Les cartes du ciel tournantes
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1. R ALISATION Les cartes tournantes du ciel Pierre Causeret pierre causeret wanadoo fr R sum Comment peut on repr senter dans ces pages la vo te c leste Le probl me n est pas simple puisqu il s agit de mettre plat une demi sph re qui change tout le temps d aspect suivant la date et l heure La partie du ciel repr senter Si nous voulons r aliser une carte utilisable tout moment 1l faut repr senter toute la partie du ciel visible depuis un lieu donn au cours de la nuit et de l ann e Le ciel visible change au cours de la nuit et de l ann e A une latitude moyenne en France 47 nord la partie invisible est situ e dans un c ne dont l angle au sommet vaut 94 2x47 Cela ne fait que 16 de la sph re c leste le calcul est fait la page 32 Il reste donc 84 repr senter Partie du ciel visible Equateur Partie du ciel invisible Partie du ciel visible depuis la latitude de 47 nord Si vous habitez au P le Nord seul l h misph re c leste nord vous sera accessible A l quateur vous pourrez voir toute la sph re c leste On peut montrer que pour un habitant de l h misph re nord situ la latitude les toiles visibles sont celles qui sont situ es une d clinaison sup rieure 90 26 Plus on descend vers le sud plus la partie visible de la sph re c leste est importante et plus il est difficile de la repr senter plat avec un minimum2. quateur a des coordonn es de la forme x r cost y r sin t z 0 t variant de 0 360 xOy est le plan de l quateur x est le point vernal On passe du cercle quateur au cercle horizon sur la sph re c leste par une rotation d angle 90 autour de Ox tant la latitude voir aussi la figure du bas de la page pr c dente Les formules de rotation donnent pour les coordonn es de M image de M et donc point du cercle horizon X r Cost y rsintsin z r sin t cos On en tire les relations suivantes avec les coordonn es quatoriales de M tan Q y x tan t sin sin z r sin t cos On d termine ainsi et Equateur On applique ensuite les formules de l encadr pr c dent 0 o et r r x 1 6 90 et on trouve les coordonn es du point projet En faisant varier t de 0 360 on obtient autant de points que l on veut pour la projection de l horizon 28 Principe de la carte tournante Une carte tournante permet de conna tre le ciel visible un jour donn une heure donn e Pour cela on projette les toiles et l horizon sur le plan de l quateur voir la figure du bas de la page 27 Les toiles sont fixes dans ce plan Quand la Terre tourne sur elle m me le cercle horizon projet tourne autour de la Polaire On peut aussi consid rer que l horizon est fixe et que le ciel tourne autour de la Polaire cela revient exactement au m me Les de
3. de d for mation La carte tournante propos e la fin de cet article est utilisable entre 42 et 52 de latitude nord Il est beaucoup plus difficile de concevoir une carte pour les Antilles ou la R union quateur 0 100 P le Nord 90 50 Pourcentage de la sph re c leste visible depuis un lieu donn Quelques projections utilis es Le plus simple est de projeter sur le plan de l quateur La projection st r ographique d j d crite par Ptol m e a beaucoup t utilis e en particulier pour les astrolabes P le Nord c leste P le sud c leste Projection st r ographique partir du P le Sud sur le plan de l quateur en vert Elle a deux principaux avantages elle transforme tout cercle de la sph re c leste en un cercle ou ventuellement une droite ce qui est plus facile tracer CC n 125 printemps 2009 et surtout elle conserve les angles c est ce qu on appelle une projection conforme Ainsi les constellations conservent leur forme Son principal inconv nient plus on s loigne du P le Nord plus l image d une constellation est agrandie dans une projection classique partir du P le Sud Et les cartes deviennent vite tr s grandes Re gt Carte du ciel en projection st r ographigue en vue du P le Sud ainsi les constellations apparaissent dans le sens o on les voit et non invers es Le Sagittaire droite a la m me forme que dans le c
4. 47 Su A S Aire de la partie non visible de la sph re c leste en bleu A 2rh 27 1 cos 47 Aire de la partie visible l aire de la sph re est 47 4r A 27 1 cos 47 En fraction de la sph re c leste on divise par 47 cose oroia ti 32 Formule de la projection st r ographique La relation angle inscrit i angle au centre donne B 90 45 _ E 2 2 P E ZZ et comme tan B e on obtient P E r an 45 5 7 2 S Formule de la projection quidistante La proportionnalit entre le rayon et le compl men taire de la d clinaison s crit en ce qui donne a 1 2 90 8 90 90 CC n 125 printemps 2009
