LES ERREURS EN ARITHMÉTIQUE UN SIÈCLE DE
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1. bats pineux qui ont hant les ducateurs et les chercheurs en math matiques durant les trois d cennies qui ont suivi 52 3 La mesure des erreurs en math matiques 1900 1930 Le document publi en 1925 par Buswell et Judd4 fournit un guide rapide aux divers articles et livres portant sur la recherche am ricaine en enseignement des math matiques publi s durant cette p riode et le vocabulaire employ nous rappelle quels taient les slogans de l poque Le mot vedette qui revient r guli rement travers la litt rature de cette p riode est efficacit Commentant cette p riode Callahan a caract ris les forces sociales en jeu de la fa on suivante Les l ments majeurs ont t l acc s une position de grand prestige de l homme d affaires et l acceptation grandissante des am ricains de l id ologie des affaires Un autre facteur a t le climat de doute cr par l apparition du journalisme d enqu te Ces facteurs ont t m lang s et renforc s par les r formateurs lorsqu ils ont propos de r soudre plusieurs si ce n est la majorit des probl mes du pays en appliquant ce qu on appelait les m thodes modernes des affaires Callahan pp 7 8 Les termes tels efficacit m thodes scientifiques standards exactitude vitesse solutions correctes viter le gaspillage tir s du r sum de Buswell et Judd sur la recherche en enseignement des math matiques refl2. discussions th oriques et c est la construction de th orie qui est la marque de commerce la plus importante de la science p 356 Tandis que la recherche sur les erreurs de calcul men e de 1900 1970 a souffert d un appauvrissement des discussions th oriques la recherche actuelle en didactique des math matiques a une abondance de constructs provenant plus particuli rement des sciences cognitives de l informatique et de la linguistique partir desquels elle construit des mod les et des mini th ories De nos jours le simple travail d identification et de classification d erreurs comme telles n offre que peu d int r t m me si soixante dix ans de recherche ont t vou s cette t che Les erreurs int ressent actuellement les chercheurs lorsqu elles peuvent servir sonder un mod le particulier ou une mini th orie Elles peuvent aussi servir une fonction plus modeste Par exemple un des mots vedettes des derni res d cennies est ordinateur De plus en plus d id es sont emprunt es de l informatique en tant que m taphores conceptuellement utiles dans des domaines aussi diversifi s que la musique et les sciences conomiques Pour accomplir des t ches utiles l architecture de l ordinateur requiert constamment des modifications d tat accomplies par des cha nes finies de proc dures en d autres termes des programmes Il est presque irr sistible d avoir recours la notion de programme en tant que m
3. l ves talentueux A des distances encore plus loign es de la norme nous retrouvons les pathologies et les dou s Dans la section 4 nous analyserons bri vement le tumulte caus par l application des mod les m dicaux aux pathologies des l ves en difficult Deuxi mement le concept psychologique des liens mentaux tait nettement trop faible pour expliquer ces variations de performance en arithm tique A ce sujet Buswell amp Judd ont crit Lorsqu on tudie soigneusement la vari t complexe de processus pour l addition nous pouvons facilement remettre en question la valeur ducative d une formule qui d crit ce processus en termes de simples liens et connections Alors que le but ultime de l addition est d tablir des liens simples entre les nombres le probl me didactique d atteindre cet objectif ne peut tre compris que si le caract re intime de ces processus utilis s par des l ves immatures est connu 58 Dans leur revue de litt rature Buswell et Judd commentent souvent et de fa on tr s logieuse ce qu ils nomment la m thode de Uhl Ceci fait r f rence un bel articlel0 dat de 1917 duquel Buswell et Judd disent Uhl a analys ses cas en observant l l ve et en le questionnant pendant son travail Il tait ainsi en mesure de d terminer quelques unes des causes fondamentales d erreurs en allant chercher l information sp cifique sur les processus mentaux par l l ve
4. n 3 1987 7 Pour une critique voir Allardice and Ginsburg Children s Psychological Difficulties in Mathematics in Ginsburg Ed The development of Mathematical Thinking Academic Press 1983 28 Voir Stella Baruk Echec et Maths Paris Editions du Seuil 1973 70 Les essais actuels de comprendre les erreurs par le biais de mod les semblent tre plus en mesure de capter les complexit s de l activit math matique humaine que n ont pu le faire les approches ant rieures Dans un livre provoquant Marvin Minsky a crit Comment comprenons nous quelque chose Presque toujours je crois en ayant recours une analogie quelconque c est dire en repr sentant chaque nouvelle chose comme si elle ressemblait quelque chose d j connu Lorsque le fonctionnement interne d une nouvelle chose est trop trange ou trop compliqu pour qu on puisse y travailler directement nous en repr sentons les parties que nous pouvons en termes de signes plus familiers De cette fa on chaque nouveaut nous semble similaire des choses plus ordinaires Ceci est vraiment une grande d couverte l utilisation de signaux de symboles de mots et de noms Ils permettent notre esprit de transformer l trange en familier Minsky 1986 Tous ceux d entre nous qui ont pris le temps de discuter avec les enfants propos de leur math matique ce qui comprend certainement beaucoup de p pins et de conceptions erron es ont
5. 1 L laboration d un syst me de cat gories d erreurs Comme nous l avons d j mentionn la revue de litt rature de 1925 de Buswell et Judd pr sentait des r sum s d tudes sur les erreurs couvrant la p riode 1900 1925 En 1926 Buswell et John 3 ont publi la liste des erreurs de calcul la plus compl te de l poque bas e sur leurs propres tudes men es aupr s d l ves de la troisi me la sixi me ann es 8 12 ans La liste des erreurs en soustraction tir e de cette tude est reproduite ci dessous au tableau 5 Il est noter que la cat gorie emprunt est maintenant divis e en sous cat gories Tout comme dans l original le tableau s intitule fr quence des habitudes en soustraction tandis que dans son livre de 1930 Brueckner regroupe ces erreurs sous l tiquette les erreurs les plus communes La liste des erreurs labor e par Buswell et John est en quelque sorte devenue la liste ma tresse laquelle d autres chercheurs ont ajout encore plus d erreurs tout en raffinant certains d tails et ce durant les cinquante ans qui suivirentl4 De telles listes d erreurs avec les ann es ont servi la construction de listes de v rification utilis es lors de diagnostics individuels On pr sentait une s rie de probl mes un l ve o chaque probl me repr sentait un cas typique d une erreur 13 Buswell G T amp L John Diagnostice Studes in Arithmetic Supplementary Educational Monograph n
6. 30 U of Chicago Press 1926 14 On peut retrouver des tableaux d erreurs tir s des principales tudes depuis 1926 dans la revue de litt rature disponible dans le syst me ERIC Document ED 134 468 Burrow J K A Review of the Literature on Computational Errors with Whole Numbers Mathematics Education Diagnostic and Instructional Centre The University of British Columbia Vancouver 1976 63 potentielle et le comportement de cet l ve tait not chaque item Jusqu nos jours divers diteurs ont publi des trousses de diagnostics de toutes sortes et d une grande vari t incluant des fiches des objets concrets des listes r capitulatives des normes statistiques du mat riel pour illustrer graphiquement les r sultats etc L emballage est nouveau mais l id e de base date d un certain nombre d ann es Loo o Ca OOOO e s off gt 2 Emprunt a Ne consid re pas l emprunt effectu b Pr sence d un z ro au 2 me terme c Soustrait le ler terme du 2 me terme d N emprunte pas donne z ro comme r ponse e Enl ve du premier terme bien qu aucun emprunt n tait n cessaire f Enl ve 2 du premier terme apr s emprunt g Augmente le chiffre du premier terme h Enl ve tous les nombres emprunt s du chiffre le plus gauche 4 Proc dures erron es a Dit l exemple l envers b Additionne au lieu de soustraire c Utilise le m me chiffre dans deux colonnes
