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Analyse des pratiques enseignantes

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1. L organisation math matique d terminer OMaiv est a priori une organisation locale et non pas ponctuelle qui peut donc contenir plusieurs types de t ches Faute de place on ne consid rera ici que le type de t ches math matiques suivant To tant donn deux entiers relatifs a et b b gt 0 calculer le quotient q de la division de a par b Le but de l tude serait alors de pr ciser une technique Tq pour accomplir les t ches du type Tq ce qu on ne fera ici que sur un point particulier L observation de OMaiy dans la litt rature des manuels anciens fait en effet rencontrer une remarque aujourd hui si oubli e qu elle en para t d abord peu cr dible et sur laquelle on s arr tera un instant Un premier ouvrage indique ainsi Albert Millet Arithm tique enseignement primaire sup rieur Hachette 1923 p 84 Th or me Pour diviser un nombre par un produit de plusieurs facteurs il suffit si les divisions se font exactement de diviser ce nombre par le premier facteur le quotient obtenu par le second et ainsi de suite jusqu au dernier facteur Le dernier quotient obtenu est le quotient cherch REMARQUE Ce th or me s applique aux divisions avec reste Nous l admettrons sans d monstration Ainsi 517 5 x 7 x 4 peut s obtenir en divisant 517 par 5 soit 103 103 par 7 soit 14 14 par 4 soit 3 Le quotient de 517 par 5 x 7 x 4 soit 140 est 3 D autres auteurs et
2. tudier la question not e g n riquement Tr d une technique propre permettre d accomplir les t ches te T et plus compl tement d une prax ologie correspondante La question Tr Comment accomplir les t ches du type T appara t alors comme g n ratrice de la prax ologie Or T r 0 6 re construire L existence de cette universit d t montre ainsi qu un certain nombre de personnes ont d cid d y tudier et d y faire tudier nouveaux frais la question tr relative un type de t ches T dont le libell peut tre Analyser les pratiques enseignantes Ce libell qui donne son titre l universit d t renvoie implicitement une probl matique plus large qu on exprimera ici par un sch ma g n rique articulant quatre grands types de t ches tant donn un objet o relatif aux pratiques enseignantes il s agira en effet d abord d observer l objet o Ti puis de d crire amp analyser l objet o T2 ensuite d valuer l objet o T3 enfin de d velopper l objet o T4 Bien entendu ces types de t ches qui se d finissent par r f rence certains genres de t ches observer d crire amp analyser valuer d velopper eux m mes plus ou moins bien d finis dans la culture commune que signifie d velopper par exemple restent largement construire solidairement avec les autres composants techniques technologiques th oriques des prax ologies
3. un objet culturellement et didactiquement second que l on souhaite promouvoir 2 Cela not que sont les formes possibles de la premi re rencontre Lorsqu elle est express ment organis e il semble que celle ci ne puisse gu re proc der que de deux grandes formes dont les multiples combinaisons dans leurs variantes d velopp es ou au contraire d grad es puiseraient alors l espace des possibles D un c t la premi re rencontre peut s inscrire dans une probl matique culturelle mim tique En ce cas par le truchement d un r cit ayant valeur de compte rendu d enqu te sur le monde l objet rencontr appara t d abord comme existant par ailleurs en certaines pratiques sociales Ce sous moment culturel o l objet n existe encore qu en effigie de sorte que l tudiant n a avec lui que des rapports fictifs est suivi d un sous moment mim tique o par la manipulation effective de l objet l tudiant est cens imiter le praticien en jouant par exemple au math maticien au g ographe au critique litt raire etc 3 Dans sa version la plus exigeante la rencontre culturelle mim tique conduit en principe rechercher et expliciter sur le mode discursif les raisons d tre de l objet ainsi rencontr c est dire les motifs pour lesquels cet objet a t construit ou pour lesquels du moins il persiste dans la culture Mais les raisons des chose
4. Comment conduire l tude exploratoire d un type de t ches donn Comment mener bien l institutionnalisation Comment r aliser le moment de l valuation Autant de questions qui se posent au professeur et auxquelles on r pondra provisoirement par une formule g n rique en cr ant des situations didactiques ad quates Cette exigence que l on ne fera ici que rep rer est en fait d autant plus complexe que le professeur est tout la fois le metteur en sc ne et l acteur de situations didactiques dont le plus souvent il est en outre le concepteur Le on 3 valuer d velopper quelques remarques 1 valuer 1 1 Un sch ma universel un geste fondamental En nombre de situations nous sommes amen s op rer selon le sch ma quatre temps T gt T2z gt T3 T4 indiqu plus haut Face quelque obligation d agir en effet nous commen ons en g n ral par observer et analyser T amp Tz la mani re de faire de quelque autrui Et eux qu est ce qu ils font Comment ils font exactement Puis nous valuons ce qu observation et analyse auront ainsi r v l Qu est ce que a vaut tout a finalement avant de d velopper notre propre solution en essayant d am liorer sur certains points jug s n gativement la solution observ e Ainsi en va t il tr s banalement de n importe quel professeur chaque fois que remettant son ouvrage sur le m tier il s
5. l ves lorsqu ils demandent au professeur propos de tel r sultat ou de tel proc d s il faut ou non le savoir O Les autres moments de l tude en effet ne livrent encore qu une organisation math matique en chantier o l ouvrage fait voulu pour durer se m le n cessairement aux reliefs d une construction labor e par essais retouches arr ts et reprises Or ce qui m rite de durer ce qui vaut d tre p rennis ne s impose nullement de soi m me coup s r Tel exemple dont l examen a bien servi le projet de construction en r v lant des perspectives a priori insoup onn es tel tat de telle technique que l on aura mis longtemps d passer tel th or me en lui m me insuffisant mais qui fut le premier r sultat d montr seront ils int gr s l organisation math matique d finitive ou bien les cartera t on Le moment de l institutionnalisation c est donc d abord celui o dans la construction brute qui peu peu a merg de l tude vont tre s par s par un mouvement qui engage l avenir le math matiquement n cessaire qui sera conserv et le math matiquement contingent qui bient t sera oubli En ce sous moment d officialisation une prax ologie math matique d sormais coup e de l histoire singuli re qui l a port e l existence fait son entr e dans la culture de l institution qui en a h berg la gen se Il
6. taiv D crire amp analyser l organisation didactique ODaiv 20Mx qui peut tre mise en uvre dans une classe o l on tudie le th me de la division des entiers Le travail requis est en fait ce qui grosso modo peut tre attendu d un candidat au CAPES de math matiques lors de l expos sur un th me donn premi re preuve orale d admission dont au concours 1997 le sujet 08 tait pr cis ment libell Division euclidienne dans Z unicit du quotient et du reste Applications l arithm tique Le r sultat technologique principal de OMxi est videmment le suivant 65 Th or me amp d finition tant donn deux entiers relatifs a et b b gt 0 il existe un couple et un seul d entiers relatifs q et r tels que a bq r 0 lt r lt b Les nombres a et b s appellent respectivement le dividende et le diviseur les nombres q et r le quotient et le reste de la division de a par b On s assure ais ment que l assertion pr c dente quivaut la suivante 85 Th or me amp d finition tant donn deux entiers relatifs a et b b gt 0 il existe un et un seul entier relatif q tel que bq lt a lt b g 1 Le nombre q s appelle le quotient de la division de a par b On appelle reste de cette division l entier r a bgq Cet nonc technologique n est en fait que la conclusion d un discours technologique plus vaste qui le justifie ou comme on dit en math matiq
7. celui de l valuation la n cessit quasi vitale de juger Devant cette n cessit l important est alors de se souvenir que l activit d valuation est toujours et n cessairement relative La valeur reconnue un objet n est en effet nullement intrins que absolue parce que l attribution de valeur se r f re toujours implicitement ou non un certain usage social de l objet valu on value toujours d un certain point de vue Comme l indique un dictionnaire de psychologie en langue anglaise la valeur est The quality or property of a thing that makes it useful desired or esteemed L auteur ajoute alors Note the pragmatic aspect implied by this definition the value of a thing is given by its role in a social transaction the thing itself does not possess value Arthur S Reber The Penguin Dictionary of Psychology Penguin Books 1985 C est dans cette perspective que l on se situera ci apr s propos du probl me plus sp cifique de l valuation dans une classe 7 par un l ve x ou un professeur y ou un observateur z d un objet o qui sera une organisation math matique OMe ou une organisation didactique ODe associ es un certain th me d tude math matique 6 Pour simplifier et clarifier le propos on se limitera toutefois consid rer le cas de l valuation a priori par un professeur y d organisations math matique et didactique OMe et OD6 pr alablement
8. cue au quotidien dans l institution jusqu la scolarisation en une institution scolaire associ e des contraintes s imposent qui d un m me mouvement vont permettre voire imposer certains types de prax ologies didactiques et en interdire d autres tandis que m me dans le cadre de la skhol m me dans le cadre de l cole de la R publique laquelle on restreindra d sormais l emploi de l adjectif scolaire certaines pratiques didactiques n es resteront viables et vivantes sans toutefois tre assum es comme telles Chaque institution chaque institution didactique notamment d finit ainsi en acte au moins n gativement sa propre notion d tude De l que cette notion ne puisse tre d finie de mani re intrins que universelle absolue au del de cette d finition minimaliste selon laquelle il y a tude lorsqu il y a soin application attention l endroit de quelque r alit probl matique la r alit tudi e 1 3 tudier une uvre tudier une question du type tr o T est un certain type de t ches cela conduit comme il en va en principe dans le monde savant cr er une r ponse c est dire laborer une organisation prax ologique O T t 8 O in dite Mais dans le monde ordinaire de la skhol tudier une question c est presque toujours recr er pour soi et ses compagnons d tude une r ponse O d j produite en quelque autre
9. l on tudie le th me 8 T21 d crire amp analyser l organisation didactique OD qui peut tre mise en uvre dans une classe de math matiques o l on tudie le th me 8 7 Chacun des trois groupes de travail X1 gt visites d atelier amp TD travaillera sur un th me 9 diff rent qui restera pour chacun le m me au long des trois journ es d tude afin de permettre au groupe un travail plus approfondi pour gt Michel Jullien amp Jacques Tonnelle 6 critures fractionnaires pour X Mich le Artaud amp Robert Noirfalise 8 Nombres relatifs pour Y3 Gis le Cirade amp Yves Matheron 83 quations du 1 degr et mod lisation alg brique 3 3 Analyser une organisation math matique L objet de cette premi re journ e est de construire o du moins d baucher partir des l ments th orico technologiques introduits jusqu ici une technique T2 de description et d analyse d une organisation math matique OMe titre d introduction on consid re ci apr s un sp cimen simple du type de t ches T1 en choisissant le th me 6 div de la division des entiers taiv D crire amp analyser l organisation OMx qui peut se construire dans une classe o l on tudie le th me de la division des entiers Une telle t che doit tre soigneusement distingu e de la t che not e fav de description et d analyse de l organisation didactique correspondante
10. m me de toute activit humaine v le on 3 L op ration d valuation doit tre entendue aussi en un sens plus large derri re l valuation toute classique 22 des rapports personnels c est dire derri re l valuation des personnes se profile l valuation de la norme elle m me le rapport institutionnel qui sert d talon Que vaut en fait l organisation math matique qui s est construite et institutionnalis e Au del de l interrogation sur la ma trise par telle personne de telle technique on trouve alors l interrogation sur la technique elle m me est elle puissante maniable s re robuste aussi Cette valuation laquelle les usages scolaires font il est vrai une fort petite part est ici formatrice non d une personne mais d une prax ologie ce titre elle participe de l institutionnalisation R formatrice elle relancera l tude suscitera la reprise de tel ou tel moment et peut tre de l ensemble du parcours didactique 2 4 Une remarque technique Le mod le des moments de l tude a pour le professeur deux grands types d emplois Tout d abord il constitue une grille pour l analyse des processus didactiques Ensuite il permet de poser clairement le probl me de la r alisation des diff rents moments de l tude Comment par exemple r aliser concr tement la premi re rencontre avec telle organisation math matique Avec tel type de t ches
