Ajustement affine
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1. logarithmique Utilisez le papier millim tr en fin de ce chapitre pour reporter les p riodes en fonction du demi grand axe Il y a un trou sur le graphe entre Mars et Jupiter Comment peut on l expliquer La com te de Hale Bopp a une p riode de 2530 ans Que vaut le demi grand axe Les points x y sont proches d une courbe d une exponentielle de la forme ba On remarque que In y xln a In b 1 calculer z ln y 2 d terminer l quation de la droite de r gression de z en x avec la m thode des moindres carr s 3 de l quation obtenue z Ax B on d duit l quation de l exponentielle ba puisque a ef et b ef Ajustez ce nuage de points par une exponentielle de la forme ba X 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 9 4 0 4 5 5 0 y 0 2 0 3 0 5 0 6 0 7 1 1 1 6 2 4 3 3 Cahier Statistiques 20 Ajustement par une fonction logarithmique CHAPITRE 2 moindres carr s 3 de l quation obtenue y logarithmique aln x b Exercice 2 9 1 calculer z in x Les points x y sont proches d une courbe logarithmique de la forme aln x b 2 d terminer l quation de la droite de r gression de y en z avec la m thode des a z b on d duit l quation de la fonction Ajustez ce nuage de points par une fonction logarithmique aln x b X 1 2 3 4 5 62. 0 5 1 4 2 7 S 1 7 6 11 2 15 9 22 3 28 1 Didier M ller LCP 2013 Exercice 2 7 En g om trie le grand axe d une ellipse est un param tre utilis pour d crire la dimension de cette conique Le demi grand axe est la moiti du grand axe Hale Bopp a probablement t la com te la plus observ e de l histoire Tr s brillante elle a t visible 18 mois avec son maximum d clat en 1997 Ajustement par une exponentielle Exercice 2 8 Didier M ller LCP 2013 AJUSTEMENTS 19 Dans le tableau ci dessous on a donn pour chaque plan te du syst me solaire le demi grand axe de l orbite et la p riode de r volution Le demi grand axe est exprim en unit s astronomiques UA On appelle unit astronomique le demi grand axe de l orbite terrestre Il vaut 149 600 000 km La p riode de r volution est exprim e en ann es c d Plan tes Demi grand axe UA P riode ann es Mercure 0 38710 0 24084 V nus 0 72333 0 61519 Terre l l Mars 1 52369 1 88082 Jupiter 5 20280 11 8618 Saturne 9 53884 29 4567 Uranus 19 1819 84 0107 Neptune 30 0578 164 786 Trouvez la relation qui existe entre la p riode et le demi grand axe l aide de la m thode des moindres carr s Cette relation est la troisi me loi de Kepler L existence de cette relation est vidente lorsque l on choisit une chelle
3. soit minimale ce qui explique le nom de la m thode Didier M ller LCP 2013 AJUSTEMENTS 15 On veut donc minimiser la quantit q gt y a x b Rappelons que la valeur minimale d une fonction se calcule en posant sa d riv e gale 0 Pour trouver a et b calculons cette d riv e Calculons d abord la d riv e de q par rapport a CURE SS y ax b x 0 da I l I D ayna bA 1 Kard Peiroi Calculons maintenant la d riv e de q par rapport b Londres 27 3 1857 Coldharbour 27 4 1936 ad 2 y a x b e oa a x 2 b 2 gt ax nb Divisons le tout par n y b y ax 2 Ce r sultat indique que la droite passe par le point moyen x y Introduisons le r sultat de 2 dans 1 pour trouver a rapra aA S x yma x p gt x ax gt x a 2a mar N AI I 2x 2 xyi x D ao xy TO powo GR La droite des moindres carr s y ax b a pour coefficients DU TEXAS INSTRUMENTS Iy X y TX V _ l E Do n STATVAR CLEAR Remarque Certaines calculatrices ont des fonctions statistiques qui fournissent ces valeurs tr s rapidement Consultez le mode d emploi de votre machine Didier M ller LCP 2013 Cahier Statistiques 16 Exercice 2 1 Exercice 2 2 Vous remarquerez que les mesures au centi me de seconde apparaissent en 1968 pour les hommes et en 1972 pour les femmes CITIUS ALTIUS FORTIUS 2 4 CHAPITRE 2 Lors d une ex