7. aient une difficult attribuable une d ficience Une liste des cat gories d erreurs quoique utile pour identifier les types de difficult s n est plus suffisante on devait aller plus loin et trouver les racines de ces difficult s c est dire les d ficiences pouvant expliquer les erreurs Nous pouvons caract riser cette id e de la sorte 1 les erreurs peuvent tre identifi es l aide de tests ou d entrevues aupr s des l ves 2 les erreurs sont des indices de difficult s 3 une difficult peut tre attribu e expliqu e par des d ficiences En termes plus contemporains nous pourrions qualifier ceci de mod le de la d ficience Toutefois il est difficile de bien saisir ce qu entend Brueckner par difficult et d ficience puisque tout au long de son livre des termes tels habilet habitude dext rit proc dure processus sont interchangeables d autres moments il utilise une expression telle une habitude d fectueuse imparfaite de travail en se r f rant une erreur qui s est produite durant l utilisation d une proc dure Cette id e chez Brueckner de mauvaises habitudes de travail englobe plusieurs notions proc dures de vocalisation comptage au moyen de diverses m thodes sur les doigts etc manque de propret dans le travail crit nonc incorrect de la proc dure et plusieurs autres Ainsi le mot cl difficult devient un terme g n rique qui remp
8. de l information information processing de l informatique et de l intelligence artificielle Parfois des querelles clatent entre les tenants de la connaissance conceptuelle et ceux de la connaissance proc durale Certains chercheurs en examinant les erreurs les associeront des conceptions erron es tandis que d autres parleront d erreurs de proc dure De plus il y a eu des tentatives d difier des mod les inspir s des sciences cognitives qui eux m mes incluent des notions 29 Minsky Marvin The Society of Mind New York Simon and Schuster 1986 30 Voir R le de l erreur dans l apprentissage et l enseignement de la math matique Compte rendu de la 39 me rencontre de la Commission Internationale pour l Etude et l Am lioration de l Enseignement des Math matiques Les ditions de l universit de Sherbrooke Qu bec 1988 71 emprunt es l informatique la psychologie cognitive et la linguistique et m me la m ta cognition et la m ta linguistique La mani re dont les erreurs seront con ues et d finies d pendra des constructs th oriques sp cifiques choisis pour l laboration d un mod le Je ne veux pas ici discuter de ces d veloppements mais il est clair que nous avons maintenant d pass les id es simplistes sur les erreurs en math matique qui ont eu cours durant la p riode allant de 1910 1970 Encore aujourd hui tout comme par le pass il n est toujours pas possible
9. des cat gories d erreurs de plus en plus d taill es Comme des batteries de tests taient maintenant disponibles pour les divers degr s scolaires le syst me de classification pouvait d sormais inclure de l information sur la fr quence des erreurs pour chaque groupe d ge comme l illustre le tableau 3 ci dessous Bien que pour chaque op ration les cat gories d erreurs soient plus d taill es une sous cat gorie telle l emprunt en soustraction r unit encore un nombre important d erreurs sp cifiques l emprunt qui pourraient tre subdivis es davantage SOUSTRACTION Emprunt Combinaison Omission Inversion 7 0 0 etc Chiffre le plus gauche MULTIPLICATION Tables Addition Z ro dans le multiplicateur DIVISION Reste trop lev Multiplication Soustraction Dernier reste 0 dans le dividende Multiplicande sup rieur au dividende N abaisse pas tout le dividende N abaisse pas le bon chiffre Ne place pas tout le quotient Z ro dans le quotient vanana N p Gist Arthur S Errors in the Fundamentals of Arithmetic School and Society 1917 Pourcentage d erreurs en soustraction multiplication et division Tableau 3 Cette tendance identifier des sous cat gories d erreurs de plus en plus fines a conduit certains chercheurs analyser les erreurs d un seul type d op ration Ceci a eu pour cons quence la prolif ration de listes d erreurs parpill es un peu partout dans la litt rature
10. des donn es que nous pouvons compiler et classer En parall le au d veloppement de l approche test et mesure l int r t pour les diff rences individuelles et la d viance a produit un vaste domaine d ducation sp cialis e l int rieur duquel l apprentissage des math matiques occupe un petit espace 67 6 Quelques points d int r ts actuels 6 1 Erreurs algorithmes strat gies et r gles Vers la fin des ann es 1960 et 1970 les erreurs taient souvent caract ris es comme tant dues des algorithmes d fectueux 20 des algorithmes erron s 21 et des techniques d algorithme incorrectes 22 En 1977 Graeber et Wallace ont publi leur tude sur les erreurs syst matiques o l erreur est per ue comme tant due une utilisation d une r gle d fectueuse Durant la m me ann e Herbert Ginsburg a publi son livre Children s Arithmetic dans lequel un chapitre est consacr aux erreurs Ginsburg crit Cela n aide en rien d expliquer les erreurs en termes d un manque d intelligence ou d aptitude en math matiques De tels concepts obscurcissent le fait que les erreurs sont le r sultat de strat gies syst matiques d origine sens e Tout comme les bonnes r ponses les erreurs des enfants sont souvent produites par des strat gies personnelles particuli res mais significatives p 107 L attribution des causes des erreurs une application d un algorithme d une strat gie ou d une r
11. gle repr sente un changement significatif d int r t allant de l erreur elle m me vers le processus qui la g n re 6 2 Erreurs et conceptions erron es Durant les vingt derni res ann es il y a eu un int r t croissant non plus seulement pour les mauvaises r ponses mais plut t pour les connaissances que les enfants et les adolescents se construisent qui sont en quelque sorte en d saccord avec le consensus accept ou la connaissance des experts Le p riodique The Journal of Mathematical Behavior contient de nombreux exemples tir s non seulement de l arithm tique mais d un domaine beaucoup plus vaste de la connaissance math matique s tendant jusqu aux tudiants universitaires et aux adultes Cette relation entre les erreurs et les conceptions int resse galement les chercheurs en apprentissage des sciences Dans un article portant sur les erreurs en sciences Fisher and Lipson ont crit Les erreurs survenant durant l apprentissage des sciences nous ouvrent une fen tre travers laquelle nous pouvons entrevoir le fonctionnement mental Les erreurs sont des v nements pr cieux et normaux du processus d apprentissage des sciences Tout comme en didactique des math matiques les chercheurs en didactique des sciences analysent chez des l ves des niveaux secondaires et universitaires leurs conceptions erron es et leurs erreurs en physique biologie et chimie Ce corpus sans 20 Robert Gerhard The Failure Strat