11. sentation On admettra d abord comme un fait d observation que dans une institution Z quel que soit le type de t ches T la technique T relative T est toujours accompagn e d au moins un embryon ou plus souvent encore d un vestige de technologie 6 En nombre de cas m me certains l ments technologiques sont int gr s dans la technique Ainsi en va t il traditionnellement en arithm tique l mentaire o le m me petit discours a une double fonction technique et technologique en ce qu il permet tout la fois de trouver le r sultat demand fonction technique et de justifier que c est bien l le r sultat attendu fonction technologique comme lorsqu on dit Si 8 sucettes co tent 10 F 24 sucettes soit 3 fois 8 sucettes co teront 3 fois plus soit 3 fois I0F En outre le fait qu existe dans Z une technique canonique en principe seule reconnue et seule employ e conf re cette technique une vertu autotechnologique faire ainsi n appelle pas ou plus de justification puisque c est la bonne mani re de faire dans Z On notera ensuite qu une deuxi me fonction de la technologie est d expliquer de rendre intelligible d clairer la technique Si la premi re fonction justifier la technique consiste assurer que la technique donne bien ce qui est pr tendu cette deuxi me fonction consiste exposer pourquoi il en est bien ainsi On notera que ces deux fonctions son
12. 2x 1 D 4x 6x 3 2x 5x 3 M me si en effet il deviendra en principe rapidement inutile de recourir l une et l autre technique dans le type de calcul envisag ici la seconde technique en effet est celle l m me qu on emploiera chaque fois qu un calcul deviendra localement trop complexe 1 3 Evaluer des technologies Des remarques analogues aux pr c dentes peuvent tre faites propos du bloc technologico th orique Ainsi tant donn un nonc le probl me de sa justification est il seulement pos Ou bien cet nonc est il consid r tacitement comme 26 allant de soi vident naturel ou encore bien connu folklorique Les formes de justification utilis es sont elles proches des formes canoniques en math matiques Sont elles adapt es leurs conditions d utilisation Les justifications explicatives sont elles favoris es Les r sultats technologiques rendus disponibles sont ils effectivement et optimalement exploit s L encore on donnera quelques exemples O Un r sultat effectivement utilis peut n avoir m me pas fait l objet d une interrogation Ainsi en va t il fr quemment s agissant de l unicit des critures canoniques utilis es par exemple quand on doit crire sous a b e la forme une une expression du type af o a b c d u v E Q et o e e N est un entier non carr c d e parfait L unicit est ici comme en d autres cas p
13. absent m me in praesentia pour laisser l l ve libre de conqu rir une ind pendance que la figure tut laire du professeur rend tout la fois possible et incertaine 2 3 Les moments didactiques Comme toute organisation prax ologique une organisation didactique s articule en types de t ches g n ralement coop ratives en techniques en technologies en th ories Mais comment d crire une telle organisation Quels en sont par exemple les principaux types de t ches On ne saurait s attendre ce que la re construction au cours d un processus d tude d une organisation math matique donn e soit elle m me organis e d une mani re unique Mais on s aper oit pourtant que quel que soit le cheminement de l tude certains types de situations sont n cessairement pr sents m me s ils le sont de mani re tr s variable tant au plan qualitatif qu au plan quantitatif De tels types de situations seront appel s ici moments de l tude ou moments didactiques parce qu on peut dire que quel que soit le cheminement suivi il arrive forc ment un moment o tel ou tel geste d tude devra tre accompli o par exemple l l ve devra fixer les l ments labor s moment de l institutionnalisation o 1l devra se demander ce que vaut ce qui s est construit jusque l moment de l valuation etc La notion de moment ne renvoie qu en apparence la structure temporelle
14. au motif qu il s agit d une uvre ouverte la technologie potentiellement productrice de techniques in dites et qu on ne saurait donc enfermer dans quelques applications d finies a priori Le rapport entre question et r ponse tend ainsi s inverser La r ponse est premi re la question suit Dans l organisation OM le on 1 3 3 ainsi on peut faire figurer ou non un d veloppement relatif aux quotients approch s v ci apr s Selon le cas alors OMui appara tra ou non comme r pondant au sens fort la question Comment d terminer le quotient approch par d faut 10 pr s d un entier a par un entier b Quotients approch s 1 Th or me amp d finition tant donn deux entiers relatifs a et b b gt 0 il existe un unique entier relatif q tel que b Ta lt a lt b L Le d cimal q q 10 est le quotient approch e 10 pr s par d faut de la division de a par b D monstration La double in galit b T lt a lt b Tu quivaut bq lt a 10 lt b q 1 ce qui montre que l entier q est le quotient de la division euclidienne de a 10 par b D o l existence et l unicit de q 2 Remarque Le quotient q de la division euclidienne de a par b qu on appelle aussi quotient entier de a par b est obtenu pour 7 0 on dit que q qo est le quotient de a par b une unit 10 pr s par d faut Le quotient entier est ainsi en g n ral un
15. cas d une classe on parlera ainsi du topos de l l ve et du topos du professeur Ainsi lorsqu une classe de math matiques fait un exercice ce qui est une t che minemment coop rative la sous t che consistant fournir l nonc de l exercice revient g n ralement au professeur elle appartient son topos La t che consistant produire par exemple par crit une solution de l exercice rel ve elle du topos de l l ve tandis que la t che consistant ensuite fournir un corrig ressortit nouveau au topos du professeur Si au cours de la r solution de l exercice un l ve pose une question au professeur il effectue ainsi ce qui est vu ordinairement comme un simple geste appelant un geste homologue de la part du professeur geste qui peut consister quelquefois refuser de r pondre L une des difficult s didactiques les plus ordinaires et les plus pressantes pour un professeur est celle qu il rencontre pour donner une place aux l ves c est dire pour cr er leur intention et propos de chacun des th mes tudi s un topos appropri qui donne l l ve le sentiment d avoir un vrai r le jouer Ainsi dans ce qu on peut appeler l enseignement spectacle que certaines modes p dagogiques ont pu pousser en avant au cours des d cennies coul es les l ves sont sollicit s fr quemment mais n interviennent en g n ral que comme des
16. dont il semble faussement pouvoir faire l conomie Les choses changent quand la personne questionn e ne sait pas r pondre lorsqu elle ne conna t pas la longitude du lieu ou ignore si le nombre 413 312 est irrationnel ou pas etc 11 D s lors une question se pose Qu elle consiste d terminer la longitude ou la nature rationnelle ou non du nombre 413 322 la t che accomplir pour r pondre la question pos e n est plus imm diate Si l on dispose d une prax ologie relative au type de t ches consid r on pourra la mettre en uvre et d une mani re ventuellement routini re ce qui ne signifie pas algorithmique Ainsi un bon l ve de la nouvelle Terminale S pourra t il peut tre crire sans autre fa on n 11n n 3 3 n 12n n n 1 12n n 1 n n 1 12n 6C 12n 6 C 22 ys Mais les choses changent plus encore lorsque la personne interrog e ne dispose d aucune technique pour accomplir la t che demand e qui appara t alors probl matique pour elle La question pos e se mue d s lors en une question au sens fort non plus Quelle est la longitude mais Comment d terminer la longitude non plus Ce nombre est il irrationnel mais Comment d terminer si ce nombre est irrationnel On passe ainsi de la demande d accomplir une t che f au besoin d laborer une technique et plus compl tement toute une prax ologie relativ
17. en serait de m me de nes 1 6 ce qui n est pas 2 Comment d terminer le maximum ou le minimum d une fonction sur un intervalle Il s agit d un tr s grand et tr s ancien probl me tudi autrefois au lyc e sous le nom de questions de maximum et de minimum La technique l mentaire utilis e en l absence de calcul infinit simal se fondait sur le r sultat technologique suivant si x1 X2 x sont des r els gt O0 dont la somme est constante gale a alors le produit x x2 X est maximal lorsque x x2 x aln Ainsi l aire d un rectangle de p rim tre 2p qui s crit xy avec x y p est elle maximale lorsque x y p 2 c est dire lorsque rectangle est un carr De m me l aire d un enclos rectangulaire form l aide d une palissade de longueur et dont l un des c t s est un mur qui s crit xy avec 2x y est maximale en m me temps que l expression 2xy laquelle atteint son maximum lorsque 2x y 4 2 soit pour x 4 et y 4 2 14 L agr gation d uvres ponctuelles en une organisation locale la division des entiers par exemple l enseigne d une commune technologie O voire leur int gration au sein d une organisation r gionale l arithm tique par exemple command e par une m me th orie tend refouler la p riph rie sous le nom d applications les types de t ches qui sont en principe g n rateurs de l uvre
18. habillement parfois seulement par la vanit de la publicit Michel Serres claircissements entretiens avec Bruno Latour Fran ois Bourin Paris 1992 p 72 Cette observation s applique l vidence aux organisations math matiques tel r sultat date de la fin du XvIr si cle tel autre n appara t publiquement qu en 1821 tel autre encore n a t d montr qu en 1965 etc Mais le panachage historique est plus vident encore s agissant du didactique la solution d hier f t elle aujourd hui oubli e sera demain peut tre partiellement reprise dans une combinaison nouvelle novatrice En cons quence les activit s de d veloppement devront en la mati re reposer sur une enqu te qualitativement large aussi bien en diachronie qu en synchronie enqu te laquelle le d veloppement r cent de moyens de communication et d information puissants Internet etc peut donner aujourd hui une nouvelle vigueur Le second principe que l on noncera ici introduit la notion de proche d veloppement en se r f rant pour cela la probl matique cologique constitutive de l approche anthropologique en didactique D une mani re g n rale la probl matique cologique Pourquoi ceci Pourquoi pas cela etc conduit questionner le r el observable pour se d prendre de l vidence du fait tabli v cu comme naturel L illusion de naturalit de l ordre institut
19. n ralit l ensemble du didactique existant dans la soci t et en tout premier lieu l ensemble du didactique scolaire plusieurs gards bien entendu elle poss de des traits sp cifiques qui la distinguent de l tude scolaire d autres disciplines Mais cette opposition reste relative qu est ce qui au vrai est math matique La fronti re est ind cise et en tout cas historiquement volutive Par ailleurs un moment donn les math matiques c est dire les diff rentes organisations math matiques sont elles m mes diverses et par exemple on n tudiera pas l alg bre tout fait comme on tudie la g om trie On parlera donc de l tude de l alg bre de celle de la g om trie ou de la statistique etc En cette descente vers des objets d tude toujours plus sp cifi s l opposition du g n rique et du sp cifique se trouve chaque fois reconduite sans annuler pour autant les 16 oppositions de m me forme rep r es aux niveaux sup rieurs Il y aura ainsi une sp cificit de l tude de tel domaine math matique qui se laissera elle m me d cliner en niveaux plus fins de sp cification et cela jusqu au niveau mol culaire des organisations math matiques ponctuelles constitu es autour d un unique type de t ches Par organisation didactique on entendra donc a priori l ensemble des types de t ches des techniques des technologies etc appel s par l tude con
20. observ es dans la litt rature manuels etc et analys es par y en vue de d velopper des organisations selon son 24 c ur OMg et OD mettre en place dans une classe dont il a la responsabilit 1 2 valuer des types de t ches On se r f re ici une organisation soit ponctuelle de la forme 7 t 8 01 soit locale de la forme 7 1 8 81 Dans tous les cas que le th me d tude impos 6 s identifie un certain type de t ches math matiques T organisation ponctuelle ou qu il renvoie au noyau g n rateur d un bloc technologico th orique organisation locale l valuation s appuiera sur des crit res explicites pr ciser et justifier dont l analyse pr alable devra permettre de dire dans quelle mesure ils sont satisfaits par l organisation math matique valuer En fonction des consid rations pr c dentes et titre d exemples on mentionnera ici la courte liste suivante videmment non exhaustive Crit re d identification Les types de t ches T sont ils clairement d gag s et bien identifi s En particulier sont ils repr sent s par des corpus K effectivement disponibles de sp cimens suffisamment nombreux et ad quatement calibr s Ou au contraire ne sont ils connus que par quelques sp cimens peu repr sentatifs Crit re des raisons d tre Les raisons d tre des types de t ches T sont elles explicit es Ou au contraire ces types de
21. par un individu seul L l ve x X doit apprendre factoriser seul sans l aide d autrui certains types d expressions alg briques calculer par ses propres moyens la somme des fractions etc En revanche il n a pas apprendre seul officiellement il re oit pour cela au moins l aide du professeur y Les t ches didactiques en effet sont dans un certain nombre de contextes coop ratives en ce sens qu elles doivent tre accomplies de concert par plusieurs personnes xi Xn les acteurs de la t che On dira que chacun des acteurs x doit en ce cas effectuer certains gestes dont l ensemble constitue alors son r le dans l accomplissement de la t che coop rative t ces gestes tant la fois diff renci s selon les acteurs et coordonn s entre eux par la technique Tt mise en uvre collectivement Certains de ces gestes seront regard s comme des t ches part enti re t dans l accomplissement desquelles x agira momentan ment en autonomie relative par rapport aux autres acteurs de la t che L ensemble de ces t ches sous ensemble 17 du r le de x lorsque f est accomplie selon T est nomm alors le topos de x dans t Le grec topos qui correspond au latin locus signifie lieu le topos de x c est le lieu de x sa place l endroit o psychologiquement x prouve la sensation de jouer dans l accomplissement de t un r le bien lui Dans le
