ALIGNEMENT I - ETUDE DE QUELQUES
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1. 177 180 donc les points sont align s Cette r ponse met en vidence une mauvaise compr hension de la notion VRAI FAUX en math matiques pour ces l ves l angle obtenu est vraiment trop proche de 180 pour conclure au non alignement Dans l exercice 2 de la fiche N 1 nous avons revu plusieurs m thodes et nous avons profit de cette occasion pour d composer devant les l ves des erreurs typiques par exemple l emploi du th or me de Thal s alors qu on ne sait pas que les points sont align s erreur que l on retrouve justement dans l exercice 3 de la fiche N 1 On pouvait d s lors s attendre de bons r sultats pour cet exercice 3 ce qui n a pas vraiment t le cas Les r sultats sont tr s variables d une classe l autre de 5 65 suivant le temps d j consacr au calcul vectoriel et au th or me de Thal s Presque tous les l ves reconnaissent que la d monstration 2 est correcte en corrigeant parfois la r daction Par contre beaucoup ont du mal localiser l erreur dans la d monstration 1 et surtout expliquer clairement en quoi elle consiste Ceci prouve bien qu il ne suffit pas d avoir sous les yeux une bonne solution pour comprendre en quoi une autre est mauvaise Le test final Trouver la faille dans le raisonnement devait permettre de contr ler chez les l ves une certaine sensibilisation l alignement Nous voulions en particulier tester les progr s dans la capacit rep rer2. cet alignement n est pas facile prouver IV ANALYSE DES ERREURS ET DES DIFFICULTES DES ELEVES Sans avoir atteint le but de notre recherche pourquoi l alignement est il si souvent oubli on voit plusieurs causes non sp cifiques d ailleurs aux probl mes d alignement qui concourent cr er la difficult le r le de la figure pour certains l ves elle sert d argument ils constatent un r sultat donc ce r sultat est vrai d autres utilisent la conclusion comme donn e avec ce raisonnement puisque le prof demande de d montrer tel r sultat ce r sultat est certainement vrai donc on peut l utiliser Dans ces deux cas bien s r c est le r le m me de la d monstration qui n est pas compris Cette difficult peut sans doute tre surmont e partiellement en posant aux l ves des questions plus ouvertes dont la r ponse n est pas vidente et qui motivent la d monstration Il reste enfin deux sources de difficult s que nous allons voquer plus longuement la notion de milieu l emploi de certains th or mes 1 Le milieu notion complexe En quoi la notion de milieu est elle plus complexe qu il n y para t au premier abord Examinons deux extraits de copies d l ves pour le probl me suivant ABC est un triangle isoc le de sommet I est le milieu de AC D est le sym trique de B par rapport I Montrer que CA CD Premi re copie Je vais prouver que ADCB est un parall log
3. daction M et P sont sym triques par rapport OB donc MP est perpendiculaire OB De plus AOB est rectangle en O donc OB est perpendiculaire AO Or si deux droites sont perpendiculaires une m me droite elles sont parall les donc AO MP Dans le triangle MNP AO passe par le milieu de MN parce que M et N sont sym triques par rapport AO Or si une droite passe par le milieu d un c t d un triangle et si elle est parall le un autre c t alors elle coupe le troisi me c t en son milieu Donc AO coupe NP en son milieu O Dans les deux cas la faute est vidente ni l galit de longueurs ON OP ni l affirmation AO passe par le milieu de NP ne signifient que O est le milieu de NP Il manque pour conclure correctement un pas de d monstration montrant que O N et P sont align s Il est important d analyser ces erreurs car elles sont fr quentes quand on donne cet exercice en seconde les trois quarts des l ves proposent l une des deux r dactions ci dessus Bien qu l vidence la r daction ne parle pas d alignement rien ne permet de savoir si l l ve y a pens ou non s il omet volontairement d en parler et pourquoi La question se pose alors de savoir si les remarques du genre tu as oubli de prouver l alignement ou d monstration incompl te que nous noterons sur les copies apportent une aide l l ve Peut tre sera t il surpris par nos exige