12. pages consiste en une liste classifi e de titres de livres et d articles La section intitul e Nombre et math matiques l mentaires num re 36 items reli s aux m thodes d enseignement des math matiques dont 4 en anglais 1 en fran ais sur les m thodes d enseigner la g om trie et 31 en allemand Ces m thodes allemandes s ins raient l int rieur de vastes th ories ducatives inspir es de la philosophie id aliste allemande en vogue dans les milieux ducatifs am ricains de l poque Des trait s de p dagogie volumineux certains faisant 1 700 pages r parties en 3 volumes ont t traduits en am ricain et utilis s pour la formation des ma tres dans les coles normales autre influence allemande Bien que tout cela soit sans grand int r t pour nous aujourd hui il y a s rement une attitude face aux erreurs math matiques enterr e dans les dizaines de milliers de pages des trait s de p dagogie qui ne demande qu tre d couverte si nous voulons mieux comprendre le changement d attitude qui s est op r vers le d but du 20 me si cle par exemple les erreurs pourraient d noter des facult s mentales incompl tes ou sous d velopp es Dans la bibliographie de G S Hall de 1893 nous retrouvons des l ments qui seront repris dans des tudes ult rieures tels The Contents of Children s Minds G Stanley Hall 1882 traitant d un test empirique et statistique labor pour des l ves d buta
13. qui circulait dans les milieux ducatifs tait l associationisme qui proposait l existence de liens internes Apr s avoir dit que l apprentissage consistait en la cr ation de liens internes il n y avait plus grand chose ajouter l int rieur de ce cadre conceptuel Les erreurs de performance doivent elles tre per ues comme tant des liens erron s ou l absence de liens ou quoi encore 3 2 La classification selon le type d erreur Depuis longtemps il a t reconnu que les erreurs en arithm tique peuvent tre regroup es et que certaines erreurs se produisent malgr les divers programmes et m thodes d enseignement Buswell et Judd ont identifi pour la p riode de 1913 1925 vingt tudes destin es sp cifiquement l analyse d erreurs p 115 Les premi res tudes 1913 ont d crit des cat gories g n rales d erreurs qui ne fournissaient que peu d information comme le d montre le tableau 2 Erreurs de calcul en addition soustraction ou multiplication lors d une ni multiplication ou division avec des gros nombres RS TE Erreurs de calcul en division lors d une division pi Erreurs de transcription des nombres Pen Difficult s li es au symbolisme fractions Connaissance insuffisante de l op ration uence 39 14 13 35 Smith James Henry Individual Variations in Arithmetic Elementary School Journal 1916 Tableau 2 La tendance g n rale durant cette p riode consistait d velopper
14. taphore pour caract riser les proc dures qu un enfant utilise pour faire un calcul arithm tique Si le programme que l enfant utilise entra ne une mauvaise r ponse une erreur alors les erreurs peuvent tre per ues en tant que erreur proc durale erreur de programme ou encore selon l expression am ricaine buggy program expressions toutes emprunt es au langage informatique De telles expressions vont de paire avec algorithmes d fectueux r gles erron es etc Toutefois il y a bien plus qu un changement de m taphore en passant de la mauvaise habitude aux bugs p pins en faisant r f rence aux erreurs Lorsqu on emprunte des notions d un autre domaine non seulement en tant que m taphores mais aussi comme analogies l emprunt est aussi accompagn de tout un bagage th orique Le probl me le plus pineux actuellement concernant les erreurs est probablement non 25 Davis Robert Learning Mathematics The Cognitive Science Approach to Mathematics Education Ablex Publishing Corporation 1986 69 pas les erreurs elles m mes mais plut t de d terminer quel mod le du comportement math matique repr sente et explique le plus ad quatement les performances correctes et incorrectes La d finition que l on a aujourd hui de l erreur d pend du mod le que l on choisit ou que l on construit Voir l erreur comme tant une mauvaise r ponse ne suffit pas il nous faut savoir pourquoi expliquer Bu
15. tent quelques unes des forces sociales et psychologiques sous jacentes l attitude de l poque Les id es de Taylor sur l analyse de la t che sur l utilisation de mesures du temps et du d placement dans la production industrielle et l tablissement de standards de travail s apparentent de pr s tout ceci Buswell et Judd ont identifi une s rie d articles publi s entre 1909 et 1911 par Courtis comme marquant le d but d un mouvement vers standardisation de l arithm tique Les extraits de l article de Courtis pr sent s ci dessous illustrent pertinemment l attitude de l poque c est l auteur qui souligne Le test de Courtis a d montr la n cessit d une plus grande connaissance de ce qui se passe r ellement dans l esprit de l enfant lorsqu il progresse d un niveau scolaire l autre Cela a mis en vidence l incertitude du produit du syst me ducatif actuel ainsi que la valeur d un entra nement complet et vari d s les premiers niveaux si nous voulons voir de grandes habilet s dans les niveaux ult rieurs Au dessus de tout cela a prouv du moins pour l auteur la possibilit de mesurer non seulement l tat g n ral de l enseignement des math matiques dans une cole l augmentation de l habilet et de l efficacit d un niveau l autre les carences et besoins d un niveau ou d un individu mais aussi les effets des changements de m thode ou de proc dure Par une s rie de tests administr s durant
16. IV jan march 1903 437 52 51 et aussi ridiculis es par les ducateurs professionnels de l poque puisqu elles taient contraires au sens commun La conclusion que Rice tirait de l analyse de ses donn es par des m thodes qualifi es de statistiquement na ves par ses critiques tait que le temps pass l apprentissage de l pellation ou de l arithm tique n tait pas proportionnel aux bonnes r ponses au test En d autres termes plus actuels il n y a pas de corr lation entre le temps pass l cole faire de l arithm tique et l obtention des bonnes r ponses un test Pire encore Rice tirait comme conclusion que certaines erreurs commises un certain niveau scolaire par exemple en 3 me ann e par des l ves de neuf ans pouvaient se retrouver la fois des niveaux scolaires inf rieurs et sup rieurs Dans une classe des l ves d un m me niveau scolaire r ussissaient tout aussi bien que des l ves plus avanc s de deux ans alors que d autres ne pouvaient faire mieux que des l ves de deux ans moins avanc s Ces r sultats peuvent nous sembler aujourd hui banals et m me relever de la cat gorie tout le monde sait a Quelques remarques doivent tre faites ici sur le contexte ducatif am ricain au tournant du si cle afin de mieux comprendre la controverse soulev e par les r sultats de Rice chez les ducateurs professionnels Afin de r futer ses critiques sur l enseignement ses adversair
17. J amp M Elwell Realiability of diagnosis of error in Multiplication of Fractions Journal of Educational Research nov 1932 17 Grossnickle F E Reliability of Diagnosis of Certain Types of Errors in Long Division with a One Figure Divisor Journal of Experimental Education sept 1935 Grossnickle F E Constancy of Error in Learning Division with a Two Figure Divisor Journal of Educational Research nov 1939 18 Cox Linda Analysis classification and Frequency of Systematic Error Computation Patterns in Addition Subtraction Multiplication and Division Vertical Algorithms for Grades 2 6 and Special Education Classes U of Kansas Medical Center Kansas City Kansas 1974 Disponible dans le syst me ERIC document ED 092 407 65 En 1977 Graeber et Wallace ont publi une tude encore plus labor e men e aupr s de 1088 l ves de la maternelle la huiti me ann e 5 13 ans dans le but d obtenir plus d information sur les types et la fr quence des erreurs syst matiques Ils ont utilis les m mes crit res que Cox les erreurs taient class es syst matiques si au moins trois items montraient le m me pattern d erreurs Chaque erreur a t recoup e avec la liste de Cox et si une nouvelle erreur tait trouv e elle tait ajout e leur tableau Ici encore de longs tableaux d erreurs sont pr sent s pour l addition la soustraction et la multiplication o sont reproduites la fr quen
