Fiches - Problèmes
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1. 1969 Le probl me est donc le suivant AB est une portion de voie 4 droite SE Sri 56 CD est une portion de voie Sa J circulaire Il faut trouver une courbe joignant B et C de fa on que la force centrifuge p S tablisse progressivement I Premi re approche du probl me Dans un rep re orthonorm on donne dp c et 1 9 On note 4 la droite y 0 et C le cercle de centre I passant par C De combien de fa ons peut on raccorder la portion rectiligne AB et la portion circulaire CD a par un segment de droite T b par un segment de parabole d axe vertical par un segment de cubique avec une quation du type j y ax3 bx2 cx d B Dans les cas o plusieurs courbes sont possibles l une d entre elles vous semble t elle plus apte r pondre au probl me pos Pourquoi On donnera l quation de chaque courbe propos e et on les dessinera 14 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 II Notion de contact d ordre n D finition On dit que deux courbes repr sentatives de deux fonctions f et g ont un contact d ordre n au point d abscisse x si f et g sont d rivables n fois au point x f x gx 8 f x g Remarque un contact d ordre 0 signifie un raccordement un contact d ordre 1 signifie un raccordement avec des tangentes qui coincident On s2. une camionnette quip e d une radio et d un cin mom tre avec deux hommes bord deux motards reli s par radio la camionnette allez vous poster vos hommes Quelles instructions leur donner Ce que vous devez savoir l interception d une automobile en exc s de vitesse ne peut tre r alis e que par le d passement de l auto par les motards le temps coul entre la d tection d un exc s de vitesse et le d part des motards alert s par radio est de 1 minute les motos utilis es peuvent rouler 180 km h pour atteindre cette vitesse il leur faut 30 secondes et 1 kilom tre 1 port e de l metteur radio est de 15 km 45
3. On en tire RE p 384 X a ai a3 ou encore R t 6t 3at a a 3 a Expression de x On va chercher la primitive de x t qui vaut 0 pour t 0 x t 2 d t a 6t 3at a T t 3at 3a t a 6t 3at a soit apr s d veloppement x t 615 15at4 10a2t3 a5 a 20 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 on en tire alors x t x t t643at5 P a5t a5 La distance de freinage s obtient en calculant x a d V a6 3a6 Sa6 a6 2 d o 8v as 2 5 2 b Expression factoris de x La d rivation de x donne x t t a 3 6t2 3at a2 a Soit 0 Z 3 t a 2 6t2 3at a t a 3 12t 3a a Z 3 t a 2 612 3at a t a 4t a 3v t2 t 2 P Ee gt dE a 10t2 Donc x t 3 on a donne la d c l ration l instant t a Les variations de eette fonction sont celles de t gt t t a t4 t 2 22t t a 2 t a 22t t a 2t a du signe de a 2t lt O sur Kai On en d duit que x prend son maximum pour t a 2 Le calcul donne alors 15 8 a 4 Application num rique Voici un programme de calcul des valeurs de 4 10 FOR V 30 TO 135 STEP 15 20 FOR A 1 TO 8 30 PRINT INT AsV 7 2 gt Si v est en km h d L 40 NEXT A 2x 3 6 50 NEXT V 60 EN
4. Jg 2 1 5V 39 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 Commentaires Les valeurs des taux a b et c peuvent sembler lev es mais il faut pen ser que ce ne sont pas des taux annuels comme ceux que l on rencontre en g ographie humaine mais ici des taux sur 40 ans si on calcule les taux annuels quivalents on trouve par exemple pour a 0 5 b 0 3etc 0 8 1 taux annuel de natalit des jeunes 1a 1 5 40 1 01 d o 10 pour 1000 KL taux annuel de natalit des vieux 1 68 1 3 40 1 006 d o 6 pour 1000 1 taux annuel de mortalit des jeunes 1 7 1 2 4 1 004 d o y 4 pour 1000 On retrouve bien l des valeurs vraisemblables Pour tre vraisemblables ces valeurs n en sont pas forc ment r alis tes d une part les chiffres ont t choisis pour que les ph nom nes soient tr s visibles d s le trac des trajectoires d autre part la division de la popu lation en seulement deux classes est sommaire les d mographes utilisent des r partitions en tranches d ges plus fines et plus nombreuses La m thode de traitement math matique est la m me mais exige des calculs plus importants qu on confie alors un ordinateur Enfin le point le plus significatif de cette tude est sans doute dans les grands effets que peuvent produire de petites causes une faible varia tion des taux a b etc produit un changement profond da
5. NEXT N 90 END Tableau des r sultats n 0 1 2 3 4 5 6 n 0 1 2 3 4 5 6 Te ps pps Tro os EN Ts T pepe 32 vs Es Demi ndn 8 LA Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 Observations Malgr des points de d part tr s diff rents mais de m me effectif total Jo Vo 10 les quatre trajectoires ont la m me allure elles se rappro chent de l origine du rep re et en m me temps de la droite Jj Na D ailleurs dans les quatre cas on a 10 2 pr s Vg Quant l effectif total il passe de 10 une valeur beaucoup plus faible entre 3 08 et 1 90 D un point de vue d mographique on a donc des populations en voie d extinction le nombre des jeunes et des vieux tendant s quilibrer 2 Etude th orique Janen et Vn nen sont des suites sympas Jn 1 0 5J 0 3V gt Jn 2 0 5Jn 1 0 3Vn 1 Vn t 0 87 0 5J 4 1 0 3 0 8J 0 5J 1 0 24J Janen est donc une suite sympa Alors Vn4170 8J5 gt Vn 2 0 8Jn 1 0 8 0 5J5 4 0 24J5 1 0 5x0 8J 4 0 24 X 0 8J5 1 0 5 x Vy 4140 24 X V Vn nen est donc aussi une suite sympa b Suites g om triques sympas Cherchons quelles conditions une suite g om trique G de terme g n ral G Gpot est sympa Vn Ggt1 2 0 5 Gotn 4 0 24 Got soit en supposant Gg et t non nuls gt 12 0 5t 0 24 t12 0 5t 0 2420 c est une quation du second d