4. EB Prof Est ce que le texte dit que les points sont align s El ve Non Prof Est ce qu il fallait le d montrer El ve Non Puisque vous demandez de prouver que A est milieu de EB c est qu il est sur EB Vous n auriez quand m me pas demand a pour un autre point Cette r ponse s explique sans doute en partie par le pass des l ves Les premi res recherches qui leur sont propos es en coll ge sont souvent des situations o l alignement fait partie des donn es et il ne reste qu prouver l galit de longueurs l aide des nouveaux outils qu ils viennent d acqu rir Pythagore Il est vrai aussi qu on n nonce jamais de th or me du style Un point I est le milieu du segment AB si A I B sont align s et si IA IB Notre premi re t che est donc de rep rer les l ves qui fonctionnent sur le mod le milieu quidistance Ils sont vite d accord sur le fait que l alignement n est pas dans les donn es si c est le cas Il est alors tr s utile de les faire s exprimer oralement ou par crit en posant la question Pourquoi n as tu pas d montr l alignement Deux difficult s particuli res Chapitre 3 La discussion qui en d coule permettra de pr ciser le contrat l galit de longueurs caract rise la m diatrice et non le milieu tout ce qui n est pas dit dans les donn es doit tre d montr parfois lorsque l alignement fait partie des donn es on n en parle pas dan
5. diam tres AM et AM sont rectangles en B Avec le th or me de Pythagore dans chacun de ces triangles AM 2 BM AB BM 2 AM 2 AB AM 2r donc mais r rayon des cercles AM BM2 AB2 BM AM AB2 AM2 2r 2 d o BM 2 4r AB2 et BM 4r AB2 On en d duit donc que BM 2 BM et que BM BM Cette derni re galit nous montre alors que B est le milieu de MM La d monstration en Seconde IREM de RENNES MODE D EMPLOI DES FICHES N 1 et N 2 Exercice 1 Objectifs D roulement Exercice 2 Objectif D roulement Apprendre se m fier d une figure Trouver une m thode pour prouver l alignement ou non de trois points Libert de recherche 10 min Aides pour d marrer selon les demandes des l ves Trouver la mesure des angles des triangles AOB BOC GOA A Trouver la mesure de HEC Trouver un outil pour prouver l alignement de trois points Libert de recherche 10 min Recherche de m thodes d bat avec les l ves pour qu ils aient des pistes pour travailler Parall lisme de _ N et IK en utilisant le milieu de BI Avec vecteurs J et K en fonction di de BC et BA Par l analytique rep re B BC BA Avec le th or me de Thal s d licat r diger sans vecteur Les l ves r digent leurs solutions par au moins trois m thodes sur feuille la maison Nous essayons de relever des d monstrations avec d
6. donn e lorsqu on supprime cette donn e du texte Ils ne se prononcent que sur la coh rence entre la conclusion de la d monstration et la r alit de la figure ainsi obtenue Ce non signifie si on supprime cette donn e I n est pas milieu de AE ces l ves vont aussi chercher intercaler dans la d monstration la donn e oubli e D autres non signifient la d monstration n est plus valable si on enl ve une donn e on n a pas le droit de changer le texte Pour eux c est le prof qui fait une erreur en modifiant le texte Pour ces l ves il n y a pas de contradiction apparente et cette activit ne les a sans doute pas persuad s de l existence d une faute de d monstration Les observations montrent aussi que les l ves sont dress s utiliser toutes les donn es si on nous la donne c est que a sert Pour eux la d monstration est fausse simplement parce qu elle n utilise pas toutes les donn es On peut penser que la majorit des l ves a t convaincue de l existence d une erreur mais cette fiche ne semble pas encore le bon moyen de leur apprendre d celer une erreur En fait la t che tait ici assez difficile pour plusieurs raisons l erreur se situe tout la fin et elle d coule de l emploi d un th or me d licat difficult que nous reprendrons dans le paragraphe suivant tout ce qui est crit est juste il faut seulement rajouter une tape l alignement de A I et E
7. et qu il suffit de d montrer une galit de longueurs ou encore que l observation de la figure remplace une d monstration l l ve a du mal analyser la formulation d un th or me compliqu et y rep rer les hypoth ses l l ve se laisse pi ger par la figure et oublie de v rifier une hypoth se Ces quelques r sultats ne pr tendent pas faire le tour de la question mais esp rent fournir des pistes permettant de mieux comprendre les comportements des l ves dans bon nombre de situations
8. AC car la s paration hypoth se conclusion est moins nette dans le premier cas On observe dans ce cas l oubli de v rifier que J est sur AC pour conclure que J est le milieu de AC Un ph nom ne identique peut tre observ pour un th or me plus simple et tr s familier pour les l ves les diagonales d un parall logramme se coupent en leur milieu Celui ci peut aussi s noncer Dans un parall logramme le milieu d une diagonale est aussi le milieu de l autre Beaucoup d enseignants consid rent en premi re analyse que ces deux nonc s sont quivalents Pourtant ils ne comportent pas en fait les m mes hypoth ses ni la m me conclusion ni les m mes quantificateurs Le texte de d monstration On sait que ABCD est un parall logramme comme I est le milieu de AC c est aussi le milieu de BD correspond au deuxi me nonc le premier conduisant en principe une d monstration en deux pas On sait que ABCD est un parall logramme donc AC et BD ont m me milieu Comme I est le milieu de AC c est aussi le milieu de BD Bien s r peu d enseignants vont s int resser cette nuance Il n emp che qu elle peut contribuer mettre un flou dans l esprit de certains l ves sur le point essentiel quand on veut utiliser un th or me dans un pas de d monstration on s assure que les hypoth ses sont dans les donn es ou d j d montr es puis on nonce la conclusion Notons enfin que les figures prototy
