Simulations de Monte Carlo en finance : Pricer d
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1. sa mat rite son prix d exercice la fr quence des observations li e donc au pas de l valuation Enfin les param tres de simulation le nombre de simulations intervenant dans la m thode de Monte Carlo la simulation de la loi normale algorithme d Acklam ou utilisation de la fonction d Excel la technique de r duction de variance 4 2 Les outputs qui nous donnent les r sultats Les Outputs ou sorties du programme sont le prix final de l option d achat l erreur calcul e sous forme d cart type associ e la simulation un graphe de convergence du prix de l option suivant les m thodes utilis es 4 3 Les commandes Les commandes dont se sert l utilisateur pour effectuer le calcul sont repr sent es par les boutons de l interface Excel Ainsi le bouton intitul Pricer permet de lancer la macro VBA qui effectue tous les calculs 5 Fonctionnalit s du programme 5 1 Les possibilit s en bref 5 1 1 Les diff rents types d option Notre programme permet de pricer trois types d option il s agit des suivantes option vanille l option asiatique l option lookback 5 1 2 Les deux techniques de reduction de variance Il est galement possible d obtenir des r sultats plus pr cis gr ce aux techniques de reduction de la va riance En effet l intervalle de confiance du prix de l option est plus troit ce qui permet de minimis2. les M M autres on simule Y cv de variance plus petite que Y Reste savoir comment choisir C Cela d pend du payoff Cas des options Vanilla Le payoff a l expression actualis Y el rT f Sr Sous les hypoth ses de march s complets S est une martingale dans le cas o il n y a pas de versement de dividende Un choix de variable de contr le naturel est alors C Sp Sp On a bien E C 0 Le coefficient optimal vaut alors B Cov e rT f Sr Sr Var ST On notera que la m thode est d autant plus efficace que Y et C sont corr l s Cas de l option asiatique Le payoff a l expression suivante pas Moyennegritn K De mani re g n rale les moyennes g om triques sont de tr s bonne variables de contr le pour les moyennes arithmetiques Ici on peut d montrer qu un choix judicieux pour la variable de contr le est C el rT PI _ E el rT P2 Cette variable de contr le est d autant plus satisfaisante que o et r sont petits On utilsera le fait que E el rT P2 est explicite dans le mod le de Black et Scholes 3 R sultats 3 1 Comparaison des prix des diff rentes options 3 1 1 Comparaison des options entre elles Les r sultats concernant les prix des diff rentes options d achat sont logiques En effet si nous classons ces options de la moins ch re la plus ch re nous avons en premier l option vanille suivi de l option asiatique et enfin de l option lookb
3. so 4 44 4 4 5 2 a ae ue sue gun a ee a G 5 1 1 Les diff rents types d option 5 1 2 Les deux techniques de r duction de variance 5 2 Des contraintes donc des limites 6 Bibliographie 1 Introduction L objectif de ce projet est de developper un pricer d option Nous avons choisi le langage VBA pour des soucis d applications futures Une des probl matiques importantes des simulations de Monte Carlo r side dans la g n ration des nombres al atoires Nous avons pour cela utilis le g n rateur int gr Excel il n est pas trop mauvais car notre souci se positionnait plus du c t des techniques de r duction de variance et de leur impact 2 Un pas dans la th orie 2 1 Simulation de la loi normale Nous avons tabli en cours que la m thode d inversion de la fonction de r partition permet de r duire consid rablement le biais induit par l algorithme d excel ce qui se r v le tr s utile pour les applications financi res C est pourquoi nous avons impl ment notre propre fonction d inverse gaussienne utilisant l al gorithme d Acklam Il consiste approcher l inverse d une gaussienne sur 0 0 5 en modelisant celle ci par une fraction ration nelle l inverse sur 0 5 1 est d duit par sym trie Soit u une variable al atoire Si 0 02425 lt u lt 0 5 q u 1 2 et r q A 37 2 p 1 x a xr 2 T
