Mecanique quantique. Cours et exercices corriges
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1. Cette seconde dition impuls e par L titia Herin et mise en uvre par Coline Laqu che que je remercie chaleureusement m a donn l occasion de corriger les coquilles de la premi re dition J en ai profit pour clarifier restructurer ou m me compl ter certaines parties chapitres 1 et 2 annexe 11 A Un certain nombre d exer cices 5 2 5 8 5 9 11 3 12 4 13 2 15 3 15 4 16 4 et probl mes 7 1 11 2 15 1 ont t compl t s ou simplement ajout s Paris 28 ao t 2014 VIII Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit MODE D EMPLOI e Structure de l ouvrage Le sch ma suivant montre la structure de l ouvrage Les fl ches indiquent les rela tions logiques entre les chapitres Les fl ches paisses d finissent un cheminement naturel le programme du cours de m canique quantique du magist re d Orsay 1 4 amp 1 5 Dualit onde corpuscule principe de superposition 2 Equation d onde de Schr dinger 3 Formalisme de Dirac 4 Postulats de mesure 5 Postulat d volution 6 Sym tries et lois de conservation 7 Os ilatenr harmonique 8 Moment ONE amp Spin i G 11 Postulat de sym trisation 12 one d hydrog ne 10 Th orie des collisions v 13 M thodes d approximation 14 Structures fine et hyperfine de l atome H i 15 Probl mes d pendant du temps Y 16 Particule charg e en champ magn tique 4 Les deux2. Principe d inertie i 1 R e A l lations entre les notons 1 Action r action 1 1 i Relation fondamentale de la dynamique Toute th orie est bas e sur un certain nombre de postulats axiomes qui doivent ob ir quelques r gles transcendantes telles que la causalit la conservation de l nergie impulsion d un syst me isol D autres choix axiomatiques conduiraient des conclusions diff rentes C est donc la confrontation l exp rience qui permet de valider la pertinence du choix des axiomes La justesse d une th orie physique n est donc pas seulement dans sa construction mais aussi dans la validit de son application Par exemple reconsid rons la proposition aristot licienne de d crire la dynamique des corps en mouvement en postulant la proportionnalit entre vitesse et force A F On sait que cette relation est d mentie par l exp rience de la chute des corps elle a aussi la d sagr able propri t de ne pas respecter le principe de relativit Cela ne la rend pas pour autant absurde et il est possible de trouver des situations d crites par cette relation le cas d une particule en milieu fortement visqueux 11 Chapitre 1 Introduction 12 Notons enfin que le statut d une th orie peut varier comme le montre l exemple de la th orie de la gravitation Alors que dans le cadre newtonien la th orie de la gravi tation appara t
3. aiguille d une bous sole est influenc e par le courant lectrique traversant un fil dispos proximit Les contributions importantes furent apport es par Andr Marie Amp re 1775 1836 Jean Baptiste Biot 1774 1862 et Michael Faraday 1791 1867 La construction du bel difice fut parachev e par James Clerk Maxwell 1831 1879 qui donna une vi sion unifi e de l ensemble des ph nom nes travers les fameuses quatre quations qui portent aujourd hui son nom pr sent es devant la Royal Society en 1864 Il est aujourd hui consid r comme un des pr curseurs de la vision moderne de la phy sique pour avoir donn une place centrale la notion de sym trie dans une th o rie physique C est apparemment des consid rations purement esth tiques on dirait aujourd hui de sym trie qui le conduisirent ajouter un dernier terme dans la derni re des quatre quations Ces quatre quations aux d riv es partielles d crivent la dynamique des champs lectrique F et magn tique BCP t un premier couple d quations fixe des contraintes sur les champs divB 0 et rot 28 les deux champs d rivent des potentiels scalaire et vecteur un second couple d quations div tp et rot Hoj eoo couple les champs des sources les g n rant densit de charge p et densit de courant j C est Oliver Heaviside 1850 1925 qu on doit cette forme l gante des quations de Maxwell que ce derni
4. avoir fourni la superbe image de microscopie lectronique reproduite sur la couverture elle montre un r seau de fils d argent de dimensions microscopiques d pos sur un substrat dont ils ont tudi les propri t s de transport lectronique il y a quelques ann es cf l gende page ii et figure 16 1 J adresse de profonds remerciements Amaury Mouchet pour ses nombreuses suggestions et conseils et Jean No l Fuchs avec qui j ai eu l immense plaisir de travailler dans l quipe de m canique quantique d Orsay ainsi que pour ses innom brables et toujours si pertinentes observations qui ont profond ment marqu le texte plusieurs exercices du livre ont t r dig s avec lui 1 La physique m soscopique s int resse aux ph nom nes quantiques interf rences quantiques et ou effets de la quantification en mati re condens e VII M canique quantique Mon ducation de m canicien quantique doit beaucoup aux enseignants dont les cours lumineux m ont permis d entrer dans l univers quantique Fran oise Balibar Alain Laverne C cile Malegrange et Bernard Roulet Je remercie Caroline qui a stimul le processus d dition et sans laquelle mon manuscrit dormirait peut tre encore dans mon bureau Je suis reconnaissant Dominique Decobecq pour tous ses conseils ditoriaux et Marie Leclerc pour son efficacit Je d die ce travail Marie Flore Michel Barbara et Andrea Orsay le 22 avril 2011
5. puis corrig e en 1905 par James Jeans est d duite du th or me d quipartition de T nergie de la physique statistique Elle conduit une densit d nergie infinie apr s int gration sur les fr quences Ehrenfest voquera en 1911 une catastrophe ultra violette pour d signer cette divergence m d ury w T D autre part Whil helm Wien 1864 1928 prix Nobel 1911 avait obtenu en 1894 la loi portant son nom Uyie T w f w T pour rendre compte des exp riences il propose en 1896 une forme exponentielle d croissante f x A e o A et B sont des constantes universelles En 1900 Max Planck 1858 1947 prix Nobel 1918 d montre la loi qui portera son nom interpolant entre les lois de Rayleigh Jeans et de Wien et en bon accord avec l exp rience w 1 Ea _ _ 1 2 me l explolkgT 1 Fee Upianck w T Chapitre 1 Introduction 10 o kg est une autre constante universelle appel e la constante de Boltzmann cf cours de physique statistique Il identifie l existence d une nouvelle constante fondamen tale h Dans sa d monstration afin de reprendre une m thode combinatoire due Boltzmann Planck supposait l nergie quantifi e Alors qu il ne voyait qu un artifice technique dans cette id e celle ci jouera un r le central dans les travaux ult rieurs d Einstein 16 1 2 5 Une nouvelle constante fondamentale la constante de Planck Il est
6. le verrons Comment d crire alors l tat d une particule quantique un quanton pour employer une terminologie ch re aux auteurs de 35 telle qu un lec tron e L tat d une particule est d crit par une fonction d onde 7 t chapitre 2 une fonction complexe De mani re plus abstraite l tat est sp cifi par la donn e d un vecteur d tat not l ment d un espace de Hilbert 4 L espace des tats 7 est un espace vectoriel en g n ral de dimension infinie construit sur le corps des complexes C et muni du produit hermitien produit scalaire not w W satisfaisant la propri t y y Y Il s exprime en terme des fonctions d onde corres pondantes comme l dre 1 9 13 Chapitre 1 Introduction 14 e Interpr tation probabiliste La fonction d onde repr sente une amplitude de den sit de probabilit Y F 1 AF mesure la probabilit de trouver la particule l ins tant 1 dans le volume d autour de F Une cons quence imm diate est la contrainte de normalisation f d lu r DP 1 1 10 qui exprime que la probabilit d tre quelque part vaut 1 e Les quantit s physiques les observables sont repr sent es par des op rateurs lin aires chapitre 3 agissant dans l espace des tats i e sur les fonctions d onde Par exemple l op rateur de position agit comme la multiplication de la fonction d onde par F tandis que l op
