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Bourbachique - Académie de Stanislas

1. M moire de dipl me de l Ecole Pratique des Hautes Etudes en Sciences Sociales Paris 1977 So GuEDJ D Nicolas Bourbaki math maticien collectif interview avec Claude Chevalley D dales novembre 1981 go LECLERCQ A et Creps M B Le mouvement bourbachique rapport d tudes ENSMIM Nancy 1995 2 SCHMIDT M Hommes de science 28 portraits Hermann 1986 2 SCHWARTZ L Un math maticien aux prises avec le si cle Odile Jacob 1997 o S N CHAL M Interview avec Pierre Cartier The Mathematical Intelligencer 20 1 pp 22 28 1998 2 S N CHAL M Andr Weil 1906 1998 Gazette des Math mati ciens suppl ment au n 80 avril 1999 2 WARUSFEL A Les math matiques modernes collection Le rayon de la science ditions du Seuil 1969 so WEIL A Souvenirs d apprentissage Birkha ser 1991 2 Num ro sp cial de Pour la Science Les g nies de la science Bour baki une soci t secr te de math maticiens 2 Encyclop die illustr e de la Lorraine Histoire des Sciences et des Techniques les Sciences exactes 59 Encyclop die des Sciences volume math matique dition Grange Bateli re 5 Encyclop die des sciences et des techniques dition Presses de la Cit 1972
2. int ressa aussi la litt rature et aux langues Il connaissait le grec le latin l allemand l anglais et le sanskrit et cela d s l ge de 15 ans Il avait para t il un caract re difficile et d testait tout particuli rement les flatteurs Il faisait preuve d un redoutable esprit critique mais poss dait un indiscutable sens de l humour W CB Gen se du groupe La cr ation de Bourbaki a t entour e d une fantaisie et d un folk lore qui doivent beaucoup l origine normalienne de ses membres La m me ambiance subsistera au moins pendant un certain temps lors du d roulement des activit s du groupe Ce que l on peut consid rer comme le noyau central de celui ci tait constitu comme nous l avons vu des cinq math maticiens pr c dents Il semble que la premi re r union du groupe de ces cinq cr ateurs auxquels s tait joint Ren de Possel ait eu lieu au quartier latin le 10 D cembre 1934 l occasion d un s minaire de Math matiques Lob jectif tant d sormais fix puisqu il s agissait de r diger un trait d ana lyse destin la licence de math matiques il restait pr ciser un certain nombre de points Il fallait en effet et en tout premier lieu d finir le mode de fonctionnement du groupe et en particulier la mani re dont la r daction devrait s effectuer au sein de celui ci Il tait aussi n cessaire de pr voir la forme et la fr quence des r unions de ce group
3. la tentation de trouver une structure cach e dans le monde Autrement dit il faut s af franchir du r el et de ne faire que des math matiques pures On voit quel point ces id es ont pu influencer le mouvement Bourbaki Par ailleurs Chevalley avec ses amis Arnaud Dandieu et Raymond Aron tait membre influent d Ordre Nouveau mouvement ten dance anarchique et europ enne qui pr nait tout la fois la primaut de la personne humaine la d mocratie directe et une conomie anti productiviste Ce groupe disparut en 1938 et Chevalley pu alors se con centrer davantage sur les math matiques Toutefois dans les ann es soixante il militait encore dans un mouvement cologiste en compagnie de ses coll gues Bourbakis Godement et Grothendieck Il fut sans doute le plus individualiste et le plus critique des fondateurs de Bourbaki quant l uvre m me de ce dernier Jean Delsarte est n en 1903 Fourmies dans le Nord o son p re tait directeur d usine dans l industrie textile Une phrase d Andr Weil le caract rise pleinement Delsarte devait demeurer fid le sa foi religieuse qui s alliait en lui une rare ouverture d esprit et l on est en droit de dire qu elle tint une place importante dans son syst me de pens e et son comportement Il entra l Ecole Normale en 1922 fut agr g en 1925 puis entra la pension Thiers Paris o il r digea sa th se en un an En 1927 il fut
4. ventuelles publications ult rieures l diteur actuel Masson ne fait pas particuli rement preuve d optimisme Par ailleurs le contenu de certains volumes d j publi s a quelque peu vieilli Il faut aussi convenir de ce que le paysage math matique a consid rablement volu en un peu plus d un demi si cle en partie d ailleurs travers l uvre de Bourbaki et qu un certain nombre de prin cipes sur lesquels s appuyait le groupe ne peuvent plus de nos jours tre respect s Par son succ s m me Bourbaki a suscit des vocations et d excellents ouvrages paraissent tous les ans qui sont autant de concurrents Le principe visant impliquer tous les membres du groupe dans la r daction est plus difficile respecter dans les chapitres o la sp cialisa tion devient plus troite Ce fait est apparu d ailleurs d s que les six premiers livres aient t publi s en 1950 mais il pr sente aujourd hui encore plus d vidence De plus Bourbaki a d cid partir de 1958 de mettre jour les El ments de math matique d j parus ce qui a demand des efforts et surtout du temps Or de nos jours enseignants chercheurs et ensei gnants chercheurs sont tr s sollicit s et le temps est justement ce qui manque le plus aux math maticiens comme aux autres scientifiques d ailleurs Le temps consacr la r vision du trait n a donc pu l tre de nouvelles r dactions D apr s B
5. orie des nombres alg briques l axiomatisation de la g om trie et les espaces vectoriels Il avait aussi invent la m tamath matique et fait de nombreux travaux de physique th orique La pr minence de Poincar et de Hilbert symbolisaient en quelque sorte celles des coles math matiques fran aise et allemande en Europe et sans doute dans le monde En 1900 les math matiques fran aises taient particuli rement brillantes avec Emile Picard Jacques Hadamard Emile Borel Ren Baire et Henri Lebesgue dont les travaux portaient tre mondial des math matiques et dans une ambiance particuli rement propice naquit et se d veloppa une prestigieuse quipe d alg bre abs traite et moderne o s panouirent les talents d Emil Artin d Emmy Noether et du hollandais Van Der Waerden L ge d or des math mati ques allemandes persista jusqu en 1933 mais celui des math matiques fran aises s acheva beaucoup plus t t lors de la premi re guerre mon diale et de la p riode qui suivit La saign e d mographique inh rente la guerre de 1914 1918 est la raison principale de ce d clin comme l explique d ailleurs fort bien le Bourbaki Andr Weil dans ses souvenirs d apprentissage Il y rappelle que la moiti des math maticiens normaliens des promotions de 1910 1914 sont morts dans cette guerre et que le quart des promotions de 1900 1918 ont subi le m me sort Il est probable d ailleurs que les autres
6. peu pr s tous les pays On s tait en effet rendu compte que les math matiques enseign es l cole n taient plus adapt es au monde moderne et que tous les domaines qu ils soient conomiques scientifiques tech nologiques ou m me culturels attendaient beaucoup des math mati ques De plus au cours des ann es cinquante en pleine croissance co nomique le besoin en ing nieurs et en techniciens convenablement form s se faisait particuli rement sentir sans oublier l impact du para m tre politique avec l poque la rivalit Est Ouest Par ailleurs la r forme de l enseignement universitaire qui se d veloppait induisait fa talement celle de l enseignement secondaire En effet l image domi nante d une math matique reposant sur la th orie des ensembles dont Bourbaki tait largement responsable s tait impos e avec son unit re posant sur des structures g n rales telles que groupes anneaux corps etc Les math matiques taient alors suppos es constituer un langage universel langage cens pouvoir servir dans tous les domaines de l acti vit humaine aussi bien par exemple dans les sciences dures que dans les sciences humaines ou sociales C tait aussi l poque de la vague struc turaliste qui touchait nombre de disciplines comme la litt rature ou encore l ethnologie Ce mouvement influen a aussi consid rablement des p dagogues comme Jean Piaget et les math matiques la Bo
7. puis il revint un an Paris en 1948 gr ce une bourse Gunggenheim avant de regagner de nou veau l Am rique l Universit Columbia de New York Entre temps en 1948 il avait divorc et s tait remari Il revint en France en 1955 o il fut nomm la Sorbonne malgr de nombreuses oppositions Il prit sa retraite en 1978 et d c da en 1984 Les recherches de Chevalley concern rent notamment la th orie des nombres alg briques et plus particuli rement la th orie dite du corps de classes la g om trie alg brique et la th orie des groupes Sa contribution au d veloppement des math matique a t d autant plus importante qu il a aussi r dig personnellement des ouvrages de grande qualit qui sont devenus des classiques La philosophie a constitu un autre centre d int r t de Claude Chevalley qui a fortement subi l influence d Herbrand mais l pist mologie l attirait galement Il associait la rigueur math matique une exp rience tr s personnelle de l angoisse et de la libert dira de lui sa fille n e de son second mariage et actuellement professeur de COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD 147 philosophie l universit de Tours Elle explique que pour son p re la cr ation math matique ne se concevait que d gag e de toute contin gence ext rieure elle ne pouvant ni ne devant se soumettre aux exigen ces du monde r el par exemple celui du physicien ou
8. s La m thode axio matique est donc fond e sur l id e simple suivante au lieu de s int res ser aux objets on tablit la liste des propri t s qui sont n cessaires la d monstration Ces propri t s sont ensuite mises en vidence et expri m es par des axiomes On comprend que d s lors la nature des objets est indiff rente Au lieu de s y int resser on construit la d monstration de fa on telle qu elle soit valable pour tout objet satisfaisant aux axiomes Il est assez remarquable que l application syst matique d une id e aussi simple ait si compl tement branl les math matiques conclut Cartan Le troisi me mot cl est celui de structure indissociable pour Bour baki de la m thode axiomatique Pour savoir ce que Bourbaki entend par structure math matique il faut encore se r f rer Architecture des math matiques On y explique que l on part d un ensemble l ments dont la nature n est pas sp cifi e et pour d finir une struc ture on se donne des relations o interviennent ces l ments on pos tule ensuite que ces relations satisfont certaines conditions qui sont les axiomes de la structure envisag e Faire la th orie axiomatique d une structure c est d duire les cons quences logiques des axiomes de la structure On s interdit toute hypoth se compl mentaire sur les l ments consid r s en particulier sur leur nature Une des plus importante
9. tablissements fran ais d Enseignement Sup rieur furent affect s dans des proportions semblables Dieudonn autre Bourbaki en d cri vait les cons quences dans un de ses premiers articles Ce sont les jeunes math maticiens tu s la guerre qui auraient d continuer les travaux de Poincar ou de Picard Dieudonn soulignait encore les inconv nients qu a constitu pour sa g n ration le fait d avoir des pro fesseurs trop g s pour tre au courant de l volution moderne des ma th matiques C est la fondation du groupe Bourbaki ajoute t il qui a permis de renouer avec une tradition qui tait en train de dispara tre Toutefois ces pertes humaines aussi douloureuses fussent elles nex pliquent pas tout car l Allemagne aussi a subi des pertes certes relative ment moins importantes mais sans conna tre le m me d clin scientifi que Apr s avoir analys la situation de la science fran aise cette poque l historien des sciences L Beaulieu accuse dans un de ses ouvrages la tr s grande rigidit des institutions scientifiques fran aises par ailleurs trop centralis es l absence de moyens financiers substantiels pour la recherche apr s guerre et l accaparement des cr dits et des emplois de collaborateurs par ceux que Weil appela les pontifes qui sont trangers aux grands probl mes aux id es vivantes de la science de leur poque 144 COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD Le
10. Celui ci dans ses El ments de G om trie commence par d finir les objets fondamentaux que sont un point quelque chose n ayant pas de partie une courbe une droite un plan etc Il nonce ensuite cinq axio mes qui sont bien connus le premier disant tant donn deux points il existe un segment de droite qui les joint le cinqui me tant quivalent au fameux postulat des parall les par un point ext rieur une droite on ne peut mener qu une parall le cette droit Euclide se fonde en suite sur ces axiomes pour d montrer des propri t s ou pour effectuer des constructions g om triques Mais Euclide ne proc de pas avec une rigueur parfaite et utilise sans sen rendre compte des propri t s ni pos es en axiomes ni d montr es mais qui peuvent faire appel dans certains cas l intuition visuelle comme par exemple sa construction c l bre du triangle quilat ral partir d un segment de droite N an moins on peut consid rer Euclide comme le pr curseur de la m thode axiomatique en rappelant la grande difficult qu il a rencontr e pour d gager un syst me coh rent d axiomes sur lesquels puisse reposer sa g om trie Pour obtenir un tel syst me coh rent d axiomes il a fallu attendre Hilbert avec ses Fondements de la G om trie publi s en 1899 le quel comme nous l avons d j exprim peut tre consid r comme le p re de l axiomatique moderne et par l m me du
11. Repli Clermont Ferrand en 1939 il rejoignit la Sor bonne en 1940 mais effectua son service d enseignement principal l Ecole Normale o il proc da en douceur la r novation de l ensei gnement des math matiques Il revint de 1945 1947 Strasbourg pour satisfaire des engagements qu il avait pris ant rieurement puis retourna Paris o finalement il sera nomm en 1959 sur une chaire de la nouvelle Facult des Sciences d Orsay chaire qu il occupera jus qu en 1975 date de sa retraite Ses travaux ont port essentiellement sur les fonctions de plusieurs variables complexes Il a notamment introduit la notion de faisceaux en g om trie des espaces analytiques et la notion de filtre en topologie Il s est aussi int ress la th orie dite du poten tiel Le prix Wolf de Math matiques lui a t attribu en 1980 Tr s actif et tr s productif malgr ses nombreuses t ches tant admi nistratives que p dagogiques il fut aussi tr s novateur et tait consid r par certains de ses proches comme l illustration la plus frappante presque l incarnation de Bourbaki 146 COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD Il a aussi beaucoup uvr pour la solidarit entre les peuples d Eu rope et milit au sein de l Association Europ enne des Enseignants dont il pr sidait de la section fran aise Il organisa en 1960 une premi re r union de math maticiens de huit pays europ ens en vue
12. S il peut tre tr s certainement utile aux chercheurs ce n est pas proprement parler un ouvrage de recherche car il ny figure pas en prin cipe de r sultats nouveaux M me si les diff rents membres de Bour baki ont tous t de brillants chercheurs dont la production scientifique a largement particip l avancement de la discipline et leur a valu les r compenses les plus prestigieuses le groupe en tant que tel n est pas cens avoir apport de v ritables d couvertes ou inventions math mati ques Toutefois certaines d monstrations particuli rement astucieuses lin troduction d un langage neuf avec des termes originaux voire des no 162 COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD tions nouvelles comme par exemple celle de filtres font des El ments de Math matique un ouvrage fronti re Cependant on peut consid rer que le trait constitue essentiellement un synth se a peu pr s exhaustive d un corpus de connaissances pr exis tantes r organis es et reformul es en un langage moderne et logique mettant en vidence unit profonde de la discipline En ce qui concerne les six premiers livres Th orie des ensembles Alg bre Topologie g n rale Fonctions d une variable r elle Espaces vectoriels Int gration chaque nonc ne fait appel qu aux d fini tions et r sultats expos s pr c demment dans ce livre ou dans les livres ant rieurs est il pr cis dans l avant propos de chaque
