TP 5
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1. TP INFO N 4 CALCUL MXTRICIEL Logiciel utilis XCAS Mode d emploi Ouvrir Xcas Choisir l onglet Cfg puis Mode Syntaxe Xcas Pour entrer la matrice M f On fait M 1 1 3 2 61 La notation permet d affecter M la valeur matrice correspondante Ensuite la matrice se rentre ligne par ligne chaque ligne commence par un et se termine par les coefficients sont s par s par une virgule Les nombres d cimaux se note avec la notation anglo saxonne savoir le point Les op rations sont multiplication addition soustraction puissance inverse 4 1 ou Inv A EXERCICE 1 Bonus et Malus en assurance automobile Une compagnie d assurance automobile a mis en place le syst me de bonus malus suivant Il existe trois niveaux de cotisations annuelles A 455 B 364 etC 273 La premi re ann e l assur paye le tarif B S il n a pas t responsable d un accident pendant une ann e il passe au tarif inf rieur l ann e suivante sauf s il est d j au tarif le plus bas auquel cas il y reste S il a t responsable d un accident au cours d une ann e il passe au tarif sup rieur l ann e suivante sauf s il est d j au tarif le plus haut auquel cas il y reste La compagnie estime 10 la probabilit qu un assur pris au hasard soit responsable d un accident au cours d une ann e Par ailleurs elle value en moyenne 280 par assur ses d penses de remboursement lors des acci2. dents On souhaite r pondre la question Cette compagnie peut elle long terme esp rer l quilibre financier voire un b n fice 1 Etablir le graphe probabiliste qui traduit l volution du tarif d une assur pris au hasard d une ann e la suivante En d duire la matrice de transition T 2 On suppose que pour l ann e O les proportions d assur s payant les tarifs A B et C sont respectivement 30 50 et 20 a D terminer les proportions de chaque cat gories la troisi me ann e Justifier b D terminer les proportions de chaque cat gories la 20i me ann e Justifier 3 On suppose que pour l ann e O les proportions d assur s payant les tarifs A B et C sont respectivement 70 20 et 10 Reprendre les deux questions pr c dentes 4 Quel conjecture pouvez vous mettre 5 D terminer la matrice S a b c aveca b c 1 telle que ST S On demande les valeurs exactes Quel r sultat retrouve t on Indication on pourra finaliser le calcul en utilisant la commande resoudre_systeme_lineaire syntaxe resoudre_systeme_lineaire ligne1 ligne2 ligne3 liste des inconnues s par es par des Afin d obtenir des valeurs exactes il est parfois n cessaire d utiliser la commande exact syntaxe exact expression 6 On admet que cette r partition stable de probabilit est pratiquement atteinte long terme On note X la variable al atoire qui indique la cotisati
3. er l tat M avec une probabilit 0 5 gt tant malade il peut le rester avec une probabilit 0 2 ou passer l tat I avec une probabilit 0 8 Tracer un graphe probabiliste pour d crire cette situation et crire la matrice de transition Calculer la probabilit qu il soit malade ou immunis au bout de trois mois de six mois d un an de deux ans pour chacune des situations suivantes gt au d part il est immunis gt au d part il est non malade et non immunis gt au d part il est malade Pouvez vous donner des l ments sur la proportion d individus malades dans la population tudi e
4. on pay e par un assur pris au hasard a D terminer l esp rance de X b Quelle conclusion pouvez vous tire quant l quilibre financier de la compagnie en ce qui concerne uniquement les accidents avec responsabilit tablie EXERCICE 2 Jeux de ballons Anna Bruno et Carole se lancent un ballon Anna lance toujours Carole Carole le lance aux deux autres avec la m me probabilit Bruno le lance une fois sur trois Anna deux fois sur trois Carole 1 Repr senter l volution par un graphe probabiliste et d terminer la matrice de transition T 2 Au d but Anna a le ballon donner Po l tat initial Po ssessisssseseiseesinsiresesesensrs D terminer 107 pr s la probabilit de chacun d avoir le ballon apr s 30 passes Justifier 3 Calculer T en d duire que nous sommes en pr sence d un tat stable que vous d terminerez 4 Quel est l enfant qui a le plus de chances d avoir le ballon long terme EXERCICE 3 Un individu vit dans un lieu o il est susceptible d attraper une maladie par piq re d insecte Il peut tre dans l un des trois tats suivants Immunis I Malade M ou non immunis et non malade S D un mois l autre son tat peut changer selon les r gles suivantes gt tant immunis il peut le rester avec une probabilit 0 9 ou passer l tat S avec une probabilit O 1 gt tant dans l tat S il peut le rester avec une probabilit 0 5 ou pass
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