7. ondulatoires sont celles de fr quence et de lon gueur d onde Une onde plane monochromatique eik iut est caract ris e par sa pul sation w et un vecteur d onde X Or la formulation schr dingerienne montre que la m canique quantique est une physique ondulatoire mais pas seulement Une parti cule libre est caract ris e par son nergie E et son impulsion p La correspondance entre les concepts corpusculaires et ondulatoires est assur e par les deux importantes relations suivantes e La relation de Planck Einstein E w 1 14 ayant permis expliquer l effet photo lectrique l existence de raies spectrales dans les spectres atomiques etc e La relation de L de Broglie 15 rendant compte de l effet Compton des exp riences de Davisson et Germer de dif fraction d lectrons etc e Onde plane Une onde plane 7 f A ekio d crit donc l tat quantique pour une particule libre d impulsion p hk et d nergie E hu SALLE PAG crire la relation de dispersion relation entre w et pour une particule non relativiste de masse m puis pour une particule relativiste 1 5 2 Le principe de superposition Une cons quence imm diate du premier des postulats l tat quantique est d crit par une fonction d onde i e un l ment d un espace vectoriel il est possible de construire des combinaisons lin aires de tels tats Soient deux tats normalis s 1 x et Y2 x il est l gitime de
8. par mole Les fluctuations le mouvement erratique d un grain de pollen la sur face de l eau trouvant son origine dans les chocs incessants avec les mol cules d eau r v lent la nature discr te de la mati re e Les lectrons Les exp riences d ionisation des gaz rar fi s jou rent un r le important jusqu la d monstration en 1897 de l existence de l lectron par Joseph John Thomson 1856 1940 prix Nobel 1906 qui observa la d viation de rayons cathodiques faisceaux Chapitre 1 Introduction d lectrons d une lampe vide par un champ magn tique L exp rience fournit une mesure du rapport de la charge par la masse qe me La mesure de la charge de l lec tron ge 1 6 x 107 C sera r alis e en 1910 par Robert Andrews Millikan 1868 1953 prix Nobel 1923 e La structure de l atome Au d but du XX si cle deux mod les d atome sont propos s D une part un mo d le plan taire propos par Perrin en 1901 d lectrons interagissant avec un noyau charg positivement via l interaction coulombienne d autre part un mod le globu laire propos par Thomson en 1903 d lectrons se mouvant sur un fond continu charg positivement assurant la neutralit lectrique de l atome figure 1 2 24 La question sera tranch e par une s rie d exp riences dues deux tudiants Ernest Rutherford 1871 1937 prix Nobel 1908 Hans Geiger 1882 1945 et Ernest Marsden 1
9. produit par exemple dans la mol cule d ammoniac NH3 cf exercice 6 2 page 108 1 5 3 Particule libre dans une bo te quantification L tude d une particule confin e dans une r gion finie de l espace est ce qu on appelle un probl me d tats li s par exemple l tude du mouvement d une plan te autour du soleil ou d un lectron autour du proton Quelles sont les cons quences d un traitement quantique Pour r pondre cette question nous tudierons une situation unidimensionnelle Nous consid rons une particule libre astreinte se d placer dans l intervalle 0 a de R Cette situation est r alis e pour un potentiel nul dans 0 a et infini hors de l intervalle Classiquement la particule de masse m d nergie E effectue des aller retours dans le puits vitesse constante v V2E m Sa fonction d onde est donc soit une onde plane e d crivant une particule libre se d pla ant dans le sens des x gt 0 d impulsion p mw hk V2mE soit une onde plane e d crivant une particule allant dans le sens oppos d impulsion p k crivons principe de superposition yx A e Be ir 1 18
10. un proton un atome d hydrog ne pendant une p riode On rappelle que le potentiel cou de 2 en rer lombien est V r ETA E On consid rera une orbite circulaire de rayon ao 0 53 mee Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit 1 3 La structure des th ories physiques 1 3 LA STRUCTURE DES TH ORIES PHYSIQUES On peut v ritablement parler de r volution quantique puisque les fondateurs de la m canique quantique ont t progressivement amen s remplacer le cadre concep tuel et abandonner les notions servant de socle la m canique classique C est une des difficult s principales de l enseignement de la m canique quantique il faut laisser de c t un certain nombre de notions devenues intuitives l usage De quelle remise plat des concepts parle t on Pour appr cier cela il est bon de revenir sur la structure des grandes th ories physiques Nous consid rons les th ories cadres voqu es plus haut que nous pourrions appeler les superth ories dans lesquelles s imbriquent des th ories plus sp cifiques au sein desquelles on construit des mod les ma EXEMPLE M canique newtonienne a a iir Calcul diff rentiel in e y 5 Cadre hou i Cin matique position vitesse acc l ration i 7 2 notions de base outils 1 1 Etat d une particule ponctuelle F D i Bd EE a Postulats 1
11. ves consid rations historiques ions par un champ magn tique et les trier en fonction de leur masse d o le nom de la technique Il montre d une part que les masses des noyaux sont approximati vement guantifi es en multiples entiers de la masse du proton le noyau de l atome d hydrog ne et d autre part que la masse du noyau d un m me l ment chimique peut fluctuer de quelques unit s L existence de diff rents isotopes est derri re cette observation e La radioactivit Une d couverte importante en 1896 est le ph nom ne de radioactivit par Henri Becquerel 1852 1908 prix Nobel 1903 Trois types de radioactivit furent obser v s l mission un noyau d h lium l mission un lectron et l mission y un photon Le ph nom ne de radioactivit est une transition entre deux tats du noyau atomique mission y ou la transmutation d un noyau mission et B La d couverte de la radioactivit tait donc annonciatrice de la d couverte du noyau ato mique et son occurrence stochastique de la nature probabiliste de la th orie quantique cf chapitre 2 de l ouvrage 3 b Impasse n 1 L instabilit classique des atomes Le probl me qui para t le plus grave est relatif la question de la stabilit de la mati re L exp rience de Geiger Marsden Rutherford fournit donc une image claire pour la structure de l atome des lectrons tournant autour d un noyau char
12. 1 R sistance lectrique d un fil quantique unidimensionnel 10 2 Temps de Wigner et capacit quantique 10 3 Interaction ponctuelle en dimension d gt 2 Chapitre 11 Particules identiques et permutations Postulats 4 11 1 Postulat de sym trisation 11 2 Corr lations induites par le postulat de sym trisation Annexe 11 A Collision entre deux particules identiques Exercices Probl mes 11 1 Corr lations quantiques de la lumi re 11 2 Collisions entre noyaux de carbone 103 103 105 110 113 116 118 121 121 122 129 130 133 133 150 165 168 169 170 172 173 175 177 177 180 189 191 198 201 204 206 208 210 215 216 220 227 228 228 231 Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit Table des mati res Chapitre 12 Atome d hydrog ne 12 1 Atome d hydrog ne 12 2 Atomes et classification de Mendele ev Exercice Chapitre 13 M thodes d approximation 13 1 M thode des perturbations cas stationnaire 13 2 La m thode variationnelle 13 3 La m thode JWKB et l approximation semiclassique Exercices Probl mes 13 1 Th or me de projection et facteurs de Land atomiques 13 2 M canisme d change Interaction coulombienne dans l atome d h lium 13 3 M canisme de super change Isolant de Mott et antiferromagn tisme Chapitre 14 Structures fine et hyperfine du spectre de l hydrog ne 14 1 Structure fine 14 2 Corrections radiatives 14