13. analyse con form ment au programme de la licence de math matiques Fonctions de variables r elles fonctions de variables complexes int grales qua tions diff rentielles quations aux d riv es partielles etc et une seconde partie devait comporter un certain nombre de chapitres plus novateurs non encore d finis de fa on pr cise mais qui avaient pour but de don ner de solides notions d alg bre moderne de th orie des ensembles et de topologie Cette derni re partie tait consid r e comme indispensa ble la coh rence et la compr hension de l ensemble du texte par les Bourbakis Ceux ci trouv rent en grande partie leur inspiration dans le livre particuli rement novateur de Van der Waerden Modern agebra publi en Allemagne au cours des ann es 1930 1931 et qu ils avaient tout particuli rement appr ci l poque comme bien d autres math maticiens d ailleurs W CB R alisation pratique du projet Bourbaki se fixa un an pour achever la r daction du trait et arriver sa publication Le volume pr visible de l ouvrage fut estim alors 3 200 pages ce qui tait d j trois fois plus important que ce que pr voyait initialement Cartan Le d lai ne fut pas et ne pouvait d ailleurs pas tre tenu En effet une uvre de cette importance et aussi novatrice ne pou 160 COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD vait se faire sans qu interviennent des discussions et des d
14. bats multiples avec les r visions successives en r sultant des modifications plus ou moins importantes des permutations de th mes conduisant en particulier l affinement continuel du plan C est ainsi que la seconde partie qualifi e de paquet abstrait par les Bourbakis n a cess de cro tre en volume au d triment de la partie dite classique dont la r daction fut retard e car peut tre au moins im plicitement jug e sans doute moins urgente Cette partie abstraite de vint donc la partie originale et essentielle du trait De ce fait le projet d passait alors de tr s loin l objectif initial du trait d analyse et attei gnait une ampleur et une importance impr vues Il convenait alors par cons quent de d signer le futur ouvrage sous un titre plus conforme l ambition r elle affich e par Bourbaki Le titre propos fut El ments de Math matique avec le mot math matique au singulier pour bien montrer combien les membres du groupe ressentait l unit profonde de la discipline Le premier volume para tre en 39 40 fut le Fascicule de r sul tats de la th orie des ensembles Pendant la seconde guerre mondiale et malgr les nombreuses difficult s rencontr es par les membres du groupe quelque peu dispers s trois autres volumes sortirent mais la p riode la plus prolifique s tendit de la fin du conflit l ann e 1970 A partir de cette date les publications virent leur fr quence dim
15. ces notions l ensemble des math matiques en particulier promouvoir un concept de structure g n ralisant les travaux des allemands en alg bre et ainsi faire une tentative d unification des math matiques D CB Les r actions l uvre de Bourbaki En g n ral le trait de Bourbaki a t l origine tr s favorablement accueilli par la communaut scientifique encore que certains volumes aient t plus appr ci s que d autres tels que le livre de Topologie g n rale et celui des Groupes et alg bres de Lie consid r s comme les plus r ussis Traduits dans de nombreuses langues les El ments de math matique figurent une place de choix dans toutes les biblioth ques de math matiques Ils ont d ailleurs fait l objet de nombreuses r ditions donnant souvent lieu des remaniements parfois profonds Il convient de signaler que la publication de l ouvrage a rapport des droits d auteur substantiels au groupe Le moins que l on puisse dire c est que les El ments de math mati que n ont laiss personne indiff rent dans le monde des professionnels des math matiques faisant l objet de rappels d tudes et de commentai res dans la plupart des revues sp cialis es Nombre de comptes rendus ont pr sent favorablement les premiers livres de l ouvrage du groupe Parmi les commentaires les plus flatteurs il convient de rapporter ceux d Emil Artin le c l bre alg briste allemand q
16. cialistes jeunes de pr f rence lesquels avec un regard quelque peu ext rieur au probl me directement trait se rendent mieux compte des difficult s que doit surmonter un novice Pierre Samuel membre de Bourbaki de 1947 1971 affirme C est plus simple de trouver un orateur nous pensions au c t formateur il est utile de charger un jeune de parler d un sujet qu il ne conna t pas sp cialement c est un exercice tr s f cond Pour un jeune orateur ainsi sollicit l honneur est grand mais p rilleux Les discussions sont vives m me si elles ont perdu quelque peu de la s v rit qui tait de mise quand au premier rang taient pr sents les fondateurs Andr Weil Claude Chevalley Henri Cartan Alexan dre Grothendieck ou Jean Dieudonn Il convient de pr ciser que le s minaire Bourbaki n est d sormais plus le seul du genre la Soci t math matique de France en particulier en organise un relevant peu pr s de la m me vocation Ceci et bien d autres raisons ont fait dire certains que l int r t du s minaire Bour baki est quelque peu mouss et qu il a perdu de son lustre d antan Mais quoi qu il en soit le s minaire est toujours l occasion pour les math maticiens de tous bords de se retrouver C est ainsi qu on peut y rencontrer des anciens Bourbakis comme Pierre Cartier Adrien Doualy Pierre Samuel ou Arnaud Beauville des math maticiens non Bourbakis comme Marc
17. comme Ren Thom M daille Fields en 1958 auteur de la th o rie des catastrophes ou encore Marcel Berger Andr Lichn rowicz ou Jean Leray 158 COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD Les Bourbakis avaient tous dans l ensemble de fortes personnalit s Certains comme Schwartz se sont fait conna tre par leurs activit s poli tiques tr s engag es un autre comme Grothendieck pour son militan tisme cologique W CS Plan de travail et volution du projet Le premier congr s de Juillet 1935 f t d sign sous le nom de r u nion pl ni re de fondation Au strict plan des math matiques c est cette occasion que le projet collectif du groupe commen a prendre forme Andr Weil qui est apparu en quelque sorte comme un leader quoiqu il s en soit toujours d fendu affirma qu il fallait fixer pour 25 ans les mati res du certificat de calcul diff rentiel et int gral en r di geant en commun un trait d Analyse Il est entendu que ce sera un trait aussi moderne que possible Un diteur fut propos par le m me Weil la maison Hermann dont le directeur Enrique Freymann tait de ses amis Delsarte soutint le principe d une r daction collective et Car tan estima que le projet devait conduire un ouvrage dont l ampleur devait se situer entre 1 000 et 1 200 pages Il apparut n cessaire aux diff rents membres du groupe d aboutir une parution rapide soit dans les six mois un an pou
18. des crit res bien d finis A toutes ces l ments qui militent pour une fin programm e de Bour baki nous opposerons cette d claration d Arnaud Beauville qui fut Bour baki jusqu en 1997 Je peux vous assurer que Bourbaki a en chantier des textes vrai ment tr s int ressants qui apporteraient quelque chose 186 COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD N anmoins beaucoup de sp cialistes pensent que l ge d or de Bour baki correspondait au r gne sans partage des math matiques pures Il appara t aujourd hui que d autre secteurs de la discipline ont puissam ment merg relevant par exemple des math matiques appliqu es W CS Le Bilan Quoi qu il en soit le r le particuli rement important de Bourbaki quant l volution des math matiques ou de la math matique est ap paru nous semble t il tout au long de notre expos Aussi ne ferons nous qu un rappel succinct des apports de ce groupe de math maticiens la communaut intellectuelle fran aise et internationale en mettant l accent sur les principaux l ments de son bilan Sur le plan mat riel Bourbaki laisse un trait de plus de sept mille pages qui a fait et qui fera toujours r f rence quel que soit l avenir des math matiques A ce trait il convient d ajouter une sorte d encyclop die de plus de dix mille pages issues du s minaire Bourbaki qui senri chit d ailleurs tous les ans et qui constitue une source d in
19. gagnant sa vie en enseignant dans divers tablissements De 1945 1947 il occupa une chaire l Uni versit de Sao Paulo puis de 1947 1958 il obtint un poste l Univer sit de Chicago qu il quitta pour d Institute of advanced Study de Princeton Il prit sa retraite en 1976 et mourut Princeton en 1998 Ses travaux qui sont consid rables ont port surtout sur la th orie des nombres et la g om trie alg brique Weil obtint le prix Wolf en 1979 et le prix Kyoto en 1994 qui sont deux distinctions prestigieuses Il peut tr s certainement tre consid r comme un des plus grands math maticiens du vingti me si cle C est ainsi par exemple qu il d montra l hypoth se de Riemann pour les courbes alg briques d finies sur un corps fini et qu il chercha g n raliser ce r sultat aux quations polynomiales nombre quelconque de variables Ces travaux le condui sirent formuler une s rie de conjectures amenant nombre de d velop pements en g om trie alg brique lesquelles furent d montr es ult rieu rement Comme autre travail notable de Weil il faut citer la formulation de la conjecture dite de Shimura Tanyama Weil laquelle a permis la COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD 151 d monstration en 1994 du c l bre th or me de Fermat par l anglais Andrew Wiles Par ailleurs Andr Weil fut un l ment essentiel du groupe Bourbaki Esprit universel d une immense culture il
20. glig les tra vaux les plus r cemment publi s en th orie des ensembles lors de la r daction du volume correspondant de son trait Dans les El ments de math matiques m me si les exemples de structures sont nombreux la notion quant elle reste vague Un histo rien isra lien des sciences Leo Corry a fait remarquer qu une th orisa tion des structures existe bien dans le livre sur la th orie des ensembles mais sans que ces d veloppements soient utilis s dans le reste de ce m me livre et qu on pouvait lire et comprendre chaque tome du trait sans conna tre la th orie des structures Corry ajoute d ailleurs que dans l ouvrage du groupe le concept de structure para t forc et non natu rel On rencontre une opinion identique chez Cartier ancien membre de Bourbaki qui affirme Bourbaki n a pas produit une th orie ma th matique des structures et n y tenait peut tre pas Il est difficile de traiter des structures math matiques sans voquer les travaux r alis s vers 1942 par les am ricains Eilenberg futur mem bre de Bourbaki et Saunders Mac Lane sur la th orie des cat gories On peut affirmer que cette th orie constitue un cadre abstrait plus g n ral que celui des structures de Bourbaki qui permet de d crire de nombreuses situations math matiques ainsi que les correspondances qu il peut y avoir entre elles Sans entrer dans les d tails on peut simplement pr ciser qu u
21. lassitude Ce que confirma Jean Pierre Serre Il est arriv heu reusement rarement que l un de nous s oppose telle ou telle r dac tion L une de celles ci resta bloqu e pendant des ann es Mais c tait une tradition que tout soit d cid l unanimit Aucune d cision concernant le groupe ne pouvant tre prise en dehors de cette r gle de l unanimit celle ci a pes et p se encore 156 COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD lourdement sur les relations des membres du groupe avec le monde ext rieur De m me l galit entre tous les membres est aussi un principe intan gible il ne doit pas exister de diff rence par exemple entre les anciens et les nouveaux Tous jouissent des m mes droits et des m mes devoirs d intervention au cours des s minaires Cependant comme toujours en pareille circonstance au moins dans le groupe Bourbaki initial d aucuns taient plus gaux que d autres Ainsi Andr Weil par exemple tait moins la cible des plaisanteries que certains de ses coll gues son prestige tant consid rable parmi les Bourbakis De m me Dieudonn homme aux d missions successives avait apparemment le statut particulier que lui conf rait son r le de r dacteur ultime des textes soumis discussion au cours des travaux du groupe Pratiquement d s sa cr ation Bourbaki a d songer s adjoindre de nouveaux collaborateurs Dans ce secteur aussi il a montr de l origina
22. les autres disciplines est attribu sans limite d ge C est ainsi que tous les fondateurs du groupe disparurent vers 1958 et que par le fait Bourbaki se voit b n ficier d une ternelle jeunesse Toutefois les anciens conservent des relations et pas seulement d ami ti avec les membres actifs Ils sont par exemple destinataires du bulle tin du groupe La tribu qui donne en particulier un compte rendu des congr s En pr s de soixante dix ans d existence Bourbaki a vu d filer une bonne quarantaine de membres la tr s grande majorit tant constitu e de math maticiens fran ais tous normaliens N anmoins quelques trangers ont pu rejoindre le groupe comme les am ricains Eilenberg Pun des cr ateurs de la th orie des cat gories et Lang ou encore le suisse Borel Sans vouloir rappeler les noms de tous les Bourbakis qui sont connus malgr leur relative discr tion on peut citer les cinq m daill s Fields qui ont particip leurs travaux ce sont Laurent Schwartz 1950 Jean Pierre Serre 1954 Alexandre Grothendieck 1966 Alain Connes 1982 et Jean Christophe Yoccoz 1994 Signalons que Schwartz et Serre ont t professeurs la Facult des Sciences de Nancy et que Grothendieck y a pr par sa th se sous la direction du premier An nom de la plus parfaite quit il faut bien pr ciser que d excel lents math maticiens fran ais n ont jamais appartenu au groupe Bour baki
23. les int grales multiples ou encore le th or me de Stokes Henri Cartan faisait souvent part de ses soucis son coll gue et ami Andr Weil enseignant dans la m me uni versit et comme lui ancien normalien Celui ci a rapport ces entre 142 COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD tiens dans ses Souvenirs d apprentissage o il raconte comment il avait propos Cartan de r diger un trait qui permettrait de r soudre le probl me voqu sinon d finitivement au moins pour 25 ans Un jour d hiver raconte t il vers la fin de 1934 je crus avoir une id e lumineuse pour mettre fin aux interrogations persistantes de mon camarade Nous sommes 5 ou 6 amis lui dis je peu pr s charg s de ce m me enseignement dans des universit s vari es R unissons nous r glons tout cela une fois pour toutes apr s quoi je serai d livr de tes A PR CE questions J ignorais que Bourbaki tait n cet instant Effectivement cette conversation qui pouvait para tre quelque peu anodine signait l acte de naissance de ce qui allait sans doute constituer l une des plus grandes aventures intellectuelles du vingti me si cle W CB Les math matiques en France dans les ann es trente Pour bien comprendre l mergence du groupe Bourbaki son volu tion et le succ s de sa d marche il est int ressant de d crire succincte ment quelle tait la situation des math matiques en France cette po q
