 05 Denis Phan univ rennes1 fr 35 Annexe B Main tremblante logistique distribution invariante de probabilit s B 1 Probabilit s de transition markovienne et bilan des flux On notera par p n t la probabilit de se trouver dans la configuration sociale N n n l instant t p n t v rifie la contrainte de normalisation N B 1 gt p n t Dans la dynamique s quentielle un agent est tir au hasard chaque instant t et recalcule son tat Les probabilit s de transition entre configurations sociales associ es au choix de cet agent pour la configuration sociale n2. Steyer A 199X La th orie des avalanches physique sociale des ph nom nes de propagation th se in dite de doctorat HEC en sciences de gestion Tesfatsion L 2001 Agent Based Computational Economics A Brief Guide to the Literature in Michie J ed Reader s Guide to the Social Sciences Volume 1 Fitzroy Dearborn London Tesfatsion L 1997 How Economists Can Get Alife in W Brian Arthur Steven Durlauf and David Lane eds The Economy as an Evolving Complex System IT Santa Fe Institute Studies in the Sciences of Complexity Volume XXVII Addison Wesley p 533 564 Topol R 1991 Bubbles and volatility of stock prices effect of mimetic contagion Economic Journal 101 july p 786 800 Weidlich amp Haag 1983 Concepts and Models of a Quantitative Sociology the dynamics of interacting populations Springer Verlag Berlin Weisbusch G 1989 Dynamique des Syst mes Complexes une introduction aux r seaux d automates InterEditions CNRS Complex Systems Dynamics Santa Fee Institute Studies in the sciences of complexity 1991 Young H P 1998 Individual Strategy and Social Structure Princeton University Press Princeton New Jersey articles disponibles sur http perso univ rennes1 fr denis phan Moduleco e _http perso univ rennes fr denis phan moduleco e http www cs man ac uk ai public moduleco 15 04 05 Denis Phan univ rennes fr 28 Annexe A r gimes d
3. tat stationnaire v rifie les conditions aux limites B 5 et la condition de stationnarit B 6 Be 2s AY nr AB n 0 Vn0 lt n lt N dt s N47 PATA Gr ce aux conditions aux limites la condition de stationnarit permet de mettre les probabilit s de se trouver dans une configuration sociale p n sous une forme r cursive param tr e par les probabilit s markoviennes de transition entre configurations sociales En effet conte tenu de la condition aux limites B 5 ona B 7 A 0 A 0 0 gt wy p w4 0 p 0 15 04 05 Denis Phan univ rennes fr 37 En appliquant B 6 n 1 il vient p 0 w4 0 p 1 w4 1 p 2 wy 2 p wy 1 et compte tenu de B 7 p 1 w4 1 p 2 w 2 Pour n quelconque on a la formule r cursive wy n 1 B 8 Pst 0 Pg n 1 wy n Cette forme permet d avoir une meilleure interpr tation de la distribution stationnaire Pour tout tat n appartenant l ensemble des configurations sociales possibles les probabilit s invariantes associ es aux tats par la distribution stationnaire de probabilit compensent juste les probabilit s markoviennes de transition entre configurations sociales de telle mani re que les flux entrant dans un tat soient exactement compens s par les flux sortants Cette relation r cursive permet galement d obtenir une solution exacte de la distribution 1 T Vn 1 N B 9 Pan
4. cas g n ral les quilibres stables ne correspondent pas aux cas d g n r de la distribution uniforme mais les deux quilibres sont strictement positifs 1 gt n gt 1 2 gt ne gt 0 La figure 7 ci dessous pr sente les cas d une distribution logistique r sultats obtenus par calculs num riques et d une distribution triangulaire r sultats analytiques Figure 5 diagrammes de phase des r gimes d quilibre dans le cas d une pdf logistique et triangulaire udr bhe lov h doe ii h h p 1 LL Lh hile H gt Jn C 0 Q ao H lt Jn C 3 EE 4 6 8 10 7 j b J 2b BG coexistence of 2 solutions 5 a distribution triangulaire 5 b distribution logistique Source Nadal ef al 2003 pour la logistique Gordon et al 2004 pour la triangulaire et Nadal et al 2005 Dans le cas d une distribution logistique des IWA Nadal et al 2003 2004 Phan et al 2003 2004 comme il n y a pas de contraintes au bornes la relation d quilibre 18 devient 00 1 2 2 12 dF x 1 F z _ avec o ton Me J EEE LE pp 3p m Pour une valeur donn e de p l quation 19 nous permet de d identifier le ou les point s candidat s pour tre un quilibre du taux de p n tration ne comme un des point s fixe s de l quation 20 i 1 2 13 ne 1 F p h jne 1 exp B p h jne On peut ainsi donner
5. jeux de population l hypoth se de connaissance commune est inutile la s lection d un quilibre En particulier le joueur a juste besoin d avoir de l information sur les strat gies jou es par les autres joueurs Pour revenir au mod le de Granovetter les agents doivent choisir entre participer une meute et ne pas y participer Il suppose que les co ts et les b n fices associ s pour chaque acteur l un de ces deux comportements d pend en partie du nombre d individus ayant d j effectu l un ou l autre choix Plus sp cifiquement il suppose surtout que le co t de sa participation diminue lorsque la taille de l meute augmente p 117 Il d finit alors le seuil de participation comme la proportion d individus du groupe qui doivent avoir fait ce choix pour qu il le fasse son tour p 118 On remarquera que le mod le de Granovetter concerne un voisinage global et une grande population Le taux de participation l meute est d finit par n Na N o Na est le nombre de participants d adopteurs dans la population Pour N suffisamment grand on a Na Na 1 i N 1 Le mod le de Granovetter est galement dynamique mais les agents n ont pas d anticipations et observent seulement les meutiers Ceci correspond des anticipations myopes dans notre formulation c est dire n t n t 1 On peut finalement d finir la strat gie de meilleure r pon
6. ment le produit quand p devient plus petit que h Notons pn h ce seuil d adoption Il est important de remarquer que e ph nom ne inverse ne se produit pas au m me seuil En effet quand tous les agents ont pr c demment adopt la fonction de surplus d pend maintenant la fois du champ externe h p et du champ local l influence sociale ici gal j puisque tous les agents sont devenu des consommateurs de ce bien Le seuil de sortie du march sera donc maintenant pj h p Si les prix augmentent au del de p tous les agents quitteront le march Dans ce cas extr me on observe donc un intervalle de prix pn p dans lequel la demande globale reste constante et ne varie pas avec les prix La largeur de cet intervalle d pend uniquement du param tre d influence sociale j Figure 7 Figure 7 seuils critiques dans la relation entre l adoption et le prix avec des agents identiques Source Phan Pajot Nadal 2003 En pr sence d h t rog n it des pr f rences dispersion des hj la demande variera de mani re moins abrupte mais une boucle d hyst resis peut appara tre La courbe de demande peut alors prendre deux trajectoires diff rentes selon que les prix augmentent ou baissent comme nous allons 15 04 05 Denis Phan univ rennes1 fr 17 le voir Lorsque les prix changent le nombre de clients volue par blocs lesquels peuvent s enchainer en formant des avalanches de toutes tailles
7. quilibre d adoption A 1 Distribution uniforme des IWA sur a a On consid re une distribution uniforme des IWA sur a a avec moyenne nulle f z 0 si Z lt a A 1 1 fas si a lt z lt a 2a fi z 0 si a lt z Compte tenu de la sym trie par rapport z ro la fonction de r partition est telle que H 0 1 2 Figure A 2 1 distribution uniforme sur 2 2 0 4 1F 0 8 p 0 3 i 2a i i 0 6 0 24 l 0 4 0 1 0 2 a a ok 3 2 f 0 1 2 3 3 2 0 1 2 3 La probabilit globale d adoption est li e par l quation de point fixe Na P 2Z gt 2Zm dE z 1 ao Zm a A 1 2 avec Zm p h j 0 lt n4 lt l Plus sp cifiquement on a l paz A 1 3 G z 1 F z l z 1 m 1 al je 2 Da En rempla ant zm par sa valeur selon A 1 3 et compte tenu des contraintes sur na avec une distribution uniforme sur a a les quilibres sont donn s par _a h p A 1 4 ne inf sup 0 7 1 n A 15 04 05 Denis Phan univ rennes1 fr 29 On a donc en particulier h p lt a quand n 0 h p j 2 quand n 1 2 h p2a j quand n 1 Pour caract riser les r gimes d quilibres par un diagramme de phase nous suivrons une m thodologie utilis e par les physiciens En se servant de la formule A 1 2 on peut exprimer Zm en fonction du taux d adoption na par inversion de la fonctio
8. riodique de dimension un cercle avec 8 voisins par agents et B 5 Pour B 10 le m me r seau fait appara tre un hyst r sis beaucoup plus ample Figures 9 relation prix demande sous un r gime d activation synchrone seed 190 9 a hyst r sis avec voisinage 2 9 b connectivit totale B entre 20 amp 5 1400 1400 1200 1200 1000 1000 800 800 600 600 400 400 200 200 I 5 9 d Inner Hysteresis voisinage 8 B 10 Sethna sous trajectoire 1 18 1 29 1400 1400 1200 1200 1000 1000 800 800 600 600 400 400 200 200 0 0 1 11 4 2 1 3 1 4 1 5 1 6 Source Phan Pajot Nadal 2003 Une propri t int ressante des hyst r sis dans les mod les d Ising champs al atoire a t tablie par Sethna et al 1993 Pour des raisons similaires celles qui conduisent un hyst r sis de la demande globale tout changement de direction dans l volution des prix conduit des boucles internes l hyst r sis globale Ces boucles ont comme propri t de revenir leur point de d part lorsque le prix redevient gal au prix initial Sur la figure 4 d le retournement de prix une hausse se situe en un point de la trajectoire montante Cette augmentation des prix se traduit par une baisse moins que proportio