4. technique mais nous d sirions la men tionner et l expliquer bri vement car nous l avons trouv int ressante lorsque nous nous sommes document s Formellement une variable de contr le d sign e par cv doit tre corr l e positivement avec V la valeur de l actif contingent que nous voulons estimer Cependant E cv doit tre gal zero Construisons le portefeuille suivant V o V est le prix de l actif contingent que nous voulons valuer V V Bev e V est assimilable un portefeuille couvert au sein duquel cv sert d instrument de couverture pour V Mais cette couverture est imparfaite c est pourquoi l quation comporte un terme d erreur e Ainsi plut t que de simuler directement la valeur de V nous simulons la valeur de V pour calculer celle de V Nous avons E V E V car E cv 0 par hypoth se Nous pouvons par cons quent approcher la valeur de V en recourant au portefeuille V La variance de V 2 2 22 260V cv B 06 Etant donn que l utilisation de cv est cens e r duire la variance de la simulation nous cherchons le 6 qui minimise ou En d rivant la derni re quation par rapport et en l annulant on obtient En pratique on ne conna t pas ov E CY eto E CtC mais on peut l valuer par la m thode de Monte Carlo On proc de gr ce un algorithme adaptatif avec au total M simulations Avec les M premi res on valuele B optimal Avec
5. Emma Alfonsi Xavier Milhaud M2R SAF Simulations de Monte Carlo en finance Pricer d option Sous la direction de M Pierre Alain Patard ISFA Mars 2008 Table des matieres 1 Introduction 2 Un pas dans la theorie 2 1 Simulation de la loi normale 2 2 R duction de la variance 4 2 ou a a h 4808 ee 2 2 1 Technique des variables antith tiques 2 2 2 Technique des variables de contr le 3 R sultats 3 1 Comparaison des prix des diff rentes options 3 1 1 Comparaison des options entre elles 3 1 2 Augmentation du nombre de simulations 3 1 3 Augmentation du nombre de pas dans la simulation 3 2 Convergence et pr cision du r sultat final 3 2 1 Comparaison sans et avec la m thode de r duction de la variance 3 2 2 R sultats graphiques associ s 3 3 Conclusions et remarques sur ces r sultats 4 Manuel d utilisateur 4 1 Les input que l utilisateur doit entrer 4 2 Les outputs qui nous donnent les r sultats 43 Les command s a zur ey ame pen ne Howe PY Le ee nd dd DE aise ie oe Ys 5 Fonctionnalit s du programme 5 1 Les possibilit s en bref 4
6. ack Ce classement se comprend de par le type m me des payoff associ s ces diff rentes options Ainsi les options offrant le plus d avantages ou tout simplement moins risqu es co tent plus ch res 3 1 2 Augmentation du nombre de simulations La simulation par la methode de Monte Carlo n cessite un grand nombre de simulation pour tre perti nente L id e de cette methode de simulation s appuie sur la loi des grands nombres cependant les r sultats ne sont donc valables qu partir d un certain nombre de simulations C est pourquoi nous observons une conver gence beaucoup plus pr cise et quasiment identique chaque calcul lorsque le nombre de simulations devient grand Evidemment la pr cision apport e par ce grand nombre de simulations augmente le temps de calcul il y a donc un juste milieu trouver si nous nous trouvons sur le march ou nous devons tre tr s r actifs 3 1 3 Augmentation du nombre de pas dans la simulation Le nombre de pas du calcul jusqu l ch ance de l option intervient galement comme facteur de conver gence Ainsi nous remarquons que plus le nombre de pas augmente plus le r sultat converge rapidement En revanche les temps de calcul sont allong s ce qui est logique puisqu il y a plus d op rations 3 2 Convergence et pr cision du r sultat final 3 2 1 Comparaison sans et avec la m thode de r duction de la variance Les techniques de r duction de variance permettent d obtenir une c
7. ager taaxr a5 r ag q by r bo r4 b3 r3 baxr2 bsxr 1 Si 0 lt u lt 0 02425 q f 2 In u p 1 C1 q c2 q c3 q3 c4 q 4 e5 qH c6 5 d1 q d2 q3 d3 q2 d4 q 1 Nous obtenons finalement l quivalent de la fonction d Excel qui simule directement une loi normale centr e r duite Nous appliquerons donc dans notre projet les deux m thodes de simulation de cette loi au choix de l utilisateur depuis l interface 2 2 R duction de la variance 2 2 1 Technique des variables antith tiques La technique des variables antith tiques est parmi la panoplie des techniques de r duction de la variance la plus simple D finissons des variables al atoires dites antith tiques oppos es dont la corr lation est de 1 C est dire que pour chaque sc nario du cours de l action nous aurons les deux quations suivantes o e suit une loi normale 2 Stra S e r 0 50 At oevV At 2 SAY S e r 0 50 At cev At La m me variable al atoire est d abord introduite avec un signe positif pour calculer S puis avec un signe n gatif Il en r sulte une corr lation de 1 entre les deux mouvements browniens ce qui acc l re pour un nombre d iterations donn la convergence vers le vrai prix de l option 2 2 2 Technique des variables de contr le C est une autre m thode pour r duire l cart type d une simulation de Monte Carlo Nous n avons malheureusement pas eu le temps d impl menter cette