24. lit inventant la m thode dite des cobayes Quand un membre de Bourbaki rep re un jeune math maticien qui lui semble avoir le pro fil idoine il l invite un congr s en tant que cobaye Dieudonn a d crit la situation particuli rement difficile du malheureux cobaye introduit brutalement dans un milieu particuli rement perturbant o certes fusent plaisanteries et quolibets mais o les changes et les d bats sont du niveau math matique le plus lev Il lui faut imp rativement tout la fois comprendre et participer sinon il ne sera plus jamais in vit Cela suppose de la part du postulant un certain nombre de quali t s mais avant tout une bonne culture g n rale en math matiques plut t qu une sp cialisation trop troite Le tout premier cobaye fut Laurent Schwartz futur m daille Fields On ne peut pas dire que le choix du groupe m ait pas t judicieux Les arriv es de nouveaux membres Bourbakis doivent tre compen s es par le d part de membres plus anciens compte tenu de la limitation de l effectif en gros douze personnes Dans le pass quelques d fec tions ont pu se produire la suite de d saccords avec les orientations ou les m thodes impos es par le groupe comme ce fut le cas pour Dubreil et Leray soit encore par suite d une certaine lassitude comme pour Serre ou en raison de consid rations plus personnelles comme pour D Possel mais en r alit ces quelq
25. livre Autrement dit dans cette premi re partie le trait suit un certain ordre ce qui n est plus le cas pour les livres suivants Alg bre commutative Vari t s diff rentielles et analytiques Groupes et alg bre de Lie Th ories spectrales W e CB Aspects particuliers de l uvre de Bourbaki Emergence de la Th orie des ensembles M me si on a pu peut tre observer l utilisation de raisonnements inh rents la th orie des ensembles chez des math maticiens tr s an ciens il a fallu attendre Cantor pour que soit propos e une d finition d sormais devenue c l bre Par ensemble on entend un groupement en un tout d objets bien distincts de notre intuition ou de notre pens e Certes avant lui des math maticiens comme Bolzano avaient fait des travaux importants en d finissant par exemple la relation d quipotence de deux ensembles On dit que deux ensembles A et B sont quipotents s il existe une bijection entre eux c est dire une ap plication qui fait correspondre tout l ment de A un l ment de B et r ciproquement Toutefois c est bien Cantor qui a construit une th orie des ensembles encore valable aujourd hui En partant de l analyse il a trait de nombreux probl mes tels que ceux relatifs la classification des ensembles aux ensembles d riv s la d nombrabilit de certains en sembles l quipotence en g n ral aux ensembles totalement ordon n s aux
26. me Weil r digea une lettre d accompagnement Elie Cartan sollicit pour pr senter la note ses coll gues de l Acad mie lettre dans laquelle il pr sentait Nicolas Bourbaki comme un ancien professeur de l universit de Besse en Pold vie ruin et exil la suite de troubles survenus dans son pays et qui subsistait en donnant des cours de belotte dans un caf o lui m me Weil lavait rencontr Il fait profession de ne plus s occuper de Math matiques mais bien voulu s entretenir avec moi de quelques questions importantes et m me me laisser jeter un coup d il sur une partie de ses papiers et j ai r ussi le persuader de publier pour commencer la note ci jointe qui contient un r sultat fort utile pour la th orie moderne de l int gration Elie Cartan qui n tait pas dupe mais fort bienveillant envers les jeunes Bourbakis r us sit faire passer la note sans trop de probl mes Il convient au sujet du choix de ce nom de rapporter une anecdote assez savoureuse Apr s la guerre alors que le monde entier connaissait Bourbaki un beau matin de 1947 Henri Cartan re ut un appel t l phonique d un certain Nicolas Bourbaki Cartan a d abord cru une plaisanterie mais renseignements pris il s agissait en fait d un certain Nicolad s Bourbaki diplomate grec en d tachement aupr s de l arm e am ricaine en Allemagne membre d une vielle famille cr toise dont descendait sans doute le f
27. propri t s topologiques de certains ensembles et enfin la me sure Pendant que Cantor s int ressait aux ensembles infinis un autre chercheur Dedekind montrait comment par une construction axioma tique rigoureuse on pouvait d river la notion d entier naturel des no tions fondamentales de la th orie des ensembles et obtenir ainsi tous les COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD 163 th or mes l mentaires d arithm tique Les travaux de Cantor sur les ensembles d nombrables ont eu des applications nombreuses jusqu en analyse Mais alors que ses id es simposaient au monde math matique que th orie des ensembles et m thodes axiomatiques taient quasi univer sellement admises clata la crise des fondements Des ensembles para doxaux furent mis en vidence d s 1897 Ainsi on ne peut parler d en semble des ensembles ou d ensemble des ensembles qui ne sont pas l ments d eux m mes sans aboutir une contradiction constatations faites par Cantor en 1897 et par Russel en 1905 Ainsi soit E l ensemble des ensembles qui appartiennent pas eux m mes ou soit plus formellement E l ensemble des X tels que X X Que dire de E lui m me Si E E alors par d finition de E il s ensuit que E E Et si l on suppose E E d apr s la d finition m me de E on devrait en conclure que E E Quel que soit le cas de Figure on obtient une contradiction Mais ces contradictions c
28. qu tre catastro phique puisque Pon faisait passer au second plan tout souci p dago gique motivation et acquis ant rieurs des l ves formation des enseignants r daction de manuels raisonnables sans compter un cer tain d saccord avec les physiciens et les techniciens Laurent Schwartz met une opinion semblable On a peu peu remplac la richesse des anciennes math matiques des lyc es th or mes figures g om tri ques relations entre les math matiques et les autres sciences par une pl thore d axiomes et de d finitions incompr hensible pour une bonne partie des l ves et tr s pauvre en r sultats Quelle fut la part de Bourbaki dans la R forme Dieudonn a ex prim son opinion personnelle et a sans doute eu quelque influence sur les Programmes Samuel et Pisot particip rent aux travaux de la Commission Lichnerowicz mais furent parmi les membres les plus mod r s Cartan et Schwartz donn rent des conf rences sur les math matiques contemporaines l Association des Professeurs de Math ma tiques L se limitent les contributions individuelles de Bourbaki En tant que groupe Bourbaki ne prit aucunement part la r forme ni aux d bats inh rents celle ci D apr s Samuel Bourbaki n avait aucune opinion sur l enseignement au lyc e ni m me celui des premiers cycles universitaires il a toujours consid r la r forme avec m fiance et certains de ses membres y tait franchemen
29. 1954 1959 sous l impulsion du caiman Benz cri Il a constat alors deux choses en premier lieu le caract re volontairement sot rique du groupe dans le recrutement du s minaire Cartan il y avait une sorte de cooptation les physiciens les astronomes restaient l cart en deuxi me lieu le d sir tr s nouveau l poque de pr senter les math matiques un vaste public des conf rences taient organis es pour int resser les philoso phes et en g n ral tous les sp cialistes de sciences humaines deux as pects surtout taient mis en avant la th orie des ensembles et la topolo gie Apr s que M Mainard ait voqu la situation du structuralisme dans la m me mouvance que le bourbakisme le pr sident l ve la s ance W CS COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD 189 Bibliographie 59 BEAULIEU L Bourbaki Une histoire du groupe de math maticiens fran ais et de ses travaux 1934 1944 Th se de Doctorat Uni versit de Montr al 1989 2 BERGAMINI D Les math matiques Le monde des sciences collec tion Life dition Time 50 BOREL A Twenty five years with Nicolas Bourbaki 1949 1973 Notices of the AMS 45 3 pp 373 380 mars 1998 2 BOURBAKI N d architecture des math matiques dans F Le Lionnais Les grands courants de la pens e math matique ditions des Cahiers du Sud 1948 r impression Rivages 1986 2 BOURBAKI N El ments d histoire des math m
30. Ce furent les secr taires de Bour baki qui se succ d rent de 1934 1964 Elles ne quitt rent Bourbaki que pour se marier L une d entre elles Mademoiselle Bastien resta vingt ans au service de Bourbaki Il est particuli rement int ressant de conna tre comment un authen tique Bourbaki comme l tait Delsarte membre fondateur qui d ailleurs tait d j retrait du groupe l poque relata son exp rience v cue Il rappela combien cette m thode purement Bourbaki o les r dactions ans cesse remani es taient discut es en commun s v rement critiqu es puis reprises chaque fois par des collaborateurs diff rents impliquait l acceptation d une s rieuse discipline morale Delsarte parla m me d as c se de m me que le renoncement toute id e de profit personnel sur quelque plan que ce fut Dans ce m me discours le Doyen expliqua avec beaucoup de verve comment en effet un membre actif du groupe Bourbaki devait faire COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD 183 liti re de son amour propre non seulement au plan ext rieur au sens de la r putation scientifique car il ne pouvait faire tat de sa contribu tion personnelle l avancement des travaux mais aussi au plan de la discipline int rieure de Bourbaki Si Delsarte consid ra le premier comme de peu d importance le second en revanche lui apparut toujours comme une redoutable preuve Dans les congr s Bourbaki de s
31. Clermont Ferrand puis l Ecole Normale de Delsarte Nancy etc Ainsi les tablissements de province b n fici rent t ils les premiers d un enseignement moderne en math matiques alors Paris dut attendre pour cela la nomination de Gustave Choquet lequel d ailleurs n tait pas Bourbaki Ce dernier raconte comment en modifiant r solument l orientation et le contenu des programmes de deuxi me cycle puis par contagion du premier cycle il rencontra de nombreuses et violentes oppositions Comment voulez vous que les tudiants comprennent alors que je ne comprends pas moi m me lui objecta l un de ses coll gues Il faut bien reconna tre que la plupart des tudiants furent parfaite ment d sempar s quand ils assist rent aux premiers cours et Jacques Roubaud dans son livre Math matique crit Ainsi face la brusque m tamorphose de l objet math matique qui s op rait devant leurs yeux les tudiants avaient senti vaciller leurs certitudes les mieux tablies Beaucoup d entre eux notamment les redoublants la rentr e eurent l impression qu on avait remplac leur science par une autre N anmoins Choquet re ut vite des renforts par les nominations la Facult des Sciences de Paris des Chevalley Ehresmann Pisot Zamansky Godement et Dixmier qui furent presque tous bourbakis un moment ou un autre de leur existence et la rentr e 1955 vit la victoire des r novateu
32. Communication de Monsieur le Professeur Robert Mainard w og S ance du 21 octobre 2001 wW og LE MOUVEMENT BOURBAKI Bourbaki Nancy Au cours de sa longue existence Bourbaki s est toujours complu entretenir un certain myst re tant en ce qui concerne l identit de ses membres que les divers aspects de son fonctionnement interne Il est n anmoins possible gr ce aux travaux des historiens des sciences et par les confidences plus ou moins provoqu es de quelques uns de ses mem bres notamment parmi les plus anciens et les plus prestigieux de situer ses origines de fa on assez pr cise et de suivre sans trop de difficult s le d roulement de sa riche histoire Il semble bien que tout ait commenc avec Henri Cartan qui enseignait en 1934 les math matiques l Universit de Strasbourg o il avait la charge p dagogique du certificat d Etudes Sup rieures de Calcul Diff rentiel et Int gral Cartan enseignant particuli rement conscien cieux s interrogeait en effet de fa on r currente sur la mani re de dis penser convenablement son enseignement Comme tous les normaliens de l poque il avait suivi le cours d analyse de Goursat inchang depuis 1902 qui ne faisait donc nullement tat des acquisitions les plus r cen tes des math matiques et sur lequel il ne pouvait s appuyer Par ailleurs les ouvrages contemporains n taient gu re satisfaisants notamment en ce qui concernait certains chapitres comme
33. Nancy c est dire au domicile de Jean Delsarte En 1964 le si ge a t transf r Paris au domicile de Jean Pierre Serre puis en 1972 l Ecole Normale Sup rieure rue d Ulm Ces dates ne situent qu imparfaitement les rela tions entre Nancy et le Bourbakisme car s il est apparu qu partir de 1964 les liens se sont fortement distendus Delsarte tant d c d rappe lons le en 1968 il est vident que la p riode nanc ienne de Bourbaki a d marr bien avant Delsarte a t nomm Nancy en 1927 et Bourbaki a vu le jour en 1935 Curieusement les documents nanc iens sur cette poque sont assez rares N anmoins gr ce la diligence et l amabilit de Monsieur Eguether ma tre de conf rences la Facult des Sciences de Nancy j ai pu acc der la pi ce de l Institut Elie Cartan o sont conser v es les reliques du mouvement Bourbaki qui demeurent encore Nancy mais ce sont essentiellement des comptes rendus de s minaires compor tant essentiellement des notes math matiques COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD 181 J ai pu n anmoins disposer de deux pi ces importantes La premi re est une lettre de 1959 sign e de H Weiss conseiller scientifique aupr s de Monsieur Bayen directeur de l Office National des Universit s et Ecoles Fran aises et adress e Messieurs les Profes seurs Groupe Bourbaki Institut Elie Cartan Nancy Cette lettre est une demande de renseignements con
34. ameux g n ral du second empire Il tait venu Paris pour faire connaissance avec son homonyme c l bre C tait vrai ment merveilleux pour des amateurs de canulars comme l taient les membres du groupe Aussi le diplomate fut il invit avec tous les hon neurs dus son rang au congr s du groupe qui se tenait quelques jours plus tard Nancy Il tait ravi et a m me fini par nous offrir le cham pagne rapporta Henri Cartan Il faut ajouter qu encourag s quoique un peu surpris par la c l brit du math maticien fictif qu ils avaient cr ainsi de toutes pi ces les membres du groupe cultiv rent avec soin et malice la l gende qui prit corps autour de lui en s abstenant bien de d mentir les rumeurs les plus extravagantes qui pouvaient circuler son encontre Nicolas Bour baki avait m me ses cartes de visite et Henri Cartan d ajouter Nous l avions par du titre de membre de l Acad mie Royale de Pold vie 154 COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD Le groupe a d ailleurs publi une notice sur la vie et l uvre de Nicolas Bourbaki dans laquelle le pseudo math maticien est pr sent comme un ancien l ve de Hilbert et de Poincar ayant soutenu sa th se l Universit de Kharkov et qui aurait accept par ailleurs d en cadrer et de diriger les travaux de jeunes math maticiens fran ais N an moins le groupe profite de cette pseudo biographie hautement fantai