13. 3 Structure hyperfine du niveau 1512 Chapitre 15 Probl mes d pendants du temps 15 1 M thode des perturbations 15 2 Interaction atome rayonnement Exercices Probl me 15 1 R sonance magn tique dans un jet mol culaire Chapitre 16 Particule charg e dans un champ magn tique 16 1 Introduction 16 2 Champ magn tique homog ne 16 3 Vortex magn tique Exercices Probl me 16 1 Conductivit Hall d un gaz d lectrons 2D Annexe A Formulaire A l Compl ments math matiques A 2 Constantes fondamentales Annexe B Solutions des exercices et probl mes Bibliographie Index 235 235 243 248 249 249 254 255 260 261 263 265 269 270 274 275 277 277 283 290 293 293 293 298 301 303 305 305 311 313 365 367 VI AVANT PROPOS Marie Flore Cet ouvrage propose un cours d introduction la m canique quantique Le c ur du texte a t crit pour servir de support un cours dispens aux tudiants d coles d ing nieurs cole Centrale Sup lec et SupOptique inscrits au magist re de phy sique fondamentale de l Universit Paris Sud et qui avaient le courage d tudier des sujets de physique fondamentale plusieurs soirs par semaine Le cours dont la struc ture a t pour l essentiel impos e afin de respecter le programme suivi par les tu diants du magist re a t r dig en ayant le souci de produire un texte compact mais suffisamment comp
14. 889 1970 en 1909 et leur interpr tation par Rutherford en 1911 Un faisceau de particules des noyaux d h lium est envoy sur une mince 100 um feuille d or Si la plupart des particules ne sont pas d vi es certaines sont diffus es avec de grands angles L observation de r frodifjusion avait particuli rement frapp Rutherford et invalide le mod le de J J Thomson la r trodiffusion des particules fortement nerg tiques v 1 8 x 107 m s i e Ee 7 MeV ne peut s expliquer que parce qu elles rencontrent une concentration extr mement forte de charges le noyau atomique Rutherford va plus loin et explique les donn es exp rimentales l aide de son mod le th orique de diffusion d une charge ponctuelle dans un champ coulombien la particule dans le champ du noyau d or Radium gt S Mod le globulaire Mod le plan taire J J Thomson J Perrin Figure 1 2 La structure de l atome gauche Deux mod les d atomes droite Principe des exp riences de Geiger Marsden et Rutherford bombardement d une feuille d or paisseur 100 um par des particules mises par une source radioactive de radium e Les ions et les isotopes Francis William Aston 1877 1945 prix Nobel 1922 met au point en 1919 la tech nique de spectroscopie de masse consistant d vier un faisceau d atomes ionis s des Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit 1 2 Br
15. Christophe Texier M canique quantique Cours et exercices corrig s 2 dition DUNOD Couverture Image par microscopie lectronique d un r seau de fils d argent d pos sur un substrat isolant le pas du r seau est 0 64 um tr s basse temp rature la me sure de la r sistance lectrique en fonction du champ magn tique courbe superpos e l image donne un acc s direct au rapport de la constante de Planck et de la charge de l lectron le quantum de flux magn tique o h iqel Ces petites oscillations de la r sistance lectrique sont appel es oscillations Aharonov Bohm et sont la manifestation d un ph nom ne d interf rences quantiques cf chapitre 16 La courbe est caract ris tique de l chantillon et parfaitement reproductible La temp rature tait T 0 4 Kel vin le champ magn tique varie entre 1 1 et 1 3 Tesla et l amplitude des oscillations est R 2 MQ pour une r sistance R 100 Q cf figure 16 1 L chantillon et les mesures ont t r alis s pendant la th se de F licien Schopfer dans l quipe de Christopher B uerle et Laurent Saminadayar Institut N el Grenoble Donn es publi es dans F Schopfer F Mallet D Mailly C Texier G Montambaux C B uerle amp L Saminadayar Dimensional crossover in quantum networks from mesoscopic to ma croscopic physics Phys Rev Lett 98 026807 2007 Le pictogramme qui figure ci contre m rite une expl
16. Dynamique des milieux continus ondes acoustiques sismiques Figure 1 1 La dichotomie classique corpuscule onde nouvelle m canique non quantique permettant de d crire les corps aux tr s grandes vitesses comparables la vitesse de la lumi re la th orie de la relativit restreinte d Einstein qui remit en cause les conceptions sur la structure de notre espace temps Le c ur de la th orie de la relativit restreinte le principe de relativit i e l univer salit des lois de la physique m canique et lectromagn tisme dans tous les r fe rentiels inertiels appara t comme une r ponse aux exp riences d Albert Michelson et Edward Morley entre 1881 et 1885 d montrant le caract re absolu de la vitesse de la lumi re Les probl mes profonds de la physique classique portent sur les m canismes d interaction mati re rayonnement La discussion de ces questions est inextricable ment li e l exploration de la structure de la mati re aux chelles atomiques et sub atomiques a La recherche des constituants l mentaires e Les atomes Bien que l hypoth se atomique de aTouos indivisible remonte l Antiquit grecque ce n est qu au tout d but du XX si cle que l existence des atomes fut mise en vidence en 1908 de mani re indubitable par Jean Perrin par son analyse du mou vement brownien et sa mesure du nombre d Avogadro Na 6 023 x 107 atomes
17. ante du principe de superposition est fournie par lexemple d une particule dans un double puits de potentiel Donnons nous une fonction d onde WG x respectivement Yp x d crivant la particule dans le puits de gauche respectivement de droite figure 1 7 Nous pouvons concevoir une combinai son lin aire de ces deux tats qui d crit donc une situation o la particule est la fois dans le puits droit et dans le puits gauche Nous verrons au chapitre 5 que lorsque les deux puits sont sym triques l tat de plus basse nergie tat fondamental est donn 8 Articles de revue O Nairz M Arndt amp A Zeilinger Quantum interference experiments with large molecules Am J Phys 71 319 2003 A Cronin J Schmiedmayer amp D E Pritchard Optics and interferometry with atoms and molecules Rev Mod Phys 81 1051 2009 19 Chapitre 1 Introduction 20 FETES Pi V x 40 Figure 1 7 Principe de superposition Une particule pi g e dans un double puits de potentiel On a dessin l allure de la fonction d onde c x resp p x d crivant l tat particule dans le puits gauche resp droit La fonction d onde x de l tat de plus basse nergie repr sent e en bas est tr s proche de la combinaison lin aire lyc Yp x et d crit un tat particule la fois dans le puits gauche et le puits droit par Yo x bo Yp x une telle situation se
18. autes nergies on doit lui substituer la th o rie de la relativit restreinte einsteinienne 1905 Du c t des champs de gravitation intenses on doit lui substituer la th orie de la relativit g n rale gravitation einstei nienne 1916 Enfin du c t des chelles microscopiques elle c de bien s r la place la m canique quantique 1927 Dans la tentative de d finition d un domaine d application des th ories les constantes fondamentales jouent un r le tr s important Rappelons que les constantes fondamentales associ es aux quatre th ories fondamentales sont la vitesse de la lumi re c relativit restreinte et lectromagn tisme la constante de gravitation uni verselle G la constante de Boltzmann kg quantum d entropie pour la physique statistique et enfin la constante de Planck quantum d action A pour la m canique quantique Les constantes fondamentales permettent de d finir des chelles de longueur d nergie etc qui d finissent les fronti res entre les th ories Par exemple la vi tesse de la lumi re c permet de discriminer le domaine non relativiste faible nergie cin tique E amp mc et le domaine relativiste E gt mc Puisque la constante fon damentale quantique a la dimension d une action on peut proposer le crit re suivant Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit 1 4 Aper u des postulats de la m canique quantique cf exercice 1 1 Action