5. c O est situ e celle de Cassiop e 2 Placer la constellation d Orion au sud CC n 125 printemps 2009 quelle date peut on voir Orion au sud 20 h Peut on voir en juin la constellation d Orion Tourner la carte du ciel La Grande Ourse peut elle tre sous l horizon Orion peut il tre sous l horizon R gler la carte pour le ler juin 20 heures O est situ le Soleil Peut on voir la Grande Ourse quelle heure se l ve le Soleil le ler juin quelle heure se l ve t 1l le ler d cembre OV Sa SS Aa FDS SFD Dans quelle constellation est le Soleil le ler juillet R ponses aux questions 1 a Arcturus est bien au sud l pi est au sud l g rement ouest il est 22 heures en heure solaire mais approximativement minuit la montre b L Aigle est l est 1l vient de se lever c Cassiop e est au nord 2 a En f vrier b Non car le Soleil celui qui est marqu 1 06 est juste c t dans la constellation du Taureau Quand Orion est lev le Soleil l est aussi il fait jour et on ne peut pas voir les toiles 3 a Non la Grande Ourse est toujours visible la nuit On dit qu elle est circumpolaire b Oui En septembre par exemple Orion est sous l horizon le soir et visible le matin 4 a Le Soleil marqu 1 06 est l horizon nord ouest Il vient de se coucher Il est 20 h au Soleil mais approximativement 22 h sur la montre b Non
6. car il fait encore jour le Soleil vient peine de se coucher 5 a Environ 4 h du matin 6 h sa montre On tourne la carte jusqu ce que le Soleil du ler juin se trouve l horizon c t est On lit ensuite l heure en face de la date du 1er juin b Un peu avant h en heure solaire 6 Dans la constellation des G meaux Pour les astrologues 1l est dans le signe du Cancer Le ciel des astrologues fix il y a 2000 ans ne correspond plus aux positions des toiles Bonnes observations Pierre Causeret Des cartes seront t l chargeables partir du site du CLEA Voir sommaire du CC n 125 29 Carte tournante du ciel Partie 1 e Fr P l s l TRS or EE 7 Die h Z EA gt l ea ie Z Ale Polaire e g ss ae Ld l ee ET Construction 1 D couper la carte du ciel partie 1 et percer le centre l emplacement de la croix proximit de PR ase l toile Polaire du ciel 2 D couper la partie 2 D couper soigneusement la fen tre en suivant le trait correspondant votre latitude s 3 Marquer le pli l aide d une r gle et d un n couteau par exemple Fe 4 Percer au niveau de la croix au milieu du i SR PT 2 5 A l aide d une attache parisienne ou d un bouton pression fixer la carte sur la partie 2 6 Ajouter du ruban adh sif pour maintenir ensemble les deux moti s de la pa
7. iel mais il est trop grand compar Cassiop e ou au Bouvier par exemple Pour que les cartes gardent une taille raisonnable on modifie la projection pour que la distance sur la carte d une toile la Polaire soit proportionnelle l angle qui les s pare sur la vo te c leste C est ce qu on appelle une projection azimutale quidistante Son principal inconv nient est que les constellations loign es de la Polaire sont fortement d form es elles apparaissent largies en ascension droite SN Carte du ciel en projection azimutale quidistante Le Sagittaire droite est compl tement d form ici CC n 125 printemps 2009 Les formules tous les angles sont en degr s Soit une toile E d ascension droite amp et de d clinaison en degr s On appelle E l toile projet e voir la figure en bas de la page pr c dente Les coordonn es polaires de E sont r la distance P E et 6 l angle que fait P y avec P E y d signant le point vernal En projection st r ographique 6 et r r x tan 45 2 En projection quidistante 0 o et r r x 1 60 90 Te est le rayon de l quateur sur la carte Les formules sont explicit es p 32 Que peut on noter sur une carte du ciel En plus des toiles et des traits les reliant pour former les ast rismes on trace habituellement l quateur et l cliptique Il est possible de noter les positions du Soleil intervalles r g
8. isation de la carte du ciel Placer la date en face de l heure Mettre la carte au dessus de sa t te on voit alors le ciel visible ce jour l cette heure l Attention les heures sont les heures au Soleil Dans le mode d emploi au dos de la carte il est pr cis qu il faut retrancher 2 heures ou 1 en heure d hiver l heure de la montre Pour tre exact 1l faudrait aussi tenir compte du d calage en longitude avec Greenwich et de l quation du temps Mais pour l utilisation que l on en fait cette petite erreur a peu d importance Quand on regarde la carte on voit le nord en haut et l ouest droite Certaines personnes croient qu il y a une erreur Mais ce n est pas une carte terrestre vue du dessus mais une carte du ciel vu de dessous ce qui inverse les points cardinaux Quelques remarques sur la carte du ciel Les noms en minuscule sont des noms d toiles les noms en majuscule sont des noms de constella tions La position du Soleil est not e pour le 1er et le 15 de chaque mois Les graduations ext rieures correspondent au ler 8 15 et 22 de chaque mois Un questionnaire Ce questionnaire avait t r alis pour le stand du CLEA au salon des jeux math matiques St Sulpice Paris Il est tr s sommaire mais peut vous donner des id es 1 R gler la carte pour le ler juin 22 heures a Quelle toile brillante voit on au sud b O est situ e la constellation de l Aigle