22. part il y a dans la vie sociale une simple demande d information ou comme on dira une question au sens faible qui prend g n ralement la forme d une interrogation au sens grammatical du terme O se trouve le bureau de poste le plus proche Quelle heure est il Quel ge avez vous Le train de 16h17 en provenance de Marseille c est quel quai Quelle est notre longitude 413 312 c est bien irrationnel non C est vrai que n 11n est divisible par 6 quel que soit n N Du point de vue du questionneur chacune de ces questions appelle une r ponse au sens faible sous forme d un nonc apportant l information demand e Il est devant vous le bureau de poste Il est 8h 47 etc L hypoth se est ici que la personne questionn e conna t la r ponse ou du moins peut la conna tre peu de frais par exemple en regardant sa montre s il s agit de l heure On notera pourtant que en r alit cette r ponse proc de de la partie merg e seule visible dans la vie sociale ordinaire d un iceberg prax ologique qui s est fondu dans le paysage social mais qu il a fallu souvent des si cles pour construire Ainsi en va t il propos de l heure ou de la longitude ou m me de l ge de la personne interrog e Le jeu des questions r ponses au sens faible se joue ainsi la surface de la soci t et de ses institutions il en occulte les ressorts profonds
23. pr c dente sont les suivants Division des entiers l ments th oriques 1 La d monstration d unicit utilise essentiellement le fait que la suite bk zez est strictement croissante 1 1 Ce fait d coule du r sultat th orique suivant o L ordre usuel sur Z fait de Z un anneau ordonn c est dire que l on a Oxu Yke Z YVYn me Z n lt m gt n k lt m k Oxz Yke N Yn me Z n lt m gt kn lt km 1 2 On utilise aussi la propri t ci apr s plus propre l anneau ordonn discret Z O Vn me Z n lt m amp n l lt m 2 La d monstration d existence repose sur l affirmation suivante la suite bk en tant strictement croissante et non born e il existe un premier entier k tel que bk gt a 2 1 Le fait que la suite arithm tique bk zen est strictement croissante vient d tre examin 2 2 Le fait qu elle soit non born e d coule de ce que Z est un groupe archim dien propri t d Eudoxe Archim de V a 2 0 V b gt 0 3k e N bk gt a 2 3 Le fait qu il existe un premier entier k c est dire un plus petit entier k tel que bk gt a r sulte du fait que l ordre usuel sur N est un bon ordre O3 Propri t de bon ordre Toute partie non vide de N poss de un plus petit l ment Soit en effet F l ensemble des entiers k tels que bk gt a d apr s O F est non vide par suite d apr s F poss de un premier l ment 2 4 Remarque On a O laiss au lecteur
24. qu ils regarderont spontan ment comme artificielles et donc contestables inacceptables etc cet gard on observe assez fr quemment chez les sujets de Z de v ritables passions institutionnelles pour les techniques naturalis es dans l institution nS pep b Ainsi on peut d terminer le signe d un bin me ax b en r crivant cette expression sous la forme a x Dh ce qui permet de conclure moyennant un petit raisonnement 2 3x 3 x D est n gatif si x gt positif pour x lt 5x 3 S x 0 6 est positif pour x gt 0 6 n gatif pour x lt 0 6 etc Mais cette mani re de faire peu pr s inconnue dans l enseignement secondaire fran ais d aujourd hui y recevrait sans doute un flot de critiques 2 3 Technologies On entend par technologie et on note g n ralement 6 un discours rationnel logos sur la technique la tekhn qt discours ayant pour objet premier de justifier rationnellement la technique T en nous assurant qu elle permet bien d accomplir les t ches du type T c est dire de r aliser ce qui est pr tendu Le style de rationalit mis en jeu varie bien entendu dans l espace institutionnel et en une institution donn e au fil de l histoire de cette institution de sorte qu une rationalit institutionnelle donn e pourra appara tre peu rationnelle depuis telle autre institution nouveau trois remarques compl teront cette pr
25. s en faut pourtant que cette entr e dans la culture d termine compl tement l avenir institutionnel de la prax ologie ainsi officialis e Dans un second sous moment celui de l institutionnalisation stricto sensu les objets et rapports officiels ingr dients d clar s de l organisation en construction vont tre activ s des degr s divers et par l vont travailler Quelques rares objets officialis s en bonne et due forme n auront il est vrai pas de vie ult rieure A nsi au d but du Livre I des l ments Euclide introduit il la notion de rhombo de qui ne sera plus utilis e dans la suite de l ouvrage Mais telle n est pas la loi g n rale le frottement institutionnel provoque ordinairement l volution des rapports officiels vers des formes stables non d g n r es les rapports institutionnels qui bien que se constituant solidairement avec les rapports personnels des acteurs de l tude sembleront bient t s en manciper au point de para tre les gouverner C est normalement la phase d institutionnalisation qui relance l tude en contribuant mettre en vidence tel ou tel type de probl mes qui bien que relevant de l organisation math matique locale T t 8 6 n a pas encore t tudi ou ne l a t qu insuffisamment D une mani re plus g n rale l tude compl te de O peut tre d crite ainsi Soit T1 T la suite des types de probl mes as
26. vis es Dans la suite de ces trois journ es le type de t ches T l observation sera peu ou prou neutralis par le recours des corpus de donn es d observation tout constitu s Les types de t ches T l valuation et T4 le d veloppement sur lesquels on reviendra dans la le on 3 seront davantage l horizon du travail qu en son c ur Au centre du travail on placera donc le type de t ches T la description et l analyse de certains objets o relatifs aux pratiques enseignantes Les types d objets o envisag s seront eux m mes de deux sortes tant donn un th me d tude math matique 6 on consid rera successivement a la r alit math matique qui peut se construire dans une classe de math matiques o l on tudie le th me 8 b la mani re dont peut se construire cette r alit math matique c est dire la mani re dont peut s y r aliser l tude du th me 6 Le premier objet la r alit math matique qui n est rien d autre qu une prax ologie math matique o organisation math matique qu on notera OMe Le second objet la mani re dont est ce qu on nommera une organisation didactique qu on notera de mani re analogue OD6 Le travail d tude r aliser concerne donc principalement les deux sous types de t ches suivants d crire amp analyser l organisation math matique OM qui peut se construire dans une classe de math matiques o
27. 12 C 1 24 2 14 2 Pour v rifier si ces points sont align s on peut calculer les pentes 2 2 2 1 no des droites AB et AC soit et afin de voir si ces pentes sont ou non gales AB et AC P AB 3 Ng 4 Pac gt J2 3 P 8 Au vu des expressions obtenues la question n est pas facile trancher Il convient donc de les r crire sous une forme canonique o toute expression du type consid r ait une criture et une seule ce qui permettra de comparer deux expressions donn es d un simple coup d il En l esp ce on obtient 22 2 324 212 3 1 2 les deux pentes sont gales et les points A B C sont donc align s On notera que si l on avait 1 calcul la pente de BC on aurait obtenu une expression encore diff rente pc 12 La raison d tre ainsi identifi e est g n rique tant donn un syst me d objets math matiques il est tr s utile de se doter 15 chaque fois que la chose est possible d un syst me d criture canonique de ces objets et cela afin de pouvoir comparer sans ambigu t deux tels objets C est ainsi que deux vecteurs seront rapport s une m me base o ils ont une criture unique deux points du plan un m me rep re etc Cette exigence pr vaut d s les premiers apprentissages math matiques Les expressions 3x7 5Xx2 et 7x8 5x5 sont gales mais la chose ne devient vidente que si on les crit s par ment sous forme canonique c es
28. ANALYSE DES PRATIQUES ENSEIGNANTES ET DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES L APPROCHE ANTHROPOLOGIQUE par Yves Chevallard IUFM d Aix Marseille Le on 1 La notion d organisation prax ologique 1 Pourquoi anthropologique L tiquette d approche ou de th orie anthropologique semble proclamer une exclusivit les autres approches existantes ou possibles ne m riteraient pas ce qualificatif dont il faut dire tout de suite qu elle n est qu un effet de langage Il n y a aucune raison pour que l organisation de savoir qui sera pr sent e dans les d veloppements qui suivent se voit accorder le monopole de la r f rence l gitime au champ de l anthropologie m me si elle semble bien tre aujourd hui la seule s autod signer ainsi Pour l essentiel je parlerai donc de la th orie anthropologique du didactique la TAD comme en tel village on vous pr sentera le Louis le Charles le Fran ois etc L exclusivit n est videmment pas garantie Le fait de s appeler Louis Charles ou Fran ois ne dit pas grand chose de la personne qui le porte C est l peut tre que s arr te la comparaison pr c dente Car bien s r ce n est pas sans raison que l on dit anthropologique la th orisation dont certains l ments seront explicit s dans ci apr s De fait emploi de cet adjectif veut dire quelque chose et quelque chose dont il vaut mieux tre pr venu pour viter d aller
29. abord dans cette le on que la statique des prax ologies en ignorant donc provisoirement la question de leur dynamique et en particulier de leur gen se Soit donc T un type de t ches donn Une prax ologie relative T pr cise en principe une mani re d accomplir de r aliser les t ches te T une telle mani re de faire t on donne ici le nom de technique du grec tekhn savoir faire Une prax ologie relative au type de t ches T contient donc en principe une technique T relative T Elle contient ainsi un bloc T T qu on appelle bloc pratico technique et qu on identifiera g n riquement ce qu on nomme couramment un savoir faire un certain type de t ches T et une certaine mani re t d accomplir les t ches de ce type L encore trois remarques doivent tre faites d embl e Tout d abord une technique T une mani re de faire ne r ussit que sur une partie P T des t ches du type T auquel elle est relative partie qu on nomme la port e de la technique elle tend chouer sur T P t de sorte qu on peut dire que l on ne sait pas en g n ral accomplir les t ches du type T La chose est vidente mais tr s souvent oubli e en math matiques Ainsi toute technique de calcul sur N choue t elle partir d une certaine taille de nombres Le fait qu on ne sache pas en g n ral factoriser un entier donn est notamment la base de certaines techniques de c
30. ations des simples technologues et techniciens Cet effet d abstraction est corr l ce qui fonde la grande g n rativit des nonc s th oriques leur capacit justifier expliquer produire Le fait que dans R la suite de terme g n ral 1 7 tend vers 0 est un r sultat technologique tr s concret Sa justification th orique tient dans l axiome d Eudoxe Archim de tenu ordinairement pour fort abstrait si A et sont des r els strictement positifs alors il existe un entier n tel que n gt A On notera qu en fait les deux assertions sont quivalentes 2 5 Savoir faire et savoirs Autour d un type de t ches T on trouve ainsi en principe un triplet form d une technique au moins Tt d une technologie de T O et d une th orie de 8 Le tout not T t 0 O constitue une prax ologie ponctuelle ce qualificatif signifiant qu il s agit d une prax ologie relative un unique type de t ches T Une telle prax ologie ou organisation prax ologique est donc constitu e d un bloc pratico technique 7 t et d un bloc technologico th orique 8 8 Le bloc 8 6 est ordinairement identifi comme un savoir alors que le bloc T T constitue un savoir faire Par m tonymie on d signe couramment comme tant un savoir la prax ologie T t 8 O toute enti re ou m me une partie quelconque de celle ci Mais cette mani re de faire encourage minorer l
31. ce a t mentionn e rapidement plus haut le refoulement de la probl maticit et donc le refoulement du didactique que cette probl maticit pourrait engendrer Une deuxi me cons quence tient un ph nom ne voisin sur lequel il convient d insister celui de la d n gation du didactique Les situations de la vie quotidienne au sein d une institution sont tiss es d interactions didactiques mais labiles vanescentes qui se glissent presque sans bruit dans le flux de l activit ordinaire et auxquelles on fait implicitement r f rence lorsqu on parle d apprentissage sur le tas ou selon la formule de John Dewey de learning by doing d apprentissage par la pratique nue Mais ce didactique l se trouve en g n ral non reconnu par l institution parce que pour se d fendre contre un envahissement toujours mena ant celle ci a d fini une fronti re qui s pare parmi toutes les formes d activit dont elle peut tre le lieu celles g n ralement peu nombreuses et fortement st r otyp es qu on accepte d y regarder comme didactiques et celles majoritaires et fort vari es qui sont r put es non didactiques et dont la didacticit potentielle se trouve donc par l ni e Nulle situation n est intrins quement didactique ou non didactique Par suite en niant la didacticit potentielle d une situation donn e en l imposant ses sujets comme irr fragablement non didactique l inst
