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1. sa ou ses ventuelles origines lesquelles peuvent elles aussi parfois tre inf r es en r f rence une th orie Dans une telle perspective l erreur devient donc interpr table en ce sens qu elle peut nous donner un certain acc s d faut d un acc s certain l activit de l l ve Ainsi l erreur pourra faire signe ce que a contrario un r sultat conforme ne permet g n ralement pas de faire En prenant comme second exemple les erreurs de Gi voir ci dessous dans son travail sur les tables de multiplication de 4 et de 6 on constate en effet selon les propositions effectu es ci dessus que volume XXXI automne 2003 203 www acelf ca L enseignement des math matiques dans l enseignement sp cialis est il pav de bonnes analyses d erreurs e d abord ce sont bien des erreurs dans la mesure o les r sultats d couverts par G ne correspondent pas ceux qui taient attendus e ensuite elles sont bien le produit d un cheminement qu il est possible tout au moins en partie de reconstituer ajout de 2 aux r sultats de la table de 4 pour produire ceux de la table de 6 dans neuf items sur douze si l on prend en compte le r sultat 30 figurant sous le 28 dans le second item et que l on fait abstraction des erreurs de 1 au septi me et au neuvi me item e enfin des origines diverses peuvent tre inf r es sans qu notre sens on ne puisse pourtant raisonnablement parvenir en priv2. cette d licate question en voquant le cas de Ma qui a produit le calcul suivant LEE Volume XXXI automne 2003 208 wwwacelf ca L enseignement des math matiques dans l enseignement sp cialis est il pav de bonnes analyses d erreurs Figure 4 Erreur de Ma 1 7 PB LZ 73 4 Comme il a t possible de le faire au sujet de la suite d erreurs commises plus haut par Gi dans la r solution du livret 6 nous pouvons retrouver par inf rence le cheminement qui a conduit Ma ce r sultatde 39 2 7 je ne peux pas car 7 est plus grand que 2 e j emprunte alors une dizaine au 3 que je biffe et j cris 2 e 10 2 12 qui plus grand que 7 rend maintenant possible le d roulement du calcul 12 7 19 je pose le 9 et je retiens le 1 que j cris dans la colonne des dizaines e 1 2 3 et mon calcul est termin Tout en conservant nouveau une certaine r serve quant l origine possible d une telle erreur au fait est ce bel et bien une erreur alors que le r sultat est tout fait conforme au produit attendu ce qui nous para t int ressant examiner c est ce en quoi le cheminement de Ma l ve de quinze ans peut tre diff rent de ceux qu aurait pu suivre un enfant de sept ou huit ans au cours du m me calcul On remarque en effet que pour r aliser cette addition Ma emprunte simultan ment des r gles l algorithme d addition et des r gles celui de la soustraction Cet l
3. le suivre irr sistiblement attir par cette forme de spirale dans laquelle il m entra nait lui proposant un autre cube son taille crayon pour qu il compte le nombre de faces et qu il parvienne se r approprier le fait qu il y en avait bien 6 ce qu il s est tout bonnement av r incapable de faire e Ce n est finalement que l heure de la r cr ation qui nous a heureusement permis de nous extirper de cette spirale dans laquelle nous nous trouvions tous deux engag s Comment alors la suite d une telle s quence o la d concertation du couple enseignant enseign se prolonge en tout cas dans l esprit des deux acteurs en pr sence bien au dela de la classe va pouvoir se poursuivre le processus d enseigne ment Il est videmment tentant de vouloir mettre sur pied une nouvelle activit sus ceptible de permettre l leve de se r approprier le nombre de faces que comporte un cube par exemple en lui faisant comparer le cube d autres polyedres Et ceci alors m me que la s quence d enseignement pr c dente tait consacr e un tout autre objet soit la recherche du nombre de cubes n cessaires la construction d une brique Dans le cas pr sent je mai toutefois pas t amen le faire puisque la semaine suivante lorsque j ai revu l l ve en question il m a d clar avant m me de me dire bonjour un cube a a six faces j en suis s r et comme a tu vas arr ter de m emb ter L ventualit
4. d une suite qui viserait r pondre une erreur inopin e en ce sens qu elle n est pas directement en lien avec l objet trait dans la s quence mani fest e par un l ve tend par cons quent d j annoncer le fait que l apparition de telles erreurs pourra avoir des incidences importantes sur le pilotage et le contenu de l enseignement des math matiques dans la classe sp cialis e L erreur comme boussole de l enseignement des math matiques dans l enseignement sp cialis Prenons maintenant un autre exemple pour faire appara tre ce ph nom ne de fa on plus explicite et ce propos d une activit les copines de Caroline Danaley Dumas Studer amp Villars Kneub hler 1998 qui propose des l ves de troisi me RER Volume XXXI automne 2003 212 wwwacelf ca L enseignement des math matiques dans l enseignement sp cialis est il pav de bonnes analyses d erreurs ann e primaire de reproduire un dessin sur un quadrillage en lui faisant subir des rotations et des translations La production de Mi voir ci dessous qui a compl t les pattes et la t te de la tortue en bas gauche fait appara tre de nouvelles erreurs les sommets des carr s repr sentant les pattes ne sont pas bien plac s sur les croise ments des lignes du quadrillage et il en va de m me pour la t te de la tortue 1 Figure 6 Erreurs de Mi Les copines de Caroline Quatre tortues identiques s amusent dans le jardin S