9. AE quelques groupes finissent quand m me par noncer BI passe par le milieu de AE ne veut pas dire que I est le milieu de AE On ne sait pas que I est sur AE Cette diff rence de comportement vient bien s r de la diff rence de compr hension de la phrase la d monstration reste vraie si on change la place de I sur BC Pour tre d accord avec cette phrase il faut d j ma triser la relation entre la pr sence d une donn e dans l nonc et l utilisation de cette donn e dans la d monstration une donn e pr sente dans l nonc mais non utilis e peut tre supprim e sans changer la validit de la d monstration Les l ves qui ont compris cela vont bien saisir la contradiction si la donn e I milieu de BC ne sert pas on peut la supprimer et la d monstration encore valable prouve que tout point de BC est milieu de AE ce qui est absurde Donc cette donn e doit servir Il est certain qu aucun l ve n a fait explicitement ce raisonnement avant de r pondre oui ou non la question Etes vous d accord Certains de ceux qui ont r pondu oui l ont fait implicitement Et ces l ves vont sans doute chercher l erreur dans la d monstration Plusieurs r pondent non Mais certains non signifient c est impossible que I soit align avec A et E si I n est pas milieu de BC Autrement dit ils ne se prononcent pas sur la validit d une d monstration n utilisant pas certaine
10. ALIGNEMENT C est au hasard de discussions informelles qu a germ l id e d inclure ce th me dans notre recherche En effet il appara t que les d monstrations faisant intervenir l alignement sont fr quemment mal r dig es par les l ves et de surcro t certaines fautes reviennent sans cesse dans les copies malgr nos explications r p t es Cette situation correspond exactement au sujet de notre recherche comment am liorer la r daction des d monstrations par les l ves Nous allons d abord pr senter quelques fautes typiques extraites de copies d l ves de seconde Nous exposerons les grandes tapes de notre travail pour terminer par une analyse plus d taill e des causes d erreur I ETUDE DE QUELQUES EXEMPLES 1 Premier exemple AOB est un triangle rectangle en O M un point du segment AB distinct de A et B On trace le sym trique N de M par rapport AO et le sym trique P de M par rapport BO Montrer que O est le milieu de NP Pour cet exercice deux m thodes diff rentes de r solution contiennent chacune une erreur caract ristique Premi re r daction Comme N est le sym trique de M par rapport AO alors AO est la m diatrice de MN O appartenant AO est quidistant de M et N donc OM ON De m me comme P est le sym trique de M par rapport BO alors BO est la m diatrice de MP et OM OP Donc ON OP et O est le milieu de NP Deuxi me r
11. EF 56 toujours avec la relation de Chasles EF et BC tant colin aires on a alors EF BC Comme l est le milieu de EF on a El 0 5 EF et comme A est le milieu de BC on a BA 0 5 BC Otad s A SAS El R EF Ness 1 LAB 0 5 BO bre RP LEE L AB 0 5 BC F AB BA x AA Ce qui tablit que Al f AA ces vecteurs tant colin aires nous avons donc d montr que les points A et A sont align s TROUVER LA FAILLE DANS LE RAISONNEMENT Instructions Voici un exercice et deux d monstrations fausses de cet exercice Tu dois localiser l endroit pr cis o est commise la faute dire pourquoi il y a faute sans chercher donner une r daction correcte de l exercice Donn es Les deux cercles c et c ont m me rayon se coupent en A et B AM et AM sont des diam tres de cet de c Question Montrer que B est le milieu de MM DEMONSTRATION N 1 Le triangle ABM est inscrit dans un demi cercle de diam tre AM donc il est rectangle en B AB est donc la hauteur issue de A dans le triangle AMM De plus le triangle AMM est isoc le de sommet A les diam tres AM et AM ayant m me longueur Le triangle tant isoc le en A la hauteur issue de A ici AB est aussi la m diatrice de MM La m diatrice d un segment coupe celui ci en son milieu d o B est le milieu de MM DEMONSTRATION N 2 Les triangles ABM et ABM tant inscrits dans des demi cercles de