32. cr te en une institution concr te L approche classique en didactique des math matiques a en g n ral ignor les aspects les plus g n riques de l organisation de l tude au sein d un type donn de syst mes didactiques Telle est par exemple l attitude classiquement adopt e s agissant des syst mes didactiques scolaires propos de la question de l valuation du travail hors classe de son valuation etc Par contraste la probl matique cologique qui est l un des principaux moteurs de la TAD conduit examiner des questions pouvant se situer en un point quelconque de l axe g n ricit sp cificit parce que les probl mes sp cifiques de l tude d une organisation math matique locale particuli re restent en g n ral mal pos s tant qu on n analyse pas les choix didactiques conscients ou non faits des niveaux organisationnels de moindre sp cificit En cons quence l approche anthropologique fait droit des aspects de l organisation de l tude g n ralement regard s comme relevant de choix p dagogiques ou politiques ext rieurs au champ de questionnement de la didactique des math matiques Une organisation didactique O comporte donc de multiples niveaux de sp cification dont aucun ne saurait tre n glig et dont tous rel vent certains gards au moins de la didactique un premier niveau ainsi on situera les conditions et contraintes propres un s
33. d incompr hensions en malentendus Le point crucial cet gard dont nous d couvrirons peu peu toutes les implications est que la TAD situe l activit math matique et donc l activit d tude en math matiques dans l ensemble des activit s humaines et des institutions sociales Or ce parti pris pist mologique conduit qui s y assujettit traverser en tous sens ou m me ignorer nombre de fronti res institutionnelles l int rieur desquelles il est pourtant d usage de se tenir parce que ordinairement on respecte le d coupage du monde social que les institutions tablies et la culture courante qui en diffuse les messages sati t nous pr sentent comme allant de soi quasi naturel et en fin de compte oblig Selon cette vulgate du culturellement correct parler valablement de didactique des math matiques par exemple suppose que l on parle de certains objets distinctifs les math matiques d abord et ensuite solidairement les l ves les professeurs les manuels etc l exclusion d peu pr s tout autre type d objets et en particulier de tous ceux que l on croit trop vite scientifiquement non pertinents pour cette raison qu ils apparaissent culturellement trangers aux objets tenus pour embl matiques des questions de didactique des math matiques Le postulat de base de la TAD fait violence cette vision particulariste du monde social on y admet en eff
34. du processus d tude Un moment au sens donn ce mot ici est d abord une dimension dans un espace multidimensionnel un facteur dans un processus multifactoriel Bien entendu une saine gestion de l tude exige que chacun des 19 moments didactiques se r alise au bon moment ou plus exactement aux bons moments car un moment de l tude se r alise g n ralement en plusieurs fois sous la forme d une multiplicit d pisodes clat s dans le temps cet gard on notera que l ordre mis ci apr s sur les diff rents moments didactiques est en fait largement arbitraire parce que les moments didactiques sont d abord une r alit fonctionnelle de l tude avant d en tre une r alit chronologique Le premier moment de l tude est celui de la premi re rencontre avec l organisation O enjeu de l tude Une telle rencontre peut avoir lieu de plusieurs mani res mais un mode de rencontre ou de re rencontre in vitable sauf rester la surface de l uvre O est celui qui consiste rencontrer O travers l un au moins des types de t ches T constitutifs de O Cette premi re rencontre avec le type de t ches 7 peut elle m me avoir lieu en plusieurs fois en fonction notamment des environnements math matiques et didactiques dans lesquels elle se produit on peut red couvrir un type de t ches comme on red couvre une personne que l on croyait conna tre 1 Qu est ce q
35. e situ e dans un prolongement venir du travail r alis dans ces le ons Sur ce sujet on se contentera donc d noncer deux principes th oriques susceptibles d clairer le travail technologico technique ult rieur 27 Le premier principe est celui de l h t rog n it historique et institutionnelle des mat riaux constitutifs d une prax ologie existante ou construire De ce point de vue il n existe pas par exemple d organisation didactique qu on pourrait dire d poque de part en part dat e ou l autre extr me enti rement moderne en chacun de ses composants Les activit s de d veloppement doivent prendre en compte cette n cessit d un m tissage historique de toute production possible toute novation est partiellement conservatrice en ce qu elle r utilise de mani re parfois in dite des mat riaux anciens que l on pourrait autrement juger obsol tes Comme le souligne Michel Serres aucune cr ation n est v ritablement de telle poque Consid rez une voiture automobile d un mod le r cent elle forme un agr gat disparate de solutions scientifiques et techniques d ges diff rents on peut la dater pi ce pi ce tel organe fut invent au d but du si cle l autre il y a dix ans et le cycle de Carnot a presque deux cents ans Sans compter que la roue remonte au n olithique L ensemble n est contemporain que par le montage le dessin l
36. e aux t ches du type de t type qu il faut en m me temps construire comme objet institutionnel question au sens fort r ponse au sens fort la r ponse n est plus maintenant une simple information donner c est toute une organisation prax ologique construire En nombre de cas une personne ou un collectif confront une difficult du type pr c dent laborer une prax ologie relative un type de t ches probl matique r pond en ignorant voire en niant cette probl maticit par exemple en n accomplissant pas la t che en question en faisant autrement Un exemple o la probl maticit est de nature math matique Trois vacanciers doivent se partager la somme de 860 F qui l issue de leurs vacances reste dans la caisse commune cr e pour faire face aux frais quotidiens collectifs et dans laquelle ils ont vers en tout respectivement 1900 F 2100 F 2200 F Ils se demandent comment ils doivent se partager la somme restante de fa on que chacun d eux ait contribu galement aux frais collectifs Puis ils d cident dans un flou g n reux et opportun Mais non Toi tu as pay la pizza l autre jour et a on l a pas compt etc que telle r partition d termin e l intuition est grosso modo acceptable et s en tiennent l Dans le cas contraire la personne x ou plus g n ralement le collectif X va se mettre tudier la question pos e Co
37. e calcul traditionnel en France non sur des grandeurs comme 5 km 32 cm 18 m s 12 g dm etc mais sur les seules mesures de ces grandeurs 5 32 18 12 etc c est dire en excluant les unit s des calculs pour ne les r introduire qu la fin constitue une technique peu fiable si on la compare avec la technique sans doute plus lourde consistant calculer directement sur les grandeurs c est dire avec les unit s Soit ainsi calculer la masse lin ique M en g cm d un barreau d acier de section constante de 4 dm de longueur qui p se 2 85 kg on a M 3 AR 25 0Pr ne g cm 71 25 g cm De m me soit d terminer la masse M en 4 dm 4 10 cm 4 cm grammes de 9 cm de zinc sachant que la masse volumique du zinc est de 7 29 kg dm on a M 7 29 kg dm 9 cm 7 29kg dm 9cm 7 29 10 g 10cm 9cm 7 29 9 g 65 6 g Bien d autres cas peuvent tre cit s pour illustrer le caract re d fectueux de certaines techniques mises entre les mains des l ves qui r v le surtout l absence de techniques ad quates parfois parfaitement disponibles en th orie ou plut t en technologie mais que la tradition d enseignement ignore En g om trie l mentaire ainsi les r sultats disponibles aujourd hui en Seconde exprimant le fait que le plan point est un espace vectoriel de dimension 2 ne sont pas employ s pour fabriquer une technique l emplo
38. e ce qu attend le professeur etc 23 avant et afin de d velopper sa propre solution En fin de compte on reconnaf tra ici au sch ma propos dans le cadre de l approche anthropologique une valeur universelle dans une forme plus ou moins d velopp e quiconque projette une action le retrouve spontan ment Dans ce sch ma d action l tape de l valuation constitue un geste fondamental qui appelle quelques remarques tr s g n rales Soulignons tout d abord que l valuation dont il est question ici ne doit pas tre pens e partir de la seule valuation scolaire telle que l assume le professeur l endroit des productions d l ves C est en fait le contraire qui est vrai l valuation scolaire gagne tre saisie comme une sp cification de la notion g n rique d valuation Mais qu en est il alors d une telle notion g n rique Estimer la valeur d un objet o lui attribuer une valeur d une mani re ou d une autre bref valuer est une activit qui a priori peut porter sur n importe quel objet tre le fait de n importe qui de n importe qui a de la jugeote prendre place en quelque institution que ce soit m me s il est vrai que toutes les combinaisons d un objet o d une personne x et d une institution Z ne sont pas n cessairement permises On notera surtout que la vie d une institution semble fr quemment satur e d actes d val
39. e d cide observer un ou plusieurs manuels de mani re plus ou moins syst matique analyser peut tre superficiellement leur contenu valuer de fa on parfois peu nuanc e ce contenu enfin d velopper quelquefois h tivement sur cette base son propre produit son cours On notera que le sch ma pr c dent s applique tout aussi bien lorsque le professeur prend pour objet o non quelque mod le d marquer pour pr parer son cours mais les solutions produites par ses l ves solutions que tour tour le professeur observera en exigeant par exemple de chaque l ve qu il lui remette une copie qu il analysera en corrigeant ces copies qu il valuera par la note attribu e et les annotations port es sur la copie avant de d velopper sa propre solution sous la forme d un corrig pr sent aux l ves oralement et ou par crit Un peu de r flexion montre encore que dans la fabrication de sa solution chaque l ve aura lui m me mis en uvre le m me sch ma quatre temps observant en classe et dans le manuel certaines mani res de faire les analysant mais aussi les valuant par exemple en rejetant tel l ment mani re de dire etc qu il regardera comme un truc de prof inassumable par lui en valorisant au contraire tel l ment qu il consid rera peut tre tort comme embl matique d
40. e on peut la main ou par calcul mental v rifier l galit obtenue pour deux valeurs simples de x 0 1 2 etc et ou on peut l aide d une calculette v rifier l galit pour x T ou x 1 2 etc On obtient ainsi par exemple x 3 2x 1 20 3 amp 225 3 0 3 x 3 2x lys 0 amp 2x7 5x 33s 18 15 3 x 3 2x 1 p n e 1 031245534 amp 22 Sr c 1 031245534 Une autre technique consiste choisir une valeur c pour x et remplacer certaines occurrences de x par cette valeur avant de r soudre l quation ainsi obtenue pour v rifier qu elle admet bien la solution x c Ainsi a t on pour x 4 2x 1 29 5x amp 7x 28 amp x 4 pour x 2 2x 1 5 5x amp 3x 6 amp x 2 2 3 Un troisi me type de t ches consiste v rifier le r sultat d un calcul avec radical telle l galit GS 3 5 18 84 5 On peut ici remplacer le radical Afc par x et r soudre l quation ainsi obtenue pour v rifier qu elle admet la solution x c On a ainsi GH 18 8x gt 3 0 3 2 18 8x x 6x 9 8x 6x 54 3 x M 45ex2 5ex 5 1 3 valuer des techniques L valuation des techniques supposent de m me des crit res dont quelques uns seulement seront voqu s ici Ainsi les techniques propos es sont elles effectivement labor es ou seulement bauch es Sont elles faciles utiliser Leur port e est elle satisfaisante Leur fiabilit est elle acceptable ta
41. e savoir faire notamment dans la production et la diffusion des prax ologies ainsi qu on l a not on rencontre souvent des technologies qui attendent leur premier emploi ou qui ont perdu leur emploi Une telle mise en avant du savoir n est nullement fortuite On ne rencontre en fait que rarement des prax ologies ponctuelles G n ralement en une institution Z donn e une th orie r pond de plusieurs technologies 6 dont chacune son tour justifie et rend intelligibles plusieurs techniques Ti correspondant autant de types de t ches Ti Les organisations ponctuelles vont ainsi s agr ger d abord en organisations locales T t 9 O centr es sur une technologie 6 d termin e ensuite en organisations r gionales T t 0 form es autour d une th orie Au del on nommera organisation globale le complexe prax ologique Tik Tik OkO obtenu dans une institution donn e par l agr gation de plusieurs organisations r gionales correspondant plusieurs th ories 4 Or le passage d une prax ologie ponctuelle 7 7 8 6 une prax ologie locale 7 t 8 O met en avant la technologie 6 de la m me fa on que le passage ult rieur une prax ologie r gionale T ti 0 O portera au premier plan la th orie Dans les deux cas la visibilit du bloc du savoir s accro t au d triment de celle du savoir faire Un tel d s quilibre sans doute n est pas sans justification car s il est v