35. ans en 1922 Agr g en 1925 il voyagea ensuite beaucoup gr ce diverses bourses allant successivement Rome chez Vito Volterra puis G t tingen Berlin et Francfort o il rencontra les math maticiens minents que furent Richard Courant Emmy Noether et Max Dehn Entre temps il avait s journ Stockolm chez G sta Mittag Leffler Revenu en France il pr para une th se de doctorat intitul e Larith m tique sur les courbes alg briques qu il soutint en 1928 22 ans Apr s son service militaire il partit aux Indes de 1930 1932 nomm dans une chaire de math matique l Universit musulmane d Aligarth A son retour il obtint un poste de charg de cours Marseille puis rejoignit en 1933 son ami Cartan Strasbourg o il enseigna jusqu en 1939 En 1937 il avait pous Eveline ex femme de Ren de Possel Pun des tout premiers Bourbakis Andr Weil avait d cid de d serter en cas de conflit en 1939 non en raison d un manque de courage ou d un certain pacifisme mais plut t 150 COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD en application des pr ceptes d une philosophie indoue dont il tait f ru et selon laquelle il appartient chacun de d terminer du mieux qu il peut son dharma destin lequel ne peut tre qu individuel Le dharma de Gauguin a t la peinture Le mien tel que je le voyais en 1938 me semblait manifeste c tait de faire des math matiques tant
36. atiques collection Histoire de la pens e Edition Herman 1974 2 CARTAN H Nicolas Bourbaki and comtemporary mathematics The Mathematical Intelligencer 2 pp 175 180 1980 go CARTIER P Notes sur l histoire et la philosophie des math matiques I Vie et mort de Bourbaki II La cr ation des noms math mati ques l exemple de Bourbaki III Le structuralisme en math ma tiques mythe ou r alit pr publications de I H E S Ao t 1997 Mars 1998 Avril 1998 2 CHOUCHAN M Nicolas Bourbaki Faits et L gendes Editions du Choix 1995 go COLETTE J P Histoire des Math matiques tome 2 dition du re nouveau P dagogique 1978 2 CORRY L Modern algebra an d the rise of mathematical structures Birkha ser 1996 59 DELSARTE J Discours de r ception du prix Cognac Jay 23 F vrier 1967 Archives Elie Cartan Facult des Sciences Nancy 2 DIEUDONN J Math matiques vides et math matiques significati ves dans Penser les math matiques Seuil 1982 2 DIEUDONN J Regards sur Bourbaki Analele Universitatii Bucuresti Mathematica Mecanica 18 2 pp 13 25 1969 Traduction an glaise The work of Nicolas Bourbaki American Mathematical Monthly 77 pp 134 145 1976 2 DIEUDONN J La gen se de la th orie des groupes La Recherche n 103 septembre 1979 190 COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD 2 FRIEDMAN J L origine et le d veloppement de Bourbaki
37. cernant l activit du service en vue de la publication du R pertoire des Laboratoires Scientifiques Elle montre de fa on indiscutable que la pr sence de Bourbaki Nancy tait officiellement connue des autorit s de tutelle Le second document est li un v nement d importance Le 23 F vrier 1967 le prix Cognac Jay qui avait t attribu Bourbaki lui fut remis Nancy au cours d une c r monie d un certain faste Maurice Letort ancien Directeur de ENSIC pr sidait la c r monie y repr sentait par ailleurs l Acad mie des Sciences et un certain nombre de membres ou d anciens membres du groupe Bourbaki dont coup s r Dieudonn assistaient la c r monie A cette occasion le Doyen Del sarte fit un discours qui constitue une mine de renseignements sur la p riode nanc ienne de Bourbaki laquelle fut tr s certainement la plus f conde Tout d abord le doyen Delsarte r v la qu l origine Nancy et Stras bourg furent les berceaux parall les de Bourbaki Il rappela ensuite les noms des cinq cr ateurs que nous d j maintes fois cit s et insiste sur le fait que les positions g ographiques des int ress s taient telles que Nancy par t un lieu de rencontre commode bien que lui Delsarte fut le seul membre nanc ien du groupe en 1934 Mais il s est trouv que le Doyen L opold Beau avait dot le d partement de Math matiques de la Fa cult des Sciences de Nancy
38. d tudier les moyens d harmoniser l enseignement des math matiques et de faciliter les changes d tudiants Claude Chevalley est n en Afrique de Sud en 1909 o son p re tait Consul G n ral de France Il entra l Ecole Normale en 1926 o il y rencontra deux condisciples qui eurent sur lui une profonde influence Ce fut d abord Herbrand jeune homme tr s dou fortement int ress par la logique math matique mort pr matur ment en 1931 et ensuite Andr Weil qui cette poque revenait d Italie et d Allemagne Ce dernier l initia aux aspects modernes de la th orie de nombres alg bri ques qui devait devenir ult rieurement l un de ses principaux centres d int r t En 1929 il obtint une bourse accomplit son service militaire puis devint de 1931 1936 boursier de la Caisse Nationale des Scien ces anc tre du CNRS Brillant esprit il se consacra alors bien s r aux math matiques mais aussi la philosophie et la critique sociale et politique Il effectua un s jour en Allemagne d abord Hambourg o il ach va sa th se sous la tutelle d Emil Artin puis enfin Marburg Il pousa en 1933 sa cousine germaine Jacqueline De 1936 1938 Chevalley enseigna successivement Strasbourg puis Rennes En 1938 il partit passer un an Princeton l invitation de l Institute for advanced study Pendant la seconde guerre mondiale il accepta un poste l Universit de Princeton
39. d un secr tariat et ce fut l une raison sup pl mentaire pour que le secr tariat de Bourbaki s install t lui m me Nancy Le doyen Delsarte ajouta encore que les frais de fonctionnement furent couverts au d part d abord par les contributions personnelles des membres mais aussi par une participation du d partement de Ma th matiques dispositif qui fonctionna jusqu en 1936 gr ce la com pr hension du Doyen de l poque Puis le C N R S qui fut fond en 1937 cr a un emploi de secr taire au b n fice du groupe Bourbaki qui de ce fait disposa sans doute au plan historique de la premi re secr taire d un service de Facult appoint e par le Centre National Au nombre des bienfaiteurs de Bourbaki Jean Delsarte citera d abord le Doyen Husson puis les responsables successifs du C N R S Picard Montel Joliot Curie et Per s Cependant assez rapidement les droits d auteur inh rents la pu blication des premiers volumes du trait purent couvrir tous les frais de 182 COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD fonctionnement et m me davantage ce qui permit au groupe d aider des tudiants fran ais ou trangers Dieudonn fut nomm Nancy en 1937 C est partir de cette date expliqua Jean Delsarte que Bourbaki commen a fonctionner plein rendement les congr s se succ dant r guli rement raison de trois par an et d innombrables r dactions virent le jour qui fure
40. dehors des groupes on trouve les anneaux les id aux les corps les espaces vectoriels qui sont des ensembles avec d autres rela tions de d part entre les l ments et d autres axiomes Un autre type de structures est constitu par celles o intervient une gt gt 7 relation d ordre c est dire des outils de comparaison tels que sup rieur ou gal ou encore inf rieur ou gal qui permettent d ordonner de comparer entre eux tout ou partie des l ments d un ensemble Le troisi me type de structures que consid re Bourbaki est consti tu par les structures topologiques qui fournissent une formulation math matique abstraite des notions intuitives de voisinage de limite et de continuit A partir de ses trois grands types de structures qu il appelle structures m res et qu il place au centre de son dispositif Bourbaki en s appuyant toujours sur la conception axiomatique construit son univers math matique Les structures deviennent plus complexes en voluant du g n ral au particulier et se combinent organiquement alors l aide d axio mes pour donner ce qui est d sign par structures multiples lesquelles se disposent autour des structures m res Tout la p riph rie apparais sent alors les th ories particuli res o les l ments des ensembles qui sont ind termin s dans les structures g n rales re oivent enfin une individualit plus sp cifique On y ret
41. e de pr ciser le mode de recrutement des nouveaux membres enfin et sans doute le plus important de r diger le plan et d tablir le programme de travail Il fut d cid que le travail inh rent la r daction de l ouvrage serait effectu au cours de congr s Le premier de ceux ci eut lieu au cours de l t 1935 Chan ay en Touraine dans la maison de campagne des Chevalley Entre la premi re r union du 10 d cembre 1934 et ce pre mier congr s une bonne dizaine de r unions toutes tenues au quartier latin comme la premi re avaient permis de d blayer le terrain La tra dition des congr s s est maintenue et perdure semble t il encore de nos jours m me s il est permis de penser que l ambiance initiale du groupe a sensiblement volu Ces multiples congr s se sont d roul s ult rieu rement dans les lieux les plus divers Souha itant laisser leur groupe tr s ouvert les membres d cid rent pour compl ter leur effectif de solliciter des math maticiens jeunes et 152 COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD de culture aussi g n raliste que possible compte tenu de l objectif et de la forme de leur projet Il est clair qu au tout d but la relative modestie de celui ci ne leur permettait pas de pr voir qu il y aurait des g n ra tions successives de Bourbakis Au d part ont donc t pr vus trois congr s annuels deux courts et l autre d une quinzaine de jours se d roulant le pl
42. e d couvrit une vocation pour les math matiques Apr s des tudes secondaires brillantes il entra l Ecole Normale en 1924 et fut re u en 1927 premier au concours d Agr gation dont il impres sionna fortement le Jury Apr s son service militaire il obtint une bourse qui lui permit de s journer un an Princeton Il revint l Ecole Nor male pour l ann e scolaire 1929 1930 en tant qu agr g pr parateur Gr ce une bourse Rockefeller il put faire ensuite deux courts s jours scientifiques l un Berlin chez Ludwig Bieberbach l autre Zurich chez Gy rgy Polyal Il passa en 1931 une th se intitul e Recherche sur quelques probl mes relatifs aux polyn mes et aux fonctions bor n es d une variable complexe D abord charg de cours Bordeaux il fut ensuite nomm en 1933 la Facult des Sciences de Rennes o il resta jusqu en 1937 Il se maria en 1934 ann e de la fondation de Bourbaki En 1937 il fut nomm ma tre de Conf rences puis professeur la Facult des Sciences de Nancy Il alla ensuite passer deux ans de 1946 1948 l Universit COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD 149 de Sao Paulo puis s journa aux USA jusqu en 1959 Il revint en France l Institut des Hautes Etudes Scientifiques de Gif sur Yvette qu il quitta en 1964 A cette date il partit comme professeur Nice o il devint ult rieurement Doyen de la Facult des Sciences Il se retira Pa
43. e le remarquait Dieudonn en 1987 dans son livre Pour l honneur de Pesprit humain en exag rant peut tre un peu Rien de ce qui est enseign au lyc e en math matiques n a t d couvert apr s 1800 W CB Le bourbakisme Nancy Comme nous l avons d j exprim le Bourbakisme Nancy est in dissociable du nom du Doyen Delsarte Arriv Nancy en 1927 o il fera toute sa carri re Jean Delsarte s attachera faire de Nancy un cen tre actif et reconnu de recherches en math matiques Ainsi il semploiera faire nommer la Facult les math maticiens les plus talentueux Jean Dieudonn 1937 1947 Paul Dubreil 1933 1941 Jean Leray 1936 1941 Laurent Schwartz 1944 1952 Roger Godement 1949 1953 Jean Pierre Serre 1953 1955 et Jacques Louis Lyons 1954 1960 qui furent presque tous un moment ou un autre membres de Bourbaki Laurent Schwartz crira dans son livre Un math maticien aux prises avec le si cle La Facult des Sciences de Nancy tant devenue en math matiques une des meilleures du monde il tait naturel d y invi ter des math maticiens de tous les pays Delsarte organisa donc en 1946 un symposium d analyse harmonique Nancy Une association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki fut cr e en 1952 Cette association n tait en fait qu une interface administrative dont le si ge a t domicili sa naissance 4 rue de oratoire
44. e traiter les math matiques de mani re unifi e suivant la d marche premi re de Bourbaki Il faut aussi ajouter que les d marches intellectuelles des chercheurs se sont diversifi es Le mod le bourbachique s adapte mal ou pas du tout des disciplines comme par exemple l analyse num rique ou Pin formatique th orique et de plus il ne permet pas de d crire les processus qui interviennent dans nombres de hautes technologies D apr s Demazure Bourbaki a aussi t victime d une illusion fon damentale celle de croire qu il n existe qu un seul point de vue pour traiter une question math matique alors que plusieurs angles d attaque sont toujours possibles De m me l id ologie bourbachique qui fondait l unicit des math matiques sur une racine unique la th orie des en sembles a perdu de sa pertinence comme le pense Jean Pierre Kahane brillant math maticien contemporain Si pendant la p riode active du groupe la supr matie des m thodes alg briques abstraites tait vidente de nos jours le style des chercheurs a chang avec un retour vers le concret et vers plus de g om trie ceci r sultant essentiellement des interactions entre les diverses disciplines Le pragmatisme tend l emporter sur la rigueur C est ainsi que certains chercheurs surtout am ricains voudraient que l on puisse accepter un th or me v rifi avec une probabilit de 90 cette probabilit tant valu e selon
45. eauville et Cartier des erreurs de recrutement ont t faites des membres coopt s n tant jamais venus aux congr s et certains de ces congr s d ailleurs qui se sont tenus avec seulement 3 ou 4 membres n ont dur que deux ou trois jours Une autre cause du d clin de Bourbaki peut tre trouv e dans un certain embourgeoisement de ses membres lesquels au cours du temps COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD 185 ont de plus en plus occup des postes de pouvoir ils sont devenus des gens puissants craints recherch s comme l a fait remarquer Grothen dieck dans son ouvrage R coltes et semailles o il estime que Bour baki a peut tre gard l tincelle mais perdu l innocence Un membre du groupe Cartier en 1983 atteignant ses 50 ans avait m me propos de dissoudre le groupe Et dans son livre Un math maticien aux prises avec le si cle Laurent Schwartz n h site pas dire Je crois qu aujourd hui le travail de Bourbaki n est plus aussi utile Tous les math maticiens s accordent reconna tre qu en 2001 une entreprise la Bourbaki ne se justifie plus par suite du d veloppement foisonnant des math matiques dans toutes les directions de l accroisse ment du nombre des chercheurs et aussi des articles publi s 3 000 par an en 1950 100 000 de nos jours De 100 000 200 000 th or mes sont propos s chaque ann e Aucun groupe ne pourrait tout embrasser et tenter d
46. el Berger ou Jean Pierre Bourguignon voire un titulaire r cent de la m daille Fields comme Maxime Kontsevitch A ce jour depuis 1948 on a assist au cours de quelque cent cin quante s minaires pr s de 900 expos s tous publi s et qui correspon dent plus de 10 000 pages imprim es et publi es ce qui constitue d apr s Bourguignon un tr sor peu pr s sans quivalent Il semble bien que malgr les critiques et les r serves les s minaires Bourbaki aient encore de beaux jours devant eux W CB 176 COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD Bourbaki et l enseignement Au cours des ann es 70 s tendit en France et dans le monde Pensei gnement dit des math matiques modernes issus d une r forme la quelle le nom de Bourbaki est parfois associ Il est int ressant d essayer d appr cier quelle a t son influence r elle W CB ENSEIGNEMENT SUP RIEUR Si dans l enseignement Sup rieur Bourbaki joua un r le tr s actif en ce qui concerne la r novation de l enseignement des math matiques il convient de nuancer un peu cette affirmation Il est vrai et il faut en effet le rappeler que le projet initial du groupe tait la r daction d un ouvrage d analyse destin aux tudiants de la licence de math matiques Ainsi d s la formation du groupe chaque membre commen a moder niser son enseignement dans sa propre facult comme ce fut le cas par exemple de Cartan