12. J sont les milieux Chapitre 3 Deux difficult s particuli res Souvent la premi re r ciproque est consid r e comme tant le th or me La troisi me r ciproque est refus e par la plupart des enseignants alors qu elle est nonc e par quelques uns Les nonc s des enseignants et des l ves sont en fait tr s divers Pour chacun de ces th or mes la conclusion comporte deux des six propositions nonc es ci dessus On rencontre naturellement des nonc s dont la conclusion ne comporte qu une des propositions Par exemple voici un nonc d riv du th or me Dans le triangle ABC si milieu de AB et J milieu de AC IJ est parall le BC Les nonc s peuvent ne comporter aucun nom de point Par exemple Pour le th or me La droite qui joint les milieux de deux cot s d un triangle est parall le au troisi me c t n Uria pe A i Ou encore Le segment qui joint les milieux de deux c t s d un triangle a pour longueur la moiti du troisi me c t Pour ia fecprogue 1 La droite qui passe par le milieu d un c t et est parall le passe par le milieu du troisi me c t un autre c t Les nonc s peuvent tre exprim s en termes de vecteurs partiellement ou compl tement comme le montrent ces deux nonc s du th or me Dans le triangle ABC si I milieu de AB et J milieu de AC 1J BC Dans le triangle ABC si A A l inverse certains
13. a conclusion pr c dente tant ON L AN et non ON L AM il s est donc servi de l alignement sans qu aucun indice ne l indique dans le texte Il n y a pas davantage d indice dans la conclusion NO coupe AM en son milieu N qui utilise galement cet alignement Deux difficult s particuli res Chapitre 3 Bien s r ceci n a rien de choquant et il ne semble pas raisonnable de faire l l ve une remarque ce sujet encore moins de le sanctionner Cependant s il y a bien pour lui une utilisation abusive de la figure comprendra t il pourquoi ce texte est accept sans probl me alors qu on lui refuse les r dactions pr c dentes Un autre oubli courant chez les l ves va tre mis en vidence sur un nouvel exemple 3 Troisi me exemple Dans un triangle ABC on construit les points E gt et F tels que 1 et A Soit le milieu de EF et J le milieu de BC Montrer que A J sont align s Ce qui peut donner gt 1 gt i Comme AE 3 AB et AF 3 AC alors d apr s la r ciproque du th or me de Thal s EF est parall le BC PTE er Dans le triangle ABJ on a donc AE gt AB et El II BJ donc d apr s le th or me de Thal s on en d duit AI 3 AJ et donc I et J sont align s L erreur est ici l emploi du th or me de Thal s sans en avoir contr l les hypoth ses et donc l utilisation implicite de l ali
14. a plupart du temps une erreur voisine de celle rencontr e dans la copie suivante n Dern es ABeD et ur al de Casjet poeh Cac Ge Je por Ew Q ru pua a D 4 saot G Ame C ew ERER FPA du Os Daro k Moh ADE de dwe QE ur ARA Suan ke CAN amp cle Aore Je L ru a ne tee ck ODEJ ame H eue L los Et CA ex an ee D E ek R Us Ac CA C est sur cette erreur que nous allons travailler dans la suite Si donc aucune copie ne contient ce type de faute l activit peut se terminer l 2 Deuxi me heure 1 Les l ves re oivent la fiche La d monstration litigieuse et y travaillent individuellement environ 5 minutes Puis ils se remettent en groupes 2 Le professeur demande alors quelques l ves d noncer leurs constatations tous voient que la donn e I milieu de BC ne sert pas Certains font remarquer qu on se sert de I e BC pour affirmer que CI est parall le AD mais ils sont d accord que la donn e milieu ne sert pas 3 Le professeur crit alors au tableau ou sur transparent La d monstration n utilise pas la donn e I est milieu de BC On peut donc penser que cette d monstration reste vraie m me si on change la place de I sur BC Puis il demande oralement tes vous d accord Il projette alors un transparent avec la figure de l exercice o I est situ au tiers de BC et dit on vient de prouver que ce point en montrant I est milieu de A Il
15. alignement l exercice 3 s il n est pas efficace pour apprendre aux l ves d celer une erreur permet par contre au professeur de rep rer les l ves en difficult sur ce sujet et de les regrouper pour un travail sp cifique C est aussi le r le du test final Reste laborer cet apprentissage c est ce que nous tentons de faire dans ce qui suit HMI DEUXIEME ESSAI A plusieurs reprises nous avons propos aux l ves des exercices faisant intervenir milieux et alignement nous avons d cortiqu devant eux les fautes de raisonnement et 1l s en trouve toujours pour refaire la faute au contr le suivant Le probl me est bien l comment convaincre un l ve que sa d monstration contient une erreur comment l amener r aliser quelle est l erreur Puisque d cortiquer l erreur ne suffit pas nous avons pens que l l ve admettra que sa solution est fausse si cette solution le conduit une contradiction flagrante Voici donc la s quence que nous avons mise au point et test e 1 Premi re heure En module ou en travaux dirig s ELABORATION D UN TEXTE D EXERCICE PAR LES ELEVES A partir d une solution d exercice on demande aux l ves de retrouver l nonc nonc qui va servir ensuite pour toute la s quence On distribue aux l ves la fiche Ecrire l nonc D roulement de la s ance 10 minutes travail individuel les l ves sont bien dispers s dans la classe 10 minu