9. 2004 On insistera en particulier sur la coexistence de deux quilibres stables du syst me lorsque les effets d influence sociale sont particuli rement forts et que les d terminants ind pendants de l influence sociale traduisent une faible attractivit pour l un des choix Cette propri t illustr dans le cas simple mais d g n r d une distribution uniforme Gordon et al 2005 caract rise ce type de syst me de mani re tr s g n rale pour de nombreuses distributions statistiques monomodales Nadal ef al 2005 Les cons quences conomiques des propri t s d un tel syst me sont illustr es dans le cas d achats r p t s par des agents aux pr f rences h t rog nes sur un march monopolistique On montre en particulier qu il existe deux r gimes de profit optimal long terme pour le vendeur relativement l intensit de l influence sociale Ces r gimes sont s par s par une transition de phase L un d eux est caract ris par des prix lev s et un petit nombre de clients et l autre par des prix bas et un grand nombre de clients Mots clef Agent based Computational Economics avalanches choix discrets hyst r sis influence sociale march s r seaux sociaux syst me complexe adaptatifs transitions de phase Choix binaires avec influences sociales mode d emploi et cons quences conomiques Denis Phan CREM UMR CNRS 6211 Universit de Rennes 1 Depuis le d but de
10. Figures 10 transition de phase entre deux r gimes de profit d quilibre pour le monopole T t T t T T T T 1 0 phase transition line A 0 8 Source Nadal et al 2003 5 Conclusion Pour conclure dans des situations o les choix individuels sont li s par des ph nom nes de d pendance sociale les externalit s entre ces choix conduisent des dynamiques complexes au niveau agr g m me dans le cas de r seaux r guliers ou totalement connect s externalit globale Dans le cas ou la coordination des agents concerne un probl me de formation de la demande la pluralit possible des quilibres pour un prix donn rendent le probl me du vendeur non trivial m me dans le cas risqu o celui ci conna t tous les param tres du programme 1 1 et la distribution initiale des param tres idiosyncrasiques En effet les caract ristiques de la demande se traduisent par une d formation de la distribution des dispositions payer due l externalit qui rend le probl me plus complexe De plus dans le cas des populations finies comme dans celui des r seaux faible connectivit la distribution des dispositions payer li e aux hasards de la distribution des agents sur le r seau entra ne des effets de taille finie que ce soit au niveau local avec apparition de clusters et de zones gel es ou au niveau global Enfin au del du march de nombreux probl mes d
11. branche descendante de l hyst resis avec prix croissants la courbe grise effet externe entra ne une forte r sistance du syst me de demande la d croissance du nombre de clients Le seuil de transition de phase se situe ici autour de p 1 2744 gt pn Pour cette valeur le taux d adoption du produit diminue drastiquement de 73 12 7 L ampleur des avalanches dans la boucle l hyst r sis augmente avec la connectivit La figure 4 a montre une boucle d hyst r sis avec une volution progressive sans avalanches importantes transition de phase du second ordre La simulation repose sur les m me param tres mais le r seau sous jacent est p riodique de dimension un un cercle et chaque agent n a que 2 voisins La dimension des avalanches durant la transition de phase augmente galement lorsque la variance de la distribution des 6 diminue 07 x 3 f quand B augmente ainsi que l on a pu le constater dans le cas extr me de la disposition payer uniforme pour tous les agents h h pour tout i Les avalanches sont d autant plus importantes la transition de phase que les pr f rences des agents 15 04 05 Denis Phan univ rennes1 fr 19 sont proches La figure 4 b montre un ensemble de trajectoires montantes pour diff rentes valeurs of B prises entre 20 et 5 Pour B 5 il n y a plus d hyst r sis du tout Sur la figure 4 c on peut voir un hyst r sis troit pour un r seau p
12. d quilibre dans le l influence globale Les points fixes du processus 2 9 sont donn s par i a h p 2 11 ne inf sup 0 n 1 TF On peut repr senter l ensemble des r gimes correspondants diff rentes configuration des points fixes 15 04 05 Denis Phan univ rennes1 fr 13 stables des quilibres dans un diagramme de phases de l espace h p j La figure 4 fait ainsi appara tre 4 r gimes diff rents L quation 2 11 fait appara tre une valeur critique Jg 2a qui correspond pour les physiciens a une transition de phase entre r gime d adoption Gordon et al 2005 Figure 4 diagramme de phase des r gimes d quilibre dans le cas d une distribution uniforme sur a a js 2a j Source d apr s Gordon et al 2005 Pour j lt jg partie ouest de la Figure 6 le signe de n d pend uniquement du num rateur Pour h p lt a on a n lt 0 et donc n 0 r gion sud ouest avec les lignes verticales Pour a gt h p gt a l adoption n est pas compl te s il existe des individus r fractaires avec des h j p lt z ce qui est le cas lorsque h p lt a j Le changement de r gime suit donc la droite d quation h p a j Au dessus de cette droite n gt 1 et donc n 1 En dessous pour a j gt h p gt a on a un quilibre polymorphique du jeu de population avec des adopteurs en proportion 1 gt 1 gt 0 et de mani re compl mentaire un pourcentage 1 gt 1 1
13. gt 0 de non adopteurs Pour j gt jp partie est de la Figure 4 le d nominateur est n gatif et n est de signe inverse a celui du celui du num rateur Pour h p lt a jJ le num rateur est positif on a donc n lt 0 et n 0 triangle avec les lignes verticales qui prolonge le r gime de la zone sud ouest Dans le cas contraire n gt I et donc Ne 1 zone gris e au nord est dans le prolongement du m me r gime Dans la zone trap zo dale a la fois gris e et hachur e par des lignes horizontales on v rifie simultan ment les conditions h p2a J qui entra ne n 1 et h p lt a Dans ce dernier cas on sait que la proportion initiale d adopteurs est nulle n 0 0 avec des anticipations myopes et que le point fixe de l quation 2 11 est instable Deux quilibres stables aux bornes coexistent alors ne 0 et ne 1 Nous avons vu que dans ce cas la s lection de P quilibre d pendait des conditions initiales et du sch ma d anticipation Figure 3 b Les r sultats que l on obtient avec ce mod le sont en fait beaucoup plus g n raux que ceux que l on 15 04 05 Denis Phan univ rennes fr 14 vient de voir dans le cas d une distribution uniforme Nadal ef al 2005 ont d montr que l existence de cette zone avec coexistence de deux quilibres tait une propri t g n rale du mod le pour une tr s large classe de distributions monomodales continues par morceaux De plus dans le
14. ind pendante entre les agents et identiquement distribu suivant une loi de probabilit de moyenne nulle de densit f z et de fonction de r partition F2 z Conform ment l quation 1 2 nous avons galement 2 5 hj h z avec lim z 0 gt lim yh h No N No N N La nullit du surplus de l agent agent marginal hat nous permet de r crire la relation 2 4 inspir e de Granovetter comme 2 6 Zm natt D p h jna t 1 Pour une valeur observ e de n t 1 les agents qui participeront l meute seront ceux qui ont un zi sup rieur Zm na t 1 Le taux d meutier en t sera donc d fini par la relation r currente Na t P o 1 ng t P z gt 2m na t D 2 7 ii Na t Zm na t 1 dF z La dynamique correspondante peut tre facilement pr sent e avec une distribution uniforme de z mais reste valable pour de nombreuses classes de distributions monomodales Prenons donc une loi uniforme sym trique centr e sur z ro Gordon et al 2005 telle que 2 8 f z si a lt z lt a et Z ro sinon a On obtient une relation de r currence avec contraintes aux limites 1 hb j 2 9 nat 54 ie Het Y into vt La proportion initiale d meutiers avec l hypoth se d anticipations myopes est donn e par la probabilit d avoir des agents tels que z gt p h ce qui correspond aux agents qui adoptent toujours car h gt p 15 04 05 Denis Phan
15. organisation comme le management d association ou de communaut qui peuvent se traduire par des probl mes de coordination sont justiciables de la classe de mod le de choix discret que nous avons pr sent ou d une extension de ces mod les choix multiples et ou imbriqu s effets d apprentissages mergence de classes de comportement etc 15 04 05 Denis Phan univ rennes1 fr 25 R f rences bibliographiques Amable B Henry J Lordon F et Topol R 1990 Une tentative d lucidation d un concept flou I hyst r sis Actes du Colloque A F S E Paris Nathan Amable B Henry J Lordon F et Topol R 1992 Un commentaire suscit par l article de Jean Marie LePage Revue d conomie Politique 102 1 123 38 Amable B Henry J Lordon F et Topol R 1994 Strong Hysteresis versus Zero Root Dynamics Economics Letters 44 43 47 Anderson P W Stein L 1983 broken symmetry emergent properties dissipative structure life are they related in Anderson P W ed Basic notions of condensed matter physics p 263 285 Anderson S P DePalma A Thisse J F 1992 Discrete Choice Theory of Product Differentiation MIT Press Cambridge MA Aoki M 1996 New Approaches to Macroeconomic Modeling Evolutionary Stochastic Dynamics Multiple Equilibria and Externalities as Field Effect Cambridge University Press Arthur W B Durlauf S N Lane D A eds 1997 The Economy as an Evolving Comp