19. branches qui ne s inscrivent pas dans le chemin principal correspondent deux chapitres ajout s la version initiale des notes de cours Le chapitre 10 qui pourra tre saut sans nuire la compr hension globale est d un niveau plus ardu e Structure des chapitres Chaque chapitre est organis selon le sch ma suivant 1 Le cours au sein duquel sont ins r s de petits exercices d illustration la fin du chapitre sont nonc es les id es importantes qui ont t introduites Annexes Exercices dont le degr de difficult est pr cis F ME D ou TD M 2 NN Probl mes def AANZR gal par d finition approximativement gal de l ordre de proportionnel ensemble des entiers naturels ensemble des entiers relatifs ensemble des nombres r els ensemble des nombres complexes partie r elle partie imaginaire complexe conjugu de z trace moyenne variance cart type YVar X fonction de Heaviside distribution de Dirac symbole de Kronecker transform e de Fourier y x produit de convolution gradient Laplacien fonction d onde densit de probabilit densit de courant de probabilit espace de Hilbert vecteur d tat ket dual du vecteur d tat bra produit scalaire produit tensoriel commutateur matrice identit de taille N hamiltonien moment cin tique g n rique moment cin tique orbital moment cin tique de spin NOTATIONS O
20. comme une th orie sp cifique d crivant l interaction entre masses la th orie de la relativit g n rale einsteinienne int gre la gravitation au cadre g n ral e La polymorphie des th ories physiques Il est int ressant de noter qu une m me th orie peut appar tre sous plusieurs formes bas es sur des concepts et des postulats diff rents Les variantes de la th orie sont tou tefois strictement quivalentes Un exemple est fourni par la m canique classique qui peut tre formul e dans le cadre newtonien bas sur les postulats rappel s ci dessus Elle peut galement tre formul e dans le cadre lagrangien ou encore hamiltonien le postulat permettant de d duire les quations du mouvement est alors le principe de moindre action de Pierre Louis Moreau de Maupertuis 1698 1759 D existence de plusieurs formulations quivalentes et compl mentaires est une des richesses de la physique th orique Elles fournissent diff rents angles pour attaquer les probl mes e Les limites des th ories Le r le des constantes fondamentales Comme nous l avons d j illustr le cadre d limite une zone hors de laquelle l ap plication de la th orie n a pas de sens Par exemple personne ne remet en cause les succ s de la th orie newtonienne qui est une excellente approximation dans le do maine classique de th ories plus g n rales Elle nous appara t aujourd hui cern e de plusieurs c t s En allant vers les h
21. consid rer Yx a ri x Byn x o a BecC 1 16 Discutons maintenant l utilit de ce concept 17 Chapitre 1 Introduction 18 a Exp rience d interf rences d Young Le dispositif des fentes d Young est une des exp riences les plus simples permettant de mettre en vidence les ph nom nes d interf rences R alis e au tout d but du XIX si cle par Thomas Young 1773 1829 pour d montrer le caract re ondulatoire de la lumi re l exp rience peut tre r p t e pour tous types d ondes Avec des particules de mati re dans le domaine quantique l exp rience permet de mettre en lumi re plu sieurs questions fondamentales le caract re ondulatoire l interpr tation probabiliste et la dualit onde corpuscule P Figure 1 4 Exp rience 5 i d interf rences d Young particules J 2 d tecteur Le principe de superposition nous permet d analyser l exp rience sch matis e sur la figure 1 4 Un faisceau de particules collimat par un trou jouant le r le de source S est envoy sur un cran perc de deux trous Un d tecteur de particules D pouvant tre d plac verticalement compte les particules la sortie du dispositif Les particules suivent soit le chemin 1 associ l amplitude de probabilit 1 5 D soit le chemin 2 associ l amplitude y2 S D Si les particules d impulsion p k 2rh se d placent l
22. discut dans les ouvrages n est que bri vement abord Outre que cette approche pr sente des simplifications d un point de vue didactique une telle pr sentation syst matique n est ma connaissance pas disponible dans les ouvrages alors que la question de la m canique quantique en basse dimension est tout fait pertinente pour de nombreux d veloppements modernes en physique atomique avec les progr s spectaculaires dans le domaine des atomes froids ou pour la mati re condens e Ce chapitre est d un ni veau plus avanc que le reste du livre cependant il pr sente le cadre dans lequel s inscrit le concept de matrice qui sera utilis de mani re intuitive dans plusieurs exercices probl mes dans le corps de l ouvrage J ai b n fici des conseils remarques et encouragements de nombreuses personnes que je remercie chaleureusement H l ne Bouchiat Alain Comtet Marie Th r se Commault Richard Deblock Julien Gabelli Sophie Gu ron Thierry Jolic ur Mathieu Langer Alexandre Malamant Gilles Montambaux Nicolas Pavloff Paolo Pedri Hugues Pothier Guillaume Roux Emmanuel Trizac et Denis Ullmo Je re mercie Alain Cordier pour la confiance qu il m a t moign e en m ayant propos d assurer ce cours Alain Abergel pour ses conseils initiaux Sandra Bouneau pour les vigoureuses discussions autour de la r daction de l exercice 2 18 Je suis reconnaissant Christophe B uerle et Laurent Saminadayar pour m
23. e quantique non relativiste de l atome d hydrog ne est expos e puis nous discutons des m thodes d approximation mises en pratique pour l tude des correc tions relativistes dans l atome d hydrog ne et finalement les probl mes d pendant du temps interaction atome lumi re Ces sujets correspondent au programme du magist re d Orsay S il est courant de tirer de la physique atomique les illustrations d un premier cours de physique quantique j ai galement choisi plusieurs applica tions inspir es par la mati re condens e r sistance quantique capacit quantique Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit Avant propos effet Hall effet Aharonov Bohm courant permanent antiferromagn tisme Un tr s court chapitre consacr l tude de la dynamique d une particule soumise un champ magn tique dans les deux situations extr mes d un champ uniforme ou concentr en un point s inscrit dans cette logique et cl t l ouvrage J ai galement jug oppor tun d ins rer un chapitre le 10 sur la th orie des collisions si cette derni re a des applications videntes et bien connues pour la physique des gaz ou la physique des particules elle fournit aussi des outils puissants et assez intuitifs pour l tude des ph nom nes m soscopiques J ai opt pour une pr sentation commen ant par consid rer le cas des basses dimensions 1 et 2 le cas tridimensionnel usuellement
24. ement mo nochromatique ne peut tre absorb e que par quanta Equantum w L qua tion 1 1 s interpr te comme un bilan d nergie l nergie d pos e par le rayonne ment monochromatique un multiple entier de paquets EQuantum w se distribue pour partie en nergie cin tique de l lectron et pour partie en nergie potentielle n cessaire pour l arracher au m tal au minimum wgs expliquant le seuil e quilibre thermique lumi re mati re Dans une toile les photons mis lors de la nucl o synth se diffusent depuis le c ur vers les couches externes Les multiples processus d mission absorption conduisent l existence d un quilibre thermique entre mati re et lumi re En supposant le sys t me isol et l quilibre corps noir ce qui suppose que les pertes d nergie sont faibles relativement la thermodynamique pr dit que la distribution des fr quences du rayonnement est une loi universelle uniquement fonction de la temp rature T remarquons que la temp rature correspondant au rayonnement mis par l toile est celle des couches externes quelques milliers de K et non du c ur beaucoup plus chaud quelques millions de K Notons w T dw la densit volumique d nergie des fr quences de l intervalle w w dw La physique classique pr dit une densit pr sentant le comportement ur w T x Tu la loi de Rayleigh Jeans obtenue par Lord Rayleigh en 1900