16. crit alors au tableau chaque groupe explique l erreur en quelques phrases IREM de RENNES La d monstration en Seconde ECRIRE L ENONCE Vous trouvez sur une feuille de papier le texte suivant En utilisant la relation de Chasles nous pouvons crire D gt IA IE IB BA IC CE Or le point est le milieu du segment BC donc gt gt o gt IB IC 0 2 De plus le point E est le sym trique de D par rapport C donc gt gt CE CD 3 Compte tenu de 2 et 3 l galit 1 devient gt gt gt gt IA IE BA CD gt gt Or le quadrilat re ABCD est un carr donc BA CD et nous obtenons i gt gt gt finalement IA IE Oce qui prouve que est le milieu du segment AE Quel nonc d exercice vous para t correspondre cette r daction de solution LA DEMONSTRATION LITIGIEUSE Dans cet encadr voici l nonc de l exercice tudi la derni re fois et la d monstration propos e par l un de vous Enonc ABCD est un carr est le milieu de BC et E est le sym trique de D par rapport C Montrer que I est le milieu de AE D monstration ABCD est un carr alors AD est parall le BC On sait que E est le sym trique de D par rapport C donc C est le milieu de DE Dans le triangle ADE la droite CI est parall le un c t AD et elle passe par le milieu d un autre c t DE donc elle coupe le troisi
17. de si alors le alors peut dispara tre Les noms des points peuvent changer et aussi la disposition de la figure quand il y en a 3 Les difficult s des l ves La premi re difficult des l ves devant un th or me compliqu est de bien comprendre sa structure et donc son r le quelles en sont les donn es quelle est la conclusion autrement dit que permet il de prouver Il semble qu en entrant en seconde la plupart des l ves ont bien compris qu un th or me est un outil permettant d aboutir une conclusion et l emploient bon escient dans le cas de th or mes simples voir r digez en libert Mais s ils ma trisent mal son contenu ils risquent fort de mal l employer Ainsi le th or me des milieux et ses r ciproques permettent de prouver soit un parall lisme soit une galit de longueurs soit un milieu mais pas un alignement qui figure toujours dans les hypoth ses L existence de plusieurs r ciproques raisonnables cr e une certaine confusion Le nombre important d hypoth ses est galement une difficult car il est plus difficile de penser v rifier toutes les hypoth ses avant d appliquer le th or me dans une d monstration La vari t des nonc s leur complexit linguistique sont aussi une grande difficult Par exemple l expression coupe le troisi me c t en son milieu ne peut tre consid r e du point de vue du langage comme quivalente si J est sur AC J est le milieu de
18. enseignants se permettent d noncer la r ciproque 2 sans vecteur et sans pr cision sur les probl mes de sens Si I milieu de AB si IJ BC et IJ E alors J milieu de AC Deux difficult s particuli res Chapitre 3 Dans la r ciproque 1 on rencontre trois formulations assez diff rentes En termes de projection Dans ja projection de AB sur AC parall lement BC le milieu de AB se projette sur le milieu J de ACI En termes d intersection de droites Dans un triangle ABC si est le milieu de AB la parall le BC passant par coupe AC en son milieu Dans un triangle ABC si est le milieu de AB si J est align avec A et C et IJ BC alors J est le milieu de AC En termes de points align s Un nonc un peu inattendu pour la r ciproque 3 le point A y tant d fini apr s COUP SiAest le point d intersection de IB etde JC Let J sont les milieux de AB et AC On trouve un nonc faux qui est proche de ce dernier gt gt Dans un triangle ABC si IJ 1 BC let Jsontles milieux de AB etde AC Des variations plus mineures de langage apparaissent l allusion au triangle peut dispara tre au lieu de parler de parall le un c t on dit parall le au support d un c t au lieu de qui passe par on rencontre men e par au lieu de J est sur AB on crit aussi J est sur AB Dans les nonc s en forme