18. L avantage de cette proc dure sur la m thode d analyse des tests crits ne peut tre surestim e p 118 Il est int ressant de noter que ce qu ils nomment les processus mentaux utilis s nous semble familier Ils reprennent l exemple suivant tir de l article de 1917 de Uhl Fille de cinqui me ann e 11 ans En additionnant 4 9 et 6 explique t elle on prend le 6 puis on lui ajoute 3 du 4 ensuite 9 et 9 font 18 plus 1 a fait 19 D autres probl mes ont t r solus de la m me fa on ainsi le probl me 3 9 et 8 a t r solu comme suit 8 et 8 font 16 et 3 font 19 et 1 a fait 20 5 6 et 9 comme ceci 6 7 8 9 et 9 font 18 et 2 font 20 Cette tendance construire les combinaisons de 8 et 9 persiste dans le cas d un autre probl me 6 5 et 8 ont t additionn s comme ceci 6 7 8 et 8 font 16 et 3 19 Elle a probablement r solu le premier probl me de la m me fa on mais j ai d lui demander de m expliquer deux reprises sa m thode avant que je ne la saisisse elle a ensuite donn l explication reprise ci dessus Uhl 1917 Il serait dangereux avec 70 ans de recul d appeler ceci une entrevue clinique comme nous l entendons maintenant avec toutes les id es th oriques dont nous disposons Mais tout au moins ceci illustre que certains chercheurs taient tr s conscients que de simples listes ou cat gories d erreurs ne suffisaient pas Buswell et Judd d ajouter Il Uhl nous d mo
19. LES ERREURS EN ARITHM TIQUE UN SI CLE DE PR SOMPTION AM RICAINE Maurice B LANGER CIRADE Universit du Qu bec Montr al Introduction Durant la derni re d cennie il y a eu un nombre sans cesse croissant de publications s int ressant aux erreurs en math matiques Cette litt rature traite ad quatement de la recherche contemporaine et des id es th oriques qui pourraient nous clairer davantage sur la compr hension de certains concepts math matiques des l ves L tude de la litt rature am ricaine en didactique des math matiques publi e depuis le d but du si cle t moigne de l int r t port aux erreurs des l ves en math matiques depuis plus de cent ans Par contre un bref survol de cette p riode ne fournit pas de r ponse unique la question suivante Qu est ce qu une erreur dans la performance math matique des l ves En analysant ce que d autres ont crit par le pass il devient clair que l id e d erreur d pend de qui pose la question dans quel but et du contexte ducatif g n ral du moment particulier Aux tats Unis deux th mes g n raux ont domin durant la p riode s chelonnant de 1910 1970 Un de ces th mes est centr sur l attitude croyance id ologie voulant que si les erreurs des l ves en math matiques sont mesur es ces donn es fourniront un aper u la fois sur l apprentissage et sur l enseignement des math matiques La base du second th me est
20. al en France io Vol 18 Institut National de Recherche P dagogique Paris 1979 7 161 12 Brueckner Leo Diagnostic and Remedial Teaching in Arithmetic J C Winston 1930 60 les tests arithm tiques foisonnaient et le livre de Brueckner porte essentiellement sur l utilisation de ces tests des fins de diagnostic Il crit Les premiers tests de rendement ont t grandement am lior s en les rendant plus analytiques Au lieu de surcharger un test avec plusieurs habilet s nous avons d velopp avec grand soin des tests diagnostics pour chaque op ration gr ce auxquels l enseignant peut localiser les faiblesses sp cifiques causant des difficult s l l ve et ce pour une op ration donn e p 3 En r sumant le but de son livre le langage tenu par Brueckner r v le la signification qu il attribue l erreur texte soulign par M B langer Les r sultats d tudes importantes ont permis le d veloppement 1 de m thodes ad quates fiables pour d terminer le rendement des l ves en arithm tique 2 des techniques scientifiques pour diagnostiquer la nature des difficult s et les d ficiences entravant un progr s ad quat dans les diverses op rations et en r solution de probl mes 3 d exercices correctifs qui peuvent tre utilis s pour enrayer certains types de difficult s et pour amener le travail en arithm tique un niveau satisfaisant p 6 Les erreurs des l ves d non
21. ce de chaque erreur et la comparaison faite avec les erreurs de l tude de Cox Une partie du tableau de la soustraction d un nombre d un chiffre soustrait d un nombre deux chiffres est pr sent e au tableau 7 Fr quence Exemples Description Nombre pourcentage A la position des unit s le plus petit chiffre est soustrait du plus gros Le chiffre la position des 33 40 7 dizaines dans la somme est inscrit dans la colonne des dizaines de la r ponse eee Le plus petit chiffre la position des unit s est soustrait du plus gros Un z ro est inscrit dans la 2 2 5 colonne des dizaines de la r ponse eee Un z ro est inscrit dans la colonne des unit s de la r ponse Le chiffre la position des dizaines de la 2 2 5 somme est inscrit dans la colonne des dizaines de la r ponse eee Note 8 autres erreurs sont list es eee M me erreur que dans l tude de Cox 1974 Erreurs en soustraction d un nombre d un chiffre enlev d un nombre deux chiffres Graeber amp Wallace 1977 Tableau 7 Graeber et Wallace entendent par erreurs syst matiques les erreurs r p titives caus es par une r gle erron e Si nous comparons les listes les tableaux et les cat gories d erreurs produits durant les soixante dix derni res ann es il est int ressant de noter que plusieurs erreurs se retrouvent sur toutes les listes Nous pouvons changer les tiquettes des erreurs en tant que habitudes erron es
22. d Oublie une colonne e S pare les nombres f Ignore un chiffre g Utilise un des deux termes comme reste h Commence par la colonne de gauche 5 Erreurs diverses a D termine l inconnu du connu b Erreur de lecture c Chiffres identiques dans le premier et le deuxi me termes d Inverse les chiffres dans le reste e Confusion avec le processus de division ou multiplication f Saute une ou plusieurs colonnes g Soustraction bas e sur une combinaison en multiplication h Erreur en crivant la r ponse Come aA Donn es originales de Buswell et John 1926 nouvelles cat gories par Brueckner 1930 Fr quence des habitudes en soustraction Tableau 5 64 5 2 La recherche d erreurs syst matiques Les listes d erreurs contenaient plusieurs items qui apparaissaient sporadiquement ou encore n apparaissaient que dans une seule liste D j en 1924 MeyersiS avait remarqu que chez certains l ves les erreurs taient stables et persistantes sur une certaine p riode de temps Durant les ann es 1930 Brueckneri a tudi le ph nom ne de la persistance des erreurs en multiplication de fractions Grossnicklel a fait une tude similaire pour la division de nombres entiers Une tude tr s labor e sur ce sujet a t publi e en 1974 par Linda Coxl8 Elle d finit ce qu elle entend par erreur syst matique lorsqu il y a r currence d une r ponse incorrecte dans le calcul d un algorithme s
23. de cerner le sens d une erreur sans conna tre le contexte et le cadre conceptuel de la personne ou du groupe int ress Etant donn s les points de vue th oriques complexes et diversifi s adopt s par les chercheurs sur les erreurs des l ves en math matique il est inqui tant d apercevoir chez les politiciens et dans les conceptions des politiques ducatives un retour de l id ologie de la mesure aux Etats Unis et dans d autres pays Associ e cette notion de mesure nous retrouvons celle de bonne r ponse et son compl ment erreur La mesure des bonnes r ponses dans des tests en math matique et en sciences entra ne des r sultats trait s statistiquement Ces r sultats bien que sans signification en soi sont malheureusement utilis s pour coter les coles les syst mes scolaires et les tats Pire encore l chelle internationale ces r sultats servent coter les pays plus le r sultat est bas plus nombreuses sont les erreurs comparer les performances des l ves d un pays x avec celles du Japon semble bien en vogue Bien que ce classement fortement publicis par les m dias ait une certaine utilit psycho politique il s av re dangereux de s en servir comme base la formulation de politiques ducatives dans l enseignement et l apprentissage des math matiques ou des sciences Des d cennies de recherche sur les erreurs en arithm tique ont d montr que les choses ne sont pas aussi simples