5. tranche du haut le second 16 la tranche du bas et le troisi me 16 la tranche du milieu e J ai alors demand celui qui rentrait de maladie s il saurait dire maintenant combien il faudrait de cubes pour construire une brique identique un Rubik s cube que j avais sous la main et il m a r pondu 27 en comptant 9 et 9 18 puis 19 20 21 22 23 24 25 26 27 MEMES Volume XXXI automne 2003 211 wwwacelf ca L enseignement des math matiques dans l enseignement sp cialis est il pav de bonnes analyses d erreurs e L activit aurait sans doute pu s arr ter l mais il se trouve que je n ai pu m emp cher de poser une nouvelle question je ne sais plus bien laquelle au deuxi me l ve celui qui avait retrouv le 16 16 16 48 mais qui comptait les cubes sur les faces propos du Rubik s cube Et partir de l on s est engag dans un processus assez trange dommage que je maie pas le protocole o l l ve s est mis nouveau compter les cubes sur les faces du Rubik s cube puis compter les faces elles m mes arrivant tant t 5 faces tant t 6 tant t 7 cherchant des yeux mon approbation pour le 5 pour le 6 et pour le 7 e J tais alors si d contenanc par l incapacit qu il me montrait pouvoir non cer le nombre correct de faces que comporte un cube que je nai m me pas t capable de r pondre son attente Et qu au contraire je me suis m me mis
6. A Ma 3005 pe e a o LS LE E O vn E 1 E HU aga Ap s 38 2 zE E he ne se TRE Sur 20 Ds mue y a 3 30m 3 A A a A pat ps O E 8 BED E A A A E E E 9 a qq a BEE aii 2 S 5 OC ES HN E A et oO ma L a 2 gt a E a a AA n n a eo D 2 3 DQO 5 gt rs ee Hess LE le Loan ponte 2535 se Lee er ral pa See 5 ELITE PRE q alo 4 3 A O E 23 332 A als 5378 32 e e a a Sib gg E A o apg LS m MM a 3 NN pt E ri lr one US a E E Q A m peca DE da ne me some pano e OST EE ES 07 v n 0 g IM gt E J la amp A dk year Nat met prie LO 3 2 E E S LUS Giles AL purs bete 72 Se 00 DES NES RAI st Ena 2 4 5 8 E BELL 338 n a d 5 E a Mes a S T o ea S g a amp 6 E volume XXXI automne 2003 d muni francophonie Education et L enseignement des math matiques dans l enseignement sp cialis est il pav de bonnes analyses d erreurs trouve deux fois un 7 aux unit s On peut galement remarquer que le r sultat juste en dessus comprenait lui aussi un 7 aux unit s On peut alors penser que Gi a pu emprunter ce 7 pour le replacer dans les r sultats suivants mais ce n est videmment pas tr s certain De plus on peut aussi se demander pourquoi il l aurait pr cis ment fait l et pas avant ni apr s En prenant ensuite la colonne en dessous qui commence par 90 53 34 on constate c
7. J 1994 La notion de sch me dans l interpr tation des erreurs des l ves des algorithmes de calcul crit IN Cahiers de la recherche en ducation Gen ve pp 117 132 BRUN J CONNE E FLORIS R LEMOYNE G LEUTENEGGER E PORTUGAIS J 1994 Erreurs syst matiques et sch mes algorithmes In Vingt ans de didactique des math matiques en France M Artigue R Gras C Laborde P Tavignot Eds Grenoble La Pens e Sauvage Colloque ARDM pp 203 209 MEMES Volume XXXI automne 2003 216 wwwacelf ca L enseignement des math matiques dans l enseignement sp cialis est il pav de bonnes analyses d erreurs CANGE C FAVRE J M 2001 Petite boutique des erreurs IN Actes du colloque Constructivismes usages et perspectives en Education volume II SRED Cahier 8 Gen ve pp 525 528 CHARRIERE G 1995 Lalg bre mode d emploi Lausanne ditions loisirs et p dagogie S A CONNE E 1999 Faire des maths faire faire des maths regarder ce que a donne IN Le cognitif en didactique des math matiques G Lemoyne et E Conne dir Montr al Presses de l Universit de Montr al pp 31 69 CONNE E 2000 Pouvons nous parler d une didactique des math matiques de l enseignement sp cialis IN Actes de la X ME cole d t de didactique des math matiques Houlgate ARDM d CHARNAY R MANTE M 1996 Pr paration l preuve de math matiques du concours de professeur des coles T
8. algunos ejemplos Tambi n trataremos de demostrar c mo la cuesti n del error es un aspecto sensible en la ense anza especializada y c mo puede influenciar la ense anza de las matem ticas que se pretende dispensar Tambi n abordaremos las dificultades que conlleva utilizar el error como apoyo para el desarrollo del aprendizaje en la ense anza especializada Finalmente concluire mos enunciando algunas perspectivas sobre el estatus del error en la formaci n en ense anza de las matem ticas entre los docentes especializados Pr ambule l occasion du colloque Constructivismes Usages et perspectives en ducation Gen ve 4 8 septembre 2001 nous avions mont dans le cadre d un atelier consa cr diff rents usages du constructivisme dans l enseignement sp cialis une affiche intitul e Petite boutique des erreurs Cange amp Favre 2001 Cette derni re visait reprobl matiser la question de l erreur en cherchant montrer combien il pouvait tre d licat partir d une erreur ou d une suite d erreurs d en reconstituer le cheminement et d en retrouver l ventuelle origine et cela m me si chacun dans son for int rieur parvient souvent assez vite s en faire sa petite id e Il s agissait notamment d aller au del des erreurs que nous qualifions de prototypes ren contr es dans certains ouvrages ou parties d ouvrages consacr s ce sujet Charnay amp Mante 1996 Asto
9. au c ur de l change didactique En l absence d un programme clairement tabli pour les classes de l enseignement sp cialis on peut m me penser que les erreurs contribuent l gitimer l enseignement qui s y trouve dispens tant que les l ves se trompent et commettent des erreurs n est ce donc pas que l enseignement propos tait utile nous reviendrons par la suite sur ce point On pourrait m me se demander au passage comment r agirait un enseignant sp cialis l gard d une absence d erreurs Serait il en mesure d interpr ter cette absence d erreurs en terme de r ussite ou ne chercherait il pas plut t remettre l l ve l preuve pour le conduire produire de nouvelles erreurs la diff rence de ce qui se passe dans l enseignement ordinaire nous estimons que les erreurs des l ves conditionnent fortement le d roulement du temps didactique dans les classes sp cialis es Cela dit il est galement important de chercher comprendre comment des l ves de l enseignement sp cialis peuvent continuer pour ne pas dire perp tuer produire des erreurs qui plus est propos d objets dont l enseignement leur est r p t ann e apr s ann e Comme c est le cas par exemple des algorithmes de calcul lesquels constituent dans certaines classes sp cialis es l essentiel des acti vit s math matiques qui sont propos es aux l ves On peut proposer une amorce de r ponse