19. es fautes caract ristiques que nous proposons aux l ves Ceux ci doivent les trouver et corriger en d bat avec la classe enti re MODE D EMPLOI DES FICHES N 1 et N 2 suite MODE D EMPLOI FICHE N 1 suite Exercice 3 Objectifs Analyser un raisonnement D celer une erreur de raisonnement Etre capable de donner la cause de cette erreur D roulement A faire apr s la correction de l exercice N 2 Les l ves r pondent individuellement sur leur feuille 20 min maximum On corrigera l exercice la s ance suivante avant le test final D monstration 1 Ici l erreur appara t lorsque le triangle ABA est utilis on admet implicitement lt AA lorsque nous disons que nous appliquons le th or me de Thal s D monstration 2 Elle prouve clairement l alignement de A A I MODE D EMPLOI FICHE N 2 Cette fiche est le test final les l ves r pondent individuellement sur la feuille dur e du test 20 min maximum Bilan de ce premier essai Pour l exercice 1 de la fiche N 1 les l ves pensent assez rapidement utiliser les angles et le calcul pr sente peu de difficult s Devant le r sultat un angle de 177 beaucoup sont surpris Certains recommencent leurs calculs jusqu au moment o l un d eux pense relire attentivement le texte pour constater que la question est les points sont ils align s Plus de probl me alors sauf pour quelques uns qui concluent
20. gnement des points A I et J dans le but de d montrer cet alignement Comme dans les exemples pr c dents le poids de la figure est en grande partie la cause de cette erreur que l on retrouve fr quemment m me chez des experts en math matiques Pour plusieurs l ves de seconde la distinction entre donn es de l nonc et conjectures faites sur la figure est loin d tre tablie l erreur peut donc tre due un emploi abusif de la figure Mais il se peut aussi que la cause de l oubli soit tout autre et que tout simplement pour cet l ve l alignement ne soit pas n cessaire dans la d monstration Ces trois exemples recouvrent assez bien les diff rents types d erreurs que l on rencontre dans les copies au sujet de l alignement Pour r sumer une droite en remplace une autre Je milieu est assimil l quidistance difficult d emploi de l expression passe par le milieu de difficult d emploi du th or me de Thal s Ces erreurs ont d ailleurs une caract ristique commune l alignement n y est pas vraiment oubli mais plut t utilis inconsciemment Il nous a donc sembl important de consacrer du temps pour cerner un peu mieux les causes de ces erreurs et tenter d y rem dier IT UN PREMIER ESSAI Nous avions tout d abord pens que l oubli de l alignement pouvait avoir trois causes les l ves ne pensent pas ou ne voient pas la n cessit de le d montrer car ils font confia
21. me c t AE en son milieu Donc I est le milieu de AE Voici le travail que tu dois faire 1 Tu soulignes d une couleur diff rente chaque donn e de l nonc 2 En gardant la couleur choisie pour chaque donn e tu soulignes dans la d monstration l endroit o cette donn e est utilis e 3 Que constates tu COMMENTAIRES Le but tait de cr er une situation de conflit cognitif pour obliger les l ves r agir de ce point de vue l objectif est atteint Plusieurs sont vraiment d concert s La formulation volontairement ouverte de la derni re question permet d observer la d marche des l ves o vont ils rechercher l erreur Les attitudes sont extr mement vari es certains sont en plein d sarroi et regardent aussi bien l nonc que la d monstration certains n ont pas reconnu le th or me des milieux et passent un long moment comprendre cette phrase la plupart ont r alis que l erreur est due au non emploi de la donn e I milieu de BC et essaient de l intercaler un peu partout sans se demander d abord o elle est utile plusieurs finissent pas se rendre compte que l erreur se situe la fin mais sont incapables d en formuler clairement la cause certains essaient de modifier la r daction en utilisant un autre th or me dans le triangle ADE si C est le milieu de DE si CD est parall le AD et si CI AD 72 lest le milieu de
22. nce la figure ils ne sont pas habitu s prouver des alignements donc ils ne mobilisent pas rapidement les m thodes pour le faire ils ma trisent mal le raisonnement et oublient de v rifier les conditions d emploi de certains th or mes D o l id e d une premi re s quence l aide de la fiche N 1 dont l objectif tait d apprendre aux l ves se m fier d une figure prouver l alignement par des m thodes vari es rep rer dans une d monstration une faute du type alignement non v rifi La fiche N 2 a servi de test quelque temps plus tard et nous a permis de tirer un premier bilan La d monstration en Seconde IREM de RENNES FICHE N 1 ALIGNEMENT DES POINTS Exercice N 1 ABCD est un carr ABEFG est un pentagone r gulier EHF est un triangle quilat ral H E et C sont ils align s Figure N 1 Exercice N 2 Sur la figure N 2 est tel que Ai AB J est le milieu de AC et C celui de BK I J et K sont ils align s Figure N 2 A B c K Nous te demandons ici de trouver diff rentes m thodes pour d montrer l alignement de J et K Tu dois r diger au moins trois solutions avec des m thodes diff rentes pour la prochaine s ance IREM de RENNES La d monstration en Seconde FICHE N 1 suite ALIGNEMENT DES POINTS Exercice N 3 B F sont trois points non align s 1 a Construire le