16. particulier comme j 0 1 l esp rance d adoption conditionnelle a l anticipation d adoption est gale la probabilit conditionnelle d adoption si les modalit s du choix avaient t sj 1 1 Pesp rance conditionnelle d adoption aurait t une tangente hyperbolique cf par exemple Durlauf 1997 3 2 E oil a P o 1 Remarquons que dans le cas ou les agents ont tous la m me IWA hj h pour tout 1 on a 3 3 vi fa h p jfa zm fa Vie Qn 15 04 05 Denis Phan univ rennes fr 21 O Zn est la part idiosyncrasique de PIWA de l agent marginal au surplus nul quation 16 La probabilit conditionnelle a l adoption anticip e qu un agent i choisisse d adopter est maintenant exactement la m me pour tous les agents Elle est galement gale a la probabilit conditionnelle a l adoption anticip e qu un agent tir au hasard ait un sup rieur a PIWA marginal Zm et adopte en suivant la r gle de meilleure r ponse dans le cas du d sordre gel quation 19 1 1 exp B Zm 3 4 P o 1 a P ei gt 2m fa VieQy Si les termes stochastiques individuels sont ind pendants la mesure jointe de probabilit sur la population nous donne la probabilit d une configuration sp cifique du vecteur j 0 0y Elle suit une loi de Gibbs P of a TIP o fa 65 Ponpa gae A la suite de Mansky Brock Durlauf 2000 consid rent la s
17. sous forme normale la matrice des gains d un agent lors d une des confrontations bilat rales de ce jeu de population Figure 1 Figure 1 matrice des gains de l agent 1 lors d une confrontation avec un agent k de son voisinage So k Ox 0 Silk OQ 1 So i O 0 0 0 S1 h p h p j Joueur i en ligne Joueur k en colonne Si h gt p la strat gie S i 1 est strictement dominante l agent consid r adoptera toujours quelque soit le comportement de ses voisins Si h lt p Jj et donc h lt p la strat gie S est strictement domin e et donc l agent consid r n adoptera jamais quelque soit le comportement de ses voisins Pour p gt h gt p j l agent se trouvera en situation de recherche de coordination car sa meilleure r ponse d pend des choix de son voisinage Conform ment Monderer Shapley 1996 on peut pr senter le jeu de coordination issu de la figure 1 sous la forme d un jeu potentiel qui conserve la structure de meilleure r ponse Pour p gt h gt p j la figure 2 permet de pr senter le jeu comme un probl me de pure coordination o les gains diagonaux correspondant la non coordination sur la m me strat gie sont nuls Figure 2 matrice du jeu potentiel quand p gt h gt p j So k x 0 Silk 1 So i 0 p h 0 Sii o 1 0 h p j Joueur i en ligne Joueur k en colonne Dans
18. suppl mentaire qui varie durant la p riode consid r e le d sordre est qualifi de recuit par les physiciens Ce terme stochastique introduit initialement par Blume 1993 pour cette classe de mod le peut tre interpr t comme une main tremblante ou comme une modalit particuli re d apprentissage Baron ef al 2004 De nombreux mod les pr sent s par exemple par Durlauf 1997 ou Ionnides 1997 reposent sur cette dimension stochastique qui sera introduite en section 4 Dans ce cas avec quelques hypoth ses compl mentaires comme la sym trie des effets lorsque le voisinage reste local on se trouve en pr sence d un champ al atoire markovien Kinderman Snell 1982 car on peut monter que P a lo Vk 41 k ly P lox Vk 4i ke9 Dans le cadre plus restreint des choix discrets sans externalit s Anderson ef al 1992 discutent de ces deux cat gories de mod les Ils relient le cas du d sordre gel a l approche de Mc Fadden 1974 o les pr f rences des agents sont fix es mais non observables seule leur loi tant connue situation de risque du point de vue de la th orie de la d cision Le cas d sordre recuit est 15 04 05 Denis Phan univ rennes1 fr 5 rattach aux exp riences psychologiques de Thurstone 1927 Les deux rapprochements justifient pour ces auteurs l usage d une loi logistique comme on le verra plus loin On consultera Durlauf 1999 et Nadal et al 2003
19. t seront not es Proba n gt n 1 w n 1 n N po_ n B 2 Proba n gt n 1 wy n n N p _59 0 La probabilit de transition a l instant t de n n 1 est gale a la probabilit que l agent en question se trouve dans l tat 0 avec proba w 0 1 n N passe dans l tat 1 avec probabilit P 2 les deux probabilit s tant ind pendantes De m me la probabilit de transition Pinstant t de n n 1 est gale a la probabilit que l agent soit dans l tat 1 proba 0 n N et qu il passe dans l tat 0 avec probabilit P RU Comme ces deux probabilit s de transition de l d pendent que de n t il s agit d un processus markovien de premier ordre De plus comme les valeurs possibles de n sont born es par la taille de la population 0 lt n lt N les probabilit s de transition entre configurations sociales doivent v rifier les conditions suivantes aux limites wy l wy 0 0 B 3 w N wy N 1 0 La configuration sociale ne peut parvenir a l tat n 0 partir d une valeur inf rieure a 0 ni descendre au dessous de 0 Sym triquement on ne peut parvenir l tat n N partir d une valeur sup rieure N ni prendre une valeur sup rieure N Au voisinage de t on peut faire un bilan d taill de la variation de la masse de probabilit par unit 15 04 05 Denis Phan univ rennes1 fr 36 de temps ent
20. une forme analytique a la demande et calculer num riquement la ou les 15 04 05 Denis Phan univ rennes fr 15 solution s stable de 2 13 dans le cas de l externalit globale pour p donn Graphiquement pour des valeurs donn es de j et de h p Des quilibres multiples peuvent appara tre pour de fortes valeurs de B faible variance des pr f rences idiosyncrasiques Figure 6 points fixes du taux de p n tration quilibres p donn 6 a quation 9 pour B 20 6 b quation 9 pour B 6 Source Phan Gordon Nadal 2004 Sur la figure 6 a pour B 20 on peut observer une zone deux quilibres stables et un point fixe instable pour ne 1 2 qui se trouve comprise approximativement entre les courbes du haut et du bas correspondant a p 1 15 et p 1 35 de part et d autre de la courbe du milieu qui correspond a la valeur de p sans biais pn h j 2 1 25 Pour des valeurs de p sup rieures 1 35 ou inf rieures 1 15 il y a un seul point fixe une seule trajectoire de la courbe de demande Sur la figure 6 b pour B 6 il y aun seul quilibre quelles que soient les valeurs de p L existence de deux quilibres stables r sulte d abord d une dualit des d terminants de la meilleure r ponse des agents En l absence d effet externe les agents choisissent leur strat gie au regard des valeurs non sociales h p ce que les physiciens appe
21. univ rennes1 fr 12 _ or 2 10 na int fun 1s 2a On notera que si h p gt a tout le monde adopte en t 0 ng 0 1 Inversement si h p lt a la proportion initiale d adopteurs sera nulle n 0 0 pour des anticipations myopes Dans ce cas seul un autre sch ma d anticipation plus optimiste pourrait permettre l meute de d marrer sans agitateurs Il est cependant int ressant d un point de vue heuristique d tudier la stabilit du processus 2 9 avec des initialisations ad hoc quelconque dans ce dernier cas Figure 3 b Ces conditions particuli res aux bornes sont dues aux particularit s de la distribution uniforme On peut consid rer que c est le prix payer pour obtenir des r sultats analytiques tr s simples qui permettent de comprendre l essentiel plus rapidement Mais il s agit d un cas d g n r comme on le verra plus loin Observons maintenant la dynamique s quentielle qui r sulte de la relation de r currence 2 9 Figure 3 dynamique s quentielle avec une distribution uniforme des IWA n t 1 n t 1 D BEDRE i ee ES N Mses ee ae nn nn nnn nnn nnn nnn rr rnnr 1 2 n t 1 2 n t 3 a stabilit de l adoption partielle 0 lt n lt 1 3 b instabilit du point fixe et coexistence deux avec des adopteurs initiaux agitateurs solutions stables ne 0 Ne 1 avec a gt h p gt a h p lt a et j gt 2a 2 2 Configuration des r gimes
22. BOT wad a i 1 En utilisant la contrainte de normalisation B 1 on peut exprimer p 0 en fonction des les probabilit s de transition entre configurations sociales JO ae a n i l wy i Dans le cas de la main tremblante la probabilit de passer d un tat a un autre est ind pendante du choix ant rieur donc on a Po P 1 z n proba e gt z n 1 F z n P yg p o 0 2 1 proba s lt zm F z n Les probabilit s de transition entre configurations sociales associ es au choix de cet agent pour la configuration sociale n t N n seront not es Proba n gt n 1 w4 n 1 n 1 F zm Proba n gt n 1 w n nF z n Si F est logistique ona 15 04 05 Denis Phan univ rennes fr EEDS P OCAT Texp 8 6 i 8 N Ps n ps 0 CX exp B n h j n n 1 2 Vn e 1 N Pa n p 0 Cn k l 15 04 05 Denis Phan univ rennes fr 38
23. Choix binaires avec influences sociales mode d emploi et cons quences conomiques Denis Phan CREM UMR CNRS 6211 Universit de Rennes 1 22 03 2005 R sum Cette note propose une synth se de quelques travaux consacr s l tude de l introduction d influences sociales dans le mod le de d cision individuelle le plus simple possible le mod le de choix binaire Pour explorer cette question une approche computationnelle ACE Agent based Computational Economics vient compl ter les r sultats analytiques La note souligne de quelle mani re la connaissance de certaines propri t s g n riques de la m canique statistique et de l tude des syst mes complexes peut am liorer notre perception des m canismes de choix dans de nombreuses situations o les d cisions individuelles sont interd pendantes Plus sp cifiquement la note pr sente les propri t s g n riques d un syst me compos d un ensemble d agents dont les choix sont influenc s par ceux de leurs voisins dans une structure r siliaire Elle propose ensuite une interpr tation de ces choix individuels en termes de jeux de population Phan Waldeck 2005 La caract risation des quilibres du syst me et des dynamiques transitoires que l on peut y associer est clair e par la r f rence des ph nom nes classiques de la physique des syst mes d sordonn s tels que transitions de phase avalanches hyst r sis Phan et al 2003