24. de cette poque Le tableau 4 pr sente une telle liste pour la division et fournit aussi le nombre d erreurs par niveau scolaire semiar RE Nombre total d erreurs Combinaisons Emprunt Soustraction Persistance d un nombre Retenue Inversion des chiffres Multiplication Sur estimation Sous estimation Mauvaise association Aucune association au hasard Non class Incomplet DARULDAWEUNUbDI EE aPUDVLIWwOoraRb OT i peut 4 Staker Moses A study of the Mistakes in the Fundamental Operation in Arithmetic 1917 From Buswell and Judd p 119 note les erreurs dans les totaux se trouvent dans l original Tableau 4 57 Une des difficult s li e ces listes d erreurs tait que chaque auteur laborait ses propres cat gories rendant par le fait m me la comparaison avec d autres listes tr s difficile Au mieux peut on examiner un certain nombre de listes en esp rant y retrouver des r gularit s Par exemple la cat gorie emprunt se retrouvant d une liste l autre pour la soustraction et la division de sorte qu il est permis de croire qu il s agit d un type d erreur persistant L existence d une cat gorie aussi globale que l emprunt nous indique que dans le contexte de l poque les algorithmes avec emprunt exigeaient plus d attention dans les manuels scolaires par exemple ou que l enseignant devait consacrer plus de temps faire de tels exercices avec ses l ves C
25. e d un mouvement important dans l ducation am ricaine pour la mesure scientifique et l efficacit scolaire La cr ation d instruments de mesure leur permettait d obtenir des donn es scientifiques par la suite utilis es pour am liorer les manuels scolaires les m thodes d enseignement et m me les politiques ducatives Pour nos besoins ici nous essayerons de r sumer quelques unes des principales caract ristiques qui semblaient les plus pertinentes en ce qui a trait aux erreurs math matiques 3 1 Les erreurs en arithm tique peuvent tre utilis es en tant que mesure de difficult Durant la p riode 1910 1930 des tudes avaient maintes et maintes fois confirm la grande vari t de performance la fois d un niveau scolaire l autre et l int rieur d un m me groupe d ge Les r sultats controvers s de Rice au tournant du si cle ne pouvaient plus tre remis en question la variabilit tait un fait reconnu Durant cette p riode o l accent tait mis sur l efficacit les erreurs taient per ues comme un gaspillage et de plus on rechercha t la r duction du pourcentage de variabilit Une strat gie pour atteindre ceci tait de mesurer dans quels domaines de l arithm tique les erreurs se produisaient et par la suite de d velopper des moyens pour les liminer Prenons un exemple de ces essais pour mesurer le degr de difficult des combinaisons en addition de deux chiffres Cette app
26. egies of Third Grade Arithmetic Pupils The Aritmetic Teacher may 1968 21 Lankford Francis Some Computational Strategies of Sventh Grade Pupils HEW Office of Education Washington 1972 22 Ashlock Robert Error Patterns in Computation Columbus Ohio Charles Merrill Publishing Co 1976 23 Ginsburg Herbert Children s Arithmetic New York D Van Nostrand Co 1977 24 Fisher Kathlen an Joseph Lipson Twenty Questions about Student Errors Journal of Research in Science Teaching 23 9 1986 68 cesse croissant de recherche est peut tre le signe d un futur travail de collaboration entre math matique et science Tout comme les erreurs en math matiques les erreurs en science semblent avoir une origine sens e 6 3 Erreurs construct fondamental et construction de mod le Il y a eu dans le pass des tentatives de lier les erreurs en math matiques diverses th ories d apprentissage behaviorisme Gestalt etc et la psychanalyse Aujourd hui l int r t semble se centrer davantage sur la recherche de constructs fondamentaux adopt s ou adapt s de plusieurs champs de connaissance aidant la compr hension du comportement math matique Robert Davis qui s int resse la question depuis plusieurs ann es crit dans son r cent livre La th orie ducative a fait preuve de faiblesse en essayant d viter de postuler des concepts fondamentaux un tel vitement a entra n un appauvrissement des
27. ela pouvait aussi favoriser la cr ation de m thodes pour enseigner l emprunt et l invention de diverses techniques 3 3 Erreurs en tant que reflets des processus mentaux des l ves Tandis que la mesure des erreurs pouvait entra ner des d couvertes consid r es utiles pour la standardisation et pour l tude de la performance de groupes classes coles commissions scolaires il tait aussi soulign que la mesure et l identification des erreurs tait une composante importante de l tude des diff rences individuelles A partir du d but du si cle les diff rences individuelles taient devenues un th me courant de l ducation am ricaine et de la psychologie am ricaine et demeurent encore aujourd hui une croyance de l id ologie ducative Le mouvement de mesure avait soulev une variabilit beaucoup plus grande que ce qui avait t d abord soup onn et ce th me est sans cesse repris dans la revue de litt rature de Buswell et Judd qui ajoutent Aucune le on plus significative n a d coul du mouvement de la mesure en ducation que celle montrant chez les l ves des diff rences individuelles tr s importantes p 45 Cette reconnaissance et acceptation d une telle variabilit a eu au moins deux cons quences Tout d abord quelque distance impr cise d une norme moyenne deux cat gories l gitimes d l ves ont t identifi es soit les l ves en difficult s qui ont besoin d aide et les
28. erreurs d algorithme ou bas es sur des r gles mais peu importe comment les chercheurs les caract risent le fait demeure que les enfants continuent faire les m mes erreurs et ce g n ration apr s g n ration Par exemple les tableaux 5 6 et 7 pr sentent tous des erreurs en soustraction Chacun de ces tableaux liste ce qui a t identifi comme tant les erreurs les plus communes en soustraction Dans un probl me tel 18 7 certains enfants durant une 19 Graeber Anna amp Lisa Wallace Identification of Systematic Errors Final Report Research for Better Schools Inc Philadelphia 1977 Disponible dans le syst me ERIC ED 139 662 66 entrevue pourront dire on ne peut enlever sept de cinq alors sept moins cinq fait deux D autres diront sept de cinq c est impossible alors c est z ro Nous n avons pas besoin de recourir une habitude erron e ou une d ficience mais l instar de Graeber et Wallace nous pouvons y r f rer comme tant une application de r gles construites par l enfant Comme l illustre le tableau ci dessous l utilisation de la r gle 1 entra ne l erreur observ e le plus fr quemment en soustraction 40 dans l tude de Graeber et Wallace et ce durant les soixante dix derni res ann es L utilisation de la r gle 2 entra ne une autre erreur commune aussi relev e dans toutes les listes d erreurs en soustraction Cette caract risation des erreurs bas es sur de