47. es antinomies qui venaient perturber con sid rablement la th orie des ensembles ne se limitaient pas celle ci et arrivaient branler aussi bien d autres parties des math matiques C est pourquoi les math maticiens et surtout les logiciens du d but du si cle d ploy rent beaucoup d efforts pour laborer une th orie des ensembles plus rigoureuse fond e sur la logique formelle et dans laquelle les con tradictions taient limin es Lune des tentatives visant cet objectif fut celle de l intuitionnisme mouvement auquel appartenait le fran ais Poincar et le hollandais Brouwer qui allait jusqu rejeter la th orie des ensembles et toute une partie de l alg bre moderne Toutefois ce mouvement fut par la suite plus ou moins abandonn La seconde tentative fut celle du formalisme fond e sur l axiomati que Beaucoup de math maticiens tels que Zermelo Fraenkel Von Neumann Skolem Bernays G del et Hilbert s attach rent dans ce cadre d id es r soudre le probl me pos par les paradoxes Dans ce cadre ils r ussirent liminer par des axiomes suppl mentaires les ensembles paradoxaux de la th orie des ensembles Ce point de vue attira d ailleurs un certain nombre de critiques plus ou moins virulentes notamment celles du math maticien fran ais Roger Ap ry Mais dans ce domaine c est Hilbert qui effectua sans aucun doute le travail le plus important Apr s avoir fait l axiomatisat
48. es qui tait celle de Weil de Dieu donn et de leurs coll gues a t v hicul e par des interventions multi ples et surtout par la publication de textes dont l un des plus importants est l article intitul L architecture des math matiques publi en 1947 sign Nicolas Bourbaki mais vraisemblablement r dig par Dieudonn La philosophie de Bourbaki se d finit en trois notions cl s Lunicit des math matiques La m thode axiomatique Les structures L unicit des math matiques appara t chaque fois que les math maticiens jettent un regard global sur leur discipline Il faut souligner que la s paration entre Alg bre G om trie Analyse et Arithm tique est devenue anachronique et que les chercheurs en math matiques vont chercher leurs outils dans tous les secteurs de la discipline avec une totale transversalit Toutefois cette unit n tait pas aussi vidente il y a un demi si cle lors de la cr ation de Bourbaki Celui ci se demandait dans Architecture des math matiques si la multiplication quelque peu anarchique des travaux et des r sultats publi s tait l indice du d veloppement harmonieux de la discipline dans la coh sion et l unit ou au contraire le signe de son clatement en une multitude de disci plines autonomes trang res les unes aux autres En un mot y a t il aujourd hui une math matique ou des math matiques Evidemment Bourbaki r pond d j
49. es soixante Chevalley avait crit un livre sur les cat gories qui ne fut jamais publi pour des raisons obscures Il fut sans doute le plus pr occup des membres groupe par les probl mes aff rents la logique insistant pour que de la logique formelle fut ins r e dans le trait Il avait aussi crit une longue intro duction destin e au livre sur la th orie des ensembles laquelle fut pure ment et simplement rejet e par ses coll gues Par ailleurs Chevalley consid rait que l abandon des cat gories par Bourbaki tait r v lateur de la transformation de son tat d esprit et de l abandon au moins partiel de sa philosophie initiale Le structuralisme tellement pr n par le groupe fut tr s la mode au cours des ann es 50 et 60 La vision bourbachique avec l axiomati que et les structures fit des mules non seulement en math matiques mais aussi en litt rature en anthropologie ou en psychologie W CB 174 COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD Les s minaires Bourbaki Depuis 1948 trois fois par an se tient le s minaire Bourbaki qui depuis que la publication des El ments de math matique s est quelque peu tarie constitue la seule activit officielle du groupe Ce s minaire se tient actuellement l Institut Henri Poincar Paris Il est suivi par environ deux cents math maticiens qui viennent aussi bien de France que de l tranger couter des conf rences de haut niveau scientifi
50. ffets pervers de Bourbaki dogmatisme rigide dans la pr sentation de la discipline oubli syst matique des secteurs math matiques n int ressant pas les membres du groupe d dain affich pour les probl mes li s la crise des fonde ments etc L avis g n ral est que d ores et d j la mission que s tait assign e le groupe Bourbaki est remplie Elle a exig par le caract re collectif de son projet abn gation et fid lit et par la nature et ampleur m mes de son oeuvre talent enthousiasme et courage de la part de ses membres L entreprise des Bourbakis m rite largement l admiration qu elle a toujours suscit e Nul doute qu elle ne demeure un moment privil gi de la science fran aise W C3 Discussion Avec ses remerciements le pr sident Sadoul salue un moment privi l gi de l histoire de la science fran aise surtout dans notre ville Il pose une question et propose une r flexion en ces termes Vous avez dit que le groupe Bourbaki a t durent plusieurs d cennies la plus grande cole de math matique du monde Quel a t le r le des pr d cesseurs des grands du d but du XX si cle qui enseignaient Nancy A c t de cette question un commentaire la remise en question au cours des r unions de l quipe du projet longuement formul dont on a v rifi l exactitude Les participants remettaient sept huit fois la r daction en chantier r duisant quelques pages un
51. formations sans quivalent Sur le plan plus abstrait des id es Bourbaki se trouve l origine de ce qui est peut tre la plus profonde mutation de l histoire des math mati ques en renouvelant leur pr sentation et en rendant concepts et langage plus clairs et plus pr cis Laurent Schwartz compare la classification math matique de Bourbaki celle r volutionnaire introduite par Linn en 1758 dans la classification des tres vivants Bourbaki par son action et ses choix a dynamis certains secteurs de la discipline et orient les math matiques fran aises de telle sorte qu el les ont domin par exemple la g om trie alg brique mondiale pendant longtemps Par son action Bourbaki a donc largement contribu leur faire regagner la place qui tait la leur dans le monde au d but du vingti me si cle c est dire parmi les toutes premi res En dernier lieu il serait injuste de ne pas souligner l influence tr s positive de Bourbaki sur les travaux personnels et l volution scientifi que de ses propres membres Aux dires de Cartan ou de Dieudonn il y e t dans le groupe de d part une sorte de fertilisation intellectuelle mutuelle par suite de la qualit des changes entre personnalit s d une haute tenue intellectuelle et d une vaste culture et cela pas seulement au plan math matique COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD 187 Nous ne ferons qu effleurer ici ce qu on appel les e
52. inuer avant dernier volume tant sorti en 1983 et le dernier en 1998 Les El ments de Math matique de Bourbaki qui repr sentent ce jour 7000 pages de textes ont eu un profond retentissement dans le monde international des math matiques certains volumes ou certains chapi tres tant particuli rement appr ci s et d autres beaucoup moins comme nous aurons l occasion de le pr ciser En 1941 le plan global du trait comportait quatre grandes parties chacune comportant un certain nombre de livres Structures fondamentales de l analyse huit livres Analyse fonctionnelle sept livres Topologie diff rentielle deux livres Analyse alg brique huit livres Chaque livre tait lui m me bien videmment divis s en chapitres On mesure l ampleur de l entreprise globale quand on examine le contenu de la seule premi re partie d j consid rable Ce projet de 1941 n aboutira que partiellement De nos jours c est dire 67 ans apr s la premi re r union du quartier latin les El ments de Math matique comportent dix livres chaque livre tant compos en COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD 161 g n ral de plusieurs volumes Ils sont r pertori s comme suit Th orie des ensembles un fascicule de r sultats non d montr s avec quatre chapitres en plus de celui ci Alg bre dix chapitres Topologie G n rale dix chapitres Fonction d une variable r elle sep
53. ion compl te de la g om trie il ambitionnait de r aliser l axiomatisation de toutes les branches des math matiques Pour ce faire il d veloppa avec ses l ves 164 COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD ce qu on a appel une m tamath matique c est dire une m thode pour d montrer la consistance d un syst me formel Un tel syst me est con sistant ou coh rent si l application des r gles d inf rence aux axiomes ne peut jamais conduire deux cons quences telles que l une soit la n ga tion de l autre Toutefois m me si elle a obtenu quelques succ s limit s l quipe de Hilbert a chou en ce qui concerne la th orie des ensembles et l arithm tique G del montra en 1931 par un th or me c l bre qu on ne pouvait tablir la consistance de l arithm tique par un raison nement m tamath matique Par ailleurs Hilbert pensait que la d duction formelle ne fait toujours qu accompagner la pens e et identifiait comme Poincar la v rit la non contradiction laquelle tait pour lui le crit re de v rit et d exis tence C est dans ce cadre de pens e qu il tenta de montrer la non contradiction de l arithm tique Mais pour Hilbert la philosophie ma th matique r sidait avant tout dans l application de l axiomatique tous les domaines de la science penser axiomatiquement signifie pour lui ne pas penser autrement qu avec conscience et que tout ce qui peut t
54. ion vraie la physique la chimie l astronomie la diff rence des travaux de Poincar Philosophiquement tout cela est r ductionniste totalitaire toute v rit n existe que d montr e C est une attitude anti humaniste M Mainard ajoute en r ponse que pour Chevalley en aucun cas les math matiques ne doivent avoir une in fluence sur le r el M Demarolle place la discussion sur le plan p dagogique Quelles sont selon vous les causes de ce qui me para t constituer un chec dans l enseignement des math matiques modernes l cole l mentaire et au coll ge Personnellement j ai t frapp de la lourdeur des formulations dans les manuels M Fl chon note dans le m me sens que les math matiques moder nes sont une m thodologie mais que leur introduction dans l enseigne ment secondaire fut une catastrophe car on avait n glig la question de la maturit de l esprit des l ves En plein accord avec ces deux intervenants M Mainard donne deux raisons cet chec des programmes mal pens s par des gens qui n avaient pas assimil le bourbakisme des professeurs mal form s Alors que M Fl chon pr cise encore celui qui apprend a besoin de toucher le con f rencier d plore lui aussi l abandon catastrophique de la g om trie cette poque M Bonnefont dit qu il a t t moin de l influence du groupe Bour baki lors de son s jour l cole normale sup rieure
55. la l gende qui ajoute que l un des normaliens pr sents d clara avoir tout compris d un bout Pautre On peut se demander o Husson alla chercher ce nom qui est celui d un g n ral du second empire fortement impliqu dans la guerre de 1870 et dans la d faite qui s ensuivit D apr s Cartan il aurait fait appel ses souvenirs des cours de pr paration militaire Quoi qu il en soit partir de cette poque le fameux th or me de Bourbaki fit d partie du folklore de l Ecole Normale Sup rieure et c est la raison pour laquelle le nom de Bourbaki fut retenu par le groupe Celui ci signa d abord N Bourbaki Pourquoi le N Tout simplement parce que les jeunes Bourbakis que le respect des institutions n touffait pas avaient pris cette initiale par analogie avec ce N qui dans toutes les tablissements fran ais d enseignement sup rieur est accol sur les affi COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD 153 ches pr s de l intitul d un cours dont le titulaire n est pas encore connu Ult rieurement comme le groupe souhaitait publier une note intitu l e Sur un th or me de carath odory et les mesures dans les espaces topologiques donnant les r sultats de ses premiers travaux aux Comptes Rendus de l Acad mie des Sciences il fallut bien fournir un tat civil cr dible et complet de l auteur d clar Le pr nom de Nicolas fut pro pos pr tend Weil par sa propre pouse Evelyne Le m
56. la science vivante dans leur discipline COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD 145 Tous ces jeunes math maticiens poss daient donc le talent et la capa cit n cessaires non seulement pour aborder la r daction d un trait d analyse t che somme toute modeste qu ils s taient assign e au d part mais pour envisager un peu plus tard comme cela sera expos une oeuvre bien plus consid rable la remise niveau de toutes les ma th matiques fran aises W CB La naissance de Bourbaki Les fondateurs Les cinq principaux membres fondateurs de Bourbaki Henri Car tan Claude Chevalley Jean Delsarte Jean Dieudonn et Andr Weil sont tous entr s L Ecole Normale Sup rieure au cours des ann es vingt Il est bon de s attarder quelque peu sur la personnalit de ces cinq mi nents math maticiens dont l influence fut d terminante afin de mieux cerner l id e directrice du groupe au d part et mieux saisir les raisons de son volution ult rieure Henri Cartan est n en 1904 Nancy o enseignait son p re Elie Cartan lequel f t nomm la Sorbonne en 1909 Henri entra l Ecole Normale en 1923 et en sortit en 1926 Il put alors pr parer une th se gr ce l octroi d une bourse et la termina rapidement en deux ans Il enseigna ensuite successivement Caen Strasbourg et Lille avant de se fixer Strasbourg o il pousa Nicole Weiss la fille du c l bre physicien Pierre Weiss
57. m moire d une centaine de pa ges Quelle le on pour les chercheurs d aujourd hui Le conf rencier rappelle la supr matie math matique fran aise en 1900 1914 marque une rupture qui laisse les jeunes normaliens sans ma tres Aussi cherchent ils en Allemagne dans toute l Europe des id es nouvelles tout en poursuivant leurs recherches Certes il existe une fi liation mais le bourbakisme rompt avec le pass On peut tout de m me penser remarque M Rivail que le groupe reconnaissait en Elie Cartan une figure tut laire ne serait ce que par le fait que le s minaire de Nancy qui a jou un r le important dans l ani mation du mouvement bourbakiste a t appel s minaire Elie Cartan Particuli rement int ress par cette passionnante communication M Larcan note que l histoire du groupe comporte une p riode obscure Avant et pendant la guerre il a us de la loi sur les associations de 1901 Quant au canular de normaliens il n est appr ci que par la maison 188 COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD Un l ve se serait m me pr sent comme le g n ral Bourbaki et cela en compagnie du directeur de l cole La rupture avec les anciens avec Poincar se manifeste par la hargne contre la g om trie dans l espace au sein du groupe il faut tuer le p re Notre confr re stigmatise en suite le nominalisme qui m ne une impasse et la r criture qui n a pas d applicat