4. on choisit sur le dessin deux points A et B quelconques de la droite pour en d terminer l quation Ces points ne doivent pas obligatoirement faire partie du nuage de points Rappel L quation de la droite passant par les points A x41 y4 et B xz yg est donn e e VB V4 x se par Y Yyg m B Les points et B choisis dans notre exemple ont comme coordonn es 3 16 5 et 6 18 5 La droite passant par ces deux points est 18 5 16 5 18 5 x 6 y s3 1 6 On obtient apr s simplification y Ex 14 5 2 3 Droite de Mayer M thode On d coupe le nuage de points en deux sous ensembles de m me effectif Pour chacun des deux sous ensembles on calcule la moyenne des x et la moyenne des yi On obtient ainsi deux points Ti A et o Y2 appel s points moyens Il reste tracer la droite passant par ces deux points 250 230 210 190 170 150 130 110 90 70 50 L quation de cette droite s obtient de la m me fa on que pour un ajustement affine graphique 2 4 Ajustement analytique par la m thode des moindres carr s p est la coordonn e verticale du point de la droite d abscisse x Donc a x b Sur le dessin chaque trait vertical rouge repr sente la valeur y 9 Cahier Statistiques L ajustement lin aire par la m thode des moindres carr s consiste d terminer la droite que l on appelle aussi droite de r gression telle que la somme des carr s des n valeurs Y Y
5. 2 309 2 296 2 288 2 281 a Donnez une quation de la droite de r gression de Y en X obtenue par la m thode des moindres carr s Cahier Statistiques Didier M ller LCP 2013 exp x e Exercice 2 11 AJUSTEMENTS 21 En d duire que l on peut mod liser une expression de y en fonction de x sous la forme suivante y exp a e 000722 b o a et b sont deux r els d terminer A l aide de cet ajustement quel record du 100 m tres peut on pr voir en 2010 Calculez la limite en c de la fonction f d finie sur IR par l expression suivante f x exp 0 154 670 0024 2 221 Que peut on en conclure en utilisant ce mod le quant aux records du cent m tres masculin tr s long terme Le 14 octobre 2012 l autrichien F lix Baumgartner effectuait le plus spectaculaire des sauts en chute libre emmen par un ballon stratosph rique l altitude de 39 045 m Ce plongeon dura au total 549 secondes Un appareil a enregistr la vitesse verticale Vz en fonction du temps La vitesse maximum de 373 m s a t atteinte en t 40 s Le pr c dent record remontait 1960 Le tableau 1 contient les mesures faites pendant les 35 premi res secondes de chute Tableau 1 T s 5 12 20 26 30 35 Vz m s 49 115 195 254 287 340 Le tableau 2 contient les mesures r alis es entre 50 s et 260 s une zone dans laquelle la force de tr
6. 7 8 9 10 y 1 1 2 9 4 4 5 1 5 8 6 5 6 8 7 3 7 7 7 8 Exercice 2 10 tudions l volution des records de l preuve d athl tisme du 100 m tres masculin Pour cela on cherche un ajustement des records pour en pr voir l volution On donne dans le tableau suivant certains records tablis depuis 1900 Ann e 1900 1912 1921 1930 1964 1983 1991 1999 Rang xi 0 12 21 30 64 83 91 99 Temps en sec vi 10 80 10 60 10 40 10 30 10 06 9 93 9 86 9 79 1 tude d un mod le affine a Construisez le nuage de points M x y avec i compris entre 1 et 8 associ cette abscisse et 1 cm pour un dixi me de seconde en ordonn es On commencera les graduations au point de coordonn es 0 9 s rie statistique double Vous prendrez comme unit graphique 1 cm pour dix ans en b Peut on envisager un ajustement affine court terme Cet ajustement permet il des pr visions pertinentes long terme sur les records futurs 2 tude d un mod le exponentiel Apr s tude on choisit de mod liser la situation par une autre courbe On effectue les changements de variables suivants X e 0 00924x et Y n y On obtient y g 0 00924x 1 000 0 895 0 824 0 758 0 554 0 464 0 431 0 401 Y ln y 2 380 2 361 2 342 2 332
7. AJUSTEMENTS 13 2 Ajustements 2 1 Un peu d histoire Adrien Marie Legendre Paris 18 9 1752 Paris 10 1 1833 De Legendre on ne conna t que cette caricature On sait depuis peu que le portrait habituel ci LS contre est celui d un autre Legendre Le probl me de l ajustement d un ensemble de points repr sent s dans un syst me d axes par une droite ou plus g n ralement par une courbe est essentiel dans le d veloppement de la statistique Au 18 si cle Leonhard Euler et Tobias Mayer d veloppent ind pendamment l un de l autre la m thode des moyennes permettant d ajuster des points par une droite Le premier texte paru faisant mention de la m thode des moindres carr s est d