6. On conna t pr sent la fonction X T X pour X 1 0 Le but de cette partie est d en dessiner la courbe repr sentative le plus pr cis ment possible Calculer la fonction d riv e X pour X 1 0 Quel est son signe Quelles sont ses valeurs aux bornes de 1 0 2 Calculer la fonction d riv e seconde A7 pour XC 1 0 44 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 Quel est son signe Apr s avoir calcul quelques valeurs particuli res de tracer la courbe repr sentative pour X 1 0 une unit 10cm rep re orthonorm Comment compl ter cette courbe pour XE 0 1 V R ponse notre probl me La courbe trac e permet d tablir la graduation de la jauge Comment A titre d exemple repr senter sur 20cm une graduation pour un r servoir de 20 litres VI Probl mes annexes Pouvez vous calculer avec une pr cision de 10 8 le rapport H Dour lequel le r servoir est rempli au quart F X TX est la surface repr sent e ci contre Pourquoi N 4 Quelle est la courbe repr sentative dans ce N rep re de la fonction ES x Qu observe t on VOUS TES OFFICIER DE GENDARMERIE Vous tes responsable du contr le de la vitesse des automobiles sur le tron on d autoroute du sud situ entre l aire de Chagny et la sortie Chalons Nord 21 kilom tres plus loin Vous disposez des moyens suivants
7. ej ve en Va Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 Observations L encore les quatre trajectoires ont la m me allure elles s en vont loin de l origine en se rapprochant de la droite J 1 5V L effectif total augmente au point Mg il vaut entre 22 39 et 31 71 pour une valeur initiale de 10 Du point de vue d mographique ce sont des populations en expan sion o les jeunes ont tendance repr senter 60 de la population ind pendamment de la proportion initiale 2 Etude th orique On v rifie que Vn J 4 2 0 8 1 0 48J et V 2 0 8V 41 0 48J b Si G est une suite g om trique de raison t 1 0 on doit avoir pour que G soit sympa 1 2 0 8tn 1 0 48tn A 0 82 4x 0 48 2 56 1 62 t2 0 8t 0 48 0 d o les racines t 1 2 et t 0 4 Les suites G et G cherch es ont donc pour terme g n ral 1 1 2 et Gj 0 4 d Expression de J fonction de n ve Z Jo Si W x1 22 y 049 W J 12x 0 4y J 0 87 tte 4x 4 4 0 16x 12J5 6Vo 12x 4y 8J0 6Vo 12x 4y 8J946V9 gt x 393 Vo et alors y2Jg x 2 3923 vg 8 8 d o I i 3239 V9 1 2 n 2J0 3V9 0 4 0 4 converge vers 0 mais 1 2 diverge vers Jn neN diverge vers e Comportement asymptotique de V Puisque Vn V 0 8J et que Jy 1 diverge vers oo i
8. l effectif des plus de 80 ans On suppose qu en quarante ans tous les vieux ont disparu une proportion c de jeunes a surv cu mais vieilli de nouveaux jeunes sont apparus issus des anciens jeunes avec un taux de natalit a ou des anciens vieux avec un taux b On a donc les relations Jn 1 aJ bV Va 1 CJn a betc sont des nombres compris entre 0 et 1 On suppose qu ils res tent constants Trois tudes de cas Premier cas 0 5 b 0 3 c 0 8 Jo et Vo sont quelconques 1 Exploration num rique et graphique 29 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 Soit M le point de coordonn es Jn Vn dans un rep re orthonorm La trajectoire d une population dans ce rep re sera la ligne bris e M9gM1M M Tracer dans un m me rep re les trajectoires d origine M et d extr mit Mg dans les quatre cas suivants 0 7 3 Mo 5 5 Mo 4 6 Mo 2 8 Quelles observations peut on faire sur l volution de ces populations 2 Etude th orique On dira qu une suite U est sympa si Vn U 2 O SU A 1 0 240 a Montrer que les suites Janen et Vn nen sont sympas b Montrer qu il existe deux suites g om triques G et de premier terme 1 de raisons t et t et qui soient sympas Si x et y sont deux nombres on consid re la suite W de terme g n ral W xt n yt Montre
9. que si on accepte que le raccordement avec C se fasse en un aute point que C un segment de parabole peut r aliser ce raccorde ment avec un contact d ordre 2 avec C Quel est alors l ordre du con tact avec D en B indication toutes les paraboles ne sont pas d axe vertical Obtient on de nouvelles solutions notre probl me IV Une propri t g om trique de la parabole Elargissons le probl me cherchons g om triquement une parabole d axe oblique passant par B et C et tangente en ces points AB et CD autrement dit la question est de trouver une parabole passant par deux points donn s avec deux tangentes donn es a Soit T et T deux points d une parabole P et I le milieu de T T7 Si P est le point d intersection des tangentes J en T et T5 montrer en utilisant un rep re adapt que PI est parall le l axe de la parabole P b En d duire T1 T donn s la construction g om trique du foyer et de la directrice d une parabole J tangente T P en T et TP en T2 c Application notre probl me de raccor dement trac et quation d une parabole ayant en B et en C un contact d ordre 1 avec AB et CD d Comparer la solution obtenue avec celle s du III d V Conclusions Un segment de parabole peut il convenir quelles conditions et un segment de cubique 16 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69