24. Si la dispersion des pr f rences est suffisamment forte la variance o des h est large compar e la compl mentarit strat gique provenant de la d pendance sociale J il y aura seulement de petites avalanches les effets directs l emportant sur les effets induits Si au contraire les pr f rences sont tr s concentr es o petit relativement a J on tendra vers une unique avalanche de la taille de la population comme dans le cas des h uniform ment gaux h que l on vient de d crire Dans les r gimes interm diaires une distribution d avalanches de toutes tailles peut tre observ e Lorsque les IWA h sont distribu es selon une loi sym trique il est galement possible de donner un autre sens au seuil j 2 En effet on peut identifier une valeur th orique de p qui correspond une situation moyenne sans biais sym trique en faveur de l un des deux choix possibles Dans ce cas la disposition payer est neutre en moyenne il y a autant d agents qui adoptent le produit que d agents qui ne l adoptent pas Ainsi si 50 des agents sont clients pour ce produit la disposition moyenne payer sera h J 2 et le prix sans biais sera pa h J 2 Remarquons que p se trouve exactement au milieu de l intervalle de prix pn pj Si l on part de cette situation de sym trie avec p Pn on peut distinguer les prix qui pr sentent un biais en faveur des d cisions d achat p lt pn donc en moyenne
25. bserv es id Il prend comme exemple l adh sion d individus une meute ce qui lui permet de faire un parall le avec les analyses propos es par Berck 1974 sur ce sujet l aide de la th orie des jeux Il est int ressant de noter que Granovetter trouvait cette approche tr s int ressante Il note m me que la th orie des jeux permet d analyser les actions de multiples individus sous la forme d un jeu deux joueurs o un individu joue contre les autres pris collectivement p 136 Cependant il pensait aussi que la th orie de jeux ne pouvait pas tre en mesure de formaliser son probl me dans la mesure o il croyait que celle ci se restreignait des pr f rences identiques et des d cisions simultan es ibid Le point de vue des jeux de populations a pr cis ment t introduit dans les ann es quatre vingt dix pour traiter de probl mes dynamiques de s lection d quilibre dans des situations ou les hypoth ses 15 04 05 Denis Phan univ rennes1 fr 10 habituelles de la th orie des jeux conduisaient a des situations paradoxales dilemme du prisonnier quilibres multiples dans les jeux de coordination l o l observation et ou l exp rimentation approche comportementaliste des jeux Camerer 2003 montraient que la coordination se r alisait bien dans la pratique cf galement Schelling 1960 avec sa notion de saillance Dans l approche des
26. c le taux d adoption dans la population Par contre il n observe pas les IWA de ses clients mais seulement leur comportement d adoption On consid re un d sordre gel c est dire que les agents ont une valeur fix e de z donn e au d but de la p riode et qui ne change pas apr s On consid re que la distribution est logistique c est dire que le niveau d adoption d quilibre est conforme l quation 2 12 Par inversion de cette condition d quilibre on peut faire appara tre une fonction inverse de demande 1 ne Ne 1 4 1 plm h in aa La relation 2 12 permet galement de d finir la demande globale comme une fonction implicite Ne p dont on peut calculer les d riv es par rapport p 15 04 05 Denis Phan univ rennes1 fr 23 D ne p p ne p F p h Ine p 1 42 Me OUI f p h jne dp ns 1 f p h jne j Dans le cas de l externalit globale avec influence sociale additive l quation 10 nous permet d exprimer le taux d adoption comme une fonction implicite des prix Comme le monopoleur observe le taux d adoption et qu il est suppos tout conna tre du comportement de demande 1 des consommateurs et la distribution de probabilit des dispositions individuelles payer le monopoleur peut crire et r soudre le programme qui maximise son esp rance de profit pour simplifier on suppose des co ts nuls et on normalise la taille de la population 1 ce qui
27. ciper ou pas une activit collective et plus g n ralement choisir entre les deux branches d une alternative Pour rester g n ral nous consid rerons que les agents adoptent la strat gie S 1 ou ne l adoptent pas 0 strat gie So ind pendamment de la signification possible de ces strat gies Les agents sont suppos s maximiser une fonction de surplus V oi P amp quasi lin aire conditionnellement des variables exog nes ou anticip es Ce surplus comprend une composante priv e Hi P et et une composante sociale S _ D Wilo P amp i Vi oi P amp _ max oi V 0 P amp _ H P S o amp 0 1 La composante priv e comprend l ensemble des d terminants de la d cision qui ne d pendent pas directement des choix d autres agents P repr sente une variable exog ne commune tous les agents que l on interpr tera comme le co t associ la strat gie Si 1 Par souci de clart de l exposition nous d composerons Hj en une composante H commune tous les agents et en une composante idiosyncrasique 9 qui repr sente la diversit des go ts entre les agents La variable al atoire dont la composante idiosyncrasique 9 est le tirage qui caract rise l agent i sera suppos e distribu e de mani re ind pendante entre les agents suivant la m me loi de probabilit de moyenne nulle avec une densit f 0 avec un
28. ctif reposant sur un r seau de communication Les r sultats pr sent s ici s appuient principalement sur Phan Pajot Nadal 2003b mais les caract ristiques g n rales de ce mod le sont galement discut es dans Nadal ef al 2003 Phan ef al 2003a et Vanneminus ef al 2003 Une approche computationnelle bas e sur les agents ACE cf par exemple Tesfatsion 1997 2001 2002 nous permet d explorer la trajectoire des quilibres de march prix donn s et les dynamiques transitoires entre ces positions d quilibres comme les avalanches Le recours aux formalismes g n riques de la dynamique des syst mes complexes adaptatifs nous permettra de souligner l int r t d une telle approche pour la compr hension des march s Plus pr cis ment nous d veloppons certaines analogies entre les dynamiques de march ainsi simul es et les ph nom nes classiques tudi s par la physique des syst mes d sordonn s transition de phase rupture de sym trie et avalanches Anderson Stein 1983 Galam 2003 15 04 05 Denis Phan univ rennes1 fr 1 Les choix individuels dans leur contexte social 1 1 Du c t des agents h t rog n it idiosyncrasique et interactive Dans notre mod le on consid re une population de N agents un ensemble d agent In Chaque agent 1 In fait face de mani re r p t e a un choix binaire tel que acheter 1 ou ne pas acheter 0 une unit d un bien donn parti
29. de la dynamique globale associ e la r gle de meilleure r ponse dans le cas du d sordre gel Quand les choix individuels d pendent de l influence sociale deux type de dynamiques peuvent caract riser les ph nom nes d avalanche selon que les effets d influences sont localis s ou non dans un r seau 15 04 05 Denis Phan univ rennes1 fr 9 Dans le cas de l influence globale les agents prennent en compte uniquement le choix moyen comme dans les mod les synerg tiques inspir s de Weidlich et Haag 1982 utilis s en conomie en particulier par Topol 1991 et Orl an 1990 1998 cf galement Aoki 1996 et Orl an 2002 pour une pr sentation synth tique Cette situation conduit a des r sultats quivalents a l approximation de champs moyen utilis par les physiciens Weisbusch 1989 Remarquons que pour des populations suffisamment grandes dans la sp cification 1 ces interactions globales sont quivalentes au cas de la connectivit compl te du r seau Ng N 1 En effet avec notre hypoth se d homog n it ji js chaque individu tend tre influenc avec la m me intensit par le choix moyen des autres Dans ce cas l effet de l influence sociale s exerce comme si le voisinage de chaque agent tait compos de tous les autres agents En cons quence les dynamiques qui apparaissent au niveau des comportements agr g s parmi lesquelles les avalanche
30. e fonction de r partition F 9 fl 12 H H 0 avec lim D 0 0 lim H H No N N 00 N N La composante sociale ou interactive r sulte de la prise en compte par chaque agent des choix anticip s ou observ s d un certain nombre d autres agents d finis comme le voisinage de Pagent i soit 8 CIN l ensemble des voisins de l agent i Dans la mesure o les voisins de i ont eux m me des voisins les relations qui lient un agent avec ses voisins peuvent tre vues comme des l ments constitutifs d un r seau social On d signe par _ 0g avec ke 9 le vecteur des choix anticip s dans le voisinage de l agent i On supposera dans ce qui suit que l effet cumul des choix anticip s dans le voisinage _ est additif et que l effet marginal de chaque choix est non n gatif Si l on d signe par le coefficient ji l effet marginal sur la disposition adopter de l influence sociale de l agent k sur l agent i ona jig gt 0 Vk e 9j Durlauf 1997 souligne que l on se trouve dans une situation de complementarit strategique au sens de Bulow Geanakoplos Klemperer 1985 cf galement Cooper John 1988 Formellement si les variables de choix taient 15 04 05 Denis Phan univ rennes fr continues et que la fonction S _ tait C2 on devrait alors avoir 8 6 00 00 1 3 ji gt 0 La sp cification la plus simple de l effet d influence sociale est alor