9. rtie 2 sans emp cher la carte de tourner La carte termin e 30 CC n 125 printemps 2009 Partie 2 Pli CC n 125 printemps 2009 q S 3 a Carte tournante 2a du ciel Fen tre d couper JIsoype ueqni ruban adh sif n o13se e j2 dyy s wouonsy 32 siueuBi su3 uosie 1 p WoD JISaype ueqni ruban adh sif enbndipe eqino2 oUBI SUN ins SENS s piA S2 2182 sIou nbey op GT 2 3 JT 2 Jnod eajou 352 I210S np uonisod e7 SUol e 81SU09 p suuou s p 1uos s jn snfew ue SUOU Se S2 10 9 Pp SUIOU s p Juos s no5snuliui u swou s 81 np 23189 siou nbeu2 p ZZ 2 3e ST 8 e 127 3u nbipui sen s 1 2 eP US SUONenpel e ys no SISA 9A19SqO uo puenb seq Us 3s no pns 2 SISA A4 sqo uo puenb seq us pns o Aue eld Us qu ul e311 A PL p 11u33 p enbeid snid 359 II eJ 21no 21399 B eJ INO 22 l q s A 812 2 S10 E oA uo 232 ES Ep snss p ne L p 210 239 u u Z 32 J8AIU US aJjuoU ej ep in u 8 U T J A Uu I210S ne in u p 22 u 1ep L 192e d lo dui p POW lt Pli 31 Compl ments Calcul du pourcentage de la partie visible de la sph re c leste une latitude de 47 La surface d une calotte sph rique est donn e par la formule 27Rh o h est la fl che de la calotte En prenant 1 comme rayon de la sph re OH cos 47 HS 1 cos
10. uliers sur cet cliptique C est ce que J ai fait sur la carte propos e la fin de cet article On peut aussi graduer l clip tique en dates Mais on ne peut videmment pas y placer les plan tes du grec plan t s errant elles changent continuellement de place Sur les astrolabes on avait aussi l habitude de tracer les tropiques sous la forme de deux cercles tangents l cliptique La fen tre horizon L horizon d un observateur quelconque est aussi un grand cercle de la sph re c leste Celui ci d pend de la latitude de l observateur et il se d place sur la sph re c leste au cours de la rotation de la Terre La Terre avec un observateur 47 de latitude nord la sph re c leste l quateur c leste en vert et l horizon de l observateur en blanc 27 Si on projette ce cercle horizon sur le plan qua torial en projection st r ographique on obtiendra encore un cercle C est ce que l on trouve sur les tympans des astrolabes En projection quidistante on trouve une forme ressemblant vaguement un ovale NN Etoile Polaire Horizons en projection quidistante pour diff rentes latitudes Le cercle quateur correspond l horizon du P le Nord Plus on s approche de l quateur plus la forme de l horizon est allong e Une m thode pour calculer la forme de l horizon tous les angles sont en degr s L horizon projet doit tre trac point par point Un point M du cercle
11. ux types de cartes tournantes existent Sur certaines l horizon est dessin sur un transparent qui tourne Sur d autres l horizon est d coup dans un cache et ce sont les toiles qui tournent Dans les deux cas le centre de rotation est le P le Nord c leste donc peu de choses pr s l toile Polaire Carte horizon fixe et ciel qui tourne Carte toiles fixes et horizon tournant Le r glage de la carte doit se faire en fonction de l heure et de la date Sur le sch ma suivant on a not les m ridiens terrestres toutes les deux heures M d signe le m ridien de minuit l oppos du Soleil On peut v rifier que le ciel visible le 21 d cembre minuit par le personnage est le m me que le ciel visible le 21 janvier 22 heures ou le 21 f vrier 20 h Si on avance d un mois et on recule de deux heures on retrouve approximativement le m me ciel 21 3 18h Le ciel du 21 12 0 h est le m me que le ciel du 21 01 22 h ou que celui du 21 02 20 h CC n 125 printemps 2009 Fobrication Pour r aliser la carte propos e 1l vous suffit de photocopier les deux pages suivantes sur papier pais ou sur bristol Si vous pr f rez la couleur ou si vous voulez un horizon tournant sur transparent d autres mod les pr ts tre imprim s sont disponibles sur le site du CLEA Il faudra pr voir une paire de ciseaux une attache parisienne ou un bouton pression et du ruban adh sif Util
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