Adrien Marie Legendre dans un article sur ses nouvelles m thodes pour la d termination des orbites des com tes publi en 1805 Un an plus tard Gauss fait aussi allusion cette m thode C est avec l apparition de la loi normale que cette m thode va trouver sa justification et va devenir pour longtemps la m thode d ajustement La paternit de la corr lation a donn lieu une litt rature abondante Signalons simplement que Galton exprime le d sir de construire un coefficient de r version qui se mutera en r gression et qu en 1888 1l utilise les termes de partial co relation annon ant d j la corr lation multiple En 1896 Karl Pearson reprend les concepts de Galton pour leur donner leu
8. a n e force a rodynamique de freinage devient importante jusqu compenser compl tement le poids du sauteur Tableau2 _ t s 50 70 100 130 180 230 260 t t 50 s 0 20 50 80 130 180 210 Vz m s 352 254 158 102 69 SI SI Repr sentez la fonction Vz t En particulier extrapolez la fonction entre les temps t 35sett 50s V rifiez que durant les 35 premi res secondes la chute de F Baumgartner est libre Donnez les quations du mouvement z t V et az f correspondantes l aide du graphique de point a estimez la distance parcourue par F Baumgartner durant les 260 premi res secondes du vol et sa vitesse limite Vlim avant l ouverture du parachute Repr sentez la fonction At In Vz f Viim pour t gt 0 D duisez en l quation de la vitesse de F Baumgartner en fonction de t Sachant que F Baumgartner a ouvert son parachute 1 6 km d altitude estimez la date de cette ouverture ainsi que la dur e de la phase avec parachute 2 6 Ce qu il faut absolument savoir Faire un ajustement affine graphique J ok Faire un ajustement affine par la m thode de Mayer J ok Faire un ajustement affine par la m thode des moindres carr s J ok Estimer et interpr ter un coefficient de corr lation lin aire J ok Faire un ajustement par une hyperbole J ok Faire un ajustement par une fonction puissance Li ok Faire un ajuste
9. ment par une exponentielle Li ok Faire un ajustement par une fonction logarithmique Li ok Didier M ller LCP 2013 Cahier Statistiques
10. mes f Ces ajustements affines sont ils ad quats Coefficient de corr lation lin aire D finition On nomme coefficient de corr lation lin aire des variables x et y le nombre r el Cahier Statistiques o S T0 n n n 2 E e _ 2 2 _ 2 2 avec T X yY X Y o gt x 0 I n 1 n 1 Didier M ller LCP 2013 Interpr tation Exercice 2 3 AJUSTEMENTS 17 r est un nombre r el compris entre 1 et 1 Quand r 1 tous les points sont align s Quand r est proche de 1 les variables x et y sont fortement corr l es Quand r lt 0 la droite de r gression a une pente n gative Quand r gt 0 la droite de r gression a une pente positive Rendez chacun des nuages de points ci dessous son coefficient de corr lation lin aire 0 98 0 50 0 53 0 94 L e 6 se e e L o vi g Le i e a a m L SL o e o o L 3 e L hd L e L 2j J 2 r L e e e E J Bia AA 1 e o o a 4 e e b l _e e aa 1 2 3 4 5 6 1i 2 3 4 5 6 L o L e FA y 8 L o L e 5f e B 6 9 i a 9 5f L F e e o F e en J e o e e o 3 e sa 2o i o i o o gt te s ooo l LE a e e 1 J L Le e o C _ e d i LE 1 2 3 4 5 1 J 3 4 5 Exercice 2 4 Les criquets ont un
11. nt par une fonction puissance droite de r gression de v en u v est la valeur estimer et joue le r le de l ordonn e u joue le r le de l abscisse Exercice 2 6 Cahier Statistiques CHAPITRE 2 Les points x y ne sont pas align s mais plut t proches d une certaine hyperbole de la fi y H ax b 1 1 calculer Z 2 d terminer l quation de la droite de r gression de z en x avec la m thode des moindres carr s 3 de l quation obtenue z ax b on d duit imm diatement l quation de l hyperbole ax b Ajustez ce nuage de points par une hyperbole P x b X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 1 1 0 43 0 19 0 15 0 08 0 05 0 06 0 05 0 04 0 04 0 03 Les points x y sont proches d une courbe de fonction puissance comme b x On remarque que In y aln x In b 1 calculer u 1ln x et v ln y 2 d terminer l quation de la droite de r gression de v en u avec la m thode des moindres carr s 3 de l quation obtenue v Au B on d duit l quation de la fonction puissance b x puisque a et b e 4 o t a D 1 amp Oo M J co 1 2 3 NY x Ajustez ce nuage de points par une fonction puissance b x x 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 40 45 5 0 y O 1