31. es effets induits dans l avalanche de clients trajectoire montante noire et descendante grise la transition de phase montante pour p 1 2408 p 1 25 Source Phan Pajot Nadal 2003 Param tres h 10 J 0 5 Logistique avec f 10 seed 190 La courbe de la figure 3 a repr sente la relation entre les prix et le niveau de demande pour chaque pas de simulation Cette courbe comprend donc la fois les positions d quilibre prix donn et l ensemble des positions temporaires atteintes chaque tape des avalanches La courbe noire grise repr sente la trajectoire de la demande montante descendante suivie lorsque les prix diminuent augmentent par incr ments de 1077 dans l intervalle 0 9 1 6 On observe une boucle d hyst resis avec une transition de phase autour du point de sym trie p 1 25 Dans chacune des deux branches des avalanches se produisent lors d une transition de phase dite du premier ordre Le long de la branche montante de l hyst resis avec prix d croissants la courbe noire une succession d adoption en cha ne induites les unes par les autres se d clenche pour p 1 2408 lt pn conduisant l ensemble du syst me de demande d un taux d adoption de l ordre de 30 un taux de pr s de 87 La figure 3 b pr sente la chronologie et la taille de ces effets induits qui viennent se cumuler dans une gigantesque avalanche Le long de la
32. h J 2 p gt 0 et ceux qui sont en moyenne en d faveur de lachat p gt py Finalement en dynamique une rupture de sym trie peut intervenir pour p pn lorsqu une avalanche conduit l influence sociale passer le seuil de J 2 Les comportements dynamiques de la population d acheteurs face aux prix ne sont cependant pas triviaux L tude par simulation de la dynamique d ajustement des acheteurs a une variation des prix permet de mettre en vidence les notions de rupture de sym trie et de transition de phase utilis es par les physiciens ce qui illustre l int r t d une approche multi agents dans ce cas pourtant simple et tr s proche de la litt rature standard Pour une variation des prix donn e il est possible d observer les variations r sultantes de la demande Commen ons par le cas le plus spectaculaire o tous les agents r visent leurs choix simultan ment r gime d activation synchrone dans le cas d interactions globales 15 04 05 Denis Phan univ rennes fr 18 Figures 8 Transition de phase brutale du syst me de demande r gime d activation synchrone 90 80 70 60 50 40 600 30 1400 1200 1000 800 J 400 20 4 10 04 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 200 a Hyst r sis dans le syst me de demande prix et nombre b Chronologie et taille d
33. han D Gordon M B Nadal J P 2004 Social Interactions in Economic Theory an Insight from Statistical Mechanics in Bourgine P Nadal J P eds 2004 Cognitive Economics Springer Verlag p 225 358 Phan D Pajot S Nadal J P 2003 The Monopolist s Market with Discrete Choices and Network Externality Revisited Small Worlds Phase Transition and Avalanches in an ACE Framework Ninth annual meeting of the Society of Computational Economics University of Washington Seattle USA July 11 13 2003 also available at the economists s WP base http econpapers hhs se paper scescecf3 150 htm Phan D Wakldeck R Gordon M B Nadal J P 2005 Adoption and Cooperation in Communities Mixed equilibrium in polymorphic populations Paper accepted at the 0th Annual Workshop on Economic Heterogeneous Interacting Agents WEHIA 2005 June 13 15 University of Essex United Kingdom Schelling T S 1960 The strategy of Conflict Harvard University Press Cambridge Ma trad fran aise La strat gie du conflit PUF 1986 Schelling T S 1973 Hockey Helmets Concealed Weapons and Daylight Saving a study of binary choices with externalities Journal of Conflict Resolution Vol 17 6 3 September p 381 428 Schelling T S 1978 Micromotives and Macrobehavior W W Norton and Co N Y trad fran aise La tyrannie des petites d cisions Puf Paris 1980 Schuster H G 2001 Complex Adaptive Systems An Introduction Scator Verlag Saarbriicken
34. ial interactions between customers to appear in Physica A Granovetter M 1978 Threshold Models of Collective Behavior American Journal of Sociology 83 6 pp 1360 1380 trad francaise in Le March autrement descl e de Brouwer 2000 p 115 148 Harsanyi J C Selten R 1998 A General Theory of Equilibrium Selection in Games MIT Press Hors I 1995 Des mod les de transition de phase en conomie Revue Economique p 817 826 Ioannides Y M 1997 Evolution of Trading Structures in Arthur et al op cit p 129 161 Kirman A P 1997a The Economy as an Interactive System in Arthur et al op cit p 491 531 Kirman A P 1998 Economies with interacting agents in Cohendet et al eds op cit p 17 52 Lesourne J Orl an A eds 1998 Advances in Self Organization and Evolutionay Economics Economica Londres Paris McFadden D 1974 Econometric Analysis of Qualitative response Models in Griliches Intrilligator eds Handbook of Econometrics Vol II Elsevier Science B V Amsterdam Foster D P Young H P 1990 Stochastic Evolutionary Game Dynamics Theoretical Population Biology 38 219 232 Mansky C F 2000 Economic Analysis of Social Interactions The Journal of Economic Perspectives 14 3 Summer p 115 136 Monderer D Shapley L S 1996 Potential Games Games Economic Behaviour 14 p 124 143 Nadal J P Phan D 2005 Physique Statistique de ph nom nes collectives en sc
35. iences conomiques et sociales support de presentation MSH Nadal J P Gordon M B Phan D 2005 in preparation Nadal J P Phan D Gordon M B Vannimenus J 2003 Monopoly Market with Externality an Analysis with Statistical Physics and ACE 8th Annual Workshop on Economics with Heterogeneous Interacting Agents WEHIA 2003 Kiel May 29 31 also available at the physicist s base http arxiv org abs cond mat 03 11096 Nadal J P Phan D Gordon M B Vannimenus J 2004 Multiple equilibria in a monopoly market with heterogeneous agents and externalities submitted to Quantitative Finance Orl an A 1990 Le r le des influences interpersonnelles dans la d termination des cours boursiers Revue Economique vol 41 N 5 spptembre p 839 868 Orl an A 1998 The evolution of imitation in Cohendet et al op cit p 325 339 Orl an A 2002 Les interactions mim tiques in Lesourne Orl an Walliser eds Le ons de micro conomie volutionniste Odile Jacob Phan D 2003 Small Worlds and Phase Transition in Agent Based Models with Binary Choices in Muller J P Seidel M M eds 4 workshop on Agent Based Simulation Montpellier SCS Publishing House Erlangen San Diego 15 04 05 Denis Phan univ rennes 1 fr 27 Phan D 2004 From Agent Based Computational Economics towards Cognitive Economics in Bourgine P Nadal J P eds 2004 Cognitive Economics Springer Verlag p 371 398 P
36. it sur la figure A 1 2 Pour j 6 par exemple il existe une zone en gris sur la figure ou la droite d quation h p coupe 3 fois la courbe repr sentative de la fonction n On peut montrer que la solution en na 0 5 est instable et que les deux solutions concurrentes sont na 1 et na 0 Au del de cette zone lorsque h p devient trop n gatif h p lt a j la seule solution devient a 0 Comme n diverge en j jg 2 a l ensemble des solutions peut tre regroup s selon les r gimes suivants Ne 0 si h p lt a pour j lt jp jNe n Si a lt h p lt a Ne 1 si a j lt h p Ne 9 si h p lt a pour j gt jp 4Nne 0 et ne 1 si a j lt h p lt a Ne 1 si a j lt h p Figure A 1 3 diagramme de phase des r gimes d quilibre dans le cas d une distribution uniforme sur a a lial je 2a j Source d apr s Gordon et al 2005 A 2 Distribution triangulaire des IWA sur a a On consid re une distribution triangulaire des IWA avec moyenne nulle et maximum centr e sur 0 f z 0 si z lt a f 2 2 1 2 si a lt z lt 0 A 2 1 See ne fa e 2 1 2 Si O lt z lt a f z 0 si a lt z a a 15 04 05 Denis Phan univ rennes1 fr 31 f max La densit de probabilit passe par un maximum f gt z 1 a pour z 0 Compte tenu de la sym trie par rapport z ro la fonction de r partition est telle que F 0 1 2 Figure A 2 1 distribu
37. le cadre des jeux stochastique il a t montr que le seul tat stochastiquement stable au sens de Foster et Young dans ce jeu de coordination tait celui qui maximisait ce jeu de potentiel Cf par exemple Blume 1997 Young 1998 Baron et al 2004 et section 4 En restant pour l instant dans un cadre d terministe on peut s inspirer du crit re de risque dominance propos par 15 04 05 Denis Phan univ rennes fr 7 Harsanyi Selten 1988 pour des jeux conventionnels afin d valuer les propri t s respectives de deux quilibres de Nash de ce jeu de coordination Ainsi la coordination sur la strat gie de non adoption 0 est dite individuellement risque dominante chez les agents pour lesquels il est plus co teux risqu de d vier unilat ralement de cette strat gie c est dire ceux tels que 1 8 p hy gt j 2 lt p i 2 gt h Pour un taux d adoption anticip ou observ n 3 n 8 dans son voisinage un agent qui applique la r gle de d cision de meilleure r ponse adoptera si l esp rance de gain de S face ce taux d adoption est sup rieure celle de S2 19 x S s gt 7x So s lt hj p f fig gt p h 1 fig Et donc conform ment a 1 7 si 1 10 h j g gt p En r sum on a donc 4 types d agents e Ceux avec h gt p adopteront toujours quelque soit le taux d adoption dans le voisinage En effet S est une strat gie stric