10. v il lui faut un temps a pour s arr ter On suppose C constant pour un v hicule donn On utilise le mod le de la partie I a Distance de freinage exprimer la distance de freinage d en fonction de C et v calculer C pour les donn es v 90km h et d 75m tracer la courbe v d pour v 0 50 b Distance de s curit Deux v hicules de coefficients de freinage C et C5 roulent la vitesse uniforme v sur une autoroute l un derri re l autre la distance D On va chercher les conditions sur D pour qu il n y ait pas collision au cas o le premier v hicule freine brusquement On prend t 0 au moment o le premier v hicule commence freiner Quelle est en fonction de C et v la distance d parcourue par le premier v hicule entre l instant t 0 et l instant o il s immobilise Soit t le temps de r action du conducteur du deuxi me v hicule il commence freiner l instant t9 Quelle est en fonction de v et t la distance d parcourue par le second v hicule entre l instant t 0 et l instant o il s immobilise Quelle relation doit il y avoir entre D ty et v pour qu il n y ait pas collision Et pour tre m l un de l autre apr s immobilisation On suppose 10 1 3 s En outre les coefficients de freinage des diff rents v hicules en circulation sont voisins on prendra Cj lt dig 18 Activit s second cycle S
11. 1969 GARDEZ VOS DISTANCES Lorsque deux voitures roulent l une derri re l autre la s curit exige de conserver entre elles une distance minimale en cas de freinage brusque de la voiture de t te Mais quelle distance Comment la calculer Et si on observe cet cart minimal cette distance de s curit risque t on pas de ralentir le trafic De cr er des bouchons eux aussi nui sibles la s curit C est ces questions qu on va proposer ici des r ponses I Etude du freinage d une auto La situation est la suivante l instant t 5 un v hicule roule en ligne droite la vitesse uniforme v l instant t 0 le conducteur freine l instant t a le v hicule s arr te et reste immobile jusqu l instant 5 recherche loi horaire du v hicule pendant le freinage c est dire la position x t du v hicule l instant t pour t 0 a Le mod le qu on va tablir sera plus pr s de la r alit si la position x la vitesse et l acc l ration x sont des fonctions d rivables sur l intervalle 5 a 5 1 a Combien valent x x et x pour 5 t 0 pour a lt t lt a 5 b En d duire les valeurs que doivent prendre ces fonctions en t 0 et t a pour que x x et x soient d rivables sur 5 a 4 5 Le th or me fondamental Si f est un polyn me f a 0 3P polyn me tel que Vt f t t a P t 2 On va cherc
12. 8 71 10 91 En termes d mographiques ces populations ont tendance se stabili ser aussi bien en effectif qu en proportion de jeunes et de vieux 2 Etude th orique On ne va reprendre ici que les diff rences significatives avec la pre mi re tude de cas Janen et Vn nen sont encore des suites sympas mais cela signifie ici qu on Vn Ja 2 0 6Jn 41 0 4Jn et Vn 2 0 6Vn 1 0 4Vn 35 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 b Suites g om triques sympas La raison t doit v rifier tn 2 0 6tn 1 0 4tn soit si 1 0 t2 0 6t 0 4 0 0 6 2 4 0 4 0 36 1 6 1 96 1 42 d o deux racines t 1 et t 2 0 4 Les deux suites G et G ont donc pour terme g n ral G 1 et Gg 0 4 n G est une suite stationnaire c Expression de J en fonction de n d e _ Si 0 4 W J Pe 0 672 0 619 0 5V x y Jo 4 470 14 10 0 5 0 gt 10x 4y 630 5Vo 10x 4y 630 5Vo 1 Jo 2 Vo 4 z 4 5 4 70 3 V 330 0100 d o 5 2Jo 4J 5V9 0 4 1 0 4 converge vers O donc Jn nen converge vers Z 2J0 Vo d Comportement asymptotique de V On n a pas besoin ici d utiliser la suite W en effet V 0 8J4 Jn 1 nen est une suite convergente de limite 2Jo Vo donc Vonen est une suite convergente de limite 0 8x S 2J0 Vo G
13. Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 Fiches Probl mes J Lubczanski Les probl mes qui suivent sont des probl mes de mod lisation o les math matiques apparaissent comme un outil efficace Il n y a pas de mode d emploi particulier j indique simplement la facon dont je travaille ces probl mes sont les devoirs la maison mais on commence les chercher en classe en pr sence du professeur La r gle que j impose est pas de questions pendant la premi re heure car il faut mon avis avoir fr quent seul un probl me au d but Pass e la premi re heure je suis par contre le plus disponible possible et j interviens le plus souvent individuellement Apr s ces deux ou trois heures de recherche en classe chaque l ve dispose d une semaine pour r diger son travail Je n exige pas que le probl me soit termin mais le go t de l ouvrage bien fait pousse beau coup d l ves essayer de terminer ce que j appr cie Les copies ne sont pas not es J ajouterai que le c t concret plait on voit enfin quoi peut servir les maths PAR LA FEN TRE Une auto roule vitesse constante Vous la voyez par la fen tre soit vue de dessus 11 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 Vous tes au point 0 m t est la position apparente de l auto dont la posit