10. me ann e primaire une tude exploratoire Marie COLLET Universit Catholique de Louvain Louvain la Neuve Belgique L enseignement des math matiques dans l enseignement sp cialis est il pav de bonnes analyses d erreurs Christian CANGE Domaine de l enseignement sp cialis HEP Vaud Lausanne Suisse Jean Michel FAVRE Domaine de l enseignement sp cialis HEP Vaud Lausanne Suisse La mise en uvre de nouveaux moyens d enseignement math matiques en Suisse Romande vise entre autres modifier le statut de l erreur en classe On tend la consid rer comme un support possible pour les apprentissages des l ves et on encourage de plus en plus les enseignants travailler en ce sens Des cours de forma tion continue concernant l erreur leur sont ainsi propos s selon un mod le qui proc de du rep rage de l erreur de la description de la proc dure qui l a provoqu e de la recherche d une ou de plusieurs origines possibles de la mise en place d un dispositif pour tester la pertinence des hypoth ses effectu es et de la proposition d activit s de rem diation Nous pensons toutefois que bon nombre d erreurs que nous avons rep r es dans le champ de l enseignement sp cialis se pr tent mal une telle analyse et nous en donnerons quelques exemples Nous essaierons aussi de montrer en quoi la LEE Volume XXXI automne 2003 199 wwwacelf ca L enseignement des math matiques dans l ensei
11. reste de la classe tant t peut s ap puyer sur la r ussite des autres pour faire avancer le temps didactique Favre 1997 De plus il est certain qu cause du grand nombre d l ves qui se trouvent dans la classe certaines erreurs ne parviennent jamais faire leur entr e dans l change didactique et restent donc dans le domaine priv de tel ou tel l ve soit parce que l enseignant ne les a tout simplement pas vues soit parce que les l ves sont par venus suffisamment bien les dissimuler Dans l enseignement sp cialis en revanche les choses ne sont pas tout fait identiques Par d finition ou presque on pourrait dire qu un l ve de l enseigne ment sp cialis est un l ve qui fait des erreurs S il a d quitter l enseignement ordi naire pour rejoindre l enseignement sp cialis c est assur ment qu il en a produit beaucoup dans l enseignement ordinaire et s il est depuis toujours dans l enseigne ment sp cialis c est sans doute qu il en a produit assez pour qu il puisse y rester De plus cause des conditions qui r gissent les classes de l enseignement sp cialis faible effectif individualisation de l enseignement le statut de l erreur y est dif f rent Pas forc ment d ailleurs parce que les l ves commettent effectivement plus d erreurs mais aussi et surtout parce que l enseignant peut difficilement en viter la rencontre Les erreurs des l ves se situent donc
12. ve ne semble donc pas pouvoir faire le tri entre des r gles issues de deux algo rithmes diff rents c est dire en utiliser certaines parce qu elles sont effective ment pertinentes dans ce cas de figure et en rejeter d autres parce qu elles ne le sont pas Et c est un peu comme s il prenait ici et l des morceaux de r gles que les enseignants rencontr s durant sa scolarit se sont sans doute puis s lui faire apprendre et qu il essayait de les combiner pour produire un r sultat qui dans le cas pr sent aboutit sans doute bien malgr lui celui qui tait attendu aeu Volume XXXI automne 2003 209 www acelf ca L enseignement des math matiques dans l enseignement sp cialis est il pav de bonnes analyses d erreurs On pourrait donc dire que Ma s est constitu un important r servoir de r gles dans lequel il puise avec plus ou moins de r ussite ce qu videmment ne peut pos s der par comparaison un l ve de sept ou huit ans relativement vierge de toutes ces r gles accumul es au fil du temps Ce r servoir lui donne ainsi une certaine expertise des r gles et donc des erreurs qu elles sont par combinaisons susceptibles de pro duire Une expertise laquelle il est sans doute vain de vouloir lui faire renoncer par un nouvel et xi me travail sur ces m mes algorithmes de calcul tant celle ci para t solide et stable comme nous le montre ce nouvel exemple illustratif d une r gle l ali
13. 5 oa na l EduCation et i ss francophonie VOLUME XXXI 2 AUTOMNE 2003 MIO acelf ca L enseignement des math matiques dans l enseignement sp cialis est il pav de bonnes analyses d erreurs Christian CANGE Domaine de l enseignement sp cialis HEP Vaud Lausanne Suisse Jean Michel FAVRE Domaine de l enseignement sp cialis HEP Vaud Lausanne Suisse Education et is francophonie VOLUME XXXI 2 AUTOMNE 2003 Revue scientifique virtuelle publi e par l Association canadienne d ducation de langue fran aise dont la mission est d inspirer et de soutenir le d veloppe ment et l action des institutions duca tives francophones du Canada Directrice de la publication Chantal Lainey ACELF Pr sidente du comit de r daction Mariette Th berge Universit d Ottawa Comit de r daction G rald C Boudreau Universit Sainte Anne Lucie DeBlois Universit Laval Simone Leblanc Rainville Universit de Moncton Paul Ruest College universitaire de Saint Boniface Mariette Th berge Universit d Ottawa Directeur g n ral de l ACELF Richard Lacombe Conception graphique et montage Claude Baillargeon pour Opossum Responsable du site Internet Anne Marie Bergeron Les textes sign s n engagent que la responsabilit de leurs auteures et auteurs lesquels en assument galement la r vision linguistique De plus afin d attester leur recevabilit au regard des ex