25. er avaient pr sent es sous la forme de vingt quations Mentionnons galement le r le d terminant de Heinrich Rudolf Hertz 1857 1894 qui mit en vidence exp rimentalement l existence des ondes lectromagn tiques pr dites par les quations de Maxwell et montra que la lumi re est une forme de rayonnement lectromagn tique 1 2 3 La physique statistique La derni re des th ories cadres est la physique statistique laquelle on peut attacher les noms de Rudolf J E Clausius 1822 1888 et J C Maxwell pour le d veloppe ment de la th orie cin tique des gaz J W Gibbs 1839 1903 et Ludwig Boltzmann 1844 1906 La physique statistique s attache l tude des syst mes tr s grand Chapitre 1 Introduction nombre de degr s de libert par exemple les gaz les solides etc et permet de d duire leurs propri t s aux chelles macroscopiques partir de lois gouvernant les constituants l mentaires aux chelles microscopiques par exemple l chelle ato mique pour les gaz Bas e sur un langage probabiliste la masse d information d crivant les d tails de l chelle microscopique est limin e au profit d un petit nombre de grandeurs entropie statistique temp rature pression etc Contrairement la m canique newtonienne et l lectrodynamique elle ne vise pas d crire la dynamique des objets l mentaires mais cherche au contraire d gager des lois fondamentales con
26. fonction de la pulsation En augmentant l intensit lumineuse du rayonnement monochromatique on aug mente l nergie d pos e dans le m tal On pourrait penser qu on augmente ainsi T nergie cin tique des lectrons arrach s cependant il n en est rien comme l illustre la figure puisque la contre tension Vo est ind pendante de l intensit lumineuse Seul le flux d lectrons arrach s varie La contre tension est trac e en fonction de la fr quence du rayonnement fi gure 1 3 On observe l existence d une fr quence de seuil ws en de de laquelle 5 Il est int ressant de noter que d s 1905 Henri Poincar 1854 1912 sugg rait l analogie entre l exis tence des raies spectrales atomiques et les harmoniques de certaines quations diff rentielles apparais sant dans d autres domaines de la physique acoustique th orie de l lasticit lectromagn tisme 12 Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit 1 2 Br ves consid rations historiques la lumi re n est pas absorb e Au del de cette fr quence la relation entre contre tension i e nergie cin tique maximale des lectrons et fr quence est lin aire E w ws 1 1 o est une constante universelle alors que ws d pend du m tal en est ind pendante L existence du seuil incompr hensible classiquement sugg re Albert Einstein 1879 1955 prix Nobel 1921 en 1905 que l nergie du rayonn
27. g positi vement Or l lectron acc l r dans le champ lectrique du noyau devrait mettre un rayonnement lectromagn tique et voir son nergie m canique diminuer Le rayon de l orbite de l lectron devrait alors diminuer et l atome s effondrer sur lui m me Dans le cas de l atome d hydrog ne on trouve une dur e de vie de 107 s cf exer cice 15 5 La physique classique pr dit donc que les atomes ont une dur e de vie finie extr mement courte ce qui est heureusement pour nous contredit par l exp rience c Impasse n 2 Absorption et mission de lumi re L absorption et l mission de lumi re par la mati re r v lent un caract re discontinu qui ne s explique pas dans le cadre classique 4 Le nombre de neutrons dans le noyau varie d un isotope l autre par exemple dans le carbone 12 6 protons et 6 neutrons et le carbone 14 6 protons et 8 neutrons Les propri t s chimiques des isotopes sont identiques puisqu elles d pendent de la structure lectronique i e du nombre de pro tons seule la masse varie Pour viter tout anachronisme notons que le neutron dont l existence a t conjectur e par Rutherford en 1920 ne sera d couvert qu en 1932 par Chadwick Chapitre 1 Introduction e Spectroscopie atomique Les exp riences d absorption ou d mission de la lumi re par un gaz atomique montrent que la lumi re n est absorb e mise qu certaines fr q
28. gt A classique 1 7 Action quantique 1 8 Cependant la d finition du domaine quantique n est malheureusement pas aussi simple cf par exemple la discussion cl turant la section 4 2 page 84 Une distinc tion tr s importante entre m canique classique et m canique quantique est l existence de ph nom nes d interf rences quantiques Or ces derniers sont extr mement fragiles et une limitation pratique rendant leur observation difficile i e limitant la coh rence est l interaction d un syst me quantique avec le monde ext rieur extr mement diffi cile contr ler 1 4 APER U DES POSTULATS DE LA M CANIQUE QUANTIQUE Cette section donne un aper u de la structure de la m canique quantique les postulats sont rapidement nonc s regroup s en concepts et postulats La p dagogie est ici sacrifi e afin de donner une vue d ensemble Les postulats seront introduits plus en douceur dans les chapitres 3 4 5 et 11 1 4 1 Les concepts Dans la m canique newtonienne l tat d une particule ponctuelle est d fini un ins tant t par des donn es cin tiques une position F t et une impulsion r ce qui d termine l volution ult rieure i e la trajectoire En revanche la notion de trajec toire dispara t dans le cadre quantique et les notions de position et d impulsion qui ne peuvent plus tre d termin es simultan ment prennent un statut assez diff rent comme nous
29. ibrement entre les fentes les amplitudes sont donn es par Y1 S D e et YS D x ek ondes planes o 1 et 2 sont les longueurs des chemins Si aucun m canisme ne s lectionne une des deux trajectoires comme sur la partie gauche de la figure 1 5 l amplitude de probabilit au niveau du d tecteur est une superposition des deux amplitudes La probabilit correspondante Proba S D SAS gt D S gt D cos a t YAI 1 17 pr sente des franges d interf rences lorsque le d tecteur est d plac et que 1 2 varie L existence d une figure d interf rences repose donc crucialement sur le fait que le principe de superposition s applique aux amplitudes de probabilit et non aux probabilit s figure 1 5 Jusque l l analyse ressemble banalement l exp rience d Young pour une onde classique L exp rience devient int ressante lorsque le flux de particules est suffisam ment faible pour d tecter les particules une une aspect corpusculaire Si on attend qu un grand nombre de particules soient pass es les impacts apparaissant al atoire ment en diff rents endroits s accumulent pr f rentiellement dans certaines r gions faisant ainsi appara tre la figure d interf rences aspect ondulatoire De telles ex p riences d interf rences ont t r alis es pour de nombreux types de particules Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit 1 5 Premi
30. ication Son objet est d alerter le lecteur sur la menace que d enseignement sup rieur provoquant une baisse brutale des achats de livres et de revues au point que la possibilit m me pour les auteurs d cr er des uvres nouvelles et de les faire diter cor rectement est aujourd hui menac e Nous rappelons donc que toute reproduction partielle ou totale de la pr sente publication est interdite sans autorisation de l auteur de son diteur ou du Centre fran ais d exploitation du droit de copie CFC 20 rue des Grands Augustins 75006 Paris repr sente pour l avenir de l crit particuli rement dans le domaine de l dition technique et universi taire le d veloppement massif du photocopillage Le Code de la propri t intellec tuelle du 1 juillet 1992 interdit en effet express ment la photoco pie usage collectif sans autori sation des ayants droit Or cette pratique s est g n ralis e dans les tablissements DANGER LE PHOTOCOPLLAGE TUE LE LIVRE Dunod 2011 2015 5 rue Laromigui re 75005 Paris www dunod com ISBN 978 2 10 072154 2 Le Code de la propri t intellectuelle n autorisant aux termes de l article L 122 5 2 et 3 a d une part que les copies ou reproductions strictement r serv es l usage priv du copiste et non destin es une utilisation collective et d autre part que les analyses et les courtes citations dans un but d exemple et d illust