58. mouvement Bour baki Par rapport l axiomatique euclidienne l axiomatique moderne se distingue d abord par son caract re formel On ne d finit pas les no tions premi res point droite etc mais on les consid re comme des entit s abstraites dont la signification importe peu l essentiel ce sont les axiomes c est dire les relations qui existent entre ces entit s premi res Ce qui est important par ailleurs c est que les propri t s qui se d duisent partir d une th orie formelle aient un caract re g n ral elles sont en principe valables pour des ensembles d objets tr s diff rents la condition expresse que le syst me d axiomes soit le m me En pratique il convient de le pr ciser on ne b tit pas un syst me d axiomes ex nihilo Le math maticien va tudier pr alablement un cer tain nombre d objets avant de d gager son axiomatique La m thode a t parfaitement expos e par Henri Cartan dans une conf rence qu il fit en Allemagne en 1958 Au cours de son intervention Cartan mon tra comment le math maticien qui veut construire une d monstration 168 COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD partir d objets math matiques bien d finis est amen s lectionner apr s examen les seules propri t s sp cifiques des objets qu il a utilis es Il peut alors mettre en oeuvre la m me d monstration avec des objets diff rents mais qui poss dent ces m mes propri t
59. ne cat gorie est d finie par la donn e d une classe d objets A B C etc et pour tout couple A B de ces objets d un ensemble de correspondances appel es morphismes de A B On peut par exemple parler de cat gorie des ensembles ou de cat gorie des groupes De plus COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD 173 il peut exister dans cette th orie des correspondances entre deux cat gories qu on appelle foncteurs Malgr l int r t manifest pour le langage des cat gories et les foncteurs par certains membres de Bourbaki comme Eilenberg videm ment mais aussi Ehresman ou encore Grothendieck le groupe n a pas r vis son Architecture des math matiques ni r ussi int grer les cat gories dans son texte et cela malgr de nombreuses discussions entre les diff rents membres du groupe l poque La raison essentielle en est sans doute que l introduction des cat gories aurait demand une r vi sion profonde des volumes du trait d j parus Cartier a reconnu ult rieurement que si les Bourbakis avaient t amen s refaire leur trait ils auraient tr s certainement commenc par l introduction des cat gories A cet gard Judith Friemann a rapport les observations de Chevalley lui m me De ce point de vue la th orie des cat gories tait plus fid le l esprit de Bourbaki que celle des structures elle tait plus structuraliste Il faut aussi rappeler que dans les ann
60. nomm Charg de Cours Nancy o il fit toute sa carri re Il sy maria en 1929 avec une amie d enfance Comme nous le verrons en d tail le nom et la carri re de Delsarte sont indissociables de l histoire nanc ienne du Bourbakisme Delsarte d ploya toute son ner gie pour faire de Nancy un haut lieu des Math matiques Au d but des ann es trente de bonnes relations s tablirent entre Nancy et Strasbourg o enseignaient ses amis Cartan et Weil relations qui aboutirent la constitution d une branche de l Est de la Soci t Math matique de France En jouant de son influence Delsarte obtint la nomination Nancy de math maticiens prestigieux qui contribu rent largement l uvre du groupe Toujours d apr s Andr Weil A partir de 1934 Delsarte joue une r le de premier plan dans la formation de l quipe des collaborateurs de Bourbaki Mobilis pendant la guerre de 39 40 Delsarte y eut une conduite exemplaire D mobilis il enseigna un an Grenoble avant de revenir clandestinement Nancy o il reprit de suite son enseignement et ses 148 COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD travaux de recherche Ces derniers port rent principalement sur le d veloppement des fonctions en s ries mais aussi sur la th orie des nom bres et la physique math matique C tait un v ritable virtuose du cal cul disaient de lui ses coll gues Parall lement d s 1942 il constitua un groupe de r flexion
61. ns des ing nieurs ou de techniciens Pour cela il COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD 159 fallait alors fournir un lectorat potentiel si diversifi des outils aussi robustes et aussi universels que possibles Il tait donc souhaitable de s carter de la philosophie et de la forme des trait s classiques datant d une bonne g n ration de forme compliqu e et tr s en retard sur ce qui se publiait l tranger En particulier et c tait l un d faut majeur aux yeux des membres du groupe les th or mes fondamentaux y taient introduits avec des hypoth ses superf tatoires L laboration du plan du trait constituait de ce fait une t che pr a lable essentielle beaucoup plus difficile peut tre que pr vu mais qui donna lieu une telle somme de r flexions et de discussions qu il s en d gagea une nouvelle vision des math matiques aussi bien dans leur expos que dans leur pratique Cette vision particuli re amena Bour baki leur reconna tre une profonde unit reposant sur la th orie des ensembles et cette conception moderne allait consid rablement influen cer le monde math matique fran ais et m me international Comme cons quence des r flexions approfondies des membres du groupe et des conclusions qui en merg rent lors de la r union pl ni re de fondation le plan labor initialement fut divis en deux par ties Une premi re partie reprenait les th mes classiques de l
62. nt toutes frap p es et polycopi es l Institut de Math matiques rue de la Craffe Nancy Il pr cise encore Ce long travail qui dura jusqu en 1964 date du transfert de notre secr tariat Paris repr sente encore aujourd hui c est dire en 1967 l essentiel de l effort r dactionnel de Bourbaki Il s est traduit comme vous le savez par la publication d une trentaine de fascicules soit au total environ cinq mille pages imprim es Il est impossible de pr ciser maintenant la valeur exacte du nombre de r dactions r elles dont les chiffres pr c dents donnent en quelque sorte le r sultat On peut dire raisonnablement que les diverses parties de Bourbaki ont t r dig es plus d une fois jamais moins de trois et souvent sept ou huit fois sans parler bien s r des nombreuses modifications de plans qui sont intervenues au cours des ges Dieudonn a pu vous expliquer cette technique tr s particuli re du travail en congr s qui nous a permis de mettre au point lente ment ces proc d s de r daction Il est bien certain en tous cas que vingt cinq trente mille pages de r dactions de Bourbaki ont t dac tylographi es Nancy Une bonne part de ces r dactions existent sans doute encore parmi les archives de Bourbaki dans les salles de l Institut Elie Cartan ce que nous n avons pas pu v rifier Tout cet extraordinaire travail mat riel fut ex cut par cinq jeunes filles seulement
63. on poque en effet l atmosph re tait particuli rement agit e la critique la plus viru lente tant de r gle ainsi que le persiflage plus ou moins m chant tou tefois entrecoup s par des tentatives de conciliation sans oublier les in terventions tonitruantes de Dieudonn emport par le courroux par l indignation scientifique fulminant des interdits d finitifs quitte revenir sur ses propres opinions vingt quatre heures plus tard Il semble bien que cette ambiance des r unions bourbakis ait surv cu au d part des membres fondateurs tout au moins l poque o Del sarte s exprime Il y a eu sans doute dans la persistance de Bourbaki une sorte de miracle constata t il encore Evoquant le petit nombre d ouvrages d auteurs inconnus qui peu vent maintenant tre consid r s comme des uvres collectives telles qu il en a exist il y a fort longtemps au Moyen Orient aux Indes en Iran et en Chine puis plus pr s de nous dans la Gr ce antique et au moyen ge Delsarte tablit un parall le avec le travail r alis avec ses coll gues math maticiens Bourbakis Il n est pas exclu que l Alma geste de Ptol m e les trait s d Albert le Grand et les Sommes de Saint Thomas aient t des sortes de Bourbakis Albert le Grand aussi bien que Saint Thomas r unirent autour d eux des quipes de travail Mais cela se passait au sein de l glise et en milieu monasti que La discipline jouai
64. ont pr alablement imprim es et que des exemplaires en sont distribu s l assistance avant chaque s ance du s minaire Les sujets abord s font donc un peu plus de place aux th mes carac t re appliqu C est ainsi qu on a pu entendre ces derni res ann es un math maticien russe en poste l Institut Max Planck de Bonn y parler du calcul quantique et de la conception d ordinateurs d un type nou veau susceptibles d utiliser des processeurs mettant en uvre les princi pes de la physique quantique On peut observer que l on s loigne donc de la sorte sensiblement de la philosophie pr n e par Chevalley Mais d une mani re g n rale les choix de Bourbaki se sont montr s suffisamment pertinents pour assurer la renomm e et le succ s perma nent du s minaire COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD 175 Quand un sujet est trait au S minaire bourbaki c est signe qw il est vraiment important et int ressant assure J P Bourguignon ma th maticien fran ais non Bourbaki c est un haut lieu des math mati ques dans le monde Les math maticiens ont longtemps consid r que le s minaire Bour baki tait le seul s minaire en France o les r sultats les plus r cents de la recherche taient expos s de fa on accessible des math maticiens non sp cialistes A cet gard le choix des orateurs s av re particuli re ment important Bourbaki choisit volontairement des non sp
65. par le titre m me de son trait La conviction de ses membres se manifeste fortement en quelques phra ses Nous croyons que l volution interne de la science math mati que a malgr les apparences resserr plus que jamais l unit de ses diff rentes parties et y a cr une sorte de noyau central plus coh rent qu il n a jamais t L essentiel de cette volution a consist en une syst matisation des relations existant entre les diverses th ories ma th matiques et se r sume en une tendance qui est g n ralement con nus sous le nom de m thode axiomatique Il n est d ailleurs pas vi dent que l opinion des math maticiens soit aujourd hui si tranch e Un axiome est au d part une propri t vidente ou une r gle pure ment invent e dont on admet la v racit sans d monstration Dans une th orie axiomatique on commence par se donner ventuellement par d finir un certain nombre d objets sur lesquels la th orie va porter On nonce ensuite les axiomes ou postulats auxquels devront ob ir les objets en question On d duit ensuite en partant de ces axiomes par des COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD 167 raisonnement purement logiques dont la validit peut tre v rifi e sans faire appel l intuition ou l exp rience d autres propri t s moins vi dentes celles ci et qu on appelle th or mes Un exemple d axiomatique est donn e par la g om trie d Euclide
66. que Au cours de chaque s minaire de cinq six expos s sont propos s l auditoire Les sujets de ceux ci ont t choisis et les intervenants s lec tionn s par le groupe Bourbaki Pendant tr s longtemps les th mes retenus taient tr s th oriques et tr s abstraits tournant autour de l int r t imm diat des Bourbakis pour des secteurs disciplinaires comme la g om trie alg brique la topologie ou la th orie des groupes de Lie Les membres du groupe assuraient alors une grande partie des conf rences ce qui n est plus le cas aujourd hui en 2001 C est ainsi que de D cembre 1948 Mai 1951 sur les 49 expos s 20 ont t le fait de Bourbakis que de Novembre 1972 Juin 1975 il y e t 50 expos s dont 24 pris en charge par des membres du groupe mais que de Juin 1995 Juin 1998 six ou sept Bourbakis seulement intervinrent Depuis une vingtaine d ann es les sujets des s minaires sont devenus moins abstraits et moins th oriques tenant compte des imbrications de plus en plus troites entre les math matiques la physique th orique l informatique et les hautes technologies Les membres du groupe s ils interviennent assez peu en tant que conf renciers continuent par con tre assurer l organisation de la manifestation sous la houlette du ma th maticien Joseph Oesterl membre actuel bien connu de Bourbaki et Directeur de l Institut Henri Poincar Il faut bien pr ciser que les con f rences s
67. que je m en sentirais capable Le p ch e t t de men laisser d tourner affirmait il Il est bien vident qu une telle attitude qu il exposait osten siblement attira incompr hension et inimiti en particulier de la part d un coll gue comme Jean Leray qui f t prisonnier de guerre et vit ses travaux fortement ralentis pendant toute la dur e du conflit Du coup Weil ne put jamais faire carri re en France et fut toujours cart et de la Sorbonne et du Coll ge de France Il ressentit tr s douloureusement cet exil car il dut par cons quent rester Chicago Ma g n ration y per dit un ma tre crivit Cartier lui m me Bourbaki de 1955 1983 En 1939 Weil fit un voyage en Europe du Nord voyage la fois professionnel et touristique qui l amena finalement en Finlande L la suite d un pisode rocambolesque il fut consid r comme un espion russe et n chappa au peloton d ex cution que gr ce l intervention in extremis du math maticien finlandais Rolf Nevanlinna Expuls il fi nit par d barquer au Havre o entre temps la guerre tant survenue il fut emprisonn en tant qu insoumis Transf r la prison militaire de Rouen il fut jug en mai 1940 condamn cinq ans de prison mais vita de purger sa peine en incorporant dans l arm e dont il fut d mo bilis en Octobre En 1941 gr ce la fondation Rockfeller il put ga gner les USA o il v cut jusqu en 1945
68. r cr er l effet de surprise La discussion porta ensuite sur le mode de travail adopter l organisation de celui ci sur la nature et le contenu des diverses parties de l ouvrage ainsi que sur la fr quences des r unions de ce qui f t appel dans un premier temps le Comit de r daction du trait d analyse D s le d part il fut con venu que ce groupe ne comporterait pas plus de neuf membres r solu tion qui fut peu pr s respect e au cours du temps puisqu il semble bien que le groupe n en comporta jamais plus de douze En Janvier 1935 taient venus rejoindre les fondateurs Paul Dubreil Jean Leray et Szolem Mandelbrojt Les deux premiers ne feront qu une courte apparition dans le groupe et seront rapidement remplac s respectivement par Jean Cou lomb et Charles Ehresmann Au fur et mesure que les s ances de travail se d roulaient les objectifs p dagogiques pr cis et limit s du d part voluaient sensiblement Weil toujours un peu le ma tre penser de l quipe a rappel dans ses souve nirs d apprentissage comment au fur et mesure des rencontres se pr cisaient peu peu les objectifs pendant qu en m me temps s enflait Pam bition Les Bourbakis envisag rent en effet assez rapidement d abandonner leur objectif initial somme toute modeste afin de r diger plut t un ouvrage g n ral susceptible d int resser un public plus large de chercheurs d en seignants de physicie
69. re en g n ral objet de la pens e scientifique aboutit d s ma turit dans la cr ation d une th orie la m thode axiomatique Ces id es extraites de son ouvrage de 1918 Axiomatisches Denken La pens e axiomatique ont eu un profond retentissement dans tous les domaines des math matiques On peut affirmer que Hilbert fut vraiment le p re spirituel de Bour baki W CB La pr sentation de Bourbaki La m thode d exposition choisie par Bourbaki est donc axiomatique Elle part le plus souvent du g n ral pour aboutir au particulier La pr sentation est totalement pur e et les quelques exemples auxquels on a recours n interviennent qu apr s le d veloppement abstrait Si la pr sen tation p dagogique peut appara tre discutable Bourbaki dans son Mode demploi pr cise que L utilit de certaines consid rations n appara tra donc au lecteur qu la lecture de chapitres ult rieurs moins qu il ne poss de d j des connaissances tendue Afin de compenser cette s cheresse quelque peu rebutante qui a sus cit critiques et reproches Bourbaki a utilis deux arguments Le pre mier a consist inclure des notes historiques en fin de chapitre ces notes ayant t ult rieurement rassembl es en un volume unique inti tul El ments d histoire des math matiques le second a t de doter COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD 165 chaque chapitre d exercices dus essen