12. organe sp cial sur leurs ailes avant qui produit un son lorsqu ils frottent leurs ailes les unes contre les autres En r gle g n rale plus la temp rature de l air est lev e plus ils frottent leurs ailes rapidement La relation entre la temp rature et le nombre de pulsations par seconde est bien approch e par une droite de r gression chaque esp ce a sa droite propre On a relev les mesures suivantes Temp rature C x 15 FA 20 2l 29 24 21 28 30 32 34 de pulsations par sec y 13 5 14 1 14 5 14 4 16 3 15 5 17 1 17 8 18 2 20 2 20 1 a Donnez la droite des moindres carr s ajustant ce nuage de points b Calculez le coefficient de corr lation lin aire c Si la temp rature augmente de 3 C de combien augmentera le nombre de pulsations 2 5 Ajustements non lin aires Didier M ller LCP 2013 Dans certains cas l ajustement une fonction lin aire n est pas ad quat un ajustement des donn es une fonction non lin aire doit tre envisag Les cas que nous consid rerons sont ceux o on peut se ramener par une simple transformation un ajustement affine Cahier Statistiques 18 Ajustement par une hyperbole droite de r gression de z en x z est la valeur estimer et joue le r le de l ordonn e x joue le r le de l abscisse Exercice 2 5 Ajusteme
13. p rience on a relev les valeurs suivantes X l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 3 1 47 7 3 9 2 11 1 129 15 4 17 18 8 Donnez l quation d une droite ajustant ces valeurs a l il b par la m thode de Mayer c par la m thode des moindres carr s d Dessinez les droites obtenues en b et c e Interpolez la valeur de pour x 6 3 gr ce aux droites obtenues en b et c Le tableau ci dessous montre l volution des temps olympiques du 200 m plat en secondes pour les hommes et pour les femmes 200 m hommes 200 m femmes Londres 1948 21 1 24 4 Helsinki 1952 20 7 23 7 Melbourne 1956 20 6 23 4 Rome 1960 20 5 24 0 Tokyo 1964 20 3 23 0 Mexico 1968 19 83 225 Munich 1972 20 00 22 40 Montr al 1976 20 23 22 37 Moscou 1980 20 19 22 03 Los Angeles 1984 19 80 21 81 S oul 1988 19 75 21 34 Barcelone 1992 19 73 21 72 Atlanta 1996 19 32 22 12 Sydney 2000 20 09 21 84 Ath nes 2004 19 79 22 05 P kin 2008 19 30 21 74 Londres 2012 19 32 21 88 Donnez l quation des droites celle des performances des hommes et celle des performances des femmes ajustant ces valeurs a l il b par la m thode des moindres carr s c Dessinez les droites obtenues en b d Estimez les temps olympiques de 2016 e D apr s les droites obtenues en b en quelle ann e les femmes courront elles le 200 m plat aussi vite que les hom
14. r forme actuelle Au 20 si cle d autres mesures d association allaient na tre comme en 1904 le coefficient de corr lation de rang avec Spearman et la m me ann e la statistique classique du chi deux par Pearson 2 2 Ajustement affine graphique Les points noirs repr sentent les donn es Les points rouges et B sont les points choisis pour tracer la droite Ils peuvent tre choisis parmi les points noirs 4 ou pas B Didier M ller LCP 2013 Soient les n points du nuage repr sentant dans un rep re cart sien la s rie des n valeurs x y des variables x et y Ajuster une droite d ce nuage de points consiste remplacer chaque point x y par un point de m me abscisse et d ordonn e 9 les points x tant align s sur la droite d Une fois l quation de la droite d d termin e on pourra l utiliser pour faire des interpolations calculs de valeurs interm diaires et des extrapolations calculs de valeurs futures La m thode graphique consiste tracer l il l aide d une r gle transparente une droite y m x h s ajustant le mieux possible sur le nuage de points Cahier Statistiques 14 quation de la droite d ajustement Cette m thode est couramment employ e en raison de sa rapidit et de sa simplicit Elle est empirique mais donne de tr s bons r sultats empirique bas sur l exp rience CHAPITRE 2 Une fois la droite trac e
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