38. lex System IT Santa Fee Institute Studies on the Sciences of Complexitity Addison Wesley Pub Co Reading Ma Baron R Durieu J Haller H Solal P 2004 Stochastic Evolutionary Game Theory in Bourgine Nadal op cit p 267 280 Bak P 1996 How Nature Works The science of self organized criticality Springer Verlag N Y trad francaise quand la nature s organise avalanches tremblements de terre et autres cataclysmes Flamarion Paris 1996 Bernheim B D 1994 A Theory of Conformity Journal of Political Economy vol 102 5 841 877 Bikchandani S Hirshleifer D Welch I 1992 Theory of Fads Fashion Custom and Cultural Change as Informational Cascades Journal of Political Economy vol 100 5 p 992 1026 Blume L E 1993 The Statistical Mechanics of Strategic Interaction Games and Economic Behavior 5 387 424 Blume L E 1995 The Statistical Mechanics of Best Response Strategy Revisions Games and Economic Behavior 11 p 111 145 Blume L E 1997 Population Games in Arthur Durlauf Lane eds op cit p 425 460 Blume L E Durlauf S N 2001 The Interaction Based Approach to Socioeconomic Behavior in Durlauf Young eds Social Dynamics Brooking Institution amp MIT press pp 15 44 Bourgine P Nadal J P eds 2004 Cognitive Economics Springer Verlag Berlin Forthcoming Bulow J I Geanalopolos J D Klemperer P D 1985 Multimarket oligopoly strategic substitutes a
39. llent le champ externe Nous avons vu que pour les agents pour qui h gt p adopter tait une strat gie dominante quelque soit le niveau d adoption dans leur voisinage De m me les agents tels que 0Zh p gt j 2 adopterons avec des taux d adoption dans leur voisinage toujours inf rieur 50 et d autant plus faible que j est fort et h peu inf rieur p Tout cela conduit un quilibre positif d adoption inf rieur dans les cas ou seuls les agents avec un IWA suffisamment lev au regard de p et de j Au contraire pour les agents qui ont un faible IWA en particulier ceux qui n adoptent que si ng t 2 p h I j2 1 2 c est l effet social qui est d terminant ce que les physiciens appellent le champ local c est dire les variables qui ne sont pas ind pendantes des choix des autres agents dans le voisinage Avant d tudier le rapport entre cette multiplicit de points fixes et la non lin arit des fonctions cumulative de distribution des IWA Il convient d isoler la dualit des causes ind pendamment de la distribution des IWA 2 2 Transition de phase et l hyst r sis Alors que la tradition conomique en particulier macro conomique d signe par hyst r sis un ph nom ne qui r sulte de la remanence d une variable dans un mod le dynamique les physiciens 15 04 05 Denis Phan univ rennes fr 16 d signe par hyst r sis une situation ou deux quilibres sont pos
40. ment aux solutions des quations A 2 6 Selon la configuration de la fonction amp n on aura donc soit une solution unique soit la possibilit de plusieurs solutions Commen ons par tudier la configuration de la fonction D n par P tude de ses d riv es Lan j avec lim Toan in ea A 2 7 dna Ma na0 Ma na 1 27 da ores 2 j avec lim Ts et lim D a j dna 2 20 Nal dna n4 gt 1 27 dna La zone solution unique comprend la zone o la fonction n est monotone croissante Comme n diverge quand na tends vers 0 et vers 1 si h p gt j a la solution unique est na 1 Inversement h p lt a la solution unique est na 0 Les quations A 2 6 nous permettent ainsi de v rifier que nous avons les m mes solutions qu avec l quation uniforme pour les trois points remarquables 0 1 2 1 h p lt a quand n 0 A 2 8 h p j 2 quand n 1 2 h p gt a j quand n 1 Il existe une valeur critique jg au del de laquelle plusieurs points fixes peuvent appara tre La zone correspondante commence pour la plus petite valeur de j pour laquelle la fonction O n admet une d riv e nulle En effet au del de ce point O n n est plus monotone croissante Puisque la d riv e d une fonction inverse est gale a l inverse de la d riv e cette valeur correspond la valeur de na pour laquelle la densit de probabilit f z est maximum c est dire na 0 5 puisque l on a alo
41. n F dans A 1 3 lez 1 LS Br a Zm Gi Ma a l 2n h p d m 2a j na a Les solutions de l quation de point fixe A 1 2 correspondent aux solutions des quations A 1 5 pour les valeurs de n comprises entre 0 et 1 Selon la configuration de la courbe repr sentative de la fonction P n on voit sur le graphique A 1 2 qu on a une solution unique avec 0 lt n lt 1 ou bien la possibilit de plusieurs solutions La zone solution unique correspond la zone o la fonction D n est monotone croissante Pour des valeurs de h p gt j a la solution unique est na 1 et P n diverge vers plus linfini Inversement si h p lt a na 0 est solution et D n diverge vers moins l infini Figure A 1 2 points fixes dans l espace des phases h p j 4 i be h p 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 Le r gime des solutions conna t un seuil critique en j jg 2a o la solution de A 1 4 en n Gordon 2004 note in dite Cf galement Gordon er al 2005 et Gordon Nadal Phan 2005 pour une g n ralisation Je remercie M B Gordon et J P Nadal qui m ont initi cette m thode d analyse des diagrammes de phase utilis s en physique 15 04 05 Denis Phan univ rennes fr 30 diverge Corolairement la d riv e n 2 a j devient nulle pour cette valeur critique Pour j sup rieur jp plusieurs points fixes peuvent appara tre comme on le vo
42. n anticip ou observ dans leur voisinage 15 04 05 Denis Phan univ rennes fr 8 Cette derni re sous population peut encore tre s par e en deux sous ensemble autour d un seuil critique gal la moiti de l intensit de l influence sociale marginale j 2 Ce seuil est ind pendant de la distribution des IWA Les agents tels que 0 2 h p gt j 2 pourront adopter avec des taux fg d adoption anticip ou observ dans leur voisinage inf rieurs 50 alors que ceux pour lesquels j 2 gt h p gt j n adopterons que si ce taux est sup rieur 50 On peut pr senter cette partition d une autre mani re galement utile en disant qu il existe pour chaque agent une valeur seuil Pni h Jj 2 telle que si p est inf rieur ce seuil l agent adoptera m me si le taux d adoption anticip est inf rieur 50 En sommant cette valeur sur tous les agents on obtient un seuil moyen Pn h j 2 Pour p lt py il y aura donc un biais en faveur de l adoption 1 3 Effet direct et indirect d une variation exog ne de p premier aper u des ph nom nes d avalanche Si l on se place d un point de vue dynamique il est aussi int ressant de distinguer les effets directs et indirects d une variation de la variable exog ne p en t par exemple p t lt p t 1 Par effet direct on qualifiera les changements induits directement par le changement de p ind pendamment de tout changement dan
43. nd complements Journal of Political Economy 93 3 p 488 511 Camerer C 2003 Behavioural Game Theory Experiments on Strategic Interactions Princeton University Press Cohendet P Llerena P Stahn H Umbauer G eds 1998 The Economics of Networks Interactions and Behaviours Springer Verlag Berlin Cooper R John A 1988 Coordinating coordination failures in keynesian models Quarterly Journal of Economics 103 p 441 463 Dalle J M 1998 Heterogeneity interactions structures and the diffusion of technological innovation in Orl an Lesourne eds op cit Durlauf S N 1997 Statistical Mechanics Approaches to Socioeconomic Behavior in Arthur et al op cit p 81 104 Durlauf S N 1999 How can Statistical Mechanics contribute to social science Proceedings of the National Academy of Sciences 15 04 05 Denis Phan univ rennes fr 26 Foster D P Young H P 1990 Stochastic Evolutionary Game Dynamics Theoretical Population Biology 38 219 232 Galam S 2003 Spontaneous Symmetry Breaking and the transition to disorder in Physics in Bourgine Nadal op cit p 157 168 Galam S Gefen Y Shapir Y 1982 Sociophysics A Mean Behavior Model for the Process of Strike Mathematical Journal of Sociology 9 p 1 13 Gordon M B 2004 Statistical Mechanics in Bourgine Nadal op cit p 131 156 Gordon M B Nadal J P Phan D Vannimenus J 2005 Seller s dilemma due to soc
44. nnelle du nombre de client cause de la r sistance la baisse due l influence sociale courbe grise interne Lorsque le prix remonte la courbe grise rejoint le point de d part Du point de vue conomique une telle propri t peut avoir plusieurs applications importantes comme la possibilit pour le vendeur d apprendre au voisinage d une trajectoire 15 04 05 Denis Phan univ rennes1 fr 20 3 Choix stochastiques 3 1 Main tremblante 7 Sous l hypoth se de main tremblante logistique aussi appel e quantal r ponse la probabilit d adopter est d autant plus grande que le surplus non optimis vi est lev QD vi a hi p j a 22 P o 1M P e lt vi a O amp est une variable al atoire ind pendante et identiquement distribu e sur les agents qui suit une loi logistique centr e de param tre B Lorsque l cart type de la distribution logistique tend vers z ro B tends vers linfini et l on retrouve la r gle de d cision d terministe pr c dente quations 7 et 10 En effet si le surplus est positif l exponentielle tends vers z ro et la probabilit d adopter tends vers un si au contraire le surplus est n gatif l exponentielle tends vers l infini et la probabilit d adopter tends vers z ro Plus g n ralement la probabilit de choix conditionnelle l anticipation d adoption s crit exp o f v 3 1 P o fa 1 exp B v Dans ce cas
45. olution du probl me de coordination sous l hypoth se d anticipation rationnelle Dans ce cas les anticipations d adoption des agents sont toutes gales l esp rance math matique de l adoption et on a umsyst me de NF quation Ta E ol Geos 3 3 Distribution invariante du processus stationnaire On montre que le processus stochastique de main tremblante est ergodique A partir des probabilit s de transition il est possible de calculer num riquement la distribution invariante du processus stationnaire Annexe Al Pa n p 0 C exp B nh jn n 1 2 Yn e 1 N 3 8 N 1 p 0 fre DCR nine 0 2 n Figures 9 distributions invariantes du processus 15 04 05 Denis Phan univ rennes fr 22 On peut aussi tudier les propri t s analytiques de cette distribution grace l approximation au d riv es partielle de Fokker Plank cf Annexe B Weidlich et Haag 1983 Orl an 2002 4 Un exemple d application au march monopole avec externalit Dans cette section on consid re un mod le de march de monopole avec externalit tudi dans Nadal et al 2003 2004 Les agents choisissent it rativement d acheter ou de ne pas acheter On s int resse au probl me de d termination des prix d quilibre de long terme du monopole On trouve dans la litt rature une solution pour le prix optimal du vendeur dans les deux cas polaires de l absence d e