70. ris en 1970 et s y consacra l histoire des math matiques Il mourut en 1992 Les travaux de Dieudonn ont port sur l alg bre les espaces vecto riels topologiques la topologie domaine qu il a enrichi de la notion d espace paracompact et les groupes de Lie Jusqu en 1956 il fut un l ment d terminant du groupe Bourbaki par la richesse de sa person nalit volcanique l tendue de ses connaissances et son norme capa cit de travail en particulier en tant que r dacteur d finitif des chapitres labor s au sein du groupe Auteur de nombreux articles dans lesquels il exprima la vision des math matiques qui dominait chez Bourbaki tout au moins son poque il r digea aussi des trait s didactiques ainsi que des ouvrages sur l histoire des math matiques Il contribua galement la r daction d articles math matiques de qualit pour l Encyclopaedia Universalis Enfin il a crit un livre destin au grand public Pour l honneur de Pesprit humain les math matiques aujourd hui paru en 1987 Andr Weil est n en 1906 en Alsace o son p re tait m decin Il fut aussi le fr re de la philosophe engag e Simone Weil Sa scolarit pri maire et secondaire s effectua en grande partie au moyen de le ons particuli res dispens es domicile Cette p dagogie personnalis e lui permit d tre en premi re au Ly c e Saint Louis douze ans et d entrer l Ecole Normale 16
71. rondi que les auteurs ins rent en marge du texte afin de solliciter l attention du lecteur lors qu il y a risque d erreur ou d incompr hension La plupart des termes et des notations propos s par Bourbaki ont t adopt s ult rieurement aussi bien en France qu l tranger W CB Philosophie de Bourbaki En m me qu il publiait les El ments de math matique Bourbaki propageait une nouvelle vision voire une nouvelle id ologie des math matiques laquelle fut accept e en d finitive par l ensemble de la com munaut mondiale des math maticiens et qui simposa longtemps au moins en France sous une forme presque dictatoriale Toutefois il convient de pr ciser un certain nombre de points En premier lieu cette vision globale de la discipline ne s est vraisemblable ment impos e que progressivement parmi les Bourbakis eux m mes tout au long de leurs travaux En second lieu les appr ciations de chaque membre du groupe titre individuel quelle que l adh sion de celui ci aux id es g n rales bourbachiques ont pu diff rer de celles du groupe lui m me en tant que tel Enfin le contexte aussi bien que les hommes 166 COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD ayant volu au cours du temps il est vident que la regard que le groupe peut jeter sur sa discipline est sans doute diff rent notre poque en 2001 de ce qu il tait dans les ann es cinquante Cette conception des math matiqu
72. rouve les th ories math matiques classiques telles que la th orie des fonctions ou encore les g om tries mais ces domaines plus particuliers ont perdu dans le sch ma de Bour baki leur autonomie ant rieure car d apr s L architecture des math matiques elles sont d sormais des carrefours o viennent se croiser et agir les unes sur les autres des structures math matiques plus g n rales 170 COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD Toutefois Bourbaki affirmait dans le m me article avec une pru dence assez inhabituelle chez lui que sa conception des math matiques pouvait tre consid r e comme une approximation grossi re de l tat des math matiques de l poque Il convient maintenant de situer de fa on si possible plus pr cise l uvre de Bourbaki Unicit des math matiques m thode axiomatique et structures ne sont pas des inventions originales du groupe Bourbaki L unit de la discipline a toujours t une question qui revient p riodiquement dans les pr occupations des math maticiens Par ailleurs la m thode axioma tique moderne est n e avec les travaux sur l arithm tique la fin du dix neuvi me si cle de Dudekind et Peano et surtout avec ceux effectu s plus tard de Hilbert Quant aux structures c est dans l ouvrage Mo dern algebra de Van der Waerden que Bourbaki a trouv son inspira tion Le r le de Bourbaki a plut t consister en une tentative d tendre
73. rs dans peu pr s toutes les Facult s De m me l Ecole Polytechnique o l enseignement tait reconnu comme assez traditionnel jusqu en 1950 la nomination de Laurent COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD 177 Schwartz en 1959 apporta un nouveau souffle l tablissement Son cours d analyse dans laquelle il introduisit la th orie des distributions son uvre majeure de chercheur fut un tel succ s qu il amena un chan gement profond de l esprit et de l enseignement de l Ecole notamment apr s 1968 Depuis cette p riode l Ecole est redevenue un centre floris sant et forme de nouveau avec succ s de brillants math maticiens de niveau international Donc si Bourbaki a contribu la r forme des math matiques dans l Enseignement Sup rieur c est tout fait indirectement car en tant que groupe il n a jamais envisag de d velopper une strat gie collec tive visant moderniser l enseignement des math matiques dans l En seignement Sup rieur et n a jamais d ailleurs manifest beaucoup de pr occupations p dagogiques C est donc titre individuel que les Bourbakis sont intervenus en m me temps que bien d autres math maticiens n appartenant pas au groupe comme Leray Choquet ou Li chnerowicz W CB Enseignement Secondaire La r forme de l enseignement des math matiques dans le second de gr entre 1950 et 1960 a constitu un ph nom ne g n ral qui toucha
74. s calculs Sur le terrain la r forme alla trop loin aussi bien dans les classes que dans les manuels De grands math maticiens comme Leray et Thom mont rent au cr neau pour stigmatiser l introduction des math mati ques modernes dans l enseignement signalant entre autres critiques que les programmes faisaient plus appel la m moire qu l intelligence M me Dieudonn qui pourtant avait particip de loin il est vrai aux travaux pr paratoires s emporta contre une nouvelle scholastique forme plus agressive et stupide plac e sous la banni re du modernisme On tenta bien de rectifier le tir en dulcorant les programmes mais la r forme fut partout d ailleurs un chec complet qui laissa d sempa r s aussi bien les l ves que les enseignants Les effets d vastateurs affec t rent plusieurs g n rations De nos jours les raisons pr cises de cet chec nont pas encore fait l objet d une analyse s rieuse Toutefois il est peut tre int ressant de conna tre lavis de deux grands math maticiens con nus pour leur talent p dagogique Ainsi Gustave Choquet affirmait en conclusion d une d claration faite en 1990 L id e directrice de la r forme tait que les fondements tant indispensables toute construc COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD 179 tion logique il importait de les enseigner d abord logique ensem bles alg bre alg bre lin aire Le r sultat ne pouvait
75. s est la structure de Groupe qui se d finit comme suit Un ensemble non vide G est un groupe s il est muni d une loi in terne not e qui tout couple y d l ments de G associe un l ment not x y appartenant aussi G et si les trois axiomes suivants sont v rifi s 1 Associativit pour tous l ments x y z de G on a x y z y z 2 Existence d un l ment neutre Il existe un l ment de G que nous crirons et tel que x e e x x quel que soit l l ment x de G 3 Existence d un inverse pour tout l ment quel que soit l l ment x de G il existe dans G un l ment not x tel que x x 1 x x e COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD 169 Lorsque la loi est commutative c est dire quand x y y x pour tous x et y on dit que G est un groupe ab lien Prenons par exemple comme groupe l ensemble des nombres en tiers muni de l addition ordinaire Il est facile de voir que les axiomes de la structure de groupe sont v rifi s dans ce cas En effet quels que soient les nombres r els x y z on a bien x y z x y z L l ment neutre est 0 car x 0 O x x L l ment inverse de x pour l addition est x car x x 0 Bourbaki distingue trois grands types de structures Celles o intervient une loi qui comme dans un groupe associe tout couple d l ments un troisi me sont les structures alg briques Parmi celles ci en
76. s g n rations normaliennes des ann es vingt arrivant l cole y d couvrirent un enseignement surann tournant essentiellement selon le langage Bourbaki autour de la th orie des fonctions de papa Comme Pa crit plus tard Weil ils taient peu pr s sans ma tres Poincar tant d c d en 1912 et Elie Cartan bien qu tant fort estim pour ses tra vaux demeurant assez isol Les jeunes normaliens taient donc con traints de travailler beaucoup entre eux chacun faisant profiter les autres de ses propres lectures nous apprenions beaucoup plus les uns des autres que des cours auxquels nous assistions ou n assistions pas assu rait Weil dans un de ses derniers articles Cependant dans ce d sert p dagogique un homme r ussit n anmoins apporter ces d butants une certaine fra cheur math matique Hada mard dont l activit de recherche tournait essentiellement autour de lana lyse mais qui faisait montre d une grande ouverture d esprit et poss dait une vaste culture scientifique C est Hadamard qui a fait de moi un math maticien Il tait tr s large d id es sint ressait tout y com pris la th orie des nombres qui n tait pas du tout enseign e cette poque crivait encore Weil Devant une telle situation ces jeunes math maticien s vertu rent aller chercher ailleurs l tranger ce qu ils ne trouvaient pas en France La plupart d entre eux
77. siste pour exposer sa vision des math matiques la philosophie de son entreprise et le but de ses travaux W CB Elaboration du projet Principes de Fonctionnement Le groupe fonctionne en gros en observant trois grands principes qui sont le secret et l anonymat l unanimit et l absence de hi rarchie la limite d ge et le mode de recrutement Nous avons vu son go t du secret intervenir lors de la premi re com munication de Bourbaki aux comptes rendus de l Acad mie des Scien ces attitude qui en l occurrence r v le aussi un penchant certain pour le canular Ce principe du secret et de l anonymat pouss tr s loin par le groupe est quelque peu d concertant chez des intellectuels scientifi ques ou non d ailleurs car il est assez contraire leur attitude habituelle de grande ouverture Aussi bien dans les premiers temps du groupe que maintenant lors qu un nouveau Bourbaki est recrut il lui est interdit de faire tat de son appartenance m me si tr s souvent celle ci rel ve du secret de polichi nelle ce qui n a pas manqu de cr er parfois des situations quelque peu cocasses Cette manie du secret constitue parfois un obstacle la recher che d informations par les historiens ou journalistes scientifiques ne serait ce qu au secr tariat du groupe Paris o cette attitude est stricte ment observ e La principale raison qui a conduit les membres fonda teurs dicter cet
78. sur la r forme des tudes scientifiques puis apr s la guerre il participa aux tra vaux de la commission Langevin Wallon pisode de sa vie qui le laissa d ailleurs fort d u A partir de 1947 Delsarte fit de nombreux mais brefs s jours dans des universit s trang res telles que Princeton Sao Paulo Mexico Bom bay sans abandonner Nancy pour autant dont il continua faire un centre renomm de math matiques Mais cet clat nanc ien sera mal heureusement provisoire l attraction de la capitale venant dans ce sec teur comme dans bien d autres annihiler tous les efforts d ploy s en province En 1962 Delsarte partit diriger la maison Franco Japonaise de Tokyo et revint Nancy en 1965 De sant fragile il fut terriblement affect par les v nements de 1968 auxquels il ne devait pas r sister Delsarte tait un notable le Doyen Delsarte il avait l habitude de la d f rence crivit Weil Qu il fall t de toute n cessit instaurer le chaos afin d en faire sortir peut tre une soci t et par voie de cons quence une universit nouvelles cela d passait l entendement de Delsarte Tr s certainement fragilis il meurt d un infarctus en Novembre 1968 Jean Dieudonn est n Lille en 1906 d un p re industriel dans le textile et d une m re institutrice C est au cours d un s jour l le de Wight o son p re lavait envoy pour apprendre l anglais que le jeune Dieudonn s
79. t sans parler de la puissance intellectuelle de ces deux Grands Hommes Bourbaki ne veut pas se comparer Saint Thomas le Docteur Ang lique car il ma jamais eu aucune de ses h ro ques vertus Peut tre l appellera t on un jour comme Saint Thomas Doctor Communis le Docteur Commun Mais cette es p rance est d j fort ambitieuse Jean Delsarte en conclusion de son intervention crut pouvoir affir mer que selon son sentiment dans l avenir lavenir de 1967 qui est un peu notre pr sent le travail d quipe devrait se d velopper parmi les scientifiques et la r daction d ouvrages en commun comme les El ments de math matique devenir une activit non exceptionnelle D apr s lui Bourbaki a donc en quelque sorte d frich le terrain et montr la voie W CB 184 COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD Conclusion Le cr puscule Bourbaki c est fini On pourrait le craindre la lecture des titres de certains journaux de ces derni res ann es Quarante ans de Bourbaki Le c l bre math maticien est toujours immortel mais il a bien vieilli affirmait Le Monde du 9 Avril 1980 Bourbaki est mort CQFD ti trait avec provocation Lib ration le 28 Avril 1998 Quelles sont les raisons qui incitent penser que l aventure se ter mine et est m me peut tre termin e D abord Bourbaki ne publie presque plus avant dernier volume datant de 1983 le dernier de 1998 Quant d
80. t chapitres Espaces vectoriels topologiques cinq chapitres Int gration neuf chapitres Alg bre commutative dix chapitres Vari t s diff rentielles et analytiques un fascicule de r sultats sans d monstrations Groupes et alg bre de Lie neuf chapitres Th ories spectrales deux chapitres Bourbaki a r dig un texte de quelques pages intitul mode d em ploi de ce trait plac en avant propos de chaque volume publi des El ments de Math matique et qui fournit quelques indications et certains conseils quant l utilisation de l ouvrage Ce trait prend les math matiques leur d but et donne les d monstrations compl tes Sa lecture ne suppose donc en principe aucune connaissance math matique particuli re mais seulement une certaine habitude du rai sonnement math matique et un certain pouvoir d abstraction Toutefois le lecteur d butant qui prendrait ce discours pr liminaire la lettre risquerait d prouver une rude d ception et cela d s les pre mi res lignes du trait En r alit des connaissances du niveau du se cond cycle universitaire en math matique sont pratiquement indis pensables la bonne compr hension de l ouvrage Il appara t donc que le trait est plut t destin en priorit aux tu diants de second et troisi me cycle universitaires et aux math maticiens confirm s Ce n est certainement pas un ouvrage grand public
81. t de fortes personnalit s Toutefois il convient de le noter la r gle de l anonymat n a pas tou jours t appliqu e de fa on tr s stricte notamment au d but de la cr a tion de Bourbaki puisqu en 1937 une demande de subvention fut adres s e au physicien Jean Perrin alors sous secr taire d tat la recherche scientifique nomm ment par Mandelbrojt Delsarte Cartan Weil Dieudonn et D Possel Pr cisons que la subvention a d ailleurs t accord e En ce qui concerne le second principe Bourbachique il est la fois intransigeant et incontournable Ainsi tous les projets de r daction examin s au niveau du groupe doivent tre imp rativement approu v s l unanimit On peut imaginer la grande difficult r aliser un tel consensus quand on sait quel point les s ances de travail taient mou vement es dans les premiers temps du groupe comme cela a t main tes fois rapport La violence des critiques mises par les uns les d mo litions des textes propos s par les autres les insultes fusant de toute part mais heureusement oubli es aussit t que prof r es au beau milieu du chahut des plaisanteries des moqueries et des rires tout cela cr ait une ambiance bien particuli re Il est arriv que certains textes soient revus jusqu dix fois au point que Pierre Samuel membre tr s actif du groupe une poque a avou Nous nous mettions parfois d accord par