14. D 21 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 Ce programme remplit le tableau colonne par colonne Dur e Vitesse en km h ens 30 45 60 75 90 105 120 135 Distance de freinage I Ch t R N Force exerc e sur le passager Si v est en km h on aura y en m s 2 par y lt gt Alors la force en N vaut a a 1050 1 v 1050 v 28 8 9 81 a 282 528 a D o le programme de calcul de 10 K 1050 282 528 20 FOR A 1 TO 8 et donc en kg f 30 FOR V 230 TO 135 STEP 15 Ce programme remplit le 40 PRINT INT tableau ligne par ligne 50 NEXT V 60 NEXT A 70 END Dur e Vitesse en km h ens 30 45 60 75 90 105 120 135 Force maximale 1 111 167 220 278 334 390 445 501 au cours du 2 55 1 83 111 139 167 195 222 250 freinage pour un 37 ss 174 92 111 130 148 167 passager de 70 kg l en dessous du 4 27 41 55 69 83 97 111 125 pointill les 5 33 44 55 _78_ 89 valeurs sup rieures 6 27 37 46 83 au poids du 7 23 31 i passager 8 20 27 34 22 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 Observations Comme on pouvait s y attendre plus le freinage est bref plus la force exerc e est forte Ce qui fait que m me si par exemple une voiture pou vait passer de 90 km h l arr t en 2 secondes 1 force de 167 kg f qui en r sulterait serait dangereuse pour le p
15. ace S h occup e par le liquide sur la face avant en fonc tion de la hauteur h du liquide 43 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 En utilisant du papier millim tr et un cercle de rayon 10cm tablir un tableau de valeurs appro ch es de S h h variant de 5mm en 5mm Tracer la courbe NS Quelles premi res observations pouvez vous faire II Le mod le math matique Choix des variables le probl me ne d pend pas de la taille du r ser voir On peut poser x est le rayon du cylindre 36 le taux de remplissage du r servoir T Dans quels intervalles varient x et t x Quelles valeurs particuli res de la fonction t t est elle une fonction lin aire Montrer qu on a t x t 2 x 1 Que peut on en d duire sur l allure de la courbe repr sentant t III Premiers calculs Pour x lt 1 la surface S h est la diff rence de la surface d un secteur de cercle et de celle d un triangle Si est l angle au centre du secteur tablir une relation entre F e x Quelle est la surface du secteur en fonction de Et en fonction de x Quelle est la surface du triangle en fonction de x En d duire l expression explicite de la fonction t x pour x l Cette expression se simplifie un peu en posant X x 1 On note alors T X le taux de remplissage en fonction de X IV Etude approfondie
16. assager Dans tous les cas une conclusion s impose la ceinture de s curit peut limiter les d g ts c Coefficient de freinage minimal Si on impose titre indicatif comme valeur maximale la force celle du poids du passager ce qui quivaut tout de m me une chute dans le vide vers l avant de la voiture 15v a 15 lt g gt 9 81 lt gt 0 19 TERT dd v 7 8x9 81 1 II Distance de freinage distance de s curit 1 Distance de freinage a D apr s le mod le de la partie I d 2 Alors Br 253 2 b Calcul num rique si dp 75 et vo 25 do C Y 2 2 gt d do 0 12 v2 d cY ce qui donne C 0 24 c Courbe repr sentative c est un arc de parabole une vitesse double correspond une distance quadruple 2 Distance de s curit a On a 4 6 b Quant d5 ilest donn par v to C2 s 23 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 c D de A Pour qu il n y ait pas collision il faut bech 4 que 4 gt _ D SE Pour qu il y ait plus de 3 m apr s e T immobilisation des v hicules il faut d a que D d gt d2z 3 soit D gt d d 3 C2 Cj vig 3 d 0 1 35 D Z C C 3 La distance minimale est donc donn e D 3 T C2 Cj Si C C E l in galit sera v rifi e d s que past 94 3 300 Courbe repr se
17. at est compris entre 1 et 1 Een 830 3V0 8 Jo VoX Z CHo converge donc vers le rapport Se c est dire 1 L effectif des jeunes et celui des vieux tendent s quilibrer On a bien retrouv par l tude th orique et prouv les obser vations qu on avait pu faire la suite de l exploration num rique et gra phique en particulier on peut remarquer sur l expression de Jp et Vp en fonction de n que lorsque Vo on a Vn Jy Vn Deuxi me tude de cas 0 6 b 0 5 c 0 8 1 Exploration num rique et graphique Il suffit de changer les valeurs de a et b dans le programme de calcul des coordonn es de M pour obtenir le tableau des r sultats 34 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 n 0 1 2 3 4 5 6 n 0 1 2 3 4 5 6 p sr en en ow eem s s s 7717 e s snper pen va Den Jenn fa espr 4 Da Le 81 L Observations L allure des trajectoires est encore semblable pour les quatre points de d part et tr s diff rente des cas pr c dents Les sept points M sont align s sur une droite de pente 2 Les quatre points Mg sont 10 2 pr s align s sur la droite V n Les trajectoires se rapprochent donc de cette droite L effectif total de la population oscille puis se stabilise des valeurs allant de
18. cart sien Soit ABC un triangle et G son centre de gravit c est dire liso barycentre de A B et C On va travailler dans le rep re G GC GA 27 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 On note D la droite de coefficient directeur t passant par G et R d signent lorsqu ils existent les points d intersection de D avec A C et A B a Discuter selon les valeurs de t l existence des points et b Calculer les coordonn es de A B C P Q et R Wm que si L M et N sont des points de coordonn es s Es 5 on a LM XM XL YM YL lign L M et N align s LN ue III Etude du rapport des aires d coup es par D les notations sont celles du II Si S et S d signent les deux r gions d coup es par D l int rieur du triangle ABC le rapport de leurs aires d pend de t a S1 on pose r t 2 5 est donc une fonction d finie sur qu on va tudier dans cette partie a Montrer que a Si lbs a S2 X r t a ABC _ _a S a S2 a ABC a ABC aS ox af b Etude de r pour 1 0 1 S d signe l int rieur du triangle Etablir que aS _ 1 a ARG 1 a AGQ a ABC 3 a ABG 3 a AGC Utiliser I a et II c pour en d duire l expression de ES puis de r t a ABC Il suffit donc pour conna tre r t de conna tre