42. encontre effective soit une situation ombilicale En bien des cas la d finition de l objet par un syst me de situations fondamentales se trouve subrepticement cart e au profit d une mise en sc ne de l objet dans des activit s qui en d pit de quelques traits culturels conserv s n ont qu une 20 relation assez rel ch e avec ses raisons d tre les plus essentielles D une mani re plus g n rale il existe dans les pratiques didactiques courantes une large gamme de formes hybrides de premi res rencontres o une r f rence culturelle incompl tement assum e s allie des degr s variables avec une introduction en situation plus ou moins ad quate aux plans pist mologique et cognitif 6 On notera enfin que si l vidence la premi re rencontre ne d termine pas enti rement le rapport l objet lequel se construit et se remanie tout au long du processus d tude elle joue cependant un r le important dans l conomie de l apprentissage parce que tant donn l investissement institutionnel et personnel qu elle impose au double plan cognitif et libidinal elle oriente en g n ral fortement le d veloppement ult rieur des rapports institutionnel et personnel l objet rencontr Le deuxi me moment est celui de l exploration du type de t ches T et de l laboration d une technique Ti relative ce type de t ches On notera que contre une certaine vi
43. ent b francs alors x choses soit fois a choses vaudront fois plus soit a a fois b francs Ainsi dira t on 11 sucettes co tent H fois plus que 8 sucettes soit 1 fois 10 F a 13 75 F et par une extension hardie du sens de l expression 3 sucettes co tent p fois plus que 8 sucettes soit fois 10 F 3 75 F On notera que l on a 2x 10F 5x 10F ix 10 F 13 75 F 10 F 3 75 F Plus correctement on dira simplement que x choses c est fois a choses etc a 2 4 Th ories son tour le discours technologique contient des assertions plus ou moins explicites dont on peut demander raison On passe alors un niveau sup rieur de justification explication production celui de la th orie laquelle reprend par rapport la technologie le r le que cette derni re tient par rapport la technique Bien entendu on peut imaginer que cette r gression justificative se poursuive linfini qu il y ait une th orie de la th orie etc En fait la description trois niveaux pr sent e ici technique technologie th orie suffit en g n ral rendre compte de l activit analyser La th orie terre d lection des truismes tautologies et autres vidences est m me souvent vanouissante la justification d une technologie donn e est en bien des institutions trait e par simple renvoi une autre institution r elle ou suppos e cens e d tenir u
44. er l apprentissage math matique lui m me De l une situation dont Guy Brousseau a soulign avec force le caract re minemment probl matique le contrat didactique met le professeur devant une v ritable injonction paradoxale Tout ce qu il fait pour faire produire par l l ve les comportements qu il attend tend priver ce dernier des conditions n cessaires la compr hension et l apprentissage de la notion vis e si le ma tre dit ce qu il veut il ne peut plus l obtenir premier paradoxe didactique Mais l l ve est lui aussi devant une injonction paradoxale s il accepte que selon le contrat le ma tre lui enseigne les r sultats il ne les tablit pas lui m me et donc il n apprend pas les math matiques il ne se les approprie pas Apprendre implique pour lui de refuser le contrat mais aussi d accepter la prise en charge L apprentissage va donc reposer non pas sur le bon fonctionnement du contrat mais sur ses ruptures L l ve doit accepter le professeur comme directeur d tude et dans le m me temps renoncer presque violemment aux trompeuses facilit s qu il lui apporte comme enseignant et cela en principe propos de chacun des moments de l tude valuation et institutionnalisation comprises Le drame didactique que le mot de fopos r sume se noue ainsi autour du jeu du ma tre toujours subtilement pr sent f t ce in absentia celui ci doit savoir se faire
45. et que foute activit humaine r guli rement accomplie peut tre subsum e sous un mod le unique que r sume ici le mot de prax ologie Avant m me d examiner ce qu est une prax ologie on doit donc noter que l on part ainsi d une hypoth se qui ne sp cifie nullement activit math matique parmi les activit s humaines c est autrement que les math matiques devront se voir reconnues leur sp cificit 2 La notion de prax ologie 2 1 Types de t ches la racine de la notion de prax ologie se trouve les notions solidaires de t che t et de type de t ches T Quand une t che f rel ve d un type de t ches T on crira parfois t T Dans la plupart des cas une t che et le type de t ches parent s exprime par un verbe balayer la pi ce d velopper l expression litt rale donn e diviser un entier par un autre saluer un voisin lire un mode d emploi monter l escalier int grer la fonction x gt xlnx entre x 1 et x 2 etc Trois points doivent tre soulign s imm diatement Tout d abord la notion de t che employ e ici est l vidence plus large que celle du fran ais courant se gratter la joue marcher du divan jusqu au buffet et m me sourire quelqu un sont ainsi des t ches Il s agit l d une mise en pratique particuli rement simple du principe anthropologique voqu plus haut Ensuite la notion de t che ou plut t de type de t ches suppose un objet re
46. figurants sans v ritable r le Dans la plupart des cas pourtant une t che didactique a pour acteurs et le professeur et les l ves lorsque le professeur s engage dans une t che o il op re en autonomie relative cette t che appara t g n ralement comme une sous t che au sein d une t che plus vaste o il coop re avec l l ve L tude du syst me des t ches et gestes du professeur et plus g n ralement de tout autre aide l tude parents etc ne saurait donc tre men e de mani re isol e derri re l activit du professeur on doit sans cesse apercevoir l activit de l l ve Un point essentiel cet gard consiste examiner en toute organisation didactique scolaire la qualit et la quantit du travail autonome exig des l ves x pour assurer un bon rendement en termes d apprentissage et qui est invisible officiellement du professeur y Il existe aussi bien entendu tout un travail exig de y et invisible de x qui compte autant dans la viabilit d une organisation didactique Il arrive que ce travail invisible accompli par l l ve sur une autre sc ne que le professeur peut en principe ignorer tende occuper l essentiel de l espace de l tude comme dans l exemple ci apr s L tude et la classe le cours H un cas extr me cinq ans je fus inscrit au cours H Cet tablissement devait sa r putation un dispositif tr s particulier comportan
47. hacun des autres moments Ainsi d s la premi re rencontre avec un type de t ches il y a g n ralement mise en relation avec un environnement technologico th orique ant rieurement labor ou avec des germes d un environnement cr er qui se pr cisera dans une relation dialectique avec l mergence de la technique Pour des raisons d conomie didactique globale toutefois les strat gies de direction d tude traditionnelles font en g n ral de ce troisi me moment la premi re tape de l tude tape qui est alors commune l tude de plusieurs types de probl mes T tous ceux parmi les types de probl mes tudier qui apparaissent comptables du m me environnement technologico th orique 8 8 L tude de ces types de probl mes appara t alors classiquement comme une suite d applications du bloc technologico th orique ainsi mis en place Le quatri me moment est celui du travail de la technique qui doit la fois am liorer la technique en la rendant plus efficace et plus fiable ce qui exige g n ralement de retoucher la technologie labor e jusque l et accro tre la ma trise que l on en a ce moment de mise l preuve de la technique suppose en particulier un ou des corpus de t ches ad quats qualitativement aussi bien que quantitativement La technique mise en uvre plus haut pour d terminer le maximum d une fonction alg brique l mentaire n a t travaill e que sur deux
48. i beaucoup plus s r fond e sur la notion de rep re du plan titre d exemple consid rons le probl me suivant Soit un triangle ABC et soit I J K les milieux de BC CA AB Est il vrai que les Po AI et JK ont toujours le m me milieu Appelons M le milieu de AI et N le milieu de gt gt gt gt gt de di exprimons AM et AN dans le rep re A AB AC On a AM 3 Al 5 AB LAC i AB He TAC amp gt 12 1 gt lil 41 Lo 1 1 AN 73 AJ 5 AK 3 AC AB slaba AC on a donc bien M N On notera encore 2 2 ral 4 4 qu une variante barycentrique de cette technique i E qui fait gagner en fiabilit ee en all geant les calculs On peut en effet crire d un c t M A z a 160 3 A 1 B 7 LC de 1 l autre N i J K i ca AB i A 7B i C D o M N On peut encore aller plus loin 4 en crivant vectoriellement 4 M N 2 A 1 2 J K 2A 21 2J 2K 2A B C C A A B 0 T o Certaines des techniques pr c dentes ont plus d avenir que d autres et satisfont davantage les besoins math matiques des l ves pour aujourd hui et le cas ch ant pour demain Semblablement la technique de commen ant consistant mettre des fl ches pour d velopper une expression comme x 3 2x 1 n a gu re d avenir moins en tout cas que la technique qui consisterait poser y 2x 1 et crire x 3 2x 1 x 3 y xy 3y x 2x 1 3
49. institution tudier c est donc tudier une r ponse au sens fort tenue pour valable C est tudier une uvre existant ailleurs dans la soci t pour la reconstruire la transposer dans l institution qui sert d habitat l tude Le passage de l tude d une question l tude d une r ponse d une uvre ne va pas sans quelques modifications dans la notion m me d tude Au d part ainsi qu on l a sugg r l uvre O est tudi e c est dire reconstruite transpos e en tant que r ponse la question Tr que l on se pose Si par exemple on se pose la question de la repr sentation plane de l espace trois dimensions on tudiera la perspective si l on se pose la question du cryptage et du d cryptage de messages on tudiera la cryptographie etc On travaille alors sur des uvres prenant la forme d organisations prax ologiques ponctuelles i e constitu es autour d un unique type de t ches regard comme g n rateur de l uvre tudi e Deux exemples de techniques 1 Comment par exemple d montrer que amp 413 312 est irrationnel Une technique simple dont on laissera le lecteur pr ciser la technologie et la th orie consiste former une expression rationnelle de amp gale un nombre connu pour tre irrationnel Ici on a 413 312 gt 00 66 2446 e SX 16 On 2 conclut alors par un petit raisonnement si tait rationnel il
50. ionnel est dans le registre de l action la racine de beaucoup de conservatismes et le fourrier de beaucoup d impuissances si les choses sont comme elles sont parce qu elles se conforment un ordre naturel toute modification que l on voudrait leur imprimer appara t comme une subversion de cet ordre du monde ce qui justifie aussi bien le conformisme du quotidien qui est le lot de la plupart que la religion de l exceptionnel dont quelques uns se font les grands pr tres Par contraste le questionnement cologique permet de r interroger l ordre de choses existant s il est vrai que g n ralement le r el est comme il est parce que de fortes contraintes l imposent on peut toujours se proposer d examiner les modifications qui pour un co t acceptable par exemple en laissant inchang l essentiel des conditions pr valentes pourraient cr er un nouvel tat stable tenu pour plus appropri L ensemble de ces tats proches et viables de la r alit d velopper constitue la zone de proche d veloppement de cette r alit La probl matique cologique appara t ainsi comme le fondement d un art du possible La r alit observ e peut tre en fait instable faiblement robuste et ne perdurer que parce que des conditions rarement r alis es se trouvent localement satisfaites l inverse le simplement possible peut parfois advenir et persister par un changement limit dans les conditions 28
51. itution barre la possibilit de son fonctionnement adidactique Brousseau 1996 et ferme ainsi certaines voies d apprentissage a priori possibles pour les sujets de l institution Chaque fois que de tels apprentissages apparaissent comme objectivement appel s par le bon fonctionnement de l institution c est dire comme r pondant des besoins cognitifs institutionnellement engendr s on peut dire que l institution nie les besoins didactiques de ses sujets besoins dont ces derniers devront donc ventuellement prendre en charge la satisfaction mais alors titre personnel et non plus comme sujets de l institution L adjectif didactique associ ici au substantif tude et au verbe tudier est en fran ais un emprunt au grec didaktikos propre instruire relatif l enseignement de didaktos adjectif verbal de didaskein enseigner faire savoir En fran ais courant il s applique ce qui vise instruire L id e du didactique l id e d tude c est dire fondamentalement l id e de faire quelque chose afin d apprendre quelque chose savoir ou d apprendre faire quelque chose savoir faire para t en fait consubstantielle aux soci t s humaines Comment pourtant limiter les effets perturbants du didactique sur la vie des institutions Une r ponse a pris dans nos soci t s modernes une importance extr me au point qu elle tend absorber dans son ombre