46. pour une interpr tation en termes de physique statistique de ces hypoth ses et l analyse des cons quences conomiques Dans ce qui suit on suppose que les interactions locales sont sym triques homog nes et positives sur un r seau r gulier donc 9 9 et ji je gt 0 tout k ES et pur tout pour tout i Qy tous les param tres d influence sociale Si l on prend un voisin k quelconque k 9 dans un voisinage donn de taille Ng son influence sociale sur l agent i sera j si le voisin a adopt 1 Cette influence sera nulle s il n a pas adopt k 0 L influence sociale totale d pend ainsi de la proportion g d adopteurs anticip e ou observ s dans le voisinage 1 6 fig gt x No e n ex Ns keg keg 1 2 L interpr tation des choix individuels du point de vue d un jeu de population Comme le surplus de chaque agent d pend des d cisions des autres agents ou des anticipations qu il peut en faire on peut dire que chaque agent se trouve en situation d interaction non coop rative avec les autres agents de son voisinage Il est int ressant de ce point de vue de r interpr ter le mod le en termes de jeux de population Blume 1997 Comme le rappelle opportun ment Blume la suite de Weibull 1995 la notion de strat gie mixte a re u de la part de Nash deux interpr tations possible dont une populationniste dite mass action qui ne n cessite juste le
47. re t et t dt au moyen d un bilan des mouvements vers l tat n moins le bilan des mouvements issus de l tat n Figure B 1 bilan des probabilit s de flux entre l tat n et ses voisins Etat ee Etat p n t w n gt Etat n l lt p n t w4 n n lt p n 1 wy n I n 1 Ce bilan des entr es et des sorties permet d tablir l quation ma tresse master equation en anglais aussi nomm e quation pilote pr sent e ici l aide des flux de probabilit s B 4 eau A 4 n t AY n t Ou AY4 n t p n 1 t wy n 1 p n t w4 n repr sente le bilan des entr es dans l tat 1 et AY n t p n 1 t wy n D p a t wy n le bilan des sorties de l tat 1 Compte tenu des conditions aux limites sur les probabilit s de transition 1 3 les flux bruts de l quation ma tresse B 4 v rifient eux m me des conditions aux limites B 5 AP 0 t A N t 0 1 2 Solutions stationnaires de l quation pilote Lorsque le processus est ergodique il existe une seule distribution stationnaire asymptotique de probabilit galement appel e distribution invariante de probabilit Pour un processus markovien de premier ordre on a un comportement asymptotique ergodique lorsque les probabilit s individuelles de transition P 2 et P KU sont positives aux limites elles sont nulles cf gt gt B 5 Sous ces hypoth ses l
48. revient utiliser les prix par t te p 4 3 m E T p p n p En utilisant la d rivation implicite 4 2 la condition de premier ordre s crit pf p h Jn 4 4 _ _ ____ ve 1 Jf p h Jn re En utilisant une propri t commode de la distribution logistique f x B F x 1 F x on peut crire P quation d un courbe inverse de quasi offre le monopoleur en int grant la fonction de demande inverse agit ici en suiveur de stackelberg 1 4 5 Me 4 5 p Me idea me Les solutions optimales correspondent l intersection des courbes inverses de quasi offre 4 5 et de demande 4 1 qui nous donnent les points de compatibilit entre l ensemble agr g des meilleurs r ponses des demandeurs au prix p et la meilleure r ponse du monopoleur compte tenu de Pint gration dans sa fonction objectif des caract ristiques de la demande Dans le cas o h gt 0 on peut montrer que l quilibre de march qui maximise le profit de monopole est unique Dans le cas ou h lt 0 peu de consommateurs d sirent le bien ont peut galement montrer qu il y a dans certains cas deux maximum locaux avec des prix lev s ou faibles cf Figure 10 s par s par une transition brutale Le maximum global d pend de f j et correspond soit une situation avec peu d acheteurs et des prix lev s soit beaucoup d acheteurs avec un prix faible Nadal et al 2003 15 04 05 Denis Phan univ rennes fr 24
49. rs f 0 1 a f3 Donc pour na 0 5 ona _ d der lo lim a jg lim a p jp 0 A 2 9 Na 1 27 dna n4 gt 1 27 dna f2 pour Na 1 2 gt JB 2 Sur la figure A 2 2 on voit que pour des valeurs de j sup rieures jg a il existe une zone gris e entre les deux lignes pointill es sur la figure A 2 2 ou la droite gale a h p coupe 3 fois la courbe repr sentative de la fonction n On peut monter que la solution en na 0 5 est instable et qu il 15 04 05 Denis Phan univ rennes fr 33 y a deux solutions stables 0 lt n lt 0 5 et 0 5 lt na lt l Figure A 2 2 points fixes dans l espace h p j t h p 2ta 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 Pour les valeurs sup rieures de j gt js on peut d finir deux fonctions inverses ng j et n j qui correspondent l ensemble de valeurs n pour lesquelles la d riv e dD n dn est nulle doe zn 0e j 0 lt m e2 A 2 10 2 dPnin _ 9 j amp 1217 n 1 2521 2 dn 2 206 2j avec j gt jp lim ng 0 et lim ng 1 Jo Jo Pour j gt jp P quation de h p lt D n admet 2 solutions dans la zone de l espace h p j comprise entre les deux courbes D no J et Pin no j 2 Lou a PT hp lt Dix no D a 5 0 lt n lt nQ lt 1 2 a A211 h p gt rin nbD a i F OSsnp sna HI AVEC lim Din n i a et lim Dax no i a j Joo Joo
50. s 1 4 S o X jik k ke Ou repr sente le choix anticip de l agent k Dans le cas le plus simple des anticipations myopes le choix anticip correspond au choix observ dans la derni re p riode et l on a 0 t t 1 D autres sp cifications pourraient conduire au m me effet marginal Par exemple le mod le n gatif et quadratique de conformit de Bernheim 1994 v rifie la condition 1 3 et conduit donc des choix quivalents Durlauf 1997 Phan et al 2003a En effet si Pon op re le changement de variable s 2 0 1 ona s 1 quand 0 et s 1 quand 0 ona 2 j EO base i 5 S s S gt s JikSi8k jik ke9 ke9 ked i i Les composantes priv es et sociales traduisent respectivement une h f rog n it idiosyncrasique due la diversit des H 6 et une h t rog n it interactive ou sociale due au choix de l agent relativement aux choix anticip s ou observ s dans son voisinage dans le r seau social La d pendance entre ces deux formes d h t rog n it prend alors la forme d un champ al atoire Lorsque les valeurs des 0 sont distribu es initialement au hasard mais ne changent pas durant la p riode consid r e ce champ al atoire correspond un d sordre gel dans le langage des physiciens Lorsque l on introduit dans la fonction de surplus des agents un terme stochastique
51. s agents jouent leur meilleure r ponse face au membre moyen d une population de r f rence Tt is unnecessary to assume that the participants have full knowledge of the total structure of the game or the ability and inclination to go through any complex reasoninh process But the participants are supposed to accumulate empirical information on the relative advantage of the various pure strategies at their disposal Nash 1950 p 21 22 cit par Weibull 1995 et Blume 1997 Les agents ont ici deux strat gies pures leur disposition not es respectivement S 1 et S2 0 Sous ces hypoth ses le choix optimal conditionnellement ses anticipations d un agent correspond a sa meilleure r ponse face un agent fictif qui jouerait une strat gie mixte Ts qui r sume les anticipations de choix dans le voisinage Lorsque l agent joue it rativement le m me jeu avec tous ses voisins cette r gle de d cision permet de maximiser son surplus moyen conditionnellement la proportion d adopteurs anticip e ou observ e dans son voisinage On remarquera que si l agent jouait it rativement ce jeu avec un de ses voisins tir au hasard cette r gle de d cision lui permettrait de maximiser son esp rance de surplus 15 04 05 Denis Phan univ rennes1 fr pA Wi 0 wifo Po No me a n p in o p fi e aan ah p j 1 7 gt Ou h H Ng et p P Ng On peut donc crire
52. s sont ind pendantes de la topologie du r seau social Dans le cas des influences localis es dans le r seau social les interd pendances conduisent des avalanches localis es dans le r seau en fonction de sa structure On peut voir ainsi appara tre des clusters et des zones gel es 2 1 Seuil individuels d adoption et dynamique collective le mod le d meute de Granovetter 1998 On peut rapprocher cette classe de sp cifications des mod les seuil individuels et collectifs utilis s dans les sciences sociales Granovetter 1978 Schelling 1978a 1978b Dans derniers les choix individuels d pendent en effet explicitement de la proportion ou du nombre de personnes qui ont fait un choix similaire dans l environnement de l individu Dans tous ces cas le choix d un seul agent peut conduire travers une r action en cha ne des changements significatifs dans l ensemble de la population Dans ce qui suit nous consid rerons que les IWA sont fix s Dans son article de 1978 r f rences la traduction fran aise 2000 Granovetter se donne pour objectif de monter que les comportements collectifs peuvent tre expliqu s au moyen d un mod le d crivant comment les pr f rences individuelles interagissent p 116 Il cherche en particulier monter comment la variation des normes et des pr f rences l int rieur du groupe en interaction est le d terminant principal des situations finales o