14. Catholique de Louvain Louvain la Neuve Belgique Analyse didactique d une situation d apprentissage coop ratif des math matiques au primaire r alis e dans un contexte d int gration scolaire Diane GAUTHIER et Jean Robert POULIN Universit du Qu bec a Chicoutimi Qu bec Canada Interactions de connaissances et investissement de savoir dans l enseignement des math matiques en institutions et classes sp cialis es Fran ois CONNE Didactique des math matiques Fpse Universit de Gen ve Suisse Interventions orthop dagogiques sous l angle du contrat didactique Claudine MARY Universit de Sherbrooke Qu bec Canada Interactions sociales et apprentissages math matiques dans une classe d l ves en difficult grave d apprentissage Sylvine SCHMIDT Universit de Sherbrooke Sherbrooke Qu bec Canada Louise THIVIERGE cole Vanguard Qu bec lt e Qu bec Canada Le temps didactique dans trois classes de secondaire doubleurs ordinaires forts Sophie Ren DE COTRET et Jacinthe GIROUX Universit de Montr al Montr al Qu bec Canada Interpr ter explicitement les productions des l ves une piste Lucie DEBLOIS Universit Laval Qu bec Qu bec Canada L enseignement des math matiques dans l enseignement sp cialis est il pav de bonnes analyses d erreurs Christian CANGE et Jean Michel FAVRE HEP Vaud Lausanne Suisse Le d veloppement du syst me en base 10 chez des l ves de 2 ME et de 3
15. Ging Sauthier amp Stierli 1996 En regard des conventions qui r gissent les critures math matiques il est bel et bien certain que 1 5 4 est une erreur De ce point de vue on pourrait alors penser que pour cet leve les critures 5 1 et 1 5 sont quivalentes Pourtant on peut galement imaginer que c est parce qu il n y avait pas de place r serv e entre le 5 et le signe qu il a t amen crire 1 5 pour signifier qu il fallait enlever 1 5 afin de le rendre gal 4 Une autre mani re de voir les choses qui peut nous faire h siter prendre la m me production pour une erreur MEMES Volume XXXI automne 2003 202 wwwacelf ca Education et francophonie L enseignement des math matiques dans l enseignement sp cialis est il pav de bonnes analyses d erreurs Figure 1 Erreur de Me Egalit s Pr nom Compl te les galit s sans changer ce qui est d j crit m ME Ea A e O l 36 Dans une premi re approximation qui nous suffira ici pour initier notre expos on s en tiendra toutefois qualifier l erreur de r sultat non conforme c est dire comme une variation ou un cart plus ou moins important avec un r sultat attendu On postulera ensuite que l erreur est toujours l aboutissement d un chemi nement parfois inf rable du point de vue de l observateur en terme de proc dure Enfin on avancera qu il est galement possible de se poser des questions quant
16. dire de leur interpr tation en termes de difficult s Il nous para trait ce titre tr s f cond de soumettre une telle analyse l ensemble des erreurs qui figurent dans ce texte R f rences bibliographiques ASTOLFI J P 1997 L erreur un outil pour enseigner Paris ESF diteur coll Pratiques et enjeux p dagogiques BROUSSEAU G 1990 Le contrat didactique le milieu IN Recherches en didactique des math matiques Vol 9 3 Grenoble Ed La Pens e Sauvage BROWN J S BURTON R R 1978 Diagnostic models for procedural bugs in basic mathematics skills IN Cognitive Science Vol 2 pp 155 192 BROWN J S VAN LEHN K 1980 Repair theory A generative theory of bugs in procedural skills IN Cognitive Science Vol 4 pp 379 426 BROWN J S VAN LEHN K 1982 Toward a generative theory of bugs in procedural skills IN Addition and subtraction A cognitive perspective T Carpenter J Moser and T Romberg Eds Hillsdale NJ Lawrencw El baum Associates BRUN J CONNE E 1991 L tude des algorithmes de calcul dans la transmission et la constitution des connaissances num riques IN PME XV Assisi Fond National de la Recherche Scientifique recherche men e par Brun J Conne E Retschitzki J amp Schubauer R BRUN J CONNE E 1993 Calculs et erreurs syst matiques IN Journal de l enseignement primaire Vol 43 Gen ve pp 29 31 BRUN J CONNE E LEMOYNE G PORTUGAIS
17. e question n tant d ailleurs pas r gl e pour l enseignement sp cialis voir ce propos Conne 2000 Mais nous avons compris que la vis e majeure de ce colloque tait d ouvrir un champ de question MEMES Volume XXXI automne 2003 201 wwwacelf ca L enseignement des math matiques dans l enseignement sp cialis est il pav de bonnes analyses d erreurs nement ce quoi en ayant agi de la sorte nous esp rons avoir tout au moins par tiellement r pondu De quoi parlons nous vraiment quand nous parlons d erreur Cette premi re question a peut tre de quoi surprendre tant il est vrai que le terme m me d erreur semble faire l objet d un consensus d s lors qu on la consid re comme un support possible l apprentissage Or il nous semble au contraire que Terreur est multiforme et que des erreurs de calcul par exemple ne sont pas compa rables des transgressions ou des inventions de r gles dans l effectuation d un algo rithme alors m me que ces derni res ne peuvent tre non plus tre assimil es telles quelles des conduites mal adapt es lors de la r solution d un probl me De plus certaines productions que l on pourrait premi re vue qualifier d er reurs peuvent perdre leur caract re erron lorsqu on les examine un peu diff remment En fait tout va d pendre de la norme du produit attendu comme on peut le voir dans l exemple de Me ci dessous la fiche est tir e de