52. lativement pr cis Monter un escalier est un type de t ches mais monter tout court n en est pas un De m me calculer la valeur d une fonction en un point est un type de t ches mais calculer tout court est ce qu on appellera un genre de t ches qui appelle un d terminatif Concr tement un genre de t ches n existe que sous la forme de diff rents types de t ches dont le contenu est troitement sp cifi Calculer est un genre de t ches calculer la valeur exacte d une expression num rique contenant un radical est un type de t ches de m me que calculer la valeur d une expression contenant la lettre x quand on donne x une valeur d termin e Tout au long des ann es de coll ge le genre Calculer s enrichit de nouveaux types de t ches il en sera de m me au lyc e o l l ve va d abord apprendre calculer avec des vecteurs puis plus tard calculer une int grale ou une primitive etc Il en va de m me bien s r des genres D montrer Construire ou encore Exprimer en fonction de Enfin t ches types de t ches genres de t ches ne sont pas des donn s de la nature ce sont des artefacts des uvres des construits institutionnels dont la reconstruction en telle institution par exemple en telle classe est un probl me part enti re qui est l objet m me de la didactique 2 2 Techniques En d pit de la remarque pr c dente on ne consid rera d
53. mment d terminer la longitude Comment d terminer si ce nombre est irrationnel qu on peut noter g n riquement tr o T est le type de t ches consid r ventuellement r duit un unique sp cimen f Se constitue ainsi ce qu on nommera ici un syst me d tude ou syst me didactique not X S X tr avec ventuellement X x En certains cas le collectif X sera aid voire dirig dans son effort d tude par un aide l tude ou un directeur d tude y on notera alors le syst me didactique X S X y Tr ou S X Y tr s il y a un collectif Y d aides l tude Dans tous les cas on entre alors dans une dimension sp cifique du r el social la dimension de l tude ou du didactique au sens fort de ces termes 1 2 L tude les institutions la skhol La formation m me ph m re d un syst me didactique si rudimentaire soit il interrompt le flux normal de l activit institutionnelle ordinaire L activit d tude appara t en cons quence comme une source permanente de trouble possible pour la vie de l institution dont elle peut tout instant faire d vier le cours des activit s normales en entra nant certains de ses acteurs vers des voies trang res sa raison sociale que l on songe par exemple la formation continue des enseignants Il y a l un fait fondamental dont il faut examiner rapidement les manifestations 12 Une premi re cons quen
54. n sait que le produit des extr mes 8Xx est gal au produit des moyens 10x3 galit qui donne aussit t x RE La r forme des math matiques modernes a autour de 1970 expuls nombre d l ments th oriques et technologiques des math matiques classiques regard s comme obsol tes dont la th orie des rapports et proportions non sans liminer en m me temps des techniques l mentaires qui de fait ne seront pas imm diatement remplac es ou ne le seront que par des prax ologies plus complexes peu viables dans les petites classes de l enseignement secondaire D s qu on dispose de la notion de fonction et plus particuli rement de la notion de fonction lin aire ainsi que des notations usuelles cet gard on peut reprendre le probl me des 3 sucettes en ces termes f tant lin aire si f 8 10 alors 16 8x s x KB Ex 10 Surtout dans un univers de t ches routini res surgissent tout instant ici et l des t ches probl matiques qu on ne sait pas pas encore accomplir De nouveaux types de t ches qui sont alors des types de probl mes s affirment ainsi autour desquels de nouvelles prax ologies devront se constituer la rentr e 1998 les professeurs de math matiques enseignant en Terminale S auront traiter en enseignement de sp cialit un type de probl mes in dit ce niveau des tudes tant donn a b N premiers entre eux trouver des entiers x
55. ne telle justification C est l le sens du classique On d montre en math matiques du professeur de physique ou encore du On a vu en g om trie du professeur de math matiques d autrefois En tout domaine la nature de la th orie peut fluctuer et de fait fluctue historiquement Comme il en va en mati re technique ou technologique il y a ici un progr s th orique qui conduit en g n ral substituer aux vidences m taphysiques des nonc s th oriques positifs Soit ainsi le principe de r currence PEN AU0E PA Vn ne P gt n l P gt P N Pour justifier cet ingr dient technologique principal des d monstrations par r currence on peut entre autres choses soit se r f rer comme le faisait encore Henri Poincar la puissance de l esprit qui se sait capable de concevoir la r p tition ind finie d un m me acte d s que cet acte est une fois possible La science et l hypoth se 1902 soit admettre comme un axiome que toute partie non vide de N a un premier l ment et montrer alors que le principe de r currence en d coule En grec fhe ria a pris partir de Platon le sens moderne de sp culation abstraite Mais l origine il renvoyait simplement l id e de contemplation d un spectacle le fhe ros tant le spectateur qui regarde l action sans y participer De fait les nonc s th oriques apparaissent fr quemment comme abstraits loign s des pr occup
56. non des moindres crivent de m me propos du m me th or me Anna et lie Cartan Arithm tique classes de 4 et de 3 Armand Colin 1934 p 54 92 Remarque Si un nombre n est pas divisible par un produit de facteurs on d montre qu on peut n anmoins trouver le quotient du nombre par le produit en appliquant la deuxi me partie du th or me IV n 91 p 53 La r gle donn e au n 78 p 47 est une application de cette remarque Pour avoir le quotient de 6 783 par le produit 100 x 9 on peut diviser 6 783 par 100 ce qui donne 67 comme quotient puis diviser 67 par 9 La chose est elle vraie Une justification s impose que d autres manuels fournissent telle l Arithm tique de Roland Maillard et Albert Millet pour la classe de Math matiques Hachette 1954 pp 39 40 Il est int ressant de constater qu une telle justification s appuie sur un r sultat technologique qui est une variante imm diate des r sultats pr c demment tablis 65 Th or me Le quotient q de la division de a par b est caract ris par les in galit s bq lt a amp a 1 lt b g 1 On a alors le r sultat suivant 61 Th or me Soit deux entiers relatifs a et b b gt 0 Si b b b soit q le quotient de a par b et q le quotient q par b Alors q est le quotient de a par b D monstration On a b q lt a et b q lt q d o bq b b q lt b q l
57. nt donn leurs conditions 25 d emploi Sont elles suffisamment intelligibles Ont elles un avenir et pourront elles voluer de mani re convenables On donne ci apr s s agissant de ces crit res quelques exemples illustratifs O Une technique propos e peut tre insuffisamment travaill e et mise au point de sorte que non seulement sa port e soit ind ment limit e mais encore que son intelligibilit soit obscurcie La technique d optimisation l mentaire vue plus haut permet par exemple de r soudre le probl me suivant D terminer le rectangle d aire maximale qu on peut inscrire dans un cercle de rayon r En d signant par x et y V les mesures des c t s du rectangle cherch on a en effet aire maximale amp xy maximale amp xy maximale x 4r x maximale amp x 4r x 2r x 7y n2 Consid rons alors le probl me suivant Dans un rectangle de carton de 50 cm par 80 cm on veut construire une bo te sans couvercle en retranchant chaque coin du carton un carr de c t x cm d terminer x pour que la bo te obtenue ait une capacit maximale La technique d j mise en uvre conduit ici au constat suivant V 50 2x 80 2x x maximal amp 4V 50 2x 80 2x 4x maximal amp 50 2x 80 2x 4x 130 3 L galit impossible 50 2x 80 2x semble indiquer qu il n y a pas de solution O est donc la faille Une technique peut tre insuffisamment fiable C est ainsi que l
58. ntique mais qu elle subira dans ce transfert diverses modifications adaptatives on parlera donc non de transfert mais de transposition de P I Les processus de transposition institutionnelle ne produisent pas n cessairement des versions d grad es inf rieures par exemple quant la qualit de leur bloc technologico th orique des organisations prax ologiques transpos es Tout au contraire en mati re de transposition didactique par exemple c est dire lorsque Z est une institution didactique cole classe etc il arrive assez fr quemment notamment lorsque I n est pas une institution savante que le travail transpositif soit l occasion d am liorer la prax ologie ainsi retravaill e en la simplifiant en en pr cisant certains l ments etc Dans tous les cas en outre la transposition enrichit le monde des prax ologies socialement disponibles dans la mesure o elle cr e une prax ologie adapt e des conditions institutionnelles in dites 3 2 Analyser les pratiques enseignantes Ordinairement la p nurie prax ologique se traduit d abord par un manque de techniques Comment accomplir les t ches de tel type T Et aussi et peut tre surtout comment accomplir mieux les t ches de ce type Autant d interrogations qui appellent une production de techniques et donc de prax ologies D une mani re g n rale on est ainsi conduit tant donn un type de t ches T r
59. port e toute autre mani re de g rer les apprentissages il s agit de l cole ou plus pr cis ment de la skhol des anciens Grecs cet otium Graecum ce loisir grec que stigmatisaient Caton et les vieux Romains et que l on peut d finir comme du temps pr lev sur le temps du labeur ou plut t de la vie ordinaire pour tre consacr l tude La formule est g n rique universelle et peut a priori s appliquer toute institution c t d elle mais distincte d elle toute institution peut cr er sa propre cole o l on pourra se livrer l tude de toute question pos e par la vie de l institution dans le cadre de syst mes didactiques institutionnalis s 2 S x y Px o les x seront des l ves les y des professeurs et Px un programme d tude pr cisant les questions tudier Ce processus historique de scolarisation des institutions est aujourd hui fort avanc rien ou presque qui lui chappe en droit comme en fait et c est d ailleurs lui qui nous r unit ici ces jours ci De l absence de skhol en passant par la skhol int gr e au flux de la vie on arrive ainsi la skhol omnipr sente con ue et v cue comme s par e de l activit dont elle a pourtant 13 pour mission de questionner en les tudiant les prax ologies On notera pourtant que quel que soit l habitat institutionnel offert au didactique depuis l int gration v
60. pr valantes c t donc d tats cologiquement tr s improbables il existe toute une zone o le virtuel peut s actualiser et l actuel devenir virtuel au gr de variations de faible ampleur Des configurations seulement imagin es peuvent demain tre une banalit du quotidien tandis que d autres depuis toujours inscrites dans le paysage institutionnel familier peuvent en un moment dispara tre sans retour De l un effacement de la fronti re entre l existant et le possible et l ouverture d une zone assez large o l on passe sans discontinuit marqu e du virtuel au r el et inversement zone de proche d veloppement qui est en elle m me une invitation travailler 29
61. que s ance Nous nous s parions apr s la proclamation des r sultats pour ne nous retrouver que la semaine suivante Nos amis se recrutaient ailleurs L nous n avions que des concurrents 18 J B Pontalis L amour des commencements Gallimard Paris 1994 pp 11 12 En r gle g n rale pourtant l espace de l tude a tendu depuis trois d cennies se restreindre en principe la sc ne officielle de la classe C est pourtant par le travail cach invisible qui r pond aux besoins d tude engendr s par le travail de la classe mais non assum s par l organisation didactique officielle que se cr ent ou se renforcent silencieusement les in galit s de r ussite entre l ves On s en souviendra au moment d valuer une organisation didactique le on 3 Le probl me du topos de l l ve comporte un aspect en quelque sorte inverse du pr c dent L l ve peut tre son propre directeur d tude et l est n cessairement en certaines choses Il ne saurait en revanche s enseigner lui m me d entr e de jeu ce que pr cis ment il doit encore apprendre entre l l ve et l enseignant la coupure est d abord franche La cons quence de cet tat de fait ne saurait tre surestim e si l apparition du professeur directeur d tude peut appauvrir la culture didactique de l l ve tudiant le m susage de la fonction enseignante conduit plus radicalement invalid
62. quotient approch il n est un quotient exact que si a est divisible par b 3 Corollaire Pour calculer le quotient g approch e 10 par d faut de la division de a par b on calcule le quotient entier q de a 10 par b et on prend q q 10 4 Exemple Soit calculer le quotient q2 10 0 01 pr s par d faut de 743 par 56 On cherche le quotient entier q de 74300 par 56 soit q 1326 On a donc q 13 26 Jere Un pas de plus et l on aboutit une d connexion franche du c ur th orico technologique de l uvre d avec ses applications qui de g n tiquement n cessaires deviennent d s lors institutionnellement contingentes L tude de l uvre tend ainsi cr er une organisation de savoir qui semble ne plus exister que pour elle m me les technologies ne d bouchant qu al atoirement sur des techniques effectives par exemple selon la logique de tous les f tichismes culturels Dans le m me temps les raisons d tre de l uvre tendent se perdre en droit sinon en fait On navigue d s lors entre esth tique et arbitraire culturel Pourquoi par exemple cette uvrette math matique encore tudi e aujourd hui au Secondaire en Seconde notamment autour de la notion d expression num rique contenant un radical et qui permet de v21 r crire une expression telle z vA 3 sous la forme 1 2 Soit dans un rep re orthonormal les points A 4 2 B 3V2 1