19. e On se propose dans cette partie de dessiner le relief de la vall e des poques diff rentes on va prendre comme valeurs pour t les l ments de E 15 8 4 0 4 8 15 On note Fy la d riv e de F et Cj la courbe repr sentative de Fi et mon trer que toutes les courbes Cj repr sentatives de F se d duisent de la courbe Cj par translation b Tracer Cj En d duire pour t E la r solution approch e de Fx 0 R f rence La Recherche octobre 1977 25 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 Etablir pour chaque t de E le tableau des signes de Fi et le tableau de variation de F Tracer dans sept rep res diff rents le relief de la vall e correspondant aux sept valeurs de t dans E II Evolution d un lac On suppose que pour t 15 un petit lac s est form dont on va tudier l volution On note a t labscisse du fond du lac la p riode t et la fonc tion ta 1 Dresser un tableau de valeurs approch es de t pour t E Dans quels intervalles varie a lorsque t d crit R 2 Montrer que t 4a 12a et repr senter cette relation par une courbe En d duire le trac de la courbe repr sentative de la fonction Montrer que T est une partie de l image de C par un quart de tour de centre 0 3 La fonction est elle continue d rivable La fonction t F x est elle continue d rivable D cr
20. e propose de calculer l ordre des contacts des courbes du paragraphe I avec 4 au point B et avec au point C Pour cela a d terminer la fonction g dont l arc CD est une repr sentation b pour chacune des courbes T calculer l ordre des contacts avec D en B et avec en c dans chacun des cas b et c du paragraphe I pouvait on avoir un meilleur contact c est dire avoir n plus grand en B en C la fois en B et en C Quelle courbe vous semble t elle pr sent le mieux r pondre au probl me III Notion de rayon de courbure Consid rons la parabole 4 d quation 2py x dans un repere orthonorm p R Son allure est repr sent e ci dessous Il existe une infinit disons plut t une famille Cp p cg de cercles de rayon R tan gents la parabole J en son sommet 0 contact d ordre 1 a Etablir l quation d un cercle Cp b Quelle fonction gp est repr sent e par le demi cercle inf rieur de Cp c Montrer qu il existe un rayon pour lequel le contact de J et de CR en 0 est d ordre 2 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 Calculer R en fonction de R s appelle le rayon de courbure de 3 en 0 et Cg le cercle osculateur de 7 en NM d Revenons notre probl me de raccordement entre D et C existe t il une parabole dont est le cercle osculateur et passant par B Montrer
21. econde Premi re Terminale n 69 1969 En tenant compte de la distance de 3 m apr s immobilisation donner l expression de la distance minimale distance de s curit en fonction de v Tracer la courbe v gt D pour 0 50 III Densit critique du trafic Soit une autoroute sur laquelle tous les v hicules roulent la vitesse v en respectant la distance de s curit D D v rifie K D 3 3 300 a Quel est en fonction de le temps s parant le passage de deux v hicules au m me endroit Calculer en fonction de v le d bit nombre de v hicules par heure un endroit donn Etudier et tracer la courbe v gt pour 0 50 b Analyser et interpr ter les r sultats du 1 caract riser graphiquement les situations non embouteill es y a t il une vitesse o le trafic est plus fluide Quels conseils donneriez vous aux automobilistes Solution I Etude du freinage d une auto 1 a Valeurs de x x et x avant et apr s le freinage Pour 5 t 0 le mouvement est rectiligne uniforme x t v x t 20 Quant x d riv e de x elle est galement nulle Pour lt 5 il en est de m me mais la vitesse aussi est nulle x D H G m b Valeurs de x x et x aux bornes En t 0 x doit tre d rivable droite et gauche de 0 et x 0 doit tre gal x 07 pour que x soit d rivable en 0 en d au
22. egr en t A 0 52 4X 0 24 1 21 1 12 d o deux racines t 0 8 et sech G et G de terme g n ral 0 8 et 0 3 sont donc les deux suites g om triques cherch es c Suite xG t yG V rifions que W est sympa e Wn 2 X 0 8 2 y 0 3 2 x 0 8 n 0 8 2 y 0 3 n 0 3 0 64 0 8 nx 0 09 0 3 ny 0 5Wgy 1 0 24W 0 5 0 8 n 1x 4 0 5 0 3 n ly 0 24 0 8 nx 0 24 0 3 ny 32 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 0 8 0 5 x 0 8 0 24 0 3 ny 0 5 x 0 3 0 24 0 64 0 8 nx 0 09 0 3 Il y a galit W est bien une suite sympa d Valeurs de x et y telles que W J Pour que deux suites sympas soient gales il suffit que leurs deux pre miers termes soient identiques en effet supposons que Wo Jg alors W5 0 5W 0 24W9 0 5J 4 0 24Jo J2 Wi J puis W4 0 5W5 0 24W 0 5 75 4 0 24J J3 Or W x 0 8m y 0 3 dont W x y et W 20 8x 0 3y D autre part J 0 5J5 0 3Vo On doit donc avoir XT y Jg 0 8x 0 3y 0 5J9 0 3Vo On r sout ce syst me de deux quations deux inconnues et Vo tant suppos s connus Jo 3y 2 370 11x 8J0 3Vo 8 lat 3Vo 8x 3y 5J0 3Vo cet Vo et alors PS EAT Y Jo x 11 9711 0 D o finalement Ja 170810 3V9 0 8 n t 3 Jo ES Volt SCH 0 3 n on a obtenu ainsi la for