23. nces surtout si l enseignant n a pas sanctionn une autre r daction dans laquelle un alignement a t oubli 2 Deuxi me exemple C est un cercle de diam tre AB de centre O et C le cercle de diam tre AO M est un point de C distinct de A et B et la droite AM recoupe C en N Montrer que N est le milieu de AM Voici une r ponse d l ve en d but de seconde Consid rons le cercle C d apr s les hypoth ses on sait que N est un point du cercle C et que AO est son diam tre Or dans un cercle un point pris sur celui ci et joignant les deux extr mit s d un diam tre de ce cercle forme un triangle rectangle Donc AN L NO Consid rons le triangle AMO AO et MO sont deux rayons de C Donc AMO est un triangle isoc le Or dans un triangle isoc le la hauteur est aussi m diatrice Donc NO coupe AM en son milieu N Cet l ve a parfaitement r solu le probl me et sa r daction malgr quelques maladresses de style est globalement satisfaisante Examinons cependant le texte de plus pr s A deux reprises l l ve utilise l alignement des points A M et N sans qu on puisse savoir s il a pens je sais que A M et N sont align s parce que c est indiqu dans l nonc plut t que je le vois sur la figure D abord quand il crit dans le triangle isoc le la hauteur est aussi m diatrice Donc NO Il consid re bien que NO est la hauteur du triangle AMO Or l
24. pes associ es ce th or me ont en g n ral deux parall les horizontales et il n est pas tonnant que les l ves ne reconnaissent pas la situation quand les parall les sont dans une autre direction Comment aider les l ves s y retrouver Certains nonc s pourtant corrects ne font pas partie de la panoplie admise par l ensemble des coll gues et il faut donc pr venir les l ves du danger d inventer un nonc en se fiant leur intuition Par contre il ne para t pas souhaitable d obliger les l ves adopter tous la m me formulation pour un th or me donn Au contraire un travail effectif analyse classement partir d nonc s propos s par les l ves eux m mes nous semblent plus pertinent On constate ce sujet que certains l ves ont besoin de l appui d un nonc appris par coeur M me si pour certains d entre eux cela s av re tr s efficace 1l est n cessaire de ne pas renoncer travailler avec eux sur d autres formulations D une part cela permettra aux meilleurs de s adapter plus facilement aux diverses formulations qu ils rencontrent dans leur scolarit d autre part pour les plus en difficult ce sera une occasion de r fl chir au contenu math matique du th or me En conclusion il appara t que l oubli de l alignement dans une r daction recouvre en fait plusieurs situations distinctes le contrat est mal compris l l ve consid re que l alignement est admis implicitement
25. ramme On sait que D est le sym trique de B par rapport I donc IB ID De plus I est le milieu de AC AC et BD se coupant en leur milieu I ADCB est donc un parall logramme Deuxi me copie Montrons que ADCB est un parall logramme On sait que AI IC car I est milieu de AC On sait que BI ID car D est sym trique de B par rapport I Or on sait qu un quadrilat re qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un parall logramme Donc ADCB est un parall logramme Dans ces d monstrations c est bien la donn e milieu qui est utile deux fois mais les l ves prouvent le besoin de la transformer en longueurs gales pour finalement utiliser un th or me n cessitant des milieux Comme si l information IB ID tait pour eux plus pr cise que I est milieu de BD Il semble que pour les l ves du moins pendant un certain temps la phrase I est milieu de BD comporte une information essentielle IB ID et une information secondaire les points I B D sont align s Tout se passe comme si la question montrer que I est milieu de BD faisait dispara tre le reste du plan puisque la question parle du segment BD on a chang d univers on travaille maintenant sur la droite ou le segment BD et l il suffit de prouver une galit de longueurs Voici ce propos un extrait de dialogue avec une classe suite un exercice o il s agissait de montrer que A est le milieu de