63. ragmatiquement impliqu e par le postulat p dagogique selon lequel existe une bonne r ponse ce qui seul justifie que le professeur rejette comme n cessairement erron e la r ponse de l l ve ayant obtenu une autre expression Dans le cas voqu la PT X us justification est en fait relativement peu co teuse si ue ste et si v t alors Ve sa Q etc La justification d un th or me en acte dans la classe peut en outre mettre en jeu des l ments technologiques non seulement disponibles mais encore au c ur m me des math matiques tudi es Ainsi en va t il pour ce postulat implicite selon lequel quels que soient a b c d Q ete N non carr parfait il existe x y Q tels que atbe xtyVe On a ici axhe xtyVe gt a b le c dle x ye amp cx dey c d fe c d fe a amp dx cy b Le syst me obtenu a pour d terminant c d e 0 Le syst me poss de donc une solution x y Ici comme dans le cas pr c dent la cl de la d monstration est le fait que afe Q auquel il faudra donc faire une petite place dans l histoire de la classe Le r sultat technologique voqu dans ce qui pr c de l existence et l unicit d une certaine criture canonique n a pas pour unique fonction de justifier des pratiques existantes Il peut tre exploit en vue de produire de nouvelles techniques On peut ainsi envisager de d terminer l criture canoniq
64. rai que en bien des cas le type de t ches T pr c de g n tiquement le bloc 8 6 lequel se construit alors comme moyen de produire et de justifier une technique t appropri e T il n en reste pas moins que structuralement le savoir 09 8 permet d engendrer t pour T donn Pour cette raison le savoir faire 7 t pourra tre classiquement pr sent dans le texte du savoir comme une simple application du savoir 0 0 Dans l enseignement des math matiques un th me d tude Pythagore Thal s etc est souvent identifi une technologie d termin e th or me de Pythagore th or me de Thal s ou plut t implicitement au bloc de savoir 0 correspondant cette technologie permettant de produire et de justifier titre d applications des techniques relatives divers types de t ches On notera cependant que d autres th mes d tude factorisation d veloppement r solution d quations etc s expriment tr s classiquement en termes de types de t ches Une organisation prax ologique m me ponctuelle n est pas en g n ral enti rement conforme aux canons voqu s ci dessus Le type de t ches autour duquel elle s est construite peut ainsi tre mal identifi tandis que la technique associ e se r v lera presque impraticable La technologie pourra parfois se r duire une pure p tition de principe et la th orie tre parfaitemen
65. ryptographie A cet gard une technique peut tre sup rieure une autre sinon sur T tout entier du moins sur une certaine partie de T sujet sur lequel on reviendra propos de l valuation des prax ologies Ensuite une technique Tt n est pas n cessairement de nature algorithmique ou quasi algorithmique il n en est ainsi que dans de trop rares cas Axiomatiser tel domaine des math matiques peindre un paysage fonder une famille sont ainsi des types de t ches pour lesquelles il n existe gu re de technique algorithmique Mais il est vrai qu il semble exister une tendance assez g n rale l algorithmisation encore que ce processus de progr s technique paraisse parfois durablement arr t en telle institution propos de tel type de t ches ou de tel complexe de types de t ches Enfin en une institution Z donn e propos d un type de t ches T donn il existe en g n ral une seule technique ou du moins un petit nombre de techniques institutionnellement reconnues l exclusion des techniques alternatives possibles qui peuvent exister effectivement mais alors en d autres institutions Une telle exclusion est corr lative chez les acteurs de 7 d une illusion de naturalit des techniques institutionnelles dans I faire ainsi c est naturel par contraste avec l ensemble des techniques alternatives possibles que les sujets de Z ignoreront ou s ils y sont confront s
66. s n affleurent pas toujours nettement dans la culture De l que la rencontre culturelle mim tique puisse se d grader en une parodie de la pratique qui occulte les raisons de la pratique 4 Par r action et l oppos on peut vouloir carter toute r f rence un r el pr existant qu il s agirait de reproduire en l imitant au profit de la cr ation d un r el sui generis identifi un syst me de situations dites fondamentales qu on peut nommer aussi ombilicales dont l l ve seul ou en quipe est l acteur principal sinon unique et qui devant ses yeux font na tre l objet comme ce qui permet de fabriquer une r ponse une ou des questions d termin es La rencontre en situation conduit ainsi proposer de facto et peut tre m me de jure une d finition de l objet rencontr qui ne se veut pas simple copie des d finitions d pos es dans la culture mais qui en bien des cas appara t a priori comme un v ritable ajout la culture ajout dont il convient alors de montrer la compatibilit avec les d finitions connues pour autant du moins que cette d finition en situation ne s est pas d j int gr e au patrimoine culturel 5 Comme il en va avec la rencontre culturelle mim tique la rencontre en situation inclut ainsi un sous moment culturel dont l effet Jourdain est l une des formes les plus spectaculaires Il s en faut en effet que toute situation de premi re r
67. sion h ro que de l activit math matique regard e comme une suite erratique d affrontements singuliers avec des difficult s toujours nouvelles c est bien l laboration de techniques qui est au c ur de l activit math matique Au fantasme moderne de l l ve h ros triomphant sans coup f rir de toute difficult possible s oppose ainsi la r alit ind passable de l l ve artisan laborieux qui avec ses condisciples sous la conduite avis e du professeur labore patiemment ses techniques math matiques En r alit l tude et la r solution d un probl me d un type d termin va toujours de pair avec la constitution d au moins un embryon de technique partir de quoi une technique plus d velopp e pourra ventuellement merger l tude d un probl me particulier sp cimen du type tudi appara t ainsi non comme une fin en soi mais comme un moyen pour qu une telle technique de r solution se constitue Ainsi se noue une dialectique fondamentale tudier des probl mes est un moyen permettant de cr er et de mettre au point une technique relative aux probl mes de m me type technique qui elle m me sera ensuite le moyen de r soudre de mani re quasi routini re des probl mes de ce type Le troisi me moment de l tude est celui de la constitution de l environnement technologico th orique 8 61 relatif t D une mani re g n rale ce moment est en interrelation troite avec c
68. soci s la technologie 8 suppos s tudi s dans cet ordre Pour tout i 1 lt i lt n une organisation ponctuelle T 1 8 O constitu e autour du type de probl mes T se construit et vient s int grer l organisation locale d j partiellement labor e 71 80 80 jar pour produire l organisation locale T 7 0 0 ia Lorsque i n on doit avoir T 7 0 10 isjen T t 0 O lt lt soit l organisation math matique locale vis e Celle ci son tour devra s int grer dans l organisation globale construite jusque l Le processus d tude va ainsi chaque fois rouvrir l organisation math matique existante pour la modifier en l enrichissant en la simplifiant etc Le sixi me moment est celui de l valuation qui s articule au moment de l institutionnalisation dont il est certains gards un sous moment la supposition de rapports institutionnels transcendants aux personnes en effet fonde en raison le projet d valuer les rapports personnels en les r f rant la norme que le moment de l institutionnalisation aura ainsi hypostasi e En pratique il arrive un moment o l on se doit de faire le point car ce moment de r flexivit o quels que soient le crit re et le juge on examine ce que vaut ce qui a t appris ce moment de v ridiction qui malgr les souvenirs d enfance n est nullement une invention de l cole participe en fait de la respiration
69. sp cimens Un travail plus pouss est n cessaire ne serait ce que pour explorer la port e de cette technique ne r ussirait elle pas que sur ces deux sp cimens pr cis ment Consid rons ainsi le probl me suivant d terminer le rectangle d aire maximale qu on peut inscrire dans un cercle de rayon r Si x est la mesure de l un des c t s du rectangle l autre c t a pour mesure y VOOr et laire du rectangle s crit xy Cette aire est maximale en m me temps que l expression xy et donc que x 4r x expression qui atteint son maximum lorsque x 47x 277 i e pour x y n 2 On peut 21 tendre la port e de cette technique jusqu r soudre par exemple le probl me suivant v le on 3 dans un rectangle de carton de 50 cm par 80 cm on veut construire une bo te sans couvercle en retranchant chaque coin de la plaque de carton un carr de c t x cm d terminer x pour que la bo te obtenue ait une capacit maximale cinqui me momen i institutionnalisation qui j ci Le t est celui de l institut lisat ui a pour objet de pr ciser ce qu est exactement l organisation math matique labor e en distinguant notamment d une part les l ments qui ayant concouru sa construction n y seront pas pour autant int gr s et d autre part les l ments qui entreront de mani re d finitive dans l organisation math matique vis e distinction que cherchent pr ciser les
70. st aussi le quotient par b des entiers a 1 a 2 a r on ne change pas le quotient si on remplace a par a k avec 0 lt k lt r le reste r dans la division de a par b est le premier entier k tel que a k soit divisible par b On voit alors que en oubliant le reste r soit en rempla ant a par b q a r le quotient final reste inchang d s lors que r lt r d apr s O ce qui est le cas d apr s puisque a r bq b b q est divisible par b 3 4 Une remarque technique Bien qu peine esquiss l exemple pr c dent montre notamment que la composante technologique d une organisation math matique change avec les types de t ches et les techniques que l on entend produire justifier expliquer Le on 2 Organisations didactiques amp moments de l tude 1 Le didactique dimension du r el social 1 1 tudier une question Dans la le on 1 et tout au long de la premi re journ e consacr e la TAD nous avons v cu une situation probl matique c est dire dans laquelle l on nous proposait d accomplir une t che probl matique d crire et analyser une certaine prax ologie math matique Nous avons en outre voqu d autres types de t ches a priori probl matiques r soudre une quation de B zout par exemple On pourrait multiplier les exemples tous rel veraient d un m me sch ma que l on examine rapidement ci apr s Au point de d
71. t dire si l on effectue les calculs 3xX7 5X2 31 7x8 5x5 31 C est pour la m me raison encore que l on apprendra longuement d velopper et ordonner les expressions alg briques ou simplifier les fractions pour les identifier coup s r Ainsi les fractions En et D repr sentent elles un m me nombre dont l criture canonique est gt Mais la chose n est pas a priori vidente et seul un travail de simplification c est dire de r criture canonique permet de ne pas passer c t de la v rit 2 Organisations didactiques 2 1 G n ricit et sp cificit Les prax ologies didactiques ou organisations didactiques sont des r ponses au sens fort aux questions du type Comment tudier la question q Tr ou Comment tudier l uvre O r ponses qu on notera ici g n riquement dq et dO en sorte qu on aura par exemple OD9 d0Me Cela pr cis la question se pose de savoir quels types de t ches rel vent d une prax ologie didactique ou pour le dire autrement quels gestes peuvent tre regard s comme didactiques La question Comment tudier d pend l vidence de l enjeu didactique Une r ponse cette question c est dire une organisation didactique v en d pendra galement partir d un certain niveau d organisation de l tude on n tudie plus la question q de la perspective comme on tudierai
72. t a On a de m me a 1 lt b g 1 et q 1 lt b q 1 d o b q 1 b b q 1 2 b g 1 gt a 1 Par suite et d apr s 0 on aq q Ce d veloppement technologique assure que la technique indiqu e marche le quotient de 4225 par 24 est ainsi puisque 24 4 6 celui de 1056 par 6 soit encore puisque 6 2 3 celui de 528 par 3 soit enfin 176 Mais cela ne permet pas vraiment m me si la chose est minemment subjective de comprendre pourquoi le ph nom ne en question se produit La fonction d explication productrice d intelligibilit doit tre prise en charge par un autre d veloppement comme ci apr s Il est clair que si a est divisible par b alors on obtient q en divisant a par b puis en divisant le quotient q 10 ainsi obtenu par b Supposons maintenant que a soit divisible par b avec a b q il est clair alors du moins l admettra t on ici que q q o q g b Une d monstration de ce point proc derait de l observation que l on a a b qg b b q r b b qg b r avec b r lt b b b Pourquoi alors peut on dans le cas g n ral o l on ne suppose plus que b divise a oublier le reste r de la division de a par b L explication fondamentale d coule des deux faits g n raux suivants dont il convient d abord de se persuader O le quotient par b de l entier a e
73. t ches apparaissent 1ils immotiv s Crit re de pertinence Les types de t ches consid r s fournissent ils un bon d coupage relativement aux situations math matiques les plus souvent rencontr es Sont ils pertinents au regard des besoins math matiques des l ves pour aujourd hui Pour demain Ou au contraire apparaissent ils comme des isolats sans lien v ritable ou explicite avec le reste de l activit math matique et extramath matique des l ves Pour illustrer le troisi me crit re consid rons un genre de t ches v rifier un calcul dont la pertinence para t g n riquement vidente mais dont la concr tisation sous la forme de types de t ches d termin s est en g n ral mal prise en charge dans le curriculum secondaire fran ais 1 Un type de t ches que l on peut consid rer cet gard est relatif au th me 6 des critures fractionnaires PE le do 15 ee v rifier le r sultat d un calcul de fractions telle par exemple l galit 9 55y En l esp ce une technique peut consister v rifier l aide d une calculette l galit du produit de chacun des deux membres de l galit obtenue par le produit des d nominateurs des fractions ainsi aura t on oog 78 amp 9 6 Ts 78 2 Un deuxi me type de t ches consiste v rifier le r sultat d un calcul alg brique telle par exemple l galit x 3 2x 1 2x 5x 3 En l esp c