29. es explicatives plus puissantes ou de nouvelles approches de recherche N anmoins pour les contextes ducatifs et politiques de l poque ce travail utilisait des mots vedettes tels efficacit m thodes scientifiques et standardisation Dans tout retour en arri re il est tentant et futile de r fl chir sur ce qui aurait pu arriver dans les d cennies suivantes si la technique de Uhl avait pris de l importance et si les processus mentaux des l ves avaient t per us non plus en termes de difficult s mais simplement en tant qu indices du fonctionnement du cerveau Mais comme nous allons le constater il en est all autrement 4 Le mod le m dical et les math matiques Parall lement au d veloppement du mouvement s int ressant la mesure scientifique un autre faisait son apparition aux Etats Unis et dans plusieurs autres pays soit celui du diagnostic et correctif Ce mouvement s ins rait l int rieur d un ph nom ne plus important s int ressant la d viance La sociologue fran aise Monique Vialll a analys en profondeur les forces sociales politiques conomiques et l gales en place vers la fin du 19 me si cle et qui ont donn naissance la conception m dicale qui fut appliqu e l ducation en France au d but du 20 me si cle Je ne connais pas d tude comparable men e aux Etats Unis Par mod le m dical j entends une attitude caract ris e par trois croyances fonda
30. es n avaient qu attaquer ses m thodes bas es sur les bonnes et mauvaises r ponses qui nous devons en convenir taient grossi res m me selon les standards de l poque Il est peu pr s impossible de tracer les changements dramatiques qui ont eu lieu dans l ducation am ricaine durant la p riode de 1865 1900 Soulignons toutefois que de 1860 1900 le nombre d l ves inscrits dans les coles a doubl chaque d cennie impliquant par le fait m me une augmentation du nombre d coles d enseignants de manuels scolaires d administrateurs de bureaucratie d coles normales et pour payer tout cela une augmentation des taxes Et voil qu en 1902 1903 arrive Rice un journaliste arrogant qui a l audace de sugg rer que les coles chouent dans leur enseignement des habilet s de base telles l pellation et l arithm tique Dans son article de 1902 Rice a soulev deux questions Dans cet article je vais pr senter des faits appuy s par un test en arithm tique et je vais concentrer mon attention sur deux questions fondamentales auxquelles sont confront s les enseignants chaque fois qu une mati re est incorpor e dans le programme scolaire 1 Quels sont les r sultats escompt s 2 Combien de temps doit tre allou chaque mati re l tude Rice 1902 p 281 En soulevant ces questions sur la performance r sultats et le temps consacr en arithm tique Rice a ouvert une s rie de d
31. lace le mot erreur dans une approche plus limit e de test et mesure En fait ce qui tait des listes d erreurs dans la revue de Buswell et Judd 1925 devient dans le livre de Brueckner 1930 des listes de difficult s Ceci a eu pour effet d tiqueter comme tant une difficult des l ments qui aujourd hui seraient caract ris s bien 61 diff remment Le comptage illustre bien ceci Brueckner cite ce qui suit d un rapport sur le diagnostic psychologique des difficult s de 45 l ves de la quatri me la sixi me ann e 10 12 ans Les types de difficult s relev s s av rent des plus int ressants La faute la plus courante est l habitude de compter Les enseignants ont travaill consciencieusement l apprentissage de toutes les combinaisons mais malgr leurs efforts 23 l ves ont utilis une m thode de comptage Ils ont compt de mani res pour le moins surprenantes avec leurs l vres langue orteils et doigts Parfois leur comptage tait peine perceptible p 71 Brueckner pr sente une liste des difficult s avec des exemples pour l addition la soustraction la multiplication et la division cette liste remplit quinze pages Quelques exemples seront repris ici pour fin d explication Sont consid r es comme tant des difficult s Comptage les l ves trouvent la r ponse en donnant un petit coup avec leur crayon en comptant sur leurs doigts en bougeant leurs l vres etc Mo
32. mentales 1 existence cr ation invention par un groupe influent d une certaine norme 2 la tol rance d un certain degr de d viation cette norme au del duquel une intervention sp ciale devient n cessaire pour renormaliser cette aberration 3 le besoin de d velopper des m thodes et techniques permettant e a d tablir un syst me de cat gorisation de la d viance b de recueillir des indices en vue d identifier cette d viance e c de renormaliser la d viance Une telle conception m dicale s est implant e dans les milieux scolaires am ricains par on ne sait trop quel processus Notons ici que cette attitude m dicale s est faufil e dans l enseignement des math matiques et s est m l e au mouvement de la mesure scientifique qui rappelons le pouvait fournir certaines techniques et m thodes pour recueillir des indices de d viance Mais ce n est pas tant les techniques et les m thodes qui nous int ressent ici mais le fait que le diagnostic et le correctif soit devenu un mouvement en didactique des math matiques avec ventuellement ses propres organisations professionnelles et ses p riodiques Ce mouvement a d velopp ses propres conceptions de l erreur en math matique Le livre dat de 1930 de Leo Brueckner nous fournit des indices de ce qu est l erreur math matique pour une telle approche dite diagnostic et correctif D s 130 11 Vial Monique Les d buts de l enseignement sp ci
33. nt le cours primaire dans les coles publiques de Boston et The Growth of Children de Perez une tude statistique et anthropom trique Vers la fin du 19 me si cle tout tait en place pour une attitude qui pr vaudrait l aube du 20 me si cle c est dire afin de d velopper une Science de l Education la meilleure voie pour y arriver est la mesure incluant par le fait m me la mesure des erreurs 2 Les erreurs et la qualit de l enseignement Les historiens de l ducation qui se sont int ress s l volution de la recherche ont souvent d sign Joseph Rice comme tant le pionnier dans la mesure de la performance des l ves Rice un m decin devenu ducateur et journaliste a d velopp des tests en pellation administr s 30 000 l ves et en arithm tique administr s 6 000 l ves Rice ne d finit pas ce qu il entend par erreur si ce n est que la mauvaise r ponse soit dans l pellation du mot demand ou dans la r ponse calcul e d un probl me arithm tique En 1902 et 1903 il a publi ses r sultats dans FORUM un journal populaire dont il tait l diteur Ses conclusions ont t largement discut es 2 Hall G Stanley and John Mansfied Bibliography of Education Boston D C Heath 1893 3 Rice J M Educational Research A Test in Arithmetic Forum XXXIV oct dec 1902 281 97 Rice J M Educational Research Causes of Success and Failure in Arithmetic Forum XXX
34. ntre la valeur d une technique qui si on l utilise syst matiquement et de fa on exhaustive sur un grand nombre d l ves pourrait devenir un plan de diagnostic efficace Dans son article Uhl fait r f rence aux processus mentaux des l ves comme tant des difficult s mais Buswell et Judd y voient quelque chose de plus subtil Apr s avoir analys une tude qui pr sentait une liste d erreurs en division ils crivent La liste des types d erreurs dans l op ration de division est de plus int ressante mais une analyse plus pouss e serait n cessaire pour montrer les processus mentaux impliqu s La d couverte des types d erreurs est une base n cessaire une analyse diagnostique mais le v ritable diagnostic consiste non pas en une num ration d erreurs ni m me en une identification des types d erreurs mais plut t en une analyse d taill e des processus mentaux qui provoquent l erreur p 120 En 1925 on avait connu au moins 30 ans d int r t et de recherche sur les erreurs des l ves en arithm tique Toutefois les cadres conceptuels d alors ne permettaient pas d englober toutes les cat gories d erreurs ni de justifier les listes sans cesse 10 Uhl W L The Use of Standardized Materials in Arithmetic for Diagnosing Pupils Method of Work Elementary School Journal nov 1917 215 18 59 croissantes d erreurs La notion de liens mentaux n tait pas suffisamment f conde pour sugg rer des th ori