23. her une expression polynomiale pour x t et donc aussi pour ses d riv es n a Montrer en utilisant les valeurs de x x et x pour t a que x est dela forme x t t a R t R est un polyn me b Montrer en utilisant les valeurs de x x et x pour t 0 qu on peut prendre pour R un polyn me du second degr dont on d terminera les coef ficients en fonction de a et v 3 a Etablir l expression de x t et en d duire que la distance de freinage d vaut V8 17 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 b Montrer que x se factorise sous la forme x t 30 vn _ gy a On note la d c l ration maximale au cours du freinage y est le maxi mum de x sur 0 Calculer en fonction de v et a 4 Application num rique a Dresser un tableau des valeurs de d pour des valeurs de v allant de 30 135 km h de 15 en 15 km h et pour a allant de 1 8 s b Dresser le tableau correspondant des valeurs en kgf de la force maxi male m y s exer ant sur un passager de la voiture au cours du freinage on prendra m 70 kg et g 9 81 Qu observe t on c Quelle est la valeur minimale du coefficient de freinage a v pour que cette force soit inf rieure au poids du passager II Distance de freinage et distance de s curit On pose C 2 v en m s a en secondes coefficient de freinage d un v hicule s il roule la vitesse
24. ion r elle est M t Calculer en fonction du temps la vitesse appa rente de l auto c est dire v t la vitesse de m t On introduira les param tres n cessaires sous forme litt rale Tracer la courbe repr sentative de t v t pour un exemple num rique A PROPOS DE TRAINS Cet embiellage de locomotive peut il fonctionner 12 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 b Il n y a rien faire D d refuse toujours d immobiliser sa machine pendant la man uvre du pont tournant Quelle est la trajectoire de sa locomotive Si dans les bo tes de trains lectrique miniatures on ne dispose le plus souvent que de rails droits et de rails courbes pour construire un r seau il n en est pas de m me pour les trains r els en effet un raccordement i direct comme dessin ci contre est impossible car un fou train arrivant de A grande B be vitesse serait instantan dreik rai t ment soumis au point B e une force centrifuge impor tante et dangereuse pour stabilit du train et des voyageurs Pour compenser les effets de la force d inertie centrifuge on donne d ailleurs la voie un d vers virage relev fonction du rayon de courbure Mais ce d vers lui non plus ne peut tre instaur brutalement au point B 13 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69
25. ire l volution du lac en fonction du temps Des catastrophes sont elles susceptibles d arriver Echelles conseill es pour les repr sentations graphiques pour les x 1 unit 10 cm pourles y l unit 0 25 cm pour les t 1 unit 0 5 cm 26 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 POUR COUPER EN DEUX UN TRIANGLE IL SUFFIT DE VISER LE CENTRE Le but de ce probl me est de montrer que si D est une droite quel conque passant par le centre de gravit d un triangle les aires des deux r gions S et S d coup es par D sont sensiblement gales D D finitions et notations Si A et B sont deux points du plan on notera A B le segment d ex tr mit s A et B et selon l usage AB d signera la longueur de ce segment Si A B et C sont trois points du plan on appellera triangle ABC la r union des segments et A C on notera a ABC l aire de l int rieur du triangle ABC et plus g n ralement a S l aire d une partie S du plan I Une propri t des m dianes a Soit ABC un triangle et P un point de B C d montrer que a ABP _ BP a ABC BC b Montrer que dans un triangle chaque m diane d coupe l int rieur du triangle en deux parties d aires gales c Montrer que dans un triangle les trois m dianes d coupent l int rieur du triangle en six parties d aires gales II L outil un rep re
26. l s ensuit que V diverge aussi vers f Evolution long terme de la population L effectif total P J V diverge vers la population est donc en expansion Si on veut tre plus pr cis il faut calculer l expression de V en fonc tion de n l aide de la suite W c est dire r pondre compl tement la question e 38 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 x y Vo x y Vo 4x 4y 4Vo W V e lt gt 1 2x 0 4y V1 0 8 0 12x 4 8 0 12x 4y Blo 16 4 0 810 SC Met To 3 1 t al Vo x Vo J t alors y 0 0 2 0 d o Va Vo 2J9 1 2 n 3Vo 2J9 0 4 n Et finalement P 5 2Jo V9 1 2 n 2Jo 3 0 0 4 n Or tr s vite 0 4 est n gligeable devant 1 2 comme le montre ce tableau repr par JEN m on P croit donc 1 22 o n mesure le temps qui s coule c est une croissance exponentielle D autre part le rapport v a lui m me une limite finie quand n n Jn _ 30 0 0 1 2 230 0 4 _ 3 2 0 QJo 3VgX 1 3 n Vn 2 2 0 V9 1 2 2359 3V9 0 4 2 2 0 Vg 2J9 0 1 3 en divisant num rateur et d nominateur par 1 2 0 4 1 2 1 3 D o Jn 2 quand n augmente les jeunes ont tendance repr senter n 60 de la population et les trajectoires se rapprochent de la droite