31. let pour pouvoir tre utilis de mani re autonome quelques notions math matiques essentielles sont rappel es dans plusieurs annexes De nom breuses r f rences sont donn es afin de fournir des pistes pour un lecteur d sireux d approfondir les sujets pr sent s vers des ouvrages de r f rence comme les livres d A Messiah 37 de L Landau et E Lifchitz 30 ou de C Cohen Tannoudji B Diu et F Lalo 8 Des r f rences plus r centes sont les excellents ouvrages de M Le Bellac 33 J L Basdevant et J Dalibard 5 ou encore le monumental livre de C Aslangul 3 4 d autres r f rences sp cialis es sont occasionnellement mentionn es Le cours s ouvre sur un chapitre introductif rappelant quelques motivations his toriques ayant conduit la r volution quantique du d but du XX si cle L expos se poursuit avec une pr sentation de l quation d onde de Schr dinger approche as sez traditionnelle ayant l avantage de jeter des ponts avec les acquis de physique classique des ondes Les premiers postulats sont ensuite pr sent s formalisme de Dirac postulats de mesure et d volution temporelle Le cadre ainsi dress un cha pitre court discute succinctement le r le des sym tries et permet d introduire des notions qui seront tr s utiles pour la suite de l expos Nous tudions ensuite l oscil lateur harmonique et le moment cin tique Le postulat de sym trisation est pr sent La th ori
32. lyse des aberrations de la trajectoire d Uranus Communiqu e le 31 ao t 1846 devant l Acad mie des sciences de Paris sa pr diction de l existence d une nouvelle plan te fut confirm e le 23 septembre par une observation de Johann Galle 2 Nous sommes tellement habitu s la RFD que nous en oublions quel point celle ci ne va pas de soi C est si vrai que des propositions ant rieures reliaient la force la vitesse ce qui est contredit par une analyse exp rimentale pr cise Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit 1 2 Br ves consid rations historiques 1 2 2 L lectromagn tisme Parall lement la th orie du mouvement des corps mat riels les ph nom nes de na tures lectrique et magn tique taient d crits par un certain nombre de lois finalement unifi es dans ce qui est aujourd hui appel l lectromagn tisme La th orie des ph nom nes lectriques s est d velopp e principalement dans la seconde moiti du XVII si cle On peut citer les noms de Charles Augustin Coulomb 1736 1806 d Alessandro Volta 1745 1827 et de Denis Poisson 1781 1840 Les ph nom nes magn tiques taient d crits depuis longtemps les aimants furent d couverts par les Grecs d s l Antiquit mais ce n est qu en 1820 que la relation entre les ph nom nes magn tiques et lectriques fut d montr e par une exp rience r alis e par Hans Christian rsted 1777 1851 montrant que l
33. nce de Stern et Gerlach d montre la quantification du moment cin tique intrins que des atomes d argent de la section 8 2 3 Or un op rateur lin aire est pr cis ment caract ris par un spectre de valeurs ses valeurs propres Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit 1 4 Aper u des postulats de la m canique quantique Les deux autres postulats expriment qu il y a deux types d volution e Une volution stochastique et irr versible le processus de mesure chapitre 4 Lorsque l tat d une particule microscopique est sond par un appareil de mesure macroscopique on con oit que l tat de la particule n en ressort en g n ral pas in demne Le postulat s nonce comme suit consid rons une particule dans un tat y et une observable A par exemple l impulsion repr sent e par un op rateur A agissant dans l espace des tats i dans le cas de l impulsion et dont les valeurs propres et les vecteurs propres sont not s a Yn Le r sultat de la mesure de A est al atoire mais ne peut tre que l une des valeurs propres de l op rateur la mesure donne la valeur propre a avec probabilit Proba A w an Ken Apr s la me sure l tat du syst me est Wfina A Pour voquer cette alt ration stochastique de la fonction d onde on parle de r duction du paquet d ondes e Une volution d terministe et r versible d un objet de nature pr
34. obabiliste l vo lution temporelle chapitre 5 L volution de la fonction d onde est gouvern e par T quation de Schr dinger 2 nye Dis F nger 1 V F D YF t 1 13 ot 2m SA D 2 2 JANA ai ne o 2 ia 5 est l op rateur de Laplace L quation de Schr dinger joue en m canique quantique le r le de la relation fondamentale de la dynamique en m ca nique newtonienne 1 4 3 Difficult s de linterpr tation We have made a number of assumptions about the way in which states and dyna mical variables are to be represented mathematically in the theory These assump tions are not by themselves laws of nature but become laws of nature when we make some further assumptions that provide a physical interpretation of the theory Such further assumptions must take the form of establishing connexions between the results of observations on one hand and the equations of the mathematical formalism on the other The principles of quantum mechanics Paul Dirac Les quelques r gles que nous venons d noncer suivent l interpr tation de Co penhague en r f rence la synth se op r e par Bohr en 1927 16 Si elles d fi nissent un mode op ratoire qui a d montr sa puissance et n a jusque l pas t mis en d faut la question de leur interpr tation continue susciter des d bats plus de 80 ans 7 Des mesures non destructives ont pu tre r alis es r cemment cf fin d
35. oin d tre le cas la fin du xIX si cle et les propri t s du monde atomique ne pouvaient qu tre d duites indirectement d observations aux chelles macroscopiques La r alit des atomes tait contest e par quelques grands noms de la physique par exemple Ernst Mach tenants d une approche continue oppos e la description ato miste On peut consid rer que la question de l existence des atomes fut tranch e d finitivement par la validation exp rimentale en 1908 par Jean Perrin 1870 1942 prix Nobel 1926 de la description du mouvement brownien propos e par Einstein en 1905 Le mouvement erratique d une petite particule d pos e la surface de l eau r v le les chocs incessants avec les mol cules du liquide Chapitre 1 Introduction 1 2 BR VES CONSID RATIONS HISTORIQUES Faisons un tat des lieux en cette fin de XIX si cle Il va de soi qu une pr sentation de quelques pages ne peut tre que tr s sch matique Nous voquons ici les grandes th ories cadres que sont la m canique newtonienne l lectromagn tisme et la ther modynamique physique statistique 1 2 1 La m canique newtonienne On peut faire remonter les premiers balbutiements de la m canique newtonienne au d but du XVII si cle avec la formulation du principe d inertie par Galileo Galilei 1564 1642 Les principes de la m canique dont la formulation fut rendue possible par l invention du calcul diff ren
36. omplet d observables qui commutent ECOC Exercices Chapitre 5 volution temporelle Postulats 3 5 1 R solution de l quation de Schr dinger 5 2 Th or me d Ehrenfest 5 3 Point de vue de Heisenberg Annexe 5 A Matrice de diffusion matrice S d une lame s paratrice Exercices M canique quantique Chapitre 6 Sym tries et lois de conservation 6 1 Sym tries 6 2 Transformations en m canique quantique 6 3 Groupes continus G n rateur infinit simal 6 4 Potentiel p riodique et th or me de Bloch Exercices Probl me 6 1 Groupe de Galil e Chapitre 7 Oscillateur harmonique 7 1 L oscillateur harmonique classique 7 2 Le spectre de l oscillateur harmonique Exercices Probl me 7 1 tats coh rents Chapitre 8 Moment cin tique Spin 8 1 Moment cin tique 8 2 Le spin Annexe 8 A Rotation de 2x du spin d un neutron Exercices Chapitre 9 Addition des moments cin tiques 9 1 In galit triangulaire valeurs de j permises 9 2 Construction des vecteurs ji j2 j my 9 3 Composition de deux spins 1 2 Exercices Chapitre 10 Introduction la th orie des collisions 10 1 Ce que le chapitre discute et ce dont il ne parle pas 10 2 Collisions en une dimension 10 3 Formulation g n rale quation de Lippmann Schwinger 10 4 Diffusion dans la situation bidimensionnelle 10 5 Diffusion dans la situation tridimensionnelle Annexe 10 A Fonctions de Green Exercices Probl mes 10