35. p cifique Ce processus incorrect doit se reproduire dans trois probl mes sur cinq d un certain type Cox a pr sent plus de cinquante tableaux de donn es sur les erreurs d l ves de la deuxi me ann e la sixi me ann e 7 12 ans pour les quatre op rations arithm tiques tout en comparant des enfants normaux et handicap s Un suivi a t men un an plus tard sur 115 des 191 enfants qui avaient particip la premi re tude les r sultats ont montr que 14 de tout l chantillonnage faisait les m mes erreurs un an plus tard Les tableaux de Cox pr sentent des descriptions de l erreur en termes de processus utilis s Le tableau 6 illustre 4 erreurs en soustraction sur un total de 14 erreurs Nombre d erreurs normal handicap Soustrait le plus petit chiffre du plus gros peu importe leur position Soustrait correctement la colonne des unit s mais inscrit la r ponse la dizaine originale du premier terme 2 Soustrait correctement la colonne des unit s mais oublie d inscrire la r ponse la colonne des dizaines Inscrit z ro la colonne des unit s et abaisse le 1 chiffre la colonne des dizaines Note 10 autres erreurs sont list es 16 2 1 Erreurs de soustraction d un nombre un chiffre enlev d un nombre deux chiffres Cox 1974 Tableau 6 15 Meyers G C Persistence of Errors in Arithmetic Journal of Educational Research june 1924 19 24 16 Brueckner L
36. probablement t frapp s par leurs vaillants efforts donner un sens ce domaine Parfois leurs efforts peuvent nous amuser et m me nous tonner leurs r sultats peuvent tre erron s mais l tre de fa on ing nieuse tout comme chez les vrais math maticiens Les mod les les plus r cents du comportement math matique qui abondent dans nos livres et nos p riodiques sont leur tour divers essais pour mieux comprendre comment les gens essaient de donner un sens leur r alit ou comme quelqu un a d j dit comment ils essaient de comprendre ce qu est comprendre Mais chaque auteur chercheur dans son essai de comprendre la performance des enfants a sa propre collection d analogies Lorsque ces analogies pr f r es et les constructs emprunt s sont structur s en un mod le nous obtenons non seulement une diversit de mod les mais nous tombons facilement dans des querelles de clochers Ceci est tout simplement le reflet du grand nombre de mots et de noms que nous pouvons emprunter d autres domaines Comme Minsky nous le rappelle l usage de signaux symboles mots et noms est une grande d couverte pour transformer l trange en familier Les chercheurs int ress s d velopper des mod les du comportement math matique ont en surabondance des mots et des noms partir desquels ils peuvent choisir Il y a des familles de mod les dits Piagetiens tandis que d autres s inspireront du traitement
37. que ceux charg s des politiques ducatives veulent bien nous le laisser croire On peut esp rer que la recherche actuelle en didactique des math matiques nous fournira des id es plus coh rentes et moins simplistes au Qu bec
38. que les erreurs des l ves en math matiques sont des indices d un dysfonctionnement mental pouvant tre expliqu par un construct psychologique Les tudes actuelles sur les erreurs des l ves en math matiques sont bas es sur des assises moins simplistes N anmoins les points de vue de la mesure et de la dysfonction sont encore pr sents sous diverses formes et il devient utile d en tudier l volution telle que trac e par la litt rature am ricaine portant sur la recherche en didactique des math matiques depuis les cent derni res ann es Une telle analyse devrait tout au moins montrer que cet int r t port aux erreurs des l ves n est certes pas un ph nom ne nouveau 1 Traduction de l anglais par Louise Poirier Universit du Qu bec Montr al petit x n 26 pp 49 71 1990 1991 50 1 Les d buts au 19 me si cle Il n y a pas de m thode simple ou de mode d emploi disponible pour saisir l attitude face aux erreurs en math matiques qu avait l ducation am ricaine au 19 me si cle de sorte que seules quelques remarques seront faites ici Vers la fin du 19 me si cle la litt rature am ricaine en ducation est tonnamment abondante En 1893 le psychologue ducateur G Stanley Hall souvent identifi comme le p re de la psychologie d veloppementale am ricaine publie une bibliographie de travaux s lectionn s anglais allemands fran ais et italiens en ducation Ce livre de 277
39. rcellement de combinaison L l ve fait la combinaison qu il connait Il dit 9 plus 3 a fait 12 12 plus 4 16 16 et 6 font 22 Addition par dix 114 5 7365 59 L l ve dit 5 plus 5 font 10 10 plus 9 plus 1 font 20 20 plus 3 a fait 23 Bien que le comportement de l l ve dans chacun des exemples ci dessus entra ne la bonne r ponse et n aurait pu tre cot erreur selon l approche stricte de test et mesure Brueckner les classe comme tant des difficult s Il semblerait qu il n tait pas permis de morceler les combinaisons ou d additionner par dix il y avait non seulement des bonnes et des mauvaises r ponses mais aussi des bonnes et des mauvaises m thodes pour obtenir ces r ponses Si un l ve utilisait une telle mauvaise m thode cette derni re tait tiquet e en tant que difficult et par le fait m me tait attribuable un d ficience Dans ce cas quelle pouvait tre la d ficience Brueckner a une solution fort simple pour expliquer ces difficult s Tout au long de son texte il invente une d ficience Dans ce cas ci la difficult est attribu e de mauvaises habitudes qui bien entendu expliquent peu de choses Brueckner pr sente dans des chapitres distincts les difficult s li es aux nombres entiers aux fractions et aux nombres d cimaux Des listes labor es d habilet s sont 62 pr sent es avec des listes encore plus longues de difficult s Celle portan
40. roche fonctionne selon le principe que le nombre d erreurs faites par les l ves aux diverses combinaisons est un indice de leur difficult relative la plus difficile tant celle pour laquelle il y a le plus grand nombre d erreurs 8 Une telle tude a t men e par Clapp o 7 000 l ves de 4 me la 8 me 9 13 ans ont t test s sur 100 combinaisons de deux nombres d un chiffre en addition soustraction et multiplication Cette liste selon Buswell et Judd est sans aucun doute le meilleur indice de la difficult relative disponible actuellement 1925 T Monroe Walter Ed Studies in Aritmetic 1916 1917 Indiana University Studies n 38 1918 8 Buswell amp Judd 1925 p 62 9 Clapp Frank L The number Combinations Their Relative Difficulty and the Frequency of Their Appearance in Text Books Bureau of Educational Research Bulletin n 1 and n 2 Madison Wisconsin University of Wisconsin 1924 54 En examinant cette liste tableau 1 du plus difficile le plus d erreurs au plus facile le moins d erreurs nous pouvons essayer de d gager les tendances ou encore nous poser des questions telles est ce que 0 nombre est plus difficile que nombre 0 L int r t pour Buswell et Judd d une telle tude est que l importance de conna tre la difficult relative des combinaisons d addition devient clairement apparente puisque sans une telle information il s av re difficile de d terminer ad q