82. t hostiles D apr s Michel Demazure la p dagogie ne le pr occupait d ailleurs aucunement Pim portant pour lui tant le contenu des enseignements Mais en r alit l influence directe ou indirecte de Bourbaki tait cette poque consid rable si bien que sa philosophie sous tendait le choix des contenus math matiques et l organisation mise en oeuvre dans les nouveaux programmes La vision particuli re que Bourbaki avait des math matiques s tait impos e au monde des math maticiens avait gagn d abord l universit puis de l le milieu des professeurs de Pen seignement secondaire qui avaient tout naturellement imagin se fon der sur elle pour r nover l enseignement des math matiques et souvent en se recommandant explicitement de Bourbaki Or le groupe n avait jamais pr tendu que son trait pouvait tre trans pos dans le second degr et d clinait toute responsabilit en ce qui concernait les cons quences ventuelles Michel Demazure a reconnu n anmoins que l attitude de Bourbaki n allait pas sans une certaine dose d hypocrisie Quoiqu il en soit la fin des ann es soixante dix les diverses r formes des math matiques modernes furent abandonn es et on revint des 180 COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD programmes moins ambitieux avec en particulier la r apparition de la g om trie Mais le retour en arri re n a pas pour autant t tr s satisfai sant car comm
83. taient capables d assimiler les chapitres de l ouvrage Bourbaki sans avoir simultan ment recours d autres trait s Un math maticien am ricain c l bre Paul Almos dans un compte rendu sur le volume d Int gration reconna t que le sujet trait est important le livre bien r dig son contenu bien organis mais que le point de vue adopt n aidera pas l tudiant comprendre ni tendre son champ d int r t Un math maticien fran ais A Denjoy a lui aussi vertement critiqu la mani re dont le groupe avait trait l int gration D une mani re g n rale ce sont les livres sur l Int gration et la Th orie des ensembles qui ont essuy les critiques les plus acerbes On a reproch aussi Bourbaki d avoir d laiss voire n glig tout ce qui touche de pr s ou de loin aux applications des math matiques comme par exemple l analyse num rique la th orie des probabilit s ou encore l informatique On ne peut certes pas reprocher Bourbaki de ne s tre pr occup que de math matiques pures Mais une certaine poque son influence directe ou indirecte tait telle que son attitude a consi d rablement frein le d veloppement en France de toutes les math matiques appliqu es Reproche plus grave enfin la vision bourbachique des math matiques ne conduit pas vraiment selon nombre de critiques une th orie bien construite et parfaitement coh rente En particulier lat
84. te r gle tenait vraisemblablement au caract re collectif qu ils tenaient conf rer leur uvre Le fait que la r daction se fasse en commun avec l obligatoire participation de tous en particulier pour les discussions et les critiques implique qu aucun membre ne puisse se mettre en avant tant pour la notori t scientifique que pour les ventuels avan tages mat riels Laurent Schwartz et Jean Dieudonn ont d ailleurs justifi cette position en rappelant que l activit de Bourbaki ne concer COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD 155 nait pas les travaux scientifiques personnels de ses membres mais uni quement la r daction collective d un trait de math matiques Il faut aussi convenir que cette attitude pr sentait l avantage d ap porter au groupe une certaine tranquillit en prot geant ses diff rents membres des influences ext rieures lesquelles tout au moins au d but de leur aventure commune pouvaient pr senter un caract re d hostilit plus ou moins affirm Vis vis de la communaut scientifique la discr tion quant la com position du groupe a certainement conf r son uvre un surcro t de cr dibilit puisque le texte apparaissait alors comme le r sultat d un consensus sans r f rence d ventuelles dissensions internes Enfin il est probable que l observation du secret a d contribuer aussi resserrer les liens l int rieur d un groupe o voluaien
85. ti tude de Bourbaki vis vis de l axiomatisation de la th orie des ensem bles et de fa on plus globale vis vis des fondements m mes des ma th matiques fit l objet de nombreux commentaires assez s v res Nous 172 COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD avons rappel pr c demment que les logiciens et certains math mati ciens souhaitaient en effet depuis le d but du vingti me si cle obtenir un syst me d axiomes satisfaisant pour tablir la th orie des ensembles sur laquelle ils voulaient faire reposer toutes les math matiques et com ment leurs travaux s taient heurt ce qu on a appel la crise des fon dements Bourbaki a choisi d ignorer ces probl mes ce qui peut sembler ton nant pour un groupe semblant attacher tant d importance aussi bien la d marche axiomatique qu aux structures et il est encore plus tonnant que Weil lait affirm d lib r ment Cette attitude du groupe s est tra duite dans la r daction du livre sur la Th orie des ensembles des El ments de Math matiques lequel livre fut s v rement critiqu aussi bien pour son optique trop restrictive que pour avoir n glig cette ques tion des fondements primordiale pour les logiciens Dans un article de 1992 publi dans le The Mathematical Intelligencer et intitul The ignorance of Bourbaki un math maticien anglais A Mathias a vive ment reproch Bourbaki entre autres choses d avoir n
86. tiellement Dieudonn et dont la qualit a t unanimement reconnue L int r t de ces exercices a t double d abord de permettre au lecteur de v rifier si le texte est compris et assi mil et ensuite de lui faire conna tre des r sultats qui n avaient pas leur place dans le texte Autrement dit le lecteur se doit de retrouver lui m me beaucoup de r sultats importants par le biais des exercices Ceci est un d faut reconnu du trait un autre se situant au niveau des r f rences bibliographiques peu fournies rejet es en fin de chapitres apr s les notes historiques et qui toujours d apr s le mode d emploi ne contiennent que des r f rences concernant le plus souvent que des livres et m moires originaux qui ont eu le plus d importance dans l volution de la th orie consid r e Tout est donc mis en uvre le texte tant consacr l expos dog matique d une th orie pour que le lecteur puisse focaliser toute son attention sur ce qui est essentiel dans l esprit des auteurs sans en tre distrait par des consid rations consid r es comme accessoires Bourbaki a d ploy beaucoup d efforts et fait montre de beaucoup d imagination en mati re de terminologie La n cessit d utiliser un lan gage tout la fois rigoureux et simple a conduit les Bourbakis cr er de nombreux nouveaux termes tels par exemple que bijection ensemble vide et introduire l esp ce de grand Z ar
87. trouv rent des quipes d accueil en Europe d abord en Allemagne o l cole alg brique par sa vitalit constituait un indis cutable p le d attraction mais aussi en Italie ou en Suisse d autres en fin tant plut t attir s par les grandes universit s am ricaines Nous aurons l occasion d examiner d ailleurs le parcours personnel des prin cipaux fondateurs du Groupe Bourbaki L influence de l cole allemande d alg bre fut consid rable en particu lier travers le livre de Van der Waerden Modern algebra dont Dieu donn vanta les m rites exceptionnels dans un article Le style de cet auteur contrastait fortement avec celui des ouvrages fran ais disponibles l po que qui taient confus manquaient de rigueur et ne faisaient pas tat des d veloppements les plus r cents de la recherche math matique L quipe qui entreprit la r daction d un trait moderne d analyse fera ult rieurement voluer son projet de fa on notable Ses membres taient pour la plupart professeurs dans des universit s de province et bien qu ils fussent jeunes taient n anmoins des math maticiens d j confir m s aux m rites reconnus Ils n avaient gu re manifest de consid ra tion pour leurs anciens professeurs de l Ecole Normale dont ils taient s par s par toute une g n ration et cela d autant plus qu ils avaient rencontr l tranger d minents chercheurs l avant garde de
88. ue Nous avons indiqu que la premi re motivation de Weil et de Cartan avait t de r diger un trait d analyse pour remplacer des ouvrages p rim s les tudiants ne disposant pas cette poque de livres modernes et adapt s Toutefois le mal tait plus profond les math matiques fran aises taient alors coup es des recherches de pointe qui se faisaient ailleurs dans d autres pays comme en Allemagne par exemple dans le domaine de l alg bre Ceci explique en grande partie l volution ult rieure du projet Bourbaki que nous aurons l occasion d analyser Il faut rappeler que la fin du dix neuvi me si cle et le d but du ving ti me ont t domin s au plan des math matiques par deux savants exceptionnels le fran ais Henri Poincar 1854 1912 et l allemand David Hilbert 1862 1943 Ils furent sans doute les derniers math ma ticiens capables d embrasser globalement l ensemble des sciences ma th matiques Pour sa part Poincar se livra longtemps des travaux d analyse clas sique avant d aborder l tude des syst mes d quations diff rentielles Il fut par ailleurs le pr curseur des th ories modernes sur le chaos con tribua largement l mergence de la topologie et fit encore des travaux de m canique c leste et de m canique relativiste COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD 143 Les travaux de Hilbert portaient plut t sur la th orie des invariants la th
89. ues v nements pr sentent un caract re anec dotique En effet car la cause principale de d part du groupe Bourbaki est l ge les membres sont tenus de prendre leur retraite cinquante ans Cette r gle fut propos e par Weil et adopt e d abord pour viter un surnombre pr judiciable un travail fructueux et ensuite pour amener COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD 157 par la disparition progressive des membres fondateurs les membres plus jeunes prendre fond leurs responsabilit s Il faut bien pr ciser quand m me que les math maticiens consid rent que c est dans sa jeu nesse qu un chercheur est le plus brillant et le plus cr atif et dans l appli cation de cette nouvelle r gle Bourbaki ne faisait que suivre l opinion g n rale des tenants de la discipline Dieudonn essayait n anmoins avec sa verve habituelle d att nuer un peu la brutalit du couperet en affir mant dans un article qu un math maticien de plus de cinquante ans pouvait certes encore effectuer des travaux de qualit mais risquait tout de m me d prouver quelque difficult s adapter aux id es des cr ateurs nettement plus jeunes ceux qui sont porteurs d avenir Pour bien comprendre l attitude des membres du groupe il faut signa ler encore par exemple que la m daille Fields n est jamais attribu e un math maticien de plus de quarante ans alors le prix Nobel distinction quivalente pour
90. ui insista en 1953 dans un article sur les qualit s du Livre d Alg bre ayant appr ci la g n ra COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD 171 lit et l abstraction des concepts la terminologie et les notations d sor mais adopt es par de plus en plus de math maticiens Artin crivait encore que le lien commun entre les diff rentes branches des math matiques devient clairement visible Il rappelait que le volume de To pologie g n rale tit d j en train d tre utilis avec enthousiasme particuli rement par la g n ration la plus jeune et concluait en cons tatant le succ s complet de l uvre malgr sa pr sentation abstraite impitoyablement abstraite Alex Rosemberg compatriote d Artin mit une opinion similaire ajoutant par ailleurs ne pas tre sp cialement rebut par la pr sentation bien qu elle fut effectivement tr s abstraite Toutefois des opinions nettement moins laudatives se firent jour Ainsi Edwin Hewitt en 1958 critiqua la pr sentation aust re et monolithi que du trait le trop grand nombre de d finitions non motiv es les exercices p nibles et l obligation de se r f rer constamment aux volumes ant rieurs de l auteur D une mani re g n rale beaucoup de commenta teurs mirent un doute quant l utilit des diff rents volumes pour les tudiants Ainsi en commentant un volume de Topologie G n rale E Michael se demanda combien d tudiants
91. urbaki 178 COMMUNICATION DE MONSIEUR ROBERT MAINARD connaissaient une telle vogue que l on pensait qu elles pouvaient avanta geusement remplacer le latin et le grec dont l cole se servait pour s lec tionner ses lites En France l application de la r forme connut quatre tapes La premi re fut une p riode de r flexion marqu e par le colloque de Royaumont organis en Novembre 1959 par l OCDE et au cours du quel Dieudonn lan a son fameux A bas Euclide propos de l ensei gnement de la g om trie Au cours de la seconde c est dire pendant les ann es 1964 65 un certain nombre de groupes de travail furent cr s et install s La troisi me fut celle de la r alisation d exp riences p dagogiques et de la promulgation des programmes Enfin la derni re phase vit la g n ralisation progressive des nouveaux enseignements la r forme tant pilot e par la commission Lichnerowicz qui comportait dix sept membres dont deux Bourbakis Samuel et Pisot y participaient mais titre individuel Les nouveaux programmes labor s par les groupes de travail et re vus par la commission comportaient des rudiments de logique formelle et de th orie des ensembles l tude l mentaire des structures groupes anneaux corps pr sent s de fa on axiomatique la g om trie tradition nelle disparaissant au profit de l alg bre lin aire On mettait davantage l accent sur la rigueur et moins sur le
92. us souvent la campagne On avait fait une ou deux exp riences dans des villes Cela ne marchait pas du tout sauf peut tre quand nous nous sommes r unis Nancy avait d clar Dieudonn Les membres du groupe voulaient d ailleurs lors de ces r unions de travail s affranchir de toute contrainte f t elle familiale W CS Choix du nom La fantaisie en m me temps que le go t d une certaine d rision se manifest rent tout particuli rement dans le choix m me du nom de Bourbaki Pour en trouver l explication il faut remonter en 1923 et rap peler le canular inflig rituellement aux conscrits qui sont les l ves de premi re ann e Au cours de cette ann e un l ve de troisi me ann e un cube dans le langage normalien Raoul Husson fit savoir par voie d affiche qu un certain professeur Holmgren viendrait donner une conf rence l cole et que l assistance y tait obligatoire pour tous les conscrits Andr Weil raconte avec beaucoup d humour cette p rip tie dans ses Souvenirs d apprentissage Il Husson se pr senta aux conscrits muni d une fausse barbe et d un accent ind finissable et leur fit un expos qui montait para t il par degr s insensibles d un peu de th orie des fonctions classiques aux hauteurs les plus extrava gantes pour se terminer par un th or me de Bourbaki dont laudi toire resta pantois C est ainsi du moins que s en est fix e

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