8. avec r duction de variance 6 Simulation Monte Carlo Simulation Monte Carlo Su atan Flanke Carla mukan Plante Carla 171 256 341 426 511 596 681 766 51 916 Nous remarquons que le prix de l option dans le second cas semble se stabiliser aux alentours des 256 simulations tandis que sans la r duction de variance il faudrait plutot environ 500 simulations pour arriver au m me r sultat Nous voyons donc tout l int r t de cette technique 3 3 Conclusions et remarques sur ces r sultats Finalement il apparait vident que la technique de reduction de variance permet de converger beaucoup plus vite vers le prix final de l option Elle peut donc se r v ler interessante dans la pratique car elle offre des r sultats plus pr cis D un point de vue general ce projet a t une excellente premiere formation au langage VBA qui devrait nous servir en priorit dans notre travail Le sujet tait interessant et nous a permis de d couvrir de nouvelles techniques une mani re de proc der l valuation des options Monte Carlo dont nous avions entendu parler mais que nous n avions jamais impl ment Ce fut donc une experience enrichissante 4 Manuel d utilisateur 4 1 Les input que l utilisateur doit entrer Les Inputs du pricer sont les param tres de march directement observables i e le cours spot le taux sans rsique la volatilit du sous jacent Puis nous avons aussi le type d option
9. er l erreur Une technique dite de variables antithetiques a t impl ment e dans notre programme L utilisa teur peut galement choisir de simuler manuellement fonction Acklam la loi normale intervenant dans la simulation du mouvement brownien g om trique 5 2 Des contraintes donc des limites Des contraintes de depassement de capacit viennent perturber quelques fois les simulations surtout lorsque le nombre de simulations est tr s important Ces contraintes sont en g n ral intimement li es l utilisation du langage VBA qui certes pr sente un avantage de simplicit et de convivialit avec une interface graphique mais qui est nettement moins robuste qu un langage comme le C A titre d exemple une feuille Excel ne contient qu environ 65 000 lignes une simulation de Monte Carlo plus de 65 000 r alisations est donc impossible visualiser graphiquement car nous tra ons le graphe apr s avoir crit les r sultats dans la feuille Excel 6 Bibliographie Nous vous pr sentons les principales sources bibliographiques que nous avons utilis afin de mener bien ce projet La simulation de Monte Carlo forces et faiblesses ESG Qu bec Montr al F E Racicot et R Theor t Techniques de r duction de variance et estimation Finance Quantitative Paris Universit Dauphine Principes et m thodes statistiques Olivier Gaudoin Wikipedia internet
10. onvergence plus rapide et meilleure vers ce que l on pourrait penser tre la valeur th orique de l option Il n est donc pas tonnant de constater ce r sultat de mani re pratique m me si nous avons remarqu que ces observations sont toutefois nuancer dans notre cadre De fait nous avons distingu une diff rence dans nos r sultats mais qui n tait pas toujours flagrante et qui n cessite galement plus de temps de calcul Pour donner des r sultats num riques titre de comparaison la section suivante propose de visualiser sur un graphe la vitesse de convergence du prix de l option 3 2 2 R sultats graphiques associ s Nous nous sommes demand s s il tait vraiment pertinent d utiliser la technique de r duction Aussi les graphiques suivants reprennent une des nombreuses simulations effectu es Nous ne tra ons pas les convergences de prix avec et sans r duction de variance sur le m me grapjique car nous avons pr f r laisser le choix l utilisateur de s lectionner sa m thode plutot que de syst matiquement tracer les deux Pour des soucis de pr sentation nous avons t oblig s de tracer les graphes en allant que jusqu 1000 simulations afin de visualiser la convergence Autrement le graphique tait trop compress et l on n y voyait rien Le graphique ci dessous repr sente la convergence du prix de l option sans la r duction de variance Tandis que ce second graphique de convergence est issu d une simulation
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