41. s r gles par Graeber et Wallace souligne un changement d attitude devenue monnaie courante dans les ann es 1970 et 1980 R gle 1 toujours retirer le plus petit du plus gros R gle 2 puisque le plus gros du plus petit c est impossible alors c est z ro R gle 2 5 3 Un rapide regard en arri re J ai port mon attention plus sp cifiquement au calcul arithm tique tout simplement parce qu avant les ann es 1970 l accent tait mis sur les erreurs de calcul Il y a dans la litt rature am ricaine une rubrique modeste et d routante datant de 1910 et portant sur les erreurs en r solution de probl me que j ai d lib r ment mise de c t Durant les ann es 1920 et 1930 les erreurs en r solution de probl me taient li es des probl mes de lecture et de raisonnement qui selon moi n expliquaient pas grand chose Les domaines de recherche en lecture et en raisonnement reli s la r solution de probl mes en math matiques devraient tre trait s ailleurs s par ment L attention presque exclusive port e depuis 1900 sur les erreurs de calcul devrait tre analys e dans le contexte des int r ts et des mots vedettes de l ducation am ricaine de ce si cle ci Avec l accent mis sur la m thode scientifique et un d sir pour la rigueur la mesure et l efficacit les erreurs sont commodes tudier m me si cela demeure un travail laborieux Gr ce des tests nous avons rapidement acc s
42. se actuelle id ologie attitude mot vedette qui veut que pour aller de l avant il faut un mod le ce qui est en fait une variation du clich pour aller de l avant trouve cherche prend une th orie D une certaine fa on la boucle est boucl e Tandis qu au d but du si cle les chercheurs am ricains ont fond leurs espoirs dans la mesure comme m thode par excellence en didactique des math matiques la lumi re des tudes actuelles la croyance semble s appuyer sur la construction de mod les Une telle croyance entra ne des probl mes et peut tre aussi des solutions 6 4 En guise de conclusion Dans le contexte du d but du si cle il tait normal de limiter la conception des erreurs des mauvaises r ponses Cette conception allait de pair avec la vision voulant qu il y avait de bonnes m thodes de calcul et que si ces derni res taient bien enseign es avec suffisamment d exercices les erreurs seraient r duites un niveau acceptable De plus les erreurs en tant que mauvaises r ponses convenaient parfaitement au mod le de la mesure Le mod le de la d viance qu est le diagnostic et correctif en math matiques est encore de nos jours habill de constructs boiteux tels les difficult s d apprentissage et la dyscalculie 8 qui semblent reposer sur un bourbier th orique i 26 Cobb Paul An Analysis of Three models of Early Number Development Journal of Research in Mathematics Education Vol 18
43. swell et Judd l avaient reconnu d s 1925 mais on ne peut construire un mod le tr s puissant en se basant sur des concepts tels liens et habitudes De nos jours nous avons une abondance de concepts th oriques et de mod les dans la litt rature en didactique des math matiques Au d but du si cle nous avions une avalanche de listes d erreurs tel point qu il a fallu y mettre de l ordre en construisant des syst mes de classification d erreurs Un domaine tr s actif de la recherche en didactique des math matiques durant les derni res ann es s int resse au d veloppement du concept de nombre chez le jeune enfant o les erreurs des enfants erreurs de comptage par exemple ont jou un r le significatif Dans les ann es 1980 on a d velopp tellement de mod les conceptuels du d veloppement du nombre que r cemment Paul Cobb 26 a propos une classification pour quelques uns de ces mod les Je ne veux pas discuter ici de la classification des mod les du d veloppement du nombre propos e par Cobb mais simplement attirer l attention sur le fait qu il est maintenant difficile de distinguer entre tous ces mod les m me si on se centre sur la didactique des math matiques Mais le probl me est plus g n ral et englobe aussi les recherches futures portant sur les erreurs Si nous voulons aller au del de la conception vidente et m me triviale de l erreur en tant que mauvaise r ponse alors nous devons suivre la sages
44. t sur les difficult s li es aux op rations avec des fractions s tend sur dix huit pages pp 177 194 et fournit le pourcentage d erreurs et le niveau de difficult Je sursimplifie probablement le mod le m dical de 1930 de Brueckner mais il s agit d un mod le simpliste bas en partie sur une vision tr s r ductioniste du calcul Il crit au d but de son livre L arithm tique est compos e d un grand nombre d habilet s sp cifiques chacune d entre elles devant tre d velopp e gr ce des exercices approfondis Outre l utilisation de la notion d habitudes il y a tr s peu d essais dans son livre pour d velopper des concepts psychologiques qui pourraient fournir une th orie plus solide des d ficiences pour expliquer les difficult s Ce livre de 1930 tait une tentative de rapprocher les tudes sur les erreurs des trente derni res ann es men es par les chercheurs de l approche test et mesure aux probl mes soulev s par l enseignement et l apprentissage de l arithm tique Nous devrions peut tre dire en toute justice qu il s agissait d un essai primitif de construction d un mod le m dical qui durant les cinquante ann es suivantes est devenu de plus en plus labor alors que les tenants de l approche diagnostic et correctif ont cherch des concepts th oriques plus ad quats et un sch ma conceptuel emprunt d autres domaines de connaissance 5 La qu te des erreurs se poursuit 1926 1927 5
45. uatement la quantit requise d exercices Buswell amp Judd p 62 D autres ont per u la valeur de ce genre d tude en examinant les manuels scolaires pour s assurer de la pr sence des 100 combinaisons possibles et que plus de temps et d exercices taient accord s aux combinaisons les plus difficiles Clapp a men des tudes similaires sur des combinaisons de nombres un chiffre en soustraction multiplication et division et ce pour des raisons et buts semblables Clapp Frank L The Number Combinations 1924 Ordre de la difficult des combinaisons d addition Tableau 1 Une autre m thode utilis e alors consistait mesurer le temps de r action requis pour arriver une bonne r ponse A ce sujet Buswell et Judd mentionnent que l argument principal en faveur de cette m thode est que quoique l on puisse avoir recours au comptage pour arriver la bonne r ponse ceci va augmenter le temps de r action et par le fait m me indiquer que la r ponse ne pouvait tre donn e automatiquement p 64 Il semblerait que peu d efforts ont t faits pour d terminer par exemple pourquoi une combinaison d addition tait plus difficile plus d erreurs ou plus de temps requis qu une autre bien qu il y ait eu quelques tentatives de relier cette difficult au comptage Le bagage th orique qui aurait pu tre retir de ceci ou de tout 55 autre type d erreur tait tr s limit La th orie de la pens e dominante
46. un certain nombre d ann es il devrait tre possible de construire une v ritable science de l enseignement et de d terminer par des m thodes exp rimentales rigoureuses la v racit ou la fausset de toute hypoth se en ducation Courtis 1909 4 Buswell Guy Thomas amp Judd Charles Hubbard Summary of Educational Investigations Relating to Arithmetic Chicago The University of Chicago 1925 5 Callahan Raymond Changing Conceptions of the Superintendency in Public Education 1865 1964 Fifth Simpson Lecture New England School Development Council 1964 6 Courtis S A Measurement of Growth and Efficiency in Arithmetic Elementary School Teacher X 1909 XI 1910 XI 1911 53 L extrait ci dessous tir d un crit de 1911 nous claire sur la vision de l ducation qu avait Courtis L ducation du moins selon un point de vue est un processus manufactur Le mat riel brut qui est envoy l cole est moul et fa onn par les forces et les exp riences qu il subit Durant les deux d cennies suivantes une grande vari t de tests en arithm tique ont suivi ceux de Courtis Ces tests et les recherches associ es ont fait l objet de plusieurs revues de litt rature De plus les travaux de cette p riode se trouvent mentionn s dans les ouvrages contemporains portant sur les erreurs en math matique Nous devons nous rappeler que durant la p riode 1910 20 la recherche en math matiques faisait parti
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