26. s la d monstration mais c est une n gligence Mais il est certain que ce mod le est fortement enracin et que la faute reviendra encore Seul un travail de longue haleine permettra de la supprimer 2 Emploi d un th or me d licat Certains th or mes sont l occasion de plus de fautes que d autres C est le cas par exemple du th or me des milieux Pour comprendre les raisons de ce ph nom ne nous avons fait une enqu te aupr s des enseignants sur les nonc s qu ils utilisent en classe tudi des copies et des d marches d l ves et analys le contenu math matique du th or me Voici un nonc de ce th or me Th or me Dans un triangle ABC si est le milieu de AB et J le milieu de AC la droite IJ est parall le BC et 1J E Ce sont 6 propositions qui sont articul es dans ce th or me I sur le segment AB J sur le segment AC AI IB AJ JC D BC BC AS Avec 6 propositions il est naturel de rencontrer plusieurs r ciproques Il y en a en fait trois dont deux s expriment plus naturellement en termes de vecteurs cause de probl me d orientation Voici un nonc simple de chacune d elles R ciproque 1 Si I milieu de AB I BC et J sur AC alors J milieu de AC et BC I D g R ciproque 2 Si I milieu de AB et BC alors J milieu de AC R ciproque 3 Si I sur AB et J sur AC sil de AB et AC 1 gt ae 5 BC alors I et
27. s points E et C tels que AE B et AC 3AF b D montrer que EF BC c Soient et A les milieux de EF et BC D montrer que A et A sont align s Voici deux d monstrations des questions b et c ton travail est le suivant Pour la premi re d monstration il y a une faute dans les quatre derni res lignes tu dois trouver l endroit pr cis o elle se trouve puis tu dois expliquer en quoi consiste la faute sans chercher la corriger videmment tu mets ton explication par crit Dis nous aussi ce que tu penses de la deuxi me d monstration La d monstration en Seconde IREM de RENNES FICHE N 1 suite ALIGNEMENT DES POINTS DEMONSTRATION N 1 A A b Dans le triangle ABC nous avons AE B et A LAC donc avec le th or me r ciproque de Thal s nous pouvons dire que les droites EF et F BC sont parall les c Dans le triangle ABA nous savons donc d apr s b que El est parall le BC ou A B Donc avec le th or me de Thal s direct comme nous c avons AE LAB hous avons aussi Al LA Ceci prouve que AI et AA sont colin aires donc que I et A sont align s DEMONSTRATION N 2 b c D apr s les hypoth ses nous avons s AE 1 AB et AF TAC donc nous pouvons crire que F EA AF relation de Chasles EF F AE car EA AE E 140 1 AB Lac AB AG BA BA AC 3 3 g z F9 g Donc
28. tes par groupes de 3 ou 4 les l ves comparent leur texte et se mettent d accord sur un texte commun qu ils recopient sur un transparent ou une affiche 15 minutes chaque groupe tour de r le d l gue un l ve pour pr senter son texte Toutes les productions sont ainsi critiqu es pour aboutir un texte convenant tous 20 minutes les l ves sont de nouveau dispers s et on leur demande de r soudre maintenant l exercice par une m thode non vectorielle et de r diger leur solution sur une feuille rendre au cours suivant COMMENTAIRES SUR CETTE PREMIERE SEANCE La plupart des productions de groupes sont satisfaisantes On y rel ve surtout des maladresses de style ou des erreurs de notations droite pour segment Cependant pour un ou deux groupes on trouve des erreurs de fond comme la droite AE coupe BC en son milieu I Ici le milieu de BC est bien per u comme une donn e mais l alignement A I E vu sur la figure prend aussi force de donn e Deux difficult s particuli res Chapitre 3 Les erreurs sont vite reconnues par ceux qui les ont commises et l accord se fait facilement sur le texte final Pour la nouvelle m thode de r solution plusieurs prouvent que ABEC est un parall logramme ce qui est une m thode vectorielle d guis e D autres pensent prouver que AI IE A Enfin beaucoup proposent une solution avec la droite des milieux dans ADE avec l
29. une erreur du type alignement utilis sans avoir t prouv On constate ce sujet assez peu de changement Les l ves qui avaient d j clairement rep r l erreur de l exercice 3 r ussissent bien le test part quelques exceptions Mais il y a peu de progr s pour les autres Ce test permet de faire une autre constatation int ressante l erreur de la d monstration 1 du test une droite en remplace une autre est rep r e 65 alors que l erreur de la d monstration 2 milieu assimil quidistance est rep r e 43 Plus d un l ve sur deux pense que B est milieu de MM d s que BM BM Cette diff rence sensible met en vidence une difficult propre l galit de longueurs plusieurs l ves ont bien mis en vidence dans la d monstration 1 que l alignement de M B M n est pas une donn e et cependant ils ne voient aucune erreur dans la d monstration 2 Nous analyserons plus longuement cette difficult dans le paragraphe IV En y regardant mieux l absence de progr s entre l exercice 3 de la fiche N 1 et le test n est pas tonnante car les erreurs introduites dans ces diff rents exercices ne sont pas du m me type et n ont donc pas les m mes causes Un apprentissage sp cifique chacune est peut tre n cessaire Malgr ses nombreuses imperfections cette fiche a rempli en partie ses objectifs les exercices 1 et 2 permettent de revoir diff rentes m thodes de d monstrations d
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