74. t in galement assum es par une technologie donn e De ce point de vue en math matiques la fonction de justification l emporte traditionnellement par le biais de l exigence d monstrative sur la fonction d explication On sait qu une quation ax bx c 0 o a 0 a une racine double lorsque b 4ac 0 n a pas de racine dans R si b 4ac lt 0 etc On peut expliquer un tel r sultat l aide de la technologie des nombres complexes Soit en effet z et z les racines complexes de l quation On a F z 42 bla A c a b 4ac a On voit ainsi que b _4ac 0 si et seulement si z Z que si b 4ac lt 0 alors z et z ne sauraient tre r els etc Enfin une troisi me fonction correspond un emploi plus actuel du terme de technologie la fonction de production de techniques On notera ainsi qu il existe des technologies potentielles en attente de techniques qui ne sont encore technologies d aucune technique ou de tr s peu de techniques cet gard on soulignera le ph nom ne de sous exploitation des technologies disponibles tant du point de vue de la justification ou de l explication que de la production C est ainsi que la technologie des nombres fractionnaires quotients de d cimaux permet d engendrer une technique qui surclasse celle vue pr c demment propos du prix de sucettes et que concr tise le sch ma s PE n z 6 discursif suivant Si a choses val
75. t la question q de la cryptographie par exemple Mais elle n en d pendra pas au point qu il n y ait rien de commun entre une organisation didactique q et une organisation didactique q En fait et ainsi qu on l a not le on 2 1 2 3 dans une institution donn e seuls certains types de prax ologies didactiques satisfaisant certaines contraintes sont cologiquement viables en cons quence toutes les prax ologies dw se conformeront ces contraintes quel que soit Y sans qu on puisse affirmer a priori que ces contraintes ne p sent pas cologiquement sur les niveaux plus sp cifiques d organisation de l tude La distinction entre ce qui serait sp cifique de l enjeu didactique et ce qui ne le serait pas appara t ainsi dans la perspective pr c dente comme relative L opposition g n rique sp cifique a si l on peut dire une structure fractale en ce qu elle se retrouve aux diff rents niveaux d analyse du didactique Ainsi quel qu en soit l objet il y a une sp cificit de l activit didactique parmi l ensemble des activit s humaines sp cificit qui pr cis ment fonde le genre didactique par del ses diff rentes esp ces celles notamment que d terminent les grands types d uvres math matiques physiques litt raires plastiques etc L tude scolaire des math matiques ainsi n est pas un isolat institutionnel elle se relie un certain niveau de g
76. t plusieurs l ments J ignore si dans l esprit de ses cr ateurs peut tre vaudrait il mieux dire de ses ing nieurs les divers l ments du dispositif taient d lib r ment combin s Pour moi ils le furent et le sont rest s 1 Nous n tions convoqu s qu une fois par semaine le matin pour un cours de deux heures 2 la fin du cours nous tait remis un bref document ron ot appel la feuille prescrivant avec une impeccable pr cision les devoirs exercices le ons lectures que nous devions faire la maison pendant l intervalle guid s surveill s instruits par nos r p titrices priv es ou pour les moins fortun s par nos m res 3 M res et r p titrices assistaient au cours s par es des l ves par une mince barri re Elles n taient pas autoris es intervenir mais se manifestaient parfois bruyamment par des soupirs des exclamations plaintives ou indign es devant nos d faillances nos tourderies 4 Une m me institutrice pour nous M Haussoye nous r gentait de la onzi me la septi me incluse 5 Pendant le cours rien ne nous tait enseign c est pourquoi j h site l appeler cours Ce que nous apprenions nous l apprenions la maison condition de suivre la lettre les prescriptions de la feuille La s ance hebdomadaire tait en r alit un examen et m me une sorte de concours Nous tions en effet class s l issue de cha
77. t sibylline La notion de prax ologie appara t ainsi comme une notion g n rique dont il convient d approfondir l tude notamment par l enqu te empirique et l analyse des donn es d observation recueillies 3 Des questions tudier 3 1 Le routinier et le probl matique On peut imaginer un monde institutionnel dans lequel les activit s humaines seraient r gies par des prax ologies bien adapt es permettant d accomplir toutes les t ches voulues d une mani re la fois efficace s re et intelligible Mais un tel monde n existe pas comme on l a sugg r les institutions sont parcourues par toute une dynamique prax ologique qu on n examinera ici que tr s bri vement Les prax ologies en fait vieillissent leurs composants th oriques et technologiques perdent de leur cr dit et deviennent opaques tandis que des technologies nouvelles mergent qui par contraste portent suspecter d archa sme les techniques tablies Jusqu au milieu du Xxx si cle ainsi l arithm tique scolaire contient sous le nom de th orie des rapports et proportions une prax ologie math matique locale qui permet de traiter efficacement les probl mes de proportionnalit directe ou inverse si 8 sucettes co tent 10 francs et si on veut conna tre le prix x francs de 3 sucettes on dira que 8 est 10 comme 3 est x ce qui se traduit par la proportion not e classiquement 8 10 3 x dans laquelle o
78. uation ce point m me que de telles pratiques en partie sauvages sont parfois regard es comme une v ritable g ne dont l importance doit tre contr l e Certains philosophes antiques tel Pyrrhon 365 275 av J C dont Montaigne se fera le disciple ont ainsi fait du refus de juger le fondement de la vie heureuse les jugements que les hommes portent sur la valeur de telle ou telle chose ne sont fond s que sur des conventions En fait il est impossible de savoir si telle chose est en soi bonne ou mauvaise Et le malheur des hommes en effet vient de ce qu ils veulent obtenir ce qu ils croient tre un bien ou fuir ce qu ils croient tre un mal Pierre Hadot Qu est ce que la philosophie antique Gallimard 1995 p 176 S il n est videmment pas question d adopter une probl matique du refus de juger il est cependant toujours n cessaire de r fl chir sur le bon usage de la suspension de jugement l epoch des Sto ciens En particulier l analyse et avant cela m me l observation ne doit pas devenir subrepticement valuation Il est vrai sans doute que l tat de suspension de jugement constitue normalement le fond de toute vie institutionnelle sur lequel s l ve alors le bruissement des jugements de valeur Mais on doit r p ter ici qu il faut savoir allouer un temps celui de l observation et de l analyse la suspension de jugement et un temps propre
79. ue d une expression de la forme aie par la technique mise en uvre ci apr s ENS xs 3H5 3 15 c d fe 31 5 Maty 5 amp 14 61 5 3x 5y x 3 V5 amp 3x 5y 14 amp x 3y 6 amp x 18 amp y 8 Des questions analogues devront bien entendu tre soulev es propos des l ments th oriques de l organisation math matique examin e y a t il des l ments th oriques explicites Implicites Que permettent ils d clairer De justifier Etc 1 4 valuer une organisation didactique La question de l valuation d une organisation didactique OD constitue un point de convergence de l ensemble des tudes en didactique des math matiques en m me temps qu elle est de mani re explicite ou implicite l un des moteurs les plus puissants du progr s des recherches didactiques Un traitement m me sommaire de cette question appellerait donc de longs d veloppements qui ne peuvent trouver place dans le cadre de ces le ons une nouvelle suite de le ons serait ici n cessaire Faute de pouvoir proposer mieux on laissera donc le lecteur s inspirer des quelques d veloppements consacr s plus haut l analyse d une organisation didactique pour laborer ses crit res d valuation existence d un topos pour l l ve prise en charge des diff rents moments de l tude etc 2 D velopper Plus encore sans doute que l tape de l valuation la question du d veloppement doit tr
80. ues qui le d montre Division des entiers r sultat fondamental Soit deux entiers relatifs a et b b gt 0 1 D montrons qu il existe au plus un entier entier relatif q tel que bq lt a lt b g 1 La suite arithm tique g n ralis e bk 7 tant strictement croissante si q et q2 v rifiaient tous deux cette double in galit avec par exemple q lt qn soit q 1 lt q2 on aurait a lt b q 1 lt bg lt a ce qui est impossible D o l unicit de q 2 D montrons ensuite l existence de q Supposons d abord a 2 0 La suite bk ex tant strictement croissante et non born e il existe un premier entier k N tel que bk gt a de sorte en particulier que b k 1 lt a Posons q k 1 il vient alors bq lt a lt b q 1 l entier q convient Si maintenant on a a lt 0 il existe q tel que bq lt a lt b q 1 soit encore b q 1 lt a lt b q Si a b q on peut prendre q q Sinon on aa lt b q et b q 1 lt a soit b q 1 lt a lt b q en prenant q qg 1 on obtient ainsi bq lt a lt b q 1 entier q convient 3 Ainsi tant donn deux entiers relatifs a et b b gt 0 il existe un et un seul entier relatif q tel que bq lt a lt b q 1 Le nombre q s appelle le quotient de la division de a par b On appelle reste de cette division l entier r a bq Les l ments th oriques requis pour justifier la technologie
81. ui est rencontr dans une premi re rencontre avec une organisation math matique O La question de l identit de l objet ainsi rencontr pour la premi re fois m rite examen S il existe en effet des premi res rencontres annonc es Demain nous commencerons le cosinus d un angle aigu indique par exemple le professeur il existe aussi l autre extr me des premi res rencontres vraies qui pourtant passent presque enti rement inaper ues parce que dans l institution o elles se produisent l objet rencontr est en quelque sorte de deuxi me voire de troisi me rang et qu il n est rencontr que parce qu il vit en troite association avec l objet v ritable de la rencontre Cette remarque conduit donc distinguer le point de vue de l organisateur de l tude qu il s agisse de l l ve du professeur ou de l ing nieur didacticien et le point de vue de l observateur Pour le premier seuls certains objets appellent une mise en sc ne introductive tandis que les autres sont cens s s introduire sans fa on comme silencieusement dans l organisation math matique qui se construit Pour le second c est propos de chacun des objets qui s introduisent dans l organisation math matique en construction que peut tre pos e la question de la premi re rencontre et cela par exemple dans une perspective de r organisation curriculaire en vue notamment de donner un meilleur relief
82. y tels que ax by c quation de B zout Lorsque les entiers a et b sont petits et qu on travaille la main il est pratique de proc der comme sur l exemple suivant o a 151 b 137 c 1 On commence par crire la fraction a b sous la forme d une fraction continu e que l on arr te quand le num rateur de la derni re fraction obtenue est 1 151 14 1 1 1 1 1 137 1 337 1 53 1 11 1 DL o l4 1 T4 9 74 214 9 3 9 I Ti LT DT 3 1 L 1 L 1 L 9 I 9 I 9 I 1 1 1 I 3 3 33 3 T 2 Les On supprime alors cette derni re fraction ici 1 2 et on calcule l expression ainsi obtenue 1 1 1 1 1 5 54 1 I 1 I 1 j 1 4 lt t4 40 9 9 9 7 9 7 l 1 l 1 5 5 5 Ta 1 t4 4 112 On obtient ainsi 49 151 54 137 1 Bien entendu 1l resterait justifier cette technique et plus encore peut tre l expliquer Constamment en une institution donn e de nouvelles prax ologies sont regard es par au moins une partie des acteurs de I comme n cessaires un meilleur fonctionnement de 1 Ces prax ologies devront en cons quence y tre produites ou plus souvent reproduites dans la mesure o elles existent d j en quelque autre institution 7 partir de laquelle on pourra se proposer de les importer dans 7 Les conditions impos es par l cologie de 7 font alors que la prax ologie d sir e ne pourra y tre reproduite l ide
83. yst me d enseignement et ses tablissements qui s appliquent peu ou prou toutes les mati res qui y sont tudi es pour le syst me scolaire fran ais on situera l notamment l existence de cursus d tudes strictement d finis celle de programmes nationaux la distribution des l ves d un niveau d tudes donn 6 5 4 etc entre plusieurs communaut s d tude quasi autonomes les classes du niveau consid r l importance accord e aux professeurs par rapport aux autres aides l tude possibles l existence de syst mes et dispositifs didactiques auxiliaires tudes encadr es modules etc un deuxi me niveau on situera les d terminants sp cifiques de telle mati re figurant dans tel cursus d tudes on placera l par exemple les formes didactiques qui font sens a priori pour l ensemble de la mati re tudi e comme il en va s agissant de l exp rimentation ou de la d monstration dans leurs aspects g n raux en math matiques Semblablement les niveaux suivants de sp cification concerneront les aspects propres chacun des niveaux d organisation de la mati re tudi e global r gional local ponctuel 2 2 Le topos de l l ve et l autre sc ne Dans le cadre des syst mes didactiques scolaires Z S X y P auxquels on se limitera d sormais les types de t ches int gr s dans une prax ologie math matique sont traditionnellement accomplis

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