18. e sentiment d impuissance Dans cette optique la formation en enseignement des math matiques des enseignants sp cialis s ne saurait bien videmment luder la question de l erreur notre point de vue il s agirait en tous les cas de former les enseignants sp cialis s e l analyse d erreurs de mani re ce qu ils en per oivent la fois les difficult s et les richesses voir ce propos le texte de Lucie Deblois dans cette revue soit d une part les amener une certaine humilit face la complexit que repr sente ce travail d analyse puis d autre part leur faire rencontrer un cer tain plaisir le r aliser et faire en sorte qu ils parviennent s en distraire au sens de divertir Il nous para t en outre important que les erreurs soumises l analyse des enseignants sp cialis s proviennent tout autant de l cole ordi naire que de l enseignement sp cialis et ceci pour t moigner du fait que bon nombre d erreurs ne sont pas l apanage des seuls l ves d clar s en diffi cult s e l analyse des t ches qu ils soumettent leurs l ves et l anticipation des erreurs possibles qui sont en lien direct avec ces t ches Ceci de fa on ce qu en situa tion d enseigner ils n en viennent pas ou moins se laisser distraire au sens de d tourner par des erreurs ou des difficult s que nous qualifierons d annexes c est dire qui ne sont pas directement en
19. ections d un quadrillage difficult s relier deux points l aide d une r gle Remarquons pourtant que ces difficult s n ont pas t pr vues dans l analyse de la t che tout au moins celle du manuel qui ne les anticipe pas et qu elles font galement obstacle tout essai de reconstitution en termes de proc dure Cependant ce sont bien elles qui pour l l ve rendent d licate la r solution du travail qui lui est demand et qui surtout pour l enseignant risquent de d tourner son attention de la t che initiale Quoi de plus tentant en effet que de faire une remarque l l ve au sujet de son manque de pr cision et de lui faire recommencer son travail pour qu il soigne mieux son trac Quoi de plus normal en cas de nouvel chec que de lui proposer d autres activit s qui lui permettront d exercer encore un peu mieux la pr cision de son trac Quoi de plus l gitime en fait puisque l on per met ainsi l l ve d essayer de surmonter une difficult qu il devra de toute mani re un jour apprendre d passer L enseignement toutefois aura bel et bien t d tourn de son objet initial un travail sur la translation et la rotation et cela cause d une erreur non pr vue On peut m me all grement imaginer que la nouvelle activit propos e pourra son tour donner naissance de nouvelles erreurs t moins de nouvelles difficult s qui leur tour vont g n rer de nouvelles activit s et que
20. ensitive in special education and how it could influence the way mathematics is taught in this field We will also discuss the problems with using error to as a way to promote learning in special edu cation Finally we conclude by stating several perspectives on where error fits into special education teacher training in mathematics La ense anza de las matem ticas en la ense anza especializada est llena de buenos an lisis de errores La realizaci n de nuevos medios de ense anza de las matem ticas en Suiza franc fona pretende entre otras cosas modificar el estatus del error en el sal n de clases Se tiende a considerarlo como un apoyo potencial par el aprendizaje de los alumnos y se alienta a los maestros a trabajar en ese sentido Se proponen a los maes tros cursos de formaci n continua en torno al error a partir del modelo siguiente identificaci n del error descripci n del procedimiento que lo ha provocado investi gaci n de uno o de varios or genes posibles instalaci n de un dispositivo para veri ficar la pertinencia de las hip tesis efectuadas y de las actividades de recuperaci n No obstante nosotros pensamos que un buen numero de errores que hemos identificado en el campo de la ense anza especializada no permiten realizar dicho MEMES Volume XXXI automne 2003 200 wwwacelf ca L enseignement des math matiques dans l enseignement sp cialis est il pav de bonnes analyses d erreurs an lisis y daremos
21. ette fois ci que le chiffre des dizaines est juste mais on peut d s lors se demander comment est arriv celui des unit s Il serait possible aussi de dire que 34 c est l inverse de 43 et que Gi a peut tre fait 3 0 3 et 9 5 4 soit 34 Mais est ce vraiment plausible Et si oui pourquoi l maintenant alors qu il vient de r aliser sept calculs parfaitement justes colonne de droite en haut e En poursuivant avec l erreur 70 33 27 on observe qu ici c est l unit qui est correcte La dizaine est fausse mais identique la dizaine du r sultat du dessus 22 Est ce donc une reprise du r sultat pr c dent comme cela a pu tre le cas pour le 7 des unit s dans les deux erreurs de la premi re colonne Peut tre mais ce n est pas certain On remarque ensuite que le r sultat qui vient juste apr s est exact alors que en situation l enseignant l avait vu faux Mais par ailleurs est ce que le 2 de la dizaine provient d un calcul correct ou n est ce pas plut t la reprise du 2 de la dizaine des deux r sultats pr c dents Difficile de l affirmer En ce qui concerne le dernier calcul de cette colonne 50 25 5 peut on con sid rer qu il s agit d un oubli de la dizaine Gi ne l aurait pas vu alors m me que tous les r sultats pr c dents ont deux chiffres C est plut t bizarre e Terminons enfin avec 72 28 40 On pourrait penser que Gi a additionn 8 et 2 puis soustrait 3 le 2 de 28 et le 1 du 10 a
22. eule Caroline est enti rement dessin e Termine le dessin de ses trois copines RER ELALTSLTITEIFTEN FRERE LI ETS LTE LE CIO FREE Sd D EHESS D ARRE ns SN IS A z sE Z PHH CHE RS as H LE ENS Ax H AVA A E LEA LP LET IAN ZT LH HHH EPA 5 ET ARE HH tH HA PEHE a A A de T JES 000 Ll E Jo of il NES a ATENH Sa WE AT HN H H Li E WE E y ATEN SH SE ra ae CERCLE EL O E EE RAT LAS FIITIACLLITIETEIL IL LE PEL LE S a a A D qu y etH EEES FERRER EEE HS li HHHH K AE HHAH 1 Pr cisons ce propos que la reproduction des erreurs de Mi nous a amen s r duire les dimensions du quadrillage ce qui pourrait faire croire tort qu il n est pas possible de compl ter le dessin de la tortue en haut droite alors que cela est bel et bien le cas sur la fiche originale MEM Volume XXXI automne 2003 213 www acelf ca L enseignement des math matiques dans l enseignement sp cialis est il pav de bonnes analyses d erreurs Or comment un enseignant face cette production pourra t il consid rer les erreurs commises par Mi Il est tr s vraisemblable que celles ci seront interpr t es en termes de difficult s Des difficult s non pas li es directement la translation ou la rotation mais bien plut t des difficult s de pr cision difficult s situer des points sur les inters