37. ouvaient pas de solution dans ce cadre Mentionnons une premi re difficult les quations de Newton et les quations de Maxwell ne sont pas invariantes sous le m me groupe de transformations d espace temps le groupe de Galil e laisse les premi res invariantes tandis que le groupe de sym trie des secondes est le groupe de Poincar Autrement dit les deux th ories ne sont pas affect es de la m me mani re par les transformations spatio temporelles ce qui contredit l id e fondamentale de l invariance des lois de la physique lors des changements de r f rentiels inertiels L incompatibilit entre groupes de sym trie des quations de Newton et de Maxwell fut r solue par l laboration en 1905 d une 3 Notons que la physique statistique s oppose en cela la thermodynamique cette derni re se fonde directement sur l chelle macroscopique et permet de construire des th ories ph nom nologiques par contraste avec la physique statistique qui vise construire des th ories microscopiques Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit 1 2 Br ves consid rations historiques M canique newtonienne Electromagn tisme dynamique des particules lt gt dynamique des champs dis r t ressens este rens se semer ses gt continu localis es sieste rune nes gt d localis s trajectoire cin matique Force de Lorentz Sources F q E xB POD amp jt
38. r R Feynman 18 Bas e sur la formulation lagrangienne de la m canique classique Elle s attache plut t l ana lyse des amplitudes de probabilit de transition e Enfin la th orie quantique des champs le formalisme de seconde quantifica tion permet de traiter les probl mes dans lesquels le nombre de particules n est pas conserv ou lorsqu elles se transforment ce qui est important dans certains domaines comme la physique des particules ou la mati re condens e 1 5 PREMI RES CONS QUENCES IMPORTANTES Il ne s agit pas d num rer dans ce paragraphe toutes les cons quences des r gles apparemment simples que nous venons d noncer ce qui suffirait nous occuper pendant tout un cycle universitaire mais plut t de mentionner quelques points parti culiers 1 5 1 La dualit onde corpuscule La m canique quantique ne permet pas seulement de d velopper une m canique des particules de mati re lectron proton neutron mais gale ment une th orie de la lumi re Elle abandonne compl tement la dichotomie ma Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit 1 5 Premi res cons quences importantes ti re corpuscule rayonnement onde les deux notions corpusculaire et ondulatoire se fondent dans la dualit ponyme d crivant aussi bien mati re que lumi re Comment cette dualit se manifeste t elle dans le formalisme Rappelons que deux notions la base des th ories
39. rateur d impulsion agit comme l action du gradient sur la fonction d onde p V une justification sera propos e au d but du chapitre 3 1 4 2 Les postulats e Le postulat de sym trisation Le premier des postulats qui sera le dernier discut dans le cours chapitre 11 concerne les propri t s de permutabilit de la fonction d onde N particules identiques Des particules identiques sont indiscernables La fonction d onde Y 7 Py doit donc tre sym tris e par rapport aux permutations de particules Si les particules sont des bosons photons m sons etc la fonction d onde doit tre invariante sous l action de la permutation de deux particules Ybosons Piste s Piste Yoosons FRE Ps 1 11 Si les particules sont des fermions lectrons protons neutrons la fonction d onde est antisym trique Yfermions ss eur Ta e Yfermions Peas Pere 1 12 La nature bosonique ou fermionique est d termin e par le moment cin tique intrin s que de la particule son spin 6 Cette r gle para t premi re vue tr s abstraite Cependant on peut essayer d en donner une justi fication heuristique en se souvenant que les exp riences mettent en vidence une quantification des grandeurs physiques par exemple l existence des raies spectrales d absorption mission d un gaz ato mique s interpr te comme une quantification de l nergie ou l exp rie
40. ration toute repr sentation ou reproduction int grale ou partielle faite sans le consentement de l auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite art L 122 44 Cette repr sentation ou reproduction par quelque proc d que ce soit constitue rait donc une contrefa on sanctionn e par les articles L 335 2 et suivants du Code de la propri t intellectuelle Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit TABLE DES MATI RES Avant propos Mode d emploi Notations Chapitre 1 Introduction 1 1 Qu est ce que la m canique quantique 1 2 Br ves consid rations historiques 1 3 La structure des th ories physiques 1 4 Aper u des postulats de la m canique quantique 1 5 Premi res cons quences importantes Annexe 1 A La physique quantique en quelques dates Annexe 1 B Rappels de m canique analytique Chapitre 2 quation d onde de Schr dinger 2 1 quation d onde Premi res applications 2 2 Fonction d onde dans l espace des impulsions 2 3 In galit s de Heisenberg Annexe 2 A Transformation de Fourier Annexe 2 B Distributions Exercices Chapitre 3 Formalisme de Dirac Postulats 1 3 1 Introduction 3 2 Pr lude espace des fonctions d onde 3 3 Formalisme de Dirac Annexe 3 A Quelques rappels d alg bre lin aire Exercices Chapitre 4 La mesure Postulats 2 4 1 Motivations 4 2 Les postulats de mesure 4 3 Valeur moyenne d une observable 4 4 Ensemble c
41. remarquable de constater que l tude de deux probl mes premi re vue aussi diff rents que la thermodynamique du rayonnement dans une toile et l irradiation d un morceau de m tal font appara tre la m me constante universelle A Analysons sa dimension l expression 1 2 montre que w est une nergie autrement dit A permet de convertir une pulsation en nergie A Energie Temps 1 3 Longueur Impulsion 1 4 Moment cin tique 1 5 C est aussi la dimension d une action une grandeur physique introduite dans le cadre de la formulation lagrangienne de la m canique classique cf annexe 1 B ce qui explique pourquoi la constante de Planck est d nomm e le quantum d action Sa valeur 1 054571 68 18 x 107 J s 1 6 extr mement petite compar e aux chelles physiques caract risant le monde qui nous entoure 1 kg 1 m 1 s gt action 1 J s sugg re que les ph nom nes quantiques n mergent qu de tr s petites chelles dans les deux exemples les processus mi croscopiques d interaction entre mati re et rayonnement sont en jeu Exercice 1 1 F a Donner l expression de l action de la terre pendant une r volution autour du soleil l orbite tant suppos e circulaire Calculer S x en unit de fi G 6 67 x 107 kg m s7 Mo 2 x 10 kg Ms 6 x 10 kg et Re 1 u a 150 x 10 km b Calculer l action d un lectron d crivant une orbite circulaire autour d
42. res cons quences importantes x PG I PQ gt Figure 1 5 Principe de superposition i Tii Probabilit P x d observer des particules sur l cran dans trois situations Le principe de superposition ne s applique pas aux probabilit s ce qu on aurait pu attendre classique ment mais aux amplitudes de probabilit s d o la figure d interf rences photons lectrons neutrons figure 1 6 atomes mol cules La figure 1 6 montre le r sultat r cent de la tr s spectaculaire exp rience d interf rences r alis e avec un faible flux au plus 4 mol cules d tect es par seconde de mol cules de fuller ne 400 4000 w 3000 w 2000 1000 de neutrons 125min pa e a de mol cules 100s j 1 i 1 j 1 1 2 0 100 200 300 400 500 600 700 800 oso 00 s0 0 50 10 10 Position du d tecteur um Position du d tecteur um Figure 1 6 Interf rences de particules gauche Exp rience d Young r alis e avec des neutrons de longueur d onde 4 2 nm i e vitesse v 200 m s Donn es tir es de A Zeilinger Rev Mod Phys 60 1067 1988 A droite Diffraction de mol cules de fuller ne Ceo par un r seau de fentes Longueur d onde 1 4 pm i e v 130 m s Donn es tir es de O Nairz M Arndt amp A Zeilinger Am J Phys 71 319 2003 b Double puits de potentiel Une autre cons quence surpren