53. s ann es quatre vingt dix les mod les de choix individuels qui int grent effet des interd pendances sociales selon une formalisation inspir e de la m canique statistique connaissent un d veloppant croissant On peut trouver parmi d autres des revues de cette litt rature dans deux chapitres de l ouvrage du Santa Fe Institute consacr l conomie consid r e comme un syst me complexe volutif Arthur ef al 1997 Ceux ci sont r dig s respectivement par Durlauf 1997 et Ioannides 1997 pionniers en la mati re Des l ments compl mentaires sont galement propos s dans le m me ouvrage par Kirman 1997a Phan ef al 2003a proposent galement une synth se sur ces mod les d influence sociale compl t e par une discussion des risques et des opportunit s li s la transposition des mod les de la physique statistique l conomie sur cette derni re question cf galement Durlauf 1999 Cet article pr sente certains effets de l introduction d externaliti s localis es dans des structures d interaction sur les propri t s locales ou globales du mod le de march le plus simple le mod le de choix discret Anderson et al 1992 avec produit homog ne et vendeur unique monopole de Cournot En pr sence d influences sociales localis es qui viennent affecter les choix des agents le march correspondant peut tre vu suivant Kirman 1997a 1997b 1998 2003 comme un syst me complexe intera
54. s le voisinage Un effet indirect qualifiera un changement induit apr s une variation de p dans les choix du voisinage Pour illustrer simplement cette distinction consid rons le cas simple des anticipations myopes 1g t 1 nNg t Les agents qui sont concern s par un effet direct sont ceux qui auraient eu un surplus potentiel moyen vi n gatif si les prix m avaient pas chang p t p t 1 vi t h p t 1 jng t 1 lt 0 et qui ont un surplus moyen positif en t du fait de la baisse de p ind pendamment de l effet de cette baisse sur l adoption dans le voisinage p t lt p t 1 gt vi t h p t j ng t 1 gt 0 On qualifiera par opposition d indirects ou induits les choix qui auront t motiv s par la prise en compte des choix dans le voisinage choix eux m mes attribuables directement ou indirectement au changement de p Dans ce cas ona vi t h p t j ng t 1 lt 0 mais la variation de l effet d influence sociale due aux r actions en cha ne vont conduire en t d le surplus devenir positif a la suite d une augmentation du taux d adoption dans son voisinage ng t d gt ng t 1 gt vi t d gt 0 Conform ment a la terminologie utilis e par les physiciens et reprise par quelques conomistes nous d signerons par avalanche la dynamique transitoire qui r sulte de ces r actions en chaine entre deux quilibres Bak 1996 Steyer 199X 2 De l individuel au collectif un premi re approche
55. se de notre jeu de population qui correspond au mod le de Granovetter 2 1 w eargmax x 0 t Ma t 1 j 0 1 Conform ment a 1 10 un agent choisira de participer en t si le b n fice hj attendu est sup rieur au co t de la participation suppos diminuer avec le nombre de participant observ en t 1 2 2 hi gt p ina t 1 On note que les agitateurs qui participeront quoi qu il arrive m me si n 0 0 sont ceux qui ont un h gt p de m me un agent qui aurait un h lt p j ne participerait jamais une meute La formule 2 2 peut alors se r crire de mani re faire appara tre le seuil de participation de Pagent i 2 3 nat gt n p h j Pour une valeur donn e de la participation en t 1 on peut alors d finir un agent marginal hm t au surplus nul en t et donc indiff rent entre participer l meute ou ne pas y participer 15 04 05 Denis Phan univ rennes1 fr 11 2 4 Nm t Nq t 1 p gt hm t j En t tous les individus qui ont un seuil de participation sup rieur Nm t seront meutiers Ce sont aussi ceux qui ont un h compris entre la borne sup rieure de la distribution h et PIWA marginal hn t I est commode pour ce qui suit d utiliser la variable al atoires normalis par la taille du voisinage ici de la population z 0 N On d signera donc par z 0 N h h la composante idiosyncrasique de PIWA issue d un tirage
56. sibles pour une m me valeur du champ externe les variables ind pendantes des choix du voisinage Cette diff rence s mantique a d j fait l objet d une discussion syst matique en conomie Amable Henry Lordon et Topol 1990 1992 1994 Nous retiendrons ici l acception des physiciens Dans notre mod le le champ externe moyen normalis par la taille du voisinage est gal h p Comme nous avons suppos s que les IWA hj taient gel s une fois donn s la variation du champ externe ne peut r sulter que d une variation de p Dans ce qui suit pour se fixer les id es sur un sujet plus conomique nous appellerons cette variable p le prix On laisse ainsi le mod le d meute de Granovetter pour interpr ter dor navant le mod le 1 comme mod le de march ou les agents doivent choisir d acheter ou de ne pas acheter un certain bien Mais le m me mod le reste bien entendu toujours applicable de nombreux choix sociaux hors march comme l a montr l exemple du mod le d meute Partons d une situation initiale o aucun agent n a adopt le produit 0 pour tout i Si le champ externe est uniforme h p h p pour tout i le choix de chaque agent d pend uniquement du signe de ce champs externe Dans ce cas nous pouvons avoir un exemple de ce que les physiciens appellent une transition de premier ordre Celle ci survient ici lorsque toute la population adopte simultan
57. tement dominante pour tout Ng 0 1 S est donc la meilleure r ponse contre toute combinaison convexe de So et S pour tous les taux d adoption dans le voisinage 0 lt Tg lt 1 e Ceux avec p gt h gt p j 2 pour qui la strat gie Pareto dominante est aussi risque dominante adopterons pour tout Ng gt p h f j gt 0 e Ceux avec p j 2 2h gt p j pour qui la strat gie Pareto dominante est risque domin e n adopterons que si g gt p h j 21 2 e Ceux avec h lt p j n adopteront jamais quelque soit le taux d adoption dans le voisinage En effet S est une strat gie strictement domin e pour tout Ng 0 1 So est donc la meilleure r ponse contre toute combinaison convexe de So et S pour tous les taux d adoption dans le voisinage 0 lt fg lt 1 En r sum l approche par les jeux de populations nous permet de pr senter le seuil individuel d adoption d un agent comme le r sultat de sa r gle de d cision de meilleure r ponse conditionnellement un taux anticip ou observ d adoption dans son voisinage Pour une valeur de p donn e on peut ranger les agents dans trois cat gories en fonction de leur disposition idiosyncrasique adopter IWA pour Idiosyncratic Willingness to Adopt en anglais Ceux qui adopterons ind pendamment du choix des autres h gt p ceux qui n adopterons jamais h lt p J et ceux dont le seuil d adoption d pend du taux d adoptio
58. tion triangulaire sur 2 2 Te 0 5 0 45 0 814 0 4 0 6 0 35 0 4 0 3 0 2 0 25 Oks 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 La probabilit globale d adoption est li e par l quation de point fixe Na P z gt 2m dE 2 1 E Zm G2 2m A 2 2 m avec Zm jJ h jmn4 0 lt n lt 1 Plus sp cifiquement on a 2 vm 2 Gea ES stele 42 st va ke in lt h p a 2 a 2 a 2 a A 2 3 z Ie ee cele a SE 7 Go Zm Z 2m si Zm209 amp h p2 j 2 Zm gt 1 gt fom m p JNa Les valeurs de points fixes de n ne sont plus aussi directement accessibles qu avec le cas simple de la distribution uniforme Pour les tudier on se sert comme pr c demment de la formule A 2 2 pour exprimer Zm en fonction du taux d adoption na par inversion des fonctions Fz dans A 2 3 1 1 z i SEE PEDE Zm Gz1 ma a 1 2 2na si m lt 0 na 20 5 2 m i th za mozi V7 si Zm 20 na lt 0 5 En effet parmi les 2 racines des deux quations du second degr en Zm seules les solutions retenues v rifient A 2 5 G3 a G3 0 a avec Zm G31 0 5 G3 0 5 0 15 04 05 Denis Phan univ rennes1 fr 32 En rempla ant Zm par sa valeur selon A 2 2 il vient na a I 2 one jna si h p2 jna Nna 70 5 A 2 6 h p n A D na a 1 2 n ing si h pS jma Na 0 5 Les solutions de P quation de point fixe A 2 2 correspondent comme pr c dem
59. xternalit et de l externalit globale mais la question de la pluralit des quilibres stables pour un m me prix n a pas t tudi e syst matiquement avant Nadal ef al 2003 De plus Nadal et al 2005 tendent l analyse de larges classe de distributions continues ou continues par morceaux sans se limiter la Logistique Dans Phan et al 2003b des jeux de simulations explorent diff rentes configurations de r seau r gulier p riodique en dimension 1 voisinage 2 4 6 8 et des configurations interm diaires entre r seau r gulier et r seau al atoire correspondantes petits mondes Ces r sultats montrent que le prix optimal du monopole en r gime stationnaire augmente r guli rement avec la connectivit ce qui souligne la sensibilit des r sultats la topologie du r seau mais on se limitera pr senter ici le cas le plus simple avec une externalit globale champ moyen Apr s avoir rappel bri vement les r sultats analytiques dans le cas de l externalit globale on discute de la pluralit d quilibres dans le cas int ressant o les consommateurs ne souhaitent pas en moyenne acheter le produit h lt 0 4 1 Le prix optimal du monopole en r gime stationnaire Le cas de l externalit globale Le monopoleur est suppos se trouver en situation de risque il conna t le comportement des consommateurs et la distribution de probabilit des IWA Il observe son nombre de clients et conna t don
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