23. gnement des additions par la gauche que Ma n a jamais song abandonner Figure 5 Erreur de Ma 2 Le couple enseignant enseign l gard de l erreur Reprenons maintenant la seconde question soulev e partir de l examen de la page de soustractions r alis es par Gi Et l enseignant sp cialis l gard d une telle copie comment peut il s y prendre Va t il corriger ou faire corriger Va t il montrer une nouvelle fois comment il vaut mieux s y prendre Mais quoi cela peut il donc bien servir Tous les r sultats justes les deux tiers attestent que souvent Gi sait plut t bien s y prendre Alors va t il montrer une mani re de contr ler ces r sultats en lui faisant faire par exemple des preuves par addition Et si Gi se trompe en les effectuant De plus apr s coup quoi cela peut il bien lui servir C est en faisant le calcul que l on souhaiterait qu il contr le le r sultat et non apr s Et voil que l on se retrouve soudain bien en mal de l aider Ses erreurs d un seul coup nous renvoient bien malgr lui notre ignorance LENS Volume XXXI automne 2003 210 wwwacelf ca L enseignement des math matiques dans l enseignement sp cialis est il pav de bonnes analyses d erreurs ou ce que G Lemoyne qualifie de peur de ne pas savoir la r ponse Lemoyne 1990 Il convient cependant de pr ciser que nous avons affaire ici un cas particulier de rep rage et de
24. gnement sp cialis est il pav de bonnes analyses d erreurs question de l erreur est une question sensible dans l enseignement sp cialis et com ment elle est susceptible d influer sur l enseignement des math matiques qui s y trouve dispens Nous parlerons galement des difficult s utiliser l erreur comme support pour favoriser les apprentissages dans l enseignement sp cialis Nous con clurons enfin par l nonc de quelques perspectives concernant la place de l erreur dans la formation en enseignement des math matiques des enseignants sp cialis s ABSTRACT Is Teaching Mathematics in Special Education Paved with Good Error Analysis One reason for implementing new ways of teaching mathematics in French Speaking Switzerland is to modify the error status in the classroom There is a ten dency to believe that it may support student learning and more and more teachers are encouraged to work this way They are offered training in error analysis based on the following model identifying the error describing the procedure that led to it investigating one or several possible origins implementing a test to evaluate the per tinence of the hypotheses put forward and proposing remediation activities However we think that many of the errors we identified in the field of special education are difficult to analyze in this manner and we will give you a few examples We will also try to show how the error question is s
25. igences du milieu universitaire tous les textes sont arbitr s c est dire soumis des pairs selon une proc dure d j convenue La revue ducation et francophonie est publi e deux fois l an gr ce l appui financier du minist re du Patrimoine canadien et du Conseil de recherches en sciences humaines du Canada ASSOCIATION CANADIENNE D DUCATION DE LANGUE FRAN AISE 268 Marie de l Incarnation Qu bec Qu bec G1N 3G4 T l phone 418 681 4661 T l copieur 418 681 3389 Courriel info acelf ca D p t l gal Biblioth que nationale du Qu bec Biblioth que nationale du Canada ISSN 0849 1089 La 13 45 65 82 103 125 155 176 199 218 sp cificit de l enseignement des math matiques en adaptation scolaire R dactrices invit es Claudine MARY et Sylvine SCHMIDT Facult d ducation Universit de Sherbrooke Qu bec Canada Liminaire La sp cificit de l enseignement des math matiques en adaptation scolaire Claudine MARY et Sylvine SCHMIDT Facult d ducation Universit de Sherbrooke Qu bec Canada Les rencontres singuli res entre les l ves pr sentant des difficult s d apprentissage en math matiques et leurs enseignants Gis le LEMOYNE et Genevi ve LESSARD Universit de Montr al Montr al Qu bec Canada Impact des capacit s d autor gulation en r solution de probl mes chez les enfants de 10 ans J r me FOCANT Universit
26. il gier une plut t qu une autre Figure 2 Erreurs de Gi 1 MEMO volume XXXI automne 2003 204 www acelf ca L enseignement des math matiques dans l enseignement sp cialis est il pav de bonnes analyses d erreurs Il convient pourtant de remarquer que si cette suite d erreurs semble r pondre aux propositions que nous avons cherch d limiter plus haut il n en va pas de m me pour toutes les erreurs Les difficult s apparaissent v ritablement quand on ne parvient pas ou alors quand on parvient difficilement d gager une syst matique De la non syst matique des erreurs De nombreux travaux consacr s aux erreurs et plus particulierement ceux qui ont pris pour objet les algorithmes de calcul Brown amp Burton 1978 Brown amp Van Lehn 1980 1982 Resnick 1982 Brun amp Conne 1991 1993 Brun Conne Lemoyne amp Portugais 1994 Brun Conne Floris Lemoyne Leutenegger amp Portugais 1994 ont permis de faire appara tre une certaine syst matique dans les erreurs produites par des l ves en train d apprendre Ces erreurs sont parfois qualifi es de bugs parfois d obstacles parfois m me d inventions intelligentes par les auteurs de ces travaux Elles pr sentent notamment l avantage de pouvoir tre r per tori es cat goris es et peuvent m me permettre de reconstituer la proc dure erron e de l l ve part