43. s ment la n cessit d un abandon des concepts de la physique dite classique nous enten dons par l la m canique newtonienne et l lectromagn tisme lorsque l on s int resse aux chelles atomiques et subatomiques Les notions qui constituent le socle de la physique classique ont t forg es partir de notre exp rience imm diate or si nous pouvons esp rer deviner les lois fondamentales qui r gissent le mouvement des corps mat riels en analysant le mouvement d une boule de billard ou celui des plan tes l aide d un t lescope il n y a a priori pas de raison vidente pour que ces lois s appliquent encore dans le monde atomique et subatomique Il n est donc pas surprenant r trospectivement que la description du comportement des atomes requi re d autres concepts que ceux utilis s pour analyser la dynamique des corps macroscopiques Commen ons par quelques consid rations historiques afin de dresser un rapide ta bleau de l tat de la physique la fin du XIX si cle la veille de plusieurs grands bouleversements Elles nous aideront mieux saisir les paragraphes suivants qui se ront consacr s une description succincte de la structure des th ories physiques et de la m canique quantique en particulier 1 Aujourd hui les progr s de la physique quantique nous permettent de voir les atomes l aide des microscopes force atomique ou effet tunnel figure 2 2 C tait l
44. tiel attribu e Gottfried Wilhelm Leibniz 1646 1716 et Isaac Newton 1642 1727 furent tablis par ce dernier 1 Newton Philo sophiae Naturalis Principia Mathematica 1687 La m canique newtonienne en s appuyant sur les notions de la cin matique po sition vitesse acc l ration et celle de force permet de pr dire le mouvement des corps solides l aide d un certain nombre de lois universelles e Le principe d inertie les lois de la m canique sont les m mes dans tous les r f rentiels inertiels e Le principe d action r action e La relation fondamentale de la dynamique RFD reliant l acc l ration i e une DAT OA a 2 Ed quantit cin matique d une particule de masse m la force F exerc e sur celle ci Pee 3 i i e une quantit dynamique mg F e On doit ajouter ces trois principes une quatri me loi fondant la th orie newto nienne de la gravitation la force d attraction Fo ui exerc e par une masse M l origine sur une masse en 7 ri o G 6 67 x 107 m kg s7 est la constante universelle de gravitation il semble exister une controverse entre Newton et Robert Hooke 1635 1703 quant la paternit de la loi en 1 r La th orie newtonienne a connu des succ s clatants principalement pour la des cription du mouvement des corps c lestes culminant avec la d couverte de Neptune par Urbain Le Verrier 1811 1877 gr ce l ana
45. tr lant les ph nom nes collectifs La relation entre la physique statistique et les autres th ories cadres est subtile puisque le choix de la dynamique microscopique classique ou quantique est ind pendant de l id e centrale du passage de l l men taire au collectif 1 2 4 Les impasses de la th orie classique Si on r sume la situation en cette fin de XIX si cle il y a donc d une part une th o rie de la dynamique de la mati re la m canique newtonienne on pourrait parler de physique corpusculaire d autre part la th orie lectromagn tique qui est claire ment de nature ondulatoire puisqu elle d crit la dynamique des champs lectrique et magn tique branlements d un milieu le myst rieux ther alors mal d fini Comme Hertz l a d montr exp rimentalement cette th orie d crit les ph nom nes lumineux c est une th orie du rayonnement L interaction entre mati re et rayonne ment est assur e d une part par l introduction de la force de Lorentz F q 0x B dans la relation fondamentale de la dynamique et d autre part par les termes de sources donnant naissance aux champs densit de charge p et densit de courant j dans les quations de Maxwell figure 1 1 En d pit des succ s remarquables de ces deux th ories le bel difice tait remis en question la fin du XIX si cle par un certain nombre de probl mes loin d tre secondaires comme nous le verrons qui ne tr
46. u sur les rep res histo riques 15 Chapitre 1 Introduction 16 apr s l mergence de la m canique quantique La difficult vient de la juxtaposition des deux types d volution Consid r e isol ment l quation de Schr dinger 1 13 pourrait sugg rer que la m canique quantique est une physique ondulatoire au m me titre que l optique ou l acoustique d velopp es au XIX si cle mais pour des ondes de mati re Le point d licat vient de l interpr tation probabiliste qui implique que l quation de Schr dinger ne s lectionne pas une r alit unique mais d crit l vo lution coh rente de plusieurs ventualit s la superposition de plusieurs r alit s C est la r duction du paquet d ondes au moment de la mesure qui s lectionne de mani re stochastique un r sultat unique une des r alit s possibles 28 39 Nous reviendrons sur ce point au 4 2 b 1 4 4 Diff rentes formulations Distinguons plusieurs pr sentations du formalisme quantique e Dans celle que nous donnerons nous analyserons l volution temporelle de l tat quantique L analyse spectrale des op rateurs sera centrale en particulier celui re pr sentant l nergie qui joue un r le particulier dans l volution On peut voir cette pr sentation comme la quantification de la formulation hamiltonienne de la m ca nique analytique e La formulation d int grale de chemin d velopp e pa
47. uences discr tes Cet ensemble de fr quences constitue le spectre de l atome et joue le r le de sa carte d identit Cette observation sera l origine du mod le de l atome de Bohr essentiellement le mod le d atome plan taire auquel on ajoute une r gle de quantification o Effet photo lectrique D couvert par Heinrich Rudolf Hertz 1857 1894 en 1887 l effet photo lectrique est l mission d lectrons par un m tal soumis un rayonnement ultraviolet D crivons l exp rience un morceau de m tal est plac dans le vide et clair par un rayonnement ultraviolet monochromatique de pulsation w Une diff rence de potentiel V est appliqu e entre le m tal et une cathode Le courant 7 d lectrons arra ch s de l anode est mesur en fonction de la tension V figure 1 3 Lorsque la tension est inf rieure la contre tension Vo les lectrons sont repouss s par la cathode et le courant lectrique ne passe pas Vo fournit donc une mesure de l nergie cin tique maximale des lectrons arrach s max E Vo m tal TA UV intensit 2 y YN mte A ivanaa f TA UV UV intensit 1 a O gt vide W 0 yV 0 Os Figure 1 3 Effet photo lectrique A gauche mission d lectrons par un m tal soumis un rayonnement ultraviolet mo nochromatique de pulsation w Au milieu courant d lectrons arrach s en fonction de la tension A droite contre tension en
48. x Oy Oz Y 0 p TG Y C 41 B u v H z Pa 2 PF Ek Jz N HP K 2 hi2 C matrices de Pauli harmonique sph rique fonction Gamma d Euler fonction digamma constante d Euler Mascheroni fonction Beta d Euler polyn me d Hermite polyn mes de Legendre polyn me de Laguerre fonction de Bessel fonction de Neumann Bessel de 2 me esp ce fonction de Hankel Bessel de 3 me esp ce fonction de MacDonald Bessel modifi e de 3 me esp ce constante de Planck c l rit de la lumi re permittivit di lectrique du vide permittivit du vide masse de l lectron charge de l lectron couplage lectromagn tique masse effective Principales unit s syst me MKSA TOLARE m tre kilogramme seconde Joule Kelvin Amp re Coulomb Volt Ohm Tesla Farad Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit INTRODUCTION 1 1 QU EST CE QUE LA M CANIQUE QUANTIQUE Ses fondateurs consid raient la m canique quantique comme le cadre th orique per mettant de d crire le comportement de la mati re et de la lumi re aux chelles ato miques et subatomiques Plus tard avec la d couverte de ph nom nes quantiques macroscopiques cette d finition est n anmoins apparue trop restrictive Cependant la d finition du domaine quantique est d j une question tr s d licate aussi nous en resterons ce premier point de vue qui permet de toucher du doigt assez ai
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