27. mplet LE PROBL ME DE L ABREUVOIR Une jauge est dispos e sur la face avant de cet abreuvoir Sauriez vous la graduer Donn es 60 cm 40 cm W O O rue wy 40 cm 2 00 m vue en coupe vue de c t Des questions pour vous aider 1 Aire d un trap ze Quelle est l aire du trap ze dessin ci contre en fonction de L et h Justifier votre r ponse KH l Dans toute la suite l abreuvoir est suppos 1 rempli jusqu une hauteur x en centim tres 42 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 2 Largeur de la surface de l eau On note L x la largeur occup e par l eau sa surface LG l aide du th or me de Thal s exprimer 1 L x en fonction de x 3 Volume d eau contenue ERE Exprimer en fonction de x le volume V x d eau contenue dans l abreuvoir 4 Graphique Tracer sur une feuille de papier millim tr la courbe repr sentative de la fonction V 5 Conclusion On veut graduer l abreuvoir de 50 1 en 50 1 Utiliser la courbe pr c dente pour donner en valeur approch e la hauteur des graduations Sauriez vous calculer les valeurs exactes LE R SERVOIR CYLINDRIQUE LE RESERVOIR CYLINDRIQUE Une jauge dispos e sur la face de soutirage d un r servoir cylindrique indique le niveau du liquide Sauriez vous la graduer 1 Premi re approche Le probl me revient conna tre la surf
28. mule de J en fonction de on peut en d duire son comportement asymptotique En effet quand n tend vers l infini 0 8 tend vers O ainsi que 0 3 J converge donc vers 0 Cela ne d pend pas des valeurs initiales et Vo e Valeurs de x et y telles que W V Par le m me raisonnement W V gt Wo Vo et Vi Or Vi 0 8J0 PAL 0 8x 0 3y 0 8Jo Vo 3x 3y 3Vo 11x 3Vo 8J0 8 3 870 8x 3y 8lo xcd Vo Jo i 8 y 8 is us Tee 33 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 d o finalement Va 171810 4 3V9 0 8 n 8 Jo 0 3 n De la m me fa on que pour Jy V converge vers 0 f Evolution de la population long terme L effectif total est Ja V il converge donc vers 0 la population est en voie d extinction Cela ne d pend pas des valeurs de et Vo puisque cela provient des valeurs 0 8 0 3 et de l existence mais pas de la valeur de x et D ailleurs si on calcule l effectif total _P J Vn on obtient Pa 2 839 3V9 0 8 2 Jo Vo 0 3 P est donc elle m me une suite g om trique de raison 0 8 lorsque Jo Vo Pour tudier comment volue la proportion des jeunes et la pro portion des vieux tudions le rapport v a n Ja _ 8J9 3V9 0 8 n 3 Jo 0 3 divisons num rateur et Va lo 3Vo 0 8 8 Jo VoX 0 3 d nominateur par 0 8 3 n el Met M
29. n cercle de rayon R roulant sur une droite A on sup pose que le mouvement est uniforme un tour par seconde Si Q d signe le centre du cercle et R un rep re cart sien fixe dont A est l axe des abscisses exprimer les coordonn es dans R de Q et du vec teur vitesse de Si M d signe un point du cercle et R un rep re cart sien d origine Q et dont l axe des abscisses est parall le quelles sont les coordonn es de M dans R on pourra supposer que M est sur A l instant 0 Quelles sont les coordonn es dans R du point M de son vecteur vitesse Ces coordonn es sont les quations param triques de la trajectoire T de M Dessiner T de facon approch e en calculant suffisamment de points et de tangentes on prendra R 23cm III Approche cart sienne On continue l tude du mod le pr c dent Etablir pour t UE la relation liant x et y coordonn es de M dans le rep re R Cette relation est l quation cart sienne de la trajectoire T pour un demi tour 41 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 Montrer que x est fonction de y on notera f cette fonction Etudier f ensemble de d finition continuit d rivabilit tableau de varia tion limites Montrer que f admet une r ciproque g tudier et tracer g on pren R Prolonger la fonction g de fa on ce que le graphe de g soit la trajectoire pour un tour co
30. ns l volution de la population Cette sensibilit du mod le math matique peut s expliquer si on fait une tude th orique en conservant les taux a betc sous forme litt rale on d montre alors que la nature de l volution de la population d pend de la quantit a bc Sj a bc lt 1 la population s teint si a bc 1 la population se stabilise si a bc gt 1 la population cro t Mais cette tude th orique est d un niveau un peu plus lev que le travail demand ici Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 VERS L INVENTION DE LA ROUE OU APPROCHES DE LA CYCLOIDE I Approche discr te Avant de savoir faire des roues parfaitement circulaires l homme a uti lis des roues plus ou moins irr guli res de profil polygonal Dans cette partie notre roue sera un polygone r gulier n c t s inscriptible dans un cercle de rayon R Si S d signe un des sommets de P tudier la trajectoire de S lors que P sur une droite tracer d abord les cas 3 4 6 8 puis le cas g n ral dans chaque cas montrer que T est la r union d arcs de cercles dont on donnera les centres et les rayons calculer la longueur de qu on notera E ainsi que la surface S d limit e par et A lorsque P a fait un tour Etudier le comportement asymptotique de A et de S Approche cin matique Consid rons u
31. ntative b io Lo so III Densit critique du trafic 1 a Temps de passage entre deux v hicules v 3 300 b D bit de v hicules Te 3600 3600 1 080 000 v t 3 1 v v2 100v 900 v 3 300 c Etude et trac de v gt les variations de sont inverses de celles de t dt 3 ES V EM v2 900 dv v2 300 300 v2 24 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 6750 0 P Ps 6430 2 Interpr tation Tant que le d bit est inf rieur le trafic est fluide mais d s que pour une vitesse donn e v du trafic le d bit est sup rieur v la dis tance de s curit ne peut plus tre respect e au premier coup de frein ca bouchonne UN EXEMPLE DE LA TH ORIE DES CATASTROPHES Le but de cette activit est de montrer comment des ph nom nes dis continus catastrophes peuvent provenir d une volution parfaitement r guli re Pour cela on va traiter un exemple en g ologie on va repr senter le relief en coupe d une vall e en tenant compte de son volution en fonc tion du temps si t d signe le temps on supposera que la courbe Cj repr sentative de la fonction x 3 F x d signe l altitude d un point de la vall e en fonction de sa posi tion x dans le plan o on trace le relief en coupe est un mod le acceptable de la r alit physique I Repr sentations graphiques de la vall