27. ir de sa seule r ponse crite Brun Conne 1993 La suite d erreurs commises par Gi dans l exemple qui pr c de tout en n tant pas li e un algorithme de calcul particulier pr sente elle aussi une certaine syst ma tique C est d ailleurs pr cis ment elle qui nous permet d inf rer de fa on relative ment fiable le cheminement qui l a produite et cela m me si la syst matique n est pas absolue dans le sens o elle rompt en plusieurs items 6 x 6 36 ou 6 x 10 60 par exemple Toutefois comme on va pouvoir le constater sur la base de l exemple qui suit toujours emprunt Gi il n est pas toujours possible de retrouver une syst ma tique Et la le travail sur l erreur se complique fortement MEMES Volume XXXI automne 2003 205 wwwacelf ca L enseignement des math matiques dans l enseignement sp cialis est il pav de bonnes analyses d erreurs Figure 3 Erreurs de Gi 2 es me mat a od de Je 1 c EEES AAA EA ER 2382 38 g A A A NN EI A g v 2 B ioo g Y jd o Le SNS A PO ic SEE PSE re S S g S 5 CAE E E A Be VE x AA a o o 2 a cs ren ren PE ne ae es ESAS 38 O 2 Y sr Le J E E 5 o Dm MR CE gt E Y E gt PTT Fes Y Drame HE US sl 3 E 3 g g 3 on F E gt lg Sn E e D HAS nn vd o amp A E qe mue ee e en SE E e S g z 2 ES rd H On 5 2 A gt Cn mo vi amp a a J A A b io A li
28. le processus pourra ainsi perdurer jusqu ce que les erreurs si cela arrive une fois ne se manifestent plus et o il sera peut tre alors temps de reparler de translations et de rotations C est d ailleurs assur ment un tel ph nom ne qui nous donne continuellement penser nous les enseignants sp cialis s qu on ma jamais assez de temps pour bien faire les choses s il est probable qu on a tout autant l impression de courir contre le temps dans l cole ordinaire on arrive cependant presque toujours au terme du programme avec la satisfaction du devoir accompli On se plaint alors des ducateurs et des th rapeutes qui nous volent sans cesse nos l ves quand apr s deux semaines de travail on constate que l on n a pas fait la moiti de ce qu on avait initialement pr vu de faire Ainsi d un certain point de vue on angoisse face au temps qui passe mais de l autre on se rassure satisfait du devoir accompli et ce par le sentiment d avoir bel et bien r pondu aux besoins manifest s en termes d erreurs et de difficult s des l ves qui nous ont conduits devoir changer notre cap Nous ponctuerons donc l ensemble des r flexions qui pr c dent par la propo sition suivante si dans l cole ordinaire le pilotage des activit s est solidement r gent par la n cessit d puiser le programme on peut en revanche penser que dans l enseignement sp cialis on navigue pas mal vue Et c e
29. lfi 1997 par exemple en illustration de certains concepts th oriques dont les auteurs cherchent montrer l op rationnalit pour l analyse des erreurs Nous voulions galement mettre en vidence le fait que la mise en place d activit s dites de rem diation labor es partir d erreurs et d analyses d erreurs exercice pour lequel on souhaiterait actuellement que les enseignants de math matiques deviennent experts n allait vraiment pas de soi Nous profitons donc de l occasion qui nous est offerte ici pour poursuivre et approfondir la question de l erreur dans l enseignement et l apprentissage des math matiques dans l enseignement sp cialis Pour r aliser ce projet nous avons alors d cid de proc der par changes de courriels mails dans lesquels partir d une id e d une observation en classe ou d une discussion qui avait lieu dans notre groupe de recherche nous envoyions l autre une proposition un argument auquel il devait ensuite r pondre Ces changes se sont ainsi tendus sur plusieurs mois et ont abouti aux r flexions qui suivent ce titre il nous para t important de pr ciser que du fait de notre insertion professionnelle enseignants sp cialis s et formateurs d enseignants sp cialis s ces r flexions sont fortement li es aux conditions des classes de l enseignement sp cialis du canton de Vaud Elles n ont par ailleurs pas t soumises une validation empirique cett
30. lien avec les objets de savoir dont ils esp rent favoriser la rencontre des l ves Ceci pose en outre la question cruciale de la d volution du probl me au sens que lui donne Brousseau 1990 au sein de laquelle l enseignant sp cialis a un r le excessivement important et d licat jouer voir ce propos le texte de Sophie Ren de Cotret et Jacinthe Giroux dans cette revue e la mise en uvre d activit s math matiques plus diversifi es c est dire qui ne se centrent pas seulement sur le versant num rique des math matiques pour des exemples voir le texte de Fran ois Conne dans cette revue ou plus ouvertes comme les probl mes tir s du manuel de G Charri re Charri re 1995 et au sein desquelles les l ves seront peut tre susceptibles de mieux distraire leurs enseignants nouveau au sens de divertir tout en leur donnant l occasion de MEMES Volume XXXI automne 2003 215 wwwacelf ca L enseignement des math matiques dans l enseignement sp cialis est il pav de bonnes analyses d erreurs mieux se laisser distraire cette fois au sens de d tourner de leurs difficult s habituelles Enfin nous ne saurions terminer ces quelques propos consacr s la place de l erreur dans la formation en enseignement des math matiques des enseignants sp cialis s sans manquer de nous interroger sur le r le jou par leur formation psychologique vis vis de la pathologisation des erreurs c est
31. omes 1 et 2 Paris Hatier p dagogie DANALEY C DUMAS J P STUDER C VILLARS KNEUB HLER E 1998 Math matiques 3 M ann e Livre du ma tre livre de l l ve et fichier de l l ve Neuch tel COROME Commission romande des moyens d enseignement et d apprentissage FAVRE J M 1997 L chec le temps la multiplication tude des effets de deux contraintes didactiques sur l enseignement et l apprentissage de la multiplica tion dans une classe sp cialis e par comparaison avec l enseignement et l apprentissage de la m me op ration dans une classe primaire M moire in dit FPSE Universit de Gen ve GING E SAUTHIER M H STIERLI E 1996 Math matiques 1878 ann e Livre du ma tre et fichier de l l ve Neuch tel COROME Commission romande des moyens d enseignement et d apprentissage LEMOYNE G 1990 La peur de ne pas savoir la r ponse les difficult s d apprentissage et d enseignement des math matiques IN Rep res Universit de Montr al pp 79 101 RESNICK L B 1982 Syntax and semantics in learning to subtract IN Addition and subtraction A cognitive perspective T Carpenter J Moser and T Romberg Eds Hillsdale NJ Lawrence Elrbaum Associates MEMES Volume XXXI automne 2003 217 wwwacelf ca
32. pr c dente comment il tait possible de conna tre le nombre de cubes n cessaires la construction d une brique de 4 x 3 x 4 cubes e Le premier l ve interrog a dit qu il ne se souvenait pas comment s y prendre Le second a alors propos deux reprises de compter les cubes qui se trouvaient sur les faces de la brique une fa on de faire qu il avait d j utilis e la fois pr c dente qui l avait amen demander 80 cubes pour construire la brique et qui avait t invalid e par la construction effective Je emploi du je s explique au cours de ce r cit par le fait que la s quence s est d roul e dans l une de nos classes l ai alors contredit en lui disant que c tait pr cis ment la fa on de proc der qu ils les l ves avaient pr cis ment choisi d carter la fois pr c dente e Un bon moment s est alors coul sans que personne ne prenne la parole quand soudain le second l ve s est rappel qu il fallait faire 16 c est dire 16 16 16 et que cela faisait 48 mais il n arrivait pas dire quoi cela cor respondait sur la brique il cherchait en effet encore compter les cubes sur les faces Et c est finalement le troisi me l ve celui qui avait d couvert et propos un partage de la brique par tranches de 16 cubes la fois pr c dente qui a montr aux trois autres comment partager le cube en trois tranches le pre mier 16 correspondant la
33. st un peu comme si important travail de transposition d volue l enseignant du fait de l absence d un programme rigoureusement tabli se faisait tant bien que mal l aide d une bous sole dont l aiguille serait syst matiquement aimant e par le p le magn tique des erreurs produites par les l ves MEMES Volume XXXI automne 2003 214 wwwacelf ca L enseignement des math matiques dans l enseignement sp cialis est il pav de bonnes analyses d erreurs Conclusion Notre conclusion cherchera d finir plusieurs perspectives concernant la place de l erreur dans la formation en enseignement des math matiques des enseignants sp cialis s Dans une premi re approximation et comme nous l avons fait tout au long de ce texte nous nous proposons d envisager l enseignement sp cialis comme un tout Cela veut dire que nous n entrerons pas plus avant dans l h t rog n it des lieux des personnes des troubles des handicaps des conditions des contraintes qui constituent ce tout Nous dirons alors qu un des l ments majeurs qui carac t rise ce tout est que l enseignant d une classe sp ciale se trouve tr s d muni face aux difficult s rencontr es par les l ves pour apprendre les math matiques Nous postulerons galement que les erreurs des l ves constituent pour l enseignant sp cialis autant de t moins de ces difficult s et qu en cela les erreurs participent renforcer et l gitimer c
34. traitement de l erreur dans le sens o l on essaie de r fl chir apr s coup sur des erreurs pass es et que l on s interroge ensuite sur le champ d action possible de l enseignant et de l l ve Mais dans les conditions qui r gissent les classes d enseignement sp cialis ce cas de figure n est sans doute pas le plus fr quent L enseignant se retrouve en effet le plus souvent au c ur de l activit en interaction directe avec l l ve et la t che Nous parlerons donc plus exactement ce propos du couple enseignant enseign Conne 1999 Dans une telle situation le couple enseignant enseign se retrouve alors aux prises directes avec l erreur l l ve qui la produit l enseignant qui la rep re si l l ve de l enseignement sp cialis peut tre consid r comme un expert de l erreur l enseignant est sans nul doute un expert du rep rage gr ce un contexte propice qui lui en facilite la rencontre et le couple qui va devoir la traiter Que va t il donc se passer Voici un exemple que nous racontons ici parce qu il nous semble tre l illustra tion de nombreuses situations similaires que nous avons v cues en classe d enseigne ment sp cialis de ce qui s est pass l occasion d une s quence d enseignement consacr e la recherche du volume d un parall l pip de rectangle Il s agissait en gros pour trois l ves de la classe de raconter un quatri me l ve absent la le on
35. u 7 et trouv 40 Des r gles de l addition m l es celles de la soustraction Cela fonctionnerait presque de la m me fa on pour le 43 22 15 du bas de la colonne Mais dans ce cas comment se fait il qu il ait pu trouver quatre r sultats parfaitement justes entre les deux A la suite de ce bref et peu fructueux essai d analyse deux nouvelles questions viennent alors se poser Comment donc un l ve peut il rendre une copie si peu syst matique L enseignant sp cialis face une telle copie comment peut il s y prendre L l ve dans l enseignement sp cialis est il ou plut t devient il un expert de l erreur Pour r pondre la premi re des deux questions cherchons tout d abord com parer le statut de l erreur dans l enseignement sp cialis et dans l cole ordinaire Dans l cole ordinaire on peut consid rer qu il y a des l ves qui commettent beaucoup d erreurs d autres qui en commettent un peu moins et d autres encore qui en commettent tres peu ou m me point du tout Cet tat de fait contribue d ailleurs grandement favoriser la gestion de l enseignement par l enseignant qui tant t peut s appuyer sur les erreurs de certains l ves pour chercher mieux expliquer MEMES Volume XXXI automne 2003 207 wwwacelf ca L enseignement des math matiques dans l enseignement sp cialis est il pav de bonnes analyses d erreurs quelque chose qui aurait t mal compris par le
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