32. o V9 e Evolution long terme de la population L effectif total P J V converge vers 1 2 9 QJg Vo lt 2J0 V CG 7X o Vo EN o Vo soit en rempla ant Jo Vo par l effectif total initial Po Z Po Jo Donc plus il y aura de jeunes au d part c est dire plus Jo sera grand plus la limite sera grande par exemple pour que la limite soit gale il faut que WEE mais si 2 3 la limite sera 15 Po Toutefois la limite ne peut pas tre sup rieure 2 Po cas 14 extr me o il n y aurait que des jeunes au d part 36 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 e Par contre la proportion de jeunes tend toujours vers 5 9 en effet V T 20 8 n Enfin il reste expliquer pourquoi les trajectoires taient faites de points align s pour cela on peut calculer le coefficient directeur de M M il vaut Vna1 Vn 0 87 0 8J 0 8J 0 8J 2 Leiho O6L 0 P 0 43 0 41 Tous les segments M M 1 de la trajectoire ont le m me coefficient directeur 2 les points M sont donc tous align s Troisi me tude de cas a 0 8 b 0 6 c 0 8 1 Exploration num rique et graphique Tableau des r sultats n 0 1 2 3 4 5 6 b fen fon fono s ss 5 n 0 1 2 3 4 3 6 5 C pra er gt 5 T Te opo pn peas bs s 32 nm n
33. r que W est une suite sympa d Pour quelles valeurs de x et y a t on W J x et y d pendent de Jo et Vo En d duire l expression de Jj en fonction de n puis son comportement asymptotique Pour quelles valeurs de x et y a t on W V En d duire l expres sion de V en fonction de puis son comportement asymptotique f Quelle est l volution long terme de la population D pend elle des effectifs initiaux Comment volue la proportion de jeunes et celle des vieux Deuxi me cas a 0 6 b 0 5 c 0 8 Reprendre les questions 1 et 2 dans ce cas une suite U est sympa si vn U 2 0 6 Un 1 0 4 Un Troisi me cas a 0 8 b 0 6 c 0 8 Reprendre les questions 1 et 2 dans ce cas une suite U est sympa si vn Un 2 0 8 Un 1 0 48 Un D apr s une id e de Deledicq dans Math matiques buissonnt res Ed 1973 30 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 Solution Premi re tude de cas a 0 5 b 0 3 c 0 8 1 Exploration num rique et graphique Le calcul des coordonn es des points M s obtient en programmant la calculatrice 10 INPUT Jz J donn e de Jo 20 INPUT Vz V donn e de Vo 30 FOR N 1 TO 6 40 I J J _1 en m moire I 50 J 0 5 J 0 3 V J en m moire J 60 V 0 8 I Vy en m moire V 70 PRINT INT 100 J 100 arrondit l affichage deux INT 100 V 100 chiffres 80
34. soit en fonction de t c Etude de r pour t I f S d signe l int rieur du triangle d Etude de r pour 1 o 0 S d signe l int rieur du triangle BRP e Etudier les variations de r puis tracer la courbe repr sentative on aura int r t choisir des unit s diff rentes sur les deux axes 28 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 IV Vers une conclusion a Montrer que lorsque t est une valeur pour laquelle r admet un extre mum D est parall le l un des c t s du triangle ABC b Montrer que lorsque r t 1 D est une m diane du triangle ABC Que peut on dire de D lorsque t oo et lorsque t gt c R diger une conclusion au probl me pos initialement MOD LE D MOGRAPHIQUE A DEUX DIMENSIONS Le but de ce probl me est de donner travers l tude d un mod le simplifi une id e des m thodes math matiques utilis es en d mographie Pr sentation du mod le math matique Pour pr voir l volution d une population moyen et long terme on utilise le mod le suivant la population est divis e en deux classes les jeunes moins de 40 ans et les vieux entre 40 et 80 ans et on tudie les effectifs de chaque classe intervalles r guliers tous les quarante ans On note et Vo les effectifs une date initiale et Jn V les effectifs apr s 40 x n ann es On ne tient pas compte de
35. tres ter mes les demi tangentes doivent coincider Or x est nulle et donc de d ri v e nulle gauche de 0 c est dire pour les valeurs n gatives de t On doit donc avoir x 0 0 Le m me raisonnement appliqu x et x donne x 0 v 0 0 En t a de la m me fa on on doit avoir 0 0 19 Activit s second cycle Seconde Premi re Terminale n 69 1969 2 a Factorisation de 0 polyn me tel que 0 t a P t alors x t t a P t P t 0 P a 0 30 polyn me tel que 0 t a Q t soit x t t a Q t ce qui donne x t 2 t a Q t t aQ t et x t 2 2Q t 2 t a Q t 2 t a Q t t a Q t 2Q t 4 t a Q t t _ a Q t x a 0 gt Q a 0 3R polyn me tel que Q t t a R t soit finalement x t t a R t b Expression de x Partant de x t t a R t on obtient successivement x t 3 t a R t t ay R t x t 6 t a R t 6 t a R t t a R t Faisant t 0 dans les expressions de x x et x x 002v gt a R 0 v x 0 20 R 0 a R 0 20 x 0 20 6a R 0 6a R 0 a R 0 20 D o R 0 puis R 0 etenfin R 0 12 a a4 a5 trouve On peut alors prendre pour R un polyn me du second degr R t 2 at bt y R 0 y R O 8B et R 0 2a
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